Matematyka 1NI/Elementy logiki i teorii zbiorów

Elementy logiki

Zadanie 1

Niech [math] x^2=1 [/math]. Wynika stąd, że

a) [math] x=1 [/math],

b) [math] x=1 \, \wedge \, x=-1 [/math],

c) [math] x=1 \, \vee \, x=-1 [/math],

d) [math] x=1 \, \vee \, x=-1 \, \vee \, x=7 [/math].

Wskazówka[Ukryj]

Sprawdź czy prawdziwe są zdania [math]\forall x^2=1: \,\, \, f(x) [/math] lub równoważne [math]\forall x\in \mathbb{R}:\,\,\,x^2=1 \implies f(x) [/math] gdzie [math] f(x)[/math] jest jedną form zdaniowych występujących w podpunktach a), b), c) lub d).

---

Rozwiązanie[Ukryj]

a) Nie, bo [math] x [/math] może być równe [math] -1 [/math].

b) Nie bo forma zdaniowa [math] x=1 \, \wedge \, x=-1 [/math] jest fałszywa dla dowolnego [math] x [/math] w szczególności [math]-1[/math].

c) Tak.

d) Tak.

---

Uwagi[Ukryj]

Proponuję zajęcia rozpocząć od tego zadania, na początku prosząc studentów jedynie o odpowiedzi, rozwiązanie podając po zadaniu 7.

---

Zadanie 2

Dla jakich wartości parametru [math] a [/math] prawdziwe są zdania

a)   [math] 7^2=50 \implies a=7 [/math],     b)   [math] 7^2=50 \iff a=7 [/math],     c)   [math] 7^2=50 \, \vee \, a=7 [/math],     d)   [math] 7^2=50 \, \wedge \, a=7 [/math].

Wskazówka[Ukryj]

---

Rozwiązanie[Ukryj]

a)   Dla dowolnego [math] a [/math],    b)   Dla dowolnego [math] a [/math] różnego od 7,    c)   Dla [math] a [/math] równego 7,    d)   Nie ma takiego [math] a [/math].

---

Uwagi[Ukryj]

---

Zadanie 3

Sprawdź, że tautologią jest (prawo zaprzeczenia implikacji)

[math] \sim (p\implies q) \iff (p \wedge \sim q) [/math].

Zdefiniuj implikację za pomocą

a) negacji i koniunkcji,

b) negacji i alternatywy.

Wskazówka[Ukryj]

Rozważ wszystkie możliwości. W podpunkcie a) użyj tautologii z treści zadania. W podpunkcie b) dodatkowo użyj jednego z praw de Morgana.

---

Rozwiązanie[Ukryj]

Wszystkie możliwości sprawdzamy w tabelce logicznej poniżej.

a) Stosując prawo podwójnego przeczenia do właśnie co udowodnionej tautologii mamy

[math] (p\implies q) \iff \sim (p \, \wedge \, \sim q) [/math].

b) Używając I prawa de Morgana po prawej stronie równoważności w rozwiązaniu punktu a) otrzymujemy

[math] (p\implies q) \iff (\sim p \, \vee \, q) [/math].

---

Uwagi[Ukryj]

---

[math]p[/math]	[math]q[/math]	[math]p \implies q [/math]	[math]\sim q [/math]	[math]\sim( p \implies q) [/math]	[math] p \, \wedge \, \sim q [/math]	[math] \sim (p\implies q) \iff (p \wedge \sim q) [/math]
1	1	1	0	0	0	1
1	0	0	1	1	1	1
0	1	1	0	0	0	1
0	0	1	1	0	0	1

Zadanie 4

Sprawdź, że tautologią jest (prawo transpozycji)

[math] (p\implies q) \iff (\sim q \implies \sim p) [/math]

Wskazówka[Ukryj]

---

Rozwiązanie[Ukryj]

Prawo sprawdzamy w poniższej tabelce logicznej.

---

Uwagi[Ukryj]

---

[math]p[/math]	[math]q[/math]	[math] \sim p [/math]	[math] \sim q [/math]	[math] p \implies q [/math]	[math]\sim q \implies \sim p [/math]	[math] (p\implies q) \iff (\sim q \implies \sim p) [/math]
1	1	0	0	1	1	1
1	0	0	1	0	0	1
0	1	1	0	1	1	1
0	0	1	1	1	1	1

Zadanie 5

Sprawdź, że tautologią jest (przechodniość implikacji)

[math] [(p\implies q) \, \wedge \, (q\implies r)] \implies (p \implies r) [/math]

Wskazówka[Ukryj]

---

Rozwiązanie[Ukryj]

Prawo sprawdzamy w poniższej tabelce logicznej.

---

Uwagi[Ukryj]

---

[math]p[/math]	[math]q[/math]	[math]r[/math]	[math] p \implies q [/math]	[math] q \implies r [/math]	[math] (p \implies q) \wedge (q \implies r) [/math]	[math] p\implies r [/math]	[math] [(p\implies q) \, \wedge \, (q\implies r)] \implies (p \implies r) [/math]
1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	0	1	0	0	0	1
1	0	1	0	1	0	1	1
1	0	0	0	1	0	0	1
0	1	1	1	1	1	1	1
0	1	0	1	0	0	1	1
0	0	1	1	1	1	1	1
0	0	0	1	1	1	1	1

Zadanie 6

Zaprzecz następujące zdanie logiczne

[math] \forall x \in \mathbb{R}:\, x^2=1 \implies x=1 \, \vee \, x=-1 \, \vee \, x=7 [/math].

Rezultat podaj w takiej formie by negacja nie występowała ostatecznym wyniku.

Wskazówka[Ukryj]

---

Rozwiązanie[Ukryj]

[math] \sim \left(\forall x \in \mathbb{R}:\, x^2=1 \implies x=1 \, \vee \, x=-1 \, \vee \, x=7\right) \iff \left[\exists x \in \mathbb{R}:\, \sim \left( x^2=1 \implies x=1 \, \vee \, x=-1 \, \vee \, x=7\right) \right] \iff [/math] [math] \iff \left[\exists x \in \mathbb{R}:\, x^2=1 \, \wedge \, \sim\left(x=1 \, \vee \, x=-1 \, \vee \, x=7\right) \right] \iff \exists x \in \mathbb{R}:\, x^2=1 \, \wedge \, x\neq 1 \, \wedge \,x\neq -1 \, \wedge \, x\neq 7. [/math]. Zdanie to jest fałszywe.

---

Uwagi[Ukryj]

---

Zbiory i sposoby ich opisu

Zadanie 7

Wypisz wszystkie elementy zbiorów

[math] \left\{ x \in \mathbb{R}:\, \frac{x}{2} \in \mathbb{N} \, \wedge \, x\lt 7 \right\} [/math],

[math] \left\{ \frac{x}{2}:\, x \in \mathbb{N} \, \wedge \, x\lt 7 \right\} [/math],

Wskazówka[Ukryj]

---

Rozwiązanie[Ukryj]

[math] \left\{ x \in \mathbb{R}:\, \frac{x}{2} \in \mathbb{N} \, \wedge \, x\lt 7 \right\}= \left\{ 2,4,6\right\} [/math]

[math] \left\{ \frac{x}{2}:\, x \in \mathbb{N} \, \wedge \, x\lt 7 \right\}=\left\{\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2,\frac{5}{2},3 \right\}[/math]

---

Uwagi[Ukryj]

Student powinien mieć świadomość, że po lewej stronie dwukropka jest zbiór z którego wybieramy elementy (na przykład zbiór wszystkiego co można podzielić na 2 w drugim przykładzie) a po prawej pewna forma zdaniowa [math] p(x) [/math] definiująca podzbiór (jako zbiór tych argumentów dla których forma zdaniowa [math] p(x) [/math] jest prawdziwa).

---

Uwagi

Ćwiczenia kończymy powtórzeniem wiadomości z wykładu sprawdzając czy studenci potrafią zdefiniować sumę i różnicę zbiorów, znają pojęcie zawierania się zbiorów i ich równości. Znają oznaczenia [math] \mathbb{N},\, \mathbb{Z},\, \mathbb{Q},\,\mathbb{R}[/math]. Znają pojęcie iloczynu kartezjańskiego zbiorów (np. [math]\mathbb{R}^2[/math]). Znają stosowane na wykładzie oznaczenia dla przedziałów liczbowych.