Matematyka:Szeregi1

Z edu
KL grafika.png KAPITAŁ LUDZKI
NARODOWA STRATEGIA SPÓJNOŚCI
Universitas Varsoviensis orzelek trans 116x128.png
UNIA EUROPEJSKA
EUROPEJSKI
FUNDUSZ SPOŁECZNY
European flag.svg
Projekt Fizyka wobec wyzwań XXI w. współfinansowany jest przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki.


Skrypt dla studentów kierunku Neuroinformatyka, wspierany przez Fundusz Innowacji Dydaktycznych UW

Spis treści

Szeregi o wyrazach dodatnich. Kryteria zbieżności d'Alemberta i Cauchy'ego

Przy założeniu, że wszystkie składniki szeregu a_1 + a_2 + \cdots\; są dodatnie, ciąg jego sum częściowych jest rosnący. Wynika stąd natychmiast stwierdzenie:

Stwierdzenie

Szereg o wyrazach dodatnich jest albo zbieżny, albo rozbieżny do \infty\;.

CBDO

Twierdzenie (kryterium porównawcze)

Można je wyrażać w różnych wersjach; tu jest jedna z nich

Jeśli dla wszystkich n\; zachodzi 0\leq b_n \leq a_n\; i jeśli szereg a_1 + a_2 + \cdots\; jest zbieżny, to zbieżny jest również szereg b_1 + b_2 + \cdots\;. Przy tym zachodzi


\sum_{n=1}^\infty b_n \leq \sum_{n=1}^\infty a_n.
\;

Dowód

Oznaczmy sumy częściowe szeregów a_1 + a_2 + \cdots\; i b_1 + b_2 + \cdots\; jako s_n\; i t_n\; :


s_n = a_1 + a_2 + \cdots+a_n, \;\;\; t_n = b_1 + b_2 + \cdots+b_n.
\;

Mamy oczywiście t_n\leq s_n\;. Mamy też: (przypomnijmy sobie odpowiednie twierdzenia o granicach ciągów monotonicznych)


s_n\leq \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} s_n = \sum_{n=1}^\infty a_n\;\;\;\mbox{wiecc}\;\;\;t_n \leq \sum_{n=1}^\infty a_n.
\;

Z nierówności tej wnioskujemy, że ciąg sum częściowych szeregu b_1 + b_2 + \cdots\; jest ograniczony, a więc szereg b_1 + b_2 + \cdots\; jest zbieżny. Z drugiej strony, wynika stąd nierówność \sum_{n=1}^\infty b_n \leq \sum_{n=1}^\infty a_n\;. Bo jak pamiętamy, dla ciągów było: Jeżeli dla ciągu {xn} każdego n\; zachodzi: x_n\leq C\; , to \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} x_n \leq C\;.

CBDO

Przykład

Kryterium powyższe jest ogólne i sukces w jego stosowaniu do jakiegoś szeregu b_1 + b_2 + \cdots\; zależy od tego, czy znajdziemy taki szereg zbieżny a_1 + a_2 + \cdots\; , który szacuje od góry b_1 + b_2 + \cdots\;.

Pokażemy zbieżność szeregu

(1)
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}.

Uczynimy to przez porównanie go z szeregiem:

(2)
\frac{1}{1\cdot 2}+ \frac{1}{2\cdot 3}+ \dots + \frac{1}{n(n+1)}+\dots;

mamy:


\frac{1}{1\cdot 2}+ \frac{1}{2\cdot 3}+ \dots + \frac{1}{(n-1)n} = \left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right)+\dots+\left(\frac{1}{(n-1)} - \frac{1}{n}\right)=1-\frac{1}{n},

czyli granica sum częściowych s_n\; szeregu (2) jest: \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} s_n=1\;.

Na mocy kryterium porównawczego, szereg 1 / n2 jest zbieżny[1].

Biorąc do porównywania w kryterium porównawczym szereg geometryczny, otrzymujemy następujące dwa kryteria.

Twierdzenie (kryterium d'Alemberta)

Szereg a_1 + a_2 + \cdots\; o wyrazach dodatnich, spełniający warunek

(3)
\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} < 1

jest zbieżny.

Dowód

Weźmy h\; takie, aby były spełniona nierówności: \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} < h<1\;. Istnieje więc k\; takie, że dla n\geq k\; mamy \frac{a_{n+1}}{a_n} < h\; , czyli a_{n+1}<a_n h\;. Tak więc szereg a_k+a_{k+1}+\dots\; ma składniki odpowiednio nie większe od składników szeregu geometrycznego a_k+a_k h + a_k h^2 +\dots\;.

Ten szereg geometryczny jest zbieżny, bo 0<h<1\;. Z kryterium porównawczego jest więc zbieżny szereg \sum_{n=k}^\infty a_n\; , a co za tym idzie — i szereg \sum_{n=1}^\infty a_n\;.

CBDO

Twierdzenie (kryterium Cauchy'ego)

Szereg a_1 + a_2 + \cdots\; o wyrazach dodatnich, spełniający warunek

(4)
\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} < 1

jest zbieżny.

Dowód

Podobnie jak w kryterium d'Alemberta, istnieje takie h\; i takie k\; , że dla n\geq k\; zachodzi \sqrt[n]{a_n}<h\; , a to jest równoważne nierówności a_n<h^n\;. Porównując teraz szereg a_k+a_{k+1} +\dots\; z szeregiem geometrycznym h^k+h^{k+1}+\dots\; , widzimy, że jeżeli szereg geometryczny jest zbieżny (tzn. h<1\; ), to zbieżny jest również szereg a_1 + a_2 + \cdots\;.

CBDO

Ustaliliśmy więc pewne kryteria zbieżności. Daje się też znaleźć kryteria rozbieżności.

Twierdzenie (Kryteria rozbieżności)

Jeśli dla szeregu a_1 + a_2 + \cdots\; o składnikach dodatnich zachodzi jedna z nierówności

(5)
\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}>1 \;\;\;\mbox{lub}\;\;\; \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n}>1,

to szereg jest rozbieżny.

Dowód

Jeśli ma miejsce pierwsza z nierówności (5), to dla dostatecznie dużych n\; mamy


\frac{a_{n+1}}{a_n}>1\;\;\;\mbox{co daje}\;\;\;a_{n+1}>a_n,

a to znaczy, że ciąg {an} nie jest zbieżny do 0, czyli nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu — tak więc szereg a_1 + a_2 + \cdots\; jest rozbieżny.

Jeśli natomiast spełniona jest druga z nierówności (5), to dla dostatecznie dużych n\; mamy


\sqrt[n]{a_n}>1;\;\;\mbox{co daje}\;\;\;a_{n+1}>1,
\;

i znowu ciąg {an} nie jest zbieżny do 0. CBDO

Przykład

Szereg:

(6)
\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n!}

dla x\geq 0\; jest zbieżny.

Dowód

Mamy:


\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{x^{n+1}}{x^n} \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{x}{n+1}\Longrightarrow\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 0.

Z kryterium d'Alemberta wynika, że szereg (6) jest zbieżny.

Przykład

Kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga o zbieżności szeregu harmonicznego ani szeregu (2), bo  \lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = 1 w obu przypadkach.

Szeregi bezwzględnie zbieżne

Def. Szereg a_1 + a_2 + \cdots\; nazywamy bezwzględnie zbieżnym, jeśli szereg |a_1| + |a_2| + \dots\; jest zbieżny. Szereg, który jest zbieżny, ale nie jest bezwzględnie zbieżny, nazywamy warunkowo zbieżnym.

Twierdzenie

Jeśli szereg a_1 + a_2 + \cdots\; jest zbieżny bezwzględnie, to jest też zbieżny w zwykłym sensie. Ponadto

(7)
\left|\sum_{n=1}^\infty a_n \right| \leq \sum_{n=1}^\infty |a_n|.

Dowód

Zgodnie z warunkiem Cauchy'ego zbieżności szeregów, musimy oszacować sumę: a_k+ a_{k+1}+\dots + a_n\; i pokazać, że dla dostatecznie dużych k\; i dowolnych n\; (n>k)\; suma ta jest dowolnie mała. Mamy:


|a_k+ a_{k+1}+\dots + a_n| \leq |a_k|+ |a_{k+1}|+\dots + |a_n| \leq \sum_{i=k}^\infty |a_i|.

Ostatnia suma powyżej, jako reszta r_{k-1}\; szeregu zbieżnego, dąży do 0, gdy k\; dąży do \infty\;. Innymi słowy, dla dowolnego \epsilon>0\; istnieje takie k\; , że r_{k-1}<\epsilon\; , skąd |a_k+ a_{k+1}+\dots + a_n|<\epsilon\; dla każdego n>k\;.

W ten sposób pokazaliśmy zbieżność szeregu a_1 + a_2 + \cdots\;. Ponadto, oznaczając: s_n = a_1 + a_2 + \cdots+a_n\; oraz t_n = |a_1|+|a_2|+\dots +|a_n|\; mamy: |s_n|\leq t_n\; , skąd, po przejściu do granicy, wynika


|\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} s_n| = \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} |s_n| \leq \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} t_n,
\;

a to jest dokładnie wzór (7).

CBDO

Przykłady

  1. Szereg geometryczny 1+q+q^2+\dots\; , gdzie |q|<1\; , jest zbieżny bezwzględnie, ponieważ jest zbieżny szereg 1+|q|+|q|^2+\dots\;.
  2. Szereg \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n!}\; jest zbieżny bezwzględnie dla każdego x\;. Jak się niedługo okaże, jego suma jest równa e^x\;.
  3. Szereg anharmoniczny jest zbieżny warunkowo, ponieważ szereg wartości bezwzględnych jego składników to szereg harmoniczny, który jest rozbieżny.

(Pozorne) paradoksy z szeregami nieskończonymi

Przyjrzymy się teraz zagadnieniu przemienności szeregów nieskończonych. Wiemy, że dodawanie jest przemienne, tzn. a+b=b+a\;, co implikuje, że suma skończonej ilości składników jest przemienna, tzn. nie zależy od kolejności składników. Okazuje się, że analogiczna własność ma też miejsce dla szeregów bezwzględnie zbieżnych, natomiast na ogół nie zachodzi dla szeregów zbieżnych warunkowo. Będziemy to pokazywać, ale najsampierw sprecyzujemy, co rozumiemy przez zmianę kolejności składników, gdy ilość tych składników jest nieskończona.

Permutacja

Przez permutację ciągu liczb naturalnych rozumiemy ciąg liczb naturalnych {mn}=m_1, m_2, \dots\; taki, że każda liczba naturalna występuje w ciągu {mn} dokładnie raz. Jeśli m_1, m_2, \dots\; jest permutacją ciągu liczb naturalnych, to mówimy, że szereg a_{m_1}+a_{m_2}+\dots+a_{m_n}+\dots\; powstał z szeregu a_1 + a_2 + \cdots + a_n+\dots\; przez zmianę porządku jego składników.

Twierdzenie

Każdy szereg bezwzględnie zbieżny jest przemienny. Inaczej mówiąc, jeśli szereg \sum_{n=1}^\infty a_n\; jest bezwzględnie zbieżny i jeśli m_1, m_2,\dots\; jest permutacją ciągu liczb naturalnych, to

(8)
\sum_{n=1}^\infty a_{m_n}=\sum_{n=1}^\infty a_n.
Dowód

Niech \epsilon>0\;. Ze zbieżności szeregu |a_1|+|a_2|+\dots\; wynika, że istnieje takie k\; , że

(9)
\sum_{i=k+1}^\infty |a_i| < \epsilon.

Ponieważ ciąg {mn} zawiera wszystkie liczby naturalne, więc istnieje takie r\; , że wśród liczb m_1, m_2, \dots, m_r\; występują liczby 1,2,3,\dots,\; aż do k\;. Ponieważ zaś każda liczba naturalna występuje dokładnie raz w ciągu {mn}, to dla każdego n>r\; mamy m_n>k\;. Jeśli więc przy danym n>r\; ze zbioru m_1, m_2, \dots, m_r,\dots, m_n\; skreślimy liczby 1,2,\dots, k\; , to pozostaną w nim wyłącznie liczby większe od k\; (przy tym wszystkie różne). Tak więc, oznaczając


s_n=a_1 + a_2 + \cdots + a_n, \;\;\;t_n = a_{m_1} + a_{m_2} + \dots + a_{m_n}

i skreślając w różnicy t_n-s_n\; składniki o równych wskaźnikach, otrzymamy w różnicy t_n-s_n\; jedynie składniki o wskaźnikach większych od k\;. Wynika stąd, że


|t_n-s_n| \leq \sum_{i=k+1}^\infty |a_i|,

skąd mamy:

| tnsn | < ε.

na mocy (9). Ponieważ ta ostatnia nierówność zachodzi dla każdego n>r\; , to zachodzi: \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} t_n = \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} s_n\; , a to oznacza, że spełniona jest teza twierdzenia, tzn. (8). CBDO

Uwaga

Powyższe twierdzenie nie jest prawdziwe dla dowolnego szeregu zbieżnego.

Jako przykład, weźmy szereg anharmoniczny i oznaczymy jego sumę przez c\; (niedługo okaże się, że c=\ln 2\; ),


c=1-\frac{1}{2} +\frac{1}{3} -\frac{1}{4} + \frac{1}{5}-\frac{1}{6} + \frac{1}{7}-\frac{1}{8} + \frac{1}{9}-\dots;

policzmy c+\frac{1}{2}c\; :


c+\frac{1}{2}c= 1+\frac{1}{3} - \frac{1}{2}+\frac{1}{5} + \frac{1}{7}-\frac{1}{4} + \frac{1}{9}+ \frac{1}{11}-\frac{1}{6}+\dots

w czym rozpoznajemy sumę szeregu anharmonicznego po przestawieniu składników. Tak więc przez przestawienie składników uzyskaliśmy szereg zbieżny do innej wartości. Okazuje się, że ma miejsce nawet bardziej (pozornie) paradoksalna sytuacja:

Twierdzenie (Riemanna)

Mając dany szereg zbieżny warunkowo, można przez zmianę porządku jego składników uzyskać szereg rozbieżny lub zbieżny do dowolnej, z góry zadanej granicy (skończonej lub nieskończonej).

Bez dowodu. (Dla ciekawych, jest np. w skrypcie P. Urbańskiego, "Analiza", t. 1).

Zagadka

Widzieliśmy, że energia elektrostatyczna kryształu jednowymiarowego jest równa sumie szeregu anharmonicznego. Czy to znaczy, że ta energia może być dowolna, jeśli przez zmianę kolejności sumowania można uzyskać dowolną wartość? Może więc energia elektrostatyczna jest źle określoną wielkością?

Mnożenie szeregów

Wiemy, że jeśli pomnożymy dwie skończone sumy, to znów otrzymamy jakąś sumę. Przy szeregach nieskończonych pojawiają się pytania o zbieżność. Poniższe twierdzenie pokazuje, że dla szeregów bezwzględnie zbieżnych szeregi dadzą się pomnożyć, i szereg w wyniku powstały ma taką postać, jakiej oczekujemy.

Twierdzenie (Cauchy'ego)

Jeżeli szeregi: \sum_{n=1}^\infty a_n\; i \sum_{n=1}^\infty b_n\; są bezwzględnie zbieżne, to również szereg

(10)
\sum_{n=1}^\infty c_n = \sum_{n=1}^\infty a_n\cdot \sum_{n=1}^\infty b_n

jest bezwzględnie zbieżny.

Dowód

c1 = a1b1,

c_2=a_1 b_2 + a_2 b_1,\ldots,c_n= a_1 b_n + a_2 b_{n-1}+ \dots + a_{n-1} b_2 + a_n b_1 = \sum_{k=1}^n a_k b^{n+1-k}.
\;

Oznaczmy


s_n = a_1 + a_2 + \cdots+ a_n, \;\;\;t_n = b_1 + b_2 + \cdots+b_n, \;\;\; u_n = c_1 + c_2 + \cdots + c_n,

czyli

un = a1tn + a2tn − 1 + a3tn − 2 + ... + ant1.

Będziemy szacować różnicę


s_n t_n - u_n = a_1 t_n + a_2 t_n + \dots + a_n t_n -u_n=
\;
(11) = a2(tntn − 1) + a3(tntn − 2) + ... + an(tnt1).

Ponieważ szeregi: \sum_{n=1}^\infty b_n\; i \sum_{n=1}^\infty |a_n|\; są zbieżne, a więc ograniczone, to istnieje taka liczba M\; , że dla każdego j\; zachodzi:

(12)
|t_j|<M \;\; \mbox{oraz}\;\; |a_1| + |a_2| +\dots + |a_j|<M.

Warunek zbieżności szeregu b_1 + b_2 + \cdots\; oznacza dokładnie tyle, co warunek zbieżności ciągu {tn}; zapiszmy warunek Cauchy'ego zbieżności ciągu {tn}: Dla każdego \epsilon>0\; istnieje takie k\; , że jeśli n>m>k\; , to zachodzi

(13) | tntm | < ε

Podobnie dla szeregu |a_1|+|a_2|+\dots\; mamy

(14) | ak + 1 | + | ak + 2 | + ... + | an | < ε.

W dalszym ciągu weźmy n>2k\;. Na mocy (q11) mamy


|s_n t_n-u_n|\leq (|a_2| |t_n-t_{n-1}| + \dots + |a_k||t_n-t_{n-k+1}|)+(|a_{k+1}||t_n-t_{n-k}| + \dots+ |a_n||t_n-t_1|).

Oszacujmy teraz pierwszy nawias wykorzystując (13), a drugi — wykorzystując (12),pamiętając zarazem, że n-k+1>k\; oraz |t_n-t_j|\leq |t_n| + |t_j|<2M\; :


|s_n t_n -u_n| \leq (|a_2|+\dots +|a_k|)\epsilon + (|a_{k+1}| +\dots + |a_n|)\cdot 2M <M\epsilon + \epsilon\cdot 2M,
\;

Tym samym pokazaliśmy, że nierówność: |s_n t_n -u_n|<3 M \epsilon\; zachodzi dla każdego n>2k\;. Znaczy to, że \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} (s_n t_n -u_n)=0\;. Ponieważ zaś ciągi: {sn} i {tn} są zbieżne, więc \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} s_n t_n =\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} s_n \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} t_n\; , a to znaczy, że \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} s_n \cdot \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} t_n = \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} s_n t_n = \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} u_n\;, czyli zachodzi wzór (10).

CBDO

Przykład

Pokażemy, że \sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!} \sum_{n=0}^\infty \frac{y^n}{n!} =\sum_{n=0}^\infty\frac{(x+y)^n}{n!} Mamy bowiem:


\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{y^n}{n!} =
\sum_{n=0}^\infty\left(
1\cdot \frac{y^n}{n!} + \frac{x}{1!}\cdot\frac{y^{n-1}}{(n-1)!}
+\frac{x^2}{2!}\cdot \frac{y^{n-2}}{(n-2)!}+ \dots +\frac{x^n}{n!}\cdot 1
\right)

=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}\left(
y^n+\frac{n}{1!} x y^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2!} x^2 y^{n-2}+\dots + x^n
\right)
= \sum_{n=0}^\infty\frac{(x+y)^n}{n!}
\;

(przy ostatniej równości wykorzystaliśmy wzór dwumienny Newtona).

Uwaga

Twierdzenie o mnożeniu szeregów jest prawdziwe też przy słabszym założeniu, a mianowicie, że jeden z szeregów (tu: a_1 + a_2 + \cdots\; ) jest bezwzględnie zbieżny, a drugi(tu: b_1 + b_2 + \cdots\; ) jest zbieżny, ale niekoniecznie bezwzględnie. W dowodzie wykorzystywaliśmy bowiem tylko bezwzględną zbieżność szeregu a_1 + a_2 + \cdots\;. Jeśli natomiast oba szeregi są warunkowo zbieżne, to szereg c1 + c2 + ... może być rozbieżny.

Przykład

Weźmy


a_n = b_n =\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}};

szeregi a_1 + a_2 + \cdots\; i b_1 + b_2 + \cdots\; są wówczas zbieżne (z jakiego kryterium?), zaś szereg c1 + c2 + ... jest rozbieżny.

  1. Zobaczymy później, że suma szeregu (1) jest równa \frac{\pi^2}{6}\;
Osobiste