Matematyka 1NI/Obliczanie pochodnych skomplikowanych funkcji: Różnice pomiędzy wersjami
(Utworzono nową stronę "==Obliczanie pochodnych skomplikowanych funkcji== <big>'''''Zadanie 1'''''</big> Znaleźć pochodną funkcji: <equation id="eq:oposf1"> <math> f(x)=(\mathrm{tg}\, x)^...") |
(Brak różnic)
|
Aktualna wersja na dzień 12:31, 22 maj 2015
Obliczanie pochodnych skomplikowanych funkcji
Zadanie 1
Znaleźć pochodną funkcji:
gdzie [math]\displaystyle x\in \left]0,\frac{\pi}{2}\right[\, [/math].
Najpierw należy obliczyć pochodną funkcji [math]\log f(x)\, [/math].
Aby obliczyć pochodną, musimy oddzielić zależność od [math]x\, [/math] w podstawie od zależności od [math]x\, [/math] w wykładniku. Umożliwia nam to funkcja logarytm. Mamy z jednej strony:
a z drugiej:
Z porównania powyższych wzorów otrzymujemy:
Zadanie 2
Znaleźć pochodną funkcji:
gdzie [math]\displaystyle x\in \left]0,\frac{\pi}{2}\right[\, [/math].
Należy wykorzystać wzór na zamianę podstawy logarytmu.
Aby oddzielić zależność funkcji od [math]x\, [/math] w podstawie logarytmu od zależności w argumencie, wykorzystamy wzór:
dla [math]a,b,c\gt 0[/math] i [math]a,c\neq 1[/math]. Otrzymujemy:
więc szukaną pochodną znaleźć możemy wykorzystując znany wzór na różniczkowanie ilorazu:
Zadanie 3
Znaleźć pochodną funkcji:
gdzie [math]\displaystyle x\in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4}\right[\, [/math].
Zadanie bardzo łatwe, bez wskazówki.
Aby znaleźć pochodną wystarczy wykorzystać wzór na różniczkowanie funkcji złożonej. Otrzymujemy:
Zadanie 4
Znaleźć pochodną funkcji:
gdzie [math]\displaystyle x\in ]0,1[\, [/math].
Należy wykorzystać wzór na zamianę podstawy logarytmu.
Aby oddzielić zależność funkcji od [math]x\, [/math] w podstawie logarytmu od zależności w argumencie, wykorzystamy wzór (6). Otrzymujemy w ten sposób:
i szukaną pochodną znaleźć możemy wykorzystując znany wzór na różniczkowanie ilorazu: