Aliasing

AS/ Przekształcenie Fouriera sygnałów dyskretnych, aliasing

Animacja pokazująca efekt aliasingu

Kliknij na tym napisie aby obejrzeć animację pokazującą efekt aliasingu na sygnale jednowymiarowym

Próbkowanie odwrotnej transformaty Fouriera

Przypomnijmy wzór na odwrotną transformację Fouriera sygnału ciągłego [math] s(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(f)e^{-i 2\pi t f} d f [/math]

Dyskretne wartości tego sygnału, próbkowane w chwilach [math]n \Delta t[/math], możemy odtworzyć z powyższgo równania dla [math]t = n \Delta t[/math]

[math] s(n\Delta t) =\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(f)e^{-i 2\pi n \Delta t f} d f = [/math]

[math] \sum_{r=-\infty}^\infty \int_\frac{(2r - 1)}{2\Delta t}^\frac{(2r + 1) }{2\Delta t} \hat{s}(f)e^{-i 2\pi n \Delta t f} d f \;\; \stackrel{f \rightarrow f+\frac{r}{\Delta t}}{=} \;\; [/math] [math] \sum_{r=-\infty}^\infty \int_\frac{-1}{2\Delta t}^\frac{1}{2\Delta t} \hat{s}\left(f + \frac{r}{\Delta t}\right)e^{-i 2\pi n \Delta t (f + \frac{r}{\Delta t})} d f [/math]

[math] = \int_\frac{-1}{2\Delta t}^\frac{1}{2\Delta t} \sum_{r=-\infty}^\infty \hat{s}\left(f + \frac{r}{\Delta t}\right)e^{-i 2\pi n \Delta t f} d f [/math]

Szukając wartości sygnału w dyskretnych chwilach czasu, dostaliśmy w miejsce odwrotnej transformaty Fouriera całkę w ograniczonym zakresie z funkcji będącej (nieskończoną) sumą powtórzeń transformaty Fouriera sygnału ciągłego, przesuwanej o wielokrotności odwrotności [math]\Delta t[/math].

Splot z grzebieniem Diraca

Innym sposobem pokazania powyższego efektu jest przedstawienie sekwencji dyskretnej [math]s[n][/math] jako iloczynu sygnału ciągłego [math]s(t)[/math] z grzebieniem Diraca

[math] D(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t-k\delta t) [/math]

Zgodnie z twierdzeniem o splocie, iloczyn w przestrzeni czasu będzie odpowiadał splotowi w dziedzinie częstości, czyli w dziedzinie częstości otrzymamy splot transformaty Fouriers sygnału [math]\hat{s}(t)[/math] z transformatą Fouriera grzebienia Diraca [math]\hat{D}(t)[/math], którą poniżej wyliczymy:

[math] \hat{D}(f) = \mathcal{F}(D(t)) = \mathcal{F}\left(\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t-k\Delta t) \right) = \int_{-\infty}^{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t-k\Delta t) e^{i 2\pi f t} dt = [/math] [math] \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t-k\Delta t) e^{i 2\pi f t} dt = \sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{i 2\pi f k\Delta t} [/math]

Otrzymaliśmy ogólny wynik -- transformata Fouriera grzebienia Diraca to również grzebień Diraca (w przestrzeni częstości).

Przypomnijmy (np. z rozważań o systemach liniowych niezmienniczych w czasie), że splot z deltą Diraca w zerze jest identycznością, a splot z [math]\delta(t-kT)[/math] przesuwa funkcję o [math]kT[/math]. Z liniowości splotu dostajemy -- jak pozyżej -- sumę powtórzeń transformaty Fouriera sygnału ciągłego, przesuwanej o wielokrotności odwrotności [math]\Delta t[/math].

Przykłady i ilustracje

Poniższy przykład ilustruje aliasing w dziedzinie czasu:

Próbkowanie ([math]\Delta t = 1[/math]) sygnałów o częstościach: (a) 0.27, (b) 1.27 i (c) 0.6. Widzimy, że sygnał (b) o częstości 1.27 daje w chwilach próbkowania wartości dokładnie takie same, jak sygnał (a) o częstości 0.27 (aliasing) . Sygnał (d) jest sumą (a), (b) i (c). (e) — dodatnia część modułu transformaty Fouriera sygnału ciągłego (d). (f) — jak e), ale obliczane dla sygnału dyskretnego (wartości tylko w miejscach oznaczonych kropkami). Porównując równanie () z przejściem od (e) do (f) widać, że częstość 1.27 zlewa się z częstością 0.27 ([math]r = -1[/math]) — wysokość odpowiadającego im piku wzrasta dwukrotnie w stosunku do mniejszego piku częstości 0.6, który "zawija się" z kolei na 0.4 (w tym przypadku [math]r = 1[/math] a "zawija się" dokładnie częstość [math]-0.6[/math])

Kolejne dwa rysunki z [Wikipedii] ilustrują ten efekt w dziedzinie częstości, dla przypadku próbkowania z częstością większą i mniejszą od częstości Nyquista: