STAT:Przekształcenie Fouriera

Przekształcenie Fouriera

wykład 24 października odwołany 

-> http://www.kozminski.edu.pl/innowacjespoleczne/

A jeśli sygnał nie jest ściśle okresowy? Jeśli pewne struktury powtarzają się, ale nie na tyle dokładnie by spełnić matematyczny wymóg okresowości [math]\forall t \, s(t + T) = s(t)[/math]?

Przejdźmy do nieskończoności z okresem sygnału: [math]T\rightarrow\infty[/math]. Wtedy odstęp [math]\left(\frac{2\pi}{T}\right)[/math] między częstościami kolejnych elementów sumy z wyprowadzonego w poprzednim rozdziale wzoru na szereg Fouriera

[math] s(t) =\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-i\frac{2\pi t}{T} n}, [/math]

dąży do [math]0[/math] i suma przechodzi w całkę

[math] s(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(f)e^{-i 2\pi t f} d f [/math]

funkcja [math]\hat{s}(f)[/math], zastępująca dyskretny ciąg współczynników szeregu Fouriera

[math] c_{n} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} s(t) e^\frac{2\pi i n t}{T} d t [/math]

to transformata Fouriera sygnału [math]s(t)[/math], czyli wynik działania przekształcenia (transformacji) Fouriera [math]\mathcal{F}[/math].

[math] \mathcal{F}\left( s(t) \right) \equiv \hat{s}(f)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i 2\pi f t} d t [/math]

Jak widać, transformata Fouriera jest zespoloną funkcją częstości. Jej moduł dla danej częstości [math]f[/math] opisuje jej "zawartość" w sygnale, a faza odpowiada za "składanie" poszczególnych częstości w sygnał (1).

Moduł transformaty Fouriera odpowiada na postawione na początku tego rozdziału pytanie o opis częstości zawartych w sygnale niekoniecznie okresowym, jak miało to miejsce w przypadku szeregów Fouriera. Tak naprawdę, to dla sygnału okresowego, opisanego równaniem (1), nie da się policzyć transformaty Fouriera, bo całka (2) jest nieskończona. Ogólnie dla sygnałów okresowych nie jest spełniony warunek [math]\int_{-\infty}^{\infty} |s(t)| d t \lt \infty[/math]. Na szczęście sygnały występujące w przyrodzie, szczególnie po przekształceniu na formę dyskretną, zawsze spełniają warunki istnienia transformaty Fouriera .

Tożsamość Parsevala dla całek Fouriera

[math] \int_{-\infty}^{\infty} | s(t) |^2 d t = \int_{-\infty}^{\infty} | \hat{s}( f ) |^2 d f [/math]

Dowód:

[math] \int_{-\infty}^{\infty} | s(t) |^2 d t = \int_{-\infty}^{\infty} s(t) \overline{s(t)} dt = \int_{-\infty}^{\infty} s(t) \left( \int_{-\infty}^{\infty} \overline{ \hat{s}(f)} e^{i 2\pi t f} d f \right) dt = [/math]

[math] = \int_{-\infty}^{\infty} \overline{ \hat{s}(f)} \left( \int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i 2\pi t f} d t \right) df = \int_{-\infty}^{\infty} \overline{ \hat{s}(f)} \hat{s}(f) d f = \int_{-\infty}^{\infty} | \hat{s}(f) |^2 d f [/math]

Przy przejściu do drugiej linii zamieniono kolejność całkowania według Twierdzenia Fubiniego:

Niech [math]g:[a,b]\times [c,d]\longrightarrow {\mathbb R}[/math] — funkcja ciągła. Wówczas

[math]\int\limits_a^b\left(\int\limits_c^d g(x,y)\,dy\right)\,dx=\int\limits_c^d\left(\int\limits_a^b g(x,y)\,dx\right)\,dy=\int\limits_{[a,b]\times [c,d]} g(x,y)\,d(x,y)[/math].

Konwencje zapisu przekształcenia Fouriera

Szczególna postać wzorów (1) i (2) wynika z przyjęcia konwencji wyrażania częstości jako odwrotności czasu: [math]f = \frac{1}{T}[/math] (w hercach). Dowolność pozostaje w umieszczeniu minusa w wykładniku - we wzorze na transformatę odwrotną (1) lub we wzorze (2). Z kolei przyjęcie częstości kołowej [math]\omega = \frac{2\pi}{T}[/math] (w radianach) przenosi czynnik [math]2\pi[/math] (konkretnie jego odwrotność) z wykładnika przed całkę. Stąd różnorodność możliwych par wzorów:

[math] s(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(f)e^{-i 2\pi t f} d f \rightarrow \hat{s}(f)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i 2\pi f t} d t [/math]

[math] s(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(f)e^{i 2\pi t f} d f \rightarrow \hat{s}(f)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{-i 2\pi f t} d t [/math]

[math] s(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(\omega)e^{i \omega t} d \omega \rightarrow \hat{s}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{-i \omega t} d t [/math]

[math] s(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(\omega)e^{-i \omega t} d \omega \rightarrow \hat{s}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i \omega t} d t [/math]

[math] s(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(\omega)e^{-i \omega t} d \omega \rightarrow \hat{s}(\omega)={1\over{\sqrt{2\pi}}}\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i \omega t} d t [/math]

[math] s(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(\omega)e^{i \omega t} d \omega \rightarrow \hat{s}(\omega)={1\over{\sqrt{2\pi}}}\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{-i \omega t} d t [/math]

Przyjmujemy wywodzącą się z matematyki konwencję dodatniego wykładnika we wzorze na transformację (2) i ujemnego we wzorze na transformację odwrotną (1); ewentualne stosowanie częstości kołowej można odróżnić po użyciu symbolu [math]\omega[/math] jako argumentu transformaty. W zastosowaniach inżynierskich przeważa konwencja ujemnego wykładnika we wzorze na transformację.

Symetrie i własności Transformaty Fouriera

Symetrie transformat Fouriera

jeśli sygnał [math]s(t)[/math] jest[math]\ldots[/math]	to [math]\mathcal{F} s(t) \equiv \hat{s}(\omega)\ \ldots[/math]
parzysty ([math]s(t)=s(-t)[/math])	parzysta
nieparzysty ([math]s(t)=-s(-t)[/math])	nieparzysta
rzeczywisty	[math] s(-\omega) = \overline{\hat{s}(\omega})[/math]
urojony	[math]s(-\omega) = -\overline{\hat{s}(\omega})[/math]
rzeczywisty i parzysty	rzeczywista i parzysta
rzeczywisty i nieparzysty	urojona i nieparzysta
urojony i parzysty	urojona i parzysta
urojony i nieparzysty	rzeczywista i nieparzysta

Skalowanie i przesunięcie transformat Fouriera

skalowanie w czasie:	[math]s(a t)[/math] & [math]\stackrel{\mathcal{F}}{\Longrightarrow}[/math] & [math]\frac{1}{|a|} \hat{s}(\frac{f}{a})[/math]
skalowanie w częstości:	[math]\frac{1}{|a|} s(\frac{t}{a})[/math] & [math]\stackrel{\mathcal{F}}{\Longrightarrow}[/math] & [math]\hat{s}(a f)[/math]
przesunięcie w czasie:	[math]s(t - t_0)[/math] & [math]\stackrel{\mathcal{F}}{\Longrightarrow}[/math] & [math]\hat{s}(f) \;e^{2 \pi i f t_0}[/math]
przesunięcie w częstości:	[math]s(t) \;e^{- 2 \pi i f_0 t}[/math] & [math]\stackrel{\mathcal{F}}{\Longrightarrow}[/math] & [math]\hat{s}(f - f_0)[/math]

Powyższe wzory wyprowadzić można bezpośrednio z definicji (1) i (2).

Częstość

Według Słownika języka polskiego

częstość [math](\ldots)[/math] 2. fiz. <<liczba zdarzeń lub cyklów zjawiska okresowego w jednostce czasu>>

Szukamy narzędzia, które wskazałoby występujące w sygnale częstości i ich względny wkład. Konieczny jest do tego wybór "wzorca", czyli podstawowego kształtu (funkcji), którym będziemy mierzyć częstość. Standardem jest tu sinus (w parze z kosinusem) lub odpowiadające im oscylacje zespolone [math]e^{i\omega t}[/math]. Dzieje się tak głównie dlatego, że funkcje te są wektorami własnymi systemów liniowych niezmienniczych w czasie oraz zbiór [math]\left\{e^{ik\omega}\right\}_{k\in\mathbb{Z}}[/math] jest ortonormalną bazą [math]L^2([0,2\pi])[/math].

Praktyczna estymacja widma Fourierowskiego sygnałów

Periodogram

Periodogram to [math] P_N(\omega_k) = \frac{2}{N} \sum_{n=1}^N x[n] e^{-i\omega_k n} [/math]

gdzie [math]\omega_k = \frac{2\pi k}{N}[/math]. Poznajemy, że to po prostu transformata Fouriera sygnału dyskretnego próbkowana w dyskretnych punktach [math]\omega_k[/math]. Równomierne próbkowanie periodogramu w takiej ilości punktów, ile punktów jest w badanym sygnale, to konwencja dająca przy okazji statystyczną niezależność wielkości [math]P_N(\omega_k)[/math]. Jeśli w sygnale występuje dokładnie któraś z częstości [math]\omega_k[/math], to dla tej wartości otrzymamy wysoki pik. Jednak te akurat częstości nie są w ogólnym przypadku w żaden sposób wyróżnione.

Ta estymata obarczona jest dużym błędem [math]\ldots[/math]

Efekt okna prostokątnego

Obliczanie transformaty Fouriera dla skończonego odcinka niesie ze sobą dodatkowe komplikacje. Znamy wartości sygnału [math]x[n][/math] dla [math]i=1\ldots N[/math]. Odpowiada to iloczynowi sygnału [math]\left\{s[n]\right\}_{n\in\mathbb{Z}}[/math] z oknem prostokątnym [math]w_p[k][/math]:

[math] w_p[k]=\left\{\begin{array}{rl} 1 & \mathrm{dla} \;k=1 .. N\\ 0 & \mathrm{dla} \;k\lt 0 \vee k\gt N\\ \end{array} \right. [/math]

W efekcie (patrz twierdzenie o splocie) otrzymujemy splot transformaty Fouriera sygnału (nieskończonego) z transformatą Fouriera okna [math]\hat{w}_p[k][/math]. Dlatego w praktyce stosujemy okna o łagodniejszym przebiegu transformaty Fouriera—np. Gauss.

Praktyczna estymacja widma w oparciu o periodogram przebiega w następujących krokach:

1. Obliczamy iloczyn sygnału [math]s[n][/math] z wybranym oknem [math]w[n][/math], dopasowanym do jego rozmiaru
2. Obliczamy periodogram sygnału [math]s[n] w[n][/math]

Dla zmniejszenia błędu estymaty stosuje się jescze podział sygnału na krótsze (zachodzące na siebie) odcinki i uśrednianie wyników powyższej procedury dla tych odcinków.