Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Szeregi liczbowe

Z edu
brain.fuw.edu.pl/edu / Matematyka I / Ćwiczenia > Matematyka I - ćwiczenia/Szeregi liczbowe
KL grafika.png KAPITAŁ LUDZKI
NARODOWA STRATEGIA SPÓJNOŚCI
Universitas Varsoviensis orzelek trans 116x128.png
UNIA EUROPEJSKA
EUROPEJSKI
FUNDUSZ SPOŁECZNY
European flag.svg
Projekt Fizyka wobec wyzwań XXI w. współfinansowany jest przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki.


Skrypt dla studentów kierunku Neuroinformatyka, wspierany przez Fundusz Innowacji Dydaktycznych UW

Wstęp

Przykład (O tym że grupowanie wyrazów to delikatna materia a raczej o tym, że trzeba sprecyzować o czym mówimy pisząc a0 + a1 + ⋅⋅⋅)

\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n,

(1 − 1) + (1 − 1) + ⋅⋅⋅ = 0?

1 + ( − 1 + 1) + ( − 1 + 1) + ⋅⋅⋅ = 1?


Definicja szeregu, zbieżności (rozbieżności) szeregu, sumy szeregu

Niech dany jest ciąg n \mapsto a_n. Szeregiem o wyrazach an nazywamy ciąg n \mapsto S_n=\sum_{k=0}^{n} a_k. Sn nazywamy sumą częściową szeregu. Szereg nazywamy zbieżnym gdy ciąg Sn ma skończoną granicę (granicę tę nazywamy sumą szeregu). W przeciwnym wypadku szereg nazywamy rozbieżnym.


Fakt

Szereg powstający z pogrupowania wyrazów wyjściowego szeregu zbieżnego ma tę samą sumę co szereg wyjściowy bo jest podciągiem ciągu wyjściowego (szeregu wyjściowego rozumianego jako ciąg). Dla szeregów o wyrazach dodatnich fakt ten można rozciągnąć na szeregi rozbieżne do .


Zadanie 1 (Warunek konieczny zbieżności szeregu)

Zbadaj zbieżność szeregów \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{3-2n}{3+2n}\right)^n, \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n}}=1.




Zadanie 2 (suma resorująca)

Zbadaj zbieżność szeregów ewentualnie oblicz ich sumę

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5}{7n+7n^2},

\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right).




Zadanie 3 (sumy częściowe szeregu geometrycznego, suma szeregu geometrycznego, dodawanie szeregów, mnożenie przez stałą)

Znaleźć sumę szeregu \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4 \pi^n+e^n}{4^n}




Zadanie 4

Zbadaj zbieżność szeregu, w zależności od parametru q, oblicz jego sumę \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) q^k.





Zadanie 5 (Permutacja wyrazów szeregu to delikatna sprawa)


Wiedząc że \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}=\log 2 znajdź sumę szeregu, którego sumy częściowe to T1 = 1, T_2=1+\frac{1}{3}, T_3=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2} T_4=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}, T_5=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}, T_6=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{4} etc.





Fakt

Suma szeregów bezwzględnie zbieżnych nie zmienia się gdy poprzestawiamy jego wyrazy.


Szeregi o wyrazach dodatnich, zbieżność bezwzględna a zbieżność

Fakt

Szereg harmoniczny p-tego rzędu \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}.

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy p > 1.

Zadanie 6 (kryterium Cauchy o zagęszczaniu) \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n \ln n}




Zadanie 7 (kryterium porównawcze, kryterium porównawcze ilorazowe)

Zbadaj zbieżność poniższych szeregów

a) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2+n+1}{n^4+n^2+1},

b) \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}},

c)   \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots 2n}},

d)   \sum_{n=1}^{\infty} \left[\frac{1}{n}- \log (1+\frac{1}{n}) \right]

e) \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n^3},

f) \sum_{n=1}^{\infty}2^n\sin\frac{\pi}{3^n},

g) \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{n(n-1)},

h) \sum_{n=1}^{\infty} \left(1- \sqrt[n]{\frac{n-1}{n}}  \right).




Zadanie 8 (kryterium d'Alemberta, Cauchy'ego)

Zbadaj zbieżność szeregów

a) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)!}{(n!)^2},

b) \sum_{k=1}^{\infty} \left( \begin{matrix} 2k \\ k\end{matrix}\right)5^{-k},

c) \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{n(n-1)}

d) \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n n!}{n^n}

e) \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(\operatorname{arctg} n)^n}{2^n},

f) \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2n+\sqrt{n}}{8n+1}\right)^{\frac{n}{2}},

g) \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n^2+n+1)7^n}{2^{n+1} 3^{n-1}}.






Przypomnienie

Związek między kryterium d'Alemberta i kryterium Cauchy'ego. \lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=g \Rightarrow \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}=g.


Zadanie 9 (Zbieżność bezwzględna a zbieżność)

Zbadaj zbieżność szeregu

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin 3^n}{3^n},





Szeregi naprzemienne

Zadanie 10 (Kryterium Leibnitza)

Zbadaj zbieżność szeregów

a)  \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{\sqrt[4]{|n -\frac{2011}{2}|}}

b) \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{\ln n}{n}.





Zadanie 11

Zbadaj zbieżność szeregu

 \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\frac{2009+(-1)^n}{n}.





Osobiste