Laboratorium EEG/CSP

Z Brain-wiki

Laboratorium_EEG/BSS

Prezentacja

slajdy z prezentacji

Ślepa separacja źródeł

Rozważmy N-kanałowy sygnał EEG. Próbkę tego sygnału możemy przedstawić jako punkt w przestrzeni rozpiętej przez osie, z których każda reprezentuje wartość potencjału w jednym kanale. Cały sygnał tworzy w tej przestrzeni chmurę punktów. Rozciągłość tej chmury w danym kierunku mówi nam o wariancji (zmienności) sygnału w tym kierunku.

Taki zbiór punktów wygodniej jest analizować w układzie współrzędnych zgodnym z osiami głównymi macierzy kowariancji. W dalszej części rozważań założymy, że te przestrzenie, w których rozważamy sygnały są przestrzeniami wektorowymi, a pojedyncze próbki wielokanałowego sygnału są wektorami.

Kowariancja.png

Filtry przestrzenne i ślepa separacja źródeł

Sygnał EEG jest superpozycją aktywności elektrycznej wielu źródeł. Jak można estymować aktywność samych źródeł?

Mieszanie.png

Niech:

[math]s(t)[/math] - aktywność niezależnych źródeł,
[math]x(t)[/math] mierzony sygnał
[math]A[/math] macierz przejścia taka, że:
[math]x(t) = A s(t)[/math] (*)
[math]s(t) = A^{-1}x(t) = P x(t)[/math]

Macierz kowariancji dla sygnałów [math]x(t)[/math] estymujemy tak:

[math] C_x = E[x(t)x(t)^T][/math]

Podstawiając (*) mamy:

[math] C_x = E[x x^T] = E[As(As)^T] = A E[s s^T] A^T = A C_s A^T[/math]

Z założenia, że źródła są niezależne wynika, że macierz [math]C_s[/math] jest diagonalna. Przekształcając powyższe równanie możemy zapisać:

[math]A^{-1} C_x (A^T)^{-1} = P C_x P^T = C_s[/math]

Odwzorowanie [math]P = A^{-1}[/math] diagonalizuje macierz [math]C_x[/math].

Powyższe rozumowanie jest słuszne w przypadku gdy mamy do czynienia z sygnałem stacjonarnym, tzn. jego macierz kowariancji jest niezależna od czasu, czyli przez cały czas aktywna jest ta sama konfiguracja źródeł niezależnych. W przypadku gdy tak nie jest to konstrukcję filtra przestrzennego można oprzeć o jednoczesną diagonalizację macierzy kowariancji odpowiadających różnym stanom osoby badanej.

Diagonalizacja.png

Common Spatial Pattern

Koncepcja

Dla ustalenia uwagi możemy myśleć o eksperymencie wywołującym potencjał P300. Mamy w nim dwie sytuacje eksperymentalne. Oznaczmy [math]T[/math] (target) próby, w których pojawił się oczekiwany bodziec, zaś [math]NT[/math] (non-target) gdy pojawił się bodziec standardowy. Chcielibyśmy znaleźć taki montaż (czyli taką kombinację liniową kanałów), który maksymalizuje stosunek mocy (wariancji) sygnałów rejestrowanych w dwóch rożnych warunkach eksperymentalnych.

Formalizm

Metoda ta polega na znalezieniu takiego kierunku [math]w[/math] w przestrzeni sygnałów, że sygnał z warunku [math]T[/math] rzutowany na ten kierunek ma dużą wariancje a sygnał z warunku [math]NT[/math] ma wariancję małą.

Rzutowanie sygnału [math]x(t)[/math] na kierunek [math]w[/math] odbywa się przez policzenie iloczynu skalarnego dla każdej chwili czasu [math]t[/math]:

[math] s_w(t) = w^T x(t)[/math]

Wariancja tego rzutowanego sygnału to:

[math] \mathrm{var}(s_w) = E[s_w s_w^T] = E[ w^T x (w^T x)^T] = w^T E[x x^T] w = w^T C_x w [/math]

Zatem znalezienie właściwego kierunku rzutowania można wyrazić jako szukanie maksimum wyrażenia [math] J(w) [/math] (jest to tzw. iloraz Rayleigha):

[math]J(w) = \frac{w^T C_T w}{w^T C_{NT} w} [/math]

Ekstremum tego ilorazu można znaleźć poprzez policzenie gradientu [math]J(w)[/math] i przyrównanie go do zera:

[math] \nabla J(w) = \frac{ 2 C_{T} w \left(w^T C_{NT} w\right) -2C_{NT} w \left(w^T C_{T} w \right)}{\left(w^T C_{NT} w\right)^2} = \frac{ 2}{w^T C_{NT} w}\left[ C_{T}w -\frac{w^T C_{T} w}{w^T C_{NT} w} C_{NT} w \right][/math]

Przyrównując to wyrażenie do zera dostajemy do rozwiązania tzw. uogólnione zagadnienie własne:

[math] C_{T}w =\frac{w^T C_{T} w}{w^T C_{NT} w} C_{NT} w [/math]

We wzorze tym liczba [math]\lambda=\frac{w^T C_{T} w}{w^T C_{NT} w}[/math] spełniająca to równanie jest uogólnioną wartością własną, wtedy [math]w[/math] jest uogólnionym wektorem własnym odpowiadającym tej wartości.

Aby znaleźć [math] \lambda[/math] i [math]w[/math] możemy wykorzystać w Matlabie funkcję eig. Funkcja ta rozwiązuje (również) uogólnione zagadnienia własne postaci AwBw dostarczając w wyniku macierz wektorów własnych (w kolumnach) oraz macierz zawierającą na przekątnej odpowiadające im wartości własne.


Ćwiczenie symulacyjne

Zastosowanie filtra CSP do detekcji potencjału P300

Analiza wstępna

Poszczególne etapy analizy proszę kodować w osobnych funkcjach. Funkcje te powinny być wywoływane z nadrzędnego skryptu, który powinien umożliwic wykoanie całości analiz.

  • Wczytać dane kalibracyjne do Matlaba i pociąć je na realizacje typu T — „target” (związane z wystąpieniami litery „B”) i NT — „non-target” (pozostałe litery) o długości −200 do +800 ms wokół triggerów. Dla każdej realizacji odjąć trend liniowy.
  • Sygnał zmontować wzgl. „połączonych uszu” i wyświetlić średnie przebiegi dla warunku T i NT w układzie topograficznym — wykorzystać w tym celu funkcję plottopo z pakietu Eeglab.

Poniżej zaprezentowany jest przykładowy skrypt do cięcia danych wokół znaczników. Działa on z plikami zawartymi w archiwum:

Plik:KalibracjaP300.tar.gz

Korzysta z funkcji pomocniczych dostępnych w dystrybucji obci w katalogu

/usr/share/openbci/analysis/matlab_obci_signal_processing

Openbci można pobrać z https://github.com/BrainTech/openbci

ZADANIE: Analiza CSP

Link do Read menager [1]

  • Wykonać analizę CSP wzmacniającą potencjał P300.
  • Zaprezentować średnią ze wszystkich kanałów źródłowych z warunku target (jeden kolor) i non-target (inny kolor) w subplotach ułożonych w prostokątnej siatce. Zaobserwować dla którego kanału średnie różnią się najbardziej. Czy jest związek tego kanału z wartościami własnymi?
  • Dla kanału najbardziej różnicującego wykonać mapki topograficzne (do wykonania tych mapek wykorzystać funkcję topoplot z pakietu eeglab) wektorów odpowiadających:
    • filtrowi przestrzennemu
    • rzutu topograficznego źródła na elektrody.

Filtry przestrzenne dla SSEP

ICA jako filtr przestrzenny