Matematyka 1NI/Elementy logiki i teorii zbiorów
Elementy logiki
Zadanie 1
Niech [math] x^2=1 [/math]. Wynika stąd, że
a) [math] x=1 [/math],
b) [math] x=1 \, \wedge \, x=-1 [/math],
c) [math] x=1 \, \vee \, x=-1 [/math],
d) [math] x=1 \, \vee \, x=-1 \, \vee \, x=7 [/math].
Sprawdź czy prawdziwe są zdania [math]\forall x^2=1: \,\, \, f(x) [/math] lub równoważne [math]\forall x\in \mathbb{R}:\,\,\,x^2=1 \implies f(x) [/math] gdzie [math] f(x)[/math] jest jedną form zdaniowych występujących w podpunktach a), b), c) lub d).
a) Nie, bo [math] x [/math] może być równe [math] -1 [/math].
b) Nie bo forma zdaniowa [math] x=1 \, \wedge \, x=-1 [/math] jest fałszywa dla dowolnego [math] x [/math] w szczególności [math]-1[/math].
c) Tak.
d) Tak.
Proponuję zajęcia rozpocząć od tego zadania, na początku prosząc studentów jedynie o odpowiedzi, rozwiązanie podając po zadaniu 7.
Zadanie 2
Dla jakich wartości parametru [math] a [/math] prawdziwe są zdania
a) [math] 7^2=50 \implies a=7 [/math], b) [math] 7^2=50 \iff a=7 [/math], c) [math] 7^2=50 \, \vee \, a=7 [/math], d) [math] 7^2=50 \, \wedge \, a=7 [/math].
a) Dla dowolnego [math] a [/math], b) Dla dowolnego [math] a [/math] różnego od 7, c) Dla [math] a [/math] równego 7, d) Nie ma takiego [math] a [/math].
Zadanie 3
Sprawdź, że tautologią jest (prawo zaprzeczenia implikacji)
[math] \sim (p\implies q) \iff (p \wedge \sim q) [/math].
Zdefiniuj implikację za pomocą
a) negacji i koniunkcji,
b) negacji i alternatywy.
Rozważ wszystkie możliwości. W podpunkcie a) użyj tautologii z treści zadania. W podpunkcie b) dodatkowo użyj jednego z praw de Morgana.
Wszystkie możliwości sprawdzamy w tabelce logicznej poniżej.
a) Stosując prawo podwójnego przeczenia do właśnie co udowodnionej tautologii mamy
[math] (p\implies q) \iff \sim (p \, \wedge \, \sim q) [/math].
b) Używając I prawa de Morgana po prawej stronie równoważności w rozwiązaniu punktu a) otrzymujemy
[math] (p\implies q) \iff (\sim p \, \vee \, q) [/math].
| [math]p[/math] | [math]q[/math] | [math]p \implies q [/math] | [math]\sim q [/math] | [math]\sim( p \implies q) [/math] | [math] p \, \wedge \, \sim q [/math] | [math] \sim (p\implies q) \iff (p \wedge \sim q) [/math] |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
Zadanie 4
Sprawdź, że tautologią jest (prawo transpozycji)
[math] (p\implies q) \iff (\sim q \implies \sim p) [/math]
Prawo sprawdzamy w poniższej tabelce logicznej.
| [math]p[/math] | [math]q[/math] | [math] \sim p [/math] | [math] \sim q [/math] | [math] p \implies q [/math] | [math]\sim q \implies \sim p [/math] | [math] (p\implies q) \iff (\sim q \implies \sim p) [/math] |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Zadanie 5
Sprawdź, że tautologią jest (przechodniość implikacji)
[math] [(p\implies q) \, \wedge \, (q\implies r)] \implies (p \implies r) [/math]
Prawo sprawdzamy w poniższej tabelce logicznej.
| [math]p[/math] | [math]q[/math] | [math]r[/math] | [math] p \implies q [/math] | [math] q \implies r [/math] | [math] (p \implies q) \wedge (q \implies r) [/math] | [math] p\implies r [/math] | [math] [(p\implies q) \, \wedge \, (q\implies r)] \implies (p \implies r) [/math] |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Zadanie 6
Zaprzecz następujące zdanie logiczne
[math] \forall x \in \mathbb{R}:\, x^2=1 \implies x=1 \, \vee \, x=-1 \, \vee \, x=7 [/math].
Rezultat podaj w takiej formie by negacja nie występowała ostatecznym wyniku.
[math] \sim \left(\forall x \in \mathbb{R}:\, x^2=1 \implies x=1 \, \vee \, x=-1 \, \vee \, x=7\right) \iff \left[\exists x \in \mathbb{R}:\, \sim \left( x^2=1 \implies x=1 \, \vee \, x=-1 \, \vee \, x=7\right) \right] \iff [/math] [math] \iff \left[\exists x \in \mathbb{R}:\, x^2=1 \, \wedge \, \sim\left(x=1 \, \vee \, x=-1 \, \vee \, x=7\right) \right] \iff \exists x \in \mathbb{R}:\, x^2=1 \, \wedge \, x\neq 1 \, \wedge \,x\neq -1 \, \wedge \, x\neq 7. [/math]. Zdanie to jest fałszywe.
Zbiory i sposoby ich opisu
Zadanie 7
Wypisz wszystkie elementy zbiorów
[math] \left\{ x \in \mathbb{R}:\, \frac{x}{2} \in \mathbb{N} \, \wedge \, x\lt 7 \right\} [/math],
[math] \left\{ \frac{x}{2}:\, x \in \mathbb{N} \, \wedge \, x\lt 7 \right\} [/math],
[math] \left\{ x \in \mathbb{R}:\, \frac{x}{2} \in \mathbb{N} \, \wedge \, x\lt 7 \right\}= \left\{ 2,4,6\right\} [/math]
[math] \left\{ \frac{x}{2}:\, x \in \mathbb{N} \, \wedge \, x\lt 7 \right\}=\left\{\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2,\frac{5}{2},3 \right\}[/math]
Student powinien mieć świadomość, że po lewej stronie dwukropka jest zbiór z którego wybieramy elementy (na przykład zbiór wszystkiego co można podzielić na 2 w drugim przykładzie) a po prawej pewna forma zdaniowa [math] p(x) [/math] definiująca podzbiór (jako zbiór tych argumentów dla których forma zdaniowa [math] p(x) [/math] jest prawdziwa).
Uwagi
Ćwiczenia kończymy powtórzeniem wiadomości z wykładu sprawdzając czy studenci potrafią zdefiniować sumę i różnicę zbiorów, znają pojęcie zawierania się zbiorów i ich równości. Znają oznaczenia [math] \mathbb{N},\, \mathbb{Z},\, \mathbb{Q},\,\mathbb{R}[/math]. Znają pojęcie iloczynu kartezjańskiego zbiorów (np. [math]\mathbb{R}^2[/math]). Znają stosowane na wykładzie oznaczenia dla przedziałów liczbowych.
