Brain-wiki - Wkład użytkownika [pl]

Pracownia Sygnałów Bioelektrycznych

2026-05-27T07:43:00Z

Jarekz: /* Materiały */

[[category:Pracownie specjalistyczne]]

Dla NI link do classroom: https://classroom.google.com/c/NjY2MjI3NDU2NDA3?cjc=mvvocie

==Zasady zaliczenia pracowni==

* Obecność na zajęciach jest obowiązkowa, dopuszczalne są 2 nieusprawiedliwione nieobecności.

Materiał zajęć jest podzielony na bloki tematyczne. W każdym bloku studenci mają do wykonania zestaw ćwiczeń. Pod koniec każdego bloku konieczne będzie przesłanie raportu w postaci notebooka na adres jarekz@fuw.edu.pl

# Prezentacja wyników w notebooku powinna uwzględniać:
#* przypomnienie, co było liczone (i jak, jeśli trzeba);
#* na co należy zwrócić uwagę w prezentowanych wynikach;
#* interpretację wykresów. Część z tych informacji można dołożyć do rysunków w postaci krótkich wyjaśnień.
# Należy zadbać o prawidłową postać wykresów, w tym w szczególności:
#* obecność opisów osi (w miarę możliwości jednostek);
#* spójne zakresy osi i skalowanie wykresów;
#* właściwy dobór skali (tak, aby uwidocznić najważniejsze rzeczy);
#* obecność tytułów i innych podpisów ułatwiających zrozumienie prezentowanych treści.
# Ocenie podlegają:
#* kompletność prezentacji;
#* poprawność kodu;
#* czytelność prezentowanych wielkości i zjawisk;
#* merytoryczna poprawność wypowiedzi.



==Materiały==
## [[Pracownia_Sygnałów_Biologicznych/Zajecia_1|Wprowadzenie]]

[[Pracownia_Sygnałów_Biologicznych/Zajecia_2_4|EKG]]
## Wstęp teoretyczny i pomiary
## detekcja pików R i tętno
## analiza HRV
przesyłanie notebooków z EKG/HRV do 1.04

<hr>

#[[Pracownia_Sygnałów_Biologicznych/Zajecia_5_6|EMG]] (Zaczynamy 25 i 27 marca 2026)
## wprowadzenie, pomiary, analiza ćwiczenie I (25 i 27 marca 2026)
## analiza ćwiczenie I (8 i 10 kwietnia 2026)
## analiza ćwiczenie I (15 i 17 kwietnia 2026)
## analiza sygnału online (ćwiczenie V), analiza ćwiczenie III (29 i 24 kwietnia)
## -> przesyłanie notebooków z EMG do 8.05.2026
##
#[[Pracownia_Sygnałów_Biologicznych/Zajecia_7|Spotkanie IX - XI (EOG)]] (Zaczynamy 22 kwietnia i 6 maja 2026)
## podstawowe własności EOG - rejestracja 22 IV i 6 V
## podstawowe własności EOG - analiza i szykowanie raportów (13, 15, 20, 22 V): zwrot raportów z EOG 06.06
#[[Pracownia_Sygnałów_Biologicznych/Zajecia_8n|Neurokit - 27 i 29 V]]
#[[Pracownia_Sygnałów_Biologicznych/Zajecia_8|Spotkanie (GSR)]]
#[[Pracownia_Sygnałów_Biologicznych/Zajecia_9|Spotkanie XII - XIV (Wprowadzenie EEG)]]
## [[Pracownia_EEG/EEG_spoczynkowe|EEG spoczynkowe, artefakty ]]
## [[Pracownia_Sygnałów_Biologicznych/Zajecia_10|Analiza EEG]]
##

Laboratorium EEG/CSP

2026-05-19T10:33:17Z

Jarekz: /* Zadania do samodzielnej realizacji */

[[Laboratorium_EEG]]/BSS

=Sesja 1: Ślepa separacja źródeł i CSP — wprowadzenie=

;Czas: ~60 min wykład + ~90 min ćwiczenie symulacyjne

Zajęcia wprowadzają do problemu filtracji przestrzennej sygnałów EEG.
Punktem wyjścia jest ogólny problem ślepej separacji źródeł (BSS),
z którego CSP wyłania się jako szczególny przypadek dla dwóch warunków
eksperymentalnych. Filtry przestrzenne omawiane na tych zajęciach stanowią
fundament klasycznych metod BCI (P300, SSVEP, motor imagery) oraz są
bezpośrednim odpowiednikiem warstw przestrzennych w sieciach neuronowych
takich jak ShallowConvNet i EEGNet — do tej analogii wrócimy w sesji 6.

[https://drive.google.com/file/d/1WrXgWWDJ7g5ZdYltm_8s2NXbGamw4R8N/view?usp=sharing Slajdy do wykładu (PDF)]

;Zakres wykładu:
* model generatywny EEG: <math>x(t) = As(t)</math>, macierz kowariancji, idea diagonalizacji
* BSS jako ogólny problem separacji źródeł
* CSP jako szczególny przypadek: dwa warunki eksperymentalne, iloraz Rayleigha, uogólnione zagadnienie własne
* interpretacja filtrów i topografii źródeł

;Ćwiczenie symulacyjne:
Zob. [[#Ćwiczenie symulacyjne|Ćwiczenie symulacyjne]] w sekcji CSP poniżej.

====Ćwiczenie symulacyjne ====
====Zadania do samodzielnej realizacji====

Poniższy kod dostarcza gotowej infrastruktury: generacji sygnałów, macierzy mieszającej i wizualizacji.
Zadaniem jest samodzielna implementacja kluczowych kroków analizy CSP.

;Zadanie 1 (obowiązkowe): Obliczenie macierzy kowariancji
Napisz funkcję <code>srednia_kowariancja(X, ind)</code>, która dla danej tablicy sygnałów <code>X</code>
(wymiary: powtórzenia × kanały × próbki) i wektora indeksów czasowych <code>ind</code>
zwraca średnią macierz kowariancji uśrednioną po powtórzeniach.
Dla każdego powtórzenia zastosuj funkcję <code>cov</code> i znormalizuj wynik przez jego ślad (<code>trace</code>).
Sprawdź wynik porównując z macierzami <code>R_B</code> i <code>R_E</code> obliczonymi w dostarczonym kodzie.

;Zadanie 2 (obowiązkowe): Implementacja CSP
Korzystając z funkcji <code>eig</code> oraz macierzy kowariancji obliczonych w zadaniu 1,
wyznacz macierz filtrów przestrzennych <code>W</code> i odpowiadające im wartości własne.
Odtwórz sygnały źródłowe dla wszystkich powtórzeń.
Narysuj chmury punktów (amplituda źródła 1 vs amplituda źródła 2) osobno dla warunków
baseline i ERP — przed transformacją CSP i po niej. Co zmieniło się w kształcie chmur?

Wykreśl także wizualizację przebiegów czasowych sygnałów X i sygnałów S uzyskanych po rozmieszaniu.

;Zadanie 3 (obowiązkowe): Interpretacja wartości własnych
Wartości własne znajdują się na przekątnej macierzy <code>Lambda</code>.
Który filtr najbardziej różnicuje warunki baseline i ERP?
Jaki jest związek między wartością własną a separacją widoczną na wykresach punktowych?

;Zadanie 4 (dla chętnych): Wpływ macierzy mieszającej
W dostarczonym kodzie macierz <code>P</code> (filtr przestrzenny) wynosi:
<pre>
P = [1 2; 1.5 1.3]
</pre>
Zmień ją kolejno na macierz bliską jednostkowej (np. <code>P = [1 0.1; 0.1 1]</code>)
oraz na macierz z dużymi elementami pozadiagonalnymi (np. <code>P = [1 5; 4 1]</code>).
Jak zmienia się kształt chmury punktów przed transformacją CSP?
Czy CSP poprawnie oddziela źródła w obu przypadkach?

;Zadanie 5 (dla chętnych): Wpływ szumu
W kodzie szum jest wyłączony: <code>n = 0*randn(size(tmp))</code>.
Usuń mnożnik <code>0*</code> i zbadaj jak poziom szumu wpływa na separację źródeł.
Przy jakim stosunku sygnału do szumu CSP przestaje skutecznie rozdzielać warunki?

;Pytanie do dyskusji:
Dostarczony kod używa <code>eig(R_E, R_B)</code>.
Alternatywą jest <code>eig(R_E, (R_E+R_B)/2)</code>.
Czym różnią się te dwie wersje? W jakich sytuacjach eksperymentalnych
druga wersja mogłaby być bardziej uzasadniona?

====Szkielet kodu do uzupełnienia====

Poniższy szkielet zawiera gotową infrastrukturę symulacji.
Uzupełnij brakujące fragmenty oznaczone komentarzem <code>% TUTAJ</code>
zgodnie z zadaniami 1–3. Pełny kod referencyjny dostępny jest poniżej
— zajrzyj do niego dopiero po samodzielnej próbie.

<source lang="matlab">
%% Parametry symulacji — nie modyfikuj tej sekcji
Fs = 100;
T = 1;
t = 0:1/Fs:T-1/Fs;
N_rep = 100;
N_chan = 2;
s = zeros(N_rep, N_chan, length(t));
X = zeros(N_rep, N_chan, length(t));

P = [1 2; 1.5 1.3]; % filtr przestrzenny (prawdziwy)
A = P^(-1); % topografia źródeł

for r = 1:N_rep
s1 = sin(2*pi*11*t + pi/2) + 0.02*randn(size(t));
s2 = exp(-((t-0.8)/0.05).^2) + 0.01*randn(size(t));
s(r,1,:) = s1;
s(r,2,:) = s2;
tmp = squeeze(s(r,:,:));
n = 0*randn(size(tmp)); % Zadanie 5: zmień 0* na 1* aby włączyć szum
X(r,:,:) = A*tmp + n;
end

baseline_ind = find(t < 0.5);
ERP_ind = find(t >= 0.5);

R_B = zeros(N_chan, N_chan);
R_E = zeros(N_chan, N_chan);

%% Zadanie 1: Oblicz średnie macierze kowariancji
% korzystając z funkcji srednia_kowariancja(X, ind)

% Dla każdego powtórzenia r:
% - wytnij fragment sygnału X(r,:,baseline_ind) i analogicznie ERP
% - oblicz macierz kowariancji funkcją cov() — pamiętaj o transpozycji
% - znormalizuj przez ślad (funkcja trace())
% - dodaj do sumy
% Na końcu podziel przez N_rep

%% Zadanie 2: Rozwiąż uogólnione zagadnienie własne
% Użyj funkcji eig(A,B) gdzie A=R_E, B=R_B
% W wyniku otrzymasz macierz wektorów własnych W (w kolumnach)
% i macierz Lambda z wartościami własnymi na przekątnej

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

disp('Wartości własne (przekątna Lambda):')
disp(diag(Lambda))

%% Zadanie 2 cd.: Odtwórz sygnały źródłowe
% Dla każdego powtórzenia r zastosuj filtr: S(r,:,:) = W' * X(r,:,:)

S = zeros(N_rep, N_chan, length(t));

for r = 1:N_rep
% TUTAJ: S(r,:,:) = ...
end

%% Zadanie 3: Wizualizacja — chmury punktów przed i po CSP
x_base_k1 = X(:,1,baseline_ind);
x_base_k2 = X(:,2,baseline_ind);
x_ERP_k1 = X(:,1,ERP_ind);
x_ERP_k2 = X(:,2,ERP_ind);

s_base_k1 = squeeze(S(:,1,baseline_ind));
s_base_k2 = squeeze(S(:,2,baseline_ind));
s_ERP_k1 = squeeze(S(:,1,ERP_ind));
s_ERP_k2 = squeeze(S(:,2,ERP_ind));

figure(1); clf
subplot(1,2,1)
plot(x_base_k1(:), x_base_k2(:), 'b.'); hold on
plot(x_ERP_k1(:), x_ERP_k2(:), 'r.');
axis equal; xlim([-2 2]); ylim([-2 2])
xlabel('Kanał 1'); ylabel('Kanał 2')
title('Przed CSP')
legend('baseline','ERP')

subplot(1,2,2)
plot(s_base_k1(:), s_base_k2(:), 'b.'); hold on
plot(s_ERP_k1(:), s_ERP_k2(:), 'r.');
axis equal
xlabel('Źródło 1'); ylabel('Źródło 2')
title('Po CSP')
legend('baseline','ERP')
%% Wizualizacja przebiegów czasowych X i S
% TUTAJ:

%% Zadanie 4 (dla chętnych): zmień macierz P powyżej i powtórz analizę
%% Zadanie 5 (dla chętnych): włącz szum (zmień 0* na 1* w linii z n=...)
</source>

{{hidden begin|title=Rozwiązanie — pokaż dopiero po samodzielnej próbie}}
<source lang = matlab>
% symulowany eksperyment składa się z sinusoidy udającej alfę spoczynkową i
% funkcji Gaussa udającego potencjał wywołany
% źródła te są symulowane niezależnie a potem mieszane przez macierz A
% symulujemy źródła
% s1 - symuluje alfę
% s2 - symuluje "potencjał wywołany" (ERP)

%ustawiamy parametry do symulacji sygnałów
Fs = 100;
T = 1;
t = 0:1/Fs:T-1/Fs;
N_rep = 100;
N_chan = 2;
s = zeros(N_rep,N_chan, length(t));
X = zeros(N_rep,N_chan, length(t));

% filtr przestrzenny - z takimi wagami trzeba wziąść kanały EEG aby odzyskać sygnały źródłowe
P = [1 2
1.5 1.3];

% topografie - z takimi wagami źródła dokładają się do poszczególnych elektrod
A = P^(-1);

for r =1:N_rep % tworzymy kolejne realizacje "eksperymentu"
s1 = sin(2*pi*11*t +pi/2+ 0*2*pi*rand())+ 0.02*randn(size(t)); % źródło alfa
s2 = exp(-((t-0.8)/0.05).^2)+ 0.01*randn(size(t)); % źródło ERP

s(r,1,:) = s1;
s(r,2,:) = s2;
tmp = squeeze(s(r,:,:));
n = 0*randn(size(tmp));
X(r,:,:) = A*tmp +n; % rzutujemy sygnały źródłowe na elektrody s -> x

end

% wycinamy warunki
% baseline_ind to indeksy pierwszej połowy każdego powtórzenia "baseline"
% ERP_ind to indeksy drugiej połowy każdego powtórzenia zawierająca "ERP"
baseline_ind = find(t<0.5);
ERP_ind = find(t>=0.5);

x_baseline_kan_1 = X(:,1,baseline_ind);
x_baseline_kan_2 = X(:,2,baseline_ind);

x_ERP_kan_1 = X(:,1,ERP_ind);
x_ERP_kan_2 = X(:,2,ERP_ind);

% liczymy średnie macierze kowariancji:
R_E = zeros(N_chan,N_chan);
R_B = zeros(N_chan,N_chan);
for r =1:N_rep
B = squeeze(X(r,:,baseline_ind));
tmp =cov(B');
R_B = R_B + tmp./trace(tmp);%B*B' ;

E = squeeze(X(r,:,ERP_ind));
tmp = cov(E');
R_E = R_E + tmp./trace(tmp);%E*E' ;
end

R_B = R_B/N_rep;
R_E = R_E/N_rep;

% rozwiązujemy uogólnione zagadnienie własne
[W,Lambda]=eig(R_E,R_B); % możliwa jest też optymalizacja wzg. średniej macierzy kowariancji (R_B+R_A)/2);

% odzyskujemy sygnały źródeł
for r =1:N_rep
S(r,:,:) = W'*squeeze(X(r,:,:));
end

% pobieramy wycinki odpowiadające obu częściom eksperymentu z estymowanych
% źródeł
s_baseline_estymowany_kan1 = squeeze( S(:,1,baseline_ind));
s_baseline_estymowany_kan2 = squeeze( S(:,2,baseline_ind));

s_ERP_estymowany_kan1 = squeeze(S(:,1,ERP_ind));
s_ERP_estymowany_kan2 = squeeze(S(:,2,ERP_ind));

%%%%%%%%%%%%%% Ilustracje %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ilustracja sygnałów mierzonych
figure(1);clf
subplot(2,2,1);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(X(:,1,baseline_ind)))','b'); hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze( X(:,1,ERP_ind)))','r'); hold off
xlabel('elektroda 1')
title('ilustracja sytuacji pomiarowej -\newline znane są potencjały na elektrodach w dwóch warunkach eksperymentalnych')
subplot(2,2,3);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(X(:,2,baseline_ind)))','b'); hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze( X(:,2,ERP_ind)))','r'); hold off
xlabel('elektroda 2')
subplot(1,2,2)
plot(x_baseline_kan_1(:),x_baseline_kan_2(:),'b.');
hold on
plot(x_ERP_kan_1(:),x_ERP_kan_2(:),'r.');
xlim([-2,2])
ylim([-2,2])
axis equal

% wektor własny odpowiadający największej wartości własnej jest
% kierunkiem najbardziej różnicującym warunki eksperymentalne
disp('wartości własne znajdują się na przekątnej macierzy Lambda')
disp(Lambda)
% rysujemy wersory jednostkowe w kierunkach wektorów własnych
w1 = W(:,1);
w1 = w1/norm(w1);
w2 = W(:,2);
w2 = w2/norm(w2);
line([0, w1(1) ],[0,w1(2)],'Color',[0,0.3,0])
text(w1(1),w1(2),'wektor własny 1')
line([0, w2(1) ],[0,w2(2)],'Color',[1,0,1])
text(w2(1),w2(2),'wektor własny 2')

xlabel('Amplituda na elektrodzie 1')
ylabel('Amplituda na elektrodzie 2')
legend('baseline','ERP')

% Ilustracja estymowanych źródeł
figure(2);clf
subplot(2,2,1);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(S(:,1,baseline_ind)))','b');hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze(S(:,1,ERP_ind)))','r');hold off
xlabel('estymowane zrodlo 1')
title('ilustracja estymacji -\newline estymowane są potencjały źródeł w dwóch warunkach eksperymentalnych')
subplot(2,2,3);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(S(:,2,baseline_ind)))','b');hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze(S(:,2,ERP_ind)))','r');hold off
xlabel('estymowane zrodlo 2');
subplot(1,2,2)
plot(s_baseline_estymowany_kan1(:),s_baseline_estymowany_kan2(:),'b.');
hold on
plot(s_ERP_estymowany_kan1(:),s_ERP_estymowany_kan2(:),'r.');

xlabel('Amplituda estym. źródła 1')
ylabel('Amplituda estym. źródła 2')
legend('baseline','ERP')
</source>
{{hidden end}}

=Sesja 2: CSP dla P300 — dane realne=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Pracujemy z danymi kalibracyjnymi z eksperymentu P300.
Celem sesji jest przejście pełnego pipeline'u: od surowych danych
do odtworzonych źródeł CSP.

;Zakres:
* wczytanie danych kalibracyjnych, identyfikacja znaczników T i NT
* cięcie epok (−200 do +800 ms), usuwanie trendu liniowego
* montaż względem średniej ze wszystkich elektrod
* wizualizacja ERP w układzie topograficznym
* obliczenie macierzy kowariancji RT i RNT, normalizacja przez ślad
* rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego: <code>[W, Lambda] = eig(R_T, R_NT)</code>
* odtworzenie sygnałów źródłowych: <code>S = W'*EEG</code>
* przegląd estymowanych źródeł w dwóch warunkach

;Materiały:
Dane: https://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/KalibracjaP300.tar.gz

===ZADANIE: Analiza CSP===

Przegląd badań o P300: https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2715154/

Link do Read menager [https://drive.google.com/file/d/1OgOduK5Zn7GgNl5XdCyLWXHJ7wTJIWcC/view?usp=share_link]

* Wykonać analizę CSP wzmacniającą potencjał P300.
* Zaprezentować średnią ze wszystkich kanałów źródłowych z warunku target (jeden kolor) i non-target (inny kolor) w subplotach ułożonych w prostokątnej siatce. Zaobserwować, dla którego kanału średnie różnią się najbardziej. Czy jest związek tego kanału z wartościami własnymi?

* Dla kanału najbardziej różnicującego wykonać mapki topograficzne wektorów odpowiadających:
** filtrowi przestrzennemu
** rzutu topograficznego źródła na elektrody.

===Szkielet kodu do analizy wstępnej===

<source lang="matlab">
%% KROK 1: Wczytanie danych
% ReadManager to pomocnicza klasa do odczytu plików w formacie OpenBCI.
% Przyjmuje trzy pliki: XML z metadanymi, RAW z próbkami i TAG ze znacznikami zdarzeń.
nazwaPliku = 'p_6301423_calibration_p300.obci';
nameOfXMLFile = strcat(nazwaPliku, '.xml');
nameOfTagFile = strcat(nazwaPliku, '.tag');
namesOfDataFiles = strcat(nazwaPliku, '.raw');

rm = ReadManager(nameOfXMLFile, namesOfDataFiles, nameOfTagFile);

% Pobieramy podstawowe parametry nagrania
numberOfChannels = rm.get_param('number_of_channels');
namesOfChannels = rm.get_param('channels_names');
samplingFrequency = rm.get_param('sampling_frequency');

% Pobieramy listę wszystkich znaczników zdarzeń z nagrania
tagsStruct = rm.get_tags();

%% KROK 2: Identyfikacja znaczników Target i Non-Target
% Każdy znacznik typu 'blink' odpowiada jednemu mignięciu w eksperymencie P300.
% Pole 'index' mówi który symbol mignął, pole 'target' który symbol był oczekiwany.
% Jeśli index == target to było to mignięcie docelowe (Target), w przeciwnym razie
% Non-Target.
targetTimeStamps = [];
NonTargetTimeStamps = [];

for structNumber = 1:length(tagsStruct)
if strcmp(tagsStruct(structNumber).name, 'blink')
index = tagsStruct(structNumber).children.index;
target = tagsStruct(structNumber).children.target;
if index == target
targetTimeStamps = [targetTimeStamps tagsStruct(structNumber).start_timestamp];
else
NonTargetTimeStamps = [NonTargetTimeStamps tagsStruct(structNumber).start_timestamp];
end
end
end

%% KROK 3: Wczytanie i filtrowanie sygnału
samples = double(rm.get_samples());
samples = samples(1:8,:); % odrzucamy kanały bez EEG
numberOfChannels = 8;

% Filtr dolnoprzepustowy Czebyszewa 2. rodzaju — odcięcie 25 Hz
[b, a] = cheby2(6, 80, 25/(samplingFrequency/2), 'low');
for ch = 1:numberOfChannels
samples(ch,:) = filtfilt(b, a, samples(ch,:));
end

%% KROK 4: Montaż względem średniej (common average reference)
% Odejmujemy od każdego kanału średnią ze wszystkich kanałów w danej chwili.
% Jest to prostsze i bardziej ogólne niż montaż względem połączonych uszu.
M = -ones(numberOfChannels, numberOfChannels) / numberOfChannels;
M = M + eye(numberOfChannels) * (numberOfChannels+1) / numberOfChannels;
samples = 0.0715 * M * samples;

%% KROK 5: Cięcie epok
PRE = -0.2;
POST = 0.8;
wycinek = floor(PRE*samplingFrequency : POST*samplingFrequency);

TargetSignal = zeros(length(targetTimeStamps), numberOfChannels, length(wycinek));
NonTargetSignal = zeros(length(NonTargetTimeStamps), numberOfChannels, length(wycinek));

for trialNumber = 1:length(targetTimeStamps)
trigerOnset = floor(targetTimeStamps(trialNumber) * samplingFrequency);
tenWycinek = wycinek + trigerOnset;
if tenWycinek(1) > 0 && tenWycinek(end) <= size(samples,2)
tmpSignal = samples(:, tenWycinek);
tmpSignal = detrend(tmpSignal')'; % usuwanie trendu liniowego
TargetSignal(trialNumber,:,:) = tmpSignal;
end
end

for trialNumber = 1:length(NonTargetTimeStamps)
trigerOnset = floor(NonTargetTimeStamps(trialNumber) * samplingFrequency);
tenWycinek = wycinek + trigerOnset;
if tenWycinek(1) > 0 && tenWycinek(end) <= size(samples,2)
tmpSignal = samples(:, tenWycinek);
tmpSignal = detrend(tmpSignal')';
NonTargetSignal(trialNumber,:,:) = tmpSignal;
end
end

% Oś czasu w milisekundach — przyda się do rysowania
times = (wycinek / samplingFrequency) * 1000;

%% KROK 6: Wizualizacja ERP w układzie topograficznym
% Oblicz potencjały wywołane (ERP) jako średnie po powtórzeniach
ERP_T = squeeze(mean(TargetSignal, 1)); % wymiary: kanały × czas
ERP_NT = squeeze(mean(NonTargetSignal, 1));

% TUTAJ: narysuj ERP_T i ERP_NT dla każdego kanału w subplotach
% ułożonych w siatce odpowiadającej przybliżonym pozycjom elektrod.
% Na każdym subplocie nałóż oba warunki różnymi kolorami.
% Oś X: czas w ms (użyj wektora times), oś Y: amplituda w µV.
% Zadbaj o legendę i tytuły z nazwami kanałów (namesOfChannels).

%% KROK 7: Obliczenie średnich macierzy kowariancji
% Dla każdego powtórzenia oblicz macierz kowariancji funkcją cov(),
% znormalizuj przez jej ślad (trace()), a następnie uśrednij po powtórzeniach.
% Pamiętaj: cov() oczekuje macierzy próbki × kanały, czyli potrzebujesz transpozycji.

R_T = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
R_NT = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for r = 1:length(targetTimeStamps)
% TUTAJ: wytnij r-te powtórzenie T, oblicz kowariancję, znormalizuj, dodaj do R_T
end

for r = 1:length(NonTargetTimeStamps)
% TUTAJ: wytnij r-te powtórzenie NT, oblicz kowariancję, znormalizuj, dodaj do R_NT
end

% TUTAJ: podziel R_T i R_NT przez odpowiednie liczby powtórzeń

%% KROK 8: Rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego
% Szukamy filtrów przestrzennych W maksymalizujących stosunek mocy
% w warunku T względem NT: eig(R_T, R_NT)
% W kolumnach W znajdują się filtry, na przekątnej Lambda — wartości własne.

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

disp('Wartości własne (przekątna Lambda):')
disp(diag(Lambda))

%% KROK 9: Odtworzenie sygnałów źródłowych
% Dla każdego powtórzenia zastosuj filtr przestrzenny:
% s(r,:,:) = W' * x(r,:,:)
% Pamiętaj o wymiarach — squeeze() może być pomocne.

S_T = zeros(size(TargetSignal));
S_NT = zeros(size(NonTargetSignal));

for r = 1:size(TargetSignal, 1)
% TUTAJ: S_T(r,:,:) = ...
end

for r = 1:size(NonTargetSignal, 1)
% TUTAJ: S_NT(r,:,:) = ...
end

%% KROK 10: Wizualizacja estymowanych źródeł
% Narysuj średnie przebiegi źródeł (ERP w przestrzeni CSP) dla obu warunków.
% Ułóż subploty w prostokątnej siatce — jeden subplot na każde źródło.
% Dla którego źródła różnica między T i NT jest największa?
% Czy odpowiada to źródłu z największą wartością własną?

ERP_S_T = squeeze(mean(S_T, 1));
ERP_S_NT = squeeze(mean(S_NT, 1));

% TUTAJ: narysuj ERP_S_T i ERP_S_NT w subplotach
</source>

=Sesja 3: CSP dla P300 — interpretacja i separacja cech=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Kontynuacja analizy CSP. Celem sesji jest interpretacja wyników
w kategoriach fizjologicznych oraz ocena separowalności klas
w przestrzeni cech opartej na mocy sygnału.

;Zakres:
* mapki topograficzne filtra przestrzennego i topografii źródła
* związek wartości własnych z siłą różnicowania warunków T i NT
* wykresy punktowe mocy: oś X — moc składowej z największą wartością własną, oś Y — moc kolejnej składowej; jeden punkt = jedno powtórzenie
* uśrednianie po 2, 4, 6, 8 i 10 realizacjach — obserwacja poprawy separacji wraz z liczbą uśrednień
* dyskusja: utożsamianie komponentów CSP z fizjologicznymi źródłami jest ryzykowne; komponenty maksymalizują kontrast między warunkami, niekoniecznie odpowiadają izolowanym generatorom

;Materiały:
Zob. [[#Szkielet kodu do analizy wstępnej|Szkielet kodu do analizy wstępnej]] i [[#Zadanie: Wybór i separacja cech|Zadanie: Wybór i separacja cech]] poniżej.

===Zadanie: Wybór i separacja cech===
* Przedstaw na rysunkach nałożone na siebie pojedyncze realizacje z warunków target i non-target po rzutowaniu na wektor <math>w</math> odpowiadający największej i kolejnej wartości własnej.
* Przedstaw wykresy punktowe takie, że na jednej osi jest moc sygnału (suma kwadratów wartości próbek w wybranym zakresie czasu) odpowiadającego największej wartości własnej, a na drugiej osi kolejnej (mniejszej) wartości własnej; jeden punkt reprezentuje jedno powtórzenie.
* Wykonaj serię wykresów jak w poprzednim punkcie dla uśrednień sygnałów kolejno po 2, 4, 6, 8 i 10 realizacjach:
** Liczymy potencjał wywołany dla danej liczby powtórzeń.
** Następnie podnosimy wartości próbek do kwadratu
** i sumujemy je w wybranym zakresie czasu.
* Zaobserwuj jak zmienia się separacja w grupach target i non-target.
{{hidden end}}
[https://robintibor.github.io/eeg-deep-learning-phd-thesis/DeepArchitectures.html Archirtektury sieci do BCI: ConvNet]

[https://www.researchgate.net/figure/The-architecture-of-EEGNet-F1-S1-model-F1-and-S1-represent-the-number-of-temporal_fig3_347073448 EEGNet]

=Sesja 4: Filtry przestrzenne dla SSEP — cosSinCSP=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Sesja wprowadza metodę cosSinCSP jako naturalne uogólnienie CSP
o wiedzę dziedzinową dotyczącą sygnału SSEP. W klasycznym CSP
dwa warunki eksperymentalne definiują dwie macierze kowariancji.
W cosSinCSP rolę jednej z macierzy przejmuje projekcja sygnału
na przestrzeń sinusów i cosinusów częstości stymulacji i jej harmonicznych.
Formalizm ilorazu Rayleigha i uogólnionego zagadnienia własnego
pozostaje identyczny.

Dane używane na tych zajęciach pochodzą z eksperymentu SSEP
z archiwum — bez sesji rejestracyjnej. Na wykresach widma
sygnału przed transformacją CSP dominuje artefakt sieciowy 50 Hz,
który praktycznie zasłania odpowiedź na stymulację. Zadaniem
jest sprawdzenie czy cosSinCSP potrafi ten sygnał wydobyć.

;Zakres:
* idea cosSinCSP: macierz S złożona z sinusów i cosinusów harmonicznych, projekcja sygnału na przestrzeń SSEP i resztę Y
* implementacja funkcji <code>cosSinCSP</code> w MATLAB
* analiza danych archiwalnych: widma Welcha dla kanałów oryginalnych i źródeł CSP — porównanie SNR przed i po transformacji
* prezentacja filtrów przestrzennych i topografii źródeł

;Materiały:
Zob. [[#Filtry przestrzenne dla SSEP|Filtry przestrzenne dla SSEP]] poniżej.

==Filtry przestrzenne dla SSEP==

===Teoria===

Ciekawa koncepcja filtra przestrzennego dla SSEP zaprezentowana jest tu: http://www.eurasip.org/Proceedings/Eusipco/Eusipco2009/contents/papers/1569193209.pdf

Pokrótce można ją rozumieć podobnie do tego co robiliśmy rozważając filtry przestrzenne CSP z tym, że dla SSEP oraz innych potencjałów wywołanych stanu ustalonego możemy skorzystać z dodatkowych informacji dotyczących poszukiwanych źródeł. Wiemy mianowicie, że powinny one oscylować z częstością bodźca i być może jej harmonicznych.

Przyda nam się macierz <math>S</math> zbudowana tak, że w kolejnych kolumnach znajdują się sinusy i cosinusy kolejnych częstości harmonicznych. Wektory te unormujemy, żeby miały energię równą 1. Innymi słowy macierz <math>S</math> zbudowana jest z wersorów rozpinających przestrzeń, w której powinien znajdować się sygnał SSEP.

W Matlabie możemy taką macierz zbudować tak:

<source lang="matlab">
% Fs - częstość próbkowania
% numberOfSamples - długość sygnału w próbkach
% numberOfHarmonics - liczba harmonicznych, które chcemy włączyć do analizy
t = (0:1:numberOfSamples - 1) / Fs;
S = zeros(numberOfSamples, 2*numberOfHarmonics);

for harmonicNumber = 1:numberOfHarmonics
c = cos(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
s = sin(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
S(:,(harmonicNumber - 1)*2 + 1) = c/norm(c);
S(:,(harmonicNumber - 1)*2 + 2) = s/norm(s);
end
</source>

Aby w badanym sygnale znaleźć składowe odpowiadające SSEP musimy rzutować sygnał <math>X</math> (macierz sygnałów ''kanały × próbki'') na przestrzeń rozpiętą przez <math>S</math>:
:<math>A = X S</math>
Macierz <math>A</math> zawiera współczynniki będące iloczynami skalarnymi sygnałów i wersorów — mówią one o tym jak dużo sinusa bądź cosinusa o danej częstości jest w pierwotnym sygnale. Komponenty SSEP zawarte w sygnale <math>X</math> odzyskujemy tak:
:<math>\mathrm{SSEP} = A S^T</math>

Modelujemy rejestrowany sygnał jako:
:<math>X = \mathrm{SSEP} + Y</math>
gdzie:
:<math>Y = X - \mathrm{SSEP}</math>
to wszystkie komponenty sygnału, które nas nie interesują.

Filtr przestrzenny, który chcemy zbudować powinien maksymalizować stosunek wariancji <math>\mathrm{SSEP}</math> do wariancji <math>Y</math>. Macierz kowariancji powinna być uśredniona po powtórzeniach, a kowariancja sygnału w każdym powtórzeniu powinna być znormalizowana przez jej ślad. Dalej stosujemy technikę znaną z CSP: maksymalizację ilorazu Rayleigha przez rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego dla macierzy kowariancji <math>\mathrm{SSEP}</math> i <math>Y</math>.

===Zadanie: implementacja funkcji cosSinCSP===

Dane do zadania: [[Plik:PrzykladoweDaneSSVEP.mat.gz]].
Pełny przykład z danymi z eksperymentu SSEP: [[Plik:SSVEP_demo_csp.tar.gz]]

Zaimplementuj funkcję <code>cosSinCSP</code> zgodnie z poniższym szkieletem.
Prawidłowo zaimplementowana funkcja wraz ze skryptem demonstracyjnym poniżej
powinna generować rysunek: [[Plik:Rys_SSVEP_demo.png|400px|podpis grafiki]]

<source lang="matlab">
function [W, Lambda] = cosSinCSP(signal, stimulationFrequency, numberOfHarmonics, Fs)
% cosSinCSP - filtr przestrzenny dla sygnałów SSEP
%
% Wejście:
% signal - dane EEG, wymiary: powtórzenia × kanały × próbki
% stimulationFrequency - częstość stymulacji w Hz
% numberOfHarmonics - liczba harmonicznych do uwzględnienia
% Fs - częstość próbkowania w Hz
%
% Wyjście:
% W - macierz filtrów przestrzennych (kanały × kanały), filtry w kolumnach
% Lambda - macierz diagonalna wartości własnych

[numberOfTrials, numberOfChannels, numberOfSamples] = size(signal);

%% KROK 1: Zbuduj macierz referencyjną S (sinusy i cosinusy harmonicznych)
% S ma wymiary: próbki × 2*numberOfHarmonics
% Każda kolumna to jeden wersor (unormowany sinus lub cosinus).
% Wróć do sekcji Teoria powyżej i przełóż tamten kod na tę funkcję.

% TUTAJ

%% KROK 2: Oblicz średnie macierze kowariancji C_SSEP i C_Y
% Dla każdego powtórzenia wytnij sygnał x (kanały × próbki),
% rozłóż go na składową SSEP i resztę Y zgodnie z równaniami z sekcji Teoria,
% oblicz macierze kowariancji obu składowych, znormalizuj przez ślad
% i uśrednij po powtórzeniach.

C_SSEP = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
C_Y = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for trial = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(trial, :, :)); % kanały × próbki

% TUTAJ: oblicz SSEP i Y

% TUTAJ: oblicz kowariancje, znormalizuj, dodaj do C_SSEP i C_Y
end

% TUTAJ: podziel C_SSEP i C_Y przez numberOfTrials

%% KROK 3: Rozwiąż uogólnione zagadnienie własne
% Znajdź filtry przestrzenne maksymalizujące stosunek mocy SSEP do mocy Y.
% Analogia z CSP: jakie macierze wstawiłeś do eig() tam?

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

end
</source>

;Wskazówka do interpretacji wyników:
Filtr związany z największą wartością własną daje komponent
o największym stosunku mocy SSEP do mocy tła.
Sprawdź na widmach Welcha czy odpowiada on składowej
z wyraźnym pikiem przy częstości stymulacji.

{{hidden begin|title=Rozwiązanie — pokaż dopiero po samodzielnej próbie}}
<source lang="matlab">
function [W, Lambda] = cosSinCSP(signal, stimulationFrequency, numberOfHarmonics, Fs)

[numberOfTrials, numberOfChannels, numberOfSamples] = size(signal);

%% KROK 1: Macierz referencyjna S
t = (0:1:numberOfSamples-1) / Fs;
S_ref = zeros(numberOfSamples, 2*numberOfHarmonics);

for harmonicNumber = 1:numberOfHarmonics
c = cos(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
s = sin(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
S_ref(:,(harmonicNumber-1)*2 + 1) = c/norm(c);
S_ref(:,(harmonicNumber-1)*2 + 2) = s/norm(s);
end

%% KROK 2: Średnie macierze kowariancji
C_SSEP = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
C_Y = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for trial = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(trial, :, :)); % kanały × próbki
A = x * S_ref; % projekcja na przestrzeń SSEP
SSEP = A * S_ref'; % rekonstrukcja składowej SSEP
Y = x - SSEP; % reszta

tmp = cov(SSEP');
C_SSEP = C_SSEP + tmp/trace(tmp);

tmp = cov(Y');
C_Y = C_Y + tmp/trace(tmp);
end

C_SSEP = C_SSEP / numberOfTrials;
C_Y = C_Y / numberOfTrials;

%% KROK 3: Uogólnione zagadnienie własne
[W, Lambda] = eig(C_SSEP, C_Y);

end
</source>
{{hidden end}}

===Skrypt demonstracyjny i analiza wyników===

<source lang="matlab">
% wczytujemy dane
load('PrzykladoweDaneSSVEP.mat');

[numberOfTrials numberOfChannels numberOfSamples] = size(X.data);
namesOfChannels = X.channels;

numberOfHarmonics = 3;
signal = X.data; % powtórzenie × kanał × próbki

[W, Lambda] = cosSinCSP(signal, X.stimulation, numberOfHarmonics, X.sampling);

%% Odtworzenie sygnałów źródłowych
S = zeros(size(signal));
for powt = 1:size(signal,1)
S(powt,:,:) = W' * squeeze(signal(powt,:,:));
end

%% Widma Welcha: kanały oryginalne vs źródła CSP
figure('Name', ['Stymulacja: ', num2str(X.stimulation), ' Hz'])
for i = 1:numberOfChannels
subplot(2, numberOfChannels, i)
PP = 0;
for rep = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(rep,i,:));
[Pxx, ff] = pwelch(x, X.sampling, 1, X.sampling, X.sampling);
PP = PP + Pxx;
end
plot(ff(ff<60), PP(ff<60))
title(namesOfChannels{i})

subplot(2, numberOfChannels, numberOfChannels+i)
PP = 0;
for rep = 1:numberOfTrials
s = squeeze(S(rep,i,:));
[Pss, ff] = pwelch(s, X.sampling, 1, X.sampling, X.sampling);
PP = PP + Pss;
end
plot(ff(ff<60), PP(ff<60))
title(['źródło CSP: ', num2str(i)])
xlabel(['\lambda = ', num2str(Lambda(i,i), '%.2f')])
end

%% KROK 4: Mapki topograficzne
% Zidentyfikuj komponent z największą wartością własną.
% Narysuj dwie mapki przy użyciu funkcji topoplot() z pakietu EEGLAB:
%
% (a) Filtr przestrzenny: wagi z jakimi kanały EEG składają się na ten komponent.
% Wskazówka: filtr to kolumna macierzy W.
%
% (b) Topografia źródła: z jakimi wagami komponent dociera do poszczególnych elektrod.
% Wskazówka: topografia zawarta jest w wierszach macierzy odwrotnej do W —
% przypomnij sobie analogiczny krok z analizy CSP dla P300.
%
% Czym różnią się te dwie mapki? Którą łatwiej interpretować fizjologicznie?

% TUTAJ: [~, idx] = max(diag(Lambda));
% TUTAJ: topoplot(...) % filtr
% TUTAJ: topoplot(...) % topografia
</source>

=Sesja 5: ICA jako filtr przestrzenny =

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Sesja wprowadza analizę składowych niezależnych (ICA) jako trzecie
podejście do problemu ślepej separacji źródeł — obok BSS/CSP
i cosSinCSP. Kluczowa różnica: CSP szuka kierunków maksymalizujących
kontrast wariancji między warunkami (kryterium drugiego rzędu),
ICA szuka składowych niezależnych statystycznie, maksymalizując
niegaussowość (kryterium wyższego rzędu). ICA nie wymaga
dwóch warunków eksperymentalnych — działa na jednym stacjonarnym sygnale.

;Zakres wykładu (~40 min):
* model generatywny ICA: <math>\mathbf{x} = \mathbf{D}\mathbf{s}</math>, założenie niegaussowości składowych
* negoentropia i algorytm FastICA
* porównanie z CSP: kiedy ICA, kiedy CSP
* ograniczenia: liczba próbek a liczba kanałów (<math>kN^2</math>), niejednoznaczność kolejności i skali komponentów

;Zakres ćwiczenia (~80 min):
* wczytanie danych do EEGLAB, edycja lokalizacji elektrod
* filtrowanie górnoprzepustowe (FIR, 0,5 Hz), zmiana referencji
* obliczenie ICA na całym sygnale
* identyfikacja komponentów zawierających rytm alfa: topografia, widmo, przebieg czasowy
* usunięcie komponentów niezawierających alfy, odtworzenie sygnału na elektrodach
* porównanie wyników między co najmniej trzema uruchomieniami ICA: czy komponenty są powtarzalne?

==Teoria==

===Definicja ===
Independent Component Analysis (ICA) jest metodą statystycznej analizy sygnałów, która dokonuje dekompozycji wielokanałowych zapisów na składowe niezależne w sensie statystycznym.
Dwie składowe ''s''1 i ''s''2 są niezależne jeżeli wiedza o wartości ''s''1 nie daje żadnych informacji o możliwych wartościach ''s''2. ICA może być wyrażona przez prosty model generatywny:
: '''x''' = '''Ds'''
: gdzie '''x''' = {''x''1, ''x''2, ..., ''x''''n''} jest zmierzonym ''n'' kanałowym sygnałem, '''D''' jest macierzą mieszającą zaś '''s''' = {''s''1, ''s''2, ..., ''s''''n''} jest aktywnością ''n'' źródeł. Podstawowym założeniem dotyczącym '''s''' jest to, że ''s''''i'' są statystycznie niezależne. Aby wyestymować model musimy też założyć, że składowe mają niegaussowskie rozkłady wartości (Hyvärinen, 2000).

Dodatkowo model ten zakłada następujące fakty:
# Sygnał jest liniową mieszaniną aktywności źródeł
# Sygnały pochodzące z każdego ze źródeł są niezależne od pozostałych
# Źródła oraz proces ich mieszania są stacjonarne, tzn, ich momenty statystyczne nie zależą od czasu
# Energie (wariancje) źródeł nie mogą być wyznaczone jednoznacznie. Dzieje się tak ponieważ pomnożenie amplitudy ''i''-tego źródła może być uzyskane poprzez przemnożenie albo ''s''''i'' albo przez przemnożenie ''i''-tej kolumny macierzy '''D'''. Naturalnym rozwiązaniem tej niejednoznaczności jest wprowadzenie konwencji, że komponenty są normowane tak aby miały wariancję 1: E[(''s''''i'')''2''] = 1.
# Kolejność komponentów jest dowolna. Bo jeśli w ten sam sposób zmienimy kolejność komponentów w '''s''' i kolumn w '''D''' to dostaniemy dokładnie ten sam sygnał '''x'''.

Głównym wyzwaniem w analizie ICA jest estymacja macierzy mieszającej '''D'''. Gdy jest ona znana to komponenty mogą być wyliczone w następujący sposób:
: '''s''' = '''D'''−1'''x'''

=== Estymacja ===
Znalezienie niezależnych komponentów może być rozważane w świetle Centralnego Twierdzenia Granicznego jako poszukiwanie komponentów o możliwie nie gaussowskim rozkładzie.
Aby zrozumieć to podejście prześledźmy heurystykę zaproponowaną przez (Hyvärinen, 2000).
Dla prostoty załóżmy, że poszukiwane źródła niezależne mają identyczne rozkłady.
Zdefiniujmy

''y'' = '''w'''T'''x'''.

Zauważmy, że jeśli

'''w'''

jest jedną z kolumn macierzy

'''D'''−1,

to ''y'' jest jednym z poszukiwanych komponentów.
Zamieniając zmienne

'''z''' = '''D'''T'''w'''

możemy napisać

''y'' = '''w'''T'''x''' = '''w'''T'''Ds''' = '''z'''T'''s'''.

Uwidacznia to fakt, że ''y'' jest liniową kombinacją składowych s''i'' z wagami danymi przez z''i''.

Z centralnego twierdzenia granicznego wynika, że suma niezależnych zmiennych losowych ma bardziej gaussowski charakter niż każda z tych zmiennych osobno.
Liniowa kombinacja staje się najmniej gaussowska gdy '''z''' ma tylko jeden element niezerowy. W tym przypadku ''y'' jest proporcjonalny do s''i''.
Zatem problem estymacji modelu ICA może być sformułowany jako problem znalezienia takiego wektora '''w''', który maksymalizuje niegaussowskość

''y'' = '''w'''T'''x'''.

Maksymalizacja niegaussowskości ''y'' daje jeden niezależny komponent odpowiadający jednemu z 2''n'' maksimów (bo mamy s''i'' i −s''i'') w krajobrazie optymalizacyjnym. Aby znaleźć wszystkie niezależne komponenty musimy znaleźć wszystkie maksima. Ponieważ komponenty są nieskorelowane, to poszukiwania kolejnych komponentów można kontynuować w podprzestrzeni ortogonalnej do już znalezionych komponentów.

===Obliczenia===
Intuicyjna heurystyka poszukiwania najbardziej niegaussowskich składowych może być użyta do wyprowadzenia różnych funkcji kosztu, których optymalizacja daje model ICA, np. kurtoza.

<math>kurt(y) = E\{y^4\} - 3(E{y^2})^2</math>

Inną miarą gassowskości jest neg-entropia, którą można wyprowadzić z entropii:
Entropia jest miarą średniego zdziwienia wynikiem obserwacji zmiennej losowej:
<math>H(Y) = - \sum_i P(Y= a_i) \log(P(Y=a_i)) </math>

Negentropia jest zdefiniowana:

<math> J(y) = H(y_{gauss}) -H(y)</math>
gdzie <math> y_{gauss} </math> jest gassuwską zmienną losową o takiej samej kowaiancji jak <math> y </math>.

Negentropia jest skomplikowana obliczeniow, więc w praktyce używana jest formuła przybliżona:

<math> J(y) \varpropto [E\{G (y)\} - E\{G(\nu)\}]^2</math>

<math>\nu </math> jest zmienną losową ze standardowego rozkładu normalnego , a G są pewnymi niekwadratowymi funkcjami.

W algorytmie FastICA extremum negentropii jest znajdowane w procedurze bazującej na optymalizacji Newtona.
(szczegóły np.: sekcja 6 w https://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/NN00new.pdf)

Procedura wykorzystywana w eeglabie (&bdquo;runica”, Makeig 1996) dąży do minimalizacji informacji wzajemnej. Oba podejścia są w przybliżeniu równoważne (Hyvärinen, 2000), chociaż owo przybliżenie dla sygnałów elektrofizjologicznych nie zostało to jeszcze w pełni wyeksplorowane.
Dla sygnałów o niskiej wymiarowości i spełniających dokładnie założenia ICA wszystkie powszechnie wykorzystywane algorytmy dają niemal identyczne wyniki.

;Bardzo ważna uwaga: ogólną zasadą jest, że jeśli estymujemy ''N'' stabilnych komponentów (z ''N''-kanałowych danych) to musimy dysponować ''kN''2 punktami danych w każdym kanale, gdzie ''N''2 jest liczbą elementów w macierzy '''D''', którą ICA próbuje wyestymować, ''k'' jest liczbą całkowitą. Nie ma dobrych oszacowań teoretycznych na wielkość ''k'', z praktycznych obserwacji wynika, że rośnie ona z liczbą kanałów.

=== Możliwe zastosowania ===
Najczęściej ICA jest stosowana jako narzędzie do:
* usuwania artefaktów z sygnałów EEG (ruchy oczu i mięśnie)
* wydobywania składowych do dalszej analizy (Onton, 2006)
* jako analiza wstępna do lokalizacji źródeł (Grau, 2007).
* ICA jest także stosowana w analize sygnałów EKG i EMG.

===Bibliografia===
Bazowa praca:
* A. Hyvärinen. Fast and Robust Fixed-Point Algorithms for Independent Component Analysis. IEEE Transactions on Neural Networks 10(3):626-634, 1999 http://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/TNN99_reprint.pdf

Nieco prościej opisana wersja z przykładami:
* Hyvärinen, A. and Oja, E. (2000). Independent component analysis: Algorithms and applications. Neural Networks, 13(4-5):411–430.
https://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/NN00new.pdf

* Grau, C., Fuentemilla, L., Marco-Pallars, J. (2007). Functional neural dynamics underlying auditory event-related n1 and n1 suppression response. Neuroimage, 36(6):522–31.
* Makeig, S., Bell, A., Jung, T.-P., Sejnowski,T. (1996). Independent component analysis of electroencephalographic data. W: Touretzky, D., Mozer, M., and Hasselmo, M., editors, Advances in Neural Information Processing Systems, volume 8, pages 145–151. MIT Press, Cambridge, MA.
* Onton, J., Makeig, S. (2006). Information-based modeling of event-related brain dynamics. Prog Brain Res., 159:99–120.
* Tutorial: http://sccn.ucsd.edu/wiki/Chapter_09:_Decomposing_Data_Using_ICA
* http://sccn.ucsd.edu/~arno/indexica.html
* http://cis.legacy.ics.tkk.fi/aapo/papers/IJCNN99_tutorialweb/

== ZADANIE: Wydobywanie interesujących komponentów ==

Dane do tej części ćwiczeń proszę pobrać i rozpakować w swoim katalogu:
http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Dane_do_ICA_alfa.tar.gz

Pochodzą one z eksperymentu, w którym osoba badana siedziała z zamkniętymi oczami słuchając nagrania czytanego spokojnym głosem. Metadane opisujące sygnał znajdują się w pliku Miro.xml, zaś lokalizacje elektrod w pliku Miro-10-20-Cap.locs.

Proszę:
* wczytać dane do eeglaba
* wyedytować lokalizację elektrod
* usunąć kanały nie zawierające EEG
* zmienić referencje na średnią z kanałów A1 i A2
* przefiltrować filtrem FIR górnoprzepustowym z częstością odcięcia 0,5 Hz
* obejrzeć wstępnie przygotowane dane
* policzyć ICA na całym sygnale
* obejrzeć właściwości otrzymanych komponentów
** Czy są wśród nich takie, które zawierają znaczny udział rytmu alfa?
** Jaka jest ich topografia?
* usunąć wszystkie komponenty nie zawierające alfy
* odtworzyć z tych komponentów sygnał na elektrodach
* wykonać dekompozycję ICA kilkukrotnie (co najmniej 3) i porównać wyniki
** Czy uzyskiwane komponenty są powtarzalne?
** Swoje wyniki porównać też z sąsiednimi grupami.

==ZADANIE: Identyfikacja artefaktów ==
Proszę pobrać dane:

*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal-10-20-Cap.locs
*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal1.set
*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal1.fdt

Pochodzą one z eksperymentu w którym osoba badana czytała słowa o różnych właściwościach wzbudzania emocji.

* wczytaj je do eeglaba
* wczytaj lokalizację kanałów z pliku Arousal-10-20-Cap.locs
* obejrzyj przebiegi czasowe
* odrzuć kanał z diodą (21) i z GSR (20)
* zrób dekompozycję ICA
* obejrzyj topografię komponentów
* zidentyfikuj komponenty odpowiadające mruganiu i aktywności mięśniowej.
;UWAGA: Aktualnie do wykrywania komponentów artefaktowych warto posłużyć się wtyczkami do eeglaba dostępnymi przez stronę:

https://sccn.ucsd.edu/eeglab/plugin_uploader/plugin_list_all.php

* ICLabel:
** https://labeling.ucsd.edu/tutorial/overview
** https://github.com/sccn/ICLabel

* MARA:
** https://github.com/irenne/MARA/raw/master/MARAtutorial.pdf
** https://irenne.github.io/artifacts/

=Sesja 6: Problem odwrotny w EEG i MEG=

;Czas: ~60 min wykład + ~90 min ćwiczenie

Sesja wprowadza problem odwrotny jako alternatywne — i komplementarne —
podejście do analizy przestrzennej sygnałów EEG i MEG. O ile BSS/CSP
i ICA szukają filtrów przestrzennych w przestrzeni elektrod,
nie zakładając nic o geometrii mózgu,
to metody problemu odwrotnego wyraźnie osadzają źródła
w przestrzeni trójwymiarowej, korzystając z fizyki i modelu głowy.

Materiały z naszych zasobów:
* [[Elektroencefalografia|Sekcje 3 i 8 z Podręcznika o EEG ]]
* [https://drive.google.com/file/d/1EOJxN1y7X3YlIFHoIIyoZzCiXdrQSHcA Wykład Piotra Durki z Analizy sygnałów o problemie odwrotnym w EEG iMEG]

Z zasobów zewnętrznych polecam:
* [https://download.fieldtriptoolbox.org/workshop/toolkit2025/slides/04_forward_inverse.pdf#page=1.00 Slajdy "Forward and inverse - lecture by Robert Oostenveld" fragment warsztatów: "Advanced MEG/EEG toolkit at the Donders"]

==Kontrast z BSS: dwa języki opisu tego samego zjawiska==

Zarówno BSS/ICA, jak i metody problemu odwrotnego wychodzą
od tego samego modelu generatywnego:
:<math>\mathbf{x}(t) = \mathbf{A}\,\mathbf{s}(t) + \boldsymbol{\varepsilon}(t)</math>
gdzie <math>\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^{N_e}</math> to potencjały na elektrodach,
<math>\mathbf{s}(t) \in \mathbb{R}^{N_s}</math> to aktywność źródeł,
a <math>\mathbf{A}</math> to macierz mieszająca (ang. ''lead field'' lub ''forward matrix'').

Różnica leży w tym, co robimy z macierzą <math>\mathbf{A}</math>:

{| class="wikitable"
|-
! !! BSS / ICA !! Problem odwrotny
|-
| '''Macierz A''' || nieznana; estymowana z danych || obliczona z modelu głowy (''forward model'')
|-
| '''Liczba źródeł''' || równa liczbie elektrod || od 1 dipola do ~10 000 wokseli
|-
| '''Geometria''' || brak założeń przestrzennych || źródła zlokalizowane w przestrzeni 3D
|-
| '''Regularyzacja''' || przez kryterium stat. (niezależność, wariancja) || przez regularyzację matematyczną (L2, L1, …)
|-
| '''Wynik''' || filtry przestrzenne + komponenty || mapa aktywności w przestrzeni mózgu
|}

Kluczowa trudność problemu odwrotnego wynika z jego
fundamentalnej niejednoznaczności:

układ równań:

<math>\mathbf{x} = \mathbf{A}\mathbf{s}</math>

jest niedookreślony — przy <math>N_e \approx 19\text{–}256</math> elektrodach
i <math>N_s \sim 10^4</math> możliwych lokalizacjach źródeł
istnieje nieskończenie wiele rozkładów <math>\mathbf{s}</math>
dokładnie odtwarzających zmierzony <math>\mathbf{x}</math>.
Każda metoda nakłada inne założenie ''a priori'', by wybrać jedno rozwiązanie.

==Model do przodu (forward model)==

Zanim można rozwiązać problem odwrotny, należy zbudować
''model do przodu'' — obliczenie potencjałów na elektrodach
wywołanych przez jednostkowe źródło prądowe w danym miejscu mózgu.
Wynik zapisuje się jako macierz ''pola wiodącego'' (''lead field''):
:<math>\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{N_e \times 3N_s}</math>
gdzie czynnik 3 wynika z trzech ortogonalnych składowych momentu dipolowego.

=== Skąd bierze się macierz ''lead field''? ===

Przejdźmy od równań Maxwella do tego, co dosłownie liczą funkcje `ft_prepare_headmodel` / `ft_prepare_leadfield`.

==== 1. Punkt wyjścia: przybliżenie kwazistatyczne ====

=====Pełne równania Maxwella w ośrodku materialnym=====

$$
\begin{aligned}
\nabla \cdot \mathbf{D} &= \rho && \text{(prawo Gaussa)} \\
\nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 && \text{(brak monopoli magnetycznych)} \\
\nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} && \text{(prawo Faradaya)} \\
\nabla \times \mathbf{H} &= \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} && \text{(prawo Ampère'a–Maxwella)}
\end{aligned}
$$

uzupełnione związkami konstytutywnymi dla tkanki traktowanej jako liniowy, lokalnie izotropowy ośrodek:

$$
\mathbf{D} = \varepsilon\,\mathbf{E},\qquad \mathbf{B} = \mu_0\,\mathbf{H},\qquad \mathbf{J} = \sigma\,\mathbf{E} + \mathbf{J}^p
$$

Ostatnia relacja to uogólnione prawo Ohma: prąd swobodny ma część omową (<math>\sigma\mathbf{E}</math>, prądy bierne w przewodniku objętościowym) i część „pierwotną" <math>\mathbf{J}^p</math> pochodzącą od źródeł neuronowych — bo to one *nie* są napędzane lokalnym polem <math>\mathbf{E}</math>, tylko gradientami stężeń jonów.

===== Przybliżenie kwazistatyczne =====

Wprowadzamy harmoniczną zależność czasową <math> J \sim e^{i\omega t}</math> i porównujemy człony w równaniach Maxwella.

Mamy dla EEG:

**(a) Pomijalny prąd przesunięcia w równaniu Ampère'a. ** Stosunek członu pojemnościowego do omowego to <math>\omega\varepsilon/\sigma</math>. Dla tkanki przy <math>f=100</math> Hz, <math>\sigma\approx 0{,}3</math> S/m, <math>\varepsilon_r\approx 10^5</math> (efektywna wartość niska-częstotliwościowa dla istoty szarej; spada szybko z <math>f</math>):
$$\frac{\omega\varepsilon}{\sigma} = \frac{2\pi\cdot 100\cdot 10^5\cdot 8{,}85\cdot 10^{-12}}{0{,}3}\sim 10^{-3}$$

— bezpiecznie pomijalny w EEG. To pozwala napisać <math>\nabla\times\mathbf{H}\approx\mathbf{J}</math>, a po wzięciu dywergencji:
$$\nabla\cdot\mathbf{J} = 0$$

**(b) Pomijalna indukcja w równaniu Faradaya.** Mówimy, że <math>\partial\mathbf{B}/\partial t</math> jest na tyle małe, że <math>\nabla\times\mathbf{E}\approx 0</math>, więc istnieje potencjał skalarny <math>V</math> z <math>\mathbf{E}=-\nabla V</math>. Można to oszacować z indukcyjności geometrii głowy i wykazać, że pomijany wkład jest o kilka rzędów mniejszy od <math>-\nabla V</math>.

**(c) Brak efektów propagacyjnych.** Długość fali EM przy 100 Hz w próżni to <math>\lambda = c/f\approx 3000</math> km, czyli <math>\lambda \gg L_\text{głowy}</math>. To gwarantuje, że pole „widzi" całą głowę jednocześnie — stąd zerowe przesunięcie fazowe propagacji potencjału przez przewodnik objętościowy.

Co zostaje po przybliżeniu:

$$
\begin{aligned}
\nabla \times \mathbf{E} &= 0 \;\Rightarrow\; \mathbf{E} = -\nabla V \\
\nabla \cdot \mathbf{J} &= 0 \\
\mathbf{J} &= -\sigma\nabla V + \mathbf{J}^p
\end{aligned}
$$

Składając trzy powyższe:

$$
\nabla\cdot\bigl(\sigma(\mathbf{r})\nabla V(\mathbf{r})\bigr) = \nabla\cdot\mathbf{J}^p(\mathbf{r})
$$

Warto przy tym podkreślić, że prawo Gaussa i <math>\nabla\cdot\mathbf{B}=0</math> nie znikają — one są nadal spełnione, ale po prostu nie są nam potrzebne do wyliczenia <math>V</math> na skórze: ładunki swobodne i indukowane policzy się *a posteriori* z <math>\rho = \nabla\cdot(\varepsilon\nabla V)\cdot(-1)</math>, a pole magnetyczne (interesujące dla MEG!) z prawa Biota–Savarta zastosowanego do <math>\mathbf{J}</math>.

Warto tu zauważyć, że kwazistatyka EEG i kwazistatyka MEG to **to samo** przybliżenie — różni je tylko, co wybieramy jako wielkość mierzoną (<math>V</math> na skórze vs. <math>\mathbf{B}</math> na zewnątrz głowy). To samo równanie Poissona generuje oba sygnały, a różnice w czułości na orientację dipola (radialny vs. tangencjalny) wynikają stąd, że potencjał i pole magnetyczne są różnymi funkcjonałami tego samego rozwiązania.

==== 2. Rozszczepienie prądu — gdzie pojawia się „źródło" ====

Gęstość prądu w tkance dzielimy na część „pierwotną" (neuronową) i „objętościową" (omową):

$$\mathbf{J}(\mathbf{r}) = \mathbf{J}^p(\mathbf{r}) - \sigma(\mathbf{r})\,\nabla V(\mathbf{r})$$

<math>\mathbf{J}^p</math> reprezentuje *prądy postsynaptyczne w piramidowych neuronach kory* — to one są naszym „źródłem". Reszta to prądy bierne płynące w przewodniku objętościowym o nieizotropowej, niejednorodnej przewodności <math>\sigma</math>.

Podstawiając do warunku <math>\nabla \cdot \mathbf{J}_\text{tot} = 0</math> dostajemy równanie Poissona dla niejednorodnego przewodnika:

$$\boxed{\;\nabla \cdot \bigl(\sigma(\mathbf{r})\,\nabla V(\mathbf{r})\bigr) = \nabla \cdot \mathbf{J}^p(\mathbf{r})\;}$$

To jest równanie problemu wprost. Cała reszta to:
(a) model źródła,
(b) warunki brzegowe,
(c) sposób rozwiązania.

==== 3. Model źródła: dipol prądowy ====

Dla pojedynczego dipola w <math>\mathbf{r}_0</math> o momencie <math>\mathbf{q}</math>:

$$\mathbf{J}^p(\mathbf{r}) = \mathbf{q}\,\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$$

$$\nabla \cdot \mathbf{J}^p(\mathbf{r}) = \mathbf{q}\cdot\nabla\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$$

Liniowość PDE daje natychmiast kluczową własność: <math>V</math> jest **liniową** funkcją <math>\mathbf{q}</math>. To właśnie ta liniowość pozwala zapisać:

$$\mathbf{v} = \mathbf{L}\,\mathbf{j}$$

gdzie <math>\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{N_\text{el}}</math> to potencjały, <math>\mathbf{j} \in \mathbb{R}^{3N_\text{src}}</math> to momenty dipoli, a <math>\mathbf{L}</math> to *lead field matrix*. Każda kolumna <math>\mathbf{L}</math> to potencjał wywołany jednostkowym dipolem w danym miejscu i o danej orientacji.

==== 4. Warunki brzegowe ====

Na granicy skóra/powietrze prąd nie wypływa:

$$\sigma\,\nabla V \cdot \hat{\mathbf{n}} = 0 \quad \text{na zewnętrznej powierzchni}$$

Wewnątrz, na granicach tkanek o różnym <math>\sigma</math> (mózg–CSF–czaszka–skóra):

$$V \text{ ciągłe},\quad \sigma\nabla V \cdot \hat{\mathbf{n}} \text{ ciągłe}$$

To są te warunki, które „włączają" geometrię i przewodności do problemu — i to one decydują, że czaszka (niskie <math>\sigma</math>, około 1/15–1/80 tkanki miękkiej, do dziś dyskutowane) rozmywa pole tak agresywnie.

==== 5. Metody rozwiązania ====
W pakiecie fieldtrip problem wprostt jest rozwiązywany przez funkcję
`ft_prepare_headmodel` - to fabryka różnych metod rozwiązujących to samo PDE. Wybór `cfg.method` decyduje o paradygmacie matematycznym:

**(a) Rozwiązania analityczne — modele sferyczne** (`'singlesphere'`, `'concentricspheres'`)

Dla geometrii sferycznej z osiową symetrią rozwija się <math>V</math> w szereg wielomianów Legendre'a. Dla 3-warstwowego modelu koncentrycznego dostajemy zamknięty wzór z nieskończonym szeregiem, który w praktyce tnie się po ~40 wyrazach. Berg & Scherg (1994) dali znakomite przybliżenie 3 dipolami w sferze jednorodnej — błyskawicznie szybkie, do dziś używane w MEG. Plus: bardzo szybkie, brak siatkowania. Minus: kula to nie głowa, zwłaszcza w okolicach skroniowych i podstawy.

**(b) BEM — Boundary Element Method** (`'bemcp'`, `'dipoli'`, `'openmeeg'`)

Wykorzystuje się fakt, że w obszarze o stałym <math>\sigma</math> <math>V</math> spełnia równanie Laplace'a, a cały „nietrywialny" wkład można wyrazić jako całkę po powierzchniach granicznych. Z drugiej tożsamości Greena dostajemy całkowe równanie typu Fredholma 2-go rodzaju:

$$V(\mathbf{r}) = V_\infty(\mathbf{r}) + \frac{1}{4\pi}\sum_k \frac{\sigma_k^- - \sigma_k^+}{\bar{\sigma}}\oint_{S_k} V(\mathbf{r}')\,\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\cdot\hat{\mathbf{n}}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,dS'$$

gdzie <math>V_\infty</math> to potencjał dipola w przestrzeni nieograniczonej. Triangulujemy powierzchnie (skóra, czaszka, mózg — czasem CSF) i to równanie zamienia się w układ liniowy. Szybciej niż FEM, ale wymaga założenia odcinkowo stałej przewodności i zakłada izotropię.

**(c) FEM — Finite Element Method** (`'simbio'`, `'duneuro'`)

Cała objętość głowy dyskretyzowana czworościanami/sześciościanami z indywidualnym tensorem <math>\sigma</math> w każdym elemencie (z DTI można wstrzyknąć anizotropię istoty białej!). Sformułowanie wariacyjne daje rzadki układ:

$$\mathbf{K}\mathbf{u} = \mathbf{b}$$

gdzie <math>\mathbf{K}</math> to macierz sztywności zależna od <math>\sigma(\mathbf{r})</math>, a <math>\mathbf{b}</math> niesie informację o źródle. To „złoty standard" pod kątem dokładności, ale kosztowny — dlatego praktycznie zawsze łączony z trikiem z punktu 6.

**(d) FDM** — rzadziej, dziś głównie historycznie.

==== 6. Twierdzenie o wzajemności — dlaczego macierz <math>\mathbf{L}</math> da się liczyć rozsądnie ====

Naiwne podejście: dla każdego z <math>\sim 10^4</math> źródeł i każdej z 3 orientacji odpalić rozwiązywacz PDE. To <math>3\times 10^4</math> rozwiązań. Beznadzieja.

Helmholtzowska zasada wzajemności mówi: potencjał w elektrodzie A wywołany dipolem w punkcie <math>\mathbf{r}_0</math> jest równoważny pewnej wielkości policzonej z
pola elektrycznego wytworzonego w <math>\mathbf{r}_0</math> przez jednostkowy prąd wstrzyknięty między elektrodą A a referencją. Formalnie:

$$V_A(\mathbf{r}_0;\mathbf{q}) = \mathbf{E}^{(A)}(\mathbf{r}_0)\cdot\mathbf{q}$$

gdzie <math>\mathbf{E}^{(A)}</math> to pole „wstrzykniętego" prądu jednostkowego. Konsekwencja: zamiast <math>3N_\text{src}</math> rozwiązań PDE wystarczy <math>N_\text{el}-1</math> rozwiązań (po jednym na elektrodę). Praktycznie wszystkie pakiety BEM/FEM (w tym OpenMEEG, SimBio, DUNEuro) to wykorzystują — i dlatego FEM jest w ogóle wykonalny dla całych siatek źródłowych.

'''Fizyczna intuicja'''

Wyobraź sobie, że potencjał wytworzony przez dipol na danej elektrodzie zależy od tego, jak silnie ta elektroda „widzi" punkt w mózgu. Twierdzenie Helmholtza mówi: jeśli chcesz wiedzieć, jak silnie elektroda widzi dany punkt — odwróć kierunek. Wstrzyknij prąd przez tę elektrodę i sprawdź, jakie pole powstaje w tym punkcie. Im silniejsze pole tam dotrze, tym czulsza jest elektroda na dipol tam ulokowany. Kierunek pola wskazuje też, na jaką orientację dipola elektroda reaguje najsilniej.

==== 7. Co więc dosłownie robi `ft_prepare_headmodel` ====

Tworzy obiekt `headmodel`, który zawiera:
- geometrię (kule albo siatki powierzchniowe, albo objętościową siatkę FEM),
- przewodności poszczególnych warstw,
- a w przypadku BEM/FEM — wstępnie policzony operator dyskretny (np. odwróconą macierz BEM albo czynnik macierzy sztywności FEM z trikiem transferowym wykorzystującym wzajemność).

To jest najdroższa część obliczeń — i robi się ją raz dla danej geometrii. Potem `ft_prepare_leadfield`, dla każdej pozycji źródła w `cfg.sourcemodel`, używa tego operatora, żeby wygenerować trzy kolumny <math>\mathbf{L}</math> (dla orientacji x, y, z). Wynik to `leadfield{i}` o wymiarze <math>N_\text{el}\times 3</math> — czyli dosłownie blok macierzy lead field dla danego wokselu.

---

Podsumowanie:

1. Maxwell → kwazistatyka → „elektrostatyka z prądami"

2. Podział prądu i równanie Poissona (jedyne równanie, którego naprawdę trzeba)

3. Dipol jako model i wynikająca **liniowość** → uzasadnienie wzoru $\mathbf{v}=\mathbf{L}\mathbf{j}$

4. Warunki brzegowe → tu wchodzi anatomia

5. Sfery (analityczne, intuicja) → BEM → FEM jako kolejne stopnie realizmu

6. Wzajemność jako trik obliczeniowy, bez którego niczego by się nie dało policzyć w sensownym czasie

Klasyczne źródła:
- Hallez et al. 2007 *J Neuroeng Rehabil* (review obliczeń forward, bardzo czytelny),
- Mosher et al. 1999 dla zwartego wyprowadzenia,
- oraz dokumentacja OpenMEEG (Gramfort et al. 2010) — tam ścieżka BEM jest wyprowadzona z drugiej tożsamości Greena.
---

=== Programy obliczające model do przodu:===
MNE-Python (<code>mne.make_bem_model</code>), FieldTrip (<code>ft_prepare_headmodel</code>), OpenMEEG.

==Fitowanie dipoli (Dipole Fitting)==

===Idea===
Najprostsze założenie: aktywacja EEG pochodzi z jednego
(lub kilku) ekwiwalentnych dipoli prądowych.
Każdy dipol opisany jest sześcioma parametrami:
trzema współrzędnymi położenia <math>(x,y,z)</math>
i trzema składowymi momentu dipolowego <math>(q_x, q_y, q_z)</math>.

===Formalizm===
Dla pojedynczego dipola o momencie <math>\mathbf{q}(t)</math>
w lokalizacji <math>\mathbf{r}_0</math>:
:<math>\mathbf{x}(t) = \mathbf{a}(\mathbf{r}_0)\,\mathbf{q}(t) + \boldsymbol{\varepsilon}(t)</math>
gdzie <math>\mathbf{a}(\mathbf{r}_0) \in \mathbb{R}^{N_e \times 3}</math>
to kolumna macierzy pola wiodącego odpowiadająca lokalizacji <math>\mathbf{r}_0</math>.

Estymacja polega na minimalizacji reszty:
:<math>\hat{\mathbf{r}}_0 = \arg\min_{\mathbf{r}} \left\|\mathbf{x}(t) - \mathbf{a}(\mathbf{r})\,\hat{\mathbf{q}}(t)\right\|^2</math>
Minimalizację prowadzi się zwykle algorytmem Neldera–Meada
lub Levenberga–Marquardta po przestrzeni lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* gdy źródło jest punktowe lub quasi-punktowe (np. wczesne składowe słuchowych potencjałów wywołanych N20, P25)
* gdy liczba aktywnych źródeł jest z góry znana i mała (1–3 dipole)

;Ograniczenia:
* wrażliwość na punkt startowy — algorytm może utknąć w minimum lokalnym
* złe dopasowanie gdy aktywacja pochodzi z rozległego obszaru kory
* wynik silnie zależy od dokładności modelu do przodu

==Minimum Norm Estimation (MNE)==

===Idea===
Zamiast zakładać małą liczbę dipoli,
rozkładamy aktywność na gęstą siatkę źródeł pokrywającą całą powierzchnię kory
i szukamy rozwiązania o minimalnej normie —
tj. takiego, które odtwarza dane, angażując jak najmniejszą całkowitą energię źródeł.

===Formalizm===
Problem optymalizacji z regularyzacją Tichonowa:
:<math>\hat{\mathbf{s}} = \arg\min_{\mathbf{s}} \left\|\mathbf{x} - \mathbf{A}\mathbf{s}\right\|^2 + \lambda\left\|\mathbf{s}\right\|^2</math>
gdzie <math>\lambda > 0</math> to parametr regularyzacji kontrolujący kompromis
między wiernością danym a gładkością rozwiązania.

Rozwiązanie analityczne:
:<math>\hat{\mathbf{s}} = \mathbf{A}^T\left(\mathbf{A}\mathbf{A}^T + \lambda\mathbf{I}\right)^{-1}\mathbf{x}</math>

Macierz <math>\mathbf{W}_{\mathrm{MNE}} = \mathbf{A}^T(\mathbf{A}\mathbf{A}^T + \lambda\mathbf{I})^{-1}</math>
jest liniowym filtrem przestrzennym — analogiem macierzy <math>\mathbf{W}</math> z CSP,
lecz skonstruowanym na podstawie modelu do przodu, nie z danych.

===Warianty===

;dSPM (''dynamic Statistical Parametric Mapping'', Dale 2000):
Normalizuje estymowaną aktywność przez odchylenie standardowe szumu:
:<math>F_{\mathrm{dSPM}}(\mathbf{r}, t) = \frac{\hat{s}(\mathbf{r},t)}{\sigma_{\mathrm{noise}}(\mathbf{r})}</math>
Wynik ma interpretację statystyczną (wartość F lub Z); popularne w neurobiologii poznawczej.

;sLORETA (''standardized LORETA'', Pascual-Marqui 2002):
Normalizuje przez odchylenie standardowe samego estymatora MNE (nie tylko szumu):
:<math>F_{\mathrm{sLORETA}}(\mathbf{r}, t) = \frac{\hat{s}(\mathbf{r},t)}{\sqrt{\left[\mathbf{W}_{\mathrm{MNE}}\mathbf{A}\right]_{(\mathbf{r},\mathbf{r})}}}</math>
Wykazuje zerowe systematyczne błędy lokalizacji w warunkach idealnych.

;Wybór <math>\lambda</math>:
Zwykle <math>\lambda = \alpha \cdot \mathrm{tr}(\mathbf{A}\mathbf{A}^T) / \mathrm{tr}(\mathbf{I})</math>
z <math>\alpha \in [0.05, 0.3]</math>; w MNE-Python domyślnie <math>\alpha = 0.1</math>.
Można też stosować kryterium L-krzywej lub walidację krzyżową.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* gdy aktywacja jest rozproszona lub nieznana a priori
* jako ogólne narzędzie wizualizacji ERP na powierzchni kory
* przy małej liczbie elektrod

;Ograniczenia:
* tendencja do rozmywania rozwiązania — źródła głębokie są systematycznie niedoszacowane
* brak zakładanej rzadkości (''sparsity''); wariant L1 (MCE) jest rzadszy, ale trudniejszy obliczeniowo
* wymaga dobrego modelu do przodu

==Beamformery==

===Idea===
Beamformer (dosł. „formowanie wiązki") to adaptacyjny filtr przestrzenny,
który dla każdej lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>
konstruuje wagi <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math> maksymalizujące
stosunek mocy sygnału z tej lokalizacji do mocy wszystkich pozostałych źródeł.
W odróżnieniu od MNE, beamformer korzysta z macierzy kowariancji danych —
jest więc metodą adaptacyjną, zbliżoną duchem do CSP.

===LCMV (''Linearly Constrained Minimum Variance'', Van Veen 1997)===

Szukamy filtra minimalizującego wariancję wyjścia
przy ograniczeniu zachowującym sygnał z lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>:
:<math>\mathbf{w}^*(\mathbf{r}) = \arg\min_{\mathbf{w}} \mathbf{w}^T\mathbf{C}\mathbf{w}
\quad \text{p.o.} \quad \mathbf{w}^T\mathbf{a}(\mathbf{r}) = 1</math>
gdzie <math>\mathbf{C} = E[\mathbf{x}\mathbf{x}^T]</math> to macierz kowariancji danych.

Rozwiązanie analityczne (mnożnik Lagrange'a):
:<math>\mathbf{w}(\mathbf{r}) = \frac{\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}{\mathbf{a}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}</math>

Moc w lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>:
:<math>P(\mathbf{r}) = \mathbf{w}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}\,\mathbf{w}(\mathbf{r})
= \frac{1}{\mathbf{a}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}</math>

===DICS (''Dynamic Imaging of Coherent Sources'', Gross 2001)===

Wariant beamformera dla analizy częstotliwościowej:
zamiast macierzy kowariancji czasowej stosuje
''cross-spectral density matrix'' <math>\mathbf{C}(f)</math>
obliczoną dla wybranego pasma częstości.
Pozwala mapować koherencję między lokalizacjami na powierzchni kory.

===Analogia z CSP===

Zauważmy analogię strukturalną:

{| class="wikitable"
|-
! !! CSP !! LCMV Beamformer
|-
| '''Macierz kowariancji''' || <math>\mathbf{R}_T, \mathbf{R}_{NT}</math> (dwa warunki) || <math>\mathbf{C}</math> (jeden warunek) + <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
|-
| '''Filtr''' || <math>\mathbf{w}</math>: maks. stosunek wariancji || <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math>: min. wariancja przy ograniczeniu
|-
| '''Przestrzeń''' || elektrod || przestrzeni mózgu (woksel po wokselu)
|-
| '''Model do przodu''' || nie || tak — przez <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
|}

Kluczowa różnica: CSP optymalizuje globalnie jednym zagadnieniem własnym,
beamformer rozwiązuje osobny problem dla każdej lokalizacji.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* analiza ERD/ERS (rytmy ruchowe, alfa, beta) w przestrzeni mózgu
* lokalizacja źródeł oscylacyjnych w MEG
* DICS do badania koherencji korowo-korowej

;Ograniczenia:
* silnie skorelowane źródła są tłumione (''source cancellation'') — beamformer zakłada, że źródła są nieskorelowane
* wymaga dużej liczby próbek do stabilnej estymacji <math>\mathbf{C}^{-1}</math>
* przy małej liczbie elektrod macierz <math>\mathbf{C}</math> może być źle uwarunkowana

;Podsumowanie:
[[Plik:Inverse problem vs bss.png|mały|centruj]]

==Podsumowanie: kiedy stosować którą metodę==

{| class="wikitable"
|-
! Metoda !! Założenie a priori !! Dane wejściowe !! Typowe zastosowanie
|-
| '''Dipole fitting''' || 1–3 punktowe źródła || ERP, AEP, SEP || lokalizacja wczesnych składowych wywołanych
|-
| '''MNE / dSPM / sLORETA''' || minimalna energia; źródła ciągłe || ERP, dowolny sygnał || wizualizacja rozproszonej aktywności na korze
|-
| '''LCMV Beamformer''' || źródła nieskorelowane || ERD/ERS, dane resting-state || lokalizacja źródeł oscylacyjnych w MEG/EEG
|-
| '''DICS''' || j.w. + analiza spektralna || dane oscylacyjne || mapa koherencji korowo-korowej
|-
| '''CSP / ICA''' || brak modelu geometrycznego || dwa warunki / jeden segment || klasyfikacja BCI, usuwanie artefaktów
|}

;Uwaga praktyczna:
Wszystkie metody problemu odwrotnego wymagają przygotowania modelu do przodu.
Zaleca się korzystanie z MNE-Python lub FieldTrip — oba pakiety
oferują spójne pipeline'y od surowych danych do map korowych
i są szeroko stosowane w literaturze, co ułatwia replikację wyników.

=Sesja 7: Problem odwrotny — część praktyczna=

;Czas: ~30 min wprowadzenie + ~120 min ćwiczenie

Część praktyczna prowadzi przez pełny pipeline lokalizacji źródeł:
od wczytania danych w FieldTrip, przez zbudowanie modelu do przodu,
do fitowania dipola i interpretacji wyniku.
Sesja jest zaprojektowana tak, aby każdy krok bezpośrednio ilustrował
jeden element teorii omówionej w [[#Sesja 7: Problem odwrotny w EEG i MEG|części wykładowej]].

;Dane:
Używamy standardowego zestawu danych FieldTrip
(dane somatosensoryczne MEG/EEG, bodziec elektryczny na nadgarstku — składowa N20):
* https://download.fieldtriptoolbox.org/tutorial/Subject01.zip (~800 MB)

Ten sam zestaw danych jest używany we wszystkich tutorialach FieldTrip
wymienionych w tej sesji, co ułatwia porównywanie wyników między krokami.

;Instalacja FieldTrip: Wymagania wstępne:
FieldTrip wymaga MATLABa. Przed instalacją sprawdź kompatybilność swojej wersji:
[https://www.fieldtriptoolbox.org/faq/matlab/requirements MATLAB requirements]

;Pobranie toolboxa: Pobierz najnowszą wersję ze strony:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/download.php Pobierz FieldTrip]

Rozpakuj archiwum ZIP w wybranym katalogu, np. <code>~/matlab/fieldtrip</code> (Linux/macOS).

;Ważne: nie zmieniaj wewnętrznej struktury katalogów po rozpakowaniu —
FieldTrip dynamicznie zarządza swoimi podkatalogami.

;Konfiguracja ścieżki MATLAB: Pełna instrukcja: [https://www.fieldtriptoolbox.org/faq/matlab/installation Installation and setting up the path]

Uruchom poniższe polecenia na początku każdej sesji pracy z FieldTrip
(lub wstaw je do pliku <code>startup.m</code> — patrz niżej):

<source lang="matlab">
restoredefaultpath % wyczyść aktualną ścieżkę
addpath('~/fieldtrip') % podaj tu swoją ścieżkę do FieldTrip
ft_defaults % skonfiguruj FieldTrip i minimalne podkatalogi
</source>

;Uwaga — częsty błąd:
Nie używaj <code>addpath(genpath(...))</code> ani przycisku „Add with Subfolders" w MATLAB GUI.
FieldTrip samodzielnie dodaje potrzebne podkatalogi przez <code>ft_defaults</code>
i <code>ft_hastoolbox</code> — dodanie wszystkiego ręcznie powoduje konflikty
z funkcjami SPM, EEGLAB i wbudowanymi funkcjami MATLABa
(w szczególności z funkcjami z katalogu <code>fieldtrip/compat</code>
przeznaczonymi tylko dla starych wersji MATLABa).

;Trwała konfiguracja przez startup.m:

Żeby nie powtarzać powyższych poleceń przy każdym uruchomieniu MATLABa,
utwórz plik <code>startup.m</code> w swoim katalogu MATLABa
(zwykle <code>Dokumenty/MATLAB/startup.m</code>) z zawartością:

<source lang="matlab">
restoredefaultpath
addpath('C:\fieldtrip') % zmień na swoją ścieżkę
ft_defaults
</source>

MATLAB wykonuje ten plik automatycznie przy każdym uruchomieniu.

;Uwaga dla użytkowników EEGLAB: Jeśli korzystasz z EEGLAB i FieldTrip w tej samej sesji,
zawsze ładuj FieldTrip przez <code>restoredefaultpath</code> + <code>addpath</code> + <code>ft_defaults</code>,
a nie przez interfejs EEGLAB. Oba toolboxy zawierają funkcje o tych samych nazwach
(np. <code>eegplot</code>, <code>topoplot</code>) — kolejność na ścieżce decyduje,
która wersja zostanie wywołana.

;Weryfikacja instalacji: Sprawdź poprawność instalacji jednym poleceniem:

<source lang="matlab">
ft_defaults
ft_version
</source>

Powinieneś zobaczyć numer wersji i datę kompilacji, np.:
<pre>
FieldTrip version 20250901, path: C:\fieldtrip
</pre>

Jeśli MATLAB zgłasza błąd <code>Undefined function 'ft_defaults'</code>,
ścieżka nie została ustawiona poprawnie — wróć do kroku z <code>addpath</code>.

==Krok 0: Wejście do FieldTrip==

Przed właściwym ćwiczeniem proszę zapoznać się z tutorialem wprowadzającym:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/intro/introduction/ Introduction to the FieldTrip toolbox]

;Na co zwrócić uwagę przechodząc ten tutorial:

Studenci znający EEGLAB natkną się na dwie zasadnicze różnice w filozofii pracy:

* '''Struktura cfg''' zamiast GUI. Każda funkcja FieldTrip przyjmuje strukturę konfiguracyjną <code>cfg</code> i zwraca nową strukturę danych. Nie ma okien dialogowych — cała analiza jest skryptem. Jest to bliższe temu, co robiliśmy w MATLAB-owych sesjach CSP/ICA.

* '''Niezmienność danych'''. FieldTrip nie modyfikuje struktur w miejscu — każde wywołanie funkcji zwraca nową strukturę. Pozwala to łatwo porównywać wyniki różnych parametrów, ale wymaga dbałości o nazewnictwo zmiennych.

;Pytanie do dyskusji po lekturze:
Jak odpowiadają sobie nawzajem: <code>EEG.data</code> w EEGLAB i struktura <code>data</code> w FieldTrip?
Gdzie w strukturach FieldTrip przechowywane są informacje o lokalizacji elektrod?

==Krok 1: Model do przodu — BEM dla EEG==

Przed fitowaniem dipola musimy obliczyć macierz pola wiodącego <math>\mathbf{A}</math>.
Proszę przejść tutorial:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/headmodel_eeg_bem Construct a BEM headmodel for EEG source analysis]

==Krok 2: Fitowanie dipola (ćwiczenie główne)==

;Czas: ~90 min

To jest główne ćwiczenie praktyczne Sesji 7.
Proszę przejść tutorial:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/dipolefitting Dipole fitting of combined MEG/EEG data]

Poniżej znajdziesz szkielet kodu z pytaniami pomocniczymi
do samodzielnego wypełnienia — zacznij od tutorialu,
a potem wróć do szkieletu i uzupełnij brakujące fragmenty.

==Krok 3: Dalsze metody — dla zainteresowanych==

Poniższe tutoriale stanowią naturalne rozwinięcie ćwiczenia głównego
i ilustrują pozostałe metody omówione w teorii Sesji 7.
Nie są wymagane na zaliczenie, ale gorąco je polecamy
jeśli planujesz używać lokalizacji źródeł w pracy badawczej.

;Minimum Norm Estimation:
[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/minimumnormestimate Source reconstruction of event-related fields using minimum-norm estimation]

Ten sam sygnał N20 co w ćwiczeniu głównym, ale zamiast jednego dipola
otrzymujesz ciągłą mapę aktywności na całej powierzchni kory.
Zwróć uwagę jak wybór parametru regularyzacji <math>\lambda</math>
wpływa na rozmycie rozwiązania.
Porównaj lokalizację maksimum mapy MNE z lokalizacją dipola z Kroku 2.

;Beamformer (LCMV/DICS):
[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/beamformer Localizing oscillatory sources in MEG data using a beamformer]

Tutorial wykorzystuje ten sam zestaw danych Subject01
i lokalizuje źródła oscylacji gamma wywołanych bodźcem —
bezpośrednie rozwinięcie analizy ERD/ERS, którą już znasz.
Kluczowa różnica w stosunku do MNE: beamformer korzysta
z macierzy kowariancji danych <math>\mathbf{C}</math>,
a nie tylko z modelu do przodu. Sprawdź jak wyglądają
filtry przestrzenne <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math> dla różnych lokalizacji
i porównaj je koncepcyjnie z filtrami CSP z Sesji 1–3.











-->

Laboratorium EEG/CSP

2026-05-19T10:29:24Z

Jarekz: /* Szkielet kodu — fitowanie dipola dla składowej N20 */

[[Laboratorium_EEG]]/BSS

=Sesja 1: Ślepa separacja źródeł i CSP — wprowadzenie=

;Czas: ~60 min wykład + ~90 min ćwiczenie symulacyjne

Zajęcia wprowadzają do problemu filtracji przestrzennej sygnałów EEG.
Punktem wyjścia jest ogólny problem ślepej separacji źródeł (BSS),
z którego CSP wyłania się jako szczególny przypadek dla dwóch warunków
eksperymentalnych. Filtry przestrzenne omawiane na tych zajęciach stanowią
fundament klasycznych metod BCI (P300, SSVEP, motor imagery) oraz są
bezpośrednim odpowiednikiem warstw przestrzennych w sieciach neuronowych
takich jak ShallowConvNet i EEGNet — do tej analogii wrócimy w sesji 6.

[https://drive.google.com/file/d/1WrXgWWDJ7g5ZdYltm_8s2NXbGamw4R8N/view?usp=sharing Slajdy do wykładu (PDF)]

;Zakres wykładu:
* model generatywny EEG: <math>x(t) = As(t)</math>, macierz kowariancji, idea diagonalizacji
* BSS jako ogólny problem separacji źródeł
* CSP jako szczególny przypadek: dwa warunki eksperymentalne, iloraz Rayleigha, uogólnione zagadnienie własne
* interpretacja filtrów i topografii źródeł

;Ćwiczenie symulacyjne:
Zob. [[#Ćwiczenie symulacyjne|Ćwiczenie symulacyjne]] w sekcji CSP poniżej.

====Ćwiczenie symulacyjne ====
====Zadania do samodzielnej realizacji====

Poniższy kod dostarcza gotowej infrastruktury: generacji sygnałów, macierzy mieszającej i wizualizacji.
Zadaniem jest samodzielna implementacja kluczowych kroków analizy CSP.

;Zadanie 1 (obowiązkowe): Obliczenie macierzy kowariancji
Napisz funkcję <code>srednia_kowariancja(X, ind)</code>, która dla danej tablicy sygnałów <code>X</code>
(wymiary: powtórzenia × kanały × próbki) i wektora indeksów czasowych <code>ind</code>
zwraca średnią macierz kowariancji uśrednioną po powtórzeniach.
Dla każdego powtórzenia zastosuj funkcję <code>cov</code> i znormalizuj wynik przez jego ślad (<code>trace</code>).
Sprawdź wynik porównując z macierzami <code>R_B</code> i <code>R_E</code> obliczonymi w dostarczonym kodzie.

;Zadanie 2 (obowiązkowe): Implementacja CSP
Korzystając z funkcji <code>eig</code> oraz macierzy kowariancji obliczonych w zadaniu 1,
wyznacz macierz filtrów przestrzennych <code>W</code> i odpowiadające im wartości własne.
Odtwórz sygnały źródłowe dla wszystkich powtórzeń.
Narysuj chmury punktów (amplituda źródła 1 vs amplituda źródła 2) osobno dla warunków
baseline i ERP — przed transformacją CSP i po niej. Co zmieniło się w kształcie chmur?

Wykreśl także wizualizację przebiegów czasowych sygnałów X i sygnałów S uzyskanych po rozmieszaniu.

;Zadanie 3 (obowiązkowe): Interpretacja wartości własnych
Wartości własne znajdują się na przekątnej macierzy <code>Lambda</code>.
Który filtr najbardziej różnicuje warunki baseline i ERP?
Jaki jest związek między wartością własną a separacją widoczną na wykresach punktowych?

;Zadanie 4 (dla chętnych): Wpływ macierzy mieszającej
W dostarczonym kodzie macierz <code>P</code> (filtr przestrzenny) wynosi:
<pre>
P = [1 2; 1.5 1.3]
</pre>
Zmień ją kolejno na macierz bliską jednostkowej (np. <code>P = [1 0.1; 0.1 1]</code>)
oraz na macierz z dużymi elementami pozadiagonalnymi (np. <code>P = [1 5; 4 1]</code>).
Jak zmienia się kształt chmury punktów przed transformacją CSP?
Czy CSP poprawnie oddziela źródła w obu przypadkach?

;Zadanie 5 (dla chętnych): Wpływ szumu
W kodzie szum jest wyłączony: <code>n = 0*randn(size(tmp))</code>.
Usuń mnożnik <code>0*</code> i zbadaj jak poziom szumu wpływa na separację źródeł.
Przy jakim stosunku sygnału do szumu CSP przestaje skutecznie rozdzielać warunki?

;Pytanie do dyskusji:
Dostarczony kod używa <code>eig(R_E, R_B)</code>.
Alternatywą jest <code>eig(R_E, (R_E+R_B)/2)</code>.
Czym różnią się te dwie wersje? W jakich sytuacjach eksperymentalnych
druga wersja mogłaby być bardziej uzasadniona?

====Szkielet kodu do uzupełnienia====

Poniższy szkielet zawiera gotową infrastrukturę symulacji.
Uzupełnij brakujące fragmenty oznaczone komentarzem <code>% TUTAJ</code>
zgodnie z zadaniami 1–3. Pełny kod referencyjny dostępny jest poniżej
— zajrzyj do niego dopiero po samodzielnej próbie.

<source lang="matlab">
%% Parametry symulacji — nie modyfikuj tej sekcji
Fs = 100;
T = 1;
t = 0:1/Fs:T-1/Fs;
N_rep = 100;
N_chan = 2;
s = zeros(N_rep, N_chan, length(t));
X = zeros(N_rep, N_chan, length(t));

P = [1 2; 1.5 1.3]; % filtr przestrzenny (prawdziwy)
A = P^(-1); % topografia źródeł

for r = 1:N_rep
s1 = sin(2*pi*11*t + pi/2) + 0.02*randn(size(t));
s2 = exp(-((t-0.8)/0.05).^2) + 0.01*randn(size(t));
s(r,1,:) = s1;
s(r,2,:) = s2;
tmp = squeeze(s(r,:,:));
n = 0*randn(size(tmp)); % Zadanie 5: zmień 0* na 1* aby włączyć szum
X(r,:,:) = A*tmp + n;
end

baseline_ind = find(t < 0.5);
ERP_ind = find(t >= 0.5);

R_B = zeros(N_chan, N_chan);
R_E = zeros(N_chan, N_chan);

%% Zadanie 1: Oblicz średnie macierze kowariancji
% korzystając z funkcji srednia_kowariancja(X, ind)

% Dla każdego powtórzenia r:
% - wytnij fragment sygnału X(r,:,baseline_ind) i analogicznie ERP
% - oblicz macierz kowariancji funkcją cov() — pamiętaj o transpozycji
% - znormalizuj przez ślad (funkcja trace())
% - dodaj do sumy
% Na końcu podziel przez N_rep

%% Zadanie 2: Rozwiąż uogólnione zagadnienie własne
% Użyj funkcji eig(A,B) gdzie A=R_E, B=R_B
% W wyniku otrzymasz macierz wektorów własnych W (w kolumnach)
% i macierz Lambda z wartościami własnymi na przekątnej

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

disp('Wartości własne (przekątna Lambda):')
disp(diag(Lambda))

%% Zadanie 2 cd.: Odtwórz sygnały źródłowe
% Dla każdego powtórzenia r zastosuj filtr: S(r,:,:) = W' * X(r,:,:)

S = zeros(N_rep, N_chan, length(t));

for r = 1:N_rep
% TUTAJ: S(r,:,:) = ...
end

%% Zadanie 3: Wizualizacja — chmury punktów przed i po CSP
x_base_k1 = X(:,1,baseline_ind);
x_base_k2 = X(:,2,baseline_ind);
x_ERP_k1 = X(:,1,ERP_ind);
x_ERP_k2 = X(:,2,ERP_ind);

s_base_k1 = squeeze(S(:,1,baseline_ind));
s_base_k2 = squeeze(S(:,2,baseline_ind));
s_ERP_k1 = squeeze(S(:,1,ERP_ind));
s_ERP_k2 = squeeze(S(:,2,ERP_ind));

figure(1); clf
subplot(1,2,1)
plot(x_base_k1(:), x_base_k2(:), 'b.'); hold on
plot(x_ERP_k1(:), x_ERP_k2(:), 'r.');
axis equal; xlim([-2 2]); ylim([-2 2])
xlabel('Kanał 1'); ylabel('Kanał 2')
title('Przed CSP')
legend('baseline','ERP')

subplot(1,2,2)
plot(s_base_k1(:), s_base_k2(:), 'b.'); hold on
plot(s_ERP_k1(:), s_ERP_k2(:), 'r.');
axis equal
xlabel('Źródło 1'); ylabel('Źródło 2')
title('Po CSP')
legend('baseline','ERP')
%% Wizualizacja przebiegów czasowych X i S
% TUTAJ:

%% Zadanie 4 (dla chętnych): zmień macierz P powyżej i powtórz analizę
%% Zadanie 5 (dla chętnych): włącz szum (zmień 0* na 1* w linii z n=...)
</source>

{{hidden begin|title=Rozwiązanie — pokaż dopiero po samodzielnej próbie}}
<source lang = matlab>
% symulowany eksperyment składa się z sinusoidy udającej alfę spoczynkową i
% funkcji Gaussa udającego potencjał wywołany
% źródła te są symulowane niezależnie a potem mieszane przez macierz A
% symulujemy źródła
% s1 - symuluje alfę
% s2 - symuluje "potencjał wywołany" (ERP)

%ustawiamy parametry do symulacji sygnałów
Fs = 100;
T = 1;
t = 0:1/Fs:T-1/Fs;
N_rep = 100;
N_chan = 2;
s = zeros(N_rep,N_chan, length(t));
X = zeros(N_rep,N_chan, length(t));

% filtr przestrzenny - z takimi wagami trzeba wziąść kanały EEG aby odzyskać sygnały źródłowe
P = [1 2
1.5 1.3];

% topografie - z takimi wagami źródła dokładają się do poszczególnych elektrod
A = P^(-1);

for r =1:N_rep % tworzymy kolejne realizacje "eksperymentu"
s1 = sin(2*pi*11*t +pi/2+ 0*2*pi*rand())+ 0.02*randn(size(t)); % źródło alfa
s2 = exp(-((t-0.8)/0.05).^2)+ 0.01*randn(size(t)); % źródło ERP

s(r,1,:) = s1;
s(r,2,:) = s2;
tmp = squeeze(s(r,:,:));
n = 0*randn(size(tmp));
X(r,:,:) = A*tmp +n; % rzutujemy sygnały źródłowe na elektrody s -> x

end

% wycinamy warunki
% baseline_ind to indeksy pierwszej połowy każdego powtórzenia "baseline"
% ERP_ind to indeksy drugiej połowy każdego powtórzenia zawierająca "ERP"
baseline_ind = find(t<0.5);
ERP_ind = find(t>=0.5);

x_baseline_kan_1 = X(:,1,baseline_ind);
x_baseline_kan_2 = X(:,2,baseline_ind);

x_ERP_kan_1 = X(:,1,ERP_ind);
x_ERP_kan_2 = X(:,2,ERP_ind);

% liczymy średnie macierze kowariancji:
R_E = zeros(N_chan,N_chan);
R_B = zeros(N_chan,N_chan);
for r =1:N_rep
B = squeeze(X(r,:,baseline_ind));
tmp =cov(B');
R_B = R_B + tmp./trace(tmp);%B*B' ;

E = squeeze(X(r,:,ERP_ind));
tmp = cov(E');
R_E = R_E + tmp./trace(tmp);%E*E' ;
end

R_B = R_B/N_rep;
R_E = R_E/N_rep;

% rozwiązujemy uogólnione zagadnienie własne
[W,Lambda]=eig(R_E,R_B); % możliwa jest też optymalizacja wzg. średniej macierzy kowariancji (R_B+R_A)/2);

% odzyskujemy sygnały źródeł
for r =1:N_rep
S(r,:,:) = W'*squeeze(X(r,:,:));
end

% pobieramy wycinki odpowiadające obu częściom eksperymentu z estymowanych
% źródeł
s_baseline_estymowany_kan1 = squeeze( S(:,1,baseline_ind));
s_baseline_estymowany_kan2 = squeeze( S(:,2,baseline_ind));

s_ERP_estymowany_kan1 = squeeze(S(:,1,ERP_ind));
s_ERP_estymowany_kan2 = squeeze(S(:,2,ERP_ind));

%%%%%%%%%%%%%% Ilustracje %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ilustracja sygnałów mierzonych
figure(1);clf
subplot(2,2,1);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(X(:,1,baseline_ind)))','b'); hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze( X(:,1,ERP_ind)))','r'); hold off
xlabel('elektroda 1')
title('ilustracja sytuacji pomiarowej -\newline znane są potencjały na elektrodach w dwóch warunkach eksperymentalnych')
subplot(2,2,3);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(X(:,2,baseline_ind)))','b'); hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze( X(:,2,ERP_ind)))','r'); hold off
xlabel('elektroda 2')
subplot(1,2,2)
plot(x_baseline_kan_1(:),x_baseline_kan_2(:),'b.');
hold on
plot(x_ERP_kan_1(:),x_ERP_kan_2(:),'r.');
xlim([-2,2])
ylim([-2,2])
axis equal

% wektor własny odpowiadający największej wartości własnej jest
% kierunkiem najbardziej różnicującym warunki eksperymentalne
disp('wartości własne znajdują się na przekątnej macierzy Lambda')
disp(Lambda)
% rysujemy wersory jednostkowe w kierunkach wektorów własnych
w1 = W(:,1);
w1 = w1/norm(w1);
w2 = W(:,2);
w2 = w2/norm(w2);
line([0, w1(1) ],[0,w1(2)],'Color',[0,0.3,0])
text(w1(1),w1(2),'wektor własny 1')
line([0, w2(1) ],[0,w2(2)],'Color',[1,0,1])
text(w2(1),w2(2),'wektor własny 2')

xlabel('Amplituda na elektrodzie 1')
ylabel('Amplituda na elektrodzie 2')
legend('baseline','ERP')

% Ilustracja estymowanych źródeł
figure(2);clf
subplot(2,2,1);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(S(:,1,baseline_ind)))','b');hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze(S(:,1,ERP_ind)))','r');hold off
xlabel('estymowane zrodlo 1')
title('ilustracja estymacji -\newline estymowane są potencjały źródeł w dwóch warunkach eksperymentalnych')
subplot(2,2,3);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(S(:,2,baseline_ind)))','b');hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze(S(:,2,ERP_ind)))','r');hold off
xlabel('estymowane zrodlo 2');
subplot(1,2,2)
plot(s_baseline_estymowany_kan1(:),s_baseline_estymowany_kan2(:),'b.');
hold on
plot(s_ERP_estymowany_kan1(:),s_ERP_estymowany_kan2(:),'r.');

xlabel('Amplituda estym. źródła 1')
ylabel('Amplituda estym. źródła 2')
legend('baseline','ERP')
</source>
{{hidden end}}

=Sesja 2: CSP dla P300 — dane realne=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Pracujemy z danymi kalibracyjnymi z eksperymentu P300.
Celem sesji jest przejście pełnego pipeline'u: od surowych danych
do odtworzonych źródeł CSP.

;Zakres:
* wczytanie danych kalibracyjnych, identyfikacja znaczników T i NT
* cięcie epok (−200 do +800 ms), usuwanie trendu liniowego
* montaż względem średniej ze wszystkich elektrod
* wizualizacja ERP w układzie topograficznym
* obliczenie macierzy kowariancji RT i RNT, normalizacja przez ślad
* rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego: <code>[W, Lambda] = eig(R_T, R_NT)</code>
* odtworzenie sygnałów źródłowych: <code>S = W'*EEG</code>
* przegląd estymowanych źródeł w dwóch warunkach

;Materiały:
Dane: https://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/KalibracjaP300.tar.gz

===ZADANIE: Analiza CSP===

Przegląd badań o P300: https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2715154/

Link do Read menager [https://drive.google.com/file/d/1OgOduK5Zn7GgNl5XdCyLWXHJ7wTJIWcC/view?usp=share_link]

* Wykonać analizę CSP wzmacniającą potencjał P300.
* Zaprezentować średnią ze wszystkich kanałów źródłowych z warunku target (jeden kolor) i non-target (inny kolor) w subplotach ułożonych w prostokątnej siatce. Zaobserwować, dla którego kanału średnie różnią się najbardziej. Czy jest związek tego kanału z wartościami własnymi?

* Dla kanału najbardziej różnicującego wykonać mapki topograficzne wektorów odpowiadających:
** filtrowi przestrzennemu
** rzutu topograficznego źródła na elektrody.

===Szkielet kodu do analizy wstępnej===

<source lang="matlab">
%% KROK 1: Wczytanie danych
% ReadManager to pomocnicza klasa do odczytu plików w formacie OpenBCI.
% Przyjmuje trzy pliki: XML z metadanymi, RAW z próbkami i TAG ze znacznikami zdarzeń.
nazwaPliku = 'p_6301423_calibration_p300.obci';
nameOfXMLFile = strcat(nazwaPliku, '.xml');
nameOfTagFile = strcat(nazwaPliku, '.tag');
namesOfDataFiles = strcat(nazwaPliku, '.raw');

rm = ReadManager(nameOfXMLFile, namesOfDataFiles, nameOfTagFile);

% Pobieramy podstawowe parametry nagrania
numberOfChannels = rm.get_param('number_of_channels');
namesOfChannels = rm.get_param('channels_names');
samplingFrequency = rm.get_param('sampling_frequency');

% Pobieramy listę wszystkich znaczników zdarzeń z nagrania
tagsStruct = rm.get_tags();

%% KROK 2: Identyfikacja znaczników Target i Non-Target
% Każdy znacznik typu 'blink' odpowiada jednemu mignięciu w eksperymencie P300.
% Pole 'index' mówi który symbol mignął, pole 'target' który symbol był oczekiwany.
% Jeśli index == target to było to mignięcie docelowe (Target), w przeciwnym razie
% Non-Target.
targetTimeStamps = [];
NonTargetTimeStamps = [];

for structNumber = 1:length(tagsStruct)
if strcmp(tagsStruct(structNumber).name, 'blink')
index = tagsStruct(structNumber).children.index;
target = tagsStruct(structNumber).children.target;
if index == target
targetTimeStamps = [targetTimeStamps tagsStruct(structNumber).start_timestamp];
else
NonTargetTimeStamps = [NonTargetTimeStamps tagsStruct(structNumber).start_timestamp];
end
end
end

%% KROK 3: Wczytanie i filtrowanie sygnału
samples = double(rm.get_samples());
samples = samples(1:8,:); % odrzucamy kanały bez EEG
numberOfChannels = 8;

% Filtr dolnoprzepustowy Czebyszewa 2. rodzaju — odcięcie 25 Hz
[b, a] = cheby2(6, 80, 25/(samplingFrequency/2), 'low');
for ch = 1:numberOfChannels
samples(ch,:) = filtfilt(b, a, samples(ch,:));
end

%% KROK 4: Montaż względem średniej (common average reference)
% Odejmujemy od każdego kanału średnią ze wszystkich kanałów w danej chwili.
% Jest to prostsze i bardziej ogólne niż montaż względem połączonych uszu.
M = -ones(numberOfChannels, numberOfChannels) / numberOfChannels;
M = M + eye(numberOfChannels) * (numberOfChannels+1) / numberOfChannels;
samples = 0.0715 * M * samples;

%% KROK 5: Cięcie epok
PRE = -0.2;
POST = 0.8;
wycinek = floor(PRE*samplingFrequency : POST*samplingFrequency);

TargetSignal = zeros(length(targetTimeStamps), numberOfChannels, length(wycinek));
NonTargetSignal = zeros(length(NonTargetTimeStamps), numberOfChannels, length(wycinek));

for trialNumber = 1:length(targetTimeStamps)
trigerOnset = floor(targetTimeStamps(trialNumber) * samplingFrequency);
tenWycinek = wycinek + trigerOnset;
if tenWycinek(1) > 0 && tenWycinek(end) <= size(samples,2)
tmpSignal = samples(:, tenWycinek);
tmpSignal = detrend(tmpSignal')'; % usuwanie trendu liniowego
TargetSignal(trialNumber,:,:) = tmpSignal;
end
end

for trialNumber = 1:length(NonTargetTimeStamps)
trigerOnset = floor(NonTargetTimeStamps(trialNumber) * samplingFrequency);
tenWycinek = wycinek + trigerOnset;
if tenWycinek(1) > 0 && tenWycinek(end) <= size(samples,2)
tmpSignal = samples(:, tenWycinek);
tmpSignal = detrend(tmpSignal')';
NonTargetSignal(trialNumber,:,:) = tmpSignal;
end
end

% Oś czasu w milisekundach — przyda się do rysowania
times = (wycinek / samplingFrequency) * 1000;

%% KROK 6: Wizualizacja ERP w układzie topograficznym
% Oblicz potencjały wywołane (ERP) jako średnie po powtórzeniach
ERP_T = squeeze(mean(TargetSignal, 1)); % wymiary: kanały × czas
ERP_NT = squeeze(mean(NonTargetSignal, 1));

% TUTAJ: narysuj ERP_T i ERP_NT dla każdego kanału w subplotach
% ułożonych w siatce odpowiadającej przybliżonym pozycjom elektrod.
% Na każdym subplocie nałóż oba warunki różnymi kolorami.
% Oś X: czas w ms (użyj wektora times), oś Y: amplituda w µV.
% Zadbaj o legendę i tytuły z nazwami kanałów (namesOfChannels).

%% KROK 7: Obliczenie średnich macierzy kowariancji
% Dla każdego powtórzenia oblicz macierz kowariancji funkcją cov(),
% znormalizuj przez jej ślad (trace()), a następnie uśrednij po powtórzeniach.
% Pamiętaj: cov() oczekuje macierzy próbki × kanały, czyli potrzebujesz transpozycji.

R_T = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
R_NT = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for r = 1:length(targetTimeStamps)
% TUTAJ: wytnij r-te powtórzenie T, oblicz kowariancję, znormalizuj, dodaj do R_T
end

for r = 1:length(NonTargetTimeStamps)
% TUTAJ: wytnij r-te powtórzenie NT, oblicz kowariancję, znormalizuj, dodaj do R_NT
end

% TUTAJ: podziel R_T i R_NT przez odpowiednie liczby powtórzeń

%% KROK 8: Rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego
% Szukamy filtrów przestrzennych W maksymalizujących stosunek mocy
% w warunku T względem NT: eig(R_T, R_NT)
% W kolumnach W znajdują się filtry, na przekątnej Lambda — wartości własne.

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

disp('Wartości własne (przekątna Lambda):')
disp(diag(Lambda))

%% KROK 9: Odtworzenie sygnałów źródłowych
% Dla każdego powtórzenia zastosuj filtr przestrzenny:
% s(r,:,:) = W' * x(r,:,:)
% Pamiętaj o wymiarach — squeeze() może być pomocne.

S_T = zeros(size(TargetSignal));
S_NT = zeros(size(NonTargetSignal));

for r = 1:size(TargetSignal, 1)
% TUTAJ: S_T(r,:,:) = ...
end

for r = 1:size(NonTargetSignal, 1)
% TUTAJ: S_NT(r,:,:) = ...
end

%% KROK 10: Wizualizacja estymowanych źródeł
% Narysuj średnie przebiegi źródeł (ERP w przestrzeni CSP) dla obu warunków.
% Ułóż subploty w prostokątnej siatce — jeden subplot na każde źródło.
% Dla którego źródła różnica między T i NT jest największa?
% Czy odpowiada to źródłu z największą wartością własną?

ERP_S_T = squeeze(mean(S_T, 1));
ERP_S_NT = squeeze(mean(S_NT, 1));

% TUTAJ: narysuj ERP_S_T i ERP_S_NT w subplotach
</source>

=Sesja 3: CSP dla P300 — interpretacja i separacja cech=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Kontynuacja analizy CSP. Celem sesji jest interpretacja wyników
w kategoriach fizjologicznych oraz ocena separowalności klas
w przestrzeni cech opartej na mocy sygnału.

;Zakres:
* mapki topograficzne filtra przestrzennego i topografii źródła
* związek wartości własnych z siłą różnicowania warunków T i NT
* wykresy punktowe mocy: oś X — moc składowej z największą wartością własną, oś Y — moc kolejnej składowej; jeden punkt = jedno powtórzenie
* uśrednianie po 2, 4, 6, 8 i 10 realizacjach — obserwacja poprawy separacji wraz z liczbą uśrednień
* dyskusja: utożsamianie komponentów CSP z fizjologicznymi źródłami jest ryzykowne; komponenty maksymalizują kontrast między warunkami, niekoniecznie odpowiadają izolowanym generatorom

;Materiały:
Zob. [[#Szkielet kodu do analizy wstępnej|Szkielet kodu do analizy wstępnej]] i [[#Zadanie: Wybór i separacja cech|Zadanie: Wybór i separacja cech]] poniżej.

===Zadanie: Wybór i separacja cech===
* Przedstaw na rysunkach nałożone na siebie pojedyncze realizacje z warunków target i non-target po rzutowaniu na wektor <math>w</math> odpowiadający największej i kolejnej wartości własnej.
* Przedstaw wykresy punktowe takie, że na jednej osi jest moc sygnału (suma kwadratów wartości próbek w wybranym zakresie czasu) odpowiadającego największej wartości własnej, a na drugiej osi kolejnej (mniejszej) wartości własnej; jeden punkt reprezentuje jedno powtórzenie.
* Wykonaj serię wykresów jak w poprzednim punkcie dla uśrednień sygnałów kolejno po 2, 4, 6, 8 i 10 realizacjach:
** Liczymy potencjał wywołany dla danej liczby powtórzeń.
** Następnie podnosimy wartości próbek do kwadratu
** i sumujemy je w wybranym zakresie czasu.
* Zaobserwuj jak zmienia się separacja w grupach target i non-target.
{{hidden end}}
[https://robintibor.github.io/eeg-deep-learning-phd-thesis/DeepArchitectures.html Archirtektury sieci do BCI: ConvNet]

[https://www.researchgate.net/figure/The-architecture-of-EEGNet-F1-S1-model-F1-and-S1-represent-the-number-of-temporal_fig3_347073448 EEGNet]

=Sesja 4: Filtry przestrzenne dla SSEP — cosSinCSP=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Sesja wprowadza metodę cosSinCSP jako naturalne uogólnienie CSP
o wiedzę dziedzinową dotyczącą sygnału SSEP. W klasycznym CSP
dwa warunki eksperymentalne definiują dwie macierze kowariancji.
W cosSinCSP rolę jednej z macierzy przejmuje projekcja sygnału
na przestrzeń sinusów i cosinusów częstości stymulacji i jej harmonicznych.
Formalizm ilorazu Rayleigha i uogólnionego zagadnienia własnego
pozostaje identyczny.

Dane używane na tych zajęciach pochodzą z eksperymentu SSEP
z archiwum — bez sesji rejestracyjnej. Na wykresach widma
sygnału przed transformacją CSP dominuje artefakt sieciowy 50 Hz,
który praktycznie zasłania odpowiedź na stymulację. Zadaniem
jest sprawdzenie czy cosSinCSP potrafi ten sygnał wydobyć.

;Zakres:
* idea cosSinCSP: macierz S złożona z sinusów i cosinusów harmonicznych, projekcja sygnału na przestrzeń SSEP i resztę Y
* implementacja funkcji <code>cosSinCSP</code> w MATLAB
* analiza danych archiwalnych: widma Welcha dla kanałów oryginalnych i źródeł CSP — porównanie SNR przed i po transformacji
* prezentacja filtrów przestrzennych i topografii źródeł

;Materiały:
Zob. [[#Filtry przestrzenne dla SSEP|Filtry przestrzenne dla SSEP]] poniżej.

==Filtry przestrzenne dla SSEP==

===Teoria===

Ciekawa koncepcja filtra przestrzennego dla SSEP zaprezentowana jest tu: http://www.eurasip.org/Proceedings/Eusipco/Eusipco2009/contents/papers/1569193209.pdf

Pokrótce można ją rozumieć podobnie do tego co robiliśmy rozważając filtry przestrzenne CSP z tym, że dla SSEP oraz innych potencjałów wywołanych stanu ustalonego możemy skorzystać z dodatkowych informacji dotyczących poszukiwanych źródeł. Wiemy mianowicie, że powinny one oscylować z częstością bodźca i być może jej harmonicznych.

Przyda nam się macierz <math>S</math> zbudowana tak, że w kolejnych kolumnach znajdują się sinusy i cosinusy kolejnych częstości harmonicznych. Wektory te unormujemy, żeby miały energię równą 1. Innymi słowy macierz <math>S</math> zbudowana jest z wersorów rozpinających przestrzeń, w której powinien znajdować się sygnał SSEP.

W Matlabie możemy taką macierz zbudować tak:

<source lang="matlab">
% Fs - częstość próbkowania
% numberOfSamples - długość sygnału w próbkach
% numberOfHarmonics - liczba harmonicznych, które chcemy włączyć do analizy
t = (0:1:numberOfSamples - 1) / Fs;
S = zeros(numberOfSamples, 2*numberOfHarmonics);

for harmonicNumber = 1:numberOfHarmonics
c = cos(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
s = sin(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
S(:,(harmonicNumber - 1)*2 + 1) = c/norm(c);
S(:,(harmonicNumber - 1)*2 + 2) = s/norm(s);
end
</source>

Aby w badanym sygnale znaleźć składowe odpowiadające SSEP musimy rzutować sygnał <math>X</math> (macierz sygnałów ''kanały × próbki'') na przestrzeń rozpiętą przez <math>S</math>:
:<math>A = X S</math>
Macierz <math>A</math> zawiera współczynniki będące iloczynami skalarnymi sygnałów i wersorów — mówią one o tym jak dużo sinusa bądź cosinusa o danej częstości jest w pierwotnym sygnale. Komponenty SSEP zawarte w sygnale <math>X</math> odzyskujemy tak:
:<math>\mathrm{SSEP} = A S^T</math>

Modelujemy rejestrowany sygnał jako:
:<math>X = \mathrm{SSEP} + Y</math>
gdzie:
:<math>Y = X - \mathrm{SSEP}</math>
to wszystkie komponenty sygnału, które nas nie interesują.

Filtr przestrzenny, który chcemy zbudować powinien maksymalizować stosunek wariancji <math>\mathrm{SSEP}</math> do wariancji <math>Y</math>. Macierz kowariancji powinna być uśredniona po powtórzeniach, a kowariancja sygnału w każdym powtórzeniu powinna być znormalizowana przez jej ślad. Dalej stosujemy technikę znaną z CSP: maksymalizację ilorazu Rayleigha przez rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego dla macierzy kowariancji <math>\mathrm{SSEP}</math> i <math>Y</math>.

===Zadanie: implementacja funkcji cosSinCSP===

Dane do zadania: [[Plik:PrzykladoweDaneSSVEP.mat.gz]].
Pełny przykład z danymi z eksperymentu SSEP: [[Plik:SSVEP_demo_csp.tar.gz]]

Zaimplementuj funkcję <code>cosSinCSP</code> zgodnie z poniższym szkieletem.
Prawidłowo zaimplementowana funkcja wraz ze skryptem demonstracyjnym poniżej
powinna generować rysunek: [[Plik:Rys_SSVEP_demo.png|400px|podpis grafiki]]

<source lang="matlab">
function [W, Lambda] = cosSinCSP(signal, stimulationFrequency, numberOfHarmonics, Fs)
% cosSinCSP - filtr przestrzenny dla sygnałów SSEP
%
% Wejście:
% signal - dane EEG, wymiary: powtórzenia × kanały × próbki
% stimulationFrequency - częstość stymulacji w Hz
% numberOfHarmonics - liczba harmonicznych do uwzględnienia
% Fs - częstość próbkowania w Hz
%
% Wyjście:
% W - macierz filtrów przestrzennych (kanały × kanały), filtry w kolumnach
% Lambda - macierz diagonalna wartości własnych

[numberOfTrials, numberOfChannels, numberOfSamples] = size(signal);

%% KROK 1: Zbuduj macierz referencyjną S (sinusy i cosinusy harmonicznych)
% S ma wymiary: próbki × 2*numberOfHarmonics
% Każda kolumna to jeden wersor (unormowany sinus lub cosinus).
% Wróć do sekcji Teoria powyżej i przełóż tamten kod na tę funkcję.

% TUTAJ

%% KROK 2: Oblicz średnie macierze kowariancji C_SSEP i C_Y
% Dla każdego powtórzenia wytnij sygnał x (kanały × próbki),
% rozłóż go na składową SSEP i resztę Y zgodnie z równaniami z sekcji Teoria,
% oblicz macierze kowariancji obu składowych, znormalizuj przez ślad
% i uśrednij po powtórzeniach.

C_SSEP = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
C_Y = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for trial = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(trial, :, :)); % kanały × próbki

% TUTAJ: oblicz SSEP i Y

% TUTAJ: oblicz kowariancje, znormalizuj, dodaj do C_SSEP i C_Y
end

% TUTAJ: podziel C_SSEP i C_Y przez numberOfTrials

%% KROK 3: Rozwiąż uogólnione zagadnienie własne
% Znajdź filtry przestrzenne maksymalizujące stosunek mocy SSEP do mocy Y.
% Analogia z CSP: jakie macierze wstawiłeś do eig() tam?

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

end
</source>

;Wskazówka do interpretacji wyników:
Filtr związany z największą wartością własną daje komponent
o największym stosunku mocy SSEP do mocy tła.
Sprawdź na widmach Welcha czy odpowiada on składowej
z wyraźnym pikiem przy częstości stymulacji.

{{hidden begin|title=Rozwiązanie — pokaż dopiero po samodzielnej próbie}}
<source lang="matlab">
function [W, Lambda] = cosSinCSP(signal, stimulationFrequency, numberOfHarmonics, Fs)

[numberOfTrials, numberOfChannels, numberOfSamples] = size(signal);

%% KROK 1: Macierz referencyjna S
t = (0:1:numberOfSamples-1) / Fs;
S_ref = zeros(numberOfSamples, 2*numberOfHarmonics);

for harmonicNumber = 1:numberOfHarmonics
c = cos(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
s = sin(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
S_ref(:,(harmonicNumber-1)*2 + 1) = c/norm(c);
S_ref(:,(harmonicNumber-1)*2 + 2) = s/norm(s);
end

%% KROK 2: Średnie macierze kowariancji
C_SSEP = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
C_Y = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for trial = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(trial, :, :)); % kanały × próbki
A = x * S_ref; % projekcja na przestrzeń SSEP
SSEP = A * S_ref'; % rekonstrukcja składowej SSEP
Y = x - SSEP; % reszta

tmp = cov(SSEP');
C_SSEP = C_SSEP + tmp/trace(tmp);

tmp = cov(Y');
C_Y = C_Y + tmp/trace(tmp);
end

C_SSEP = C_SSEP / numberOfTrials;
C_Y = C_Y / numberOfTrials;

%% KROK 3: Uogólnione zagadnienie własne
[W, Lambda] = eig(C_SSEP, C_Y);

end
</source>
{{hidden end}}

===Skrypt demonstracyjny i analiza wyników===

<source lang="matlab">
% wczytujemy dane
load('PrzykladoweDaneSSVEP.mat');

[numberOfTrials numberOfChannels numberOfSamples] = size(X.data);
namesOfChannels = X.channels;

numberOfHarmonics = 3;
signal = X.data; % powtórzenie × kanał × próbki

[W, Lambda] = cosSinCSP(signal, X.stimulation, numberOfHarmonics, X.sampling);

%% Odtworzenie sygnałów źródłowych
S = zeros(size(signal));
for powt = 1:size(signal,1)
S(powt,:,:) = W' * squeeze(signal(powt,:,:));
end

%% Widma Welcha: kanały oryginalne vs źródła CSP
figure('Name', ['Stymulacja: ', num2str(X.stimulation), ' Hz'])
for i = 1:numberOfChannels
subplot(2, numberOfChannels, i)
PP = 0;
for rep = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(rep,i,:));
[Pxx, ff] = pwelch(x, X.sampling, 1, X.sampling, X.sampling);
PP = PP + Pxx;
end
plot(ff(ff<60), PP(ff<60))
title(namesOfChannels{i})

subplot(2, numberOfChannels, numberOfChannels+i)
PP = 0;
for rep = 1:numberOfTrials
s = squeeze(S(rep,i,:));
[Pss, ff] = pwelch(s, X.sampling, 1, X.sampling, X.sampling);
PP = PP + Pss;
end
plot(ff(ff<60), PP(ff<60))
title(['źródło CSP: ', num2str(i)])
xlabel(['\lambda = ', num2str(Lambda(i,i), '%.2f')])
end

%% KROK 4: Mapki topograficzne
% Zidentyfikuj komponent z największą wartością własną.
% Narysuj dwie mapki przy użyciu funkcji topoplot() z pakietu EEGLAB:
%
% (a) Filtr przestrzenny: wagi z jakimi kanały EEG składają się na ten komponent.
% Wskazówka: filtr to kolumna macierzy W.
%
% (b) Topografia źródła: z jakimi wagami komponent dociera do poszczególnych elektrod.
% Wskazówka: topografia zawarta jest w wierszach macierzy odwrotnej do W —
% przypomnij sobie analogiczny krok z analizy CSP dla P300.
%
% Czym różnią się te dwie mapki? Którą łatwiej interpretować fizjologicznie?

% TUTAJ: [~, idx] = max(diag(Lambda));
% TUTAJ: topoplot(...) % filtr
% TUTAJ: topoplot(...) % topografia
</source>

=Sesja 5: ICA jako filtr przestrzenny =

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Sesja wprowadza analizę składowych niezależnych (ICA) jako trzecie
podejście do problemu ślepej separacji źródeł — obok BSS/CSP
i cosSinCSP. Kluczowa różnica: CSP szuka kierunków maksymalizujących
kontrast wariancji między warunkami (kryterium drugiego rzędu),
ICA szuka składowych niezależnych statystycznie, maksymalizując
niegaussowość (kryterium wyższego rzędu). ICA nie wymaga
dwóch warunków eksperymentalnych — działa na jednym stacjonarnym sygnale.

;Zakres wykładu (~40 min):
* model generatywny ICA: <math>\mathbf{x} = \mathbf{D}\mathbf{s}</math>, założenie niegaussowości składowych
* negoentropia i algorytm FastICA
* porównanie z CSP: kiedy ICA, kiedy CSP
* ograniczenia: liczba próbek a liczba kanałów (<math>kN^2</math>), niejednoznaczność kolejności i skali komponentów

;Zakres ćwiczenia (~80 min):
* wczytanie danych do EEGLAB, edycja lokalizacji elektrod
* filtrowanie górnoprzepustowe (FIR, 0,5 Hz), zmiana referencji
* obliczenie ICA na całym sygnale
* identyfikacja komponentów zawierających rytm alfa: topografia, widmo, przebieg czasowy
* usunięcie komponentów niezawierających alfy, odtworzenie sygnału na elektrodach
* porównanie wyników między co najmniej trzema uruchomieniami ICA: czy komponenty są powtarzalne?

==Teoria==

===Definicja ===
Independent Component Analysis (ICA) jest metodą statystycznej analizy sygnałów, która dokonuje dekompozycji wielokanałowych zapisów na składowe niezależne w sensie statystycznym.
Dwie składowe ''s''1 i ''s''2 są niezależne jeżeli wiedza o wartości ''s''1 nie daje żadnych informacji o możliwych wartościach ''s''2. ICA może być wyrażona przez prosty model generatywny:
: '''x''' = '''Ds'''
: gdzie '''x''' = {''x''1, ''x''2, ..., ''x''''n''} jest zmierzonym ''n'' kanałowym sygnałem, '''D''' jest macierzą mieszającą zaś '''s''' = {''s''1, ''s''2, ..., ''s''''n''} jest aktywnością ''n'' źródeł. Podstawowym założeniem dotyczącym '''s''' jest to, że ''s''''i'' są statystycznie niezależne. Aby wyestymować model musimy też założyć, że składowe mają niegaussowskie rozkłady wartości (Hyvärinen, 2000).

Dodatkowo model ten zakłada następujące fakty:
# Sygnał jest liniową mieszaniną aktywności źródeł
# Sygnały pochodzące z każdego ze źródeł są niezależne od pozostałych
# Źródła oraz proces ich mieszania są stacjonarne, tzn, ich momenty statystyczne nie zależą od czasu
# Energie (wariancje) źródeł nie mogą być wyznaczone jednoznacznie. Dzieje się tak ponieważ pomnożenie amplitudy ''i''-tego źródła może być uzyskane poprzez przemnożenie albo ''s''''i'' albo przez przemnożenie ''i''-tej kolumny macierzy '''D'''. Naturalnym rozwiązaniem tej niejednoznaczności jest wprowadzenie konwencji, że komponenty są normowane tak aby miały wariancję 1: E[(''s''''i'')''2''] = 1.
# Kolejność komponentów jest dowolna. Bo jeśli w ten sam sposób zmienimy kolejność komponentów w '''s''' i kolumn w '''D''' to dostaniemy dokładnie ten sam sygnał '''x'''.

Głównym wyzwaniem w analizie ICA jest estymacja macierzy mieszającej '''D'''. Gdy jest ona znana to komponenty mogą być wyliczone w następujący sposób:
: '''s''' = '''D'''−1'''x'''

=== Estymacja ===
Znalezienie niezależnych komponentów może być rozważane w świetle Centralnego Twierdzenia Granicznego jako poszukiwanie komponentów o możliwie nie gaussowskim rozkładzie.
Aby zrozumieć to podejście prześledźmy heurystykę zaproponowaną przez (Hyvärinen, 2000).
Dla prostoty załóżmy, że poszukiwane źródła niezależne mają identyczne rozkłady.
Zdefiniujmy

''y'' = '''w'''T'''x'''.

Zauważmy, że jeśli

'''w'''

jest jedną z kolumn macierzy

'''D'''−1,

to ''y'' jest jednym z poszukiwanych komponentów.
Zamieniając zmienne

'''z''' = '''D'''T'''w'''

możemy napisać

''y'' = '''w'''T'''x''' = '''w'''T'''Ds''' = '''z'''T'''s'''.

Uwidacznia to fakt, że ''y'' jest liniową kombinacją składowych s''i'' z wagami danymi przez z''i''.

Z centralnego twierdzenia granicznego wynika, że suma niezależnych zmiennych losowych ma bardziej gaussowski charakter niż każda z tych zmiennych osobno.
Liniowa kombinacja staje się najmniej gaussowska gdy '''z''' ma tylko jeden element niezerowy. W tym przypadku ''y'' jest proporcjonalny do s''i''.
Zatem problem estymacji modelu ICA może być sformułowany jako problem znalezienia takiego wektora '''w''', który maksymalizuje niegaussowskość

''y'' = '''w'''T'''x'''.

Maksymalizacja niegaussowskości ''y'' daje jeden niezależny komponent odpowiadający jednemu z 2''n'' maksimów (bo mamy s''i'' i −s''i'') w krajobrazie optymalizacyjnym. Aby znaleźć wszystkie niezależne komponenty musimy znaleźć wszystkie maksima. Ponieważ komponenty są nieskorelowane, to poszukiwania kolejnych komponentów można kontynuować w podprzestrzeni ortogonalnej do już znalezionych komponentów.

===Obliczenia===
Intuicyjna heurystyka poszukiwania najbardziej niegaussowskich składowych może być użyta do wyprowadzenia różnych funkcji kosztu, których optymalizacja daje model ICA, np. kurtoza.

<math>kurt(y) = E\{y^4\} - 3(E{y^2})^2</math>

Inną miarą gassowskości jest neg-entropia, którą można wyprowadzić z entropii:
Entropia jest miarą średniego zdziwienia wynikiem obserwacji zmiennej losowej:
<math>H(Y) = - \sum_i P(Y= a_i) \log(P(Y=a_i)) </math>

Negentropia jest zdefiniowana:

<math> J(y) = H(y_{gauss}) -H(y)</math>
gdzie <math> y_{gauss} </math> jest gassuwską zmienną losową o takiej samej kowaiancji jak <math> y </math>.

Negentropia jest skomplikowana obliczeniow, więc w praktyce używana jest formuła przybliżona:

<math> J(y) \varpropto [E\{G (y)\} - E\{G(\nu)\}]^2</math>

<math>\nu </math> jest zmienną losową ze standardowego rozkładu normalnego , a G są pewnymi niekwadratowymi funkcjami.

W algorytmie FastICA extremum negentropii jest znajdowane w procedurze bazującej na optymalizacji Newtona.
(szczegóły np.: sekcja 6 w https://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/NN00new.pdf)

Procedura wykorzystywana w eeglabie (&bdquo;runica”, Makeig 1996) dąży do minimalizacji informacji wzajemnej. Oba podejścia są w przybliżeniu równoważne (Hyvärinen, 2000), chociaż owo przybliżenie dla sygnałów elektrofizjologicznych nie zostało to jeszcze w pełni wyeksplorowane.
Dla sygnałów o niskiej wymiarowości i spełniających dokładnie założenia ICA wszystkie powszechnie wykorzystywane algorytmy dają niemal identyczne wyniki.

;Bardzo ważna uwaga: ogólną zasadą jest, że jeśli estymujemy ''N'' stabilnych komponentów (z ''N''-kanałowych danych) to musimy dysponować ''kN''2 punktami danych w każdym kanale, gdzie ''N''2 jest liczbą elementów w macierzy '''D''', którą ICA próbuje wyestymować, ''k'' jest liczbą całkowitą. Nie ma dobrych oszacowań teoretycznych na wielkość ''k'', z praktycznych obserwacji wynika, że rośnie ona z liczbą kanałów.

=== Możliwe zastosowania ===
Najczęściej ICA jest stosowana jako narzędzie do:
* usuwania artefaktów z sygnałów EEG (ruchy oczu i mięśnie)
* wydobywania składowych do dalszej analizy (Onton, 2006)
* jako analiza wstępna do lokalizacji źródeł (Grau, 2007).
* ICA jest także stosowana w analize sygnałów EKG i EMG.

===Bibliografia===
Bazowa praca:
* A. Hyvärinen. Fast and Robust Fixed-Point Algorithms for Independent Component Analysis. IEEE Transactions on Neural Networks 10(3):626-634, 1999 http://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/TNN99_reprint.pdf

Nieco prościej opisana wersja z przykładami:
* Hyvärinen, A. and Oja, E. (2000). Independent component analysis: Algorithms and applications. Neural Networks, 13(4-5):411–430.
https://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/NN00new.pdf

* Grau, C., Fuentemilla, L., Marco-Pallars, J. (2007). Functional neural dynamics underlying auditory event-related n1 and n1 suppression response. Neuroimage, 36(6):522–31.
* Makeig, S., Bell, A., Jung, T.-P., Sejnowski,T. (1996). Independent component analysis of electroencephalographic data. W: Touretzky, D., Mozer, M., and Hasselmo, M., editors, Advances in Neural Information Processing Systems, volume 8, pages 145–151. MIT Press, Cambridge, MA.
* Onton, J., Makeig, S. (2006). Information-based modeling of event-related brain dynamics. Prog Brain Res., 159:99–120.
* Tutorial: http://sccn.ucsd.edu/wiki/Chapter_09:_Decomposing_Data_Using_ICA
* http://sccn.ucsd.edu/~arno/indexica.html
* http://cis.legacy.ics.tkk.fi/aapo/papers/IJCNN99_tutorialweb/

== ZADANIE: Wydobywanie interesujących komponentów ==

Dane do tej części ćwiczeń proszę pobrać i rozpakować w swoim katalogu:
http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Dane_do_ICA_alfa.tar.gz

Pochodzą one z eksperymentu, w którym osoba badana siedziała z zamkniętymi oczami słuchając nagrania czytanego spokojnym głosem. Metadane opisujące sygnał znajdują się w pliku Miro.xml, zaś lokalizacje elektrod w pliku Miro-10-20-Cap.locs.

Proszę:
* wczytać dane do eeglaba
* wyedytować lokalizację elektrod
* usunąć kanały nie zawierające EEG
* zmienić referencje na średnią z kanałów A1 i A2
* przefiltrować filtrem FIR górnoprzepustowym z częstością odcięcia 0,5 Hz
* obejrzeć wstępnie przygotowane dane
* policzyć ICA na całym sygnale
* obejrzeć właściwości otrzymanych komponentów
** Czy są wśród nich takie, które zawierają znaczny udział rytmu alfa?
** Jaka jest ich topografia?
* usunąć wszystkie komponenty nie zawierające alfy
* odtworzyć z tych komponentów sygnał na elektrodach
* wykonać dekompozycję ICA kilkukrotnie (co najmniej 3) i porównać wyniki
** Czy uzyskiwane komponenty są powtarzalne?
** Swoje wyniki porównać też z sąsiednimi grupami.

==ZADANIE: Identyfikacja artefaktów ==
Proszę pobrać dane:

*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal-10-20-Cap.locs
*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal1.set
*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal1.fdt

Pochodzą one z eksperymentu w którym osoba badana czytała słowa o różnych właściwościach wzbudzania emocji.

* wczytaj je do eeglaba
* wczytaj lokalizację kanałów z pliku Arousal-10-20-Cap.locs
* obejrzyj przebiegi czasowe
* odrzuć kanał z diodą (21) i z GSR (20)
* zrób dekompozycję ICA
* obejrzyj topografię komponentów
* zidentyfikuj komponenty odpowiadające mruganiu i aktywności mięśniowej.
;UWAGA: Aktualnie do wykrywania komponentów artefaktowych warto posłużyć się wtyczkami do eeglaba dostępnymi przez stronę:

https://sccn.ucsd.edu/eeglab/plugin_uploader/plugin_list_all.php

* ICLabel:
** https://labeling.ucsd.edu/tutorial/overview
** https://github.com/sccn/ICLabel

* MARA:
** https://github.com/irenne/MARA/raw/master/MARAtutorial.pdf
** https://irenne.github.io/artifacts/

=Sesja 6: Problem odwrotny w EEG i MEG=

;Czas: ~60 min wykład + ~90 min ćwiczenie

Sesja wprowadza problem odwrotny jako alternatywne — i komplementarne —
podejście do analizy przestrzennej sygnałów EEG i MEG. O ile BSS/CSP
i ICA szukają filtrów przestrzennych w przestrzeni elektrod,
nie zakładając nic o geometrii mózgu,
to metody problemu odwrotnego wyraźnie osadzają źródła
w przestrzeni trójwymiarowej, korzystając z fizyki i modelu głowy.

Materiały z naszych zasobów:
* [[Elektroencefalografia|Sekcje 3 i 8 z Podręcznika o EEG ]]
* [https://drive.google.com/file/d/1EOJxN1y7X3YlIFHoIIyoZzCiXdrQSHcA Wykład Piotra Durki z Analizy sygnałów o problemie odwrotnym w EEG iMEG]

Z zasobów zewnętrznych polecam:
* [https://download.fieldtriptoolbox.org/workshop/toolkit2025/slides/04_forward_inverse.pdf#page=1.00 Slajdy "Forward and inverse - lecture by Robert Oostenveld" fragment warsztatów: "Advanced MEG/EEG toolkit at the Donders"]

==Kontrast z BSS: dwa języki opisu tego samego zjawiska==

Zarówno BSS/ICA, jak i metody problemu odwrotnego wychodzą
od tego samego modelu generatywnego:
:<math>\mathbf{x}(t) = \mathbf{A}\,\mathbf{s}(t) + \boldsymbol{\varepsilon}(t)</math>
gdzie <math>\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^{N_e}</math> to potencjały na elektrodach,
<math>\mathbf{s}(t) \in \mathbb{R}^{N_s}</math> to aktywność źródeł,
a <math>\mathbf{A}</math> to macierz mieszająca (ang. ''lead field'' lub ''forward matrix'').

Różnica leży w tym, co robimy z macierzą <math>\mathbf{A}</math>:

{| class="wikitable"
|-
! !! BSS / ICA !! Problem odwrotny
|-
| '''Macierz A''' || nieznana; estymowana z danych || obliczona z modelu głowy (''forward model'')
|-
| '''Liczba źródeł''' || równa liczbie elektrod || od 1 dipola do ~10 000 wokseli
|-
| '''Geometria''' || brak założeń przestrzennych || źródła zlokalizowane w przestrzeni 3D
|-
| '''Regularyzacja''' || przez kryterium stat. (niezależność, wariancja) || przez regularyzację matematyczną (L2, L1, …)
|-
| '''Wynik''' || filtry przestrzenne + komponenty || mapa aktywności w przestrzeni mózgu
|}

Kluczowa trudność problemu odwrotnego wynika z jego
fundamentalnej niejednoznaczności:

układ równań:

<math>\mathbf{x} = \mathbf{A}\mathbf{s}</math>

jest niedookreślony — przy <math>N_e \approx 19\text{–}256</math> elektrodach
i <math>N_s \sim 10^4</math> możliwych lokalizacjach źródeł
istnieje nieskończenie wiele rozkładów <math>\mathbf{s}</math>
dokładnie odtwarzających zmierzony <math>\mathbf{x}</math>.
Każda metoda nakłada inne założenie ''a priori'', by wybrać jedno rozwiązanie.

==Model do przodu (forward model)==

Zanim można rozwiązać problem odwrotny, należy zbudować
''model do przodu'' — obliczenie potencjałów na elektrodach
wywołanych przez jednostkowe źródło prądowe w danym miejscu mózgu.
Wynik zapisuje się jako macierz ''pola wiodącego'' (''lead field''):
:<math>\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{N_e \times 3N_s}</math>
gdzie czynnik 3 wynika z trzech ortogonalnych składowych momentu dipolowego.

=== Skąd bierze się macierz ''lead field''? ===

Przejdźmy od równań Maxwella do tego, co dosłownie liczą funkcje `ft_prepare_headmodel` / `ft_prepare_leadfield`.

==== 1. Punkt wyjścia: przybliżenie kwazistatyczne ====

=====Pełne równania Maxwella w ośrodku materialnym=====

$$
\begin{aligned}
\nabla \cdot \mathbf{D} &= \rho && \text{(prawo Gaussa)} \\
\nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 && \text{(brak monopoli magnetycznych)} \\
\nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} && \text{(prawo Faradaya)} \\
\nabla \times \mathbf{H} &= \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} && \text{(prawo Ampère'a–Maxwella)}
\end{aligned}
$$

uzupełnione związkami konstytutywnymi dla tkanki traktowanej jako liniowy, lokalnie izotropowy ośrodek:

$$
\mathbf{D} = \varepsilon\,\mathbf{E},\qquad \mathbf{B} = \mu_0\,\mathbf{H},\qquad \mathbf{J} = \sigma\,\mathbf{E} + \mathbf{J}^p
$$

Ostatnia relacja to uogólnione prawo Ohma: prąd swobodny ma część omową (<math>\sigma\mathbf{E}</math>, prądy bierne w przewodniku objętościowym) i część „pierwotną" <math>\mathbf{J}^p</math> pochodzącą od źródeł neuronowych — bo to one *nie* są napędzane lokalnym polem <math>\mathbf{E}</math>, tylko gradientami stężeń jonów.

===== Przybliżenie kwazistatyczne =====

Wprowadzamy harmoniczną zależność czasową <math> J \sim e^{i\omega t}</math> i porównujemy człony w równaniach Maxwella.

Mamy dla EEG:

**(a) Pomijalny prąd przesunięcia w równaniu Ampère'a. ** Stosunek członu pojemnościowego do omowego to <math>\omega\varepsilon/\sigma</math>. Dla tkanki przy <math>f=100</math> Hz, <math>\sigma\approx 0{,}3</math> S/m, <math>\varepsilon_r\approx 10^5</math> (efektywna wartość niska-częstotliwościowa dla istoty szarej; spada szybko z <math>f</math>):
$$\frac{\omega\varepsilon}{\sigma} = \frac{2\pi\cdot 100\cdot 10^5\cdot 8{,}85\cdot 10^{-12}}{0{,}3}\sim 10^{-3}$$

— bezpiecznie pomijalny w EEG. To pozwala napisać <math>\nabla\times\mathbf{H}\approx\mathbf{J}</math>, a po wzięciu dywergencji:
$$\nabla\cdot\mathbf{J} = 0$$

**(b) Pomijalna indukcja w równaniu Faradaya.** Mówimy, że <math>\partial\mathbf{B}/\partial t</math> jest na tyle małe, że <math>\nabla\times\mathbf{E}\approx 0</math>, więc istnieje potencjał skalarny <math>V</math> z <math>\mathbf{E}=-\nabla V</math>. Można to oszacować z indukcyjności geometrii głowy i wykazać, że pomijany wkład jest o kilka rzędów mniejszy od <math>-\nabla V</math>.

**(c) Brak efektów propagacyjnych.** Długość fali EM przy 100 Hz w próżni to <math>\lambda = c/f\approx 3000</math> km, czyli <math>\lambda \gg L_\text{głowy}</math>. To gwarantuje, że pole „widzi" całą głowę jednocześnie — stąd zerowe przesunięcie fazowe propagacji potencjału przez przewodnik objętościowy.

Co zostaje po przybliżeniu:

$$
\begin{aligned}
\nabla \times \mathbf{E} &= 0 \;\Rightarrow\; \mathbf{E} = -\nabla V \\
\nabla \cdot \mathbf{J} &= 0 \\
\mathbf{J} &= -\sigma\nabla V + \mathbf{J}^p
\end{aligned}
$$

Składając trzy powyższe:

$$
\nabla\cdot\bigl(\sigma(\mathbf{r})\nabla V(\mathbf{r})\bigr) = \nabla\cdot\mathbf{J}^p(\mathbf{r})
$$

Warto przy tym podkreślić, że prawo Gaussa i <math>\nabla\cdot\mathbf{B}=0</math> nie znikają — one są nadal spełnione, ale po prostu nie są nam potrzebne do wyliczenia <math>V</math> na skórze: ładunki swobodne i indukowane policzy się *a posteriori* z <math>\rho = \nabla\cdot(\varepsilon\nabla V)\cdot(-1)</math>, a pole magnetyczne (interesujące dla MEG!) z prawa Biota–Savarta zastosowanego do <math>\mathbf{J}</math>.

Warto tu zauważyć, że kwazistatyka EEG i kwazistatyka MEG to **to samo** przybliżenie — różni je tylko, co wybieramy jako wielkość mierzoną (<math>V</math> na skórze vs. <math>\mathbf{B}</math> na zewnątrz głowy). To samo równanie Poissona generuje oba sygnały, a różnice w czułości na orientację dipola (radialny vs. tangencjalny) wynikają stąd, że potencjał i pole magnetyczne są różnymi funkcjonałami tego samego rozwiązania.

==== 2. Rozszczepienie prądu — gdzie pojawia się „źródło" ====

Gęstość prądu w tkance dzielimy na część „pierwotną" (neuronową) i „objętościową" (omową):

$$\mathbf{J}(\mathbf{r}) = \mathbf{J}^p(\mathbf{r}) - \sigma(\mathbf{r})\,\nabla V(\mathbf{r})$$

<math>\mathbf{J}^p</math> reprezentuje *prądy postsynaptyczne w piramidowych neuronach kory* — to one są naszym „źródłem". Reszta to prądy bierne płynące w przewodniku objętościowym o nieizotropowej, niejednorodnej przewodności <math>\sigma</math>.

Podstawiając do warunku <math>\nabla \cdot \mathbf{J}_\text{tot} = 0</math> dostajemy równanie Poissona dla niejednorodnego przewodnika:

$$\boxed{\;\nabla \cdot \bigl(\sigma(\mathbf{r})\,\nabla V(\mathbf{r})\bigr) = \nabla \cdot \mathbf{J}^p(\mathbf{r})\;}$$

To jest równanie problemu wprost. Cała reszta to:
(a) model źródła,
(b) warunki brzegowe,
(c) sposób rozwiązania.

==== 3. Model źródła: dipol prądowy ====

Dla pojedynczego dipola w <math>\mathbf{r}_0</math> o momencie <math>\mathbf{q}</math>:

$$\mathbf{J}^p(\mathbf{r}) = \mathbf{q}\,\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$$

$$\nabla \cdot \mathbf{J}^p(\mathbf{r}) = \mathbf{q}\cdot\nabla\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$$

Liniowość PDE daje natychmiast kluczową własność: <math>V</math> jest **liniową** funkcją <math>\mathbf{q}</math>. To właśnie ta liniowość pozwala zapisać:

$$\mathbf{v} = \mathbf{L}\,\mathbf{j}$$

gdzie <math>\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{N_\text{el}}</math> to potencjały, <math>\mathbf{j} \in \mathbb{R}^{3N_\text{src}}</math> to momenty dipoli, a <math>\mathbf{L}</math> to *lead field matrix*. Każda kolumna <math>\mathbf{L}</math> to potencjał wywołany jednostkowym dipolem w danym miejscu i o danej orientacji.

==== 4. Warunki brzegowe ====

Na granicy skóra/powietrze prąd nie wypływa:

$$\sigma\,\nabla V \cdot \hat{\mathbf{n}} = 0 \quad \text{na zewnętrznej powierzchni}$$

Wewnątrz, na granicach tkanek o różnym <math>\sigma</math> (mózg–CSF–czaszka–skóra):

$$V \text{ ciągłe},\quad \sigma\nabla V \cdot \hat{\mathbf{n}} \text{ ciągłe}$$

To są te warunki, które „włączają" geometrię i przewodności do problemu — i to one decydują, że czaszka (niskie <math>\sigma</math>, około 1/15–1/80 tkanki miękkiej, do dziś dyskutowane) rozmywa pole tak agresywnie.

==== 5. Metody rozwiązania ====
W pakiecie fieldtrip problem wprostt jest rozwiązywany przez funkcję
`ft_prepare_headmodel` - to fabryka różnych metod rozwiązujących to samo PDE. Wybór `cfg.method` decyduje o paradygmacie matematycznym:

**(a) Rozwiązania analityczne — modele sferyczne** (`'singlesphere'`, `'concentricspheres'`)

Dla geometrii sferycznej z osiową symetrią rozwija się <math>V</math> w szereg wielomianów Legendre'a. Dla 3-warstwowego modelu koncentrycznego dostajemy zamknięty wzór z nieskończonym szeregiem, który w praktyce tnie się po ~40 wyrazach. Berg & Scherg (1994) dali znakomite przybliżenie 3 dipolami w sferze jednorodnej — błyskawicznie szybkie, do dziś używane w MEG. Plus: bardzo szybkie, brak siatkowania. Minus: kula to nie głowa, zwłaszcza w okolicach skroniowych i podstawy.

**(b) BEM — Boundary Element Method** (`'bemcp'`, `'dipoli'`, `'openmeeg'`)

Wykorzystuje się fakt, że w obszarze o stałym <math>\sigma</math> <math>V</math> spełnia równanie Laplace'a, a cały „nietrywialny" wkład można wyrazić jako całkę po powierzchniach granicznych. Z drugiej tożsamości Greena dostajemy całkowe równanie typu Fredholma 2-go rodzaju:

$$V(\mathbf{r}) = V_\infty(\mathbf{r}) + \frac{1}{4\pi}\sum_k \frac{\sigma_k^- - \sigma_k^+}{\bar{\sigma}}\oint_{S_k} V(\mathbf{r}')\,\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\cdot\hat{\mathbf{n}}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,dS'$$

gdzie <math>V_\infty</math> to potencjał dipola w przestrzeni nieograniczonej. Triangulujemy powierzchnie (skóra, czaszka, mózg — czasem CSF) i to równanie zamienia się w układ liniowy. Szybciej niż FEM, ale wymaga założenia odcinkowo stałej przewodności i zakłada izotropię.

**(c) FEM — Finite Element Method** (`'simbio'`, `'duneuro'`)

Cała objętość głowy dyskretyzowana czworościanami/sześciościanami z indywidualnym tensorem <math>\sigma</math> w każdym elemencie (z DTI można wstrzyknąć anizotropię istoty białej!). Sformułowanie wariacyjne daje rzadki układ:

$$\mathbf{K}\mathbf{u} = \mathbf{b}$$

gdzie <math>\mathbf{K}</math> to macierz sztywności zależna od <math>\sigma(\mathbf{r})</math>, a <math>\mathbf{b}</math> niesie informację o źródle. To „złoty standard" pod kątem dokładności, ale kosztowny — dlatego praktycznie zawsze łączony z trikiem z punktu 6.

**(d) FDM** — rzadziej, dziś głównie historycznie.

==== 6. Twierdzenie o wzajemności — dlaczego macierz <math>\mathbf{L}</math> da się liczyć rozsądnie ====

Naiwne podejście: dla każdego z <math>\sim 10^4</math> źródeł i każdej z 3 orientacji odpalić rozwiązywacz PDE. To <math>3\times 10^4</math> rozwiązań. Beznadzieja.

Helmholtzowska zasada wzajemności mówi: potencjał w elektrodzie A wywołany dipolem w punkcie <math>\mathbf{r}_0</math> jest równoważny pewnej wielkości policzonej z
pola elektrycznego wytworzonego w <math>\mathbf{r}_0</math> przez jednostkowy prąd wstrzyknięty między elektrodą A a referencją. Formalnie:

$$V_A(\mathbf{r}_0;\mathbf{q}) = \mathbf{E}^{(A)}(\mathbf{r}_0)\cdot\mathbf{q}$$

gdzie <math>\mathbf{E}^{(A)}</math> to pole „wstrzykniętego" prądu jednostkowego. Konsekwencja: zamiast <math>3N_\text{src}</math> rozwiązań PDE wystarczy <math>N_\text{el}-1</math> rozwiązań (po jednym na elektrodę). Praktycznie wszystkie pakiety BEM/FEM (w tym OpenMEEG, SimBio, DUNEuro) to wykorzystują — i dlatego FEM jest w ogóle wykonalny dla całych siatek źródłowych.

'''Fizyczna intuicja'''

Wyobraź sobie, że potencjał wytworzony przez dipol na danej elektrodzie zależy od tego, jak silnie ta elektroda „widzi" punkt w mózgu. Twierdzenie Helmholtza mówi: jeśli chcesz wiedzieć, jak silnie elektroda widzi dany punkt — odwróć kierunek. Wstrzyknij prąd przez tę elektrodę i sprawdź, jakie pole powstaje w tym punkcie. Im silniejsze pole tam dotrze, tym czulsza jest elektroda na dipol tam ulokowany. Kierunek pola wskazuje też, na jaką orientację dipola elektroda reaguje najsilniej.

==== 7. Co więc dosłownie robi `ft_prepare_headmodel` ====

Tworzy obiekt `headmodel`, który zawiera:
- geometrię (kule albo siatki powierzchniowe, albo objętościową siatkę FEM),
- przewodności poszczególnych warstw,
- a w przypadku BEM/FEM — wstępnie policzony operator dyskretny (np. odwróconą macierz BEM albo czynnik macierzy sztywności FEM z trikiem transferowym wykorzystującym wzajemność).

To jest najdroższa część obliczeń — i robi się ją raz dla danej geometrii. Potem `ft_prepare_leadfield`, dla każdej pozycji źródła w `cfg.sourcemodel`, używa tego operatora, żeby wygenerować trzy kolumny <math>\mathbf{L}</math> (dla orientacji x, y, z). Wynik to `leadfield{i}` o wymiarze <math>N_\text{el}\times 3</math> — czyli dosłownie blok macierzy lead field dla danego wokselu.

---

Podsumowanie:

1. Maxwell → kwazistatyka → „elektrostatyka z prądami"

2. Podział prądu i równanie Poissona (jedyne równanie, którego naprawdę trzeba)

3. Dipol jako model i wynikająca **liniowość** → uzasadnienie wzoru $\mathbf{v}=\mathbf{L}\mathbf{j}$

4. Warunki brzegowe → tu wchodzi anatomia

5. Sfery (analityczne, intuicja) → BEM → FEM jako kolejne stopnie realizmu

6. Wzajemność jako trik obliczeniowy, bez którego niczego by się nie dało policzyć w sensownym czasie

Klasyczne źródła:
- Hallez et al. 2007 *J Neuroeng Rehabil* (review obliczeń forward, bardzo czytelny),
- Mosher et al. 1999 dla zwartego wyprowadzenia,
- oraz dokumentacja OpenMEEG (Gramfort et al. 2010) — tam ścieżka BEM jest wyprowadzona z drugiej tożsamości Greena.
---

=== Programy obliczające model do przodu:===
MNE-Python (<code>mne.make_bem_model</code>), FieldTrip (<code>ft_prepare_headmodel</code>), OpenMEEG.

==Fitowanie dipoli (Dipole Fitting)==

===Idea===
Najprostsze założenie: aktywacja EEG pochodzi z jednego
(lub kilku) ekwiwalentnych dipoli prądowych.
Każdy dipol opisany jest sześcioma parametrami:
trzema współrzędnymi położenia <math>(x,y,z)</math>
i trzema składowymi momentu dipolowego <math>(q_x, q_y, q_z)</math>.

===Formalizm===
Dla pojedynczego dipola o momencie <math>\mathbf{q}(t)</math>
w lokalizacji <math>\mathbf{r}_0</math>:
:<math>\mathbf{x}(t) = \mathbf{a}(\mathbf{r}_0)\,\mathbf{q}(t) + \boldsymbol{\varepsilon}(t)</math>
gdzie <math>\mathbf{a}(\mathbf{r}_0) \in \mathbb{R}^{N_e \times 3}</math>
to kolumna macierzy pola wiodącego odpowiadająca lokalizacji <math>\mathbf{r}_0</math>.

Estymacja polega na minimalizacji reszty:
:<math>\hat{\mathbf{r}}_0 = \arg\min_{\mathbf{r}} \left\|\mathbf{x}(t) - \mathbf{a}(\mathbf{r})\,\hat{\mathbf{q}}(t)\right\|^2</math>
Minimalizację prowadzi się zwykle algorytmem Neldera–Meada
lub Levenberga–Marquardta po przestrzeni lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* gdy źródło jest punktowe lub quasi-punktowe (np. wczesne składowe słuchowych potencjałów wywołanych N20, P25)
* gdy liczba aktywnych źródeł jest z góry znana i mała (1–3 dipole)

;Ograniczenia:
* wrażliwość na punkt startowy — algorytm może utknąć w minimum lokalnym
* złe dopasowanie gdy aktywacja pochodzi z rozległego obszaru kory
* wynik silnie zależy od dokładności modelu do przodu

==Minimum Norm Estimation (MNE)==

===Idea===
Zamiast zakładać małą liczbę dipoli,
rozkładamy aktywność na gęstą siatkę źródeł pokrywającą całą powierzchnię kory
i szukamy rozwiązania o minimalnej normie —
tj. takiego, które odtwarza dane, angażując jak najmniejszą całkowitą energię źródeł.

===Formalizm===
Problem optymalizacji z regularyzacją Tichonowa:
:<math>\hat{\mathbf{s}} = \arg\min_{\mathbf{s}} \left\|\mathbf{x} - \mathbf{A}\mathbf{s}\right\|^2 + \lambda\left\|\mathbf{s}\right\|^2</math>
gdzie <math>\lambda > 0</math> to parametr regularyzacji kontrolujący kompromis
między wiernością danym a gładkością rozwiązania.

Rozwiązanie analityczne:
:<math>\hat{\mathbf{s}} = \mathbf{A}^T\left(\mathbf{A}\mathbf{A}^T + \lambda\mathbf{I}\right)^{-1}\mathbf{x}</math>

Macierz <math>\mathbf{W}_{\mathrm{MNE}} = \mathbf{A}^T(\mathbf{A}\mathbf{A}^T + \lambda\mathbf{I})^{-1}</math>
jest liniowym filtrem przestrzennym — analogiem macierzy <math>\mathbf{W}</math> z CSP,
lecz skonstruowanym na podstawie modelu do przodu, nie z danych.

===Warianty===

;dSPM (''dynamic Statistical Parametric Mapping'', Dale 2000):
Normalizuje estymowaną aktywność przez odchylenie standardowe szumu:
:<math>F_{\mathrm{dSPM}}(\mathbf{r}, t) = \frac{\hat{s}(\mathbf{r},t)}{\sigma_{\mathrm{noise}}(\mathbf{r})}</math>
Wynik ma interpretację statystyczną (wartość F lub Z); popularne w neurobiologii poznawczej.

;sLORETA (''standardized LORETA'', Pascual-Marqui 2002):
Normalizuje przez odchylenie standardowe samego estymatora MNE (nie tylko szumu):
:<math>F_{\mathrm{sLORETA}}(\mathbf{r}, t) = \frac{\hat{s}(\mathbf{r},t)}{\sqrt{\left[\mathbf{W}_{\mathrm{MNE}}\mathbf{A}\right]_{(\mathbf{r},\mathbf{r})}}}</math>
Wykazuje zerowe systematyczne błędy lokalizacji w warunkach idealnych.

;Wybór <math>\lambda</math>:
Zwykle <math>\lambda = \alpha \cdot \mathrm{tr}(\mathbf{A}\mathbf{A}^T) / \mathrm{tr}(\mathbf{I})</math>
z <math>\alpha \in [0.05, 0.3]</math>; w MNE-Python domyślnie <math>\alpha = 0.1</math>.
Można też stosować kryterium L-krzywej lub walidację krzyżową.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* gdy aktywacja jest rozproszona lub nieznana a priori
* jako ogólne narzędzie wizualizacji ERP na powierzchni kory
* przy małej liczbie elektrod

;Ograniczenia:
* tendencja do rozmywania rozwiązania — źródła głębokie są systematycznie niedoszacowane
* brak zakładanej rzadkości (''sparsity''); wariant L1 (MCE) jest rzadszy, ale trudniejszy obliczeniowo
* wymaga dobrego modelu do przodu

==Beamformery==

===Idea===
Beamformer (dosł. „formowanie wiązki") to adaptacyjny filtr przestrzenny,
który dla każdej lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>
konstruuje wagi <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math> maksymalizujące
stosunek mocy sygnału z tej lokalizacji do mocy wszystkich pozostałych źródeł.
W odróżnieniu od MNE, beamformer korzysta z macierzy kowariancji danych —
jest więc metodą adaptacyjną, zbliżoną duchem do CSP.

===LCMV (''Linearly Constrained Minimum Variance'', Van Veen 1997)===

Szukamy filtra minimalizującego wariancję wyjścia
przy ograniczeniu zachowującym sygnał z lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>:
:<math>\mathbf{w}^*(\mathbf{r}) = \arg\min_{\mathbf{w}} \mathbf{w}^T\mathbf{C}\mathbf{w}
\quad \text{p.o.} \quad \mathbf{w}^T\mathbf{a}(\mathbf{r}) = 1</math>
gdzie <math>\mathbf{C} = E[\mathbf{x}\mathbf{x}^T]</math> to macierz kowariancji danych.

Rozwiązanie analityczne (mnożnik Lagrange'a):
:<math>\mathbf{w}(\mathbf{r}) = \frac{\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}{\mathbf{a}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}</math>

Moc w lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>:
:<math>P(\mathbf{r}) = \mathbf{w}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}\,\mathbf{w}(\mathbf{r})
= \frac{1}{\mathbf{a}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}</math>

===DICS (''Dynamic Imaging of Coherent Sources'', Gross 2001)===

Wariant beamformera dla analizy częstotliwościowej:
zamiast macierzy kowariancji czasowej stosuje
''cross-spectral density matrix'' <math>\mathbf{C}(f)</math>
obliczoną dla wybranego pasma częstości.
Pozwala mapować koherencję między lokalizacjami na powierzchni kory.

===Analogia z CSP===

Zauważmy analogię strukturalną:

{| class="wikitable"
|-
! !! CSP !! LCMV Beamformer
|-
| '''Macierz kowariancji''' || <math>\mathbf{R}_T, \mathbf{R}_{NT}</math> (dwa warunki) || <math>\mathbf{C}</math> (jeden warunek) + <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
|-
| '''Filtr''' || <math>\mathbf{w}</math>: maks. stosunek wariancji || <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math>: min. wariancja przy ograniczeniu
|-
| '''Przestrzeń''' || elektrod || przestrzeni mózgu (woksel po wokselu)
|-
| '''Model do przodu''' || nie || tak — przez <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
|}

Kluczowa różnica: CSP optymalizuje globalnie jednym zagadnieniem własnym,
beamformer rozwiązuje osobny problem dla każdej lokalizacji.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* analiza ERD/ERS (rytmy ruchowe, alfa, beta) w przestrzeni mózgu
* lokalizacja źródeł oscylacyjnych w MEG
* DICS do badania koherencji korowo-korowej

;Ograniczenia:
* silnie skorelowane źródła są tłumione (''source cancellation'') — beamformer zakłada, że źródła są nieskorelowane
* wymaga dużej liczby próbek do stabilnej estymacji <math>\mathbf{C}^{-1}</math>
* przy małej liczbie elektrod macierz <math>\mathbf{C}</math> może być źle uwarunkowana

;Podsumowanie:
[[Plik:Inverse problem vs bss.png|mały|centruj]]

==Podsumowanie: kiedy stosować którą metodę==

{| class="wikitable"
|-
! Metoda !! Założenie a priori !! Dane wejściowe !! Typowe zastosowanie
|-
| '''Dipole fitting''' || 1–3 punktowe źródła || ERP, AEP, SEP || lokalizacja wczesnych składowych wywołanych
|-
| '''MNE / dSPM / sLORETA''' || minimalna energia; źródła ciągłe || ERP, dowolny sygnał || wizualizacja rozproszonej aktywności na korze
|-
| '''LCMV Beamformer''' || źródła nieskorelowane || ERD/ERS, dane resting-state || lokalizacja źródeł oscylacyjnych w MEG/EEG
|-
| '''DICS''' || j.w. + analiza spektralna || dane oscylacyjne || mapa koherencji korowo-korowej
|-
| '''CSP / ICA''' || brak modelu geometrycznego || dwa warunki / jeden segment || klasyfikacja BCI, usuwanie artefaktów
|}

;Uwaga praktyczna:
Wszystkie metody problemu odwrotnego wymagają przygotowania modelu do przodu.
Zaleca się korzystanie z MNE-Python lub FieldTrip — oba pakiety
oferują spójne pipeline'y od surowych danych do map korowych
i są szeroko stosowane w literaturze, co ułatwia replikację wyników.

=Sesja 7: Problem odwrotny — część praktyczna=

;Czas: ~30 min wprowadzenie + ~120 min ćwiczenie

Część praktyczna prowadzi przez pełny pipeline lokalizacji źródeł:
od wczytania danych w FieldTrip, przez zbudowanie modelu do przodu,
do fitowania dipola i interpretacji wyniku.
Sesja jest zaprojektowana tak, aby każdy krok bezpośrednio ilustrował
jeden element teorii omówionej w [[#Sesja 7: Problem odwrotny w EEG i MEG|części wykładowej]].

;Dane:
Używamy standardowego zestawu danych FieldTrip
(dane somatosensoryczne MEG/EEG, bodziec elektryczny na nadgarstku — składowa N20):
* https://download.fieldtriptoolbox.org/tutorial/Subject01.zip (~800 MB)

Ten sam zestaw danych jest używany we wszystkich tutorialach FieldTrip
wymienionych w tej sesji, co ułatwia porównywanie wyników między krokami.

;Instalacja FieldTrip: Wymagania wstępne:
FieldTrip wymaga MATLABa. Przed instalacją sprawdź kompatybilność swojej wersji:
[https://www.fieldtriptoolbox.org/faq/matlab/requirements MATLAB requirements]

;Pobranie toolboxa: Pobierz najnowszą wersję ze strony:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/download.php Pobierz FieldTrip]

Rozpakuj archiwum ZIP w wybranym katalogu, np. <code>~/matlab/fieldtrip</code> (Linux/macOS).

;Ważne: nie zmieniaj wewnętrznej struktury katalogów po rozpakowaniu —
FieldTrip dynamicznie zarządza swoimi podkatalogami.

;Konfiguracja ścieżki MATLAB: Pełna instrukcja: [https://www.fieldtriptoolbox.org/faq/matlab/installation Installation and setting up the path]

Uruchom poniższe polecenia na początku każdej sesji pracy z FieldTrip
(lub wstaw je do pliku <code>startup.m</code> — patrz niżej):

<source lang="matlab">
restoredefaultpath % wyczyść aktualną ścieżkę
addpath('~/fieldtrip') % podaj tu swoją ścieżkę do FieldTrip
ft_defaults % skonfiguruj FieldTrip i minimalne podkatalogi
</source>

;Uwaga — częsty błąd:
Nie używaj <code>addpath(genpath(...))</code> ani przycisku „Add with Subfolders" w MATLAB GUI.
FieldTrip samodzielnie dodaje potrzebne podkatalogi przez <code>ft_defaults</code>
i <code>ft_hastoolbox</code> — dodanie wszystkiego ręcznie powoduje konflikty
z funkcjami SPM, EEGLAB i wbudowanymi funkcjami MATLABa
(w szczególności z funkcjami z katalogu <code>fieldtrip/compat</code>
przeznaczonymi tylko dla starych wersji MATLABa).

;Trwała konfiguracja przez startup.m:

Żeby nie powtarzać powyższych poleceń przy każdym uruchomieniu MATLABa,
utwórz plik <code>startup.m</code> w swoim katalogu MATLABa
(zwykle <code>Dokumenty/MATLAB/startup.m</code>) z zawartością:

<source lang="matlab">
restoredefaultpath
addpath('C:\fieldtrip') % zmień na swoją ścieżkę
ft_defaults
</source>

MATLAB wykonuje ten plik automatycznie przy każdym uruchomieniu.

;Uwaga dla użytkowników EEGLAB: Jeśli korzystasz z EEGLAB i FieldTrip w tej samej sesji,
zawsze ładuj FieldTrip przez <code>restoredefaultpath</code> + <code>addpath</code> + <code>ft_defaults</code>,
a nie przez interfejs EEGLAB. Oba toolboxy zawierają funkcje o tych samych nazwach
(np. <code>eegplot</code>, <code>topoplot</code>) — kolejność na ścieżce decyduje,
która wersja zostanie wywołana.

;Weryfikacja instalacji: Sprawdź poprawność instalacji jednym poleceniem:

<source lang="matlab">
ft_defaults
ft_version
</source>

Powinieneś zobaczyć numer wersji i datę kompilacji, np.:
<pre>
FieldTrip version 20250901, path: C:\fieldtrip
</pre>

Jeśli MATLAB zgłasza błąd <code>Undefined function 'ft_defaults'</code>,
ścieżka nie została ustawiona poprawnie — wróć do kroku z <code>addpath</code>.

==Krok 0: Wejście do FieldTrip==

Przed właściwym ćwiczeniem proszę zapoznać się z tutorialem wprowadzającym:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/intro/introduction/ Introduction to the FieldTrip toolbox]

;Na co zwrócić uwagę przechodząc ten tutorial:

Studenci znający EEGLAB natkną się na dwie zasadnicze różnice w filozofii pracy:

* '''Struktura cfg''' zamiast GUI. Każda funkcja FieldTrip przyjmuje strukturę konfiguracyjną <code>cfg</code> i zwraca nową strukturę danych. Nie ma okien dialogowych — cała analiza jest skryptem. Jest to bliższe temu, co robiliśmy w MATLAB-owych sesjach CSP/ICA.

* '''Niezmienność danych'''. FieldTrip nie modyfikuje struktur w miejscu — każde wywołanie funkcji zwraca nową strukturę. Pozwala to łatwo porównywać wyniki różnych parametrów, ale wymaga dbałości o nazewnictwo zmiennych.

;Pytanie do dyskusji po lekturze:
Jak odpowiadają sobie nawzajem: <code>EEG.data</code> w EEGLAB i struktura <code>data</code> w FieldTrip?
Gdzie w strukturach FieldTrip przechowywane są informacje o lokalizacji elektrod?

==Krok 1: Model do przodu — BEM dla EEG==

Przed fitowaniem dipola musimy obliczyć macierz pola wiodącego <math>\mathbf{A}</math>.
Proszę przejść tutorial:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/headmodel_eeg_bem Construct a BEM headmodel for EEG source analysis]

==Krok 2: Fitowanie dipola (ćwiczenie główne)==

;Czas: ~90 min

To jest główne ćwiczenie praktyczne Sesji 7.
Proszę przejść tutorial:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/dipolefitting Dipole fitting of combined MEG/EEG data]

Poniżej znajdziesz szkielet kodu z pytaniami pomocniczymi
do samodzielnego wypełnienia — zacznij od tutorialu,
a potem wróć do szkieletu i uzupełnij brakujące fragmenty.

===Zadania do samodzielnej realizacji===

;Zadanie 1 (obowiązkowe): Pipeline i lokalizacja
Uzupełnij brakujące fragmenty szkieletu (kroki B i E–F).
Gdzie na MRI ląduje znaleziony dipol? Czy odpowiada to oczekiwanej anatomii
składowej N20 (pierwotna kora somatosensoryczna S1, okolica bruzdy centralnej)?

;Zadanie 2 (obowiązkowe): Wpływ okna czasowego
Zmień <code>cfg.latency</code> kolejno na:
* <code>[0.016 0.022]</code> — okno N20
* <code>[0.025 0.035]</code> — okno P25
* <code>[0.045 0.060]</code> — okno N45
Czy lokalizacja dipola zmienia się między tymi składowymi?
Jak zmienia się GoF? Co to mówi o tym, która składowa jest lepiej opisana modelem jednego dipola?

;Zadanie 3 (obowiązkowe): Dwa dipole
Zmień <code>cfg.numdipoles = 2</code> i powtórz fitowanie dla okna N20.
Czy model dwóch dipoli daje istotnie lepszy GoF niż jeden?
Jak interpretujesz dwa znalezione źródła?

;Zadanie 4 (dla chętnych): Wrażliwość na model do przodu
FieldTrip pozwala użyć uproszczonego modelu sferycznego
zamiast BEM: ustaw <code>cfg.headmodel</code> na model jednorodnej sfery
(<code>cfg.method = 'singlesphere'</code> w <code>ft_prepare_headmodel</code>).
O ile zmienia się lokalizacja dipola N20?
Czy GoF wzrasta czy maleje?

;Pytania do dyskusji:
* Fitowanie dipola wymaga podania okna czasowego — dlaczego?
Co stałoby się gdybyśmy dopasowywali dipol do całej epoki (−100 do +300 ms)?
* Algorytm minimalizacji może utknąć w minimum lokalnym.
Jak <code>cfg.sourcemodel</code> (siatka) pomaga temu zaradzić?
Jaki jest kompromis między rozdzielczością siatki a czasem obliczeń?
* Porównaj mapę topograficzną ERP w oknie N20
z mapą rekonstruowaną z dopasowanego dipola (wywołaj <code>ft_dipolefitting</code>
z opcją <code>cfg.dipfit.display = 'yes'</code>).
Czy widzisz różnicę? Skąd ona pochodzi?

==Krok 3: Dalsze metody — dla zainteresowanych==

Poniższe tutoriale stanowią naturalne rozwinięcie ćwiczenia głównego
i ilustrują pozostałe metody omówione w teorii Sesji 7.
Nie są wymagane na zaliczenie, ale gorąco je polecamy
jeśli planujesz używać lokalizacji źródeł w pracy badawczej.

;Minimum Norm Estimation:
[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/minimumnormestimate Source reconstruction of event-related fields using minimum-norm estimation]

Ten sam sygnał N20 co w ćwiczeniu głównym, ale zamiast jednego dipola
otrzymujesz ciągłą mapę aktywności na całej powierzchni kory.
Zwróć uwagę jak wybór parametru regularyzacji <math>\lambda</math>
wpływa na rozmycie rozwiązania.
Porównaj lokalizację maksimum mapy MNE z lokalizacją dipola z Kroku 2.

;Beamformer (LCMV/DICS):
[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/beamformer Localizing oscillatory sources in MEG data using a beamformer]

Tutorial wykorzystuje ten sam zestaw danych Subject01
i lokalizuje źródła oscylacji gamma wywołanych bodźcem —
bezpośrednie rozwinięcie analizy ERD/ERS, którą już znasz.
Kluczowa różnica w stosunku do MNE: beamformer korzysta
z macierzy kowariancji danych <math>\mathbf{C}</math>,
a nie tylko z modelu do przodu. Sprawdź jak wyglądają
filtry przestrzenne <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math> dla różnych lokalizacji
i porównaj je koncepcyjnie z filtrami CSP z Sesji 1–3.











-->

Laboratorium EEG/CSP

2026-05-19T10:28:21Z

Jarekz: /* Krok 1: Model do przodu — BEM dla EEG */

[[Laboratorium_EEG]]/BSS

=Sesja 1: Ślepa separacja źródeł i CSP — wprowadzenie=

;Czas: ~60 min wykład + ~90 min ćwiczenie symulacyjne

Zajęcia wprowadzają do problemu filtracji przestrzennej sygnałów EEG.
Punktem wyjścia jest ogólny problem ślepej separacji źródeł (BSS),
z którego CSP wyłania się jako szczególny przypadek dla dwóch warunków
eksperymentalnych. Filtry przestrzenne omawiane na tych zajęciach stanowią
fundament klasycznych metod BCI (P300, SSVEP, motor imagery) oraz są
bezpośrednim odpowiednikiem warstw przestrzennych w sieciach neuronowych
takich jak ShallowConvNet i EEGNet — do tej analogii wrócimy w sesji 6.

[https://drive.google.com/file/d/1WrXgWWDJ7g5ZdYltm_8s2NXbGamw4R8N/view?usp=sharing Slajdy do wykładu (PDF)]

;Zakres wykładu:
* model generatywny EEG: <math>x(t) = As(t)</math>, macierz kowariancji, idea diagonalizacji
* BSS jako ogólny problem separacji źródeł
* CSP jako szczególny przypadek: dwa warunki eksperymentalne, iloraz Rayleigha, uogólnione zagadnienie własne
* interpretacja filtrów i topografii źródeł

;Ćwiczenie symulacyjne:
Zob. [[#Ćwiczenie symulacyjne|Ćwiczenie symulacyjne]] w sekcji CSP poniżej.

====Ćwiczenie symulacyjne ====
====Zadania do samodzielnej realizacji====

Poniższy kod dostarcza gotowej infrastruktury: generacji sygnałów, macierzy mieszającej i wizualizacji.
Zadaniem jest samodzielna implementacja kluczowych kroków analizy CSP.

;Zadanie 1 (obowiązkowe): Obliczenie macierzy kowariancji
Napisz funkcję <code>srednia_kowariancja(X, ind)</code>, która dla danej tablicy sygnałów <code>X</code>
(wymiary: powtórzenia × kanały × próbki) i wektora indeksów czasowych <code>ind</code>
zwraca średnią macierz kowariancji uśrednioną po powtórzeniach.
Dla każdego powtórzenia zastosuj funkcję <code>cov</code> i znormalizuj wynik przez jego ślad (<code>trace</code>).
Sprawdź wynik porównując z macierzami <code>R_B</code> i <code>R_E</code> obliczonymi w dostarczonym kodzie.

;Zadanie 2 (obowiązkowe): Implementacja CSP
Korzystając z funkcji <code>eig</code> oraz macierzy kowariancji obliczonych w zadaniu 1,
wyznacz macierz filtrów przestrzennych <code>W</code> i odpowiadające im wartości własne.
Odtwórz sygnały źródłowe dla wszystkich powtórzeń.
Narysuj chmury punktów (amplituda źródła 1 vs amplituda źródła 2) osobno dla warunków
baseline i ERP — przed transformacją CSP i po niej. Co zmieniło się w kształcie chmur?

Wykreśl także wizualizację przebiegów czasowych sygnałów X i sygnałów S uzyskanych po rozmieszaniu.

;Zadanie 3 (obowiązkowe): Interpretacja wartości własnych
Wartości własne znajdują się na przekątnej macierzy <code>Lambda</code>.
Który filtr najbardziej różnicuje warunki baseline i ERP?
Jaki jest związek między wartością własną a separacją widoczną na wykresach punktowych?

;Zadanie 4 (dla chętnych): Wpływ macierzy mieszającej
W dostarczonym kodzie macierz <code>P</code> (filtr przestrzenny) wynosi:
<pre>
P = [1 2; 1.5 1.3]
</pre>
Zmień ją kolejno na macierz bliską jednostkowej (np. <code>P = [1 0.1; 0.1 1]</code>)
oraz na macierz z dużymi elementami pozadiagonalnymi (np. <code>P = [1 5; 4 1]</code>).
Jak zmienia się kształt chmury punktów przed transformacją CSP?
Czy CSP poprawnie oddziela źródła w obu przypadkach?

;Zadanie 5 (dla chętnych): Wpływ szumu
W kodzie szum jest wyłączony: <code>n = 0*randn(size(tmp))</code>.
Usuń mnożnik <code>0*</code> i zbadaj jak poziom szumu wpływa na separację źródeł.
Przy jakim stosunku sygnału do szumu CSP przestaje skutecznie rozdzielać warunki?

;Pytanie do dyskusji:
Dostarczony kod używa <code>eig(R_E, R_B)</code>.
Alternatywą jest <code>eig(R_E, (R_E+R_B)/2)</code>.
Czym różnią się te dwie wersje? W jakich sytuacjach eksperymentalnych
druga wersja mogłaby być bardziej uzasadniona?

====Szkielet kodu do uzupełnienia====

Poniższy szkielet zawiera gotową infrastrukturę symulacji.
Uzupełnij brakujące fragmenty oznaczone komentarzem <code>% TUTAJ</code>
zgodnie z zadaniami 1–3. Pełny kod referencyjny dostępny jest poniżej
— zajrzyj do niego dopiero po samodzielnej próbie.

<source lang="matlab">
%% Parametry symulacji — nie modyfikuj tej sekcji
Fs = 100;
T = 1;
t = 0:1/Fs:T-1/Fs;
N_rep = 100;
N_chan = 2;
s = zeros(N_rep, N_chan, length(t));
X = zeros(N_rep, N_chan, length(t));

P = [1 2; 1.5 1.3]; % filtr przestrzenny (prawdziwy)
A = P^(-1); % topografia źródeł

for r = 1:N_rep
s1 = sin(2*pi*11*t + pi/2) + 0.02*randn(size(t));
s2 = exp(-((t-0.8)/0.05).^2) + 0.01*randn(size(t));
s(r,1,:) = s1;
s(r,2,:) = s2;
tmp = squeeze(s(r,:,:));
n = 0*randn(size(tmp)); % Zadanie 5: zmień 0* na 1* aby włączyć szum
X(r,:,:) = A*tmp + n;
end

baseline_ind = find(t < 0.5);
ERP_ind = find(t >= 0.5);

R_B = zeros(N_chan, N_chan);
R_E = zeros(N_chan, N_chan);

%% Zadanie 1: Oblicz średnie macierze kowariancji
% korzystając z funkcji srednia_kowariancja(X, ind)

% Dla każdego powtórzenia r:
% - wytnij fragment sygnału X(r,:,baseline_ind) i analogicznie ERP
% - oblicz macierz kowariancji funkcją cov() — pamiętaj o transpozycji
% - znormalizuj przez ślad (funkcja trace())
% - dodaj do sumy
% Na końcu podziel przez N_rep

%% Zadanie 2: Rozwiąż uogólnione zagadnienie własne
% Użyj funkcji eig(A,B) gdzie A=R_E, B=R_B
% W wyniku otrzymasz macierz wektorów własnych W (w kolumnach)
% i macierz Lambda z wartościami własnymi na przekątnej

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

disp('Wartości własne (przekątna Lambda):')
disp(diag(Lambda))

%% Zadanie 2 cd.: Odtwórz sygnały źródłowe
% Dla każdego powtórzenia r zastosuj filtr: S(r,:,:) = W' * X(r,:,:)

S = zeros(N_rep, N_chan, length(t));

for r = 1:N_rep
% TUTAJ: S(r,:,:) = ...
end

%% Zadanie 3: Wizualizacja — chmury punktów przed i po CSP
x_base_k1 = X(:,1,baseline_ind);
x_base_k2 = X(:,2,baseline_ind);
x_ERP_k1 = X(:,1,ERP_ind);
x_ERP_k2 = X(:,2,ERP_ind);

s_base_k1 = squeeze(S(:,1,baseline_ind));
s_base_k2 = squeeze(S(:,2,baseline_ind));
s_ERP_k1 = squeeze(S(:,1,ERP_ind));
s_ERP_k2 = squeeze(S(:,2,ERP_ind));

figure(1); clf
subplot(1,2,1)
plot(x_base_k1(:), x_base_k2(:), 'b.'); hold on
plot(x_ERP_k1(:), x_ERP_k2(:), 'r.');
axis equal; xlim([-2 2]); ylim([-2 2])
xlabel('Kanał 1'); ylabel('Kanał 2')
title('Przed CSP')
legend('baseline','ERP')

subplot(1,2,2)
plot(s_base_k1(:), s_base_k2(:), 'b.'); hold on
plot(s_ERP_k1(:), s_ERP_k2(:), 'r.');
axis equal
xlabel('Źródło 1'); ylabel('Źródło 2')
title('Po CSP')
legend('baseline','ERP')
%% Wizualizacja przebiegów czasowych X i S
% TUTAJ:

%% Zadanie 4 (dla chętnych): zmień macierz P powyżej i powtórz analizę
%% Zadanie 5 (dla chętnych): włącz szum (zmień 0* na 1* w linii z n=...)
</source>

{{hidden begin|title=Rozwiązanie — pokaż dopiero po samodzielnej próbie}}
<source lang = matlab>
% symulowany eksperyment składa się z sinusoidy udającej alfę spoczynkową i
% funkcji Gaussa udającego potencjał wywołany
% źródła te są symulowane niezależnie a potem mieszane przez macierz A
% symulujemy źródła
% s1 - symuluje alfę
% s2 - symuluje "potencjał wywołany" (ERP)

%ustawiamy parametry do symulacji sygnałów
Fs = 100;
T = 1;
t = 0:1/Fs:T-1/Fs;
N_rep = 100;
N_chan = 2;
s = zeros(N_rep,N_chan, length(t));
X = zeros(N_rep,N_chan, length(t));

% filtr przestrzenny - z takimi wagami trzeba wziąść kanały EEG aby odzyskać sygnały źródłowe
P = [1 2
1.5 1.3];

% topografie - z takimi wagami źródła dokładają się do poszczególnych elektrod
A = P^(-1);

for r =1:N_rep % tworzymy kolejne realizacje "eksperymentu"
s1 = sin(2*pi*11*t +pi/2+ 0*2*pi*rand())+ 0.02*randn(size(t)); % źródło alfa
s2 = exp(-((t-0.8)/0.05).^2)+ 0.01*randn(size(t)); % źródło ERP

s(r,1,:) = s1;
s(r,2,:) = s2;
tmp = squeeze(s(r,:,:));
n = 0*randn(size(tmp));
X(r,:,:) = A*tmp +n; % rzutujemy sygnały źródłowe na elektrody s -> x

end

% wycinamy warunki
% baseline_ind to indeksy pierwszej połowy każdego powtórzenia "baseline"
% ERP_ind to indeksy drugiej połowy każdego powtórzenia zawierająca "ERP"
baseline_ind = find(t<0.5);
ERP_ind = find(t>=0.5);

x_baseline_kan_1 = X(:,1,baseline_ind);
x_baseline_kan_2 = X(:,2,baseline_ind);

x_ERP_kan_1 = X(:,1,ERP_ind);
x_ERP_kan_2 = X(:,2,ERP_ind);

% liczymy średnie macierze kowariancji:
R_E = zeros(N_chan,N_chan);
R_B = zeros(N_chan,N_chan);
for r =1:N_rep
B = squeeze(X(r,:,baseline_ind));
tmp =cov(B');
R_B = R_B + tmp./trace(tmp);%B*B' ;

E = squeeze(X(r,:,ERP_ind));
tmp = cov(E');
R_E = R_E + tmp./trace(tmp);%E*E' ;
end

R_B = R_B/N_rep;
R_E = R_E/N_rep;

% rozwiązujemy uogólnione zagadnienie własne
[W,Lambda]=eig(R_E,R_B); % możliwa jest też optymalizacja wzg. średniej macierzy kowariancji (R_B+R_A)/2);

% odzyskujemy sygnały źródeł
for r =1:N_rep
S(r,:,:) = W'*squeeze(X(r,:,:));
end

% pobieramy wycinki odpowiadające obu częściom eksperymentu z estymowanych
% źródeł
s_baseline_estymowany_kan1 = squeeze( S(:,1,baseline_ind));
s_baseline_estymowany_kan2 = squeeze( S(:,2,baseline_ind));

s_ERP_estymowany_kan1 = squeeze(S(:,1,ERP_ind));
s_ERP_estymowany_kan2 = squeeze(S(:,2,ERP_ind));

%%%%%%%%%%%%%% Ilustracje %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ilustracja sygnałów mierzonych
figure(1);clf
subplot(2,2,1);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(X(:,1,baseline_ind)))','b'); hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze( X(:,1,ERP_ind)))','r'); hold off
xlabel('elektroda 1')
title('ilustracja sytuacji pomiarowej -\newline znane są potencjały na elektrodach w dwóch warunkach eksperymentalnych')
subplot(2,2,3);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(X(:,2,baseline_ind)))','b'); hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze( X(:,2,ERP_ind)))','r'); hold off
xlabel('elektroda 2')
subplot(1,2,2)
plot(x_baseline_kan_1(:),x_baseline_kan_2(:),'b.');
hold on
plot(x_ERP_kan_1(:),x_ERP_kan_2(:),'r.');
xlim([-2,2])
ylim([-2,2])
axis equal

% wektor własny odpowiadający największej wartości własnej jest
% kierunkiem najbardziej różnicującym warunki eksperymentalne
disp('wartości własne znajdują się na przekątnej macierzy Lambda')
disp(Lambda)
% rysujemy wersory jednostkowe w kierunkach wektorów własnych
w1 = W(:,1);
w1 = w1/norm(w1);
w2 = W(:,2);
w2 = w2/norm(w2);
line([0, w1(1) ],[0,w1(2)],'Color',[0,0.3,0])
text(w1(1),w1(2),'wektor własny 1')
line([0, w2(1) ],[0,w2(2)],'Color',[1,0,1])
text(w2(1),w2(2),'wektor własny 2')

xlabel('Amplituda na elektrodzie 1')
ylabel('Amplituda na elektrodzie 2')
legend('baseline','ERP')

% Ilustracja estymowanych źródeł
figure(2);clf
subplot(2,2,1);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(S(:,1,baseline_ind)))','b');hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze(S(:,1,ERP_ind)))','r');hold off
xlabel('estymowane zrodlo 1')
title('ilustracja estymacji -\newline estymowane są potencjały źródeł w dwóch warunkach eksperymentalnych')
subplot(2,2,3);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(S(:,2,baseline_ind)))','b');hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze(S(:,2,ERP_ind)))','r');hold off
xlabel('estymowane zrodlo 2');
subplot(1,2,2)
plot(s_baseline_estymowany_kan1(:),s_baseline_estymowany_kan2(:),'b.');
hold on
plot(s_ERP_estymowany_kan1(:),s_ERP_estymowany_kan2(:),'r.');

xlabel('Amplituda estym. źródła 1')
ylabel('Amplituda estym. źródła 2')
legend('baseline','ERP')
</source>
{{hidden end}}

=Sesja 2: CSP dla P300 — dane realne=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Pracujemy z danymi kalibracyjnymi z eksperymentu P300.
Celem sesji jest przejście pełnego pipeline'u: od surowych danych
do odtworzonych źródeł CSP.

;Zakres:
* wczytanie danych kalibracyjnych, identyfikacja znaczników T i NT
* cięcie epok (−200 do +800 ms), usuwanie trendu liniowego
* montaż względem średniej ze wszystkich elektrod
* wizualizacja ERP w układzie topograficznym
* obliczenie macierzy kowariancji RT i RNT, normalizacja przez ślad
* rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego: <code>[W, Lambda] = eig(R_T, R_NT)</code>
* odtworzenie sygnałów źródłowych: <code>S = W'*EEG</code>
* przegląd estymowanych źródeł w dwóch warunkach

;Materiały:
Dane: https://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/KalibracjaP300.tar.gz

===ZADANIE: Analiza CSP===

Przegląd badań o P300: https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2715154/

Link do Read menager [https://drive.google.com/file/d/1OgOduK5Zn7GgNl5XdCyLWXHJ7wTJIWcC/view?usp=share_link]

* Wykonać analizę CSP wzmacniającą potencjał P300.
* Zaprezentować średnią ze wszystkich kanałów źródłowych z warunku target (jeden kolor) i non-target (inny kolor) w subplotach ułożonych w prostokątnej siatce. Zaobserwować, dla którego kanału średnie różnią się najbardziej. Czy jest związek tego kanału z wartościami własnymi?

* Dla kanału najbardziej różnicującego wykonać mapki topograficzne wektorów odpowiadających:
** filtrowi przestrzennemu
** rzutu topograficznego źródła na elektrody.

===Szkielet kodu do analizy wstępnej===

<source lang="matlab">
%% KROK 1: Wczytanie danych
% ReadManager to pomocnicza klasa do odczytu plików w formacie OpenBCI.
% Przyjmuje trzy pliki: XML z metadanymi, RAW z próbkami i TAG ze znacznikami zdarzeń.
nazwaPliku = 'p_6301423_calibration_p300.obci';
nameOfXMLFile = strcat(nazwaPliku, '.xml');
nameOfTagFile = strcat(nazwaPliku, '.tag');
namesOfDataFiles = strcat(nazwaPliku, '.raw');

rm = ReadManager(nameOfXMLFile, namesOfDataFiles, nameOfTagFile);

% Pobieramy podstawowe parametry nagrania
numberOfChannels = rm.get_param('number_of_channels');
namesOfChannels = rm.get_param('channels_names');
samplingFrequency = rm.get_param('sampling_frequency');

% Pobieramy listę wszystkich znaczników zdarzeń z nagrania
tagsStruct = rm.get_tags();

%% KROK 2: Identyfikacja znaczników Target i Non-Target
% Każdy znacznik typu 'blink' odpowiada jednemu mignięciu w eksperymencie P300.
% Pole 'index' mówi który symbol mignął, pole 'target' który symbol był oczekiwany.
% Jeśli index == target to było to mignięcie docelowe (Target), w przeciwnym razie
% Non-Target.
targetTimeStamps = [];
NonTargetTimeStamps = [];

for structNumber = 1:length(tagsStruct)
if strcmp(tagsStruct(structNumber).name, 'blink')
index = tagsStruct(structNumber).children.index;
target = tagsStruct(structNumber).children.target;
if index == target
targetTimeStamps = [targetTimeStamps tagsStruct(structNumber).start_timestamp];
else
NonTargetTimeStamps = [NonTargetTimeStamps tagsStruct(structNumber).start_timestamp];
end
end
end

%% KROK 3: Wczytanie i filtrowanie sygnału
samples = double(rm.get_samples());
samples = samples(1:8,:); % odrzucamy kanały bez EEG
numberOfChannels = 8;

% Filtr dolnoprzepustowy Czebyszewa 2. rodzaju — odcięcie 25 Hz
[b, a] = cheby2(6, 80, 25/(samplingFrequency/2), 'low');
for ch = 1:numberOfChannels
samples(ch,:) = filtfilt(b, a, samples(ch,:));
end

%% KROK 4: Montaż względem średniej (common average reference)
% Odejmujemy od każdego kanału średnią ze wszystkich kanałów w danej chwili.
% Jest to prostsze i bardziej ogólne niż montaż względem połączonych uszu.
M = -ones(numberOfChannels, numberOfChannels) / numberOfChannels;
M = M + eye(numberOfChannels) * (numberOfChannels+1) / numberOfChannels;
samples = 0.0715 * M * samples;

%% KROK 5: Cięcie epok
PRE = -0.2;
POST = 0.8;
wycinek = floor(PRE*samplingFrequency : POST*samplingFrequency);

TargetSignal = zeros(length(targetTimeStamps), numberOfChannels, length(wycinek));
NonTargetSignal = zeros(length(NonTargetTimeStamps), numberOfChannels, length(wycinek));

for trialNumber = 1:length(targetTimeStamps)
trigerOnset = floor(targetTimeStamps(trialNumber) * samplingFrequency);
tenWycinek = wycinek + trigerOnset;
if tenWycinek(1) > 0 && tenWycinek(end) <= size(samples,2)
tmpSignal = samples(:, tenWycinek);
tmpSignal = detrend(tmpSignal')'; % usuwanie trendu liniowego
TargetSignal(trialNumber,:,:) = tmpSignal;
end
end

for trialNumber = 1:length(NonTargetTimeStamps)
trigerOnset = floor(NonTargetTimeStamps(trialNumber) * samplingFrequency);
tenWycinek = wycinek + trigerOnset;
if tenWycinek(1) > 0 && tenWycinek(end) <= size(samples,2)
tmpSignal = samples(:, tenWycinek);
tmpSignal = detrend(tmpSignal')';
NonTargetSignal(trialNumber,:,:) = tmpSignal;
end
end

% Oś czasu w milisekundach — przyda się do rysowania
times = (wycinek / samplingFrequency) * 1000;

%% KROK 6: Wizualizacja ERP w układzie topograficznym
% Oblicz potencjały wywołane (ERP) jako średnie po powtórzeniach
ERP_T = squeeze(mean(TargetSignal, 1)); % wymiary: kanały × czas
ERP_NT = squeeze(mean(NonTargetSignal, 1));

% TUTAJ: narysuj ERP_T i ERP_NT dla każdego kanału w subplotach
% ułożonych w siatce odpowiadającej przybliżonym pozycjom elektrod.
% Na każdym subplocie nałóż oba warunki różnymi kolorami.
% Oś X: czas w ms (użyj wektora times), oś Y: amplituda w µV.
% Zadbaj o legendę i tytuły z nazwami kanałów (namesOfChannels).

%% KROK 7: Obliczenie średnich macierzy kowariancji
% Dla każdego powtórzenia oblicz macierz kowariancji funkcją cov(),
% znormalizuj przez jej ślad (trace()), a następnie uśrednij po powtórzeniach.
% Pamiętaj: cov() oczekuje macierzy próbki × kanały, czyli potrzebujesz transpozycji.

R_T = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
R_NT = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for r = 1:length(targetTimeStamps)
% TUTAJ: wytnij r-te powtórzenie T, oblicz kowariancję, znormalizuj, dodaj do R_T
end

for r = 1:length(NonTargetTimeStamps)
% TUTAJ: wytnij r-te powtórzenie NT, oblicz kowariancję, znormalizuj, dodaj do R_NT
end

% TUTAJ: podziel R_T i R_NT przez odpowiednie liczby powtórzeń

%% KROK 8: Rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego
% Szukamy filtrów przestrzennych W maksymalizujących stosunek mocy
% w warunku T względem NT: eig(R_T, R_NT)
% W kolumnach W znajdują się filtry, na przekątnej Lambda — wartości własne.

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

disp('Wartości własne (przekątna Lambda):')
disp(diag(Lambda))

%% KROK 9: Odtworzenie sygnałów źródłowych
% Dla każdego powtórzenia zastosuj filtr przestrzenny:
% s(r,:,:) = W' * x(r,:,:)
% Pamiętaj o wymiarach — squeeze() może być pomocne.

S_T = zeros(size(TargetSignal));
S_NT = zeros(size(NonTargetSignal));

for r = 1:size(TargetSignal, 1)
% TUTAJ: S_T(r,:,:) = ...
end

for r = 1:size(NonTargetSignal, 1)
% TUTAJ: S_NT(r,:,:) = ...
end

%% KROK 10: Wizualizacja estymowanych źródeł
% Narysuj średnie przebiegi źródeł (ERP w przestrzeni CSP) dla obu warunków.
% Ułóż subploty w prostokątnej siatce — jeden subplot na każde źródło.
% Dla którego źródła różnica między T i NT jest największa?
% Czy odpowiada to źródłu z największą wartością własną?

ERP_S_T = squeeze(mean(S_T, 1));
ERP_S_NT = squeeze(mean(S_NT, 1));

% TUTAJ: narysuj ERP_S_T i ERP_S_NT w subplotach
</source>

=Sesja 3: CSP dla P300 — interpretacja i separacja cech=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Kontynuacja analizy CSP. Celem sesji jest interpretacja wyników
w kategoriach fizjologicznych oraz ocena separowalności klas
w przestrzeni cech opartej na mocy sygnału.

;Zakres:
* mapki topograficzne filtra przestrzennego i topografii źródła
* związek wartości własnych z siłą różnicowania warunków T i NT
* wykresy punktowe mocy: oś X — moc składowej z największą wartością własną, oś Y — moc kolejnej składowej; jeden punkt = jedno powtórzenie
* uśrednianie po 2, 4, 6, 8 i 10 realizacjach — obserwacja poprawy separacji wraz z liczbą uśrednień
* dyskusja: utożsamianie komponentów CSP z fizjologicznymi źródłami jest ryzykowne; komponenty maksymalizują kontrast między warunkami, niekoniecznie odpowiadają izolowanym generatorom

;Materiały:
Zob. [[#Szkielet kodu do analizy wstępnej|Szkielet kodu do analizy wstępnej]] i [[#Zadanie: Wybór i separacja cech|Zadanie: Wybór i separacja cech]] poniżej.

===Zadanie: Wybór i separacja cech===
* Przedstaw na rysunkach nałożone na siebie pojedyncze realizacje z warunków target i non-target po rzutowaniu na wektor <math>w</math> odpowiadający największej i kolejnej wartości własnej.
* Przedstaw wykresy punktowe takie, że na jednej osi jest moc sygnału (suma kwadratów wartości próbek w wybranym zakresie czasu) odpowiadającego największej wartości własnej, a na drugiej osi kolejnej (mniejszej) wartości własnej; jeden punkt reprezentuje jedno powtórzenie.
* Wykonaj serię wykresów jak w poprzednim punkcie dla uśrednień sygnałów kolejno po 2, 4, 6, 8 i 10 realizacjach:
** Liczymy potencjał wywołany dla danej liczby powtórzeń.
** Następnie podnosimy wartości próbek do kwadratu
** i sumujemy je w wybranym zakresie czasu.
* Zaobserwuj jak zmienia się separacja w grupach target i non-target.
{{hidden end}}
[https://robintibor.github.io/eeg-deep-learning-phd-thesis/DeepArchitectures.html Archirtektury sieci do BCI: ConvNet]

[https://www.researchgate.net/figure/The-architecture-of-EEGNet-F1-S1-model-F1-and-S1-represent-the-number-of-temporal_fig3_347073448 EEGNet]

=Sesja 4: Filtry przestrzenne dla SSEP — cosSinCSP=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Sesja wprowadza metodę cosSinCSP jako naturalne uogólnienie CSP
o wiedzę dziedzinową dotyczącą sygnału SSEP. W klasycznym CSP
dwa warunki eksperymentalne definiują dwie macierze kowariancji.
W cosSinCSP rolę jednej z macierzy przejmuje projekcja sygnału
na przestrzeń sinusów i cosinusów częstości stymulacji i jej harmonicznych.
Formalizm ilorazu Rayleigha i uogólnionego zagadnienia własnego
pozostaje identyczny.

Dane używane na tych zajęciach pochodzą z eksperymentu SSEP
z archiwum — bez sesji rejestracyjnej. Na wykresach widma
sygnału przed transformacją CSP dominuje artefakt sieciowy 50 Hz,
który praktycznie zasłania odpowiedź na stymulację. Zadaniem
jest sprawdzenie czy cosSinCSP potrafi ten sygnał wydobyć.

;Zakres:
* idea cosSinCSP: macierz S złożona z sinusów i cosinusów harmonicznych, projekcja sygnału na przestrzeń SSEP i resztę Y
* implementacja funkcji <code>cosSinCSP</code> w MATLAB
* analiza danych archiwalnych: widma Welcha dla kanałów oryginalnych i źródeł CSP — porównanie SNR przed i po transformacji
* prezentacja filtrów przestrzennych i topografii źródeł

;Materiały:
Zob. [[#Filtry przestrzenne dla SSEP|Filtry przestrzenne dla SSEP]] poniżej.

==Filtry przestrzenne dla SSEP==

===Teoria===

Ciekawa koncepcja filtra przestrzennego dla SSEP zaprezentowana jest tu: http://www.eurasip.org/Proceedings/Eusipco/Eusipco2009/contents/papers/1569193209.pdf

Pokrótce można ją rozumieć podobnie do tego co robiliśmy rozważając filtry przestrzenne CSP z tym, że dla SSEP oraz innych potencjałów wywołanych stanu ustalonego możemy skorzystać z dodatkowych informacji dotyczących poszukiwanych źródeł. Wiemy mianowicie, że powinny one oscylować z częstością bodźca i być może jej harmonicznych.

Przyda nam się macierz <math>S</math> zbudowana tak, że w kolejnych kolumnach znajdują się sinusy i cosinusy kolejnych częstości harmonicznych. Wektory te unormujemy, żeby miały energię równą 1. Innymi słowy macierz <math>S</math> zbudowana jest z wersorów rozpinających przestrzeń, w której powinien znajdować się sygnał SSEP.

W Matlabie możemy taką macierz zbudować tak:

<source lang="matlab">
% Fs - częstość próbkowania
% numberOfSamples - długość sygnału w próbkach
% numberOfHarmonics - liczba harmonicznych, które chcemy włączyć do analizy
t = (0:1:numberOfSamples - 1) / Fs;
S = zeros(numberOfSamples, 2*numberOfHarmonics);

for harmonicNumber = 1:numberOfHarmonics
c = cos(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
s = sin(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
S(:,(harmonicNumber - 1)*2 + 1) = c/norm(c);
S(:,(harmonicNumber - 1)*2 + 2) = s/norm(s);
end
</source>

Aby w badanym sygnale znaleźć składowe odpowiadające SSEP musimy rzutować sygnał <math>X</math> (macierz sygnałów ''kanały × próbki'') na przestrzeń rozpiętą przez <math>S</math>:
:<math>A = X S</math>
Macierz <math>A</math> zawiera współczynniki będące iloczynami skalarnymi sygnałów i wersorów — mówią one o tym jak dużo sinusa bądź cosinusa o danej częstości jest w pierwotnym sygnale. Komponenty SSEP zawarte w sygnale <math>X</math> odzyskujemy tak:
:<math>\mathrm{SSEP} = A S^T</math>

Modelujemy rejestrowany sygnał jako:
:<math>X = \mathrm{SSEP} + Y</math>
gdzie:
:<math>Y = X - \mathrm{SSEP}</math>
to wszystkie komponenty sygnału, które nas nie interesują.

Filtr przestrzenny, który chcemy zbudować powinien maksymalizować stosunek wariancji <math>\mathrm{SSEP}</math> do wariancji <math>Y</math>. Macierz kowariancji powinna być uśredniona po powtórzeniach, a kowariancja sygnału w każdym powtórzeniu powinna być znormalizowana przez jej ślad. Dalej stosujemy technikę znaną z CSP: maksymalizację ilorazu Rayleigha przez rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego dla macierzy kowariancji <math>\mathrm{SSEP}</math> i <math>Y</math>.

===Zadanie: implementacja funkcji cosSinCSP===

Dane do zadania: [[Plik:PrzykladoweDaneSSVEP.mat.gz]].
Pełny przykład z danymi z eksperymentu SSEP: [[Plik:SSVEP_demo_csp.tar.gz]]

Zaimplementuj funkcję <code>cosSinCSP</code> zgodnie z poniższym szkieletem.
Prawidłowo zaimplementowana funkcja wraz ze skryptem demonstracyjnym poniżej
powinna generować rysunek: [[Plik:Rys_SSVEP_demo.png|400px|podpis grafiki]]

<source lang="matlab">
function [W, Lambda] = cosSinCSP(signal, stimulationFrequency, numberOfHarmonics, Fs)
% cosSinCSP - filtr przestrzenny dla sygnałów SSEP
%
% Wejście:
% signal - dane EEG, wymiary: powtórzenia × kanały × próbki
% stimulationFrequency - częstość stymulacji w Hz
% numberOfHarmonics - liczba harmonicznych do uwzględnienia
% Fs - częstość próbkowania w Hz
%
% Wyjście:
% W - macierz filtrów przestrzennych (kanały × kanały), filtry w kolumnach
% Lambda - macierz diagonalna wartości własnych

[numberOfTrials, numberOfChannels, numberOfSamples] = size(signal);

%% KROK 1: Zbuduj macierz referencyjną S (sinusy i cosinusy harmonicznych)
% S ma wymiary: próbki × 2*numberOfHarmonics
% Każda kolumna to jeden wersor (unormowany sinus lub cosinus).
% Wróć do sekcji Teoria powyżej i przełóż tamten kod na tę funkcję.

% TUTAJ

%% KROK 2: Oblicz średnie macierze kowariancji C_SSEP i C_Y
% Dla każdego powtórzenia wytnij sygnał x (kanały × próbki),
% rozłóż go na składową SSEP i resztę Y zgodnie z równaniami z sekcji Teoria,
% oblicz macierze kowariancji obu składowych, znormalizuj przez ślad
% i uśrednij po powtórzeniach.

C_SSEP = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
C_Y = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for trial = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(trial, :, :)); % kanały × próbki

% TUTAJ: oblicz SSEP i Y

% TUTAJ: oblicz kowariancje, znormalizuj, dodaj do C_SSEP i C_Y
end

% TUTAJ: podziel C_SSEP i C_Y przez numberOfTrials

%% KROK 3: Rozwiąż uogólnione zagadnienie własne
% Znajdź filtry przestrzenne maksymalizujące stosunek mocy SSEP do mocy Y.
% Analogia z CSP: jakie macierze wstawiłeś do eig() tam?

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

end
</source>

;Wskazówka do interpretacji wyników:
Filtr związany z największą wartością własną daje komponent
o największym stosunku mocy SSEP do mocy tła.
Sprawdź na widmach Welcha czy odpowiada on składowej
z wyraźnym pikiem przy częstości stymulacji.

{{hidden begin|title=Rozwiązanie — pokaż dopiero po samodzielnej próbie}}
<source lang="matlab">
function [W, Lambda] = cosSinCSP(signal, stimulationFrequency, numberOfHarmonics, Fs)

[numberOfTrials, numberOfChannels, numberOfSamples] = size(signal);

%% KROK 1: Macierz referencyjna S
t = (0:1:numberOfSamples-1) / Fs;
S_ref = zeros(numberOfSamples, 2*numberOfHarmonics);

for harmonicNumber = 1:numberOfHarmonics
c = cos(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
s = sin(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
S_ref(:,(harmonicNumber-1)*2 + 1) = c/norm(c);
S_ref(:,(harmonicNumber-1)*2 + 2) = s/norm(s);
end

%% KROK 2: Średnie macierze kowariancji
C_SSEP = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
C_Y = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for trial = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(trial, :, :)); % kanały × próbki
A = x * S_ref; % projekcja na przestrzeń SSEP
SSEP = A * S_ref'; % rekonstrukcja składowej SSEP
Y = x - SSEP; % reszta

tmp = cov(SSEP');
C_SSEP = C_SSEP + tmp/trace(tmp);

tmp = cov(Y');
C_Y = C_Y + tmp/trace(tmp);
end

C_SSEP = C_SSEP / numberOfTrials;
C_Y = C_Y / numberOfTrials;

%% KROK 3: Uogólnione zagadnienie własne
[W, Lambda] = eig(C_SSEP, C_Y);

end
</source>
{{hidden end}}

===Skrypt demonstracyjny i analiza wyników===

<source lang="matlab">
% wczytujemy dane
load('PrzykladoweDaneSSVEP.mat');

[numberOfTrials numberOfChannels numberOfSamples] = size(X.data);
namesOfChannels = X.channels;

numberOfHarmonics = 3;
signal = X.data; % powtórzenie × kanał × próbki

[W, Lambda] = cosSinCSP(signal, X.stimulation, numberOfHarmonics, X.sampling);

%% Odtworzenie sygnałów źródłowych
S = zeros(size(signal));
for powt = 1:size(signal,1)
S(powt,:,:) = W' * squeeze(signal(powt,:,:));
end

%% Widma Welcha: kanały oryginalne vs źródła CSP
figure('Name', ['Stymulacja: ', num2str(X.stimulation), ' Hz'])
for i = 1:numberOfChannels
subplot(2, numberOfChannels, i)
PP = 0;
for rep = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(rep,i,:));
[Pxx, ff] = pwelch(x, X.sampling, 1, X.sampling, X.sampling);
PP = PP + Pxx;
end
plot(ff(ff<60), PP(ff<60))
title(namesOfChannels{i})

subplot(2, numberOfChannels, numberOfChannels+i)
PP = 0;
for rep = 1:numberOfTrials
s = squeeze(S(rep,i,:));
[Pss, ff] = pwelch(s, X.sampling, 1, X.sampling, X.sampling);
PP = PP + Pss;
end
plot(ff(ff<60), PP(ff<60))
title(['źródło CSP: ', num2str(i)])
xlabel(['\lambda = ', num2str(Lambda(i,i), '%.2f')])
end

%% KROK 4: Mapki topograficzne
% Zidentyfikuj komponent z największą wartością własną.
% Narysuj dwie mapki przy użyciu funkcji topoplot() z pakietu EEGLAB:
%
% (a) Filtr przestrzenny: wagi z jakimi kanały EEG składają się na ten komponent.
% Wskazówka: filtr to kolumna macierzy W.
%
% (b) Topografia źródła: z jakimi wagami komponent dociera do poszczególnych elektrod.
% Wskazówka: topografia zawarta jest w wierszach macierzy odwrotnej do W —
% przypomnij sobie analogiczny krok z analizy CSP dla P300.
%
% Czym różnią się te dwie mapki? Którą łatwiej interpretować fizjologicznie?

% TUTAJ: [~, idx] = max(diag(Lambda));
% TUTAJ: topoplot(...) % filtr
% TUTAJ: topoplot(...) % topografia
</source>

=Sesja 5: ICA jako filtr przestrzenny =

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Sesja wprowadza analizę składowych niezależnych (ICA) jako trzecie
podejście do problemu ślepej separacji źródeł — obok BSS/CSP
i cosSinCSP. Kluczowa różnica: CSP szuka kierunków maksymalizujących
kontrast wariancji między warunkami (kryterium drugiego rzędu),
ICA szuka składowych niezależnych statystycznie, maksymalizując
niegaussowość (kryterium wyższego rzędu). ICA nie wymaga
dwóch warunków eksperymentalnych — działa na jednym stacjonarnym sygnale.

;Zakres wykładu (~40 min):
* model generatywny ICA: <math>\mathbf{x} = \mathbf{D}\mathbf{s}</math>, założenie niegaussowości składowych
* negoentropia i algorytm FastICA
* porównanie z CSP: kiedy ICA, kiedy CSP
* ograniczenia: liczba próbek a liczba kanałów (<math>kN^2</math>), niejednoznaczność kolejności i skali komponentów

;Zakres ćwiczenia (~80 min):
* wczytanie danych do EEGLAB, edycja lokalizacji elektrod
* filtrowanie górnoprzepustowe (FIR, 0,5 Hz), zmiana referencji
* obliczenie ICA na całym sygnale
* identyfikacja komponentów zawierających rytm alfa: topografia, widmo, przebieg czasowy
* usunięcie komponentów niezawierających alfy, odtworzenie sygnału na elektrodach
* porównanie wyników między co najmniej trzema uruchomieniami ICA: czy komponenty są powtarzalne?

==Teoria==

===Definicja ===
Independent Component Analysis (ICA) jest metodą statystycznej analizy sygnałów, która dokonuje dekompozycji wielokanałowych zapisów na składowe niezależne w sensie statystycznym.
Dwie składowe ''s''1 i ''s''2 są niezależne jeżeli wiedza o wartości ''s''1 nie daje żadnych informacji o możliwych wartościach ''s''2. ICA może być wyrażona przez prosty model generatywny:
: '''x''' = '''Ds'''
: gdzie '''x''' = {''x''1, ''x''2, ..., ''x''''n''} jest zmierzonym ''n'' kanałowym sygnałem, '''D''' jest macierzą mieszającą zaś '''s''' = {''s''1, ''s''2, ..., ''s''''n''} jest aktywnością ''n'' źródeł. Podstawowym założeniem dotyczącym '''s''' jest to, że ''s''''i'' są statystycznie niezależne. Aby wyestymować model musimy też założyć, że składowe mają niegaussowskie rozkłady wartości (Hyvärinen, 2000).

Dodatkowo model ten zakłada następujące fakty:
# Sygnał jest liniową mieszaniną aktywności źródeł
# Sygnały pochodzące z każdego ze źródeł są niezależne od pozostałych
# Źródła oraz proces ich mieszania są stacjonarne, tzn, ich momenty statystyczne nie zależą od czasu
# Energie (wariancje) źródeł nie mogą być wyznaczone jednoznacznie. Dzieje się tak ponieważ pomnożenie amplitudy ''i''-tego źródła może być uzyskane poprzez przemnożenie albo ''s''''i'' albo przez przemnożenie ''i''-tej kolumny macierzy '''D'''. Naturalnym rozwiązaniem tej niejednoznaczności jest wprowadzenie konwencji, że komponenty są normowane tak aby miały wariancję 1: E[(''s''''i'')''2''] = 1.
# Kolejność komponentów jest dowolna. Bo jeśli w ten sam sposób zmienimy kolejność komponentów w '''s''' i kolumn w '''D''' to dostaniemy dokładnie ten sam sygnał '''x'''.

Głównym wyzwaniem w analizie ICA jest estymacja macierzy mieszającej '''D'''. Gdy jest ona znana to komponenty mogą być wyliczone w następujący sposób:
: '''s''' = '''D'''−1'''x'''

=== Estymacja ===
Znalezienie niezależnych komponentów może być rozważane w świetle Centralnego Twierdzenia Granicznego jako poszukiwanie komponentów o możliwie nie gaussowskim rozkładzie.
Aby zrozumieć to podejście prześledźmy heurystykę zaproponowaną przez (Hyvärinen, 2000).
Dla prostoty załóżmy, że poszukiwane źródła niezależne mają identyczne rozkłady.
Zdefiniujmy

''y'' = '''w'''T'''x'''.

Zauważmy, że jeśli

'''w'''

jest jedną z kolumn macierzy

'''D'''−1,

to ''y'' jest jednym z poszukiwanych komponentów.
Zamieniając zmienne

'''z''' = '''D'''T'''w'''

możemy napisać

''y'' = '''w'''T'''x''' = '''w'''T'''Ds''' = '''z'''T'''s'''.

Uwidacznia to fakt, że ''y'' jest liniową kombinacją składowych s''i'' z wagami danymi przez z''i''.

Z centralnego twierdzenia granicznego wynika, że suma niezależnych zmiennych losowych ma bardziej gaussowski charakter niż każda z tych zmiennych osobno.
Liniowa kombinacja staje się najmniej gaussowska gdy '''z''' ma tylko jeden element niezerowy. W tym przypadku ''y'' jest proporcjonalny do s''i''.
Zatem problem estymacji modelu ICA może być sformułowany jako problem znalezienia takiego wektora '''w''', który maksymalizuje niegaussowskość

''y'' = '''w'''T'''x'''.

Maksymalizacja niegaussowskości ''y'' daje jeden niezależny komponent odpowiadający jednemu z 2''n'' maksimów (bo mamy s''i'' i −s''i'') w krajobrazie optymalizacyjnym. Aby znaleźć wszystkie niezależne komponenty musimy znaleźć wszystkie maksima. Ponieważ komponenty są nieskorelowane, to poszukiwania kolejnych komponentów można kontynuować w podprzestrzeni ortogonalnej do już znalezionych komponentów.

===Obliczenia===
Intuicyjna heurystyka poszukiwania najbardziej niegaussowskich składowych może być użyta do wyprowadzenia różnych funkcji kosztu, których optymalizacja daje model ICA, np. kurtoza.

<math>kurt(y) = E\{y^4\} - 3(E{y^2})^2</math>

Inną miarą gassowskości jest neg-entropia, którą można wyprowadzić z entropii:
Entropia jest miarą średniego zdziwienia wynikiem obserwacji zmiennej losowej:
<math>H(Y) = - \sum_i P(Y= a_i) \log(P(Y=a_i)) </math>

Negentropia jest zdefiniowana:

<math> J(y) = H(y_{gauss}) -H(y)</math>
gdzie <math> y_{gauss} </math> jest gassuwską zmienną losową o takiej samej kowaiancji jak <math> y </math>.

Negentropia jest skomplikowana obliczeniow, więc w praktyce używana jest formuła przybliżona:

<math> J(y) \varpropto [E\{G (y)\} - E\{G(\nu)\}]^2</math>

<math>\nu </math> jest zmienną losową ze standardowego rozkładu normalnego , a G są pewnymi niekwadratowymi funkcjami.

W algorytmie FastICA extremum negentropii jest znajdowane w procedurze bazującej na optymalizacji Newtona.
(szczegóły np.: sekcja 6 w https://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/NN00new.pdf)

Procedura wykorzystywana w eeglabie (&bdquo;runica”, Makeig 1996) dąży do minimalizacji informacji wzajemnej. Oba podejścia są w przybliżeniu równoważne (Hyvärinen, 2000), chociaż owo przybliżenie dla sygnałów elektrofizjologicznych nie zostało to jeszcze w pełni wyeksplorowane.
Dla sygnałów o niskiej wymiarowości i spełniających dokładnie założenia ICA wszystkie powszechnie wykorzystywane algorytmy dają niemal identyczne wyniki.

;Bardzo ważna uwaga: ogólną zasadą jest, że jeśli estymujemy ''N'' stabilnych komponentów (z ''N''-kanałowych danych) to musimy dysponować ''kN''2 punktami danych w każdym kanale, gdzie ''N''2 jest liczbą elementów w macierzy '''D''', którą ICA próbuje wyestymować, ''k'' jest liczbą całkowitą. Nie ma dobrych oszacowań teoretycznych na wielkość ''k'', z praktycznych obserwacji wynika, że rośnie ona z liczbą kanałów.

=== Możliwe zastosowania ===
Najczęściej ICA jest stosowana jako narzędzie do:
* usuwania artefaktów z sygnałów EEG (ruchy oczu i mięśnie)
* wydobywania składowych do dalszej analizy (Onton, 2006)
* jako analiza wstępna do lokalizacji źródeł (Grau, 2007).
* ICA jest także stosowana w analize sygnałów EKG i EMG.

===Bibliografia===
Bazowa praca:
* A. Hyvärinen. Fast and Robust Fixed-Point Algorithms for Independent Component Analysis. IEEE Transactions on Neural Networks 10(3):626-634, 1999 http://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/TNN99_reprint.pdf

Nieco prościej opisana wersja z przykładami:
* Hyvärinen, A. and Oja, E. (2000). Independent component analysis: Algorithms and applications. Neural Networks, 13(4-5):411–430.
https://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/NN00new.pdf

* Grau, C., Fuentemilla, L., Marco-Pallars, J. (2007). Functional neural dynamics underlying auditory event-related n1 and n1 suppression response. Neuroimage, 36(6):522–31.
* Makeig, S., Bell, A., Jung, T.-P., Sejnowski,T. (1996). Independent component analysis of electroencephalographic data. W: Touretzky, D., Mozer, M., and Hasselmo, M., editors, Advances in Neural Information Processing Systems, volume 8, pages 145–151. MIT Press, Cambridge, MA.
* Onton, J., Makeig, S. (2006). Information-based modeling of event-related brain dynamics. Prog Brain Res., 159:99–120.
* Tutorial: http://sccn.ucsd.edu/wiki/Chapter_09:_Decomposing_Data_Using_ICA
* http://sccn.ucsd.edu/~arno/indexica.html
* http://cis.legacy.ics.tkk.fi/aapo/papers/IJCNN99_tutorialweb/

== ZADANIE: Wydobywanie interesujących komponentów ==

Dane do tej części ćwiczeń proszę pobrać i rozpakować w swoim katalogu:
http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Dane_do_ICA_alfa.tar.gz

Pochodzą one z eksperymentu, w którym osoba badana siedziała z zamkniętymi oczami słuchając nagrania czytanego spokojnym głosem. Metadane opisujące sygnał znajdują się w pliku Miro.xml, zaś lokalizacje elektrod w pliku Miro-10-20-Cap.locs.

Proszę:
* wczytać dane do eeglaba
* wyedytować lokalizację elektrod
* usunąć kanały nie zawierające EEG
* zmienić referencje na średnią z kanałów A1 i A2
* przefiltrować filtrem FIR górnoprzepustowym z częstością odcięcia 0,5 Hz
* obejrzeć wstępnie przygotowane dane
* policzyć ICA na całym sygnale
* obejrzeć właściwości otrzymanych komponentów
** Czy są wśród nich takie, które zawierają znaczny udział rytmu alfa?
** Jaka jest ich topografia?
* usunąć wszystkie komponenty nie zawierające alfy
* odtworzyć z tych komponentów sygnał na elektrodach
* wykonać dekompozycję ICA kilkukrotnie (co najmniej 3) i porównać wyniki
** Czy uzyskiwane komponenty są powtarzalne?
** Swoje wyniki porównać też z sąsiednimi grupami.

==ZADANIE: Identyfikacja artefaktów ==
Proszę pobrać dane:

*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal-10-20-Cap.locs
*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal1.set
*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal1.fdt

Pochodzą one z eksperymentu w którym osoba badana czytała słowa o różnych właściwościach wzbudzania emocji.

* wczytaj je do eeglaba
* wczytaj lokalizację kanałów z pliku Arousal-10-20-Cap.locs
* obejrzyj przebiegi czasowe
* odrzuć kanał z diodą (21) i z GSR (20)
* zrób dekompozycję ICA
* obejrzyj topografię komponentów
* zidentyfikuj komponenty odpowiadające mruganiu i aktywności mięśniowej.
;UWAGA: Aktualnie do wykrywania komponentów artefaktowych warto posłużyć się wtyczkami do eeglaba dostępnymi przez stronę:

https://sccn.ucsd.edu/eeglab/plugin_uploader/plugin_list_all.php

* ICLabel:
** https://labeling.ucsd.edu/tutorial/overview
** https://github.com/sccn/ICLabel

* MARA:
** https://github.com/irenne/MARA/raw/master/MARAtutorial.pdf
** https://irenne.github.io/artifacts/

=Sesja 6: Problem odwrotny w EEG i MEG=

;Czas: ~60 min wykład + ~90 min ćwiczenie

Sesja wprowadza problem odwrotny jako alternatywne — i komplementarne —
podejście do analizy przestrzennej sygnałów EEG i MEG. O ile BSS/CSP
i ICA szukają filtrów przestrzennych w przestrzeni elektrod,
nie zakładając nic o geometrii mózgu,
to metody problemu odwrotnego wyraźnie osadzają źródła
w przestrzeni trójwymiarowej, korzystając z fizyki i modelu głowy.

Materiały z naszych zasobów:
* [[Elektroencefalografia|Sekcje 3 i 8 z Podręcznika o EEG ]]
* [https://drive.google.com/file/d/1EOJxN1y7X3YlIFHoIIyoZzCiXdrQSHcA Wykład Piotra Durki z Analizy sygnałów o problemie odwrotnym w EEG iMEG]

Z zasobów zewnętrznych polecam:
* [https://download.fieldtriptoolbox.org/workshop/toolkit2025/slides/04_forward_inverse.pdf#page=1.00 Slajdy "Forward and inverse - lecture by Robert Oostenveld" fragment warsztatów: "Advanced MEG/EEG toolkit at the Donders"]

==Kontrast z BSS: dwa języki opisu tego samego zjawiska==

Zarówno BSS/ICA, jak i metody problemu odwrotnego wychodzą
od tego samego modelu generatywnego:
:<math>\mathbf{x}(t) = \mathbf{A}\,\mathbf{s}(t) + \boldsymbol{\varepsilon}(t)</math>
gdzie <math>\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^{N_e}</math> to potencjały na elektrodach,
<math>\mathbf{s}(t) \in \mathbb{R}^{N_s}</math> to aktywność źródeł,
a <math>\mathbf{A}</math> to macierz mieszająca (ang. ''lead field'' lub ''forward matrix'').

Różnica leży w tym, co robimy z macierzą <math>\mathbf{A}</math>:

{| class="wikitable"
|-
! !! BSS / ICA !! Problem odwrotny
|-
| '''Macierz A''' || nieznana; estymowana z danych || obliczona z modelu głowy (''forward model'')
|-
| '''Liczba źródeł''' || równa liczbie elektrod || od 1 dipola do ~10 000 wokseli
|-
| '''Geometria''' || brak założeń przestrzennych || źródła zlokalizowane w przestrzeni 3D
|-
| '''Regularyzacja''' || przez kryterium stat. (niezależność, wariancja) || przez regularyzację matematyczną (L2, L1, …)
|-
| '''Wynik''' || filtry przestrzenne + komponenty || mapa aktywności w przestrzeni mózgu
|}

Kluczowa trudność problemu odwrotnego wynika z jego
fundamentalnej niejednoznaczności:

układ równań:

<math>\mathbf{x} = \mathbf{A}\mathbf{s}</math>

jest niedookreślony — przy <math>N_e \approx 19\text{–}256</math> elektrodach
i <math>N_s \sim 10^4</math> możliwych lokalizacjach źródeł
istnieje nieskończenie wiele rozkładów <math>\mathbf{s}</math>
dokładnie odtwarzających zmierzony <math>\mathbf{x}</math>.
Każda metoda nakłada inne założenie ''a priori'', by wybrać jedno rozwiązanie.

==Model do przodu (forward model)==

Zanim można rozwiązać problem odwrotny, należy zbudować
''model do przodu'' — obliczenie potencjałów na elektrodach
wywołanych przez jednostkowe źródło prądowe w danym miejscu mózgu.
Wynik zapisuje się jako macierz ''pola wiodącego'' (''lead field''):
:<math>\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{N_e \times 3N_s}</math>
gdzie czynnik 3 wynika z trzech ortogonalnych składowych momentu dipolowego.

=== Skąd bierze się macierz ''lead field''? ===

Przejdźmy od równań Maxwella do tego, co dosłownie liczą funkcje `ft_prepare_headmodel` / `ft_prepare_leadfield`.

==== 1. Punkt wyjścia: przybliżenie kwazistatyczne ====

=====Pełne równania Maxwella w ośrodku materialnym=====

$$
\begin{aligned}
\nabla \cdot \mathbf{D} &= \rho && \text{(prawo Gaussa)} \\
\nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 && \text{(brak monopoli magnetycznych)} \\
\nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} && \text{(prawo Faradaya)} \\
\nabla \times \mathbf{H} &= \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} && \text{(prawo Ampère'a–Maxwella)}
\end{aligned}
$$

uzupełnione związkami konstytutywnymi dla tkanki traktowanej jako liniowy, lokalnie izotropowy ośrodek:

$$
\mathbf{D} = \varepsilon\,\mathbf{E},\qquad \mathbf{B} = \mu_0\,\mathbf{H},\qquad \mathbf{J} = \sigma\,\mathbf{E} + \mathbf{J}^p
$$

Ostatnia relacja to uogólnione prawo Ohma: prąd swobodny ma część omową (<math>\sigma\mathbf{E}</math>, prądy bierne w przewodniku objętościowym) i część „pierwotną" <math>\mathbf{J}^p</math> pochodzącą od źródeł neuronowych — bo to one *nie* są napędzane lokalnym polem <math>\mathbf{E}</math>, tylko gradientami stężeń jonów.

===== Przybliżenie kwazistatyczne =====

Wprowadzamy harmoniczną zależność czasową <math> J \sim e^{i\omega t}</math> i porównujemy człony w równaniach Maxwella.

Mamy dla EEG:

**(a) Pomijalny prąd przesunięcia w równaniu Ampère'a. ** Stosunek członu pojemnościowego do omowego to <math>\omega\varepsilon/\sigma</math>. Dla tkanki przy <math>f=100</math> Hz, <math>\sigma\approx 0{,}3</math> S/m, <math>\varepsilon_r\approx 10^5</math> (efektywna wartość niska-częstotliwościowa dla istoty szarej; spada szybko z <math>f</math>):
$$\frac{\omega\varepsilon}{\sigma} = \frac{2\pi\cdot 100\cdot 10^5\cdot 8{,}85\cdot 10^{-12}}{0{,}3}\sim 10^{-3}$$

— bezpiecznie pomijalny w EEG. To pozwala napisać <math>\nabla\times\mathbf{H}\approx\mathbf{J}</math>, a po wzięciu dywergencji:
$$\nabla\cdot\mathbf{J} = 0$$

**(b) Pomijalna indukcja w równaniu Faradaya.** Mówimy, że <math>\partial\mathbf{B}/\partial t</math> jest na tyle małe, że <math>\nabla\times\mathbf{E}\approx 0</math>, więc istnieje potencjał skalarny <math>V</math> z <math>\mathbf{E}=-\nabla V</math>. Można to oszacować z indukcyjności geometrii głowy i wykazać, że pomijany wkład jest o kilka rzędów mniejszy od <math>-\nabla V</math>.

**(c) Brak efektów propagacyjnych.** Długość fali EM przy 100 Hz w próżni to <math>\lambda = c/f\approx 3000</math> km, czyli <math>\lambda \gg L_\text{głowy}</math>. To gwarantuje, że pole „widzi" całą głowę jednocześnie — stąd zerowe przesunięcie fazowe propagacji potencjału przez przewodnik objętościowy.

Co zostaje po przybliżeniu:

$$
\begin{aligned}
\nabla \times \mathbf{E} &= 0 \;\Rightarrow\; \mathbf{E} = -\nabla V \\
\nabla \cdot \mathbf{J} &= 0 \\
\mathbf{J} &= -\sigma\nabla V + \mathbf{J}^p
\end{aligned}
$$

Składając trzy powyższe:

$$
\nabla\cdot\bigl(\sigma(\mathbf{r})\nabla V(\mathbf{r})\bigr) = \nabla\cdot\mathbf{J}^p(\mathbf{r})
$$

Warto przy tym podkreślić, że prawo Gaussa i <math>\nabla\cdot\mathbf{B}=0</math> nie znikają — one są nadal spełnione, ale po prostu nie są nam potrzebne do wyliczenia <math>V</math> na skórze: ładunki swobodne i indukowane policzy się *a posteriori* z <math>\rho = \nabla\cdot(\varepsilon\nabla V)\cdot(-1)</math>, a pole magnetyczne (interesujące dla MEG!) z prawa Biota–Savarta zastosowanego do <math>\mathbf{J}</math>.

Warto tu zauważyć, że kwazistatyka EEG i kwazistatyka MEG to **to samo** przybliżenie — różni je tylko, co wybieramy jako wielkość mierzoną (<math>V</math> na skórze vs. <math>\mathbf{B}</math> na zewnątrz głowy). To samo równanie Poissona generuje oba sygnały, a różnice w czułości na orientację dipola (radialny vs. tangencjalny) wynikają stąd, że potencjał i pole magnetyczne są różnymi funkcjonałami tego samego rozwiązania.

==== 2. Rozszczepienie prądu — gdzie pojawia się „źródło" ====

Gęstość prądu w tkance dzielimy na część „pierwotną" (neuronową) i „objętościową" (omową):

$$\mathbf{J}(\mathbf{r}) = \mathbf{J}^p(\mathbf{r}) - \sigma(\mathbf{r})\,\nabla V(\mathbf{r})$$

<math>\mathbf{J}^p</math> reprezentuje *prądy postsynaptyczne w piramidowych neuronach kory* — to one są naszym „źródłem". Reszta to prądy bierne płynące w przewodniku objętościowym o nieizotropowej, niejednorodnej przewodności <math>\sigma</math>.

Podstawiając do warunku <math>\nabla \cdot \mathbf{J}_\text{tot} = 0</math> dostajemy równanie Poissona dla niejednorodnego przewodnika:

$$\boxed{\;\nabla \cdot \bigl(\sigma(\mathbf{r})\,\nabla V(\mathbf{r})\bigr) = \nabla \cdot \mathbf{J}^p(\mathbf{r})\;}$$

To jest równanie problemu wprost. Cała reszta to:
(a) model źródła,
(b) warunki brzegowe,
(c) sposób rozwiązania.

==== 3. Model źródła: dipol prądowy ====

Dla pojedynczego dipola w <math>\mathbf{r}_0</math> o momencie <math>\mathbf{q}</math>:

$$\mathbf{J}^p(\mathbf{r}) = \mathbf{q}\,\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$$

$$\nabla \cdot \mathbf{J}^p(\mathbf{r}) = \mathbf{q}\cdot\nabla\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$$

Liniowość PDE daje natychmiast kluczową własność: <math>V</math> jest **liniową** funkcją <math>\mathbf{q}</math>. To właśnie ta liniowość pozwala zapisać:

$$\mathbf{v} = \mathbf{L}\,\mathbf{j}$$

gdzie <math>\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{N_\text{el}}</math> to potencjały, <math>\mathbf{j} \in \mathbb{R}^{3N_\text{src}}</math> to momenty dipoli, a <math>\mathbf{L}</math> to *lead field matrix*. Każda kolumna <math>\mathbf{L}</math> to potencjał wywołany jednostkowym dipolem w danym miejscu i o danej orientacji.

==== 4. Warunki brzegowe ====

Na granicy skóra/powietrze prąd nie wypływa:

$$\sigma\,\nabla V \cdot \hat{\mathbf{n}} = 0 \quad \text{na zewnętrznej powierzchni}$$

Wewnątrz, na granicach tkanek o różnym <math>\sigma</math> (mózg–CSF–czaszka–skóra):

$$V \text{ ciągłe},\quad \sigma\nabla V \cdot \hat{\mathbf{n}} \text{ ciągłe}$$

To są te warunki, które „włączają" geometrię i przewodności do problemu — i to one decydują, że czaszka (niskie <math>\sigma</math>, około 1/15–1/80 tkanki miękkiej, do dziś dyskutowane) rozmywa pole tak agresywnie.

==== 5. Metody rozwiązania ====
W pakiecie fieldtrip problem wprostt jest rozwiązywany przez funkcję
`ft_prepare_headmodel` - to fabryka różnych metod rozwiązujących to samo PDE. Wybór `cfg.method` decyduje o paradygmacie matematycznym:

**(a) Rozwiązania analityczne — modele sferyczne** (`'singlesphere'`, `'concentricspheres'`)

Dla geometrii sferycznej z osiową symetrią rozwija się <math>V</math> w szereg wielomianów Legendre'a. Dla 3-warstwowego modelu koncentrycznego dostajemy zamknięty wzór z nieskończonym szeregiem, który w praktyce tnie się po ~40 wyrazach. Berg & Scherg (1994) dali znakomite przybliżenie 3 dipolami w sferze jednorodnej — błyskawicznie szybkie, do dziś używane w MEG. Plus: bardzo szybkie, brak siatkowania. Minus: kula to nie głowa, zwłaszcza w okolicach skroniowych i podstawy.

**(b) BEM — Boundary Element Method** (`'bemcp'`, `'dipoli'`, `'openmeeg'`)

Wykorzystuje się fakt, że w obszarze o stałym <math>\sigma</math> <math>V</math> spełnia równanie Laplace'a, a cały „nietrywialny" wkład można wyrazić jako całkę po powierzchniach granicznych. Z drugiej tożsamości Greena dostajemy całkowe równanie typu Fredholma 2-go rodzaju:

$$V(\mathbf{r}) = V_\infty(\mathbf{r}) + \frac{1}{4\pi}\sum_k \frac{\sigma_k^- - \sigma_k^+}{\bar{\sigma}}\oint_{S_k} V(\mathbf{r}')\,\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\cdot\hat{\mathbf{n}}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,dS'$$

gdzie <math>V_\infty</math> to potencjał dipola w przestrzeni nieograniczonej. Triangulujemy powierzchnie (skóra, czaszka, mózg — czasem CSF) i to równanie zamienia się w układ liniowy. Szybciej niż FEM, ale wymaga założenia odcinkowo stałej przewodności i zakłada izotropię.

**(c) FEM — Finite Element Method** (`'simbio'`, `'duneuro'`)

Cała objętość głowy dyskretyzowana czworościanami/sześciościanami z indywidualnym tensorem <math>\sigma</math> w każdym elemencie (z DTI można wstrzyknąć anizotropię istoty białej!). Sformułowanie wariacyjne daje rzadki układ:

$$\mathbf{K}\mathbf{u} = \mathbf{b}$$

gdzie <math>\mathbf{K}</math> to macierz sztywności zależna od <math>\sigma(\mathbf{r})</math>, a <math>\mathbf{b}</math> niesie informację o źródle. To „złoty standard" pod kątem dokładności, ale kosztowny — dlatego praktycznie zawsze łączony z trikiem z punktu 6.

**(d) FDM** — rzadziej, dziś głównie historycznie.

==== 6. Twierdzenie o wzajemności — dlaczego macierz <math>\mathbf{L}</math> da się liczyć rozsądnie ====

Naiwne podejście: dla każdego z <math>\sim 10^4</math> źródeł i każdej z 3 orientacji odpalić rozwiązywacz PDE. To <math>3\times 10^4</math> rozwiązań. Beznadzieja.

Helmholtzowska zasada wzajemności mówi: potencjał w elektrodzie A wywołany dipolem w punkcie <math>\mathbf{r}_0</math> jest równoważny pewnej wielkości policzonej z
pola elektrycznego wytworzonego w <math>\mathbf{r}_0</math> przez jednostkowy prąd wstrzyknięty między elektrodą A a referencją. Formalnie:

$$V_A(\mathbf{r}_0;\mathbf{q}) = \mathbf{E}^{(A)}(\mathbf{r}_0)\cdot\mathbf{q}$$

gdzie <math>\mathbf{E}^{(A)}</math> to pole „wstrzykniętego" prądu jednostkowego. Konsekwencja: zamiast <math>3N_\text{src}</math> rozwiązań PDE wystarczy <math>N_\text{el}-1</math> rozwiązań (po jednym na elektrodę). Praktycznie wszystkie pakiety BEM/FEM (w tym OpenMEEG, SimBio, DUNEuro) to wykorzystują — i dlatego FEM jest w ogóle wykonalny dla całych siatek źródłowych.

'''Fizyczna intuicja'''

Wyobraź sobie, że potencjał wytworzony przez dipol na danej elektrodzie zależy od tego, jak silnie ta elektroda „widzi" punkt w mózgu. Twierdzenie Helmholtza mówi: jeśli chcesz wiedzieć, jak silnie elektroda widzi dany punkt — odwróć kierunek. Wstrzyknij prąd przez tę elektrodę i sprawdź, jakie pole powstaje w tym punkcie. Im silniejsze pole tam dotrze, tym czulsza jest elektroda na dipol tam ulokowany. Kierunek pola wskazuje też, na jaką orientację dipola elektroda reaguje najsilniej.

==== 7. Co więc dosłownie robi `ft_prepare_headmodel` ====

Tworzy obiekt `headmodel`, który zawiera:
- geometrię (kule albo siatki powierzchniowe, albo objętościową siatkę FEM),
- przewodności poszczególnych warstw,
- a w przypadku BEM/FEM — wstępnie policzony operator dyskretny (np. odwróconą macierz BEM albo czynnik macierzy sztywności FEM z trikiem transferowym wykorzystującym wzajemność).

To jest najdroższa część obliczeń — i robi się ją raz dla danej geometrii. Potem `ft_prepare_leadfield`, dla każdej pozycji źródła w `cfg.sourcemodel`, używa tego operatora, żeby wygenerować trzy kolumny <math>\mathbf{L}</math> (dla orientacji x, y, z). Wynik to `leadfield{i}` o wymiarze <math>N_\text{el}\times 3</math> — czyli dosłownie blok macierzy lead field dla danego wokselu.

---

Podsumowanie:

1. Maxwell → kwazistatyka → „elektrostatyka z prądami"

2. Podział prądu i równanie Poissona (jedyne równanie, którego naprawdę trzeba)

3. Dipol jako model i wynikająca **liniowość** → uzasadnienie wzoru $\mathbf{v}=\mathbf{L}\mathbf{j}$

4. Warunki brzegowe → tu wchodzi anatomia

5. Sfery (analityczne, intuicja) → BEM → FEM jako kolejne stopnie realizmu

6. Wzajemność jako trik obliczeniowy, bez którego niczego by się nie dało policzyć w sensownym czasie

Klasyczne źródła:
- Hallez et al. 2007 *J Neuroeng Rehabil* (review obliczeń forward, bardzo czytelny),
- Mosher et al. 1999 dla zwartego wyprowadzenia,
- oraz dokumentacja OpenMEEG (Gramfort et al. 2010) — tam ścieżka BEM jest wyprowadzona z drugiej tożsamości Greena.
---

=== Programy obliczające model do przodu:===
MNE-Python (<code>mne.make_bem_model</code>), FieldTrip (<code>ft_prepare_headmodel</code>), OpenMEEG.

==Fitowanie dipoli (Dipole Fitting)==

===Idea===
Najprostsze założenie: aktywacja EEG pochodzi z jednego
(lub kilku) ekwiwalentnych dipoli prądowych.
Każdy dipol opisany jest sześcioma parametrami:
trzema współrzędnymi położenia <math>(x,y,z)</math>
i trzema składowymi momentu dipolowego <math>(q_x, q_y, q_z)</math>.

===Formalizm===
Dla pojedynczego dipola o momencie <math>\mathbf{q}(t)</math>
w lokalizacji <math>\mathbf{r}_0</math>:
:<math>\mathbf{x}(t) = \mathbf{a}(\mathbf{r}_0)\,\mathbf{q}(t) + \boldsymbol{\varepsilon}(t)</math>
gdzie <math>\mathbf{a}(\mathbf{r}_0) \in \mathbb{R}^{N_e \times 3}</math>
to kolumna macierzy pola wiodącego odpowiadająca lokalizacji <math>\mathbf{r}_0</math>.

Estymacja polega na minimalizacji reszty:
:<math>\hat{\mathbf{r}}_0 = \arg\min_{\mathbf{r}} \left\|\mathbf{x}(t) - \mathbf{a}(\mathbf{r})\,\hat{\mathbf{q}}(t)\right\|^2</math>
Minimalizację prowadzi się zwykle algorytmem Neldera–Meada
lub Levenberga–Marquardta po przestrzeni lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* gdy źródło jest punktowe lub quasi-punktowe (np. wczesne składowe słuchowych potencjałów wywołanych N20, P25)
* gdy liczba aktywnych źródeł jest z góry znana i mała (1–3 dipole)

;Ograniczenia:
* wrażliwość na punkt startowy — algorytm może utknąć w minimum lokalnym
* złe dopasowanie gdy aktywacja pochodzi z rozległego obszaru kory
* wynik silnie zależy od dokładności modelu do przodu

==Minimum Norm Estimation (MNE)==

===Idea===
Zamiast zakładać małą liczbę dipoli,
rozkładamy aktywność na gęstą siatkę źródeł pokrywającą całą powierzchnię kory
i szukamy rozwiązania o minimalnej normie —
tj. takiego, które odtwarza dane, angażując jak najmniejszą całkowitą energię źródeł.

===Formalizm===
Problem optymalizacji z regularyzacją Tichonowa:
:<math>\hat{\mathbf{s}} = \arg\min_{\mathbf{s}} \left\|\mathbf{x} - \mathbf{A}\mathbf{s}\right\|^2 + \lambda\left\|\mathbf{s}\right\|^2</math>
gdzie <math>\lambda > 0</math> to parametr regularyzacji kontrolujący kompromis
między wiernością danym a gładkością rozwiązania.

Rozwiązanie analityczne:
:<math>\hat{\mathbf{s}} = \mathbf{A}^T\left(\mathbf{A}\mathbf{A}^T + \lambda\mathbf{I}\right)^{-1}\mathbf{x}</math>

Macierz <math>\mathbf{W}_{\mathrm{MNE}} = \mathbf{A}^T(\mathbf{A}\mathbf{A}^T + \lambda\mathbf{I})^{-1}</math>
jest liniowym filtrem przestrzennym — analogiem macierzy <math>\mathbf{W}</math> z CSP,
lecz skonstruowanym na podstawie modelu do przodu, nie z danych.

===Warianty===

;dSPM (''dynamic Statistical Parametric Mapping'', Dale 2000):
Normalizuje estymowaną aktywność przez odchylenie standardowe szumu:
:<math>F_{\mathrm{dSPM}}(\mathbf{r}, t) = \frac{\hat{s}(\mathbf{r},t)}{\sigma_{\mathrm{noise}}(\mathbf{r})}</math>
Wynik ma interpretację statystyczną (wartość F lub Z); popularne w neurobiologii poznawczej.

;sLORETA (''standardized LORETA'', Pascual-Marqui 2002):
Normalizuje przez odchylenie standardowe samego estymatora MNE (nie tylko szumu):
:<math>F_{\mathrm{sLORETA}}(\mathbf{r}, t) = \frac{\hat{s}(\mathbf{r},t)}{\sqrt{\left[\mathbf{W}_{\mathrm{MNE}}\mathbf{A}\right]_{(\mathbf{r},\mathbf{r})}}}</math>
Wykazuje zerowe systematyczne błędy lokalizacji w warunkach idealnych.

;Wybór <math>\lambda</math>:
Zwykle <math>\lambda = \alpha \cdot \mathrm{tr}(\mathbf{A}\mathbf{A}^T) / \mathrm{tr}(\mathbf{I})</math>
z <math>\alpha \in [0.05, 0.3]</math>; w MNE-Python domyślnie <math>\alpha = 0.1</math>.
Można też stosować kryterium L-krzywej lub walidację krzyżową.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* gdy aktywacja jest rozproszona lub nieznana a priori
* jako ogólne narzędzie wizualizacji ERP na powierzchni kory
* przy małej liczbie elektrod

;Ograniczenia:
* tendencja do rozmywania rozwiązania — źródła głębokie są systematycznie niedoszacowane
* brak zakładanej rzadkości (''sparsity''); wariant L1 (MCE) jest rzadszy, ale trudniejszy obliczeniowo
* wymaga dobrego modelu do przodu

==Beamformery==

===Idea===
Beamformer (dosł. „formowanie wiązki") to adaptacyjny filtr przestrzenny,
który dla każdej lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>
konstruuje wagi <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math> maksymalizujące
stosunek mocy sygnału z tej lokalizacji do mocy wszystkich pozostałych źródeł.
W odróżnieniu od MNE, beamformer korzysta z macierzy kowariancji danych —
jest więc metodą adaptacyjną, zbliżoną duchem do CSP.

===LCMV (''Linearly Constrained Minimum Variance'', Van Veen 1997)===

Szukamy filtra minimalizującego wariancję wyjścia
przy ograniczeniu zachowującym sygnał z lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>:
:<math>\mathbf{w}^*(\mathbf{r}) = \arg\min_{\mathbf{w}} \mathbf{w}^T\mathbf{C}\mathbf{w}
\quad \text{p.o.} \quad \mathbf{w}^T\mathbf{a}(\mathbf{r}) = 1</math>
gdzie <math>\mathbf{C} = E[\mathbf{x}\mathbf{x}^T]</math> to macierz kowariancji danych.

Rozwiązanie analityczne (mnożnik Lagrange'a):
:<math>\mathbf{w}(\mathbf{r}) = \frac{\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}{\mathbf{a}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}</math>

Moc w lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>:
:<math>P(\mathbf{r}) = \mathbf{w}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}\,\mathbf{w}(\mathbf{r})
= \frac{1}{\mathbf{a}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}</math>

===DICS (''Dynamic Imaging of Coherent Sources'', Gross 2001)===

Wariant beamformera dla analizy częstotliwościowej:
zamiast macierzy kowariancji czasowej stosuje
''cross-spectral density matrix'' <math>\mathbf{C}(f)</math>
obliczoną dla wybranego pasma częstości.
Pozwala mapować koherencję między lokalizacjami na powierzchni kory.

===Analogia z CSP===

Zauważmy analogię strukturalną:

{| class="wikitable"
|-
! !! CSP !! LCMV Beamformer
|-
| '''Macierz kowariancji''' || <math>\mathbf{R}_T, \mathbf{R}_{NT}</math> (dwa warunki) || <math>\mathbf{C}</math> (jeden warunek) + <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
|-
| '''Filtr''' || <math>\mathbf{w}</math>: maks. stosunek wariancji || <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math>: min. wariancja przy ograniczeniu
|-
| '''Przestrzeń''' || elektrod || przestrzeni mózgu (woksel po wokselu)
|-
| '''Model do przodu''' || nie || tak — przez <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
|}

Kluczowa różnica: CSP optymalizuje globalnie jednym zagadnieniem własnym,
beamformer rozwiązuje osobny problem dla każdej lokalizacji.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* analiza ERD/ERS (rytmy ruchowe, alfa, beta) w przestrzeni mózgu
* lokalizacja źródeł oscylacyjnych w MEG
* DICS do badania koherencji korowo-korowej

;Ograniczenia:
* silnie skorelowane źródła są tłumione (''source cancellation'') — beamformer zakłada, że źródła są nieskorelowane
* wymaga dużej liczby próbek do stabilnej estymacji <math>\mathbf{C}^{-1}</math>
* przy małej liczbie elektrod macierz <math>\mathbf{C}</math> może być źle uwarunkowana

;Podsumowanie:
[[Plik:Inverse problem vs bss.png|mały|centruj]]

==Podsumowanie: kiedy stosować którą metodę==

{| class="wikitable"
|-
! Metoda !! Założenie a priori !! Dane wejściowe !! Typowe zastosowanie
|-
| '''Dipole fitting''' || 1–3 punktowe źródła || ERP, AEP, SEP || lokalizacja wczesnych składowych wywołanych
|-
| '''MNE / dSPM / sLORETA''' || minimalna energia; źródła ciągłe || ERP, dowolny sygnał || wizualizacja rozproszonej aktywności na korze
|-
| '''LCMV Beamformer''' || źródła nieskorelowane || ERD/ERS, dane resting-state || lokalizacja źródeł oscylacyjnych w MEG/EEG
|-
| '''DICS''' || j.w. + analiza spektralna || dane oscylacyjne || mapa koherencji korowo-korowej
|-
| '''CSP / ICA''' || brak modelu geometrycznego || dwa warunki / jeden segment || klasyfikacja BCI, usuwanie artefaktów
|}

;Uwaga praktyczna:
Wszystkie metody problemu odwrotnego wymagają przygotowania modelu do przodu.
Zaleca się korzystanie z MNE-Python lub FieldTrip — oba pakiety
oferują spójne pipeline'y od surowych danych do map korowych
i są szeroko stosowane w literaturze, co ułatwia replikację wyników.

=Sesja 7: Problem odwrotny — część praktyczna=

;Czas: ~30 min wprowadzenie + ~120 min ćwiczenie

Część praktyczna prowadzi przez pełny pipeline lokalizacji źródeł:
od wczytania danych w FieldTrip, przez zbudowanie modelu do przodu,
do fitowania dipola i interpretacji wyniku.
Sesja jest zaprojektowana tak, aby każdy krok bezpośrednio ilustrował
jeden element teorii omówionej w [[#Sesja 7: Problem odwrotny w EEG i MEG|części wykładowej]].

;Dane:
Używamy standardowego zestawu danych FieldTrip
(dane somatosensoryczne MEG/EEG, bodziec elektryczny na nadgarstku — składowa N20):
* https://download.fieldtriptoolbox.org/tutorial/Subject01.zip (~800 MB)

Ten sam zestaw danych jest używany we wszystkich tutorialach FieldTrip
wymienionych w tej sesji, co ułatwia porównywanie wyników między krokami.

;Instalacja FieldTrip: Wymagania wstępne:
FieldTrip wymaga MATLABa. Przed instalacją sprawdź kompatybilność swojej wersji:
[https://www.fieldtriptoolbox.org/faq/matlab/requirements MATLAB requirements]

;Pobranie toolboxa: Pobierz najnowszą wersję ze strony:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/download.php Pobierz FieldTrip]

Rozpakuj archiwum ZIP w wybranym katalogu, np. <code>~/matlab/fieldtrip</code> (Linux/macOS).

;Ważne: nie zmieniaj wewnętrznej struktury katalogów po rozpakowaniu —
FieldTrip dynamicznie zarządza swoimi podkatalogami.

;Konfiguracja ścieżki MATLAB: Pełna instrukcja: [https://www.fieldtriptoolbox.org/faq/matlab/installation Installation and setting up the path]

Uruchom poniższe polecenia na początku każdej sesji pracy z FieldTrip
(lub wstaw je do pliku <code>startup.m</code> — patrz niżej):

<source lang="matlab">
restoredefaultpath % wyczyść aktualną ścieżkę
addpath('~/fieldtrip') % podaj tu swoją ścieżkę do FieldTrip
ft_defaults % skonfiguruj FieldTrip i minimalne podkatalogi
</source>

;Uwaga — częsty błąd:
Nie używaj <code>addpath(genpath(...))</code> ani przycisku „Add with Subfolders" w MATLAB GUI.
FieldTrip samodzielnie dodaje potrzebne podkatalogi przez <code>ft_defaults</code>
i <code>ft_hastoolbox</code> — dodanie wszystkiego ręcznie powoduje konflikty
z funkcjami SPM, EEGLAB i wbudowanymi funkcjami MATLABa
(w szczególności z funkcjami z katalogu <code>fieldtrip/compat</code>
przeznaczonymi tylko dla starych wersji MATLABa).

;Trwała konfiguracja przez startup.m:

Żeby nie powtarzać powyższych poleceń przy każdym uruchomieniu MATLABa,
utwórz plik <code>startup.m</code> w swoim katalogu MATLABa
(zwykle <code>Dokumenty/MATLAB/startup.m</code>) z zawartością:

<source lang="matlab">
restoredefaultpath
addpath('C:\fieldtrip') % zmień na swoją ścieżkę
ft_defaults
</source>

MATLAB wykonuje ten plik automatycznie przy każdym uruchomieniu.

;Uwaga dla użytkowników EEGLAB: Jeśli korzystasz z EEGLAB i FieldTrip w tej samej sesji,
zawsze ładuj FieldTrip przez <code>restoredefaultpath</code> + <code>addpath</code> + <code>ft_defaults</code>,
a nie przez interfejs EEGLAB. Oba toolboxy zawierają funkcje o tych samych nazwach
(np. <code>eegplot</code>, <code>topoplot</code>) — kolejność na ścieżce decyduje,
która wersja zostanie wywołana.

;Weryfikacja instalacji: Sprawdź poprawność instalacji jednym poleceniem:

<source lang="matlab">
ft_defaults
ft_version
</source>

Powinieneś zobaczyć numer wersji i datę kompilacji, np.:
<pre>
FieldTrip version 20250901, path: C:\fieldtrip
</pre>

Jeśli MATLAB zgłasza błąd <code>Undefined function 'ft_defaults'</code>,
ścieżka nie została ustawiona poprawnie — wróć do kroku z <code>addpath</code>.

==Krok 0: Wejście do FieldTrip==

Przed właściwym ćwiczeniem proszę zapoznać się z tutorialem wprowadzającym:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/intro/introduction/ Introduction to the FieldTrip toolbox]

;Na co zwrócić uwagę przechodząc ten tutorial:

Studenci znający EEGLAB natkną się na dwie zasadnicze różnice w filozofii pracy:

* '''Struktura cfg''' zamiast GUI. Każda funkcja FieldTrip przyjmuje strukturę konfiguracyjną <code>cfg</code> i zwraca nową strukturę danych. Nie ma okien dialogowych — cała analiza jest skryptem. Jest to bliższe temu, co robiliśmy w MATLAB-owych sesjach CSP/ICA.

* '''Niezmienność danych'''. FieldTrip nie modyfikuje struktur w miejscu — każde wywołanie funkcji zwraca nową strukturę. Pozwala to łatwo porównywać wyniki różnych parametrów, ale wymaga dbałości o nazewnictwo zmiennych.

;Pytanie do dyskusji po lekturze:
Jak odpowiadają sobie nawzajem: <code>EEG.data</code> w EEGLAB i struktura <code>data</code> w FieldTrip?
Gdzie w strukturach FieldTrip przechowywane są informacje o lokalizacji elektrod?

==Krok 1: Model do przodu — BEM dla EEG==

Przed fitowaniem dipola musimy obliczyć macierz pola wiodącego <math>\mathbf{A}</math>.
Proszę przejść tutorial:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/headmodel_eeg_bem Construct a BEM headmodel for EEG source analysis]

==Krok 2: Fitowanie dipola (ćwiczenie główne)==

;Czas: ~90 min

To jest główne ćwiczenie praktyczne Sesji 7.
Proszę przejść tutorial:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/dipolefitting Dipole fitting of combined MEG/EEG data]

Poniżej znajdziesz szkielet kodu z pytaniami pomocniczymi
do samodzielnego wypełnienia — zacznij od tutorialu,
a potem wróć do szkieletu i uzupełnij brakujące fragmenty.

===Szkielet kodu — fitowanie dipola dla składowej N20===

<source lang="matlab">
%% KROK A: Wczytanie i preprocessing danych EEG
% Dane: Subject01.zip (patrz wyżej)
% Używamy tylko kanałów EEG, odrzucamy MEG.

cfg = [];
cfg.dataset = 'Subject01.ds';
cfg.trialdef.eventtype = 'backpanel trigger';
cfg.trialdef.eventvalue = 3; % bodziec na lewym nadgarstku
cfg.trialdef.prestim = 0.1;
cfg.trialdef.poststim = 0.3;
cfg = ft_definetrial(cfg);

cfg.channel = 'EEG';
cfg.continuous = 'yes';
cfg.demean = 'yes';
cfg.baselinewindow = [-0.1 0];
data = ft_preprocessing(cfg);

%% KROK B: Uśrednianie — potencjał wywołany
% TUTAJ: użyj ft_timelockanalysis aby obliczyć ERP (średnią po powtórzeniach)
% Wynik zapisz jako 'timelock'

% TUTAJ

%% KROK C: Wczytanie modelu do przodu i lokalizacji elektrod
% Zakładamy, że headmodel i elec zostały obliczone w Kroku 1.
% Jeśli nie — można użyć gotowego modelu z paczki danych Subject01.

load('standard_bem.mat'); % headmodel
load('Subject01_elec.mat'); % lokalizacje elektrod (po dopasowaniu do MRI)

%% KROK D: Przygotowanie siatki poszukiwań (grid)
% Definiujemy siatkę regularną 1 cm wewnątrz mózgu.
% ft_prepare_sourcemodel oblicza też macierz pola wiodącego A
% (tzw. leadfield) dla każdego punktu siatki.

cfg = [];
cfg.headmodel = headmodel;
cfg.elec = elec;
cfg.resolution = 1; % odstęp siatki w cm
cfg.unit = 'cm';
sourcemodel = ft_prepare_sourcemodel(cfg);

%% KROK E: Fitowanie dipola
% Szukamy jednego dipola najlepiej wyjaśniającego topografię N20.
% Okno czasowe 0.016–0.022 s odpowiada składowej N20.

cfg = [];
cfg.latency = [0.016 0.022]; % okno N20 w sekundach
cfg.numdipoles = 1;
cfg.headmodel = headmodel;
cfg.elec = elec;
cfg.sourcemodel = sourcemodel;
cfg.nonlinear = 'yes'; % optymalizacja nieliniowa po przestrzeni

% TUTAJ: source = ft_dipolefitting(cfg, timelock);

%% KROK F: Wizualizacja wyniku
% Nałożenie lokalizacji dipola na MRI anatomiczne.

load('standard_mri.mat'); % MRI w tym samym układzie współrzędnych

cfg = [];
cfg.location = source.dip.pos; % współrzędne znalezionego dipola [x y z]

% TUTAJ: ft_sourceplot(cfg, mri);

%% KROK G: Ocena dopasowania
% Goodness of fit (GoF) mówi jaka część wariancji danych
% jest wyjaśniona przez znaleziony dipol.
% Wartość > 0.85 uznaje się za dobre dopasowanie.

fprintf('Goodness of fit: %.1f%%\n', source.dip.rv * 100);
% Uwaga: w FieldTrip rv to residual variance (1 - GoF).
% Dobry dipol ma rv < 0.15.

disp('Lokalizacja dipola [x y z] w mm:')
disp(source.dip.pos)

disp('Moment dipolowy [qx qy qz]:')
disp(source.dip.mom)
</source>

===Zadania do samodzielnej realizacji===

;Zadanie 1 (obowiązkowe): Pipeline i lokalizacja
Uzupełnij brakujące fragmenty szkieletu (kroki B i E–F).
Gdzie na MRI ląduje znaleziony dipol? Czy odpowiada to oczekiwanej anatomii
składowej N20 (pierwotna kora somatosensoryczna S1, okolica bruzdy centralnej)?

;Zadanie 2 (obowiązkowe): Wpływ okna czasowego
Zmień <code>cfg.latency</code> kolejno na:
* <code>[0.016 0.022]</code> — okno N20
* <code>[0.025 0.035]</code> — okno P25
* <code>[0.045 0.060]</code> — okno N45
Czy lokalizacja dipola zmienia się między tymi składowymi?
Jak zmienia się GoF? Co to mówi o tym, która składowa jest lepiej opisana modelem jednego dipola?

;Zadanie 3 (obowiązkowe): Dwa dipole
Zmień <code>cfg.numdipoles = 2</code> i powtórz fitowanie dla okna N20.
Czy model dwóch dipoli daje istotnie lepszy GoF niż jeden?
Jak interpretujesz dwa znalezione źródła?

;Zadanie 4 (dla chętnych): Wrażliwość na model do przodu
FieldTrip pozwala użyć uproszczonego modelu sferycznego
zamiast BEM: ustaw <code>cfg.headmodel</code> na model jednorodnej sfery
(<code>cfg.method = 'singlesphere'</code> w <code>ft_prepare_headmodel</code>).
O ile zmienia się lokalizacja dipola N20?
Czy GoF wzrasta czy maleje?

;Pytania do dyskusji:
* Fitowanie dipola wymaga podania okna czasowego — dlaczego?
Co stałoby się gdybyśmy dopasowywali dipol do całej epoki (−100 do +300 ms)?
* Algorytm minimalizacji może utknąć w minimum lokalnym.
Jak <code>cfg.sourcemodel</code> (siatka) pomaga temu zaradzić?
Jaki jest kompromis między rozdzielczością siatki a czasem obliczeń?
* Porównaj mapę topograficzną ERP w oknie N20
z mapą rekonstruowaną z dopasowanego dipola (wywołaj <code>ft_dipolefitting</code>
z opcją <code>cfg.dipfit.display = 'yes'</code>).
Czy widzisz różnicę? Skąd ona pochodzi?

==Krok 3: Dalsze metody — dla zainteresowanych==

Poniższe tutoriale stanowią naturalne rozwinięcie ćwiczenia głównego
i ilustrują pozostałe metody omówione w teorii Sesji 7.
Nie są wymagane na zaliczenie, ale gorąco je polecamy
jeśli planujesz używać lokalizacji źródeł w pracy badawczej.

;Minimum Norm Estimation:
[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/minimumnormestimate Source reconstruction of event-related fields using minimum-norm estimation]

Ten sam sygnał N20 co w ćwiczeniu głównym, ale zamiast jednego dipola
otrzymujesz ciągłą mapę aktywności na całej powierzchni kory.
Zwróć uwagę jak wybór parametru regularyzacji <math>\lambda</math>
wpływa na rozmycie rozwiązania.
Porównaj lokalizację maksimum mapy MNE z lokalizacją dipola z Kroku 2.

;Beamformer (LCMV/DICS):
[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/beamformer Localizing oscillatory sources in MEG data using a beamformer]

Tutorial wykorzystuje ten sam zestaw danych Subject01
i lokalizuje źródła oscylacji gamma wywołanych bodźcem —
bezpośrednie rozwinięcie analizy ERD/ERS, którą już znasz.
Kluczowa różnica w stosunku do MNE: beamformer korzysta
z macierzy kowariancji danych <math>\mathbf{C}</math>,
a nie tylko z modelu do przodu. Sprawdź jak wyglądają
filtry przestrzenne <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math> dla różnych lokalizacji
i porównaj je koncepcyjnie z filtrami CSP z Sesji 1–3.











-->

Laboratorium EEG/CSP

2026-05-14T11:16:35Z

Jarekz: /* Przybliżenie kwazistatyczne */

[[Laboratorium_EEG]]/BSS

=Sesja 1: Ślepa separacja źródeł i CSP — wprowadzenie=

;Czas: ~60 min wykład + ~90 min ćwiczenie symulacyjne

Zajęcia wprowadzają do problemu filtracji przestrzennej sygnałów EEG.
Punktem wyjścia jest ogólny problem ślepej separacji źródeł (BSS),
z którego CSP wyłania się jako szczególny przypadek dla dwóch warunków
eksperymentalnych. Filtry przestrzenne omawiane na tych zajęciach stanowią
fundament klasycznych metod BCI (P300, SSVEP, motor imagery) oraz są
bezpośrednim odpowiednikiem warstw przestrzennych w sieciach neuronowych
takich jak ShallowConvNet i EEGNet — do tej analogii wrócimy w sesji 6.

[https://drive.google.com/file/d/1WrXgWWDJ7g5ZdYltm_8s2NXbGamw4R8N/view?usp=sharing Slajdy do wykładu (PDF)]

;Zakres wykładu:
* model generatywny EEG: <math>x(t) = As(t)</math>, macierz kowariancji, idea diagonalizacji
* BSS jako ogólny problem separacji źródeł
* CSP jako szczególny przypadek: dwa warunki eksperymentalne, iloraz Rayleigha, uogólnione zagadnienie własne
* interpretacja filtrów i topografii źródeł

;Ćwiczenie symulacyjne:
Zob. [[#Ćwiczenie symulacyjne|Ćwiczenie symulacyjne]] w sekcji CSP poniżej.

====Ćwiczenie symulacyjne ====
====Zadania do samodzielnej realizacji====

Poniższy kod dostarcza gotowej infrastruktury: generacji sygnałów, macierzy mieszającej i wizualizacji.
Zadaniem jest samodzielna implementacja kluczowych kroków analizy CSP.

;Zadanie 1 (obowiązkowe): Obliczenie macierzy kowariancji
Napisz funkcję <code>srednia_kowariancja(X, ind)</code>, która dla danej tablicy sygnałów <code>X</code>
(wymiary: powtórzenia × kanały × próbki) i wektora indeksów czasowych <code>ind</code>
zwraca średnią macierz kowariancji uśrednioną po powtórzeniach.
Dla każdego powtórzenia zastosuj funkcję <code>cov</code> i znormalizuj wynik przez jego ślad (<code>trace</code>).
Sprawdź wynik porównując z macierzami <code>R_B</code> i <code>R_E</code> obliczonymi w dostarczonym kodzie.

;Zadanie 2 (obowiązkowe): Implementacja CSP
Korzystając z funkcji <code>eig</code> oraz macierzy kowariancji obliczonych w zadaniu 1,
wyznacz macierz filtrów przestrzennych <code>W</code> i odpowiadające im wartości własne.
Odtwórz sygnały źródłowe dla wszystkich powtórzeń.
Narysuj chmury punktów (amplituda źródła 1 vs amplituda źródła 2) osobno dla warunków
baseline i ERP — przed transformacją CSP i po niej. Co zmieniło się w kształcie chmur?

Wykreśl także wizualizację przebiegów czasowych sygnałów X i sygnałów S uzyskanych po rozmieszaniu.

;Zadanie 3 (obowiązkowe): Interpretacja wartości własnych
Wartości własne znajdują się na przekątnej macierzy <code>Lambda</code>.
Który filtr najbardziej różnicuje warunki baseline i ERP?
Jaki jest związek między wartością własną a separacją widoczną na wykresach punktowych?

;Zadanie 4 (dla chętnych): Wpływ macierzy mieszającej
W dostarczonym kodzie macierz <code>P</code> (filtr przestrzenny) wynosi:
<pre>
P = [1 2; 1.5 1.3]
</pre>
Zmień ją kolejno na macierz bliską jednostkowej (np. <code>P = [1 0.1; 0.1 1]</code>)
oraz na macierz z dużymi elementami pozadiagonalnymi (np. <code>P = [1 5; 4 1]</code>).
Jak zmienia się kształt chmury punktów przed transformacją CSP?
Czy CSP poprawnie oddziela źródła w obu przypadkach?

;Zadanie 5 (dla chętnych): Wpływ szumu
W kodzie szum jest wyłączony: <code>n = 0*randn(size(tmp))</code>.
Usuń mnożnik <code>0*</code> i zbadaj jak poziom szumu wpływa na separację źródeł.
Przy jakim stosunku sygnału do szumu CSP przestaje skutecznie rozdzielać warunki?

;Pytanie do dyskusji:
Dostarczony kod używa <code>eig(R_E, R_B)</code>.
Alternatywą jest <code>eig(R_E, (R_E+R_B)/2)</code>.
Czym różnią się te dwie wersje? W jakich sytuacjach eksperymentalnych
druga wersja mogłaby być bardziej uzasadniona?

====Szkielet kodu do uzupełnienia====

Poniższy szkielet zawiera gotową infrastrukturę symulacji.
Uzupełnij brakujące fragmenty oznaczone komentarzem <code>% TUTAJ</code>
zgodnie z zadaniami 1–3. Pełny kod referencyjny dostępny jest poniżej
— zajrzyj do niego dopiero po samodzielnej próbie.

<source lang="matlab">
%% Parametry symulacji — nie modyfikuj tej sekcji
Fs = 100;
T = 1;
t = 0:1/Fs:T-1/Fs;
N_rep = 100;
N_chan = 2;
s = zeros(N_rep, N_chan, length(t));
X = zeros(N_rep, N_chan, length(t));

P = [1 2; 1.5 1.3]; % filtr przestrzenny (prawdziwy)
A = P^(-1); % topografia źródeł

for r = 1:N_rep
s1 = sin(2*pi*11*t + pi/2) + 0.02*randn(size(t));
s2 = exp(-((t-0.8)/0.05).^2) + 0.01*randn(size(t));
s(r,1,:) = s1;
s(r,2,:) = s2;
tmp = squeeze(s(r,:,:));
n = 0*randn(size(tmp)); % Zadanie 5: zmień 0* na 1* aby włączyć szum
X(r,:,:) = A*tmp + n;
end

baseline_ind = find(t < 0.5);
ERP_ind = find(t >= 0.5);

R_B = zeros(N_chan, N_chan);
R_E = zeros(N_chan, N_chan);

%% Zadanie 1: Oblicz średnie macierze kowariancji
% korzystając z funkcji srednia_kowariancja(X, ind)

% Dla każdego powtórzenia r:
% - wytnij fragment sygnału X(r,:,baseline_ind) i analogicznie ERP
% - oblicz macierz kowariancji funkcją cov() — pamiętaj o transpozycji
% - znormalizuj przez ślad (funkcja trace())
% - dodaj do sumy
% Na końcu podziel przez N_rep

%% Zadanie 2: Rozwiąż uogólnione zagadnienie własne
% Użyj funkcji eig(A,B) gdzie A=R_E, B=R_B
% W wyniku otrzymasz macierz wektorów własnych W (w kolumnach)
% i macierz Lambda z wartościami własnymi na przekątnej

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

disp('Wartości własne (przekątna Lambda):')
disp(diag(Lambda))

%% Zadanie 2 cd.: Odtwórz sygnały źródłowe
% Dla każdego powtórzenia r zastosuj filtr: S(r,:,:) = W' * X(r,:,:)

S = zeros(N_rep, N_chan, length(t));

for r = 1:N_rep
% TUTAJ: S(r,:,:) = ...
end

%% Zadanie 3: Wizualizacja — chmury punktów przed i po CSP
x_base_k1 = X(:,1,baseline_ind);
x_base_k2 = X(:,2,baseline_ind);
x_ERP_k1 = X(:,1,ERP_ind);
x_ERP_k2 = X(:,2,ERP_ind);

s_base_k1 = squeeze(S(:,1,baseline_ind));
s_base_k2 = squeeze(S(:,2,baseline_ind));
s_ERP_k1 = squeeze(S(:,1,ERP_ind));
s_ERP_k2 = squeeze(S(:,2,ERP_ind));

figure(1); clf
subplot(1,2,1)
plot(x_base_k1(:), x_base_k2(:), 'b.'); hold on
plot(x_ERP_k1(:), x_ERP_k2(:), 'r.');
axis equal; xlim([-2 2]); ylim([-2 2])
xlabel('Kanał 1'); ylabel('Kanał 2')
title('Przed CSP')
legend('baseline','ERP')

subplot(1,2,2)
plot(s_base_k1(:), s_base_k2(:), 'b.'); hold on
plot(s_ERP_k1(:), s_ERP_k2(:), 'r.');
axis equal
xlabel('Źródło 1'); ylabel('Źródło 2')
title('Po CSP')
legend('baseline','ERP')
%% Wizualizacja przebiegów czasowych X i S
% TUTAJ:

%% Zadanie 4 (dla chętnych): zmień macierz P powyżej i powtórz analizę
%% Zadanie 5 (dla chętnych): włącz szum (zmień 0* na 1* w linii z n=...)
</source>

{{hidden begin|title=Rozwiązanie — pokaż dopiero po samodzielnej próbie}}
<source lang = matlab>
% symulowany eksperyment składa się z sinusoidy udającej alfę spoczynkową i
% funkcji Gaussa udającego potencjał wywołany
% źródła te są symulowane niezależnie a potem mieszane przez macierz A
% symulujemy źródła
% s1 - symuluje alfę
% s2 - symuluje "potencjał wywołany" (ERP)

%ustawiamy parametry do symulacji sygnałów
Fs = 100;
T = 1;
t = 0:1/Fs:T-1/Fs;
N_rep = 100;
N_chan = 2;
s = zeros(N_rep,N_chan, length(t));
X = zeros(N_rep,N_chan, length(t));

% filtr przestrzenny - z takimi wagami trzeba wziąść kanały EEG aby odzyskać sygnały źródłowe
P = [1 2
1.5 1.3];

% topografie - z takimi wagami źródła dokładają się do poszczególnych elektrod
A = P^(-1);

for r =1:N_rep % tworzymy kolejne realizacje "eksperymentu"
s1 = sin(2*pi*11*t +pi/2+ 0*2*pi*rand())+ 0.02*randn(size(t)); % źródło alfa
s2 = exp(-((t-0.8)/0.05).^2)+ 0.01*randn(size(t)); % źródło ERP

s(r,1,:) = s1;
s(r,2,:) = s2;
tmp = squeeze(s(r,:,:));
n = 0*randn(size(tmp));
X(r,:,:) = A*tmp +n; % rzutujemy sygnały źródłowe na elektrody s -> x

end

% wycinamy warunki
% baseline_ind to indeksy pierwszej połowy każdego powtórzenia "baseline"
% ERP_ind to indeksy drugiej połowy każdego powtórzenia zawierająca "ERP"
baseline_ind = find(t<0.5);
ERP_ind = find(t>=0.5);

x_baseline_kan_1 = X(:,1,baseline_ind);
x_baseline_kan_2 = X(:,2,baseline_ind);

x_ERP_kan_1 = X(:,1,ERP_ind);
x_ERP_kan_2 = X(:,2,ERP_ind);

% liczymy średnie macierze kowariancji:
R_E = zeros(N_chan,N_chan);
R_B = zeros(N_chan,N_chan);
for r =1:N_rep
B = squeeze(X(r,:,baseline_ind));
tmp =cov(B');
R_B = R_B + tmp./trace(tmp);%B*B' ;

E = squeeze(X(r,:,ERP_ind));
tmp = cov(E');
R_E = R_E + tmp./trace(tmp);%E*E' ;
end

R_B = R_B/N_rep;
R_E = R_E/N_rep;

% rozwiązujemy uogólnione zagadnienie własne
[W,Lambda]=eig(R_E,R_B); % możliwa jest też optymalizacja wzg. średniej macierzy kowariancji (R_B+R_A)/2);

% odzyskujemy sygnały źródeł
for r =1:N_rep
S(r,:,:) = W'*squeeze(X(r,:,:));
end

% pobieramy wycinki odpowiadające obu częściom eksperymentu z estymowanych
% źródeł
s_baseline_estymowany_kan1 = squeeze( S(:,1,baseline_ind));
s_baseline_estymowany_kan2 = squeeze( S(:,2,baseline_ind));

s_ERP_estymowany_kan1 = squeeze(S(:,1,ERP_ind));
s_ERP_estymowany_kan2 = squeeze(S(:,2,ERP_ind));

%%%%%%%%%%%%%% Ilustracje %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ilustracja sygnałów mierzonych
figure(1);clf
subplot(2,2,1);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(X(:,1,baseline_ind)))','b'); hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze( X(:,1,ERP_ind)))','r'); hold off
xlabel('elektroda 1')
title('ilustracja sytuacji pomiarowej -\newline znane są potencjały na elektrodach w dwóch warunkach eksperymentalnych')
subplot(2,2,3);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(X(:,2,baseline_ind)))','b'); hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze( X(:,2,ERP_ind)))','r'); hold off
xlabel('elektroda 2')
subplot(1,2,2)
plot(x_baseline_kan_1(:),x_baseline_kan_2(:),'b.');
hold on
plot(x_ERP_kan_1(:),x_ERP_kan_2(:),'r.');
xlim([-2,2])
ylim([-2,2])
axis equal

% wektor własny odpowiadający największej wartości własnej jest
% kierunkiem najbardziej różnicującym warunki eksperymentalne
disp('wartości własne znajdują się na przekątnej macierzy Lambda')
disp(Lambda)
% rysujemy wersory jednostkowe w kierunkach wektorów własnych
w1 = W(:,1);
w1 = w1/norm(w1);
w2 = W(:,2);
w2 = w2/norm(w2);
line([0, w1(1) ],[0,w1(2)],'Color',[0,0.3,0])
text(w1(1),w1(2),'wektor własny 1')
line([0, w2(1) ],[0,w2(2)],'Color',[1,0,1])
text(w2(1),w2(2),'wektor własny 2')

xlabel('Amplituda na elektrodzie 1')
ylabel('Amplituda na elektrodzie 2')
legend('baseline','ERP')

% Ilustracja estymowanych źródeł
figure(2);clf
subplot(2,2,1);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(S(:,1,baseline_ind)))','b');hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze(S(:,1,ERP_ind)))','r');hold off
xlabel('estymowane zrodlo 1')
title('ilustracja estymacji -\newline estymowane są potencjały źródeł w dwóch warunkach eksperymentalnych')
subplot(2,2,3);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(S(:,2,baseline_ind)))','b');hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze(S(:,2,ERP_ind)))','r');hold off
xlabel('estymowane zrodlo 2');
subplot(1,2,2)
plot(s_baseline_estymowany_kan1(:),s_baseline_estymowany_kan2(:),'b.');
hold on
plot(s_ERP_estymowany_kan1(:),s_ERP_estymowany_kan2(:),'r.');

xlabel('Amplituda estym. źródła 1')
ylabel('Amplituda estym. źródła 2')
legend('baseline','ERP')
</source>
{{hidden end}}

=Sesja 2: CSP dla P300 — dane realne=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Pracujemy z danymi kalibracyjnymi z eksperymentu P300.
Celem sesji jest przejście pełnego pipeline'u: od surowych danych
do odtworzonych źródeł CSP.

;Zakres:
* wczytanie danych kalibracyjnych, identyfikacja znaczników T i NT
* cięcie epok (−200 do +800 ms), usuwanie trendu liniowego
* montaż względem średniej ze wszystkich elektrod
* wizualizacja ERP w układzie topograficznym
* obliczenie macierzy kowariancji RT i RNT, normalizacja przez ślad
* rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego: <code>[W, Lambda] = eig(R_T, R_NT)</code>
* odtworzenie sygnałów źródłowych: <code>S = W'*EEG</code>
* przegląd estymowanych źródeł w dwóch warunkach

;Materiały:
Dane: https://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/KalibracjaP300.tar.gz

===ZADANIE: Analiza CSP===

Przegląd badań o P300: https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2715154/

Link do Read menager [https://drive.google.com/file/d/1OgOduK5Zn7GgNl5XdCyLWXHJ7wTJIWcC/view?usp=share_link]

* Wykonać analizę CSP wzmacniającą potencjał P300.
* Zaprezentować średnią ze wszystkich kanałów źródłowych z warunku target (jeden kolor) i non-target (inny kolor) w subplotach ułożonych w prostokątnej siatce. Zaobserwować, dla którego kanału średnie różnią się najbardziej. Czy jest związek tego kanału z wartościami własnymi?

* Dla kanału najbardziej różnicującego wykonać mapki topograficzne wektorów odpowiadających:
** filtrowi przestrzennemu
** rzutu topograficznego źródła na elektrody.

===Szkielet kodu do analizy wstępnej===

<source lang="matlab">
%% KROK 1: Wczytanie danych
% ReadManager to pomocnicza klasa do odczytu plików w formacie OpenBCI.
% Przyjmuje trzy pliki: XML z metadanymi, RAW z próbkami i TAG ze znacznikami zdarzeń.
nazwaPliku = 'p_6301423_calibration_p300.obci';
nameOfXMLFile = strcat(nazwaPliku, '.xml');
nameOfTagFile = strcat(nazwaPliku, '.tag');
namesOfDataFiles = strcat(nazwaPliku, '.raw');

rm = ReadManager(nameOfXMLFile, namesOfDataFiles, nameOfTagFile);

% Pobieramy podstawowe parametry nagrania
numberOfChannels = rm.get_param('number_of_channels');
namesOfChannels = rm.get_param('channels_names');
samplingFrequency = rm.get_param('sampling_frequency');

% Pobieramy listę wszystkich znaczników zdarzeń z nagrania
tagsStruct = rm.get_tags();

%% KROK 2: Identyfikacja znaczników Target i Non-Target
% Każdy znacznik typu 'blink' odpowiada jednemu mignięciu w eksperymencie P300.
% Pole 'index' mówi który symbol mignął, pole 'target' który symbol był oczekiwany.
% Jeśli index == target to było to mignięcie docelowe (Target), w przeciwnym razie
% Non-Target.
targetTimeStamps = [];
NonTargetTimeStamps = [];

for structNumber = 1:length(tagsStruct)
if strcmp(tagsStruct(structNumber).name, 'blink')
index = tagsStruct(structNumber).children.index;
target = tagsStruct(structNumber).children.target;
if index == target
targetTimeStamps = [targetTimeStamps tagsStruct(structNumber).start_timestamp];
else
NonTargetTimeStamps = [NonTargetTimeStamps tagsStruct(structNumber).start_timestamp];
end
end
end

%% KROK 3: Wczytanie i filtrowanie sygnału
samples = double(rm.get_samples());
samples = samples(1:8,:); % odrzucamy kanały bez EEG
numberOfChannels = 8;

% Filtr dolnoprzepustowy Czebyszewa 2. rodzaju — odcięcie 25 Hz
[b, a] = cheby2(6, 80, 25/(samplingFrequency/2), 'low');
for ch = 1:numberOfChannels
samples(ch,:) = filtfilt(b, a, samples(ch,:));
end

%% KROK 4: Montaż względem średniej (common average reference)
% Odejmujemy od każdego kanału średnią ze wszystkich kanałów w danej chwili.
% Jest to prostsze i bardziej ogólne niż montaż względem połączonych uszu.
M = -ones(numberOfChannels, numberOfChannels) / numberOfChannels;
M = M + eye(numberOfChannels) * (numberOfChannels+1) / numberOfChannels;
samples = 0.0715 * M * samples;

%% KROK 5: Cięcie epok
PRE = -0.2;
POST = 0.8;
wycinek = floor(PRE*samplingFrequency : POST*samplingFrequency);

TargetSignal = zeros(length(targetTimeStamps), numberOfChannels, length(wycinek));
NonTargetSignal = zeros(length(NonTargetTimeStamps), numberOfChannels, length(wycinek));

for trialNumber = 1:length(targetTimeStamps)
trigerOnset = floor(targetTimeStamps(trialNumber) * samplingFrequency);
tenWycinek = wycinek + trigerOnset;
if tenWycinek(1) > 0 && tenWycinek(end) <= size(samples,2)
tmpSignal = samples(:, tenWycinek);
tmpSignal = detrend(tmpSignal')'; % usuwanie trendu liniowego
TargetSignal(trialNumber,:,:) = tmpSignal;
end
end

for trialNumber = 1:length(NonTargetTimeStamps)
trigerOnset = floor(NonTargetTimeStamps(trialNumber) * samplingFrequency);
tenWycinek = wycinek + trigerOnset;
if tenWycinek(1) > 0 && tenWycinek(end) <= size(samples,2)
tmpSignal = samples(:, tenWycinek);
tmpSignal = detrend(tmpSignal')';
NonTargetSignal(trialNumber,:,:) = tmpSignal;
end
end

% Oś czasu w milisekundach — przyda się do rysowania
times = (wycinek / samplingFrequency) * 1000;

%% KROK 6: Wizualizacja ERP w układzie topograficznym
% Oblicz potencjały wywołane (ERP) jako średnie po powtórzeniach
ERP_T = squeeze(mean(TargetSignal, 1)); % wymiary: kanały × czas
ERP_NT = squeeze(mean(NonTargetSignal, 1));

% TUTAJ: narysuj ERP_T i ERP_NT dla każdego kanału w subplotach
% ułożonych w siatce odpowiadającej przybliżonym pozycjom elektrod.
% Na każdym subplocie nałóż oba warunki różnymi kolorami.
% Oś X: czas w ms (użyj wektora times), oś Y: amplituda w µV.
% Zadbaj o legendę i tytuły z nazwami kanałów (namesOfChannels).

%% KROK 7: Obliczenie średnich macierzy kowariancji
% Dla każdego powtórzenia oblicz macierz kowariancji funkcją cov(),
% znormalizuj przez jej ślad (trace()), a następnie uśrednij po powtórzeniach.
% Pamiętaj: cov() oczekuje macierzy próbki × kanały, czyli potrzebujesz transpozycji.

R_T = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
R_NT = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for r = 1:length(targetTimeStamps)
% TUTAJ: wytnij r-te powtórzenie T, oblicz kowariancję, znormalizuj, dodaj do R_T
end

for r = 1:length(NonTargetTimeStamps)
% TUTAJ: wytnij r-te powtórzenie NT, oblicz kowariancję, znormalizuj, dodaj do R_NT
end

% TUTAJ: podziel R_T i R_NT przez odpowiednie liczby powtórzeń

%% KROK 8: Rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego
% Szukamy filtrów przestrzennych W maksymalizujących stosunek mocy
% w warunku T względem NT: eig(R_T, R_NT)
% W kolumnach W znajdują się filtry, na przekątnej Lambda — wartości własne.

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

disp('Wartości własne (przekątna Lambda):')
disp(diag(Lambda))

%% KROK 9: Odtworzenie sygnałów źródłowych
% Dla każdego powtórzenia zastosuj filtr przestrzenny:
% s(r,:,:) = W' * x(r,:,:)
% Pamiętaj o wymiarach — squeeze() może być pomocne.

S_T = zeros(size(TargetSignal));
S_NT = zeros(size(NonTargetSignal));

for r = 1:size(TargetSignal, 1)
% TUTAJ: S_T(r,:,:) = ...
end

for r = 1:size(NonTargetSignal, 1)
% TUTAJ: S_NT(r,:,:) = ...
end

%% KROK 10: Wizualizacja estymowanych źródeł
% Narysuj średnie przebiegi źródeł (ERP w przestrzeni CSP) dla obu warunków.
% Ułóż subploty w prostokątnej siatce — jeden subplot na każde źródło.
% Dla którego źródła różnica między T i NT jest największa?
% Czy odpowiada to źródłu z największą wartością własną?

ERP_S_T = squeeze(mean(S_T, 1));
ERP_S_NT = squeeze(mean(S_NT, 1));

% TUTAJ: narysuj ERP_S_T i ERP_S_NT w subplotach
</source>

=Sesja 3: CSP dla P300 — interpretacja i separacja cech=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Kontynuacja analizy CSP. Celem sesji jest interpretacja wyników
w kategoriach fizjologicznych oraz ocena separowalności klas
w przestrzeni cech opartej na mocy sygnału.

;Zakres:
* mapki topograficzne filtra przestrzennego i topografii źródła
* związek wartości własnych z siłą różnicowania warunków T i NT
* wykresy punktowe mocy: oś X — moc składowej z największą wartością własną, oś Y — moc kolejnej składowej; jeden punkt = jedno powtórzenie
* uśrednianie po 2, 4, 6, 8 i 10 realizacjach — obserwacja poprawy separacji wraz z liczbą uśrednień
* dyskusja: utożsamianie komponentów CSP z fizjologicznymi źródłami jest ryzykowne; komponenty maksymalizują kontrast między warunkami, niekoniecznie odpowiadają izolowanym generatorom

;Materiały:
Zob. [[#Szkielet kodu do analizy wstępnej|Szkielet kodu do analizy wstępnej]] i [[#Zadanie: Wybór i separacja cech|Zadanie: Wybór i separacja cech]] poniżej.

===Zadanie: Wybór i separacja cech===
* Przedstaw na rysunkach nałożone na siebie pojedyncze realizacje z warunków target i non-target po rzutowaniu na wektor <math>w</math> odpowiadający największej i kolejnej wartości własnej.
* Przedstaw wykresy punktowe takie, że na jednej osi jest moc sygnału (suma kwadratów wartości próbek w wybranym zakresie czasu) odpowiadającego największej wartości własnej, a na drugiej osi kolejnej (mniejszej) wartości własnej; jeden punkt reprezentuje jedno powtórzenie.
* Wykonaj serię wykresów jak w poprzednim punkcie dla uśrednień sygnałów kolejno po 2, 4, 6, 8 i 10 realizacjach:
** Liczymy potencjał wywołany dla danej liczby powtórzeń.
** Następnie podnosimy wartości próbek do kwadratu
** i sumujemy je w wybranym zakresie czasu.
* Zaobserwuj jak zmienia się separacja w grupach target i non-target.
{{hidden end}}
[https://robintibor.github.io/eeg-deep-learning-phd-thesis/DeepArchitectures.html Archirtektury sieci do BCI: ConvNet]

[https://www.researchgate.net/figure/The-architecture-of-EEGNet-F1-S1-model-F1-and-S1-represent-the-number-of-temporal_fig3_347073448 EEGNet]

=Sesja 4: Filtry przestrzenne dla SSEP — cosSinCSP=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Sesja wprowadza metodę cosSinCSP jako naturalne uogólnienie CSP
o wiedzę dziedzinową dotyczącą sygnału SSEP. W klasycznym CSP
dwa warunki eksperymentalne definiują dwie macierze kowariancji.
W cosSinCSP rolę jednej z macierzy przejmuje projekcja sygnału
na przestrzeń sinusów i cosinusów częstości stymulacji i jej harmonicznych.
Formalizm ilorazu Rayleigha i uogólnionego zagadnienia własnego
pozostaje identyczny.

Dane używane na tych zajęciach pochodzą z eksperymentu SSEP
z archiwum — bez sesji rejestracyjnej. Na wykresach widma
sygnału przed transformacją CSP dominuje artefakt sieciowy 50 Hz,
który praktycznie zasłania odpowiedź na stymulację. Zadaniem
jest sprawdzenie czy cosSinCSP potrafi ten sygnał wydobyć.

;Zakres:
* idea cosSinCSP: macierz S złożona z sinusów i cosinusów harmonicznych, projekcja sygnału na przestrzeń SSEP i resztę Y
* implementacja funkcji <code>cosSinCSP</code> w MATLAB
* analiza danych archiwalnych: widma Welcha dla kanałów oryginalnych i źródeł CSP — porównanie SNR przed i po transformacji
* prezentacja filtrów przestrzennych i topografii źródeł

;Materiały:
Zob. [[#Filtry przestrzenne dla SSEP|Filtry przestrzenne dla SSEP]] poniżej.

==Filtry przestrzenne dla SSEP==

===Teoria===

Ciekawa koncepcja filtra przestrzennego dla SSEP zaprezentowana jest tu: http://www.eurasip.org/Proceedings/Eusipco/Eusipco2009/contents/papers/1569193209.pdf

Pokrótce można ją rozumieć podobnie do tego co robiliśmy rozważając filtry przestrzenne CSP z tym, że dla SSEP oraz innych potencjałów wywołanych stanu ustalonego możemy skorzystać z dodatkowych informacji dotyczących poszukiwanych źródeł. Wiemy mianowicie, że powinny one oscylować z częstością bodźca i być może jej harmonicznych.

Przyda nam się macierz <math>S</math> zbudowana tak, że w kolejnych kolumnach znajdują się sinusy i cosinusy kolejnych częstości harmonicznych. Wektory te unormujemy, żeby miały energię równą 1. Innymi słowy macierz <math>S</math> zbudowana jest z wersorów rozpinających przestrzeń, w której powinien znajdować się sygnał SSEP.

W Matlabie możemy taką macierz zbudować tak:

<source lang="matlab">
% Fs - częstość próbkowania
% numberOfSamples - długość sygnału w próbkach
% numberOfHarmonics - liczba harmonicznych, które chcemy włączyć do analizy
t = (0:1:numberOfSamples - 1) / Fs;
S = zeros(numberOfSamples, 2*numberOfHarmonics);

for harmonicNumber = 1:numberOfHarmonics
c = cos(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
s = sin(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
S(:,(harmonicNumber - 1)*2 + 1) = c/norm(c);
S(:,(harmonicNumber - 1)*2 + 2) = s/norm(s);
end
</source>

Aby w badanym sygnale znaleźć składowe odpowiadające SSEP musimy rzutować sygnał <math>X</math> (macierz sygnałów ''kanały × próbki'') na przestrzeń rozpiętą przez <math>S</math>:
:<math>A = X S</math>
Macierz <math>A</math> zawiera współczynniki będące iloczynami skalarnymi sygnałów i wersorów — mówią one o tym jak dużo sinusa bądź cosinusa o danej częstości jest w pierwotnym sygnale. Komponenty SSEP zawarte w sygnale <math>X</math> odzyskujemy tak:
:<math>\mathrm{SSEP} = A S^T</math>

Modelujemy rejestrowany sygnał jako:
:<math>X = \mathrm{SSEP} + Y</math>
gdzie:
:<math>Y = X - \mathrm{SSEP}</math>
to wszystkie komponenty sygnału, które nas nie interesują.

Filtr przestrzenny, który chcemy zbudować powinien maksymalizować stosunek wariancji <math>\mathrm{SSEP}</math> do wariancji <math>Y</math>. Macierz kowariancji powinna być uśredniona po powtórzeniach, a kowariancja sygnału w każdym powtórzeniu powinna być znormalizowana przez jej ślad. Dalej stosujemy technikę znaną z CSP: maksymalizację ilorazu Rayleigha przez rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego dla macierzy kowariancji <math>\mathrm{SSEP}</math> i <math>Y</math>.

===Zadanie: implementacja funkcji cosSinCSP===

Dane do zadania: [[Plik:PrzykladoweDaneSSVEP.mat.gz]].
Pełny przykład z danymi z eksperymentu SSEP: [[Plik:SSVEP_demo_csp.tar.gz]]

Zaimplementuj funkcję <code>cosSinCSP</code> zgodnie z poniższym szkieletem.
Prawidłowo zaimplementowana funkcja wraz ze skryptem demonstracyjnym poniżej
powinna generować rysunek: [[Plik:Rys_SSVEP_demo.png|400px|podpis grafiki]]

<source lang="matlab">
function [W, Lambda] = cosSinCSP(signal, stimulationFrequency, numberOfHarmonics, Fs)
% cosSinCSP - filtr przestrzenny dla sygnałów SSEP
%
% Wejście:
% signal - dane EEG, wymiary: powtórzenia × kanały × próbki
% stimulationFrequency - częstość stymulacji w Hz
% numberOfHarmonics - liczba harmonicznych do uwzględnienia
% Fs - częstość próbkowania w Hz
%
% Wyjście:
% W - macierz filtrów przestrzennych (kanały × kanały), filtry w kolumnach
% Lambda - macierz diagonalna wartości własnych

[numberOfTrials, numberOfChannels, numberOfSamples] = size(signal);

%% KROK 1: Zbuduj macierz referencyjną S (sinusy i cosinusy harmonicznych)
% S ma wymiary: próbki × 2*numberOfHarmonics
% Każda kolumna to jeden wersor (unormowany sinus lub cosinus).
% Wróć do sekcji Teoria powyżej i przełóż tamten kod na tę funkcję.

% TUTAJ

%% KROK 2: Oblicz średnie macierze kowariancji C_SSEP i C_Y
% Dla każdego powtórzenia wytnij sygnał x (kanały × próbki),
% rozłóż go na składową SSEP i resztę Y zgodnie z równaniami z sekcji Teoria,
% oblicz macierze kowariancji obu składowych, znormalizuj przez ślad
% i uśrednij po powtórzeniach.

C_SSEP = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
C_Y = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for trial = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(trial, :, :)); % kanały × próbki

% TUTAJ: oblicz SSEP i Y

% TUTAJ: oblicz kowariancje, znormalizuj, dodaj do C_SSEP i C_Y
end

% TUTAJ: podziel C_SSEP i C_Y przez numberOfTrials

%% KROK 3: Rozwiąż uogólnione zagadnienie własne
% Znajdź filtry przestrzenne maksymalizujące stosunek mocy SSEP do mocy Y.
% Analogia z CSP: jakie macierze wstawiłeś do eig() tam?

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

end
</source>

;Wskazówka do interpretacji wyników:
Filtr związany z największą wartością własną daje komponent
o największym stosunku mocy SSEP do mocy tła.
Sprawdź na widmach Welcha czy odpowiada on składowej
z wyraźnym pikiem przy częstości stymulacji.

{{hidden begin|title=Rozwiązanie — pokaż dopiero po samodzielnej próbie}}
<source lang="matlab">
function [W, Lambda] = cosSinCSP(signal, stimulationFrequency, numberOfHarmonics, Fs)

[numberOfTrials, numberOfChannels, numberOfSamples] = size(signal);

%% KROK 1: Macierz referencyjna S
t = (0:1:numberOfSamples-1) / Fs;
S_ref = zeros(numberOfSamples, 2*numberOfHarmonics);

for harmonicNumber = 1:numberOfHarmonics
c = cos(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
s = sin(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
S_ref(:,(harmonicNumber-1)*2 + 1) = c/norm(c);
S_ref(:,(harmonicNumber-1)*2 + 2) = s/norm(s);
end

%% KROK 2: Średnie macierze kowariancji
C_SSEP = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
C_Y = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for trial = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(trial, :, :)); % kanały × próbki
A = x * S_ref; % projekcja na przestrzeń SSEP
SSEP = A * S_ref'; % rekonstrukcja składowej SSEP
Y = x - SSEP; % reszta

tmp = cov(SSEP');
C_SSEP = C_SSEP + tmp/trace(tmp);

tmp = cov(Y');
C_Y = C_Y + tmp/trace(tmp);
end

C_SSEP = C_SSEP / numberOfTrials;
C_Y = C_Y / numberOfTrials;

%% KROK 3: Uogólnione zagadnienie własne
[W, Lambda] = eig(C_SSEP, C_Y);

end
</source>
{{hidden end}}

===Skrypt demonstracyjny i analiza wyników===

<source lang="matlab">
% wczytujemy dane
load('PrzykladoweDaneSSVEP.mat');

[numberOfTrials numberOfChannels numberOfSamples] = size(X.data);
namesOfChannels = X.channels;

numberOfHarmonics = 3;
signal = X.data; % powtórzenie × kanał × próbki

[W, Lambda] = cosSinCSP(signal, X.stimulation, numberOfHarmonics, X.sampling);

%% Odtworzenie sygnałów źródłowych
S = zeros(size(signal));
for powt = 1:size(signal,1)
S(powt,:,:) = W' * squeeze(signal(powt,:,:));
end

%% Widma Welcha: kanały oryginalne vs źródła CSP
figure('Name', ['Stymulacja: ', num2str(X.stimulation), ' Hz'])
for i = 1:numberOfChannels
subplot(2, numberOfChannels, i)
PP = 0;
for rep = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(rep,i,:));
[Pxx, ff] = pwelch(x, X.sampling, 1, X.sampling, X.sampling);
PP = PP + Pxx;
end
plot(ff(ff<60), PP(ff<60))
title(namesOfChannels{i})

subplot(2, numberOfChannels, numberOfChannels+i)
PP = 0;
for rep = 1:numberOfTrials
s = squeeze(S(rep,i,:));
[Pss, ff] = pwelch(s, X.sampling, 1, X.sampling, X.sampling);
PP = PP + Pss;
end
plot(ff(ff<60), PP(ff<60))
title(['źródło CSP: ', num2str(i)])
xlabel(['\lambda = ', num2str(Lambda(i,i), '%.2f')])
end

%% KROK 4: Mapki topograficzne
% Zidentyfikuj komponent z największą wartością własną.
% Narysuj dwie mapki przy użyciu funkcji topoplot() z pakietu EEGLAB:
%
% (a) Filtr przestrzenny: wagi z jakimi kanały EEG składają się na ten komponent.
% Wskazówka: filtr to kolumna macierzy W.
%
% (b) Topografia źródła: z jakimi wagami komponent dociera do poszczególnych elektrod.
% Wskazówka: topografia zawarta jest w wierszach macierzy odwrotnej do W —
% przypomnij sobie analogiczny krok z analizy CSP dla P300.
%
% Czym różnią się te dwie mapki? Którą łatwiej interpretować fizjologicznie?

% TUTAJ: [~, idx] = max(diag(Lambda));
% TUTAJ: topoplot(...) % filtr
% TUTAJ: topoplot(...) % topografia
</source>

=Sesja 5: ICA jako filtr przestrzenny =

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Sesja wprowadza analizę składowych niezależnych (ICA) jako trzecie
podejście do problemu ślepej separacji źródeł — obok BSS/CSP
i cosSinCSP. Kluczowa różnica: CSP szuka kierunków maksymalizujących
kontrast wariancji między warunkami (kryterium drugiego rzędu),
ICA szuka składowych niezależnych statystycznie, maksymalizując
niegaussowość (kryterium wyższego rzędu). ICA nie wymaga
dwóch warunków eksperymentalnych — działa na jednym stacjonarnym sygnale.

;Zakres wykładu (~40 min):
* model generatywny ICA: <math>\mathbf{x} = \mathbf{D}\mathbf{s}</math>, założenie niegaussowości składowych
* negoentropia i algorytm FastICA
* porównanie z CSP: kiedy ICA, kiedy CSP
* ograniczenia: liczba próbek a liczba kanałów (<math>kN^2</math>), niejednoznaczność kolejności i skali komponentów

;Zakres ćwiczenia (~80 min):
* wczytanie danych do EEGLAB, edycja lokalizacji elektrod
* filtrowanie górnoprzepustowe (FIR, 0,5 Hz), zmiana referencji
* obliczenie ICA na całym sygnale
* identyfikacja komponentów zawierających rytm alfa: topografia, widmo, przebieg czasowy
* usunięcie komponentów niezawierających alfy, odtworzenie sygnału na elektrodach
* porównanie wyników między co najmniej trzema uruchomieniami ICA: czy komponenty są powtarzalne?

==Teoria==

===Definicja ===
Independent Component Analysis (ICA) jest metodą statystycznej analizy sygnałów, która dokonuje dekompozycji wielokanałowych zapisów na składowe niezależne w sensie statystycznym.
Dwie składowe ''s''1 i ''s''2 są niezależne jeżeli wiedza o wartości ''s''1 nie daje żadnych informacji o możliwych wartościach ''s''2. ICA może być wyrażona przez prosty model generatywny:
: '''x''' = '''Ds'''
: gdzie '''x''' = {''x''1, ''x''2, ..., ''x''''n''} jest zmierzonym ''n'' kanałowym sygnałem, '''D''' jest macierzą mieszającą zaś '''s''' = {''s''1, ''s''2, ..., ''s''''n''} jest aktywnością ''n'' źródeł. Podstawowym założeniem dotyczącym '''s''' jest to, że ''s''''i'' są statystycznie niezależne. Aby wyestymować model musimy też założyć, że składowe mają niegaussowskie rozkłady wartości (Hyvärinen, 2000).

Dodatkowo model ten zakłada następujące fakty:
# Sygnał jest liniową mieszaniną aktywności źródeł
# Sygnały pochodzące z każdego ze źródeł są niezależne od pozostałych
# Źródła oraz proces ich mieszania są stacjonarne, tzn, ich momenty statystyczne nie zależą od czasu
# Energie (wariancje) źródeł nie mogą być wyznaczone jednoznacznie. Dzieje się tak ponieważ pomnożenie amplitudy ''i''-tego źródła może być uzyskane poprzez przemnożenie albo ''s''''i'' albo przez przemnożenie ''i''-tej kolumny macierzy '''D'''. Naturalnym rozwiązaniem tej niejednoznaczności jest wprowadzenie konwencji, że komponenty są normowane tak aby miały wariancję 1: E[(''s''''i'')''2''] = 1.
# Kolejność komponentów jest dowolna. Bo jeśli w ten sam sposób zmienimy kolejność komponentów w '''s''' i kolumn w '''D''' to dostaniemy dokładnie ten sam sygnał '''x'''.

Głównym wyzwaniem w analizie ICA jest estymacja macierzy mieszającej '''D'''. Gdy jest ona znana to komponenty mogą być wyliczone w następujący sposób:
: '''s''' = '''D'''−1'''x'''

=== Estymacja ===
Znalezienie niezależnych komponentów może być rozważane w świetle Centralnego Twierdzenia Granicznego jako poszukiwanie komponentów o możliwie nie gaussowskim rozkładzie.
Aby zrozumieć to podejście prześledźmy heurystykę zaproponowaną przez (Hyvärinen, 2000).
Dla prostoty załóżmy, że poszukiwane źródła niezależne mają identyczne rozkłady.
Zdefiniujmy

''y'' = '''w'''T'''x'''.

Zauważmy, że jeśli

'''w'''

jest jedną z kolumn macierzy

'''D'''−1,

to ''y'' jest jednym z poszukiwanych komponentów.
Zamieniając zmienne

'''z''' = '''D'''T'''w'''

możemy napisać

''y'' = '''w'''T'''x''' = '''w'''T'''Ds''' = '''z'''T'''s'''.

Uwidacznia to fakt, że ''y'' jest liniową kombinacją składowych s''i'' z wagami danymi przez z''i''.

Z centralnego twierdzenia granicznego wynika, że suma niezależnych zmiennych losowych ma bardziej gaussowski charakter niż każda z tych zmiennych osobno.
Liniowa kombinacja staje się najmniej gaussowska gdy '''z''' ma tylko jeden element niezerowy. W tym przypadku ''y'' jest proporcjonalny do s''i''.
Zatem problem estymacji modelu ICA może być sformułowany jako problem znalezienia takiego wektora '''w''', który maksymalizuje niegaussowskość

''y'' = '''w'''T'''x'''.

Maksymalizacja niegaussowskości ''y'' daje jeden niezależny komponent odpowiadający jednemu z 2''n'' maksimów (bo mamy s''i'' i −s''i'') w krajobrazie optymalizacyjnym. Aby znaleźć wszystkie niezależne komponenty musimy znaleźć wszystkie maksima. Ponieważ komponenty są nieskorelowane, to poszukiwania kolejnych komponentów można kontynuować w podprzestrzeni ortogonalnej do już znalezionych komponentów.

===Obliczenia===
Intuicyjna heurystyka poszukiwania najbardziej niegaussowskich składowych może być użyta do wyprowadzenia różnych funkcji kosztu, których optymalizacja daje model ICA, np. kurtoza.

<math>kurt(y) = E\{y^4\} - 3(E{y^2})^2</math>

Inną miarą gassowskości jest neg-entropia, którą można wyprowadzić z entropii:
Entropia jest miarą średniego zdziwienia wynikiem obserwacji zmiennej losowej:
<math>H(Y) = - \sum_i P(Y= a_i) \log(P(Y=a_i)) </math>

Negentropia jest zdefiniowana:

<math> J(y) = H(y_{gauss}) -H(y)</math>
gdzie <math> y_{gauss} </math> jest gassuwską zmienną losową o takiej samej kowaiancji jak <math> y </math>.

Negentropia jest skomplikowana obliczeniow, więc w praktyce używana jest formuła przybliżona:

<math> J(y) \varpropto [E\{G (y)\} - E\{G(\nu)\}]^2</math>

<math>\nu </math> jest zmienną losową ze standardowego rozkładu normalnego , a G są pewnymi niekwadratowymi funkcjami.

W algorytmie FastICA extremum negentropii jest znajdowane w procedurze bazującej na optymalizacji Newtona.
(szczegóły np.: sekcja 6 w https://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/NN00new.pdf)

Procedura wykorzystywana w eeglabie (&bdquo;runica”, Makeig 1996) dąży do minimalizacji informacji wzajemnej. Oba podejścia są w przybliżeniu równoważne (Hyvärinen, 2000), chociaż owo przybliżenie dla sygnałów elektrofizjologicznych nie zostało to jeszcze w pełni wyeksplorowane.
Dla sygnałów o niskiej wymiarowości i spełniających dokładnie założenia ICA wszystkie powszechnie wykorzystywane algorytmy dają niemal identyczne wyniki.

;Bardzo ważna uwaga: ogólną zasadą jest, że jeśli estymujemy ''N'' stabilnych komponentów (z ''N''-kanałowych danych) to musimy dysponować ''kN''2 punktami danych w każdym kanale, gdzie ''N''2 jest liczbą elementów w macierzy '''D''', którą ICA próbuje wyestymować, ''k'' jest liczbą całkowitą. Nie ma dobrych oszacowań teoretycznych na wielkość ''k'', z praktycznych obserwacji wynika, że rośnie ona z liczbą kanałów.

=== Możliwe zastosowania ===
Najczęściej ICA jest stosowana jako narzędzie do:
* usuwania artefaktów z sygnałów EEG (ruchy oczu i mięśnie)
* wydobywania składowych do dalszej analizy (Onton, 2006)
* jako analiza wstępna do lokalizacji źródeł (Grau, 2007).
* ICA jest także stosowana w analize sygnałów EKG i EMG.

===Bibliografia===
Bazowa praca:
* A. Hyvärinen. Fast and Robust Fixed-Point Algorithms for Independent Component Analysis. IEEE Transactions on Neural Networks 10(3):626-634, 1999 http://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/TNN99_reprint.pdf

Nieco prościej opisana wersja z przykładami:
* Hyvärinen, A. and Oja, E. (2000). Independent component analysis: Algorithms and applications. Neural Networks, 13(4-5):411–430.
https://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/NN00new.pdf

* Grau, C., Fuentemilla, L., Marco-Pallars, J. (2007). Functional neural dynamics underlying auditory event-related n1 and n1 suppression response. Neuroimage, 36(6):522–31.
* Makeig, S., Bell, A., Jung, T.-P., Sejnowski,T. (1996). Independent component analysis of electroencephalographic data. W: Touretzky, D., Mozer, M., and Hasselmo, M., editors, Advances in Neural Information Processing Systems, volume 8, pages 145–151. MIT Press, Cambridge, MA.
* Onton, J., Makeig, S. (2006). Information-based modeling of event-related brain dynamics. Prog Brain Res., 159:99–120.
* Tutorial: http://sccn.ucsd.edu/wiki/Chapter_09:_Decomposing_Data_Using_ICA
* http://sccn.ucsd.edu/~arno/indexica.html
* http://cis.legacy.ics.tkk.fi/aapo/papers/IJCNN99_tutorialweb/

== ZADANIE: Wydobywanie interesujących komponentów ==

Dane do tej części ćwiczeń proszę pobrać i rozpakować w swoim katalogu:
http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Dane_do_ICA_alfa.tar.gz

Pochodzą one z eksperymentu, w którym osoba badana siedziała z zamkniętymi oczami słuchając nagrania czytanego spokojnym głosem. Metadane opisujące sygnał znajdują się w pliku Miro.xml, zaś lokalizacje elektrod w pliku Miro-10-20-Cap.locs.

Proszę:
* wczytać dane do eeglaba
* wyedytować lokalizację elektrod
* usunąć kanały nie zawierające EEG
* zmienić referencje na średnią z kanałów A1 i A2
* przefiltrować filtrem FIR górnoprzepustowym z częstością odcięcia 0,5 Hz
* obejrzeć wstępnie przygotowane dane
* policzyć ICA na całym sygnale
* obejrzeć właściwości otrzymanych komponentów
** Czy są wśród nich takie, które zawierają znaczny udział rytmu alfa?
** Jaka jest ich topografia?
* usunąć wszystkie komponenty nie zawierające alfy
* odtworzyć z tych komponentów sygnał na elektrodach
* wykonać dekompozycję ICA kilkukrotnie (co najmniej 3) i porównać wyniki
** Czy uzyskiwane komponenty są powtarzalne?
** Swoje wyniki porównać też z sąsiednimi grupami.

==ZADANIE: Identyfikacja artefaktów ==
Proszę pobrać dane:

*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal-10-20-Cap.locs
*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal1.set
*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal1.fdt

Pochodzą one z eksperymentu w którym osoba badana czytała słowa o różnych właściwościach wzbudzania emocji.

* wczytaj je do eeglaba
* wczytaj lokalizację kanałów z pliku Arousal-10-20-Cap.locs
* obejrzyj przebiegi czasowe
* odrzuć kanał z diodą (21) i z GSR (20)
* zrób dekompozycję ICA
* obejrzyj topografię komponentów
* zidentyfikuj komponenty odpowiadające mruganiu i aktywności mięśniowej.
;UWAGA: Aktualnie do wykrywania komponentów artefaktowych warto posłużyć się wtyczkami do eeglaba dostępnymi przez stronę:

https://sccn.ucsd.edu/eeglab/plugin_uploader/plugin_list_all.php

* ICLabel:
** https://labeling.ucsd.edu/tutorial/overview
** https://github.com/sccn/ICLabel

* MARA:
** https://github.com/irenne/MARA/raw/master/MARAtutorial.pdf
** https://irenne.github.io/artifacts/

=Sesja 6: Problem odwrotny w EEG i MEG=

;Czas: ~60 min wykład + ~90 min ćwiczenie

Sesja wprowadza problem odwrotny jako alternatywne — i komplementarne —
podejście do analizy przestrzennej sygnałów EEG i MEG. O ile BSS/CSP
i ICA szukają filtrów przestrzennych w przestrzeni elektrod,
nie zakładając nic o geometrii mózgu,
to metody problemu odwrotnego wyraźnie osadzają źródła
w przestrzeni trójwymiarowej, korzystając z fizyki i modelu głowy.

Materiały z naszych zasobów:
* [[Elektroencefalografia|Sekcje 3 i 8 z Podręcznika o EEG ]]
* [https://drive.google.com/file/d/1EOJxN1y7X3YlIFHoIIyoZzCiXdrQSHcA Wykład Piotra Durki z Analizy sygnałów o problemie odwrotnym w EEG iMEG]

Z zasobów zewnętrznych polecam:
* [https://download.fieldtriptoolbox.org/workshop/toolkit2025/slides/04_forward_inverse.pdf#page=1.00 Slajdy "Forward and inverse - lecture by Robert Oostenveld" fragment warsztatów: "Advanced MEG/EEG toolkit at the Donders"]

==Kontrast z BSS: dwa języki opisu tego samego zjawiska==

Zarówno BSS/ICA, jak i metody problemu odwrotnego wychodzą
od tego samego modelu generatywnego:
:<math>\mathbf{x}(t) = \mathbf{A}\,\mathbf{s}(t) + \boldsymbol{\varepsilon}(t)</math>
gdzie <math>\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^{N_e}</math> to potencjały na elektrodach,
<math>\mathbf{s}(t) \in \mathbb{R}^{N_s}</math> to aktywność źródeł,
a <math>\mathbf{A}</math> to macierz mieszająca (ang. ''lead field'' lub ''forward matrix'').

Różnica leży w tym, co robimy z macierzą <math>\mathbf{A}</math>:

{| class="wikitable"
|-
! !! BSS / ICA !! Problem odwrotny
|-
| '''Macierz A''' || nieznana; estymowana z danych || obliczona z modelu głowy (''forward model'')
|-
| '''Liczba źródeł''' || równa liczbie elektrod || od 1 dipola do ~10 000 wokseli
|-
| '''Geometria''' || brak założeń przestrzennych || źródła zlokalizowane w przestrzeni 3D
|-
| '''Regularyzacja''' || przez kryterium stat. (niezależność, wariancja) || przez regularyzację matematyczną (L2, L1, …)
|-
| '''Wynik''' || filtry przestrzenne + komponenty || mapa aktywności w przestrzeni mózgu
|}

Kluczowa trudność problemu odwrotnego wynika z jego
fundamentalnej niejednoznaczności:

układ równań:

<math>\mathbf{x} = \mathbf{A}\mathbf{s}</math>

jest niedookreślony — przy <math>N_e \approx 19\text{–}256</math> elektrodach
i <math>N_s \sim 10^4</math> możliwych lokalizacjach źródeł
istnieje nieskończenie wiele rozkładów <math>\mathbf{s}</math>
dokładnie odtwarzających zmierzony <math>\mathbf{x}</math>.
Każda metoda nakłada inne założenie ''a priori'', by wybrać jedno rozwiązanie.

==Model do przodu (forward model)==

Zanim można rozwiązać problem odwrotny, należy zbudować
''model do przodu'' — obliczenie potencjałów na elektrodach
wywołanych przez jednostkowe źródło prądowe w danym miejscu mózgu.
Wynik zapisuje się jako macierz ''pola wiodącego'' (''lead field''):
:<math>\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{N_e \times 3N_s}</math>
gdzie czynnik 3 wynika z trzech ortogonalnych składowych momentu dipolowego.

=== Skąd bierze się macierz ''lead field''? ===

Przejdźmy od równań Maxwella do tego, co dosłownie liczą funkcje `ft_prepare_headmodel` / `ft_prepare_leadfield`.

==== 1. Punkt wyjścia: przybliżenie kwazistatyczne ====

=====Pełne równania Maxwella w ośrodku materialnym=====

$$
\begin{aligned}
\nabla \cdot \mathbf{D} &= \rho && \text{(prawo Gaussa)} \\
\nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 && \text{(brak monopoli magnetycznych)} \\
\nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} && \text{(prawo Faradaya)} \\
\nabla \times \mathbf{H} &= \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} && \text{(prawo Ampère'a–Maxwella)}
\end{aligned}
$$

uzupełnione związkami konstytutywnymi dla tkanki traktowanej jako liniowy, lokalnie izotropowy ośrodek:

$$
\mathbf{D} = \varepsilon\,\mathbf{E},\qquad \mathbf{B} = \mu_0\,\mathbf{H},\qquad \mathbf{J} = \sigma\,\mathbf{E} + \mathbf{J}^p
$$

Ostatnia relacja to uogólnione prawo Ohma: prąd swobodny ma część omową (<math>\sigma\mathbf{E}</math>, prądy bierne w przewodniku objętościowym) i część „pierwotną" <math>\mathbf{J}^p</math> pochodzącą od źródeł neuronowych — bo to one *nie* są napędzane lokalnym polem <math>\mathbf{E}</math>, tylko gradientami stężeń jonów.

===== Przybliżenie kwazistatyczne =====

Wprowadzamy harmoniczną zależność czasową <math> J \sim e^{i\omega t}</math> i porównujemy człony w równaniach Maxwella.

Mamy dla EEG:

**(a) Pomijalny prąd przesunięcia w równaniu Ampère'a. ** Stosunek członu pojemnościowego do omowego to <math>\omega\varepsilon/\sigma</math>. Dla tkanki przy <math>f=100</math> Hz, <math>\sigma\approx 0{,}3</math> S/m, <math>\varepsilon_r\approx 10^5</math> (efektywna wartość niska-częstotliwościowa dla istoty szarej; spada szybko z <math>f</math>):
$$\frac{\omega\varepsilon}{\sigma} = \frac{2\pi\cdot 100\cdot 10^5\cdot 8{,}85\cdot 10^{-12}}{0{,}3}\sim 10^{-3}$$

— bezpiecznie pomijalny w EEG. To pozwala napisać <math>\nabla\times\mathbf{H}\approx\mathbf{J}</math>, a po wzięciu dywergencji:
$$\nabla\cdot\mathbf{J} = 0$$

**(b) Pomijalna indukcja w równaniu Faradaya.** Mówimy, że <math>\partial\mathbf{B}/\partial t</math> jest na tyle małe, że <math>\nabla\times\mathbf{E}\approx 0</math>, więc istnieje potencjał skalarny <math>V</math> z <math>\mathbf{E}=-\nabla V</math>. Można to oszacować z indukcyjności geometrii głowy i wykazać, że pomijany wkład jest o kilka rzędów mniejszy od <math>-\nabla V</math>.

**(c) Brak efektów propagacyjnych.** Długość fali EM przy 100 Hz w próżni to <math>\lambda = c/f\approx 3000</math> km, czyli <math>\lambda \gg L_\text{głowy}</math>. To gwarantuje, że pole „widzi" całą głowę jednocześnie — stąd zerowe przesunięcie fazowe propagacji potencjału przez przewodnik objętościowy.

Co zostaje po przybliżeniu:

$$
\begin{aligned}
\nabla \times \mathbf{E} &= 0 \;\Rightarrow\; \mathbf{E} = -\nabla V \\
\nabla \cdot \mathbf{J} &= 0 \\
\mathbf{J} &= -\sigma\nabla V + \mathbf{J}^p
\end{aligned}
$$

Składając trzy powyższe:

$$
\nabla\cdot\bigl(\sigma(\mathbf{r})\nabla V(\mathbf{r})\bigr) = \nabla\cdot\mathbf{J}^p(\mathbf{r})
$$

Warto przy tym podkreślić, że prawo Gaussa i <math>\nabla\cdot\mathbf{B}=0</math> nie znikają — one są nadal spełnione, ale po prostu nie są nam potrzebne do wyliczenia <math>V</math> na skórze: ładunki swobodne i indukowane policzy się *a posteriori* z <math>\rho = \nabla\cdot(\varepsilon\nabla V)\cdot(-1)</math>, a pole magnetyczne (interesujące dla MEG!) z prawa Biota–Savarta zastosowanego do <math>\mathbf{J}</math>.

Warto tu zauważyć, że kwazistatyka EEG i kwazistatyka MEG to **to samo** przybliżenie — różni je tylko, co wybieramy jako wielkość mierzoną (<math>V</math> na skórze vs. <math>\mathbf{B}</math> na zewnątrz głowy). To samo równanie Poissona generuje oba sygnały, a różnice w czułości na orientację dipola (radialny vs. tangencjalny) wynikają stąd, że potencjał i pole magnetyczne są różnymi funkcjonałami tego samego rozwiązania.

==== 2. Rozszczepienie prądu — gdzie pojawia się „źródło" ====

Gęstość prądu w tkance dzielimy na część „pierwotną" (neuronową) i „objętościową" (omową):

$$\mathbf{J}(\mathbf{r}) = \mathbf{J}^p(\mathbf{r}) - \sigma(\mathbf{r})\,\nabla V(\mathbf{r})$$

<math>\mathbf{J}^p</math> reprezentuje *prądy postsynaptyczne w piramidowych neuronach kory* — to one są naszym „źródłem". Reszta to prądy bierne płynące w przewodniku objętościowym o nieizotropowej, niejednorodnej przewodności <math>\sigma</math>.

Podstawiając do warunku <math>\nabla \cdot \mathbf{J}_\text{tot} = 0</math> dostajemy równanie Poissona dla niejednorodnego przewodnika:

$$\boxed{\;\nabla \cdot \bigl(\sigma(\mathbf{r})\,\nabla V(\mathbf{r})\bigr) = \nabla \cdot \mathbf{J}^p(\mathbf{r})\;}$$

To jest równanie problemu wprost. Cała reszta to:
(a) model źródła,
(b) warunki brzegowe,
(c) sposób rozwiązania.

==== 3. Model źródła: dipol prądowy ====

Dla pojedynczego dipola w <math>\mathbf{r}_0</math> o momencie <math>\mathbf{q}</math>:

$$\mathbf{J}^p(\mathbf{r}) = \mathbf{q}\,\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$$

$$\nabla \cdot \mathbf{J}^p(\mathbf{r}) = \mathbf{q}\cdot\nabla\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$$

Liniowość PDE daje natychmiast kluczową własność: <math>V</math> jest **liniową** funkcją <math>\mathbf{q}</math>. To właśnie ta liniowość pozwala zapisać:

$$\mathbf{v} = \mathbf{L}\,\mathbf{j}$$

gdzie <math>\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{N_\text{el}}</math> to potencjały, <math>\mathbf{j} \in \mathbb{R}^{3N_\text{src}}</math> to momenty dipoli, a <math>\mathbf{L}</math> to *lead field matrix*. Każda kolumna <math>\mathbf{L}</math> to potencjał wywołany jednostkowym dipolem w danym miejscu i o danej orientacji.

==== 4. Warunki brzegowe ====

Na granicy skóra/powietrze prąd nie wypływa:

$$\sigma\,\nabla V \cdot \hat{\mathbf{n}} = 0 \quad \text{na zewnętrznej powierzchni}$$

Wewnątrz, na granicach tkanek o różnym <math>\sigma</math> (mózg–CSF–czaszka–skóra):

$$V \text{ ciągłe},\quad \sigma\nabla V \cdot \hat{\mathbf{n}} \text{ ciągłe}$$

To są te warunki, które „włączają" geometrię i przewodności do problemu — i to one decydują, że czaszka (niskie <math>\sigma</math>, około 1/15–1/80 tkanki miękkiej, do dziś dyskutowane) rozmywa pole tak agresywnie.

==== 5. Metody rozwiązania ====
W pakiecie fieldtrip problem wprostt jest rozwiązywany przez funkcję
`ft_prepare_headmodel` - to fabryka różnych metod rozwiązujących to samo PDE. Wybór `cfg.method` decyduje o paradygmacie matematycznym:

**(a) Rozwiązania analityczne — modele sferyczne** (`'singlesphere'`, `'concentricspheres'`)

Dla geometrii sferycznej z osiową symetrią rozwija się <math>V</math> w szereg wielomianów Legendre'a. Dla 3-warstwowego modelu koncentrycznego dostajemy zamknięty wzór z nieskończonym szeregiem, który w praktyce tnie się po ~40 wyrazach. Berg & Scherg (1994) dali znakomite przybliżenie 3 dipolami w sferze jednorodnej — błyskawicznie szybkie, do dziś używane w MEG. Plus: bardzo szybkie, brak siatkowania. Minus: kula to nie głowa, zwłaszcza w okolicach skroniowych i podstawy.

**(b) BEM — Boundary Element Method** (`'bemcp'`, `'dipoli'`, `'openmeeg'`)

Wykorzystuje się fakt, że w obszarze o stałym <math>\sigma</math> <math>V</math> spełnia równanie Laplace'a, a cały „nietrywialny" wkład można wyrazić jako całkę po powierzchniach granicznych. Z drugiej tożsamości Greena dostajemy całkowe równanie typu Fredholma 2-go rodzaju:

$$V(\mathbf{r}) = V_\infty(\mathbf{r}) + \frac{1}{4\pi}\sum_k \frac{\sigma_k^- - \sigma_k^+}{\bar{\sigma}}\oint_{S_k} V(\mathbf{r}')\,\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\cdot\hat{\mathbf{n}}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,dS'$$

gdzie <math>V_\infty</math> to potencjał dipola w przestrzeni nieograniczonej. Triangulujemy powierzchnie (skóra, czaszka, mózg — czasem CSF) i to równanie zamienia się w układ liniowy. Szybciej niż FEM, ale wymaga założenia odcinkowo stałej przewodności i zakłada izotropię.

**(c) FEM — Finite Element Method** (`'simbio'`, `'duneuro'`)

Cała objętość głowy dyskretyzowana czworościanami/sześciościanami z indywidualnym tensorem <math>\sigma</math> w każdym elemencie (z DTI można wstrzyknąć anizotropię istoty białej!). Sformułowanie wariacyjne daje rzadki układ:

$$\mathbf{K}\mathbf{u} = \mathbf{b}$$

gdzie <math>\mathbf{K}</math> to macierz sztywności zależna od <math>\sigma(\mathbf{r})</math>, a <math>\mathbf{b}</math> niesie informację o źródle. To „złoty standard" pod kątem dokładności, ale kosztowny — dlatego praktycznie zawsze łączony z trikiem z punktu 6.

**(d) FDM** — rzadziej, dziś głównie historycznie.

==== 6. Twierdzenie o wzajemności — dlaczego macierz <math>\mathbf{L}</math> da się liczyć rozsądnie ====

Naiwne podejście: dla każdego z <math>\sim 10^4</math> źródeł i każdej z 3 orientacji odpalić rozwiązywacz PDE. To <math>3\times 10^4</math> rozwiązań. Beznadzieja.

Helmholtzowska zasada wzajemności mówi: potencjał w elektrodzie A wywołany dipolem w punkcie <math>\mathbf{r}_0</math> jest równoważny pewnej wielkości policzonej z
pola elektrycznego wytworzonego w <math>\mathbf{r}_0</math> przez jednostkowy prąd wstrzyknięty między elektrodą A a referencją. Formalnie:

$$V_A(\mathbf{r}_0;\mathbf{q}) = \mathbf{E}^{(A)}(\mathbf{r}_0)\cdot\mathbf{q}$$

gdzie <math>\mathbf{E}^{(A)}</math> to pole „wstrzykniętego" prądu jednostkowego. Konsekwencja: zamiast <math>3N_\text{src}</math> rozwiązań PDE wystarczy <math>N_\text{el}-1</math> rozwiązań (po jednym na elektrodę). Praktycznie wszystkie pakiety BEM/FEM (w tym OpenMEEG, SimBio, DUNEuro) to wykorzystują — i dlatego FEM jest w ogóle wykonalny dla całych siatek źródłowych.

'''Fizyczna intuicja'''

Wyobraź sobie, że potencjał wytworzony przez dipol na danej elektrodzie zależy od tego, jak silnie ta elektroda „widzi" punkt w mózgu. Twierdzenie Helmholtza mówi: jeśli chcesz wiedzieć, jak silnie elektroda widzi dany punkt — odwróć kierunek. Wstrzyknij prąd przez tę elektrodę i sprawdź, jakie pole powstaje w tym punkcie. Im silniejsze pole tam dotrze, tym czulsza jest elektroda na dipol tam ulokowany. Kierunek pola wskazuje też, na jaką orientację dipola elektroda reaguje najsilniej.

==== 7. Co więc dosłownie robi `ft_prepare_headmodel` ====

Tworzy obiekt `headmodel`, który zawiera:
- geometrię (kule albo siatki powierzchniowe, albo objętościową siatkę FEM),
- przewodności poszczególnych warstw,
- a w przypadku BEM/FEM — wstępnie policzony operator dyskretny (np. odwróconą macierz BEM albo czynnik macierzy sztywności FEM z trikiem transferowym wykorzystującym wzajemność).

To jest najdroższa część obliczeń — i robi się ją raz dla danej geometrii. Potem `ft_prepare_leadfield`, dla każdej pozycji źródła w `cfg.sourcemodel`, używa tego operatora, żeby wygenerować trzy kolumny <math>\mathbf{L}</math> (dla orientacji x, y, z). Wynik to `leadfield{i}` o wymiarze <math>N_\text{el}\times 3</math> — czyli dosłownie blok macierzy lead field dla danego wokselu.

---

Podsumowanie:

1. Maxwell → kwazistatyka → „elektrostatyka z prądami"

2. Podział prądu i równanie Poissona (jedyne równanie, którego naprawdę trzeba)

3. Dipol jako model i wynikająca **liniowość** → uzasadnienie wzoru $\mathbf{v}=\mathbf{L}\mathbf{j}$

4. Warunki brzegowe → tu wchodzi anatomia

5. Sfery (analityczne, intuicja) → BEM → FEM jako kolejne stopnie realizmu

6. Wzajemność jako trik obliczeniowy, bez którego niczego by się nie dało policzyć w sensownym czasie

Klasyczne źródła:
- Hallez et al. 2007 *J Neuroeng Rehabil* (review obliczeń forward, bardzo czytelny),
- Mosher et al. 1999 dla zwartego wyprowadzenia,
- oraz dokumentacja OpenMEEG (Gramfort et al. 2010) — tam ścieżka BEM jest wyprowadzona z drugiej tożsamości Greena.
---

=== Programy obliczające model do przodu:===
MNE-Python (<code>mne.make_bem_model</code>), FieldTrip (<code>ft_prepare_headmodel</code>), OpenMEEG.

==Fitowanie dipoli (Dipole Fitting)==

===Idea===
Najprostsze założenie: aktywacja EEG pochodzi z jednego
(lub kilku) ekwiwalentnych dipoli prądowych.
Każdy dipol opisany jest sześcioma parametrami:
trzema współrzędnymi położenia <math>(x,y,z)</math>
i trzema składowymi momentu dipolowego <math>(q_x, q_y, q_z)</math>.

===Formalizm===
Dla pojedynczego dipola o momencie <math>\mathbf{q}(t)</math>
w lokalizacji <math>\mathbf{r}_0</math>:
:<math>\mathbf{x}(t) = \mathbf{a}(\mathbf{r}_0)\,\mathbf{q}(t) + \boldsymbol{\varepsilon}(t)</math>
gdzie <math>\mathbf{a}(\mathbf{r}_0) \in \mathbb{R}^{N_e \times 3}</math>
to kolumna macierzy pola wiodącego odpowiadająca lokalizacji <math>\mathbf{r}_0</math>.

Estymacja polega na minimalizacji reszty:
:<math>\hat{\mathbf{r}}_0 = \arg\min_{\mathbf{r}} \left\|\mathbf{x}(t) - \mathbf{a}(\mathbf{r})\,\hat{\mathbf{q}}(t)\right\|^2</math>
Minimalizację prowadzi się zwykle algorytmem Neldera–Meada
lub Levenberga–Marquardta po przestrzeni lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* gdy źródło jest punktowe lub quasi-punktowe (np. wczesne składowe słuchowych potencjałów wywołanych N20, P25)
* gdy liczba aktywnych źródeł jest z góry znana i mała (1–3 dipole)

;Ograniczenia:
* wrażliwość na punkt startowy — algorytm może utknąć w minimum lokalnym
* złe dopasowanie gdy aktywacja pochodzi z rozległego obszaru kory
* wynik silnie zależy od dokładności modelu do przodu

==Minimum Norm Estimation (MNE)==

===Idea===
Zamiast zakładać małą liczbę dipoli,
rozkładamy aktywność na gęstą siatkę źródeł pokrywającą całą powierzchnię kory
i szukamy rozwiązania o minimalnej normie —
tj. takiego, które odtwarza dane, angażując jak najmniejszą całkowitą energię źródeł.

===Formalizm===
Problem optymalizacji z regularyzacją Tichonowa:
:<math>\hat{\mathbf{s}} = \arg\min_{\mathbf{s}} \left\|\mathbf{x} - \mathbf{A}\mathbf{s}\right\|^2 + \lambda\left\|\mathbf{s}\right\|^2</math>
gdzie <math>\lambda > 0</math> to parametr regularyzacji kontrolujący kompromis
między wiernością danym a gładkością rozwiązania.

Rozwiązanie analityczne:
:<math>\hat{\mathbf{s}} = \mathbf{A}^T\left(\mathbf{A}\mathbf{A}^T + \lambda\mathbf{I}\right)^{-1}\mathbf{x}</math>

Macierz <math>\mathbf{W}_{\mathrm{MNE}} = \mathbf{A}^T(\mathbf{A}\mathbf{A}^T + \lambda\mathbf{I})^{-1}</math>
jest liniowym filtrem przestrzennym — analogiem macierzy <math>\mathbf{W}</math> z CSP,
lecz skonstruowanym na podstawie modelu do przodu, nie z danych.

===Warianty===

;dSPM (''dynamic Statistical Parametric Mapping'', Dale 2000):
Normalizuje estymowaną aktywność przez odchylenie standardowe szumu:
:<math>F_{\mathrm{dSPM}}(\mathbf{r}, t) = \frac{\hat{s}(\mathbf{r},t)}{\sigma_{\mathrm{noise}}(\mathbf{r})}</math>
Wynik ma interpretację statystyczną (wartość F lub Z); popularne w neurobiologii poznawczej.

;sLORETA (''standardized LORETA'', Pascual-Marqui 2002):
Normalizuje przez odchylenie standardowe samego estymatora MNE (nie tylko szumu):
:<math>F_{\mathrm{sLORETA}}(\mathbf{r}, t) = \frac{\hat{s}(\mathbf{r},t)}{\sqrt{\left[\mathbf{W}_{\mathrm{MNE}}\mathbf{A}\right]_{(\mathbf{r},\mathbf{r})}}}</math>
Wykazuje zerowe systematyczne błędy lokalizacji w warunkach idealnych.

;Wybór <math>\lambda</math>:
Zwykle <math>\lambda = \alpha \cdot \mathrm{tr}(\mathbf{A}\mathbf{A}^T) / \mathrm{tr}(\mathbf{I})</math>
z <math>\alpha \in [0.05, 0.3]</math>; w MNE-Python domyślnie <math>\alpha = 0.1</math>.
Można też stosować kryterium L-krzywej lub walidację krzyżową.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* gdy aktywacja jest rozproszona lub nieznana a priori
* jako ogólne narzędzie wizualizacji ERP na powierzchni kory
* przy małej liczbie elektrod

;Ograniczenia:
* tendencja do rozmywania rozwiązania — źródła głębokie są systematycznie niedoszacowane
* brak zakładanej rzadkości (''sparsity''); wariant L1 (MCE) jest rzadszy, ale trudniejszy obliczeniowo
* wymaga dobrego modelu do przodu

==Beamformery==

===Idea===
Beamformer (dosł. „formowanie wiązki") to adaptacyjny filtr przestrzenny,
który dla każdej lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>
konstruuje wagi <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math> maksymalizujące
stosunek mocy sygnału z tej lokalizacji do mocy wszystkich pozostałych źródeł.
W odróżnieniu od MNE, beamformer korzysta z macierzy kowariancji danych —
jest więc metodą adaptacyjną, zbliżoną duchem do CSP.

===LCMV (''Linearly Constrained Minimum Variance'', Van Veen 1997)===

Szukamy filtra minimalizującego wariancję wyjścia
przy ograniczeniu zachowującym sygnał z lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>:
:<math>\mathbf{w}^*(\mathbf{r}) = \arg\min_{\mathbf{w}} \mathbf{w}^T\mathbf{C}\mathbf{w}
\quad \text{p.o.} \quad \mathbf{w}^T\mathbf{a}(\mathbf{r}) = 1</math>
gdzie <math>\mathbf{C} = E[\mathbf{x}\mathbf{x}^T]</math> to macierz kowariancji danych.

Rozwiązanie analityczne (mnożnik Lagrange'a):
:<math>\mathbf{w}(\mathbf{r}) = \frac{\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}{\mathbf{a}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}</math>

Moc w lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>:
:<math>P(\mathbf{r}) = \mathbf{w}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}\,\mathbf{w}(\mathbf{r})
= \frac{1}{\mathbf{a}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}</math>

===DICS (''Dynamic Imaging of Coherent Sources'', Gross 2001)===

Wariant beamformera dla analizy częstotliwościowej:
zamiast macierzy kowariancji czasowej stosuje
''cross-spectral density matrix'' <math>\mathbf{C}(f)</math>
obliczoną dla wybranego pasma częstości.
Pozwala mapować koherencję między lokalizacjami na powierzchni kory.

===Analogia z CSP===

Zauważmy analogię strukturalną:

{| class="wikitable"
|-
! !! CSP !! LCMV Beamformer
|-
| '''Macierz kowariancji''' || <math>\mathbf{R}_T, \mathbf{R}_{NT}</math> (dwa warunki) || <math>\mathbf{C}</math> (jeden warunek) + <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
|-
| '''Filtr''' || <math>\mathbf{w}</math>: maks. stosunek wariancji || <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math>: min. wariancja przy ograniczeniu
|-
| '''Przestrzeń''' || elektrod || przestrzeni mózgu (woksel po wokselu)
|-
| '''Model do przodu''' || nie || tak — przez <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
|}

Kluczowa różnica: CSP optymalizuje globalnie jednym zagadnieniem własnym,
beamformer rozwiązuje osobny problem dla każdej lokalizacji.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* analiza ERD/ERS (rytmy ruchowe, alfa, beta) w przestrzeni mózgu
* lokalizacja źródeł oscylacyjnych w MEG
* DICS do badania koherencji korowo-korowej

;Ograniczenia:
* silnie skorelowane źródła są tłumione (''source cancellation'') — beamformer zakłada, że źródła są nieskorelowane
* wymaga dużej liczby próbek do stabilnej estymacji <math>\mathbf{C}^{-1}</math>
* przy małej liczbie elektrod macierz <math>\mathbf{C}</math> może być źle uwarunkowana

;Podsumowanie:
[[Plik:Inverse problem vs bss.png|mały|centruj]]

==Podsumowanie: kiedy stosować którą metodę==

{| class="wikitable"
|-
! Metoda !! Założenie a priori !! Dane wejściowe !! Typowe zastosowanie
|-
| '''Dipole fitting''' || 1–3 punktowe źródła || ERP, AEP, SEP || lokalizacja wczesnych składowych wywołanych
|-
| '''MNE / dSPM / sLORETA''' || minimalna energia; źródła ciągłe || ERP, dowolny sygnał || wizualizacja rozproszonej aktywności na korze
|-
| '''LCMV Beamformer''' || źródła nieskorelowane || ERD/ERS, dane resting-state || lokalizacja źródeł oscylacyjnych w MEG/EEG
|-
| '''DICS''' || j.w. + analiza spektralna || dane oscylacyjne || mapa koherencji korowo-korowej
|-
| '''CSP / ICA''' || brak modelu geometrycznego || dwa warunki / jeden segment || klasyfikacja BCI, usuwanie artefaktów
|}

;Uwaga praktyczna:
Wszystkie metody problemu odwrotnego wymagają przygotowania modelu do przodu.
Zaleca się korzystanie z MNE-Python lub FieldTrip — oba pakiety
oferują spójne pipeline'y od surowych danych do map korowych
i są szeroko stosowane w literaturze, co ułatwia replikację wyników.

=Sesja 7: Problem odwrotny — część praktyczna=

;Czas: ~30 min wprowadzenie + ~120 min ćwiczenie

Część praktyczna prowadzi przez pełny pipeline lokalizacji źródeł:
od wczytania danych w FieldTrip, przez zbudowanie modelu do przodu,
do fitowania dipola i interpretacji wyniku.
Sesja jest zaprojektowana tak, aby każdy krok bezpośrednio ilustrował
jeden element teorii omówionej w [[#Sesja 7: Problem odwrotny w EEG i MEG|części wykładowej]].

;Dane:
Używamy standardowego zestawu danych FieldTrip
(dane somatosensoryczne MEG/EEG, bodziec elektryczny na nadgarstku — składowa N20):
* https://download.fieldtriptoolbox.org/tutorial/Subject01.zip (~800 MB)

Ten sam zestaw danych jest używany we wszystkich tutorialach FieldTrip
wymienionych w tej sesji, co ułatwia porównywanie wyników między krokami.

;Instalacja FieldTrip: Wymagania wstępne:
FieldTrip wymaga MATLABa. Przed instalacją sprawdź kompatybilność swojej wersji:
[https://www.fieldtriptoolbox.org/faq/matlab/requirements MATLAB requirements]

;Pobranie toolboxa: Pobierz najnowszą wersję ze strony:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/download.php Pobierz FieldTrip]

Rozpakuj archiwum ZIP w wybranym katalogu, np. <code>~/matlab/fieldtrip</code> (Linux/macOS).

;Ważne: nie zmieniaj wewnętrznej struktury katalogów po rozpakowaniu —
FieldTrip dynamicznie zarządza swoimi podkatalogami.

;Konfiguracja ścieżki MATLAB: Pełna instrukcja: [https://www.fieldtriptoolbox.org/faq/matlab/installation Installation and setting up the path]

Uruchom poniższe polecenia na początku każdej sesji pracy z FieldTrip
(lub wstaw je do pliku <code>startup.m</code> — patrz niżej):

<source lang="matlab">
restoredefaultpath % wyczyść aktualną ścieżkę
addpath('~/fieldtrip') % podaj tu swoją ścieżkę do FieldTrip
ft_defaults % skonfiguruj FieldTrip i minimalne podkatalogi
</source>

;Uwaga — częsty błąd:
Nie używaj <code>addpath(genpath(...))</code> ani przycisku „Add with Subfolders" w MATLAB GUI.
FieldTrip samodzielnie dodaje potrzebne podkatalogi przez <code>ft_defaults</code>
i <code>ft_hastoolbox</code> — dodanie wszystkiego ręcznie powoduje konflikty
z funkcjami SPM, EEGLAB i wbudowanymi funkcjami MATLABa
(w szczególności z funkcjami z katalogu <code>fieldtrip/compat</code>
przeznaczonymi tylko dla starych wersji MATLABa).

;Trwała konfiguracja przez startup.m:

Żeby nie powtarzać powyższych poleceń przy każdym uruchomieniu MATLABa,
utwórz plik <code>startup.m</code> w swoim katalogu MATLABa
(zwykle <code>Dokumenty/MATLAB/startup.m</code>) z zawartością:

<source lang="matlab">
restoredefaultpath
addpath('C:\fieldtrip') % zmień na swoją ścieżkę
ft_defaults
</source>

MATLAB wykonuje ten plik automatycznie przy każdym uruchomieniu.

;Uwaga dla użytkowników EEGLAB: Jeśli korzystasz z EEGLAB i FieldTrip w tej samej sesji,
zawsze ładuj FieldTrip przez <code>restoredefaultpath</code> + <code>addpath</code> + <code>ft_defaults</code>,
a nie przez interfejs EEGLAB. Oba toolboxy zawierają funkcje o tych samych nazwach
(np. <code>eegplot</code>, <code>topoplot</code>) — kolejność na ścieżce decyduje,
która wersja zostanie wywołana.

;Weryfikacja instalacji: Sprawdź poprawność instalacji jednym poleceniem:

<source lang="matlab">
ft_defaults
ft_version
</source>

Powinieneś zobaczyć numer wersji i datę kompilacji, np.:
<pre>
FieldTrip version 20250901, path: C:\fieldtrip
</pre>

Jeśli MATLAB zgłasza błąd <code>Undefined function 'ft_defaults'</code>,
ścieżka nie została ustawiona poprawnie — wróć do kroku z <code>addpath</code>.

==Krok 0: Wejście do FieldTrip==

Przed właściwym ćwiczeniem proszę zapoznać się z tutorialem wprowadzającym:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/intro/introduction/ Introduction to the FieldTrip toolbox]

;Na co zwrócić uwagę przechodząc ten tutorial:

Studenci znający EEGLAB natkną się na dwie zasadnicze różnice w filozofii pracy:

* '''Struktura cfg''' zamiast GUI. Każda funkcja FieldTrip przyjmuje strukturę konfiguracyjną <code>cfg</code> i zwraca nową strukturę danych. Nie ma okien dialogowych — cała analiza jest skryptem. Jest to bliższe temu, co robiliśmy w MATLAB-owych sesjach CSP/ICA.

* '''Niezmienność danych'''. FieldTrip nie modyfikuje struktur w miejscu — każde wywołanie funkcji zwraca nową strukturę. Pozwala to łatwo porównywać wyniki różnych parametrów, ale wymaga dbałości o nazewnictwo zmiennych.

;Pytanie do dyskusji po lekturze:
Jak odpowiadają sobie nawzajem: <code>EEG.data</code> w EEGLAB i struktura <code>data</code> w FieldTrip?
Gdzie w strukturach FieldTrip przechowywane są informacje o lokalizacji elektrod?

==Krok 1: Model do przodu — BEM dla EEG==

Przed fitowaniem dipola musimy obliczyć macierz pola wiodącego <math>\mathbf{A}</math>.
Proszę przejść tutorial:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/headmodel_eeg_bem Construct a BEM headmodel for EEG source analysis]

;Cel tego kroku:
Zrozumieć skąd pochodzi kolumna <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
używana we wszystkich metodach Sesji 7.
Każda kolumna <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math> mówi: „jeśli w miejscu <math>\mathbf{r}</math>
znajdowałby się dipol o jednostkowym momencie,
to jakie potencjały zmierzylibyśmy na każdej z elektrod?"

;Kluczowe funkcje FieldTrip w tym kroku:
<source lang="matlab">
% Segmentacja MRI na trzy tkanki (skóra, czaszka, mózg)
cfg = [];
cfg.output = {'brain','skull','scalp'};
segmentedmri = ft_volumesegment(cfg, mri);

% Budowanie siatki trójkątów BEM
cfg = [];
cfg.tissue = {'brain','skull','scalp'};
cfg.numvertices = [3000 2000 1000];
bnd = ft_prepare_mesh(cfg, segmentedmri);

% Obliczenie modelu do przodu metodą BEM (OpenMEEG)
cfg = [];
cfg.method = 'openmeeg';
cfg.conductivity = [0.33 0.0041 0.33]; % mózg, czaszka, skóra [S/m]
headmodel = ft_prepare_headmodel(cfg, bnd);
</source>

;Na co zwrócić uwagę:
* Stosunek przewodności czaszka/mózg wynosi tu ~1/80.
Jak myślisz, jak bardzo błąd w tym parametrze wpłynie na lokalizację źródeł?
* Funkcja <code>ft_prepare_mesh</code> tworzy trzy zagnieżdżone siatki.
Jak ma się to do opisu BEM z wykładu?

==Krok 2: Fitowanie dipola (ćwiczenie główne)==

;Czas: ~90 min

To jest główne ćwiczenie praktyczne Sesji 7.
Proszę przejść tutorial:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/dipolefitting Dipole fitting of combined MEG/EEG data]

Poniżej znajdziesz szkielet kodu z pytaniami pomocniczymi
do samodzielnego wypełnienia — zacznij od tutorialu,
a potem wróć do szkieletu i uzupełnij brakujące fragmenty.

===Szkielet kodu — fitowanie dipola dla składowej N20===

<source lang="matlab">
%% KROK A: Wczytanie i preprocessing danych EEG
% Dane: Subject01.zip (patrz wyżej)
% Używamy tylko kanałów EEG, odrzucamy MEG.

cfg = [];
cfg.dataset = 'Subject01.ds';
cfg.trialdef.eventtype = 'backpanel trigger';
cfg.trialdef.eventvalue = 3; % bodziec na lewym nadgarstku
cfg.trialdef.prestim = 0.1;
cfg.trialdef.poststim = 0.3;
cfg = ft_definetrial(cfg);

cfg.channel = 'EEG';
cfg.continuous = 'yes';
cfg.demean = 'yes';
cfg.baselinewindow = [-0.1 0];
data = ft_preprocessing(cfg);

%% KROK B: Uśrednianie — potencjał wywołany
% TUTAJ: użyj ft_timelockanalysis aby obliczyć ERP (średnią po powtórzeniach)
% Wynik zapisz jako 'timelock'

% TUTAJ

%% KROK C: Wczytanie modelu do przodu i lokalizacji elektrod
% Zakładamy, że headmodel i elec zostały obliczone w Kroku 1.
% Jeśli nie — można użyć gotowego modelu z paczki danych Subject01.

load('standard_bem.mat'); % headmodel
load('Subject01_elec.mat'); % lokalizacje elektrod (po dopasowaniu do MRI)

%% KROK D: Przygotowanie siatki poszukiwań (grid)
% Definiujemy siatkę regularną 1 cm wewnątrz mózgu.
% ft_prepare_sourcemodel oblicza też macierz pola wiodącego A
% (tzw. leadfield) dla każdego punktu siatki.

cfg = [];
cfg.headmodel = headmodel;
cfg.elec = elec;
cfg.resolution = 1; % odstęp siatki w cm
cfg.unit = 'cm';
sourcemodel = ft_prepare_sourcemodel(cfg);

%% KROK E: Fitowanie dipola
% Szukamy jednego dipola najlepiej wyjaśniającego topografię N20.
% Okno czasowe 0.016–0.022 s odpowiada składowej N20.

cfg = [];
cfg.latency = [0.016 0.022]; % okno N20 w sekundach
cfg.numdipoles = 1;
cfg.headmodel = headmodel;
cfg.elec = elec;
cfg.sourcemodel = sourcemodel;
cfg.nonlinear = 'yes'; % optymalizacja nieliniowa po przestrzeni

% TUTAJ: source = ft_dipolefitting(cfg, timelock);

%% KROK F: Wizualizacja wyniku
% Nałożenie lokalizacji dipola na MRI anatomiczne.

load('standard_mri.mat'); % MRI w tym samym układzie współrzędnych

cfg = [];
cfg.location = source.dip.pos; % współrzędne znalezionego dipola [x y z]

% TUTAJ: ft_sourceplot(cfg, mri);

%% KROK G: Ocena dopasowania
% Goodness of fit (GoF) mówi jaka część wariancji danych
% jest wyjaśniona przez znaleziony dipol.
% Wartość > 0.85 uznaje się za dobre dopasowanie.

fprintf('Goodness of fit: %.1f%%\n', source.dip.rv * 100);
% Uwaga: w FieldTrip rv to residual variance (1 - GoF).
% Dobry dipol ma rv < 0.15.

disp('Lokalizacja dipola [x y z] w mm:')
disp(source.dip.pos)

disp('Moment dipolowy [qx qy qz]:')
disp(source.dip.mom)
</source>

===Zadania do samodzielnej realizacji===

;Zadanie 1 (obowiązkowe): Pipeline i lokalizacja
Uzupełnij brakujące fragmenty szkieletu (kroki B i E–F).
Gdzie na MRI ląduje znaleziony dipol? Czy odpowiada to oczekiwanej anatomii
składowej N20 (pierwotna kora somatosensoryczna S1, okolica bruzdy centralnej)?

;Zadanie 2 (obowiązkowe): Wpływ okna czasowego
Zmień <code>cfg.latency</code> kolejno na:
* <code>[0.016 0.022]</code> — okno N20
* <code>[0.025 0.035]</code> — okno P25
* <code>[0.045 0.060]</code> — okno N45
Czy lokalizacja dipola zmienia się między tymi składowymi?
Jak zmienia się GoF? Co to mówi o tym, która składowa jest lepiej opisana modelem jednego dipola?

;Zadanie 3 (obowiązkowe): Dwa dipole
Zmień <code>cfg.numdipoles = 2</code> i powtórz fitowanie dla okna N20.
Czy model dwóch dipoli daje istotnie lepszy GoF niż jeden?
Jak interpretujesz dwa znalezione źródła?

;Zadanie 4 (dla chętnych): Wrażliwość na model do przodu
FieldTrip pozwala użyć uproszczonego modelu sferycznego
zamiast BEM: ustaw <code>cfg.headmodel</code> na model jednorodnej sfery
(<code>cfg.method = 'singlesphere'</code> w <code>ft_prepare_headmodel</code>).
O ile zmienia się lokalizacja dipola N20?
Czy GoF wzrasta czy maleje?

;Pytania do dyskusji:
* Fitowanie dipola wymaga podania okna czasowego — dlaczego?
Co stałoby się gdybyśmy dopasowywali dipol do całej epoki (−100 do +300 ms)?
* Algorytm minimalizacji może utknąć w minimum lokalnym.
Jak <code>cfg.sourcemodel</code> (siatka) pomaga temu zaradzić?
Jaki jest kompromis między rozdzielczością siatki a czasem obliczeń?
* Porównaj mapę topograficzną ERP w oknie N20
z mapą rekonstruowaną z dopasowanego dipola (wywołaj <code>ft_dipolefitting</code>
z opcją <code>cfg.dipfit.display = 'yes'</code>).
Czy widzisz różnicę? Skąd ona pochodzi?

==Krok 3: Dalsze metody — dla zainteresowanych==

Poniższe tutoriale stanowią naturalne rozwinięcie ćwiczenia głównego
i ilustrują pozostałe metody omówione w teorii Sesji 7.
Nie są wymagane na zaliczenie, ale gorąco je polecamy
jeśli planujesz używać lokalizacji źródeł w pracy badawczej.

;Minimum Norm Estimation:
[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/minimumnormestimate Source reconstruction of event-related fields using minimum-norm estimation]

Ten sam sygnał N20 co w ćwiczeniu głównym, ale zamiast jednego dipola
otrzymujesz ciągłą mapę aktywności na całej powierzchni kory.
Zwróć uwagę jak wybór parametru regularyzacji <math>\lambda</math>
wpływa na rozmycie rozwiązania.
Porównaj lokalizację maksimum mapy MNE z lokalizacją dipola z Kroku 2.

;Beamformer (LCMV/DICS):
[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/beamformer Localizing oscillatory sources in MEG data using a beamformer]

Tutorial wykorzystuje ten sam zestaw danych Subject01
i lokalizuje źródła oscylacji gamma wywołanych bodźcem —
bezpośrednie rozwinięcie analizy ERD/ERS, którą już znasz.
Kluczowa różnica w stosunku do MNE: beamformer korzysta
z macierzy kowariancji danych <math>\mathbf{C}</math>,
a nie tylko z modelu do przodu. Sprawdź jak wyglądają
filtry przestrzenne <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math> dla różnych lokalizacji
i porównaj je koncepcyjnie z filtrami CSP z Sesji 1–3.











-->

Laboratorium EEG/CSP

2026-05-14T11:15:27Z

Jarekz: /* Przybliżenie kwazistatyczne */

[[Laboratorium_EEG]]/BSS

=Sesja 1: Ślepa separacja źródeł i CSP — wprowadzenie=

;Czas: ~60 min wykład + ~90 min ćwiczenie symulacyjne

Zajęcia wprowadzają do problemu filtracji przestrzennej sygnałów EEG.
Punktem wyjścia jest ogólny problem ślepej separacji źródeł (BSS),
z którego CSP wyłania się jako szczególny przypadek dla dwóch warunków
eksperymentalnych. Filtry przestrzenne omawiane na tych zajęciach stanowią
fundament klasycznych metod BCI (P300, SSVEP, motor imagery) oraz są
bezpośrednim odpowiednikiem warstw przestrzennych w sieciach neuronowych
takich jak ShallowConvNet i EEGNet — do tej analogii wrócimy w sesji 6.

[https://drive.google.com/file/d/1WrXgWWDJ7g5ZdYltm_8s2NXbGamw4R8N/view?usp=sharing Slajdy do wykładu (PDF)]

;Zakres wykładu:
* model generatywny EEG: <math>x(t) = As(t)</math>, macierz kowariancji, idea diagonalizacji
* BSS jako ogólny problem separacji źródeł
* CSP jako szczególny przypadek: dwa warunki eksperymentalne, iloraz Rayleigha, uogólnione zagadnienie własne
* interpretacja filtrów i topografii źródeł

;Ćwiczenie symulacyjne:
Zob. [[#Ćwiczenie symulacyjne|Ćwiczenie symulacyjne]] w sekcji CSP poniżej.

====Ćwiczenie symulacyjne ====
====Zadania do samodzielnej realizacji====

Poniższy kod dostarcza gotowej infrastruktury: generacji sygnałów, macierzy mieszającej i wizualizacji.
Zadaniem jest samodzielna implementacja kluczowych kroków analizy CSP.

;Zadanie 1 (obowiązkowe): Obliczenie macierzy kowariancji
Napisz funkcję <code>srednia_kowariancja(X, ind)</code>, która dla danej tablicy sygnałów <code>X</code>
(wymiary: powtórzenia × kanały × próbki) i wektora indeksów czasowych <code>ind</code>
zwraca średnią macierz kowariancji uśrednioną po powtórzeniach.
Dla każdego powtórzenia zastosuj funkcję <code>cov</code> i znormalizuj wynik przez jego ślad (<code>trace</code>).
Sprawdź wynik porównując z macierzami <code>R_B</code> i <code>R_E</code> obliczonymi w dostarczonym kodzie.

;Zadanie 2 (obowiązkowe): Implementacja CSP
Korzystając z funkcji <code>eig</code> oraz macierzy kowariancji obliczonych w zadaniu 1,
wyznacz macierz filtrów przestrzennych <code>W</code> i odpowiadające im wartości własne.
Odtwórz sygnały źródłowe dla wszystkich powtórzeń.
Narysuj chmury punktów (amplituda źródła 1 vs amplituda źródła 2) osobno dla warunków
baseline i ERP — przed transformacją CSP i po niej. Co zmieniło się w kształcie chmur?

Wykreśl także wizualizację przebiegów czasowych sygnałów X i sygnałów S uzyskanych po rozmieszaniu.

;Zadanie 3 (obowiązkowe): Interpretacja wartości własnych
Wartości własne znajdują się na przekątnej macierzy <code>Lambda</code>.
Który filtr najbardziej różnicuje warunki baseline i ERP?
Jaki jest związek między wartością własną a separacją widoczną na wykresach punktowych?

;Zadanie 4 (dla chętnych): Wpływ macierzy mieszającej
W dostarczonym kodzie macierz <code>P</code> (filtr przestrzenny) wynosi:
<pre>
P = [1 2; 1.5 1.3]
</pre>
Zmień ją kolejno na macierz bliską jednostkowej (np. <code>P = [1 0.1; 0.1 1]</code>)
oraz na macierz z dużymi elementami pozadiagonalnymi (np. <code>P = [1 5; 4 1]</code>).
Jak zmienia się kształt chmury punktów przed transformacją CSP?
Czy CSP poprawnie oddziela źródła w obu przypadkach?

;Zadanie 5 (dla chętnych): Wpływ szumu
W kodzie szum jest wyłączony: <code>n = 0*randn(size(tmp))</code>.
Usuń mnożnik <code>0*</code> i zbadaj jak poziom szumu wpływa na separację źródeł.
Przy jakim stosunku sygnału do szumu CSP przestaje skutecznie rozdzielać warunki?

;Pytanie do dyskusji:
Dostarczony kod używa <code>eig(R_E, R_B)</code>.
Alternatywą jest <code>eig(R_E, (R_E+R_B)/2)</code>.
Czym różnią się te dwie wersje? W jakich sytuacjach eksperymentalnych
druga wersja mogłaby być bardziej uzasadniona?

====Szkielet kodu do uzupełnienia====

Poniższy szkielet zawiera gotową infrastrukturę symulacji.
Uzupełnij brakujące fragmenty oznaczone komentarzem <code>% TUTAJ</code>
zgodnie z zadaniami 1–3. Pełny kod referencyjny dostępny jest poniżej
— zajrzyj do niego dopiero po samodzielnej próbie.

<source lang="matlab">
%% Parametry symulacji — nie modyfikuj tej sekcji
Fs = 100;
T = 1;
t = 0:1/Fs:T-1/Fs;
N_rep = 100;
N_chan = 2;
s = zeros(N_rep, N_chan, length(t));
X = zeros(N_rep, N_chan, length(t));

P = [1 2; 1.5 1.3]; % filtr przestrzenny (prawdziwy)
A = P^(-1); % topografia źródeł

for r = 1:N_rep
s1 = sin(2*pi*11*t + pi/2) + 0.02*randn(size(t));
s2 = exp(-((t-0.8)/0.05).^2) + 0.01*randn(size(t));
s(r,1,:) = s1;
s(r,2,:) = s2;
tmp = squeeze(s(r,:,:));
n = 0*randn(size(tmp)); % Zadanie 5: zmień 0* na 1* aby włączyć szum
X(r,:,:) = A*tmp + n;
end

baseline_ind = find(t < 0.5);
ERP_ind = find(t >= 0.5);

R_B = zeros(N_chan, N_chan);
R_E = zeros(N_chan, N_chan);

%% Zadanie 1: Oblicz średnie macierze kowariancji
% korzystając z funkcji srednia_kowariancja(X, ind)

% Dla każdego powtórzenia r:
% - wytnij fragment sygnału X(r,:,baseline_ind) i analogicznie ERP
% - oblicz macierz kowariancji funkcją cov() — pamiętaj o transpozycji
% - znormalizuj przez ślad (funkcja trace())
% - dodaj do sumy
% Na końcu podziel przez N_rep

%% Zadanie 2: Rozwiąż uogólnione zagadnienie własne
% Użyj funkcji eig(A,B) gdzie A=R_E, B=R_B
% W wyniku otrzymasz macierz wektorów własnych W (w kolumnach)
% i macierz Lambda z wartościami własnymi na przekątnej

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

disp('Wartości własne (przekątna Lambda):')
disp(diag(Lambda))

%% Zadanie 2 cd.: Odtwórz sygnały źródłowe
% Dla każdego powtórzenia r zastosuj filtr: S(r,:,:) = W' * X(r,:,:)

S = zeros(N_rep, N_chan, length(t));

for r = 1:N_rep
% TUTAJ: S(r,:,:) = ...
end

%% Zadanie 3: Wizualizacja — chmury punktów przed i po CSP
x_base_k1 = X(:,1,baseline_ind);
x_base_k2 = X(:,2,baseline_ind);
x_ERP_k1 = X(:,1,ERP_ind);
x_ERP_k2 = X(:,2,ERP_ind);

s_base_k1 = squeeze(S(:,1,baseline_ind));
s_base_k2 = squeeze(S(:,2,baseline_ind));
s_ERP_k1 = squeeze(S(:,1,ERP_ind));
s_ERP_k2 = squeeze(S(:,2,ERP_ind));

figure(1); clf
subplot(1,2,1)
plot(x_base_k1(:), x_base_k2(:), 'b.'); hold on
plot(x_ERP_k1(:), x_ERP_k2(:), 'r.');
axis equal; xlim([-2 2]); ylim([-2 2])
xlabel('Kanał 1'); ylabel('Kanał 2')
title('Przed CSP')
legend('baseline','ERP')

subplot(1,2,2)
plot(s_base_k1(:), s_base_k2(:), 'b.'); hold on
plot(s_ERP_k1(:), s_ERP_k2(:), 'r.');
axis equal
xlabel('Źródło 1'); ylabel('Źródło 2')
title('Po CSP')
legend('baseline','ERP')
%% Wizualizacja przebiegów czasowych X i S
% TUTAJ:

%% Zadanie 4 (dla chętnych): zmień macierz P powyżej i powtórz analizę
%% Zadanie 5 (dla chętnych): włącz szum (zmień 0* na 1* w linii z n=...)
</source>

{{hidden begin|title=Rozwiązanie — pokaż dopiero po samodzielnej próbie}}
<source lang = matlab>
% symulowany eksperyment składa się z sinusoidy udającej alfę spoczynkową i
% funkcji Gaussa udającego potencjał wywołany
% źródła te są symulowane niezależnie a potem mieszane przez macierz A
% symulujemy źródła
% s1 - symuluje alfę
% s2 - symuluje "potencjał wywołany" (ERP)

%ustawiamy parametry do symulacji sygnałów
Fs = 100;
T = 1;
t = 0:1/Fs:T-1/Fs;
N_rep = 100;
N_chan = 2;
s = zeros(N_rep,N_chan, length(t));
X = zeros(N_rep,N_chan, length(t));

% filtr przestrzenny - z takimi wagami trzeba wziąść kanały EEG aby odzyskać sygnały źródłowe
P = [1 2
1.5 1.3];

% topografie - z takimi wagami źródła dokładają się do poszczególnych elektrod
A = P^(-1);

for r =1:N_rep % tworzymy kolejne realizacje "eksperymentu"
s1 = sin(2*pi*11*t +pi/2+ 0*2*pi*rand())+ 0.02*randn(size(t)); % źródło alfa
s2 = exp(-((t-0.8)/0.05).^2)+ 0.01*randn(size(t)); % źródło ERP

s(r,1,:) = s1;
s(r,2,:) = s2;
tmp = squeeze(s(r,:,:));
n = 0*randn(size(tmp));
X(r,:,:) = A*tmp +n; % rzutujemy sygnały źródłowe na elektrody s -> x

end

% wycinamy warunki
% baseline_ind to indeksy pierwszej połowy każdego powtórzenia "baseline"
% ERP_ind to indeksy drugiej połowy każdego powtórzenia zawierająca "ERP"
baseline_ind = find(t<0.5);
ERP_ind = find(t>=0.5);

x_baseline_kan_1 = X(:,1,baseline_ind);
x_baseline_kan_2 = X(:,2,baseline_ind);

x_ERP_kan_1 = X(:,1,ERP_ind);
x_ERP_kan_2 = X(:,2,ERP_ind);

% liczymy średnie macierze kowariancji:
R_E = zeros(N_chan,N_chan);
R_B = zeros(N_chan,N_chan);
for r =1:N_rep
B = squeeze(X(r,:,baseline_ind));
tmp =cov(B');
R_B = R_B + tmp./trace(tmp);%B*B' ;

E = squeeze(X(r,:,ERP_ind));
tmp = cov(E');
R_E = R_E + tmp./trace(tmp);%E*E' ;
end

R_B = R_B/N_rep;
R_E = R_E/N_rep;

% rozwiązujemy uogólnione zagadnienie własne
[W,Lambda]=eig(R_E,R_B); % możliwa jest też optymalizacja wzg. średniej macierzy kowariancji (R_B+R_A)/2);

% odzyskujemy sygnały źródeł
for r =1:N_rep
S(r,:,:) = W'*squeeze(X(r,:,:));
end

% pobieramy wycinki odpowiadające obu częściom eksperymentu z estymowanych
% źródeł
s_baseline_estymowany_kan1 = squeeze( S(:,1,baseline_ind));
s_baseline_estymowany_kan2 = squeeze( S(:,2,baseline_ind));

s_ERP_estymowany_kan1 = squeeze(S(:,1,ERP_ind));
s_ERP_estymowany_kan2 = squeeze(S(:,2,ERP_ind));

%%%%%%%%%%%%%% Ilustracje %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ilustracja sygnałów mierzonych
figure(1);clf
subplot(2,2,1);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(X(:,1,baseline_ind)))','b'); hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze( X(:,1,ERP_ind)))','r'); hold off
xlabel('elektroda 1')
title('ilustracja sytuacji pomiarowej -\newline znane są potencjały na elektrodach w dwóch warunkach eksperymentalnych')
subplot(2,2,3);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(X(:,2,baseline_ind)))','b'); hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze( X(:,2,ERP_ind)))','r'); hold off
xlabel('elektroda 2')
subplot(1,2,2)
plot(x_baseline_kan_1(:),x_baseline_kan_2(:),'b.');
hold on
plot(x_ERP_kan_1(:),x_ERP_kan_2(:),'r.');
xlim([-2,2])
ylim([-2,2])
axis equal

% wektor własny odpowiadający największej wartości własnej jest
% kierunkiem najbardziej różnicującym warunki eksperymentalne
disp('wartości własne znajdują się na przekątnej macierzy Lambda')
disp(Lambda)
% rysujemy wersory jednostkowe w kierunkach wektorów własnych
w1 = W(:,1);
w1 = w1/norm(w1);
w2 = W(:,2);
w2 = w2/norm(w2);
line([0, w1(1) ],[0,w1(2)],'Color',[0,0.3,0])
text(w1(1),w1(2),'wektor własny 1')
line([0, w2(1) ],[0,w2(2)],'Color',[1,0,1])
text(w2(1),w2(2),'wektor własny 2')

xlabel('Amplituda na elektrodzie 1')
ylabel('Amplituda na elektrodzie 2')
legend('baseline','ERP')

% Ilustracja estymowanych źródeł
figure(2);clf
subplot(2,2,1);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(S(:,1,baseline_ind)))','b');hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze(S(:,1,ERP_ind)))','r');hold off
xlabel('estymowane zrodlo 1')
title('ilustracja estymacji -\newline estymowane są potencjały źródeł w dwóch warunkach eksperymentalnych')
subplot(2,2,3);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(S(:,2,baseline_ind)))','b');hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze(S(:,2,ERP_ind)))','r');hold off
xlabel('estymowane zrodlo 2');
subplot(1,2,2)
plot(s_baseline_estymowany_kan1(:),s_baseline_estymowany_kan2(:),'b.');
hold on
plot(s_ERP_estymowany_kan1(:),s_ERP_estymowany_kan2(:),'r.');

xlabel('Amplituda estym. źródła 1')
ylabel('Amplituda estym. źródła 2')
legend('baseline','ERP')
</source>
{{hidden end}}

=Sesja 2: CSP dla P300 — dane realne=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Pracujemy z danymi kalibracyjnymi z eksperymentu P300.
Celem sesji jest przejście pełnego pipeline'u: od surowych danych
do odtworzonych źródeł CSP.

;Zakres:
* wczytanie danych kalibracyjnych, identyfikacja znaczników T i NT
* cięcie epok (−200 do +800 ms), usuwanie trendu liniowego
* montaż względem średniej ze wszystkich elektrod
* wizualizacja ERP w układzie topograficznym
* obliczenie macierzy kowariancji RT i RNT, normalizacja przez ślad
* rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego: <code>[W, Lambda] = eig(R_T, R_NT)</code>
* odtworzenie sygnałów źródłowych: <code>S = W'*EEG</code>
* przegląd estymowanych źródeł w dwóch warunkach

;Materiały:
Dane: https://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/KalibracjaP300.tar.gz

===ZADANIE: Analiza CSP===

Przegląd badań o P300: https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2715154/

Link do Read menager [https://drive.google.com/file/d/1OgOduK5Zn7GgNl5XdCyLWXHJ7wTJIWcC/view?usp=share_link]

* Wykonać analizę CSP wzmacniającą potencjał P300.
* Zaprezentować średnią ze wszystkich kanałów źródłowych z warunku target (jeden kolor) i non-target (inny kolor) w subplotach ułożonych w prostokątnej siatce. Zaobserwować, dla którego kanału średnie różnią się najbardziej. Czy jest związek tego kanału z wartościami własnymi?

* Dla kanału najbardziej różnicującego wykonać mapki topograficzne wektorów odpowiadających:
** filtrowi przestrzennemu
** rzutu topograficznego źródła na elektrody.

===Szkielet kodu do analizy wstępnej===

<source lang="matlab">
%% KROK 1: Wczytanie danych
% ReadManager to pomocnicza klasa do odczytu plików w formacie OpenBCI.
% Przyjmuje trzy pliki: XML z metadanymi, RAW z próbkami i TAG ze znacznikami zdarzeń.
nazwaPliku = 'p_6301423_calibration_p300.obci';
nameOfXMLFile = strcat(nazwaPliku, '.xml');
nameOfTagFile = strcat(nazwaPliku, '.tag');
namesOfDataFiles = strcat(nazwaPliku, '.raw');

rm = ReadManager(nameOfXMLFile, namesOfDataFiles, nameOfTagFile);

% Pobieramy podstawowe parametry nagrania
numberOfChannels = rm.get_param('number_of_channels');
namesOfChannels = rm.get_param('channels_names');
samplingFrequency = rm.get_param('sampling_frequency');

% Pobieramy listę wszystkich znaczników zdarzeń z nagrania
tagsStruct = rm.get_tags();

%% KROK 2: Identyfikacja znaczników Target i Non-Target
% Każdy znacznik typu 'blink' odpowiada jednemu mignięciu w eksperymencie P300.
% Pole 'index' mówi który symbol mignął, pole 'target' który symbol był oczekiwany.
% Jeśli index == target to było to mignięcie docelowe (Target), w przeciwnym razie
% Non-Target.
targetTimeStamps = [];
NonTargetTimeStamps = [];

for structNumber = 1:length(tagsStruct)
if strcmp(tagsStruct(structNumber).name, 'blink')
index = tagsStruct(structNumber).children.index;
target = tagsStruct(structNumber).children.target;
if index == target
targetTimeStamps = [targetTimeStamps tagsStruct(structNumber).start_timestamp];
else
NonTargetTimeStamps = [NonTargetTimeStamps tagsStruct(structNumber).start_timestamp];
end
end
end

%% KROK 3: Wczytanie i filtrowanie sygnału
samples = double(rm.get_samples());
samples = samples(1:8,:); % odrzucamy kanały bez EEG
numberOfChannels = 8;

% Filtr dolnoprzepustowy Czebyszewa 2. rodzaju — odcięcie 25 Hz
[b, a] = cheby2(6, 80, 25/(samplingFrequency/2), 'low');
for ch = 1:numberOfChannels
samples(ch,:) = filtfilt(b, a, samples(ch,:));
end

%% KROK 4: Montaż względem średniej (common average reference)
% Odejmujemy od każdego kanału średnią ze wszystkich kanałów w danej chwili.
% Jest to prostsze i bardziej ogólne niż montaż względem połączonych uszu.
M = -ones(numberOfChannels, numberOfChannels) / numberOfChannels;
M = M + eye(numberOfChannels) * (numberOfChannels+1) / numberOfChannels;
samples = 0.0715 * M * samples;

%% KROK 5: Cięcie epok
PRE = -0.2;
POST = 0.8;
wycinek = floor(PRE*samplingFrequency : POST*samplingFrequency);

TargetSignal = zeros(length(targetTimeStamps), numberOfChannels, length(wycinek));
NonTargetSignal = zeros(length(NonTargetTimeStamps), numberOfChannels, length(wycinek));

for trialNumber = 1:length(targetTimeStamps)
trigerOnset = floor(targetTimeStamps(trialNumber) * samplingFrequency);
tenWycinek = wycinek + trigerOnset;
if tenWycinek(1) > 0 && tenWycinek(end) <= size(samples,2)
tmpSignal = samples(:, tenWycinek);
tmpSignal = detrend(tmpSignal')'; % usuwanie trendu liniowego
TargetSignal(trialNumber,:,:) = tmpSignal;
end
end

for trialNumber = 1:length(NonTargetTimeStamps)
trigerOnset = floor(NonTargetTimeStamps(trialNumber) * samplingFrequency);
tenWycinek = wycinek + trigerOnset;
if tenWycinek(1) > 0 && tenWycinek(end) <= size(samples,2)
tmpSignal = samples(:, tenWycinek);
tmpSignal = detrend(tmpSignal')';
NonTargetSignal(trialNumber,:,:) = tmpSignal;
end
end

% Oś czasu w milisekundach — przyda się do rysowania
times = (wycinek / samplingFrequency) * 1000;

%% KROK 6: Wizualizacja ERP w układzie topograficznym
% Oblicz potencjały wywołane (ERP) jako średnie po powtórzeniach
ERP_T = squeeze(mean(TargetSignal, 1)); % wymiary: kanały × czas
ERP_NT = squeeze(mean(NonTargetSignal, 1));

% TUTAJ: narysuj ERP_T i ERP_NT dla każdego kanału w subplotach
% ułożonych w siatce odpowiadającej przybliżonym pozycjom elektrod.
% Na każdym subplocie nałóż oba warunki różnymi kolorami.
% Oś X: czas w ms (użyj wektora times), oś Y: amplituda w µV.
% Zadbaj o legendę i tytuły z nazwami kanałów (namesOfChannels).

%% KROK 7: Obliczenie średnich macierzy kowariancji
% Dla każdego powtórzenia oblicz macierz kowariancji funkcją cov(),
% znormalizuj przez jej ślad (trace()), a następnie uśrednij po powtórzeniach.
% Pamiętaj: cov() oczekuje macierzy próbki × kanały, czyli potrzebujesz transpozycji.

R_T = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
R_NT = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for r = 1:length(targetTimeStamps)
% TUTAJ: wytnij r-te powtórzenie T, oblicz kowariancję, znormalizuj, dodaj do R_T
end

for r = 1:length(NonTargetTimeStamps)
% TUTAJ: wytnij r-te powtórzenie NT, oblicz kowariancję, znormalizuj, dodaj do R_NT
end

% TUTAJ: podziel R_T i R_NT przez odpowiednie liczby powtórzeń

%% KROK 8: Rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego
% Szukamy filtrów przestrzennych W maksymalizujących stosunek mocy
% w warunku T względem NT: eig(R_T, R_NT)
% W kolumnach W znajdują się filtry, na przekątnej Lambda — wartości własne.

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

disp('Wartości własne (przekątna Lambda):')
disp(diag(Lambda))

%% KROK 9: Odtworzenie sygnałów źródłowych
% Dla każdego powtórzenia zastosuj filtr przestrzenny:
% s(r,:,:) = W' * x(r,:,:)
% Pamiętaj o wymiarach — squeeze() może być pomocne.

S_T = zeros(size(TargetSignal));
S_NT = zeros(size(NonTargetSignal));

for r = 1:size(TargetSignal, 1)
% TUTAJ: S_T(r,:,:) = ...
end

for r = 1:size(NonTargetSignal, 1)
% TUTAJ: S_NT(r,:,:) = ...
end

%% KROK 10: Wizualizacja estymowanych źródeł
% Narysuj średnie przebiegi źródeł (ERP w przestrzeni CSP) dla obu warunków.
% Ułóż subploty w prostokątnej siatce — jeden subplot na każde źródło.
% Dla którego źródła różnica między T i NT jest największa?
% Czy odpowiada to źródłu z największą wartością własną?

ERP_S_T = squeeze(mean(S_T, 1));
ERP_S_NT = squeeze(mean(S_NT, 1));

% TUTAJ: narysuj ERP_S_T i ERP_S_NT w subplotach
</source>

=Sesja 3: CSP dla P300 — interpretacja i separacja cech=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Kontynuacja analizy CSP. Celem sesji jest interpretacja wyników
w kategoriach fizjologicznych oraz ocena separowalności klas
w przestrzeni cech opartej na mocy sygnału.

;Zakres:
* mapki topograficzne filtra przestrzennego i topografii źródła
* związek wartości własnych z siłą różnicowania warunków T i NT
* wykresy punktowe mocy: oś X — moc składowej z największą wartością własną, oś Y — moc kolejnej składowej; jeden punkt = jedno powtórzenie
* uśrednianie po 2, 4, 6, 8 i 10 realizacjach — obserwacja poprawy separacji wraz z liczbą uśrednień
* dyskusja: utożsamianie komponentów CSP z fizjologicznymi źródłami jest ryzykowne; komponenty maksymalizują kontrast między warunkami, niekoniecznie odpowiadają izolowanym generatorom

;Materiały:
Zob. [[#Szkielet kodu do analizy wstępnej|Szkielet kodu do analizy wstępnej]] i [[#Zadanie: Wybór i separacja cech|Zadanie: Wybór i separacja cech]] poniżej.

===Zadanie: Wybór i separacja cech===
* Przedstaw na rysunkach nałożone na siebie pojedyncze realizacje z warunków target i non-target po rzutowaniu na wektor <math>w</math> odpowiadający największej i kolejnej wartości własnej.
* Przedstaw wykresy punktowe takie, że na jednej osi jest moc sygnału (suma kwadratów wartości próbek w wybranym zakresie czasu) odpowiadającego największej wartości własnej, a na drugiej osi kolejnej (mniejszej) wartości własnej; jeden punkt reprezentuje jedno powtórzenie.
* Wykonaj serię wykresów jak w poprzednim punkcie dla uśrednień sygnałów kolejno po 2, 4, 6, 8 i 10 realizacjach:
** Liczymy potencjał wywołany dla danej liczby powtórzeń.
** Następnie podnosimy wartości próbek do kwadratu
** i sumujemy je w wybranym zakresie czasu.
* Zaobserwuj jak zmienia się separacja w grupach target i non-target.
{{hidden end}}
[https://robintibor.github.io/eeg-deep-learning-phd-thesis/DeepArchitectures.html Archirtektury sieci do BCI: ConvNet]

[https://www.researchgate.net/figure/The-architecture-of-EEGNet-F1-S1-model-F1-and-S1-represent-the-number-of-temporal_fig3_347073448 EEGNet]

=Sesja 4: Filtry przestrzenne dla SSEP — cosSinCSP=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Sesja wprowadza metodę cosSinCSP jako naturalne uogólnienie CSP
o wiedzę dziedzinową dotyczącą sygnału SSEP. W klasycznym CSP
dwa warunki eksperymentalne definiują dwie macierze kowariancji.
W cosSinCSP rolę jednej z macierzy przejmuje projekcja sygnału
na przestrzeń sinusów i cosinusów częstości stymulacji i jej harmonicznych.
Formalizm ilorazu Rayleigha i uogólnionego zagadnienia własnego
pozostaje identyczny.

Dane używane na tych zajęciach pochodzą z eksperymentu SSEP
z archiwum — bez sesji rejestracyjnej. Na wykresach widma
sygnału przed transformacją CSP dominuje artefakt sieciowy 50 Hz,
który praktycznie zasłania odpowiedź na stymulację. Zadaniem
jest sprawdzenie czy cosSinCSP potrafi ten sygnał wydobyć.

;Zakres:
* idea cosSinCSP: macierz S złożona z sinusów i cosinusów harmonicznych, projekcja sygnału na przestrzeń SSEP i resztę Y
* implementacja funkcji <code>cosSinCSP</code> w MATLAB
* analiza danych archiwalnych: widma Welcha dla kanałów oryginalnych i źródeł CSP — porównanie SNR przed i po transformacji
* prezentacja filtrów przestrzennych i topografii źródeł

;Materiały:
Zob. [[#Filtry przestrzenne dla SSEP|Filtry przestrzenne dla SSEP]] poniżej.

==Filtry przestrzenne dla SSEP==

===Teoria===

Ciekawa koncepcja filtra przestrzennego dla SSEP zaprezentowana jest tu: http://www.eurasip.org/Proceedings/Eusipco/Eusipco2009/contents/papers/1569193209.pdf

Pokrótce można ją rozumieć podobnie do tego co robiliśmy rozważając filtry przestrzenne CSP z tym, że dla SSEP oraz innych potencjałów wywołanych stanu ustalonego możemy skorzystać z dodatkowych informacji dotyczących poszukiwanych źródeł. Wiemy mianowicie, że powinny one oscylować z częstością bodźca i być może jej harmonicznych.

Przyda nam się macierz <math>S</math> zbudowana tak, że w kolejnych kolumnach znajdują się sinusy i cosinusy kolejnych częstości harmonicznych. Wektory te unormujemy, żeby miały energię równą 1. Innymi słowy macierz <math>S</math> zbudowana jest z wersorów rozpinających przestrzeń, w której powinien znajdować się sygnał SSEP.

W Matlabie możemy taką macierz zbudować tak:

<source lang="matlab">
% Fs - częstość próbkowania
% numberOfSamples - długość sygnału w próbkach
% numberOfHarmonics - liczba harmonicznych, które chcemy włączyć do analizy
t = (0:1:numberOfSamples - 1) / Fs;
S = zeros(numberOfSamples, 2*numberOfHarmonics);

for harmonicNumber = 1:numberOfHarmonics
c = cos(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
s = sin(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
S(:,(harmonicNumber - 1)*2 + 1) = c/norm(c);
S(:,(harmonicNumber - 1)*2 + 2) = s/norm(s);
end
</source>

Aby w badanym sygnale znaleźć składowe odpowiadające SSEP musimy rzutować sygnał <math>X</math> (macierz sygnałów ''kanały × próbki'') na przestrzeń rozpiętą przez <math>S</math>:
:<math>A = X S</math>
Macierz <math>A</math> zawiera współczynniki będące iloczynami skalarnymi sygnałów i wersorów — mówią one o tym jak dużo sinusa bądź cosinusa o danej częstości jest w pierwotnym sygnale. Komponenty SSEP zawarte w sygnale <math>X</math> odzyskujemy tak:
:<math>\mathrm{SSEP} = A S^T</math>

Modelujemy rejestrowany sygnał jako:
:<math>X = \mathrm{SSEP} + Y</math>
gdzie:
:<math>Y = X - \mathrm{SSEP}</math>
to wszystkie komponenty sygnału, które nas nie interesują.

Filtr przestrzenny, który chcemy zbudować powinien maksymalizować stosunek wariancji <math>\mathrm{SSEP}</math> do wariancji <math>Y</math>. Macierz kowariancji powinna być uśredniona po powtórzeniach, a kowariancja sygnału w każdym powtórzeniu powinna być znormalizowana przez jej ślad. Dalej stosujemy technikę znaną z CSP: maksymalizację ilorazu Rayleigha przez rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego dla macierzy kowariancji <math>\mathrm{SSEP}</math> i <math>Y</math>.

===Zadanie: implementacja funkcji cosSinCSP===

Dane do zadania: [[Plik:PrzykladoweDaneSSVEP.mat.gz]].
Pełny przykład z danymi z eksperymentu SSEP: [[Plik:SSVEP_demo_csp.tar.gz]]

Zaimplementuj funkcję <code>cosSinCSP</code> zgodnie z poniższym szkieletem.
Prawidłowo zaimplementowana funkcja wraz ze skryptem demonstracyjnym poniżej
powinna generować rysunek: [[Plik:Rys_SSVEP_demo.png|400px|podpis grafiki]]

<source lang="matlab">
function [W, Lambda] = cosSinCSP(signal, stimulationFrequency, numberOfHarmonics, Fs)
% cosSinCSP - filtr przestrzenny dla sygnałów SSEP
%
% Wejście:
% signal - dane EEG, wymiary: powtórzenia × kanały × próbki
% stimulationFrequency - częstość stymulacji w Hz
% numberOfHarmonics - liczba harmonicznych do uwzględnienia
% Fs - częstość próbkowania w Hz
%
% Wyjście:
% W - macierz filtrów przestrzennych (kanały × kanały), filtry w kolumnach
% Lambda - macierz diagonalna wartości własnych

[numberOfTrials, numberOfChannels, numberOfSamples] = size(signal);

%% KROK 1: Zbuduj macierz referencyjną S (sinusy i cosinusy harmonicznych)
% S ma wymiary: próbki × 2*numberOfHarmonics
% Każda kolumna to jeden wersor (unormowany sinus lub cosinus).
% Wróć do sekcji Teoria powyżej i przełóż tamten kod na tę funkcję.

% TUTAJ

%% KROK 2: Oblicz średnie macierze kowariancji C_SSEP i C_Y
% Dla każdego powtórzenia wytnij sygnał x (kanały × próbki),
% rozłóż go na składową SSEP i resztę Y zgodnie z równaniami z sekcji Teoria,
% oblicz macierze kowariancji obu składowych, znormalizuj przez ślad
% i uśrednij po powtórzeniach.

C_SSEP = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
C_Y = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for trial = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(trial, :, :)); % kanały × próbki

% TUTAJ: oblicz SSEP i Y

% TUTAJ: oblicz kowariancje, znormalizuj, dodaj do C_SSEP i C_Y
end

% TUTAJ: podziel C_SSEP i C_Y przez numberOfTrials

%% KROK 3: Rozwiąż uogólnione zagadnienie własne
% Znajdź filtry przestrzenne maksymalizujące stosunek mocy SSEP do mocy Y.
% Analogia z CSP: jakie macierze wstawiłeś do eig() tam?

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

end
</source>

;Wskazówka do interpretacji wyników:
Filtr związany z największą wartością własną daje komponent
o największym stosunku mocy SSEP do mocy tła.
Sprawdź na widmach Welcha czy odpowiada on składowej
z wyraźnym pikiem przy częstości stymulacji.

{{hidden begin|title=Rozwiązanie — pokaż dopiero po samodzielnej próbie}}
<source lang="matlab">
function [W, Lambda] = cosSinCSP(signal, stimulationFrequency, numberOfHarmonics, Fs)

[numberOfTrials, numberOfChannels, numberOfSamples] = size(signal);

%% KROK 1: Macierz referencyjna S
t = (0:1:numberOfSamples-1) / Fs;
S_ref = zeros(numberOfSamples, 2*numberOfHarmonics);

for harmonicNumber = 1:numberOfHarmonics
c = cos(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
s = sin(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
S_ref(:,(harmonicNumber-1)*2 + 1) = c/norm(c);
S_ref(:,(harmonicNumber-1)*2 + 2) = s/norm(s);
end

%% KROK 2: Średnie macierze kowariancji
C_SSEP = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
C_Y = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for trial = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(trial, :, :)); % kanały × próbki
A = x * S_ref; % projekcja na przestrzeń SSEP
SSEP = A * S_ref'; % rekonstrukcja składowej SSEP
Y = x - SSEP; % reszta

tmp = cov(SSEP');
C_SSEP = C_SSEP + tmp/trace(tmp);

tmp = cov(Y');
C_Y = C_Y + tmp/trace(tmp);
end

C_SSEP = C_SSEP / numberOfTrials;
C_Y = C_Y / numberOfTrials;

%% KROK 3: Uogólnione zagadnienie własne
[W, Lambda] = eig(C_SSEP, C_Y);

end
</source>
{{hidden end}}

===Skrypt demonstracyjny i analiza wyników===

<source lang="matlab">
% wczytujemy dane
load('PrzykladoweDaneSSVEP.mat');

[numberOfTrials numberOfChannels numberOfSamples] = size(X.data);
namesOfChannels = X.channels;

numberOfHarmonics = 3;
signal = X.data; % powtórzenie × kanał × próbki

[W, Lambda] = cosSinCSP(signal, X.stimulation, numberOfHarmonics, X.sampling);

%% Odtworzenie sygnałów źródłowych
S = zeros(size(signal));
for powt = 1:size(signal,1)
S(powt,:,:) = W' * squeeze(signal(powt,:,:));
end

%% Widma Welcha: kanały oryginalne vs źródła CSP
figure('Name', ['Stymulacja: ', num2str(X.stimulation), ' Hz'])
for i = 1:numberOfChannels
subplot(2, numberOfChannels, i)
PP = 0;
for rep = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(rep,i,:));
[Pxx, ff] = pwelch(x, X.sampling, 1, X.sampling, X.sampling);
PP = PP + Pxx;
end
plot(ff(ff<60), PP(ff<60))
title(namesOfChannels{i})

subplot(2, numberOfChannels, numberOfChannels+i)
PP = 0;
for rep = 1:numberOfTrials
s = squeeze(S(rep,i,:));
[Pss, ff] = pwelch(s, X.sampling, 1, X.sampling, X.sampling);
PP = PP + Pss;
end
plot(ff(ff<60), PP(ff<60))
title(['źródło CSP: ', num2str(i)])
xlabel(['\lambda = ', num2str(Lambda(i,i), '%.2f')])
end

%% KROK 4: Mapki topograficzne
% Zidentyfikuj komponent z największą wartością własną.
% Narysuj dwie mapki przy użyciu funkcji topoplot() z pakietu EEGLAB:
%
% (a) Filtr przestrzenny: wagi z jakimi kanały EEG składają się na ten komponent.
% Wskazówka: filtr to kolumna macierzy W.
%
% (b) Topografia źródła: z jakimi wagami komponent dociera do poszczególnych elektrod.
% Wskazówka: topografia zawarta jest w wierszach macierzy odwrotnej do W —
% przypomnij sobie analogiczny krok z analizy CSP dla P300.
%
% Czym różnią się te dwie mapki? Którą łatwiej interpretować fizjologicznie?

% TUTAJ: [~, idx] = max(diag(Lambda));
% TUTAJ: topoplot(...) % filtr
% TUTAJ: topoplot(...) % topografia
</source>

=Sesja 5: ICA jako filtr przestrzenny =

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Sesja wprowadza analizę składowych niezależnych (ICA) jako trzecie
podejście do problemu ślepej separacji źródeł — obok BSS/CSP
i cosSinCSP. Kluczowa różnica: CSP szuka kierunków maksymalizujących
kontrast wariancji między warunkami (kryterium drugiego rzędu),
ICA szuka składowych niezależnych statystycznie, maksymalizując
niegaussowość (kryterium wyższego rzędu). ICA nie wymaga
dwóch warunków eksperymentalnych — działa na jednym stacjonarnym sygnale.

;Zakres wykładu (~40 min):
* model generatywny ICA: <math>\mathbf{x} = \mathbf{D}\mathbf{s}</math>, założenie niegaussowości składowych
* negoentropia i algorytm FastICA
* porównanie z CSP: kiedy ICA, kiedy CSP
* ograniczenia: liczba próbek a liczba kanałów (<math>kN^2</math>), niejednoznaczność kolejności i skali komponentów

;Zakres ćwiczenia (~80 min):
* wczytanie danych do EEGLAB, edycja lokalizacji elektrod
* filtrowanie górnoprzepustowe (FIR, 0,5 Hz), zmiana referencji
* obliczenie ICA na całym sygnale
* identyfikacja komponentów zawierających rytm alfa: topografia, widmo, przebieg czasowy
* usunięcie komponentów niezawierających alfy, odtworzenie sygnału na elektrodach
* porównanie wyników między co najmniej trzema uruchomieniami ICA: czy komponenty są powtarzalne?

==Teoria==

===Definicja ===
Independent Component Analysis (ICA) jest metodą statystycznej analizy sygnałów, która dokonuje dekompozycji wielokanałowych zapisów na składowe niezależne w sensie statystycznym.
Dwie składowe ''s''1 i ''s''2 są niezależne jeżeli wiedza o wartości ''s''1 nie daje żadnych informacji o możliwych wartościach ''s''2. ICA może być wyrażona przez prosty model generatywny:
: '''x''' = '''Ds'''
: gdzie '''x''' = {''x''1, ''x''2, ..., ''x''''n''} jest zmierzonym ''n'' kanałowym sygnałem, '''D''' jest macierzą mieszającą zaś '''s''' = {''s''1, ''s''2, ..., ''s''''n''} jest aktywnością ''n'' źródeł. Podstawowym założeniem dotyczącym '''s''' jest to, że ''s''''i'' są statystycznie niezależne. Aby wyestymować model musimy też założyć, że składowe mają niegaussowskie rozkłady wartości (Hyvärinen, 2000).

Dodatkowo model ten zakłada następujące fakty:
# Sygnał jest liniową mieszaniną aktywności źródeł
# Sygnały pochodzące z każdego ze źródeł są niezależne od pozostałych
# Źródła oraz proces ich mieszania są stacjonarne, tzn, ich momenty statystyczne nie zależą od czasu
# Energie (wariancje) źródeł nie mogą być wyznaczone jednoznacznie. Dzieje się tak ponieważ pomnożenie amplitudy ''i''-tego źródła może być uzyskane poprzez przemnożenie albo ''s''''i'' albo przez przemnożenie ''i''-tej kolumny macierzy '''D'''. Naturalnym rozwiązaniem tej niejednoznaczności jest wprowadzenie konwencji, że komponenty są normowane tak aby miały wariancję 1: E[(''s''''i'')''2''] = 1.
# Kolejność komponentów jest dowolna. Bo jeśli w ten sam sposób zmienimy kolejność komponentów w '''s''' i kolumn w '''D''' to dostaniemy dokładnie ten sam sygnał '''x'''.

Głównym wyzwaniem w analizie ICA jest estymacja macierzy mieszającej '''D'''. Gdy jest ona znana to komponenty mogą być wyliczone w następujący sposób:
: '''s''' = '''D'''−1'''x'''

=== Estymacja ===
Znalezienie niezależnych komponentów może być rozważane w świetle Centralnego Twierdzenia Granicznego jako poszukiwanie komponentów o możliwie nie gaussowskim rozkładzie.
Aby zrozumieć to podejście prześledźmy heurystykę zaproponowaną przez (Hyvärinen, 2000).
Dla prostoty załóżmy, że poszukiwane źródła niezależne mają identyczne rozkłady.
Zdefiniujmy

''y'' = '''w'''T'''x'''.

Zauważmy, że jeśli

'''w'''

jest jedną z kolumn macierzy

'''D'''−1,

to ''y'' jest jednym z poszukiwanych komponentów.
Zamieniając zmienne

'''z''' = '''D'''T'''w'''

możemy napisać

''y'' = '''w'''T'''x''' = '''w'''T'''Ds''' = '''z'''T'''s'''.

Uwidacznia to fakt, że ''y'' jest liniową kombinacją składowych s''i'' z wagami danymi przez z''i''.

Z centralnego twierdzenia granicznego wynika, że suma niezależnych zmiennych losowych ma bardziej gaussowski charakter niż każda z tych zmiennych osobno.
Liniowa kombinacja staje się najmniej gaussowska gdy '''z''' ma tylko jeden element niezerowy. W tym przypadku ''y'' jest proporcjonalny do s''i''.
Zatem problem estymacji modelu ICA może być sformułowany jako problem znalezienia takiego wektora '''w''', który maksymalizuje niegaussowskość

''y'' = '''w'''T'''x'''.

Maksymalizacja niegaussowskości ''y'' daje jeden niezależny komponent odpowiadający jednemu z 2''n'' maksimów (bo mamy s''i'' i −s''i'') w krajobrazie optymalizacyjnym. Aby znaleźć wszystkie niezależne komponenty musimy znaleźć wszystkie maksima. Ponieważ komponenty są nieskorelowane, to poszukiwania kolejnych komponentów można kontynuować w podprzestrzeni ortogonalnej do już znalezionych komponentów.

===Obliczenia===
Intuicyjna heurystyka poszukiwania najbardziej niegaussowskich składowych może być użyta do wyprowadzenia różnych funkcji kosztu, których optymalizacja daje model ICA, np. kurtoza.

<math>kurt(y) = E\{y^4\} - 3(E{y^2})^2</math>

Inną miarą gassowskości jest neg-entropia, którą można wyprowadzić z entropii:
Entropia jest miarą średniego zdziwienia wynikiem obserwacji zmiennej losowej:
<math>H(Y) = - \sum_i P(Y= a_i) \log(P(Y=a_i)) </math>

Negentropia jest zdefiniowana:

<math> J(y) = H(y_{gauss}) -H(y)</math>
gdzie <math> y_{gauss} </math> jest gassuwską zmienną losową o takiej samej kowaiancji jak <math> y </math>.

Negentropia jest skomplikowana obliczeniow, więc w praktyce używana jest formuła przybliżona:

<math> J(y) \varpropto [E\{G (y)\} - E\{G(\nu)\}]^2</math>

<math>\nu </math> jest zmienną losową ze standardowego rozkładu normalnego , a G są pewnymi niekwadratowymi funkcjami.

W algorytmie FastICA extremum negentropii jest znajdowane w procedurze bazującej na optymalizacji Newtona.
(szczegóły np.: sekcja 6 w https://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/NN00new.pdf)

Procedura wykorzystywana w eeglabie (&bdquo;runica”, Makeig 1996) dąży do minimalizacji informacji wzajemnej. Oba podejścia są w przybliżeniu równoważne (Hyvärinen, 2000), chociaż owo przybliżenie dla sygnałów elektrofizjologicznych nie zostało to jeszcze w pełni wyeksplorowane.
Dla sygnałów o niskiej wymiarowości i spełniających dokładnie założenia ICA wszystkie powszechnie wykorzystywane algorytmy dają niemal identyczne wyniki.

;Bardzo ważna uwaga: ogólną zasadą jest, że jeśli estymujemy ''N'' stabilnych komponentów (z ''N''-kanałowych danych) to musimy dysponować ''kN''2 punktami danych w każdym kanale, gdzie ''N''2 jest liczbą elementów w macierzy '''D''', którą ICA próbuje wyestymować, ''k'' jest liczbą całkowitą. Nie ma dobrych oszacowań teoretycznych na wielkość ''k'', z praktycznych obserwacji wynika, że rośnie ona z liczbą kanałów.

=== Możliwe zastosowania ===
Najczęściej ICA jest stosowana jako narzędzie do:
* usuwania artefaktów z sygnałów EEG (ruchy oczu i mięśnie)
* wydobywania składowych do dalszej analizy (Onton, 2006)
* jako analiza wstępna do lokalizacji źródeł (Grau, 2007).
* ICA jest także stosowana w analize sygnałów EKG i EMG.

===Bibliografia===
Bazowa praca:
* A. Hyvärinen. Fast and Robust Fixed-Point Algorithms for Independent Component Analysis. IEEE Transactions on Neural Networks 10(3):626-634, 1999 http://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/TNN99_reprint.pdf

Nieco prościej opisana wersja z przykładami:
* Hyvärinen, A. and Oja, E. (2000). Independent component analysis: Algorithms and applications. Neural Networks, 13(4-5):411–430.
https://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/NN00new.pdf

* Grau, C., Fuentemilla, L., Marco-Pallars, J. (2007). Functional neural dynamics underlying auditory event-related n1 and n1 suppression response. Neuroimage, 36(6):522–31.
* Makeig, S., Bell, A., Jung, T.-P., Sejnowski,T. (1996). Independent component analysis of electroencephalographic data. W: Touretzky, D., Mozer, M., and Hasselmo, M., editors, Advances in Neural Information Processing Systems, volume 8, pages 145–151. MIT Press, Cambridge, MA.
* Onton, J., Makeig, S. (2006). Information-based modeling of event-related brain dynamics. Prog Brain Res., 159:99–120.
* Tutorial: http://sccn.ucsd.edu/wiki/Chapter_09:_Decomposing_Data_Using_ICA
* http://sccn.ucsd.edu/~arno/indexica.html
* http://cis.legacy.ics.tkk.fi/aapo/papers/IJCNN99_tutorialweb/

== ZADANIE: Wydobywanie interesujących komponentów ==

Dane do tej części ćwiczeń proszę pobrać i rozpakować w swoim katalogu:
http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Dane_do_ICA_alfa.tar.gz

Pochodzą one z eksperymentu, w którym osoba badana siedziała z zamkniętymi oczami słuchając nagrania czytanego spokojnym głosem. Metadane opisujące sygnał znajdują się w pliku Miro.xml, zaś lokalizacje elektrod w pliku Miro-10-20-Cap.locs.

Proszę:
* wczytać dane do eeglaba
* wyedytować lokalizację elektrod
* usunąć kanały nie zawierające EEG
* zmienić referencje na średnią z kanałów A1 i A2
* przefiltrować filtrem FIR górnoprzepustowym z częstością odcięcia 0,5 Hz
* obejrzeć wstępnie przygotowane dane
* policzyć ICA na całym sygnale
* obejrzeć właściwości otrzymanych komponentów
** Czy są wśród nich takie, które zawierają znaczny udział rytmu alfa?
** Jaka jest ich topografia?
* usunąć wszystkie komponenty nie zawierające alfy
* odtworzyć z tych komponentów sygnał na elektrodach
* wykonać dekompozycję ICA kilkukrotnie (co najmniej 3) i porównać wyniki
** Czy uzyskiwane komponenty są powtarzalne?
** Swoje wyniki porównać też z sąsiednimi grupami.

==ZADANIE: Identyfikacja artefaktów ==
Proszę pobrać dane:

*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal-10-20-Cap.locs
*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal1.set
*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal1.fdt

Pochodzą one z eksperymentu w którym osoba badana czytała słowa o różnych właściwościach wzbudzania emocji.

* wczytaj je do eeglaba
* wczytaj lokalizację kanałów z pliku Arousal-10-20-Cap.locs
* obejrzyj przebiegi czasowe
* odrzuć kanał z diodą (21) i z GSR (20)
* zrób dekompozycję ICA
* obejrzyj topografię komponentów
* zidentyfikuj komponenty odpowiadające mruganiu i aktywności mięśniowej.
;UWAGA: Aktualnie do wykrywania komponentów artefaktowych warto posłużyć się wtyczkami do eeglaba dostępnymi przez stronę:

https://sccn.ucsd.edu/eeglab/plugin_uploader/plugin_list_all.php

* ICLabel:
** https://labeling.ucsd.edu/tutorial/overview
** https://github.com/sccn/ICLabel

* MARA:
** https://github.com/irenne/MARA/raw/master/MARAtutorial.pdf
** https://irenne.github.io/artifacts/

=Sesja 6: Problem odwrotny w EEG i MEG=

;Czas: ~60 min wykład + ~90 min ćwiczenie

Sesja wprowadza problem odwrotny jako alternatywne — i komplementarne —
podejście do analizy przestrzennej sygnałów EEG i MEG. O ile BSS/CSP
i ICA szukają filtrów przestrzennych w przestrzeni elektrod,
nie zakładając nic o geometrii mózgu,
to metody problemu odwrotnego wyraźnie osadzają źródła
w przestrzeni trójwymiarowej, korzystając z fizyki i modelu głowy.

Materiały z naszych zasobów:
* [[Elektroencefalografia|Sekcje 3 i 8 z Podręcznika o EEG ]]
* [https://drive.google.com/file/d/1EOJxN1y7X3YlIFHoIIyoZzCiXdrQSHcA Wykład Piotra Durki z Analizy sygnałów o problemie odwrotnym w EEG iMEG]

Z zasobów zewnętrznych polecam:
* [https://download.fieldtriptoolbox.org/workshop/toolkit2025/slides/04_forward_inverse.pdf#page=1.00 Slajdy "Forward and inverse - lecture by Robert Oostenveld" fragment warsztatów: "Advanced MEG/EEG toolkit at the Donders"]

==Kontrast z BSS: dwa języki opisu tego samego zjawiska==

Zarówno BSS/ICA, jak i metody problemu odwrotnego wychodzą
od tego samego modelu generatywnego:
:<math>\mathbf{x}(t) = \mathbf{A}\,\mathbf{s}(t) + \boldsymbol{\varepsilon}(t)</math>
gdzie <math>\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^{N_e}</math> to potencjały na elektrodach,
<math>\mathbf{s}(t) \in \mathbb{R}^{N_s}</math> to aktywność źródeł,
a <math>\mathbf{A}</math> to macierz mieszająca (ang. ''lead field'' lub ''forward matrix'').

Różnica leży w tym, co robimy z macierzą <math>\mathbf{A}</math>:

{| class="wikitable"
|-
! !! BSS / ICA !! Problem odwrotny
|-
| '''Macierz A''' || nieznana; estymowana z danych || obliczona z modelu głowy (''forward model'')
|-
| '''Liczba źródeł''' || równa liczbie elektrod || od 1 dipola do ~10 000 wokseli
|-
| '''Geometria''' || brak założeń przestrzennych || źródła zlokalizowane w przestrzeni 3D
|-
| '''Regularyzacja''' || przez kryterium stat. (niezależność, wariancja) || przez regularyzację matematyczną (L2, L1, …)
|-
| '''Wynik''' || filtry przestrzenne + komponenty || mapa aktywności w przestrzeni mózgu
|}

Kluczowa trudność problemu odwrotnego wynika z jego
fundamentalnej niejednoznaczności:

układ równań:

<math>\mathbf{x} = \mathbf{A}\mathbf{s}</math>

jest niedookreślony — przy <math>N_e \approx 19\text{–}256</math> elektrodach
i <math>N_s \sim 10^4</math> możliwych lokalizacjach źródeł
istnieje nieskończenie wiele rozkładów <math>\mathbf{s}</math>
dokładnie odtwarzających zmierzony <math>\mathbf{x}</math>.
Każda metoda nakłada inne założenie ''a priori'', by wybrać jedno rozwiązanie.

==Model do przodu (forward model)==

Zanim można rozwiązać problem odwrotny, należy zbudować
''model do przodu'' — obliczenie potencjałów na elektrodach
wywołanych przez jednostkowe źródło prądowe w danym miejscu mózgu.
Wynik zapisuje się jako macierz ''pola wiodącego'' (''lead field''):
:<math>\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{N_e \times 3N_s}</math>
gdzie czynnik 3 wynika z trzech ortogonalnych składowych momentu dipolowego.

=== Skąd bierze się macierz ''lead field''? ===

Przejdźmy od równań Maxwella do tego, co dosłownie liczą funkcje `ft_prepare_headmodel` / `ft_prepare_leadfield`.

==== 1. Punkt wyjścia: przybliżenie kwazistatyczne ====

=====Pełne równania Maxwella w ośrodku materialnym=====

$$
\begin{aligned}
\nabla \cdot \mathbf{D} &= \rho && \text{(prawo Gaussa)} \\
\nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 && \text{(brak monopoli magnetycznych)} \\
\nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} && \text{(prawo Faradaya)} \\
\nabla \times \mathbf{H} &= \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} && \text{(prawo Ampère'a–Maxwella)}
\end{aligned}
$$

uzupełnione związkami konstytutywnymi dla tkanki traktowanej jako liniowy, lokalnie izotropowy ośrodek:

$$
\mathbf{D} = \varepsilon\,\mathbf{E},\qquad \mathbf{B} = \mu_0\,\mathbf{H},\qquad \mathbf{J} = \sigma\,\mathbf{E} + \mathbf{J}^p
$$

Ostatnia relacja to uogólnione prawo Ohma: prąd swobodny ma część omową (<math>\sigma\mathbf{E}</math>, prądy bierne w przewodniku objętościowym) i część „pierwotną" <math>\mathbf{J}^p</math> pochodzącą od źródeł neuronowych — bo to one *nie* są napędzane lokalnym polem <math>\mathbf{E}</math>, tylko gradientami stężeń jonów.

===== Przybliżenie kwazistatyczne =====

Wprowadzamy harmoniczną zależność czasową <math>e^{i\omega t}</math> i porównujemy człony w równaniach Maxwella.

Mamy dla EEG:

**(a) Pomijalny prąd przesunięcia w równaniu Ampère'a. ** Stosunek członu pojemnościowego do omowego to <math>\omega\varepsilon/\sigma</math>. Dla tkanki przy <math>f=100</math> Hz, <math>\sigma\approx 0{,}3</math> S/m, <math>\varepsilon_r\approx 10^5</math> (efektywna wartość niska-częstotliwościowa dla istoty szarej; spada szybko z <math>f</math>):
$$\frac{\omega\varepsilon}{\sigma} = \frac{2\pi\cdot 100\cdot 10^5\cdot 8{,}85\cdot 10^{-12}}{0{,}3}\sim 10^{-3}$$

— bezpiecznie pomijalny w EEG. To pozwala napisać <math>\nabla\times\mathbf{H}\approx\mathbf{J}</math>, a po wzięciu dywergencji:
$$\nabla\cdot\mathbf{J} = 0$$

**(b) Pomijalna indukcja w równaniu Faradaya.** Mówimy, że <math>\partial\mathbf{B}/\partial t</math> jest na tyle małe, że <math>\nabla\times\mathbf{E}\approx 0</math>, więc istnieje potencjał skalarny <math>V</math> z <math>\mathbf{E}=-\nabla V</math>. Można to oszacować z indukcyjności geometrii głowy i wykazać, że pomijany wkład jest o kilka rzędów mniejszy od <math>-\nabla V</math>.

**(c) Brak efektów propagacyjnych.** Długość fali EM przy 100 Hz w próżni to <math>\lambda = c/f\approx 3000</math> km, czyli <math>\lambda \gg L_\text{głowy}</math>. To gwarantuje, że pole „widzi" całą głowę jednocześnie — stąd zerowe przesunięcie fazowe propagacji potencjału przez przewodnik objętościowy.

Co zostaje po przybliżeniu:

$$
\begin{aligned}
\nabla \times \mathbf{E} &= 0 \;\Rightarrow\; \mathbf{E} = -\nabla V \\
\nabla \cdot \mathbf{J} &= 0 \\
\mathbf{J} &= -\sigma\nabla V + \mathbf{J}^p
\end{aligned}
$$

Składając trzy powyższe:

$$
\nabla\cdot\bigl(\sigma(\mathbf{r})\nabla V(\mathbf{r})\bigr) = \nabla\cdot\mathbf{J}^p(\mathbf{r})
$$

Warto przy tym podkreślić, że prawo Gaussa i <math>\nabla\cdot\mathbf{B}=0</math> nie znikają — one są nadal spełnione, ale po prostu nie są nam potrzebne do wyliczenia <math>V</math> na skórze: ładunki swobodne i indukowane policzy się *a posteriori* z <math>\rho = \nabla\cdot(\varepsilon\nabla V)\cdot(-1)</math>, a pole magnetyczne (interesujące dla MEG!) z prawa Biota–Savarta zastosowanego do <math>\mathbf{J}</math>.

Warto tu zauważyć, że kwazistatyka EEG i kwazistatyka MEG to **to samo** przybliżenie — różni je tylko, co wybieramy jako wielkość mierzoną (<math>V</math> na skórze vs. <math>\mathbf{B}</math> na zewnątrz głowy). To samo równanie Poissona generuje oba sygnały, a różnice w czułości na orientację dipola (radialny vs. tangencjalny) wynikają stąd, że potencjał i pole magnetyczne są różnymi funkcjonałami tego samego rozwiązania.

==== 2. Rozszczepienie prądu — gdzie pojawia się „źródło" ====

Gęstość prądu w tkance dzielimy na część „pierwotną" (neuronową) i „objętościową" (omową):

$$\mathbf{J}(\mathbf{r}) = \mathbf{J}^p(\mathbf{r}) - \sigma(\mathbf{r})\,\nabla V(\mathbf{r})$$

<math>\mathbf{J}^p</math> reprezentuje *prądy postsynaptyczne w piramidowych neuronach kory* — to one są naszym „źródłem". Reszta to prądy bierne płynące w przewodniku objętościowym o nieizotropowej, niejednorodnej przewodności <math>\sigma</math>.

Podstawiając do warunku <math>\nabla \cdot \mathbf{J}_\text{tot} = 0</math> dostajemy równanie Poissona dla niejednorodnego przewodnika:

$$\boxed{\;\nabla \cdot \bigl(\sigma(\mathbf{r})\,\nabla V(\mathbf{r})\bigr) = \nabla \cdot \mathbf{J}^p(\mathbf{r})\;}$$

To jest równanie problemu wprost. Cała reszta to:
(a) model źródła,
(b) warunki brzegowe,
(c) sposób rozwiązania.

==== 3. Model źródła: dipol prądowy ====

Dla pojedynczego dipola w <math>\mathbf{r}_0</math> o momencie <math>\mathbf{q}</math>:

$$\mathbf{J}^p(\mathbf{r}) = \mathbf{q}\,\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$$

$$\nabla \cdot \mathbf{J}^p(\mathbf{r}) = \mathbf{q}\cdot\nabla\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$$

Liniowość PDE daje natychmiast kluczową własność: <math>V</math> jest **liniową** funkcją <math>\mathbf{q}</math>. To właśnie ta liniowość pozwala zapisać:

$$\mathbf{v} = \mathbf{L}\,\mathbf{j}$$

gdzie <math>\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{N_\text{el}}</math> to potencjały, <math>\mathbf{j} \in \mathbb{R}^{3N_\text{src}}</math> to momenty dipoli, a <math>\mathbf{L}</math> to *lead field matrix*. Każda kolumna <math>\mathbf{L}</math> to potencjał wywołany jednostkowym dipolem w danym miejscu i o danej orientacji.

==== 4. Warunki brzegowe ====

Na granicy skóra/powietrze prąd nie wypływa:

$$\sigma\,\nabla V \cdot \hat{\mathbf{n}} = 0 \quad \text{na zewnętrznej powierzchni}$$

Wewnątrz, na granicach tkanek o różnym <math>\sigma</math> (mózg–CSF–czaszka–skóra):

$$V \text{ ciągłe},\quad \sigma\nabla V \cdot \hat{\mathbf{n}} \text{ ciągłe}$$

To są te warunki, które „włączają" geometrię i przewodności do problemu — i to one decydują, że czaszka (niskie <math>\sigma</math>, około 1/15–1/80 tkanki miękkiej, do dziś dyskutowane) rozmywa pole tak agresywnie.

==== 5. Metody rozwiązania ====
W pakiecie fieldtrip problem wprostt jest rozwiązywany przez funkcję
`ft_prepare_headmodel` - to fabryka różnych metod rozwiązujących to samo PDE. Wybór `cfg.method` decyduje o paradygmacie matematycznym:

**(a) Rozwiązania analityczne — modele sferyczne** (`'singlesphere'`, `'concentricspheres'`)

Dla geometrii sferycznej z osiową symetrią rozwija się <math>V</math> w szereg wielomianów Legendre'a. Dla 3-warstwowego modelu koncentrycznego dostajemy zamknięty wzór z nieskończonym szeregiem, który w praktyce tnie się po ~40 wyrazach. Berg & Scherg (1994) dali znakomite przybliżenie 3 dipolami w sferze jednorodnej — błyskawicznie szybkie, do dziś używane w MEG. Plus: bardzo szybkie, brak siatkowania. Minus: kula to nie głowa, zwłaszcza w okolicach skroniowych i podstawy.

**(b) BEM — Boundary Element Method** (`'bemcp'`, `'dipoli'`, `'openmeeg'`)

Wykorzystuje się fakt, że w obszarze o stałym <math>\sigma</math> <math>V</math> spełnia równanie Laplace'a, a cały „nietrywialny" wkład można wyrazić jako całkę po powierzchniach granicznych. Z drugiej tożsamości Greena dostajemy całkowe równanie typu Fredholma 2-go rodzaju:

$$V(\mathbf{r}) = V_\infty(\mathbf{r}) + \frac{1}{4\pi}\sum_k \frac{\sigma_k^- - \sigma_k^+}{\bar{\sigma}}\oint_{S_k} V(\mathbf{r}')\,\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\cdot\hat{\mathbf{n}}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,dS'$$

gdzie <math>V_\infty</math> to potencjał dipola w przestrzeni nieograniczonej. Triangulujemy powierzchnie (skóra, czaszka, mózg — czasem CSF) i to równanie zamienia się w układ liniowy. Szybciej niż FEM, ale wymaga założenia odcinkowo stałej przewodności i zakłada izotropię.

**(c) FEM — Finite Element Method** (`'simbio'`, `'duneuro'`)

Cała objętość głowy dyskretyzowana czworościanami/sześciościanami z indywidualnym tensorem <math>\sigma</math> w każdym elemencie (z DTI można wstrzyknąć anizotropię istoty białej!). Sformułowanie wariacyjne daje rzadki układ:

$$\mathbf{K}\mathbf{u} = \mathbf{b}$$

gdzie <math>\mathbf{K}</math> to macierz sztywności zależna od <math>\sigma(\mathbf{r})</math>, a <math>\mathbf{b}</math> niesie informację o źródle. To „złoty standard" pod kątem dokładności, ale kosztowny — dlatego praktycznie zawsze łączony z trikiem z punktu 6.

**(d) FDM** — rzadziej, dziś głównie historycznie.

==== 6. Twierdzenie o wzajemności — dlaczego macierz <math>\mathbf{L}</math> da się liczyć rozsądnie ====

Naiwne podejście: dla każdego z <math>\sim 10^4</math> źródeł i każdej z 3 orientacji odpalić rozwiązywacz PDE. To <math>3\times 10^4</math> rozwiązań. Beznadzieja.

Helmholtzowska zasada wzajemności mówi: potencjał w elektrodzie A wywołany dipolem w punkcie <math>\mathbf{r}_0</math> jest równoważny pewnej wielkości policzonej z
pola elektrycznego wytworzonego w <math>\mathbf{r}_0</math> przez jednostkowy prąd wstrzyknięty między elektrodą A a referencją. Formalnie:

$$V_A(\mathbf{r}_0;\mathbf{q}) = \mathbf{E}^{(A)}(\mathbf{r}_0)\cdot\mathbf{q}$$

gdzie <math>\mathbf{E}^{(A)}</math> to pole „wstrzykniętego" prądu jednostkowego. Konsekwencja: zamiast <math>3N_\text{src}</math> rozwiązań PDE wystarczy <math>N_\text{el}-1</math> rozwiązań (po jednym na elektrodę). Praktycznie wszystkie pakiety BEM/FEM (w tym OpenMEEG, SimBio, DUNEuro) to wykorzystują — i dlatego FEM jest w ogóle wykonalny dla całych siatek źródłowych.

'''Fizyczna intuicja'''

Wyobraź sobie, że potencjał wytworzony przez dipol na danej elektrodzie zależy od tego, jak silnie ta elektroda „widzi" punkt w mózgu. Twierdzenie Helmholtza mówi: jeśli chcesz wiedzieć, jak silnie elektroda widzi dany punkt — odwróć kierunek. Wstrzyknij prąd przez tę elektrodę i sprawdź, jakie pole powstaje w tym punkcie. Im silniejsze pole tam dotrze, tym czulsza jest elektroda na dipol tam ulokowany. Kierunek pola wskazuje też, na jaką orientację dipola elektroda reaguje najsilniej.

==== 7. Co więc dosłownie robi `ft_prepare_headmodel` ====

Tworzy obiekt `headmodel`, który zawiera:
- geometrię (kule albo siatki powierzchniowe, albo objętościową siatkę FEM),
- przewodności poszczególnych warstw,
- a w przypadku BEM/FEM — wstępnie policzony operator dyskretny (np. odwróconą macierz BEM albo czynnik macierzy sztywności FEM z trikiem transferowym wykorzystującym wzajemność).

To jest najdroższa część obliczeń — i robi się ją raz dla danej geometrii. Potem `ft_prepare_leadfield`, dla każdej pozycji źródła w `cfg.sourcemodel`, używa tego operatora, żeby wygenerować trzy kolumny <math>\mathbf{L}</math> (dla orientacji x, y, z). Wynik to `leadfield{i}` o wymiarze <math>N_\text{el}\times 3</math> — czyli dosłownie blok macierzy lead field dla danego wokselu.

---

Podsumowanie:

1. Maxwell → kwazistatyka → „elektrostatyka z prądami"

2. Podział prądu i równanie Poissona (jedyne równanie, którego naprawdę trzeba)

3. Dipol jako model i wynikająca **liniowość** → uzasadnienie wzoru $\mathbf{v}=\mathbf{L}\mathbf{j}$

4. Warunki brzegowe → tu wchodzi anatomia

5. Sfery (analityczne, intuicja) → BEM → FEM jako kolejne stopnie realizmu

6. Wzajemność jako trik obliczeniowy, bez którego niczego by się nie dało policzyć w sensownym czasie

Klasyczne źródła:
- Hallez et al. 2007 *J Neuroeng Rehabil* (review obliczeń forward, bardzo czytelny),
- Mosher et al. 1999 dla zwartego wyprowadzenia,
- oraz dokumentacja OpenMEEG (Gramfort et al. 2010) — tam ścieżka BEM jest wyprowadzona z drugiej tożsamości Greena.
---

=== Programy obliczające model do przodu:===
MNE-Python (<code>mne.make_bem_model</code>), FieldTrip (<code>ft_prepare_headmodel</code>), OpenMEEG.

==Fitowanie dipoli (Dipole Fitting)==

===Idea===
Najprostsze założenie: aktywacja EEG pochodzi z jednego
(lub kilku) ekwiwalentnych dipoli prądowych.
Każdy dipol opisany jest sześcioma parametrami:
trzema współrzędnymi położenia <math>(x,y,z)</math>
i trzema składowymi momentu dipolowego <math>(q_x, q_y, q_z)</math>.

===Formalizm===
Dla pojedynczego dipola o momencie <math>\mathbf{q}(t)</math>
w lokalizacji <math>\mathbf{r}_0</math>:
:<math>\mathbf{x}(t) = \mathbf{a}(\mathbf{r}_0)\,\mathbf{q}(t) + \boldsymbol{\varepsilon}(t)</math>
gdzie <math>\mathbf{a}(\mathbf{r}_0) \in \mathbb{R}^{N_e \times 3}</math>
to kolumna macierzy pola wiodącego odpowiadająca lokalizacji <math>\mathbf{r}_0</math>.

Estymacja polega na minimalizacji reszty:
:<math>\hat{\mathbf{r}}_0 = \arg\min_{\mathbf{r}} \left\|\mathbf{x}(t) - \mathbf{a}(\mathbf{r})\,\hat{\mathbf{q}}(t)\right\|^2</math>
Minimalizację prowadzi się zwykle algorytmem Neldera–Meada
lub Levenberga–Marquardta po przestrzeni lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* gdy źródło jest punktowe lub quasi-punktowe (np. wczesne składowe słuchowych potencjałów wywołanych N20, P25)
* gdy liczba aktywnych źródeł jest z góry znana i mała (1–3 dipole)

;Ograniczenia:
* wrażliwość na punkt startowy — algorytm może utknąć w minimum lokalnym
* złe dopasowanie gdy aktywacja pochodzi z rozległego obszaru kory
* wynik silnie zależy od dokładności modelu do przodu

==Minimum Norm Estimation (MNE)==

===Idea===
Zamiast zakładać małą liczbę dipoli,
rozkładamy aktywność na gęstą siatkę źródeł pokrywającą całą powierzchnię kory
i szukamy rozwiązania o minimalnej normie —
tj. takiego, które odtwarza dane, angażując jak najmniejszą całkowitą energię źródeł.

===Formalizm===
Problem optymalizacji z regularyzacją Tichonowa:
:<math>\hat{\mathbf{s}} = \arg\min_{\mathbf{s}} \left\|\mathbf{x} - \mathbf{A}\mathbf{s}\right\|^2 + \lambda\left\|\mathbf{s}\right\|^2</math>
gdzie <math>\lambda > 0</math> to parametr regularyzacji kontrolujący kompromis
między wiernością danym a gładkością rozwiązania.

Rozwiązanie analityczne:
:<math>\hat{\mathbf{s}} = \mathbf{A}^T\left(\mathbf{A}\mathbf{A}^T + \lambda\mathbf{I}\right)^{-1}\mathbf{x}</math>

Macierz <math>\mathbf{W}_{\mathrm{MNE}} = \mathbf{A}^T(\mathbf{A}\mathbf{A}^T + \lambda\mathbf{I})^{-1}</math>
jest liniowym filtrem przestrzennym — analogiem macierzy <math>\mathbf{W}</math> z CSP,
lecz skonstruowanym na podstawie modelu do przodu, nie z danych.

===Warianty===

;dSPM (''dynamic Statistical Parametric Mapping'', Dale 2000):
Normalizuje estymowaną aktywność przez odchylenie standardowe szumu:
:<math>F_{\mathrm{dSPM}}(\mathbf{r}, t) = \frac{\hat{s}(\mathbf{r},t)}{\sigma_{\mathrm{noise}}(\mathbf{r})}</math>
Wynik ma interpretację statystyczną (wartość F lub Z); popularne w neurobiologii poznawczej.

;sLORETA (''standardized LORETA'', Pascual-Marqui 2002):
Normalizuje przez odchylenie standardowe samego estymatora MNE (nie tylko szumu):
:<math>F_{\mathrm{sLORETA}}(\mathbf{r}, t) = \frac{\hat{s}(\mathbf{r},t)}{\sqrt{\left[\mathbf{W}_{\mathrm{MNE}}\mathbf{A}\right]_{(\mathbf{r},\mathbf{r})}}}</math>
Wykazuje zerowe systematyczne błędy lokalizacji w warunkach idealnych.

;Wybór <math>\lambda</math>:
Zwykle <math>\lambda = \alpha \cdot \mathrm{tr}(\mathbf{A}\mathbf{A}^T) / \mathrm{tr}(\mathbf{I})</math>
z <math>\alpha \in [0.05, 0.3]</math>; w MNE-Python domyślnie <math>\alpha = 0.1</math>.
Można też stosować kryterium L-krzywej lub walidację krzyżową.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* gdy aktywacja jest rozproszona lub nieznana a priori
* jako ogólne narzędzie wizualizacji ERP na powierzchni kory
* przy małej liczbie elektrod

;Ograniczenia:
* tendencja do rozmywania rozwiązania — źródła głębokie są systematycznie niedoszacowane
* brak zakładanej rzadkości (''sparsity''); wariant L1 (MCE) jest rzadszy, ale trudniejszy obliczeniowo
* wymaga dobrego modelu do przodu

==Beamformery==

===Idea===
Beamformer (dosł. „formowanie wiązki") to adaptacyjny filtr przestrzenny,
który dla każdej lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>
konstruuje wagi <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math> maksymalizujące
stosunek mocy sygnału z tej lokalizacji do mocy wszystkich pozostałych źródeł.
W odróżnieniu od MNE, beamformer korzysta z macierzy kowariancji danych —
jest więc metodą adaptacyjną, zbliżoną duchem do CSP.

===LCMV (''Linearly Constrained Minimum Variance'', Van Veen 1997)===

Szukamy filtra minimalizującego wariancję wyjścia
przy ograniczeniu zachowującym sygnał z lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>:
:<math>\mathbf{w}^*(\mathbf{r}) = \arg\min_{\mathbf{w}} \mathbf{w}^T\mathbf{C}\mathbf{w}
\quad \text{p.o.} \quad \mathbf{w}^T\mathbf{a}(\mathbf{r}) = 1</math>
gdzie <math>\mathbf{C} = E[\mathbf{x}\mathbf{x}^T]</math> to macierz kowariancji danych.

Rozwiązanie analityczne (mnożnik Lagrange'a):
:<math>\mathbf{w}(\mathbf{r}) = \frac{\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}{\mathbf{a}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}</math>

Moc w lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>:
:<math>P(\mathbf{r}) = \mathbf{w}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}\,\mathbf{w}(\mathbf{r})
= \frac{1}{\mathbf{a}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}</math>

===DICS (''Dynamic Imaging of Coherent Sources'', Gross 2001)===

Wariant beamformera dla analizy częstotliwościowej:
zamiast macierzy kowariancji czasowej stosuje
''cross-spectral density matrix'' <math>\mathbf{C}(f)</math>
obliczoną dla wybranego pasma częstości.
Pozwala mapować koherencję między lokalizacjami na powierzchni kory.

===Analogia z CSP===

Zauważmy analogię strukturalną:

{| class="wikitable"
|-
! !! CSP !! LCMV Beamformer
|-
| '''Macierz kowariancji''' || <math>\mathbf{R}_T, \mathbf{R}_{NT}</math> (dwa warunki) || <math>\mathbf{C}</math> (jeden warunek) + <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
|-
| '''Filtr''' || <math>\mathbf{w}</math>: maks. stosunek wariancji || <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math>: min. wariancja przy ograniczeniu
|-
| '''Przestrzeń''' || elektrod || przestrzeni mózgu (woksel po wokselu)
|-
| '''Model do przodu''' || nie || tak — przez <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
|}

Kluczowa różnica: CSP optymalizuje globalnie jednym zagadnieniem własnym,
beamformer rozwiązuje osobny problem dla każdej lokalizacji.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* analiza ERD/ERS (rytmy ruchowe, alfa, beta) w przestrzeni mózgu
* lokalizacja źródeł oscylacyjnych w MEG
* DICS do badania koherencji korowo-korowej

;Ograniczenia:
* silnie skorelowane źródła są tłumione (''source cancellation'') — beamformer zakłada, że źródła są nieskorelowane
* wymaga dużej liczby próbek do stabilnej estymacji <math>\mathbf{C}^{-1}</math>
* przy małej liczbie elektrod macierz <math>\mathbf{C}</math> może być źle uwarunkowana

;Podsumowanie:
[[Plik:Inverse problem vs bss.png|mały|centruj]]

==Podsumowanie: kiedy stosować którą metodę==

{| class="wikitable"
|-
! Metoda !! Założenie a priori !! Dane wejściowe !! Typowe zastosowanie
|-
| '''Dipole fitting''' || 1–3 punktowe źródła || ERP, AEP, SEP || lokalizacja wczesnych składowych wywołanych
|-
| '''MNE / dSPM / sLORETA''' || minimalna energia; źródła ciągłe || ERP, dowolny sygnał || wizualizacja rozproszonej aktywności na korze
|-
| '''LCMV Beamformer''' || źródła nieskorelowane || ERD/ERS, dane resting-state || lokalizacja źródeł oscylacyjnych w MEG/EEG
|-
| '''DICS''' || j.w. + analiza spektralna || dane oscylacyjne || mapa koherencji korowo-korowej
|-
| '''CSP / ICA''' || brak modelu geometrycznego || dwa warunki / jeden segment || klasyfikacja BCI, usuwanie artefaktów
|}

;Uwaga praktyczna:
Wszystkie metody problemu odwrotnego wymagają przygotowania modelu do przodu.
Zaleca się korzystanie z MNE-Python lub FieldTrip — oba pakiety
oferują spójne pipeline'y od surowych danych do map korowych
i są szeroko stosowane w literaturze, co ułatwia replikację wyników.

=Sesja 7: Problem odwrotny — część praktyczna=

;Czas: ~30 min wprowadzenie + ~120 min ćwiczenie

Część praktyczna prowadzi przez pełny pipeline lokalizacji źródeł:
od wczytania danych w FieldTrip, przez zbudowanie modelu do przodu,
do fitowania dipola i interpretacji wyniku.
Sesja jest zaprojektowana tak, aby każdy krok bezpośrednio ilustrował
jeden element teorii omówionej w [[#Sesja 7: Problem odwrotny w EEG i MEG|części wykładowej]].

;Dane:
Używamy standardowego zestawu danych FieldTrip
(dane somatosensoryczne MEG/EEG, bodziec elektryczny na nadgarstku — składowa N20):
* https://download.fieldtriptoolbox.org/tutorial/Subject01.zip (~800 MB)

Ten sam zestaw danych jest używany we wszystkich tutorialach FieldTrip
wymienionych w tej sesji, co ułatwia porównywanie wyników między krokami.

;Instalacja FieldTrip: Wymagania wstępne:
FieldTrip wymaga MATLABa. Przed instalacją sprawdź kompatybilność swojej wersji:
[https://www.fieldtriptoolbox.org/faq/matlab/requirements MATLAB requirements]

;Pobranie toolboxa: Pobierz najnowszą wersję ze strony:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/download.php Pobierz FieldTrip]

Rozpakuj archiwum ZIP w wybranym katalogu, np. <code>~/matlab/fieldtrip</code> (Linux/macOS).

;Ważne: nie zmieniaj wewnętrznej struktury katalogów po rozpakowaniu —
FieldTrip dynamicznie zarządza swoimi podkatalogami.

;Konfiguracja ścieżki MATLAB: Pełna instrukcja: [https://www.fieldtriptoolbox.org/faq/matlab/installation Installation and setting up the path]

Uruchom poniższe polecenia na początku każdej sesji pracy z FieldTrip
(lub wstaw je do pliku <code>startup.m</code> — patrz niżej):

<source lang="matlab">
restoredefaultpath % wyczyść aktualną ścieżkę
addpath('~/fieldtrip') % podaj tu swoją ścieżkę do FieldTrip
ft_defaults % skonfiguruj FieldTrip i minimalne podkatalogi
</source>

;Uwaga — częsty błąd:
Nie używaj <code>addpath(genpath(...))</code> ani przycisku „Add with Subfolders" w MATLAB GUI.
FieldTrip samodzielnie dodaje potrzebne podkatalogi przez <code>ft_defaults</code>
i <code>ft_hastoolbox</code> — dodanie wszystkiego ręcznie powoduje konflikty
z funkcjami SPM, EEGLAB i wbudowanymi funkcjami MATLABa
(w szczególności z funkcjami z katalogu <code>fieldtrip/compat</code>
przeznaczonymi tylko dla starych wersji MATLABa).

;Trwała konfiguracja przez startup.m:

Żeby nie powtarzać powyższych poleceń przy każdym uruchomieniu MATLABa,
utwórz plik <code>startup.m</code> w swoim katalogu MATLABa
(zwykle <code>Dokumenty/MATLAB/startup.m</code>) z zawartością:

<source lang="matlab">
restoredefaultpath
addpath('C:\fieldtrip') % zmień na swoją ścieżkę
ft_defaults
</source>

MATLAB wykonuje ten plik automatycznie przy każdym uruchomieniu.

;Uwaga dla użytkowników EEGLAB: Jeśli korzystasz z EEGLAB i FieldTrip w tej samej sesji,
zawsze ładuj FieldTrip przez <code>restoredefaultpath</code> + <code>addpath</code> + <code>ft_defaults</code>,
a nie przez interfejs EEGLAB. Oba toolboxy zawierają funkcje o tych samych nazwach
(np. <code>eegplot</code>, <code>topoplot</code>) — kolejność na ścieżce decyduje,
która wersja zostanie wywołana.

;Weryfikacja instalacji: Sprawdź poprawność instalacji jednym poleceniem:

<source lang="matlab">
ft_defaults
ft_version
</source>

Powinieneś zobaczyć numer wersji i datę kompilacji, np.:
<pre>
FieldTrip version 20250901, path: C:\fieldtrip
</pre>

Jeśli MATLAB zgłasza błąd <code>Undefined function 'ft_defaults'</code>,
ścieżka nie została ustawiona poprawnie — wróć do kroku z <code>addpath</code>.

==Krok 0: Wejście do FieldTrip==

Przed właściwym ćwiczeniem proszę zapoznać się z tutorialem wprowadzającym:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/intro/introduction/ Introduction to the FieldTrip toolbox]

;Na co zwrócić uwagę przechodząc ten tutorial:

Studenci znający EEGLAB natkną się na dwie zasadnicze różnice w filozofii pracy:

* '''Struktura cfg''' zamiast GUI. Każda funkcja FieldTrip przyjmuje strukturę konfiguracyjną <code>cfg</code> i zwraca nową strukturę danych. Nie ma okien dialogowych — cała analiza jest skryptem. Jest to bliższe temu, co robiliśmy w MATLAB-owych sesjach CSP/ICA.

* '''Niezmienność danych'''. FieldTrip nie modyfikuje struktur w miejscu — każde wywołanie funkcji zwraca nową strukturę. Pozwala to łatwo porównywać wyniki różnych parametrów, ale wymaga dbałości o nazewnictwo zmiennych.

;Pytanie do dyskusji po lekturze:
Jak odpowiadają sobie nawzajem: <code>EEG.data</code> w EEGLAB i struktura <code>data</code> w FieldTrip?
Gdzie w strukturach FieldTrip przechowywane są informacje o lokalizacji elektrod?

==Krok 1: Model do przodu — BEM dla EEG==

Przed fitowaniem dipola musimy obliczyć macierz pola wiodącego <math>\mathbf{A}</math>.
Proszę przejść tutorial:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/headmodel_eeg_bem Construct a BEM headmodel for EEG source analysis]

;Cel tego kroku:
Zrozumieć skąd pochodzi kolumna <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
używana we wszystkich metodach Sesji 7.
Każda kolumna <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math> mówi: „jeśli w miejscu <math>\mathbf{r}</math>
znajdowałby się dipol o jednostkowym momencie,
to jakie potencjały zmierzylibyśmy na każdej z elektrod?"

;Kluczowe funkcje FieldTrip w tym kroku:
<source lang="matlab">
% Segmentacja MRI na trzy tkanki (skóra, czaszka, mózg)
cfg = [];
cfg.output = {'brain','skull','scalp'};
segmentedmri = ft_volumesegment(cfg, mri);

% Budowanie siatki trójkątów BEM
cfg = [];
cfg.tissue = {'brain','skull','scalp'};
cfg.numvertices = [3000 2000 1000];
bnd = ft_prepare_mesh(cfg, segmentedmri);

% Obliczenie modelu do przodu metodą BEM (OpenMEEG)
cfg = [];
cfg.method = 'openmeeg';
cfg.conductivity = [0.33 0.0041 0.33]; % mózg, czaszka, skóra [S/m]
headmodel = ft_prepare_headmodel(cfg, bnd);
</source>

;Na co zwrócić uwagę:
* Stosunek przewodności czaszka/mózg wynosi tu ~1/80.
Jak myślisz, jak bardzo błąd w tym parametrze wpłynie na lokalizację źródeł?
* Funkcja <code>ft_prepare_mesh</code> tworzy trzy zagnieżdżone siatki.
Jak ma się to do opisu BEM z wykładu?

==Krok 2: Fitowanie dipola (ćwiczenie główne)==

;Czas: ~90 min

To jest główne ćwiczenie praktyczne Sesji 7.
Proszę przejść tutorial:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/dipolefitting Dipole fitting of combined MEG/EEG data]

Poniżej znajdziesz szkielet kodu z pytaniami pomocniczymi
do samodzielnego wypełnienia — zacznij od tutorialu,
a potem wróć do szkieletu i uzupełnij brakujące fragmenty.

===Szkielet kodu — fitowanie dipola dla składowej N20===

<source lang="matlab">
%% KROK A: Wczytanie i preprocessing danych EEG
% Dane: Subject01.zip (patrz wyżej)
% Używamy tylko kanałów EEG, odrzucamy MEG.

cfg = [];
cfg.dataset = 'Subject01.ds';
cfg.trialdef.eventtype = 'backpanel trigger';
cfg.trialdef.eventvalue = 3; % bodziec na lewym nadgarstku
cfg.trialdef.prestim = 0.1;
cfg.trialdef.poststim = 0.3;
cfg = ft_definetrial(cfg);

cfg.channel = 'EEG';
cfg.continuous = 'yes';
cfg.demean = 'yes';
cfg.baselinewindow = [-0.1 0];
data = ft_preprocessing(cfg);

%% KROK B: Uśrednianie — potencjał wywołany
% TUTAJ: użyj ft_timelockanalysis aby obliczyć ERP (średnią po powtórzeniach)
% Wynik zapisz jako 'timelock'

% TUTAJ

%% KROK C: Wczytanie modelu do przodu i lokalizacji elektrod
% Zakładamy, że headmodel i elec zostały obliczone w Kroku 1.
% Jeśli nie — można użyć gotowego modelu z paczki danych Subject01.

load('standard_bem.mat'); % headmodel
load('Subject01_elec.mat'); % lokalizacje elektrod (po dopasowaniu do MRI)

%% KROK D: Przygotowanie siatki poszukiwań (grid)
% Definiujemy siatkę regularną 1 cm wewnątrz mózgu.
% ft_prepare_sourcemodel oblicza też macierz pola wiodącego A
% (tzw. leadfield) dla każdego punktu siatki.

cfg = [];
cfg.headmodel = headmodel;
cfg.elec = elec;
cfg.resolution = 1; % odstęp siatki w cm
cfg.unit = 'cm';
sourcemodel = ft_prepare_sourcemodel(cfg);

%% KROK E: Fitowanie dipola
% Szukamy jednego dipola najlepiej wyjaśniającego topografię N20.
% Okno czasowe 0.016–0.022 s odpowiada składowej N20.

cfg = [];
cfg.latency = [0.016 0.022]; % okno N20 w sekundach
cfg.numdipoles = 1;
cfg.headmodel = headmodel;
cfg.elec = elec;
cfg.sourcemodel = sourcemodel;
cfg.nonlinear = 'yes'; % optymalizacja nieliniowa po przestrzeni

% TUTAJ: source = ft_dipolefitting(cfg, timelock);

%% KROK F: Wizualizacja wyniku
% Nałożenie lokalizacji dipola na MRI anatomiczne.

load('standard_mri.mat'); % MRI w tym samym układzie współrzędnych

cfg = [];
cfg.location = source.dip.pos; % współrzędne znalezionego dipola [x y z]

% TUTAJ: ft_sourceplot(cfg, mri);

%% KROK G: Ocena dopasowania
% Goodness of fit (GoF) mówi jaka część wariancji danych
% jest wyjaśniona przez znaleziony dipol.
% Wartość > 0.85 uznaje się za dobre dopasowanie.

fprintf('Goodness of fit: %.1f%%\n', source.dip.rv * 100);
% Uwaga: w FieldTrip rv to residual variance (1 - GoF).
% Dobry dipol ma rv < 0.15.

disp('Lokalizacja dipola [x y z] w mm:')
disp(source.dip.pos)

disp('Moment dipolowy [qx qy qz]:')
disp(source.dip.mom)
</source>

===Zadania do samodzielnej realizacji===

;Zadanie 1 (obowiązkowe): Pipeline i lokalizacja
Uzupełnij brakujące fragmenty szkieletu (kroki B i E–F).
Gdzie na MRI ląduje znaleziony dipol? Czy odpowiada to oczekiwanej anatomii
składowej N20 (pierwotna kora somatosensoryczna S1, okolica bruzdy centralnej)?

;Zadanie 2 (obowiązkowe): Wpływ okna czasowego
Zmień <code>cfg.latency</code> kolejno na:
* <code>[0.016 0.022]</code> — okno N20
* <code>[0.025 0.035]</code> — okno P25
* <code>[0.045 0.060]</code> — okno N45
Czy lokalizacja dipola zmienia się między tymi składowymi?
Jak zmienia się GoF? Co to mówi o tym, która składowa jest lepiej opisana modelem jednego dipola?

;Zadanie 3 (obowiązkowe): Dwa dipole
Zmień <code>cfg.numdipoles = 2</code> i powtórz fitowanie dla okna N20.
Czy model dwóch dipoli daje istotnie lepszy GoF niż jeden?
Jak interpretujesz dwa znalezione źródła?

;Zadanie 4 (dla chętnych): Wrażliwość na model do przodu
FieldTrip pozwala użyć uproszczonego modelu sferycznego
zamiast BEM: ustaw <code>cfg.headmodel</code> na model jednorodnej sfery
(<code>cfg.method = 'singlesphere'</code> w <code>ft_prepare_headmodel</code>).
O ile zmienia się lokalizacja dipola N20?
Czy GoF wzrasta czy maleje?

;Pytania do dyskusji:
* Fitowanie dipola wymaga podania okna czasowego — dlaczego?
Co stałoby się gdybyśmy dopasowywali dipol do całej epoki (−100 do +300 ms)?
* Algorytm minimalizacji może utknąć w minimum lokalnym.
Jak <code>cfg.sourcemodel</code> (siatka) pomaga temu zaradzić?
Jaki jest kompromis między rozdzielczością siatki a czasem obliczeń?
* Porównaj mapę topograficzną ERP w oknie N20
z mapą rekonstruowaną z dopasowanego dipola (wywołaj <code>ft_dipolefitting</code>
z opcją <code>cfg.dipfit.display = 'yes'</code>).
Czy widzisz różnicę? Skąd ona pochodzi?

==Krok 3: Dalsze metody — dla zainteresowanych==

Poniższe tutoriale stanowią naturalne rozwinięcie ćwiczenia głównego
i ilustrują pozostałe metody omówione w teorii Sesji 7.
Nie są wymagane na zaliczenie, ale gorąco je polecamy
jeśli planujesz używać lokalizacji źródeł w pracy badawczej.

;Minimum Norm Estimation:
[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/minimumnormestimate Source reconstruction of event-related fields using minimum-norm estimation]

Ten sam sygnał N20 co w ćwiczeniu głównym, ale zamiast jednego dipola
otrzymujesz ciągłą mapę aktywności na całej powierzchni kory.
Zwróć uwagę jak wybór parametru regularyzacji <math>\lambda</math>
wpływa na rozmycie rozwiązania.
Porównaj lokalizację maksimum mapy MNE z lokalizacją dipola z Kroku 2.

;Beamformer (LCMV/DICS):
[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/beamformer Localizing oscillatory sources in MEG data using a beamformer]

Tutorial wykorzystuje ten sam zestaw danych Subject01
i lokalizuje źródła oscylacji gamma wywołanych bodźcem —
bezpośrednie rozwinięcie analizy ERD/ERS, którą już znasz.
Kluczowa różnica w stosunku do MNE: beamformer korzysta
z macierzy kowariancji danych <math>\mathbf{C}</math>,
a nie tylko z modelu do przodu. Sprawdź jak wyglądają
filtry przestrzenne <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math> dla różnych lokalizacji
i porównaj je koncepcyjnie z filtrami CSP z Sesji 1–3.











-->

Laboratorium EEG/CSP

2026-05-14T11:13:30Z

Jarekz: /* 6. Twierdzenie o wzajemności — dlaczego macierz \mathbf{L} da się liczyć rozsądnie */

[[Laboratorium_EEG]]/BSS

=Sesja 1: Ślepa separacja źródeł i CSP — wprowadzenie=

;Czas: ~60 min wykład + ~90 min ćwiczenie symulacyjne

Zajęcia wprowadzają do problemu filtracji przestrzennej sygnałów EEG.
Punktem wyjścia jest ogólny problem ślepej separacji źródeł (BSS),
z którego CSP wyłania się jako szczególny przypadek dla dwóch warunków
eksperymentalnych. Filtry przestrzenne omawiane na tych zajęciach stanowią
fundament klasycznych metod BCI (P300, SSVEP, motor imagery) oraz są
bezpośrednim odpowiednikiem warstw przestrzennych w sieciach neuronowych
takich jak ShallowConvNet i EEGNet — do tej analogii wrócimy w sesji 6.

[https://drive.google.com/file/d/1WrXgWWDJ7g5ZdYltm_8s2NXbGamw4R8N/view?usp=sharing Slajdy do wykładu (PDF)]

;Zakres wykładu:
* model generatywny EEG: <math>x(t) = As(t)</math>, macierz kowariancji, idea diagonalizacji
* BSS jako ogólny problem separacji źródeł
* CSP jako szczególny przypadek: dwa warunki eksperymentalne, iloraz Rayleigha, uogólnione zagadnienie własne
* interpretacja filtrów i topografii źródeł

;Ćwiczenie symulacyjne:
Zob. [[#Ćwiczenie symulacyjne|Ćwiczenie symulacyjne]] w sekcji CSP poniżej.

====Ćwiczenie symulacyjne ====
====Zadania do samodzielnej realizacji====

Poniższy kod dostarcza gotowej infrastruktury: generacji sygnałów, macierzy mieszającej i wizualizacji.
Zadaniem jest samodzielna implementacja kluczowych kroków analizy CSP.

;Zadanie 1 (obowiązkowe): Obliczenie macierzy kowariancji
Napisz funkcję <code>srednia_kowariancja(X, ind)</code>, która dla danej tablicy sygnałów <code>X</code>
(wymiary: powtórzenia × kanały × próbki) i wektora indeksów czasowych <code>ind</code>
zwraca średnią macierz kowariancji uśrednioną po powtórzeniach.
Dla każdego powtórzenia zastosuj funkcję <code>cov</code> i znormalizuj wynik przez jego ślad (<code>trace</code>).
Sprawdź wynik porównując z macierzami <code>R_B</code> i <code>R_E</code> obliczonymi w dostarczonym kodzie.

;Zadanie 2 (obowiązkowe): Implementacja CSP
Korzystając z funkcji <code>eig</code> oraz macierzy kowariancji obliczonych w zadaniu 1,
wyznacz macierz filtrów przestrzennych <code>W</code> i odpowiadające im wartości własne.
Odtwórz sygnały źródłowe dla wszystkich powtórzeń.
Narysuj chmury punktów (amplituda źródła 1 vs amplituda źródła 2) osobno dla warunków
baseline i ERP — przed transformacją CSP i po niej. Co zmieniło się w kształcie chmur?

Wykreśl także wizualizację przebiegów czasowych sygnałów X i sygnałów S uzyskanych po rozmieszaniu.

;Zadanie 3 (obowiązkowe): Interpretacja wartości własnych
Wartości własne znajdują się na przekątnej macierzy <code>Lambda</code>.
Który filtr najbardziej różnicuje warunki baseline i ERP?
Jaki jest związek między wartością własną a separacją widoczną na wykresach punktowych?

;Zadanie 4 (dla chętnych): Wpływ macierzy mieszającej
W dostarczonym kodzie macierz <code>P</code> (filtr przestrzenny) wynosi:
<pre>
P = [1 2; 1.5 1.3]
</pre>
Zmień ją kolejno na macierz bliską jednostkowej (np. <code>P = [1 0.1; 0.1 1]</code>)
oraz na macierz z dużymi elementami pozadiagonalnymi (np. <code>P = [1 5; 4 1]</code>).
Jak zmienia się kształt chmury punktów przed transformacją CSP?
Czy CSP poprawnie oddziela źródła w obu przypadkach?

;Zadanie 5 (dla chętnych): Wpływ szumu
W kodzie szum jest wyłączony: <code>n = 0*randn(size(tmp))</code>.
Usuń mnożnik <code>0*</code> i zbadaj jak poziom szumu wpływa na separację źródeł.
Przy jakim stosunku sygnału do szumu CSP przestaje skutecznie rozdzielać warunki?

;Pytanie do dyskusji:
Dostarczony kod używa <code>eig(R_E, R_B)</code>.
Alternatywą jest <code>eig(R_E, (R_E+R_B)/2)</code>.
Czym różnią się te dwie wersje? W jakich sytuacjach eksperymentalnych
druga wersja mogłaby być bardziej uzasadniona?

====Szkielet kodu do uzupełnienia====

Poniższy szkielet zawiera gotową infrastrukturę symulacji.
Uzupełnij brakujące fragmenty oznaczone komentarzem <code>% TUTAJ</code>
zgodnie z zadaniami 1–3. Pełny kod referencyjny dostępny jest poniżej
— zajrzyj do niego dopiero po samodzielnej próbie.

<source lang="matlab">
%% Parametry symulacji — nie modyfikuj tej sekcji
Fs = 100;
T = 1;
t = 0:1/Fs:T-1/Fs;
N_rep = 100;
N_chan = 2;
s = zeros(N_rep, N_chan, length(t));
X = zeros(N_rep, N_chan, length(t));

P = [1 2; 1.5 1.3]; % filtr przestrzenny (prawdziwy)
A = P^(-1); % topografia źródeł

for r = 1:N_rep
s1 = sin(2*pi*11*t + pi/2) + 0.02*randn(size(t));
s2 = exp(-((t-0.8)/0.05).^2) + 0.01*randn(size(t));
s(r,1,:) = s1;
s(r,2,:) = s2;
tmp = squeeze(s(r,:,:));
n = 0*randn(size(tmp)); % Zadanie 5: zmień 0* na 1* aby włączyć szum
X(r,:,:) = A*tmp + n;
end

baseline_ind = find(t < 0.5);
ERP_ind = find(t >= 0.5);

R_B = zeros(N_chan, N_chan);
R_E = zeros(N_chan, N_chan);

%% Zadanie 1: Oblicz średnie macierze kowariancji
% korzystając z funkcji srednia_kowariancja(X, ind)

% Dla każdego powtórzenia r:
% - wytnij fragment sygnału X(r,:,baseline_ind) i analogicznie ERP
% - oblicz macierz kowariancji funkcją cov() — pamiętaj o transpozycji
% - znormalizuj przez ślad (funkcja trace())
% - dodaj do sumy
% Na końcu podziel przez N_rep

%% Zadanie 2: Rozwiąż uogólnione zagadnienie własne
% Użyj funkcji eig(A,B) gdzie A=R_E, B=R_B
% W wyniku otrzymasz macierz wektorów własnych W (w kolumnach)
% i macierz Lambda z wartościami własnymi na przekątnej

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

disp('Wartości własne (przekątna Lambda):')
disp(diag(Lambda))

%% Zadanie 2 cd.: Odtwórz sygnały źródłowe
% Dla każdego powtórzenia r zastosuj filtr: S(r,:,:) = W' * X(r,:,:)

S = zeros(N_rep, N_chan, length(t));

for r = 1:N_rep
% TUTAJ: S(r,:,:) = ...
end

%% Zadanie 3: Wizualizacja — chmury punktów przed i po CSP
x_base_k1 = X(:,1,baseline_ind);
x_base_k2 = X(:,2,baseline_ind);
x_ERP_k1 = X(:,1,ERP_ind);
x_ERP_k2 = X(:,2,ERP_ind);

s_base_k1 = squeeze(S(:,1,baseline_ind));
s_base_k2 = squeeze(S(:,2,baseline_ind));
s_ERP_k1 = squeeze(S(:,1,ERP_ind));
s_ERP_k2 = squeeze(S(:,2,ERP_ind));

figure(1); clf
subplot(1,2,1)
plot(x_base_k1(:), x_base_k2(:), 'b.'); hold on
plot(x_ERP_k1(:), x_ERP_k2(:), 'r.');
axis equal; xlim([-2 2]); ylim([-2 2])
xlabel('Kanał 1'); ylabel('Kanał 2')
title('Przed CSP')
legend('baseline','ERP')

subplot(1,2,2)
plot(s_base_k1(:), s_base_k2(:), 'b.'); hold on
plot(s_ERP_k1(:), s_ERP_k2(:), 'r.');
axis equal
xlabel('Źródło 1'); ylabel('Źródło 2')
title('Po CSP')
legend('baseline','ERP')
%% Wizualizacja przebiegów czasowych X i S
% TUTAJ:

%% Zadanie 4 (dla chętnych): zmień macierz P powyżej i powtórz analizę
%% Zadanie 5 (dla chętnych): włącz szum (zmień 0* na 1* w linii z n=...)
</source>

{{hidden begin|title=Rozwiązanie — pokaż dopiero po samodzielnej próbie}}
<source lang = matlab>
% symulowany eksperyment składa się z sinusoidy udającej alfę spoczynkową i
% funkcji Gaussa udającego potencjał wywołany
% źródła te są symulowane niezależnie a potem mieszane przez macierz A
% symulujemy źródła
% s1 - symuluje alfę
% s2 - symuluje "potencjał wywołany" (ERP)

%ustawiamy parametry do symulacji sygnałów
Fs = 100;
T = 1;
t = 0:1/Fs:T-1/Fs;
N_rep = 100;
N_chan = 2;
s = zeros(N_rep,N_chan, length(t));
X = zeros(N_rep,N_chan, length(t));

% filtr przestrzenny - z takimi wagami trzeba wziąść kanały EEG aby odzyskać sygnały źródłowe
P = [1 2
1.5 1.3];

% topografie - z takimi wagami źródła dokładają się do poszczególnych elektrod
A = P^(-1);

for r =1:N_rep % tworzymy kolejne realizacje "eksperymentu"
s1 = sin(2*pi*11*t +pi/2+ 0*2*pi*rand())+ 0.02*randn(size(t)); % źródło alfa
s2 = exp(-((t-0.8)/0.05).^2)+ 0.01*randn(size(t)); % źródło ERP

s(r,1,:) = s1;
s(r,2,:) = s2;
tmp = squeeze(s(r,:,:));
n = 0*randn(size(tmp));
X(r,:,:) = A*tmp +n; % rzutujemy sygnały źródłowe na elektrody s -> x

end

% wycinamy warunki
% baseline_ind to indeksy pierwszej połowy każdego powtórzenia "baseline"
% ERP_ind to indeksy drugiej połowy każdego powtórzenia zawierająca "ERP"
baseline_ind = find(t<0.5);
ERP_ind = find(t>=0.5);

x_baseline_kan_1 = X(:,1,baseline_ind);
x_baseline_kan_2 = X(:,2,baseline_ind);

x_ERP_kan_1 = X(:,1,ERP_ind);
x_ERP_kan_2 = X(:,2,ERP_ind);

% liczymy średnie macierze kowariancji:
R_E = zeros(N_chan,N_chan);
R_B = zeros(N_chan,N_chan);
for r =1:N_rep
B = squeeze(X(r,:,baseline_ind));
tmp =cov(B');
R_B = R_B + tmp./trace(tmp);%B*B' ;

E = squeeze(X(r,:,ERP_ind));
tmp = cov(E');
R_E = R_E + tmp./trace(tmp);%E*E' ;
end

R_B = R_B/N_rep;
R_E = R_E/N_rep;

% rozwiązujemy uogólnione zagadnienie własne
[W,Lambda]=eig(R_E,R_B); % możliwa jest też optymalizacja wzg. średniej macierzy kowariancji (R_B+R_A)/2);

% odzyskujemy sygnały źródeł
for r =1:N_rep
S(r,:,:) = W'*squeeze(X(r,:,:));
end

% pobieramy wycinki odpowiadające obu częściom eksperymentu z estymowanych
% źródeł
s_baseline_estymowany_kan1 = squeeze( S(:,1,baseline_ind));
s_baseline_estymowany_kan2 = squeeze( S(:,2,baseline_ind));

s_ERP_estymowany_kan1 = squeeze(S(:,1,ERP_ind));
s_ERP_estymowany_kan2 = squeeze(S(:,2,ERP_ind));

%%%%%%%%%%%%%% Ilustracje %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ilustracja sygnałów mierzonych
figure(1);clf
subplot(2,2,1);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(X(:,1,baseline_ind)))','b'); hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze( X(:,1,ERP_ind)))','r'); hold off
xlabel('elektroda 1')
title('ilustracja sytuacji pomiarowej -\newline znane są potencjały na elektrodach w dwóch warunkach eksperymentalnych')
subplot(2,2,3);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(X(:,2,baseline_ind)))','b'); hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze( X(:,2,ERP_ind)))','r'); hold off
xlabel('elektroda 2')
subplot(1,2,2)
plot(x_baseline_kan_1(:),x_baseline_kan_2(:),'b.');
hold on
plot(x_ERP_kan_1(:),x_ERP_kan_2(:),'r.');
xlim([-2,2])
ylim([-2,2])
axis equal

% wektor własny odpowiadający największej wartości własnej jest
% kierunkiem najbardziej różnicującym warunki eksperymentalne
disp('wartości własne znajdują się na przekątnej macierzy Lambda')
disp(Lambda)
% rysujemy wersory jednostkowe w kierunkach wektorów własnych
w1 = W(:,1);
w1 = w1/norm(w1);
w2 = W(:,2);
w2 = w2/norm(w2);
line([0, w1(1) ],[0,w1(2)],'Color',[0,0.3,0])
text(w1(1),w1(2),'wektor własny 1')
line([0, w2(1) ],[0,w2(2)],'Color',[1,0,1])
text(w2(1),w2(2),'wektor własny 2')

xlabel('Amplituda na elektrodzie 1')
ylabel('Amplituda na elektrodzie 2')
legend('baseline','ERP')

% Ilustracja estymowanych źródeł
figure(2);clf
subplot(2,2,1);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(S(:,1,baseline_ind)))','b');hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze(S(:,1,ERP_ind)))','r');hold off
xlabel('estymowane zrodlo 1')
title('ilustracja estymacji -\newline estymowane są potencjały źródeł w dwóch warunkach eksperymentalnych')
subplot(2,2,3);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(S(:,2,baseline_ind)))','b');hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze(S(:,2,ERP_ind)))','r');hold off
xlabel('estymowane zrodlo 2');
subplot(1,2,2)
plot(s_baseline_estymowany_kan1(:),s_baseline_estymowany_kan2(:),'b.');
hold on
plot(s_ERP_estymowany_kan1(:),s_ERP_estymowany_kan2(:),'r.');

xlabel('Amplituda estym. źródła 1')
ylabel('Amplituda estym. źródła 2')
legend('baseline','ERP')
</source>
{{hidden end}}

=Sesja 2: CSP dla P300 — dane realne=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Pracujemy z danymi kalibracyjnymi z eksperymentu P300.
Celem sesji jest przejście pełnego pipeline'u: od surowych danych
do odtworzonych źródeł CSP.

;Zakres:
* wczytanie danych kalibracyjnych, identyfikacja znaczników T i NT
* cięcie epok (−200 do +800 ms), usuwanie trendu liniowego
* montaż względem średniej ze wszystkich elektrod
* wizualizacja ERP w układzie topograficznym
* obliczenie macierzy kowariancji RT i RNT, normalizacja przez ślad
* rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego: <code>[W, Lambda] = eig(R_T, R_NT)</code>
* odtworzenie sygnałów źródłowych: <code>S = W'*EEG</code>
* przegląd estymowanych źródeł w dwóch warunkach

;Materiały:
Dane: https://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/KalibracjaP300.tar.gz

===ZADANIE: Analiza CSP===

Przegląd badań o P300: https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2715154/

Link do Read menager [https://drive.google.com/file/d/1OgOduK5Zn7GgNl5XdCyLWXHJ7wTJIWcC/view?usp=share_link]

* Wykonać analizę CSP wzmacniającą potencjał P300.
* Zaprezentować średnią ze wszystkich kanałów źródłowych z warunku target (jeden kolor) i non-target (inny kolor) w subplotach ułożonych w prostokątnej siatce. Zaobserwować, dla którego kanału średnie różnią się najbardziej. Czy jest związek tego kanału z wartościami własnymi?

* Dla kanału najbardziej różnicującego wykonać mapki topograficzne wektorów odpowiadających:
** filtrowi przestrzennemu
** rzutu topograficznego źródła na elektrody.

===Szkielet kodu do analizy wstępnej===

<source lang="matlab">
%% KROK 1: Wczytanie danych
% ReadManager to pomocnicza klasa do odczytu plików w formacie OpenBCI.
% Przyjmuje trzy pliki: XML z metadanymi, RAW z próbkami i TAG ze znacznikami zdarzeń.
nazwaPliku = 'p_6301423_calibration_p300.obci';
nameOfXMLFile = strcat(nazwaPliku, '.xml');
nameOfTagFile = strcat(nazwaPliku, '.tag');
namesOfDataFiles = strcat(nazwaPliku, '.raw');

rm = ReadManager(nameOfXMLFile, namesOfDataFiles, nameOfTagFile);

% Pobieramy podstawowe parametry nagrania
numberOfChannels = rm.get_param('number_of_channels');
namesOfChannels = rm.get_param('channels_names');
samplingFrequency = rm.get_param('sampling_frequency');

% Pobieramy listę wszystkich znaczników zdarzeń z nagrania
tagsStruct = rm.get_tags();

%% KROK 2: Identyfikacja znaczników Target i Non-Target
% Każdy znacznik typu 'blink' odpowiada jednemu mignięciu w eksperymencie P300.
% Pole 'index' mówi który symbol mignął, pole 'target' który symbol był oczekiwany.
% Jeśli index == target to było to mignięcie docelowe (Target), w przeciwnym razie
% Non-Target.
targetTimeStamps = [];
NonTargetTimeStamps = [];

for structNumber = 1:length(tagsStruct)
if strcmp(tagsStruct(structNumber).name, 'blink')
index = tagsStruct(structNumber).children.index;
target = tagsStruct(structNumber).children.target;
if index == target
targetTimeStamps = [targetTimeStamps tagsStruct(structNumber).start_timestamp];
else
NonTargetTimeStamps = [NonTargetTimeStamps tagsStruct(structNumber).start_timestamp];
end
end
end

%% KROK 3: Wczytanie i filtrowanie sygnału
samples = double(rm.get_samples());
samples = samples(1:8,:); % odrzucamy kanały bez EEG
numberOfChannels = 8;

% Filtr dolnoprzepustowy Czebyszewa 2. rodzaju — odcięcie 25 Hz
[b, a] = cheby2(6, 80, 25/(samplingFrequency/2), 'low');
for ch = 1:numberOfChannels
samples(ch,:) = filtfilt(b, a, samples(ch,:));
end

%% KROK 4: Montaż względem średniej (common average reference)
% Odejmujemy od każdego kanału średnią ze wszystkich kanałów w danej chwili.
% Jest to prostsze i bardziej ogólne niż montaż względem połączonych uszu.
M = -ones(numberOfChannels, numberOfChannels) / numberOfChannels;
M = M + eye(numberOfChannels) * (numberOfChannels+1) / numberOfChannels;
samples = 0.0715 * M * samples;

%% KROK 5: Cięcie epok
PRE = -0.2;
POST = 0.8;
wycinek = floor(PRE*samplingFrequency : POST*samplingFrequency);

TargetSignal = zeros(length(targetTimeStamps), numberOfChannels, length(wycinek));
NonTargetSignal = zeros(length(NonTargetTimeStamps), numberOfChannels, length(wycinek));

for trialNumber = 1:length(targetTimeStamps)
trigerOnset = floor(targetTimeStamps(trialNumber) * samplingFrequency);
tenWycinek = wycinek + trigerOnset;
if tenWycinek(1) > 0 && tenWycinek(end) <= size(samples,2)
tmpSignal = samples(:, tenWycinek);
tmpSignal = detrend(tmpSignal')'; % usuwanie trendu liniowego
TargetSignal(trialNumber,:,:) = tmpSignal;
end
end

for trialNumber = 1:length(NonTargetTimeStamps)
trigerOnset = floor(NonTargetTimeStamps(trialNumber) * samplingFrequency);
tenWycinek = wycinek + trigerOnset;
if tenWycinek(1) > 0 && tenWycinek(end) <= size(samples,2)
tmpSignal = samples(:, tenWycinek);
tmpSignal = detrend(tmpSignal')';
NonTargetSignal(trialNumber,:,:) = tmpSignal;
end
end

% Oś czasu w milisekundach — przyda się do rysowania
times = (wycinek / samplingFrequency) * 1000;

%% KROK 6: Wizualizacja ERP w układzie topograficznym
% Oblicz potencjały wywołane (ERP) jako średnie po powtórzeniach
ERP_T = squeeze(mean(TargetSignal, 1)); % wymiary: kanały × czas
ERP_NT = squeeze(mean(NonTargetSignal, 1));

% TUTAJ: narysuj ERP_T i ERP_NT dla każdego kanału w subplotach
% ułożonych w siatce odpowiadającej przybliżonym pozycjom elektrod.
% Na każdym subplocie nałóż oba warunki różnymi kolorami.
% Oś X: czas w ms (użyj wektora times), oś Y: amplituda w µV.
% Zadbaj o legendę i tytuły z nazwami kanałów (namesOfChannels).

%% KROK 7: Obliczenie średnich macierzy kowariancji
% Dla każdego powtórzenia oblicz macierz kowariancji funkcją cov(),
% znormalizuj przez jej ślad (trace()), a następnie uśrednij po powtórzeniach.
% Pamiętaj: cov() oczekuje macierzy próbki × kanały, czyli potrzebujesz transpozycji.

R_T = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
R_NT = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for r = 1:length(targetTimeStamps)
% TUTAJ: wytnij r-te powtórzenie T, oblicz kowariancję, znormalizuj, dodaj do R_T
end

for r = 1:length(NonTargetTimeStamps)
% TUTAJ: wytnij r-te powtórzenie NT, oblicz kowariancję, znormalizuj, dodaj do R_NT
end

% TUTAJ: podziel R_T i R_NT przez odpowiednie liczby powtórzeń

%% KROK 8: Rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego
% Szukamy filtrów przestrzennych W maksymalizujących stosunek mocy
% w warunku T względem NT: eig(R_T, R_NT)
% W kolumnach W znajdują się filtry, na przekątnej Lambda — wartości własne.

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

disp('Wartości własne (przekątna Lambda):')
disp(diag(Lambda))

%% KROK 9: Odtworzenie sygnałów źródłowych
% Dla każdego powtórzenia zastosuj filtr przestrzenny:
% s(r,:,:) = W' * x(r,:,:)
% Pamiętaj o wymiarach — squeeze() może być pomocne.

S_T = zeros(size(TargetSignal));
S_NT = zeros(size(NonTargetSignal));

for r = 1:size(TargetSignal, 1)
% TUTAJ: S_T(r,:,:) = ...
end

for r = 1:size(NonTargetSignal, 1)
% TUTAJ: S_NT(r,:,:) = ...
end

%% KROK 10: Wizualizacja estymowanych źródeł
% Narysuj średnie przebiegi źródeł (ERP w przestrzeni CSP) dla obu warunków.
% Ułóż subploty w prostokątnej siatce — jeden subplot na każde źródło.
% Dla którego źródła różnica między T i NT jest największa?
% Czy odpowiada to źródłu z największą wartością własną?

ERP_S_T = squeeze(mean(S_T, 1));
ERP_S_NT = squeeze(mean(S_NT, 1));

% TUTAJ: narysuj ERP_S_T i ERP_S_NT w subplotach
</source>

=Sesja 3: CSP dla P300 — interpretacja i separacja cech=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Kontynuacja analizy CSP. Celem sesji jest interpretacja wyników
w kategoriach fizjologicznych oraz ocena separowalności klas
w przestrzeni cech opartej na mocy sygnału.

;Zakres:
* mapki topograficzne filtra przestrzennego i topografii źródła
* związek wartości własnych z siłą różnicowania warunków T i NT
* wykresy punktowe mocy: oś X — moc składowej z największą wartością własną, oś Y — moc kolejnej składowej; jeden punkt = jedno powtórzenie
* uśrednianie po 2, 4, 6, 8 i 10 realizacjach — obserwacja poprawy separacji wraz z liczbą uśrednień
* dyskusja: utożsamianie komponentów CSP z fizjologicznymi źródłami jest ryzykowne; komponenty maksymalizują kontrast między warunkami, niekoniecznie odpowiadają izolowanym generatorom

;Materiały:
Zob. [[#Szkielet kodu do analizy wstępnej|Szkielet kodu do analizy wstępnej]] i [[#Zadanie: Wybór i separacja cech|Zadanie: Wybór i separacja cech]] poniżej.

===Zadanie: Wybór i separacja cech===
* Przedstaw na rysunkach nałożone na siebie pojedyncze realizacje z warunków target i non-target po rzutowaniu na wektor <math>w</math> odpowiadający największej i kolejnej wartości własnej.
* Przedstaw wykresy punktowe takie, że na jednej osi jest moc sygnału (suma kwadratów wartości próbek w wybranym zakresie czasu) odpowiadającego największej wartości własnej, a na drugiej osi kolejnej (mniejszej) wartości własnej; jeden punkt reprezentuje jedno powtórzenie.
* Wykonaj serię wykresów jak w poprzednim punkcie dla uśrednień sygnałów kolejno po 2, 4, 6, 8 i 10 realizacjach:
** Liczymy potencjał wywołany dla danej liczby powtórzeń.
** Następnie podnosimy wartości próbek do kwadratu
** i sumujemy je w wybranym zakresie czasu.
* Zaobserwuj jak zmienia się separacja w grupach target i non-target.
{{hidden end}}
[https://robintibor.github.io/eeg-deep-learning-phd-thesis/DeepArchitectures.html Archirtektury sieci do BCI: ConvNet]

[https://www.researchgate.net/figure/The-architecture-of-EEGNet-F1-S1-model-F1-and-S1-represent-the-number-of-temporal_fig3_347073448 EEGNet]

=Sesja 4: Filtry przestrzenne dla SSEP — cosSinCSP=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Sesja wprowadza metodę cosSinCSP jako naturalne uogólnienie CSP
o wiedzę dziedzinową dotyczącą sygnału SSEP. W klasycznym CSP
dwa warunki eksperymentalne definiują dwie macierze kowariancji.
W cosSinCSP rolę jednej z macierzy przejmuje projekcja sygnału
na przestrzeń sinusów i cosinusów częstości stymulacji i jej harmonicznych.
Formalizm ilorazu Rayleigha i uogólnionego zagadnienia własnego
pozostaje identyczny.

Dane używane na tych zajęciach pochodzą z eksperymentu SSEP
z archiwum — bez sesji rejestracyjnej. Na wykresach widma
sygnału przed transformacją CSP dominuje artefakt sieciowy 50 Hz,
który praktycznie zasłania odpowiedź na stymulację. Zadaniem
jest sprawdzenie czy cosSinCSP potrafi ten sygnał wydobyć.

;Zakres:
* idea cosSinCSP: macierz S złożona z sinusów i cosinusów harmonicznych, projekcja sygnału na przestrzeń SSEP i resztę Y
* implementacja funkcji <code>cosSinCSP</code> w MATLAB
* analiza danych archiwalnych: widma Welcha dla kanałów oryginalnych i źródeł CSP — porównanie SNR przed i po transformacji
* prezentacja filtrów przestrzennych i topografii źródeł

;Materiały:
Zob. [[#Filtry przestrzenne dla SSEP|Filtry przestrzenne dla SSEP]] poniżej.

==Filtry przestrzenne dla SSEP==

===Teoria===

Ciekawa koncepcja filtra przestrzennego dla SSEP zaprezentowana jest tu: http://www.eurasip.org/Proceedings/Eusipco/Eusipco2009/contents/papers/1569193209.pdf

Pokrótce można ją rozumieć podobnie do tego co robiliśmy rozważając filtry przestrzenne CSP z tym, że dla SSEP oraz innych potencjałów wywołanych stanu ustalonego możemy skorzystać z dodatkowych informacji dotyczących poszukiwanych źródeł. Wiemy mianowicie, że powinny one oscylować z częstością bodźca i być może jej harmonicznych.

Przyda nam się macierz <math>S</math> zbudowana tak, że w kolejnych kolumnach znajdują się sinusy i cosinusy kolejnych częstości harmonicznych. Wektory te unormujemy, żeby miały energię równą 1. Innymi słowy macierz <math>S</math> zbudowana jest z wersorów rozpinających przestrzeń, w której powinien znajdować się sygnał SSEP.

W Matlabie możemy taką macierz zbudować tak:

<source lang="matlab">
% Fs - częstość próbkowania
% numberOfSamples - długość sygnału w próbkach
% numberOfHarmonics - liczba harmonicznych, które chcemy włączyć do analizy
t = (0:1:numberOfSamples - 1) / Fs;
S = zeros(numberOfSamples, 2*numberOfHarmonics);

for harmonicNumber = 1:numberOfHarmonics
c = cos(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
s = sin(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
S(:,(harmonicNumber - 1)*2 + 1) = c/norm(c);
S(:,(harmonicNumber - 1)*2 + 2) = s/norm(s);
end
</source>

Aby w badanym sygnale znaleźć składowe odpowiadające SSEP musimy rzutować sygnał <math>X</math> (macierz sygnałów ''kanały × próbki'') na przestrzeń rozpiętą przez <math>S</math>:
:<math>A = X S</math>
Macierz <math>A</math> zawiera współczynniki będące iloczynami skalarnymi sygnałów i wersorów — mówią one o tym jak dużo sinusa bądź cosinusa o danej częstości jest w pierwotnym sygnale. Komponenty SSEP zawarte w sygnale <math>X</math> odzyskujemy tak:
:<math>\mathrm{SSEP} = A S^T</math>

Modelujemy rejestrowany sygnał jako:
:<math>X = \mathrm{SSEP} + Y</math>
gdzie:
:<math>Y = X - \mathrm{SSEP}</math>
to wszystkie komponenty sygnału, które nas nie interesują.

Filtr przestrzenny, który chcemy zbudować powinien maksymalizować stosunek wariancji <math>\mathrm{SSEP}</math> do wariancji <math>Y</math>. Macierz kowariancji powinna być uśredniona po powtórzeniach, a kowariancja sygnału w każdym powtórzeniu powinna być znormalizowana przez jej ślad. Dalej stosujemy technikę znaną z CSP: maksymalizację ilorazu Rayleigha przez rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego dla macierzy kowariancji <math>\mathrm{SSEP}</math> i <math>Y</math>.

===Zadanie: implementacja funkcji cosSinCSP===

Dane do zadania: [[Plik:PrzykladoweDaneSSVEP.mat.gz]].
Pełny przykład z danymi z eksperymentu SSEP: [[Plik:SSVEP_demo_csp.tar.gz]]

Zaimplementuj funkcję <code>cosSinCSP</code> zgodnie z poniższym szkieletem.
Prawidłowo zaimplementowana funkcja wraz ze skryptem demonstracyjnym poniżej
powinna generować rysunek: [[Plik:Rys_SSVEP_demo.png|400px|podpis grafiki]]

<source lang="matlab">
function [W, Lambda] = cosSinCSP(signal, stimulationFrequency, numberOfHarmonics, Fs)
% cosSinCSP - filtr przestrzenny dla sygnałów SSEP
%
% Wejście:
% signal - dane EEG, wymiary: powtórzenia × kanały × próbki
% stimulationFrequency - częstość stymulacji w Hz
% numberOfHarmonics - liczba harmonicznych do uwzględnienia
% Fs - częstość próbkowania w Hz
%
% Wyjście:
% W - macierz filtrów przestrzennych (kanały × kanały), filtry w kolumnach
% Lambda - macierz diagonalna wartości własnych

[numberOfTrials, numberOfChannels, numberOfSamples] = size(signal);

%% KROK 1: Zbuduj macierz referencyjną S (sinusy i cosinusy harmonicznych)
% S ma wymiary: próbki × 2*numberOfHarmonics
% Każda kolumna to jeden wersor (unormowany sinus lub cosinus).
% Wróć do sekcji Teoria powyżej i przełóż tamten kod na tę funkcję.

% TUTAJ

%% KROK 2: Oblicz średnie macierze kowariancji C_SSEP i C_Y
% Dla każdego powtórzenia wytnij sygnał x (kanały × próbki),
% rozłóż go na składową SSEP i resztę Y zgodnie z równaniami z sekcji Teoria,
% oblicz macierze kowariancji obu składowych, znormalizuj przez ślad
% i uśrednij po powtórzeniach.

C_SSEP = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
C_Y = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for trial = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(trial, :, :)); % kanały × próbki

% TUTAJ: oblicz SSEP i Y

% TUTAJ: oblicz kowariancje, znormalizuj, dodaj do C_SSEP i C_Y
end

% TUTAJ: podziel C_SSEP i C_Y przez numberOfTrials

%% KROK 3: Rozwiąż uogólnione zagadnienie własne
% Znajdź filtry przestrzenne maksymalizujące stosunek mocy SSEP do mocy Y.
% Analogia z CSP: jakie macierze wstawiłeś do eig() tam?

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

end
</source>

;Wskazówka do interpretacji wyników:
Filtr związany z największą wartością własną daje komponent
o największym stosunku mocy SSEP do mocy tła.
Sprawdź na widmach Welcha czy odpowiada on składowej
z wyraźnym pikiem przy częstości stymulacji.

{{hidden begin|title=Rozwiązanie — pokaż dopiero po samodzielnej próbie}}
<source lang="matlab">
function [W, Lambda] = cosSinCSP(signal, stimulationFrequency, numberOfHarmonics, Fs)

[numberOfTrials, numberOfChannels, numberOfSamples] = size(signal);

%% KROK 1: Macierz referencyjna S
t = (0:1:numberOfSamples-1) / Fs;
S_ref = zeros(numberOfSamples, 2*numberOfHarmonics);

for harmonicNumber = 1:numberOfHarmonics
c = cos(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
s = sin(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
S_ref(:,(harmonicNumber-1)*2 + 1) = c/norm(c);
S_ref(:,(harmonicNumber-1)*2 + 2) = s/norm(s);
end

%% KROK 2: Średnie macierze kowariancji
C_SSEP = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
C_Y = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for trial = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(trial, :, :)); % kanały × próbki
A = x * S_ref; % projekcja na przestrzeń SSEP
SSEP = A * S_ref'; % rekonstrukcja składowej SSEP
Y = x - SSEP; % reszta

tmp = cov(SSEP');
C_SSEP = C_SSEP + tmp/trace(tmp);

tmp = cov(Y');
C_Y = C_Y + tmp/trace(tmp);
end

C_SSEP = C_SSEP / numberOfTrials;
C_Y = C_Y / numberOfTrials;

%% KROK 3: Uogólnione zagadnienie własne
[W, Lambda] = eig(C_SSEP, C_Y);

end
</source>
{{hidden end}}

===Skrypt demonstracyjny i analiza wyników===

<source lang="matlab">
% wczytujemy dane
load('PrzykladoweDaneSSVEP.mat');

[numberOfTrials numberOfChannels numberOfSamples] = size(X.data);
namesOfChannels = X.channels;

numberOfHarmonics = 3;
signal = X.data; % powtórzenie × kanał × próbki

[W, Lambda] = cosSinCSP(signal, X.stimulation, numberOfHarmonics, X.sampling);

%% Odtworzenie sygnałów źródłowych
S = zeros(size(signal));
for powt = 1:size(signal,1)
S(powt,:,:) = W' * squeeze(signal(powt,:,:));
end

%% Widma Welcha: kanały oryginalne vs źródła CSP
figure('Name', ['Stymulacja: ', num2str(X.stimulation), ' Hz'])
for i = 1:numberOfChannels
subplot(2, numberOfChannels, i)
PP = 0;
for rep = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(rep,i,:));
[Pxx, ff] = pwelch(x, X.sampling, 1, X.sampling, X.sampling);
PP = PP + Pxx;
end
plot(ff(ff<60), PP(ff<60))
title(namesOfChannels{i})

subplot(2, numberOfChannels, numberOfChannels+i)
PP = 0;
for rep = 1:numberOfTrials
s = squeeze(S(rep,i,:));
[Pss, ff] = pwelch(s, X.sampling, 1, X.sampling, X.sampling);
PP = PP + Pss;
end
plot(ff(ff<60), PP(ff<60))
title(['źródło CSP: ', num2str(i)])
xlabel(['\lambda = ', num2str(Lambda(i,i), '%.2f')])
end

%% KROK 4: Mapki topograficzne
% Zidentyfikuj komponent z największą wartością własną.
% Narysuj dwie mapki przy użyciu funkcji topoplot() z pakietu EEGLAB:
%
% (a) Filtr przestrzenny: wagi z jakimi kanały EEG składają się na ten komponent.
% Wskazówka: filtr to kolumna macierzy W.
%
% (b) Topografia źródła: z jakimi wagami komponent dociera do poszczególnych elektrod.
% Wskazówka: topografia zawarta jest w wierszach macierzy odwrotnej do W —
% przypomnij sobie analogiczny krok z analizy CSP dla P300.
%
% Czym różnią się te dwie mapki? Którą łatwiej interpretować fizjologicznie?

% TUTAJ: [~, idx] = max(diag(Lambda));
% TUTAJ: topoplot(...) % filtr
% TUTAJ: topoplot(...) % topografia
</source>

=Sesja 5: ICA jako filtr przestrzenny =

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Sesja wprowadza analizę składowych niezależnych (ICA) jako trzecie
podejście do problemu ślepej separacji źródeł — obok BSS/CSP
i cosSinCSP. Kluczowa różnica: CSP szuka kierunków maksymalizujących
kontrast wariancji między warunkami (kryterium drugiego rzędu),
ICA szuka składowych niezależnych statystycznie, maksymalizując
niegaussowość (kryterium wyższego rzędu). ICA nie wymaga
dwóch warunków eksperymentalnych — działa na jednym stacjonarnym sygnale.

;Zakres wykładu (~40 min):
* model generatywny ICA: <math>\mathbf{x} = \mathbf{D}\mathbf{s}</math>, założenie niegaussowości składowych
* negoentropia i algorytm FastICA
* porównanie z CSP: kiedy ICA, kiedy CSP
* ograniczenia: liczba próbek a liczba kanałów (<math>kN^2</math>), niejednoznaczność kolejności i skali komponentów

;Zakres ćwiczenia (~80 min):
* wczytanie danych do EEGLAB, edycja lokalizacji elektrod
* filtrowanie górnoprzepustowe (FIR, 0,5 Hz), zmiana referencji
* obliczenie ICA na całym sygnale
* identyfikacja komponentów zawierających rytm alfa: topografia, widmo, przebieg czasowy
* usunięcie komponentów niezawierających alfy, odtworzenie sygnału na elektrodach
* porównanie wyników między co najmniej trzema uruchomieniami ICA: czy komponenty są powtarzalne?

==Teoria==

===Definicja ===
Independent Component Analysis (ICA) jest metodą statystycznej analizy sygnałów, która dokonuje dekompozycji wielokanałowych zapisów na składowe niezależne w sensie statystycznym.
Dwie składowe ''s''1 i ''s''2 są niezależne jeżeli wiedza o wartości ''s''1 nie daje żadnych informacji o możliwych wartościach ''s''2. ICA może być wyrażona przez prosty model generatywny:
: '''x''' = '''Ds'''
: gdzie '''x''' = {''x''1, ''x''2, ..., ''x''''n''} jest zmierzonym ''n'' kanałowym sygnałem, '''D''' jest macierzą mieszającą zaś '''s''' = {''s''1, ''s''2, ..., ''s''''n''} jest aktywnością ''n'' źródeł. Podstawowym założeniem dotyczącym '''s''' jest to, że ''s''''i'' są statystycznie niezależne. Aby wyestymować model musimy też założyć, że składowe mają niegaussowskie rozkłady wartości (Hyvärinen, 2000).

Dodatkowo model ten zakłada następujące fakty:
# Sygnał jest liniową mieszaniną aktywności źródeł
# Sygnały pochodzące z każdego ze źródeł są niezależne od pozostałych
# Źródła oraz proces ich mieszania są stacjonarne, tzn, ich momenty statystyczne nie zależą od czasu
# Energie (wariancje) źródeł nie mogą być wyznaczone jednoznacznie. Dzieje się tak ponieważ pomnożenie amplitudy ''i''-tego źródła może być uzyskane poprzez przemnożenie albo ''s''''i'' albo przez przemnożenie ''i''-tej kolumny macierzy '''D'''. Naturalnym rozwiązaniem tej niejednoznaczności jest wprowadzenie konwencji, że komponenty są normowane tak aby miały wariancję 1: E[(''s''''i'')''2''] = 1.
# Kolejność komponentów jest dowolna. Bo jeśli w ten sam sposób zmienimy kolejność komponentów w '''s''' i kolumn w '''D''' to dostaniemy dokładnie ten sam sygnał '''x'''.

Głównym wyzwaniem w analizie ICA jest estymacja macierzy mieszającej '''D'''. Gdy jest ona znana to komponenty mogą być wyliczone w następujący sposób:
: '''s''' = '''D'''−1'''x'''

=== Estymacja ===
Znalezienie niezależnych komponentów może być rozważane w świetle Centralnego Twierdzenia Granicznego jako poszukiwanie komponentów o możliwie nie gaussowskim rozkładzie.
Aby zrozumieć to podejście prześledźmy heurystykę zaproponowaną przez (Hyvärinen, 2000).
Dla prostoty załóżmy, że poszukiwane źródła niezależne mają identyczne rozkłady.
Zdefiniujmy

''y'' = '''w'''T'''x'''.

Zauważmy, że jeśli

'''w'''

jest jedną z kolumn macierzy

'''D'''−1,

to ''y'' jest jednym z poszukiwanych komponentów.
Zamieniając zmienne

'''z''' = '''D'''T'''w'''

możemy napisać

''y'' = '''w'''T'''x''' = '''w'''T'''Ds''' = '''z'''T'''s'''.

Uwidacznia to fakt, że ''y'' jest liniową kombinacją składowych s''i'' z wagami danymi przez z''i''.

Z centralnego twierdzenia granicznego wynika, że suma niezależnych zmiennych losowych ma bardziej gaussowski charakter niż każda z tych zmiennych osobno.
Liniowa kombinacja staje się najmniej gaussowska gdy '''z''' ma tylko jeden element niezerowy. W tym przypadku ''y'' jest proporcjonalny do s''i''.
Zatem problem estymacji modelu ICA może być sformułowany jako problem znalezienia takiego wektora '''w''', który maksymalizuje niegaussowskość

''y'' = '''w'''T'''x'''.

Maksymalizacja niegaussowskości ''y'' daje jeden niezależny komponent odpowiadający jednemu z 2''n'' maksimów (bo mamy s''i'' i −s''i'') w krajobrazie optymalizacyjnym. Aby znaleźć wszystkie niezależne komponenty musimy znaleźć wszystkie maksima. Ponieważ komponenty są nieskorelowane, to poszukiwania kolejnych komponentów można kontynuować w podprzestrzeni ortogonalnej do już znalezionych komponentów.

===Obliczenia===
Intuicyjna heurystyka poszukiwania najbardziej niegaussowskich składowych może być użyta do wyprowadzenia różnych funkcji kosztu, których optymalizacja daje model ICA, np. kurtoza.

<math>kurt(y) = E\{y^4\} - 3(E{y^2})^2</math>

Inną miarą gassowskości jest neg-entropia, którą można wyprowadzić z entropii:
Entropia jest miarą średniego zdziwienia wynikiem obserwacji zmiennej losowej:
<math>H(Y) = - \sum_i P(Y= a_i) \log(P(Y=a_i)) </math>

Negentropia jest zdefiniowana:

<math> J(y) = H(y_{gauss}) -H(y)</math>
gdzie <math> y_{gauss} </math> jest gassuwską zmienną losową o takiej samej kowaiancji jak <math> y </math>.

Negentropia jest skomplikowana obliczeniow, więc w praktyce używana jest formuła przybliżona:

<math> J(y) \varpropto [E\{G (y)\} - E\{G(\nu)\}]^2</math>

<math>\nu </math> jest zmienną losową ze standardowego rozkładu normalnego , a G są pewnymi niekwadratowymi funkcjami.

W algorytmie FastICA extremum negentropii jest znajdowane w procedurze bazującej na optymalizacji Newtona.
(szczegóły np.: sekcja 6 w https://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/NN00new.pdf)

Procedura wykorzystywana w eeglabie (&bdquo;runica”, Makeig 1996) dąży do minimalizacji informacji wzajemnej. Oba podejścia są w przybliżeniu równoważne (Hyvärinen, 2000), chociaż owo przybliżenie dla sygnałów elektrofizjologicznych nie zostało to jeszcze w pełni wyeksplorowane.
Dla sygnałów o niskiej wymiarowości i spełniających dokładnie założenia ICA wszystkie powszechnie wykorzystywane algorytmy dają niemal identyczne wyniki.

;Bardzo ważna uwaga: ogólną zasadą jest, że jeśli estymujemy ''N'' stabilnych komponentów (z ''N''-kanałowych danych) to musimy dysponować ''kN''2 punktami danych w każdym kanale, gdzie ''N''2 jest liczbą elementów w macierzy '''D''', którą ICA próbuje wyestymować, ''k'' jest liczbą całkowitą. Nie ma dobrych oszacowań teoretycznych na wielkość ''k'', z praktycznych obserwacji wynika, że rośnie ona z liczbą kanałów.

=== Możliwe zastosowania ===
Najczęściej ICA jest stosowana jako narzędzie do:
* usuwania artefaktów z sygnałów EEG (ruchy oczu i mięśnie)
* wydobywania składowych do dalszej analizy (Onton, 2006)
* jako analiza wstępna do lokalizacji źródeł (Grau, 2007).
* ICA jest także stosowana w analize sygnałów EKG i EMG.

===Bibliografia===
Bazowa praca:
* A. Hyvärinen. Fast and Robust Fixed-Point Algorithms for Independent Component Analysis. IEEE Transactions on Neural Networks 10(3):626-634, 1999 http://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/TNN99_reprint.pdf

Nieco prościej opisana wersja z przykładami:
* Hyvärinen, A. and Oja, E. (2000). Independent component analysis: Algorithms and applications. Neural Networks, 13(4-5):411–430.
https://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/NN00new.pdf

* Grau, C., Fuentemilla, L., Marco-Pallars, J. (2007). Functional neural dynamics underlying auditory event-related n1 and n1 suppression response. Neuroimage, 36(6):522–31.
* Makeig, S., Bell, A., Jung, T.-P., Sejnowski,T. (1996). Independent component analysis of electroencephalographic data. W: Touretzky, D., Mozer, M., and Hasselmo, M., editors, Advances in Neural Information Processing Systems, volume 8, pages 145–151. MIT Press, Cambridge, MA.
* Onton, J., Makeig, S. (2006). Information-based modeling of event-related brain dynamics. Prog Brain Res., 159:99–120.
* Tutorial: http://sccn.ucsd.edu/wiki/Chapter_09:_Decomposing_Data_Using_ICA
* http://sccn.ucsd.edu/~arno/indexica.html
* http://cis.legacy.ics.tkk.fi/aapo/papers/IJCNN99_tutorialweb/

== ZADANIE: Wydobywanie interesujących komponentów ==

Dane do tej części ćwiczeń proszę pobrać i rozpakować w swoim katalogu:
http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Dane_do_ICA_alfa.tar.gz

Pochodzą one z eksperymentu, w którym osoba badana siedziała z zamkniętymi oczami słuchając nagrania czytanego spokojnym głosem. Metadane opisujące sygnał znajdują się w pliku Miro.xml, zaś lokalizacje elektrod w pliku Miro-10-20-Cap.locs.

Proszę:
* wczytać dane do eeglaba
* wyedytować lokalizację elektrod
* usunąć kanały nie zawierające EEG
* zmienić referencje na średnią z kanałów A1 i A2
* przefiltrować filtrem FIR górnoprzepustowym z częstością odcięcia 0,5 Hz
* obejrzeć wstępnie przygotowane dane
* policzyć ICA na całym sygnale
* obejrzeć właściwości otrzymanych komponentów
** Czy są wśród nich takie, które zawierają znaczny udział rytmu alfa?
** Jaka jest ich topografia?
* usunąć wszystkie komponenty nie zawierające alfy
* odtworzyć z tych komponentów sygnał na elektrodach
* wykonać dekompozycję ICA kilkukrotnie (co najmniej 3) i porównać wyniki
** Czy uzyskiwane komponenty są powtarzalne?
** Swoje wyniki porównać też z sąsiednimi grupami.

==ZADANIE: Identyfikacja artefaktów ==
Proszę pobrać dane:

*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal-10-20-Cap.locs
*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal1.set
*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal1.fdt

Pochodzą one z eksperymentu w którym osoba badana czytała słowa o różnych właściwościach wzbudzania emocji.

* wczytaj je do eeglaba
* wczytaj lokalizację kanałów z pliku Arousal-10-20-Cap.locs
* obejrzyj przebiegi czasowe
* odrzuć kanał z diodą (21) i z GSR (20)
* zrób dekompozycję ICA
* obejrzyj topografię komponentów
* zidentyfikuj komponenty odpowiadające mruganiu i aktywności mięśniowej.
;UWAGA: Aktualnie do wykrywania komponentów artefaktowych warto posłużyć się wtyczkami do eeglaba dostępnymi przez stronę:

https://sccn.ucsd.edu/eeglab/plugin_uploader/plugin_list_all.php

* ICLabel:
** https://labeling.ucsd.edu/tutorial/overview
** https://github.com/sccn/ICLabel

* MARA:
** https://github.com/irenne/MARA/raw/master/MARAtutorial.pdf
** https://irenne.github.io/artifacts/

=Sesja 6: Problem odwrotny w EEG i MEG=

;Czas: ~60 min wykład + ~90 min ćwiczenie

Sesja wprowadza problem odwrotny jako alternatywne — i komplementarne —
podejście do analizy przestrzennej sygnałów EEG i MEG. O ile BSS/CSP
i ICA szukają filtrów przestrzennych w przestrzeni elektrod,
nie zakładając nic o geometrii mózgu,
to metody problemu odwrotnego wyraźnie osadzają źródła
w przestrzeni trójwymiarowej, korzystając z fizyki i modelu głowy.

Materiały z naszych zasobów:
* [[Elektroencefalografia|Sekcje 3 i 8 z Podręcznika o EEG ]]
* [https://drive.google.com/file/d/1EOJxN1y7X3YlIFHoIIyoZzCiXdrQSHcA Wykład Piotra Durki z Analizy sygnałów o problemie odwrotnym w EEG iMEG]

Z zasobów zewnętrznych polecam:
* [https://download.fieldtriptoolbox.org/workshop/toolkit2025/slides/04_forward_inverse.pdf#page=1.00 Slajdy "Forward and inverse - lecture by Robert Oostenveld" fragment warsztatów: "Advanced MEG/EEG toolkit at the Donders"]

==Kontrast z BSS: dwa języki opisu tego samego zjawiska==

Zarówno BSS/ICA, jak i metody problemu odwrotnego wychodzą
od tego samego modelu generatywnego:
:<math>\mathbf{x}(t) = \mathbf{A}\,\mathbf{s}(t) + \boldsymbol{\varepsilon}(t)</math>
gdzie <math>\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^{N_e}</math> to potencjały na elektrodach,
<math>\mathbf{s}(t) \in \mathbb{R}^{N_s}</math> to aktywność źródeł,
a <math>\mathbf{A}</math> to macierz mieszająca (ang. ''lead field'' lub ''forward matrix'').

Różnica leży w tym, co robimy z macierzą <math>\mathbf{A}</math>:

{| class="wikitable"
|-
! !! BSS / ICA !! Problem odwrotny
|-
| '''Macierz A''' || nieznana; estymowana z danych || obliczona z modelu głowy (''forward model'')
|-
| '''Liczba źródeł''' || równa liczbie elektrod || od 1 dipola do ~10 000 wokseli
|-
| '''Geometria''' || brak założeń przestrzennych || źródła zlokalizowane w przestrzeni 3D
|-
| '''Regularyzacja''' || przez kryterium stat. (niezależność, wariancja) || przez regularyzację matematyczną (L2, L1, …)
|-
| '''Wynik''' || filtry przestrzenne + komponenty || mapa aktywności w przestrzeni mózgu
|}

Kluczowa trudność problemu odwrotnego wynika z jego
fundamentalnej niejednoznaczności:

układ równań:

<math>\mathbf{x} = \mathbf{A}\mathbf{s}</math>

jest niedookreślony — przy <math>N_e \approx 19\text{–}256</math> elektrodach
i <math>N_s \sim 10^4</math> możliwych lokalizacjach źródeł
istnieje nieskończenie wiele rozkładów <math>\mathbf{s}</math>
dokładnie odtwarzających zmierzony <math>\mathbf{x}</math>.
Każda metoda nakłada inne założenie ''a priori'', by wybrać jedno rozwiązanie.

==Model do przodu (forward model)==

Zanim można rozwiązać problem odwrotny, należy zbudować
''model do przodu'' — obliczenie potencjałów na elektrodach
wywołanych przez jednostkowe źródło prądowe w danym miejscu mózgu.
Wynik zapisuje się jako macierz ''pola wiodącego'' (''lead field''):
:<math>\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{N_e \times 3N_s}</math>
gdzie czynnik 3 wynika z trzech ortogonalnych składowych momentu dipolowego.

=== Skąd bierze się macierz ''lead field''? ===

Przejdźmy od równań Maxwella do tego, co dosłownie liczą funkcje `ft_prepare_headmodel` / `ft_prepare_leadfield`.

==== 1. Punkt wyjścia: przybliżenie kwazistatyczne ====

=====Pełne równania Maxwella w ośrodku materialnym=====

$$
\begin{aligned}
\nabla \cdot \mathbf{D} &= \rho && \text{(prawo Gaussa)} \\
\nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 && \text{(brak monopoli magnetycznych)} \\
\nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} && \text{(prawo Faradaya)} \\
\nabla \times \mathbf{H} &= \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} && \text{(prawo Ampère'a–Maxwella)}
\end{aligned}
$$

uzupełnione związkami konstytutywnymi dla tkanki traktowanej jako liniowy, lokalnie izotropowy ośrodek:

$$
\mathbf{D} = \varepsilon\,\mathbf{E},\qquad \mathbf{B} = \mu_0\,\mathbf{H},\qquad \mathbf{J} = \sigma\,\mathbf{E} + \mathbf{J}^p
$$

Ostatnia relacja to uogólnione prawo Ohma: prąd swobodny ma część omową (<math>\sigma\mathbf{E}</math>, prądy bierne w przewodniku objętościowym) i część „pierwotną" <math>\mathbf{J}^p</math> pochodzącą od źródeł neuronowych — bo to one *nie* są napędzane lokalnym polem <math>\mathbf{E}</math>, tylko gradientami stężeń jonów.

===== Przybliżenie kwazistatyczne =====

Wprowadzamy harmoniczną zależność czasową <math>e^{i\omega t}</math> i porównujemy człony w równaniach Maxwella. Trzy warunki muszą być spełnione jednocześnie:

**(a) Pomijalny prąd przesunięcia w równaniu Ampère'a. ** Stosunek członu pojemnościowego do omowego to <math>\omega\varepsilon/\sigma</math>. Dla tkanki przy <math>f=100</math> Hz, <math>\sigma\approx 0{,}3</math> S/m, <math>\varepsilon_r\approx 10^5</math> (efektywna wartość niska-częstotliwościowa dla istoty szarej; spada szybko z <math>f</math>):
$$\frac{\omega\varepsilon}{\sigma} = \frac{2\pi\cdot 100\cdot 10^5\cdot 8{,}85\cdot 10^{-12}}{0{,}3}\sim 10^{-3}$$

— bezpiecznie pomijalny w EEG. To pozwala napisać <math>\nabla\times\mathbf{H}\approx\mathbf{J}</math>, a po wzięciu dywergencji:
$$\nabla\cdot\mathbf{J} = 0$$

**(b) Pomijalna indukcja w równaniu Faradaya.** Mówimy, że <math>\partial\mathbf{B}/\partial t</math> jest na tyle małe, że <math>\nabla\times\mathbf{E}\approx 0</math>, więc istnieje potencjał skalarny <math>V</math> z <math>\mathbf{E}=-\nabla V</math>. Można to oszacować z indukcyjności geometrii głowy i wykazać, że pomijany wkład jest o kilka rzędów mniejszy od <math>-\nabla V</math>.

**(c) Brak efektów propagacyjnych.** Długość fali EM przy 100 Hz w próżni to <math>\lambda = c/f\approx 3000</math> km, czyli <math>\lambda \gg L_\text{głowy}</math>. To gwarantuje, że pole „widzi" całą głowę jednocześnie — stąd zerowe przesunięcie fazowe propagacji potencjału przez przewodnik objętościowy.

Co zostaje po przybliżeniu:

$$
\begin{aligned}
\nabla \times \mathbf{E} &= 0 \;\Rightarrow\; \mathbf{E} = -\nabla V \\
\nabla \cdot \mathbf{J} &= 0 \\
\mathbf{J} &= -\sigma\nabla V + \mathbf{J}^p
\end{aligned}
$$

Składając trzy powyższe:

$$
\nabla\cdot\bigl(\sigma(\mathbf{r})\nabla V(\mathbf{r})\bigr) = \nabla\cdot\mathbf{J}^p(\mathbf{r})
$$

Warto przy tym podkreślić, że prawo Gaussa i <math>\nabla\cdot\mathbf{B}=0</math> nie znikają — one są nadal spełnione, ale po prostu nie są nam potrzebne do wyliczenia <math>V</math> na skórze: ładunki swobodne i indukowane policzy się *a posteriori* z <math>\rho = \nabla\cdot(\varepsilon\nabla V)\cdot(-1)</math>, a pole magnetyczne (interesujące dla MEG!) z prawa Biota–Savarta zastosowanego do <math>\mathbf{J}</math>.

Warto tu zauważyć, że kwazistatyka EEG i kwazistatyka MEG to **to samo** przybliżenie — różni je tylko, co wybieramy jako wielkość mierzoną (<math>V</math> na skórze vs. <math>\mathbf{B}</math> na zewnątrz głowy). To samo równanie Poissona generuje oba sygnały, a różnice w czułości na orientację dipola (radialny vs. tangencjalny) wynikają stąd, że potencjał i pole magnetyczne są różnymi funkcjonałami tego samego rozwiązania.

==== 2. Rozszczepienie prądu — gdzie pojawia się „źródło" ====

Gęstość prądu w tkance dzielimy na część „pierwotną" (neuronową) i „objętościową" (omową):

$$\mathbf{J}(\mathbf{r}) = \mathbf{J}^p(\mathbf{r}) - \sigma(\mathbf{r})\,\nabla V(\mathbf{r})$$

<math>\mathbf{J}^p</math> reprezentuje *prądy postsynaptyczne w piramidowych neuronach kory* — to one są naszym „źródłem". Reszta to prądy bierne płynące w przewodniku objętościowym o nieizotropowej, niejednorodnej przewodności <math>\sigma</math>.

Podstawiając do warunku <math>\nabla \cdot \mathbf{J}_\text{tot} = 0</math> dostajemy równanie Poissona dla niejednorodnego przewodnika:

$$\boxed{\;\nabla \cdot \bigl(\sigma(\mathbf{r})\,\nabla V(\mathbf{r})\bigr) = \nabla \cdot \mathbf{J}^p(\mathbf{r})\;}$$

To jest równanie problemu wprost. Cała reszta to:
(a) model źródła,
(b) warunki brzegowe,
(c) sposób rozwiązania.

==== 3. Model źródła: dipol prądowy ====

Dla pojedynczego dipola w <math>\mathbf{r}_0</math> o momencie <math>\mathbf{q}</math>:

$$\mathbf{J}^p(\mathbf{r}) = \mathbf{q}\,\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$$

$$\nabla \cdot \mathbf{J}^p(\mathbf{r}) = \mathbf{q}\cdot\nabla\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$$

Liniowość PDE daje natychmiast kluczową własność: <math>V</math> jest **liniową** funkcją <math>\mathbf{q}</math>. To właśnie ta liniowość pozwala zapisać:

$$\mathbf{v} = \mathbf{L}\,\mathbf{j}$$

gdzie <math>\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{N_\text{el}}</math> to potencjały, <math>\mathbf{j} \in \mathbb{R}^{3N_\text{src}}</math> to momenty dipoli, a <math>\mathbf{L}</math> to *lead field matrix*. Każda kolumna <math>\mathbf{L}</math> to potencjał wywołany jednostkowym dipolem w danym miejscu i o danej orientacji.

==== 4. Warunki brzegowe ====

Na granicy skóra/powietrze prąd nie wypływa:

$$\sigma\,\nabla V \cdot \hat{\mathbf{n}} = 0 \quad \text{na zewnętrznej powierzchni}$$

Wewnątrz, na granicach tkanek o różnym <math>\sigma</math> (mózg–CSF–czaszka–skóra):

$$V \text{ ciągłe},\quad \sigma\nabla V \cdot \hat{\mathbf{n}} \text{ ciągłe}$$

To są te warunki, które „włączają" geometrię i przewodności do problemu — i to one decydują, że czaszka (niskie <math>\sigma</math>, około 1/15–1/80 tkanki miękkiej, do dziś dyskutowane) rozmywa pole tak agresywnie.

==== 5. Metody rozwiązania ====
W pakiecie fieldtrip problem wprostt jest rozwiązywany przez funkcję
`ft_prepare_headmodel` - to fabryka różnych metod rozwiązujących to samo PDE. Wybór `cfg.method` decyduje o paradygmacie matematycznym:

**(a) Rozwiązania analityczne — modele sferyczne** (`'singlesphere'`, `'concentricspheres'`)

Dla geometrii sferycznej z osiową symetrią rozwija się <math>V</math> w szereg wielomianów Legendre'a. Dla 3-warstwowego modelu koncentrycznego dostajemy zamknięty wzór z nieskończonym szeregiem, który w praktyce tnie się po ~40 wyrazach. Berg & Scherg (1994) dali znakomite przybliżenie 3 dipolami w sferze jednorodnej — błyskawicznie szybkie, do dziś używane w MEG. Plus: bardzo szybkie, brak siatkowania. Minus: kula to nie głowa, zwłaszcza w okolicach skroniowych i podstawy.

**(b) BEM — Boundary Element Method** (`'bemcp'`, `'dipoli'`, `'openmeeg'`)

Wykorzystuje się fakt, że w obszarze o stałym <math>\sigma</math> <math>V</math> spełnia równanie Laplace'a, a cały „nietrywialny" wkład można wyrazić jako całkę po powierzchniach granicznych. Z drugiej tożsamości Greena dostajemy całkowe równanie typu Fredholma 2-go rodzaju:

$$V(\mathbf{r}) = V_\infty(\mathbf{r}) + \frac{1}{4\pi}\sum_k \frac{\sigma_k^- - \sigma_k^+}{\bar{\sigma}}\oint_{S_k} V(\mathbf{r}')\,\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\cdot\hat{\mathbf{n}}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,dS'$$

gdzie <math>V_\infty</math> to potencjał dipola w przestrzeni nieograniczonej. Triangulujemy powierzchnie (skóra, czaszka, mózg — czasem CSF) i to równanie zamienia się w układ liniowy. Szybciej niż FEM, ale wymaga założenia odcinkowo stałej przewodności i zakłada izotropię.

**(c) FEM — Finite Element Method** (`'simbio'`, `'duneuro'`)

Cała objętość głowy dyskretyzowana czworościanami/sześciościanami z indywidualnym tensorem <math>\sigma</math> w każdym elemencie (z DTI można wstrzyknąć anizotropię istoty białej!). Sformułowanie wariacyjne daje rzadki układ:

$$\mathbf{K}\mathbf{u} = \mathbf{b}$$

gdzie <math>\mathbf{K}</math> to macierz sztywności zależna od <math>\sigma(\mathbf{r})</math>, a <math>\mathbf{b}</math> niesie informację o źródle. To „złoty standard" pod kątem dokładności, ale kosztowny — dlatego praktycznie zawsze łączony z trikiem z punktu 6.

**(d) FDM** — rzadziej, dziś głównie historycznie.

==== 6. Twierdzenie o wzajemności — dlaczego macierz <math>\mathbf{L}</math> da się liczyć rozsądnie ====

Naiwne podejście: dla każdego z <math>\sim 10^4</math> źródeł i każdej z 3 orientacji odpalić rozwiązywacz PDE. To <math>3\times 10^4</math> rozwiązań. Beznadzieja.

Helmholtzowska zasada wzajemności mówi: potencjał w elektrodzie A wywołany dipolem w punkcie <math>\mathbf{r}_0</math> jest równoważny pewnej wielkości policzonej z
pola elektrycznego wytworzonego w <math>\mathbf{r}_0</math> przez jednostkowy prąd wstrzyknięty między elektrodą A a referencją. Formalnie:

$$V_A(\mathbf{r}_0;\mathbf{q}) = \mathbf{E}^{(A)}(\mathbf{r}_0)\cdot\mathbf{q}$$

gdzie <math>\mathbf{E}^{(A)}</math> to pole „wstrzykniętego" prądu jednostkowego. Konsekwencja: zamiast <math>3N_\text{src}</math> rozwiązań PDE wystarczy <math>N_\text{el}-1</math> rozwiązań (po jednym na elektrodę). Praktycznie wszystkie pakiety BEM/FEM (w tym OpenMEEG, SimBio, DUNEuro) to wykorzystują — i dlatego FEM jest w ogóle wykonalny dla całych siatek źródłowych.

'''Fizyczna intuicja'''

Wyobraź sobie, że potencjał wytworzony przez dipol na danej elektrodzie zależy od tego, jak silnie ta elektroda „widzi" punkt w mózgu. Twierdzenie Helmholtza mówi: jeśli chcesz wiedzieć, jak silnie elektroda widzi dany punkt — odwróć kierunek. Wstrzyknij prąd przez tę elektrodę i sprawdź, jakie pole powstaje w tym punkcie. Im silniejsze pole tam dotrze, tym czulsza jest elektroda na dipol tam ulokowany. Kierunek pola wskazuje też, na jaką orientację dipola elektroda reaguje najsilniej.

==== 7. Co więc dosłownie robi `ft_prepare_headmodel` ====

Tworzy obiekt `headmodel`, który zawiera:
- geometrię (kule albo siatki powierzchniowe, albo objętościową siatkę FEM),
- przewodności poszczególnych warstw,
- a w przypadku BEM/FEM — wstępnie policzony operator dyskretny (np. odwróconą macierz BEM albo czynnik macierzy sztywności FEM z trikiem transferowym wykorzystującym wzajemność).

To jest najdroższa część obliczeń — i robi się ją raz dla danej geometrii. Potem `ft_prepare_leadfield`, dla każdej pozycji źródła w `cfg.sourcemodel`, używa tego operatora, żeby wygenerować trzy kolumny <math>\mathbf{L}</math> (dla orientacji x, y, z). Wynik to `leadfield{i}` o wymiarze <math>N_\text{el}\times 3</math> — czyli dosłownie blok macierzy lead field dla danego wokselu.

---

Podsumowanie:

1. Maxwell → kwazistatyka → „elektrostatyka z prądami"

2. Podział prądu i równanie Poissona (jedyne równanie, którego naprawdę trzeba)

3. Dipol jako model i wynikająca **liniowość** → uzasadnienie wzoru $\mathbf{v}=\mathbf{L}\mathbf{j}$

4. Warunki brzegowe → tu wchodzi anatomia

5. Sfery (analityczne, intuicja) → BEM → FEM jako kolejne stopnie realizmu

6. Wzajemność jako trik obliczeniowy, bez którego niczego by się nie dało policzyć w sensownym czasie

Klasyczne źródła:
- Hallez et al. 2007 *J Neuroeng Rehabil* (review obliczeń forward, bardzo czytelny),
- Mosher et al. 1999 dla zwartego wyprowadzenia,
- oraz dokumentacja OpenMEEG (Gramfort et al. 2010) — tam ścieżka BEM jest wyprowadzona z drugiej tożsamości Greena.
---

=== Programy obliczające model do przodu:===
MNE-Python (<code>mne.make_bem_model</code>), FieldTrip (<code>ft_prepare_headmodel</code>), OpenMEEG.

==Fitowanie dipoli (Dipole Fitting)==

===Idea===
Najprostsze założenie: aktywacja EEG pochodzi z jednego
(lub kilku) ekwiwalentnych dipoli prądowych.
Każdy dipol opisany jest sześcioma parametrami:
trzema współrzędnymi położenia <math>(x,y,z)</math>
i trzema składowymi momentu dipolowego <math>(q_x, q_y, q_z)</math>.

===Formalizm===
Dla pojedynczego dipola o momencie <math>\mathbf{q}(t)</math>
w lokalizacji <math>\mathbf{r}_0</math>:
:<math>\mathbf{x}(t) = \mathbf{a}(\mathbf{r}_0)\,\mathbf{q}(t) + \boldsymbol{\varepsilon}(t)</math>
gdzie <math>\mathbf{a}(\mathbf{r}_0) \in \mathbb{R}^{N_e \times 3}</math>
to kolumna macierzy pola wiodącego odpowiadająca lokalizacji <math>\mathbf{r}_0</math>.

Estymacja polega na minimalizacji reszty:
:<math>\hat{\mathbf{r}}_0 = \arg\min_{\mathbf{r}} \left\|\mathbf{x}(t) - \mathbf{a}(\mathbf{r})\,\hat{\mathbf{q}}(t)\right\|^2</math>
Minimalizację prowadzi się zwykle algorytmem Neldera–Meada
lub Levenberga–Marquardta po przestrzeni lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* gdy źródło jest punktowe lub quasi-punktowe (np. wczesne składowe słuchowych potencjałów wywołanych N20, P25)
* gdy liczba aktywnych źródeł jest z góry znana i mała (1–3 dipole)

;Ograniczenia:
* wrażliwość na punkt startowy — algorytm może utknąć w minimum lokalnym
* złe dopasowanie gdy aktywacja pochodzi z rozległego obszaru kory
* wynik silnie zależy od dokładności modelu do przodu

==Minimum Norm Estimation (MNE)==

===Idea===
Zamiast zakładać małą liczbę dipoli,
rozkładamy aktywność na gęstą siatkę źródeł pokrywającą całą powierzchnię kory
i szukamy rozwiązania o minimalnej normie —
tj. takiego, które odtwarza dane, angażując jak najmniejszą całkowitą energię źródeł.

===Formalizm===
Problem optymalizacji z regularyzacją Tichonowa:
:<math>\hat{\mathbf{s}} = \arg\min_{\mathbf{s}} \left\|\mathbf{x} - \mathbf{A}\mathbf{s}\right\|^2 + \lambda\left\|\mathbf{s}\right\|^2</math>
gdzie <math>\lambda > 0</math> to parametr regularyzacji kontrolujący kompromis
między wiernością danym a gładkością rozwiązania.

Rozwiązanie analityczne:
:<math>\hat{\mathbf{s}} = \mathbf{A}^T\left(\mathbf{A}\mathbf{A}^T + \lambda\mathbf{I}\right)^{-1}\mathbf{x}</math>

Macierz <math>\mathbf{W}_{\mathrm{MNE}} = \mathbf{A}^T(\mathbf{A}\mathbf{A}^T + \lambda\mathbf{I})^{-1}</math>
jest liniowym filtrem przestrzennym — analogiem macierzy <math>\mathbf{W}</math> z CSP,
lecz skonstruowanym na podstawie modelu do przodu, nie z danych.

===Warianty===

;dSPM (''dynamic Statistical Parametric Mapping'', Dale 2000):
Normalizuje estymowaną aktywność przez odchylenie standardowe szumu:
:<math>F_{\mathrm{dSPM}}(\mathbf{r}, t) = \frac{\hat{s}(\mathbf{r},t)}{\sigma_{\mathrm{noise}}(\mathbf{r})}</math>
Wynik ma interpretację statystyczną (wartość F lub Z); popularne w neurobiologii poznawczej.

;sLORETA (''standardized LORETA'', Pascual-Marqui 2002):
Normalizuje przez odchylenie standardowe samego estymatora MNE (nie tylko szumu):
:<math>F_{\mathrm{sLORETA}}(\mathbf{r}, t) = \frac{\hat{s}(\mathbf{r},t)}{\sqrt{\left[\mathbf{W}_{\mathrm{MNE}}\mathbf{A}\right]_{(\mathbf{r},\mathbf{r})}}}</math>
Wykazuje zerowe systematyczne błędy lokalizacji w warunkach idealnych.

;Wybór <math>\lambda</math>:
Zwykle <math>\lambda = \alpha \cdot \mathrm{tr}(\mathbf{A}\mathbf{A}^T) / \mathrm{tr}(\mathbf{I})</math>
z <math>\alpha \in [0.05, 0.3]</math>; w MNE-Python domyślnie <math>\alpha = 0.1</math>.
Można też stosować kryterium L-krzywej lub walidację krzyżową.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* gdy aktywacja jest rozproszona lub nieznana a priori
* jako ogólne narzędzie wizualizacji ERP na powierzchni kory
* przy małej liczbie elektrod

;Ograniczenia:
* tendencja do rozmywania rozwiązania — źródła głębokie są systematycznie niedoszacowane
* brak zakładanej rzadkości (''sparsity''); wariant L1 (MCE) jest rzadszy, ale trudniejszy obliczeniowo
* wymaga dobrego modelu do przodu

==Beamformery==

===Idea===
Beamformer (dosł. „formowanie wiązki") to adaptacyjny filtr przestrzenny,
który dla każdej lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>
konstruuje wagi <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math> maksymalizujące
stosunek mocy sygnału z tej lokalizacji do mocy wszystkich pozostałych źródeł.
W odróżnieniu od MNE, beamformer korzysta z macierzy kowariancji danych —
jest więc metodą adaptacyjną, zbliżoną duchem do CSP.

===LCMV (''Linearly Constrained Minimum Variance'', Van Veen 1997)===

Szukamy filtra minimalizującego wariancję wyjścia
przy ograniczeniu zachowującym sygnał z lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>:
:<math>\mathbf{w}^*(\mathbf{r}) = \arg\min_{\mathbf{w}} \mathbf{w}^T\mathbf{C}\mathbf{w}
\quad \text{p.o.} \quad \mathbf{w}^T\mathbf{a}(\mathbf{r}) = 1</math>
gdzie <math>\mathbf{C} = E[\mathbf{x}\mathbf{x}^T]</math> to macierz kowariancji danych.

Rozwiązanie analityczne (mnożnik Lagrange'a):
:<math>\mathbf{w}(\mathbf{r}) = \frac{\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}{\mathbf{a}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}</math>

Moc w lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>:
:<math>P(\mathbf{r}) = \mathbf{w}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}\,\mathbf{w}(\mathbf{r})
= \frac{1}{\mathbf{a}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}</math>

===DICS (''Dynamic Imaging of Coherent Sources'', Gross 2001)===

Wariant beamformera dla analizy częstotliwościowej:
zamiast macierzy kowariancji czasowej stosuje
''cross-spectral density matrix'' <math>\mathbf{C}(f)</math>
obliczoną dla wybranego pasma częstości.
Pozwala mapować koherencję między lokalizacjami na powierzchni kory.

===Analogia z CSP===

Zauważmy analogię strukturalną:

{| class="wikitable"
|-
! !! CSP !! LCMV Beamformer
|-
| '''Macierz kowariancji''' || <math>\mathbf{R}_T, \mathbf{R}_{NT}</math> (dwa warunki) || <math>\mathbf{C}</math> (jeden warunek) + <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
|-
| '''Filtr''' || <math>\mathbf{w}</math>: maks. stosunek wariancji || <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math>: min. wariancja przy ograniczeniu
|-
| '''Przestrzeń''' || elektrod || przestrzeni mózgu (woksel po wokselu)
|-
| '''Model do przodu''' || nie || tak — przez <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
|}

Kluczowa różnica: CSP optymalizuje globalnie jednym zagadnieniem własnym,
beamformer rozwiązuje osobny problem dla każdej lokalizacji.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* analiza ERD/ERS (rytmy ruchowe, alfa, beta) w przestrzeni mózgu
* lokalizacja źródeł oscylacyjnych w MEG
* DICS do badania koherencji korowo-korowej

;Ograniczenia:
* silnie skorelowane źródła są tłumione (''source cancellation'') — beamformer zakłada, że źródła są nieskorelowane
* wymaga dużej liczby próbek do stabilnej estymacji <math>\mathbf{C}^{-1}</math>
* przy małej liczbie elektrod macierz <math>\mathbf{C}</math> może być źle uwarunkowana

;Podsumowanie:
[[Plik:Inverse problem vs bss.png|mały|centruj]]

==Podsumowanie: kiedy stosować którą metodę==

{| class="wikitable"
|-
! Metoda !! Założenie a priori !! Dane wejściowe !! Typowe zastosowanie
|-
| '''Dipole fitting''' || 1–3 punktowe źródła || ERP, AEP, SEP || lokalizacja wczesnych składowych wywołanych
|-
| '''MNE / dSPM / sLORETA''' || minimalna energia; źródła ciągłe || ERP, dowolny sygnał || wizualizacja rozproszonej aktywności na korze
|-
| '''LCMV Beamformer''' || źródła nieskorelowane || ERD/ERS, dane resting-state || lokalizacja źródeł oscylacyjnych w MEG/EEG
|-
| '''DICS''' || j.w. + analiza spektralna || dane oscylacyjne || mapa koherencji korowo-korowej
|-
| '''CSP / ICA''' || brak modelu geometrycznego || dwa warunki / jeden segment || klasyfikacja BCI, usuwanie artefaktów
|}

;Uwaga praktyczna:
Wszystkie metody problemu odwrotnego wymagają przygotowania modelu do przodu.
Zaleca się korzystanie z MNE-Python lub FieldTrip — oba pakiety
oferują spójne pipeline'y od surowych danych do map korowych
i są szeroko stosowane w literaturze, co ułatwia replikację wyników.

=Sesja 7: Problem odwrotny — część praktyczna=

;Czas: ~30 min wprowadzenie + ~120 min ćwiczenie

Część praktyczna prowadzi przez pełny pipeline lokalizacji źródeł:
od wczytania danych w FieldTrip, przez zbudowanie modelu do przodu,
do fitowania dipola i interpretacji wyniku.
Sesja jest zaprojektowana tak, aby każdy krok bezpośrednio ilustrował
jeden element teorii omówionej w [[#Sesja 7: Problem odwrotny w EEG i MEG|części wykładowej]].

;Dane:
Używamy standardowego zestawu danych FieldTrip
(dane somatosensoryczne MEG/EEG, bodziec elektryczny na nadgarstku — składowa N20):
* https://download.fieldtriptoolbox.org/tutorial/Subject01.zip (~800 MB)

Ten sam zestaw danych jest używany we wszystkich tutorialach FieldTrip
wymienionych w tej sesji, co ułatwia porównywanie wyników między krokami.

;Instalacja FieldTrip: Wymagania wstępne:
FieldTrip wymaga MATLABa. Przed instalacją sprawdź kompatybilność swojej wersji:
[https://www.fieldtriptoolbox.org/faq/matlab/requirements MATLAB requirements]

;Pobranie toolboxa: Pobierz najnowszą wersję ze strony:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/download.php Pobierz FieldTrip]

Rozpakuj archiwum ZIP w wybranym katalogu, np. <code>~/matlab/fieldtrip</code> (Linux/macOS).

;Ważne: nie zmieniaj wewnętrznej struktury katalogów po rozpakowaniu —
FieldTrip dynamicznie zarządza swoimi podkatalogami.

;Konfiguracja ścieżki MATLAB: Pełna instrukcja: [https://www.fieldtriptoolbox.org/faq/matlab/installation Installation and setting up the path]

Uruchom poniższe polecenia na początku każdej sesji pracy z FieldTrip
(lub wstaw je do pliku <code>startup.m</code> — patrz niżej):

<source lang="matlab">
restoredefaultpath % wyczyść aktualną ścieżkę
addpath('~/fieldtrip') % podaj tu swoją ścieżkę do FieldTrip
ft_defaults % skonfiguruj FieldTrip i minimalne podkatalogi
</source>

;Uwaga — częsty błąd:
Nie używaj <code>addpath(genpath(...))</code> ani przycisku „Add with Subfolders" w MATLAB GUI.
FieldTrip samodzielnie dodaje potrzebne podkatalogi przez <code>ft_defaults</code>
i <code>ft_hastoolbox</code> — dodanie wszystkiego ręcznie powoduje konflikty
z funkcjami SPM, EEGLAB i wbudowanymi funkcjami MATLABa
(w szczególności z funkcjami z katalogu <code>fieldtrip/compat</code>
przeznaczonymi tylko dla starych wersji MATLABa).

;Trwała konfiguracja przez startup.m:

Żeby nie powtarzać powyższych poleceń przy każdym uruchomieniu MATLABa,
utwórz plik <code>startup.m</code> w swoim katalogu MATLABa
(zwykle <code>Dokumenty/MATLAB/startup.m</code>) z zawartością:

<source lang="matlab">
restoredefaultpath
addpath('C:\fieldtrip') % zmień na swoją ścieżkę
ft_defaults
</source>

MATLAB wykonuje ten plik automatycznie przy każdym uruchomieniu.

;Uwaga dla użytkowników EEGLAB: Jeśli korzystasz z EEGLAB i FieldTrip w tej samej sesji,
zawsze ładuj FieldTrip przez <code>restoredefaultpath</code> + <code>addpath</code> + <code>ft_defaults</code>,
a nie przez interfejs EEGLAB. Oba toolboxy zawierają funkcje o tych samych nazwach
(np. <code>eegplot</code>, <code>topoplot</code>) — kolejność na ścieżce decyduje,
która wersja zostanie wywołana.

;Weryfikacja instalacji: Sprawdź poprawność instalacji jednym poleceniem:

<source lang="matlab">
ft_defaults
ft_version
</source>

Powinieneś zobaczyć numer wersji i datę kompilacji, np.:
<pre>
FieldTrip version 20250901, path: C:\fieldtrip
</pre>

Jeśli MATLAB zgłasza błąd <code>Undefined function 'ft_defaults'</code>,
ścieżka nie została ustawiona poprawnie — wróć do kroku z <code>addpath</code>.

==Krok 0: Wejście do FieldTrip==

Przed właściwym ćwiczeniem proszę zapoznać się z tutorialem wprowadzającym:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/intro/introduction/ Introduction to the FieldTrip toolbox]

;Na co zwrócić uwagę przechodząc ten tutorial:

Studenci znający EEGLAB natkną się na dwie zasadnicze różnice w filozofii pracy:

* '''Struktura cfg''' zamiast GUI. Każda funkcja FieldTrip przyjmuje strukturę konfiguracyjną <code>cfg</code> i zwraca nową strukturę danych. Nie ma okien dialogowych — cała analiza jest skryptem. Jest to bliższe temu, co robiliśmy w MATLAB-owych sesjach CSP/ICA.

* '''Niezmienność danych'''. FieldTrip nie modyfikuje struktur w miejscu — każde wywołanie funkcji zwraca nową strukturę. Pozwala to łatwo porównywać wyniki różnych parametrów, ale wymaga dbałości o nazewnictwo zmiennych.

;Pytanie do dyskusji po lekturze:
Jak odpowiadają sobie nawzajem: <code>EEG.data</code> w EEGLAB i struktura <code>data</code> w FieldTrip?
Gdzie w strukturach FieldTrip przechowywane są informacje o lokalizacji elektrod?

==Krok 1: Model do przodu — BEM dla EEG==

Przed fitowaniem dipola musimy obliczyć macierz pola wiodącego <math>\mathbf{A}</math>.
Proszę przejść tutorial:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/headmodel_eeg_bem Construct a BEM headmodel for EEG source analysis]

;Cel tego kroku:
Zrozumieć skąd pochodzi kolumna <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
używana we wszystkich metodach Sesji 7.
Każda kolumna <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math> mówi: „jeśli w miejscu <math>\mathbf{r}</math>
znajdowałby się dipol o jednostkowym momencie,
to jakie potencjały zmierzylibyśmy na każdej z elektrod?"

;Kluczowe funkcje FieldTrip w tym kroku:
<source lang="matlab">
% Segmentacja MRI na trzy tkanki (skóra, czaszka, mózg)
cfg = [];
cfg.output = {'brain','skull','scalp'};
segmentedmri = ft_volumesegment(cfg, mri);

% Budowanie siatki trójkątów BEM
cfg = [];
cfg.tissue = {'brain','skull','scalp'};
cfg.numvertices = [3000 2000 1000];
bnd = ft_prepare_mesh(cfg, segmentedmri);

% Obliczenie modelu do przodu metodą BEM (OpenMEEG)
cfg = [];
cfg.method = 'openmeeg';
cfg.conductivity = [0.33 0.0041 0.33]; % mózg, czaszka, skóra [S/m]
headmodel = ft_prepare_headmodel(cfg, bnd);
</source>

;Na co zwrócić uwagę:
* Stosunek przewodności czaszka/mózg wynosi tu ~1/80.
Jak myślisz, jak bardzo błąd w tym parametrze wpłynie na lokalizację źródeł?
* Funkcja <code>ft_prepare_mesh</code> tworzy trzy zagnieżdżone siatki.
Jak ma się to do opisu BEM z wykładu?

==Krok 2: Fitowanie dipola (ćwiczenie główne)==

;Czas: ~90 min

To jest główne ćwiczenie praktyczne Sesji 7.
Proszę przejść tutorial:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/dipolefitting Dipole fitting of combined MEG/EEG data]

Poniżej znajdziesz szkielet kodu z pytaniami pomocniczymi
do samodzielnego wypełnienia — zacznij od tutorialu,
a potem wróć do szkieletu i uzupełnij brakujące fragmenty.

===Szkielet kodu — fitowanie dipola dla składowej N20===

<source lang="matlab">
%% KROK A: Wczytanie i preprocessing danych EEG
% Dane: Subject01.zip (patrz wyżej)
% Używamy tylko kanałów EEG, odrzucamy MEG.

cfg = [];
cfg.dataset = 'Subject01.ds';
cfg.trialdef.eventtype = 'backpanel trigger';
cfg.trialdef.eventvalue = 3; % bodziec na lewym nadgarstku
cfg.trialdef.prestim = 0.1;
cfg.trialdef.poststim = 0.3;
cfg = ft_definetrial(cfg);

cfg.channel = 'EEG';
cfg.continuous = 'yes';
cfg.demean = 'yes';
cfg.baselinewindow = [-0.1 0];
data = ft_preprocessing(cfg);

%% KROK B: Uśrednianie — potencjał wywołany
% TUTAJ: użyj ft_timelockanalysis aby obliczyć ERP (średnią po powtórzeniach)
% Wynik zapisz jako 'timelock'

% TUTAJ

%% KROK C: Wczytanie modelu do przodu i lokalizacji elektrod
% Zakładamy, że headmodel i elec zostały obliczone w Kroku 1.
% Jeśli nie — można użyć gotowego modelu z paczki danych Subject01.

load('standard_bem.mat'); % headmodel
load('Subject01_elec.mat'); % lokalizacje elektrod (po dopasowaniu do MRI)

%% KROK D: Przygotowanie siatki poszukiwań (grid)
% Definiujemy siatkę regularną 1 cm wewnątrz mózgu.
% ft_prepare_sourcemodel oblicza też macierz pola wiodącego A
% (tzw. leadfield) dla każdego punktu siatki.

cfg = [];
cfg.headmodel = headmodel;
cfg.elec = elec;
cfg.resolution = 1; % odstęp siatki w cm
cfg.unit = 'cm';
sourcemodel = ft_prepare_sourcemodel(cfg);

%% KROK E: Fitowanie dipola
% Szukamy jednego dipola najlepiej wyjaśniającego topografię N20.
% Okno czasowe 0.016–0.022 s odpowiada składowej N20.

cfg = [];
cfg.latency = [0.016 0.022]; % okno N20 w sekundach
cfg.numdipoles = 1;
cfg.headmodel = headmodel;
cfg.elec = elec;
cfg.sourcemodel = sourcemodel;
cfg.nonlinear = 'yes'; % optymalizacja nieliniowa po przestrzeni

% TUTAJ: source = ft_dipolefitting(cfg, timelock);

%% KROK F: Wizualizacja wyniku
% Nałożenie lokalizacji dipola na MRI anatomiczne.

load('standard_mri.mat'); % MRI w tym samym układzie współrzędnych

cfg = [];
cfg.location = source.dip.pos; % współrzędne znalezionego dipola [x y z]

% TUTAJ: ft_sourceplot(cfg, mri);

%% KROK G: Ocena dopasowania
% Goodness of fit (GoF) mówi jaka część wariancji danych
% jest wyjaśniona przez znaleziony dipol.
% Wartość > 0.85 uznaje się za dobre dopasowanie.

fprintf('Goodness of fit: %.1f%%\n', source.dip.rv * 100);
% Uwaga: w FieldTrip rv to residual variance (1 - GoF).
% Dobry dipol ma rv < 0.15.

disp('Lokalizacja dipola [x y z] w mm:')
disp(source.dip.pos)

disp('Moment dipolowy [qx qy qz]:')
disp(source.dip.mom)
</source>

===Zadania do samodzielnej realizacji===

;Zadanie 1 (obowiązkowe): Pipeline i lokalizacja
Uzupełnij brakujące fragmenty szkieletu (kroki B i E–F).
Gdzie na MRI ląduje znaleziony dipol? Czy odpowiada to oczekiwanej anatomii
składowej N20 (pierwotna kora somatosensoryczna S1, okolica bruzdy centralnej)?

;Zadanie 2 (obowiązkowe): Wpływ okna czasowego
Zmień <code>cfg.latency</code> kolejno na:
* <code>[0.016 0.022]</code> — okno N20
* <code>[0.025 0.035]</code> — okno P25
* <code>[0.045 0.060]</code> — okno N45
Czy lokalizacja dipola zmienia się między tymi składowymi?
Jak zmienia się GoF? Co to mówi o tym, która składowa jest lepiej opisana modelem jednego dipola?

;Zadanie 3 (obowiązkowe): Dwa dipole
Zmień <code>cfg.numdipoles = 2</code> i powtórz fitowanie dla okna N20.
Czy model dwóch dipoli daje istotnie lepszy GoF niż jeden?
Jak interpretujesz dwa znalezione źródła?

;Zadanie 4 (dla chętnych): Wrażliwość na model do przodu
FieldTrip pozwala użyć uproszczonego modelu sferycznego
zamiast BEM: ustaw <code>cfg.headmodel</code> na model jednorodnej sfery
(<code>cfg.method = 'singlesphere'</code> w <code>ft_prepare_headmodel</code>).
O ile zmienia się lokalizacja dipola N20?
Czy GoF wzrasta czy maleje?

;Pytania do dyskusji:
* Fitowanie dipola wymaga podania okna czasowego — dlaczego?
Co stałoby się gdybyśmy dopasowywali dipol do całej epoki (−100 do +300 ms)?
* Algorytm minimalizacji może utknąć w minimum lokalnym.
Jak <code>cfg.sourcemodel</code> (siatka) pomaga temu zaradzić?
Jaki jest kompromis między rozdzielczością siatki a czasem obliczeń?
* Porównaj mapę topograficzną ERP w oknie N20
z mapą rekonstruowaną z dopasowanego dipola (wywołaj <code>ft_dipolefitting</code>
z opcją <code>cfg.dipfit.display = 'yes'</code>).
Czy widzisz różnicę? Skąd ona pochodzi?

==Krok 3: Dalsze metody — dla zainteresowanych==

Poniższe tutoriale stanowią naturalne rozwinięcie ćwiczenia głównego
i ilustrują pozostałe metody omówione w teorii Sesji 7.
Nie są wymagane na zaliczenie, ale gorąco je polecamy
jeśli planujesz używać lokalizacji źródeł w pracy badawczej.

;Minimum Norm Estimation:
[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/minimumnormestimate Source reconstruction of event-related fields using minimum-norm estimation]

Ten sam sygnał N20 co w ćwiczeniu głównym, ale zamiast jednego dipola
otrzymujesz ciągłą mapę aktywności na całej powierzchni kory.
Zwróć uwagę jak wybór parametru regularyzacji <math>\lambda</math>
wpływa na rozmycie rozwiązania.
Porównaj lokalizację maksimum mapy MNE z lokalizacją dipola z Kroku 2.

;Beamformer (LCMV/DICS):
[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/beamformer Localizing oscillatory sources in MEG data using a beamformer]

Tutorial wykorzystuje ten sam zestaw danych Subject01
i lokalizuje źródła oscylacji gamma wywołanych bodźcem —
bezpośrednie rozwinięcie analizy ERD/ERS, którą już znasz.
Kluczowa różnica w stosunku do MNE: beamformer korzysta
z macierzy kowariancji danych <math>\mathbf{C}</math>,
a nie tylko z modelu do przodu. Sprawdź jak wyglądają
filtry przestrzenne <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math> dla różnych lokalizacji
i porównaj je koncepcyjnie z filtrami CSP z Sesji 1–3.











-->

Laboratorium EEG/CSP

2026-05-14T08:22:48Z

Jarekz: /* 6. Twierdzenie o wzajemności — dlaczego macierz \mathbf{L} da się liczyć rozsądnie */

[[Laboratorium_EEG]]/BSS

=Sesja 1: Ślepa separacja źródeł i CSP — wprowadzenie=

;Czas: ~60 min wykład + ~90 min ćwiczenie symulacyjne

Zajęcia wprowadzają do problemu filtracji przestrzennej sygnałów EEG.
Punktem wyjścia jest ogólny problem ślepej separacji źródeł (BSS),
z którego CSP wyłania się jako szczególny przypadek dla dwóch warunków
eksperymentalnych. Filtry przestrzenne omawiane na tych zajęciach stanowią
fundament klasycznych metod BCI (P300, SSVEP, motor imagery) oraz są
bezpośrednim odpowiednikiem warstw przestrzennych w sieciach neuronowych
takich jak ShallowConvNet i EEGNet — do tej analogii wrócimy w sesji 6.

[https://drive.google.com/file/d/1WrXgWWDJ7g5ZdYltm_8s2NXbGamw4R8N/view?usp=sharing Slajdy do wykładu (PDF)]

;Zakres wykładu:
* model generatywny EEG: <math>x(t) = As(t)</math>, macierz kowariancji, idea diagonalizacji
* BSS jako ogólny problem separacji źródeł
* CSP jako szczególny przypadek: dwa warunki eksperymentalne, iloraz Rayleigha, uogólnione zagadnienie własne
* interpretacja filtrów i topografii źródeł

;Ćwiczenie symulacyjne:
Zob. [[#Ćwiczenie symulacyjne|Ćwiczenie symulacyjne]] w sekcji CSP poniżej.

====Ćwiczenie symulacyjne ====
====Zadania do samodzielnej realizacji====

Poniższy kod dostarcza gotowej infrastruktury: generacji sygnałów, macierzy mieszającej i wizualizacji.
Zadaniem jest samodzielna implementacja kluczowych kroków analizy CSP.

;Zadanie 1 (obowiązkowe): Obliczenie macierzy kowariancji
Napisz funkcję <code>srednia_kowariancja(X, ind)</code>, która dla danej tablicy sygnałów <code>X</code>
(wymiary: powtórzenia × kanały × próbki) i wektora indeksów czasowych <code>ind</code>
zwraca średnią macierz kowariancji uśrednioną po powtórzeniach.
Dla każdego powtórzenia zastosuj funkcję <code>cov</code> i znormalizuj wynik przez jego ślad (<code>trace</code>).
Sprawdź wynik porównując z macierzami <code>R_B</code> i <code>R_E</code> obliczonymi w dostarczonym kodzie.

;Zadanie 2 (obowiązkowe): Implementacja CSP
Korzystając z funkcji <code>eig</code> oraz macierzy kowariancji obliczonych w zadaniu 1,
wyznacz macierz filtrów przestrzennych <code>W</code> i odpowiadające im wartości własne.
Odtwórz sygnały źródłowe dla wszystkich powtórzeń.
Narysuj chmury punktów (amplituda źródła 1 vs amplituda źródła 2) osobno dla warunków
baseline i ERP — przed transformacją CSP i po niej. Co zmieniło się w kształcie chmur?

Wykreśl także wizualizację przebiegów czasowych sygnałów X i sygnałów S uzyskanych po rozmieszaniu.

;Zadanie 3 (obowiązkowe): Interpretacja wartości własnych
Wartości własne znajdują się na przekątnej macierzy <code>Lambda</code>.
Który filtr najbardziej różnicuje warunki baseline i ERP?
Jaki jest związek między wartością własną a separacją widoczną na wykresach punktowych?

;Zadanie 4 (dla chętnych): Wpływ macierzy mieszającej
W dostarczonym kodzie macierz <code>P</code> (filtr przestrzenny) wynosi:
<pre>
P = [1 2; 1.5 1.3]
</pre>
Zmień ją kolejno na macierz bliską jednostkowej (np. <code>P = [1 0.1; 0.1 1]</code>)
oraz na macierz z dużymi elementami pozadiagonalnymi (np. <code>P = [1 5; 4 1]</code>).
Jak zmienia się kształt chmury punktów przed transformacją CSP?
Czy CSP poprawnie oddziela źródła w obu przypadkach?

;Zadanie 5 (dla chętnych): Wpływ szumu
W kodzie szum jest wyłączony: <code>n = 0*randn(size(tmp))</code>.
Usuń mnożnik <code>0*</code> i zbadaj jak poziom szumu wpływa na separację źródeł.
Przy jakim stosunku sygnału do szumu CSP przestaje skutecznie rozdzielać warunki?

;Pytanie do dyskusji:
Dostarczony kod używa <code>eig(R_E, R_B)</code>.
Alternatywą jest <code>eig(R_E, (R_E+R_B)/2)</code>.
Czym różnią się te dwie wersje? W jakich sytuacjach eksperymentalnych
druga wersja mogłaby być bardziej uzasadniona?

====Szkielet kodu do uzupełnienia====

Poniższy szkielet zawiera gotową infrastrukturę symulacji.
Uzupełnij brakujące fragmenty oznaczone komentarzem <code>% TUTAJ</code>
zgodnie z zadaniami 1–3. Pełny kod referencyjny dostępny jest poniżej
— zajrzyj do niego dopiero po samodzielnej próbie.

<source lang="matlab">
%% Parametry symulacji — nie modyfikuj tej sekcji
Fs = 100;
T = 1;
t = 0:1/Fs:T-1/Fs;
N_rep = 100;
N_chan = 2;
s = zeros(N_rep, N_chan, length(t));
X = zeros(N_rep, N_chan, length(t));

P = [1 2; 1.5 1.3]; % filtr przestrzenny (prawdziwy)
A = P^(-1); % topografia źródeł

for r = 1:N_rep
s1 = sin(2*pi*11*t + pi/2) + 0.02*randn(size(t));
s2 = exp(-((t-0.8)/0.05).^2) + 0.01*randn(size(t));
s(r,1,:) = s1;
s(r,2,:) = s2;
tmp = squeeze(s(r,:,:));
n = 0*randn(size(tmp)); % Zadanie 5: zmień 0* na 1* aby włączyć szum
X(r,:,:) = A*tmp + n;
end

baseline_ind = find(t < 0.5);
ERP_ind = find(t >= 0.5);

R_B = zeros(N_chan, N_chan);
R_E = zeros(N_chan, N_chan);

%% Zadanie 1: Oblicz średnie macierze kowariancji
% korzystając z funkcji srednia_kowariancja(X, ind)

% Dla każdego powtórzenia r:
% - wytnij fragment sygnału X(r,:,baseline_ind) i analogicznie ERP
% - oblicz macierz kowariancji funkcją cov() — pamiętaj o transpozycji
% - znormalizuj przez ślad (funkcja trace())
% - dodaj do sumy
% Na końcu podziel przez N_rep

%% Zadanie 2: Rozwiąż uogólnione zagadnienie własne
% Użyj funkcji eig(A,B) gdzie A=R_E, B=R_B
% W wyniku otrzymasz macierz wektorów własnych W (w kolumnach)
% i macierz Lambda z wartościami własnymi na przekątnej

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

disp('Wartości własne (przekątna Lambda):')
disp(diag(Lambda))

%% Zadanie 2 cd.: Odtwórz sygnały źródłowe
% Dla każdego powtórzenia r zastosuj filtr: S(r,:,:) = W' * X(r,:,:)

S = zeros(N_rep, N_chan, length(t));

for r = 1:N_rep
% TUTAJ: S(r,:,:) = ...
end

%% Zadanie 3: Wizualizacja — chmury punktów przed i po CSP
x_base_k1 = X(:,1,baseline_ind);
x_base_k2 = X(:,2,baseline_ind);
x_ERP_k1 = X(:,1,ERP_ind);
x_ERP_k2 = X(:,2,ERP_ind);

s_base_k1 = squeeze(S(:,1,baseline_ind));
s_base_k2 = squeeze(S(:,2,baseline_ind));
s_ERP_k1 = squeeze(S(:,1,ERP_ind));
s_ERP_k2 = squeeze(S(:,2,ERP_ind));

figure(1); clf
subplot(1,2,1)
plot(x_base_k1(:), x_base_k2(:), 'b.'); hold on
plot(x_ERP_k1(:), x_ERP_k2(:), 'r.');
axis equal; xlim([-2 2]); ylim([-2 2])
xlabel('Kanał 1'); ylabel('Kanał 2')
title('Przed CSP')
legend('baseline','ERP')

subplot(1,2,2)
plot(s_base_k1(:), s_base_k2(:), 'b.'); hold on
plot(s_ERP_k1(:), s_ERP_k2(:), 'r.');
axis equal
xlabel('Źródło 1'); ylabel('Źródło 2')
title('Po CSP')
legend('baseline','ERP')
%% Wizualizacja przebiegów czasowych X i S
% TUTAJ:

%% Zadanie 4 (dla chętnych): zmień macierz P powyżej i powtórz analizę
%% Zadanie 5 (dla chętnych): włącz szum (zmień 0* na 1* w linii z n=...)
</source>

{{hidden begin|title=Rozwiązanie — pokaż dopiero po samodzielnej próbie}}
<source lang = matlab>
% symulowany eksperyment składa się z sinusoidy udającej alfę spoczynkową i
% funkcji Gaussa udającego potencjał wywołany
% źródła te są symulowane niezależnie a potem mieszane przez macierz A
% symulujemy źródła
% s1 - symuluje alfę
% s2 - symuluje "potencjał wywołany" (ERP)

%ustawiamy parametry do symulacji sygnałów
Fs = 100;
T = 1;
t = 0:1/Fs:T-1/Fs;
N_rep = 100;
N_chan = 2;
s = zeros(N_rep,N_chan, length(t));
X = zeros(N_rep,N_chan, length(t));

% filtr przestrzenny - z takimi wagami trzeba wziąść kanały EEG aby odzyskać sygnały źródłowe
P = [1 2
1.5 1.3];

% topografie - z takimi wagami źródła dokładają się do poszczególnych elektrod
A = P^(-1);

for r =1:N_rep % tworzymy kolejne realizacje "eksperymentu"
s1 = sin(2*pi*11*t +pi/2+ 0*2*pi*rand())+ 0.02*randn(size(t)); % źródło alfa
s2 = exp(-((t-0.8)/0.05).^2)+ 0.01*randn(size(t)); % źródło ERP

s(r,1,:) = s1;
s(r,2,:) = s2;
tmp = squeeze(s(r,:,:));
n = 0*randn(size(tmp));
X(r,:,:) = A*tmp +n; % rzutujemy sygnały źródłowe na elektrody s -> x

end

% wycinamy warunki
% baseline_ind to indeksy pierwszej połowy każdego powtórzenia "baseline"
% ERP_ind to indeksy drugiej połowy każdego powtórzenia zawierająca "ERP"
baseline_ind = find(t<0.5);
ERP_ind = find(t>=0.5);

x_baseline_kan_1 = X(:,1,baseline_ind);
x_baseline_kan_2 = X(:,2,baseline_ind);

x_ERP_kan_1 = X(:,1,ERP_ind);
x_ERP_kan_2 = X(:,2,ERP_ind);

% liczymy średnie macierze kowariancji:
R_E = zeros(N_chan,N_chan);
R_B = zeros(N_chan,N_chan);
for r =1:N_rep
B = squeeze(X(r,:,baseline_ind));
tmp =cov(B');
R_B = R_B + tmp./trace(tmp);%B*B' ;

E = squeeze(X(r,:,ERP_ind));
tmp = cov(E');
R_E = R_E + tmp./trace(tmp);%E*E' ;
end

R_B = R_B/N_rep;
R_E = R_E/N_rep;

% rozwiązujemy uogólnione zagadnienie własne
[W,Lambda]=eig(R_E,R_B); % możliwa jest też optymalizacja wzg. średniej macierzy kowariancji (R_B+R_A)/2);

% odzyskujemy sygnały źródeł
for r =1:N_rep
S(r,:,:) = W'*squeeze(X(r,:,:));
end

% pobieramy wycinki odpowiadające obu częściom eksperymentu z estymowanych
% źródeł
s_baseline_estymowany_kan1 = squeeze( S(:,1,baseline_ind));
s_baseline_estymowany_kan2 = squeeze( S(:,2,baseline_ind));

s_ERP_estymowany_kan1 = squeeze(S(:,1,ERP_ind));
s_ERP_estymowany_kan2 = squeeze(S(:,2,ERP_ind));

%%%%%%%%%%%%%% Ilustracje %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ilustracja sygnałów mierzonych
figure(1);clf
subplot(2,2,1);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(X(:,1,baseline_ind)))','b'); hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze( X(:,1,ERP_ind)))','r'); hold off
xlabel('elektroda 1')
title('ilustracja sytuacji pomiarowej -\newline znane są potencjały na elektrodach w dwóch warunkach eksperymentalnych')
subplot(2,2,3);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(X(:,2,baseline_ind)))','b'); hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze( X(:,2,ERP_ind)))','r'); hold off
xlabel('elektroda 2')
subplot(1,2,2)
plot(x_baseline_kan_1(:),x_baseline_kan_2(:),'b.');
hold on
plot(x_ERP_kan_1(:),x_ERP_kan_2(:),'r.');
xlim([-2,2])
ylim([-2,2])
axis equal

% wektor własny odpowiadający największej wartości własnej jest
% kierunkiem najbardziej różnicującym warunki eksperymentalne
disp('wartości własne znajdują się na przekątnej macierzy Lambda')
disp(Lambda)
% rysujemy wersory jednostkowe w kierunkach wektorów własnych
w1 = W(:,1);
w1 = w1/norm(w1);
w2 = W(:,2);
w2 = w2/norm(w2);
line([0, w1(1) ],[0,w1(2)],'Color',[0,0.3,0])
text(w1(1),w1(2),'wektor własny 1')
line([0, w2(1) ],[0,w2(2)],'Color',[1,0,1])
text(w2(1),w2(2),'wektor własny 2')

xlabel('Amplituda na elektrodzie 1')
ylabel('Amplituda na elektrodzie 2')
legend('baseline','ERP')

% Ilustracja estymowanych źródeł
figure(2);clf
subplot(2,2,1);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(S(:,1,baseline_ind)))','b');hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze(S(:,1,ERP_ind)))','r');hold off
xlabel('estymowane zrodlo 1')
title('ilustracja estymacji -\newline estymowane są potencjały źródeł w dwóch warunkach eksperymentalnych')
subplot(2,2,3);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(S(:,2,baseline_ind)))','b');hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze(S(:,2,ERP_ind)))','r');hold off
xlabel('estymowane zrodlo 2');
subplot(1,2,2)
plot(s_baseline_estymowany_kan1(:),s_baseline_estymowany_kan2(:),'b.');
hold on
plot(s_ERP_estymowany_kan1(:),s_ERP_estymowany_kan2(:),'r.');

xlabel('Amplituda estym. źródła 1')
ylabel('Amplituda estym. źródła 2')
legend('baseline','ERP')
</source>
{{hidden end}}

=Sesja 2: CSP dla P300 — dane realne=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Pracujemy z danymi kalibracyjnymi z eksperymentu P300.
Celem sesji jest przejście pełnego pipeline'u: od surowych danych
do odtworzonych źródeł CSP.

;Zakres:
* wczytanie danych kalibracyjnych, identyfikacja znaczników T i NT
* cięcie epok (−200 do +800 ms), usuwanie trendu liniowego
* montaż względem średniej ze wszystkich elektrod
* wizualizacja ERP w układzie topograficznym
* obliczenie macierzy kowariancji RT i RNT, normalizacja przez ślad
* rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego: <code>[W, Lambda] = eig(R_T, R_NT)</code>
* odtworzenie sygnałów źródłowych: <code>S = W'*EEG</code>
* przegląd estymowanych źródeł w dwóch warunkach

;Materiały:
Dane: https://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/KalibracjaP300.tar.gz

===ZADANIE: Analiza CSP===

Przegląd badań o P300: https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2715154/

Link do Read menager [https://drive.google.com/file/d/1OgOduK5Zn7GgNl5XdCyLWXHJ7wTJIWcC/view?usp=share_link]

* Wykonać analizę CSP wzmacniającą potencjał P300.
* Zaprezentować średnią ze wszystkich kanałów źródłowych z warunku target (jeden kolor) i non-target (inny kolor) w subplotach ułożonych w prostokątnej siatce. Zaobserwować, dla którego kanału średnie różnią się najbardziej. Czy jest związek tego kanału z wartościami własnymi?

* Dla kanału najbardziej różnicującego wykonać mapki topograficzne wektorów odpowiadających:
** filtrowi przestrzennemu
** rzutu topograficznego źródła na elektrody.

===Szkielet kodu do analizy wstępnej===

<source lang="matlab">
%% KROK 1: Wczytanie danych
% ReadManager to pomocnicza klasa do odczytu plików w formacie OpenBCI.
% Przyjmuje trzy pliki: XML z metadanymi, RAW z próbkami i TAG ze znacznikami zdarzeń.
nazwaPliku = 'p_6301423_calibration_p300.obci';
nameOfXMLFile = strcat(nazwaPliku, '.xml');
nameOfTagFile = strcat(nazwaPliku, '.tag');
namesOfDataFiles = strcat(nazwaPliku, '.raw');

rm = ReadManager(nameOfXMLFile, namesOfDataFiles, nameOfTagFile);

% Pobieramy podstawowe parametry nagrania
numberOfChannels = rm.get_param('number_of_channels');
namesOfChannels = rm.get_param('channels_names');
samplingFrequency = rm.get_param('sampling_frequency');

% Pobieramy listę wszystkich znaczników zdarzeń z nagrania
tagsStruct = rm.get_tags();

%% KROK 2: Identyfikacja znaczników Target i Non-Target
% Każdy znacznik typu 'blink' odpowiada jednemu mignięciu w eksperymencie P300.
% Pole 'index' mówi który symbol mignął, pole 'target' który symbol był oczekiwany.
% Jeśli index == target to było to mignięcie docelowe (Target), w przeciwnym razie
% Non-Target.
targetTimeStamps = [];
NonTargetTimeStamps = [];

for structNumber = 1:length(tagsStruct)
if strcmp(tagsStruct(structNumber).name, 'blink')
index = tagsStruct(structNumber).children.index;
target = tagsStruct(structNumber).children.target;
if index == target
targetTimeStamps = [targetTimeStamps tagsStruct(structNumber).start_timestamp];
else
NonTargetTimeStamps = [NonTargetTimeStamps tagsStruct(structNumber).start_timestamp];
end
end
end

%% KROK 3: Wczytanie i filtrowanie sygnału
samples = double(rm.get_samples());
samples = samples(1:8,:); % odrzucamy kanały bez EEG
numberOfChannels = 8;

% Filtr dolnoprzepustowy Czebyszewa 2. rodzaju — odcięcie 25 Hz
[b, a] = cheby2(6, 80, 25/(samplingFrequency/2), 'low');
for ch = 1:numberOfChannels
samples(ch,:) = filtfilt(b, a, samples(ch,:));
end

%% KROK 4: Montaż względem średniej (common average reference)
% Odejmujemy od każdego kanału średnią ze wszystkich kanałów w danej chwili.
% Jest to prostsze i bardziej ogólne niż montaż względem połączonych uszu.
M = -ones(numberOfChannels, numberOfChannels) / numberOfChannels;
M = M + eye(numberOfChannels) * (numberOfChannels+1) / numberOfChannels;
samples = 0.0715 * M * samples;

%% KROK 5: Cięcie epok
PRE = -0.2;
POST = 0.8;
wycinek = floor(PRE*samplingFrequency : POST*samplingFrequency);

TargetSignal = zeros(length(targetTimeStamps), numberOfChannels, length(wycinek));
NonTargetSignal = zeros(length(NonTargetTimeStamps), numberOfChannels, length(wycinek));

for trialNumber = 1:length(targetTimeStamps)
trigerOnset = floor(targetTimeStamps(trialNumber) * samplingFrequency);
tenWycinek = wycinek + trigerOnset;
if tenWycinek(1) > 0 && tenWycinek(end) <= size(samples,2)
tmpSignal = samples(:, tenWycinek);
tmpSignal = detrend(tmpSignal')'; % usuwanie trendu liniowego
TargetSignal(trialNumber,:,:) = tmpSignal;
end
end

for trialNumber = 1:length(NonTargetTimeStamps)
trigerOnset = floor(NonTargetTimeStamps(trialNumber) * samplingFrequency);
tenWycinek = wycinek + trigerOnset;
if tenWycinek(1) > 0 && tenWycinek(end) <= size(samples,2)
tmpSignal = samples(:, tenWycinek);
tmpSignal = detrend(tmpSignal')';
NonTargetSignal(trialNumber,:,:) = tmpSignal;
end
end

% Oś czasu w milisekundach — przyda się do rysowania
times = (wycinek / samplingFrequency) * 1000;

%% KROK 6: Wizualizacja ERP w układzie topograficznym
% Oblicz potencjały wywołane (ERP) jako średnie po powtórzeniach
ERP_T = squeeze(mean(TargetSignal, 1)); % wymiary: kanały × czas
ERP_NT = squeeze(mean(NonTargetSignal, 1));

% TUTAJ: narysuj ERP_T i ERP_NT dla każdego kanału w subplotach
% ułożonych w siatce odpowiadającej przybliżonym pozycjom elektrod.
% Na każdym subplocie nałóż oba warunki różnymi kolorami.
% Oś X: czas w ms (użyj wektora times), oś Y: amplituda w µV.
% Zadbaj o legendę i tytuły z nazwami kanałów (namesOfChannels).

%% KROK 7: Obliczenie średnich macierzy kowariancji
% Dla każdego powtórzenia oblicz macierz kowariancji funkcją cov(),
% znormalizuj przez jej ślad (trace()), a następnie uśrednij po powtórzeniach.
% Pamiętaj: cov() oczekuje macierzy próbki × kanały, czyli potrzebujesz transpozycji.

R_T = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
R_NT = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for r = 1:length(targetTimeStamps)
% TUTAJ: wytnij r-te powtórzenie T, oblicz kowariancję, znormalizuj, dodaj do R_T
end

for r = 1:length(NonTargetTimeStamps)
% TUTAJ: wytnij r-te powtórzenie NT, oblicz kowariancję, znormalizuj, dodaj do R_NT
end

% TUTAJ: podziel R_T i R_NT przez odpowiednie liczby powtórzeń

%% KROK 8: Rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego
% Szukamy filtrów przestrzennych W maksymalizujących stosunek mocy
% w warunku T względem NT: eig(R_T, R_NT)
% W kolumnach W znajdują się filtry, na przekątnej Lambda — wartości własne.

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

disp('Wartości własne (przekątna Lambda):')
disp(diag(Lambda))

%% KROK 9: Odtworzenie sygnałów źródłowych
% Dla każdego powtórzenia zastosuj filtr przestrzenny:
% s(r,:,:) = W' * x(r,:,:)
% Pamiętaj o wymiarach — squeeze() może być pomocne.

S_T = zeros(size(TargetSignal));
S_NT = zeros(size(NonTargetSignal));

for r = 1:size(TargetSignal, 1)
% TUTAJ: S_T(r,:,:) = ...
end

for r = 1:size(NonTargetSignal, 1)
% TUTAJ: S_NT(r,:,:) = ...
end

%% KROK 10: Wizualizacja estymowanych źródeł
% Narysuj średnie przebiegi źródeł (ERP w przestrzeni CSP) dla obu warunków.
% Ułóż subploty w prostokątnej siatce — jeden subplot na każde źródło.
% Dla którego źródła różnica między T i NT jest największa?
% Czy odpowiada to źródłu z największą wartością własną?

ERP_S_T = squeeze(mean(S_T, 1));
ERP_S_NT = squeeze(mean(S_NT, 1));

% TUTAJ: narysuj ERP_S_T i ERP_S_NT w subplotach
</source>

=Sesja 3: CSP dla P300 — interpretacja i separacja cech=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Kontynuacja analizy CSP. Celem sesji jest interpretacja wyników
w kategoriach fizjologicznych oraz ocena separowalności klas
w przestrzeni cech opartej na mocy sygnału.

;Zakres:
* mapki topograficzne filtra przestrzennego i topografii źródła
* związek wartości własnych z siłą różnicowania warunków T i NT
* wykresy punktowe mocy: oś X — moc składowej z największą wartością własną, oś Y — moc kolejnej składowej; jeden punkt = jedno powtórzenie
* uśrednianie po 2, 4, 6, 8 i 10 realizacjach — obserwacja poprawy separacji wraz z liczbą uśrednień
* dyskusja: utożsamianie komponentów CSP z fizjologicznymi źródłami jest ryzykowne; komponenty maksymalizują kontrast między warunkami, niekoniecznie odpowiadają izolowanym generatorom

;Materiały:
Zob. [[#Szkielet kodu do analizy wstępnej|Szkielet kodu do analizy wstępnej]] i [[#Zadanie: Wybór i separacja cech|Zadanie: Wybór i separacja cech]] poniżej.

===Zadanie: Wybór i separacja cech===
* Przedstaw na rysunkach nałożone na siebie pojedyncze realizacje z warunków target i non-target po rzutowaniu na wektor <math>w</math> odpowiadający największej i kolejnej wartości własnej.
* Przedstaw wykresy punktowe takie, że na jednej osi jest moc sygnału (suma kwadratów wartości próbek w wybranym zakresie czasu) odpowiadającego największej wartości własnej, a na drugiej osi kolejnej (mniejszej) wartości własnej; jeden punkt reprezentuje jedno powtórzenie.
* Wykonaj serię wykresów jak w poprzednim punkcie dla uśrednień sygnałów kolejno po 2, 4, 6, 8 i 10 realizacjach:
** Liczymy potencjał wywołany dla danej liczby powtórzeń.
** Następnie podnosimy wartości próbek do kwadratu
** i sumujemy je w wybranym zakresie czasu.
* Zaobserwuj jak zmienia się separacja w grupach target i non-target.
{{hidden end}}
[https://robintibor.github.io/eeg-deep-learning-phd-thesis/DeepArchitectures.html Archirtektury sieci do BCI: ConvNet]

[https://www.researchgate.net/figure/The-architecture-of-EEGNet-F1-S1-model-F1-and-S1-represent-the-number-of-temporal_fig3_347073448 EEGNet]

=Sesja 4: Filtry przestrzenne dla SSEP — cosSinCSP=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Sesja wprowadza metodę cosSinCSP jako naturalne uogólnienie CSP
o wiedzę dziedzinową dotyczącą sygnału SSEP. W klasycznym CSP
dwa warunki eksperymentalne definiują dwie macierze kowariancji.
W cosSinCSP rolę jednej z macierzy przejmuje projekcja sygnału
na przestrzeń sinusów i cosinusów częstości stymulacji i jej harmonicznych.
Formalizm ilorazu Rayleigha i uogólnionego zagadnienia własnego
pozostaje identyczny.

Dane używane na tych zajęciach pochodzą z eksperymentu SSEP
z archiwum — bez sesji rejestracyjnej. Na wykresach widma
sygnału przed transformacją CSP dominuje artefakt sieciowy 50 Hz,
który praktycznie zasłania odpowiedź na stymulację. Zadaniem
jest sprawdzenie czy cosSinCSP potrafi ten sygnał wydobyć.

;Zakres:
* idea cosSinCSP: macierz S złożona z sinusów i cosinusów harmonicznych, projekcja sygnału na przestrzeń SSEP i resztę Y
* implementacja funkcji <code>cosSinCSP</code> w MATLAB
* analiza danych archiwalnych: widma Welcha dla kanałów oryginalnych i źródeł CSP — porównanie SNR przed i po transformacji
* prezentacja filtrów przestrzennych i topografii źródeł

;Materiały:
Zob. [[#Filtry przestrzenne dla SSEP|Filtry przestrzenne dla SSEP]] poniżej.

==Filtry przestrzenne dla SSEP==

===Teoria===

Ciekawa koncepcja filtra przestrzennego dla SSEP zaprezentowana jest tu: http://www.eurasip.org/Proceedings/Eusipco/Eusipco2009/contents/papers/1569193209.pdf

Pokrótce można ją rozumieć podobnie do tego co robiliśmy rozważając filtry przestrzenne CSP z tym, że dla SSEP oraz innych potencjałów wywołanych stanu ustalonego możemy skorzystać z dodatkowych informacji dotyczących poszukiwanych źródeł. Wiemy mianowicie, że powinny one oscylować z częstością bodźca i być może jej harmonicznych.

Przyda nam się macierz <math>S</math> zbudowana tak, że w kolejnych kolumnach znajdują się sinusy i cosinusy kolejnych częstości harmonicznych. Wektory te unormujemy, żeby miały energię równą 1. Innymi słowy macierz <math>S</math> zbudowana jest z wersorów rozpinających przestrzeń, w której powinien znajdować się sygnał SSEP.

W Matlabie możemy taką macierz zbudować tak:

<source lang="matlab">
% Fs - częstość próbkowania
% numberOfSamples - długość sygnału w próbkach
% numberOfHarmonics - liczba harmonicznych, które chcemy włączyć do analizy
t = (0:1:numberOfSamples - 1) / Fs;
S = zeros(numberOfSamples, 2*numberOfHarmonics);

for harmonicNumber = 1:numberOfHarmonics
c = cos(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
s = sin(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
S(:,(harmonicNumber - 1)*2 + 1) = c/norm(c);
S(:,(harmonicNumber - 1)*2 + 2) = s/norm(s);
end
</source>

Aby w badanym sygnale znaleźć składowe odpowiadające SSEP musimy rzutować sygnał <math>X</math> (macierz sygnałów ''kanały × próbki'') na przestrzeń rozpiętą przez <math>S</math>:
:<math>A = X S</math>
Macierz <math>A</math> zawiera współczynniki będące iloczynami skalarnymi sygnałów i wersorów — mówią one o tym jak dużo sinusa bądź cosinusa o danej częstości jest w pierwotnym sygnale. Komponenty SSEP zawarte w sygnale <math>X</math> odzyskujemy tak:
:<math>\mathrm{SSEP} = A S^T</math>

Modelujemy rejestrowany sygnał jako:
:<math>X = \mathrm{SSEP} + Y</math>
gdzie:
:<math>Y = X - \mathrm{SSEP}</math>
to wszystkie komponenty sygnału, które nas nie interesują.

Filtr przestrzenny, który chcemy zbudować powinien maksymalizować stosunek wariancji <math>\mathrm{SSEP}</math> do wariancji <math>Y</math>. Macierz kowariancji powinna być uśredniona po powtórzeniach, a kowariancja sygnału w każdym powtórzeniu powinna być znormalizowana przez jej ślad. Dalej stosujemy technikę znaną z CSP: maksymalizację ilorazu Rayleigha przez rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego dla macierzy kowariancji <math>\mathrm{SSEP}</math> i <math>Y</math>.

===Zadanie: implementacja funkcji cosSinCSP===

Dane do zadania: [[Plik:PrzykladoweDaneSSVEP.mat.gz]].
Pełny przykład z danymi z eksperymentu SSEP: [[Plik:SSVEP_demo_csp.tar.gz]]

Zaimplementuj funkcję <code>cosSinCSP</code> zgodnie z poniższym szkieletem.
Prawidłowo zaimplementowana funkcja wraz ze skryptem demonstracyjnym poniżej
powinna generować rysunek: [[Plik:Rys_SSVEP_demo.png|400px|podpis grafiki]]

<source lang="matlab">
function [W, Lambda] = cosSinCSP(signal, stimulationFrequency, numberOfHarmonics, Fs)
% cosSinCSP - filtr przestrzenny dla sygnałów SSEP
%
% Wejście:
% signal - dane EEG, wymiary: powtórzenia × kanały × próbki
% stimulationFrequency - częstość stymulacji w Hz
% numberOfHarmonics - liczba harmonicznych do uwzględnienia
% Fs - częstość próbkowania w Hz
%
% Wyjście:
% W - macierz filtrów przestrzennych (kanały × kanały), filtry w kolumnach
% Lambda - macierz diagonalna wartości własnych

[numberOfTrials, numberOfChannels, numberOfSamples] = size(signal);

%% KROK 1: Zbuduj macierz referencyjną S (sinusy i cosinusy harmonicznych)
% S ma wymiary: próbki × 2*numberOfHarmonics
% Każda kolumna to jeden wersor (unormowany sinus lub cosinus).
% Wróć do sekcji Teoria powyżej i przełóż tamten kod na tę funkcję.

% TUTAJ

%% KROK 2: Oblicz średnie macierze kowariancji C_SSEP i C_Y
% Dla każdego powtórzenia wytnij sygnał x (kanały × próbki),
% rozłóż go na składową SSEP i resztę Y zgodnie z równaniami z sekcji Teoria,
% oblicz macierze kowariancji obu składowych, znormalizuj przez ślad
% i uśrednij po powtórzeniach.

C_SSEP = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
C_Y = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for trial = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(trial, :, :)); % kanały × próbki

% TUTAJ: oblicz SSEP i Y

% TUTAJ: oblicz kowariancje, znormalizuj, dodaj do C_SSEP i C_Y
end

% TUTAJ: podziel C_SSEP i C_Y przez numberOfTrials

%% KROK 3: Rozwiąż uogólnione zagadnienie własne
% Znajdź filtry przestrzenne maksymalizujące stosunek mocy SSEP do mocy Y.
% Analogia z CSP: jakie macierze wstawiłeś do eig() tam?

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

end
</source>

;Wskazówka do interpretacji wyników:
Filtr związany z największą wartością własną daje komponent
o największym stosunku mocy SSEP do mocy tła.
Sprawdź na widmach Welcha czy odpowiada on składowej
z wyraźnym pikiem przy częstości stymulacji.

{{hidden begin|title=Rozwiązanie — pokaż dopiero po samodzielnej próbie}}
<source lang="matlab">
function [W, Lambda] = cosSinCSP(signal, stimulationFrequency, numberOfHarmonics, Fs)

[numberOfTrials, numberOfChannels, numberOfSamples] = size(signal);

%% KROK 1: Macierz referencyjna S
t = (0:1:numberOfSamples-1) / Fs;
S_ref = zeros(numberOfSamples, 2*numberOfHarmonics);

for harmonicNumber = 1:numberOfHarmonics
c = cos(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
s = sin(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
S_ref(:,(harmonicNumber-1)*2 + 1) = c/norm(c);
S_ref(:,(harmonicNumber-1)*2 + 2) = s/norm(s);
end

%% KROK 2: Średnie macierze kowariancji
C_SSEP = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
C_Y = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for trial = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(trial, :, :)); % kanały × próbki
A = x * S_ref; % projekcja na przestrzeń SSEP
SSEP = A * S_ref'; % rekonstrukcja składowej SSEP
Y = x - SSEP; % reszta

tmp = cov(SSEP');
C_SSEP = C_SSEP + tmp/trace(tmp);

tmp = cov(Y');
C_Y = C_Y + tmp/trace(tmp);
end

C_SSEP = C_SSEP / numberOfTrials;
C_Y = C_Y / numberOfTrials;

%% KROK 3: Uogólnione zagadnienie własne
[W, Lambda] = eig(C_SSEP, C_Y);

end
</source>
{{hidden end}}

===Skrypt demonstracyjny i analiza wyników===

<source lang="matlab">
% wczytujemy dane
load('PrzykladoweDaneSSVEP.mat');

[numberOfTrials numberOfChannels numberOfSamples] = size(X.data);
namesOfChannels = X.channels;

numberOfHarmonics = 3;
signal = X.data; % powtórzenie × kanał × próbki

[W, Lambda] = cosSinCSP(signal, X.stimulation, numberOfHarmonics, X.sampling);

%% Odtworzenie sygnałów źródłowych
S = zeros(size(signal));
for powt = 1:size(signal,1)
S(powt,:,:) = W' * squeeze(signal(powt,:,:));
end

%% Widma Welcha: kanały oryginalne vs źródła CSP
figure('Name', ['Stymulacja: ', num2str(X.stimulation), ' Hz'])
for i = 1:numberOfChannels
subplot(2, numberOfChannels, i)
PP = 0;
for rep = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(rep,i,:));
[Pxx, ff] = pwelch(x, X.sampling, 1, X.sampling, X.sampling);
PP = PP + Pxx;
end
plot(ff(ff<60), PP(ff<60))
title(namesOfChannels{i})

subplot(2, numberOfChannels, numberOfChannels+i)
PP = 0;
for rep = 1:numberOfTrials
s = squeeze(S(rep,i,:));
[Pss, ff] = pwelch(s, X.sampling, 1, X.sampling, X.sampling);
PP = PP + Pss;
end
plot(ff(ff<60), PP(ff<60))
title(['źródło CSP: ', num2str(i)])
xlabel(['\lambda = ', num2str(Lambda(i,i), '%.2f')])
end

%% KROK 4: Mapki topograficzne
% Zidentyfikuj komponent z największą wartością własną.
% Narysuj dwie mapki przy użyciu funkcji topoplot() z pakietu EEGLAB:
%
% (a) Filtr przestrzenny: wagi z jakimi kanały EEG składają się na ten komponent.
% Wskazówka: filtr to kolumna macierzy W.
%
% (b) Topografia źródła: z jakimi wagami komponent dociera do poszczególnych elektrod.
% Wskazówka: topografia zawarta jest w wierszach macierzy odwrotnej do W —
% przypomnij sobie analogiczny krok z analizy CSP dla P300.
%
% Czym różnią się te dwie mapki? Którą łatwiej interpretować fizjologicznie?

% TUTAJ: [~, idx] = max(diag(Lambda));
% TUTAJ: topoplot(...) % filtr
% TUTAJ: topoplot(...) % topografia
</source>

=Sesja 5: ICA jako filtr przestrzenny =

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Sesja wprowadza analizę składowych niezależnych (ICA) jako trzecie
podejście do problemu ślepej separacji źródeł — obok BSS/CSP
i cosSinCSP. Kluczowa różnica: CSP szuka kierunków maksymalizujących
kontrast wariancji między warunkami (kryterium drugiego rzędu),
ICA szuka składowych niezależnych statystycznie, maksymalizując
niegaussowość (kryterium wyższego rzędu). ICA nie wymaga
dwóch warunków eksperymentalnych — działa na jednym stacjonarnym sygnale.

;Zakres wykładu (~40 min):
* model generatywny ICA: <math>\mathbf{x} = \mathbf{D}\mathbf{s}</math>, założenie niegaussowości składowych
* negoentropia i algorytm FastICA
* porównanie z CSP: kiedy ICA, kiedy CSP
* ograniczenia: liczba próbek a liczba kanałów (<math>kN^2</math>), niejednoznaczność kolejności i skali komponentów

;Zakres ćwiczenia (~80 min):
* wczytanie danych do EEGLAB, edycja lokalizacji elektrod
* filtrowanie górnoprzepustowe (FIR, 0,5 Hz), zmiana referencji
* obliczenie ICA na całym sygnale
* identyfikacja komponentów zawierających rytm alfa: topografia, widmo, przebieg czasowy
* usunięcie komponentów niezawierających alfy, odtworzenie sygnału na elektrodach
* porównanie wyników między co najmniej trzema uruchomieniami ICA: czy komponenty są powtarzalne?

==Teoria==

===Definicja ===
Independent Component Analysis (ICA) jest metodą statystycznej analizy sygnałów, która dokonuje dekompozycji wielokanałowych zapisów na składowe niezależne w sensie statystycznym.
Dwie składowe ''s''1 i ''s''2 są niezależne jeżeli wiedza o wartości ''s''1 nie daje żadnych informacji o możliwych wartościach ''s''2. ICA może być wyrażona przez prosty model generatywny:
: '''x''' = '''Ds'''
: gdzie '''x''' = {''x''1, ''x''2, ..., ''x''''n''} jest zmierzonym ''n'' kanałowym sygnałem, '''D''' jest macierzą mieszającą zaś '''s''' = {''s''1, ''s''2, ..., ''s''''n''} jest aktywnością ''n'' źródeł. Podstawowym założeniem dotyczącym '''s''' jest to, że ''s''''i'' są statystycznie niezależne. Aby wyestymować model musimy też założyć, że składowe mają niegaussowskie rozkłady wartości (Hyvärinen, 2000).

Dodatkowo model ten zakłada następujące fakty:
# Sygnał jest liniową mieszaniną aktywności źródeł
# Sygnały pochodzące z każdego ze źródeł są niezależne od pozostałych
# Źródła oraz proces ich mieszania są stacjonarne, tzn, ich momenty statystyczne nie zależą od czasu
# Energie (wariancje) źródeł nie mogą być wyznaczone jednoznacznie. Dzieje się tak ponieważ pomnożenie amplitudy ''i''-tego źródła może być uzyskane poprzez przemnożenie albo ''s''''i'' albo przez przemnożenie ''i''-tej kolumny macierzy '''D'''. Naturalnym rozwiązaniem tej niejednoznaczności jest wprowadzenie konwencji, że komponenty są normowane tak aby miały wariancję 1: E[(''s''''i'')''2''] = 1.
# Kolejność komponentów jest dowolna. Bo jeśli w ten sam sposób zmienimy kolejność komponentów w '''s''' i kolumn w '''D''' to dostaniemy dokładnie ten sam sygnał '''x'''.

Głównym wyzwaniem w analizie ICA jest estymacja macierzy mieszającej '''D'''. Gdy jest ona znana to komponenty mogą być wyliczone w następujący sposób:
: '''s''' = '''D'''−1'''x'''

=== Estymacja ===
Znalezienie niezależnych komponentów może być rozważane w świetle Centralnego Twierdzenia Granicznego jako poszukiwanie komponentów o możliwie nie gaussowskim rozkładzie.
Aby zrozumieć to podejście prześledźmy heurystykę zaproponowaną przez (Hyvärinen, 2000).
Dla prostoty załóżmy, że poszukiwane źródła niezależne mają identyczne rozkłady.
Zdefiniujmy

''y'' = '''w'''T'''x'''.

Zauważmy, że jeśli

'''w'''

jest jedną z kolumn macierzy

'''D'''−1,

to ''y'' jest jednym z poszukiwanych komponentów.
Zamieniając zmienne

'''z''' = '''D'''T'''w'''

możemy napisać

''y'' = '''w'''T'''x''' = '''w'''T'''Ds''' = '''z'''T'''s'''.

Uwidacznia to fakt, że ''y'' jest liniową kombinacją składowych s''i'' z wagami danymi przez z''i''.

Z centralnego twierdzenia granicznego wynika, że suma niezależnych zmiennych losowych ma bardziej gaussowski charakter niż każda z tych zmiennych osobno.
Liniowa kombinacja staje się najmniej gaussowska gdy '''z''' ma tylko jeden element niezerowy. W tym przypadku ''y'' jest proporcjonalny do s''i''.
Zatem problem estymacji modelu ICA może być sformułowany jako problem znalezienia takiego wektora '''w''', który maksymalizuje niegaussowskość

''y'' = '''w'''T'''x'''.

Maksymalizacja niegaussowskości ''y'' daje jeden niezależny komponent odpowiadający jednemu z 2''n'' maksimów (bo mamy s''i'' i −s''i'') w krajobrazie optymalizacyjnym. Aby znaleźć wszystkie niezależne komponenty musimy znaleźć wszystkie maksima. Ponieważ komponenty są nieskorelowane, to poszukiwania kolejnych komponentów można kontynuować w podprzestrzeni ortogonalnej do już znalezionych komponentów.

===Obliczenia===
Intuicyjna heurystyka poszukiwania najbardziej niegaussowskich składowych może być użyta do wyprowadzenia różnych funkcji kosztu, których optymalizacja daje model ICA, np. kurtoza.

<math>kurt(y) = E\{y^4\} - 3(E{y^2})^2</math>

Inną miarą gassowskości jest neg-entropia, którą można wyprowadzić z entropii:
Entropia jest miarą średniego zdziwienia wynikiem obserwacji zmiennej losowej:
<math>H(Y) = - \sum_i P(Y= a_i) \log(P(Y=a_i)) </math>

Negentropia jest zdefiniowana:

<math> J(y) = H(y_{gauss}) -H(y)</math>
gdzie <math> y_{gauss} </math> jest gassuwską zmienną losową o takiej samej kowaiancji jak <math> y </math>.

Negentropia jest skomplikowana obliczeniow, więc w praktyce używana jest formuła przybliżona:

<math> J(y) \varpropto [E\{G (y)\} - E\{G(\nu)\}]^2</math>

<math>\nu </math> jest zmienną losową ze standardowego rozkładu normalnego , a G są pewnymi niekwadratowymi funkcjami.

W algorytmie FastICA extremum negentropii jest znajdowane w procedurze bazującej na optymalizacji Newtona.
(szczegóły np.: sekcja 6 w https://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/NN00new.pdf)

Procedura wykorzystywana w eeglabie (&bdquo;runica”, Makeig 1996) dąży do minimalizacji informacji wzajemnej. Oba podejścia są w przybliżeniu równoważne (Hyvärinen, 2000), chociaż owo przybliżenie dla sygnałów elektrofizjologicznych nie zostało to jeszcze w pełni wyeksplorowane.
Dla sygnałów o niskiej wymiarowości i spełniających dokładnie założenia ICA wszystkie powszechnie wykorzystywane algorytmy dają niemal identyczne wyniki.

;Bardzo ważna uwaga: ogólną zasadą jest, że jeśli estymujemy ''N'' stabilnych komponentów (z ''N''-kanałowych danych) to musimy dysponować ''kN''2 punktami danych w każdym kanale, gdzie ''N''2 jest liczbą elementów w macierzy '''D''', którą ICA próbuje wyestymować, ''k'' jest liczbą całkowitą. Nie ma dobrych oszacowań teoretycznych na wielkość ''k'', z praktycznych obserwacji wynika, że rośnie ona z liczbą kanałów.

=== Możliwe zastosowania ===
Najczęściej ICA jest stosowana jako narzędzie do:
* usuwania artefaktów z sygnałów EEG (ruchy oczu i mięśnie)
* wydobywania składowych do dalszej analizy (Onton, 2006)
* jako analiza wstępna do lokalizacji źródeł (Grau, 2007).
* ICA jest także stosowana w analize sygnałów EKG i EMG.

===Bibliografia===
Bazowa praca:
* A. Hyvärinen. Fast and Robust Fixed-Point Algorithms for Independent Component Analysis. IEEE Transactions on Neural Networks 10(3):626-634, 1999 http://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/TNN99_reprint.pdf

Nieco prościej opisana wersja z przykładami:
* Hyvärinen, A. and Oja, E. (2000). Independent component analysis: Algorithms and applications. Neural Networks, 13(4-5):411–430.
https://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/NN00new.pdf

* Grau, C., Fuentemilla, L., Marco-Pallars, J. (2007). Functional neural dynamics underlying auditory event-related n1 and n1 suppression response. Neuroimage, 36(6):522–31.
* Makeig, S., Bell, A., Jung, T.-P., Sejnowski,T. (1996). Independent component analysis of electroencephalographic data. W: Touretzky, D., Mozer, M., and Hasselmo, M., editors, Advances in Neural Information Processing Systems, volume 8, pages 145–151. MIT Press, Cambridge, MA.
* Onton, J., Makeig, S. (2006). Information-based modeling of event-related brain dynamics. Prog Brain Res., 159:99–120.
* Tutorial: http://sccn.ucsd.edu/wiki/Chapter_09:_Decomposing_Data_Using_ICA
* http://sccn.ucsd.edu/~arno/indexica.html
* http://cis.legacy.ics.tkk.fi/aapo/papers/IJCNN99_tutorialweb/

== ZADANIE: Wydobywanie interesujących komponentów ==

Dane do tej części ćwiczeń proszę pobrać i rozpakować w swoim katalogu:
http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Dane_do_ICA_alfa.tar.gz

Pochodzą one z eksperymentu, w którym osoba badana siedziała z zamkniętymi oczami słuchając nagrania czytanego spokojnym głosem. Metadane opisujące sygnał znajdują się w pliku Miro.xml, zaś lokalizacje elektrod w pliku Miro-10-20-Cap.locs.

Proszę:
* wczytać dane do eeglaba
* wyedytować lokalizację elektrod
* usunąć kanały nie zawierające EEG
* zmienić referencje na średnią z kanałów A1 i A2
* przefiltrować filtrem FIR górnoprzepustowym z częstością odcięcia 0,5 Hz
* obejrzeć wstępnie przygotowane dane
* policzyć ICA na całym sygnale
* obejrzeć właściwości otrzymanych komponentów
** Czy są wśród nich takie, które zawierają znaczny udział rytmu alfa?
** Jaka jest ich topografia?
* usunąć wszystkie komponenty nie zawierające alfy
* odtworzyć z tych komponentów sygnał na elektrodach
* wykonać dekompozycję ICA kilkukrotnie (co najmniej 3) i porównać wyniki
** Czy uzyskiwane komponenty są powtarzalne?
** Swoje wyniki porównać też z sąsiednimi grupami.

==ZADANIE: Identyfikacja artefaktów ==
Proszę pobrać dane:

*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal-10-20-Cap.locs
*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal1.set
*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal1.fdt

Pochodzą one z eksperymentu w którym osoba badana czytała słowa o różnych właściwościach wzbudzania emocji.

* wczytaj je do eeglaba
* wczytaj lokalizację kanałów z pliku Arousal-10-20-Cap.locs
* obejrzyj przebiegi czasowe
* odrzuć kanał z diodą (21) i z GSR (20)
* zrób dekompozycję ICA
* obejrzyj topografię komponentów
* zidentyfikuj komponenty odpowiadające mruganiu i aktywności mięśniowej.
;UWAGA: Aktualnie do wykrywania komponentów artefaktowych warto posłużyć się wtyczkami do eeglaba dostępnymi przez stronę:

https://sccn.ucsd.edu/eeglab/plugin_uploader/plugin_list_all.php

* ICLabel:
** https://labeling.ucsd.edu/tutorial/overview
** https://github.com/sccn/ICLabel

* MARA:
** https://github.com/irenne/MARA/raw/master/MARAtutorial.pdf
** https://irenne.github.io/artifacts/

=Sesja 6: Problem odwrotny w EEG i MEG=

;Czas: ~60 min wykład + ~90 min ćwiczenie

Sesja wprowadza problem odwrotny jako alternatywne — i komplementarne —
podejście do analizy przestrzennej sygnałów EEG i MEG. O ile BSS/CSP
i ICA szukają filtrów przestrzennych w przestrzeni elektrod,
nie zakładając nic o geometrii mózgu,
to metody problemu odwrotnego wyraźnie osadzają źródła
w przestrzeni trójwymiarowej, korzystając z fizyki i modelu głowy.

Materiały z naszych zasobów:
* [[Elektroencefalografia|Sekcje 3 i 8 z Podręcznika o EEG ]]
* [https://drive.google.com/file/d/1EOJxN1y7X3YlIFHoIIyoZzCiXdrQSHcA Wykład Piotra Durki z Analizy sygnałów o problemie odwrotnym w EEG iMEG]

Z zasobów zewnętrznych polecam:
* [https://download.fieldtriptoolbox.org/workshop/toolkit2025/slides/04_forward_inverse.pdf#page=1.00 Slajdy "Forward and inverse - lecture by Robert Oostenveld" fragment warsztatów: "Advanced MEG/EEG toolkit at the Donders"]

==Kontrast z BSS: dwa języki opisu tego samego zjawiska==

Zarówno BSS/ICA, jak i metody problemu odwrotnego wychodzą
od tego samego modelu generatywnego:
:<math>\mathbf{x}(t) = \mathbf{A}\,\mathbf{s}(t) + \boldsymbol{\varepsilon}(t)</math>
gdzie <math>\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^{N_e}</math> to potencjały na elektrodach,
<math>\mathbf{s}(t) \in \mathbb{R}^{N_s}</math> to aktywność źródeł,
a <math>\mathbf{A}</math> to macierz mieszająca (ang. ''lead field'' lub ''forward matrix'').

Różnica leży w tym, co robimy z macierzą <math>\mathbf{A}</math>:

{| class="wikitable"
|-
! !! BSS / ICA !! Problem odwrotny
|-
| '''Macierz A''' || nieznana; estymowana z danych || obliczona z modelu głowy (''forward model'')
|-
| '''Liczba źródeł''' || równa liczbie elektrod || od 1 dipola do ~10 000 wokseli
|-
| '''Geometria''' || brak założeń przestrzennych || źródła zlokalizowane w przestrzeni 3D
|-
| '''Regularyzacja''' || przez kryterium stat. (niezależność, wariancja) || przez regularyzację matematyczną (L2, L1, …)
|-
| '''Wynik''' || filtry przestrzenne + komponenty || mapa aktywności w przestrzeni mózgu
|}

Kluczowa trudność problemu odwrotnego wynika z jego
fundamentalnej niejednoznaczności:

układ równań:

<math>\mathbf{x} = \mathbf{A}\mathbf{s}</math>

jest niedookreślony — przy <math>N_e \approx 19\text{–}256</math> elektrodach
i <math>N_s \sim 10^4</math> możliwych lokalizacjach źródeł
istnieje nieskończenie wiele rozkładów <math>\mathbf{s}</math>
dokładnie odtwarzających zmierzony <math>\mathbf{x}</math>.
Każda metoda nakłada inne założenie ''a priori'', by wybrać jedno rozwiązanie.

==Model do przodu (forward model)==

Zanim można rozwiązać problem odwrotny, należy zbudować
''model do przodu'' — obliczenie potencjałów na elektrodach
wywołanych przez jednostkowe źródło prądowe w danym miejscu mózgu.
Wynik zapisuje się jako macierz ''pola wiodącego'' (''lead field''):
:<math>\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{N_e \times 3N_s}</math>
gdzie czynnik 3 wynika z trzech ortogonalnych składowych momentu dipolowego.

=== Skąd bierze się macierz ''lead field''? ===

Przejdźmy od równań Maxwella do tego, co dosłownie liczą funkcje `ft_prepare_headmodel` / `ft_prepare_leadfield`.

==== 1. Punkt wyjścia: przybliżenie kwazistatyczne ====

=====Pełne równania Maxwella w ośrodku materialnym=====

$$
\begin{aligned}
\nabla \cdot \mathbf{D} &= \rho && \text{(prawo Gaussa)} \\
\nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 && \text{(brak monopoli magnetycznych)} \\
\nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} && \text{(prawo Faradaya)} \\
\nabla \times \mathbf{H} &= \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} && \text{(prawo Ampère'a–Maxwella)}
\end{aligned}
$$

uzupełnione związkami konstytutywnymi dla tkanki traktowanej jako liniowy, lokalnie izotropowy ośrodek:

$$
\mathbf{D} = \varepsilon\,\mathbf{E},\qquad \mathbf{B} = \mu_0\,\mathbf{H},\qquad \mathbf{J} = \sigma\,\mathbf{E} + \mathbf{J}^p
$$

Ostatnia relacja to uogólnione prawo Ohma: prąd swobodny ma część omową (<math>\sigma\mathbf{E}</math>, prądy bierne w przewodniku objętościowym) i część „pierwotną" <math>\mathbf{J}^p</math> pochodzącą od źródeł neuronowych — bo to one *nie* są napędzane lokalnym polem <math>\mathbf{E}</math>, tylko gradientami stężeń jonów.

===== Przybliżenie kwazistatyczne =====

Wprowadzamy harmoniczną zależność czasową <math>e^{i\omega t}</math> i porównujemy człony w równaniach Maxwella. Trzy warunki muszą być spełnione jednocześnie:

**(a) Pomijalny prąd przesunięcia w równaniu Ampère'a. ** Stosunek członu pojemnościowego do omowego to <math>\omega\varepsilon/\sigma</math>. Dla tkanki przy <math>f=100</math> Hz, <math>\sigma\approx 0{,}3</math> S/m, <math>\varepsilon_r\approx 10^5</math> (efektywna wartość niska-częstotliwościowa dla istoty szarej; spada szybko z <math>f</math>):
$$\frac{\omega\varepsilon}{\sigma} = \frac{2\pi\cdot 100\cdot 10^5\cdot 8{,}85\cdot 10^{-12}}{0{,}3}\sim 10^{-3}$$

— bezpiecznie pomijalny w EEG. To pozwala napisać <math>\nabla\times\mathbf{H}\approx\mathbf{J}</math>, a po wzięciu dywergencji:
$$\nabla\cdot\mathbf{J} = 0$$

**(b) Pomijalna indukcja w równaniu Faradaya.** Mówimy, że <math>\partial\mathbf{B}/\partial t</math> jest na tyle małe, że <math>\nabla\times\mathbf{E}\approx 0</math>, więc istnieje potencjał skalarny <math>V</math> z <math>\mathbf{E}=-\nabla V</math>. Można to oszacować z indukcyjności geometrii głowy i wykazać, że pomijany wkład jest o kilka rzędów mniejszy od <math>-\nabla V</math>.

**(c) Brak efektów propagacyjnych.** Długość fali EM przy 100 Hz w próżni to <math>\lambda = c/f\approx 3000</math> km, czyli <math>\lambda \gg L_\text{głowy}</math>. To gwarantuje, że pole „widzi" całą głowę jednocześnie — stąd zerowe przesunięcie fazowe propagacji potencjału przez przewodnik objętościowy.

Co zostaje po przybliżeniu:

$$
\begin{aligned}
\nabla \times \mathbf{E} &= 0 \;\Rightarrow\; \mathbf{E} = -\nabla V \\
\nabla \cdot \mathbf{J} &= 0 \\
\mathbf{J} &= -\sigma\nabla V + \mathbf{J}^p
\end{aligned}
$$

Składając trzy powyższe:

$$
\nabla\cdot\bigl(\sigma(\mathbf{r})\nabla V(\mathbf{r})\bigr) = \nabla\cdot\mathbf{J}^p(\mathbf{r})
$$

Warto przy tym podkreślić, że prawo Gaussa i <math>\nabla\cdot\mathbf{B}=0</math> nie znikają — one są nadal spełnione, ale po prostu nie są nam potrzebne do wyliczenia <math>V</math> na skórze: ładunki swobodne i indukowane policzy się *a posteriori* z <math>\rho = \nabla\cdot(\varepsilon\nabla V)\cdot(-1)</math>, a pole magnetyczne (interesujące dla MEG!) z prawa Biota–Savarta zastosowanego do <math>\mathbf{J}</math>.

Warto tu zauważyć, że kwazistatyka EEG i kwazistatyka MEG to **to samo** przybliżenie — różni je tylko, co wybieramy jako wielkość mierzoną (<math>V</math> na skórze vs. <math>\mathbf{B}</math> na zewnątrz głowy). To samo równanie Poissona generuje oba sygnały, a różnice w czułości na orientację dipola (radialny vs. tangencjalny) wynikają stąd, że potencjał i pole magnetyczne są różnymi funkcjonałami tego samego rozwiązania.

==== 2. Rozszczepienie prądu — gdzie pojawia się „źródło" ====

Gęstość prądu w tkance dzielimy na część „pierwotną" (neuronową) i „objętościową" (omową):

$$\mathbf{J}(\mathbf{r}) = \mathbf{J}^p(\mathbf{r}) - \sigma(\mathbf{r})\,\nabla V(\mathbf{r})$$

<math>\mathbf{J}^p</math> reprezentuje *prądy postsynaptyczne w piramidowych neuronach kory* — to one są naszym „źródłem". Reszta to prądy bierne płynące w przewodniku objętościowym o nieizotropowej, niejednorodnej przewodności <math>\sigma</math>.

Podstawiając do warunku <math>\nabla \cdot \mathbf{J}_\text{tot} = 0</math> dostajemy równanie Poissona dla niejednorodnego przewodnika:

$$\boxed{\;\nabla \cdot \bigl(\sigma(\mathbf{r})\,\nabla V(\mathbf{r})\bigr) = \nabla \cdot \mathbf{J}^p(\mathbf{r})\;}$$

To jest równanie problemu wprost. Cała reszta to:
(a) model źródła,
(b) warunki brzegowe,
(c) sposób rozwiązania.

==== 3. Model źródła: dipol prądowy ====

Dla pojedynczego dipola w <math>\mathbf{r}_0</math> o momencie <math>\mathbf{q}</math>:

$$\mathbf{J}^p(\mathbf{r}) = \mathbf{q}\,\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$$

$$\nabla \cdot \mathbf{J}^p(\mathbf{r}) = \mathbf{q}\cdot\nabla\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$$

Liniowość PDE daje natychmiast kluczową własność: <math>V</math> jest **liniową** funkcją <math>\mathbf{q}</math>. To właśnie ta liniowość pozwala zapisać:

$$\mathbf{v} = \mathbf{L}\,\mathbf{j}$$

gdzie <math>\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{N_\text{el}}</math> to potencjały, <math>\mathbf{j} \in \mathbb{R}^{3N_\text{src}}</math> to momenty dipoli, a <math>\mathbf{L}</math> to *lead field matrix*. Każda kolumna <math>\mathbf{L}</math> to potencjał wywołany jednostkowym dipolem w danym miejscu i o danej orientacji.

==== 4. Warunki brzegowe ====

Na granicy skóra/powietrze prąd nie wypływa:

$$\sigma\,\nabla V \cdot \hat{\mathbf{n}} = 0 \quad \text{na zewnętrznej powierzchni}$$

Wewnątrz, na granicach tkanek o różnym <math>\sigma</math> (mózg–CSF–czaszka–skóra):

$$V \text{ ciągłe},\quad \sigma\nabla V \cdot \hat{\mathbf{n}} \text{ ciągłe}$$

To są te warunki, które „włączają" geometrię i przewodności do problemu — i to one decydują, że czaszka (niskie <math>\sigma</math>, około 1/15–1/80 tkanki miękkiej, do dziś dyskutowane) rozmywa pole tak agresywnie.

==== 5. Metody rozwiązania ====
W pakiecie fieldtrip problem wprostt jest rozwiązywany przez funkcję
`ft_prepare_headmodel` - to fabryka różnych metod rozwiązujących to samo PDE. Wybór `cfg.method` decyduje o paradygmacie matematycznym:

**(a) Rozwiązania analityczne — modele sferyczne** (`'singlesphere'`, `'concentricspheres'`)

Dla geometrii sferycznej z osiową symetrią rozwija się <math>V</math> w szereg wielomianów Legendre'a. Dla 3-warstwowego modelu koncentrycznego dostajemy zamknięty wzór z nieskończonym szeregiem, który w praktyce tnie się po ~40 wyrazach. Berg & Scherg (1994) dali znakomite przybliżenie 3 dipolami w sferze jednorodnej — błyskawicznie szybkie, do dziś używane w MEG. Plus: bardzo szybkie, brak siatkowania. Minus: kula to nie głowa, zwłaszcza w okolicach skroniowych i podstawy.

**(b) BEM — Boundary Element Method** (`'bemcp'`, `'dipoli'`, `'openmeeg'`)

Wykorzystuje się fakt, że w obszarze o stałym <math>\sigma</math> <math>V</math> spełnia równanie Laplace'a, a cały „nietrywialny" wkład można wyrazić jako całkę po powierzchniach granicznych. Z drugiej tożsamości Greena dostajemy całkowe równanie typu Fredholma 2-go rodzaju:

$$V(\mathbf{r}) = V_\infty(\mathbf{r}) + \frac{1}{4\pi}\sum_k \frac{\sigma_k^- - \sigma_k^+}{\bar{\sigma}}\oint_{S_k} V(\mathbf{r}')\,\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\cdot\hat{\mathbf{n}}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,dS'$$

gdzie <math>V_\infty</math> to potencjał dipola w przestrzeni nieograniczonej. Triangulujemy powierzchnie (skóra, czaszka, mózg — czasem CSF) i to równanie zamienia się w układ liniowy. Szybciej niż FEM, ale wymaga założenia odcinkowo stałej przewodności i zakłada izotropię.

**(c) FEM — Finite Element Method** (`'simbio'`, `'duneuro'`)

Cała objętość głowy dyskretyzowana czworościanami/sześciościanami z indywidualnym tensorem <math>\sigma</math> w każdym elemencie (z DTI można wstrzyknąć anizotropię istoty białej!). Sformułowanie wariacyjne daje rzadki układ:

$$\mathbf{K}\mathbf{u} = \mathbf{b}$$

gdzie <math>\mathbf{K}</math> to macierz sztywności zależna od <math>\sigma(\mathbf{r})</math>, a <math>\mathbf{b}</math> niesie informację o źródle. To „złoty standard" pod kątem dokładności, ale kosztowny — dlatego praktycznie zawsze łączony z trikiem z punktu 6.

**(d) FDM** — rzadziej, dziś głównie historycznie.

==== 6. Twierdzenie o wzajemności — dlaczego macierz <math>\mathbf{L}</math> da się liczyć rozsądnie ====

Naiwne podejście: dla każdego z <math>\sim 10^4</math> źródeł i każdej z 3 orientacji odpalić rozwiązywacz PDE. To <math>3\times 10^4</math> rozwiązań. Beznadzieja.

Helmholtzowska zasada wzajemności mówi: potencjał w elektrodzie A wywołany dipolem w punkcie <math>\mathbf{r}_0</math> jest równoważny pewnej wielkości policzonej z
pola elektrycznego wytworzonego w <math>\mathbf{r}_0</math> przez jednostkowy prąd wstrzyknięty między elektrodą A a referencją. Formalnie:

$$V_A(\mathbf{r}_0;\mathbf{q}) = \mathbf{E}^{(A)}(\mathbf{r}_0)\cdot\mathbf{q}$$

gdzie <math>\mathbf{E}^{(A)}</math> to pole „wstrzykniętego" prądu jednostkowego. Konsekwencja: zamiast <math>3N_\text{src}</math> rozwiązań PDE wystarczy <math>N_\text{el}-1</math> rozwiązań (po jednym na elektrodę). Praktycznie wszystkie pakiety BEM/FEM (w tym OpenMEEG, SimBio, DUNEuro) to wykorzystują — i dlatego FEM jest w ogóle wykonalny dla całych siatek źródłowych.

'''Fizyczna intuicja'''

Wyobraź sobie, że potencjał wytworzony przez dipol na danej elektrodzie zależy od tego, jak silnie ta elektroda „widzi" punkt w mózgu. Twierdzenie Helmholtza mówi: jeśli chcesz wiedzieć, jak silnie elektroda widzi dany punkt — odwróć kierunek. Wstrzyknij prąd przez tę elektrodę i sprawdź, jakie pole powstaje w tym punkcie. Im silniejsze pole tam dotrze, tym czulsza jest elektroda na dipol tam ulokowany. Kierunek pola wskazuje też, na jaką orientację dipola elektroda reaguje najsilniej.

'''Konsekwencja obliczeniowa'''

dla każdej z elektrod raz rozwiązujemy PDE z prądem 1 A i zapisujemy
$$\mathbf{E}^{(A)}(\mathbf{r})$$
na całej siatce źródeł. Macierz lead field powstaje przez bezkosztowe ewaluowanie:
$$L_{A,(s,i)} = E^{(A)}_i(\mathbf{r}_s)$$
— wiersz to elektroda, kolumna to (pozycja źródła, orientacja).

==== 7. Co więc dosłownie robi `ft_prepare_headmodel` ====

Tworzy obiekt `headmodel`, który zawiera:
- geometrię (kule albo siatki powierzchniowe, albo objętościową siatkę FEM),
- przewodności poszczególnych warstw,
- a w przypadku BEM/FEM — wstępnie policzony operator dyskretny (np. odwróconą macierz BEM albo czynnik macierzy sztywności FEM z trikiem transferowym wykorzystującym wzajemność).

To jest najdroższa część obliczeń — i robi się ją raz dla danej geometrii. Potem `ft_prepare_leadfield`, dla każdej pozycji źródła w `cfg.sourcemodel`, używa tego operatora, żeby wygenerować trzy kolumny <math>\mathbf{L}</math> (dla orientacji x, y, z). Wynik to `leadfield{i}` o wymiarze <math>N_\text{el}\times 3</math> — czyli dosłownie blok macierzy lead field dla danego wokselu.

---

Podsumowanie:

1. Maxwell → kwazistatyka → „elektrostatyka z prądami"

2. Podział prądu i równanie Poissona (jedyne równanie, którego naprawdę trzeba)

3. Dipol jako model i wynikająca **liniowość** → uzasadnienie wzoru $\mathbf{v}=\mathbf{L}\mathbf{j}$

4. Warunki brzegowe → tu wchodzi anatomia

5. Sfery (analityczne, intuicja) → BEM → FEM jako kolejne stopnie realizmu

6. Wzajemność jako trik obliczeniowy, bez którego niczego by się nie dało policzyć w sensownym czasie

Klasyczne źródła:
- Hallez et al. 2007 *J Neuroeng Rehabil* (review obliczeń forward, bardzo czytelny),
- Mosher et al. 1999 dla zwartego wyprowadzenia,
- oraz dokumentacja OpenMEEG (Gramfort et al. 2010) — tam ścieżka BEM jest wyprowadzona z drugiej tożsamości Greena.
---

=== Programy obliczające model do przodu:===
MNE-Python (<code>mne.make_bem_model</code>), FieldTrip (<code>ft_prepare_headmodel</code>), OpenMEEG.

==Fitowanie dipoli (Dipole Fitting)==

===Idea===
Najprostsze założenie: aktywacja EEG pochodzi z jednego
(lub kilku) ekwiwalentnych dipoli prądowych.
Każdy dipol opisany jest sześcioma parametrami:
trzema współrzędnymi położenia <math>(x,y,z)</math>
i trzema składowymi momentu dipolowego <math>(q_x, q_y, q_z)</math>.

===Formalizm===
Dla pojedynczego dipola o momencie <math>\mathbf{q}(t)</math>
w lokalizacji <math>\mathbf{r}_0</math>:
:<math>\mathbf{x}(t) = \mathbf{a}(\mathbf{r}_0)\,\mathbf{q}(t) + \boldsymbol{\varepsilon}(t)</math>
gdzie <math>\mathbf{a}(\mathbf{r}_0) \in \mathbb{R}^{N_e \times 3}</math>
to kolumna macierzy pola wiodącego odpowiadająca lokalizacji <math>\mathbf{r}_0</math>.

Estymacja polega na minimalizacji reszty:
:<math>\hat{\mathbf{r}}_0 = \arg\min_{\mathbf{r}} \left\|\mathbf{x}(t) - \mathbf{a}(\mathbf{r})\,\hat{\mathbf{q}}(t)\right\|^2</math>
Minimalizację prowadzi się zwykle algorytmem Neldera–Meada
lub Levenberga–Marquardta po przestrzeni lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* gdy źródło jest punktowe lub quasi-punktowe (np. wczesne składowe słuchowych potencjałów wywołanych N20, P25)
* gdy liczba aktywnych źródeł jest z góry znana i mała (1–3 dipole)

;Ograniczenia:
* wrażliwość na punkt startowy — algorytm może utknąć w minimum lokalnym
* złe dopasowanie gdy aktywacja pochodzi z rozległego obszaru kory
* wynik silnie zależy od dokładności modelu do przodu

==Minimum Norm Estimation (MNE)==

===Idea===
Zamiast zakładać małą liczbę dipoli,
rozkładamy aktywność na gęstą siatkę źródeł pokrywającą całą powierzchnię kory
i szukamy rozwiązania o minimalnej normie —
tj. takiego, które odtwarza dane, angażując jak najmniejszą całkowitą energię źródeł.

===Formalizm===
Problem optymalizacji z regularyzacją Tichonowa:
:<math>\hat{\mathbf{s}} = \arg\min_{\mathbf{s}} \left\|\mathbf{x} - \mathbf{A}\mathbf{s}\right\|^2 + \lambda\left\|\mathbf{s}\right\|^2</math>
gdzie <math>\lambda > 0</math> to parametr regularyzacji kontrolujący kompromis
między wiernością danym a gładkością rozwiązania.

Rozwiązanie analityczne:
:<math>\hat{\mathbf{s}} = \mathbf{A}^T\left(\mathbf{A}\mathbf{A}^T + \lambda\mathbf{I}\right)^{-1}\mathbf{x}</math>

Macierz <math>\mathbf{W}_{\mathrm{MNE}} = \mathbf{A}^T(\mathbf{A}\mathbf{A}^T + \lambda\mathbf{I})^{-1}</math>
jest liniowym filtrem przestrzennym — analogiem macierzy <math>\mathbf{W}</math> z CSP,
lecz skonstruowanym na podstawie modelu do przodu, nie z danych.

===Warianty===

;dSPM (''dynamic Statistical Parametric Mapping'', Dale 2000):
Normalizuje estymowaną aktywność przez odchylenie standardowe szumu:
:<math>F_{\mathrm{dSPM}}(\mathbf{r}, t) = \frac{\hat{s}(\mathbf{r},t)}{\sigma_{\mathrm{noise}}(\mathbf{r})}</math>
Wynik ma interpretację statystyczną (wartość F lub Z); popularne w neurobiologii poznawczej.

;sLORETA (''standardized LORETA'', Pascual-Marqui 2002):
Normalizuje przez odchylenie standardowe samego estymatora MNE (nie tylko szumu):
:<math>F_{\mathrm{sLORETA}}(\mathbf{r}, t) = \frac{\hat{s}(\mathbf{r},t)}{\sqrt{\left[\mathbf{W}_{\mathrm{MNE}}\mathbf{A}\right]_{(\mathbf{r},\mathbf{r})}}}</math>
Wykazuje zerowe systematyczne błędy lokalizacji w warunkach idealnych.

;Wybór <math>\lambda</math>:
Zwykle <math>\lambda = \alpha \cdot \mathrm{tr}(\mathbf{A}\mathbf{A}^T) / \mathrm{tr}(\mathbf{I})</math>
z <math>\alpha \in [0.05, 0.3]</math>; w MNE-Python domyślnie <math>\alpha = 0.1</math>.
Można też stosować kryterium L-krzywej lub walidację krzyżową.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* gdy aktywacja jest rozproszona lub nieznana a priori
* jako ogólne narzędzie wizualizacji ERP na powierzchni kory
* przy małej liczbie elektrod

;Ograniczenia:
* tendencja do rozmywania rozwiązania — źródła głębokie są systematycznie niedoszacowane
* brak zakładanej rzadkości (''sparsity''); wariant L1 (MCE) jest rzadszy, ale trudniejszy obliczeniowo
* wymaga dobrego modelu do przodu

==Beamformery==

===Idea===
Beamformer (dosł. „formowanie wiązki") to adaptacyjny filtr przestrzenny,
który dla każdej lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>
konstruuje wagi <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math> maksymalizujące
stosunek mocy sygnału z tej lokalizacji do mocy wszystkich pozostałych źródeł.
W odróżnieniu od MNE, beamformer korzysta z macierzy kowariancji danych —
jest więc metodą adaptacyjną, zbliżoną duchem do CSP.

===LCMV (''Linearly Constrained Minimum Variance'', Van Veen 1997)===

Szukamy filtra minimalizującego wariancję wyjścia
przy ograniczeniu zachowującym sygnał z lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>:
:<math>\mathbf{w}^*(\mathbf{r}) = \arg\min_{\mathbf{w}} \mathbf{w}^T\mathbf{C}\mathbf{w}
\quad \text{p.o.} \quad \mathbf{w}^T\mathbf{a}(\mathbf{r}) = 1</math>
gdzie <math>\mathbf{C} = E[\mathbf{x}\mathbf{x}^T]</math> to macierz kowariancji danych.

Rozwiązanie analityczne (mnożnik Lagrange'a):
:<math>\mathbf{w}(\mathbf{r}) = \frac{\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}{\mathbf{a}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}</math>

Moc w lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>:
:<math>P(\mathbf{r}) = \mathbf{w}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}\,\mathbf{w}(\mathbf{r})
= \frac{1}{\mathbf{a}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}</math>

===DICS (''Dynamic Imaging of Coherent Sources'', Gross 2001)===

Wariant beamformera dla analizy częstotliwościowej:
zamiast macierzy kowariancji czasowej stosuje
''cross-spectral density matrix'' <math>\mathbf{C}(f)</math>
obliczoną dla wybranego pasma częstości.
Pozwala mapować koherencję między lokalizacjami na powierzchni kory.

===Analogia z CSP===

Zauważmy analogię strukturalną:

{| class="wikitable"
|-
! !! CSP !! LCMV Beamformer
|-
| '''Macierz kowariancji''' || <math>\mathbf{R}_T, \mathbf{R}_{NT}</math> (dwa warunki) || <math>\mathbf{C}</math> (jeden warunek) + <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
|-
| '''Filtr''' || <math>\mathbf{w}</math>: maks. stosunek wariancji || <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math>: min. wariancja przy ograniczeniu
|-
| '''Przestrzeń''' || elektrod || przestrzeni mózgu (woksel po wokselu)
|-
| '''Model do przodu''' || nie || tak — przez <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
|}

Kluczowa różnica: CSP optymalizuje globalnie jednym zagadnieniem własnym,
beamformer rozwiązuje osobny problem dla każdej lokalizacji.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* analiza ERD/ERS (rytmy ruchowe, alfa, beta) w przestrzeni mózgu
* lokalizacja źródeł oscylacyjnych w MEG
* DICS do badania koherencji korowo-korowej

;Ograniczenia:
* silnie skorelowane źródła są tłumione (''source cancellation'') — beamformer zakłada, że źródła są nieskorelowane
* wymaga dużej liczby próbek do stabilnej estymacji <math>\mathbf{C}^{-1}</math>
* przy małej liczbie elektrod macierz <math>\mathbf{C}</math> może być źle uwarunkowana

;Podsumowanie:
[[Plik:Inverse problem vs bss.png|mały|centruj]]

==Podsumowanie: kiedy stosować którą metodę==

{| class="wikitable"
|-
! Metoda !! Założenie a priori !! Dane wejściowe !! Typowe zastosowanie
|-
| '''Dipole fitting''' || 1–3 punktowe źródła || ERP, AEP, SEP || lokalizacja wczesnych składowych wywołanych
|-
| '''MNE / dSPM / sLORETA''' || minimalna energia; źródła ciągłe || ERP, dowolny sygnał || wizualizacja rozproszonej aktywności na korze
|-
| '''LCMV Beamformer''' || źródła nieskorelowane || ERD/ERS, dane resting-state || lokalizacja źródeł oscylacyjnych w MEG/EEG
|-
| '''DICS''' || j.w. + analiza spektralna || dane oscylacyjne || mapa koherencji korowo-korowej
|-
| '''CSP / ICA''' || brak modelu geometrycznego || dwa warunki / jeden segment || klasyfikacja BCI, usuwanie artefaktów
|}

;Uwaga praktyczna:
Wszystkie metody problemu odwrotnego wymagają przygotowania modelu do przodu.
Zaleca się korzystanie z MNE-Python lub FieldTrip — oba pakiety
oferują spójne pipeline'y od surowych danych do map korowych
i są szeroko stosowane w literaturze, co ułatwia replikację wyników.

=Sesja 7: Problem odwrotny — część praktyczna=

;Czas: ~30 min wprowadzenie + ~120 min ćwiczenie

Część praktyczna prowadzi przez pełny pipeline lokalizacji źródeł:
od wczytania danych w FieldTrip, przez zbudowanie modelu do przodu,
do fitowania dipola i interpretacji wyniku.
Sesja jest zaprojektowana tak, aby każdy krok bezpośrednio ilustrował
jeden element teorii omówionej w [[#Sesja 7: Problem odwrotny w EEG i MEG|części wykładowej]].

;Dane:
Używamy standardowego zestawu danych FieldTrip
(dane somatosensoryczne MEG/EEG, bodziec elektryczny na nadgarstku — składowa N20):
* https://download.fieldtriptoolbox.org/tutorial/Subject01.zip (~800 MB)

Ten sam zestaw danych jest używany we wszystkich tutorialach FieldTrip
wymienionych w tej sesji, co ułatwia porównywanie wyników między krokami.

;Instalacja FieldTrip: Wymagania wstępne:
FieldTrip wymaga MATLABa. Przed instalacją sprawdź kompatybilność swojej wersji:
[https://www.fieldtriptoolbox.org/faq/matlab/requirements MATLAB requirements]

;Pobranie toolboxa: Pobierz najnowszą wersję ze strony:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/download.php Pobierz FieldTrip]

Rozpakuj archiwum ZIP w wybranym katalogu, np. <code>~/matlab/fieldtrip</code> (Linux/macOS).

;Ważne: nie zmieniaj wewnętrznej struktury katalogów po rozpakowaniu —
FieldTrip dynamicznie zarządza swoimi podkatalogami.

;Konfiguracja ścieżki MATLAB: Pełna instrukcja: [https://www.fieldtriptoolbox.org/faq/matlab/installation Installation and setting up the path]

Uruchom poniższe polecenia na początku każdej sesji pracy z FieldTrip
(lub wstaw je do pliku <code>startup.m</code> — patrz niżej):

<source lang="matlab">
restoredefaultpath % wyczyść aktualną ścieżkę
addpath('~/fieldtrip') % podaj tu swoją ścieżkę do FieldTrip
ft_defaults % skonfiguruj FieldTrip i minimalne podkatalogi
</source>

;Uwaga — częsty błąd:
Nie używaj <code>addpath(genpath(...))</code> ani przycisku „Add with Subfolders" w MATLAB GUI.
FieldTrip samodzielnie dodaje potrzebne podkatalogi przez <code>ft_defaults</code>
i <code>ft_hastoolbox</code> — dodanie wszystkiego ręcznie powoduje konflikty
z funkcjami SPM, EEGLAB i wbudowanymi funkcjami MATLABa
(w szczególności z funkcjami z katalogu <code>fieldtrip/compat</code>
przeznaczonymi tylko dla starych wersji MATLABa).

;Trwała konfiguracja przez startup.m:

Żeby nie powtarzać powyższych poleceń przy każdym uruchomieniu MATLABa,
utwórz plik <code>startup.m</code> w swoim katalogu MATLABa
(zwykle <code>Dokumenty/MATLAB/startup.m</code>) z zawartością:

<source lang="matlab">
restoredefaultpath
addpath('C:\fieldtrip') % zmień na swoją ścieżkę
ft_defaults
</source>

MATLAB wykonuje ten plik automatycznie przy każdym uruchomieniu.

;Uwaga dla użytkowników EEGLAB: Jeśli korzystasz z EEGLAB i FieldTrip w tej samej sesji,
zawsze ładuj FieldTrip przez <code>restoredefaultpath</code> + <code>addpath</code> + <code>ft_defaults</code>,
a nie przez interfejs EEGLAB. Oba toolboxy zawierają funkcje o tych samych nazwach
(np. <code>eegplot</code>, <code>topoplot</code>) — kolejność na ścieżce decyduje,
która wersja zostanie wywołana.

;Weryfikacja instalacji: Sprawdź poprawność instalacji jednym poleceniem:

<source lang="matlab">
ft_defaults
ft_version
</source>

Powinieneś zobaczyć numer wersji i datę kompilacji, np.:
<pre>
FieldTrip version 20250901, path: C:\fieldtrip
</pre>

Jeśli MATLAB zgłasza błąd <code>Undefined function 'ft_defaults'</code>,
ścieżka nie została ustawiona poprawnie — wróć do kroku z <code>addpath</code>.

==Krok 0: Wejście do FieldTrip==

Przed właściwym ćwiczeniem proszę zapoznać się z tutorialem wprowadzającym:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/intro/introduction/ Introduction to the FieldTrip toolbox]

;Na co zwrócić uwagę przechodząc ten tutorial:

Studenci znający EEGLAB natkną się na dwie zasadnicze różnice w filozofii pracy:

* '''Struktura cfg''' zamiast GUI. Każda funkcja FieldTrip przyjmuje strukturę konfiguracyjną <code>cfg</code> i zwraca nową strukturę danych. Nie ma okien dialogowych — cała analiza jest skryptem. Jest to bliższe temu, co robiliśmy w MATLAB-owych sesjach CSP/ICA.

* '''Niezmienność danych'''. FieldTrip nie modyfikuje struktur w miejscu — każde wywołanie funkcji zwraca nową strukturę. Pozwala to łatwo porównywać wyniki różnych parametrów, ale wymaga dbałości o nazewnictwo zmiennych.

;Pytanie do dyskusji po lekturze:
Jak odpowiadają sobie nawzajem: <code>EEG.data</code> w EEGLAB i struktura <code>data</code> w FieldTrip?
Gdzie w strukturach FieldTrip przechowywane są informacje o lokalizacji elektrod?

==Krok 1: Model do przodu — BEM dla EEG==

Przed fitowaniem dipola musimy obliczyć macierz pola wiodącego <math>\mathbf{A}</math>.
Proszę przejść tutorial:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/headmodel_eeg_bem Construct a BEM headmodel for EEG source analysis]

;Cel tego kroku:
Zrozumieć skąd pochodzi kolumna <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
używana we wszystkich metodach Sesji 7.
Każda kolumna <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math> mówi: „jeśli w miejscu <math>\mathbf{r}</math>
znajdowałby się dipol o jednostkowym momencie,
to jakie potencjały zmierzylibyśmy na każdej z elektrod?"

;Kluczowe funkcje FieldTrip w tym kroku:
<source lang="matlab">
% Segmentacja MRI na trzy tkanki (skóra, czaszka, mózg)
cfg = [];
cfg.output = {'brain','skull','scalp'};
segmentedmri = ft_volumesegment(cfg, mri);

% Budowanie siatki trójkątów BEM
cfg = [];
cfg.tissue = {'brain','skull','scalp'};
cfg.numvertices = [3000 2000 1000];
bnd = ft_prepare_mesh(cfg, segmentedmri);

% Obliczenie modelu do przodu metodą BEM (OpenMEEG)
cfg = [];
cfg.method = 'openmeeg';
cfg.conductivity = [0.33 0.0041 0.33]; % mózg, czaszka, skóra [S/m]
headmodel = ft_prepare_headmodel(cfg, bnd);
</source>

;Na co zwrócić uwagę:
* Stosunek przewodności czaszka/mózg wynosi tu ~1/80.
Jak myślisz, jak bardzo błąd w tym parametrze wpłynie na lokalizację źródeł?
* Funkcja <code>ft_prepare_mesh</code> tworzy trzy zagnieżdżone siatki.
Jak ma się to do opisu BEM z wykładu?

==Krok 2: Fitowanie dipola (ćwiczenie główne)==

;Czas: ~90 min

To jest główne ćwiczenie praktyczne Sesji 7.
Proszę przejść tutorial:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/dipolefitting Dipole fitting of combined MEG/EEG data]

Poniżej znajdziesz szkielet kodu z pytaniami pomocniczymi
do samodzielnego wypełnienia — zacznij od tutorialu,
a potem wróć do szkieletu i uzupełnij brakujące fragmenty.

===Szkielet kodu — fitowanie dipola dla składowej N20===

<source lang="matlab">
%% KROK A: Wczytanie i preprocessing danych EEG
% Dane: Subject01.zip (patrz wyżej)
% Używamy tylko kanałów EEG, odrzucamy MEG.

cfg = [];
cfg.dataset = 'Subject01.ds';
cfg.trialdef.eventtype = 'backpanel trigger';
cfg.trialdef.eventvalue = 3; % bodziec na lewym nadgarstku
cfg.trialdef.prestim = 0.1;
cfg.trialdef.poststim = 0.3;
cfg = ft_definetrial(cfg);

cfg.channel = 'EEG';
cfg.continuous = 'yes';
cfg.demean = 'yes';
cfg.baselinewindow = [-0.1 0];
data = ft_preprocessing(cfg);

%% KROK B: Uśrednianie — potencjał wywołany
% TUTAJ: użyj ft_timelockanalysis aby obliczyć ERP (średnią po powtórzeniach)
% Wynik zapisz jako 'timelock'

% TUTAJ

%% KROK C: Wczytanie modelu do przodu i lokalizacji elektrod
% Zakładamy, że headmodel i elec zostały obliczone w Kroku 1.
% Jeśli nie — można użyć gotowego modelu z paczki danych Subject01.

load('standard_bem.mat'); % headmodel
load('Subject01_elec.mat'); % lokalizacje elektrod (po dopasowaniu do MRI)

%% KROK D: Przygotowanie siatki poszukiwań (grid)
% Definiujemy siatkę regularną 1 cm wewnątrz mózgu.
% ft_prepare_sourcemodel oblicza też macierz pola wiodącego A
% (tzw. leadfield) dla każdego punktu siatki.

cfg = [];
cfg.headmodel = headmodel;
cfg.elec = elec;
cfg.resolution = 1; % odstęp siatki w cm
cfg.unit = 'cm';
sourcemodel = ft_prepare_sourcemodel(cfg);

%% KROK E: Fitowanie dipola
% Szukamy jednego dipola najlepiej wyjaśniającego topografię N20.
% Okno czasowe 0.016–0.022 s odpowiada składowej N20.

cfg = [];
cfg.latency = [0.016 0.022]; % okno N20 w sekundach
cfg.numdipoles = 1;
cfg.headmodel = headmodel;
cfg.elec = elec;
cfg.sourcemodel = sourcemodel;
cfg.nonlinear = 'yes'; % optymalizacja nieliniowa po przestrzeni

% TUTAJ: source = ft_dipolefitting(cfg, timelock);

%% KROK F: Wizualizacja wyniku
% Nałożenie lokalizacji dipola na MRI anatomiczne.

load('standard_mri.mat'); % MRI w tym samym układzie współrzędnych

cfg = [];
cfg.location = source.dip.pos; % współrzędne znalezionego dipola [x y z]

% TUTAJ: ft_sourceplot(cfg, mri);

%% KROK G: Ocena dopasowania
% Goodness of fit (GoF) mówi jaka część wariancji danych
% jest wyjaśniona przez znaleziony dipol.
% Wartość > 0.85 uznaje się za dobre dopasowanie.

fprintf('Goodness of fit: %.1f%%\n', source.dip.rv * 100);
% Uwaga: w FieldTrip rv to residual variance (1 - GoF).
% Dobry dipol ma rv < 0.15.

disp('Lokalizacja dipola [x y z] w mm:')
disp(source.dip.pos)

disp('Moment dipolowy [qx qy qz]:')
disp(source.dip.mom)
</source>

===Zadania do samodzielnej realizacji===

;Zadanie 1 (obowiązkowe): Pipeline i lokalizacja
Uzupełnij brakujące fragmenty szkieletu (kroki B i E–F).
Gdzie na MRI ląduje znaleziony dipol? Czy odpowiada to oczekiwanej anatomii
składowej N20 (pierwotna kora somatosensoryczna S1, okolica bruzdy centralnej)?

;Zadanie 2 (obowiązkowe): Wpływ okna czasowego
Zmień <code>cfg.latency</code> kolejno na:
* <code>[0.016 0.022]</code> — okno N20
* <code>[0.025 0.035]</code> — okno P25
* <code>[0.045 0.060]</code> — okno N45
Czy lokalizacja dipola zmienia się między tymi składowymi?
Jak zmienia się GoF? Co to mówi o tym, która składowa jest lepiej opisana modelem jednego dipola?

;Zadanie 3 (obowiązkowe): Dwa dipole
Zmień <code>cfg.numdipoles = 2</code> i powtórz fitowanie dla okna N20.
Czy model dwóch dipoli daje istotnie lepszy GoF niż jeden?
Jak interpretujesz dwa znalezione źródła?

;Zadanie 4 (dla chętnych): Wrażliwość na model do przodu
FieldTrip pozwala użyć uproszczonego modelu sferycznego
zamiast BEM: ustaw <code>cfg.headmodel</code> na model jednorodnej sfery
(<code>cfg.method = 'singlesphere'</code> w <code>ft_prepare_headmodel</code>).
O ile zmienia się lokalizacja dipola N20?
Czy GoF wzrasta czy maleje?

;Pytania do dyskusji:
* Fitowanie dipola wymaga podania okna czasowego — dlaczego?
Co stałoby się gdybyśmy dopasowywali dipol do całej epoki (−100 do +300 ms)?
* Algorytm minimalizacji może utknąć w minimum lokalnym.
Jak <code>cfg.sourcemodel</code> (siatka) pomaga temu zaradzić?
Jaki jest kompromis między rozdzielczością siatki a czasem obliczeń?
* Porównaj mapę topograficzną ERP w oknie N20
z mapą rekonstruowaną z dopasowanego dipola (wywołaj <code>ft_dipolefitting</code>
z opcją <code>cfg.dipfit.display = 'yes'</code>).
Czy widzisz różnicę? Skąd ona pochodzi?

==Krok 3: Dalsze metody — dla zainteresowanych==

Poniższe tutoriale stanowią naturalne rozwinięcie ćwiczenia głównego
i ilustrują pozostałe metody omówione w teorii Sesji 7.
Nie są wymagane na zaliczenie, ale gorąco je polecamy
jeśli planujesz używać lokalizacji źródeł w pracy badawczej.

;Minimum Norm Estimation:
[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/minimumnormestimate Source reconstruction of event-related fields using minimum-norm estimation]

Ten sam sygnał N20 co w ćwiczeniu głównym, ale zamiast jednego dipola
otrzymujesz ciągłą mapę aktywności na całej powierzchni kory.
Zwróć uwagę jak wybór parametru regularyzacji <math>\lambda</math>
wpływa na rozmycie rozwiązania.
Porównaj lokalizację maksimum mapy MNE z lokalizacją dipola z Kroku 2.

;Beamformer (LCMV/DICS):
[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/beamformer Localizing oscillatory sources in MEG data using a beamformer]

Tutorial wykorzystuje ten sam zestaw danych Subject01
i lokalizuje źródła oscylacji gamma wywołanych bodźcem —
bezpośrednie rozwinięcie analizy ERD/ERS, którą już znasz.
Kluczowa różnica w stosunku do MNE: beamformer korzysta
z macierzy kowariancji danych <math>\mathbf{C}</math>,
a nie tylko z modelu do przodu. Sprawdź jak wyglądają
filtry przestrzenne <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math> dla różnych lokalizacji
i porównaj je koncepcyjnie z filtrami CSP z Sesji 1–3.











-->

Laboratorium EEG/CSP

2026-05-14T08:22:05Z

Jarekz: /* 6. Twierdzenie o wzajemności — dlaczego macierz \mathbf{L} da się liczyć rozsądnie */

[[Laboratorium_EEG]]/BSS

=Sesja 1: Ślepa separacja źródeł i CSP — wprowadzenie=

;Czas: ~60 min wykład + ~90 min ćwiczenie symulacyjne

Zajęcia wprowadzają do problemu filtracji przestrzennej sygnałów EEG.
Punktem wyjścia jest ogólny problem ślepej separacji źródeł (BSS),
z którego CSP wyłania się jako szczególny przypadek dla dwóch warunków
eksperymentalnych. Filtry przestrzenne omawiane na tych zajęciach stanowią
fundament klasycznych metod BCI (P300, SSVEP, motor imagery) oraz są
bezpośrednim odpowiednikiem warstw przestrzennych w sieciach neuronowych
takich jak ShallowConvNet i EEGNet — do tej analogii wrócimy w sesji 6.

[https://drive.google.com/file/d/1WrXgWWDJ7g5ZdYltm_8s2NXbGamw4R8N/view?usp=sharing Slajdy do wykładu (PDF)]

;Zakres wykładu:
* model generatywny EEG: <math>x(t) = As(t)</math>, macierz kowariancji, idea diagonalizacji
* BSS jako ogólny problem separacji źródeł
* CSP jako szczególny przypadek: dwa warunki eksperymentalne, iloraz Rayleigha, uogólnione zagadnienie własne
* interpretacja filtrów i topografii źródeł

;Ćwiczenie symulacyjne:
Zob. [[#Ćwiczenie symulacyjne|Ćwiczenie symulacyjne]] w sekcji CSP poniżej.

====Ćwiczenie symulacyjne ====
====Zadania do samodzielnej realizacji====

Poniższy kod dostarcza gotowej infrastruktury: generacji sygnałów, macierzy mieszającej i wizualizacji.
Zadaniem jest samodzielna implementacja kluczowych kroków analizy CSP.

;Zadanie 1 (obowiązkowe): Obliczenie macierzy kowariancji
Napisz funkcję <code>srednia_kowariancja(X, ind)</code>, która dla danej tablicy sygnałów <code>X</code>
(wymiary: powtórzenia × kanały × próbki) i wektora indeksów czasowych <code>ind</code>
zwraca średnią macierz kowariancji uśrednioną po powtórzeniach.
Dla każdego powtórzenia zastosuj funkcję <code>cov</code> i znormalizuj wynik przez jego ślad (<code>trace</code>).
Sprawdź wynik porównując z macierzami <code>R_B</code> i <code>R_E</code> obliczonymi w dostarczonym kodzie.

;Zadanie 2 (obowiązkowe): Implementacja CSP
Korzystając z funkcji <code>eig</code> oraz macierzy kowariancji obliczonych w zadaniu 1,
wyznacz macierz filtrów przestrzennych <code>W</code> i odpowiadające im wartości własne.
Odtwórz sygnały źródłowe dla wszystkich powtórzeń.
Narysuj chmury punktów (amplituda źródła 1 vs amplituda źródła 2) osobno dla warunków
baseline i ERP — przed transformacją CSP i po niej. Co zmieniło się w kształcie chmur?

Wykreśl także wizualizację przebiegów czasowych sygnałów X i sygnałów S uzyskanych po rozmieszaniu.

;Zadanie 3 (obowiązkowe): Interpretacja wartości własnych
Wartości własne znajdują się na przekątnej macierzy <code>Lambda</code>.
Który filtr najbardziej różnicuje warunki baseline i ERP?
Jaki jest związek między wartością własną a separacją widoczną na wykresach punktowych?

;Zadanie 4 (dla chętnych): Wpływ macierzy mieszającej
W dostarczonym kodzie macierz <code>P</code> (filtr przestrzenny) wynosi:
<pre>
P = [1 2; 1.5 1.3]
</pre>
Zmień ją kolejno na macierz bliską jednostkowej (np. <code>P = [1 0.1; 0.1 1]</code>)
oraz na macierz z dużymi elementami pozadiagonalnymi (np. <code>P = [1 5; 4 1]</code>).
Jak zmienia się kształt chmury punktów przed transformacją CSP?
Czy CSP poprawnie oddziela źródła w obu przypadkach?

;Zadanie 5 (dla chętnych): Wpływ szumu
W kodzie szum jest wyłączony: <code>n = 0*randn(size(tmp))</code>.
Usuń mnożnik <code>0*</code> i zbadaj jak poziom szumu wpływa na separację źródeł.
Przy jakim stosunku sygnału do szumu CSP przestaje skutecznie rozdzielać warunki?

;Pytanie do dyskusji:
Dostarczony kod używa <code>eig(R_E, R_B)</code>.
Alternatywą jest <code>eig(R_E, (R_E+R_B)/2)</code>.
Czym różnią się te dwie wersje? W jakich sytuacjach eksperymentalnych
druga wersja mogłaby być bardziej uzasadniona?

====Szkielet kodu do uzupełnienia====

Poniższy szkielet zawiera gotową infrastrukturę symulacji.
Uzupełnij brakujące fragmenty oznaczone komentarzem <code>% TUTAJ</code>
zgodnie z zadaniami 1–3. Pełny kod referencyjny dostępny jest poniżej
— zajrzyj do niego dopiero po samodzielnej próbie.

<source lang="matlab">
%% Parametry symulacji — nie modyfikuj tej sekcji
Fs = 100;
T = 1;
t = 0:1/Fs:T-1/Fs;
N_rep = 100;
N_chan = 2;
s = zeros(N_rep, N_chan, length(t));
X = zeros(N_rep, N_chan, length(t));

P = [1 2; 1.5 1.3]; % filtr przestrzenny (prawdziwy)
A = P^(-1); % topografia źródeł

for r = 1:N_rep
s1 = sin(2*pi*11*t + pi/2) + 0.02*randn(size(t));
s2 = exp(-((t-0.8)/0.05).^2) + 0.01*randn(size(t));
s(r,1,:) = s1;
s(r,2,:) = s2;
tmp = squeeze(s(r,:,:));
n = 0*randn(size(tmp)); % Zadanie 5: zmień 0* na 1* aby włączyć szum
X(r,:,:) = A*tmp + n;
end

baseline_ind = find(t < 0.5);
ERP_ind = find(t >= 0.5);

R_B = zeros(N_chan, N_chan);
R_E = zeros(N_chan, N_chan);

%% Zadanie 1: Oblicz średnie macierze kowariancji
% korzystając z funkcji srednia_kowariancja(X, ind)

% Dla każdego powtórzenia r:
% - wytnij fragment sygnału X(r,:,baseline_ind) i analogicznie ERP
% - oblicz macierz kowariancji funkcją cov() — pamiętaj o transpozycji
% - znormalizuj przez ślad (funkcja trace())
% - dodaj do sumy
% Na końcu podziel przez N_rep

%% Zadanie 2: Rozwiąż uogólnione zagadnienie własne
% Użyj funkcji eig(A,B) gdzie A=R_E, B=R_B
% W wyniku otrzymasz macierz wektorów własnych W (w kolumnach)
% i macierz Lambda z wartościami własnymi na przekątnej

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

disp('Wartości własne (przekątna Lambda):')
disp(diag(Lambda))

%% Zadanie 2 cd.: Odtwórz sygnały źródłowe
% Dla każdego powtórzenia r zastosuj filtr: S(r,:,:) = W' * X(r,:,:)

S = zeros(N_rep, N_chan, length(t));

for r = 1:N_rep
% TUTAJ: S(r,:,:) = ...
end

%% Zadanie 3: Wizualizacja — chmury punktów przed i po CSP
x_base_k1 = X(:,1,baseline_ind);
x_base_k2 = X(:,2,baseline_ind);
x_ERP_k1 = X(:,1,ERP_ind);
x_ERP_k2 = X(:,2,ERP_ind);

s_base_k1 = squeeze(S(:,1,baseline_ind));
s_base_k2 = squeeze(S(:,2,baseline_ind));
s_ERP_k1 = squeeze(S(:,1,ERP_ind));
s_ERP_k2 = squeeze(S(:,2,ERP_ind));

figure(1); clf
subplot(1,2,1)
plot(x_base_k1(:), x_base_k2(:), 'b.'); hold on
plot(x_ERP_k1(:), x_ERP_k2(:), 'r.');
axis equal; xlim([-2 2]); ylim([-2 2])
xlabel('Kanał 1'); ylabel('Kanał 2')
title('Przed CSP')
legend('baseline','ERP')

subplot(1,2,2)
plot(s_base_k1(:), s_base_k2(:), 'b.'); hold on
plot(s_ERP_k1(:), s_ERP_k2(:), 'r.');
axis equal
xlabel('Źródło 1'); ylabel('Źródło 2')
title('Po CSP')
legend('baseline','ERP')
%% Wizualizacja przebiegów czasowych X i S
% TUTAJ:

%% Zadanie 4 (dla chętnych): zmień macierz P powyżej i powtórz analizę
%% Zadanie 5 (dla chętnych): włącz szum (zmień 0* na 1* w linii z n=...)
</source>

{{hidden begin|title=Rozwiązanie — pokaż dopiero po samodzielnej próbie}}
<source lang = matlab>
% symulowany eksperyment składa się z sinusoidy udającej alfę spoczynkową i
% funkcji Gaussa udającego potencjał wywołany
% źródła te są symulowane niezależnie a potem mieszane przez macierz A
% symulujemy źródła
% s1 - symuluje alfę
% s2 - symuluje "potencjał wywołany" (ERP)

%ustawiamy parametry do symulacji sygnałów
Fs = 100;
T = 1;
t = 0:1/Fs:T-1/Fs;
N_rep = 100;
N_chan = 2;
s = zeros(N_rep,N_chan, length(t));
X = zeros(N_rep,N_chan, length(t));

% filtr przestrzenny - z takimi wagami trzeba wziąść kanały EEG aby odzyskać sygnały źródłowe
P = [1 2
1.5 1.3];

% topografie - z takimi wagami źródła dokładają się do poszczególnych elektrod
A = P^(-1);

for r =1:N_rep % tworzymy kolejne realizacje "eksperymentu"
s1 = sin(2*pi*11*t +pi/2+ 0*2*pi*rand())+ 0.02*randn(size(t)); % źródło alfa
s2 = exp(-((t-0.8)/0.05).^2)+ 0.01*randn(size(t)); % źródło ERP

s(r,1,:) = s1;
s(r,2,:) = s2;
tmp = squeeze(s(r,:,:));
n = 0*randn(size(tmp));
X(r,:,:) = A*tmp +n; % rzutujemy sygnały źródłowe na elektrody s -> x

end

% wycinamy warunki
% baseline_ind to indeksy pierwszej połowy każdego powtórzenia "baseline"
% ERP_ind to indeksy drugiej połowy każdego powtórzenia zawierająca "ERP"
baseline_ind = find(t<0.5);
ERP_ind = find(t>=0.5);

x_baseline_kan_1 = X(:,1,baseline_ind);
x_baseline_kan_2 = X(:,2,baseline_ind);

x_ERP_kan_1 = X(:,1,ERP_ind);
x_ERP_kan_2 = X(:,2,ERP_ind);

% liczymy średnie macierze kowariancji:
R_E = zeros(N_chan,N_chan);
R_B = zeros(N_chan,N_chan);
for r =1:N_rep
B = squeeze(X(r,:,baseline_ind));
tmp =cov(B');
R_B = R_B + tmp./trace(tmp);%B*B' ;

E = squeeze(X(r,:,ERP_ind));
tmp = cov(E');
R_E = R_E + tmp./trace(tmp);%E*E' ;
end

R_B = R_B/N_rep;
R_E = R_E/N_rep;

% rozwiązujemy uogólnione zagadnienie własne
[W,Lambda]=eig(R_E,R_B); % możliwa jest też optymalizacja wzg. średniej macierzy kowariancji (R_B+R_A)/2);

% odzyskujemy sygnały źródeł
for r =1:N_rep
S(r,:,:) = W'*squeeze(X(r,:,:));
end

% pobieramy wycinki odpowiadające obu częściom eksperymentu z estymowanych
% źródeł
s_baseline_estymowany_kan1 = squeeze( S(:,1,baseline_ind));
s_baseline_estymowany_kan2 = squeeze( S(:,2,baseline_ind));

s_ERP_estymowany_kan1 = squeeze(S(:,1,ERP_ind));
s_ERP_estymowany_kan2 = squeeze(S(:,2,ERP_ind));

%%%%%%%%%%%%%% Ilustracje %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ilustracja sygnałów mierzonych
figure(1);clf
subplot(2,2,1);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(X(:,1,baseline_ind)))','b'); hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze( X(:,1,ERP_ind)))','r'); hold off
xlabel('elektroda 1')
title('ilustracja sytuacji pomiarowej -\newline znane są potencjały na elektrodach w dwóch warunkach eksperymentalnych')
subplot(2,2,3);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(X(:,2,baseline_ind)))','b'); hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze( X(:,2,ERP_ind)))','r'); hold off
xlabel('elektroda 2')
subplot(1,2,2)
plot(x_baseline_kan_1(:),x_baseline_kan_2(:),'b.');
hold on
plot(x_ERP_kan_1(:),x_ERP_kan_2(:),'r.');
xlim([-2,2])
ylim([-2,2])
axis equal

% wektor własny odpowiadający największej wartości własnej jest
% kierunkiem najbardziej różnicującym warunki eksperymentalne
disp('wartości własne znajdują się na przekątnej macierzy Lambda')
disp(Lambda)
% rysujemy wersory jednostkowe w kierunkach wektorów własnych
w1 = W(:,1);
w1 = w1/norm(w1);
w2 = W(:,2);
w2 = w2/norm(w2);
line([0, w1(1) ],[0,w1(2)],'Color',[0,0.3,0])
text(w1(1),w1(2),'wektor własny 1')
line([0, w2(1) ],[0,w2(2)],'Color',[1,0,1])
text(w2(1),w2(2),'wektor własny 2')

xlabel('Amplituda na elektrodzie 1')
ylabel('Amplituda na elektrodzie 2')
legend('baseline','ERP')

% Ilustracja estymowanych źródeł
figure(2);clf
subplot(2,2,1);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(S(:,1,baseline_ind)))','b');hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze(S(:,1,ERP_ind)))','r');hold off
xlabel('estymowane zrodlo 1')
title('ilustracja estymacji -\newline estymowane są potencjały źródeł w dwóch warunkach eksperymentalnych')
subplot(2,2,3);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(S(:,2,baseline_ind)))','b');hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze(S(:,2,ERP_ind)))','r');hold off
xlabel('estymowane zrodlo 2');
subplot(1,2,2)
plot(s_baseline_estymowany_kan1(:),s_baseline_estymowany_kan2(:),'b.');
hold on
plot(s_ERP_estymowany_kan1(:),s_ERP_estymowany_kan2(:),'r.');

xlabel('Amplituda estym. źródła 1')
ylabel('Amplituda estym. źródła 2')
legend('baseline','ERP')
</source>
{{hidden end}}

=Sesja 2: CSP dla P300 — dane realne=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Pracujemy z danymi kalibracyjnymi z eksperymentu P300.
Celem sesji jest przejście pełnego pipeline'u: od surowych danych
do odtworzonych źródeł CSP.

;Zakres:
* wczytanie danych kalibracyjnych, identyfikacja znaczników T i NT
* cięcie epok (−200 do +800 ms), usuwanie trendu liniowego
* montaż względem średniej ze wszystkich elektrod
* wizualizacja ERP w układzie topograficznym
* obliczenie macierzy kowariancji RT i RNT, normalizacja przez ślad
* rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego: <code>[W, Lambda] = eig(R_T, R_NT)</code>
* odtworzenie sygnałów źródłowych: <code>S = W'*EEG</code>
* przegląd estymowanych źródeł w dwóch warunkach

;Materiały:
Dane: https://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/KalibracjaP300.tar.gz

===ZADANIE: Analiza CSP===

Przegląd badań o P300: https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2715154/

Link do Read menager [https://drive.google.com/file/d/1OgOduK5Zn7GgNl5XdCyLWXHJ7wTJIWcC/view?usp=share_link]

* Wykonać analizę CSP wzmacniającą potencjał P300.
* Zaprezentować średnią ze wszystkich kanałów źródłowych z warunku target (jeden kolor) i non-target (inny kolor) w subplotach ułożonych w prostokątnej siatce. Zaobserwować, dla którego kanału średnie różnią się najbardziej. Czy jest związek tego kanału z wartościami własnymi?

* Dla kanału najbardziej różnicującego wykonać mapki topograficzne wektorów odpowiadających:
** filtrowi przestrzennemu
** rzutu topograficznego źródła na elektrody.

===Szkielet kodu do analizy wstępnej===

<source lang="matlab">
%% KROK 1: Wczytanie danych
% ReadManager to pomocnicza klasa do odczytu plików w formacie OpenBCI.
% Przyjmuje trzy pliki: XML z metadanymi, RAW z próbkami i TAG ze znacznikami zdarzeń.
nazwaPliku = 'p_6301423_calibration_p300.obci';
nameOfXMLFile = strcat(nazwaPliku, '.xml');
nameOfTagFile = strcat(nazwaPliku, '.tag');
namesOfDataFiles = strcat(nazwaPliku, '.raw');

rm = ReadManager(nameOfXMLFile, namesOfDataFiles, nameOfTagFile);

% Pobieramy podstawowe parametry nagrania
numberOfChannels = rm.get_param('number_of_channels');
namesOfChannels = rm.get_param('channels_names');
samplingFrequency = rm.get_param('sampling_frequency');

% Pobieramy listę wszystkich znaczników zdarzeń z nagrania
tagsStruct = rm.get_tags();

%% KROK 2: Identyfikacja znaczników Target i Non-Target
% Każdy znacznik typu 'blink' odpowiada jednemu mignięciu w eksperymencie P300.
% Pole 'index' mówi który symbol mignął, pole 'target' który symbol był oczekiwany.
% Jeśli index == target to było to mignięcie docelowe (Target), w przeciwnym razie
% Non-Target.
targetTimeStamps = [];
NonTargetTimeStamps = [];

for structNumber = 1:length(tagsStruct)
if strcmp(tagsStruct(structNumber).name, 'blink')
index = tagsStruct(structNumber).children.index;
target = tagsStruct(structNumber).children.target;
if index == target
targetTimeStamps = [targetTimeStamps tagsStruct(structNumber).start_timestamp];
else
NonTargetTimeStamps = [NonTargetTimeStamps tagsStruct(structNumber).start_timestamp];
end
end
end

%% KROK 3: Wczytanie i filtrowanie sygnału
samples = double(rm.get_samples());
samples = samples(1:8,:); % odrzucamy kanały bez EEG
numberOfChannels = 8;

% Filtr dolnoprzepustowy Czebyszewa 2. rodzaju — odcięcie 25 Hz
[b, a] = cheby2(6, 80, 25/(samplingFrequency/2), 'low');
for ch = 1:numberOfChannels
samples(ch,:) = filtfilt(b, a, samples(ch,:));
end

%% KROK 4: Montaż względem średniej (common average reference)
% Odejmujemy od każdego kanału średnią ze wszystkich kanałów w danej chwili.
% Jest to prostsze i bardziej ogólne niż montaż względem połączonych uszu.
M = -ones(numberOfChannels, numberOfChannels) / numberOfChannels;
M = M + eye(numberOfChannels) * (numberOfChannels+1) / numberOfChannels;
samples = 0.0715 * M * samples;

%% KROK 5: Cięcie epok
PRE = -0.2;
POST = 0.8;
wycinek = floor(PRE*samplingFrequency : POST*samplingFrequency);

TargetSignal = zeros(length(targetTimeStamps), numberOfChannels, length(wycinek));
NonTargetSignal = zeros(length(NonTargetTimeStamps), numberOfChannels, length(wycinek));

for trialNumber = 1:length(targetTimeStamps)
trigerOnset = floor(targetTimeStamps(trialNumber) * samplingFrequency);
tenWycinek = wycinek + trigerOnset;
if tenWycinek(1) > 0 && tenWycinek(end) <= size(samples,2)
tmpSignal = samples(:, tenWycinek);
tmpSignal = detrend(tmpSignal')'; % usuwanie trendu liniowego
TargetSignal(trialNumber,:,:) = tmpSignal;
end
end

for trialNumber = 1:length(NonTargetTimeStamps)
trigerOnset = floor(NonTargetTimeStamps(trialNumber) * samplingFrequency);
tenWycinek = wycinek + trigerOnset;
if tenWycinek(1) > 0 && tenWycinek(end) <= size(samples,2)
tmpSignal = samples(:, tenWycinek);
tmpSignal = detrend(tmpSignal')';
NonTargetSignal(trialNumber,:,:) = tmpSignal;
end
end

% Oś czasu w milisekundach — przyda się do rysowania
times = (wycinek / samplingFrequency) * 1000;

%% KROK 6: Wizualizacja ERP w układzie topograficznym
% Oblicz potencjały wywołane (ERP) jako średnie po powtórzeniach
ERP_T = squeeze(mean(TargetSignal, 1)); % wymiary: kanały × czas
ERP_NT = squeeze(mean(NonTargetSignal, 1));

% TUTAJ: narysuj ERP_T i ERP_NT dla każdego kanału w subplotach
% ułożonych w siatce odpowiadającej przybliżonym pozycjom elektrod.
% Na każdym subplocie nałóż oba warunki różnymi kolorami.
% Oś X: czas w ms (użyj wektora times), oś Y: amplituda w µV.
% Zadbaj o legendę i tytuły z nazwami kanałów (namesOfChannels).

%% KROK 7: Obliczenie średnich macierzy kowariancji
% Dla każdego powtórzenia oblicz macierz kowariancji funkcją cov(),
% znormalizuj przez jej ślad (trace()), a następnie uśrednij po powtórzeniach.
% Pamiętaj: cov() oczekuje macierzy próbki × kanały, czyli potrzebujesz transpozycji.

R_T = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
R_NT = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for r = 1:length(targetTimeStamps)
% TUTAJ: wytnij r-te powtórzenie T, oblicz kowariancję, znormalizuj, dodaj do R_T
end

for r = 1:length(NonTargetTimeStamps)
% TUTAJ: wytnij r-te powtórzenie NT, oblicz kowariancję, znormalizuj, dodaj do R_NT
end

% TUTAJ: podziel R_T i R_NT przez odpowiednie liczby powtórzeń

%% KROK 8: Rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego
% Szukamy filtrów przestrzennych W maksymalizujących stosunek mocy
% w warunku T względem NT: eig(R_T, R_NT)
% W kolumnach W znajdują się filtry, na przekątnej Lambda — wartości własne.

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

disp('Wartości własne (przekątna Lambda):')
disp(diag(Lambda))

%% KROK 9: Odtworzenie sygnałów źródłowych
% Dla każdego powtórzenia zastosuj filtr przestrzenny:
% s(r,:,:) = W' * x(r,:,:)
% Pamiętaj o wymiarach — squeeze() może być pomocne.

S_T = zeros(size(TargetSignal));
S_NT = zeros(size(NonTargetSignal));

for r = 1:size(TargetSignal, 1)
% TUTAJ: S_T(r,:,:) = ...
end

for r = 1:size(NonTargetSignal, 1)
% TUTAJ: S_NT(r,:,:) = ...
end

%% KROK 10: Wizualizacja estymowanych źródeł
% Narysuj średnie przebiegi źródeł (ERP w przestrzeni CSP) dla obu warunków.
% Ułóż subploty w prostokątnej siatce — jeden subplot na każde źródło.
% Dla którego źródła różnica między T i NT jest największa?
% Czy odpowiada to źródłu z największą wartością własną?

ERP_S_T = squeeze(mean(S_T, 1));
ERP_S_NT = squeeze(mean(S_NT, 1));

% TUTAJ: narysuj ERP_S_T i ERP_S_NT w subplotach
</source>

=Sesja 3: CSP dla P300 — interpretacja i separacja cech=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Kontynuacja analizy CSP. Celem sesji jest interpretacja wyników
w kategoriach fizjologicznych oraz ocena separowalności klas
w przestrzeni cech opartej na mocy sygnału.

;Zakres:
* mapki topograficzne filtra przestrzennego i topografii źródła
* związek wartości własnych z siłą różnicowania warunków T i NT
* wykresy punktowe mocy: oś X — moc składowej z największą wartością własną, oś Y — moc kolejnej składowej; jeden punkt = jedno powtórzenie
* uśrednianie po 2, 4, 6, 8 i 10 realizacjach — obserwacja poprawy separacji wraz z liczbą uśrednień
* dyskusja: utożsamianie komponentów CSP z fizjologicznymi źródłami jest ryzykowne; komponenty maksymalizują kontrast między warunkami, niekoniecznie odpowiadają izolowanym generatorom

;Materiały:
Zob. [[#Szkielet kodu do analizy wstępnej|Szkielet kodu do analizy wstępnej]] i [[#Zadanie: Wybór i separacja cech|Zadanie: Wybór i separacja cech]] poniżej.

===Zadanie: Wybór i separacja cech===
* Przedstaw na rysunkach nałożone na siebie pojedyncze realizacje z warunków target i non-target po rzutowaniu na wektor <math>w</math> odpowiadający największej i kolejnej wartości własnej.
* Przedstaw wykresy punktowe takie, że na jednej osi jest moc sygnału (suma kwadratów wartości próbek w wybranym zakresie czasu) odpowiadającego największej wartości własnej, a na drugiej osi kolejnej (mniejszej) wartości własnej; jeden punkt reprezentuje jedno powtórzenie.
* Wykonaj serię wykresów jak w poprzednim punkcie dla uśrednień sygnałów kolejno po 2, 4, 6, 8 i 10 realizacjach:
** Liczymy potencjał wywołany dla danej liczby powtórzeń.
** Następnie podnosimy wartości próbek do kwadratu
** i sumujemy je w wybranym zakresie czasu.
* Zaobserwuj jak zmienia się separacja w grupach target i non-target.
{{hidden end}}
[https://robintibor.github.io/eeg-deep-learning-phd-thesis/DeepArchitectures.html Archirtektury sieci do BCI: ConvNet]

[https://www.researchgate.net/figure/The-architecture-of-EEGNet-F1-S1-model-F1-and-S1-represent-the-number-of-temporal_fig3_347073448 EEGNet]

=Sesja 4: Filtry przestrzenne dla SSEP — cosSinCSP=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Sesja wprowadza metodę cosSinCSP jako naturalne uogólnienie CSP
o wiedzę dziedzinową dotyczącą sygnału SSEP. W klasycznym CSP
dwa warunki eksperymentalne definiują dwie macierze kowariancji.
W cosSinCSP rolę jednej z macierzy przejmuje projekcja sygnału
na przestrzeń sinusów i cosinusów częstości stymulacji i jej harmonicznych.
Formalizm ilorazu Rayleigha i uogólnionego zagadnienia własnego
pozostaje identyczny.

Dane używane na tych zajęciach pochodzą z eksperymentu SSEP
z archiwum — bez sesji rejestracyjnej. Na wykresach widma
sygnału przed transformacją CSP dominuje artefakt sieciowy 50 Hz,
który praktycznie zasłania odpowiedź na stymulację. Zadaniem
jest sprawdzenie czy cosSinCSP potrafi ten sygnał wydobyć.

;Zakres:
* idea cosSinCSP: macierz S złożona z sinusów i cosinusów harmonicznych, projekcja sygnału na przestrzeń SSEP i resztę Y
* implementacja funkcji <code>cosSinCSP</code> w MATLAB
* analiza danych archiwalnych: widma Welcha dla kanałów oryginalnych i źródeł CSP — porównanie SNR przed i po transformacji
* prezentacja filtrów przestrzennych i topografii źródeł

;Materiały:
Zob. [[#Filtry przestrzenne dla SSEP|Filtry przestrzenne dla SSEP]] poniżej.

==Filtry przestrzenne dla SSEP==

===Teoria===

Ciekawa koncepcja filtra przestrzennego dla SSEP zaprezentowana jest tu: http://www.eurasip.org/Proceedings/Eusipco/Eusipco2009/contents/papers/1569193209.pdf

Pokrótce można ją rozumieć podobnie do tego co robiliśmy rozważając filtry przestrzenne CSP z tym, że dla SSEP oraz innych potencjałów wywołanych stanu ustalonego możemy skorzystać z dodatkowych informacji dotyczących poszukiwanych źródeł. Wiemy mianowicie, że powinny one oscylować z częstością bodźca i być może jej harmonicznych.

Przyda nam się macierz <math>S</math> zbudowana tak, że w kolejnych kolumnach znajdują się sinusy i cosinusy kolejnych częstości harmonicznych. Wektory te unormujemy, żeby miały energię równą 1. Innymi słowy macierz <math>S</math> zbudowana jest z wersorów rozpinających przestrzeń, w której powinien znajdować się sygnał SSEP.

W Matlabie możemy taką macierz zbudować tak:

<source lang="matlab">
% Fs - częstość próbkowania
% numberOfSamples - długość sygnału w próbkach
% numberOfHarmonics - liczba harmonicznych, które chcemy włączyć do analizy
t = (0:1:numberOfSamples - 1) / Fs;
S = zeros(numberOfSamples, 2*numberOfHarmonics);

for harmonicNumber = 1:numberOfHarmonics
c = cos(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
s = sin(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
S(:,(harmonicNumber - 1)*2 + 1) = c/norm(c);
S(:,(harmonicNumber - 1)*2 + 2) = s/norm(s);
end
</source>

Aby w badanym sygnale znaleźć składowe odpowiadające SSEP musimy rzutować sygnał <math>X</math> (macierz sygnałów ''kanały × próbki'') na przestrzeń rozpiętą przez <math>S</math>:
:<math>A = X S</math>
Macierz <math>A</math> zawiera współczynniki będące iloczynami skalarnymi sygnałów i wersorów — mówią one o tym jak dużo sinusa bądź cosinusa o danej częstości jest w pierwotnym sygnale. Komponenty SSEP zawarte w sygnale <math>X</math> odzyskujemy tak:
:<math>\mathrm{SSEP} = A S^T</math>

Modelujemy rejestrowany sygnał jako:
:<math>X = \mathrm{SSEP} + Y</math>
gdzie:
:<math>Y = X - \mathrm{SSEP}</math>
to wszystkie komponenty sygnału, które nas nie interesują.

Filtr przestrzenny, który chcemy zbudować powinien maksymalizować stosunek wariancji <math>\mathrm{SSEP}</math> do wariancji <math>Y</math>. Macierz kowariancji powinna być uśredniona po powtórzeniach, a kowariancja sygnału w każdym powtórzeniu powinna być znormalizowana przez jej ślad. Dalej stosujemy technikę znaną z CSP: maksymalizację ilorazu Rayleigha przez rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego dla macierzy kowariancji <math>\mathrm{SSEP}</math> i <math>Y</math>.

===Zadanie: implementacja funkcji cosSinCSP===

Dane do zadania: [[Plik:PrzykladoweDaneSSVEP.mat.gz]].
Pełny przykład z danymi z eksperymentu SSEP: [[Plik:SSVEP_demo_csp.tar.gz]]

Zaimplementuj funkcję <code>cosSinCSP</code> zgodnie z poniższym szkieletem.
Prawidłowo zaimplementowana funkcja wraz ze skryptem demonstracyjnym poniżej
powinna generować rysunek: [[Plik:Rys_SSVEP_demo.png|400px|podpis grafiki]]

<source lang="matlab">
function [W, Lambda] = cosSinCSP(signal, stimulationFrequency, numberOfHarmonics, Fs)
% cosSinCSP - filtr przestrzenny dla sygnałów SSEP
%
% Wejście:
% signal - dane EEG, wymiary: powtórzenia × kanały × próbki
% stimulationFrequency - częstość stymulacji w Hz
% numberOfHarmonics - liczba harmonicznych do uwzględnienia
% Fs - częstość próbkowania w Hz
%
% Wyjście:
% W - macierz filtrów przestrzennych (kanały × kanały), filtry w kolumnach
% Lambda - macierz diagonalna wartości własnych

[numberOfTrials, numberOfChannels, numberOfSamples] = size(signal);

%% KROK 1: Zbuduj macierz referencyjną S (sinusy i cosinusy harmonicznych)
% S ma wymiary: próbki × 2*numberOfHarmonics
% Każda kolumna to jeden wersor (unormowany sinus lub cosinus).
% Wróć do sekcji Teoria powyżej i przełóż tamten kod na tę funkcję.

% TUTAJ

%% KROK 2: Oblicz średnie macierze kowariancji C_SSEP i C_Y
% Dla każdego powtórzenia wytnij sygnał x (kanały × próbki),
% rozłóż go na składową SSEP i resztę Y zgodnie z równaniami z sekcji Teoria,
% oblicz macierze kowariancji obu składowych, znormalizuj przez ślad
% i uśrednij po powtórzeniach.

C_SSEP = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
C_Y = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for trial = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(trial, :, :)); % kanały × próbki

% TUTAJ: oblicz SSEP i Y

% TUTAJ: oblicz kowariancje, znormalizuj, dodaj do C_SSEP i C_Y
end

% TUTAJ: podziel C_SSEP i C_Y przez numberOfTrials

%% KROK 3: Rozwiąż uogólnione zagadnienie własne
% Znajdź filtry przestrzenne maksymalizujące stosunek mocy SSEP do mocy Y.
% Analogia z CSP: jakie macierze wstawiłeś do eig() tam?

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

end
</source>

;Wskazówka do interpretacji wyników:
Filtr związany z największą wartością własną daje komponent
o największym stosunku mocy SSEP do mocy tła.
Sprawdź na widmach Welcha czy odpowiada on składowej
z wyraźnym pikiem przy częstości stymulacji.

{{hidden begin|title=Rozwiązanie — pokaż dopiero po samodzielnej próbie}}
<source lang="matlab">
function [W, Lambda] = cosSinCSP(signal, stimulationFrequency, numberOfHarmonics, Fs)

[numberOfTrials, numberOfChannels, numberOfSamples] = size(signal);

%% KROK 1: Macierz referencyjna S
t = (0:1:numberOfSamples-1) / Fs;
S_ref = zeros(numberOfSamples, 2*numberOfHarmonics);

for harmonicNumber = 1:numberOfHarmonics
c = cos(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
s = sin(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
S_ref(:,(harmonicNumber-1)*2 + 1) = c/norm(c);
S_ref(:,(harmonicNumber-1)*2 + 2) = s/norm(s);
end

%% KROK 2: Średnie macierze kowariancji
C_SSEP = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
C_Y = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for trial = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(trial, :, :)); % kanały × próbki
A = x * S_ref; % projekcja na przestrzeń SSEP
SSEP = A * S_ref'; % rekonstrukcja składowej SSEP
Y = x - SSEP; % reszta

tmp = cov(SSEP');
C_SSEP = C_SSEP + tmp/trace(tmp);

tmp = cov(Y');
C_Y = C_Y + tmp/trace(tmp);
end

C_SSEP = C_SSEP / numberOfTrials;
C_Y = C_Y / numberOfTrials;

%% KROK 3: Uogólnione zagadnienie własne
[W, Lambda] = eig(C_SSEP, C_Y);

end
</source>
{{hidden end}}

===Skrypt demonstracyjny i analiza wyników===

<source lang="matlab">
% wczytujemy dane
load('PrzykladoweDaneSSVEP.mat');

[numberOfTrials numberOfChannels numberOfSamples] = size(X.data);
namesOfChannels = X.channels;

numberOfHarmonics = 3;
signal = X.data; % powtórzenie × kanał × próbki

[W, Lambda] = cosSinCSP(signal, X.stimulation, numberOfHarmonics, X.sampling);

%% Odtworzenie sygnałów źródłowych
S = zeros(size(signal));
for powt = 1:size(signal,1)
S(powt,:,:) = W' * squeeze(signal(powt,:,:));
end

%% Widma Welcha: kanały oryginalne vs źródła CSP
figure('Name', ['Stymulacja: ', num2str(X.stimulation), ' Hz'])
for i = 1:numberOfChannels
subplot(2, numberOfChannels, i)
PP = 0;
for rep = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(rep,i,:));
[Pxx, ff] = pwelch(x, X.sampling, 1, X.sampling, X.sampling);
PP = PP + Pxx;
end
plot(ff(ff<60), PP(ff<60))
title(namesOfChannels{i})

subplot(2, numberOfChannels, numberOfChannels+i)
PP = 0;
for rep = 1:numberOfTrials
s = squeeze(S(rep,i,:));
[Pss, ff] = pwelch(s, X.sampling, 1, X.sampling, X.sampling);
PP = PP + Pss;
end
plot(ff(ff<60), PP(ff<60))
title(['źródło CSP: ', num2str(i)])
xlabel(['\lambda = ', num2str(Lambda(i,i), '%.2f')])
end

%% KROK 4: Mapki topograficzne
% Zidentyfikuj komponent z największą wartością własną.
% Narysuj dwie mapki przy użyciu funkcji topoplot() z pakietu EEGLAB:
%
% (a) Filtr przestrzenny: wagi z jakimi kanały EEG składają się na ten komponent.
% Wskazówka: filtr to kolumna macierzy W.
%
% (b) Topografia źródła: z jakimi wagami komponent dociera do poszczególnych elektrod.
% Wskazówka: topografia zawarta jest w wierszach macierzy odwrotnej do W —
% przypomnij sobie analogiczny krok z analizy CSP dla P300.
%
% Czym różnią się te dwie mapki? Którą łatwiej interpretować fizjologicznie?

% TUTAJ: [~, idx] = max(diag(Lambda));
% TUTAJ: topoplot(...) % filtr
% TUTAJ: topoplot(...) % topografia
</source>

=Sesja 5: ICA jako filtr przestrzenny =

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Sesja wprowadza analizę składowych niezależnych (ICA) jako trzecie
podejście do problemu ślepej separacji źródeł — obok BSS/CSP
i cosSinCSP. Kluczowa różnica: CSP szuka kierunków maksymalizujących
kontrast wariancji między warunkami (kryterium drugiego rzędu),
ICA szuka składowych niezależnych statystycznie, maksymalizując
niegaussowość (kryterium wyższego rzędu). ICA nie wymaga
dwóch warunków eksperymentalnych — działa na jednym stacjonarnym sygnale.

;Zakres wykładu (~40 min):
* model generatywny ICA: <math>\mathbf{x} = \mathbf{D}\mathbf{s}</math>, założenie niegaussowości składowych
* negoentropia i algorytm FastICA
* porównanie z CSP: kiedy ICA, kiedy CSP
* ograniczenia: liczba próbek a liczba kanałów (<math>kN^2</math>), niejednoznaczność kolejności i skali komponentów

;Zakres ćwiczenia (~80 min):
* wczytanie danych do EEGLAB, edycja lokalizacji elektrod
* filtrowanie górnoprzepustowe (FIR, 0,5 Hz), zmiana referencji
* obliczenie ICA na całym sygnale
* identyfikacja komponentów zawierających rytm alfa: topografia, widmo, przebieg czasowy
* usunięcie komponentów niezawierających alfy, odtworzenie sygnału na elektrodach
* porównanie wyników między co najmniej trzema uruchomieniami ICA: czy komponenty są powtarzalne?

==Teoria==

===Definicja ===
Independent Component Analysis (ICA) jest metodą statystycznej analizy sygnałów, która dokonuje dekompozycji wielokanałowych zapisów na składowe niezależne w sensie statystycznym.
Dwie składowe ''s''1 i ''s''2 są niezależne jeżeli wiedza o wartości ''s''1 nie daje żadnych informacji o możliwych wartościach ''s''2. ICA może być wyrażona przez prosty model generatywny:
: '''x''' = '''Ds'''
: gdzie '''x''' = {''x''1, ''x''2, ..., ''x''''n''} jest zmierzonym ''n'' kanałowym sygnałem, '''D''' jest macierzą mieszającą zaś '''s''' = {''s''1, ''s''2, ..., ''s''''n''} jest aktywnością ''n'' źródeł. Podstawowym założeniem dotyczącym '''s''' jest to, że ''s''''i'' są statystycznie niezależne. Aby wyestymować model musimy też założyć, że składowe mają niegaussowskie rozkłady wartości (Hyvärinen, 2000).

Dodatkowo model ten zakłada następujące fakty:
# Sygnał jest liniową mieszaniną aktywności źródeł
# Sygnały pochodzące z każdego ze źródeł są niezależne od pozostałych
# Źródła oraz proces ich mieszania są stacjonarne, tzn, ich momenty statystyczne nie zależą od czasu
# Energie (wariancje) źródeł nie mogą być wyznaczone jednoznacznie. Dzieje się tak ponieważ pomnożenie amplitudy ''i''-tego źródła może być uzyskane poprzez przemnożenie albo ''s''''i'' albo przez przemnożenie ''i''-tej kolumny macierzy '''D'''. Naturalnym rozwiązaniem tej niejednoznaczności jest wprowadzenie konwencji, że komponenty są normowane tak aby miały wariancję 1: E[(''s''''i'')''2''] = 1.
# Kolejność komponentów jest dowolna. Bo jeśli w ten sam sposób zmienimy kolejność komponentów w '''s''' i kolumn w '''D''' to dostaniemy dokładnie ten sam sygnał '''x'''.

Głównym wyzwaniem w analizie ICA jest estymacja macierzy mieszającej '''D'''. Gdy jest ona znana to komponenty mogą być wyliczone w następujący sposób:
: '''s''' = '''D'''−1'''x'''

=== Estymacja ===
Znalezienie niezależnych komponentów może być rozważane w świetle Centralnego Twierdzenia Granicznego jako poszukiwanie komponentów o możliwie nie gaussowskim rozkładzie.
Aby zrozumieć to podejście prześledźmy heurystykę zaproponowaną przez (Hyvärinen, 2000).
Dla prostoty załóżmy, że poszukiwane źródła niezależne mają identyczne rozkłady.
Zdefiniujmy

''y'' = '''w'''T'''x'''.

Zauważmy, że jeśli

'''w'''

jest jedną z kolumn macierzy

'''D'''−1,

to ''y'' jest jednym z poszukiwanych komponentów.
Zamieniając zmienne

'''z''' = '''D'''T'''w'''

możemy napisać

''y'' = '''w'''T'''x''' = '''w'''T'''Ds''' = '''z'''T'''s'''.

Uwidacznia to fakt, że ''y'' jest liniową kombinacją składowych s''i'' z wagami danymi przez z''i''.

Z centralnego twierdzenia granicznego wynika, że suma niezależnych zmiennych losowych ma bardziej gaussowski charakter niż każda z tych zmiennych osobno.
Liniowa kombinacja staje się najmniej gaussowska gdy '''z''' ma tylko jeden element niezerowy. W tym przypadku ''y'' jest proporcjonalny do s''i''.
Zatem problem estymacji modelu ICA może być sformułowany jako problem znalezienia takiego wektora '''w''', który maksymalizuje niegaussowskość

''y'' = '''w'''T'''x'''.

Maksymalizacja niegaussowskości ''y'' daje jeden niezależny komponent odpowiadający jednemu z 2''n'' maksimów (bo mamy s''i'' i −s''i'') w krajobrazie optymalizacyjnym. Aby znaleźć wszystkie niezależne komponenty musimy znaleźć wszystkie maksima. Ponieważ komponenty są nieskorelowane, to poszukiwania kolejnych komponentów można kontynuować w podprzestrzeni ortogonalnej do już znalezionych komponentów.

===Obliczenia===
Intuicyjna heurystyka poszukiwania najbardziej niegaussowskich składowych może być użyta do wyprowadzenia różnych funkcji kosztu, których optymalizacja daje model ICA, np. kurtoza.

<math>kurt(y) = E\{y^4\} - 3(E{y^2})^2</math>

Inną miarą gassowskości jest neg-entropia, którą można wyprowadzić z entropii:
Entropia jest miarą średniego zdziwienia wynikiem obserwacji zmiennej losowej:
<math>H(Y) = - \sum_i P(Y= a_i) \log(P(Y=a_i)) </math>

Negentropia jest zdefiniowana:

<math> J(y) = H(y_{gauss}) -H(y)</math>
gdzie <math> y_{gauss} </math> jest gassuwską zmienną losową o takiej samej kowaiancji jak <math> y </math>.

Negentropia jest skomplikowana obliczeniow, więc w praktyce używana jest formuła przybliżona:

<math> J(y) \varpropto [E\{G (y)\} - E\{G(\nu)\}]^2</math>

<math>\nu </math> jest zmienną losową ze standardowego rozkładu normalnego , a G są pewnymi niekwadratowymi funkcjami.

W algorytmie FastICA extremum negentropii jest znajdowane w procedurze bazującej na optymalizacji Newtona.
(szczegóły np.: sekcja 6 w https://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/NN00new.pdf)

Procedura wykorzystywana w eeglabie (&bdquo;runica”, Makeig 1996) dąży do minimalizacji informacji wzajemnej. Oba podejścia są w przybliżeniu równoważne (Hyvärinen, 2000), chociaż owo przybliżenie dla sygnałów elektrofizjologicznych nie zostało to jeszcze w pełni wyeksplorowane.
Dla sygnałów o niskiej wymiarowości i spełniających dokładnie założenia ICA wszystkie powszechnie wykorzystywane algorytmy dają niemal identyczne wyniki.

;Bardzo ważna uwaga: ogólną zasadą jest, że jeśli estymujemy ''N'' stabilnych komponentów (z ''N''-kanałowych danych) to musimy dysponować ''kN''2 punktami danych w każdym kanale, gdzie ''N''2 jest liczbą elementów w macierzy '''D''', którą ICA próbuje wyestymować, ''k'' jest liczbą całkowitą. Nie ma dobrych oszacowań teoretycznych na wielkość ''k'', z praktycznych obserwacji wynika, że rośnie ona z liczbą kanałów.

=== Możliwe zastosowania ===
Najczęściej ICA jest stosowana jako narzędzie do:
* usuwania artefaktów z sygnałów EEG (ruchy oczu i mięśnie)
* wydobywania składowych do dalszej analizy (Onton, 2006)
* jako analiza wstępna do lokalizacji źródeł (Grau, 2007).
* ICA jest także stosowana w analize sygnałów EKG i EMG.

===Bibliografia===
Bazowa praca:
* A. Hyvärinen. Fast and Robust Fixed-Point Algorithms for Independent Component Analysis. IEEE Transactions on Neural Networks 10(3):626-634, 1999 http://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/TNN99_reprint.pdf

Nieco prościej opisana wersja z przykładami:
* Hyvärinen, A. and Oja, E. (2000). Independent component analysis: Algorithms and applications. Neural Networks, 13(4-5):411–430.
https://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/NN00new.pdf

* Grau, C., Fuentemilla, L., Marco-Pallars, J. (2007). Functional neural dynamics underlying auditory event-related n1 and n1 suppression response. Neuroimage, 36(6):522–31.
* Makeig, S., Bell, A., Jung, T.-P., Sejnowski,T. (1996). Independent component analysis of electroencephalographic data. W: Touretzky, D., Mozer, M., and Hasselmo, M., editors, Advances in Neural Information Processing Systems, volume 8, pages 145–151. MIT Press, Cambridge, MA.
* Onton, J., Makeig, S. (2006). Information-based modeling of event-related brain dynamics. Prog Brain Res., 159:99–120.
* Tutorial: http://sccn.ucsd.edu/wiki/Chapter_09:_Decomposing_Data_Using_ICA
* http://sccn.ucsd.edu/~arno/indexica.html
* http://cis.legacy.ics.tkk.fi/aapo/papers/IJCNN99_tutorialweb/

== ZADANIE: Wydobywanie interesujących komponentów ==

Dane do tej części ćwiczeń proszę pobrać i rozpakować w swoim katalogu:
http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Dane_do_ICA_alfa.tar.gz

Pochodzą one z eksperymentu, w którym osoba badana siedziała z zamkniętymi oczami słuchając nagrania czytanego spokojnym głosem. Metadane opisujące sygnał znajdują się w pliku Miro.xml, zaś lokalizacje elektrod w pliku Miro-10-20-Cap.locs.

Proszę:
* wczytać dane do eeglaba
* wyedytować lokalizację elektrod
* usunąć kanały nie zawierające EEG
* zmienić referencje na średnią z kanałów A1 i A2
* przefiltrować filtrem FIR górnoprzepustowym z częstością odcięcia 0,5 Hz
* obejrzeć wstępnie przygotowane dane
* policzyć ICA na całym sygnale
* obejrzeć właściwości otrzymanych komponentów
** Czy są wśród nich takie, które zawierają znaczny udział rytmu alfa?
** Jaka jest ich topografia?
* usunąć wszystkie komponenty nie zawierające alfy
* odtworzyć z tych komponentów sygnał na elektrodach
* wykonać dekompozycję ICA kilkukrotnie (co najmniej 3) i porównać wyniki
** Czy uzyskiwane komponenty są powtarzalne?
** Swoje wyniki porównać też z sąsiednimi grupami.

==ZADANIE: Identyfikacja artefaktów ==
Proszę pobrać dane:

*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal-10-20-Cap.locs
*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal1.set
*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal1.fdt

Pochodzą one z eksperymentu w którym osoba badana czytała słowa o różnych właściwościach wzbudzania emocji.

* wczytaj je do eeglaba
* wczytaj lokalizację kanałów z pliku Arousal-10-20-Cap.locs
* obejrzyj przebiegi czasowe
* odrzuć kanał z diodą (21) i z GSR (20)
* zrób dekompozycję ICA
* obejrzyj topografię komponentów
* zidentyfikuj komponenty odpowiadające mruganiu i aktywności mięśniowej.
;UWAGA: Aktualnie do wykrywania komponentów artefaktowych warto posłużyć się wtyczkami do eeglaba dostępnymi przez stronę:

https://sccn.ucsd.edu/eeglab/plugin_uploader/plugin_list_all.php

* ICLabel:
** https://labeling.ucsd.edu/tutorial/overview
** https://github.com/sccn/ICLabel

* MARA:
** https://github.com/irenne/MARA/raw/master/MARAtutorial.pdf
** https://irenne.github.io/artifacts/

=Sesja 6: Problem odwrotny w EEG i MEG=

;Czas: ~60 min wykład + ~90 min ćwiczenie

Sesja wprowadza problem odwrotny jako alternatywne — i komplementarne —
podejście do analizy przestrzennej sygnałów EEG i MEG. O ile BSS/CSP
i ICA szukają filtrów przestrzennych w przestrzeni elektrod,
nie zakładając nic o geometrii mózgu,
to metody problemu odwrotnego wyraźnie osadzają źródła
w przestrzeni trójwymiarowej, korzystając z fizyki i modelu głowy.

Materiały z naszych zasobów:
* [[Elektroencefalografia|Sekcje 3 i 8 z Podręcznika o EEG ]]
* [https://drive.google.com/file/d/1EOJxN1y7X3YlIFHoIIyoZzCiXdrQSHcA Wykład Piotra Durki z Analizy sygnałów o problemie odwrotnym w EEG iMEG]

Z zasobów zewnętrznych polecam:
* [https://download.fieldtriptoolbox.org/workshop/toolkit2025/slides/04_forward_inverse.pdf#page=1.00 Slajdy "Forward and inverse - lecture by Robert Oostenveld" fragment warsztatów: "Advanced MEG/EEG toolkit at the Donders"]

==Kontrast z BSS: dwa języki opisu tego samego zjawiska==

Zarówno BSS/ICA, jak i metody problemu odwrotnego wychodzą
od tego samego modelu generatywnego:
:<math>\mathbf{x}(t) = \mathbf{A}\,\mathbf{s}(t) + \boldsymbol{\varepsilon}(t)</math>
gdzie <math>\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^{N_e}</math> to potencjały na elektrodach,
<math>\mathbf{s}(t) \in \mathbb{R}^{N_s}</math> to aktywność źródeł,
a <math>\mathbf{A}</math> to macierz mieszająca (ang. ''lead field'' lub ''forward matrix'').

Różnica leży w tym, co robimy z macierzą <math>\mathbf{A}</math>:

{| class="wikitable"
|-
! !! BSS / ICA !! Problem odwrotny
|-
| '''Macierz A''' || nieznana; estymowana z danych || obliczona z modelu głowy (''forward model'')
|-
| '''Liczba źródeł''' || równa liczbie elektrod || od 1 dipola do ~10 000 wokseli
|-
| '''Geometria''' || brak założeń przestrzennych || źródła zlokalizowane w przestrzeni 3D
|-
| '''Regularyzacja''' || przez kryterium stat. (niezależność, wariancja) || przez regularyzację matematyczną (L2, L1, …)
|-
| '''Wynik''' || filtry przestrzenne + komponenty || mapa aktywności w przestrzeni mózgu
|}

Kluczowa trudność problemu odwrotnego wynika z jego
fundamentalnej niejednoznaczności:

układ równań:

<math>\mathbf{x} = \mathbf{A}\mathbf{s}</math>

jest niedookreślony — przy <math>N_e \approx 19\text{–}256</math> elektrodach
i <math>N_s \sim 10^4</math> możliwych lokalizacjach źródeł
istnieje nieskończenie wiele rozkładów <math>\mathbf{s}</math>
dokładnie odtwarzających zmierzony <math>\mathbf{x}</math>.
Każda metoda nakłada inne założenie ''a priori'', by wybrać jedno rozwiązanie.

==Model do przodu (forward model)==

Zanim można rozwiązać problem odwrotny, należy zbudować
''model do przodu'' — obliczenie potencjałów na elektrodach
wywołanych przez jednostkowe źródło prądowe w danym miejscu mózgu.
Wynik zapisuje się jako macierz ''pola wiodącego'' (''lead field''):
:<math>\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{N_e \times 3N_s}</math>
gdzie czynnik 3 wynika z trzech ortogonalnych składowych momentu dipolowego.

=== Skąd bierze się macierz ''lead field''? ===

Przejdźmy od równań Maxwella do tego, co dosłownie liczą funkcje `ft_prepare_headmodel` / `ft_prepare_leadfield`.

==== 1. Punkt wyjścia: przybliżenie kwazistatyczne ====

=====Pełne równania Maxwella w ośrodku materialnym=====

$$
\begin{aligned}
\nabla \cdot \mathbf{D} &= \rho && \text{(prawo Gaussa)} \\
\nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 && \text{(brak monopoli magnetycznych)} \\
\nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} && \text{(prawo Faradaya)} \\
\nabla \times \mathbf{H} &= \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} && \text{(prawo Ampère'a–Maxwella)}
\end{aligned}
$$

uzupełnione związkami konstytutywnymi dla tkanki traktowanej jako liniowy, lokalnie izotropowy ośrodek:

$$
\mathbf{D} = \varepsilon\,\mathbf{E},\qquad \mathbf{B} = \mu_0\,\mathbf{H},\qquad \mathbf{J} = \sigma\,\mathbf{E} + \mathbf{J}^p
$$

Ostatnia relacja to uogólnione prawo Ohma: prąd swobodny ma część omową (<math>\sigma\mathbf{E}</math>, prądy bierne w przewodniku objętościowym) i część „pierwotną" <math>\mathbf{J}^p</math> pochodzącą od źródeł neuronowych — bo to one *nie* są napędzane lokalnym polem <math>\mathbf{E}</math>, tylko gradientami stężeń jonów.

===== Przybliżenie kwazistatyczne =====

Wprowadzamy harmoniczną zależność czasową <math>e^{i\omega t}</math> i porównujemy człony w równaniach Maxwella. Trzy warunki muszą być spełnione jednocześnie:

**(a) Pomijalny prąd przesunięcia w równaniu Ampère'a. ** Stosunek członu pojemnościowego do omowego to <math>\omega\varepsilon/\sigma</math>. Dla tkanki przy <math>f=100</math> Hz, <math>\sigma\approx 0{,}3</math> S/m, <math>\varepsilon_r\approx 10^5</math> (efektywna wartość niska-częstotliwościowa dla istoty szarej; spada szybko z <math>f</math>):
$$\frac{\omega\varepsilon}{\sigma} = \frac{2\pi\cdot 100\cdot 10^5\cdot 8{,}85\cdot 10^{-12}}{0{,}3}\sim 10^{-3}$$

— bezpiecznie pomijalny w EEG. To pozwala napisać <math>\nabla\times\mathbf{H}\approx\mathbf{J}</math>, a po wzięciu dywergencji:
$$\nabla\cdot\mathbf{J} = 0$$

**(b) Pomijalna indukcja w równaniu Faradaya.** Mówimy, że <math>\partial\mathbf{B}/\partial t</math> jest na tyle małe, że <math>\nabla\times\mathbf{E}\approx 0</math>, więc istnieje potencjał skalarny <math>V</math> z <math>\mathbf{E}=-\nabla V</math>. Można to oszacować z indukcyjności geometrii głowy i wykazać, że pomijany wkład jest o kilka rzędów mniejszy od <math>-\nabla V</math>.

**(c) Brak efektów propagacyjnych.** Długość fali EM przy 100 Hz w próżni to <math>\lambda = c/f\approx 3000</math> km, czyli <math>\lambda \gg L_\text{głowy}</math>. To gwarantuje, że pole „widzi" całą głowę jednocześnie — stąd zerowe przesunięcie fazowe propagacji potencjału przez przewodnik objętościowy.

Co zostaje po przybliżeniu:

$$
\begin{aligned}
\nabla \times \mathbf{E} &= 0 \;\Rightarrow\; \mathbf{E} = -\nabla V \\
\nabla \cdot \mathbf{J} &= 0 \\
\mathbf{J} &= -\sigma\nabla V + \mathbf{J}^p
\end{aligned}
$$

Składając trzy powyższe:

$$
\nabla\cdot\bigl(\sigma(\mathbf{r})\nabla V(\mathbf{r})\bigr) = \nabla\cdot\mathbf{J}^p(\mathbf{r})
$$

Warto przy tym podkreślić, że prawo Gaussa i <math>\nabla\cdot\mathbf{B}=0</math> nie znikają — one są nadal spełnione, ale po prostu nie są nam potrzebne do wyliczenia <math>V</math> na skórze: ładunki swobodne i indukowane policzy się *a posteriori* z <math>\rho = \nabla\cdot(\varepsilon\nabla V)\cdot(-1)</math>, a pole magnetyczne (interesujące dla MEG!) z prawa Biota–Savarta zastosowanego do <math>\mathbf{J}</math>.

Warto tu zauważyć, że kwazistatyka EEG i kwazistatyka MEG to **to samo** przybliżenie — różni je tylko, co wybieramy jako wielkość mierzoną (<math>V</math> na skórze vs. <math>\mathbf{B}</math> na zewnątrz głowy). To samo równanie Poissona generuje oba sygnały, a różnice w czułości na orientację dipola (radialny vs. tangencjalny) wynikają stąd, że potencjał i pole magnetyczne są różnymi funkcjonałami tego samego rozwiązania.

==== 2. Rozszczepienie prądu — gdzie pojawia się „źródło" ====

Gęstość prądu w tkance dzielimy na część „pierwotną" (neuronową) i „objętościową" (omową):

$$\mathbf{J}(\mathbf{r}) = \mathbf{J}^p(\mathbf{r}) - \sigma(\mathbf{r})\,\nabla V(\mathbf{r})$$

<math>\mathbf{J}^p</math> reprezentuje *prądy postsynaptyczne w piramidowych neuronach kory* — to one są naszym „źródłem". Reszta to prądy bierne płynące w przewodniku objętościowym o nieizotropowej, niejednorodnej przewodności <math>\sigma</math>.

Podstawiając do warunku <math>\nabla \cdot \mathbf{J}_\text{tot} = 0</math> dostajemy równanie Poissona dla niejednorodnego przewodnika:

$$\boxed{\;\nabla \cdot \bigl(\sigma(\mathbf{r})\,\nabla V(\mathbf{r})\bigr) = \nabla \cdot \mathbf{J}^p(\mathbf{r})\;}$$

To jest równanie problemu wprost. Cała reszta to:
(a) model źródła,
(b) warunki brzegowe,
(c) sposób rozwiązania.

==== 3. Model źródła: dipol prądowy ====

Dla pojedynczego dipola w <math>\mathbf{r}_0</math> o momencie <math>\mathbf{q}</math>:

$$\mathbf{J}^p(\mathbf{r}) = \mathbf{q}\,\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$$

$$\nabla \cdot \mathbf{J}^p(\mathbf{r}) = \mathbf{q}\cdot\nabla\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$$

Liniowość PDE daje natychmiast kluczową własność: <math>V</math> jest **liniową** funkcją <math>\mathbf{q}</math>. To właśnie ta liniowość pozwala zapisać:

$$\mathbf{v} = \mathbf{L}\,\mathbf{j}$$

gdzie <math>\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{N_\text{el}}</math> to potencjały, <math>\mathbf{j} \in \mathbb{R}^{3N_\text{src}}</math> to momenty dipoli, a <math>\mathbf{L}</math> to *lead field matrix*. Każda kolumna <math>\mathbf{L}</math> to potencjał wywołany jednostkowym dipolem w danym miejscu i o danej orientacji.

==== 4. Warunki brzegowe ====

Na granicy skóra/powietrze prąd nie wypływa:

$$\sigma\,\nabla V \cdot \hat{\mathbf{n}} = 0 \quad \text{na zewnętrznej powierzchni}$$

Wewnątrz, na granicach tkanek o różnym <math>\sigma</math> (mózg–CSF–czaszka–skóra):

$$V \text{ ciągłe},\quad \sigma\nabla V \cdot \hat{\mathbf{n}} \text{ ciągłe}$$

To są te warunki, które „włączają" geometrię i przewodności do problemu — i to one decydują, że czaszka (niskie <math>\sigma</math>, około 1/15–1/80 tkanki miękkiej, do dziś dyskutowane) rozmywa pole tak agresywnie.

==== 5. Metody rozwiązania ====
W pakiecie fieldtrip problem wprostt jest rozwiązywany przez funkcję
`ft_prepare_headmodel` - to fabryka różnych metod rozwiązujących to samo PDE. Wybór `cfg.method` decyduje o paradygmacie matematycznym:

**(a) Rozwiązania analityczne — modele sferyczne** (`'singlesphere'`, `'concentricspheres'`)

Dla geometrii sferycznej z osiową symetrią rozwija się <math>V</math> w szereg wielomianów Legendre'a. Dla 3-warstwowego modelu koncentrycznego dostajemy zamknięty wzór z nieskończonym szeregiem, który w praktyce tnie się po ~40 wyrazach. Berg & Scherg (1994) dali znakomite przybliżenie 3 dipolami w sferze jednorodnej — błyskawicznie szybkie, do dziś używane w MEG. Plus: bardzo szybkie, brak siatkowania. Minus: kula to nie głowa, zwłaszcza w okolicach skroniowych i podstawy.

**(b) BEM — Boundary Element Method** (`'bemcp'`, `'dipoli'`, `'openmeeg'`)

Wykorzystuje się fakt, że w obszarze o stałym <math>\sigma</math> <math>V</math> spełnia równanie Laplace'a, a cały „nietrywialny" wkład można wyrazić jako całkę po powierzchniach granicznych. Z drugiej tożsamości Greena dostajemy całkowe równanie typu Fredholma 2-go rodzaju:

$$V(\mathbf{r}) = V_\infty(\mathbf{r}) + \frac{1}{4\pi}\sum_k \frac{\sigma_k^- - \sigma_k^+}{\bar{\sigma}}\oint_{S_k} V(\mathbf{r}')\,\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\cdot\hat{\mathbf{n}}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,dS'$$

gdzie <math>V_\infty</math> to potencjał dipola w przestrzeni nieograniczonej. Triangulujemy powierzchnie (skóra, czaszka, mózg — czasem CSF) i to równanie zamienia się w układ liniowy. Szybciej niż FEM, ale wymaga założenia odcinkowo stałej przewodności i zakłada izotropię.

**(c) FEM — Finite Element Method** (`'simbio'`, `'duneuro'`)

Cała objętość głowy dyskretyzowana czworościanami/sześciościanami z indywidualnym tensorem <math>\sigma</math> w każdym elemencie (z DTI można wstrzyknąć anizotropię istoty białej!). Sformułowanie wariacyjne daje rzadki układ:

$$\mathbf{K}\mathbf{u} = \mathbf{b}$$

gdzie <math>\mathbf{K}</math> to macierz sztywności zależna od <math>\sigma(\mathbf{r})</math>, a <math>\mathbf{b}</math> niesie informację o źródle. To „złoty standard" pod kątem dokładności, ale kosztowny — dlatego praktycznie zawsze łączony z trikiem z punktu 6.

**(d) FDM** — rzadziej, dziś głównie historycznie.

==== 6. Twierdzenie o wzajemności — dlaczego macierz <math>\mathbf{L}</math> da się liczyć rozsądnie ====

Naiwne podejście: dla każdego z <math>\sim 10^4</math> źródeł i każdej z 3 orientacji odpalić rozwiązywacz PDE. To <math>3\times 10^4</math> rozwiązań. Beznadzieja.

Helmholtzowska zasada wzajemności mówi: potencjał w elektrodzie A wywołany dipolem w punkcie <math>\mathbf{r}_0</math> jest równoważny pewnej wielkości policzonej z
pola elektrycznego wytworzonego w <math>\mathbf{r}_0</math> przez jednostkowy prąd wstrzyknięty między elektrodą A a referencją. Formalnie:

$$V_A(\mathbf{r}_0;\mathbf{q}) = \mathbf{E}^{(A)}(\mathbf{r}_0)\cdot\mathbf{q}$$

gdzie <math>\mathbf{E}^{(A)}</math> to pole „wstrzykniętego" prądu jednostkowego. Konsekwencja: zamiast <math>3N_\text{src}</math> rozwiązań PDE wystarczy <math>N_\text{el}-1</math> rozwiązań (po jednym na elektrodę). Praktycznie wszystkie pakiety BEM/FEM (w tym OpenMEEG, SimBio, DUNEuro) to wykorzystują — i dlatego FEM jest w ogóle wykonalny dla całych siatek źródłowych.

'''Fizyczna intuicja'''

Wyobraź sobie, że potencjał wytworzony przez dipol na danej elektrodzie zależy od tego, jak silnie ta elektroda „widzi" punkt w mózgu. Twierdzenie Helmholtza mówi: jeśli chcesz wiedzieć, jak silnie elektroda widzi dany punkt — odwróć kierunek. Wstrzyknij prąd przez tę elektrodę i sprawdź, jakie pole powstaje w tym punkcie. Im silniejsze pole tam dotrze, tym czulsza jest elektroda na dipol tam ulokowany. Kierunek pola wskazuje też, na jaką orientację dipola elektroda reaguje najsilniej.

'''Konsekwencja obliczeniowa'''

dla każdej z elektrod raz rozwiązujemy PDE z prądem 1 A i zapisujemy
$$E(A)(r)\mathbf{E}^{(A)}(\mathbf{r})$$
na całej siatce źródeł. Macierz lead field powstaje przez bezkosztowe ewaluowanie:
$$L_{A,(s,i)} = E^{(A)}_i(\mathbf{r}_s)$$
— wiersz to elektroda, kolumna to (pozycja źródła, orientacja).

==== 7. Co więc dosłownie robi `ft_prepare_headmodel` ====

Tworzy obiekt `headmodel`, który zawiera:
- geometrię (kule albo siatki powierzchniowe, albo objętościową siatkę FEM),
- przewodności poszczególnych warstw,
- a w przypadku BEM/FEM — wstępnie policzony operator dyskretny (np. odwróconą macierz BEM albo czynnik macierzy sztywności FEM z trikiem transferowym wykorzystującym wzajemność).

To jest najdroższa część obliczeń — i robi się ją raz dla danej geometrii. Potem `ft_prepare_leadfield`, dla każdej pozycji źródła w `cfg.sourcemodel`, używa tego operatora, żeby wygenerować trzy kolumny <math>\mathbf{L}</math> (dla orientacji x, y, z). Wynik to `leadfield{i}` o wymiarze <math>N_\text{el}\times 3</math> — czyli dosłownie blok macierzy lead field dla danego wokselu.

---

Podsumowanie:

1. Maxwell → kwazistatyka → „elektrostatyka z prądami"

2. Podział prądu i równanie Poissona (jedyne równanie, którego naprawdę trzeba)

3. Dipol jako model i wynikająca **liniowość** → uzasadnienie wzoru $\mathbf{v}=\mathbf{L}\mathbf{j}$

4. Warunki brzegowe → tu wchodzi anatomia

5. Sfery (analityczne, intuicja) → BEM → FEM jako kolejne stopnie realizmu

6. Wzajemność jako trik obliczeniowy, bez którego niczego by się nie dało policzyć w sensownym czasie

Klasyczne źródła:
- Hallez et al. 2007 *J Neuroeng Rehabil* (review obliczeń forward, bardzo czytelny),
- Mosher et al. 1999 dla zwartego wyprowadzenia,
- oraz dokumentacja OpenMEEG (Gramfort et al. 2010) — tam ścieżka BEM jest wyprowadzona z drugiej tożsamości Greena.
---

=== Programy obliczające model do przodu:===
MNE-Python (<code>mne.make_bem_model</code>), FieldTrip (<code>ft_prepare_headmodel</code>), OpenMEEG.

==Fitowanie dipoli (Dipole Fitting)==

===Idea===
Najprostsze założenie: aktywacja EEG pochodzi z jednego
(lub kilku) ekwiwalentnych dipoli prądowych.
Każdy dipol opisany jest sześcioma parametrami:
trzema współrzędnymi położenia <math>(x,y,z)</math>
i trzema składowymi momentu dipolowego <math>(q_x, q_y, q_z)</math>.

===Formalizm===
Dla pojedynczego dipola o momencie <math>\mathbf{q}(t)</math>
w lokalizacji <math>\mathbf{r}_0</math>:
:<math>\mathbf{x}(t) = \mathbf{a}(\mathbf{r}_0)\,\mathbf{q}(t) + \boldsymbol{\varepsilon}(t)</math>
gdzie <math>\mathbf{a}(\mathbf{r}_0) \in \mathbb{R}^{N_e \times 3}</math>
to kolumna macierzy pola wiodącego odpowiadająca lokalizacji <math>\mathbf{r}_0</math>.

Estymacja polega na minimalizacji reszty:
:<math>\hat{\mathbf{r}}_0 = \arg\min_{\mathbf{r}} \left\|\mathbf{x}(t) - \mathbf{a}(\mathbf{r})\,\hat{\mathbf{q}}(t)\right\|^2</math>
Minimalizację prowadzi się zwykle algorytmem Neldera–Meada
lub Levenberga–Marquardta po przestrzeni lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* gdy źródło jest punktowe lub quasi-punktowe (np. wczesne składowe słuchowych potencjałów wywołanych N20, P25)
* gdy liczba aktywnych źródeł jest z góry znana i mała (1–3 dipole)

;Ograniczenia:
* wrażliwość na punkt startowy — algorytm może utknąć w minimum lokalnym
* złe dopasowanie gdy aktywacja pochodzi z rozległego obszaru kory
* wynik silnie zależy od dokładności modelu do przodu

==Minimum Norm Estimation (MNE)==

===Idea===
Zamiast zakładać małą liczbę dipoli,
rozkładamy aktywność na gęstą siatkę źródeł pokrywającą całą powierzchnię kory
i szukamy rozwiązania o minimalnej normie —
tj. takiego, które odtwarza dane, angażując jak najmniejszą całkowitą energię źródeł.

===Formalizm===
Problem optymalizacji z regularyzacją Tichonowa:
:<math>\hat{\mathbf{s}} = \arg\min_{\mathbf{s}} \left\|\mathbf{x} - \mathbf{A}\mathbf{s}\right\|^2 + \lambda\left\|\mathbf{s}\right\|^2</math>
gdzie <math>\lambda > 0</math> to parametr regularyzacji kontrolujący kompromis
między wiernością danym a gładkością rozwiązania.

Rozwiązanie analityczne:
:<math>\hat{\mathbf{s}} = \mathbf{A}^T\left(\mathbf{A}\mathbf{A}^T + \lambda\mathbf{I}\right)^{-1}\mathbf{x}</math>

Macierz <math>\mathbf{W}_{\mathrm{MNE}} = \mathbf{A}^T(\mathbf{A}\mathbf{A}^T + \lambda\mathbf{I})^{-1}</math>
jest liniowym filtrem przestrzennym — analogiem macierzy <math>\mathbf{W}</math> z CSP,
lecz skonstruowanym na podstawie modelu do przodu, nie z danych.

===Warianty===

;dSPM (''dynamic Statistical Parametric Mapping'', Dale 2000):
Normalizuje estymowaną aktywność przez odchylenie standardowe szumu:
:<math>F_{\mathrm{dSPM}}(\mathbf{r}, t) = \frac{\hat{s}(\mathbf{r},t)}{\sigma_{\mathrm{noise}}(\mathbf{r})}</math>
Wynik ma interpretację statystyczną (wartość F lub Z); popularne w neurobiologii poznawczej.

;sLORETA (''standardized LORETA'', Pascual-Marqui 2002):
Normalizuje przez odchylenie standardowe samego estymatora MNE (nie tylko szumu):
:<math>F_{\mathrm{sLORETA}}(\mathbf{r}, t) = \frac{\hat{s}(\mathbf{r},t)}{\sqrt{\left[\mathbf{W}_{\mathrm{MNE}}\mathbf{A}\right]_{(\mathbf{r},\mathbf{r})}}}</math>
Wykazuje zerowe systematyczne błędy lokalizacji w warunkach idealnych.

;Wybór <math>\lambda</math>:
Zwykle <math>\lambda = \alpha \cdot \mathrm{tr}(\mathbf{A}\mathbf{A}^T) / \mathrm{tr}(\mathbf{I})</math>
z <math>\alpha \in [0.05, 0.3]</math>; w MNE-Python domyślnie <math>\alpha = 0.1</math>.
Można też stosować kryterium L-krzywej lub walidację krzyżową.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* gdy aktywacja jest rozproszona lub nieznana a priori
* jako ogólne narzędzie wizualizacji ERP na powierzchni kory
* przy małej liczbie elektrod

;Ograniczenia:
* tendencja do rozmywania rozwiązania — źródła głębokie są systematycznie niedoszacowane
* brak zakładanej rzadkości (''sparsity''); wariant L1 (MCE) jest rzadszy, ale trudniejszy obliczeniowo
* wymaga dobrego modelu do przodu

==Beamformery==

===Idea===
Beamformer (dosł. „formowanie wiązki") to adaptacyjny filtr przestrzenny,
który dla każdej lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>
konstruuje wagi <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math> maksymalizujące
stosunek mocy sygnału z tej lokalizacji do mocy wszystkich pozostałych źródeł.
W odróżnieniu od MNE, beamformer korzysta z macierzy kowariancji danych —
jest więc metodą adaptacyjną, zbliżoną duchem do CSP.

===LCMV (''Linearly Constrained Minimum Variance'', Van Veen 1997)===

Szukamy filtra minimalizującego wariancję wyjścia
przy ograniczeniu zachowującym sygnał z lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>:
:<math>\mathbf{w}^*(\mathbf{r}) = \arg\min_{\mathbf{w}} \mathbf{w}^T\mathbf{C}\mathbf{w}
\quad \text{p.o.} \quad \mathbf{w}^T\mathbf{a}(\mathbf{r}) = 1</math>
gdzie <math>\mathbf{C} = E[\mathbf{x}\mathbf{x}^T]</math> to macierz kowariancji danych.

Rozwiązanie analityczne (mnożnik Lagrange'a):
:<math>\mathbf{w}(\mathbf{r}) = \frac{\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}{\mathbf{a}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}</math>

Moc w lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>:
:<math>P(\mathbf{r}) = \mathbf{w}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}\,\mathbf{w}(\mathbf{r})
= \frac{1}{\mathbf{a}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}</math>

===DICS (''Dynamic Imaging of Coherent Sources'', Gross 2001)===

Wariant beamformera dla analizy częstotliwościowej:
zamiast macierzy kowariancji czasowej stosuje
''cross-spectral density matrix'' <math>\mathbf{C}(f)</math>
obliczoną dla wybranego pasma częstości.
Pozwala mapować koherencję między lokalizacjami na powierzchni kory.

===Analogia z CSP===

Zauważmy analogię strukturalną:

{| class="wikitable"
|-
! !! CSP !! LCMV Beamformer
|-
| '''Macierz kowariancji''' || <math>\mathbf{R}_T, \mathbf{R}_{NT}</math> (dwa warunki) || <math>\mathbf{C}</math> (jeden warunek) + <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
|-
| '''Filtr''' || <math>\mathbf{w}</math>: maks. stosunek wariancji || <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math>: min. wariancja przy ograniczeniu
|-
| '''Przestrzeń''' || elektrod || przestrzeni mózgu (woksel po wokselu)
|-
| '''Model do przodu''' || nie || tak — przez <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
|}

Kluczowa różnica: CSP optymalizuje globalnie jednym zagadnieniem własnym,
beamformer rozwiązuje osobny problem dla każdej lokalizacji.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* analiza ERD/ERS (rytmy ruchowe, alfa, beta) w przestrzeni mózgu
* lokalizacja źródeł oscylacyjnych w MEG
* DICS do badania koherencji korowo-korowej

;Ograniczenia:
* silnie skorelowane źródła są tłumione (''source cancellation'') — beamformer zakłada, że źródła są nieskorelowane
* wymaga dużej liczby próbek do stabilnej estymacji <math>\mathbf{C}^{-1}</math>
* przy małej liczbie elektrod macierz <math>\mathbf{C}</math> może być źle uwarunkowana

;Podsumowanie:
[[Plik:Inverse problem vs bss.png|mały|centruj]]

==Podsumowanie: kiedy stosować którą metodę==

{| class="wikitable"
|-
! Metoda !! Założenie a priori !! Dane wejściowe !! Typowe zastosowanie
|-
| '''Dipole fitting''' || 1–3 punktowe źródła || ERP, AEP, SEP || lokalizacja wczesnych składowych wywołanych
|-
| '''MNE / dSPM / sLORETA''' || minimalna energia; źródła ciągłe || ERP, dowolny sygnał || wizualizacja rozproszonej aktywności na korze
|-
| '''LCMV Beamformer''' || źródła nieskorelowane || ERD/ERS, dane resting-state || lokalizacja źródeł oscylacyjnych w MEG/EEG
|-
| '''DICS''' || j.w. + analiza spektralna || dane oscylacyjne || mapa koherencji korowo-korowej
|-
| '''CSP / ICA''' || brak modelu geometrycznego || dwa warunki / jeden segment || klasyfikacja BCI, usuwanie artefaktów
|}

;Uwaga praktyczna:
Wszystkie metody problemu odwrotnego wymagają przygotowania modelu do przodu.
Zaleca się korzystanie z MNE-Python lub FieldTrip — oba pakiety
oferują spójne pipeline'y od surowych danych do map korowych
i są szeroko stosowane w literaturze, co ułatwia replikację wyników.

=Sesja 7: Problem odwrotny — część praktyczna=

;Czas: ~30 min wprowadzenie + ~120 min ćwiczenie

Część praktyczna prowadzi przez pełny pipeline lokalizacji źródeł:
od wczytania danych w FieldTrip, przez zbudowanie modelu do przodu,
do fitowania dipola i interpretacji wyniku.
Sesja jest zaprojektowana tak, aby każdy krok bezpośrednio ilustrował
jeden element teorii omówionej w [[#Sesja 7: Problem odwrotny w EEG i MEG|części wykładowej]].

;Dane:
Używamy standardowego zestawu danych FieldTrip
(dane somatosensoryczne MEG/EEG, bodziec elektryczny na nadgarstku — składowa N20):
* https://download.fieldtriptoolbox.org/tutorial/Subject01.zip (~800 MB)

Ten sam zestaw danych jest używany we wszystkich tutorialach FieldTrip
wymienionych w tej sesji, co ułatwia porównywanie wyników między krokami.

;Instalacja FieldTrip: Wymagania wstępne:
FieldTrip wymaga MATLABa. Przed instalacją sprawdź kompatybilność swojej wersji:
[https://www.fieldtriptoolbox.org/faq/matlab/requirements MATLAB requirements]

;Pobranie toolboxa: Pobierz najnowszą wersję ze strony:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/download.php Pobierz FieldTrip]

Rozpakuj archiwum ZIP w wybranym katalogu, np. <code>~/matlab/fieldtrip</code> (Linux/macOS).

;Ważne: nie zmieniaj wewnętrznej struktury katalogów po rozpakowaniu —
FieldTrip dynamicznie zarządza swoimi podkatalogami.

;Konfiguracja ścieżki MATLAB: Pełna instrukcja: [https://www.fieldtriptoolbox.org/faq/matlab/installation Installation and setting up the path]

Uruchom poniższe polecenia na początku każdej sesji pracy z FieldTrip
(lub wstaw je do pliku <code>startup.m</code> — patrz niżej):

<source lang="matlab">
restoredefaultpath % wyczyść aktualną ścieżkę
addpath('~/fieldtrip') % podaj tu swoją ścieżkę do FieldTrip
ft_defaults % skonfiguruj FieldTrip i minimalne podkatalogi
</source>

;Uwaga — częsty błąd:
Nie używaj <code>addpath(genpath(...))</code> ani przycisku „Add with Subfolders" w MATLAB GUI.
FieldTrip samodzielnie dodaje potrzebne podkatalogi przez <code>ft_defaults</code>
i <code>ft_hastoolbox</code> — dodanie wszystkiego ręcznie powoduje konflikty
z funkcjami SPM, EEGLAB i wbudowanymi funkcjami MATLABa
(w szczególności z funkcjami z katalogu <code>fieldtrip/compat</code>
przeznaczonymi tylko dla starych wersji MATLABa).

;Trwała konfiguracja przez startup.m:

Żeby nie powtarzać powyższych poleceń przy każdym uruchomieniu MATLABa,
utwórz plik <code>startup.m</code> w swoim katalogu MATLABa
(zwykle <code>Dokumenty/MATLAB/startup.m</code>) z zawartością:

<source lang="matlab">
restoredefaultpath
addpath('C:\fieldtrip') % zmień na swoją ścieżkę
ft_defaults
</source>

MATLAB wykonuje ten plik automatycznie przy każdym uruchomieniu.

;Uwaga dla użytkowników EEGLAB: Jeśli korzystasz z EEGLAB i FieldTrip w tej samej sesji,
zawsze ładuj FieldTrip przez <code>restoredefaultpath</code> + <code>addpath</code> + <code>ft_defaults</code>,
a nie przez interfejs EEGLAB. Oba toolboxy zawierają funkcje o tych samych nazwach
(np. <code>eegplot</code>, <code>topoplot</code>) — kolejność na ścieżce decyduje,
która wersja zostanie wywołana.

;Weryfikacja instalacji: Sprawdź poprawność instalacji jednym poleceniem:

<source lang="matlab">
ft_defaults
ft_version
</source>

Powinieneś zobaczyć numer wersji i datę kompilacji, np.:
<pre>
FieldTrip version 20250901, path: C:\fieldtrip
</pre>

Jeśli MATLAB zgłasza błąd <code>Undefined function 'ft_defaults'</code>,
ścieżka nie została ustawiona poprawnie — wróć do kroku z <code>addpath</code>.

==Krok 0: Wejście do FieldTrip==

Przed właściwym ćwiczeniem proszę zapoznać się z tutorialem wprowadzającym:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/intro/introduction/ Introduction to the FieldTrip toolbox]

;Na co zwrócić uwagę przechodząc ten tutorial:

Studenci znający EEGLAB natkną się na dwie zasadnicze różnice w filozofii pracy:

* '''Struktura cfg''' zamiast GUI. Każda funkcja FieldTrip przyjmuje strukturę konfiguracyjną <code>cfg</code> i zwraca nową strukturę danych. Nie ma okien dialogowych — cała analiza jest skryptem. Jest to bliższe temu, co robiliśmy w MATLAB-owych sesjach CSP/ICA.

* '''Niezmienność danych'''. FieldTrip nie modyfikuje struktur w miejscu — każde wywołanie funkcji zwraca nową strukturę. Pozwala to łatwo porównywać wyniki różnych parametrów, ale wymaga dbałości o nazewnictwo zmiennych.

;Pytanie do dyskusji po lekturze:
Jak odpowiadają sobie nawzajem: <code>EEG.data</code> w EEGLAB i struktura <code>data</code> w FieldTrip?
Gdzie w strukturach FieldTrip przechowywane są informacje o lokalizacji elektrod?

==Krok 1: Model do przodu — BEM dla EEG==

Przed fitowaniem dipola musimy obliczyć macierz pola wiodącego <math>\mathbf{A}</math>.
Proszę przejść tutorial:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/headmodel_eeg_bem Construct a BEM headmodel for EEG source analysis]

;Cel tego kroku:
Zrozumieć skąd pochodzi kolumna <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
używana we wszystkich metodach Sesji 7.
Każda kolumna <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math> mówi: „jeśli w miejscu <math>\mathbf{r}</math>
znajdowałby się dipol o jednostkowym momencie,
to jakie potencjały zmierzylibyśmy na każdej z elektrod?"

;Kluczowe funkcje FieldTrip w tym kroku:
<source lang="matlab">
% Segmentacja MRI na trzy tkanki (skóra, czaszka, mózg)
cfg = [];
cfg.output = {'brain','skull','scalp'};
segmentedmri = ft_volumesegment(cfg, mri);

% Budowanie siatki trójkątów BEM
cfg = [];
cfg.tissue = {'brain','skull','scalp'};
cfg.numvertices = [3000 2000 1000];
bnd = ft_prepare_mesh(cfg, segmentedmri);

% Obliczenie modelu do przodu metodą BEM (OpenMEEG)
cfg = [];
cfg.method = 'openmeeg';
cfg.conductivity = [0.33 0.0041 0.33]; % mózg, czaszka, skóra [S/m]
headmodel = ft_prepare_headmodel(cfg, bnd);
</source>

;Na co zwrócić uwagę:
* Stosunek przewodności czaszka/mózg wynosi tu ~1/80.
Jak myślisz, jak bardzo błąd w tym parametrze wpłynie na lokalizację źródeł?
* Funkcja <code>ft_prepare_mesh</code> tworzy trzy zagnieżdżone siatki.
Jak ma się to do opisu BEM z wykładu?

==Krok 2: Fitowanie dipola (ćwiczenie główne)==

;Czas: ~90 min

To jest główne ćwiczenie praktyczne Sesji 7.
Proszę przejść tutorial:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/dipolefitting Dipole fitting of combined MEG/EEG data]

Poniżej znajdziesz szkielet kodu z pytaniami pomocniczymi
do samodzielnego wypełnienia — zacznij od tutorialu,
a potem wróć do szkieletu i uzupełnij brakujące fragmenty.

===Szkielet kodu — fitowanie dipola dla składowej N20===

<source lang="matlab">
%% KROK A: Wczytanie i preprocessing danych EEG
% Dane: Subject01.zip (patrz wyżej)
% Używamy tylko kanałów EEG, odrzucamy MEG.

cfg = [];
cfg.dataset = 'Subject01.ds';
cfg.trialdef.eventtype = 'backpanel trigger';
cfg.trialdef.eventvalue = 3; % bodziec na lewym nadgarstku
cfg.trialdef.prestim = 0.1;
cfg.trialdef.poststim = 0.3;
cfg = ft_definetrial(cfg);

cfg.channel = 'EEG';
cfg.continuous = 'yes';
cfg.demean = 'yes';
cfg.baselinewindow = [-0.1 0];
data = ft_preprocessing(cfg);

%% KROK B: Uśrednianie — potencjał wywołany
% TUTAJ: użyj ft_timelockanalysis aby obliczyć ERP (średnią po powtórzeniach)
% Wynik zapisz jako 'timelock'

% TUTAJ

%% KROK C: Wczytanie modelu do przodu i lokalizacji elektrod
% Zakładamy, że headmodel i elec zostały obliczone w Kroku 1.
% Jeśli nie — można użyć gotowego modelu z paczki danych Subject01.

load('standard_bem.mat'); % headmodel
load('Subject01_elec.mat'); % lokalizacje elektrod (po dopasowaniu do MRI)

%% KROK D: Przygotowanie siatki poszukiwań (grid)
% Definiujemy siatkę regularną 1 cm wewnątrz mózgu.
% ft_prepare_sourcemodel oblicza też macierz pola wiodącego A
% (tzw. leadfield) dla każdego punktu siatki.

cfg = [];
cfg.headmodel = headmodel;
cfg.elec = elec;
cfg.resolution = 1; % odstęp siatki w cm
cfg.unit = 'cm';
sourcemodel = ft_prepare_sourcemodel(cfg);

%% KROK E: Fitowanie dipola
% Szukamy jednego dipola najlepiej wyjaśniającego topografię N20.
% Okno czasowe 0.016–0.022 s odpowiada składowej N20.

cfg = [];
cfg.latency = [0.016 0.022]; % okno N20 w sekundach
cfg.numdipoles = 1;
cfg.headmodel = headmodel;
cfg.elec = elec;
cfg.sourcemodel = sourcemodel;
cfg.nonlinear = 'yes'; % optymalizacja nieliniowa po przestrzeni

% TUTAJ: source = ft_dipolefitting(cfg, timelock);

%% KROK F: Wizualizacja wyniku
% Nałożenie lokalizacji dipola na MRI anatomiczne.

load('standard_mri.mat'); % MRI w tym samym układzie współrzędnych

cfg = [];
cfg.location = source.dip.pos; % współrzędne znalezionego dipola [x y z]

% TUTAJ: ft_sourceplot(cfg, mri);

%% KROK G: Ocena dopasowania
% Goodness of fit (GoF) mówi jaka część wariancji danych
% jest wyjaśniona przez znaleziony dipol.
% Wartość > 0.85 uznaje się za dobre dopasowanie.

fprintf('Goodness of fit: %.1f%%\n', source.dip.rv * 100);
% Uwaga: w FieldTrip rv to residual variance (1 - GoF).
% Dobry dipol ma rv < 0.15.

disp('Lokalizacja dipola [x y z] w mm:')
disp(source.dip.pos)

disp('Moment dipolowy [qx qy qz]:')
disp(source.dip.mom)
</source>

===Zadania do samodzielnej realizacji===

;Zadanie 1 (obowiązkowe): Pipeline i lokalizacja
Uzupełnij brakujące fragmenty szkieletu (kroki B i E–F).
Gdzie na MRI ląduje znaleziony dipol? Czy odpowiada to oczekiwanej anatomii
składowej N20 (pierwotna kora somatosensoryczna S1, okolica bruzdy centralnej)?

;Zadanie 2 (obowiązkowe): Wpływ okna czasowego
Zmień <code>cfg.latency</code> kolejno na:
* <code>[0.016 0.022]</code> — okno N20
* <code>[0.025 0.035]</code> — okno P25
* <code>[0.045 0.060]</code> — okno N45
Czy lokalizacja dipola zmienia się między tymi składowymi?
Jak zmienia się GoF? Co to mówi o tym, która składowa jest lepiej opisana modelem jednego dipola?

;Zadanie 3 (obowiązkowe): Dwa dipole
Zmień <code>cfg.numdipoles = 2</code> i powtórz fitowanie dla okna N20.
Czy model dwóch dipoli daje istotnie lepszy GoF niż jeden?
Jak interpretujesz dwa znalezione źródła?

;Zadanie 4 (dla chętnych): Wrażliwość na model do przodu
FieldTrip pozwala użyć uproszczonego modelu sferycznego
zamiast BEM: ustaw <code>cfg.headmodel</code> na model jednorodnej sfery
(<code>cfg.method = 'singlesphere'</code> w <code>ft_prepare_headmodel</code>).
O ile zmienia się lokalizacja dipola N20?
Czy GoF wzrasta czy maleje?

;Pytania do dyskusji:
* Fitowanie dipola wymaga podania okna czasowego — dlaczego?
Co stałoby się gdybyśmy dopasowywali dipol do całej epoki (−100 do +300 ms)?
* Algorytm minimalizacji może utknąć w minimum lokalnym.
Jak <code>cfg.sourcemodel</code> (siatka) pomaga temu zaradzić?
Jaki jest kompromis między rozdzielczością siatki a czasem obliczeń?
* Porównaj mapę topograficzną ERP w oknie N20
z mapą rekonstruowaną z dopasowanego dipola (wywołaj <code>ft_dipolefitting</code>
z opcją <code>cfg.dipfit.display = 'yes'</code>).
Czy widzisz różnicę? Skąd ona pochodzi?

==Krok 3: Dalsze metody — dla zainteresowanych==

Poniższe tutoriale stanowią naturalne rozwinięcie ćwiczenia głównego
i ilustrują pozostałe metody omówione w teorii Sesji 7.
Nie są wymagane na zaliczenie, ale gorąco je polecamy
jeśli planujesz używać lokalizacji źródeł w pracy badawczej.

;Minimum Norm Estimation:
[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/minimumnormestimate Source reconstruction of event-related fields using minimum-norm estimation]

Ten sam sygnał N20 co w ćwiczeniu głównym, ale zamiast jednego dipola
otrzymujesz ciągłą mapę aktywności na całej powierzchni kory.
Zwróć uwagę jak wybór parametru regularyzacji <math>\lambda</math>
wpływa na rozmycie rozwiązania.
Porównaj lokalizację maksimum mapy MNE z lokalizacją dipola z Kroku 2.

;Beamformer (LCMV/DICS):
[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/beamformer Localizing oscillatory sources in MEG data using a beamformer]

Tutorial wykorzystuje ten sam zestaw danych Subject01
i lokalizuje źródła oscylacji gamma wywołanych bodźcem —
bezpośrednie rozwinięcie analizy ERD/ERS, którą już znasz.
Kluczowa różnica w stosunku do MNE: beamformer korzysta
z macierzy kowariancji danych <math>\mathbf{C}</math>,
a nie tylko z modelu do przodu. Sprawdź jak wyglądają
filtry przestrzenne <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math> dla różnych lokalizacji
i porównaj je koncepcyjnie z filtrami CSP z Sesji 1–3.











-->

Laboratorium EEG/CSP

2026-05-14T08:21:28Z

Jarekz: /* 6. Twierdzenie o wzajemności — dlaczego macierz \mathbf{L} da się liczyć rozsądnie */

[[Laboratorium_EEG]]/BSS

=Sesja 1: Ślepa separacja źródeł i CSP — wprowadzenie=

;Czas: ~60 min wykład + ~90 min ćwiczenie symulacyjne

Zajęcia wprowadzają do problemu filtracji przestrzennej sygnałów EEG.
Punktem wyjścia jest ogólny problem ślepej separacji źródeł (BSS),
z którego CSP wyłania się jako szczególny przypadek dla dwóch warunków
eksperymentalnych. Filtry przestrzenne omawiane na tych zajęciach stanowią
fundament klasycznych metod BCI (P300, SSVEP, motor imagery) oraz są
bezpośrednim odpowiednikiem warstw przestrzennych w sieciach neuronowych
takich jak ShallowConvNet i EEGNet — do tej analogii wrócimy w sesji 6.

[https://drive.google.com/file/d/1WrXgWWDJ7g5ZdYltm_8s2NXbGamw4R8N/view?usp=sharing Slajdy do wykładu (PDF)]

;Zakres wykładu:
* model generatywny EEG: <math>x(t) = As(t)</math>, macierz kowariancji, idea diagonalizacji
* BSS jako ogólny problem separacji źródeł
* CSP jako szczególny przypadek: dwa warunki eksperymentalne, iloraz Rayleigha, uogólnione zagadnienie własne
* interpretacja filtrów i topografii źródeł

;Ćwiczenie symulacyjne:
Zob. [[#Ćwiczenie symulacyjne|Ćwiczenie symulacyjne]] w sekcji CSP poniżej.

====Ćwiczenie symulacyjne ====
====Zadania do samodzielnej realizacji====

Poniższy kod dostarcza gotowej infrastruktury: generacji sygnałów, macierzy mieszającej i wizualizacji.
Zadaniem jest samodzielna implementacja kluczowych kroków analizy CSP.

;Zadanie 1 (obowiązkowe): Obliczenie macierzy kowariancji
Napisz funkcję <code>srednia_kowariancja(X, ind)</code>, która dla danej tablicy sygnałów <code>X</code>
(wymiary: powtórzenia × kanały × próbki) i wektora indeksów czasowych <code>ind</code>
zwraca średnią macierz kowariancji uśrednioną po powtórzeniach.
Dla każdego powtórzenia zastosuj funkcję <code>cov</code> i znormalizuj wynik przez jego ślad (<code>trace</code>).
Sprawdź wynik porównując z macierzami <code>R_B</code> i <code>R_E</code> obliczonymi w dostarczonym kodzie.

;Zadanie 2 (obowiązkowe): Implementacja CSP
Korzystając z funkcji <code>eig</code> oraz macierzy kowariancji obliczonych w zadaniu 1,
wyznacz macierz filtrów przestrzennych <code>W</code> i odpowiadające im wartości własne.
Odtwórz sygnały źródłowe dla wszystkich powtórzeń.
Narysuj chmury punktów (amplituda źródła 1 vs amplituda źródła 2) osobno dla warunków
baseline i ERP — przed transformacją CSP i po niej. Co zmieniło się w kształcie chmur?

Wykreśl także wizualizację przebiegów czasowych sygnałów X i sygnałów S uzyskanych po rozmieszaniu.

;Zadanie 3 (obowiązkowe): Interpretacja wartości własnych
Wartości własne znajdują się na przekątnej macierzy <code>Lambda</code>.
Który filtr najbardziej różnicuje warunki baseline i ERP?
Jaki jest związek między wartością własną a separacją widoczną na wykresach punktowych?

;Zadanie 4 (dla chętnych): Wpływ macierzy mieszającej
W dostarczonym kodzie macierz <code>P</code> (filtr przestrzenny) wynosi:
<pre>
P = [1 2; 1.5 1.3]
</pre>
Zmień ją kolejno na macierz bliską jednostkowej (np. <code>P = [1 0.1; 0.1 1]</code>)
oraz na macierz z dużymi elementami pozadiagonalnymi (np. <code>P = [1 5; 4 1]</code>).
Jak zmienia się kształt chmury punktów przed transformacją CSP?
Czy CSP poprawnie oddziela źródła w obu przypadkach?

;Zadanie 5 (dla chętnych): Wpływ szumu
W kodzie szum jest wyłączony: <code>n = 0*randn(size(tmp))</code>.
Usuń mnożnik <code>0*</code> i zbadaj jak poziom szumu wpływa na separację źródeł.
Przy jakim stosunku sygnału do szumu CSP przestaje skutecznie rozdzielać warunki?

;Pytanie do dyskusji:
Dostarczony kod używa <code>eig(R_E, R_B)</code>.
Alternatywą jest <code>eig(R_E, (R_E+R_B)/2)</code>.
Czym różnią się te dwie wersje? W jakich sytuacjach eksperymentalnych
druga wersja mogłaby być bardziej uzasadniona?

====Szkielet kodu do uzupełnienia====

Poniższy szkielet zawiera gotową infrastrukturę symulacji.
Uzupełnij brakujące fragmenty oznaczone komentarzem <code>% TUTAJ</code>
zgodnie z zadaniami 1–3. Pełny kod referencyjny dostępny jest poniżej
— zajrzyj do niego dopiero po samodzielnej próbie.

<source lang="matlab">
%% Parametry symulacji — nie modyfikuj tej sekcji
Fs = 100;
T = 1;
t = 0:1/Fs:T-1/Fs;
N_rep = 100;
N_chan = 2;
s = zeros(N_rep, N_chan, length(t));
X = zeros(N_rep, N_chan, length(t));

P = [1 2; 1.5 1.3]; % filtr przestrzenny (prawdziwy)
A = P^(-1); % topografia źródeł

for r = 1:N_rep
s1 = sin(2*pi*11*t + pi/2) + 0.02*randn(size(t));
s2 = exp(-((t-0.8)/0.05).^2) + 0.01*randn(size(t));
s(r,1,:) = s1;
s(r,2,:) = s2;
tmp = squeeze(s(r,:,:));
n = 0*randn(size(tmp)); % Zadanie 5: zmień 0* na 1* aby włączyć szum
X(r,:,:) = A*tmp + n;
end

baseline_ind = find(t < 0.5);
ERP_ind = find(t >= 0.5);

R_B = zeros(N_chan, N_chan);
R_E = zeros(N_chan, N_chan);

%% Zadanie 1: Oblicz średnie macierze kowariancji
% korzystając z funkcji srednia_kowariancja(X, ind)

% Dla każdego powtórzenia r:
% - wytnij fragment sygnału X(r,:,baseline_ind) i analogicznie ERP
% - oblicz macierz kowariancji funkcją cov() — pamiętaj o transpozycji
% - znormalizuj przez ślad (funkcja trace())
% - dodaj do sumy
% Na końcu podziel przez N_rep

%% Zadanie 2: Rozwiąż uogólnione zagadnienie własne
% Użyj funkcji eig(A,B) gdzie A=R_E, B=R_B
% W wyniku otrzymasz macierz wektorów własnych W (w kolumnach)
% i macierz Lambda z wartościami własnymi na przekątnej

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

disp('Wartości własne (przekątna Lambda):')
disp(diag(Lambda))

%% Zadanie 2 cd.: Odtwórz sygnały źródłowe
% Dla każdego powtórzenia r zastosuj filtr: S(r,:,:) = W' * X(r,:,:)

S = zeros(N_rep, N_chan, length(t));

for r = 1:N_rep
% TUTAJ: S(r,:,:) = ...
end

%% Zadanie 3: Wizualizacja — chmury punktów przed i po CSP
x_base_k1 = X(:,1,baseline_ind);
x_base_k2 = X(:,2,baseline_ind);
x_ERP_k1 = X(:,1,ERP_ind);
x_ERP_k2 = X(:,2,ERP_ind);

s_base_k1 = squeeze(S(:,1,baseline_ind));
s_base_k2 = squeeze(S(:,2,baseline_ind));
s_ERP_k1 = squeeze(S(:,1,ERP_ind));
s_ERP_k2 = squeeze(S(:,2,ERP_ind));

figure(1); clf
subplot(1,2,1)
plot(x_base_k1(:), x_base_k2(:), 'b.'); hold on
plot(x_ERP_k1(:), x_ERP_k2(:), 'r.');
axis equal; xlim([-2 2]); ylim([-2 2])
xlabel('Kanał 1'); ylabel('Kanał 2')
title('Przed CSP')
legend('baseline','ERP')

subplot(1,2,2)
plot(s_base_k1(:), s_base_k2(:), 'b.'); hold on
plot(s_ERP_k1(:), s_ERP_k2(:), 'r.');
axis equal
xlabel('Źródło 1'); ylabel('Źródło 2')
title('Po CSP')
legend('baseline','ERP')
%% Wizualizacja przebiegów czasowych X i S
% TUTAJ:

%% Zadanie 4 (dla chętnych): zmień macierz P powyżej i powtórz analizę
%% Zadanie 5 (dla chętnych): włącz szum (zmień 0* na 1* w linii z n=...)
</source>

{{hidden begin|title=Rozwiązanie — pokaż dopiero po samodzielnej próbie}}
<source lang = matlab>
% symulowany eksperyment składa się z sinusoidy udającej alfę spoczynkową i
% funkcji Gaussa udającego potencjał wywołany
% źródła te są symulowane niezależnie a potem mieszane przez macierz A
% symulujemy źródła
% s1 - symuluje alfę
% s2 - symuluje "potencjał wywołany" (ERP)

%ustawiamy parametry do symulacji sygnałów
Fs = 100;
T = 1;
t = 0:1/Fs:T-1/Fs;
N_rep = 100;
N_chan = 2;
s = zeros(N_rep,N_chan, length(t));
X = zeros(N_rep,N_chan, length(t));

% filtr przestrzenny - z takimi wagami trzeba wziąść kanały EEG aby odzyskać sygnały źródłowe
P = [1 2
1.5 1.3];

% topografie - z takimi wagami źródła dokładają się do poszczególnych elektrod
A = P^(-1);

for r =1:N_rep % tworzymy kolejne realizacje "eksperymentu"
s1 = sin(2*pi*11*t +pi/2+ 0*2*pi*rand())+ 0.02*randn(size(t)); % źródło alfa
s2 = exp(-((t-0.8)/0.05).^2)+ 0.01*randn(size(t)); % źródło ERP

s(r,1,:) = s1;
s(r,2,:) = s2;
tmp = squeeze(s(r,:,:));
n = 0*randn(size(tmp));
X(r,:,:) = A*tmp +n; % rzutujemy sygnały źródłowe na elektrody s -> x

end

% wycinamy warunki
% baseline_ind to indeksy pierwszej połowy każdego powtórzenia "baseline"
% ERP_ind to indeksy drugiej połowy każdego powtórzenia zawierająca "ERP"
baseline_ind = find(t<0.5);
ERP_ind = find(t>=0.5);

x_baseline_kan_1 = X(:,1,baseline_ind);
x_baseline_kan_2 = X(:,2,baseline_ind);

x_ERP_kan_1 = X(:,1,ERP_ind);
x_ERP_kan_2 = X(:,2,ERP_ind);

% liczymy średnie macierze kowariancji:
R_E = zeros(N_chan,N_chan);
R_B = zeros(N_chan,N_chan);
for r =1:N_rep
B = squeeze(X(r,:,baseline_ind));
tmp =cov(B');
R_B = R_B + tmp./trace(tmp);%B*B' ;

E = squeeze(X(r,:,ERP_ind));
tmp = cov(E');
R_E = R_E + tmp./trace(tmp);%E*E' ;
end

R_B = R_B/N_rep;
R_E = R_E/N_rep;

% rozwiązujemy uogólnione zagadnienie własne
[W,Lambda]=eig(R_E,R_B); % możliwa jest też optymalizacja wzg. średniej macierzy kowariancji (R_B+R_A)/2);

% odzyskujemy sygnały źródeł
for r =1:N_rep
S(r,:,:) = W'*squeeze(X(r,:,:));
end

% pobieramy wycinki odpowiadające obu częściom eksperymentu z estymowanych
% źródeł
s_baseline_estymowany_kan1 = squeeze( S(:,1,baseline_ind));
s_baseline_estymowany_kan2 = squeeze( S(:,2,baseline_ind));

s_ERP_estymowany_kan1 = squeeze(S(:,1,ERP_ind));
s_ERP_estymowany_kan2 = squeeze(S(:,2,ERP_ind));

%%%%%%%%%%%%%% Ilustracje %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ilustracja sygnałów mierzonych
figure(1);clf
subplot(2,2,1);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(X(:,1,baseline_ind)))','b'); hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze( X(:,1,ERP_ind)))','r'); hold off
xlabel('elektroda 1')
title('ilustracja sytuacji pomiarowej -\newline znane są potencjały na elektrodach w dwóch warunkach eksperymentalnych')
subplot(2,2,3);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(X(:,2,baseline_ind)))','b'); hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze( X(:,2,ERP_ind)))','r'); hold off
xlabel('elektroda 2')
subplot(1,2,2)
plot(x_baseline_kan_1(:),x_baseline_kan_2(:),'b.');
hold on
plot(x_ERP_kan_1(:),x_ERP_kan_2(:),'r.');
xlim([-2,2])
ylim([-2,2])
axis equal

% wektor własny odpowiadający największej wartości własnej jest
% kierunkiem najbardziej różnicującym warunki eksperymentalne
disp('wartości własne znajdują się na przekątnej macierzy Lambda')
disp(Lambda)
% rysujemy wersory jednostkowe w kierunkach wektorów własnych
w1 = W(:,1);
w1 = w1/norm(w1);
w2 = W(:,2);
w2 = w2/norm(w2);
line([0, w1(1) ],[0,w1(2)],'Color',[0,0.3,0])
text(w1(1),w1(2),'wektor własny 1')
line([0, w2(1) ],[0,w2(2)],'Color',[1,0,1])
text(w2(1),w2(2),'wektor własny 2')

xlabel('Amplituda na elektrodzie 1')
ylabel('Amplituda na elektrodzie 2')
legend('baseline','ERP')

% Ilustracja estymowanych źródeł
figure(2);clf
subplot(2,2,1);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(S(:,1,baseline_ind)))','b');hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze(S(:,1,ERP_ind)))','r');hold off
xlabel('estymowane zrodlo 1')
title('ilustracja estymacji -\newline estymowane są potencjały źródeł w dwóch warunkach eksperymentalnych')
subplot(2,2,3);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(S(:,2,baseline_ind)))','b');hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze(S(:,2,ERP_ind)))','r');hold off
xlabel('estymowane zrodlo 2');
subplot(1,2,2)
plot(s_baseline_estymowany_kan1(:),s_baseline_estymowany_kan2(:),'b.');
hold on
plot(s_ERP_estymowany_kan1(:),s_ERP_estymowany_kan2(:),'r.');

xlabel('Amplituda estym. źródła 1')
ylabel('Amplituda estym. źródła 2')
legend('baseline','ERP')
</source>
{{hidden end}}

=Sesja 2: CSP dla P300 — dane realne=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Pracujemy z danymi kalibracyjnymi z eksperymentu P300.
Celem sesji jest przejście pełnego pipeline'u: od surowych danych
do odtworzonych źródeł CSP.

;Zakres:
* wczytanie danych kalibracyjnych, identyfikacja znaczników T i NT
* cięcie epok (−200 do +800 ms), usuwanie trendu liniowego
* montaż względem średniej ze wszystkich elektrod
* wizualizacja ERP w układzie topograficznym
* obliczenie macierzy kowariancji RT i RNT, normalizacja przez ślad
* rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego: <code>[W, Lambda] = eig(R_T, R_NT)</code>
* odtworzenie sygnałów źródłowych: <code>S = W'*EEG</code>
* przegląd estymowanych źródeł w dwóch warunkach

;Materiały:
Dane: https://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/KalibracjaP300.tar.gz

===ZADANIE: Analiza CSP===

Przegląd badań o P300: https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2715154/

Link do Read menager [https://drive.google.com/file/d/1OgOduK5Zn7GgNl5XdCyLWXHJ7wTJIWcC/view?usp=share_link]

* Wykonać analizę CSP wzmacniającą potencjał P300.
* Zaprezentować średnią ze wszystkich kanałów źródłowych z warunku target (jeden kolor) i non-target (inny kolor) w subplotach ułożonych w prostokątnej siatce. Zaobserwować, dla którego kanału średnie różnią się najbardziej. Czy jest związek tego kanału z wartościami własnymi?

* Dla kanału najbardziej różnicującego wykonać mapki topograficzne wektorów odpowiadających:
** filtrowi przestrzennemu
** rzutu topograficznego źródła na elektrody.

===Szkielet kodu do analizy wstępnej===

<source lang="matlab">
%% KROK 1: Wczytanie danych
% ReadManager to pomocnicza klasa do odczytu plików w formacie OpenBCI.
% Przyjmuje trzy pliki: XML z metadanymi, RAW z próbkami i TAG ze znacznikami zdarzeń.
nazwaPliku = 'p_6301423_calibration_p300.obci';
nameOfXMLFile = strcat(nazwaPliku, '.xml');
nameOfTagFile = strcat(nazwaPliku, '.tag');
namesOfDataFiles = strcat(nazwaPliku, '.raw');

rm = ReadManager(nameOfXMLFile, namesOfDataFiles, nameOfTagFile);

% Pobieramy podstawowe parametry nagrania
numberOfChannels = rm.get_param('number_of_channels');
namesOfChannels = rm.get_param('channels_names');
samplingFrequency = rm.get_param('sampling_frequency');

% Pobieramy listę wszystkich znaczników zdarzeń z nagrania
tagsStruct = rm.get_tags();

%% KROK 2: Identyfikacja znaczników Target i Non-Target
% Każdy znacznik typu 'blink' odpowiada jednemu mignięciu w eksperymencie P300.
% Pole 'index' mówi który symbol mignął, pole 'target' który symbol był oczekiwany.
% Jeśli index == target to było to mignięcie docelowe (Target), w przeciwnym razie
% Non-Target.
targetTimeStamps = [];
NonTargetTimeStamps = [];

for structNumber = 1:length(tagsStruct)
if strcmp(tagsStruct(structNumber).name, 'blink')
index = tagsStruct(structNumber).children.index;
target = tagsStruct(structNumber).children.target;
if index == target
targetTimeStamps = [targetTimeStamps tagsStruct(structNumber).start_timestamp];
else
NonTargetTimeStamps = [NonTargetTimeStamps tagsStruct(structNumber).start_timestamp];
end
end
end

%% KROK 3: Wczytanie i filtrowanie sygnału
samples = double(rm.get_samples());
samples = samples(1:8,:); % odrzucamy kanały bez EEG
numberOfChannels = 8;

% Filtr dolnoprzepustowy Czebyszewa 2. rodzaju — odcięcie 25 Hz
[b, a] = cheby2(6, 80, 25/(samplingFrequency/2), 'low');
for ch = 1:numberOfChannels
samples(ch,:) = filtfilt(b, a, samples(ch,:));
end

%% KROK 4: Montaż względem średniej (common average reference)
% Odejmujemy od każdego kanału średnią ze wszystkich kanałów w danej chwili.
% Jest to prostsze i bardziej ogólne niż montaż względem połączonych uszu.
M = -ones(numberOfChannels, numberOfChannels) / numberOfChannels;
M = M + eye(numberOfChannels) * (numberOfChannels+1) / numberOfChannels;
samples = 0.0715 * M * samples;

%% KROK 5: Cięcie epok
PRE = -0.2;
POST = 0.8;
wycinek = floor(PRE*samplingFrequency : POST*samplingFrequency);

TargetSignal = zeros(length(targetTimeStamps), numberOfChannels, length(wycinek));
NonTargetSignal = zeros(length(NonTargetTimeStamps), numberOfChannels, length(wycinek));

for trialNumber = 1:length(targetTimeStamps)
trigerOnset = floor(targetTimeStamps(trialNumber) * samplingFrequency);
tenWycinek = wycinek + trigerOnset;
if tenWycinek(1) > 0 && tenWycinek(end) <= size(samples,2)
tmpSignal = samples(:, tenWycinek);
tmpSignal = detrend(tmpSignal')'; % usuwanie trendu liniowego
TargetSignal(trialNumber,:,:) = tmpSignal;
end
end

for trialNumber = 1:length(NonTargetTimeStamps)
trigerOnset = floor(NonTargetTimeStamps(trialNumber) * samplingFrequency);
tenWycinek = wycinek + trigerOnset;
if tenWycinek(1) > 0 && tenWycinek(end) <= size(samples,2)
tmpSignal = samples(:, tenWycinek);
tmpSignal = detrend(tmpSignal')';
NonTargetSignal(trialNumber,:,:) = tmpSignal;
end
end

% Oś czasu w milisekundach — przyda się do rysowania
times = (wycinek / samplingFrequency) * 1000;

%% KROK 6: Wizualizacja ERP w układzie topograficznym
% Oblicz potencjały wywołane (ERP) jako średnie po powtórzeniach
ERP_T = squeeze(mean(TargetSignal, 1)); % wymiary: kanały × czas
ERP_NT = squeeze(mean(NonTargetSignal, 1));

% TUTAJ: narysuj ERP_T i ERP_NT dla każdego kanału w subplotach
% ułożonych w siatce odpowiadającej przybliżonym pozycjom elektrod.
% Na każdym subplocie nałóż oba warunki różnymi kolorami.
% Oś X: czas w ms (użyj wektora times), oś Y: amplituda w µV.
% Zadbaj o legendę i tytuły z nazwami kanałów (namesOfChannels).

%% KROK 7: Obliczenie średnich macierzy kowariancji
% Dla każdego powtórzenia oblicz macierz kowariancji funkcją cov(),
% znormalizuj przez jej ślad (trace()), a następnie uśrednij po powtórzeniach.
% Pamiętaj: cov() oczekuje macierzy próbki × kanały, czyli potrzebujesz transpozycji.

R_T = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
R_NT = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for r = 1:length(targetTimeStamps)
% TUTAJ: wytnij r-te powtórzenie T, oblicz kowariancję, znormalizuj, dodaj do R_T
end

for r = 1:length(NonTargetTimeStamps)
% TUTAJ: wytnij r-te powtórzenie NT, oblicz kowariancję, znormalizuj, dodaj do R_NT
end

% TUTAJ: podziel R_T i R_NT przez odpowiednie liczby powtórzeń

%% KROK 8: Rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego
% Szukamy filtrów przestrzennych W maksymalizujących stosunek mocy
% w warunku T względem NT: eig(R_T, R_NT)
% W kolumnach W znajdują się filtry, na przekątnej Lambda — wartości własne.

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

disp('Wartości własne (przekątna Lambda):')
disp(diag(Lambda))

%% KROK 9: Odtworzenie sygnałów źródłowych
% Dla każdego powtórzenia zastosuj filtr przestrzenny:
% s(r,:,:) = W' * x(r,:,:)
% Pamiętaj o wymiarach — squeeze() może być pomocne.

S_T = zeros(size(TargetSignal));
S_NT = zeros(size(NonTargetSignal));

for r = 1:size(TargetSignal, 1)
% TUTAJ: S_T(r,:,:) = ...
end

for r = 1:size(NonTargetSignal, 1)
% TUTAJ: S_NT(r,:,:) = ...
end

%% KROK 10: Wizualizacja estymowanych źródeł
% Narysuj średnie przebiegi źródeł (ERP w przestrzeni CSP) dla obu warunków.
% Ułóż subploty w prostokątnej siatce — jeden subplot na każde źródło.
% Dla którego źródła różnica między T i NT jest największa?
% Czy odpowiada to źródłu z największą wartością własną?

ERP_S_T = squeeze(mean(S_T, 1));
ERP_S_NT = squeeze(mean(S_NT, 1));

% TUTAJ: narysuj ERP_S_T i ERP_S_NT w subplotach
</source>

=Sesja 3: CSP dla P300 — interpretacja i separacja cech=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Kontynuacja analizy CSP. Celem sesji jest interpretacja wyników
w kategoriach fizjologicznych oraz ocena separowalności klas
w przestrzeni cech opartej na mocy sygnału.

;Zakres:
* mapki topograficzne filtra przestrzennego i topografii źródła
* związek wartości własnych z siłą różnicowania warunków T i NT
* wykresy punktowe mocy: oś X — moc składowej z największą wartością własną, oś Y — moc kolejnej składowej; jeden punkt = jedno powtórzenie
* uśrednianie po 2, 4, 6, 8 i 10 realizacjach — obserwacja poprawy separacji wraz z liczbą uśrednień
* dyskusja: utożsamianie komponentów CSP z fizjologicznymi źródłami jest ryzykowne; komponenty maksymalizują kontrast między warunkami, niekoniecznie odpowiadają izolowanym generatorom

;Materiały:
Zob. [[#Szkielet kodu do analizy wstępnej|Szkielet kodu do analizy wstępnej]] i [[#Zadanie: Wybór i separacja cech|Zadanie: Wybór i separacja cech]] poniżej.

===Zadanie: Wybór i separacja cech===
* Przedstaw na rysunkach nałożone na siebie pojedyncze realizacje z warunków target i non-target po rzutowaniu na wektor <math>w</math> odpowiadający największej i kolejnej wartości własnej.
* Przedstaw wykresy punktowe takie, że na jednej osi jest moc sygnału (suma kwadratów wartości próbek w wybranym zakresie czasu) odpowiadającego największej wartości własnej, a na drugiej osi kolejnej (mniejszej) wartości własnej; jeden punkt reprezentuje jedno powtórzenie.
* Wykonaj serię wykresów jak w poprzednim punkcie dla uśrednień sygnałów kolejno po 2, 4, 6, 8 i 10 realizacjach:
** Liczymy potencjał wywołany dla danej liczby powtórzeń.
** Następnie podnosimy wartości próbek do kwadratu
** i sumujemy je w wybranym zakresie czasu.
* Zaobserwuj jak zmienia się separacja w grupach target i non-target.
{{hidden end}}
[https://robintibor.github.io/eeg-deep-learning-phd-thesis/DeepArchitectures.html Archirtektury sieci do BCI: ConvNet]

[https://www.researchgate.net/figure/The-architecture-of-EEGNet-F1-S1-model-F1-and-S1-represent-the-number-of-temporal_fig3_347073448 EEGNet]

=Sesja 4: Filtry przestrzenne dla SSEP — cosSinCSP=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Sesja wprowadza metodę cosSinCSP jako naturalne uogólnienie CSP
o wiedzę dziedzinową dotyczącą sygnału SSEP. W klasycznym CSP
dwa warunki eksperymentalne definiują dwie macierze kowariancji.
W cosSinCSP rolę jednej z macierzy przejmuje projekcja sygnału
na przestrzeń sinusów i cosinusów częstości stymulacji i jej harmonicznych.
Formalizm ilorazu Rayleigha i uogólnionego zagadnienia własnego
pozostaje identyczny.

Dane używane na tych zajęciach pochodzą z eksperymentu SSEP
z archiwum — bez sesji rejestracyjnej. Na wykresach widma
sygnału przed transformacją CSP dominuje artefakt sieciowy 50 Hz,
który praktycznie zasłania odpowiedź na stymulację. Zadaniem
jest sprawdzenie czy cosSinCSP potrafi ten sygnał wydobyć.

;Zakres:
* idea cosSinCSP: macierz S złożona z sinusów i cosinusów harmonicznych, projekcja sygnału na przestrzeń SSEP i resztę Y
* implementacja funkcji <code>cosSinCSP</code> w MATLAB
* analiza danych archiwalnych: widma Welcha dla kanałów oryginalnych i źródeł CSP — porównanie SNR przed i po transformacji
* prezentacja filtrów przestrzennych i topografii źródeł

;Materiały:
Zob. [[#Filtry przestrzenne dla SSEP|Filtry przestrzenne dla SSEP]] poniżej.

==Filtry przestrzenne dla SSEP==

===Teoria===

Ciekawa koncepcja filtra przestrzennego dla SSEP zaprezentowana jest tu: http://www.eurasip.org/Proceedings/Eusipco/Eusipco2009/contents/papers/1569193209.pdf

Pokrótce można ją rozumieć podobnie do tego co robiliśmy rozważając filtry przestrzenne CSP z tym, że dla SSEP oraz innych potencjałów wywołanych stanu ustalonego możemy skorzystać z dodatkowych informacji dotyczących poszukiwanych źródeł. Wiemy mianowicie, że powinny one oscylować z częstością bodźca i być może jej harmonicznych.

Przyda nam się macierz <math>S</math> zbudowana tak, że w kolejnych kolumnach znajdują się sinusy i cosinusy kolejnych częstości harmonicznych. Wektory te unormujemy, żeby miały energię równą 1. Innymi słowy macierz <math>S</math> zbudowana jest z wersorów rozpinających przestrzeń, w której powinien znajdować się sygnał SSEP.

W Matlabie możemy taką macierz zbudować tak:

<source lang="matlab">
% Fs - częstość próbkowania
% numberOfSamples - długość sygnału w próbkach
% numberOfHarmonics - liczba harmonicznych, które chcemy włączyć do analizy
t = (0:1:numberOfSamples - 1) / Fs;
S = zeros(numberOfSamples, 2*numberOfHarmonics);

for harmonicNumber = 1:numberOfHarmonics
c = cos(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
s = sin(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
S(:,(harmonicNumber - 1)*2 + 1) = c/norm(c);
S(:,(harmonicNumber - 1)*2 + 2) = s/norm(s);
end
</source>

Aby w badanym sygnale znaleźć składowe odpowiadające SSEP musimy rzutować sygnał <math>X</math> (macierz sygnałów ''kanały × próbki'') na przestrzeń rozpiętą przez <math>S</math>:
:<math>A = X S</math>
Macierz <math>A</math> zawiera współczynniki będące iloczynami skalarnymi sygnałów i wersorów — mówią one o tym jak dużo sinusa bądź cosinusa o danej częstości jest w pierwotnym sygnale. Komponenty SSEP zawarte w sygnale <math>X</math> odzyskujemy tak:
:<math>\mathrm{SSEP} = A S^T</math>

Modelujemy rejestrowany sygnał jako:
:<math>X = \mathrm{SSEP} + Y</math>
gdzie:
:<math>Y = X - \mathrm{SSEP}</math>
to wszystkie komponenty sygnału, które nas nie interesują.

Filtr przestrzenny, który chcemy zbudować powinien maksymalizować stosunek wariancji <math>\mathrm{SSEP}</math> do wariancji <math>Y</math>. Macierz kowariancji powinna być uśredniona po powtórzeniach, a kowariancja sygnału w każdym powtórzeniu powinna być znormalizowana przez jej ślad. Dalej stosujemy technikę znaną z CSP: maksymalizację ilorazu Rayleigha przez rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego dla macierzy kowariancji <math>\mathrm{SSEP}</math> i <math>Y</math>.

===Zadanie: implementacja funkcji cosSinCSP===

Dane do zadania: [[Plik:PrzykladoweDaneSSVEP.mat.gz]].
Pełny przykład z danymi z eksperymentu SSEP: [[Plik:SSVEP_demo_csp.tar.gz]]

Zaimplementuj funkcję <code>cosSinCSP</code> zgodnie z poniższym szkieletem.
Prawidłowo zaimplementowana funkcja wraz ze skryptem demonstracyjnym poniżej
powinna generować rysunek: [[Plik:Rys_SSVEP_demo.png|400px|podpis grafiki]]

<source lang="matlab">
function [W, Lambda] = cosSinCSP(signal, stimulationFrequency, numberOfHarmonics, Fs)
% cosSinCSP - filtr przestrzenny dla sygnałów SSEP
%
% Wejście:
% signal - dane EEG, wymiary: powtórzenia × kanały × próbki
% stimulationFrequency - częstość stymulacji w Hz
% numberOfHarmonics - liczba harmonicznych do uwzględnienia
% Fs - częstość próbkowania w Hz
%
% Wyjście:
% W - macierz filtrów przestrzennych (kanały × kanały), filtry w kolumnach
% Lambda - macierz diagonalna wartości własnych

[numberOfTrials, numberOfChannels, numberOfSamples] = size(signal);

%% KROK 1: Zbuduj macierz referencyjną S (sinusy i cosinusy harmonicznych)
% S ma wymiary: próbki × 2*numberOfHarmonics
% Każda kolumna to jeden wersor (unormowany sinus lub cosinus).
% Wróć do sekcji Teoria powyżej i przełóż tamten kod na tę funkcję.

% TUTAJ

%% KROK 2: Oblicz średnie macierze kowariancji C_SSEP i C_Y
% Dla każdego powtórzenia wytnij sygnał x (kanały × próbki),
% rozłóż go na składową SSEP i resztę Y zgodnie z równaniami z sekcji Teoria,
% oblicz macierze kowariancji obu składowych, znormalizuj przez ślad
% i uśrednij po powtórzeniach.

C_SSEP = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
C_Y = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for trial = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(trial, :, :)); % kanały × próbki

% TUTAJ: oblicz SSEP i Y

% TUTAJ: oblicz kowariancje, znormalizuj, dodaj do C_SSEP i C_Y
end

% TUTAJ: podziel C_SSEP i C_Y przez numberOfTrials

%% KROK 3: Rozwiąż uogólnione zagadnienie własne
% Znajdź filtry przestrzenne maksymalizujące stosunek mocy SSEP do mocy Y.
% Analogia z CSP: jakie macierze wstawiłeś do eig() tam?

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

end
</source>

;Wskazówka do interpretacji wyników:
Filtr związany z największą wartością własną daje komponent
o największym stosunku mocy SSEP do mocy tła.
Sprawdź na widmach Welcha czy odpowiada on składowej
z wyraźnym pikiem przy częstości stymulacji.

{{hidden begin|title=Rozwiązanie — pokaż dopiero po samodzielnej próbie}}
<source lang="matlab">
function [W, Lambda] = cosSinCSP(signal, stimulationFrequency, numberOfHarmonics, Fs)

[numberOfTrials, numberOfChannels, numberOfSamples] = size(signal);

%% KROK 1: Macierz referencyjna S
t = (0:1:numberOfSamples-1) / Fs;
S_ref = zeros(numberOfSamples, 2*numberOfHarmonics);

for harmonicNumber = 1:numberOfHarmonics
c = cos(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
s = sin(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
S_ref(:,(harmonicNumber-1)*2 + 1) = c/norm(c);
S_ref(:,(harmonicNumber-1)*2 + 2) = s/norm(s);
end

%% KROK 2: Średnie macierze kowariancji
C_SSEP = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
C_Y = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for trial = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(trial, :, :)); % kanały × próbki
A = x * S_ref; % projekcja na przestrzeń SSEP
SSEP = A * S_ref'; % rekonstrukcja składowej SSEP
Y = x - SSEP; % reszta

tmp = cov(SSEP');
C_SSEP = C_SSEP + tmp/trace(tmp);

tmp = cov(Y');
C_Y = C_Y + tmp/trace(tmp);
end

C_SSEP = C_SSEP / numberOfTrials;
C_Y = C_Y / numberOfTrials;

%% KROK 3: Uogólnione zagadnienie własne
[W, Lambda] = eig(C_SSEP, C_Y);

end
</source>
{{hidden end}}

===Skrypt demonstracyjny i analiza wyników===

<source lang="matlab">
% wczytujemy dane
load('PrzykladoweDaneSSVEP.mat');

[numberOfTrials numberOfChannels numberOfSamples] = size(X.data);
namesOfChannels = X.channels;

numberOfHarmonics = 3;
signal = X.data; % powtórzenie × kanał × próbki

[W, Lambda] = cosSinCSP(signal, X.stimulation, numberOfHarmonics, X.sampling);

%% Odtworzenie sygnałów źródłowych
S = zeros(size(signal));
for powt = 1:size(signal,1)
S(powt,:,:) = W' * squeeze(signal(powt,:,:));
end

%% Widma Welcha: kanały oryginalne vs źródła CSP
figure('Name', ['Stymulacja: ', num2str(X.stimulation), ' Hz'])
for i = 1:numberOfChannels
subplot(2, numberOfChannels, i)
PP = 0;
for rep = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(rep,i,:));
[Pxx, ff] = pwelch(x, X.sampling, 1, X.sampling, X.sampling);
PP = PP + Pxx;
end
plot(ff(ff<60), PP(ff<60))
title(namesOfChannels{i})

subplot(2, numberOfChannels, numberOfChannels+i)
PP = 0;
for rep = 1:numberOfTrials
s = squeeze(S(rep,i,:));
[Pss, ff] = pwelch(s, X.sampling, 1, X.sampling, X.sampling);
PP = PP + Pss;
end
plot(ff(ff<60), PP(ff<60))
title(['źródło CSP: ', num2str(i)])
xlabel(['\lambda = ', num2str(Lambda(i,i), '%.2f')])
end

%% KROK 4: Mapki topograficzne
% Zidentyfikuj komponent z największą wartością własną.
% Narysuj dwie mapki przy użyciu funkcji topoplot() z pakietu EEGLAB:
%
% (a) Filtr przestrzenny: wagi z jakimi kanały EEG składają się na ten komponent.
% Wskazówka: filtr to kolumna macierzy W.
%
% (b) Topografia źródła: z jakimi wagami komponent dociera do poszczególnych elektrod.
% Wskazówka: topografia zawarta jest w wierszach macierzy odwrotnej do W —
% przypomnij sobie analogiczny krok z analizy CSP dla P300.
%
% Czym różnią się te dwie mapki? Którą łatwiej interpretować fizjologicznie?

% TUTAJ: [~, idx] = max(diag(Lambda));
% TUTAJ: topoplot(...) % filtr
% TUTAJ: topoplot(...) % topografia
</source>

=Sesja 5: ICA jako filtr przestrzenny =

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Sesja wprowadza analizę składowych niezależnych (ICA) jako trzecie
podejście do problemu ślepej separacji źródeł — obok BSS/CSP
i cosSinCSP. Kluczowa różnica: CSP szuka kierunków maksymalizujących
kontrast wariancji między warunkami (kryterium drugiego rzędu),
ICA szuka składowych niezależnych statystycznie, maksymalizując
niegaussowość (kryterium wyższego rzędu). ICA nie wymaga
dwóch warunków eksperymentalnych — działa na jednym stacjonarnym sygnale.

;Zakres wykładu (~40 min):
* model generatywny ICA: <math>\mathbf{x} = \mathbf{D}\mathbf{s}</math>, założenie niegaussowości składowych
* negoentropia i algorytm FastICA
* porównanie z CSP: kiedy ICA, kiedy CSP
* ograniczenia: liczba próbek a liczba kanałów (<math>kN^2</math>), niejednoznaczność kolejności i skali komponentów

;Zakres ćwiczenia (~80 min):
* wczytanie danych do EEGLAB, edycja lokalizacji elektrod
* filtrowanie górnoprzepustowe (FIR, 0,5 Hz), zmiana referencji
* obliczenie ICA na całym sygnale
* identyfikacja komponentów zawierających rytm alfa: topografia, widmo, przebieg czasowy
* usunięcie komponentów niezawierających alfy, odtworzenie sygnału na elektrodach
* porównanie wyników między co najmniej trzema uruchomieniami ICA: czy komponenty są powtarzalne?

==Teoria==

===Definicja ===
Independent Component Analysis (ICA) jest metodą statystycznej analizy sygnałów, która dokonuje dekompozycji wielokanałowych zapisów na składowe niezależne w sensie statystycznym.
Dwie składowe ''s''1 i ''s''2 są niezależne jeżeli wiedza o wartości ''s''1 nie daje żadnych informacji o możliwych wartościach ''s''2. ICA może być wyrażona przez prosty model generatywny:
: '''x''' = '''Ds'''
: gdzie '''x''' = {''x''1, ''x''2, ..., ''x''''n''} jest zmierzonym ''n'' kanałowym sygnałem, '''D''' jest macierzą mieszającą zaś '''s''' = {''s''1, ''s''2, ..., ''s''''n''} jest aktywnością ''n'' źródeł. Podstawowym założeniem dotyczącym '''s''' jest to, że ''s''''i'' są statystycznie niezależne. Aby wyestymować model musimy też założyć, że składowe mają niegaussowskie rozkłady wartości (Hyvärinen, 2000).

Dodatkowo model ten zakłada następujące fakty:
# Sygnał jest liniową mieszaniną aktywności źródeł
# Sygnały pochodzące z każdego ze źródeł są niezależne od pozostałych
# Źródła oraz proces ich mieszania są stacjonarne, tzn, ich momenty statystyczne nie zależą od czasu
# Energie (wariancje) źródeł nie mogą być wyznaczone jednoznacznie. Dzieje się tak ponieważ pomnożenie amplitudy ''i''-tego źródła może być uzyskane poprzez przemnożenie albo ''s''''i'' albo przez przemnożenie ''i''-tej kolumny macierzy '''D'''. Naturalnym rozwiązaniem tej niejednoznaczności jest wprowadzenie konwencji, że komponenty są normowane tak aby miały wariancję 1: E[(''s''''i'')''2''] = 1.
# Kolejność komponentów jest dowolna. Bo jeśli w ten sam sposób zmienimy kolejność komponentów w '''s''' i kolumn w '''D''' to dostaniemy dokładnie ten sam sygnał '''x'''.

Głównym wyzwaniem w analizie ICA jest estymacja macierzy mieszającej '''D'''. Gdy jest ona znana to komponenty mogą być wyliczone w następujący sposób:
: '''s''' = '''D'''−1'''x'''

=== Estymacja ===
Znalezienie niezależnych komponentów może być rozważane w świetle Centralnego Twierdzenia Granicznego jako poszukiwanie komponentów o możliwie nie gaussowskim rozkładzie.
Aby zrozumieć to podejście prześledźmy heurystykę zaproponowaną przez (Hyvärinen, 2000).
Dla prostoty załóżmy, że poszukiwane źródła niezależne mają identyczne rozkłady.
Zdefiniujmy

''y'' = '''w'''T'''x'''.

Zauważmy, że jeśli

'''w'''

jest jedną z kolumn macierzy

'''D'''−1,

to ''y'' jest jednym z poszukiwanych komponentów.
Zamieniając zmienne

'''z''' = '''D'''T'''w'''

możemy napisać

''y'' = '''w'''T'''x''' = '''w'''T'''Ds''' = '''z'''T'''s'''.

Uwidacznia to fakt, że ''y'' jest liniową kombinacją składowych s''i'' z wagami danymi przez z''i''.

Z centralnego twierdzenia granicznego wynika, że suma niezależnych zmiennych losowych ma bardziej gaussowski charakter niż każda z tych zmiennych osobno.
Liniowa kombinacja staje się najmniej gaussowska gdy '''z''' ma tylko jeden element niezerowy. W tym przypadku ''y'' jest proporcjonalny do s''i''.
Zatem problem estymacji modelu ICA może być sformułowany jako problem znalezienia takiego wektora '''w''', który maksymalizuje niegaussowskość

''y'' = '''w'''T'''x'''.

Maksymalizacja niegaussowskości ''y'' daje jeden niezależny komponent odpowiadający jednemu z 2''n'' maksimów (bo mamy s''i'' i −s''i'') w krajobrazie optymalizacyjnym. Aby znaleźć wszystkie niezależne komponenty musimy znaleźć wszystkie maksima. Ponieważ komponenty są nieskorelowane, to poszukiwania kolejnych komponentów można kontynuować w podprzestrzeni ortogonalnej do już znalezionych komponentów.

===Obliczenia===
Intuicyjna heurystyka poszukiwania najbardziej niegaussowskich składowych może być użyta do wyprowadzenia różnych funkcji kosztu, których optymalizacja daje model ICA, np. kurtoza.

<math>kurt(y) = E\{y^4\} - 3(E{y^2})^2</math>

Inną miarą gassowskości jest neg-entropia, którą można wyprowadzić z entropii:
Entropia jest miarą średniego zdziwienia wynikiem obserwacji zmiennej losowej:
<math>H(Y) = - \sum_i P(Y= a_i) \log(P(Y=a_i)) </math>

Negentropia jest zdefiniowana:

<math> J(y) = H(y_{gauss}) -H(y)</math>
gdzie <math> y_{gauss} </math> jest gassuwską zmienną losową o takiej samej kowaiancji jak <math> y </math>.

Negentropia jest skomplikowana obliczeniow, więc w praktyce używana jest formuła przybliżona:

<math> J(y) \varpropto [E\{G (y)\} - E\{G(\nu)\}]^2</math>

<math>\nu </math> jest zmienną losową ze standardowego rozkładu normalnego , a G są pewnymi niekwadratowymi funkcjami.

W algorytmie FastICA extremum negentropii jest znajdowane w procedurze bazującej na optymalizacji Newtona.
(szczegóły np.: sekcja 6 w https://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/NN00new.pdf)

Procedura wykorzystywana w eeglabie (&bdquo;runica”, Makeig 1996) dąży do minimalizacji informacji wzajemnej. Oba podejścia są w przybliżeniu równoważne (Hyvärinen, 2000), chociaż owo przybliżenie dla sygnałów elektrofizjologicznych nie zostało to jeszcze w pełni wyeksplorowane.
Dla sygnałów o niskiej wymiarowości i spełniających dokładnie założenia ICA wszystkie powszechnie wykorzystywane algorytmy dają niemal identyczne wyniki.

;Bardzo ważna uwaga: ogólną zasadą jest, że jeśli estymujemy ''N'' stabilnych komponentów (z ''N''-kanałowych danych) to musimy dysponować ''kN''2 punktami danych w każdym kanale, gdzie ''N''2 jest liczbą elementów w macierzy '''D''', którą ICA próbuje wyestymować, ''k'' jest liczbą całkowitą. Nie ma dobrych oszacowań teoretycznych na wielkość ''k'', z praktycznych obserwacji wynika, że rośnie ona z liczbą kanałów.

=== Możliwe zastosowania ===
Najczęściej ICA jest stosowana jako narzędzie do:
* usuwania artefaktów z sygnałów EEG (ruchy oczu i mięśnie)
* wydobywania składowych do dalszej analizy (Onton, 2006)
* jako analiza wstępna do lokalizacji źródeł (Grau, 2007).
* ICA jest także stosowana w analize sygnałów EKG i EMG.

===Bibliografia===
Bazowa praca:
* A. Hyvärinen. Fast and Robust Fixed-Point Algorithms for Independent Component Analysis. IEEE Transactions on Neural Networks 10(3):626-634, 1999 http://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/TNN99_reprint.pdf

Nieco prościej opisana wersja z przykładami:
* Hyvärinen, A. and Oja, E. (2000). Independent component analysis: Algorithms and applications. Neural Networks, 13(4-5):411–430.
https://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/NN00new.pdf

* Grau, C., Fuentemilla, L., Marco-Pallars, J. (2007). Functional neural dynamics underlying auditory event-related n1 and n1 suppression response. Neuroimage, 36(6):522–31.
* Makeig, S., Bell, A., Jung, T.-P., Sejnowski,T. (1996). Independent component analysis of electroencephalographic data. W: Touretzky, D., Mozer, M., and Hasselmo, M., editors, Advances in Neural Information Processing Systems, volume 8, pages 145–151. MIT Press, Cambridge, MA.
* Onton, J., Makeig, S. (2006). Information-based modeling of event-related brain dynamics. Prog Brain Res., 159:99–120.
* Tutorial: http://sccn.ucsd.edu/wiki/Chapter_09:_Decomposing_Data_Using_ICA
* http://sccn.ucsd.edu/~arno/indexica.html
* http://cis.legacy.ics.tkk.fi/aapo/papers/IJCNN99_tutorialweb/

== ZADANIE: Wydobywanie interesujących komponentów ==

Dane do tej części ćwiczeń proszę pobrać i rozpakować w swoim katalogu:
http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Dane_do_ICA_alfa.tar.gz

Pochodzą one z eksperymentu, w którym osoba badana siedziała z zamkniętymi oczami słuchając nagrania czytanego spokojnym głosem. Metadane opisujące sygnał znajdują się w pliku Miro.xml, zaś lokalizacje elektrod w pliku Miro-10-20-Cap.locs.

Proszę:
* wczytać dane do eeglaba
* wyedytować lokalizację elektrod
* usunąć kanały nie zawierające EEG
* zmienić referencje na średnią z kanałów A1 i A2
* przefiltrować filtrem FIR górnoprzepustowym z częstością odcięcia 0,5 Hz
* obejrzeć wstępnie przygotowane dane
* policzyć ICA na całym sygnale
* obejrzeć właściwości otrzymanych komponentów
** Czy są wśród nich takie, które zawierają znaczny udział rytmu alfa?
** Jaka jest ich topografia?
* usunąć wszystkie komponenty nie zawierające alfy
* odtworzyć z tych komponentów sygnał na elektrodach
* wykonać dekompozycję ICA kilkukrotnie (co najmniej 3) i porównać wyniki
** Czy uzyskiwane komponenty są powtarzalne?
** Swoje wyniki porównać też z sąsiednimi grupami.

==ZADANIE: Identyfikacja artefaktów ==
Proszę pobrać dane:

*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal-10-20-Cap.locs
*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal1.set
*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal1.fdt

Pochodzą one z eksperymentu w którym osoba badana czytała słowa o różnych właściwościach wzbudzania emocji.

* wczytaj je do eeglaba
* wczytaj lokalizację kanałów z pliku Arousal-10-20-Cap.locs
* obejrzyj przebiegi czasowe
* odrzuć kanał z diodą (21) i z GSR (20)
* zrób dekompozycję ICA
* obejrzyj topografię komponentów
* zidentyfikuj komponenty odpowiadające mruganiu i aktywności mięśniowej.
;UWAGA: Aktualnie do wykrywania komponentów artefaktowych warto posłużyć się wtyczkami do eeglaba dostępnymi przez stronę:

https://sccn.ucsd.edu/eeglab/plugin_uploader/plugin_list_all.php

* ICLabel:
** https://labeling.ucsd.edu/tutorial/overview
** https://github.com/sccn/ICLabel

* MARA:
** https://github.com/irenne/MARA/raw/master/MARAtutorial.pdf
** https://irenne.github.io/artifacts/

=Sesja 6: Problem odwrotny w EEG i MEG=

;Czas: ~60 min wykład + ~90 min ćwiczenie

Sesja wprowadza problem odwrotny jako alternatywne — i komplementarne —
podejście do analizy przestrzennej sygnałów EEG i MEG. O ile BSS/CSP
i ICA szukają filtrów przestrzennych w przestrzeni elektrod,
nie zakładając nic o geometrii mózgu,
to metody problemu odwrotnego wyraźnie osadzają źródła
w przestrzeni trójwymiarowej, korzystając z fizyki i modelu głowy.

Materiały z naszych zasobów:
* [[Elektroencefalografia|Sekcje 3 i 8 z Podręcznika o EEG ]]
* [https://drive.google.com/file/d/1EOJxN1y7X3YlIFHoIIyoZzCiXdrQSHcA Wykład Piotra Durki z Analizy sygnałów o problemie odwrotnym w EEG iMEG]

Z zasobów zewnętrznych polecam:
* [https://download.fieldtriptoolbox.org/workshop/toolkit2025/slides/04_forward_inverse.pdf#page=1.00 Slajdy "Forward and inverse - lecture by Robert Oostenveld" fragment warsztatów: "Advanced MEG/EEG toolkit at the Donders"]

==Kontrast z BSS: dwa języki opisu tego samego zjawiska==

Zarówno BSS/ICA, jak i metody problemu odwrotnego wychodzą
od tego samego modelu generatywnego:
:<math>\mathbf{x}(t) = \mathbf{A}\,\mathbf{s}(t) + \boldsymbol{\varepsilon}(t)</math>
gdzie <math>\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^{N_e}</math> to potencjały na elektrodach,
<math>\mathbf{s}(t) \in \mathbb{R}^{N_s}</math> to aktywność źródeł,
a <math>\mathbf{A}</math> to macierz mieszająca (ang. ''lead field'' lub ''forward matrix'').

Różnica leży w tym, co robimy z macierzą <math>\mathbf{A}</math>:

{| class="wikitable"
|-
! !! BSS / ICA !! Problem odwrotny
|-
| '''Macierz A''' || nieznana; estymowana z danych || obliczona z modelu głowy (''forward model'')
|-
| '''Liczba źródeł''' || równa liczbie elektrod || od 1 dipola do ~10 000 wokseli
|-
| '''Geometria''' || brak założeń przestrzennych || źródła zlokalizowane w przestrzeni 3D
|-
| '''Regularyzacja''' || przez kryterium stat. (niezależność, wariancja) || przez regularyzację matematyczną (L2, L1, …)
|-
| '''Wynik''' || filtry przestrzenne + komponenty || mapa aktywności w przestrzeni mózgu
|}

Kluczowa trudność problemu odwrotnego wynika z jego
fundamentalnej niejednoznaczności:

układ równań:

<math>\mathbf{x} = \mathbf{A}\mathbf{s}</math>

jest niedookreślony — przy <math>N_e \approx 19\text{–}256</math> elektrodach
i <math>N_s \sim 10^4</math> możliwych lokalizacjach źródeł
istnieje nieskończenie wiele rozkładów <math>\mathbf{s}</math>
dokładnie odtwarzających zmierzony <math>\mathbf{x}</math>.
Każda metoda nakłada inne założenie ''a priori'', by wybrać jedno rozwiązanie.

==Model do przodu (forward model)==

Zanim można rozwiązać problem odwrotny, należy zbudować
''model do przodu'' — obliczenie potencjałów na elektrodach
wywołanych przez jednostkowe źródło prądowe w danym miejscu mózgu.
Wynik zapisuje się jako macierz ''pola wiodącego'' (''lead field''):
:<math>\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{N_e \times 3N_s}</math>
gdzie czynnik 3 wynika z trzech ortogonalnych składowych momentu dipolowego.

=== Skąd bierze się macierz ''lead field''? ===

Przejdźmy od równań Maxwella do tego, co dosłownie liczą funkcje `ft_prepare_headmodel` / `ft_prepare_leadfield`.

==== 1. Punkt wyjścia: przybliżenie kwazistatyczne ====

=====Pełne równania Maxwella w ośrodku materialnym=====

$$
\begin{aligned}
\nabla \cdot \mathbf{D} &= \rho && \text{(prawo Gaussa)} \\
\nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 && \text{(brak monopoli magnetycznych)} \\
\nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} && \text{(prawo Faradaya)} \\
\nabla \times \mathbf{H} &= \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} && \text{(prawo Ampère'a–Maxwella)}
\end{aligned}
$$

uzupełnione związkami konstytutywnymi dla tkanki traktowanej jako liniowy, lokalnie izotropowy ośrodek:

$$
\mathbf{D} = \varepsilon\,\mathbf{E},\qquad \mathbf{B} = \mu_0\,\mathbf{H},\qquad \mathbf{J} = \sigma\,\mathbf{E} + \mathbf{J}^p
$$

Ostatnia relacja to uogólnione prawo Ohma: prąd swobodny ma część omową (<math>\sigma\mathbf{E}</math>, prądy bierne w przewodniku objętościowym) i część „pierwotną" <math>\mathbf{J}^p</math> pochodzącą od źródeł neuronowych — bo to one *nie* są napędzane lokalnym polem <math>\mathbf{E}</math>, tylko gradientami stężeń jonów.

===== Przybliżenie kwazistatyczne =====

Wprowadzamy harmoniczną zależność czasową <math>e^{i\omega t}</math> i porównujemy człony w równaniach Maxwella. Trzy warunki muszą być spełnione jednocześnie:

**(a) Pomijalny prąd przesunięcia w równaniu Ampère'a. ** Stosunek członu pojemnościowego do omowego to <math>\omega\varepsilon/\sigma</math>. Dla tkanki przy <math>f=100</math> Hz, <math>\sigma\approx 0{,}3</math> S/m, <math>\varepsilon_r\approx 10^5</math> (efektywna wartość niska-częstotliwościowa dla istoty szarej; spada szybko z <math>f</math>):
$$\frac{\omega\varepsilon}{\sigma} = \frac{2\pi\cdot 100\cdot 10^5\cdot 8{,}85\cdot 10^{-12}}{0{,}3}\sim 10^{-3}$$

— bezpiecznie pomijalny w EEG. To pozwala napisać <math>\nabla\times\mathbf{H}\approx\mathbf{J}</math>, a po wzięciu dywergencji:
$$\nabla\cdot\mathbf{J} = 0$$

**(b) Pomijalna indukcja w równaniu Faradaya.** Mówimy, że <math>\partial\mathbf{B}/\partial t</math> jest na tyle małe, że <math>\nabla\times\mathbf{E}\approx 0</math>, więc istnieje potencjał skalarny <math>V</math> z <math>\mathbf{E}=-\nabla V</math>. Można to oszacować z indukcyjności geometrii głowy i wykazać, że pomijany wkład jest o kilka rzędów mniejszy od <math>-\nabla V</math>.

**(c) Brak efektów propagacyjnych.** Długość fali EM przy 100 Hz w próżni to <math>\lambda = c/f\approx 3000</math> km, czyli <math>\lambda \gg L_\text{głowy}</math>. To gwarantuje, że pole „widzi" całą głowę jednocześnie — stąd zerowe przesunięcie fazowe propagacji potencjału przez przewodnik objętościowy.

Co zostaje po przybliżeniu:

$$
\begin{aligned}
\nabla \times \mathbf{E} &= 0 \;\Rightarrow\; \mathbf{E} = -\nabla V \\
\nabla \cdot \mathbf{J} &= 0 \\
\mathbf{J} &= -\sigma\nabla V + \mathbf{J}^p
\end{aligned}
$$

Składając trzy powyższe:

$$
\nabla\cdot\bigl(\sigma(\mathbf{r})\nabla V(\mathbf{r})\bigr) = \nabla\cdot\mathbf{J}^p(\mathbf{r})
$$

Warto przy tym podkreślić, że prawo Gaussa i <math>\nabla\cdot\mathbf{B}=0</math> nie znikają — one są nadal spełnione, ale po prostu nie są nam potrzebne do wyliczenia <math>V</math> na skórze: ładunki swobodne i indukowane policzy się *a posteriori* z <math>\rho = \nabla\cdot(\varepsilon\nabla V)\cdot(-1)</math>, a pole magnetyczne (interesujące dla MEG!) z prawa Biota–Savarta zastosowanego do <math>\mathbf{J}</math>.

Warto tu zauważyć, że kwazistatyka EEG i kwazistatyka MEG to **to samo** przybliżenie — różni je tylko, co wybieramy jako wielkość mierzoną (<math>V</math> na skórze vs. <math>\mathbf{B}</math> na zewnątrz głowy). To samo równanie Poissona generuje oba sygnały, a różnice w czułości na orientację dipola (radialny vs. tangencjalny) wynikają stąd, że potencjał i pole magnetyczne są różnymi funkcjonałami tego samego rozwiązania.

==== 2. Rozszczepienie prądu — gdzie pojawia się „źródło" ====

Gęstość prądu w tkance dzielimy na część „pierwotną" (neuronową) i „objętościową" (omową):

$$\mathbf{J}(\mathbf{r}) = \mathbf{J}^p(\mathbf{r}) - \sigma(\mathbf{r})\,\nabla V(\mathbf{r})$$

<math>\mathbf{J}^p</math> reprezentuje *prądy postsynaptyczne w piramidowych neuronach kory* — to one są naszym „źródłem". Reszta to prądy bierne płynące w przewodniku objętościowym o nieizotropowej, niejednorodnej przewodności <math>\sigma</math>.

Podstawiając do warunku <math>\nabla \cdot \mathbf{J}_\text{tot} = 0</math> dostajemy równanie Poissona dla niejednorodnego przewodnika:

$$\boxed{\;\nabla \cdot \bigl(\sigma(\mathbf{r})\,\nabla V(\mathbf{r})\bigr) = \nabla \cdot \mathbf{J}^p(\mathbf{r})\;}$$

To jest równanie problemu wprost. Cała reszta to:
(a) model źródła,
(b) warunki brzegowe,
(c) sposób rozwiązania.

==== 3. Model źródła: dipol prądowy ====

Dla pojedynczego dipola w <math>\mathbf{r}_0</math> o momencie <math>\mathbf{q}</math>:

$$\mathbf{J}^p(\mathbf{r}) = \mathbf{q}\,\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$$

$$\nabla \cdot \mathbf{J}^p(\mathbf{r}) = \mathbf{q}\cdot\nabla\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$$

Liniowość PDE daje natychmiast kluczową własność: <math>V</math> jest **liniową** funkcją <math>\mathbf{q}</math>. To właśnie ta liniowość pozwala zapisać:

$$\mathbf{v} = \mathbf{L}\,\mathbf{j}$$

gdzie <math>\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{N_\text{el}}</math> to potencjały, <math>\mathbf{j} \in \mathbb{R}^{3N_\text{src}}</math> to momenty dipoli, a <math>\mathbf{L}</math> to *lead field matrix*. Każda kolumna <math>\mathbf{L}</math> to potencjał wywołany jednostkowym dipolem w danym miejscu i o danej orientacji.

==== 4. Warunki brzegowe ====

Na granicy skóra/powietrze prąd nie wypływa:

$$\sigma\,\nabla V \cdot \hat{\mathbf{n}} = 0 \quad \text{na zewnętrznej powierzchni}$$

Wewnątrz, na granicach tkanek o różnym <math>\sigma</math> (mózg–CSF–czaszka–skóra):

$$V \text{ ciągłe},\quad \sigma\nabla V \cdot \hat{\mathbf{n}} \text{ ciągłe}$$

To są te warunki, które „włączają" geometrię i przewodności do problemu — i to one decydują, że czaszka (niskie <math>\sigma</math>, około 1/15–1/80 tkanki miękkiej, do dziś dyskutowane) rozmywa pole tak agresywnie.

==== 5. Metody rozwiązania ====
W pakiecie fieldtrip problem wprostt jest rozwiązywany przez funkcję
`ft_prepare_headmodel` - to fabryka różnych metod rozwiązujących to samo PDE. Wybór `cfg.method` decyduje o paradygmacie matematycznym:

**(a) Rozwiązania analityczne — modele sferyczne** (`'singlesphere'`, `'concentricspheres'`)

Dla geometrii sferycznej z osiową symetrią rozwija się <math>V</math> w szereg wielomianów Legendre'a. Dla 3-warstwowego modelu koncentrycznego dostajemy zamknięty wzór z nieskończonym szeregiem, który w praktyce tnie się po ~40 wyrazach. Berg & Scherg (1994) dali znakomite przybliżenie 3 dipolami w sferze jednorodnej — błyskawicznie szybkie, do dziś używane w MEG. Plus: bardzo szybkie, brak siatkowania. Minus: kula to nie głowa, zwłaszcza w okolicach skroniowych i podstawy.

**(b) BEM — Boundary Element Method** (`'bemcp'`, `'dipoli'`, `'openmeeg'`)

Wykorzystuje się fakt, że w obszarze o stałym <math>\sigma</math> <math>V</math> spełnia równanie Laplace'a, a cały „nietrywialny" wkład można wyrazić jako całkę po powierzchniach granicznych. Z drugiej tożsamości Greena dostajemy całkowe równanie typu Fredholma 2-go rodzaju:

$$V(\mathbf{r}) = V_\infty(\mathbf{r}) + \frac{1}{4\pi}\sum_k \frac{\sigma_k^- - \sigma_k^+}{\bar{\sigma}}\oint_{S_k} V(\mathbf{r}')\,\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\cdot\hat{\mathbf{n}}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,dS'$$

gdzie <math>V_\infty</math> to potencjał dipola w przestrzeni nieograniczonej. Triangulujemy powierzchnie (skóra, czaszka, mózg — czasem CSF) i to równanie zamienia się w układ liniowy. Szybciej niż FEM, ale wymaga założenia odcinkowo stałej przewodności i zakłada izotropię.

**(c) FEM — Finite Element Method** (`'simbio'`, `'duneuro'`)

Cała objętość głowy dyskretyzowana czworościanami/sześciościanami z indywidualnym tensorem <math>\sigma</math> w każdym elemencie (z DTI można wstrzyknąć anizotropię istoty białej!). Sformułowanie wariacyjne daje rzadki układ:

$$\mathbf{K}\mathbf{u} = \mathbf{b}$$

gdzie <math>\mathbf{K}</math> to macierz sztywności zależna od <math>\sigma(\mathbf{r})</math>, a <math>\mathbf{b}</math> niesie informację o źródle. To „złoty standard" pod kątem dokładności, ale kosztowny — dlatego praktycznie zawsze łączony z trikiem z punktu 6.

**(d) FDM** — rzadziej, dziś głównie historycznie.

==== 6. Twierdzenie o wzajemności — dlaczego macierz <math>\mathbf{L}</math> da się liczyć rozsądnie ====

Naiwne podejście: dla każdego z <math>\sim 10^4</math> źródeł i każdej z 3 orientacji odpalić rozwiązywacz PDE. To <math>3\times 10^4</math> rozwiązań. Beznadzieja.

Helmholtzowska zasada wzajemności mówi: potencjał w elektrodzie A wywołany dipolem w punkcie <math>\mathbf{r}_0</math> jest równoważny pewnej wielkości policzonej z
pola elektrycznego wytworzonego w <math>\mathbf{r}_0</math> przez jednostkowy prąd wstrzyknięty między elektrodą A a referencją. Formalnie:

$$V_A(\mathbf{r}_0;\mathbf{q}) = \mathbf{E}^{(A)}(\mathbf{r}_0)\cdot\mathbf{q}$$

gdzie <math>\mathbf{E}^{(A)}</math> to pole „wstrzykniętego" prądu jednostkowego. Konsekwencja: zamiast <math>3N_\text{src}</math> rozwiązań PDE wystarczy <math>N_\text{el}-1</math> rozwiązań (po jednym na elektrodę). Praktycznie wszystkie pakiety BEM/FEM (w tym OpenMEEG, SimBio, DUNEuro) to wykorzystują — i dlatego FEM jest w ogóle wykonalny dla całych siatek źródłowych.

'''Fizyczna intuicja'''

Wyobraź sobie, że potencjał wytworzony przez dipol na danej elektrodzie zależy od tego, jak silnie ta elektroda „widzi" punkt w mózgu. Twierdzenie Helmholtza mówi: jeśli chcesz wiedzieć, jak silnie elektroda widzi dany punkt — odwróć kierunek. Wstrzyknij prąd przez tę elektrodę i sprawdź, jakie pole powstaje w tym punkcie. Im silniejsze pole tam dotrze, tym czulsza jest elektroda na dipol tam ulokowany. Kierunek pola wskazuje też, na jaką orientację dipola elektroda reaguje najsilniej.

'''Konsekwencja obliczeniowa'''

dla każdej z elektrod raz rozwiązujemy PDE z prądem 1 A i zapisujemy
$$E(A)(r)\mathbf{E}^{(A)}(\mathbf{r})$$
na całej siatce źródeł. Macierz lead field powstaje przez bezkosztowe ewaluowanie:
$$L_{A,(s,i)} = E^{(A)}_i(\mathbf{r}_s)$$
— wiersz to elektroda, kolumna to (pozycja źródła, orientacja).

==== 7. Co więc dosłownie robi `ft_prepare_headmodel` ====

Tworzy obiekt `headmodel`, który zawiera:
- geometrię (kule albo siatki powierzchniowe, albo objętościową siatkę FEM),
- przewodności poszczególnych warstw,
- a w przypadku BEM/FEM — wstępnie policzony operator dyskretny (np. odwróconą macierz BEM albo czynnik macierzy sztywności FEM z trikiem transferowym wykorzystującym wzajemność).

To jest najdroższa część obliczeń — i robi się ją raz dla danej geometrii. Potem `ft_prepare_leadfield`, dla każdej pozycji źródła w `cfg.sourcemodel`, używa tego operatora, żeby wygenerować trzy kolumny <math>\mathbf{L}</math> (dla orientacji x, y, z). Wynik to `leadfield{i}` o wymiarze <math>N_\text{el}\times 3</math> — czyli dosłownie blok macierzy lead field dla danego wokselu.

---

Podsumowanie:

1. Maxwell → kwazistatyka → „elektrostatyka z prądami"

2. Podział prądu i równanie Poissona (jedyne równanie, którego naprawdę trzeba)

3. Dipol jako model i wynikająca **liniowość** → uzasadnienie wzoru $\mathbf{v}=\mathbf{L}\mathbf{j}$

4. Warunki brzegowe → tu wchodzi anatomia

5. Sfery (analityczne, intuicja) → BEM → FEM jako kolejne stopnie realizmu

6. Wzajemność jako trik obliczeniowy, bez którego niczego by się nie dało policzyć w sensownym czasie

Klasyczne źródła:
- Hallez et al. 2007 *J Neuroeng Rehabil* (review obliczeń forward, bardzo czytelny),
- Mosher et al. 1999 dla zwartego wyprowadzenia,
- oraz dokumentacja OpenMEEG (Gramfort et al. 2010) — tam ścieżka BEM jest wyprowadzona z drugiej tożsamości Greena.
---

=== Programy obliczające model do przodu:===
MNE-Python (<code>mne.make_bem_model</code>), FieldTrip (<code>ft_prepare_headmodel</code>), OpenMEEG.

==Fitowanie dipoli (Dipole Fitting)==

===Idea===
Najprostsze założenie: aktywacja EEG pochodzi z jednego
(lub kilku) ekwiwalentnych dipoli prądowych.
Każdy dipol opisany jest sześcioma parametrami:
trzema współrzędnymi położenia <math>(x,y,z)</math>
i trzema składowymi momentu dipolowego <math>(q_x, q_y, q_z)</math>.

===Formalizm===
Dla pojedynczego dipola o momencie <math>\mathbf{q}(t)</math>
w lokalizacji <math>\mathbf{r}_0</math>:
:<math>\mathbf{x}(t) = \mathbf{a}(\mathbf{r}_0)\,\mathbf{q}(t) + \boldsymbol{\varepsilon}(t)</math>
gdzie <math>\mathbf{a}(\mathbf{r}_0) \in \mathbb{R}^{N_e \times 3}</math>
to kolumna macierzy pola wiodącego odpowiadająca lokalizacji <math>\mathbf{r}_0</math>.

Estymacja polega na minimalizacji reszty:
:<math>\hat{\mathbf{r}}_0 = \arg\min_{\mathbf{r}} \left\|\mathbf{x}(t) - \mathbf{a}(\mathbf{r})\,\hat{\mathbf{q}}(t)\right\|^2</math>
Minimalizację prowadzi się zwykle algorytmem Neldera–Meada
lub Levenberga–Marquardta po przestrzeni lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* gdy źródło jest punktowe lub quasi-punktowe (np. wczesne składowe słuchowych potencjałów wywołanych N20, P25)
* gdy liczba aktywnych źródeł jest z góry znana i mała (1–3 dipole)

;Ograniczenia:
* wrażliwość na punkt startowy — algorytm może utknąć w minimum lokalnym
* złe dopasowanie gdy aktywacja pochodzi z rozległego obszaru kory
* wynik silnie zależy od dokładności modelu do przodu

==Minimum Norm Estimation (MNE)==

===Idea===
Zamiast zakładać małą liczbę dipoli,
rozkładamy aktywność na gęstą siatkę źródeł pokrywającą całą powierzchnię kory
i szukamy rozwiązania o minimalnej normie —
tj. takiego, które odtwarza dane, angażując jak najmniejszą całkowitą energię źródeł.

===Formalizm===
Problem optymalizacji z regularyzacją Tichonowa:
:<math>\hat{\mathbf{s}} = \arg\min_{\mathbf{s}} \left\|\mathbf{x} - \mathbf{A}\mathbf{s}\right\|^2 + \lambda\left\|\mathbf{s}\right\|^2</math>
gdzie <math>\lambda > 0</math> to parametr regularyzacji kontrolujący kompromis
między wiernością danym a gładkością rozwiązania.

Rozwiązanie analityczne:
:<math>\hat{\mathbf{s}} = \mathbf{A}^T\left(\mathbf{A}\mathbf{A}^T + \lambda\mathbf{I}\right)^{-1}\mathbf{x}</math>

Macierz <math>\mathbf{W}_{\mathrm{MNE}} = \mathbf{A}^T(\mathbf{A}\mathbf{A}^T + \lambda\mathbf{I})^{-1}</math>
jest liniowym filtrem przestrzennym — analogiem macierzy <math>\mathbf{W}</math> z CSP,
lecz skonstruowanym na podstawie modelu do przodu, nie z danych.

===Warianty===

;dSPM (''dynamic Statistical Parametric Mapping'', Dale 2000):
Normalizuje estymowaną aktywność przez odchylenie standardowe szumu:
:<math>F_{\mathrm{dSPM}}(\mathbf{r}, t) = \frac{\hat{s}(\mathbf{r},t)}{\sigma_{\mathrm{noise}}(\mathbf{r})}</math>
Wynik ma interpretację statystyczną (wartość F lub Z); popularne w neurobiologii poznawczej.

;sLORETA (''standardized LORETA'', Pascual-Marqui 2002):
Normalizuje przez odchylenie standardowe samego estymatora MNE (nie tylko szumu):
:<math>F_{\mathrm{sLORETA}}(\mathbf{r}, t) = \frac{\hat{s}(\mathbf{r},t)}{\sqrt{\left[\mathbf{W}_{\mathrm{MNE}}\mathbf{A}\right]_{(\mathbf{r},\mathbf{r})}}}</math>
Wykazuje zerowe systematyczne błędy lokalizacji w warunkach idealnych.

;Wybór <math>\lambda</math>:
Zwykle <math>\lambda = \alpha \cdot \mathrm{tr}(\mathbf{A}\mathbf{A}^T) / \mathrm{tr}(\mathbf{I})</math>
z <math>\alpha \in [0.05, 0.3]</math>; w MNE-Python domyślnie <math>\alpha = 0.1</math>.
Można też stosować kryterium L-krzywej lub walidację krzyżową.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* gdy aktywacja jest rozproszona lub nieznana a priori
* jako ogólne narzędzie wizualizacji ERP na powierzchni kory
* przy małej liczbie elektrod

;Ograniczenia:
* tendencja do rozmywania rozwiązania — źródła głębokie są systematycznie niedoszacowane
* brak zakładanej rzadkości (''sparsity''); wariant L1 (MCE) jest rzadszy, ale trudniejszy obliczeniowo
* wymaga dobrego modelu do przodu

==Beamformery==

===Idea===
Beamformer (dosł. „formowanie wiązki") to adaptacyjny filtr przestrzenny,
który dla każdej lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>
konstruuje wagi <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math> maksymalizujące
stosunek mocy sygnału z tej lokalizacji do mocy wszystkich pozostałych źródeł.
W odróżnieniu od MNE, beamformer korzysta z macierzy kowariancji danych —
jest więc metodą adaptacyjną, zbliżoną duchem do CSP.

===LCMV (''Linearly Constrained Minimum Variance'', Van Veen 1997)===

Szukamy filtra minimalizującego wariancję wyjścia
przy ograniczeniu zachowującym sygnał z lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>:
:<math>\mathbf{w}^*(\mathbf{r}) = \arg\min_{\mathbf{w}} \mathbf{w}^T\mathbf{C}\mathbf{w}
\quad \text{p.o.} \quad \mathbf{w}^T\mathbf{a}(\mathbf{r}) = 1</math>
gdzie <math>\mathbf{C} = E[\mathbf{x}\mathbf{x}^T]</math> to macierz kowariancji danych.

Rozwiązanie analityczne (mnożnik Lagrange'a):
:<math>\mathbf{w}(\mathbf{r}) = \frac{\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}{\mathbf{a}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}</math>

Moc w lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>:
:<math>P(\mathbf{r}) = \mathbf{w}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}\,\mathbf{w}(\mathbf{r})
= \frac{1}{\mathbf{a}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}</math>

===DICS (''Dynamic Imaging of Coherent Sources'', Gross 2001)===

Wariant beamformera dla analizy częstotliwościowej:
zamiast macierzy kowariancji czasowej stosuje
''cross-spectral density matrix'' <math>\mathbf{C}(f)</math>
obliczoną dla wybranego pasma częstości.
Pozwala mapować koherencję między lokalizacjami na powierzchni kory.

===Analogia z CSP===

Zauważmy analogię strukturalną:

{| class="wikitable"
|-
! !! CSP !! LCMV Beamformer
|-
| '''Macierz kowariancji''' || <math>\mathbf{R}_T, \mathbf{R}_{NT}</math> (dwa warunki) || <math>\mathbf{C}</math> (jeden warunek) + <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
|-
| '''Filtr''' || <math>\mathbf{w}</math>: maks. stosunek wariancji || <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math>: min. wariancja przy ograniczeniu
|-
| '''Przestrzeń''' || elektrod || przestrzeni mózgu (woksel po wokselu)
|-
| '''Model do przodu''' || nie || tak — przez <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
|}

Kluczowa różnica: CSP optymalizuje globalnie jednym zagadnieniem własnym,
beamformer rozwiązuje osobny problem dla każdej lokalizacji.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* analiza ERD/ERS (rytmy ruchowe, alfa, beta) w przestrzeni mózgu
* lokalizacja źródeł oscylacyjnych w MEG
* DICS do badania koherencji korowo-korowej

;Ograniczenia:
* silnie skorelowane źródła są tłumione (''source cancellation'') — beamformer zakłada, że źródła są nieskorelowane
* wymaga dużej liczby próbek do stabilnej estymacji <math>\mathbf{C}^{-1}</math>
* przy małej liczbie elektrod macierz <math>\mathbf{C}</math> może być źle uwarunkowana

;Podsumowanie:
[[Plik:Inverse problem vs bss.png|mały|centruj]]

==Podsumowanie: kiedy stosować którą metodę==

{| class="wikitable"
|-
! Metoda !! Założenie a priori !! Dane wejściowe !! Typowe zastosowanie
|-
| '''Dipole fitting''' || 1–3 punktowe źródła || ERP, AEP, SEP || lokalizacja wczesnych składowych wywołanych
|-
| '''MNE / dSPM / sLORETA''' || minimalna energia; źródła ciągłe || ERP, dowolny sygnał || wizualizacja rozproszonej aktywności na korze
|-
| '''LCMV Beamformer''' || źródła nieskorelowane || ERD/ERS, dane resting-state || lokalizacja źródeł oscylacyjnych w MEG/EEG
|-
| '''DICS''' || j.w. + analiza spektralna || dane oscylacyjne || mapa koherencji korowo-korowej
|-
| '''CSP / ICA''' || brak modelu geometrycznego || dwa warunki / jeden segment || klasyfikacja BCI, usuwanie artefaktów
|}

;Uwaga praktyczna:
Wszystkie metody problemu odwrotnego wymagają przygotowania modelu do przodu.
Zaleca się korzystanie z MNE-Python lub FieldTrip — oba pakiety
oferują spójne pipeline'y od surowych danych do map korowych
i są szeroko stosowane w literaturze, co ułatwia replikację wyników.

=Sesja 7: Problem odwrotny — część praktyczna=

;Czas: ~30 min wprowadzenie + ~120 min ćwiczenie

Część praktyczna prowadzi przez pełny pipeline lokalizacji źródeł:
od wczytania danych w FieldTrip, przez zbudowanie modelu do przodu,
do fitowania dipola i interpretacji wyniku.
Sesja jest zaprojektowana tak, aby każdy krok bezpośrednio ilustrował
jeden element teorii omówionej w [[#Sesja 7: Problem odwrotny w EEG i MEG|części wykładowej]].

;Dane:
Używamy standardowego zestawu danych FieldTrip
(dane somatosensoryczne MEG/EEG, bodziec elektryczny na nadgarstku — składowa N20):
* https://download.fieldtriptoolbox.org/tutorial/Subject01.zip (~800 MB)

Ten sam zestaw danych jest używany we wszystkich tutorialach FieldTrip
wymienionych w tej sesji, co ułatwia porównywanie wyników między krokami.

;Instalacja FieldTrip: Wymagania wstępne:
FieldTrip wymaga MATLABa. Przed instalacją sprawdź kompatybilność swojej wersji:
[https://www.fieldtriptoolbox.org/faq/matlab/requirements MATLAB requirements]

;Pobranie toolboxa: Pobierz najnowszą wersję ze strony:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/download.php Pobierz FieldTrip]

Rozpakuj archiwum ZIP w wybranym katalogu, np. <code>~/matlab/fieldtrip</code> (Linux/macOS).

;Ważne: nie zmieniaj wewnętrznej struktury katalogów po rozpakowaniu —
FieldTrip dynamicznie zarządza swoimi podkatalogami.

;Konfiguracja ścieżki MATLAB: Pełna instrukcja: [https://www.fieldtriptoolbox.org/faq/matlab/installation Installation and setting up the path]

Uruchom poniższe polecenia na początku każdej sesji pracy z FieldTrip
(lub wstaw je do pliku <code>startup.m</code> — patrz niżej):

<source lang="matlab">
restoredefaultpath % wyczyść aktualną ścieżkę
addpath('~/fieldtrip') % podaj tu swoją ścieżkę do FieldTrip
ft_defaults % skonfiguruj FieldTrip i minimalne podkatalogi
</source>

;Uwaga — częsty błąd:
Nie używaj <code>addpath(genpath(...))</code> ani przycisku „Add with Subfolders" w MATLAB GUI.
FieldTrip samodzielnie dodaje potrzebne podkatalogi przez <code>ft_defaults</code>
i <code>ft_hastoolbox</code> — dodanie wszystkiego ręcznie powoduje konflikty
z funkcjami SPM, EEGLAB i wbudowanymi funkcjami MATLABa
(w szczególności z funkcjami z katalogu <code>fieldtrip/compat</code>
przeznaczonymi tylko dla starych wersji MATLABa).

;Trwała konfiguracja przez startup.m:

Żeby nie powtarzać powyższych poleceń przy każdym uruchomieniu MATLABa,
utwórz plik <code>startup.m</code> w swoim katalogu MATLABa
(zwykle <code>Dokumenty/MATLAB/startup.m</code>) z zawartością:

<source lang="matlab">
restoredefaultpath
addpath('C:\fieldtrip') % zmień na swoją ścieżkę
ft_defaults
</source>

MATLAB wykonuje ten plik automatycznie przy każdym uruchomieniu.

;Uwaga dla użytkowników EEGLAB: Jeśli korzystasz z EEGLAB i FieldTrip w tej samej sesji,
zawsze ładuj FieldTrip przez <code>restoredefaultpath</code> + <code>addpath</code> + <code>ft_defaults</code>,
a nie przez interfejs EEGLAB. Oba toolboxy zawierają funkcje o tych samych nazwach
(np. <code>eegplot</code>, <code>topoplot</code>) — kolejność na ścieżce decyduje,
która wersja zostanie wywołana.

;Weryfikacja instalacji: Sprawdź poprawność instalacji jednym poleceniem:

<source lang="matlab">
ft_defaults
ft_version
</source>

Powinieneś zobaczyć numer wersji i datę kompilacji, np.:
<pre>
FieldTrip version 20250901, path: C:\fieldtrip
</pre>

Jeśli MATLAB zgłasza błąd <code>Undefined function 'ft_defaults'</code>,
ścieżka nie została ustawiona poprawnie — wróć do kroku z <code>addpath</code>.

==Krok 0: Wejście do FieldTrip==

Przed właściwym ćwiczeniem proszę zapoznać się z tutorialem wprowadzającym:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/intro/introduction/ Introduction to the FieldTrip toolbox]

;Na co zwrócić uwagę przechodząc ten tutorial:

Studenci znający EEGLAB natkną się na dwie zasadnicze różnice w filozofii pracy:

* '''Struktura cfg''' zamiast GUI. Każda funkcja FieldTrip przyjmuje strukturę konfiguracyjną <code>cfg</code> i zwraca nową strukturę danych. Nie ma okien dialogowych — cała analiza jest skryptem. Jest to bliższe temu, co robiliśmy w MATLAB-owych sesjach CSP/ICA.

* '''Niezmienność danych'''. FieldTrip nie modyfikuje struktur w miejscu — każde wywołanie funkcji zwraca nową strukturę. Pozwala to łatwo porównywać wyniki różnych parametrów, ale wymaga dbałości o nazewnictwo zmiennych.

;Pytanie do dyskusji po lekturze:
Jak odpowiadają sobie nawzajem: <code>EEG.data</code> w EEGLAB i struktura <code>data</code> w FieldTrip?
Gdzie w strukturach FieldTrip przechowywane są informacje o lokalizacji elektrod?

==Krok 1: Model do przodu — BEM dla EEG==

Przed fitowaniem dipola musimy obliczyć macierz pola wiodącego <math>\mathbf{A}</math>.
Proszę przejść tutorial:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/headmodel_eeg_bem Construct a BEM headmodel for EEG source analysis]

;Cel tego kroku:
Zrozumieć skąd pochodzi kolumna <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
używana we wszystkich metodach Sesji 7.
Każda kolumna <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math> mówi: „jeśli w miejscu <math>\mathbf{r}</math>
znajdowałby się dipol o jednostkowym momencie,
to jakie potencjały zmierzylibyśmy na każdej z elektrod?"

;Kluczowe funkcje FieldTrip w tym kroku:
<source lang="matlab">
% Segmentacja MRI na trzy tkanki (skóra, czaszka, mózg)
cfg = [];
cfg.output = {'brain','skull','scalp'};
segmentedmri = ft_volumesegment(cfg, mri);

% Budowanie siatki trójkątów BEM
cfg = [];
cfg.tissue = {'brain','skull','scalp'};
cfg.numvertices = [3000 2000 1000];
bnd = ft_prepare_mesh(cfg, segmentedmri);

% Obliczenie modelu do przodu metodą BEM (OpenMEEG)
cfg = [];
cfg.method = 'openmeeg';
cfg.conductivity = [0.33 0.0041 0.33]; % mózg, czaszka, skóra [S/m]
headmodel = ft_prepare_headmodel(cfg, bnd);
</source>

;Na co zwrócić uwagę:
* Stosunek przewodności czaszka/mózg wynosi tu ~1/80.
Jak myślisz, jak bardzo błąd w tym parametrze wpłynie na lokalizację źródeł?
* Funkcja <code>ft_prepare_mesh</code> tworzy trzy zagnieżdżone siatki.
Jak ma się to do opisu BEM z wykładu?

==Krok 2: Fitowanie dipola (ćwiczenie główne)==

;Czas: ~90 min

To jest główne ćwiczenie praktyczne Sesji 7.
Proszę przejść tutorial:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/dipolefitting Dipole fitting of combined MEG/EEG data]

Poniżej znajdziesz szkielet kodu z pytaniami pomocniczymi
do samodzielnego wypełnienia — zacznij od tutorialu,
a potem wróć do szkieletu i uzupełnij brakujące fragmenty.

===Szkielet kodu — fitowanie dipola dla składowej N20===

<source lang="matlab">
%% KROK A: Wczytanie i preprocessing danych EEG
% Dane: Subject01.zip (patrz wyżej)
% Używamy tylko kanałów EEG, odrzucamy MEG.

cfg = [];
cfg.dataset = 'Subject01.ds';
cfg.trialdef.eventtype = 'backpanel trigger';
cfg.trialdef.eventvalue = 3; % bodziec na lewym nadgarstku
cfg.trialdef.prestim = 0.1;
cfg.trialdef.poststim = 0.3;
cfg = ft_definetrial(cfg);

cfg.channel = 'EEG';
cfg.continuous = 'yes';
cfg.demean = 'yes';
cfg.baselinewindow = [-0.1 0];
data = ft_preprocessing(cfg);

%% KROK B: Uśrednianie — potencjał wywołany
% TUTAJ: użyj ft_timelockanalysis aby obliczyć ERP (średnią po powtórzeniach)
% Wynik zapisz jako 'timelock'

% TUTAJ

%% KROK C: Wczytanie modelu do przodu i lokalizacji elektrod
% Zakładamy, że headmodel i elec zostały obliczone w Kroku 1.
% Jeśli nie — można użyć gotowego modelu z paczki danych Subject01.

load('standard_bem.mat'); % headmodel
load('Subject01_elec.mat'); % lokalizacje elektrod (po dopasowaniu do MRI)

%% KROK D: Przygotowanie siatki poszukiwań (grid)
% Definiujemy siatkę regularną 1 cm wewnątrz mózgu.
% ft_prepare_sourcemodel oblicza też macierz pola wiodącego A
% (tzw. leadfield) dla każdego punktu siatki.

cfg = [];
cfg.headmodel = headmodel;
cfg.elec = elec;
cfg.resolution = 1; % odstęp siatki w cm
cfg.unit = 'cm';
sourcemodel = ft_prepare_sourcemodel(cfg);

%% KROK E: Fitowanie dipola
% Szukamy jednego dipola najlepiej wyjaśniającego topografię N20.
% Okno czasowe 0.016–0.022 s odpowiada składowej N20.

cfg = [];
cfg.latency = [0.016 0.022]; % okno N20 w sekundach
cfg.numdipoles = 1;
cfg.headmodel = headmodel;
cfg.elec = elec;
cfg.sourcemodel = sourcemodel;
cfg.nonlinear = 'yes'; % optymalizacja nieliniowa po przestrzeni

% TUTAJ: source = ft_dipolefitting(cfg, timelock);

%% KROK F: Wizualizacja wyniku
% Nałożenie lokalizacji dipola na MRI anatomiczne.

load('standard_mri.mat'); % MRI w tym samym układzie współrzędnych

cfg = [];
cfg.location = source.dip.pos; % współrzędne znalezionego dipola [x y z]

% TUTAJ: ft_sourceplot(cfg, mri);

%% KROK G: Ocena dopasowania
% Goodness of fit (GoF) mówi jaka część wariancji danych
% jest wyjaśniona przez znaleziony dipol.
% Wartość > 0.85 uznaje się za dobre dopasowanie.

fprintf('Goodness of fit: %.1f%%\n', source.dip.rv * 100);
% Uwaga: w FieldTrip rv to residual variance (1 - GoF).
% Dobry dipol ma rv < 0.15.

disp('Lokalizacja dipola [x y z] w mm:')
disp(source.dip.pos)

disp('Moment dipolowy [qx qy qz]:')
disp(source.dip.mom)
</source>

===Zadania do samodzielnej realizacji===

;Zadanie 1 (obowiązkowe): Pipeline i lokalizacja
Uzupełnij brakujące fragmenty szkieletu (kroki B i E–F).
Gdzie na MRI ląduje znaleziony dipol? Czy odpowiada to oczekiwanej anatomii
składowej N20 (pierwotna kora somatosensoryczna S1, okolica bruzdy centralnej)?

;Zadanie 2 (obowiązkowe): Wpływ okna czasowego
Zmień <code>cfg.latency</code> kolejno na:
* <code>[0.016 0.022]</code> — okno N20
* <code>[0.025 0.035]</code> — okno P25
* <code>[0.045 0.060]</code> — okno N45
Czy lokalizacja dipola zmienia się między tymi składowymi?
Jak zmienia się GoF? Co to mówi o tym, która składowa jest lepiej opisana modelem jednego dipola?

;Zadanie 3 (obowiązkowe): Dwa dipole
Zmień <code>cfg.numdipoles = 2</code> i powtórz fitowanie dla okna N20.
Czy model dwóch dipoli daje istotnie lepszy GoF niż jeden?
Jak interpretujesz dwa znalezione źródła?

;Zadanie 4 (dla chętnych): Wrażliwość na model do przodu
FieldTrip pozwala użyć uproszczonego modelu sferycznego
zamiast BEM: ustaw <code>cfg.headmodel</code> na model jednorodnej sfery
(<code>cfg.method = 'singlesphere'</code> w <code>ft_prepare_headmodel</code>).
O ile zmienia się lokalizacja dipola N20?
Czy GoF wzrasta czy maleje?

;Pytania do dyskusji:
* Fitowanie dipola wymaga podania okna czasowego — dlaczego?
Co stałoby się gdybyśmy dopasowywali dipol do całej epoki (−100 do +300 ms)?
* Algorytm minimalizacji może utknąć w minimum lokalnym.
Jak <code>cfg.sourcemodel</code> (siatka) pomaga temu zaradzić?
Jaki jest kompromis między rozdzielczością siatki a czasem obliczeń?
* Porównaj mapę topograficzną ERP w oknie N20
z mapą rekonstruowaną z dopasowanego dipola (wywołaj <code>ft_dipolefitting</code>
z opcją <code>cfg.dipfit.display = 'yes'</code>).
Czy widzisz różnicę? Skąd ona pochodzi?

==Krok 3: Dalsze metody — dla zainteresowanych==

Poniższe tutoriale stanowią naturalne rozwinięcie ćwiczenia głównego
i ilustrują pozostałe metody omówione w teorii Sesji 7.
Nie są wymagane na zaliczenie, ale gorąco je polecamy
jeśli planujesz używać lokalizacji źródeł w pracy badawczej.

;Minimum Norm Estimation:
[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/minimumnormestimate Source reconstruction of event-related fields using minimum-norm estimation]

Ten sam sygnał N20 co w ćwiczeniu głównym, ale zamiast jednego dipola
otrzymujesz ciągłą mapę aktywności na całej powierzchni kory.
Zwróć uwagę jak wybór parametru regularyzacji <math>\lambda</math>
wpływa na rozmycie rozwiązania.
Porównaj lokalizację maksimum mapy MNE z lokalizacją dipola z Kroku 2.

;Beamformer (LCMV/DICS):
[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/beamformer Localizing oscillatory sources in MEG data using a beamformer]

Tutorial wykorzystuje ten sam zestaw danych Subject01
i lokalizuje źródła oscylacji gamma wywołanych bodźcem —
bezpośrednie rozwinięcie analizy ERD/ERS, którą już znasz.
Kluczowa różnica w stosunku do MNE: beamformer korzysta
z macierzy kowariancji danych <math>\mathbf{C}</math>,
a nie tylko z modelu do przodu. Sprawdź jak wyglądają
filtry przestrzenne <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math> dla różnych lokalizacji
i porównaj je koncepcyjnie z filtrami CSP z Sesji 1–3.











-->

Laboratorium EEG/CSP

2026-05-14T08:13:08Z

Jarekz: /* 7. Co więc dosłownie robi `ft_prepare_headmodel` */

[[Laboratorium_EEG]]/BSS

=Sesja 1: Ślepa separacja źródeł i CSP — wprowadzenie=

;Czas: ~60 min wykład + ~90 min ćwiczenie symulacyjne

Zajęcia wprowadzają do problemu filtracji przestrzennej sygnałów EEG.
Punktem wyjścia jest ogólny problem ślepej separacji źródeł (BSS),
z którego CSP wyłania się jako szczególny przypadek dla dwóch warunków
eksperymentalnych. Filtry przestrzenne omawiane na tych zajęciach stanowią
fundament klasycznych metod BCI (P300, SSVEP, motor imagery) oraz są
bezpośrednim odpowiednikiem warstw przestrzennych w sieciach neuronowych
takich jak ShallowConvNet i EEGNet — do tej analogii wrócimy w sesji 6.

[https://drive.google.com/file/d/1WrXgWWDJ7g5ZdYltm_8s2NXbGamw4R8N/view?usp=sharing Slajdy do wykładu (PDF)]

;Zakres wykładu:
* model generatywny EEG: <math>x(t) = As(t)</math>, macierz kowariancji, idea diagonalizacji
* BSS jako ogólny problem separacji źródeł
* CSP jako szczególny przypadek: dwa warunki eksperymentalne, iloraz Rayleigha, uogólnione zagadnienie własne
* interpretacja filtrów i topografii źródeł

;Ćwiczenie symulacyjne:
Zob. [[#Ćwiczenie symulacyjne|Ćwiczenie symulacyjne]] w sekcji CSP poniżej.

====Ćwiczenie symulacyjne ====
====Zadania do samodzielnej realizacji====

Poniższy kod dostarcza gotowej infrastruktury: generacji sygnałów, macierzy mieszającej i wizualizacji.
Zadaniem jest samodzielna implementacja kluczowych kroków analizy CSP.

;Zadanie 1 (obowiązkowe): Obliczenie macierzy kowariancji
Napisz funkcję <code>srednia_kowariancja(X, ind)</code>, która dla danej tablicy sygnałów <code>X</code>
(wymiary: powtórzenia × kanały × próbki) i wektora indeksów czasowych <code>ind</code>
zwraca średnią macierz kowariancji uśrednioną po powtórzeniach.
Dla każdego powtórzenia zastosuj funkcję <code>cov</code> i znormalizuj wynik przez jego ślad (<code>trace</code>).
Sprawdź wynik porównując z macierzami <code>R_B</code> i <code>R_E</code> obliczonymi w dostarczonym kodzie.

;Zadanie 2 (obowiązkowe): Implementacja CSP
Korzystając z funkcji <code>eig</code> oraz macierzy kowariancji obliczonych w zadaniu 1,
wyznacz macierz filtrów przestrzennych <code>W</code> i odpowiadające im wartości własne.
Odtwórz sygnały źródłowe dla wszystkich powtórzeń.
Narysuj chmury punktów (amplituda źródła 1 vs amplituda źródła 2) osobno dla warunków
baseline i ERP — przed transformacją CSP i po niej. Co zmieniło się w kształcie chmur?

Wykreśl także wizualizację przebiegów czasowych sygnałów X i sygnałów S uzyskanych po rozmieszaniu.

;Zadanie 3 (obowiązkowe): Interpretacja wartości własnych
Wartości własne znajdują się na przekątnej macierzy <code>Lambda</code>.
Który filtr najbardziej różnicuje warunki baseline i ERP?
Jaki jest związek między wartością własną a separacją widoczną na wykresach punktowych?

;Zadanie 4 (dla chętnych): Wpływ macierzy mieszającej
W dostarczonym kodzie macierz <code>P</code> (filtr przestrzenny) wynosi:
<pre>
P = [1 2; 1.5 1.3]
</pre>
Zmień ją kolejno na macierz bliską jednostkowej (np. <code>P = [1 0.1; 0.1 1]</code>)
oraz na macierz z dużymi elementami pozadiagonalnymi (np. <code>P = [1 5; 4 1]</code>).
Jak zmienia się kształt chmury punktów przed transformacją CSP?
Czy CSP poprawnie oddziela źródła w obu przypadkach?

;Zadanie 5 (dla chętnych): Wpływ szumu
W kodzie szum jest wyłączony: <code>n = 0*randn(size(tmp))</code>.
Usuń mnożnik <code>0*</code> i zbadaj jak poziom szumu wpływa na separację źródeł.
Przy jakim stosunku sygnału do szumu CSP przestaje skutecznie rozdzielać warunki?

;Pytanie do dyskusji:
Dostarczony kod używa <code>eig(R_E, R_B)</code>.
Alternatywą jest <code>eig(R_E, (R_E+R_B)/2)</code>.
Czym różnią się te dwie wersje? W jakich sytuacjach eksperymentalnych
druga wersja mogłaby być bardziej uzasadniona?

====Szkielet kodu do uzupełnienia====

Poniższy szkielet zawiera gotową infrastrukturę symulacji.
Uzupełnij brakujące fragmenty oznaczone komentarzem <code>% TUTAJ</code>
zgodnie z zadaniami 1–3. Pełny kod referencyjny dostępny jest poniżej
— zajrzyj do niego dopiero po samodzielnej próbie.

<source lang="matlab">
%% Parametry symulacji — nie modyfikuj tej sekcji
Fs = 100;
T = 1;
t = 0:1/Fs:T-1/Fs;
N_rep = 100;
N_chan = 2;
s = zeros(N_rep, N_chan, length(t));
X = zeros(N_rep, N_chan, length(t));

P = [1 2; 1.5 1.3]; % filtr przestrzenny (prawdziwy)
A = P^(-1); % topografia źródeł

for r = 1:N_rep
s1 = sin(2*pi*11*t + pi/2) + 0.02*randn(size(t));
s2 = exp(-((t-0.8)/0.05).^2) + 0.01*randn(size(t));
s(r,1,:) = s1;
s(r,2,:) = s2;
tmp = squeeze(s(r,:,:));
n = 0*randn(size(tmp)); % Zadanie 5: zmień 0* na 1* aby włączyć szum
X(r,:,:) = A*tmp + n;
end

baseline_ind = find(t < 0.5);
ERP_ind = find(t >= 0.5);

R_B = zeros(N_chan, N_chan);
R_E = zeros(N_chan, N_chan);

%% Zadanie 1: Oblicz średnie macierze kowariancji
% korzystając z funkcji srednia_kowariancja(X, ind)

% Dla każdego powtórzenia r:
% - wytnij fragment sygnału X(r,:,baseline_ind) i analogicznie ERP
% - oblicz macierz kowariancji funkcją cov() — pamiętaj o transpozycji
% - znormalizuj przez ślad (funkcja trace())
% - dodaj do sumy
% Na końcu podziel przez N_rep

%% Zadanie 2: Rozwiąż uogólnione zagadnienie własne
% Użyj funkcji eig(A,B) gdzie A=R_E, B=R_B
% W wyniku otrzymasz macierz wektorów własnych W (w kolumnach)
% i macierz Lambda z wartościami własnymi na przekątnej

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

disp('Wartości własne (przekątna Lambda):')
disp(diag(Lambda))

%% Zadanie 2 cd.: Odtwórz sygnały źródłowe
% Dla każdego powtórzenia r zastosuj filtr: S(r,:,:) = W' * X(r,:,:)

S = zeros(N_rep, N_chan, length(t));

for r = 1:N_rep
% TUTAJ: S(r,:,:) = ...
end

%% Zadanie 3: Wizualizacja — chmury punktów przed i po CSP
x_base_k1 = X(:,1,baseline_ind);
x_base_k2 = X(:,2,baseline_ind);
x_ERP_k1 = X(:,1,ERP_ind);
x_ERP_k2 = X(:,2,ERP_ind);

s_base_k1 = squeeze(S(:,1,baseline_ind));
s_base_k2 = squeeze(S(:,2,baseline_ind));
s_ERP_k1 = squeeze(S(:,1,ERP_ind));
s_ERP_k2 = squeeze(S(:,2,ERP_ind));

figure(1); clf
subplot(1,2,1)
plot(x_base_k1(:), x_base_k2(:), 'b.'); hold on
plot(x_ERP_k1(:), x_ERP_k2(:), 'r.');
axis equal; xlim([-2 2]); ylim([-2 2])
xlabel('Kanał 1'); ylabel('Kanał 2')
title('Przed CSP')
legend('baseline','ERP')

subplot(1,2,2)
plot(s_base_k1(:), s_base_k2(:), 'b.'); hold on
plot(s_ERP_k1(:), s_ERP_k2(:), 'r.');
axis equal
xlabel('Źródło 1'); ylabel('Źródło 2')
title('Po CSP')
legend('baseline','ERP')
%% Wizualizacja przebiegów czasowych X i S
% TUTAJ:

%% Zadanie 4 (dla chętnych): zmień macierz P powyżej i powtórz analizę
%% Zadanie 5 (dla chętnych): włącz szum (zmień 0* na 1* w linii z n=...)
</source>

{{hidden begin|title=Rozwiązanie — pokaż dopiero po samodzielnej próbie}}
<source lang = matlab>
% symulowany eksperyment składa się z sinusoidy udającej alfę spoczynkową i
% funkcji Gaussa udającego potencjał wywołany
% źródła te są symulowane niezależnie a potem mieszane przez macierz A
% symulujemy źródła
% s1 - symuluje alfę
% s2 - symuluje "potencjał wywołany" (ERP)

%ustawiamy parametry do symulacji sygnałów
Fs = 100;
T = 1;
t = 0:1/Fs:T-1/Fs;
N_rep = 100;
N_chan = 2;
s = zeros(N_rep,N_chan, length(t));
X = zeros(N_rep,N_chan, length(t));

% filtr przestrzenny - z takimi wagami trzeba wziąść kanały EEG aby odzyskać sygnały źródłowe
P = [1 2
1.5 1.3];

% topografie - z takimi wagami źródła dokładają się do poszczególnych elektrod
A = P^(-1);

for r =1:N_rep % tworzymy kolejne realizacje "eksperymentu"
s1 = sin(2*pi*11*t +pi/2+ 0*2*pi*rand())+ 0.02*randn(size(t)); % źródło alfa
s2 = exp(-((t-0.8)/0.05).^2)+ 0.01*randn(size(t)); % źródło ERP

s(r,1,:) = s1;
s(r,2,:) = s2;
tmp = squeeze(s(r,:,:));
n = 0*randn(size(tmp));
X(r,:,:) = A*tmp +n; % rzutujemy sygnały źródłowe na elektrody s -> x

end

% wycinamy warunki
% baseline_ind to indeksy pierwszej połowy każdego powtórzenia "baseline"
% ERP_ind to indeksy drugiej połowy każdego powtórzenia zawierająca "ERP"
baseline_ind = find(t<0.5);
ERP_ind = find(t>=0.5);

x_baseline_kan_1 = X(:,1,baseline_ind);
x_baseline_kan_2 = X(:,2,baseline_ind);

x_ERP_kan_1 = X(:,1,ERP_ind);
x_ERP_kan_2 = X(:,2,ERP_ind);

% liczymy średnie macierze kowariancji:
R_E = zeros(N_chan,N_chan);
R_B = zeros(N_chan,N_chan);
for r =1:N_rep
B = squeeze(X(r,:,baseline_ind));
tmp =cov(B');
R_B = R_B + tmp./trace(tmp);%B*B' ;

E = squeeze(X(r,:,ERP_ind));
tmp = cov(E');
R_E = R_E + tmp./trace(tmp);%E*E' ;
end

R_B = R_B/N_rep;
R_E = R_E/N_rep;

% rozwiązujemy uogólnione zagadnienie własne
[W,Lambda]=eig(R_E,R_B); % możliwa jest też optymalizacja wzg. średniej macierzy kowariancji (R_B+R_A)/2);

% odzyskujemy sygnały źródeł
for r =1:N_rep
S(r,:,:) = W'*squeeze(X(r,:,:));
end

% pobieramy wycinki odpowiadające obu częściom eksperymentu z estymowanych
% źródeł
s_baseline_estymowany_kan1 = squeeze( S(:,1,baseline_ind));
s_baseline_estymowany_kan2 = squeeze( S(:,2,baseline_ind));

s_ERP_estymowany_kan1 = squeeze(S(:,1,ERP_ind));
s_ERP_estymowany_kan2 = squeeze(S(:,2,ERP_ind));

%%%%%%%%%%%%%% Ilustracje %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ilustracja sygnałów mierzonych
figure(1);clf
subplot(2,2,1);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(X(:,1,baseline_ind)))','b'); hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze( X(:,1,ERP_ind)))','r'); hold off
xlabel('elektroda 1')
title('ilustracja sytuacji pomiarowej -\newline znane są potencjały na elektrodach w dwóch warunkach eksperymentalnych')
subplot(2,2,3);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(X(:,2,baseline_ind)))','b'); hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze( X(:,2,ERP_ind)))','r'); hold off
xlabel('elektroda 2')
subplot(1,2,2)
plot(x_baseline_kan_1(:),x_baseline_kan_2(:),'b.');
hold on
plot(x_ERP_kan_1(:),x_ERP_kan_2(:),'r.');
xlim([-2,2])
ylim([-2,2])
axis equal

% wektor własny odpowiadający największej wartości własnej jest
% kierunkiem najbardziej różnicującym warunki eksperymentalne
disp('wartości własne znajdują się na przekątnej macierzy Lambda')
disp(Lambda)
% rysujemy wersory jednostkowe w kierunkach wektorów własnych
w1 = W(:,1);
w1 = w1/norm(w1);
w2 = W(:,2);
w2 = w2/norm(w2);
line([0, w1(1) ],[0,w1(2)],'Color',[0,0.3,0])
text(w1(1),w1(2),'wektor własny 1')
line([0, w2(1) ],[0,w2(2)],'Color',[1,0,1])
text(w2(1),w2(2),'wektor własny 2')

xlabel('Amplituda na elektrodzie 1')
ylabel('Amplituda na elektrodzie 2')
legend('baseline','ERP')

% Ilustracja estymowanych źródeł
figure(2);clf
subplot(2,2,1);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(S(:,1,baseline_ind)))','b');hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze(S(:,1,ERP_ind)))','r');hold off
xlabel('estymowane zrodlo 1')
title('ilustracja estymacji -\newline estymowane są potencjały źródeł w dwóch warunkach eksperymentalnych')
subplot(2,2,3);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(S(:,2,baseline_ind)))','b');hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze(S(:,2,ERP_ind)))','r');hold off
xlabel('estymowane zrodlo 2');
subplot(1,2,2)
plot(s_baseline_estymowany_kan1(:),s_baseline_estymowany_kan2(:),'b.');
hold on
plot(s_ERP_estymowany_kan1(:),s_ERP_estymowany_kan2(:),'r.');

xlabel('Amplituda estym. źródła 1')
ylabel('Amplituda estym. źródła 2')
legend('baseline','ERP')
</source>
{{hidden end}}

=Sesja 2: CSP dla P300 — dane realne=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Pracujemy z danymi kalibracyjnymi z eksperymentu P300.
Celem sesji jest przejście pełnego pipeline'u: od surowych danych
do odtworzonych źródeł CSP.

;Zakres:
* wczytanie danych kalibracyjnych, identyfikacja znaczników T i NT
* cięcie epok (−200 do +800 ms), usuwanie trendu liniowego
* montaż względem średniej ze wszystkich elektrod
* wizualizacja ERP w układzie topograficznym
* obliczenie macierzy kowariancji RT i RNT, normalizacja przez ślad
* rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego: <code>[W, Lambda] = eig(R_T, R_NT)</code>
* odtworzenie sygnałów źródłowych: <code>S = W'*EEG</code>
* przegląd estymowanych źródeł w dwóch warunkach

;Materiały:
Dane: https://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/KalibracjaP300.tar.gz

===ZADANIE: Analiza CSP===

Przegląd badań o P300: https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2715154/

Link do Read menager [https://drive.google.com/file/d/1OgOduK5Zn7GgNl5XdCyLWXHJ7wTJIWcC/view?usp=share_link]

* Wykonać analizę CSP wzmacniającą potencjał P300.
* Zaprezentować średnią ze wszystkich kanałów źródłowych z warunku target (jeden kolor) i non-target (inny kolor) w subplotach ułożonych w prostokątnej siatce. Zaobserwować, dla którego kanału średnie różnią się najbardziej. Czy jest związek tego kanału z wartościami własnymi?

* Dla kanału najbardziej różnicującego wykonać mapki topograficzne wektorów odpowiadających:
** filtrowi przestrzennemu
** rzutu topograficznego źródła na elektrody.

===Szkielet kodu do analizy wstępnej===

<source lang="matlab">
%% KROK 1: Wczytanie danych
% ReadManager to pomocnicza klasa do odczytu plików w formacie OpenBCI.
% Przyjmuje trzy pliki: XML z metadanymi, RAW z próbkami i TAG ze znacznikami zdarzeń.
nazwaPliku = 'p_6301423_calibration_p300.obci';
nameOfXMLFile = strcat(nazwaPliku, '.xml');
nameOfTagFile = strcat(nazwaPliku, '.tag');
namesOfDataFiles = strcat(nazwaPliku, '.raw');

rm = ReadManager(nameOfXMLFile, namesOfDataFiles, nameOfTagFile);

% Pobieramy podstawowe parametry nagrania
numberOfChannels = rm.get_param('number_of_channels');
namesOfChannels = rm.get_param('channels_names');
samplingFrequency = rm.get_param('sampling_frequency');

% Pobieramy listę wszystkich znaczników zdarzeń z nagrania
tagsStruct = rm.get_tags();

%% KROK 2: Identyfikacja znaczników Target i Non-Target
% Każdy znacznik typu 'blink' odpowiada jednemu mignięciu w eksperymencie P300.
% Pole 'index' mówi który symbol mignął, pole 'target' który symbol był oczekiwany.
% Jeśli index == target to było to mignięcie docelowe (Target), w przeciwnym razie
% Non-Target.
targetTimeStamps = [];
NonTargetTimeStamps = [];

for structNumber = 1:length(tagsStruct)
if strcmp(tagsStruct(structNumber).name, 'blink')
index = tagsStruct(structNumber).children.index;
target = tagsStruct(structNumber).children.target;
if index == target
targetTimeStamps = [targetTimeStamps tagsStruct(structNumber).start_timestamp];
else
NonTargetTimeStamps = [NonTargetTimeStamps tagsStruct(structNumber).start_timestamp];
end
end
end

%% KROK 3: Wczytanie i filtrowanie sygnału
samples = double(rm.get_samples());
samples = samples(1:8,:); % odrzucamy kanały bez EEG
numberOfChannels = 8;

% Filtr dolnoprzepustowy Czebyszewa 2. rodzaju — odcięcie 25 Hz
[b, a] = cheby2(6, 80, 25/(samplingFrequency/2), 'low');
for ch = 1:numberOfChannels
samples(ch,:) = filtfilt(b, a, samples(ch,:));
end

%% KROK 4: Montaż względem średniej (common average reference)
% Odejmujemy od każdego kanału średnią ze wszystkich kanałów w danej chwili.
% Jest to prostsze i bardziej ogólne niż montaż względem połączonych uszu.
M = -ones(numberOfChannels, numberOfChannels) / numberOfChannels;
M = M + eye(numberOfChannels) * (numberOfChannels+1) / numberOfChannels;
samples = 0.0715 * M * samples;

%% KROK 5: Cięcie epok
PRE = -0.2;
POST = 0.8;
wycinek = floor(PRE*samplingFrequency : POST*samplingFrequency);

TargetSignal = zeros(length(targetTimeStamps), numberOfChannels, length(wycinek));
NonTargetSignal = zeros(length(NonTargetTimeStamps), numberOfChannels, length(wycinek));

for trialNumber = 1:length(targetTimeStamps)
trigerOnset = floor(targetTimeStamps(trialNumber) * samplingFrequency);
tenWycinek = wycinek + trigerOnset;
if tenWycinek(1) > 0 && tenWycinek(end) <= size(samples,2)
tmpSignal = samples(:, tenWycinek);
tmpSignal = detrend(tmpSignal')'; % usuwanie trendu liniowego
TargetSignal(trialNumber,:,:) = tmpSignal;
end
end

for trialNumber = 1:length(NonTargetTimeStamps)
trigerOnset = floor(NonTargetTimeStamps(trialNumber) * samplingFrequency);
tenWycinek = wycinek + trigerOnset;
if tenWycinek(1) > 0 && tenWycinek(end) <= size(samples,2)
tmpSignal = samples(:, tenWycinek);
tmpSignal = detrend(tmpSignal')';
NonTargetSignal(trialNumber,:,:) = tmpSignal;
end
end

% Oś czasu w milisekundach — przyda się do rysowania
times = (wycinek / samplingFrequency) * 1000;

%% KROK 6: Wizualizacja ERP w układzie topograficznym
% Oblicz potencjały wywołane (ERP) jako średnie po powtórzeniach
ERP_T = squeeze(mean(TargetSignal, 1)); % wymiary: kanały × czas
ERP_NT = squeeze(mean(NonTargetSignal, 1));

% TUTAJ: narysuj ERP_T i ERP_NT dla każdego kanału w subplotach
% ułożonych w siatce odpowiadającej przybliżonym pozycjom elektrod.
% Na każdym subplocie nałóż oba warunki różnymi kolorami.
% Oś X: czas w ms (użyj wektora times), oś Y: amplituda w µV.
% Zadbaj o legendę i tytuły z nazwami kanałów (namesOfChannels).

%% KROK 7: Obliczenie średnich macierzy kowariancji
% Dla każdego powtórzenia oblicz macierz kowariancji funkcją cov(),
% znormalizuj przez jej ślad (trace()), a następnie uśrednij po powtórzeniach.
% Pamiętaj: cov() oczekuje macierzy próbki × kanały, czyli potrzebujesz transpozycji.

R_T = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
R_NT = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for r = 1:length(targetTimeStamps)
% TUTAJ: wytnij r-te powtórzenie T, oblicz kowariancję, znormalizuj, dodaj do R_T
end

for r = 1:length(NonTargetTimeStamps)
% TUTAJ: wytnij r-te powtórzenie NT, oblicz kowariancję, znormalizuj, dodaj do R_NT
end

% TUTAJ: podziel R_T i R_NT przez odpowiednie liczby powtórzeń

%% KROK 8: Rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego
% Szukamy filtrów przestrzennych W maksymalizujących stosunek mocy
% w warunku T względem NT: eig(R_T, R_NT)
% W kolumnach W znajdują się filtry, na przekątnej Lambda — wartości własne.

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

disp('Wartości własne (przekątna Lambda):')
disp(diag(Lambda))

%% KROK 9: Odtworzenie sygnałów źródłowych
% Dla każdego powtórzenia zastosuj filtr przestrzenny:
% s(r,:,:) = W' * x(r,:,:)
% Pamiętaj o wymiarach — squeeze() może być pomocne.

S_T = zeros(size(TargetSignal));
S_NT = zeros(size(NonTargetSignal));

for r = 1:size(TargetSignal, 1)
% TUTAJ: S_T(r,:,:) = ...
end

for r = 1:size(NonTargetSignal, 1)
% TUTAJ: S_NT(r,:,:) = ...
end

%% KROK 10: Wizualizacja estymowanych źródeł
% Narysuj średnie przebiegi źródeł (ERP w przestrzeni CSP) dla obu warunków.
% Ułóż subploty w prostokątnej siatce — jeden subplot na każde źródło.
% Dla którego źródła różnica między T i NT jest największa?
% Czy odpowiada to źródłu z największą wartością własną?

ERP_S_T = squeeze(mean(S_T, 1));
ERP_S_NT = squeeze(mean(S_NT, 1));

% TUTAJ: narysuj ERP_S_T i ERP_S_NT w subplotach
</source>

=Sesja 3: CSP dla P300 — interpretacja i separacja cech=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Kontynuacja analizy CSP. Celem sesji jest interpretacja wyników
w kategoriach fizjologicznych oraz ocena separowalności klas
w przestrzeni cech opartej na mocy sygnału.

;Zakres:
* mapki topograficzne filtra przestrzennego i topografii źródła
* związek wartości własnych z siłą różnicowania warunków T i NT
* wykresy punktowe mocy: oś X — moc składowej z największą wartością własną, oś Y — moc kolejnej składowej; jeden punkt = jedno powtórzenie
* uśrednianie po 2, 4, 6, 8 i 10 realizacjach — obserwacja poprawy separacji wraz z liczbą uśrednień
* dyskusja: utożsamianie komponentów CSP z fizjologicznymi źródłami jest ryzykowne; komponenty maksymalizują kontrast między warunkami, niekoniecznie odpowiadają izolowanym generatorom

;Materiały:
Zob. [[#Szkielet kodu do analizy wstępnej|Szkielet kodu do analizy wstępnej]] i [[#Zadanie: Wybór i separacja cech|Zadanie: Wybór i separacja cech]] poniżej.

===Zadanie: Wybór i separacja cech===
* Przedstaw na rysunkach nałożone na siebie pojedyncze realizacje z warunków target i non-target po rzutowaniu na wektor <math>w</math> odpowiadający największej i kolejnej wartości własnej.
* Przedstaw wykresy punktowe takie, że na jednej osi jest moc sygnału (suma kwadratów wartości próbek w wybranym zakresie czasu) odpowiadającego największej wartości własnej, a na drugiej osi kolejnej (mniejszej) wartości własnej; jeden punkt reprezentuje jedno powtórzenie.
* Wykonaj serię wykresów jak w poprzednim punkcie dla uśrednień sygnałów kolejno po 2, 4, 6, 8 i 10 realizacjach:
** Liczymy potencjał wywołany dla danej liczby powtórzeń.
** Następnie podnosimy wartości próbek do kwadratu
** i sumujemy je w wybranym zakresie czasu.
* Zaobserwuj jak zmienia się separacja w grupach target i non-target.
{{hidden end}}
[https://robintibor.github.io/eeg-deep-learning-phd-thesis/DeepArchitectures.html Archirtektury sieci do BCI: ConvNet]

[https://www.researchgate.net/figure/The-architecture-of-EEGNet-F1-S1-model-F1-and-S1-represent-the-number-of-temporal_fig3_347073448 EEGNet]

=Sesja 4: Filtry przestrzenne dla SSEP — cosSinCSP=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Sesja wprowadza metodę cosSinCSP jako naturalne uogólnienie CSP
o wiedzę dziedzinową dotyczącą sygnału SSEP. W klasycznym CSP
dwa warunki eksperymentalne definiują dwie macierze kowariancji.
W cosSinCSP rolę jednej z macierzy przejmuje projekcja sygnału
na przestrzeń sinusów i cosinusów częstości stymulacji i jej harmonicznych.
Formalizm ilorazu Rayleigha i uogólnionego zagadnienia własnego
pozostaje identyczny.

Dane używane na tych zajęciach pochodzą z eksperymentu SSEP
z archiwum — bez sesji rejestracyjnej. Na wykresach widma
sygnału przed transformacją CSP dominuje artefakt sieciowy 50 Hz,
który praktycznie zasłania odpowiedź na stymulację. Zadaniem
jest sprawdzenie czy cosSinCSP potrafi ten sygnał wydobyć.

;Zakres:
* idea cosSinCSP: macierz S złożona z sinusów i cosinusów harmonicznych, projekcja sygnału na przestrzeń SSEP i resztę Y
* implementacja funkcji <code>cosSinCSP</code> w MATLAB
* analiza danych archiwalnych: widma Welcha dla kanałów oryginalnych i źródeł CSP — porównanie SNR przed i po transformacji
* prezentacja filtrów przestrzennych i topografii źródeł

;Materiały:
Zob. [[#Filtry przestrzenne dla SSEP|Filtry przestrzenne dla SSEP]] poniżej.

==Filtry przestrzenne dla SSEP==

===Teoria===

Ciekawa koncepcja filtra przestrzennego dla SSEP zaprezentowana jest tu: http://www.eurasip.org/Proceedings/Eusipco/Eusipco2009/contents/papers/1569193209.pdf

Pokrótce można ją rozumieć podobnie do tego co robiliśmy rozważając filtry przestrzenne CSP z tym, że dla SSEP oraz innych potencjałów wywołanych stanu ustalonego możemy skorzystać z dodatkowych informacji dotyczących poszukiwanych źródeł. Wiemy mianowicie, że powinny one oscylować z częstością bodźca i być może jej harmonicznych.

Przyda nam się macierz <math>S</math> zbudowana tak, że w kolejnych kolumnach znajdują się sinusy i cosinusy kolejnych częstości harmonicznych. Wektory te unormujemy, żeby miały energię równą 1. Innymi słowy macierz <math>S</math> zbudowana jest z wersorów rozpinających przestrzeń, w której powinien znajdować się sygnał SSEP.

W Matlabie możemy taką macierz zbudować tak:

<source lang="matlab">
% Fs - częstość próbkowania
% numberOfSamples - długość sygnału w próbkach
% numberOfHarmonics - liczba harmonicznych, które chcemy włączyć do analizy
t = (0:1:numberOfSamples - 1) / Fs;
S = zeros(numberOfSamples, 2*numberOfHarmonics);

for harmonicNumber = 1:numberOfHarmonics
c = cos(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
s = sin(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
S(:,(harmonicNumber - 1)*2 + 1) = c/norm(c);
S(:,(harmonicNumber - 1)*2 + 2) = s/norm(s);
end
</source>

Aby w badanym sygnale znaleźć składowe odpowiadające SSEP musimy rzutować sygnał <math>X</math> (macierz sygnałów ''kanały × próbki'') na przestrzeń rozpiętą przez <math>S</math>:
:<math>A = X S</math>
Macierz <math>A</math> zawiera współczynniki będące iloczynami skalarnymi sygnałów i wersorów — mówią one o tym jak dużo sinusa bądź cosinusa o danej częstości jest w pierwotnym sygnale. Komponenty SSEP zawarte w sygnale <math>X</math> odzyskujemy tak:
:<math>\mathrm{SSEP} = A S^T</math>

Modelujemy rejestrowany sygnał jako:
:<math>X = \mathrm{SSEP} + Y</math>
gdzie:
:<math>Y = X - \mathrm{SSEP}</math>
to wszystkie komponenty sygnału, które nas nie interesują.

Filtr przestrzenny, który chcemy zbudować powinien maksymalizować stosunek wariancji <math>\mathrm{SSEP}</math> do wariancji <math>Y</math>. Macierz kowariancji powinna być uśredniona po powtórzeniach, a kowariancja sygnału w każdym powtórzeniu powinna być znormalizowana przez jej ślad. Dalej stosujemy technikę znaną z CSP: maksymalizację ilorazu Rayleigha przez rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego dla macierzy kowariancji <math>\mathrm{SSEP}</math> i <math>Y</math>.

===Zadanie: implementacja funkcji cosSinCSP===

Dane do zadania: [[Plik:PrzykladoweDaneSSVEP.mat.gz]].
Pełny przykład z danymi z eksperymentu SSEP: [[Plik:SSVEP_demo_csp.tar.gz]]

Zaimplementuj funkcję <code>cosSinCSP</code> zgodnie z poniższym szkieletem.
Prawidłowo zaimplementowana funkcja wraz ze skryptem demonstracyjnym poniżej
powinna generować rysunek: [[Plik:Rys_SSVEP_demo.png|400px|podpis grafiki]]

<source lang="matlab">
function [W, Lambda] = cosSinCSP(signal, stimulationFrequency, numberOfHarmonics, Fs)
% cosSinCSP - filtr przestrzenny dla sygnałów SSEP
%
% Wejście:
% signal - dane EEG, wymiary: powtórzenia × kanały × próbki
% stimulationFrequency - częstość stymulacji w Hz
% numberOfHarmonics - liczba harmonicznych do uwzględnienia
% Fs - częstość próbkowania w Hz
%
% Wyjście:
% W - macierz filtrów przestrzennych (kanały × kanały), filtry w kolumnach
% Lambda - macierz diagonalna wartości własnych

[numberOfTrials, numberOfChannels, numberOfSamples] = size(signal);

%% KROK 1: Zbuduj macierz referencyjną S (sinusy i cosinusy harmonicznych)
% S ma wymiary: próbki × 2*numberOfHarmonics
% Każda kolumna to jeden wersor (unormowany sinus lub cosinus).
% Wróć do sekcji Teoria powyżej i przełóż tamten kod na tę funkcję.

% TUTAJ

%% KROK 2: Oblicz średnie macierze kowariancji C_SSEP i C_Y
% Dla każdego powtórzenia wytnij sygnał x (kanały × próbki),
% rozłóż go na składową SSEP i resztę Y zgodnie z równaniami z sekcji Teoria,
% oblicz macierze kowariancji obu składowych, znormalizuj przez ślad
% i uśrednij po powtórzeniach.

C_SSEP = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
C_Y = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for trial = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(trial, :, :)); % kanały × próbki

% TUTAJ: oblicz SSEP i Y

% TUTAJ: oblicz kowariancje, znormalizuj, dodaj do C_SSEP i C_Y
end

% TUTAJ: podziel C_SSEP i C_Y przez numberOfTrials

%% KROK 3: Rozwiąż uogólnione zagadnienie własne
% Znajdź filtry przestrzenne maksymalizujące stosunek mocy SSEP do mocy Y.
% Analogia z CSP: jakie macierze wstawiłeś do eig() tam?

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

end
</source>

;Wskazówka do interpretacji wyników:
Filtr związany z największą wartością własną daje komponent
o największym stosunku mocy SSEP do mocy tła.
Sprawdź na widmach Welcha czy odpowiada on składowej
z wyraźnym pikiem przy częstości stymulacji.

{{hidden begin|title=Rozwiązanie — pokaż dopiero po samodzielnej próbie}}
<source lang="matlab">
function [W, Lambda] = cosSinCSP(signal, stimulationFrequency, numberOfHarmonics, Fs)

[numberOfTrials, numberOfChannels, numberOfSamples] = size(signal);

%% KROK 1: Macierz referencyjna S
t = (0:1:numberOfSamples-1) / Fs;
S_ref = zeros(numberOfSamples, 2*numberOfHarmonics);

for harmonicNumber = 1:numberOfHarmonics
c = cos(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
s = sin(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
S_ref(:,(harmonicNumber-1)*2 + 1) = c/norm(c);
S_ref(:,(harmonicNumber-1)*2 + 2) = s/norm(s);
end

%% KROK 2: Średnie macierze kowariancji
C_SSEP = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
C_Y = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for trial = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(trial, :, :)); % kanały × próbki
A = x * S_ref; % projekcja na przestrzeń SSEP
SSEP = A * S_ref'; % rekonstrukcja składowej SSEP
Y = x - SSEP; % reszta

tmp = cov(SSEP');
C_SSEP = C_SSEP + tmp/trace(tmp);

tmp = cov(Y');
C_Y = C_Y + tmp/trace(tmp);
end

C_SSEP = C_SSEP / numberOfTrials;
C_Y = C_Y / numberOfTrials;

%% KROK 3: Uogólnione zagadnienie własne
[W, Lambda] = eig(C_SSEP, C_Y);

end
</source>
{{hidden end}}

===Skrypt demonstracyjny i analiza wyników===

<source lang="matlab">
% wczytujemy dane
load('PrzykladoweDaneSSVEP.mat');

[numberOfTrials numberOfChannels numberOfSamples] = size(X.data);
namesOfChannels = X.channels;

numberOfHarmonics = 3;
signal = X.data; % powtórzenie × kanał × próbki

[W, Lambda] = cosSinCSP(signal, X.stimulation, numberOfHarmonics, X.sampling);

%% Odtworzenie sygnałów źródłowych
S = zeros(size(signal));
for powt = 1:size(signal,1)
S(powt,:,:) = W' * squeeze(signal(powt,:,:));
end

%% Widma Welcha: kanały oryginalne vs źródła CSP
figure('Name', ['Stymulacja: ', num2str(X.stimulation), ' Hz'])
for i = 1:numberOfChannels
subplot(2, numberOfChannels, i)
PP = 0;
for rep = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(rep,i,:));
[Pxx, ff] = pwelch(x, X.sampling, 1, X.sampling, X.sampling);
PP = PP + Pxx;
end
plot(ff(ff<60), PP(ff<60))
title(namesOfChannels{i})

subplot(2, numberOfChannels, numberOfChannels+i)
PP = 0;
for rep = 1:numberOfTrials
s = squeeze(S(rep,i,:));
[Pss, ff] = pwelch(s, X.sampling, 1, X.sampling, X.sampling);
PP = PP + Pss;
end
plot(ff(ff<60), PP(ff<60))
title(['źródło CSP: ', num2str(i)])
xlabel(['\lambda = ', num2str(Lambda(i,i), '%.2f')])
end

%% KROK 4: Mapki topograficzne
% Zidentyfikuj komponent z największą wartością własną.
% Narysuj dwie mapki przy użyciu funkcji topoplot() z pakietu EEGLAB:
%
% (a) Filtr przestrzenny: wagi z jakimi kanały EEG składają się na ten komponent.
% Wskazówka: filtr to kolumna macierzy W.
%
% (b) Topografia źródła: z jakimi wagami komponent dociera do poszczególnych elektrod.
% Wskazówka: topografia zawarta jest w wierszach macierzy odwrotnej do W —
% przypomnij sobie analogiczny krok z analizy CSP dla P300.
%
% Czym różnią się te dwie mapki? Którą łatwiej interpretować fizjologicznie?

% TUTAJ: [~, idx] = max(diag(Lambda));
% TUTAJ: topoplot(...) % filtr
% TUTAJ: topoplot(...) % topografia
</source>

=Sesja 5: ICA jako filtr przestrzenny =

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Sesja wprowadza analizę składowych niezależnych (ICA) jako trzecie
podejście do problemu ślepej separacji źródeł — obok BSS/CSP
i cosSinCSP. Kluczowa różnica: CSP szuka kierunków maksymalizujących
kontrast wariancji między warunkami (kryterium drugiego rzędu),
ICA szuka składowych niezależnych statystycznie, maksymalizując
niegaussowość (kryterium wyższego rzędu). ICA nie wymaga
dwóch warunków eksperymentalnych — działa na jednym stacjonarnym sygnale.

;Zakres wykładu (~40 min):
* model generatywny ICA: <math>\mathbf{x} = \mathbf{D}\mathbf{s}</math>, założenie niegaussowości składowych
* negoentropia i algorytm FastICA
* porównanie z CSP: kiedy ICA, kiedy CSP
* ograniczenia: liczba próbek a liczba kanałów (<math>kN^2</math>), niejednoznaczność kolejności i skali komponentów

;Zakres ćwiczenia (~80 min):
* wczytanie danych do EEGLAB, edycja lokalizacji elektrod
* filtrowanie górnoprzepustowe (FIR, 0,5 Hz), zmiana referencji
* obliczenie ICA na całym sygnale
* identyfikacja komponentów zawierających rytm alfa: topografia, widmo, przebieg czasowy
* usunięcie komponentów niezawierających alfy, odtworzenie sygnału na elektrodach
* porównanie wyników między co najmniej trzema uruchomieniami ICA: czy komponenty są powtarzalne?

==Teoria==

===Definicja ===
Independent Component Analysis (ICA) jest metodą statystycznej analizy sygnałów, która dokonuje dekompozycji wielokanałowych zapisów na składowe niezależne w sensie statystycznym.
Dwie składowe ''s''1 i ''s''2 są niezależne jeżeli wiedza o wartości ''s''1 nie daje żadnych informacji o możliwych wartościach ''s''2. ICA może być wyrażona przez prosty model generatywny:
: '''x''' = '''Ds'''
: gdzie '''x''' = {''x''1, ''x''2, ..., ''x''''n''} jest zmierzonym ''n'' kanałowym sygnałem, '''D''' jest macierzą mieszającą zaś '''s''' = {''s''1, ''s''2, ..., ''s''''n''} jest aktywnością ''n'' źródeł. Podstawowym założeniem dotyczącym '''s''' jest to, że ''s''''i'' są statystycznie niezależne. Aby wyestymować model musimy też założyć, że składowe mają niegaussowskie rozkłady wartości (Hyvärinen, 2000).

Dodatkowo model ten zakłada następujące fakty:
# Sygnał jest liniową mieszaniną aktywności źródeł
# Sygnały pochodzące z każdego ze źródeł są niezależne od pozostałych
# Źródła oraz proces ich mieszania są stacjonarne, tzn, ich momenty statystyczne nie zależą od czasu
# Energie (wariancje) źródeł nie mogą być wyznaczone jednoznacznie. Dzieje się tak ponieważ pomnożenie amplitudy ''i''-tego źródła może być uzyskane poprzez przemnożenie albo ''s''''i'' albo przez przemnożenie ''i''-tej kolumny macierzy '''D'''. Naturalnym rozwiązaniem tej niejednoznaczności jest wprowadzenie konwencji, że komponenty są normowane tak aby miały wariancję 1: E[(''s''''i'')''2''] = 1.
# Kolejność komponentów jest dowolna. Bo jeśli w ten sam sposób zmienimy kolejność komponentów w '''s''' i kolumn w '''D''' to dostaniemy dokładnie ten sam sygnał '''x'''.

Głównym wyzwaniem w analizie ICA jest estymacja macierzy mieszającej '''D'''. Gdy jest ona znana to komponenty mogą być wyliczone w następujący sposób:
: '''s''' = '''D'''−1'''x'''

=== Estymacja ===
Znalezienie niezależnych komponentów może być rozważane w świetle Centralnego Twierdzenia Granicznego jako poszukiwanie komponentów o możliwie nie gaussowskim rozkładzie.
Aby zrozumieć to podejście prześledźmy heurystykę zaproponowaną przez (Hyvärinen, 2000).
Dla prostoty załóżmy, że poszukiwane źródła niezależne mają identyczne rozkłady.
Zdefiniujmy

''y'' = '''w'''T'''x'''.

Zauważmy, że jeśli

'''w'''

jest jedną z kolumn macierzy

'''D'''−1,

to ''y'' jest jednym z poszukiwanych komponentów.
Zamieniając zmienne

'''z''' = '''D'''T'''w'''

możemy napisać

''y'' = '''w'''T'''x''' = '''w'''T'''Ds''' = '''z'''T'''s'''.

Uwidacznia to fakt, że ''y'' jest liniową kombinacją składowych s''i'' z wagami danymi przez z''i''.

Z centralnego twierdzenia granicznego wynika, że suma niezależnych zmiennych losowych ma bardziej gaussowski charakter niż każda z tych zmiennych osobno.
Liniowa kombinacja staje się najmniej gaussowska gdy '''z''' ma tylko jeden element niezerowy. W tym przypadku ''y'' jest proporcjonalny do s''i''.
Zatem problem estymacji modelu ICA może być sformułowany jako problem znalezienia takiego wektora '''w''', który maksymalizuje niegaussowskość

''y'' = '''w'''T'''x'''.

Maksymalizacja niegaussowskości ''y'' daje jeden niezależny komponent odpowiadający jednemu z 2''n'' maksimów (bo mamy s''i'' i −s''i'') w krajobrazie optymalizacyjnym. Aby znaleźć wszystkie niezależne komponenty musimy znaleźć wszystkie maksima. Ponieważ komponenty są nieskorelowane, to poszukiwania kolejnych komponentów można kontynuować w podprzestrzeni ortogonalnej do już znalezionych komponentów.

===Obliczenia===
Intuicyjna heurystyka poszukiwania najbardziej niegaussowskich składowych może być użyta do wyprowadzenia różnych funkcji kosztu, których optymalizacja daje model ICA, np. kurtoza.

<math>kurt(y) = E\{y^4\} - 3(E{y^2})^2</math>

Inną miarą gassowskości jest neg-entropia, którą można wyprowadzić z entropii:
Entropia jest miarą średniego zdziwienia wynikiem obserwacji zmiennej losowej:
<math>H(Y) = - \sum_i P(Y= a_i) \log(P(Y=a_i)) </math>

Negentropia jest zdefiniowana:

<math> J(y) = H(y_{gauss}) -H(y)</math>
gdzie <math> y_{gauss} </math> jest gassuwską zmienną losową o takiej samej kowaiancji jak <math> y </math>.

Negentropia jest skomplikowana obliczeniow, więc w praktyce używana jest formuła przybliżona:

<math> J(y) \varpropto [E\{G (y)\} - E\{G(\nu)\}]^2</math>

<math>\nu </math> jest zmienną losową ze standardowego rozkładu normalnego , a G są pewnymi niekwadratowymi funkcjami.

W algorytmie FastICA extremum negentropii jest znajdowane w procedurze bazującej na optymalizacji Newtona.
(szczegóły np.: sekcja 6 w https://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/NN00new.pdf)

Procedura wykorzystywana w eeglabie (&bdquo;runica”, Makeig 1996) dąży do minimalizacji informacji wzajemnej. Oba podejścia są w przybliżeniu równoważne (Hyvärinen, 2000), chociaż owo przybliżenie dla sygnałów elektrofizjologicznych nie zostało to jeszcze w pełni wyeksplorowane.
Dla sygnałów o niskiej wymiarowości i spełniających dokładnie założenia ICA wszystkie powszechnie wykorzystywane algorytmy dają niemal identyczne wyniki.

;Bardzo ważna uwaga: ogólną zasadą jest, że jeśli estymujemy ''N'' stabilnych komponentów (z ''N''-kanałowych danych) to musimy dysponować ''kN''2 punktami danych w każdym kanale, gdzie ''N''2 jest liczbą elementów w macierzy '''D''', którą ICA próbuje wyestymować, ''k'' jest liczbą całkowitą. Nie ma dobrych oszacowań teoretycznych na wielkość ''k'', z praktycznych obserwacji wynika, że rośnie ona z liczbą kanałów.

=== Możliwe zastosowania ===
Najczęściej ICA jest stosowana jako narzędzie do:
* usuwania artefaktów z sygnałów EEG (ruchy oczu i mięśnie)
* wydobywania składowych do dalszej analizy (Onton, 2006)
* jako analiza wstępna do lokalizacji źródeł (Grau, 2007).
* ICA jest także stosowana w analize sygnałów EKG i EMG.

===Bibliografia===
Bazowa praca:
* A. Hyvärinen. Fast and Robust Fixed-Point Algorithms for Independent Component Analysis. IEEE Transactions on Neural Networks 10(3):626-634, 1999 http://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/TNN99_reprint.pdf

Nieco prościej opisana wersja z przykładami:
* Hyvärinen, A. and Oja, E. (2000). Independent component analysis: Algorithms and applications. Neural Networks, 13(4-5):411–430.
https://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/NN00new.pdf

* Grau, C., Fuentemilla, L., Marco-Pallars, J. (2007). Functional neural dynamics underlying auditory event-related n1 and n1 suppression response. Neuroimage, 36(6):522–31.
* Makeig, S., Bell, A., Jung, T.-P., Sejnowski,T. (1996). Independent component analysis of electroencephalographic data. W: Touretzky, D., Mozer, M., and Hasselmo, M., editors, Advances in Neural Information Processing Systems, volume 8, pages 145–151. MIT Press, Cambridge, MA.
* Onton, J., Makeig, S. (2006). Information-based modeling of event-related brain dynamics. Prog Brain Res., 159:99–120.
* Tutorial: http://sccn.ucsd.edu/wiki/Chapter_09:_Decomposing_Data_Using_ICA
* http://sccn.ucsd.edu/~arno/indexica.html
* http://cis.legacy.ics.tkk.fi/aapo/papers/IJCNN99_tutorialweb/

== ZADANIE: Wydobywanie interesujących komponentów ==

Dane do tej części ćwiczeń proszę pobrać i rozpakować w swoim katalogu:
http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Dane_do_ICA_alfa.tar.gz

Pochodzą one z eksperymentu, w którym osoba badana siedziała z zamkniętymi oczami słuchając nagrania czytanego spokojnym głosem. Metadane opisujące sygnał znajdują się w pliku Miro.xml, zaś lokalizacje elektrod w pliku Miro-10-20-Cap.locs.

Proszę:
* wczytać dane do eeglaba
* wyedytować lokalizację elektrod
* usunąć kanały nie zawierające EEG
* zmienić referencje na średnią z kanałów A1 i A2
* przefiltrować filtrem FIR górnoprzepustowym z częstością odcięcia 0,5 Hz
* obejrzeć wstępnie przygotowane dane
* policzyć ICA na całym sygnale
* obejrzeć właściwości otrzymanych komponentów
** Czy są wśród nich takie, które zawierają znaczny udział rytmu alfa?
** Jaka jest ich topografia?
* usunąć wszystkie komponenty nie zawierające alfy
* odtworzyć z tych komponentów sygnał na elektrodach
* wykonać dekompozycję ICA kilkukrotnie (co najmniej 3) i porównać wyniki
** Czy uzyskiwane komponenty są powtarzalne?
** Swoje wyniki porównać też z sąsiednimi grupami.

==ZADANIE: Identyfikacja artefaktów ==
Proszę pobrać dane:

*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal-10-20-Cap.locs
*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal1.set
*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal1.fdt

Pochodzą one z eksperymentu w którym osoba badana czytała słowa o różnych właściwościach wzbudzania emocji.

* wczytaj je do eeglaba
* wczytaj lokalizację kanałów z pliku Arousal-10-20-Cap.locs
* obejrzyj przebiegi czasowe
* odrzuć kanał z diodą (21) i z GSR (20)
* zrób dekompozycję ICA
* obejrzyj topografię komponentów
* zidentyfikuj komponenty odpowiadające mruganiu i aktywności mięśniowej.
;UWAGA: Aktualnie do wykrywania komponentów artefaktowych warto posłużyć się wtyczkami do eeglaba dostępnymi przez stronę:

https://sccn.ucsd.edu/eeglab/plugin_uploader/plugin_list_all.php

* ICLabel:
** https://labeling.ucsd.edu/tutorial/overview
** https://github.com/sccn/ICLabel

* MARA:
** https://github.com/irenne/MARA/raw/master/MARAtutorial.pdf
** https://irenne.github.io/artifacts/

=Sesja 6: Problem odwrotny w EEG i MEG=

;Czas: ~60 min wykład + ~90 min ćwiczenie

Sesja wprowadza problem odwrotny jako alternatywne — i komplementarne —
podejście do analizy przestrzennej sygnałów EEG i MEG. O ile BSS/CSP
i ICA szukają filtrów przestrzennych w przestrzeni elektrod,
nie zakładając nic o geometrii mózgu,
to metody problemu odwrotnego wyraźnie osadzają źródła
w przestrzeni trójwymiarowej, korzystając z fizyki i modelu głowy.

Materiały z naszych zasobów:
* [[Elektroencefalografia|Sekcje 3 i 8 z Podręcznika o EEG ]]
* [https://drive.google.com/file/d/1EOJxN1y7X3YlIFHoIIyoZzCiXdrQSHcA Wykład Piotra Durki z Analizy sygnałów o problemie odwrotnym w EEG iMEG]

Z zasobów zewnętrznych polecam:
* [https://download.fieldtriptoolbox.org/workshop/toolkit2025/slides/04_forward_inverse.pdf#page=1.00 Slajdy "Forward and inverse - lecture by Robert Oostenveld" fragment warsztatów: "Advanced MEG/EEG toolkit at the Donders"]

==Kontrast z BSS: dwa języki opisu tego samego zjawiska==

Zarówno BSS/ICA, jak i metody problemu odwrotnego wychodzą
od tego samego modelu generatywnego:
:<math>\mathbf{x}(t) = \mathbf{A}\,\mathbf{s}(t) + \boldsymbol{\varepsilon}(t)</math>
gdzie <math>\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^{N_e}</math> to potencjały na elektrodach,
<math>\mathbf{s}(t) \in \mathbb{R}^{N_s}</math> to aktywność źródeł,
a <math>\mathbf{A}</math> to macierz mieszająca (ang. ''lead field'' lub ''forward matrix'').

Różnica leży w tym, co robimy z macierzą <math>\mathbf{A}</math>:

{| class="wikitable"
|-
! !! BSS / ICA !! Problem odwrotny
|-
| '''Macierz A''' || nieznana; estymowana z danych || obliczona z modelu głowy (''forward model'')
|-
| '''Liczba źródeł''' || równa liczbie elektrod || od 1 dipola do ~10 000 wokseli
|-
| '''Geometria''' || brak założeń przestrzennych || źródła zlokalizowane w przestrzeni 3D
|-
| '''Regularyzacja''' || przez kryterium stat. (niezależność, wariancja) || przez regularyzację matematyczną (L2, L1, …)
|-
| '''Wynik''' || filtry przestrzenne + komponenty || mapa aktywności w przestrzeni mózgu
|}

Kluczowa trudność problemu odwrotnego wynika z jego
fundamentalnej niejednoznaczności:

układ równań:

<math>\mathbf{x} = \mathbf{A}\mathbf{s}</math>

jest niedookreślony — przy <math>N_e \approx 19\text{–}256</math> elektrodach
i <math>N_s \sim 10^4</math> możliwych lokalizacjach źródeł
istnieje nieskończenie wiele rozkładów <math>\mathbf{s}</math>
dokładnie odtwarzających zmierzony <math>\mathbf{x}</math>.
Każda metoda nakłada inne założenie ''a priori'', by wybrać jedno rozwiązanie.

==Model do przodu (forward model)==

Zanim można rozwiązać problem odwrotny, należy zbudować
''model do przodu'' — obliczenie potencjałów na elektrodach
wywołanych przez jednostkowe źródło prądowe w danym miejscu mózgu.
Wynik zapisuje się jako macierz ''pola wiodącego'' (''lead field''):
:<math>\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{N_e \times 3N_s}</math>
gdzie czynnik 3 wynika z trzech ortogonalnych składowych momentu dipolowego.

=== Skąd bierze się macierz ''lead field''? ===

Przejdźmy od równań Maxwella do tego, co dosłownie liczą funkcje `ft_prepare_headmodel` / `ft_prepare_leadfield`.

==== 1. Punkt wyjścia: przybliżenie kwazistatyczne ====

=====Pełne równania Maxwella w ośrodku materialnym=====

$$
\begin{aligned}
\nabla \cdot \mathbf{D} &= \rho && \text{(prawo Gaussa)} \\
\nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 && \text{(brak monopoli magnetycznych)} \\
\nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} && \text{(prawo Faradaya)} \\
\nabla \times \mathbf{H} &= \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} && \text{(prawo Ampère'a–Maxwella)}
\end{aligned}
$$

uzupełnione związkami konstytutywnymi dla tkanki traktowanej jako liniowy, lokalnie izotropowy ośrodek:

$$
\mathbf{D} = \varepsilon\,\mathbf{E},\qquad \mathbf{B} = \mu_0\,\mathbf{H},\qquad \mathbf{J} = \sigma\,\mathbf{E} + \mathbf{J}^p
$$

Ostatnia relacja to uogólnione prawo Ohma: prąd swobodny ma część omową (<math>\sigma\mathbf{E}</math>, prądy bierne w przewodniku objętościowym) i część „pierwotną" <math>\mathbf{J}^p</math> pochodzącą od źródeł neuronowych — bo to one *nie* są napędzane lokalnym polem <math>\mathbf{E}</math>, tylko gradientami stężeń jonów.

===== Przybliżenie kwazistatyczne =====

Wprowadzamy harmoniczną zależność czasową <math>e^{i\omega t}</math> i porównujemy człony w równaniach Maxwella. Trzy warunki muszą być spełnione jednocześnie:

**(a) Pomijalny prąd przesunięcia w równaniu Ampère'a. ** Stosunek członu pojemnościowego do omowego to <math>\omega\varepsilon/\sigma</math>. Dla tkanki przy <math>f=100</math> Hz, <math>\sigma\approx 0{,}3</math> S/m, <math>\varepsilon_r\approx 10^5</math> (efektywna wartość niska-częstotliwościowa dla istoty szarej; spada szybko z <math>f</math>):
$$\frac{\omega\varepsilon}{\sigma} = \frac{2\pi\cdot 100\cdot 10^5\cdot 8{,}85\cdot 10^{-12}}{0{,}3}\sim 10^{-3}$$

— bezpiecznie pomijalny w EEG. To pozwala napisać <math>\nabla\times\mathbf{H}\approx\mathbf{J}</math>, a po wzięciu dywergencji:
$$\nabla\cdot\mathbf{J} = 0$$

**(b) Pomijalna indukcja w równaniu Faradaya.** Mówimy, że <math>\partial\mathbf{B}/\partial t</math> jest na tyle małe, że <math>\nabla\times\mathbf{E}\approx 0</math>, więc istnieje potencjał skalarny <math>V</math> z <math>\mathbf{E}=-\nabla V</math>. Można to oszacować z indukcyjności geometrii głowy i wykazać, że pomijany wkład jest o kilka rzędów mniejszy od <math>-\nabla V</math>.

**(c) Brak efektów propagacyjnych.** Długość fali EM przy 100 Hz w próżni to <math>\lambda = c/f\approx 3000</math> km, czyli <math>\lambda \gg L_\text{głowy}</math>. To gwarantuje, że pole „widzi" całą głowę jednocześnie — stąd zerowe przesunięcie fazowe propagacji potencjału przez przewodnik objętościowy.

Co zostaje po przybliżeniu:

$$
\begin{aligned}
\nabla \times \mathbf{E} &= 0 \;\Rightarrow\; \mathbf{E} = -\nabla V \\
\nabla \cdot \mathbf{J} &= 0 \\
\mathbf{J} &= -\sigma\nabla V + \mathbf{J}^p
\end{aligned}
$$

Składając trzy powyższe:

$$
\nabla\cdot\bigl(\sigma(\mathbf{r})\nabla V(\mathbf{r})\bigr) = \nabla\cdot\mathbf{J}^p(\mathbf{r})
$$

Warto przy tym podkreślić, że prawo Gaussa i <math>\nabla\cdot\mathbf{B}=0</math> nie znikają — one są nadal spełnione, ale po prostu nie są nam potrzebne do wyliczenia <math>V</math> na skórze: ładunki swobodne i indukowane policzy się *a posteriori* z <math>\rho = \nabla\cdot(\varepsilon\nabla V)\cdot(-1)</math>, a pole magnetyczne (interesujące dla MEG!) z prawa Biota–Savarta zastosowanego do <math>\mathbf{J}</math>.

Warto tu zauważyć, że kwazistatyka EEG i kwazistatyka MEG to **to samo** przybliżenie — różni je tylko, co wybieramy jako wielkość mierzoną (<math>V</math> na skórze vs. <math>\mathbf{B}</math> na zewnątrz głowy). To samo równanie Poissona generuje oba sygnały, a różnice w czułości na orientację dipola (radialny vs. tangencjalny) wynikają stąd, że potencjał i pole magnetyczne są różnymi funkcjonałami tego samego rozwiązania.

==== 2. Rozszczepienie prądu — gdzie pojawia się „źródło" ====

Gęstość prądu w tkance dzielimy na część „pierwotną" (neuronową) i „objętościową" (omową):

$$\mathbf{J}(\mathbf{r}) = \mathbf{J}^p(\mathbf{r}) - \sigma(\mathbf{r})\,\nabla V(\mathbf{r})$$

<math>\mathbf{J}^p</math> reprezentuje *prądy postsynaptyczne w piramidowych neuronach kory* — to one są naszym „źródłem". Reszta to prądy bierne płynące w przewodniku objętościowym o nieizotropowej, niejednorodnej przewodności <math>\sigma</math>.

Podstawiając do warunku <math>\nabla \cdot \mathbf{J}_\text{tot} = 0</math> dostajemy równanie Poissona dla niejednorodnego przewodnika:

$$\boxed{\;\nabla \cdot \bigl(\sigma(\mathbf{r})\,\nabla V(\mathbf{r})\bigr) = \nabla \cdot \mathbf{J}^p(\mathbf{r})\;}$$

To jest równanie problemu wprost. Cała reszta to:
(a) model źródła,
(b) warunki brzegowe,
(c) sposób rozwiązania.

==== 3. Model źródła: dipol prądowy ====

Dla pojedynczego dipola w <math>\mathbf{r}_0</math> o momencie <math>\mathbf{q}</math>:

$$\mathbf{J}^p(\mathbf{r}) = \mathbf{q}\,\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$$

$$\nabla \cdot \mathbf{J}^p(\mathbf{r}) = \mathbf{q}\cdot\nabla\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$$

Liniowość PDE daje natychmiast kluczową własność: <math>V</math> jest **liniową** funkcją <math>\mathbf{q}</math>. To właśnie ta liniowość pozwala zapisać:

$$\mathbf{v} = \mathbf{L}\,\mathbf{j}$$

gdzie <math>\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{N_\text{el}}</math> to potencjały, <math>\mathbf{j} \in \mathbb{R}^{3N_\text{src}}</math> to momenty dipoli, a <math>\mathbf{L}</math> to *lead field matrix*. Każda kolumna <math>\mathbf{L}</math> to potencjał wywołany jednostkowym dipolem w danym miejscu i o danej orientacji.

==== 4. Warunki brzegowe ====

Na granicy skóra/powietrze prąd nie wypływa:

$$\sigma\,\nabla V \cdot \hat{\mathbf{n}} = 0 \quad \text{na zewnętrznej powierzchni}$$

Wewnątrz, na granicach tkanek o różnym <math>\sigma</math> (mózg–CSF–czaszka–skóra):

$$V \text{ ciągłe},\quad \sigma\nabla V \cdot \hat{\mathbf{n}} \text{ ciągłe}$$

To są te warunki, które „włączają" geometrię i przewodności do problemu — i to one decydują, że czaszka (niskie <math>\sigma</math>, około 1/15–1/80 tkanki miękkiej, do dziś dyskutowane) rozmywa pole tak agresywnie.

==== 5. Metody rozwiązania ====
W pakiecie fieldtrip problem wprostt jest rozwiązywany przez funkcję
`ft_prepare_headmodel` - to fabryka różnych metod rozwiązujących to samo PDE. Wybór `cfg.method` decyduje o paradygmacie matematycznym:

**(a) Rozwiązania analityczne — modele sferyczne** (`'singlesphere'`, `'concentricspheres'`)

Dla geometrii sferycznej z osiową symetrią rozwija się <math>V</math> w szereg wielomianów Legendre'a. Dla 3-warstwowego modelu koncentrycznego dostajemy zamknięty wzór z nieskończonym szeregiem, który w praktyce tnie się po ~40 wyrazach. Berg & Scherg (1994) dali znakomite przybliżenie 3 dipolami w sferze jednorodnej — błyskawicznie szybkie, do dziś używane w MEG. Plus: bardzo szybkie, brak siatkowania. Minus: kula to nie głowa, zwłaszcza w okolicach skroniowych i podstawy.

**(b) BEM — Boundary Element Method** (`'bemcp'`, `'dipoli'`, `'openmeeg'`)

Wykorzystuje się fakt, że w obszarze o stałym <math>\sigma</math> <math>V</math> spełnia równanie Laplace'a, a cały „nietrywialny" wkład można wyrazić jako całkę po powierzchniach granicznych. Z drugiej tożsamości Greena dostajemy całkowe równanie typu Fredholma 2-go rodzaju:

$$V(\mathbf{r}) = V_\infty(\mathbf{r}) + \frac{1}{4\pi}\sum_k \frac{\sigma_k^- - \sigma_k^+}{\bar{\sigma}}\oint_{S_k} V(\mathbf{r}')\,\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\cdot\hat{\mathbf{n}}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,dS'$$

gdzie <math>V_\infty</math> to potencjał dipola w przestrzeni nieograniczonej. Triangulujemy powierzchnie (skóra, czaszka, mózg — czasem CSF) i to równanie zamienia się w układ liniowy. Szybciej niż FEM, ale wymaga założenia odcinkowo stałej przewodności i zakłada izotropię.

**(c) FEM — Finite Element Method** (`'simbio'`, `'duneuro'`)

Cała objętość głowy dyskretyzowana czworościanami/sześciościanami z indywidualnym tensorem <math>\sigma</math> w każdym elemencie (z DTI można wstrzyknąć anizotropię istoty białej!). Sformułowanie wariacyjne daje rzadki układ:

$$\mathbf{K}\mathbf{u} = \mathbf{b}$$

gdzie <math>\mathbf{K}</math> to macierz sztywności zależna od <math>\sigma(\mathbf{r})</math>, a <math>\mathbf{b}</math> niesie informację o źródle. To „złoty standard" pod kątem dokładności, ale kosztowny — dlatego praktycznie zawsze łączony z trikiem z punktu 6.

**(d) FDM** — rzadziej, dziś głównie historycznie.

==== 6. Twierdzenie o wzajemności — dlaczego macierz <math>\mathbf{L}</math> da się liczyć rozsądnie ====

Naiwne podejście: dla każdego z <math>\sim 10^4</math> źródeł i każdej z 3 orientacji odpalić rozwiązywacz PDE. To <math>3\times 10^4</math> rozwiązań. Beznadzieja.

Helmholtzowska zasada wzajemności mówi: potencjał w elektrodzie A wywołany dipolem w punkcie <math>\mathbf{r}_0</math> jest równoważny pewnej wielkości policzonej z
pola elektrycznego wytworzonego w <math>\mathbf{r}_0</math> przez jednostkowy prąd wstrzyknięty między elektrodą A a referencją. Formalnie:

$$V_A(\mathbf{r}_0;\mathbf{q}) = \mathbf{E}^{(A)}(\mathbf{r}_0)\cdot\mathbf{q}$$

gdzie <math>\mathbf{E}^{(A)}</math> to pole „wstrzykniętego" prądu jednostkowego. Konsekwencja: zamiast <math>3N_\text{src}</math> rozwiązań PDE wystarczy <math>N_\text{el}-1</math> rozwiązań (po jednym na elektrodę). Praktycznie wszystkie pakiety BEM/FEM (w tym OpenMEEG, SimBio, DUNEuro) to wykorzystują — i dlatego FEM jest w ogóle wykonalny dla całych siatek źródłowych.

==== 7. Co więc dosłownie robi `ft_prepare_headmodel` ====

Tworzy obiekt `headmodel`, który zawiera:
- geometrię (kule albo siatki powierzchniowe, albo objętościową siatkę FEM),
- przewodności poszczególnych warstw,
- a w przypadku BEM/FEM — wstępnie policzony operator dyskretny (np. odwróconą macierz BEM albo czynnik macierzy sztywności FEM z trikiem transferowym wykorzystującym wzajemność).

To jest najdroższa część obliczeń — i robi się ją raz dla danej geometrii. Potem `ft_prepare_leadfield`, dla każdej pozycji źródła w `cfg.sourcemodel`, używa tego operatora, żeby wygenerować trzy kolumny <math>\mathbf{L}</math> (dla orientacji x, y, z). Wynik to `leadfield{i}` o wymiarze <math>N_\text{el}\times 3</math> — czyli dosłownie blok macierzy lead field dla danego wokselu.

---

Podsumowanie:

1. Maxwell → kwazistatyka → „elektrostatyka z prądami"

2. Podział prądu i równanie Poissona (jedyne równanie, którego naprawdę trzeba)

3. Dipol jako model i wynikająca **liniowość** → uzasadnienie wzoru $\mathbf{v}=\mathbf{L}\mathbf{j}$

4. Warunki brzegowe → tu wchodzi anatomia

5. Sfery (analityczne, intuicja) → BEM → FEM jako kolejne stopnie realizmu

6. Wzajemność jako trik obliczeniowy, bez którego niczego by się nie dało policzyć w sensownym czasie

Klasyczne źródła:
- Hallez et al. 2007 *J Neuroeng Rehabil* (review obliczeń forward, bardzo czytelny),
- Mosher et al. 1999 dla zwartego wyprowadzenia,
- oraz dokumentacja OpenMEEG (Gramfort et al. 2010) — tam ścieżka BEM jest wyprowadzona z drugiej tożsamości Greena.
---

=== Programy obliczające model do przodu:===
MNE-Python (<code>mne.make_bem_model</code>), FieldTrip (<code>ft_prepare_headmodel</code>), OpenMEEG.

==Fitowanie dipoli (Dipole Fitting)==

===Idea===
Najprostsze założenie: aktywacja EEG pochodzi z jednego
(lub kilku) ekwiwalentnych dipoli prądowych.
Każdy dipol opisany jest sześcioma parametrami:
trzema współrzędnymi położenia <math>(x,y,z)</math>
i trzema składowymi momentu dipolowego <math>(q_x, q_y, q_z)</math>.

===Formalizm===
Dla pojedynczego dipola o momencie <math>\mathbf{q}(t)</math>
w lokalizacji <math>\mathbf{r}_0</math>:
:<math>\mathbf{x}(t) = \mathbf{a}(\mathbf{r}_0)\,\mathbf{q}(t) + \boldsymbol{\varepsilon}(t)</math>
gdzie <math>\mathbf{a}(\mathbf{r}_0) \in \mathbb{R}^{N_e \times 3}</math>
to kolumna macierzy pola wiodącego odpowiadająca lokalizacji <math>\mathbf{r}_0</math>.

Estymacja polega na minimalizacji reszty:
:<math>\hat{\mathbf{r}}_0 = \arg\min_{\mathbf{r}} \left\|\mathbf{x}(t) - \mathbf{a}(\mathbf{r})\,\hat{\mathbf{q}}(t)\right\|^2</math>
Minimalizację prowadzi się zwykle algorytmem Neldera–Meada
lub Levenberga–Marquardta po przestrzeni lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* gdy źródło jest punktowe lub quasi-punktowe (np. wczesne składowe słuchowych potencjałów wywołanych N20, P25)
* gdy liczba aktywnych źródeł jest z góry znana i mała (1–3 dipole)

;Ograniczenia:
* wrażliwość na punkt startowy — algorytm może utknąć w minimum lokalnym
* złe dopasowanie gdy aktywacja pochodzi z rozległego obszaru kory
* wynik silnie zależy od dokładności modelu do przodu

==Minimum Norm Estimation (MNE)==

===Idea===
Zamiast zakładać małą liczbę dipoli,
rozkładamy aktywność na gęstą siatkę źródeł pokrywającą całą powierzchnię kory
i szukamy rozwiązania o minimalnej normie —
tj. takiego, które odtwarza dane, angażując jak najmniejszą całkowitą energię źródeł.

===Formalizm===
Problem optymalizacji z regularyzacją Tichonowa:
:<math>\hat{\mathbf{s}} = \arg\min_{\mathbf{s}} \left\|\mathbf{x} - \mathbf{A}\mathbf{s}\right\|^2 + \lambda\left\|\mathbf{s}\right\|^2</math>
gdzie <math>\lambda > 0</math> to parametr regularyzacji kontrolujący kompromis
między wiernością danym a gładkością rozwiązania.

Rozwiązanie analityczne:
:<math>\hat{\mathbf{s}} = \mathbf{A}^T\left(\mathbf{A}\mathbf{A}^T + \lambda\mathbf{I}\right)^{-1}\mathbf{x}</math>

Macierz <math>\mathbf{W}_{\mathrm{MNE}} = \mathbf{A}^T(\mathbf{A}\mathbf{A}^T + \lambda\mathbf{I})^{-1}</math>
jest liniowym filtrem przestrzennym — analogiem macierzy <math>\mathbf{W}</math> z CSP,
lecz skonstruowanym na podstawie modelu do przodu, nie z danych.

===Warianty===

;dSPM (''dynamic Statistical Parametric Mapping'', Dale 2000):
Normalizuje estymowaną aktywność przez odchylenie standardowe szumu:
:<math>F_{\mathrm{dSPM}}(\mathbf{r}, t) = \frac{\hat{s}(\mathbf{r},t)}{\sigma_{\mathrm{noise}}(\mathbf{r})}</math>
Wynik ma interpretację statystyczną (wartość F lub Z); popularne w neurobiologii poznawczej.

;sLORETA (''standardized LORETA'', Pascual-Marqui 2002):
Normalizuje przez odchylenie standardowe samego estymatora MNE (nie tylko szumu):
:<math>F_{\mathrm{sLORETA}}(\mathbf{r}, t) = \frac{\hat{s}(\mathbf{r},t)}{\sqrt{\left[\mathbf{W}_{\mathrm{MNE}}\mathbf{A}\right]_{(\mathbf{r},\mathbf{r})}}}</math>
Wykazuje zerowe systematyczne błędy lokalizacji w warunkach idealnych.

;Wybór <math>\lambda</math>:
Zwykle <math>\lambda = \alpha \cdot \mathrm{tr}(\mathbf{A}\mathbf{A}^T) / \mathrm{tr}(\mathbf{I})</math>
z <math>\alpha \in [0.05, 0.3]</math>; w MNE-Python domyślnie <math>\alpha = 0.1</math>.
Można też stosować kryterium L-krzywej lub walidację krzyżową.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* gdy aktywacja jest rozproszona lub nieznana a priori
* jako ogólne narzędzie wizualizacji ERP na powierzchni kory
* przy małej liczbie elektrod

;Ograniczenia:
* tendencja do rozmywania rozwiązania — źródła głębokie są systematycznie niedoszacowane
* brak zakładanej rzadkości (''sparsity''); wariant L1 (MCE) jest rzadszy, ale trudniejszy obliczeniowo
* wymaga dobrego modelu do przodu

==Beamformery==

===Idea===
Beamformer (dosł. „formowanie wiązki") to adaptacyjny filtr przestrzenny,
który dla każdej lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>
konstruuje wagi <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math> maksymalizujące
stosunek mocy sygnału z tej lokalizacji do mocy wszystkich pozostałych źródeł.
W odróżnieniu od MNE, beamformer korzysta z macierzy kowariancji danych —
jest więc metodą adaptacyjną, zbliżoną duchem do CSP.

===LCMV (''Linearly Constrained Minimum Variance'', Van Veen 1997)===

Szukamy filtra minimalizującego wariancję wyjścia
przy ograniczeniu zachowującym sygnał z lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>:
:<math>\mathbf{w}^*(\mathbf{r}) = \arg\min_{\mathbf{w}} \mathbf{w}^T\mathbf{C}\mathbf{w}
\quad \text{p.o.} \quad \mathbf{w}^T\mathbf{a}(\mathbf{r}) = 1</math>
gdzie <math>\mathbf{C} = E[\mathbf{x}\mathbf{x}^T]</math> to macierz kowariancji danych.

Rozwiązanie analityczne (mnożnik Lagrange'a):
:<math>\mathbf{w}(\mathbf{r}) = \frac{\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}{\mathbf{a}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}</math>

Moc w lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>:
:<math>P(\mathbf{r}) = \mathbf{w}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}\,\mathbf{w}(\mathbf{r})
= \frac{1}{\mathbf{a}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}</math>

===DICS (''Dynamic Imaging of Coherent Sources'', Gross 2001)===

Wariant beamformera dla analizy częstotliwościowej:
zamiast macierzy kowariancji czasowej stosuje
''cross-spectral density matrix'' <math>\mathbf{C}(f)</math>
obliczoną dla wybranego pasma częstości.
Pozwala mapować koherencję między lokalizacjami na powierzchni kory.

===Analogia z CSP===

Zauważmy analogię strukturalną:

{| class="wikitable"
|-
! !! CSP !! LCMV Beamformer
|-
| '''Macierz kowariancji''' || <math>\mathbf{R}_T, \mathbf{R}_{NT}</math> (dwa warunki) || <math>\mathbf{C}</math> (jeden warunek) + <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
|-
| '''Filtr''' || <math>\mathbf{w}</math>: maks. stosunek wariancji || <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math>: min. wariancja przy ograniczeniu
|-
| '''Przestrzeń''' || elektrod || przestrzeni mózgu (woksel po wokselu)
|-
| '''Model do przodu''' || nie || tak — przez <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
|}

Kluczowa różnica: CSP optymalizuje globalnie jednym zagadnieniem własnym,
beamformer rozwiązuje osobny problem dla każdej lokalizacji.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* analiza ERD/ERS (rytmy ruchowe, alfa, beta) w przestrzeni mózgu
* lokalizacja źródeł oscylacyjnych w MEG
* DICS do badania koherencji korowo-korowej

;Ograniczenia:
* silnie skorelowane źródła są tłumione (''source cancellation'') — beamformer zakłada, że źródła są nieskorelowane
* wymaga dużej liczby próbek do stabilnej estymacji <math>\mathbf{C}^{-1}</math>
* przy małej liczbie elektrod macierz <math>\mathbf{C}</math> może być źle uwarunkowana

;Podsumowanie:
[[Plik:Inverse problem vs bss.png|mały|centruj]]

==Podsumowanie: kiedy stosować którą metodę==

{| class="wikitable"
|-
! Metoda !! Założenie a priori !! Dane wejściowe !! Typowe zastosowanie
|-
| '''Dipole fitting''' || 1–3 punktowe źródła || ERP, AEP, SEP || lokalizacja wczesnych składowych wywołanych
|-
| '''MNE / dSPM / sLORETA''' || minimalna energia; źródła ciągłe || ERP, dowolny sygnał || wizualizacja rozproszonej aktywności na korze
|-
| '''LCMV Beamformer''' || źródła nieskorelowane || ERD/ERS, dane resting-state || lokalizacja źródeł oscylacyjnych w MEG/EEG
|-
| '''DICS''' || j.w. + analiza spektralna || dane oscylacyjne || mapa koherencji korowo-korowej
|-
| '''CSP / ICA''' || brak modelu geometrycznego || dwa warunki / jeden segment || klasyfikacja BCI, usuwanie artefaktów
|}

;Uwaga praktyczna:
Wszystkie metody problemu odwrotnego wymagają przygotowania modelu do przodu.
Zaleca się korzystanie z MNE-Python lub FieldTrip — oba pakiety
oferują spójne pipeline'y od surowych danych do map korowych
i są szeroko stosowane w literaturze, co ułatwia replikację wyników.

=Sesja 7: Problem odwrotny — część praktyczna=

;Czas: ~30 min wprowadzenie + ~120 min ćwiczenie

Część praktyczna prowadzi przez pełny pipeline lokalizacji źródeł:
od wczytania danych w FieldTrip, przez zbudowanie modelu do przodu,
do fitowania dipola i interpretacji wyniku.
Sesja jest zaprojektowana tak, aby każdy krok bezpośrednio ilustrował
jeden element teorii omówionej w [[#Sesja 7: Problem odwrotny w EEG i MEG|części wykładowej]].

;Dane:
Używamy standardowego zestawu danych FieldTrip
(dane somatosensoryczne MEG/EEG, bodziec elektryczny na nadgarstku — składowa N20):
* https://download.fieldtriptoolbox.org/tutorial/Subject01.zip (~800 MB)

Ten sam zestaw danych jest używany we wszystkich tutorialach FieldTrip
wymienionych w tej sesji, co ułatwia porównywanie wyników między krokami.

;Instalacja FieldTrip: Wymagania wstępne:
FieldTrip wymaga MATLABa. Przed instalacją sprawdź kompatybilność swojej wersji:
[https://www.fieldtriptoolbox.org/faq/matlab/requirements MATLAB requirements]

;Pobranie toolboxa: Pobierz najnowszą wersję ze strony:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/download.php Pobierz FieldTrip]

Rozpakuj archiwum ZIP w wybranym katalogu, np. <code>~/matlab/fieldtrip</code> (Linux/macOS).

;Ważne: nie zmieniaj wewnętrznej struktury katalogów po rozpakowaniu —
FieldTrip dynamicznie zarządza swoimi podkatalogami.

;Konfiguracja ścieżki MATLAB: Pełna instrukcja: [https://www.fieldtriptoolbox.org/faq/matlab/installation Installation and setting up the path]

Uruchom poniższe polecenia na początku każdej sesji pracy z FieldTrip
(lub wstaw je do pliku <code>startup.m</code> — patrz niżej):

<source lang="matlab">
restoredefaultpath % wyczyść aktualną ścieżkę
addpath('~/fieldtrip') % podaj tu swoją ścieżkę do FieldTrip
ft_defaults % skonfiguruj FieldTrip i minimalne podkatalogi
</source>

;Uwaga — częsty błąd:
Nie używaj <code>addpath(genpath(...))</code> ani przycisku „Add with Subfolders" w MATLAB GUI.
FieldTrip samodzielnie dodaje potrzebne podkatalogi przez <code>ft_defaults</code>
i <code>ft_hastoolbox</code> — dodanie wszystkiego ręcznie powoduje konflikty
z funkcjami SPM, EEGLAB i wbudowanymi funkcjami MATLABa
(w szczególności z funkcjami z katalogu <code>fieldtrip/compat</code>
przeznaczonymi tylko dla starych wersji MATLABa).

;Trwała konfiguracja przez startup.m:

Żeby nie powtarzać powyższych poleceń przy każdym uruchomieniu MATLABa,
utwórz plik <code>startup.m</code> w swoim katalogu MATLABa
(zwykle <code>Dokumenty/MATLAB/startup.m</code>) z zawartością:

<source lang="matlab">
restoredefaultpath
addpath('C:\fieldtrip') % zmień na swoją ścieżkę
ft_defaults
</source>

MATLAB wykonuje ten plik automatycznie przy każdym uruchomieniu.

;Uwaga dla użytkowników EEGLAB: Jeśli korzystasz z EEGLAB i FieldTrip w tej samej sesji,
zawsze ładuj FieldTrip przez <code>restoredefaultpath</code> + <code>addpath</code> + <code>ft_defaults</code>,
a nie przez interfejs EEGLAB. Oba toolboxy zawierają funkcje o tych samych nazwach
(np. <code>eegplot</code>, <code>topoplot</code>) — kolejność na ścieżce decyduje,
która wersja zostanie wywołana.

;Weryfikacja instalacji: Sprawdź poprawność instalacji jednym poleceniem:

<source lang="matlab">
ft_defaults
ft_version
</source>

Powinieneś zobaczyć numer wersji i datę kompilacji, np.:
<pre>
FieldTrip version 20250901, path: C:\fieldtrip
</pre>

Jeśli MATLAB zgłasza błąd <code>Undefined function 'ft_defaults'</code>,
ścieżka nie została ustawiona poprawnie — wróć do kroku z <code>addpath</code>.

==Krok 0: Wejście do FieldTrip==

Przed właściwym ćwiczeniem proszę zapoznać się z tutorialem wprowadzającym:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/intro/introduction/ Introduction to the FieldTrip toolbox]

;Na co zwrócić uwagę przechodząc ten tutorial:

Studenci znający EEGLAB natkną się na dwie zasadnicze różnice w filozofii pracy:

* '''Struktura cfg''' zamiast GUI. Każda funkcja FieldTrip przyjmuje strukturę konfiguracyjną <code>cfg</code> i zwraca nową strukturę danych. Nie ma okien dialogowych — cała analiza jest skryptem. Jest to bliższe temu, co robiliśmy w MATLAB-owych sesjach CSP/ICA.

* '''Niezmienność danych'''. FieldTrip nie modyfikuje struktur w miejscu — każde wywołanie funkcji zwraca nową strukturę. Pozwala to łatwo porównywać wyniki różnych parametrów, ale wymaga dbałości o nazewnictwo zmiennych.

;Pytanie do dyskusji po lekturze:
Jak odpowiadają sobie nawzajem: <code>EEG.data</code> w EEGLAB i struktura <code>data</code> w FieldTrip?
Gdzie w strukturach FieldTrip przechowywane są informacje o lokalizacji elektrod?

==Krok 1: Model do przodu — BEM dla EEG==

Przed fitowaniem dipola musimy obliczyć macierz pola wiodącego <math>\mathbf{A}</math>.
Proszę przejść tutorial:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/headmodel_eeg_bem Construct a BEM headmodel for EEG source analysis]

;Cel tego kroku:
Zrozumieć skąd pochodzi kolumna <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
używana we wszystkich metodach Sesji 7.
Każda kolumna <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math> mówi: „jeśli w miejscu <math>\mathbf{r}</math>
znajdowałby się dipol o jednostkowym momencie,
to jakie potencjały zmierzylibyśmy na każdej z elektrod?"

;Kluczowe funkcje FieldTrip w tym kroku:
<source lang="matlab">
% Segmentacja MRI na trzy tkanki (skóra, czaszka, mózg)
cfg = [];
cfg.output = {'brain','skull','scalp'};
segmentedmri = ft_volumesegment(cfg, mri);

% Budowanie siatki trójkątów BEM
cfg = [];
cfg.tissue = {'brain','skull','scalp'};
cfg.numvertices = [3000 2000 1000];
bnd = ft_prepare_mesh(cfg, segmentedmri);

% Obliczenie modelu do przodu metodą BEM (OpenMEEG)
cfg = [];
cfg.method = 'openmeeg';
cfg.conductivity = [0.33 0.0041 0.33]; % mózg, czaszka, skóra [S/m]
headmodel = ft_prepare_headmodel(cfg, bnd);
</source>

;Na co zwrócić uwagę:
* Stosunek przewodności czaszka/mózg wynosi tu ~1/80.
Jak myślisz, jak bardzo błąd w tym parametrze wpłynie na lokalizację źródeł?
* Funkcja <code>ft_prepare_mesh</code> tworzy trzy zagnieżdżone siatki.
Jak ma się to do opisu BEM z wykładu?

==Krok 2: Fitowanie dipola (ćwiczenie główne)==

;Czas: ~90 min

To jest główne ćwiczenie praktyczne Sesji 7.
Proszę przejść tutorial:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/dipolefitting Dipole fitting of combined MEG/EEG data]

Poniżej znajdziesz szkielet kodu z pytaniami pomocniczymi
do samodzielnego wypełnienia — zacznij od tutorialu,
a potem wróć do szkieletu i uzupełnij brakujące fragmenty.

===Szkielet kodu — fitowanie dipola dla składowej N20===

<source lang="matlab">
%% KROK A: Wczytanie i preprocessing danych EEG
% Dane: Subject01.zip (patrz wyżej)
% Używamy tylko kanałów EEG, odrzucamy MEG.

cfg = [];
cfg.dataset = 'Subject01.ds';
cfg.trialdef.eventtype = 'backpanel trigger';
cfg.trialdef.eventvalue = 3; % bodziec na lewym nadgarstku
cfg.trialdef.prestim = 0.1;
cfg.trialdef.poststim = 0.3;
cfg = ft_definetrial(cfg);

cfg.channel = 'EEG';
cfg.continuous = 'yes';
cfg.demean = 'yes';
cfg.baselinewindow = [-0.1 0];
data = ft_preprocessing(cfg);

%% KROK B: Uśrednianie — potencjał wywołany
% TUTAJ: użyj ft_timelockanalysis aby obliczyć ERP (średnią po powtórzeniach)
% Wynik zapisz jako 'timelock'

% TUTAJ

%% KROK C: Wczytanie modelu do przodu i lokalizacji elektrod
% Zakładamy, że headmodel i elec zostały obliczone w Kroku 1.
% Jeśli nie — można użyć gotowego modelu z paczki danych Subject01.

load('standard_bem.mat'); % headmodel
load('Subject01_elec.mat'); % lokalizacje elektrod (po dopasowaniu do MRI)

%% KROK D: Przygotowanie siatki poszukiwań (grid)
% Definiujemy siatkę regularną 1 cm wewnątrz mózgu.
% ft_prepare_sourcemodel oblicza też macierz pola wiodącego A
% (tzw. leadfield) dla każdego punktu siatki.

cfg = [];
cfg.headmodel = headmodel;
cfg.elec = elec;
cfg.resolution = 1; % odstęp siatki w cm
cfg.unit = 'cm';
sourcemodel = ft_prepare_sourcemodel(cfg);

%% KROK E: Fitowanie dipola
% Szukamy jednego dipola najlepiej wyjaśniającego topografię N20.
% Okno czasowe 0.016–0.022 s odpowiada składowej N20.

cfg = [];
cfg.latency = [0.016 0.022]; % okno N20 w sekundach
cfg.numdipoles = 1;
cfg.headmodel = headmodel;
cfg.elec = elec;
cfg.sourcemodel = sourcemodel;
cfg.nonlinear = 'yes'; % optymalizacja nieliniowa po przestrzeni

% TUTAJ: source = ft_dipolefitting(cfg, timelock);

%% KROK F: Wizualizacja wyniku
% Nałożenie lokalizacji dipola na MRI anatomiczne.

load('standard_mri.mat'); % MRI w tym samym układzie współrzędnych

cfg = [];
cfg.location = source.dip.pos; % współrzędne znalezionego dipola [x y z]

% TUTAJ: ft_sourceplot(cfg, mri);

%% KROK G: Ocena dopasowania
% Goodness of fit (GoF) mówi jaka część wariancji danych
% jest wyjaśniona przez znaleziony dipol.
% Wartość > 0.85 uznaje się za dobre dopasowanie.

fprintf('Goodness of fit: %.1f%%\n', source.dip.rv * 100);
% Uwaga: w FieldTrip rv to residual variance (1 - GoF).
% Dobry dipol ma rv < 0.15.

disp('Lokalizacja dipola [x y z] w mm:')
disp(source.dip.pos)

disp('Moment dipolowy [qx qy qz]:')
disp(source.dip.mom)
</source>

===Zadania do samodzielnej realizacji===

;Zadanie 1 (obowiązkowe): Pipeline i lokalizacja
Uzupełnij brakujące fragmenty szkieletu (kroki B i E–F).
Gdzie na MRI ląduje znaleziony dipol? Czy odpowiada to oczekiwanej anatomii
składowej N20 (pierwotna kora somatosensoryczna S1, okolica bruzdy centralnej)?

;Zadanie 2 (obowiązkowe): Wpływ okna czasowego
Zmień <code>cfg.latency</code> kolejno na:
* <code>[0.016 0.022]</code> — okno N20
* <code>[0.025 0.035]</code> — okno P25
* <code>[0.045 0.060]</code> — okno N45
Czy lokalizacja dipola zmienia się między tymi składowymi?
Jak zmienia się GoF? Co to mówi o tym, która składowa jest lepiej opisana modelem jednego dipola?

;Zadanie 3 (obowiązkowe): Dwa dipole
Zmień <code>cfg.numdipoles = 2</code> i powtórz fitowanie dla okna N20.
Czy model dwóch dipoli daje istotnie lepszy GoF niż jeden?
Jak interpretujesz dwa znalezione źródła?

;Zadanie 4 (dla chętnych): Wrażliwość na model do przodu
FieldTrip pozwala użyć uproszczonego modelu sferycznego
zamiast BEM: ustaw <code>cfg.headmodel</code> na model jednorodnej sfery
(<code>cfg.method = 'singlesphere'</code> w <code>ft_prepare_headmodel</code>).
O ile zmienia się lokalizacja dipola N20?
Czy GoF wzrasta czy maleje?

;Pytania do dyskusji:
* Fitowanie dipola wymaga podania okna czasowego — dlaczego?
Co stałoby się gdybyśmy dopasowywali dipol do całej epoki (−100 do +300 ms)?
* Algorytm minimalizacji może utknąć w minimum lokalnym.
Jak <code>cfg.sourcemodel</code> (siatka) pomaga temu zaradzić?
Jaki jest kompromis między rozdzielczością siatki a czasem obliczeń?
* Porównaj mapę topograficzną ERP w oknie N20
z mapą rekonstruowaną z dopasowanego dipola (wywołaj <code>ft_dipolefitting</code>
z opcją <code>cfg.dipfit.display = 'yes'</code>).
Czy widzisz różnicę? Skąd ona pochodzi?

==Krok 3: Dalsze metody — dla zainteresowanych==

Poniższe tutoriale stanowią naturalne rozwinięcie ćwiczenia głównego
i ilustrują pozostałe metody omówione w teorii Sesji 7.
Nie są wymagane na zaliczenie, ale gorąco je polecamy
jeśli planujesz używać lokalizacji źródeł w pracy badawczej.

;Minimum Norm Estimation:
[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/minimumnormestimate Source reconstruction of event-related fields using minimum-norm estimation]

Ten sam sygnał N20 co w ćwiczeniu głównym, ale zamiast jednego dipola
otrzymujesz ciągłą mapę aktywności na całej powierzchni kory.
Zwróć uwagę jak wybór parametru regularyzacji <math>\lambda</math>
wpływa na rozmycie rozwiązania.
Porównaj lokalizację maksimum mapy MNE z lokalizacją dipola z Kroku 2.

;Beamformer (LCMV/DICS):
[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/beamformer Localizing oscillatory sources in MEG data using a beamformer]

Tutorial wykorzystuje ten sam zestaw danych Subject01
i lokalizuje źródła oscylacji gamma wywołanych bodźcem —
bezpośrednie rozwinięcie analizy ERD/ERS, którą już znasz.
Kluczowa różnica w stosunku do MNE: beamformer korzysta
z macierzy kowariancji danych <math>\mathbf{C}</math>,
a nie tylko z modelu do przodu. Sprawdź jak wyglądają
filtry przestrzenne <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math> dla różnych lokalizacji
i porównaj je koncepcyjnie z filtrami CSP z Sesji 1–3.











-->

Laboratorium EEG/CSP

2026-05-14T08:12:39Z

Jarekz: /* 7. Co więc dosłownie robi `ft_prepare_headmodel` */

[[Laboratorium_EEG]]/BSS

=Sesja 1: Ślepa separacja źródeł i CSP — wprowadzenie=

;Czas: ~60 min wykład + ~90 min ćwiczenie symulacyjne

Zajęcia wprowadzają do problemu filtracji przestrzennej sygnałów EEG.
Punktem wyjścia jest ogólny problem ślepej separacji źródeł (BSS),
z którego CSP wyłania się jako szczególny przypadek dla dwóch warunków
eksperymentalnych. Filtry przestrzenne omawiane na tych zajęciach stanowią
fundament klasycznych metod BCI (P300, SSVEP, motor imagery) oraz są
bezpośrednim odpowiednikiem warstw przestrzennych w sieciach neuronowych
takich jak ShallowConvNet i EEGNet — do tej analogii wrócimy w sesji 6.

[https://drive.google.com/file/d/1WrXgWWDJ7g5ZdYltm_8s2NXbGamw4R8N/view?usp=sharing Slajdy do wykładu (PDF)]

;Zakres wykładu:
* model generatywny EEG: <math>x(t) = As(t)</math>, macierz kowariancji, idea diagonalizacji
* BSS jako ogólny problem separacji źródeł
* CSP jako szczególny przypadek: dwa warunki eksperymentalne, iloraz Rayleigha, uogólnione zagadnienie własne
* interpretacja filtrów i topografii źródeł

;Ćwiczenie symulacyjne:
Zob. [[#Ćwiczenie symulacyjne|Ćwiczenie symulacyjne]] w sekcji CSP poniżej.

====Ćwiczenie symulacyjne ====
====Zadania do samodzielnej realizacji====

Poniższy kod dostarcza gotowej infrastruktury: generacji sygnałów, macierzy mieszającej i wizualizacji.
Zadaniem jest samodzielna implementacja kluczowych kroków analizy CSP.

;Zadanie 1 (obowiązkowe): Obliczenie macierzy kowariancji
Napisz funkcję <code>srednia_kowariancja(X, ind)</code>, która dla danej tablicy sygnałów <code>X</code>
(wymiary: powtórzenia × kanały × próbki) i wektora indeksów czasowych <code>ind</code>
zwraca średnią macierz kowariancji uśrednioną po powtórzeniach.
Dla każdego powtórzenia zastosuj funkcję <code>cov</code> i znormalizuj wynik przez jego ślad (<code>trace</code>).
Sprawdź wynik porównując z macierzami <code>R_B</code> i <code>R_E</code> obliczonymi w dostarczonym kodzie.

;Zadanie 2 (obowiązkowe): Implementacja CSP
Korzystając z funkcji <code>eig</code> oraz macierzy kowariancji obliczonych w zadaniu 1,
wyznacz macierz filtrów przestrzennych <code>W</code> i odpowiadające im wartości własne.
Odtwórz sygnały źródłowe dla wszystkich powtórzeń.
Narysuj chmury punktów (amplituda źródła 1 vs amplituda źródła 2) osobno dla warunków
baseline i ERP — przed transformacją CSP i po niej. Co zmieniło się w kształcie chmur?

Wykreśl także wizualizację przebiegów czasowych sygnałów X i sygnałów S uzyskanych po rozmieszaniu.

;Zadanie 3 (obowiązkowe): Interpretacja wartości własnych
Wartości własne znajdują się na przekątnej macierzy <code>Lambda</code>.
Który filtr najbardziej różnicuje warunki baseline i ERP?
Jaki jest związek między wartością własną a separacją widoczną na wykresach punktowych?

;Zadanie 4 (dla chętnych): Wpływ macierzy mieszającej
W dostarczonym kodzie macierz <code>P</code> (filtr przestrzenny) wynosi:
<pre>
P = [1 2; 1.5 1.3]
</pre>
Zmień ją kolejno na macierz bliską jednostkowej (np. <code>P = [1 0.1; 0.1 1]</code>)
oraz na macierz z dużymi elementami pozadiagonalnymi (np. <code>P = [1 5; 4 1]</code>).
Jak zmienia się kształt chmury punktów przed transformacją CSP?
Czy CSP poprawnie oddziela źródła w obu przypadkach?

;Zadanie 5 (dla chętnych): Wpływ szumu
W kodzie szum jest wyłączony: <code>n = 0*randn(size(tmp))</code>.
Usuń mnożnik <code>0*</code> i zbadaj jak poziom szumu wpływa na separację źródeł.
Przy jakim stosunku sygnału do szumu CSP przestaje skutecznie rozdzielać warunki?

;Pytanie do dyskusji:
Dostarczony kod używa <code>eig(R_E, R_B)</code>.
Alternatywą jest <code>eig(R_E, (R_E+R_B)/2)</code>.
Czym różnią się te dwie wersje? W jakich sytuacjach eksperymentalnych
druga wersja mogłaby być bardziej uzasadniona?

====Szkielet kodu do uzupełnienia====

Poniższy szkielet zawiera gotową infrastrukturę symulacji.
Uzupełnij brakujące fragmenty oznaczone komentarzem <code>% TUTAJ</code>
zgodnie z zadaniami 1–3. Pełny kod referencyjny dostępny jest poniżej
— zajrzyj do niego dopiero po samodzielnej próbie.

<source lang="matlab">
%% Parametry symulacji — nie modyfikuj tej sekcji
Fs = 100;
T = 1;
t = 0:1/Fs:T-1/Fs;
N_rep = 100;
N_chan = 2;
s = zeros(N_rep, N_chan, length(t));
X = zeros(N_rep, N_chan, length(t));

P = [1 2; 1.5 1.3]; % filtr przestrzenny (prawdziwy)
A = P^(-1); % topografia źródeł

for r = 1:N_rep
s1 = sin(2*pi*11*t + pi/2) + 0.02*randn(size(t));
s2 = exp(-((t-0.8)/0.05).^2) + 0.01*randn(size(t));
s(r,1,:) = s1;
s(r,2,:) = s2;
tmp = squeeze(s(r,:,:));
n = 0*randn(size(tmp)); % Zadanie 5: zmień 0* na 1* aby włączyć szum
X(r,:,:) = A*tmp + n;
end

baseline_ind = find(t < 0.5);
ERP_ind = find(t >= 0.5);

R_B = zeros(N_chan, N_chan);
R_E = zeros(N_chan, N_chan);

%% Zadanie 1: Oblicz średnie macierze kowariancji
% korzystając z funkcji srednia_kowariancja(X, ind)

% Dla każdego powtórzenia r:
% - wytnij fragment sygnału X(r,:,baseline_ind) i analogicznie ERP
% - oblicz macierz kowariancji funkcją cov() — pamiętaj o transpozycji
% - znormalizuj przez ślad (funkcja trace())
% - dodaj do sumy
% Na końcu podziel przez N_rep

%% Zadanie 2: Rozwiąż uogólnione zagadnienie własne
% Użyj funkcji eig(A,B) gdzie A=R_E, B=R_B
% W wyniku otrzymasz macierz wektorów własnych W (w kolumnach)
% i macierz Lambda z wartościami własnymi na przekątnej

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

disp('Wartości własne (przekątna Lambda):')
disp(diag(Lambda))

%% Zadanie 2 cd.: Odtwórz sygnały źródłowe
% Dla każdego powtórzenia r zastosuj filtr: S(r,:,:) = W' * X(r,:,:)

S = zeros(N_rep, N_chan, length(t));

for r = 1:N_rep
% TUTAJ: S(r,:,:) = ...
end

%% Zadanie 3: Wizualizacja — chmury punktów przed i po CSP
x_base_k1 = X(:,1,baseline_ind);
x_base_k2 = X(:,2,baseline_ind);
x_ERP_k1 = X(:,1,ERP_ind);
x_ERP_k2 = X(:,2,ERP_ind);

s_base_k1 = squeeze(S(:,1,baseline_ind));
s_base_k2 = squeeze(S(:,2,baseline_ind));
s_ERP_k1 = squeeze(S(:,1,ERP_ind));
s_ERP_k2 = squeeze(S(:,2,ERP_ind));

figure(1); clf
subplot(1,2,1)
plot(x_base_k1(:), x_base_k2(:), 'b.'); hold on
plot(x_ERP_k1(:), x_ERP_k2(:), 'r.');
axis equal; xlim([-2 2]); ylim([-2 2])
xlabel('Kanał 1'); ylabel('Kanał 2')
title('Przed CSP')
legend('baseline','ERP')

subplot(1,2,2)
plot(s_base_k1(:), s_base_k2(:), 'b.'); hold on
plot(s_ERP_k1(:), s_ERP_k2(:), 'r.');
axis equal
xlabel('Źródło 1'); ylabel('Źródło 2')
title('Po CSP')
legend('baseline','ERP')
%% Wizualizacja przebiegów czasowych X i S
% TUTAJ:

%% Zadanie 4 (dla chętnych): zmień macierz P powyżej i powtórz analizę
%% Zadanie 5 (dla chętnych): włącz szum (zmień 0* na 1* w linii z n=...)
</source>

{{hidden begin|title=Rozwiązanie — pokaż dopiero po samodzielnej próbie}}
<source lang = matlab>
% symulowany eksperyment składa się z sinusoidy udającej alfę spoczynkową i
% funkcji Gaussa udającego potencjał wywołany
% źródła te są symulowane niezależnie a potem mieszane przez macierz A
% symulujemy źródła
% s1 - symuluje alfę
% s2 - symuluje "potencjał wywołany" (ERP)

%ustawiamy parametry do symulacji sygnałów
Fs = 100;
T = 1;
t = 0:1/Fs:T-1/Fs;
N_rep = 100;
N_chan = 2;
s = zeros(N_rep,N_chan, length(t));
X = zeros(N_rep,N_chan, length(t));

% filtr przestrzenny - z takimi wagami trzeba wziąść kanały EEG aby odzyskać sygnały źródłowe
P = [1 2
1.5 1.3];

% topografie - z takimi wagami źródła dokładają się do poszczególnych elektrod
A = P^(-1);

for r =1:N_rep % tworzymy kolejne realizacje "eksperymentu"
s1 = sin(2*pi*11*t +pi/2+ 0*2*pi*rand())+ 0.02*randn(size(t)); % źródło alfa
s2 = exp(-((t-0.8)/0.05).^2)+ 0.01*randn(size(t)); % źródło ERP

s(r,1,:) = s1;
s(r,2,:) = s2;
tmp = squeeze(s(r,:,:));
n = 0*randn(size(tmp));
X(r,:,:) = A*tmp +n; % rzutujemy sygnały źródłowe na elektrody s -> x

end

% wycinamy warunki
% baseline_ind to indeksy pierwszej połowy każdego powtórzenia "baseline"
% ERP_ind to indeksy drugiej połowy każdego powtórzenia zawierająca "ERP"
baseline_ind = find(t<0.5);
ERP_ind = find(t>=0.5);

x_baseline_kan_1 = X(:,1,baseline_ind);
x_baseline_kan_2 = X(:,2,baseline_ind);

x_ERP_kan_1 = X(:,1,ERP_ind);
x_ERP_kan_2 = X(:,2,ERP_ind);

% liczymy średnie macierze kowariancji:
R_E = zeros(N_chan,N_chan);
R_B = zeros(N_chan,N_chan);
for r =1:N_rep
B = squeeze(X(r,:,baseline_ind));
tmp =cov(B');
R_B = R_B + tmp./trace(tmp);%B*B' ;

E = squeeze(X(r,:,ERP_ind));
tmp = cov(E');
R_E = R_E + tmp./trace(tmp);%E*E' ;
end

R_B = R_B/N_rep;
R_E = R_E/N_rep;

% rozwiązujemy uogólnione zagadnienie własne
[W,Lambda]=eig(R_E,R_B); % możliwa jest też optymalizacja wzg. średniej macierzy kowariancji (R_B+R_A)/2);

% odzyskujemy sygnały źródeł
for r =1:N_rep
S(r,:,:) = W'*squeeze(X(r,:,:));
end

% pobieramy wycinki odpowiadające obu częściom eksperymentu z estymowanych
% źródeł
s_baseline_estymowany_kan1 = squeeze( S(:,1,baseline_ind));
s_baseline_estymowany_kan2 = squeeze( S(:,2,baseline_ind));

s_ERP_estymowany_kan1 = squeeze(S(:,1,ERP_ind));
s_ERP_estymowany_kan2 = squeeze(S(:,2,ERP_ind));

%%%%%%%%%%%%%% Ilustracje %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ilustracja sygnałów mierzonych
figure(1);clf
subplot(2,2,1);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(X(:,1,baseline_ind)))','b'); hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze( X(:,1,ERP_ind)))','r'); hold off
xlabel('elektroda 1')
title('ilustracja sytuacji pomiarowej -\newline znane są potencjały na elektrodach w dwóch warunkach eksperymentalnych')
subplot(2,2,3);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(X(:,2,baseline_ind)))','b'); hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze( X(:,2,ERP_ind)))','r'); hold off
xlabel('elektroda 2')
subplot(1,2,2)
plot(x_baseline_kan_1(:),x_baseline_kan_2(:),'b.');
hold on
plot(x_ERP_kan_1(:),x_ERP_kan_2(:),'r.');
xlim([-2,2])
ylim([-2,2])
axis equal

% wektor własny odpowiadający największej wartości własnej jest
% kierunkiem najbardziej różnicującym warunki eksperymentalne
disp('wartości własne znajdują się na przekątnej macierzy Lambda')
disp(Lambda)
% rysujemy wersory jednostkowe w kierunkach wektorów własnych
w1 = W(:,1);
w1 = w1/norm(w1);
w2 = W(:,2);
w2 = w2/norm(w2);
line([0, w1(1) ],[0,w1(2)],'Color',[0,0.3,0])
text(w1(1),w1(2),'wektor własny 1')
line([0, w2(1) ],[0,w2(2)],'Color',[1,0,1])
text(w2(1),w2(2),'wektor własny 2')

xlabel('Amplituda na elektrodzie 1')
ylabel('Amplituda na elektrodzie 2')
legend('baseline','ERP')

% Ilustracja estymowanych źródeł
figure(2);clf
subplot(2,2,1);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(S(:,1,baseline_ind)))','b');hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze(S(:,1,ERP_ind)))','r');hold off
xlabel('estymowane zrodlo 1')
title('ilustracja estymacji -\newline estymowane są potencjały źródeł w dwóch warunkach eksperymentalnych')
subplot(2,2,3);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(S(:,2,baseline_ind)))','b');hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze(S(:,2,ERP_ind)))','r');hold off
xlabel('estymowane zrodlo 2');
subplot(1,2,2)
plot(s_baseline_estymowany_kan1(:),s_baseline_estymowany_kan2(:),'b.');
hold on
plot(s_ERP_estymowany_kan1(:),s_ERP_estymowany_kan2(:),'r.');

xlabel('Amplituda estym. źródła 1')
ylabel('Amplituda estym. źródła 2')
legend('baseline','ERP')
</source>
{{hidden end}}

=Sesja 2: CSP dla P300 — dane realne=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Pracujemy z danymi kalibracyjnymi z eksperymentu P300.
Celem sesji jest przejście pełnego pipeline'u: od surowych danych
do odtworzonych źródeł CSP.

;Zakres:
* wczytanie danych kalibracyjnych, identyfikacja znaczników T i NT
* cięcie epok (−200 do +800 ms), usuwanie trendu liniowego
* montaż względem średniej ze wszystkich elektrod
* wizualizacja ERP w układzie topograficznym
* obliczenie macierzy kowariancji RT i RNT, normalizacja przez ślad
* rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego: <code>[W, Lambda] = eig(R_T, R_NT)</code>
* odtworzenie sygnałów źródłowych: <code>S = W'*EEG</code>
* przegląd estymowanych źródeł w dwóch warunkach

;Materiały:
Dane: https://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/KalibracjaP300.tar.gz

===ZADANIE: Analiza CSP===

Przegląd badań o P300: https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2715154/

Link do Read menager [https://drive.google.com/file/d/1OgOduK5Zn7GgNl5XdCyLWXHJ7wTJIWcC/view?usp=share_link]

* Wykonać analizę CSP wzmacniającą potencjał P300.
* Zaprezentować średnią ze wszystkich kanałów źródłowych z warunku target (jeden kolor) i non-target (inny kolor) w subplotach ułożonych w prostokątnej siatce. Zaobserwować, dla którego kanału średnie różnią się najbardziej. Czy jest związek tego kanału z wartościami własnymi?

* Dla kanału najbardziej różnicującego wykonać mapki topograficzne wektorów odpowiadających:
** filtrowi przestrzennemu
** rzutu topograficznego źródła na elektrody.

===Szkielet kodu do analizy wstępnej===

<source lang="matlab">
%% KROK 1: Wczytanie danych
% ReadManager to pomocnicza klasa do odczytu plików w formacie OpenBCI.
% Przyjmuje trzy pliki: XML z metadanymi, RAW z próbkami i TAG ze znacznikami zdarzeń.
nazwaPliku = 'p_6301423_calibration_p300.obci';
nameOfXMLFile = strcat(nazwaPliku, '.xml');
nameOfTagFile = strcat(nazwaPliku, '.tag');
namesOfDataFiles = strcat(nazwaPliku, '.raw');

rm = ReadManager(nameOfXMLFile, namesOfDataFiles, nameOfTagFile);

% Pobieramy podstawowe parametry nagrania
numberOfChannels = rm.get_param('number_of_channels');
namesOfChannels = rm.get_param('channels_names');
samplingFrequency = rm.get_param('sampling_frequency');

% Pobieramy listę wszystkich znaczników zdarzeń z nagrania
tagsStruct = rm.get_tags();

%% KROK 2: Identyfikacja znaczników Target i Non-Target
% Każdy znacznik typu 'blink' odpowiada jednemu mignięciu w eksperymencie P300.
% Pole 'index' mówi który symbol mignął, pole 'target' który symbol był oczekiwany.
% Jeśli index == target to było to mignięcie docelowe (Target), w przeciwnym razie
% Non-Target.
targetTimeStamps = [];
NonTargetTimeStamps = [];

for structNumber = 1:length(tagsStruct)
if strcmp(tagsStruct(structNumber).name, 'blink')
index = tagsStruct(structNumber).children.index;
target = tagsStruct(structNumber).children.target;
if index == target
targetTimeStamps = [targetTimeStamps tagsStruct(structNumber).start_timestamp];
else
NonTargetTimeStamps = [NonTargetTimeStamps tagsStruct(structNumber).start_timestamp];
end
end
end

%% KROK 3: Wczytanie i filtrowanie sygnału
samples = double(rm.get_samples());
samples = samples(1:8,:); % odrzucamy kanały bez EEG
numberOfChannels = 8;

% Filtr dolnoprzepustowy Czebyszewa 2. rodzaju — odcięcie 25 Hz
[b, a] = cheby2(6, 80, 25/(samplingFrequency/2), 'low');
for ch = 1:numberOfChannels
samples(ch,:) = filtfilt(b, a, samples(ch,:));
end

%% KROK 4: Montaż względem średniej (common average reference)
% Odejmujemy od każdego kanału średnią ze wszystkich kanałów w danej chwili.
% Jest to prostsze i bardziej ogólne niż montaż względem połączonych uszu.
M = -ones(numberOfChannels, numberOfChannels) / numberOfChannels;
M = M + eye(numberOfChannels) * (numberOfChannels+1) / numberOfChannels;
samples = 0.0715 * M * samples;

%% KROK 5: Cięcie epok
PRE = -0.2;
POST = 0.8;
wycinek = floor(PRE*samplingFrequency : POST*samplingFrequency);

TargetSignal = zeros(length(targetTimeStamps), numberOfChannels, length(wycinek));
NonTargetSignal = zeros(length(NonTargetTimeStamps), numberOfChannels, length(wycinek));

for trialNumber = 1:length(targetTimeStamps)
trigerOnset = floor(targetTimeStamps(trialNumber) * samplingFrequency);
tenWycinek = wycinek + trigerOnset;
if tenWycinek(1) > 0 && tenWycinek(end) <= size(samples,2)
tmpSignal = samples(:, tenWycinek);
tmpSignal = detrend(tmpSignal')'; % usuwanie trendu liniowego
TargetSignal(trialNumber,:,:) = tmpSignal;
end
end

for trialNumber = 1:length(NonTargetTimeStamps)
trigerOnset = floor(NonTargetTimeStamps(trialNumber) * samplingFrequency);
tenWycinek = wycinek + trigerOnset;
if tenWycinek(1) > 0 && tenWycinek(end) <= size(samples,2)
tmpSignal = samples(:, tenWycinek);
tmpSignal = detrend(tmpSignal')';
NonTargetSignal(trialNumber,:,:) = tmpSignal;
end
end

% Oś czasu w milisekundach — przyda się do rysowania
times = (wycinek / samplingFrequency) * 1000;

%% KROK 6: Wizualizacja ERP w układzie topograficznym
% Oblicz potencjały wywołane (ERP) jako średnie po powtórzeniach
ERP_T = squeeze(mean(TargetSignal, 1)); % wymiary: kanały × czas
ERP_NT = squeeze(mean(NonTargetSignal, 1));

% TUTAJ: narysuj ERP_T i ERP_NT dla każdego kanału w subplotach
% ułożonych w siatce odpowiadającej przybliżonym pozycjom elektrod.
% Na każdym subplocie nałóż oba warunki różnymi kolorami.
% Oś X: czas w ms (użyj wektora times), oś Y: amplituda w µV.
% Zadbaj o legendę i tytuły z nazwami kanałów (namesOfChannels).

%% KROK 7: Obliczenie średnich macierzy kowariancji
% Dla każdego powtórzenia oblicz macierz kowariancji funkcją cov(),
% znormalizuj przez jej ślad (trace()), a następnie uśrednij po powtórzeniach.
% Pamiętaj: cov() oczekuje macierzy próbki × kanały, czyli potrzebujesz transpozycji.

R_T = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
R_NT = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for r = 1:length(targetTimeStamps)
% TUTAJ: wytnij r-te powtórzenie T, oblicz kowariancję, znormalizuj, dodaj do R_T
end

for r = 1:length(NonTargetTimeStamps)
% TUTAJ: wytnij r-te powtórzenie NT, oblicz kowariancję, znormalizuj, dodaj do R_NT
end

% TUTAJ: podziel R_T i R_NT przez odpowiednie liczby powtórzeń

%% KROK 8: Rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego
% Szukamy filtrów przestrzennych W maksymalizujących stosunek mocy
% w warunku T względem NT: eig(R_T, R_NT)
% W kolumnach W znajdują się filtry, na przekątnej Lambda — wartości własne.

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

disp('Wartości własne (przekątna Lambda):')
disp(diag(Lambda))

%% KROK 9: Odtworzenie sygnałów źródłowych
% Dla każdego powtórzenia zastosuj filtr przestrzenny:
% s(r,:,:) = W' * x(r,:,:)
% Pamiętaj o wymiarach — squeeze() może być pomocne.

S_T = zeros(size(TargetSignal));
S_NT = zeros(size(NonTargetSignal));

for r = 1:size(TargetSignal, 1)
% TUTAJ: S_T(r,:,:) = ...
end

for r = 1:size(NonTargetSignal, 1)
% TUTAJ: S_NT(r,:,:) = ...
end

%% KROK 10: Wizualizacja estymowanych źródeł
% Narysuj średnie przebiegi źródeł (ERP w przestrzeni CSP) dla obu warunków.
% Ułóż subploty w prostokątnej siatce — jeden subplot na każde źródło.
% Dla którego źródła różnica między T i NT jest największa?
% Czy odpowiada to źródłu z największą wartością własną?

ERP_S_T = squeeze(mean(S_T, 1));
ERP_S_NT = squeeze(mean(S_NT, 1));

% TUTAJ: narysuj ERP_S_T i ERP_S_NT w subplotach
</source>

=Sesja 3: CSP dla P300 — interpretacja i separacja cech=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Kontynuacja analizy CSP. Celem sesji jest interpretacja wyników
w kategoriach fizjologicznych oraz ocena separowalności klas
w przestrzeni cech opartej na mocy sygnału.

;Zakres:
* mapki topograficzne filtra przestrzennego i topografii źródła
* związek wartości własnych z siłą różnicowania warunków T i NT
* wykresy punktowe mocy: oś X — moc składowej z największą wartością własną, oś Y — moc kolejnej składowej; jeden punkt = jedno powtórzenie
* uśrednianie po 2, 4, 6, 8 i 10 realizacjach — obserwacja poprawy separacji wraz z liczbą uśrednień
* dyskusja: utożsamianie komponentów CSP z fizjologicznymi źródłami jest ryzykowne; komponenty maksymalizują kontrast między warunkami, niekoniecznie odpowiadają izolowanym generatorom

;Materiały:
Zob. [[#Szkielet kodu do analizy wstępnej|Szkielet kodu do analizy wstępnej]] i [[#Zadanie: Wybór i separacja cech|Zadanie: Wybór i separacja cech]] poniżej.

===Zadanie: Wybór i separacja cech===
* Przedstaw na rysunkach nałożone na siebie pojedyncze realizacje z warunków target i non-target po rzutowaniu na wektor <math>w</math> odpowiadający największej i kolejnej wartości własnej.
* Przedstaw wykresy punktowe takie, że na jednej osi jest moc sygnału (suma kwadratów wartości próbek w wybranym zakresie czasu) odpowiadającego największej wartości własnej, a na drugiej osi kolejnej (mniejszej) wartości własnej; jeden punkt reprezentuje jedno powtórzenie.
* Wykonaj serię wykresów jak w poprzednim punkcie dla uśrednień sygnałów kolejno po 2, 4, 6, 8 i 10 realizacjach:
** Liczymy potencjał wywołany dla danej liczby powtórzeń.
** Następnie podnosimy wartości próbek do kwadratu
** i sumujemy je w wybranym zakresie czasu.
* Zaobserwuj jak zmienia się separacja w grupach target i non-target.
{{hidden end}}
[https://robintibor.github.io/eeg-deep-learning-phd-thesis/DeepArchitectures.html Archirtektury sieci do BCI: ConvNet]

[https://www.researchgate.net/figure/The-architecture-of-EEGNet-F1-S1-model-F1-and-S1-represent-the-number-of-temporal_fig3_347073448 EEGNet]

=Sesja 4: Filtry przestrzenne dla SSEP — cosSinCSP=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Sesja wprowadza metodę cosSinCSP jako naturalne uogólnienie CSP
o wiedzę dziedzinową dotyczącą sygnału SSEP. W klasycznym CSP
dwa warunki eksperymentalne definiują dwie macierze kowariancji.
W cosSinCSP rolę jednej z macierzy przejmuje projekcja sygnału
na przestrzeń sinusów i cosinusów częstości stymulacji i jej harmonicznych.
Formalizm ilorazu Rayleigha i uogólnionego zagadnienia własnego
pozostaje identyczny.

Dane używane na tych zajęciach pochodzą z eksperymentu SSEP
z archiwum — bez sesji rejestracyjnej. Na wykresach widma
sygnału przed transformacją CSP dominuje artefakt sieciowy 50 Hz,
który praktycznie zasłania odpowiedź na stymulację. Zadaniem
jest sprawdzenie czy cosSinCSP potrafi ten sygnał wydobyć.

;Zakres:
* idea cosSinCSP: macierz S złożona z sinusów i cosinusów harmonicznych, projekcja sygnału na przestrzeń SSEP i resztę Y
* implementacja funkcji <code>cosSinCSP</code> w MATLAB
* analiza danych archiwalnych: widma Welcha dla kanałów oryginalnych i źródeł CSP — porównanie SNR przed i po transformacji
* prezentacja filtrów przestrzennych i topografii źródeł

;Materiały:
Zob. [[#Filtry przestrzenne dla SSEP|Filtry przestrzenne dla SSEP]] poniżej.

==Filtry przestrzenne dla SSEP==

===Teoria===

Ciekawa koncepcja filtra przestrzennego dla SSEP zaprezentowana jest tu: http://www.eurasip.org/Proceedings/Eusipco/Eusipco2009/contents/papers/1569193209.pdf

Pokrótce można ją rozumieć podobnie do tego co robiliśmy rozważając filtry przestrzenne CSP z tym, że dla SSEP oraz innych potencjałów wywołanych stanu ustalonego możemy skorzystać z dodatkowych informacji dotyczących poszukiwanych źródeł. Wiemy mianowicie, że powinny one oscylować z częstością bodźca i być może jej harmonicznych.

Przyda nam się macierz <math>S</math> zbudowana tak, że w kolejnych kolumnach znajdują się sinusy i cosinusy kolejnych częstości harmonicznych. Wektory te unormujemy, żeby miały energię równą 1. Innymi słowy macierz <math>S</math> zbudowana jest z wersorów rozpinających przestrzeń, w której powinien znajdować się sygnał SSEP.

W Matlabie możemy taką macierz zbudować tak:

<source lang="matlab">
% Fs - częstość próbkowania
% numberOfSamples - długość sygnału w próbkach
% numberOfHarmonics - liczba harmonicznych, które chcemy włączyć do analizy
t = (0:1:numberOfSamples - 1) / Fs;
S = zeros(numberOfSamples, 2*numberOfHarmonics);

for harmonicNumber = 1:numberOfHarmonics
c = cos(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
s = sin(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
S(:,(harmonicNumber - 1)*2 + 1) = c/norm(c);
S(:,(harmonicNumber - 1)*2 + 2) = s/norm(s);
end
</source>

Aby w badanym sygnale znaleźć składowe odpowiadające SSEP musimy rzutować sygnał <math>X</math> (macierz sygnałów ''kanały × próbki'') na przestrzeń rozpiętą przez <math>S</math>:
:<math>A = X S</math>
Macierz <math>A</math> zawiera współczynniki będące iloczynami skalarnymi sygnałów i wersorów — mówią one o tym jak dużo sinusa bądź cosinusa o danej częstości jest w pierwotnym sygnale. Komponenty SSEP zawarte w sygnale <math>X</math> odzyskujemy tak:
:<math>\mathrm{SSEP} = A S^T</math>

Modelujemy rejestrowany sygnał jako:
:<math>X = \mathrm{SSEP} + Y</math>
gdzie:
:<math>Y = X - \mathrm{SSEP}</math>
to wszystkie komponenty sygnału, które nas nie interesują.

Filtr przestrzenny, który chcemy zbudować powinien maksymalizować stosunek wariancji <math>\mathrm{SSEP}</math> do wariancji <math>Y</math>. Macierz kowariancji powinna być uśredniona po powtórzeniach, a kowariancja sygnału w każdym powtórzeniu powinna być znormalizowana przez jej ślad. Dalej stosujemy technikę znaną z CSP: maksymalizację ilorazu Rayleigha przez rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego dla macierzy kowariancji <math>\mathrm{SSEP}</math> i <math>Y</math>.

===Zadanie: implementacja funkcji cosSinCSP===

Dane do zadania: [[Plik:PrzykladoweDaneSSVEP.mat.gz]].
Pełny przykład z danymi z eksperymentu SSEP: [[Plik:SSVEP_demo_csp.tar.gz]]

Zaimplementuj funkcję <code>cosSinCSP</code> zgodnie z poniższym szkieletem.
Prawidłowo zaimplementowana funkcja wraz ze skryptem demonstracyjnym poniżej
powinna generować rysunek: [[Plik:Rys_SSVEP_demo.png|400px|podpis grafiki]]

<source lang="matlab">
function [W, Lambda] = cosSinCSP(signal, stimulationFrequency, numberOfHarmonics, Fs)
% cosSinCSP - filtr przestrzenny dla sygnałów SSEP
%
% Wejście:
% signal - dane EEG, wymiary: powtórzenia × kanały × próbki
% stimulationFrequency - częstość stymulacji w Hz
% numberOfHarmonics - liczba harmonicznych do uwzględnienia
% Fs - częstość próbkowania w Hz
%
% Wyjście:
% W - macierz filtrów przestrzennych (kanały × kanały), filtry w kolumnach
% Lambda - macierz diagonalna wartości własnych

[numberOfTrials, numberOfChannels, numberOfSamples] = size(signal);

%% KROK 1: Zbuduj macierz referencyjną S (sinusy i cosinusy harmonicznych)
% S ma wymiary: próbki × 2*numberOfHarmonics
% Każda kolumna to jeden wersor (unormowany sinus lub cosinus).
% Wróć do sekcji Teoria powyżej i przełóż tamten kod na tę funkcję.

% TUTAJ

%% KROK 2: Oblicz średnie macierze kowariancji C_SSEP i C_Y
% Dla każdego powtórzenia wytnij sygnał x (kanały × próbki),
% rozłóż go na składową SSEP i resztę Y zgodnie z równaniami z sekcji Teoria,
% oblicz macierze kowariancji obu składowych, znormalizuj przez ślad
% i uśrednij po powtórzeniach.

C_SSEP = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
C_Y = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for trial = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(trial, :, :)); % kanały × próbki

% TUTAJ: oblicz SSEP i Y

% TUTAJ: oblicz kowariancje, znormalizuj, dodaj do C_SSEP i C_Y
end

% TUTAJ: podziel C_SSEP i C_Y przez numberOfTrials

%% KROK 3: Rozwiąż uogólnione zagadnienie własne
% Znajdź filtry przestrzenne maksymalizujące stosunek mocy SSEP do mocy Y.
% Analogia z CSP: jakie macierze wstawiłeś do eig() tam?

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

end
</source>

;Wskazówka do interpretacji wyników:
Filtr związany z największą wartością własną daje komponent
o największym stosunku mocy SSEP do mocy tła.
Sprawdź na widmach Welcha czy odpowiada on składowej
z wyraźnym pikiem przy częstości stymulacji.

{{hidden begin|title=Rozwiązanie — pokaż dopiero po samodzielnej próbie}}
<source lang="matlab">
function [W, Lambda] = cosSinCSP(signal, stimulationFrequency, numberOfHarmonics, Fs)

[numberOfTrials, numberOfChannels, numberOfSamples] = size(signal);

%% KROK 1: Macierz referencyjna S
t = (0:1:numberOfSamples-1) / Fs;
S_ref = zeros(numberOfSamples, 2*numberOfHarmonics);

for harmonicNumber = 1:numberOfHarmonics
c = cos(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
s = sin(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
S_ref(:,(harmonicNumber-1)*2 + 1) = c/norm(c);
S_ref(:,(harmonicNumber-1)*2 + 2) = s/norm(s);
end

%% KROK 2: Średnie macierze kowariancji
C_SSEP = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
C_Y = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for trial = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(trial, :, :)); % kanały × próbki
A = x * S_ref; % projekcja na przestrzeń SSEP
SSEP = A * S_ref'; % rekonstrukcja składowej SSEP
Y = x - SSEP; % reszta

tmp = cov(SSEP');
C_SSEP = C_SSEP + tmp/trace(tmp);

tmp = cov(Y');
C_Y = C_Y + tmp/trace(tmp);
end

C_SSEP = C_SSEP / numberOfTrials;
C_Y = C_Y / numberOfTrials;

%% KROK 3: Uogólnione zagadnienie własne
[W, Lambda] = eig(C_SSEP, C_Y);

end
</source>
{{hidden end}}

===Skrypt demonstracyjny i analiza wyników===

<source lang="matlab">
% wczytujemy dane
load('PrzykladoweDaneSSVEP.mat');

[numberOfTrials numberOfChannels numberOfSamples] = size(X.data);
namesOfChannels = X.channels;

numberOfHarmonics = 3;
signal = X.data; % powtórzenie × kanał × próbki

[W, Lambda] = cosSinCSP(signal, X.stimulation, numberOfHarmonics, X.sampling);

%% Odtworzenie sygnałów źródłowych
S = zeros(size(signal));
for powt = 1:size(signal,1)
S(powt,:,:) = W' * squeeze(signal(powt,:,:));
end

%% Widma Welcha: kanały oryginalne vs źródła CSP
figure('Name', ['Stymulacja: ', num2str(X.stimulation), ' Hz'])
for i = 1:numberOfChannels
subplot(2, numberOfChannels, i)
PP = 0;
for rep = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(rep,i,:));
[Pxx, ff] = pwelch(x, X.sampling, 1, X.sampling, X.sampling);
PP = PP + Pxx;
end
plot(ff(ff<60), PP(ff<60))
title(namesOfChannels{i})

subplot(2, numberOfChannels, numberOfChannels+i)
PP = 0;
for rep = 1:numberOfTrials
s = squeeze(S(rep,i,:));
[Pss, ff] = pwelch(s, X.sampling, 1, X.sampling, X.sampling);
PP = PP + Pss;
end
plot(ff(ff<60), PP(ff<60))
title(['źródło CSP: ', num2str(i)])
xlabel(['\lambda = ', num2str(Lambda(i,i), '%.2f')])
end

%% KROK 4: Mapki topograficzne
% Zidentyfikuj komponent z największą wartością własną.
% Narysuj dwie mapki przy użyciu funkcji topoplot() z pakietu EEGLAB:
%
% (a) Filtr przestrzenny: wagi z jakimi kanały EEG składają się na ten komponent.
% Wskazówka: filtr to kolumna macierzy W.
%
% (b) Topografia źródła: z jakimi wagami komponent dociera do poszczególnych elektrod.
% Wskazówka: topografia zawarta jest w wierszach macierzy odwrotnej do W —
% przypomnij sobie analogiczny krok z analizy CSP dla P300.
%
% Czym różnią się te dwie mapki? Którą łatwiej interpretować fizjologicznie?

% TUTAJ: [~, idx] = max(diag(Lambda));
% TUTAJ: topoplot(...) % filtr
% TUTAJ: topoplot(...) % topografia
</source>

=Sesja 5: ICA jako filtr przestrzenny =

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Sesja wprowadza analizę składowych niezależnych (ICA) jako trzecie
podejście do problemu ślepej separacji źródeł — obok BSS/CSP
i cosSinCSP. Kluczowa różnica: CSP szuka kierunków maksymalizujących
kontrast wariancji między warunkami (kryterium drugiego rzędu),
ICA szuka składowych niezależnych statystycznie, maksymalizując
niegaussowość (kryterium wyższego rzędu). ICA nie wymaga
dwóch warunków eksperymentalnych — działa na jednym stacjonarnym sygnale.

;Zakres wykładu (~40 min):
* model generatywny ICA: <math>\mathbf{x} = \mathbf{D}\mathbf{s}</math>, założenie niegaussowości składowych
* negoentropia i algorytm FastICA
* porównanie z CSP: kiedy ICA, kiedy CSP
* ograniczenia: liczba próbek a liczba kanałów (<math>kN^2</math>), niejednoznaczność kolejności i skali komponentów

;Zakres ćwiczenia (~80 min):
* wczytanie danych do EEGLAB, edycja lokalizacji elektrod
* filtrowanie górnoprzepustowe (FIR, 0,5 Hz), zmiana referencji
* obliczenie ICA na całym sygnale
* identyfikacja komponentów zawierających rytm alfa: topografia, widmo, przebieg czasowy
* usunięcie komponentów niezawierających alfy, odtworzenie sygnału na elektrodach
* porównanie wyników między co najmniej trzema uruchomieniami ICA: czy komponenty są powtarzalne?

==Teoria==

===Definicja ===
Independent Component Analysis (ICA) jest metodą statystycznej analizy sygnałów, która dokonuje dekompozycji wielokanałowych zapisów na składowe niezależne w sensie statystycznym.
Dwie składowe ''s''1 i ''s''2 są niezależne jeżeli wiedza o wartości ''s''1 nie daje żadnych informacji o możliwych wartościach ''s''2. ICA może być wyrażona przez prosty model generatywny:
: '''x''' = '''Ds'''
: gdzie '''x''' = {''x''1, ''x''2, ..., ''x''''n''} jest zmierzonym ''n'' kanałowym sygnałem, '''D''' jest macierzą mieszającą zaś '''s''' = {''s''1, ''s''2, ..., ''s''''n''} jest aktywnością ''n'' źródeł. Podstawowym założeniem dotyczącym '''s''' jest to, że ''s''''i'' są statystycznie niezależne. Aby wyestymować model musimy też założyć, że składowe mają niegaussowskie rozkłady wartości (Hyvärinen, 2000).

Dodatkowo model ten zakłada następujące fakty:
# Sygnał jest liniową mieszaniną aktywności źródeł
# Sygnały pochodzące z każdego ze źródeł są niezależne od pozostałych
# Źródła oraz proces ich mieszania są stacjonarne, tzn, ich momenty statystyczne nie zależą od czasu
# Energie (wariancje) źródeł nie mogą być wyznaczone jednoznacznie. Dzieje się tak ponieważ pomnożenie amplitudy ''i''-tego źródła może być uzyskane poprzez przemnożenie albo ''s''''i'' albo przez przemnożenie ''i''-tej kolumny macierzy '''D'''. Naturalnym rozwiązaniem tej niejednoznaczności jest wprowadzenie konwencji, że komponenty są normowane tak aby miały wariancję 1: E[(''s''''i'')''2''] = 1.
# Kolejność komponentów jest dowolna. Bo jeśli w ten sam sposób zmienimy kolejność komponentów w '''s''' i kolumn w '''D''' to dostaniemy dokładnie ten sam sygnał '''x'''.

Głównym wyzwaniem w analizie ICA jest estymacja macierzy mieszającej '''D'''. Gdy jest ona znana to komponenty mogą być wyliczone w następujący sposób:
: '''s''' = '''D'''−1'''x'''

=== Estymacja ===
Znalezienie niezależnych komponentów może być rozważane w świetle Centralnego Twierdzenia Granicznego jako poszukiwanie komponentów o możliwie nie gaussowskim rozkładzie.
Aby zrozumieć to podejście prześledźmy heurystykę zaproponowaną przez (Hyvärinen, 2000).
Dla prostoty załóżmy, że poszukiwane źródła niezależne mają identyczne rozkłady.
Zdefiniujmy

''y'' = '''w'''T'''x'''.

Zauważmy, że jeśli

'''w'''

jest jedną z kolumn macierzy

'''D'''−1,

to ''y'' jest jednym z poszukiwanych komponentów.
Zamieniając zmienne

'''z''' = '''D'''T'''w'''

możemy napisać

''y'' = '''w'''T'''x''' = '''w'''T'''Ds''' = '''z'''T'''s'''.

Uwidacznia to fakt, że ''y'' jest liniową kombinacją składowych s''i'' z wagami danymi przez z''i''.

Z centralnego twierdzenia granicznego wynika, że suma niezależnych zmiennych losowych ma bardziej gaussowski charakter niż każda z tych zmiennych osobno.
Liniowa kombinacja staje się najmniej gaussowska gdy '''z''' ma tylko jeden element niezerowy. W tym przypadku ''y'' jest proporcjonalny do s''i''.
Zatem problem estymacji modelu ICA może być sformułowany jako problem znalezienia takiego wektora '''w''', który maksymalizuje niegaussowskość

''y'' = '''w'''T'''x'''.

Maksymalizacja niegaussowskości ''y'' daje jeden niezależny komponent odpowiadający jednemu z 2''n'' maksimów (bo mamy s''i'' i −s''i'') w krajobrazie optymalizacyjnym. Aby znaleźć wszystkie niezależne komponenty musimy znaleźć wszystkie maksima. Ponieważ komponenty są nieskorelowane, to poszukiwania kolejnych komponentów można kontynuować w podprzestrzeni ortogonalnej do już znalezionych komponentów.

===Obliczenia===
Intuicyjna heurystyka poszukiwania najbardziej niegaussowskich składowych może być użyta do wyprowadzenia różnych funkcji kosztu, których optymalizacja daje model ICA, np. kurtoza.

<math>kurt(y) = E\{y^4\} - 3(E{y^2})^2</math>

Inną miarą gassowskości jest neg-entropia, którą można wyprowadzić z entropii:
Entropia jest miarą średniego zdziwienia wynikiem obserwacji zmiennej losowej:
<math>H(Y) = - \sum_i P(Y= a_i) \log(P(Y=a_i)) </math>

Negentropia jest zdefiniowana:

<math> J(y) = H(y_{gauss}) -H(y)</math>
gdzie <math> y_{gauss} </math> jest gassuwską zmienną losową o takiej samej kowaiancji jak <math> y </math>.

Negentropia jest skomplikowana obliczeniow, więc w praktyce używana jest formuła przybliżona:

<math> J(y) \varpropto [E\{G (y)\} - E\{G(\nu)\}]^2</math>

<math>\nu </math> jest zmienną losową ze standardowego rozkładu normalnego , a G są pewnymi niekwadratowymi funkcjami.

W algorytmie FastICA extremum negentropii jest znajdowane w procedurze bazującej na optymalizacji Newtona.
(szczegóły np.: sekcja 6 w https://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/NN00new.pdf)

Procedura wykorzystywana w eeglabie (&bdquo;runica”, Makeig 1996) dąży do minimalizacji informacji wzajemnej. Oba podejścia są w przybliżeniu równoważne (Hyvärinen, 2000), chociaż owo przybliżenie dla sygnałów elektrofizjologicznych nie zostało to jeszcze w pełni wyeksplorowane.
Dla sygnałów o niskiej wymiarowości i spełniających dokładnie założenia ICA wszystkie powszechnie wykorzystywane algorytmy dają niemal identyczne wyniki.

;Bardzo ważna uwaga: ogólną zasadą jest, że jeśli estymujemy ''N'' stabilnych komponentów (z ''N''-kanałowych danych) to musimy dysponować ''kN''2 punktami danych w każdym kanale, gdzie ''N''2 jest liczbą elementów w macierzy '''D''', którą ICA próbuje wyestymować, ''k'' jest liczbą całkowitą. Nie ma dobrych oszacowań teoretycznych na wielkość ''k'', z praktycznych obserwacji wynika, że rośnie ona z liczbą kanałów.

=== Możliwe zastosowania ===
Najczęściej ICA jest stosowana jako narzędzie do:
* usuwania artefaktów z sygnałów EEG (ruchy oczu i mięśnie)
* wydobywania składowych do dalszej analizy (Onton, 2006)
* jako analiza wstępna do lokalizacji źródeł (Grau, 2007).
* ICA jest także stosowana w analize sygnałów EKG i EMG.

===Bibliografia===
Bazowa praca:
* A. Hyvärinen. Fast and Robust Fixed-Point Algorithms for Independent Component Analysis. IEEE Transactions on Neural Networks 10(3):626-634, 1999 http://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/TNN99_reprint.pdf

Nieco prościej opisana wersja z przykładami:
* Hyvärinen, A. and Oja, E. (2000). Independent component analysis: Algorithms and applications. Neural Networks, 13(4-5):411–430.
https://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/NN00new.pdf

* Grau, C., Fuentemilla, L., Marco-Pallars, J. (2007). Functional neural dynamics underlying auditory event-related n1 and n1 suppression response. Neuroimage, 36(6):522–31.
* Makeig, S., Bell, A., Jung, T.-P., Sejnowski,T. (1996). Independent component analysis of electroencephalographic data. W: Touretzky, D., Mozer, M., and Hasselmo, M., editors, Advances in Neural Information Processing Systems, volume 8, pages 145–151. MIT Press, Cambridge, MA.
* Onton, J., Makeig, S. (2006). Information-based modeling of event-related brain dynamics. Prog Brain Res., 159:99–120.
* Tutorial: http://sccn.ucsd.edu/wiki/Chapter_09:_Decomposing_Data_Using_ICA
* http://sccn.ucsd.edu/~arno/indexica.html
* http://cis.legacy.ics.tkk.fi/aapo/papers/IJCNN99_tutorialweb/

== ZADANIE: Wydobywanie interesujących komponentów ==

Dane do tej części ćwiczeń proszę pobrać i rozpakować w swoim katalogu:
http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Dane_do_ICA_alfa.tar.gz

Pochodzą one z eksperymentu, w którym osoba badana siedziała z zamkniętymi oczami słuchając nagrania czytanego spokojnym głosem. Metadane opisujące sygnał znajdują się w pliku Miro.xml, zaś lokalizacje elektrod w pliku Miro-10-20-Cap.locs.

Proszę:
* wczytać dane do eeglaba
* wyedytować lokalizację elektrod
* usunąć kanały nie zawierające EEG
* zmienić referencje na średnią z kanałów A1 i A2
* przefiltrować filtrem FIR górnoprzepustowym z częstością odcięcia 0,5 Hz
* obejrzeć wstępnie przygotowane dane
* policzyć ICA na całym sygnale
* obejrzeć właściwości otrzymanych komponentów
** Czy są wśród nich takie, które zawierają znaczny udział rytmu alfa?
** Jaka jest ich topografia?
* usunąć wszystkie komponenty nie zawierające alfy
* odtworzyć z tych komponentów sygnał na elektrodach
* wykonać dekompozycję ICA kilkukrotnie (co najmniej 3) i porównać wyniki
** Czy uzyskiwane komponenty są powtarzalne?
** Swoje wyniki porównać też z sąsiednimi grupami.

==ZADANIE: Identyfikacja artefaktów ==
Proszę pobrać dane:

*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal-10-20-Cap.locs
*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal1.set
*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal1.fdt

Pochodzą one z eksperymentu w którym osoba badana czytała słowa o różnych właściwościach wzbudzania emocji.

* wczytaj je do eeglaba
* wczytaj lokalizację kanałów z pliku Arousal-10-20-Cap.locs
* obejrzyj przebiegi czasowe
* odrzuć kanał z diodą (21) i z GSR (20)
* zrób dekompozycję ICA
* obejrzyj topografię komponentów
* zidentyfikuj komponenty odpowiadające mruganiu i aktywności mięśniowej.
;UWAGA: Aktualnie do wykrywania komponentów artefaktowych warto posłużyć się wtyczkami do eeglaba dostępnymi przez stronę:

https://sccn.ucsd.edu/eeglab/plugin_uploader/plugin_list_all.php

* ICLabel:
** https://labeling.ucsd.edu/tutorial/overview
** https://github.com/sccn/ICLabel

* MARA:
** https://github.com/irenne/MARA/raw/master/MARAtutorial.pdf
** https://irenne.github.io/artifacts/

=Sesja 6: Problem odwrotny w EEG i MEG=

;Czas: ~60 min wykład + ~90 min ćwiczenie

Sesja wprowadza problem odwrotny jako alternatywne — i komplementarne —
podejście do analizy przestrzennej sygnałów EEG i MEG. O ile BSS/CSP
i ICA szukają filtrów przestrzennych w przestrzeni elektrod,
nie zakładając nic o geometrii mózgu,
to metody problemu odwrotnego wyraźnie osadzają źródła
w przestrzeni trójwymiarowej, korzystając z fizyki i modelu głowy.

Materiały z naszych zasobów:
* [[Elektroencefalografia|Sekcje 3 i 8 z Podręcznika o EEG ]]
* [https://drive.google.com/file/d/1EOJxN1y7X3YlIFHoIIyoZzCiXdrQSHcA Wykład Piotra Durki z Analizy sygnałów o problemie odwrotnym w EEG iMEG]

Z zasobów zewnętrznych polecam:
* [https://download.fieldtriptoolbox.org/workshop/toolkit2025/slides/04_forward_inverse.pdf#page=1.00 Slajdy "Forward and inverse - lecture by Robert Oostenveld" fragment warsztatów: "Advanced MEG/EEG toolkit at the Donders"]

==Kontrast z BSS: dwa języki opisu tego samego zjawiska==

Zarówno BSS/ICA, jak i metody problemu odwrotnego wychodzą
od tego samego modelu generatywnego:
:<math>\mathbf{x}(t) = \mathbf{A}\,\mathbf{s}(t) + \boldsymbol{\varepsilon}(t)</math>
gdzie <math>\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^{N_e}</math> to potencjały na elektrodach,
<math>\mathbf{s}(t) \in \mathbb{R}^{N_s}</math> to aktywność źródeł,
a <math>\mathbf{A}</math> to macierz mieszająca (ang. ''lead field'' lub ''forward matrix'').

Różnica leży w tym, co robimy z macierzą <math>\mathbf{A}</math>:

{| class="wikitable"
|-
! !! BSS / ICA !! Problem odwrotny
|-
| '''Macierz A''' || nieznana; estymowana z danych || obliczona z modelu głowy (''forward model'')
|-
| '''Liczba źródeł''' || równa liczbie elektrod || od 1 dipola do ~10 000 wokseli
|-
| '''Geometria''' || brak założeń przestrzennych || źródła zlokalizowane w przestrzeni 3D
|-
| '''Regularyzacja''' || przez kryterium stat. (niezależność, wariancja) || przez regularyzację matematyczną (L2, L1, …)
|-
| '''Wynik''' || filtry przestrzenne + komponenty || mapa aktywności w przestrzeni mózgu
|}

Kluczowa trudność problemu odwrotnego wynika z jego
fundamentalnej niejednoznaczności:

układ równań:

<math>\mathbf{x} = \mathbf{A}\mathbf{s}</math>

jest niedookreślony — przy <math>N_e \approx 19\text{–}256</math> elektrodach
i <math>N_s \sim 10^4</math> możliwych lokalizacjach źródeł
istnieje nieskończenie wiele rozkładów <math>\mathbf{s}</math>
dokładnie odtwarzających zmierzony <math>\mathbf{x}</math>.
Każda metoda nakłada inne założenie ''a priori'', by wybrać jedno rozwiązanie.

==Model do przodu (forward model)==

Zanim można rozwiązać problem odwrotny, należy zbudować
''model do przodu'' — obliczenie potencjałów na elektrodach
wywołanych przez jednostkowe źródło prądowe w danym miejscu mózgu.
Wynik zapisuje się jako macierz ''pola wiodącego'' (''lead field''):
:<math>\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{N_e \times 3N_s}</math>
gdzie czynnik 3 wynika z trzech ortogonalnych składowych momentu dipolowego.

=== Skąd bierze się macierz ''lead field''? ===

Przejdźmy od równań Maxwella do tego, co dosłownie liczą funkcje `ft_prepare_headmodel` / `ft_prepare_leadfield`.

==== 1. Punkt wyjścia: przybliżenie kwazistatyczne ====

=====Pełne równania Maxwella w ośrodku materialnym=====

$$
\begin{aligned}
\nabla \cdot \mathbf{D} &= \rho && \text{(prawo Gaussa)} \\
\nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 && \text{(brak monopoli magnetycznych)} \\
\nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} && \text{(prawo Faradaya)} \\
\nabla \times \mathbf{H} &= \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} && \text{(prawo Ampère'a–Maxwella)}
\end{aligned}
$$

uzupełnione związkami konstytutywnymi dla tkanki traktowanej jako liniowy, lokalnie izotropowy ośrodek:

$$
\mathbf{D} = \varepsilon\,\mathbf{E},\qquad \mathbf{B} = \mu_0\,\mathbf{H},\qquad \mathbf{J} = \sigma\,\mathbf{E} + \mathbf{J}^p
$$

Ostatnia relacja to uogólnione prawo Ohma: prąd swobodny ma część omową (<math>\sigma\mathbf{E}</math>, prądy bierne w przewodniku objętościowym) i część „pierwotną" <math>\mathbf{J}^p</math> pochodzącą od źródeł neuronowych — bo to one *nie* są napędzane lokalnym polem <math>\mathbf{E}</math>, tylko gradientami stężeń jonów.

===== Przybliżenie kwazistatyczne =====

Wprowadzamy harmoniczną zależność czasową <math>e^{i\omega t}</math> i porównujemy człony w równaniach Maxwella. Trzy warunki muszą być spełnione jednocześnie:

**(a) Pomijalny prąd przesunięcia w równaniu Ampère'a. ** Stosunek członu pojemnościowego do omowego to <math>\omega\varepsilon/\sigma</math>. Dla tkanki przy <math>f=100</math> Hz, <math>\sigma\approx 0{,}3</math> S/m, <math>\varepsilon_r\approx 10^5</math> (efektywna wartość niska-częstotliwościowa dla istoty szarej; spada szybko z <math>f</math>):
$$\frac{\omega\varepsilon}{\sigma} = \frac{2\pi\cdot 100\cdot 10^5\cdot 8{,}85\cdot 10^{-12}}{0{,}3}\sim 10^{-3}$$

— bezpiecznie pomijalny w EEG. To pozwala napisać <math>\nabla\times\mathbf{H}\approx\mathbf{J}</math>, a po wzięciu dywergencji:
$$\nabla\cdot\mathbf{J} = 0$$

**(b) Pomijalna indukcja w równaniu Faradaya.** Mówimy, że <math>\partial\mathbf{B}/\partial t</math> jest na tyle małe, że <math>\nabla\times\mathbf{E}\approx 0</math>, więc istnieje potencjał skalarny <math>V</math> z <math>\mathbf{E}=-\nabla V</math>. Można to oszacować z indukcyjności geometrii głowy i wykazać, że pomijany wkład jest o kilka rzędów mniejszy od <math>-\nabla V</math>.

**(c) Brak efektów propagacyjnych.** Długość fali EM przy 100 Hz w próżni to <math>\lambda = c/f\approx 3000</math> km, czyli <math>\lambda \gg L_\text{głowy}</math>. To gwarantuje, że pole „widzi" całą głowę jednocześnie — stąd zerowe przesunięcie fazowe propagacji potencjału przez przewodnik objętościowy.

Co zostaje po przybliżeniu:

$$
\begin{aligned}
\nabla \times \mathbf{E} &= 0 \;\Rightarrow\; \mathbf{E} = -\nabla V \\
\nabla \cdot \mathbf{J} &= 0 \\
\mathbf{J} &= -\sigma\nabla V + \mathbf{J}^p
\end{aligned}
$$

Składając trzy powyższe:

$$
\nabla\cdot\bigl(\sigma(\mathbf{r})\nabla V(\mathbf{r})\bigr) = \nabla\cdot\mathbf{J}^p(\mathbf{r})
$$

Warto przy tym podkreślić, że prawo Gaussa i <math>\nabla\cdot\mathbf{B}=0</math> nie znikają — one są nadal spełnione, ale po prostu nie są nam potrzebne do wyliczenia <math>V</math> na skórze: ładunki swobodne i indukowane policzy się *a posteriori* z <math>\rho = \nabla\cdot(\varepsilon\nabla V)\cdot(-1)</math>, a pole magnetyczne (interesujące dla MEG!) z prawa Biota–Savarta zastosowanego do <math>\mathbf{J}</math>.

Warto tu zauważyć, że kwazistatyka EEG i kwazistatyka MEG to **to samo** przybliżenie — różni je tylko, co wybieramy jako wielkość mierzoną (<math>V</math> na skórze vs. <math>\mathbf{B}</math> na zewnątrz głowy). To samo równanie Poissona generuje oba sygnały, a różnice w czułości na orientację dipola (radialny vs. tangencjalny) wynikają stąd, że potencjał i pole magnetyczne są różnymi funkcjonałami tego samego rozwiązania.

==== 2. Rozszczepienie prądu — gdzie pojawia się „źródło" ====

Gęstość prądu w tkance dzielimy na część „pierwotną" (neuronową) i „objętościową" (omową):

$$\mathbf{J}(\mathbf{r}) = \mathbf{J}^p(\mathbf{r}) - \sigma(\mathbf{r})\,\nabla V(\mathbf{r})$$

<math>\mathbf{J}^p</math> reprezentuje *prądy postsynaptyczne w piramidowych neuronach kory* — to one są naszym „źródłem". Reszta to prądy bierne płynące w przewodniku objętościowym o nieizotropowej, niejednorodnej przewodności <math>\sigma</math>.

Podstawiając do warunku <math>\nabla \cdot \mathbf{J}_\text{tot} = 0</math> dostajemy równanie Poissona dla niejednorodnego przewodnika:

$$\boxed{\;\nabla \cdot \bigl(\sigma(\mathbf{r})\,\nabla V(\mathbf{r})\bigr) = \nabla \cdot \mathbf{J}^p(\mathbf{r})\;}$$

To jest równanie problemu wprost. Cała reszta to:
(a) model źródła,
(b) warunki brzegowe,
(c) sposób rozwiązania.

==== 3. Model źródła: dipol prądowy ====

Dla pojedynczego dipola w <math>\mathbf{r}_0</math> o momencie <math>\mathbf{q}</math>:

$$\mathbf{J}^p(\mathbf{r}) = \mathbf{q}\,\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$$

$$\nabla \cdot \mathbf{J}^p(\mathbf{r}) = \mathbf{q}\cdot\nabla\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$$

Liniowość PDE daje natychmiast kluczową własność: <math>V</math> jest **liniową** funkcją <math>\mathbf{q}</math>. To właśnie ta liniowość pozwala zapisać:

$$\mathbf{v} = \mathbf{L}\,\mathbf{j}$$

gdzie <math>\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{N_\text{el}}</math> to potencjały, <math>\mathbf{j} \in \mathbb{R}^{3N_\text{src}}</math> to momenty dipoli, a <math>\mathbf{L}</math> to *lead field matrix*. Każda kolumna <math>\mathbf{L}</math> to potencjał wywołany jednostkowym dipolem w danym miejscu i o danej orientacji.

==== 4. Warunki brzegowe ====

Na granicy skóra/powietrze prąd nie wypływa:

$$\sigma\,\nabla V \cdot \hat{\mathbf{n}} = 0 \quad \text{na zewnętrznej powierzchni}$$

Wewnątrz, na granicach tkanek o różnym <math>\sigma</math> (mózg–CSF–czaszka–skóra):

$$V \text{ ciągłe},\quad \sigma\nabla V \cdot \hat{\mathbf{n}} \text{ ciągłe}$$

To są te warunki, które „włączają" geometrię i przewodności do problemu — i to one decydują, że czaszka (niskie <math>\sigma</math>, około 1/15–1/80 tkanki miękkiej, do dziś dyskutowane) rozmywa pole tak agresywnie.

==== 5. Metody rozwiązania ====
W pakiecie fieldtrip problem wprostt jest rozwiązywany przez funkcję
`ft_prepare_headmodel` - to fabryka różnych metod rozwiązujących to samo PDE. Wybór `cfg.method` decyduje o paradygmacie matematycznym:

**(a) Rozwiązania analityczne — modele sferyczne** (`'singlesphere'`, `'concentricspheres'`)

Dla geometrii sferycznej z osiową symetrią rozwija się <math>V</math> w szereg wielomianów Legendre'a. Dla 3-warstwowego modelu koncentrycznego dostajemy zamknięty wzór z nieskończonym szeregiem, który w praktyce tnie się po ~40 wyrazach. Berg & Scherg (1994) dali znakomite przybliżenie 3 dipolami w sferze jednorodnej — błyskawicznie szybkie, do dziś używane w MEG. Plus: bardzo szybkie, brak siatkowania. Minus: kula to nie głowa, zwłaszcza w okolicach skroniowych i podstawy.

**(b) BEM — Boundary Element Method** (`'bemcp'`, `'dipoli'`, `'openmeeg'`)

Wykorzystuje się fakt, że w obszarze o stałym <math>\sigma</math> <math>V</math> spełnia równanie Laplace'a, a cały „nietrywialny" wkład można wyrazić jako całkę po powierzchniach granicznych. Z drugiej tożsamości Greena dostajemy całkowe równanie typu Fredholma 2-go rodzaju:

$$V(\mathbf{r}) = V_\infty(\mathbf{r}) + \frac{1}{4\pi}\sum_k \frac{\sigma_k^- - \sigma_k^+}{\bar{\sigma}}\oint_{S_k} V(\mathbf{r}')\,\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\cdot\hat{\mathbf{n}}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,dS'$$

gdzie <math>V_\infty</math> to potencjał dipola w przestrzeni nieograniczonej. Triangulujemy powierzchnie (skóra, czaszka, mózg — czasem CSF) i to równanie zamienia się w układ liniowy. Szybciej niż FEM, ale wymaga założenia odcinkowo stałej przewodności i zakłada izotropię.

**(c) FEM — Finite Element Method** (`'simbio'`, `'duneuro'`)

Cała objętość głowy dyskretyzowana czworościanami/sześciościanami z indywidualnym tensorem <math>\sigma</math> w każdym elemencie (z DTI można wstrzyknąć anizotropię istoty białej!). Sformułowanie wariacyjne daje rzadki układ:

$$\mathbf{K}\mathbf{u} = \mathbf{b}$$

gdzie <math>\mathbf{K}</math> to macierz sztywności zależna od <math>\sigma(\mathbf{r})</math>, a <math>\mathbf{b}</math> niesie informację o źródle. To „złoty standard" pod kątem dokładności, ale kosztowny — dlatego praktycznie zawsze łączony z trikiem z punktu 6.

**(d) FDM** — rzadziej, dziś głównie historycznie.

==== 6. Twierdzenie o wzajemności — dlaczego macierz <math>\mathbf{L}</math> da się liczyć rozsądnie ====

Naiwne podejście: dla każdego z <math>\sim 10^4</math> źródeł i każdej z 3 orientacji odpalić rozwiązywacz PDE. To <math>3\times 10^4</math> rozwiązań. Beznadzieja.

Helmholtzowska zasada wzajemności mówi: potencjał w elektrodzie A wywołany dipolem w punkcie <math>\mathbf{r}_0</math> jest równoważny pewnej wielkości policzonej z
pola elektrycznego wytworzonego w <math>\mathbf{r}_0</math> przez jednostkowy prąd wstrzyknięty między elektrodą A a referencją. Formalnie:

$$V_A(\mathbf{r}_0;\mathbf{q}) = \mathbf{E}^{(A)}(\mathbf{r}_0)\cdot\mathbf{q}$$

gdzie <math>\mathbf{E}^{(A)}</math> to pole „wstrzykniętego" prądu jednostkowego. Konsekwencja: zamiast <math>3N_\text{src}</math> rozwiązań PDE wystarczy <math>N_\text{el}-1</math> rozwiązań (po jednym na elektrodę). Praktycznie wszystkie pakiety BEM/FEM (w tym OpenMEEG, SimBio, DUNEuro) to wykorzystują — i dlatego FEM jest w ogóle wykonalny dla całych siatek źródłowych.

==== 7. Co więc dosłownie robi `ft_prepare_headmodel` ====

Tworzy obiekt `headmodel`, który zawiera:
- geometrię (kule albo siatki powierzchniowe, albo objętościową siatkę FEM),
- przewodności poszczególnych warstw,
- a w przypadku BEM/FEM — wstępnie policzony operator dyskretny (np. odwróconą macierz BEM albo czynnik macierzy sztywności FEM z trikiem transferowym wykorzystującym wzajemność).

To jest najdroższa część obliczeń — i robi się ją raz dla danej geometrii. Potem `ft_prepare_leadfield`, dla każdej pozycji źródła w `cfg.sourcemodel`, używa tego operatora, żeby wygenerować trzy kolumny <math>\mathbf{L}</math> (dla orientacji x, y, z). Wynik to `leadfield{i}` o wymiarze <math>N_\text{el}\times 3</math> — czyli dosłownie blok macierzy lead field dla danego wokselu.

---

Podsumowanie:

1. Maxwell → kwazistatyka → „elektrostatyka z prądami"
2. Podział prądu i równanie Poissona (jedyne równanie, którego naprawdę trzeba)
3. Dipol jako model i wynikająca **liniowość** → uzasadnienie wzoru $\mathbf{v}=\mathbf{L}\mathbf{j}$
4. Warunki brzegowe → tu wchodzi anatomia
5. Sfery (analityczne, intuicja) → BEM → FEM jako kolejne stopnie realizmu
6. Wzajemność jako trik obliczeniowy, bez którego niczego by się nie dało policzyć w sensownym czasie

Klasyczne źródła:
- Hallez et al. 2007 *J Neuroeng Rehabil* (review obliczeń forward, bardzo czytelny),
- Mosher et al. 1999 dla zwartego wyprowadzenia,
- oraz dokumentacja OpenMEEG (Gramfort et al. 2010) — tam ścieżka BEM jest wyprowadzona z drugiej tożsamości Greena.
---

=== Programy obliczające model do przodu:===
MNE-Python (<code>mne.make_bem_model</code>), FieldTrip (<code>ft_prepare_headmodel</code>), OpenMEEG.

==Fitowanie dipoli (Dipole Fitting)==

===Idea===
Najprostsze założenie: aktywacja EEG pochodzi z jednego
(lub kilku) ekwiwalentnych dipoli prądowych.
Każdy dipol opisany jest sześcioma parametrami:
trzema współrzędnymi położenia <math>(x,y,z)</math>
i trzema składowymi momentu dipolowego <math>(q_x, q_y, q_z)</math>.

===Formalizm===
Dla pojedynczego dipola o momencie <math>\mathbf{q}(t)</math>
w lokalizacji <math>\mathbf{r}_0</math>:
:<math>\mathbf{x}(t) = \mathbf{a}(\mathbf{r}_0)\,\mathbf{q}(t) + \boldsymbol{\varepsilon}(t)</math>
gdzie <math>\mathbf{a}(\mathbf{r}_0) \in \mathbb{R}^{N_e \times 3}</math>
to kolumna macierzy pola wiodącego odpowiadająca lokalizacji <math>\mathbf{r}_0</math>.

Estymacja polega na minimalizacji reszty:
:<math>\hat{\mathbf{r}}_0 = \arg\min_{\mathbf{r}} \left\|\mathbf{x}(t) - \mathbf{a}(\mathbf{r})\,\hat{\mathbf{q}}(t)\right\|^2</math>
Minimalizację prowadzi się zwykle algorytmem Neldera–Meada
lub Levenberga–Marquardta po przestrzeni lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* gdy źródło jest punktowe lub quasi-punktowe (np. wczesne składowe słuchowych potencjałów wywołanych N20, P25)
* gdy liczba aktywnych źródeł jest z góry znana i mała (1–3 dipole)

;Ograniczenia:
* wrażliwość na punkt startowy — algorytm może utknąć w minimum lokalnym
* złe dopasowanie gdy aktywacja pochodzi z rozległego obszaru kory
* wynik silnie zależy od dokładności modelu do przodu

==Minimum Norm Estimation (MNE)==

===Idea===
Zamiast zakładać małą liczbę dipoli,
rozkładamy aktywność na gęstą siatkę źródeł pokrywającą całą powierzchnię kory
i szukamy rozwiązania o minimalnej normie —
tj. takiego, które odtwarza dane, angażując jak najmniejszą całkowitą energię źródeł.

===Formalizm===
Problem optymalizacji z regularyzacją Tichonowa:
:<math>\hat{\mathbf{s}} = \arg\min_{\mathbf{s}} \left\|\mathbf{x} - \mathbf{A}\mathbf{s}\right\|^2 + \lambda\left\|\mathbf{s}\right\|^2</math>
gdzie <math>\lambda > 0</math> to parametr regularyzacji kontrolujący kompromis
między wiernością danym a gładkością rozwiązania.

Rozwiązanie analityczne:
:<math>\hat{\mathbf{s}} = \mathbf{A}^T\left(\mathbf{A}\mathbf{A}^T + \lambda\mathbf{I}\right)^{-1}\mathbf{x}</math>

Macierz <math>\mathbf{W}_{\mathrm{MNE}} = \mathbf{A}^T(\mathbf{A}\mathbf{A}^T + \lambda\mathbf{I})^{-1}</math>
jest liniowym filtrem przestrzennym — analogiem macierzy <math>\mathbf{W}</math> z CSP,
lecz skonstruowanym na podstawie modelu do przodu, nie z danych.

===Warianty===

;dSPM (''dynamic Statistical Parametric Mapping'', Dale 2000):
Normalizuje estymowaną aktywność przez odchylenie standardowe szumu:
:<math>F_{\mathrm{dSPM}}(\mathbf{r}, t) = \frac{\hat{s}(\mathbf{r},t)}{\sigma_{\mathrm{noise}}(\mathbf{r})}</math>
Wynik ma interpretację statystyczną (wartość F lub Z); popularne w neurobiologii poznawczej.

;sLORETA (''standardized LORETA'', Pascual-Marqui 2002):
Normalizuje przez odchylenie standardowe samego estymatora MNE (nie tylko szumu):
:<math>F_{\mathrm{sLORETA}}(\mathbf{r}, t) = \frac{\hat{s}(\mathbf{r},t)}{\sqrt{\left[\mathbf{W}_{\mathrm{MNE}}\mathbf{A}\right]_{(\mathbf{r},\mathbf{r})}}}</math>
Wykazuje zerowe systematyczne błędy lokalizacji w warunkach idealnych.

;Wybór <math>\lambda</math>:
Zwykle <math>\lambda = \alpha \cdot \mathrm{tr}(\mathbf{A}\mathbf{A}^T) / \mathrm{tr}(\mathbf{I})</math>
z <math>\alpha \in [0.05, 0.3]</math>; w MNE-Python domyślnie <math>\alpha = 0.1</math>.
Można też stosować kryterium L-krzywej lub walidację krzyżową.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* gdy aktywacja jest rozproszona lub nieznana a priori
* jako ogólne narzędzie wizualizacji ERP na powierzchni kory
* przy małej liczbie elektrod

;Ograniczenia:
* tendencja do rozmywania rozwiązania — źródła głębokie są systematycznie niedoszacowane
* brak zakładanej rzadkości (''sparsity''); wariant L1 (MCE) jest rzadszy, ale trudniejszy obliczeniowo
* wymaga dobrego modelu do przodu

==Beamformery==

===Idea===
Beamformer (dosł. „formowanie wiązki") to adaptacyjny filtr przestrzenny,
który dla każdej lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>
konstruuje wagi <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math> maksymalizujące
stosunek mocy sygnału z tej lokalizacji do mocy wszystkich pozostałych źródeł.
W odróżnieniu od MNE, beamformer korzysta z macierzy kowariancji danych —
jest więc metodą adaptacyjną, zbliżoną duchem do CSP.

===LCMV (''Linearly Constrained Minimum Variance'', Van Veen 1997)===

Szukamy filtra minimalizującego wariancję wyjścia
przy ograniczeniu zachowującym sygnał z lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>:
:<math>\mathbf{w}^*(\mathbf{r}) = \arg\min_{\mathbf{w}} \mathbf{w}^T\mathbf{C}\mathbf{w}
\quad \text{p.o.} \quad \mathbf{w}^T\mathbf{a}(\mathbf{r}) = 1</math>
gdzie <math>\mathbf{C} = E[\mathbf{x}\mathbf{x}^T]</math> to macierz kowariancji danych.

Rozwiązanie analityczne (mnożnik Lagrange'a):
:<math>\mathbf{w}(\mathbf{r}) = \frac{\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}{\mathbf{a}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}</math>

Moc w lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>:
:<math>P(\mathbf{r}) = \mathbf{w}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}\,\mathbf{w}(\mathbf{r})
= \frac{1}{\mathbf{a}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}</math>

===DICS (''Dynamic Imaging of Coherent Sources'', Gross 2001)===

Wariant beamformera dla analizy częstotliwościowej:
zamiast macierzy kowariancji czasowej stosuje
''cross-spectral density matrix'' <math>\mathbf{C}(f)</math>
obliczoną dla wybranego pasma częstości.
Pozwala mapować koherencję między lokalizacjami na powierzchni kory.

===Analogia z CSP===

Zauważmy analogię strukturalną:

{| class="wikitable"
|-
! !! CSP !! LCMV Beamformer
|-
| '''Macierz kowariancji''' || <math>\mathbf{R}_T, \mathbf{R}_{NT}</math> (dwa warunki) || <math>\mathbf{C}</math> (jeden warunek) + <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
|-
| '''Filtr''' || <math>\mathbf{w}</math>: maks. stosunek wariancji || <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math>: min. wariancja przy ograniczeniu
|-
| '''Przestrzeń''' || elektrod || przestrzeni mózgu (woksel po wokselu)
|-
| '''Model do przodu''' || nie || tak — przez <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
|}

Kluczowa różnica: CSP optymalizuje globalnie jednym zagadnieniem własnym,
beamformer rozwiązuje osobny problem dla każdej lokalizacji.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* analiza ERD/ERS (rytmy ruchowe, alfa, beta) w przestrzeni mózgu
* lokalizacja źródeł oscylacyjnych w MEG
* DICS do badania koherencji korowo-korowej

;Ograniczenia:
* silnie skorelowane źródła są tłumione (''source cancellation'') — beamformer zakłada, że źródła są nieskorelowane
* wymaga dużej liczby próbek do stabilnej estymacji <math>\mathbf{C}^{-1}</math>
* przy małej liczbie elektrod macierz <math>\mathbf{C}</math> może być źle uwarunkowana

;Podsumowanie:
[[Plik:Inverse problem vs bss.png|mały|centruj]]

==Podsumowanie: kiedy stosować którą metodę==

{| class="wikitable"
|-
! Metoda !! Założenie a priori !! Dane wejściowe !! Typowe zastosowanie
|-
| '''Dipole fitting''' || 1–3 punktowe źródła || ERP, AEP, SEP || lokalizacja wczesnych składowych wywołanych
|-
| '''MNE / dSPM / sLORETA''' || minimalna energia; źródła ciągłe || ERP, dowolny sygnał || wizualizacja rozproszonej aktywności na korze
|-
| '''LCMV Beamformer''' || źródła nieskorelowane || ERD/ERS, dane resting-state || lokalizacja źródeł oscylacyjnych w MEG/EEG
|-
| '''DICS''' || j.w. + analiza spektralna || dane oscylacyjne || mapa koherencji korowo-korowej
|-
| '''CSP / ICA''' || brak modelu geometrycznego || dwa warunki / jeden segment || klasyfikacja BCI, usuwanie artefaktów
|}

;Uwaga praktyczna:
Wszystkie metody problemu odwrotnego wymagają przygotowania modelu do przodu.
Zaleca się korzystanie z MNE-Python lub FieldTrip — oba pakiety
oferują spójne pipeline'y od surowych danych do map korowych
i są szeroko stosowane w literaturze, co ułatwia replikację wyników.

=Sesja 7: Problem odwrotny — część praktyczna=

;Czas: ~30 min wprowadzenie + ~120 min ćwiczenie

Część praktyczna prowadzi przez pełny pipeline lokalizacji źródeł:
od wczytania danych w FieldTrip, przez zbudowanie modelu do przodu,
do fitowania dipola i interpretacji wyniku.
Sesja jest zaprojektowana tak, aby każdy krok bezpośrednio ilustrował
jeden element teorii omówionej w [[#Sesja 7: Problem odwrotny w EEG i MEG|części wykładowej]].

;Dane:
Używamy standardowego zestawu danych FieldTrip
(dane somatosensoryczne MEG/EEG, bodziec elektryczny na nadgarstku — składowa N20):
* https://download.fieldtriptoolbox.org/tutorial/Subject01.zip (~800 MB)

Ten sam zestaw danych jest używany we wszystkich tutorialach FieldTrip
wymienionych w tej sesji, co ułatwia porównywanie wyników między krokami.

;Instalacja FieldTrip: Wymagania wstępne:
FieldTrip wymaga MATLABa. Przed instalacją sprawdź kompatybilność swojej wersji:
[https://www.fieldtriptoolbox.org/faq/matlab/requirements MATLAB requirements]

;Pobranie toolboxa: Pobierz najnowszą wersję ze strony:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/download.php Pobierz FieldTrip]

Rozpakuj archiwum ZIP w wybranym katalogu, np. <code>~/matlab/fieldtrip</code> (Linux/macOS).

;Ważne: nie zmieniaj wewnętrznej struktury katalogów po rozpakowaniu —
FieldTrip dynamicznie zarządza swoimi podkatalogami.

;Konfiguracja ścieżki MATLAB: Pełna instrukcja: [https://www.fieldtriptoolbox.org/faq/matlab/installation Installation and setting up the path]

Uruchom poniższe polecenia na początku każdej sesji pracy z FieldTrip
(lub wstaw je do pliku <code>startup.m</code> — patrz niżej):

<source lang="matlab">
restoredefaultpath % wyczyść aktualną ścieżkę
addpath('~/fieldtrip') % podaj tu swoją ścieżkę do FieldTrip
ft_defaults % skonfiguruj FieldTrip i minimalne podkatalogi
</source>

;Uwaga — częsty błąd:
Nie używaj <code>addpath(genpath(...))</code> ani przycisku „Add with Subfolders" w MATLAB GUI.
FieldTrip samodzielnie dodaje potrzebne podkatalogi przez <code>ft_defaults</code>
i <code>ft_hastoolbox</code> — dodanie wszystkiego ręcznie powoduje konflikty
z funkcjami SPM, EEGLAB i wbudowanymi funkcjami MATLABa
(w szczególności z funkcjami z katalogu <code>fieldtrip/compat</code>
przeznaczonymi tylko dla starych wersji MATLABa).

;Trwała konfiguracja przez startup.m:

Żeby nie powtarzać powyższych poleceń przy każdym uruchomieniu MATLABa,
utwórz plik <code>startup.m</code> w swoim katalogu MATLABa
(zwykle <code>Dokumenty/MATLAB/startup.m</code>) z zawartością:

<source lang="matlab">
restoredefaultpath
addpath('C:\fieldtrip') % zmień na swoją ścieżkę
ft_defaults
</source>

MATLAB wykonuje ten plik automatycznie przy każdym uruchomieniu.

;Uwaga dla użytkowników EEGLAB: Jeśli korzystasz z EEGLAB i FieldTrip w tej samej sesji,
zawsze ładuj FieldTrip przez <code>restoredefaultpath</code> + <code>addpath</code> + <code>ft_defaults</code>,
a nie przez interfejs EEGLAB. Oba toolboxy zawierają funkcje o tych samych nazwach
(np. <code>eegplot</code>, <code>topoplot</code>) — kolejność na ścieżce decyduje,
która wersja zostanie wywołana.

;Weryfikacja instalacji: Sprawdź poprawność instalacji jednym poleceniem:

<source lang="matlab">
ft_defaults
ft_version
</source>

Powinieneś zobaczyć numer wersji i datę kompilacji, np.:
<pre>
FieldTrip version 20250901, path: C:\fieldtrip
</pre>

Jeśli MATLAB zgłasza błąd <code>Undefined function 'ft_defaults'</code>,
ścieżka nie została ustawiona poprawnie — wróć do kroku z <code>addpath</code>.

==Krok 0: Wejście do FieldTrip==

Przed właściwym ćwiczeniem proszę zapoznać się z tutorialem wprowadzającym:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/intro/introduction/ Introduction to the FieldTrip toolbox]

;Na co zwrócić uwagę przechodząc ten tutorial:

Studenci znający EEGLAB natkną się na dwie zasadnicze różnice w filozofii pracy:

* '''Struktura cfg''' zamiast GUI. Każda funkcja FieldTrip przyjmuje strukturę konfiguracyjną <code>cfg</code> i zwraca nową strukturę danych. Nie ma okien dialogowych — cała analiza jest skryptem. Jest to bliższe temu, co robiliśmy w MATLAB-owych sesjach CSP/ICA.

* '''Niezmienność danych'''. FieldTrip nie modyfikuje struktur w miejscu — każde wywołanie funkcji zwraca nową strukturę. Pozwala to łatwo porównywać wyniki różnych parametrów, ale wymaga dbałości o nazewnictwo zmiennych.

;Pytanie do dyskusji po lekturze:
Jak odpowiadają sobie nawzajem: <code>EEG.data</code> w EEGLAB i struktura <code>data</code> w FieldTrip?
Gdzie w strukturach FieldTrip przechowywane są informacje o lokalizacji elektrod?

==Krok 1: Model do przodu — BEM dla EEG==

Przed fitowaniem dipola musimy obliczyć macierz pola wiodącego <math>\mathbf{A}</math>.
Proszę przejść tutorial:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/headmodel_eeg_bem Construct a BEM headmodel for EEG source analysis]

;Cel tego kroku:
Zrozumieć skąd pochodzi kolumna <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
używana we wszystkich metodach Sesji 7.
Każda kolumna <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math> mówi: „jeśli w miejscu <math>\mathbf{r}</math>
znajdowałby się dipol o jednostkowym momencie,
to jakie potencjały zmierzylibyśmy na każdej z elektrod?"

;Kluczowe funkcje FieldTrip w tym kroku:
<source lang="matlab">
% Segmentacja MRI na trzy tkanki (skóra, czaszka, mózg)
cfg = [];
cfg.output = {'brain','skull','scalp'};
segmentedmri = ft_volumesegment(cfg, mri);

% Budowanie siatki trójkątów BEM
cfg = [];
cfg.tissue = {'brain','skull','scalp'};
cfg.numvertices = [3000 2000 1000];
bnd = ft_prepare_mesh(cfg, segmentedmri);

% Obliczenie modelu do przodu metodą BEM (OpenMEEG)
cfg = [];
cfg.method = 'openmeeg';
cfg.conductivity = [0.33 0.0041 0.33]; % mózg, czaszka, skóra [S/m]
headmodel = ft_prepare_headmodel(cfg, bnd);
</source>

;Na co zwrócić uwagę:
* Stosunek przewodności czaszka/mózg wynosi tu ~1/80.
Jak myślisz, jak bardzo błąd w tym parametrze wpłynie na lokalizację źródeł?
* Funkcja <code>ft_prepare_mesh</code> tworzy trzy zagnieżdżone siatki.
Jak ma się to do opisu BEM z wykładu?

==Krok 2: Fitowanie dipola (ćwiczenie główne)==

;Czas: ~90 min

To jest główne ćwiczenie praktyczne Sesji 7.
Proszę przejść tutorial:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/dipolefitting Dipole fitting of combined MEG/EEG data]

Poniżej znajdziesz szkielet kodu z pytaniami pomocniczymi
do samodzielnego wypełnienia — zacznij od tutorialu,
a potem wróć do szkieletu i uzupełnij brakujące fragmenty.

===Szkielet kodu — fitowanie dipola dla składowej N20===

<source lang="matlab">
%% KROK A: Wczytanie i preprocessing danych EEG
% Dane: Subject01.zip (patrz wyżej)
% Używamy tylko kanałów EEG, odrzucamy MEG.

cfg = [];
cfg.dataset = 'Subject01.ds';
cfg.trialdef.eventtype = 'backpanel trigger';
cfg.trialdef.eventvalue = 3; % bodziec na lewym nadgarstku
cfg.trialdef.prestim = 0.1;
cfg.trialdef.poststim = 0.3;
cfg = ft_definetrial(cfg);

cfg.channel = 'EEG';
cfg.continuous = 'yes';
cfg.demean = 'yes';
cfg.baselinewindow = [-0.1 0];
data = ft_preprocessing(cfg);

%% KROK B: Uśrednianie — potencjał wywołany
% TUTAJ: użyj ft_timelockanalysis aby obliczyć ERP (średnią po powtórzeniach)
% Wynik zapisz jako 'timelock'

% TUTAJ

%% KROK C: Wczytanie modelu do przodu i lokalizacji elektrod
% Zakładamy, że headmodel i elec zostały obliczone w Kroku 1.
% Jeśli nie — można użyć gotowego modelu z paczki danych Subject01.

load('standard_bem.mat'); % headmodel
load('Subject01_elec.mat'); % lokalizacje elektrod (po dopasowaniu do MRI)

%% KROK D: Przygotowanie siatki poszukiwań (grid)
% Definiujemy siatkę regularną 1 cm wewnątrz mózgu.
% ft_prepare_sourcemodel oblicza też macierz pola wiodącego A
% (tzw. leadfield) dla każdego punktu siatki.

cfg = [];
cfg.headmodel = headmodel;
cfg.elec = elec;
cfg.resolution = 1; % odstęp siatki w cm
cfg.unit = 'cm';
sourcemodel = ft_prepare_sourcemodel(cfg);

%% KROK E: Fitowanie dipola
% Szukamy jednego dipola najlepiej wyjaśniającego topografię N20.
% Okno czasowe 0.016–0.022 s odpowiada składowej N20.

cfg = [];
cfg.latency = [0.016 0.022]; % okno N20 w sekundach
cfg.numdipoles = 1;
cfg.headmodel = headmodel;
cfg.elec = elec;
cfg.sourcemodel = sourcemodel;
cfg.nonlinear = 'yes'; % optymalizacja nieliniowa po przestrzeni

% TUTAJ: source = ft_dipolefitting(cfg, timelock);

%% KROK F: Wizualizacja wyniku
% Nałożenie lokalizacji dipola na MRI anatomiczne.

load('standard_mri.mat'); % MRI w tym samym układzie współrzędnych

cfg = [];
cfg.location = source.dip.pos; % współrzędne znalezionego dipola [x y z]

% TUTAJ: ft_sourceplot(cfg, mri);

%% KROK G: Ocena dopasowania
% Goodness of fit (GoF) mówi jaka część wariancji danych
% jest wyjaśniona przez znaleziony dipol.
% Wartość > 0.85 uznaje się za dobre dopasowanie.

fprintf('Goodness of fit: %.1f%%\n', source.dip.rv * 100);
% Uwaga: w FieldTrip rv to residual variance (1 - GoF).
% Dobry dipol ma rv < 0.15.

disp('Lokalizacja dipola [x y z] w mm:')
disp(source.dip.pos)

disp('Moment dipolowy [qx qy qz]:')
disp(source.dip.mom)
</source>

===Zadania do samodzielnej realizacji===

;Zadanie 1 (obowiązkowe): Pipeline i lokalizacja
Uzupełnij brakujące fragmenty szkieletu (kroki B i E–F).
Gdzie na MRI ląduje znaleziony dipol? Czy odpowiada to oczekiwanej anatomii
składowej N20 (pierwotna kora somatosensoryczna S1, okolica bruzdy centralnej)?

;Zadanie 2 (obowiązkowe): Wpływ okna czasowego
Zmień <code>cfg.latency</code> kolejno na:
* <code>[0.016 0.022]</code> — okno N20
* <code>[0.025 0.035]</code> — okno P25
* <code>[0.045 0.060]</code> — okno N45
Czy lokalizacja dipola zmienia się między tymi składowymi?
Jak zmienia się GoF? Co to mówi o tym, która składowa jest lepiej opisana modelem jednego dipola?

;Zadanie 3 (obowiązkowe): Dwa dipole
Zmień <code>cfg.numdipoles = 2</code> i powtórz fitowanie dla okna N20.
Czy model dwóch dipoli daje istotnie lepszy GoF niż jeden?
Jak interpretujesz dwa znalezione źródła?

;Zadanie 4 (dla chętnych): Wrażliwość na model do przodu
FieldTrip pozwala użyć uproszczonego modelu sferycznego
zamiast BEM: ustaw <code>cfg.headmodel</code> na model jednorodnej sfery
(<code>cfg.method = 'singlesphere'</code> w <code>ft_prepare_headmodel</code>).
O ile zmienia się lokalizacja dipola N20?
Czy GoF wzrasta czy maleje?

;Pytania do dyskusji:
* Fitowanie dipola wymaga podania okna czasowego — dlaczego?
Co stałoby się gdybyśmy dopasowywali dipol do całej epoki (−100 do +300 ms)?
* Algorytm minimalizacji może utknąć w minimum lokalnym.
Jak <code>cfg.sourcemodel</code> (siatka) pomaga temu zaradzić?
Jaki jest kompromis między rozdzielczością siatki a czasem obliczeń?
* Porównaj mapę topograficzną ERP w oknie N20
z mapą rekonstruowaną z dopasowanego dipola (wywołaj <code>ft_dipolefitting</code>
z opcją <code>cfg.dipfit.display = 'yes'</code>).
Czy widzisz różnicę? Skąd ona pochodzi?

==Krok 3: Dalsze metody — dla zainteresowanych==

Poniższe tutoriale stanowią naturalne rozwinięcie ćwiczenia głównego
i ilustrują pozostałe metody omówione w teorii Sesji 7.
Nie są wymagane na zaliczenie, ale gorąco je polecamy
jeśli planujesz używać lokalizacji źródeł w pracy badawczej.

;Minimum Norm Estimation:
[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/minimumnormestimate Source reconstruction of event-related fields using minimum-norm estimation]

Ten sam sygnał N20 co w ćwiczeniu głównym, ale zamiast jednego dipola
otrzymujesz ciągłą mapę aktywności na całej powierzchni kory.
Zwróć uwagę jak wybór parametru regularyzacji <math>\lambda</math>
wpływa na rozmycie rozwiązania.
Porównaj lokalizację maksimum mapy MNE z lokalizacją dipola z Kroku 2.

;Beamformer (LCMV/DICS):
[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/beamformer Localizing oscillatory sources in MEG data using a beamformer]

Tutorial wykorzystuje ten sam zestaw danych Subject01
i lokalizuje źródła oscylacji gamma wywołanych bodźcem —
bezpośrednie rozwinięcie analizy ERD/ERS, którą już znasz.
Kluczowa różnica w stosunku do MNE: beamformer korzysta
z macierzy kowariancji danych <math>\mathbf{C}</math>,
a nie tylko z modelu do przodu. Sprawdź jak wyglądają
filtry przestrzenne <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math> dla różnych lokalizacji
i porównaj je koncepcyjnie z filtrami CSP z Sesji 1–3.











-->

Laboratorium EEG/CSP

2026-05-14T08:10:00Z

Jarekz: /* 6. Twierdzenie o wzajemności — dlaczego macierz $\mathbf{L}$ da się liczyć rozsądnie */

[[Laboratorium_EEG]]/BSS

=Sesja 1: Ślepa separacja źródeł i CSP — wprowadzenie=

;Czas: ~60 min wykład + ~90 min ćwiczenie symulacyjne

Zajęcia wprowadzają do problemu filtracji przestrzennej sygnałów EEG.
Punktem wyjścia jest ogólny problem ślepej separacji źródeł (BSS),
z którego CSP wyłania się jako szczególny przypadek dla dwóch warunków
eksperymentalnych. Filtry przestrzenne omawiane na tych zajęciach stanowią
fundament klasycznych metod BCI (P300, SSVEP, motor imagery) oraz są
bezpośrednim odpowiednikiem warstw przestrzennych w sieciach neuronowych
takich jak ShallowConvNet i EEGNet — do tej analogii wrócimy w sesji 6.

[https://drive.google.com/file/d/1WrXgWWDJ7g5ZdYltm_8s2NXbGamw4R8N/view?usp=sharing Slajdy do wykładu (PDF)]

;Zakres wykładu:
* model generatywny EEG: <math>x(t) = As(t)</math>, macierz kowariancji, idea diagonalizacji
* BSS jako ogólny problem separacji źródeł
* CSP jako szczególny przypadek: dwa warunki eksperymentalne, iloraz Rayleigha, uogólnione zagadnienie własne
* interpretacja filtrów i topografii źródeł

;Ćwiczenie symulacyjne:
Zob. [[#Ćwiczenie symulacyjne|Ćwiczenie symulacyjne]] w sekcji CSP poniżej.

====Ćwiczenie symulacyjne ====
====Zadania do samodzielnej realizacji====

Poniższy kod dostarcza gotowej infrastruktury: generacji sygnałów, macierzy mieszającej i wizualizacji.
Zadaniem jest samodzielna implementacja kluczowych kroków analizy CSP.

;Zadanie 1 (obowiązkowe): Obliczenie macierzy kowariancji
Napisz funkcję <code>srednia_kowariancja(X, ind)</code>, która dla danej tablicy sygnałów <code>X</code>
(wymiary: powtórzenia × kanały × próbki) i wektora indeksów czasowych <code>ind</code>
zwraca średnią macierz kowariancji uśrednioną po powtórzeniach.
Dla każdego powtórzenia zastosuj funkcję <code>cov</code> i znormalizuj wynik przez jego ślad (<code>trace</code>).
Sprawdź wynik porównując z macierzami <code>R_B</code> i <code>R_E</code> obliczonymi w dostarczonym kodzie.

;Zadanie 2 (obowiązkowe): Implementacja CSP
Korzystając z funkcji <code>eig</code> oraz macierzy kowariancji obliczonych w zadaniu 1,
wyznacz macierz filtrów przestrzennych <code>W</code> i odpowiadające im wartości własne.
Odtwórz sygnały źródłowe dla wszystkich powtórzeń.
Narysuj chmury punktów (amplituda źródła 1 vs amplituda źródła 2) osobno dla warunków
baseline i ERP — przed transformacją CSP i po niej. Co zmieniło się w kształcie chmur?

Wykreśl także wizualizację przebiegów czasowych sygnałów X i sygnałów S uzyskanych po rozmieszaniu.

;Zadanie 3 (obowiązkowe): Interpretacja wartości własnych
Wartości własne znajdują się na przekątnej macierzy <code>Lambda</code>.
Który filtr najbardziej różnicuje warunki baseline i ERP?
Jaki jest związek między wartością własną a separacją widoczną na wykresach punktowych?

;Zadanie 4 (dla chętnych): Wpływ macierzy mieszającej
W dostarczonym kodzie macierz <code>P</code> (filtr przestrzenny) wynosi:
<pre>
P = [1 2; 1.5 1.3]
</pre>
Zmień ją kolejno na macierz bliską jednostkowej (np. <code>P = [1 0.1; 0.1 1]</code>)
oraz na macierz z dużymi elementami pozadiagonalnymi (np. <code>P = [1 5; 4 1]</code>).
Jak zmienia się kształt chmury punktów przed transformacją CSP?
Czy CSP poprawnie oddziela źródła w obu przypadkach?

;Zadanie 5 (dla chętnych): Wpływ szumu
W kodzie szum jest wyłączony: <code>n = 0*randn(size(tmp))</code>.
Usuń mnożnik <code>0*</code> i zbadaj jak poziom szumu wpływa na separację źródeł.
Przy jakim stosunku sygnału do szumu CSP przestaje skutecznie rozdzielać warunki?

;Pytanie do dyskusji:
Dostarczony kod używa <code>eig(R_E, R_B)</code>.
Alternatywą jest <code>eig(R_E, (R_E+R_B)/2)</code>.
Czym różnią się te dwie wersje? W jakich sytuacjach eksperymentalnych
druga wersja mogłaby być bardziej uzasadniona?

====Szkielet kodu do uzupełnienia====

Poniższy szkielet zawiera gotową infrastrukturę symulacji.
Uzupełnij brakujące fragmenty oznaczone komentarzem <code>% TUTAJ</code>
zgodnie z zadaniami 1–3. Pełny kod referencyjny dostępny jest poniżej
— zajrzyj do niego dopiero po samodzielnej próbie.

<source lang="matlab">
%% Parametry symulacji — nie modyfikuj tej sekcji
Fs = 100;
T = 1;
t = 0:1/Fs:T-1/Fs;
N_rep = 100;
N_chan = 2;
s = zeros(N_rep, N_chan, length(t));
X = zeros(N_rep, N_chan, length(t));

P = [1 2; 1.5 1.3]; % filtr przestrzenny (prawdziwy)
A = P^(-1); % topografia źródeł

for r = 1:N_rep
s1 = sin(2*pi*11*t + pi/2) + 0.02*randn(size(t));
s2 = exp(-((t-0.8)/0.05).^2) + 0.01*randn(size(t));
s(r,1,:) = s1;
s(r,2,:) = s2;
tmp = squeeze(s(r,:,:));
n = 0*randn(size(tmp)); % Zadanie 5: zmień 0* na 1* aby włączyć szum
X(r,:,:) = A*tmp + n;
end

baseline_ind = find(t < 0.5);
ERP_ind = find(t >= 0.5);

R_B = zeros(N_chan, N_chan);
R_E = zeros(N_chan, N_chan);

%% Zadanie 1: Oblicz średnie macierze kowariancji
% korzystając z funkcji srednia_kowariancja(X, ind)

% Dla każdego powtórzenia r:
% - wytnij fragment sygnału X(r,:,baseline_ind) i analogicznie ERP
% - oblicz macierz kowariancji funkcją cov() — pamiętaj o transpozycji
% - znormalizuj przez ślad (funkcja trace())
% - dodaj do sumy
% Na końcu podziel przez N_rep

%% Zadanie 2: Rozwiąż uogólnione zagadnienie własne
% Użyj funkcji eig(A,B) gdzie A=R_E, B=R_B
% W wyniku otrzymasz macierz wektorów własnych W (w kolumnach)
% i macierz Lambda z wartościami własnymi na przekątnej

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

disp('Wartości własne (przekątna Lambda):')
disp(diag(Lambda))

%% Zadanie 2 cd.: Odtwórz sygnały źródłowe
% Dla każdego powtórzenia r zastosuj filtr: S(r,:,:) = W' * X(r,:,:)

S = zeros(N_rep, N_chan, length(t));

for r = 1:N_rep
% TUTAJ: S(r,:,:) = ...
end

%% Zadanie 3: Wizualizacja — chmury punktów przed i po CSP
x_base_k1 = X(:,1,baseline_ind);
x_base_k2 = X(:,2,baseline_ind);
x_ERP_k1 = X(:,1,ERP_ind);
x_ERP_k2 = X(:,2,ERP_ind);

s_base_k1 = squeeze(S(:,1,baseline_ind));
s_base_k2 = squeeze(S(:,2,baseline_ind));
s_ERP_k1 = squeeze(S(:,1,ERP_ind));
s_ERP_k2 = squeeze(S(:,2,ERP_ind));

figure(1); clf
subplot(1,2,1)
plot(x_base_k1(:), x_base_k2(:), 'b.'); hold on
plot(x_ERP_k1(:), x_ERP_k2(:), 'r.');
axis equal; xlim([-2 2]); ylim([-2 2])
xlabel('Kanał 1'); ylabel('Kanał 2')
title('Przed CSP')
legend('baseline','ERP')

subplot(1,2,2)
plot(s_base_k1(:), s_base_k2(:), 'b.'); hold on
plot(s_ERP_k1(:), s_ERP_k2(:), 'r.');
axis equal
xlabel('Źródło 1'); ylabel('Źródło 2')
title('Po CSP')
legend('baseline','ERP')
%% Wizualizacja przebiegów czasowych X i S
% TUTAJ:

%% Zadanie 4 (dla chętnych): zmień macierz P powyżej i powtórz analizę
%% Zadanie 5 (dla chętnych): włącz szum (zmień 0* na 1* w linii z n=...)
</source>

{{hidden begin|title=Rozwiązanie — pokaż dopiero po samodzielnej próbie}}
<source lang = matlab>
% symulowany eksperyment składa się z sinusoidy udającej alfę spoczynkową i
% funkcji Gaussa udającego potencjał wywołany
% źródła te są symulowane niezależnie a potem mieszane przez macierz A
% symulujemy źródła
% s1 - symuluje alfę
% s2 - symuluje "potencjał wywołany" (ERP)

%ustawiamy parametry do symulacji sygnałów
Fs = 100;
T = 1;
t = 0:1/Fs:T-1/Fs;
N_rep = 100;
N_chan = 2;
s = zeros(N_rep,N_chan, length(t));
X = zeros(N_rep,N_chan, length(t));

% filtr przestrzenny - z takimi wagami trzeba wziąść kanały EEG aby odzyskać sygnały źródłowe
P = [1 2
1.5 1.3];

% topografie - z takimi wagami źródła dokładają się do poszczególnych elektrod
A = P^(-1);

for r =1:N_rep % tworzymy kolejne realizacje "eksperymentu"
s1 = sin(2*pi*11*t +pi/2+ 0*2*pi*rand())+ 0.02*randn(size(t)); % źródło alfa
s2 = exp(-((t-0.8)/0.05).^2)+ 0.01*randn(size(t)); % źródło ERP

s(r,1,:) = s1;
s(r,2,:) = s2;
tmp = squeeze(s(r,:,:));
n = 0*randn(size(tmp));
X(r,:,:) = A*tmp +n; % rzutujemy sygnały źródłowe na elektrody s -> x

end

% wycinamy warunki
% baseline_ind to indeksy pierwszej połowy każdego powtórzenia "baseline"
% ERP_ind to indeksy drugiej połowy każdego powtórzenia zawierająca "ERP"
baseline_ind = find(t<0.5);
ERP_ind = find(t>=0.5);

x_baseline_kan_1 = X(:,1,baseline_ind);
x_baseline_kan_2 = X(:,2,baseline_ind);

x_ERP_kan_1 = X(:,1,ERP_ind);
x_ERP_kan_2 = X(:,2,ERP_ind);

% liczymy średnie macierze kowariancji:
R_E = zeros(N_chan,N_chan);
R_B = zeros(N_chan,N_chan);
for r =1:N_rep
B = squeeze(X(r,:,baseline_ind));
tmp =cov(B');
R_B = R_B + tmp./trace(tmp);%B*B' ;

E = squeeze(X(r,:,ERP_ind));
tmp = cov(E');
R_E = R_E + tmp./trace(tmp);%E*E' ;
end

R_B = R_B/N_rep;
R_E = R_E/N_rep;

% rozwiązujemy uogólnione zagadnienie własne
[W,Lambda]=eig(R_E,R_B); % możliwa jest też optymalizacja wzg. średniej macierzy kowariancji (R_B+R_A)/2);

% odzyskujemy sygnały źródeł
for r =1:N_rep
S(r,:,:) = W'*squeeze(X(r,:,:));
end

% pobieramy wycinki odpowiadające obu częściom eksperymentu z estymowanych
% źródeł
s_baseline_estymowany_kan1 = squeeze( S(:,1,baseline_ind));
s_baseline_estymowany_kan2 = squeeze( S(:,2,baseline_ind));

s_ERP_estymowany_kan1 = squeeze(S(:,1,ERP_ind));
s_ERP_estymowany_kan2 = squeeze(S(:,2,ERP_ind));

%%%%%%%%%%%%%% Ilustracje %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ilustracja sygnałów mierzonych
figure(1);clf
subplot(2,2,1);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(X(:,1,baseline_ind)))','b'); hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze( X(:,1,ERP_ind)))','r'); hold off
xlabel('elektroda 1')
title('ilustracja sytuacji pomiarowej -\newline znane są potencjały na elektrodach w dwóch warunkach eksperymentalnych')
subplot(2,2,3);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(X(:,2,baseline_ind)))','b'); hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze( X(:,2,ERP_ind)))','r'); hold off
xlabel('elektroda 2')
subplot(1,2,2)
plot(x_baseline_kan_1(:),x_baseline_kan_2(:),'b.');
hold on
plot(x_ERP_kan_1(:),x_ERP_kan_2(:),'r.');
xlim([-2,2])
ylim([-2,2])
axis equal

% wektor własny odpowiadający największej wartości własnej jest
% kierunkiem najbardziej różnicującym warunki eksperymentalne
disp('wartości własne znajdują się na przekątnej macierzy Lambda')
disp(Lambda)
% rysujemy wersory jednostkowe w kierunkach wektorów własnych
w1 = W(:,1);
w1 = w1/norm(w1);
w2 = W(:,2);
w2 = w2/norm(w2);
line([0, w1(1) ],[0,w1(2)],'Color',[0,0.3,0])
text(w1(1),w1(2),'wektor własny 1')
line([0, w2(1) ],[0,w2(2)],'Color',[1,0,1])
text(w2(1),w2(2),'wektor własny 2')

xlabel('Amplituda na elektrodzie 1')
ylabel('Amplituda na elektrodzie 2')
legend('baseline','ERP')

% Ilustracja estymowanych źródeł
figure(2);clf
subplot(2,2,1);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(S(:,1,baseline_ind)))','b');hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze(S(:,1,ERP_ind)))','r');hold off
xlabel('estymowane zrodlo 1')
title('ilustracja estymacji -\newline estymowane są potencjały źródeł w dwóch warunkach eksperymentalnych')
subplot(2,2,3);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(S(:,2,baseline_ind)))','b');hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze(S(:,2,ERP_ind)))','r');hold off
xlabel('estymowane zrodlo 2');
subplot(1,2,2)
plot(s_baseline_estymowany_kan1(:),s_baseline_estymowany_kan2(:),'b.');
hold on
plot(s_ERP_estymowany_kan1(:),s_ERP_estymowany_kan2(:),'r.');

xlabel('Amplituda estym. źródła 1')
ylabel('Amplituda estym. źródła 2')
legend('baseline','ERP')
</source>
{{hidden end}}

=Sesja 2: CSP dla P300 — dane realne=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Pracujemy z danymi kalibracyjnymi z eksperymentu P300.
Celem sesji jest przejście pełnego pipeline'u: od surowych danych
do odtworzonych źródeł CSP.

;Zakres:
* wczytanie danych kalibracyjnych, identyfikacja znaczników T i NT
* cięcie epok (−200 do +800 ms), usuwanie trendu liniowego
* montaż względem średniej ze wszystkich elektrod
* wizualizacja ERP w układzie topograficznym
* obliczenie macierzy kowariancji RT i RNT, normalizacja przez ślad
* rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego: <code>[W, Lambda] = eig(R_T, R_NT)</code>
* odtworzenie sygnałów źródłowych: <code>S = W'*EEG</code>
* przegląd estymowanych źródeł w dwóch warunkach

;Materiały:
Dane: https://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/KalibracjaP300.tar.gz

===ZADANIE: Analiza CSP===

Przegląd badań o P300: https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2715154/

Link do Read menager [https://drive.google.com/file/d/1OgOduK5Zn7GgNl5XdCyLWXHJ7wTJIWcC/view?usp=share_link]

* Wykonać analizę CSP wzmacniającą potencjał P300.
* Zaprezentować średnią ze wszystkich kanałów źródłowych z warunku target (jeden kolor) i non-target (inny kolor) w subplotach ułożonych w prostokątnej siatce. Zaobserwować, dla którego kanału średnie różnią się najbardziej. Czy jest związek tego kanału z wartościami własnymi?

* Dla kanału najbardziej różnicującego wykonać mapki topograficzne wektorów odpowiadających:
** filtrowi przestrzennemu
** rzutu topograficznego źródła na elektrody.

===Szkielet kodu do analizy wstępnej===

<source lang="matlab">
%% KROK 1: Wczytanie danych
% ReadManager to pomocnicza klasa do odczytu plików w formacie OpenBCI.
% Przyjmuje trzy pliki: XML z metadanymi, RAW z próbkami i TAG ze znacznikami zdarzeń.
nazwaPliku = 'p_6301423_calibration_p300.obci';
nameOfXMLFile = strcat(nazwaPliku, '.xml');
nameOfTagFile = strcat(nazwaPliku, '.tag');
namesOfDataFiles = strcat(nazwaPliku, '.raw');

rm = ReadManager(nameOfXMLFile, namesOfDataFiles, nameOfTagFile);

% Pobieramy podstawowe parametry nagrania
numberOfChannels = rm.get_param('number_of_channels');
namesOfChannels = rm.get_param('channels_names');
samplingFrequency = rm.get_param('sampling_frequency');

% Pobieramy listę wszystkich znaczników zdarzeń z nagrania
tagsStruct = rm.get_tags();

%% KROK 2: Identyfikacja znaczników Target i Non-Target
% Każdy znacznik typu 'blink' odpowiada jednemu mignięciu w eksperymencie P300.
% Pole 'index' mówi który symbol mignął, pole 'target' który symbol był oczekiwany.
% Jeśli index == target to było to mignięcie docelowe (Target), w przeciwnym razie
% Non-Target.
targetTimeStamps = [];
NonTargetTimeStamps = [];

for structNumber = 1:length(tagsStruct)
if strcmp(tagsStruct(structNumber).name, 'blink')
index = tagsStruct(structNumber).children.index;
target = tagsStruct(structNumber).children.target;
if index == target
targetTimeStamps = [targetTimeStamps tagsStruct(structNumber).start_timestamp];
else
NonTargetTimeStamps = [NonTargetTimeStamps tagsStruct(structNumber).start_timestamp];
end
end
end

%% KROK 3: Wczytanie i filtrowanie sygnału
samples = double(rm.get_samples());
samples = samples(1:8,:); % odrzucamy kanały bez EEG
numberOfChannels = 8;

% Filtr dolnoprzepustowy Czebyszewa 2. rodzaju — odcięcie 25 Hz
[b, a] = cheby2(6, 80, 25/(samplingFrequency/2), 'low');
for ch = 1:numberOfChannels
samples(ch,:) = filtfilt(b, a, samples(ch,:));
end

%% KROK 4: Montaż względem średniej (common average reference)
% Odejmujemy od każdego kanału średnią ze wszystkich kanałów w danej chwili.
% Jest to prostsze i bardziej ogólne niż montaż względem połączonych uszu.
M = -ones(numberOfChannels, numberOfChannels) / numberOfChannels;
M = M + eye(numberOfChannels) * (numberOfChannels+1) / numberOfChannels;
samples = 0.0715 * M * samples;

%% KROK 5: Cięcie epok
PRE = -0.2;
POST = 0.8;
wycinek = floor(PRE*samplingFrequency : POST*samplingFrequency);

TargetSignal = zeros(length(targetTimeStamps), numberOfChannels, length(wycinek));
NonTargetSignal = zeros(length(NonTargetTimeStamps), numberOfChannels, length(wycinek));

for trialNumber = 1:length(targetTimeStamps)
trigerOnset = floor(targetTimeStamps(trialNumber) * samplingFrequency);
tenWycinek = wycinek + trigerOnset;
if tenWycinek(1) > 0 && tenWycinek(end) <= size(samples,2)
tmpSignal = samples(:, tenWycinek);
tmpSignal = detrend(tmpSignal')'; % usuwanie trendu liniowego
TargetSignal(trialNumber,:,:) = tmpSignal;
end
end

for trialNumber = 1:length(NonTargetTimeStamps)
trigerOnset = floor(NonTargetTimeStamps(trialNumber) * samplingFrequency);
tenWycinek = wycinek + trigerOnset;
if tenWycinek(1) > 0 && tenWycinek(end) <= size(samples,2)
tmpSignal = samples(:, tenWycinek);
tmpSignal = detrend(tmpSignal')';
NonTargetSignal(trialNumber,:,:) = tmpSignal;
end
end

% Oś czasu w milisekundach — przyda się do rysowania
times = (wycinek / samplingFrequency) * 1000;

%% KROK 6: Wizualizacja ERP w układzie topograficznym
% Oblicz potencjały wywołane (ERP) jako średnie po powtórzeniach
ERP_T = squeeze(mean(TargetSignal, 1)); % wymiary: kanały × czas
ERP_NT = squeeze(mean(NonTargetSignal, 1));

% TUTAJ: narysuj ERP_T i ERP_NT dla każdego kanału w subplotach
% ułożonych w siatce odpowiadającej przybliżonym pozycjom elektrod.
% Na każdym subplocie nałóż oba warunki różnymi kolorami.
% Oś X: czas w ms (użyj wektora times), oś Y: amplituda w µV.
% Zadbaj o legendę i tytuły z nazwami kanałów (namesOfChannels).

%% KROK 7: Obliczenie średnich macierzy kowariancji
% Dla każdego powtórzenia oblicz macierz kowariancji funkcją cov(),
% znormalizuj przez jej ślad (trace()), a następnie uśrednij po powtórzeniach.
% Pamiętaj: cov() oczekuje macierzy próbki × kanały, czyli potrzebujesz transpozycji.

R_T = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
R_NT = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for r = 1:length(targetTimeStamps)
% TUTAJ: wytnij r-te powtórzenie T, oblicz kowariancję, znormalizuj, dodaj do R_T
end

for r = 1:length(NonTargetTimeStamps)
% TUTAJ: wytnij r-te powtórzenie NT, oblicz kowariancję, znormalizuj, dodaj do R_NT
end

% TUTAJ: podziel R_T i R_NT przez odpowiednie liczby powtórzeń

%% KROK 8: Rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego
% Szukamy filtrów przestrzennych W maksymalizujących stosunek mocy
% w warunku T względem NT: eig(R_T, R_NT)
% W kolumnach W znajdują się filtry, na przekątnej Lambda — wartości własne.

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

disp('Wartości własne (przekątna Lambda):')
disp(diag(Lambda))

%% KROK 9: Odtworzenie sygnałów źródłowych
% Dla każdego powtórzenia zastosuj filtr przestrzenny:
% s(r,:,:) = W' * x(r,:,:)
% Pamiętaj o wymiarach — squeeze() może być pomocne.

S_T = zeros(size(TargetSignal));
S_NT = zeros(size(NonTargetSignal));

for r = 1:size(TargetSignal, 1)
% TUTAJ: S_T(r,:,:) = ...
end

for r = 1:size(NonTargetSignal, 1)
% TUTAJ: S_NT(r,:,:) = ...
end

%% KROK 10: Wizualizacja estymowanych źródeł
% Narysuj średnie przebiegi źródeł (ERP w przestrzeni CSP) dla obu warunków.
% Ułóż subploty w prostokątnej siatce — jeden subplot na każde źródło.
% Dla którego źródła różnica między T i NT jest największa?
% Czy odpowiada to źródłu z największą wartością własną?

ERP_S_T = squeeze(mean(S_T, 1));
ERP_S_NT = squeeze(mean(S_NT, 1));

% TUTAJ: narysuj ERP_S_T i ERP_S_NT w subplotach
</source>

=Sesja 3: CSP dla P300 — interpretacja i separacja cech=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Kontynuacja analizy CSP. Celem sesji jest interpretacja wyników
w kategoriach fizjologicznych oraz ocena separowalności klas
w przestrzeni cech opartej na mocy sygnału.

;Zakres:
* mapki topograficzne filtra przestrzennego i topografii źródła
* związek wartości własnych z siłą różnicowania warunków T i NT
* wykresy punktowe mocy: oś X — moc składowej z największą wartością własną, oś Y — moc kolejnej składowej; jeden punkt = jedno powtórzenie
* uśrednianie po 2, 4, 6, 8 i 10 realizacjach — obserwacja poprawy separacji wraz z liczbą uśrednień
* dyskusja: utożsamianie komponentów CSP z fizjologicznymi źródłami jest ryzykowne; komponenty maksymalizują kontrast między warunkami, niekoniecznie odpowiadają izolowanym generatorom

;Materiały:
Zob. [[#Szkielet kodu do analizy wstępnej|Szkielet kodu do analizy wstępnej]] i [[#Zadanie: Wybór i separacja cech|Zadanie: Wybór i separacja cech]] poniżej.

===Zadanie: Wybór i separacja cech===
* Przedstaw na rysunkach nałożone na siebie pojedyncze realizacje z warunków target i non-target po rzutowaniu na wektor <math>w</math> odpowiadający największej i kolejnej wartości własnej.
* Przedstaw wykresy punktowe takie, że na jednej osi jest moc sygnału (suma kwadratów wartości próbek w wybranym zakresie czasu) odpowiadającego największej wartości własnej, a na drugiej osi kolejnej (mniejszej) wartości własnej; jeden punkt reprezentuje jedno powtórzenie.
* Wykonaj serię wykresów jak w poprzednim punkcie dla uśrednień sygnałów kolejno po 2, 4, 6, 8 i 10 realizacjach:
** Liczymy potencjał wywołany dla danej liczby powtórzeń.
** Następnie podnosimy wartości próbek do kwadratu
** i sumujemy je w wybranym zakresie czasu.
* Zaobserwuj jak zmienia się separacja w grupach target i non-target.
{{hidden end}}
[https://robintibor.github.io/eeg-deep-learning-phd-thesis/DeepArchitectures.html Archirtektury sieci do BCI: ConvNet]

[https://www.researchgate.net/figure/The-architecture-of-EEGNet-F1-S1-model-F1-and-S1-represent-the-number-of-temporal_fig3_347073448 EEGNet]

=Sesja 4: Filtry przestrzenne dla SSEP — cosSinCSP=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Sesja wprowadza metodę cosSinCSP jako naturalne uogólnienie CSP
o wiedzę dziedzinową dotyczącą sygnału SSEP. W klasycznym CSP
dwa warunki eksperymentalne definiują dwie macierze kowariancji.
W cosSinCSP rolę jednej z macierzy przejmuje projekcja sygnału
na przestrzeń sinusów i cosinusów częstości stymulacji i jej harmonicznych.
Formalizm ilorazu Rayleigha i uogólnionego zagadnienia własnego
pozostaje identyczny.

Dane używane na tych zajęciach pochodzą z eksperymentu SSEP
z archiwum — bez sesji rejestracyjnej. Na wykresach widma
sygnału przed transformacją CSP dominuje artefakt sieciowy 50 Hz,
który praktycznie zasłania odpowiedź na stymulację. Zadaniem
jest sprawdzenie czy cosSinCSP potrafi ten sygnał wydobyć.

;Zakres:
* idea cosSinCSP: macierz S złożona z sinusów i cosinusów harmonicznych, projekcja sygnału na przestrzeń SSEP i resztę Y
* implementacja funkcji <code>cosSinCSP</code> w MATLAB
* analiza danych archiwalnych: widma Welcha dla kanałów oryginalnych i źródeł CSP — porównanie SNR przed i po transformacji
* prezentacja filtrów przestrzennych i topografii źródeł

;Materiały:
Zob. [[#Filtry przestrzenne dla SSEP|Filtry przestrzenne dla SSEP]] poniżej.

==Filtry przestrzenne dla SSEP==

===Teoria===

Ciekawa koncepcja filtra przestrzennego dla SSEP zaprezentowana jest tu: http://www.eurasip.org/Proceedings/Eusipco/Eusipco2009/contents/papers/1569193209.pdf

Pokrótce można ją rozumieć podobnie do tego co robiliśmy rozważając filtry przestrzenne CSP z tym, że dla SSEP oraz innych potencjałów wywołanych stanu ustalonego możemy skorzystać z dodatkowych informacji dotyczących poszukiwanych źródeł. Wiemy mianowicie, że powinny one oscylować z częstością bodźca i być może jej harmonicznych.

Przyda nam się macierz <math>S</math> zbudowana tak, że w kolejnych kolumnach znajdują się sinusy i cosinusy kolejnych częstości harmonicznych. Wektory te unormujemy, żeby miały energię równą 1. Innymi słowy macierz <math>S</math> zbudowana jest z wersorów rozpinających przestrzeń, w której powinien znajdować się sygnał SSEP.

W Matlabie możemy taką macierz zbudować tak:

<source lang="matlab">
% Fs - częstość próbkowania
% numberOfSamples - długość sygnału w próbkach
% numberOfHarmonics - liczba harmonicznych, które chcemy włączyć do analizy
t = (0:1:numberOfSamples - 1) / Fs;
S = zeros(numberOfSamples, 2*numberOfHarmonics);

for harmonicNumber = 1:numberOfHarmonics
c = cos(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
s = sin(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
S(:,(harmonicNumber - 1)*2 + 1) = c/norm(c);
S(:,(harmonicNumber - 1)*2 + 2) = s/norm(s);
end
</source>

Aby w badanym sygnale znaleźć składowe odpowiadające SSEP musimy rzutować sygnał <math>X</math> (macierz sygnałów ''kanały × próbki'') na przestrzeń rozpiętą przez <math>S</math>:
:<math>A = X S</math>
Macierz <math>A</math> zawiera współczynniki będące iloczynami skalarnymi sygnałów i wersorów — mówią one o tym jak dużo sinusa bądź cosinusa o danej częstości jest w pierwotnym sygnale. Komponenty SSEP zawarte w sygnale <math>X</math> odzyskujemy tak:
:<math>\mathrm{SSEP} = A S^T</math>

Modelujemy rejestrowany sygnał jako:
:<math>X = \mathrm{SSEP} + Y</math>
gdzie:
:<math>Y = X - \mathrm{SSEP}</math>
to wszystkie komponenty sygnału, które nas nie interesują.

Filtr przestrzenny, który chcemy zbudować powinien maksymalizować stosunek wariancji <math>\mathrm{SSEP}</math> do wariancji <math>Y</math>. Macierz kowariancji powinna być uśredniona po powtórzeniach, a kowariancja sygnału w każdym powtórzeniu powinna być znormalizowana przez jej ślad. Dalej stosujemy technikę znaną z CSP: maksymalizację ilorazu Rayleigha przez rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego dla macierzy kowariancji <math>\mathrm{SSEP}</math> i <math>Y</math>.

===Zadanie: implementacja funkcji cosSinCSP===

Dane do zadania: [[Plik:PrzykladoweDaneSSVEP.mat.gz]].
Pełny przykład z danymi z eksperymentu SSEP: [[Plik:SSVEP_demo_csp.tar.gz]]

Zaimplementuj funkcję <code>cosSinCSP</code> zgodnie z poniższym szkieletem.
Prawidłowo zaimplementowana funkcja wraz ze skryptem demonstracyjnym poniżej
powinna generować rysunek: [[Plik:Rys_SSVEP_demo.png|400px|podpis grafiki]]

<source lang="matlab">
function [W, Lambda] = cosSinCSP(signal, stimulationFrequency, numberOfHarmonics, Fs)
% cosSinCSP - filtr przestrzenny dla sygnałów SSEP
%
% Wejście:
% signal - dane EEG, wymiary: powtórzenia × kanały × próbki
% stimulationFrequency - częstość stymulacji w Hz
% numberOfHarmonics - liczba harmonicznych do uwzględnienia
% Fs - częstość próbkowania w Hz
%
% Wyjście:
% W - macierz filtrów przestrzennych (kanały × kanały), filtry w kolumnach
% Lambda - macierz diagonalna wartości własnych

[numberOfTrials, numberOfChannels, numberOfSamples] = size(signal);

%% KROK 1: Zbuduj macierz referencyjną S (sinusy i cosinusy harmonicznych)
% S ma wymiary: próbki × 2*numberOfHarmonics
% Każda kolumna to jeden wersor (unormowany sinus lub cosinus).
% Wróć do sekcji Teoria powyżej i przełóż tamten kod na tę funkcję.

% TUTAJ

%% KROK 2: Oblicz średnie macierze kowariancji C_SSEP i C_Y
% Dla każdego powtórzenia wytnij sygnał x (kanały × próbki),
% rozłóż go na składową SSEP i resztę Y zgodnie z równaniami z sekcji Teoria,
% oblicz macierze kowariancji obu składowych, znormalizuj przez ślad
% i uśrednij po powtórzeniach.

C_SSEP = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
C_Y = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for trial = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(trial, :, :)); % kanały × próbki

% TUTAJ: oblicz SSEP i Y

% TUTAJ: oblicz kowariancje, znormalizuj, dodaj do C_SSEP i C_Y
end

% TUTAJ: podziel C_SSEP i C_Y przez numberOfTrials

%% KROK 3: Rozwiąż uogólnione zagadnienie własne
% Znajdź filtry przestrzenne maksymalizujące stosunek mocy SSEP do mocy Y.
% Analogia z CSP: jakie macierze wstawiłeś do eig() tam?

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

end
</source>

;Wskazówka do interpretacji wyników:
Filtr związany z największą wartością własną daje komponent
o największym stosunku mocy SSEP do mocy tła.
Sprawdź na widmach Welcha czy odpowiada on składowej
z wyraźnym pikiem przy częstości stymulacji.

{{hidden begin|title=Rozwiązanie — pokaż dopiero po samodzielnej próbie}}
<source lang="matlab">
function [W, Lambda] = cosSinCSP(signal, stimulationFrequency, numberOfHarmonics, Fs)

[numberOfTrials, numberOfChannels, numberOfSamples] = size(signal);

%% KROK 1: Macierz referencyjna S
t = (0:1:numberOfSamples-1) / Fs;
S_ref = zeros(numberOfSamples, 2*numberOfHarmonics);

for harmonicNumber = 1:numberOfHarmonics
c = cos(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
s = sin(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
S_ref(:,(harmonicNumber-1)*2 + 1) = c/norm(c);
S_ref(:,(harmonicNumber-1)*2 + 2) = s/norm(s);
end

%% KROK 2: Średnie macierze kowariancji
C_SSEP = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
C_Y = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for trial = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(trial, :, :)); % kanały × próbki
A = x * S_ref; % projekcja na przestrzeń SSEP
SSEP = A * S_ref'; % rekonstrukcja składowej SSEP
Y = x - SSEP; % reszta

tmp = cov(SSEP');
C_SSEP = C_SSEP + tmp/trace(tmp);

tmp = cov(Y');
C_Y = C_Y + tmp/trace(tmp);
end

C_SSEP = C_SSEP / numberOfTrials;
C_Y = C_Y / numberOfTrials;

%% KROK 3: Uogólnione zagadnienie własne
[W, Lambda] = eig(C_SSEP, C_Y);

end
</source>
{{hidden end}}

===Skrypt demonstracyjny i analiza wyników===

<source lang="matlab">
% wczytujemy dane
load('PrzykladoweDaneSSVEP.mat');

[numberOfTrials numberOfChannels numberOfSamples] = size(X.data);
namesOfChannels = X.channels;

numberOfHarmonics = 3;
signal = X.data; % powtórzenie × kanał × próbki

[W, Lambda] = cosSinCSP(signal, X.stimulation, numberOfHarmonics, X.sampling);

%% Odtworzenie sygnałów źródłowych
S = zeros(size(signal));
for powt = 1:size(signal,1)
S(powt,:,:) = W' * squeeze(signal(powt,:,:));
end

%% Widma Welcha: kanały oryginalne vs źródła CSP
figure('Name', ['Stymulacja: ', num2str(X.stimulation), ' Hz'])
for i = 1:numberOfChannels
subplot(2, numberOfChannels, i)
PP = 0;
for rep = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(rep,i,:));
[Pxx, ff] = pwelch(x, X.sampling, 1, X.sampling, X.sampling);
PP = PP + Pxx;
end
plot(ff(ff<60), PP(ff<60))
title(namesOfChannels{i})

subplot(2, numberOfChannels, numberOfChannels+i)
PP = 0;
for rep = 1:numberOfTrials
s = squeeze(S(rep,i,:));
[Pss, ff] = pwelch(s, X.sampling, 1, X.sampling, X.sampling);
PP = PP + Pss;
end
plot(ff(ff<60), PP(ff<60))
title(['źródło CSP: ', num2str(i)])
xlabel(['\lambda = ', num2str(Lambda(i,i), '%.2f')])
end

%% KROK 4: Mapki topograficzne
% Zidentyfikuj komponent z największą wartością własną.
% Narysuj dwie mapki przy użyciu funkcji topoplot() z pakietu EEGLAB:
%
% (a) Filtr przestrzenny: wagi z jakimi kanały EEG składają się na ten komponent.
% Wskazówka: filtr to kolumna macierzy W.
%
% (b) Topografia źródła: z jakimi wagami komponent dociera do poszczególnych elektrod.
% Wskazówka: topografia zawarta jest w wierszach macierzy odwrotnej do W —
% przypomnij sobie analogiczny krok z analizy CSP dla P300.
%
% Czym różnią się te dwie mapki? Którą łatwiej interpretować fizjologicznie?

% TUTAJ: [~, idx] = max(diag(Lambda));
% TUTAJ: topoplot(...) % filtr
% TUTAJ: topoplot(...) % topografia
</source>

=Sesja 5: ICA jako filtr przestrzenny =

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Sesja wprowadza analizę składowych niezależnych (ICA) jako trzecie
podejście do problemu ślepej separacji źródeł — obok BSS/CSP
i cosSinCSP. Kluczowa różnica: CSP szuka kierunków maksymalizujących
kontrast wariancji między warunkami (kryterium drugiego rzędu),
ICA szuka składowych niezależnych statystycznie, maksymalizując
niegaussowość (kryterium wyższego rzędu). ICA nie wymaga
dwóch warunków eksperymentalnych — działa na jednym stacjonarnym sygnale.

;Zakres wykładu (~40 min):
* model generatywny ICA: <math>\mathbf{x} = \mathbf{D}\mathbf{s}</math>, założenie niegaussowości składowych
* negoentropia i algorytm FastICA
* porównanie z CSP: kiedy ICA, kiedy CSP
* ograniczenia: liczba próbek a liczba kanałów (<math>kN^2</math>), niejednoznaczność kolejności i skali komponentów

;Zakres ćwiczenia (~80 min):
* wczytanie danych do EEGLAB, edycja lokalizacji elektrod
* filtrowanie górnoprzepustowe (FIR, 0,5 Hz), zmiana referencji
* obliczenie ICA na całym sygnale
* identyfikacja komponentów zawierających rytm alfa: topografia, widmo, przebieg czasowy
* usunięcie komponentów niezawierających alfy, odtworzenie sygnału na elektrodach
* porównanie wyników między co najmniej trzema uruchomieniami ICA: czy komponenty są powtarzalne?

==Teoria==

===Definicja ===
Independent Component Analysis (ICA) jest metodą statystycznej analizy sygnałów, która dokonuje dekompozycji wielokanałowych zapisów na składowe niezależne w sensie statystycznym.
Dwie składowe ''s''1 i ''s''2 są niezależne jeżeli wiedza o wartości ''s''1 nie daje żadnych informacji o możliwych wartościach ''s''2. ICA może być wyrażona przez prosty model generatywny:
: '''x''' = '''Ds'''
: gdzie '''x''' = {''x''1, ''x''2, ..., ''x''''n''} jest zmierzonym ''n'' kanałowym sygnałem, '''D''' jest macierzą mieszającą zaś '''s''' = {''s''1, ''s''2, ..., ''s''''n''} jest aktywnością ''n'' źródeł. Podstawowym założeniem dotyczącym '''s''' jest to, że ''s''''i'' są statystycznie niezależne. Aby wyestymować model musimy też założyć, że składowe mają niegaussowskie rozkłady wartości (Hyvärinen, 2000).

Dodatkowo model ten zakłada następujące fakty:
# Sygnał jest liniową mieszaniną aktywności źródeł
# Sygnały pochodzące z każdego ze źródeł są niezależne od pozostałych
# Źródła oraz proces ich mieszania są stacjonarne, tzn, ich momenty statystyczne nie zależą od czasu
# Energie (wariancje) źródeł nie mogą być wyznaczone jednoznacznie. Dzieje się tak ponieważ pomnożenie amplitudy ''i''-tego źródła może być uzyskane poprzez przemnożenie albo ''s''''i'' albo przez przemnożenie ''i''-tej kolumny macierzy '''D'''. Naturalnym rozwiązaniem tej niejednoznaczności jest wprowadzenie konwencji, że komponenty są normowane tak aby miały wariancję 1: E[(''s''''i'')''2''] = 1.
# Kolejność komponentów jest dowolna. Bo jeśli w ten sam sposób zmienimy kolejność komponentów w '''s''' i kolumn w '''D''' to dostaniemy dokładnie ten sam sygnał '''x'''.

Głównym wyzwaniem w analizie ICA jest estymacja macierzy mieszającej '''D'''. Gdy jest ona znana to komponenty mogą być wyliczone w następujący sposób:
: '''s''' = '''D'''−1'''x'''

=== Estymacja ===
Znalezienie niezależnych komponentów może być rozważane w świetle Centralnego Twierdzenia Granicznego jako poszukiwanie komponentów o możliwie nie gaussowskim rozkładzie.
Aby zrozumieć to podejście prześledźmy heurystykę zaproponowaną przez (Hyvärinen, 2000).
Dla prostoty załóżmy, że poszukiwane źródła niezależne mają identyczne rozkłady.
Zdefiniujmy

''y'' = '''w'''T'''x'''.

Zauważmy, że jeśli

'''w'''

jest jedną z kolumn macierzy

'''D'''−1,

to ''y'' jest jednym z poszukiwanych komponentów.
Zamieniając zmienne

'''z''' = '''D'''T'''w'''

możemy napisać

''y'' = '''w'''T'''x''' = '''w'''T'''Ds''' = '''z'''T'''s'''.

Uwidacznia to fakt, że ''y'' jest liniową kombinacją składowych s''i'' z wagami danymi przez z''i''.

Z centralnego twierdzenia granicznego wynika, że suma niezależnych zmiennych losowych ma bardziej gaussowski charakter niż każda z tych zmiennych osobno.
Liniowa kombinacja staje się najmniej gaussowska gdy '''z''' ma tylko jeden element niezerowy. W tym przypadku ''y'' jest proporcjonalny do s''i''.
Zatem problem estymacji modelu ICA może być sformułowany jako problem znalezienia takiego wektora '''w''', który maksymalizuje niegaussowskość

''y'' = '''w'''T'''x'''.

Maksymalizacja niegaussowskości ''y'' daje jeden niezależny komponent odpowiadający jednemu z 2''n'' maksimów (bo mamy s''i'' i −s''i'') w krajobrazie optymalizacyjnym. Aby znaleźć wszystkie niezależne komponenty musimy znaleźć wszystkie maksima. Ponieważ komponenty są nieskorelowane, to poszukiwania kolejnych komponentów można kontynuować w podprzestrzeni ortogonalnej do już znalezionych komponentów.

===Obliczenia===
Intuicyjna heurystyka poszukiwania najbardziej niegaussowskich składowych może być użyta do wyprowadzenia różnych funkcji kosztu, których optymalizacja daje model ICA, np. kurtoza.

<math>kurt(y) = E\{y^4\} - 3(E{y^2})^2</math>

Inną miarą gassowskości jest neg-entropia, którą można wyprowadzić z entropii:
Entropia jest miarą średniego zdziwienia wynikiem obserwacji zmiennej losowej:
<math>H(Y) = - \sum_i P(Y= a_i) \log(P(Y=a_i)) </math>

Negentropia jest zdefiniowana:

<math> J(y) = H(y_{gauss}) -H(y)</math>
gdzie <math> y_{gauss} </math> jest gassuwską zmienną losową o takiej samej kowaiancji jak <math> y </math>.

Negentropia jest skomplikowana obliczeniow, więc w praktyce używana jest formuła przybliżona:

<math> J(y) \varpropto [E\{G (y)\} - E\{G(\nu)\}]^2</math>

<math>\nu </math> jest zmienną losową ze standardowego rozkładu normalnego , a G są pewnymi niekwadratowymi funkcjami.

W algorytmie FastICA extremum negentropii jest znajdowane w procedurze bazującej na optymalizacji Newtona.
(szczegóły np.: sekcja 6 w https://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/NN00new.pdf)

Procedura wykorzystywana w eeglabie (&bdquo;runica”, Makeig 1996) dąży do minimalizacji informacji wzajemnej. Oba podejścia są w przybliżeniu równoważne (Hyvärinen, 2000), chociaż owo przybliżenie dla sygnałów elektrofizjologicznych nie zostało to jeszcze w pełni wyeksplorowane.
Dla sygnałów o niskiej wymiarowości i spełniających dokładnie założenia ICA wszystkie powszechnie wykorzystywane algorytmy dają niemal identyczne wyniki.

;Bardzo ważna uwaga: ogólną zasadą jest, że jeśli estymujemy ''N'' stabilnych komponentów (z ''N''-kanałowych danych) to musimy dysponować ''kN''2 punktami danych w każdym kanale, gdzie ''N''2 jest liczbą elementów w macierzy '''D''', którą ICA próbuje wyestymować, ''k'' jest liczbą całkowitą. Nie ma dobrych oszacowań teoretycznych na wielkość ''k'', z praktycznych obserwacji wynika, że rośnie ona z liczbą kanałów.

=== Możliwe zastosowania ===
Najczęściej ICA jest stosowana jako narzędzie do:
* usuwania artefaktów z sygnałów EEG (ruchy oczu i mięśnie)
* wydobywania składowych do dalszej analizy (Onton, 2006)
* jako analiza wstępna do lokalizacji źródeł (Grau, 2007).
* ICA jest także stosowana w analize sygnałów EKG i EMG.

===Bibliografia===
Bazowa praca:
* A. Hyvärinen. Fast and Robust Fixed-Point Algorithms for Independent Component Analysis. IEEE Transactions on Neural Networks 10(3):626-634, 1999 http://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/TNN99_reprint.pdf

Nieco prościej opisana wersja z przykładami:
* Hyvärinen, A. and Oja, E. (2000). Independent component analysis: Algorithms and applications. Neural Networks, 13(4-5):411–430.
https://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/NN00new.pdf

* Grau, C., Fuentemilla, L., Marco-Pallars, J. (2007). Functional neural dynamics underlying auditory event-related n1 and n1 suppression response. Neuroimage, 36(6):522–31.
* Makeig, S., Bell, A., Jung, T.-P., Sejnowski,T. (1996). Independent component analysis of electroencephalographic data. W: Touretzky, D., Mozer, M., and Hasselmo, M., editors, Advances in Neural Information Processing Systems, volume 8, pages 145–151. MIT Press, Cambridge, MA.
* Onton, J., Makeig, S. (2006). Information-based modeling of event-related brain dynamics. Prog Brain Res., 159:99–120.
* Tutorial: http://sccn.ucsd.edu/wiki/Chapter_09:_Decomposing_Data_Using_ICA
* http://sccn.ucsd.edu/~arno/indexica.html
* http://cis.legacy.ics.tkk.fi/aapo/papers/IJCNN99_tutorialweb/

== ZADANIE: Wydobywanie interesujących komponentów ==

Dane do tej części ćwiczeń proszę pobrać i rozpakować w swoim katalogu:
http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Dane_do_ICA_alfa.tar.gz

Pochodzą one z eksperymentu, w którym osoba badana siedziała z zamkniętymi oczami słuchając nagrania czytanego spokojnym głosem. Metadane opisujące sygnał znajdują się w pliku Miro.xml, zaś lokalizacje elektrod w pliku Miro-10-20-Cap.locs.

Proszę:
* wczytać dane do eeglaba
* wyedytować lokalizację elektrod
* usunąć kanały nie zawierające EEG
* zmienić referencje na średnią z kanałów A1 i A2
* przefiltrować filtrem FIR górnoprzepustowym z częstością odcięcia 0,5 Hz
* obejrzeć wstępnie przygotowane dane
* policzyć ICA na całym sygnale
* obejrzeć właściwości otrzymanych komponentów
** Czy są wśród nich takie, które zawierają znaczny udział rytmu alfa?
** Jaka jest ich topografia?
* usunąć wszystkie komponenty nie zawierające alfy
* odtworzyć z tych komponentów sygnał na elektrodach
* wykonać dekompozycję ICA kilkukrotnie (co najmniej 3) i porównać wyniki
** Czy uzyskiwane komponenty są powtarzalne?
** Swoje wyniki porównać też z sąsiednimi grupami.

==ZADANIE: Identyfikacja artefaktów ==
Proszę pobrać dane:

*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal-10-20-Cap.locs
*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal1.set
*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal1.fdt

Pochodzą one z eksperymentu w którym osoba badana czytała słowa o różnych właściwościach wzbudzania emocji.

* wczytaj je do eeglaba
* wczytaj lokalizację kanałów z pliku Arousal-10-20-Cap.locs
* obejrzyj przebiegi czasowe
* odrzuć kanał z diodą (21) i z GSR (20)
* zrób dekompozycję ICA
* obejrzyj topografię komponentów
* zidentyfikuj komponenty odpowiadające mruganiu i aktywności mięśniowej.
;UWAGA: Aktualnie do wykrywania komponentów artefaktowych warto posłużyć się wtyczkami do eeglaba dostępnymi przez stronę:

https://sccn.ucsd.edu/eeglab/plugin_uploader/plugin_list_all.php

* ICLabel:
** https://labeling.ucsd.edu/tutorial/overview
** https://github.com/sccn/ICLabel

* MARA:
** https://github.com/irenne/MARA/raw/master/MARAtutorial.pdf
** https://irenne.github.io/artifacts/

=Sesja 6: Problem odwrotny w EEG i MEG=

;Czas: ~60 min wykład + ~90 min ćwiczenie

Sesja wprowadza problem odwrotny jako alternatywne — i komplementarne —
podejście do analizy przestrzennej sygnałów EEG i MEG. O ile BSS/CSP
i ICA szukają filtrów przestrzennych w przestrzeni elektrod,
nie zakładając nic o geometrii mózgu,
to metody problemu odwrotnego wyraźnie osadzają źródła
w przestrzeni trójwymiarowej, korzystając z fizyki i modelu głowy.

Materiały z naszych zasobów:
* [[Elektroencefalografia|Sekcje 3 i 8 z Podręcznika o EEG ]]
* [https://drive.google.com/file/d/1EOJxN1y7X3YlIFHoIIyoZzCiXdrQSHcA Wykład Piotra Durki z Analizy sygnałów o problemie odwrotnym w EEG iMEG]

Z zasobów zewnętrznych polecam:
* [https://download.fieldtriptoolbox.org/workshop/toolkit2025/slides/04_forward_inverse.pdf#page=1.00 Slajdy "Forward and inverse - lecture by Robert Oostenveld" fragment warsztatów: "Advanced MEG/EEG toolkit at the Donders"]

==Kontrast z BSS: dwa języki opisu tego samego zjawiska==

Zarówno BSS/ICA, jak i metody problemu odwrotnego wychodzą
od tego samego modelu generatywnego:
:<math>\mathbf{x}(t) = \mathbf{A}\,\mathbf{s}(t) + \boldsymbol{\varepsilon}(t)</math>
gdzie <math>\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^{N_e}</math> to potencjały na elektrodach,
<math>\mathbf{s}(t) \in \mathbb{R}^{N_s}</math> to aktywność źródeł,
a <math>\mathbf{A}</math> to macierz mieszająca (ang. ''lead field'' lub ''forward matrix'').

Różnica leży w tym, co robimy z macierzą <math>\mathbf{A}</math>:

{| class="wikitable"
|-
! !! BSS / ICA !! Problem odwrotny
|-
| '''Macierz A''' || nieznana; estymowana z danych || obliczona z modelu głowy (''forward model'')
|-
| '''Liczba źródeł''' || równa liczbie elektrod || od 1 dipola do ~10 000 wokseli
|-
| '''Geometria''' || brak założeń przestrzennych || źródła zlokalizowane w przestrzeni 3D
|-
| '''Regularyzacja''' || przez kryterium stat. (niezależność, wariancja) || przez regularyzację matematyczną (L2, L1, …)
|-
| '''Wynik''' || filtry przestrzenne + komponenty || mapa aktywności w przestrzeni mózgu
|}

Kluczowa trudność problemu odwrotnego wynika z jego
fundamentalnej niejednoznaczności:

układ równań:

<math>\mathbf{x} = \mathbf{A}\mathbf{s}</math>

jest niedookreślony — przy <math>N_e \approx 19\text{–}256</math> elektrodach
i <math>N_s \sim 10^4</math> możliwych lokalizacjach źródeł
istnieje nieskończenie wiele rozkładów <math>\mathbf{s}</math>
dokładnie odtwarzających zmierzony <math>\mathbf{x}</math>.
Każda metoda nakłada inne założenie ''a priori'', by wybrać jedno rozwiązanie.

==Model do przodu (forward model)==

Zanim można rozwiązać problem odwrotny, należy zbudować
''model do przodu'' — obliczenie potencjałów na elektrodach
wywołanych przez jednostkowe źródło prądowe w danym miejscu mózgu.
Wynik zapisuje się jako macierz ''pola wiodącego'' (''lead field''):
:<math>\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{N_e \times 3N_s}</math>
gdzie czynnik 3 wynika z trzech ortogonalnych składowych momentu dipolowego.

=== Skąd bierze się macierz ''lead field''? ===

Przejdźmy od równań Maxwella do tego, co dosłownie liczą funkcje `ft_prepare_headmodel` / `ft_prepare_leadfield`.

==== 1. Punkt wyjścia: przybliżenie kwazistatyczne ====

=====Pełne równania Maxwella w ośrodku materialnym=====

$$
\begin{aligned}
\nabla \cdot \mathbf{D} &= \rho && \text{(prawo Gaussa)} \\
\nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 && \text{(brak monopoli magnetycznych)} \\
\nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} && \text{(prawo Faradaya)} \\
\nabla \times \mathbf{H} &= \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} && \text{(prawo Ampère'a–Maxwella)}
\end{aligned}
$$

uzupełnione związkami konstytutywnymi dla tkanki traktowanej jako liniowy, lokalnie izotropowy ośrodek:

$$
\mathbf{D} = \varepsilon\,\mathbf{E},\qquad \mathbf{B} = \mu_0\,\mathbf{H},\qquad \mathbf{J} = \sigma\,\mathbf{E} + \mathbf{J}^p
$$

Ostatnia relacja to uogólnione prawo Ohma: prąd swobodny ma część omową (<math>\sigma\mathbf{E}</math>, prądy bierne w przewodniku objętościowym) i część „pierwotną" <math>\mathbf{J}^p</math> pochodzącą od źródeł neuronowych — bo to one *nie* są napędzane lokalnym polem <math>\mathbf{E}</math>, tylko gradientami stężeń jonów.

===== Przybliżenie kwazistatyczne =====

Wprowadzamy harmoniczną zależność czasową <math>e^{i\omega t}</math> i porównujemy człony w równaniach Maxwella. Trzy warunki muszą być spełnione jednocześnie:

**(a) Pomijalny prąd przesunięcia w równaniu Ampère'a. ** Stosunek członu pojemnościowego do omowego to <math>\omega\varepsilon/\sigma</math>. Dla tkanki przy <math>f=100</math> Hz, <math>\sigma\approx 0{,}3</math> S/m, <math>\varepsilon_r\approx 10^5</math> (efektywna wartość niska-częstotliwościowa dla istoty szarej; spada szybko z <math>f</math>):
$$\frac{\omega\varepsilon}{\sigma} = \frac{2\pi\cdot 100\cdot 10^5\cdot 8{,}85\cdot 10^{-12}}{0{,}3}\sim 10^{-3}$$

— bezpiecznie pomijalny w EEG. To pozwala napisać <math>\nabla\times\mathbf{H}\approx\mathbf{J}</math>, a po wzięciu dywergencji:
$$\nabla\cdot\mathbf{J} = 0$$

**(b) Pomijalna indukcja w równaniu Faradaya.** Mówimy, że <math>\partial\mathbf{B}/\partial t</math> jest na tyle małe, że <math>\nabla\times\mathbf{E}\approx 0</math>, więc istnieje potencjał skalarny <math>V</math> z <math>\mathbf{E}=-\nabla V</math>. Można to oszacować z indukcyjności geometrii głowy i wykazać, że pomijany wkład jest o kilka rzędów mniejszy od <math>-\nabla V</math>.

**(c) Brak efektów propagacyjnych.** Długość fali EM przy 100 Hz w próżni to <math>\lambda = c/f\approx 3000</math> km, czyli <math>\lambda \gg L_\text{głowy}</math>. To gwarantuje, że pole „widzi" całą głowę jednocześnie — stąd zerowe przesunięcie fazowe propagacji potencjału przez przewodnik objętościowy.

Co zostaje po przybliżeniu:

$$
\begin{aligned}
\nabla \times \mathbf{E} &= 0 \;\Rightarrow\; \mathbf{E} = -\nabla V \\
\nabla \cdot \mathbf{J} &= 0 \\
\mathbf{J} &= -\sigma\nabla V + \mathbf{J}^p
\end{aligned}
$$

Składając trzy powyższe:

$$
\nabla\cdot\bigl(\sigma(\mathbf{r})\nabla V(\mathbf{r})\bigr) = \nabla\cdot\mathbf{J}^p(\mathbf{r})
$$

Warto przy tym podkreślić, że prawo Gaussa i <math>\nabla\cdot\mathbf{B}=0</math> nie znikają — one są nadal spełnione, ale po prostu nie są nam potrzebne do wyliczenia <math>V</math> na skórze: ładunki swobodne i indukowane policzy się *a posteriori* z <math>\rho = \nabla\cdot(\varepsilon\nabla V)\cdot(-1)</math>, a pole magnetyczne (interesujące dla MEG!) z prawa Biota–Savarta zastosowanego do <math>\mathbf{J}</math>.

Warto tu zauważyć, że kwazistatyka EEG i kwazistatyka MEG to **to samo** przybliżenie — różni je tylko, co wybieramy jako wielkość mierzoną (<math>V</math> na skórze vs. <math>\mathbf{B}</math> na zewnątrz głowy). To samo równanie Poissona generuje oba sygnały, a różnice w czułości na orientację dipola (radialny vs. tangencjalny) wynikają stąd, że potencjał i pole magnetyczne są różnymi funkcjonałami tego samego rozwiązania.

==== 2. Rozszczepienie prądu — gdzie pojawia się „źródło" ====

Gęstość prądu w tkance dzielimy na część „pierwotną" (neuronową) i „objętościową" (omową):

$$\mathbf{J}(\mathbf{r}) = \mathbf{J}^p(\mathbf{r}) - \sigma(\mathbf{r})\,\nabla V(\mathbf{r})$$

<math>\mathbf{J}^p</math> reprezentuje *prądy postsynaptyczne w piramidowych neuronach kory* — to one są naszym „źródłem". Reszta to prądy bierne płynące w przewodniku objętościowym o nieizotropowej, niejednorodnej przewodności <math>\sigma</math>.

Podstawiając do warunku <math>\nabla \cdot \mathbf{J}_\text{tot} = 0</math> dostajemy równanie Poissona dla niejednorodnego przewodnika:

$$\boxed{\;\nabla \cdot \bigl(\sigma(\mathbf{r})\,\nabla V(\mathbf{r})\bigr) = \nabla \cdot \mathbf{J}^p(\mathbf{r})\;}$$

To jest równanie problemu wprost. Cała reszta to:
(a) model źródła,
(b) warunki brzegowe,
(c) sposób rozwiązania.

==== 3. Model źródła: dipol prądowy ====

Dla pojedynczego dipola w <math>\mathbf{r}_0</math> o momencie <math>\mathbf{q}</math>:

$$\mathbf{J}^p(\mathbf{r}) = \mathbf{q}\,\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$$

$$\nabla \cdot \mathbf{J}^p(\mathbf{r}) = \mathbf{q}\cdot\nabla\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$$

Liniowość PDE daje natychmiast kluczową własność: <math>V</math> jest **liniową** funkcją <math>\mathbf{q}</math>. To właśnie ta liniowość pozwala zapisać:

$$\mathbf{v} = \mathbf{L}\,\mathbf{j}$$

gdzie <math>\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{N_\text{el}}</math> to potencjały, <math>\mathbf{j} \in \mathbb{R}^{3N_\text{src}}</math> to momenty dipoli, a <math>\mathbf{L}</math> to *lead field matrix*. Każda kolumna <math>\mathbf{L}</math> to potencjał wywołany jednostkowym dipolem w danym miejscu i o danej orientacji.

==== 4. Warunki brzegowe ====

Na granicy skóra/powietrze prąd nie wypływa:

$$\sigma\,\nabla V \cdot \hat{\mathbf{n}} = 0 \quad \text{na zewnętrznej powierzchni}$$

Wewnątrz, na granicach tkanek o różnym <math>\sigma</math> (mózg–CSF–czaszka–skóra):

$$V \text{ ciągłe},\quad \sigma\nabla V \cdot \hat{\mathbf{n}} \text{ ciągłe}$$

To są te warunki, które „włączają" geometrię i przewodności do problemu — i to one decydują, że czaszka (niskie <math>\sigma</math>, około 1/15–1/80 tkanki miękkiej, do dziś dyskutowane) rozmywa pole tak agresywnie.

==== 5. Metody rozwiązania ====
W pakiecie fieldtrip problem wprostt jest rozwiązywany przez funkcję
`ft_prepare_headmodel` - to fabryka różnych metod rozwiązujących to samo PDE. Wybór `cfg.method` decyduje o paradygmacie matematycznym:

**(a) Rozwiązania analityczne — modele sferyczne** (`'singlesphere'`, `'concentricspheres'`)

Dla geometrii sferycznej z osiową symetrią rozwija się <math>V</math> w szereg wielomianów Legendre'a. Dla 3-warstwowego modelu koncentrycznego dostajemy zamknięty wzór z nieskończonym szeregiem, który w praktyce tnie się po ~40 wyrazach. Berg & Scherg (1994) dali znakomite przybliżenie 3 dipolami w sferze jednorodnej — błyskawicznie szybkie, do dziś używane w MEG. Plus: bardzo szybkie, brak siatkowania. Minus: kula to nie głowa, zwłaszcza w okolicach skroniowych i podstawy.

**(b) BEM — Boundary Element Method** (`'bemcp'`, `'dipoli'`, `'openmeeg'`)

Wykorzystuje się fakt, że w obszarze o stałym <math>\sigma</math> <math>V</math> spełnia równanie Laplace'a, a cały „nietrywialny" wkład można wyrazić jako całkę po powierzchniach granicznych. Z drugiej tożsamości Greena dostajemy całkowe równanie typu Fredholma 2-go rodzaju:

$$V(\mathbf{r}) = V_\infty(\mathbf{r}) + \frac{1}{4\pi}\sum_k \frac{\sigma_k^- - \sigma_k^+}{\bar{\sigma}}\oint_{S_k} V(\mathbf{r}')\,\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\cdot\hat{\mathbf{n}}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,dS'$$

gdzie <math>V_\infty</math> to potencjał dipola w przestrzeni nieograniczonej. Triangulujemy powierzchnie (skóra, czaszka, mózg — czasem CSF) i to równanie zamienia się w układ liniowy. Szybciej niż FEM, ale wymaga założenia odcinkowo stałej przewodności i zakłada izotropię.

**(c) FEM — Finite Element Method** (`'simbio'`, `'duneuro'`)

Cała objętość głowy dyskretyzowana czworościanami/sześciościanami z indywidualnym tensorem <math>\sigma</math> w każdym elemencie (z DTI można wstrzyknąć anizotropię istoty białej!). Sformułowanie wariacyjne daje rzadki układ:

$$\mathbf{K}\mathbf{u} = \mathbf{b}$$

gdzie <math>\mathbf{K}</math> to macierz sztywności zależna od <math>\sigma(\mathbf{r})</math>, a <math>\mathbf{b}</math> niesie informację o źródle. To „złoty standard" pod kątem dokładności, ale kosztowny — dlatego praktycznie zawsze łączony z trikiem z punktu 6.

**(d) FDM** — rzadziej, dziś głównie historycznie.

==== 6. Twierdzenie o wzajemności — dlaczego macierz <math>\mathbf{L}</math> da się liczyć rozsądnie ====

Naiwne podejście: dla każdego z <math>\sim 10^4</math> źródeł i każdej z 3 orientacji odpalić rozwiązywacz PDE. To <math>3\times 10^4</math> rozwiązań. Beznadzieja.

Helmholtzowska zasada wzajemności mówi: potencjał w elektrodzie A wywołany dipolem w punkcie <math>\mathbf{r}_0</math> jest równoważny pewnej wielkości policzonej z
pola elektrycznego wytworzonego w <math>\mathbf{r}_0</math> przez jednostkowy prąd wstrzyknięty między elektrodą A a referencją. Formalnie:

$$V_A(\mathbf{r}_0;\mathbf{q}) = \mathbf{E}^{(A)}(\mathbf{r}_0)\cdot\mathbf{q}$$

gdzie <math>\mathbf{E}^{(A)}</math> to pole „wstrzykniętego" prądu jednostkowego. Konsekwencja: zamiast <math>3N_\text{src}</math> rozwiązań PDE wystarczy <math>N_\text{el}-1</math> rozwiązań (po jednym na elektrodę). Praktycznie wszystkie pakiety BEM/FEM (w tym OpenMEEG, SimBio, DUNEuro) to wykorzystują — i dlatego FEM jest w ogóle wykonalny dla całych siatek źródłowych.

==== 7. Co więc dosłownie robi `ft_prepare_headmodel` ====

Tworzy obiekt `headmodel`, który zawiera:
- geometrię (kule albo siatki powierzchniowe, albo objętościową siatkę FEM),
- przewodności poszczególnych warstw,
- a w przypadku BEM/FEM — **wstępnie policzony operator dyskretny** (np. odwróconą macierz BEM albo czynnik macierzy sztywności FEM z trikiem transferowym wykorzystującym wzajemność).

To jest najdroższa część obliczeń — i robi się ją *raz* dla danej geometrii. Potem `ft_prepare_leadfield`, dla każdej pozycji źródła w `cfg.sourcemodel`, używa tego operatora, żeby wygenerować trzy kolumny $\mathbf{L}$ (dla orientacji x, y, z). Wynik to `leadfield{i}` o wymiarze $N_\text{el}\times 3$ — czyli dosłownie blok macierzy lead field dla danego wokselu.

---

Podsumowanie:

1. Maxwell → kwazistatyka → „elektrostatyka z prądami"
2. Podział prądu i równanie Poissona (jedyne równanie, którego naprawdę trzeba)
3. Dipol jako model i wynikająca **liniowość** → uzasadnienie wzoru $\mathbf{v}=\mathbf{L}\mathbf{j}$
4. Warunki brzegowe → tu wchodzi anatomia
5. Sfery (analityczne, intuicja) → BEM → FEM jako kolejne stopnie realizmu
6. Wzajemność jako trik obliczeniowy, bez którego niczego by się nie dało policzyć w sensownym czasie

Klasyczne źródła:
- Hallez et al. 2007 *J Neuroeng Rehabil* (review obliczeń forward, bardzo czytelny),
- Mosher et al. 1999 dla zwartego wyprowadzenia,
- oraz dokumentacja OpenMEEG (Gramfort et al. 2010) — tam ścieżka BEM jest wyprowadzona z drugiej tożsamości Greena.
---

=== Programy obliczające model do przodu:===
MNE-Python (<code>mne.make_bem_model</code>), FieldTrip (<code>ft_prepare_headmodel</code>), OpenMEEG.

==Fitowanie dipoli (Dipole Fitting)==

===Idea===
Najprostsze założenie: aktywacja EEG pochodzi z jednego
(lub kilku) ekwiwalentnych dipoli prądowych.
Każdy dipol opisany jest sześcioma parametrami:
trzema współrzędnymi położenia <math>(x,y,z)</math>
i trzema składowymi momentu dipolowego <math>(q_x, q_y, q_z)</math>.

===Formalizm===
Dla pojedynczego dipola o momencie <math>\mathbf{q}(t)</math>
w lokalizacji <math>\mathbf{r}_0</math>:
:<math>\mathbf{x}(t) = \mathbf{a}(\mathbf{r}_0)\,\mathbf{q}(t) + \boldsymbol{\varepsilon}(t)</math>
gdzie <math>\mathbf{a}(\mathbf{r}_0) \in \mathbb{R}^{N_e \times 3}</math>
to kolumna macierzy pola wiodącego odpowiadająca lokalizacji <math>\mathbf{r}_0</math>.

Estymacja polega na minimalizacji reszty:
:<math>\hat{\mathbf{r}}_0 = \arg\min_{\mathbf{r}} \left\|\mathbf{x}(t) - \mathbf{a}(\mathbf{r})\,\hat{\mathbf{q}}(t)\right\|^2</math>
Minimalizację prowadzi się zwykle algorytmem Neldera–Meada
lub Levenberga–Marquardta po przestrzeni lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* gdy źródło jest punktowe lub quasi-punktowe (np. wczesne składowe słuchowych potencjałów wywołanych N20, P25)
* gdy liczba aktywnych źródeł jest z góry znana i mała (1–3 dipole)

;Ograniczenia:
* wrażliwość na punkt startowy — algorytm może utknąć w minimum lokalnym
* złe dopasowanie gdy aktywacja pochodzi z rozległego obszaru kory
* wynik silnie zależy od dokładności modelu do przodu

==Minimum Norm Estimation (MNE)==

===Idea===
Zamiast zakładać małą liczbę dipoli,
rozkładamy aktywność na gęstą siatkę źródeł pokrywającą całą powierzchnię kory
i szukamy rozwiązania o minimalnej normie —
tj. takiego, które odtwarza dane, angażując jak najmniejszą całkowitą energię źródeł.

===Formalizm===
Problem optymalizacji z regularyzacją Tichonowa:
:<math>\hat{\mathbf{s}} = \arg\min_{\mathbf{s}} \left\|\mathbf{x} - \mathbf{A}\mathbf{s}\right\|^2 + \lambda\left\|\mathbf{s}\right\|^2</math>
gdzie <math>\lambda > 0</math> to parametr regularyzacji kontrolujący kompromis
między wiernością danym a gładkością rozwiązania.

Rozwiązanie analityczne:
:<math>\hat{\mathbf{s}} = \mathbf{A}^T\left(\mathbf{A}\mathbf{A}^T + \lambda\mathbf{I}\right)^{-1}\mathbf{x}</math>

Macierz <math>\mathbf{W}_{\mathrm{MNE}} = \mathbf{A}^T(\mathbf{A}\mathbf{A}^T + \lambda\mathbf{I})^{-1}</math>
jest liniowym filtrem przestrzennym — analogiem macierzy <math>\mathbf{W}</math> z CSP,
lecz skonstruowanym na podstawie modelu do przodu, nie z danych.

===Warianty===

;dSPM (''dynamic Statistical Parametric Mapping'', Dale 2000):
Normalizuje estymowaną aktywność przez odchylenie standardowe szumu:
:<math>F_{\mathrm{dSPM}}(\mathbf{r}, t) = \frac{\hat{s}(\mathbf{r},t)}{\sigma_{\mathrm{noise}}(\mathbf{r})}</math>
Wynik ma interpretację statystyczną (wartość F lub Z); popularne w neurobiologii poznawczej.

;sLORETA (''standardized LORETA'', Pascual-Marqui 2002):
Normalizuje przez odchylenie standardowe samego estymatora MNE (nie tylko szumu):
:<math>F_{\mathrm{sLORETA}}(\mathbf{r}, t) = \frac{\hat{s}(\mathbf{r},t)}{\sqrt{\left[\mathbf{W}_{\mathrm{MNE}}\mathbf{A}\right]_{(\mathbf{r},\mathbf{r})}}}</math>
Wykazuje zerowe systematyczne błędy lokalizacji w warunkach idealnych.

;Wybór <math>\lambda</math>:
Zwykle <math>\lambda = \alpha \cdot \mathrm{tr}(\mathbf{A}\mathbf{A}^T) / \mathrm{tr}(\mathbf{I})</math>
z <math>\alpha \in [0.05, 0.3]</math>; w MNE-Python domyślnie <math>\alpha = 0.1</math>.
Można też stosować kryterium L-krzywej lub walidację krzyżową.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* gdy aktywacja jest rozproszona lub nieznana a priori
* jako ogólne narzędzie wizualizacji ERP na powierzchni kory
* przy małej liczbie elektrod

;Ograniczenia:
* tendencja do rozmywania rozwiązania — źródła głębokie są systematycznie niedoszacowane
* brak zakładanej rzadkości (''sparsity''); wariant L1 (MCE) jest rzadszy, ale trudniejszy obliczeniowo
* wymaga dobrego modelu do przodu

==Beamformery==

===Idea===
Beamformer (dosł. „formowanie wiązki") to adaptacyjny filtr przestrzenny,
który dla każdej lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>
konstruuje wagi <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math> maksymalizujące
stosunek mocy sygnału z tej lokalizacji do mocy wszystkich pozostałych źródeł.
W odróżnieniu od MNE, beamformer korzysta z macierzy kowariancji danych —
jest więc metodą adaptacyjną, zbliżoną duchem do CSP.

===LCMV (''Linearly Constrained Minimum Variance'', Van Veen 1997)===

Szukamy filtra minimalizującego wariancję wyjścia
przy ograniczeniu zachowującym sygnał z lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>:
:<math>\mathbf{w}^*(\mathbf{r}) = \arg\min_{\mathbf{w}} \mathbf{w}^T\mathbf{C}\mathbf{w}
\quad \text{p.o.} \quad \mathbf{w}^T\mathbf{a}(\mathbf{r}) = 1</math>
gdzie <math>\mathbf{C} = E[\mathbf{x}\mathbf{x}^T]</math> to macierz kowariancji danych.

Rozwiązanie analityczne (mnożnik Lagrange'a):
:<math>\mathbf{w}(\mathbf{r}) = \frac{\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}{\mathbf{a}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}</math>

Moc w lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>:
:<math>P(\mathbf{r}) = \mathbf{w}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}\,\mathbf{w}(\mathbf{r})
= \frac{1}{\mathbf{a}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}</math>

===DICS (''Dynamic Imaging of Coherent Sources'', Gross 2001)===

Wariant beamformera dla analizy częstotliwościowej:
zamiast macierzy kowariancji czasowej stosuje
''cross-spectral density matrix'' <math>\mathbf{C}(f)</math>
obliczoną dla wybranego pasma częstości.
Pozwala mapować koherencję między lokalizacjami na powierzchni kory.

===Analogia z CSP===

Zauważmy analogię strukturalną:

{| class="wikitable"
|-
! !! CSP !! LCMV Beamformer
|-
| '''Macierz kowariancji''' || <math>\mathbf{R}_T, \mathbf{R}_{NT}</math> (dwa warunki) || <math>\mathbf{C}</math> (jeden warunek) + <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
|-
| '''Filtr''' || <math>\mathbf{w}</math>: maks. stosunek wariancji || <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math>: min. wariancja przy ograniczeniu
|-
| '''Przestrzeń''' || elektrod || przestrzeni mózgu (woksel po wokselu)
|-
| '''Model do przodu''' || nie || tak — przez <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
|}

Kluczowa różnica: CSP optymalizuje globalnie jednym zagadnieniem własnym,
beamformer rozwiązuje osobny problem dla każdej lokalizacji.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* analiza ERD/ERS (rytmy ruchowe, alfa, beta) w przestrzeni mózgu
* lokalizacja źródeł oscylacyjnych w MEG
* DICS do badania koherencji korowo-korowej

;Ograniczenia:
* silnie skorelowane źródła są tłumione (''source cancellation'') — beamformer zakłada, że źródła są nieskorelowane
* wymaga dużej liczby próbek do stabilnej estymacji <math>\mathbf{C}^{-1}</math>
* przy małej liczbie elektrod macierz <math>\mathbf{C}</math> może być źle uwarunkowana

;Podsumowanie:
[[Plik:Inverse problem vs bss.png|mały|centruj]]

==Podsumowanie: kiedy stosować którą metodę==

{| class="wikitable"
|-
! Metoda !! Założenie a priori !! Dane wejściowe !! Typowe zastosowanie
|-
| '''Dipole fitting''' || 1–3 punktowe źródła || ERP, AEP, SEP || lokalizacja wczesnych składowych wywołanych
|-
| '''MNE / dSPM / sLORETA''' || minimalna energia; źródła ciągłe || ERP, dowolny sygnał || wizualizacja rozproszonej aktywności na korze
|-
| '''LCMV Beamformer''' || źródła nieskorelowane || ERD/ERS, dane resting-state || lokalizacja źródeł oscylacyjnych w MEG/EEG
|-
| '''DICS''' || j.w. + analiza spektralna || dane oscylacyjne || mapa koherencji korowo-korowej
|-
| '''CSP / ICA''' || brak modelu geometrycznego || dwa warunki / jeden segment || klasyfikacja BCI, usuwanie artefaktów
|}

;Uwaga praktyczna:
Wszystkie metody problemu odwrotnego wymagają przygotowania modelu do przodu.
Zaleca się korzystanie z MNE-Python lub FieldTrip — oba pakiety
oferują spójne pipeline'y od surowych danych do map korowych
i są szeroko stosowane w literaturze, co ułatwia replikację wyników.

=Sesja 7: Problem odwrotny — część praktyczna=

;Czas: ~30 min wprowadzenie + ~120 min ćwiczenie

Część praktyczna prowadzi przez pełny pipeline lokalizacji źródeł:
od wczytania danych w FieldTrip, przez zbudowanie modelu do przodu,
do fitowania dipola i interpretacji wyniku.
Sesja jest zaprojektowana tak, aby każdy krok bezpośrednio ilustrował
jeden element teorii omówionej w [[#Sesja 7: Problem odwrotny w EEG i MEG|części wykładowej]].

;Dane:
Używamy standardowego zestawu danych FieldTrip
(dane somatosensoryczne MEG/EEG, bodziec elektryczny na nadgarstku — składowa N20):
* https://download.fieldtriptoolbox.org/tutorial/Subject01.zip (~800 MB)

Ten sam zestaw danych jest używany we wszystkich tutorialach FieldTrip
wymienionych w tej sesji, co ułatwia porównywanie wyników między krokami.

;Instalacja FieldTrip: Wymagania wstępne:
FieldTrip wymaga MATLABa. Przed instalacją sprawdź kompatybilność swojej wersji:
[https://www.fieldtriptoolbox.org/faq/matlab/requirements MATLAB requirements]

;Pobranie toolboxa: Pobierz najnowszą wersję ze strony:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/download.php Pobierz FieldTrip]

Rozpakuj archiwum ZIP w wybranym katalogu, np. <code>~/matlab/fieldtrip</code> (Linux/macOS).

;Ważne: nie zmieniaj wewnętrznej struktury katalogów po rozpakowaniu —
FieldTrip dynamicznie zarządza swoimi podkatalogami.

;Konfiguracja ścieżki MATLAB: Pełna instrukcja: [https://www.fieldtriptoolbox.org/faq/matlab/installation Installation and setting up the path]

Uruchom poniższe polecenia na początku każdej sesji pracy z FieldTrip
(lub wstaw je do pliku <code>startup.m</code> — patrz niżej):

<source lang="matlab">
restoredefaultpath % wyczyść aktualną ścieżkę
addpath('~/fieldtrip') % podaj tu swoją ścieżkę do FieldTrip
ft_defaults % skonfiguruj FieldTrip i minimalne podkatalogi
</source>

;Uwaga — częsty błąd:
Nie używaj <code>addpath(genpath(...))</code> ani przycisku „Add with Subfolders" w MATLAB GUI.
FieldTrip samodzielnie dodaje potrzebne podkatalogi przez <code>ft_defaults</code>
i <code>ft_hastoolbox</code> — dodanie wszystkiego ręcznie powoduje konflikty
z funkcjami SPM, EEGLAB i wbudowanymi funkcjami MATLABa
(w szczególności z funkcjami z katalogu <code>fieldtrip/compat</code>
przeznaczonymi tylko dla starych wersji MATLABa).

;Trwała konfiguracja przez startup.m:

Żeby nie powtarzać powyższych poleceń przy każdym uruchomieniu MATLABa,
utwórz plik <code>startup.m</code> w swoim katalogu MATLABa
(zwykle <code>Dokumenty/MATLAB/startup.m</code>) z zawartością:

<source lang="matlab">
restoredefaultpath
addpath('C:\fieldtrip') % zmień na swoją ścieżkę
ft_defaults
</source>

MATLAB wykonuje ten plik automatycznie przy każdym uruchomieniu.

;Uwaga dla użytkowników EEGLAB: Jeśli korzystasz z EEGLAB i FieldTrip w tej samej sesji,
zawsze ładuj FieldTrip przez <code>restoredefaultpath</code> + <code>addpath</code> + <code>ft_defaults</code>,
a nie przez interfejs EEGLAB. Oba toolboxy zawierają funkcje o tych samych nazwach
(np. <code>eegplot</code>, <code>topoplot</code>) — kolejność na ścieżce decyduje,
która wersja zostanie wywołana.

;Weryfikacja instalacji: Sprawdź poprawność instalacji jednym poleceniem:

<source lang="matlab">
ft_defaults
ft_version
</source>

Powinieneś zobaczyć numer wersji i datę kompilacji, np.:
<pre>
FieldTrip version 20250901, path: C:\fieldtrip
</pre>

Jeśli MATLAB zgłasza błąd <code>Undefined function 'ft_defaults'</code>,
ścieżka nie została ustawiona poprawnie — wróć do kroku z <code>addpath</code>.

==Krok 0: Wejście do FieldTrip==

Przed właściwym ćwiczeniem proszę zapoznać się z tutorialem wprowadzającym:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/intro/introduction/ Introduction to the FieldTrip toolbox]

;Na co zwrócić uwagę przechodząc ten tutorial:

Studenci znający EEGLAB natkną się na dwie zasadnicze różnice w filozofii pracy:

* '''Struktura cfg''' zamiast GUI. Każda funkcja FieldTrip przyjmuje strukturę konfiguracyjną <code>cfg</code> i zwraca nową strukturę danych. Nie ma okien dialogowych — cała analiza jest skryptem. Jest to bliższe temu, co robiliśmy w MATLAB-owych sesjach CSP/ICA.

* '''Niezmienność danych'''. FieldTrip nie modyfikuje struktur w miejscu — każde wywołanie funkcji zwraca nową strukturę. Pozwala to łatwo porównywać wyniki różnych parametrów, ale wymaga dbałości o nazewnictwo zmiennych.

;Pytanie do dyskusji po lekturze:
Jak odpowiadają sobie nawzajem: <code>EEG.data</code> w EEGLAB i struktura <code>data</code> w FieldTrip?
Gdzie w strukturach FieldTrip przechowywane są informacje o lokalizacji elektrod?

==Krok 1: Model do przodu — BEM dla EEG==

Przed fitowaniem dipola musimy obliczyć macierz pola wiodącego <math>\mathbf{A}</math>.
Proszę przejść tutorial:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/headmodel_eeg_bem Construct a BEM headmodel for EEG source analysis]

;Cel tego kroku:
Zrozumieć skąd pochodzi kolumna <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
używana we wszystkich metodach Sesji 7.
Każda kolumna <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math> mówi: „jeśli w miejscu <math>\mathbf{r}</math>
znajdowałby się dipol o jednostkowym momencie,
to jakie potencjały zmierzylibyśmy na każdej z elektrod?"

;Kluczowe funkcje FieldTrip w tym kroku:
<source lang="matlab">
% Segmentacja MRI na trzy tkanki (skóra, czaszka, mózg)
cfg = [];
cfg.output = {'brain','skull','scalp'};
segmentedmri = ft_volumesegment(cfg, mri);

% Budowanie siatki trójkątów BEM
cfg = [];
cfg.tissue = {'brain','skull','scalp'};
cfg.numvertices = [3000 2000 1000];
bnd = ft_prepare_mesh(cfg, segmentedmri);

% Obliczenie modelu do przodu metodą BEM (OpenMEEG)
cfg = [];
cfg.method = 'openmeeg';
cfg.conductivity = [0.33 0.0041 0.33]; % mózg, czaszka, skóra [S/m]
headmodel = ft_prepare_headmodel(cfg, bnd);
</source>

;Na co zwrócić uwagę:
* Stosunek przewodności czaszka/mózg wynosi tu ~1/80.
Jak myślisz, jak bardzo błąd w tym parametrze wpłynie na lokalizację źródeł?
* Funkcja <code>ft_prepare_mesh</code> tworzy trzy zagnieżdżone siatki.
Jak ma się to do opisu BEM z wykładu?

==Krok 2: Fitowanie dipola (ćwiczenie główne)==

;Czas: ~90 min

To jest główne ćwiczenie praktyczne Sesji 7.
Proszę przejść tutorial:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/dipolefitting Dipole fitting of combined MEG/EEG data]

Poniżej znajdziesz szkielet kodu z pytaniami pomocniczymi
do samodzielnego wypełnienia — zacznij od tutorialu,
a potem wróć do szkieletu i uzupełnij brakujące fragmenty.

===Szkielet kodu — fitowanie dipola dla składowej N20===

<source lang="matlab">
%% KROK A: Wczytanie i preprocessing danych EEG
% Dane: Subject01.zip (patrz wyżej)
% Używamy tylko kanałów EEG, odrzucamy MEG.

cfg = [];
cfg.dataset = 'Subject01.ds';
cfg.trialdef.eventtype = 'backpanel trigger';
cfg.trialdef.eventvalue = 3; % bodziec na lewym nadgarstku
cfg.trialdef.prestim = 0.1;
cfg.trialdef.poststim = 0.3;
cfg = ft_definetrial(cfg);

cfg.channel = 'EEG';
cfg.continuous = 'yes';
cfg.demean = 'yes';
cfg.baselinewindow = [-0.1 0];
data = ft_preprocessing(cfg);

%% KROK B: Uśrednianie — potencjał wywołany
% TUTAJ: użyj ft_timelockanalysis aby obliczyć ERP (średnią po powtórzeniach)
% Wynik zapisz jako 'timelock'

% TUTAJ

%% KROK C: Wczytanie modelu do przodu i lokalizacji elektrod
% Zakładamy, że headmodel i elec zostały obliczone w Kroku 1.
% Jeśli nie — można użyć gotowego modelu z paczki danych Subject01.

load('standard_bem.mat'); % headmodel
load('Subject01_elec.mat'); % lokalizacje elektrod (po dopasowaniu do MRI)

%% KROK D: Przygotowanie siatki poszukiwań (grid)
% Definiujemy siatkę regularną 1 cm wewnątrz mózgu.
% ft_prepare_sourcemodel oblicza też macierz pola wiodącego A
% (tzw. leadfield) dla każdego punktu siatki.

cfg = [];
cfg.headmodel = headmodel;
cfg.elec = elec;
cfg.resolution = 1; % odstęp siatki w cm
cfg.unit = 'cm';
sourcemodel = ft_prepare_sourcemodel(cfg);

%% KROK E: Fitowanie dipola
% Szukamy jednego dipola najlepiej wyjaśniającego topografię N20.
% Okno czasowe 0.016–0.022 s odpowiada składowej N20.

cfg = [];
cfg.latency = [0.016 0.022]; % okno N20 w sekundach
cfg.numdipoles = 1;
cfg.headmodel = headmodel;
cfg.elec = elec;
cfg.sourcemodel = sourcemodel;
cfg.nonlinear = 'yes'; % optymalizacja nieliniowa po przestrzeni

% TUTAJ: source = ft_dipolefitting(cfg, timelock);

%% KROK F: Wizualizacja wyniku
% Nałożenie lokalizacji dipola na MRI anatomiczne.

load('standard_mri.mat'); % MRI w tym samym układzie współrzędnych

cfg = [];
cfg.location = source.dip.pos; % współrzędne znalezionego dipola [x y z]

% TUTAJ: ft_sourceplot(cfg, mri);

%% KROK G: Ocena dopasowania
% Goodness of fit (GoF) mówi jaka część wariancji danych
% jest wyjaśniona przez znaleziony dipol.
% Wartość > 0.85 uznaje się za dobre dopasowanie.

fprintf('Goodness of fit: %.1f%%\n', source.dip.rv * 100);
% Uwaga: w FieldTrip rv to residual variance (1 - GoF).
% Dobry dipol ma rv < 0.15.

disp('Lokalizacja dipola [x y z] w mm:')
disp(source.dip.pos)

disp('Moment dipolowy [qx qy qz]:')
disp(source.dip.mom)
</source>

===Zadania do samodzielnej realizacji===

;Zadanie 1 (obowiązkowe): Pipeline i lokalizacja
Uzupełnij brakujące fragmenty szkieletu (kroki B i E–F).
Gdzie na MRI ląduje znaleziony dipol? Czy odpowiada to oczekiwanej anatomii
składowej N20 (pierwotna kora somatosensoryczna S1, okolica bruzdy centralnej)?

;Zadanie 2 (obowiązkowe): Wpływ okna czasowego
Zmień <code>cfg.latency</code> kolejno na:
* <code>[0.016 0.022]</code> — okno N20
* <code>[0.025 0.035]</code> — okno P25
* <code>[0.045 0.060]</code> — okno N45
Czy lokalizacja dipola zmienia się między tymi składowymi?
Jak zmienia się GoF? Co to mówi o tym, która składowa jest lepiej opisana modelem jednego dipola?

;Zadanie 3 (obowiązkowe): Dwa dipole
Zmień <code>cfg.numdipoles = 2</code> i powtórz fitowanie dla okna N20.
Czy model dwóch dipoli daje istotnie lepszy GoF niż jeden?
Jak interpretujesz dwa znalezione źródła?

;Zadanie 4 (dla chętnych): Wrażliwość na model do przodu
FieldTrip pozwala użyć uproszczonego modelu sferycznego
zamiast BEM: ustaw <code>cfg.headmodel</code> na model jednorodnej sfery
(<code>cfg.method = 'singlesphere'</code> w <code>ft_prepare_headmodel</code>).
O ile zmienia się lokalizacja dipola N20?
Czy GoF wzrasta czy maleje?

;Pytania do dyskusji:
* Fitowanie dipola wymaga podania okna czasowego — dlaczego?
Co stałoby się gdybyśmy dopasowywali dipol do całej epoki (−100 do +300 ms)?
* Algorytm minimalizacji może utknąć w minimum lokalnym.
Jak <code>cfg.sourcemodel</code> (siatka) pomaga temu zaradzić?
Jaki jest kompromis między rozdzielczością siatki a czasem obliczeń?
* Porównaj mapę topograficzną ERP w oknie N20
z mapą rekonstruowaną z dopasowanego dipola (wywołaj <code>ft_dipolefitting</code>
z opcją <code>cfg.dipfit.display = 'yes'</code>).
Czy widzisz różnicę? Skąd ona pochodzi?

==Krok 3: Dalsze metody — dla zainteresowanych==

Poniższe tutoriale stanowią naturalne rozwinięcie ćwiczenia głównego
i ilustrują pozostałe metody omówione w teorii Sesji 7.
Nie są wymagane na zaliczenie, ale gorąco je polecamy
jeśli planujesz używać lokalizacji źródeł w pracy badawczej.

;Minimum Norm Estimation:
[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/minimumnormestimate Source reconstruction of event-related fields using minimum-norm estimation]

Ten sam sygnał N20 co w ćwiczeniu głównym, ale zamiast jednego dipola
otrzymujesz ciągłą mapę aktywności na całej powierzchni kory.
Zwróć uwagę jak wybór parametru regularyzacji <math>\lambda</math>
wpływa na rozmycie rozwiązania.
Porównaj lokalizację maksimum mapy MNE z lokalizacją dipola z Kroku 2.

;Beamformer (LCMV/DICS):
[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/beamformer Localizing oscillatory sources in MEG data using a beamformer]

Tutorial wykorzystuje ten sam zestaw danych Subject01
i lokalizuje źródła oscylacji gamma wywołanych bodźcem —
bezpośrednie rozwinięcie analizy ERD/ERS, którą już znasz.
Kluczowa różnica w stosunku do MNE: beamformer korzysta
z macierzy kowariancji danych <math>\mathbf{C}</math>,
a nie tylko z modelu do przodu. Sprawdź jak wyglądają
filtry przestrzenne <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math> dla różnych lokalizacji
i porównaj je koncepcyjnie z filtrami CSP z Sesji 1–3.











-->

Laboratorium EEG/CSP

2026-05-14T08:07:47Z

Jarekz: /* 5. Metody rozwiązania — co siedzi w `ft_prepare_headmodel` */

[[Laboratorium_EEG]]/BSS

=Sesja 1: Ślepa separacja źródeł i CSP — wprowadzenie=

;Czas: ~60 min wykład + ~90 min ćwiczenie symulacyjne

Zajęcia wprowadzają do problemu filtracji przestrzennej sygnałów EEG.
Punktem wyjścia jest ogólny problem ślepej separacji źródeł (BSS),
z którego CSP wyłania się jako szczególny przypadek dla dwóch warunków
eksperymentalnych. Filtry przestrzenne omawiane na tych zajęciach stanowią
fundament klasycznych metod BCI (P300, SSVEP, motor imagery) oraz są
bezpośrednim odpowiednikiem warstw przestrzennych w sieciach neuronowych
takich jak ShallowConvNet i EEGNet — do tej analogii wrócimy w sesji 6.

[https://drive.google.com/file/d/1WrXgWWDJ7g5ZdYltm_8s2NXbGamw4R8N/view?usp=sharing Slajdy do wykładu (PDF)]

;Zakres wykładu:
* model generatywny EEG: <math>x(t) = As(t)</math>, macierz kowariancji, idea diagonalizacji
* BSS jako ogólny problem separacji źródeł
* CSP jako szczególny przypadek: dwa warunki eksperymentalne, iloraz Rayleigha, uogólnione zagadnienie własne
* interpretacja filtrów i topografii źródeł

;Ćwiczenie symulacyjne:
Zob. [[#Ćwiczenie symulacyjne|Ćwiczenie symulacyjne]] w sekcji CSP poniżej.

====Ćwiczenie symulacyjne ====
====Zadania do samodzielnej realizacji====

Poniższy kod dostarcza gotowej infrastruktury: generacji sygnałów, macierzy mieszającej i wizualizacji.
Zadaniem jest samodzielna implementacja kluczowych kroków analizy CSP.

;Zadanie 1 (obowiązkowe): Obliczenie macierzy kowariancji
Napisz funkcję <code>srednia_kowariancja(X, ind)</code>, która dla danej tablicy sygnałów <code>X</code>
(wymiary: powtórzenia × kanały × próbki) i wektora indeksów czasowych <code>ind</code>
zwraca średnią macierz kowariancji uśrednioną po powtórzeniach.
Dla każdego powtórzenia zastosuj funkcję <code>cov</code> i znormalizuj wynik przez jego ślad (<code>trace</code>).
Sprawdź wynik porównując z macierzami <code>R_B</code> i <code>R_E</code> obliczonymi w dostarczonym kodzie.

;Zadanie 2 (obowiązkowe): Implementacja CSP
Korzystając z funkcji <code>eig</code> oraz macierzy kowariancji obliczonych w zadaniu 1,
wyznacz macierz filtrów przestrzennych <code>W</code> i odpowiadające im wartości własne.
Odtwórz sygnały źródłowe dla wszystkich powtórzeń.
Narysuj chmury punktów (amplituda źródła 1 vs amplituda źródła 2) osobno dla warunków
baseline i ERP — przed transformacją CSP i po niej. Co zmieniło się w kształcie chmur?

Wykreśl także wizualizację przebiegów czasowych sygnałów X i sygnałów S uzyskanych po rozmieszaniu.

;Zadanie 3 (obowiązkowe): Interpretacja wartości własnych
Wartości własne znajdują się na przekątnej macierzy <code>Lambda</code>.
Który filtr najbardziej różnicuje warunki baseline i ERP?
Jaki jest związek między wartością własną a separacją widoczną na wykresach punktowych?

;Zadanie 4 (dla chętnych): Wpływ macierzy mieszającej
W dostarczonym kodzie macierz <code>P</code> (filtr przestrzenny) wynosi:
<pre>
P = [1 2; 1.5 1.3]
</pre>
Zmień ją kolejno na macierz bliską jednostkowej (np. <code>P = [1 0.1; 0.1 1]</code>)
oraz na macierz z dużymi elementami pozadiagonalnymi (np. <code>P = [1 5; 4 1]</code>).
Jak zmienia się kształt chmury punktów przed transformacją CSP?
Czy CSP poprawnie oddziela źródła w obu przypadkach?

;Zadanie 5 (dla chętnych): Wpływ szumu
W kodzie szum jest wyłączony: <code>n = 0*randn(size(tmp))</code>.
Usuń mnożnik <code>0*</code> i zbadaj jak poziom szumu wpływa na separację źródeł.
Przy jakim stosunku sygnału do szumu CSP przestaje skutecznie rozdzielać warunki?

;Pytanie do dyskusji:
Dostarczony kod używa <code>eig(R_E, R_B)</code>.
Alternatywą jest <code>eig(R_E, (R_E+R_B)/2)</code>.
Czym różnią się te dwie wersje? W jakich sytuacjach eksperymentalnych
druga wersja mogłaby być bardziej uzasadniona?

====Szkielet kodu do uzupełnienia====

Poniższy szkielet zawiera gotową infrastrukturę symulacji.
Uzupełnij brakujące fragmenty oznaczone komentarzem <code>% TUTAJ</code>
zgodnie z zadaniami 1–3. Pełny kod referencyjny dostępny jest poniżej
— zajrzyj do niego dopiero po samodzielnej próbie.

<source lang="matlab">
%% Parametry symulacji — nie modyfikuj tej sekcji
Fs = 100;
T = 1;
t = 0:1/Fs:T-1/Fs;
N_rep = 100;
N_chan = 2;
s = zeros(N_rep, N_chan, length(t));
X = zeros(N_rep, N_chan, length(t));

P = [1 2; 1.5 1.3]; % filtr przestrzenny (prawdziwy)
A = P^(-1); % topografia źródeł

for r = 1:N_rep
s1 = sin(2*pi*11*t + pi/2) + 0.02*randn(size(t));
s2 = exp(-((t-0.8)/0.05).^2) + 0.01*randn(size(t));
s(r,1,:) = s1;
s(r,2,:) = s2;
tmp = squeeze(s(r,:,:));
n = 0*randn(size(tmp)); % Zadanie 5: zmień 0* na 1* aby włączyć szum
X(r,:,:) = A*tmp + n;
end

baseline_ind = find(t < 0.5);
ERP_ind = find(t >= 0.5);

R_B = zeros(N_chan, N_chan);
R_E = zeros(N_chan, N_chan);

%% Zadanie 1: Oblicz średnie macierze kowariancji
% korzystając z funkcji srednia_kowariancja(X, ind)

% Dla każdego powtórzenia r:
% - wytnij fragment sygnału X(r,:,baseline_ind) i analogicznie ERP
% - oblicz macierz kowariancji funkcją cov() — pamiętaj o transpozycji
% - znormalizuj przez ślad (funkcja trace())
% - dodaj do sumy
% Na końcu podziel przez N_rep

%% Zadanie 2: Rozwiąż uogólnione zagadnienie własne
% Użyj funkcji eig(A,B) gdzie A=R_E, B=R_B
% W wyniku otrzymasz macierz wektorów własnych W (w kolumnach)
% i macierz Lambda z wartościami własnymi na przekątnej

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

disp('Wartości własne (przekątna Lambda):')
disp(diag(Lambda))

%% Zadanie 2 cd.: Odtwórz sygnały źródłowe
% Dla każdego powtórzenia r zastosuj filtr: S(r,:,:) = W' * X(r,:,:)

S = zeros(N_rep, N_chan, length(t));

for r = 1:N_rep
% TUTAJ: S(r,:,:) = ...
end

%% Zadanie 3: Wizualizacja — chmury punktów przed i po CSP
x_base_k1 = X(:,1,baseline_ind);
x_base_k2 = X(:,2,baseline_ind);
x_ERP_k1 = X(:,1,ERP_ind);
x_ERP_k2 = X(:,2,ERP_ind);

s_base_k1 = squeeze(S(:,1,baseline_ind));
s_base_k2 = squeeze(S(:,2,baseline_ind));
s_ERP_k1 = squeeze(S(:,1,ERP_ind));
s_ERP_k2 = squeeze(S(:,2,ERP_ind));

figure(1); clf
subplot(1,2,1)
plot(x_base_k1(:), x_base_k2(:), 'b.'); hold on
plot(x_ERP_k1(:), x_ERP_k2(:), 'r.');
axis equal; xlim([-2 2]); ylim([-2 2])
xlabel('Kanał 1'); ylabel('Kanał 2')
title('Przed CSP')
legend('baseline','ERP')

subplot(1,2,2)
plot(s_base_k1(:), s_base_k2(:), 'b.'); hold on
plot(s_ERP_k1(:), s_ERP_k2(:), 'r.');
axis equal
xlabel('Źródło 1'); ylabel('Źródło 2')
title('Po CSP')
legend('baseline','ERP')
%% Wizualizacja przebiegów czasowych X i S
% TUTAJ:

%% Zadanie 4 (dla chętnych): zmień macierz P powyżej i powtórz analizę
%% Zadanie 5 (dla chętnych): włącz szum (zmień 0* na 1* w linii z n=...)
</source>

{{hidden begin|title=Rozwiązanie — pokaż dopiero po samodzielnej próbie}}
<source lang = matlab>
% symulowany eksperyment składa się z sinusoidy udającej alfę spoczynkową i
% funkcji Gaussa udającego potencjał wywołany
% źródła te są symulowane niezależnie a potem mieszane przez macierz A
% symulujemy źródła
% s1 - symuluje alfę
% s2 - symuluje "potencjał wywołany" (ERP)

%ustawiamy parametry do symulacji sygnałów
Fs = 100;
T = 1;
t = 0:1/Fs:T-1/Fs;
N_rep = 100;
N_chan = 2;
s = zeros(N_rep,N_chan, length(t));
X = zeros(N_rep,N_chan, length(t));

% filtr przestrzenny - z takimi wagami trzeba wziąść kanały EEG aby odzyskać sygnały źródłowe
P = [1 2
1.5 1.3];

% topografie - z takimi wagami źródła dokładają się do poszczególnych elektrod
A = P^(-1);

for r =1:N_rep % tworzymy kolejne realizacje "eksperymentu"
s1 = sin(2*pi*11*t +pi/2+ 0*2*pi*rand())+ 0.02*randn(size(t)); % źródło alfa
s2 = exp(-((t-0.8)/0.05).^2)+ 0.01*randn(size(t)); % źródło ERP

s(r,1,:) = s1;
s(r,2,:) = s2;
tmp = squeeze(s(r,:,:));
n = 0*randn(size(tmp));
X(r,:,:) = A*tmp +n; % rzutujemy sygnały źródłowe na elektrody s -> x

end

% wycinamy warunki
% baseline_ind to indeksy pierwszej połowy każdego powtórzenia "baseline"
% ERP_ind to indeksy drugiej połowy każdego powtórzenia zawierająca "ERP"
baseline_ind = find(t<0.5);
ERP_ind = find(t>=0.5);

x_baseline_kan_1 = X(:,1,baseline_ind);
x_baseline_kan_2 = X(:,2,baseline_ind);

x_ERP_kan_1 = X(:,1,ERP_ind);
x_ERP_kan_2 = X(:,2,ERP_ind);

% liczymy średnie macierze kowariancji:
R_E = zeros(N_chan,N_chan);
R_B = zeros(N_chan,N_chan);
for r =1:N_rep
B = squeeze(X(r,:,baseline_ind));
tmp =cov(B');
R_B = R_B + tmp./trace(tmp);%B*B' ;

E = squeeze(X(r,:,ERP_ind));
tmp = cov(E');
R_E = R_E + tmp./trace(tmp);%E*E' ;
end

R_B = R_B/N_rep;
R_E = R_E/N_rep;

% rozwiązujemy uogólnione zagadnienie własne
[W,Lambda]=eig(R_E,R_B); % możliwa jest też optymalizacja wzg. średniej macierzy kowariancji (R_B+R_A)/2);

% odzyskujemy sygnały źródeł
for r =1:N_rep
S(r,:,:) = W'*squeeze(X(r,:,:));
end

% pobieramy wycinki odpowiadające obu częściom eksperymentu z estymowanych
% źródeł
s_baseline_estymowany_kan1 = squeeze( S(:,1,baseline_ind));
s_baseline_estymowany_kan2 = squeeze( S(:,2,baseline_ind));

s_ERP_estymowany_kan1 = squeeze(S(:,1,ERP_ind));
s_ERP_estymowany_kan2 = squeeze(S(:,2,ERP_ind));

%%%%%%%%%%%%%% Ilustracje %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ilustracja sygnałów mierzonych
figure(1);clf
subplot(2,2,1);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(X(:,1,baseline_ind)))','b'); hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze( X(:,1,ERP_ind)))','r'); hold off
xlabel('elektroda 1')
title('ilustracja sytuacji pomiarowej -\newline znane są potencjały na elektrodach w dwóch warunkach eksperymentalnych')
subplot(2,2,3);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(X(:,2,baseline_ind)))','b'); hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze( X(:,2,ERP_ind)))','r'); hold off
xlabel('elektroda 2')
subplot(1,2,2)
plot(x_baseline_kan_1(:),x_baseline_kan_2(:),'b.');
hold on
plot(x_ERP_kan_1(:),x_ERP_kan_2(:),'r.');
xlim([-2,2])
ylim([-2,2])
axis equal

% wektor własny odpowiadający największej wartości własnej jest
% kierunkiem najbardziej różnicującym warunki eksperymentalne
disp('wartości własne znajdują się na przekątnej macierzy Lambda')
disp(Lambda)
% rysujemy wersory jednostkowe w kierunkach wektorów własnych
w1 = W(:,1);
w1 = w1/norm(w1);
w2 = W(:,2);
w2 = w2/norm(w2);
line([0, w1(1) ],[0,w1(2)],'Color',[0,0.3,0])
text(w1(1),w1(2),'wektor własny 1')
line([0, w2(1) ],[0,w2(2)],'Color',[1,0,1])
text(w2(1),w2(2),'wektor własny 2')

xlabel('Amplituda na elektrodzie 1')
ylabel('Amplituda na elektrodzie 2')
legend('baseline','ERP')

% Ilustracja estymowanych źródeł
figure(2);clf
subplot(2,2,1);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(S(:,1,baseline_ind)))','b');hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze(S(:,1,ERP_ind)))','r');hold off
xlabel('estymowane zrodlo 1')
title('ilustracja estymacji -\newline estymowane są potencjały źródeł w dwóch warunkach eksperymentalnych')
subplot(2,2,3);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(S(:,2,baseline_ind)))','b');hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze(S(:,2,ERP_ind)))','r');hold off
xlabel('estymowane zrodlo 2');
subplot(1,2,2)
plot(s_baseline_estymowany_kan1(:),s_baseline_estymowany_kan2(:),'b.');
hold on
plot(s_ERP_estymowany_kan1(:),s_ERP_estymowany_kan2(:),'r.');

xlabel('Amplituda estym. źródła 1')
ylabel('Amplituda estym. źródła 2')
legend('baseline','ERP')
</source>
{{hidden end}}

=Sesja 2: CSP dla P300 — dane realne=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Pracujemy z danymi kalibracyjnymi z eksperymentu P300.
Celem sesji jest przejście pełnego pipeline'u: od surowych danych
do odtworzonych źródeł CSP.

;Zakres:
* wczytanie danych kalibracyjnych, identyfikacja znaczników T i NT
* cięcie epok (−200 do +800 ms), usuwanie trendu liniowego
* montaż względem średniej ze wszystkich elektrod
* wizualizacja ERP w układzie topograficznym
* obliczenie macierzy kowariancji RT i RNT, normalizacja przez ślad
* rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego: <code>[W, Lambda] = eig(R_T, R_NT)</code>
* odtworzenie sygnałów źródłowych: <code>S = W'*EEG</code>
* przegląd estymowanych źródeł w dwóch warunkach

;Materiały:
Dane: https://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/KalibracjaP300.tar.gz

===ZADANIE: Analiza CSP===

Przegląd badań o P300: https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2715154/

Link do Read menager [https://drive.google.com/file/d/1OgOduK5Zn7GgNl5XdCyLWXHJ7wTJIWcC/view?usp=share_link]

* Wykonać analizę CSP wzmacniającą potencjał P300.
* Zaprezentować średnią ze wszystkich kanałów źródłowych z warunku target (jeden kolor) i non-target (inny kolor) w subplotach ułożonych w prostokątnej siatce. Zaobserwować, dla którego kanału średnie różnią się najbardziej. Czy jest związek tego kanału z wartościami własnymi?

* Dla kanału najbardziej różnicującego wykonać mapki topograficzne wektorów odpowiadających:
** filtrowi przestrzennemu
** rzutu topograficznego źródła na elektrody.

===Szkielet kodu do analizy wstępnej===

<source lang="matlab">
%% KROK 1: Wczytanie danych
% ReadManager to pomocnicza klasa do odczytu plików w formacie OpenBCI.
% Przyjmuje trzy pliki: XML z metadanymi, RAW z próbkami i TAG ze znacznikami zdarzeń.
nazwaPliku = 'p_6301423_calibration_p300.obci';
nameOfXMLFile = strcat(nazwaPliku, '.xml');
nameOfTagFile = strcat(nazwaPliku, '.tag');
namesOfDataFiles = strcat(nazwaPliku, '.raw');

rm = ReadManager(nameOfXMLFile, namesOfDataFiles, nameOfTagFile);

% Pobieramy podstawowe parametry nagrania
numberOfChannels = rm.get_param('number_of_channels');
namesOfChannels = rm.get_param('channels_names');
samplingFrequency = rm.get_param('sampling_frequency');

% Pobieramy listę wszystkich znaczników zdarzeń z nagrania
tagsStruct = rm.get_tags();

%% KROK 2: Identyfikacja znaczników Target i Non-Target
% Każdy znacznik typu 'blink' odpowiada jednemu mignięciu w eksperymencie P300.
% Pole 'index' mówi który symbol mignął, pole 'target' który symbol był oczekiwany.
% Jeśli index == target to było to mignięcie docelowe (Target), w przeciwnym razie
% Non-Target.
targetTimeStamps = [];
NonTargetTimeStamps = [];

for structNumber = 1:length(tagsStruct)
if strcmp(tagsStruct(structNumber).name, 'blink')
index = tagsStruct(structNumber).children.index;
target = tagsStruct(structNumber).children.target;
if index == target
targetTimeStamps = [targetTimeStamps tagsStruct(structNumber).start_timestamp];
else
NonTargetTimeStamps = [NonTargetTimeStamps tagsStruct(structNumber).start_timestamp];
end
end
end

%% KROK 3: Wczytanie i filtrowanie sygnału
samples = double(rm.get_samples());
samples = samples(1:8,:); % odrzucamy kanały bez EEG
numberOfChannels = 8;

% Filtr dolnoprzepustowy Czebyszewa 2. rodzaju — odcięcie 25 Hz
[b, a] = cheby2(6, 80, 25/(samplingFrequency/2), 'low');
for ch = 1:numberOfChannels
samples(ch,:) = filtfilt(b, a, samples(ch,:));
end

%% KROK 4: Montaż względem średniej (common average reference)
% Odejmujemy od każdego kanału średnią ze wszystkich kanałów w danej chwili.
% Jest to prostsze i bardziej ogólne niż montaż względem połączonych uszu.
M = -ones(numberOfChannels, numberOfChannels) / numberOfChannels;
M = M + eye(numberOfChannels) * (numberOfChannels+1) / numberOfChannels;
samples = 0.0715 * M * samples;

%% KROK 5: Cięcie epok
PRE = -0.2;
POST = 0.8;
wycinek = floor(PRE*samplingFrequency : POST*samplingFrequency);

TargetSignal = zeros(length(targetTimeStamps), numberOfChannels, length(wycinek));
NonTargetSignal = zeros(length(NonTargetTimeStamps), numberOfChannels, length(wycinek));

for trialNumber = 1:length(targetTimeStamps)
trigerOnset = floor(targetTimeStamps(trialNumber) * samplingFrequency);
tenWycinek = wycinek + trigerOnset;
if tenWycinek(1) > 0 && tenWycinek(end) <= size(samples,2)
tmpSignal = samples(:, tenWycinek);
tmpSignal = detrend(tmpSignal')'; % usuwanie trendu liniowego
TargetSignal(trialNumber,:,:) = tmpSignal;
end
end

for trialNumber = 1:length(NonTargetTimeStamps)
trigerOnset = floor(NonTargetTimeStamps(trialNumber) * samplingFrequency);
tenWycinek = wycinek + trigerOnset;
if tenWycinek(1) > 0 && tenWycinek(end) <= size(samples,2)
tmpSignal = samples(:, tenWycinek);
tmpSignal = detrend(tmpSignal')';
NonTargetSignal(trialNumber,:,:) = tmpSignal;
end
end

% Oś czasu w milisekundach — przyda się do rysowania
times = (wycinek / samplingFrequency) * 1000;

%% KROK 6: Wizualizacja ERP w układzie topograficznym
% Oblicz potencjały wywołane (ERP) jako średnie po powtórzeniach
ERP_T = squeeze(mean(TargetSignal, 1)); % wymiary: kanały × czas
ERP_NT = squeeze(mean(NonTargetSignal, 1));

% TUTAJ: narysuj ERP_T i ERP_NT dla każdego kanału w subplotach
% ułożonych w siatce odpowiadającej przybliżonym pozycjom elektrod.
% Na każdym subplocie nałóż oba warunki różnymi kolorami.
% Oś X: czas w ms (użyj wektora times), oś Y: amplituda w µV.
% Zadbaj o legendę i tytuły z nazwami kanałów (namesOfChannels).

%% KROK 7: Obliczenie średnich macierzy kowariancji
% Dla każdego powtórzenia oblicz macierz kowariancji funkcją cov(),
% znormalizuj przez jej ślad (trace()), a następnie uśrednij po powtórzeniach.
% Pamiętaj: cov() oczekuje macierzy próbki × kanały, czyli potrzebujesz transpozycji.

R_T = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
R_NT = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for r = 1:length(targetTimeStamps)
% TUTAJ: wytnij r-te powtórzenie T, oblicz kowariancję, znormalizuj, dodaj do R_T
end

for r = 1:length(NonTargetTimeStamps)
% TUTAJ: wytnij r-te powtórzenie NT, oblicz kowariancję, znormalizuj, dodaj do R_NT
end

% TUTAJ: podziel R_T i R_NT przez odpowiednie liczby powtórzeń

%% KROK 8: Rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego
% Szukamy filtrów przestrzennych W maksymalizujących stosunek mocy
% w warunku T względem NT: eig(R_T, R_NT)
% W kolumnach W znajdują się filtry, na przekątnej Lambda — wartości własne.

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

disp('Wartości własne (przekątna Lambda):')
disp(diag(Lambda))

%% KROK 9: Odtworzenie sygnałów źródłowych
% Dla każdego powtórzenia zastosuj filtr przestrzenny:
% s(r,:,:) = W' * x(r,:,:)
% Pamiętaj o wymiarach — squeeze() może być pomocne.

S_T = zeros(size(TargetSignal));
S_NT = zeros(size(NonTargetSignal));

for r = 1:size(TargetSignal, 1)
% TUTAJ: S_T(r,:,:) = ...
end

for r = 1:size(NonTargetSignal, 1)
% TUTAJ: S_NT(r,:,:) = ...
end

%% KROK 10: Wizualizacja estymowanych źródeł
% Narysuj średnie przebiegi źródeł (ERP w przestrzeni CSP) dla obu warunków.
% Ułóż subploty w prostokątnej siatce — jeden subplot na każde źródło.
% Dla którego źródła różnica między T i NT jest największa?
% Czy odpowiada to źródłu z największą wartością własną?

ERP_S_T = squeeze(mean(S_T, 1));
ERP_S_NT = squeeze(mean(S_NT, 1));

% TUTAJ: narysuj ERP_S_T i ERP_S_NT w subplotach
</source>

=Sesja 3: CSP dla P300 — interpretacja i separacja cech=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Kontynuacja analizy CSP. Celem sesji jest interpretacja wyników
w kategoriach fizjologicznych oraz ocena separowalności klas
w przestrzeni cech opartej na mocy sygnału.

;Zakres:
* mapki topograficzne filtra przestrzennego i topografii źródła
* związek wartości własnych z siłą różnicowania warunków T i NT
* wykresy punktowe mocy: oś X — moc składowej z największą wartością własną, oś Y — moc kolejnej składowej; jeden punkt = jedno powtórzenie
* uśrednianie po 2, 4, 6, 8 i 10 realizacjach — obserwacja poprawy separacji wraz z liczbą uśrednień
* dyskusja: utożsamianie komponentów CSP z fizjologicznymi źródłami jest ryzykowne; komponenty maksymalizują kontrast między warunkami, niekoniecznie odpowiadają izolowanym generatorom

;Materiały:
Zob. [[#Szkielet kodu do analizy wstępnej|Szkielet kodu do analizy wstępnej]] i [[#Zadanie: Wybór i separacja cech|Zadanie: Wybór i separacja cech]] poniżej.

===Zadanie: Wybór i separacja cech===
* Przedstaw na rysunkach nałożone na siebie pojedyncze realizacje z warunków target i non-target po rzutowaniu na wektor <math>w</math> odpowiadający największej i kolejnej wartości własnej.
* Przedstaw wykresy punktowe takie, że na jednej osi jest moc sygnału (suma kwadratów wartości próbek w wybranym zakresie czasu) odpowiadającego największej wartości własnej, a na drugiej osi kolejnej (mniejszej) wartości własnej; jeden punkt reprezentuje jedno powtórzenie.
* Wykonaj serię wykresów jak w poprzednim punkcie dla uśrednień sygnałów kolejno po 2, 4, 6, 8 i 10 realizacjach:
** Liczymy potencjał wywołany dla danej liczby powtórzeń.
** Następnie podnosimy wartości próbek do kwadratu
** i sumujemy je w wybranym zakresie czasu.
* Zaobserwuj jak zmienia się separacja w grupach target i non-target.
{{hidden end}}
[https://robintibor.github.io/eeg-deep-learning-phd-thesis/DeepArchitectures.html Archirtektury sieci do BCI: ConvNet]

[https://www.researchgate.net/figure/The-architecture-of-EEGNet-F1-S1-model-F1-and-S1-represent-the-number-of-temporal_fig3_347073448 EEGNet]

=Sesja 4: Filtry przestrzenne dla SSEP — cosSinCSP=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Sesja wprowadza metodę cosSinCSP jako naturalne uogólnienie CSP
o wiedzę dziedzinową dotyczącą sygnału SSEP. W klasycznym CSP
dwa warunki eksperymentalne definiują dwie macierze kowariancji.
W cosSinCSP rolę jednej z macierzy przejmuje projekcja sygnału
na przestrzeń sinusów i cosinusów częstości stymulacji i jej harmonicznych.
Formalizm ilorazu Rayleigha i uogólnionego zagadnienia własnego
pozostaje identyczny.

Dane używane na tych zajęciach pochodzą z eksperymentu SSEP
z archiwum — bez sesji rejestracyjnej. Na wykresach widma
sygnału przed transformacją CSP dominuje artefakt sieciowy 50 Hz,
który praktycznie zasłania odpowiedź na stymulację. Zadaniem
jest sprawdzenie czy cosSinCSP potrafi ten sygnał wydobyć.

;Zakres:
* idea cosSinCSP: macierz S złożona z sinusów i cosinusów harmonicznych, projekcja sygnału na przestrzeń SSEP i resztę Y
* implementacja funkcji <code>cosSinCSP</code> w MATLAB
* analiza danych archiwalnych: widma Welcha dla kanałów oryginalnych i źródeł CSP — porównanie SNR przed i po transformacji
* prezentacja filtrów przestrzennych i topografii źródeł

;Materiały:
Zob. [[#Filtry przestrzenne dla SSEP|Filtry przestrzenne dla SSEP]] poniżej.

==Filtry przestrzenne dla SSEP==

===Teoria===

Ciekawa koncepcja filtra przestrzennego dla SSEP zaprezentowana jest tu: http://www.eurasip.org/Proceedings/Eusipco/Eusipco2009/contents/papers/1569193209.pdf

Pokrótce można ją rozumieć podobnie do tego co robiliśmy rozważając filtry przestrzenne CSP z tym, że dla SSEP oraz innych potencjałów wywołanych stanu ustalonego możemy skorzystać z dodatkowych informacji dotyczących poszukiwanych źródeł. Wiemy mianowicie, że powinny one oscylować z częstością bodźca i być może jej harmonicznych.

Przyda nam się macierz <math>S</math> zbudowana tak, że w kolejnych kolumnach znajdują się sinusy i cosinusy kolejnych częstości harmonicznych. Wektory te unormujemy, żeby miały energię równą 1. Innymi słowy macierz <math>S</math> zbudowana jest z wersorów rozpinających przestrzeń, w której powinien znajdować się sygnał SSEP.

W Matlabie możemy taką macierz zbudować tak:

<source lang="matlab">
% Fs - częstość próbkowania
% numberOfSamples - długość sygnału w próbkach
% numberOfHarmonics - liczba harmonicznych, które chcemy włączyć do analizy
t = (0:1:numberOfSamples - 1) / Fs;
S = zeros(numberOfSamples, 2*numberOfHarmonics);

for harmonicNumber = 1:numberOfHarmonics
c = cos(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
s = sin(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
S(:,(harmonicNumber - 1)*2 + 1) = c/norm(c);
S(:,(harmonicNumber - 1)*2 + 2) = s/norm(s);
end
</source>

Aby w badanym sygnale znaleźć składowe odpowiadające SSEP musimy rzutować sygnał <math>X</math> (macierz sygnałów ''kanały × próbki'') na przestrzeń rozpiętą przez <math>S</math>:
:<math>A = X S</math>
Macierz <math>A</math> zawiera współczynniki będące iloczynami skalarnymi sygnałów i wersorów — mówią one o tym jak dużo sinusa bądź cosinusa o danej częstości jest w pierwotnym sygnale. Komponenty SSEP zawarte w sygnale <math>X</math> odzyskujemy tak:
:<math>\mathrm{SSEP} = A S^T</math>

Modelujemy rejestrowany sygnał jako:
:<math>X = \mathrm{SSEP} + Y</math>
gdzie:
:<math>Y = X - \mathrm{SSEP}</math>
to wszystkie komponenty sygnału, które nas nie interesują.

Filtr przestrzenny, który chcemy zbudować powinien maksymalizować stosunek wariancji <math>\mathrm{SSEP}</math> do wariancji <math>Y</math>. Macierz kowariancji powinna być uśredniona po powtórzeniach, a kowariancja sygnału w każdym powtórzeniu powinna być znormalizowana przez jej ślad. Dalej stosujemy technikę znaną z CSP: maksymalizację ilorazu Rayleigha przez rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego dla macierzy kowariancji <math>\mathrm{SSEP}</math> i <math>Y</math>.

===Zadanie: implementacja funkcji cosSinCSP===

Dane do zadania: [[Plik:PrzykladoweDaneSSVEP.mat.gz]].
Pełny przykład z danymi z eksperymentu SSEP: [[Plik:SSVEP_demo_csp.tar.gz]]

Zaimplementuj funkcję <code>cosSinCSP</code> zgodnie z poniższym szkieletem.
Prawidłowo zaimplementowana funkcja wraz ze skryptem demonstracyjnym poniżej
powinna generować rysunek: [[Plik:Rys_SSVEP_demo.png|400px|podpis grafiki]]

<source lang="matlab">
function [W, Lambda] = cosSinCSP(signal, stimulationFrequency, numberOfHarmonics, Fs)
% cosSinCSP - filtr przestrzenny dla sygnałów SSEP
%
% Wejście:
% signal - dane EEG, wymiary: powtórzenia × kanały × próbki
% stimulationFrequency - częstość stymulacji w Hz
% numberOfHarmonics - liczba harmonicznych do uwzględnienia
% Fs - częstość próbkowania w Hz
%
% Wyjście:
% W - macierz filtrów przestrzennych (kanały × kanały), filtry w kolumnach
% Lambda - macierz diagonalna wartości własnych

[numberOfTrials, numberOfChannels, numberOfSamples] = size(signal);

%% KROK 1: Zbuduj macierz referencyjną S (sinusy i cosinusy harmonicznych)
% S ma wymiary: próbki × 2*numberOfHarmonics
% Każda kolumna to jeden wersor (unormowany sinus lub cosinus).
% Wróć do sekcji Teoria powyżej i przełóż tamten kod na tę funkcję.

% TUTAJ

%% KROK 2: Oblicz średnie macierze kowariancji C_SSEP i C_Y
% Dla każdego powtórzenia wytnij sygnał x (kanały × próbki),
% rozłóż go na składową SSEP i resztę Y zgodnie z równaniami z sekcji Teoria,
% oblicz macierze kowariancji obu składowych, znormalizuj przez ślad
% i uśrednij po powtórzeniach.

C_SSEP = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
C_Y = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for trial = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(trial, :, :)); % kanały × próbki

% TUTAJ: oblicz SSEP i Y

% TUTAJ: oblicz kowariancje, znormalizuj, dodaj do C_SSEP i C_Y
end

% TUTAJ: podziel C_SSEP i C_Y przez numberOfTrials

%% KROK 3: Rozwiąż uogólnione zagadnienie własne
% Znajdź filtry przestrzenne maksymalizujące stosunek mocy SSEP do mocy Y.
% Analogia z CSP: jakie macierze wstawiłeś do eig() tam?

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

end
</source>

;Wskazówka do interpretacji wyników:
Filtr związany z największą wartością własną daje komponent
o największym stosunku mocy SSEP do mocy tła.
Sprawdź na widmach Welcha czy odpowiada on składowej
z wyraźnym pikiem przy częstości stymulacji.

{{hidden begin|title=Rozwiązanie — pokaż dopiero po samodzielnej próbie}}
<source lang="matlab">
function [W, Lambda] = cosSinCSP(signal, stimulationFrequency, numberOfHarmonics, Fs)

[numberOfTrials, numberOfChannels, numberOfSamples] = size(signal);

%% KROK 1: Macierz referencyjna S
t = (0:1:numberOfSamples-1) / Fs;
S_ref = zeros(numberOfSamples, 2*numberOfHarmonics);

for harmonicNumber = 1:numberOfHarmonics
c = cos(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
s = sin(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
S_ref(:,(harmonicNumber-1)*2 + 1) = c/norm(c);
S_ref(:,(harmonicNumber-1)*2 + 2) = s/norm(s);
end

%% KROK 2: Średnie macierze kowariancji
C_SSEP = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
C_Y = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for trial = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(trial, :, :)); % kanały × próbki
A = x * S_ref; % projekcja na przestrzeń SSEP
SSEP = A * S_ref'; % rekonstrukcja składowej SSEP
Y = x - SSEP; % reszta

tmp = cov(SSEP');
C_SSEP = C_SSEP + tmp/trace(tmp);

tmp = cov(Y');
C_Y = C_Y + tmp/trace(tmp);
end

C_SSEP = C_SSEP / numberOfTrials;
C_Y = C_Y / numberOfTrials;

%% KROK 3: Uogólnione zagadnienie własne
[W, Lambda] = eig(C_SSEP, C_Y);

end
</source>
{{hidden end}}

===Skrypt demonstracyjny i analiza wyników===

<source lang="matlab">
% wczytujemy dane
load('PrzykladoweDaneSSVEP.mat');

[numberOfTrials numberOfChannels numberOfSamples] = size(X.data);
namesOfChannels = X.channels;

numberOfHarmonics = 3;
signal = X.data; % powtórzenie × kanał × próbki

[W, Lambda] = cosSinCSP(signal, X.stimulation, numberOfHarmonics, X.sampling);

%% Odtworzenie sygnałów źródłowych
S = zeros(size(signal));
for powt = 1:size(signal,1)
S(powt,:,:) = W' * squeeze(signal(powt,:,:));
end

%% Widma Welcha: kanały oryginalne vs źródła CSP
figure('Name', ['Stymulacja: ', num2str(X.stimulation), ' Hz'])
for i = 1:numberOfChannels
subplot(2, numberOfChannels, i)
PP = 0;
for rep = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(rep,i,:));
[Pxx, ff] = pwelch(x, X.sampling, 1, X.sampling, X.sampling);
PP = PP + Pxx;
end
plot(ff(ff<60), PP(ff<60))
title(namesOfChannels{i})

subplot(2, numberOfChannels, numberOfChannels+i)
PP = 0;
for rep = 1:numberOfTrials
s = squeeze(S(rep,i,:));
[Pss, ff] = pwelch(s, X.sampling, 1, X.sampling, X.sampling);
PP = PP + Pss;
end
plot(ff(ff<60), PP(ff<60))
title(['źródło CSP: ', num2str(i)])
xlabel(['\lambda = ', num2str(Lambda(i,i), '%.2f')])
end

%% KROK 4: Mapki topograficzne
% Zidentyfikuj komponent z największą wartością własną.
% Narysuj dwie mapki przy użyciu funkcji topoplot() z pakietu EEGLAB:
%
% (a) Filtr przestrzenny: wagi z jakimi kanały EEG składają się na ten komponent.
% Wskazówka: filtr to kolumna macierzy W.
%
% (b) Topografia źródła: z jakimi wagami komponent dociera do poszczególnych elektrod.
% Wskazówka: topografia zawarta jest w wierszach macierzy odwrotnej do W —
% przypomnij sobie analogiczny krok z analizy CSP dla P300.
%
% Czym różnią się te dwie mapki? Którą łatwiej interpretować fizjologicznie?

% TUTAJ: [~, idx] = max(diag(Lambda));
% TUTAJ: topoplot(...) % filtr
% TUTAJ: topoplot(...) % topografia
</source>

=Sesja 5: ICA jako filtr przestrzenny =

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Sesja wprowadza analizę składowych niezależnych (ICA) jako trzecie
podejście do problemu ślepej separacji źródeł — obok BSS/CSP
i cosSinCSP. Kluczowa różnica: CSP szuka kierunków maksymalizujących
kontrast wariancji między warunkami (kryterium drugiego rzędu),
ICA szuka składowych niezależnych statystycznie, maksymalizując
niegaussowość (kryterium wyższego rzędu). ICA nie wymaga
dwóch warunków eksperymentalnych — działa na jednym stacjonarnym sygnale.

;Zakres wykładu (~40 min):
* model generatywny ICA: <math>\mathbf{x} = \mathbf{D}\mathbf{s}</math>, założenie niegaussowości składowych
* negoentropia i algorytm FastICA
* porównanie z CSP: kiedy ICA, kiedy CSP
* ograniczenia: liczba próbek a liczba kanałów (<math>kN^2</math>), niejednoznaczność kolejności i skali komponentów

;Zakres ćwiczenia (~80 min):
* wczytanie danych do EEGLAB, edycja lokalizacji elektrod
* filtrowanie górnoprzepustowe (FIR, 0,5 Hz), zmiana referencji
* obliczenie ICA na całym sygnale
* identyfikacja komponentów zawierających rytm alfa: topografia, widmo, przebieg czasowy
* usunięcie komponentów niezawierających alfy, odtworzenie sygnału na elektrodach
* porównanie wyników między co najmniej trzema uruchomieniami ICA: czy komponenty są powtarzalne?

==Teoria==

===Definicja ===
Independent Component Analysis (ICA) jest metodą statystycznej analizy sygnałów, która dokonuje dekompozycji wielokanałowych zapisów na składowe niezależne w sensie statystycznym.
Dwie składowe ''s''1 i ''s''2 są niezależne jeżeli wiedza o wartości ''s''1 nie daje żadnych informacji o możliwych wartościach ''s''2. ICA może być wyrażona przez prosty model generatywny:
: '''x''' = '''Ds'''
: gdzie '''x''' = {''x''1, ''x''2, ..., ''x''''n''} jest zmierzonym ''n'' kanałowym sygnałem, '''D''' jest macierzą mieszającą zaś '''s''' = {''s''1, ''s''2, ..., ''s''''n''} jest aktywnością ''n'' źródeł. Podstawowym założeniem dotyczącym '''s''' jest to, że ''s''''i'' są statystycznie niezależne. Aby wyestymować model musimy też założyć, że składowe mają niegaussowskie rozkłady wartości (Hyvärinen, 2000).

Dodatkowo model ten zakłada następujące fakty:
# Sygnał jest liniową mieszaniną aktywności źródeł
# Sygnały pochodzące z każdego ze źródeł są niezależne od pozostałych
# Źródła oraz proces ich mieszania są stacjonarne, tzn, ich momenty statystyczne nie zależą od czasu
# Energie (wariancje) źródeł nie mogą być wyznaczone jednoznacznie. Dzieje się tak ponieważ pomnożenie amplitudy ''i''-tego źródła może być uzyskane poprzez przemnożenie albo ''s''''i'' albo przez przemnożenie ''i''-tej kolumny macierzy '''D'''. Naturalnym rozwiązaniem tej niejednoznaczności jest wprowadzenie konwencji, że komponenty są normowane tak aby miały wariancję 1: E[(''s''''i'')''2''] = 1.
# Kolejność komponentów jest dowolna. Bo jeśli w ten sam sposób zmienimy kolejność komponentów w '''s''' i kolumn w '''D''' to dostaniemy dokładnie ten sam sygnał '''x'''.

Głównym wyzwaniem w analizie ICA jest estymacja macierzy mieszającej '''D'''. Gdy jest ona znana to komponenty mogą być wyliczone w następujący sposób:
: '''s''' = '''D'''−1'''x'''

=== Estymacja ===
Znalezienie niezależnych komponentów może być rozważane w świetle Centralnego Twierdzenia Granicznego jako poszukiwanie komponentów o możliwie nie gaussowskim rozkładzie.
Aby zrozumieć to podejście prześledźmy heurystykę zaproponowaną przez (Hyvärinen, 2000).
Dla prostoty załóżmy, że poszukiwane źródła niezależne mają identyczne rozkłady.
Zdefiniujmy

''y'' = '''w'''T'''x'''.

Zauważmy, że jeśli

'''w'''

jest jedną z kolumn macierzy

'''D'''−1,

to ''y'' jest jednym z poszukiwanych komponentów.
Zamieniając zmienne

'''z''' = '''D'''T'''w'''

możemy napisać

''y'' = '''w'''T'''x''' = '''w'''T'''Ds''' = '''z'''T'''s'''.

Uwidacznia to fakt, że ''y'' jest liniową kombinacją składowych s''i'' z wagami danymi przez z''i''.

Z centralnego twierdzenia granicznego wynika, że suma niezależnych zmiennych losowych ma bardziej gaussowski charakter niż każda z tych zmiennych osobno.
Liniowa kombinacja staje się najmniej gaussowska gdy '''z''' ma tylko jeden element niezerowy. W tym przypadku ''y'' jest proporcjonalny do s''i''.
Zatem problem estymacji modelu ICA może być sformułowany jako problem znalezienia takiego wektora '''w''', który maksymalizuje niegaussowskość

''y'' = '''w'''T'''x'''.

Maksymalizacja niegaussowskości ''y'' daje jeden niezależny komponent odpowiadający jednemu z 2''n'' maksimów (bo mamy s''i'' i −s''i'') w krajobrazie optymalizacyjnym. Aby znaleźć wszystkie niezależne komponenty musimy znaleźć wszystkie maksima. Ponieważ komponenty są nieskorelowane, to poszukiwania kolejnych komponentów można kontynuować w podprzestrzeni ortogonalnej do już znalezionych komponentów.

===Obliczenia===
Intuicyjna heurystyka poszukiwania najbardziej niegaussowskich składowych może być użyta do wyprowadzenia różnych funkcji kosztu, których optymalizacja daje model ICA, np. kurtoza.

<math>kurt(y) = E\{y^4\} - 3(E{y^2})^2</math>

Inną miarą gassowskości jest neg-entropia, którą można wyprowadzić z entropii:
Entropia jest miarą średniego zdziwienia wynikiem obserwacji zmiennej losowej:
<math>H(Y) = - \sum_i P(Y= a_i) \log(P(Y=a_i)) </math>

Negentropia jest zdefiniowana:

<math> J(y) = H(y_{gauss}) -H(y)</math>
gdzie <math> y_{gauss} </math> jest gassuwską zmienną losową o takiej samej kowaiancji jak <math> y </math>.

Negentropia jest skomplikowana obliczeniow, więc w praktyce używana jest formuła przybliżona:

<math> J(y) \varpropto [E\{G (y)\} - E\{G(\nu)\}]^2</math>

<math>\nu </math> jest zmienną losową ze standardowego rozkładu normalnego , a G są pewnymi niekwadratowymi funkcjami.

W algorytmie FastICA extremum negentropii jest znajdowane w procedurze bazującej na optymalizacji Newtona.
(szczegóły np.: sekcja 6 w https://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/NN00new.pdf)

Procedura wykorzystywana w eeglabie (&bdquo;runica”, Makeig 1996) dąży do minimalizacji informacji wzajemnej. Oba podejścia są w przybliżeniu równoważne (Hyvärinen, 2000), chociaż owo przybliżenie dla sygnałów elektrofizjologicznych nie zostało to jeszcze w pełni wyeksplorowane.
Dla sygnałów o niskiej wymiarowości i spełniających dokładnie założenia ICA wszystkie powszechnie wykorzystywane algorytmy dają niemal identyczne wyniki.

;Bardzo ważna uwaga: ogólną zasadą jest, że jeśli estymujemy ''N'' stabilnych komponentów (z ''N''-kanałowych danych) to musimy dysponować ''kN''2 punktami danych w każdym kanale, gdzie ''N''2 jest liczbą elementów w macierzy '''D''', którą ICA próbuje wyestymować, ''k'' jest liczbą całkowitą. Nie ma dobrych oszacowań teoretycznych na wielkość ''k'', z praktycznych obserwacji wynika, że rośnie ona z liczbą kanałów.

=== Możliwe zastosowania ===
Najczęściej ICA jest stosowana jako narzędzie do:
* usuwania artefaktów z sygnałów EEG (ruchy oczu i mięśnie)
* wydobywania składowych do dalszej analizy (Onton, 2006)
* jako analiza wstępna do lokalizacji źródeł (Grau, 2007).
* ICA jest także stosowana w analize sygnałów EKG i EMG.

===Bibliografia===
Bazowa praca:
* A. Hyvärinen. Fast and Robust Fixed-Point Algorithms for Independent Component Analysis. IEEE Transactions on Neural Networks 10(3):626-634, 1999 http://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/TNN99_reprint.pdf

Nieco prościej opisana wersja z przykładami:
* Hyvärinen, A. and Oja, E. (2000). Independent component analysis: Algorithms and applications. Neural Networks, 13(4-5):411–430.
https://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/NN00new.pdf

* Grau, C., Fuentemilla, L., Marco-Pallars, J. (2007). Functional neural dynamics underlying auditory event-related n1 and n1 suppression response. Neuroimage, 36(6):522–31.
* Makeig, S., Bell, A., Jung, T.-P., Sejnowski,T. (1996). Independent component analysis of electroencephalographic data. W: Touretzky, D., Mozer, M., and Hasselmo, M., editors, Advances in Neural Information Processing Systems, volume 8, pages 145–151. MIT Press, Cambridge, MA.
* Onton, J., Makeig, S. (2006). Information-based modeling of event-related brain dynamics. Prog Brain Res., 159:99–120.
* Tutorial: http://sccn.ucsd.edu/wiki/Chapter_09:_Decomposing_Data_Using_ICA
* http://sccn.ucsd.edu/~arno/indexica.html
* http://cis.legacy.ics.tkk.fi/aapo/papers/IJCNN99_tutorialweb/

== ZADANIE: Wydobywanie interesujących komponentów ==

Dane do tej części ćwiczeń proszę pobrać i rozpakować w swoim katalogu:
http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Dane_do_ICA_alfa.tar.gz

Pochodzą one z eksperymentu, w którym osoba badana siedziała z zamkniętymi oczami słuchając nagrania czytanego spokojnym głosem. Metadane opisujące sygnał znajdują się w pliku Miro.xml, zaś lokalizacje elektrod w pliku Miro-10-20-Cap.locs.

Proszę:
* wczytać dane do eeglaba
* wyedytować lokalizację elektrod
* usunąć kanały nie zawierające EEG
* zmienić referencje na średnią z kanałów A1 i A2
* przefiltrować filtrem FIR górnoprzepustowym z częstością odcięcia 0,5 Hz
* obejrzeć wstępnie przygotowane dane
* policzyć ICA na całym sygnale
* obejrzeć właściwości otrzymanych komponentów
** Czy są wśród nich takie, które zawierają znaczny udział rytmu alfa?
** Jaka jest ich topografia?
* usunąć wszystkie komponenty nie zawierające alfy
* odtworzyć z tych komponentów sygnał na elektrodach
* wykonać dekompozycję ICA kilkukrotnie (co najmniej 3) i porównać wyniki
** Czy uzyskiwane komponenty są powtarzalne?
** Swoje wyniki porównać też z sąsiednimi grupami.

==ZADANIE: Identyfikacja artefaktów ==
Proszę pobrać dane:

*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal-10-20-Cap.locs
*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal1.set
*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal1.fdt

Pochodzą one z eksperymentu w którym osoba badana czytała słowa o różnych właściwościach wzbudzania emocji.

* wczytaj je do eeglaba
* wczytaj lokalizację kanałów z pliku Arousal-10-20-Cap.locs
* obejrzyj przebiegi czasowe
* odrzuć kanał z diodą (21) i z GSR (20)
* zrób dekompozycję ICA
* obejrzyj topografię komponentów
* zidentyfikuj komponenty odpowiadające mruganiu i aktywności mięśniowej.
;UWAGA: Aktualnie do wykrywania komponentów artefaktowych warto posłużyć się wtyczkami do eeglaba dostępnymi przez stronę:

https://sccn.ucsd.edu/eeglab/plugin_uploader/plugin_list_all.php

* ICLabel:
** https://labeling.ucsd.edu/tutorial/overview
** https://github.com/sccn/ICLabel

* MARA:
** https://github.com/irenne/MARA/raw/master/MARAtutorial.pdf
** https://irenne.github.io/artifacts/

=Sesja 6: Problem odwrotny w EEG i MEG=

;Czas: ~60 min wykład + ~90 min ćwiczenie

Sesja wprowadza problem odwrotny jako alternatywne — i komplementarne —
podejście do analizy przestrzennej sygnałów EEG i MEG. O ile BSS/CSP
i ICA szukają filtrów przestrzennych w przestrzeni elektrod,
nie zakładając nic o geometrii mózgu,
to metody problemu odwrotnego wyraźnie osadzają źródła
w przestrzeni trójwymiarowej, korzystając z fizyki i modelu głowy.

Materiały z naszych zasobów:
* [[Elektroencefalografia|Sekcje 3 i 8 z Podręcznika o EEG ]]
* [https://drive.google.com/file/d/1EOJxN1y7X3YlIFHoIIyoZzCiXdrQSHcA Wykład Piotra Durki z Analizy sygnałów o problemie odwrotnym w EEG iMEG]

Z zasobów zewnętrznych polecam:
* [https://download.fieldtriptoolbox.org/workshop/toolkit2025/slides/04_forward_inverse.pdf#page=1.00 Slajdy "Forward and inverse - lecture by Robert Oostenveld" fragment warsztatów: "Advanced MEG/EEG toolkit at the Donders"]

==Kontrast z BSS: dwa języki opisu tego samego zjawiska==

Zarówno BSS/ICA, jak i metody problemu odwrotnego wychodzą
od tego samego modelu generatywnego:
:<math>\mathbf{x}(t) = \mathbf{A}\,\mathbf{s}(t) + \boldsymbol{\varepsilon}(t)</math>
gdzie <math>\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^{N_e}</math> to potencjały na elektrodach,
<math>\mathbf{s}(t) \in \mathbb{R}^{N_s}</math> to aktywność źródeł,
a <math>\mathbf{A}</math> to macierz mieszająca (ang. ''lead field'' lub ''forward matrix'').

Różnica leży w tym, co robimy z macierzą <math>\mathbf{A}</math>:

{| class="wikitable"
|-
! !! BSS / ICA !! Problem odwrotny
|-
| '''Macierz A''' || nieznana; estymowana z danych || obliczona z modelu głowy (''forward model'')
|-
| '''Liczba źródeł''' || równa liczbie elektrod || od 1 dipola do ~10 000 wokseli
|-
| '''Geometria''' || brak założeń przestrzennych || źródła zlokalizowane w przestrzeni 3D
|-
| '''Regularyzacja''' || przez kryterium stat. (niezależność, wariancja) || przez regularyzację matematyczną (L2, L1, …)
|-
| '''Wynik''' || filtry przestrzenne + komponenty || mapa aktywności w przestrzeni mózgu
|}

Kluczowa trudność problemu odwrotnego wynika z jego
fundamentalnej niejednoznaczności:

układ równań:

<math>\mathbf{x} = \mathbf{A}\mathbf{s}</math>

jest niedookreślony — przy <math>N_e \approx 19\text{–}256</math> elektrodach
i <math>N_s \sim 10^4</math> możliwych lokalizacjach źródeł
istnieje nieskończenie wiele rozkładów <math>\mathbf{s}</math>
dokładnie odtwarzających zmierzony <math>\mathbf{x}</math>.
Każda metoda nakłada inne założenie ''a priori'', by wybrać jedno rozwiązanie.

==Model do przodu (forward model)==

Zanim można rozwiązać problem odwrotny, należy zbudować
''model do przodu'' — obliczenie potencjałów na elektrodach
wywołanych przez jednostkowe źródło prądowe w danym miejscu mózgu.
Wynik zapisuje się jako macierz ''pola wiodącego'' (''lead field''):
:<math>\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{N_e \times 3N_s}</math>
gdzie czynnik 3 wynika z trzech ortogonalnych składowych momentu dipolowego.

=== Skąd bierze się macierz ''lead field''? ===

Przejdźmy od równań Maxwella do tego, co dosłownie liczą funkcje `ft_prepare_headmodel` / `ft_prepare_leadfield`.

==== 1. Punkt wyjścia: przybliżenie kwazistatyczne ====

=====Pełne równania Maxwella w ośrodku materialnym=====

$$
\begin{aligned}
\nabla \cdot \mathbf{D} &= \rho && \text{(prawo Gaussa)} \\
\nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 && \text{(brak monopoli magnetycznych)} \\
\nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} && \text{(prawo Faradaya)} \\
\nabla \times \mathbf{H} &= \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} && \text{(prawo Ampère'a–Maxwella)}
\end{aligned}
$$

uzupełnione związkami konstytutywnymi dla tkanki traktowanej jako liniowy, lokalnie izotropowy ośrodek:

$$
\mathbf{D} = \varepsilon\,\mathbf{E},\qquad \mathbf{B} = \mu_0\,\mathbf{H},\qquad \mathbf{J} = \sigma\,\mathbf{E} + \mathbf{J}^p
$$

Ostatnia relacja to uogólnione prawo Ohma: prąd swobodny ma część omową (<math>\sigma\mathbf{E}</math>, prądy bierne w przewodniku objętościowym) i część „pierwotną" <math>\mathbf{J}^p</math> pochodzącą od źródeł neuronowych — bo to one *nie* są napędzane lokalnym polem <math>\mathbf{E}</math>, tylko gradientami stężeń jonów.

===== Przybliżenie kwazistatyczne =====

Wprowadzamy harmoniczną zależność czasową <math>e^{i\omega t}</math> i porównujemy człony w równaniach Maxwella. Trzy warunki muszą być spełnione jednocześnie:

**(a) Pomijalny prąd przesunięcia w równaniu Ampère'a. ** Stosunek członu pojemnościowego do omowego to <math>\omega\varepsilon/\sigma</math>. Dla tkanki przy <math>f=100</math> Hz, <math>\sigma\approx 0{,}3</math> S/m, <math>\varepsilon_r\approx 10^5</math> (efektywna wartość niska-częstotliwościowa dla istoty szarej; spada szybko z <math>f</math>):
$$\frac{\omega\varepsilon}{\sigma} = \frac{2\pi\cdot 100\cdot 10^5\cdot 8{,}85\cdot 10^{-12}}{0{,}3}\sim 10^{-3}$$

— bezpiecznie pomijalny w EEG. To pozwala napisać <math>\nabla\times\mathbf{H}\approx\mathbf{J}</math>, a po wzięciu dywergencji:
$$\nabla\cdot\mathbf{J} = 0$$

**(b) Pomijalna indukcja w równaniu Faradaya.** Mówimy, że <math>\partial\mathbf{B}/\partial t</math> jest na tyle małe, że <math>\nabla\times\mathbf{E}\approx 0</math>, więc istnieje potencjał skalarny <math>V</math> z <math>\mathbf{E}=-\nabla V</math>. Można to oszacować z indukcyjności geometrii głowy i wykazać, że pomijany wkład jest o kilka rzędów mniejszy od <math>-\nabla V</math>.

**(c) Brak efektów propagacyjnych.** Długość fali EM przy 100 Hz w próżni to <math>\lambda = c/f\approx 3000</math> km, czyli <math>\lambda \gg L_\text{głowy}</math>. To gwarantuje, że pole „widzi" całą głowę jednocześnie — stąd zerowe przesunięcie fazowe propagacji potencjału przez przewodnik objętościowy.

Co zostaje po przybliżeniu:

$$
\begin{aligned}
\nabla \times \mathbf{E} &= 0 \;\Rightarrow\; \mathbf{E} = -\nabla V \\
\nabla \cdot \mathbf{J} &= 0 \\
\mathbf{J} &= -\sigma\nabla V + \mathbf{J}^p
\end{aligned}
$$

Składając trzy powyższe:

$$
\nabla\cdot\bigl(\sigma(\mathbf{r})\nabla V(\mathbf{r})\bigr) = \nabla\cdot\mathbf{J}^p(\mathbf{r})
$$

Warto przy tym podkreślić, że prawo Gaussa i <math>\nabla\cdot\mathbf{B}=0</math> nie znikają — one są nadal spełnione, ale po prostu nie są nam potrzebne do wyliczenia <math>V</math> na skórze: ładunki swobodne i indukowane policzy się *a posteriori* z <math>\rho = \nabla\cdot(\varepsilon\nabla V)\cdot(-1)</math>, a pole magnetyczne (interesujące dla MEG!) z prawa Biota–Savarta zastosowanego do <math>\mathbf{J}</math>.

Warto tu zauważyć, że kwazistatyka EEG i kwazistatyka MEG to **to samo** przybliżenie — różni je tylko, co wybieramy jako wielkość mierzoną (<math>V</math> na skórze vs. <math>\mathbf{B}</math> na zewnątrz głowy). To samo równanie Poissona generuje oba sygnały, a różnice w czułości na orientację dipola (radialny vs. tangencjalny) wynikają stąd, że potencjał i pole magnetyczne są różnymi funkcjonałami tego samego rozwiązania.

==== 2. Rozszczepienie prądu — gdzie pojawia się „źródło" ====

Gęstość prądu w tkance dzielimy na część „pierwotną" (neuronową) i „objętościową" (omową):

$$\mathbf{J}(\mathbf{r}) = \mathbf{J}^p(\mathbf{r}) - \sigma(\mathbf{r})\,\nabla V(\mathbf{r})$$

<math>\mathbf{J}^p</math> reprezentuje *prądy postsynaptyczne w piramidowych neuronach kory* — to one są naszym „źródłem". Reszta to prądy bierne płynące w przewodniku objętościowym o nieizotropowej, niejednorodnej przewodności <math>\sigma</math>.

Podstawiając do warunku <math>\nabla \cdot \mathbf{J}_\text{tot} = 0</math> dostajemy równanie Poissona dla niejednorodnego przewodnika:

$$\boxed{\;\nabla \cdot \bigl(\sigma(\mathbf{r})\,\nabla V(\mathbf{r})\bigr) = \nabla \cdot \mathbf{J}^p(\mathbf{r})\;}$$

To jest równanie problemu wprost. Cała reszta to:
(a) model źródła,
(b) warunki brzegowe,
(c) sposób rozwiązania.

==== 3. Model źródła: dipol prądowy ====

Dla pojedynczego dipola w <math>\mathbf{r}_0</math> o momencie <math>\mathbf{q}</math>:

$$\mathbf{J}^p(\mathbf{r}) = \mathbf{q}\,\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$$

$$\nabla \cdot \mathbf{J}^p(\mathbf{r}) = \mathbf{q}\cdot\nabla\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$$

Liniowość PDE daje natychmiast kluczową własność: <math>V</math> jest **liniową** funkcją <math>\mathbf{q}</math>. To właśnie ta liniowość pozwala zapisać:

$$\mathbf{v} = \mathbf{L}\,\mathbf{j}$$

gdzie <math>\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{N_\text{el}}</math> to potencjały, <math>\mathbf{j} \in \mathbb{R}^{3N_\text{src}}</math> to momenty dipoli, a <math>\mathbf{L}</math> to *lead field matrix*. Każda kolumna <math>\mathbf{L}</math> to potencjał wywołany jednostkowym dipolem w danym miejscu i o danej orientacji.

==== 4. Warunki brzegowe ====

Na granicy skóra/powietrze prąd nie wypływa:

$$\sigma\,\nabla V \cdot \hat{\mathbf{n}} = 0 \quad \text{na zewnętrznej powierzchni}$$

Wewnątrz, na granicach tkanek o różnym <math>\sigma</math> (mózg–CSF–czaszka–skóra):

$$V \text{ ciągłe},\quad \sigma\nabla V \cdot \hat{\mathbf{n}} \text{ ciągłe}$$

To są te warunki, które „włączają" geometrię i przewodności do problemu — i to one decydują, że czaszka (niskie <math>\sigma</math>, około 1/15–1/80 tkanki miękkiej, do dziś dyskutowane) rozmywa pole tak agresywnie.

==== 5. Metody rozwiązania ====
W pakiecie fieldtrip problem wprostt jest rozwiązywany przez funkcję
`ft_prepare_headmodel` - to fabryka różnych metod rozwiązujących to samo PDE. Wybór `cfg.method` decyduje o paradygmacie matematycznym:

**(a) Rozwiązania analityczne — modele sferyczne** (`'singlesphere'`, `'concentricspheres'`)

Dla geometrii sferycznej z osiową symetrią rozwija się <math>V</math> w szereg wielomianów Legendre'a. Dla 3-warstwowego modelu koncentrycznego dostajemy zamknięty wzór z nieskończonym szeregiem, który w praktyce tnie się po ~40 wyrazach. Berg & Scherg (1994) dali znakomite przybliżenie 3 dipolami w sferze jednorodnej — błyskawicznie szybkie, do dziś używane w MEG. Plus: bardzo szybkie, brak siatkowania. Minus: kula to nie głowa, zwłaszcza w okolicach skroniowych i podstawy.

**(b) BEM — Boundary Element Method** (`'bemcp'`, `'dipoli'`, `'openmeeg'`)

Wykorzystuje się fakt, że w obszarze o stałym <math>\sigma</math> <math>V</math> spełnia równanie Laplace'a, a cały „nietrywialny" wkład można wyrazić jako całkę po powierzchniach granicznych. Z drugiej tożsamości Greena dostajemy całkowe równanie typu Fredholma 2-go rodzaju:

$$V(\mathbf{r}) = V_\infty(\mathbf{r}) + \frac{1}{4\pi}\sum_k \frac{\sigma_k^- - \sigma_k^+}{\bar{\sigma}}\oint_{S_k} V(\mathbf{r}')\,\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\cdot\hat{\mathbf{n}}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,dS'$$

gdzie <math>V_\infty</math> to potencjał dipola w przestrzeni nieograniczonej. Triangulujemy powierzchnie (skóra, czaszka, mózg — czasem CSF) i to równanie zamienia się w układ liniowy. Szybciej niż FEM, ale wymaga założenia odcinkowo stałej przewodności i zakłada izotropię.

**(c) FEM — Finite Element Method** (`'simbio'`, `'duneuro'`)

Cała objętość głowy dyskretyzowana czworościanami/sześciościanami z indywidualnym tensorem <math>\sigma</math> w każdym elemencie (z DTI można wstrzyknąć anizotropię istoty białej!). Sformułowanie wariacyjne daje rzadki układ:

$$\mathbf{K}\mathbf{u} = \mathbf{b}$$

gdzie <math>\mathbf{K}</math> to macierz sztywności zależna od <math>\sigma(\mathbf{r})</math>, a <math>\mathbf{b}</math> niesie informację o źródle. To „złoty standard" pod kątem dokładności, ale kosztowny — dlatego praktycznie zawsze łączony z trikiem z punktu 6.

**(d) FDM** — rzadziej, dziś głównie historycznie.

==== 6. Twierdzenie o wzajemności — dlaczego macierz $\mathbf{L}$ da się liczyć rozsądnie ====

Naiwne podejście: dla każdego z $\sim 10^4$ źródeł i każdej z 3 orientacji odpalić rozwiązywacz PDE. To $3\times 10^4$ rozwiązań. Beznadzieja.

Helmholtzowska zasada wzajemności mówi: potencjał w elektrodzie A wywołany dipolem w punkcie $\mathbf{r}_0$ jest równoważny pewnej wielkości policzonej z **pola elektrycznego** wytworzonego w $\mathbf{r}_0$ przez **jednostkowy prąd wstrzyknięty** między elektrodą A a referencją. Formalnie:

$$V_A(\mathbf{r}_0;\mathbf{q}) = \mathbf{E}^{(A)}(\mathbf{r}_0)\cdot\mathbf{q}$$

gdzie $\mathbf{E}^{(A)}$ to pole „wstrzykniętego" prądu jednostkowego. Konsekwencja: zamiast $3N_\text{src}$ rozwiązań PDE wystarczy $N_\text{el}-1$ rozwiązań (po jednym na elektrodę). Praktycznie wszystkie pakiety BEM/FEM (w tym OpenMEEG, SimBio, DUNEuro) to wykorzystują — i dlatego FEM jest w ogóle wykonalny dla całych siatek źródłowych.

==== 7. Co więc dosłownie robi `ft_prepare_headmodel` ====

Tworzy obiekt `headmodel`, który zawiera:
- geometrię (kule albo siatki powierzchniowe, albo objętościową siatkę FEM),
- przewodności poszczególnych warstw,
- a w przypadku BEM/FEM — **wstępnie policzony operator dyskretny** (np. odwróconą macierz BEM albo czynnik macierzy sztywności FEM z trikiem transferowym wykorzystującym wzajemność).

To jest najdroższa część obliczeń — i robi się ją *raz* dla danej geometrii. Potem `ft_prepare_leadfield`, dla każdej pozycji źródła w `cfg.sourcemodel`, używa tego operatora, żeby wygenerować trzy kolumny $\mathbf{L}$ (dla orientacji x, y, z). Wynik to `leadfield{i}` o wymiarze $N_\text{el}\times 3$ — czyli dosłownie blok macierzy lead field dla danego wokselu.

---

Podsumowanie:

1. Maxwell → kwazistatyka → „elektrostatyka z prądami"
2. Podział prądu i równanie Poissona (jedyne równanie, którego naprawdę trzeba)
3. Dipol jako model i wynikająca **liniowość** → uzasadnienie wzoru $\mathbf{v}=\mathbf{L}\mathbf{j}$
4. Warunki brzegowe → tu wchodzi anatomia
5. Sfery (analityczne, intuicja) → BEM → FEM jako kolejne stopnie realizmu
6. Wzajemność jako trik obliczeniowy, bez którego niczego by się nie dało policzyć w sensownym czasie

Klasyczne źródła:
- Hallez et al. 2007 *J Neuroeng Rehabil* (review obliczeń forward, bardzo czytelny),
- Mosher et al. 1999 dla zwartego wyprowadzenia,
- oraz dokumentacja OpenMEEG (Gramfort et al. 2010) — tam ścieżka BEM jest wyprowadzona z drugiej tożsamości Greena.
---

=== Programy obliczające model do przodu:===
MNE-Python (<code>mne.make_bem_model</code>), FieldTrip (<code>ft_prepare_headmodel</code>), OpenMEEG.

==Fitowanie dipoli (Dipole Fitting)==

===Idea===
Najprostsze założenie: aktywacja EEG pochodzi z jednego
(lub kilku) ekwiwalentnych dipoli prądowych.
Każdy dipol opisany jest sześcioma parametrami:
trzema współrzędnymi położenia <math>(x,y,z)</math>
i trzema składowymi momentu dipolowego <math>(q_x, q_y, q_z)</math>.

===Formalizm===
Dla pojedynczego dipola o momencie <math>\mathbf{q}(t)</math>
w lokalizacji <math>\mathbf{r}_0</math>:
:<math>\mathbf{x}(t) = \mathbf{a}(\mathbf{r}_0)\,\mathbf{q}(t) + \boldsymbol{\varepsilon}(t)</math>
gdzie <math>\mathbf{a}(\mathbf{r}_0) \in \mathbb{R}^{N_e \times 3}</math>
to kolumna macierzy pola wiodącego odpowiadająca lokalizacji <math>\mathbf{r}_0</math>.

Estymacja polega na minimalizacji reszty:
:<math>\hat{\mathbf{r}}_0 = \arg\min_{\mathbf{r}} \left\|\mathbf{x}(t) - \mathbf{a}(\mathbf{r})\,\hat{\mathbf{q}}(t)\right\|^2</math>
Minimalizację prowadzi się zwykle algorytmem Neldera–Meada
lub Levenberga–Marquardta po przestrzeni lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* gdy źródło jest punktowe lub quasi-punktowe (np. wczesne składowe słuchowych potencjałów wywołanych N20, P25)
* gdy liczba aktywnych źródeł jest z góry znana i mała (1–3 dipole)

;Ograniczenia:
* wrażliwość na punkt startowy — algorytm może utknąć w minimum lokalnym
* złe dopasowanie gdy aktywacja pochodzi z rozległego obszaru kory
* wynik silnie zależy od dokładności modelu do przodu

==Minimum Norm Estimation (MNE)==

===Idea===
Zamiast zakładać małą liczbę dipoli,
rozkładamy aktywność na gęstą siatkę źródeł pokrywającą całą powierzchnię kory
i szukamy rozwiązania o minimalnej normie —
tj. takiego, które odtwarza dane, angażując jak najmniejszą całkowitą energię źródeł.

===Formalizm===
Problem optymalizacji z regularyzacją Tichonowa:
:<math>\hat{\mathbf{s}} = \arg\min_{\mathbf{s}} \left\|\mathbf{x} - \mathbf{A}\mathbf{s}\right\|^2 + \lambda\left\|\mathbf{s}\right\|^2</math>
gdzie <math>\lambda > 0</math> to parametr regularyzacji kontrolujący kompromis
między wiernością danym a gładkością rozwiązania.

Rozwiązanie analityczne:
:<math>\hat{\mathbf{s}} = \mathbf{A}^T\left(\mathbf{A}\mathbf{A}^T + \lambda\mathbf{I}\right)^{-1}\mathbf{x}</math>

Macierz <math>\mathbf{W}_{\mathrm{MNE}} = \mathbf{A}^T(\mathbf{A}\mathbf{A}^T + \lambda\mathbf{I})^{-1}</math>
jest liniowym filtrem przestrzennym — analogiem macierzy <math>\mathbf{W}</math> z CSP,
lecz skonstruowanym na podstawie modelu do przodu, nie z danych.

===Warianty===

;dSPM (''dynamic Statistical Parametric Mapping'', Dale 2000):
Normalizuje estymowaną aktywność przez odchylenie standardowe szumu:
:<math>F_{\mathrm{dSPM}}(\mathbf{r}, t) = \frac{\hat{s}(\mathbf{r},t)}{\sigma_{\mathrm{noise}}(\mathbf{r})}</math>
Wynik ma interpretację statystyczną (wartość F lub Z); popularne w neurobiologii poznawczej.

;sLORETA (''standardized LORETA'', Pascual-Marqui 2002):
Normalizuje przez odchylenie standardowe samego estymatora MNE (nie tylko szumu):
:<math>F_{\mathrm{sLORETA}}(\mathbf{r}, t) = \frac{\hat{s}(\mathbf{r},t)}{\sqrt{\left[\mathbf{W}_{\mathrm{MNE}}\mathbf{A}\right]_{(\mathbf{r},\mathbf{r})}}}</math>
Wykazuje zerowe systematyczne błędy lokalizacji w warunkach idealnych.

;Wybór <math>\lambda</math>:
Zwykle <math>\lambda = \alpha \cdot \mathrm{tr}(\mathbf{A}\mathbf{A}^T) / \mathrm{tr}(\mathbf{I})</math>
z <math>\alpha \in [0.05, 0.3]</math>; w MNE-Python domyślnie <math>\alpha = 0.1</math>.
Można też stosować kryterium L-krzywej lub walidację krzyżową.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* gdy aktywacja jest rozproszona lub nieznana a priori
* jako ogólne narzędzie wizualizacji ERP na powierzchni kory
* przy małej liczbie elektrod

;Ograniczenia:
* tendencja do rozmywania rozwiązania — źródła głębokie są systematycznie niedoszacowane
* brak zakładanej rzadkości (''sparsity''); wariant L1 (MCE) jest rzadszy, ale trudniejszy obliczeniowo
* wymaga dobrego modelu do przodu

==Beamformery==

===Idea===
Beamformer (dosł. „formowanie wiązki") to adaptacyjny filtr przestrzenny,
który dla każdej lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>
konstruuje wagi <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math> maksymalizujące
stosunek mocy sygnału z tej lokalizacji do mocy wszystkich pozostałych źródeł.
W odróżnieniu od MNE, beamformer korzysta z macierzy kowariancji danych —
jest więc metodą adaptacyjną, zbliżoną duchem do CSP.

===LCMV (''Linearly Constrained Minimum Variance'', Van Veen 1997)===

Szukamy filtra minimalizującego wariancję wyjścia
przy ograniczeniu zachowującym sygnał z lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>:
:<math>\mathbf{w}^*(\mathbf{r}) = \arg\min_{\mathbf{w}} \mathbf{w}^T\mathbf{C}\mathbf{w}
\quad \text{p.o.} \quad \mathbf{w}^T\mathbf{a}(\mathbf{r}) = 1</math>
gdzie <math>\mathbf{C} = E[\mathbf{x}\mathbf{x}^T]</math> to macierz kowariancji danych.

Rozwiązanie analityczne (mnożnik Lagrange'a):
:<math>\mathbf{w}(\mathbf{r}) = \frac{\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}{\mathbf{a}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}</math>

Moc w lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>:
:<math>P(\mathbf{r}) = \mathbf{w}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}\,\mathbf{w}(\mathbf{r})
= \frac{1}{\mathbf{a}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}</math>

===DICS (''Dynamic Imaging of Coherent Sources'', Gross 2001)===

Wariant beamformera dla analizy częstotliwościowej:
zamiast macierzy kowariancji czasowej stosuje
''cross-spectral density matrix'' <math>\mathbf{C}(f)</math>
obliczoną dla wybranego pasma częstości.
Pozwala mapować koherencję między lokalizacjami na powierzchni kory.

===Analogia z CSP===

Zauważmy analogię strukturalną:

{| class="wikitable"
|-
! !! CSP !! LCMV Beamformer
|-
| '''Macierz kowariancji''' || <math>\mathbf{R}_T, \mathbf{R}_{NT}</math> (dwa warunki) || <math>\mathbf{C}</math> (jeden warunek) + <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
|-
| '''Filtr''' || <math>\mathbf{w}</math>: maks. stosunek wariancji || <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math>: min. wariancja przy ograniczeniu
|-
| '''Przestrzeń''' || elektrod || przestrzeni mózgu (woksel po wokselu)
|-
| '''Model do przodu''' || nie || tak — przez <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
|}

Kluczowa różnica: CSP optymalizuje globalnie jednym zagadnieniem własnym,
beamformer rozwiązuje osobny problem dla każdej lokalizacji.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* analiza ERD/ERS (rytmy ruchowe, alfa, beta) w przestrzeni mózgu
* lokalizacja źródeł oscylacyjnych w MEG
* DICS do badania koherencji korowo-korowej

;Ograniczenia:
* silnie skorelowane źródła są tłumione (''source cancellation'') — beamformer zakłada, że źródła są nieskorelowane
* wymaga dużej liczby próbek do stabilnej estymacji <math>\mathbf{C}^{-1}</math>
* przy małej liczbie elektrod macierz <math>\mathbf{C}</math> może być źle uwarunkowana

;Podsumowanie:
[[Plik:Inverse problem vs bss.png|mały|centruj]]

==Podsumowanie: kiedy stosować którą metodę==

{| class="wikitable"
|-
! Metoda !! Założenie a priori !! Dane wejściowe !! Typowe zastosowanie
|-
| '''Dipole fitting''' || 1–3 punktowe źródła || ERP, AEP, SEP || lokalizacja wczesnych składowych wywołanych
|-
| '''MNE / dSPM / sLORETA''' || minimalna energia; źródła ciągłe || ERP, dowolny sygnał || wizualizacja rozproszonej aktywności na korze
|-
| '''LCMV Beamformer''' || źródła nieskorelowane || ERD/ERS, dane resting-state || lokalizacja źródeł oscylacyjnych w MEG/EEG
|-
| '''DICS''' || j.w. + analiza spektralna || dane oscylacyjne || mapa koherencji korowo-korowej
|-
| '''CSP / ICA''' || brak modelu geometrycznego || dwa warunki / jeden segment || klasyfikacja BCI, usuwanie artefaktów
|}

;Uwaga praktyczna:
Wszystkie metody problemu odwrotnego wymagają przygotowania modelu do przodu.
Zaleca się korzystanie z MNE-Python lub FieldTrip — oba pakiety
oferują spójne pipeline'y od surowych danych do map korowych
i są szeroko stosowane w literaturze, co ułatwia replikację wyników.

=Sesja 7: Problem odwrotny — część praktyczna=

;Czas: ~30 min wprowadzenie + ~120 min ćwiczenie

Część praktyczna prowadzi przez pełny pipeline lokalizacji źródeł:
od wczytania danych w FieldTrip, przez zbudowanie modelu do przodu,
do fitowania dipola i interpretacji wyniku.
Sesja jest zaprojektowana tak, aby każdy krok bezpośrednio ilustrował
jeden element teorii omówionej w [[#Sesja 7: Problem odwrotny w EEG i MEG|części wykładowej]].

;Dane:
Używamy standardowego zestawu danych FieldTrip
(dane somatosensoryczne MEG/EEG, bodziec elektryczny na nadgarstku — składowa N20):
* https://download.fieldtriptoolbox.org/tutorial/Subject01.zip (~800 MB)

Ten sam zestaw danych jest używany we wszystkich tutorialach FieldTrip
wymienionych w tej sesji, co ułatwia porównywanie wyników między krokami.

;Instalacja FieldTrip: Wymagania wstępne:
FieldTrip wymaga MATLABa. Przed instalacją sprawdź kompatybilność swojej wersji:
[https://www.fieldtriptoolbox.org/faq/matlab/requirements MATLAB requirements]

;Pobranie toolboxa: Pobierz najnowszą wersję ze strony:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/download.php Pobierz FieldTrip]

Rozpakuj archiwum ZIP w wybranym katalogu, np. <code>~/matlab/fieldtrip</code> (Linux/macOS).

;Ważne: nie zmieniaj wewnętrznej struktury katalogów po rozpakowaniu —
FieldTrip dynamicznie zarządza swoimi podkatalogami.

;Konfiguracja ścieżki MATLAB: Pełna instrukcja: [https://www.fieldtriptoolbox.org/faq/matlab/installation Installation and setting up the path]

Uruchom poniższe polecenia na początku każdej sesji pracy z FieldTrip
(lub wstaw je do pliku <code>startup.m</code> — patrz niżej):

<source lang="matlab">
restoredefaultpath % wyczyść aktualną ścieżkę
addpath('~/fieldtrip') % podaj tu swoją ścieżkę do FieldTrip
ft_defaults % skonfiguruj FieldTrip i minimalne podkatalogi
</source>

;Uwaga — częsty błąd:
Nie używaj <code>addpath(genpath(...))</code> ani przycisku „Add with Subfolders" w MATLAB GUI.
FieldTrip samodzielnie dodaje potrzebne podkatalogi przez <code>ft_defaults</code>
i <code>ft_hastoolbox</code> — dodanie wszystkiego ręcznie powoduje konflikty
z funkcjami SPM, EEGLAB i wbudowanymi funkcjami MATLABa
(w szczególności z funkcjami z katalogu <code>fieldtrip/compat</code>
przeznaczonymi tylko dla starych wersji MATLABa).

;Trwała konfiguracja przez startup.m:

Żeby nie powtarzać powyższych poleceń przy każdym uruchomieniu MATLABa,
utwórz plik <code>startup.m</code> w swoim katalogu MATLABa
(zwykle <code>Dokumenty/MATLAB/startup.m</code>) z zawartością:

<source lang="matlab">
restoredefaultpath
addpath('C:\fieldtrip') % zmień na swoją ścieżkę
ft_defaults
</source>

MATLAB wykonuje ten plik automatycznie przy każdym uruchomieniu.

;Uwaga dla użytkowników EEGLAB: Jeśli korzystasz z EEGLAB i FieldTrip w tej samej sesji,
zawsze ładuj FieldTrip przez <code>restoredefaultpath</code> + <code>addpath</code> + <code>ft_defaults</code>,
a nie przez interfejs EEGLAB. Oba toolboxy zawierają funkcje o tych samych nazwach
(np. <code>eegplot</code>, <code>topoplot</code>) — kolejność na ścieżce decyduje,
która wersja zostanie wywołana.

;Weryfikacja instalacji: Sprawdź poprawność instalacji jednym poleceniem:

<source lang="matlab">
ft_defaults
ft_version
</source>

Powinieneś zobaczyć numer wersji i datę kompilacji, np.:
<pre>
FieldTrip version 20250901, path: C:\fieldtrip
</pre>

Jeśli MATLAB zgłasza błąd <code>Undefined function 'ft_defaults'</code>,
ścieżka nie została ustawiona poprawnie — wróć do kroku z <code>addpath</code>.

==Krok 0: Wejście do FieldTrip==

Przed właściwym ćwiczeniem proszę zapoznać się z tutorialem wprowadzającym:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/intro/introduction/ Introduction to the FieldTrip toolbox]

;Na co zwrócić uwagę przechodząc ten tutorial:

Studenci znający EEGLAB natkną się na dwie zasadnicze różnice w filozofii pracy:

* '''Struktura cfg''' zamiast GUI. Każda funkcja FieldTrip przyjmuje strukturę konfiguracyjną <code>cfg</code> i zwraca nową strukturę danych. Nie ma okien dialogowych — cała analiza jest skryptem. Jest to bliższe temu, co robiliśmy w MATLAB-owych sesjach CSP/ICA.

* '''Niezmienność danych'''. FieldTrip nie modyfikuje struktur w miejscu — każde wywołanie funkcji zwraca nową strukturę. Pozwala to łatwo porównywać wyniki różnych parametrów, ale wymaga dbałości o nazewnictwo zmiennych.

;Pytanie do dyskusji po lekturze:
Jak odpowiadają sobie nawzajem: <code>EEG.data</code> w EEGLAB i struktura <code>data</code> w FieldTrip?
Gdzie w strukturach FieldTrip przechowywane są informacje o lokalizacji elektrod?

==Krok 1: Model do przodu — BEM dla EEG==

Przed fitowaniem dipola musimy obliczyć macierz pola wiodącego <math>\mathbf{A}</math>.
Proszę przejść tutorial:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/headmodel_eeg_bem Construct a BEM headmodel for EEG source analysis]

;Cel tego kroku:
Zrozumieć skąd pochodzi kolumna <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
używana we wszystkich metodach Sesji 7.
Każda kolumna <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math> mówi: „jeśli w miejscu <math>\mathbf{r}</math>
znajdowałby się dipol o jednostkowym momencie,
to jakie potencjały zmierzylibyśmy na każdej z elektrod?"

;Kluczowe funkcje FieldTrip w tym kroku:
<source lang="matlab">
% Segmentacja MRI na trzy tkanki (skóra, czaszka, mózg)
cfg = [];
cfg.output = {'brain','skull','scalp'};
segmentedmri = ft_volumesegment(cfg, mri);

% Budowanie siatki trójkątów BEM
cfg = [];
cfg.tissue = {'brain','skull','scalp'};
cfg.numvertices = [3000 2000 1000];
bnd = ft_prepare_mesh(cfg, segmentedmri);

% Obliczenie modelu do przodu metodą BEM (OpenMEEG)
cfg = [];
cfg.method = 'openmeeg';
cfg.conductivity = [0.33 0.0041 0.33]; % mózg, czaszka, skóra [S/m]
headmodel = ft_prepare_headmodel(cfg, bnd);
</source>

;Na co zwrócić uwagę:
* Stosunek przewodności czaszka/mózg wynosi tu ~1/80.
Jak myślisz, jak bardzo błąd w tym parametrze wpłynie na lokalizację źródeł?
* Funkcja <code>ft_prepare_mesh</code> tworzy trzy zagnieżdżone siatki.
Jak ma się to do opisu BEM z wykładu?

==Krok 2: Fitowanie dipola (ćwiczenie główne)==

;Czas: ~90 min

To jest główne ćwiczenie praktyczne Sesji 7.
Proszę przejść tutorial:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/dipolefitting Dipole fitting of combined MEG/EEG data]

Poniżej znajdziesz szkielet kodu z pytaniami pomocniczymi
do samodzielnego wypełnienia — zacznij od tutorialu,
a potem wróć do szkieletu i uzupełnij brakujące fragmenty.

===Szkielet kodu — fitowanie dipola dla składowej N20===

<source lang="matlab">
%% KROK A: Wczytanie i preprocessing danych EEG
% Dane: Subject01.zip (patrz wyżej)
% Używamy tylko kanałów EEG, odrzucamy MEG.

cfg = [];
cfg.dataset = 'Subject01.ds';
cfg.trialdef.eventtype = 'backpanel trigger';
cfg.trialdef.eventvalue = 3; % bodziec na lewym nadgarstku
cfg.trialdef.prestim = 0.1;
cfg.trialdef.poststim = 0.3;
cfg = ft_definetrial(cfg);

cfg.channel = 'EEG';
cfg.continuous = 'yes';
cfg.demean = 'yes';
cfg.baselinewindow = [-0.1 0];
data = ft_preprocessing(cfg);

%% KROK B: Uśrednianie — potencjał wywołany
% TUTAJ: użyj ft_timelockanalysis aby obliczyć ERP (średnią po powtórzeniach)
% Wynik zapisz jako 'timelock'

% TUTAJ

%% KROK C: Wczytanie modelu do przodu i lokalizacji elektrod
% Zakładamy, że headmodel i elec zostały obliczone w Kroku 1.
% Jeśli nie — można użyć gotowego modelu z paczki danych Subject01.

load('standard_bem.mat'); % headmodel
load('Subject01_elec.mat'); % lokalizacje elektrod (po dopasowaniu do MRI)

%% KROK D: Przygotowanie siatki poszukiwań (grid)
% Definiujemy siatkę regularną 1 cm wewnątrz mózgu.
% ft_prepare_sourcemodel oblicza też macierz pola wiodącego A
% (tzw. leadfield) dla każdego punktu siatki.

cfg = [];
cfg.headmodel = headmodel;
cfg.elec = elec;
cfg.resolution = 1; % odstęp siatki w cm
cfg.unit = 'cm';
sourcemodel = ft_prepare_sourcemodel(cfg);

%% KROK E: Fitowanie dipola
% Szukamy jednego dipola najlepiej wyjaśniającego topografię N20.
% Okno czasowe 0.016–0.022 s odpowiada składowej N20.

cfg = [];
cfg.latency = [0.016 0.022]; % okno N20 w sekundach
cfg.numdipoles = 1;
cfg.headmodel = headmodel;
cfg.elec = elec;
cfg.sourcemodel = sourcemodel;
cfg.nonlinear = 'yes'; % optymalizacja nieliniowa po przestrzeni

% TUTAJ: source = ft_dipolefitting(cfg, timelock);

%% KROK F: Wizualizacja wyniku
% Nałożenie lokalizacji dipola na MRI anatomiczne.

load('standard_mri.mat'); % MRI w tym samym układzie współrzędnych

cfg = [];
cfg.location = source.dip.pos; % współrzędne znalezionego dipola [x y z]

% TUTAJ: ft_sourceplot(cfg, mri);

%% KROK G: Ocena dopasowania
% Goodness of fit (GoF) mówi jaka część wariancji danych
% jest wyjaśniona przez znaleziony dipol.
% Wartość > 0.85 uznaje się za dobre dopasowanie.

fprintf('Goodness of fit: %.1f%%\n', source.dip.rv * 100);
% Uwaga: w FieldTrip rv to residual variance (1 - GoF).
% Dobry dipol ma rv < 0.15.

disp('Lokalizacja dipola [x y z] w mm:')
disp(source.dip.pos)

disp('Moment dipolowy [qx qy qz]:')
disp(source.dip.mom)
</source>

===Zadania do samodzielnej realizacji===

;Zadanie 1 (obowiązkowe): Pipeline i lokalizacja
Uzupełnij brakujące fragmenty szkieletu (kroki B i E–F).
Gdzie na MRI ląduje znaleziony dipol? Czy odpowiada to oczekiwanej anatomii
składowej N20 (pierwotna kora somatosensoryczna S1, okolica bruzdy centralnej)?

;Zadanie 2 (obowiązkowe): Wpływ okna czasowego
Zmień <code>cfg.latency</code> kolejno na:
* <code>[0.016 0.022]</code> — okno N20
* <code>[0.025 0.035]</code> — okno P25
* <code>[0.045 0.060]</code> — okno N45
Czy lokalizacja dipola zmienia się między tymi składowymi?
Jak zmienia się GoF? Co to mówi o tym, która składowa jest lepiej opisana modelem jednego dipola?

;Zadanie 3 (obowiązkowe): Dwa dipole
Zmień <code>cfg.numdipoles = 2</code> i powtórz fitowanie dla okna N20.
Czy model dwóch dipoli daje istotnie lepszy GoF niż jeden?
Jak interpretujesz dwa znalezione źródła?

;Zadanie 4 (dla chętnych): Wrażliwość na model do przodu
FieldTrip pozwala użyć uproszczonego modelu sferycznego
zamiast BEM: ustaw <code>cfg.headmodel</code> na model jednorodnej sfery
(<code>cfg.method = 'singlesphere'</code> w <code>ft_prepare_headmodel</code>).
O ile zmienia się lokalizacja dipola N20?
Czy GoF wzrasta czy maleje?

;Pytania do dyskusji:
* Fitowanie dipola wymaga podania okna czasowego — dlaczego?
Co stałoby się gdybyśmy dopasowywali dipol do całej epoki (−100 do +300 ms)?
* Algorytm minimalizacji może utknąć w minimum lokalnym.
Jak <code>cfg.sourcemodel</code> (siatka) pomaga temu zaradzić?
Jaki jest kompromis między rozdzielczością siatki a czasem obliczeń?
* Porównaj mapę topograficzną ERP w oknie N20
z mapą rekonstruowaną z dopasowanego dipola (wywołaj <code>ft_dipolefitting</code>
z opcją <code>cfg.dipfit.display = 'yes'</code>).
Czy widzisz różnicę? Skąd ona pochodzi?

==Krok 3: Dalsze metody — dla zainteresowanych==

Poniższe tutoriale stanowią naturalne rozwinięcie ćwiczenia głównego
i ilustrują pozostałe metody omówione w teorii Sesji 7.
Nie są wymagane na zaliczenie, ale gorąco je polecamy
jeśli planujesz używać lokalizacji źródeł w pracy badawczej.

;Minimum Norm Estimation:
[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/minimumnormestimate Source reconstruction of event-related fields using minimum-norm estimation]

Ten sam sygnał N20 co w ćwiczeniu głównym, ale zamiast jednego dipola
otrzymujesz ciągłą mapę aktywności na całej powierzchni kory.
Zwróć uwagę jak wybór parametru regularyzacji <math>\lambda</math>
wpływa na rozmycie rozwiązania.
Porównaj lokalizację maksimum mapy MNE z lokalizacją dipola z Kroku 2.

;Beamformer (LCMV/DICS):
[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/beamformer Localizing oscillatory sources in MEG data using a beamformer]

Tutorial wykorzystuje ten sam zestaw danych Subject01
i lokalizuje źródła oscylacji gamma wywołanych bodźcem —
bezpośrednie rozwinięcie analizy ERD/ERS, którą już znasz.
Kluczowa różnica w stosunku do MNE: beamformer korzysta
z macierzy kowariancji danych <math>\mathbf{C}</math>,
a nie tylko z modelu do przodu. Sprawdź jak wyglądają
filtry przestrzenne <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math> dla różnych lokalizacji
i porównaj je koncepcyjnie z filtrami CSP z Sesji 1–3.











-->

Laboratorium EEG/CSP

2026-05-14T08:03:13Z

Jarekz: /* 4. Warunki brzegowe */

[[Laboratorium_EEG]]/BSS

=Sesja 1: Ślepa separacja źródeł i CSP — wprowadzenie=

;Czas: ~60 min wykład + ~90 min ćwiczenie symulacyjne

Zajęcia wprowadzają do problemu filtracji przestrzennej sygnałów EEG.
Punktem wyjścia jest ogólny problem ślepej separacji źródeł (BSS),
z którego CSP wyłania się jako szczególny przypadek dla dwóch warunków
eksperymentalnych. Filtry przestrzenne omawiane na tych zajęciach stanowią
fundament klasycznych metod BCI (P300, SSVEP, motor imagery) oraz są
bezpośrednim odpowiednikiem warstw przestrzennych w sieciach neuronowych
takich jak ShallowConvNet i EEGNet — do tej analogii wrócimy w sesji 6.

[https://drive.google.com/file/d/1WrXgWWDJ7g5ZdYltm_8s2NXbGamw4R8N/view?usp=sharing Slajdy do wykładu (PDF)]

;Zakres wykładu:
* model generatywny EEG: <math>x(t) = As(t)</math>, macierz kowariancji, idea diagonalizacji
* BSS jako ogólny problem separacji źródeł
* CSP jako szczególny przypadek: dwa warunki eksperymentalne, iloraz Rayleigha, uogólnione zagadnienie własne
* interpretacja filtrów i topografii źródeł

;Ćwiczenie symulacyjne:
Zob. [[#Ćwiczenie symulacyjne|Ćwiczenie symulacyjne]] w sekcji CSP poniżej.

====Ćwiczenie symulacyjne ====
====Zadania do samodzielnej realizacji====

Poniższy kod dostarcza gotowej infrastruktury: generacji sygnałów, macierzy mieszającej i wizualizacji.
Zadaniem jest samodzielna implementacja kluczowych kroków analizy CSP.

;Zadanie 1 (obowiązkowe): Obliczenie macierzy kowariancji
Napisz funkcję <code>srednia_kowariancja(X, ind)</code>, która dla danej tablicy sygnałów <code>X</code>
(wymiary: powtórzenia × kanały × próbki) i wektora indeksów czasowych <code>ind</code>
zwraca średnią macierz kowariancji uśrednioną po powtórzeniach.
Dla każdego powtórzenia zastosuj funkcję <code>cov</code> i znormalizuj wynik przez jego ślad (<code>trace</code>).
Sprawdź wynik porównując z macierzami <code>R_B</code> i <code>R_E</code> obliczonymi w dostarczonym kodzie.

;Zadanie 2 (obowiązkowe): Implementacja CSP
Korzystając z funkcji <code>eig</code> oraz macierzy kowariancji obliczonych w zadaniu 1,
wyznacz macierz filtrów przestrzennych <code>W</code> i odpowiadające im wartości własne.
Odtwórz sygnały źródłowe dla wszystkich powtórzeń.
Narysuj chmury punktów (amplituda źródła 1 vs amplituda źródła 2) osobno dla warunków
baseline i ERP — przed transformacją CSP i po niej. Co zmieniło się w kształcie chmur?

Wykreśl także wizualizację przebiegów czasowych sygnałów X i sygnałów S uzyskanych po rozmieszaniu.

;Zadanie 3 (obowiązkowe): Interpretacja wartości własnych
Wartości własne znajdują się na przekątnej macierzy <code>Lambda</code>.
Który filtr najbardziej różnicuje warunki baseline i ERP?
Jaki jest związek między wartością własną a separacją widoczną na wykresach punktowych?

;Zadanie 4 (dla chętnych): Wpływ macierzy mieszającej
W dostarczonym kodzie macierz <code>P</code> (filtr przestrzenny) wynosi:
<pre>
P = [1 2; 1.5 1.3]
</pre>
Zmień ją kolejno na macierz bliską jednostkowej (np. <code>P = [1 0.1; 0.1 1]</code>)
oraz na macierz z dużymi elementami pozadiagonalnymi (np. <code>P = [1 5; 4 1]</code>).
Jak zmienia się kształt chmury punktów przed transformacją CSP?
Czy CSP poprawnie oddziela źródła w obu przypadkach?

;Zadanie 5 (dla chętnych): Wpływ szumu
W kodzie szum jest wyłączony: <code>n = 0*randn(size(tmp))</code>.
Usuń mnożnik <code>0*</code> i zbadaj jak poziom szumu wpływa na separację źródeł.
Przy jakim stosunku sygnału do szumu CSP przestaje skutecznie rozdzielać warunki?

;Pytanie do dyskusji:
Dostarczony kod używa <code>eig(R_E, R_B)</code>.
Alternatywą jest <code>eig(R_E, (R_E+R_B)/2)</code>.
Czym różnią się te dwie wersje? W jakich sytuacjach eksperymentalnych
druga wersja mogłaby być bardziej uzasadniona?

====Szkielet kodu do uzupełnienia====

Poniższy szkielet zawiera gotową infrastrukturę symulacji.
Uzupełnij brakujące fragmenty oznaczone komentarzem <code>% TUTAJ</code>
zgodnie z zadaniami 1–3. Pełny kod referencyjny dostępny jest poniżej
— zajrzyj do niego dopiero po samodzielnej próbie.

<source lang="matlab">
%% Parametry symulacji — nie modyfikuj tej sekcji
Fs = 100;
T = 1;
t = 0:1/Fs:T-1/Fs;
N_rep = 100;
N_chan = 2;
s = zeros(N_rep, N_chan, length(t));
X = zeros(N_rep, N_chan, length(t));

P = [1 2; 1.5 1.3]; % filtr przestrzenny (prawdziwy)
A = P^(-1); % topografia źródeł

for r = 1:N_rep
s1 = sin(2*pi*11*t + pi/2) + 0.02*randn(size(t));
s2 = exp(-((t-0.8)/0.05).^2) + 0.01*randn(size(t));
s(r,1,:) = s1;
s(r,2,:) = s2;
tmp = squeeze(s(r,:,:));
n = 0*randn(size(tmp)); % Zadanie 5: zmień 0* na 1* aby włączyć szum
X(r,:,:) = A*tmp + n;
end

baseline_ind = find(t < 0.5);
ERP_ind = find(t >= 0.5);

R_B = zeros(N_chan, N_chan);
R_E = zeros(N_chan, N_chan);

%% Zadanie 1: Oblicz średnie macierze kowariancji
% korzystając z funkcji srednia_kowariancja(X, ind)

% Dla każdego powtórzenia r:
% - wytnij fragment sygnału X(r,:,baseline_ind) i analogicznie ERP
% - oblicz macierz kowariancji funkcją cov() — pamiętaj o transpozycji
% - znormalizuj przez ślad (funkcja trace())
% - dodaj do sumy
% Na końcu podziel przez N_rep

%% Zadanie 2: Rozwiąż uogólnione zagadnienie własne
% Użyj funkcji eig(A,B) gdzie A=R_E, B=R_B
% W wyniku otrzymasz macierz wektorów własnych W (w kolumnach)
% i macierz Lambda z wartościami własnymi na przekątnej

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

disp('Wartości własne (przekątna Lambda):')
disp(diag(Lambda))

%% Zadanie 2 cd.: Odtwórz sygnały źródłowe
% Dla każdego powtórzenia r zastosuj filtr: S(r,:,:) = W' * X(r,:,:)

S = zeros(N_rep, N_chan, length(t));

for r = 1:N_rep
% TUTAJ: S(r,:,:) = ...
end

%% Zadanie 3: Wizualizacja — chmury punktów przed i po CSP
x_base_k1 = X(:,1,baseline_ind);
x_base_k2 = X(:,2,baseline_ind);
x_ERP_k1 = X(:,1,ERP_ind);
x_ERP_k2 = X(:,2,ERP_ind);

s_base_k1 = squeeze(S(:,1,baseline_ind));
s_base_k2 = squeeze(S(:,2,baseline_ind));
s_ERP_k1 = squeeze(S(:,1,ERP_ind));
s_ERP_k2 = squeeze(S(:,2,ERP_ind));

figure(1); clf
subplot(1,2,1)
plot(x_base_k1(:), x_base_k2(:), 'b.'); hold on
plot(x_ERP_k1(:), x_ERP_k2(:), 'r.');
axis equal; xlim([-2 2]); ylim([-2 2])
xlabel('Kanał 1'); ylabel('Kanał 2')
title('Przed CSP')
legend('baseline','ERP')

subplot(1,2,2)
plot(s_base_k1(:), s_base_k2(:), 'b.'); hold on
plot(s_ERP_k1(:), s_ERP_k2(:), 'r.');
axis equal
xlabel('Źródło 1'); ylabel('Źródło 2')
title('Po CSP')
legend('baseline','ERP')
%% Wizualizacja przebiegów czasowych X i S
% TUTAJ:

%% Zadanie 4 (dla chętnych): zmień macierz P powyżej i powtórz analizę
%% Zadanie 5 (dla chętnych): włącz szum (zmień 0* na 1* w linii z n=...)
</source>

{{hidden begin|title=Rozwiązanie — pokaż dopiero po samodzielnej próbie}}
<source lang = matlab>
% symulowany eksperyment składa się z sinusoidy udającej alfę spoczynkową i
% funkcji Gaussa udającego potencjał wywołany
% źródła te są symulowane niezależnie a potem mieszane przez macierz A
% symulujemy źródła
% s1 - symuluje alfę
% s2 - symuluje "potencjał wywołany" (ERP)

%ustawiamy parametry do symulacji sygnałów
Fs = 100;
T = 1;
t = 0:1/Fs:T-1/Fs;
N_rep = 100;
N_chan = 2;
s = zeros(N_rep,N_chan, length(t));
X = zeros(N_rep,N_chan, length(t));

% filtr przestrzenny - z takimi wagami trzeba wziąść kanały EEG aby odzyskać sygnały źródłowe
P = [1 2
1.5 1.3];

% topografie - z takimi wagami źródła dokładają się do poszczególnych elektrod
A = P^(-1);

for r =1:N_rep % tworzymy kolejne realizacje "eksperymentu"
s1 = sin(2*pi*11*t +pi/2+ 0*2*pi*rand())+ 0.02*randn(size(t)); % źródło alfa
s2 = exp(-((t-0.8)/0.05).^2)+ 0.01*randn(size(t)); % źródło ERP

s(r,1,:) = s1;
s(r,2,:) = s2;
tmp = squeeze(s(r,:,:));
n = 0*randn(size(tmp));
X(r,:,:) = A*tmp +n; % rzutujemy sygnały źródłowe na elektrody s -> x

end

% wycinamy warunki
% baseline_ind to indeksy pierwszej połowy każdego powtórzenia "baseline"
% ERP_ind to indeksy drugiej połowy każdego powtórzenia zawierająca "ERP"
baseline_ind = find(t<0.5);
ERP_ind = find(t>=0.5);

x_baseline_kan_1 = X(:,1,baseline_ind);
x_baseline_kan_2 = X(:,2,baseline_ind);

x_ERP_kan_1 = X(:,1,ERP_ind);
x_ERP_kan_2 = X(:,2,ERP_ind);

% liczymy średnie macierze kowariancji:
R_E = zeros(N_chan,N_chan);
R_B = zeros(N_chan,N_chan);
for r =1:N_rep
B = squeeze(X(r,:,baseline_ind));
tmp =cov(B');
R_B = R_B + tmp./trace(tmp);%B*B' ;

E = squeeze(X(r,:,ERP_ind));
tmp = cov(E');
R_E = R_E + tmp./trace(tmp);%E*E' ;
end

R_B = R_B/N_rep;
R_E = R_E/N_rep;

% rozwiązujemy uogólnione zagadnienie własne
[W,Lambda]=eig(R_E,R_B); % możliwa jest też optymalizacja wzg. średniej macierzy kowariancji (R_B+R_A)/2);

% odzyskujemy sygnały źródeł
for r =1:N_rep
S(r,:,:) = W'*squeeze(X(r,:,:));
end

% pobieramy wycinki odpowiadające obu częściom eksperymentu z estymowanych
% źródeł
s_baseline_estymowany_kan1 = squeeze( S(:,1,baseline_ind));
s_baseline_estymowany_kan2 = squeeze( S(:,2,baseline_ind));

s_ERP_estymowany_kan1 = squeeze(S(:,1,ERP_ind));
s_ERP_estymowany_kan2 = squeeze(S(:,2,ERP_ind));

%%%%%%%%%%%%%% Ilustracje %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ilustracja sygnałów mierzonych
figure(1);clf
subplot(2,2,1);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(X(:,1,baseline_ind)))','b'); hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze( X(:,1,ERP_ind)))','r'); hold off
xlabel('elektroda 1')
title('ilustracja sytuacji pomiarowej -\newline znane są potencjały na elektrodach w dwóch warunkach eksperymentalnych')
subplot(2,2,3);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(X(:,2,baseline_ind)))','b'); hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze( X(:,2,ERP_ind)))','r'); hold off
xlabel('elektroda 2')
subplot(1,2,2)
plot(x_baseline_kan_1(:),x_baseline_kan_2(:),'b.');
hold on
plot(x_ERP_kan_1(:),x_ERP_kan_2(:),'r.');
xlim([-2,2])
ylim([-2,2])
axis equal

% wektor własny odpowiadający największej wartości własnej jest
% kierunkiem najbardziej różnicującym warunki eksperymentalne
disp('wartości własne znajdują się na przekątnej macierzy Lambda')
disp(Lambda)
% rysujemy wersory jednostkowe w kierunkach wektorów własnych
w1 = W(:,1);
w1 = w1/norm(w1);
w2 = W(:,2);
w2 = w2/norm(w2);
line([0, w1(1) ],[0,w1(2)],'Color',[0,0.3,0])
text(w1(1),w1(2),'wektor własny 1')
line([0, w2(1) ],[0,w2(2)],'Color',[1,0,1])
text(w2(1),w2(2),'wektor własny 2')

xlabel('Amplituda na elektrodzie 1')
ylabel('Amplituda na elektrodzie 2')
legend('baseline','ERP')

% Ilustracja estymowanych źródeł
figure(2);clf
subplot(2,2,1);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(S(:,1,baseline_ind)))','b');hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze(S(:,1,ERP_ind)))','r');hold off
xlabel('estymowane zrodlo 1')
title('ilustracja estymacji -\newline estymowane są potencjały źródeł w dwóch warunkach eksperymentalnych')
subplot(2,2,3);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(S(:,2,baseline_ind)))','b');hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze(S(:,2,ERP_ind)))','r');hold off
xlabel('estymowane zrodlo 2');
subplot(1,2,2)
plot(s_baseline_estymowany_kan1(:),s_baseline_estymowany_kan2(:),'b.');
hold on
plot(s_ERP_estymowany_kan1(:),s_ERP_estymowany_kan2(:),'r.');

xlabel('Amplituda estym. źródła 1')
ylabel('Amplituda estym. źródła 2')
legend('baseline','ERP')
</source>
{{hidden end}}

=Sesja 2: CSP dla P300 — dane realne=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Pracujemy z danymi kalibracyjnymi z eksperymentu P300.
Celem sesji jest przejście pełnego pipeline'u: od surowych danych
do odtworzonych źródeł CSP.

;Zakres:
* wczytanie danych kalibracyjnych, identyfikacja znaczników T i NT
* cięcie epok (−200 do +800 ms), usuwanie trendu liniowego
* montaż względem średniej ze wszystkich elektrod
* wizualizacja ERP w układzie topograficznym
* obliczenie macierzy kowariancji RT i RNT, normalizacja przez ślad
* rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego: <code>[W, Lambda] = eig(R_T, R_NT)</code>
* odtworzenie sygnałów źródłowych: <code>S = W'*EEG</code>
* przegląd estymowanych źródeł w dwóch warunkach

;Materiały:
Dane: https://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/KalibracjaP300.tar.gz

===ZADANIE: Analiza CSP===

Przegląd badań o P300: https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2715154/

Link do Read menager [https://drive.google.com/file/d/1OgOduK5Zn7GgNl5XdCyLWXHJ7wTJIWcC/view?usp=share_link]

* Wykonać analizę CSP wzmacniającą potencjał P300.
* Zaprezentować średnią ze wszystkich kanałów źródłowych z warunku target (jeden kolor) i non-target (inny kolor) w subplotach ułożonych w prostokątnej siatce. Zaobserwować, dla którego kanału średnie różnią się najbardziej. Czy jest związek tego kanału z wartościami własnymi?

* Dla kanału najbardziej różnicującego wykonać mapki topograficzne wektorów odpowiadających:
** filtrowi przestrzennemu
** rzutu topograficznego źródła na elektrody.

===Szkielet kodu do analizy wstępnej===

<source lang="matlab">
%% KROK 1: Wczytanie danych
% ReadManager to pomocnicza klasa do odczytu plików w formacie OpenBCI.
% Przyjmuje trzy pliki: XML z metadanymi, RAW z próbkami i TAG ze znacznikami zdarzeń.
nazwaPliku = 'p_6301423_calibration_p300.obci';
nameOfXMLFile = strcat(nazwaPliku, '.xml');
nameOfTagFile = strcat(nazwaPliku, '.tag');
namesOfDataFiles = strcat(nazwaPliku, '.raw');

rm = ReadManager(nameOfXMLFile, namesOfDataFiles, nameOfTagFile);

% Pobieramy podstawowe parametry nagrania
numberOfChannels = rm.get_param('number_of_channels');
namesOfChannels = rm.get_param('channels_names');
samplingFrequency = rm.get_param('sampling_frequency');

% Pobieramy listę wszystkich znaczników zdarzeń z nagrania
tagsStruct = rm.get_tags();

%% KROK 2: Identyfikacja znaczników Target i Non-Target
% Każdy znacznik typu 'blink' odpowiada jednemu mignięciu w eksperymencie P300.
% Pole 'index' mówi który symbol mignął, pole 'target' który symbol był oczekiwany.
% Jeśli index == target to było to mignięcie docelowe (Target), w przeciwnym razie
% Non-Target.
targetTimeStamps = [];
NonTargetTimeStamps = [];

for structNumber = 1:length(tagsStruct)
if strcmp(tagsStruct(structNumber).name, 'blink')
index = tagsStruct(structNumber).children.index;
target = tagsStruct(structNumber).children.target;
if index == target
targetTimeStamps = [targetTimeStamps tagsStruct(structNumber).start_timestamp];
else
NonTargetTimeStamps = [NonTargetTimeStamps tagsStruct(structNumber).start_timestamp];
end
end
end

%% KROK 3: Wczytanie i filtrowanie sygnału
samples = double(rm.get_samples());
samples = samples(1:8,:); % odrzucamy kanały bez EEG
numberOfChannels = 8;

% Filtr dolnoprzepustowy Czebyszewa 2. rodzaju — odcięcie 25 Hz
[b, a] = cheby2(6, 80, 25/(samplingFrequency/2), 'low');
for ch = 1:numberOfChannels
samples(ch,:) = filtfilt(b, a, samples(ch,:));
end

%% KROK 4: Montaż względem średniej (common average reference)
% Odejmujemy od każdego kanału średnią ze wszystkich kanałów w danej chwili.
% Jest to prostsze i bardziej ogólne niż montaż względem połączonych uszu.
M = -ones(numberOfChannels, numberOfChannels) / numberOfChannels;
M = M + eye(numberOfChannels) * (numberOfChannels+1) / numberOfChannels;
samples = 0.0715 * M * samples;

%% KROK 5: Cięcie epok
PRE = -0.2;
POST = 0.8;
wycinek = floor(PRE*samplingFrequency : POST*samplingFrequency);

TargetSignal = zeros(length(targetTimeStamps), numberOfChannels, length(wycinek));
NonTargetSignal = zeros(length(NonTargetTimeStamps), numberOfChannels, length(wycinek));

for trialNumber = 1:length(targetTimeStamps)
trigerOnset = floor(targetTimeStamps(trialNumber) * samplingFrequency);
tenWycinek = wycinek + trigerOnset;
if tenWycinek(1) > 0 && tenWycinek(end) <= size(samples,2)
tmpSignal = samples(:, tenWycinek);
tmpSignal = detrend(tmpSignal')'; % usuwanie trendu liniowego
TargetSignal(trialNumber,:,:) = tmpSignal;
end
end

for trialNumber = 1:length(NonTargetTimeStamps)
trigerOnset = floor(NonTargetTimeStamps(trialNumber) * samplingFrequency);
tenWycinek = wycinek + trigerOnset;
if tenWycinek(1) > 0 && tenWycinek(end) <= size(samples,2)
tmpSignal = samples(:, tenWycinek);
tmpSignal = detrend(tmpSignal')';
NonTargetSignal(trialNumber,:,:) = tmpSignal;
end
end

% Oś czasu w milisekundach — przyda się do rysowania
times = (wycinek / samplingFrequency) * 1000;

%% KROK 6: Wizualizacja ERP w układzie topograficznym
% Oblicz potencjały wywołane (ERP) jako średnie po powtórzeniach
ERP_T = squeeze(mean(TargetSignal, 1)); % wymiary: kanały × czas
ERP_NT = squeeze(mean(NonTargetSignal, 1));

% TUTAJ: narysuj ERP_T i ERP_NT dla każdego kanału w subplotach
% ułożonych w siatce odpowiadającej przybliżonym pozycjom elektrod.
% Na każdym subplocie nałóż oba warunki różnymi kolorami.
% Oś X: czas w ms (użyj wektora times), oś Y: amplituda w µV.
% Zadbaj o legendę i tytuły z nazwami kanałów (namesOfChannels).

%% KROK 7: Obliczenie średnich macierzy kowariancji
% Dla każdego powtórzenia oblicz macierz kowariancji funkcją cov(),
% znormalizuj przez jej ślad (trace()), a następnie uśrednij po powtórzeniach.
% Pamiętaj: cov() oczekuje macierzy próbki × kanały, czyli potrzebujesz transpozycji.

R_T = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
R_NT = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for r = 1:length(targetTimeStamps)
% TUTAJ: wytnij r-te powtórzenie T, oblicz kowariancję, znormalizuj, dodaj do R_T
end

for r = 1:length(NonTargetTimeStamps)
% TUTAJ: wytnij r-te powtórzenie NT, oblicz kowariancję, znormalizuj, dodaj do R_NT
end

% TUTAJ: podziel R_T i R_NT przez odpowiednie liczby powtórzeń

%% KROK 8: Rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego
% Szukamy filtrów przestrzennych W maksymalizujących stosunek mocy
% w warunku T względem NT: eig(R_T, R_NT)
% W kolumnach W znajdują się filtry, na przekątnej Lambda — wartości własne.

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

disp('Wartości własne (przekątna Lambda):')
disp(diag(Lambda))

%% KROK 9: Odtworzenie sygnałów źródłowych
% Dla każdego powtórzenia zastosuj filtr przestrzenny:
% s(r,:,:) = W' * x(r,:,:)
% Pamiętaj o wymiarach — squeeze() może być pomocne.

S_T = zeros(size(TargetSignal));
S_NT = zeros(size(NonTargetSignal));

for r = 1:size(TargetSignal, 1)
% TUTAJ: S_T(r,:,:) = ...
end

for r = 1:size(NonTargetSignal, 1)
% TUTAJ: S_NT(r,:,:) = ...
end

%% KROK 10: Wizualizacja estymowanych źródeł
% Narysuj średnie przebiegi źródeł (ERP w przestrzeni CSP) dla obu warunków.
% Ułóż subploty w prostokątnej siatce — jeden subplot na każde źródło.
% Dla którego źródła różnica między T i NT jest największa?
% Czy odpowiada to źródłu z największą wartością własną?

ERP_S_T = squeeze(mean(S_T, 1));
ERP_S_NT = squeeze(mean(S_NT, 1));

% TUTAJ: narysuj ERP_S_T i ERP_S_NT w subplotach
</source>

=Sesja 3: CSP dla P300 — interpretacja i separacja cech=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Kontynuacja analizy CSP. Celem sesji jest interpretacja wyników
w kategoriach fizjologicznych oraz ocena separowalności klas
w przestrzeni cech opartej na mocy sygnału.

;Zakres:
* mapki topograficzne filtra przestrzennego i topografii źródła
* związek wartości własnych z siłą różnicowania warunków T i NT
* wykresy punktowe mocy: oś X — moc składowej z największą wartością własną, oś Y — moc kolejnej składowej; jeden punkt = jedno powtórzenie
* uśrednianie po 2, 4, 6, 8 i 10 realizacjach — obserwacja poprawy separacji wraz z liczbą uśrednień
* dyskusja: utożsamianie komponentów CSP z fizjologicznymi źródłami jest ryzykowne; komponenty maksymalizują kontrast między warunkami, niekoniecznie odpowiadają izolowanym generatorom

;Materiały:
Zob. [[#Szkielet kodu do analizy wstępnej|Szkielet kodu do analizy wstępnej]] i [[#Zadanie: Wybór i separacja cech|Zadanie: Wybór i separacja cech]] poniżej.

===Zadanie: Wybór i separacja cech===
* Przedstaw na rysunkach nałożone na siebie pojedyncze realizacje z warunków target i non-target po rzutowaniu na wektor <math>w</math> odpowiadający największej i kolejnej wartości własnej.
* Przedstaw wykresy punktowe takie, że na jednej osi jest moc sygnału (suma kwadratów wartości próbek w wybranym zakresie czasu) odpowiadającego największej wartości własnej, a na drugiej osi kolejnej (mniejszej) wartości własnej; jeden punkt reprezentuje jedno powtórzenie.
* Wykonaj serię wykresów jak w poprzednim punkcie dla uśrednień sygnałów kolejno po 2, 4, 6, 8 i 10 realizacjach:
** Liczymy potencjał wywołany dla danej liczby powtórzeń.
** Następnie podnosimy wartości próbek do kwadratu
** i sumujemy je w wybranym zakresie czasu.
* Zaobserwuj jak zmienia się separacja w grupach target i non-target.
{{hidden end}}
[https://robintibor.github.io/eeg-deep-learning-phd-thesis/DeepArchitectures.html Archirtektury sieci do BCI: ConvNet]

[https://www.researchgate.net/figure/The-architecture-of-EEGNet-F1-S1-model-F1-and-S1-represent-the-number-of-temporal_fig3_347073448 EEGNet]

=Sesja 4: Filtry przestrzenne dla SSEP — cosSinCSP=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Sesja wprowadza metodę cosSinCSP jako naturalne uogólnienie CSP
o wiedzę dziedzinową dotyczącą sygnału SSEP. W klasycznym CSP
dwa warunki eksperymentalne definiują dwie macierze kowariancji.
W cosSinCSP rolę jednej z macierzy przejmuje projekcja sygnału
na przestrzeń sinusów i cosinusów częstości stymulacji i jej harmonicznych.
Formalizm ilorazu Rayleigha i uogólnionego zagadnienia własnego
pozostaje identyczny.

Dane używane na tych zajęciach pochodzą z eksperymentu SSEP
z archiwum — bez sesji rejestracyjnej. Na wykresach widma
sygnału przed transformacją CSP dominuje artefakt sieciowy 50 Hz,
który praktycznie zasłania odpowiedź na stymulację. Zadaniem
jest sprawdzenie czy cosSinCSP potrafi ten sygnał wydobyć.

;Zakres:
* idea cosSinCSP: macierz S złożona z sinusów i cosinusów harmonicznych, projekcja sygnału na przestrzeń SSEP i resztę Y
* implementacja funkcji <code>cosSinCSP</code> w MATLAB
* analiza danych archiwalnych: widma Welcha dla kanałów oryginalnych i źródeł CSP — porównanie SNR przed i po transformacji
* prezentacja filtrów przestrzennych i topografii źródeł

;Materiały:
Zob. [[#Filtry przestrzenne dla SSEP|Filtry przestrzenne dla SSEP]] poniżej.

==Filtry przestrzenne dla SSEP==

===Teoria===

Ciekawa koncepcja filtra przestrzennego dla SSEP zaprezentowana jest tu: http://www.eurasip.org/Proceedings/Eusipco/Eusipco2009/contents/papers/1569193209.pdf

Pokrótce można ją rozumieć podobnie do tego co robiliśmy rozważając filtry przestrzenne CSP z tym, że dla SSEP oraz innych potencjałów wywołanych stanu ustalonego możemy skorzystać z dodatkowych informacji dotyczących poszukiwanych źródeł. Wiemy mianowicie, że powinny one oscylować z częstością bodźca i być może jej harmonicznych.

Przyda nam się macierz <math>S</math> zbudowana tak, że w kolejnych kolumnach znajdują się sinusy i cosinusy kolejnych częstości harmonicznych. Wektory te unormujemy, żeby miały energię równą 1. Innymi słowy macierz <math>S</math> zbudowana jest z wersorów rozpinających przestrzeń, w której powinien znajdować się sygnał SSEP.

W Matlabie możemy taką macierz zbudować tak:

<source lang="matlab">
% Fs - częstość próbkowania
% numberOfSamples - długość sygnału w próbkach
% numberOfHarmonics - liczba harmonicznych, które chcemy włączyć do analizy
t = (0:1:numberOfSamples - 1) / Fs;
S = zeros(numberOfSamples, 2*numberOfHarmonics);

for harmonicNumber = 1:numberOfHarmonics
c = cos(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
s = sin(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
S(:,(harmonicNumber - 1)*2 + 1) = c/norm(c);
S(:,(harmonicNumber - 1)*2 + 2) = s/norm(s);
end
</source>

Aby w badanym sygnale znaleźć składowe odpowiadające SSEP musimy rzutować sygnał <math>X</math> (macierz sygnałów ''kanały × próbki'') na przestrzeń rozpiętą przez <math>S</math>:
:<math>A = X S</math>
Macierz <math>A</math> zawiera współczynniki będące iloczynami skalarnymi sygnałów i wersorów — mówią one o tym jak dużo sinusa bądź cosinusa o danej częstości jest w pierwotnym sygnale. Komponenty SSEP zawarte w sygnale <math>X</math> odzyskujemy tak:
:<math>\mathrm{SSEP} = A S^T</math>

Modelujemy rejestrowany sygnał jako:
:<math>X = \mathrm{SSEP} + Y</math>
gdzie:
:<math>Y = X - \mathrm{SSEP}</math>
to wszystkie komponenty sygnału, które nas nie interesują.

Filtr przestrzenny, który chcemy zbudować powinien maksymalizować stosunek wariancji <math>\mathrm{SSEP}</math> do wariancji <math>Y</math>. Macierz kowariancji powinna być uśredniona po powtórzeniach, a kowariancja sygnału w każdym powtórzeniu powinna być znormalizowana przez jej ślad. Dalej stosujemy technikę znaną z CSP: maksymalizację ilorazu Rayleigha przez rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego dla macierzy kowariancji <math>\mathrm{SSEP}</math> i <math>Y</math>.

===Zadanie: implementacja funkcji cosSinCSP===

Dane do zadania: [[Plik:PrzykladoweDaneSSVEP.mat.gz]].
Pełny przykład z danymi z eksperymentu SSEP: [[Plik:SSVEP_demo_csp.tar.gz]]

Zaimplementuj funkcję <code>cosSinCSP</code> zgodnie z poniższym szkieletem.
Prawidłowo zaimplementowana funkcja wraz ze skryptem demonstracyjnym poniżej
powinna generować rysunek: [[Plik:Rys_SSVEP_demo.png|400px|podpis grafiki]]

<source lang="matlab">
function [W, Lambda] = cosSinCSP(signal, stimulationFrequency, numberOfHarmonics, Fs)
% cosSinCSP - filtr przestrzenny dla sygnałów SSEP
%
% Wejście:
% signal - dane EEG, wymiary: powtórzenia × kanały × próbki
% stimulationFrequency - częstość stymulacji w Hz
% numberOfHarmonics - liczba harmonicznych do uwzględnienia
% Fs - częstość próbkowania w Hz
%
% Wyjście:
% W - macierz filtrów przestrzennych (kanały × kanały), filtry w kolumnach
% Lambda - macierz diagonalna wartości własnych

[numberOfTrials, numberOfChannels, numberOfSamples] = size(signal);

%% KROK 1: Zbuduj macierz referencyjną S (sinusy i cosinusy harmonicznych)
% S ma wymiary: próbki × 2*numberOfHarmonics
% Każda kolumna to jeden wersor (unormowany sinus lub cosinus).
% Wróć do sekcji Teoria powyżej i przełóż tamten kod na tę funkcję.

% TUTAJ

%% KROK 2: Oblicz średnie macierze kowariancji C_SSEP i C_Y
% Dla każdego powtórzenia wytnij sygnał x (kanały × próbki),
% rozłóż go na składową SSEP i resztę Y zgodnie z równaniami z sekcji Teoria,
% oblicz macierze kowariancji obu składowych, znormalizuj przez ślad
% i uśrednij po powtórzeniach.

C_SSEP = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
C_Y = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for trial = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(trial, :, :)); % kanały × próbki

% TUTAJ: oblicz SSEP i Y

% TUTAJ: oblicz kowariancje, znormalizuj, dodaj do C_SSEP i C_Y
end

% TUTAJ: podziel C_SSEP i C_Y przez numberOfTrials

%% KROK 3: Rozwiąż uogólnione zagadnienie własne
% Znajdź filtry przestrzenne maksymalizujące stosunek mocy SSEP do mocy Y.
% Analogia z CSP: jakie macierze wstawiłeś do eig() tam?

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

end
</source>

;Wskazówka do interpretacji wyników:
Filtr związany z największą wartością własną daje komponent
o największym stosunku mocy SSEP do mocy tła.
Sprawdź na widmach Welcha czy odpowiada on składowej
z wyraźnym pikiem przy częstości stymulacji.

{{hidden begin|title=Rozwiązanie — pokaż dopiero po samodzielnej próbie}}
<source lang="matlab">
function [W, Lambda] = cosSinCSP(signal, stimulationFrequency, numberOfHarmonics, Fs)

[numberOfTrials, numberOfChannels, numberOfSamples] = size(signal);

%% KROK 1: Macierz referencyjna S
t = (0:1:numberOfSamples-1) / Fs;
S_ref = zeros(numberOfSamples, 2*numberOfHarmonics);

for harmonicNumber = 1:numberOfHarmonics
c = cos(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
s = sin(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
S_ref(:,(harmonicNumber-1)*2 + 1) = c/norm(c);
S_ref(:,(harmonicNumber-1)*2 + 2) = s/norm(s);
end

%% KROK 2: Średnie macierze kowariancji
C_SSEP = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
C_Y = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for trial = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(trial, :, :)); % kanały × próbki
A = x * S_ref; % projekcja na przestrzeń SSEP
SSEP = A * S_ref'; % rekonstrukcja składowej SSEP
Y = x - SSEP; % reszta

tmp = cov(SSEP');
C_SSEP = C_SSEP + tmp/trace(tmp);

tmp = cov(Y');
C_Y = C_Y + tmp/trace(tmp);
end

C_SSEP = C_SSEP / numberOfTrials;
C_Y = C_Y / numberOfTrials;

%% KROK 3: Uogólnione zagadnienie własne
[W, Lambda] = eig(C_SSEP, C_Y);

end
</source>
{{hidden end}}

===Skrypt demonstracyjny i analiza wyników===

<source lang="matlab">
% wczytujemy dane
load('PrzykladoweDaneSSVEP.mat');

[numberOfTrials numberOfChannels numberOfSamples] = size(X.data);
namesOfChannels = X.channels;

numberOfHarmonics = 3;
signal = X.data; % powtórzenie × kanał × próbki

[W, Lambda] = cosSinCSP(signal, X.stimulation, numberOfHarmonics, X.sampling);

%% Odtworzenie sygnałów źródłowych
S = zeros(size(signal));
for powt = 1:size(signal,1)
S(powt,:,:) = W' * squeeze(signal(powt,:,:));
end

%% Widma Welcha: kanały oryginalne vs źródła CSP
figure('Name', ['Stymulacja: ', num2str(X.stimulation), ' Hz'])
for i = 1:numberOfChannels
subplot(2, numberOfChannels, i)
PP = 0;
for rep = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(rep,i,:));
[Pxx, ff] = pwelch(x, X.sampling, 1, X.sampling, X.sampling);
PP = PP + Pxx;
end
plot(ff(ff<60), PP(ff<60))
title(namesOfChannels{i})

subplot(2, numberOfChannels, numberOfChannels+i)
PP = 0;
for rep = 1:numberOfTrials
s = squeeze(S(rep,i,:));
[Pss, ff] = pwelch(s, X.sampling, 1, X.sampling, X.sampling);
PP = PP + Pss;
end
plot(ff(ff<60), PP(ff<60))
title(['źródło CSP: ', num2str(i)])
xlabel(['\lambda = ', num2str(Lambda(i,i), '%.2f')])
end

%% KROK 4: Mapki topograficzne
% Zidentyfikuj komponent z największą wartością własną.
% Narysuj dwie mapki przy użyciu funkcji topoplot() z pakietu EEGLAB:
%
% (a) Filtr przestrzenny: wagi z jakimi kanały EEG składają się na ten komponent.
% Wskazówka: filtr to kolumna macierzy W.
%
% (b) Topografia źródła: z jakimi wagami komponent dociera do poszczególnych elektrod.
% Wskazówka: topografia zawarta jest w wierszach macierzy odwrotnej do W —
% przypomnij sobie analogiczny krok z analizy CSP dla P300.
%
% Czym różnią się te dwie mapki? Którą łatwiej interpretować fizjologicznie?

% TUTAJ: [~, idx] = max(diag(Lambda));
% TUTAJ: topoplot(...) % filtr
% TUTAJ: topoplot(...) % topografia
</source>

=Sesja 5: ICA jako filtr przestrzenny =

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Sesja wprowadza analizę składowych niezależnych (ICA) jako trzecie
podejście do problemu ślepej separacji źródeł — obok BSS/CSP
i cosSinCSP. Kluczowa różnica: CSP szuka kierunków maksymalizujących
kontrast wariancji między warunkami (kryterium drugiego rzędu),
ICA szuka składowych niezależnych statystycznie, maksymalizując
niegaussowość (kryterium wyższego rzędu). ICA nie wymaga
dwóch warunków eksperymentalnych — działa na jednym stacjonarnym sygnale.

;Zakres wykładu (~40 min):
* model generatywny ICA: <math>\mathbf{x} = \mathbf{D}\mathbf{s}</math>, założenie niegaussowości składowych
* negoentropia i algorytm FastICA
* porównanie z CSP: kiedy ICA, kiedy CSP
* ograniczenia: liczba próbek a liczba kanałów (<math>kN^2</math>), niejednoznaczność kolejności i skali komponentów

;Zakres ćwiczenia (~80 min):
* wczytanie danych do EEGLAB, edycja lokalizacji elektrod
* filtrowanie górnoprzepustowe (FIR, 0,5 Hz), zmiana referencji
* obliczenie ICA na całym sygnale
* identyfikacja komponentów zawierających rytm alfa: topografia, widmo, przebieg czasowy
* usunięcie komponentów niezawierających alfy, odtworzenie sygnału na elektrodach
* porównanie wyników między co najmniej trzema uruchomieniami ICA: czy komponenty są powtarzalne?

==Teoria==

===Definicja ===
Independent Component Analysis (ICA) jest metodą statystycznej analizy sygnałów, która dokonuje dekompozycji wielokanałowych zapisów na składowe niezależne w sensie statystycznym.
Dwie składowe ''s''1 i ''s''2 są niezależne jeżeli wiedza o wartości ''s''1 nie daje żadnych informacji o możliwych wartościach ''s''2. ICA może być wyrażona przez prosty model generatywny:
: '''x''' = '''Ds'''
: gdzie '''x''' = {''x''1, ''x''2, ..., ''x''''n''} jest zmierzonym ''n'' kanałowym sygnałem, '''D''' jest macierzą mieszającą zaś '''s''' = {''s''1, ''s''2, ..., ''s''''n''} jest aktywnością ''n'' źródeł. Podstawowym założeniem dotyczącym '''s''' jest to, że ''s''''i'' są statystycznie niezależne. Aby wyestymować model musimy też założyć, że składowe mają niegaussowskie rozkłady wartości (Hyvärinen, 2000).

Dodatkowo model ten zakłada następujące fakty:
# Sygnał jest liniową mieszaniną aktywności źródeł
# Sygnały pochodzące z każdego ze źródeł są niezależne od pozostałych
# Źródła oraz proces ich mieszania są stacjonarne, tzn, ich momenty statystyczne nie zależą od czasu
# Energie (wariancje) źródeł nie mogą być wyznaczone jednoznacznie. Dzieje się tak ponieważ pomnożenie amplitudy ''i''-tego źródła może być uzyskane poprzez przemnożenie albo ''s''''i'' albo przez przemnożenie ''i''-tej kolumny macierzy '''D'''. Naturalnym rozwiązaniem tej niejednoznaczności jest wprowadzenie konwencji, że komponenty są normowane tak aby miały wariancję 1: E[(''s''''i'')''2''] = 1.
# Kolejność komponentów jest dowolna. Bo jeśli w ten sam sposób zmienimy kolejność komponentów w '''s''' i kolumn w '''D''' to dostaniemy dokładnie ten sam sygnał '''x'''.

Głównym wyzwaniem w analizie ICA jest estymacja macierzy mieszającej '''D'''. Gdy jest ona znana to komponenty mogą być wyliczone w następujący sposób:
: '''s''' = '''D'''−1'''x'''

=== Estymacja ===
Znalezienie niezależnych komponentów może być rozważane w świetle Centralnego Twierdzenia Granicznego jako poszukiwanie komponentów o możliwie nie gaussowskim rozkładzie.
Aby zrozumieć to podejście prześledźmy heurystykę zaproponowaną przez (Hyvärinen, 2000).
Dla prostoty załóżmy, że poszukiwane źródła niezależne mają identyczne rozkłady.
Zdefiniujmy

''y'' = '''w'''T'''x'''.

Zauważmy, że jeśli

'''w'''

jest jedną z kolumn macierzy

'''D'''−1,

to ''y'' jest jednym z poszukiwanych komponentów.
Zamieniając zmienne

'''z''' = '''D'''T'''w'''

możemy napisać

''y'' = '''w'''T'''x''' = '''w'''T'''Ds''' = '''z'''T'''s'''.

Uwidacznia to fakt, że ''y'' jest liniową kombinacją składowych s''i'' z wagami danymi przez z''i''.

Z centralnego twierdzenia granicznego wynika, że suma niezależnych zmiennych losowych ma bardziej gaussowski charakter niż każda z tych zmiennych osobno.
Liniowa kombinacja staje się najmniej gaussowska gdy '''z''' ma tylko jeden element niezerowy. W tym przypadku ''y'' jest proporcjonalny do s''i''.
Zatem problem estymacji modelu ICA może być sformułowany jako problem znalezienia takiego wektora '''w''', który maksymalizuje niegaussowskość

''y'' = '''w'''T'''x'''.

Maksymalizacja niegaussowskości ''y'' daje jeden niezależny komponent odpowiadający jednemu z 2''n'' maksimów (bo mamy s''i'' i −s''i'') w krajobrazie optymalizacyjnym. Aby znaleźć wszystkie niezależne komponenty musimy znaleźć wszystkie maksima. Ponieważ komponenty są nieskorelowane, to poszukiwania kolejnych komponentów można kontynuować w podprzestrzeni ortogonalnej do już znalezionych komponentów.

===Obliczenia===
Intuicyjna heurystyka poszukiwania najbardziej niegaussowskich składowych może być użyta do wyprowadzenia różnych funkcji kosztu, których optymalizacja daje model ICA, np. kurtoza.

<math>kurt(y) = E\{y^4\} - 3(E{y^2})^2</math>

Inną miarą gassowskości jest neg-entropia, którą można wyprowadzić z entropii:
Entropia jest miarą średniego zdziwienia wynikiem obserwacji zmiennej losowej:
<math>H(Y) = - \sum_i P(Y= a_i) \log(P(Y=a_i)) </math>

Negentropia jest zdefiniowana:

<math> J(y) = H(y_{gauss}) -H(y)</math>
gdzie <math> y_{gauss} </math> jest gassuwską zmienną losową o takiej samej kowaiancji jak <math> y </math>.

Negentropia jest skomplikowana obliczeniow, więc w praktyce używana jest formuła przybliżona:

<math> J(y) \varpropto [E\{G (y)\} - E\{G(\nu)\}]^2</math>

<math>\nu </math> jest zmienną losową ze standardowego rozkładu normalnego , a G są pewnymi niekwadratowymi funkcjami.

W algorytmie FastICA extremum negentropii jest znajdowane w procedurze bazującej na optymalizacji Newtona.
(szczegóły np.: sekcja 6 w https://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/NN00new.pdf)

Procedura wykorzystywana w eeglabie (&bdquo;runica”, Makeig 1996) dąży do minimalizacji informacji wzajemnej. Oba podejścia są w przybliżeniu równoważne (Hyvärinen, 2000), chociaż owo przybliżenie dla sygnałów elektrofizjologicznych nie zostało to jeszcze w pełni wyeksplorowane.
Dla sygnałów o niskiej wymiarowości i spełniających dokładnie założenia ICA wszystkie powszechnie wykorzystywane algorytmy dają niemal identyczne wyniki.

;Bardzo ważna uwaga: ogólną zasadą jest, że jeśli estymujemy ''N'' stabilnych komponentów (z ''N''-kanałowych danych) to musimy dysponować ''kN''2 punktami danych w każdym kanale, gdzie ''N''2 jest liczbą elementów w macierzy '''D''', którą ICA próbuje wyestymować, ''k'' jest liczbą całkowitą. Nie ma dobrych oszacowań teoretycznych na wielkość ''k'', z praktycznych obserwacji wynika, że rośnie ona z liczbą kanałów.

=== Możliwe zastosowania ===
Najczęściej ICA jest stosowana jako narzędzie do:
* usuwania artefaktów z sygnałów EEG (ruchy oczu i mięśnie)
* wydobywania składowych do dalszej analizy (Onton, 2006)
* jako analiza wstępna do lokalizacji źródeł (Grau, 2007).
* ICA jest także stosowana w analize sygnałów EKG i EMG.

===Bibliografia===
Bazowa praca:
* A. Hyvärinen. Fast and Robust Fixed-Point Algorithms for Independent Component Analysis. IEEE Transactions on Neural Networks 10(3):626-634, 1999 http://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/TNN99_reprint.pdf

Nieco prościej opisana wersja z przykładami:
* Hyvärinen, A. and Oja, E. (2000). Independent component analysis: Algorithms and applications. Neural Networks, 13(4-5):411–430.
https://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/NN00new.pdf

* Grau, C., Fuentemilla, L., Marco-Pallars, J. (2007). Functional neural dynamics underlying auditory event-related n1 and n1 suppression response. Neuroimage, 36(6):522–31.
* Makeig, S., Bell, A., Jung, T.-P., Sejnowski,T. (1996). Independent component analysis of electroencephalographic data. W: Touretzky, D., Mozer, M., and Hasselmo, M., editors, Advances in Neural Information Processing Systems, volume 8, pages 145–151. MIT Press, Cambridge, MA.
* Onton, J., Makeig, S. (2006). Information-based modeling of event-related brain dynamics. Prog Brain Res., 159:99–120.
* Tutorial: http://sccn.ucsd.edu/wiki/Chapter_09:_Decomposing_Data_Using_ICA
* http://sccn.ucsd.edu/~arno/indexica.html
* http://cis.legacy.ics.tkk.fi/aapo/papers/IJCNN99_tutorialweb/

== ZADANIE: Wydobywanie interesujących komponentów ==

Dane do tej części ćwiczeń proszę pobrać i rozpakować w swoim katalogu:
http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Dane_do_ICA_alfa.tar.gz

Pochodzą one z eksperymentu, w którym osoba badana siedziała z zamkniętymi oczami słuchając nagrania czytanego spokojnym głosem. Metadane opisujące sygnał znajdują się w pliku Miro.xml, zaś lokalizacje elektrod w pliku Miro-10-20-Cap.locs.

Proszę:
* wczytać dane do eeglaba
* wyedytować lokalizację elektrod
* usunąć kanały nie zawierające EEG
* zmienić referencje na średnią z kanałów A1 i A2
* przefiltrować filtrem FIR górnoprzepustowym z częstością odcięcia 0,5 Hz
* obejrzeć wstępnie przygotowane dane
* policzyć ICA na całym sygnale
* obejrzeć właściwości otrzymanych komponentów
** Czy są wśród nich takie, które zawierają znaczny udział rytmu alfa?
** Jaka jest ich topografia?
* usunąć wszystkie komponenty nie zawierające alfy
* odtworzyć z tych komponentów sygnał na elektrodach
* wykonać dekompozycję ICA kilkukrotnie (co najmniej 3) i porównać wyniki
** Czy uzyskiwane komponenty są powtarzalne?
** Swoje wyniki porównać też z sąsiednimi grupami.

==ZADANIE: Identyfikacja artefaktów ==
Proszę pobrać dane:

*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal-10-20-Cap.locs
*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal1.set
*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal1.fdt

Pochodzą one z eksperymentu w którym osoba badana czytała słowa o różnych właściwościach wzbudzania emocji.

* wczytaj je do eeglaba
* wczytaj lokalizację kanałów z pliku Arousal-10-20-Cap.locs
* obejrzyj przebiegi czasowe
* odrzuć kanał z diodą (21) i z GSR (20)
* zrób dekompozycję ICA
* obejrzyj topografię komponentów
* zidentyfikuj komponenty odpowiadające mruganiu i aktywności mięśniowej.
;UWAGA: Aktualnie do wykrywania komponentów artefaktowych warto posłużyć się wtyczkami do eeglaba dostępnymi przez stronę:

https://sccn.ucsd.edu/eeglab/plugin_uploader/plugin_list_all.php

* ICLabel:
** https://labeling.ucsd.edu/tutorial/overview
** https://github.com/sccn/ICLabel

* MARA:
** https://github.com/irenne/MARA/raw/master/MARAtutorial.pdf
** https://irenne.github.io/artifacts/

=Sesja 6: Problem odwrotny w EEG i MEG=

;Czas: ~60 min wykład + ~90 min ćwiczenie

Sesja wprowadza problem odwrotny jako alternatywne — i komplementarne —
podejście do analizy przestrzennej sygnałów EEG i MEG. O ile BSS/CSP
i ICA szukają filtrów przestrzennych w przestrzeni elektrod,
nie zakładając nic o geometrii mózgu,
to metody problemu odwrotnego wyraźnie osadzają źródła
w przestrzeni trójwymiarowej, korzystając z fizyki i modelu głowy.

Materiały z naszych zasobów:
* [[Elektroencefalografia|Sekcje 3 i 8 z Podręcznika o EEG ]]
* [https://drive.google.com/file/d/1EOJxN1y7X3YlIFHoIIyoZzCiXdrQSHcA Wykład Piotra Durki z Analizy sygnałów o problemie odwrotnym w EEG iMEG]

Z zasobów zewnętrznych polecam:
* [https://download.fieldtriptoolbox.org/workshop/toolkit2025/slides/04_forward_inverse.pdf#page=1.00 Slajdy "Forward and inverse - lecture by Robert Oostenveld" fragment warsztatów: "Advanced MEG/EEG toolkit at the Donders"]

==Kontrast z BSS: dwa języki opisu tego samego zjawiska==

Zarówno BSS/ICA, jak i metody problemu odwrotnego wychodzą
od tego samego modelu generatywnego:
:<math>\mathbf{x}(t) = \mathbf{A}\,\mathbf{s}(t) + \boldsymbol{\varepsilon}(t)</math>
gdzie <math>\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^{N_e}</math> to potencjały na elektrodach,
<math>\mathbf{s}(t) \in \mathbb{R}^{N_s}</math> to aktywność źródeł,
a <math>\mathbf{A}</math> to macierz mieszająca (ang. ''lead field'' lub ''forward matrix'').

Różnica leży w tym, co robimy z macierzą <math>\mathbf{A}</math>:

{| class="wikitable"
|-
! !! BSS / ICA !! Problem odwrotny
|-
| '''Macierz A''' || nieznana; estymowana z danych || obliczona z modelu głowy (''forward model'')
|-
| '''Liczba źródeł''' || równa liczbie elektrod || od 1 dipola do ~10 000 wokseli
|-
| '''Geometria''' || brak założeń przestrzennych || źródła zlokalizowane w przestrzeni 3D
|-
| '''Regularyzacja''' || przez kryterium stat. (niezależność, wariancja) || przez regularyzację matematyczną (L2, L1, …)
|-
| '''Wynik''' || filtry przestrzenne + komponenty || mapa aktywności w przestrzeni mózgu
|}

Kluczowa trudność problemu odwrotnego wynika z jego
fundamentalnej niejednoznaczności:

układ równań:

<math>\mathbf{x} = \mathbf{A}\mathbf{s}</math>

jest niedookreślony — przy <math>N_e \approx 19\text{–}256</math> elektrodach
i <math>N_s \sim 10^4</math> możliwych lokalizacjach źródeł
istnieje nieskończenie wiele rozkładów <math>\mathbf{s}</math>
dokładnie odtwarzających zmierzony <math>\mathbf{x}</math>.
Każda metoda nakłada inne założenie ''a priori'', by wybrać jedno rozwiązanie.

==Model do przodu (forward model)==

Zanim można rozwiązać problem odwrotny, należy zbudować
''model do przodu'' — obliczenie potencjałów na elektrodach
wywołanych przez jednostkowe źródło prądowe w danym miejscu mózgu.
Wynik zapisuje się jako macierz ''pola wiodącego'' (''lead field''):
:<math>\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{N_e \times 3N_s}</math>
gdzie czynnik 3 wynika z trzech ortogonalnych składowych momentu dipolowego.

=== Skąd bierze się macierz ''lead field''? ===

Przejdźmy od równań Maxwella do tego, co dosłownie liczą funkcje `ft_prepare_headmodel` / `ft_prepare_leadfield`.

==== 1. Punkt wyjścia: przybliżenie kwazistatyczne ====

=====Pełne równania Maxwella w ośrodku materialnym=====

$$
\begin{aligned}
\nabla \cdot \mathbf{D} &= \rho && \text{(prawo Gaussa)} \\
\nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 && \text{(brak monopoli magnetycznych)} \\
\nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} && \text{(prawo Faradaya)} \\
\nabla \times \mathbf{H} &= \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} && \text{(prawo Ampère'a–Maxwella)}
\end{aligned}
$$

uzupełnione związkami konstytutywnymi dla tkanki traktowanej jako liniowy, lokalnie izotropowy ośrodek:

$$
\mathbf{D} = \varepsilon\,\mathbf{E},\qquad \mathbf{B} = \mu_0\,\mathbf{H},\qquad \mathbf{J} = \sigma\,\mathbf{E} + \mathbf{J}^p
$$

Ostatnia relacja to uogólnione prawo Ohma: prąd swobodny ma część omową (<math>\sigma\mathbf{E}</math>, prądy bierne w przewodniku objętościowym) i część „pierwotną" <math>\mathbf{J}^p</math> pochodzącą od źródeł neuronowych — bo to one *nie* są napędzane lokalnym polem <math>\mathbf{E}</math>, tylko gradientami stężeń jonów.

===== Przybliżenie kwazistatyczne =====

Wprowadzamy harmoniczną zależność czasową <math>e^{i\omega t}</math> i porównujemy człony w równaniach Maxwella. Trzy warunki muszą być spełnione jednocześnie:

**(a) Pomijalny prąd przesunięcia w równaniu Ampère'a. ** Stosunek członu pojemnościowego do omowego to <math>\omega\varepsilon/\sigma</math>. Dla tkanki przy <math>f=100</math> Hz, <math>\sigma\approx 0{,}3</math> S/m, <math>\varepsilon_r\approx 10^5</math> (efektywna wartość niska-częstotliwościowa dla istoty szarej; spada szybko z <math>f</math>):
$$\frac{\omega\varepsilon}{\sigma} = \frac{2\pi\cdot 100\cdot 10^5\cdot 8{,}85\cdot 10^{-12}}{0{,}3}\sim 10^{-3}$$

— bezpiecznie pomijalny w EEG. To pozwala napisać <math>\nabla\times\mathbf{H}\approx\mathbf{J}</math>, a po wzięciu dywergencji:
$$\nabla\cdot\mathbf{J} = 0$$

**(b) Pomijalna indukcja w równaniu Faradaya.** Mówimy, że <math>\partial\mathbf{B}/\partial t</math> jest na tyle małe, że <math>\nabla\times\mathbf{E}\approx 0</math>, więc istnieje potencjał skalarny <math>V</math> z <math>\mathbf{E}=-\nabla V</math>. Można to oszacować z indukcyjności geometrii głowy i wykazać, że pomijany wkład jest o kilka rzędów mniejszy od <math>-\nabla V</math>.

**(c) Brak efektów propagacyjnych.** Długość fali EM przy 100 Hz w próżni to <math>\lambda = c/f\approx 3000</math> km, czyli <math>\lambda \gg L_\text{głowy}</math>. To gwarantuje, że pole „widzi" całą głowę jednocześnie — stąd zerowe przesunięcie fazowe propagacji potencjału przez przewodnik objętościowy.

Co zostaje po przybliżeniu:

$$
\begin{aligned}
\nabla \times \mathbf{E} &= 0 \;\Rightarrow\; \mathbf{E} = -\nabla V \\
\nabla \cdot \mathbf{J} &= 0 \\
\mathbf{J} &= -\sigma\nabla V + \mathbf{J}^p
\end{aligned}
$$

Składając trzy powyższe:

$$
\nabla\cdot\bigl(\sigma(\mathbf{r})\nabla V(\mathbf{r})\bigr) = \nabla\cdot\mathbf{J}^p(\mathbf{r})
$$

Warto przy tym podkreślić, że prawo Gaussa i <math>\nabla\cdot\mathbf{B}=0</math> nie znikają — one są nadal spełnione, ale po prostu nie są nam potrzebne do wyliczenia <math>V</math> na skórze: ładunki swobodne i indukowane policzy się *a posteriori* z <math>\rho = \nabla\cdot(\varepsilon\nabla V)\cdot(-1)</math>, a pole magnetyczne (interesujące dla MEG!) z prawa Biota–Savarta zastosowanego do <math>\mathbf{J}</math>.

Warto tu zauważyć, że kwazistatyka EEG i kwazistatyka MEG to **to samo** przybliżenie — różni je tylko, co wybieramy jako wielkość mierzoną (<math>V</math> na skórze vs. <math>\mathbf{B}</math> na zewnątrz głowy). To samo równanie Poissona generuje oba sygnały, a różnice w czułości na orientację dipola (radialny vs. tangencjalny) wynikają stąd, że potencjał i pole magnetyczne są różnymi funkcjonałami tego samego rozwiązania.

==== 2. Rozszczepienie prądu — gdzie pojawia się „źródło" ====

Gęstość prądu w tkance dzielimy na część „pierwotną" (neuronową) i „objętościową" (omową):

$$\mathbf{J}(\mathbf{r}) = \mathbf{J}^p(\mathbf{r}) - \sigma(\mathbf{r})\,\nabla V(\mathbf{r})$$

<math>\mathbf{J}^p</math> reprezentuje *prądy postsynaptyczne w piramidowych neuronach kory* — to one są naszym „źródłem". Reszta to prądy bierne płynące w przewodniku objętościowym o nieizotropowej, niejednorodnej przewodności <math>\sigma</math>.

Podstawiając do warunku <math>\nabla \cdot \mathbf{J}_\text{tot} = 0</math> dostajemy równanie Poissona dla niejednorodnego przewodnika:

$$\boxed{\;\nabla \cdot \bigl(\sigma(\mathbf{r})\,\nabla V(\mathbf{r})\bigr) = \nabla \cdot \mathbf{J}^p(\mathbf{r})\;}$$

To jest równanie problemu wprost. Cała reszta to:
(a) model źródła,
(b) warunki brzegowe,
(c) sposób rozwiązania.

==== 3. Model źródła: dipol prądowy ====

Dla pojedynczego dipola w <math>\mathbf{r}_0</math> o momencie <math>\mathbf{q}</math>:

$$\mathbf{J}^p(\mathbf{r}) = \mathbf{q}\,\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$$

$$\nabla \cdot \mathbf{J}^p(\mathbf{r}) = \mathbf{q}\cdot\nabla\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$$

Liniowość PDE daje natychmiast kluczową własność: <math>V</math> jest **liniową** funkcją <math>\mathbf{q}</math>. To właśnie ta liniowość pozwala zapisać:

$$\mathbf{v} = \mathbf{L}\,\mathbf{j}$$

gdzie <math>\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{N_\text{el}}</math> to potencjały, <math>\mathbf{j} \in \mathbb{R}^{3N_\text{src}}</math> to momenty dipoli, a <math>\mathbf{L}</math> to *lead field matrix*. Każda kolumna <math>\mathbf{L}</math> to potencjał wywołany jednostkowym dipolem w danym miejscu i o danej orientacji.

==== 4. Warunki brzegowe ====

Na granicy skóra/powietrze prąd nie wypływa:

$$\sigma\,\nabla V \cdot \hat{\mathbf{n}} = 0 \quad \text{na zewnętrznej powierzchni}$$

Wewnątrz, na granicach tkanek o różnym <math>\sigma</math> (mózg–CSF–czaszka–skóra):

$$V \text{ ciągłe},\quad \sigma\nabla V \cdot \hat{\mathbf{n}} \text{ ciągłe}$$

To są te warunki, które „włączają" geometrię i przewodności do problemu — i to one decydują, że czaszka (niskie <math>\sigma</math>, około 1/15–1/80 tkanki miękkiej, do dziś dyskutowane) rozmywa pole tak agresywnie.

==== 5. Metody rozwiązania — co siedzi w `ft_prepare_headmodel` ====

`ft_prepare_headmodel` to fabryka różnych operatorów rozwiązujących tę samą PDE. Wybór `cfg.method` decyduje o paradygmacie matematycznym:

**(a) Rozwiązania analityczne — modele sferyczne** (`'singlesphere'`, `'concentricspheres'`)

Dla geometrii sferycznej z osiową symetrią rozwija się $V$ w szereg wielomianów Legendre'a. Dla 3-warstwowego modelu koncentrycznego dostajemy zamknięty wzór z nieskończonym szeregiem, który w praktyce tnie się po ~40 wyrazach. Berg & Scherg (1994) dali znakomite przybliżenie 3 dipolami w sferze jednorodnej — błyskawicznie szybkie, do dziś używane w MEG. Plus: bardzo szybkie, brak siatkowania. Minus: kula to nie głowa, zwłaszcza w okolicach skroniowych i podstawy.

**(b) BEM — Boundary Element Method** (`'bemcp'`, `'dipoli'`, `'openmeeg'`)

Wykorzystuje się fakt, że w obszarze o stałym $\sigma$ $V$ spełnia równanie Laplace'a, a cały „nietrywialny" wkład można wyrazić jako całkę po powierzchniach granicznych. Z drugiej tożsamości Greena dostajemy całkowe równanie typu Fredholma 2-go rodzaju:

$$V(\mathbf{r}) = V_\infty(\mathbf{r}) + \frac{1}{4\pi}\sum_k \frac{\sigma_k^- - \sigma_k^+}{\bar{\sigma}}\oint_{S_k} V(\mathbf{r}')\,\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\cdot\hat{\mathbf{n}}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,dS'$$

gdzie $V_\infty$ to potencjał dipola w przestrzeni nieograniczonej. Triangulujemy powierzchnie (skóra, czaszka, mózg — czasem CSF) i to równanie zamienia się w układ liniowy. Szybciej niż FEM, ale wymaga założenia odcinkowo stałej przewodności i zakłada izotropię.

**(c) FEM — Finite Element Method** (`'simbio'`, `'duneuro'`)

Cała objętość głowy dyskretyzowana czworościanami/sześciościanami z indywidualnym tensorem $\sigma$ w każdym elemencie (z DTI można wstrzyknąć anizotropię istoty białej!). Sformułowanie wariacyjne daje rzadki układ:

$$\mathbf{K}\mathbf{u} = \mathbf{b}$$

gdzie $\mathbf{K}$ to macierz sztywności zależna od $\sigma(\mathbf{r})$, a $\mathbf{b}$ niesie informację o źródle. To „złoty standard" pod kątem dokładności, ale kosztowny — dlatego praktycznie zawsze łączony z trikiem z punktu 6.

**(d) FDM** — rzadziej, dziś głównie historycznie.

==== 6. Twierdzenie o wzajemności — dlaczego macierz $\mathbf{L}$ da się liczyć rozsądnie ====

Naiwne podejście: dla każdego z $\sim 10^4$ źródeł i każdej z 3 orientacji odpalić rozwiązywacz PDE. To $3\times 10^4$ rozwiązań. Beznadzieja.

Helmholtzowska zasada wzajemności mówi: potencjał w elektrodzie A wywołany dipolem w punkcie $\mathbf{r}_0$ jest równoważny pewnej wielkości policzonej z **pola elektrycznego** wytworzonego w $\mathbf{r}_0$ przez **jednostkowy prąd wstrzyknięty** między elektrodą A a referencją. Formalnie:

$$V_A(\mathbf{r}_0;\mathbf{q}) = \mathbf{E}^{(A)}(\mathbf{r}_0)\cdot\mathbf{q}$$

gdzie $\mathbf{E}^{(A)}$ to pole „wstrzykniętego" prądu jednostkowego. Konsekwencja: zamiast $3N_\text{src}$ rozwiązań PDE wystarczy $N_\text{el}-1$ rozwiązań (po jednym na elektrodę). Praktycznie wszystkie pakiety BEM/FEM (w tym OpenMEEG, SimBio, DUNEuro) to wykorzystują — i dlatego FEM jest w ogóle wykonalny dla całych siatek źródłowych.

==== 7. Co więc dosłownie robi `ft_prepare_headmodel` ====

Tworzy obiekt `headmodel`, który zawiera:
- geometrię (kule albo siatki powierzchniowe, albo objętościową siatkę FEM),
- przewodności poszczególnych warstw,
- a w przypadku BEM/FEM — **wstępnie policzony operator dyskretny** (np. odwróconą macierz BEM albo czynnik macierzy sztywności FEM z trikiem transferowym wykorzystującym wzajemność).

To jest najdroższa część obliczeń — i robi się ją *raz* dla danej geometrii. Potem `ft_prepare_leadfield`, dla każdej pozycji źródła w `cfg.sourcemodel`, używa tego operatora, żeby wygenerować trzy kolumny $\mathbf{L}$ (dla orientacji x, y, z). Wynik to `leadfield{i}` o wymiarze $N_\text{el}\times 3$ — czyli dosłownie blok macierzy lead field dla danego wokselu.

---

Podsumowanie:

1. Maxwell → kwazistatyka → „elektrostatyka z prądami"
2. Podział prądu i równanie Poissona (jedyne równanie, którego naprawdę trzeba)
3. Dipol jako model i wynikająca **liniowość** → uzasadnienie wzoru $\mathbf{v}=\mathbf{L}\mathbf{j}$
4. Warunki brzegowe → tu wchodzi anatomia
5. Sfery (analityczne, intuicja) → BEM → FEM jako kolejne stopnie realizmu
6. Wzajemność jako trik obliczeniowy, bez którego niczego by się nie dało policzyć w sensownym czasie

Klasyczne źródła:
- Hallez et al. 2007 *J Neuroeng Rehabil* (review obliczeń forward, bardzo czytelny),
- Mosher et al. 1999 dla zwartego wyprowadzenia,
- oraz dokumentacja OpenMEEG (Gramfort et al. 2010) — tam ścieżka BEM jest wyprowadzona z drugiej tożsamości Greena.
---

=== Programy obliczające model do przodu:===
MNE-Python (<code>mne.make_bem_model</code>), FieldTrip (<code>ft_prepare_headmodel</code>), OpenMEEG.

==Fitowanie dipoli (Dipole Fitting)==

===Idea===
Najprostsze założenie: aktywacja EEG pochodzi z jednego
(lub kilku) ekwiwalentnych dipoli prądowych.
Każdy dipol opisany jest sześcioma parametrami:
trzema współrzędnymi położenia <math>(x,y,z)</math>
i trzema składowymi momentu dipolowego <math>(q_x, q_y, q_z)</math>.

===Formalizm===
Dla pojedynczego dipola o momencie <math>\mathbf{q}(t)</math>
w lokalizacji <math>\mathbf{r}_0</math>:
:<math>\mathbf{x}(t) = \mathbf{a}(\mathbf{r}_0)\,\mathbf{q}(t) + \boldsymbol{\varepsilon}(t)</math>
gdzie <math>\mathbf{a}(\mathbf{r}_0) \in \mathbb{R}^{N_e \times 3}</math>
to kolumna macierzy pola wiodącego odpowiadająca lokalizacji <math>\mathbf{r}_0</math>.

Estymacja polega na minimalizacji reszty:
:<math>\hat{\mathbf{r}}_0 = \arg\min_{\mathbf{r}} \left\|\mathbf{x}(t) - \mathbf{a}(\mathbf{r})\,\hat{\mathbf{q}}(t)\right\|^2</math>
Minimalizację prowadzi się zwykle algorytmem Neldera–Meada
lub Levenberga–Marquardta po przestrzeni lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* gdy źródło jest punktowe lub quasi-punktowe (np. wczesne składowe słuchowych potencjałów wywołanych N20, P25)
* gdy liczba aktywnych źródeł jest z góry znana i mała (1–3 dipole)

;Ograniczenia:
* wrażliwość na punkt startowy — algorytm może utknąć w minimum lokalnym
* złe dopasowanie gdy aktywacja pochodzi z rozległego obszaru kory
* wynik silnie zależy od dokładności modelu do przodu

==Minimum Norm Estimation (MNE)==

===Idea===
Zamiast zakładać małą liczbę dipoli,
rozkładamy aktywność na gęstą siatkę źródeł pokrywającą całą powierzchnię kory
i szukamy rozwiązania o minimalnej normie —
tj. takiego, które odtwarza dane, angażując jak najmniejszą całkowitą energię źródeł.

===Formalizm===
Problem optymalizacji z regularyzacją Tichonowa:
:<math>\hat{\mathbf{s}} = \arg\min_{\mathbf{s}} \left\|\mathbf{x} - \mathbf{A}\mathbf{s}\right\|^2 + \lambda\left\|\mathbf{s}\right\|^2</math>
gdzie <math>\lambda > 0</math> to parametr regularyzacji kontrolujący kompromis
między wiernością danym a gładkością rozwiązania.

Rozwiązanie analityczne:
:<math>\hat{\mathbf{s}} = \mathbf{A}^T\left(\mathbf{A}\mathbf{A}^T + \lambda\mathbf{I}\right)^{-1}\mathbf{x}</math>

Macierz <math>\mathbf{W}_{\mathrm{MNE}} = \mathbf{A}^T(\mathbf{A}\mathbf{A}^T + \lambda\mathbf{I})^{-1}</math>
jest liniowym filtrem przestrzennym — analogiem macierzy <math>\mathbf{W}</math> z CSP,
lecz skonstruowanym na podstawie modelu do przodu, nie z danych.

===Warianty===

;dSPM (''dynamic Statistical Parametric Mapping'', Dale 2000):
Normalizuje estymowaną aktywność przez odchylenie standardowe szumu:
:<math>F_{\mathrm{dSPM}}(\mathbf{r}, t) = \frac{\hat{s}(\mathbf{r},t)}{\sigma_{\mathrm{noise}}(\mathbf{r})}</math>
Wynik ma interpretację statystyczną (wartość F lub Z); popularne w neurobiologii poznawczej.

;sLORETA (''standardized LORETA'', Pascual-Marqui 2002):
Normalizuje przez odchylenie standardowe samego estymatora MNE (nie tylko szumu):
:<math>F_{\mathrm{sLORETA}}(\mathbf{r}, t) = \frac{\hat{s}(\mathbf{r},t)}{\sqrt{\left[\mathbf{W}_{\mathrm{MNE}}\mathbf{A}\right]_{(\mathbf{r},\mathbf{r})}}}</math>
Wykazuje zerowe systematyczne błędy lokalizacji w warunkach idealnych.

;Wybór <math>\lambda</math>:
Zwykle <math>\lambda = \alpha \cdot \mathrm{tr}(\mathbf{A}\mathbf{A}^T) / \mathrm{tr}(\mathbf{I})</math>
z <math>\alpha \in [0.05, 0.3]</math>; w MNE-Python domyślnie <math>\alpha = 0.1</math>.
Można też stosować kryterium L-krzywej lub walidację krzyżową.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* gdy aktywacja jest rozproszona lub nieznana a priori
* jako ogólne narzędzie wizualizacji ERP na powierzchni kory
* przy małej liczbie elektrod

;Ograniczenia:
* tendencja do rozmywania rozwiązania — źródła głębokie są systematycznie niedoszacowane
* brak zakładanej rzadkości (''sparsity''); wariant L1 (MCE) jest rzadszy, ale trudniejszy obliczeniowo
* wymaga dobrego modelu do przodu

==Beamformery==

===Idea===
Beamformer (dosł. „formowanie wiązki") to adaptacyjny filtr przestrzenny,
który dla każdej lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>
konstruuje wagi <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math> maksymalizujące
stosunek mocy sygnału z tej lokalizacji do mocy wszystkich pozostałych źródeł.
W odróżnieniu od MNE, beamformer korzysta z macierzy kowariancji danych —
jest więc metodą adaptacyjną, zbliżoną duchem do CSP.

===LCMV (''Linearly Constrained Minimum Variance'', Van Veen 1997)===

Szukamy filtra minimalizującego wariancję wyjścia
przy ograniczeniu zachowującym sygnał z lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>:
:<math>\mathbf{w}^*(\mathbf{r}) = \arg\min_{\mathbf{w}} \mathbf{w}^T\mathbf{C}\mathbf{w}
\quad \text{p.o.} \quad \mathbf{w}^T\mathbf{a}(\mathbf{r}) = 1</math>
gdzie <math>\mathbf{C} = E[\mathbf{x}\mathbf{x}^T]</math> to macierz kowariancji danych.

Rozwiązanie analityczne (mnożnik Lagrange'a):
:<math>\mathbf{w}(\mathbf{r}) = \frac{\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}{\mathbf{a}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}</math>

Moc w lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>:
:<math>P(\mathbf{r}) = \mathbf{w}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}\,\mathbf{w}(\mathbf{r})
= \frac{1}{\mathbf{a}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}</math>

===DICS (''Dynamic Imaging of Coherent Sources'', Gross 2001)===

Wariant beamformera dla analizy częstotliwościowej:
zamiast macierzy kowariancji czasowej stosuje
''cross-spectral density matrix'' <math>\mathbf{C}(f)</math>
obliczoną dla wybranego pasma częstości.
Pozwala mapować koherencję między lokalizacjami na powierzchni kory.

===Analogia z CSP===

Zauważmy analogię strukturalną:

{| class="wikitable"
|-
! !! CSP !! LCMV Beamformer
|-
| '''Macierz kowariancji''' || <math>\mathbf{R}_T, \mathbf{R}_{NT}</math> (dwa warunki) || <math>\mathbf{C}</math> (jeden warunek) + <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
|-
| '''Filtr''' || <math>\mathbf{w}</math>: maks. stosunek wariancji || <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math>: min. wariancja przy ograniczeniu
|-
| '''Przestrzeń''' || elektrod || przestrzeni mózgu (woksel po wokselu)
|-
| '''Model do przodu''' || nie || tak — przez <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
|}

Kluczowa różnica: CSP optymalizuje globalnie jednym zagadnieniem własnym,
beamformer rozwiązuje osobny problem dla każdej lokalizacji.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* analiza ERD/ERS (rytmy ruchowe, alfa, beta) w przestrzeni mózgu
* lokalizacja źródeł oscylacyjnych w MEG
* DICS do badania koherencji korowo-korowej

;Ograniczenia:
* silnie skorelowane źródła są tłumione (''source cancellation'') — beamformer zakłada, że źródła są nieskorelowane
* wymaga dużej liczby próbek do stabilnej estymacji <math>\mathbf{C}^{-1}</math>
* przy małej liczbie elektrod macierz <math>\mathbf{C}</math> może być źle uwarunkowana

;Podsumowanie:
[[Plik:Inverse problem vs bss.png|mały|centruj]]

==Podsumowanie: kiedy stosować którą metodę==

{| class="wikitable"
|-
! Metoda !! Założenie a priori !! Dane wejściowe !! Typowe zastosowanie
|-
| '''Dipole fitting''' || 1–3 punktowe źródła || ERP, AEP, SEP || lokalizacja wczesnych składowych wywołanych
|-
| '''MNE / dSPM / sLORETA''' || minimalna energia; źródła ciągłe || ERP, dowolny sygnał || wizualizacja rozproszonej aktywności na korze
|-
| '''LCMV Beamformer''' || źródła nieskorelowane || ERD/ERS, dane resting-state || lokalizacja źródeł oscylacyjnych w MEG/EEG
|-
| '''DICS''' || j.w. + analiza spektralna || dane oscylacyjne || mapa koherencji korowo-korowej
|-
| '''CSP / ICA''' || brak modelu geometrycznego || dwa warunki / jeden segment || klasyfikacja BCI, usuwanie artefaktów
|}

;Uwaga praktyczna:
Wszystkie metody problemu odwrotnego wymagają przygotowania modelu do przodu.
Zaleca się korzystanie z MNE-Python lub FieldTrip — oba pakiety
oferują spójne pipeline'y od surowych danych do map korowych
i są szeroko stosowane w literaturze, co ułatwia replikację wyników.

=Sesja 7: Problem odwrotny — część praktyczna=

;Czas: ~30 min wprowadzenie + ~120 min ćwiczenie

Część praktyczna prowadzi przez pełny pipeline lokalizacji źródeł:
od wczytania danych w FieldTrip, przez zbudowanie modelu do przodu,
do fitowania dipola i interpretacji wyniku.
Sesja jest zaprojektowana tak, aby każdy krok bezpośrednio ilustrował
jeden element teorii omówionej w [[#Sesja 7: Problem odwrotny w EEG i MEG|części wykładowej]].

;Dane:
Używamy standardowego zestawu danych FieldTrip
(dane somatosensoryczne MEG/EEG, bodziec elektryczny na nadgarstku — składowa N20):
* https://download.fieldtriptoolbox.org/tutorial/Subject01.zip (~800 MB)

Ten sam zestaw danych jest używany we wszystkich tutorialach FieldTrip
wymienionych w tej sesji, co ułatwia porównywanie wyników między krokami.

;Instalacja FieldTrip: Wymagania wstępne:
FieldTrip wymaga MATLABa. Przed instalacją sprawdź kompatybilność swojej wersji:
[https://www.fieldtriptoolbox.org/faq/matlab/requirements MATLAB requirements]

;Pobranie toolboxa: Pobierz najnowszą wersję ze strony:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/download.php Pobierz FieldTrip]

Rozpakuj archiwum ZIP w wybranym katalogu, np. <code>~/matlab/fieldtrip</code> (Linux/macOS).

;Ważne: nie zmieniaj wewnętrznej struktury katalogów po rozpakowaniu —
FieldTrip dynamicznie zarządza swoimi podkatalogami.

;Konfiguracja ścieżki MATLAB: Pełna instrukcja: [https://www.fieldtriptoolbox.org/faq/matlab/installation Installation and setting up the path]

Uruchom poniższe polecenia na początku każdej sesji pracy z FieldTrip
(lub wstaw je do pliku <code>startup.m</code> — patrz niżej):

<source lang="matlab">
restoredefaultpath % wyczyść aktualną ścieżkę
addpath('~/fieldtrip') % podaj tu swoją ścieżkę do FieldTrip
ft_defaults % skonfiguruj FieldTrip i minimalne podkatalogi
</source>

;Uwaga — częsty błąd:
Nie używaj <code>addpath(genpath(...))</code> ani przycisku „Add with Subfolders" w MATLAB GUI.
FieldTrip samodzielnie dodaje potrzebne podkatalogi przez <code>ft_defaults</code>
i <code>ft_hastoolbox</code> — dodanie wszystkiego ręcznie powoduje konflikty
z funkcjami SPM, EEGLAB i wbudowanymi funkcjami MATLABa
(w szczególności z funkcjami z katalogu <code>fieldtrip/compat</code>
przeznaczonymi tylko dla starych wersji MATLABa).

;Trwała konfiguracja przez startup.m:

Żeby nie powtarzać powyższych poleceń przy każdym uruchomieniu MATLABa,
utwórz plik <code>startup.m</code> w swoim katalogu MATLABa
(zwykle <code>Dokumenty/MATLAB/startup.m</code>) z zawartością:

<source lang="matlab">
restoredefaultpath
addpath('C:\fieldtrip') % zmień na swoją ścieżkę
ft_defaults
</source>

MATLAB wykonuje ten plik automatycznie przy każdym uruchomieniu.

;Uwaga dla użytkowników EEGLAB: Jeśli korzystasz z EEGLAB i FieldTrip w tej samej sesji,
zawsze ładuj FieldTrip przez <code>restoredefaultpath</code> + <code>addpath</code> + <code>ft_defaults</code>,
a nie przez interfejs EEGLAB. Oba toolboxy zawierają funkcje o tych samych nazwach
(np. <code>eegplot</code>, <code>topoplot</code>) — kolejność na ścieżce decyduje,
która wersja zostanie wywołana.

;Weryfikacja instalacji: Sprawdź poprawność instalacji jednym poleceniem:

<source lang="matlab">
ft_defaults
ft_version
</source>

Powinieneś zobaczyć numer wersji i datę kompilacji, np.:
<pre>
FieldTrip version 20250901, path: C:\fieldtrip
</pre>

Jeśli MATLAB zgłasza błąd <code>Undefined function 'ft_defaults'</code>,
ścieżka nie została ustawiona poprawnie — wróć do kroku z <code>addpath</code>.

==Krok 0: Wejście do FieldTrip==

Przed właściwym ćwiczeniem proszę zapoznać się z tutorialem wprowadzającym:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/intro/introduction/ Introduction to the FieldTrip toolbox]

;Na co zwrócić uwagę przechodząc ten tutorial:

Studenci znający EEGLAB natkną się na dwie zasadnicze różnice w filozofii pracy:

* '''Struktura cfg''' zamiast GUI. Każda funkcja FieldTrip przyjmuje strukturę konfiguracyjną <code>cfg</code> i zwraca nową strukturę danych. Nie ma okien dialogowych — cała analiza jest skryptem. Jest to bliższe temu, co robiliśmy w MATLAB-owych sesjach CSP/ICA.

* '''Niezmienność danych'''. FieldTrip nie modyfikuje struktur w miejscu — każde wywołanie funkcji zwraca nową strukturę. Pozwala to łatwo porównywać wyniki różnych parametrów, ale wymaga dbałości o nazewnictwo zmiennych.

;Pytanie do dyskusji po lekturze:
Jak odpowiadają sobie nawzajem: <code>EEG.data</code> w EEGLAB i struktura <code>data</code> w FieldTrip?
Gdzie w strukturach FieldTrip przechowywane są informacje o lokalizacji elektrod?

==Krok 1: Model do przodu — BEM dla EEG==

Przed fitowaniem dipola musimy obliczyć macierz pola wiodącego <math>\mathbf{A}</math>.
Proszę przejść tutorial:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/headmodel_eeg_bem Construct a BEM headmodel for EEG source analysis]

;Cel tego kroku:
Zrozumieć skąd pochodzi kolumna <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
używana we wszystkich metodach Sesji 7.
Każda kolumna <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math> mówi: „jeśli w miejscu <math>\mathbf{r}</math>
znajdowałby się dipol o jednostkowym momencie,
to jakie potencjały zmierzylibyśmy na każdej z elektrod?"

;Kluczowe funkcje FieldTrip w tym kroku:
<source lang="matlab">
% Segmentacja MRI na trzy tkanki (skóra, czaszka, mózg)
cfg = [];
cfg.output = {'brain','skull','scalp'};
segmentedmri = ft_volumesegment(cfg, mri);

% Budowanie siatki trójkątów BEM
cfg = [];
cfg.tissue = {'brain','skull','scalp'};
cfg.numvertices = [3000 2000 1000];
bnd = ft_prepare_mesh(cfg, segmentedmri);

% Obliczenie modelu do przodu metodą BEM (OpenMEEG)
cfg = [];
cfg.method = 'openmeeg';
cfg.conductivity = [0.33 0.0041 0.33]; % mózg, czaszka, skóra [S/m]
headmodel = ft_prepare_headmodel(cfg, bnd);
</source>

;Na co zwrócić uwagę:
* Stosunek przewodności czaszka/mózg wynosi tu ~1/80.
Jak myślisz, jak bardzo błąd w tym parametrze wpłynie na lokalizację źródeł?
* Funkcja <code>ft_prepare_mesh</code> tworzy trzy zagnieżdżone siatki.
Jak ma się to do opisu BEM z wykładu?

==Krok 2: Fitowanie dipola (ćwiczenie główne)==

;Czas: ~90 min

To jest główne ćwiczenie praktyczne Sesji 7.
Proszę przejść tutorial:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/dipolefitting Dipole fitting of combined MEG/EEG data]

Poniżej znajdziesz szkielet kodu z pytaniami pomocniczymi
do samodzielnego wypełnienia — zacznij od tutorialu,
a potem wróć do szkieletu i uzupełnij brakujące fragmenty.

===Szkielet kodu — fitowanie dipola dla składowej N20===

<source lang="matlab">
%% KROK A: Wczytanie i preprocessing danych EEG
% Dane: Subject01.zip (patrz wyżej)
% Używamy tylko kanałów EEG, odrzucamy MEG.

cfg = [];
cfg.dataset = 'Subject01.ds';
cfg.trialdef.eventtype = 'backpanel trigger';
cfg.trialdef.eventvalue = 3; % bodziec na lewym nadgarstku
cfg.trialdef.prestim = 0.1;
cfg.trialdef.poststim = 0.3;
cfg = ft_definetrial(cfg);

cfg.channel = 'EEG';
cfg.continuous = 'yes';
cfg.demean = 'yes';
cfg.baselinewindow = [-0.1 0];
data = ft_preprocessing(cfg);

%% KROK B: Uśrednianie — potencjał wywołany
% TUTAJ: użyj ft_timelockanalysis aby obliczyć ERP (średnią po powtórzeniach)
% Wynik zapisz jako 'timelock'

% TUTAJ

%% KROK C: Wczytanie modelu do przodu i lokalizacji elektrod
% Zakładamy, że headmodel i elec zostały obliczone w Kroku 1.
% Jeśli nie — można użyć gotowego modelu z paczki danych Subject01.

load('standard_bem.mat'); % headmodel
load('Subject01_elec.mat'); % lokalizacje elektrod (po dopasowaniu do MRI)

%% KROK D: Przygotowanie siatki poszukiwań (grid)
% Definiujemy siatkę regularną 1 cm wewnątrz mózgu.
% ft_prepare_sourcemodel oblicza też macierz pola wiodącego A
% (tzw. leadfield) dla każdego punktu siatki.

cfg = [];
cfg.headmodel = headmodel;
cfg.elec = elec;
cfg.resolution = 1; % odstęp siatki w cm
cfg.unit = 'cm';
sourcemodel = ft_prepare_sourcemodel(cfg);

%% KROK E: Fitowanie dipola
% Szukamy jednego dipola najlepiej wyjaśniającego topografię N20.
% Okno czasowe 0.016–0.022 s odpowiada składowej N20.

cfg = [];
cfg.latency = [0.016 0.022]; % okno N20 w sekundach
cfg.numdipoles = 1;
cfg.headmodel = headmodel;
cfg.elec = elec;
cfg.sourcemodel = sourcemodel;
cfg.nonlinear = 'yes'; % optymalizacja nieliniowa po przestrzeni

% TUTAJ: source = ft_dipolefitting(cfg, timelock);

%% KROK F: Wizualizacja wyniku
% Nałożenie lokalizacji dipola na MRI anatomiczne.

load('standard_mri.mat'); % MRI w tym samym układzie współrzędnych

cfg = [];
cfg.location = source.dip.pos; % współrzędne znalezionego dipola [x y z]

% TUTAJ: ft_sourceplot(cfg, mri);

%% KROK G: Ocena dopasowania
% Goodness of fit (GoF) mówi jaka część wariancji danych
% jest wyjaśniona przez znaleziony dipol.
% Wartość > 0.85 uznaje się za dobre dopasowanie.

fprintf('Goodness of fit: %.1f%%\n', source.dip.rv * 100);
% Uwaga: w FieldTrip rv to residual variance (1 - GoF).
% Dobry dipol ma rv < 0.15.

disp('Lokalizacja dipola [x y z] w mm:')
disp(source.dip.pos)

disp('Moment dipolowy [qx qy qz]:')
disp(source.dip.mom)
</source>

===Zadania do samodzielnej realizacji===

;Zadanie 1 (obowiązkowe): Pipeline i lokalizacja
Uzupełnij brakujące fragmenty szkieletu (kroki B i E–F).
Gdzie na MRI ląduje znaleziony dipol? Czy odpowiada to oczekiwanej anatomii
składowej N20 (pierwotna kora somatosensoryczna S1, okolica bruzdy centralnej)?

;Zadanie 2 (obowiązkowe): Wpływ okna czasowego
Zmień <code>cfg.latency</code> kolejno na:
* <code>[0.016 0.022]</code> — okno N20
* <code>[0.025 0.035]</code> — okno P25
* <code>[0.045 0.060]</code> — okno N45
Czy lokalizacja dipola zmienia się między tymi składowymi?
Jak zmienia się GoF? Co to mówi o tym, która składowa jest lepiej opisana modelem jednego dipola?

;Zadanie 3 (obowiązkowe): Dwa dipole
Zmień <code>cfg.numdipoles = 2</code> i powtórz fitowanie dla okna N20.
Czy model dwóch dipoli daje istotnie lepszy GoF niż jeden?
Jak interpretujesz dwa znalezione źródła?

;Zadanie 4 (dla chętnych): Wrażliwość na model do przodu
FieldTrip pozwala użyć uproszczonego modelu sferycznego
zamiast BEM: ustaw <code>cfg.headmodel</code> na model jednorodnej sfery
(<code>cfg.method = 'singlesphere'</code> w <code>ft_prepare_headmodel</code>).
O ile zmienia się lokalizacja dipola N20?
Czy GoF wzrasta czy maleje?

;Pytania do dyskusji:
* Fitowanie dipola wymaga podania okna czasowego — dlaczego?
Co stałoby się gdybyśmy dopasowywali dipol do całej epoki (−100 do +300 ms)?
* Algorytm minimalizacji może utknąć w minimum lokalnym.
Jak <code>cfg.sourcemodel</code> (siatka) pomaga temu zaradzić?
Jaki jest kompromis między rozdzielczością siatki a czasem obliczeń?
* Porównaj mapę topograficzną ERP w oknie N20
z mapą rekonstruowaną z dopasowanego dipola (wywołaj <code>ft_dipolefitting</code>
z opcją <code>cfg.dipfit.display = 'yes'</code>).
Czy widzisz różnicę? Skąd ona pochodzi?

==Krok 3: Dalsze metody — dla zainteresowanych==

Poniższe tutoriale stanowią naturalne rozwinięcie ćwiczenia głównego
i ilustrują pozostałe metody omówione w teorii Sesji 7.
Nie są wymagane na zaliczenie, ale gorąco je polecamy
jeśli planujesz używać lokalizacji źródeł w pracy badawczej.

;Minimum Norm Estimation:
[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/minimumnormestimate Source reconstruction of event-related fields using minimum-norm estimation]

Ten sam sygnał N20 co w ćwiczeniu głównym, ale zamiast jednego dipola
otrzymujesz ciągłą mapę aktywności na całej powierzchni kory.
Zwróć uwagę jak wybór parametru regularyzacji <math>\lambda</math>
wpływa na rozmycie rozwiązania.
Porównaj lokalizację maksimum mapy MNE z lokalizacją dipola z Kroku 2.

;Beamformer (LCMV/DICS):
[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/beamformer Localizing oscillatory sources in MEG data using a beamformer]

Tutorial wykorzystuje ten sam zestaw danych Subject01
i lokalizuje źródła oscylacji gamma wywołanych bodźcem —
bezpośrednie rozwinięcie analizy ERD/ERS, którą już znasz.
Kluczowa różnica w stosunku do MNE: beamformer korzysta
z macierzy kowariancji danych <math>\mathbf{C}</math>,
a nie tylko z modelu do przodu. Sprawdź jak wyglądają
filtry przestrzenne <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math> dla różnych lokalizacji
i porównaj je koncepcyjnie z filtrami CSP z Sesji 1–3.











-->

Laboratorium EEG/CSP

2026-05-14T08:01:29Z

Jarekz: /* 2. Rozszczepienie prądu — gdzie pojawia się „źródło" */

[[Laboratorium_EEG]]/BSS

=Sesja 1: Ślepa separacja źródeł i CSP — wprowadzenie=

;Czas: ~60 min wykład + ~90 min ćwiczenie symulacyjne

Zajęcia wprowadzają do problemu filtracji przestrzennej sygnałów EEG.
Punktem wyjścia jest ogólny problem ślepej separacji źródeł (BSS),
z którego CSP wyłania się jako szczególny przypadek dla dwóch warunków
eksperymentalnych. Filtry przestrzenne omawiane na tych zajęciach stanowią
fundament klasycznych metod BCI (P300, SSVEP, motor imagery) oraz są
bezpośrednim odpowiednikiem warstw przestrzennych w sieciach neuronowych
takich jak ShallowConvNet i EEGNet — do tej analogii wrócimy w sesji 6.

[https://drive.google.com/file/d/1WrXgWWDJ7g5ZdYltm_8s2NXbGamw4R8N/view?usp=sharing Slajdy do wykładu (PDF)]

;Zakres wykładu:
* model generatywny EEG: <math>x(t) = As(t)</math>, macierz kowariancji, idea diagonalizacji
* BSS jako ogólny problem separacji źródeł
* CSP jako szczególny przypadek: dwa warunki eksperymentalne, iloraz Rayleigha, uogólnione zagadnienie własne
* interpretacja filtrów i topografii źródeł

;Ćwiczenie symulacyjne:
Zob. [[#Ćwiczenie symulacyjne|Ćwiczenie symulacyjne]] w sekcji CSP poniżej.

====Ćwiczenie symulacyjne ====
====Zadania do samodzielnej realizacji====

Poniższy kod dostarcza gotowej infrastruktury: generacji sygnałów, macierzy mieszającej i wizualizacji.
Zadaniem jest samodzielna implementacja kluczowych kroków analizy CSP.

;Zadanie 1 (obowiązkowe): Obliczenie macierzy kowariancji
Napisz funkcję <code>srednia_kowariancja(X, ind)</code>, która dla danej tablicy sygnałów <code>X</code>
(wymiary: powtórzenia × kanały × próbki) i wektora indeksów czasowych <code>ind</code>
zwraca średnią macierz kowariancji uśrednioną po powtórzeniach.
Dla każdego powtórzenia zastosuj funkcję <code>cov</code> i znormalizuj wynik przez jego ślad (<code>trace</code>).
Sprawdź wynik porównując z macierzami <code>R_B</code> i <code>R_E</code> obliczonymi w dostarczonym kodzie.

;Zadanie 2 (obowiązkowe): Implementacja CSP
Korzystając z funkcji <code>eig</code> oraz macierzy kowariancji obliczonych w zadaniu 1,
wyznacz macierz filtrów przestrzennych <code>W</code> i odpowiadające im wartości własne.
Odtwórz sygnały źródłowe dla wszystkich powtórzeń.
Narysuj chmury punktów (amplituda źródła 1 vs amplituda źródła 2) osobno dla warunków
baseline i ERP — przed transformacją CSP i po niej. Co zmieniło się w kształcie chmur?

Wykreśl także wizualizację przebiegów czasowych sygnałów X i sygnałów S uzyskanych po rozmieszaniu.

;Zadanie 3 (obowiązkowe): Interpretacja wartości własnych
Wartości własne znajdują się na przekątnej macierzy <code>Lambda</code>.
Który filtr najbardziej różnicuje warunki baseline i ERP?
Jaki jest związek między wartością własną a separacją widoczną na wykresach punktowych?

;Zadanie 4 (dla chętnych): Wpływ macierzy mieszającej
W dostarczonym kodzie macierz <code>P</code> (filtr przestrzenny) wynosi:
<pre>
P = [1 2; 1.5 1.3]
</pre>
Zmień ją kolejno na macierz bliską jednostkowej (np. <code>P = [1 0.1; 0.1 1]</code>)
oraz na macierz z dużymi elementami pozadiagonalnymi (np. <code>P = [1 5; 4 1]</code>).
Jak zmienia się kształt chmury punktów przed transformacją CSP?
Czy CSP poprawnie oddziela źródła w obu przypadkach?

;Zadanie 5 (dla chętnych): Wpływ szumu
W kodzie szum jest wyłączony: <code>n = 0*randn(size(tmp))</code>.
Usuń mnożnik <code>0*</code> i zbadaj jak poziom szumu wpływa na separację źródeł.
Przy jakim stosunku sygnału do szumu CSP przestaje skutecznie rozdzielać warunki?

;Pytanie do dyskusji:
Dostarczony kod używa <code>eig(R_E, R_B)</code>.
Alternatywą jest <code>eig(R_E, (R_E+R_B)/2)</code>.
Czym różnią się te dwie wersje? W jakich sytuacjach eksperymentalnych
druga wersja mogłaby być bardziej uzasadniona?

====Szkielet kodu do uzupełnienia====

Poniższy szkielet zawiera gotową infrastrukturę symulacji.
Uzupełnij brakujące fragmenty oznaczone komentarzem <code>% TUTAJ</code>
zgodnie z zadaniami 1–3. Pełny kod referencyjny dostępny jest poniżej
— zajrzyj do niego dopiero po samodzielnej próbie.

<source lang="matlab">
%% Parametry symulacji — nie modyfikuj tej sekcji
Fs = 100;
T = 1;
t = 0:1/Fs:T-1/Fs;
N_rep = 100;
N_chan = 2;
s = zeros(N_rep, N_chan, length(t));
X = zeros(N_rep, N_chan, length(t));

P = [1 2; 1.5 1.3]; % filtr przestrzenny (prawdziwy)
A = P^(-1); % topografia źródeł

for r = 1:N_rep
s1 = sin(2*pi*11*t + pi/2) + 0.02*randn(size(t));
s2 = exp(-((t-0.8)/0.05).^2) + 0.01*randn(size(t));
s(r,1,:) = s1;
s(r,2,:) = s2;
tmp = squeeze(s(r,:,:));
n = 0*randn(size(tmp)); % Zadanie 5: zmień 0* na 1* aby włączyć szum
X(r,:,:) = A*tmp + n;
end

baseline_ind = find(t < 0.5);
ERP_ind = find(t >= 0.5);

R_B = zeros(N_chan, N_chan);
R_E = zeros(N_chan, N_chan);

%% Zadanie 1: Oblicz średnie macierze kowariancji
% korzystając z funkcji srednia_kowariancja(X, ind)

% Dla każdego powtórzenia r:
% - wytnij fragment sygnału X(r,:,baseline_ind) i analogicznie ERP
% - oblicz macierz kowariancji funkcją cov() — pamiętaj o transpozycji
% - znormalizuj przez ślad (funkcja trace())
% - dodaj do sumy
% Na końcu podziel przez N_rep

%% Zadanie 2: Rozwiąż uogólnione zagadnienie własne
% Użyj funkcji eig(A,B) gdzie A=R_E, B=R_B
% W wyniku otrzymasz macierz wektorów własnych W (w kolumnach)
% i macierz Lambda z wartościami własnymi na przekątnej

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

disp('Wartości własne (przekątna Lambda):')
disp(diag(Lambda))

%% Zadanie 2 cd.: Odtwórz sygnały źródłowe
% Dla każdego powtórzenia r zastosuj filtr: S(r,:,:) = W' * X(r,:,:)

S = zeros(N_rep, N_chan, length(t));

for r = 1:N_rep
% TUTAJ: S(r,:,:) = ...
end

%% Zadanie 3: Wizualizacja — chmury punktów przed i po CSP
x_base_k1 = X(:,1,baseline_ind);
x_base_k2 = X(:,2,baseline_ind);
x_ERP_k1 = X(:,1,ERP_ind);
x_ERP_k2 = X(:,2,ERP_ind);

s_base_k1 = squeeze(S(:,1,baseline_ind));
s_base_k2 = squeeze(S(:,2,baseline_ind));
s_ERP_k1 = squeeze(S(:,1,ERP_ind));
s_ERP_k2 = squeeze(S(:,2,ERP_ind));

figure(1); clf
subplot(1,2,1)
plot(x_base_k1(:), x_base_k2(:), 'b.'); hold on
plot(x_ERP_k1(:), x_ERP_k2(:), 'r.');
axis equal; xlim([-2 2]); ylim([-2 2])
xlabel('Kanał 1'); ylabel('Kanał 2')
title('Przed CSP')
legend('baseline','ERP')

subplot(1,2,2)
plot(s_base_k1(:), s_base_k2(:), 'b.'); hold on
plot(s_ERP_k1(:), s_ERP_k2(:), 'r.');
axis equal
xlabel('Źródło 1'); ylabel('Źródło 2')
title('Po CSP')
legend('baseline','ERP')
%% Wizualizacja przebiegów czasowych X i S
% TUTAJ:

%% Zadanie 4 (dla chętnych): zmień macierz P powyżej i powtórz analizę
%% Zadanie 5 (dla chętnych): włącz szum (zmień 0* na 1* w linii z n=...)
</source>

{{hidden begin|title=Rozwiązanie — pokaż dopiero po samodzielnej próbie}}
<source lang = matlab>
% symulowany eksperyment składa się z sinusoidy udającej alfę spoczynkową i
% funkcji Gaussa udającego potencjał wywołany
% źródła te są symulowane niezależnie a potem mieszane przez macierz A
% symulujemy źródła
% s1 - symuluje alfę
% s2 - symuluje "potencjał wywołany" (ERP)

%ustawiamy parametry do symulacji sygnałów
Fs = 100;
T = 1;
t = 0:1/Fs:T-1/Fs;
N_rep = 100;
N_chan = 2;
s = zeros(N_rep,N_chan, length(t));
X = zeros(N_rep,N_chan, length(t));

% filtr przestrzenny - z takimi wagami trzeba wziąść kanały EEG aby odzyskać sygnały źródłowe
P = [1 2
1.5 1.3];

% topografie - z takimi wagami źródła dokładają się do poszczególnych elektrod
A = P^(-1);

for r =1:N_rep % tworzymy kolejne realizacje "eksperymentu"
s1 = sin(2*pi*11*t +pi/2+ 0*2*pi*rand())+ 0.02*randn(size(t)); % źródło alfa
s2 = exp(-((t-0.8)/0.05).^2)+ 0.01*randn(size(t)); % źródło ERP

s(r,1,:) = s1;
s(r,2,:) = s2;
tmp = squeeze(s(r,:,:));
n = 0*randn(size(tmp));
X(r,:,:) = A*tmp +n; % rzutujemy sygnały źródłowe na elektrody s -> x

end

% wycinamy warunki
% baseline_ind to indeksy pierwszej połowy każdego powtórzenia "baseline"
% ERP_ind to indeksy drugiej połowy każdego powtórzenia zawierająca "ERP"
baseline_ind = find(t<0.5);
ERP_ind = find(t>=0.5);

x_baseline_kan_1 = X(:,1,baseline_ind);
x_baseline_kan_2 = X(:,2,baseline_ind);

x_ERP_kan_1 = X(:,1,ERP_ind);
x_ERP_kan_2 = X(:,2,ERP_ind);

% liczymy średnie macierze kowariancji:
R_E = zeros(N_chan,N_chan);
R_B = zeros(N_chan,N_chan);
for r =1:N_rep
B = squeeze(X(r,:,baseline_ind));
tmp =cov(B');
R_B = R_B + tmp./trace(tmp);%B*B' ;

E = squeeze(X(r,:,ERP_ind));
tmp = cov(E');
R_E = R_E + tmp./trace(tmp);%E*E' ;
end

R_B = R_B/N_rep;
R_E = R_E/N_rep;

% rozwiązujemy uogólnione zagadnienie własne
[W,Lambda]=eig(R_E,R_B); % możliwa jest też optymalizacja wzg. średniej macierzy kowariancji (R_B+R_A)/2);

% odzyskujemy sygnały źródeł
for r =1:N_rep
S(r,:,:) = W'*squeeze(X(r,:,:));
end

% pobieramy wycinki odpowiadające obu częściom eksperymentu z estymowanych
% źródeł
s_baseline_estymowany_kan1 = squeeze( S(:,1,baseline_ind));
s_baseline_estymowany_kan2 = squeeze( S(:,2,baseline_ind));

s_ERP_estymowany_kan1 = squeeze(S(:,1,ERP_ind));
s_ERP_estymowany_kan2 = squeeze(S(:,2,ERP_ind));

%%%%%%%%%%%%%% Ilustracje %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ilustracja sygnałów mierzonych
figure(1);clf
subplot(2,2,1);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(X(:,1,baseline_ind)))','b'); hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze( X(:,1,ERP_ind)))','r'); hold off
xlabel('elektroda 1')
title('ilustracja sytuacji pomiarowej -\newline znane są potencjały na elektrodach w dwóch warunkach eksperymentalnych')
subplot(2,2,3);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(X(:,2,baseline_ind)))','b'); hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze( X(:,2,ERP_ind)))','r'); hold off
xlabel('elektroda 2')
subplot(1,2,2)
plot(x_baseline_kan_1(:),x_baseline_kan_2(:),'b.');
hold on
plot(x_ERP_kan_1(:),x_ERP_kan_2(:),'r.');
xlim([-2,2])
ylim([-2,2])
axis equal

% wektor własny odpowiadający największej wartości własnej jest
% kierunkiem najbardziej różnicującym warunki eksperymentalne
disp('wartości własne znajdują się na przekątnej macierzy Lambda')
disp(Lambda)
% rysujemy wersory jednostkowe w kierunkach wektorów własnych
w1 = W(:,1);
w1 = w1/norm(w1);
w2 = W(:,2);
w2 = w2/norm(w2);
line([0, w1(1) ],[0,w1(2)],'Color',[0,0.3,0])
text(w1(1),w1(2),'wektor własny 1')
line([0, w2(1) ],[0,w2(2)],'Color',[1,0,1])
text(w2(1),w2(2),'wektor własny 2')

xlabel('Amplituda na elektrodzie 1')
ylabel('Amplituda na elektrodzie 2')
legend('baseline','ERP')

% Ilustracja estymowanych źródeł
figure(2);clf
subplot(2,2,1);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(S(:,1,baseline_ind)))','b');hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze(S(:,1,ERP_ind)))','r');hold off
xlabel('estymowane zrodlo 1')
title('ilustracja estymacji -\newline estymowane są potencjały źródeł w dwóch warunkach eksperymentalnych')
subplot(2,2,3);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(S(:,2,baseline_ind)))','b');hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze(S(:,2,ERP_ind)))','r');hold off
xlabel('estymowane zrodlo 2');
subplot(1,2,2)
plot(s_baseline_estymowany_kan1(:),s_baseline_estymowany_kan2(:),'b.');
hold on
plot(s_ERP_estymowany_kan1(:),s_ERP_estymowany_kan2(:),'r.');

xlabel('Amplituda estym. źródła 1')
ylabel('Amplituda estym. źródła 2')
legend('baseline','ERP')
</source>
{{hidden end}}

=Sesja 2: CSP dla P300 — dane realne=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Pracujemy z danymi kalibracyjnymi z eksperymentu P300.
Celem sesji jest przejście pełnego pipeline'u: od surowych danych
do odtworzonych źródeł CSP.

;Zakres:
* wczytanie danych kalibracyjnych, identyfikacja znaczników T i NT
* cięcie epok (−200 do +800 ms), usuwanie trendu liniowego
* montaż względem średniej ze wszystkich elektrod
* wizualizacja ERP w układzie topograficznym
* obliczenie macierzy kowariancji RT i RNT, normalizacja przez ślad
* rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego: <code>[W, Lambda] = eig(R_T, R_NT)</code>
* odtworzenie sygnałów źródłowych: <code>S = W'*EEG</code>
* przegląd estymowanych źródeł w dwóch warunkach

;Materiały:
Dane: https://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/KalibracjaP300.tar.gz

===ZADANIE: Analiza CSP===

Przegląd badań o P300: https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2715154/

Link do Read menager [https://drive.google.com/file/d/1OgOduK5Zn7GgNl5XdCyLWXHJ7wTJIWcC/view?usp=share_link]

* Wykonać analizę CSP wzmacniającą potencjał P300.
* Zaprezentować średnią ze wszystkich kanałów źródłowych z warunku target (jeden kolor) i non-target (inny kolor) w subplotach ułożonych w prostokątnej siatce. Zaobserwować, dla którego kanału średnie różnią się najbardziej. Czy jest związek tego kanału z wartościami własnymi?

* Dla kanału najbardziej różnicującego wykonać mapki topograficzne wektorów odpowiadających:
** filtrowi przestrzennemu
** rzutu topograficznego źródła na elektrody.

===Szkielet kodu do analizy wstępnej===

<source lang="matlab">
%% KROK 1: Wczytanie danych
% ReadManager to pomocnicza klasa do odczytu plików w formacie OpenBCI.
% Przyjmuje trzy pliki: XML z metadanymi, RAW z próbkami i TAG ze znacznikami zdarzeń.
nazwaPliku = 'p_6301423_calibration_p300.obci';
nameOfXMLFile = strcat(nazwaPliku, '.xml');
nameOfTagFile = strcat(nazwaPliku, '.tag');
namesOfDataFiles = strcat(nazwaPliku, '.raw');

rm = ReadManager(nameOfXMLFile, namesOfDataFiles, nameOfTagFile);

% Pobieramy podstawowe parametry nagrania
numberOfChannels = rm.get_param('number_of_channels');
namesOfChannels = rm.get_param('channels_names');
samplingFrequency = rm.get_param('sampling_frequency');

% Pobieramy listę wszystkich znaczników zdarzeń z nagrania
tagsStruct = rm.get_tags();

%% KROK 2: Identyfikacja znaczników Target i Non-Target
% Każdy znacznik typu 'blink' odpowiada jednemu mignięciu w eksperymencie P300.
% Pole 'index' mówi który symbol mignął, pole 'target' który symbol był oczekiwany.
% Jeśli index == target to było to mignięcie docelowe (Target), w przeciwnym razie
% Non-Target.
targetTimeStamps = [];
NonTargetTimeStamps = [];

for structNumber = 1:length(tagsStruct)
if strcmp(tagsStruct(structNumber).name, 'blink')
index = tagsStruct(structNumber).children.index;
target = tagsStruct(structNumber).children.target;
if index == target
targetTimeStamps = [targetTimeStamps tagsStruct(structNumber).start_timestamp];
else
NonTargetTimeStamps = [NonTargetTimeStamps tagsStruct(structNumber).start_timestamp];
end
end
end

%% KROK 3: Wczytanie i filtrowanie sygnału
samples = double(rm.get_samples());
samples = samples(1:8,:); % odrzucamy kanały bez EEG
numberOfChannels = 8;

% Filtr dolnoprzepustowy Czebyszewa 2. rodzaju — odcięcie 25 Hz
[b, a] = cheby2(6, 80, 25/(samplingFrequency/2), 'low');
for ch = 1:numberOfChannels
samples(ch,:) = filtfilt(b, a, samples(ch,:));
end

%% KROK 4: Montaż względem średniej (common average reference)
% Odejmujemy od każdego kanału średnią ze wszystkich kanałów w danej chwili.
% Jest to prostsze i bardziej ogólne niż montaż względem połączonych uszu.
M = -ones(numberOfChannels, numberOfChannels) / numberOfChannels;
M = M + eye(numberOfChannels) * (numberOfChannels+1) / numberOfChannels;
samples = 0.0715 * M * samples;

%% KROK 5: Cięcie epok
PRE = -0.2;
POST = 0.8;
wycinek = floor(PRE*samplingFrequency : POST*samplingFrequency);

TargetSignal = zeros(length(targetTimeStamps), numberOfChannels, length(wycinek));
NonTargetSignal = zeros(length(NonTargetTimeStamps), numberOfChannels, length(wycinek));

for trialNumber = 1:length(targetTimeStamps)
trigerOnset = floor(targetTimeStamps(trialNumber) * samplingFrequency);
tenWycinek = wycinek + trigerOnset;
if tenWycinek(1) > 0 && tenWycinek(end) <= size(samples,2)
tmpSignal = samples(:, tenWycinek);
tmpSignal = detrend(tmpSignal')'; % usuwanie trendu liniowego
TargetSignal(trialNumber,:,:) = tmpSignal;
end
end

for trialNumber = 1:length(NonTargetTimeStamps)
trigerOnset = floor(NonTargetTimeStamps(trialNumber) * samplingFrequency);
tenWycinek = wycinek + trigerOnset;
if tenWycinek(1) > 0 && tenWycinek(end) <= size(samples,2)
tmpSignal = samples(:, tenWycinek);
tmpSignal = detrend(tmpSignal')';
NonTargetSignal(trialNumber,:,:) = tmpSignal;
end
end

% Oś czasu w milisekundach — przyda się do rysowania
times = (wycinek / samplingFrequency) * 1000;

%% KROK 6: Wizualizacja ERP w układzie topograficznym
% Oblicz potencjały wywołane (ERP) jako średnie po powtórzeniach
ERP_T = squeeze(mean(TargetSignal, 1)); % wymiary: kanały × czas
ERP_NT = squeeze(mean(NonTargetSignal, 1));

% TUTAJ: narysuj ERP_T i ERP_NT dla każdego kanału w subplotach
% ułożonych w siatce odpowiadającej przybliżonym pozycjom elektrod.
% Na każdym subplocie nałóż oba warunki różnymi kolorami.
% Oś X: czas w ms (użyj wektora times), oś Y: amplituda w µV.
% Zadbaj o legendę i tytuły z nazwami kanałów (namesOfChannels).

%% KROK 7: Obliczenie średnich macierzy kowariancji
% Dla każdego powtórzenia oblicz macierz kowariancji funkcją cov(),
% znormalizuj przez jej ślad (trace()), a następnie uśrednij po powtórzeniach.
% Pamiętaj: cov() oczekuje macierzy próbki × kanały, czyli potrzebujesz transpozycji.

R_T = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
R_NT = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for r = 1:length(targetTimeStamps)
% TUTAJ: wytnij r-te powtórzenie T, oblicz kowariancję, znormalizuj, dodaj do R_T
end

for r = 1:length(NonTargetTimeStamps)
% TUTAJ: wytnij r-te powtórzenie NT, oblicz kowariancję, znormalizuj, dodaj do R_NT
end

% TUTAJ: podziel R_T i R_NT przez odpowiednie liczby powtórzeń

%% KROK 8: Rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego
% Szukamy filtrów przestrzennych W maksymalizujących stosunek mocy
% w warunku T względem NT: eig(R_T, R_NT)
% W kolumnach W znajdują się filtry, na przekątnej Lambda — wartości własne.

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

disp('Wartości własne (przekątna Lambda):')
disp(diag(Lambda))

%% KROK 9: Odtworzenie sygnałów źródłowych
% Dla każdego powtórzenia zastosuj filtr przestrzenny:
% s(r,:,:) = W' * x(r,:,:)
% Pamiętaj o wymiarach — squeeze() może być pomocne.

S_T = zeros(size(TargetSignal));
S_NT = zeros(size(NonTargetSignal));

for r = 1:size(TargetSignal, 1)
% TUTAJ: S_T(r,:,:) = ...
end

for r = 1:size(NonTargetSignal, 1)
% TUTAJ: S_NT(r,:,:) = ...
end

%% KROK 10: Wizualizacja estymowanych źródeł
% Narysuj średnie przebiegi źródeł (ERP w przestrzeni CSP) dla obu warunków.
% Ułóż subploty w prostokątnej siatce — jeden subplot na każde źródło.
% Dla którego źródła różnica między T i NT jest największa?
% Czy odpowiada to źródłu z największą wartością własną?

ERP_S_T = squeeze(mean(S_T, 1));
ERP_S_NT = squeeze(mean(S_NT, 1));

% TUTAJ: narysuj ERP_S_T i ERP_S_NT w subplotach
</source>

=Sesja 3: CSP dla P300 — interpretacja i separacja cech=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Kontynuacja analizy CSP. Celem sesji jest interpretacja wyników
w kategoriach fizjologicznych oraz ocena separowalności klas
w przestrzeni cech opartej na mocy sygnału.

;Zakres:
* mapki topograficzne filtra przestrzennego i topografii źródła
* związek wartości własnych z siłą różnicowania warunków T i NT
* wykresy punktowe mocy: oś X — moc składowej z największą wartością własną, oś Y — moc kolejnej składowej; jeden punkt = jedno powtórzenie
* uśrednianie po 2, 4, 6, 8 i 10 realizacjach — obserwacja poprawy separacji wraz z liczbą uśrednień
* dyskusja: utożsamianie komponentów CSP z fizjologicznymi źródłami jest ryzykowne; komponenty maksymalizują kontrast między warunkami, niekoniecznie odpowiadają izolowanym generatorom

;Materiały:
Zob. [[#Szkielet kodu do analizy wstępnej|Szkielet kodu do analizy wstępnej]] i [[#Zadanie: Wybór i separacja cech|Zadanie: Wybór i separacja cech]] poniżej.

===Zadanie: Wybór i separacja cech===
* Przedstaw na rysunkach nałożone na siebie pojedyncze realizacje z warunków target i non-target po rzutowaniu na wektor <math>w</math> odpowiadający największej i kolejnej wartości własnej.
* Przedstaw wykresy punktowe takie, że na jednej osi jest moc sygnału (suma kwadratów wartości próbek w wybranym zakresie czasu) odpowiadającego największej wartości własnej, a na drugiej osi kolejnej (mniejszej) wartości własnej; jeden punkt reprezentuje jedno powtórzenie.
* Wykonaj serię wykresów jak w poprzednim punkcie dla uśrednień sygnałów kolejno po 2, 4, 6, 8 i 10 realizacjach:
** Liczymy potencjał wywołany dla danej liczby powtórzeń.
** Następnie podnosimy wartości próbek do kwadratu
** i sumujemy je w wybranym zakresie czasu.
* Zaobserwuj jak zmienia się separacja w grupach target i non-target.
{{hidden end}}
[https://robintibor.github.io/eeg-deep-learning-phd-thesis/DeepArchitectures.html Archirtektury sieci do BCI: ConvNet]

[https://www.researchgate.net/figure/The-architecture-of-EEGNet-F1-S1-model-F1-and-S1-represent-the-number-of-temporal_fig3_347073448 EEGNet]

=Sesja 4: Filtry przestrzenne dla SSEP — cosSinCSP=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Sesja wprowadza metodę cosSinCSP jako naturalne uogólnienie CSP
o wiedzę dziedzinową dotyczącą sygnału SSEP. W klasycznym CSP
dwa warunki eksperymentalne definiują dwie macierze kowariancji.
W cosSinCSP rolę jednej z macierzy przejmuje projekcja sygnału
na przestrzeń sinusów i cosinusów częstości stymulacji i jej harmonicznych.
Formalizm ilorazu Rayleigha i uogólnionego zagadnienia własnego
pozostaje identyczny.

Dane używane na tych zajęciach pochodzą z eksperymentu SSEP
z archiwum — bez sesji rejestracyjnej. Na wykresach widma
sygnału przed transformacją CSP dominuje artefakt sieciowy 50 Hz,
który praktycznie zasłania odpowiedź na stymulację. Zadaniem
jest sprawdzenie czy cosSinCSP potrafi ten sygnał wydobyć.

;Zakres:
* idea cosSinCSP: macierz S złożona z sinusów i cosinusów harmonicznych, projekcja sygnału na przestrzeń SSEP i resztę Y
* implementacja funkcji <code>cosSinCSP</code> w MATLAB
* analiza danych archiwalnych: widma Welcha dla kanałów oryginalnych i źródeł CSP — porównanie SNR przed i po transformacji
* prezentacja filtrów przestrzennych i topografii źródeł

;Materiały:
Zob. [[#Filtry przestrzenne dla SSEP|Filtry przestrzenne dla SSEP]] poniżej.

==Filtry przestrzenne dla SSEP==

===Teoria===

Ciekawa koncepcja filtra przestrzennego dla SSEP zaprezentowana jest tu: http://www.eurasip.org/Proceedings/Eusipco/Eusipco2009/contents/papers/1569193209.pdf

Pokrótce można ją rozumieć podobnie do tego co robiliśmy rozważając filtry przestrzenne CSP z tym, że dla SSEP oraz innych potencjałów wywołanych stanu ustalonego możemy skorzystać z dodatkowych informacji dotyczących poszukiwanych źródeł. Wiemy mianowicie, że powinny one oscylować z częstością bodźca i być może jej harmonicznych.

Przyda nam się macierz <math>S</math> zbudowana tak, że w kolejnych kolumnach znajdują się sinusy i cosinusy kolejnych częstości harmonicznych. Wektory te unormujemy, żeby miały energię równą 1. Innymi słowy macierz <math>S</math> zbudowana jest z wersorów rozpinających przestrzeń, w której powinien znajdować się sygnał SSEP.

W Matlabie możemy taką macierz zbudować tak:

<source lang="matlab">
% Fs - częstość próbkowania
% numberOfSamples - długość sygnału w próbkach
% numberOfHarmonics - liczba harmonicznych, które chcemy włączyć do analizy
t = (0:1:numberOfSamples - 1) / Fs;
S = zeros(numberOfSamples, 2*numberOfHarmonics);

for harmonicNumber = 1:numberOfHarmonics
c = cos(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
s = sin(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
S(:,(harmonicNumber - 1)*2 + 1) = c/norm(c);
S(:,(harmonicNumber - 1)*2 + 2) = s/norm(s);
end
</source>

Aby w badanym sygnale znaleźć składowe odpowiadające SSEP musimy rzutować sygnał <math>X</math> (macierz sygnałów ''kanały × próbki'') na przestrzeń rozpiętą przez <math>S</math>:
:<math>A = X S</math>
Macierz <math>A</math> zawiera współczynniki będące iloczynami skalarnymi sygnałów i wersorów — mówią one o tym jak dużo sinusa bądź cosinusa o danej częstości jest w pierwotnym sygnale. Komponenty SSEP zawarte w sygnale <math>X</math> odzyskujemy tak:
:<math>\mathrm{SSEP} = A S^T</math>

Modelujemy rejestrowany sygnał jako:
:<math>X = \mathrm{SSEP} + Y</math>
gdzie:
:<math>Y = X - \mathrm{SSEP}</math>
to wszystkie komponenty sygnału, które nas nie interesują.

Filtr przestrzenny, który chcemy zbudować powinien maksymalizować stosunek wariancji <math>\mathrm{SSEP}</math> do wariancji <math>Y</math>. Macierz kowariancji powinna być uśredniona po powtórzeniach, a kowariancja sygnału w każdym powtórzeniu powinna być znormalizowana przez jej ślad. Dalej stosujemy technikę znaną z CSP: maksymalizację ilorazu Rayleigha przez rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego dla macierzy kowariancji <math>\mathrm{SSEP}</math> i <math>Y</math>.

===Zadanie: implementacja funkcji cosSinCSP===

Dane do zadania: [[Plik:PrzykladoweDaneSSVEP.mat.gz]].
Pełny przykład z danymi z eksperymentu SSEP: [[Plik:SSVEP_demo_csp.tar.gz]]

Zaimplementuj funkcję <code>cosSinCSP</code> zgodnie z poniższym szkieletem.
Prawidłowo zaimplementowana funkcja wraz ze skryptem demonstracyjnym poniżej
powinna generować rysunek: [[Plik:Rys_SSVEP_demo.png|400px|podpis grafiki]]

<source lang="matlab">
function [W, Lambda] = cosSinCSP(signal, stimulationFrequency, numberOfHarmonics, Fs)
% cosSinCSP - filtr przestrzenny dla sygnałów SSEP
%
% Wejście:
% signal - dane EEG, wymiary: powtórzenia × kanały × próbki
% stimulationFrequency - częstość stymulacji w Hz
% numberOfHarmonics - liczba harmonicznych do uwzględnienia
% Fs - częstość próbkowania w Hz
%
% Wyjście:
% W - macierz filtrów przestrzennych (kanały × kanały), filtry w kolumnach
% Lambda - macierz diagonalna wartości własnych

[numberOfTrials, numberOfChannels, numberOfSamples] = size(signal);

%% KROK 1: Zbuduj macierz referencyjną S (sinusy i cosinusy harmonicznych)
% S ma wymiary: próbki × 2*numberOfHarmonics
% Każda kolumna to jeden wersor (unormowany sinus lub cosinus).
% Wróć do sekcji Teoria powyżej i przełóż tamten kod na tę funkcję.

% TUTAJ

%% KROK 2: Oblicz średnie macierze kowariancji C_SSEP i C_Y
% Dla każdego powtórzenia wytnij sygnał x (kanały × próbki),
% rozłóż go na składową SSEP i resztę Y zgodnie z równaniami z sekcji Teoria,
% oblicz macierze kowariancji obu składowych, znormalizuj przez ślad
% i uśrednij po powtórzeniach.

C_SSEP = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
C_Y = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for trial = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(trial, :, :)); % kanały × próbki

% TUTAJ: oblicz SSEP i Y

% TUTAJ: oblicz kowariancje, znormalizuj, dodaj do C_SSEP i C_Y
end

% TUTAJ: podziel C_SSEP i C_Y przez numberOfTrials

%% KROK 3: Rozwiąż uogólnione zagadnienie własne
% Znajdź filtry przestrzenne maksymalizujące stosunek mocy SSEP do mocy Y.
% Analogia z CSP: jakie macierze wstawiłeś do eig() tam?

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

end
</source>

;Wskazówka do interpretacji wyników:
Filtr związany z największą wartością własną daje komponent
o największym stosunku mocy SSEP do mocy tła.
Sprawdź na widmach Welcha czy odpowiada on składowej
z wyraźnym pikiem przy częstości stymulacji.

{{hidden begin|title=Rozwiązanie — pokaż dopiero po samodzielnej próbie}}
<source lang="matlab">
function [W, Lambda] = cosSinCSP(signal, stimulationFrequency, numberOfHarmonics, Fs)

[numberOfTrials, numberOfChannels, numberOfSamples] = size(signal);

%% KROK 1: Macierz referencyjna S
t = (0:1:numberOfSamples-1) / Fs;
S_ref = zeros(numberOfSamples, 2*numberOfHarmonics);

for harmonicNumber = 1:numberOfHarmonics
c = cos(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
s = sin(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
S_ref(:,(harmonicNumber-1)*2 + 1) = c/norm(c);
S_ref(:,(harmonicNumber-1)*2 + 2) = s/norm(s);
end

%% KROK 2: Średnie macierze kowariancji
C_SSEP = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
C_Y = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for trial = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(trial, :, :)); % kanały × próbki
A = x * S_ref; % projekcja na przestrzeń SSEP
SSEP = A * S_ref'; % rekonstrukcja składowej SSEP
Y = x - SSEP; % reszta

tmp = cov(SSEP');
C_SSEP = C_SSEP + tmp/trace(tmp);

tmp = cov(Y');
C_Y = C_Y + tmp/trace(tmp);
end

C_SSEP = C_SSEP / numberOfTrials;
C_Y = C_Y / numberOfTrials;

%% KROK 3: Uogólnione zagadnienie własne
[W, Lambda] = eig(C_SSEP, C_Y);

end
</source>
{{hidden end}}

===Skrypt demonstracyjny i analiza wyników===

<source lang="matlab">
% wczytujemy dane
load('PrzykladoweDaneSSVEP.mat');

[numberOfTrials numberOfChannels numberOfSamples] = size(X.data);
namesOfChannels = X.channels;

numberOfHarmonics = 3;
signal = X.data; % powtórzenie × kanał × próbki

[W, Lambda] = cosSinCSP(signal, X.stimulation, numberOfHarmonics, X.sampling);

%% Odtworzenie sygnałów źródłowych
S = zeros(size(signal));
for powt = 1:size(signal,1)
S(powt,:,:) = W' * squeeze(signal(powt,:,:));
end

%% Widma Welcha: kanały oryginalne vs źródła CSP
figure('Name', ['Stymulacja: ', num2str(X.stimulation), ' Hz'])
for i = 1:numberOfChannels
subplot(2, numberOfChannels, i)
PP = 0;
for rep = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(rep,i,:));
[Pxx, ff] = pwelch(x, X.sampling, 1, X.sampling, X.sampling);
PP = PP + Pxx;
end
plot(ff(ff<60), PP(ff<60))
title(namesOfChannels{i})

subplot(2, numberOfChannels, numberOfChannels+i)
PP = 0;
for rep = 1:numberOfTrials
s = squeeze(S(rep,i,:));
[Pss, ff] = pwelch(s, X.sampling, 1, X.sampling, X.sampling);
PP = PP + Pss;
end
plot(ff(ff<60), PP(ff<60))
title(['źródło CSP: ', num2str(i)])
xlabel(['\lambda = ', num2str(Lambda(i,i), '%.2f')])
end

%% KROK 4: Mapki topograficzne
% Zidentyfikuj komponent z największą wartością własną.
% Narysuj dwie mapki przy użyciu funkcji topoplot() z pakietu EEGLAB:
%
% (a) Filtr przestrzenny: wagi z jakimi kanały EEG składają się na ten komponent.
% Wskazówka: filtr to kolumna macierzy W.
%
% (b) Topografia źródła: z jakimi wagami komponent dociera do poszczególnych elektrod.
% Wskazówka: topografia zawarta jest w wierszach macierzy odwrotnej do W —
% przypomnij sobie analogiczny krok z analizy CSP dla P300.
%
% Czym różnią się te dwie mapki? Którą łatwiej interpretować fizjologicznie?

% TUTAJ: [~, idx] = max(diag(Lambda));
% TUTAJ: topoplot(...) % filtr
% TUTAJ: topoplot(...) % topografia
</source>

=Sesja 5: ICA jako filtr przestrzenny =

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Sesja wprowadza analizę składowych niezależnych (ICA) jako trzecie
podejście do problemu ślepej separacji źródeł — obok BSS/CSP
i cosSinCSP. Kluczowa różnica: CSP szuka kierunków maksymalizujących
kontrast wariancji między warunkami (kryterium drugiego rzędu),
ICA szuka składowych niezależnych statystycznie, maksymalizując
niegaussowość (kryterium wyższego rzędu). ICA nie wymaga
dwóch warunków eksperymentalnych — działa na jednym stacjonarnym sygnale.

;Zakres wykładu (~40 min):
* model generatywny ICA: <math>\mathbf{x} = \mathbf{D}\mathbf{s}</math>, założenie niegaussowości składowych
* negoentropia i algorytm FastICA
* porównanie z CSP: kiedy ICA, kiedy CSP
* ograniczenia: liczba próbek a liczba kanałów (<math>kN^2</math>), niejednoznaczność kolejności i skali komponentów

;Zakres ćwiczenia (~80 min):
* wczytanie danych do EEGLAB, edycja lokalizacji elektrod
* filtrowanie górnoprzepustowe (FIR, 0,5 Hz), zmiana referencji
* obliczenie ICA na całym sygnale
* identyfikacja komponentów zawierających rytm alfa: topografia, widmo, przebieg czasowy
* usunięcie komponentów niezawierających alfy, odtworzenie sygnału na elektrodach
* porównanie wyników między co najmniej trzema uruchomieniami ICA: czy komponenty są powtarzalne?

==Teoria==

===Definicja ===
Independent Component Analysis (ICA) jest metodą statystycznej analizy sygnałów, która dokonuje dekompozycji wielokanałowych zapisów na składowe niezależne w sensie statystycznym.
Dwie składowe ''s''1 i ''s''2 są niezależne jeżeli wiedza o wartości ''s''1 nie daje żadnych informacji o możliwych wartościach ''s''2. ICA może być wyrażona przez prosty model generatywny:
: '''x''' = '''Ds'''
: gdzie '''x''' = {''x''1, ''x''2, ..., ''x''''n''} jest zmierzonym ''n'' kanałowym sygnałem, '''D''' jest macierzą mieszającą zaś '''s''' = {''s''1, ''s''2, ..., ''s''''n''} jest aktywnością ''n'' źródeł. Podstawowym założeniem dotyczącym '''s''' jest to, że ''s''''i'' są statystycznie niezależne. Aby wyestymować model musimy też założyć, że składowe mają niegaussowskie rozkłady wartości (Hyvärinen, 2000).

Dodatkowo model ten zakłada następujące fakty:
# Sygnał jest liniową mieszaniną aktywności źródeł
# Sygnały pochodzące z każdego ze źródeł są niezależne od pozostałych
# Źródła oraz proces ich mieszania są stacjonarne, tzn, ich momenty statystyczne nie zależą od czasu
# Energie (wariancje) źródeł nie mogą być wyznaczone jednoznacznie. Dzieje się tak ponieważ pomnożenie amplitudy ''i''-tego źródła może być uzyskane poprzez przemnożenie albo ''s''''i'' albo przez przemnożenie ''i''-tej kolumny macierzy '''D'''. Naturalnym rozwiązaniem tej niejednoznaczności jest wprowadzenie konwencji, że komponenty są normowane tak aby miały wariancję 1: E[(''s''''i'')''2''] = 1.
# Kolejność komponentów jest dowolna. Bo jeśli w ten sam sposób zmienimy kolejność komponentów w '''s''' i kolumn w '''D''' to dostaniemy dokładnie ten sam sygnał '''x'''.

Głównym wyzwaniem w analizie ICA jest estymacja macierzy mieszającej '''D'''. Gdy jest ona znana to komponenty mogą być wyliczone w następujący sposób:
: '''s''' = '''D'''−1'''x'''

=== Estymacja ===
Znalezienie niezależnych komponentów może być rozważane w świetle Centralnego Twierdzenia Granicznego jako poszukiwanie komponentów o możliwie nie gaussowskim rozkładzie.
Aby zrozumieć to podejście prześledźmy heurystykę zaproponowaną przez (Hyvärinen, 2000).
Dla prostoty załóżmy, że poszukiwane źródła niezależne mają identyczne rozkłady.
Zdefiniujmy

''y'' = '''w'''T'''x'''.

Zauważmy, że jeśli

'''w'''

jest jedną z kolumn macierzy

'''D'''−1,

to ''y'' jest jednym z poszukiwanych komponentów.
Zamieniając zmienne

'''z''' = '''D'''T'''w'''

możemy napisać

''y'' = '''w'''T'''x''' = '''w'''T'''Ds''' = '''z'''T'''s'''.

Uwidacznia to fakt, że ''y'' jest liniową kombinacją składowych s''i'' z wagami danymi przez z''i''.

Z centralnego twierdzenia granicznego wynika, że suma niezależnych zmiennych losowych ma bardziej gaussowski charakter niż każda z tych zmiennych osobno.
Liniowa kombinacja staje się najmniej gaussowska gdy '''z''' ma tylko jeden element niezerowy. W tym przypadku ''y'' jest proporcjonalny do s''i''.
Zatem problem estymacji modelu ICA może być sformułowany jako problem znalezienia takiego wektora '''w''', który maksymalizuje niegaussowskość

''y'' = '''w'''T'''x'''.

Maksymalizacja niegaussowskości ''y'' daje jeden niezależny komponent odpowiadający jednemu z 2''n'' maksimów (bo mamy s''i'' i −s''i'') w krajobrazie optymalizacyjnym. Aby znaleźć wszystkie niezależne komponenty musimy znaleźć wszystkie maksima. Ponieważ komponenty są nieskorelowane, to poszukiwania kolejnych komponentów można kontynuować w podprzestrzeni ortogonalnej do już znalezionych komponentów.

===Obliczenia===
Intuicyjna heurystyka poszukiwania najbardziej niegaussowskich składowych może być użyta do wyprowadzenia różnych funkcji kosztu, których optymalizacja daje model ICA, np. kurtoza.

<math>kurt(y) = E\{y^4\} - 3(E{y^2})^2</math>

Inną miarą gassowskości jest neg-entropia, którą można wyprowadzić z entropii:
Entropia jest miarą średniego zdziwienia wynikiem obserwacji zmiennej losowej:
<math>H(Y) = - \sum_i P(Y= a_i) \log(P(Y=a_i)) </math>

Negentropia jest zdefiniowana:

<math> J(y) = H(y_{gauss}) -H(y)</math>
gdzie <math> y_{gauss} </math> jest gassuwską zmienną losową o takiej samej kowaiancji jak <math> y </math>.

Negentropia jest skomplikowana obliczeniow, więc w praktyce używana jest formuła przybliżona:

<math> J(y) \varpropto [E\{G (y)\} - E\{G(\nu)\}]^2</math>

<math>\nu </math> jest zmienną losową ze standardowego rozkładu normalnego , a G są pewnymi niekwadratowymi funkcjami.

W algorytmie FastICA extremum negentropii jest znajdowane w procedurze bazującej na optymalizacji Newtona.
(szczegóły np.: sekcja 6 w https://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/NN00new.pdf)

Procedura wykorzystywana w eeglabie (&bdquo;runica”, Makeig 1996) dąży do minimalizacji informacji wzajemnej. Oba podejścia są w przybliżeniu równoważne (Hyvärinen, 2000), chociaż owo przybliżenie dla sygnałów elektrofizjologicznych nie zostało to jeszcze w pełni wyeksplorowane.
Dla sygnałów o niskiej wymiarowości i spełniających dokładnie założenia ICA wszystkie powszechnie wykorzystywane algorytmy dają niemal identyczne wyniki.

;Bardzo ważna uwaga: ogólną zasadą jest, że jeśli estymujemy ''N'' stabilnych komponentów (z ''N''-kanałowych danych) to musimy dysponować ''kN''2 punktami danych w każdym kanale, gdzie ''N''2 jest liczbą elementów w macierzy '''D''', którą ICA próbuje wyestymować, ''k'' jest liczbą całkowitą. Nie ma dobrych oszacowań teoretycznych na wielkość ''k'', z praktycznych obserwacji wynika, że rośnie ona z liczbą kanałów.

=== Możliwe zastosowania ===
Najczęściej ICA jest stosowana jako narzędzie do:
* usuwania artefaktów z sygnałów EEG (ruchy oczu i mięśnie)
* wydobywania składowych do dalszej analizy (Onton, 2006)
* jako analiza wstępna do lokalizacji źródeł (Grau, 2007).
* ICA jest także stosowana w analize sygnałów EKG i EMG.

===Bibliografia===
Bazowa praca:
* A. Hyvärinen. Fast and Robust Fixed-Point Algorithms for Independent Component Analysis. IEEE Transactions on Neural Networks 10(3):626-634, 1999 http://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/TNN99_reprint.pdf

Nieco prościej opisana wersja z przykładami:
* Hyvärinen, A. and Oja, E. (2000). Independent component analysis: Algorithms and applications. Neural Networks, 13(4-5):411–430.
https://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/NN00new.pdf

* Grau, C., Fuentemilla, L., Marco-Pallars, J. (2007). Functional neural dynamics underlying auditory event-related n1 and n1 suppression response. Neuroimage, 36(6):522–31.
* Makeig, S., Bell, A., Jung, T.-P., Sejnowski,T. (1996). Independent component analysis of electroencephalographic data. W: Touretzky, D., Mozer, M., and Hasselmo, M., editors, Advances in Neural Information Processing Systems, volume 8, pages 145–151. MIT Press, Cambridge, MA.
* Onton, J., Makeig, S. (2006). Information-based modeling of event-related brain dynamics. Prog Brain Res., 159:99–120.
* Tutorial: http://sccn.ucsd.edu/wiki/Chapter_09:_Decomposing_Data_Using_ICA
* http://sccn.ucsd.edu/~arno/indexica.html
* http://cis.legacy.ics.tkk.fi/aapo/papers/IJCNN99_tutorialweb/

== ZADANIE: Wydobywanie interesujących komponentów ==

Dane do tej części ćwiczeń proszę pobrać i rozpakować w swoim katalogu:
http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Dane_do_ICA_alfa.tar.gz

Pochodzą one z eksperymentu, w którym osoba badana siedziała z zamkniętymi oczami słuchając nagrania czytanego spokojnym głosem. Metadane opisujące sygnał znajdują się w pliku Miro.xml, zaś lokalizacje elektrod w pliku Miro-10-20-Cap.locs.

Proszę:
* wczytać dane do eeglaba
* wyedytować lokalizację elektrod
* usunąć kanały nie zawierające EEG
* zmienić referencje na średnią z kanałów A1 i A2
* przefiltrować filtrem FIR górnoprzepustowym z częstością odcięcia 0,5 Hz
* obejrzeć wstępnie przygotowane dane
* policzyć ICA na całym sygnale
* obejrzeć właściwości otrzymanych komponentów
** Czy są wśród nich takie, które zawierają znaczny udział rytmu alfa?
** Jaka jest ich topografia?
* usunąć wszystkie komponenty nie zawierające alfy
* odtworzyć z tych komponentów sygnał na elektrodach
* wykonać dekompozycję ICA kilkukrotnie (co najmniej 3) i porównać wyniki
** Czy uzyskiwane komponenty są powtarzalne?
** Swoje wyniki porównać też z sąsiednimi grupami.

==ZADANIE: Identyfikacja artefaktów ==
Proszę pobrać dane:

*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal-10-20-Cap.locs
*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal1.set
*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal1.fdt

Pochodzą one z eksperymentu w którym osoba badana czytała słowa o różnych właściwościach wzbudzania emocji.

* wczytaj je do eeglaba
* wczytaj lokalizację kanałów z pliku Arousal-10-20-Cap.locs
* obejrzyj przebiegi czasowe
* odrzuć kanał z diodą (21) i z GSR (20)
* zrób dekompozycję ICA
* obejrzyj topografię komponentów
* zidentyfikuj komponenty odpowiadające mruganiu i aktywności mięśniowej.
;UWAGA: Aktualnie do wykrywania komponentów artefaktowych warto posłużyć się wtyczkami do eeglaba dostępnymi przez stronę:

https://sccn.ucsd.edu/eeglab/plugin_uploader/plugin_list_all.php

* ICLabel:
** https://labeling.ucsd.edu/tutorial/overview
** https://github.com/sccn/ICLabel

* MARA:
** https://github.com/irenne/MARA/raw/master/MARAtutorial.pdf
** https://irenne.github.io/artifacts/

=Sesja 6: Problem odwrotny w EEG i MEG=

;Czas: ~60 min wykład + ~90 min ćwiczenie

Sesja wprowadza problem odwrotny jako alternatywne — i komplementarne —
podejście do analizy przestrzennej sygnałów EEG i MEG. O ile BSS/CSP
i ICA szukają filtrów przestrzennych w przestrzeni elektrod,
nie zakładając nic o geometrii mózgu,
to metody problemu odwrotnego wyraźnie osadzają źródła
w przestrzeni trójwymiarowej, korzystając z fizyki i modelu głowy.

Materiały z naszych zasobów:
* [[Elektroencefalografia|Sekcje 3 i 8 z Podręcznika o EEG ]]
* [https://drive.google.com/file/d/1EOJxN1y7X3YlIFHoIIyoZzCiXdrQSHcA Wykład Piotra Durki z Analizy sygnałów o problemie odwrotnym w EEG iMEG]

Z zasobów zewnętrznych polecam:
* [https://download.fieldtriptoolbox.org/workshop/toolkit2025/slides/04_forward_inverse.pdf#page=1.00 Slajdy "Forward and inverse - lecture by Robert Oostenveld" fragment warsztatów: "Advanced MEG/EEG toolkit at the Donders"]

==Kontrast z BSS: dwa języki opisu tego samego zjawiska==

Zarówno BSS/ICA, jak i metody problemu odwrotnego wychodzą
od tego samego modelu generatywnego:
:<math>\mathbf{x}(t) = \mathbf{A}\,\mathbf{s}(t) + \boldsymbol{\varepsilon}(t)</math>
gdzie <math>\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^{N_e}</math> to potencjały na elektrodach,
<math>\mathbf{s}(t) \in \mathbb{R}^{N_s}</math> to aktywność źródeł,
a <math>\mathbf{A}</math> to macierz mieszająca (ang. ''lead field'' lub ''forward matrix'').

Różnica leży w tym, co robimy z macierzą <math>\mathbf{A}</math>:

{| class="wikitable"
|-
! !! BSS / ICA !! Problem odwrotny
|-
| '''Macierz A''' || nieznana; estymowana z danych || obliczona z modelu głowy (''forward model'')
|-
| '''Liczba źródeł''' || równa liczbie elektrod || od 1 dipola do ~10 000 wokseli
|-
| '''Geometria''' || brak założeń przestrzennych || źródła zlokalizowane w przestrzeni 3D
|-
| '''Regularyzacja''' || przez kryterium stat. (niezależność, wariancja) || przez regularyzację matematyczną (L2, L1, …)
|-
| '''Wynik''' || filtry przestrzenne + komponenty || mapa aktywności w przestrzeni mózgu
|}

Kluczowa trudność problemu odwrotnego wynika z jego
fundamentalnej niejednoznaczności:

układ równań:

<math>\mathbf{x} = \mathbf{A}\mathbf{s}</math>

jest niedookreślony — przy <math>N_e \approx 19\text{–}256</math> elektrodach
i <math>N_s \sim 10^4</math> możliwych lokalizacjach źródeł
istnieje nieskończenie wiele rozkładów <math>\mathbf{s}</math>
dokładnie odtwarzających zmierzony <math>\mathbf{x}</math>.
Każda metoda nakłada inne założenie ''a priori'', by wybrać jedno rozwiązanie.

==Model do przodu (forward model)==

Zanim można rozwiązać problem odwrotny, należy zbudować
''model do przodu'' — obliczenie potencjałów na elektrodach
wywołanych przez jednostkowe źródło prądowe w danym miejscu mózgu.
Wynik zapisuje się jako macierz ''pola wiodącego'' (''lead field''):
:<math>\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{N_e \times 3N_s}</math>
gdzie czynnik 3 wynika z trzech ortogonalnych składowych momentu dipolowego.

=== Skąd bierze się macierz ''lead field''? ===

Przejdźmy od równań Maxwella do tego, co dosłownie liczą funkcje `ft_prepare_headmodel` / `ft_prepare_leadfield`.

==== 1. Punkt wyjścia: przybliżenie kwazistatyczne ====

=====Pełne równania Maxwella w ośrodku materialnym=====

$$
\begin{aligned}
\nabla \cdot \mathbf{D} &= \rho && \text{(prawo Gaussa)} \\
\nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 && \text{(brak monopoli magnetycznych)} \\
\nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} && \text{(prawo Faradaya)} \\
\nabla \times \mathbf{H} &= \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} && \text{(prawo Ampère'a–Maxwella)}
\end{aligned}
$$

uzupełnione związkami konstytutywnymi dla tkanki traktowanej jako liniowy, lokalnie izotropowy ośrodek:

$$
\mathbf{D} = \varepsilon\,\mathbf{E},\qquad \mathbf{B} = \mu_0\,\mathbf{H},\qquad \mathbf{J} = \sigma\,\mathbf{E} + \mathbf{J}^p
$$

Ostatnia relacja to uogólnione prawo Ohma: prąd swobodny ma część omową (<math>\sigma\mathbf{E}</math>, prądy bierne w przewodniku objętościowym) i część „pierwotną" <math>\mathbf{J}^p</math> pochodzącą od źródeł neuronowych — bo to one *nie* są napędzane lokalnym polem <math>\mathbf{E}</math>, tylko gradientami stężeń jonów.

===== Przybliżenie kwazistatyczne =====

Wprowadzamy harmoniczną zależność czasową <math>e^{i\omega t}</math> i porównujemy człony w równaniach Maxwella. Trzy warunki muszą być spełnione jednocześnie:

**(a) Pomijalny prąd przesunięcia w równaniu Ampère'a. ** Stosunek członu pojemnościowego do omowego to <math>\omega\varepsilon/\sigma</math>. Dla tkanki przy <math>f=100</math> Hz, <math>\sigma\approx 0{,}3</math> S/m, <math>\varepsilon_r\approx 10^5</math> (efektywna wartość niska-częstotliwościowa dla istoty szarej; spada szybko z <math>f</math>):
$$\frac{\omega\varepsilon}{\sigma} = \frac{2\pi\cdot 100\cdot 10^5\cdot 8{,}85\cdot 10^{-12}}{0{,}3}\sim 10^{-3}$$

— bezpiecznie pomijalny w EEG. To pozwala napisać <math>\nabla\times\mathbf{H}\approx\mathbf{J}</math>, a po wzięciu dywergencji:
$$\nabla\cdot\mathbf{J} = 0$$

**(b) Pomijalna indukcja w równaniu Faradaya.** Mówimy, że <math>\partial\mathbf{B}/\partial t</math> jest na tyle małe, że <math>\nabla\times\mathbf{E}\approx 0</math>, więc istnieje potencjał skalarny <math>V</math> z <math>\mathbf{E}=-\nabla V</math>. Można to oszacować z indukcyjności geometrii głowy i wykazać, że pomijany wkład jest o kilka rzędów mniejszy od <math>-\nabla V</math>.

**(c) Brak efektów propagacyjnych.** Długość fali EM przy 100 Hz w próżni to <math>\lambda = c/f\approx 3000</math> km, czyli <math>\lambda \gg L_\text{głowy}</math>. To gwarantuje, że pole „widzi" całą głowę jednocześnie — stąd zerowe przesunięcie fazowe propagacji potencjału przez przewodnik objętościowy.

Co zostaje po przybliżeniu:

$$
\begin{aligned}
\nabla \times \mathbf{E} &= 0 \;\Rightarrow\; \mathbf{E} = -\nabla V \\
\nabla \cdot \mathbf{J} &= 0 \\
\mathbf{J} &= -\sigma\nabla V + \mathbf{J}^p
\end{aligned}
$$

Składając trzy powyższe:

$$
\nabla\cdot\bigl(\sigma(\mathbf{r})\nabla V(\mathbf{r})\bigr) = \nabla\cdot\mathbf{J}^p(\mathbf{r})
$$

Warto przy tym podkreślić, że prawo Gaussa i <math>\nabla\cdot\mathbf{B}=0</math> nie znikają — one są nadal spełnione, ale po prostu nie są nam potrzebne do wyliczenia <math>V</math> na skórze: ładunki swobodne i indukowane policzy się *a posteriori* z <math>\rho = \nabla\cdot(\varepsilon\nabla V)\cdot(-1)</math>, a pole magnetyczne (interesujące dla MEG!) z prawa Biota–Savarta zastosowanego do <math>\mathbf{J}</math>.

Warto tu zauważyć, że kwazistatyka EEG i kwazistatyka MEG to **to samo** przybliżenie — różni je tylko, co wybieramy jako wielkość mierzoną (<math>V</math> na skórze vs. <math>\mathbf{B}</math> na zewnątrz głowy). To samo równanie Poissona generuje oba sygnały, a różnice w czułości na orientację dipola (radialny vs. tangencjalny) wynikają stąd, że potencjał i pole magnetyczne są różnymi funkcjonałami tego samego rozwiązania.

==== 2. Rozszczepienie prądu — gdzie pojawia się „źródło" ====

Gęstość prądu w tkance dzielimy na część „pierwotną" (neuronową) i „objętościową" (omową):

$$\mathbf{J}(\mathbf{r}) = \mathbf{J}^p(\mathbf{r}) - \sigma(\mathbf{r})\,\nabla V(\mathbf{r})$$

<math>\mathbf{J}^p</math> reprezentuje *prądy postsynaptyczne w piramidowych neuronach kory* — to one są naszym „źródłem". Reszta to prądy bierne płynące w przewodniku objętościowym o nieizotropowej, niejednorodnej przewodności <math>\sigma</math>.

Podstawiając do warunku <math>\nabla \cdot \mathbf{J}_\text{tot} = 0</math> dostajemy równanie Poissona dla niejednorodnego przewodnika:

$$\boxed{\;\nabla \cdot \bigl(\sigma(\mathbf{r})\,\nabla V(\mathbf{r})\bigr) = \nabla \cdot \mathbf{J}^p(\mathbf{r})\;}$$

To jest równanie problemu wprost. Cała reszta to:
(a) model źródła,
(b) warunki brzegowe,
(c) sposób rozwiązania.

==== 3. Model źródła: dipol prądowy ====

Dla pojedynczego dipola w <math>\mathbf{r}_0</math> o momencie <math>\mathbf{q}</math>:

$$\mathbf{J}^p(\mathbf{r}) = \mathbf{q}\,\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$$

$$\nabla \cdot \mathbf{J}^p(\mathbf{r}) = \mathbf{q}\cdot\nabla\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$$

Liniowość PDE daje natychmiast kluczową własność: <math>V</math> jest **liniową** funkcją <math>\mathbf{q}</math>. To właśnie ta liniowość pozwala zapisać:

$$\mathbf{v} = \mathbf{L}\,\mathbf{j}$$

gdzie <math>\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{N_\text{el}}</math> to potencjały, <math>\mathbf{j} \in \mathbb{R}^{3N_\text{src}}</math> to momenty dipoli, a <math>\mathbf{L}</math> to *lead field matrix*. Każda kolumna <math>\mathbf{L}</math> to potencjał wywołany jednostkowym dipolem w danym miejscu i o danej orientacji.

==== 4. Warunki brzegowe ====

Na granicy skóra/powietrze prąd nie wypływa:

$$\sigma\,\nabla V \cdot \hat{\mathbf{n}} = 0 \quad \text{na zewnętrznej powierzchni}$$

Wewnątrz, na granicach tkanek o różnym $\sigma$ (mózg–CSF–czaszka–skóra):

$$V \text{ ciągłe},\quad \sigma\nabla V \cdot \hat{\mathbf{n}} \text{ ciągłe}$$

To są te warunki, które „włączają" geometrię i przewodności do problemu — i to one decydują, że czaszka (niskie $\sigma$, około 1/15–1/80 tkanki miękkiej, do dziś dyskutowane) rozmywa pole tak agresywnie.

==== 5. Metody rozwiązania — co siedzi w `ft_prepare_headmodel` ====

`ft_prepare_headmodel` to fabryka różnych operatorów rozwiązujących tę samą PDE. Wybór `cfg.method` decyduje o paradygmacie matematycznym:

**(a) Rozwiązania analityczne — modele sferyczne** (`'singlesphere'`, `'concentricspheres'`)

Dla geometrii sferycznej z osiową symetrią rozwija się $V$ w szereg wielomianów Legendre'a. Dla 3-warstwowego modelu koncentrycznego dostajemy zamknięty wzór z nieskończonym szeregiem, który w praktyce tnie się po ~40 wyrazach. Berg & Scherg (1994) dali znakomite przybliżenie 3 dipolami w sferze jednorodnej — błyskawicznie szybkie, do dziś używane w MEG. Plus: bardzo szybkie, brak siatkowania. Minus: kula to nie głowa, zwłaszcza w okolicach skroniowych i podstawy.

**(b) BEM — Boundary Element Method** (`'bemcp'`, `'dipoli'`, `'openmeeg'`)

Wykorzystuje się fakt, że w obszarze o stałym $\sigma$ $V$ spełnia równanie Laplace'a, a cały „nietrywialny" wkład można wyrazić jako całkę po powierzchniach granicznych. Z drugiej tożsamości Greena dostajemy całkowe równanie typu Fredholma 2-go rodzaju:

$$V(\mathbf{r}) = V_\infty(\mathbf{r}) + \frac{1}{4\pi}\sum_k \frac{\sigma_k^- - \sigma_k^+}{\bar{\sigma}}\oint_{S_k} V(\mathbf{r}')\,\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\cdot\hat{\mathbf{n}}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,dS'$$

gdzie $V_\infty$ to potencjał dipola w przestrzeni nieograniczonej. Triangulujemy powierzchnie (skóra, czaszka, mózg — czasem CSF) i to równanie zamienia się w układ liniowy. Szybciej niż FEM, ale wymaga założenia odcinkowo stałej przewodności i zakłada izotropię.

**(c) FEM — Finite Element Method** (`'simbio'`, `'duneuro'`)

Cała objętość głowy dyskretyzowana czworościanami/sześciościanami z indywidualnym tensorem $\sigma$ w każdym elemencie (z DTI można wstrzyknąć anizotropię istoty białej!). Sformułowanie wariacyjne daje rzadki układ:

$$\mathbf{K}\mathbf{u} = \mathbf{b}$$

gdzie $\mathbf{K}$ to macierz sztywności zależna od $\sigma(\mathbf{r})$, a $\mathbf{b}$ niesie informację o źródle. To „złoty standard" pod kątem dokładności, ale kosztowny — dlatego praktycznie zawsze łączony z trikiem z punktu 6.

**(d) FDM** — rzadziej, dziś głównie historycznie.

==== 6. Twierdzenie o wzajemności — dlaczego macierz $\mathbf{L}$ da się liczyć rozsądnie ====

Naiwne podejście: dla każdego z $\sim 10^4$ źródeł i każdej z 3 orientacji odpalić rozwiązywacz PDE. To $3\times 10^4$ rozwiązań. Beznadzieja.

Helmholtzowska zasada wzajemności mówi: potencjał w elektrodzie A wywołany dipolem w punkcie $\mathbf{r}_0$ jest równoważny pewnej wielkości policzonej z **pola elektrycznego** wytworzonego w $\mathbf{r}_0$ przez **jednostkowy prąd wstrzyknięty** między elektrodą A a referencją. Formalnie:

$$V_A(\mathbf{r}_0;\mathbf{q}) = \mathbf{E}^{(A)}(\mathbf{r}_0)\cdot\mathbf{q}$$

gdzie $\mathbf{E}^{(A)}$ to pole „wstrzykniętego" prądu jednostkowego. Konsekwencja: zamiast $3N_\text{src}$ rozwiązań PDE wystarczy $N_\text{el}-1$ rozwiązań (po jednym na elektrodę). Praktycznie wszystkie pakiety BEM/FEM (w tym OpenMEEG, SimBio, DUNEuro) to wykorzystują — i dlatego FEM jest w ogóle wykonalny dla całych siatek źródłowych.

==== 7. Co więc dosłownie robi `ft_prepare_headmodel` ====

Tworzy obiekt `headmodel`, który zawiera:
- geometrię (kule albo siatki powierzchniowe, albo objętościową siatkę FEM),
- przewodności poszczególnych warstw,
- a w przypadku BEM/FEM — **wstępnie policzony operator dyskretny** (np. odwróconą macierz BEM albo czynnik macierzy sztywności FEM z trikiem transferowym wykorzystującym wzajemność).

To jest najdroższa część obliczeń — i robi się ją *raz* dla danej geometrii. Potem `ft_prepare_leadfield`, dla każdej pozycji źródła w `cfg.sourcemodel`, używa tego operatora, żeby wygenerować trzy kolumny $\mathbf{L}$ (dla orientacji x, y, z). Wynik to `leadfield{i}` o wymiarze $N_\text{el}\times 3$ — czyli dosłownie blok macierzy lead field dla danego wokselu.

---

Podsumowanie:

1. Maxwell → kwazistatyka → „elektrostatyka z prądami"
2. Podział prądu i równanie Poissona (jedyne równanie, którego naprawdę trzeba)
3. Dipol jako model i wynikająca **liniowość** → uzasadnienie wzoru $\mathbf{v}=\mathbf{L}\mathbf{j}$
4. Warunki brzegowe → tu wchodzi anatomia
5. Sfery (analityczne, intuicja) → BEM → FEM jako kolejne stopnie realizmu
6. Wzajemność jako trik obliczeniowy, bez którego niczego by się nie dało policzyć w sensownym czasie

Klasyczne źródła:
- Hallez et al. 2007 *J Neuroeng Rehabil* (review obliczeń forward, bardzo czytelny),
- Mosher et al. 1999 dla zwartego wyprowadzenia,
- oraz dokumentacja OpenMEEG (Gramfort et al. 2010) — tam ścieżka BEM jest wyprowadzona z drugiej tożsamości Greena.
---

=== Programy obliczające model do przodu:===
MNE-Python (<code>mne.make_bem_model</code>), FieldTrip (<code>ft_prepare_headmodel</code>), OpenMEEG.

==Fitowanie dipoli (Dipole Fitting)==

===Idea===
Najprostsze założenie: aktywacja EEG pochodzi z jednego
(lub kilku) ekwiwalentnych dipoli prądowych.
Każdy dipol opisany jest sześcioma parametrami:
trzema współrzędnymi położenia <math>(x,y,z)</math>
i trzema składowymi momentu dipolowego <math>(q_x, q_y, q_z)</math>.

===Formalizm===
Dla pojedynczego dipola o momencie <math>\mathbf{q}(t)</math>
w lokalizacji <math>\mathbf{r}_0</math>:
:<math>\mathbf{x}(t) = \mathbf{a}(\mathbf{r}_0)\,\mathbf{q}(t) + \boldsymbol{\varepsilon}(t)</math>
gdzie <math>\mathbf{a}(\mathbf{r}_0) \in \mathbb{R}^{N_e \times 3}</math>
to kolumna macierzy pola wiodącego odpowiadająca lokalizacji <math>\mathbf{r}_0</math>.

Estymacja polega na minimalizacji reszty:
:<math>\hat{\mathbf{r}}_0 = \arg\min_{\mathbf{r}} \left\|\mathbf{x}(t) - \mathbf{a}(\mathbf{r})\,\hat{\mathbf{q}}(t)\right\|^2</math>
Minimalizację prowadzi się zwykle algorytmem Neldera–Meada
lub Levenberga–Marquardta po przestrzeni lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* gdy źródło jest punktowe lub quasi-punktowe (np. wczesne składowe słuchowych potencjałów wywołanych N20, P25)
* gdy liczba aktywnych źródeł jest z góry znana i mała (1–3 dipole)

;Ograniczenia:
* wrażliwość na punkt startowy — algorytm może utknąć w minimum lokalnym
* złe dopasowanie gdy aktywacja pochodzi z rozległego obszaru kory
* wynik silnie zależy od dokładności modelu do przodu

==Minimum Norm Estimation (MNE)==

===Idea===
Zamiast zakładać małą liczbę dipoli,
rozkładamy aktywność na gęstą siatkę źródeł pokrywającą całą powierzchnię kory
i szukamy rozwiązania o minimalnej normie —
tj. takiego, które odtwarza dane, angażując jak najmniejszą całkowitą energię źródeł.

===Formalizm===
Problem optymalizacji z regularyzacją Tichonowa:
:<math>\hat{\mathbf{s}} = \arg\min_{\mathbf{s}} \left\|\mathbf{x} - \mathbf{A}\mathbf{s}\right\|^2 + \lambda\left\|\mathbf{s}\right\|^2</math>
gdzie <math>\lambda > 0</math> to parametr regularyzacji kontrolujący kompromis
między wiernością danym a gładkością rozwiązania.

Rozwiązanie analityczne:
:<math>\hat{\mathbf{s}} = \mathbf{A}^T\left(\mathbf{A}\mathbf{A}^T + \lambda\mathbf{I}\right)^{-1}\mathbf{x}</math>

Macierz <math>\mathbf{W}_{\mathrm{MNE}} = \mathbf{A}^T(\mathbf{A}\mathbf{A}^T + \lambda\mathbf{I})^{-1}</math>
jest liniowym filtrem przestrzennym — analogiem macierzy <math>\mathbf{W}</math> z CSP,
lecz skonstruowanym na podstawie modelu do przodu, nie z danych.

===Warianty===

;dSPM (''dynamic Statistical Parametric Mapping'', Dale 2000):
Normalizuje estymowaną aktywność przez odchylenie standardowe szumu:
:<math>F_{\mathrm{dSPM}}(\mathbf{r}, t) = \frac{\hat{s}(\mathbf{r},t)}{\sigma_{\mathrm{noise}}(\mathbf{r})}</math>
Wynik ma interpretację statystyczną (wartość F lub Z); popularne w neurobiologii poznawczej.

;sLORETA (''standardized LORETA'', Pascual-Marqui 2002):
Normalizuje przez odchylenie standardowe samego estymatora MNE (nie tylko szumu):
:<math>F_{\mathrm{sLORETA}}(\mathbf{r}, t) = \frac{\hat{s}(\mathbf{r},t)}{\sqrt{\left[\mathbf{W}_{\mathrm{MNE}}\mathbf{A}\right]_{(\mathbf{r},\mathbf{r})}}}</math>
Wykazuje zerowe systematyczne błędy lokalizacji w warunkach idealnych.

;Wybór <math>\lambda</math>:
Zwykle <math>\lambda = \alpha \cdot \mathrm{tr}(\mathbf{A}\mathbf{A}^T) / \mathrm{tr}(\mathbf{I})</math>
z <math>\alpha \in [0.05, 0.3]</math>; w MNE-Python domyślnie <math>\alpha = 0.1</math>.
Można też stosować kryterium L-krzywej lub walidację krzyżową.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* gdy aktywacja jest rozproszona lub nieznana a priori
* jako ogólne narzędzie wizualizacji ERP na powierzchni kory
* przy małej liczbie elektrod

;Ograniczenia:
* tendencja do rozmywania rozwiązania — źródła głębokie są systematycznie niedoszacowane
* brak zakładanej rzadkości (''sparsity''); wariant L1 (MCE) jest rzadszy, ale trudniejszy obliczeniowo
* wymaga dobrego modelu do przodu

==Beamformery==

===Idea===
Beamformer (dosł. „formowanie wiązki") to adaptacyjny filtr przestrzenny,
który dla każdej lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>
konstruuje wagi <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math> maksymalizujące
stosunek mocy sygnału z tej lokalizacji do mocy wszystkich pozostałych źródeł.
W odróżnieniu od MNE, beamformer korzysta z macierzy kowariancji danych —
jest więc metodą adaptacyjną, zbliżoną duchem do CSP.

===LCMV (''Linearly Constrained Minimum Variance'', Van Veen 1997)===

Szukamy filtra minimalizującego wariancję wyjścia
przy ograniczeniu zachowującym sygnał z lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>:
:<math>\mathbf{w}^*(\mathbf{r}) = \arg\min_{\mathbf{w}} \mathbf{w}^T\mathbf{C}\mathbf{w}
\quad \text{p.o.} \quad \mathbf{w}^T\mathbf{a}(\mathbf{r}) = 1</math>
gdzie <math>\mathbf{C} = E[\mathbf{x}\mathbf{x}^T]</math> to macierz kowariancji danych.

Rozwiązanie analityczne (mnożnik Lagrange'a):
:<math>\mathbf{w}(\mathbf{r}) = \frac{\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}{\mathbf{a}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}</math>

Moc w lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>:
:<math>P(\mathbf{r}) = \mathbf{w}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}\,\mathbf{w}(\mathbf{r})
= \frac{1}{\mathbf{a}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}</math>

===DICS (''Dynamic Imaging of Coherent Sources'', Gross 2001)===

Wariant beamformera dla analizy częstotliwościowej:
zamiast macierzy kowariancji czasowej stosuje
''cross-spectral density matrix'' <math>\mathbf{C}(f)</math>
obliczoną dla wybranego pasma częstości.
Pozwala mapować koherencję między lokalizacjami na powierzchni kory.

===Analogia z CSP===

Zauważmy analogię strukturalną:

{| class="wikitable"
|-
! !! CSP !! LCMV Beamformer
|-
| '''Macierz kowariancji''' || <math>\mathbf{R}_T, \mathbf{R}_{NT}</math> (dwa warunki) || <math>\mathbf{C}</math> (jeden warunek) + <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
|-
| '''Filtr''' || <math>\mathbf{w}</math>: maks. stosunek wariancji || <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math>: min. wariancja przy ograniczeniu
|-
| '''Przestrzeń''' || elektrod || przestrzeni mózgu (woksel po wokselu)
|-
| '''Model do przodu''' || nie || tak — przez <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
|}

Kluczowa różnica: CSP optymalizuje globalnie jednym zagadnieniem własnym,
beamformer rozwiązuje osobny problem dla każdej lokalizacji.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* analiza ERD/ERS (rytmy ruchowe, alfa, beta) w przestrzeni mózgu
* lokalizacja źródeł oscylacyjnych w MEG
* DICS do badania koherencji korowo-korowej

;Ograniczenia:
* silnie skorelowane źródła są tłumione (''source cancellation'') — beamformer zakłada, że źródła są nieskorelowane
* wymaga dużej liczby próbek do stabilnej estymacji <math>\mathbf{C}^{-1}</math>
* przy małej liczbie elektrod macierz <math>\mathbf{C}</math> może być źle uwarunkowana

;Podsumowanie:
[[Plik:Inverse problem vs bss.png|mały|centruj]]

==Podsumowanie: kiedy stosować którą metodę==

{| class="wikitable"
|-
! Metoda !! Założenie a priori !! Dane wejściowe !! Typowe zastosowanie
|-
| '''Dipole fitting''' || 1–3 punktowe źródła || ERP, AEP, SEP || lokalizacja wczesnych składowych wywołanych
|-
| '''MNE / dSPM / sLORETA''' || minimalna energia; źródła ciągłe || ERP, dowolny sygnał || wizualizacja rozproszonej aktywności na korze
|-
| '''LCMV Beamformer''' || źródła nieskorelowane || ERD/ERS, dane resting-state || lokalizacja źródeł oscylacyjnych w MEG/EEG
|-
| '''DICS''' || j.w. + analiza spektralna || dane oscylacyjne || mapa koherencji korowo-korowej
|-
| '''CSP / ICA''' || brak modelu geometrycznego || dwa warunki / jeden segment || klasyfikacja BCI, usuwanie artefaktów
|}

;Uwaga praktyczna:
Wszystkie metody problemu odwrotnego wymagają przygotowania modelu do przodu.
Zaleca się korzystanie z MNE-Python lub FieldTrip — oba pakiety
oferują spójne pipeline'y od surowych danych do map korowych
i są szeroko stosowane w literaturze, co ułatwia replikację wyników.

=Sesja 7: Problem odwrotny — część praktyczna=

;Czas: ~30 min wprowadzenie + ~120 min ćwiczenie

Część praktyczna prowadzi przez pełny pipeline lokalizacji źródeł:
od wczytania danych w FieldTrip, przez zbudowanie modelu do przodu,
do fitowania dipola i interpretacji wyniku.
Sesja jest zaprojektowana tak, aby każdy krok bezpośrednio ilustrował
jeden element teorii omówionej w [[#Sesja 7: Problem odwrotny w EEG i MEG|części wykładowej]].

;Dane:
Używamy standardowego zestawu danych FieldTrip
(dane somatosensoryczne MEG/EEG, bodziec elektryczny na nadgarstku — składowa N20):
* https://download.fieldtriptoolbox.org/tutorial/Subject01.zip (~800 MB)

Ten sam zestaw danych jest używany we wszystkich tutorialach FieldTrip
wymienionych w tej sesji, co ułatwia porównywanie wyników między krokami.

;Instalacja FieldTrip: Wymagania wstępne:
FieldTrip wymaga MATLABa. Przed instalacją sprawdź kompatybilność swojej wersji:
[https://www.fieldtriptoolbox.org/faq/matlab/requirements MATLAB requirements]

;Pobranie toolboxa: Pobierz najnowszą wersję ze strony:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/download.php Pobierz FieldTrip]

Rozpakuj archiwum ZIP w wybranym katalogu, np. <code>~/matlab/fieldtrip</code> (Linux/macOS).

;Ważne: nie zmieniaj wewnętrznej struktury katalogów po rozpakowaniu —
FieldTrip dynamicznie zarządza swoimi podkatalogami.

;Konfiguracja ścieżki MATLAB: Pełna instrukcja: [https://www.fieldtriptoolbox.org/faq/matlab/installation Installation and setting up the path]

Uruchom poniższe polecenia na początku każdej sesji pracy z FieldTrip
(lub wstaw je do pliku <code>startup.m</code> — patrz niżej):

<source lang="matlab">
restoredefaultpath % wyczyść aktualną ścieżkę
addpath('~/fieldtrip') % podaj tu swoją ścieżkę do FieldTrip
ft_defaults % skonfiguruj FieldTrip i minimalne podkatalogi
</source>

;Uwaga — częsty błąd:
Nie używaj <code>addpath(genpath(...))</code> ani przycisku „Add with Subfolders" w MATLAB GUI.
FieldTrip samodzielnie dodaje potrzebne podkatalogi przez <code>ft_defaults</code>
i <code>ft_hastoolbox</code> — dodanie wszystkiego ręcznie powoduje konflikty
z funkcjami SPM, EEGLAB i wbudowanymi funkcjami MATLABa
(w szczególności z funkcjami z katalogu <code>fieldtrip/compat</code>
przeznaczonymi tylko dla starych wersji MATLABa).

;Trwała konfiguracja przez startup.m:

Żeby nie powtarzać powyższych poleceń przy każdym uruchomieniu MATLABa,
utwórz plik <code>startup.m</code> w swoim katalogu MATLABa
(zwykle <code>Dokumenty/MATLAB/startup.m</code>) z zawartością:

<source lang="matlab">
restoredefaultpath
addpath('C:\fieldtrip') % zmień na swoją ścieżkę
ft_defaults
</source>

MATLAB wykonuje ten plik automatycznie przy każdym uruchomieniu.

;Uwaga dla użytkowników EEGLAB: Jeśli korzystasz z EEGLAB i FieldTrip w tej samej sesji,
zawsze ładuj FieldTrip przez <code>restoredefaultpath</code> + <code>addpath</code> + <code>ft_defaults</code>,
a nie przez interfejs EEGLAB. Oba toolboxy zawierają funkcje o tych samych nazwach
(np. <code>eegplot</code>, <code>topoplot</code>) — kolejność na ścieżce decyduje,
która wersja zostanie wywołana.

;Weryfikacja instalacji: Sprawdź poprawność instalacji jednym poleceniem:

<source lang="matlab">
ft_defaults
ft_version
</source>

Powinieneś zobaczyć numer wersji i datę kompilacji, np.:
<pre>
FieldTrip version 20250901, path: C:\fieldtrip
</pre>

Jeśli MATLAB zgłasza błąd <code>Undefined function 'ft_defaults'</code>,
ścieżka nie została ustawiona poprawnie — wróć do kroku z <code>addpath</code>.

==Krok 0: Wejście do FieldTrip==

Przed właściwym ćwiczeniem proszę zapoznać się z tutorialem wprowadzającym:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/intro/introduction/ Introduction to the FieldTrip toolbox]

;Na co zwrócić uwagę przechodząc ten tutorial:

Studenci znający EEGLAB natkną się na dwie zasadnicze różnice w filozofii pracy:

* '''Struktura cfg''' zamiast GUI. Każda funkcja FieldTrip przyjmuje strukturę konfiguracyjną <code>cfg</code> i zwraca nową strukturę danych. Nie ma okien dialogowych — cała analiza jest skryptem. Jest to bliższe temu, co robiliśmy w MATLAB-owych sesjach CSP/ICA.

* '''Niezmienność danych'''. FieldTrip nie modyfikuje struktur w miejscu — każde wywołanie funkcji zwraca nową strukturę. Pozwala to łatwo porównywać wyniki różnych parametrów, ale wymaga dbałości o nazewnictwo zmiennych.

;Pytanie do dyskusji po lekturze:
Jak odpowiadają sobie nawzajem: <code>EEG.data</code> w EEGLAB i struktura <code>data</code> w FieldTrip?
Gdzie w strukturach FieldTrip przechowywane są informacje o lokalizacji elektrod?

==Krok 1: Model do przodu — BEM dla EEG==

Przed fitowaniem dipola musimy obliczyć macierz pola wiodącego <math>\mathbf{A}</math>.
Proszę przejść tutorial:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/headmodel_eeg_bem Construct a BEM headmodel for EEG source analysis]

;Cel tego kroku:
Zrozumieć skąd pochodzi kolumna <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
używana we wszystkich metodach Sesji 7.
Każda kolumna <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math> mówi: „jeśli w miejscu <math>\mathbf{r}</math>
znajdowałby się dipol o jednostkowym momencie,
to jakie potencjały zmierzylibyśmy na każdej z elektrod?"

;Kluczowe funkcje FieldTrip w tym kroku:
<source lang="matlab">
% Segmentacja MRI na trzy tkanki (skóra, czaszka, mózg)
cfg = [];
cfg.output = {'brain','skull','scalp'};
segmentedmri = ft_volumesegment(cfg, mri);

% Budowanie siatki trójkątów BEM
cfg = [];
cfg.tissue = {'brain','skull','scalp'};
cfg.numvertices = [3000 2000 1000];
bnd = ft_prepare_mesh(cfg, segmentedmri);

% Obliczenie modelu do przodu metodą BEM (OpenMEEG)
cfg = [];
cfg.method = 'openmeeg';
cfg.conductivity = [0.33 0.0041 0.33]; % mózg, czaszka, skóra [S/m]
headmodel = ft_prepare_headmodel(cfg, bnd);
</source>

;Na co zwrócić uwagę:
* Stosunek przewodności czaszka/mózg wynosi tu ~1/80.
Jak myślisz, jak bardzo błąd w tym parametrze wpłynie na lokalizację źródeł?
* Funkcja <code>ft_prepare_mesh</code> tworzy trzy zagnieżdżone siatki.
Jak ma się to do opisu BEM z wykładu?

==Krok 2: Fitowanie dipola (ćwiczenie główne)==

;Czas: ~90 min

To jest główne ćwiczenie praktyczne Sesji 7.
Proszę przejść tutorial:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/dipolefitting Dipole fitting of combined MEG/EEG data]

Poniżej znajdziesz szkielet kodu z pytaniami pomocniczymi
do samodzielnego wypełnienia — zacznij od tutorialu,
a potem wróć do szkieletu i uzupełnij brakujące fragmenty.

===Szkielet kodu — fitowanie dipola dla składowej N20===

<source lang="matlab">
%% KROK A: Wczytanie i preprocessing danych EEG
% Dane: Subject01.zip (patrz wyżej)
% Używamy tylko kanałów EEG, odrzucamy MEG.

cfg = [];
cfg.dataset = 'Subject01.ds';
cfg.trialdef.eventtype = 'backpanel trigger';
cfg.trialdef.eventvalue = 3; % bodziec na lewym nadgarstku
cfg.trialdef.prestim = 0.1;
cfg.trialdef.poststim = 0.3;
cfg = ft_definetrial(cfg);

cfg.channel = 'EEG';
cfg.continuous = 'yes';
cfg.demean = 'yes';
cfg.baselinewindow = [-0.1 0];
data = ft_preprocessing(cfg);

%% KROK B: Uśrednianie — potencjał wywołany
% TUTAJ: użyj ft_timelockanalysis aby obliczyć ERP (średnią po powtórzeniach)
% Wynik zapisz jako 'timelock'

% TUTAJ

%% KROK C: Wczytanie modelu do przodu i lokalizacji elektrod
% Zakładamy, że headmodel i elec zostały obliczone w Kroku 1.
% Jeśli nie — można użyć gotowego modelu z paczki danych Subject01.

load('standard_bem.mat'); % headmodel
load('Subject01_elec.mat'); % lokalizacje elektrod (po dopasowaniu do MRI)

%% KROK D: Przygotowanie siatki poszukiwań (grid)
% Definiujemy siatkę regularną 1 cm wewnątrz mózgu.
% ft_prepare_sourcemodel oblicza też macierz pola wiodącego A
% (tzw. leadfield) dla każdego punktu siatki.

cfg = [];
cfg.headmodel = headmodel;
cfg.elec = elec;
cfg.resolution = 1; % odstęp siatki w cm
cfg.unit = 'cm';
sourcemodel = ft_prepare_sourcemodel(cfg);

%% KROK E: Fitowanie dipola
% Szukamy jednego dipola najlepiej wyjaśniającego topografię N20.
% Okno czasowe 0.016–0.022 s odpowiada składowej N20.

cfg = [];
cfg.latency = [0.016 0.022]; % okno N20 w sekundach
cfg.numdipoles = 1;
cfg.headmodel = headmodel;
cfg.elec = elec;
cfg.sourcemodel = sourcemodel;
cfg.nonlinear = 'yes'; % optymalizacja nieliniowa po przestrzeni

% TUTAJ: source = ft_dipolefitting(cfg, timelock);

%% KROK F: Wizualizacja wyniku
% Nałożenie lokalizacji dipola na MRI anatomiczne.

load('standard_mri.mat'); % MRI w tym samym układzie współrzędnych

cfg = [];
cfg.location = source.dip.pos; % współrzędne znalezionego dipola [x y z]

% TUTAJ: ft_sourceplot(cfg, mri);

%% KROK G: Ocena dopasowania
% Goodness of fit (GoF) mówi jaka część wariancji danych
% jest wyjaśniona przez znaleziony dipol.
% Wartość > 0.85 uznaje się za dobre dopasowanie.

fprintf('Goodness of fit: %.1f%%\n', source.dip.rv * 100);
% Uwaga: w FieldTrip rv to residual variance (1 - GoF).
% Dobry dipol ma rv < 0.15.

disp('Lokalizacja dipola [x y z] w mm:')
disp(source.dip.pos)

disp('Moment dipolowy [qx qy qz]:')
disp(source.dip.mom)
</source>

===Zadania do samodzielnej realizacji===

;Zadanie 1 (obowiązkowe): Pipeline i lokalizacja
Uzupełnij brakujące fragmenty szkieletu (kroki B i E–F).
Gdzie na MRI ląduje znaleziony dipol? Czy odpowiada to oczekiwanej anatomii
składowej N20 (pierwotna kora somatosensoryczna S1, okolica bruzdy centralnej)?

;Zadanie 2 (obowiązkowe): Wpływ okna czasowego
Zmień <code>cfg.latency</code> kolejno na:
* <code>[0.016 0.022]</code> — okno N20
* <code>[0.025 0.035]</code> — okno P25
* <code>[0.045 0.060]</code> — okno N45
Czy lokalizacja dipola zmienia się między tymi składowymi?
Jak zmienia się GoF? Co to mówi o tym, która składowa jest lepiej opisana modelem jednego dipola?

;Zadanie 3 (obowiązkowe): Dwa dipole
Zmień <code>cfg.numdipoles = 2</code> i powtórz fitowanie dla okna N20.
Czy model dwóch dipoli daje istotnie lepszy GoF niż jeden?
Jak interpretujesz dwa znalezione źródła?

;Zadanie 4 (dla chętnych): Wrażliwość na model do przodu
FieldTrip pozwala użyć uproszczonego modelu sferycznego
zamiast BEM: ustaw <code>cfg.headmodel</code> na model jednorodnej sfery
(<code>cfg.method = 'singlesphere'</code> w <code>ft_prepare_headmodel</code>).
O ile zmienia się lokalizacja dipola N20?
Czy GoF wzrasta czy maleje?

;Pytania do dyskusji:
* Fitowanie dipola wymaga podania okna czasowego — dlaczego?
Co stałoby się gdybyśmy dopasowywali dipol do całej epoki (−100 do +300 ms)?
* Algorytm minimalizacji może utknąć w minimum lokalnym.
Jak <code>cfg.sourcemodel</code> (siatka) pomaga temu zaradzić?
Jaki jest kompromis między rozdzielczością siatki a czasem obliczeń?
* Porównaj mapę topograficzną ERP w oknie N20
z mapą rekonstruowaną z dopasowanego dipola (wywołaj <code>ft_dipolefitting</code>
z opcją <code>cfg.dipfit.display = 'yes'</code>).
Czy widzisz różnicę? Skąd ona pochodzi?

==Krok 3: Dalsze metody — dla zainteresowanych==

Poniższe tutoriale stanowią naturalne rozwinięcie ćwiczenia głównego
i ilustrują pozostałe metody omówione w teorii Sesji 7.
Nie są wymagane na zaliczenie, ale gorąco je polecamy
jeśli planujesz używać lokalizacji źródeł w pracy badawczej.

;Minimum Norm Estimation:
[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/minimumnormestimate Source reconstruction of event-related fields using minimum-norm estimation]

Ten sam sygnał N20 co w ćwiczeniu głównym, ale zamiast jednego dipola
otrzymujesz ciągłą mapę aktywności na całej powierzchni kory.
Zwróć uwagę jak wybór parametru regularyzacji <math>\lambda</math>
wpływa na rozmycie rozwiązania.
Porównaj lokalizację maksimum mapy MNE z lokalizacją dipola z Kroku 2.

;Beamformer (LCMV/DICS):
[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/beamformer Localizing oscillatory sources in MEG data using a beamformer]

Tutorial wykorzystuje ten sam zestaw danych Subject01
i lokalizuje źródła oscylacji gamma wywołanych bodźcem —
bezpośrednie rozwinięcie analizy ERD/ERS, którą już znasz.
Kluczowa różnica w stosunku do MNE: beamformer korzysta
z macierzy kowariancji danych <math>\mathbf{C}</math>,
a nie tylko z modelu do przodu. Sprawdź jak wyglądają
filtry przestrzenne <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math> dla różnych lokalizacji
i porównaj je koncepcyjnie z filtrami CSP z Sesji 1–3.











-->

Laboratorium EEG/CSP

2026-05-14T08:00:56Z

Jarekz: /* 3. Model źródła: dipol prądowy */

[[Laboratorium_EEG]]/BSS

=Sesja 1: Ślepa separacja źródeł i CSP — wprowadzenie=

;Czas: ~60 min wykład + ~90 min ćwiczenie symulacyjne

Zajęcia wprowadzają do problemu filtracji przestrzennej sygnałów EEG.
Punktem wyjścia jest ogólny problem ślepej separacji źródeł (BSS),
z którego CSP wyłania się jako szczególny przypadek dla dwóch warunków
eksperymentalnych. Filtry przestrzenne omawiane na tych zajęciach stanowią
fundament klasycznych metod BCI (P300, SSVEP, motor imagery) oraz są
bezpośrednim odpowiednikiem warstw przestrzennych w sieciach neuronowych
takich jak ShallowConvNet i EEGNet — do tej analogii wrócimy w sesji 6.

[https://drive.google.com/file/d/1WrXgWWDJ7g5ZdYltm_8s2NXbGamw4R8N/view?usp=sharing Slajdy do wykładu (PDF)]

;Zakres wykładu:
* model generatywny EEG: <math>x(t) = As(t)</math>, macierz kowariancji, idea diagonalizacji
* BSS jako ogólny problem separacji źródeł
* CSP jako szczególny przypadek: dwa warunki eksperymentalne, iloraz Rayleigha, uogólnione zagadnienie własne
* interpretacja filtrów i topografii źródeł

;Ćwiczenie symulacyjne:
Zob. [[#Ćwiczenie symulacyjne|Ćwiczenie symulacyjne]] w sekcji CSP poniżej.

====Ćwiczenie symulacyjne ====
====Zadania do samodzielnej realizacji====

Poniższy kod dostarcza gotowej infrastruktury: generacji sygnałów, macierzy mieszającej i wizualizacji.
Zadaniem jest samodzielna implementacja kluczowych kroków analizy CSP.

;Zadanie 1 (obowiązkowe): Obliczenie macierzy kowariancji
Napisz funkcję <code>srednia_kowariancja(X, ind)</code>, która dla danej tablicy sygnałów <code>X</code>
(wymiary: powtórzenia × kanały × próbki) i wektora indeksów czasowych <code>ind</code>
zwraca średnią macierz kowariancji uśrednioną po powtórzeniach.
Dla każdego powtórzenia zastosuj funkcję <code>cov</code> i znormalizuj wynik przez jego ślad (<code>trace</code>).
Sprawdź wynik porównując z macierzami <code>R_B</code> i <code>R_E</code> obliczonymi w dostarczonym kodzie.

;Zadanie 2 (obowiązkowe): Implementacja CSP
Korzystając z funkcji <code>eig</code> oraz macierzy kowariancji obliczonych w zadaniu 1,
wyznacz macierz filtrów przestrzennych <code>W</code> i odpowiadające im wartości własne.
Odtwórz sygnały źródłowe dla wszystkich powtórzeń.
Narysuj chmury punktów (amplituda źródła 1 vs amplituda źródła 2) osobno dla warunków
baseline i ERP — przed transformacją CSP i po niej. Co zmieniło się w kształcie chmur?

Wykreśl także wizualizację przebiegów czasowych sygnałów X i sygnałów S uzyskanych po rozmieszaniu.

;Zadanie 3 (obowiązkowe): Interpretacja wartości własnych
Wartości własne znajdują się na przekątnej macierzy <code>Lambda</code>.
Który filtr najbardziej różnicuje warunki baseline i ERP?
Jaki jest związek między wartością własną a separacją widoczną na wykresach punktowych?

;Zadanie 4 (dla chętnych): Wpływ macierzy mieszającej
W dostarczonym kodzie macierz <code>P</code> (filtr przestrzenny) wynosi:
<pre>
P = [1 2; 1.5 1.3]
</pre>
Zmień ją kolejno na macierz bliską jednostkowej (np. <code>P = [1 0.1; 0.1 1]</code>)
oraz na macierz z dużymi elementami pozadiagonalnymi (np. <code>P = [1 5; 4 1]</code>).
Jak zmienia się kształt chmury punktów przed transformacją CSP?
Czy CSP poprawnie oddziela źródła w obu przypadkach?

;Zadanie 5 (dla chętnych): Wpływ szumu
W kodzie szum jest wyłączony: <code>n = 0*randn(size(tmp))</code>.
Usuń mnożnik <code>0*</code> i zbadaj jak poziom szumu wpływa na separację źródeł.
Przy jakim stosunku sygnału do szumu CSP przestaje skutecznie rozdzielać warunki?

;Pytanie do dyskusji:
Dostarczony kod używa <code>eig(R_E, R_B)</code>.
Alternatywą jest <code>eig(R_E, (R_E+R_B)/2)</code>.
Czym różnią się te dwie wersje? W jakich sytuacjach eksperymentalnych
druga wersja mogłaby być bardziej uzasadniona?

====Szkielet kodu do uzupełnienia====

Poniższy szkielet zawiera gotową infrastrukturę symulacji.
Uzupełnij brakujące fragmenty oznaczone komentarzem <code>% TUTAJ</code>
zgodnie z zadaniami 1–3. Pełny kod referencyjny dostępny jest poniżej
— zajrzyj do niego dopiero po samodzielnej próbie.

<source lang="matlab">
%% Parametry symulacji — nie modyfikuj tej sekcji
Fs = 100;
T = 1;
t = 0:1/Fs:T-1/Fs;
N_rep = 100;
N_chan = 2;
s = zeros(N_rep, N_chan, length(t));
X = zeros(N_rep, N_chan, length(t));

P = [1 2; 1.5 1.3]; % filtr przestrzenny (prawdziwy)
A = P^(-1); % topografia źródeł

for r = 1:N_rep
s1 = sin(2*pi*11*t + pi/2) + 0.02*randn(size(t));
s2 = exp(-((t-0.8)/0.05).^2) + 0.01*randn(size(t));
s(r,1,:) = s1;
s(r,2,:) = s2;
tmp = squeeze(s(r,:,:));
n = 0*randn(size(tmp)); % Zadanie 5: zmień 0* na 1* aby włączyć szum
X(r,:,:) = A*tmp + n;
end

baseline_ind = find(t < 0.5);
ERP_ind = find(t >= 0.5);

R_B = zeros(N_chan, N_chan);
R_E = zeros(N_chan, N_chan);

%% Zadanie 1: Oblicz średnie macierze kowariancji
% korzystając z funkcji srednia_kowariancja(X, ind)

% Dla każdego powtórzenia r:
% - wytnij fragment sygnału X(r,:,baseline_ind) i analogicznie ERP
% - oblicz macierz kowariancji funkcją cov() — pamiętaj o transpozycji
% - znormalizuj przez ślad (funkcja trace())
% - dodaj do sumy
% Na końcu podziel przez N_rep

%% Zadanie 2: Rozwiąż uogólnione zagadnienie własne
% Użyj funkcji eig(A,B) gdzie A=R_E, B=R_B
% W wyniku otrzymasz macierz wektorów własnych W (w kolumnach)
% i macierz Lambda z wartościami własnymi na przekątnej

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

disp('Wartości własne (przekątna Lambda):')
disp(diag(Lambda))

%% Zadanie 2 cd.: Odtwórz sygnały źródłowe
% Dla każdego powtórzenia r zastosuj filtr: S(r,:,:) = W' * X(r,:,:)

S = zeros(N_rep, N_chan, length(t));

for r = 1:N_rep
% TUTAJ: S(r,:,:) = ...
end

%% Zadanie 3: Wizualizacja — chmury punktów przed i po CSP
x_base_k1 = X(:,1,baseline_ind);
x_base_k2 = X(:,2,baseline_ind);
x_ERP_k1 = X(:,1,ERP_ind);
x_ERP_k2 = X(:,2,ERP_ind);

s_base_k1 = squeeze(S(:,1,baseline_ind));
s_base_k2 = squeeze(S(:,2,baseline_ind));
s_ERP_k1 = squeeze(S(:,1,ERP_ind));
s_ERP_k2 = squeeze(S(:,2,ERP_ind));

figure(1); clf
subplot(1,2,1)
plot(x_base_k1(:), x_base_k2(:), 'b.'); hold on
plot(x_ERP_k1(:), x_ERP_k2(:), 'r.');
axis equal; xlim([-2 2]); ylim([-2 2])
xlabel('Kanał 1'); ylabel('Kanał 2')
title('Przed CSP')
legend('baseline','ERP')

subplot(1,2,2)
plot(s_base_k1(:), s_base_k2(:), 'b.'); hold on
plot(s_ERP_k1(:), s_ERP_k2(:), 'r.');
axis equal
xlabel('Źródło 1'); ylabel('Źródło 2')
title('Po CSP')
legend('baseline','ERP')
%% Wizualizacja przebiegów czasowych X i S
% TUTAJ:

%% Zadanie 4 (dla chętnych): zmień macierz P powyżej i powtórz analizę
%% Zadanie 5 (dla chętnych): włącz szum (zmień 0* na 1* w linii z n=...)
</source>

{{hidden begin|title=Rozwiązanie — pokaż dopiero po samodzielnej próbie}}
<source lang = matlab>
% symulowany eksperyment składa się z sinusoidy udającej alfę spoczynkową i
% funkcji Gaussa udającego potencjał wywołany
% źródła te są symulowane niezależnie a potem mieszane przez macierz A
% symulujemy źródła
% s1 - symuluje alfę
% s2 - symuluje "potencjał wywołany" (ERP)

%ustawiamy parametry do symulacji sygnałów
Fs = 100;
T = 1;
t = 0:1/Fs:T-1/Fs;
N_rep = 100;
N_chan = 2;
s = zeros(N_rep,N_chan, length(t));
X = zeros(N_rep,N_chan, length(t));

% filtr przestrzenny - z takimi wagami trzeba wziąść kanały EEG aby odzyskać sygnały źródłowe
P = [1 2
1.5 1.3];

% topografie - z takimi wagami źródła dokładają się do poszczególnych elektrod
A = P^(-1);

for r =1:N_rep % tworzymy kolejne realizacje "eksperymentu"
s1 = sin(2*pi*11*t +pi/2+ 0*2*pi*rand())+ 0.02*randn(size(t)); % źródło alfa
s2 = exp(-((t-0.8)/0.05).^2)+ 0.01*randn(size(t)); % źródło ERP

s(r,1,:) = s1;
s(r,2,:) = s2;
tmp = squeeze(s(r,:,:));
n = 0*randn(size(tmp));
X(r,:,:) = A*tmp +n; % rzutujemy sygnały źródłowe na elektrody s -> x

end

% wycinamy warunki
% baseline_ind to indeksy pierwszej połowy każdego powtórzenia "baseline"
% ERP_ind to indeksy drugiej połowy każdego powtórzenia zawierająca "ERP"
baseline_ind = find(t<0.5);
ERP_ind = find(t>=0.5);

x_baseline_kan_1 = X(:,1,baseline_ind);
x_baseline_kan_2 = X(:,2,baseline_ind);

x_ERP_kan_1 = X(:,1,ERP_ind);
x_ERP_kan_2 = X(:,2,ERP_ind);

% liczymy średnie macierze kowariancji:
R_E = zeros(N_chan,N_chan);
R_B = zeros(N_chan,N_chan);
for r =1:N_rep
B = squeeze(X(r,:,baseline_ind));
tmp =cov(B');
R_B = R_B + tmp./trace(tmp);%B*B' ;

E = squeeze(X(r,:,ERP_ind));
tmp = cov(E');
R_E = R_E + tmp./trace(tmp);%E*E' ;
end

R_B = R_B/N_rep;
R_E = R_E/N_rep;

% rozwiązujemy uogólnione zagadnienie własne
[W,Lambda]=eig(R_E,R_B); % możliwa jest też optymalizacja wzg. średniej macierzy kowariancji (R_B+R_A)/2);

% odzyskujemy sygnały źródeł
for r =1:N_rep
S(r,:,:) = W'*squeeze(X(r,:,:));
end

% pobieramy wycinki odpowiadające obu częściom eksperymentu z estymowanych
% źródeł
s_baseline_estymowany_kan1 = squeeze( S(:,1,baseline_ind));
s_baseline_estymowany_kan2 = squeeze( S(:,2,baseline_ind));

s_ERP_estymowany_kan1 = squeeze(S(:,1,ERP_ind));
s_ERP_estymowany_kan2 = squeeze(S(:,2,ERP_ind));

%%%%%%%%%%%%%% Ilustracje %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ilustracja sygnałów mierzonych
figure(1);clf
subplot(2,2,1);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(X(:,1,baseline_ind)))','b'); hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze( X(:,1,ERP_ind)))','r'); hold off
xlabel('elektroda 1')
title('ilustracja sytuacji pomiarowej -\newline znane są potencjały na elektrodach w dwóch warunkach eksperymentalnych')
subplot(2,2,3);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(X(:,2,baseline_ind)))','b'); hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze( X(:,2,ERP_ind)))','r'); hold off
xlabel('elektroda 2')
subplot(1,2,2)
plot(x_baseline_kan_1(:),x_baseline_kan_2(:),'b.');
hold on
plot(x_ERP_kan_1(:),x_ERP_kan_2(:),'r.');
xlim([-2,2])
ylim([-2,2])
axis equal

% wektor własny odpowiadający największej wartości własnej jest
% kierunkiem najbardziej różnicującym warunki eksperymentalne
disp('wartości własne znajdują się na przekątnej macierzy Lambda')
disp(Lambda)
% rysujemy wersory jednostkowe w kierunkach wektorów własnych
w1 = W(:,1);
w1 = w1/norm(w1);
w2 = W(:,2);
w2 = w2/norm(w2);
line([0, w1(1) ],[0,w1(2)],'Color',[0,0.3,0])
text(w1(1),w1(2),'wektor własny 1')
line([0, w2(1) ],[0,w2(2)],'Color',[1,0,1])
text(w2(1),w2(2),'wektor własny 2')

xlabel('Amplituda na elektrodzie 1')
ylabel('Amplituda na elektrodzie 2')
legend('baseline','ERP')

% Ilustracja estymowanych źródeł
figure(2);clf
subplot(2,2,1);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(S(:,1,baseline_ind)))','b');hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze(S(:,1,ERP_ind)))','r');hold off
xlabel('estymowane zrodlo 1')
title('ilustracja estymacji -\newline estymowane są potencjały źródeł w dwóch warunkach eksperymentalnych')
subplot(2,2,3);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(S(:,2,baseline_ind)))','b');hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze(S(:,2,ERP_ind)))','r');hold off
xlabel('estymowane zrodlo 2');
subplot(1,2,2)
plot(s_baseline_estymowany_kan1(:),s_baseline_estymowany_kan2(:),'b.');
hold on
plot(s_ERP_estymowany_kan1(:),s_ERP_estymowany_kan2(:),'r.');

xlabel('Amplituda estym. źródła 1')
ylabel('Amplituda estym. źródła 2')
legend('baseline','ERP')
</source>
{{hidden end}}

=Sesja 2: CSP dla P300 — dane realne=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Pracujemy z danymi kalibracyjnymi z eksperymentu P300.
Celem sesji jest przejście pełnego pipeline'u: od surowych danych
do odtworzonych źródeł CSP.

;Zakres:
* wczytanie danych kalibracyjnych, identyfikacja znaczników T i NT
* cięcie epok (−200 do +800 ms), usuwanie trendu liniowego
* montaż względem średniej ze wszystkich elektrod
* wizualizacja ERP w układzie topograficznym
* obliczenie macierzy kowariancji RT i RNT, normalizacja przez ślad
* rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego: <code>[W, Lambda] = eig(R_T, R_NT)</code>
* odtworzenie sygnałów źródłowych: <code>S = W'*EEG</code>
* przegląd estymowanych źródeł w dwóch warunkach

;Materiały:
Dane: https://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/KalibracjaP300.tar.gz

===ZADANIE: Analiza CSP===

Przegląd badań o P300: https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2715154/

Link do Read menager [https://drive.google.com/file/d/1OgOduK5Zn7GgNl5XdCyLWXHJ7wTJIWcC/view?usp=share_link]

* Wykonać analizę CSP wzmacniającą potencjał P300.
* Zaprezentować średnią ze wszystkich kanałów źródłowych z warunku target (jeden kolor) i non-target (inny kolor) w subplotach ułożonych w prostokątnej siatce. Zaobserwować, dla którego kanału średnie różnią się najbardziej. Czy jest związek tego kanału z wartościami własnymi?

* Dla kanału najbardziej różnicującego wykonać mapki topograficzne wektorów odpowiadających:
** filtrowi przestrzennemu
** rzutu topograficznego źródła na elektrody.

===Szkielet kodu do analizy wstępnej===

<source lang="matlab">
%% KROK 1: Wczytanie danych
% ReadManager to pomocnicza klasa do odczytu plików w formacie OpenBCI.
% Przyjmuje trzy pliki: XML z metadanymi, RAW z próbkami i TAG ze znacznikami zdarzeń.
nazwaPliku = 'p_6301423_calibration_p300.obci';
nameOfXMLFile = strcat(nazwaPliku, '.xml');
nameOfTagFile = strcat(nazwaPliku, '.tag');
namesOfDataFiles = strcat(nazwaPliku, '.raw');

rm = ReadManager(nameOfXMLFile, namesOfDataFiles, nameOfTagFile);

% Pobieramy podstawowe parametry nagrania
numberOfChannels = rm.get_param('number_of_channels');
namesOfChannels = rm.get_param('channels_names');
samplingFrequency = rm.get_param('sampling_frequency');

% Pobieramy listę wszystkich znaczników zdarzeń z nagrania
tagsStruct = rm.get_tags();

%% KROK 2: Identyfikacja znaczników Target i Non-Target
% Każdy znacznik typu 'blink' odpowiada jednemu mignięciu w eksperymencie P300.
% Pole 'index' mówi który symbol mignął, pole 'target' który symbol był oczekiwany.
% Jeśli index == target to było to mignięcie docelowe (Target), w przeciwnym razie
% Non-Target.
targetTimeStamps = [];
NonTargetTimeStamps = [];

for structNumber = 1:length(tagsStruct)
if strcmp(tagsStruct(structNumber).name, 'blink')
index = tagsStruct(structNumber).children.index;
target = tagsStruct(structNumber).children.target;
if index == target
targetTimeStamps = [targetTimeStamps tagsStruct(structNumber).start_timestamp];
else
NonTargetTimeStamps = [NonTargetTimeStamps tagsStruct(structNumber).start_timestamp];
end
end
end

%% KROK 3: Wczytanie i filtrowanie sygnału
samples = double(rm.get_samples());
samples = samples(1:8,:); % odrzucamy kanały bez EEG
numberOfChannels = 8;

% Filtr dolnoprzepustowy Czebyszewa 2. rodzaju — odcięcie 25 Hz
[b, a] = cheby2(6, 80, 25/(samplingFrequency/2), 'low');
for ch = 1:numberOfChannels
samples(ch,:) = filtfilt(b, a, samples(ch,:));
end

%% KROK 4: Montaż względem średniej (common average reference)
% Odejmujemy od każdego kanału średnią ze wszystkich kanałów w danej chwili.
% Jest to prostsze i bardziej ogólne niż montaż względem połączonych uszu.
M = -ones(numberOfChannels, numberOfChannels) / numberOfChannels;
M = M + eye(numberOfChannels) * (numberOfChannels+1) / numberOfChannels;
samples = 0.0715 * M * samples;

%% KROK 5: Cięcie epok
PRE = -0.2;
POST = 0.8;
wycinek = floor(PRE*samplingFrequency : POST*samplingFrequency);

TargetSignal = zeros(length(targetTimeStamps), numberOfChannels, length(wycinek));
NonTargetSignal = zeros(length(NonTargetTimeStamps), numberOfChannels, length(wycinek));

for trialNumber = 1:length(targetTimeStamps)
trigerOnset = floor(targetTimeStamps(trialNumber) * samplingFrequency);
tenWycinek = wycinek + trigerOnset;
if tenWycinek(1) > 0 && tenWycinek(end) <= size(samples,2)
tmpSignal = samples(:, tenWycinek);
tmpSignal = detrend(tmpSignal')'; % usuwanie trendu liniowego
TargetSignal(trialNumber,:,:) = tmpSignal;
end
end

for trialNumber = 1:length(NonTargetTimeStamps)
trigerOnset = floor(NonTargetTimeStamps(trialNumber) * samplingFrequency);
tenWycinek = wycinek + trigerOnset;
if tenWycinek(1) > 0 && tenWycinek(end) <= size(samples,2)
tmpSignal = samples(:, tenWycinek);
tmpSignal = detrend(tmpSignal')';
NonTargetSignal(trialNumber,:,:) = tmpSignal;
end
end

% Oś czasu w milisekundach — przyda się do rysowania
times = (wycinek / samplingFrequency) * 1000;

%% KROK 6: Wizualizacja ERP w układzie topograficznym
% Oblicz potencjały wywołane (ERP) jako średnie po powtórzeniach
ERP_T = squeeze(mean(TargetSignal, 1)); % wymiary: kanały × czas
ERP_NT = squeeze(mean(NonTargetSignal, 1));

% TUTAJ: narysuj ERP_T i ERP_NT dla każdego kanału w subplotach
% ułożonych w siatce odpowiadającej przybliżonym pozycjom elektrod.
% Na każdym subplocie nałóż oba warunki różnymi kolorami.
% Oś X: czas w ms (użyj wektora times), oś Y: amplituda w µV.
% Zadbaj o legendę i tytuły z nazwami kanałów (namesOfChannels).

%% KROK 7: Obliczenie średnich macierzy kowariancji
% Dla każdego powtórzenia oblicz macierz kowariancji funkcją cov(),
% znormalizuj przez jej ślad (trace()), a następnie uśrednij po powtórzeniach.
% Pamiętaj: cov() oczekuje macierzy próbki × kanały, czyli potrzebujesz transpozycji.

R_T = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
R_NT = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for r = 1:length(targetTimeStamps)
% TUTAJ: wytnij r-te powtórzenie T, oblicz kowariancję, znormalizuj, dodaj do R_T
end

for r = 1:length(NonTargetTimeStamps)
% TUTAJ: wytnij r-te powtórzenie NT, oblicz kowariancję, znormalizuj, dodaj do R_NT
end

% TUTAJ: podziel R_T i R_NT przez odpowiednie liczby powtórzeń

%% KROK 8: Rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego
% Szukamy filtrów przestrzennych W maksymalizujących stosunek mocy
% w warunku T względem NT: eig(R_T, R_NT)
% W kolumnach W znajdują się filtry, na przekątnej Lambda — wartości własne.

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

disp('Wartości własne (przekątna Lambda):')
disp(diag(Lambda))

%% KROK 9: Odtworzenie sygnałów źródłowych
% Dla każdego powtórzenia zastosuj filtr przestrzenny:
% s(r,:,:) = W' * x(r,:,:)
% Pamiętaj o wymiarach — squeeze() może być pomocne.

S_T = zeros(size(TargetSignal));
S_NT = zeros(size(NonTargetSignal));

for r = 1:size(TargetSignal, 1)
% TUTAJ: S_T(r,:,:) = ...
end

for r = 1:size(NonTargetSignal, 1)
% TUTAJ: S_NT(r,:,:) = ...
end

%% KROK 10: Wizualizacja estymowanych źródeł
% Narysuj średnie przebiegi źródeł (ERP w przestrzeni CSP) dla obu warunków.
% Ułóż subploty w prostokątnej siatce — jeden subplot na każde źródło.
% Dla którego źródła różnica między T i NT jest największa?
% Czy odpowiada to źródłu z największą wartością własną?

ERP_S_T = squeeze(mean(S_T, 1));
ERP_S_NT = squeeze(mean(S_NT, 1));

% TUTAJ: narysuj ERP_S_T i ERP_S_NT w subplotach
</source>

=Sesja 3: CSP dla P300 — interpretacja i separacja cech=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Kontynuacja analizy CSP. Celem sesji jest interpretacja wyników
w kategoriach fizjologicznych oraz ocena separowalności klas
w przestrzeni cech opartej na mocy sygnału.

;Zakres:
* mapki topograficzne filtra przestrzennego i topografii źródła
* związek wartości własnych z siłą różnicowania warunków T i NT
* wykresy punktowe mocy: oś X — moc składowej z największą wartością własną, oś Y — moc kolejnej składowej; jeden punkt = jedno powtórzenie
* uśrednianie po 2, 4, 6, 8 i 10 realizacjach — obserwacja poprawy separacji wraz z liczbą uśrednień
* dyskusja: utożsamianie komponentów CSP z fizjologicznymi źródłami jest ryzykowne; komponenty maksymalizują kontrast między warunkami, niekoniecznie odpowiadają izolowanym generatorom

;Materiały:
Zob. [[#Szkielet kodu do analizy wstępnej|Szkielet kodu do analizy wstępnej]] i [[#Zadanie: Wybór i separacja cech|Zadanie: Wybór i separacja cech]] poniżej.

===Zadanie: Wybór i separacja cech===
* Przedstaw na rysunkach nałożone na siebie pojedyncze realizacje z warunków target i non-target po rzutowaniu na wektor <math>w</math> odpowiadający największej i kolejnej wartości własnej.
* Przedstaw wykresy punktowe takie, że na jednej osi jest moc sygnału (suma kwadratów wartości próbek w wybranym zakresie czasu) odpowiadającego największej wartości własnej, a na drugiej osi kolejnej (mniejszej) wartości własnej; jeden punkt reprezentuje jedno powtórzenie.
* Wykonaj serię wykresów jak w poprzednim punkcie dla uśrednień sygnałów kolejno po 2, 4, 6, 8 i 10 realizacjach:
** Liczymy potencjał wywołany dla danej liczby powtórzeń.
** Następnie podnosimy wartości próbek do kwadratu
** i sumujemy je w wybranym zakresie czasu.
* Zaobserwuj jak zmienia się separacja w grupach target i non-target.
{{hidden end}}
[https://robintibor.github.io/eeg-deep-learning-phd-thesis/DeepArchitectures.html Archirtektury sieci do BCI: ConvNet]

[https://www.researchgate.net/figure/The-architecture-of-EEGNet-F1-S1-model-F1-and-S1-represent-the-number-of-temporal_fig3_347073448 EEGNet]

=Sesja 4: Filtry przestrzenne dla SSEP — cosSinCSP=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Sesja wprowadza metodę cosSinCSP jako naturalne uogólnienie CSP
o wiedzę dziedzinową dotyczącą sygnału SSEP. W klasycznym CSP
dwa warunki eksperymentalne definiują dwie macierze kowariancji.
W cosSinCSP rolę jednej z macierzy przejmuje projekcja sygnału
na przestrzeń sinusów i cosinusów częstości stymulacji i jej harmonicznych.
Formalizm ilorazu Rayleigha i uogólnionego zagadnienia własnego
pozostaje identyczny.

Dane używane na tych zajęciach pochodzą z eksperymentu SSEP
z archiwum — bez sesji rejestracyjnej. Na wykresach widma
sygnału przed transformacją CSP dominuje artefakt sieciowy 50 Hz,
który praktycznie zasłania odpowiedź na stymulację. Zadaniem
jest sprawdzenie czy cosSinCSP potrafi ten sygnał wydobyć.

;Zakres:
* idea cosSinCSP: macierz S złożona z sinusów i cosinusów harmonicznych, projekcja sygnału na przestrzeń SSEP i resztę Y
* implementacja funkcji <code>cosSinCSP</code> w MATLAB
* analiza danych archiwalnych: widma Welcha dla kanałów oryginalnych i źródeł CSP — porównanie SNR przed i po transformacji
* prezentacja filtrów przestrzennych i topografii źródeł

;Materiały:
Zob. [[#Filtry przestrzenne dla SSEP|Filtry przestrzenne dla SSEP]] poniżej.

==Filtry przestrzenne dla SSEP==

===Teoria===

Ciekawa koncepcja filtra przestrzennego dla SSEP zaprezentowana jest tu: http://www.eurasip.org/Proceedings/Eusipco/Eusipco2009/contents/papers/1569193209.pdf

Pokrótce można ją rozumieć podobnie do tego co robiliśmy rozważając filtry przestrzenne CSP z tym, że dla SSEP oraz innych potencjałów wywołanych stanu ustalonego możemy skorzystać z dodatkowych informacji dotyczących poszukiwanych źródeł. Wiemy mianowicie, że powinny one oscylować z częstością bodźca i być może jej harmonicznych.

Przyda nam się macierz <math>S</math> zbudowana tak, że w kolejnych kolumnach znajdują się sinusy i cosinusy kolejnych częstości harmonicznych. Wektory te unormujemy, żeby miały energię równą 1. Innymi słowy macierz <math>S</math> zbudowana jest z wersorów rozpinających przestrzeń, w której powinien znajdować się sygnał SSEP.

W Matlabie możemy taką macierz zbudować tak:

<source lang="matlab">
% Fs - częstość próbkowania
% numberOfSamples - długość sygnału w próbkach
% numberOfHarmonics - liczba harmonicznych, które chcemy włączyć do analizy
t = (0:1:numberOfSamples - 1) / Fs;
S = zeros(numberOfSamples, 2*numberOfHarmonics);

for harmonicNumber = 1:numberOfHarmonics
c = cos(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
s = sin(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
S(:,(harmonicNumber - 1)*2 + 1) = c/norm(c);
S(:,(harmonicNumber - 1)*2 + 2) = s/norm(s);
end
</source>

Aby w badanym sygnale znaleźć składowe odpowiadające SSEP musimy rzutować sygnał <math>X</math> (macierz sygnałów ''kanały × próbki'') na przestrzeń rozpiętą przez <math>S</math>:
:<math>A = X S</math>
Macierz <math>A</math> zawiera współczynniki będące iloczynami skalarnymi sygnałów i wersorów — mówią one o tym jak dużo sinusa bądź cosinusa o danej częstości jest w pierwotnym sygnale. Komponenty SSEP zawarte w sygnale <math>X</math> odzyskujemy tak:
:<math>\mathrm{SSEP} = A S^T</math>

Modelujemy rejestrowany sygnał jako:
:<math>X = \mathrm{SSEP} + Y</math>
gdzie:
:<math>Y = X - \mathrm{SSEP}</math>
to wszystkie komponenty sygnału, które nas nie interesują.

Filtr przestrzenny, który chcemy zbudować powinien maksymalizować stosunek wariancji <math>\mathrm{SSEP}</math> do wariancji <math>Y</math>. Macierz kowariancji powinna być uśredniona po powtórzeniach, a kowariancja sygnału w każdym powtórzeniu powinna być znormalizowana przez jej ślad. Dalej stosujemy technikę znaną z CSP: maksymalizację ilorazu Rayleigha przez rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego dla macierzy kowariancji <math>\mathrm{SSEP}</math> i <math>Y</math>.

===Zadanie: implementacja funkcji cosSinCSP===

Dane do zadania: [[Plik:PrzykladoweDaneSSVEP.mat.gz]].
Pełny przykład z danymi z eksperymentu SSEP: [[Plik:SSVEP_demo_csp.tar.gz]]

Zaimplementuj funkcję <code>cosSinCSP</code> zgodnie z poniższym szkieletem.
Prawidłowo zaimplementowana funkcja wraz ze skryptem demonstracyjnym poniżej
powinna generować rysunek: [[Plik:Rys_SSVEP_demo.png|400px|podpis grafiki]]

<source lang="matlab">
function [W, Lambda] = cosSinCSP(signal, stimulationFrequency, numberOfHarmonics, Fs)
% cosSinCSP - filtr przestrzenny dla sygnałów SSEP
%
% Wejście:
% signal - dane EEG, wymiary: powtórzenia × kanały × próbki
% stimulationFrequency - częstość stymulacji w Hz
% numberOfHarmonics - liczba harmonicznych do uwzględnienia
% Fs - częstość próbkowania w Hz
%
% Wyjście:
% W - macierz filtrów przestrzennych (kanały × kanały), filtry w kolumnach
% Lambda - macierz diagonalna wartości własnych

[numberOfTrials, numberOfChannels, numberOfSamples] = size(signal);

%% KROK 1: Zbuduj macierz referencyjną S (sinusy i cosinusy harmonicznych)
% S ma wymiary: próbki × 2*numberOfHarmonics
% Każda kolumna to jeden wersor (unormowany sinus lub cosinus).
% Wróć do sekcji Teoria powyżej i przełóż tamten kod na tę funkcję.

% TUTAJ

%% KROK 2: Oblicz średnie macierze kowariancji C_SSEP i C_Y
% Dla każdego powtórzenia wytnij sygnał x (kanały × próbki),
% rozłóż go na składową SSEP i resztę Y zgodnie z równaniami z sekcji Teoria,
% oblicz macierze kowariancji obu składowych, znormalizuj przez ślad
% i uśrednij po powtórzeniach.

C_SSEP = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
C_Y = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for trial = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(trial, :, :)); % kanały × próbki

% TUTAJ: oblicz SSEP i Y

% TUTAJ: oblicz kowariancje, znormalizuj, dodaj do C_SSEP i C_Y
end

% TUTAJ: podziel C_SSEP i C_Y przez numberOfTrials

%% KROK 3: Rozwiąż uogólnione zagadnienie własne
% Znajdź filtry przestrzenne maksymalizujące stosunek mocy SSEP do mocy Y.
% Analogia z CSP: jakie macierze wstawiłeś do eig() tam?

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

end
</source>

;Wskazówka do interpretacji wyników:
Filtr związany z największą wartością własną daje komponent
o największym stosunku mocy SSEP do mocy tła.
Sprawdź na widmach Welcha czy odpowiada on składowej
z wyraźnym pikiem przy częstości stymulacji.

{{hidden begin|title=Rozwiązanie — pokaż dopiero po samodzielnej próbie}}
<source lang="matlab">
function [W, Lambda] = cosSinCSP(signal, stimulationFrequency, numberOfHarmonics, Fs)

[numberOfTrials, numberOfChannels, numberOfSamples] = size(signal);

%% KROK 1: Macierz referencyjna S
t = (0:1:numberOfSamples-1) / Fs;
S_ref = zeros(numberOfSamples, 2*numberOfHarmonics);

for harmonicNumber = 1:numberOfHarmonics
c = cos(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
s = sin(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
S_ref(:,(harmonicNumber-1)*2 + 1) = c/norm(c);
S_ref(:,(harmonicNumber-1)*2 + 2) = s/norm(s);
end

%% KROK 2: Średnie macierze kowariancji
C_SSEP = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
C_Y = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for trial = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(trial, :, :)); % kanały × próbki
A = x * S_ref; % projekcja na przestrzeń SSEP
SSEP = A * S_ref'; % rekonstrukcja składowej SSEP
Y = x - SSEP; % reszta

tmp = cov(SSEP');
C_SSEP = C_SSEP + tmp/trace(tmp);

tmp = cov(Y');
C_Y = C_Y + tmp/trace(tmp);
end

C_SSEP = C_SSEP / numberOfTrials;
C_Y = C_Y / numberOfTrials;

%% KROK 3: Uogólnione zagadnienie własne
[W, Lambda] = eig(C_SSEP, C_Y);

end
</source>
{{hidden end}}

===Skrypt demonstracyjny i analiza wyników===

<source lang="matlab">
% wczytujemy dane
load('PrzykladoweDaneSSVEP.mat');

[numberOfTrials numberOfChannels numberOfSamples] = size(X.data);
namesOfChannels = X.channels;

numberOfHarmonics = 3;
signal = X.data; % powtórzenie × kanał × próbki

[W, Lambda] = cosSinCSP(signal, X.stimulation, numberOfHarmonics, X.sampling);

%% Odtworzenie sygnałów źródłowych
S = zeros(size(signal));
for powt = 1:size(signal,1)
S(powt,:,:) = W' * squeeze(signal(powt,:,:));
end

%% Widma Welcha: kanały oryginalne vs źródła CSP
figure('Name', ['Stymulacja: ', num2str(X.stimulation), ' Hz'])
for i = 1:numberOfChannels
subplot(2, numberOfChannels, i)
PP = 0;
for rep = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(rep,i,:));
[Pxx, ff] = pwelch(x, X.sampling, 1, X.sampling, X.sampling);
PP = PP + Pxx;
end
plot(ff(ff<60), PP(ff<60))
title(namesOfChannels{i})

subplot(2, numberOfChannels, numberOfChannels+i)
PP = 0;
for rep = 1:numberOfTrials
s = squeeze(S(rep,i,:));
[Pss, ff] = pwelch(s, X.sampling, 1, X.sampling, X.sampling);
PP = PP + Pss;
end
plot(ff(ff<60), PP(ff<60))
title(['źródło CSP: ', num2str(i)])
xlabel(['\lambda = ', num2str(Lambda(i,i), '%.2f')])
end

%% KROK 4: Mapki topograficzne
% Zidentyfikuj komponent z największą wartością własną.
% Narysuj dwie mapki przy użyciu funkcji topoplot() z pakietu EEGLAB:
%
% (a) Filtr przestrzenny: wagi z jakimi kanały EEG składają się na ten komponent.
% Wskazówka: filtr to kolumna macierzy W.
%
% (b) Topografia źródła: z jakimi wagami komponent dociera do poszczególnych elektrod.
% Wskazówka: topografia zawarta jest w wierszach macierzy odwrotnej do W —
% przypomnij sobie analogiczny krok z analizy CSP dla P300.
%
% Czym różnią się te dwie mapki? Którą łatwiej interpretować fizjologicznie?

% TUTAJ: [~, idx] = max(diag(Lambda));
% TUTAJ: topoplot(...) % filtr
% TUTAJ: topoplot(...) % topografia
</source>

=Sesja 5: ICA jako filtr przestrzenny =

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Sesja wprowadza analizę składowych niezależnych (ICA) jako trzecie
podejście do problemu ślepej separacji źródeł — obok BSS/CSP
i cosSinCSP. Kluczowa różnica: CSP szuka kierunków maksymalizujących
kontrast wariancji między warunkami (kryterium drugiego rzędu),
ICA szuka składowych niezależnych statystycznie, maksymalizując
niegaussowość (kryterium wyższego rzędu). ICA nie wymaga
dwóch warunków eksperymentalnych — działa na jednym stacjonarnym sygnale.

;Zakres wykładu (~40 min):
* model generatywny ICA: <math>\mathbf{x} = \mathbf{D}\mathbf{s}</math>, założenie niegaussowości składowych
* negoentropia i algorytm FastICA
* porównanie z CSP: kiedy ICA, kiedy CSP
* ograniczenia: liczba próbek a liczba kanałów (<math>kN^2</math>), niejednoznaczność kolejności i skali komponentów

;Zakres ćwiczenia (~80 min):
* wczytanie danych do EEGLAB, edycja lokalizacji elektrod
* filtrowanie górnoprzepustowe (FIR, 0,5 Hz), zmiana referencji
* obliczenie ICA na całym sygnale
* identyfikacja komponentów zawierających rytm alfa: topografia, widmo, przebieg czasowy
* usunięcie komponentów niezawierających alfy, odtworzenie sygnału na elektrodach
* porównanie wyników między co najmniej trzema uruchomieniami ICA: czy komponenty są powtarzalne?

==Teoria==

===Definicja ===
Independent Component Analysis (ICA) jest metodą statystycznej analizy sygnałów, która dokonuje dekompozycji wielokanałowych zapisów na składowe niezależne w sensie statystycznym.
Dwie składowe ''s''1 i ''s''2 są niezależne jeżeli wiedza o wartości ''s''1 nie daje żadnych informacji o możliwych wartościach ''s''2. ICA może być wyrażona przez prosty model generatywny:
: '''x''' = '''Ds'''
: gdzie '''x''' = {''x''1, ''x''2, ..., ''x''''n''} jest zmierzonym ''n'' kanałowym sygnałem, '''D''' jest macierzą mieszającą zaś '''s''' = {''s''1, ''s''2, ..., ''s''''n''} jest aktywnością ''n'' źródeł. Podstawowym założeniem dotyczącym '''s''' jest to, że ''s''''i'' są statystycznie niezależne. Aby wyestymować model musimy też założyć, że składowe mają niegaussowskie rozkłady wartości (Hyvärinen, 2000).

Dodatkowo model ten zakłada następujące fakty:
# Sygnał jest liniową mieszaniną aktywności źródeł
# Sygnały pochodzące z każdego ze źródeł są niezależne od pozostałych
# Źródła oraz proces ich mieszania są stacjonarne, tzn, ich momenty statystyczne nie zależą od czasu
# Energie (wariancje) źródeł nie mogą być wyznaczone jednoznacznie. Dzieje się tak ponieważ pomnożenie amplitudy ''i''-tego źródła może być uzyskane poprzez przemnożenie albo ''s''''i'' albo przez przemnożenie ''i''-tej kolumny macierzy '''D'''. Naturalnym rozwiązaniem tej niejednoznaczności jest wprowadzenie konwencji, że komponenty są normowane tak aby miały wariancję 1: E[(''s''''i'')''2''] = 1.
# Kolejność komponentów jest dowolna. Bo jeśli w ten sam sposób zmienimy kolejność komponentów w '''s''' i kolumn w '''D''' to dostaniemy dokładnie ten sam sygnał '''x'''.

Głównym wyzwaniem w analizie ICA jest estymacja macierzy mieszającej '''D'''. Gdy jest ona znana to komponenty mogą być wyliczone w następujący sposób:
: '''s''' = '''D'''−1'''x'''

=== Estymacja ===
Znalezienie niezależnych komponentów może być rozważane w świetle Centralnego Twierdzenia Granicznego jako poszukiwanie komponentów o możliwie nie gaussowskim rozkładzie.
Aby zrozumieć to podejście prześledźmy heurystykę zaproponowaną przez (Hyvärinen, 2000).
Dla prostoty załóżmy, że poszukiwane źródła niezależne mają identyczne rozkłady.
Zdefiniujmy

''y'' = '''w'''T'''x'''.

Zauważmy, że jeśli

'''w'''

jest jedną z kolumn macierzy

'''D'''−1,

to ''y'' jest jednym z poszukiwanych komponentów.
Zamieniając zmienne

'''z''' = '''D'''T'''w'''

możemy napisać

''y'' = '''w'''T'''x''' = '''w'''T'''Ds''' = '''z'''T'''s'''.

Uwidacznia to fakt, że ''y'' jest liniową kombinacją składowych s''i'' z wagami danymi przez z''i''.

Z centralnego twierdzenia granicznego wynika, że suma niezależnych zmiennych losowych ma bardziej gaussowski charakter niż każda z tych zmiennych osobno.
Liniowa kombinacja staje się najmniej gaussowska gdy '''z''' ma tylko jeden element niezerowy. W tym przypadku ''y'' jest proporcjonalny do s''i''.
Zatem problem estymacji modelu ICA może być sformułowany jako problem znalezienia takiego wektora '''w''', który maksymalizuje niegaussowskość

''y'' = '''w'''T'''x'''.

Maksymalizacja niegaussowskości ''y'' daje jeden niezależny komponent odpowiadający jednemu z 2''n'' maksimów (bo mamy s''i'' i −s''i'') w krajobrazie optymalizacyjnym. Aby znaleźć wszystkie niezależne komponenty musimy znaleźć wszystkie maksima. Ponieważ komponenty są nieskorelowane, to poszukiwania kolejnych komponentów można kontynuować w podprzestrzeni ortogonalnej do już znalezionych komponentów.

===Obliczenia===
Intuicyjna heurystyka poszukiwania najbardziej niegaussowskich składowych może być użyta do wyprowadzenia różnych funkcji kosztu, których optymalizacja daje model ICA, np. kurtoza.

<math>kurt(y) = E\{y^4\} - 3(E{y^2})^2</math>

Inną miarą gassowskości jest neg-entropia, którą można wyprowadzić z entropii:
Entropia jest miarą średniego zdziwienia wynikiem obserwacji zmiennej losowej:
<math>H(Y) = - \sum_i P(Y= a_i) \log(P(Y=a_i)) </math>

Negentropia jest zdefiniowana:

<math> J(y) = H(y_{gauss}) -H(y)</math>
gdzie <math> y_{gauss} </math> jest gassuwską zmienną losową o takiej samej kowaiancji jak <math> y </math>.

Negentropia jest skomplikowana obliczeniow, więc w praktyce używana jest formuła przybliżona:

<math> J(y) \varpropto [E\{G (y)\} - E\{G(\nu)\}]^2</math>

<math>\nu </math> jest zmienną losową ze standardowego rozkładu normalnego , a G są pewnymi niekwadratowymi funkcjami.

W algorytmie FastICA extremum negentropii jest znajdowane w procedurze bazującej na optymalizacji Newtona.
(szczegóły np.: sekcja 6 w https://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/NN00new.pdf)

Procedura wykorzystywana w eeglabie (&bdquo;runica”, Makeig 1996) dąży do minimalizacji informacji wzajemnej. Oba podejścia są w przybliżeniu równoważne (Hyvärinen, 2000), chociaż owo przybliżenie dla sygnałów elektrofizjologicznych nie zostało to jeszcze w pełni wyeksplorowane.
Dla sygnałów o niskiej wymiarowości i spełniających dokładnie założenia ICA wszystkie powszechnie wykorzystywane algorytmy dają niemal identyczne wyniki.

;Bardzo ważna uwaga: ogólną zasadą jest, że jeśli estymujemy ''N'' stabilnych komponentów (z ''N''-kanałowych danych) to musimy dysponować ''kN''2 punktami danych w każdym kanale, gdzie ''N''2 jest liczbą elementów w macierzy '''D''', którą ICA próbuje wyestymować, ''k'' jest liczbą całkowitą. Nie ma dobrych oszacowań teoretycznych na wielkość ''k'', z praktycznych obserwacji wynika, że rośnie ona z liczbą kanałów.

=== Możliwe zastosowania ===
Najczęściej ICA jest stosowana jako narzędzie do:
* usuwania artefaktów z sygnałów EEG (ruchy oczu i mięśnie)
* wydobywania składowych do dalszej analizy (Onton, 2006)
* jako analiza wstępna do lokalizacji źródeł (Grau, 2007).
* ICA jest także stosowana w analize sygnałów EKG i EMG.

===Bibliografia===
Bazowa praca:
* A. Hyvärinen. Fast and Robust Fixed-Point Algorithms for Independent Component Analysis. IEEE Transactions on Neural Networks 10(3):626-634, 1999 http://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/TNN99_reprint.pdf

Nieco prościej opisana wersja z przykładami:
* Hyvärinen, A. and Oja, E. (2000). Independent component analysis: Algorithms and applications. Neural Networks, 13(4-5):411–430.
https://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/NN00new.pdf

* Grau, C., Fuentemilla, L., Marco-Pallars, J. (2007). Functional neural dynamics underlying auditory event-related n1 and n1 suppression response. Neuroimage, 36(6):522–31.
* Makeig, S., Bell, A., Jung, T.-P., Sejnowski,T. (1996). Independent component analysis of electroencephalographic data. W: Touretzky, D., Mozer, M., and Hasselmo, M., editors, Advances in Neural Information Processing Systems, volume 8, pages 145–151. MIT Press, Cambridge, MA.
* Onton, J., Makeig, S. (2006). Information-based modeling of event-related brain dynamics. Prog Brain Res., 159:99–120.
* Tutorial: http://sccn.ucsd.edu/wiki/Chapter_09:_Decomposing_Data_Using_ICA
* http://sccn.ucsd.edu/~arno/indexica.html
* http://cis.legacy.ics.tkk.fi/aapo/papers/IJCNN99_tutorialweb/

== ZADANIE: Wydobywanie interesujących komponentów ==

Dane do tej części ćwiczeń proszę pobrać i rozpakować w swoim katalogu:
http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Dane_do_ICA_alfa.tar.gz

Pochodzą one z eksperymentu, w którym osoba badana siedziała z zamkniętymi oczami słuchając nagrania czytanego spokojnym głosem. Metadane opisujące sygnał znajdują się w pliku Miro.xml, zaś lokalizacje elektrod w pliku Miro-10-20-Cap.locs.

Proszę:
* wczytać dane do eeglaba
* wyedytować lokalizację elektrod
* usunąć kanały nie zawierające EEG
* zmienić referencje na średnią z kanałów A1 i A2
* przefiltrować filtrem FIR górnoprzepustowym z częstością odcięcia 0,5 Hz
* obejrzeć wstępnie przygotowane dane
* policzyć ICA na całym sygnale
* obejrzeć właściwości otrzymanych komponentów
** Czy są wśród nich takie, które zawierają znaczny udział rytmu alfa?
** Jaka jest ich topografia?
* usunąć wszystkie komponenty nie zawierające alfy
* odtworzyć z tych komponentów sygnał na elektrodach
* wykonać dekompozycję ICA kilkukrotnie (co najmniej 3) i porównać wyniki
** Czy uzyskiwane komponenty są powtarzalne?
** Swoje wyniki porównać też z sąsiednimi grupami.

==ZADANIE: Identyfikacja artefaktów ==
Proszę pobrać dane:

*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal-10-20-Cap.locs
*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal1.set
*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal1.fdt

Pochodzą one z eksperymentu w którym osoba badana czytała słowa o różnych właściwościach wzbudzania emocji.

* wczytaj je do eeglaba
* wczytaj lokalizację kanałów z pliku Arousal-10-20-Cap.locs
* obejrzyj przebiegi czasowe
* odrzuć kanał z diodą (21) i z GSR (20)
* zrób dekompozycję ICA
* obejrzyj topografię komponentów
* zidentyfikuj komponenty odpowiadające mruganiu i aktywności mięśniowej.
;UWAGA: Aktualnie do wykrywania komponentów artefaktowych warto posłużyć się wtyczkami do eeglaba dostępnymi przez stronę:

https://sccn.ucsd.edu/eeglab/plugin_uploader/plugin_list_all.php

* ICLabel:
** https://labeling.ucsd.edu/tutorial/overview
** https://github.com/sccn/ICLabel

* MARA:
** https://github.com/irenne/MARA/raw/master/MARAtutorial.pdf
** https://irenne.github.io/artifacts/

=Sesja 6: Problem odwrotny w EEG i MEG=

;Czas: ~60 min wykład + ~90 min ćwiczenie

Sesja wprowadza problem odwrotny jako alternatywne — i komplementarne —
podejście do analizy przestrzennej sygnałów EEG i MEG. O ile BSS/CSP
i ICA szukają filtrów przestrzennych w przestrzeni elektrod,
nie zakładając nic o geometrii mózgu,
to metody problemu odwrotnego wyraźnie osadzają źródła
w przestrzeni trójwymiarowej, korzystając z fizyki i modelu głowy.

Materiały z naszych zasobów:
* [[Elektroencefalografia|Sekcje 3 i 8 z Podręcznika o EEG ]]
* [https://drive.google.com/file/d/1EOJxN1y7X3YlIFHoIIyoZzCiXdrQSHcA Wykład Piotra Durki z Analizy sygnałów o problemie odwrotnym w EEG iMEG]

Z zasobów zewnętrznych polecam:
* [https://download.fieldtriptoolbox.org/workshop/toolkit2025/slides/04_forward_inverse.pdf#page=1.00 Slajdy "Forward and inverse - lecture by Robert Oostenveld" fragment warsztatów: "Advanced MEG/EEG toolkit at the Donders"]

==Kontrast z BSS: dwa języki opisu tego samego zjawiska==

Zarówno BSS/ICA, jak i metody problemu odwrotnego wychodzą
od tego samego modelu generatywnego:
:<math>\mathbf{x}(t) = \mathbf{A}\,\mathbf{s}(t) + \boldsymbol{\varepsilon}(t)</math>
gdzie <math>\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^{N_e}</math> to potencjały na elektrodach,
<math>\mathbf{s}(t) \in \mathbb{R}^{N_s}</math> to aktywność źródeł,
a <math>\mathbf{A}</math> to macierz mieszająca (ang. ''lead field'' lub ''forward matrix'').

Różnica leży w tym, co robimy z macierzą <math>\mathbf{A}</math>:

{| class="wikitable"
|-
! !! BSS / ICA !! Problem odwrotny
|-
| '''Macierz A''' || nieznana; estymowana z danych || obliczona z modelu głowy (''forward model'')
|-
| '''Liczba źródeł''' || równa liczbie elektrod || od 1 dipola do ~10 000 wokseli
|-
| '''Geometria''' || brak założeń przestrzennych || źródła zlokalizowane w przestrzeni 3D
|-
| '''Regularyzacja''' || przez kryterium stat. (niezależność, wariancja) || przez regularyzację matematyczną (L2, L1, …)
|-
| '''Wynik''' || filtry przestrzenne + komponenty || mapa aktywności w przestrzeni mózgu
|}

Kluczowa trudność problemu odwrotnego wynika z jego
fundamentalnej niejednoznaczności:

układ równań:

<math>\mathbf{x} = \mathbf{A}\mathbf{s}</math>

jest niedookreślony — przy <math>N_e \approx 19\text{–}256</math> elektrodach
i <math>N_s \sim 10^4</math> możliwych lokalizacjach źródeł
istnieje nieskończenie wiele rozkładów <math>\mathbf{s}</math>
dokładnie odtwarzających zmierzony <math>\mathbf{x}</math>.
Każda metoda nakłada inne założenie ''a priori'', by wybrać jedno rozwiązanie.

==Model do przodu (forward model)==

Zanim można rozwiązać problem odwrotny, należy zbudować
''model do przodu'' — obliczenie potencjałów na elektrodach
wywołanych przez jednostkowe źródło prądowe w danym miejscu mózgu.
Wynik zapisuje się jako macierz ''pola wiodącego'' (''lead field''):
:<math>\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{N_e \times 3N_s}</math>
gdzie czynnik 3 wynika z trzech ortogonalnych składowych momentu dipolowego.

=== Skąd bierze się macierz ''lead field''? ===

Przejdźmy od równań Maxwella do tego, co dosłownie liczą funkcje `ft_prepare_headmodel` / `ft_prepare_leadfield`.

==== 1. Punkt wyjścia: przybliżenie kwazistatyczne ====

=====Pełne równania Maxwella w ośrodku materialnym=====

$$
\begin{aligned}
\nabla \cdot \mathbf{D} &= \rho && \text{(prawo Gaussa)} \\
\nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 && \text{(brak monopoli magnetycznych)} \\
\nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} && \text{(prawo Faradaya)} \\
\nabla \times \mathbf{H} &= \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} && \text{(prawo Ampère'a–Maxwella)}
\end{aligned}
$$

uzupełnione związkami konstytutywnymi dla tkanki traktowanej jako liniowy, lokalnie izotropowy ośrodek:

$$
\mathbf{D} = \varepsilon\,\mathbf{E},\qquad \mathbf{B} = \mu_0\,\mathbf{H},\qquad \mathbf{J} = \sigma\,\mathbf{E} + \mathbf{J}^p
$$

Ostatnia relacja to uogólnione prawo Ohma: prąd swobodny ma część omową (<math>\sigma\mathbf{E}</math>, prądy bierne w przewodniku objętościowym) i część „pierwotną" <math>\mathbf{J}^p</math> pochodzącą od źródeł neuronowych — bo to one *nie* są napędzane lokalnym polem <math>\mathbf{E}</math>, tylko gradientami stężeń jonów.

===== Przybliżenie kwazistatyczne =====

Wprowadzamy harmoniczną zależność czasową <math>e^{i\omega t}</math> i porównujemy człony w równaniach Maxwella. Trzy warunki muszą być spełnione jednocześnie:

**(a) Pomijalny prąd przesunięcia w równaniu Ampère'a. ** Stosunek członu pojemnościowego do omowego to <math>\omega\varepsilon/\sigma</math>. Dla tkanki przy <math>f=100</math> Hz, <math>\sigma\approx 0{,}3</math> S/m, <math>\varepsilon_r\approx 10^5</math> (efektywna wartość niska-częstotliwościowa dla istoty szarej; spada szybko z <math>f</math>):
$$\frac{\omega\varepsilon}{\sigma} = \frac{2\pi\cdot 100\cdot 10^5\cdot 8{,}85\cdot 10^{-12}}{0{,}3}\sim 10^{-3}$$

— bezpiecznie pomijalny w EEG. To pozwala napisać <math>\nabla\times\mathbf{H}\approx\mathbf{J}</math>, a po wzięciu dywergencji:
$$\nabla\cdot\mathbf{J} = 0$$

**(b) Pomijalna indukcja w równaniu Faradaya.** Mówimy, że <math>\partial\mathbf{B}/\partial t</math> jest na tyle małe, że <math>\nabla\times\mathbf{E}\approx 0</math>, więc istnieje potencjał skalarny <math>V</math> z <math>\mathbf{E}=-\nabla V</math>. Można to oszacować z indukcyjności geometrii głowy i wykazać, że pomijany wkład jest o kilka rzędów mniejszy od <math>-\nabla V</math>.

**(c) Brak efektów propagacyjnych.** Długość fali EM przy 100 Hz w próżni to <math>\lambda = c/f\approx 3000</math> km, czyli <math>\lambda \gg L_\text{głowy}</math>. To gwarantuje, że pole „widzi" całą głowę jednocześnie — stąd zerowe przesunięcie fazowe propagacji potencjału przez przewodnik objętościowy.

Co zostaje po przybliżeniu:

$$
\begin{aligned}
\nabla \times \mathbf{E} &= 0 \;\Rightarrow\; \mathbf{E} = -\nabla V \\
\nabla \cdot \mathbf{J} &= 0 \\
\mathbf{J} &= -\sigma\nabla V + \mathbf{J}^p
\end{aligned}
$$

Składając trzy powyższe:

$$
\nabla\cdot\bigl(\sigma(\mathbf{r})\nabla V(\mathbf{r})\bigr) = \nabla\cdot\mathbf{J}^p(\mathbf{r})
$$

Warto przy tym podkreślić, że prawo Gaussa i <math>\nabla\cdot\mathbf{B}=0</math> nie znikają — one są nadal spełnione, ale po prostu nie są nam potrzebne do wyliczenia <math>V</math> na skórze: ładunki swobodne i indukowane policzy się *a posteriori* z <math>\rho = \nabla\cdot(\varepsilon\nabla V)\cdot(-1)</math>, a pole magnetyczne (interesujące dla MEG!) z prawa Biota–Savarta zastosowanego do <math>\mathbf{J}</math>.

Warto tu zauważyć, że kwazistatyka EEG i kwazistatyka MEG to **to samo** przybliżenie — różni je tylko, co wybieramy jako wielkość mierzoną (<math>V</math> na skórze vs. <math>\mathbf{B}</math> na zewnątrz głowy). To samo równanie Poissona generuje oba sygnały, a różnice w czułości na orientację dipola (radialny vs. tangencjalny) wynikają stąd, że potencjał i pole magnetyczne są różnymi funkcjonałami tego samego rozwiązania.

==== 2. Rozszczepienie prądu — gdzie pojawia się „źródło" ====

Gęstość prądu w tkance dzielimy na część „pierwotną" (neuronową) i „objętościową" (omową):

$$\mathbf{J}(\mathbf{r}) = \mathbf{J}^p(\mathbf{r}) - \sigma(\mathbf{r})\,\nabla V(\mathbf{r})$$

<math>\mathbf{J}^p</math> reprezentuje *prądy postsynaptyczne w piramidowych neuronach kory* — to one są naszym „źródłem". Reszta to prądy bierne płynące w przewodniku objętościowym o nieizotropowej, niejednorodnej przewodności <math>\sigma</math>.

Podstawiając do warunku <math>\nabla \cdot \mathbf{J}_\text{tot} = 0</math> dostajemy równanie Poissona dla niejednorodnego przewodnika:

$$\boxed{\;\nabla \cdot \bigl(\sigma(\mathbf{r})\,\nabla V(\mathbf{r})\bigr) = \nabla \cdot \mathbf{J}^p(\mathbf{r})\;}$$

To jest **całe** równanie problemu wprost. Cała reszta to:
(a) model źródła,
(b) warunki brzegowe,
(c) sposób rozwiązania.

==== 3. Model źródła: dipol prądowy ====

Dla pojedynczego dipola w <math>\mathbf{r}_0</math> o momencie <math>\mathbf{q}</math>:

$$\mathbf{J}^p(\mathbf{r}) = \mathbf{q}\,\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$$

$$\nabla \cdot \mathbf{J}^p(\mathbf{r}) = \mathbf{q}\cdot\nabla\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$$

Liniowość PDE daje natychmiast kluczową własność: <math>V</math> jest **liniową** funkcją <math>\mathbf{q}</math>. To właśnie ta liniowość pozwala zapisać:

$$\mathbf{v} = \mathbf{L}\,\mathbf{j}$$

gdzie <math>\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{N_\text{el}}</math> to potencjały, <math>\mathbf{j} \in \mathbb{R}^{3N_\text{src}}</math> to momenty dipoli, a <math>\mathbf{L}</math> to *lead field matrix*. Każda kolumna <math>\mathbf{L}</math> to potencjał wywołany jednostkowym dipolem w danym miejscu i o danej orientacji.

==== 4. Warunki brzegowe ====

Na granicy skóra/powietrze prąd nie wypływa:

$$\sigma\,\nabla V \cdot \hat{\mathbf{n}} = 0 \quad \text{na zewnętrznej powierzchni}$$

Wewnątrz, na granicach tkanek o różnym $\sigma$ (mózg–CSF–czaszka–skóra):

$$V \text{ ciągłe},\quad \sigma\nabla V \cdot \hat{\mathbf{n}} \text{ ciągłe}$$

To są te warunki, które „włączają" geometrię i przewodności do problemu — i to one decydują, że czaszka (niskie $\sigma$, około 1/15–1/80 tkanki miękkiej, do dziś dyskutowane) rozmywa pole tak agresywnie.

==== 5. Metody rozwiązania — co siedzi w `ft_prepare_headmodel` ====

`ft_prepare_headmodel` to fabryka różnych operatorów rozwiązujących tę samą PDE. Wybór `cfg.method` decyduje o paradygmacie matematycznym:

**(a) Rozwiązania analityczne — modele sferyczne** (`'singlesphere'`, `'concentricspheres'`)

Dla geometrii sferycznej z osiową symetrią rozwija się $V$ w szereg wielomianów Legendre'a. Dla 3-warstwowego modelu koncentrycznego dostajemy zamknięty wzór z nieskończonym szeregiem, który w praktyce tnie się po ~40 wyrazach. Berg & Scherg (1994) dali znakomite przybliżenie 3 dipolami w sferze jednorodnej — błyskawicznie szybkie, do dziś używane w MEG. Plus: bardzo szybkie, brak siatkowania. Minus: kula to nie głowa, zwłaszcza w okolicach skroniowych i podstawy.

**(b) BEM — Boundary Element Method** (`'bemcp'`, `'dipoli'`, `'openmeeg'`)

Wykorzystuje się fakt, że w obszarze o stałym $\sigma$ $V$ spełnia równanie Laplace'a, a cały „nietrywialny" wkład można wyrazić jako całkę po powierzchniach granicznych. Z drugiej tożsamości Greena dostajemy całkowe równanie typu Fredholma 2-go rodzaju:

$$V(\mathbf{r}) = V_\infty(\mathbf{r}) + \frac{1}{4\pi}\sum_k \frac{\sigma_k^- - \sigma_k^+}{\bar{\sigma}}\oint_{S_k} V(\mathbf{r}')\,\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\cdot\hat{\mathbf{n}}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,dS'$$

gdzie $V_\infty$ to potencjał dipola w przestrzeni nieograniczonej. Triangulujemy powierzchnie (skóra, czaszka, mózg — czasem CSF) i to równanie zamienia się w układ liniowy. Szybciej niż FEM, ale wymaga założenia odcinkowo stałej przewodności i zakłada izotropię.

**(c) FEM — Finite Element Method** (`'simbio'`, `'duneuro'`)

Cała objętość głowy dyskretyzowana czworościanami/sześciościanami z indywidualnym tensorem $\sigma$ w każdym elemencie (z DTI można wstrzyknąć anizotropię istoty białej!). Sformułowanie wariacyjne daje rzadki układ:

$$\mathbf{K}\mathbf{u} = \mathbf{b}$$

gdzie $\mathbf{K}$ to macierz sztywności zależna od $\sigma(\mathbf{r})$, a $\mathbf{b}$ niesie informację o źródle. To „złoty standard" pod kątem dokładności, ale kosztowny — dlatego praktycznie zawsze łączony z trikiem z punktu 6.

**(d) FDM** — rzadziej, dziś głównie historycznie.

==== 6. Twierdzenie o wzajemności — dlaczego macierz $\mathbf{L}$ da się liczyć rozsądnie ====

Naiwne podejście: dla każdego z $\sim 10^4$ źródeł i każdej z 3 orientacji odpalić rozwiązywacz PDE. To $3\times 10^4$ rozwiązań. Beznadzieja.

Helmholtzowska zasada wzajemności mówi: potencjał w elektrodzie A wywołany dipolem w punkcie $\mathbf{r}_0$ jest równoważny pewnej wielkości policzonej z **pola elektrycznego** wytworzonego w $\mathbf{r}_0$ przez **jednostkowy prąd wstrzyknięty** między elektrodą A a referencją. Formalnie:

$$V_A(\mathbf{r}_0;\mathbf{q}) = \mathbf{E}^{(A)}(\mathbf{r}_0)\cdot\mathbf{q}$$

gdzie $\mathbf{E}^{(A)}$ to pole „wstrzykniętego" prądu jednostkowego. Konsekwencja: zamiast $3N_\text{src}$ rozwiązań PDE wystarczy $N_\text{el}-1$ rozwiązań (po jednym na elektrodę). Praktycznie wszystkie pakiety BEM/FEM (w tym OpenMEEG, SimBio, DUNEuro) to wykorzystują — i dlatego FEM jest w ogóle wykonalny dla całych siatek źródłowych.

==== 7. Co więc dosłownie robi `ft_prepare_headmodel` ====

Tworzy obiekt `headmodel`, który zawiera:
- geometrię (kule albo siatki powierzchniowe, albo objętościową siatkę FEM),
- przewodności poszczególnych warstw,
- a w przypadku BEM/FEM — **wstępnie policzony operator dyskretny** (np. odwróconą macierz BEM albo czynnik macierzy sztywności FEM z trikiem transferowym wykorzystującym wzajemność).

To jest najdroższa część obliczeń — i robi się ją *raz* dla danej geometrii. Potem `ft_prepare_leadfield`, dla każdej pozycji źródła w `cfg.sourcemodel`, używa tego operatora, żeby wygenerować trzy kolumny $\mathbf{L}$ (dla orientacji x, y, z). Wynik to `leadfield{i}` o wymiarze $N_\text{el}\times 3$ — czyli dosłownie blok macierzy lead field dla danego wokselu.

---

Podsumowanie:

1. Maxwell → kwazistatyka → „elektrostatyka z prądami"
2. Podział prądu i równanie Poissona (jedyne równanie, którego naprawdę trzeba)
3. Dipol jako model i wynikająca **liniowość** → uzasadnienie wzoru $\mathbf{v}=\mathbf{L}\mathbf{j}$
4. Warunki brzegowe → tu wchodzi anatomia
5. Sfery (analityczne, intuicja) → BEM → FEM jako kolejne stopnie realizmu
6. Wzajemność jako trik obliczeniowy, bez którego niczego by się nie dało policzyć w sensownym czasie

Klasyczne źródła:
- Hallez et al. 2007 *J Neuroeng Rehabil* (review obliczeń forward, bardzo czytelny),
- Mosher et al. 1999 dla zwartego wyprowadzenia,
- oraz dokumentacja OpenMEEG (Gramfort et al. 2010) — tam ścieżka BEM jest wyprowadzona z drugiej tożsamości Greena.
---

=== Programy obliczające model do przodu:===
MNE-Python (<code>mne.make_bem_model</code>), FieldTrip (<code>ft_prepare_headmodel</code>), OpenMEEG.

==Fitowanie dipoli (Dipole Fitting)==

===Idea===
Najprostsze założenie: aktywacja EEG pochodzi z jednego
(lub kilku) ekwiwalentnych dipoli prądowych.
Każdy dipol opisany jest sześcioma parametrami:
trzema współrzędnymi położenia <math>(x,y,z)</math>
i trzema składowymi momentu dipolowego <math>(q_x, q_y, q_z)</math>.

===Formalizm===
Dla pojedynczego dipola o momencie <math>\mathbf{q}(t)</math>
w lokalizacji <math>\mathbf{r}_0</math>:
:<math>\mathbf{x}(t) = \mathbf{a}(\mathbf{r}_0)\,\mathbf{q}(t) + \boldsymbol{\varepsilon}(t)</math>
gdzie <math>\mathbf{a}(\mathbf{r}_0) \in \mathbb{R}^{N_e \times 3}</math>
to kolumna macierzy pola wiodącego odpowiadająca lokalizacji <math>\mathbf{r}_0</math>.

Estymacja polega na minimalizacji reszty:
:<math>\hat{\mathbf{r}}_0 = \arg\min_{\mathbf{r}} \left\|\mathbf{x}(t) - \mathbf{a}(\mathbf{r})\,\hat{\mathbf{q}}(t)\right\|^2</math>
Minimalizację prowadzi się zwykle algorytmem Neldera–Meada
lub Levenberga–Marquardta po przestrzeni lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* gdy źródło jest punktowe lub quasi-punktowe (np. wczesne składowe słuchowych potencjałów wywołanych N20, P25)
* gdy liczba aktywnych źródeł jest z góry znana i mała (1–3 dipole)

;Ograniczenia:
* wrażliwość na punkt startowy — algorytm może utknąć w minimum lokalnym
* złe dopasowanie gdy aktywacja pochodzi z rozległego obszaru kory
* wynik silnie zależy od dokładności modelu do przodu

==Minimum Norm Estimation (MNE)==

===Idea===
Zamiast zakładać małą liczbę dipoli,
rozkładamy aktywność na gęstą siatkę źródeł pokrywającą całą powierzchnię kory
i szukamy rozwiązania o minimalnej normie —
tj. takiego, które odtwarza dane, angażując jak najmniejszą całkowitą energię źródeł.

===Formalizm===
Problem optymalizacji z regularyzacją Tichonowa:
:<math>\hat{\mathbf{s}} = \arg\min_{\mathbf{s}} \left\|\mathbf{x} - \mathbf{A}\mathbf{s}\right\|^2 + \lambda\left\|\mathbf{s}\right\|^2</math>
gdzie <math>\lambda > 0</math> to parametr regularyzacji kontrolujący kompromis
między wiernością danym a gładkością rozwiązania.

Rozwiązanie analityczne:
:<math>\hat{\mathbf{s}} = \mathbf{A}^T\left(\mathbf{A}\mathbf{A}^T + \lambda\mathbf{I}\right)^{-1}\mathbf{x}</math>

Macierz <math>\mathbf{W}_{\mathrm{MNE}} = \mathbf{A}^T(\mathbf{A}\mathbf{A}^T + \lambda\mathbf{I})^{-1}</math>
jest liniowym filtrem przestrzennym — analogiem macierzy <math>\mathbf{W}</math> z CSP,
lecz skonstruowanym na podstawie modelu do przodu, nie z danych.

===Warianty===

;dSPM (''dynamic Statistical Parametric Mapping'', Dale 2000):
Normalizuje estymowaną aktywność przez odchylenie standardowe szumu:
:<math>F_{\mathrm{dSPM}}(\mathbf{r}, t) = \frac{\hat{s}(\mathbf{r},t)}{\sigma_{\mathrm{noise}}(\mathbf{r})}</math>
Wynik ma interpretację statystyczną (wartość F lub Z); popularne w neurobiologii poznawczej.

;sLORETA (''standardized LORETA'', Pascual-Marqui 2002):
Normalizuje przez odchylenie standardowe samego estymatora MNE (nie tylko szumu):
:<math>F_{\mathrm{sLORETA}}(\mathbf{r}, t) = \frac{\hat{s}(\mathbf{r},t)}{\sqrt{\left[\mathbf{W}_{\mathrm{MNE}}\mathbf{A}\right]_{(\mathbf{r},\mathbf{r})}}}</math>
Wykazuje zerowe systematyczne błędy lokalizacji w warunkach idealnych.

;Wybór <math>\lambda</math>:
Zwykle <math>\lambda = \alpha \cdot \mathrm{tr}(\mathbf{A}\mathbf{A}^T) / \mathrm{tr}(\mathbf{I})</math>
z <math>\alpha \in [0.05, 0.3]</math>; w MNE-Python domyślnie <math>\alpha = 0.1</math>.
Można też stosować kryterium L-krzywej lub walidację krzyżową.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* gdy aktywacja jest rozproszona lub nieznana a priori
* jako ogólne narzędzie wizualizacji ERP na powierzchni kory
* przy małej liczbie elektrod

;Ograniczenia:
* tendencja do rozmywania rozwiązania — źródła głębokie są systematycznie niedoszacowane
* brak zakładanej rzadkości (''sparsity''); wariant L1 (MCE) jest rzadszy, ale trudniejszy obliczeniowo
* wymaga dobrego modelu do przodu

==Beamformery==

===Idea===
Beamformer (dosł. „formowanie wiązki") to adaptacyjny filtr przestrzenny,
który dla każdej lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>
konstruuje wagi <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math> maksymalizujące
stosunek mocy sygnału z tej lokalizacji do mocy wszystkich pozostałych źródeł.
W odróżnieniu od MNE, beamformer korzysta z macierzy kowariancji danych —
jest więc metodą adaptacyjną, zbliżoną duchem do CSP.

===LCMV (''Linearly Constrained Minimum Variance'', Van Veen 1997)===

Szukamy filtra minimalizującego wariancję wyjścia
przy ograniczeniu zachowującym sygnał z lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>:
:<math>\mathbf{w}^*(\mathbf{r}) = \arg\min_{\mathbf{w}} \mathbf{w}^T\mathbf{C}\mathbf{w}
\quad \text{p.o.} \quad \mathbf{w}^T\mathbf{a}(\mathbf{r}) = 1</math>
gdzie <math>\mathbf{C} = E[\mathbf{x}\mathbf{x}^T]</math> to macierz kowariancji danych.

Rozwiązanie analityczne (mnożnik Lagrange'a):
:<math>\mathbf{w}(\mathbf{r}) = \frac{\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}{\mathbf{a}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}</math>

Moc w lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>:
:<math>P(\mathbf{r}) = \mathbf{w}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}\,\mathbf{w}(\mathbf{r})
= \frac{1}{\mathbf{a}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}</math>

===DICS (''Dynamic Imaging of Coherent Sources'', Gross 2001)===

Wariant beamformera dla analizy częstotliwościowej:
zamiast macierzy kowariancji czasowej stosuje
''cross-spectral density matrix'' <math>\mathbf{C}(f)</math>
obliczoną dla wybranego pasma częstości.
Pozwala mapować koherencję między lokalizacjami na powierzchni kory.

===Analogia z CSP===

Zauważmy analogię strukturalną:

{| class="wikitable"
|-
! !! CSP !! LCMV Beamformer
|-
| '''Macierz kowariancji''' || <math>\mathbf{R}_T, \mathbf{R}_{NT}</math> (dwa warunki) || <math>\mathbf{C}</math> (jeden warunek) + <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
|-
| '''Filtr''' || <math>\mathbf{w}</math>: maks. stosunek wariancji || <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math>: min. wariancja przy ograniczeniu
|-
| '''Przestrzeń''' || elektrod || przestrzeni mózgu (woksel po wokselu)
|-
| '''Model do przodu''' || nie || tak — przez <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
|}

Kluczowa różnica: CSP optymalizuje globalnie jednym zagadnieniem własnym,
beamformer rozwiązuje osobny problem dla każdej lokalizacji.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* analiza ERD/ERS (rytmy ruchowe, alfa, beta) w przestrzeni mózgu
* lokalizacja źródeł oscylacyjnych w MEG
* DICS do badania koherencji korowo-korowej

;Ograniczenia:
* silnie skorelowane źródła są tłumione (''source cancellation'') — beamformer zakłada, że źródła są nieskorelowane
* wymaga dużej liczby próbek do stabilnej estymacji <math>\mathbf{C}^{-1}</math>
* przy małej liczbie elektrod macierz <math>\mathbf{C}</math> może być źle uwarunkowana

;Podsumowanie:
[[Plik:Inverse problem vs bss.png|mały|centruj]]

==Podsumowanie: kiedy stosować którą metodę==

{| class="wikitable"
|-
! Metoda !! Założenie a priori !! Dane wejściowe !! Typowe zastosowanie
|-
| '''Dipole fitting''' || 1–3 punktowe źródła || ERP, AEP, SEP || lokalizacja wczesnych składowych wywołanych
|-
| '''MNE / dSPM / sLORETA''' || minimalna energia; źródła ciągłe || ERP, dowolny sygnał || wizualizacja rozproszonej aktywności na korze
|-
| '''LCMV Beamformer''' || źródła nieskorelowane || ERD/ERS, dane resting-state || lokalizacja źródeł oscylacyjnych w MEG/EEG
|-
| '''DICS''' || j.w. + analiza spektralna || dane oscylacyjne || mapa koherencji korowo-korowej
|-
| '''CSP / ICA''' || brak modelu geometrycznego || dwa warunki / jeden segment || klasyfikacja BCI, usuwanie artefaktów
|}

;Uwaga praktyczna:
Wszystkie metody problemu odwrotnego wymagają przygotowania modelu do przodu.
Zaleca się korzystanie z MNE-Python lub FieldTrip — oba pakiety
oferują spójne pipeline'y od surowych danych do map korowych
i są szeroko stosowane w literaturze, co ułatwia replikację wyników.

=Sesja 7: Problem odwrotny — część praktyczna=

;Czas: ~30 min wprowadzenie + ~120 min ćwiczenie

Część praktyczna prowadzi przez pełny pipeline lokalizacji źródeł:
od wczytania danych w FieldTrip, przez zbudowanie modelu do przodu,
do fitowania dipola i interpretacji wyniku.
Sesja jest zaprojektowana tak, aby każdy krok bezpośrednio ilustrował
jeden element teorii omówionej w [[#Sesja 7: Problem odwrotny w EEG i MEG|części wykładowej]].

;Dane:
Używamy standardowego zestawu danych FieldTrip
(dane somatosensoryczne MEG/EEG, bodziec elektryczny na nadgarstku — składowa N20):
* https://download.fieldtriptoolbox.org/tutorial/Subject01.zip (~800 MB)

Ten sam zestaw danych jest używany we wszystkich tutorialach FieldTrip
wymienionych w tej sesji, co ułatwia porównywanie wyników między krokami.

;Instalacja FieldTrip: Wymagania wstępne:
FieldTrip wymaga MATLABa. Przed instalacją sprawdź kompatybilność swojej wersji:
[https://www.fieldtriptoolbox.org/faq/matlab/requirements MATLAB requirements]

;Pobranie toolboxa: Pobierz najnowszą wersję ze strony:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/download.php Pobierz FieldTrip]

Rozpakuj archiwum ZIP w wybranym katalogu, np. <code>~/matlab/fieldtrip</code> (Linux/macOS).

;Ważne: nie zmieniaj wewnętrznej struktury katalogów po rozpakowaniu —
FieldTrip dynamicznie zarządza swoimi podkatalogami.

;Konfiguracja ścieżki MATLAB: Pełna instrukcja: [https://www.fieldtriptoolbox.org/faq/matlab/installation Installation and setting up the path]

Uruchom poniższe polecenia na początku każdej sesji pracy z FieldTrip
(lub wstaw je do pliku <code>startup.m</code> — patrz niżej):

<source lang="matlab">
restoredefaultpath % wyczyść aktualną ścieżkę
addpath('~/fieldtrip') % podaj tu swoją ścieżkę do FieldTrip
ft_defaults % skonfiguruj FieldTrip i minimalne podkatalogi
</source>

;Uwaga — częsty błąd:
Nie używaj <code>addpath(genpath(...))</code> ani przycisku „Add with Subfolders" w MATLAB GUI.
FieldTrip samodzielnie dodaje potrzebne podkatalogi przez <code>ft_defaults</code>
i <code>ft_hastoolbox</code> — dodanie wszystkiego ręcznie powoduje konflikty
z funkcjami SPM, EEGLAB i wbudowanymi funkcjami MATLABa
(w szczególności z funkcjami z katalogu <code>fieldtrip/compat</code>
przeznaczonymi tylko dla starych wersji MATLABa).

;Trwała konfiguracja przez startup.m:

Żeby nie powtarzać powyższych poleceń przy każdym uruchomieniu MATLABa,
utwórz plik <code>startup.m</code> w swoim katalogu MATLABa
(zwykle <code>Dokumenty/MATLAB/startup.m</code>) z zawartością:

<source lang="matlab">
restoredefaultpath
addpath('C:\fieldtrip') % zmień na swoją ścieżkę
ft_defaults
</source>

MATLAB wykonuje ten plik automatycznie przy każdym uruchomieniu.

;Uwaga dla użytkowników EEGLAB: Jeśli korzystasz z EEGLAB i FieldTrip w tej samej sesji,
zawsze ładuj FieldTrip przez <code>restoredefaultpath</code> + <code>addpath</code> + <code>ft_defaults</code>,
a nie przez interfejs EEGLAB. Oba toolboxy zawierają funkcje o tych samych nazwach
(np. <code>eegplot</code>, <code>topoplot</code>) — kolejność na ścieżce decyduje,
która wersja zostanie wywołana.

;Weryfikacja instalacji: Sprawdź poprawność instalacji jednym poleceniem:

<source lang="matlab">
ft_defaults
ft_version
</source>

Powinieneś zobaczyć numer wersji i datę kompilacji, np.:
<pre>
FieldTrip version 20250901, path: C:\fieldtrip
</pre>

Jeśli MATLAB zgłasza błąd <code>Undefined function 'ft_defaults'</code>,
ścieżka nie została ustawiona poprawnie — wróć do kroku z <code>addpath</code>.

==Krok 0: Wejście do FieldTrip==

Przed właściwym ćwiczeniem proszę zapoznać się z tutorialem wprowadzającym:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/intro/introduction/ Introduction to the FieldTrip toolbox]

;Na co zwrócić uwagę przechodząc ten tutorial:

Studenci znający EEGLAB natkną się na dwie zasadnicze różnice w filozofii pracy:

* '''Struktura cfg''' zamiast GUI. Każda funkcja FieldTrip przyjmuje strukturę konfiguracyjną <code>cfg</code> i zwraca nową strukturę danych. Nie ma okien dialogowych — cała analiza jest skryptem. Jest to bliższe temu, co robiliśmy w MATLAB-owych sesjach CSP/ICA.

* '''Niezmienność danych'''. FieldTrip nie modyfikuje struktur w miejscu — każde wywołanie funkcji zwraca nową strukturę. Pozwala to łatwo porównywać wyniki różnych parametrów, ale wymaga dbałości o nazewnictwo zmiennych.

;Pytanie do dyskusji po lekturze:
Jak odpowiadają sobie nawzajem: <code>EEG.data</code> w EEGLAB i struktura <code>data</code> w FieldTrip?
Gdzie w strukturach FieldTrip przechowywane są informacje o lokalizacji elektrod?

==Krok 1: Model do przodu — BEM dla EEG==

Przed fitowaniem dipola musimy obliczyć macierz pola wiodącego <math>\mathbf{A}</math>.
Proszę przejść tutorial:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/headmodel_eeg_bem Construct a BEM headmodel for EEG source analysis]

;Cel tego kroku:
Zrozumieć skąd pochodzi kolumna <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
używana we wszystkich metodach Sesji 7.
Każda kolumna <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math> mówi: „jeśli w miejscu <math>\mathbf{r}</math>
znajdowałby się dipol o jednostkowym momencie,
to jakie potencjały zmierzylibyśmy na każdej z elektrod?"

;Kluczowe funkcje FieldTrip w tym kroku:
<source lang="matlab">
% Segmentacja MRI na trzy tkanki (skóra, czaszka, mózg)
cfg = [];
cfg.output = {'brain','skull','scalp'};
segmentedmri = ft_volumesegment(cfg, mri);

% Budowanie siatki trójkątów BEM
cfg = [];
cfg.tissue = {'brain','skull','scalp'};
cfg.numvertices = [3000 2000 1000];
bnd = ft_prepare_mesh(cfg, segmentedmri);

% Obliczenie modelu do przodu metodą BEM (OpenMEEG)
cfg = [];
cfg.method = 'openmeeg';
cfg.conductivity = [0.33 0.0041 0.33]; % mózg, czaszka, skóra [S/m]
headmodel = ft_prepare_headmodel(cfg, bnd);
</source>

;Na co zwrócić uwagę:
* Stosunek przewodności czaszka/mózg wynosi tu ~1/80.
Jak myślisz, jak bardzo błąd w tym parametrze wpłynie na lokalizację źródeł?
* Funkcja <code>ft_prepare_mesh</code> tworzy trzy zagnieżdżone siatki.
Jak ma się to do opisu BEM z wykładu?

==Krok 2: Fitowanie dipola (ćwiczenie główne)==

;Czas: ~90 min

To jest główne ćwiczenie praktyczne Sesji 7.
Proszę przejść tutorial:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/dipolefitting Dipole fitting of combined MEG/EEG data]

Poniżej znajdziesz szkielet kodu z pytaniami pomocniczymi
do samodzielnego wypełnienia — zacznij od tutorialu,
a potem wróć do szkieletu i uzupełnij brakujące fragmenty.

===Szkielet kodu — fitowanie dipola dla składowej N20===

<source lang="matlab">
%% KROK A: Wczytanie i preprocessing danych EEG
% Dane: Subject01.zip (patrz wyżej)
% Używamy tylko kanałów EEG, odrzucamy MEG.

cfg = [];
cfg.dataset = 'Subject01.ds';
cfg.trialdef.eventtype = 'backpanel trigger';
cfg.trialdef.eventvalue = 3; % bodziec na lewym nadgarstku
cfg.trialdef.prestim = 0.1;
cfg.trialdef.poststim = 0.3;
cfg = ft_definetrial(cfg);

cfg.channel = 'EEG';
cfg.continuous = 'yes';
cfg.demean = 'yes';
cfg.baselinewindow = [-0.1 0];
data = ft_preprocessing(cfg);

%% KROK B: Uśrednianie — potencjał wywołany
% TUTAJ: użyj ft_timelockanalysis aby obliczyć ERP (średnią po powtórzeniach)
% Wynik zapisz jako 'timelock'

% TUTAJ

%% KROK C: Wczytanie modelu do przodu i lokalizacji elektrod
% Zakładamy, że headmodel i elec zostały obliczone w Kroku 1.
% Jeśli nie — można użyć gotowego modelu z paczki danych Subject01.

load('standard_bem.mat'); % headmodel
load('Subject01_elec.mat'); % lokalizacje elektrod (po dopasowaniu do MRI)

%% KROK D: Przygotowanie siatki poszukiwań (grid)
% Definiujemy siatkę regularną 1 cm wewnątrz mózgu.
% ft_prepare_sourcemodel oblicza też macierz pola wiodącego A
% (tzw. leadfield) dla każdego punktu siatki.

cfg = [];
cfg.headmodel = headmodel;
cfg.elec = elec;
cfg.resolution = 1; % odstęp siatki w cm
cfg.unit = 'cm';
sourcemodel = ft_prepare_sourcemodel(cfg);

%% KROK E: Fitowanie dipola
% Szukamy jednego dipola najlepiej wyjaśniającego topografię N20.
% Okno czasowe 0.016–0.022 s odpowiada składowej N20.

cfg = [];
cfg.latency = [0.016 0.022]; % okno N20 w sekundach
cfg.numdipoles = 1;
cfg.headmodel = headmodel;
cfg.elec = elec;
cfg.sourcemodel = sourcemodel;
cfg.nonlinear = 'yes'; % optymalizacja nieliniowa po przestrzeni

% TUTAJ: source = ft_dipolefitting(cfg, timelock);

%% KROK F: Wizualizacja wyniku
% Nałożenie lokalizacji dipola na MRI anatomiczne.

load('standard_mri.mat'); % MRI w tym samym układzie współrzędnych

cfg = [];
cfg.location = source.dip.pos; % współrzędne znalezionego dipola [x y z]

% TUTAJ: ft_sourceplot(cfg, mri);

%% KROK G: Ocena dopasowania
% Goodness of fit (GoF) mówi jaka część wariancji danych
% jest wyjaśniona przez znaleziony dipol.
% Wartość > 0.85 uznaje się za dobre dopasowanie.

fprintf('Goodness of fit: %.1f%%\n', source.dip.rv * 100);
% Uwaga: w FieldTrip rv to residual variance (1 - GoF).
% Dobry dipol ma rv < 0.15.

disp('Lokalizacja dipola [x y z] w mm:')
disp(source.dip.pos)

disp('Moment dipolowy [qx qy qz]:')
disp(source.dip.mom)
</source>

===Zadania do samodzielnej realizacji===

;Zadanie 1 (obowiązkowe): Pipeline i lokalizacja
Uzupełnij brakujące fragmenty szkieletu (kroki B i E–F).
Gdzie na MRI ląduje znaleziony dipol? Czy odpowiada to oczekiwanej anatomii
składowej N20 (pierwotna kora somatosensoryczna S1, okolica bruzdy centralnej)?

;Zadanie 2 (obowiązkowe): Wpływ okna czasowego
Zmień <code>cfg.latency</code> kolejno na:
* <code>[0.016 0.022]</code> — okno N20
* <code>[0.025 0.035]</code> — okno P25
* <code>[0.045 0.060]</code> — okno N45
Czy lokalizacja dipola zmienia się między tymi składowymi?
Jak zmienia się GoF? Co to mówi o tym, która składowa jest lepiej opisana modelem jednego dipola?

;Zadanie 3 (obowiązkowe): Dwa dipole
Zmień <code>cfg.numdipoles = 2</code> i powtórz fitowanie dla okna N20.
Czy model dwóch dipoli daje istotnie lepszy GoF niż jeden?
Jak interpretujesz dwa znalezione źródła?

;Zadanie 4 (dla chętnych): Wrażliwość na model do przodu
FieldTrip pozwala użyć uproszczonego modelu sferycznego
zamiast BEM: ustaw <code>cfg.headmodel</code> na model jednorodnej sfery
(<code>cfg.method = 'singlesphere'</code> w <code>ft_prepare_headmodel</code>).
O ile zmienia się lokalizacja dipola N20?
Czy GoF wzrasta czy maleje?

;Pytania do dyskusji:
* Fitowanie dipola wymaga podania okna czasowego — dlaczego?
Co stałoby się gdybyśmy dopasowywali dipol do całej epoki (−100 do +300 ms)?
* Algorytm minimalizacji może utknąć w minimum lokalnym.
Jak <code>cfg.sourcemodel</code> (siatka) pomaga temu zaradzić?
Jaki jest kompromis między rozdzielczością siatki a czasem obliczeń?
* Porównaj mapę topograficzną ERP w oknie N20
z mapą rekonstruowaną z dopasowanego dipola (wywołaj <code>ft_dipolefitting</code>
z opcją <code>cfg.dipfit.display = 'yes'</code>).
Czy widzisz różnicę? Skąd ona pochodzi?

==Krok 3: Dalsze metody — dla zainteresowanych==

Poniższe tutoriale stanowią naturalne rozwinięcie ćwiczenia głównego
i ilustrują pozostałe metody omówione w teorii Sesji 7.
Nie są wymagane na zaliczenie, ale gorąco je polecamy
jeśli planujesz używać lokalizacji źródeł w pracy badawczej.

;Minimum Norm Estimation:
[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/minimumnormestimate Source reconstruction of event-related fields using minimum-norm estimation]

Ten sam sygnał N20 co w ćwiczeniu głównym, ale zamiast jednego dipola
otrzymujesz ciągłą mapę aktywności na całej powierzchni kory.
Zwróć uwagę jak wybór parametru regularyzacji <math>\lambda</math>
wpływa na rozmycie rozwiązania.
Porównaj lokalizację maksimum mapy MNE z lokalizacją dipola z Kroku 2.

;Beamformer (LCMV/DICS):
[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/beamformer Localizing oscillatory sources in MEG data using a beamformer]

Tutorial wykorzystuje ten sam zestaw danych Subject01
i lokalizuje źródła oscylacji gamma wywołanych bodźcem —
bezpośrednie rozwinięcie analizy ERD/ERS, którą już znasz.
Kluczowa różnica w stosunku do MNE: beamformer korzysta
z macierzy kowariancji danych <math>\mathbf{C}</math>,
a nie tylko z modelu do przodu. Sprawdź jak wyglądają
filtry przestrzenne <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math> dla różnych lokalizacji
i porównaj je koncepcyjnie z filtrami CSP z Sesji 1–3.











-->

Laboratorium EEG/CSP

2026-05-14T07:59:08Z

Jarekz: /* 2. Rozszczepienie prądu — gdzie pojawia się „źródło" */

[[Laboratorium_EEG]]/BSS

=Sesja 1: Ślepa separacja źródeł i CSP — wprowadzenie=

;Czas: ~60 min wykład + ~90 min ćwiczenie symulacyjne

Zajęcia wprowadzają do problemu filtracji przestrzennej sygnałów EEG.
Punktem wyjścia jest ogólny problem ślepej separacji źródeł (BSS),
z którego CSP wyłania się jako szczególny przypadek dla dwóch warunków
eksperymentalnych. Filtry przestrzenne omawiane na tych zajęciach stanowią
fundament klasycznych metod BCI (P300, SSVEP, motor imagery) oraz są
bezpośrednim odpowiednikiem warstw przestrzennych w sieciach neuronowych
takich jak ShallowConvNet i EEGNet — do tej analogii wrócimy w sesji 6.

[https://drive.google.com/file/d/1WrXgWWDJ7g5ZdYltm_8s2NXbGamw4R8N/view?usp=sharing Slajdy do wykładu (PDF)]

;Zakres wykładu:
* model generatywny EEG: <math>x(t) = As(t)</math>, macierz kowariancji, idea diagonalizacji
* BSS jako ogólny problem separacji źródeł
* CSP jako szczególny przypadek: dwa warunki eksperymentalne, iloraz Rayleigha, uogólnione zagadnienie własne
* interpretacja filtrów i topografii źródeł

;Ćwiczenie symulacyjne:
Zob. [[#Ćwiczenie symulacyjne|Ćwiczenie symulacyjne]] w sekcji CSP poniżej.

====Ćwiczenie symulacyjne ====
====Zadania do samodzielnej realizacji====

Poniższy kod dostarcza gotowej infrastruktury: generacji sygnałów, macierzy mieszającej i wizualizacji.
Zadaniem jest samodzielna implementacja kluczowych kroków analizy CSP.

;Zadanie 1 (obowiązkowe): Obliczenie macierzy kowariancji
Napisz funkcję <code>srednia_kowariancja(X, ind)</code>, która dla danej tablicy sygnałów <code>X</code>
(wymiary: powtórzenia × kanały × próbki) i wektora indeksów czasowych <code>ind</code>
zwraca średnią macierz kowariancji uśrednioną po powtórzeniach.
Dla każdego powtórzenia zastosuj funkcję <code>cov</code> i znormalizuj wynik przez jego ślad (<code>trace</code>).
Sprawdź wynik porównując z macierzami <code>R_B</code> i <code>R_E</code> obliczonymi w dostarczonym kodzie.

;Zadanie 2 (obowiązkowe): Implementacja CSP
Korzystając z funkcji <code>eig</code> oraz macierzy kowariancji obliczonych w zadaniu 1,
wyznacz macierz filtrów przestrzennych <code>W</code> i odpowiadające im wartości własne.
Odtwórz sygnały źródłowe dla wszystkich powtórzeń.
Narysuj chmury punktów (amplituda źródła 1 vs amplituda źródła 2) osobno dla warunków
baseline i ERP — przed transformacją CSP i po niej. Co zmieniło się w kształcie chmur?

Wykreśl także wizualizację przebiegów czasowych sygnałów X i sygnałów S uzyskanych po rozmieszaniu.

;Zadanie 3 (obowiązkowe): Interpretacja wartości własnych
Wartości własne znajdują się na przekątnej macierzy <code>Lambda</code>.
Który filtr najbardziej różnicuje warunki baseline i ERP?
Jaki jest związek między wartością własną a separacją widoczną na wykresach punktowych?

;Zadanie 4 (dla chętnych): Wpływ macierzy mieszającej
W dostarczonym kodzie macierz <code>P</code> (filtr przestrzenny) wynosi:
<pre>
P = [1 2; 1.5 1.3]
</pre>
Zmień ją kolejno na macierz bliską jednostkowej (np. <code>P = [1 0.1; 0.1 1]</code>)
oraz na macierz z dużymi elementami pozadiagonalnymi (np. <code>P = [1 5; 4 1]</code>).
Jak zmienia się kształt chmury punktów przed transformacją CSP?
Czy CSP poprawnie oddziela źródła w obu przypadkach?

;Zadanie 5 (dla chętnych): Wpływ szumu
W kodzie szum jest wyłączony: <code>n = 0*randn(size(tmp))</code>.
Usuń mnożnik <code>0*</code> i zbadaj jak poziom szumu wpływa na separację źródeł.
Przy jakim stosunku sygnału do szumu CSP przestaje skutecznie rozdzielać warunki?

;Pytanie do dyskusji:
Dostarczony kod używa <code>eig(R_E, R_B)</code>.
Alternatywą jest <code>eig(R_E, (R_E+R_B)/2)</code>.
Czym różnią się te dwie wersje? W jakich sytuacjach eksperymentalnych
druga wersja mogłaby być bardziej uzasadniona?

====Szkielet kodu do uzupełnienia====

Poniższy szkielet zawiera gotową infrastrukturę symulacji.
Uzupełnij brakujące fragmenty oznaczone komentarzem <code>% TUTAJ</code>
zgodnie z zadaniami 1–3. Pełny kod referencyjny dostępny jest poniżej
— zajrzyj do niego dopiero po samodzielnej próbie.

<source lang="matlab">
%% Parametry symulacji — nie modyfikuj tej sekcji
Fs = 100;
T = 1;
t = 0:1/Fs:T-1/Fs;
N_rep = 100;
N_chan = 2;
s = zeros(N_rep, N_chan, length(t));
X = zeros(N_rep, N_chan, length(t));

P = [1 2; 1.5 1.3]; % filtr przestrzenny (prawdziwy)
A = P^(-1); % topografia źródeł

for r = 1:N_rep
s1 = sin(2*pi*11*t + pi/2) + 0.02*randn(size(t));
s2 = exp(-((t-0.8)/0.05).^2) + 0.01*randn(size(t));
s(r,1,:) = s1;
s(r,2,:) = s2;
tmp = squeeze(s(r,:,:));
n = 0*randn(size(tmp)); % Zadanie 5: zmień 0* na 1* aby włączyć szum
X(r,:,:) = A*tmp + n;
end

baseline_ind = find(t < 0.5);
ERP_ind = find(t >= 0.5);

R_B = zeros(N_chan, N_chan);
R_E = zeros(N_chan, N_chan);

%% Zadanie 1: Oblicz średnie macierze kowariancji
% korzystając z funkcji srednia_kowariancja(X, ind)

% Dla każdego powtórzenia r:
% - wytnij fragment sygnału X(r,:,baseline_ind) i analogicznie ERP
% - oblicz macierz kowariancji funkcją cov() — pamiętaj o transpozycji
% - znormalizuj przez ślad (funkcja trace())
% - dodaj do sumy
% Na końcu podziel przez N_rep

%% Zadanie 2: Rozwiąż uogólnione zagadnienie własne
% Użyj funkcji eig(A,B) gdzie A=R_E, B=R_B
% W wyniku otrzymasz macierz wektorów własnych W (w kolumnach)
% i macierz Lambda z wartościami własnymi na przekątnej

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

disp('Wartości własne (przekątna Lambda):')
disp(diag(Lambda))

%% Zadanie 2 cd.: Odtwórz sygnały źródłowe
% Dla każdego powtórzenia r zastosuj filtr: S(r,:,:) = W' * X(r,:,:)

S = zeros(N_rep, N_chan, length(t));

for r = 1:N_rep
% TUTAJ: S(r,:,:) = ...
end

%% Zadanie 3: Wizualizacja — chmury punktów przed i po CSP
x_base_k1 = X(:,1,baseline_ind);
x_base_k2 = X(:,2,baseline_ind);
x_ERP_k1 = X(:,1,ERP_ind);
x_ERP_k2 = X(:,2,ERP_ind);

s_base_k1 = squeeze(S(:,1,baseline_ind));
s_base_k2 = squeeze(S(:,2,baseline_ind));
s_ERP_k1 = squeeze(S(:,1,ERP_ind));
s_ERP_k2 = squeeze(S(:,2,ERP_ind));

figure(1); clf
subplot(1,2,1)
plot(x_base_k1(:), x_base_k2(:), 'b.'); hold on
plot(x_ERP_k1(:), x_ERP_k2(:), 'r.');
axis equal; xlim([-2 2]); ylim([-2 2])
xlabel('Kanał 1'); ylabel('Kanał 2')
title('Przed CSP')
legend('baseline','ERP')

subplot(1,2,2)
plot(s_base_k1(:), s_base_k2(:), 'b.'); hold on
plot(s_ERP_k1(:), s_ERP_k2(:), 'r.');
axis equal
xlabel('Źródło 1'); ylabel('Źródło 2')
title('Po CSP')
legend('baseline','ERP')
%% Wizualizacja przebiegów czasowych X i S
% TUTAJ:

%% Zadanie 4 (dla chętnych): zmień macierz P powyżej i powtórz analizę
%% Zadanie 5 (dla chętnych): włącz szum (zmień 0* na 1* w linii z n=...)
</source>

{{hidden begin|title=Rozwiązanie — pokaż dopiero po samodzielnej próbie}}
<source lang = matlab>
% symulowany eksperyment składa się z sinusoidy udającej alfę spoczynkową i
% funkcji Gaussa udającego potencjał wywołany
% źródła te są symulowane niezależnie a potem mieszane przez macierz A
% symulujemy źródła
% s1 - symuluje alfę
% s2 - symuluje "potencjał wywołany" (ERP)

%ustawiamy parametry do symulacji sygnałów
Fs = 100;
T = 1;
t = 0:1/Fs:T-1/Fs;
N_rep = 100;
N_chan = 2;
s = zeros(N_rep,N_chan, length(t));
X = zeros(N_rep,N_chan, length(t));

% filtr przestrzenny - z takimi wagami trzeba wziąść kanały EEG aby odzyskać sygnały źródłowe
P = [1 2
1.5 1.3];

% topografie - z takimi wagami źródła dokładają się do poszczególnych elektrod
A = P^(-1);

for r =1:N_rep % tworzymy kolejne realizacje "eksperymentu"
s1 = sin(2*pi*11*t +pi/2+ 0*2*pi*rand())+ 0.02*randn(size(t)); % źródło alfa
s2 = exp(-((t-0.8)/0.05).^2)+ 0.01*randn(size(t)); % źródło ERP

s(r,1,:) = s1;
s(r,2,:) = s2;
tmp = squeeze(s(r,:,:));
n = 0*randn(size(tmp));
X(r,:,:) = A*tmp +n; % rzutujemy sygnały źródłowe na elektrody s -> x

end

% wycinamy warunki
% baseline_ind to indeksy pierwszej połowy każdego powtórzenia "baseline"
% ERP_ind to indeksy drugiej połowy każdego powtórzenia zawierająca "ERP"
baseline_ind = find(t<0.5);
ERP_ind = find(t>=0.5);

x_baseline_kan_1 = X(:,1,baseline_ind);
x_baseline_kan_2 = X(:,2,baseline_ind);

x_ERP_kan_1 = X(:,1,ERP_ind);
x_ERP_kan_2 = X(:,2,ERP_ind);

% liczymy średnie macierze kowariancji:
R_E = zeros(N_chan,N_chan);
R_B = zeros(N_chan,N_chan);
for r =1:N_rep
B = squeeze(X(r,:,baseline_ind));
tmp =cov(B');
R_B = R_B + tmp./trace(tmp);%B*B' ;

E = squeeze(X(r,:,ERP_ind));
tmp = cov(E');
R_E = R_E + tmp./trace(tmp);%E*E' ;
end

R_B = R_B/N_rep;
R_E = R_E/N_rep;

% rozwiązujemy uogólnione zagadnienie własne
[W,Lambda]=eig(R_E,R_B); % możliwa jest też optymalizacja wzg. średniej macierzy kowariancji (R_B+R_A)/2);

% odzyskujemy sygnały źródeł
for r =1:N_rep
S(r,:,:) = W'*squeeze(X(r,:,:));
end

% pobieramy wycinki odpowiadające obu częściom eksperymentu z estymowanych
% źródeł
s_baseline_estymowany_kan1 = squeeze( S(:,1,baseline_ind));
s_baseline_estymowany_kan2 = squeeze( S(:,2,baseline_ind));

s_ERP_estymowany_kan1 = squeeze(S(:,1,ERP_ind));
s_ERP_estymowany_kan2 = squeeze(S(:,2,ERP_ind));

%%%%%%%%%%%%%% Ilustracje %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ilustracja sygnałów mierzonych
figure(1);clf
subplot(2,2,1);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(X(:,1,baseline_ind)))','b'); hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze( X(:,1,ERP_ind)))','r'); hold off
xlabel('elektroda 1')
title('ilustracja sytuacji pomiarowej -\newline znane są potencjały na elektrodach w dwóch warunkach eksperymentalnych')
subplot(2,2,3);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(X(:,2,baseline_ind)))','b'); hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze( X(:,2,ERP_ind)))','r'); hold off
xlabel('elektroda 2')
subplot(1,2,2)
plot(x_baseline_kan_1(:),x_baseline_kan_2(:),'b.');
hold on
plot(x_ERP_kan_1(:),x_ERP_kan_2(:),'r.');
xlim([-2,2])
ylim([-2,2])
axis equal

% wektor własny odpowiadający największej wartości własnej jest
% kierunkiem najbardziej różnicującym warunki eksperymentalne
disp('wartości własne znajdują się na przekątnej macierzy Lambda')
disp(Lambda)
% rysujemy wersory jednostkowe w kierunkach wektorów własnych
w1 = W(:,1);
w1 = w1/norm(w1);
w2 = W(:,2);
w2 = w2/norm(w2);
line([0, w1(1) ],[0,w1(2)],'Color',[0,0.3,0])
text(w1(1),w1(2),'wektor własny 1')
line([0, w2(1) ],[0,w2(2)],'Color',[1,0,1])
text(w2(1),w2(2),'wektor własny 2')

xlabel('Amplituda na elektrodzie 1')
ylabel('Amplituda na elektrodzie 2')
legend('baseline','ERP')

% Ilustracja estymowanych źródeł
figure(2);clf
subplot(2,2,1);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(S(:,1,baseline_ind)))','b');hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze(S(:,1,ERP_ind)))','r');hold off
xlabel('estymowane zrodlo 1')
title('ilustracja estymacji -\newline estymowane są potencjały źródeł w dwóch warunkach eksperymentalnych')
subplot(2,2,3);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(S(:,2,baseline_ind)))','b');hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze(S(:,2,ERP_ind)))','r');hold off
xlabel('estymowane zrodlo 2');
subplot(1,2,2)
plot(s_baseline_estymowany_kan1(:),s_baseline_estymowany_kan2(:),'b.');
hold on
plot(s_ERP_estymowany_kan1(:),s_ERP_estymowany_kan2(:),'r.');

xlabel('Amplituda estym. źródła 1')
ylabel('Amplituda estym. źródła 2')
legend('baseline','ERP')
</source>
{{hidden end}}

=Sesja 2: CSP dla P300 — dane realne=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Pracujemy z danymi kalibracyjnymi z eksperymentu P300.
Celem sesji jest przejście pełnego pipeline'u: od surowych danych
do odtworzonych źródeł CSP.

;Zakres:
* wczytanie danych kalibracyjnych, identyfikacja znaczników T i NT
* cięcie epok (−200 do +800 ms), usuwanie trendu liniowego
* montaż względem średniej ze wszystkich elektrod
* wizualizacja ERP w układzie topograficznym
* obliczenie macierzy kowariancji RT i RNT, normalizacja przez ślad
* rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego: <code>[W, Lambda] = eig(R_T, R_NT)</code>
* odtworzenie sygnałów źródłowych: <code>S = W'*EEG</code>
* przegląd estymowanych źródeł w dwóch warunkach

;Materiały:
Dane: https://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/KalibracjaP300.tar.gz

===ZADANIE: Analiza CSP===

Przegląd badań o P300: https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2715154/

Link do Read menager [https://drive.google.com/file/d/1OgOduK5Zn7GgNl5XdCyLWXHJ7wTJIWcC/view?usp=share_link]

* Wykonać analizę CSP wzmacniającą potencjał P300.
* Zaprezentować średnią ze wszystkich kanałów źródłowych z warunku target (jeden kolor) i non-target (inny kolor) w subplotach ułożonych w prostokątnej siatce. Zaobserwować, dla którego kanału średnie różnią się najbardziej. Czy jest związek tego kanału z wartościami własnymi?

* Dla kanału najbardziej różnicującego wykonać mapki topograficzne wektorów odpowiadających:
** filtrowi przestrzennemu
** rzutu topograficznego źródła na elektrody.

===Szkielet kodu do analizy wstępnej===

<source lang="matlab">
%% KROK 1: Wczytanie danych
% ReadManager to pomocnicza klasa do odczytu plików w formacie OpenBCI.
% Przyjmuje trzy pliki: XML z metadanymi, RAW z próbkami i TAG ze znacznikami zdarzeń.
nazwaPliku = 'p_6301423_calibration_p300.obci';
nameOfXMLFile = strcat(nazwaPliku, '.xml');
nameOfTagFile = strcat(nazwaPliku, '.tag');
namesOfDataFiles = strcat(nazwaPliku, '.raw');

rm = ReadManager(nameOfXMLFile, namesOfDataFiles, nameOfTagFile);

% Pobieramy podstawowe parametry nagrania
numberOfChannels = rm.get_param('number_of_channels');
namesOfChannels = rm.get_param('channels_names');
samplingFrequency = rm.get_param('sampling_frequency');

% Pobieramy listę wszystkich znaczników zdarzeń z nagrania
tagsStruct = rm.get_tags();

%% KROK 2: Identyfikacja znaczników Target i Non-Target
% Każdy znacznik typu 'blink' odpowiada jednemu mignięciu w eksperymencie P300.
% Pole 'index' mówi który symbol mignął, pole 'target' który symbol był oczekiwany.
% Jeśli index == target to było to mignięcie docelowe (Target), w przeciwnym razie
% Non-Target.
targetTimeStamps = [];
NonTargetTimeStamps = [];

for structNumber = 1:length(tagsStruct)
if strcmp(tagsStruct(structNumber).name, 'blink')
index = tagsStruct(structNumber).children.index;
target = tagsStruct(structNumber).children.target;
if index == target
targetTimeStamps = [targetTimeStamps tagsStruct(structNumber).start_timestamp];
else
NonTargetTimeStamps = [NonTargetTimeStamps tagsStruct(structNumber).start_timestamp];
end
end
end

%% KROK 3: Wczytanie i filtrowanie sygnału
samples = double(rm.get_samples());
samples = samples(1:8,:); % odrzucamy kanały bez EEG
numberOfChannels = 8;

% Filtr dolnoprzepustowy Czebyszewa 2. rodzaju — odcięcie 25 Hz
[b, a] = cheby2(6, 80, 25/(samplingFrequency/2), 'low');
for ch = 1:numberOfChannels
samples(ch,:) = filtfilt(b, a, samples(ch,:));
end

%% KROK 4: Montaż względem średniej (common average reference)
% Odejmujemy od każdego kanału średnią ze wszystkich kanałów w danej chwili.
% Jest to prostsze i bardziej ogólne niż montaż względem połączonych uszu.
M = -ones(numberOfChannels, numberOfChannels) / numberOfChannels;
M = M + eye(numberOfChannels) * (numberOfChannels+1) / numberOfChannels;
samples = 0.0715 * M * samples;

%% KROK 5: Cięcie epok
PRE = -0.2;
POST = 0.8;
wycinek = floor(PRE*samplingFrequency : POST*samplingFrequency);

TargetSignal = zeros(length(targetTimeStamps), numberOfChannels, length(wycinek));
NonTargetSignal = zeros(length(NonTargetTimeStamps), numberOfChannels, length(wycinek));

for trialNumber = 1:length(targetTimeStamps)
trigerOnset = floor(targetTimeStamps(trialNumber) * samplingFrequency);
tenWycinek = wycinek + trigerOnset;
if tenWycinek(1) > 0 && tenWycinek(end) <= size(samples,2)
tmpSignal = samples(:, tenWycinek);
tmpSignal = detrend(tmpSignal')'; % usuwanie trendu liniowego
TargetSignal(trialNumber,:,:) = tmpSignal;
end
end

for trialNumber = 1:length(NonTargetTimeStamps)
trigerOnset = floor(NonTargetTimeStamps(trialNumber) * samplingFrequency);
tenWycinek = wycinek + trigerOnset;
if tenWycinek(1) > 0 && tenWycinek(end) <= size(samples,2)
tmpSignal = samples(:, tenWycinek);
tmpSignal = detrend(tmpSignal')';
NonTargetSignal(trialNumber,:,:) = tmpSignal;
end
end

% Oś czasu w milisekundach — przyda się do rysowania
times = (wycinek / samplingFrequency) * 1000;

%% KROK 6: Wizualizacja ERP w układzie topograficznym
% Oblicz potencjały wywołane (ERP) jako średnie po powtórzeniach
ERP_T = squeeze(mean(TargetSignal, 1)); % wymiary: kanały × czas
ERP_NT = squeeze(mean(NonTargetSignal, 1));

% TUTAJ: narysuj ERP_T i ERP_NT dla każdego kanału w subplotach
% ułożonych w siatce odpowiadającej przybliżonym pozycjom elektrod.
% Na każdym subplocie nałóż oba warunki różnymi kolorami.
% Oś X: czas w ms (użyj wektora times), oś Y: amplituda w µV.
% Zadbaj o legendę i tytuły z nazwami kanałów (namesOfChannels).

%% KROK 7: Obliczenie średnich macierzy kowariancji
% Dla każdego powtórzenia oblicz macierz kowariancji funkcją cov(),
% znormalizuj przez jej ślad (trace()), a następnie uśrednij po powtórzeniach.
% Pamiętaj: cov() oczekuje macierzy próbki × kanały, czyli potrzebujesz transpozycji.

R_T = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
R_NT = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for r = 1:length(targetTimeStamps)
% TUTAJ: wytnij r-te powtórzenie T, oblicz kowariancję, znormalizuj, dodaj do R_T
end

for r = 1:length(NonTargetTimeStamps)
% TUTAJ: wytnij r-te powtórzenie NT, oblicz kowariancję, znormalizuj, dodaj do R_NT
end

% TUTAJ: podziel R_T i R_NT przez odpowiednie liczby powtórzeń

%% KROK 8: Rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego
% Szukamy filtrów przestrzennych W maksymalizujących stosunek mocy
% w warunku T względem NT: eig(R_T, R_NT)
% W kolumnach W znajdują się filtry, na przekątnej Lambda — wartości własne.

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

disp('Wartości własne (przekątna Lambda):')
disp(diag(Lambda))

%% KROK 9: Odtworzenie sygnałów źródłowych
% Dla każdego powtórzenia zastosuj filtr przestrzenny:
% s(r,:,:) = W' * x(r,:,:)
% Pamiętaj o wymiarach — squeeze() może być pomocne.

S_T = zeros(size(TargetSignal));
S_NT = zeros(size(NonTargetSignal));

for r = 1:size(TargetSignal, 1)
% TUTAJ: S_T(r,:,:) = ...
end

for r = 1:size(NonTargetSignal, 1)
% TUTAJ: S_NT(r,:,:) = ...
end

%% KROK 10: Wizualizacja estymowanych źródeł
% Narysuj średnie przebiegi źródeł (ERP w przestrzeni CSP) dla obu warunków.
% Ułóż subploty w prostokątnej siatce — jeden subplot na każde źródło.
% Dla którego źródła różnica między T i NT jest największa?
% Czy odpowiada to źródłu z największą wartością własną?

ERP_S_T = squeeze(mean(S_T, 1));
ERP_S_NT = squeeze(mean(S_NT, 1));

% TUTAJ: narysuj ERP_S_T i ERP_S_NT w subplotach
</source>

=Sesja 3: CSP dla P300 — interpretacja i separacja cech=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Kontynuacja analizy CSP. Celem sesji jest interpretacja wyników
w kategoriach fizjologicznych oraz ocena separowalności klas
w przestrzeni cech opartej na mocy sygnału.

;Zakres:
* mapki topograficzne filtra przestrzennego i topografii źródła
* związek wartości własnych z siłą różnicowania warunków T i NT
* wykresy punktowe mocy: oś X — moc składowej z największą wartością własną, oś Y — moc kolejnej składowej; jeden punkt = jedno powtórzenie
* uśrednianie po 2, 4, 6, 8 i 10 realizacjach — obserwacja poprawy separacji wraz z liczbą uśrednień
* dyskusja: utożsamianie komponentów CSP z fizjologicznymi źródłami jest ryzykowne; komponenty maksymalizują kontrast między warunkami, niekoniecznie odpowiadają izolowanym generatorom

;Materiały:
Zob. [[#Szkielet kodu do analizy wstępnej|Szkielet kodu do analizy wstępnej]] i [[#Zadanie: Wybór i separacja cech|Zadanie: Wybór i separacja cech]] poniżej.

===Zadanie: Wybór i separacja cech===
* Przedstaw na rysunkach nałożone na siebie pojedyncze realizacje z warunków target i non-target po rzutowaniu na wektor <math>w</math> odpowiadający największej i kolejnej wartości własnej.
* Przedstaw wykresy punktowe takie, że na jednej osi jest moc sygnału (suma kwadratów wartości próbek w wybranym zakresie czasu) odpowiadającego największej wartości własnej, a na drugiej osi kolejnej (mniejszej) wartości własnej; jeden punkt reprezentuje jedno powtórzenie.
* Wykonaj serię wykresów jak w poprzednim punkcie dla uśrednień sygnałów kolejno po 2, 4, 6, 8 i 10 realizacjach:
** Liczymy potencjał wywołany dla danej liczby powtórzeń.
** Następnie podnosimy wartości próbek do kwadratu
** i sumujemy je w wybranym zakresie czasu.
* Zaobserwuj jak zmienia się separacja w grupach target i non-target.
{{hidden end}}
[https://robintibor.github.io/eeg-deep-learning-phd-thesis/DeepArchitectures.html Archirtektury sieci do BCI: ConvNet]

[https://www.researchgate.net/figure/The-architecture-of-EEGNet-F1-S1-model-F1-and-S1-represent-the-number-of-temporal_fig3_347073448 EEGNet]

=Sesja 4: Filtry przestrzenne dla SSEP — cosSinCSP=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Sesja wprowadza metodę cosSinCSP jako naturalne uogólnienie CSP
o wiedzę dziedzinową dotyczącą sygnału SSEP. W klasycznym CSP
dwa warunki eksperymentalne definiują dwie macierze kowariancji.
W cosSinCSP rolę jednej z macierzy przejmuje projekcja sygnału
na przestrzeń sinusów i cosinusów częstości stymulacji i jej harmonicznych.
Formalizm ilorazu Rayleigha i uogólnionego zagadnienia własnego
pozostaje identyczny.

Dane używane na tych zajęciach pochodzą z eksperymentu SSEP
z archiwum — bez sesji rejestracyjnej. Na wykresach widma
sygnału przed transformacją CSP dominuje artefakt sieciowy 50 Hz,
który praktycznie zasłania odpowiedź na stymulację. Zadaniem
jest sprawdzenie czy cosSinCSP potrafi ten sygnał wydobyć.

;Zakres:
* idea cosSinCSP: macierz S złożona z sinusów i cosinusów harmonicznych, projekcja sygnału na przestrzeń SSEP i resztę Y
* implementacja funkcji <code>cosSinCSP</code> w MATLAB
* analiza danych archiwalnych: widma Welcha dla kanałów oryginalnych i źródeł CSP — porównanie SNR przed i po transformacji
* prezentacja filtrów przestrzennych i topografii źródeł

;Materiały:
Zob. [[#Filtry przestrzenne dla SSEP|Filtry przestrzenne dla SSEP]] poniżej.

==Filtry przestrzenne dla SSEP==

===Teoria===

Ciekawa koncepcja filtra przestrzennego dla SSEP zaprezentowana jest tu: http://www.eurasip.org/Proceedings/Eusipco/Eusipco2009/contents/papers/1569193209.pdf

Pokrótce można ją rozumieć podobnie do tego co robiliśmy rozważając filtry przestrzenne CSP z tym, że dla SSEP oraz innych potencjałów wywołanych stanu ustalonego możemy skorzystać z dodatkowych informacji dotyczących poszukiwanych źródeł. Wiemy mianowicie, że powinny one oscylować z częstością bodźca i być może jej harmonicznych.

Przyda nam się macierz <math>S</math> zbudowana tak, że w kolejnych kolumnach znajdują się sinusy i cosinusy kolejnych częstości harmonicznych. Wektory te unormujemy, żeby miały energię równą 1. Innymi słowy macierz <math>S</math> zbudowana jest z wersorów rozpinających przestrzeń, w której powinien znajdować się sygnał SSEP.

W Matlabie możemy taką macierz zbudować tak:

<source lang="matlab">
% Fs - częstość próbkowania
% numberOfSamples - długość sygnału w próbkach
% numberOfHarmonics - liczba harmonicznych, które chcemy włączyć do analizy
t = (0:1:numberOfSamples - 1) / Fs;
S = zeros(numberOfSamples, 2*numberOfHarmonics);

for harmonicNumber = 1:numberOfHarmonics
c = cos(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
s = sin(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
S(:,(harmonicNumber - 1)*2 + 1) = c/norm(c);
S(:,(harmonicNumber - 1)*2 + 2) = s/norm(s);
end
</source>

Aby w badanym sygnale znaleźć składowe odpowiadające SSEP musimy rzutować sygnał <math>X</math> (macierz sygnałów ''kanały × próbki'') na przestrzeń rozpiętą przez <math>S</math>:
:<math>A = X S</math>
Macierz <math>A</math> zawiera współczynniki będące iloczynami skalarnymi sygnałów i wersorów — mówią one o tym jak dużo sinusa bądź cosinusa o danej częstości jest w pierwotnym sygnale. Komponenty SSEP zawarte w sygnale <math>X</math> odzyskujemy tak:
:<math>\mathrm{SSEP} = A S^T</math>

Modelujemy rejestrowany sygnał jako:
:<math>X = \mathrm{SSEP} + Y</math>
gdzie:
:<math>Y = X - \mathrm{SSEP}</math>
to wszystkie komponenty sygnału, które nas nie interesują.

Filtr przestrzenny, który chcemy zbudować powinien maksymalizować stosunek wariancji <math>\mathrm{SSEP}</math> do wariancji <math>Y</math>. Macierz kowariancji powinna być uśredniona po powtórzeniach, a kowariancja sygnału w każdym powtórzeniu powinna być znormalizowana przez jej ślad. Dalej stosujemy technikę znaną z CSP: maksymalizację ilorazu Rayleigha przez rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego dla macierzy kowariancji <math>\mathrm{SSEP}</math> i <math>Y</math>.

===Zadanie: implementacja funkcji cosSinCSP===

Dane do zadania: [[Plik:PrzykladoweDaneSSVEP.mat.gz]].
Pełny przykład z danymi z eksperymentu SSEP: [[Plik:SSVEP_demo_csp.tar.gz]]

Zaimplementuj funkcję <code>cosSinCSP</code> zgodnie z poniższym szkieletem.
Prawidłowo zaimplementowana funkcja wraz ze skryptem demonstracyjnym poniżej
powinna generować rysunek: [[Plik:Rys_SSVEP_demo.png|400px|podpis grafiki]]

<source lang="matlab">
function [W, Lambda] = cosSinCSP(signal, stimulationFrequency, numberOfHarmonics, Fs)
% cosSinCSP - filtr przestrzenny dla sygnałów SSEP
%
% Wejście:
% signal - dane EEG, wymiary: powtórzenia × kanały × próbki
% stimulationFrequency - częstość stymulacji w Hz
% numberOfHarmonics - liczba harmonicznych do uwzględnienia
% Fs - częstość próbkowania w Hz
%
% Wyjście:
% W - macierz filtrów przestrzennych (kanały × kanały), filtry w kolumnach
% Lambda - macierz diagonalna wartości własnych

[numberOfTrials, numberOfChannels, numberOfSamples] = size(signal);

%% KROK 1: Zbuduj macierz referencyjną S (sinusy i cosinusy harmonicznych)
% S ma wymiary: próbki × 2*numberOfHarmonics
% Każda kolumna to jeden wersor (unormowany sinus lub cosinus).
% Wróć do sekcji Teoria powyżej i przełóż tamten kod na tę funkcję.

% TUTAJ

%% KROK 2: Oblicz średnie macierze kowariancji C_SSEP i C_Y
% Dla każdego powtórzenia wytnij sygnał x (kanały × próbki),
% rozłóż go na składową SSEP i resztę Y zgodnie z równaniami z sekcji Teoria,
% oblicz macierze kowariancji obu składowych, znormalizuj przez ślad
% i uśrednij po powtórzeniach.

C_SSEP = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
C_Y = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for trial = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(trial, :, :)); % kanały × próbki

% TUTAJ: oblicz SSEP i Y

% TUTAJ: oblicz kowariancje, znormalizuj, dodaj do C_SSEP i C_Y
end

% TUTAJ: podziel C_SSEP i C_Y przez numberOfTrials

%% KROK 3: Rozwiąż uogólnione zagadnienie własne
% Znajdź filtry przestrzenne maksymalizujące stosunek mocy SSEP do mocy Y.
% Analogia z CSP: jakie macierze wstawiłeś do eig() tam?

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

end
</source>

;Wskazówka do interpretacji wyników:
Filtr związany z największą wartością własną daje komponent
o największym stosunku mocy SSEP do mocy tła.
Sprawdź na widmach Welcha czy odpowiada on składowej
z wyraźnym pikiem przy częstości stymulacji.

{{hidden begin|title=Rozwiązanie — pokaż dopiero po samodzielnej próbie}}
<source lang="matlab">
function [W, Lambda] = cosSinCSP(signal, stimulationFrequency, numberOfHarmonics, Fs)

[numberOfTrials, numberOfChannels, numberOfSamples] = size(signal);

%% KROK 1: Macierz referencyjna S
t = (0:1:numberOfSamples-1) / Fs;
S_ref = zeros(numberOfSamples, 2*numberOfHarmonics);

for harmonicNumber = 1:numberOfHarmonics
c = cos(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
s = sin(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
S_ref(:,(harmonicNumber-1)*2 + 1) = c/norm(c);
S_ref(:,(harmonicNumber-1)*2 + 2) = s/norm(s);
end

%% KROK 2: Średnie macierze kowariancji
C_SSEP = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
C_Y = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for trial = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(trial, :, :)); % kanały × próbki
A = x * S_ref; % projekcja na przestrzeń SSEP
SSEP = A * S_ref'; % rekonstrukcja składowej SSEP
Y = x - SSEP; % reszta

tmp = cov(SSEP');
C_SSEP = C_SSEP + tmp/trace(tmp);

tmp = cov(Y');
C_Y = C_Y + tmp/trace(tmp);
end

C_SSEP = C_SSEP / numberOfTrials;
C_Y = C_Y / numberOfTrials;

%% KROK 3: Uogólnione zagadnienie własne
[W, Lambda] = eig(C_SSEP, C_Y);

end
</source>
{{hidden end}}

===Skrypt demonstracyjny i analiza wyników===

<source lang="matlab">
% wczytujemy dane
load('PrzykladoweDaneSSVEP.mat');

[numberOfTrials numberOfChannels numberOfSamples] = size(X.data);
namesOfChannels = X.channels;

numberOfHarmonics = 3;
signal = X.data; % powtórzenie × kanał × próbki

[W, Lambda] = cosSinCSP(signal, X.stimulation, numberOfHarmonics, X.sampling);

%% Odtworzenie sygnałów źródłowych
S = zeros(size(signal));
for powt = 1:size(signal,1)
S(powt,:,:) = W' * squeeze(signal(powt,:,:));
end

%% Widma Welcha: kanały oryginalne vs źródła CSP
figure('Name', ['Stymulacja: ', num2str(X.stimulation), ' Hz'])
for i = 1:numberOfChannels
subplot(2, numberOfChannels, i)
PP = 0;
for rep = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(rep,i,:));
[Pxx, ff] = pwelch(x, X.sampling, 1, X.sampling, X.sampling);
PP = PP + Pxx;
end
plot(ff(ff<60), PP(ff<60))
title(namesOfChannels{i})

subplot(2, numberOfChannels, numberOfChannels+i)
PP = 0;
for rep = 1:numberOfTrials
s = squeeze(S(rep,i,:));
[Pss, ff] = pwelch(s, X.sampling, 1, X.sampling, X.sampling);
PP = PP + Pss;
end
plot(ff(ff<60), PP(ff<60))
title(['źródło CSP: ', num2str(i)])
xlabel(['\lambda = ', num2str(Lambda(i,i), '%.2f')])
end

%% KROK 4: Mapki topograficzne
% Zidentyfikuj komponent z największą wartością własną.
% Narysuj dwie mapki przy użyciu funkcji topoplot() z pakietu EEGLAB:
%
% (a) Filtr przestrzenny: wagi z jakimi kanały EEG składają się na ten komponent.
% Wskazówka: filtr to kolumna macierzy W.
%
% (b) Topografia źródła: z jakimi wagami komponent dociera do poszczególnych elektrod.
% Wskazówka: topografia zawarta jest w wierszach macierzy odwrotnej do W —
% przypomnij sobie analogiczny krok z analizy CSP dla P300.
%
% Czym różnią się te dwie mapki? Którą łatwiej interpretować fizjologicznie?

% TUTAJ: [~, idx] = max(diag(Lambda));
% TUTAJ: topoplot(...) % filtr
% TUTAJ: topoplot(...) % topografia
</source>

=Sesja 5: ICA jako filtr przestrzenny =

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Sesja wprowadza analizę składowych niezależnych (ICA) jako trzecie
podejście do problemu ślepej separacji źródeł — obok BSS/CSP
i cosSinCSP. Kluczowa różnica: CSP szuka kierunków maksymalizujących
kontrast wariancji między warunkami (kryterium drugiego rzędu),
ICA szuka składowych niezależnych statystycznie, maksymalizując
niegaussowość (kryterium wyższego rzędu). ICA nie wymaga
dwóch warunków eksperymentalnych — działa na jednym stacjonarnym sygnale.

;Zakres wykładu (~40 min):
* model generatywny ICA: <math>\mathbf{x} = \mathbf{D}\mathbf{s}</math>, założenie niegaussowości składowych
* negoentropia i algorytm FastICA
* porównanie z CSP: kiedy ICA, kiedy CSP
* ograniczenia: liczba próbek a liczba kanałów (<math>kN^2</math>), niejednoznaczność kolejności i skali komponentów

;Zakres ćwiczenia (~80 min):
* wczytanie danych do EEGLAB, edycja lokalizacji elektrod
* filtrowanie górnoprzepustowe (FIR, 0,5 Hz), zmiana referencji
* obliczenie ICA na całym sygnale
* identyfikacja komponentów zawierających rytm alfa: topografia, widmo, przebieg czasowy
* usunięcie komponentów niezawierających alfy, odtworzenie sygnału na elektrodach
* porównanie wyników między co najmniej trzema uruchomieniami ICA: czy komponenty są powtarzalne?

==Teoria==

===Definicja ===
Independent Component Analysis (ICA) jest metodą statystycznej analizy sygnałów, która dokonuje dekompozycji wielokanałowych zapisów na składowe niezależne w sensie statystycznym.
Dwie składowe ''s''1 i ''s''2 są niezależne jeżeli wiedza o wartości ''s''1 nie daje żadnych informacji o możliwych wartościach ''s''2. ICA może być wyrażona przez prosty model generatywny:
: '''x''' = '''Ds'''
: gdzie '''x''' = {''x''1, ''x''2, ..., ''x''''n''} jest zmierzonym ''n'' kanałowym sygnałem, '''D''' jest macierzą mieszającą zaś '''s''' = {''s''1, ''s''2, ..., ''s''''n''} jest aktywnością ''n'' źródeł. Podstawowym założeniem dotyczącym '''s''' jest to, że ''s''''i'' są statystycznie niezależne. Aby wyestymować model musimy też założyć, że składowe mają niegaussowskie rozkłady wartości (Hyvärinen, 2000).

Dodatkowo model ten zakłada następujące fakty:
# Sygnał jest liniową mieszaniną aktywności źródeł
# Sygnały pochodzące z każdego ze źródeł są niezależne od pozostałych
# Źródła oraz proces ich mieszania są stacjonarne, tzn, ich momenty statystyczne nie zależą od czasu
# Energie (wariancje) źródeł nie mogą być wyznaczone jednoznacznie. Dzieje się tak ponieważ pomnożenie amplitudy ''i''-tego źródła może być uzyskane poprzez przemnożenie albo ''s''''i'' albo przez przemnożenie ''i''-tej kolumny macierzy '''D'''. Naturalnym rozwiązaniem tej niejednoznaczności jest wprowadzenie konwencji, że komponenty są normowane tak aby miały wariancję 1: E[(''s''''i'')''2''] = 1.
# Kolejność komponentów jest dowolna. Bo jeśli w ten sam sposób zmienimy kolejność komponentów w '''s''' i kolumn w '''D''' to dostaniemy dokładnie ten sam sygnał '''x'''.

Głównym wyzwaniem w analizie ICA jest estymacja macierzy mieszającej '''D'''. Gdy jest ona znana to komponenty mogą być wyliczone w następujący sposób:
: '''s''' = '''D'''−1'''x'''

=== Estymacja ===
Znalezienie niezależnych komponentów może być rozważane w świetle Centralnego Twierdzenia Granicznego jako poszukiwanie komponentów o możliwie nie gaussowskim rozkładzie.
Aby zrozumieć to podejście prześledźmy heurystykę zaproponowaną przez (Hyvärinen, 2000).
Dla prostoty załóżmy, że poszukiwane źródła niezależne mają identyczne rozkłady.
Zdefiniujmy

''y'' = '''w'''T'''x'''.

Zauważmy, że jeśli

'''w'''

jest jedną z kolumn macierzy

'''D'''−1,

to ''y'' jest jednym z poszukiwanych komponentów.
Zamieniając zmienne

'''z''' = '''D'''T'''w'''

możemy napisać

''y'' = '''w'''T'''x''' = '''w'''T'''Ds''' = '''z'''T'''s'''.

Uwidacznia to fakt, że ''y'' jest liniową kombinacją składowych s''i'' z wagami danymi przez z''i''.

Z centralnego twierdzenia granicznego wynika, że suma niezależnych zmiennych losowych ma bardziej gaussowski charakter niż każda z tych zmiennych osobno.
Liniowa kombinacja staje się najmniej gaussowska gdy '''z''' ma tylko jeden element niezerowy. W tym przypadku ''y'' jest proporcjonalny do s''i''.
Zatem problem estymacji modelu ICA może być sformułowany jako problem znalezienia takiego wektora '''w''', który maksymalizuje niegaussowskość

''y'' = '''w'''T'''x'''.

Maksymalizacja niegaussowskości ''y'' daje jeden niezależny komponent odpowiadający jednemu z 2''n'' maksimów (bo mamy s''i'' i −s''i'') w krajobrazie optymalizacyjnym. Aby znaleźć wszystkie niezależne komponenty musimy znaleźć wszystkie maksima. Ponieważ komponenty są nieskorelowane, to poszukiwania kolejnych komponentów można kontynuować w podprzestrzeni ortogonalnej do już znalezionych komponentów.

===Obliczenia===
Intuicyjna heurystyka poszukiwania najbardziej niegaussowskich składowych może być użyta do wyprowadzenia różnych funkcji kosztu, których optymalizacja daje model ICA, np. kurtoza.

<math>kurt(y) = E\{y^4\} - 3(E{y^2})^2</math>

Inną miarą gassowskości jest neg-entropia, którą można wyprowadzić z entropii:
Entropia jest miarą średniego zdziwienia wynikiem obserwacji zmiennej losowej:
<math>H(Y) = - \sum_i P(Y= a_i) \log(P(Y=a_i)) </math>

Negentropia jest zdefiniowana:

<math> J(y) = H(y_{gauss}) -H(y)</math>
gdzie <math> y_{gauss} </math> jest gassuwską zmienną losową o takiej samej kowaiancji jak <math> y </math>.

Negentropia jest skomplikowana obliczeniow, więc w praktyce używana jest formuła przybliżona:

<math> J(y) \varpropto [E\{G (y)\} - E\{G(\nu)\}]^2</math>

<math>\nu </math> jest zmienną losową ze standardowego rozkładu normalnego , a G są pewnymi niekwadratowymi funkcjami.

W algorytmie FastICA extremum negentropii jest znajdowane w procedurze bazującej na optymalizacji Newtona.
(szczegóły np.: sekcja 6 w https://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/NN00new.pdf)

Procedura wykorzystywana w eeglabie (&bdquo;runica”, Makeig 1996) dąży do minimalizacji informacji wzajemnej. Oba podejścia są w przybliżeniu równoważne (Hyvärinen, 2000), chociaż owo przybliżenie dla sygnałów elektrofizjologicznych nie zostało to jeszcze w pełni wyeksplorowane.
Dla sygnałów o niskiej wymiarowości i spełniających dokładnie założenia ICA wszystkie powszechnie wykorzystywane algorytmy dają niemal identyczne wyniki.

;Bardzo ważna uwaga: ogólną zasadą jest, że jeśli estymujemy ''N'' stabilnych komponentów (z ''N''-kanałowych danych) to musimy dysponować ''kN''2 punktami danych w każdym kanale, gdzie ''N''2 jest liczbą elementów w macierzy '''D''', którą ICA próbuje wyestymować, ''k'' jest liczbą całkowitą. Nie ma dobrych oszacowań teoretycznych na wielkość ''k'', z praktycznych obserwacji wynika, że rośnie ona z liczbą kanałów.

=== Możliwe zastosowania ===
Najczęściej ICA jest stosowana jako narzędzie do:
* usuwania artefaktów z sygnałów EEG (ruchy oczu i mięśnie)
* wydobywania składowych do dalszej analizy (Onton, 2006)
* jako analiza wstępna do lokalizacji źródeł (Grau, 2007).
* ICA jest także stosowana w analize sygnałów EKG i EMG.

===Bibliografia===
Bazowa praca:
* A. Hyvärinen. Fast and Robust Fixed-Point Algorithms for Independent Component Analysis. IEEE Transactions on Neural Networks 10(3):626-634, 1999 http://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/TNN99_reprint.pdf

Nieco prościej opisana wersja z przykładami:
* Hyvärinen, A. and Oja, E. (2000). Independent component analysis: Algorithms and applications. Neural Networks, 13(4-5):411–430.
https://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/NN00new.pdf

* Grau, C., Fuentemilla, L., Marco-Pallars, J. (2007). Functional neural dynamics underlying auditory event-related n1 and n1 suppression response. Neuroimage, 36(6):522–31.
* Makeig, S., Bell, A., Jung, T.-P., Sejnowski,T. (1996). Independent component analysis of electroencephalographic data. W: Touretzky, D., Mozer, M., and Hasselmo, M., editors, Advances in Neural Information Processing Systems, volume 8, pages 145–151. MIT Press, Cambridge, MA.
* Onton, J., Makeig, S. (2006). Information-based modeling of event-related brain dynamics. Prog Brain Res., 159:99–120.
* Tutorial: http://sccn.ucsd.edu/wiki/Chapter_09:_Decomposing_Data_Using_ICA
* http://sccn.ucsd.edu/~arno/indexica.html
* http://cis.legacy.ics.tkk.fi/aapo/papers/IJCNN99_tutorialweb/

== ZADANIE: Wydobywanie interesujących komponentów ==

Dane do tej części ćwiczeń proszę pobrać i rozpakować w swoim katalogu:
http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Dane_do_ICA_alfa.tar.gz

Pochodzą one z eksperymentu, w którym osoba badana siedziała z zamkniętymi oczami słuchając nagrania czytanego spokojnym głosem. Metadane opisujące sygnał znajdują się w pliku Miro.xml, zaś lokalizacje elektrod w pliku Miro-10-20-Cap.locs.

Proszę:
* wczytać dane do eeglaba
* wyedytować lokalizację elektrod
* usunąć kanały nie zawierające EEG
* zmienić referencje na średnią z kanałów A1 i A2
* przefiltrować filtrem FIR górnoprzepustowym z częstością odcięcia 0,5 Hz
* obejrzeć wstępnie przygotowane dane
* policzyć ICA na całym sygnale
* obejrzeć właściwości otrzymanych komponentów
** Czy są wśród nich takie, które zawierają znaczny udział rytmu alfa?
** Jaka jest ich topografia?
* usunąć wszystkie komponenty nie zawierające alfy
* odtworzyć z tych komponentów sygnał na elektrodach
* wykonać dekompozycję ICA kilkukrotnie (co najmniej 3) i porównać wyniki
** Czy uzyskiwane komponenty są powtarzalne?
** Swoje wyniki porównać też z sąsiednimi grupami.

==ZADANIE: Identyfikacja artefaktów ==
Proszę pobrać dane:

*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal-10-20-Cap.locs
*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal1.set
*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal1.fdt

Pochodzą one z eksperymentu w którym osoba badana czytała słowa o różnych właściwościach wzbudzania emocji.

* wczytaj je do eeglaba
* wczytaj lokalizację kanałów z pliku Arousal-10-20-Cap.locs
* obejrzyj przebiegi czasowe
* odrzuć kanał z diodą (21) i z GSR (20)
* zrób dekompozycję ICA
* obejrzyj topografię komponentów
* zidentyfikuj komponenty odpowiadające mruganiu i aktywności mięśniowej.
;UWAGA: Aktualnie do wykrywania komponentów artefaktowych warto posłużyć się wtyczkami do eeglaba dostępnymi przez stronę:

https://sccn.ucsd.edu/eeglab/plugin_uploader/plugin_list_all.php

* ICLabel:
** https://labeling.ucsd.edu/tutorial/overview
** https://github.com/sccn/ICLabel

* MARA:
** https://github.com/irenne/MARA/raw/master/MARAtutorial.pdf
** https://irenne.github.io/artifacts/

=Sesja 6: Problem odwrotny w EEG i MEG=

;Czas: ~60 min wykład + ~90 min ćwiczenie

Sesja wprowadza problem odwrotny jako alternatywne — i komplementarne —
podejście do analizy przestrzennej sygnałów EEG i MEG. O ile BSS/CSP
i ICA szukają filtrów przestrzennych w przestrzeni elektrod,
nie zakładając nic o geometrii mózgu,
to metody problemu odwrotnego wyraźnie osadzają źródła
w przestrzeni trójwymiarowej, korzystając z fizyki i modelu głowy.

Materiały z naszych zasobów:
* [[Elektroencefalografia|Sekcje 3 i 8 z Podręcznika o EEG ]]
* [https://drive.google.com/file/d/1EOJxN1y7X3YlIFHoIIyoZzCiXdrQSHcA Wykład Piotra Durki z Analizy sygnałów o problemie odwrotnym w EEG iMEG]

Z zasobów zewnętrznych polecam:
* [https://download.fieldtriptoolbox.org/workshop/toolkit2025/slides/04_forward_inverse.pdf#page=1.00 Slajdy "Forward and inverse - lecture by Robert Oostenveld" fragment warsztatów: "Advanced MEG/EEG toolkit at the Donders"]

==Kontrast z BSS: dwa języki opisu tego samego zjawiska==

Zarówno BSS/ICA, jak i metody problemu odwrotnego wychodzą
od tego samego modelu generatywnego:
:<math>\mathbf{x}(t) = \mathbf{A}\,\mathbf{s}(t) + \boldsymbol{\varepsilon}(t)</math>
gdzie <math>\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^{N_e}</math> to potencjały na elektrodach,
<math>\mathbf{s}(t) \in \mathbb{R}^{N_s}</math> to aktywność źródeł,
a <math>\mathbf{A}</math> to macierz mieszająca (ang. ''lead field'' lub ''forward matrix'').

Różnica leży w tym, co robimy z macierzą <math>\mathbf{A}</math>:

{| class="wikitable"
|-
! !! BSS / ICA !! Problem odwrotny
|-
| '''Macierz A''' || nieznana; estymowana z danych || obliczona z modelu głowy (''forward model'')
|-
| '''Liczba źródeł''' || równa liczbie elektrod || od 1 dipola do ~10 000 wokseli
|-
| '''Geometria''' || brak założeń przestrzennych || źródła zlokalizowane w przestrzeni 3D
|-
| '''Regularyzacja''' || przez kryterium stat. (niezależność, wariancja) || przez regularyzację matematyczną (L2, L1, …)
|-
| '''Wynik''' || filtry przestrzenne + komponenty || mapa aktywności w przestrzeni mózgu
|}

Kluczowa trudność problemu odwrotnego wynika z jego
fundamentalnej niejednoznaczności:

układ równań:

<math>\mathbf{x} = \mathbf{A}\mathbf{s}</math>

jest niedookreślony — przy <math>N_e \approx 19\text{–}256</math> elektrodach
i <math>N_s \sim 10^4</math> możliwych lokalizacjach źródeł
istnieje nieskończenie wiele rozkładów <math>\mathbf{s}</math>
dokładnie odtwarzających zmierzony <math>\mathbf{x}</math>.
Każda metoda nakłada inne założenie ''a priori'', by wybrać jedno rozwiązanie.

==Model do przodu (forward model)==

Zanim można rozwiązać problem odwrotny, należy zbudować
''model do przodu'' — obliczenie potencjałów na elektrodach
wywołanych przez jednostkowe źródło prądowe w danym miejscu mózgu.
Wynik zapisuje się jako macierz ''pola wiodącego'' (''lead field''):
:<math>\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{N_e \times 3N_s}</math>
gdzie czynnik 3 wynika z trzech ortogonalnych składowych momentu dipolowego.

=== Skąd bierze się macierz ''lead field''? ===

Przejdźmy od równań Maxwella do tego, co dosłownie liczą funkcje `ft_prepare_headmodel` / `ft_prepare_leadfield`.

==== 1. Punkt wyjścia: przybliżenie kwazistatyczne ====

=====Pełne równania Maxwella w ośrodku materialnym=====

$$
\begin{aligned}
\nabla \cdot \mathbf{D} &= \rho && \text{(prawo Gaussa)} \\
\nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 && \text{(brak monopoli magnetycznych)} \\
\nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} && \text{(prawo Faradaya)} \\
\nabla \times \mathbf{H} &= \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} && \text{(prawo Ampère'a–Maxwella)}
\end{aligned}
$$

uzupełnione związkami konstytutywnymi dla tkanki traktowanej jako liniowy, lokalnie izotropowy ośrodek:

$$
\mathbf{D} = \varepsilon\,\mathbf{E},\qquad \mathbf{B} = \mu_0\,\mathbf{H},\qquad \mathbf{J} = \sigma\,\mathbf{E} + \mathbf{J}^p
$$

Ostatnia relacja to uogólnione prawo Ohma: prąd swobodny ma część omową (<math>\sigma\mathbf{E}</math>, prądy bierne w przewodniku objętościowym) i część „pierwotną" <math>\mathbf{J}^p</math> pochodzącą od źródeł neuronowych — bo to one *nie* są napędzane lokalnym polem <math>\mathbf{E}</math>, tylko gradientami stężeń jonów.

===== Przybliżenie kwazistatyczne =====

Wprowadzamy harmoniczną zależność czasową <math>e^{i\omega t}</math> i porównujemy człony w równaniach Maxwella. Trzy warunki muszą być spełnione jednocześnie:

**(a) Pomijalny prąd przesunięcia w równaniu Ampère'a. ** Stosunek członu pojemnościowego do omowego to <math>\omega\varepsilon/\sigma</math>. Dla tkanki przy <math>f=100</math> Hz, <math>\sigma\approx 0{,}3</math> S/m, <math>\varepsilon_r\approx 10^5</math> (efektywna wartość niska-częstotliwościowa dla istoty szarej; spada szybko z <math>f</math>):
$$\frac{\omega\varepsilon}{\sigma} = \frac{2\pi\cdot 100\cdot 10^5\cdot 8{,}85\cdot 10^{-12}}{0{,}3}\sim 10^{-3}$$

— bezpiecznie pomijalny w EEG. To pozwala napisać <math>\nabla\times\mathbf{H}\approx\mathbf{J}</math>, a po wzięciu dywergencji:
$$\nabla\cdot\mathbf{J} = 0$$

**(b) Pomijalna indukcja w równaniu Faradaya.** Mówimy, że <math>\partial\mathbf{B}/\partial t</math> jest na tyle małe, że <math>\nabla\times\mathbf{E}\approx 0</math>, więc istnieje potencjał skalarny <math>V</math> z <math>\mathbf{E}=-\nabla V</math>. Można to oszacować z indukcyjności geometrii głowy i wykazać, że pomijany wkład jest o kilka rzędów mniejszy od <math>-\nabla V</math>.

**(c) Brak efektów propagacyjnych.** Długość fali EM przy 100 Hz w próżni to <math>\lambda = c/f\approx 3000</math> km, czyli <math>\lambda \gg L_\text{głowy}</math>. To gwarantuje, że pole „widzi" całą głowę jednocześnie — stąd zerowe przesunięcie fazowe propagacji potencjału przez przewodnik objętościowy.

Co zostaje po przybliżeniu:

$$
\begin{aligned}
\nabla \times \mathbf{E} &= 0 \;\Rightarrow\; \mathbf{E} = -\nabla V \\
\nabla \cdot \mathbf{J} &= 0 \\
\mathbf{J} &= -\sigma\nabla V + \mathbf{J}^p
\end{aligned}
$$

Składając trzy powyższe:

$$
\nabla\cdot\bigl(\sigma(\mathbf{r})\nabla V(\mathbf{r})\bigr) = \nabla\cdot\mathbf{J}^p(\mathbf{r})
$$

Warto przy tym podkreślić, że prawo Gaussa i <math>\nabla\cdot\mathbf{B}=0</math> nie znikają — one są nadal spełnione, ale po prostu nie są nam potrzebne do wyliczenia <math>V</math> na skórze: ładunki swobodne i indukowane policzy się *a posteriori* z <math>\rho = \nabla\cdot(\varepsilon\nabla V)\cdot(-1)</math>, a pole magnetyczne (interesujące dla MEG!) z prawa Biota–Savarta zastosowanego do <math>\mathbf{J}</math>.

Warto tu zauważyć, że kwazistatyka EEG i kwazistatyka MEG to **to samo** przybliżenie — różni je tylko, co wybieramy jako wielkość mierzoną (<math>V</math> na skórze vs. <math>\mathbf{B}</math> na zewnątrz głowy). To samo równanie Poissona generuje oba sygnały, a różnice w czułości na orientację dipola (radialny vs. tangencjalny) wynikają stąd, że potencjał i pole magnetyczne są różnymi funkcjonałami tego samego rozwiązania.

==== 2. Rozszczepienie prądu — gdzie pojawia się „źródło" ====

Gęstość prądu w tkance dzielimy na część „pierwotną" (neuronową) i „objętościową" (omową):

$$\mathbf{J}(\mathbf{r}) = \mathbf{J}^p(\mathbf{r}) - \sigma(\mathbf{r})\,\nabla V(\mathbf{r})$$

<math>\mathbf{J}^p</math> reprezentuje *prądy postsynaptyczne w piramidowych neuronach kory* — to one są naszym „źródłem". Reszta to prądy bierne płynące w przewodniku objętościowym o nieizotropowej, niejednorodnej przewodności <math>\sigma</math>.

Podstawiając do warunku <math>\nabla \cdot \mathbf{J}_\text{tot} = 0</math> dostajemy równanie Poissona dla niejednorodnego przewodnika:

$$\boxed{\;\nabla \cdot \bigl(\sigma(\mathbf{r})\,\nabla V(\mathbf{r})\bigr) = \nabla \cdot \mathbf{J}^p(\mathbf{r})\;}$$

To jest **całe** równanie problemu wprost. Cała reszta to:
(a) model źródła,
(b) warunki brzegowe,
(c) sposób rozwiązania.

==== 3. Model źródła: dipol prądowy ====

Dla pojedynczego dipola w $\mathbf{r}_0$ o momencie $\mathbf{q}$:

$$\mathbf{J}^p(\mathbf{r}) = \mathbf{q}\,\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$$

$$\nabla \cdot \mathbf{J}^p(\mathbf{r}) = \mathbf{q}\cdot\nabla\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$$

Liniowość PDE daje natychmiast kluczową własność: $V$ jest **liniową** funkcją $\mathbf{q}$. To właśnie ta liniowość pozwala zapisać:

$$\mathbf{v} = \mathbf{L}\,\mathbf{j}$$

gdzie $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{N_\text{el}}$ to potencjały, $\mathbf{j} \in \mathbb{R}^{3N_\text{src}}$ to momenty dipoli, a $\mathbf{L}$ to *lead field matrix*. Każda kolumna $\mathbf{L}$ to potencjał wywołany jednostkowym dipolem w danym miejscu i o danej orientacji.

==== 4. Warunki brzegowe ====

Na granicy skóra/powietrze prąd nie wypływa:

$$\sigma\,\nabla V \cdot \hat{\mathbf{n}} = 0 \quad \text{na zewnętrznej powierzchni}$$

Wewnątrz, na granicach tkanek o różnym $\sigma$ (mózg–CSF–czaszka–skóra):

$$V \text{ ciągłe},\quad \sigma\nabla V \cdot \hat{\mathbf{n}} \text{ ciągłe}$$

To są te warunki, które „włączają" geometrię i przewodności do problemu — i to one decydują, że czaszka (niskie $\sigma$, około 1/15–1/80 tkanki miękkiej, do dziś dyskutowane) rozmywa pole tak agresywnie.

==== 5. Metody rozwiązania — co siedzi w `ft_prepare_headmodel` ====

`ft_prepare_headmodel` to fabryka różnych operatorów rozwiązujących tę samą PDE. Wybór `cfg.method` decyduje o paradygmacie matematycznym:

**(a) Rozwiązania analityczne — modele sferyczne** (`'singlesphere'`, `'concentricspheres'`)

Dla geometrii sferycznej z osiową symetrią rozwija się $V$ w szereg wielomianów Legendre'a. Dla 3-warstwowego modelu koncentrycznego dostajemy zamknięty wzór z nieskończonym szeregiem, który w praktyce tnie się po ~40 wyrazach. Berg & Scherg (1994) dali znakomite przybliżenie 3 dipolami w sferze jednorodnej — błyskawicznie szybkie, do dziś używane w MEG. Plus: bardzo szybkie, brak siatkowania. Minus: kula to nie głowa, zwłaszcza w okolicach skroniowych i podstawy.

**(b) BEM — Boundary Element Method** (`'bemcp'`, `'dipoli'`, `'openmeeg'`)

Wykorzystuje się fakt, że w obszarze o stałym $\sigma$ $V$ spełnia równanie Laplace'a, a cały „nietrywialny" wkład można wyrazić jako całkę po powierzchniach granicznych. Z drugiej tożsamości Greena dostajemy całkowe równanie typu Fredholma 2-go rodzaju:

$$V(\mathbf{r}) = V_\infty(\mathbf{r}) + \frac{1}{4\pi}\sum_k \frac{\sigma_k^- - \sigma_k^+}{\bar{\sigma}}\oint_{S_k} V(\mathbf{r}')\,\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\cdot\hat{\mathbf{n}}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,dS'$$

gdzie $V_\infty$ to potencjał dipola w przestrzeni nieograniczonej. Triangulujemy powierzchnie (skóra, czaszka, mózg — czasem CSF) i to równanie zamienia się w układ liniowy. Szybciej niż FEM, ale wymaga założenia odcinkowo stałej przewodności i zakłada izotropię.

**(c) FEM — Finite Element Method** (`'simbio'`, `'duneuro'`)

Cała objętość głowy dyskretyzowana czworościanami/sześciościanami z indywidualnym tensorem $\sigma$ w każdym elemencie (z DTI można wstrzyknąć anizotropię istoty białej!). Sformułowanie wariacyjne daje rzadki układ:

$$\mathbf{K}\mathbf{u} = \mathbf{b}$$

gdzie $\mathbf{K}$ to macierz sztywności zależna od $\sigma(\mathbf{r})$, a $\mathbf{b}$ niesie informację o źródle. To „złoty standard" pod kątem dokładności, ale kosztowny — dlatego praktycznie zawsze łączony z trikiem z punktu 6.

**(d) FDM** — rzadziej, dziś głównie historycznie.

==== 6. Twierdzenie o wzajemności — dlaczego macierz $\mathbf{L}$ da się liczyć rozsądnie ====

Naiwne podejście: dla każdego z $\sim 10^4$ źródeł i każdej z 3 orientacji odpalić rozwiązywacz PDE. To $3\times 10^4$ rozwiązań. Beznadzieja.

Helmholtzowska zasada wzajemności mówi: potencjał w elektrodzie A wywołany dipolem w punkcie $\mathbf{r}_0$ jest równoważny pewnej wielkości policzonej z **pola elektrycznego** wytworzonego w $\mathbf{r}_0$ przez **jednostkowy prąd wstrzyknięty** między elektrodą A a referencją. Formalnie:

$$V_A(\mathbf{r}_0;\mathbf{q}) = \mathbf{E}^{(A)}(\mathbf{r}_0)\cdot\mathbf{q}$$

gdzie $\mathbf{E}^{(A)}$ to pole „wstrzykniętego" prądu jednostkowego. Konsekwencja: zamiast $3N_\text{src}$ rozwiązań PDE wystarczy $N_\text{el}-1$ rozwiązań (po jednym na elektrodę). Praktycznie wszystkie pakiety BEM/FEM (w tym OpenMEEG, SimBio, DUNEuro) to wykorzystują — i dlatego FEM jest w ogóle wykonalny dla całych siatek źródłowych.

==== 7. Co więc dosłownie robi `ft_prepare_headmodel` ====

Tworzy obiekt `headmodel`, który zawiera:
- geometrię (kule albo siatki powierzchniowe, albo objętościową siatkę FEM),
- przewodności poszczególnych warstw,
- a w przypadku BEM/FEM — **wstępnie policzony operator dyskretny** (np. odwróconą macierz BEM albo czynnik macierzy sztywności FEM z trikiem transferowym wykorzystującym wzajemność).

To jest najdroższa część obliczeń — i robi się ją *raz* dla danej geometrii. Potem `ft_prepare_leadfield`, dla każdej pozycji źródła w `cfg.sourcemodel`, używa tego operatora, żeby wygenerować trzy kolumny $\mathbf{L}$ (dla orientacji x, y, z). Wynik to `leadfield{i}` o wymiarze $N_\text{el}\times 3$ — czyli dosłownie blok macierzy lead field dla danego wokselu.

---

Podsumowanie:

1. Maxwell → kwazistatyka → „elektrostatyka z prądami"
2. Podział prądu i równanie Poissona (jedyne równanie, którego naprawdę trzeba)
3. Dipol jako model i wynikająca **liniowość** → uzasadnienie wzoru $\mathbf{v}=\mathbf{L}\mathbf{j}$
4. Warunki brzegowe → tu wchodzi anatomia
5. Sfery (analityczne, intuicja) → BEM → FEM jako kolejne stopnie realizmu
6. Wzajemność jako trik obliczeniowy, bez którego niczego by się nie dało policzyć w sensownym czasie

Klasyczne źródła:
- Hallez et al. 2007 *J Neuroeng Rehabil* (review obliczeń forward, bardzo czytelny),
- Mosher et al. 1999 dla zwartego wyprowadzenia,
- oraz dokumentacja OpenMEEG (Gramfort et al. 2010) — tam ścieżka BEM jest wyprowadzona z drugiej tożsamości Greena.
---

=== Programy obliczające model do przodu:===
MNE-Python (<code>mne.make_bem_model</code>), FieldTrip (<code>ft_prepare_headmodel</code>), OpenMEEG.

==Fitowanie dipoli (Dipole Fitting)==

===Idea===
Najprostsze założenie: aktywacja EEG pochodzi z jednego
(lub kilku) ekwiwalentnych dipoli prądowych.
Każdy dipol opisany jest sześcioma parametrami:
trzema współrzędnymi położenia <math>(x,y,z)</math>
i trzema składowymi momentu dipolowego <math>(q_x, q_y, q_z)</math>.

===Formalizm===
Dla pojedynczego dipola o momencie <math>\mathbf{q}(t)</math>
w lokalizacji <math>\mathbf{r}_0</math>:
:<math>\mathbf{x}(t) = \mathbf{a}(\mathbf{r}_0)\,\mathbf{q}(t) + \boldsymbol{\varepsilon}(t)</math>
gdzie <math>\mathbf{a}(\mathbf{r}_0) \in \mathbb{R}^{N_e \times 3}</math>
to kolumna macierzy pola wiodącego odpowiadająca lokalizacji <math>\mathbf{r}_0</math>.

Estymacja polega na minimalizacji reszty:
:<math>\hat{\mathbf{r}}_0 = \arg\min_{\mathbf{r}} \left\|\mathbf{x}(t) - \mathbf{a}(\mathbf{r})\,\hat{\mathbf{q}}(t)\right\|^2</math>
Minimalizację prowadzi się zwykle algorytmem Neldera–Meada
lub Levenberga–Marquardta po przestrzeni lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* gdy źródło jest punktowe lub quasi-punktowe (np. wczesne składowe słuchowych potencjałów wywołanych N20, P25)
* gdy liczba aktywnych źródeł jest z góry znana i mała (1–3 dipole)

;Ograniczenia:
* wrażliwość na punkt startowy — algorytm może utknąć w minimum lokalnym
* złe dopasowanie gdy aktywacja pochodzi z rozległego obszaru kory
* wynik silnie zależy od dokładności modelu do przodu

==Minimum Norm Estimation (MNE)==

===Idea===
Zamiast zakładać małą liczbę dipoli,
rozkładamy aktywność na gęstą siatkę źródeł pokrywającą całą powierzchnię kory
i szukamy rozwiązania o minimalnej normie —
tj. takiego, które odtwarza dane, angażując jak najmniejszą całkowitą energię źródeł.

===Formalizm===
Problem optymalizacji z regularyzacją Tichonowa:
:<math>\hat{\mathbf{s}} = \arg\min_{\mathbf{s}} \left\|\mathbf{x} - \mathbf{A}\mathbf{s}\right\|^2 + \lambda\left\|\mathbf{s}\right\|^2</math>
gdzie <math>\lambda > 0</math> to parametr regularyzacji kontrolujący kompromis
między wiernością danym a gładkością rozwiązania.

Rozwiązanie analityczne:
:<math>\hat{\mathbf{s}} = \mathbf{A}^T\left(\mathbf{A}\mathbf{A}^T + \lambda\mathbf{I}\right)^{-1}\mathbf{x}</math>

Macierz <math>\mathbf{W}_{\mathrm{MNE}} = \mathbf{A}^T(\mathbf{A}\mathbf{A}^T + \lambda\mathbf{I})^{-1}</math>
jest liniowym filtrem przestrzennym — analogiem macierzy <math>\mathbf{W}</math> z CSP,
lecz skonstruowanym na podstawie modelu do przodu, nie z danych.

===Warianty===

;dSPM (''dynamic Statistical Parametric Mapping'', Dale 2000):
Normalizuje estymowaną aktywność przez odchylenie standardowe szumu:
:<math>F_{\mathrm{dSPM}}(\mathbf{r}, t) = \frac{\hat{s}(\mathbf{r},t)}{\sigma_{\mathrm{noise}}(\mathbf{r})}</math>
Wynik ma interpretację statystyczną (wartość F lub Z); popularne w neurobiologii poznawczej.

;sLORETA (''standardized LORETA'', Pascual-Marqui 2002):
Normalizuje przez odchylenie standardowe samego estymatora MNE (nie tylko szumu):
:<math>F_{\mathrm{sLORETA}}(\mathbf{r}, t) = \frac{\hat{s}(\mathbf{r},t)}{\sqrt{\left[\mathbf{W}_{\mathrm{MNE}}\mathbf{A}\right]_{(\mathbf{r},\mathbf{r})}}}</math>
Wykazuje zerowe systematyczne błędy lokalizacji w warunkach idealnych.

;Wybór <math>\lambda</math>:
Zwykle <math>\lambda = \alpha \cdot \mathrm{tr}(\mathbf{A}\mathbf{A}^T) / \mathrm{tr}(\mathbf{I})</math>
z <math>\alpha \in [0.05, 0.3]</math>; w MNE-Python domyślnie <math>\alpha = 0.1</math>.
Można też stosować kryterium L-krzywej lub walidację krzyżową.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* gdy aktywacja jest rozproszona lub nieznana a priori
* jako ogólne narzędzie wizualizacji ERP na powierzchni kory
* przy małej liczbie elektrod

;Ograniczenia:
* tendencja do rozmywania rozwiązania — źródła głębokie są systematycznie niedoszacowane
* brak zakładanej rzadkości (''sparsity''); wariant L1 (MCE) jest rzadszy, ale trudniejszy obliczeniowo
* wymaga dobrego modelu do przodu

==Beamformery==

===Idea===
Beamformer (dosł. „formowanie wiązki") to adaptacyjny filtr przestrzenny,
który dla każdej lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>
konstruuje wagi <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math> maksymalizujące
stosunek mocy sygnału z tej lokalizacji do mocy wszystkich pozostałych źródeł.
W odróżnieniu od MNE, beamformer korzysta z macierzy kowariancji danych —
jest więc metodą adaptacyjną, zbliżoną duchem do CSP.

===LCMV (''Linearly Constrained Minimum Variance'', Van Veen 1997)===

Szukamy filtra minimalizującego wariancję wyjścia
przy ograniczeniu zachowującym sygnał z lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>:
:<math>\mathbf{w}^*(\mathbf{r}) = \arg\min_{\mathbf{w}} \mathbf{w}^T\mathbf{C}\mathbf{w}
\quad \text{p.o.} \quad \mathbf{w}^T\mathbf{a}(\mathbf{r}) = 1</math>
gdzie <math>\mathbf{C} = E[\mathbf{x}\mathbf{x}^T]</math> to macierz kowariancji danych.

Rozwiązanie analityczne (mnożnik Lagrange'a):
:<math>\mathbf{w}(\mathbf{r}) = \frac{\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}{\mathbf{a}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}</math>

Moc w lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>:
:<math>P(\mathbf{r}) = \mathbf{w}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}\,\mathbf{w}(\mathbf{r})
= \frac{1}{\mathbf{a}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}</math>

===DICS (''Dynamic Imaging of Coherent Sources'', Gross 2001)===

Wariant beamformera dla analizy częstotliwościowej:
zamiast macierzy kowariancji czasowej stosuje
''cross-spectral density matrix'' <math>\mathbf{C}(f)</math>
obliczoną dla wybranego pasma częstości.
Pozwala mapować koherencję między lokalizacjami na powierzchni kory.

===Analogia z CSP===

Zauważmy analogię strukturalną:

{| class="wikitable"
|-
! !! CSP !! LCMV Beamformer
|-
| '''Macierz kowariancji''' || <math>\mathbf{R}_T, \mathbf{R}_{NT}</math> (dwa warunki) || <math>\mathbf{C}</math> (jeden warunek) + <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
|-
| '''Filtr''' || <math>\mathbf{w}</math>: maks. stosunek wariancji || <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math>: min. wariancja przy ograniczeniu
|-
| '''Przestrzeń''' || elektrod || przestrzeni mózgu (woksel po wokselu)
|-
| '''Model do przodu''' || nie || tak — przez <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
|}

Kluczowa różnica: CSP optymalizuje globalnie jednym zagadnieniem własnym,
beamformer rozwiązuje osobny problem dla każdej lokalizacji.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* analiza ERD/ERS (rytmy ruchowe, alfa, beta) w przestrzeni mózgu
* lokalizacja źródeł oscylacyjnych w MEG
* DICS do badania koherencji korowo-korowej

;Ograniczenia:
* silnie skorelowane źródła są tłumione (''source cancellation'') — beamformer zakłada, że źródła są nieskorelowane
* wymaga dużej liczby próbek do stabilnej estymacji <math>\mathbf{C}^{-1}</math>
* przy małej liczbie elektrod macierz <math>\mathbf{C}</math> może być źle uwarunkowana

;Podsumowanie:
[[Plik:Inverse problem vs bss.png|mały|centruj]]

==Podsumowanie: kiedy stosować którą metodę==

{| class="wikitable"
|-
! Metoda !! Założenie a priori !! Dane wejściowe !! Typowe zastosowanie
|-
| '''Dipole fitting''' || 1–3 punktowe źródła || ERP, AEP, SEP || lokalizacja wczesnych składowych wywołanych
|-
| '''MNE / dSPM / sLORETA''' || minimalna energia; źródła ciągłe || ERP, dowolny sygnał || wizualizacja rozproszonej aktywności na korze
|-
| '''LCMV Beamformer''' || źródła nieskorelowane || ERD/ERS, dane resting-state || lokalizacja źródeł oscylacyjnych w MEG/EEG
|-
| '''DICS''' || j.w. + analiza spektralna || dane oscylacyjne || mapa koherencji korowo-korowej
|-
| '''CSP / ICA''' || brak modelu geometrycznego || dwa warunki / jeden segment || klasyfikacja BCI, usuwanie artefaktów
|}

;Uwaga praktyczna:
Wszystkie metody problemu odwrotnego wymagają przygotowania modelu do przodu.
Zaleca się korzystanie z MNE-Python lub FieldTrip — oba pakiety
oferują spójne pipeline'y od surowych danych do map korowych
i są szeroko stosowane w literaturze, co ułatwia replikację wyników.

=Sesja 7: Problem odwrotny — część praktyczna=

;Czas: ~30 min wprowadzenie + ~120 min ćwiczenie

Część praktyczna prowadzi przez pełny pipeline lokalizacji źródeł:
od wczytania danych w FieldTrip, przez zbudowanie modelu do przodu,
do fitowania dipola i interpretacji wyniku.
Sesja jest zaprojektowana tak, aby każdy krok bezpośrednio ilustrował
jeden element teorii omówionej w [[#Sesja 7: Problem odwrotny w EEG i MEG|części wykładowej]].

;Dane:
Używamy standardowego zestawu danych FieldTrip
(dane somatosensoryczne MEG/EEG, bodziec elektryczny na nadgarstku — składowa N20):
* https://download.fieldtriptoolbox.org/tutorial/Subject01.zip (~800 MB)

Ten sam zestaw danych jest używany we wszystkich tutorialach FieldTrip
wymienionych w tej sesji, co ułatwia porównywanie wyników między krokami.

;Instalacja FieldTrip: Wymagania wstępne:
FieldTrip wymaga MATLABa. Przed instalacją sprawdź kompatybilność swojej wersji:
[https://www.fieldtriptoolbox.org/faq/matlab/requirements MATLAB requirements]

;Pobranie toolboxa: Pobierz najnowszą wersję ze strony:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/download.php Pobierz FieldTrip]

Rozpakuj archiwum ZIP w wybranym katalogu, np. <code>~/matlab/fieldtrip</code> (Linux/macOS).

;Ważne: nie zmieniaj wewnętrznej struktury katalogów po rozpakowaniu —
FieldTrip dynamicznie zarządza swoimi podkatalogami.

;Konfiguracja ścieżki MATLAB: Pełna instrukcja: [https://www.fieldtriptoolbox.org/faq/matlab/installation Installation and setting up the path]

Uruchom poniższe polecenia na początku każdej sesji pracy z FieldTrip
(lub wstaw je do pliku <code>startup.m</code> — patrz niżej):

<source lang="matlab">
restoredefaultpath % wyczyść aktualną ścieżkę
addpath('~/fieldtrip') % podaj tu swoją ścieżkę do FieldTrip
ft_defaults % skonfiguruj FieldTrip i minimalne podkatalogi
</source>

;Uwaga — częsty błąd:
Nie używaj <code>addpath(genpath(...))</code> ani przycisku „Add with Subfolders" w MATLAB GUI.
FieldTrip samodzielnie dodaje potrzebne podkatalogi przez <code>ft_defaults</code>
i <code>ft_hastoolbox</code> — dodanie wszystkiego ręcznie powoduje konflikty
z funkcjami SPM, EEGLAB i wbudowanymi funkcjami MATLABa
(w szczególności z funkcjami z katalogu <code>fieldtrip/compat</code>
przeznaczonymi tylko dla starych wersji MATLABa).

;Trwała konfiguracja przez startup.m:

Żeby nie powtarzać powyższych poleceń przy każdym uruchomieniu MATLABa,
utwórz plik <code>startup.m</code> w swoim katalogu MATLABa
(zwykle <code>Dokumenty/MATLAB/startup.m</code>) z zawartością:

<source lang="matlab">
restoredefaultpath
addpath('C:\fieldtrip') % zmień na swoją ścieżkę
ft_defaults
</source>

MATLAB wykonuje ten plik automatycznie przy każdym uruchomieniu.

;Uwaga dla użytkowników EEGLAB: Jeśli korzystasz z EEGLAB i FieldTrip w tej samej sesji,
zawsze ładuj FieldTrip przez <code>restoredefaultpath</code> + <code>addpath</code> + <code>ft_defaults</code>,
a nie przez interfejs EEGLAB. Oba toolboxy zawierają funkcje o tych samych nazwach
(np. <code>eegplot</code>, <code>topoplot</code>) — kolejność na ścieżce decyduje,
która wersja zostanie wywołana.

;Weryfikacja instalacji: Sprawdź poprawność instalacji jednym poleceniem:

<source lang="matlab">
ft_defaults
ft_version
</source>

Powinieneś zobaczyć numer wersji i datę kompilacji, np.:
<pre>
FieldTrip version 20250901, path: C:\fieldtrip
</pre>

Jeśli MATLAB zgłasza błąd <code>Undefined function 'ft_defaults'</code>,
ścieżka nie została ustawiona poprawnie — wróć do kroku z <code>addpath</code>.

==Krok 0: Wejście do FieldTrip==

Przed właściwym ćwiczeniem proszę zapoznać się z tutorialem wprowadzającym:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/intro/introduction/ Introduction to the FieldTrip toolbox]

;Na co zwrócić uwagę przechodząc ten tutorial:

Studenci znający EEGLAB natkną się na dwie zasadnicze różnice w filozofii pracy:

* '''Struktura cfg''' zamiast GUI. Każda funkcja FieldTrip przyjmuje strukturę konfiguracyjną <code>cfg</code> i zwraca nową strukturę danych. Nie ma okien dialogowych — cała analiza jest skryptem. Jest to bliższe temu, co robiliśmy w MATLAB-owych sesjach CSP/ICA.

* '''Niezmienność danych'''. FieldTrip nie modyfikuje struktur w miejscu — każde wywołanie funkcji zwraca nową strukturę. Pozwala to łatwo porównywać wyniki różnych parametrów, ale wymaga dbałości o nazewnictwo zmiennych.

;Pytanie do dyskusji po lekturze:
Jak odpowiadają sobie nawzajem: <code>EEG.data</code> w EEGLAB i struktura <code>data</code> w FieldTrip?
Gdzie w strukturach FieldTrip przechowywane są informacje o lokalizacji elektrod?

==Krok 1: Model do przodu — BEM dla EEG==

Przed fitowaniem dipola musimy obliczyć macierz pola wiodącego <math>\mathbf{A}</math>.
Proszę przejść tutorial:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/headmodel_eeg_bem Construct a BEM headmodel for EEG source analysis]

;Cel tego kroku:
Zrozumieć skąd pochodzi kolumna <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
używana we wszystkich metodach Sesji 7.
Każda kolumna <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math> mówi: „jeśli w miejscu <math>\mathbf{r}</math>
znajdowałby się dipol o jednostkowym momencie,
to jakie potencjały zmierzylibyśmy na każdej z elektrod?"

;Kluczowe funkcje FieldTrip w tym kroku:
<source lang="matlab">
% Segmentacja MRI na trzy tkanki (skóra, czaszka, mózg)
cfg = [];
cfg.output = {'brain','skull','scalp'};
segmentedmri = ft_volumesegment(cfg, mri);

% Budowanie siatki trójkątów BEM
cfg = [];
cfg.tissue = {'brain','skull','scalp'};
cfg.numvertices = [3000 2000 1000];
bnd = ft_prepare_mesh(cfg, segmentedmri);

% Obliczenie modelu do przodu metodą BEM (OpenMEEG)
cfg = [];
cfg.method = 'openmeeg';
cfg.conductivity = [0.33 0.0041 0.33]; % mózg, czaszka, skóra [S/m]
headmodel = ft_prepare_headmodel(cfg, bnd);
</source>

;Na co zwrócić uwagę:
* Stosunek przewodności czaszka/mózg wynosi tu ~1/80.
Jak myślisz, jak bardzo błąd w tym parametrze wpłynie na lokalizację źródeł?
* Funkcja <code>ft_prepare_mesh</code> tworzy trzy zagnieżdżone siatki.
Jak ma się to do opisu BEM z wykładu?

==Krok 2: Fitowanie dipola (ćwiczenie główne)==

;Czas: ~90 min

To jest główne ćwiczenie praktyczne Sesji 7.
Proszę przejść tutorial:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/dipolefitting Dipole fitting of combined MEG/EEG data]

Poniżej znajdziesz szkielet kodu z pytaniami pomocniczymi
do samodzielnego wypełnienia — zacznij od tutorialu,
a potem wróć do szkieletu i uzupełnij brakujące fragmenty.

===Szkielet kodu — fitowanie dipola dla składowej N20===

<source lang="matlab">
%% KROK A: Wczytanie i preprocessing danych EEG
% Dane: Subject01.zip (patrz wyżej)
% Używamy tylko kanałów EEG, odrzucamy MEG.

cfg = [];
cfg.dataset = 'Subject01.ds';
cfg.trialdef.eventtype = 'backpanel trigger';
cfg.trialdef.eventvalue = 3; % bodziec na lewym nadgarstku
cfg.trialdef.prestim = 0.1;
cfg.trialdef.poststim = 0.3;
cfg = ft_definetrial(cfg);

cfg.channel = 'EEG';
cfg.continuous = 'yes';
cfg.demean = 'yes';
cfg.baselinewindow = [-0.1 0];
data = ft_preprocessing(cfg);

%% KROK B: Uśrednianie — potencjał wywołany
% TUTAJ: użyj ft_timelockanalysis aby obliczyć ERP (średnią po powtórzeniach)
% Wynik zapisz jako 'timelock'

% TUTAJ

%% KROK C: Wczytanie modelu do przodu i lokalizacji elektrod
% Zakładamy, że headmodel i elec zostały obliczone w Kroku 1.
% Jeśli nie — można użyć gotowego modelu z paczki danych Subject01.

load('standard_bem.mat'); % headmodel
load('Subject01_elec.mat'); % lokalizacje elektrod (po dopasowaniu do MRI)

%% KROK D: Przygotowanie siatki poszukiwań (grid)
% Definiujemy siatkę regularną 1 cm wewnątrz mózgu.
% ft_prepare_sourcemodel oblicza też macierz pola wiodącego A
% (tzw. leadfield) dla każdego punktu siatki.

cfg = [];
cfg.headmodel = headmodel;
cfg.elec = elec;
cfg.resolution = 1; % odstęp siatki w cm
cfg.unit = 'cm';
sourcemodel = ft_prepare_sourcemodel(cfg);

%% KROK E: Fitowanie dipola
% Szukamy jednego dipola najlepiej wyjaśniającego topografię N20.
% Okno czasowe 0.016–0.022 s odpowiada składowej N20.

cfg = [];
cfg.latency = [0.016 0.022]; % okno N20 w sekundach
cfg.numdipoles = 1;
cfg.headmodel = headmodel;
cfg.elec = elec;
cfg.sourcemodel = sourcemodel;
cfg.nonlinear = 'yes'; % optymalizacja nieliniowa po przestrzeni

% TUTAJ: source = ft_dipolefitting(cfg, timelock);

%% KROK F: Wizualizacja wyniku
% Nałożenie lokalizacji dipola na MRI anatomiczne.

load('standard_mri.mat'); % MRI w tym samym układzie współrzędnych

cfg = [];
cfg.location = source.dip.pos; % współrzędne znalezionego dipola [x y z]

% TUTAJ: ft_sourceplot(cfg, mri);

%% KROK G: Ocena dopasowania
% Goodness of fit (GoF) mówi jaka część wariancji danych
% jest wyjaśniona przez znaleziony dipol.
% Wartość > 0.85 uznaje się za dobre dopasowanie.

fprintf('Goodness of fit: %.1f%%\n', source.dip.rv * 100);
% Uwaga: w FieldTrip rv to residual variance (1 - GoF).
% Dobry dipol ma rv < 0.15.

disp('Lokalizacja dipola [x y z] w mm:')
disp(source.dip.pos)

disp('Moment dipolowy [qx qy qz]:')
disp(source.dip.mom)
</source>

===Zadania do samodzielnej realizacji===

;Zadanie 1 (obowiązkowe): Pipeline i lokalizacja
Uzupełnij brakujące fragmenty szkieletu (kroki B i E–F).
Gdzie na MRI ląduje znaleziony dipol? Czy odpowiada to oczekiwanej anatomii
składowej N20 (pierwotna kora somatosensoryczna S1, okolica bruzdy centralnej)?

;Zadanie 2 (obowiązkowe): Wpływ okna czasowego
Zmień <code>cfg.latency</code> kolejno na:
* <code>[0.016 0.022]</code> — okno N20
* <code>[0.025 0.035]</code> — okno P25
* <code>[0.045 0.060]</code> — okno N45
Czy lokalizacja dipola zmienia się między tymi składowymi?
Jak zmienia się GoF? Co to mówi o tym, która składowa jest lepiej opisana modelem jednego dipola?

;Zadanie 3 (obowiązkowe): Dwa dipole
Zmień <code>cfg.numdipoles = 2</code> i powtórz fitowanie dla okna N20.
Czy model dwóch dipoli daje istotnie lepszy GoF niż jeden?
Jak interpretujesz dwa znalezione źródła?

;Zadanie 4 (dla chętnych): Wrażliwość na model do przodu
FieldTrip pozwala użyć uproszczonego modelu sferycznego
zamiast BEM: ustaw <code>cfg.headmodel</code> na model jednorodnej sfery
(<code>cfg.method = 'singlesphere'</code> w <code>ft_prepare_headmodel</code>).
O ile zmienia się lokalizacja dipola N20?
Czy GoF wzrasta czy maleje?

;Pytania do dyskusji:
* Fitowanie dipola wymaga podania okna czasowego — dlaczego?
Co stałoby się gdybyśmy dopasowywali dipol do całej epoki (−100 do +300 ms)?
* Algorytm minimalizacji może utknąć w minimum lokalnym.
Jak <code>cfg.sourcemodel</code> (siatka) pomaga temu zaradzić?
Jaki jest kompromis między rozdzielczością siatki a czasem obliczeń?
* Porównaj mapę topograficzną ERP w oknie N20
z mapą rekonstruowaną z dopasowanego dipola (wywołaj <code>ft_dipolefitting</code>
z opcją <code>cfg.dipfit.display = 'yes'</code>).
Czy widzisz różnicę? Skąd ona pochodzi?

==Krok 3: Dalsze metody — dla zainteresowanych==

Poniższe tutoriale stanowią naturalne rozwinięcie ćwiczenia głównego
i ilustrują pozostałe metody omówione w teorii Sesji 7.
Nie są wymagane na zaliczenie, ale gorąco je polecamy
jeśli planujesz używać lokalizacji źródeł w pracy badawczej.

;Minimum Norm Estimation:
[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/minimumnormestimate Source reconstruction of event-related fields using minimum-norm estimation]

Ten sam sygnał N20 co w ćwiczeniu głównym, ale zamiast jednego dipola
otrzymujesz ciągłą mapę aktywności na całej powierzchni kory.
Zwróć uwagę jak wybór parametru regularyzacji <math>\lambda</math>
wpływa na rozmycie rozwiązania.
Porównaj lokalizację maksimum mapy MNE z lokalizacją dipola z Kroku 2.

;Beamformer (LCMV/DICS):
[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/beamformer Localizing oscillatory sources in MEG data using a beamformer]

Tutorial wykorzystuje ten sam zestaw danych Subject01
i lokalizuje źródła oscylacji gamma wywołanych bodźcem —
bezpośrednie rozwinięcie analizy ERD/ERS, którą już znasz.
Kluczowa różnica w stosunku do MNE: beamformer korzysta
z macierzy kowariancji danych <math>\mathbf{C}</math>,
a nie tylko z modelu do przodu. Sprawdź jak wyglądają
filtry przestrzenne <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math> dla różnych lokalizacji
i porównaj je koncepcyjnie z filtrami CSP z Sesji 1–3.











-->

Laboratorium EEG/CSP

2026-05-14T07:57:03Z

Jarekz: /* Przybliżenie kwazistatyczne */

[[Laboratorium_EEG]]/BSS

=Sesja 1: Ślepa separacja źródeł i CSP — wprowadzenie=

;Czas: ~60 min wykład + ~90 min ćwiczenie symulacyjne

Zajęcia wprowadzają do problemu filtracji przestrzennej sygnałów EEG.
Punktem wyjścia jest ogólny problem ślepej separacji źródeł (BSS),
z którego CSP wyłania się jako szczególny przypadek dla dwóch warunków
eksperymentalnych. Filtry przestrzenne omawiane na tych zajęciach stanowią
fundament klasycznych metod BCI (P300, SSVEP, motor imagery) oraz są
bezpośrednim odpowiednikiem warstw przestrzennych w sieciach neuronowych
takich jak ShallowConvNet i EEGNet — do tej analogii wrócimy w sesji 6.

[https://drive.google.com/file/d/1WrXgWWDJ7g5ZdYltm_8s2NXbGamw4R8N/view?usp=sharing Slajdy do wykładu (PDF)]

;Zakres wykładu:
* model generatywny EEG: <math>x(t) = As(t)</math>, macierz kowariancji, idea diagonalizacji
* BSS jako ogólny problem separacji źródeł
* CSP jako szczególny przypadek: dwa warunki eksperymentalne, iloraz Rayleigha, uogólnione zagadnienie własne
* interpretacja filtrów i topografii źródeł

;Ćwiczenie symulacyjne:
Zob. [[#Ćwiczenie symulacyjne|Ćwiczenie symulacyjne]] w sekcji CSP poniżej.

====Ćwiczenie symulacyjne ====
====Zadania do samodzielnej realizacji====

Poniższy kod dostarcza gotowej infrastruktury: generacji sygnałów, macierzy mieszającej i wizualizacji.
Zadaniem jest samodzielna implementacja kluczowych kroków analizy CSP.

;Zadanie 1 (obowiązkowe): Obliczenie macierzy kowariancji
Napisz funkcję <code>srednia_kowariancja(X, ind)</code>, która dla danej tablicy sygnałów <code>X</code>
(wymiary: powtórzenia × kanały × próbki) i wektora indeksów czasowych <code>ind</code>
zwraca średnią macierz kowariancji uśrednioną po powtórzeniach.
Dla każdego powtórzenia zastosuj funkcję <code>cov</code> i znormalizuj wynik przez jego ślad (<code>trace</code>).
Sprawdź wynik porównując z macierzami <code>R_B</code> i <code>R_E</code> obliczonymi w dostarczonym kodzie.

;Zadanie 2 (obowiązkowe): Implementacja CSP
Korzystając z funkcji <code>eig</code> oraz macierzy kowariancji obliczonych w zadaniu 1,
wyznacz macierz filtrów przestrzennych <code>W</code> i odpowiadające im wartości własne.
Odtwórz sygnały źródłowe dla wszystkich powtórzeń.
Narysuj chmury punktów (amplituda źródła 1 vs amplituda źródła 2) osobno dla warunków
baseline i ERP — przed transformacją CSP i po niej. Co zmieniło się w kształcie chmur?

Wykreśl także wizualizację przebiegów czasowych sygnałów X i sygnałów S uzyskanych po rozmieszaniu.

;Zadanie 3 (obowiązkowe): Interpretacja wartości własnych
Wartości własne znajdują się na przekątnej macierzy <code>Lambda</code>.
Który filtr najbardziej różnicuje warunki baseline i ERP?
Jaki jest związek między wartością własną a separacją widoczną na wykresach punktowych?

;Zadanie 4 (dla chętnych): Wpływ macierzy mieszającej
W dostarczonym kodzie macierz <code>P</code> (filtr przestrzenny) wynosi:
<pre>
P = [1 2; 1.5 1.3]
</pre>
Zmień ją kolejno na macierz bliską jednostkowej (np. <code>P = [1 0.1; 0.1 1]</code>)
oraz na macierz z dużymi elementami pozadiagonalnymi (np. <code>P = [1 5; 4 1]</code>).
Jak zmienia się kształt chmury punktów przed transformacją CSP?
Czy CSP poprawnie oddziela źródła w obu przypadkach?

;Zadanie 5 (dla chętnych): Wpływ szumu
W kodzie szum jest wyłączony: <code>n = 0*randn(size(tmp))</code>.
Usuń mnożnik <code>0*</code> i zbadaj jak poziom szumu wpływa na separację źródeł.
Przy jakim stosunku sygnału do szumu CSP przestaje skutecznie rozdzielać warunki?

;Pytanie do dyskusji:
Dostarczony kod używa <code>eig(R_E, R_B)</code>.
Alternatywą jest <code>eig(R_E, (R_E+R_B)/2)</code>.
Czym różnią się te dwie wersje? W jakich sytuacjach eksperymentalnych
druga wersja mogłaby być bardziej uzasadniona?

====Szkielet kodu do uzupełnienia====

Poniższy szkielet zawiera gotową infrastrukturę symulacji.
Uzupełnij brakujące fragmenty oznaczone komentarzem <code>% TUTAJ</code>
zgodnie z zadaniami 1–3. Pełny kod referencyjny dostępny jest poniżej
— zajrzyj do niego dopiero po samodzielnej próbie.

<source lang="matlab">
%% Parametry symulacji — nie modyfikuj tej sekcji
Fs = 100;
T = 1;
t = 0:1/Fs:T-1/Fs;
N_rep = 100;
N_chan = 2;
s = zeros(N_rep, N_chan, length(t));
X = zeros(N_rep, N_chan, length(t));

P = [1 2; 1.5 1.3]; % filtr przestrzenny (prawdziwy)
A = P^(-1); % topografia źródeł

for r = 1:N_rep
s1 = sin(2*pi*11*t + pi/2) + 0.02*randn(size(t));
s2 = exp(-((t-0.8)/0.05).^2) + 0.01*randn(size(t));
s(r,1,:) = s1;
s(r,2,:) = s2;
tmp = squeeze(s(r,:,:));
n = 0*randn(size(tmp)); % Zadanie 5: zmień 0* na 1* aby włączyć szum
X(r,:,:) = A*tmp + n;
end

baseline_ind = find(t < 0.5);
ERP_ind = find(t >= 0.5);

R_B = zeros(N_chan, N_chan);
R_E = zeros(N_chan, N_chan);

%% Zadanie 1: Oblicz średnie macierze kowariancji
% korzystając z funkcji srednia_kowariancja(X, ind)

% Dla każdego powtórzenia r:
% - wytnij fragment sygnału X(r,:,baseline_ind) i analogicznie ERP
% - oblicz macierz kowariancji funkcją cov() — pamiętaj o transpozycji
% - znormalizuj przez ślad (funkcja trace())
% - dodaj do sumy
% Na końcu podziel przez N_rep

%% Zadanie 2: Rozwiąż uogólnione zagadnienie własne
% Użyj funkcji eig(A,B) gdzie A=R_E, B=R_B
% W wyniku otrzymasz macierz wektorów własnych W (w kolumnach)
% i macierz Lambda z wartościami własnymi na przekątnej

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

disp('Wartości własne (przekątna Lambda):')
disp(diag(Lambda))

%% Zadanie 2 cd.: Odtwórz sygnały źródłowe
% Dla każdego powtórzenia r zastosuj filtr: S(r,:,:) = W' * X(r,:,:)

S = zeros(N_rep, N_chan, length(t));

for r = 1:N_rep
% TUTAJ: S(r,:,:) = ...
end

%% Zadanie 3: Wizualizacja — chmury punktów przed i po CSP
x_base_k1 = X(:,1,baseline_ind);
x_base_k2 = X(:,2,baseline_ind);
x_ERP_k1 = X(:,1,ERP_ind);
x_ERP_k2 = X(:,2,ERP_ind);

s_base_k1 = squeeze(S(:,1,baseline_ind));
s_base_k2 = squeeze(S(:,2,baseline_ind));
s_ERP_k1 = squeeze(S(:,1,ERP_ind));
s_ERP_k2 = squeeze(S(:,2,ERP_ind));

figure(1); clf
subplot(1,2,1)
plot(x_base_k1(:), x_base_k2(:), 'b.'); hold on
plot(x_ERP_k1(:), x_ERP_k2(:), 'r.');
axis equal; xlim([-2 2]); ylim([-2 2])
xlabel('Kanał 1'); ylabel('Kanał 2')
title('Przed CSP')
legend('baseline','ERP')

subplot(1,2,2)
plot(s_base_k1(:), s_base_k2(:), 'b.'); hold on
plot(s_ERP_k1(:), s_ERP_k2(:), 'r.');
axis equal
xlabel('Źródło 1'); ylabel('Źródło 2')
title('Po CSP')
legend('baseline','ERP')
%% Wizualizacja przebiegów czasowych X i S
% TUTAJ:

%% Zadanie 4 (dla chętnych): zmień macierz P powyżej i powtórz analizę
%% Zadanie 5 (dla chętnych): włącz szum (zmień 0* na 1* w linii z n=...)
</source>

{{hidden begin|title=Rozwiązanie — pokaż dopiero po samodzielnej próbie}}
<source lang = matlab>
% symulowany eksperyment składa się z sinusoidy udającej alfę spoczynkową i
% funkcji Gaussa udającego potencjał wywołany
% źródła te są symulowane niezależnie a potem mieszane przez macierz A
% symulujemy źródła
% s1 - symuluje alfę
% s2 - symuluje "potencjał wywołany" (ERP)

%ustawiamy parametry do symulacji sygnałów
Fs = 100;
T = 1;
t = 0:1/Fs:T-1/Fs;
N_rep = 100;
N_chan = 2;
s = zeros(N_rep,N_chan, length(t));
X = zeros(N_rep,N_chan, length(t));

% filtr przestrzenny - z takimi wagami trzeba wziąść kanały EEG aby odzyskać sygnały źródłowe
P = [1 2
1.5 1.3];

% topografie - z takimi wagami źródła dokładają się do poszczególnych elektrod
A = P^(-1);

for r =1:N_rep % tworzymy kolejne realizacje "eksperymentu"
s1 = sin(2*pi*11*t +pi/2+ 0*2*pi*rand())+ 0.02*randn(size(t)); % źródło alfa
s2 = exp(-((t-0.8)/0.05).^2)+ 0.01*randn(size(t)); % źródło ERP

s(r,1,:) = s1;
s(r,2,:) = s2;
tmp = squeeze(s(r,:,:));
n = 0*randn(size(tmp));
X(r,:,:) = A*tmp +n; % rzutujemy sygnały źródłowe na elektrody s -> x

end

% wycinamy warunki
% baseline_ind to indeksy pierwszej połowy każdego powtórzenia "baseline"
% ERP_ind to indeksy drugiej połowy każdego powtórzenia zawierająca "ERP"
baseline_ind = find(t<0.5);
ERP_ind = find(t>=0.5);

x_baseline_kan_1 = X(:,1,baseline_ind);
x_baseline_kan_2 = X(:,2,baseline_ind);

x_ERP_kan_1 = X(:,1,ERP_ind);
x_ERP_kan_2 = X(:,2,ERP_ind);

% liczymy średnie macierze kowariancji:
R_E = zeros(N_chan,N_chan);
R_B = zeros(N_chan,N_chan);
for r =1:N_rep
B = squeeze(X(r,:,baseline_ind));
tmp =cov(B');
R_B = R_B + tmp./trace(tmp);%B*B' ;

E = squeeze(X(r,:,ERP_ind));
tmp = cov(E');
R_E = R_E + tmp./trace(tmp);%E*E' ;
end

R_B = R_B/N_rep;
R_E = R_E/N_rep;

% rozwiązujemy uogólnione zagadnienie własne
[W,Lambda]=eig(R_E,R_B); % możliwa jest też optymalizacja wzg. średniej macierzy kowariancji (R_B+R_A)/2);

% odzyskujemy sygnały źródeł
for r =1:N_rep
S(r,:,:) = W'*squeeze(X(r,:,:));
end

% pobieramy wycinki odpowiadające obu częściom eksperymentu z estymowanych
% źródeł
s_baseline_estymowany_kan1 = squeeze( S(:,1,baseline_ind));
s_baseline_estymowany_kan2 = squeeze( S(:,2,baseline_ind));

s_ERP_estymowany_kan1 = squeeze(S(:,1,ERP_ind));
s_ERP_estymowany_kan2 = squeeze(S(:,2,ERP_ind));

%%%%%%%%%%%%%% Ilustracje %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ilustracja sygnałów mierzonych
figure(1);clf
subplot(2,2,1);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(X(:,1,baseline_ind)))','b'); hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze( X(:,1,ERP_ind)))','r'); hold off
xlabel('elektroda 1')
title('ilustracja sytuacji pomiarowej -\newline znane są potencjały na elektrodach w dwóch warunkach eksperymentalnych')
subplot(2,2,3);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(X(:,2,baseline_ind)))','b'); hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze( X(:,2,ERP_ind)))','r'); hold off
xlabel('elektroda 2')
subplot(1,2,2)
plot(x_baseline_kan_1(:),x_baseline_kan_2(:),'b.');
hold on
plot(x_ERP_kan_1(:),x_ERP_kan_2(:),'r.');
xlim([-2,2])
ylim([-2,2])
axis equal

% wektor własny odpowiadający największej wartości własnej jest
% kierunkiem najbardziej różnicującym warunki eksperymentalne
disp('wartości własne znajdują się na przekątnej macierzy Lambda')
disp(Lambda)
% rysujemy wersory jednostkowe w kierunkach wektorów własnych
w1 = W(:,1);
w1 = w1/norm(w1);
w2 = W(:,2);
w2 = w2/norm(w2);
line([0, w1(1) ],[0,w1(2)],'Color',[0,0.3,0])
text(w1(1),w1(2),'wektor własny 1')
line([0, w2(1) ],[0,w2(2)],'Color',[1,0,1])
text(w2(1),w2(2),'wektor własny 2')

xlabel('Amplituda na elektrodzie 1')
ylabel('Amplituda na elektrodzie 2')
legend('baseline','ERP')

% Ilustracja estymowanych źródeł
figure(2);clf
subplot(2,2,1);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(S(:,1,baseline_ind)))','b');hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze(S(:,1,ERP_ind)))','r');hold off
xlabel('estymowane zrodlo 1')
title('ilustracja estymacji -\newline estymowane są potencjały źródeł w dwóch warunkach eksperymentalnych')
subplot(2,2,3);
plot(t(baseline_ind),(squeeze(S(:,2,baseline_ind)))','b');hold on
plot(t(ERP_ind),(squeeze(S(:,2,ERP_ind)))','r');hold off
xlabel('estymowane zrodlo 2');
subplot(1,2,2)
plot(s_baseline_estymowany_kan1(:),s_baseline_estymowany_kan2(:),'b.');
hold on
plot(s_ERP_estymowany_kan1(:),s_ERP_estymowany_kan2(:),'r.');

xlabel('Amplituda estym. źródła 1')
ylabel('Amplituda estym. źródła 2')
legend('baseline','ERP')
</source>
{{hidden end}}

=Sesja 2: CSP dla P300 — dane realne=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Pracujemy z danymi kalibracyjnymi z eksperymentu P300.
Celem sesji jest przejście pełnego pipeline'u: od surowych danych
do odtworzonych źródeł CSP.

;Zakres:
* wczytanie danych kalibracyjnych, identyfikacja znaczników T i NT
* cięcie epok (−200 do +800 ms), usuwanie trendu liniowego
* montaż względem średniej ze wszystkich elektrod
* wizualizacja ERP w układzie topograficznym
* obliczenie macierzy kowariancji RT i RNT, normalizacja przez ślad
* rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego: <code>[W, Lambda] = eig(R_T, R_NT)</code>
* odtworzenie sygnałów źródłowych: <code>S = W'*EEG</code>
* przegląd estymowanych źródeł w dwóch warunkach

;Materiały:
Dane: https://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/KalibracjaP300.tar.gz

===ZADANIE: Analiza CSP===

Przegląd badań o P300: https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2715154/

Link do Read menager [https://drive.google.com/file/d/1OgOduK5Zn7GgNl5XdCyLWXHJ7wTJIWcC/view?usp=share_link]

* Wykonać analizę CSP wzmacniającą potencjał P300.
* Zaprezentować średnią ze wszystkich kanałów źródłowych z warunku target (jeden kolor) i non-target (inny kolor) w subplotach ułożonych w prostokątnej siatce. Zaobserwować, dla którego kanału średnie różnią się najbardziej. Czy jest związek tego kanału z wartościami własnymi?

* Dla kanału najbardziej różnicującego wykonać mapki topograficzne wektorów odpowiadających:
** filtrowi przestrzennemu
** rzutu topograficznego źródła na elektrody.

===Szkielet kodu do analizy wstępnej===

<source lang="matlab">
%% KROK 1: Wczytanie danych
% ReadManager to pomocnicza klasa do odczytu plików w formacie OpenBCI.
% Przyjmuje trzy pliki: XML z metadanymi, RAW z próbkami i TAG ze znacznikami zdarzeń.
nazwaPliku = 'p_6301423_calibration_p300.obci';
nameOfXMLFile = strcat(nazwaPliku, '.xml');
nameOfTagFile = strcat(nazwaPliku, '.tag');
namesOfDataFiles = strcat(nazwaPliku, '.raw');

rm = ReadManager(nameOfXMLFile, namesOfDataFiles, nameOfTagFile);

% Pobieramy podstawowe parametry nagrania
numberOfChannels = rm.get_param('number_of_channels');
namesOfChannels = rm.get_param('channels_names');
samplingFrequency = rm.get_param('sampling_frequency');

% Pobieramy listę wszystkich znaczników zdarzeń z nagrania
tagsStruct = rm.get_tags();

%% KROK 2: Identyfikacja znaczników Target i Non-Target
% Każdy znacznik typu 'blink' odpowiada jednemu mignięciu w eksperymencie P300.
% Pole 'index' mówi który symbol mignął, pole 'target' który symbol był oczekiwany.
% Jeśli index == target to było to mignięcie docelowe (Target), w przeciwnym razie
% Non-Target.
targetTimeStamps = [];
NonTargetTimeStamps = [];

for structNumber = 1:length(tagsStruct)
if strcmp(tagsStruct(structNumber).name, 'blink')
index = tagsStruct(structNumber).children.index;
target = tagsStruct(structNumber).children.target;
if index == target
targetTimeStamps = [targetTimeStamps tagsStruct(structNumber).start_timestamp];
else
NonTargetTimeStamps = [NonTargetTimeStamps tagsStruct(structNumber).start_timestamp];
end
end
end

%% KROK 3: Wczytanie i filtrowanie sygnału
samples = double(rm.get_samples());
samples = samples(1:8,:); % odrzucamy kanały bez EEG
numberOfChannels = 8;

% Filtr dolnoprzepustowy Czebyszewa 2. rodzaju — odcięcie 25 Hz
[b, a] = cheby2(6, 80, 25/(samplingFrequency/2), 'low');
for ch = 1:numberOfChannels
samples(ch,:) = filtfilt(b, a, samples(ch,:));
end

%% KROK 4: Montaż względem średniej (common average reference)
% Odejmujemy od każdego kanału średnią ze wszystkich kanałów w danej chwili.
% Jest to prostsze i bardziej ogólne niż montaż względem połączonych uszu.
M = -ones(numberOfChannels, numberOfChannels) / numberOfChannels;
M = M + eye(numberOfChannels) * (numberOfChannels+1) / numberOfChannels;
samples = 0.0715 * M * samples;

%% KROK 5: Cięcie epok
PRE = -0.2;
POST = 0.8;
wycinek = floor(PRE*samplingFrequency : POST*samplingFrequency);

TargetSignal = zeros(length(targetTimeStamps), numberOfChannels, length(wycinek));
NonTargetSignal = zeros(length(NonTargetTimeStamps), numberOfChannels, length(wycinek));

for trialNumber = 1:length(targetTimeStamps)
trigerOnset = floor(targetTimeStamps(trialNumber) * samplingFrequency);
tenWycinek = wycinek + trigerOnset;
if tenWycinek(1) > 0 && tenWycinek(end) <= size(samples,2)
tmpSignal = samples(:, tenWycinek);
tmpSignal = detrend(tmpSignal')'; % usuwanie trendu liniowego
TargetSignal(trialNumber,:,:) = tmpSignal;
end
end

for trialNumber = 1:length(NonTargetTimeStamps)
trigerOnset = floor(NonTargetTimeStamps(trialNumber) * samplingFrequency);
tenWycinek = wycinek + trigerOnset;
if tenWycinek(1) > 0 && tenWycinek(end) <= size(samples,2)
tmpSignal = samples(:, tenWycinek);
tmpSignal = detrend(tmpSignal')';
NonTargetSignal(trialNumber,:,:) = tmpSignal;
end
end

% Oś czasu w milisekundach — przyda się do rysowania
times = (wycinek / samplingFrequency) * 1000;

%% KROK 6: Wizualizacja ERP w układzie topograficznym
% Oblicz potencjały wywołane (ERP) jako średnie po powtórzeniach
ERP_T = squeeze(mean(TargetSignal, 1)); % wymiary: kanały × czas
ERP_NT = squeeze(mean(NonTargetSignal, 1));

% TUTAJ: narysuj ERP_T i ERP_NT dla każdego kanału w subplotach
% ułożonych w siatce odpowiadającej przybliżonym pozycjom elektrod.
% Na każdym subplocie nałóż oba warunki różnymi kolorami.
% Oś X: czas w ms (użyj wektora times), oś Y: amplituda w µV.
% Zadbaj o legendę i tytuły z nazwami kanałów (namesOfChannels).

%% KROK 7: Obliczenie średnich macierzy kowariancji
% Dla każdego powtórzenia oblicz macierz kowariancji funkcją cov(),
% znormalizuj przez jej ślad (trace()), a następnie uśrednij po powtórzeniach.
% Pamiętaj: cov() oczekuje macierzy próbki × kanały, czyli potrzebujesz transpozycji.

R_T = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
R_NT = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for r = 1:length(targetTimeStamps)
% TUTAJ: wytnij r-te powtórzenie T, oblicz kowariancję, znormalizuj, dodaj do R_T
end

for r = 1:length(NonTargetTimeStamps)
% TUTAJ: wytnij r-te powtórzenie NT, oblicz kowariancję, znormalizuj, dodaj do R_NT
end

% TUTAJ: podziel R_T i R_NT przez odpowiednie liczby powtórzeń

%% KROK 8: Rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego
% Szukamy filtrów przestrzennych W maksymalizujących stosunek mocy
% w warunku T względem NT: eig(R_T, R_NT)
% W kolumnach W znajdują się filtry, na przekątnej Lambda — wartości własne.

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

disp('Wartości własne (przekątna Lambda):')
disp(diag(Lambda))

%% KROK 9: Odtworzenie sygnałów źródłowych
% Dla każdego powtórzenia zastosuj filtr przestrzenny:
% s(r,:,:) = W' * x(r,:,:)
% Pamiętaj o wymiarach — squeeze() może być pomocne.

S_T = zeros(size(TargetSignal));
S_NT = zeros(size(NonTargetSignal));

for r = 1:size(TargetSignal, 1)
% TUTAJ: S_T(r,:,:) = ...
end

for r = 1:size(NonTargetSignal, 1)
% TUTAJ: S_NT(r,:,:) = ...
end

%% KROK 10: Wizualizacja estymowanych źródeł
% Narysuj średnie przebiegi źródeł (ERP w przestrzeni CSP) dla obu warunków.
% Ułóż subploty w prostokątnej siatce — jeden subplot na każde źródło.
% Dla którego źródła różnica między T i NT jest największa?
% Czy odpowiada to źródłu z największą wartością własną?

ERP_S_T = squeeze(mean(S_T, 1));
ERP_S_NT = squeeze(mean(S_NT, 1));

% TUTAJ: narysuj ERP_S_T i ERP_S_NT w subplotach
</source>

=Sesja 3: CSP dla P300 — interpretacja i separacja cech=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Kontynuacja analizy CSP. Celem sesji jest interpretacja wyników
w kategoriach fizjologicznych oraz ocena separowalności klas
w przestrzeni cech opartej na mocy sygnału.

;Zakres:
* mapki topograficzne filtra przestrzennego i topografii źródła
* związek wartości własnych z siłą różnicowania warunków T i NT
* wykresy punktowe mocy: oś X — moc składowej z największą wartością własną, oś Y — moc kolejnej składowej; jeden punkt = jedno powtórzenie
* uśrednianie po 2, 4, 6, 8 i 10 realizacjach — obserwacja poprawy separacji wraz z liczbą uśrednień
* dyskusja: utożsamianie komponentów CSP z fizjologicznymi źródłami jest ryzykowne; komponenty maksymalizują kontrast między warunkami, niekoniecznie odpowiadają izolowanym generatorom

;Materiały:
Zob. [[#Szkielet kodu do analizy wstępnej|Szkielet kodu do analizy wstępnej]] i [[#Zadanie: Wybór i separacja cech|Zadanie: Wybór i separacja cech]] poniżej.

===Zadanie: Wybór i separacja cech===
* Przedstaw na rysunkach nałożone na siebie pojedyncze realizacje z warunków target i non-target po rzutowaniu na wektor <math>w</math> odpowiadający największej i kolejnej wartości własnej.
* Przedstaw wykresy punktowe takie, że na jednej osi jest moc sygnału (suma kwadratów wartości próbek w wybranym zakresie czasu) odpowiadającego największej wartości własnej, a na drugiej osi kolejnej (mniejszej) wartości własnej; jeden punkt reprezentuje jedno powtórzenie.
* Wykonaj serię wykresów jak w poprzednim punkcie dla uśrednień sygnałów kolejno po 2, 4, 6, 8 i 10 realizacjach:
** Liczymy potencjał wywołany dla danej liczby powtórzeń.
** Następnie podnosimy wartości próbek do kwadratu
** i sumujemy je w wybranym zakresie czasu.
* Zaobserwuj jak zmienia się separacja w grupach target i non-target.
{{hidden end}}
[https://robintibor.github.io/eeg-deep-learning-phd-thesis/DeepArchitectures.html Archirtektury sieci do BCI: ConvNet]

[https://www.researchgate.net/figure/The-architecture-of-EEGNet-F1-S1-model-F1-and-S1-represent-the-number-of-temporal_fig3_347073448 EEGNet]

=Sesja 4: Filtry przestrzenne dla SSEP — cosSinCSP=

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Sesja wprowadza metodę cosSinCSP jako naturalne uogólnienie CSP
o wiedzę dziedzinową dotyczącą sygnału SSEP. W klasycznym CSP
dwa warunki eksperymentalne definiują dwie macierze kowariancji.
W cosSinCSP rolę jednej z macierzy przejmuje projekcja sygnału
na przestrzeń sinusów i cosinusów częstości stymulacji i jej harmonicznych.
Formalizm ilorazu Rayleigha i uogólnionego zagadnienia własnego
pozostaje identyczny.

Dane używane na tych zajęciach pochodzą z eksperymentu SSEP
z archiwum — bez sesji rejestracyjnej. Na wykresach widma
sygnału przed transformacją CSP dominuje artefakt sieciowy 50 Hz,
który praktycznie zasłania odpowiedź na stymulację. Zadaniem
jest sprawdzenie czy cosSinCSP potrafi ten sygnał wydobyć.

;Zakres:
* idea cosSinCSP: macierz S złożona z sinusów i cosinusów harmonicznych, projekcja sygnału na przestrzeń SSEP i resztę Y
* implementacja funkcji <code>cosSinCSP</code> w MATLAB
* analiza danych archiwalnych: widma Welcha dla kanałów oryginalnych i źródeł CSP — porównanie SNR przed i po transformacji
* prezentacja filtrów przestrzennych i topografii źródeł

;Materiały:
Zob. [[#Filtry przestrzenne dla SSEP|Filtry przestrzenne dla SSEP]] poniżej.

==Filtry przestrzenne dla SSEP==

===Teoria===

Ciekawa koncepcja filtra przestrzennego dla SSEP zaprezentowana jest tu: http://www.eurasip.org/Proceedings/Eusipco/Eusipco2009/contents/papers/1569193209.pdf

Pokrótce można ją rozumieć podobnie do tego co robiliśmy rozważając filtry przestrzenne CSP z tym, że dla SSEP oraz innych potencjałów wywołanych stanu ustalonego możemy skorzystać z dodatkowych informacji dotyczących poszukiwanych źródeł. Wiemy mianowicie, że powinny one oscylować z częstością bodźca i być może jej harmonicznych.

Przyda nam się macierz <math>S</math> zbudowana tak, że w kolejnych kolumnach znajdują się sinusy i cosinusy kolejnych częstości harmonicznych. Wektory te unormujemy, żeby miały energię równą 1. Innymi słowy macierz <math>S</math> zbudowana jest z wersorów rozpinających przestrzeń, w której powinien znajdować się sygnał SSEP.

W Matlabie możemy taką macierz zbudować tak:

<source lang="matlab">
% Fs - częstość próbkowania
% numberOfSamples - długość sygnału w próbkach
% numberOfHarmonics - liczba harmonicznych, które chcemy włączyć do analizy
t = (0:1:numberOfSamples - 1) / Fs;
S = zeros(numberOfSamples, 2*numberOfHarmonics);

for harmonicNumber = 1:numberOfHarmonics
c = cos(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
s = sin(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
S(:,(harmonicNumber - 1)*2 + 1) = c/norm(c);
S(:,(harmonicNumber - 1)*2 + 2) = s/norm(s);
end
</source>

Aby w badanym sygnale znaleźć składowe odpowiadające SSEP musimy rzutować sygnał <math>X</math> (macierz sygnałów ''kanały × próbki'') na przestrzeń rozpiętą przez <math>S</math>:
:<math>A = X S</math>
Macierz <math>A</math> zawiera współczynniki będące iloczynami skalarnymi sygnałów i wersorów — mówią one o tym jak dużo sinusa bądź cosinusa o danej częstości jest w pierwotnym sygnale. Komponenty SSEP zawarte w sygnale <math>X</math> odzyskujemy tak:
:<math>\mathrm{SSEP} = A S^T</math>

Modelujemy rejestrowany sygnał jako:
:<math>X = \mathrm{SSEP} + Y</math>
gdzie:
:<math>Y = X - \mathrm{SSEP}</math>
to wszystkie komponenty sygnału, które nas nie interesują.

Filtr przestrzenny, który chcemy zbudować powinien maksymalizować stosunek wariancji <math>\mathrm{SSEP}</math> do wariancji <math>Y</math>. Macierz kowariancji powinna być uśredniona po powtórzeniach, a kowariancja sygnału w każdym powtórzeniu powinna być znormalizowana przez jej ślad. Dalej stosujemy technikę znaną z CSP: maksymalizację ilorazu Rayleigha przez rozwiązanie uogólnionego zagadnienia własnego dla macierzy kowariancji <math>\mathrm{SSEP}</math> i <math>Y</math>.

===Zadanie: implementacja funkcji cosSinCSP===

Dane do zadania: [[Plik:PrzykladoweDaneSSVEP.mat.gz]].
Pełny przykład z danymi z eksperymentu SSEP: [[Plik:SSVEP_demo_csp.tar.gz]]

Zaimplementuj funkcję <code>cosSinCSP</code> zgodnie z poniższym szkieletem.
Prawidłowo zaimplementowana funkcja wraz ze skryptem demonstracyjnym poniżej
powinna generować rysunek: [[Plik:Rys_SSVEP_demo.png|400px|podpis grafiki]]

<source lang="matlab">
function [W, Lambda] = cosSinCSP(signal, stimulationFrequency, numberOfHarmonics, Fs)
% cosSinCSP - filtr przestrzenny dla sygnałów SSEP
%
% Wejście:
% signal - dane EEG, wymiary: powtórzenia × kanały × próbki
% stimulationFrequency - częstość stymulacji w Hz
% numberOfHarmonics - liczba harmonicznych do uwzględnienia
% Fs - częstość próbkowania w Hz
%
% Wyjście:
% W - macierz filtrów przestrzennych (kanały × kanały), filtry w kolumnach
% Lambda - macierz diagonalna wartości własnych

[numberOfTrials, numberOfChannels, numberOfSamples] = size(signal);

%% KROK 1: Zbuduj macierz referencyjną S (sinusy i cosinusy harmonicznych)
% S ma wymiary: próbki × 2*numberOfHarmonics
% Każda kolumna to jeden wersor (unormowany sinus lub cosinus).
% Wróć do sekcji Teoria powyżej i przełóż tamten kod na tę funkcję.

% TUTAJ

%% KROK 2: Oblicz średnie macierze kowariancji C_SSEP i C_Y
% Dla każdego powtórzenia wytnij sygnał x (kanały × próbki),
% rozłóż go na składową SSEP i resztę Y zgodnie z równaniami z sekcji Teoria,
% oblicz macierze kowariancji obu składowych, znormalizuj przez ślad
% i uśrednij po powtórzeniach.

C_SSEP = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
C_Y = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for trial = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(trial, :, :)); % kanały × próbki

% TUTAJ: oblicz SSEP i Y

% TUTAJ: oblicz kowariancje, znormalizuj, dodaj do C_SSEP i C_Y
end

% TUTAJ: podziel C_SSEP i C_Y przez numberOfTrials

%% KROK 3: Rozwiąż uogólnione zagadnienie własne
% Znajdź filtry przestrzenne maksymalizujące stosunek mocy SSEP do mocy Y.
% Analogia z CSP: jakie macierze wstawiłeś do eig() tam?

% TUTAJ: [W, Lambda] = ...

end
</source>

;Wskazówka do interpretacji wyników:
Filtr związany z największą wartością własną daje komponent
o największym stosunku mocy SSEP do mocy tła.
Sprawdź na widmach Welcha czy odpowiada on składowej
z wyraźnym pikiem przy częstości stymulacji.

{{hidden begin|title=Rozwiązanie — pokaż dopiero po samodzielnej próbie}}
<source lang="matlab">
function [W, Lambda] = cosSinCSP(signal, stimulationFrequency, numberOfHarmonics, Fs)

[numberOfTrials, numberOfChannels, numberOfSamples] = size(signal);

%% KROK 1: Macierz referencyjna S
t = (0:1:numberOfSamples-1) / Fs;
S_ref = zeros(numberOfSamples, 2*numberOfHarmonics);

for harmonicNumber = 1:numberOfHarmonics
c = cos(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
s = sin(2*pi*stimulationFrequency*harmonicNumber*t);
S_ref(:,(harmonicNumber-1)*2 + 1) = c/norm(c);
S_ref(:,(harmonicNumber-1)*2 + 2) = s/norm(s);
end

%% KROK 2: Średnie macierze kowariancji
C_SSEP = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);
C_Y = zeros(numberOfChannels, numberOfChannels);

for trial = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(trial, :, :)); % kanały × próbki
A = x * S_ref; % projekcja na przestrzeń SSEP
SSEP = A * S_ref'; % rekonstrukcja składowej SSEP
Y = x - SSEP; % reszta

tmp = cov(SSEP');
C_SSEP = C_SSEP + tmp/trace(tmp);

tmp = cov(Y');
C_Y = C_Y + tmp/trace(tmp);
end

C_SSEP = C_SSEP / numberOfTrials;
C_Y = C_Y / numberOfTrials;

%% KROK 3: Uogólnione zagadnienie własne
[W, Lambda] = eig(C_SSEP, C_Y);

end
</source>
{{hidden end}}

===Skrypt demonstracyjny i analiza wyników===

<source lang="matlab">
% wczytujemy dane
load('PrzykladoweDaneSSVEP.mat');

[numberOfTrials numberOfChannels numberOfSamples] = size(X.data);
namesOfChannels = X.channels;

numberOfHarmonics = 3;
signal = X.data; % powtórzenie × kanał × próbki

[W, Lambda] = cosSinCSP(signal, X.stimulation, numberOfHarmonics, X.sampling);

%% Odtworzenie sygnałów źródłowych
S = zeros(size(signal));
for powt = 1:size(signal,1)
S(powt,:,:) = W' * squeeze(signal(powt,:,:));
end

%% Widma Welcha: kanały oryginalne vs źródła CSP
figure('Name', ['Stymulacja: ', num2str(X.stimulation), ' Hz'])
for i = 1:numberOfChannels
subplot(2, numberOfChannels, i)
PP = 0;
for rep = 1:numberOfTrials
x = squeeze(signal(rep,i,:));
[Pxx, ff] = pwelch(x, X.sampling, 1, X.sampling, X.sampling);
PP = PP + Pxx;
end
plot(ff(ff<60), PP(ff<60))
title(namesOfChannels{i})

subplot(2, numberOfChannels, numberOfChannels+i)
PP = 0;
for rep = 1:numberOfTrials
s = squeeze(S(rep,i,:));
[Pss, ff] = pwelch(s, X.sampling, 1, X.sampling, X.sampling);
PP = PP + Pss;
end
plot(ff(ff<60), PP(ff<60))
title(['źródło CSP: ', num2str(i)])
xlabel(['\lambda = ', num2str(Lambda(i,i), '%.2f')])
end

%% KROK 4: Mapki topograficzne
% Zidentyfikuj komponent z największą wartością własną.
% Narysuj dwie mapki przy użyciu funkcji topoplot() z pakietu EEGLAB:
%
% (a) Filtr przestrzenny: wagi z jakimi kanały EEG składają się na ten komponent.
% Wskazówka: filtr to kolumna macierzy W.
%
% (b) Topografia źródła: z jakimi wagami komponent dociera do poszczególnych elektrod.
% Wskazówka: topografia zawarta jest w wierszach macierzy odwrotnej do W —
% przypomnij sobie analogiczny krok z analizy CSP dla P300.
%
% Czym różnią się te dwie mapki? Którą łatwiej interpretować fizjologicznie?

% TUTAJ: [~, idx] = max(diag(Lambda));
% TUTAJ: topoplot(...) % filtr
% TUTAJ: topoplot(...) % topografia
</source>

=Sesja 5: ICA jako filtr przestrzenny =

;Czas: ~150 min (jedno spotkanie)

Sesja wprowadza analizę składowych niezależnych (ICA) jako trzecie
podejście do problemu ślepej separacji źródeł — obok BSS/CSP
i cosSinCSP. Kluczowa różnica: CSP szuka kierunków maksymalizujących
kontrast wariancji między warunkami (kryterium drugiego rzędu),
ICA szuka składowych niezależnych statystycznie, maksymalizując
niegaussowość (kryterium wyższego rzędu). ICA nie wymaga
dwóch warunków eksperymentalnych — działa na jednym stacjonarnym sygnale.

;Zakres wykładu (~40 min):
* model generatywny ICA: <math>\mathbf{x} = \mathbf{D}\mathbf{s}</math>, założenie niegaussowości składowych
* negoentropia i algorytm FastICA
* porównanie z CSP: kiedy ICA, kiedy CSP
* ograniczenia: liczba próbek a liczba kanałów (<math>kN^2</math>), niejednoznaczność kolejności i skali komponentów

;Zakres ćwiczenia (~80 min):
* wczytanie danych do EEGLAB, edycja lokalizacji elektrod
* filtrowanie górnoprzepustowe (FIR, 0,5 Hz), zmiana referencji
* obliczenie ICA na całym sygnale
* identyfikacja komponentów zawierających rytm alfa: topografia, widmo, przebieg czasowy
* usunięcie komponentów niezawierających alfy, odtworzenie sygnału na elektrodach
* porównanie wyników między co najmniej trzema uruchomieniami ICA: czy komponenty są powtarzalne?

==Teoria==

===Definicja ===
Independent Component Analysis (ICA) jest metodą statystycznej analizy sygnałów, która dokonuje dekompozycji wielokanałowych zapisów na składowe niezależne w sensie statystycznym.
Dwie składowe ''s''1 i ''s''2 są niezależne jeżeli wiedza o wartości ''s''1 nie daje żadnych informacji o możliwych wartościach ''s''2. ICA może być wyrażona przez prosty model generatywny:
: '''x''' = '''Ds'''
: gdzie '''x''' = {''x''1, ''x''2, ..., ''x''''n''} jest zmierzonym ''n'' kanałowym sygnałem, '''D''' jest macierzą mieszającą zaś '''s''' = {''s''1, ''s''2, ..., ''s''''n''} jest aktywnością ''n'' źródeł. Podstawowym założeniem dotyczącym '''s''' jest to, że ''s''''i'' są statystycznie niezależne. Aby wyestymować model musimy też założyć, że składowe mają niegaussowskie rozkłady wartości (Hyvärinen, 2000).

Dodatkowo model ten zakłada następujące fakty:
# Sygnał jest liniową mieszaniną aktywności źródeł
# Sygnały pochodzące z każdego ze źródeł są niezależne od pozostałych
# Źródła oraz proces ich mieszania są stacjonarne, tzn, ich momenty statystyczne nie zależą od czasu
# Energie (wariancje) źródeł nie mogą być wyznaczone jednoznacznie. Dzieje się tak ponieważ pomnożenie amplitudy ''i''-tego źródła może być uzyskane poprzez przemnożenie albo ''s''''i'' albo przez przemnożenie ''i''-tej kolumny macierzy '''D'''. Naturalnym rozwiązaniem tej niejednoznaczności jest wprowadzenie konwencji, że komponenty są normowane tak aby miały wariancję 1: E[(''s''''i'')''2''] = 1.
# Kolejność komponentów jest dowolna. Bo jeśli w ten sam sposób zmienimy kolejność komponentów w '''s''' i kolumn w '''D''' to dostaniemy dokładnie ten sam sygnał '''x'''.

Głównym wyzwaniem w analizie ICA jest estymacja macierzy mieszającej '''D'''. Gdy jest ona znana to komponenty mogą być wyliczone w następujący sposób:
: '''s''' = '''D'''−1'''x'''

=== Estymacja ===
Znalezienie niezależnych komponentów może być rozważane w świetle Centralnego Twierdzenia Granicznego jako poszukiwanie komponentów o możliwie nie gaussowskim rozkładzie.
Aby zrozumieć to podejście prześledźmy heurystykę zaproponowaną przez (Hyvärinen, 2000).
Dla prostoty załóżmy, że poszukiwane źródła niezależne mają identyczne rozkłady.
Zdefiniujmy

''y'' = '''w'''T'''x'''.

Zauważmy, że jeśli

'''w'''

jest jedną z kolumn macierzy

'''D'''−1,

to ''y'' jest jednym z poszukiwanych komponentów.
Zamieniając zmienne

'''z''' = '''D'''T'''w'''

możemy napisać

''y'' = '''w'''T'''x''' = '''w'''T'''Ds''' = '''z'''T'''s'''.

Uwidacznia to fakt, że ''y'' jest liniową kombinacją składowych s''i'' z wagami danymi przez z''i''.

Z centralnego twierdzenia granicznego wynika, że suma niezależnych zmiennych losowych ma bardziej gaussowski charakter niż każda z tych zmiennych osobno.
Liniowa kombinacja staje się najmniej gaussowska gdy '''z''' ma tylko jeden element niezerowy. W tym przypadku ''y'' jest proporcjonalny do s''i''.
Zatem problem estymacji modelu ICA może być sformułowany jako problem znalezienia takiego wektora '''w''', który maksymalizuje niegaussowskość

''y'' = '''w'''T'''x'''.

Maksymalizacja niegaussowskości ''y'' daje jeden niezależny komponent odpowiadający jednemu z 2''n'' maksimów (bo mamy s''i'' i −s''i'') w krajobrazie optymalizacyjnym. Aby znaleźć wszystkie niezależne komponenty musimy znaleźć wszystkie maksima. Ponieważ komponenty są nieskorelowane, to poszukiwania kolejnych komponentów można kontynuować w podprzestrzeni ortogonalnej do już znalezionych komponentów.

===Obliczenia===
Intuicyjna heurystyka poszukiwania najbardziej niegaussowskich składowych może być użyta do wyprowadzenia różnych funkcji kosztu, których optymalizacja daje model ICA, np. kurtoza.

<math>kurt(y) = E\{y^4\} - 3(E{y^2})^2</math>

Inną miarą gassowskości jest neg-entropia, którą można wyprowadzić z entropii:
Entropia jest miarą średniego zdziwienia wynikiem obserwacji zmiennej losowej:
<math>H(Y) = - \sum_i P(Y= a_i) \log(P(Y=a_i)) </math>

Negentropia jest zdefiniowana:

<math> J(y) = H(y_{gauss}) -H(y)</math>
gdzie <math> y_{gauss} </math> jest gassuwską zmienną losową o takiej samej kowaiancji jak <math> y </math>.

Negentropia jest skomplikowana obliczeniow, więc w praktyce używana jest formuła przybliżona:

<math> J(y) \varpropto [E\{G (y)\} - E\{G(\nu)\}]^2</math>

<math>\nu </math> jest zmienną losową ze standardowego rozkładu normalnego , a G są pewnymi niekwadratowymi funkcjami.

W algorytmie FastICA extremum negentropii jest znajdowane w procedurze bazującej na optymalizacji Newtona.
(szczegóły np.: sekcja 6 w https://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/NN00new.pdf)

Procedura wykorzystywana w eeglabie (&bdquo;runica”, Makeig 1996) dąży do minimalizacji informacji wzajemnej. Oba podejścia są w przybliżeniu równoważne (Hyvärinen, 2000), chociaż owo przybliżenie dla sygnałów elektrofizjologicznych nie zostało to jeszcze w pełni wyeksplorowane.
Dla sygnałów o niskiej wymiarowości i spełniających dokładnie założenia ICA wszystkie powszechnie wykorzystywane algorytmy dają niemal identyczne wyniki.

;Bardzo ważna uwaga: ogólną zasadą jest, że jeśli estymujemy ''N'' stabilnych komponentów (z ''N''-kanałowych danych) to musimy dysponować ''kN''2 punktami danych w każdym kanale, gdzie ''N''2 jest liczbą elementów w macierzy '''D''', którą ICA próbuje wyestymować, ''k'' jest liczbą całkowitą. Nie ma dobrych oszacowań teoretycznych na wielkość ''k'', z praktycznych obserwacji wynika, że rośnie ona z liczbą kanałów.

=== Możliwe zastosowania ===
Najczęściej ICA jest stosowana jako narzędzie do:
* usuwania artefaktów z sygnałów EEG (ruchy oczu i mięśnie)
* wydobywania składowych do dalszej analizy (Onton, 2006)
* jako analiza wstępna do lokalizacji źródeł (Grau, 2007).
* ICA jest także stosowana w analize sygnałów EKG i EMG.

===Bibliografia===
Bazowa praca:
* A. Hyvärinen. Fast and Robust Fixed-Point Algorithms for Independent Component Analysis. IEEE Transactions on Neural Networks 10(3):626-634, 1999 http://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/TNN99_reprint.pdf

Nieco prościej opisana wersja z przykładami:
* Hyvärinen, A. and Oja, E. (2000). Independent component analysis: Algorithms and applications. Neural Networks, 13(4-5):411–430.
https://www.cs.helsinki.fi/u/ahyvarin/papers/NN00new.pdf

* Grau, C., Fuentemilla, L., Marco-Pallars, J. (2007). Functional neural dynamics underlying auditory event-related n1 and n1 suppression response. Neuroimage, 36(6):522–31.
* Makeig, S., Bell, A., Jung, T.-P., Sejnowski,T. (1996). Independent component analysis of electroencephalographic data. W: Touretzky, D., Mozer, M., and Hasselmo, M., editors, Advances in Neural Information Processing Systems, volume 8, pages 145–151. MIT Press, Cambridge, MA.
* Onton, J., Makeig, S. (2006). Information-based modeling of event-related brain dynamics. Prog Brain Res., 159:99–120.
* Tutorial: http://sccn.ucsd.edu/wiki/Chapter_09:_Decomposing_Data_Using_ICA
* http://sccn.ucsd.edu/~arno/indexica.html
* http://cis.legacy.ics.tkk.fi/aapo/papers/IJCNN99_tutorialweb/

== ZADANIE: Wydobywanie interesujących komponentów ==

Dane do tej części ćwiczeń proszę pobrać i rozpakować w swoim katalogu:
http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Dane_do_ICA_alfa.tar.gz

Pochodzą one z eksperymentu, w którym osoba badana siedziała z zamkniętymi oczami słuchając nagrania czytanego spokojnym głosem. Metadane opisujące sygnał znajdują się w pliku Miro.xml, zaś lokalizacje elektrod w pliku Miro-10-20-Cap.locs.

Proszę:
* wczytać dane do eeglaba
* wyedytować lokalizację elektrod
* usunąć kanały nie zawierające EEG
* zmienić referencje na średnią z kanałów A1 i A2
* przefiltrować filtrem FIR górnoprzepustowym z częstością odcięcia 0,5 Hz
* obejrzeć wstępnie przygotowane dane
* policzyć ICA na całym sygnale
* obejrzeć właściwości otrzymanych komponentów
** Czy są wśród nich takie, które zawierają znaczny udział rytmu alfa?
** Jaka jest ich topografia?
* usunąć wszystkie komponenty nie zawierające alfy
* odtworzyć z tych komponentów sygnał na elektrodach
* wykonać dekompozycję ICA kilkukrotnie (co najmniej 3) i porównać wyniki
** Czy uzyskiwane komponenty są powtarzalne?
** Swoje wyniki porównać też z sąsiednimi grupami.

==ZADANIE: Identyfikacja artefaktów ==
Proszę pobrać dane:

*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal-10-20-Cap.locs
*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal1.set
*http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Arousal1.fdt

Pochodzą one z eksperymentu w którym osoba badana czytała słowa o różnych właściwościach wzbudzania emocji.

* wczytaj je do eeglaba
* wczytaj lokalizację kanałów z pliku Arousal-10-20-Cap.locs
* obejrzyj przebiegi czasowe
* odrzuć kanał z diodą (21) i z GSR (20)
* zrób dekompozycję ICA
* obejrzyj topografię komponentów
* zidentyfikuj komponenty odpowiadające mruganiu i aktywności mięśniowej.
;UWAGA: Aktualnie do wykrywania komponentów artefaktowych warto posłużyć się wtyczkami do eeglaba dostępnymi przez stronę:

https://sccn.ucsd.edu/eeglab/plugin_uploader/plugin_list_all.php

* ICLabel:
** https://labeling.ucsd.edu/tutorial/overview
** https://github.com/sccn/ICLabel

* MARA:
** https://github.com/irenne/MARA/raw/master/MARAtutorial.pdf
** https://irenne.github.io/artifacts/

=Sesja 6: Problem odwrotny w EEG i MEG=

;Czas: ~60 min wykład + ~90 min ćwiczenie

Sesja wprowadza problem odwrotny jako alternatywne — i komplementarne —
podejście do analizy przestrzennej sygnałów EEG i MEG. O ile BSS/CSP
i ICA szukają filtrów przestrzennych w przestrzeni elektrod,
nie zakładając nic o geometrii mózgu,
to metody problemu odwrotnego wyraźnie osadzają źródła
w przestrzeni trójwymiarowej, korzystając z fizyki i modelu głowy.

Materiały z naszych zasobów:
* [[Elektroencefalografia|Sekcje 3 i 8 z Podręcznika o EEG ]]
* [https://drive.google.com/file/d/1EOJxN1y7X3YlIFHoIIyoZzCiXdrQSHcA Wykład Piotra Durki z Analizy sygnałów o problemie odwrotnym w EEG iMEG]

Z zasobów zewnętrznych polecam:
* [https://download.fieldtriptoolbox.org/workshop/toolkit2025/slides/04_forward_inverse.pdf#page=1.00 Slajdy "Forward and inverse - lecture by Robert Oostenveld" fragment warsztatów: "Advanced MEG/EEG toolkit at the Donders"]

==Kontrast z BSS: dwa języki opisu tego samego zjawiska==

Zarówno BSS/ICA, jak i metody problemu odwrotnego wychodzą
od tego samego modelu generatywnego:
:<math>\mathbf{x}(t) = \mathbf{A}\,\mathbf{s}(t) + \boldsymbol{\varepsilon}(t)</math>
gdzie <math>\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^{N_e}</math> to potencjały na elektrodach,
<math>\mathbf{s}(t) \in \mathbb{R}^{N_s}</math> to aktywność źródeł,
a <math>\mathbf{A}</math> to macierz mieszająca (ang. ''lead field'' lub ''forward matrix'').

Różnica leży w tym, co robimy z macierzą <math>\mathbf{A}</math>:

{| class="wikitable"
|-
! !! BSS / ICA !! Problem odwrotny
|-
| '''Macierz A''' || nieznana; estymowana z danych || obliczona z modelu głowy (''forward model'')
|-
| '''Liczba źródeł''' || równa liczbie elektrod || od 1 dipola do ~10 000 wokseli
|-
| '''Geometria''' || brak założeń przestrzennych || źródła zlokalizowane w przestrzeni 3D
|-
| '''Regularyzacja''' || przez kryterium stat. (niezależność, wariancja) || przez regularyzację matematyczną (L2, L1, …)
|-
| '''Wynik''' || filtry przestrzenne + komponenty || mapa aktywności w przestrzeni mózgu
|}

Kluczowa trudność problemu odwrotnego wynika z jego
fundamentalnej niejednoznaczności:

układ równań:

<math>\mathbf{x} = \mathbf{A}\mathbf{s}</math>

jest niedookreślony — przy <math>N_e \approx 19\text{–}256</math> elektrodach
i <math>N_s \sim 10^4</math> możliwych lokalizacjach źródeł
istnieje nieskończenie wiele rozkładów <math>\mathbf{s}</math>
dokładnie odtwarzających zmierzony <math>\mathbf{x}</math>.
Każda metoda nakłada inne założenie ''a priori'', by wybrać jedno rozwiązanie.

==Model do przodu (forward model)==

Zanim można rozwiązać problem odwrotny, należy zbudować
''model do przodu'' — obliczenie potencjałów na elektrodach
wywołanych przez jednostkowe źródło prądowe w danym miejscu mózgu.
Wynik zapisuje się jako macierz ''pola wiodącego'' (''lead field''):
:<math>\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{N_e \times 3N_s}</math>
gdzie czynnik 3 wynika z trzech ortogonalnych składowych momentu dipolowego.

=== Skąd bierze się macierz ''lead field''? ===

Przejdźmy od równań Maxwella do tego, co dosłownie liczą funkcje `ft_prepare_headmodel` / `ft_prepare_leadfield`.

==== 1. Punkt wyjścia: przybliżenie kwazistatyczne ====

=====Pełne równania Maxwella w ośrodku materialnym=====

$$
\begin{aligned}
\nabla \cdot \mathbf{D} &= \rho && \text{(prawo Gaussa)} \\
\nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 && \text{(brak monopoli magnetycznych)} \\
\nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} && \text{(prawo Faradaya)} \\
\nabla \times \mathbf{H} &= \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} && \text{(prawo Ampère'a–Maxwella)}
\end{aligned}
$$

uzupełnione związkami konstytutywnymi dla tkanki traktowanej jako liniowy, lokalnie izotropowy ośrodek:

$$
\mathbf{D} = \varepsilon\,\mathbf{E},\qquad \mathbf{B} = \mu_0\,\mathbf{H},\qquad \mathbf{J} = \sigma\,\mathbf{E} + \mathbf{J}^p
$$

Ostatnia relacja to uogólnione prawo Ohma: prąd swobodny ma część omową (<math>\sigma\mathbf{E}</math>, prądy bierne w przewodniku objętościowym) i część „pierwotną" <math>\mathbf{J}^p</math> pochodzącą od źródeł neuronowych — bo to one *nie* są napędzane lokalnym polem <math>\mathbf{E}</math>, tylko gradientami stężeń jonów.

===== Przybliżenie kwazistatyczne =====

Wprowadzamy harmoniczną zależność czasową <math>e^{i\omega t}</math> i porównujemy człony w równaniach Maxwella. Trzy warunki muszą być spełnione jednocześnie:

**(a) Pomijalny prąd przesunięcia w równaniu Ampère'a. ** Stosunek członu pojemnościowego do omowego to <math>\omega\varepsilon/\sigma</math>. Dla tkanki przy <math>f=100</math> Hz, <math>\sigma\approx 0{,}3</math> S/m, <math>\varepsilon_r\approx 10^5</math> (efektywna wartość niska-częstotliwościowa dla istoty szarej; spada szybko z <math>f</math>):
$$\frac{\omega\varepsilon}{\sigma} = \frac{2\pi\cdot 100\cdot 10^5\cdot 8{,}85\cdot 10^{-12}}{0{,}3}\sim 10^{-3}$$

— bezpiecznie pomijalny w EEG. To pozwala napisać <math>\nabla\times\mathbf{H}\approx\mathbf{J}</math>, a po wzięciu dywergencji:
$$\nabla\cdot\mathbf{J} = 0$$

**(b) Pomijalna indukcja w równaniu Faradaya.** Mówimy, że <math>\partial\mathbf{B}/\partial t</math> jest na tyle małe, że <math>\nabla\times\mathbf{E}\approx 0</math>, więc istnieje potencjał skalarny <math>V</math> z <math>\mathbf{E}=-\nabla V</math>. Można to oszacować z indukcyjności geometrii głowy i wykazać, że pomijany wkład jest o kilka rzędów mniejszy od <math>-\nabla V</math>.

**(c) Brak efektów propagacyjnych.** Długość fali EM przy 100 Hz w próżni to <math>\lambda = c/f\approx 3000</math> km, czyli <math>\lambda \gg L_\text{głowy}</math>. To gwarantuje, że pole „widzi" całą głowę jednocześnie — stąd zerowe przesunięcie fazowe propagacji potencjału przez przewodnik objętościowy.

Co zostaje po przybliżeniu:

$$
\begin{aligned}
\nabla \times \mathbf{E} &= 0 \;\Rightarrow\; \mathbf{E} = -\nabla V \\
\nabla \cdot \mathbf{J} &= 0 \\
\mathbf{J} &= -\sigma\nabla V + \mathbf{J}^p
\end{aligned}
$$

Składając trzy powyższe:

$$
\nabla\cdot\bigl(\sigma(\mathbf{r})\nabla V(\mathbf{r})\bigr) = \nabla\cdot\mathbf{J}^p(\mathbf{r})
$$

Warto przy tym podkreślić, że prawo Gaussa i <math>\nabla\cdot\mathbf{B}=0</math> nie znikają — one są nadal spełnione, ale po prostu nie są nam potrzebne do wyliczenia <math>V</math> na skórze: ładunki swobodne i indukowane policzy się *a posteriori* z <math>\rho = \nabla\cdot(\varepsilon\nabla V)\cdot(-1)</math>, a pole magnetyczne (interesujące dla MEG!) z prawa Biota–Savarta zastosowanego do <math>\mathbf{J}</math>.

Warto tu zauważyć, że kwazistatyka EEG i kwazistatyka MEG to **to samo** przybliżenie — różni je tylko, co wybieramy jako wielkość mierzoną (<math>V</math> na skórze vs. <math>\mathbf{B}</math> na zewnątrz głowy). To samo równanie Poissona generuje oba sygnały, a różnice w czułości na orientację dipola (radialny vs. tangencjalny) wynikają stąd, że potencjał i pole magnetyczne są różnymi funkcjonałami tego samego rozwiązania.

==== 2. Rozszczepienie prądu — gdzie pojawia się „źródło" ====

Gęstość prądu w tkance dzielimy na część „pierwotną" (neuronową) i „objętościową" (omową):

$$\mathbf{J}_\text{tot}(\mathbf{r}) = \mathbf{J}^p(\mathbf{r}) - \sigma(\mathbf{r})\,\nabla V(\mathbf{r})$$

$\mathbf{J}^p$ reprezentuje *prądy postsynaptyczne w piramidowych neuronach kory* — to one są naszym „źródłem". Reszta to prądy bierne płynące w przewodniku objętościowym o nieizotropowej, niejednorodnej przewodności $\sigma$.

Podstawiając do warunku $\nabla \cdot \mathbf{J}_\text{tot} = 0$ dostajemy równanie Poissona dla niejednorodnego przewodnika:

$$\boxed{\;\nabla \cdot \bigl(\sigma(\mathbf{r})\,\nabla V(\mathbf{r})\bigr) = \nabla \cdot \mathbf{J}^p(\mathbf{r})\;}$$

To jest **całe** równanie problemu wprost. Cała reszta to:
(a) model źródła,
(b) warunki brzegowe,
(c) sposób rozwiązania.

==== 3. Model źródła: dipol prądowy ====

Dla pojedynczego dipola w $\mathbf{r}_0$ o momencie $\mathbf{q}$:

$$\mathbf{J}^p(\mathbf{r}) = \mathbf{q}\,\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$$

$$\nabla \cdot \mathbf{J}^p(\mathbf{r}) = \mathbf{q}\cdot\nabla\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$$

Liniowość PDE daje natychmiast kluczową własność: $V$ jest **liniową** funkcją $\mathbf{q}$. To właśnie ta liniowość pozwala zapisać:

$$\mathbf{v} = \mathbf{L}\,\mathbf{j}$$

gdzie $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{N_\text{el}}$ to potencjały, $\mathbf{j} \in \mathbb{R}^{3N_\text{src}}$ to momenty dipoli, a $\mathbf{L}$ to *lead field matrix*. Każda kolumna $\mathbf{L}$ to potencjał wywołany jednostkowym dipolem w danym miejscu i o danej orientacji.

==== 4. Warunki brzegowe ====

Na granicy skóra/powietrze prąd nie wypływa:

$$\sigma\,\nabla V \cdot \hat{\mathbf{n}} = 0 \quad \text{na zewnętrznej powierzchni}$$

Wewnątrz, na granicach tkanek o różnym $\sigma$ (mózg–CSF–czaszka–skóra):

$$V \text{ ciągłe},\quad \sigma\nabla V \cdot \hat{\mathbf{n}} \text{ ciągłe}$$

To są te warunki, które „włączają" geometrię i przewodności do problemu — i to one decydują, że czaszka (niskie $\sigma$, około 1/15–1/80 tkanki miękkiej, do dziś dyskutowane) rozmywa pole tak agresywnie.

==== 5. Metody rozwiązania — co siedzi w `ft_prepare_headmodel` ====

`ft_prepare_headmodel` to fabryka różnych operatorów rozwiązujących tę samą PDE. Wybór `cfg.method` decyduje o paradygmacie matematycznym:

**(a) Rozwiązania analityczne — modele sferyczne** (`'singlesphere'`, `'concentricspheres'`)

Dla geometrii sferycznej z osiową symetrią rozwija się $V$ w szereg wielomianów Legendre'a. Dla 3-warstwowego modelu koncentrycznego dostajemy zamknięty wzór z nieskończonym szeregiem, który w praktyce tnie się po ~40 wyrazach. Berg & Scherg (1994) dali znakomite przybliżenie 3 dipolami w sferze jednorodnej — błyskawicznie szybkie, do dziś używane w MEG. Plus: bardzo szybkie, brak siatkowania. Minus: kula to nie głowa, zwłaszcza w okolicach skroniowych i podstawy.

**(b) BEM — Boundary Element Method** (`'bemcp'`, `'dipoli'`, `'openmeeg'`)

Wykorzystuje się fakt, że w obszarze o stałym $\sigma$ $V$ spełnia równanie Laplace'a, a cały „nietrywialny" wkład można wyrazić jako całkę po powierzchniach granicznych. Z drugiej tożsamości Greena dostajemy całkowe równanie typu Fredholma 2-go rodzaju:

$$V(\mathbf{r}) = V_\infty(\mathbf{r}) + \frac{1}{4\pi}\sum_k \frac{\sigma_k^- - \sigma_k^+}{\bar{\sigma}}\oint_{S_k} V(\mathbf{r}')\,\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\cdot\hat{\mathbf{n}}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,dS'$$

gdzie $V_\infty$ to potencjał dipola w przestrzeni nieograniczonej. Triangulujemy powierzchnie (skóra, czaszka, mózg — czasem CSF) i to równanie zamienia się w układ liniowy. Szybciej niż FEM, ale wymaga założenia odcinkowo stałej przewodności i zakłada izotropię.

**(c) FEM — Finite Element Method** (`'simbio'`, `'duneuro'`)

Cała objętość głowy dyskretyzowana czworościanami/sześciościanami z indywidualnym tensorem $\sigma$ w każdym elemencie (z DTI można wstrzyknąć anizotropię istoty białej!). Sformułowanie wariacyjne daje rzadki układ:

$$\mathbf{K}\mathbf{u} = \mathbf{b}$$

gdzie $\mathbf{K}$ to macierz sztywności zależna od $\sigma(\mathbf{r})$, a $\mathbf{b}$ niesie informację o źródle. To „złoty standard" pod kątem dokładności, ale kosztowny — dlatego praktycznie zawsze łączony z trikiem z punktu 6.

**(d) FDM** — rzadziej, dziś głównie historycznie.

==== 6. Twierdzenie o wzajemności — dlaczego macierz $\mathbf{L}$ da się liczyć rozsądnie ====

Naiwne podejście: dla każdego z $\sim 10^4$ źródeł i każdej z 3 orientacji odpalić rozwiązywacz PDE. To $3\times 10^4$ rozwiązań. Beznadzieja.

Helmholtzowska zasada wzajemności mówi: potencjał w elektrodzie A wywołany dipolem w punkcie $\mathbf{r}_0$ jest równoważny pewnej wielkości policzonej z **pola elektrycznego** wytworzonego w $\mathbf{r}_0$ przez **jednostkowy prąd wstrzyknięty** między elektrodą A a referencją. Formalnie:

$$V_A(\mathbf{r}_0;\mathbf{q}) = \mathbf{E}^{(A)}(\mathbf{r}_0)\cdot\mathbf{q}$$

gdzie $\mathbf{E}^{(A)}$ to pole „wstrzykniętego" prądu jednostkowego. Konsekwencja: zamiast $3N_\text{src}$ rozwiązań PDE wystarczy $N_\text{el}-1$ rozwiązań (po jednym na elektrodę). Praktycznie wszystkie pakiety BEM/FEM (w tym OpenMEEG, SimBio, DUNEuro) to wykorzystują — i dlatego FEM jest w ogóle wykonalny dla całych siatek źródłowych.

==== 7. Co więc dosłownie robi `ft_prepare_headmodel` ====

Tworzy obiekt `headmodel`, który zawiera:
- geometrię (kule albo siatki powierzchniowe, albo objętościową siatkę FEM),
- przewodności poszczególnych warstw,
- a w przypadku BEM/FEM — **wstępnie policzony operator dyskretny** (np. odwróconą macierz BEM albo czynnik macierzy sztywności FEM z trikiem transferowym wykorzystującym wzajemność).

To jest najdroższa część obliczeń — i robi się ją *raz* dla danej geometrii. Potem `ft_prepare_leadfield`, dla każdej pozycji źródła w `cfg.sourcemodel`, używa tego operatora, żeby wygenerować trzy kolumny $\mathbf{L}$ (dla orientacji x, y, z). Wynik to `leadfield{i}` o wymiarze $N_\text{el}\times 3$ — czyli dosłownie blok macierzy lead field dla danego wokselu.

---

Podsumowanie:

1. Maxwell → kwazistatyka → „elektrostatyka z prądami"
2. Podział prądu i równanie Poissona (jedyne równanie, którego naprawdę trzeba)
3. Dipol jako model i wynikająca **liniowość** → uzasadnienie wzoru $\mathbf{v}=\mathbf{L}\mathbf{j}$
4. Warunki brzegowe → tu wchodzi anatomia
5. Sfery (analityczne, intuicja) → BEM → FEM jako kolejne stopnie realizmu
6. Wzajemność jako trik obliczeniowy, bez którego niczego by się nie dało policzyć w sensownym czasie

Klasyczne źródła:
- Hallez et al. 2007 *J Neuroeng Rehabil* (review obliczeń forward, bardzo czytelny),
- Mosher et al. 1999 dla zwartego wyprowadzenia,
- oraz dokumentacja OpenMEEG (Gramfort et al. 2010) — tam ścieżka BEM jest wyprowadzona z drugiej tożsamości Greena.
---

=== Programy obliczające model do przodu:===
MNE-Python (<code>mne.make_bem_model</code>), FieldTrip (<code>ft_prepare_headmodel</code>), OpenMEEG.

==Fitowanie dipoli (Dipole Fitting)==

===Idea===
Najprostsze założenie: aktywacja EEG pochodzi z jednego
(lub kilku) ekwiwalentnych dipoli prądowych.
Każdy dipol opisany jest sześcioma parametrami:
trzema współrzędnymi położenia <math>(x,y,z)</math>
i trzema składowymi momentu dipolowego <math>(q_x, q_y, q_z)</math>.

===Formalizm===
Dla pojedynczego dipola o momencie <math>\mathbf{q}(t)</math>
w lokalizacji <math>\mathbf{r}_0</math>:
:<math>\mathbf{x}(t) = \mathbf{a}(\mathbf{r}_0)\,\mathbf{q}(t) + \boldsymbol{\varepsilon}(t)</math>
gdzie <math>\mathbf{a}(\mathbf{r}_0) \in \mathbb{R}^{N_e \times 3}</math>
to kolumna macierzy pola wiodącego odpowiadająca lokalizacji <math>\mathbf{r}_0</math>.

Estymacja polega na minimalizacji reszty:
:<math>\hat{\mathbf{r}}_0 = \arg\min_{\mathbf{r}} \left\|\mathbf{x}(t) - \mathbf{a}(\mathbf{r})\,\hat{\mathbf{q}}(t)\right\|^2</math>
Minimalizację prowadzi się zwykle algorytmem Neldera–Meada
lub Levenberga–Marquardta po przestrzeni lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* gdy źródło jest punktowe lub quasi-punktowe (np. wczesne składowe słuchowych potencjałów wywołanych N20, P25)
* gdy liczba aktywnych źródeł jest z góry znana i mała (1–3 dipole)

;Ograniczenia:
* wrażliwość na punkt startowy — algorytm może utknąć w minimum lokalnym
* złe dopasowanie gdy aktywacja pochodzi z rozległego obszaru kory
* wynik silnie zależy od dokładności modelu do przodu

==Minimum Norm Estimation (MNE)==

===Idea===
Zamiast zakładać małą liczbę dipoli,
rozkładamy aktywność na gęstą siatkę źródeł pokrywającą całą powierzchnię kory
i szukamy rozwiązania o minimalnej normie —
tj. takiego, które odtwarza dane, angażując jak najmniejszą całkowitą energię źródeł.

===Formalizm===
Problem optymalizacji z regularyzacją Tichonowa:
:<math>\hat{\mathbf{s}} = \arg\min_{\mathbf{s}} \left\|\mathbf{x} - \mathbf{A}\mathbf{s}\right\|^2 + \lambda\left\|\mathbf{s}\right\|^2</math>
gdzie <math>\lambda > 0</math> to parametr regularyzacji kontrolujący kompromis
między wiernością danym a gładkością rozwiązania.

Rozwiązanie analityczne:
:<math>\hat{\mathbf{s}} = \mathbf{A}^T\left(\mathbf{A}\mathbf{A}^T + \lambda\mathbf{I}\right)^{-1}\mathbf{x}</math>

Macierz <math>\mathbf{W}_{\mathrm{MNE}} = \mathbf{A}^T(\mathbf{A}\mathbf{A}^T + \lambda\mathbf{I})^{-1}</math>
jest liniowym filtrem przestrzennym — analogiem macierzy <math>\mathbf{W}</math> z CSP,
lecz skonstruowanym na podstawie modelu do przodu, nie z danych.

===Warianty===

;dSPM (''dynamic Statistical Parametric Mapping'', Dale 2000):
Normalizuje estymowaną aktywność przez odchylenie standardowe szumu:
:<math>F_{\mathrm{dSPM}}(\mathbf{r}, t) = \frac{\hat{s}(\mathbf{r},t)}{\sigma_{\mathrm{noise}}(\mathbf{r})}</math>
Wynik ma interpretację statystyczną (wartość F lub Z); popularne w neurobiologii poznawczej.

;sLORETA (''standardized LORETA'', Pascual-Marqui 2002):
Normalizuje przez odchylenie standardowe samego estymatora MNE (nie tylko szumu):
:<math>F_{\mathrm{sLORETA}}(\mathbf{r}, t) = \frac{\hat{s}(\mathbf{r},t)}{\sqrt{\left[\mathbf{W}_{\mathrm{MNE}}\mathbf{A}\right]_{(\mathbf{r},\mathbf{r})}}}</math>
Wykazuje zerowe systematyczne błędy lokalizacji w warunkach idealnych.

;Wybór <math>\lambda</math>:
Zwykle <math>\lambda = \alpha \cdot \mathrm{tr}(\mathbf{A}\mathbf{A}^T) / \mathrm{tr}(\mathbf{I})</math>
z <math>\alpha \in [0.05, 0.3]</math>; w MNE-Python domyślnie <math>\alpha = 0.1</math>.
Można też stosować kryterium L-krzywej lub walidację krzyżową.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* gdy aktywacja jest rozproszona lub nieznana a priori
* jako ogólne narzędzie wizualizacji ERP na powierzchni kory
* przy małej liczbie elektrod

;Ograniczenia:
* tendencja do rozmywania rozwiązania — źródła głębokie są systematycznie niedoszacowane
* brak zakładanej rzadkości (''sparsity''); wariant L1 (MCE) jest rzadszy, ale trudniejszy obliczeniowo
* wymaga dobrego modelu do przodu

==Beamformery==

===Idea===
Beamformer (dosł. „formowanie wiązki") to adaptacyjny filtr przestrzenny,
który dla każdej lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>
konstruuje wagi <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math> maksymalizujące
stosunek mocy sygnału z tej lokalizacji do mocy wszystkich pozostałych źródeł.
W odróżnieniu od MNE, beamformer korzysta z macierzy kowariancji danych —
jest więc metodą adaptacyjną, zbliżoną duchem do CSP.

===LCMV (''Linearly Constrained Minimum Variance'', Van Veen 1997)===

Szukamy filtra minimalizującego wariancję wyjścia
przy ograniczeniu zachowującym sygnał z lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>:
:<math>\mathbf{w}^*(\mathbf{r}) = \arg\min_{\mathbf{w}} \mathbf{w}^T\mathbf{C}\mathbf{w}
\quad \text{p.o.} \quad \mathbf{w}^T\mathbf{a}(\mathbf{r}) = 1</math>
gdzie <math>\mathbf{C} = E[\mathbf{x}\mathbf{x}^T]</math> to macierz kowariancji danych.

Rozwiązanie analityczne (mnożnik Lagrange'a):
:<math>\mathbf{w}(\mathbf{r}) = \frac{\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}{\mathbf{a}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}</math>

Moc w lokalizacji <math>\mathbf{r}</math>:
:<math>P(\mathbf{r}) = \mathbf{w}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}\,\mathbf{w}(\mathbf{r})
= \frac{1}{\mathbf{a}(\mathbf{r})^T\mathbf{C}^{-1}\mathbf{a}(\mathbf{r})}</math>

===DICS (''Dynamic Imaging of Coherent Sources'', Gross 2001)===

Wariant beamformera dla analizy częstotliwościowej:
zamiast macierzy kowariancji czasowej stosuje
''cross-spectral density matrix'' <math>\mathbf{C}(f)</math>
obliczoną dla wybranego pasma częstości.
Pozwala mapować koherencję między lokalizacjami na powierzchni kory.

===Analogia z CSP===

Zauważmy analogię strukturalną:

{| class="wikitable"
|-
! !! CSP !! LCMV Beamformer
|-
| '''Macierz kowariancji''' || <math>\mathbf{R}_T, \mathbf{R}_{NT}</math> (dwa warunki) || <math>\mathbf{C}</math> (jeden warunek) + <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
|-
| '''Filtr''' || <math>\mathbf{w}</math>: maks. stosunek wariancji || <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math>: min. wariancja przy ograniczeniu
|-
| '''Przestrzeń''' || elektrod || przestrzeni mózgu (woksel po wokselu)
|-
| '''Model do przodu''' || nie || tak — przez <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
|}

Kluczowa różnica: CSP optymalizuje globalnie jednym zagadnieniem własnym,
beamformer rozwiązuje osobny problem dla każdej lokalizacji.

===Zastosowania i ograniczenia===
;Kiedy stosować:
* analiza ERD/ERS (rytmy ruchowe, alfa, beta) w przestrzeni mózgu
* lokalizacja źródeł oscylacyjnych w MEG
* DICS do badania koherencji korowo-korowej

;Ograniczenia:
* silnie skorelowane źródła są tłumione (''source cancellation'') — beamformer zakłada, że źródła są nieskorelowane
* wymaga dużej liczby próbek do stabilnej estymacji <math>\mathbf{C}^{-1}</math>
* przy małej liczbie elektrod macierz <math>\mathbf{C}</math> może być źle uwarunkowana

;Podsumowanie:
[[Plik:Inverse problem vs bss.png|mały|centruj]]

==Podsumowanie: kiedy stosować którą metodę==

{| class="wikitable"
|-
! Metoda !! Założenie a priori !! Dane wejściowe !! Typowe zastosowanie
|-
| '''Dipole fitting''' || 1–3 punktowe źródła || ERP, AEP, SEP || lokalizacja wczesnych składowych wywołanych
|-
| '''MNE / dSPM / sLORETA''' || minimalna energia; źródła ciągłe || ERP, dowolny sygnał || wizualizacja rozproszonej aktywności na korze
|-
| '''LCMV Beamformer''' || źródła nieskorelowane || ERD/ERS, dane resting-state || lokalizacja źródeł oscylacyjnych w MEG/EEG
|-
| '''DICS''' || j.w. + analiza spektralna || dane oscylacyjne || mapa koherencji korowo-korowej
|-
| '''CSP / ICA''' || brak modelu geometrycznego || dwa warunki / jeden segment || klasyfikacja BCI, usuwanie artefaktów
|}

;Uwaga praktyczna:
Wszystkie metody problemu odwrotnego wymagają przygotowania modelu do przodu.
Zaleca się korzystanie z MNE-Python lub FieldTrip — oba pakiety
oferują spójne pipeline'y od surowych danych do map korowych
i są szeroko stosowane w literaturze, co ułatwia replikację wyników.

=Sesja 7: Problem odwrotny — część praktyczna=

;Czas: ~30 min wprowadzenie + ~120 min ćwiczenie

Część praktyczna prowadzi przez pełny pipeline lokalizacji źródeł:
od wczytania danych w FieldTrip, przez zbudowanie modelu do przodu,
do fitowania dipola i interpretacji wyniku.
Sesja jest zaprojektowana tak, aby każdy krok bezpośrednio ilustrował
jeden element teorii omówionej w [[#Sesja 7: Problem odwrotny w EEG i MEG|części wykładowej]].

;Dane:
Używamy standardowego zestawu danych FieldTrip
(dane somatosensoryczne MEG/EEG, bodziec elektryczny na nadgarstku — składowa N20):
* https://download.fieldtriptoolbox.org/tutorial/Subject01.zip (~800 MB)

Ten sam zestaw danych jest używany we wszystkich tutorialach FieldTrip
wymienionych w tej sesji, co ułatwia porównywanie wyników między krokami.

;Instalacja FieldTrip: Wymagania wstępne:
FieldTrip wymaga MATLABa. Przed instalacją sprawdź kompatybilność swojej wersji:
[https://www.fieldtriptoolbox.org/faq/matlab/requirements MATLAB requirements]

;Pobranie toolboxa: Pobierz najnowszą wersję ze strony:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/download.php Pobierz FieldTrip]

Rozpakuj archiwum ZIP w wybranym katalogu, np. <code>~/matlab/fieldtrip</code> (Linux/macOS).

;Ważne: nie zmieniaj wewnętrznej struktury katalogów po rozpakowaniu —
FieldTrip dynamicznie zarządza swoimi podkatalogami.

;Konfiguracja ścieżki MATLAB: Pełna instrukcja: [https://www.fieldtriptoolbox.org/faq/matlab/installation Installation and setting up the path]

Uruchom poniższe polecenia na początku każdej sesji pracy z FieldTrip
(lub wstaw je do pliku <code>startup.m</code> — patrz niżej):

<source lang="matlab">
restoredefaultpath % wyczyść aktualną ścieżkę
addpath('~/fieldtrip') % podaj tu swoją ścieżkę do FieldTrip
ft_defaults % skonfiguruj FieldTrip i minimalne podkatalogi
</source>

;Uwaga — częsty błąd:
Nie używaj <code>addpath(genpath(...))</code> ani przycisku „Add with Subfolders" w MATLAB GUI.
FieldTrip samodzielnie dodaje potrzebne podkatalogi przez <code>ft_defaults</code>
i <code>ft_hastoolbox</code> — dodanie wszystkiego ręcznie powoduje konflikty
z funkcjami SPM, EEGLAB i wbudowanymi funkcjami MATLABa
(w szczególności z funkcjami z katalogu <code>fieldtrip/compat</code>
przeznaczonymi tylko dla starych wersji MATLABa).

;Trwała konfiguracja przez startup.m:

Żeby nie powtarzać powyższych poleceń przy każdym uruchomieniu MATLABa,
utwórz plik <code>startup.m</code> w swoim katalogu MATLABa
(zwykle <code>Dokumenty/MATLAB/startup.m</code>) z zawartością:

<source lang="matlab">
restoredefaultpath
addpath('C:\fieldtrip') % zmień na swoją ścieżkę
ft_defaults
</source>

MATLAB wykonuje ten plik automatycznie przy każdym uruchomieniu.

;Uwaga dla użytkowników EEGLAB: Jeśli korzystasz z EEGLAB i FieldTrip w tej samej sesji,
zawsze ładuj FieldTrip przez <code>restoredefaultpath</code> + <code>addpath</code> + <code>ft_defaults</code>,
a nie przez interfejs EEGLAB. Oba toolboxy zawierają funkcje o tych samych nazwach
(np. <code>eegplot</code>, <code>topoplot</code>) — kolejność na ścieżce decyduje,
która wersja zostanie wywołana.

;Weryfikacja instalacji: Sprawdź poprawność instalacji jednym poleceniem:

<source lang="matlab">
ft_defaults
ft_version
</source>

Powinieneś zobaczyć numer wersji i datę kompilacji, np.:
<pre>
FieldTrip version 20250901, path: C:\fieldtrip
</pre>

Jeśli MATLAB zgłasza błąd <code>Undefined function 'ft_defaults'</code>,
ścieżka nie została ustawiona poprawnie — wróć do kroku z <code>addpath</code>.

==Krok 0: Wejście do FieldTrip==

Przed właściwym ćwiczeniem proszę zapoznać się z tutorialem wprowadzającym:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/intro/introduction/ Introduction to the FieldTrip toolbox]

;Na co zwrócić uwagę przechodząc ten tutorial:

Studenci znający EEGLAB natkną się na dwie zasadnicze różnice w filozofii pracy:

* '''Struktura cfg''' zamiast GUI. Każda funkcja FieldTrip przyjmuje strukturę konfiguracyjną <code>cfg</code> i zwraca nową strukturę danych. Nie ma okien dialogowych — cała analiza jest skryptem. Jest to bliższe temu, co robiliśmy w MATLAB-owych sesjach CSP/ICA.

* '''Niezmienność danych'''. FieldTrip nie modyfikuje struktur w miejscu — każde wywołanie funkcji zwraca nową strukturę. Pozwala to łatwo porównywać wyniki różnych parametrów, ale wymaga dbałości o nazewnictwo zmiennych.

;Pytanie do dyskusji po lekturze:
Jak odpowiadają sobie nawzajem: <code>EEG.data</code> w EEGLAB i struktura <code>data</code> w FieldTrip?
Gdzie w strukturach FieldTrip przechowywane są informacje o lokalizacji elektrod?

==Krok 1: Model do przodu — BEM dla EEG==

Przed fitowaniem dipola musimy obliczyć macierz pola wiodącego <math>\mathbf{A}</math>.
Proszę przejść tutorial:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/headmodel_eeg_bem Construct a BEM headmodel for EEG source analysis]

;Cel tego kroku:
Zrozumieć skąd pochodzi kolumna <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math>
używana we wszystkich metodach Sesji 7.
Każda kolumna <math>\mathbf{a}(\mathbf{r})</math> mówi: „jeśli w miejscu <math>\mathbf{r}</math>
znajdowałby się dipol o jednostkowym momencie,
to jakie potencjały zmierzylibyśmy na każdej z elektrod?"

;Kluczowe funkcje FieldTrip w tym kroku:
<source lang="matlab">
% Segmentacja MRI na trzy tkanki (skóra, czaszka, mózg)
cfg = [];
cfg.output = {'brain','skull','scalp'};
segmentedmri = ft_volumesegment(cfg, mri);

% Budowanie siatki trójkątów BEM
cfg = [];
cfg.tissue = {'brain','skull','scalp'};
cfg.numvertices = [3000 2000 1000];
bnd = ft_prepare_mesh(cfg, segmentedmri);

% Obliczenie modelu do przodu metodą BEM (OpenMEEG)
cfg = [];
cfg.method = 'openmeeg';
cfg.conductivity = [0.33 0.0041 0.33]; % mózg, czaszka, skóra [S/m]
headmodel = ft_prepare_headmodel(cfg, bnd);
</source>

;Na co zwrócić uwagę:
* Stosunek przewodności czaszka/mózg wynosi tu ~1/80.
Jak myślisz, jak bardzo błąd w tym parametrze wpłynie na lokalizację źródeł?
* Funkcja <code>ft_prepare_mesh</code> tworzy trzy zagnieżdżone siatki.
Jak ma się to do opisu BEM z wykładu?

==Krok 2: Fitowanie dipola (ćwiczenie główne)==

;Czas: ~90 min

To jest główne ćwiczenie praktyczne Sesji 7.
Proszę przejść tutorial:

[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/dipolefitting Dipole fitting of combined MEG/EEG data]

Poniżej znajdziesz szkielet kodu z pytaniami pomocniczymi
do samodzielnego wypełnienia — zacznij od tutorialu,
a potem wróć do szkieletu i uzupełnij brakujące fragmenty.

===Szkielet kodu — fitowanie dipola dla składowej N20===

<source lang="matlab">
%% KROK A: Wczytanie i preprocessing danych EEG
% Dane: Subject01.zip (patrz wyżej)
% Używamy tylko kanałów EEG, odrzucamy MEG.

cfg = [];
cfg.dataset = 'Subject01.ds';
cfg.trialdef.eventtype = 'backpanel trigger';
cfg.trialdef.eventvalue = 3; % bodziec na lewym nadgarstku
cfg.trialdef.prestim = 0.1;
cfg.trialdef.poststim = 0.3;
cfg = ft_definetrial(cfg);

cfg.channel = 'EEG';
cfg.continuous = 'yes';
cfg.demean = 'yes';
cfg.baselinewindow = [-0.1 0];
data = ft_preprocessing(cfg);

%% KROK B: Uśrednianie — potencjał wywołany
% TUTAJ: użyj ft_timelockanalysis aby obliczyć ERP (średnią po powtórzeniach)
% Wynik zapisz jako 'timelock'

% TUTAJ

%% KROK C: Wczytanie modelu do przodu i lokalizacji elektrod
% Zakładamy, że headmodel i elec zostały obliczone w Kroku 1.
% Jeśli nie — można użyć gotowego modelu z paczki danych Subject01.

load('standard_bem.mat'); % headmodel
load('Subject01_elec.mat'); % lokalizacje elektrod (po dopasowaniu do MRI)

%% KROK D: Przygotowanie siatki poszukiwań (grid)
% Definiujemy siatkę regularną 1 cm wewnątrz mózgu.
% ft_prepare_sourcemodel oblicza też macierz pola wiodącego A
% (tzw. leadfield) dla każdego punktu siatki.

cfg = [];
cfg.headmodel = headmodel;
cfg.elec = elec;
cfg.resolution = 1; % odstęp siatki w cm
cfg.unit = 'cm';
sourcemodel = ft_prepare_sourcemodel(cfg);

%% KROK E: Fitowanie dipola
% Szukamy jednego dipola najlepiej wyjaśniającego topografię N20.
% Okno czasowe 0.016–0.022 s odpowiada składowej N20.

cfg = [];
cfg.latency = [0.016 0.022]; % okno N20 w sekundach
cfg.numdipoles = 1;
cfg.headmodel = headmodel;
cfg.elec = elec;
cfg.sourcemodel = sourcemodel;
cfg.nonlinear = 'yes'; % optymalizacja nieliniowa po przestrzeni

% TUTAJ: source = ft_dipolefitting(cfg, timelock);

%% KROK F: Wizualizacja wyniku
% Nałożenie lokalizacji dipola na MRI anatomiczne.

load('standard_mri.mat'); % MRI w tym samym układzie współrzędnych

cfg = [];
cfg.location = source.dip.pos; % współrzędne znalezionego dipola [x y z]

% TUTAJ: ft_sourceplot(cfg, mri);

%% KROK G: Ocena dopasowania
% Goodness of fit (GoF) mówi jaka część wariancji danych
% jest wyjaśniona przez znaleziony dipol.
% Wartość > 0.85 uznaje się za dobre dopasowanie.

fprintf('Goodness of fit: %.1f%%\n', source.dip.rv * 100);
% Uwaga: w FieldTrip rv to residual variance (1 - GoF).
% Dobry dipol ma rv < 0.15.

disp('Lokalizacja dipola [x y z] w mm:')
disp(source.dip.pos)

disp('Moment dipolowy [qx qy qz]:')
disp(source.dip.mom)
</source>

===Zadania do samodzielnej realizacji===

;Zadanie 1 (obowiązkowe): Pipeline i lokalizacja
Uzupełnij brakujące fragmenty szkieletu (kroki B i E–F).
Gdzie na MRI ląduje znaleziony dipol? Czy odpowiada to oczekiwanej anatomii
składowej N20 (pierwotna kora somatosensoryczna S1, okolica bruzdy centralnej)?

;Zadanie 2 (obowiązkowe): Wpływ okna czasowego
Zmień <code>cfg.latency</code> kolejno na:
* <code>[0.016 0.022]</code> — okno N20
* <code>[0.025 0.035]</code> — okno P25
* <code>[0.045 0.060]</code> — okno N45
Czy lokalizacja dipola zmienia się między tymi składowymi?
Jak zmienia się GoF? Co to mówi o tym, która składowa jest lepiej opisana modelem jednego dipola?

;Zadanie 3 (obowiązkowe): Dwa dipole
Zmień <code>cfg.numdipoles = 2</code> i powtórz fitowanie dla okna N20.
Czy model dwóch dipoli daje istotnie lepszy GoF niż jeden?
Jak interpretujesz dwa znalezione źródła?

;Zadanie 4 (dla chętnych): Wrażliwość na model do przodu
FieldTrip pozwala użyć uproszczonego modelu sferycznego
zamiast BEM: ustaw <code>cfg.headmodel</code> na model jednorodnej sfery
(<code>cfg.method = 'singlesphere'</code> w <code>ft_prepare_headmodel</code>).
O ile zmienia się lokalizacja dipola N20?
Czy GoF wzrasta czy maleje?

;Pytania do dyskusji:
* Fitowanie dipola wymaga podania okna czasowego — dlaczego?
Co stałoby się gdybyśmy dopasowywali dipol do całej epoki (−100 do +300 ms)?
* Algorytm minimalizacji może utknąć w minimum lokalnym.
Jak <code>cfg.sourcemodel</code> (siatka) pomaga temu zaradzić?
Jaki jest kompromis między rozdzielczością siatki a czasem obliczeń?
* Porównaj mapę topograficzną ERP w oknie N20
z mapą rekonstruowaną z dopasowanego dipola (wywołaj <code>ft_dipolefitting</code>
z opcją <code>cfg.dipfit.display = 'yes'</code>).
Czy widzisz różnicę? Skąd ona pochodzi?

==Krok 3: Dalsze metody — dla zainteresowanych==

Poniższe tutoriale stanowią naturalne rozwinięcie ćwiczenia głównego
i ilustrują pozostałe metody omówione w teorii Sesji 7.
Nie są wymagane na zaliczenie, ale gorąco je polecamy
jeśli planujesz używać lokalizacji źródeł w pracy badawczej.

;Minimum Norm Estimation:
[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/minimumnormestimate Source reconstruction of event-related fields using minimum-norm estimation]

Ten sam sygnał N20 co w ćwiczeniu głównym, ale zamiast jednego dipola
otrzymujesz ciągłą mapę aktywności na całej powierzchni kory.
Zwróć uwagę jak wybór parametru regularyzacji <math>\lambda</math>
wpływa na rozmycie rozwiązania.
Porównaj lokalizację maksimum mapy MNE z lokalizacją dipola z Kroku 2.

;Beamformer (LCMV/DICS):
[https://www.fieldtriptoolbox.org/tutorial/source/beamformer Localizing oscillatory sources in MEG data using a beamformer]

Tutorial wykorzystuje ten sam zestaw danych Subject01
i lokalizuje źródła oscylacji gamma wywołanych bodźcem —
bezpośrednie rozwinięcie analizy ERD/ERS, którą już znasz.
Kluczowa różnica w stosunku do MNE: beamformer korzysta
z macierzy kowariancji danych <math>\mathbf{C}</math>,
a nie tylko z modelu do przodu. Sprawdź jak wyglądają
filtry przestrzenne <math>\mathbf{w}(\mathbf{r})</math> dla różnych lokalizacji
i porównaj je koncepcyjnie z filtrami CSP z Sesji 1–3.











-->