Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Dowodzenie tożsamości i nierówności

Z edu
brain.fuw.edu.pl/edu / Matematyka I / Ćwiczenia > Matematyka I - ćwiczenia/Dowodzenie tożsamości i nierówności
KL grafika.png KAPITAŁ LUDZKI
NARODOWA STRATEGIA SPÓJNOŚCI
Universitas Varsoviensis orzelek trans 116x128.png
UNIA EUROPEJSKA
EUROPEJSKI
FUNDUSZ SPOŁECZNY
European flag.svg
Projekt Fizyka wobec wyzwań XXI w. współfinansowany jest przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki.


Skrypt dla studentów kierunku Neuroinformatyka, wspierany przez Fundusz Innowacji Dydaktycznych UW

Dowodzenie tożsamości i nierówności

Zadanie 1

Wykazać, że:

(1)
\mathrm{arctg}\frac{1+x\sqrt{3}}{x-\sqrt{3}}-\mathrm{arcctg}\, x=\left\{\begin{array}{ccc}\displaystyle -\frac{2\pi}{3} & \mathrm{dla} & x<\sqrt{3}\; ,\\ \\
\displaystyle \frac{\pi}{3} & \mathrm{dla} & x>\sqrt{3}\; .\end{array}\right.
\,




Zadanie 2

Wykazać, że:

(7)
2\mathrm{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+\arcsin\left(2x\sqrt{1-x^2}\right)=\pi\; ,
\,

dla \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}<x<1\,.



Zadanie 3

Wykazać, że dla każdego x\in\mathbb{R}\, spełniona jest nierówność:

(11)
x^2-2x\sin x-2\cos x+2\geq 0\; .
\,




Zadanie 4

Wykazać, że dla każdego x\in\mathbb{R}\, i x\neq 0\, spełniona jest nierówność:

(14)
2x\,\mathrm{arctg}\, x> 1-\frac{\log(1+x^2)}{x^2}\; .
\,




Zadanie 5

Wykazać, że dla każdego x>0\, spełniona jest nierówność:

(17)
(2x^2+1)\,\mathrm{arsinh}\, x>x\sqrt{x^2+1}\; ,
\,

a dla x<0\, nierówność jest odwrotna.



Zadanie 6

Wykazać, że dla każdego x\geq 1\, spełniona jest nierówność:

(20)
\log x\leq \sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\; .
\,




Zadanie 7

Wykazać, że dla każdego x\in]0, 1]\, spełniona jest nierówność:

(23)
\log x\leq \sqrt{1-x^2}\; .
\,




Zadanie 8

Wykazać, że dla każdego x\in \mathbb{R}\, prawdziwa jest nierówność:

(26)
\log(x+\sqrt{x^2+1})-\log(1+\sqrt{2})\leq \sqrt{x^2+1}-\sqrt{2}\;.
\,




Osobiste