Matematyka 1NI/Szeregi liczbowe
Wstęp
Przykład (O tym że grupowanie wyrazów to delikatna materia a raczej o tym, że trzeba sprecyzować o czym mówimy pisząc [math]a_0+a_1+\cdots[/math])
[math]\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n[/math],
[math](1-1)+(1-1)+\cdots=0 ?[/math]
[math]1+(-1+1)+(-1+1)+\cdots=1 ?[/math]
Definicja szeregu, zbieżności (rozbieżności) szeregu, sumy szeregu
Niech dany jest ciąg [math]n \mapsto a_n[/math]. Szeregiem o wyrazach [math]a_n[/math] nazywamy ciąg [math]n \mapsto S_n=\sum_{k=0}^{n} a_k[/math]. [math]S_n[/math] nazywamy sumą częściową szeregu. Szereg nazywamy zbieżnym gdy ciąg [math]S_n[/math] ma skończoną granicę (granicę tę nazywamy sumą szeregu). W przeciwnym wypadku szereg nazywamy rozbieżnym.
Fakt
Szereg powstający z pogrupowania wyrazów wyjściowego szeregu zbieżnego ma tę samą sumę co szereg wyjściowy bo jest podciągiem ciągu wyjściowego (szeregu wyjściowego rozumianego jako ciąg). Dla szeregów o wyrazach dodatnich fakt ten można rozciągnąć na szeregi rozbieżne do [math]\infty[/math].
Zadanie 1 (Warunek konieczny zbieżności szeregu)
Zbadaj zbieżność szeregów [math]\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{3-2n}{3+2n}\right)^n[/math], [math]\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n}}[/math].
Sprawdź czy spełniony jest warunek konieczny zbieżności szeregu.
W obu przypadkach granica wyrazów ciągów nie dąży do zera: [math]\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n}}=1 \, ,[/math] natomiast ciąg [math] \left(\frac{3-2n}{3+2n}\right)^n[/math] nie ma granicy. Warunek konieczny zbieżności szeregu w obu przypadkach nie jest spełniony. Szeregi są rozbieżne.
Nawet pod koniec semestru zdarzają się studenci nie wiedzący czym jest warunek konieczny.
Zadanie 2 (suma resorująca)
Zbadaj zbieżność szeregów ewentualnie oblicz ich sumę
[math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5}{7n+7n^2}[/math],
[math]\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)[/math].
Zapisz wyrazy ciągu w postaci [math]b_{n}-b_{n+1}[/math]. Skorzystaj z definicji zbieżności szeregu.
[math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5}{7n+7n^2}=\frac{5}{7}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}=\frac{5}{7}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1-n}{n(n+1)} =\frac{5}{7}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{5}{7}\lim_{n \rightarrow \infty} \left(1-\frac{1}{n+1}\right)=1 [/math],
[math]\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} \ln \frac{n(n+2)}{(n+1)^2}= \sum_{n=1}^{\infty} \left(\ln \frac{n}{(n+1)} - \ln \frac{(n+1)}{(n+2)} \right)=\lim_{n \rightarrow \infty} \left(\ln\frac{1}{2}-\ln \frac{(n+1)}{(n+2)} \right)=\ln\frac{1}{2} [/math]
Zadanie 3 (sumy częściowe szeregu geometrycznego, suma szeregu geometrycznego, dodawanie szeregów, mnożenie przez stałą)
Znaleźć sumę szeregu [math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4 \pi^n+e^n}{4^n}[/math]
[math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4 \pi^n+e^n}{4^n}=4 \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{\pi}{4}\right)^n+ \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{e}{4}\right)^n=4 \frac{\pi}{4-\pi}+\frac{e}{4-e}[/math]
Zadanie 4
Zbadaj zbieżność szeregu, w zależności od parametru [math]q[/math], oblicz jego sumę [math]\sum_{k=0}^{\infty} (k+1) q^k[/math].
Sugeruję by najpierw wyprowadzić wzór na sumy częściowe [math]T_n=\sum_{k=0}^{n} (k+1) q^k[/math] na przyklad z faktu iż
[math] T_{n+1}-T_n=(n+2)q^{n+1}[/math]
[math]T_{n+1}=\frac{1-q^{n+2}}{1-q}+q T_n[/math]
(potem pokazać, że łatwiej było zróżniczkować wzór na sumę częściową szeregu geometrycznego).
Rozwiązując układ równań na [math]T_n[/math] i [math]T_{n+1}[/math]
[math] T_{n+1}-T_n=(n+2)q^{n+1}[/math]
[math]T_{n+1}=1+q+ \cdots +q^{n+1}+q(1+2q+\cdots+(n+1)q^n)=\frac{1-q^{n+2}}{1-q}+q T_n[/math]
otrzymujemy
[math] T_n=\frac{1-(n+2)q^{n+1}+(n+1)q^{n+2}}{(1-q)^2}[/math].
Szereg [math]T_n[/math] jest zbieżny jedynie dla [math]|q|\lt 1[/math] i jego suma wynosi
[math]\frac{1}{(1-q)^2}[/math].
Zadanie 5 (Permutacja wyrazów szeregu to delikatna sprawa)
Wiedząc że [math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}=\log 2[/math]
znajdź sumę szeregu, którego sumy częściowe to
[math]T_1=1[/math], [math]T_2=1+\frac{1}{3}[/math], [math]T_3=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}[/math]
[math]T_4=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}[/math],
[math]T_5=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}[/math],
[math]T_6=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{4}[/math] etc.
[math]T_{3n}=S_{4n}+\frac{1}{2}S_{2n}[/math] (gdzie [math]S_n=\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{k}[/math]) i ponadto [math]\lim_{n \to \infty} (T_{3n+1}-T_{3n})=0=\lim_{n \to \infty} (T_{3n+2}-T_{3n})[/math]
Ponieważ [math]S_n[/math] jest szeregiem zbieżnym to [math]\lim_{n \rightarrow \infty} S_{4n} =\log 2=\lim_{n \rightarrow \infty} S_{2n}[/math] a to oznacza że [math]\lim_{n \rightarrow \infty}T_{3n}=\frac{3}{2}[/math]. Ponieważ [math]\lim_{n \rightarrow \infty}T_{3n}=\lim_{n \rightarrow \infty}T_{3n+1} =\lim_{n \rightarrow \infty}T_{3n+2}[/math] otrzymujemy ostatecznie [math]\lim_{n \to \infty} T_{n}=\frac{3}{2}[/math].
Fakt
Suma szeregów bezwzględnie zbieżnych nie zmienia się gdy poprzestawiamy jego wyrazy.
Szeregi o wyrazach dodatnich, zbieżność bezwzględna a zbieżność
Fakt
Szereg harmoniczny p-tego rzędu [math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}[/math].
[math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}[/math] jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy [math]p\gt 1[/math].
Zadanie 6 (kryterium Cauchy o zagęszczaniu) [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n \ln n}[/math]
Nie ukrywamy, że można skorzystać z kryterium Cauchy'ego o zagęszczaniu.
Ponieważ ciąg [math]a_n=\frac{1}{n \ln n}[/math] jest ciągiem malejącym i o wyrazach dodatnich to zbieżność szeregu
[math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n \ln n}[/math]
jest równoważna zbieżności szeregu
[math]\sum_{n=1}^{\infty}2^n\frac{1}{2^n \ln (2^n)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \ln 2}[/math].
Ponieważ ten ostatni szereg (szereg harmoniczny) jest rozbieżny to i wyjściowy szereg jest również rozbieżny.
Zadanie niniejsze poprzedzamy uwagą, że na wykładzie kryterium Cauchy'ego o zagęszczeniu posłużyło do stwierdzenia, że szereg harmoniczny p-tego rzędu jest zbieżny dla [math]p\gt 1[/math].
Zadanie 7 (kryterium porównawcze, kryterium porównawcze ilorazowe)
Zbadaj zbieżność poniższych szeregów
a) [math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2+n+1}{n^4+n^2+1}, [/math]
b) [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}[/math],
c) [math] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots 2n}}, [/math]
d) [math] \sum_{n=1}^{\infty} \left[\frac{1}{n}- \log (1+\frac{1}{n}) \right][/math]
e) [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n^3}[/math],
f) [math]\sum_{n=1}^{\infty}2^n\sin\frac{\pi}{3^n}[/math],
g) [math]\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{n(n-1)}[/math],
h) [math]\sum_{n=1}^{\infty} \left(1- \sqrt[n]{\frac{n-1}{n}} \right)[/math].
Wszystkie szeregi są szeregami o wyrazach dodatnich, można więc stosować kryteria porównawcze zbieżności szeregów.
a) Porównajmy szereg z szeregiem harmonicznym rzędu 2 (o którym wiemy, że jest zbieżny). Stosujemy kryterium ilorazowe
[math] \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{n^2+n+1}{n^4+n^2+1}}{\frac{1}{n^2}}=1 [/math]
Ponieważ [math]0 \lt 1\lt \infty[/math] to zbieżność obu szeregów jest równoważna. Szereg wyjściowy jest zbieżny.
b) Porównajmy szereg z szeregiem harmonicznym rzędu 1 (o którym wiemy, że jest rozbieżny). Stosujemy kryterium ilorazowe
[math] \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}}{\frac{1}{n}}=1 [/math]
Ponieważ [math]0 \lt 1\lt \infty[/math] to zbieżność obu szeregów jest równoważna. Szereg wyjściowy jest rozbieżny.
c) Ponieważ dla każdego [math] n [/math] naturalnego zachodzi [math]\frac{1}{\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots 2n}}\gt \frac{1}{\sqrt[n]{(2n)^n}}=\frac{1}{2n}[/math] a szereg [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n}[/math] jest rozbieżny to na mocy kryterium porównawczego badany szereg jest rozbieżny.
d) Upewnijmy się najpierw, że jest to szereg o wyrazach dodatnich
[math] 0 \lt \frac{1}{n}- \log (1+\frac{1}{n}) \iff \log (1+\frac{1}{n})\lt \frac{1}{n} \iff \log (1+\frac{1}{n})^n\lt 1 \iff (1+\frac{1}{n})^n\lt e [/math]
Ostatnia nierówność jest oczywiście prawdziwa (bo ciąg [math](1+\frac{1}{n})^n[/math] jest ciągiem rosnącym o granicy [math]e[/math]).
Ponieważ przy [math]x [/math] dążącym do 0 mamy [math]\log (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^3)[/math] to oznacza
[math] \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x-\log (1+x)}{x^2}=\frac{1}{2} [/math]
w szczególności
[math] \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{n}-\log (1+\frac{1}{n})}{\frac{1}{n^2}}=\frac{1}{2} [/math]
to znaczy zbieżność rozważanego szeregu jest równoważna zbieżności szeregu harmonicznego rzędu 2. Wyjściowy szereg jest zbieżny.
e) Ponieważ dla każdego [math] n [/math] naturalnego zachodzi [math]\frac{\ln n}{n^3}\lt \frac{n}{n^3}=\frac{1}{n^2}[/math] i ponieważ szereg harmoniczny rzędu 2 jest zbieżny to zbieżny jest również wyjściowy szereg.
f) Tym razem porównajmy nasz szereg z szeregiem geometrycznym [math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{3^n}[/math] (jeśli żarzy się żarówka z napisem ,,dlaczego?" wróć do podpunktu d)) mamy
[math] \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2^n\sin\frac{\pi}{3^n}}{\frac{2^n}{3^n}}=\pi [/math].
Na mocy kryterium porównawczego ilorazowego szereg jest zbieżny.
g) Obliczmy najpierw granicę ciągu [math]a_n=\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{n-1}=\left(1-\frac{2}{n+1}\right)^{n-1}[/math], Ponieważ [math] \lim_{n \rightarrow \infty} -\frac{2}{n+1}=0 [/math] oraz [math] \lim_{n \rightarrow \infty} -\frac{2}{n+1}(n-1)=-2 [/math] to [math] \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1-\frac{2}{n+1}\right)^{n-1}=e^{-2} [/math]. Oznacza to, że od pewnego [math]n [/math] zachodzi [math]\left[\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{n-1}\right]^n\lt \left[\frac{1}{3} \right]^n [/math], a więc na mocy kryterium porównawczego szereg jest zbieżny.
h) Obliczmy najpierw granicę używając reguły de l'Hospitala [math] \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{1-(1-x)^x}{x^2} =\lim_{x \rightarrow 0^+} (1-x)^x \frac{\frac{x}{1-x}-\log (1-x)}{2x}= \lim_{x \rightarrow 0^+} (1-x)^x \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\frac{x}{1-x}-\log (1-x)}{2x}=1 [/math]
W szczególności
[math] \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1- \sqrt[n]{\frac{n-1}{n}}}{\frac{1}{n^2}} =1 [/math]
a więc wyjściowy szereg na mocy kryterium porównawczego ilorazowego jest zbieżny.
Zadanie 8 (kryterium d'Alemberta, Cauchy'ego)
Zbadaj zbieżność szeregów
a) [math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)!}{(n!)^2}, [/math]
b) [math]\sum_{k=1}^{\infty} \left( \begin{matrix} 2k \\ k\end{matrix}\right)5^{-k},[/math]
c) [math]\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{n(n-1)}[/math]
d) [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n n!}{n^n}[/math]
e) [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(\operatorname{arctg} n)^n}{2^n}[/math],
f) [math]\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2n+\sqrt{n}}{8n+1}\right)^{\frac{n}{2}}[/math],
g) [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n^2+n+1)7^n}{2^{n+1} 3^{n-1}}[/math].
Wszystkie szeregi są szeregami o wyrazach dodatnich porównujemy je z szeregami geometrycznymi stosując kryteria d'Aleberta lub Cauchy'ego.
We wszystkich odpowiedziach [math]a_n[/math] oznacza ciąg wyrazów szeregu, którego zbieżność badamy.
a) Zastosujmy kryterium d'Alemberta tzn. obliczmy granicę ilorazu dwóch kolejnych wyrazów szeregu
[math]\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{ \frac{[2(n+1)]!}{[(n+1)!]^2} }{ \frac{(2n)!}{(n!)^2} }= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)(n+1)}=4[/math].
Ponieważ granica ta jest większa od jedynki to na mocy kryterium d'Alemberta wyjściowy szereg jest rozbieżny.
b) Jak w punkcie a):
[math]\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}= \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\left( \begin{matrix} 2n+2 \\ n+1\end{matrix}\right)5^{-n-1}}{ \left( \begin{matrix} 2n \\ n\end{matrix}\right)5^{-n}}= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(2n+2)(2n+1)}{5(n+1)(n+1)}=\frac{4}{5} [/math].
Ponieważ granica ta jest mniejsza od jedynki to na mocy kryterium d'Alemberta wyjściowy szereg jest zbieżny.
c) Szereg ten pojawił się już w poprzednim zadaniu (przykład g)), gdzie zastosowaliśmy ideę stojącą za kryterium Cauchy'ego. Tym razem użyjmy gotowego narzędzia kryterium Cauchy'ego właśnie. Obliczmy granicę [math]\sqrt[n]{a_n}[/math]
[math]\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n}= \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1-\frac{2}{n+1}\right)^{n-1}=e^{-2} [/math]
Granica ta jest mniejsza od jedynki wobec tego szereg jest zbieżny na mocy kryterium Cauchy'ego.
d) Korzystamy z kryterium d'Alemberta
[math] \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{2^{n+1} (n+1)!}{(n+1)^(n+1)}}{\frac{2^n n!}{n^n}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=\frac{2}{e}\lt 1 [/math]
Szereg jest zbieżny.
e) Korzystamy z kryterium Cauchy'ego
[math]\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n}=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(\operatorname{arctg} n)}{2}=\frac{\pi}{4}\lt 1[/math]
Szereg jest zbieżny.
f)Korzystamy z kryterium Cauchy'ego
[math] \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n}=\lim_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{2n+\sqrt{n}}{8n+1}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\lt 1[/math]
Szereg jest zbieżny.
g) Korzystamy z kryterium Cauchy'ego
[math]\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{7\sqrt[n]{n^2+n+1}\sqrt[n]{3}}{6\sqrt[n]{2}}=\frac{7}{6}\gt 1 [/math].
Szereg jest rozbieżny.
Przypomnienie
Związek między kryterium d'Alemberta i kryterium Cauchy'ego. [math]\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=g \Rightarrow \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}=g[/math].
Zadanie 9 (Zbieżność bezwzględna a zbieżność)
Zbadaj zbieżność szeregu
[math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin 3^n}{3^n}[/math],
Zbadaj zbieżność bezwzględną szeregu.
Zachodzi następujące oszacowanie [math]\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{\sin 3^n}{3^n}\right|\lt \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n} [/math], a więc nasz szereg jest zbieżny bezwzględnie. Wobec tego jest również zbieżny.
Szeregi naprzemienne
Zadanie 10 (Kryterium Leibnitza)
Zbadaj zbieżność szeregów
a) [math] \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{\sqrt[4]{|n -\frac{2011}{2}|}} [/math]
b) [math]\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{\ln n}{n}[/math].
a) Ciąg [math] \displaystyle a_n= \frac{1}{\sqrt[4]{|n -\frac{2011}{2}|}} [/math] jest zbieżny do 0 i malejący do począwszy od [math] n=1006 [/math]. Zatem na mocy kryterium Leibnitza wyjściowy szereg jest zbieżny.
b) Ponieważ pochodna funkcji [math]f(x) =\frac{\ln x}{x}[/math]. wynosi [math]f'(x)= \frac{1-\ln x}{x^2}[/math] to na zbiorze [math]]e,\infty[[/math] jest ona ujemna i w rezultacie funkcja jest malejąca. Ponadto granica tej funkcji w nieskończoności wynosi 0. Wynika stąd, że ciąg [math]a_n =\frac{\ln n}{n}[/math] jest rosnący przynajmniej od [math]n=3[/math] i ma granicę 0. Zatem na mocy kryterium Leibnitza wyjściowy szereg jest zbieżny.
Zadanie 11
Zbadaj zbieżność szeregu
[math] \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\frac{2009+(-1)^n}{n}[/math].
Szereg jest rozbieżny bo jest sumą szeregu zbieżnego i rozbieżnego.
