Fizyka III/Fale elektromagnetyczne w ośrodkach

Rozważania rozpoczniemy od ośrodków jednorodnych. W takich ośrodkach zależność między indukcją pola elektrycznego [math]\vec D[/math] a natężeniem pola [math]\vec E[/math] oraz między indukcją pola magnetycznego [math]\vec B[/math] a natężeniem pola [math]\vec H[/math] opisana jest wyrażeniami:

[math]\vec D =\varepsilon\varepsilon_0\vec E[/math]

[math]\vec B=\mu\mu_0\vec H[/math]

Wielkości ϵ i μ są liczbami, które są niezależne od czasu i położenia. Noszą one nazwę względnych przenikalności elektrycznej i magnetycznej. Równania Maxwella dla jednorodnych ośrodków są następujące:

[math]\mathrm{rot}\vec E = -\frac{\partial \vec B}{\partial t}[/math]

[math]\mathrm{div}\vec B =0[/math]

[math]\mathrm{rot}\vec B =\mu\mu_0\vec j +\mu\mu_0\varepsilon\varepsilon_0\frac{\partial \vec E}{\partial t}[/math]

[math]\mathrm{div}\vec E=\frac 1{\varepsilon\varepsilon_0}\rho[/math]

Wektor [math]\vec j[/math] jest gęstością prądu, a [math]\rho\;[/math] gęstością ładunku. Z prawa Ohma wynika: [math]\vec J =\sigma\vec E[/math]. Dla ośrodka w którym nie ma ładunków swobodnych oraz prądów (podobnie jak dla próżni) spełnione jest klasyczne równanie falowe, które ma postać:

[math]\Delta\vec E= \frac 1{v^2}\frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}[/math].

Prędkość rozchodzenia się fali w ośrodku wynosi: [math]v=\frac 1\sqrt{\mu\mu_0\varepsilon\varepsilon_0} =\frac c\sqrt{\mu\varepsilon}=\frac cn[/math]. Współczynnik n nazywamy współczynnikiem załamania. Mówi on ile razy prędkość światła w ośrodku jest mniejsza od prędkości światła w próżni. Wartości współczynników załamania dla wybranych substancji (dla światła sodowego, [math]\lambda=\unit{589}{nm}[/math]) zebrano poniżej:

Substancja	n
Powietrze	1.00026
Woda	1.33
Alkohol etylowy	1.36
Szkło kwarcowe	1.46
Olej rycynowy	1.48
Szkło crown	1.52
Balsam kanadyjski	1.54
Polistyren	1.59
Dwusiarczek węgla (ciekły)	1.63
Diament	2.42
Rutyl (TiO2)	2.62

Fala elektromagnetyczna o określonej częstotliwości ma inną długość fali w ośrodku niż w próżni. Jako przykłady policzmy:

1. Ile wynosi prędkość i długość fali światła z lampy sodowej w diamencie?
   Dane: [math]f=\unit{5,09\cdot 10^{14}}{Hz},\ \varepsilon = 5,85,\ \mu = 1[/math]. Stąd wyliczamy:
   

   [math]\lambda_0 = \frac cf=\unit{589}{nm}[/math]
   

   [math]v_\mathrm{diament}=\frac c\sqrt{\mu\varepsilon} = \unit{1,24}{\frac ms}[/math]
   

   [math]\lambda_\mathrm{diament}=\frac{v_\mathrm{diament}}f=\unit{244}{nm}[/math]
   

2. Ile wynosi prędkość i długość fali radiowej o częstotliwości [math]f=\unit{90}{MHz}[/math] w ferrycie (filtr ferrytowy używany jest w kablach komputerowych, zapobiega interferencji z falami radiowymi — patrz rysunek Figure 1)?
   
   

   Zdjęcie kabla komputerowego z filtrem ferrytowym.

   Dane: [math]f=\unit{90}{MHz},\ \varepsilon=10,\ \mu=1000[/math]. Stąd:
   

   [math]\lambda_0 = \frac cf=\unit{3,33}m[/math]
   

   [math]v_\mathrm{ferryt}=\frac c\sqrt{\mu\varepsilon} = \unit{3\cdot 10^6}{\frac ms}[/math]
   

   [math]\lambda_\mathrm{ferryt}=\frac{v_\mathrm{ferryt}}f=\unit{3,33}{cm}[/math]
   

Współczynnik załamania kwarcu.

Zmiana kształtu impulsu po przejściu przez kwarc.

Na rysunku Figure 2 pokazano współczynnik załamania dla kwarcu w obszarze światła widzialnego. Współczynnik ten zmienia się wraz z kolorem światła, a więc fale o różnych kolorach poruszają się z różnymi prędkościami. Impuls (paczka falowa) zmienia kształt po przejściu przez taki ośrodek (patrz rysunek Figure 3).

Fala elektromagnetyczna padając na granicę dwóch ośrodków ulega odbiciu i załamaniu. Kierunek biegu promienia można wyznaczyć z pochodzącej z roku 1650 zasady Fermata: światło spośród wszystkich możliwych torów łączących dwa punkty wybiera ten, którego przebycie wymaga najkrótszego czasu. Zasadę tę zastosujmy najpierw do znalezienia kierunku promienia odbitego. Światło pada pod kątem α do normalnej do granicy dwóch ośrodków i odbija się pod katem β (patrz rysunek Figure 4).

Odbicie od granicy dwóch ośrodków.

Czas jaki pokonuje promień [math]t=\frac lc\;[/math], a stąd droga [math]l=\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+(d-x)^2}[/math]. Szukamy ekstremum tej funkcji różniczkując ją po x. Otrzymujemy wówczas: [math]\frac x\sqrt{a^2+x^2}=\frac{(d-x)}{\sqrt{b^2+(d-x)^2}}[/math], co jest równoważne: [math]\sin\alpha=\sin\beta\;[/math].

Z zasady Fermaty wynika, że kąt padania jest równy kątowi odbicia.

W podobny sposób rozpatrujemy tor promienia świetlnego biegnącego z ośrodka o współczynniku załamania [math]n_1[/math] do punktu w drugim ośrodku o współczynniku załamania [math]n_2[/math]. Zgodnie z rysunkiem Figure 5 czas potrzebny na przebycie drogi wynosi: [math]t=\Sigma_i\frac{l_i}{v_i}=\frac 1c\Sigma l_in_i = t_\min[/math], gdzie droga optyczna:

[math]l=n_1l_1+n_2l_2=n_1\sqrt{a^2+x^2}+n_2\sqrt{b^2+(d-x)^2}[/math].

Różniczkując czas po x otrzymujemy prawo załamania: [math]n_1\frac x\sqrt{a^2+x^2}=n_2\frac{(d-x)}{\sqrt{b^2+(d-x)^2}}[/math], czyli: [math]n_1\sin\alpha=n_2\sin_\beta\;[/math], gdzie α i β są odpowiednio kątem padania i kątem odbicia.

Załamanie promienia świetlnego na granicy dwóch ośrodków.

Jeśli promień biegnie z ośrodka o większym współczynniku załamania i pada na granicę z ośrodkiem o mniejszym współczynniku załamania to może ulec całkowitemu odbiciu co pokazano na rysunku Figure 6 Zjawisko to nosi nazwę całkowitego wewnętrznego odbicia i jest wykorzystywane w światłowodach.

Zjawisko całkowitego wewnętrznego odbicia.

Zjawisko to jest również odpowiedzialne za powstawanie tęczy na niebie (patrz rysunek Figure 7 i Figure 8). Promień światła padający na kroplę wody ulega najpierw załamaniu, następnie całkowitemu wewnętrznemu odbiciu i ponownie załamaniu przy wychodzeniu z kropli. Kąt rozwarcia dla koloru niebieskiego wynosi 40.8° a dla koloru czerwonego 42.5°. Światło białe ulega więc rozszczepieniu na kropli wody. Dla obserwatora znajdującego się daleko od kropel wody dociera kolor czerwony od kropel znajdujących się wyżej, natomiast od kropel znajdujących się niżej dociera kolor niebieski. Stąd obserwator widzi tęczę. Czasami światło może tak padać na krople wody, że ulega dwukrotnie zjawisku wewnętrznego odbicia w kropli. Wówczas kąt rozwarcia dla koloru niebieskiego wynosi 53.2°, a dla koloru czerwonego 50.1°. Obserwator widzi w takim przypadku druga tęczę o kolorach odwróconych w porównaniu z niżej położona tęczą.

Rozszczepienie światła na kropli wody.

Powstawanie tęczy na niebie.

Kolejnym zjawiskiem związanym ze współczynnikiem załamania jest zjawisko mirażu. Można je zaobserwować na pustyni lub patrząc na rozgrzana jezdnię. Jeśli nadjeżdża z naprzeciwka samochód na jezdni zaobserwujemy jego odbicie jak zwierciadle. Efekt związany jest z tym, ze powietrze tuż przy jezdni (lub na pustyni przy piasku) jest najbardziej nagrzane i w tym miejscu ma najmniejszy współczynnik załamania. Współczynnik ten zmienia się wraz z odległością od jezdni. Promień świetlny porusza się więc w ośrodku o zmiennym współczynniku załamaniu ulega zakrzywieniu tak jak pokazano na rysunku Figure 9 Podobny efekt można też zaobserwować wsypując sól do szklanego naczynia, pozwalając soli niejednorodnie się rozpuścić. Jeśli poświecimy laserem na wodę z solą zobaczymy zagięcie promienia świetlnego.

Zjawisko mirażu.

Powyżej wyprowadziliśmy prawo odbicia i załamania korzystając z zasady Fermata. Prawa te mówią jedynie o kierunku rozchodzenia się promieni świetlnych. Informacje o amplitudach fali padającej i przechodzącej zawarte są w tzw. wzorach Fresnela. Na początek załóżmy, że fala elektromagnetyczna pada prostopadle na granicę dwóch ośrodków o współczynnikach załamania [math]n_1\;0[/math] i [math]n_2\;[/math]. Z równań Maxwella wynikają następujące warunki, jakie musza spełniać natężenia pola elektrycznego [math]\vec E[/math] i magnetycznego [math]\vec H[/math] na granicy ośrodków:

[math](\vec E_\mathrm p+\vec E_\mathrm o)_\|=\vec E_{\mathrm{prz}\|}[/math]

[math](\vec H_\mathrm p+\vec H_\mathrm o)_\|=\vec H_{\mathrm{prz}\|}[/math]

tj. składowe równoległe do powierzchni granicznej obu pól po obu stronach granicy muszą być takie same. Zakładając kierunki obu pól takie jak pokazano na rysunku Figure 10 i przyjmując taką sama przenikalność magnetyczną w obu ośrodkach oraz wzór: [math]B=\frac{En}c\;[/math] otrzymujemy:

[math]E_\mathrm p+E_\mathrm o=E_\mathrm{prz}\;[/math]

[math]n_1 E_\mathrm p-n_1E_\mathrm o=n_2E_\mathrm{prz}\;[/math]

a stąd:

[math]E_\mathrm{prz}=2E_p\frac{n_1}{n_1+n_2}[/math]

[math]E_\mathrm o=E_\mathrm p\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}[/math].

gdzie [math]E_\mathrm p[/math], [math]E_\mathrm o[/math] i [math]E_\mathrm{prz}[/math] są amplitudami harmonicznej fali padającej, odbitej i przechodzącej do drugiego ośrodka.

Zjawisko odbicia i załamania fali elektromagnetycznej na granicy dwóch ośrodków dla fali padającej prostopadle na granicę ośrodków.

Otrzymane wzory są podobne do tych otrzymanych dla fal mechanicznych, oporem falowym dla fal elektromagnetycznych jest współczynnik załamania.

Jeśli fala elektromagnetyczna pada na granicę ośrodków pod dowolnym kątem to warunki odbicia i załamania zależą od polaryzacji fali. Dowolna fale możemy rozłożyć na:

1. Falę TM — pole magnetyczne jest prostopadłe do płaszczyzny padania.
2. Falę TE — pole elektryczne jest prostopadłe do płaszczyzny padania.

Dla fali TM (patrz rysunek Figure 11) wzory Fresnela są następujące (zakładając taką samą przenikalność magnetyczna w obu ośrodkach):

[math]E_\mathrm{prz}=2E_\mathrm p\frac{n_1\cos\alpha}{n_2\cos\alpha+n_1\cos\beta}[/math]

[math]E_\mathrm o = E_\mathrm p\frac{n_1\cos\beta-n_2\cos\alpha}{n_2\cos\alpha+n_1\cos\beta}[/math]

a stąd amplitudowe współczynniki odbicia i transmisji:

[math]t_\mathrm{TM}=\frac{E_\mathrm{prz}}{E_\mathrm p}=2\frac{n_1\cos\alpha}{n_2\cos\alpha+n_1\cos\beta}[/math]

[math]r_\mathrm{TM}= \frac{E_\mathrm{o}}{E_\mathrm p}=\frac{n_1\cos\beta-n_2\cos\alpha}{n_2\cos\alpha+n_1\cos\beta} [/math]

Zjawisko odbicia i załamania dla fali TM.

Dla fali TE analogicznie otrzymujemy (patrz rysunek Figure 12).

[math]t_\mathrm{TE} =\frac{E_\mathrm{prz}}{E_\mathrm p} = 2\frac{n_1\cos\alpha}{n_1\cos\alpha+n_2\cos\beta}[/math]

[math]r_\mathrm{TE} = \frac{E_\mathrm{o}}{E_\mathrm p}=\frac{n_1\cos\alpha-n_2\cos\beta}{n_1\cos\alpha+n_2\cos\beta}[/math]

Zjawisko odbicia i załamania dla fali TE.

Na rysunku Figure 13 pokazano zależność współczynników transmisji i odbicia od kata padania dla obu polaryzacji fal dla granicy szkło powietrze.

Współczynniki odbicia i transmisji w funkcji kata padania dla granicy powietrze – szkło.

Dla polaryzacji TM współczynnik odbicia zmienia się od wartości ujemnych do dodatnich przechodząc przez zero. Kąt dla którego wartość tego współczynnika wynosi zero nazywamy kątem Brewstera. Dla tego kąta fala odbita ma wyłącznie polaryzacją TE. Tak więc zjawisko odbicia można użyć do polaryzacji niespolaryzowanej fali elektromagnetycznej. Ze wzoru Fresnela oraz z prawa załamania łatwo można znaleźć, że dla kąta Brewstera spełniony jest warunek na kąt padania α i kąt załamania β: [math]\alpha+\beta =\nicefrac \pi2[/math].

Stąd otrzymujemy [math]\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{\sin\alpha}{\sin(\nicefrac \pi2-\alpha)}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\tg\alpha=\frac{n_2}{n_1}[/math]. Dla granicy szkło – powietrze: [math]\tg\alpha=\frac{n_2}{n_1}=1,5[/math], co daje wartość kąta Brewstera: [math]\alpha = 56^o18''[/math].

Dla fali elektromagnetycznej rozchodzącej sie w jednorodnym ośrodku zachodzi podobnie jak w próżni związek między polem magnetycznym i elektrycznym:

[math]\vec B = \frac 1v\left(\frac \vec k k\times \vec E\right)[/math].

Stąd wektor Poyntinga wynosi: [math]\vec S = \frac 1{\mu\mu_0}(\vec E\times\vec B)=\frac{E^2}{\mu\mu_0 v}\frac\vec k k[/math].

Składowa prostopadła do granicy ośrodków wyrażą się wzorem:[math](\vec S)_\bot = \frac{E^2}{\mu\mu_0 v}\cos\theta[/math] (kąt θ jest odpowiednio katem padania, odbicia lub załamania), a wartość średnia dla fali harmonicznej, która odpowiada natężeniu światła jest postaci: [math]\langle(\vec S)_\bot \rangle=\frac{E^2}{2\mu\mu_0 v}\cos\theta[/math].

Stąd znajdujemy natężeniowe współczynniki odbicia i transmisji:

[math]R=\frac{I_\mathrm o}{I_\mathrm p} = \left(\frac{E_\mathrm o}{E_\mathrm p}\right)^2 = r^2[/math]

[math]T =\frac{I_\mathrm{prz}}{I_\mathrm p} = \frac{2E^2_\mathrm{prz}\cos\beta\mu_1\mu_0v_1}{2E^2_\mathrm p \cos\alpha\mu_2\mu_0v_2} = t^2\frac{\mu_1n_2\cos\beta}{\mu_2n_1\cos\alpha} [/math]

Jeśli fala pada prostopadle do granicy ośrodków to współczynniki te są następujące:

[math]T =\frac{I_\mathrm{prz}}{I_\mathrm p} = \frac{4n_2n_1}{(n_1+n_2)^2}[/math]

[math]R=\frac{I_\mathrm o}{I_\mathrm p} =\left(\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\right)^2 [/math]

Dla granicy szkło – powietrze ([math]n_1=1,\ n_2=1,5[/math]) otrzymujemy:[math]I_\mathrm{prz}=0,96I_\mathrm p,\ I_\mathrm o =0,04 I_\mathrm p[/math]. W tym przypadku tylko 4% energii odbija się od granicy szkło-powietrze.