Aliasing: Różnice pomiędzy wersjami
(Nie pokazano 4 pośrednich wersji utworzonych przez tego samego użytkownika) | |||
Linia 1: | Linia 1: | ||
==[[Analiza_sygnałów_-_lecture|AS/]] Przekształcenie Fouriera sygnałów dyskretnych, aliasing== | ==[[Analiza_sygnałów_-_lecture|AS/]] Przekształcenie Fouriera sygnałów dyskretnych, aliasing== | ||
+ | [[Plik:Aliasing gif.gif|center bezramki]] | ||
− | + | <!-- [[Media:aliasing.ogv|'''Kliknij na tym napisie aby obejrzeć animację pokazującą efekt aliasingu na sygnale jednowymiarowym''']] | |
− | |||
− | [[Media:aliasing.ogv|'''Kliknij na tym napisie aby obejrzeć animację pokazującą efekt aliasingu na sygnale jednowymiarowym''']] | ||
− | |||
[[Plik:aliasingklatka.png]] | [[Plik:aliasingklatka.png]] | ||
+ | --> | ||
===Próbkowanie odwrotnej transformaty Fouriera=== | ===Próbkowanie odwrotnej transformaty Fouriera=== | ||
Linia 45: | Linia 44: | ||
<math> | <math> | ||
− | D(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t-k\ | + | D(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t-k\Delta t) |
</math> | </math> | ||
− | + | Policzmy transformatę Fouriera grzebienia Diraca <math>\hat{D}(t)</math>: | |
<math> | <math> | ||
Linia 60: | Linia 59: | ||
</math> | </math> | ||
− | + | Zgodnie z twierdzeniem o splocie, iloczyn sygnału z grzebieniem Diraca w przestrzeni czasu będzie odpowiadał w dziedzinie częstości, splotowi transformaty Fouriers sygnału <math>\hat{s}(t)</math> z wyliczoną powyżej transformatę Fouriera grzebienia Diraca, będącą jak widać grzebieniem Diraca w przestrzeni częstości. | |
− | Przypomnijmy (np. z [[Systemy_liniowe_niezmiennicze_w_czasie_(LTI)|rozważań o systemach liniowych niezmienniczych w czasie]]), że splot z deltą Diraca w zerze jest identycznością, a splot z <math>\delta(t-kT)</math> przesuwa funkcję o <math>kT</math>. Z liniowości splotu dostajemy | + | Przypomnijmy (np. z [[Systemy_liniowe_niezmiennicze_w_czasie_(LTI)|rozważań o systemach liniowych niezmienniczych w czasie]]), że splot z deltą Diraca w zerze jest identycznością, a splot z <math>\delta(t-kT)</math> przesuwa funkcję o <math>kT</math>. Z liniowości splotu dostajemy sumę powtórzeń [[Przekształcenie Fouriera|transformaty Fouriera]] |
sygnału ciągłego, przesuwanej o wielokrotności odwrotności | sygnału ciągłego, przesuwanej o wielokrotności odwrotności | ||
<math>\Delta t</math>. | <math>\Delta t</math>. | ||
+ | |||
+ | Poniższe rysunki z [[http://en.wikipedia.org/wiki/Nyquist–Shannon_sampling_theorem Wikipedii]] ilustrują ten efekt dla przypadku próbkowania z częstością większą i mniejszą od częstości Nyquista: | ||
+ | |||
+ | [[Plik:ReconstructFilter.png|400px]] | ||
+ | [[Plik:AliasedSpectrum.png|400px]] | ||
− | + | Kolejny przykład ilustruje aliasing w dziedzinie czasu: | |
− | |||
[[Plik:klasyczna_rys_5.jpg|thumb|center|400px|<figure id="fig:36"></figure>Próbkowanie (<math>\Delta t = 1</math>) sygnałów o częstościach: (a) 0.27, (b) 1.27 i (c) 0.6. | [[Plik:klasyczna_rys_5.jpg|thumb|center|400px|<figure id="fig:36"></figure>Próbkowanie (<math>\Delta t = 1</math>) sygnałów o częstościach: (a) 0.27, (b) 1.27 i (c) 0.6. | ||
Linia 81: | Linia 84: | ||
(w tym przypadku <math>r = 1</math> a "zawija się" dokładnie częstość <math>-0.6</math>)]] | (w tym przypadku <math>r = 1</math> a "zawija się" dokładnie częstość <math>-0.6</math>)]] | ||
+ | ==[[Analiza_sygnałów_-_lecture|AS/]] Twierdzenie o próbkowaniu== | ||
+ | |||
+ | Twierdzenie o próbkowaniu odpowiada na kluczowe pytanie, które winniśmy | ||
+ | postawić decydując się na pracę z dyskretnymi (próbkowanymi) | ||
+ | wersjami sygnałów ciągłych z natury. | ||
+ | |||
+ | ===Twierdzenie o próbkowaniu=== | ||
+ | Sygnał ciągły <math>s(t)</math> możemy odtworzyć z wektora jego wartości | ||
+ | w dyskretnych chwilach czasu <math> n \Delta t</math>, jeśli nie było w nim | ||
+ | częstości wyższych niż <math>\frac{1}{2\, \Delta t}</math>. | ||
+ | |||
+ | '''Dowód''' | ||
+ | |||
+ | Dla uproszczenia przyjmijmy <math>\Delta t = | ||
+ | 1</math>. Wtedy <math>\hat{s}(f)</math>, czyli transformata Fouriera | ||
+ | sygnału <math>s(t)</math>, będzie niezerowa co najwyżej pomiędzy | ||
+ | <math>-\frac{1}{2}</math> a <math>\frac{1}{2}</math>. | ||
+ | |||
+ | Oznaczmy | ||
+ | <math>u(f)</math> funkcję o okresie <math>1</math>, tożsamą z | ||
+ | <math>\hat{s}(f)</math> na przedziale <math> \left [ -\frac{1}{2}, | ||
+ | \frac{1}{2} \right ] </math>. | ||
+ | |||
+ | Przedstawia ją [[Szereg_Fouriera#label-eq:15|szereg Fouriera]]: | ||
+ | |||
+ | <math>u(f) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-2 \pi i f n}</math> | ||
+ | |||
+ | Współczynniki <math> c_n </math> tego rozwinięcia dane są [[Szereg_Fouriera#label-eq:15|wzorem]]: | ||
− | + | <math> c_{n} =\frac{1}{1} \int_{0}^{1} u(f) e^{{2\pi i n | |
+ | f}} d f = \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \hat{s}(f)e^{{2\pi i n | ||
+ | f}} d f = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{s}(f) e^{{2\pi i n f}} d f = | ||
+ | s(n) </math> | ||
+ | |||
+ | Współczynniki <math>c_n</math>, dane przez wartości sygnału | ||
+ | <math>s</math> w punktach próbkowania, jednoznacznie określają | ||
+ | funkcję <math>u(f)</math>, ta z kolei zawiera w sobie | ||
+ | <math>\hat{s}(f)</math> — [[Przekształcenie Fouriera|transformatę Fouriera]] ''ciągłego'' sygnału | ||
+ | <math>s(t)</math>, czyli określa jednoznacznie również sam sygnał. | ||
+ | |||
+ | Znajdźmy ''explicite'' formułę rekonstrukcji: | ||
− | [ | + | <math> |
− | [[ | + | s(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{s}(f) e^{-2\pi i f t } d f |
+ | = \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \hat{s}(f) e^{-2\pi i f t } d f | ||
+ | = \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} | ||
+ | \left ( \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-2\pi i f n} \right )e^{-2\pi i f t} df | ||
+ | </math> | ||
+ | <math> | ||
+ | = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} s(n) e^{2 \pi i f n} e^{-2\pi i f t} df | ||
+ | = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} s(n) \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} e^{2 \pi i f (n-t)} df | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | ponieważ | ||
+ | |||
+ | <math> | ||
+ | \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} e^{2 \pi i f (n-t)} df | ||
+ | = \left[{\frac{1}{2\pi i (n-t)}} e^{2 \pi i f (n-t)} | ||
+ | \right]_{f=-\frac{1}{2}}^{f=\frac{1}{2}} | ||
+ | =\frac{\sin\left( \pi (n-t)\right)}{\pi(n-t)} | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | dostajemy | ||
+ | |||
+ | <math> | ||
+ | s(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} { {s(n)} } | ||
+ | \frac{\sin\left(\pi (n-t)\right)}{\pi(n-t)} | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | Tak więc, jeśli spełnione jest główne założenie o ograniczonym paśmie | ||
+ | sygnału ciągłego i odpowiednio dobranej częstości próbkowania, w | ||
+ | procesie próbkowania nie tracimy informacji ani też nie wprowadzamy | ||
+ | przekłamań, obliczając widmo (rozdział | ||
+ | [[Twierdzenia_o_splocie_i_o_próbkowaniu_(aliasing)#Przekszta.C5.82cenie_Fouriera_sygna.C5.82.C3.B3w_dyskretnych.2C_aliasing|o aliasingu]]). | ||
+ | |||
+ | ===Twierdzenie o próbkowaniu w praktyce=== | ||
+ | W praktyce przed próbkowaniem sygnał jest zwykle filtrowany | ||
+ | dolnoprzepustowym filtrem analogowym o częstości odcięcia poniżej częstości | ||
+ | Nyquista. | ||
+ | |||
+ | <references/> | ||
<references/> | <references/> |
Aktualna wersja na dzień 11:08, 3 wrz 2024
Spis treści
AS/ Przekształcenie Fouriera sygnałów dyskretnych, aliasing
Próbkowanie odwrotnej transformaty Fouriera
Przypomnijmy wzór na odwrotną transformację Fouriera sygnału ciągłego [math] s(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(f)e^{-i 2\pi t f} d f [/math]
Dyskretne wartości tego sygnału, próbkowane w chwilach [math]n \Delta t[/math], możemy odtworzyć z powyższgo równania dla [math]t = n \Delta t[/math]
[math] \sum_{r=-\infty}^\infty \int_\frac{(2r - 1)}{2\Delta t}^\frac{(2r + 1) }{2\Delta t} \hat{s}(f)e^{-i 2\pi n \Delta t f} d f \;\; \stackrel{f \rightarrow f+\frac{r}{\Delta t}}{=} \;\; [/math] [math] \sum_{r=-\infty}^\infty \int_\frac{-1}{2\Delta t}^\frac{1}{2\Delta t} \hat{s}\left(f + \frac{r}{\Delta t}\right)e^{-i 2\pi n \Delta t (f + \frac{r}{\Delta t})} d f [/math]
[math] = \int_\frac{-1}{2\Delta t}^\frac{1}{2\Delta t} \sum_{r=-\infty}^\infty \hat{s}\left(f + \frac{r}{\Delta t}\right)e^{-i 2\pi n \Delta t f} d f [/math]Szukając wartości sygnału w dyskretnych chwilach czasu, dostaliśmy w miejsce odwrotnej transformaty Fouriera całkę w ograniczonym zakresie z funkcji będącej (nieskończoną) sumą powtórzeń transformaty Fouriera sygnału ciągłego, przesuwanej o wielokrotności odwrotności [math]\Delta t[/math].
Splot z grzebieniem Diraca
Innym sposobem pokazania powyższego efektu jest przedstawienie sekwencji dyskretnej [math]s[n][/math] jako iloczynu sygnału ciągłego [math]s(t)[/math] z grzebieniem Diraca
[math] D(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t-k\Delta t) [/math]
Policzmy transformatę Fouriera grzebienia Diraca [math]\hat{D}(t)[/math]:
[math] \hat{D}(f) = \mathcal{F}(D(t)) = \mathcal{F}\left(\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t-k\Delta t) \right) = \int_{-\infty}^{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t-k\Delta t) e^{i 2\pi f t} dt = [/math] [math] \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t-k\Delta t) e^{i 2\pi f t} dt = \sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{i 2\pi f k\Delta t} [/math]
Zgodnie z twierdzeniem o splocie, iloczyn sygnału z grzebieniem Diraca w przestrzeni czasu będzie odpowiadał w dziedzinie częstości, splotowi transformaty Fouriers sygnału [math]\hat{s}(t)[/math] z wyliczoną powyżej transformatę Fouriera grzebienia Diraca, będącą jak widać grzebieniem Diraca w przestrzeni częstości.
Przypomnijmy (np. z rozważań o systemach liniowych niezmienniczych w czasie), że splot z deltą Diraca w zerze jest identycznością, a splot z [math]\delta(t-kT)[/math] przesuwa funkcję o [math]kT[/math]. Z liniowości splotu dostajemy sumę powtórzeń transformaty Fouriera sygnału ciągłego, przesuwanej o wielokrotności odwrotności [math]\Delta t[/math].
Poniższe rysunki z [Wikipedii] ilustrują ten efekt dla przypadku próbkowania z częstością większą i mniejszą od częstości Nyquista:
Kolejny przykład ilustruje aliasing w dziedzinie czasu:
AS/ Twierdzenie o próbkowaniu
Twierdzenie o próbkowaniu odpowiada na kluczowe pytanie, które winniśmy postawić decydując się na pracę z dyskretnymi (próbkowanymi) wersjami sygnałów ciągłych z natury.
Twierdzenie o próbkowaniu
Sygnał ciągły [math]s(t)[/math] możemy odtworzyć z wektora jego wartości w dyskretnych chwilach czasu [math] n \Delta t[/math], jeśli nie było w nim częstości wyższych niż [math]\frac{1}{2\, \Delta t}[/math].
Dowód
Dla uproszczenia przyjmijmy [math]\Delta t = 1[/math]. Wtedy [math]\hat{s}(f)[/math], czyli transformata Fouriera sygnału [math]s(t)[/math], będzie niezerowa co najwyżej pomiędzy [math]-\frac{1}{2}[/math] a [math]\frac{1}{2}[/math].
Oznaczmy [math]u(f)[/math] funkcję o okresie [math]1[/math], tożsamą z [math]\hat{s}(f)[/math] na przedziale [math] \left [ -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right ] [/math].
Przedstawia ją szereg Fouriera:
[math]u(f) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-2 \pi i f n}[/math]
Współczynniki [math] c_n [/math] tego rozwinięcia dane są wzorem:
[math] c_{n} =\frac{1}{1} \int_{0}^{1} u(f) e^{{2\pi i n f}} d f = \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \hat{s}(f)e^{{2\pi i n f}} d f = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{s}(f) e^{{2\pi i n f}} d f = s(n) [/math]
Współczynniki [math]c_n[/math], dane przez wartości sygnału [math]s[/math] w punktach próbkowania, jednoznacznie określają funkcję [math]u(f)[/math], ta z kolei zawiera w sobie [math]\hat{s}(f)[/math] — transformatę Fouriera ciągłego sygnału [math]s(t)[/math], czyli określa jednoznacznie również sam sygnał.
Znajdźmy explicite formułę rekonstrukcji:
[math] s(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{s}(f) e^{-2\pi i f t } d f = \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \hat{s}(f) e^{-2\pi i f t } d f = \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \left ( \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-2\pi i f n} \right )e^{-2\pi i f t} df [/math] [math] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} s(n) e^{2 \pi i f n} e^{-2\pi i f t} df = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} s(n) \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} e^{2 \pi i f (n-t)} df [/math]
ponieważ
[math] \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} e^{2 \pi i f (n-t)} df = \left[{\frac{1}{2\pi i (n-t)}} e^{2 \pi i f (n-t)} \right]_{f=-\frac{1}{2}}^{f=\frac{1}{2}} =\frac{\sin\left( \pi (n-t)\right)}{\pi(n-t)} [/math]
dostajemy
[math] s(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} { {s(n)} } \frac{\sin\left(\pi (n-t)\right)}{\pi(n-t)} [/math]
Tak więc, jeśli spełnione jest główne założenie o ograniczonym paśmie sygnału ciągłego i odpowiednio dobranej częstości próbkowania, w procesie próbkowania nie tracimy informacji ani też nie wprowadzamy przekłamań, obliczając widmo (rozdział o aliasingu).
Twierdzenie o próbkowaniu w praktyce
W praktyce przed próbkowaniem sygnał jest zwykle filtrowany dolnoprzepustowym filtrem analogowym o częstości odcięcia poniżej częstości Nyquista.