WnioskowanieStatystyczne/Interpretacja współczynnika korelacji: Różnice pomiędzy wersjami

Z Brain-wiki
 
(Nie pokazano 9 pośrednich wersji utworzonych przez tego samego użytkownika)
Linia 28: Linia 28:
 
[https://en.wikipedia.org/wiki/Explained_sum_of_squares#Simple_derivation znika]).
 
[https://en.wikipedia.org/wiki/Explained_sum_of_squares#Simple_derivation znika]).
  
'''Współczynnik korelacji'''
+
===Współczynnik korelacji liniowej (Pearsona)===
  
 
przypominamy wyprowadzone w poprzednim rozdziale zależności:
 
przypominamy wyprowadzone w poprzednim rozdziale zależności:
Linia 39: Linia 39:
 
</math>
 
</math>
  
oraz estymator współczynnika korelacji
+
 
 +
oraz wzór na estymator współczynnika korelacji liniowej
 +
 
  
 
<math>
 
<math>
\rho_{x, y}= \frac{\sigma_{x, y}}{\sigma_x \sigma_y}=
+
r_{x, y}= \frac{\sigma_{x, y}}{\sigma_x \sigma_y}=
 
\frac{E\left( \left(x-\mu_{x})(y-\mu_{y}\right)\right)}
 
\frac{E\left( \left(x-\mu_{x})(y-\mu_{y}\right)\right)}
 
{\sqrt{E\left( (x-\mu_{x})^2\right) E\left( (y-\mu_{y})^2\right)}},
 
{\sqrt{E\left( (x-\mu_{x})^2\right) E\left( (y-\mu_{y})^2\right)}},
 
</math>
 
</math>
 +
  
 
jego kwadrat estymujemy jako  
 
jego kwadrat estymujemy jako  
 +
  
 
<math>
 
<math>
\rho ^{2}=\frac{\left( \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-
+
r^{2}=\frac{\left( \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-
 
\overline{x})(y_{i}-\overline{y})\right) ^{2}}{\underset{i=1}{\overset{N}{
 
\overline{x})(y_{i}-\overline{y})\right) ^{2}}{\underset{i=1}{\overset{N}{
 
\sum }}(x_{i}-\overline{x})^{2}\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}-
 
\sum }}(x_{i}-\overline{x})^{2}\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}-
Linia 57: Linia 61:
  
  
Ponieważ
+
Podstawiając
 
<math>
 
<math>
 
\forall_i (y_i - \overline{y}) =  
 
\forall_i (y_i - \overline{y}) =  
 
b (x_i - \overline{x} )
 
b (x_i - \overline{x} )
</math>,
+
</math>, oraz
 +
<math>
 +
b=\frac{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-
 +
\overline{y})}{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-\overline{x})^{2}}
 +
</math>
 +
 
 +
 
 +
do wyrażenia na wariancję tłumaczoną przez model
  
  
<math>
+
:<math>\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}^{p}-\overline{y})^{2} </math>,
\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}^{p}-\overline{y})^{2}=
+
dostajemy:
</math>
 
  
<math>= b^{2}
 
\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-\overline{x})^{2}=
 
</math>
 
  
<math>
+
:<math>
 +
\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}^{p}-\overline{y})^{2}
 +
= b \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-\overline{x})^{2}
 
=\frac{\left(  
 
=\frac{\left(  
 
\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y}
 
\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y}
 
)\right) ^{2}}{\left( \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-\overline{x}
 
)\right) ^{2}}{\left( \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-\overline{x}
 
)^{2}\right) ^{2}}\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-\overline{x}
 
)^{2}\right) ^{2}}\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-\overline{x}
)^{2}=
+
)^{2}=\\
</math>
 
  
<math>
 
 
  =\frac{\left( \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-\overline{x}
 
  =\frac{\left( \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-\overline{x}
 
)(y_{i}-\overline{y})\right) ^{2}}{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-
 
)(y_{i}-\overline{y})\right) ^{2}}{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-
 
\overline{x})^{2}}\frac{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}-\overline{y}
 
\overline{x})^{2}}\frac{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}-\overline{y}
)^{2}}{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}-\overline{y})^{2}}=\rho ^{2}
+
)^{2}}{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}-\overline{y})^{2}}=r^{2}
 
\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}-\overline{y})^{2}  
 
\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}-\overline{y})^{2}  
 
</math>
 
</math>
 +
  
 
czyli  
 
czyli  
  
<math>
+
 
{ \rho ^{2}=\frac{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}^{p}-
+
:<math>
 +
{r^{2}=\frac{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}^{p}-
 
\overline{y})^{2}}{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}-\overline{y})^{2}
 
\overline{y})^{2}}{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}-\overline{y})^{2}
 
}\ }
 
}\ }

Aktualna wersja na dzień 15:44, 5 maj 2024

Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład


Interpretacja współczynnika korelacji

Rozważmy wariancję zmiennej [math]y[/math] z poprzedniego rozdziału. Niech [math]y_{i}^{p}=a+bx_{i}[/math]

Wsp kor war.png


[math] \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}-\overline{y})^{2}= \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}-y_{i}^{p}+y_{i}^{p}-\overline{y} )^{2}= [/math] [math] \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}-y_{i}^{p})^{2}+\underset{i=1}{ \overset{N}{\sum }}(y_{i}^{p}-\overline{y})^{2}+2\underset{i=1}{\overset{N}{ \sum }}(y_{i}-y_{i}^{p})(y_{i}^{p}-\overline{y}) [/math]

Całkowitą wariancię zmiennej [math]y[/math] podzieliliśmy na dwa człony: wariancję estymaty [math]y_{i}^{p}[/math] wokół wartości średniej [math]\overline{y}[/math] i wariancję obserwowanych [math]y_{i}[/math] wokół estymaty [math]y_{i}^{p}[/math] (trzeci człon znika).

Współczynnik korelacji liniowej (Pearsona)

przypominamy wyprowadzone w poprzednim rozdziale zależności:


[math] b=\frac{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}- \overline{y})}{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-\overline{x})^{2}}, \qquad a=\overline{y}-b\overline{x} [/math]


oraz wzór na estymator współczynnika korelacji liniowej


[math] r_{x, y}= \frac{\sigma_{x, y}}{\sigma_x \sigma_y}= \frac{E\left( \left(x-\mu_{x})(y-\mu_{y}\right)\right)} {\sqrt{E\left( (x-\mu_{x})^2\right) E\left( (y-\mu_{y})^2\right)}}, [/math]


jego kwadrat estymujemy jako


[math] r^{2}=\frac{\left( \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}- \overline{x})(y_{i}-\overline{y})\right) ^{2}}{\underset{i=1}{\overset{N}{ \sum }}(x_{i}-\overline{x})^{2}\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}- \overline{y})^{2}} [/math]


Podstawiając [math] \forall_i (y_i - \overline{y}) = b (x_i - \overline{x} ) [/math], oraz [math] b=\frac{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}- \overline{y})}{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-\overline{x})^{2}} [/math]


do wyrażenia na wariancję tłumaczoną przez model


[math]\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}^{p}-\overline{y})^{2} [/math],

dostajemy:


[math] \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}^{p}-\overline{y})^{2} = b \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-\overline{x})^{2} =\frac{\left( \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y} )\right) ^{2}}{\left( \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-\overline{x} )^{2}\right) ^{2}}\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-\overline{x} )^{2}=\\ =\frac{\left( \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-\overline{x} )(y_{i}-\overline{y})\right) ^{2}}{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}- \overline{x})^{2}}\frac{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}-\overline{y} )^{2}}{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}-\overline{y})^{2}}=r^{2} \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}-\overline{y})^{2} [/math]


czyli


[math] {r^{2}=\frac{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}^{p}- \overline{y})^{2}}{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}-\overline{y})^{2} }\ } [/math]


przykłady interpretacji podaje też artykuł z Wikipedii


Przykładowe wartości współczynnika korelacji dla 300 par [math](x, y)[/math] o różnych stopniach współzależności.