WnioskowanieStatystyczne/Elementy statystyki wielowymiarowej: Różnice pomiędzy wersjami

Z Brain-wiki
 
(Nie pokazano 60 pośrednich wersji utworzonych przez tego samego użytkownika)
Linia 38: Linia 38:
 
niezależnych korelacja wynosi <math>0</math>.
 
niezależnych korelacja wynosi <math>0</math>.
  
==Macierz kowariancji==
+
 
 +
 
 +
===Macierz kowariancji===
  
  
Linia 47: Linia 49:
  
  
dla <math>x=(x_{1,}x_{2})</math> i <math>\mu =(\mu _{1}, \mu _{2})</math>  
+
dla dwóch wymiarów: <math>x=(x_{1,}x_{2})</math> i <math>\mu =(\mu _{1}, \mu _{2})</math>  
  
  
Linia 79: Linia 81:
  
  
 +
ogólnie
  
Interpretacja współczynnika korelacji znajduje się pod hasłem ''Regresja liniowa''.
 
  
==Dwumianowy rozkład normalny==
+
<math>
 +
S=\left[
 +
\begin{matrix}
 +
\upsilon ar(x_{1}) & co\upsilon (x_{1},x_{2}) & ... & co\upsilon
 +
(x_{1},x_{k}) \\
 +
co\upsilon (x_{2},x_{1}) & \upsilon ar(x_{2}) & ... & co\upsilon
 +
(x_{2},x_{k}) \\
 +
... & ... & ... & ... \\
 +
co\upsilon \left( x_{k},x_{1}\right) & co\upsilon (x_{k},x_{2}) & ... &
 +
\upsilon ar(x_{k})
 +
\end{matrix}
 +
\right]
 +
</math>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<!--
 +
==Dwuwymiarowy rozkład normalny==
 +
 
 
<math>
 
<math>
 
f(t)=ke^{-\frac{1}{2}(t-\mu )A(t-\mu )^{T}}
 
f(t)=ke^{-\frac{1}{2}(t-\mu )A(t-\mu )^{T}}
Linia 93: Linia 114:
 
<math>\mu =(\mu _{1},\mu _{2})-</math> wektor wartości oczekiwanych
 
<math>\mu =(\mu _{1},\mu _{2})-</math> wektor wartości oczekiwanych
  
<math>k-</math> stała normalizjąca
+
<math>k-</math> stała normalizująca
  
 
<math>A-</math> odwrotność macierzy kowariancji <math>C</math>  
 
<math>A-</math> odwrotność macierzy kowariancji <math>C</math>  
Linia 112: Linia 133:
 
</math>
 
</math>
  
 +
-->
  
 +
==Analiza wariancji wielu zmiennych (''Multivariate ANalysis of VAriance &mdash; MANOVA'')==
  
==Analiza składowych głównych (''Principal Components Analysis, PCA'')==
+
Wcześniej rozpatrywaliśmy podział na grupy pomiarów opisanych jedną zmienną ([[WnioskowanieStatystyczne/Analiza_wariancji|analiza wariancji jednej zmiennej]]). Jeśli zmienna losowa <math>X</math> jest opisana wektorem
 
+
(<math>x_{1},...,x_{k})</math>, wartość
Macierz kowariancji  
+
wektorem o tym samym wymiarze: (<math> \mu _{1},...,\mu _{k})</math>, to
 +
w miejsce wariancji mamy do czynienia z macierzą kowariancji:
  
  
Linia 133: Linia 157:
 
</math>
 
</math>
  
przedstawiamy w postaci diagonalnej
 
  
<math>
+
gdzie:
S=\left[
 
\begin{matrix}
 
r_{11} & r_{12} & ... & r_{1k} \\
 
r_{21} & r_{22} & ... & r_{2k} \\
 
... & ... & ... & ... \\
 
r_{k1} & r_{k2} & ... & r_{kk}
 
\end{matrix}
 
\right] \left[
 
\begin{matrix}
 
\lambda _{1} & 0 & ... & 0 \\
 
0 & \lambda _{2} & ... & 0 \\
 
... & ... & ... & ... \\
 
0 & 0 & ... & \lambda _{k}
 
\end{matrix}
 
\right] \left[
 
\begin{matrix}
 
r_{11} & r_{21} & ... & r_{k1} \\
 
r_{12} & r_{22} & ... & r_{k2} \\
 
... & ... & ... & ... \\
 
r_{1k} & r_{2k} & ... & r_{kk}
 
\end{matrix}
 
\right]
 
</math>
 
  
Wielkości <math>\lambda _{i}</math> są rozwiązaniami równania
 
<math>\left| S-\lambda I\right| =0,</math> a wektor <math>r_{i}</math>
 
osiami nowego układu współrzędnych. Składowe PCA są
 
liniowymi kombinacjami obserwowanych zmiennych.
 
 
[[Plik:pca.png|center|thumb|600px|Kierunki składowych głównych (PCA) w dwóch wymiarach]]
 
 
 
 
 
==Analiza wariancji wielu zmiennych (''Multivariate ANalysis of VAriance &mdash; MANOVA'')==
 
 
Zmienna losowa <math>X</math> opisywana wektorem
 
(<math>x_{1},...,x_{k})</math>, podobnie wartość średnia staje się
 
wektorem o tym samym wymiarze: (<math> \mu _{1},...,\mu _{k}).</math>
 
Macierz kowariancji zmiennej losowej
 
  
 
<math>
 
<math>
S=\left[
+
\upsilon ar(x_{i})=\sigma _{x_{i}}=E((x_{i}-\mu _{i})^{2})
\begin{matrix}
 
\upsilon ar(x_{1}) & co\upsilon (x_{1},x_{2}) & ... & co\upsilon
 
(x_{1},x_{k}) \\
 
co\upsilon (x_{2},x_{1}) & \upsilon ar(x_{2}) & ... & co\upsilon
 
(x_{2},x_{k}) \\
 
... & ... & ... & ... \\
 
co\upsilon \left( x_{k},x_{1}\right) & co\upsilon (x_{k},x_{2}) & ... &
 
\upsilon ar(x_{k})
 
\end{matrix}
 
\right]
 
 
</math>
 
</math>
  
gdzie:
 
 
<math>
 
\upsilon ar(x_{i})=\sigma _{x_{i}}=E((x_{i}-\mu _{i})^{2})
 
</math>
 
  
 
<math>
 
<math>
Linia 201: Linia 170:
 
_{k}))
 
_{k}))
 
</math>
 
</math>
 +
 +
  
 
Zakladamy, że dane pochodzą z wielowymiarowego rozkładu normalnego, opisanego macierzą kowariancji <math>S</math>
 
Zakladamy, że dane pochodzą z wielowymiarowego rozkładu normalnego, opisanego macierzą kowariancji <math>S</math>
 +
  
 
<math>
 
<math>
Linia 208: Linia 180:
 
)^{\prime }S^{-1}(X-\mu )}{2}}
 
)^{\prime }S^{-1}(X-\mu )}{2}}
 
</math>
 
</math>
 +
  
 
Jeśli <math>X</math> pochodzą z próby
 
Jeśli <math>X</math> pochodzą z próby
Linia 219: Linia 192:
 
</math>
 
</math>
  
Jako statystykę testową możemy wtbrać np. iloraz wyznaczników
+
Jako statystykę testową możemy wybrać np. iloraz wyznaczników
 
macierzy <math>S_{wew}</math> i <math>S</math>, który podlega rozkładowi
 
macierzy <math>S_{wew}</math> i <math>S</math>, który podlega rozkładowi
 
<math>\Lambda </math> Wilksa:
 
<math>\Lambda </math> Wilksa:
 +
  
 
<math>
 
<math>
Linia 227: Linia 201:
 
</math>
 
</math>
  
 +
=Uczenie (maszynowe, ML) nienadzorowane (unsupervised learning)=
  
  
  
 +
==Analiza składowych głównych (''Principal Components Analysis, PCA'')==
 +
Jeśli zmienne są bardzo silnie skorelowane, mamy do czynienia z redundancją. Możemy ją zmniejszyć,  redukując wymiar danych. W tym celu macierz kowariancji
  
==Analiza dyskryminacyjna (''Discriminant Analysis'' )==
 
 
Wielowymiarowe wektory próby ''X'' mamy podzielone na grupy,
 
szukamy funkcji najlepiej je rozdzielającej, która umożliwi
 
zaklasyfikowanie nowej obserwacji. Rozdzielenie grup odpowiada w
 
przypadku jednowymiarowym maksymalizacji stosunku wariancji
 
międzygrupowej do wariancji wewnątrzgrupowej
 
  
 
<math>
 
<math>
F=\frac{\left( n-k\right) s_\mathrm{pom}}{\left( k-1\right) s_\mathrm{wew}}
+
S=\left[
 +
\begin{matrix}
 +
\upsilon ar(x_{1}) & co\upsilon (x_{1},x_{2}) & ... & co\upsilon
 +
(x_{1},x_{k}) \\
 +
co\upsilon (x_{2},x_{1}) & \upsilon ar(x_{2}) & ... & co\upsilon
 +
(x_{2},x_{k}) \\
 +
... & ... & ... & ... \\
 +
co\upsilon \left( x_{k},x_{1}\right) & co\upsilon (x_{k},x_{2}) & ... &
 +
\upsilon ar(x_{k})
 +
\end{matrix}
 +
\right]
 
</math>
 
</math>
  
W przypadku wielowymiarowym mamy do czynienia z macierzami kowariancji;
+
 
możemy rozpatrywać wielkość
+
przedstawiamy w postaci diagonalnej
 +
 
  
 
<math>
 
<math>
F_{a}=\frac{a^{\prime }S_\mathrm{pom}a}{a^{\prime }S_\mathrm{wew}a}
+
S=\left[
 +
\begin{matrix}
 +
r_{11} & r_{12} & ... & r_{1k} \\
 +
r_{21} & r_{22} & ... & r_{2k} \\
 +
... & ... & ... & ... \\
 +
r_{k1} & r_{k2} & ... & r_{kk}
 +
\end{matrix}
 +
\right] \left[
 +
\begin{matrix}
 +
\lambda _{1} & 0 & ... & 0 \\
 +
0 & \lambda _{2} & ... & 0 \\
 +
... & ... & ... & ... \\
 +
0 & 0 & ... & \lambda _{k}
 +
\end{matrix}
 +
\right] \left[
 +
\begin{matrix}
 +
r_{11} & r_{21} & ... & r_{k1} \\
 +
r_{12} & r_{22} & ... & r_{k2} \\  
 +
... & ... & ... & ... \\
 +
r_{1k} & r_{2k} & ... & r_{kk}
 +
\end{matrix}
 +
\right]
 
</math>
 
</math>
  
Maksymalizacja tej wielkości względem ''a'' daje wektor
 
własny macierzy <math>S_{wew}^{-1}S_{pom}</math> odpowiadający
 
największej wartości własnej. Wektory własne odpowiadające kolejnym
 
wartościom własnym zwiemy współrzędnymi dyskryminacyjnymi, tworzącymi
 
przestrzeń dyskryminacyjną.
 
  
<!--
+
Wielkości <math>\lambda _{i}</math> są rozwiązaniami równania
==Analiza czynnikowa (''Factor Analysis'' )==
+
<math>\left| S-\lambda I\right| =0,</math> a wektor <math>r_{i}</math>
 +
osiami nowego układu współrzędnych. Składowe PCA są
 +
liniowymi kombinacjami obserwowanych zmiennych.
 +
 
 +
 
  
opiera się na założeniu istnienia ukrytych czynników, stara się
+
[[Plik:pca.png|center|thumb|600px|Kierunki składowych głównych (PCA) w dwóch wymiarach]]
przedstawić obserwowane zmienne w postaci:  
 
<blockquote>
 
obserwowana zmienna = liniowa kombinacja czynników + błąd
 
</blockquote>
 
w odróżnieniu od PCA, realizującej model
 
<blockquote>
 
składowa = liniowa kombinacja obserwowanych zmiennych
 
</blockquote>
 
-->
 
  
 
==Analiza skupień &mdash; ''Cluster Analysis'' ==
 
==Analiza skupień &mdash; ''Cluster Analysis'' ==
  
Wejściem dla tej procedury jest zestaw danych, a wyjściem ich podział
+
Wejściem dla tej klasy procedury są nieoznaczone dane, a wyjściem ich podział
na grupy. Można go zrealizować na wiele sposobów: <math>N</math>
+
na grupy. Obecnie metody tego typu określamy czasem jako "unsupervised learning".
 +
 
 +
<!-- Można go zrealizować na wiele sposobów: <math>N</math>
 
punktów <math>x^{1}...x^{N},</math> z których każdy opisany jest przez
 
punktów <math>x^{1}...x^{N},</math> z których każdy opisany jest przez
<math>k</math> cech <math>x_{1}...x_{k}</math>.
+
<math>k</math> cech <math>x_{1}...x_{k}</math>. -->
  
 
===Metody polegające na kolejnym łączeniu punktów===
 
===Metody polegające na kolejnym łączeniu punktów===
Linia 296: Linia 290:
 
*''(centroid)''  - odległość między środkami  klastrów,     
 
*''(centroid)''  - odległość między środkami  klastrów,     
 
*''(average)''  - średnia odległości, itd...
 
*''(average)''  - średnia odległości, itd...
 +
  
 
===Metoda K&ndash;średnich (''K &ndash; means'' )===
 
===Metoda K&ndash;średnich (''K &ndash; means'' )===
Linia 301: Linia 296:
 
Wybieramy ilość klastrów, podział dokonywany jest w iteracyjnej
 
Wybieramy ilość klastrów, podział dokonywany jest w iteracyjnej
 
procedurze dążącej do minimalizacji stosunku wariancji pomiędzy
 
procedurze dążącej do minimalizacji stosunku wariancji pomiędzy
klastrami do wariancji wewnątrz klastrów - niejako <math>ANOVA</math>
+
klastrami do wariancji wewnątrz klastrów niejako <math>ANOVA</math>
 
bez ustalonego wstępnie przyporządkowania, maksimum <math> F</math>
 
bez ustalonego wstępnie przyporządkowania, maksimum <math> F</math>
 
poszukiwane drogą przemieszczania elementów między klastrami.
 
poszukiwane drogą przemieszczania elementów między klastrami.

Aktualna wersja na dzień 18:25, 1 cze 2023

Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład


Elementy statystyki wielowymiarowej

Przypomnijmy najpierw pojęcia

Kowariancja i współczynnik korelacji

Przykładowe wartości współczynnika korelacji dla 300 par [math](x, y)[/math] o różnych stopniach współzależności.

Miarą związku między zmiennymi [math]x[/math] i [math]y[/math] jest kowariancja

[math] \sigma_{x, y} = E\left( (x-\mu_{x})(y-\mu_{y})\right) [/math]

lub unormowany do jedności współczynnik korelacji zmiennych [math]x[/math] i [math]y[/math]:

[math] \rho_{x, y}= \frac{\sigma_{x, y}}{\sigma_x \sigma_y}= \frac{E\left( \left(x-\mu_{x})(y-\mu_{y}\right)\right)} {\sqrt{E\left( (x-\mu_{x})^2\right) E\left( (y-\mu_{y})^2\right)}}, [/math]

gdzie [math]\mu_x[/math] i [math]\mu_y[/math] to odpowiednio wartości oczekiwane zmiennych [math]x[/math] i [math]y[/math]. Jeśli zmienne [math]x[/math] i [math]y[/math] związane są deterministyczną zależnością liniową (typu [math]y=c_1 x+c_2[/math]), to ich korelacja wynosi [math]1[/math] (lub [math]-1[/math], jeśli [math]c_1\lt 0[/math]). Jeśli wzrostowi zmiennej [math]x[/math] towarzyszy statystycznie wzrost zmiennej [math]y[/math], to ich korelacja jest dodatnia (pomiędzy [math]0[/math] a [math]1[/math]). Dla zmiennych niezależnych korelacja wynosi [math]0[/math].


Macierz kowariancji

[math] C=E[(x-\mu )(x-\mu )^{T}], \qquad \\ c_{ij}=E[(x_{i}-\mu_{i})(x_{j}-\mu _{j})] [/math]


dla dwóch wymiarów: [math]x=(x_{1,}x_{2})[/math] i [math]\mu =(\mu _{1}, \mu _{2})[/math]


[math] C=E\left[ \left(\begin{matrix}{x_{1}-\mu _{1}}\\ {x_{2}-\mu _{2}} \end{matrix} \right) \left( x_{1}-\mu_{1},x_{2}-\mu _{2}\right) \right] = [/math]

[math] \left[ \begin{matrix} E\left[ \left( x_{1}-\mu _{1}\right) ^{2}\right] & E\left[ \left( x_{1}-\mu _{1}\right) \left( x_{2}-\mu _{2}\right) \right] \\ E\left[ \left( x_{2}-\mu _{2}\right) \left( x_{1}-\mu _{1}\right) \right] & E \left[ \left( x_{2}-\mu _{2}\right) ^{2}\right] \end{matrix} \right] = [/math]


[math] \left[ \begin{matrix} \sigma _{1}^{2} & \sigma _{12} \\ \sigma _{21} & \sigma _{2}^{2} \end{matrix} \right] [/math]


ogólnie


[math] S=\left[ \begin{matrix} \upsilon ar(x_{1}) & co\upsilon (x_{1},x_{2}) & ... & co\upsilon (x_{1},x_{k}) \\ co\upsilon (x_{2},x_{1}) & \upsilon ar(x_{2}) & ... & co\upsilon (x_{2},x_{k}) \\ ... & ... & ... & ... \\ co\upsilon \left( x_{k},x_{1}\right) & co\upsilon (x_{k},x_{2}) & ... & \upsilon ar(x_{k}) \end{matrix} \right] [/math]



Analiza wariancji wielu zmiennych (Multivariate ANalysis of VAriance — MANOVA)

Wcześniej rozpatrywaliśmy podział na grupy pomiarów opisanych jedną zmienną (analiza wariancji jednej zmiennej). Jeśli zmienna losowa [math]X[/math] jest opisana wektorem ([math]x_{1},...,x_{k})[/math], wartość wektorem o tym samym wymiarze: ([math] \mu _{1},...,\mu _{k})[/math], to w miejsce wariancji mamy do czynienia z macierzą kowariancji:


[math] S=\left[ \begin{matrix} \upsilon ar(x_{1}) & co\upsilon (x_{1},x_{2}) & ... & co\upsilon (x_{1},x_{k}) \\ co\upsilon (x_{2},x_{1}) & \upsilon ar(x_{2}) & ... & co\upsilon (x_{2},x_{k}) \\ ... & ... & ... & ... \\ co\upsilon \left( x_{k},x_{1}\right) & co\upsilon (x_{k},x_{2}) & ... & \upsilon ar(x_{k}) \end{matrix} \right] [/math]


gdzie:


[math] \upsilon ar(x_{i})=\sigma _{x_{i}}=E((x_{i}-\mu _{i})^{2}) [/math]


[math] co\upsilon (x_{i},x_{k})=\sigma _{x_{i},x_{k}}=E((x_{i}-\mu _{i})(x_{k}-\mu _{k})) [/math]


Zakladamy, że dane pochodzą z wielowymiarowego rozkładu normalnego, opisanego macierzą kowariancji [math]S[/math]


[math] \Phi (X)=\frac{1}{\sqrt{(2\pi )^{k}}\sqrt{\left| S\right| }}e^{-\frac{(X-\mu )^{\prime }S^{-1}(X-\mu )}{2}} [/math]


Jeśli [math]X[/math] pochodzą z próby podzielonej na grupy, to podobnie jak w ANOVA możemy skonstruować macierze wariancji wewnątrzgrupowych i międzygrupowych i dowieść, że [math]S=S_{wew}+S_{pom}[/math].

Testujemy hipotezę o równości średnich w grupach

[math] H_0: \mu_1 = \mu_2 = \cdots = \mu_k [/math]

Jako statystykę testową możemy wybrać np. iloraz wyznaczników macierzy [math]S_{wew}[/math] i [math]S[/math], który podlega rozkładowi [math]\Lambda [/math] Wilksa:


[math] \Lambda =\frac{\left| S_{wew}\right| }{\left| S\right| }=\frac{\left| S_{wew}\right| }{\left| S_{wew}+S_{pom}\right| } [/math]

Uczenie (maszynowe, ML) nienadzorowane (unsupervised learning)

Analiza składowych głównych (Principal Components Analysis, PCA)

Jeśli zmienne są bardzo silnie skorelowane, mamy do czynienia z redundancją. Możemy ją zmniejszyć, redukując wymiar danych. W tym celu macierz kowariancji


[math] S=\left[ \begin{matrix} \upsilon ar(x_{1}) & co\upsilon (x_{1},x_{2}) & ... & co\upsilon (x_{1},x_{k}) \\ co\upsilon (x_{2},x_{1}) & \upsilon ar(x_{2}) & ... & co\upsilon (x_{2},x_{k}) \\ ... & ... & ... & ... \\ co\upsilon \left( x_{k},x_{1}\right) & co\upsilon (x_{k},x_{2}) & ... & \upsilon ar(x_{k}) \end{matrix} \right] [/math]


przedstawiamy w postaci diagonalnej


[math] S=\left[ \begin{matrix} r_{11} & r_{12} & ... & r_{1k} \\ r_{21} & r_{22} & ... & r_{2k} \\ ... & ... & ... & ... \\ r_{k1} & r_{k2} & ... & r_{kk} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \lambda _{1} & 0 & ... & 0 \\ 0 & \lambda _{2} & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & \lambda _{k} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} r_{11} & r_{21} & ... & r_{k1} \\ r_{12} & r_{22} & ... & r_{k2} \\ ... & ... & ... & ... \\ r_{1k} & r_{2k} & ... & r_{kk} \end{matrix} \right] [/math]


Wielkości [math]\lambda _{i}[/math] są rozwiązaniami równania [math]\left| S-\lambda I\right| =0,[/math] a wektor [math]r_{i}[/math] osiami nowego układu współrzędnych. Składowe PCA są liniowymi kombinacjami obserwowanych zmiennych.


Kierunki składowych głównych (PCA) w dwóch wymiarach

Analiza skupień — Cluster Analysis

Wejściem dla tej klasy procedury są nieoznaczone dane, a wyjściem ich podział na grupy. Obecnie metody tego typu określamy czasem jako "unsupervised learning".


Metody polegające na kolejnym łączeniu punktów

Startujemy z N klastrów jednopunktowych, w każdym kroku łączymy najbliższe. Wynikiem działania jest drzewo łączenia, na którym sami musimy wybrać ilość klastrów. Wynik zależy silnie od przyjętych definicji odległości między klastrami oraz definicji odległości między punktami.

Odległości między punktami:

  • Odległość Euklidesowa [math]d(x,y)=\sqrt{\underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}(x_{i}-y_{i})^{2}}[/math] (czuła na różne skale cech).
  • Odległość korelacyjna [math]d(x,y)=1-\rho (x,y),[/math] gdzie [math]\rho (x,y)=\frac{\underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}(x-\overline{x})(y- \overline{y})}{\sigma _{x}\sigma _{y}} [/math] (znormalizowana do przedziału (0,2), mniejsza im lepiej skorelowane punkty).

Odległości między klastrami:

  • Najbliższego sąsiada (single linkage) - odległość między dwoma najbliższymi elementami klastrów A i B: [math]d(A,B)=\min_{x,y}d(x,y),\ \ \ \ \ x\in A,\ y\in B[/math]
  • (complete linkage ) - odległość między dwoma najbliższymi elementami klastrów A i B: [math]d(A,B)=\max_{x,y}d(x,y),\ \ \ \ \ x\in A,\ y\in B [/math]
  • (centroid) - odległość między środkami klastrów,
  • (average) - średnia odległości, itd...


Metoda K–średnich (K – means )

Wybieramy ilość klastrów, podział dokonywany jest w iteracyjnej procedurze dążącej do minimalizacji stosunku wariancji pomiędzy klastrami do wariancji wewnątrz klastrów — niejako [math]ANOVA[/math] bez ustalonego wstępnie przyporządkowania, maksimum [math] F[/math] poszukiwane drogą przemieszczania elementów między klastrami.