Szereg Fouriera: Różnice pomiędzy wersjami
(Nie pokazano 22 pośrednich wersji utworzonych przez tego samego użytkownika) | |||
Linia 2: | Linia 2: | ||
Sygnał ''okresowy'' (o okresie <math>T</math>) można przedstawić w | Sygnał ''okresowy'' (o okresie <math>T</math>) można przedstawić w | ||
postaci szeregu Fouriera: | postaci szeregu Fouriera: | ||
+ | |||
+ | |||
<equation id="eq:15"> | <equation id="eq:15"> | ||
<math> | <math> | ||
Linia 7: | Linia 9: | ||
</math> | </math> | ||
</equation> | </equation> | ||
+ | |||
+ | |||
gdzie | gdzie | ||
+ | |||
<equation id="eq:16"> | <equation id="eq:16"> | ||
<math> | <math> | ||
Linia 14: | Linia 19: | ||
</equation> | </equation> | ||
− | '''Dowód''' | + | <br> |
− | + | ||
+ | '''Dowód''' powyższego wzoru na współczynniki rozwinięcia | ||
+ | Fouriera: | ||
+ | |||
+ | Mnożymy obie strony <xr id="eq:15">równania</xr> przez | ||
+ | |||
+ | <math>e^\frac{2\pi i k t}{T}</math> | ||
+ | |||
+ | i całkujemy po <math>dt</math> od <math>0</math> do <math>T</math>: | ||
− | |||
− | |||
<math> | <math> | ||
Linia 25: | Linia 36: | ||
</math> | </math> | ||
+ | |||
Całki po prawej stronie znikają dla <math>k \ne n</math>. Jedyny niezerowy | Całki po prawej stronie znikają dla <math>k \ne n</math>. Jedyny niezerowy | ||
wyraz dla <math>k = n</math> wynosi <math>\int_0^T c_n dt</math>, czyli <math>c_n T</math> (bo <math>e^0=1</math>). | wyraz dla <math>k = n</math> wynosi <math>\int_0^T c_n dt</math>, czyli <math>c_n T</math> (bo <math>e^0=1</math>). | ||
− | Oznacza to, że każdą funkcję okresową możemy przedstawić w postaci sumy sinusów i kosinusów z odpowiednimi wagami. Wagi <math>c_n</math> możemy traktować jako względny "udział" odpowiadających im częstości. | + | |
+ | Oznacza to, że każdą funkcję okresową możemy przedstawić w postaci sumy sinusów i kosinusów z odpowiednimi wagami — przypomnijmy <math>e^{i \phi} = \cos(\phi) + i \sin(\phi)</math>. Wagi <math>c_n</math> możemy traktować jako względny "udział" odpowiadających im częstości. | ||
Linia 35: | Linia 48: | ||
\frac{1}{T} \int_0^T \left| s(t) \right|^2 d t = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left| c_n \right|^2 | \frac{1}{T} \int_0^T \left| s(t) \right|^2 d t = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left| c_n \right|^2 | ||
</math> | </math> | ||
+ | |||
'''Dowód''': | '''Dowód''': | ||
+ | |||
<math> | <math> | ||
− | \frac{1}{T} \int_0^T \left| s(t) \right|^2 d t = \frac{1}{T} \int_0^T s(t) \overline{s(t)} \,d t \; = \frac{1}{T} \int_0^T \left( \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-i\frac{2\pi t}{T} n} \right) | + | \frac{1}{T} \int_0^T \left| s(t) \right|^2 d t =</math> |
+ | |||
+ | <math> \frac{1}{T} \int_0^T s(t) \overline{s(t)} \,d t \; = </math> | ||
+ | |||
+ | <math>\frac{1}{T} \int_0^T \left( \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-i\frac{2\pi t}{T} n} \right) | ||
\left( \sum_{m=-\infty}^{+\infty} \overline{c_m} e^{i\frac{2\pi t}{T} m} \right) d t =</math> | \left( \sum_{m=-\infty}^{+\infty} \overline{c_m} e^{i\frac{2\pi t}{T} m} \right) d t =</math> | ||
+ | |||
<math> | <math> | ||
− | \left\| \; \int_0^T e^{-i\frac{2\pi t}{T} n} e^{i\frac{2\pi t}{T} m}= \delta_{(m-n)} T \;\right\|\;</math> | + | \left\| \; \int_0^T e^{-i\frac{2\pi t}{T} n} e^{i\frac{2\pi t}{T} m}= \delta_{(m-n)} T \;\right\|\; =</math> |
+ | |||
− | <math> | + | <math>\sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n \overline{c_n} \;\;= \sum_{n = -\infty}^{\infty} |c_n|^2 |
</math> | </math> | ||
+ | <!-- | ||
Ortogonalność bazy <math>e^{ikx}</math> wynika np. z tożsamości trygonometrycznych | Ortogonalność bazy <math>e^{ikx}</math> wynika np. z tożsamości trygonometrycznych | ||
Linia 52: | Linia 74: | ||
<math>\sin(kx + nx) &= \sin (kx) \cos (nx) + \cos (kx) \sin (nx) </math> | <math>\sin(kx + nx) &= \sin (kx) \cos (nx) + \cos (kx) \sin (nx) </math> | ||
+ | --> | ||
===Energia, moc, widmo=== | ===Energia, moc, widmo=== | ||
Linia 63: | Linia 86: | ||
<math>c_n^2</math> jako moc, niesioną przez odpowiadającą mu częstość. | <math>c_n^2</math> jako moc, niesioną przez odpowiadającą mu częstość. | ||
Wykres tej wielkości w zależności od częstości nazywamy widmem mocy sygnału. | Wykres tej wielkości w zależności od częstości nazywamy widmem mocy sygnału. | ||
− | Dla sygnału okresowego widmo mocy będzie dyskretne (patrz | + | Dla sygnału okresowego widmo mocy będzie dyskretne (patrz <xr id="fig:20">rysunek</xr>). |
Wszystko to nie tyczy się li tylko sygnałów czysto okresowych; | Wszystko to nie tyczy się li tylko sygnałów czysto okresowych; | ||
Linia 78: | Linia 101: | ||
</equation> | </equation> | ||
tożsamy z <math>s(t)</math> w przedziale <math>[0, T]</math>, | tożsamy z <math>s(t)</math> w przedziale <math>[0, T]</math>, | ||
− | który można już przedstawić w postaci | + | który można już przedstawić w postaci <xr id="eq:15">sumy</xr>. |
''Przykład'': | ''Przykład'': | ||
− | Policzmy postać współczynników Fouriera dla funkcji <math>\Theta(t)</math> ( | + | Policzmy postać współczynników Fouriera dla funkcji <math>\Theta(t)</math> (<xr id="fig:20"></xr>), |
określonej na przedziale <math>[0,1]</math> w następujący sposób: | określonej na przedziale <math>[0,1]</math> w następujący sposób: | ||
Linia 95: | Linia 118: | ||
</math> | </math> | ||
</equation> | </equation> | ||
− | Bezpośrednio z | + | Bezpośrednio z <xr id="eq:16">wzoru</xr> dostajemy (dla <math>T = 1</math>) |
<math>\begin{matrix} | <math>\begin{matrix} | ||
Linia 113: | Linia 136: | ||
<br/> | <br/> | ||
− | Tak więc z | + | Tak więc z <xr id="eq:15">wzoru</xr> |
<math>\begin{matrix} | <math>\begin{matrix} | ||
Linia 124: | Linia 147: | ||
<br/> | <br/> | ||
− | W sumie kosinusów wyrazy dla <math>n>0</math> znoszą odpowiednie wyrazy dla <math>-n</math>, w sumie | + | W sumie kosinusów wyrazy dla <math>n>0</math> znoszą odpowiednie wyrazy dla <math>-n</math> (bo <math>cos(-x)=cos(x)</math>), w sumie |
− | sinusów wyrazy dla <math>\pm n</math> dodają się, dając w efekcie | + | sinusów wyrazy dla <math>\pm n</math> dodają się (bo <math>sin(-x)=-sin(x)</math>), dając w efekcie |
<equation id="eq:19"> | <equation id="eq:19"> |
Wersja z 03:04, 13 paź 2023
AS/ Szereg Fouriera
Sygnał okresowy (o okresie [math]T[/math]) można przedstawić w postaci szeregu Fouriera:
gdzie
Dowód powyższego wzoru na współczynniki rozwinięcia Fouriera:
Mnożymy obie strony równania 1 przez
[math]e^\frac{2\pi i k t}{T}[/math]
i całkujemy po [math]dt[/math] od [math]0[/math] do [math]T[/math]:
[math]
\int_0^T s(t) e^{{{2\pi i k t}\over{T}}} dt =
\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \int_0^T c_n e^{i{{2 \pi (k-n)}\over{T}} t}dt
[/math]
Całki po prawej stronie znikają dla [math]k \ne n[/math]. Jedyny niezerowy
wyraz dla [math]k = n[/math] wynosi [math]\int_0^T c_n dt[/math], czyli [math]c_n T[/math] (bo [math]e^0=1[/math]).
Oznacza to, że każdą funkcję okresową możemy przedstawić w postaci sumy sinusów i kosinusów z odpowiednimi wagami — przypomnijmy [math]e^{i \phi} = \cos(\phi) + i \sin(\phi)[/math]. Wagi [math]c_n[/math] możemy traktować jako względny "udział" odpowiadających im częstości.
Tożsamość Parsevala dla szeregów Fouriera
[math] \frac{1}{T} \int_0^T \left| s(t) \right|^2 d t = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left| c_n \right|^2 [/math]
Dowód:
[math] \frac{1}{T} \int_0^T \left| s(t) \right|^2 d t =[/math]
[math] \frac{1}{T} \int_0^T s(t) \overline{s(t)} \,d t \; = [/math]
[math]\frac{1}{T} \int_0^T \left( \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-i\frac{2\pi t}{T} n} \right) \left( \sum_{m=-\infty}^{+\infty} \overline{c_m} e^{i\frac{2\pi t}{T} m} \right) d t =[/math]
[math]
\left\| \; \int_0^T e^{-i\frac{2\pi t}{T} n} e^{i\frac{2\pi t}{T} m}= \delta_{(m-n)} T \;\right\|\; =[/math]
[math]\sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n \overline{c_n} \;\;= \sum_{n = -\infty}^{\infty} |c_n|^2
[/math]
Energia, moc, widmo
Jeśli sygnałem będzie np. prąd elektryczny, płynący w obwodzie o jednostkowej oporności w czasie od [math]0[/math] do [math]T[/math], to wytracona przez niego energia wyniesie [math]\int_0^T s(t)^2 d t[/math]. W ogólności, biorąc pod uwagę sygnały o wartościach zespolonych, całkowitą energię sygnału definiujemy jako [math]\int_{-\infty}^{\infty} | s(t) |^2 d t[/math]. Moc to oczywiście energia wytracana w jednostce czasu, czyli [math]\frac{1}{T}\int_{0}^{T} | s(t) |^2 d t[/math]. Jak widać z powyższego twierdzenia, dla sygnałów okresowych możemy ją również obliczać jako sumę kwadratów współczynników szeregu Fouriera [math]\sum c_n^2[/math]. Pozwala to interpretować [math]c_n^2[/math] jako moc, niesioną przez odpowiadającą mu częstość. Wykres tej wielkości w zależności od częstości nazywamy widmem mocy sygnału. Dla sygnału okresowego widmo mocy będzie dyskretne (patrz rysunek 1).
Wszystko to nie tyczy się li tylko sygnałów czysto okresowych; z sygnału nie-okresowego [math]s(t)[/math], określonego na skończonym przedziale [math][0, T][/math], możemy utworzyć sygnał okresowy [math]s_T(t)[/math]:
tożsamy z [math]s(t)[/math] w przedziale [math][0, T][/math], który można już przedstawić w postaci sumy 1.
Przykład:
Policzmy postać współczynników Fouriera dla funkcji [math]\Theta(t)[/math] (Figure 1),
określonej na przedziale [math][0,1][/math] w następujący sposób:
Bezpośrednio z wzoru 2 dostajemy (dla [math]T = 1[/math])
[math]\begin{matrix}
c_{n} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} \Theta(t) e^\frac{i 2\pi n t}{T} d t
= \int_{0}^\frac{1}{2} e^{{{i 2\pi n t}}} d t = ( \mathrm{dla}\; n \ne 0 ) =
\left [\frac{1}{i 2\pi n} e^{{i 2\pi n t}} \right ]_{t=0}^{t=\frac{1}{2}} \\
= \frac{1}{i 2\pi n} ( e^{i \pi n} - 1 ) =
\left\{
\begin{matrix}
0 & \mathrm{dla}\; n = \pm2, \pm4, \ldots\\
i/\pi n & \mathrm{dla}\; n = \pm1, \pm3, \ldots
\end{matrix}
\right .\\
(\mathrm{dla}\; n=0) \;\; c_0 = \int_{0}^\frac{1}{2} 1 d t = \frac{1}{2}
\end{matrix}[/math]
Tak więc z wzoru 1
[math]\begin{matrix} \Theta(t) = \sum_{-\infty}^{\infty} c_n e^{-i 2 \pi t n} = \frac{1}{2}\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{i}{\pi n} e^{-i 2 \pi t n}= \\ = \frac{1}{2}\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{i}{\pi n} \left( \cos(2\pi n t) - i \sin( 2\pi n t) \right)=\\ = \frac{1}{2}\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{i}{\pi n} \cos(2\pi n t)\;\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{1}{\pi n} \sin( 2\pi n t) \end{matrix}[/math]
W sumie kosinusów wyrazy dla [math]n\gt 0[/math] znoszą odpowiednie wyrazy dla [math]-n[/math] (bo [math]cos(-x)=cos(x)[/math]), w sumie sinusów wyrazy dla [math]\pm n[/math] dodają się (bo [math]sin(-x)=-sin(x)[/math]), dając w efekcie