WnioskowanieStatystyczne/Analiza wariancji: Różnice pomiędzy wersjami

Z Brain-wiki
 
(Nie pokazano 15 pośrednich wersji utworzonych przez tego samego użytkownika)
Linia 14: Linia 14:
  
 
posiada rozkład <math>F</math> z <math>f_{1}</math> i
 
posiada rozkład <math>F</math> z <math>f_{1}</math> i
<math>f_{2}</math> stopniami swobody (wartość oczekiwana <math>E(f)=\frac{f_{2}}{(f_{2}-2)}</math>)
+
<math>f_{2}</math> stopniami swobody o wartości oczekiwanej <math>E(f)=\frac{f_{2}}{(f_{2}-2)}</math>
  
 
<math>
 
<math>
Linia 22: Linia 22:
 
\frac{f_{1}}{f_{2}}F\right) ^{-\frac{f_{1}+f_{2}}{2}}
 
\frac{f_{1}}{f_{2}}F\right) ^{-\frac{f_{1}+f_{2}}{2}}
 
</math>
 
</math>
[[Plik:rozklad_f.png|thumb|center|<figure id="fig:1"></figure>Rozkład <math>F</math> Fischera dla przykładowych ilości stopni swobody <math>f_1</math> i <math>f_2</math>.]]
+
[[Plik:rozklad_f.png|thumb|center|<figure id="fig:1"></figure>Rozkład <math>F</math> Fischera dla przykładowych liczb stopni swobody <math>f_1</math> i <math>f_2</math>.]]
 
Dla próby z rozkładu normalnego wielkość  
 
Dla próby z rozkładu normalnego wielkość  
  
Linia 45: Linia 45:
 
==Analiza wariancji ''(ANalysis of VAriance &mdash; ANOVA)''==
 
==Analiza wariancji ''(ANalysis of VAriance &mdash; ANOVA)''==
  
<math>N</math> obserwacji <math>\{x_{i}\}_{i=1..N}</math> podzielonych
+
<math>N</math> obserwacji <math>\{x_{i}\}_{i=1..N}</math>  
na <math>k</math> grup wedle jakiegoś kryterium:
+
 
<math>N=n_{1}+n_{2}+...+n_{k}</math>. Średnie wewnątrz grup
+
[[Plik:Anova1.png|500px]]
 +
 
 +
podzielonych na <math>k</math> grup wedle jakiegoś kryterium:
 +
<math>N=n_{1}+n_{2}+...+n_{k}</math>.  
 +
 
 +
[[Plik:Anova2.png|500px]]
 +
 
 +
Średnie wewnątrz grup
  
 
<math>
 
<math>
 
\overline{x}_{i}=\frac{1}{n_{i}}\underset{j=1}{\overset{n_{i}}{\sum }}x_{ij}
 
\overline{x}_{i}=\frac{1}{n_{i}}\underset{j=1}{\overset{n_{i}}{\sum }}x_{ij}
 
</math>
 
</math>
 +
 +
[[Plik:Anova3.png|500px]]
 +
 +
Średnia globalna <math>\overline{x}</math>
 +
 +
[[Plik:Anova4.png|500px]]
  
 
Rozważmy sumę kwadratów odchyleń wszystkich elementów próby od
 
Rozważmy sumę kwadratów odchyleń wszystkich elementów próby od
 
wartości średniej całej próby:
 
wartości średniej całej próby:
 +
 +
[[Plik:Anova5.png|500px]]
 +
  
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
Linia 67: Linia 83:
 
_{i})(\overline{x}_{i}-\overline{x})
 
_{i})(\overline{x}_{i}-\overline{x})
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 +
 +
  
 
<math>
 
<math>
Linia 74: Linia 92:
 
n_{i}}{\sum }}(x_{ij}-\overline{x}_{i})=0
 
n_{i}}{\sum }}(x_{ij}-\overline{x}_{i})=0
 
</math>
 
</math>
 +
  
 
<math>
 
<math>
 
\underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}\underset{j=1}{\overset{n_{i}}{\sum }}(
 
\underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}\underset{j=1}{\overset{n_{i}}{\sum }}(
 
\overline{x}_{i}-\overline{x})^{2}=\underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}n_{i}(
 
\overline{x}_{i}-\overline{x})^{2}=\underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}n_{i}(
\overline{x}_{i}-\overline{x})
+
\overline{x}_{i}-\overline{x})^2
 
</math>
 
</math>
 +
 +
  
 
<math>
 
<math>
 
\underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}\underset{j=1}{\overset{n_{i}}{\sum }}
 
\underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}\underset{j=1}{\overset{n_{i}}{\sum }}
(x_{ij}-\overline{x}_{i})^{2}=\underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}\underset{j=1
+
(x_{ij}-\overline{x})^{2}=\underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}\underset{j=1
 
}{\overset{n_{i}}{\sum }}(x_{ij}-\overline{x}_{i})^{2}+\underset{i=1}{
 
}{\overset{n_{i}}{\sum }}(x_{ij}-\overline{x}_{i})^{2}+\underset{i=1}{
 
\overset{k}{\sum }}n_{i}(\overline{x}_{i}-\overline{x}
 
\overset{k}{\sum }}n_{i}(\overline{x}_{i}-\overline{x}
)^{2}=s_{wew}^{2}+s_{pom}^{2}
+
)^{2}
 
</math>
 
</math>
 +
 +
 +
 +
 +
inaczej
 +
 +
<math>\underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}\underset{j=1}{\overset{n_{i}}{\sum }}
 +
(x_{ij}-\overline{x})^{2} = s_{wew}^{2}+s_{pom}^{2}
 +
</math>
 +
  
 
Jeśli wszystkie pomiary pochodzą z tej samej populacji o wariancji
 
Jeśli wszystkie pomiary pochodzą z tej samej populacji o wariancji
Linia 93: Linia 124:
  
 
<math>
 
<math>
\frac{s_{wew}}{\sigma ^{2}}\ i\ \ \frac{s_{pom}}{\sigma ^{2}}
+
\frac{s^2_{wew}}{\sigma ^{2}}\ i\ \ \frac{s^2_{pom}}{\sigma ^{2}}
 
</math>
 
</math>
  
Linia 100: Linia 131:
  
 
<math>  
 
<math>  
\frac{\left( n-k\right) s_{pom}}{\left( k-1\right)
+
\frac{\left( n-k\right) s^2_{pom}}{\left( k-1\right)
s_{wew}}  
+
s^2_{wew}}  
 
</math>
 
</math>
  
Linia 121: Linia 152:
  
 
są nieobciążonymi estymatami wariancji populacji.
 
są nieobciążonymi estymatami wariancji populacji.
 +
 +
=Testy par a posteriori=
 +
 +
Testowanie ''a posteriori'' (inaczej ''post hoc'') -> [[WnioskowanieStatystyczne/Bonferroni | porównania wielokrotne]]

Aktualna wersja na dzień 18:08, 5 maj 2024

Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład


Rozkład F

Niech zmienne [math]x[/math] i [math]y[/math] mają rozkłady [math]\chi ^{2}[/math] o odpowiednio [math]f_{1}[/math] i [math]f_{2}[/math] stopniach swobody. Zmienna

[math] F=\frac{\frac{1}{f_{1}} x}{\frac{1}{f_{2}}y}=\frac{f_{2}x}{f_{1}y} [/math]

posiada rozkład [math]F[/math] z [math]f_{1}[/math] i [math]f_{2}[/math] stopniami swobody o wartości oczekiwanej [math]E(f)=\frac{f_{2}}{(f_{2}-2)}[/math]

[math] f(F)=\left( \frac{f_{1}}{f_{2}}\right) ^{\frac{f_{1}}{2}}\frac{\Gamma \left( \frac{1}{2}\left( f_{1}+f_{2}\right) \right) }{\Gamma \left( \frac{f_{1}}{2} \right) \Gamma \left( \frac{f_{2}}{2}\right) }F^{\frac{f_{2}}{2}-1}\left( 1+ \frac{f_{1}}{f_{2}}F\right) ^{-\frac{f_{1}+f_{2}}{2}} [/math]

Rozkład [math]F[/math] Fischera dla przykładowych liczb stopni swobody [math]f_1[/math] i [math]f_2[/math].

Dla próby z rozkładu normalnego wielkość

[math] \chi ^{2}=\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}\frac{(x_{i}-\overline{x})^{2}}{ \sigma ^{2}} [/math]

podlega rozkładowi [math]\chi ^{2}[/math] o [math]f=N-1[/math] stopniach swobody. Jeśli dwie takie próby zostały pobrane z jednej populacji, to iloraz

[math] F=\frac{\left( N_{y}-1\right) \underset{i=1}{\overset{N}{\sum (}}x_{i}- \overline{x})^{2}}{\left( N_{x}-1\right) \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }} (y_{i}-\overline{y})^{2}} [/math]

podlega rozkładowi [math]F[/math] o [math]f_{y}[/math] i [math]f_{x}[/math] stopniach swobody.

Analiza wariancji (ANalysis of VAriance — ANOVA)

[math]N[/math] obserwacji [math]\{x_{i}\}_{i=1..N}[/math]

Anova1.png

podzielonych na [math]k[/math] grup wedle jakiegoś kryterium: [math]N=n_{1}+n_{2}+...+n_{k}[/math].

Anova2.png

Średnie wewnątrz grup

[math] \overline{x}_{i}=\frac{1}{n_{i}}\underset{j=1}{\overset{n_{i}}{\sum }}x_{ij} [/math]

Anova3.png

Średnia globalna [math]\overline{x}[/math]

Anova4.png

Rozważmy sumę kwadratów odchyleń wszystkich elementów próby od wartości średniej całej próby:

Anova5.png


[math]\begin{matrix} \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}\underset{j=1}{\overset{n_{i}}{\sum }} (x_{ij}-\overline{x})^{2}=\underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}\underset{j=1}{ \overset{n_{i}}{\sum }}(x_{ij}-\overline{x}_{i}+\overline{x}_{i}-\overline{x} )^{2}=\\ =\underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}\underset{j=1}{\overset{n_{i}}{\sum }} (x_{ij}-\overline{x}_{i})^{2}+\underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}\underset{j=1 }{\overset{n_{i}}{\sum }}(\overline{x}_{i}-\overline{x})^{2}+2\underset{i=1}{ \overset{k}{\sum }}\underset{j=1}{\overset{n_{i}}{\sum }}(x_{ij}-\overline{x} _{i})(\overline{x}_{i}-\overline{x}) \end{matrix}[/math]


[math] \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}\underset{j=1}{\overset{n_{i}}{\sum }} (x_{ij}-\overline{x}_{i})(\overline{x}_{i}-\overline{x})=\underset{i=1}{ \overset{k}{\sum }}(\overline{x}_{i}-\overline{x})\underset{j=1}{\overset{ n_{i}}{\sum }}(x_{ij}-\overline{x}_{i})=0 [/math]


[math] \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}\underset{j=1}{\overset{n_{i}}{\sum }}( \overline{x}_{i}-\overline{x})^{2}=\underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}n_{i}( \overline{x}_{i}-\overline{x})^2 [/math]


[math] \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}\underset{j=1}{\overset{n_{i}}{\sum }} (x_{ij}-\overline{x})^{2}=\underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}\underset{j=1 }{\overset{n_{i}}{\sum }}(x_{ij}-\overline{x}_{i})^{2}+\underset{i=1}{ \overset{k}{\sum }}n_{i}(\overline{x}_{i}-\overline{x} )^{2} [/math]



inaczej

[math]\underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}\underset{j=1}{\overset{n_{i}}{\sum }} (x_{ij}-\overline{x})^{2} = s_{wew}^{2}+s_{pom}^{2} [/math]


Jeśli wszystkie pomiary pochodzą z tej samej populacji o wariancji [math] \sigma ^{2}[/math], to

[math] \frac{s^2_{wew}}{\sigma ^{2}}\ i\ \ \frac{s^2_{pom}}{\sigma ^{2}} [/math]

podlegają rozkładom [math]\chi ^{2}[/math] o odpowiednio [math]n-k[/math] i [math]k-1[/math] stopniach swobody. Iloraz

[math] \frac{\left( n-k\right) s^2_{pom}}{\left( k-1\right) s^2_{wew}} [/math]

podlega rozkładowi [math]F[/math] o [math]k-1[/math] i [math]n-k[/math] stopniach swobody. Wyrażenia

[math] \frac{1}{n-k}\underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}\underset{j=1}{\overset{n_{i} }{\sum }}(x_{ij}-\overline{x}_{i})^{2}\ oraz\ \ \frac{1}{k-1}\underset{i=1}{ \overset{k}{\sum }}n_{i}(\overline{x}_{i}-\overline{x})^{2} [/math]

czyli

[math] \frac{s_{wew}^{2}}{n-k}\ \ oraz\ \ \frac{s_{pom}^{2}}{k-1} [/math]

są nieobciążonymi estymatami wariancji populacji.

Testy par a posteriori

Testowanie a posteriori (inaczej post hoc) -> porównania wielokrotne