Ciągi 2

Ciągi rozbieżne do ∞

Def. Mówimy, że ciąg [math] a_n \;[/math] jest rozbieżny do [math]\infty\;[/math], jeśli

[math] \forall_{r\gt 0} \exists_{M\in\mathbb N} \forall_{n\gt M}: a_n\gt r. \;[/math]

Zapisujemy to symbolicznie jako równość: [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n =\infty\;[/math]. Mówimy też, że ciąg [math]a_n\;[/math] posiada granicę niewłaściwą (równą nieskończoności).

Można obrazowo powiedzieć, że ciąg rozbieżny do [math]\infty\;[/math] to taki, którego dostatecznie dalekie wyrazy są dowolnie duże.

Analogicznie określamy rozbieżność do [math]-\infty\;[/math]: Mówimy, że ciąg [math]b_n\;[/math] jest rozbieżny do [math]-\infty\;[/math], jeśli ciąg [math]-b_n\;[/math] jest rozbieżny do [math]\infty\;[/math].

Przykład

[math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} n = \infty\;[/math]; [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} -n^2 = -\infty\;[/math].

Twierdzenie

Ciąg niemalejący [math] a_n \;[/math] nieograniczony z góry jest rozbieżny do [math]\infty\;[/math].

Dowód

Ponieważ ciąg [math] a_n \;[/math] jest nieograniczony z góry, więc [math]\forall_{r\in \mathbb R}\; \exists M: \;a_M\gt r\;[/math]. Ponieważ ciąg [math] a_n \;[/math] jest niemalejący, to dla [math]n\gt M\;[/math] mamy [math]a_n\geq a_M\;[/math], zatem [math]a_n\gt r\;[/math]. Tak więc [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n =\infty\;[/math].

CBDO

Ciągi zbieżne

Analogicznie dla ciągów nierosnących: jeśli ciąg [math] b_n \;[/math] jest nieograniczony z dołu, to ma granicę niewłaściwą [math]-\infty\;[/math].

Przyjmując powyższą terminologię, możemy przeformułować twierdzenie o tym, że każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny: Rozszerzamy to do postaci:

Każdy ciąg monotoniczny posiada granicę właściwą lub niewłaściwą (w zależności od tego, czy jest ograniczony, czy nieograniczony).

Twierdzenie X

Jeśli [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n = \pm \infty\;[/math], to [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \frac{1}{a_n} = 0\;[/math].

Dowód

Niech [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n =\infty\;[/math] i niech [math]\epsilon \gt 0\;[/math]. Biorąc [math]r=\frac{1}{\epsilon}\;[/math], widzimy, że istnieje takie [math]M\;[/math], że dla [math]n\gt M\;[/math] zachodzi [math]a_n\gt r=\frac{1}{\epsilon}\;[/math], tzn. [math]\frac{1}{a_n}\lt \epsilon\;[/math], a to oznacza, że [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \left( \frac{1}{a_n}\right) = 0\;[/math].

Uwaga

Twierdzenie odwrotnie nie jest prawdziwe: Jeśli ciąg [math] a_n \;[/math] dąży do 0, to ciąg [math]\left\{\frac{1}{a_n}\right\}[/math] nie musi być rozbieżny do [math]+\infty\;[/math] lub [math]-\infty\;[/math]. Jest tak np. z ciągiem [math]a_n=\frac{(-1)^n}{n}\;[/math], zbieżnym do zera: Ciąg [math]\frac{1}{a_n}=(-1,2,-3,4,\dots)\;[/math] nie jest rozbieżny do [math]\infty\;[/math] ani do [math]-\infty\;[/math].

Suma i iloczyn ciągów rozbieżnych

Naturalne jest oczekiwać, że suma i iloczyn ciągów rozbieżnych do [math]\infty\;[/math] też są rozbieżne do [math]\infty\;[/math]. Tak też jest w istocie. Pokażemy tu nieco wzmocnione wersje tych stwierdzeń.

Twierdzenie XX

Jeśli [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n =\infty\;[/math], a ciąg [math] b_n \;[/math] jest ograniczony z dołu, to [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} (a_n+b_n) =\infty\;[/math].

Dowód

Niech [math]M\;[/math] będzie stałą ograniczającą ciąg [math] b_n \;[/math] od dołu: [math]\forall_{n\in \mathbb N }M\lt b_n\;[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n = \infty\;[/math], to dla danego (dowolnego) [math]r\;[/math] istnieje taka liczba [math]k\;[/math], że dla [math]n\gt k\;[/math] zachodzi [math]a_n\gt r-M\;[/math].

Stąd [math]a_n+b_n\gt r\;[/math], a to znaczy, że [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} (a_n+b_n) =\infty\;[/math].

Twierdzenie XXX

Jeśli [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n = \infty\;[/math] oraz ciąg [math] b_n \;[/math] jest ograniczony z dołu przez dodatnią stałą [math]c\;[/math]: [math]\forall_{n\in \mathbb N } b_n\geq c \gt 0\;[/math], to [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} (a_n b_n) = \infty\;[/math].

Dowód

Weźmy jakąś (dowolną) liczbę [math]r\;[/math]. Z założenia (o rozbieżności [math] a_n \;[/math] do [math]\infty\;[/math]) istnieje takie [math]k\in\mathbb N\;[/math], że dla [math]n\gt k\;[/math] mamy [math]a_n\gt r\;[/math]. Mnożąc obie strony tej nierówności przez strony nierówności [math]b_n\geq c\;[/math], otrzymujemy [math]a_n b_n \gt r\;[/math], co znaczy, że [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} (a_n+b_n) =\infty\;[/math].

Twierdzenie XXXX — analogon "stwierdzenia o zachowaniu nierówności w granicy"

Jeśli [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n =\infty\;[/math] oraz [math]\forall_{n\in\mathbb N}: a_n\leq b_n\;[/math], to [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} b_n =\infty\;[/math].

Dowód

Jeśli [math]a_n\gt r\;[/math], to tym bardziej [math]b_n\gt r\;[/math].

Przykłady, w tym granice ważnych ciągów

Przykład 1

Jeśli [math]c\gt 0\;[/math], to [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} c n = \infty\;[/math].

Wynika to natychmiast z tw. XXX.

Przykład 2

Jeśli [math]a\gt 1\;[/math], to [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a^n = \infty\;[/math].Weźmy [math]c=a-1\;[/math]; mamy: [math]c\gt 0\;[/math]. Na mocy nierówności Bernoulliego mamy:

[math] a^n = (1+c)^n \geq 1+cn, \;[/math]

i z Przykł. 1 oraz tw. XXXX mamy [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a^n = \infty\;[/math].

Przykład 3

Jeśli [math]|q|\lt 1\;[/math], to [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} q^n=0\;[/math]. Rozpatrzmy najsampierw przypadek [math]0\lt q\lt 1\;[/math]. Wówczas [math]\frac{1}{q}\lt 1\;[/math], a więc

[math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \left( \frac{1}{q} \right)^n = \infty\;[/math]. Stąd na mocy Tw. X mamy [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} q^n=0\;[/math].

Gdy zaś mamy [math]|q|\lt 1\;[/math], to wtedy [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} |q_n| =0\;[/math],

ale wtedy z Tw. ... wynika, że również [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} q^n=0\;[/math].

Przykład 4

Jeśli [math]|q|\lt 1\;[/math], to

[math] \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} (1+q+ q^2 +\dots + q^n) = \frac{1}{1-q} \;[/math]

Wynika to z równości:

[math] 1+q+ q^2 +\dots + q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/math] oraz dopiero co pokazanego faktu, że [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} q^n=0\;[/math].

[math]\left\{xxx\right\}[/math]

Liczba e

Wprowadzimy teraz ważną w analizie (i nie tylko) liczbę, zwaną [math]e\;[/math], wykorzystując przy tym poznane uprzednio twierdzenia dotyczące granic ciągów.

Rozważmy ciąg

Stwierdzenie

Ciąg [math]\left\{e_n\right\}[/math] jest rosnący.

Dowód

Rozwińmy wyrażenie na [math]e_n;[/math] korzystając ze wzoru dwumiennego Newtona:

[math]\begin{align}e_n= \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = 1+ n\frac{1}{n}+ \frac{n(n-1)}{1\cdot 2}\frac{1}{n^2}+ \frac{n(n-1)(n-2)}{1\cdot 2 \cdot 3}\frac{1}{n^3}+\dots\\ + \frac{n(n-1)\dots(n-k+1}{1\cdot 2 \cdot \dots \cdot k)}\frac{1}{n^k}+\dots + \frac{n(n-1)\dots(n-n+1)}{1\cdot 2 \dots \cdot n}\frac{1}{n^n}\\ = 1+ 1 + \frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n}\right) + \frac{1}{3!}\left(1-\frac{1}{n}\right) \left(1-\frac{2}{n}\right)+\dots \\ +\frac{1}{k!}\left( 1- \frac{1}{n}\right)\dots \left(1- \frac{k-1}{n}\right)+\dots+\frac{1}{n!}\left(1-\frac{1}{n}\right) \dots \left(1-\frac{n-1}{n}\right). \end{align} [/math]

Jeśli teraz przejdziemy od [math]e_n\;[/math] do [math]e_{n+1}\;[/math], to w wyrażeniu powyżej przybędzie jeszcze jeden dodatni wyraz, a każdy z już istniejących się zwiększy, bo dowolny czynnik w nawiasach postaci:

[math]\left(1-\frac{s}{n}\right)\;[/math] zmieni się na [math]\left(1-\frac{s}{n+1}\right)\;[/math]. Stąd wynika, że

[math] \left\{e_{n+1}\right\}\gt \left\{e_n\right\}, [/math]

czyli ciąg [math]\left\{e_n\right\}[/math] jest ciągiem rosnącym.

CBDO

Stwierdzenie

Pokażemy dalej, że zachodzi też

STW. Ciąg [math]\left\{e_n\right\}[/math] jest ograniczony z góry.

Dowód

Każdy z czynników w nawiasach w (1) jest mniejszy od 1, zatem zamieniając wszystkie czynniki w nawiasach na 1 zwiększamy to wyrażenie.

Mamy więc:

[math] e_n\lt 2+\frac{1}{2!} +\frac{1}{3!} +\dots + \frac{1}{n!} \equiv E_n [/math]

a ciąg [math]\left\{e_n\right\}[/math] jest ograniczony z góry, bo jego dowolny wyraz jest mniejszy od 3, jak to wynika z następującego oszacowania:

[math] E_n =1+1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^{n-1}} =1+\frac{1-\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2}}\lt 1+2=3. [/math]

Ciąg [math]e_n;[/math] jest zatem monotoniczny (rosnący) i ograniczony, a więc zbieżny.

Granicę ciągu [math]e_n;[/math] oznaczamy jako [math]e\;[/math]:

[math] e=\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \left\{e_n\right\} = \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n\approx 2.718281828459045... [/math]

Inna postać liczby e

Powróćmy do równości (1). Weźmy jakąś liczbę naturalną [math]k\lt n\;[/math] i

pomińmy w równości (1) wszystkie wyrazy poza [math]k\;[/math] pierwszymi. Pominięte

wyrazy są dodatnie, mamy więc

[math] e_n\geq 2+ \frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n}\right) + \frac{1}{3!}\left(1-\frac{1}{n}\right) \left(1-\frac{2}{n}\right) +\dots +\frac{1}{k!}\left( 1- \frac{1}{n}\right). [/math]

Przejdźmy teraz do granicy [math]n\to\infty\;[/math] Pamiętajmy, że [math]k\;[/math] jest dowolne, ale ustalone, gdy przechodzimy do granicy [math]n\to\infty\;[/math]. Każdy z nawiasów wtedy dąży do 1; mamy więc

[math] e\geq 2+\frac{1}{2!} +\frac{1}{3!} +\dots + \frac{1}{k!} = E_k. [/math]

Nierówność ta jest prawdziwa przy dowolnym [math]k\in\mathbb N\;[/math]. W połączeniu z nierównością (4) mamy więc

[math] e_n\lt E_n\leq e, [/math]

skąd wynika — na podstawie twierdzenia o trzech ciągach — że również

[math] e=\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} E_n = 1+ \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k!} [/math]

Jest to inna, równoważna (3) a łatwiejsza do wyliczeń, postać liczby [math]e\;[/math].

Pokażemy jeszcze, że

[math] \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \left(1-\frac{1}{n} \right)^n=\frac{1}{e}. [/math]

Mamy bowiem:

[math] 1-\frac{1}{n} = \frac{n-1}{n} =\frac{1}{\left( \frac{n}{n-1} \right)} = \frac{1}{1+ \frac{1}{n-1}}, [/math]

a więc

[math] \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \left( 1-\frac{1}{n} \right)^n = \frac{1}{\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \left( 1+ \frac{1}{n-1} \right)^n }= \frac{1}{\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \left( 1+ \frac{1}{n-1} \right)^{n-1} }\cdot \frac{1}{\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \left( 1+ \frac{1}{n-1} \right) }= \frac{1}{e}, \;[/math]

bo

[math] \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \left( 1+ \frac{1}{n-1} \right) = 1. \;[/math]

To tyle na razie o ciągach i ich granicach. Do tematu będziemy — w miarę potrzeby — powracać; kilka ciekawych granic pojawi się, gdy będzie trochę więcej o funkcjach log i exp