Matematyka 1NI/Funkcje hiperboliczne i polowe
Wiadomości wstępne
Przystępując do ćwiczeń przypominamy następujące fakty z wykładu
- Definicje funkcji hiperbolicznych
[math]\sinh x :=\frac{e^x-e^{-x}}{2}[/math],
[math]\cosh x :=\frac{e^x+e^{-x}}{2}[/math],
[math]\tanh x :=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}[/math]. - Szkice wykresów funkcji hiperbolicznych.
- Wzory
[math]\cosh^2 x -\sinh^2 x =1[/math]
[math]\sinh (x+y)=\sinh x \cosh y + \sinh y \cosh x [/math]
[math]\sinh (2x)=2\sinh x \cosh x [/math] - Ponadto
[math]\operatorname{arsinh} x=\log (x+\sqrt{x^2+1})[/math]
[math]\sinh ' x = \cosh x [/math]
[math]\cosh ' x = \sinh x [/math]
[math]\operatorname{arsinh}' x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}[/math]
Zadania
Zadanie 1
Udowodnij,że
a) [math]\cosh (x+y)=\cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y[/math]
b) [math]\cosh (x-y)=\cosh x \cosh y - \sinh x \sinh y[/math]
c) [math]\cosh (2x)=\cosh^2 x + \sinh^2 x [/math]
Wprost z definicji funkcji hiperbolicznych mamy
[math]\sinh x \cosh y :=\frac{e^x-e^{-x}}{2} \cdot \frac{e^y+e^{-y}}{2}=\frac{e^{x+y}+e^{-x-y}+e^{x-y}+e^{y-x}}{4}[/math],
[math]\sinh y \cosh x :=\frac{e^y-e^{-y}}{2} \cdot \frac{e^x+e^{-x}}{2}=\frac{e^{x+y}+e^{-x-y}-e^{x-y}-e^{y-x}}{4}[/math].
Dodając i odejmując stronami otrzymujemy tożsamości a) i b). Kładąc [math]x=y[/math] w tożsamości a) otrzymujemy tożsamość c).
Zadanie 2
Udowodnij, że funkcją odwrotną do funkcji [math]f : \, \mathbb{R}_+\{0\} \to [1,\infty[ [/math]
[math]x\mapsto f(x)= \frac{e^x+e^{-x}}{2}[/math]
jest funkcja
[math]f^{-1}(x)= \log (x+\sqrt{x^2-1})=:\operatorname{ar cosh} \, x[/math] .
Oblicz pochodną [math]f^{-1}[/math] .
Równanie [math]y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}[/math] jest równaniem kwadratowym na zmienną [math]e^x[/math], którego rozwiązaniami są [math]e^x=y\pm \sqrt{y^2-1}[/math]. Rozwiązanie z górnym znakiem [math]x=\log(y+ \sqrt{y^2-1})[/math] daje nieujemne wartości [math]x[/math].
[math]\operatorname{ar cosh}' \, x =[\log (x+\sqrt{x^2-1})]'=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}[/math]
