Fizyka I OO/Wykład VIII

Pokazy

1. Impuls falowy i fala sinusoidalna na falownicy i na sznurze
2. Model fali podłużnej na kolorowej sprężynie
3. Animacje komputerowe fal biegnących (WSiP oraz prof.Gintera)

Fale

• Fala jest to zaburzenie ośrodka, które rozchodzi się ze skończoną prędkością bez przemieszczania się masy.
• Fale mechaniczne rozchodzą się w ośrodkach — powietrzu, cieczy i ciałach stałych. Polegają na deformacji ośrodka, która się w nim rozprzestrzenia.
• Fala elektromagnetyczna polega na zaburzeniu pola elektrycznego i magnetycznego. Może rozchodzić się w ośrodku i w próżni.
• Fale poprzeczne — drgania ośrodka ( lub wektora pola ) są prostopadłe do kierunku rozchodzenia się fali.
• Fale podłużne — drgania ośrodka mają kierunek zgodny z kierunkiem rozchodzenia się fali.

Przykłady fal mechanicznych

• Fale na sznurze — impuls i fala sinusoidalna.
• Fala na powierzchni wody.
• Fala akustyczna — mechaniczna fala podłużna polegająca na lokalnych zmianach gęstości.

Opis matematyczny

Funkcja opisująca falę to jest funkcja kształtu rozchodzącego się zaburzenia zależna od dwóch zmiennych: czasu i położenia — [math]y=f(x-vt)[/math].

Na przykład dla impulsu ma ona postać:

[math] y = A e^{-\alpha(x-vt)^2}[/math] — funkcja opisująca impuls o kształcie funkcji Gaussa.

Natomiast dla fali biegnącej sinusoidalnej jest to funkcja sinus (lub cosinus):

[math]y= A \cos k(x-vt)[/math],

gdzie A — amplituda, k — stała zwana liczbą falową.

Nie da się jednocześnie na płaszczyźnie narysować zależności od czasu i od współrzędnej. Trzeba zrobić dwa podejścia:

1. zatrzymujemy czas. Robimy zdjęcia zaburzenia w kolejnych chwilach na przykład [math]t_1= \nicefrac{1}{4} T[/math], [math]t_2= \nicefrac{1}{2} T[/math], [math]t_3=\nicefrac{3}{4} T[/math].
2. Ustalamy położenie na osi x i śledzimy, jak w czasie zmienia się wychylenie tego punktu z położenia równowagi.

Jaki jest sens fizyczny stałej k?

[math]\lambda[/math] — długość fali — odległość między najbliższymi punktami tak samo wychylonymi, czyli będącymi w tej samej fazie.

[math]y = A\cos(kx_1-\phi),\ y = A\cos(kx_1-\phi)[/math]

[math]\cos\alpha = \cos(2\pi +\alpha)[/math]

[math] kx_1-\phi = kx_2-\phi +2\pi[/math]

[math]k(x_1-x_2) = 2\pi[/math]

[math] x_1-x_2 = \lambda[/math]

z definicji

[math] k\lambda = 2\pi[/math]

[math] k = \frac{2\pi}{\lambda}[/math] — liczba falowa

[math] y(x,t) = A\cos\frac{2\pi}{\lambda}(x-vt) = A\cos\left( \frac{2\pi x}{\lambda}-\frac{2\pi vt}{\lambda}\right)[/math]

ale [math] \frac{v}{\lambda} = \frac{1}{T}[/math] a [math]\frac{2\pi}{T} = \omega[/math] czyli [math] \omega = \frac{2\pi v}{\lambda}[/math]

czyli:

[math] y(x,t) = A\cos(kx-wt +\gamma)[/math]

najbardziej powszechnie stosowana postać funkcji opisującej falę biegnąca:

• A — amplituda
• x — położenie
• t — czas
• k — liczba falowa
• [math]\omega[/math] &mdash częstość kołowa
• [math]\gamma[/math] — faza początkowa
• [math]T[/math] — okres — czas, w którym dowolny element ośrodka wykonuje jedno pełne drganie

Prędkość fazowa fali — z taką prędkością porusza się faza fali — zaburzenie.

Grzbiet fali przesunął się w czasie [math]\Delta t[/math] o [math]\Delta x[/math]. W granicy [math] v = \lim\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}[/math]. Element sznura nie przesunął się wzdłuż osi x, ale z inną prędkością wzdłuż osi y.

Zależność dyspersyjna

[math]kx -\omega t =\mathrm{const}[/math] (faza fali)

[math]k\frac{dx}{dt}-\omega = 0 [/math] (dla fali biegnącej w prawo)

[math] kv = \omega\ \Rightarrow\ v=\frac{\omega}{k}[/math] (klasyczna zależnośc dyspersyjna)

Wykład w znaczącej części przeznaczony na pokazy doświadczeń i animacji komputerowych.