Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Indukcja matematyczna

Z edu
brain.fuw.edu.pl/edu / Matematyka I / Ćwiczenia > Matematyka I - ćwiczenia/Indukcja matematyczna
KL grafika.png KAPITAŁ LUDZKI
NARODOWA STRATEGIA SPÓJNOŚCI
Universitas Varsoviensis orzelek trans 116x128.png
UNIA EUROPEJSKA
EUROPEJSKI
FUNDUSZ SPOŁECZNY
European flag.svg
Projekt Fizyka wobec wyzwań XXI w. współfinansowany jest przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki.


Skrypt dla studentów kierunku Neuroinformatyka, wspierany przez Fundusz Innowacji Dydaktycznych UW

Indukcja matematyczna

Zadanie 1

Wykazać, że dla dowolnego n\in\mathbb{N} prawdziwa jest równość:

(1)1^3+3^3+\ldots +(2n+1)^3=2(n+1)^4-(n+1)^2\; .\,



Zadanie 2

Wykazać, że dla dowolnego n\in\mathbb{N}\, i n\geq 2\, prawdziwa jest równość:

(3)
\frac{1}{2^2-1}+\frac{1}{3^2-1}+\ldots\frac{1}{n^2-1}=\frac{(3n+2)(n-1)}{4n(n+1)}\; .
\,



Zadanie 3

Wykazać wzór de Moivre'a:

(5)
(\cos\phi +i\sin\phi)^n=\cos n\phi +i\sin n\phi\; ,\,

dla dowolnego \phi\in\mathbb{R}\, oraz n\in \mathbb{N}\, .



Zadanie 4

Wykazać, że dla dowolnego n\in\mathbb{N}\, i n\geq 2\, zachodzi nierówność:

(9)
\frac{\sqrt{2}}{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}+\ldots\frac{\sqrt{n}}{n-1}>\sqrt{n-1}\; .\,



Zadanie 5

Wiadomo, iż

(11)|x_1+x_2|\leq |x_1|+|x_2|,\,

dla x_1,x_1\in\mathbb{R}\,. Wykazać na tej podstawie, że dla dowolnego n\in\mathbb{N}\, i n\geq 2\, zachodzi także

(12)
|x_1+x_2+\ldots+x_n|\leq |x_1|+|x_2|+\ldots+|x_n|\; .\,



Zadanie 6

Wykazać, że dla dowolnego n\in\mathbb{N}\, zachodzi nierówność:

(16)
(1+2+\ldots + n)\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\ldots\frac{1}{n}\right)\geq n^2\; .



Zadanie 7

Wykazać, że dla dowolnego n\in\mathbb{N}\, zachodzi nierówność:

(21)
(2n-1)!!\leq n^n\; .\,



Zadanie 8

Wykazać, że dla dowolnego n\in\mathbb{N}\, i n\geq 2\, liczba postaci n^7-n\, jest podzielna przez 7\,.



Zadanie 9

Wykazać, że dla dowolnego n\in\mathbb{N}\, liczba postaci n(n+1)(2n+1)\, jest podzielna przez 6\,.




Zadanie 10

Wykazać, że dla dowolnego n\in\mathbb{N}\, i n\geq 2\, liczba postaci 4^n+6n-10\, jest podzielna przez 9\,.



Zadanie 11

Wykazać, że dla dowolnego n\in\mathbb{N}\cup\{0\}\, wielomian:

(28)
w_n(x)=(4n+3)x^{n+2}-(7n+6)x^{n+1}+(3n+2)x^n+1\; ,
\,

jest podzielny przez (x-1)^2\,.



Zadanie 12

Wykazać, że dla dowolnego n\in\mathbb{N}\cup\{0\}\, wielomian:

(32)
w_n(x)=(n+2)x^{n+2}+(n+4)x^{n+1}+x^n+(-1)^n\; ,
\,

ma podwójne miejsce zerowe dla x=-1\,.



Osobiste