Matematyka II NI/Równania różniczkowe zwyczajne

Równania różniczkowe zwyczajne

Część pierwsza

Uwagi wstępne

W tej części potrzebna jest nam jedynie wiedza o tym, że funkcje pierwotne funkcji ciągłej różnią się o stałą oraz znajomość twierdzenia o zamianie zmiennych w całce nioznaczonej. W roku akademickim 2010/2011 materiał ten zostanie przeniesiony na pierwszy semestr.

Zadanie 1

Znajdź rozwiązanie ogólne równania

[math] y'(x)=(1+y(x)^2) x \; .\,[/math]

Znajdź rozwiązanie szczególne, dla którego

[math] y(7)=1 [/math]

Wskazówka

Jest to równanie różniczkowe zwyczajne o zmiennych rozdzielonych

---

Rozwiązanie

Szukamy rozwiązań [math]y(x)[/math] różniczkowalnych na [math]\mathbb R [/math]. W tego typu równaniach studenci mówią o metodzie ,,chromosomowej": igreki na lewo iksy na prawo

[math] \frac{y'(x)}{(1+y(x)^2)} = x \; .\,[/math]

Funkcją pierwotną wyrażenia po prawej stronie (używamy twierdzenia o zamianie zmiennej w całce nieoznaczonej) jest na przykład [math] \arctan y [/math]. Natomiast przykładową funkcją pierwotną funkcji po prawej stronie równości równanie 3 jest [math] \frac{1}{2} x^2 [/math]. Funkcje pierwotne danej funkcji ciągłej mogą się różnić jedynie o stałą, mamy więc
i ostatecznie rozwiązaniem ogólnym jest

---

Uwagi

Równanie o zmiennych rozdzielonych

---

Zadanie 2

Znajdź rozwiązanie ogólne równania

[math] y'(x)=y(x) x^3 \; .\,[/math]

Wskazówka

---

Rozwiązanie

---

Uwagi

---

Zadanie 3

[math] x y'(x)=y(x) \; .\,[/math]

Wskazówka

---

Rozwiązanie

---

Uwagi

---

Zadanie 4

[math] x^2 y'(x)=y(x) \; .\,[/math]

Wskazówka

---

Rozwiązanie

---

Uwagi

---

Zadanie 5

Wskazówka

---

Rozwiązanie

---

Uwagi

---