Fizyka I FM/Kinematyka2

Wstęp

Ruch po okręgu jest najprostszym przypadkiem płaskich ruchów krzywoliniowych. W ogólnym przypadku ruch po okręgu opisujemy równaniami:

[math] \left\{\begin{array}{l} x(t)=x_0+\rho\cos(\phi(t))\\ \\ y(t)=y_0+\rho\sin(\phi(t)) \end{array}\right. [/math]

gdzie:

[math]\phi(t)[/math] — dowolna funkcja czasu.

Ruch odbywa się po okręgu o środku w punkcie [math](x_0, y_0)[/math] i promieniu [math]\rho[/math].

[math]\left\{\begin{array}{l} (x(t)-x_0)^2=\rho^2\cos^2(\phi(t))\\ \\ (y(t)-y_0)^2=\rho^2\sin^2(\phi(t)) \end{array}\right. [/math]

co sprowadza się do równania:

[math] x^2(t)+y^2(t)=\rho^2 [/math]

jeśli środek okręgu znajduje się w punkcie (0,0).

Ruch po okręgu w kartezjańskim układzie współrzędnych

Ilustracja do znajdywania współrzędnych punktu P, poruszającego się po okręgu w układzie kartezjańskim.

Współrzędne punktu P poruszającego się po okręgu można wyrazić w następujący sposób (patrz rysunek %i 1):

[math] \left\{\begin{array}{l} x(t)=\rho\cos(\alpha(t))\\ y(t)=\rho\sin(\alpha(t)) \end{array}\right. [/math]

Wprowadzimy teraz następujące wielkości:

Prędkość kątowa

[math]\omega = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\alpha(t+\Delta t) - \alpha(t)}{t+\Delta t}=\frac{d\alpha(t)}{dt} [/math]

Przyspieszenie kątowe

[math] \epsilon = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\omega(t+\Delta t) - \omega(t)}{t+\Delta t}=\frac{d\omega(t)}{dt}=\frac{d^2\alpha(t)}{dt^2}[/math]

Ruch po okręgu — opis

Dla ruchu po okręgu mamy więc:

• Współrzędne punktu P:
  [math]\left\{\begin{array}{l} x(t)=\rho\cos(\alpha(t))\\ \\ y(t)=\rho\sin(\alpha(t)) \end{array}\right. [/math]
• Prędkość wzdłuż osi x i y kartezjańskiego układu współrzędnych:
  [math]\left\{\begin{array}{rcccccl} V_x(t)&=&\frac{dx(t)}{dt}&=&-\frac{d\alpha(t)}{dt}\cdot\frac{d}{dt}(\rho\cos(\alpha(t)))&=& -\omega \rho\sin(\alpha(t))\\[5pt] V_y(t)&=&\frac{dy(t)}{dt}&=&\frac{d\alpha(t)}{dt}\cdot\frac{d}{dt}(\rho\sin(\alpha(t)))&=& \omega \rho\cos(\alpha(t))\\ \end{array}\right. [/math]
• Przyspieszenie liniowe wzdłuż osi x i y kartezjańskiego układu współrzędnych:
  [math] \left\{\begin{array}{rcl} a_x&=&\frac{dV_x(t)}{dt}= -\omega^2\rho\cos(\alpha(t))-\epsilon \rho\sin(\alpha(t))\\ \\ a_y&=&\frac{dV_x(t)}{dt}= -\omega^2\rho\sin(\alpha(t))+\epsilon \rho\cos(\alpha(t))\\ \end{array}\right. [/math]

Ruch po okręgu w biegunowym układzie współrzędnych

Biegunowy układ współrzędnych. W układzie biegunowym położenie punktu P określone jest za pomocą dwóch współrzędnych — odległości punktu od początku układu współrzędnych oraz kąta jaki tworzy wektor wodzący [math]\vec{\rho}[/math] (wektor skierowany od środka układu współrzędnych do punktu P) z osią poziomą. Wersorami w tym układzie współrzędnych są wektory [math]\vec{e}_\rho[/math] — skierowany wzdłuż wektora wodzącego [math]\vec{\rho}[/math] oraz wersor [math]\vec{e}_\phi[/math] prostopadły do wektora wodzącego (w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara).

Czasem wygodniej jest opisać ruch w biegunowym układzie współrzędnych (patrz rysunek %i 2). Zanim opiszemy ruch po okręgu w tym układzie, zauważmy związki jakie zachodzą pomiędzy współrzędnymi układu kartezjańskiego i biegunowego:

[math] \left\{\begin{array}{l} x(t)=\rho(t)\cos(\phi(t))\\ \\ y(t)=\rho(t)\sin(\phi(t)) \end{array}\right. [/math], [math]\left\{\begin{array}{l} \rho(t)=\sqrt{y^2(t)+y^2(t)}\\ \\ \phi(t)=\arctan\frac{y(t)}{x(t)} \end{array}\right. [/math]

Wersory [math](\vec{e}_\rho,\vec{e}_\phi)[/math] układu biegunowego, w układzie kartezjańskim można zapisać w następujący sposób:

[math] \left\{\begin{array}{l} \vec{e}_\rho(t)=\cos(\phi(t))\vec{e}_x + \sin(\phi(t))\vec{e}_y \\ \\ \vec{e}_\phi(t)=-\sin(\phi(t))\vec{e}_x + \cos(\phi(t))\vec{e}_y \\ \end{array}\right. [/math]

Wektor położenia punktu w płaskim układzie kartezjańskim można wyrazić w następujący sposób:

[math] \vec{r}(t)=x(t)\vec{e}_x + y(t)\vec{e}_y [/math]

Podstawiając zależności pomiędzy współrzędnymi kartezjańskim i i biegunowymi dostajemy następujący wzór na wektor położenia:

[math] \vec{r}(t)=\rho\cos(\phi(t))\vec{e}_x + \rho\sin(\phi(t))\vec{e}_y = \rho(\cos(\phi(t)) + \sin(\phi(t)))=\rho\vec{e}_\rho [/math]

Z kolei wektor prędkości w układzie kartezjańskim:

[math] \vec{V}(t)=\vec{V}_x(t)+\vec{V}_y(t) = -\omega\rho\sin(\phi(t))\vec{e}_x + \omega\rho\cos(\phi(t))\vec{e}_y = \omega\rho(-\sin(\phi(t))\vec{e}_x+\cos(\phi(t))\vec{e}_y) = \omega\rho\vec{e}_\rho [/math]

Podobnego przejścia z układu kartezjańskiego do biegunowego możemy dokonać również dla przyspieszenia:

[math] \vec{a}(t)=\vec{a}_x(t)+\vec{a}_y(t)=(-\omega^2\rho\cos(\phi(t))-\epsilon\rho\sin(\phi(t)))\vec{e}_x + (-\omega^2r\sin(\phi(t))+\epsilon\rho\cos(\phi(t)))\vec{e}_y=-\omega^2\rho\vec{e}_\rho+\epsilon\rho\vec{e}_\phi [/math]

Zauważmy, iż w przypadku ruchu po okręgu w układzie biegunowym wektor prędkości ma tylko jedną składową, prostopadłą do wektora wodzącego [math]\rho[/math]:

[math]\vec{V}=\omega\rho\vec{e}_\phi [/math]

natomiast przyspieszenie ma dwie składowe:

• składową styczną do toru, nazywaną przyspieszeniem transersalnym:
  [math]\vec{a}_s=\epsilon\rho\vec{e}_\phi [/math]
• składową równoległą do wektora wodzącego [math]\vec{\rho}[/math], nazywaną przyspieszeniem radialnym:
  
  [math] \vec{a}_r=-\omega^2\rho\vec{e}_\rho [/math]

Ruch jednostajny po okręgu

Rozważymy teraz ruch po okręgu, który odbywa się ze stałą prędkością liniową [math]V[/math]. W przypadku ruchu jednostajnego prostoliniowego, wektor prędkości zachowywał stały kierunek w przestrzeni oraz stałą wartość. Ruch po okręgu jest przypadkiem ruchu krzywoliniowego, w którym wartość wektora prędkości (długość tego wektora) może być zachowana, zmienia się natomiast jego kierunek. Mówiąc zatem o ruchu jednostajnym po okręgu, zakładamy, że nie ulega zmianie wartość prędkości w tymże ruchu. W poprzednim rozdziale pokazaliśmy, iż w przypadku ruchu po okręgu opisywanego w układzie biegunowym prędkość można wyrazić następującym wzorem:

[math] \vec{V}=\omega\rho\vec{e}_\phi [/math]

Skoro z założenia wartość wektora prędkości ma być stała [math](\vec{V}=const)[/math], to widzimy, że również wyrażenie [math]\omega\rho[/math] musi mieć stałą wartość. Stały jest również promień okręgu [math]\rho[/math], w związku z czym stała jest także prędkość kątowa [math]\omega[/math]. Przyspieszenie kątowe [math]\epsilon[/math] jest pochodną prędkości kątowej po czasie:

[math] \epsilon=\frac{d\omega}{dt} [/math]

Jak wiemy z kursu matematyki, pochodna wektora stałego jest równa 0, a zatem w przypadku ruchu jednostajnego po okręgu, kiedy to [math]\omega=const[/math], przyspieszenie kątowe [math]\epsilon = 0[/math]. Wiadomo, że przyspieszenie w ruchu po okręgu w układzie biegunowym ma dwie składowe, (równania (%i 17 i (%i 19)), jednakże z uwagi na zerową wartość przyspieszenia kątowego [math]\epsilon[/math], składowa styczna wektora przyspieszenia (wzór (%i 17) znika i pozostaje tylko i wyłącznie składowa radialna (patrz rysunek %i 3).

W przypadku jednostajnego ruchu po okręgu, przyspieszenie ma tylko składową radialną, nazywaną również składową dośrodkową. Składowa dośrodkowa powoduje zmianę kierunku wektora prędkości, ale nie zmienia jego wartości.

Ruch jednostajny po okręgu jest przykładem ruchu harmonicznego, co prześledzimy powracając z opisem ruchu do układu kartezjańskiego. Analogicznie jak w przypadku drogi pokonywanej przez ciało w ruchu jednostajnie prostoliniowym, w przypadku ruchu jednostajnego po okręgu, w którym stała jest wartość wektora prędkości, przyrost zakreślanego przez punkt P kąta [math]\phi[/math] można zapisać następującym wyrażeniem:

[math] \phi = \omega t + \phi_0 [/math]

podstawiając powyższy wzór do wzorów (%i 8), (%i 8) i (%i 9) dostajemy (przypominamy, że we wzorze (%i 9 na przyspieszenie liniowe, przyspieszenie kątowe [math]\epsilon[/math] ma wartość 0):

[math]\left\{\begin{array}{l} x(t)=\rho\cos(\omega t + \phi_0)\\ \\ y(t)=\rho\sin(\omega t + \phi_0) \end{array}\right. [/math]

[math]\left\{\begin{array}{rcccccl} V_x(t)&=&\frac{dx(t)}{dt}&=&-\omega \rho\sin(\omega t + \phi_0)\\ \\ V_y(t)&=&\frac{dy(t)}{dt}&=&\omega \rho\cos(\omega t + \phi_0)\\ \end{array}\right. [/math]

Przyspieszenie liniowe wzdłuż osi x i y kartezjańskiego układu współrzędnych:

[math] \left\{\begin{array}{rcl} a_x&=&\frac{dV_x(t)}{dt}= -\omega^2\rho\cos(\omega t + \phi_0)\\ \\ a_y&=&\frac{dV_x(t)}{dt}= -\omega^2\rho\sin(\omega t + \phi_0)\\ \end{array}\right. [/math]

Jak widzimy zarówno położenie punktu, wartość i kierunek jego prędkość oraz przyspieszenie zmieniają się periodycznie z okresem:

[math] \left\{\begin{array}{l} \omega(t+T)=\omega t + 2\pi\\ \\ T = \frac{2\pi}{\omega} \end{array}\right. [/math]