Brain-wiki - Wkład użytkownika [pl]

Obrazowanie Medyczne

2025-10-22T12:26:42Z

Jginter:

[[Category:Przedmioty specjalizacyjne]]
'''Wykład, dr Józef Ginter''' 
- [https://drive.google.com/drive/folders/1eTUY5RaSiuicZyt1PD0yxCN-kEVL4bXR materiały do wykładów z bieżącego roku (2025/26)] 

=Podręcznik=
'''Spis treści:'''
#[[Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Podstawowe_Parametry_Obrazów|Podstawowe Parametry Obrazów]]
#[[Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Oddziaływanie_Promieniowania_Elektromagnetycznego_z_Materią|Oddziaływanie Promieniowania Elektromagnetycznego z Materią]]
#[[Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Metody obrazowania medycznego wykorzystujące promieniowanie rentgenowskie|Metody obrazowania medycznego wykorzystujące promieniowanie rentgenowskie]]
#[[Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Podstawy Rekonstrukcji Obrazów Tomograficznych|Podstawy Rekonstrukcji Obrazów Tomograficznych]]
#[[Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Rentgenowska Tomografia Komputerowa|Rentgenowska Tomografia Komputerowa]]
#[[Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie Metodą Magnetycznego Rezonansu Jądrowego|Obrazowanie Metodą Magnetycznego Rezonansu Jądrowego]]
#[[Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Scyntygrafia, Tomografia Emisyjna Pojedynczego Fotonu, Pozytonowa Tomografia Emisyjna|Scyntygrafia, Tomografia Emisyjna Pojedynczego Fotonu, Pozytonowa Tomografia Emisyjna]]
#[[Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Zastosowanie laserów w Obrazowaniu Medycznym|Zastosowanie laserów w Obrazowaniu Medycznym]]

Autor: dr Rafał Kuś

[[edu:Książki/Obrazowanie_Medyczne#dr_Rafa.C5.82_Ku.C5.9B|Wersja do druku]]

Obrazowanie Medyczne

2025-10-22T12:26:13Z

Jginter:

[[Category:Przedmioty specjalizacyjne]]
'''Wykład, dr Józef Ginter''' 
- [https://drive.google.com/drive/folders/1eTUY5RaSiuicZyt1PD0yxCN-kEVL4bXR notatki do wykładów z bieżącego roku] 

=Podręcznik=
'''Spis treści:'''
#[[Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Podstawowe_Parametry_Obrazów|Podstawowe Parametry Obrazów]]
#[[Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Oddziaływanie_Promieniowania_Elektromagnetycznego_z_Materią|Oddziaływanie Promieniowania Elektromagnetycznego z Materią]]
#[[Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Metody obrazowania medycznego wykorzystujące promieniowanie rentgenowskie|Metody obrazowania medycznego wykorzystujące promieniowanie rentgenowskie]]
#[[Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Podstawy Rekonstrukcji Obrazów Tomograficznych|Podstawy Rekonstrukcji Obrazów Tomograficznych]]
#[[Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Rentgenowska Tomografia Komputerowa|Rentgenowska Tomografia Komputerowa]]
#[[Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie Metodą Magnetycznego Rezonansu Jądrowego|Obrazowanie Metodą Magnetycznego Rezonansu Jądrowego]]
#[[Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Scyntygrafia, Tomografia Emisyjna Pojedynczego Fotonu, Pozytonowa Tomografia Emisyjna|Scyntygrafia, Tomografia Emisyjna Pojedynczego Fotonu, Pozytonowa Tomografia Emisyjna]]
#[[Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Zastosowanie laserów w Obrazowaniu Medycznym|Zastosowanie laserów w Obrazowaniu Medycznym]]

Autor: dr Rafał Kuś

[[edu:Książki/Obrazowanie_Medyczne#dr_Rafa.C5.82_Ku.C5.9B|Wersja do druku]]

Obrazowanie:Obrazowanie Medyczne/Obrazowanie Metodą Magnetycznego Rezonansu Jądrowego

2024-11-14T10:15:18Z

Jginter: /* Równanie Blocha */

Obrazowanie Metodą Magnetycznego Rezonansu Jądrowego
==Kilka uwag na temat Mechaniki Kwantowej, Mechaniki Klasycznej oraz nazewnictwa.==
Prawidłową nazwą metody diagnostyki medycznej, która będzie omawiana w tej części skryptu, jest Obrazowanie Magnetycznego Rezonansu Jądrowego (ang. ''Nuclear Magnetic Rezonanse Imaging'', NMRI). Niestety, większość społeczeństwa negatywnie kojarzy przymiotnik ''jądrowy''. W związku z tym, pomimo iż diagnostyka NMRI nie ma nic wspólnego ze zjawiskiem rozpadu promieniotwórczego i jest uznawana za całkowicie bezpieczną, usunięto z jej nazwy słowo "jądrowy" (nuclear). Obecnie metodę NMRI określa się jako ’’Magnetic Rezonanse Imaging – MRI", czyli Obrazowanie Rezonansu Magnetycznego. W żargonie stosowanym w niektórych placówkach medycznych nazwa ta uległa skróceniu do jednego wyrazu — Rezonans.
Metoda NMRI opiera się na zjawisku Magnetycznego Rezonansu Jądrowego które omówimy na gruncie Mechaniki Klasycznej z elementami Mechaniki Kwantowej. Zastosowanie modelu kwantowego prowadzi do pełniejszego w porównaniu z modelem klasycznym opisu zjawiska NMR, jednak ze względu na skomplikowaną postać samej Teorii Kwantów, model kwantowy może być trudny w zrozumieniu. Z kolei model klasyczno-kwantowy (nazywany również modelem pół-klasycznym), jest łatwiejszy do przyswojenia i dla pewnej klasy problemów uzyskuje się za jego pomocą te same wyniki co w modelu kwantowym.

==Spin==
Dokładny opis spinu, który jest wielkością kwantową, wykracza znacznie poza ramy materiału niniejszego skryptu. W tym miejscu natomiast ograniczymy się do podania kilku faktów, obserwacji, czy uwag, mając nadzieję, że wystarczą one czytelnikom do zrozumienia, czym jest spin, przynajmniej w takim stopniu, który ułatwi im przyswojenie wiadomości na temat Jądrowego Rezonansu Magnetycznego. Podstawowymi elementami, z których składa się materia, są cząstki takie jak elektron, proton oraz neutron, które posiadają spin równy <math>\frac{1}{2}</math>. Najbardziej rozpowszechnionym pierwiastkiem w organizmach żywych jest wodór, którego jądra — protony, odgrywają podstawową role w otrzymywaniu obrazów MR. W związku z tym omówienie pojęcia spinu ograniczymy do przypadku spinu równego <math>\frac{1}{2}</math>.
*Zjawisko takie jak: rozszczepienie w niejednorodnym polu magnetycznym wiązki atomowej na dwie składowe, zaobserwowane przez Sterna i Gerlacha w roku 1922, czy dubletowa struktura widm pierwiastków alkalicznych nie zostały wyjaśnione w ramach teorii budowy atomu zaproponowanej przez Bohra. Doświadczenie Sterna-Gerlacha, jak i badania spektroskopowe wskazywały na nieuwzględnienie w teorii Bohra pewnej wielkości fizycznej — nieznanego, dodatkowego stopnia swobody elektronu.
*W roku 1925 Uhlenbeck i Goudsmit wprowadzają pojecie spinu, jako wewnętrznego momentu pędu elektronu. Uhlenbeck i Goudsmit przyjęli, iż elektron wiruje<ref>W języku angielskim słowo spin oznacza wirowanie</ref> wokół własnej osi, co w naturalny sposób umożliwiło im wytłumaczenie istnienia dodatkowego stopnia swobody oraz wyjaśnienie dubletowej struktury widm pierwiastków alkalicznych. Obecnie wiadomo, iż obraz elektronu jako wirującej kulki zaproponowany przez Uhlenbecka i Goudsmita jest nieprawidłowy. W ramach Mechaniki Kwantowej, spin należy rozumieć jako wyraz istnienia stanów polaryzacyjnych funkcji falowej (w przypadku elektronu, protonu, neutronu i niektórych jąder będą to dwa stany polaryzacyjne). Spin jest własnością cząstek, taką samą jak np. masa lub ładunek, ale obserwowalną dopiero w eksperymentach ujawniających kwantową naturę materii (często można spotkać się ze stwierdzeniem, iż spin jest kwantową własnością cząstek). Spin jest także składową całkowitego momentu pędu, niezwiązana z ruchem, można go zatem również interpretować jako własny (wewnętrzny) moment pędu cząstki.

==Spin i moment magnetyczny jądra atomowego==
Jądra atomowe zawierające nieparzystą liczbę protonów lub neutronów mają niezerowy własny moment pędu <math>\vec{I}</math> (spin) oraz związany z nim moment magnetyczny. Zgodnie z regułami opisu wielkości wektorowych w mechanice kwantowej, jednocześnie może być obserwowalna tylko długość wektora oraz wartość jednej z jego składowych (tzw. rzut tego wektora na wyróżnioną oś, nazywaną osią kwantowania). W przypadku wektora własnego momentu pędu jądra atomowego jego długość wynosi <ref name="bid3">H.Haken H.Ch.Wolf "Atomy i kwanty"</ref>:
<equation id="1"><math>
|\vec{I}| = \hbar\sqrt{I\left(I+1\right)}
</math></equation>
gdzie:
<math>I</math> oznacza liczbą kwantową o wartości całkowitej lub połówkowej. 
Składowa <math>z</math> momentu pędu wyraża się następującym wzorem <ref name="bid3" />:
<equation id="2"><math>
\begin{array}{lc}
I_{z} = m_{I}\hbar, & m_{I} = \{I,I-1,\dots,-I\}
\end{array}
</math></equation>
Możliwych jest zatem <math>2I+1</math> orientacji spinu jądra względem wyróżnionego kierunku, odpowiadających możliwym wartościom jądrowej magnetycznej liczby kwantowej <math>m_{I}</math>. W przypadku protonu (jądra atomu wodoru), mamy:
<equation id="3"><math>
\begin{array}{l}
I=1/2\\
\\
|\vec{I}| = \frac{\sqrt{3}}{2}\hbar\\
\\
(\vec{I})_{z} = \pm\frac{1}{2}\hbar
\end{array}
</math></equation>
Moment magnetyczny związany jest ze spinem następującą zależnością:
<equation id="4"><math>
\vec{\mu}_{I} = \gamma\vec{I}
</math></equation>
Stała proporcjonalności <math>\gamma</math> to tzw. jądrowy stosunek giromagnetyczny. Również i w przypadku jądrowego momentu magnetycznego można zmierzyć jednocześnie tyko jego długość i rzut na wyróżnioną oś <math>z</math> wynoszący:
<equation id="5"><math>
\left(\vec{\mu}_{I}\right)_{z} = \gamma\vec{I}_{z}
</math></equation>
Na moment magnetyczny umieszczony w polu magnetycznym <math>\vec{B}</math>, działa pewien moment siły, starający się ustawić momentu magnetycznego zgodnie z kierunkiem pola <math>\vec{B}</math>. Energia potencjalna tego oddziaływania wynosi:
<equation id="6"><math>
V = -\vec{\mu}\cdot\vec{B}
</math></equation>
Zgodnie z prawami termodynamiki układ fizyczny dąży do stanu, w którym jego energia wewnętrzna osiągnie wartość minimalną.
Rozważmy pole <math>\vec{B}</math>, posiadające tylko składową wzdłuż osi <math>z</math> układu odniesienia, czyli <math>\vec{B} = \left[ 0, 0, B_{z}\right] </math>.
W przypadku protonu, posiadającego ładunek dodatni, orientacji momentu pędu zgodnej z kierunkiem pola <math>\vec{B}</math> będzie odpowiadać energia potencjalna:
<equation id="7"><math>
V = -\mu\cdot B_z=-\gamma I_{z}B_z=-\frac{1}{2}\gamma\hbar B_z
</math></equation>
natomiast orientacji antyrównoległej:
<equation id="8"><math>
V = \mu\cdot B_z=-\gamma I_{z}B_z=\frac{1}{2}\gamma\hbar B_z
</math></equation>
Ustawienie najkorzystniejsze energetycznie odpowiada więc sytuacji, kiedy składowa <math>z</math> spinu ustawiona jest w równolegle do kierunku pola <math>\vec{B}</math> (magnetyczna liczba kwantowa <math>m_{I}=\frac{1}{2}</math>).

==Moment magnetyczny w stałym zewnętrznym polu magnetycznym==

[[File:mri_basic.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:mri_basic"></figure>Ilustracja do klasycznego rozwiązania zagadnienia precesji momentu magnetycznego <math>\vec{\mu}</math> wokół wektora indukcji pola magnetycznego <math>\vec{B}</math>. Na rysunku obrano prawoskrętny układ współrzędnych. Na moment magnetyczny działa moment siły równy <math>\vec{N} = \vec{\mu}\times \vec{B}</math>. Momentu siły, zgodnie z zasadą wyliczania iloczynu wektorowego, jest skierowany w płaszczyznę rysunku, powodując ruch momentu magnetycznego w kierunku zaznaczonym strzałką. Jest to ruch w kierunku przeciwnym do kierunku obranego układu współrzędnych.]]
Rozwiązanie równań Schrödingera dla przypadku statycznego pola magnetycznego nie jest skomplikowanym zadaniem. Niemniej interpretacja fizyczna otrzymanych wyników może sprawić pewne trudności. Ponadto w obrazowaniu MRI stosuje się nie tylko stałe pole magnetyczne lecz również odpowiednie serie impulsów pobudzających (tzw. impulsów pobudzających <math>\pi/2</math> lub <math>\pi</math>). Okazuje się, że w wielu przypadkach, zadowalający opis zjawiska rezonansu magnetycznego, uzyskuje się stosując tzw. model wektorowy, który jest podobny do modelu opisującego precesję symetrycznego bączka w polu grawitacyjnym. 
Rozważmy moment magnetyczny znajdujący się w stałym polu magnetycznym o następującej indukcji:<math>\vec{B}_0 =\left[0, 0, B_{0}\right]</math>.
Szybkość zmian momentu pędu ciała (<math>\vec{I}</math>) jest równa momentowi siły (<math>\vec{N}</math>) działającemu na to ciało:
<equation id="9"><math>
\frac{d\vec{I}}{dt} = \vec{N}
</math></equation>
Moment magnetyczny, związany z wewnętrznym momentem pędu jądra, wynosi:
<equation id="10"><math>
\vec{\mu}_{I} = \gamma\vec{I}
</math></equation>
Po przekształceniu powyższego równania dostajemy:
<equation id="11"><math>
\vec{I} = \frac{\vec{\mu}_I}{\gamma}
</math></equation>
W polu magnetycznym <math>\vec{B}_0</math> na moment magnetyczny będzie działa moment siły:
<equation id="12"><math>
\vec{N} = \vec{\mu}_{I}\times\vec{B}_0
</math></equation>

Podstawiając równanie na moment pędu do równania na moment siły otrzymujemy zależność opisującą ruch momentu magnetycznego:
<equation id="eq:MRI_1"><math>
\frac{d\vec{\mu}}{dt} = \gamma\vec{\mu}\times\vec{B}_0
</math></equation>
ponieważ:
<equation id="13"><math>
\gamma\vec{\mu}\times\vec{B}_0 = \left[\gamma\mu_{y}B_{0},-\gamma\mu_{x}B_{0},0\right]
</math></equation>
ostatecznie równanie (<xr id="eq:MRI_1"/>) możemy zapisać jako układ trzech równań:

<equation id="eq:MRI_2"><math>
\begin{array}{l}
\frac{d\mu_{x}}{dt} = \omega_{0}\mu_{y}\\
\\
\frac{d\mu_{y}}{dt} = -\omega_{0}\mu_{x}\\
\\
\frac{d\mu_{z}}{dt} = 0

\end{array}
</math></equation>
gdzie: <math>\omega_{0}=\gamma B_{0}</math> 

Rozwiązanie równania na wielkość składowej ''z'' wektora momentu magnetycznego jest proste i wynosi:
<equation id="14"><math>
\mu_{z} = \mu^{0}_{z} = \mathrm{const}
</math></equation>
W celu uzyskania równań na dwie pozostałe składowe wyznaczmy druga pochodną pierwszego równania w układzie (<xr id="eq:MRI_2"/>) i podstawmy ją do równania drugiego we wspomnianym układzie:
<equation id="eq:MRI_3"><math>
\begin{array}{l}
\frac{d^2\mu_{x}}{dt^2} = \omega_{0}\frac{d\mu_{y}}{dt}\\
\\
\frac{d\mu_{y}}{dt} = -\omega_{0}\mu_{x}
\end{array}
</math></equation>
Podstawiając teraz drugie równanie z układu (<xr id="eq:MRI_3"/>) do równania pierwszego układu (<xr id="eq:MRI_3"/>) dostajemy:
<equation id="eq:MRI_4"><math>
\frac{d^2\mu_{x}}{dt^2} = -\omega^{2}_{0}\mu_x
</math></equation>
Jest to równanie oscylatora harmonicznego o następującym rozwiązaniu:
<equation id="eq:MRI_5"><math>
\mu_x = A\cos(-\omega_0 t + \phi_0)
</math></equation>
gdzie stałe ''A'' oraz <math>\phi_0</math> wynikają z warunków początkowych.
Widzimy, że składowa ''x'' momentu magnetycznego drga z częstością <math>-\omega_0</math>. Przyczyna pojawienia się znaku "-" w rozwiązaniu została wyjaśniona na <xr id="fig:mri_basic">rys. %i</xr>. Podstawiając równanie (<xr id="eq:MRI_5"/>) do drugiego równania w układzie (<xr id="eq:MRI_2"/>) dostajemy rozwiązanie na wielkość składowej ''y'' momentu magnetycznego:

<equation id="15"><math>
\mu_x = A\sin(-\omega_0 t + \phi_0)
</math></equation>

Ostatecznie otrzymaliśmy następujące rozwiązanie ruchu wektora momentu magnetycznego w stałym polu magnetycznym:
<equation id="eq:MRI_6"><math>
\begin{array}{l}
\vec{\mu}_z = \mu^{0}_{z} = \mathrm{const}\cdot\vec{e}_z\\
\\
\vec{\mu}_x =A\cos(-\omega_0 t + \phi_0)\cdot\vec{e}_x\\
\\
\vec{\mu}_y =A\sin(-\omega_0 t + \phi_0)\cdot\vec{e}_y\\
\end{array}
</math></equation>
gdzie: 
<math>A, \phi_0, \mu^{0}_{z} </math> wynikają z warunków początkowych. 
Na podstawie równania (<xr id="eq:MRI_6"/>) możemy wyciągnąć następujące wnioski:
* składowa ''z'' momentu magnetycznego (równoległa do osi ''z'' i pola magnetycznego) zachowuje stały kierunek w przestrzeni,
* składowa ''x'' oraz ''y'' momentu magnetycznego zakreśla w płaszczyźnie ''X-Y'' okrąg.

Złożenie ruchu momentu magnetyczne w płaszczyźnie ''X-Y'' ze stałym kierunkiem składowej ''z'' daje wypadkowy ruch nazywany precesją (w tym przypadku jest to precesja momentu magnetycznego wokół kierunku stałego pola magnetycznego). Wektor momentu magnetycznego wykonuje ruch precesyjny z prędkością kątową (odpowiadającej częstości kołowej):
<equation id="eq:larmour_kolowa"><math>\omega_0 = \gamma B_0</math></equation>
nazywaną częstością Larmour'a.
Składowe ''x'' oraz ''y'' momentu magnetycznego można zapisać w wygodniejszy sposób stosują formalizm liczb zespolonych.
Pomnóżmy trzecie równanie w układzie (<xr id="eq:MRI_6"/>) przez liczbę <math>i=\sqrt{-1}</math> i dodajmy do drugiego równania w układzie (<xr id="eq:MRI_6"/>):
<equation id="16"><math>
\begin{array}{l}
\vec{\mu}_z = \mu^{0}_{z} = \mathrm{const}\cdot\vec{e}_z \\
\\
\vec{\mu}_x + \vec{\mu}_y\cdot i =A\cos(-\omega_0 t + \phi_0)\vec{e}_x + A\sin(-\omega_0 t + \phi_0)\vec{e}_y\cdot i
\end{array}
</math></equation>
Wprowadźmy wielkość:
<equation id="eq:mu_T"><math>
\vec{\mu}_T=\vec{\mu}_x + \vec{\mu}_y \dot i = A\cdot e^{-\omega_0 t + \phi_0} \cdot \vec{e}_T
</math></equation>
Wektor <math>\vec{\mu}_T</math> będziemy od tej chwili nazywali składową poprzeczną (ang. '' '''t'''ransversal'') momentu magnetycznego.
Z kolei wektor <math>\vec{\mu}_z</math> będziemy dalej oznaczali symbolem <math>\vec{\mu}_L</math> i nazywali składową podłużną momentu magnetycznego (ang. '' '''l'''ongnitudal''). Innym dogodny sposób matematycznego opisu zjawiska precesji momentu magnetycznego, który będziemy stosowali, wykorzystuje macierz obrotu:

<equation id="eq:MRI_7"><math>
\left\{
\begin{array}{l}
\vec{\mu}_x =A\cos(-\omega_0 t + \phi_0)\cdot\vec{e}_x\\
\\
\vec{\mu}_y =A\sin(-\omega_0 t + \phi_0)\cdot\vec{e}_y\\
\\
\vec{\mu}_z = \mu^{0}_{z}\cdot\vec{e}_z \\
\end{array}
\right.
=
\left\{
\begin{array}{l}
\vec{\mu}_x =A\cos(-\omega_0 t)\cos(\phi_0)\cdot\vec{e_x} - A\sin(-\omega_0 t)\sin(\phi_0)\cdot\vec{e}_x\\
\\
\vec{\mu}_y =A\sin(-\omega_0 t)\cos(\phi_0)\cdot\vec{e_y} + A\cos(-\omega_0 t)\sin(\phi_0)\cdot\vec{e}_y\\
\\
\vec{\mu}_z = \mu^{0}_{z}\cdot\vec{e}_z \\
\end{array}
\right.
\rightarrow
</math>
<math>
\left[
\begin{array}{l}
\vec{\mu}_x \\
\\
\vec{\mu}_y \\
\\
\vec{\mu}_z \\
\end{array}
\right] =
\left[
\begin{array}{ccc}
\cos(\omega_0 t) & \sin(\omega_0 t) & 0 \\
\\
-\sin(\omega_0 t) & \cos(\omega_0 t) & 0 \\
\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{l}
A\cos(\phi_0) \cdot \vec{e}_x \\
\\
A\sin(\phi_0) \cdot \vec{e}_y \\
\\
\mu_z^0 \cdot \vec{e}_z \\
\end{array}
\right]
\rightarrow
</math>
<math>
\left[
\begin{array}{l}
\vec{\mu}_x \\
\\
\vec{\mu}_y \\
\\
\vec{\mu}_z \\
\end{array}
\right] =
P\cdot
\left[
\begin{array}{l}
\mu_T^0 \cos(\phi_0) \cdot \vec{e}_x\\
\\
\mu_T^0 \sin(\phi_0) \cdot \vec{e}_y\\
\\
\mu_L^0 \cdot \vec{e}_z\\
\end{array}
\right]
</math></equation>
gdzie: 
<math>\mu_L^0</math> — rzut momentu magnetycznego na os ''Z'' w chwili początkowej, 
<math>\mu_T^0</math> — rzut momentu magnetycznego na płaszczyznę ''X-Y'' w chwili początkowej, 
<math>\phi_0</math> — kąt jaki tworzy rzut momentu magnetycznego na płaszczyznę ''X-Y'' z osią ''X'' w chwili początkowej, 
<math>P = \left[
\begin{array}{ccc}
\cos(\omega_0 t) & \sin(\omega_0 t) & 0 \\
\\
-\sin(\omega_0 t) & \cos(\omega_0 t) & 0 \\
\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right] </math> — macierz obrotu.

 
We wzorze (<xr id="eq:MRI_7"/>) skorzystano z własności trygonometrycznych sinusa i cosinusa:
<equation id="17"><math>
\begin{array}{ccc}
\sin\left( a + b \right) &=& \sin(a) \cos(b) + \cos(a) \sin(b)\\
\cos\left( a + b \right) &=& \cos(a) \cos(b) + \sin(a) \sin(b)\\
\end{array}
</math></equation>

==Namagnesowanie próbki==
Namagnesowanie, to całkowity moment magnetyczny, przypadający na jednostkę objętości <math>\Delta V</math>:
<equation id="17"><math>
\vec{M} = \frac{\sum_{i=1}^{N}\vec{\mu}_i}{\Delta V}
</math></equation>
Rozłóżmy wektor namagnesowania na dwie składowe: tzw. podłużną (<math>\vec{M}_L</math>),to jest równoległą do kierunku pola magnetycznego oraz składową poprzeczną (<math>\vec{M}_T</math>), leżącą w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku pola magnetycznego:
<equation id="18"><math>
\vec{M} = \vec{M}_L + \vec{M}_T
</math></equation>

===Ile wynosi namagnesowanie poprzeczne próbki?===
Składową poprzeczną namagnesowania będziemy oznaczali wektorem <math>\vec{M}_T</math>. Załóżmy, że w próbce znajduje się ''N'' takich samych jąder posiadających moment magnetyczny. Momenty te mają losową orientację przestrzeni. W pewnej chwili, zostaje włączone stałe pole magnetyczne. Stałe ''A'' oraz <math>\phi_0</math> dla każdego momentu magnetycznego wyznaczamy na podstawie orientacji momentu magnetycznego w chwili łączenia pola. Dla każdego jądra magnetycznego stała ''A'' wynikająca z warunków początkowych jak to faza początkowa <math>\phi_0</math> jest dowolna. W związku z czym:
<equation id="19"><math>
\vec{M}_T = \frac{\sum_{i=1}^{N}\vec{\mu}_{T} \cdot \vec{e}_T }{\Delta V} = \frac{\sum_{i=1}^{N}A_i e^{-\omega_0 t + \phi_{0_i}} \cdot \vec{e}_T}{\Delta V} = 0
</math></equation>
gdzie <math>\vec{\mu}_T</math> to składowa poprzeczna wektoru momentu magnetycznego, zgodnie ze wzorem (<xr id="eq:mu_T"/>).

===Ile wynosi namagnesowanie próbki, czyli namagnesowanie podłużne?===
Przypominamy, że rozważamy cząstkę lub jądro atomowe, znajdujące się w zewnętrznym polu magnetycznym <math>\vec{B}_{0}</math>, skierowanym równolegle do osi <math>z</math>. Składowa <math>z</math> tego pola wynosi <math>B_{0}</math>. W celu uproszczenia problemu przyjmujemy, że cząstka lub jądro atomowe posiada spin równy <math>\frac{1}{2}</math> (np. proton). Moment magnetyczny cząstki lub jądra atomowego może ustawić się zgodnie lub przeciwnie do kierunku zewnętrznego pola magnetycznego. W szczególności składowa <math>z</math> momentu magnetycznego, przyjmie kierunek równoległy bądź antyrównoległy do pola <math>B_{0}</math>, skierowanego wzdłuż osi <math>z</math>. Jak wiemy, układy fizyczne dążą do osiągnięcia stanu, w którym uzyskają minimum energii. Energia potencjalna momentu magnetycznego w zewnętrznym polem magnetycznym wynosi:
<equation id="20"><math>
V = -\vec{\mu}\vec{B}
</math></equation>
Rozwijając powyższy wzór dla rozważanego przez nas przypadku, otrzymujemy:
<equation id="21"><math>
V = -u_{z}B_{0} = -\gamma(\vec{I})_{z}B_{0}=-\gamma\hbar m_{I}B_{0}
</math></equation>
gdzie: 
<math>m_{I}=\pm\frac{1}{2}</math> 
Rzutowi momentu magnetycznego równoległemu do osi <math>z</math>, czyli dla <math>m_{I}=\frac{1}{2}</math>, odpowiada energia potencjalna:
<equation id="22"><math>
V = -\gamma\frac{\hbar}{2}B_{0}
</math></equation>
natomiast rzutowi antyrównoległemu:
<equation id="23"><math>
V = \gamma\frac{\hbar}{2}B_{0}
</math></equation>
Jak widać ustawienie równoległe spinu i momentu magnetycznego protonu względem pola <math>B_{0}</math> jest korzystniejsze energetycznie niż ustawienie antyrównoległe. Należy się zatem spodziewać, iż w zewnętrznym polu magnetycznym częściej będzie występować sytuacja, kiedy moment magnetyczny ustawi się w kierunku tego pola. Namagnesowanie podłużne powstaje zatem w wyniku nierównomiernego obsadzenia przez cząstkę lub jądro stanów o spinie skierowanym zgodnie lub przeciwnie do kierunku oddziałującego pola magnetycznego. W celu obliczenia, jaka będzie różnica w ilości obsadzeń poszczególnych stanów energetycznych, skorzystamy z rozkładu Boltzmana.
Stosunek liczby cząstek obsadzających dwa stany energetyczne jest równa:
<equation id="eq:rozB"><math>
\frac{N_{+}}{N_{-}} = \frac{e^{-\frac{E_{+}}{k_{b}T}}}{e^{-\frac{E_{-}}{k_{b}T}}}
</math></equation>
gdzie: 
<math>T</math> — temperatura, 
<math>k_{b}</math> — stała Boltzmana, 
<math>N_{\pm}</math> — liczba cząstek o spinie skierowanym odpowiednio równolegle i antyrównolegle do pola <math>B_{0}</math>. 
Podstawiając do wzoru (<xr id="eq:rozB"/>) wyznaczone wcześniej energie potencjalne, odpowiadające dwóm różnym orientacjom spinu w polu <math>B_{0}</math> dostajemy: 
<equation id="24"><math>
\frac{N_{+}}{N_{-}} = \frac{e^{-\frac{-\frac{\hbar}{2}\gamma B_{0}}{k_{b}T}}}{e^{-\frac{\frac{\hbar}{2}\gamma B_{0}}{k_{b}T}}}=e^{\frac{\gamma\hbar B_{0}}{k_{b}T}}
</math></equation>
W temperaturze pokojowej, różnice obsadzeń poszczególnych poziomów energetycznych są nieznaczne, dlatego skorzystamy z przybliżenia:
<equation id="25"><math>
e^{\frac{\gamma\hbar B_{0}}{k_{b}T}}\approx 1+ \frac{\gamma\hbar B_{0}}{k_{b}T}
</math></equation>
Różnica w ilości obsadzeń poszczególnych poziomów energetycznych jest zatem równa:
<equation id="26"><math>
\Delta N = N_{+} - N_{-} = \frac{\gamma\hbar B_{0}}{k_{b}T}N_{-}\approx\frac{\gamma\hbar B_{0}}{k_{b}T}\frac{1}{2}N_{t}
</math></equation>
gdzie: 
<math>N_{t}</math> to liczba wszystkie jąder atomu wodoru w badanej próbce. 
Czynnik <math>\frac{\gamma\hbar B_{0}}{k_{b}T}</math> w temperaturze ciała ludzkiego <math>T=310K</math> i polu magnetycznym <math>B_{0}=1T</math> jest równy:
<equation id="27"><math>
\frac{\gamma\hbar B_{0}}{k_{b}T}\approx 7\cdot10^{-6}
</math></equation>
Wynik ten oznacza, że na każdy milion protonów o spinie skierowanym przeciwnie do pola magnetycznego, przypada milion plus siedem protonów o spinie skierowanym równolegle do pola i ta niewielka nadwyżka protonów w stanie o korzystniejszej energii jest odpowiedzialna za namagnesowanie próbki. Wartość nadwyżki wydaje się być niezwykle mała. Należy jednak pamiętać, że ilość protonów jaka występuje w organizmie ludzkim jest niezmiernie duża, co umożliwia rejestrację wytworzonego namagnesowania. Jeden gram wody zawiera <math>\frac{1}{8}</math> mola atomów wodoru. W jednym molu materii występuje <math>6.023\cdot10^{32}</math> cząsteczek, a zatem gram wody zawiera <math>N_{t} = 6.68\cdot10^{22}</math> atomów wodoru. Nadwyżka <math>\Delta N</math> wynosi zatem <math>\Delta N\approx 2.2\cdot10^{17}</math> protonów.
Całkowity podłużny moment magnetyczny wytworzony przez 1 gram wody wynosi:
<equation id="28"><math>
\left|\mu_{L}\right| = \Delta N\left<\mu_{z}\right>=\Delta N \frac{1}{2}\hbar\gamma = \Delta n\cdot 1.4\cdot10^{-26}\textrm{J/T} = 3.1\cdot10^{-9}\textrm{Am}^{2}
</math></equation>
Z kolei namagnesowanie to całkowity moment magnetyczny na jednostkę objętości. Jeden gram wody zajmuje objętość <math>10^{-6}\mathrm m^{-3}</math>
a zatem namagnesowanie wytworzone 2 jednym gramie wody w polu magnetycznym o wartości indukcji <math>B_{0}=1</math>T w temperaturze <math>T=310</math>K wyniesie:
<equation id="29"><math>
\left|M\right|=3.1\cdot10^{-3}\textrm{A/m}
</math></equation>

==Zmiana orientacji wektora namagnesowania. Magnetyczny Rezonans Jądrowy==
W poprzednim rozdziale dowiedzieliśmy się, że efektem wprowadzenia jąder w stałe pole magnetyczne jest wykonywanie przez momenty magnetyczne ruchu precesyjnego wokół kierunku wektora pola magnetycznego, skutkiem czego pojawia się namagnesowanie próbki. Niestety, pomiar wielkości uzyskanego w ten sposób namagnesowania jest niemożliwy do przeprowadzenia. Namagnesowanie ma ten sam kierunek co wywołujące je pole magnetyczne.
W celu pomiaru wielkości namagnesowania próbki niezbędne jest zmiana orientacji wektora <math>\vec{M}</math>. Dokonuje się to poprzez wprowadzenie próbki w dodatkowe, zmienne pole magnetyczne. Proces ten opiszemy w niniejszym rozdziale.

Ewolucję wektora namagnesowania można opisać równaniem podobnym do równania (<xr id="eq:MRI_1"/>):
<equation id="eq:MRI_7"><math>
\frac{d\vec{M}}{dt} = \gamma\vec{M}\times\vec{B}_0
</math></equation>
Rozważmy teraz konfigurację dwóch pól magnetycznych — pola statycznego i pola zmiennego w czasie, mającego niezerowe składowe tylko w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku pola stałego. Niech zmienne pole magnetyczne ma postać:
<equation id="eq:MRI_8"><math>
\vec{B}_1\left(t\right) = \left[2B_{1}\cos\left(-\omega_1 t\right),0,0\right]
</math></equation>
Indukcja zmiennego pola magnetycznego <math>\vec{B}_1</math> jest rzędu <math>10^{-5}</math> T, a zatem jest znacznie mniejsza od indukcji statycznego pola magnetycznego <math>\vec{B}</math>. Pole <math>\vec{B}_1</math> nazywane jest impulsem pobudzającym (ang. ''Radio Frequency'', RF), włączane jest bowiem na krótki okres czasu (co wyjaśnimy dalej). Impuls RF wytwarza się za pomocą cewek w postaci fali elektromagnetycznej.
Okazuje się, że pole opisane wzorem (<xr id="eq:MRI_7"/>) możemy rozłożyć na dwa pola, rotujące w płaszczyźnie ''x-y'' w przeciwne strony:
<equation id="29"><math>
\begin{array}{l}
\vec{B}_{1_R}\left(t\right) = \left[B_{1}\cos\left(-\omega_1 t\right),B_{1}\sin\left(-\omega_1 t\right),0\right]
\\
\vec{B}_{1_L}\left(t\right) = \left[B_{1}\cos\left(-\omega_1 t\right),-B_{1}\sin\left(-\omega_1 t\right),0\right]
\end{array}
</math></equation>
Pierwsza składowa pola <math>\vec{B}_{1_R}</math> rotuje przeciwnie do wskazówek zegara, zaś druga składowa <math>\vec{B}_{1_l}</math> w kierunku przeciwnym. W zależności od tego, jaką orientację posiadał jądrowy moment magnetyczny (równoległą lub antyrównoległą do osi <math>z</math>), jedna z tych składowych będzie drgała w kierunku ruchu precesyjnego spinu, druga zaś w kierunku przeciwnym. Składowa drgająca w kierunku przeciwnym będzie "''niewidoczna dla momentu magnetycznego''" i nie wpłynie na jego orientację. Pole drgające w kierunku przeciwnym do ruchu precesyjnego momentu magnetycznego wywoła pewne drugorzędowe efekty, które nie będą omawiane w niniejszej pracy. Ruch momentu magnetycznego, w przypadku superpozycji dwóch pól — statycznego <math>B_{0}</math> oraz zmiennego <math>B_{1}\left(t\right)</math> opisuje zatem następujące równanie:
<equation id="eq:MRI_9"><math>
\frac{d\vec{M}}{dt}=\gamma\vec{M}\times\left[\vec{B}_0 + \vec{B}_1\left(t\right)\right]
</math></equation>
gdzie: <math>\vec{B}_{0} = \left[0, 0, B_{0}\right]</math>, <math>B_{1}\left(t\right) = B_{1}\left[\cos\left(\omega_1 t\right),-sin\left(\omega_1 t\right),0\right])</math>. 
Wprowadźmy dwa układy współrzędnych: Układ Laboratoryjny ''U'' oraz układ ''U' '' obracający się z częstością zmiennego pola magnetycznego (<math>\omega_1</math>). Osie ''z'' oraz ''z' '' odpowiednio układu ''U'' oraz ''U' '' są do siebie równoległe. Stałe pole magnetyczne jest skierowane wzdłuż tych osi. Zapiszmy równanie (<xr id="eq:MRI_9"/>) w układzie ''U ' ''.
Zgodnie z zasadami transformacji wektorów pomiędzy różnymi układami współrzędnych, równanie (<xr id="eq:MRI_9"/>) w układzie ''U' ''będzie miało postać:
<equation id="a1"><math>
\left[\frac{d\vec{M}}{dt}\right]_{U'}=\vec{M}\times\left[\left(-\omega_1 + \gamma B_{0}\right)\vec{e}_z + \gamma B_{1}\vec{e}_x\right]
</math></equation>
które można również zapisać w formie:
<equation id="eq:rownaie_ruchu_w_wirujacym_ukladzie_odniesienia"><math>
\left[\frac{d\vec{M}}{dt}\right]_{U'}=\vec{M}\times\gamma\left[\left(B_{0} - \frac{\omega_1}{\gamma}\right)\vec{e}_{z'} + B_{1}\vec{e}_{x'}\right] = M\times\gamma\vec{B}_{eff}
</math></equation>
gdzie: <math>\vec{B}_{eff} = \left[\left(B_{0} - \frac{\omega_1}{\gamma}\right)\vec{e}_z + B_{1}\vec{e}_x\right]</math>. 

===Zjawisko Magnetycznego Rezonansu Jądrowego w ujęciu klasycznym===

Przeanalizujmy równanie (<xr id="eq:rownaie_ruchu_w_wirujacym_ukladzie_odniesienia"/>). W obracającym się układzie odniesienia jądrowy moment magnetyczny zachowuje stałe położenie. Wzdłuż osi ''z' '' układu ''U' '' obserwujemy składową statycznego pola magnetycznego <math>B_0\vec{e}_z</math> oraz pole <math>\frac{\omega_1}{\gamma}\vec{e}_z</math>, które powstaje w wyniku przejścia z układu laboratoryjnego ''U'' do układu ''U' ''. Dodatkowo w płaszczyźnie ''X'-Y' '' obserwujemy statyczne pole magnetyczne <math>\vec{B}_1\vec{e}_x</math>. W wyniku złożenia tych trzech pół, powstaje wypadkowe pole <math>\vec{B}_{eff}</math>, wokół którego moment magnetyczny zaczyna dokonywać precesji.
Rozpatrzmy następujące przypadki: 
1. Częstość <math>\omega_1</math> wirującego pola <math>\vec{B}_1</math> jest bardzo niewielka (<math>\omega_1\approx0</math>). 
: Przypominamy, że <math>B_0>>B_1</math>, wtedy: 
: <math>\vec{B}_{eff} = B_{0}\vec{e}_z</math>, 
: innymi słowy, dodatkowe, rotujące pole magnetyczne nie wpływa na orientację momentów magnetycznych oraz namagnesowania.
2. Częstość <math>\omega_1</math> wirującego pola <math>\vec{B}_1</math> spełniona warunek <math>\frac{\omega_1}{\gamma}>>B_0)</math>, wtedy: 
: Przypominamy, że <math>B_0>>B_1</math> i wtedy: 
: <math>\vec{B}_{eff} = -\frac{\omega_1}{\gamma}\vec{e}_z</math> 
: czyli zjawisko precesji momentów magnetycznych nadal odbywa się wokół osi ''z' '', z tą różnicą, iż ulega zmianie kierunek precesji, zaś dodatkowe, rotujące pole magnetyczne nie wpływa na orientację momentów magnetycznych oraz namagnesowania <math>\vec{M}</math>.
3. Częstość rotującego pola magnetycznego <math>\vec{B}_1</math> spełnia warunek <math>\omega_1 = \gamma B_{0}</math>, wtedy: 
: <math>\vec{B}_{eff} = B_1\vec{e}_x</math>, 
: co oznacza, że wektor namagnesowania zaczyna wykonywać ruch precesyjny wokół pola magnetycznego <math>B_1\vec{e}_x</math>. Ponownie : przypominamy, że <math>B_1<<B_0</math>. Jak widać, przy pomocy pola magnetycznego o niewielkiej indukcji, lecz odpowiednio dobranej częstości, możliwa jest zmiana orientacji wektora namagnesowania. Jest to zjawisko '''Magnetycznego Rezonansu Jądrowego'''. Występowanie w nazwie zjawiska termin ''rezonans'' (kojarzony najczęściej z obwodami elektrycznymi), jest jak najbardziej uzasadnione, ponieważ za pomocą niewielkiego zaburzenia o periodycznym charakterze (ale odpowiednio dobranej częstości), doprowadziliśmy do znaczących zmian w układzie. Częstość ruchu precesyjnego wektora namagnesowania wokół pola <math>\vec{B}_1</math> wynosi:
<equation id="30"><math>
\Omega = \gamma B_1
</math></equation>
: Częstość <math>\Omega</math> jest nazywana częstością Rabbiego. W trakcie czasu <math>\tau></math> namagnesowanie zakreśli kąt <math>\Theta</math> równy:
<equation id="1b"><math>
\Theta = \Omega\tau
</math></equation>
Podsumowując, po wprowadzeniu próbki w stałe pole magnetyczne o wartości indukcji ''B_0'', momenty magnetyczne poszczególnych jąder zaczynają : wykonywać ruch precesyjny z częstością Larmour'a <math>\omega_0=\gamma\ B_0</math>. Pojawia się wypadkowe namagnesowanie próbki w kierunku : : stałego pola magnetycznego. Wprowadzając dodatkowe pole magnetyczne o wartości indukcji <math>B_1</math>, wirujące w płaszczyźnie prostopadłej do pola <math>B_0</math>, możliwa jest zmiana orientacji wektora namagnesowania, o ile częstość wirowania pola <math>\vec{B}_1</math> jest równa częstości <math>\omega_0</math> precesji Larmour'a. 
Podsumowując: 
# Pod wpływem zewnętrznego, statycznego pola magnetycznego, skierowane wzdłuż osi <math>z</math> spiny wykonują precesję. Składowa <math>z</math> wartości oczekiwanej spinu jest stałą w czasie, składowe poprzeczne wykonują ruch wirowy w płaszczyźnie <math>x-y</math>.
# Różnym ułożeniom spinu względem pola magnetycznego odpowiadają różne energie potencjalne. W przypadku spinu równego <math>\frac{1}{2}</math> istnieją dwa poziomy energetyczne, które będą obsadzane przez jądra zgodnie z rozkładem Bolzmana. Poziom związany z równoległym do zewnętrznego pola magnetycznego rzutem spinu jest korzystniejszy energetycznie, dlatego będzie obsadzany częściej.
#Desynchronizacja ruchu wirowego wartości oczekiwanej spinów w płaszczyźnie <math>x-y</math> uniemożliwi powstanie namagnesowania poprzecznego. Obserwujemy tylko namagnesowanie podłużne.
# Pod wpływem odpowiednio dobranego pola magnetycznego, można doprowadzić do przejść rezonansowych. Jądro mające spin w korzystniejszym stanie energetycznym, przejdzie do stanu, o wyższej energii związanej z oddziaływaniem spinu z polem magnetycznym. Zanika równowaga termodynamiczna w obsadzeniu stanów, a wraz z nią składowa <math>z</math> wartości oczekiwanej spinu i związane nią namagnesowanie podłużne.
# Jednocześnie, w wyniku synchronizacji w płaszczyźnie <math>x-y</math> wartości oczekiwanej spinów tych jąder atomowych, które uległy przejściu rezonansowemu, zaczyna powstawać namagnesowanie poprzeczne.
# Obserwowane namagnesowanie podłużne zanika, podczas gdy narasta namagnesowanie podłużne. Obserwujemy zatem efekt, odchylania się namagnesowania od osi <math>z</math> w kierunku płaszczyzny <math>x-y</math>.
# Po pewnym czasie namagnesowanie podłużne zanika, a namagnesowanie poprzeczne osią maksymalną wartość.
# Zmianom kierunku i wielkości namagnesowania towarzyszy zmiana indukcji pola elektrycznego, która może być rejestrowana przez cewki.

===Typowe wartości częstości Larmora oraz częstości Rabbiego===
Opisując zmiany wielkości fizycznych w czasie niejednokrotnie posługujemy się częstością wyrażaną w Hz. W takim przypadku wzór: (<xr id="eq:larmour_kolowa"/>) przyjmie nastepującą postać:
<equation id="31"><math>
f = \frac{\gamma}{2\pi}B_0
</math></equation>
Z tego względu, częstą praktyką podawanie jest w tablicach fizycznych stałej <math>\frac{\gamma}{2\pi}</math> zamiast samej wartości współczynnika giromagnetycznego γ.
<figure id="fig:spiny">
<caption>Wartości współczynników giromagnetyczne oraz spinów wybranych jąder atomowych</caption>
{| class="wikitable"
! Jądro
! Spin
! <math>\frac{\gamma}{2\pi}</math> <math>\left[\frac{\textrm{MHz}}{\textrm{T}}\right]</math>.
|-
| <math>^1H</math>
| <math>\frac{1}{2}</math>
| 42,58
|-
| <math>^{13}C</math>
| <math>\frac{1}{2}</math>
| 10,71
|-
| <math>^{14}N</math>
| <math>1</math>
| 3,08
|-
| <math>^{17}O</math>
| <math>\frac{1}{2}</math>
| 42,58
|-
| <math>^{23}Na</math>
| <math>\frac{3}{2}</math>
| 11,27
|-
|-
| <math>^{39}K</math>
| <math>\frac{3}{2}</math>
| 1,99
|-
|-
| <math>^{43}Ca</math>
| <math>\frac{7}{2}</math>
| 2,86
|-
|}
</figure>
Jak można zauważyć, największą wartością momentu magnetycznego charakteryzują się jądra atomu wodoru, czyli protony. Częstość precesji Larmora dla protonów umieszczonych w polu magnetycznym o indukcji <math>B_0=1</math> T osiągnie wielkość:
<equation id="32"><math>
f_0 = \frac{\gamma}{2\pi} B_0 = 42,58 \left[\frac{\textrm{MHz}}{T}\right] \cdot \textrm{[T]} = 42,58 \textrm{MHz}
</math></equation>
Dodatkowe, zmienne pola magnetyczne <math>\vec{B}_1</math>, stosowane do zmiany orientacji wektora namagnesowania, mają niewielkie wartości, rzędu <math>10^{-5}</math>T.
Po wprowadzeniu próbki zawierającej jądra atomu wodoru w dodatkowe pole magnetyczne <math>\vec{B}_1</math>, wirujące w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku pola statycznego, namagnesowanie zaczyna wykonywać obrót w płaszczyźnie równoległej do kierunku pola statycznego z częstością Rabbiego równą:
<equation id="33"><math>
f_1 = \frac{\gamma}{2\pi} B_1 = 42,58 \left[\frac{\textrm{MHz}}{T}\right] \cdot 10^{-3} \textrm{[T]} = 0.0580 \textrm{MHz}
</math></equation>

===Impulsy <math>\pi</math> oraz <math>\frac{\pi}{2}</math>===
Jak dowiedzieliśmy się w poprzednich rozdziałach, przy pomocy rotującego pola magnetycznego o odpowiednio dobranej częstości, możemy zmienić orientacje wektora namagnesowania. Jest to o tyle ważne, iż wektor ten wywołuje pole magnetyczne dużo mniejsze z w porównaniu do wartości pola statycznego <math>\vec{B}_0</math>, do którego jest równoległy. Uniemożliwia to pomiar wartości magnetyzacji próbki. Zmianę orientacji wektora namagnesowania określa się za pomocą kąta, o jaki odchyla się on od kierunku statycznego pola magnetycznego <math>\vec{B}_0</math>, które leży wzdłuż osi ''Z'' przyjętego przez nas układu współrzędnych. Kąt ten można wyliczyć za pomocą wzoru na częstość Rabbiego. Jeśli wektor namagnesowania w trakcie rezonansu wykonuje precesję wokół pola <math>B_1</math> z częstością:
<equation id="33"><math>
\Omega = \gamma B_1
</math></equation>
to w czasie τ zakreśli on kąt:
<equation id="34"><math>
\Theta = \Omega\cdot\tau = \gamma B_1\tau
</math></equation>
Szczególną rolę w diagnostyce MRI odgrywają obroty wektora namagnesowania o kąt <math>\Theta = \frac{\pi}{2}</math> oraz <math>\Theta = \pi</math>. Pole magnetyczne, wywołujące takie zmiany nazywamy odpowiednio impulsami <math>\frac{\pi}{2}</math> oraz <math>\pi</math>.
Czas trwania tych impulsów możemy łatwo oszacować. Przyjmując wielkość indukcji pola <math>B_1</math> na <math>10^{-5}</math> T oraz współczynnik giromagnetyczny dla protonów, dostajemy:
* dla impulsu <math>\frac{\pi}{2}</math>, <math>\tau = \frac{\Theta}{\gamma B_1} = \frac{\frac{\pi}{2}}{2\pi\cdot 42,577 \left[\frac{\textrm{MHz}}{\textrm{T}}\right]\cdot 10^{-5}\textrm{T}}\approx 580\mu s</math>
* dla impulsu <math>\pi</math>, <math>\tau = \frac{\Theta}{\gamma B_1} = \frac{\pi}{2\pi\cdot 42,577 \left[\frac{\textrm{MHz}}{\textrm{T}}\right]\cdot 10^{-5}\textrm{T}}\approx 1060\mu s</math>

==Procesy Relaksacji==

[[File:relaksacja.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:relaksacja"></figure>Ilustracja przykładowy proces zaniku składowej poprzecznej i odbudowy składowej podłużnej pewnego wektora.]]

'''Procesy relaksacji podpis pod rysunkiem:'''

Składowa poprzeczna wektora, oznaczona kolorem czerwonym, jest sumą trzech wektorów o jednostkowej długości, rotujących w płaszczyźnie ''X-Y'' i oznaczonych kolorem niebieskim. W chwili <math>t=0</math> (punkt A.), wektory składowe rotują w płaszczyźnie ''X-Y'' w tej samej fazie, dając wektor wypadkowy o długości trzech jednostek. Po pewnym czasie <math>\Delta t</math> (punkt B.) jeden z wektorów składowych zmienia orientację o kąt <math>\frac{\pi}{2}</math>, w efekcie czego długość składowej poprzecznej wektora wypadkowego maleje do dwóch jednostek, pojawia się natomiast składowa podłużna wektora wypadkowego (oznaczona kolorem zielonym) o długości jednej jednostki. Po kolejnym czasie Po pewnym czasie <math>\Delta t</math> (punkt C.), ruch pozostałych w płaszczyźnie ''X-Y'' rotujących wektorów ulega rozfazowaniu, co powoduje dalszy zanik składowej poprzecznej wektora wypadkowego, ale nie zwiększa długości jego składowej podłużnej. Po upływie kolejnej jednostki czasu <math>\Delta t</math> (punkt D.), jeden z wektorów składowych, rotujący w płaszczyźnie ''X-Y'' zmienia orientację o kąt <math>\frac{\pi}{2}</math>. Składowa poprzeczna wektora wypadkowego ulega skróceniu do jednej jednostki, zaś składowa podłużna osiąga długość dwóch jednostek. Po zmianie orientacji ostatniego wektora składowego (punkt E.), składowa poprzeczna wektora wypadkowego zanika, zaś składowa podłużna osiąga maksymalną długość trzech jednostek.

W rozdziałach [[https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/action/edit/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metod%C4%85_Magnetycznego_Rezonansu_J%C4%85drowego?section=4]], [[https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/action/edit/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metod%C4%85_Magnetycznego_Rezonansu_J%C4%85drowego?section=5]] oraz [[https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/action/edit/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metod%C4%85_Magnetycznego_Rezonansu_J%C4%85drowego?section=8]] omówiliśmy dwa następujące podstawowe elementy zjawiska rezonansu magnetycznego:
# Wprowadzenie próbki składającej się z atomów wodoru w statyczne pole magnetyczne, skutkiem czego pojawiło się namagnesowanie próbki w kierunku tego pola.
# Pobudzenie próbki rotującym w płaszczyźnie prostopadłej do pola statycznego, polem magnetycznym o małej indukcji lecz odpowiednio dobranej częstości, co doprowadziło do zmiany orientacji wektora namagnesowania.
Poruszyliśmy również kwestie doboru czasu impulsu rotującego pola magnetycznego, tak aby zmienić orientację wektora namagnesowania o kąt <math>\pi</math> lub <math>\frac{\pi}{2}</math>. Po obróceniu magnetyzacji o wymagany kąt, impulsowe pole magnetyczne jest wyłączane i dokonywany jest pomiar namagnesowania próbki. Co dalej dzieje się z wektorem magnetyzacji ? Obrót wektora namagnesowania jest niczym innym jak wytrąceniem układu z położenia równowagi termodynamicznej. Jak pamiętamy z pierwszych rozdziałów dotyczących MRI, momenty magnetyczne jąder atomowych starają ustawić się w kierunku pola magnetycznego. Układ będzie zatem dążył do powrotu do stanu równowagi. Przypominamy, iż wyróżniliśmy dwie składowe namagnesowania: namagnesowanie podłużne (<math>\vec{M}_L</math> oraz namagnesowanie poprzeczne <math>\vec{M}_T</math>. Przyjmijmy, że umieszczenie próbki w polu magnetycznym wywołuje namagnesowanie o wartości <math>M_0</math> i rozważmy składowe namagnesowania w układzie rotującym ''U' '' w następujących przypadkach:
1.Włączone pole statyczne, wtedy: 
<equation id="35"><math>
\vec{M} =
\left[\begin{array}{l}
M_L \\
\\
M_T
\end{array}
\right] =
\left[\begin{array}{l}
M_0 \\
\\
0
\end{array}
\right]
</math></equation> 
2. Zadziałanie na próbkę impulsem <math>\frac{\pi}{2}</math>, po którym magnetyzacja wynosi:
<equation id="36"><math>
\vec{M} =
\left[\begin{array}{l}
M_L \\
\\
M_T
\end{array}
\right] =
\left[\begin{array}{l}
0 \\
\\
M_0
\end{array}
\right]
</math></equation>.
Interesuje nas teraz przejście układu ze stanu (2) do stanu (1). Proces powrotu układu do stanu równowagi nazywamy relaksacją.
Okazuje się, że proces odbudowywania się namagnesowania podłużnego trwa dłużej, niż zanik namagnesowania poprzecznego. W związku z tym, będziemy wyróżniali relaksację podłużną, to jest odbudowywanie się składowej podłużnej namagnesowania oraz relaksację poprzeczną, czyli zanik składowej poprzecznej magnetyzacji. Przyczynę różnego czasu procesów relaksacji podłużnej i poprzecznej są następujące. 
===Relaksacja podłużna===
Podstawową przyczyną przechodzenia jąder atomowych ze stanu wzbudzonego do podstawowego po wyłączeniu impulsu pobudzającego są
oddziaływania spinów poszczególnych jąder z siecią krystaliczną (tzw. oddziaływania spin-sieć). W wyniki tych przejść zanika oczywiście również składowa poprzeczna namagnesowania. Inne procesy, które mają wpływ na powrót jąder do stanu równowagi i odbudowę składowej podłużnej magnetyzacji to:
# Fluktuacje pola magnetycznego wytworzone przez otoczenie danego jadra atomowego, np. przez cząsteczkę wody która posiada własny moment magnetyczny. Chaotyczne ruchy cząsteczki wody, mogą wytworzyć zmienne w czasie pole magnetyczne wywołujące przejścia momentów magnetycznych ze stanu wzbudzonego do podstawowego.
# Oddawanie energii do otoczenia poprzez oddziaływania elektryczne.
# Oddziaływania paramagnetyczne.

Warto jednak zwrócić uwagę, że fluktuacje pola magnetycznego będą prowadziły do przejść jąder atomowych ze stanu wzbudzonego do stanu podstawowego pod warunkiem, że częstość wywołanego przez nie lokalnego pola magnetycznego będzie zbliżona do częstości precesji Larmour.
Czas relaksacji podłużnej, który oznaczany jest jako tzw. czas <math>T_1</math> wynosi zwykle od kilkuset ms do nawet 2 sekund.

===Relaksacja poprzeczna===
Oddziaływania wymienione w punktach 1-3 poprzedniego rozdziały, które powodują przejścia jąder atomowych ze stanu wzbudzonego do stanu podstawowego, powodują jednocześnie zanik składowej poprzecznej namagnesowania. Składowa ta jednak zanika także z innych powodów. Impuls pobudzające, nie tylko zmienia orientację momentów magnetycznych, lecz również synchronizuje ich ruchy precesyjne. Fluktuacje pola magnetycznego mogą łatwo tę synchronizacje zaburzyć, ponieważ w tym przypadku dowolna fluktuacja lokalnego pola magnetycznego w kierunku pola statycznego <math>\vec{B}_0</math> zmieni częstość rotacji momentów magnetycznych w płaszczyźnie ''X-Y''. Również oddziaływania spinów sąsiednich jąder atomowych przyczyniają się do zakłócenia synchronizacji (oddziaływania te nazywamy oddziaływaniami spin-spin). Kolejną przyczyną szybszego zaniku składowej poprzecznej namagnesowania są niejednorodności statycznego pola magnetycznego spowodowane ograniczeniami w dokładności wykonania urządzenia MRI oraz zaburzenia powstałe w otoczeniu skanera. Czas relaksacji poprzecznej, który oznaczany jest jako tzw. czas <math>T_2</math> jest o rząd wielkość mniejszy od czasu <math>T_1</math> i wynosi zwykle od kilkudziesięciu di kilkuset ms.
Ideę różnego czasu relaksacji rotujących składowych pewnego wektora zaprezentowano symbolicznie na <xr id="fig:relaksacja">rys. %i</xr>.
Należy pamiętać, iż w rzeczywistości procesy relaksacji są znacznie bardziej skomplikowane, zaś ilustracja <xr id="fig:relaksacja">rys. %i</xr>
ma charakter jedynie poglądowy.

W klasycznej teorii rezonansu jądrowego zjawiska relaksacji opisuje w układzie rotującym (''U' '') przy pomocy następujących fenomenologicznych równań:
W półklasycznego równaniu (<xr id="eq:rownaie_ruchu_w_wirujacym_ukladzie_odniesienia"/>) opisującym zachowanie się namagnesowania w polu magnetycznym musimy uwzględnić procesy związane z relaksacją spinów.
Bloch wprowadził fenomenologiczne poprawki do tego równania opierając się na rozumowaniu, które można wyrazić następującymi równaniami:
<equation id="37"><math>
\begin{array}{l}
\frac{dM_{x}}{dt} = -\frac{M_{x}}{T_{2}}\\
\\
\frac{dM_{y}}{dt} = -\frac{M_{y}}{T_{2}}\\
\\
\frac{dM_{z}}{dt} = -\frac{M_{z} - M_{0}}{T_{1}}\\
\end{array}
</math></equation>
gdzie: <math>M_x, M_y, M_z</math> to odpowiednio długości poszczególnych składowych wektora namagnesowania.

==Równanie Blocha==

[[File:bloch_1.png|400px|thumb|right|<figure id="fig:bloch_1"></figure>Ewolucja wektora magnetyzacji w układzie rotującym z prędkością kątową <math>\omega_0 = \gamma B_0</math>, związanym z momentem magnetycznym i w układzie laboratoryjnym. ]]

Podpis pod rysunkiem Ewolucja wektora magnetyzacji w układzie rotującym z prędkością kątową <math>\omega_0 = \gamma B_0</math>, związanym z momentem magnetycznym i w układzie laboratoryjnym.:

A — próbkę wprowadzono w stałe pole magnetyczne o indukcji <math>\vec{B}_0=B_0\vec{e}_z</math>. Pole to wywołuje namagnesowanie próbki <math>\vec{M}_0</math>, które w układzie rotującym jak i laboratoryjnym ma tę sen sam kierunek <math>\vec{M}_0 = M_0\vec{e}_z</math>. B — próbka zostaje pobudzona dodatkowym polem magnetycznym <math>\vec{B}_1</math>. W układzie laboratoryjnym jest to pole rotujące, z częstością kątową <math>\omega_0</math>, podczas gdy w układzie rotującym ma ono ustalony kierunek. W celu uproszczenia rachunków pole <math>\vec{B}_1</math> dobrano tak, aby w układzie rotującym miało kierunek równoległy do osi ''X''. Wskutek oddziaływania momentów magnetycznych z polem <math>\vec{B}_1</math>, wektor namagnesowania zmienia orientację w następujący sposób. W układzie rotującym rozpoczyna ruch precesyjny wokół pola <math>\vec{B}_1</math> (osi ''X' ''), z częstością <math>\omega_1 = \gamma B_1</math>. W układzie laboratoryjnym ruch namagnesowania jest złożeniem ruchu precesyjnego wokół pola <math>\vec{B}_1</math> oraz ruchu precesyjnego wokół pola <math>\vec{B}_0</math>, w związku z czym w układzie laboratoryjnym wektor magnetyzacji zakreśla helisę o zwiększającej się średnicy. C — jeśli impulsem pobudzającym był impuls <math>\frac{\pi}{2}</math>, to zostanie on wyłączony po zmianie orientacji wektora namagnesowania o kąt <math>\frac{\pi}{2}</math>. W chwili wyłączenia w układzie rotującym wektor magnetyzacji jest równoległy do pola <math>\vec{B}_1</math>, natomiast w układzie laboratoryjnym wektor magnetyzacji rotuje w płaszczyźnie ''X-Y''. W tym momencie można rozpocząć pomiar namagnesowania za pomocą cewek. Rotujący wektor magnetyzacji wytwarza zmienne pole magnetyczne, które w cewkach, zgodnie z prawem Faraday'a indukuje siłę elektromotoryczną. D — po wyłączeniu pola pobudzającego <math>\vec{B}_1</math>, na skutek procesów relaksacji, momenty magnetyczne jąder przechodzą ze stanu wzbudzonego do stanu podstawowego. Efektem przejść jest powrót wektora magnetyzacji w kierunku pola magnetycznego <math>\vec{B}_0</math>.

Proste równanie opisujące zachowanie się momentów magnetycznych oraz magnetyzacji, które wyprowadziliśmy analogicznie jak się to czyni w przypadku ruchu bąka symetrycznego w polu grawitacyjnym nie jest pełne i powinno być rozszerzone o procesy relaksacji. Fenomenologiczne, klasyczne równanie opisującym zachowanie się namagnesowania w polu magnetycznym z uwzględnieniem procesów relaksacji nazywamy równaniem Blocha:
<equation id="38"><math>
\left[\frac{d\vec{M}}{dt}\right]_{U'} = \gamma\vec{M}\times\vec{B}_{eff} - \left(M_{x}\vec{e}_{x} + M_{y}\vec{e}_{y}\right)/T_{2} - \left(M_{z}-M_{0}\right)\vec{e}_{z}/T_{1}
</math></equation>
gdzie: 
<math>\vec{B}_{eff} = \left[\left(B_{0} - \frac{\omega}{\gamma}\right)\vec{e}_z + B_{1}\vec{e}_x\right]</math>
===Przykłady rozwiązania równań Blocha===
W poniższym rozdziale podane zostały przykładowe rozwiązania równań Blocha dla wybranych konfiguracji pól magnetycznych.

====Umieszczenie próbki w polu statycznym <math>\vec{B}_0 = B_0\vec{e}_z</math>====
Równanie Blocha jest równaniem opisującym ewolucję w czasie wektora magnetyzacji w układzie rotującym z częstością równa częstości precesji Larmour'a: <math>\omega = \gamma B_0</math>. Konfiguracja pół magnetycznych w tym układzie, po wprowadzeniu próbki w statyczne pole magnetyczne wynosi:
* <math>B_1 = 0</math>,
* <math>\left[B_0 -\frac{\omega}{\gamma}\right]\vec{e}_z = 0</math>,
co prowadzi do następującego układu równań:
<equation id="eq:bloch_1"><math>
\left\{\begin{array}{l}
\left[\frac{dM_{x}}{dt}\right]_{rot} = 0\\
\\
\left[\frac{dM_{y}}{dt}\right]_{rot} = 0\\
\\
\left[\frac{dM_{z}}{dt}\right]_{rot} = 0\\
\end{array}\right.
</math></equation>
Zgodnie z obliczeniami przeprowadzonymi w rozdziale [https://brain.fuw.edu.pl/edu/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metod%C4%85_Magnetycznego_Rezonansu_J%C4%85drowego#Namagnesowanie_pr.C3.B3bki]. wiemy, że po umieszczeniu próbki w stałym polu magnetycznym, namagnesowanie może występować tylko w kierunku tego pola. Oznaczmy wartość tego namagnesowanie symbolem <math>M_0</math>. Przy podanych warunkach początkowych dostajemy poniższe rozwiązanie układu równań (<xr id="eq:bloch_1" />):
<equation id="eq:bloch_rozw_1"><math>
\left\{\begin{array}{l}
\left[M_x\right]_{rot} = \\
\\
\left[M_y\right]_{rot} = 0\\
\\
\left[M_z\right]_{rot} = M_0\\
\end{array}\right.
</math></equation>
Rozwiązanie w układzie laboratoryjnym uzyskamy, po przemnożeniu równania (<xr id="eq:bloch_rozw_1"/>) przez macierz obrotu <math>P</math>:
<equation id="39"><math>
\vec{M} = P\times [\vec{M}]_{rot}
</math></equation>
gdzie: 
<math>P = \left[
\begin{array}{ccc}
\cos(\omega_0 t) & \sin(\omega_0 t) & 0 \\
\\
-\sin(\omega_0 t) & \cos(\omega_0 t) & 0 \\
\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right] </math>, 
 
co prowadzi to ostatecznie do wyniku:
<equation id="40"><math>
\vec{M} = P\cdot[\vec{M}]_{rot} \rightarrow \vec{M} = \left[\begin{array}{l}
0\\
\\
0\\
\\
M_0\\
\end{array}\right].
</math></equation>
Wynik zaprezentowano na rysunku <xr id="fig:relaksacja">rys. %i</xr>.A.

====Próbka umieszczona w polu statycznym, pobudzona polem zmiennym====
Zakładamy, że pobudzenie prowadzi do powstania zjawiska rezonansu, to jest częstość impulsowego pola magnetycznego <math>\vec{B}_1</math> jest równa częstości precesji Larmour'a. W takim, przypadku, w układzie rotującym występuje następująca konfiguracja pól magnetycznych:
* <math>\vec{B}_1 = B_1\vec{e}_x</math>,
* <math>\left[B_0 - \frac{\omega}{\gamma}\right]\vec{e}_x = 0</math>,
ponadto w równaniach Blocha możemy pominąć wyrazy związane z relaksacją, ponieważ czas trwania procesów relaksacyjnych (co najmniej kilkadziesiąt ms) jest znacznie dłuższy od trwania impulsu pobudzającego, co prowadzi ostatecznie do następującego układu równań:
<equation id="eq:bloch_2"><math>
\left\{\begin{array}{l}
\left[\frac{dM_{x}}{dt}\right]_{rot} = 0\\
\\
\left[\frac{dM_{y}}{dt}\right]_{rot} = \gamma B_1M_z\\
\\
\left[\frac{dM_{z}}{dt}\right]_{rot} = -\gamma B_1M_y\\
\end{array}\right.
</math></equation>
przy następujących warunkach początkowych:
<equation id="41"><math>
\vec{M} = P\cdot[\vec{M}]_{rot} \rightarrow \vec{M} = \left[\begin{array}{l}
0\\
\\
0\\
\\
M_0\\
\end{array}\right].
</math></equation>
Rozwiązanie układu równań (<xr id="eq:bloch_2"/>) ma postać:
<equation id="eq:bloch_rozw_2"><math>
\begin{array}{l}
\left[M_x\right]_{rot} = 0\\
\\
\left[M_y\right]_{rot} = M_0\sin(\Omega t)\\
\\
\left[M_z\right]_{rot} = M_0\cos(\Omega t)\\
\end{array}
</math></equation>
gdzie: <math>\Omega = \gamma B_1</math>.
Rozwiązanie w układzie laboratoryjnym uzyskamy, po przemnożeniu równania (<xr id="eq:bloch_rozw_2"/>) przez macierz obrotu <math>P</math>:
<equation id="42"><math>
\vec{M} = P\cdot[\vec{M}]_{rot}
</math></equation>
co prowadzi do następującego równania na ewolucję magnetyzacji w układzie laboratoryjnym:
Rozwiązanie układu równań (<xr id="eq:bloch_2"/>) ma postać:
<equation id="43"><math>
\begin{array}{l}
M_x = M_0\sin(\Omega t)\sin(\omega_0 t)\\
\\
M_y = M_0\sin(\Omega t)\cos(\omega_0 t)\\
\\
M_z = M_0\cos(\Omega t)\\
\end{array}
</math></equation>
W układzie rotującym wektor namagnesowania wykonuje ruch precesyjny wokół kierunku pola pobudzającego <math>\vec{B}_1</math>, które w tym układzie zachowuje stały kierunek, podczas gdy w układzie laboratoryjnym, wektor magnetyzacji jest złożeniem dwóch ruchów precesyjnych:
# wokół statycznego pola <math>\vec{B}_0</math>,
# wokół rotującego w tym układzie pola <math>\vec{B}_1</math>.
Złożeniem tych dwóch ruchów precesyjnych jest spirala, symbolicznie zaprezentowano na rysunku <xr id="fig:relaksacja">rys. %i</xr>.B.

====Wyłącznie impulsu pobudzającego. Sygnał swobodnej precesji====
Po zmianie orientacji wektora namagnesowania o kąt <math>\frac{\pi}{2}</math>, w układzie rotującym leży on wzdłuż wzdłuż osi ''X' '' (jest równoległy do pola <math>\vec{B}_1</math>, zaś w układzie laboratoryjnym namagnesowanie rotuje w płaszczyźnie ''X-Y'' (patrz <xr id="fig:relaksacja">rys. %i</xr>.C). Dalsze utrzymywanie pobudzenia spowodowało by zmianę orientacji wektora namagnesowania a do jego ustawienia w kierunku przeciwnym do kierunku pola stałego <math>\vec{B}_0</math>. Najdogodniejszy moment na pomiar wektora namagnesowania występuje w momencie, kiedy wiruje on w płaszczyźnie ''X-Y'', w związku z czym impulsowe pole magnetyczne jest wyłączane i rozpoczynany jest pomiar magnetyzacji. Pomiar ten wykonywany jest za pomocą cewek i opiera się na zjawisku indukcji Faraday'a — zmienny strumień pola magnetycznego, wywołany przez rotujący w płaszczyźnie ''X-Y'' wektor namagnesowania indukuje w obwodzie siłę elektromotoryczną. Jednocześnie, po wyłączeniu pola pobudzającego, momenty magnetyczne zaczną powracać do w wyniku oddziaływań spin-sieć oraz spin-spin. Spowoduje zmianę orientacji wektora namagnesowania z płaszczyzny ''X-Y'' ponownie w kierunku pola statycznego <math>\vec{B}_0</math>. Ewolucje wektora namagnesowania w takim przypadku możemy wyznaczyć przy pomocy równania Blocha, dla następującej konfiguracji pól magnetycznych w układzie rotującym:
* <math>\vec{B}_1 = 0\vec{e}_x</math>,
* <math>\left[B_0 - \frac{\omega}{\gamma}\right]\vec{e}_x = 0</math>,
otrzymując poniższy układ równań:
<equation id="eq:bloch_3"><math>
\left\{\begin{array}{l}
\left[\frac{dM_{x}}{dt}\right]_{rot} = -\frac{M_x}{T_2} \\
\\
\left[\frac{dM_{y}}{dt}\right]_{rot} = -\frac{M_y}{T_2} \\
\\
\left[\frac{dM_{z}}{dt}\right]_{rot} = -\frac{M_z-M_0}{T_1}\\
\end{array}\right.
</math></equation>
przy warunkach początkowych
<equation id="44"><math>
\vec{M} = P\cdot[\vec{M}]_{rot} \rightarrow \vec{M} = \left[\begin{array}{l}
0\\
\\
M_0\\
\\
0\\
\end{array}\right].
</math></equation>
Rozwiązanie układu równań (<xr id="eq:bloch_3"/>) ma postać:
<equation id="eq:bloch_rozw_3"><math>
\begin{array}{l}
\left[M_x\right]_{rot} =0\\
\\
\left[M_y\right]_{rot} = M_0e^{-\frac{t}{T_2}}\\
\\
\left[M_z\right]_{rot} = M_0(1-e^{-\frac{t}{T_1}})\\
\end{array}
</math></equation>
gdzie: <math>\omega_1 = \gamma B_1</math>.
Rozwiązanie w układzie laboratoryjnym uzyskamy, po przemnożeniu równania (<xr id="eq:bloch_rozw_3"/>) przez macierz obrotu <math>P</math>:
<equation id="eq:bloch_rozw_3_rot"><math>
\left[\begin{array}{l}
M_x\\
\\
M_y\\
\\
M_z\\
\end{array}\right] =
\left[
\begin{array}{ccc}
\cos(\omega_0 t) & \sin(\omega_0 t) & 0 \\
\\
-\sin(\omega_0 t) & \cos(\omega_0 t) & 0 \\
\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right]
\left[\begin{array}{l}
0\\
\\
M_0e^{-\frac{t}{T_2}}\\
\\
M_0(1-e^{-\frac{t}{T_1}})\\
\end{array}\right]
</math></equation>
Ostatecznie, wektor namagnesowania ma postać:
<equation id="eq:bloch_rozw_3_rot_a"><math>
\left[\begin{array}{l}
M_x\\
\\
M_y\\
\\
M_z\\
\end{array}\right] =
\left[
\begin{array}{c}
M_0e^{-\frac{t}{T_2}}\cos(\omega_0 t)\\
\\
-M_0e^{-\frac{t}{T_2}}\sin(\omega_0 t) \\
\\
M_0(1-e^{-\frac{t}{T_1}})
\end{array}
\right]
</math></equation>
Jak widzimy, namagnesowanie poprzeczne (składowa ''X'' oraz ''Y'' magnetyzacji) rotują w płaszczyźnie ''X-Y'', jednocześnie zmniejszając swoją amplitudę na skutek procesów relaksacji. Cewki dokonujące pomiaru zarejestrują sygnał o przebiegu gasnącej sinusoidy. Sygnał ten pełni niezwykle ważną role i jest nazywany sygnałem swobodnej precesji (ang. ''Free Induction Decay'', FID).

===Echo spinowe===
Czasy relaksacji zależą od właściwości fizyko-chemicznych tkanek. Stanowią zatem niezwykle cenna informację dla diagnostyki medycznej. Relaksacja spin-sieć zależy głównie od czynników "''naturalnych''" — fluktuacji lokalnych pół magnetycznych wytworzonych przez otoczenie jąder atomowych. Relaksacja spin-spin zależy zarówno od czynników naturalnych jak i "''sztucznych''" — niejednorodności statycznego pola magnetycznego związanych np. z ograniczoną dokładnością wykonania skanera MRI.
W efekcie, zamiast obserwować zanik namagnesowania poprzecznego z czasem <math>T_{2}</math>, obserwujemy ten zanik z czasem:
<equation id="45"><math>
\frac{1}{T^{*}_{2}} = \frac{1}{T_{2}} + \frac{\gamma\Delta B_{0}}{2}
</math></equation>
Mimo to, możliwe jest wyznaczenie czasu relaksacji <math>T_{2}</math>, dzięki pięknemu zjawisku echa spinowego.
U podstaw tego zjawiska leży założenie, iż naturalne procesy wpływające na relaksację spin-spin są procesami termodynamicznymi, natomiast procesy "''sztuczne''" są dobrze określone w czasie.



==Kodowanie Obrazu==
[[File:Lauterbur_eksperyment_1.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:Lauterbur_eksperyment_1"></figure>Dwie próbki zawierające różną ilość wody (A) umieszczono w polu magnetycznym, którego rozkład wektora indukcji jest stały (B). Sygnały FID indukowane w tych próbkach mają różną amplitudę (C). W związku z tym, że indukcja pola magnetycznego w zakresie obydwu próbek jest taka sama, częstości precesji Larmoura momentów magnetycznych w protonów w próbkach są również identyczne. W efekcie zbiorczym sygnałem rejestrowanym przez cewkę jest tłumiona wykładniczo sinusoida o pewnej wypadkowej amplitudzie (D). Na podstawie tak uzyskanego sygnału nie można stwierdzić, jaki udział w sygnale wypadkowym mają składowe pochodzące od poszczególnych próbek. W widmie sygnału wypadkowego (E) obserwujemy tylko jedno maksimum odpowiadające tej samej częstości precesji momentów magnetycznych protonów.]]

[[File:Lauterbur_eksperyment_2.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:Lauterbur_eksperyment_2"></figure>Dwie próbki zawierające różną ilość wody (A) umieszczono w polu magnetycznym, którego wielkość indukcji zmienia się wzdłuż pewnego kierunku (B). Sygnały FID indukowane w tych próbkach mają różną amplitudę oraz częstości (C). Sygnał rejestrowany przez cewkę nie jest już tłumioną wykładniczo sinusoidą (D). W widmie sygnału wypadkowego (E) obserwujemy dwa maksima związane z dwoma różnymi częstościami precesji momentów magnetycznych protonów. Jak wiemy, częstość precesji momentu zależy od indukcji pola magnetycznego. Znając rozkład przestrzenny indukcji pola magnetycznego oraz częstości precesji, możemy wyznaczyć lokalizację próbek, a na podstawie amplitudy sygnału zawartość wody w poszczególnych próbkach.]]

[[File:rekonstrukcja_mri.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:rekonstrukcja_mri.png"></figure>]]

W jaki sposób jednak za pomocą MRI można otrzymać obraz, np. wnętrza ciała ludzkiego? Dotychczas zdobyta przez nas wiedza umożliwia nam pomiar magnetyzacji wytworzonej w badanej próbce, jednak nie potrafimy określić współrzędnych pewnej objętości materii, gdzie to namagnesowanie zostało wytworzone. Jak wiemy z poprzednich rozdziałów, namagnesowanie to wypadkowy moment magnetyczny pewnej objętości materii, który nazywamy wokselem. Cewka rejestruje zbiorczy sygnał pochodzący od wielu wokseli. W chwili wyłączenia impulsu pobudzającego <math>\frac{\pi}{2}</math>, ewolucję wektora namagnesowania opisuje następujący wzór:
<equation id="46"><math>
dS\left(t\right) = AM^{0}\left(\vec{r}\right)e^{-i\left(w_{0}t\right)}e^{-\frac{t}{T_{2}}}dxdydz
</math></equation>
gdzie: <math>A</math> jest pewną stałą zależną od geometrii cewek, zaś <math>M^{0}(\vec{r})</math> jest namagnesowaniem woksela, o objętości <math>dx\cdot dy\cdot dz</math>, którego pozycja jest opisana wektorem <math>\vec{r} = [x,y,z]</math> w kartezjańskim układzie współrzędnych.
Zbiorczy sygnał rejestrowany przez cewkę odbiorczą wynosi z objętości <math>V</math>:
<equation id="47"><math>
S\left(t\right) = A\int\int_{V}\int M^{0}\left(\vec{r}\right)e^{-i\left(\gamma B_{0}t\right)}e^{-\frac{t}{T_{2}}}dxdydz
</math></equation>
Rozwiązanie tego problemu podali niezależnie Paul Lauterbur <ref name="Lauterbur">P. C. Lauterbur. Image formation by induced local interactions: examples employing nuclear magnetic resonance. Nature 242, 190-191 (1973)</ref> oraz Peter Mansfield <ref name="Mansifeld">P. Mansfield, P.K. Grannell, J. Phys. C: Solid State Phys. 6, L422 (1973)</ref>. W roku 2003 obydwaj naukowcy zostali uhonorowani nagrodą Nobla w dziedzinie medycyny za wykorzystanie Magnetycznego Rezonansu Jądrowego w tej dziedzinie. W roku 1972 Paul Lauterbur przeprowadził doświadczenie, w którym wykazał, że przy wykorzystaniu gradientu dodatkowego pola magnetycznego możliwe jest rozróżnienie rejestrowanych sygnałów przez cewki, pochodzących od dwóch różnych próbek z wodą. Ideę eksperymentu zaprezentowano na <xr d="fig:Lauterbur_eksperyment_1">rys. %i</xr> i <xr id="fig:Lauterbur_eksperyment_2">rys. %i</xr>. Jak widzimy, w celu określenia pozycji woksela, z którego mierzony jest dany sygnał FID niezbędne jest wprowadzenie dodatkowego, gradientowego pola magnetycznego:
<equation id="48"><math>
\vec{B} = B_0\vec{e}_z + \vec{G}\cdot\vec{r}
</math></equation>
gdzie: 
<math>\vec{G} = [G_x,G_y,G_z]</math> - gradient indukcji pola magnetycznego.
W zależności od położenia woksela, częstość precesji momentów magnetycznych w zmodyfikowanym polu będzie wynosić:
<equation id="49"><math>
\omega(x,y,z) = \gamma \left(B_0 + G_x\cdot x + G_y\cdot y + G_z\cdot z\right)
</math></equation>
Przyjęto, że proces określania współrzędnych wokseli z których rejestrowany jest sygnał FID, nazywany będzie kodowaniem.
Proces ten składa się z trzech etapów: wyboru warstwy obrazowania, kodowania fazy i kodowania częstości, które opisane w kolejnych rozdziałach.

===Etap wyboru warstwy===

Wprowadzając zależność statycznego pola magnetycznego od położenia, można wyznaczać jedną ze współrzędnych woksela, w którym powstało namagnesowanie, wykorzystując w tym celu częstości sygnału FID. Przyjmijmy, że tą współrzędną będzie współrzędna <math>z</math>:
<equation id="kodowanie_z"><math>
\begin{array}{l}
\omega_{0} = \gamma\left(B_{0} + G_{zz}z\right) \textrm{\ zatem}\\
\\
z = \frac{\left(\omega_{0} - \gamma B_{0}\right)}{\gamma G_{zz}}
\end{array}
</math></equation>
gdzie:
* <math>B_{0}</math> — statyczne pole magnetyczne, skierowane wzdłuż osi <math>z</math>,
*<math>G_{zz}</math> — gradient pola magnetycznego, nałożony na pole <math>B_{0}</math>, <math>G_{zz} = \frac{\Delta B_{0}}{\Delta z}</math>.
Naświetlając badany obiekt polem elektromagnetycznym o częstości <math>\omega_{RF}</math>, wzbudzimy jądra atomowe w tych wokselach, w których spełniony jest warunek rezonansowy (<math>\omega_{RF} = \omega_{0}</math>), czyli w wokselach, których współrzędna <math>z</math> wyraża się wzorem (<xr id="kodowanie_z"/>). Opisana powyżej procedurę rzeczywiście stosuje się w MRI i określa jako etap wyboru warstwy (''Slice selection''), a gradient <math>G_{zz}</math> '''{gradientem wyboru warstwy'''. Grubość wybranej w trakcie badania warstwy wynosi:
<equation id="49"><math>
\Delta z = \frac{\Delta \omega}{\gamma G_{zz}}
</math></equation>
gdzie: <math>\Delta\omega</math> — szerokość widmowa pobudzającego jądra impulsu radiowego.
W przypadku, gdy impuls radiowy ma charakter sygnału prostokątnego o szerokości widmowej <math>\Delta\omega=4\pi/T</math>, gdzie: <math>T</math> to długość trwania impulsu, grubość warstwy wyraża się poniższym wzorem:
:<math>
\Delta z = \frac{4\pi}{\gamma G_{zz}T}
</math>


===Etap kodowania fazy===
W trakcie etapu wyboru warstwy, zaraz po włączeniu pola gradientowego wzdłuż osi <math>z</math>, włączany jest również impuls pobudzający <math>RF</math>, (najczęściej impuls <math>\pi/2</math>). Po wyłączeniu tego impulsu oraz impulsu gradientowego <math>G_{zz}</math> następuje precesja wektora magnetyzacji w płaszczyźnie <math>x-y</math> z częstością <math>w_{0} = \gamma B_{0}</math>. Załóżmy na początku, iż procesy relaksacji możemy pominąć. W praktyce wpływ procesów relaksacji typu spin-sieć na lokalizację woksela jest do pominięcia. Przypominamy, że relaksacja ta następuje z czasem <math>T_{1}</math> rzędu kilkuset milisekund, podczas gdy wzbudzanie jąder osiąga się już po kilkuset mikrosekundach. Nie można natomiast pominąć procesów związanych z relaksacją typu spin-spin, których czas <math>T^{*}_{2}</math> wynosi kilka-, kilkanaście milisekund.

Natychmiast po wyłączeniu pola gradientowego <math>G_{zz}</math> włączane jest pole gradientowe <math>G_{yz}</math> — tzw. '''gradient kodowania fazy''', wzdłuż osi <math>y</math>. Częstość precesji po włączeniu tego pola wynosi:
<equation id="50"><math>
\omega_{0} = \gamma\left(B_{0} + G_{yz}y\right)
</math></equation>

Włączenie gradientu <math>G_{yz}</math> powoduje zróżnicowanie częstości precesji wektora magnetyzacji. Po wyłączeniu gradientu kodowania fazy po czasie <math>T_{y}</math>, fazy częstość precesji Larmour wraca do wartości <math>\omega_{0} = \gamma B_{0}</math>, jednakże pomiędzy rotującymi wektorami magnetyzacji pojawia się przesunięcie w fazie, które wyraża się następującym wzorem:
<equation id="eq:kodowanie_fazy"><math>
\phi = \gamma G_{yz}yT_{y}
</math></equation>
Rozdzielczość obrazu tomograficznego wzdłuż osi <math>y</math> wynosi:
<equation id="51"><math>
\Delta y = \frac{\pi}{\gamma G_{yz}T_{y}}
</math></equation>

==Etap kodowania częstości i odczyt pomiaru magnetyzacji==
Po wyłączeniu gradientu <math>G_{yz}</math>, natychmiast włączany jest gradient <math>G_{xz}</math> wzdłuż osi <math>x</math>, nazywany gradientem kodowania częstości oraz jednocześnie następuje odczyt sygnału FID.
W wyniku przyłożenia gradientu <math>G_{xz}</math> następuje zróżnicowanie częstości precesji wektora magnetyzacji, zgodnie z poniższym wzorem:
<equation id="eq:kodowanie_czestosci"><math>
\omega_{0} = \gamma\left(B_{0} + G_{xz}x\right)
</math></equation>

Podsumowując, w celu wybrania obszaru, w którym zostanie dokonany pomiar magnetyzacji, przeprowadzane są następujące kroki:
# Włączone zostaje statyczne pole magnetyczne <math>B_{0}</math> wzdłuż osi ''Z''. Wektory magnetyzacji wykonują ruch precesyjny wokół tej osi.
# Włączony zostaje gradient pola magnetycznego <math>G_{zz}</math>, po czym, po kilku milisekundach badany obiekt zostaje przez czas <math>t_{\pi/2}</math> naświetlony falą elektromagnetyczną o określonej częstości. W warstwie, dla której zostaje spełniony warunek rezonansu, fala elektromagnetyczna wzbudza jądra atomowe, w wyniku czego wektory magnetyzacji wykonują ruch precesyjny w płaszczyźnie ''X-Y''.
#Po wyłączeniu gradientu <math>G_{zz}</math> zostaje włączony na okres <math>T_{yz}</math> gradient kodowania fazy. Po jego wyłączeniu,wektory magnetyzacji wzdłuż osi ''Y'' precesują z tą samą częstością lecz w różnej fazie.
#Po wyłączeniu gradientu <math>G_{yz}</math> zostaje włączony gradient kodowania częstości, który różnicuje częstość precesji wektora magnetyzacji. Jednocześnie następuje pomiar magnetyzacji (sygnału FID) w płaszczyźnie ''X-Y''.

Podsumowując: gradient <math>G_{zz}</math> wraz z impulsem pobudzającym umożliwiają zakodowanie współrzędnej ''Z'' wokseli, z których chcemy dokonać pomiaru namagnesowania obiektu. Jest to tzw. wybór warstwy gdzie będzie dokonywany pomiar. W następnych dwóch etapach zakodowany zostają współrzędne ''X'' i ''Y'' poszczególnych wokseli za pomocą częstości precesji wektora magnetyzacji oraz fazy jego precesji. Innymi słowy, każdemu wokselowi, zostaje przyporządkowana jednoznacznie częstość precesji Larmour'a oraz faza tej precesji.

==Dekodowanie obrazu==
W poprzednim rozdziale omówiliśmy metodę jednoznacznego przypisania wokselowi o współrzędnych <math>x</math>, <math>y</math> w warstwie o położeniu <math>z</math>, częstości i fazy początkowej precesji wektora magnetyzacji.
Cewki, które służą do pomiaru wytworzonego namagnesowania, rejestrują sygnał pochodzący od wszystkich wokseli w danej warstwie.
W trakcie drugiego i trzeciego etapu kodowania obrazu namagnesowanie w wokselu o współrzędnych <math>x</math> i <math>y</math> uzyskuje częstość precesji Larmour:
<math>
\omega_{0} = \gamma\left(B_{0} + G_{xz}x\right)
</math>
oraz fazę tej precesji:
<math>
\phi = \gamma G_{yz}yT_{y}
</math>
Mierzony sygnał rezonansowy pochodzący od danego woksela w płaszczyźnie <math>x-y</math> można wyrazić w następujący sposób:
<equation id="52"><math>
dS\left(t\right) = AM^{0}(\vec{r})e^{-i\left(w_{0}\left(x\right)t + \phi\left(y\right)\right)}e^{-\frac{t}{T_{2}}}dxdydz
</math></equation>
Będziemy w dalej zajmowali się problemem wyznaczenia rozkładu gęstości protonów w płaszczyźnie już wybranej warstwy o grubości <math>dz</math>, dlatego wprowadzimy stałą <math>B = A\cdot dz</math>.
<equation id="53"><math>
dS\left(t\right) = BM^{0}(\vec{r})e^{-i\left(w_{0}\left(x\right)t + \phi\left(y\right)\right)}e^{-\frac{t}{T_{2}}}dxdy
</math></equation>
gdzie <math>B</math> jest pewną stałą zależną od grubości warstwy oraz geometrii cewek, zaś <math>M^{0}(\vec{r})</math> jest początkowym namagnesowaniem poprzecznym, uzyskanym w wyniku pobudzenia jąder atomowych impulsem <math>RF</math>.
Podstawiając do powyższego równania wzory (<xr id="eq:kodowanie_fazy"/>) i (<xr id="eq:kodowanie_czestosci"/>) otrzymujemy:
<equation id="54"><math>
dS\left(t\right) = BM^{0}(\vec{r})e^{-i\left(\gamma\left(B_{0} + G_{xz}x\right)t + \gamma G_{yz}yT_{y}\right)}e^{-\frac{t}{T_{2}}}dxdy
</math></equation>
a zatem sygnał rezonansowy rejestrowany z całej warstwy o współrzędnej <math>z</math> wynosi:
<equation id="55"><math>
S\left(t\right) = B\int\int M^{0}(\vec{r})e^{-i\left(\gamma\left(B_{0} + G_{xz}x\right)t + \gamma G_{yz}yT_{y}\right)}e^{-\frac{t}{T_{2}}}dxdy
</math></equation>
Otrzymane równanie porządkujemy w następujący sposób:
<equation id="55"><math>
S\left(t\right) = Be^{-\frac{t}{T_{2}}}\int\int M^{0}(\vec{r})e^{-i\left(\gamma\left(B_{0} + G_{xz}x\right)t + \gamma G_{yz}yT_{y}\right)}dxdy
</math></equation>
<equation id="56"><math>
S\left(t\right) = Be^{-\frac{\gamma B_{0}t}{T_{2}}}\int\int M^{0}(\vec{r})e^{-i\left(\gamma G_{xz}xt + \gamma G_{yz}yT_{y}\right)}dxdy
</math></equation>
podstawiając:
<equation id="57"><math>
\begin{array}{l}
k_{x} = \gamma G_{xz}t\\
\\
k_{y} = \gamma G_{yz}T_{y}
\end{array}
</math></equation>
uzyskujemy:
<equation id="eq:mierzony_sygnal"><math>
S\left(k_{x},k_{y}\right) = Be^{-\frac{\gamma B_{0}t}{T_{2}}}\int\int M^{0}(\vec{r})e^{-i\left(k_{x}x + k_{y}y\right)}dxdy
</math></equation>
Wymiar stałej <math>B</math> zawiera jednostkę długości (powiązaną z grubością warstwy), z kolei namagnesowanie to całkowity moment magnetyczny przypadający na jednostkę objętości <math>dV</math>. Namagnesowanie woksela zależeć będzie od całkowitej liczby jąder atomowych znajdujących się w objętości <math>dV</math>. W związku z tym, uwzględniając jednostkę stałej <math>B</math> oraz namagnesowania <math>M^{0}</math> możemy przepisać równanie (<xr id="eq:mierzony_sygnal"/>) do następującej postaci:
<equation id="58"><math>
S\left(k_{x},k_{y}\right) = B'e^{-\frac{\gamma B_{0}t}{T_{2}}}\int\int \rho^{0}_{xy}e^{-i\left(k_{x}x + k_{y}y\right)}dxdy
</math></equation>
gdzie <math>B'</math> to stała zależna już tylko od właściwości cewek, natomiast <math>\rho^{0}_{xy}</math> jest gęstością jąder atomowych w badanej warstwie. Widzimy zatem, iż mierzony sygnał jest transformatą Fouriera gęstości jąder atomowych, z dokładnością do wagi, zależnej od natężenia statycznego pola magnetycznego oraz czasu relaksacji <math>T_{2}</math><ref>Należy również pamiętać, iż wyznaczona gęstość jąder atomowych (w praktyce jąder atomu wodoru) zależy również od czasu powtarzania wzbudzeń jąder atomowych (''Time Repetition —TR'') oraz czasu echa spinowego (''Time Echo — TE'')</ref>.
Rozkład gęstości jąder atomowych można wyznaczyć obliczając odwrotną transformatę Fouriera równania (<xr id="eq:mierzony_sygnal"/>)
<equation id="59"><math>
\rho^{0}_{xy} = B'e^{-\frac{\gamma B_{0}t}{T_{2}}}\int\int S\left(k_{x},k_{y}\right)e^{i\left(k_{x}x + k_{y}y\right)}dk_{x}dk_{y}
</math></equation>
Podsumowując:
Główną informacją jaką otrzymujemy za pomocą obrazowania metodą jądrowego rezonansu magnetycznego jest rozkład gęstości
jąder atomowych. Z uwagi, iż jądro atomu wodoru ma największy spośród jąder atomowych współczynnik giromagnetyczny, a także ze względu na wysokie stężenie wodoru w organizmie ludzkim, za pomocą MRI uzyskuje się obraz rozkładu gęstości tego właśnie pierwiastka. W badaniu otrzymamy zatem bardzo dobry obraz tkanek miękkich (np. mózg), co odróżnia tą metodę od Rentgenowskiej Tomografii Komputerowej, najlepiej obrazującą kości. Ponadto, mierząc czasy relaksacji namagnesowania — <math>T_{1}</math> i <math>T_{2}</math> możliwe jest uzyskanie informacji o pewnych właściwościach fizyko-chemicznych tkanek.

==Podstawowa Sekwencja Gradientów Pola Magnetycznego==
[[File:rekonstrukcja_mri.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:rekonstrukcja_mri.png"></figure>Podstawowa sekwencja pól gradientowych.]]
W tym rozdziale dokonamy pewnego podsumowania dotychczas zdobytej wiedzy dotyczącej procesu kodowania i dekodowania obrazu w Magnetycznym Rezonansie Jądrowym. Podstawowa sekwencja kodująca oraz proces dekodowania został zaprezentowany na <xr id="fig:rekonstrukcja_mri">rys. %i</xr>
Z uwagi na ograniczoną ilość miejsca pod rysunkiem, jego opis znajdzie w treści rozdziału. Załóżmy, że chcemy zobrazować wybraną warstwę głowy pacjenta. Obraz zostanie utworzony za pomocą macierzy <math>M</math>x<math>N</math> pikseli. Proces obrazowania będzie składał się następujących kroków:
# Umieszczenia pacjenta w stałym polu magnetycznym o indukcji <math>B_0</math>. Po wykonaniu tego kroku momenty magnetyczne jąder wykonują precesję z częstością <math>\omega_0 = \gamma B_0</math>. Powstaje wypadkowe namagnesowanie <math>M_0</math> w kierunku pola <math>\vec{B}_0</math>. Załóżmy, że w głowie pacjenta znajdują się tylko dwa obszary dające znaczące sygnały. Obszary te wypełniona różnymi odcieniami szarości.
# Włączenia pola gradientowego w kierunku osi ''z'' (przyjęto, że jest to oś biegnąca wzdłuż badanego). Następuje zróżnicowanie precesji momentów magnetycznych protonów. Częstość precesji zależy teraz od współrzędnej ''z'' w następujący sposób: <math>\omega_{0} = \gamma\left(B_{0} + G_{zz}z\right)</math>. Równocześnie wraz z gradientem pola zostaje włączony impuls pobudzający (RF) <math>\frac{\pi}{2}</math> o częstości <math>\omega_1</math>. Wywoła on pobudzenie tych momentów magnetycznych, których częstość precesji Larmoura wynosi <math>\omega = \omega_1</math>, czyli <math>\omega_1 = \gamma\left(B_{0} + G_{zz}z\right)</math>. Są to momenty magnetyczne znajdujące się w płaszczyźnie ''x-y'' o współrzędnej ''z'' równej: <math>z = \frac{\left(\omega_{1} - \gamma B_{0}\right)}{\gamma G_{z}}</math>. W wokselach leżących w wybranej warstwie następuje zmiana orientacji wektora namagnesowania <math>M_0</math> o kąt <math>\frac{\pi}{2}</math>. Warto zauważyć, iż po wyłączeniu tego pola gradientowego, momenty magnetyczne ponownie ruch precesyjny z częstością Larmoura <math>\omega=\gamma B_0</math>, jednak w odróżnieniu od wektorów leżących w innych warstwach maja one zmienioną orientację.
# Wzdłuż osi ''y'' zostaje włączone na pewien okres czasu kolejne pole gradientowe, którego wartość na <xr id="fig:rekonstrukcja_mri">rys. %i</xr> oznaczono kolorem żółtym. Wektor magnetyzacji zaczynają rotację w płaszczyźnie ''x-y'' z różną prędkością (ale tą samą dla zadanej współrzędnej ''y''). Po wyłączeniu pola gradientowego, częstość precesji wraca do wartości <math>\omega = \gamma B_0</math>, jednakże wektory namagnesowania wirują w płaszczyźnie ''x-y'' w różnej fazie.
# Następuje kolejne włączenie pola gradientowego, tym razem wzdłuż osi ''x''. Momenty magnetyczne, a także namagnesowanie zaczyna wirować z różną częstością, zależną od współrzędnej ''x''. Jednocześnie wraz z włączeniem tego gradientu następuje pomiar sygnału. Na tym etapie kodowania obrazu, można powiedzieć, że wektory namagnesowania znajdujące się w wokselach leżących w tej samej kolumnie (oś ''y'') rotują z tą samą częstością, natomiast wektory namagnesowania, znajdujące się w tym samym wierszu (os ''x'') rotują z tą samą fazą. Należy pamiętać, iż włączenie gradientu wzdłuż osi ''y'' w poprzednim etapie zmieniło jedynie fazę sygnału FID. Sygnały o tej samej częstości i różnej fazie nałożą się na siebie, dając pewien sygnał wypadkowy. Innymi słowy, na podstawie widma zarejestrowanego sygnału FID możliwe jest w tej chwili rozróżnienie z której kolumny pochodzą składowe mierzonego sygnału. Nie znamy natomiast współrzędnej ''y'' wokseli, z których pochodzi istotny sygnał. W związku z tym całość pomiaru (poczynając od etapu 2) należy powtórzyć, tyle razy, ile mamy wierszy w obrazie, za każdym razem zmieniając wartość gradientu pola magnetycznego wzdłuż osi ''y'' lub długość czasu jego trwania.
# Wartości Transformat Fouriera zapisywane są w tzw. współrzędnych przestrzeni K, tworząc pewną macierz. Wykonanie odwrotnej, dwuwymiarowej Transformaty Fouriera tej macierzy umożliwia wyznaczenie rozkładu przestrzennego namagnesowania.

==Co obrazuje Magnetyczny Rezonans Jądrowy==

===Rozkład gęstości protonów===
W trakcie badania MRI dokonywany jest pomiar namagnesowania małych jednostek objętości (wokseli) danego obszaru pacjenta. Namagnesowanie woksela jest proporcjonalne do liczby momentów magnetycznych cząstek znajdujących się w nim cząstek posiadających momenty magnetyczne. Spośród wielu atomów, które wchodzą w skład organizmu ludzkiego i posiadających spin, wodór charakteryzuje się największą abundancją oraz jądrem
o największym momencie magnetycznym. MRI będzie zatem obrazował głownie rozkład gęstości wodoru. W przeciwieństwie do Metod Rentgenowskich, MRI będzie zatem bardzo dobrze obrazował tkanki miękkie.

===Kontrast <math>T_{1}</math> oraz <math>T_{2}</math>===
Bardzo ważną informację diagnostyczną można również uzyskać, wykorzystując do tego czas pomiaru relaksacji <math>T_1</math> i <math>T_2</math>. Relaksacja wektora namagnesowania następuje w wyniku oddziaływania momentów magnetycznych z otoczeniem. Na podstawie zmian w szybkości zaniku namagnesowania poprzecznego lub odbudowie namagnesowania podłużnego można zatem wyciągnąć pewne wnioski diagnostyczne. Dokonuje się tego przy pomocy odpowiednio dobranej sekwencji pola pobudzającego, którego skutkiem będzie lepsze uwidocznienie na obrazie obszarów o krótkim czasie <math>T_1</math> lub krótkim czasie <math>T_2</math>. Mówimy wtedy odpowiednio o obrazie T1 zależnym lub T2 zależnym, bądź kontraście T1 lub T2.

Obok rozkładu gęstości jąder atomu wodoru, za pomocą MRI możemy wyznaczyć również czasy relaksacji magnetyzacji podłużnej — <math>T_{1}</math> oraz magnetyzacji poprzecznej — <math>T_{2}</math>. Czasy te zależą od właściwości fizyko-chemicznych tkanek. Z dotychczasowych badań wiadomo, iż czasy relaksacji tkanki zdrowej, różnią się znacznie od czasów relaksacji tej samej tkanki chorej (np. rakowej). Czasy relaksacji zawierają zatem niezwykle cenna z punktu widzenia diagnostyki informacje.





==Budowa skanera MRI==

===Cewki pola statycznego===

Podstawowym elementem aparatury MRI są przyrządy wytwarzające pola magnetyczne (statyczne jak i gradientowe) oraz rejestrujące sygnał namagnesowania.
Statyczne pole magnetyczne <math>\vec{B}_{0}</math> można wygenerować za pomocą:
# Magnesów trwałych. Małe zużycie prądu elektrycznego, nieskomplikowana budowa aparatury, ogólnie niskie koszty obsługi. Skaner ma mniejsze rozmiary niż w przypadku skanerów w których pole magnetyczne jest wytwarzane w inny sposób, ponadto ma budowę otwartą (pacjent nie znajduje się w wąskim cylindrze), co zwiększa komfort badania (np. u pacjentów z klaustrofobią).
#*Wady — trwałe magnesy są ciężkie, wytwarzają pola magnetyczne w granicy: 0.064 T - 0.3 T.
# Elektromagnesów. Pole magnetyczne powstaje w wyniku przepływu prądu przez cewkę. Elektromagnesy mogą mieć rdzeń powietrzny lub stalowy. Zalety — otwarta budowa zwiększająca komfort badania, można wyłączyć skaner, jeśli jest nieużywany, niska cena skanera.
#*Wady — wysokie zużycie energii elektrycznej, ograniczone wartość wytwarzanego pola magnetycznego < 0.2 - 0.3T, potrzebne chłodzenie wodne, wytworzone pole magnetyczne "''rozprzestrzenia''" się na boki.
# Magnesów nadprzewodzących — najczęściej stosowane. Pole magnetyczne wytwarzane jest przez przepływ prądu w cewkach umieszczonych w ciekłym helu, w celu redukcji zjawiska oporu elektrycznego — W temperaturze 4 Kelvinów (-269<math>^{o}</math>) opór ten zanika.
#*Zalety — możliwość generowania silnych, bardzo jednorodnych pól magnetycznych — do 12T, a co za tym idzie możliwość rejestracji sygnału namagnesowania o wysokim SNR oraz skrócenie czasu wykonywania skanu. Ponadto niskie zużycie prądu elektrycznego.
#*Wady — drogi skaner, wysokie koszty związane z obsługą aparatury kriogenicznej, aparatura hałaśliwa i o zwartej budowie — mniejszy standard wygody dla pacjenta, wrażliwszy na artefakty ruchowe, skomplikowana budowa (cewki nadprzewodzące muszą być zabezpieczone wieloma warstwami termicznymi, oraz przestrzeniami próżniowymi, aby chronić Hel przed zagotowaniem się i eksplozją).

===Cewki nadawczo odbiorcze===

Źródłem sygnału pobudzającego jądra atomowe w zjawisku jądrowego rezonansu magnetycznego, jak i odbiornikiem rejestrującym wytworzony sygnał namagnesowania są tzw. Cewki RF. Istnieje wiele różnorodnych typów cewek, przeznaczonych do określonych badań, można je jednak podzielić na dwie grupy:
#Cewki objętościowe. Wewnątrz takiej cewki wytworzone zostaje jednolite pole magnetyczne, wymagają jednak, aby badana część pacjenta znajdowała się w środku cewki.
# Cewki powierzchniowe. Jak sama nazwa wskazuje cewki takie umieszczane są na powierzchni, blisko obszaru, który ma być badany. Cewki takie zapewniają sygnał o wysokim SNR oraz wysoką rozdzielczość otrzymywanych obrazów. Wada tych cewek jest szybka strata jednolitości otrzymywanego obrazu, w przypadku gdy badany obiekt przemieści się poza cewkę.



==Podstawy kwantowego opisu zjawiska Rezonansu Magnetycznego==

[[File:quantum_mri.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:quantum_mri"></figure>Ilustracja powstawania stanów kwantowych oraz pobudzenia wzbudzenia przejść pomiędzy nimi. A — przy braku zewnętrznego pola magnetycznego poziomy energetyczne odpowiadające różnym rzutom momentu pędu na oś ''Z'' charakteryzują się tą samą energię. Umieszczenie próbki w stałym polu magnetycznych wywołuje powstanie dwóch stanów kwantowych o różnych energiach. Nieznaczna większość protonów znajdzie się w stanie o niższej energii. Za pomocą fali elektromagnetycznej o odpowiedniej energii ( częstości) można doprowadzić do przejść jąder do wyższego poziomu energetycznego. B — po wyłączeniu fali elektromagnetycznej, jądra przechodzą ze stanu wzbudzonego do stanu podstawowego oddając wcześniej zaabsorbowana energię.]]
Podstawowy opis kwantowy zjawiska rezonansu magnetycznego przeprowadzimy dla protonu. Przypominamy, własny moment pędu protonu opisywany jest spinową liczbą kwantową <math>I = \frac{1}{2}</math>, długość wektora momentu pędu wynosi <math>|\vec{I}| = \frac{\sqrt{3}}{2}\hbar </math>, zaś rzut wektora spinu na oś ''Z'' może przyjmować wartości: <math>\vec{I}_{z} = \pm\frac{1}{2}\hbar </math>. Pod nieobecność zewnętrznego pola magnetycznego, rzutom wektora spinu proton una oś ''Z'' odpowiadają stany o tej samej energii. 
Wprowadzenie próbki w stałe pola magnetyczne o wartości <math>B_0</math> i kierunku równoległego do osi ''X'' powoduje rozczepienie tych stanów. Rzut wektora momentu magnetycznego (związanego ze spinem) na oś ''Z'' może mieć kierunek równoległy lub przeciwny do kierunku pola magnetycznego. Rzutom tym odpowiadają dwa poziomy energetyczne:
<equation id="60"><math>
\begin{array}{l}
E_1 = -\frac{1}{2}\hbar\gamma B_0\\
\\
E_2 = \frac{1}{2}\hbar \gamma B_0\\
\end{array}
</math></equation>
gdzie: <math>E_1, E_2</math> to odpowiednio energia stanu związanego z równoległym i przeciwnym rzutem momentu magnetycznego na kierunek stałego pola magnetycznego. Zgodnie z zasadami termodynamiki, protony będą dążyły do zajmowania stanów o niższej energii. Dostarczając dodatkową energię, np. za pomocą fali elektromagnetycznej, można doprowadzić do przejścia protonów ze stanu podstawowego do wzbudzonego. Częstość fali elektromagnetycznej można wyliczyć w następujący sposób. Różnica energii pomiędzy dwoma stanami wynosi:
<equation id="61"><math>
\Delta E = E_2 - E_1 = \hbar \gamma B_0
</math></equation>
Fala elektromagnetyczna o częstości <math>\omega_0</math> posiada energię:
<equation id="62"><math>
E = \hbar \omega_0
</math></equation>
Energia fali elektromagnetycznej powinna być równa różnicy energii dwóch stanów kwantowych:
<equation id="63"><math>
\Delta E = \hbar \omega_0 \rightarrow \hbar \gamma B_0 = \hbar \omega_0
</math></equation>
ostatecznie, częstość fali wzbudzającej przejścia pomiędzy poziomami energetycznymi jest równa:
<equation id="64"><math>
\omega_0 = \gamma B_0
</math></equation>
Po wyłączeniu fali pobudzającej, protony przechodzą ze stanu wzbudzonego do stanu podstawowego, emitując nadmiar energii.
Pobudzeniowa fala elektromagnetyczna może być wygenerowana za pomocą cewki, która po wyłączeniu emisji fali może również rejestrować energię emitowaną przez protony przechodzące do stanu podstawowego.
Bardziej rozszerzony (nieobowiązkowy dla studentów opis zjawiska magnetycznego rezonansu jądrowego można znaleźć w kolejnym rozdziale).

==Kwantowy opis zjawiska Rezonansu Magnetycznego==
Zastosowanie modelu kwantowego prowadzi do pełniejszego w porównaniu z modelem klasycznym opisu zjawiska NMR, jednak ze względu na skomplikowaną postać samej Teorii Kwantów, model kwantowy może być trudny w zrozumieniu. Z kolei model klasyczno-kwantowy (zaprezentowany w dotychczasowych rozdziałach), jest łatwiejszy do przyswojenia i dla pewnej klasy problemów uzyskuje się za jego pomocą te same wyniki co w modelu kwantowym.

Nim przejdziemy do szczegółowego opisu zjawiska NMR, dokonamy zestawienia niektórych z postulatów leżących u podstaw Mechaniki Kwantowej i Klasycznej oraz przypomnimy sobie znaczenie pewnych pojęć stosowanych w fizyce.

<ol>

<li>
Układem fizycznym (w dalszej części skryptu nazywanym w skrócie układem) określa się zbiór ciał.

<li>
Stan układu jest najmniejszym zbiorem informacji pozwalającym odpowiedzieć na wszelkie pytania dotyczące układu.

<li>
W Mechanice Klasycznej pomiar wielkości fizycznej można wykonać z dokładnością ograniczoną jedynie precyzją dostępnej aparatury. Sam pomiar nie wpływa na układ.

<li>
W Mechanice Kwantowej nie można dokonać jednoczesnego pomiaru pewnych wielkości fizycznych z dowolną dokładnością. Ograniczenie to, znane jako Zasada Nieoznaczoności Heisenberga, nie ma nic wspólnego z precyzja aparatury pomiarowej. Jest to jedno z praw przyrody, któremu podlegają np. pomiary położenia i pędu:

::<math>
\Delta x\Delta p_{x}\ge \hbar </math>

gdzie:

<ul>

<li>
<math>\Delta x</math> i <math>\Delta p_x</math> to odpowiednio nieoznaczoność położenia i pędu wzdłuż osi <math>x</math>

</ul>

pomiary energii i czasu:

::<math>
\Delta E\Delta t\ge \hbar </math>

gdzie:

<ul>

<li>
<math>\Delta E</math> i <math>\Delta t</math> to odpowiednio nieoznaczoność energii i czasu.

</ul>

pomiary składowych wektora momentu pędu (w Mechanice Kwantowej obserwowalna jest w danym pomiarze tylko jedna ze składowych wektora oraz jego długość).
Możliwy jest natomiast jednoczesny pomiar z dowolną dokładnością np. energii i pędu. Warto zauważyć, że chociaż nie da się, zgodnie z Zasadą Nieoznaczoności, jednocześnie zmierzyć np. położenia i pędu cząstki, to można wyznaczyć osobno rozkład prawdopodobieństwa dla pędów i rozkład
prawdopodobieństw dla położeń w danym stanie układu. Mierząc dostatecznie dużo takich rozkładów prawdopodobieństwa, można określić stan układu. Pojedynczą wielkość da się w zasadzie zmierzyć z dowolną dokładnością, ale jeżeli mamy kilka takich samych układów w tym samym stanie, to na ogół dla każdego z nich pomiar tej wielkości da inny wynik.

<li>
W Mechanice Klasycznej położenie, orientacja oraz wielkości charakteryzujące ruch układu w danej chwili określają stan układu w tej chwili. W przypadku cząstki punktowej do określenia jej stanu w przestrzeni trójwymiarowej wystarczy sześć wielkości jednowymiarowych: 3 współrzędne opisujące położenie cząstki oraz 3 wielkości charakteryzujące jej ruch (prędkość lub pęd).

<li>
W Mechanice Kwantowej stan układu określony jest za pomocą funkcji falowej <math>\psi \left(\vec{r},t\right)</math>. Funkcja falowa zawiera pełną informacje o stanie układu. Zwykle jednak nie da się przewidzieć wyniku pomiaru znając nawet dokładnie stan układu.

<li>
Interpretacja fizyczna funkcji falowej jest następująca (cyt. z pracy <ref name="bid0"> Iwo Białynicki-Birula, Marek Cieplak, Jerzy Kamiński Teoria Kwantów. Mechanika Falowa. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1991.</ref>)

Funkcja falowa <math>\psi \left(\vec{r},t\right)</math> opisuje fale prawdopodobieństwa. Wielkość <math>\psi ^{*}\left(\vec{r},t\right)\psi \left(\vec{r},t\right)</math> jest gęstością prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w punkcie <math>\vec{r}</math> w chwili <math>t</math>.
Inaczej mówiąc, całka:
<math>P_{D}\left(t\right)=\int _{D}d^{3}\vec{r}\left|\psi \left(\vec{r},t\right)\right|^{2}</math> jest prawdopodobieństwem znalezienia cząstki w chwili <math>t</math> w obszarze <math>D</math>.

<li>
Funkcja falowa musi spełniać warunek unormowania<ref>Warunek unormowania został arbitralnie wprowadzony w pierwszej pracy Schrödingera dotyczącej równania falowego.</ref>:
<math>\int _{D}d^{3}\vec{r}\left|\psi \left(\vec{r},t\right)\right|^2 = 1</math>.
Innymi słowy, prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w dowolnym punkcie przestrzeni jest równe jedności.

<li>
W Mechanice Klasycznej pomiar wielkości fizycznej nie wpływa na układ.

<li>
W Mechanice Kwantowej zwykle nie można gwarantować, że stan układu po pomiarze będzie taki sam jak przed pomiarem. W szczególności
ponowny pomiar wielkości, która przedtem była dobrze określona, może dać (zupełnie) inny wynik.

<li>
W Mechanice Kwantowej dowolnej, dobrze określonej obserwabli fizycznej (takiej jak pęd, energia, masa czy moment pędu), dalej oznaczanej przez <math>C</math>, odpowiada operator <math>\hat{C}</math> taki, że w wyniku pomiaru obserwabli <math>C</math> otrzymujemy wartości zmierzone <math>c</math>, które są wartościami własnymi operatora <math>\hat{C}</math>:

::<math>
\hat{C}\phi = c\phi </math>

gdzie: <math>\phi </math> jest funkcją własną operatora <math>\hat{C}</math>.

<li>
W Mechanice Kwantowej, jeśli układ znajduje się w stanie <math>\psi \left(\vec{r},t\right)</math>, to średnia wartość dowolnej obserwabli fizycznej <math>C</math> związanej z układem w chwili czasu <math>t</math> dana jest wzorem:

<equation id="uid21">
<math>
\left<C\right> = \int \psi ^{*}\left(\vec{r},t\right)\hat{C}\psi \left(\vec{r},t\right)d^{3}\vec{r}
</math>
</equation>

</ol>

==Spin==

Dokładny opis spinu, który jest wielkością kwantową, wykracza znacznie poza ramy materiału niniejszego skryptu. Zainteresowanych czytelników odsyłamy do prac <ref name="bid0" />, <ref name="bid1">Richard L. Liboff Wstęp do Mechaniki Kwantowej. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa
1987.</ref>, <ref name="bid2">Leszek Adamowicz Mechanika Kwantowa. Formalizm i Zastosowania. Oficyna Wydawnicza
Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2005.</ref>, na podstawie których został napisany niniejszy rozdział. W tym miejscu natomiast ograniczymy się do podania kilku faktów, obserwacji, czy uwag, mając nadzieję, że wystarczą one czytelnikom do zrozumienia, czym jest spin, przynajmniej w takim stopniu, który ułatwi im przyswojenie wiadomości na temat Jądrowego Rezonansu Magnetycznego. Podstawowymi elementami, z których składa się materia, są cząstki takie jak elektron, proton oraz neutron, które posiadają spin równy <math>\frac{1}{2}</math>. Najbardziej rozpowszechnionym pierwiastkiem w organizmach żywych jest wodór, którego jądra — protony, odgrywają podstawową rolę w otrzymywaniu obrazów MR. W związku z tym omówienie pojęcia spinu ograniczymy do przypadku spinu równego <math>\frac{1}{2}</math>.

<ol>

<li>
Zjawiska takie jak rozszczepienie w niejednorodnym polu magnetycznym wiązki atomowej na dwie składowe, zaobserwowane przez Sterna i Gerlacha w roku 1922, czy dubletowa struktura widm pierwiastków alkalicznych nie zostały wyjaśnione w ramach teorii budowy atomu zaproponowanej przez Bohra. Doświadczenie przeprowadzone przez Sterna i Gerlacha, jak również i badania spektroskopowe wskazywały na nie uwzględnienie w teorii Bohra pewnej wielkości fizycznej — nieznanego, dodatkowego stopnia swobody elektronu.

<li>
W roku 1925 Uhlenbeck i Goudsmit wprowadzają pojecie spinu, jako wewnętrznego momentu pędu elektronu. Uhlenbeck i Goudsmit przyjęli, iż elektron wiruje<ref>W języku angielskim słowo spin oznacza wirowanie</ref> wokół własnej osi, co w naturalny sposób umożliwiło im wytłumaczenie istnienia dodatkowego stopnia swobody oraz wyjaśnienie dubletowej struktury widm pierwiastków alkalicznych. Obecnie wiadomo, iż obraz elektronu jako wirującej kulki zaproponowany przez Uhlenbecka i Goudsmita jest nieprawidłowy.

<li>
W roku 1926 Schrödinger publikuje serię czterech prac dotyczących równania falowego (nazwanego później równaniem Schrödingera), które dla elektronu znajdującego się w polu elektromagnetycznym przyjmuje następującą postać <ref name="bid0" />:

<equation id="uid27">
<math>
i\hbar\frac{\partial \psi \left(\vec{r},t\right)}{\partial t} = \left[ \frac{1}{2m} \left(\frac{\hbar }{i} \nabla - e \vec{A}\right)^2 + e \phi (\vec{r}) \right]\psi \left(\vec{r},t\right)
</math>
</equation>

gdzie:

<ul>

<li>
<math>\vec{B} = \nabla \times \vec{A}</math>

<li>
<math>\vec{E} = -\nabla \phi - \frac{\Delta \vec{A}}{\Delta t}</math>

<li>
<math>\vec{B}</math> to wektor indukcji magnetycznej

<li>
<math>\vec{E}</math> to wektor natężenia pola elektrycznego

</ul>

<li>
Rozwiązaniem równania (<xr id="uid27"> %i</xr>) są funkcje skalarne, które jednak nie opisują właściwie zachowania się elektronu w polu magnetycznym.

<li>
W przyrodzie obserwujemy zarówno fale skalarne (np. fale dźwiękowe) jak i fale wektorowe (np. fale elektromagnetyczne). Fale wektorowe mogą ulegać polaryzacji. Doświadczenie Sterna-Gerlacha wskazuje na to, że również fale prawdopodobieństwa mogą zostać spolaryzowane, zaś pole magnetyczne inaczej wpływa na poszczególne składowe polaryzacyjne <ref name="bid0" />.

<li>
Najprostszym sposobem wprowadzenia oddziaływania zależnego od pola magnetycznego i polaryzacji funkcji falowej do równania Schrödingera, jest przedstawienie go w postaci następującego układu równań <ref name="bid0" />:

<equation id="uid35">
<math>
\begin{array}{l}
i \hbar \frac{\partial \psi _{+}\left(\vec{r},t\right)}{\partial t} = \left[\frac{1}{2m}\left( \frac{\hbar }{i}\nabla - e \vec{A}\right)^{2} + e \phi - \mu B \right] \psi _{+}\left(\vec{r},t\right) \\
\\
i \hbar \frac{\partial \psi _{-}\left(\vec{r},t\right)}{\partial t} = \left[\frac{1}{2m}\left( \frac{\hbar }{i}\nabla - e \vec{A}\right)^{2} + e \phi + \mu B \right] \psi _{-}\left(\vec{r},t\right)
\end{array}
</math>
</equation>

<li>
Funkcja falowa cząstki posiadającej spin powinna zależeć nie tylko do zmiennych przestrzennych, ale również od dyskretnej zmiennej spinowej, opisującej wartość rzutu spinu na dowolnie wybraną w przestrzeni oś. Funkcja taka, oznaczmy ją dalej przez <math>\psi \left(\vec{r},t,m_{s}\right)</math>, będzie zbiorem różnych funkcji numerowanych przez parametr <math>m_{s}</math> związany ze spinem. Operator spinu działając na funkcję falową, będzie działał jedynie na składowe spinowe.

<li>
Równanie (<xr id="uid35"> %i</xr>) nie jest dogodną formą opisu oddziaływania pola magnetycznego ze spolaryzowaną falą prawdopodobieństwa. W roku 1927 Pauli pokazał, jak z dwóch funkcji falowych, przypisanych dwóm stanom polaryzacyjnym cząstki zbudować wielkość wektorową. Pomijając skomplikowane przekształcenia matematyczne, podamy rozwiązanie do którego doszedł Pauli. Z dwóch składowych polaryzacyjnych funkcji falowej: <math>\psi \left(\vec{r},t\right)_{+}</math> i <math>\psi \left(\vec{r},t\right)_{-}</math>, można zbudować dwuwymiarowy wektor i wektor do niego sprzężony:

<equation id="uid38">
<math>
\begin{array}{l}
\psi \left(\vec{r},t\right) = \left[
\begin{array}{l}
\psi _{+}\left(\vec{r},t\right) \\
\\
\psi _{-}\left(\vec{r},t\right)
\end{array}
\right]\\
\\
\psi ^{*}\left(\vec{r},t\right) = \left[
\psi ^{*}_{+}\left(\vec{r},t\right), \psi ^{*}_{-}\left(\vec{r},t\right) \right]
\end{array}
</math>
</equation>

który spełnia następujące równanie falowe:

<equation id="uid39">
<math>
i \hbar \frac{\partial \psi \left(\vec{r},t\right)}{\partial t} = \left[ \frac{1}{2m} \left( \frac{\hbar }{i}\nabla - e \vec{A}\right)^{2} + e \phi (\vec{r}) - \mu \vec{B} \vec{\sigma } \right] \psi \left(\vec{r},t\right)
</math>
</equation>

gdzie:

<ul>

<li>
<math>\vec{B}</math> jest indukcją pola magnetycznego, zaś <math>\vec{\sigma }</math> jest wektorem zbudowanym z tzw. macierzy Pauliego <math>\sigma _{x}</math>, <math>\sigma _{y}</math>, <math>\sigma _{z}</math>:

</ul>

<equation id="uid41">
<math>
\vec{\sigma }=\left[\mathbf {\sigma }_{x},\mathbf {\sigma }_{y},\mathbf {\sigma }_{z}\right]
</math>
</equation>

<equation id="uid42">
<math>
\begin{array}{l}
\sigma _{x} =
\left[
\begin{array}{cc}
0 & 1\\
1 & 0
\end{array}
\right]\\
\\
\sigma _{y} =
\left[
\begin{array}{cc}
0 & -i\\
i & 0
\end{array}
\right]\\
\\
\sigma _{z} =
\left[
\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & -1
\end{array}
\right]
\end{array}
</math>
</equation>

Iloczyn wektora <math>\vec{\sigma }</math> oraz wektora <math>\vec{B}</math> wynosi:

<equation id="uid43">
<math>
\vec{B}\vec{\sigma } =
\left[
\begin{array}{cc}
B_{z} & B_{x} - iB_{y}\\
\\
B_{x} + iB_{y} & -B_{z}
\end{array}
\right]
</math>
</equation>

<li>
W roku 1928 Dirac podał równanie falowe dla relatywistycznej cząstki o spinie <math>\frac{1}{2}</math> poruszającej się w polu elektromagnetycznym.
Rozwiązanie równania Diraca dla elektronu doprowadziło do wniosku, że spin jest składową całkowitego momentu pędu cząstki, wnosząc do niego wkład równy <math>\frac{1}{2}\hbar </math>. Równanie Diraca przewiduje istnienie spinu jako efektu relatywistycznego.

<li>
Operatory składowych wektora spinu są następujące <ref name="bid3" />:

<equation id="uid46">
<math>
\begin{array} {l}
\hat{s}_{x} = \frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
0 & 1\\
1 & 0
\end{array}
\right]\\
\\
\hat{s}_{y} = \frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
0 & -i\\
i & 0
\end{array}
\right]\\
\\
\hat{s}_{z} = \frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & -1
\end{array}
\right]
\end{array}
</math>
</equation>

a zatem operator spinu jest równy:

<equation id="uid47">
<math>
\hat{S} = \frac{1}{2}\hbar \vec{\sigma }
</math>
</equation>

</ol>

Podsumowując, spin należy rozumieć w ramach Mechaniki Kwantowej jako wyraz istnienia stanów polaryzacyjnych funkcji falowej (w przypadku elektronu, protonu, neutronu i niektórych jąder będą to dwa stany polaryzacyjne). Spin jest własnością cząstek, taką samą jak np. masa lub ładunek, ale obserwowalną dopiero w eksperymentach ujawniających kwantową naturę materii. Spin jest także składową całkowitego momentu pędu, niezwiązaną z ruchem, można go zatem również interpretować jako własny (wewnętrzny) moment pędu cząstki.

===Spin i moment magnetyczny jądra atomowego===

Jądra atomowe zawierające nieparzystą liczbę protonów lub neutronów mają niezerowy własny moment pędu <math>\vec{I}</math> (spin) oraz związany z nim moment magnetyczny. Zgodnie z regułami opisu wielkości wektorowych w mechanice kwantowej, jednocześnie może być obserwowalna tylko długość wektora oraz wartość jednej z jego składowych (tzw. rzut tego wektora na wyróżnioną oś, nazywaną osią kwantowania). W przypadku wektora własnego momentu pędu jądra atomowego jego długość wynosi <ref name="bid3" />:

<equation id="uid49">
<math>
|\vec{I}| = h\sqrt{I\left(I+1\right)}
</math>
</equation>

gdzie:

<ul>

<li>
<math>I</math> oznacza liczbą kwantową o wartości całkowitej lub połówkowej.

</ul>

Składowa <math>z</math> momentu pędu wyraża się następującym wzorem <ref name="bid3" />:

<equation id="uid51">
<math>
I_{z} = m_{I}h, \textrm { } m_{I} = I,I-1,\dots ,I
</math>
</equation>

Możliwych jest zatem <math>2I+1</math> orientacji spinu jądra względem wyróżnionego kierunku, odpowiadających możliwym wartościom jądrowej magnetycznej liczby kwantowej <math>m_{I}</math>. W przypadku protonu (jądra atomu wodoru), mamy <ref name="bid3" />:

::<math>
\begin{array}{l}
I=1/2\\
\\
|\vec{I}| = \frac{\sqrt{3}}{2}\hbar \\
\\
(\vec{I})_{z} = \pm \frac{1}{2}\hbar \end{array}
</math>

Moment magnetyczny związany jest ze spinem następującą zależnością <ref name="bid3" />:

<equation id="uid52">
<math>
\vec{\mu }_{I} = \gamma \vec{I}
</math>
</equation>

Energia potencjalna oddziaływania momentu magnetycznego z polem magnetycznym wynosi:

<equation id="uid59">
<math>
V = -\vec{\mu }\cdot \vec{B}
</math>
</equation>

Zgodnie z prawami termodynamiki układ fizyczny dąży do stanu, w którym jego energia wewnętrzna osiągnie wartość minimalną.
Rozważmy pole <math>\vec{B}</math>, posiadające tylko składową wzdłuż osi <math>z</math> (czyli <math>\vec{B}_0 = \left[ 0, 0, B_0\right]</math>), układu odniesienia.
W przypadku protonu, posiadającego ładunek dodatni, kierunek momentu magnetycznego jest zgodny z kierunkiem jego własnego momentu pędu, a zatem również rzuty momentu magnetycznego i momentu pędu na oś <math>z</math> są równoległe. Orientacji momentu pędu zgodnej z kierunkiem pola <math>\vec{B}</math> będzie odpowiadać energia potencjalna:

::<math>
V = -\frac{1}{2}\hbar \gamma B_0
</math>

natomiast orientacji antyrównoległej:

::<math>
V = \frac{1}{2}\hbar \gamma B_0 </math>

Ustawienie najkorzystniejsze energetycznie odpowiada więc sytuacji, kiedy składowa <math>z</math> spinu ustawiona jest w równolegle do kierunku pola <math>\vec{B}_0</math> (magnetyczna liczba kwantowa <math>m_{I}=\frac{1}{2}</math>).

===Precesja spinu i momentu magnetycznego w stałym polu magnetycznym — opis kwantowy dla cząstki o spinie 1/2===

Ze względu na wysokie naturalne rozpowszechnienie wodoru w organizmach żywych, oddziaływanie spinu z polem magnetycznym omówimy na przykładzie protonu. Dodatkowo, aby uprościć problem, rozważmy proton mający stałe położenie w przestrzeni oraz pole magnetyczne <math>\vec{B}_{0}</math>, które ma niezerową składową tylko wzdłuż osi <math>z</math>, czyli <math>\vec{B}=\left[0, 0, B_{0}\right]</math>. W takim przypadku równanie Pauliego przybierze następującą postać:

<equation id="uid61">
<math>
\frac{\partial \psi \left(\vec{r},t\right)}{\partial t} = \left[\frac{1}{2m}\left(\frac{\hbar }{i}\nabla \right)^2 - \mu \vec{B}\vec{\sigma }\right]\psi \left(\vec{r},t\right)
</math>
</equation>

Powyższe równanie można rozwiązać metodą rozdzielenia zmiennych przestrzennych i spinowych <ref name="bid0" />:

<equation id="uid62">
<math>
\psi \left(\vec{r},t\right) = \psi _{r}\left(\vec{r},t\right)\chi \left(t\right)
</math>
</equation>

gdzie:

<ul>

<li>
<math>\psi _{r}\left(\vec{r},t\right)</math> — zależy wyłącznie od współrzędnych przestrzennych i czasu

<li>
<math>\chi \left(t\right)</math> — jest dwuskładnikowym spinorem.

</ul>

w wyniku podstawienia równania (<xr id="uid62"> %i</xr>) do równania (<xr id="uid61"> %i</xr>) uzyskujemy następujący układ dwóch niezależnych równań:

<equation id="uid65">
<math>
\begin{array}{l}
i\hbar \frac{\Delta \psi _{r}\left(\vec{r},t\right)}{\Delta t} = - \frac{\hbar ^{2}}{2m}\nabla ^{2}\psi \left(\vec{r},t\right) \\ \\
i\hbar \frac{\Delta \chi \left(t\right)}{\Delta t} = - \mu \vec{\sigma }\vec{B}\psi \left(\vec{t}\right)
\end{array}
</math>
</equation>

Interesuje nas ewolucja spinu, dlatego rozwiążemy dalej tylko równanie dla funkcji <math>\chi \left(t\right)</math>.
Podstawiając:

<equation id="uid66">
<math>
\vec{\sigma }\vec{B}=
\left[
\begin{array}{cc}
\mu B_{0} & 0 \\
0 & -\mu B_{0}
\end{array}
\right]
</math>
</equation>

do równania (<xr id="uid65"> %i</xr>), otrzymujemy:

<equation id="uid67">
<math>
i\hbar \frac{\Delta \chi \left(t\right)}{\Delta t} =
\left[
\begin{array}{cc}
\mu B_{0} & 0 \\
0 & -\mu B_{0}
\end{array}
\right]\chi \left(t\right)
</math>
</equation>

Jest to układ równań różniczkowych rzędu pierwszego o rozwiązaniach postaci:

<equation id="uid68">
<math>
\begin{array}{l}
\chi _{+}\left(t\right) = ae^{i\frac{\mu B_{0}}{\hbar }t}
\left[
\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}
\right]\\
\\
\chi _{-}\left(t\right) = be^{-i\frac{\mu B_{0}}{\hbar }t}
\left[
\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}
\right]
\end{array}
</math>
</equation>

Dokonajmy analizy jednostkowej uzyskanego rozwiązania.
Argument funkcji wykładniczej powinien być bezwymiarowy.
Wielkość <math>\mu B_{0}</math> ma wymiar energii, z kolei stała Planka ma wymiar <math>\left[\textrm {Js}\right]</math>, a zatem:

::<math>
\pm i\frac{\mu B_{0}}{\hbar } = \left[\frac{J}{Js}\right] = \left[\frac{1}{s}\right]
</math>

Oznaczmy dalej wielkość <math>\frac{\mu B_{0}}{\hbar }</math>, w następujący sposób:

<equation id="uid69">
<math>
\omega ^{\prime }_{0} = \frac{\mu B_{0}}{\hbar }
</math>
</equation>

Ostatecznie, otrzymane rozwiązanie możemy przedstawić w dwóch formach:

<equation id="uid70">
<math>
\chi \left(t\right) =
ae^{i\omega ^{\prime }_{0}t}\left[
\begin{array}{l}
1\\
0
\end{array}
\right]
+
be^{-i\omega ^{\prime }_{0}t}\left[
\begin{array}{l}
0\\
1
\end{array}
\right]
</math>
</equation>

lub

<equation id="uid71">
<math>
\chi \left(t\right) =
ae^{i\frac{E}{\hbar }t}\left[
\begin{array}{l}
1\\
0
\end{array}
\right]
+
be^{-i\frac{E}{\hbar }t}\left[
\begin{array}{l}
0\\
1
\end{array}
\right]
</math>
</equation>

gdzie:

<ul>

<li>
<math>E = \mu B_{0}</math>

</ul>

Jak można zauważyć, rozwiązaniem równania falowego (<xr id="uid65"> %i</xr>) jest funkcja:

<ul>

-
<li>
ortogonalna

-
<li>
ortonormalna, o ile zostanie spełniony warunek:

::<math>
\left|a\right|^{2} + \left|b\right|^{2} = 1
</math>

</ul>

Rozwiązanie to spełnia zatem postulaty mechaniki kwantowej dotyczące postaci funkcji falowej.
Wartości <math>\left|a\right|^{2}</math> i <math>\left|b\right|^{2}</math> można traktować jako prawdopodobieństwa znalezienia jądra atomowego w stanie odpowiednio o spinie skierowanym w górę i spinie skierowanym w dół.

Wyznaczymy teraz wartości oczekiwane operatora składowych spinu korzystając ze wzoru (<xr id="uid21"> %i</xr>).
Na początku uprościmy zapis funkcji falowej. Wprowadźmy skrócone oznaczenie:

::<math>
\begin{array}{l}
\alpha = ae^{i\omega ^{\prime }_{0}t}\\
\beta = be^{-i\omega ^{\prime }_{0}t}
\end{array}
</math>

umożliwiające zapis funkcji falowej w następującej formie

<equation id="uid75">
<math>
\chi \left(t\right) =
\alpha \left[
\begin{array}{l}
1\\
0
\end{array}
\right]
+
\beta \left[
\begin{array}{l}
0\\
1
\end{array}
\right]=
\left[
\begin{array}{l} \alpha \\
\beta \end{array}
\right]
</math>
</equation>

Składowa <math>z</math> operatora spinu

::<math>
\hat{C}\phi =\frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & -1
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\alpha \\
\beta \end{array}
\right]
= \frac{\hbar }{2}\left[
\begin{array}{c}
\alpha \\
-\beta \end{array}
\right]
</math>

::<math>
\phi ^{*}\hat{C}\phi = \frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
\alpha ^{*} & \beta ^{*}
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\alpha \\
-\beta \end{array}
\right] =
\frac{\hbar }{2}\left(
\begin{array}{cc}
\left|\alpha \right|^{2} - \left|\beta \right|^{2}
\end{array}
\right)
</math>

ostatecznie:

<equation id="uid76">
<math>
\left<\hat{s}_{z}\right> = \frac{\hbar }{2}\left(a^{2} - b^{2}\right)
</math>
</equation>

Składowa <math>x</math> operatora spinu

::<math>
\hat{C}\phi =\frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
0 & 1\\
1 & 0
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\alpha \\
\beta \end{array}
\right]
= \frac{\hbar }{2}\left[
\begin{array}{c}
\beta \\
\alpha \end{array}
\right]
</math>

::<math>
\phi ^{*}\hat{C}\phi = \frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
\alpha ^{*} & \beta ^{*}
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\beta \\
\alpha \end{array}
\right] =
\frac{\hbar }{2}\left(
\begin{array}{cc}
\alpha ^{*}\beta - \beta \alpha ^{*}
\end{array}
\right)
</math>

po podstawieniu za <math>\alpha </math> i <math>\beta </math> odpowiednich wyrażeń otrzymujemy:

<equation id="uid77">
<math>
\left<\hat{s}_{x}\right> = \hbar ab\cos \left(2\omega ^{\prime }_{0}t\right)
</math>
</equation>

Składowa <math>y</math> operatora spinu

::<math>
\hat{C}\phi =\frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
0 & -i\\
i & 0
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\alpha \\
\beta \end{array}
\right]
= i\frac{\hbar }{2}\left[
\begin{array}{c}
-\beta \\
\alpha \end{array}
\right]
</math>

::<math>
\phi ^{*}\hat{C}\phi = i\frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
\alpha ^{*} & \beta ^{*}
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
-\beta \\
\alpha \end{array}
\right] =
\frac{\hbar }{2}\left(
\begin{array}{cc}
-\alpha ^{*}\beta + \beta \alpha ^{*}
\end{array}
\right)
</math>

po podstawieniu za <math>\alpha </math> i <math>\beta </math> odpowiednich wyrażeń otrzymujemy:

<equation id="uid78">
<math>
\left<\hat{s}_{y}\right> = -\hbar ab\sin \left(2\omega ^{\prime }_{0}t\right)
</math>
</equation>

Podsumowując, otrzymaliśmy następujący układ równań na wartości oczekiwane składowych operatora spinu:
<equation id="uid79"><math>
\begin{array}{l}
<\hat{s}_{z}> = \frac{\hbar }{2}\left(a^{2} - b^{2}\right)\\
\\
<\hat{s}_{x}> = \hbar ab\cos \left(2\omega^{\prime }_{0}t\right)\\
\\
<\hat{s}_{y}> = -\hbar ab\sin \left(2\omega^{\prime }_{0}t\right)
\end{array}
</math>
</equation>

Z powyższych równań możemy wyciągnąć następujące, ważne wnioski:

<ol>

<li>
Jeżeli <math>\left|a\right|^{2}=1</math> i <math>\left|b\right|^{2}=0</math> lub gdy <math>\left|a\right|^{2}=0</math> i <math>\left|b\right|^{2}=1</math>, czyli gdy spin jest zawsze ustawiony w górę lub w dół, to wtedy wartość oczekiwana składowej <math>z</math> operatora spinu wynosi <math>\frac{\hbar }{2}</math>, natomiast znikają wartości oczekiwane składowych w płaszczyźnie <math>x-y</math>.

<li>
Jeżeli <math>\left|a\right|^{2}=\left|b\right|^{2}</math>, czyli gdy tak samo prawdopodobne jest ułożenie spinu równoległe jak i antyrównoległe do osi <math>z</math>, to wtedy znika wartość oczekiwana składowej <math>z</math> operatora spinu, natomiast wartości oczekiwane w płaszczyźnie <math>x-y</math> są równe <math>\frac{\hbar }{2}</math>.

<li>
Wartość oczekiwana operatora spinu wzdłuż osi <math>z</math> jest stała w czasie, natomiast wartości oczekiwane w płaszczyźnie <math>x-y</math> wirują z częstością <math>2\omega ^{\prime }_{0}</math>. Częstość <math>\omega _{0}=2\omega ^{\prime }_{0}</math> jest nazywana częstością precesji Larmour. W przypadku protonu lub neutronu częstość Larmour można zapisać również w postaci:

::<math>
\omega _{0}=2\omega ^{\prime }_{0} = 2\frac{\mu B_{0}}{\hbar } = 2\gamma B_{0}I = \gamma B_{0}
</math>

gdzie <math>\gamma </math> jest współczynnikiem giromagnetycznym odpowiadającym poszczególnym cząstkom, zaś <math>I=\frac{1}{2}</math>
czyli:

<equation id="uid83">
<math>
\omega _{0} = \gamma B_{0}
</math>
</equation>

<li>
Wartości oczekiwane operatora spinu: <math>\left<\hat{s}_{x}\right></math>, <math>\left<\hat{s}_{y}\right></math> i <math>\left<\hat{s}_{z}\right></math> możemy interpretować jako precesję spinu. Możemy również utworzyć wektor: <math>\left<\hat{s}\right> = \left[\left<\hat{s}_{x}\right>, \left<\hat{s}_{y}\right>, \left<\hat{s}_{z}\right>\right]</math>

<li>
Precesja spinu następuje zgodnie z ruchem wskazówek zegara, a więc wektor prędkości kątowej jest skierowany antyrównolegle do osi <math>z</math>. W przypadku, kiedy cząstka lub jądro charakteryzuje się ujemnym momentem magnetycznym, precesja następuje w kierunku przeciwnym do wskazówek ruchu zegara<ref><math>\cos \left(-2\omega _{0}\right)=\cos \left(2\omega _{0}\right)</math>, zaś <math>\sin \left(-2\omega _{0}\right)=-\sin \left(2\omega _{0}\right)</math></ref>

::<math>
\begin{array}{l}
\hat{s}_{z} = \frac{\hbar }{2}\left(a^{2} - b^{2}\right)\\
\\
\hat{s}_{x} = \hbar ab\cos \left(2\omega _{0}t\right)\\
\\
\hat{s}_{y} = \hbar ab\sin \left(2\omega _{0}t\right)
\end{array}
</math>

</ol>

===Rezonans magnetyczny, ujęcie kwantowe===

Pod wpływem zewnętrznego pola magnetycznego <math>\vec{B}_{0}</math> spiny jądrowe zostają uporządkowane, w wyniku czego w badanej próbce powstaje
makroskopowy moment magnetyczny (namagnesowanie). Niestety, obserwowalna może być tylko składowa namagnesowania równoległa do pola <math>\vec{B}_{0}</math>.Stosowane w diagnostyce MRI pola <math>\vec{B}_{0}</math> mają wartości od <math>0.5</math> do <math>4</math>T. Wytworzone przez takie pole namagnesowanie jest niewielkie i szybko zanika wraz z odległością.
Zarejestrowanie na tle silnego pola <math>\vec{B}_{0}</math> miliony razy słabszego namagnesowanie jest niezwykle trudne. Wiemy jednak, zgodnie z prawem Faradaya, że statyczne pole magnetyczne nie indukuje pola elektrycznego. Aby wyindukować pole elektryczne, potrzebna jest zmiana strumienia pola magnetycznego. Gdybyśmy potrafili w jakiś sposób wpłynąć na kierunek wytworzonego w próbce namagnesowania lub jego wielkości, moglibyśmy mierzyć sygnał elektryczny z nim związany np. przy pomocy cewek, podczas gdy pole <math>\vec{B}_{0}</math> przez taką cewkę nie byłoby rejestrowane.

[[Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metodą_Magnetycznego_Rezonansu_Jądrowego#Zmiana_orientacji_wektora_namagnesowania._Magnetyczny_Rezonans_J.C4.85drowy|W rozdziale o zmianie orientacji wektora namagnesowania]] podaliśmy wzór, z których wynikało, iż obsadzenie stanów związanych ze spinem jądra atomowego wpływa na składowe wektora wartości oczekiwanej momentu magnetycznego. Powstaje zatem pytanie, w jaki sposób zaburzyć powstałą pod wpływem pola <math>\vec{B}_{0}</math> równowagę. Jak przenieść cześć jąder z podstawowego poziomu energetycznego, do stanu wzbudzonego? Odpowiedz w ramach teorii pół-klasycznej, została podana w rozdziale [https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/action/edit/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metod%C4%85_Magnetycznego_Rezonansu_J%C4%85drowego?section=8].
Przypominamy, że próbkę trzeba umieścić w dodatkowym, słabym, zmiennym w czasie polu magnetycznym, mającym niezerowe składowe tylko w płaszczyźnie <math>x-y</math>, które oznaczymy jako <math>\vec{B}_{1}\left(t\right)</math>. Sprawdzimy jednak, jakie są konsekwencje
umieszczenia próbki w takim polu. Całkowite pole magnetyczne, w którym znajduje się badana próbka wynosi:

<equation id="uid2">
<math>
\vec{B}\left(t\right) = \vec{B}_{0} + \vec{B}_{1}\left(t\right)
</math>
</equation>

gdzie:

<ul>
<dt>

<li>
<math>\vec{B}_{0} = \left[0,0, B_{0}\right]</math>

<dt>

<li>
<math>\vec{B}_{1}\left(t\right) = \left[B_{1}\cos \left(\omega t\right),-B_{1}\sin \left(\omega t\right),0\right]</math>

</ul>

Podstawiając wzór (<xr id="uid2"> %i</xr>) do wzoru
(<xr id="uid61"> %i</xr>), oraz przyjmując zgodnie ze
wzorem (<xr id="uid38"> %i</xr>), że poszukujemy rozwiązania postaci:

<equation id="uid5">
<math>
\chi \left(t\right) =
\left[
\begin{array}{l}
\chi _{1}\left(t\right) \\
\chi _{2}\left(t\right)
\end{array}
\right] =
\chi _{1}\left(t\right)\left[
\begin{array}{l}
1\\
0
\end{array}
\right]
+
\chi _{2}\left(t\right)\left[
\begin{array}{l}
0\\
1
\end{array}
\right]
</math>
</equation>

otrzymujemy następujący układ równań:

<equation id="uid6">
<math>
\begin{array}{l}
i\frac{d\chi _{1}\left(t\right)}{dt} =
-\frac{\mu }{\hbar }\left(B_{1}e^{i\omega t}\chi _{2}\left(t\right) +
B_{0}\chi _{1}\left(t\right)\right)\\
\\
i\frac{d\chi _{2}\left(t\right)}{dt} =
-\frac{\mu }{\hbar }\left(B_{1}e^{-i\omega t}\chi _{1}\left(t\right) +
B_{0}\chi _{2}\left(t\right)\right)
\end{array}
</math>
</equation>

Domyślamy się, że rozwiązaniem powyższego układu równań będą funkcje:

<equation id="uid7">
<math>
\begin{array}{l}
\chi _{1}\left(t\right) = ae^{i\left(\omega + \omega _{r}\right)t}\\
\\
\chi _{2}\left(t\right) = be^{i\omega _{r} t}
\end{array}
</math>
</equation>

Wstawienie równań (<xr id="uid7"> %i</xr>) do
(<xr id="uid6"> %i</xr>) daje jednorodne równanie
macierzowe:

<equation id="uid8">
<math>
\underbrace{\left[
\begin{array}{cc}
\left(\frac{\mu B_{0}}{\hbar } - \omega - \omega _{r}\right) &
\frac{\mu B_{0}}{\hbar } \\
\\
\frac{\mu B_{0}}{\hbar } & -\left(\frac{\mu B_{0}}{\hbar } +
\omega _{r}\right)
\end{array}
\right]
}_{\Delta }
\left[
\begin{array}{c}
a \\
\\
b
\end{array}
\right] = 0
</math>
</equation>

które ma nietrywialnie rozwiązanie tylko wtedy, gdy znika wyznacznik
macierzy <math>\Delta </math>.
Warunek ten prowadzi do równania:

<equation id="uid9">
<math>
\omega _{r}^{2} + \omega \omega _{r} - \frac{\mu B_{0}}{\hbar }\left(\frac{\mu B_{0}}{\hbar } - \omega \right) -
\left(\frac{\mu B_{0}}{\hbar }\right)^{2} = 0
</math>
</equation>

Dozwolone wartości parametru <math>\omega _{r}</math> są zatem równe:

<equation id="uid10">
<math>
\omega _{r} = -\frac{\omega }{2} \pm \Omega </math>
</equation>

gdzie:

<equation id="uid11">
<math>
\Omega = \left[\left(\frac{\omega }{2} - \frac{\mu B_{0}}{\hbar }\right)^{2} + \left(\frac{\mu B_{1}}{\hbar }\right)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}
</math>
</equation>

Parametr <math>\Omega </math> nazywany jest częstością Rabiego.
Rozwiązanie ogólne np. dla <math>\chi _{2}\left(t\right)</math> będzie kombinacją
liniową dwóch składowych, odpowiadającym dwóm częstościom
(<xr id="uid11"> %i</xr>):

<equation id="uid12">
<math>
\chi _{2}\left(t\right) =
b_{1}e^{i\left(-\frac{\omega }{2}+\Omega \right)t} +
b_{2}e^{i\left(-\frac{\omega }{2}-\Omega \right)t}
</math>
</equation>

Przyjmijmy teraz, że w chwili czasu <math>t=0</math> proton znajduje się w stanie
podstawowym (czyli ma spin skierowany równolegle do pola <math>B_{0}</math>),

<equation id="uid13">
<math>
\left|\chi _{2}\left(t=0\right)\right|^{2} = 1
</math>
</equation>

wówczas:

<equation id="uid14">
<math>
b_{1} = -b_{2}
</math>
</equation>

Podstawiając (<xr id="uid12"> %i</xr>) do drugiego z równań
(<xr id="uid6"> %i</xr>) daje następującą postać funkcji
<math>\chi _{2}\left(t\right)</math>:

<equation id="uid15">
<math>
\chi _{2}\left(t\right) = i\frac{\mu B_{1}}{\hbar \Omega }e^{-\frac{i\omega t}{2}}sin\left(\Omega t\right)
</math>
</equation>

Rozwiązanie <math>\chi _{1}\left(t\right)</math>, odpowiadające szczególnej postaci
<math>\chi _{2}\left(t\right)</math> można otrzymać korzystając z drugiego z równań
(<xr id="uid6"> %i</xr>):

<equation id="uid16">
<math>
\chi _{1}\left(t\right) = e^{\frac{i\omega t}{2}}\cos \left(\Omega t\right) + \frac{i}{\Omega }\left(\frac{\omega }{2} - \frac{\mu B_{0}}{\hbar }\right)e^{\frac{i\omega t}{2}}sin\left(\Omega t\right)
</math>
</equation>

Podsumowując, otrzymaliśmy następujące rozwiązanie opisujące ewolucję
spinu protonu w polu magnetycznym <math>\vec{B}\left(t\right)</math>:

<equation id="uid17">
<math>
\begin{array}{l}
\chi \left(t\right) =
\left[
\begin{array}{l}
\chi _{1}\left(t\right) \\
\chi _{2}\left(t\right)
\end{array}
\right] =
\chi _{1}\left(t\right)\left[
\begin{array}{l}
1\\
0
\end{array}
\right]
+
\chi _{2}\left(t\right)\left[
\begin{array}{l}
0\\
1
\end{array}
\right]
\\
\\
\textrm {gdzie:}\\
\\
\chi _{1}\left(t\right) = e^{\frac{i\omega t}{2}}\cos \left(\Omega t\right) + \frac{i}{\Omega }\left(\frac{\omega }{2} -
\frac{\mu B_{0}}{\hbar }\right)e^{\frac{i\omega t}{2}}sin\left(\Omega t\right)
\\
\chi _{2}\left(t\right) = i\frac{\mu B_{1}}{\hbar \Omega }e^{-\frac{i\omega t}{2}}sin\left(\Omega t\right)\\
\end{array}</math>
</equation>

Obliczymy teraz prawdopodobieństwo znalezienia protonu w stanie o rzucie
spinu <math>-\frac{1}{2}</math> w chwili czasu <math>t</math>:

<equation id="uid18">
<math>
P_{-}\left(t\right) = \left|\chi _{2}\left(t\right)\right|^{2} =
\left(\frac{\mu B_{1}}{\hbar \Omega }\right)^{2}\sin ^{2}\left(\Omega t\right)
</math>
</equation>

Prawdopodobieństwo to oscyluje w czasie. Oczywiście prawdopodobieństwo
znalezienia protonu w stanie o rzucie spinu <math>-\frac{1}{2}</math>
jest równe <math>P_{+}\left(t\right) = 1 - P_{+}\left(t\right)</math>.
Przeanalizujmy otrzymany wynik. Amplituda oscylacji prawdopodobieństwa
zależy od częstości Rabiego:

::<math>
\Omega = \left[\left(\frac{\omega }{2} - \frac{\mu B_{0}}{\hbar }\right)^{2} + \left(\frac{\mu B_{1}}{\hbar }\right)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}
</math>

Jeżeli częstość <math>\omega </math> zmiennego pola magnetycznego będzie dowolnie
duża lub dowolnie mała, częstość Rabiego osiągnie znaczne wartości, a w
związku z tym prawdopodobieństwo przejścia jądra ze stanu o rzucie spinu
w górę do stanu o rzucie spinu w dół będzie zawsze niskie.
W momencie, gdy zostanie spełniony warunek:

<equation id="uid19">
<math>
\hbar \omega = 2\mu B_{0}
</math>
</equation>

przy jednoczesnym założeniu, że <math>B_{1}\ll B_{0}</math>, częstość Rabiego wyniesie:

::<math>
\Omega = \left(\frac{\mu B_{1}}{\hbar }\right)
</math>

a amplituda oscylacji prawdopodobieństwa osiąga maksymalną wartość:

<equation id="uid20">
<math>
P_{-}\left(t\right) = \sin ^{2}\left(\Omega t\right)
</math>
</equation>

Równanie (<xr id="uid19"> %i</xr>) określa tzw. warunek wystąpienia zjawiska
jądrowego rezonansu magnetycznego. Warto zauważyć, że energia pola
magnetycznego, jaką trzeba dostarczyć, aby uzyskać przejście jądra ze
stanu o rzucie spinu <math>\frac{1}{2}</math> do stanu o rzucie spinu
<math>-\frac{1}{2}</math> jest równa różnicy energii poziomów energetycznych
protonów umieszczonych w zewnętrznym polu <math>B_{0}</math>, bowiem:

<equation id="uid21">
<math>
\begin{array}{c}
E_{+} = -\mu B_{0} \\
\\
E_{-} = \mu B_{0} \\
\\
E_{-} - E_{+} = 2\mu B_{0}\\
\end{array}
</math>
</equation>

Jak wiemy, częstość precesji Larmour jest równa <math>\frac{2\mu B_{0}}{\hbar}</math>, a zatem
warunek rezonansowy możemy zapisać również w postaci:

<equation id="uid22">
<math>
{\omega = \omega _{0}}
</math>
</equation>

Prawdopodobieństwo przejścia jądra protonu ze stanu o rzucie spinu
<math>\frac{1}{2}</math> do stanu o rzucie <math>-\frac{1}{2}</math>, równe <math>50\%</math> zostanie
osiągnięte po czasie:

<equation id="uid23">
<math>
\sin ^{2}\left(\Omega t\right) = \frac{1}{2}
</math>
</equation>

czyli:

<equation id="uid24">
<math>
\sin \left(\Omega t\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}
</math>
</equation>

skąd dostajemy:

<equation id="uid25">
<math>
{t = \frac{\pi }{4\Omega }}
</math>
</equation>

Jest to tzw. impuls <math>\pi </math> — zastosowanie zmiennego pola magnetycznego o
takim czasie trwania impulsu doprowadzi do zaniku namagnesowania
podłużnego, powstanie natomiast namagnesowanie poprzeczne, co dokładniej
omówimy w dalszej części rozdziału.

Z kolei przejścia protonu do stanu o wyższej energii nastąpi po czasie:

<equation id="uid26">
<math>
{t = \frac{\pi }{2\Omega }}
</math>
</equation>

Jest to tzw. impuls <math>\frac{\pi }{2}</math>, powodujący zmianę orientacji spinu
protonu w zewnętrznym polu magnetycznym.

Znaleźliśmy zatem sposób na zmianę orientacji spinu, a w związku z tym i
namagnesowania.
W warunkach rezonansu funkcja falowa spinu wyraża się następującym wzorem:

<equation id="uid27">
<math>
\chi \left(t\right) = \cos \left(\Omega t\right)e^{\frac{i\omega t}{2}}
\left[
\begin{array}{l}
1\\
0
\end{array}
\right]
+ ie^{-\frac{i\omega t}{2}}sin\left(\Omega t\right)
\left[
\begin{array}{l}
0\\
1
\end{array}
\right]
</math>
</equation>

Korzystając ze wzoru na funkcję falową, podobnie jak w to uczyniliśmy w
rozdziale [https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/action/edit/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metod%C4%85_Magnetycznego_Rezonansu_J%C4%85drowego?section=36], możemy policzyć składowe wektora
wartości oczekiwanych operatora spinu. Wynoszą one:

<equation id="uid28">
<math>
\begin{array}{l}
\langle\hat{s}_{z}\rangle = \frac{1}{2}\hbar \cos \left(2\Omega t\right)\\
\\
\langle\hat{s}_{x}\rangle = \frac{1}{2}\hbar \sin \left(2\Omega t\right)\cos \left(2\omega _{0}t\right)\\
\\
\langle\hat{s}_{y}\rangle = -\frac{1}{2}\hbar \sin \left(2\Omega t\right)\sin \left(2\omega _{0}t\right)
\end{array}
</math>
</equation>

Z równań tych wynika, że w płaszczyźnie <math>x-y</math> wartość oczekiwana spinu
jest superpozycją dwóch rodzajów ruchów — szybkiego, z częstością
<math>2\omega _{0}</math> (częstością Larmour) oraz modulacji <math>2\Omega _{0}</math>,
natomiast składowa <math>z</math> wartości oczekiwanej momentu magnetycznego
odchyla się od kierunku zgodnego z polem <math>B_{0}</math> (równoległego do osi
<math>z</math>) w stronę kierunku przeciwnego do kierunku do pola <math>B_{0}</math>.

Ważne uwagi

<ol>

<li>
Zarówno w rozdziale [https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/action/edit/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metod%C4%85_Magnetycznego_Rezonansu_J%C4%85drowego?section=36], gdzie
opisywaliśmy precesję spinu w zewnętrznym polu magnetycznym, jak i w
rozdziale bieżącym, pominęliśmy w rozwiązaniach czynnik fazowy. Pełni on
jednak bardzo istotną role w opisie zjawiska NMR. W wyniku
wykonywania precesji w różnej fazie przez spiny jądrowe, zanika składowa
poprzeczna namagnesowania.

<li>
W przypadku wystąpienia rezonansu jądrowego, zewnętrzne pole
<math>\vec{B}_{1}\left(t\right)</math> oprócz indukowania przejść między poziomami
energetycznymi, powoduje również synchronizację składowych wartości
oczekiwanych spinu w płaszczyźnie <math>x-y</math>. Pół-klasycznym wytłumaczeniem
tego efektu zajmiemy się jeszcze w następnym rozdziale. Warto jednak już
w tym miejscu zapamiętać, iż procesy prowadzące do synchronizacji lub
desynchronizacji ruchu spinów zawierają niezwykle cenną informację
diagnostyczną.

</ol>

Podsumowując:

<ol>

<li>
W zewnętrznym, statycznym polu magnetycznym, skierowanym
wzdłuż osi <math>z</math>, spin protonu wykonuje ruch precesyjny z częstością
Larmour. Składowa <math>z</math> wartości oczekiwanej spinu jest stała w czasie,
składowe poprzeczne wykonują ruch wirowy w płaszczyźnie <math>x-y</math>.

<li>
Różnym ułożeniom spinu względem pola magnetycznego
odpowiadają różne energie potencjalne. W przypadku spinu równego
<math>\frac{1}{2}</math> istnieją dwa poziomy energetyczne, które będą obsadzane
przez jądra zgodnie z rozkładem Boltzmanna. Poziom odpowiadający
równoległemu rzutowi spinu na kierunek zewnętrznego pola magnetycznego,
jest korzystniejszy energetycznie, dlatego będzie obsadzany częściej.

<li>
Desynchronizacja ruchu wirowego wartości oczekiwanej spinów w
płaszczyźnie <math>x-y</math> uniemożliwia powstanie namagnesowania poprzecznego.
Obserwujemy tylko namagnesowanie podłużne.

<li>
Pod wpływem odpowiednio dobranego pola magnetycznego, można
doprowadzić do przejść między poziomami energetycznymi protonu. Jeżeli
energia kwantu promieniowania jest równa różnicy poziomów
energetycznych, proton absorbuje energię pola i przechodzi ze stanu o
podstawowego do stanu wzbudzonego. Następnie, po pewnym czasie pozbywa
się nagromadzonej energii, przechodząc z powrotem w stan podstawowy.
Przejścia te możliwe są tylko wtedy, kiedy kwant promieniowania ma
energię odpowiadającą częstości precesji Larmour spinu protonu w
zewnętrznym polu magnetycznym <math>B_{0}</math>.

<li>
Po pobudzeniu protonu impulsem <math>\frac{\pi }{2}</math> zanika
równowaga termodynamiczna w obsadzeniu stanów, a wraz z nią składowa <math>z</math>
wartości oczekiwanej spinu i związane nią namagnesowanie podłużne.

<li>
Jednocześnie, w wyniku synchronizacji w płaszczyźnie <math>x-y</math>
wartości oczekiwanej spinów tych jąder atomowych, które uległy przejściu
rezonansowemu, zaczyna powstawać namagnesowanie poprzeczne.

<li>
W trakcie przechodzenia protonów ze stanu podstawowego do
stanu wzbudzonego, obserwowane namagnesowanie podłużne zanika, podczas
gdy narasta namagnesowanie poprzeczne. Obserwujemy zatem efekt,
odchylania się wypadkowego namagnesowania od osi <math>z</math> w kierunku
płaszczyzny <math>x-y</math>.

<li>
W wyniku procesów prowadzących do rozpraszania nagromadzonej
przez proton energii oraz desynchronizacji ruchów precesyjnych zanika
namagnesowanie poprzeczne, natomiast odbudowuje się składowa podłużna
namagnesowania.

<li>
Zmianom kierunku i wielkości namagnesowania towarzyszy zmiana
indukcji pola elektrycznego, która może być rejestrowana przez cewki.
W szczególności, sygnał pochodzący od składowej poprzecznej
namagnesowania nosi nazwę sygnału FID (Free Induction Decay).

</ol>

==Terminy stosowane w diagnostyce MRI==
* '''Sekwencją''' nazywamy w badaniu MRI serię odpowiednio impulsów, zastosowaną w celu rejestracji danych pomiarowych i odtworzenia obrazu.
* '''RF — Radio Frequency''' to impuls generujący zmienne w czasie pole magnetyczne <math>\vec{B}_{1}</math>, pod wpływem którego jądra zajmują wyższe poziomy energetyczne związane ze spinem
* '''TR — Repetition Time''' jest to czas pomiędzy kolejnymi impulsami wzbudzającymi <math>\pi/2</math> (RF)
* '''TE — Echo Time''' jest to czas pomiędzy momentem wystąpienia impulsu pobudzającego <math>\pi/2</math> a momentem rejestracji sygnału echa spinowego.
* '''FA — Flip Angle''' to kąt o który ma być przekręcona magnetyzacja od osi <math>z</math> w kierunku płaszczyzny <math>x-y</math>. Zazwyczaj jest to kąt równy 90<math>^{o}</math>, jednakże w celu przyspieszenia badania, w niektórych sekwencjach stosuje się mniejsze kąty.
* '''TI — Inversion Time''' jest to czas pomiędzy impulsem pobudzającym <math>\pi</math> (zmiana orientacji spinu o 180<math>^{o}</math>) a impulsem pobudzającym <math>\pi/2</math>.
*'''NA or NEX Number of Acquisitions''' to liczba powtórzeń pomiaru. W celu uzyskania wysokiego SNR, pomiary można powtarzać wielokrotnie. Redukcja szumu maleje proporcjonalne do <math>\sqrt{\textrm{NA}}</math>.
----
<references/>

Obrazowanie:Obrazowanie Medyczne/Obrazowanie Metodą Magnetycznego Rezonansu Jądrowego

2024-11-14T10:13:56Z

Jginter: /* Równanie Blocha */

Obrazowanie Metodą Magnetycznego Rezonansu Jądrowego
==Kilka uwag na temat Mechaniki Kwantowej, Mechaniki Klasycznej oraz nazewnictwa.==
Prawidłową nazwą metody diagnostyki medycznej, która będzie omawiana w tej części skryptu, jest Obrazowanie Magnetycznego Rezonansu Jądrowego (ang. ''Nuclear Magnetic Rezonanse Imaging'', NMRI). Niestety, większość społeczeństwa negatywnie kojarzy przymiotnik ''jądrowy''. W związku z tym, pomimo iż diagnostyka NMRI nie ma nic wspólnego ze zjawiskiem rozpadu promieniotwórczego i jest uznawana za całkowicie bezpieczną, usunięto z jej nazwy słowo "jądrowy" (nuclear). Obecnie metodę NMRI określa się jako ’’Magnetic Rezonanse Imaging – MRI", czyli Obrazowanie Rezonansu Magnetycznego. W żargonie stosowanym w niektórych placówkach medycznych nazwa ta uległa skróceniu do jednego wyrazu — Rezonans.
Metoda NMRI opiera się na zjawisku Magnetycznego Rezonansu Jądrowego które omówimy na gruncie Mechaniki Klasycznej z elementami Mechaniki Kwantowej. Zastosowanie modelu kwantowego prowadzi do pełniejszego w porównaniu z modelem klasycznym opisu zjawiska NMR, jednak ze względu na skomplikowaną postać samej Teorii Kwantów, model kwantowy może być trudny w zrozumieniu. Z kolei model klasyczno-kwantowy (nazywany również modelem pół-klasycznym), jest łatwiejszy do przyswojenia i dla pewnej klasy problemów uzyskuje się za jego pomocą te same wyniki co w modelu kwantowym.

==Spin==
Dokładny opis spinu, który jest wielkością kwantową, wykracza znacznie poza ramy materiału niniejszego skryptu. W tym miejscu natomiast ograniczymy się do podania kilku faktów, obserwacji, czy uwag, mając nadzieję, że wystarczą one czytelnikom do zrozumienia, czym jest spin, przynajmniej w takim stopniu, który ułatwi im przyswojenie wiadomości na temat Jądrowego Rezonansu Magnetycznego. Podstawowymi elementami, z których składa się materia, są cząstki takie jak elektron, proton oraz neutron, które posiadają spin równy <math>\frac{1}{2}</math>. Najbardziej rozpowszechnionym pierwiastkiem w organizmach żywych jest wodór, którego jądra — protony, odgrywają podstawową role w otrzymywaniu obrazów MR. W związku z tym omówienie pojęcia spinu ograniczymy do przypadku spinu równego <math>\frac{1}{2}</math>.
*Zjawisko takie jak: rozszczepienie w niejednorodnym polu magnetycznym wiązki atomowej na dwie składowe, zaobserwowane przez Sterna i Gerlacha w roku 1922, czy dubletowa struktura widm pierwiastków alkalicznych nie zostały wyjaśnione w ramach teorii budowy atomu zaproponowanej przez Bohra. Doświadczenie Sterna-Gerlacha, jak i badania spektroskopowe wskazywały na nieuwzględnienie w teorii Bohra pewnej wielkości fizycznej — nieznanego, dodatkowego stopnia swobody elektronu.
*W roku 1925 Uhlenbeck i Goudsmit wprowadzają pojecie spinu, jako wewnętrznego momentu pędu elektronu. Uhlenbeck i Goudsmit przyjęli, iż elektron wiruje<ref>W języku angielskim słowo spin oznacza wirowanie</ref> wokół własnej osi, co w naturalny sposób umożliwiło im wytłumaczenie istnienia dodatkowego stopnia swobody oraz wyjaśnienie dubletowej struktury widm pierwiastków alkalicznych. Obecnie wiadomo, iż obraz elektronu jako wirującej kulki zaproponowany przez Uhlenbecka i Goudsmita jest nieprawidłowy. W ramach Mechaniki Kwantowej, spin należy rozumieć jako wyraz istnienia stanów polaryzacyjnych funkcji falowej (w przypadku elektronu, protonu, neutronu i niektórych jąder będą to dwa stany polaryzacyjne). Spin jest własnością cząstek, taką samą jak np. masa lub ładunek, ale obserwowalną dopiero w eksperymentach ujawniających kwantową naturę materii (często można spotkać się ze stwierdzeniem, iż spin jest kwantową własnością cząstek). Spin jest także składową całkowitego momentu pędu, niezwiązana z ruchem, można go zatem również interpretować jako własny (wewnętrzny) moment pędu cząstki.

==Spin i moment magnetyczny jądra atomowego==
Jądra atomowe zawierające nieparzystą liczbę protonów lub neutronów mają niezerowy własny moment pędu <math>\vec{I}</math> (spin) oraz związany z nim moment magnetyczny. Zgodnie z regułami opisu wielkości wektorowych w mechanice kwantowej, jednocześnie może być obserwowalna tylko długość wektora oraz wartość jednej z jego składowych (tzw. rzut tego wektora na wyróżnioną oś, nazywaną osią kwantowania). W przypadku wektora własnego momentu pędu jądra atomowego jego długość wynosi <ref name="bid3">H.Haken H.Ch.Wolf "Atomy i kwanty"</ref>:
<equation id="1"><math>
|\vec{I}| = \hbar\sqrt{I\left(I+1\right)}
</math></equation>
gdzie:
<math>I</math> oznacza liczbą kwantową o wartości całkowitej lub połówkowej. 
Składowa <math>z</math> momentu pędu wyraża się następującym wzorem <ref name="bid3" />:
<equation id="2"><math>
\begin{array}{lc}
I_{z} = m_{I}\hbar, & m_{I} = \{I,I-1,\dots,-I\}
\end{array}
</math></equation>
Możliwych jest zatem <math>2I+1</math> orientacji spinu jądra względem wyróżnionego kierunku, odpowiadających możliwym wartościom jądrowej magnetycznej liczby kwantowej <math>m_{I}</math>. W przypadku protonu (jądra atomu wodoru), mamy:
<equation id="3"><math>
\begin{array}{l}
I=1/2\\
\\
|\vec{I}| = \frac{\sqrt{3}}{2}\hbar\\
\\
(\vec{I})_{z} = \pm\frac{1}{2}\hbar
\end{array}
</math></equation>
Moment magnetyczny związany jest ze spinem następującą zależnością:
<equation id="4"><math>
\vec{\mu}_{I} = \gamma\vec{I}
</math></equation>
Stała proporcjonalności <math>\gamma</math> to tzw. jądrowy stosunek giromagnetyczny. Również i w przypadku jądrowego momentu magnetycznego można zmierzyć jednocześnie tyko jego długość i rzut na wyróżnioną oś <math>z</math> wynoszący:
<equation id="5"><math>
\left(\vec{\mu}_{I}\right)_{z} = \gamma\vec{I}_{z}
</math></equation>
Na moment magnetyczny umieszczony w polu magnetycznym <math>\vec{B}</math>, działa pewien moment siły, starający się ustawić momentu magnetycznego zgodnie z kierunkiem pola <math>\vec{B}</math>. Energia potencjalna tego oddziaływania wynosi:
<equation id="6"><math>
V = -\vec{\mu}\cdot\vec{B}
</math></equation>
Zgodnie z prawami termodynamiki układ fizyczny dąży do stanu, w którym jego energia wewnętrzna osiągnie wartość minimalną.
Rozważmy pole <math>\vec{B}</math>, posiadające tylko składową wzdłuż osi <math>z</math> układu odniesienia, czyli <math>\vec{B} = \left[ 0, 0, B_{z}\right] </math>.
W przypadku protonu, posiadającego ładunek dodatni, orientacji momentu pędu zgodnej z kierunkiem pola <math>\vec{B}</math> będzie odpowiadać energia potencjalna:
<equation id="7"><math>
V = -\mu\cdot B_z=-\gamma I_{z}B_z=-\frac{1}{2}\gamma\hbar B_z
</math></equation>
natomiast orientacji antyrównoległej:
<equation id="8"><math>
V = \mu\cdot B_z=-\gamma I_{z}B_z=\frac{1}{2}\gamma\hbar B_z
</math></equation>
Ustawienie najkorzystniejsze energetycznie odpowiada więc sytuacji, kiedy składowa <math>z</math> spinu ustawiona jest w równolegle do kierunku pola <math>\vec{B}</math> (magnetyczna liczba kwantowa <math>m_{I}=\frac{1}{2}</math>).

==Moment magnetyczny w stałym zewnętrznym polu magnetycznym==

[[File:mri_basic.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:mri_basic"></figure>Ilustracja do klasycznego rozwiązania zagadnienia precesji momentu magnetycznego <math>\vec{\mu}</math> wokół wektora indukcji pola magnetycznego <math>\vec{B}</math>. Na rysunku obrano prawoskrętny układ współrzędnych. Na moment magnetyczny działa moment siły równy <math>\vec{N} = \vec{\mu}\times \vec{B}</math>. Momentu siły, zgodnie z zasadą wyliczania iloczynu wektorowego, jest skierowany w płaszczyznę rysunku, powodując ruch momentu magnetycznego w kierunku zaznaczonym strzałką. Jest to ruch w kierunku przeciwnym do kierunku obranego układu współrzędnych.]]
Rozwiązanie równań Schrödingera dla przypadku statycznego pola magnetycznego nie jest skomplikowanym zadaniem. Niemniej interpretacja fizyczna otrzymanych wyników może sprawić pewne trudności. Ponadto w obrazowaniu MRI stosuje się nie tylko stałe pole magnetyczne lecz również odpowiednie serie impulsów pobudzających (tzw. impulsów pobudzających <math>\pi/2</math> lub <math>\pi</math>). Okazuje się, że w wielu przypadkach, zadowalający opis zjawiska rezonansu magnetycznego, uzyskuje się stosując tzw. model wektorowy, który jest podobny do modelu opisującego precesję symetrycznego bączka w polu grawitacyjnym. 
Rozważmy moment magnetyczny znajdujący się w stałym polu magnetycznym o następującej indukcji:<math>\vec{B}_0 =\left[0, 0, B_{0}\right]</math>.
Szybkość zmian momentu pędu ciała (<math>\vec{I}</math>) jest równa momentowi siły (<math>\vec{N}</math>) działającemu na to ciało:
<equation id="9"><math>
\frac{d\vec{I}}{dt} = \vec{N}
</math></equation>
Moment magnetyczny, związany z wewnętrznym momentem pędu jądra, wynosi:
<equation id="10"><math>
\vec{\mu}_{I} = \gamma\vec{I}
</math></equation>
Po przekształceniu powyższego równania dostajemy:
<equation id="11"><math>
\vec{I} = \frac{\vec{\mu}_I}{\gamma}
</math></equation>
W polu magnetycznym <math>\vec{B}_0</math> na moment magnetyczny będzie działa moment siły:
<equation id="12"><math>
\vec{N} = \vec{\mu}_{I}\times\vec{B}_0
</math></equation>

Podstawiając równanie na moment pędu do równania na moment siły otrzymujemy zależność opisującą ruch momentu magnetycznego:
<equation id="eq:MRI_1"><math>
\frac{d\vec{\mu}}{dt} = \gamma\vec{\mu}\times\vec{B}_0
</math></equation>
ponieważ:
<equation id="13"><math>
\gamma\vec{\mu}\times\vec{B}_0 = \left[\gamma\mu_{y}B_{0},-\gamma\mu_{x}B_{0},0\right]
</math></equation>
ostatecznie równanie (<xr id="eq:MRI_1"/>) możemy zapisać jako układ trzech równań:

<equation id="eq:MRI_2"><math>
\begin{array}{l}
\frac{d\mu_{x}}{dt} = \omega_{0}\mu_{y}\\
\\
\frac{d\mu_{y}}{dt} = -\omega_{0}\mu_{x}\\
\\
\frac{d\mu_{z}}{dt} = 0

\end{array}
</math></equation>
gdzie: <math>\omega_{0}=\gamma B_{0}</math> 

Rozwiązanie równania na wielkość składowej ''z'' wektora momentu magnetycznego jest proste i wynosi:
<equation id="14"><math>
\mu_{z} = \mu^{0}_{z} = \mathrm{const}
</math></equation>
W celu uzyskania równań na dwie pozostałe składowe wyznaczmy druga pochodną pierwszego równania w układzie (<xr id="eq:MRI_2"/>) i podstawmy ją do równania drugiego we wspomnianym układzie:
<equation id="eq:MRI_3"><math>
\begin{array}{l}
\frac{d^2\mu_{x}}{dt^2} = \omega_{0}\frac{d\mu_{y}}{dt}\\
\\
\frac{d\mu_{y}}{dt} = -\omega_{0}\mu_{x}
\end{array}
</math></equation>
Podstawiając teraz drugie równanie z układu (<xr id="eq:MRI_3"/>) do równania pierwszego układu (<xr id="eq:MRI_3"/>) dostajemy:
<equation id="eq:MRI_4"><math>
\frac{d^2\mu_{x}}{dt^2} = -\omega^{2}_{0}\mu_x
</math></equation>
Jest to równanie oscylatora harmonicznego o następującym rozwiązaniu:
<equation id="eq:MRI_5"><math>
\mu_x = A\cos(-\omega_0 t + \phi_0)
</math></equation>
gdzie stałe ''A'' oraz <math>\phi_0</math> wynikają z warunków początkowych.
Widzimy, że składowa ''x'' momentu magnetycznego drga z częstością <math>-\omega_0</math>. Przyczyna pojawienia się znaku "-" w rozwiązaniu została wyjaśniona na <xr id="fig:mri_basic">rys. %i</xr>. Podstawiając równanie (<xr id="eq:MRI_5"/>) do drugiego równania w układzie (<xr id="eq:MRI_2"/>) dostajemy rozwiązanie na wielkość składowej ''y'' momentu magnetycznego:

<equation id="15"><math>
\mu_x = A\sin(-\omega_0 t + \phi_0)
</math></equation>

Ostatecznie otrzymaliśmy następujące rozwiązanie ruchu wektora momentu magnetycznego w stałym polu magnetycznym:
<equation id="eq:MRI_6"><math>
\begin{array}{l}
\vec{\mu}_z = \mu^{0}_{z} = \mathrm{const}\cdot\vec{e}_z\\
\\
\vec{\mu}_x =A\cos(-\omega_0 t + \phi_0)\cdot\vec{e}_x\\
\\
\vec{\mu}_y =A\sin(-\omega_0 t + \phi_0)\cdot\vec{e}_y\\
\end{array}
</math></equation>
gdzie: 
<math>A, \phi_0, \mu^{0}_{z} </math> wynikają z warunków początkowych. 
Na podstawie równania (<xr id="eq:MRI_6"/>) możemy wyciągnąć następujące wnioski:
* składowa ''z'' momentu magnetycznego (równoległa do osi ''z'' i pola magnetycznego) zachowuje stały kierunek w przestrzeni,
* składowa ''x'' oraz ''y'' momentu magnetycznego zakreśla w płaszczyźnie ''X-Y'' okrąg.

Złożenie ruchu momentu magnetyczne w płaszczyźnie ''X-Y'' ze stałym kierunkiem składowej ''z'' daje wypadkowy ruch nazywany precesją (w tym przypadku jest to precesja momentu magnetycznego wokół kierunku stałego pola magnetycznego). Wektor momentu magnetycznego wykonuje ruch precesyjny z prędkością kątową (odpowiadającej częstości kołowej):
<equation id="eq:larmour_kolowa"><math>\omega_0 = \gamma B_0</math></equation>
nazywaną częstością Larmour'a.
Składowe ''x'' oraz ''y'' momentu magnetycznego można zapisać w wygodniejszy sposób stosują formalizm liczb zespolonych.
Pomnóżmy trzecie równanie w układzie (<xr id="eq:MRI_6"/>) przez liczbę <math>i=\sqrt{-1}</math> i dodajmy do drugiego równania w układzie (<xr id="eq:MRI_6"/>):
<equation id="16"><math>
\begin{array}{l}
\vec{\mu}_z = \mu^{0}_{z} = \mathrm{const}\cdot\vec{e}_z \\
\\
\vec{\mu}_x + \vec{\mu}_y\cdot i =A\cos(-\omega_0 t + \phi_0)\vec{e}_x + A\sin(-\omega_0 t + \phi_0)\vec{e}_y\cdot i
\end{array}
</math></equation>
Wprowadźmy wielkość:
<equation id="eq:mu_T"><math>
\vec{\mu}_T=\vec{\mu}_x + \vec{\mu}_y \dot i = A\cdot e^{-\omega_0 t + \phi_0} \cdot \vec{e}_T
</math></equation>
Wektor <math>\vec{\mu}_T</math> będziemy od tej chwili nazywali składową poprzeczną (ang. '' '''t'''ransversal'') momentu magnetycznego.
Z kolei wektor <math>\vec{\mu}_z</math> będziemy dalej oznaczali symbolem <math>\vec{\mu}_L</math> i nazywali składową podłużną momentu magnetycznego (ang. '' '''l'''ongnitudal''). Innym dogodny sposób matematycznego opisu zjawiska precesji momentu magnetycznego, który będziemy stosowali, wykorzystuje macierz obrotu:

<equation id="eq:MRI_7"><math>
\left\{
\begin{array}{l}
\vec{\mu}_x =A\cos(-\omega_0 t + \phi_0)\cdot\vec{e}_x\\
\\
\vec{\mu}_y =A\sin(-\omega_0 t + \phi_0)\cdot\vec{e}_y\\
\\
\vec{\mu}_z = \mu^{0}_{z}\cdot\vec{e}_z \\
\end{array}
\right.
=
\left\{
\begin{array}{l}
\vec{\mu}_x =A\cos(-\omega_0 t)\cos(\phi_0)\cdot\vec{e_x} - A\sin(-\omega_0 t)\sin(\phi_0)\cdot\vec{e}_x\\
\\
\vec{\mu}_y =A\sin(-\omega_0 t)\cos(\phi_0)\cdot\vec{e_y} + A\cos(-\omega_0 t)\sin(\phi_0)\cdot\vec{e}_y\\
\\
\vec{\mu}_z = \mu^{0}_{z}\cdot\vec{e}_z \\
\end{array}
\right.
\rightarrow
</math>
<math>
\left[
\begin{array}{l}
\vec{\mu}_x \\
\\
\vec{\mu}_y \\
\\
\vec{\mu}_z \\
\end{array}
\right] =
\left[
\begin{array}{ccc}
\cos(\omega_0 t) & \sin(\omega_0 t) & 0 \\
\\
-\sin(\omega_0 t) & \cos(\omega_0 t) & 0 \\
\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{l}
A\cos(\phi_0) \cdot \vec{e}_x \\
\\
A\sin(\phi_0) \cdot \vec{e}_y \\
\\
\mu_z^0 \cdot \vec{e}_z \\
\end{array}
\right]
\rightarrow
</math>
<math>
\left[
\begin{array}{l}
\vec{\mu}_x \\
\\
\vec{\mu}_y \\
\\
\vec{\mu}_z \\
\end{array}
\right] =
P\cdot
\left[
\begin{array}{l}
\mu_T^0 \cos(\phi_0) \cdot \vec{e}_x\\
\\
\mu_T^0 \sin(\phi_0) \cdot \vec{e}_y\\
\\
\mu_L^0 \cdot \vec{e}_z\\
\end{array}
\right]
</math></equation>
gdzie: 
<math>\mu_L^0</math> — rzut momentu magnetycznego na os ''Z'' w chwili początkowej, 
<math>\mu_T^0</math> — rzut momentu magnetycznego na płaszczyznę ''X-Y'' w chwili początkowej, 
<math>\phi_0</math> — kąt jaki tworzy rzut momentu magnetycznego na płaszczyznę ''X-Y'' z osią ''X'' w chwili początkowej, 
<math>P = \left[
\begin{array}{ccc}
\cos(\omega_0 t) & \sin(\omega_0 t) & 0 \\
\\
-\sin(\omega_0 t) & \cos(\omega_0 t) & 0 \\
\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right] </math> — macierz obrotu.

 
We wzorze (<xr id="eq:MRI_7"/>) skorzystano z własności trygonometrycznych sinusa i cosinusa:
<equation id="17"><math>
\begin{array}{ccc}
\sin\left( a + b \right) &=& \sin(a) \cos(b) + \cos(a) \sin(b)\\
\cos\left( a + b \right) &=& \cos(a) \cos(b) + \sin(a) \sin(b)\\
\end{array}
</math></equation>

==Namagnesowanie próbki==
Namagnesowanie, to całkowity moment magnetyczny, przypadający na jednostkę objętości <math>\Delta V</math>:
<equation id="17"><math>
\vec{M} = \frac{\sum_{i=1}^{N}\vec{\mu}_i}{\Delta V}
</math></equation>
Rozłóżmy wektor namagnesowania na dwie składowe: tzw. podłużną (<math>\vec{M}_L</math>),to jest równoległą do kierunku pola magnetycznego oraz składową poprzeczną (<math>\vec{M}_T</math>), leżącą w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku pola magnetycznego:
<equation id="18"><math>
\vec{M} = \vec{M}_L + \vec{M}_T
</math></equation>

===Ile wynosi namagnesowanie poprzeczne próbki?===
Składową poprzeczną namagnesowania będziemy oznaczali wektorem <math>\vec{M}_T</math>. Załóżmy, że w próbce znajduje się ''N'' takich samych jąder posiadających moment magnetyczny. Momenty te mają losową orientację przestrzeni. W pewnej chwili, zostaje włączone stałe pole magnetyczne. Stałe ''A'' oraz <math>\phi_0</math> dla każdego momentu magnetycznego wyznaczamy na podstawie orientacji momentu magnetycznego w chwili łączenia pola. Dla każdego jądra magnetycznego stała ''A'' wynikająca z warunków początkowych jak to faza początkowa <math>\phi_0</math> jest dowolna. W związku z czym:
<equation id="19"><math>
\vec{M}_T = \frac{\sum_{i=1}^{N}\vec{\mu}_{T} \cdot \vec{e}_T }{\Delta V} = \frac{\sum_{i=1}^{N}A_i e^{-\omega_0 t + \phi_{0_i}} \cdot \vec{e}_T}{\Delta V} = 0
</math></equation>
gdzie <math>\vec{\mu}_T</math> to składowa poprzeczna wektoru momentu magnetycznego, zgodnie ze wzorem (<xr id="eq:mu_T"/>).

===Ile wynosi namagnesowanie próbki, czyli namagnesowanie podłużne?===
Przypominamy, że rozważamy cząstkę lub jądro atomowe, znajdujące się w zewnętrznym polu magnetycznym <math>\vec{B}_{0}</math>, skierowanym równolegle do osi <math>z</math>. Składowa <math>z</math> tego pola wynosi <math>B_{0}</math>. W celu uproszczenia problemu przyjmujemy, że cząstka lub jądro atomowe posiada spin równy <math>\frac{1}{2}</math> (np. proton). Moment magnetyczny cząstki lub jądra atomowego może ustawić się zgodnie lub przeciwnie do kierunku zewnętrznego pola magnetycznego. W szczególności składowa <math>z</math> momentu magnetycznego, przyjmie kierunek równoległy bądź antyrównoległy do pola <math>B_{0}</math>, skierowanego wzdłuż osi <math>z</math>. Jak wiemy, układy fizyczne dążą do osiągnięcia stanu, w którym uzyskają minimum energii. Energia potencjalna momentu magnetycznego w zewnętrznym polem magnetycznym wynosi:
<equation id="20"><math>
V = -\vec{\mu}\vec{B}
</math></equation>
Rozwijając powyższy wzór dla rozważanego przez nas przypadku, otrzymujemy:
<equation id="21"><math>
V = -u_{z}B_{0} = -\gamma(\vec{I})_{z}B_{0}=-\gamma\hbar m_{I}B_{0}
</math></equation>
gdzie: 
<math>m_{I}=\pm\frac{1}{2}</math> 
Rzutowi momentu magnetycznego równoległemu do osi <math>z</math>, czyli dla <math>m_{I}=\frac{1}{2}</math>, odpowiada energia potencjalna:
<equation id="22"><math>
V = -\gamma\frac{\hbar}{2}B_{0}
</math></equation>
natomiast rzutowi antyrównoległemu:
<equation id="23"><math>
V = \gamma\frac{\hbar}{2}B_{0}
</math></equation>
Jak widać ustawienie równoległe spinu i momentu magnetycznego protonu względem pola <math>B_{0}</math> jest korzystniejsze energetycznie niż ustawienie antyrównoległe. Należy się zatem spodziewać, iż w zewnętrznym polu magnetycznym częściej będzie występować sytuacja, kiedy moment magnetyczny ustawi się w kierunku tego pola. Namagnesowanie podłużne powstaje zatem w wyniku nierównomiernego obsadzenia przez cząstkę lub jądro stanów o spinie skierowanym zgodnie lub przeciwnie do kierunku oddziałującego pola magnetycznego. W celu obliczenia, jaka będzie różnica w ilości obsadzeń poszczególnych stanów energetycznych, skorzystamy z rozkładu Boltzmana.
Stosunek liczby cząstek obsadzających dwa stany energetyczne jest równa:
<equation id="eq:rozB"><math>
\frac{N_{+}}{N_{-}} = \frac{e^{-\frac{E_{+}}{k_{b}T}}}{e^{-\frac{E_{-}}{k_{b}T}}}
</math></equation>
gdzie: 
<math>T</math> — temperatura, 
<math>k_{b}</math> — stała Boltzmana, 
<math>N_{\pm}</math> — liczba cząstek o spinie skierowanym odpowiednio równolegle i antyrównolegle do pola <math>B_{0}</math>. 
Podstawiając do wzoru (<xr id="eq:rozB"/>) wyznaczone wcześniej energie potencjalne, odpowiadające dwóm różnym orientacjom spinu w polu <math>B_{0}</math> dostajemy: 
<equation id="24"><math>
\frac{N_{+}}{N_{-}} = \frac{e^{-\frac{-\frac{\hbar}{2}\gamma B_{0}}{k_{b}T}}}{e^{-\frac{\frac{\hbar}{2}\gamma B_{0}}{k_{b}T}}}=e^{\frac{\gamma\hbar B_{0}}{k_{b}T}}
</math></equation>
W temperaturze pokojowej, różnice obsadzeń poszczególnych poziomów energetycznych są nieznaczne, dlatego skorzystamy z przybliżenia:
<equation id="25"><math>
e^{\frac{\gamma\hbar B_{0}}{k_{b}T}}\approx 1+ \frac{\gamma\hbar B_{0}}{k_{b}T}
</math></equation>
Różnica w ilości obsadzeń poszczególnych poziomów energetycznych jest zatem równa:
<equation id="26"><math>
\Delta N = N_{+} - N_{-} = \frac{\gamma\hbar B_{0}}{k_{b}T}N_{-}\approx\frac{\gamma\hbar B_{0}}{k_{b}T}\frac{1}{2}N_{t}
</math></equation>
gdzie: 
<math>N_{t}</math> to liczba wszystkie jąder atomu wodoru w badanej próbce. 
Czynnik <math>\frac{\gamma\hbar B_{0}}{k_{b}T}</math> w temperaturze ciała ludzkiego <math>T=310K</math> i polu magnetycznym <math>B_{0}=1T</math> jest równy:
<equation id="27"><math>
\frac{\gamma\hbar B_{0}}{k_{b}T}\approx 7\cdot10^{-6}
</math></equation>
Wynik ten oznacza, że na każdy milion protonów o spinie skierowanym przeciwnie do pola magnetycznego, przypada milion plus siedem protonów o spinie skierowanym równolegle do pola i ta niewielka nadwyżka protonów w stanie o korzystniejszej energii jest odpowiedzialna za namagnesowanie próbki. Wartość nadwyżki wydaje się być niezwykle mała. Należy jednak pamiętać, że ilość protonów jaka występuje w organizmie ludzkim jest niezmiernie duża, co umożliwia rejestrację wytworzonego namagnesowania. Jeden gram wody zawiera <math>\frac{1}{8}</math> mola atomów wodoru. W jednym molu materii występuje <math>6.023\cdot10^{32}</math> cząsteczek, a zatem gram wody zawiera <math>N_{t} = 6.68\cdot10^{22}</math> atomów wodoru. Nadwyżka <math>\Delta N</math> wynosi zatem <math>\Delta N\approx 2.2\cdot10^{17}</math> protonów.
Całkowity podłużny moment magnetyczny wytworzony przez 1 gram wody wynosi:
<equation id="28"><math>
\left|\mu_{L}\right| = \Delta N\left<\mu_{z}\right>=\Delta N \frac{1}{2}\hbar\gamma = \Delta n\cdot 1.4\cdot10^{-26}\textrm{J/T} = 3.1\cdot10^{-9}\textrm{Am}^{2}
</math></equation>
Z kolei namagnesowanie to całkowity moment magnetyczny na jednostkę objętości. Jeden gram wody zajmuje objętość <math>10^{-6}\mathrm m^{-3}</math>
a zatem namagnesowanie wytworzone 2 jednym gramie wody w polu magnetycznym o wartości indukcji <math>B_{0}=1</math>T w temperaturze <math>T=310</math>K wyniesie:
<equation id="29"><math>
\left|M\right|=3.1\cdot10^{-3}\textrm{A/m}
</math></equation>

==Zmiana orientacji wektora namagnesowania. Magnetyczny Rezonans Jądrowy==
W poprzednim rozdziale dowiedzieliśmy się, że efektem wprowadzenia jąder w stałe pole magnetyczne jest wykonywanie przez momenty magnetyczne ruchu precesyjnego wokół kierunku wektora pola magnetycznego, skutkiem czego pojawia się namagnesowanie próbki. Niestety, pomiar wielkości uzyskanego w ten sposób namagnesowania jest niemożliwy do przeprowadzenia. Namagnesowanie ma ten sam kierunek co wywołujące je pole magnetyczne.
W celu pomiaru wielkości namagnesowania próbki niezbędne jest zmiana orientacji wektora <math>\vec{M}</math>. Dokonuje się to poprzez wprowadzenie próbki w dodatkowe, zmienne pole magnetyczne. Proces ten opiszemy w niniejszym rozdziale.

Ewolucję wektora namagnesowania można opisać równaniem podobnym do równania (<xr id="eq:MRI_1"/>):
<equation id="eq:MRI_7"><math>
\frac{d\vec{M}}{dt} = \gamma\vec{M}\times\vec{B}_0
</math></equation>
Rozważmy teraz konfigurację dwóch pól magnetycznych — pola statycznego i pola zmiennego w czasie, mającego niezerowe składowe tylko w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku pola stałego. Niech zmienne pole magnetyczne ma postać:
<equation id="eq:MRI_8"><math>
\vec{B}_1\left(t\right) = \left[2B_{1}\cos\left(-\omega_1 t\right),0,0\right]
</math></equation>
Indukcja zmiennego pola magnetycznego <math>\vec{B}_1</math> jest rzędu <math>10^{-5}</math> T, a zatem jest znacznie mniejsza od indukcji statycznego pola magnetycznego <math>\vec{B}</math>. Pole <math>\vec{B}_1</math> nazywane jest impulsem pobudzającym (ang. ''Radio Frequency'', RF), włączane jest bowiem na krótki okres czasu (co wyjaśnimy dalej). Impuls RF wytwarza się za pomocą cewek w postaci fali elektromagnetycznej.
Okazuje się, że pole opisane wzorem (<xr id="eq:MRI_7"/>) możemy rozłożyć na dwa pola, rotujące w płaszczyźnie ''x-y'' w przeciwne strony:
<equation id="29"><math>
\begin{array}{l}
\vec{B}_{1_R}\left(t\right) = \left[B_{1}\cos\left(-\omega_1 t\right),B_{1}\sin\left(-\omega_1 t\right),0\right]
\\
\vec{B}_{1_L}\left(t\right) = \left[B_{1}\cos\left(-\omega_1 t\right),-B_{1}\sin\left(-\omega_1 t\right),0\right]
\end{array}
</math></equation>
Pierwsza składowa pola <math>\vec{B}_{1_R}</math> rotuje przeciwnie do wskazówek zegara, zaś druga składowa <math>\vec{B}_{1_l}</math> w kierunku przeciwnym. W zależności od tego, jaką orientację posiadał jądrowy moment magnetyczny (równoległą lub antyrównoległą do osi <math>z</math>), jedna z tych składowych będzie drgała w kierunku ruchu precesyjnego spinu, druga zaś w kierunku przeciwnym. Składowa drgająca w kierunku przeciwnym będzie "''niewidoczna dla momentu magnetycznego''" i nie wpłynie na jego orientację. Pole drgające w kierunku przeciwnym do ruchu precesyjnego momentu magnetycznego wywoła pewne drugorzędowe efekty, które nie będą omawiane w niniejszej pracy. Ruch momentu magnetycznego, w przypadku superpozycji dwóch pól — statycznego <math>B_{0}</math> oraz zmiennego <math>B_{1}\left(t\right)</math> opisuje zatem następujące równanie:
<equation id="eq:MRI_9"><math>
\frac{d\vec{M}}{dt}=\gamma\vec{M}\times\left[\vec{B}_0 + \vec{B}_1\left(t\right)\right]
</math></equation>
gdzie: <math>\vec{B}_{0} = \left[0, 0, B_{0}\right]</math>, <math>B_{1}\left(t\right) = B_{1}\left[\cos\left(\omega_1 t\right),-sin\left(\omega_1 t\right),0\right])</math>. 
Wprowadźmy dwa układy współrzędnych: Układ Laboratoryjny ''U'' oraz układ ''U' '' obracający się z częstością zmiennego pola magnetycznego (<math>\omega_1</math>). Osie ''z'' oraz ''z' '' odpowiednio układu ''U'' oraz ''U' '' są do siebie równoległe. Stałe pole magnetyczne jest skierowane wzdłuż tych osi. Zapiszmy równanie (<xr id="eq:MRI_9"/>) w układzie ''U ' ''.
Zgodnie z zasadami transformacji wektorów pomiędzy różnymi układami współrzędnych, równanie (<xr id="eq:MRI_9"/>) w układzie ''U' ''będzie miało postać:
<equation id="a1"><math>
\left[\frac{d\vec{M}}{dt}\right]_{U'}=\vec{M}\times\left[\left(-\omega_1 + \gamma B_{0}\right)\vec{e}_z + \gamma B_{1}\vec{e}_x\right]
</math></equation>
które można również zapisać w formie:
<equation id="eq:rownaie_ruchu_w_wirujacym_ukladzie_odniesienia"><math>
\left[\frac{d\vec{M}}{dt}\right]_{U'}=\vec{M}\times\gamma\left[\left(B_{0} - \frac{\omega_1}{\gamma}\right)\vec{e}_{z'} + B_{1}\vec{e}_{x'}\right] = M\times\gamma\vec{B}_{eff}
</math></equation>
gdzie: <math>\vec{B}_{eff} = \left[\left(B_{0} - \frac{\omega_1}{\gamma}\right)\vec{e}_z + B_{1}\vec{e}_x\right]</math>. 

===Zjawisko Magnetycznego Rezonansu Jądrowego w ujęciu klasycznym===

Przeanalizujmy równanie (<xr id="eq:rownaie_ruchu_w_wirujacym_ukladzie_odniesienia"/>). W obracającym się układzie odniesienia jądrowy moment magnetyczny zachowuje stałe położenie. Wzdłuż osi ''z' '' układu ''U' '' obserwujemy składową statycznego pola magnetycznego <math>B_0\vec{e}_z</math> oraz pole <math>\frac{\omega_1}{\gamma}\vec{e}_z</math>, które powstaje w wyniku przejścia z układu laboratoryjnego ''U'' do układu ''U' ''. Dodatkowo w płaszczyźnie ''X'-Y' '' obserwujemy statyczne pole magnetyczne <math>\vec{B}_1\vec{e}_x</math>. W wyniku złożenia tych trzech pół, powstaje wypadkowe pole <math>\vec{B}_{eff}</math>, wokół którego moment magnetyczny zaczyna dokonywać precesji.
Rozpatrzmy następujące przypadki: 
1. Częstość <math>\omega_1</math> wirującego pola <math>\vec{B}_1</math> jest bardzo niewielka (<math>\omega_1\approx0</math>). 
: Przypominamy, że <math>B_0>>B_1</math>, wtedy: 
: <math>\vec{B}_{eff} = B_{0}\vec{e}_z</math>, 
: innymi słowy, dodatkowe, rotujące pole magnetyczne nie wpływa na orientację momentów magnetycznych oraz namagnesowania.
2. Częstość <math>\omega_1</math> wirującego pola <math>\vec{B}_1</math> spełniona warunek <math>\frac{\omega_1}{\gamma}>>B_0)</math>, wtedy: 
: Przypominamy, że <math>B_0>>B_1</math> i wtedy: 
: <math>\vec{B}_{eff} = -\frac{\omega_1}{\gamma}\vec{e}_z</math> 
: czyli zjawisko precesji momentów magnetycznych nadal odbywa się wokół osi ''z' '', z tą różnicą, iż ulega zmianie kierunek precesji, zaś dodatkowe, rotujące pole magnetyczne nie wpływa na orientację momentów magnetycznych oraz namagnesowania <math>\vec{M}</math>.
3. Częstość rotującego pola magnetycznego <math>\vec{B}_1</math> spełnia warunek <math>\omega_1 = \gamma B_{0}</math>, wtedy: 
: <math>\vec{B}_{eff} = B_1\vec{e}_x</math>, 
: co oznacza, że wektor namagnesowania zaczyna wykonywać ruch precesyjny wokół pola magnetycznego <math>B_1\vec{e}_x</math>. Ponownie : przypominamy, że <math>B_1<<B_0</math>. Jak widać, przy pomocy pola magnetycznego o niewielkiej indukcji, lecz odpowiednio dobranej częstości, możliwa jest zmiana orientacji wektora namagnesowania. Jest to zjawisko '''Magnetycznego Rezonansu Jądrowego'''. Występowanie w nazwie zjawiska termin ''rezonans'' (kojarzony najczęściej z obwodami elektrycznymi), jest jak najbardziej uzasadnione, ponieważ za pomocą niewielkiego zaburzenia o periodycznym charakterze (ale odpowiednio dobranej częstości), doprowadziliśmy do znaczących zmian w układzie. Częstość ruchu precesyjnego wektora namagnesowania wokół pola <math>\vec{B}_1</math> wynosi:
<equation id="30"><math>
\Omega = \gamma B_1
</math></equation>
: Częstość <math>\Omega</math> jest nazywana częstością Rabbiego. W trakcie czasu <math>\tau></math> namagnesowanie zakreśli kąt <math>\Theta</math> równy:
<equation id="1b"><math>
\Theta = \Omega\tau
</math></equation>
Podsumowując, po wprowadzeniu próbki w stałe pole magnetyczne o wartości indukcji ''B_0'', momenty magnetyczne poszczególnych jąder zaczynają : wykonywać ruch precesyjny z częstością Larmour'a <math>\omega_0=\gamma\ B_0</math>. Pojawia się wypadkowe namagnesowanie próbki w kierunku : : stałego pola magnetycznego. Wprowadzając dodatkowe pole magnetyczne o wartości indukcji <math>B_1</math>, wirujące w płaszczyźnie prostopadłej do pola <math>B_0</math>, możliwa jest zmiana orientacji wektora namagnesowania, o ile częstość wirowania pola <math>\vec{B}_1</math> jest równa częstości <math>\omega_0</math> precesji Larmour'a. 
Podsumowując: 
# Pod wpływem zewnętrznego, statycznego pola magnetycznego, skierowane wzdłuż osi <math>z</math> spiny wykonują precesję. Składowa <math>z</math> wartości oczekiwanej spinu jest stałą w czasie, składowe poprzeczne wykonują ruch wirowy w płaszczyźnie <math>x-y</math>.
# Różnym ułożeniom spinu względem pola magnetycznego odpowiadają różne energie potencjalne. W przypadku spinu równego <math>\frac{1}{2}</math> istnieją dwa poziomy energetyczne, które będą obsadzane przez jądra zgodnie z rozkładem Bolzmana. Poziom związany z równoległym do zewnętrznego pola magnetycznego rzutem spinu jest korzystniejszy energetycznie, dlatego będzie obsadzany częściej.
#Desynchronizacja ruchu wirowego wartości oczekiwanej spinów w płaszczyźnie <math>x-y</math> uniemożliwi powstanie namagnesowania poprzecznego. Obserwujemy tylko namagnesowanie podłużne.
# Pod wpływem odpowiednio dobranego pola magnetycznego, można doprowadzić do przejść rezonansowych. Jądro mające spin w korzystniejszym stanie energetycznym, przejdzie do stanu, o wyższej energii związanej z oddziaływaniem spinu z polem magnetycznym. Zanika równowaga termodynamiczna w obsadzeniu stanów, a wraz z nią składowa <math>z</math> wartości oczekiwanej spinu i związane nią namagnesowanie podłużne.
# Jednocześnie, w wyniku synchronizacji w płaszczyźnie <math>x-y</math> wartości oczekiwanej spinów tych jąder atomowych, które uległy przejściu rezonansowemu, zaczyna powstawać namagnesowanie poprzeczne.
# Obserwowane namagnesowanie podłużne zanika, podczas gdy narasta namagnesowanie podłużne. Obserwujemy zatem efekt, odchylania się namagnesowania od osi <math>z</math> w kierunku płaszczyzny <math>x-y</math>.
# Po pewnym czasie namagnesowanie podłużne zanika, a namagnesowanie poprzeczne osią maksymalną wartość.
# Zmianom kierunku i wielkości namagnesowania towarzyszy zmiana indukcji pola elektrycznego, która może być rejestrowana przez cewki.

===Typowe wartości częstości Larmora oraz częstości Rabbiego===
Opisując zmiany wielkości fizycznych w czasie niejednokrotnie posługujemy się częstością wyrażaną w Hz. W takim przypadku wzór: (<xr id="eq:larmour_kolowa"/>) przyjmie nastepującą postać:
<equation id="31"><math>
f = \frac{\gamma}{2\pi}B_0
</math></equation>
Z tego względu, częstą praktyką podawanie jest w tablicach fizycznych stałej <math>\frac{\gamma}{2\pi}</math> zamiast samej wartości współczynnika giromagnetycznego γ.
<figure id="fig:spiny">
<caption>Wartości współczynników giromagnetyczne oraz spinów wybranych jąder atomowych</caption>
{| class="wikitable"
! Jądro
! Spin
! <math>\frac{\gamma}{2\pi}</math> <math>\left[\frac{\textrm{MHz}}{\textrm{T}}\right]</math>.
|-
| <math>^1H</math>
| <math>\frac{1}{2}</math>
| 42,58
|-
| <math>^{13}C</math>
| <math>\frac{1}{2}</math>
| 10,71
|-
| <math>^{14}N</math>
| <math>1</math>
| 3,08
|-
| <math>^{17}O</math>
| <math>\frac{1}{2}</math>
| 42,58
|-
| <math>^{23}Na</math>
| <math>\frac{3}{2}</math>
| 11,27
|-
|-
| <math>^{39}K</math>
| <math>\frac{3}{2}</math>
| 1,99
|-
|-
| <math>^{43}Ca</math>
| <math>\frac{7}{2}</math>
| 2,86
|-
|}
</figure>
Jak można zauważyć, największą wartością momentu magnetycznego charakteryzują się jądra atomu wodoru, czyli protony. Częstość precesji Larmora dla protonów umieszczonych w polu magnetycznym o indukcji <math>B_0=1</math> T osiągnie wielkość:
<equation id="32"><math>
f_0 = \frac{\gamma}{2\pi} B_0 = 42,58 \left[\frac{\textrm{MHz}}{T}\right] \cdot \textrm{[T]} = 42,58 \textrm{MHz}
</math></equation>
Dodatkowe, zmienne pola magnetyczne <math>\vec{B}_1</math>, stosowane do zmiany orientacji wektora namagnesowania, mają niewielkie wartości, rzędu <math>10^{-5}</math>T.
Po wprowadzeniu próbki zawierającej jądra atomu wodoru w dodatkowe pole magnetyczne <math>\vec{B}_1</math>, wirujące w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku pola statycznego, namagnesowanie zaczyna wykonywać obrót w płaszczyźnie równoległej do kierunku pola statycznego z częstością Rabbiego równą:
<equation id="33"><math>
f_1 = \frac{\gamma}{2\pi} B_1 = 42,58 \left[\frac{\textrm{MHz}}{T}\right] \cdot 10^{-3} \textrm{[T]} = 0.0580 \textrm{MHz}
</math></equation>

===Impulsy <math>\pi</math> oraz <math>\frac{\pi}{2}</math>===
Jak dowiedzieliśmy się w poprzednich rozdziałach, przy pomocy rotującego pola magnetycznego o odpowiednio dobranej częstości, możemy zmienić orientacje wektora namagnesowania. Jest to o tyle ważne, iż wektor ten wywołuje pole magnetyczne dużo mniejsze z w porównaniu do wartości pola statycznego <math>\vec{B}_0</math>, do którego jest równoległy. Uniemożliwia to pomiar wartości magnetyzacji próbki. Zmianę orientacji wektora namagnesowania określa się za pomocą kąta, o jaki odchyla się on od kierunku statycznego pola magnetycznego <math>\vec{B}_0</math>, które leży wzdłuż osi ''Z'' przyjętego przez nas układu współrzędnych. Kąt ten można wyliczyć za pomocą wzoru na częstość Rabbiego. Jeśli wektor namagnesowania w trakcie rezonansu wykonuje precesję wokół pola <math>B_1</math> z częstością:
<equation id="33"><math>
\Omega = \gamma B_1
</math></equation>
to w czasie τ zakreśli on kąt:
<equation id="34"><math>
\Theta = \Omega\cdot\tau = \gamma B_1\tau
</math></equation>
Szczególną rolę w diagnostyce MRI odgrywają obroty wektora namagnesowania o kąt <math>\Theta = \frac{\pi}{2}</math> oraz <math>\Theta = \pi</math>. Pole magnetyczne, wywołujące takie zmiany nazywamy odpowiednio impulsami <math>\frac{\pi}{2}</math> oraz <math>\pi</math>.
Czas trwania tych impulsów możemy łatwo oszacować. Przyjmując wielkość indukcji pola <math>B_1</math> na <math>10^{-5}</math> T oraz współczynnik giromagnetyczny dla protonów, dostajemy:
* dla impulsu <math>\frac{\pi}{2}</math>, <math>\tau = \frac{\Theta}{\gamma B_1} = \frac{\frac{\pi}{2}}{2\pi\cdot 42,577 \left[\frac{\textrm{MHz}}{\textrm{T}}\right]\cdot 10^{-5}\textrm{T}}\approx 580\mu s</math>
* dla impulsu <math>\pi</math>, <math>\tau = \frac{\Theta}{\gamma B_1} = \frac{\pi}{2\pi\cdot 42,577 \left[\frac{\textrm{MHz}}{\textrm{T}}\right]\cdot 10^{-5}\textrm{T}}\approx 1060\mu s</math>

==Procesy Relaksacji==

[[File:relaksacja.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:relaksacja"></figure>Ilustracja przykładowy proces zaniku składowej poprzecznej i odbudowy składowej podłużnej pewnego wektora.]]

'''Procesy relaksacji podpis pod rysunkiem:'''

Składowa poprzeczna wektora, oznaczona kolorem czerwonym, jest sumą trzech wektorów o jednostkowej długości, rotujących w płaszczyźnie ''X-Y'' i oznaczonych kolorem niebieskim. W chwili <math>t=0</math> (punkt A.), wektory składowe rotują w płaszczyźnie ''X-Y'' w tej samej fazie, dając wektor wypadkowy o długości trzech jednostek. Po pewnym czasie <math>\Delta t</math> (punkt B.) jeden z wektorów składowych zmienia orientację o kąt <math>\frac{\pi}{2}</math>, w efekcie czego długość składowej poprzecznej wektora wypadkowego maleje do dwóch jednostek, pojawia się natomiast składowa podłużna wektora wypadkowego (oznaczona kolorem zielonym) o długości jednej jednostki. Po kolejnym czasie Po pewnym czasie <math>\Delta t</math> (punkt C.), ruch pozostałych w płaszczyźnie ''X-Y'' rotujących wektorów ulega rozfazowaniu, co powoduje dalszy zanik składowej poprzecznej wektora wypadkowego, ale nie zwiększa długości jego składowej podłużnej. Po upływie kolejnej jednostki czasu <math>\Delta t</math> (punkt D.), jeden z wektorów składowych, rotujący w płaszczyźnie ''X-Y'' zmienia orientację o kąt <math>\frac{\pi}{2}</math>. Składowa poprzeczna wektora wypadkowego ulega skróceniu do jednej jednostki, zaś składowa podłużna osiąga długość dwóch jednostek. Po zmianie orientacji ostatniego wektora składowego (punkt E.), składowa poprzeczna wektora wypadkowego zanika, zaś składowa podłużna osiąga maksymalną długość trzech jednostek.

W rozdziałach [[https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/action/edit/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metod%C4%85_Magnetycznego_Rezonansu_J%C4%85drowego?section=4]], [[https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/action/edit/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metod%C4%85_Magnetycznego_Rezonansu_J%C4%85drowego?section=5]] oraz [[https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/action/edit/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metod%C4%85_Magnetycznego_Rezonansu_J%C4%85drowego?section=8]] omówiliśmy dwa następujące podstawowe elementy zjawiska rezonansu magnetycznego:
# Wprowadzenie próbki składającej się z atomów wodoru w statyczne pole magnetyczne, skutkiem czego pojawiło się namagnesowanie próbki w kierunku tego pola.
# Pobudzenie próbki rotującym w płaszczyźnie prostopadłej do pola statycznego, polem magnetycznym o małej indukcji lecz odpowiednio dobranej częstości, co doprowadziło do zmiany orientacji wektora namagnesowania.
Poruszyliśmy również kwestie doboru czasu impulsu rotującego pola magnetycznego, tak aby zmienić orientację wektora namagnesowania o kąt <math>\pi</math> lub <math>\frac{\pi}{2}</math>. Po obróceniu magnetyzacji o wymagany kąt, impulsowe pole magnetyczne jest wyłączane i dokonywany jest pomiar namagnesowania próbki. Co dalej dzieje się z wektorem magnetyzacji ? Obrót wektora namagnesowania jest niczym innym jak wytrąceniem układu z położenia równowagi termodynamicznej. Jak pamiętamy z pierwszych rozdziałów dotyczących MRI, momenty magnetyczne jąder atomowych starają ustawić się w kierunku pola magnetycznego. Układ będzie zatem dążył do powrotu do stanu równowagi. Przypominamy, iż wyróżniliśmy dwie składowe namagnesowania: namagnesowanie podłużne (<math>\vec{M}_L</math> oraz namagnesowanie poprzeczne <math>\vec{M}_T</math>. Przyjmijmy, że umieszczenie próbki w polu magnetycznym wywołuje namagnesowanie o wartości <math>M_0</math> i rozważmy składowe namagnesowania w układzie rotującym ''U' '' w następujących przypadkach:
1.Włączone pole statyczne, wtedy: 
<equation id="35"><math>
\vec{M} =
\left[\begin{array}{l}
M_L \\
\\
M_T
\end{array}
\right] =
\left[\begin{array}{l}
M_0 \\
\\
0
\end{array}
\right]
</math></equation> 
2. Zadziałanie na próbkę impulsem <math>\frac{\pi}{2}</math>, po którym magnetyzacja wynosi:
<equation id="36"><math>
\vec{M} =
\left[\begin{array}{l}
M_L \\
\\
M_T
\end{array}
\right] =
\left[\begin{array}{l}
0 \\
\\
M_0
\end{array}
\right]
</math></equation>.
Interesuje nas teraz przejście układu ze stanu (2) do stanu (1). Proces powrotu układu do stanu równowagi nazywamy relaksacją.
Okazuje się, że proces odbudowywania się namagnesowania podłużnego trwa dłużej, niż zanik namagnesowania poprzecznego. W związku z tym, będziemy wyróżniali relaksację podłużną, to jest odbudowywanie się składowej podłużnej namagnesowania oraz relaksację poprzeczną, czyli zanik składowej poprzecznej magnetyzacji. Przyczynę różnego czasu procesów relaksacji podłużnej i poprzecznej są następujące. 
===Relaksacja podłużna===
Podstawową przyczyną przechodzenia jąder atomowych ze stanu wzbudzonego do podstawowego po wyłączeniu impulsu pobudzającego są
oddziaływania spinów poszczególnych jąder z siecią krystaliczną (tzw. oddziaływania spin-sieć). W wyniki tych przejść zanika oczywiście również składowa poprzeczna namagnesowania. Inne procesy, które mają wpływ na powrót jąder do stanu równowagi i odbudowę składowej podłużnej magnetyzacji to:
# Fluktuacje pola magnetycznego wytworzone przez otoczenie danego jadra atomowego, np. przez cząsteczkę wody która posiada własny moment magnetyczny. Chaotyczne ruchy cząsteczki wody, mogą wytworzyć zmienne w czasie pole magnetyczne wywołujące przejścia momentów magnetycznych ze stanu wzbudzonego do podstawowego.
# Oddawanie energii do otoczenia poprzez oddziaływania elektryczne.
# Oddziaływania paramagnetyczne.

Warto jednak zwrócić uwagę, że fluktuacje pola magnetycznego będą prowadziły do przejść jąder atomowych ze stanu wzbudzonego do stanu podstawowego pod warunkiem, że częstość wywołanego przez nie lokalnego pola magnetycznego będzie zbliżona do częstości precesji Larmour.
Czas relaksacji podłużnej, który oznaczany jest jako tzw. czas <math>T_1</math> wynosi zwykle od kilkuset ms do nawet 2 sekund.

===Relaksacja poprzeczna===
Oddziaływania wymienione w punktach 1-3 poprzedniego rozdziały, które powodują przejścia jąder atomowych ze stanu wzbudzonego do stanu podstawowego, powodują jednocześnie zanik składowej poprzecznej namagnesowania. Składowa ta jednak zanika także z innych powodów. Impuls pobudzające, nie tylko zmienia orientację momentów magnetycznych, lecz również synchronizuje ich ruchy precesyjne. Fluktuacje pola magnetycznego mogą łatwo tę synchronizacje zaburzyć, ponieważ w tym przypadku dowolna fluktuacja lokalnego pola magnetycznego w kierunku pola statycznego <math>\vec{B}_0</math> zmieni częstość rotacji momentów magnetycznych w płaszczyźnie ''X-Y''. Również oddziaływania spinów sąsiednich jąder atomowych przyczyniają się do zakłócenia synchronizacji (oddziaływania te nazywamy oddziaływaniami spin-spin). Kolejną przyczyną szybszego zaniku składowej poprzecznej namagnesowania są niejednorodności statycznego pola magnetycznego spowodowane ograniczeniami w dokładności wykonania urządzenia MRI oraz zaburzenia powstałe w otoczeniu skanera. Czas relaksacji poprzecznej, który oznaczany jest jako tzw. czas <math>T_2</math> jest o rząd wielkość mniejszy od czasu <math>T_1</math> i wynosi zwykle od kilkudziesięciu di kilkuset ms.
Ideę różnego czasu relaksacji rotujących składowych pewnego wektora zaprezentowano symbolicznie na <xr id="fig:relaksacja">rys. %i</xr>.
Należy pamiętać, iż w rzeczywistości procesy relaksacji są znacznie bardziej skomplikowane, zaś ilustracja <xr id="fig:relaksacja">rys. %i</xr>
ma charakter jedynie poglądowy.

W klasycznej teorii rezonansu jądrowego zjawiska relaksacji opisuje w układzie rotującym (''U' '') przy pomocy następujących fenomenologicznych równań:
W półklasycznego równaniu (<xr id="eq:rownaie_ruchu_w_wirujacym_ukladzie_odniesienia"/>) opisującym zachowanie się namagnesowania w polu magnetycznym musimy uwzględnić procesy związane z relaksacją spinów.
Bloch wprowadził fenomenologiczne poprawki do tego równania opierając się na rozumowaniu, które można wyrazić następującymi równaniami:
<equation id="37"><math>
\begin{array}{l}
\frac{dM_{x}}{dt} = -\frac{M_{x}}{T_{2}}\\
\\
\frac{dM_{y}}{dt} = -\frac{M_{y}}{T_{2}}\\
\\
\frac{dM_{z}}{dt} = -\frac{M_{z} - M_{0}}{T_{1}}\\
\end{array}
</math></equation>
gdzie: <math>M_x, M_y, M_z</math> to odpowiednio długości poszczególnych składowych wektora namagnesowania.

==Równanie Blocha==

[[File:bloch_1.png|400px|thumb|right|<figure id="fig:bloch_1"></figure>Ewolucja wektora magnetyzacji w układzie rotującym z prędkością kątową <math>\omega_0 = \gamma B_0</math>, związanym z momentem magnetycznym i w układzie laboratoryjnym. ]]

Podpis pod rysunkiem Ewolucja wektora magnetyzacji w układzie rotującym z prędkością kątową <math>\omega_0 = \gamma B_0</math>, związanym z momentem magnetycznym i w układzie laboratoryjnym.:

A — próbkę wprowadzono w stałe pole magnetyczne o indukcji <math>\vec{B}_0=B_0\vec{e}_z</math>. Pole to wywołuje namagnesowanie próbki <math>\vec{M}_0</math>, które w układzie rotującym jak i laboratoryjnym ma tę sen sam kierunek <math>\vec{M}_0 = M_0\vec{e}_z</math>. B — próbka zostaje pobudzona dodatkowym polem magnetycznym <math>\vec{B}_1</math>. W układzie laboratoryjnym jest to pole rotujące, z częstością kątową <math>\omega_0</math>, podczas gdy w układzie rotującym ma ono ustalony kierunek. W celu uproszczenia rachunków pole <math>\vec{B}_1</math> dobrano tak, aby w układzie rotującym miało kierunek równoległy do osi ''X''. Wskutek oddziaływania momentów magnetycznych z polem <math>\vec{B}_1</math>, wektor namagnesowania zmienia orientację w następujący sposób. W układzie rotującym rozpoczyna ruch precesyjny wokół pola <math>\vec{B}_1</math> (osi ''X' ''), z częstością <math>\omega_1 = \gamma B_1</math>. W układzie laboratoryjnym ruch namagnesowania jest złożeniem ruchu precesyjnego wokół pola <math>\vec{B}_1</math> oraz ruchu precesyjnego wokół pola <math>\vec{B}_0</math>, w związku z czym w układzie laboratoryjnym wektor magnetyzacji zakreśla helisę o zwiększającej się średnicy. C — jeśli impulsem pobudzającym był impuls <math>\frac{\pi}{2}</math>, to zostanie on wyłączony po zmianie orientacji wektora namagnesowania o kąt <math>\frac{\pi}{2}</math>. W chwili wyłączenia w układzie rotującym wektor magnetyzacji jest równoległy do pola <math>\vec{B}_1</math>, natomiast w układzie laboratoryjnym wektor magnetyzacji rotuje w płaszczyźnie ''X-Y''. W tym momencie można rozpocząć pomiar namagnesowania za pomocą cewek. Rotujący wektor magnetyzacji wytwarza zmienne pole magnetyczne, które w cewkach, zgodnie z prawem Faraday'a indukuje siłę elektromotoryczną. D — po wyłączeniu pola pobudzającego <math>\vec{B}_1</math>, na skutek procesów relaksacji, momenty magnetyczne jąder przechodzą ze stanu wzbudzonego do stanu podstawowego. Efektem przejść jest powrót wektora magnetyzacji w kierunku pola magnetycznego <math>\vec{B}_0</math>.

Proste równanie opisujące zachowanie się momentów magnetycznych oraz magnetyzacji, które wyprowadziliśmy analogicznie jak się to czyni w przypadku ruchu bąka symetrycznego w polu grawitacyjnym nie jest pełne i powinno być rozszerzone o procesy relaksacji. Fenomenologiczne, klasyczne równanie opisującym zachowanie się namagnesowania w polu magnetycznym z uwzględnieniem procesów relaksacji nazywamy równaniem Blocha:
<equation id="38"><math>
\left[\frac{d\vec{M}}{dt}\right]_{U'} = \gamma\vec{M}\times\vec{B}_{eff} - \left(M_{x}\vec{e}_{x} + M_{y}\vec{e}\right)_{y}/T_{2} - \left(M_{z}-M_{0}\right)\vec{e}_{z}/T_{1}
</math></equation>
gdzie: 
<math>\vec{B}_{eff} = \left[\left(B_{0} - \frac{\omega}{\gamma}\right)\vec{e}_z + B_{1}\vec{e}_x\right]</math>
===Przykłady rozwiązania równań Blocha===
W poniższym rozdziale podane zostały przykładowe rozwiązania równań Blocha dla wybranych konfiguracji pól magnetycznych.

====Umieszczenie próbki w polu statycznym <math>\vec{B}_0 = B_0\vec{e}_z</math>====
Równanie Blocha jest równaniem opisującym ewolucję w czasie wektora magnetyzacji w układzie rotującym z częstością równa częstości precesji Larmour'a: <math>\omega = \gamma B_0</math>. Konfiguracja pół magnetycznych w tym układzie, po wprowadzeniu próbki w statyczne pole magnetyczne wynosi:
* <math>B_1 = 0</math>,
* <math>\left[B_0 -\frac{\omega}{\gamma}\right]\vec{e}_z = 0</math>,
co prowadzi do następującego układu równań:
<equation id="eq:bloch_1"><math>
\left\{\begin{array}{l}
\left[\frac{dM_{x}}{dt}\right]_{rot} = 0\\
\\
\left[\frac{dM_{y}}{dt}\right]_{rot} = 0\\
\\
\left[\frac{dM_{z}}{dt}\right]_{rot} = 0\\
\end{array}\right.
</math></equation>
Zgodnie z obliczeniami przeprowadzonymi w rozdziale [https://brain.fuw.edu.pl/edu/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metod%C4%85_Magnetycznego_Rezonansu_J%C4%85drowego#Namagnesowanie_pr.C3.B3bki]. wiemy, że po umieszczeniu próbki w stałym polu magnetycznym, namagnesowanie może występować tylko w kierunku tego pola. Oznaczmy wartość tego namagnesowanie symbolem <math>M_0</math>. Przy podanych warunkach początkowych dostajemy poniższe rozwiązanie układu równań (<xr id="eq:bloch_1" />):
<equation id="eq:bloch_rozw_1"><math>
\left\{\begin{array}{l}
\left[M_x\right]_{rot} = \\
\\
\left[M_y\right]_{rot} = 0\\
\\
\left[M_z\right]_{rot} = M_0\\
\end{array}\right.
</math></equation>
Rozwiązanie w układzie laboratoryjnym uzyskamy, po przemnożeniu równania (<xr id="eq:bloch_rozw_1"/>) przez macierz obrotu <math>P</math>:
<equation id="39"><math>
\vec{M} = P\times [\vec{M}]_{rot}
</math></equation>
gdzie: 
<math>P = \left[
\begin{array}{ccc}
\cos(\omega_0 t) & \sin(\omega_0 t) & 0 \\
\\
-\sin(\omega_0 t) & \cos(\omega_0 t) & 0 \\
\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right] </math>, 
 
co prowadzi to ostatecznie do wyniku:
<equation id="40"><math>
\vec{M} = P\cdot[\vec{M}]_{rot} \rightarrow \vec{M} = \left[\begin{array}{l}
0\\
\\
0\\
\\
M_0\\
\end{array}\right].
</math></equation>
Wynik zaprezentowano na rysunku <xr id="fig:relaksacja">rys. %i</xr>.A.

====Próbka umieszczona w polu statycznym, pobudzona polem zmiennym====
Zakładamy, że pobudzenie prowadzi do powstania zjawiska rezonansu, to jest częstość impulsowego pola magnetycznego <math>\vec{B}_1</math> jest równa częstości precesji Larmour'a. W takim, przypadku, w układzie rotującym występuje następująca konfiguracja pól magnetycznych:
* <math>\vec{B}_1 = B_1\vec{e}_x</math>,
* <math>\left[B_0 - \frac{\omega}{\gamma}\right]\vec{e}_x = 0</math>,
ponadto w równaniach Blocha możemy pominąć wyrazy związane z relaksacją, ponieważ czas trwania procesów relaksacyjnych (co najmniej kilkadziesiąt ms) jest znacznie dłuższy od trwania impulsu pobudzającego, co prowadzi ostatecznie do następującego układu równań:
<equation id="eq:bloch_2"><math>
\left\{\begin{array}{l}
\left[\frac{dM_{x}}{dt}\right]_{rot} = 0\\
\\
\left[\frac{dM_{y}}{dt}\right]_{rot} = \gamma B_1M_z\\
\\
\left[\frac{dM_{z}}{dt}\right]_{rot} = -\gamma B_1M_y\\
\end{array}\right.
</math></equation>
przy następujących warunkach początkowych:
<equation id="41"><math>
\vec{M} = P\cdot[\vec{M}]_{rot} \rightarrow \vec{M} = \left[\begin{array}{l}
0\\
\\
0\\
\\
M_0\\
\end{array}\right].
</math></equation>
Rozwiązanie układu równań (<xr id="eq:bloch_2"/>) ma postać:
<equation id="eq:bloch_rozw_2"><math>
\begin{array}{l}
\left[M_x\right]_{rot} = 0\\
\\
\left[M_y\right]_{rot} = M_0\sin(\Omega t)\\
\\
\left[M_z\right]_{rot} = M_0\cos(\Omega t)\\
\end{array}
</math></equation>
gdzie: <math>\Omega = \gamma B_1</math>.
Rozwiązanie w układzie laboratoryjnym uzyskamy, po przemnożeniu równania (<xr id="eq:bloch_rozw_2"/>) przez macierz obrotu <math>P</math>:
<equation id="42"><math>
\vec{M} = P\cdot[\vec{M}]_{rot}
</math></equation>
co prowadzi do następującego równania na ewolucję magnetyzacji w układzie laboratoryjnym:
Rozwiązanie układu równań (<xr id="eq:bloch_2"/>) ma postać:
<equation id="43"><math>
\begin{array}{l}
M_x = M_0\sin(\Omega t)\sin(\omega_0 t)\\
\\
M_y = M_0\sin(\Omega t)\cos(\omega_0 t)\\
\\
M_z = M_0\cos(\Omega t)\\
\end{array}
</math></equation>
W układzie rotującym wektor namagnesowania wykonuje ruch precesyjny wokół kierunku pola pobudzającego <math>\vec{B}_1</math>, które w tym układzie zachowuje stały kierunek, podczas gdy w układzie laboratoryjnym, wektor magnetyzacji jest złożeniem dwóch ruchów precesyjnych:
# wokół statycznego pola <math>\vec{B}_0</math>,
# wokół rotującego w tym układzie pola <math>\vec{B}_1</math>.
Złożeniem tych dwóch ruchów precesyjnych jest spirala, symbolicznie zaprezentowano na rysunku <xr id="fig:relaksacja">rys. %i</xr>.B.

====Wyłącznie impulsu pobudzającego. Sygnał swobodnej precesji====
Po zmianie orientacji wektora namagnesowania o kąt <math>\frac{\pi}{2}</math>, w układzie rotującym leży on wzdłuż wzdłuż osi ''X' '' (jest równoległy do pola <math>\vec{B}_1</math>, zaś w układzie laboratoryjnym namagnesowanie rotuje w płaszczyźnie ''X-Y'' (patrz <xr id="fig:relaksacja">rys. %i</xr>.C). Dalsze utrzymywanie pobudzenia spowodowało by zmianę orientacji wektora namagnesowania a do jego ustawienia w kierunku przeciwnym do kierunku pola stałego <math>\vec{B}_0</math>. Najdogodniejszy moment na pomiar wektora namagnesowania występuje w momencie, kiedy wiruje on w płaszczyźnie ''X-Y'', w związku z czym impulsowe pole magnetyczne jest wyłączane i rozpoczynany jest pomiar magnetyzacji. Pomiar ten wykonywany jest za pomocą cewek i opiera się na zjawisku indukcji Faraday'a — zmienny strumień pola magnetycznego, wywołany przez rotujący w płaszczyźnie ''X-Y'' wektor namagnesowania indukuje w obwodzie siłę elektromotoryczną. Jednocześnie, po wyłączeniu pola pobudzającego, momenty magnetyczne zaczną powracać do w wyniku oddziaływań spin-sieć oraz spin-spin. Spowoduje zmianę orientacji wektora namagnesowania z płaszczyzny ''X-Y'' ponownie w kierunku pola statycznego <math>\vec{B}_0</math>. Ewolucje wektora namagnesowania w takim przypadku możemy wyznaczyć przy pomocy równania Blocha, dla następującej konfiguracji pól magnetycznych w układzie rotującym:
* <math>\vec{B}_1 = 0\vec{e}_x</math>,
* <math>\left[B_0 - \frac{\omega}{\gamma}\right]\vec{e}_x = 0</math>,
otrzymując poniższy układ równań:
<equation id="eq:bloch_3"><math>
\left\{\begin{array}{l}
\left[\frac{dM_{x}}{dt}\right]_{rot} = -\frac{M_x}{T_2} \\
\\
\left[\frac{dM_{y}}{dt}\right]_{rot} = -\frac{M_y}{T_2} \\
\\
\left[\frac{dM_{z}}{dt}\right]_{rot} = -\frac{M_z-M_0}{T_1}\\
\end{array}\right.
</math></equation>
przy warunkach początkowych
<equation id="44"><math>
\vec{M} = P\cdot[\vec{M}]_{rot} \rightarrow \vec{M} = \left[\begin{array}{l}
0\\
\\
M_0\\
\\
0\\
\end{array}\right].
</math></equation>
Rozwiązanie układu równań (<xr id="eq:bloch_3"/>) ma postać:
<equation id="eq:bloch_rozw_3"><math>
\begin{array}{l}
\left[M_x\right]_{rot} =0\\
\\
\left[M_y\right]_{rot} = M_0e^{-\frac{t}{T_2}}\\
\\
\left[M_z\right]_{rot} = M_0(1-e^{-\frac{t}{T_1}})\\
\end{array}
</math></equation>
gdzie: <math>\omega_1 = \gamma B_1</math>.
Rozwiązanie w układzie laboratoryjnym uzyskamy, po przemnożeniu równania (<xr id="eq:bloch_rozw_3"/>) przez macierz obrotu <math>P</math>:
<equation id="eq:bloch_rozw_3_rot"><math>
\left[\begin{array}{l}
M_x\\
\\
M_y\\
\\
M_z\\
\end{array}\right] =
\left[
\begin{array}{ccc}
\cos(\omega_0 t) & \sin(\omega_0 t) & 0 \\
\\
-\sin(\omega_0 t) & \cos(\omega_0 t) & 0 \\
\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right]
\left[\begin{array}{l}
0\\
\\
M_0e^{-\frac{t}{T_2}}\\
\\
M_0(1-e^{-\frac{t}{T_1}})\\
\end{array}\right]
</math></equation>
Ostatecznie, wektor namagnesowania ma postać:
<equation id="eq:bloch_rozw_3_rot_a"><math>
\left[\begin{array}{l}
M_x\\
\\
M_y\\
\\
M_z\\
\end{array}\right] =
\left[
\begin{array}{c}
M_0e^{-\frac{t}{T_2}}\cos(\omega_0 t)\\
\\
-M_0e^{-\frac{t}{T_2}}\sin(\omega_0 t) \\
\\
M_0(1-e^{-\frac{t}{T_1}})
\end{array}
\right]
</math></equation>
Jak widzimy, namagnesowanie poprzeczne (składowa ''X'' oraz ''Y'' magnetyzacji) rotują w płaszczyźnie ''X-Y'', jednocześnie zmniejszając swoją amplitudę na skutek procesów relaksacji. Cewki dokonujące pomiaru zarejestrują sygnał o przebiegu gasnącej sinusoidy. Sygnał ten pełni niezwykle ważną role i jest nazywany sygnałem swobodnej precesji (ang. ''Free Induction Decay'', FID).

===Echo spinowe===
Czasy relaksacji zależą od właściwości fizyko-chemicznych tkanek. Stanowią zatem niezwykle cenna informację dla diagnostyki medycznej. Relaksacja spin-sieć zależy głównie od czynników "''naturalnych''" — fluktuacji lokalnych pół magnetycznych wytworzonych przez otoczenie jąder atomowych. Relaksacja spin-spin zależy zarówno od czynników naturalnych jak i "''sztucznych''" — niejednorodności statycznego pola magnetycznego związanych np. z ograniczoną dokładnością wykonania skanera MRI.
W efekcie, zamiast obserwować zanik namagnesowania poprzecznego z czasem <math>T_{2}</math>, obserwujemy ten zanik z czasem:
<equation id="45"><math>
\frac{1}{T^{*}_{2}} = \frac{1}{T_{2}} + \frac{\gamma\Delta B_{0}}{2}
</math></equation>
Mimo to, możliwe jest wyznaczenie czasu relaksacji <math>T_{2}</math>, dzięki pięknemu zjawisku echa spinowego.
U podstaw tego zjawiska leży założenie, iż naturalne procesy wpływające na relaksację spin-spin są procesami termodynamicznymi, natomiast procesy "''sztuczne''" są dobrze określone w czasie.



==Kodowanie Obrazu==
[[File:Lauterbur_eksperyment_1.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:Lauterbur_eksperyment_1"></figure>Dwie próbki zawierające różną ilość wody (A) umieszczono w polu magnetycznym, którego rozkład wektora indukcji jest stały (B). Sygnały FID indukowane w tych próbkach mają różną amplitudę (C). W związku z tym, że indukcja pola magnetycznego w zakresie obydwu próbek jest taka sama, częstości precesji Larmoura momentów magnetycznych w protonów w próbkach są również identyczne. W efekcie zbiorczym sygnałem rejestrowanym przez cewkę jest tłumiona wykładniczo sinusoida o pewnej wypadkowej amplitudzie (D). Na podstawie tak uzyskanego sygnału nie można stwierdzić, jaki udział w sygnale wypadkowym mają składowe pochodzące od poszczególnych próbek. W widmie sygnału wypadkowego (E) obserwujemy tylko jedno maksimum odpowiadające tej samej częstości precesji momentów magnetycznych protonów.]]

[[File:Lauterbur_eksperyment_2.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:Lauterbur_eksperyment_2"></figure>Dwie próbki zawierające różną ilość wody (A) umieszczono w polu magnetycznym, którego wielkość indukcji zmienia się wzdłuż pewnego kierunku (B). Sygnały FID indukowane w tych próbkach mają różną amplitudę oraz częstości (C). Sygnał rejestrowany przez cewkę nie jest już tłumioną wykładniczo sinusoidą (D). W widmie sygnału wypadkowego (E) obserwujemy dwa maksima związane z dwoma różnymi częstościami precesji momentów magnetycznych protonów. Jak wiemy, częstość precesji momentu zależy od indukcji pola magnetycznego. Znając rozkład przestrzenny indukcji pola magnetycznego oraz częstości precesji, możemy wyznaczyć lokalizację próbek, a na podstawie amplitudy sygnału zawartość wody w poszczególnych próbkach.]]

[[File:rekonstrukcja_mri.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:rekonstrukcja_mri.png"></figure>]]

W jaki sposób jednak za pomocą MRI można otrzymać obraz, np. wnętrza ciała ludzkiego? Dotychczas zdobyta przez nas wiedza umożliwia nam pomiar magnetyzacji wytworzonej w badanej próbce, jednak nie potrafimy określić współrzędnych pewnej objętości materii, gdzie to namagnesowanie zostało wytworzone. Jak wiemy z poprzednich rozdziałów, namagnesowanie to wypadkowy moment magnetyczny pewnej objętości materii, który nazywamy wokselem. Cewka rejestruje zbiorczy sygnał pochodzący od wielu wokseli. W chwili wyłączenia impulsu pobudzającego <math>\frac{\pi}{2}</math>, ewolucję wektora namagnesowania opisuje następujący wzór:
<equation id="46"><math>
dS\left(t\right) = AM^{0}\left(\vec{r}\right)e^{-i\left(w_{0}t\right)}e^{-\frac{t}{T_{2}}}dxdydz
</math></equation>
gdzie: <math>A</math> jest pewną stałą zależną od geometrii cewek, zaś <math>M^{0}(\vec{r})</math> jest namagnesowaniem woksela, o objętości <math>dx\cdot dy\cdot dz</math>, którego pozycja jest opisana wektorem <math>\vec{r} = [x,y,z]</math> w kartezjańskim układzie współrzędnych.
Zbiorczy sygnał rejestrowany przez cewkę odbiorczą wynosi z objętości <math>V</math>:
<equation id="47"><math>
S\left(t\right) = A\int\int_{V}\int M^{0}\left(\vec{r}\right)e^{-i\left(\gamma B_{0}t\right)}e^{-\frac{t}{T_{2}}}dxdydz
</math></equation>
Rozwiązanie tego problemu podali niezależnie Paul Lauterbur <ref name="Lauterbur">P. C. Lauterbur. Image formation by induced local interactions: examples employing nuclear magnetic resonance. Nature 242, 190-191 (1973)</ref> oraz Peter Mansfield <ref name="Mansifeld">P. Mansfield, P.K. Grannell, J. Phys. C: Solid State Phys. 6, L422 (1973)</ref>. W roku 2003 obydwaj naukowcy zostali uhonorowani nagrodą Nobla w dziedzinie medycyny za wykorzystanie Magnetycznego Rezonansu Jądrowego w tej dziedzinie. W roku 1972 Paul Lauterbur przeprowadził doświadczenie, w którym wykazał, że przy wykorzystaniu gradientu dodatkowego pola magnetycznego możliwe jest rozróżnienie rejestrowanych sygnałów przez cewki, pochodzących od dwóch różnych próbek z wodą. Ideę eksperymentu zaprezentowano na <xr d="fig:Lauterbur_eksperyment_1">rys. %i</xr> i <xr id="fig:Lauterbur_eksperyment_2">rys. %i</xr>. Jak widzimy, w celu określenia pozycji woksela, z którego mierzony jest dany sygnał FID niezbędne jest wprowadzenie dodatkowego, gradientowego pola magnetycznego:
<equation id="48"><math>
\vec{B} = B_0\vec{e}_z + \vec{G}\cdot\vec{r}
</math></equation>
gdzie: 
<math>\vec{G} = [G_x,G_y,G_z]</math> - gradient indukcji pola magnetycznego.
W zależności od położenia woksela, częstość precesji momentów magnetycznych w zmodyfikowanym polu będzie wynosić:
<equation id="49"><math>
\omega(x,y,z) = \gamma \left(B_0 + G_x\cdot x + G_y\cdot y + G_z\cdot z\right)
</math></equation>
Przyjęto, że proces określania współrzędnych wokseli z których rejestrowany jest sygnał FID, nazywany będzie kodowaniem.
Proces ten składa się z trzech etapów: wyboru warstwy obrazowania, kodowania fazy i kodowania częstości, które opisane w kolejnych rozdziałach.

===Etap wyboru warstwy===

Wprowadzając zależność statycznego pola magnetycznego od położenia, można wyznaczać jedną ze współrzędnych woksela, w którym powstało namagnesowanie, wykorzystując w tym celu częstości sygnału FID. Przyjmijmy, że tą współrzędną będzie współrzędna <math>z</math>:
<equation id="kodowanie_z"><math>
\begin{array}{l}
\omega_{0} = \gamma\left(B_{0} + G_{zz}z\right) \textrm{\ zatem}\\
\\
z = \frac{\left(\omega_{0} - \gamma B_{0}\right)}{\gamma G_{zz}}
\end{array}
</math></equation>
gdzie:
* <math>B_{0}</math> — statyczne pole magnetyczne, skierowane wzdłuż osi <math>z</math>,
*<math>G_{zz}</math> — gradient pola magnetycznego, nałożony na pole <math>B_{0}</math>, <math>G_{zz} = \frac{\Delta B_{0}}{\Delta z}</math>.
Naświetlając badany obiekt polem elektromagnetycznym o częstości <math>\omega_{RF}</math>, wzbudzimy jądra atomowe w tych wokselach, w których spełniony jest warunek rezonansowy (<math>\omega_{RF} = \omega_{0}</math>), czyli w wokselach, których współrzędna <math>z</math> wyraża się wzorem (<xr id="kodowanie_z"/>). Opisana powyżej procedurę rzeczywiście stosuje się w MRI i określa jako etap wyboru warstwy (''Slice selection''), a gradient <math>G_{zz}</math> '''{gradientem wyboru warstwy'''. Grubość wybranej w trakcie badania warstwy wynosi:
<equation id="49"><math>
\Delta z = \frac{\Delta \omega}{\gamma G_{zz}}
</math></equation>
gdzie: <math>\Delta\omega</math> — szerokość widmowa pobudzającego jądra impulsu radiowego.
W przypadku, gdy impuls radiowy ma charakter sygnału prostokątnego o szerokości widmowej <math>\Delta\omega=4\pi/T</math>, gdzie: <math>T</math> to długość trwania impulsu, grubość warstwy wyraża się poniższym wzorem:
:<math>
\Delta z = \frac{4\pi}{\gamma G_{zz}T}
</math>


===Etap kodowania fazy===
W trakcie etapu wyboru warstwy, zaraz po włączeniu pola gradientowego wzdłuż osi <math>z</math>, włączany jest również impuls pobudzający <math>RF</math>, (najczęściej impuls <math>\pi/2</math>). Po wyłączeniu tego impulsu oraz impulsu gradientowego <math>G_{zz}</math> następuje precesja wektora magnetyzacji w płaszczyźnie <math>x-y</math> z częstością <math>w_{0} = \gamma B_{0}</math>. Załóżmy na początku, iż procesy relaksacji możemy pominąć. W praktyce wpływ procesów relaksacji typu spin-sieć na lokalizację woksela jest do pominięcia. Przypominamy, że relaksacja ta następuje z czasem <math>T_{1}</math> rzędu kilkuset milisekund, podczas gdy wzbudzanie jąder osiąga się już po kilkuset mikrosekundach. Nie można natomiast pominąć procesów związanych z relaksacją typu spin-spin, których czas <math>T^{*}_{2}</math> wynosi kilka-, kilkanaście milisekund.

Natychmiast po wyłączeniu pola gradientowego <math>G_{zz}</math> włączane jest pole gradientowe <math>G_{yz}</math> — tzw. '''gradient kodowania fazy''', wzdłuż osi <math>y</math>. Częstość precesji po włączeniu tego pola wynosi:
<equation id="50"><math>
\omega_{0} = \gamma\left(B_{0} + G_{yz}y\right)
</math></equation>

Włączenie gradientu <math>G_{yz}</math> powoduje zróżnicowanie częstości precesji wektora magnetyzacji. Po wyłączeniu gradientu kodowania fazy po czasie <math>T_{y}</math>, fazy częstość precesji Larmour wraca do wartości <math>\omega_{0} = \gamma B_{0}</math>, jednakże pomiędzy rotującymi wektorami magnetyzacji pojawia się przesunięcie w fazie, które wyraża się następującym wzorem:
<equation id="eq:kodowanie_fazy"><math>
\phi = \gamma G_{yz}yT_{y}
</math></equation>
Rozdzielczość obrazu tomograficznego wzdłuż osi <math>y</math> wynosi:
<equation id="51"><math>
\Delta y = \frac{\pi}{\gamma G_{yz}T_{y}}
</math></equation>

==Etap kodowania częstości i odczyt pomiaru magnetyzacji==
Po wyłączeniu gradientu <math>G_{yz}</math>, natychmiast włączany jest gradient <math>G_{xz}</math> wzdłuż osi <math>x</math>, nazywany gradientem kodowania częstości oraz jednocześnie następuje odczyt sygnału FID.
W wyniku przyłożenia gradientu <math>G_{xz}</math> następuje zróżnicowanie częstości precesji wektora magnetyzacji, zgodnie z poniższym wzorem:
<equation id="eq:kodowanie_czestosci"><math>
\omega_{0} = \gamma\left(B_{0} + G_{xz}x\right)
</math></equation>

Podsumowując, w celu wybrania obszaru, w którym zostanie dokonany pomiar magnetyzacji, przeprowadzane są następujące kroki:
# Włączone zostaje statyczne pole magnetyczne <math>B_{0}</math> wzdłuż osi ''Z''. Wektory magnetyzacji wykonują ruch precesyjny wokół tej osi.
# Włączony zostaje gradient pola magnetycznego <math>G_{zz}</math>, po czym, po kilku milisekundach badany obiekt zostaje przez czas <math>t_{\pi/2}</math> naświetlony falą elektromagnetyczną o określonej częstości. W warstwie, dla której zostaje spełniony warunek rezonansu, fala elektromagnetyczna wzbudza jądra atomowe, w wyniku czego wektory magnetyzacji wykonują ruch precesyjny w płaszczyźnie ''X-Y''.
#Po wyłączeniu gradientu <math>G_{zz}</math> zostaje włączony na okres <math>T_{yz}</math> gradient kodowania fazy. Po jego wyłączeniu,wektory magnetyzacji wzdłuż osi ''Y'' precesują z tą samą częstością lecz w różnej fazie.
#Po wyłączeniu gradientu <math>G_{yz}</math> zostaje włączony gradient kodowania częstości, który różnicuje częstość precesji wektora magnetyzacji. Jednocześnie następuje pomiar magnetyzacji (sygnału FID) w płaszczyźnie ''X-Y''.

Podsumowując: gradient <math>G_{zz}</math> wraz z impulsem pobudzającym umożliwiają zakodowanie współrzędnej ''Z'' wokseli, z których chcemy dokonać pomiaru namagnesowania obiektu. Jest to tzw. wybór warstwy gdzie będzie dokonywany pomiar. W następnych dwóch etapach zakodowany zostają współrzędne ''X'' i ''Y'' poszczególnych wokseli za pomocą częstości precesji wektora magnetyzacji oraz fazy jego precesji. Innymi słowy, każdemu wokselowi, zostaje przyporządkowana jednoznacznie częstość precesji Larmour'a oraz faza tej precesji.

==Dekodowanie obrazu==
W poprzednim rozdziale omówiliśmy metodę jednoznacznego przypisania wokselowi o współrzędnych <math>x</math>, <math>y</math> w warstwie o położeniu <math>z</math>, częstości i fazy początkowej precesji wektora magnetyzacji.
Cewki, które służą do pomiaru wytworzonego namagnesowania, rejestrują sygnał pochodzący od wszystkich wokseli w danej warstwie.
W trakcie drugiego i trzeciego etapu kodowania obrazu namagnesowanie w wokselu o współrzędnych <math>x</math> i <math>y</math> uzyskuje częstość precesji Larmour:
<math>
\omega_{0} = \gamma\left(B_{0} + G_{xz}x\right)
</math>
oraz fazę tej precesji:
<math>
\phi = \gamma G_{yz}yT_{y}
</math>
Mierzony sygnał rezonansowy pochodzący od danego woksela w płaszczyźnie <math>x-y</math> można wyrazić w następujący sposób:
<equation id="52"><math>
dS\left(t\right) = AM^{0}(\vec{r})e^{-i\left(w_{0}\left(x\right)t + \phi\left(y\right)\right)}e^{-\frac{t}{T_{2}}}dxdydz
</math></equation>
Będziemy w dalej zajmowali się problemem wyznaczenia rozkładu gęstości protonów w płaszczyźnie już wybranej warstwy o grubości <math>dz</math>, dlatego wprowadzimy stałą <math>B = A\cdot dz</math>.
<equation id="53"><math>
dS\left(t\right) = BM^{0}(\vec{r})e^{-i\left(w_{0}\left(x\right)t + \phi\left(y\right)\right)}e^{-\frac{t}{T_{2}}}dxdy
</math></equation>
gdzie <math>B</math> jest pewną stałą zależną od grubości warstwy oraz geometrii cewek, zaś <math>M^{0}(\vec{r})</math> jest początkowym namagnesowaniem poprzecznym, uzyskanym w wyniku pobudzenia jąder atomowych impulsem <math>RF</math>.
Podstawiając do powyższego równania wzory (<xr id="eq:kodowanie_fazy"/>) i (<xr id="eq:kodowanie_czestosci"/>) otrzymujemy:
<equation id="54"><math>
dS\left(t\right) = BM^{0}(\vec{r})e^{-i\left(\gamma\left(B_{0} + G_{xz}x\right)t + \gamma G_{yz}yT_{y}\right)}e^{-\frac{t}{T_{2}}}dxdy
</math></equation>
a zatem sygnał rezonansowy rejestrowany z całej warstwy o współrzędnej <math>z</math> wynosi:
<equation id="55"><math>
S\left(t\right) = B\int\int M^{0}(\vec{r})e^{-i\left(\gamma\left(B_{0} + G_{xz}x\right)t + \gamma G_{yz}yT_{y}\right)}e^{-\frac{t}{T_{2}}}dxdy
</math></equation>
Otrzymane równanie porządkujemy w następujący sposób:
<equation id="55"><math>
S\left(t\right) = Be^{-\frac{t}{T_{2}}}\int\int M^{0}(\vec{r})e^{-i\left(\gamma\left(B_{0} + G_{xz}x\right)t + \gamma G_{yz}yT_{y}\right)}dxdy
</math></equation>
<equation id="56"><math>
S\left(t\right) = Be^{-\frac{\gamma B_{0}t}{T_{2}}}\int\int M^{0}(\vec{r})e^{-i\left(\gamma G_{xz}xt + \gamma G_{yz}yT_{y}\right)}dxdy
</math></equation>
podstawiając:
<equation id="57"><math>
\begin{array}{l}
k_{x} = \gamma G_{xz}t\\
\\
k_{y} = \gamma G_{yz}T_{y}
\end{array}
</math></equation>
uzyskujemy:
<equation id="eq:mierzony_sygnal"><math>
S\left(k_{x},k_{y}\right) = Be^{-\frac{\gamma B_{0}t}{T_{2}}}\int\int M^{0}(\vec{r})e^{-i\left(k_{x}x + k_{y}y\right)}dxdy
</math></equation>
Wymiar stałej <math>B</math> zawiera jednostkę długości (powiązaną z grubością warstwy), z kolei namagnesowanie to całkowity moment magnetyczny przypadający na jednostkę objętości <math>dV</math>. Namagnesowanie woksela zależeć będzie od całkowitej liczby jąder atomowych znajdujących się w objętości <math>dV</math>. W związku z tym, uwzględniając jednostkę stałej <math>B</math> oraz namagnesowania <math>M^{0}</math> możemy przepisać równanie (<xr id="eq:mierzony_sygnal"/>) do następującej postaci:
<equation id="58"><math>
S\left(k_{x},k_{y}\right) = B'e^{-\frac{\gamma B_{0}t}{T_{2}}}\int\int \rho^{0}_{xy}e^{-i\left(k_{x}x + k_{y}y\right)}dxdy
</math></equation>
gdzie <math>B'</math> to stała zależna już tylko od właściwości cewek, natomiast <math>\rho^{0}_{xy}</math> jest gęstością jąder atomowych w badanej warstwie. Widzimy zatem, iż mierzony sygnał jest transformatą Fouriera gęstości jąder atomowych, z dokładnością do wagi, zależnej od natężenia statycznego pola magnetycznego oraz czasu relaksacji <math>T_{2}</math><ref>Należy również pamiętać, iż wyznaczona gęstość jąder atomowych (w praktyce jąder atomu wodoru) zależy również od czasu powtarzania wzbudzeń jąder atomowych (''Time Repetition —TR'') oraz czasu echa spinowego (''Time Echo — TE'')</ref>.
Rozkład gęstości jąder atomowych można wyznaczyć obliczając odwrotną transformatę Fouriera równania (<xr id="eq:mierzony_sygnal"/>)
<equation id="59"><math>
\rho^{0}_{xy} = B'e^{-\frac{\gamma B_{0}t}{T_{2}}}\int\int S\left(k_{x},k_{y}\right)e^{i\left(k_{x}x + k_{y}y\right)}dk_{x}dk_{y}
</math></equation>
Podsumowując:
Główną informacją jaką otrzymujemy za pomocą obrazowania metodą jądrowego rezonansu magnetycznego jest rozkład gęstości
jąder atomowych. Z uwagi, iż jądro atomu wodoru ma największy spośród jąder atomowych współczynnik giromagnetyczny, a także ze względu na wysokie stężenie wodoru w organizmie ludzkim, za pomocą MRI uzyskuje się obraz rozkładu gęstości tego właśnie pierwiastka. W badaniu otrzymamy zatem bardzo dobry obraz tkanek miękkich (np. mózg), co odróżnia tą metodę od Rentgenowskiej Tomografii Komputerowej, najlepiej obrazującą kości. Ponadto, mierząc czasy relaksacji namagnesowania — <math>T_{1}</math> i <math>T_{2}</math> możliwe jest uzyskanie informacji o pewnych właściwościach fizyko-chemicznych tkanek.

==Podstawowa Sekwencja Gradientów Pola Magnetycznego==
[[File:rekonstrukcja_mri.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:rekonstrukcja_mri.png"></figure>Podstawowa sekwencja pól gradientowych.]]
W tym rozdziale dokonamy pewnego podsumowania dotychczas zdobytej wiedzy dotyczącej procesu kodowania i dekodowania obrazu w Magnetycznym Rezonansie Jądrowym. Podstawowa sekwencja kodująca oraz proces dekodowania został zaprezentowany na <xr id="fig:rekonstrukcja_mri">rys. %i</xr>
Z uwagi na ograniczoną ilość miejsca pod rysunkiem, jego opis znajdzie w treści rozdziału. Załóżmy, że chcemy zobrazować wybraną warstwę głowy pacjenta. Obraz zostanie utworzony za pomocą macierzy <math>M</math>x<math>N</math> pikseli. Proces obrazowania będzie składał się następujących kroków:
# Umieszczenia pacjenta w stałym polu magnetycznym o indukcji <math>B_0</math>. Po wykonaniu tego kroku momenty magnetyczne jąder wykonują precesję z częstością <math>\omega_0 = \gamma B_0</math>. Powstaje wypadkowe namagnesowanie <math>M_0</math> w kierunku pola <math>\vec{B}_0</math>. Załóżmy, że w głowie pacjenta znajdują się tylko dwa obszary dające znaczące sygnały. Obszary te wypełniona różnymi odcieniami szarości.
# Włączenia pola gradientowego w kierunku osi ''z'' (przyjęto, że jest to oś biegnąca wzdłuż badanego). Następuje zróżnicowanie precesji momentów magnetycznych protonów. Częstość precesji zależy teraz od współrzędnej ''z'' w następujący sposób: <math>\omega_{0} = \gamma\left(B_{0} + G_{zz}z\right)</math>. Równocześnie wraz z gradientem pola zostaje włączony impuls pobudzający (RF) <math>\frac{\pi}{2}</math> o częstości <math>\omega_1</math>. Wywoła on pobudzenie tych momentów magnetycznych, których częstość precesji Larmoura wynosi <math>\omega = \omega_1</math>, czyli <math>\omega_1 = \gamma\left(B_{0} + G_{zz}z\right)</math>. Są to momenty magnetyczne znajdujące się w płaszczyźnie ''x-y'' o współrzędnej ''z'' równej: <math>z = \frac{\left(\omega_{1} - \gamma B_{0}\right)}{\gamma G_{z}}</math>. W wokselach leżących w wybranej warstwie następuje zmiana orientacji wektora namagnesowania <math>M_0</math> o kąt <math>\frac{\pi}{2}</math>. Warto zauważyć, iż po wyłączeniu tego pola gradientowego, momenty magnetyczne ponownie ruch precesyjny z częstością Larmoura <math>\omega=\gamma B_0</math>, jednak w odróżnieniu od wektorów leżących w innych warstwach maja one zmienioną orientację.
# Wzdłuż osi ''y'' zostaje włączone na pewien okres czasu kolejne pole gradientowe, którego wartość na <xr id="fig:rekonstrukcja_mri">rys. %i</xr> oznaczono kolorem żółtym. Wektor magnetyzacji zaczynają rotację w płaszczyźnie ''x-y'' z różną prędkością (ale tą samą dla zadanej współrzędnej ''y''). Po wyłączeniu pola gradientowego, częstość precesji wraca do wartości <math>\omega = \gamma B_0</math>, jednakże wektory namagnesowania wirują w płaszczyźnie ''x-y'' w różnej fazie.
# Następuje kolejne włączenie pola gradientowego, tym razem wzdłuż osi ''x''. Momenty magnetyczne, a także namagnesowanie zaczyna wirować z różną częstością, zależną od współrzędnej ''x''. Jednocześnie wraz z włączeniem tego gradientu następuje pomiar sygnału. Na tym etapie kodowania obrazu, można powiedzieć, że wektory namagnesowania znajdujące się w wokselach leżących w tej samej kolumnie (oś ''y'') rotują z tą samą częstością, natomiast wektory namagnesowania, znajdujące się w tym samym wierszu (os ''x'') rotują z tą samą fazą. Należy pamiętać, iż włączenie gradientu wzdłuż osi ''y'' w poprzednim etapie zmieniło jedynie fazę sygnału FID. Sygnały o tej samej częstości i różnej fazie nałożą się na siebie, dając pewien sygnał wypadkowy. Innymi słowy, na podstawie widma zarejestrowanego sygnału FID możliwe jest w tej chwili rozróżnienie z której kolumny pochodzą składowe mierzonego sygnału. Nie znamy natomiast współrzędnej ''y'' wokseli, z których pochodzi istotny sygnał. W związku z tym całość pomiaru (poczynając od etapu 2) należy powtórzyć, tyle razy, ile mamy wierszy w obrazie, za każdym razem zmieniając wartość gradientu pola magnetycznego wzdłuż osi ''y'' lub długość czasu jego trwania.
# Wartości Transformat Fouriera zapisywane są w tzw. współrzędnych przestrzeni K, tworząc pewną macierz. Wykonanie odwrotnej, dwuwymiarowej Transformaty Fouriera tej macierzy umożliwia wyznaczenie rozkładu przestrzennego namagnesowania.

==Co obrazuje Magnetyczny Rezonans Jądrowy==

===Rozkład gęstości protonów===
W trakcie badania MRI dokonywany jest pomiar namagnesowania małych jednostek objętości (wokseli) danego obszaru pacjenta. Namagnesowanie woksela jest proporcjonalne do liczby momentów magnetycznych cząstek znajdujących się w nim cząstek posiadających momenty magnetyczne. Spośród wielu atomów, które wchodzą w skład organizmu ludzkiego i posiadających spin, wodór charakteryzuje się największą abundancją oraz jądrem
o największym momencie magnetycznym. MRI będzie zatem obrazował głownie rozkład gęstości wodoru. W przeciwieństwie do Metod Rentgenowskich, MRI będzie zatem bardzo dobrze obrazował tkanki miękkie.

===Kontrast <math>T_{1}</math> oraz <math>T_{2}</math>===
Bardzo ważną informację diagnostyczną można również uzyskać, wykorzystując do tego czas pomiaru relaksacji <math>T_1</math> i <math>T_2</math>. Relaksacja wektora namagnesowania następuje w wyniku oddziaływania momentów magnetycznych z otoczeniem. Na podstawie zmian w szybkości zaniku namagnesowania poprzecznego lub odbudowie namagnesowania podłużnego można zatem wyciągnąć pewne wnioski diagnostyczne. Dokonuje się tego przy pomocy odpowiednio dobranej sekwencji pola pobudzającego, którego skutkiem będzie lepsze uwidocznienie na obrazie obszarów o krótkim czasie <math>T_1</math> lub krótkim czasie <math>T_2</math>. Mówimy wtedy odpowiednio o obrazie T1 zależnym lub T2 zależnym, bądź kontraście T1 lub T2.

Obok rozkładu gęstości jąder atomu wodoru, za pomocą MRI możemy wyznaczyć również czasy relaksacji magnetyzacji podłużnej — <math>T_{1}</math> oraz magnetyzacji poprzecznej — <math>T_{2}</math>. Czasy te zależą od właściwości fizyko-chemicznych tkanek. Z dotychczasowych badań wiadomo, iż czasy relaksacji tkanki zdrowej, różnią się znacznie od czasów relaksacji tej samej tkanki chorej (np. rakowej). Czasy relaksacji zawierają zatem niezwykle cenna z punktu widzenia diagnostyki informacje.





==Budowa skanera MRI==

===Cewki pola statycznego===

Podstawowym elementem aparatury MRI są przyrządy wytwarzające pola magnetyczne (statyczne jak i gradientowe) oraz rejestrujące sygnał namagnesowania.
Statyczne pole magnetyczne <math>\vec{B}_{0}</math> można wygenerować za pomocą:
# Magnesów trwałych. Małe zużycie prądu elektrycznego, nieskomplikowana budowa aparatury, ogólnie niskie koszty obsługi. Skaner ma mniejsze rozmiary niż w przypadku skanerów w których pole magnetyczne jest wytwarzane w inny sposób, ponadto ma budowę otwartą (pacjent nie znajduje się w wąskim cylindrze), co zwiększa komfort badania (np. u pacjentów z klaustrofobią).
#*Wady — trwałe magnesy są ciężkie, wytwarzają pola magnetyczne w granicy: 0.064 T - 0.3 T.
# Elektromagnesów. Pole magnetyczne powstaje w wyniku przepływu prądu przez cewkę. Elektromagnesy mogą mieć rdzeń powietrzny lub stalowy. Zalety — otwarta budowa zwiększająca komfort badania, można wyłączyć skaner, jeśli jest nieużywany, niska cena skanera.
#*Wady — wysokie zużycie energii elektrycznej, ograniczone wartość wytwarzanego pola magnetycznego < 0.2 - 0.3T, potrzebne chłodzenie wodne, wytworzone pole magnetyczne "''rozprzestrzenia''" się na boki.
# Magnesów nadprzewodzących — najczęściej stosowane. Pole magnetyczne wytwarzane jest przez przepływ prądu w cewkach umieszczonych w ciekłym helu, w celu redukcji zjawiska oporu elektrycznego — W temperaturze 4 Kelvinów (-269<math>^{o}</math>) opór ten zanika.
#*Zalety — możliwość generowania silnych, bardzo jednorodnych pól magnetycznych — do 12T, a co za tym idzie możliwość rejestracji sygnału namagnesowania o wysokim SNR oraz skrócenie czasu wykonywania skanu. Ponadto niskie zużycie prądu elektrycznego.
#*Wady — drogi skaner, wysokie koszty związane z obsługą aparatury kriogenicznej, aparatura hałaśliwa i o zwartej budowie — mniejszy standard wygody dla pacjenta, wrażliwszy na artefakty ruchowe, skomplikowana budowa (cewki nadprzewodzące muszą być zabezpieczone wieloma warstwami termicznymi, oraz przestrzeniami próżniowymi, aby chronić Hel przed zagotowaniem się i eksplozją).

===Cewki nadawczo odbiorcze===

Źródłem sygnału pobudzającego jądra atomowe w zjawisku jądrowego rezonansu magnetycznego, jak i odbiornikiem rejestrującym wytworzony sygnał namagnesowania są tzw. Cewki RF. Istnieje wiele różnorodnych typów cewek, przeznaczonych do określonych badań, można je jednak podzielić na dwie grupy:
#Cewki objętościowe. Wewnątrz takiej cewki wytworzone zostaje jednolite pole magnetyczne, wymagają jednak, aby badana część pacjenta znajdowała się w środku cewki.
# Cewki powierzchniowe. Jak sama nazwa wskazuje cewki takie umieszczane są na powierzchni, blisko obszaru, który ma być badany. Cewki takie zapewniają sygnał o wysokim SNR oraz wysoką rozdzielczość otrzymywanych obrazów. Wada tych cewek jest szybka strata jednolitości otrzymywanego obrazu, w przypadku gdy badany obiekt przemieści się poza cewkę.



==Podstawy kwantowego opisu zjawiska Rezonansu Magnetycznego==

[[File:quantum_mri.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:quantum_mri"></figure>Ilustracja powstawania stanów kwantowych oraz pobudzenia wzbudzenia przejść pomiędzy nimi. A — przy braku zewnętrznego pola magnetycznego poziomy energetyczne odpowiadające różnym rzutom momentu pędu na oś ''Z'' charakteryzują się tą samą energię. Umieszczenie próbki w stałym polu magnetycznych wywołuje powstanie dwóch stanów kwantowych o różnych energiach. Nieznaczna większość protonów znajdzie się w stanie o niższej energii. Za pomocą fali elektromagnetycznej o odpowiedniej energii ( częstości) można doprowadzić do przejść jąder do wyższego poziomu energetycznego. B — po wyłączeniu fali elektromagnetycznej, jądra przechodzą ze stanu wzbudzonego do stanu podstawowego oddając wcześniej zaabsorbowana energię.]]
Podstawowy opis kwantowy zjawiska rezonansu magnetycznego przeprowadzimy dla protonu. Przypominamy, własny moment pędu protonu opisywany jest spinową liczbą kwantową <math>I = \frac{1}{2}</math>, długość wektora momentu pędu wynosi <math>|\vec{I}| = \frac{\sqrt{3}}{2}\hbar </math>, zaś rzut wektora spinu na oś ''Z'' może przyjmować wartości: <math>\vec{I}_{z} = \pm\frac{1}{2}\hbar </math>. Pod nieobecność zewnętrznego pola magnetycznego, rzutom wektora spinu proton una oś ''Z'' odpowiadają stany o tej samej energii. 
Wprowadzenie próbki w stałe pola magnetyczne o wartości <math>B_0</math> i kierunku równoległego do osi ''X'' powoduje rozczepienie tych stanów. Rzut wektora momentu magnetycznego (związanego ze spinem) na oś ''Z'' może mieć kierunek równoległy lub przeciwny do kierunku pola magnetycznego. Rzutom tym odpowiadają dwa poziomy energetyczne:
<equation id="60"><math>
\begin{array}{l}
E_1 = -\frac{1}{2}\hbar\gamma B_0\\
\\
E_2 = \frac{1}{2}\hbar \gamma B_0\\
\end{array}
</math></equation>
gdzie: <math>E_1, E_2</math> to odpowiednio energia stanu związanego z równoległym i przeciwnym rzutem momentu magnetycznego na kierunek stałego pola magnetycznego. Zgodnie z zasadami termodynamiki, protony będą dążyły do zajmowania stanów o niższej energii. Dostarczając dodatkową energię, np. za pomocą fali elektromagnetycznej, można doprowadzić do przejścia protonów ze stanu podstawowego do wzbudzonego. Częstość fali elektromagnetycznej można wyliczyć w następujący sposób. Różnica energii pomiędzy dwoma stanami wynosi:
<equation id="61"><math>
\Delta E = E_2 - E_1 = \hbar \gamma B_0
</math></equation>
Fala elektromagnetyczna o częstości <math>\omega_0</math> posiada energię:
<equation id="62"><math>
E = \hbar \omega_0
</math></equation>
Energia fali elektromagnetycznej powinna być równa różnicy energii dwóch stanów kwantowych:
<equation id="63"><math>
\Delta E = \hbar \omega_0 \rightarrow \hbar \gamma B_0 = \hbar \omega_0
</math></equation>
ostatecznie, częstość fali wzbudzającej przejścia pomiędzy poziomami energetycznymi jest równa:
<equation id="64"><math>
\omega_0 = \gamma B_0
</math></equation>
Po wyłączeniu fali pobudzającej, protony przechodzą ze stanu wzbudzonego do stanu podstawowego, emitując nadmiar energii.
Pobudzeniowa fala elektromagnetyczna może być wygenerowana za pomocą cewki, która po wyłączeniu emisji fali może również rejestrować energię emitowaną przez protony przechodzące do stanu podstawowego.
Bardziej rozszerzony (nieobowiązkowy dla studentów opis zjawiska magnetycznego rezonansu jądrowego można znaleźć w kolejnym rozdziale).

==Kwantowy opis zjawiska Rezonansu Magnetycznego==
Zastosowanie modelu kwantowego prowadzi do pełniejszego w porównaniu z modelem klasycznym opisu zjawiska NMR, jednak ze względu na skomplikowaną postać samej Teorii Kwantów, model kwantowy może być trudny w zrozumieniu. Z kolei model klasyczno-kwantowy (zaprezentowany w dotychczasowych rozdziałach), jest łatwiejszy do przyswojenia i dla pewnej klasy problemów uzyskuje się za jego pomocą te same wyniki co w modelu kwantowym.

Nim przejdziemy do szczegółowego opisu zjawiska NMR, dokonamy zestawienia niektórych z postulatów leżących u podstaw Mechaniki Kwantowej i Klasycznej oraz przypomnimy sobie znaczenie pewnych pojęć stosowanych w fizyce.

<ol>

<li>
Układem fizycznym (w dalszej części skryptu nazywanym w skrócie układem) określa się zbiór ciał.

<li>
Stan układu jest najmniejszym zbiorem informacji pozwalającym odpowiedzieć na wszelkie pytania dotyczące układu.

<li>
W Mechanice Klasycznej pomiar wielkości fizycznej można wykonać z dokładnością ograniczoną jedynie precyzją dostępnej aparatury. Sam pomiar nie wpływa na układ.

<li>
W Mechanice Kwantowej nie można dokonać jednoczesnego pomiaru pewnych wielkości fizycznych z dowolną dokładnością. Ograniczenie to, znane jako Zasada Nieoznaczoności Heisenberga, nie ma nic wspólnego z precyzja aparatury pomiarowej. Jest to jedno z praw przyrody, któremu podlegają np. pomiary położenia i pędu:

::<math>
\Delta x\Delta p_{x}\ge \hbar </math>

gdzie:

<ul>

<li>
<math>\Delta x</math> i <math>\Delta p_x</math> to odpowiednio nieoznaczoność położenia i pędu wzdłuż osi <math>x</math>

</ul>

pomiary energii i czasu:

::<math>
\Delta E\Delta t\ge \hbar </math>

gdzie:

<ul>

<li>
<math>\Delta E</math> i <math>\Delta t</math> to odpowiednio nieoznaczoność energii i czasu.

</ul>

pomiary składowych wektora momentu pędu (w Mechanice Kwantowej obserwowalna jest w danym pomiarze tylko jedna ze składowych wektora oraz jego długość).
Możliwy jest natomiast jednoczesny pomiar z dowolną dokładnością np. energii i pędu. Warto zauważyć, że chociaż nie da się, zgodnie z Zasadą Nieoznaczoności, jednocześnie zmierzyć np. położenia i pędu cząstki, to można wyznaczyć osobno rozkład prawdopodobieństwa dla pędów i rozkład
prawdopodobieństw dla położeń w danym stanie układu. Mierząc dostatecznie dużo takich rozkładów prawdopodobieństwa, można określić stan układu. Pojedynczą wielkość da się w zasadzie zmierzyć z dowolną dokładnością, ale jeżeli mamy kilka takich samych układów w tym samym stanie, to na ogół dla każdego z nich pomiar tej wielkości da inny wynik.

<li>
W Mechanice Klasycznej położenie, orientacja oraz wielkości charakteryzujące ruch układu w danej chwili określają stan układu w tej chwili. W przypadku cząstki punktowej do określenia jej stanu w przestrzeni trójwymiarowej wystarczy sześć wielkości jednowymiarowych: 3 współrzędne opisujące położenie cząstki oraz 3 wielkości charakteryzujące jej ruch (prędkość lub pęd).

<li>
W Mechanice Kwantowej stan układu określony jest za pomocą funkcji falowej <math>\psi \left(\vec{r},t\right)</math>. Funkcja falowa zawiera pełną informacje o stanie układu. Zwykle jednak nie da się przewidzieć wyniku pomiaru znając nawet dokładnie stan układu.

<li>
Interpretacja fizyczna funkcji falowej jest następująca (cyt. z pracy <ref name="bid0"> Iwo Białynicki-Birula, Marek Cieplak, Jerzy Kamiński Teoria Kwantów. Mechanika Falowa. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1991.</ref>)

Funkcja falowa <math>\psi \left(\vec{r},t\right)</math> opisuje fale prawdopodobieństwa. Wielkość <math>\psi ^{*}\left(\vec{r},t\right)\psi \left(\vec{r},t\right)</math> jest gęstością prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w punkcie <math>\vec{r}</math> w chwili <math>t</math>.
Inaczej mówiąc, całka:
<math>P_{D}\left(t\right)=\int _{D}d^{3}\vec{r}\left|\psi \left(\vec{r},t\right)\right|^{2}</math> jest prawdopodobieństwem znalezienia cząstki w chwili <math>t</math> w obszarze <math>D</math>.

<li>
Funkcja falowa musi spełniać warunek unormowania<ref>Warunek unormowania został arbitralnie wprowadzony w pierwszej pracy Schrödingera dotyczącej równania falowego.</ref>:
<math>\int _{D}d^{3}\vec{r}\left|\psi \left(\vec{r},t\right)\right|^2 = 1</math>.
Innymi słowy, prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w dowolnym punkcie przestrzeni jest równe jedności.

<li>
W Mechanice Klasycznej pomiar wielkości fizycznej nie wpływa na układ.

<li>
W Mechanice Kwantowej zwykle nie można gwarantować, że stan układu po pomiarze będzie taki sam jak przed pomiarem. W szczególności
ponowny pomiar wielkości, która przedtem była dobrze określona, może dać (zupełnie) inny wynik.

<li>
W Mechanice Kwantowej dowolnej, dobrze określonej obserwabli fizycznej (takiej jak pęd, energia, masa czy moment pędu), dalej oznaczanej przez <math>C</math>, odpowiada operator <math>\hat{C}</math> taki, że w wyniku pomiaru obserwabli <math>C</math> otrzymujemy wartości zmierzone <math>c</math>, które są wartościami własnymi operatora <math>\hat{C}</math>:

::<math>
\hat{C}\phi = c\phi </math>

gdzie: <math>\phi </math> jest funkcją własną operatora <math>\hat{C}</math>.

<li>
W Mechanice Kwantowej, jeśli układ znajduje się w stanie <math>\psi \left(\vec{r},t\right)</math>, to średnia wartość dowolnej obserwabli fizycznej <math>C</math> związanej z układem w chwili czasu <math>t</math> dana jest wzorem:

<equation id="uid21">
<math>
\left<C\right> = \int \psi ^{*}\left(\vec{r},t\right)\hat{C}\psi \left(\vec{r},t\right)d^{3}\vec{r}
</math>
</equation>

</ol>

==Spin==

Dokładny opis spinu, który jest wielkością kwantową, wykracza znacznie poza ramy materiału niniejszego skryptu. Zainteresowanych czytelników odsyłamy do prac <ref name="bid0" />, <ref name="bid1">Richard L. Liboff Wstęp do Mechaniki Kwantowej. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa
1987.</ref>, <ref name="bid2">Leszek Adamowicz Mechanika Kwantowa. Formalizm i Zastosowania. Oficyna Wydawnicza
Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2005.</ref>, na podstawie których został napisany niniejszy rozdział. W tym miejscu natomiast ograniczymy się do podania kilku faktów, obserwacji, czy uwag, mając nadzieję, że wystarczą one czytelnikom do zrozumienia, czym jest spin, przynajmniej w takim stopniu, który ułatwi im przyswojenie wiadomości na temat Jądrowego Rezonansu Magnetycznego. Podstawowymi elementami, z których składa się materia, są cząstki takie jak elektron, proton oraz neutron, które posiadają spin równy <math>\frac{1}{2}</math>. Najbardziej rozpowszechnionym pierwiastkiem w organizmach żywych jest wodór, którego jądra — protony, odgrywają podstawową rolę w otrzymywaniu obrazów MR. W związku z tym omówienie pojęcia spinu ograniczymy do przypadku spinu równego <math>\frac{1}{2}</math>.

<ol>

<li>
Zjawiska takie jak rozszczepienie w niejednorodnym polu magnetycznym wiązki atomowej na dwie składowe, zaobserwowane przez Sterna i Gerlacha w roku 1922, czy dubletowa struktura widm pierwiastków alkalicznych nie zostały wyjaśnione w ramach teorii budowy atomu zaproponowanej przez Bohra. Doświadczenie przeprowadzone przez Sterna i Gerlacha, jak również i badania spektroskopowe wskazywały na nie uwzględnienie w teorii Bohra pewnej wielkości fizycznej — nieznanego, dodatkowego stopnia swobody elektronu.

<li>
W roku 1925 Uhlenbeck i Goudsmit wprowadzają pojecie spinu, jako wewnętrznego momentu pędu elektronu. Uhlenbeck i Goudsmit przyjęli, iż elektron wiruje<ref>W języku angielskim słowo spin oznacza wirowanie</ref> wokół własnej osi, co w naturalny sposób umożliwiło im wytłumaczenie istnienia dodatkowego stopnia swobody oraz wyjaśnienie dubletowej struktury widm pierwiastków alkalicznych. Obecnie wiadomo, iż obraz elektronu jako wirującej kulki zaproponowany przez Uhlenbecka i Goudsmita jest nieprawidłowy.

<li>
W roku 1926 Schrödinger publikuje serię czterech prac dotyczących równania falowego (nazwanego później równaniem Schrödingera), które dla elektronu znajdującego się w polu elektromagnetycznym przyjmuje następującą postać <ref name="bid0" />:

<equation id="uid27">
<math>
i\hbar\frac{\partial \psi \left(\vec{r},t\right)}{\partial t} = \left[ \frac{1}{2m} \left(\frac{\hbar }{i} \nabla - e \vec{A}\right)^2 + e \phi (\vec{r}) \right]\psi \left(\vec{r},t\right)
</math>
</equation>

gdzie:

<ul>

<li>
<math>\vec{B} = \nabla \times \vec{A}</math>

<li>
<math>\vec{E} = -\nabla \phi - \frac{\Delta \vec{A}}{\Delta t}</math>

<li>
<math>\vec{B}</math> to wektor indukcji magnetycznej

<li>
<math>\vec{E}</math> to wektor natężenia pola elektrycznego

</ul>

<li>
Rozwiązaniem równania (<xr id="uid27"> %i</xr>) są funkcje skalarne, które jednak nie opisują właściwie zachowania się elektronu w polu magnetycznym.

<li>
W przyrodzie obserwujemy zarówno fale skalarne (np. fale dźwiękowe) jak i fale wektorowe (np. fale elektromagnetyczne). Fale wektorowe mogą ulegać polaryzacji. Doświadczenie Sterna-Gerlacha wskazuje na to, że również fale prawdopodobieństwa mogą zostać spolaryzowane, zaś pole magnetyczne inaczej wpływa na poszczególne składowe polaryzacyjne <ref name="bid0" />.

<li>
Najprostszym sposobem wprowadzenia oddziaływania zależnego od pola magnetycznego i polaryzacji funkcji falowej do równania Schrödingera, jest przedstawienie go w postaci następującego układu równań <ref name="bid0" />:

<equation id="uid35">
<math>
\begin{array}{l}
i \hbar \frac{\partial \psi _{+}\left(\vec{r},t\right)}{\partial t} = \left[\frac{1}{2m}\left( \frac{\hbar }{i}\nabla - e \vec{A}\right)^{2} + e \phi - \mu B \right] \psi _{+}\left(\vec{r},t\right) \\
\\
i \hbar \frac{\partial \psi _{-}\left(\vec{r},t\right)}{\partial t} = \left[\frac{1}{2m}\left( \frac{\hbar }{i}\nabla - e \vec{A}\right)^{2} + e \phi + \mu B \right] \psi _{-}\left(\vec{r},t\right)
\end{array}
</math>
</equation>

<li>
Funkcja falowa cząstki posiadającej spin powinna zależeć nie tylko do zmiennych przestrzennych, ale również od dyskretnej zmiennej spinowej, opisującej wartość rzutu spinu na dowolnie wybraną w przestrzeni oś. Funkcja taka, oznaczmy ją dalej przez <math>\psi \left(\vec{r},t,m_{s}\right)</math>, będzie zbiorem różnych funkcji numerowanych przez parametr <math>m_{s}</math> związany ze spinem. Operator spinu działając na funkcję falową, będzie działał jedynie na składowe spinowe.

<li>
Równanie (<xr id="uid35"> %i</xr>) nie jest dogodną formą opisu oddziaływania pola magnetycznego ze spolaryzowaną falą prawdopodobieństwa. W roku 1927 Pauli pokazał, jak z dwóch funkcji falowych, przypisanych dwóm stanom polaryzacyjnym cząstki zbudować wielkość wektorową. Pomijając skomplikowane przekształcenia matematyczne, podamy rozwiązanie do którego doszedł Pauli. Z dwóch składowych polaryzacyjnych funkcji falowej: <math>\psi \left(\vec{r},t\right)_{+}</math> i <math>\psi \left(\vec{r},t\right)_{-}</math>, można zbudować dwuwymiarowy wektor i wektor do niego sprzężony:

<equation id="uid38">
<math>
\begin{array}{l}
\psi \left(\vec{r},t\right) = \left[
\begin{array}{l}
\psi _{+}\left(\vec{r},t\right) \\
\\
\psi _{-}\left(\vec{r},t\right)
\end{array}
\right]\\
\\
\psi ^{*}\left(\vec{r},t\right) = \left[
\psi ^{*}_{+}\left(\vec{r},t\right), \psi ^{*}_{-}\left(\vec{r},t\right) \right]
\end{array}
</math>
</equation>

który spełnia następujące równanie falowe:

<equation id="uid39">
<math>
i \hbar \frac{\partial \psi \left(\vec{r},t\right)}{\partial t} = \left[ \frac{1}{2m} \left( \frac{\hbar }{i}\nabla - e \vec{A}\right)^{2} + e \phi (\vec{r}) - \mu \vec{B} \vec{\sigma } \right] \psi \left(\vec{r},t\right)
</math>
</equation>

gdzie:

<ul>

<li>
<math>\vec{B}</math> jest indukcją pola magnetycznego, zaś <math>\vec{\sigma }</math> jest wektorem zbudowanym z tzw. macierzy Pauliego <math>\sigma _{x}</math>, <math>\sigma _{y}</math>, <math>\sigma _{z}</math>:

</ul>

<equation id="uid41">
<math>
\vec{\sigma }=\left[\mathbf {\sigma }_{x},\mathbf {\sigma }_{y},\mathbf {\sigma }_{z}\right]
</math>
</equation>

<equation id="uid42">
<math>
\begin{array}{l}
\sigma _{x} =
\left[
\begin{array}{cc}
0 & 1\\
1 & 0
\end{array}
\right]\\
\\
\sigma _{y} =
\left[
\begin{array}{cc}
0 & -i\\
i & 0
\end{array}
\right]\\
\\
\sigma _{z} =
\left[
\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & -1
\end{array}
\right]
\end{array}
</math>
</equation>

Iloczyn wektora <math>\vec{\sigma }</math> oraz wektora <math>\vec{B}</math> wynosi:

<equation id="uid43">
<math>
\vec{B}\vec{\sigma } =
\left[
\begin{array}{cc}
B_{z} & B_{x} - iB_{y}\\
\\
B_{x} + iB_{y} & -B_{z}
\end{array}
\right]
</math>
</equation>

<li>
W roku 1928 Dirac podał równanie falowe dla relatywistycznej cząstki o spinie <math>\frac{1}{2}</math> poruszającej się w polu elektromagnetycznym.
Rozwiązanie równania Diraca dla elektronu doprowadziło do wniosku, że spin jest składową całkowitego momentu pędu cząstki, wnosząc do niego wkład równy <math>\frac{1}{2}\hbar </math>. Równanie Diraca przewiduje istnienie spinu jako efektu relatywistycznego.

<li>
Operatory składowych wektora spinu są następujące <ref name="bid3" />:

<equation id="uid46">
<math>
\begin{array} {l}
\hat{s}_{x} = \frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
0 & 1\\
1 & 0
\end{array}
\right]\\
\\
\hat{s}_{y} = \frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
0 & -i\\
i & 0
\end{array}
\right]\\
\\
\hat{s}_{z} = \frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & -1
\end{array}
\right]
\end{array}
</math>
</equation>

a zatem operator spinu jest równy:

<equation id="uid47">
<math>
\hat{S} = \frac{1}{2}\hbar \vec{\sigma }
</math>
</equation>

</ol>

Podsumowując, spin należy rozumieć w ramach Mechaniki Kwantowej jako wyraz istnienia stanów polaryzacyjnych funkcji falowej (w przypadku elektronu, protonu, neutronu i niektórych jąder będą to dwa stany polaryzacyjne). Spin jest własnością cząstek, taką samą jak np. masa lub ładunek, ale obserwowalną dopiero w eksperymentach ujawniających kwantową naturę materii. Spin jest także składową całkowitego momentu pędu, niezwiązaną z ruchem, można go zatem również interpretować jako własny (wewnętrzny) moment pędu cząstki.

===Spin i moment magnetyczny jądra atomowego===

Jądra atomowe zawierające nieparzystą liczbę protonów lub neutronów mają niezerowy własny moment pędu <math>\vec{I}</math> (spin) oraz związany z nim moment magnetyczny. Zgodnie z regułami opisu wielkości wektorowych w mechanice kwantowej, jednocześnie może być obserwowalna tylko długość wektora oraz wartość jednej z jego składowych (tzw. rzut tego wektora na wyróżnioną oś, nazywaną osią kwantowania). W przypadku wektora własnego momentu pędu jądra atomowego jego długość wynosi <ref name="bid3" />:

<equation id="uid49">
<math>
|\vec{I}| = h\sqrt{I\left(I+1\right)}
</math>
</equation>

gdzie:

<ul>

<li>
<math>I</math> oznacza liczbą kwantową o wartości całkowitej lub połówkowej.

</ul>

Składowa <math>z</math> momentu pędu wyraża się następującym wzorem <ref name="bid3" />:

<equation id="uid51">
<math>
I_{z} = m_{I}h, \textrm { } m_{I} = I,I-1,\dots ,I
</math>
</equation>

Możliwych jest zatem <math>2I+1</math> orientacji spinu jądra względem wyróżnionego kierunku, odpowiadających możliwym wartościom jądrowej magnetycznej liczby kwantowej <math>m_{I}</math>. W przypadku protonu (jądra atomu wodoru), mamy <ref name="bid3" />:

::<math>
\begin{array}{l}
I=1/2\\
\\
|\vec{I}| = \frac{\sqrt{3}}{2}\hbar \\
\\
(\vec{I})_{z} = \pm \frac{1}{2}\hbar \end{array}
</math>

Moment magnetyczny związany jest ze spinem następującą zależnością <ref name="bid3" />:

<equation id="uid52">
<math>
\vec{\mu }_{I} = \gamma \vec{I}
</math>
</equation>

Energia potencjalna oddziaływania momentu magnetycznego z polem magnetycznym wynosi:

<equation id="uid59">
<math>
V = -\vec{\mu }\cdot \vec{B}
</math>
</equation>

Zgodnie z prawami termodynamiki układ fizyczny dąży do stanu, w którym jego energia wewnętrzna osiągnie wartość minimalną.
Rozważmy pole <math>\vec{B}</math>, posiadające tylko składową wzdłuż osi <math>z</math> (czyli <math>\vec{B}_0 = \left[ 0, 0, B_0\right]</math>), układu odniesienia.
W przypadku protonu, posiadającego ładunek dodatni, kierunek momentu magnetycznego jest zgodny z kierunkiem jego własnego momentu pędu, a zatem również rzuty momentu magnetycznego i momentu pędu na oś <math>z</math> są równoległe. Orientacji momentu pędu zgodnej z kierunkiem pola <math>\vec{B}</math> będzie odpowiadać energia potencjalna:

::<math>
V = -\frac{1}{2}\hbar \gamma B_0
</math>

natomiast orientacji antyrównoległej:

::<math>
V = \frac{1}{2}\hbar \gamma B_0 </math>

Ustawienie najkorzystniejsze energetycznie odpowiada więc sytuacji, kiedy składowa <math>z</math> spinu ustawiona jest w równolegle do kierunku pola <math>\vec{B}_0</math> (magnetyczna liczba kwantowa <math>m_{I}=\frac{1}{2}</math>).

===Precesja spinu i momentu magnetycznego w stałym polu magnetycznym — opis kwantowy dla cząstki o spinie 1/2===

Ze względu na wysokie naturalne rozpowszechnienie wodoru w organizmach żywych, oddziaływanie spinu z polem magnetycznym omówimy na przykładzie protonu. Dodatkowo, aby uprościć problem, rozważmy proton mający stałe położenie w przestrzeni oraz pole magnetyczne <math>\vec{B}_{0}</math>, które ma niezerową składową tylko wzdłuż osi <math>z</math>, czyli <math>\vec{B}=\left[0, 0, B_{0}\right]</math>. W takim przypadku równanie Pauliego przybierze następującą postać:

<equation id="uid61">
<math>
\frac{\partial \psi \left(\vec{r},t\right)}{\partial t} = \left[\frac{1}{2m}\left(\frac{\hbar }{i}\nabla \right)^2 - \mu \vec{B}\vec{\sigma }\right]\psi \left(\vec{r},t\right)
</math>
</equation>

Powyższe równanie można rozwiązać metodą rozdzielenia zmiennych przestrzennych i spinowych <ref name="bid0" />:

<equation id="uid62">
<math>
\psi \left(\vec{r},t\right) = \psi _{r}\left(\vec{r},t\right)\chi \left(t\right)
</math>
</equation>

gdzie:

<ul>

<li>
<math>\psi _{r}\left(\vec{r},t\right)</math> — zależy wyłącznie od współrzędnych przestrzennych i czasu

<li>
<math>\chi \left(t\right)</math> — jest dwuskładnikowym spinorem.

</ul>

w wyniku podstawienia równania (<xr id="uid62"> %i</xr>) do równania (<xr id="uid61"> %i</xr>) uzyskujemy następujący układ dwóch niezależnych równań:

<equation id="uid65">
<math>
\begin{array}{l}
i\hbar \frac{\Delta \psi _{r}\left(\vec{r},t\right)}{\Delta t} = - \frac{\hbar ^{2}}{2m}\nabla ^{2}\psi \left(\vec{r},t\right) \\ \\
i\hbar \frac{\Delta \chi \left(t\right)}{\Delta t} = - \mu \vec{\sigma }\vec{B}\psi \left(\vec{t}\right)
\end{array}
</math>
</equation>

Interesuje nas ewolucja spinu, dlatego rozwiążemy dalej tylko równanie dla funkcji <math>\chi \left(t\right)</math>.
Podstawiając:

<equation id="uid66">
<math>
\vec{\sigma }\vec{B}=
\left[
\begin{array}{cc}
\mu B_{0} & 0 \\
0 & -\mu B_{0}
\end{array}
\right]
</math>
</equation>

do równania (<xr id="uid65"> %i</xr>), otrzymujemy:

<equation id="uid67">
<math>
i\hbar \frac{\Delta \chi \left(t\right)}{\Delta t} =
\left[
\begin{array}{cc}
\mu B_{0} & 0 \\
0 & -\mu B_{0}
\end{array}
\right]\chi \left(t\right)
</math>
</equation>

Jest to układ równań różniczkowych rzędu pierwszego o rozwiązaniach postaci:

<equation id="uid68">
<math>
\begin{array}{l}
\chi _{+}\left(t\right) = ae^{i\frac{\mu B_{0}}{\hbar }t}
\left[
\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}
\right]\\
\\
\chi _{-}\left(t\right) = be^{-i\frac{\mu B_{0}}{\hbar }t}
\left[
\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}
\right]
\end{array}
</math>
</equation>

Dokonajmy analizy jednostkowej uzyskanego rozwiązania.
Argument funkcji wykładniczej powinien być bezwymiarowy.
Wielkość <math>\mu B_{0}</math> ma wymiar energii, z kolei stała Planka ma wymiar <math>\left[\textrm {Js}\right]</math>, a zatem:

::<math>
\pm i\frac{\mu B_{0}}{\hbar } = \left[\frac{J}{Js}\right] = \left[\frac{1}{s}\right]
</math>

Oznaczmy dalej wielkość <math>\frac{\mu B_{0}}{\hbar }</math>, w następujący sposób:

<equation id="uid69">
<math>
\omega ^{\prime }_{0} = \frac{\mu B_{0}}{\hbar }
</math>
</equation>

Ostatecznie, otrzymane rozwiązanie możemy przedstawić w dwóch formach:

<equation id="uid70">
<math>
\chi \left(t\right) =
ae^{i\omega ^{\prime }_{0}t}\left[
\begin{array}{l}
1\\
0
\end{array}
\right]
+
be^{-i\omega ^{\prime }_{0}t}\left[
\begin{array}{l}
0\\
1
\end{array}
\right]
</math>
</equation>

lub

<equation id="uid71">
<math>
\chi \left(t\right) =
ae^{i\frac{E}{\hbar }t}\left[
\begin{array}{l}
1\\
0
\end{array}
\right]
+
be^{-i\frac{E}{\hbar }t}\left[
\begin{array}{l}
0\\
1
\end{array}
\right]
</math>
</equation>

gdzie:

<ul>

<li>
<math>E = \mu B_{0}</math>

</ul>

Jak można zauważyć, rozwiązaniem równania falowego (<xr id="uid65"> %i</xr>) jest funkcja:

<ul>

-
<li>
ortogonalna

-
<li>
ortonormalna, o ile zostanie spełniony warunek:

::<math>
\left|a\right|^{2} + \left|b\right|^{2} = 1
</math>

</ul>

Rozwiązanie to spełnia zatem postulaty mechaniki kwantowej dotyczące postaci funkcji falowej.
Wartości <math>\left|a\right|^{2}</math> i <math>\left|b\right|^{2}</math> można traktować jako prawdopodobieństwa znalezienia jądra atomowego w stanie odpowiednio o spinie skierowanym w górę i spinie skierowanym w dół.

Wyznaczymy teraz wartości oczekiwane operatora składowych spinu korzystając ze wzoru (<xr id="uid21"> %i</xr>).
Na początku uprościmy zapis funkcji falowej. Wprowadźmy skrócone oznaczenie:

::<math>
\begin{array}{l}
\alpha = ae^{i\omega ^{\prime }_{0}t}\\
\beta = be^{-i\omega ^{\prime }_{0}t}
\end{array}
</math>

umożliwiające zapis funkcji falowej w następującej formie

<equation id="uid75">
<math>
\chi \left(t\right) =
\alpha \left[
\begin{array}{l}
1\\
0
\end{array}
\right]
+
\beta \left[
\begin{array}{l}
0\\
1
\end{array}
\right]=
\left[
\begin{array}{l} \alpha \\
\beta \end{array}
\right]
</math>
</equation>

Składowa <math>z</math> operatora spinu

::<math>
\hat{C}\phi =\frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & -1
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\alpha \\
\beta \end{array}
\right]
= \frac{\hbar }{2}\left[
\begin{array}{c}
\alpha \\
-\beta \end{array}
\right]
</math>

::<math>
\phi ^{*}\hat{C}\phi = \frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
\alpha ^{*} & \beta ^{*}
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\alpha \\
-\beta \end{array}
\right] =
\frac{\hbar }{2}\left(
\begin{array}{cc}
\left|\alpha \right|^{2} - \left|\beta \right|^{2}
\end{array}
\right)
</math>

ostatecznie:

<equation id="uid76">
<math>
\left<\hat{s}_{z}\right> = \frac{\hbar }{2}\left(a^{2} - b^{2}\right)
</math>
</equation>

Składowa <math>x</math> operatora spinu

::<math>
\hat{C}\phi =\frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
0 & 1\\
1 & 0
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\alpha \\
\beta \end{array}
\right]
= \frac{\hbar }{2}\left[
\begin{array}{c}
\beta \\
\alpha \end{array}
\right]
</math>

::<math>
\phi ^{*}\hat{C}\phi = \frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
\alpha ^{*} & \beta ^{*}
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\beta \\
\alpha \end{array}
\right] =
\frac{\hbar }{2}\left(
\begin{array}{cc}
\alpha ^{*}\beta - \beta \alpha ^{*}
\end{array}
\right)
</math>

po podstawieniu za <math>\alpha </math> i <math>\beta </math> odpowiednich wyrażeń otrzymujemy:

<equation id="uid77">
<math>
\left<\hat{s}_{x}\right> = \hbar ab\cos \left(2\omega ^{\prime }_{0}t\right)
</math>
</equation>

Składowa <math>y</math> operatora spinu

::<math>
\hat{C}\phi =\frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
0 & -i\\
i & 0
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\alpha \\
\beta \end{array}
\right]
= i\frac{\hbar }{2}\left[
\begin{array}{c}
-\beta \\
\alpha \end{array}
\right]
</math>

::<math>
\phi ^{*}\hat{C}\phi = i\frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
\alpha ^{*} & \beta ^{*}
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
-\beta \\
\alpha \end{array}
\right] =
\frac{\hbar }{2}\left(
\begin{array}{cc}
-\alpha ^{*}\beta + \beta \alpha ^{*}
\end{array}
\right)
</math>

po podstawieniu za <math>\alpha </math> i <math>\beta </math> odpowiednich wyrażeń otrzymujemy:

<equation id="uid78">
<math>
\left<\hat{s}_{y}\right> = -\hbar ab\sin \left(2\omega ^{\prime }_{0}t\right)
</math>
</equation>

Podsumowując, otrzymaliśmy następujący układ równań na wartości oczekiwane składowych operatora spinu:
<equation id="uid79"><math>
\begin{array}{l}
<\hat{s}_{z}> = \frac{\hbar }{2}\left(a^{2} - b^{2}\right)\\
\\
<\hat{s}_{x}> = \hbar ab\cos \left(2\omega^{\prime }_{0}t\right)\\
\\
<\hat{s}_{y}> = -\hbar ab\sin \left(2\omega^{\prime }_{0}t\right)
\end{array}
</math>
</equation>

Z powyższych równań możemy wyciągnąć następujące, ważne wnioski:

<ol>

<li>
Jeżeli <math>\left|a\right|^{2}=1</math> i <math>\left|b\right|^{2}=0</math> lub gdy <math>\left|a\right|^{2}=0</math> i <math>\left|b\right|^{2}=1</math>, czyli gdy spin jest zawsze ustawiony w górę lub w dół, to wtedy wartość oczekiwana składowej <math>z</math> operatora spinu wynosi <math>\frac{\hbar }{2}</math>, natomiast znikają wartości oczekiwane składowych w płaszczyźnie <math>x-y</math>.

<li>
Jeżeli <math>\left|a\right|^{2}=\left|b\right|^{2}</math>, czyli gdy tak samo prawdopodobne jest ułożenie spinu równoległe jak i antyrównoległe do osi <math>z</math>, to wtedy znika wartość oczekiwana składowej <math>z</math> operatora spinu, natomiast wartości oczekiwane w płaszczyźnie <math>x-y</math> są równe <math>\frac{\hbar }{2}</math>.

<li>
Wartość oczekiwana operatora spinu wzdłuż osi <math>z</math> jest stała w czasie, natomiast wartości oczekiwane w płaszczyźnie <math>x-y</math> wirują z częstością <math>2\omega ^{\prime }_{0}</math>. Częstość <math>\omega _{0}=2\omega ^{\prime }_{0}</math> jest nazywana częstością precesji Larmour. W przypadku protonu lub neutronu częstość Larmour można zapisać również w postaci:

::<math>
\omega _{0}=2\omega ^{\prime }_{0} = 2\frac{\mu B_{0}}{\hbar } = 2\gamma B_{0}I = \gamma B_{0}
</math>

gdzie <math>\gamma </math> jest współczynnikiem giromagnetycznym odpowiadającym poszczególnym cząstkom, zaś <math>I=\frac{1}{2}</math>
czyli:

<equation id="uid83">
<math>
\omega _{0} = \gamma B_{0}
</math>
</equation>

<li>
Wartości oczekiwane operatora spinu: <math>\left<\hat{s}_{x}\right></math>, <math>\left<\hat{s}_{y}\right></math> i <math>\left<\hat{s}_{z}\right></math> możemy interpretować jako precesję spinu. Możemy również utworzyć wektor: <math>\left<\hat{s}\right> = \left[\left<\hat{s}_{x}\right>, \left<\hat{s}_{y}\right>, \left<\hat{s}_{z}\right>\right]</math>

<li>
Precesja spinu następuje zgodnie z ruchem wskazówek zegara, a więc wektor prędkości kątowej jest skierowany antyrównolegle do osi <math>z</math>. W przypadku, kiedy cząstka lub jądro charakteryzuje się ujemnym momentem magnetycznym, precesja następuje w kierunku przeciwnym do wskazówek ruchu zegara<ref><math>\cos \left(-2\omega _{0}\right)=\cos \left(2\omega _{0}\right)</math>, zaś <math>\sin \left(-2\omega _{0}\right)=-\sin \left(2\omega _{0}\right)</math></ref>

::<math>
\begin{array}{l}
\hat{s}_{z} = \frac{\hbar }{2}\left(a^{2} - b^{2}\right)\\
\\
\hat{s}_{x} = \hbar ab\cos \left(2\omega _{0}t\right)\\
\\
\hat{s}_{y} = \hbar ab\sin \left(2\omega _{0}t\right)
\end{array}
</math>

</ol>

===Rezonans magnetyczny, ujęcie kwantowe===

Pod wpływem zewnętrznego pola magnetycznego <math>\vec{B}_{0}</math> spiny jądrowe zostają uporządkowane, w wyniku czego w badanej próbce powstaje
makroskopowy moment magnetyczny (namagnesowanie). Niestety, obserwowalna może być tylko składowa namagnesowania równoległa do pola <math>\vec{B}_{0}</math>.Stosowane w diagnostyce MRI pola <math>\vec{B}_{0}</math> mają wartości od <math>0.5</math> do <math>4</math>T. Wytworzone przez takie pole namagnesowanie jest niewielkie i szybko zanika wraz z odległością.
Zarejestrowanie na tle silnego pola <math>\vec{B}_{0}</math> miliony razy słabszego namagnesowanie jest niezwykle trudne. Wiemy jednak, zgodnie z prawem Faradaya, że statyczne pole magnetyczne nie indukuje pola elektrycznego. Aby wyindukować pole elektryczne, potrzebna jest zmiana strumienia pola magnetycznego. Gdybyśmy potrafili w jakiś sposób wpłynąć na kierunek wytworzonego w próbce namagnesowania lub jego wielkości, moglibyśmy mierzyć sygnał elektryczny z nim związany np. przy pomocy cewek, podczas gdy pole <math>\vec{B}_{0}</math> przez taką cewkę nie byłoby rejestrowane.

[[Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metodą_Magnetycznego_Rezonansu_Jądrowego#Zmiana_orientacji_wektora_namagnesowania._Magnetyczny_Rezonans_J.C4.85drowy|W rozdziale o zmianie orientacji wektora namagnesowania]] podaliśmy wzór, z których wynikało, iż obsadzenie stanów związanych ze spinem jądra atomowego wpływa na składowe wektora wartości oczekiwanej momentu magnetycznego. Powstaje zatem pytanie, w jaki sposób zaburzyć powstałą pod wpływem pola <math>\vec{B}_{0}</math> równowagę. Jak przenieść cześć jąder z podstawowego poziomu energetycznego, do stanu wzbudzonego? Odpowiedz w ramach teorii pół-klasycznej, została podana w rozdziale [https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/action/edit/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metod%C4%85_Magnetycznego_Rezonansu_J%C4%85drowego?section=8].
Przypominamy, że próbkę trzeba umieścić w dodatkowym, słabym, zmiennym w czasie polu magnetycznym, mającym niezerowe składowe tylko w płaszczyźnie <math>x-y</math>, które oznaczymy jako <math>\vec{B}_{1}\left(t\right)</math>. Sprawdzimy jednak, jakie są konsekwencje
umieszczenia próbki w takim polu. Całkowite pole magnetyczne, w którym znajduje się badana próbka wynosi:

<equation id="uid2">
<math>
\vec{B}\left(t\right) = \vec{B}_{0} + \vec{B}_{1}\left(t\right)
</math>
</equation>

gdzie:

<ul>
<dt>

<li>
<math>\vec{B}_{0} = \left[0,0, B_{0}\right]</math>

<dt>

<li>
<math>\vec{B}_{1}\left(t\right) = \left[B_{1}\cos \left(\omega t\right),-B_{1}\sin \left(\omega t\right),0\right]</math>

</ul>

Podstawiając wzór (<xr id="uid2"> %i</xr>) do wzoru
(<xr id="uid61"> %i</xr>), oraz przyjmując zgodnie ze
wzorem (<xr id="uid38"> %i</xr>), że poszukujemy rozwiązania postaci:

<equation id="uid5">
<math>
\chi \left(t\right) =
\left[
\begin{array}{l}
\chi _{1}\left(t\right) \\
\chi _{2}\left(t\right)
\end{array}
\right] =
\chi _{1}\left(t\right)\left[
\begin{array}{l}
1\\
0
\end{array}
\right]
+
\chi _{2}\left(t\right)\left[
\begin{array}{l}
0\\
1
\end{array}
\right]
</math>
</equation>

otrzymujemy następujący układ równań:

<equation id="uid6">
<math>
\begin{array}{l}
i\frac{d\chi _{1}\left(t\right)}{dt} =
-\frac{\mu }{\hbar }\left(B_{1}e^{i\omega t}\chi _{2}\left(t\right) +
B_{0}\chi _{1}\left(t\right)\right)\\
\\
i\frac{d\chi _{2}\left(t\right)}{dt} =
-\frac{\mu }{\hbar }\left(B_{1}e^{-i\omega t}\chi _{1}\left(t\right) +
B_{0}\chi _{2}\left(t\right)\right)
\end{array}
</math>
</equation>

Domyślamy się, że rozwiązaniem powyższego układu równań będą funkcje:

<equation id="uid7">
<math>
\begin{array}{l}
\chi _{1}\left(t\right) = ae^{i\left(\omega + \omega _{r}\right)t}\\
\\
\chi _{2}\left(t\right) = be^{i\omega _{r} t}
\end{array}
</math>
</equation>

Wstawienie równań (<xr id="uid7"> %i</xr>) do
(<xr id="uid6"> %i</xr>) daje jednorodne równanie
macierzowe:

<equation id="uid8">
<math>
\underbrace{\left[
\begin{array}{cc}
\left(\frac{\mu B_{0}}{\hbar } - \omega - \omega _{r}\right) &
\frac{\mu B_{0}}{\hbar } \\
\\
\frac{\mu B_{0}}{\hbar } & -\left(\frac{\mu B_{0}}{\hbar } +
\omega _{r}\right)
\end{array}
\right]
}_{\Delta }
\left[
\begin{array}{c}
a \\
\\
b
\end{array}
\right] = 0
</math>
</equation>

które ma nietrywialnie rozwiązanie tylko wtedy, gdy znika wyznacznik
macierzy <math>\Delta </math>.
Warunek ten prowadzi do równania:

<equation id="uid9">
<math>
\omega _{r}^{2} + \omega \omega _{r} - \frac{\mu B_{0}}{\hbar }\left(\frac{\mu B_{0}}{\hbar } - \omega \right) -
\left(\frac{\mu B_{0}}{\hbar }\right)^{2} = 0
</math>
</equation>

Dozwolone wartości parametru <math>\omega _{r}</math> są zatem równe:

<equation id="uid10">
<math>
\omega _{r} = -\frac{\omega }{2} \pm \Omega </math>
</equation>

gdzie:

<equation id="uid11">
<math>
\Omega = \left[\left(\frac{\omega }{2} - \frac{\mu B_{0}}{\hbar }\right)^{2} + \left(\frac{\mu B_{1}}{\hbar }\right)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}
</math>
</equation>

Parametr <math>\Omega </math> nazywany jest częstością Rabiego.
Rozwiązanie ogólne np. dla <math>\chi _{2}\left(t\right)</math> będzie kombinacją
liniową dwóch składowych, odpowiadającym dwóm częstościom
(<xr id="uid11"> %i</xr>):

<equation id="uid12">
<math>
\chi _{2}\left(t\right) =
b_{1}e^{i\left(-\frac{\omega }{2}+\Omega \right)t} +
b_{2}e^{i\left(-\frac{\omega }{2}-\Omega \right)t}
</math>
</equation>

Przyjmijmy teraz, że w chwili czasu <math>t=0</math> proton znajduje się w stanie
podstawowym (czyli ma spin skierowany równolegle do pola <math>B_{0}</math>),

<equation id="uid13">
<math>
\left|\chi _{2}\left(t=0\right)\right|^{2} = 1
</math>
</equation>

wówczas:

<equation id="uid14">
<math>
b_{1} = -b_{2}
</math>
</equation>

Podstawiając (<xr id="uid12"> %i</xr>) do drugiego z równań
(<xr id="uid6"> %i</xr>) daje następującą postać funkcji
<math>\chi _{2}\left(t\right)</math>:

<equation id="uid15">
<math>
\chi _{2}\left(t\right) = i\frac{\mu B_{1}}{\hbar \Omega }e^{-\frac{i\omega t}{2}}sin\left(\Omega t\right)
</math>
</equation>

Rozwiązanie <math>\chi _{1}\left(t\right)</math>, odpowiadające szczególnej postaci
<math>\chi _{2}\left(t\right)</math> można otrzymać korzystając z drugiego z równań
(<xr id="uid6"> %i</xr>):

<equation id="uid16">
<math>
\chi _{1}\left(t\right) = e^{\frac{i\omega t}{2}}\cos \left(\Omega t\right) + \frac{i}{\Omega }\left(\frac{\omega }{2} - \frac{\mu B_{0}}{\hbar }\right)e^{\frac{i\omega t}{2}}sin\left(\Omega t\right)
</math>
</equation>

Podsumowując, otrzymaliśmy następujące rozwiązanie opisujące ewolucję
spinu protonu w polu magnetycznym <math>\vec{B}\left(t\right)</math>:

<equation id="uid17">
<math>
\begin{array}{l}
\chi \left(t\right) =
\left[
\begin{array}{l}
\chi _{1}\left(t\right) \\
\chi _{2}\left(t\right)
\end{array}
\right] =
\chi _{1}\left(t\right)\left[
\begin{array}{l}
1\\
0
\end{array}
\right]
+
\chi _{2}\left(t\right)\left[
\begin{array}{l}
0\\
1
\end{array}
\right]
\\
\\
\textrm {gdzie:}\\
\\
\chi _{1}\left(t\right) = e^{\frac{i\omega t}{2}}\cos \left(\Omega t\right) + \frac{i}{\Omega }\left(\frac{\omega }{2} -
\frac{\mu B_{0}}{\hbar }\right)e^{\frac{i\omega t}{2}}sin\left(\Omega t\right)
\\
\chi _{2}\left(t\right) = i\frac{\mu B_{1}}{\hbar \Omega }e^{-\frac{i\omega t}{2}}sin\left(\Omega t\right)\\
\end{array}</math>
</equation>

Obliczymy teraz prawdopodobieństwo znalezienia protonu w stanie o rzucie
spinu <math>-\frac{1}{2}</math> w chwili czasu <math>t</math>:

<equation id="uid18">
<math>
P_{-}\left(t\right) = \left|\chi _{2}\left(t\right)\right|^{2} =
\left(\frac{\mu B_{1}}{\hbar \Omega }\right)^{2}\sin ^{2}\left(\Omega t\right)
</math>
</equation>

Prawdopodobieństwo to oscyluje w czasie. Oczywiście prawdopodobieństwo
znalezienia protonu w stanie o rzucie spinu <math>-\frac{1}{2}</math>
jest równe <math>P_{+}\left(t\right) = 1 - P_{+}\left(t\right)</math>.
Przeanalizujmy otrzymany wynik. Amplituda oscylacji prawdopodobieństwa
zależy od częstości Rabiego:

::<math>
\Omega = \left[\left(\frac{\omega }{2} - \frac{\mu B_{0}}{\hbar }\right)^{2} + \left(\frac{\mu B_{1}}{\hbar }\right)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}
</math>

Jeżeli częstość <math>\omega </math> zmiennego pola magnetycznego będzie dowolnie
duża lub dowolnie mała, częstość Rabiego osiągnie znaczne wartości, a w
związku z tym prawdopodobieństwo przejścia jądra ze stanu o rzucie spinu
w górę do stanu o rzucie spinu w dół będzie zawsze niskie.
W momencie, gdy zostanie spełniony warunek:

<equation id="uid19">
<math>
\hbar \omega = 2\mu B_{0}
</math>
</equation>

przy jednoczesnym założeniu, że <math>B_{1}\ll B_{0}</math>, częstość Rabiego wyniesie:

::<math>
\Omega = \left(\frac{\mu B_{1}}{\hbar }\right)
</math>

a amplituda oscylacji prawdopodobieństwa osiąga maksymalną wartość:

<equation id="uid20">
<math>
P_{-}\left(t\right) = \sin ^{2}\left(\Omega t\right)
</math>
</equation>

Równanie (<xr id="uid19"> %i</xr>) określa tzw. warunek wystąpienia zjawiska
jądrowego rezonansu magnetycznego. Warto zauważyć, że energia pola
magnetycznego, jaką trzeba dostarczyć, aby uzyskać przejście jądra ze
stanu o rzucie spinu <math>\frac{1}{2}</math> do stanu o rzucie spinu
<math>-\frac{1}{2}</math> jest równa różnicy energii poziomów energetycznych
protonów umieszczonych w zewnętrznym polu <math>B_{0}</math>, bowiem:

<equation id="uid21">
<math>
\begin{array}{c}
E_{+} = -\mu B_{0} \\
\\
E_{-} = \mu B_{0} \\
\\
E_{-} - E_{+} = 2\mu B_{0}\\
\end{array}
</math>
</equation>

Jak wiemy, częstość precesji Larmour jest równa <math>\frac{2\mu B_{0}}{\hbar}</math>, a zatem
warunek rezonansowy możemy zapisać również w postaci:

<equation id="uid22">
<math>
{\omega = \omega _{0}}
</math>
</equation>

Prawdopodobieństwo przejścia jądra protonu ze stanu o rzucie spinu
<math>\frac{1}{2}</math> do stanu o rzucie <math>-\frac{1}{2}</math>, równe <math>50\%</math> zostanie
osiągnięte po czasie:

<equation id="uid23">
<math>
\sin ^{2}\left(\Omega t\right) = \frac{1}{2}
</math>
</equation>

czyli:

<equation id="uid24">
<math>
\sin \left(\Omega t\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}
</math>
</equation>

skąd dostajemy:

<equation id="uid25">
<math>
{t = \frac{\pi }{4\Omega }}
</math>
</equation>

Jest to tzw. impuls <math>\pi </math> — zastosowanie zmiennego pola magnetycznego o
takim czasie trwania impulsu doprowadzi do zaniku namagnesowania
podłużnego, powstanie natomiast namagnesowanie poprzeczne, co dokładniej
omówimy w dalszej części rozdziału.

Z kolei przejścia protonu do stanu o wyższej energii nastąpi po czasie:

<equation id="uid26">
<math>
{t = \frac{\pi }{2\Omega }}
</math>
</equation>

Jest to tzw. impuls <math>\frac{\pi }{2}</math>, powodujący zmianę orientacji spinu
protonu w zewnętrznym polu magnetycznym.

Znaleźliśmy zatem sposób na zmianę orientacji spinu, a w związku z tym i
namagnesowania.
W warunkach rezonansu funkcja falowa spinu wyraża się następującym wzorem:

<equation id="uid27">
<math>
\chi \left(t\right) = \cos \left(\Omega t\right)e^{\frac{i\omega t}{2}}
\left[
\begin{array}{l}
1\\
0
\end{array}
\right]
+ ie^{-\frac{i\omega t}{2}}sin\left(\Omega t\right)
\left[
\begin{array}{l}
0\\
1
\end{array}
\right]
</math>
</equation>

Korzystając ze wzoru na funkcję falową, podobnie jak w to uczyniliśmy w
rozdziale [https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/action/edit/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metod%C4%85_Magnetycznego_Rezonansu_J%C4%85drowego?section=36], możemy policzyć składowe wektora
wartości oczekiwanych operatora spinu. Wynoszą one:

<equation id="uid28">
<math>
\begin{array}{l}
\langle\hat{s}_{z}\rangle = \frac{1}{2}\hbar \cos \left(2\Omega t\right)\\
\\
\langle\hat{s}_{x}\rangle = \frac{1}{2}\hbar \sin \left(2\Omega t\right)\cos \left(2\omega _{0}t\right)\\
\\
\langle\hat{s}_{y}\rangle = -\frac{1}{2}\hbar \sin \left(2\Omega t\right)\sin \left(2\omega _{0}t\right)
\end{array}
</math>
</equation>

Z równań tych wynika, że w płaszczyźnie <math>x-y</math> wartość oczekiwana spinu
jest superpozycją dwóch rodzajów ruchów — szybkiego, z częstością
<math>2\omega _{0}</math> (częstością Larmour) oraz modulacji <math>2\Omega _{0}</math>,
natomiast składowa <math>z</math> wartości oczekiwanej momentu magnetycznego
odchyla się od kierunku zgodnego z polem <math>B_{0}</math> (równoległego do osi
<math>z</math>) w stronę kierunku przeciwnego do kierunku do pola <math>B_{0}</math>.

Ważne uwagi

<ol>

<li>
Zarówno w rozdziale [https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/action/edit/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metod%C4%85_Magnetycznego_Rezonansu_J%C4%85drowego?section=36], gdzie
opisywaliśmy precesję spinu w zewnętrznym polu magnetycznym, jak i w
rozdziale bieżącym, pominęliśmy w rozwiązaniach czynnik fazowy. Pełni on
jednak bardzo istotną role w opisie zjawiska NMR. W wyniku
wykonywania precesji w różnej fazie przez spiny jądrowe, zanika składowa
poprzeczna namagnesowania.

<li>
W przypadku wystąpienia rezonansu jądrowego, zewnętrzne pole
<math>\vec{B}_{1}\left(t\right)</math> oprócz indukowania przejść między poziomami
energetycznymi, powoduje również synchronizację składowych wartości
oczekiwanych spinu w płaszczyźnie <math>x-y</math>. Pół-klasycznym wytłumaczeniem
tego efektu zajmiemy się jeszcze w następnym rozdziale. Warto jednak już
w tym miejscu zapamiętać, iż procesy prowadzące do synchronizacji lub
desynchronizacji ruchu spinów zawierają niezwykle cenną informację
diagnostyczną.

</ol>

Podsumowując:

<ol>

<li>
W zewnętrznym, statycznym polu magnetycznym, skierowanym
wzdłuż osi <math>z</math>, spin protonu wykonuje ruch precesyjny z częstością
Larmour. Składowa <math>z</math> wartości oczekiwanej spinu jest stała w czasie,
składowe poprzeczne wykonują ruch wirowy w płaszczyźnie <math>x-y</math>.

<li>
Różnym ułożeniom spinu względem pola magnetycznego
odpowiadają różne energie potencjalne. W przypadku spinu równego
<math>\frac{1}{2}</math> istnieją dwa poziomy energetyczne, które będą obsadzane
przez jądra zgodnie z rozkładem Boltzmanna. Poziom odpowiadający
równoległemu rzutowi spinu na kierunek zewnętrznego pola magnetycznego,
jest korzystniejszy energetycznie, dlatego będzie obsadzany częściej.

<li>
Desynchronizacja ruchu wirowego wartości oczekiwanej spinów w
płaszczyźnie <math>x-y</math> uniemożliwia powstanie namagnesowania poprzecznego.
Obserwujemy tylko namagnesowanie podłużne.

<li>
Pod wpływem odpowiednio dobranego pola magnetycznego, można
doprowadzić do przejść między poziomami energetycznymi protonu. Jeżeli
energia kwantu promieniowania jest równa różnicy poziomów
energetycznych, proton absorbuje energię pola i przechodzi ze stanu o
podstawowego do stanu wzbudzonego. Następnie, po pewnym czasie pozbywa
się nagromadzonej energii, przechodząc z powrotem w stan podstawowy.
Przejścia te możliwe są tylko wtedy, kiedy kwant promieniowania ma
energię odpowiadającą częstości precesji Larmour spinu protonu w
zewnętrznym polu magnetycznym <math>B_{0}</math>.

<li>
Po pobudzeniu protonu impulsem <math>\frac{\pi }{2}</math> zanika
równowaga termodynamiczna w obsadzeniu stanów, a wraz z nią składowa <math>z</math>
wartości oczekiwanej spinu i związane nią namagnesowanie podłużne.

<li>
Jednocześnie, w wyniku synchronizacji w płaszczyźnie <math>x-y</math>
wartości oczekiwanej spinów tych jąder atomowych, które uległy przejściu
rezonansowemu, zaczyna powstawać namagnesowanie poprzeczne.

<li>
W trakcie przechodzenia protonów ze stanu podstawowego do
stanu wzbudzonego, obserwowane namagnesowanie podłużne zanika, podczas
gdy narasta namagnesowanie poprzeczne. Obserwujemy zatem efekt,
odchylania się wypadkowego namagnesowania od osi <math>z</math> w kierunku
płaszczyzny <math>x-y</math>.

<li>
W wyniku procesów prowadzących do rozpraszania nagromadzonej
przez proton energii oraz desynchronizacji ruchów precesyjnych zanika
namagnesowanie poprzeczne, natomiast odbudowuje się składowa podłużna
namagnesowania.

<li>
Zmianom kierunku i wielkości namagnesowania towarzyszy zmiana
indukcji pola elektrycznego, która może być rejestrowana przez cewki.
W szczególności, sygnał pochodzący od składowej poprzecznej
namagnesowania nosi nazwę sygnału FID (Free Induction Decay).

</ol>

==Terminy stosowane w diagnostyce MRI==
* '''Sekwencją''' nazywamy w badaniu MRI serię odpowiednio impulsów, zastosowaną w celu rejestracji danych pomiarowych i odtworzenia obrazu.
* '''RF — Radio Frequency''' to impuls generujący zmienne w czasie pole magnetyczne <math>\vec{B}_{1}</math>, pod wpływem którego jądra zajmują wyższe poziomy energetyczne związane ze spinem
* '''TR — Repetition Time''' jest to czas pomiędzy kolejnymi impulsami wzbudzającymi <math>\pi/2</math> (RF)
* '''TE — Echo Time''' jest to czas pomiędzy momentem wystąpienia impulsu pobudzającego <math>\pi/2</math> a momentem rejestracji sygnału echa spinowego.
* '''FA — Flip Angle''' to kąt o który ma być przekręcona magnetyzacja od osi <math>z</math> w kierunku płaszczyzny <math>x-y</math>. Zazwyczaj jest to kąt równy 90<math>^{o}</math>, jednakże w celu przyspieszenia badania, w niektórych sekwencjach stosuje się mniejsze kąty.
* '''TI — Inversion Time''' jest to czas pomiędzy impulsem pobudzającym <math>\pi</math> (zmiana orientacji spinu o 180<math>^{o}</math>) a impulsem pobudzającym <math>\pi/2</math>.
*'''NA or NEX Number of Acquisitions''' to liczba powtórzeń pomiaru. W celu uzyskania wysokiego SNR, pomiary można powtarzać wielokrotnie. Redukcja szumu maleje proporcjonalne do <math>\sqrt{\textrm{NA}}</math>.
----
<references/>

Obrazowanie:Obrazowanie Medyczne/Obrazowanie Metodą Magnetycznego Rezonansu Jądrowego

2024-11-14T10:12:54Z

Jginter: /* Równanie Blocha */

Obrazowanie Metodą Magnetycznego Rezonansu Jądrowego
==Kilka uwag na temat Mechaniki Kwantowej, Mechaniki Klasycznej oraz nazewnictwa.==
Prawidłową nazwą metody diagnostyki medycznej, która będzie omawiana w tej części skryptu, jest Obrazowanie Magnetycznego Rezonansu Jądrowego (ang. ''Nuclear Magnetic Rezonanse Imaging'', NMRI). Niestety, większość społeczeństwa negatywnie kojarzy przymiotnik ''jądrowy''. W związku z tym, pomimo iż diagnostyka NMRI nie ma nic wspólnego ze zjawiskiem rozpadu promieniotwórczego i jest uznawana za całkowicie bezpieczną, usunięto z jej nazwy słowo "jądrowy" (nuclear). Obecnie metodę NMRI określa się jako ’’Magnetic Rezonanse Imaging – MRI", czyli Obrazowanie Rezonansu Magnetycznego. W żargonie stosowanym w niektórych placówkach medycznych nazwa ta uległa skróceniu do jednego wyrazu — Rezonans.
Metoda NMRI opiera się na zjawisku Magnetycznego Rezonansu Jądrowego które omówimy na gruncie Mechaniki Klasycznej z elementami Mechaniki Kwantowej. Zastosowanie modelu kwantowego prowadzi do pełniejszego w porównaniu z modelem klasycznym opisu zjawiska NMR, jednak ze względu na skomplikowaną postać samej Teorii Kwantów, model kwantowy może być trudny w zrozumieniu. Z kolei model klasyczno-kwantowy (nazywany również modelem pół-klasycznym), jest łatwiejszy do przyswojenia i dla pewnej klasy problemów uzyskuje się za jego pomocą te same wyniki co w modelu kwantowym.

==Spin==
Dokładny opis spinu, który jest wielkością kwantową, wykracza znacznie poza ramy materiału niniejszego skryptu. W tym miejscu natomiast ograniczymy się do podania kilku faktów, obserwacji, czy uwag, mając nadzieję, że wystarczą one czytelnikom do zrozumienia, czym jest spin, przynajmniej w takim stopniu, który ułatwi im przyswojenie wiadomości na temat Jądrowego Rezonansu Magnetycznego. Podstawowymi elementami, z których składa się materia, są cząstki takie jak elektron, proton oraz neutron, które posiadają spin równy <math>\frac{1}{2}</math>. Najbardziej rozpowszechnionym pierwiastkiem w organizmach żywych jest wodór, którego jądra — protony, odgrywają podstawową role w otrzymywaniu obrazów MR. W związku z tym omówienie pojęcia spinu ograniczymy do przypadku spinu równego <math>\frac{1}{2}</math>.
*Zjawisko takie jak: rozszczepienie w niejednorodnym polu magnetycznym wiązki atomowej na dwie składowe, zaobserwowane przez Sterna i Gerlacha w roku 1922, czy dubletowa struktura widm pierwiastków alkalicznych nie zostały wyjaśnione w ramach teorii budowy atomu zaproponowanej przez Bohra. Doświadczenie Sterna-Gerlacha, jak i badania spektroskopowe wskazywały na nieuwzględnienie w teorii Bohra pewnej wielkości fizycznej — nieznanego, dodatkowego stopnia swobody elektronu.
*W roku 1925 Uhlenbeck i Goudsmit wprowadzają pojecie spinu, jako wewnętrznego momentu pędu elektronu. Uhlenbeck i Goudsmit przyjęli, iż elektron wiruje<ref>W języku angielskim słowo spin oznacza wirowanie</ref> wokół własnej osi, co w naturalny sposób umożliwiło im wytłumaczenie istnienia dodatkowego stopnia swobody oraz wyjaśnienie dubletowej struktury widm pierwiastków alkalicznych. Obecnie wiadomo, iż obraz elektronu jako wirującej kulki zaproponowany przez Uhlenbecka i Goudsmita jest nieprawidłowy. W ramach Mechaniki Kwantowej, spin należy rozumieć jako wyraz istnienia stanów polaryzacyjnych funkcji falowej (w przypadku elektronu, protonu, neutronu i niektórych jąder będą to dwa stany polaryzacyjne). Spin jest własnością cząstek, taką samą jak np. masa lub ładunek, ale obserwowalną dopiero w eksperymentach ujawniających kwantową naturę materii (często można spotkać się ze stwierdzeniem, iż spin jest kwantową własnością cząstek). Spin jest także składową całkowitego momentu pędu, niezwiązana z ruchem, można go zatem również interpretować jako własny (wewnętrzny) moment pędu cząstki.

==Spin i moment magnetyczny jądra atomowego==
Jądra atomowe zawierające nieparzystą liczbę protonów lub neutronów mają niezerowy własny moment pędu <math>\vec{I}</math> (spin) oraz związany z nim moment magnetyczny. Zgodnie z regułami opisu wielkości wektorowych w mechanice kwantowej, jednocześnie może być obserwowalna tylko długość wektora oraz wartość jednej z jego składowych (tzw. rzut tego wektora na wyróżnioną oś, nazywaną osią kwantowania). W przypadku wektora własnego momentu pędu jądra atomowego jego długość wynosi <ref name="bid3">H.Haken H.Ch.Wolf "Atomy i kwanty"</ref>:
<equation id="1"><math>
|\vec{I}| = \hbar\sqrt{I\left(I+1\right)}
</math></equation>
gdzie:
<math>I</math> oznacza liczbą kwantową o wartości całkowitej lub połówkowej. 
Składowa <math>z</math> momentu pędu wyraża się następującym wzorem <ref name="bid3" />:
<equation id="2"><math>
\begin{array}{lc}
I_{z} = m_{I}\hbar, & m_{I} = \{I,I-1,\dots,-I\}
\end{array}
</math></equation>
Możliwych jest zatem <math>2I+1</math> orientacji spinu jądra względem wyróżnionego kierunku, odpowiadających możliwym wartościom jądrowej magnetycznej liczby kwantowej <math>m_{I}</math>. W przypadku protonu (jądra atomu wodoru), mamy:
<equation id="3"><math>
\begin{array}{l}
I=1/2\\
\\
|\vec{I}| = \frac{\sqrt{3}}{2}\hbar\\
\\
(\vec{I})_{z} = \pm\frac{1}{2}\hbar
\end{array}
</math></equation>
Moment magnetyczny związany jest ze spinem następującą zależnością:
<equation id="4"><math>
\vec{\mu}_{I} = \gamma\vec{I}
</math></equation>
Stała proporcjonalności <math>\gamma</math> to tzw. jądrowy stosunek giromagnetyczny. Również i w przypadku jądrowego momentu magnetycznego można zmierzyć jednocześnie tyko jego długość i rzut na wyróżnioną oś <math>z</math> wynoszący:
<equation id="5"><math>
\left(\vec{\mu}_{I}\right)_{z} = \gamma\vec{I}_{z}
</math></equation>
Na moment magnetyczny umieszczony w polu magnetycznym <math>\vec{B}</math>, działa pewien moment siły, starający się ustawić momentu magnetycznego zgodnie z kierunkiem pola <math>\vec{B}</math>. Energia potencjalna tego oddziaływania wynosi:
<equation id="6"><math>
V = -\vec{\mu}\cdot\vec{B}
</math></equation>
Zgodnie z prawami termodynamiki układ fizyczny dąży do stanu, w którym jego energia wewnętrzna osiągnie wartość minimalną.
Rozważmy pole <math>\vec{B}</math>, posiadające tylko składową wzdłuż osi <math>z</math> układu odniesienia, czyli <math>\vec{B} = \left[ 0, 0, B_{z}\right] </math>.
W przypadku protonu, posiadającego ładunek dodatni, orientacji momentu pędu zgodnej z kierunkiem pola <math>\vec{B}</math> będzie odpowiadać energia potencjalna:
<equation id="7"><math>
V = -\mu\cdot B_z=-\gamma I_{z}B_z=-\frac{1}{2}\gamma\hbar B_z
</math></equation>
natomiast orientacji antyrównoległej:
<equation id="8"><math>
V = \mu\cdot B_z=-\gamma I_{z}B_z=\frac{1}{2}\gamma\hbar B_z
</math></equation>
Ustawienie najkorzystniejsze energetycznie odpowiada więc sytuacji, kiedy składowa <math>z</math> spinu ustawiona jest w równolegle do kierunku pola <math>\vec{B}</math> (magnetyczna liczba kwantowa <math>m_{I}=\frac{1}{2}</math>).

==Moment magnetyczny w stałym zewnętrznym polu magnetycznym==

[[File:mri_basic.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:mri_basic"></figure>Ilustracja do klasycznego rozwiązania zagadnienia precesji momentu magnetycznego <math>\vec{\mu}</math> wokół wektora indukcji pola magnetycznego <math>\vec{B}</math>. Na rysunku obrano prawoskrętny układ współrzędnych. Na moment magnetyczny działa moment siły równy <math>\vec{N} = \vec{\mu}\times \vec{B}</math>. Momentu siły, zgodnie z zasadą wyliczania iloczynu wektorowego, jest skierowany w płaszczyznę rysunku, powodując ruch momentu magnetycznego w kierunku zaznaczonym strzałką. Jest to ruch w kierunku przeciwnym do kierunku obranego układu współrzędnych.]]
Rozwiązanie równań Schrödingera dla przypadku statycznego pola magnetycznego nie jest skomplikowanym zadaniem. Niemniej interpretacja fizyczna otrzymanych wyników może sprawić pewne trudności. Ponadto w obrazowaniu MRI stosuje się nie tylko stałe pole magnetyczne lecz również odpowiednie serie impulsów pobudzających (tzw. impulsów pobudzających <math>\pi/2</math> lub <math>\pi</math>). Okazuje się, że w wielu przypadkach, zadowalający opis zjawiska rezonansu magnetycznego, uzyskuje się stosując tzw. model wektorowy, który jest podobny do modelu opisującego precesję symetrycznego bączka w polu grawitacyjnym. 
Rozważmy moment magnetyczny znajdujący się w stałym polu magnetycznym o następującej indukcji:<math>\vec{B}_0 =\left[0, 0, B_{0}\right]</math>.
Szybkość zmian momentu pędu ciała (<math>\vec{I}</math>) jest równa momentowi siły (<math>\vec{N}</math>) działającemu na to ciało:
<equation id="9"><math>
\frac{d\vec{I}}{dt} = \vec{N}
</math></equation>
Moment magnetyczny, związany z wewnętrznym momentem pędu jądra, wynosi:
<equation id="10"><math>
\vec{\mu}_{I} = \gamma\vec{I}
</math></equation>
Po przekształceniu powyższego równania dostajemy:
<equation id="11"><math>
\vec{I} = \frac{\vec{\mu}_I}{\gamma}
</math></equation>
W polu magnetycznym <math>\vec{B}_0</math> na moment magnetyczny będzie działa moment siły:
<equation id="12"><math>
\vec{N} = \vec{\mu}_{I}\times\vec{B}_0
</math></equation>

Podstawiając równanie na moment pędu do równania na moment siły otrzymujemy zależność opisującą ruch momentu magnetycznego:
<equation id="eq:MRI_1"><math>
\frac{d\vec{\mu}}{dt} = \gamma\vec{\mu}\times\vec{B}_0
</math></equation>
ponieważ:
<equation id="13"><math>
\gamma\vec{\mu}\times\vec{B}_0 = \left[\gamma\mu_{y}B_{0},-\gamma\mu_{x}B_{0},0\right]
</math></equation>
ostatecznie równanie (<xr id="eq:MRI_1"/>) możemy zapisać jako układ trzech równań:

<equation id="eq:MRI_2"><math>
\begin{array}{l}
\frac{d\mu_{x}}{dt} = \omega_{0}\mu_{y}\\
\\
\frac{d\mu_{y}}{dt} = -\omega_{0}\mu_{x}\\
\\
\frac{d\mu_{z}}{dt} = 0

\end{array}
</math></equation>
gdzie: <math>\omega_{0}=\gamma B_{0}</math> 

Rozwiązanie równania na wielkość składowej ''z'' wektora momentu magnetycznego jest proste i wynosi:
<equation id="14"><math>
\mu_{z} = \mu^{0}_{z} = \mathrm{const}
</math></equation>
W celu uzyskania równań na dwie pozostałe składowe wyznaczmy druga pochodną pierwszego równania w układzie (<xr id="eq:MRI_2"/>) i podstawmy ją do równania drugiego we wspomnianym układzie:
<equation id="eq:MRI_3"><math>
\begin{array}{l}
\frac{d^2\mu_{x}}{dt^2} = \omega_{0}\frac{d\mu_{y}}{dt}\\
\\
\frac{d\mu_{y}}{dt} = -\omega_{0}\mu_{x}
\end{array}
</math></equation>
Podstawiając teraz drugie równanie z układu (<xr id="eq:MRI_3"/>) do równania pierwszego układu (<xr id="eq:MRI_3"/>) dostajemy:
<equation id="eq:MRI_4"><math>
\frac{d^2\mu_{x}}{dt^2} = -\omega^{2}_{0}\mu_x
</math></equation>
Jest to równanie oscylatora harmonicznego o następującym rozwiązaniu:
<equation id="eq:MRI_5"><math>
\mu_x = A\cos(-\omega_0 t + \phi_0)
</math></equation>
gdzie stałe ''A'' oraz <math>\phi_0</math> wynikają z warunków początkowych.
Widzimy, że składowa ''x'' momentu magnetycznego drga z częstością <math>-\omega_0</math>. Przyczyna pojawienia się znaku "-" w rozwiązaniu została wyjaśniona na <xr id="fig:mri_basic">rys. %i</xr>. Podstawiając równanie (<xr id="eq:MRI_5"/>) do drugiego równania w układzie (<xr id="eq:MRI_2"/>) dostajemy rozwiązanie na wielkość składowej ''y'' momentu magnetycznego:

<equation id="15"><math>
\mu_x = A\sin(-\omega_0 t + \phi_0)
</math></equation>

Ostatecznie otrzymaliśmy następujące rozwiązanie ruchu wektora momentu magnetycznego w stałym polu magnetycznym:
<equation id="eq:MRI_6"><math>
\begin{array}{l}
\vec{\mu}_z = \mu^{0}_{z} = \mathrm{const}\cdot\vec{e}_z\\
\\
\vec{\mu}_x =A\cos(-\omega_0 t + \phi_0)\cdot\vec{e}_x\\
\\
\vec{\mu}_y =A\sin(-\omega_0 t + \phi_0)\cdot\vec{e}_y\\
\end{array}
</math></equation>
gdzie: 
<math>A, \phi_0, \mu^{0}_{z} </math> wynikają z warunków początkowych. 
Na podstawie równania (<xr id="eq:MRI_6"/>) możemy wyciągnąć następujące wnioski:
* składowa ''z'' momentu magnetycznego (równoległa do osi ''z'' i pola magnetycznego) zachowuje stały kierunek w przestrzeni,
* składowa ''x'' oraz ''y'' momentu magnetycznego zakreśla w płaszczyźnie ''X-Y'' okrąg.

Złożenie ruchu momentu magnetyczne w płaszczyźnie ''X-Y'' ze stałym kierunkiem składowej ''z'' daje wypadkowy ruch nazywany precesją (w tym przypadku jest to precesja momentu magnetycznego wokół kierunku stałego pola magnetycznego). Wektor momentu magnetycznego wykonuje ruch precesyjny z prędkością kątową (odpowiadającej częstości kołowej):
<equation id="eq:larmour_kolowa"><math>\omega_0 = \gamma B_0</math></equation>
nazywaną częstością Larmour'a.
Składowe ''x'' oraz ''y'' momentu magnetycznego można zapisać w wygodniejszy sposób stosują formalizm liczb zespolonych.
Pomnóżmy trzecie równanie w układzie (<xr id="eq:MRI_6"/>) przez liczbę <math>i=\sqrt{-1}</math> i dodajmy do drugiego równania w układzie (<xr id="eq:MRI_6"/>):
<equation id="16"><math>
\begin{array}{l}
\vec{\mu}_z = \mu^{0}_{z} = \mathrm{const}\cdot\vec{e}_z \\
\\
\vec{\mu}_x + \vec{\mu}_y\cdot i =A\cos(-\omega_0 t + \phi_0)\vec{e}_x + A\sin(-\omega_0 t + \phi_0)\vec{e}_y\cdot i
\end{array}
</math></equation>
Wprowadźmy wielkość:
<equation id="eq:mu_T"><math>
\vec{\mu}_T=\vec{\mu}_x + \vec{\mu}_y \dot i = A\cdot e^{-\omega_0 t + \phi_0} \cdot \vec{e}_T
</math></equation>
Wektor <math>\vec{\mu}_T</math> będziemy od tej chwili nazywali składową poprzeczną (ang. '' '''t'''ransversal'') momentu magnetycznego.
Z kolei wektor <math>\vec{\mu}_z</math> będziemy dalej oznaczali symbolem <math>\vec{\mu}_L</math> i nazywali składową podłużną momentu magnetycznego (ang. '' '''l'''ongnitudal''). Innym dogodny sposób matematycznego opisu zjawiska precesji momentu magnetycznego, który będziemy stosowali, wykorzystuje macierz obrotu:

<equation id="eq:MRI_7"><math>
\left\{
\begin{array}{l}
\vec{\mu}_x =A\cos(-\omega_0 t + \phi_0)\cdot\vec{e}_x\\
\\
\vec{\mu}_y =A\sin(-\omega_0 t + \phi_0)\cdot\vec{e}_y\\
\\
\vec{\mu}_z = \mu^{0}_{z}\cdot\vec{e}_z \\
\end{array}
\right.
=
\left\{
\begin{array}{l}
\vec{\mu}_x =A\cos(-\omega_0 t)\cos(\phi_0)\cdot\vec{e_x} - A\sin(-\omega_0 t)\sin(\phi_0)\cdot\vec{e}_x\\
\\
\vec{\mu}_y =A\sin(-\omega_0 t)\cos(\phi_0)\cdot\vec{e_y} + A\cos(-\omega_0 t)\sin(\phi_0)\cdot\vec{e}_y\\
\\
\vec{\mu}_z = \mu^{0}_{z}\cdot\vec{e}_z \\
\end{array}
\right.
\rightarrow
</math>
<math>
\left[
\begin{array}{l}
\vec{\mu}_x \\
\\
\vec{\mu}_y \\
\\
\vec{\mu}_z \\
\end{array}
\right] =
\left[
\begin{array}{ccc}
\cos(\omega_0 t) & \sin(\omega_0 t) & 0 \\
\\
-\sin(\omega_0 t) & \cos(\omega_0 t) & 0 \\
\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{l}
A\cos(\phi_0) \cdot \vec{e}_x \\
\\
A\sin(\phi_0) \cdot \vec{e}_y \\
\\
\mu_z^0 \cdot \vec{e}_z \\
\end{array}
\right]
\rightarrow
</math>
<math>
\left[
\begin{array}{l}
\vec{\mu}_x \\
\\
\vec{\mu}_y \\
\\
\vec{\mu}_z \\
\end{array}
\right] =
P\cdot
\left[
\begin{array}{l}
\mu_T^0 \cos(\phi_0) \cdot \vec{e}_x\\
\\
\mu_T^0 \sin(\phi_0) \cdot \vec{e}_y\\
\\
\mu_L^0 \cdot \vec{e}_z\\
\end{array}
\right]
</math></equation>
gdzie: 
<math>\mu_L^0</math> — rzut momentu magnetycznego na os ''Z'' w chwili początkowej, 
<math>\mu_T^0</math> — rzut momentu magnetycznego na płaszczyznę ''X-Y'' w chwili początkowej, 
<math>\phi_0</math> — kąt jaki tworzy rzut momentu magnetycznego na płaszczyznę ''X-Y'' z osią ''X'' w chwili początkowej, 
<math>P = \left[
\begin{array}{ccc}
\cos(\omega_0 t) & \sin(\omega_0 t) & 0 \\
\\
-\sin(\omega_0 t) & \cos(\omega_0 t) & 0 \\
\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right] </math> — macierz obrotu.

 
We wzorze (<xr id="eq:MRI_7"/>) skorzystano z własności trygonometrycznych sinusa i cosinusa:
<equation id="17"><math>
\begin{array}{ccc}
\sin\left( a + b \right) &=& \sin(a) \cos(b) + \cos(a) \sin(b)\\
\cos\left( a + b \right) &=& \cos(a) \cos(b) + \sin(a) \sin(b)\\
\end{array}
</math></equation>

==Namagnesowanie próbki==
Namagnesowanie, to całkowity moment magnetyczny, przypadający na jednostkę objętości <math>\Delta V</math>:
<equation id="17"><math>
\vec{M} = \frac{\sum_{i=1}^{N}\vec{\mu}_i}{\Delta V}
</math></equation>
Rozłóżmy wektor namagnesowania na dwie składowe: tzw. podłużną (<math>\vec{M}_L</math>),to jest równoległą do kierunku pola magnetycznego oraz składową poprzeczną (<math>\vec{M}_T</math>), leżącą w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku pola magnetycznego:
<equation id="18"><math>
\vec{M} = \vec{M}_L + \vec{M}_T
</math></equation>

===Ile wynosi namagnesowanie poprzeczne próbki?===
Składową poprzeczną namagnesowania będziemy oznaczali wektorem <math>\vec{M}_T</math>. Załóżmy, że w próbce znajduje się ''N'' takich samych jąder posiadających moment magnetyczny. Momenty te mają losową orientację przestrzeni. W pewnej chwili, zostaje włączone stałe pole magnetyczne. Stałe ''A'' oraz <math>\phi_0</math> dla każdego momentu magnetycznego wyznaczamy na podstawie orientacji momentu magnetycznego w chwili łączenia pola. Dla każdego jądra magnetycznego stała ''A'' wynikająca z warunków początkowych jak to faza początkowa <math>\phi_0</math> jest dowolna. W związku z czym:
<equation id="19"><math>
\vec{M}_T = \frac{\sum_{i=1}^{N}\vec{\mu}_{T} \cdot \vec{e}_T }{\Delta V} = \frac{\sum_{i=1}^{N}A_i e^{-\omega_0 t + \phi_{0_i}} \cdot \vec{e}_T}{\Delta V} = 0
</math></equation>
gdzie <math>\vec{\mu}_T</math> to składowa poprzeczna wektoru momentu magnetycznego, zgodnie ze wzorem (<xr id="eq:mu_T"/>).

===Ile wynosi namagnesowanie próbki, czyli namagnesowanie podłużne?===
Przypominamy, że rozważamy cząstkę lub jądro atomowe, znajdujące się w zewnętrznym polu magnetycznym <math>\vec{B}_{0}</math>, skierowanym równolegle do osi <math>z</math>. Składowa <math>z</math> tego pola wynosi <math>B_{0}</math>. W celu uproszczenia problemu przyjmujemy, że cząstka lub jądro atomowe posiada spin równy <math>\frac{1}{2}</math> (np. proton). Moment magnetyczny cząstki lub jądra atomowego może ustawić się zgodnie lub przeciwnie do kierunku zewnętrznego pola magnetycznego. W szczególności składowa <math>z</math> momentu magnetycznego, przyjmie kierunek równoległy bądź antyrównoległy do pola <math>B_{0}</math>, skierowanego wzdłuż osi <math>z</math>. Jak wiemy, układy fizyczne dążą do osiągnięcia stanu, w którym uzyskają minimum energii. Energia potencjalna momentu magnetycznego w zewnętrznym polem magnetycznym wynosi:
<equation id="20"><math>
V = -\vec{\mu}\vec{B}
</math></equation>
Rozwijając powyższy wzór dla rozważanego przez nas przypadku, otrzymujemy:
<equation id="21"><math>
V = -u_{z}B_{0} = -\gamma(\vec{I})_{z}B_{0}=-\gamma\hbar m_{I}B_{0}
</math></equation>
gdzie: 
<math>m_{I}=\pm\frac{1}{2}</math> 
Rzutowi momentu magnetycznego równoległemu do osi <math>z</math>, czyli dla <math>m_{I}=\frac{1}{2}</math>, odpowiada energia potencjalna:
<equation id="22"><math>
V = -\gamma\frac{\hbar}{2}B_{0}
</math></equation>
natomiast rzutowi antyrównoległemu:
<equation id="23"><math>
V = \gamma\frac{\hbar}{2}B_{0}
</math></equation>
Jak widać ustawienie równoległe spinu i momentu magnetycznego protonu względem pola <math>B_{0}</math> jest korzystniejsze energetycznie niż ustawienie antyrównoległe. Należy się zatem spodziewać, iż w zewnętrznym polu magnetycznym częściej będzie występować sytuacja, kiedy moment magnetyczny ustawi się w kierunku tego pola. Namagnesowanie podłużne powstaje zatem w wyniku nierównomiernego obsadzenia przez cząstkę lub jądro stanów o spinie skierowanym zgodnie lub przeciwnie do kierunku oddziałującego pola magnetycznego. W celu obliczenia, jaka będzie różnica w ilości obsadzeń poszczególnych stanów energetycznych, skorzystamy z rozkładu Boltzmana.
Stosunek liczby cząstek obsadzających dwa stany energetyczne jest równa:
<equation id="eq:rozB"><math>
\frac{N_{+}}{N_{-}} = \frac{e^{-\frac{E_{+}}{k_{b}T}}}{e^{-\frac{E_{-}}{k_{b}T}}}
</math></equation>
gdzie: 
<math>T</math> — temperatura, 
<math>k_{b}</math> — stała Boltzmana, 
<math>N_{\pm}</math> — liczba cząstek o spinie skierowanym odpowiednio równolegle i antyrównolegle do pola <math>B_{0}</math>. 
Podstawiając do wzoru (<xr id="eq:rozB"/>) wyznaczone wcześniej energie potencjalne, odpowiadające dwóm różnym orientacjom spinu w polu <math>B_{0}</math> dostajemy: 
<equation id="24"><math>
\frac{N_{+}}{N_{-}} = \frac{e^{-\frac{-\frac{\hbar}{2}\gamma B_{0}}{k_{b}T}}}{e^{-\frac{\frac{\hbar}{2}\gamma B_{0}}{k_{b}T}}}=e^{\frac{\gamma\hbar B_{0}}{k_{b}T}}
</math></equation>
W temperaturze pokojowej, różnice obsadzeń poszczególnych poziomów energetycznych są nieznaczne, dlatego skorzystamy z przybliżenia:
<equation id="25"><math>
e^{\frac{\gamma\hbar B_{0}}{k_{b}T}}\approx 1+ \frac{\gamma\hbar B_{0}}{k_{b}T}
</math></equation>
Różnica w ilości obsadzeń poszczególnych poziomów energetycznych jest zatem równa:
<equation id="26"><math>
\Delta N = N_{+} - N_{-} = \frac{\gamma\hbar B_{0}}{k_{b}T}N_{-}\approx\frac{\gamma\hbar B_{0}}{k_{b}T}\frac{1}{2}N_{t}
</math></equation>
gdzie: 
<math>N_{t}</math> to liczba wszystkie jąder atomu wodoru w badanej próbce. 
Czynnik <math>\frac{\gamma\hbar B_{0}}{k_{b}T}</math> w temperaturze ciała ludzkiego <math>T=310K</math> i polu magnetycznym <math>B_{0}=1T</math> jest równy:
<equation id="27"><math>
\frac{\gamma\hbar B_{0}}{k_{b}T}\approx 7\cdot10^{-6}
</math></equation>
Wynik ten oznacza, że na każdy milion protonów o spinie skierowanym przeciwnie do pola magnetycznego, przypada milion plus siedem protonów o spinie skierowanym równolegle do pola i ta niewielka nadwyżka protonów w stanie o korzystniejszej energii jest odpowiedzialna za namagnesowanie próbki. Wartość nadwyżki wydaje się być niezwykle mała. Należy jednak pamiętać, że ilość protonów jaka występuje w organizmie ludzkim jest niezmiernie duża, co umożliwia rejestrację wytworzonego namagnesowania. Jeden gram wody zawiera <math>\frac{1}{8}</math> mola atomów wodoru. W jednym molu materii występuje <math>6.023\cdot10^{32}</math> cząsteczek, a zatem gram wody zawiera <math>N_{t} = 6.68\cdot10^{22}</math> atomów wodoru. Nadwyżka <math>\Delta N</math> wynosi zatem <math>\Delta N\approx 2.2\cdot10^{17}</math> protonów.
Całkowity podłużny moment magnetyczny wytworzony przez 1 gram wody wynosi:
<equation id="28"><math>
\left|\mu_{L}\right| = \Delta N\left<\mu_{z}\right>=\Delta N \frac{1}{2}\hbar\gamma = \Delta n\cdot 1.4\cdot10^{-26}\textrm{J/T} = 3.1\cdot10^{-9}\textrm{Am}^{2}
</math></equation>
Z kolei namagnesowanie to całkowity moment magnetyczny na jednostkę objętości. Jeden gram wody zajmuje objętość <math>10^{-6}\mathrm m^{-3}</math>
a zatem namagnesowanie wytworzone 2 jednym gramie wody w polu magnetycznym o wartości indukcji <math>B_{0}=1</math>T w temperaturze <math>T=310</math>K wyniesie:
<equation id="29"><math>
\left|M\right|=3.1\cdot10^{-3}\textrm{A/m}
</math></equation>

==Zmiana orientacji wektora namagnesowania. Magnetyczny Rezonans Jądrowy==
W poprzednim rozdziale dowiedzieliśmy się, że efektem wprowadzenia jąder w stałe pole magnetyczne jest wykonywanie przez momenty magnetyczne ruchu precesyjnego wokół kierunku wektora pola magnetycznego, skutkiem czego pojawia się namagnesowanie próbki. Niestety, pomiar wielkości uzyskanego w ten sposób namagnesowania jest niemożliwy do przeprowadzenia. Namagnesowanie ma ten sam kierunek co wywołujące je pole magnetyczne.
W celu pomiaru wielkości namagnesowania próbki niezbędne jest zmiana orientacji wektora <math>\vec{M}</math>. Dokonuje się to poprzez wprowadzenie próbki w dodatkowe, zmienne pole magnetyczne. Proces ten opiszemy w niniejszym rozdziale.

Ewolucję wektora namagnesowania można opisać równaniem podobnym do równania (<xr id="eq:MRI_1"/>):
<equation id="eq:MRI_7"><math>
\frac{d\vec{M}}{dt} = \gamma\vec{M}\times\vec{B}_0
</math></equation>
Rozważmy teraz konfigurację dwóch pól magnetycznych — pola statycznego i pola zmiennego w czasie, mającego niezerowe składowe tylko w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku pola stałego. Niech zmienne pole magnetyczne ma postać:
<equation id="eq:MRI_8"><math>
\vec{B}_1\left(t\right) = \left[2B_{1}\cos\left(-\omega_1 t\right),0,0\right]
</math></equation>
Indukcja zmiennego pola magnetycznego <math>\vec{B}_1</math> jest rzędu <math>10^{-5}</math> T, a zatem jest znacznie mniejsza od indukcji statycznego pola magnetycznego <math>\vec{B}</math>. Pole <math>\vec{B}_1</math> nazywane jest impulsem pobudzającym (ang. ''Radio Frequency'', RF), włączane jest bowiem na krótki okres czasu (co wyjaśnimy dalej). Impuls RF wytwarza się za pomocą cewek w postaci fali elektromagnetycznej.
Okazuje się, że pole opisane wzorem (<xr id="eq:MRI_7"/>) możemy rozłożyć na dwa pola, rotujące w płaszczyźnie ''x-y'' w przeciwne strony:
<equation id="29"><math>
\begin{array}{l}
\vec{B}_{1_R}\left(t\right) = \left[B_{1}\cos\left(-\omega_1 t\right),B_{1}\sin\left(-\omega_1 t\right),0\right]
\\
\vec{B}_{1_L}\left(t\right) = \left[B_{1}\cos\left(-\omega_1 t\right),-B_{1}\sin\left(-\omega_1 t\right),0\right]
\end{array}
</math></equation>
Pierwsza składowa pola <math>\vec{B}_{1_R}</math> rotuje przeciwnie do wskazówek zegara, zaś druga składowa <math>\vec{B}_{1_l}</math> w kierunku przeciwnym. W zależności od tego, jaką orientację posiadał jądrowy moment magnetyczny (równoległą lub antyrównoległą do osi <math>z</math>), jedna z tych składowych będzie drgała w kierunku ruchu precesyjnego spinu, druga zaś w kierunku przeciwnym. Składowa drgająca w kierunku przeciwnym będzie "''niewidoczna dla momentu magnetycznego''" i nie wpłynie na jego orientację. Pole drgające w kierunku przeciwnym do ruchu precesyjnego momentu magnetycznego wywoła pewne drugorzędowe efekty, które nie będą omawiane w niniejszej pracy. Ruch momentu magnetycznego, w przypadku superpozycji dwóch pól — statycznego <math>B_{0}</math> oraz zmiennego <math>B_{1}\left(t\right)</math> opisuje zatem następujące równanie:
<equation id="eq:MRI_9"><math>
\frac{d\vec{M}}{dt}=\gamma\vec{M}\times\left[\vec{B}_0 + \vec{B}_1\left(t\right)\right]
</math></equation>
gdzie: <math>\vec{B}_{0} = \left[0, 0, B_{0}\right]</math>, <math>B_{1}\left(t\right) = B_{1}\left[\cos\left(\omega_1 t\right),-sin\left(\omega_1 t\right),0\right])</math>. 
Wprowadźmy dwa układy współrzędnych: Układ Laboratoryjny ''U'' oraz układ ''U' '' obracający się z częstością zmiennego pola magnetycznego (<math>\omega_1</math>). Osie ''z'' oraz ''z' '' odpowiednio układu ''U'' oraz ''U' '' są do siebie równoległe. Stałe pole magnetyczne jest skierowane wzdłuż tych osi. Zapiszmy równanie (<xr id="eq:MRI_9"/>) w układzie ''U ' ''.
Zgodnie z zasadami transformacji wektorów pomiędzy różnymi układami współrzędnych, równanie (<xr id="eq:MRI_9"/>) w układzie ''U' ''będzie miało postać:
<equation id="a1"><math>
\left[\frac{d\vec{M}}{dt}\right]_{U'}=\vec{M}\times\left[\left(-\omega_1 + \gamma B_{0}\right)\vec{e}_z + \gamma B_{1}\vec{e}_x\right]
</math></equation>
które można również zapisać w formie:
<equation id="eq:rownaie_ruchu_w_wirujacym_ukladzie_odniesienia"><math>
\left[\frac{d\vec{M}}{dt}\right]_{U'}=\vec{M}\times\gamma\left[\left(B_{0} - \frac{\omega_1}{\gamma}\right)\vec{e}_{z'} + B_{1}\vec{e}_{x'}\right] = M\times\gamma\vec{B}_{eff}
</math></equation>
gdzie: <math>\vec{B}_{eff} = \left[\left(B_{0} - \frac{\omega_1}{\gamma}\right)\vec{e}_z + B_{1}\vec{e}_x\right]</math>. 

===Zjawisko Magnetycznego Rezonansu Jądrowego w ujęciu klasycznym===

Przeanalizujmy równanie (<xr id="eq:rownaie_ruchu_w_wirujacym_ukladzie_odniesienia"/>). W obracającym się układzie odniesienia jądrowy moment magnetyczny zachowuje stałe położenie. Wzdłuż osi ''z' '' układu ''U' '' obserwujemy składową statycznego pola magnetycznego <math>B_0\vec{e}_z</math> oraz pole <math>\frac{\omega_1}{\gamma}\vec{e}_z</math>, które powstaje w wyniku przejścia z układu laboratoryjnego ''U'' do układu ''U' ''. Dodatkowo w płaszczyźnie ''X'-Y' '' obserwujemy statyczne pole magnetyczne <math>\vec{B}_1\vec{e}_x</math>. W wyniku złożenia tych trzech pół, powstaje wypadkowe pole <math>\vec{B}_{eff}</math>, wokół którego moment magnetyczny zaczyna dokonywać precesji.
Rozpatrzmy następujące przypadki: 
1. Częstość <math>\omega_1</math> wirującego pola <math>\vec{B}_1</math> jest bardzo niewielka (<math>\omega_1\approx0</math>). 
: Przypominamy, że <math>B_0>>B_1</math>, wtedy: 
: <math>\vec{B}_{eff} = B_{0}\vec{e}_z</math>, 
: innymi słowy, dodatkowe, rotujące pole magnetyczne nie wpływa na orientację momentów magnetycznych oraz namagnesowania.
2. Częstość <math>\omega_1</math> wirującego pola <math>\vec{B}_1</math> spełniona warunek <math>\frac{\omega_1}{\gamma}>>B_0)</math>, wtedy: 
: Przypominamy, że <math>B_0>>B_1</math> i wtedy: 
: <math>\vec{B}_{eff} = -\frac{\omega_1}{\gamma}\vec{e}_z</math> 
: czyli zjawisko precesji momentów magnetycznych nadal odbywa się wokół osi ''z' '', z tą różnicą, iż ulega zmianie kierunek precesji, zaś dodatkowe, rotujące pole magnetyczne nie wpływa na orientację momentów magnetycznych oraz namagnesowania <math>\vec{M}</math>.
3. Częstość rotującego pola magnetycznego <math>\vec{B}_1</math> spełnia warunek <math>\omega_1 = \gamma B_{0}</math>, wtedy: 
: <math>\vec{B}_{eff} = B_1\vec{e}_x</math>, 
: co oznacza, że wektor namagnesowania zaczyna wykonywać ruch precesyjny wokół pola magnetycznego <math>B_1\vec{e}_x</math>. Ponownie : przypominamy, że <math>B_1<<B_0</math>. Jak widać, przy pomocy pola magnetycznego o niewielkiej indukcji, lecz odpowiednio dobranej częstości, możliwa jest zmiana orientacji wektora namagnesowania. Jest to zjawisko '''Magnetycznego Rezonansu Jądrowego'''. Występowanie w nazwie zjawiska termin ''rezonans'' (kojarzony najczęściej z obwodami elektrycznymi), jest jak najbardziej uzasadnione, ponieważ za pomocą niewielkiego zaburzenia o periodycznym charakterze (ale odpowiednio dobranej częstości), doprowadziliśmy do znaczących zmian w układzie. Częstość ruchu precesyjnego wektora namagnesowania wokół pola <math>\vec{B}_1</math> wynosi:
<equation id="30"><math>
\Omega = \gamma B_1
</math></equation>
: Częstość <math>\Omega</math> jest nazywana częstością Rabbiego. W trakcie czasu <math>\tau></math> namagnesowanie zakreśli kąt <math>\Theta</math> równy:
<equation id="1b"><math>
\Theta = \Omega\tau
</math></equation>
Podsumowując, po wprowadzeniu próbki w stałe pole magnetyczne o wartości indukcji ''B_0'', momenty magnetyczne poszczególnych jąder zaczynają : wykonywać ruch precesyjny z częstością Larmour'a <math>\omega_0=\gamma\ B_0</math>. Pojawia się wypadkowe namagnesowanie próbki w kierunku : : stałego pola magnetycznego. Wprowadzając dodatkowe pole magnetyczne o wartości indukcji <math>B_1</math>, wirujące w płaszczyźnie prostopadłej do pola <math>B_0</math>, możliwa jest zmiana orientacji wektora namagnesowania, o ile częstość wirowania pola <math>\vec{B}_1</math> jest równa częstości <math>\omega_0</math> precesji Larmour'a. 
Podsumowując: 
# Pod wpływem zewnętrznego, statycznego pola magnetycznego, skierowane wzdłuż osi <math>z</math> spiny wykonują precesję. Składowa <math>z</math> wartości oczekiwanej spinu jest stałą w czasie, składowe poprzeczne wykonują ruch wirowy w płaszczyźnie <math>x-y</math>.
# Różnym ułożeniom spinu względem pola magnetycznego odpowiadają różne energie potencjalne. W przypadku spinu równego <math>\frac{1}{2}</math> istnieją dwa poziomy energetyczne, które będą obsadzane przez jądra zgodnie z rozkładem Bolzmana. Poziom związany z równoległym do zewnętrznego pola magnetycznego rzutem spinu jest korzystniejszy energetycznie, dlatego będzie obsadzany częściej.
#Desynchronizacja ruchu wirowego wartości oczekiwanej spinów w płaszczyźnie <math>x-y</math> uniemożliwi powstanie namagnesowania poprzecznego. Obserwujemy tylko namagnesowanie podłużne.
# Pod wpływem odpowiednio dobranego pola magnetycznego, można doprowadzić do przejść rezonansowych. Jądro mające spin w korzystniejszym stanie energetycznym, przejdzie do stanu, o wyższej energii związanej z oddziaływaniem spinu z polem magnetycznym. Zanika równowaga termodynamiczna w obsadzeniu stanów, a wraz z nią składowa <math>z</math> wartości oczekiwanej spinu i związane nią namagnesowanie podłużne.
# Jednocześnie, w wyniku synchronizacji w płaszczyźnie <math>x-y</math> wartości oczekiwanej spinów tych jąder atomowych, które uległy przejściu rezonansowemu, zaczyna powstawać namagnesowanie poprzeczne.
# Obserwowane namagnesowanie podłużne zanika, podczas gdy narasta namagnesowanie podłużne. Obserwujemy zatem efekt, odchylania się namagnesowania od osi <math>z</math> w kierunku płaszczyzny <math>x-y</math>.
# Po pewnym czasie namagnesowanie podłużne zanika, a namagnesowanie poprzeczne osią maksymalną wartość.
# Zmianom kierunku i wielkości namagnesowania towarzyszy zmiana indukcji pola elektrycznego, która może być rejestrowana przez cewki.

===Typowe wartości częstości Larmora oraz częstości Rabbiego===
Opisując zmiany wielkości fizycznych w czasie niejednokrotnie posługujemy się częstością wyrażaną w Hz. W takim przypadku wzór: (<xr id="eq:larmour_kolowa"/>) przyjmie nastepującą postać:
<equation id="31"><math>
f = \frac{\gamma}{2\pi}B_0
</math></equation>
Z tego względu, częstą praktyką podawanie jest w tablicach fizycznych stałej <math>\frac{\gamma}{2\pi}</math> zamiast samej wartości współczynnika giromagnetycznego γ.
<figure id="fig:spiny">
<caption>Wartości współczynników giromagnetyczne oraz spinów wybranych jąder atomowych</caption>
{| class="wikitable"
! Jądro
! Spin
! <math>\frac{\gamma}{2\pi}</math> <math>\left[\frac{\textrm{MHz}}{\textrm{T}}\right]</math>.
|-
| <math>^1H</math>
| <math>\frac{1}{2}</math>
| 42,58
|-
| <math>^{13}C</math>
| <math>\frac{1}{2}</math>
| 10,71
|-
| <math>^{14}N</math>
| <math>1</math>
| 3,08
|-
| <math>^{17}O</math>
| <math>\frac{1}{2}</math>
| 42,58
|-
| <math>^{23}Na</math>
| <math>\frac{3}{2}</math>
| 11,27
|-
|-
| <math>^{39}K</math>
| <math>\frac{3}{2}</math>
| 1,99
|-
|-
| <math>^{43}Ca</math>
| <math>\frac{7}{2}</math>
| 2,86
|-
|}
</figure>
Jak można zauważyć, największą wartością momentu magnetycznego charakteryzują się jądra atomu wodoru, czyli protony. Częstość precesji Larmora dla protonów umieszczonych w polu magnetycznym o indukcji <math>B_0=1</math> T osiągnie wielkość:
<equation id="32"><math>
f_0 = \frac{\gamma}{2\pi} B_0 = 42,58 \left[\frac{\textrm{MHz}}{T}\right] \cdot \textrm{[T]} = 42,58 \textrm{MHz}
</math></equation>
Dodatkowe, zmienne pola magnetyczne <math>\vec{B}_1</math>, stosowane do zmiany orientacji wektora namagnesowania, mają niewielkie wartości, rzędu <math>10^{-5}</math>T.
Po wprowadzeniu próbki zawierającej jądra atomu wodoru w dodatkowe pole magnetyczne <math>\vec{B}_1</math>, wirujące w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku pola statycznego, namagnesowanie zaczyna wykonywać obrót w płaszczyźnie równoległej do kierunku pola statycznego z częstością Rabbiego równą:
<equation id="33"><math>
f_1 = \frac{\gamma}{2\pi} B_1 = 42,58 \left[\frac{\textrm{MHz}}{T}\right] \cdot 10^{-3} \textrm{[T]} = 0.0580 \textrm{MHz}
</math></equation>

===Impulsy <math>\pi</math> oraz <math>\frac{\pi}{2}</math>===
Jak dowiedzieliśmy się w poprzednich rozdziałach, przy pomocy rotującego pola magnetycznego o odpowiednio dobranej częstości, możemy zmienić orientacje wektora namagnesowania. Jest to o tyle ważne, iż wektor ten wywołuje pole magnetyczne dużo mniejsze z w porównaniu do wartości pola statycznego <math>\vec{B}_0</math>, do którego jest równoległy. Uniemożliwia to pomiar wartości magnetyzacji próbki. Zmianę orientacji wektora namagnesowania określa się za pomocą kąta, o jaki odchyla się on od kierunku statycznego pola magnetycznego <math>\vec{B}_0</math>, które leży wzdłuż osi ''Z'' przyjętego przez nas układu współrzędnych. Kąt ten można wyliczyć za pomocą wzoru na częstość Rabbiego. Jeśli wektor namagnesowania w trakcie rezonansu wykonuje precesję wokół pola <math>B_1</math> z częstością:
<equation id="33"><math>
\Omega = \gamma B_1
</math></equation>
to w czasie τ zakreśli on kąt:
<equation id="34"><math>
\Theta = \Omega\cdot\tau = \gamma B_1\tau
</math></equation>
Szczególną rolę w diagnostyce MRI odgrywają obroty wektora namagnesowania o kąt <math>\Theta = \frac{\pi}{2}</math> oraz <math>\Theta = \pi</math>. Pole magnetyczne, wywołujące takie zmiany nazywamy odpowiednio impulsami <math>\frac{\pi}{2}</math> oraz <math>\pi</math>.
Czas trwania tych impulsów możemy łatwo oszacować. Przyjmując wielkość indukcji pola <math>B_1</math> na <math>10^{-5}</math> T oraz współczynnik giromagnetyczny dla protonów, dostajemy:
* dla impulsu <math>\frac{\pi}{2}</math>, <math>\tau = \frac{\Theta}{\gamma B_1} = \frac{\frac{\pi}{2}}{2\pi\cdot 42,577 \left[\frac{\textrm{MHz}}{\textrm{T}}\right]\cdot 10^{-5}\textrm{T}}\approx 580\mu s</math>
* dla impulsu <math>\pi</math>, <math>\tau = \frac{\Theta}{\gamma B_1} = \frac{\pi}{2\pi\cdot 42,577 \left[\frac{\textrm{MHz}}{\textrm{T}}\right]\cdot 10^{-5}\textrm{T}}\approx 1060\mu s</math>

==Procesy Relaksacji==

[[File:relaksacja.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:relaksacja"></figure>Ilustracja przykładowy proces zaniku składowej poprzecznej i odbudowy składowej podłużnej pewnego wektora.]]

'''Procesy relaksacji podpis pod rysunkiem:'''

Składowa poprzeczna wektora, oznaczona kolorem czerwonym, jest sumą trzech wektorów o jednostkowej długości, rotujących w płaszczyźnie ''X-Y'' i oznaczonych kolorem niebieskim. W chwili <math>t=0</math> (punkt A.), wektory składowe rotują w płaszczyźnie ''X-Y'' w tej samej fazie, dając wektor wypadkowy o długości trzech jednostek. Po pewnym czasie <math>\Delta t</math> (punkt B.) jeden z wektorów składowych zmienia orientację o kąt <math>\frac{\pi}{2}</math>, w efekcie czego długość składowej poprzecznej wektora wypadkowego maleje do dwóch jednostek, pojawia się natomiast składowa podłużna wektora wypadkowego (oznaczona kolorem zielonym) o długości jednej jednostki. Po kolejnym czasie Po pewnym czasie <math>\Delta t</math> (punkt C.), ruch pozostałych w płaszczyźnie ''X-Y'' rotujących wektorów ulega rozfazowaniu, co powoduje dalszy zanik składowej poprzecznej wektora wypadkowego, ale nie zwiększa długości jego składowej podłużnej. Po upływie kolejnej jednostki czasu <math>\Delta t</math> (punkt D.), jeden z wektorów składowych, rotujący w płaszczyźnie ''X-Y'' zmienia orientację o kąt <math>\frac{\pi}{2}</math>. Składowa poprzeczna wektora wypadkowego ulega skróceniu do jednej jednostki, zaś składowa podłużna osiąga długość dwóch jednostek. Po zmianie orientacji ostatniego wektora składowego (punkt E.), składowa poprzeczna wektora wypadkowego zanika, zaś składowa podłużna osiąga maksymalną długość trzech jednostek.

W rozdziałach [[https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/action/edit/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metod%C4%85_Magnetycznego_Rezonansu_J%C4%85drowego?section=4]], [[https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/action/edit/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metod%C4%85_Magnetycznego_Rezonansu_J%C4%85drowego?section=5]] oraz [[https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/action/edit/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metod%C4%85_Magnetycznego_Rezonansu_J%C4%85drowego?section=8]] omówiliśmy dwa następujące podstawowe elementy zjawiska rezonansu magnetycznego:
# Wprowadzenie próbki składającej się z atomów wodoru w statyczne pole magnetyczne, skutkiem czego pojawiło się namagnesowanie próbki w kierunku tego pola.
# Pobudzenie próbki rotującym w płaszczyźnie prostopadłej do pola statycznego, polem magnetycznym o małej indukcji lecz odpowiednio dobranej częstości, co doprowadziło do zmiany orientacji wektora namagnesowania.
Poruszyliśmy również kwestie doboru czasu impulsu rotującego pola magnetycznego, tak aby zmienić orientację wektora namagnesowania o kąt <math>\pi</math> lub <math>\frac{\pi}{2}</math>. Po obróceniu magnetyzacji o wymagany kąt, impulsowe pole magnetyczne jest wyłączane i dokonywany jest pomiar namagnesowania próbki. Co dalej dzieje się z wektorem magnetyzacji ? Obrót wektora namagnesowania jest niczym innym jak wytrąceniem układu z położenia równowagi termodynamicznej. Jak pamiętamy z pierwszych rozdziałów dotyczących MRI, momenty magnetyczne jąder atomowych starają ustawić się w kierunku pola magnetycznego. Układ będzie zatem dążył do powrotu do stanu równowagi. Przypominamy, iż wyróżniliśmy dwie składowe namagnesowania: namagnesowanie podłużne (<math>\vec{M}_L</math> oraz namagnesowanie poprzeczne <math>\vec{M}_T</math>. Przyjmijmy, że umieszczenie próbki w polu magnetycznym wywołuje namagnesowanie o wartości <math>M_0</math> i rozważmy składowe namagnesowania w układzie rotującym ''U' '' w następujących przypadkach:
1.Włączone pole statyczne, wtedy: 
<equation id="35"><math>
\vec{M} =
\left[\begin{array}{l}
M_L \\
\\
M_T
\end{array}
\right] =
\left[\begin{array}{l}
M_0 \\
\\
0
\end{array}
\right]
</math></equation> 
2. Zadziałanie na próbkę impulsem <math>\frac{\pi}{2}</math>, po którym magnetyzacja wynosi:
<equation id="36"><math>
\vec{M} =
\left[\begin{array}{l}
M_L \\
\\
M_T
\end{array}
\right] =
\left[\begin{array}{l}
0 \\
\\
M_0
\end{array}
\right]
</math></equation>.
Interesuje nas teraz przejście układu ze stanu (2) do stanu (1). Proces powrotu układu do stanu równowagi nazywamy relaksacją.
Okazuje się, że proces odbudowywania się namagnesowania podłużnego trwa dłużej, niż zanik namagnesowania poprzecznego. W związku z tym, będziemy wyróżniali relaksację podłużną, to jest odbudowywanie się składowej podłużnej namagnesowania oraz relaksację poprzeczną, czyli zanik składowej poprzecznej magnetyzacji. Przyczynę różnego czasu procesów relaksacji podłużnej i poprzecznej są następujące. 
===Relaksacja podłużna===
Podstawową przyczyną przechodzenia jąder atomowych ze stanu wzbudzonego do podstawowego po wyłączeniu impulsu pobudzającego są
oddziaływania spinów poszczególnych jąder z siecią krystaliczną (tzw. oddziaływania spin-sieć). W wyniki tych przejść zanika oczywiście również składowa poprzeczna namagnesowania. Inne procesy, które mają wpływ na powrót jąder do stanu równowagi i odbudowę składowej podłużnej magnetyzacji to:
# Fluktuacje pola magnetycznego wytworzone przez otoczenie danego jadra atomowego, np. przez cząsteczkę wody która posiada własny moment magnetyczny. Chaotyczne ruchy cząsteczki wody, mogą wytworzyć zmienne w czasie pole magnetyczne wywołujące przejścia momentów magnetycznych ze stanu wzbudzonego do podstawowego.
# Oddawanie energii do otoczenia poprzez oddziaływania elektryczne.
# Oddziaływania paramagnetyczne.

Warto jednak zwrócić uwagę, że fluktuacje pola magnetycznego będą prowadziły do przejść jąder atomowych ze stanu wzbudzonego do stanu podstawowego pod warunkiem, że częstość wywołanego przez nie lokalnego pola magnetycznego będzie zbliżona do częstości precesji Larmour.
Czas relaksacji podłużnej, który oznaczany jest jako tzw. czas <math>T_1</math> wynosi zwykle od kilkuset ms do nawet 2 sekund.

===Relaksacja poprzeczna===
Oddziaływania wymienione w punktach 1-3 poprzedniego rozdziały, które powodują przejścia jąder atomowych ze stanu wzbudzonego do stanu podstawowego, powodują jednocześnie zanik składowej poprzecznej namagnesowania. Składowa ta jednak zanika także z innych powodów. Impuls pobudzające, nie tylko zmienia orientację momentów magnetycznych, lecz również synchronizuje ich ruchy precesyjne. Fluktuacje pola magnetycznego mogą łatwo tę synchronizacje zaburzyć, ponieważ w tym przypadku dowolna fluktuacja lokalnego pola magnetycznego w kierunku pola statycznego <math>\vec{B}_0</math> zmieni częstość rotacji momentów magnetycznych w płaszczyźnie ''X-Y''. Również oddziaływania spinów sąsiednich jąder atomowych przyczyniają się do zakłócenia synchronizacji (oddziaływania te nazywamy oddziaływaniami spin-spin). Kolejną przyczyną szybszego zaniku składowej poprzecznej namagnesowania są niejednorodności statycznego pola magnetycznego spowodowane ograniczeniami w dokładności wykonania urządzenia MRI oraz zaburzenia powstałe w otoczeniu skanera. Czas relaksacji poprzecznej, który oznaczany jest jako tzw. czas <math>T_2</math> jest o rząd wielkość mniejszy od czasu <math>T_1</math> i wynosi zwykle od kilkudziesięciu di kilkuset ms.
Ideę różnego czasu relaksacji rotujących składowych pewnego wektora zaprezentowano symbolicznie na <xr id="fig:relaksacja">rys. %i</xr>.
Należy pamiętać, iż w rzeczywistości procesy relaksacji są znacznie bardziej skomplikowane, zaś ilustracja <xr id="fig:relaksacja">rys. %i</xr>
ma charakter jedynie poglądowy.

W klasycznej teorii rezonansu jądrowego zjawiska relaksacji opisuje w układzie rotującym (''U' '') przy pomocy następujących fenomenologicznych równań:
W półklasycznego równaniu (<xr id="eq:rownaie_ruchu_w_wirujacym_ukladzie_odniesienia"/>) opisującym zachowanie się namagnesowania w polu magnetycznym musimy uwzględnić procesy związane z relaksacją spinów.
Bloch wprowadził fenomenologiczne poprawki do tego równania opierając się na rozumowaniu, które można wyrazić następującymi równaniami:
<equation id="37"><math>
\begin{array}{l}
\frac{dM_{x}}{dt} = -\frac{M_{x}}{T_{2}}\\
\\
\frac{dM_{y}}{dt} = -\frac{M_{y}}{T_{2}}\\
\\
\frac{dM_{z}}{dt} = -\frac{M_{z} - M_{0}}{T_{1}}\\
\end{array}
</math></equation>
gdzie: <math>M_x, M_y, M_z</math> to odpowiednio długości poszczególnych składowych wektora namagnesowania.

==Równanie Blocha==

[[File:bloch_1.png|400px|thumb|right|<figure id="fig:bloch_1"></figure>Ewolucja wektora magnetyzacji w układzie rotującym z prędkością kątową <math>\omega_0 = \gamma B_0</math>, związanym z momentem magnetycznym i w układzie laboratoryjnym. ]]

Podpis pod rysunkiem Ewolucja wektora magnetyzacji w układzie rotującym z prędkością kątową <math>\omega_0 = \gamma B_0</math>, związanym z momentem magnetycznym i w układzie laboratoryjnym.:

A — próbkę wprowadzono w stałe pole magnetyczne o indukcji <math>\vec{B}_0=B_0\vec{e}_z</math>. Pole to wywołuje namagnesowanie próbki <math>\vec{M}_0</math>, które w układzie rotującym jak i laboratoryjnym ma tę sen sam kierunek <math>\vec{M}_0 = M_0\vec{e}_z</math>. B — próbka zostaje pobudzona dodatkowym polem magnetycznym <math>\vec{B}_1</math>. W układzie laboratoryjnym jest to pole rotujące, z częstością kątową <math>\omega_0</math>, podczas gdy w układzie rotującym ma ono ustalony kierunek. W celu uproszczenia rachunków pole <math>\vec{B}_1</math> dobrano tak, aby w układzie rotującym miało kierunek równoległy do osi ''X''. Wskutek oddziaływania momentów magnetycznych z polem <math>\vec{B}_1</math>, wektor namagnesowania zmienia orientację w następujący sposób. W układzie rotującym rozpoczyna ruch precesyjny wokół pola <math>\vec{B}_1</math> (osi ''X' ''), z częstością <math>\omega_1 = \gamma B_1</math>. W układzie laboratoryjnym ruch namagnesowania jest złożeniem ruchu precesyjnego wokół pola <math>\vec{B}_1</math> oraz ruchu precesyjnego wokół pola <math>\vec{B}_0</math>, w związku z czym w układzie laboratoryjnym wektor magnetyzacji zakreśla helisę o zwiększającej się średnicy. C — jeśli impulsem pobudzającym był impuls <math>\frac{\pi}{2}</math>, to zostanie on wyłączony po zmianie orientacji wektora namagnesowania o kąt <math>\frac{\pi}{2}</math>. W chwili wyłączenia w układzie rotującym wektor magnetyzacji jest równoległy do pola <math>\vec{B}_1</math>, natomiast w układzie laboratoryjnym wektor magnetyzacji rotuje w płaszczyźnie ''X-Y''. W tym momencie można rozpocząć pomiar namagnesowania za pomocą cewek. Rotujący wektor magnetyzacji wytwarza zmienne pole magnetyczne, które w cewkach, zgodnie z prawem Faraday'a indukuje siłę elektromotoryczną. D — po wyłączeniu pola pobudzającego <math>\vec{B}_1</math>, na skutek procesów relaksacji, momenty magnetyczne jąder przechodzą ze stanu wzbudzonego do stanu podstawowego. Efektem przejść jest powrót wektora magnetyzacji w kierunku pola magnetycznego <math>\vec{B}_0</math>.

Proste równanie opisujące zachowanie się momentów magnetycznych oraz magnetyzacji, które wyprowadziliśmy analogicznie jak się to czyni w przypadku ruchu bąka symetrycznego w polu grawitacyjnym nie jest pełne i powinno być rozszerzone o procesy relaksacji. Fenomenologiczne, klasyczne równanie opisującym zachowanie się namagnesowania w polu magnetycznym z uwzględnieniem procesów relaksacji nazywamy równaniem Blocha:
<equation id="38"><math>
\left[\frac{d\vec{M}}{dt}\right]_{U'} = \gamma\vec{M}\times\vec{B}_{eff} - \left(M_{x}\vec{e}_{x} + M_{y}\right)\vec{e}_{y}/T_{2} - \left(M_{z}-M_{0}\vec{e}_{z}\right)/T_{1}
</math></equation>
gdzie: 
<math>\vec{B}_{eff} = \left[\left(B_{0} - \frac{\omega}{\gamma}\right)\vec{e}_z + B_{1}\vec{e}_x\right]</math>
===Przykłady rozwiązania równań Blocha===
W poniższym rozdziale podane zostały przykładowe rozwiązania równań Blocha dla wybranych konfiguracji pól magnetycznych.

====Umieszczenie próbki w polu statycznym <math>\vec{B}_0 = B_0\vec{e}_z</math>====
Równanie Blocha jest równaniem opisującym ewolucję w czasie wektora magnetyzacji w układzie rotującym z częstością równa częstości precesji Larmour'a: <math>\omega = \gamma B_0</math>. Konfiguracja pół magnetycznych w tym układzie, po wprowadzeniu próbki w statyczne pole magnetyczne wynosi:
* <math>B_1 = 0</math>,
* <math>\left[B_0 -\frac{\omega}{\gamma}\right]\vec{e}_z = 0</math>,
co prowadzi do następującego układu równań:
<equation id="eq:bloch_1"><math>
\left\{\begin{array}{l}
\left[\frac{dM_{x}}{dt}\right]_{rot} = 0\\
\\
\left[\frac{dM_{y}}{dt}\right]_{rot} = 0\\
\\
\left[\frac{dM_{z}}{dt}\right]_{rot} = 0\\
\end{array}\right.
</math></equation>
Zgodnie z obliczeniami przeprowadzonymi w rozdziale [https://brain.fuw.edu.pl/edu/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metod%C4%85_Magnetycznego_Rezonansu_J%C4%85drowego#Namagnesowanie_pr.C3.B3bki]. wiemy, że po umieszczeniu próbki w stałym polu magnetycznym, namagnesowanie może występować tylko w kierunku tego pola. Oznaczmy wartość tego namagnesowanie symbolem <math>M_0</math>. Przy podanych warunkach początkowych dostajemy poniższe rozwiązanie układu równań (<xr id="eq:bloch_1" />):
<equation id="eq:bloch_rozw_1"><math>
\left\{\begin{array}{l}
\left[M_x\right]_{rot} = \\
\\
\left[M_y\right]_{rot} = 0\\
\\
\left[M_z\right]_{rot} = M_0\\
\end{array}\right.
</math></equation>
Rozwiązanie w układzie laboratoryjnym uzyskamy, po przemnożeniu równania (<xr id="eq:bloch_rozw_1"/>) przez macierz obrotu <math>P</math>:
<equation id="39"><math>
\vec{M} = P\times [\vec{M}]_{rot}
</math></equation>
gdzie: 
<math>P = \left[
\begin{array}{ccc}
\cos(\omega_0 t) & \sin(\omega_0 t) & 0 \\
\\
-\sin(\omega_0 t) & \cos(\omega_0 t) & 0 \\
\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right] </math>, 
 
co prowadzi to ostatecznie do wyniku:
<equation id="40"><math>
\vec{M} = P\cdot[\vec{M}]_{rot} \rightarrow \vec{M} = \left[\begin{array}{l}
0\\
\\
0\\
\\
M_0\\
\end{array}\right].
</math></equation>
Wynik zaprezentowano na rysunku <xr id="fig:relaksacja">rys. %i</xr>.A.

====Próbka umieszczona w polu statycznym, pobudzona polem zmiennym====
Zakładamy, że pobudzenie prowadzi do powstania zjawiska rezonansu, to jest częstość impulsowego pola magnetycznego <math>\vec{B}_1</math> jest równa częstości precesji Larmour'a. W takim, przypadku, w układzie rotującym występuje następująca konfiguracja pól magnetycznych:
* <math>\vec{B}_1 = B_1\vec{e}_x</math>,
* <math>\left[B_0 - \frac{\omega}{\gamma}\right]\vec{e}_x = 0</math>,
ponadto w równaniach Blocha możemy pominąć wyrazy związane z relaksacją, ponieważ czas trwania procesów relaksacyjnych (co najmniej kilkadziesiąt ms) jest znacznie dłuższy od trwania impulsu pobudzającego, co prowadzi ostatecznie do następującego układu równań:
<equation id="eq:bloch_2"><math>
\left\{\begin{array}{l}
\left[\frac{dM_{x}}{dt}\right]_{rot} = 0\\
\\
\left[\frac{dM_{y}}{dt}\right]_{rot} = \gamma B_1M_z\\
\\
\left[\frac{dM_{z}}{dt}\right]_{rot} = -\gamma B_1M_y\\
\end{array}\right.
</math></equation>
przy następujących warunkach początkowych:
<equation id="41"><math>
\vec{M} = P\cdot[\vec{M}]_{rot} \rightarrow \vec{M} = \left[\begin{array}{l}
0\\
\\
0\\
\\
M_0\\
\end{array}\right].
</math></equation>
Rozwiązanie układu równań (<xr id="eq:bloch_2"/>) ma postać:
<equation id="eq:bloch_rozw_2"><math>
\begin{array}{l}
\left[M_x\right]_{rot} = 0\\
\\
\left[M_y\right]_{rot} = M_0\sin(\Omega t)\\
\\
\left[M_z\right]_{rot} = M_0\cos(\Omega t)\\
\end{array}
</math></equation>
gdzie: <math>\Omega = \gamma B_1</math>.
Rozwiązanie w układzie laboratoryjnym uzyskamy, po przemnożeniu równania (<xr id="eq:bloch_rozw_2"/>) przez macierz obrotu <math>P</math>:
<equation id="42"><math>
\vec{M} = P\cdot[\vec{M}]_{rot}
</math></equation>
co prowadzi do następującego równania na ewolucję magnetyzacji w układzie laboratoryjnym:
Rozwiązanie układu równań (<xr id="eq:bloch_2"/>) ma postać:
<equation id="43"><math>
\begin{array}{l}
M_x = M_0\sin(\Omega t)\sin(\omega_0 t)\\
\\
M_y = M_0\sin(\Omega t)\cos(\omega_0 t)\\
\\
M_z = M_0\cos(\Omega t)\\
\end{array}
</math></equation>
W układzie rotującym wektor namagnesowania wykonuje ruch precesyjny wokół kierunku pola pobudzającego <math>\vec{B}_1</math>, które w tym układzie zachowuje stały kierunek, podczas gdy w układzie laboratoryjnym, wektor magnetyzacji jest złożeniem dwóch ruchów precesyjnych:
# wokół statycznego pola <math>\vec{B}_0</math>,
# wokół rotującego w tym układzie pola <math>\vec{B}_1</math>.
Złożeniem tych dwóch ruchów precesyjnych jest spirala, symbolicznie zaprezentowano na rysunku <xr id="fig:relaksacja">rys. %i</xr>.B.

====Wyłącznie impulsu pobudzającego. Sygnał swobodnej precesji====
Po zmianie orientacji wektora namagnesowania o kąt <math>\frac{\pi}{2}</math>, w układzie rotującym leży on wzdłuż wzdłuż osi ''X' '' (jest równoległy do pola <math>\vec{B}_1</math>, zaś w układzie laboratoryjnym namagnesowanie rotuje w płaszczyźnie ''X-Y'' (patrz <xr id="fig:relaksacja">rys. %i</xr>.C). Dalsze utrzymywanie pobudzenia spowodowało by zmianę orientacji wektora namagnesowania a do jego ustawienia w kierunku przeciwnym do kierunku pola stałego <math>\vec{B}_0</math>. Najdogodniejszy moment na pomiar wektora namagnesowania występuje w momencie, kiedy wiruje on w płaszczyźnie ''X-Y'', w związku z czym impulsowe pole magnetyczne jest wyłączane i rozpoczynany jest pomiar magnetyzacji. Pomiar ten wykonywany jest za pomocą cewek i opiera się na zjawisku indukcji Faraday'a — zmienny strumień pola magnetycznego, wywołany przez rotujący w płaszczyźnie ''X-Y'' wektor namagnesowania indukuje w obwodzie siłę elektromotoryczną. Jednocześnie, po wyłączeniu pola pobudzającego, momenty magnetyczne zaczną powracać do w wyniku oddziaływań spin-sieć oraz spin-spin. Spowoduje zmianę orientacji wektora namagnesowania z płaszczyzny ''X-Y'' ponownie w kierunku pola statycznego <math>\vec{B}_0</math>. Ewolucje wektora namagnesowania w takim przypadku możemy wyznaczyć przy pomocy równania Blocha, dla następującej konfiguracji pól magnetycznych w układzie rotującym:
* <math>\vec{B}_1 = 0\vec{e}_x</math>,
* <math>\left[B_0 - \frac{\omega}{\gamma}\right]\vec{e}_x = 0</math>,
otrzymując poniższy układ równań:
<equation id="eq:bloch_3"><math>
\left\{\begin{array}{l}
\left[\frac{dM_{x}}{dt}\right]_{rot} = -\frac{M_x}{T_2} \\
\\
\left[\frac{dM_{y}}{dt}\right]_{rot} = -\frac{M_y}{T_2} \\
\\
\left[\frac{dM_{z}}{dt}\right]_{rot} = -\frac{M_z-M_0}{T_1}\\
\end{array}\right.
</math></equation>
przy warunkach początkowych
<equation id="44"><math>
\vec{M} = P\cdot[\vec{M}]_{rot} \rightarrow \vec{M} = \left[\begin{array}{l}
0\\
\\
M_0\\
\\
0\\
\end{array}\right].
</math></equation>
Rozwiązanie układu równań (<xr id="eq:bloch_3"/>) ma postać:
<equation id="eq:bloch_rozw_3"><math>
\begin{array}{l}
\left[M_x\right]_{rot} =0\\
\\
\left[M_y\right]_{rot} = M_0e^{-\frac{t}{T_2}}\\
\\
\left[M_z\right]_{rot} = M_0(1-e^{-\frac{t}{T_1}})\\
\end{array}
</math></equation>
gdzie: <math>\omega_1 = \gamma B_1</math>.
Rozwiązanie w układzie laboratoryjnym uzyskamy, po przemnożeniu równania (<xr id="eq:bloch_rozw_3"/>) przez macierz obrotu <math>P</math>:
<equation id="eq:bloch_rozw_3_rot"><math>
\left[\begin{array}{l}
M_x\\
\\
M_y\\
\\
M_z\\
\end{array}\right] =
\left[
\begin{array}{ccc}
\cos(\omega_0 t) & \sin(\omega_0 t) & 0 \\
\\
-\sin(\omega_0 t) & \cos(\omega_0 t) & 0 \\
\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right]
\left[\begin{array}{l}
0\\
\\
M_0e^{-\frac{t}{T_2}}\\
\\
M_0(1-e^{-\frac{t}{T_1}})\\
\end{array}\right]
</math></equation>
Ostatecznie, wektor namagnesowania ma postać:
<equation id="eq:bloch_rozw_3_rot_a"><math>
\left[\begin{array}{l}
M_x\\
\\
M_y\\
\\
M_z\\
\end{array}\right] =
\left[
\begin{array}{c}
M_0e^{-\frac{t}{T_2}}\cos(\omega_0 t)\\
\\
-M_0e^{-\frac{t}{T_2}}\sin(\omega_0 t) \\
\\
M_0(1-e^{-\frac{t}{T_1}})
\end{array}
\right]
</math></equation>
Jak widzimy, namagnesowanie poprzeczne (składowa ''X'' oraz ''Y'' magnetyzacji) rotują w płaszczyźnie ''X-Y'', jednocześnie zmniejszając swoją amplitudę na skutek procesów relaksacji. Cewki dokonujące pomiaru zarejestrują sygnał o przebiegu gasnącej sinusoidy. Sygnał ten pełni niezwykle ważną role i jest nazywany sygnałem swobodnej precesji (ang. ''Free Induction Decay'', FID).

===Echo spinowe===
Czasy relaksacji zależą od właściwości fizyko-chemicznych tkanek. Stanowią zatem niezwykle cenna informację dla diagnostyki medycznej. Relaksacja spin-sieć zależy głównie od czynników "''naturalnych''" — fluktuacji lokalnych pół magnetycznych wytworzonych przez otoczenie jąder atomowych. Relaksacja spin-spin zależy zarówno od czynników naturalnych jak i "''sztucznych''" — niejednorodności statycznego pola magnetycznego związanych np. z ograniczoną dokładnością wykonania skanera MRI.
W efekcie, zamiast obserwować zanik namagnesowania poprzecznego z czasem <math>T_{2}</math>, obserwujemy ten zanik z czasem:
<equation id="45"><math>
\frac{1}{T^{*}_{2}} = \frac{1}{T_{2}} + \frac{\gamma\Delta B_{0}}{2}
</math></equation>
Mimo to, możliwe jest wyznaczenie czasu relaksacji <math>T_{2}</math>, dzięki pięknemu zjawisku echa spinowego.
U podstaw tego zjawiska leży założenie, iż naturalne procesy wpływające na relaksację spin-spin są procesami termodynamicznymi, natomiast procesy "''sztuczne''" są dobrze określone w czasie.



==Kodowanie Obrazu==
[[File:Lauterbur_eksperyment_1.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:Lauterbur_eksperyment_1"></figure>Dwie próbki zawierające różną ilość wody (A) umieszczono w polu magnetycznym, którego rozkład wektora indukcji jest stały (B). Sygnały FID indukowane w tych próbkach mają różną amplitudę (C). W związku z tym, że indukcja pola magnetycznego w zakresie obydwu próbek jest taka sama, częstości precesji Larmoura momentów magnetycznych w protonów w próbkach są również identyczne. W efekcie zbiorczym sygnałem rejestrowanym przez cewkę jest tłumiona wykładniczo sinusoida o pewnej wypadkowej amplitudzie (D). Na podstawie tak uzyskanego sygnału nie można stwierdzić, jaki udział w sygnale wypadkowym mają składowe pochodzące od poszczególnych próbek. W widmie sygnału wypadkowego (E) obserwujemy tylko jedno maksimum odpowiadające tej samej częstości precesji momentów magnetycznych protonów.]]

[[File:Lauterbur_eksperyment_2.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:Lauterbur_eksperyment_2"></figure>Dwie próbki zawierające różną ilość wody (A) umieszczono w polu magnetycznym, którego wielkość indukcji zmienia się wzdłuż pewnego kierunku (B). Sygnały FID indukowane w tych próbkach mają różną amplitudę oraz częstości (C). Sygnał rejestrowany przez cewkę nie jest już tłumioną wykładniczo sinusoidą (D). W widmie sygnału wypadkowego (E) obserwujemy dwa maksima związane z dwoma różnymi częstościami precesji momentów magnetycznych protonów. Jak wiemy, częstość precesji momentu zależy od indukcji pola magnetycznego. Znając rozkład przestrzenny indukcji pola magnetycznego oraz częstości precesji, możemy wyznaczyć lokalizację próbek, a na podstawie amplitudy sygnału zawartość wody w poszczególnych próbkach.]]

[[File:rekonstrukcja_mri.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:rekonstrukcja_mri.png"></figure>]]

W jaki sposób jednak za pomocą MRI można otrzymać obraz, np. wnętrza ciała ludzkiego? Dotychczas zdobyta przez nas wiedza umożliwia nam pomiar magnetyzacji wytworzonej w badanej próbce, jednak nie potrafimy określić współrzędnych pewnej objętości materii, gdzie to namagnesowanie zostało wytworzone. Jak wiemy z poprzednich rozdziałów, namagnesowanie to wypadkowy moment magnetyczny pewnej objętości materii, który nazywamy wokselem. Cewka rejestruje zbiorczy sygnał pochodzący od wielu wokseli. W chwili wyłączenia impulsu pobudzającego <math>\frac{\pi}{2}</math>, ewolucję wektora namagnesowania opisuje następujący wzór:
<equation id="46"><math>
dS\left(t\right) = AM^{0}\left(\vec{r}\right)e^{-i\left(w_{0}t\right)}e^{-\frac{t}{T_{2}}}dxdydz
</math></equation>
gdzie: <math>A</math> jest pewną stałą zależną od geometrii cewek, zaś <math>M^{0}(\vec{r})</math> jest namagnesowaniem woksela, o objętości <math>dx\cdot dy\cdot dz</math>, którego pozycja jest opisana wektorem <math>\vec{r} = [x,y,z]</math> w kartezjańskim układzie współrzędnych.
Zbiorczy sygnał rejestrowany przez cewkę odbiorczą wynosi z objętości <math>V</math>:
<equation id="47"><math>
S\left(t\right) = A\int\int_{V}\int M^{0}\left(\vec{r}\right)e^{-i\left(\gamma B_{0}t\right)}e^{-\frac{t}{T_{2}}}dxdydz
</math></equation>
Rozwiązanie tego problemu podali niezależnie Paul Lauterbur <ref name="Lauterbur">P. C. Lauterbur. Image formation by induced local interactions: examples employing nuclear magnetic resonance. Nature 242, 190-191 (1973)</ref> oraz Peter Mansfield <ref name="Mansifeld">P. Mansfield, P.K. Grannell, J. Phys. C: Solid State Phys. 6, L422 (1973)</ref>. W roku 2003 obydwaj naukowcy zostali uhonorowani nagrodą Nobla w dziedzinie medycyny za wykorzystanie Magnetycznego Rezonansu Jądrowego w tej dziedzinie. W roku 1972 Paul Lauterbur przeprowadził doświadczenie, w którym wykazał, że przy wykorzystaniu gradientu dodatkowego pola magnetycznego możliwe jest rozróżnienie rejestrowanych sygnałów przez cewki, pochodzących od dwóch różnych próbek z wodą. Ideę eksperymentu zaprezentowano na <xr d="fig:Lauterbur_eksperyment_1">rys. %i</xr> i <xr id="fig:Lauterbur_eksperyment_2">rys. %i</xr>. Jak widzimy, w celu określenia pozycji woksela, z którego mierzony jest dany sygnał FID niezbędne jest wprowadzenie dodatkowego, gradientowego pola magnetycznego:
<equation id="48"><math>
\vec{B} = B_0\vec{e}_z + \vec{G}\cdot\vec{r}
</math></equation>
gdzie: 
<math>\vec{G} = [G_x,G_y,G_z]</math> - gradient indukcji pola magnetycznego.
W zależności od położenia woksela, częstość precesji momentów magnetycznych w zmodyfikowanym polu będzie wynosić:
<equation id="49"><math>
\omega(x,y,z) = \gamma \left(B_0 + G_x\cdot x + G_y\cdot y + G_z\cdot z\right)
</math></equation>
Przyjęto, że proces określania współrzędnych wokseli z których rejestrowany jest sygnał FID, nazywany będzie kodowaniem.
Proces ten składa się z trzech etapów: wyboru warstwy obrazowania, kodowania fazy i kodowania częstości, które opisane w kolejnych rozdziałach.

===Etap wyboru warstwy===

Wprowadzając zależność statycznego pola magnetycznego od położenia, można wyznaczać jedną ze współrzędnych woksela, w którym powstało namagnesowanie, wykorzystując w tym celu częstości sygnału FID. Przyjmijmy, że tą współrzędną będzie współrzędna <math>z</math>:
<equation id="kodowanie_z"><math>
\begin{array}{l}
\omega_{0} = \gamma\left(B_{0} + G_{zz}z\right) \textrm{\ zatem}\\
\\
z = \frac{\left(\omega_{0} - \gamma B_{0}\right)}{\gamma G_{zz}}
\end{array}
</math></equation>
gdzie:
* <math>B_{0}</math> — statyczne pole magnetyczne, skierowane wzdłuż osi <math>z</math>,
*<math>G_{zz}</math> — gradient pola magnetycznego, nałożony na pole <math>B_{0}</math>, <math>G_{zz} = \frac{\Delta B_{0}}{\Delta z}</math>.
Naświetlając badany obiekt polem elektromagnetycznym o częstości <math>\omega_{RF}</math>, wzbudzimy jądra atomowe w tych wokselach, w których spełniony jest warunek rezonansowy (<math>\omega_{RF} = \omega_{0}</math>), czyli w wokselach, których współrzędna <math>z</math> wyraża się wzorem (<xr id="kodowanie_z"/>). Opisana powyżej procedurę rzeczywiście stosuje się w MRI i określa jako etap wyboru warstwy (''Slice selection''), a gradient <math>G_{zz}</math> '''{gradientem wyboru warstwy'''. Grubość wybranej w trakcie badania warstwy wynosi:
<equation id="49"><math>
\Delta z = \frac{\Delta \omega}{\gamma G_{zz}}
</math></equation>
gdzie: <math>\Delta\omega</math> — szerokość widmowa pobudzającego jądra impulsu radiowego.
W przypadku, gdy impuls radiowy ma charakter sygnału prostokątnego o szerokości widmowej <math>\Delta\omega=4\pi/T</math>, gdzie: <math>T</math> to długość trwania impulsu, grubość warstwy wyraża się poniższym wzorem:
:<math>
\Delta z = \frac{4\pi}{\gamma G_{zz}T}
</math>


===Etap kodowania fazy===
W trakcie etapu wyboru warstwy, zaraz po włączeniu pola gradientowego wzdłuż osi <math>z</math>, włączany jest również impuls pobudzający <math>RF</math>, (najczęściej impuls <math>\pi/2</math>). Po wyłączeniu tego impulsu oraz impulsu gradientowego <math>G_{zz}</math> następuje precesja wektora magnetyzacji w płaszczyźnie <math>x-y</math> z częstością <math>w_{0} = \gamma B_{0}</math>. Załóżmy na początku, iż procesy relaksacji możemy pominąć. W praktyce wpływ procesów relaksacji typu spin-sieć na lokalizację woksela jest do pominięcia. Przypominamy, że relaksacja ta następuje z czasem <math>T_{1}</math> rzędu kilkuset milisekund, podczas gdy wzbudzanie jąder osiąga się już po kilkuset mikrosekundach. Nie można natomiast pominąć procesów związanych z relaksacją typu spin-spin, których czas <math>T^{*}_{2}</math> wynosi kilka-, kilkanaście milisekund.

Natychmiast po wyłączeniu pola gradientowego <math>G_{zz}</math> włączane jest pole gradientowe <math>G_{yz}</math> — tzw. '''gradient kodowania fazy''', wzdłuż osi <math>y</math>. Częstość precesji po włączeniu tego pola wynosi:
<equation id="50"><math>
\omega_{0} = \gamma\left(B_{0} + G_{yz}y\right)
</math></equation>

Włączenie gradientu <math>G_{yz}</math> powoduje zróżnicowanie częstości precesji wektora magnetyzacji. Po wyłączeniu gradientu kodowania fazy po czasie <math>T_{y}</math>, fazy częstość precesji Larmour wraca do wartości <math>\omega_{0} = \gamma B_{0}</math>, jednakże pomiędzy rotującymi wektorami magnetyzacji pojawia się przesunięcie w fazie, które wyraża się następującym wzorem:
<equation id="eq:kodowanie_fazy"><math>
\phi = \gamma G_{yz}yT_{y}
</math></equation>
Rozdzielczość obrazu tomograficznego wzdłuż osi <math>y</math> wynosi:
<equation id="51"><math>
\Delta y = \frac{\pi}{\gamma G_{yz}T_{y}}
</math></equation>

==Etap kodowania częstości i odczyt pomiaru magnetyzacji==
Po wyłączeniu gradientu <math>G_{yz}</math>, natychmiast włączany jest gradient <math>G_{xz}</math> wzdłuż osi <math>x</math>, nazywany gradientem kodowania częstości oraz jednocześnie następuje odczyt sygnału FID.
W wyniku przyłożenia gradientu <math>G_{xz}</math> następuje zróżnicowanie częstości precesji wektora magnetyzacji, zgodnie z poniższym wzorem:
<equation id="eq:kodowanie_czestosci"><math>
\omega_{0} = \gamma\left(B_{0} + G_{xz}x\right)
</math></equation>

Podsumowując, w celu wybrania obszaru, w którym zostanie dokonany pomiar magnetyzacji, przeprowadzane są następujące kroki:
# Włączone zostaje statyczne pole magnetyczne <math>B_{0}</math> wzdłuż osi ''Z''. Wektory magnetyzacji wykonują ruch precesyjny wokół tej osi.
# Włączony zostaje gradient pola magnetycznego <math>G_{zz}</math>, po czym, po kilku milisekundach badany obiekt zostaje przez czas <math>t_{\pi/2}</math> naświetlony falą elektromagnetyczną o określonej częstości. W warstwie, dla której zostaje spełniony warunek rezonansu, fala elektromagnetyczna wzbudza jądra atomowe, w wyniku czego wektory magnetyzacji wykonują ruch precesyjny w płaszczyźnie ''X-Y''.
#Po wyłączeniu gradientu <math>G_{zz}</math> zostaje włączony na okres <math>T_{yz}</math> gradient kodowania fazy. Po jego wyłączeniu,wektory magnetyzacji wzdłuż osi ''Y'' precesują z tą samą częstością lecz w różnej fazie.
#Po wyłączeniu gradientu <math>G_{yz}</math> zostaje włączony gradient kodowania częstości, który różnicuje częstość precesji wektora magnetyzacji. Jednocześnie następuje pomiar magnetyzacji (sygnału FID) w płaszczyźnie ''X-Y''.

Podsumowując: gradient <math>G_{zz}</math> wraz z impulsem pobudzającym umożliwiają zakodowanie współrzędnej ''Z'' wokseli, z których chcemy dokonać pomiaru namagnesowania obiektu. Jest to tzw. wybór warstwy gdzie będzie dokonywany pomiar. W następnych dwóch etapach zakodowany zostają współrzędne ''X'' i ''Y'' poszczególnych wokseli za pomocą częstości precesji wektora magnetyzacji oraz fazy jego precesji. Innymi słowy, każdemu wokselowi, zostaje przyporządkowana jednoznacznie częstość precesji Larmour'a oraz faza tej precesji.

==Dekodowanie obrazu==
W poprzednim rozdziale omówiliśmy metodę jednoznacznego przypisania wokselowi o współrzędnych <math>x</math>, <math>y</math> w warstwie o położeniu <math>z</math>, częstości i fazy początkowej precesji wektora magnetyzacji.
Cewki, które służą do pomiaru wytworzonego namagnesowania, rejestrują sygnał pochodzący od wszystkich wokseli w danej warstwie.
W trakcie drugiego i trzeciego etapu kodowania obrazu namagnesowanie w wokselu o współrzędnych <math>x</math> i <math>y</math> uzyskuje częstość precesji Larmour:
<math>
\omega_{0} = \gamma\left(B_{0} + G_{xz}x\right)
</math>
oraz fazę tej precesji:
<math>
\phi = \gamma G_{yz}yT_{y}
</math>
Mierzony sygnał rezonansowy pochodzący od danego woksela w płaszczyźnie <math>x-y</math> można wyrazić w następujący sposób:
<equation id="52"><math>
dS\left(t\right) = AM^{0}(\vec{r})e^{-i\left(w_{0}\left(x\right)t + \phi\left(y\right)\right)}e^{-\frac{t}{T_{2}}}dxdydz
</math></equation>
Będziemy w dalej zajmowali się problemem wyznaczenia rozkładu gęstości protonów w płaszczyźnie już wybranej warstwy o grubości <math>dz</math>, dlatego wprowadzimy stałą <math>B = A\cdot dz</math>.
<equation id="53"><math>
dS\left(t\right) = BM^{0}(\vec{r})e^{-i\left(w_{0}\left(x\right)t + \phi\left(y\right)\right)}e^{-\frac{t}{T_{2}}}dxdy
</math></equation>
gdzie <math>B</math> jest pewną stałą zależną od grubości warstwy oraz geometrii cewek, zaś <math>M^{0}(\vec{r})</math> jest początkowym namagnesowaniem poprzecznym, uzyskanym w wyniku pobudzenia jąder atomowych impulsem <math>RF</math>.
Podstawiając do powyższego równania wzory (<xr id="eq:kodowanie_fazy"/>) i (<xr id="eq:kodowanie_czestosci"/>) otrzymujemy:
<equation id="54"><math>
dS\left(t\right) = BM^{0}(\vec{r})e^{-i\left(\gamma\left(B_{0} + G_{xz}x\right)t + \gamma G_{yz}yT_{y}\right)}e^{-\frac{t}{T_{2}}}dxdy
</math></equation>
a zatem sygnał rezonansowy rejestrowany z całej warstwy o współrzędnej <math>z</math> wynosi:
<equation id="55"><math>
S\left(t\right) = B\int\int M^{0}(\vec{r})e^{-i\left(\gamma\left(B_{0} + G_{xz}x\right)t + \gamma G_{yz}yT_{y}\right)}e^{-\frac{t}{T_{2}}}dxdy
</math></equation>
Otrzymane równanie porządkujemy w następujący sposób:
<equation id="55"><math>
S\left(t\right) = Be^{-\frac{t}{T_{2}}}\int\int M^{0}(\vec{r})e^{-i\left(\gamma\left(B_{0} + G_{xz}x\right)t + \gamma G_{yz}yT_{y}\right)}dxdy
</math></equation>
<equation id="56"><math>
S\left(t\right) = Be^{-\frac{\gamma B_{0}t}{T_{2}}}\int\int M^{0}(\vec{r})e^{-i\left(\gamma G_{xz}xt + \gamma G_{yz}yT_{y}\right)}dxdy
</math></equation>
podstawiając:
<equation id="57"><math>
\begin{array}{l}
k_{x} = \gamma G_{xz}t\\
\\
k_{y} = \gamma G_{yz}T_{y}
\end{array}
</math></equation>
uzyskujemy:
<equation id="eq:mierzony_sygnal"><math>
S\left(k_{x},k_{y}\right) = Be^{-\frac{\gamma B_{0}t}{T_{2}}}\int\int M^{0}(\vec{r})e^{-i\left(k_{x}x + k_{y}y\right)}dxdy
</math></equation>
Wymiar stałej <math>B</math> zawiera jednostkę długości (powiązaną z grubością warstwy), z kolei namagnesowanie to całkowity moment magnetyczny przypadający na jednostkę objętości <math>dV</math>. Namagnesowanie woksela zależeć będzie od całkowitej liczby jąder atomowych znajdujących się w objętości <math>dV</math>. W związku z tym, uwzględniając jednostkę stałej <math>B</math> oraz namagnesowania <math>M^{0}</math> możemy przepisać równanie (<xr id="eq:mierzony_sygnal"/>) do następującej postaci:
<equation id="58"><math>
S\left(k_{x},k_{y}\right) = B'e^{-\frac{\gamma B_{0}t}{T_{2}}}\int\int \rho^{0}_{xy}e^{-i\left(k_{x}x + k_{y}y\right)}dxdy
</math></equation>
gdzie <math>B'</math> to stała zależna już tylko od właściwości cewek, natomiast <math>\rho^{0}_{xy}</math> jest gęstością jąder atomowych w badanej warstwie. Widzimy zatem, iż mierzony sygnał jest transformatą Fouriera gęstości jąder atomowych, z dokładnością do wagi, zależnej od natężenia statycznego pola magnetycznego oraz czasu relaksacji <math>T_{2}</math><ref>Należy również pamiętać, iż wyznaczona gęstość jąder atomowych (w praktyce jąder atomu wodoru) zależy również od czasu powtarzania wzbudzeń jąder atomowych (''Time Repetition —TR'') oraz czasu echa spinowego (''Time Echo — TE'')</ref>.
Rozkład gęstości jąder atomowych można wyznaczyć obliczając odwrotną transformatę Fouriera równania (<xr id="eq:mierzony_sygnal"/>)
<equation id="59"><math>
\rho^{0}_{xy} = B'e^{-\frac{\gamma B_{0}t}{T_{2}}}\int\int S\left(k_{x},k_{y}\right)e^{i\left(k_{x}x + k_{y}y\right)}dk_{x}dk_{y}
</math></equation>
Podsumowując:
Główną informacją jaką otrzymujemy za pomocą obrazowania metodą jądrowego rezonansu magnetycznego jest rozkład gęstości
jąder atomowych. Z uwagi, iż jądro atomu wodoru ma największy spośród jąder atomowych współczynnik giromagnetyczny, a także ze względu na wysokie stężenie wodoru w organizmie ludzkim, za pomocą MRI uzyskuje się obraz rozkładu gęstości tego właśnie pierwiastka. W badaniu otrzymamy zatem bardzo dobry obraz tkanek miękkich (np. mózg), co odróżnia tą metodę od Rentgenowskiej Tomografii Komputerowej, najlepiej obrazującą kości. Ponadto, mierząc czasy relaksacji namagnesowania — <math>T_{1}</math> i <math>T_{2}</math> możliwe jest uzyskanie informacji o pewnych właściwościach fizyko-chemicznych tkanek.

==Podstawowa Sekwencja Gradientów Pola Magnetycznego==
[[File:rekonstrukcja_mri.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:rekonstrukcja_mri.png"></figure>Podstawowa sekwencja pól gradientowych.]]
W tym rozdziale dokonamy pewnego podsumowania dotychczas zdobytej wiedzy dotyczącej procesu kodowania i dekodowania obrazu w Magnetycznym Rezonansie Jądrowym. Podstawowa sekwencja kodująca oraz proces dekodowania został zaprezentowany na <xr id="fig:rekonstrukcja_mri">rys. %i</xr>
Z uwagi na ograniczoną ilość miejsca pod rysunkiem, jego opis znajdzie w treści rozdziału. Załóżmy, że chcemy zobrazować wybraną warstwę głowy pacjenta. Obraz zostanie utworzony za pomocą macierzy <math>M</math>x<math>N</math> pikseli. Proces obrazowania będzie składał się następujących kroków:
# Umieszczenia pacjenta w stałym polu magnetycznym o indukcji <math>B_0</math>. Po wykonaniu tego kroku momenty magnetyczne jąder wykonują precesję z częstością <math>\omega_0 = \gamma B_0</math>. Powstaje wypadkowe namagnesowanie <math>M_0</math> w kierunku pola <math>\vec{B}_0</math>. Załóżmy, że w głowie pacjenta znajdują się tylko dwa obszary dające znaczące sygnały. Obszary te wypełniona różnymi odcieniami szarości.
# Włączenia pola gradientowego w kierunku osi ''z'' (przyjęto, że jest to oś biegnąca wzdłuż badanego). Następuje zróżnicowanie precesji momentów magnetycznych protonów. Częstość precesji zależy teraz od współrzędnej ''z'' w następujący sposób: <math>\omega_{0} = \gamma\left(B_{0} + G_{zz}z\right)</math>. Równocześnie wraz z gradientem pola zostaje włączony impuls pobudzający (RF) <math>\frac{\pi}{2}</math> o częstości <math>\omega_1</math>. Wywoła on pobudzenie tych momentów magnetycznych, których częstość precesji Larmoura wynosi <math>\omega = \omega_1</math>, czyli <math>\omega_1 = \gamma\left(B_{0} + G_{zz}z\right)</math>. Są to momenty magnetyczne znajdujące się w płaszczyźnie ''x-y'' o współrzędnej ''z'' równej: <math>z = \frac{\left(\omega_{1} - \gamma B_{0}\right)}{\gamma G_{z}}</math>. W wokselach leżących w wybranej warstwie następuje zmiana orientacji wektora namagnesowania <math>M_0</math> o kąt <math>\frac{\pi}{2}</math>. Warto zauważyć, iż po wyłączeniu tego pola gradientowego, momenty magnetyczne ponownie ruch precesyjny z częstością Larmoura <math>\omega=\gamma B_0</math>, jednak w odróżnieniu od wektorów leżących w innych warstwach maja one zmienioną orientację.
# Wzdłuż osi ''y'' zostaje włączone na pewien okres czasu kolejne pole gradientowe, którego wartość na <xr id="fig:rekonstrukcja_mri">rys. %i</xr> oznaczono kolorem żółtym. Wektor magnetyzacji zaczynają rotację w płaszczyźnie ''x-y'' z różną prędkością (ale tą samą dla zadanej współrzędnej ''y''). Po wyłączeniu pola gradientowego, częstość precesji wraca do wartości <math>\omega = \gamma B_0</math>, jednakże wektory namagnesowania wirują w płaszczyźnie ''x-y'' w różnej fazie.
# Następuje kolejne włączenie pola gradientowego, tym razem wzdłuż osi ''x''. Momenty magnetyczne, a także namagnesowanie zaczyna wirować z różną częstością, zależną od współrzędnej ''x''. Jednocześnie wraz z włączeniem tego gradientu następuje pomiar sygnału. Na tym etapie kodowania obrazu, można powiedzieć, że wektory namagnesowania znajdujące się w wokselach leżących w tej samej kolumnie (oś ''y'') rotują z tą samą częstością, natomiast wektory namagnesowania, znajdujące się w tym samym wierszu (os ''x'') rotują z tą samą fazą. Należy pamiętać, iż włączenie gradientu wzdłuż osi ''y'' w poprzednim etapie zmieniło jedynie fazę sygnału FID. Sygnały o tej samej częstości i różnej fazie nałożą się na siebie, dając pewien sygnał wypadkowy. Innymi słowy, na podstawie widma zarejestrowanego sygnału FID możliwe jest w tej chwili rozróżnienie z której kolumny pochodzą składowe mierzonego sygnału. Nie znamy natomiast współrzędnej ''y'' wokseli, z których pochodzi istotny sygnał. W związku z tym całość pomiaru (poczynając od etapu 2) należy powtórzyć, tyle razy, ile mamy wierszy w obrazie, za każdym razem zmieniając wartość gradientu pola magnetycznego wzdłuż osi ''y'' lub długość czasu jego trwania.
# Wartości Transformat Fouriera zapisywane są w tzw. współrzędnych przestrzeni K, tworząc pewną macierz. Wykonanie odwrotnej, dwuwymiarowej Transformaty Fouriera tej macierzy umożliwia wyznaczenie rozkładu przestrzennego namagnesowania.

==Co obrazuje Magnetyczny Rezonans Jądrowy==

===Rozkład gęstości protonów===
W trakcie badania MRI dokonywany jest pomiar namagnesowania małych jednostek objętości (wokseli) danego obszaru pacjenta. Namagnesowanie woksela jest proporcjonalne do liczby momentów magnetycznych cząstek znajdujących się w nim cząstek posiadających momenty magnetyczne. Spośród wielu atomów, które wchodzą w skład organizmu ludzkiego i posiadających spin, wodór charakteryzuje się największą abundancją oraz jądrem
o największym momencie magnetycznym. MRI będzie zatem obrazował głownie rozkład gęstości wodoru. W przeciwieństwie do Metod Rentgenowskich, MRI będzie zatem bardzo dobrze obrazował tkanki miękkie.

===Kontrast <math>T_{1}</math> oraz <math>T_{2}</math>===
Bardzo ważną informację diagnostyczną można również uzyskać, wykorzystując do tego czas pomiaru relaksacji <math>T_1</math> i <math>T_2</math>. Relaksacja wektora namagnesowania następuje w wyniku oddziaływania momentów magnetycznych z otoczeniem. Na podstawie zmian w szybkości zaniku namagnesowania poprzecznego lub odbudowie namagnesowania podłużnego można zatem wyciągnąć pewne wnioski diagnostyczne. Dokonuje się tego przy pomocy odpowiednio dobranej sekwencji pola pobudzającego, którego skutkiem będzie lepsze uwidocznienie na obrazie obszarów o krótkim czasie <math>T_1</math> lub krótkim czasie <math>T_2</math>. Mówimy wtedy odpowiednio o obrazie T1 zależnym lub T2 zależnym, bądź kontraście T1 lub T2.

Obok rozkładu gęstości jąder atomu wodoru, za pomocą MRI możemy wyznaczyć również czasy relaksacji magnetyzacji podłużnej — <math>T_{1}</math> oraz magnetyzacji poprzecznej — <math>T_{2}</math>. Czasy te zależą od właściwości fizyko-chemicznych tkanek. Z dotychczasowych badań wiadomo, iż czasy relaksacji tkanki zdrowej, różnią się znacznie od czasów relaksacji tej samej tkanki chorej (np. rakowej). Czasy relaksacji zawierają zatem niezwykle cenna z punktu widzenia diagnostyki informacje.





==Budowa skanera MRI==

===Cewki pola statycznego===

Podstawowym elementem aparatury MRI są przyrządy wytwarzające pola magnetyczne (statyczne jak i gradientowe) oraz rejestrujące sygnał namagnesowania.
Statyczne pole magnetyczne <math>\vec{B}_{0}</math> można wygenerować za pomocą:
# Magnesów trwałych. Małe zużycie prądu elektrycznego, nieskomplikowana budowa aparatury, ogólnie niskie koszty obsługi. Skaner ma mniejsze rozmiary niż w przypadku skanerów w których pole magnetyczne jest wytwarzane w inny sposób, ponadto ma budowę otwartą (pacjent nie znajduje się w wąskim cylindrze), co zwiększa komfort badania (np. u pacjentów z klaustrofobią).
#*Wady — trwałe magnesy są ciężkie, wytwarzają pola magnetyczne w granicy: 0.064 T - 0.3 T.
# Elektromagnesów. Pole magnetyczne powstaje w wyniku przepływu prądu przez cewkę. Elektromagnesy mogą mieć rdzeń powietrzny lub stalowy. Zalety — otwarta budowa zwiększająca komfort badania, można wyłączyć skaner, jeśli jest nieużywany, niska cena skanera.
#*Wady — wysokie zużycie energii elektrycznej, ograniczone wartość wytwarzanego pola magnetycznego < 0.2 - 0.3T, potrzebne chłodzenie wodne, wytworzone pole magnetyczne "''rozprzestrzenia''" się na boki.
# Magnesów nadprzewodzących — najczęściej stosowane. Pole magnetyczne wytwarzane jest przez przepływ prądu w cewkach umieszczonych w ciekłym helu, w celu redukcji zjawiska oporu elektrycznego — W temperaturze 4 Kelvinów (-269<math>^{o}</math>) opór ten zanika.
#*Zalety — możliwość generowania silnych, bardzo jednorodnych pól magnetycznych — do 12T, a co za tym idzie możliwość rejestracji sygnału namagnesowania o wysokim SNR oraz skrócenie czasu wykonywania skanu. Ponadto niskie zużycie prądu elektrycznego.
#*Wady — drogi skaner, wysokie koszty związane z obsługą aparatury kriogenicznej, aparatura hałaśliwa i o zwartej budowie — mniejszy standard wygody dla pacjenta, wrażliwszy na artefakty ruchowe, skomplikowana budowa (cewki nadprzewodzące muszą być zabezpieczone wieloma warstwami termicznymi, oraz przestrzeniami próżniowymi, aby chronić Hel przed zagotowaniem się i eksplozją).

===Cewki nadawczo odbiorcze===

Źródłem sygnału pobudzającego jądra atomowe w zjawisku jądrowego rezonansu magnetycznego, jak i odbiornikiem rejestrującym wytworzony sygnał namagnesowania są tzw. Cewki RF. Istnieje wiele różnorodnych typów cewek, przeznaczonych do określonych badań, można je jednak podzielić na dwie grupy:
#Cewki objętościowe. Wewnątrz takiej cewki wytworzone zostaje jednolite pole magnetyczne, wymagają jednak, aby badana część pacjenta znajdowała się w środku cewki.
# Cewki powierzchniowe. Jak sama nazwa wskazuje cewki takie umieszczane są na powierzchni, blisko obszaru, który ma być badany. Cewki takie zapewniają sygnał o wysokim SNR oraz wysoką rozdzielczość otrzymywanych obrazów. Wada tych cewek jest szybka strata jednolitości otrzymywanego obrazu, w przypadku gdy badany obiekt przemieści się poza cewkę.



==Podstawy kwantowego opisu zjawiska Rezonansu Magnetycznego==

[[File:quantum_mri.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:quantum_mri"></figure>Ilustracja powstawania stanów kwantowych oraz pobudzenia wzbudzenia przejść pomiędzy nimi. A — przy braku zewnętrznego pola magnetycznego poziomy energetyczne odpowiadające różnym rzutom momentu pędu na oś ''Z'' charakteryzują się tą samą energię. Umieszczenie próbki w stałym polu magnetycznych wywołuje powstanie dwóch stanów kwantowych o różnych energiach. Nieznaczna większość protonów znajdzie się w stanie o niższej energii. Za pomocą fali elektromagnetycznej o odpowiedniej energii ( częstości) można doprowadzić do przejść jąder do wyższego poziomu energetycznego. B — po wyłączeniu fali elektromagnetycznej, jądra przechodzą ze stanu wzbudzonego do stanu podstawowego oddając wcześniej zaabsorbowana energię.]]
Podstawowy opis kwantowy zjawiska rezonansu magnetycznego przeprowadzimy dla protonu. Przypominamy, własny moment pędu protonu opisywany jest spinową liczbą kwantową <math>I = \frac{1}{2}</math>, długość wektora momentu pędu wynosi <math>|\vec{I}| = \frac{\sqrt{3}}{2}\hbar </math>, zaś rzut wektora spinu na oś ''Z'' może przyjmować wartości: <math>\vec{I}_{z} = \pm\frac{1}{2}\hbar </math>. Pod nieobecność zewnętrznego pola magnetycznego, rzutom wektora spinu proton una oś ''Z'' odpowiadają stany o tej samej energii. 
Wprowadzenie próbki w stałe pola magnetyczne o wartości <math>B_0</math> i kierunku równoległego do osi ''X'' powoduje rozczepienie tych stanów. Rzut wektora momentu magnetycznego (związanego ze spinem) na oś ''Z'' może mieć kierunek równoległy lub przeciwny do kierunku pola magnetycznego. Rzutom tym odpowiadają dwa poziomy energetyczne:
<equation id="60"><math>
\begin{array}{l}
E_1 = -\frac{1}{2}\hbar\gamma B_0\\
\\
E_2 = \frac{1}{2}\hbar \gamma B_0\\
\end{array}
</math></equation>
gdzie: <math>E_1, E_2</math> to odpowiednio energia stanu związanego z równoległym i przeciwnym rzutem momentu magnetycznego na kierunek stałego pola magnetycznego. Zgodnie z zasadami termodynamiki, protony będą dążyły do zajmowania stanów o niższej energii. Dostarczając dodatkową energię, np. za pomocą fali elektromagnetycznej, można doprowadzić do przejścia protonów ze stanu podstawowego do wzbudzonego. Częstość fali elektromagnetycznej można wyliczyć w następujący sposób. Różnica energii pomiędzy dwoma stanami wynosi:
<equation id="61"><math>
\Delta E = E_2 - E_1 = \hbar \gamma B_0
</math></equation>
Fala elektromagnetyczna o częstości <math>\omega_0</math> posiada energię:
<equation id="62"><math>
E = \hbar \omega_0
</math></equation>
Energia fali elektromagnetycznej powinna być równa różnicy energii dwóch stanów kwantowych:
<equation id="63"><math>
\Delta E = \hbar \omega_0 \rightarrow \hbar \gamma B_0 = \hbar \omega_0
</math></equation>
ostatecznie, częstość fali wzbudzającej przejścia pomiędzy poziomami energetycznymi jest równa:
<equation id="64"><math>
\omega_0 = \gamma B_0
</math></equation>
Po wyłączeniu fali pobudzającej, protony przechodzą ze stanu wzbudzonego do stanu podstawowego, emitując nadmiar energii.
Pobudzeniowa fala elektromagnetyczna może być wygenerowana za pomocą cewki, która po wyłączeniu emisji fali może również rejestrować energię emitowaną przez protony przechodzące do stanu podstawowego.
Bardziej rozszerzony (nieobowiązkowy dla studentów opis zjawiska magnetycznego rezonansu jądrowego można znaleźć w kolejnym rozdziale).

==Kwantowy opis zjawiska Rezonansu Magnetycznego==
Zastosowanie modelu kwantowego prowadzi do pełniejszego w porównaniu z modelem klasycznym opisu zjawiska NMR, jednak ze względu na skomplikowaną postać samej Teorii Kwantów, model kwantowy może być trudny w zrozumieniu. Z kolei model klasyczno-kwantowy (zaprezentowany w dotychczasowych rozdziałach), jest łatwiejszy do przyswojenia i dla pewnej klasy problemów uzyskuje się za jego pomocą te same wyniki co w modelu kwantowym.

Nim przejdziemy do szczegółowego opisu zjawiska NMR, dokonamy zestawienia niektórych z postulatów leżących u podstaw Mechaniki Kwantowej i Klasycznej oraz przypomnimy sobie znaczenie pewnych pojęć stosowanych w fizyce.

<ol>

<li>
Układem fizycznym (w dalszej części skryptu nazywanym w skrócie układem) określa się zbiór ciał.

<li>
Stan układu jest najmniejszym zbiorem informacji pozwalającym odpowiedzieć na wszelkie pytania dotyczące układu.

<li>
W Mechanice Klasycznej pomiar wielkości fizycznej można wykonać z dokładnością ograniczoną jedynie precyzją dostępnej aparatury. Sam pomiar nie wpływa na układ.

<li>
W Mechanice Kwantowej nie można dokonać jednoczesnego pomiaru pewnych wielkości fizycznych z dowolną dokładnością. Ograniczenie to, znane jako Zasada Nieoznaczoności Heisenberga, nie ma nic wspólnego z precyzja aparatury pomiarowej. Jest to jedno z praw przyrody, któremu podlegają np. pomiary położenia i pędu:

::<math>
\Delta x\Delta p_{x}\ge \hbar </math>

gdzie:

<ul>

<li>
<math>\Delta x</math> i <math>\Delta p_x</math> to odpowiednio nieoznaczoność położenia i pędu wzdłuż osi <math>x</math>

</ul>

pomiary energii i czasu:

::<math>
\Delta E\Delta t\ge \hbar </math>

gdzie:

<ul>

<li>
<math>\Delta E</math> i <math>\Delta t</math> to odpowiednio nieoznaczoność energii i czasu.

</ul>

pomiary składowych wektora momentu pędu (w Mechanice Kwantowej obserwowalna jest w danym pomiarze tylko jedna ze składowych wektora oraz jego długość).
Możliwy jest natomiast jednoczesny pomiar z dowolną dokładnością np. energii i pędu. Warto zauważyć, że chociaż nie da się, zgodnie z Zasadą Nieoznaczoności, jednocześnie zmierzyć np. położenia i pędu cząstki, to można wyznaczyć osobno rozkład prawdopodobieństwa dla pędów i rozkład
prawdopodobieństw dla położeń w danym stanie układu. Mierząc dostatecznie dużo takich rozkładów prawdopodobieństwa, można określić stan układu. Pojedynczą wielkość da się w zasadzie zmierzyć z dowolną dokładnością, ale jeżeli mamy kilka takich samych układów w tym samym stanie, to na ogół dla każdego z nich pomiar tej wielkości da inny wynik.

<li>
W Mechanice Klasycznej położenie, orientacja oraz wielkości charakteryzujące ruch układu w danej chwili określają stan układu w tej chwili. W przypadku cząstki punktowej do określenia jej stanu w przestrzeni trójwymiarowej wystarczy sześć wielkości jednowymiarowych: 3 współrzędne opisujące położenie cząstki oraz 3 wielkości charakteryzujące jej ruch (prędkość lub pęd).

<li>
W Mechanice Kwantowej stan układu określony jest za pomocą funkcji falowej <math>\psi \left(\vec{r},t\right)</math>. Funkcja falowa zawiera pełną informacje o stanie układu. Zwykle jednak nie da się przewidzieć wyniku pomiaru znając nawet dokładnie stan układu.

<li>
Interpretacja fizyczna funkcji falowej jest następująca (cyt. z pracy <ref name="bid0"> Iwo Białynicki-Birula, Marek Cieplak, Jerzy Kamiński Teoria Kwantów. Mechanika Falowa. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1991.</ref>)

Funkcja falowa <math>\psi \left(\vec{r},t\right)</math> opisuje fale prawdopodobieństwa. Wielkość <math>\psi ^{*}\left(\vec{r},t\right)\psi \left(\vec{r},t\right)</math> jest gęstością prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w punkcie <math>\vec{r}</math> w chwili <math>t</math>.
Inaczej mówiąc, całka:
<math>P_{D}\left(t\right)=\int _{D}d^{3}\vec{r}\left|\psi \left(\vec{r},t\right)\right|^{2}</math> jest prawdopodobieństwem znalezienia cząstki w chwili <math>t</math> w obszarze <math>D</math>.

<li>
Funkcja falowa musi spełniać warunek unormowania<ref>Warunek unormowania został arbitralnie wprowadzony w pierwszej pracy Schrödingera dotyczącej równania falowego.</ref>:
<math>\int _{D}d^{3}\vec{r}\left|\psi \left(\vec{r},t\right)\right|^2 = 1</math>.
Innymi słowy, prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w dowolnym punkcie przestrzeni jest równe jedności.

<li>
W Mechanice Klasycznej pomiar wielkości fizycznej nie wpływa na układ.

<li>
W Mechanice Kwantowej zwykle nie można gwarantować, że stan układu po pomiarze będzie taki sam jak przed pomiarem. W szczególności
ponowny pomiar wielkości, która przedtem była dobrze określona, może dać (zupełnie) inny wynik.

<li>
W Mechanice Kwantowej dowolnej, dobrze określonej obserwabli fizycznej (takiej jak pęd, energia, masa czy moment pędu), dalej oznaczanej przez <math>C</math>, odpowiada operator <math>\hat{C}</math> taki, że w wyniku pomiaru obserwabli <math>C</math> otrzymujemy wartości zmierzone <math>c</math>, które są wartościami własnymi operatora <math>\hat{C}</math>:

::<math>
\hat{C}\phi = c\phi </math>

gdzie: <math>\phi </math> jest funkcją własną operatora <math>\hat{C}</math>.

<li>
W Mechanice Kwantowej, jeśli układ znajduje się w stanie <math>\psi \left(\vec{r},t\right)</math>, to średnia wartość dowolnej obserwabli fizycznej <math>C</math> związanej z układem w chwili czasu <math>t</math> dana jest wzorem:

<equation id="uid21">
<math>
\left<C\right> = \int \psi ^{*}\left(\vec{r},t\right)\hat{C}\psi \left(\vec{r},t\right)d^{3}\vec{r}
</math>
</equation>

</ol>

==Spin==

Dokładny opis spinu, który jest wielkością kwantową, wykracza znacznie poza ramy materiału niniejszego skryptu. Zainteresowanych czytelników odsyłamy do prac <ref name="bid0" />, <ref name="bid1">Richard L. Liboff Wstęp do Mechaniki Kwantowej. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa
1987.</ref>, <ref name="bid2">Leszek Adamowicz Mechanika Kwantowa. Formalizm i Zastosowania. Oficyna Wydawnicza
Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2005.</ref>, na podstawie których został napisany niniejszy rozdział. W tym miejscu natomiast ograniczymy się do podania kilku faktów, obserwacji, czy uwag, mając nadzieję, że wystarczą one czytelnikom do zrozumienia, czym jest spin, przynajmniej w takim stopniu, który ułatwi im przyswojenie wiadomości na temat Jądrowego Rezonansu Magnetycznego. Podstawowymi elementami, z których składa się materia, są cząstki takie jak elektron, proton oraz neutron, które posiadają spin równy <math>\frac{1}{2}</math>. Najbardziej rozpowszechnionym pierwiastkiem w organizmach żywych jest wodór, którego jądra — protony, odgrywają podstawową rolę w otrzymywaniu obrazów MR. W związku z tym omówienie pojęcia spinu ograniczymy do przypadku spinu równego <math>\frac{1}{2}</math>.

<ol>

<li>
Zjawiska takie jak rozszczepienie w niejednorodnym polu magnetycznym wiązki atomowej na dwie składowe, zaobserwowane przez Sterna i Gerlacha w roku 1922, czy dubletowa struktura widm pierwiastków alkalicznych nie zostały wyjaśnione w ramach teorii budowy atomu zaproponowanej przez Bohra. Doświadczenie przeprowadzone przez Sterna i Gerlacha, jak również i badania spektroskopowe wskazywały na nie uwzględnienie w teorii Bohra pewnej wielkości fizycznej — nieznanego, dodatkowego stopnia swobody elektronu.

<li>
W roku 1925 Uhlenbeck i Goudsmit wprowadzają pojecie spinu, jako wewnętrznego momentu pędu elektronu. Uhlenbeck i Goudsmit przyjęli, iż elektron wiruje<ref>W języku angielskim słowo spin oznacza wirowanie</ref> wokół własnej osi, co w naturalny sposób umożliwiło im wytłumaczenie istnienia dodatkowego stopnia swobody oraz wyjaśnienie dubletowej struktury widm pierwiastków alkalicznych. Obecnie wiadomo, iż obraz elektronu jako wirującej kulki zaproponowany przez Uhlenbecka i Goudsmita jest nieprawidłowy.

<li>
W roku 1926 Schrödinger publikuje serię czterech prac dotyczących równania falowego (nazwanego później równaniem Schrödingera), które dla elektronu znajdującego się w polu elektromagnetycznym przyjmuje następującą postać <ref name="bid0" />:

<equation id="uid27">
<math>
i\hbar\frac{\partial \psi \left(\vec{r},t\right)}{\partial t} = \left[ \frac{1}{2m} \left(\frac{\hbar }{i} \nabla - e \vec{A}\right)^2 + e \phi (\vec{r}) \right]\psi \left(\vec{r},t\right)
</math>
</equation>

gdzie:

<ul>

<li>
<math>\vec{B} = \nabla \times \vec{A}</math>

<li>
<math>\vec{E} = -\nabla \phi - \frac{\Delta \vec{A}}{\Delta t}</math>

<li>
<math>\vec{B}</math> to wektor indukcji magnetycznej

<li>
<math>\vec{E}</math> to wektor natężenia pola elektrycznego

</ul>

<li>
Rozwiązaniem równania (<xr id="uid27"> %i</xr>) są funkcje skalarne, które jednak nie opisują właściwie zachowania się elektronu w polu magnetycznym.

<li>
W przyrodzie obserwujemy zarówno fale skalarne (np. fale dźwiękowe) jak i fale wektorowe (np. fale elektromagnetyczne). Fale wektorowe mogą ulegać polaryzacji. Doświadczenie Sterna-Gerlacha wskazuje na to, że również fale prawdopodobieństwa mogą zostać spolaryzowane, zaś pole magnetyczne inaczej wpływa na poszczególne składowe polaryzacyjne <ref name="bid0" />.

<li>
Najprostszym sposobem wprowadzenia oddziaływania zależnego od pola magnetycznego i polaryzacji funkcji falowej do równania Schrödingera, jest przedstawienie go w postaci następującego układu równań <ref name="bid0" />:

<equation id="uid35">
<math>
\begin{array}{l}
i \hbar \frac{\partial \psi _{+}\left(\vec{r},t\right)}{\partial t} = \left[\frac{1}{2m}\left( \frac{\hbar }{i}\nabla - e \vec{A}\right)^{2} + e \phi - \mu B \right] \psi _{+}\left(\vec{r},t\right) \\
\\
i \hbar \frac{\partial \psi _{-}\left(\vec{r},t\right)}{\partial t} = \left[\frac{1}{2m}\left( \frac{\hbar }{i}\nabla - e \vec{A}\right)^{2} + e \phi + \mu B \right] \psi _{-}\left(\vec{r},t\right)
\end{array}
</math>
</equation>

<li>
Funkcja falowa cząstki posiadającej spin powinna zależeć nie tylko do zmiennych przestrzennych, ale również od dyskretnej zmiennej spinowej, opisującej wartość rzutu spinu na dowolnie wybraną w przestrzeni oś. Funkcja taka, oznaczmy ją dalej przez <math>\psi \left(\vec{r},t,m_{s}\right)</math>, będzie zbiorem różnych funkcji numerowanych przez parametr <math>m_{s}</math> związany ze spinem. Operator spinu działając na funkcję falową, będzie działał jedynie na składowe spinowe.

<li>
Równanie (<xr id="uid35"> %i</xr>) nie jest dogodną formą opisu oddziaływania pola magnetycznego ze spolaryzowaną falą prawdopodobieństwa. W roku 1927 Pauli pokazał, jak z dwóch funkcji falowych, przypisanych dwóm stanom polaryzacyjnym cząstki zbudować wielkość wektorową. Pomijając skomplikowane przekształcenia matematyczne, podamy rozwiązanie do którego doszedł Pauli. Z dwóch składowych polaryzacyjnych funkcji falowej: <math>\psi \left(\vec{r},t\right)_{+}</math> i <math>\psi \left(\vec{r},t\right)_{-}</math>, można zbudować dwuwymiarowy wektor i wektor do niego sprzężony:

<equation id="uid38">
<math>
\begin{array}{l}
\psi \left(\vec{r},t\right) = \left[
\begin{array}{l}
\psi _{+}\left(\vec{r},t\right) \\
\\
\psi _{-}\left(\vec{r},t\right)
\end{array}
\right]\\
\\
\psi ^{*}\left(\vec{r},t\right) = \left[
\psi ^{*}_{+}\left(\vec{r},t\right), \psi ^{*}_{-}\left(\vec{r},t\right) \right]
\end{array}
</math>
</equation>

który spełnia następujące równanie falowe:

<equation id="uid39">
<math>
i \hbar \frac{\partial \psi \left(\vec{r},t\right)}{\partial t} = \left[ \frac{1}{2m} \left( \frac{\hbar }{i}\nabla - e \vec{A}\right)^{2} + e \phi (\vec{r}) - \mu \vec{B} \vec{\sigma } \right] \psi \left(\vec{r},t\right)
</math>
</equation>

gdzie:

<ul>

<li>
<math>\vec{B}</math> jest indukcją pola magnetycznego, zaś <math>\vec{\sigma }</math> jest wektorem zbudowanym z tzw. macierzy Pauliego <math>\sigma _{x}</math>, <math>\sigma _{y}</math>, <math>\sigma _{z}</math>:

</ul>

<equation id="uid41">
<math>
\vec{\sigma }=\left[\mathbf {\sigma }_{x},\mathbf {\sigma }_{y},\mathbf {\sigma }_{z}\right]
</math>
</equation>

<equation id="uid42">
<math>
\begin{array}{l}
\sigma _{x} =
\left[
\begin{array}{cc}
0 & 1\\
1 & 0
\end{array}
\right]\\
\\
\sigma _{y} =
\left[
\begin{array}{cc}
0 & -i\\
i & 0
\end{array}
\right]\\
\\
\sigma _{z} =
\left[
\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & -1
\end{array}
\right]
\end{array}
</math>
</equation>

Iloczyn wektora <math>\vec{\sigma }</math> oraz wektora <math>\vec{B}</math> wynosi:

<equation id="uid43">
<math>
\vec{B}\vec{\sigma } =
\left[
\begin{array}{cc}
B_{z} & B_{x} - iB_{y}\\
\\
B_{x} + iB_{y} & -B_{z}
\end{array}
\right]
</math>
</equation>

<li>
W roku 1928 Dirac podał równanie falowe dla relatywistycznej cząstki o spinie <math>\frac{1}{2}</math> poruszającej się w polu elektromagnetycznym.
Rozwiązanie równania Diraca dla elektronu doprowadziło do wniosku, że spin jest składową całkowitego momentu pędu cząstki, wnosząc do niego wkład równy <math>\frac{1}{2}\hbar </math>. Równanie Diraca przewiduje istnienie spinu jako efektu relatywistycznego.

<li>
Operatory składowych wektora spinu są następujące <ref name="bid3" />:

<equation id="uid46">
<math>
\begin{array} {l}
\hat{s}_{x} = \frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
0 & 1\\
1 & 0
\end{array}
\right]\\
\\
\hat{s}_{y} = \frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
0 & -i\\
i & 0
\end{array}
\right]\\
\\
\hat{s}_{z} = \frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & -1
\end{array}
\right]
\end{array}
</math>
</equation>

a zatem operator spinu jest równy:

<equation id="uid47">
<math>
\hat{S} = \frac{1}{2}\hbar \vec{\sigma }
</math>
</equation>

</ol>

Podsumowując, spin należy rozumieć w ramach Mechaniki Kwantowej jako wyraz istnienia stanów polaryzacyjnych funkcji falowej (w przypadku elektronu, protonu, neutronu i niektórych jąder będą to dwa stany polaryzacyjne). Spin jest własnością cząstek, taką samą jak np. masa lub ładunek, ale obserwowalną dopiero w eksperymentach ujawniających kwantową naturę materii. Spin jest także składową całkowitego momentu pędu, niezwiązaną z ruchem, można go zatem również interpretować jako własny (wewnętrzny) moment pędu cząstki.

===Spin i moment magnetyczny jądra atomowego===

Jądra atomowe zawierające nieparzystą liczbę protonów lub neutronów mają niezerowy własny moment pędu <math>\vec{I}</math> (spin) oraz związany z nim moment magnetyczny. Zgodnie z regułami opisu wielkości wektorowych w mechanice kwantowej, jednocześnie może być obserwowalna tylko długość wektora oraz wartość jednej z jego składowych (tzw. rzut tego wektora na wyróżnioną oś, nazywaną osią kwantowania). W przypadku wektora własnego momentu pędu jądra atomowego jego długość wynosi <ref name="bid3" />:

<equation id="uid49">
<math>
|\vec{I}| = h\sqrt{I\left(I+1\right)}
</math>
</equation>

gdzie:

<ul>

<li>
<math>I</math> oznacza liczbą kwantową o wartości całkowitej lub połówkowej.

</ul>

Składowa <math>z</math> momentu pędu wyraża się następującym wzorem <ref name="bid3" />:

<equation id="uid51">
<math>
I_{z} = m_{I}h, \textrm { } m_{I} = I,I-1,\dots ,I
</math>
</equation>

Możliwych jest zatem <math>2I+1</math> orientacji spinu jądra względem wyróżnionego kierunku, odpowiadających możliwym wartościom jądrowej magnetycznej liczby kwantowej <math>m_{I}</math>. W przypadku protonu (jądra atomu wodoru), mamy <ref name="bid3" />:

::<math>
\begin{array}{l}
I=1/2\\
\\
|\vec{I}| = \frac{\sqrt{3}}{2}\hbar \\
\\
(\vec{I})_{z} = \pm \frac{1}{2}\hbar \end{array}
</math>

Moment magnetyczny związany jest ze spinem następującą zależnością <ref name="bid3" />:

<equation id="uid52">
<math>
\vec{\mu }_{I} = \gamma \vec{I}
</math>
</equation>

Energia potencjalna oddziaływania momentu magnetycznego z polem magnetycznym wynosi:

<equation id="uid59">
<math>
V = -\vec{\mu }\cdot \vec{B}
</math>
</equation>

Zgodnie z prawami termodynamiki układ fizyczny dąży do stanu, w którym jego energia wewnętrzna osiągnie wartość minimalną.
Rozważmy pole <math>\vec{B}</math>, posiadające tylko składową wzdłuż osi <math>z</math> (czyli <math>\vec{B}_0 = \left[ 0, 0, B_0\right]</math>), układu odniesienia.
W przypadku protonu, posiadającego ładunek dodatni, kierunek momentu magnetycznego jest zgodny z kierunkiem jego własnego momentu pędu, a zatem również rzuty momentu magnetycznego i momentu pędu na oś <math>z</math> są równoległe. Orientacji momentu pędu zgodnej z kierunkiem pola <math>\vec{B}</math> będzie odpowiadać energia potencjalna:

::<math>
V = -\frac{1}{2}\hbar \gamma B_0
</math>

natomiast orientacji antyrównoległej:

::<math>
V = \frac{1}{2}\hbar \gamma B_0 </math>

Ustawienie najkorzystniejsze energetycznie odpowiada więc sytuacji, kiedy składowa <math>z</math> spinu ustawiona jest w równolegle do kierunku pola <math>\vec{B}_0</math> (magnetyczna liczba kwantowa <math>m_{I}=\frac{1}{2}</math>).

===Precesja spinu i momentu magnetycznego w stałym polu magnetycznym — opis kwantowy dla cząstki o spinie 1/2===

Ze względu na wysokie naturalne rozpowszechnienie wodoru w organizmach żywych, oddziaływanie spinu z polem magnetycznym omówimy na przykładzie protonu. Dodatkowo, aby uprościć problem, rozważmy proton mający stałe położenie w przestrzeni oraz pole magnetyczne <math>\vec{B}_{0}</math>, które ma niezerową składową tylko wzdłuż osi <math>z</math>, czyli <math>\vec{B}=\left[0, 0, B_{0}\right]</math>. W takim przypadku równanie Pauliego przybierze następującą postać:

<equation id="uid61">
<math>
\frac{\partial \psi \left(\vec{r},t\right)}{\partial t} = \left[\frac{1}{2m}\left(\frac{\hbar }{i}\nabla \right)^2 - \mu \vec{B}\vec{\sigma }\right]\psi \left(\vec{r},t\right)
</math>
</equation>

Powyższe równanie można rozwiązać metodą rozdzielenia zmiennych przestrzennych i spinowych <ref name="bid0" />:

<equation id="uid62">
<math>
\psi \left(\vec{r},t\right) = \psi _{r}\left(\vec{r},t\right)\chi \left(t\right)
</math>
</equation>

gdzie:

<ul>

<li>
<math>\psi _{r}\left(\vec{r},t\right)</math> — zależy wyłącznie od współrzędnych przestrzennych i czasu

<li>
<math>\chi \left(t\right)</math> — jest dwuskładnikowym spinorem.

</ul>

w wyniku podstawienia równania (<xr id="uid62"> %i</xr>) do równania (<xr id="uid61"> %i</xr>) uzyskujemy następujący układ dwóch niezależnych równań:

<equation id="uid65">
<math>
\begin{array}{l}
i\hbar \frac{\Delta \psi _{r}\left(\vec{r},t\right)}{\Delta t} = - \frac{\hbar ^{2}}{2m}\nabla ^{2}\psi \left(\vec{r},t\right) \\ \\
i\hbar \frac{\Delta \chi \left(t\right)}{\Delta t} = - \mu \vec{\sigma }\vec{B}\psi \left(\vec{t}\right)
\end{array}
</math>
</equation>

Interesuje nas ewolucja spinu, dlatego rozwiążemy dalej tylko równanie dla funkcji <math>\chi \left(t\right)</math>.
Podstawiając:

<equation id="uid66">
<math>
\vec{\sigma }\vec{B}=
\left[
\begin{array}{cc}
\mu B_{0} & 0 \\
0 & -\mu B_{0}
\end{array}
\right]
</math>
</equation>

do równania (<xr id="uid65"> %i</xr>), otrzymujemy:

<equation id="uid67">
<math>
i\hbar \frac{\Delta \chi \left(t\right)}{\Delta t} =
\left[
\begin{array}{cc}
\mu B_{0} & 0 \\
0 & -\mu B_{0}
\end{array}
\right]\chi \left(t\right)
</math>
</equation>

Jest to układ równań różniczkowych rzędu pierwszego o rozwiązaniach postaci:

<equation id="uid68">
<math>
\begin{array}{l}
\chi _{+}\left(t\right) = ae^{i\frac{\mu B_{0}}{\hbar }t}
\left[
\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}
\right]\\
\\
\chi _{-}\left(t\right) = be^{-i\frac{\mu B_{0}}{\hbar }t}
\left[
\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}
\right]
\end{array}
</math>
</equation>

Dokonajmy analizy jednostkowej uzyskanego rozwiązania.
Argument funkcji wykładniczej powinien być bezwymiarowy.
Wielkość <math>\mu B_{0}</math> ma wymiar energii, z kolei stała Planka ma wymiar <math>\left[\textrm {Js}\right]</math>, a zatem:

::<math>
\pm i\frac{\mu B_{0}}{\hbar } = \left[\frac{J}{Js}\right] = \left[\frac{1}{s}\right]
</math>

Oznaczmy dalej wielkość <math>\frac{\mu B_{0}}{\hbar }</math>, w następujący sposób:

<equation id="uid69">
<math>
\omega ^{\prime }_{0} = \frac{\mu B_{0}}{\hbar }
</math>
</equation>

Ostatecznie, otrzymane rozwiązanie możemy przedstawić w dwóch formach:

<equation id="uid70">
<math>
\chi \left(t\right) =
ae^{i\omega ^{\prime }_{0}t}\left[
\begin{array}{l}
1\\
0
\end{array}
\right]
+
be^{-i\omega ^{\prime }_{0}t}\left[
\begin{array}{l}
0\\
1
\end{array}
\right]
</math>
</equation>

lub

<equation id="uid71">
<math>
\chi \left(t\right) =
ae^{i\frac{E}{\hbar }t}\left[
\begin{array}{l}
1\\
0
\end{array}
\right]
+
be^{-i\frac{E}{\hbar }t}\left[
\begin{array}{l}
0\\
1
\end{array}
\right]
</math>
</equation>

gdzie:

<ul>

<li>
<math>E = \mu B_{0}</math>

</ul>

Jak można zauważyć, rozwiązaniem równania falowego (<xr id="uid65"> %i</xr>) jest funkcja:

<ul>

-
<li>
ortogonalna

-
<li>
ortonormalna, o ile zostanie spełniony warunek:

::<math>
\left|a\right|^{2} + \left|b\right|^{2} = 1
</math>

</ul>

Rozwiązanie to spełnia zatem postulaty mechaniki kwantowej dotyczące postaci funkcji falowej.
Wartości <math>\left|a\right|^{2}</math> i <math>\left|b\right|^{2}</math> można traktować jako prawdopodobieństwa znalezienia jądra atomowego w stanie odpowiednio o spinie skierowanym w górę i spinie skierowanym w dół.

Wyznaczymy teraz wartości oczekiwane operatora składowych spinu korzystając ze wzoru (<xr id="uid21"> %i</xr>).
Na początku uprościmy zapis funkcji falowej. Wprowadźmy skrócone oznaczenie:

::<math>
\begin{array}{l}
\alpha = ae^{i\omega ^{\prime }_{0}t}\\
\beta = be^{-i\omega ^{\prime }_{0}t}
\end{array}
</math>

umożliwiające zapis funkcji falowej w następującej formie

<equation id="uid75">
<math>
\chi \left(t\right) =
\alpha \left[
\begin{array}{l}
1\\
0
\end{array}
\right]
+
\beta \left[
\begin{array}{l}
0\\
1
\end{array}
\right]=
\left[
\begin{array}{l} \alpha \\
\beta \end{array}
\right]
</math>
</equation>

Składowa <math>z</math> operatora spinu

::<math>
\hat{C}\phi =\frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & -1
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\alpha \\
\beta \end{array}
\right]
= \frac{\hbar }{2}\left[
\begin{array}{c}
\alpha \\
-\beta \end{array}
\right]
</math>

::<math>
\phi ^{*}\hat{C}\phi = \frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
\alpha ^{*} & \beta ^{*}
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\alpha \\
-\beta \end{array}
\right] =
\frac{\hbar }{2}\left(
\begin{array}{cc}
\left|\alpha \right|^{2} - \left|\beta \right|^{2}
\end{array}
\right)
</math>

ostatecznie:

<equation id="uid76">
<math>
\left<\hat{s}_{z}\right> = \frac{\hbar }{2}\left(a^{2} - b^{2}\right)
</math>
</equation>

Składowa <math>x</math> operatora spinu

::<math>
\hat{C}\phi =\frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
0 & 1\\
1 & 0
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\alpha \\
\beta \end{array}
\right]
= \frac{\hbar }{2}\left[
\begin{array}{c}
\beta \\
\alpha \end{array}
\right]
</math>

::<math>
\phi ^{*}\hat{C}\phi = \frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
\alpha ^{*} & \beta ^{*}
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\beta \\
\alpha \end{array}
\right] =
\frac{\hbar }{2}\left(
\begin{array}{cc}
\alpha ^{*}\beta - \beta \alpha ^{*}
\end{array}
\right)
</math>

po podstawieniu za <math>\alpha </math> i <math>\beta </math> odpowiednich wyrażeń otrzymujemy:

<equation id="uid77">
<math>
\left<\hat{s}_{x}\right> = \hbar ab\cos \left(2\omega ^{\prime }_{0}t\right)
</math>
</equation>

Składowa <math>y</math> operatora spinu

::<math>
\hat{C}\phi =\frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
0 & -i\\
i & 0
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\alpha \\
\beta \end{array}
\right]
= i\frac{\hbar }{2}\left[
\begin{array}{c}
-\beta \\
\alpha \end{array}
\right]
</math>

::<math>
\phi ^{*}\hat{C}\phi = i\frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
\alpha ^{*} & \beta ^{*}
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
-\beta \\
\alpha \end{array}
\right] =
\frac{\hbar }{2}\left(
\begin{array}{cc}
-\alpha ^{*}\beta + \beta \alpha ^{*}
\end{array}
\right)
</math>

po podstawieniu za <math>\alpha </math> i <math>\beta </math> odpowiednich wyrażeń otrzymujemy:

<equation id="uid78">
<math>
\left<\hat{s}_{y}\right> = -\hbar ab\sin \left(2\omega ^{\prime }_{0}t\right)
</math>
</equation>

Podsumowując, otrzymaliśmy następujący układ równań na wartości oczekiwane składowych operatora spinu:
<equation id="uid79"><math>
\begin{array}{l}
<\hat{s}_{z}> = \frac{\hbar }{2}\left(a^{2} - b^{2}\right)\\
\\
<\hat{s}_{x}> = \hbar ab\cos \left(2\omega^{\prime }_{0}t\right)\\
\\
<\hat{s}_{y}> = -\hbar ab\sin \left(2\omega^{\prime }_{0}t\right)
\end{array}
</math>
</equation>

Z powyższych równań możemy wyciągnąć następujące, ważne wnioski:

<ol>

<li>
Jeżeli <math>\left|a\right|^{2}=1</math> i <math>\left|b\right|^{2}=0</math> lub gdy <math>\left|a\right|^{2}=0</math> i <math>\left|b\right|^{2}=1</math>, czyli gdy spin jest zawsze ustawiony w górę lub w dół, to wtedy wartość oczekiwana składowej <math>z</math> operatora spinu wynosi <math>\frac{\hbar }{2}</math>, natomiast znikają wartości oczekiwane składowych w płaszczyźnie <math>x-y</math>.

<li>
Jeżeli <math>\left|a\right|^{2}=\left|b\right|^{2}</math>, czyli gdy tak samo prawdopodobne jest ułożenie spinu równoległe jak i antyrównoległe do osi <math>z</math>, to wtedy znika wartość oczekiwana składowej <math>z</math> operatora spinu, natomiast wartości oczekiwane w płaszczyźnie <math>x-y</math> są równe <math>\frac{\hbar }{2}</math>.

<li>
Wartość oczekiwana operatora spinu wzdłuż osi <math>z</math> jest stała w czasie, natomiast wartości oczekiwane w płaszczyźnie <math>x-y</math> wirują z częstością <math>2\omega ^{\prime }_{0}</math>. Częstość <math>\omega _{0}=2\omega ^{\prime }_{0}</math> jest nazywana częstością precesji Larmour. W przypadku protonu lub neutronu częstość Larmour można zapisać również w postaci:

::<math>
\omega _{0}=2\omega ^{\prime }_{0} = 2\frac{\mu B_{0}}{\hbar } = 2\gamma B_{0}I = \gamma B_{0}
</math>

gdzie <math>\gamma </math> jest współczynnikiem giromagnetycznym odpowiadającym poszczególnym cząstkom, zaś <math>I=\frac{1}{2}</math>
czyli:

<equation id="uid83">
<math>
\omega _{0} = \gamma B_{0}
</math>
</equation>

<li>
Wartości oczekiwane operatora spinu: <math>\left<\hat{s}_{x}\right></math>, <math>\left<\hat{s}_{y}\right></math> i <math>\left<\hat{s}_{z}\right></math> możemy interpretować jako precesję spinu. Możemy również utworzyć wektor: <math>\left<\hat{s}\right> = \left[\left<\hat{s}_{x}\right>, \left<\hat{s}_{y}\right>, \left<\hat{s}_{z}\right>\right]</math>

<li>
Precesja spinu następuje zgodnie z ruchem wskazówek zegara, a więc wektor prędkości kątowej jest skierowany antyrównolegle do osi <math>z</math>. W przypadku, kiedy cząstka lub jądro charakteryzuje się ujemnym momentem magnetycznym, precesja następuje w kierunku przeciwnym do wskazówek ruchu zegara<ref><math>\cos \left(-2\omega _{0}\right)=\cos \left(2\omega _{0}\right)</math>, zaś <math>\sin \left(-2\omega _{0}\right)=-\sin \left(2\omega _{0}\right)</math></ref>

::<math>
\begin{array}{l}
\hat{s}_{z} = \frac{\hbar }{2}\left(a^{2} - b^{2}\right)\\
\\
\hat{s}_{x} = \hbar ab\cos \left(2\omega _{0}t\right)\\
\\
\hat{s}_{y} = \hbar ab\sin \left(2\omega _{0}t\right)
\end{array}
</math>

</ol>

===Rezonans magnetyczny, ujęcie kwantowe===

Pod wpływem zewnętrznego pola magnetycznego <math>\vec{B}_{0}</math> spiny jądrowe zostają uporządkowane, w wyniku czego w badanej próbce powstaje
makroskopowy moment magnetyczny (namagnesowanie). Niestety, obserwowalna może być tylko składowa namagnesowania równoległa do pola <math>\vec{B}_{0}</math>.Stosowane w diagnostyce MRI pola <math>\vec{B}_{0}</math> mają wartości od <math>0.5</math> do <math>4</math>T. Wytworzone przez takie pole namagnesowanie jest niewielkie i szybko zanika wraz z odległością.
Zarejestrowanie na tle silnego pola <math>\vec{B}_{0}</math> miliony razy słabszego namagnesowanie jest niezwykle trudne. Wiemy jednak, zgodnie z prawem Faradaya, że statyczne pole magnetyczne nie indukuje pola elektrycznego. Aby wyindukować pole elektryczne, potrzebna jest zmiana strumienia pola magnetycznego. Gdybyśmy potrafili w jakiś sposób wpłynąć na kierunek wytworzonego w próbce namagnesowania lub jego wielkości, moglibyśmy mierzyć sygnał elektryczny z nim związany np. przy pomocy cewek, podczas gdy pole <math>\vec{B}_{0}</math> przez taką cewkę nie byłoby rejestrowane.

[[Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metodą_Magnetycznego_Rezonansu_Jądrowego#Zmiana_orientacji_wektora_namagnesowania._Magnetyczny_Rezonans_J.C4.85drowy|W rozdziale o zmianie orientacji wektora namagnesowania]] podaliśmy wzór, z których wynikało, iż obsadzenie stanów związanych ze spinem jądra atomowego wpływa na składowe wektora wartości oczekiwanej momentu magnetycznego. Powstaje zatem pytanie, w jaki sposób zaburzyć powstałą pod wpływem pola <math>\vec{B}_{0}</math> równowagę. Jak przenieść cześć jąder z podstawowego poziomu energetycznego, do stanu wzbudzonego? Odpowiedz w ramach teorii pół-klasycznej, została podana w rozdziale [https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/action/edit/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metod%C4%85_Magnetycznego_Rezonansu_J%C4%85drowego?section=8].
Przypominamy, że próbkę trzeba umieścić w dodatkowym, słabym, zmiennym w czasie polu magnetycznym, mającym niezerowe składowe tylko w płaszczyźnie <math>x-y</math>, które oznaczymy jako <math>\vec{B}_{1}\left(t\right)</math>. Sprawdzimy jednak, jakie są konsekwencje
umieszczenia próbki w takim polu. Całkowite pole magnetyczne, w którym znajduje się badana próbka wynosi:

<equation id="uid2">
<math>
\vec{B}\left(t\right) = \vec{B}_{0} + \vec{B}_{1}\left(t\right)
</math>
</equation>

gdzie:

<ul>
<dt>

<li>
<math>\vec{B}_{0} = \left[0,0, B_{0}\right]</math>

<dt>

<li>
<math>\vec{B}_{1}\left(t\right) = \left[B_{1}\cos \left(\omega t\right),-B_{1}\sin \left(\omega t\right),0\right]</math>

</ul>

Podstawiając wzór (<xr id="uid2"> %i</xr>) do wzoru
(<xr id="uid61"> %i</xr>), oraz przyjmując zgodnie ze
wzorem (<xr id="uid38"> %i</xr>), że poszukujemy rozwiązania postaci:

<equation id="uid5">
<math>
\chi \left(t\right) =
\left[
\begin{array}{l}
\chi _{1}\left(t\right) \\
\chi _{2}\left(t\right)
\end{array}
\right] =
\chi _{1}\left(t\right)\left[
\begin{array}{l}
1\\
0
\end{array}
\right]
+
\chi _{2}\left(t\right)\left[
\begin{array}{l}
0\\
1
\end{array}
\right]
</math>
</equation>

otrzymujemy następujący układ równań:

<equation id="uid6">
<math>
\begin{array}{l}
i\frac{d\chi _{1}\left(t\right)}{dt} =
-\frac{\mu }{\hbar }\left(B_{1}e^{i\omega t}\chi _{2}\left(t\right) +
B_{0}\chi _{1}\left(t\right)\right)\\
\\
i\frac{d\chi _{2}\left(t\right)}{dt} =
-\frac{\mu }{\hbar }\left(B_{1}e^{-i\omega t}\chi _{1}\left(t\right) +
B_{0}\chi _{2}\left(t\right)\right)
\end{array}
</math>
</equation>

Domyślamy się, że rozwiązaniem powyższego układu równań będą funkcje:

<equation id="uid7">
<math>
\begin{array}{l}
\chi _{1}\left(t\right) = ae^{i\left(\omega + \omega _{r}\right)t}\\
\\
\chi _{2}\left(t\right) = be^{i\omega _{r} t}
\end{array}
</math>
</equation>

Wstawienie równań (<xr id="uid7"> %i</xr>) do
(<xr id="uid6"> %i</xr>) daje jednorodne równanie
macierzowe:

<equation id="uid8">
<math>
\underbrace{\left[
\begin{array}{cc}
\left(\frac{\mu B_{0}}{\hbar } - \omega - \omega _{r}\right) &
\frac{\mu B_{0}}{\hbar } \\
\\
\frac{\mu B_{0}}{\hbar } & -\left(\frac{\mu B_{0}}{\hbar } +
\omega _{r}\right)
\end{array}
\right]
}_{\Delta }
\left[
\begin{array}{c}
a \\
\\
b
\end{array}
\right] = 0
</math>
</equation>

które ma nietrywialnie rozwiązanie tylko wtedy, gdy znika wyznacznik
macierzy <math>\Delta </math>.
Warunek ten prowadzi do równania:

<equation id="uid9">
<math>
\omega _{r}^{2} + \omega \omega _{r} - \frac{\mu B_{0}}{\hbar }\left(\frac{\mu B_{0}}{\hbar } - \omega \right) -
\left(\frac{\mu B_{0}}{\hbar }\right)^{2} = 0
</math>
</equation>

Dozwolone wartości parametru <math>\omega _{r}</math> są zatem równe:

<equation id="uid10">
<math>
\omega _{r} = -\frac{\omega }{2} \pm \Omega </math>
</equation>

gdzie:

<equation id="uid11">
<math>
\Omega = \left[\left(\frac{\omega }{2} - \frac{\mu B_{0}}{\hbar }\right)^{2} + \left(\frac{\mu B_{1}}{\hbar }\right)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}
</math>
</equation>

Parametr <math>\Omega </math> nazywany jest częstością Rabiego.
Rozwiązanie ogólne np. dla <math>\chi _{2}\left(t\right)</math> będzie kombinacją
liniową dwóch składowych, odpowiadającym dwóm częstościom
(<xr id="uid11"> %i</xr>):

<equation id="uid12">
<math>
\chi _{2}\left(t\right) =
b_{1}e^{i\left(-\frac{\omega }{2}+\Omega \right)t} +
b_{2}e^{i\left(-\frac{\omega }{2}-\Omega \right)t}
</math>
</equation>

Przyjmijmy teraz, że w chwili czasu <math>t=0</math> proton znajduje się w stanie
podstawowym (czyli ma spin skierowany równolegle do pola <math>B_{0}</math>),

<equation id="uid13">
<math>
\left|\chi _{2}\left(t=0\right)\right|^{2} = 1
</math>
</equation>

wówczas:

<equation id="uid14">
<math>
b_{1} = -b_{2}
</math>
</equation>

Podstawiając (<xr id="uid12"> %i</xr>) do drugiego z równań
(<xr id="uid6"> %i</xr>) daje następującą postać funkcji
<math>\chi _{2}\left(t\right)</math>:

<equation id="uid15">
<math>
\chi _{2}\left(t\right) = i\frac{\mu B_{1}}{\hbar \Omega }e^{-\frac{i\omega t}{2}}sin\left(\Omega t\right)
</math>
</equation>

Rozwiązanie <math>\chi _{1}\left(t\right)</math>, odpowiadające szczególnej postaci
<math>\chi _{2}\left(t\right)</math> można otrzymać korzystając z drugiego z równań
(<xr id="uid6"> %i</xr>):

<equation id="uid16">
<math>
\chi _{1}\left(t\right) = e^{\frac{i\omega t}{2}}\cos \left(\Omega t\right) + \frac{i}{\Omega }\left(\frac{\omega }{2} - \frac{\mu B_{0}}{\hbar }\right)e^{\frac{i\omega t}{2}}sin\left(\Omega t\right)
</math>
</equation>

Podsumowując, otrzymaliśmy następujące rozwiązanie opisujące ewolucję
spinu protonu w polu magnetycznym <math>\vec{B}\left(t\right)</math>:

<equation id="uid17">
<math>
\begin{array}{l}
\chi \left(t\right) =
\left[
\begin{array}{l}
\chi _{1}\left(t\right) \\
\chi _{2}\left(t\right)
\end{array}
\right] =
\chi _{1}\left(t\right)\left[
\begin{array}{l}
1\\
0
\end{array}
\right]
+
\chi _{2}\left(t\right)\left[
\begin{array}{l}
0\\
1
\end{array}
\right]
\\
\\
\textrm {gdzie:}\\
\\
\chi _{1}\left(t\right) = e^{\frac{i\omega t}{2}}\cos \left(\Omega t\right) + \frac{i}{\Omega }\left(\frac{\omega }{2} -
\frac{\mu B_{0}}{\hbar }\right)e^{\frac{i\omega t}{2}}sin\left(\Omega t\right)
\\
\chi _{2}\left(t\right) = i\frac{\mu B_{1}}{\hbar \Omega }e^{-\frac{i\omega t}{2}}sin\left(\Omega t\right)\\
\end{array}</math>
</equation>

Obliczymy teraz prawdopodobieństwo znalezienia protonu w stanie o rzucie
spinu <math>-\frac{1}{2}</math> w chwili czasu <math>t</math>:

<equation id="uid18">
<math>
P_{-}\left(t\right) = \left|\chi _{2}\left(t\right)\right|^{2} =
\left(\frac{\mu B_{1}}{\hbar \Omega }\right)^{2}\sin ^{2}\left(\Omega t\right)
</math>
</equation>

Prawdopodobieństwo to oscyluje w czasie. Oczywiście prawdopodobieństwo
znalezienia protonu w stanie o rzucie spinu <math>-\frac{1}{2}</math>
jest równe <math>P_{+}\left(t\right) = 1 - P_{+}\left(t\right)</math>.
Przeanalizujmy otrzymany wynik. Amplituda oscylacji prawdopodobieństwa
zależy od częstości Rabiego:

::<math>
\Omega = \left[\left(\frac{\omega }{2} - \frac{\mu B_{0}}{\hbar }\right)^{2} + \left(\frac{\mu B_{1}}{\hbar }\right)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}
</math>

Jeżeli częstość <math>\omega </math> zmiennego pola magnetycznego będzie dowolnie
duża lub dowolnie mała, częstość Rabiego osiągnie znaczne wartości, a w
związku z tym prawdopodobieństwo przejścia jądra ze stanu o rzucie spinu
w górę do stanu o rzucie spinu w dół będzie zawsze niskie.
W momencie, gdy zostanie spełniony warunek:

<equation id="uid19">
<math>
\hbar \omega = 2\mu B_{0}
</math>
</equation>

przy jednoczesnym założeniu, że <math>B_{1}\ll B_{0}</math>, częstość Rabiego wyniesie:

::<math>
\Omega = \left(\frac{\mu B_{1}}{\hbar }\right)
</math>

a amplituda oscylacji prawdopodobieństwa osiąga maksymalną wartość:

<equation id="uid20">
<math>
P_{-}\left(t\right) = \sin ^{2}\left(\Omega t\right)
</math>
</equation>

Równanie (<xr id="uid19"> %i</xr>) określa tzw. warunek wystąpienia zjawiska
jądrowego rezonansu magnetycznego. Warto zauważyć, że energia pola
magnetycznego, jaką trzeba dostarczyć, aby uzyskać przejście jądra ze
stanu o rzucie spinu <math>\frac{1}{2}</math> do stanu o rzucie spinu
<math>-\frac{1}{2}</math> jest równa różnicy energii poziomów energetycznych
protonów umieszczonych w zewnętrznym polu <math>B_{0}</math>, bowiem:

<equation id="uid21">
<math>
\begin{array}{c}
E_{+} = -\mu B_{0} \\
\\
E_{-} = \mu B_{0} \\
\\
E_{-} - E_{+} = 2\mu B_{0}\\
\end{array}
</math>
</equation>

Jak wiemy, częstość precesji Larmour jest równa <math>\frac{2\mu B_{0}}{\hbar}</math>, a zatem
warunek rezonansowy możemy zapisać również w postaci:

<equation id="uid22">
<math>
{\omega = \omega _{0}}
</math>
</equation>

Prawdopodobieństwo przejścia jądra protonu ze stanu o rzucie spinu
<math>\frac{1}{2}</math> do stanu o rzucie <math>-\frac{1}{2}</math>, równe <math>50\%</math> zostanie
osiągnięte po czasie:

<equation id="uid23">
<math>
\sin ^{2}\left(\Omega t\right) = \frac{1}{2}
</math>
</equation>

czyli:

<equation id="uid24">
<math>
\sin \left(\Omega t\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}
</math>
</equation>

skąd dostajemy:

<equation id="uid25">
<math>
{t = \frac{\pi }{4\Omega }}
</math>
</equation>

Jest to tzw. impuls <math>\pi </math> — zastosowanie zmiennego pola magnetycznego o
takim czasie trwania impulsu doprowadzi do zaniku namagnesowania
podłużnego, powstanie natomiast namagnesowanie poprzeczne, co dokładniej
omówimy w dalszej części rozdziału.

Z kolei przejścia protonu do stanu o wyższej energii nastąpi po czasie:

<equation id="uid26">
<math>
{t = \frac{\pi }{2\Omega }}
</math>
</equation>

Jest to tzw. impuls <math>\frac{\pi }{2}</math>, powodujący zmianę orientacji spinu
protonu w zewnętrznym polu magnetycznym.

Znaleźliśmy zatem sposób na zmianę orientacji spinu, a w związku z tym i
namagnesowania.
W warunkach rezonansu funkcja falowa spinu wyraża się następującym wzorem:

<equation id="uid27">
<math>
\chi \left(t\right) = \cos \left(\Omega t\right)e^{\frac{i\omega t}{2}}
\left[
\begin{array}{l}
1\\
0
\end{array}
\right]
+ ie^{-\frac{i\omega t}{2}}sin\left(\Omega t\right)
\left[
\begin{array}{l}
0\\
1
\end{array}
\right]
</math>
</equation>

Korzystając ze wzoru na funkcję falową, podobnie jak w to uczyniliśmy w
rozdziale [https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/action/edit/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metod%C4%85_Magnetycznego_Rezonansu_J%C4%85drowego?section=36], możemy policzyć składowe wektora
wartości oczekiwanych operatora spinu. Wynoszą one:

<equation id="uid28">
<math>
\begin{array}{l}
\langle\hat{s}_{z}\rangle = \frac{1}{2}\hbar \cos \left(2\Omega t\right)\\
\\
\langle\hat{s}_{x}\rangle = \frac{1}{2}\hbar \sin \left(2\Omega t\right)\cos \left(2\omega _{0}t\right)\\
\\
\langle\hat{s}_{y}\rangle = -\frac{1}{2}\hbar \sin \left(2\Omega t\right)\sin \left(2\omega _{0}t\right)
\end{array}
</math>
</equation>

Z równań tych wynika, że w płaszczyźnie <math>x-y</math> wartość oczekiwana spinu
jest superpozycją dwóch rodzajów ruchów — szybkiego, z częstością
<math>2\omega _{0}</math> (częstością Larmour) oraz modulacji <math>2\Omega _{0}</math>,
natomiast składowa <math>z</math> wartości oczekiwanej momentu magnetycznego
odchyla się od kierunku zgodnego z polem <math>B_{0}</math> (równoległego do osi
<math>z</math>) w stronę kierunku przeciwnego do kierunku do pola <math>B_{0}</math>.

Ważne uwagi

<ol>

<li>
Zarówno w rozdziale [https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/action/edit/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metod%C4%85_Magnetycznego_Rezonansu_J%C4%85drowego?section=36], gdzie
opisywaliśmy precesję spinu w zewnętrznym polu magnetycznym, jak i w
rozdziale bieżącym, pominęliśmy w rozwiązaniach czynnik fazowy. Pełni on
jednak bardzo istotną role w opisie zjawiska NMR. W wyniku
wykonywania precesji w różnej fazie przez spiny jądrowe, zanika składowa
poprzeczna namagnesowania.

<li>
W przypadku wystąpienia rezonansu jądrowego, zewnętrzne pole
<math>\vec{B}_{1}\left(t\right)</math> oprócz indukowania przejść między poziomami
energetycznymi, powoduje również synchronizację składowych wartości
oczekiwanych spinu w płaszczyźnie <math>x-y</math>. Pół-klasycznym wytłumaczeniem
tego efektu zajmiemy się jeszcze w następnym rozdziale. Warto jednak już
w tym miejscu zapamiętać, iż procesy prowadzące do synchronizacji lub
desynchronizacji ruchu spinów zawierają niezwykle cenną informację
diagnostyczną.

</ol>

Podsumowując:

<ol>

<li>
W zewnętrznym, statycznym polu magnetycznym, skierowanym
wzdłuż osi <math>z</math>, spin protonu wykonuje ruch precesyjny z częstością
Larmour. Składowa <math>z</math> wartości oczekiwanej spinu jest stała w czasie,
składowe poprzeczne wykonują ruch wirowy w płaszczyźnie <math>x-y</math>.

<li>
Różnym ułożeniom spinu względem pola magnetycznego
odpowiadają różne energie potencjalne. W przypadku spinu równego
<math>\frac{1}{2}</math> istnieją dwa poziomy energetyczne, które będą obsadzane
przez jądra zgodnie z rozkładem Boltzmanna. Poziom odpowiadający
równoległemu rzutowi spinu na kierunek zewnętrznego pola magnetycznego,
jest korzystniejszy energetycznie, dlatego będzie obsadzany częściej.

<li>
Desynchronizacja ruchu wirowego wartości oczekiwanej spinów w
płaszczyźnie <math>x-y</math> uniemożliwia powstanie namagnesowania poprzecznego.
Obserwujemy tylko namagnesowanie podłużne.

<li>
Pod wpływem odpowiednio dobranego pola magnetycznego, można
doprowadzić do przejść między poziomami energetycznymi protonu. Jeżeli
energia kwantu promieniowania jest równa różnicy poziomów
energetycznych, proton absorbuje energię pola i przechodzi ze stanu o
podstawowego do stanu wzbudzonego. Następnie, po pewnym czasie pozbywa
się nagromadzonej energii, przechodząc z powrotem w stan podstawowy.
Przejścia te możliwe są tylko wtedy, kiedy kwant promieniowania ma
energię odpowiadającą częstości precesji Larmour spinu protonu w
zewnętrznym polu magnetycznym <math>B_{0}</math>.

<li>
Po pobudzeniu protonu impulsem <math>\frac{\pi }{2}</math> zanika
równowaga termodynamiczna w obsadzeniu stanów, a wraz z nią składowa <math>z</math>
wartości oczekiwanej spinu i związane nią namagnesowanie podłużne.

<li>
Jednocześnie, w wyniku synchronizacji w płaszczyźnie <math>x-y</math>
wartości oczekiwanej spinów tych jąder atomowych, które uległy przejściu
rezonansowemu, zaczyna powstawać namagnesowanie poprzeczne.

<li>
W trakcie przechodzenia protonów ze stanu podstawowego do
stanu wzbudzonego, obserwowane namagnesowanie podłużne zanika, podczas
gdy narasta namagnesowanie poprzeczne. Obserwujemy zatem efekt,
odchylania się wypadkowego namagnesowania od osi <math>z</math> w kierunku
płaszczyzny <math>x-y</math>.

<li>
W wyniku procesów prowadzących do rozpraszania nagromadzonej
przez proton energii oraz desynchronizacji ruchów precesyjnych zanika
namagnesowanie poprzeczne, natomiast odbudowuje się składowa podłużna
namagnesowania.

<li>
Zmianom kierunku i wielkości namagnesowania towarzyszy zmiana
indukcji pola elektrycznego, która może być rejestrowana przez cewki.
W szczególności, sygnał pochodzący od składowej poprzecznej
namagnesowania nosi nazwę sygnału FID (Free Induction Decay).

</ol>

==Terminy stosowane w diagnostyce MRI==
* '''Sekwencją''' nazywamy w badaniu MRI serię odpowiednio impulsów, zastosowaną w celu rejestracji danych pomiarowych i odtworzenia obrazu.
* '''RF — Radio Frequency''' to impuls generujący zmienne w czasie pole magnetyczne <math>\vec{B}_{1}</math>, pod wpływem którego jądra zajmują wyższe poziomy energetyczne związane ze spinem
* '''TR — Repetition Time''' jest to czas pomiędzy kolejnymi impulsami wzbudzającymi <math>\pi/2</math> (RF)
* '''TE — Echo Time''' jest to czas pomiędzy momentem wystąpienia impulsu pobudzającego <math>\pi/2</math> a momentem rejestracji sygnału echa spinowego.
* '''FA — Flip Angle''' to kąt o który ma być przekręcona magnetyzacja od osi <math>z</math> w kierunku płaszczyzny <math>x-y</math>. Zazwyczaj jest to kąt równy 90<math>^{o}</math>, jednakże w celu przyspieszenia badania, w niektórych sekwencjach stosuje się mniejsze kąty.
* '''TI — Inversion Time''' jest to czas pomiędzy impulsem pobudzającym <math>\pi</math> (zmiana orientacji spinu o 180<math>^{o}</math>) a impulsem pobudzającym <math>\pi/2</math>.
*'''NA or NEX Number of Acquisitions''' to liczba powtórzeń pomiaru. W celu uzyskania wysokiego SNR, pomiary można powtarzać wielokrotnie. Redukcja szumu maleje proporcjonalne do <math>\sqrt{\textrm{NA}}</math>.
----
<references/>

Obrazowanie:Obrazowanie Medyczne/Obrazowanie Metodą Magnetycznego Rezonansu Jądrowego

2024-11-14T10:03:42Z

Jginter: /* Typowe wartości częstości Larmour'a oraz częstości Rabbiego */

Obrazowanie Metodą Magnetycznego Rezonansu Jądrowego
==Kilka uwag na temat Mechaniki Kwantowej, Mechaniki Klasycznej oraz nazewnictwa.==
Prawidłową nazwą metody diagnostyki medycznej, która będzie omawiana w tej części skryptu, jest Obrazowanie Magnetycznego Rezonansu Jądrowego (ang. ''Nuclear Magnetic Rezonanse Imaging'', NMRI). Niestety, większość społeczeństwa negatywnie kojarzy przymiotnik ''jądrowy''. W związku z tym, pomimo iż diagnostyka NMRI nie ma nic wspólnego ze zjawiskiem rozpadu promieniotwórczego i jest uznawana za całkowicie bezpieczną, usunięto z jej nazwy słowo "jądrowy" (nuclear). Obecnie metodę NMRI określa się jako ’’Magnetic Rezonanse Imaging – MRI", czyli Obrazowanie Rezonansu Magnetycznego. W żargonie stosowanym w niektórych placówkach medycznych nazwa ta uległa skróceniu do jednego wyrazu — Rezonans.
Metoda NMRI opiera się na zjawisku Magnetycznego Rezonansu Jądrowego które omówimy na gruncie Mechaniki Klasycznej z elementami Mechaniki Kwantowej. Zastosowanie modelu kwantowego prowadzi do pełniejszego w porównaniu z modelem klasycznym opisu zjawiska NMR, jednak ze względu na skomplikowaną postać samej Teorii Kwantów, model kwantowy może być trudny w zrozumieniu. Z kolei model klasyczno-kwantowy (nazywany również modelem pół-klasycznym), jest łatwiejszy do przyswojenia i dla pewnej klasy problemów uzyskuje się za jego pomocą te same wyniki co w modelu kwantowym.

==Spin==
Dokładny opis spinu, który jest wielkością kwantową, wykracza znacznie poza ramy materiału niniejszego skryptu. W tym miejscu natomiast ograniczymy się do podania kilku faktów, obserwacji, czy uwag, mając nadzieję, że wystarczą one czytelnikom do zrozumienia, czym jest spin, przynajmniej w takim stopniu, który ułatwi im przyswojenie wiadomości na temat Jądrowego Rezonansu Magnetycznego. Podstawowymi elementami, z których składa się materia, są cząstki takie jak elektron, proton oraz neutron, które posiadają spin równy <math>\frac{1}{2}</math>. Najbardziej rozpowszechnionym pierwiastkiem w organizmach żywych jest wodór, którego jądra — protony, odgrywają podstawową role w otrzymywaniu obrazów MR. W związku z tym omówienie pojęcia spinu ograniczymy do przypadku spinu równego <math>\frac{1}{2}</math>.
*Zjawisko takie jak: rozszczepienie w niejednorodnym polu magnetycznym wiązki atomowej na dwie składowe, zaobserwowane przez Sterna i Gerlacha w roku 1922, czy dubletowa struktura widm pierwiastków alkalicznych nie zostały wyjaśnione w ramach teorii budowy atomu zaproponowanej przez Bohra. Doświadczenie Sterna-Gerlacha, jak i badania spektroskopowe wskazywały na nieuwzględnienie w teorii Bohra pewnej wielkości fizycznej — nieznanego, dodatkowego stopnia swobody elektronu.
*W roku 1925 Uhlenbeck i Goudsmit wprowadzają pojecie spinu, jako wewnętrznego momentu pędu elektronu. Uhlenbeck i Goudsmit przyjęli, iż elektron wiruje<ref>W języku angielskim słowo spin oznacza wirowanie</ref> wokół własnej osi, co w naturalny sposób umożliwiło im wytłumaczenie istnienia dodatkowego stopnia swobody oraz wyjaśnienie dubletowej struktury widm pierwiastków alkalicznych. Obecnie wiadomo, iż obraz elektronu jako wirującej kulki zaproponowany przez Uhlenbecka i Goudsmita jest nieprawidłowy. W ramach Mechaniki Kwantowej, spin należy rozumieć jako wyraz istnienia stanów polaryzacyjnych funkcji falowej (w przypadku elektronu, protonu, neutronu i niektórych jąder będą to dwa stany polaryzacyjne). Spin jest własnością cząstek, taką samą jak np. masa lub ładunek, ale obserwowalną dopiero w eksperymentach ujawniających kwantową naturę materii (często można spotkać się ze stwierdzeniem, iż spin jest kwantową własnością cząstek). Spin jest także składową całkowitego momentu pędu, niezwiązana z ruchem, można go zatem również interpretować jako własny (wewnętrzny) moment pędu cząstki.

==Spin i moment magnetyczny jądra atomowego==
Jądra atomowe zawierające nieparzystą liczbę protonów lub neutronów mają niezerowy własny moment pędu <math>\vec{I}</math> (spin) oraz związany z nim moment magnetyczny. Zgodnie z regułami opisu wielkości wektorowych w mechanice kwantowej, jednocześnie może być obserwowalna tylko długość wektora oraz wartość jednej z jego składowych (tzw. rzut tego wektora na wyróżnioną oś, nazywaną osią kwantowania). W przypadku wektora własnego momentu pędu jądra atomowego jego długość wynosi <ref name="bid3">H.Haken H.Ch.Wolf "Atomy i kwanty"</ref>:
<equation id="1"><math>
|\vec{I}| = \hbar\sqrt{I\left(I+1\right)}
</math></equation>
gdzie:
<math>I</math> oznacza liczbą kwantową o wartości całkowitej lub połówkowej. 
Składowa <math>z</math> momentu pędu wyraża się następującym wzorem <ref name="bid3" />:
<equation id="2"><math>
\begin{array}{lc}
I_{z} = m_{I}\hbar, & m_{I} = \{I,I-1,\dots,-I\}
\end{array}
</math></equation>
Możliwych jest zatem <math>2I+1</math> orientacji spinu jądra względem wyróżnionego kierunku, odpowiadających możliwym wartościom jądrowej magnetycznej liczby kwantowej <math>m_{I}</math>. W przypadku protonu (jądra atomu wodoru), mamy:
<equation id="3"><math>
\begin{array}{l}
I=1/2\\
\\
|\vec{I}| = \frac{\sqrt{3}}{2}\hbar\\
\\
(\vec{I})_{z} = \pm\frac{1}{2}\hbar
\end{array}
</math></equation>
Moment magnetyczny związany jest ze spinem następującą zależnością:
<equation id="4"><math>
\vec{\mu}_{I} = \gamma\vec{I}
</math></equation>
Stała proporcjonalności <math>\gamma</math> to tzw. jądrowy stosunek giromagnetyczny. Również i w przypadku jądrowego momentu magnetycznego można zmierzyć jednocześnie tyko jego długość i rzut na wyróżnioną oś <math>z</math> wynoszący:
<equation id="5"><math>
\left(\vec{\mu}_{I}\right)_{z} = \gamma\vec{I}_{z}
</math></equation>
Na moment magnetyczny umieszczony w polu magnetycznym <math>\vec{B}</math>, działa pewien moment siły, starający się ustawić momentu magnetycznego zgodnie z kierunkiem pola <math>\vec{B}</math>. Energia potencjalna tego oddziaływania wynosi:
<equation id="6"><math>
V = -\vec{\mu}\cdot\vec{B}
</math></equation>
Zgodnie z prawami termodynamiki układ fizyczny dąży do stanu, w którym jego energia wewnętrzna osiągnie wartość minimalną.
Rozważmy pole <math>\vec{B}</math>, posiadające tylko składową wzdłuż osi <math>z</math> układu odniesienia, czyli <math>\vec{B} = \left[ 0, 0, B_{z}\right] </math>.
W przypadku protonu, posiadającego ładunek dodatni, orientacji momentu pędu zgodnej z kierunkiem pola <math>\vec{B}</math> będzie odpowiadać energia potencjalna:
<equation id="7"><math>
V = -\mu\cdot B_z=-\gamma I_{z}B_z=-\frac{1}{2}\gamma\hbar B_z
</math></equation>
natomiast orientacji antyrównoległej:
<equation id="8"><math>
V = \mu\cdot B_z=-\gamma I_{z}B_z=\frac{1}{2}\gamma\hbar B_z
</math></equation>
Ustawienie najkorzystniejsze energetycznie odpowiada więc sytuacji, kiedy składowa <math>z</math> spinu ustawiona jest w równolegle do kierunku pola <math>\vec{B}</math> (magnetyczna liczba kwantowa <math>m_{I}=\frac{1}{2}</math>).

==Moment magnetyczny w stałym zewnętrznym polu magnetycznym==

[[File:mri_basic.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:mri_basic"></figure>Ilustracja do klasycznego rozwiązania zagadnienia precesji momentu magnetycznego <math>\vec{\mu}</math> wokół wektora indukcji pola magnetycznego <math>\vec{B}</math>. Na rysunku obrano prawoskrętny układ współrzędnych. Na moment magnetyczny działa moment siły równy <math>\vec{N} = \vec{\mu}\times \vec{B}</math>. Momentu siły, zgodnie z zasadą wyliczania iloczynu wektorowego, jest skierowany w płaszczyznę rysunku, powodując ruch momentu magnetycznego w kierunku zaznaczonym strzałką. Jest to ruch w kierunku przeciwnym do kierunku obranego układu współrzędnych.]]
Rozwiązanie równań Schrödingera dla przypadku statycznego pola magnetycznego nie jest skomplikowanym zadaniem. Niemniej interpretacja fizyczna otrzymanych wyników może sprawić pewne trudności. Ponadto w obrazowaniu MRI stosuje się nie tylko stałe pole magnetyczne lecz również odpowiednie serie impulsów pobudzających (tzw. impulsów pobudzających <math>\pi/2</math> lub <math>\pi</math>). Okazuje się, że w wielu przypadkach, zadowalający opis zjawiska rezonansu magnetycznego, uzyskuje się stosując tzw. model wektorowy, który jest podobny do modelu opisującego precesję symetrycznego bączka w polu grawitacyjnym. 
Rozważmy moment magnetyczny znajdujący się w stałym polu magnetycznym o następującej indukcji:<math>\vec{B}_0 =\left[0, 0, B_{0}\right]</math>.
Szybkość zmian momentu pędu ciała (<math>\vec{I}</math>) jest równa momentowi siły (<math>\vec{N}</math>) działającemu na to ciało:
<equation id="9"><math>
\frac{d\vec{I}}{dt} = \vec{N}
</math></equation>
Moment magnetyczny, związany z wewnętrznym momentem pędu jądra, wynosi:
<equation id="10"><math>
\vec{\mu}_{I} = \gamma\vec{I}
</math></equation>
Po przekształceniu powyższego równania dostajemy:
<equation id="11"><math>
\vec{I} = \frac{\vec{\mu}_I}{\gamma}
</math></equation>
W polu magnetycznym <math>\vec{B}_0</math> na moment magnetyczny będzie działa moment siły:
<equation id="12"><math>
\vec{N} = \vec{\mu}_{I}\times\vec{B}_0
</math></equation>

Podstawiając równanie na moment pędu do równania na moment siły otrzymujemy zależność opisującą ruch momentu magnetycznego:
<equation id="eq:MRI_1"><math>
\frac{d\vec{\mu}}{dt} = \gamma\vec{\mu}\times\vec{B}_0
</math></equation>
ponieważ:
<equation id="13"><math>
\gamma\vec{\mu}\times\vec{B}_0 = \left[\gamma\mu_{y}B_{0},-\gamma\mu_{x}B_{0},0\right]
</math></equation>
ostatecznie równanie (<xr id="eq:MRI_1"/>) możemy zapisać jako układ trzech równań:

<equation id="eq:MRI_2"><math>
\begin{array}{l}
\frac{d\mu_{x}}{dt} = \omega_{0}\mu_{y}\\
\\
\frac{d\mu_{y}}{dt} = -\omega_{0}\mu_{x}\\
\\
\frac{d\mu_{z}}{dt} = 0

\end{array}
</math></equation>
gdzie: <math>\omega_{0}=\gamma B_{0}</math> 

Rozwiązanie równania na wielkość składowej ''z'' wektora momentu magnetycznego jest proste i wynosi:
<equation id="14"><math>
\mu_{z} = \mu^{0}_{z} = \mathrm{const}
</math></equation>
W celu uzyskania równań na dwie pozostałe składowe wyznaczmy druga pochodną pierwszego równania w układzie (<xr id="eq:MRI_2"/>) i podstawmy ją do równania drugiego we wspomnianym układzie:
<equation id="eq:MRI_3"><math>
\begin{array}{l}
\frac{d^2\mu_{x}}{dt^2} = \omega_{0}\frac{d\mu_{y}}{dt}\\
\\
\frac{d\mu_{y}}{dt} = -\omega_{0}\mu_{x}
\end{array}
</math></equation>
Podstawiając teraz drugie równanie z układu (<xr id="eq:MRI_3"/>) do równania pierwszego układu (<xr id="eq:MRI_3"/>) dostajemy:
<equation id="eq:MRI_4"><math>
\frac{d^2\mu_{x}}{dt^2} = -\omega^{2}_{0}\mu_x
</math></equation>
Jest to równanie oscylatora harmonicznego o następującym rozwiązaniu:
<equation id="eq:MRI_5"><math>
\mu_x = A\cos(-\omega_0 t + \phi_0)
</math></equation>
gdzie stałe ''A'' oraz <math>\phi_0</math> wynikają z warunków początkowych.
Widzimy, że składowa ''x'' momentu magnetycznego drga z częstością <math>-\omega_0</math>. Przyczyna pojawienia się znaku "-" w rozwiązaniu została wyjaśniona na <xr id="fig:mri_basic">rys. %i</xr>. Podstawiając równanie (<xr id="eq:MRI_5"/>) do drugiego równania w układzie (<xr id="eq:MRI_2"/>) dostajemy rozwiązanie na wielkość składowej ''y'' momentu magnetycznego:

<equation id="15"><math>
\mu_x = A\sin(-\omega_0 t + \phi_0)
</math></equation>

Ostatecznie otrzymaliśmy następujące rozwiązanie ruchu wektora momentu magnetycznego w stałym polu magnetycznym:
<equation id="eq:MRI_6"><math>
\begin{array}{l}
\vec{\mu}_z = \mu^{0}_{z} = \mathrm{const}\cdot\vec{e}_z\\
\\
\vec{\mu}_x =A\cos(-\omega_0 t + \phi_0)\cdot\vec{e}_x\\
\\
\vec{\mu}_y =A\sin(-\omega_0 t + \phi_0)\cdot\vec{e}_y\\
\end{array}
</math></equation>
gdzie: 
<math>A, \phi_0, \mu^{0}_{z} </math> wynikają z warunków początkowych. 
Na podstawie równania (<xr id="eq:MRI_6"/>) możemy wyciągnąć następujące wnioski:
* składowa ''z'' momentu magnetycznego (równoległa do osi ''z'' i pola magnetycznego) zachowuje stały kierunek w przestrzeni,
* składowa ''x'' oraz ''y'' momentu magnetycznego zakreśla w płaszczyźnie ''X-Y'' okrąg.

Złożenie ruchu momentu magnetyczne w płaszczyźnie ''X-Y'' ze stałym kierunkiem składowej ''z'' daje wypadkowy ruch nazywany precesją (w tym przypadku jest to precesja momentu magnetycznego wokół kierunku stałego pola magnetycznego). Wektor momentu magnetycznego wykonuje ruch precesyjny z prędkością kątową (odpowiadającej częstości kołowej):
<equation id="eq:larmour_kolowa"><math>\omega_0 = \gamma B_0</math></equation>
nazywaną częstością Larmour'a.
Składowe ''x'' oraz ''y'' momentu magnetycznego można zapisać w wygodniejszy sposób stosują formalizm liczb zespolonych.
Pomnóżmy trzecie równanie w układzie (<xr id="eq:MRI_6"/>) przez liczbę <math>i=\sqrt{-1}</math> i dodajmy do drugiego równania w układzie (<xr id="eq:MRI_6"/>):
<equation id="16"><math>
\begin{array}{l}
\vec{\mu}_z = \mu^{0}_{z} = \mathrm{const}\cdot\vec{e}_z \\
\\
\vec{\mu}_x + \vec{\mu}_y\cdot i =A\cos(-\omega_0 t + \phi_0)\vec{e}_x + A\sin(-\omega_0 t + \phi_0)\vec{e}_y\cdot i
\end{array}
</math></equation>
Wprowadźmy wielkość:
<equation id="eq:mu_T"><math>
\vec{\mu}_T=\vec{\mu}_x + \vec{\mu}_y \dot i = A\cdot e^{-\omega_0 t + \phi_0} \cdot \vec{e}_T
</math></equation>
Wektor <math>\vec{\mu}_T</math> będziemy od tej chwili nazywali składową poprzeczną (ang. '' '''t'''ransversal'') momentu magnetycznego.
Z kolei wektor <math>\vec{\mu}_z</math> będziemy dalej oznaczali symbolem <math>\vec{\mu}_L</math> i nazywali składową podłużną momentu magnetycznego (ang. '' '''l'''ongnitudal''). Innym dogodny sposób matematycznego opisu zjawiska precesji momentu magnetycznego, który będziemy stosowali, wykorzystuje macierz obrotu:

<equation id="eq:MRI_7"><math>
\left\{
\begin{array}{l}
\vec{\mu}_x =A\cos(-\omega_0 t + \phi_0)\cdot\vec{e}_x\\
\\
\vec{\mu}_y =A\sin(-\omega_0 t + \phi_0)\cdot\vec{e}_y\\
\\
\vec{\mu}_z = \mu^{0}_{z}\cdot\vec{e}_z \\
\end{array}
\right.
=
\left\{
\begin{array}{l}
\vec{\mu}_x =A\cos(-\omega_0 t)\cos(\phi_0)\cdot\vec{e_x} - A\sin(-\omega_0 t)\sin(\phi_0)\cdot\vec{e}_x\\
\\
\vec{\mu}_y =A\sin(-\omega_0 t)\cos(\phi_0)\cdot\vec{e_y} + A\cos(-\omega_0 t)\sin(\phi_0)\cdot\vec{e}_y\\
\\
\vec{\mu}_z = \mu^{0}_{z}\cdot\vec{e}_z \\
\end{array}
\right.
\rightarrow
</math>
<math>
\left[
\begin{array}{l}
\vec{\mu}_x \\
\\
\vec{\mu}_y \\
\\
\vec{\mu}_z \\
\end{array}
\right] =
\left[
\begin{array}{ccc}
\cos(\omega_0 t) & \sin(\omega_0 t) & 0 \\
\\
-\sin(\omega_0 t) & \cos(\omega_0 t) & 0 \\
\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{l}
A\cos(\phi_0) \cdot \vec{e}_x \\
\\
A\sin(\phi_0) \cdot \vec{e}_y \\
\\
\mu_z^0 \cdot \vec{e}_z \\
\end{array}
\right]
\rightarrow
</math>
<math>
\left[
\begin{array}{l}
\vec{\mu}_x \\
\\
\vec{\mu}_y \\
\\
\vec{\mu}_z \\
\end{array}
\right] =
P\cdot
\left[
\begin{array}{l}
\mu_T^0 \cos(\phi_0) \cdot \vec{e}_x\\
\\
\mu_T^0 \sin(\phi_0) \cdot \vec{e}_y\\
\\
\mu_L^0 \cdot \vec{e}_z\\
\end{array}
\right]
</math></equation>
gdzie: 
<math>\mu_L^0</math> — rzut momentu magnetycznego na os ''Z'' w chwili początkowej, 
<math>\mu_T^0</math> — rzut momentu magnetycznego na płaszczyznę ''X-Y'' w chwili początkowej, 
<math>\phi_0</math> — kąt jaki tworzy rzut momentu magnetycznego na płaszczyznę ''X-Y'' z osią ''X'' w chwili początkowej, 
<math>P = \left[
\begin{array}{ccc}
\cos(\omega_0 t) & \sin(\omega_0 t) & 0 \\
\\
-\sin(\omega_0 t) & \cos(\omega_0 t) & 0 \\
\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right] </math> — macierz obrotu.

 
We wzorze (<xr id="eq:MRI_7"/>) skorzystano z własności trygonometrycznych sinusa i cosinusa:
<equation id="17"><math>
\begin{array}{ccc}
\sin\left( a + b \right) &=& \sin(a) \cos(b) + \cos(a) \sin(b)\\
\cos\left( a + b \right) &=& \cos(a) \cos(b) + \sin(a) \sin(b)\\
\end{array}
</math></equation>

==Namagnesowanie próbki==
Namagnesowanie, to całkowity moment magnetyczny, przypadający na jednostkę objętości <math>\Delta V</math>:
<equation id="17"><math>
\vec{M} = \frac{\sum_{i=1}^{N}\vec{\mu}_i}{\Delta V}
</math></equation>
Rozłóżmy wektor namagnesowania na dwie składowe: tzw. podłużną (<math>\vec{M}_L</math>),to jest równoległą do kierunku pola magnetycznego oraz składową poprzeczną (<math>\vec{M}_T</math>), leżącą w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku pola magnetycznego:
<equation id="18"><math>
\vec{M} = \vec{M}_L + \vec{M}_T
</math></equation>

===Ile wynosi namagnesowanie poprzeczne próbki?===
Składową poprzeczną namagnesowania będziemy oznaczali wektorem <math>\vec{M}_T</math>. Załóżmy, że w próbce znajduje się ''N'' takich samych jąder posiadających moment magnetyczny. Momenty te mają losową orientację przestrzeni. W pewnej chwili, zostaje włączone stałe pole magnetyczne. Stałe ''A'' oraz <math>\phi_0</math> dla każdego momentu magnetycznego wyznaczamy na podstawie orientacji momentu magnetycznego w chwili łączenia pola. Dla każdego jądra magnetycznego stała ''A'' wynikająca z warunków początkowych jak to faza początkowa <math>\phi_0</math> jest dowolna. W związku z czym:
<equation id="19"><math>
\vec{M}_T = \frac{\sum_{i=1}^{N}\vec{\mu}_{T} \cdot \vec{e}_T }{\Delta V} = \frac{\sum_{i=1}^{N}A_i e^{-\omega_0 t + \phi_{0_i}} \cdot \vec{e}_T}{\Delta V} = 0
</math></equation>
gdzie <math>\vec{\mu}_T</math> to składowa poprzeczna wektoru momentu magnetycznego, zgodnie ze wzorem (<xr id="eq:mu_T"/>).

===Ile wynosi namagnesowanie próbki, czyli namagnesowanie podłużne?===
Przypominamy, że rozważamy cząstkę lub jądro atomowe, znajdujące się w zewnętrznym polu magnetycznym <math>\vec{B}_{0}</math>, skierowanym równolegle do osi <math>z</math>. Składowa <math>z</math> tego pola wynosi <math>B_{0}</math>. W celu uproszczenia problemu przyjmujemy, że cząstka lub jądro atomowe posiada spin równy <math>\frac{1}{2}</math> (np. proton). Moment magnetyczny cząstki lub jądra atomowego może ustawić się zgodnie lub przeciwnie do kierunku zewnętrznego pola magnetycznego. W szczególności składowa <math>z</math> momentu magnetycznego, przyjmie kierunek równoległy bądź antyrównoległy do pola <math>B_{0}</math>, skierowanego wzdłuż osi <math>z</math>. Jak wiemy, układy fizyczne dążą do osiągnięcia stanu, w którym uzyskają minimum energii. Energia potencjalna momentu magnetycznego w zewnętrznym polem magnetycznym wynosi:
<equation id="20"><math>
V = -\vec{\mu}\vec{B}
</math></equation>
Rozwijając powyższy wzór dla rozważanego przez nas przypadku, otrzymujemy:
<equation id="21"><math>
V = -u_{z}B_{0} = -\gamma(\vec{I})_{z}B_{0}=-\gamma\hbar m_{I}B_{0}
</math></equation>
gdzie: 
<math>m_{I}=\pm\frac{1}{2}</math> 
Rzutowi momentu magnetycznego równoległemu do osi <math>z</math>, czyli dla <math>m_{I}=\frac{1}{2}</math>, odpowiada energia potencjalna:
<equation id="22"><math>
V = -\gamma\frac{\hbar}{2}B_{0}
</math></equation>
natomiast rzutowi antyrównoległemu:
<equation id="23"><math>
V = \gamma\frac{\hbar}{2}B_{0}
</math></equation>
Jak widać ustawienie równoległe spinu i momentu magnetycznego protonu względem pola <math>B_{0}</math> jest korzystniejsze energetycznie niż ustawienie antyrównoległe. Należy się zatem spodziewać, iż w zewnętrznym polu magnetycznym częściej będzie występować sytuacja, kiedy moment magnetyczny ustawi się w kierunku tego pola. Namagnesowanie podłużne powstaje zatem w wyniku nierównomiernego obsadzenia przez cząstkę lub jądro stanów o spinie skierowanym zgodnie lub przeciwnie do kierunku oddziałującego pola magnetycznego. W celu obliczenia, jaka będzie różnica w ilości obsadzeń poszczególnych stanów energetycznych, skorzystamy z rozkładu Boltzmana.
Stosunek liczby cząstek obsadzających dwa stany energetyczne jest równa:
<equation id="eq:rozB"><math>
\frac{N_{+}}{N_{-}} = \frac{e^{-\frac{E_{+}}{k_{b}T}}}{e^{-\frac{E_{-}}{k_{b}T}}}
</math></equation>
gdzie: 
<math>T</math> — temperatura, 
<math>k_{b}</math> — stała Boltzmana, 
<math>N_{\pm}</math> — liczba cząstek o spinie skierowanym odpowiednio równolegle i antyrównolegle do pola <math>B_{0}</math>. 
Podstawiając do wzoru (<xr id="eq:rozB"/>) wyznaczone wcześniej energie potencjalne, odpowiadające dwóm różnym orientacjom spinu w polu <math>B_{0}</math> dostajemy: 
<equation id="24"><math>
\frac{N_{+}}{N_{-}} = \frac{e^{-\frac{-\frac{\hbar}{2}\gamma B_{0}}{k_{b}T}}}{e^{-\frac{\frac{\hbar}{2}\gamma B_{0}}{k_{b}T}}}=e^{\frac{\gamma\hbar B_{0}}{k_{b}T}}
</math></equation>
W temperaturze pokojowej, różnice obsadzeń poszczególnych poziomów energetycznych są nieznaczne, dlatego skorzystamy z przybliżenia:
<equation id="25"><math>
e^{\frac{\gamma\hbar B_{0}}{k_{b}T}}\approx 1+ \frac{\gamma\hbar B_{0}}{k_{b}T}
</math></equation>
Różnica w ilości obsadzeń poszczególnych poziomów energetycznych jest zatem równa:
<equation id="26"><math>
\Delta N = N_{+} - N_{-} = \frac{\gamma\hbar B_{0}}{k_{b}T}N_{-}\approx\frac{\gamma\hbar B_{0}}{k_{b}T}\frac{1}{2}N_{t}
</math></equation>
gdzie: 
<math>N_{t}</math> to liczba wszystkie jąder atomu wodoru w badanej próbce. 
Czynnik <math>\frac{\gamma\hbar B_{0}}{k_{b}T}</math> w temperaturze ciała ludzkiego <math>T=310K</math> i polu magnetycznym <math>B_{0}=1T</math> jest równy:
<equation id="27"><math>
\frac{\gamma\hbar B_{0}}{k_{b}T}\approx 7\cdot10^{-6}
</math></equation>
Wynik ten oznacza, że na każdy milion protonów o spinie skierowanym przeciwnie do pola magnetycznego, przypada milion plus siedem protonów o spinie skierowanym równolegle do pola i ta niewielka nadwyżka protonów w stanie o korzystniejszej energii jest odpowiedzialna za namagnesowanie próbki. Wartość nadwyżki wydaje się być niezwykle mała. Należy jednak pamiętać, że ilość protonów jaka występuje w organizmie ludzkim jest niezmiernie duża, co umożliwia rejestrację wytworzonego namagnesowania. Jeden gram wody zawiera <math>\frac{1}{8}</math> mola atomów wodoru. W jednym molu materii występuje <math>6.023\cdot10^{32}</math> cząsteczek, a zatem gram wody zawiera <math>N_{t} = 6.68\cdot10^{22}</math> atomów wodoru. Nadwyżka <math>\Delta N</math> wynosi zatem <math>\Delta N\approx 2.2\cdot10^{17}</math> protonów.
Całkowity podłużny moment magnetyczny wytworzony przez 1 gram wody wynosi:
<equation id="28"><math>
\left|\mu_{L}\right| = \Delta N\left<\mu_{z}\right>=\Delta N \frac{1}{2}\hbar\gamma = \Delta n\cdot 1.4\cdot10^{-26}\textrm{J/T} = 3.1\cdot10^{-9}\textrm{Am}^{2}
</math></equation>
Z kolei namagnesowanie to całkowity moment magnetyczny na jednostkę objętości. Jeden gram wody zajmuje objętość <math>10^{-6}\mathrm m^{-3}</math>
a zatem namagnesowanie wytworzone 2 jednym gramie wody w polu magnetycznym o wartości indukcji <math>B_{0}=1</math>T w temperaturze <math>T=310</math>K wyniesie:
<equation id="29"><math>
\left|M\right|=3.1\cdot10^{-3}\textrm{A/m}
</math></equation>

==Zmiana orientacji wektora namagnesowania. Magnetyczny Rezonans Jądrowy==
W poprzednim rozdziale dowiedzieliśmy się, że efektem wprowadzenia jąder w stałe pole magnetyczne jest wykonywanie przez momenty magnetyczne ruchu precesyjnego wokół kierunku wektora pola magnetycznego, skutkiem czego pojawia się namagnesowanie próbki. Niestety, pomiar wielkości uzyskanego w ten sposób namagnesowania jest niemożliwy do przeprowadzenia. Namagnesowanie ma ten sam kierunek co wywołujące je pole magnetyczne.
W celu pomiaru wielkości namagnesowania próbki niezbędne jest zmiana orientacji wektora <math>\vec{M}</math>. Dokonuje się to poprzez wprowadzenie próbki w dodatkowe, zmienne pole magnetyczne. Proces ten opiszemy w niniejszym rozdziale.

Ewolucję wektora namagnesowania można opisać równaniem podobnym do równania (<xr id="eq:MRI_1"/>):
<equation id="eq:MRI_7"><math>
\frac{d\vec{M}}{dt} = \gamma\vec{M}\times\vec{B}_0
</math></equation>
Rozważmy teraz konfigurację dwóch pól magnetycznych — pola statycznego i pola zmiennego w czasie, mającego niezerowe składowe tylko w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku pola stałego. Niech zmienne pole magnetyczne ma postać:
<equation id="eq:MRI_8"><math>
\vec{B}_1\left(t\right) = \left[2B_{1}\cos\left(-\omega_1 t\right),0,0\right]
</math></equation>
Indukcja zmiennego pola magnetycznego <math>\vec{B}_1</math> jest rzędu <math>10^{-5}</math> T, a zatem jest znacznie mniejsza od indukcji statycznego pola magnetycznego <math>\vec{B}</math>. Pole <math>\vec{B}_1</math> nazywane jest impulsem pobudzającym (ang. ''Radio Frequency'', RF), włączane jest bowiem na krótki okres czasu (co wyjaśnimy dalej). Impuls RF wytwarza się za pomocą cewek w postaci fali elektromagnetycznej.
Okazuje się, że pole opisane wzorem (<xr id="eq:MRI_7"/>) możemy rozłożyć na dwa pola, rotujące w płaszczyźnie ''x-y'' w przeciwne strony:
<equation id="29"><math>
\begin{array}{l}
\vec{B}_{1_R}\left(t\right) = \left[B_{1}\cos\left(-\omega_1 t\right),B_{1}\sin\left(-\omega_1 t\right),0\right]
\\
\vec{B}_{1_L}\left(t\right) = \left[B_{1}\cos\left(-\omega_1 t\right),-B_{1}\sin\left(-\omega_1 t\right),0\right]
\end{array}
</math></equation>
Pierwsza składowa pola <math>\vec{B}_{1_R}</math> rotuje przeciwnie do wskazówek zegara, zaś druga składowa <math>\vec{B}_{1_l}</math> w kierunku przeciwnym. W zależności od tego, jaką orientację posiadał jądrowy moment magnetyczny (równoległą lub antyrównoległą do osi <math>z</math>), jedna z tych składowych będzie drgała w kierunku ruchu precesyjnego spinu, druga zaś w kierunku przeciwnym. Składowa drgająca w kierunku przeciwnym będzie "''niewidoczna dla momentu magnetycznego''" i nie wpłynie na jego orientację. Pole drgające w kierunku przeciwnym do ruchu precesyjnego momentu magnetycznego wywoła pewne drugorzędowe efekty, które nie będą omawiane w niniejszej pracy. Ruch momentu magnetycznego, w przypadku superpozycji dwóch pól — statycznego <math>B_{0}</math> oraz zmiennego <math>B_{1}\left(t\right)</math> opisuje zatem następujące równanie:
<equation id="eq:MRI_9"><math>
\frac{d\vec{M}}{dt}=\gamma\vec{M}\times\left[\vec{B}_0 + \vec{B}_1\left(t\right)\right]
</math></equation>
gdzie: <math>\vec{B}_{0} = \left[0, 0, B_{0}\right]</math>, <math>B_{1}\left(t\right) = B_{1}\left[\cos\left(\omega_1 t\right),-sin\left(\omega_1 t\right),0\right])</math>. 
Wprowadźmy dwa układy współrzędnych: Układ Laboratoryjny ''U'' oraz układ ''U' '' obracający się z częstością zmiennego pola magnetycznego (<math>\omega_1</math>). Osie ''z'' oraz ''z' '' odpowiednio układu ''U'' oraz ''U' '' są do siebie równoległe. Stałe pole magnetyczne jest skierowane wzdłuż tych osi. Zapiszmy równanie (<xr id="eq:MRI_9"/>) w układzie ''U ' ''.
Zgodnie z zasadami transformacji wektorów pomiędzy różnymi układami współrzędnych, równanie (<xr id="eq:MRI_9"/>) w układzie ''U' ''będzie miało postać:
<equation id="a1"><math>
\left[\frac{d\vec{M}}{dt}\right]_{U'}=\vec{M}\times\left[\left(-\omega_1 + \gamma B_{0}\right)\vec{e}_z + \gamma B_{1}\vec{e}_x\right]
</math></equation>
które można również zapisać w formie:
<equation id="eq:rownaie_ruchu_w_wirujacym_ukladzie_odniesienia"><math>
\left[\frac{d\vec{M}}{dt}\right]_{U'}=\vec{M}\times\gamma\left[\left(B_{0} - \frac{\omega_1}{\gamma}\right)\vec{e}_{z'} + B_{1}\vec{e}_{x'}\right] = M\times\gamma\vec{B}_{eff}
</math></equation>
gdzie: <math>\vec{B}_{eff} = \left[\left(B_{0} - \frac{\omega_1}{\gamma}\right)\vec{e}_z + B_{1}\vec{e}_x\right]</math>. 

===Zjawisko Magnetycznego Rezonansu Jądrowego w ujęciu klasycznym===

Przeanalizujmy równanie (<xr id="eq:rownaie_ruchu_w_wirujacym_ukladzie_odniesienia"/>). W obracającym się układzie odniesienia jądrowy moment magnetyczny zachowuje stałe położenie. Wzdłuż osi ''z' '' układu ''U' '' obserwujemy składową statycznego pola magnetycznego <math>B_0\vec{e}_z</math> oraz pole <math>\frac{\omega_1}{\gamma}\vec{e}_z</math>, które powstaje w wyniku przejścia z układu laboratoryjnego ''U'' do układu ''U' ''. Dodatkowo w płaszczyźnie ''X'-Y' '' obserwujemy statyczne pole magnetyczne <math>\vec{B}_1\vec{e}_x</math>. W wyniku złożenia tych trzech pół, powstaje wypadkowe pole <math>\vec{B}_{eff}</math>, wokół którego moment magnetyczny zaczyna dokonywać precesji.
Rozpatrzmy następujące przypadki: 
1. Częstość <math>\omega_1</math> wirującego pola <math>\vec{B}_1</math> jest bardzo niewielka (<math>\omega_1\approx0</math>). 
: Przypominamy, że <math>B_0>>B_1</math>, wtedy: 
: <math>\vec{B}_{eff} = B_{0}\vec{e}_z</math>, 
: innymi słowy, dodatkowe, rotujące pole magnetyczne nie wpływa na orientację momentów magnetycznych oraz namagnesowania.
2. Częstość <math>\omega_1</math> wirującego pola <math>\vec{B}_1</math> spełniona warunek <math>\frac{\omega_1}{\gamma}>>B_0)</math>, wtedy: 
: Przypominamy, że <math>B_0>>B_1</math> i wtedy: 
: <math>\vec{B}_{eff} = -\frac{\omega_1}{\gamma}\vec{e}_z</math> 
: czyli zjawisko precesji momentów magnetycznych nadal odbywa się wokół osi ''z' '', z tą różnicą, iż ulega zmianie kierunek precesji, zaś dodatkowe, rotujące pole magnetyczne nie wpływa na orientację momentów magnetycznych oraz namagnesowania <math>\vec{M}</math>.
3. Częstość rotującego pola magnetycznego <math>\vec{B}_1</math> spełnia warunek <math>\omega_1 = \gamma B_{0}</math>, wtedy: 
: <math>\vec{B}_{eff} = B_1\vec{e}_x</math>, 
: co oznacza, że wektor namagnesowania zaczyna wykonywać ruch precesyjny wokół pola magnetycznego <math>B_1\vec{e}_x</math>. Ponownie : przypominamy, że <math>B_1<<B_0</math>. Jak widać, przy pomocy pola magnetycznego o niewielkiej indukcji, lecz odpowiednio dobranej częstości, możliwa jest zmiana orientacji wektora namagnesowania. Jest to zjawisko '''Magnetycznego Rezonansu Jądrowego'''. Występowanie w nazwie zjawiska termin ''rezonans'' (kojarzony najczęściej z obwodami elektrycznymi), jest jak najbardziej uzasadnione, ponieważ za pomocą niewielkiego zaburzenia o periodycznym charakterze (ale odpowiednio dobranej częstości), doprowadziliśmy do znaczących zmian w układzie. Częstość ruchu precesyjnego wektora namagnesowania wokół pola <math>\vec{B}_1</math> wynosi:
<equation id="30"><math>
\Omega = \gamma B_1
</math></equation>
: Częstość <math>\Omega</math> jest nazywana częstością Rabbiego. W trakcie czasu <math>\tau></math> namagnesowanie zakreśli kąt <math>\Theta</math> równy:
<equation id="1b"><math>
\Theta = \Omega\tau
</math></equation>
Podsumowując, po wprowadzeniu próbki w stałe pole magnetyczne o wartości indukcji ''B_0'', momenty magnetyczne poszczególnych jąder zaczynają : wykonywać ruch precesyjny z częstością Larmour'a <math>\omega_0=\gamma\ B_0</math>. Pojawia się wypadkowe namagnesowanie próbki w kierunku : : stałego pola magnetycznego. Wprowadzając dodatkowe pole magnetyczne o wartości indukcji <math>B_1</math>, wirujące w płaszczyźnie prostopadłej do pola <math>B_0</math>, możliwa jest zmiana orientacji wektora namagnesowania, o ile częstość wirowania pola <math>\vec{B}_1</math> jest równa częstości <math>\omega_0</math> precesji Larmour'a. 
Podsumowując: 
# Pod wpływem zewnętrznego, statycznego pola magnetycznego, skierowane wzdłuż osi <math>z</math> spiny wykonują precesję. Składowa <math>z</math> wartości oczekiwanej spinu jest stałą w czasie, składowe poprzeczne wykonują ruch wirowy w płaszczyźnie <math>x-y</math>.
# Różnym ułożeniom spinu względem pola magnetycznego odpowiadają różne energie potencjalne. W przypadku spinu równego <math>\frac{1}{2}</math> istnieją dwa poziomy energetyczne, które będą obsadzane przez jądra zgodnie z rozkładem Bolzmana. Poziom związany z równoległym do zewnętrznego pola magnetycznego rzutem spinu jest korzystniejszy energetycznie, dlatego będzie obsadzany częściej.
#Desynchronizacja ruchu wirowego wartości oczekiwanej spinów w płaszczyźnie <math>x-y</math> uniemożliwi powstanie namagnesowania poprzecznego. Obserwujemy tylko namagnesowanie podłużne.
# Pod wpływem odpowiednio dobranego pola magnetycznego, można doprowadzić do przejść rezonansowych. Jądro mające spin w korzystniejszym stanie energetycznym, przejdzie do stanu, o wyższej energii związanej z oddziaływaniem spinu z polem magnetycznym. Zanika równowaga termodynamiczna w obsadzeniu stanów, a wraz z nią składowa <math>z</math> wartości oczekiwanej spinu i związane nią namagnesowanie podłużne.
# Jednocześnie, w wyniku synchronizacji w płaszczyźnie <math>x-y</math> wartości oczekiwanej spinów tych jąder atomowych, które uległy przejściu rezonansowemu, zaczyna powstawać namagnesowanie poprzeczne.
# Obserwowane namagnesowanie podłużne zanika, podczas gdy narasta namagnesowanie podłużne. Obserwujemy zatem efekt, odchylania się namagnesowania od osi <math>z</math> w kierunku płaszczyzny <math>x-y</math>.
# Po pewnym czasie namagnesowanie podłużne zanika, a namagnesowanie poprzeczne osią maksymalną wartość.
# Zmianom kierunku i wielkości namagnesowania towarzyszy zmiana indukcji pola elektrycznego, która może być rejestrowana przez cewki.

===Typowe wartości częstości Larmora oraz częstości Rabbiego===
Opisując zmiany wielkości fizycznych w czasie niejednokrotnie posługujemy się częstością wyrażaną w Hz. W takim przypadku wzór: (<xr id="eq:larmour_kolowa"/>) przyjmie nastepującą postać:
<equation id="31"><math>
f = \frac{\gamma}{2\pi}B_0
</math></equation>
Z tego względu, częstą praktyką podawanie jest w tablicach fizycznych stałej <math>\frac{\gamma}{2\pi}</math> zamiast samej wartości współczynnika giromagnetycznego γ.
<figure id="fig:spiny">
<caption>Wartości współczynników giromagnetyczne oraz spinów wybranych jąder atomowych</caption>
{| class="wikitable"
! Jądro
! Spin
! <math>\frac{\gamma}{2\pi}</math> <math>\left[\frac{\textrm{MHz}}{\textrm{T}}\right]</math>.
|-
| <math>^1H</math>
| <math>\frac{1}{2}</math>
| 42,58
|-
| <math>^{13}C</math>
| <math>\frac{1}{2}</math>
| 10,71
|-
| <math>^{14}N</math>
| <math>1</math>
| 3,08
|-
| <math>^{17}O</math>
| <math>\frac{1}{2}</math>
| 42,58
|-
| <math>^{23}Na</math>
| <math>\frac{3}{2}</math>
| 11,27
|-
|-
| <math>^{39}K</math>
| <math>\frac{3}{2}</math>
| 1,99
|-
|-
| <math>^{43}Ca</math>
| <math>\frac{7}{2}</math>
| 2,86
|-
|}
</figure>
Jak można zauważyć, największą wartością momentu magnetycznego charakteryzują się jądra atomu wodoru, czyli protony. Częstość precesji Larmora dla protonów umieszczonych w polu magnetycznym o indukcji <math>B_0=1</math> T osiągnie wielkość:
<equation id="32"><math>
f_0 = \frac{\gamma}{2\pi} B_0 = 42,58 \left[\frac{\textrm{MHz}}{T}\right] \cdot \textrm{[T]} = 42,58 \textrm{MHz}
</math></equation>
Dodatkowe, zmienne pola magnetyczne <math>\vec{B}_1</math>, stosowane do zmiany orientacji wektora namagnesowania, mają niewielkie wartości, rzędu <math>10^{-5}</math>T.
Po wprowadzeniu próbki zawierającej jądra atomu wodoru w dodatkowe pole magnetyczne <math>\vec{B}_1</math>, wirujące w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku pola statycznego, namagnesowanie zaczyna wykonywać obrót w płaszczyźnie równoległej do kierunku pola statycznego z częstością Rabbiego równą:
<equation id="33"><math>
f_1 = \frac{\gamma}{2\pi} B_1 = 42,58 \left[\frac{\textrm{MHz}}{T}\right] \cdot 10^{-3} \textrm{[T]} = 0.0580 \textrm{MHz}
</math></equation>

===Impulsy <math>\pi</math> oraz <math>\frac{\pi}{2}</math>===
Jak dowiedzieliśmy się w poprzednich rozdziałach, przy pomocy rotującego pola magnetycznego o odpowiednio dobranej częstości, możemy zmienić orientacje wektora namagnesowania. Jest to o tyle ważne, iż wektor ten wywołuje pole magnetyczne dużo mniejsze z w porównaniu do wartości pola statycznego <math>\vec{B}_0</math>, do którego jest równoległy. Uniemożliwia to pomiar wartości magnetyzacji próbki. Zmianę orientacji wektora namagnesowania określa się za pomocą kąta, o jaki odchyla się on od kierunku statycznego pola magnetycznego <math>\vec{B}_0</math>, które leży wzdłuż osi ''Z'' przyjętego przez nas układu współrzędnych. Kąt ten można wyliczyć za pomocą wzoru na częstość Rabbiego. Jeśli wektor namagnesowania w trakcie rezonansu wykonuje precesję wokół pola <math>B_1</math> z częstością:
<equation id="33"><math>
\Omega = \gamma B_1
</math></equation>
to w czasie τ zakreśli on kąt:
<equation id="34"><math>
\Theta = \Omega\cdot\tau = \gamma B_1\tau
</math></equation>
Szczególną rolę w diagnostyce MRI odgrywają obroty wektora namagnesowania o kąt <math>\Theta = \frac{\pi}{2}</math> oraz <math>\Theta = \pi</math>. Pole magnetyczne, wywołujące takie zmiany nazywamy odpowiednio impulsami <math>\frac{\pi}{2}</math> oraz <math>\pi</math>.
Czas trwania tych impulsów możemy łatwo oszacować. Przyjmując wielkość indukcji pola <math>B_1</math> na <math>10^{-5}</math> T oraz współczynnik giromagnetyczny dla protonów, dostajemy:
* dla impulsu <math>\frac{\pi}{2}</math>, <math>\tau = \frac{\Theta}{\gamma B_1} = \frac{\frac{\pi}{2}}{2\pi\cdot 42,577 \left[\frac{\textrm{MHz}}{\textrm{T}}\right]\cdot 10^{-5}\textrm{T}}\approx 580\mu s</math>
* dla impulsu <math>\pi</math>, <math>\tau = \frac{\Theta}{\gamma B_1} = \frac{\pi}{2\pi\cdot 42,577 \left[\frac{\textrm{MHz}}{\textrm{T}}\right]\cdot 10^{-5}\textrm{T}}\approx 1060\mu s</math>

==Procesy Relaksacji==

[[File:relaksacja.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:relaksacja"></figure>Ilustracja przykładowy proces zaniku składowej poprzecznej i odbudowy składowej podłużnej pewnego wektora.]]

'''Procesy relaksacji podpis pod rysunkiem:'''

Składowa poprzeczna wektora, oznaczona kolorem czerwonym, jest sumą trzech wektorów o jednostkowej długości, rotujących w płaszczyźnie ''X-Y'' i oznaczonych kolorem niebieskim. W chwili <math>t=0</math> (punkt A.), wektory składowe rotują w płaszczyźnie ''X-Y'' w tej samej fazie, dając wektor wypadkowy o długości trzech jednostek. Po pewnym czasie <math>\Delta t</math> (punkt B.) jeden z wektorów składowych zmienia orientację o kąt <math>\frac{\pi}{2}</math>, w efekcie czego długość składowej poprzecznej wektora wypadkowego maleje do dwóch jednostek, pojawia się natomiast składowa podłużna wektora wypadkowego (oznaczona kolorem zielonym) o długości jednej jednostki. Po kolejnym czasie Po pewnym czasie <math>\Delta t</math> (punkt C.), ruch pozostałych w płaszczyźnie ''X-Y'' rotujących wektorów ulega rozfazowaniu, co powoduje dalszy zanik składowej poprzecznej wektora wypadkowego, ale nie zwiększa długości jego składowej podłużnej. Po upływie kolejnej jednostki czasu <math>\Delta t</math> (punkt D.), jeden z wektorów składowych, rotujący w płaszczyźnie ''X-Y'' zmienia orientację o kąt <math>\frac{\pi}{2}</math>. Składowa poprzeczna wektora wypadkowego ulega skróceniu do jednej jednostki, zaś składowa podłużna osiąga długość dwóch jednostek. Po zmianie orientacji ostatniego wektora składowego (punkt E.), składowa poprzeczna wektora wypadkowego zanika, zaś składowa podłużna osiąga maksymalną długość trzech jednostek.

W rozdziałach [[https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/action/edit/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metod%C4%85_Magnetycznego_Rezonansu_J%C4%85drowego?section=4]], [[https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/action/edit/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metod%C4%85_Magnetycznego_Rezonansu_J%C4%85drowego?section=5]] oraz [[https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/action/edit/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metod%C4%85_Magnetycznego_Rezonansu_J%C4%85drowego?section=8]] omówiliśmy dwa następujące podstawowe elementy zjawiska rezonansu magnetycznego:
# Wprowadzenie próbki składającej się z atomów wodoru w statyczne pole magnetyczne, skutkiem czego pojawiło się namagnesowanie próbki w kierunku tego pola.
# Pobudzenie próbki rotującym w płaszczyźnie prostopadłej do pola statycznego, polem magnetycznym o małej indukcji lecz odpowiednio dobranej częstości, co doprowadziło do zmiany orientacji wektora namagnesowania.
Poruszyliśmy również kwestie doboru czasu impulsu rotującego pola magnetycznego, tak aby zmienić orientację wektora namagnesowania o kąt <math>\pi</math> lub <math>\frac{\pi}{2}</math>. Po obróceniu magnetyzacji o wymagany kąt, impulsowe pole magnetyczne jest wyłączane i dokonywany jest pomiar namagnesowania próbki. Co dalej dzieje się z wektorem magnetyzacji ? Obrót wektora namagnesowania jest niczym innym jak wytrąceniem układu z położenia równowagi termodynamicznej. Jak pamiętamy z pierwszych rozdziałów dotyczących MRI, momenty magnetyczne jąder atomowych starają ustawić się w kierunku pola magnetycznego. Układ będzie zatem dążył do powrotu do stanu równowagi. Przypominamy, iż wyróżniliśmy dwie składowe namagnesowania: namagnesowanie podłużne (<math>\vec{M}_L</math> oraz namagnesowanie poprzeczne <math>\vec{M}_T</math>. Przyjmijmy, że umieszczenie próbki w polu magnetycznym wywołuje namagnesowanie o wartości <math>M_0</math> i rozważmy składowe namagnesowania w układzie rotującym ''U' '' w następujących przypadkach:
1.Włączone pole statyczne, wtedy: 
<equation id="35"><math>
\vec{M} =
\left[\begin{array}{l}
M_L \\
\\
M_T
\end{array}
\right] =
\left[\begin{array}{l}
M_0 \\
\\
0
\end{array}
\right]
</math></equation> 
2. Zadziałanie na próbkę impulsem <math>\frac{\pi}{2}</math>, po którym magnetyzacja wynosi:
<equation id="36"><math>
\vec{M} =
\left[\begin{array}{l}
M_L \\
\\
M_T
\end{array}
\right] =
\left[\begin{array}{l}
0 \\
\\
M_0
\end{array}
\right]
</math></equation>.
Interesuje nas teraz przejście układu ze stanu (2) do stanu (1). Proces powrotu układu do stanu równowagi nazywamy relaksacją.
Okazuje się, że proces odbudowywania się namagnesowania podłużnego trwa dłużej, niż zanik namagnesowania poprzecznego. W związku z tym, będziemy wyróżniali relaksację podłużną, to jest odbudowywanie się składowej podłużnej namagnesowania oraz relaksację poprzeczną, czyli zanik składowej poprzecznej magnetyzacji. Przyczynę różnego czasu procesów relaksacji podłużnej i poprzecznej są następujące. 
===Relaksacja podłużna===
Podstawową przyczyną przechodzenia jąder atomowych ze stanu wzbudzonego do podstawowego po wyłączeniu impulsu pobudzającego są
oddziaływania spinów poszczególnych jąder z siecią krystaliczną (tzw. oddziaływania spin-sieć). W wyniki tych przejść zanika oczywiście również składowa poprzeczna namagnesowania. Inne procesy, które mają wpływ na powrót jąder do stanu równowagi i odbudowę składowej podłużnej magnetyzacji to:
# Fluktuacje pola magnetycznego wytworzone przez otoczenie danego jadra atomowego, np. przez cząsteczkę wody która posiada własny moment magnetyczny. Chaotyczne ruchy cząsteczki wody, mogą wytworzyć zmienne w czasie pole magnetyczne wywołujące przejścia momentów magnetycznych ze stanu wzbudzonego do podstawowego.
# Oddawanie energii do otoczenia poprzez oddziaływania elektryczne.
# Oddziaływania paramagnetyczne.

Warto jednak zwrócić uwagę, że fluktuacje pola magnetycznego będą prowadziły do przejść jąder atomowych ze stanu wzbudzonego do stanu podstawowego pod warunkiem, że częstość wywołanego przez nie lokalnego pola magnetycznego będzie zbliżona do częstości precesji Larmour.
Czas relaksacji podłużnej, który oznaczany jest jako tzw. czas <math>T_1</math> wynosi zwykle od kilkuset ms do nawet 2 sekund.

===Relaksacja poprzeczna===
Oddziaływania wymienione w punktach 1-3 poprzedniego rozdziały, które powodują przejścia jąder atomowych ze stanu wzbudzonego do stanu podstawowego, powodują jednocześnie zanik składowej poprzecznej namagnesowania. Składowa ta jednak zanika także z innych powodów. Impuls pobudzające, nie tylko zmienia orientację momentów magnetycznych, lecz również synchronizuje ich ruchy precesyjne. Fluktuacje pola magnetycznego mogą łatwo tę synchronizacje zaburzyć, ponieważ w tym przypadku dowolna fluktuacja lokalnego pola magnetycznego w kierunku pola statycznego <math>\vec{B}_0</math> zmieni częstość rotacji momentów magnetycznych w płaszczyźnie ''X-Y''. Również oddziaływania spinów sąsiednich jąder atomowych przyczyniają się do zakłócenia synchronizacji (oddziaływania te nazywamy oddziaływaniami spin-spin). Kolejną przyczyną szybszego zaniku składowej poprzecznej namagnesowania są niejednorodności statycznego pola magnetycznego spowodowane ograniczeniami w dokładności wykonania urządzenia MRI oraz zaburzenia powstałe w otoczeniu skanera. Czas relaksacji poprzecznej, który oznaczany jest jako tzw. czas <math>T_2</math> jest o rząd wielkość mniejszy od czasu <math>T_1</math> i wynosi zwykle od kilkudziesięciu di kilkuset ms.
Ideę różnego czasu relaksacji rotujących składowych pewnego wektora zaprezentowano symbolicznie na <xr id="fig:relaksacja">rys. %i</xr>.
Należy pamiętać, iż w rzeczywistości procesy relaksacji są znacznie bardziej skomplikowane, zaś ilustracja <xr id="fig:relaksacja">rys. %i</xr>
ma charakter jedynie poglądowy.

W klasycznej teorii rezonansu jądrowego zjawiska relaksacji opisuje w układzie rotującym (''U' '') przy pomocy następujących fenomenologicznych równań:
W półklasycznego równaniu (<xr id="eq:rownaie_ruchu_w_wirujacym_ukladzie_odniesienia"/>) opisującym zachowanie się namagnesowania w polu magnetycznym musimy uwzględnić procesy związane z relaksacją spinów.
Bloch wprowadził fenomenologiczne poprawki do tego równania opierając się na rozumowaniu, które można wyrazić następującymi równaniami:
<equation id="37"><math>
\begin{array}{l}
\frac{dM_{x}}{dt} = -\frac{M_{x}}{T_{2}}\\
\\
\frac{dM_{y}}{dt} = -\frac{M_{y}}{T_{2}}\\
\\
\frac{dM_{z}}{dt} = -\frac{M_{z} - M_{0}}{T_{1}}\\
\end{array}
</math></equation>
gdzie: <math>M_x, M_y, M_z</math> to odpowiednio długości poszczególnych składowych wektora namagnesowania.

==Równanie Blocha==

[[File:bloch_1.png|400px|thumb|right|<figure id="fig:bloch_1"></figure>Ewolucja wektora magnetyzacji w układzie rotującym z prędkością kątową <math>\omega_0 = \gamma B_0</math>, związanym z momentem magnetycznym i w układzie laboratoryjnym. ]]

Podpis pod rysunkiem Ewolucja wektora magnetyzacji w układzie rotującym z prędkością kątową <math>\omega_0 = \gamma B_0</math>, związanym z momentem magnetycznym i w układzie laboratoryjnym.:

A — próbkę wprowadzono w stałe pole magnetyczne o indukcji <math>\vec{B}_0=B_0\vec{e}_z</math>. Pole to wywołuje namagnesowanie próbki <math>\vec{M}_0</math>, które w układzie rotującym jak i laboratoryjnym ma tę sen sam kierunek <math>\vec{M}_0 = M_0\vec{e}_z</math>. B — próbka zostaje pobudzona dodatkowym polem magnetycznym <math>\vec{B}_1</math>. W układzie laboratoryjnym jest to pole rotujące, z częstością kątową <math>\omega_0</math>, podczas gdy w układzie rotującym ma ono ustalony kierunek. W celu uproszczenia rachunków pole <math>\vec{B}_1</math> dobrano tak, aby w układzie rotującym miało kierunek równoległy do osi ''X''. Wskutek oddziaływania momentów magnetycznych z polem <math>\vec{B}_1</math>, wektor namagnesowania zmienia orientację w następujący sposób. W układzie rotującym rozpoczyna ruch precesyjny wokół pola <math>\vec{B}_1</math> (osi ''X' ''), z częstością <math>\omega_1 = \gamma B_1</math>. W układzie laboratoryjnym ruch namagnesowania jest złożeniem ruchu precesyjnego wokół pola <math>\vec{B}_1</math> oraz ruchu precesyjnego wokół pola <math>\vec{B}_0</math>, w związku z czym w układzie laboratoryjnym wektor magnetyzacji zakreśla helisę o zwiększającej się średnicy. C — jeśli impulsem pobudzającym był impuls <math>\frac{\pi}{2}</math>, to zostanie on wyłączony po zmianie orientacji wektora namagnesowania o kąt <math>\frac{\pi}{2}</math>. W chwili wyłączenia w układzie rotującym wektor magnetyzacji jest równoległy do pola <math>\vec{B}_1</math>, natomiast w układzie laboratoryjnym wektor magnetyzacji rotuje w płaszczyźnie ''X-Y''. W tym momencie można rozpocząć pomiar namagnesowania za pomocą cewek. Rotujący wektor magnetyzacji wytwarza zmienne pole magnetyczne, które w cewkach, zgodnie z prawem Faraday'a indukuje siłę elektromotoryczną. D — po wyłączeniu pola pobudzającego <math>\vec{B}_1</math>, na skutek procesów relaksacji, momenty magnetyczne jąder przechodzą ze stanu wzbudzonego do stanu podstawowego. Efektem przejść jest powrót wektora magnetyzacji w kierunku pola magnetycznego <math>\vec{B}_0</math>.

Proste równanie opisujące zachowanie się momentów magnetycznych oraz magnetyzacji, które wyprowadziliśmy analogicznie jak się to czyni w przypadku ruchu bąka symetrycznego w polu grawitacyjnym nie jest pełne i powinno być rozszerzone o procesy relaksacji. Fenomenologiczne, klasyczne równanie opisującym zachowanie się namagnesowania w polu magnetycznym z uwzględnieniem procesów relaksacji nazywamy równaniem Blocha:
<equation id="38"><math>
\left[\frac{d\vec{M}}{dt}\right]_{U'} = \gamma\vec{M}\times\vec{B}_{eff} - \left(M_{x}\vec{e}_{x} + M_{y}\vec{e}_{y}\right)/T_{2} - \left(M_{z}-M_{0}\vec{e}_{z}\right)/T_{1}
</math></equation>
gdzie: 
<math>\vec{B}_{eff} = \left[\left(B_{0} - \frac{\omega}{\gamma}\right)\vec{e}_z + B_{1}\vec{e}_x\right]</math>
===Przykłady rozwiązania równań Blocha===
W poniższym rozdziale podane zostały przykładowe rozwiązania równań Blocha dla wybranych konfiguracji pól magnetycznych.

====Umieszczenie próbki w polu statycznym <math>\vec{B}_0 = B_0\vec{e}_z</math>====
Równanie Blocha jest równaniem opisującym ewolucję w czasie wektora magnetyzacji w układzie rotującym z częstością równa częstości precesji Larmour'a: <math>\omega = \gamma B_0</math>. Konfiguracja pół magnetycznych w tym układzie, po wprowadzeniu próbki w statyczne pole magnetyczne wynosi:
* <math>B_1 = 0</math>,
* <math>\left[B_0 -\frac{\omega}{\gamma}\right]\vec{e}_z = 0</math>,
co prowadzi do następującego układu równań:
<equation id="eq:bloch_1"><math>
\left\{\begin{array}{l}
\left[\frac{dM_{x}}{dt}\right]_{rot} = 0\\
\\
\left[\frac{dM_{y}}{dt}\right]_{rot} = 0\\
\\
\left[\frac{dM_{z}}{dt}\right]_{rot} = 0\\
\end{array}\right.
</math></equation>
Zgodnie z obliczeniami przeprowadzonymi w rozdziale [https://brain.fuw.edu.pl/edu/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metod%C4%85_Magnetycznego_Rezonansu_J%C4%85drowego#Namagnesowanie_pr.C3.B3bki]. wiemy, że po umieszczeniu próbki w stałym polu magnetycznym, namagnesowanie może występować tylko w kierunku tego pola. Oznaczmy wartość tego namagnesowanie symbolem <math>M_0</math>. Przy podanych warunkach początkowych dostajemy poniższe rozwiązanie układu równań (<xr id="eq:bloch_1" />):
<equation id="eq:bloch_rozw_1"><math>
\left\{\begin{array}{l}
\left[M_x\right]_{rot} = \\
\\
\left[M_y\right]_{rot} = 0\\
\\
\left[M_z\right]_{rot} = M_0\\
\end{array}\right.
</math></equation>
Rozwiązanie w układzie laboratoryjnym uzyskamy, po przemnożeniu równania (<xr id="eq:bloch_rozw_1"/>) przez macierz obrotu <math>P</math>:
<equation id="39"><math>
\vec{M} = P\times [\vec{M}]_{rot}
</math></equation>
gdzie: 
<math>P = \left[
\begin{array}{ccc}
\cos(\omega_0 t) & \sin(\omega_0 t) & 0 \\
\\
-\sin(\omega_0 t) & \cos(\omega_0 t) & 0 \\
\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right] </math>, 
 
co prowadzi to ostatecznie do wyniku:
<equation id="40"><math>
\vec{M} = P\cdot[\vec{M}]_{rot} \rightarrow \vec{M} = \left[\begin{array}{l}
0\\
\\
0\\
\\
M_0\\
\end{array}\right].
</math></equation>
Wynik zaprezentowano na rysunku <xr id="fig:relaksacja">rys. %i</xr>.A.

====Próbka umieszczona w polu statycznym, pobudzona polem zmiennym====
Zakładamy, że pobudzenie prowadzi do powstania zjawiska rezonansu, to jest częstość impulsowego pola magnetycznego <math>\vec{B}_1</math> jest równa częstości precesji Larmour'a. W takim, przypadku, w układzie rotującym występuje następująca konfiguracja pól magnetycznych:
* <math>\vec{B}_1 = B_1\vec{e}_x</math>,
* <math>\left[B_0 - \frac{\omega}{\gamma}\right]\vec{e}_x = 0</math>,
ponadto w równaniach Blocha możemy pominąć wyrazy związane z relaksacją, ponieważ czas trwania procesów relaksacyjnych (co najmniej kilkadziesiąt ms) jest znacznie dłuższy od trwania impulsu pobudzającego, co prowadzi ostatecznie do następującego układu równań:
<equation id="eq:bloch_2"><math>
\left\{\begin{array}{l}
\left[\frac{dM_{x}}{dt}\right]_{rot} = 0\\
\\
\left[\frac{dM_{y}}{dt}\right]_{rot} = \gamma B_1M_z\\
\\
\left[\frac{dM_{z}}{dt}\right]_{rot} = -\gamma B_1M_y\\
\end{array}\right.
</math></equation>
przy następujących warunkach początkowych:
<equation id="41"><math>
\vec{M} = P\cdot[\vec{M}]_{rot} \rightarrow \vec{M} = \left[\begin{array}{l}
0\\
\\
0\\
\\
M_0\\
\end{array}\right].
</math></equation>
Rozwiązanie układu równań (<xr id="eq:bloch_2"/>) ma postać:
<equation id="eq:bloch_rozw_2"><math>
\begin{array}{l}
\left[M_x\right]_{rot} = 0\\
\\
\left[M_y\right]_{rot} = M_0\sin(\Omega t)\\
\\
\left[M_z\right]_{rot} = M_0\cos(\Omega t)\\
\end{array}
</math></equation>
gdzie: <math>\Omega = \gamma B_1</math>.
Rozwiązanie w układzie laboratoryjnym uzyskamy, po przemnożeniu równania (<xr id="eq:bloch_rozw_2"/>) przez macierz obrotu <math>P</math>:
<equation id="42"><math>
\vec{M} = P\cdot[\vec{M}]_{rot}
</math></equation>
co prowadzi do następującego równania na ewolucję magnetyzacji w układzie laboratoryjnym:
Rozwiązanie układu równań (<xr id="eq:bloch_2"/>) ma postać:
<equation id="43"><math>
\begin{array}{l}
M_x = M_0\sin(\Omega t)\sin(\omega_0 t)\\
\\
M_y = M_0\sin(\Omega t)\cos(\omega_0 t)\\
\\
M_z = M_0\cos(\Omega t)\\
\end{array}
</math></equation>
W układzie rotującym wektor namagnesowania wykonuje ruch precesyjny wokół kierunku pola pobudzającego <math>\vec{B}_1</math>, które w tym układzie zachowuje stały kierunek, podczas gdy w układzie laboratoryjnym, wektor magnetyzacji jest złożeniem dwóch ruchów precesyjnych:
# wokół statycznego pola <math>\vec{B}_0</math>,
# wokół rotującego w tym układzie pola <math>\vec{B}_1</math>.
Złożeniem tych dwóch ruchów precesyjnych jest spirala, symbolicznie zaprezentowano na rysunku <xr id="fig:relaksacja">rys. %i</xr>.B.

====Wyłącznie impulsu pobudzającego. Sygnał swobodnej precesji====
Po zmianie orientacji wektora namagnesowania o kąt <math>\frac{\pi}{2}</math>, w układzie rotującym leży on wzdłuż wzdłuż osi ''X' '' (jest równoległy do pola <math>\vec{B}_1</math>, zaś w układzie laboratoryjnym namagnesowanie rotuje w płaszczyźnie ''X-Y'' (patrz <xr id="fig:relaksacja">rys. %i</xr>.C). Dalsze utrzymywanie pobudzenia spowodowało by zmianę orientacji wektora namagnesowania a do jego ustawienia w kierunku przeciwnym do kierunku pola stałego <math>\vec{B}_0</math>. Najdogodniejszy moment na pomiar wektora namagnesowania występuje w momencie, kiedy wiruje on w płaszczyźnie ''X-Y'', w związku z czym impulsowe pole magnetyczne jest wyłączane i rozpoczynany jest pomiar magnetyzacji. Pomiar ten wykonywany jest za pomocą cewek i opiera się na zjawisku indukcji Faraday'a — zmienny strumień pola magnetycznego, wywołany przez rotujący w płaszczyźnie ''X-Y'' wektor namagnesowania indukuje w obwodzie siłę elektromotoryczną. Jednocześnie, po wyłączeniu pola pobudzającego, momenty magnetyczne zaczną powracać do w wyniku oddziaływań spin-sieć oraz spin-spin. Spowoduje zmianę orientacji wektora namagnesowania z płaszczyzny ''X-Y'' ponownie w kierunku pola statycznego <math>\vec{B}_0</math>. Ewolucje wektora namagnesowania w takim przypadku możemy wyznaczyć przy pomocy równania Blocha, dla następującej konfiguracji pól magnetycznych w układzie rotującym:
* <math>\vec{B}_1 = 0\vec{e}_x</math>,
* <math>\left[B_0 - \frac{\omega}{\gamma}\right]\vec{e}_x = 0</math>,
otrzymując poniższy układ równań:
<equation id="eq:bloch_3"><math>
\left\{\begin{array}{l}
\left[\frac{dM_{x}}{dt}\right]_{rot} = -\frac{M_x}{T_2} \\
\\
\left[\frac{dM_{y}}{dt}\right]_{rot} = -\frac{M_y}{T_2} \\
\\
\left[\frac{dM_{z}}{dt}\right]_{rot} = -\frac{M_z-M_0}{T_1}\\
\end{array}\right.
</math></equation>
przy warunkach początkowych
<equation id="44"><math>
\vec{M} = P\cdot[\vec{M}]_{rot} \rightarrow \vec{M} = \left[\begin{array}{l}
0\\
\\
M_0\\
\\
0\\
\end{array}\right].
</math></equation>
Rozwiązanie układu równań (<xr id="eq:bloch_3"/>) ma postać:
<equation id="eq:bloch_rozw_3"><math>
\begin{array}{l}
\left[M_x\right]_{rot} =0\\
\\
\left[M_y\right]_{rot} = M_0e^{-\frac{t}{T_2}}\\
\\
\left[M_z\right]_{rot} = M_0(1-e^{-\frac{t}{T_1}})\\
\end{array}
</math></equation>
gdzie: <math>\omega_1 = \gamma B_1</math>.
Rozwiązanie w układzie laboratoryjnym uzyskamy, po przemnożeniu równania (<xr id="eq:bloch_rozw_3"/>) przez macierz obrotu <math>P</math>:
<equation id="eq:bloch_rozw_3_rot"><math>
\left[\begin{array}{l}
M_x\\
\\
M_y\\
\\
M_z\\
\end{array}\right] =
\left[
\begin{array}{ccc}
\cos(\omega_0 t) & \sin(\omega_0 t) & 0 \\
\\
-\sin(\omega_0 t) & \cos(\omega_0 t) & 0 \\
\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right]
\left[\begin{array}{l}
0\\
\\
M_0e^{-\frac{t}{T_2}}\\
\\
M_0(1-e^{-\frac{t}{T_1}})\\
\end{array}\right]
</math></equation>
Ostatecznie, wektor namagnesowania ma postać:
<equation id="eq:bloch_rozw_3_rot_a"><math>
\left[\begin{array}{l}
M_x\\
\\
M_y\\
\\
M_z\\
\end{array}\right] =
\left[
\begin{array}{c}
M_0e^{-\frac{t}{T_2}}\cos(\omega_0 t)\\
\\
-M_0e^{-\frac{t}{T_2}}\sin(\omega_0 t) \\
\\
M_0(1-e^{-\frac{t}{T_1}})
\end{array}
\right]
</math></equation>
Jak widzimy, namagnesowanie poprzeczne (składowa ''X'' oraz ''Y'' magnetyzacji) rotują w płaszczyźnie ''X-Y'', jednocześnie zmniejszając swoją amplitudę na skutek procesów relaksacji. Cewki dokonujące pomiaru zarejestrują sygnał o przebiegu gasnącej sinusoidy. Sygnał ten pełni niezwykle ważną role i jest nazywany sygnałem swobodnej precesji (ang. ''Free Induction Decay'', FID).

===Echo spinowe===
Czasy relaksacji zależą od właściwości fizyko-chemicznych tkanek. Stanowią zatem niezwykle cenna informację dla diagnostyki medycznej. Relaksacja spin-sieć zależy głównie od czynników "''naturalnych''" — fluktuacji lokalnych pół magnetycznych wytworzonych przez otoczenie jąder atomowych. Relaksacja spin-spin zależy zarówno od czynników naturalnych jak i "''sztucznych''" — niejednorodności statycznego pola magnetycznego związanych np. z ograniczoną dokładnością wykonania skanera MRI.
W efekcie, zamiast obserwować zanik namagnesowania poprzecznego z czasem <math>T_{2}</math>, obserwujemy ten zanik z czasem:
<equation id="45"><math>
\frac{1}{T^{*}_{2}} = \frac{1}{T_{2}} + \frac{\gamma\Delta B_{0}}{2}
</math></equation>
Mimo to, możliwe jest wyznaczenie czasu relaksacji <math>T_{2}</math>, dzięki pięknemu zjawisku echa spinowego.
U podstaw tego zjawiska leży założenie, iż naturalne procesy wpływające na relaksację spin-spin są procesami termodynamicznymi, natomiast procesy "''sztuczne''" są dobrze określone w czasie.



==Kodowanie Obrazu==
[[File:Lauterbur_eksperyment_1.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:Lauterbur_eksperyment_1"></figure>Dwie próbki zawierające różną ilość wody (A) umieszczono w polu magnetycznym, którego rozkład wektora indukcji jest stały (B). Sygnały FID indukowane w tych próbkach mają różną amplitudę (C). W związku z tym, że indukcja pola magnetycznego w zakresie obydwu próbek jest taka sama, częstości precesji Larmoura momentów magnetycznych w protonów w próbkach są również identyczne. W efekcie zbiorczym sygnałem rejestrowanym przez cewkę jest tłumiona wykładniczo sinusoida o pewnej wypadkowej amplitudzie (D). Na podstawie tak uzyskanego sygnału nie można stwierdzić, jaki udział w sygnale wypadkowym mają składowe pochodzące od poszczególnych próbek. W widmie sygnału wypadkowego (E) obserwujemy tylko jedno maksimum odpowiadające tej samej częstości precesji momentów magnetycznych protonów.]]

[[File:Lauterbur_eksperyment_2.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:Lauterbur_eksperyment_2"></figure>Dwie próbki zawierające różną ilość wody (A) umieszczono w polu magnetycznym, którego wielkość indukcji zmienia się wzdłuż pewnego kierunku (B). Sygnały FID indukowane w tych próbkach mają różną amplitudę oraz częstości (C). Sygnał rejestrowany przez cewkę nie jest już tłumioną wykładniczo sinusoidą (D). W widmie sygnału wypadkowego (E) obserwujemy dwa maksima związane z dwoma różnymi częstościami precesji momentów magnetycznych protonów. Jak wiemy, częstość precesji momentu zależy od indukcji pola magnetycznego. Znając rozkład przestrzenny indukcji pola magnetycznego oraz częstości precesji, możemy wyznaczyć lokalizację próbek, a na podstawie amplitudy sygnału zawartość wody w poszczególnych próbkach.]]

[[File:rekonstrukcja_mri.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:rekonstrukcja_mri.png"></figure>]]

W jaki sposób jednak za pomocą MRI można otrzymać obraz, np. wnętrza ciała ludzkiego? Dotychczas zdobyta przez nas wiedza umożliwia nam pomiar magnetyzacji wytworzonej w badanej próbce, jednak nie potrafimy określić współrzędnych pewnej objętości materii, gdzie to namagnesowanie zostało wytworzone. Jak wiemy z poprzednich rozdziałów, namagnesowanie to wypadkowy moment magnetyczny pewnej objętości materii, który nazywamy wokselem. Cewka rejestruje zbiorczy sygnał pochodzący od wielu wokseli. W chwili wyłączenia impulsu pobudzającego <math>\frac{\pi}{2}</math>, ewolucję wektora namagnesowania opisuje następujący wzór:
<equation id="46"><math>
dS\left(t\right) = AM^{0}\left(\vec{r}\right)e^{-i\left(w_{0}t\right)}e^{-\frac{t}{T_{2}}}dxdydz
</math></equation>
gdzie: <math>A</math> jest pewną stałą zależną od geometrii cewek, zaś <math>M^{0}(\vec{r})</math> jest namagnesowaniem woksela, o objętości <math>dx\cdot dy\cdot dz</math>, którego pozycja jest opisana wektorem <math>\vec{r} = [x,y,z]</math> w kartezjańskim układzie współrzędnych.
Zbiorczy sygnał rejestrowany przez cewkę odbiorczą wynosi z objętości <math>V</math>:
<equation id="47"><math>
S\left(t\right) = A\int\int_{V}\int M^{0}\left(\vec{r}\right)e^{-i\left(\gamma B_{0}t\right)}e^{-\frac{t}{T_{2}}}dxdydz
</math></equation>
Rozwiązanie tego problemu podali niezależnie Paul Lauterbur <ref name="Lauterbur">P. C. Lauterbur. Image formation by induced local interactions: examples employing nuclear magnetic resonance. Nature 242, 190-191 (1973)</ref> oraz Peter Mansfield <ref name="Mansifeld">P. Mansfield, P.K. Grannell, J. Phys. C: Solid State Phys. 6, L422 (1973)</ref>. W roku 2003 obydwaj naukowcy zostali uhonorowani nagrodą Nobla w dziedzinie medycyny za wykorzystanie Magnetycznego Rezonansu Jądrowego w tej dziedzinie. W roku 1972 Paul Lauterbur przeprowadził doświadczenie, w którym wykazał, że przy wykorzystaniu gradientu dodatkowego pola magnetycznego możliwe jest rozróżnienie rejestrowanych sygnałów przez cewki, pochodzących od dwóch różnych próbek z wodą. Ideę eksperymentu zaprezentowano na <xr d="fig:Lauterbur_eksperyment_1">rys. %i</xr> i <xr id="fig:Lauterbur_eksperyment_2">rys. %i</xr>. Jak widzimy, w celu określenia pozycji woksela, z którego mierzony jest dany sygnał FID niezbędne jest wprowadzenie dodatkowego, gradientowego pola magnetycznego:
<equation id="48"><math>
\vec{B} = B_0\vec{e}_z + \vec{G}\cdot\vec{r}
</math></equation>
gdzie: 
<math>\vec{G} = [G_x,G_y,G_z]</math> - gradient indukcji pola magnetycznego.
W zależności od położenia woksela, częstość precesji momentów magnetycznych w zmodyfikowanym polu będzie wynosić:
<equation id="49"><math>
\omega(x,y,z) = \gamma \left(B_0 + G_x\cdot x + G_y\cdot y + G_z\cdot z\right)
</math></equation>
Przyjęto, że proces określania współrzędnych wokseli z których rejestrowany jest sygnał FID, nazywany będzie kodowaniem.
Proces ten składa się z trzech etapów: wyboru warstwy obrazowania, kodowania fazy i kodowania częstości, które opisane w kolejnych rozdziałach.

===Etap wyboru warstwy===

Wprowadzając zależność statycznego pola magnetycznego od położenia, można wyznaczać jedną ze współrzędnych woksela, w którym powstało namagnesowanie, wykorzystując w tym celu częstości sygnału FID. Przyjmijmy, że tą współrzędną będzie współrzędna <math>z</math>:
<equation id="kodowanie_z"><math>
\begin{array}{l}
\omega_{0} = \gamma\left(B_{0} + G_{zz}z\right) \textrm{\ zatem}\\
\\
z = \frac{\left(\omega_{0} - \gamma B_{0}\right)}{\gamma G_{zz}}
\end{array}
</math></equation>
gdzie:
* <math>B_{0}</math> — statyczne pole magnetyczne, skierowane wzdłuż osi <math>z</math>,
*<math>G_{zz}</math> — gradient pola magnetycznego, nałożony na pole <math>B_{0}</math>, <math>G_{zz} = \frac{\Delta B_{0}}{\Delta z}</math>.
Naświetlając badany obiekt polem elektromagnetycznym o częstości <math>\omega_{RF}</math>, wzbudzimy jądra atomowe w tych wokselach, w których spełniony jest warunek rezonansowy (<math>\omega_{RF} = \omega_{0}</math>), czyli w wokselach, których współrzędna <math>z</math> wyraża się wzorem (<xr id="kodowanie_z"/>). Opisana powyżej procedurę rzeczywiście stosuje się w MRI i określa jako etap wyboru warstwy (''Slice selection''), a gradient <math>G_{zz}</math> '''{gradientem wyboru warstwy'''. Grubość wybranej w trakcie badania warstwy wynosi:
<equation id="49"><math>
\Delta z = \frac{\Delta \omega}{\gamma G_{zz}}
</math></equation>
gdzie: <math>\Delta\omega</math> — szerokość widmowa pobudzającego jądra impulsu radiowego.
W przypadku, gdy impuls radiowy ma charakter sygnału prostokątnego o szerokości widmowej <math>\Delta\omega=4\pi/T</math>, gdzie: <math>T</math> to długość trwania impulsu, grubość warstwy wyraża się poniższym wzorem:
:<math>
\Delta z = \frac{4\pi}{\gamma G_{zz}T}
</math>


===Etap kodowania fazy===
W trakcie etapu wyboru warstwy, zaraz po włączeniu pola gradientowego wzdłuż osi <math>z</math>, włączany jest również impuls pobudzający <math>RF</math>, (najczęściej impuls <math>\pi/2</math>). Po wyłączeniu tego impulsu oraz impulsu gradientowego <math>G_{zz}</math> następuje precesja wektora magnetyzacji w płaszczyźnie <math>x-y</math> z częstością <math>w_{0} = \gamma B_{0}</math>. Załóżmy na początku, iż procesy relaksacji możemy pominąć. W praktyce wpływ procesów relaksacji typu spin-sieć na lokalizację woksela jest do pominięcia. Przypominamy, że relaksacja ta następuje z czasem <math>T_{1}</math> rzędu kilkuset milisekund, podczas gdy wzbudzanie jąder osiąga się już po kilkuset mikrosekundach. Nie można natomiast pominąć procesów związanych z relaksacją typu spin-spin, których czas <math>T^{*}_{2}</math> wynosi kilka-, kilkanaście milisekund.

Natychmiast po wyłączeniu pola gradientowego <math>G_{zz}</math> włączane jest pole gradientowe <math>G_{yz}</math> — tzw. '''gradient kodowania fazy''', wzdłuż osi <math>y</math>. Częstość precesji po włączeniu tego pola wynosi:
<equation id="50"><math>
\omega_{0} = \gamma\left(B_{0} + G_{yz}y\right)
</math></equation>

Włączenie gradientu <math>G_{yz}</math> powoduje zróżnicowanie częstości precesji wektora magnetyzacji. Po wyłączeniu gradientu kodowania fazy po czasie <math>T_{y}</math>, fazy częstość precesji Larmour wraca do wartości <math>\omega_{0} = \gamma B_{0}</math>, jednakże pomiędzy rotującymi wektorami magnetyzacji pojawia się przesunięcie w fazie, które wyraża się następującym wzorem:
<equation id="eq:kodowanie_fazy"><math>
\phi = \gamma G_{yz}yT_{y}
</math></equation>
Rozdzielczość obrazu tomograficznego wzdłuż osi <math>y</math> wynosi:
<equation id="51"><math>
\Delta y = \frac{\pi}{\gamma G_{yz}T_{y}}
</math></equation>

==Etap kodowania częstości i odczyt pomiaru magnetyzacji==
Po wyłączeniu gradientu <math>G_{yz}</math>, natychmiast włączany jest gradient <math>G_{xz}</math> wzdłuż osi <math>x</math>, nazywany gradientem kodowania częstości oraz jednocześnie następuje odczyt sygnału FID.
W wyniku przyłożenia gradientu <math>G_{xz}</math> następuje zróżnicowanie częstości precesji wektora magnetyzacji, zgodnie z poniższym wzorem:
<equation id="eq:kodowanie_czestosci"><math>
\omega_{0} = \gamma\left(B_{0} + G_{xz}x\right)
</math></equation>

Podsumowując, w celu wybrania obszaru, w którym zostanie dokonany pomiar magnetyzacji, przeprowadzane są następujące kroki:
# Włączone zostaje statyczne pole magnetyczne <math>B_{0}</math> wzdłuż osi ''Z''. Wektory magnetyzacji wykonują ruch precesyjny wokół tej osi.
# Włączony zostaje gradient pola magnetycznego <math>G_{zz}</math>, po czym, po kilku milisekundach badany obiekt zostaje przez czas <math>t_{\pi/2}</math> naświetlony falą elektromagnetyczną o określonej częstości. W warstwie, dla której zostaje spełniony warunek rezonansu, fala elektromagnetyczna wzbudza jądra atomowe, w wyniku czego wektory magnetyzacji wykonują ruch precesyjny w płaszczyźnie ''X-Y''.
#Po wyłączeniu gradientu <math>G_{zz}</math> zostaje włączony na okres <math>T_{yz}</math> gradient kodowania fazy. Po jego wyłączeniu,wektory magnetyzacji wzdłuż osi ''Y'' precesują z tą samą częstością lecz w różnej fazie.
#Po wyłączeniu gradientu <math>G_{yz}</math> zostaje włączony gradient kodowania częstości, który różnicuje częstość precesji wektora magnetyzacji. Jednocześnie następuje pomiar magnetyzacji (sygnału FID) w płaszczyźnie ''X-Y''.

Podsumowując: gradient <math>G_{zz}</math> wraz z impulsem pobudzającym umożliwiają zakodowanie współrzędnej ''Z'' wokseli, z których chcemy dokonać pomiaru namagnesowania obiektu. Jest to tzw. wybór warstwy gdzie będzie dokonywany pomiar. W następnych dwóch etapach zakodowany zostają współrzędne ''X'' i ''Y'' poszczególnych wokseli za pomocą częstości precesji wektora magnetyzacji oraz fazy jego precesji. Innymi słowy, każdemu wokselowi, zostaje przyporządkowana jednoznacznie częstość precesji Larmour'a oraz faza tej precesji.

==Dekodowanie obrazu==
W poprzednim rozdziale omówiliśmy metodę jednoznacznego przypisania wokselowi o współrzędnych <math>x</math>, <math>y</math> w warstwie o położeniu <math>z</math>, częstości i fazy początkowej precesji wektora magnetyzacji.
Cewki, które służą do pomiaru wytworzonego namagnesowania, rejestrują sygnał pochodzący od wszystkich wokseli w danej warstwie.
W trakcie drugiego i trzeciego etapu kodowania obrazu namagnesowanie w wokselu o współrzędnych <math>x</math> i <math>y</math> uzyskuje częstość precesji Larmour:
<math>
\omega_{0} = \gamma\left(B_{0} + G_{xz}x\right)
</math>
oraz fazę tej precesji:
<math>
\phi = \gamma G_{yz}yT_{y}
</math>
Mierzony sygnał rezonansowy pochodzący od danego woksela w płaszczyźnie <math>x-y</math> można wyrazić w następujący sposób:
<equation id="52"><math>
dS\left(t\right) = AM^{0}(\vec{r})e^{-i\left(w_{0}\left(x\right)t + \phi\left(y\right)\right)}e^{-\frac{t}{T_{2}}}dxdydz
</math></equation>
Będziemy w dalej zajmowali się problemem wyznaczenia rozkładu gęstości protonów w płaszczyźnie już wybranej warstwy o grubości <math>dz</math>, dlatego wprowadzimy stałą <math>B = A\cdot dz</math>.
<equation id="53"><math>
dS\left(t\right) = BM^{0}(\vec{r})e^{-i\left(w_{0}\left(x\right)t + \phi\left(y\right)\right)}e^{-\frac{t}{T_{2}}}dxdy
</math></equation>
gdzie <math>B</math> jest pewną stałą zależną od grubości warstwy oraz geometrii cewek, zaś <math>M^{0}(\vec{r})</math> jest początkowym namagnesowaniem poprzecznym, uzyskanym w wyniku pobudzenia jąder atomowych impulsem <math>RF</math>.
Podstawiając do powyższego równania wzory (<xr id="eq:kodowanie_fazy"/>) i (<xr id="eq:kodowanie_czestosci"/>) otrzymujemy:
<equation id="54"><math>
dS\left(t\right) = BM^{0}(\vec{r})e^{-i\left(\gamma\left(B_{0} + G_{xz}x\right)t + \gamma G_{yz}yT_{y}\right)}e^{-\frac{t}{T_{2}}}dxdy
</math></equation>
a zatem sygnał rezonansowy rejestrowany z całej warstwy o współrzędnej <math>z</math> wynosi:
<equation id="55"><math>
S\left(t\right) = B\int\int M^{0}(\vec{r})e^{-i\left(\gamma\left(B_{0} + G_{xz}x\right)t + \gamma G_{yz}yT_{y}\right)}e^{-\frac{t}{T_{2}}}dxdy
</math></equation>
Otrzymane równanie porządkujemy w następujący sposób:
<equation id="55"><math>
S\left(t\right) = Be^{-\frac{t}{T_{2}}}\int\int M^{0}(\vec{r})e^{-i\left(\gamma\left(B_{0} + G_{xz}x\right)t + \gamma G_{yz}yT_{y}\right)}dxdy
</math></equation>
<equation id="56"><math>
S\left(t\right) = Be^{-\frac{\gamma B_{0}t}{T_{2}}}\int\int M^{0}(\vec{r})e^{-i\left(\gamma G_{xz}xt + \gamma G_{yz}yT_{y}\right)}dxdy
</math></equation>
podstawiając:
<equation id="57"><math>
\begin{array}{l}
k_{x} = \gamma G_{xz}t\\
\\
k_{y} = \gamma G_{yz}T_{y}
\end{array}
</math></equation>
uzyskujemy:
<equation id="eq:mierzony_sygnal"><math>
S\left(k_{x},k_{y}\right) = Be^{-\frac{\gamma B_{0}t}{T_{2}}}\int\int M^{0}(\vec{r})e^{-i\left(k_{x}x + k_{y}y\right)}dxdy
</math></equation>
Wymiar stałej <math>B</math> zawiera jednostkę długości (powiązaną z grubością warstwy), z kolei namagnesowanie to całkowity moment magnetyczny przypadający na jednostkę objętości <math>dV</math>. Namagnesowanie woksela zależeć będzie od całkowitej liczby jąder atomowych znajdujących się w objętości <math>dV</math>. W związku z tym, uwzględniając jednostkę stałej <math>B</math> oraz namagnesowania <math>M^{0}</math> możemy przepisać równanie (<xr id="eq:mierzony_sygnal"/>) do następującej postaci:
<equation id="58"><math>
S\left(k_{x},k_{y}\right) = B'e^{-\frac{\gamma B_{0}t}{T_{2}}}\int\int \rho^{0}_{xy}e^{-i\left(k_{x}x + k_{y}y\right)}dxdy
</math></equation>
gdzie <math>B'</math> to stała zależna już tylko od właściwości cewek, natomiast <math>\rho^{0}_{xy}</math> jest gęstością jąder atomowych w badanej warstwie. Widzimy zatem, iż mierzony sygnał jest transformatą Fouriera gęstości jąder atomowych, z dokładnością do wagi, zależnej od natężenia statycznego pola magnetycznego oraz czasu relaksacji <math>T_{2}</math><ref>Należy również pamiętać, iż wyznaczona gęstość jąder atomowych (w praktyce jąder atomu wodoru) zależy również od czasu powtarzania wzbudzeń jąder atomowych (''Time Repetition —TR'') oraz czasu echa spinowego (''Time Echo — TE'')</ref>.
Rozkład gęstości jąder atomowych można wyznaczyć obliczając odwrotną transformatę Fouriera równania (<xr id="eq:mierzony_sygnal"/>)
<equation id="59"><math>
\rho^{0}_{xy} = B'e^{-\frac{\gamma B_{0}t}{T_{2}}}\int\int S\left(k_{x},k_{y}\right)e^{i\left(k_{x}x + k_{y}y\right)}dk_{x}dk_{y}
</math></equation>
Podsumowując:
Główną informacją jaką otrzymujemy za pomocą obrazowania metodą jądrowego rezonansu magnetycznego jest rozkład gęstości
jąder atomowych. Z uwagi, iż jądro atomu wodoru ma największy spośród jąder atomowych współczynnik giromagnetyczny, a także ze względu na wysokie stężenie wodoru w organizmie ludzkim, za pomocą MRI uzyskuje się obraz rozkładu gęstości tego właśnie pierwiastka. W badaniu otrzymamy zatem bardzo dobry obraz tkanek miękkich (np. mózg), co odróżnia tą metodę od Rentgenowskiej Tomografii Komputerowej, najlepiej obrazującą kości. Ponadto, mierząc czasy relaksacji namagnesowania — <math>T_{1}</math> i <math>T_{2}</math> możliwe jest uzyskanie informacji o pewnych właściwościach fizyko-chemicznych tkanek.

==Podstawowa Sekwencja Gradientów Pola Magnetycznego==
[[File:rekonstrukcja_mri.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:rekonstrukcja_mri.png"></figure>Podstawowa sekwencja pól gradientowych.]]
W tym rozdziale dokonamy pewnego podsumowania dotychczas zdobytej wiedzy dotyczącej procesu kodowania i dekodowania obrazu w Magnetycznym Rezonansie Jądrowym. Podstawowa sekwencja kodująca oraz proces dekodowania został zaprezentowany na <xr id="fig:rekonstrukcja_mri">rys. %i</xr>
Z uwagi na ograniczoną ilość miejsca pod rysunkiem, jego opis znajdzie w treści rozdziału. Załóżmy, że chcemy zobrazować wybraną warstwę głowy pacjenta. Obraz zostanie utworzony za pomocą macierzy <math>M</math>x<math>N</math> pikseli. Proces obrazowania będzie składał się następujących kroków:
# Umieszczenia pacjenta w stałym polu magnetycznym o indukcji <math>B_0</math>. Po wykonaniu tego kroku momenty magnetyczne jąder wykonują precesję z częstością <math>\omega_0 = \gamma B_0</math>. Powstaje wypadkowe namagnesowanie <math>M_0</math> w kierunku pola <math>\vec{B}_0</math>. Załóżmy, że w głowie pacjenta znajdują się tylko dwa obszary dające znaczące sygnały. Obszary te wypełniona różnymi odcieniami szarości.
# Włączenia pola gradientowego w kierunku osi ''z'' (przyjęto, że jest to oś biegnąca wzdłuż badanego). Następuje zróżnicowanie precesji momentów magnetycznych protonów. Częstość precesji zależy teraz od współrzędnej ''z'' w następujący sposób: <math>\omega_{0} = \gamma\left(B_{0} + G_{zz}z\right)</math>. Równocześnie wraz z gradientem pola zostaje włączony impuls pobudzający (RF) <math>\frac{\pi}{2}</math> o częstości <math>\omega_1</math>. Wywoła on pobudzenie tych momentów magnetycznych, których częstość precesji Larmoura wynosi <math>\omega = \omega_1</math>, czyli <math>\omega_1 = \gamma\left(B_{0} + G_{zz}z\right)</math>. Są to momenty magnetyczne znajdujące się w płaszczyźnie ''x-y'' o współrzędnej ''z'' równej: <math>z = \frac{\left(\omega_{1} - \gamma B_{0}\right)}{\gamma G_{z}}</math>. W wokselach leżących w wybranej warstwie następuje zmiana orientacji wektora namagnesowania <math>M_0</math> o kąt <math>\frac{\pi}{2}</math>. Warto zauważyć, iż po wyłączeniu tego pola gradientowego, momenty magnetyczne ponownie ruch precesyjny z częstością Larmoura <math>\omega=\gamma B_0</math>, jednak w odróżnieniu od wektorów leżących w innych warstwach maja one zmienioną orientację.
# Wzdłuż osi ''y'' zostaje włączone na pewien okres czasu kolejne pole gradientowe, którego wartość na <xr id="fig:rekonstrukcja_mri">rys. %i</xr> oznaczono kolorem żółtym. Wektor magnetyzacji zaczynają rotację w płaszczyźnie ''x-y'' z różną prędkością (ale tą samą dla zadanej współrzędnej ''y''). Po wyłączeniu pola gradientowego, częstość precesji wraca do wartości <math>\omega = \gamma B_0</math>, jednakże wektory namagnesowania wirują w płaszczyźnie ''x-y'' w różnej fazie.
# Następuje kolejne włączenie pola gradientowego, tym razem wzdłuż osi ''x''. Momenty magnetyczne, a także namagnesowanie zaczyna wirować z różną częstością, zależną od współrzędnej ''x''. Jednocześnie wraz z włączeniem tego gradientu następuje pomiar sygnału. Na tym etapie kodowania obrazu, można powiedzieć, że wektory namagnesowania znajdujące się w wokselach leżących w tej samej kolumnie (oś ''y'') rotują z tą samą częstością, natomiast wektory namagnesowania, znajdujące się w tym samym wierszu (os ''x'') rotują z tą samą fazą. Należy pamiętać, iż włączenie gradientu wzdłuż osi ''y'' w poprzednim etapie zmieniło jedynie fazę sygnału FID. Sygnały o tej samej częstości i różnej fazie nałożą się na siebie, dając pewien sygnał wypadkowy. Innymi słowy, na podstawie widma zarejestrowanego sygnału FID możliwe jest w tej chwili rozróżnienie z której kolumny pochodzą składowe mierzonego sygnału. Nie znamy natomiast współrzędnej ''y'' wokseli, z których pochodzi istotny sygnał. W związku z tym całość pomiaru (poczynając od etapu 2) należy powtórzyć, tyle razy, ile mamy wierszy w obrazie, za każdym razem zmieniając wartość gradientu pola magnetycznego wzdłuż osi ''y'' lub długość czasu jego trwania.
# Wartości Transformat Fouriera zapisywane są w tzw. współrzędnych przestrzeni K, tworząc pewną macierz. Wykonanie odwrotnej, dwuwymiarowej Transformaty Fouriera tej macierzy umożliwia wyznaczenie rozkładu przestrzennego namagnesowania.

==Co obrazuje Magnetyczny Rezonans Jądrowy==

===Rozkład gęstości protonów===
W trakcie badania MRI dokonywany jest pomiar namagnesowania małych jednostek objętości (wokseli) danego obszaru pacjenta. Namagnesowanie woksela jest proporcjonalne do liczby momentów magnetycznych cząstek znajdujących się w nim cząstek posiadających momenty magnetyczne. Spośród wielu atomów, które wchodzą w skład organizmu ludzkiego i posiadających spin, wodór charakteryzuje się największą abundancją oraz jądrem
o największym momencie magnetycznym. MRI będzie zatem obrazował głownie rozkład gęstości wodoru. W przeciwieństwie do Metod Rentgenowskich, MRI będzie zatem bardzo dobrze obrazował tkanki miękkie.

===Kontrast <math>T_{1}</math> oraz <math>T_{2}</math>===
Bardzo ważną informację diagnostyczną można również uzyskać, wykorzystując do tego czas pomiaru relaksacji <math>T_1</math> i <math>T_2</math>. Relaksacja wektora namagnesowania następuje w wyniku oddziaływania momentów magnetycznych z otoczeniem. Na podstawie zmian w szybkości zaniku namagnesowania poprzecznego lub odbudowie namagnesowania podłużnego można zatem wyciągnąć pewne wnioski diagnostyczne. Dokonuje się tego przy pomocy odpowiednio dobranej sekwencji pola pobudzającego, którego skutkiem będzie lepsze uwidocznienie na obrazie obszarów o krótkim czasie <math>T_1</math> lub krótkim czasie <math>T_2</math>. Mówimy wtedy odpowiednio o obrazie T1 zależnym lub T2 zależnym, bądź kontraście T1 lub T2.

Obok rozkładu gęstości jąder atomu wodoru, za pomocą MRI możemy wyznaczyć również czasy relaksacji magnetyzacji podłużnej — <math>T_{1}</math> oraz magnetyzacji poprzecznej — <math>T_{2}</math>. Czasy te zależą od właściwości fizyko-chemicznych tkanek. Z dotychczasowych badań wiadomo, iż czasy relaksacji tkanki zdrowej, różnią się znacznie od czasów relaksacji tej samej tkanki chorej (np. rakowej). Czasy relaksacji zawierają zatem niezwykle cenna z punktu widzenia diagnostyki informacje.





==Budowa skanera MRI==

===Cewki pola statycznego===

Podstawowym elementem aparatury MRI są przyrządy wytwarzające pola magnetyczne (statyczne jak i gradientowe) oraz rejestrujące sygnał namagnesowania.
Statyczne pole magnetyczne <math>\vec{B}_{0}</math> można wygenerować za pomocą:
# Magnesów trwałych. Małe zużycie prądu elektrycznego, nieskomplikowana budowa aparatury, ogólnie niskie koszty obsługi. Skaner ma mniejsze rozmiary niż w przypadku skanerów w których pole magnetyczne jest wytwarzane w inny sposób, ponadto ma budowę otwartą (pacjent nie znajduje się w wąskim cylindrze), co zwiększa komfort badania (np. u pacjentów z klaustrofobią).
#*Wady — trwałe magnesy są ciężkie, wytwarzają pola magnetyczne w granicy: 0.064 T - 0.3 T.
# Elektromagnesów. Pole magnetyczne powstaje w wyniku przepływu prądu przez cewkę. Elektromagnesy mogą mieć rdzeń powietrzny lub stalowy. Zalety — otwarta budowa zwiększająca komfort badania, można wyłączyć skaner, jeśli jest nieużywany, niska cena skanera.
#*Wady — wysokie zużycie energii elektrycznej, ograniczone wartość wytwarzanego pola magnetycznego < 0.2 - 0.3T, potrzebne chłodzenie wodne, wytworzone pole magnetyczne "''rozprzestrzenia''" się na boki.
# Magnesów nadprzewodzących — najczęściej stosowane. Pole magnetyczne wytwarzane jest przez przepływ prądu w cewkach umieszczonych w ciekłym helu, w celu redukcji zjawiska oporu elektrycznego — W temperaturze 4 Kelvinów (-269<math>^{o}</math>) opór ten zanika.
#*Zalety — możliwość generowania silnych, bardzo jednorodnych pól magnetycznych — do 12T, a co za tym idzie możliwość rejestracji sygnału namagnesowania o wysokim SNR oraz skrócenie czasu wykonywania skanu. Ponadto niskie zużycie prądu elektrycznego.
#*Wady — drogi skaner, wysokie koszty związane z obsługą aparatury kriogenicznej, aparatura hałaśliwa i o zwartej budowie — mniejszy standard wygody dla pacjenta, wrażliwszy na artefakty ruchowe, skomplikowana budowa (cewki nadprzewodzące muszą być zabezpieczone wieloma warstwami termicznymi, oraz przestrzeniami próżniowymi, aby chronić Hel przed zagotowaniem się i eksplozją).

===Cewki nadawczo odbiorcze===

Źródłem sygnału pobudzającego jądra atomowe w zjawisku jądrowego rezonansu magnetycznego, jak i odbiornikiem rejestrującym wytworzony sygnał namagnesowania są tzw. Cewki RF. Istnieje wiele różnorodnych typów cewek, przeznaczonych do określonych badań, można je jednak podzielić na dwie grupy:
#Cewki objętościowe. Wewnątrz takiej cewki wytworzone zostaje jednolite pole magnetyczne, wymagają jednak, aby badana część pacjenta znajdowała się w środku cewki.
# Cewki powierzchniowe. Jak sama nazwa wskazuje cewki takie umieszczane są na powierzchni, blisko obszaru, który ma być badany. Cewki takie zapewniają sygnał o wysokim SNR oraz wysoką rozdzielczość otrzymywanych obrazów. Wada tych cewek jest szybka strata jednolitości otrzymywanego obrazu, w przypadku gdy badany obiekt przemieści się poza cewkę.



==Podstawy kwantowego opisu zjawiska Rezonansu Magnetycznego==

[[File:quantum_mri.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:quantum_mri"></figure>Ilustracja powstawania stanów kwantowych oraz pobudzenia wzbudzenia przejść pomiędzy nimi. A — przy braku zewnętrznego pola magnetycznego poziomy energetyczne odpowiadające różnym rzutom momentu pędu na oś ''Z'' charakteryzują się tą samą energię. Umieszczenie próbki w stałym polu magnetycznych wywołuje powstanie dwóch stanów kwantowych o różnych energiach. Nieznaczna większość protonów znajdzie się w stanie o niższej energii. Za pomocą fali elektromagnetycznej o odpowiedniej energii ( częstości) można doprowadzić do przejść jąder do wyższego poziomu energetycznego. B — po wyłączeniu fali elektromagnetycznej, jądra przechodzą ze stanu wzbudzonego do stanu podstawowego oddając wcześniej zaabsorbowana energię.]]
Podstawowy opis kwantowy zjawiska rezonansu magnetycznego przeprowadzimy dla protonu. Przypominamy, własny moment pędu protonu opisywany jest spinową liczbą kwantową <math>I = \frac{1}{2}</math>, długość wektora momentu pędu wynosi <math>|\vec{I}| = \frac{\sqrt{3}}{2}\hbar </math>, zaś rzut wektora spinu na oś ''Z'' może przyjmować wartości: <math>\vec{I}_{z} = \pm\frac{1}{2}\hbar </math>. Pod nieobecność zewnętrznego pola magnetycznego, rzutom wektora spinu proton una oś ''Z'' odpowiadają stany o tej samej energii. 
Wprowadzenie próbki w stałe pola magnetyczne o wartości <math>B_0</math> i kierunku równoległego do osi ''X'' powoduje rozczepienie tych stanów. Rzut wektora momentu magnetycznego (związanego ze spinem) na oś ''Z'' może mieć kierunek równoległy lub przeciwny do kierunku pola magnetycznego. Rzutom tym odpowiadają dwa poziomy energetyczne:
<equation id="60"><math>
\begin{array}{l}
E_1 = -\frac{1}{2}\hbar\gamma B_0\\
\\
E_2 = \frac{1}{2}\hbar \gamma B_0\\
\end{array}
</math></equation>
gdzie: <math>E_1, E_2</math> to odpowiednio energia stanu związanego z równoległym i przeciwnym rzutem momentu magnetycznego na kierunek stałego pola magnetycznego. Zgodnie z zasadami termodynamiki, protony będą dążyły do zajmowania stanów o niższej energii. Dostarczając dodatkową energię, np. za pomocą fali elektromagnetycznej, można doprowadzić do przejścia protonów ze stanu podstawowego do wzbudzonego. Częstość fali elektromagnetycznej można wyliczyć w następujący sposób. Różnica energii pomiędzy dwoma stanami wynosi:
<equation id="61"><math>
\Delta E = E_2 - E_1 = \hbar \gamma B_0
</math></equation>
Fala elektromagnetyczna o częstości <math>\omega_0</math> posiada energię:
<equation id="62"><math>
E = \hbar \omega_0
</math></equation>
Energia fali elektromagnetycznej powinna być równa różnicy energii dwóch stanów kwantowych:
<equation id="63"><math>
\Delta E = \hbar \omega_0 \rightarrow \hbar \gamma B_0 = \hbar \omega_0
</math></equation>
ostatecznie, częstość fali wzbudzającej przejścia pomiędzy poziomami energetycznymi jest równa:
<equation id="64"><math>
\omega_0 = \gamma B_0
</math></equation>
Po wyłączeniu fali pobudzającej, protony przechodzą ze stanu wzbudzonego do stanu podstawowego, emitując nadmiar energii.
Pobudzeniowa fala elektromagnetyczna może być wygenerowana za pomocą cewki, która po wyłączeniu emisji fali może również rejestrować energię emitowaną przez protony przechodzące do stanu podstawowego.
Bardziej rozszerzony (nieobowiązkowy dla studentów opis zjawiska magnetycznego rezonansu jądrowego można znaleźć w kolejnym rozdziale).

==Kwantowy opis zjawiska Rezonansu Magnetycznego==
Zastosowanie modelu kwantowego prowadzi do pełniejszego w porównaniu z modelem klasycznym opisu zjawiska NMR, jednak ze względu na skomplikowaną postać samej Teorii Kwantów, model kwantowy może być trudny w zrozumieniu. Z kolei model klasyczno-kwantowy (zaprezentowany w dotychczasowych rozdziałach), jest łatwiejszy do przyswojenia i dla pewnej klasy problemów uzyskuje się za jego pomocą te same wyniki co w modelu kwantowym.

Nim przejdziemy do szczegółowego opisu zjawiska NMR, dokonamy zestawienia niektórych z postulatów leżących u podstaw Mechaniki Kwantowej i Klasycznej oraz przypomnimy sobie znaczenie pewnych pojęć stosowanych w fizyce.

<ol>

<li>
Układem fizycznym (w dalszej części skryptu nazywanym w skrócie układem) określa się zbiór ciał.

<li>
Stan układu jest najmniejszym zbiorem informacji pozwalającym odpowiedzieć na wszelkie pytania dotyczące układu.

<li>
W Mechanice Klasycznej pomiar wielkości fizycznej można wykonać z dokładnością ograniczoną jedynie precyzją dostępnej aparatury. Sam pomiar nie wpływa na układ.

<li>
W Mechanice Kwantowej nie można dokonać jednoczesnego pomiaru pewnych wielkości fizycznych z dowolną dokładnością. Ograniczenie to, znane jako Zasada Nieoznaczoności Heisenberga, nie ma nic wspólnego z precyzja aparatury pomiarowej. Jest to jedno z praw przyrody, któremu podlegają np. pomiary położenia i pędu:

::<math>
\Delta x\Delta p_{x}\ge \hbar </math>

gdzie:

<ul>

<li>
<math>\Delta x</math> i <math>\Delta p_x</math> to odpowiednio nieoznaczoność położenia i pędu wzdłuż osi <math>x</math>

</ul>

pomiary energii i czasu:

::<math>
\Delta E\Delta t\ge \hbar </math>

gdzie:

<ul>

<li>
<math>\Delta E</math> i <math>\Delta t</math> to odpowiednio nieoznaczoność energii i czasu.

</ul>

pomiary składowych wektora momentu pędu (w Mechanice Kwantowej obserwowalna jest w danym pomiarze tylko jedna ze składowych wektora oraz jego długość).
Możliwy jest natomiast jednoczesny pomiar z dowolną dokładnością np. energii i pędu. Warto zauważyć, że chociaż nie da się, zgodnie z Zasadą Nieoznaczoności, jednocześnie zmierzyć np. położenia i pędu cząstki, to można wyznaczyć osobno rozkład prawdopodobieństwa dla pędów i rozkład
prawdopodobieństw dla położeń w danym stanie układu. Mierząc dostatecznie dużo takich rozkładów prawdopodobieństwa, można określić stan układu. Pojedynczą wielkość da się w zasadzie zmierzyć z dowolną dokładnością, ale jeżeli mamy kilka takich samych układów w tym samym stanie, to na ogół dla każdego z nich pomiar tej wielkości da inny wynik.

<li>
W Mechanice Klasycznej położenie, orientacja oraz wielkości charakteryzujące ruch układu w danej chwili określają stan układu w tej chwili. W przypadku cząstki punktowej do określenia jej stanu w przestrzeni trójwymiarowej wystarczy sześć wielkości jednowymiarowych: 3 współrzędne opisujące położenie cząstki oraz 3 wielkości charakteryzujące jej ruch (prędkość lub pęd).

<li>
W Mechanice Kwantowej stan układu określony jest za pomocą funkcji falowej <math>\psi \left(\vec{r},t\right)</math>. Funkcja falowa zawiera pełną informacje o stanie układu. Zwykle jednak nie da się przewidzieć wyniku pomiaru znając nawet dokładnie stan układu.

<li>
Interpretacja fizyczna funkcji falowej jest następująca (cyt. z pracy <ref name="bid0"> Iwo Białynicki-Birula, Marek Cieplak, Jerzy Kamiński Teoria Kwantów. Mechanika Falowa. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1991.</ref>)

Funkcja falowa <math>\psi \left(\vec{r},t\right)</math> opisuje fale prawdopodobieństwa. Wielkość <math>\psi ^{*}\left(\vec{r},t\right)\psi \left(\vec{r},t\right)</math> jest gęstością prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w punkcie <math>\vec{r}</math> w chwili <math>t</math>.
Inaczej mówiąc, całka:
<math>P_{D}\left(t\right)=\int _{D}d^{3}\vec{r}\left|\psi \left(\vec{r},t\right)\right|^{2}</math> jest prawdopodobieństwem znalezienia cząstki w chwili <math>t</math> w obszarze <math>D</math>.

<li>
Funkcja falowa musi spełniać warunek unormowania<ref>Warunek unormowania został arbitralnie wprowadzony w pierwszej pracy Schrödingera dotyczącej równania falowego.</ref>:
<math>\int _{D}d^{3}\vec{r}\left|\psi \left(\vec{r},t\right)\right|^2 = 1</math>.
Innymi słowy, prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w dowolnym punkcie przestrzeni jest równe jedności.

<li>
W Mechanice Klasycznej pomiar wielkości fizycznej nie wpływa na układ.

<li>
W Mechanice Kwantowej zwykle nie można gwarantować, że stan układu po pomiarze będzie taki sam jak przed pomiarem. W szczególności
ponowny pomiar wielkości, która przedtem była dobrze określona, może dać (zupełnie) inny wynik.

<li>
W Mechanice Kwantowej dowolnej, dobrze określonej obserwabli fizycznej (takiej jak pęd, energia, masa czy moment pędu), dalej oznaczanej przez <math>C</math>, odpowiada operator <math>\hat{C}</math> taki, że w wyniku pomiaru obserwabli <math>C</math> otrzymujemy wartości zmierzone <math>c</math>, które są wartościami własnymi operatora <math>\hat{C}</math>:

::<math>
\hat{C}\phi = c\phi </math>

gdzie: <math>\phi </math> jest funkcją własną operatora <math>\hat{C}</math>.

<li>
W Mechanice Kwantowej, jeśli układ znajduje się w stanie <math>\psi \left(\vec{r},t\right)</math>, to średnia wartość dowolnej obserwabli fizycznej <math>C</math> związanej z układem w chwili czasu <math>t</math> dana jest wzorem:

<equation id="uid21">
<math>
\left<C\right> = \int \psi ^{*}\left(\vec{r},t\right)\hat{C}\psi \left(\vec{r},t\right)d^{3}\vec{r}
</math>
</equation>

</ol>

==Spin==

Dokładny opis spinu, który jest wielkością kwantową, wykracza znacznie poza ramy materiału niniejszego skryptu. Zainteresowanych czytelników odsyłamy do prac <ref name="bid0" />, <ref name="bid1">Richard L. Liboff Wstęp do Mechaniki Kwantowej. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa
1987.</ref>, <ref name="bid2">Leszek Adamowicz Mechanika Kwantowa. Formalizm i Zastosowania. Oficyna Wydawnicza
Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2005.</ref>, na podstawie których został napisany niniejszy rozdział. W tym miejscu natomiast ograniczymy się do podania kilku faktów, obserwacji, czy uwag, mając nadzieję, że wystarczą one czytelnikom do zrozumienia, czym jest spin, przynajmniej w takim stopniu, który ułatwi im przyswojenie wiadomości na temat Jądrowego Rezonansu Magnetycznego. Podstawowymi elementami, z których składa się materia, są cząstki takie jak elektron, proton oraz neutron, które posiadają spin równy <math>\frac{1}{2}</math>. Najbardziej rozpowszechnionym pierwiastkiem w organizmach żywych jest wodór, którego jądra — protony, odgrywają podstawową rolę w otrzymywaniu obrazów MR. W związku z tym omówienie pojęcia spinu ograniczymy do przypadku spinu równego <math>\frac{1}{2}</math>.

<ol>

<li>
Zjawiska takie jak rozszczepienie w niejednorodnym polu magnetycznym wiązki atomowej na dwie składowe, zaobserwowane przez Sterna i Gerlacha w roku 1922, czy dubletowa struktura widm pierwiastków alkalicznych nie zostały wyjaśnione w ramach teorii budowy atomu zaproponowanej przez Bohra. Doświadczenie przeprowadzone przez Sterna i Gerlacha, jak również i badania spektroskopowe wskazywały na nie uwzględnienie w teorii Bohra pewnej wielkości fizycznej — nieznanego, dodatkowego stopnia swobody elektronu.

<li>
W roku 1925 Uhlenbeck i Goudsmit wprowadzają pojecie spinu, jako wewnętrznego momentu pędu elektronu. Uhlenbeck i Goudsmit przyjęli, iż elektron wiruje<ref>W języku angielskim słowo spin oznacza wirowanie</ref> wokół własnej osi, co w naturalny sposób umożliwiło im wytłumaczenie istnienia dodatkowego stopnia swobody oraz wyjaśnienie dubletowej struktury widm pierwiastków alkalicznych. Obecnie wiadomo, iż obraz elektronu jako wirującej kulki zaproponowany przez Uhlenbecka i Goudsmita jest nieprawidłowy.

<li>
W roku 1926 Schrödinger publikuje serię czterech prac dotyczących równania falowego (nazwanego później równaniem Schrödingera), które dla elektronu znajdującego się w polu elektromagnetycznym przyjmuje następującą postać <ref name="bid0" />:

<equation id="uid27">
<math>
i\hbar\frac{\partial \psi \left(\vec{r},t\right)}{\partial t} = \left[ \frac{1}{2m} \left(\frac{\hbar }{i} \nabla - e \vec{A}\right)^2 + e \phi (\vec{r}) \right]\psi \left(\vec{r},t\right)
</math>
</equation>

gdzie:

<ul>

<li>
<math>\vec{B} = \nabla \times \vec{A}</math>

<li>
<math>\vec{E} = -\nabla \phi - \frac{\Delta \vec{A}}{\Delta t}</math>

<li>
<math>\vec{B}</math> to wektor indukcji magnetycznej

<li>
<math>\vec{E}</math> to wektor natężenia pola elektrycznego

</ul>

<li>
Rozwiązaniem równania (<xr id="uid27"> %i</xr>) są funkcje skalarne, które jednak nie opisują właściwie zachowania się elektronu w polu magnetycznym.

<li>
W przyrodzie obserwujemy zarówno fale skalarne (np. fale dźwiękowe) jak i fale wektorowe (np. fale elektromagnetyczne). Fale wektorowe mogą ulegać polaryzacji. Doświadczenie Sterna-Gerlacha wskazuje na to, że również fale prawdopodobieństwa mogą zostać spolaryzowane, zaś pole magnetyczne inaczej wpływa na poszczególne składowe polaryzacyjne <ref name="bid0" />.

<li>
Najprostszym sposobem wprowadzenia oddziaływania zależnego od pola magnetycznego i polaryzacji funkcji falowej do równania Schrödingera, jest przedstawienie go w postaci następującego układu równań <ref name="bid0" />:

<equation id="uid35">
<math>
\begin{array}{l}
i \hbar \frac{\partial \psi _{+}\left(\vec{r},t\right)}{\partial t} = \left[\frac{1}{2m}\left( \frac{\hbar }{i}\nabla - e \vec{A}\right)^{2} + e \phi - \mu B \right] \psi _{+}\left(\vec{r},t\right) \\
\\
i \hbar \frac{\partial \psi _{-}\left(\vec{r},t\right)}{\partial t} = \left[\frac{1}{2m}\left( \frac{\hbar }{i}\nabla - e \vec{A}\right)^{2} + e \phi + \mu B \right] \psi _{-}\left(\vec{r},t\right)
\end{array}
</math>
</equation>

<li>
Funkcja falowa cząstki posiadającej spin powinna zależeć nie tylko do zmiennych przestrzennych, ale również od dyskretnej zmiennej spinowej, opisującej wartość rzutu spinu na dowolnie wybraną w przestrzeni oś. Funkcja taka, oznaczmy ją dalej przez <math>\psi \left(\vec{r},t,m_{s}\right)</math>, będzie zbiorem różnych funkcji numerowanych przez parametr <math>m_{s}</math> związany ze spinem. Operator spinu działając na funkcję falową, będzie działał jedynie na składowe spinowe.

<li>
Równanie (<xr id="uid35"> %i</xr>) nie jest dogodną formą opisu oddziaływania pola magnetycznego ze spolaryzowaną falą prawdopodobieństwa. W roku 1927 Pauli pokazał, jak z dwóch funkcji falowych, przypisanych dwóm stanom polaryzacyjnym cząstki zbudować wielkość wektorową. Pomijając skomplikowane przekształcenia matematyczne, podamy rozwiązanie do którego doszedł Pauli. Z dwóch składowych polaryzacyjnych funkcji falowej: <math>\psi \left(\vec{r},t\right)_{+}</math> i <math>\psi \left(\vec{r},t\right)_{-}</math>, można zbudować dwuwymiarowy wektor i wektor do niego sprzężony:

<equation id="uid38">
<math>
\begin{array}{l}
\psi \left(\vec{r},t\right) = \left[
\begin{array}{l}
\psi _{+}\left(\vec{r},t\right) \\
\\
\psi _{-}\left(\vec{r},t\right)
\end{array}
\right]\\
\\
\psi ^{*}\left(\vec{r},t\right) = \left[
\psi ^{*}_{+}\left(\vec{r},t\right), \psi ^{*}_{-}\left(\vec{r},t\right) \right]
\end{array}
</math>
</equation>

który spełnia następujące równanie falowe:

<equation id="uid39">
<math>
i \hbar \frac{\partial \psi \left(\vec{r},t\right)}{\partial t} = \left[ \frac{1}{2m} \left( \frac{\hbar }{i}\nabla - e \vec{A}\right)^{2} + e \phi (\vec{r}) - \mu \vec{B} \vec{\sigma } \right] \psi \left(\vec{r},t\right)
</math>
</equation>

gdzie:

<ul>

<li>
<math>\vec{B}</math> jest indukcją pola magnetycznego, zaś <math>\vec{\sigma }</math> jest wektorem zbudowanym z tzw. macierzy Pauliego <math>\sigma _{x}</math>, <math>\sigma _{y}</math>, <math>\sigma _{z}</math>:

</ul>

<equation id="uid41">
<math>
\vec{\sigma }=\left[\mathbf {\sigma }_{x},\mathbf {\sigma }_{y},\mathbf {\sigma }_{z}\right]
</math>
</equation>

<equation id="uid42">
<math>
\begin{array}{l}
\sigma _{x} =
\left[
\begin{array}{cc}
0 & 1\\
1 & 0
\end{array}
\right]\\
\\
\sigma _{y} =
\left[
\begin{array}{cc}
0 & -i\\
i & 0
\end{array}
\right]\\
\\
\sigma _{z} =
\left[
\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & -1
\end{array}
\right]
\end{array}
</math>
</equation>

Iloczyn wektora <math>\vec{\sigma }</math> oraz wektora <math>\vec{B}</math> wynosi:

<equation id="uid43">
<math>
\vec{B}\vec{\sigma } =
\left[
\begin{array}{cc}
B_{z} & B_{x} - iB_{y}\\
\\
B_{x} + iB_{y} & -B_{z}
\end{array}
\right]
</math>
</equation>

<li>
W roku 1928 Dirac podał równanie falowe dla relatywistycznej cząstki o spinie <math>\frac{1}{2}</math> poruszającej się w polu elektromagnetycznym.
Rozwiązanie równania Diraca dla elektronu doprowadziło do wniosku, że spin jest składową całkowitego momentu pędu cząstki, wnosząc do niego wkład równy <math>\frac{1}{2}\hbar </math>. Równanie Diraca przewiduje istnienie spinu jako efektu relatywistycznego.

<li>
Operatory składowych wektora spinu są następujące <ref name="bid3" />:

<equation id="uid46">
<math>
\begin{array} {l}
\hat{s}_{x} = \frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
0 & 1\\
1 & 0
\end{array}
\right]\\
\\
\hat{s}_{y} = \frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
0 & -i\\
i & 0
\end{array}
\right]\\
\\
\hat{s}_{z} = \frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & -1
\end{array}
\right]
\end{array}
</math>
</equation>

a zatem operator spinu jest równy:

<equation id="uid47">
<math>
\hat{S} = \frac{1}{2}\hbar \vec{\sigma }
</math>
</equation>

</ol>

Podsumowując, spin należy rozumieć w ramach Mechaniki Kwantowej jako wyraz istnienia stanów polaryzacyjnych funkcji falowej (w przypadku elektronu, protonu, neutronu i niektórych jąder będą to dwa stany polaryzacyjne). Spin jest własnością cząstek, taką samą jak np. masa lub ładunek, ale obserwowalną dopiero w eksperymentach ujawniających kwantową naturę materii. Spin jest także składową całkowitego momentu pędu, niezwiązaną z ruchem, można go zatem również interpretować jako własny (wewnętrzny) moment pędu cząstki.

===Spin i moment magnetyczny jądra atomowego===

Jądra atomowe zawierające nieparzystą liczbę protonów lub neutronów mają niezerowy własny moment pędu <math>\vec{I}</math> (spin) oraz związany z nim moment magnetyczny. Zgodnie z regułami opisu wielkości wektorowych w mechanice kwantowej, jednocześnie może być obserwowalna tylko długość wektora oraz wartość jednej z jego składowych (tzw. rzut tego wektora na wyróżnioną oś, nazywaną osią kwantowania). W przypadku wektora własnego momentu pędu jądra atomowego jego długość wynosi <ref name="bid3" />:

<equation id="uid49">
<math>
|\vec{I}| = h\sqrt{I\left(I+1\right)}
</math>
</equation>

gdzie:

<ul>

<li>
<math>I</math> oznacza liczbą kwantową o wartości całkowitej lub połówkowej.

</ul>

Składowa <math>z</math> momentu pędu wyraża się następującym wzorem <ref name="bid3" />:

<equation id="uid51">
<math>
I_{z} = m_{I}h, \textrm { } m_{I} = I,I-1,\dots ,I
</math>
</equation>

Możliwych jest zatem <math>2I+1</math> orientacji spinu jądra względem wyróżnionego kierunku, odpowiadających możliwym wartościom jądrowej magnetycznej liczby kwantowej <math>m_{I}</math>. W przypadku protonu (jądra atomu wodoru), mamy <ref name="bid3" />:

::<math>
\begin{array}{l}
I=1/2\\
\\
|\vec{I}| = \frac{\sqrt{3}}{2}\hbar \\
\\
(\vec{I})_{z} = \pm \frac{1}{2}\hbar \end{array}
</math>

Moment magnetyczny związany jest ze spinem następującą zależnością <ref name="bid3" />:

<equation id="uid52">
<math>
\vec{\mu }_{I} = \gamma \vec{I}
</math>
</equation>

Energia potencjalna oddziaływania momentu magnetycznego z polem magnetycznym wynosi:

<equation id="uid59">
<math>
V = -\vec{\mu }\cdot \vec{B}
</math>
</equation>

Zgodnie z prawami termodynamiki układ fizyczny dąży do stanu, w którym jego energia wewnętrzna osiągnie wartość minimalną.
Rozważmy pole <math>\vec{B}</math>, posiadające tylko składową wzdłuż osi <math>z</math> (czyli <math>\vec{B}_0 = \left[ 0, 0, B_0\right]</math>), układu odniesienia.
W przypadku protonu, posiadającego ładunek dodatni, kierunek momentu magnetycznego jest zgodny z kierunkiem jego własnego momentu pędu, a zatem również rzuty momentu magnetycznego i momentu pędu na oś <math>z</math> są równoległe. Orientacji momentu pędu zgodnej z kierunkiem pola <math>\vec{B}</math> będzie odpowiadać energia potencjalna:

::<math>
V = -\frac{1}{2}\hbar \gamma B_0
</math>

natomiast orientacji antyrównoległej:

::<math>
V = \frac{1}{2}\hbar \gamma B_0 </math>

Ustawienie najkorzystniejsze energetycznie odpowiada więc sytuacji, kiedy składowa <math>z</math> spinu ustawiona jest w równolegle do kierunku pola <math>\vec{B}_0</math> (magnetyczna liczba kwantowa <math>m_{I}=\frac{1}{2}</math>).

===Precesja spinu i momentu magnetycznego w stałym polu magnetycznym — opis kwantowy dla cząstki o spinie 1/2===

Ze względu na wysokie naturalne rozpowszechnienie wodoru w organizmach żywych, oddziaływanie spinu z polem magnetycznym omówimy na przykładzie protonu. Dodatkowo, aby uprościć problem, rozważmy proton mający stałe położenie w przestrzeni oraz pole magnetyczne <math>\vec{B}_{0}</math>, które ma niezerową składową tylko wzdłuż osi <math>z</math>, czyli <math>\vec{B}=\left[0, 0, B_{0}\right]</math>. W takim przypadku równanie Pauliego przybierze następującą postać:

<equation id="uid61">
<math>
\frac{\partial \psi \left(\vec{r},t\right)}{\partial t} = \left[\frac{1}{2m}\left(\frac{\hbar }{i}\nabla \right)^2 - \mu \vec{B}\vec{\sigma }\right]\psi \left(\vec{r},t\right)
</math>
</equation>

Powyższe równanie można rozwiązać metodą rozdzielenia zmiennych przestrzennych i spinowych <ref name="bid0" />:

<equation id="uid62">
<math>
\psi \left(\vec{r},t\right) = \psi _{r}\left(\vec{r},t\right)\chi \left(t\right)
</math>
</equation>

gdzie:

<ul>

<li>
<math>\psi _{r}\left(\vec{r},t\right)</math> — zależy wyłącznie od współrzędnych przestrzennych i czasu

<li>
<math>\chi \left(t\right)</math> — jest dwuskładnikowym spinorem.

</ul>

w wyniku podstawienia równania (<xr id="uid62"> %i</xr>) do równania (<xr id="uid61"> %i</xr>) uzyskujemy następujący układ dwóch niezależnych równań:

<equation id="uid65">
<math>
\begin{array}{l}
i\hbar \frac{\Delta \psi _{r}\left(\vec{r},t\right)}{\Delta t} = - \frac{\hbar ^{2}}{2m}\nabla ^{2}\psi \left(\vec{r},t\right) \\ \\
i\hbar \frac{\Delta \chi \left(t\right)}{\Delta t} = - \mu \vec{\sigma }\vec{B}\psi \left(\vec{t}\right)
\end{array}
</math>
</equation>

Interesuje nas ewolucja spinu, dlatego rozwiążemy dalej tylko równanie dla funkcji <math>\chi \left(t\right)</math>.
Podstawiając:

<equation id="uid66">
<math>
\vec{\sigma }\vec{B}=
\left[
\begin{array}{cc}
\mu B_{0} & 0 \\
0 & -\mu B_{0}
\end{array}
\right]
</math>
</equation>

do równania (<xr id="uid65"> %i</xr>), otrzymujemy:

<equation id="uid67">
<math>
i\hbar \frac{\Delta \chi \left(t\right)}{\Delta t} =
\left[
\begin{array}{cc}
\mu B_{0} & 0 \\
0 & -\mu B_{0}
\end{array}
\right]\chi \left(t\right)
</math>
</equation>

Jest to układ równań różniczkowych rzędu pierwszego o rozwiązaniach postaci:

<equation id="uid68">
<math>
\begin{array}{l}
\chi _{+}\left(t\right) = ae^{i\frac{\mu B_{0}}{\hbar }t}
\left[
\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}
\right]\\
\\
\chi _{-}\left(t\right) = be^{-i\frac{\mu B_{0}}{\hbar }t}
\left[
\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}
\right]
\end{array}
</math>
</equation>

Dokonajmy analizy jednostkowej uzyskanego rozwiązania.
Argument funkcji wykładniczej powinien być bezwymiarowy.
Wielkość <math>\mu B_{0}</math> ma wymiar energii, z kolei stała Planka ma wymiar <math>\left[\textrm {Js}\right]</math>, a zatem:

::<math>
\pm i\frac{\mu B_{0}}{\hbar } = \left[\frac{J}{Js}\right] = \left[\frac{1}{s}\right]
</math>

Oznaczmy dalej wielkość <math>\frac{\mu B_{0}}{\hbar }</math>, w następujący sposób:

<equation id="uid69">
<math>
\omega ^{\prime }_{0} = \frac{\mu B_{0}}{\hbar }
</math>
</equation>

Ostatecznie, otrzymane rozwiązanie możemy przedstawić w dwóch formach:

<equation id="uid70">
<math>
\chi \left(t\right) =
ae^{i\omega ^{\prime }_{0}t}\left[
\begin{array}{l}
1\\
0
\end{array}
\right]
+
be^{-i\omega ^{\prime }_{0}t}\left[
\begin{array}{l}
0\\
1
\end{array}
\right]
</math>
</equation>

lub

<equation id="uid71">
<math>
\chi \left(t\right) =
ae^{i\frac{E}{\hbar }t}\left[
\begin{array}{l}
1\\
0
\end{array}
\right]
+
be^{-i\frac{E}{\hbar }t}\left[
\begin{array}{l}
0\\
1
\end{array}
\right]
</math>
</equation>

gdzie:

<ul>

<li>
<math>E = \mu B_{0}</math>

</ul>

Jak można zauważyć, rozwiązaniem równania falowego (<xr id="uid65"> %i</xr>) jest funkcja:

<ul>

-
<li>
ortogonalna

-
<li>
ortonormalna, o ile zostanie spełniony warunek:

::<math>
\left|a\right|^{2} + \left|b\right|^{2} = 1
</math>

</ul>

Rozwiązanie to spełnia zatem postulaty mechaniki kwantowej dotyczące postaci funkcji falowej.
Wartości <math>\left|a\right|^{2}</math> i <math>\left|b\right|^{2}</math> można traktować jako prawdopodobieństwa znalezienia jądra atomowego w stanie odpowiednio o spinie skierowanym w górę i spinie skierowanym w dół.

Wyznaczymy teraz wartości oczekiwane operatora składowych spinu korzystając ze wzoru (<xr id="uid21"> %i</xr>).
Na początku uprościmy zapis funkcji falowej. Wprowadźmy skrócone oznaczenie:

::<math>
\begin{array}{l}
\alpha = ae^{i\omega ^{\prime }_{0}t}\\
\beta = be^{-i\omega ^{\prime }_{0}t}
\end{array}
</math>

umożliwiające zapis funkcji falowej w następującej formie

<equation id="uid75">
<math>
\chi \left(t\right) =
\alpha \left[
\begin{array}{l}
1\\
0
\end{array}
\right]
+
\beta \left[
\begin{array}{l}
0\\
1
\end{array}
\right]=
\left[
\begin{array}{l} \alpha \\
\beta \end{array}
\right]
</math>
</equation>

Składowa <math>z</math> operatora spinu

::<math>
\hat{C}\phi =\frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & -1
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\alpha \\
\beta \end{array}
\right]
= \frac{\hbar }{2}\left[
\begin{array}{c}
\alpha \\
-\beta \end{array}
\right]
</math>

::<math>
\phi ^{*}\hat{C}\phi = \frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
\alpha ^{*} & \beta ^{*}
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\alpha \\
-\beta \end{array}
\right] =
\frac{\hbar }{2}\left(
\begin{array}{cc}
\left|\alpha \right|^{2} - \left|\beta \right|^{2}
\end{array}
\right)
</math>

ostatecznie:

<equation id="uid76">
<math>
\left<\hat{s}_{z}\right> = \frac{\hbar }{2}\left(a^{2} - b^{2}\right)
</math>
</equation>

Składowa <math>x</math> operatora spinu

::<math>
\hat{C}\phi =\frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
0 & 1\\
1 & 0
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\alpha \\
\beta \end{array}
\right]
= \frac{\hbar }{2}\left[
\begin{array}{c}
\beta \\
\alpha \end{array}
\right]
</math>

::<math>
\phi ^{*}\hat{C}\phi = \frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
\alpha ^{*} & \beta ^{*}
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\beta \\
\alpha \end{array}
\right] =
\frac{\hbar }{2}\left(
\begin{array}{cc}
\alpha ^{*}\beta - \beta \alpha ^{*}
\end{array}
\right)
</math>

po podstawieniu za <math>\alpha </math> i <math>\beta </math> odpowiednich wyrażeń otrzymujemy:

<equation id="uid77">
<math>
\left<\hat{s}_{x}\right> = \hbar ab\cos \left(2\omega ^{\prime }_{0}t\right)
</math>
</equation>

Składowa <math>y</math> operatora spinu

::<math>
\hat{C}\phi =\frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
0 & -i\\
i & 0
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\alpha \\
\beta \end{array}
\right]
= i\frac{\hbar }{2}\left[
\begin{array}{c}
-\beta \\
\alpha \end{array}
\right]
</math>

::<math>
\phi ^{*}\hat{C}\phi = i\frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
\alpha ^{*} & \beta ^{*}
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
-\beta \\
\alpha \end{array}
\right] =
\frac{\hbar }{2}\left(
\begin{array}{cc}
-\alpha ^{*}\beta + \beta \alpha ^{*}
\end{array}
\right)
</math>

po podstawieniu za <math>\alpha </math> i <math>\beta </math> odpowiednich wyrażeń otrzymujemy:

<equation id="uid78">
<math>
\left<\hat{s}_{y}\right> = -\hbar ab\sin \left(2\omega ^{\prime }_{0}t\right)
</math>
</equation>

Podsumowując, otrzymaliśmy następujący układ równań na wartości oczekiwane składowych operatora spinu:
<equation id="uid79"><math>
\begin{array}{l}
<\hat{s}_{z}> = \frac{\hbar }{2}\left(a^{2} - b^{2}\right)\\
\\
<\hat{s}_{x}> = \hbar ab\cos \left(2\omega^{\prime }_{0}t\right)\\
\\
<\hat{s}_{y}> = -\hbar ab\sin \left(2\omega^{\prime }_{0}t\right)
\end{array}
</math>
</equation>

Z powyższych równań możemy wyciągnąć następujące, ważne wnioski:

<ol>

<li>
Jeżeli <math>\left|a\right|^{2}=1</math> i <math>\left|b\right|^{2}=0</math> lub gdy <math>\left|a\right|^{2}=0</math> i <math>\left|b\right|^{2}=1</math>, czyli gdy spin jest zawsze ustawiony w górę lub w dół, to wtedy wartość oczekiwana składowej <math>z</math> operatora spinu wynosi <math>\frac{\hbar }{2}</math>, natomiast znikają wartości oczekiwane składowych w płaszczyźnie <math>x-y</math>.

<li>
Jeżeli <math>\left|a\right|^{2}=\left|b\right|^{2}</math>, czyli gdy tak samo prawdopodobne jest ułożenie spinu równoległe jak i antyrównoległe do osi <math>z</math>, to wtedy znika wartość oczekiwana składowej <math>z</math> operatora spinu, natomiast wartości oczekiwane w płaszczyźnie <math>x-y</math> są równe <math>\frac{\hbar }{2}</math>.

<li>
Wartość oczekiwana operatora spinu wzdłuż osi <math>z</math> jest stała w czasie, natomiast wartości oczekiwane w płaszczyźnie <math>x-y</math> wirują z częstością <math>2\omega ^{\prime }_{0}</math>. Częstość <math>\omega _{0}=2\omega ^{\prime }_{0}</math> jest nazywana częstością precesji Larmour. W przypadku protonu lub neutronu częstość Larmour można zapisać również w postaci:

::<math>
\omega _{0}=2\omega ^{\prime }_{0} = 2\frac{\mu B_{0}}{\hbar } = 2\gamma B_{0}I = \gamma B_{0}
</math>

gdzie <math>\gamma </math> jest współczynnikiem giromagnetycznym odpowiadającym poszczególnym cząstkom, zaś <math>I=\frac{1}{2}</math>
czyli:

<equation id="uid83">
<math>
\omega _{0} = \gamma B_{0}
</math>
</equation>

<li>
Wartości oczekiwane operatora spinu: <math>\left<\hat{s}_{x}\right></math>, <math>\left<\hat{s}_{y}\right></math> i <math>\left<\hat{s}_{z}\right></math> możemy interpretować jako precesję spinu. Możemy również utworzyć wektor: <math>\left<\hat{s}\right> = \left[\left<\hat{s}_{x}\right>, \left<\hat{s}_{y}\right>, \left<\hat{s}_{z}\right>\right]</math>

<li>
Precesja spinu następuje zgodnie z ruchem wskazówek zegara, a więc wektor prędkości kątowej jest skierowany antyrównolegle do osi <math>z</math>. W przypadku, kiedy cząstka lub jądro charakteryzuje się ujemnym momentem magnetycznym, precesja następuje w kierunku przeciwnym do wskazówek ruchu zegara<ref><math>\cos \left(-2\omega _{0}\right)=\cos \left(2\omega _{0}\right)</math>, zaś <math>\sin \left(-2\omega _{0}\right)=-\sin \left(2\omega _{0}\right)</math></ref>

::<math>
\begin{array}{l}
\hat{s}_{z} = \frac{\hbar }{2}\left(a^{2} - b^{2}\right)\\
\\
\hat{s}_{x} = \hbar ab\cos \left(2\omega _{0}t\right)\\
\\
\hat{s}_{y} = \hbar ab\sin \left(2\omega _{0}t\right)
\end{array}
</math>

</ol>

===Rezonans magnetyczny, ujęcie kwantowe===

Pod wpływem zewnętrznego pola magnetycznego <math>\vec{B}_{0}</math> spiny jądrowe zostają uporządkowane, w wyniku czego w badanej próbce powstaje
makroskopowy moment magnetyczny (namagnesowanie). Niestety, obserwowalna może być tylko składowa namagnesowania równoległa do pola <math>\vec{B}_{0}</math>.Stosowane w diagnostyce MRI pola <math>\vec{B}_{0}</math> mają wartości od <math>0.5</math> do <math>4</math>T. Wytworzone przez takie pole namagnesowanie jest niewielkie i szybko zanika wraz z odległością.
Zarejestrowanie na tle silnego pola <math>\vec{B}_{0}</math> miliony razy słabszego namagnesowanie jest niezwykle trudne. Wiemy jednak, zgodnie z prawem Faradaya, że statyczne pole magnetyczne nie indukuje pola elektrycznego. Aby wyindukować pole elektryczne, potrzebna jest zmiana strumienia pola magnetycznego. Gdybyśmy potrafili w jakiś sposób wpłynąć na kierunek wytworzonego w próbce namagnesowania lub jego wielkości, moglibyśmy mierzyć sygnał elektryczny z nim związany np. przy pomocy cewek, podczas gdy pole <math>\vec{B}_{0}</math> przez taką cewkę nie byłoby rejestrowane.

[[Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metodą_Magnetycznego_Rezonansu_Jądrowego#Zmiana_orientacji_wektora_namagnesowania._Magnetyczny_Rezonans_J.C4.85drowy|W rozdziale o zmianie orientacji wektora namagnesowania]] podaliśmy wzór, z których wynikało, iż obsadzenie stanów związanych ze spinem jądra atomowego wpływa na składowe wektora wartości oczekiwanej momentu magnetycznego. Powstaje zatem pytanie, w jaki sposób zaburzyć powstałą pod wpływem pola <math>\vec{B}_{0}</math> równowagę. Jak przenieść cześć jąder z podstawowego poziomu energetycznego, do stanu wzbudzonego? Odpowiedz w ramach teorii pół-klasycznej, została podana w rozdziale [https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/action/edit/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metod%C4%85_Magnetycznego_Rezonansu_J%C4%85drowego?section=8].
Przypominamy, że próbkę trzeba umieścić w dodatkowym, słabym, zmiennym w czasie polu magnetycznym, mającym niezerowe składowe tylko w płaszczyźnie <math>x-y</math>, które oznaczymy jako <math>\vec{B}_{1}\left(t\right)</math>. Sprawdzimy jednak, jakie są konsekwencje
umieszczenia próbki w takim polu. Całkowite pole magnetyczne, w którym znajduje się badana próbka wynosi:

<equation id="uid2">
<math>
\vec{B}\left(t\right) = \vec{B}_{0} + \vec{B}_{1}\left(t\right)
</math>
</equation>

gdzie:

<ul>
<dt>

<li>
<math>\vec{B}_{0} = \left[0,0, B_{0}\right]</math>

<dt>

<li>
<math>\vec{B}_{1}\left(t\right) = \left[B_{1}\cos \left(\omega t\right),-B_{1}\sin \left(\omega t\right),0\right]</math>

</ul>

Podstawiając wzór (<xr id="uid2"> %i</xr>) do wzoru
(<xr id="uid61"> %i</xr>), oraz przyjmując zgodnie ze
wzorem (<xr id="uid38"> %i</xr>), że poszukujemy rozwiązania postaci:

<equation id="uid5">
<math>
\chi \left(t\right) =
\left[
\begin{array}{l}
\chi _{1}\left(t\right) \\
\chi _{2}\left(t\right)
\end{array}
\right] =
\chi _{1}\left(t\right)\left[
\begin{array}{l}
1\\
0
\end{array}
\right]
+
\chi _{2}\left(t\right)\left[
\begin{array}{l}
0\\
1
\end{array}
\right]
</math>
</equation>

otrzymujemy następujący układ równań:

<equation id="uid6">
<math>
\begin{array}{l}
i\frac{d\chi _{1}\left(t\right)}{dt} =
-\frac{\mu }{\hbar }\left(B_{1}e^{i\omega t}\chi _{2}\left(t\right) +
B_{0}\chi _{1}\left(t\right)\right)\\
\\
i\frac{d\chi _{2}\left(t\right)}{dt} =
-\frac{\mu }{\hbar }\left(B_{1}e^{-i\omega t}\chi _{1}\left(t\right) +
B_{0}\chi _{2}\left(t\right)\right)
\end{array}
</math>
</equation>

Domyślamy się, że rozwiązaniem powyższego układu równań będą funkcje:

<equation id="uid7">
<math>
\begin{array}{l}
\chi _{1}\left(t\right) = ae^{i\left(\omega + \omega _{r}\right)t}\\
\\
\chi _{2}\left(t\right) = be^{i\omega _{r} t}
\end{array}
</math>
</equation>

Wstawienie równań (<xr id="uid7"> %i</xr>) do
(<xr id="uid6"> %i</xr>) daje jednorodne równanie
macierzowe:

<equation id="uid8">
<math>
\underbrace{\left[
\begin{array}{cc}
\left(\frac{\mu B_{0}}{\hbar } - \omega - \omega _{r}\right) &
\frac{\mu B_{0}}{\hbar } \\
\\
\frac{\mu B_{0}}{\hbar } & -\left(\frac{\mu B_{0}}{\hbar } +
\omega _{r}\right)
\end{array}
\right]
}_{\Delta }
\left[
\begin{array}{c}
a \\
\\
b
\end{array}
\right] = 0
</math>
</equation>

które ma nietrywialnie rozwiązanie tylko wtedy, gdy znika wyznacznik
macierzy <math>\Delta </math>.
Warunek ten prowadzi do równania:

<equation id="uid9">
<math>
\omega _{r}^{2} + \omega \omega _{r} - \frac{\mu B_{0}}{\hbar }\left(\frac{\mu B_{0}}{\hbar } - \omega \right) -
\left(\frac{\mu B_{0}}{\hbar }\right)^{2} = 0
</math>
</equation>

Dozwolone wartości parametru <math>\omega _{r}</math> są zatem równe:

<equation id="uid10">
<math>
\omega _{r} = -\frac{\omega }{2} \pm \Omega </math>
</equation>

gdzie:

<equation id="uid11">
<math>
\Omega = \left[\left(\frac{\omega }{2} - \frac{\mu B_{0}}{\hbar }\right)^{2} + \left(\frac{\mu B_{1}}{\hbar }\right)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}
</math>
</equation>

Parametr <math>\Omega </math> nazywany jest częstością Rabiego.
Rozwiązanie ogólne np. dla <math>\chi _{2}\left(t\right)</math> będzie kombinacją
liniową dwóch składowych, odpowiadającym dwóm częstościom
(<xr id="uid11"> %i</xr>):

<equation id="uid12">
<math>
\chi _{2}\left(t\right) =
b_{1}e^{i\left(-\frac{\omega }{2}+\Omega \right)t} +
b_{2}e^{i\left(-\frac{\omega }{2}-\Omega \right)t}
</math>
</equation>

Przyjmijmy teraz, że w chwili czasu <math>t=0</math> proton znajduje się w stanie
podstawowym (czyli ma spin skierowany równolegle do pola <math>B_{0}</math>),

<equation id="uid13">
<math>
\left|\chi _{2}\left(t=0\right)\right|^{2} = 1
</math>
</equation>

wówczas:

<equation id="uid14">
<math>
b_{1} = -b_{2}
</math>
</equation>

Podstawiając (<xr id="uid12"> %i</xr>) do drugiego z równań
(<xr id="uid6"> %i</xr>) daje następującą postać funkcji
<math>\chi _{2}\left(t\right)</math>:

<equation id="uid15">
<math>
\chi _{2}\left(t\right) = i\frac{\mu B_{1}}{\hbar \Omega }e^{-\frac{i\omega t}{2}}sin\left(\Omega t\right)
</math>
</equation>

Rozwiązanie <math>\chi _{1}\left(t\right)</math>, odpowiadające szczególnej postaci
<math>\chi _{2}\left(t\right)</math> można otrzymać korzystając z drugiego z równań
(<xr id="uid6"> %i</xr>):

<equation id="uid16">
<math>
\chi _{1}\left(t\right) = e^{\frac{i\omega t}{2}}\cos \left(\Omega t\right) + \frac{i}{\Omega }\left(\frac{\omega }{2} - \frac{\mu B_{0}}{\hbar }\right)e^{\frac{i\omega t}{2}}sin\left(\Omega t\right)
</math>
</equation>

Podsumowując, otrzymaliśmy następujące rozwiązanie opisujące ewolucję
spinu protonu w polu magnetycznym <math>\vec{B}\left(t\right)</math>:

<equation id="uid17">
<math>
\begin{array}{l}
\chi \left(t\right) =
\left[
\begin{array}{l}
\chi _{1}\left(t\right) \\
\chi _{2}\left(t\right)
\end{array}
\right] =
\chi _{1}\left(t\right)\left[
\begin{array}{l}
1\\
0
\end{array}
\right]
+
\chi _{2}\left(t\right)\left[
\begin{array}{l}
0\\
1
\end{array}
\right]
\\
\\
\textrm {gdzie:}\\
\\
\chi _{1}\left(t\right) = e^{\frac{i\omega t}{2}}\cos \left(\Omega t\right) + \frac{i}{\Omega }\left(\frac{\omega }{2} -
\frac{\mu B_{0}}{\hbar }\right)e^{\frac{i\omega t}{2}}sin\left(\Omega t\right)
\\
\chi _{2}\left(t\right) = i\frac{\mu B_{1}}{\hbar \Omega }e^{-\frac{i\omega t}{2}}sin\left(\Omega t\right)\\
\end{array}</math>
</equation>

Obliczymy teraz prawdopodobieństwo znalezienia protonu w stanie o rzucie
spinu <math>-\frac{1}{2}</math> w chwili czasu <math>t</math>:

<equation id="uid18">
<math>
P_{-}\left(t\right) = \left|\chi _{2}\left(t\right)\right|^{2} =
\left(\frac{\mu B_{1}}{\hbar \Omega }\right)^{2}\sin ^{2}\left(\Omega t\right)
</math>
</equation>

Prawdopodobieństwo to oscyluje w czasie. Oczywiście prawdopodobieństwo
znalezienia protonu w stanie o rzucie spinu <math>-\frac{1}{2}</math>
jest równe <math>P_{+}\left(t\right) = 1 - P_{+}\left(t\right)</math>.
Przeanalizujmy otrzymany wynik. Amplituda oscylacji prawdopodobieństwa
zależy od częstości Rabiego:

::<math>
\Omega = \left[\left(\frac{\omega }{2} - \frac{\mu B_{0}}{\hbar }\right)^{2} + \left(\frac{\mu B_{1}}{\hbar }\right)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}
</math>

Jeżeli częstość <math>\omega </math> zmiennego pola magnetycznego będzie dowolnie
duża lub dowolnie mała, częstość Rabiego osiągnie znaczne wartości, a w
związku z tym prawdopodobieństwo przejścia jądra ze stanu o rzucie spinu
w górę do stanu o rzucie spinu w dół będzie zawsze niskie.
W momencie, gdy zostanie spełniony warunek:

<equation id="uid19">
<math>
\hbar \omega = 2\mu B_{0}
</math>
</equation>

przy jednoczesnym założeniu, że <math>B_{1}\ll B_{0}</math>, częstość Rabiego wyniesie:

::<math>
\Omega = \left(\frac{\mu B_{1}}{\hbar }\right)
</math>

a amplituda oscylacji prawdopodobieństwa osiąga maksymalną wartość:

<equation id="uid20">
<math>
P_{-}\left(t\right) = \sin ^{2}\left(\Omega t\right)
</math>
</equation>

Równanie (<xr id="uid19"> %i</xr>) określa tzw. warunek wystąpienia zjawiska
jądrowego rezonansu magnetycznego. Warto zauważyć, że energia pola
magnetycznego, jaką trzeba dostarczyć, aby uzyskać przejście jądra ze
stanu o rzucie spinu <math>\frac{1}{2}</math> do stanu o rzucie spinu
<math>-\frac{1}{2}</math> jest równa różnicy energii poziomów energetycznych
protonów umieszczonych w zewnętrznym polu <math>B_{0}</math>, bowiem:

<equation id="uid21">
<math>
\begin{array}{c}
E_{+} = -\mu B_{0} \\
\\
E_{-} = \mu B_{0} \\
\\
E_{-} - E_{+} = 2\mu B_{0}\\
\end{array}
</math>
</equation>

Jak wiemy, częstość precesji Larmour jest równa <math>\frac{2\mu B_{0}}{\hbar}</math>, a zatem
warunek rezonansowy możemy zapisać również w postaci:

<equation id="uid22">
<math>
{\omega = \omega _{0}}
</math>
</equation>

Prawdopodobieństwo przejścia jądra protonu ze stanu o rzucie spinu
<math>\frac{1}{2}</math> do stanu o rzucie <math>-\frac{1}{2}</math>, równe <math>50\%</math> zostanie
osiągnięte po czasie:

<equation id="uid23">
<math>
\sin ^{2}\left(\Omega t\right) = \frac{1}{2}
</math>
</equation>

czyli:

<equation id="uid24">
<math>
\sin \left(\Omega t\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}
</math>
</equation>

skąd dostajemy:

<equation id="uid25">
<math>
{t = \frac{\pi }{4\Omega }}
</math>
</equation>

Jest to tzw. impuls <math>\pi </math> — zastosowanie zmiennego pola magnetycznego o
takim czasie trwania impulsu doprowadzi do zaniku namagnesowania
podłużnego, powstanie natomiast namagnesowanie poprzeczne, co dokładniej
omówimy w dalszej części rozdziału.

Z kolei przejścia protonu do stanu o wyższej energii nastąpi po czasie:

<equation id="uid26">
<math>
{t = \frac{\pi }{2\Omega }}
</math>
</equation>

Jest to tzw. impuls <math>\frac{\pi }{2}</math>, powodujący zmianę orientacji spinu
protonu w zewnętrznym polu magnetycznym.

Znaleźliśmy zatem sposób na zmianę orientacji spinu, a w związku z tym i
namagnesowania.
W warunkach rezonansu funkcja falowa spinu wyraża się następującym wzorem:

<equation id="uid27">
<math>
\chi \left(t\right) = \cos \left(\Omega t\right)e^{\frac{i\omega t}{2}}
\left[
\begin{array}{l}
1\\
0
\end{array}
\right]
+ ie^{-\frac{i\omega t}{2}}sin\left(\Omega t\right)
\left[
\begin{array}{l}
0\\
1
\end{array}
\right]
</math>
</equation>

Korzystając ze wzoru na funkcję falową, podobnie jak w to uczyniliśmy w
rozdziale [https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/action/edit/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metod%C4%85_Magnetycznego_Rezonansu_J%C4%85drowego?section=36], możemy policzyć składowe wektora
wartości oczekiwanych operatora spinu. Wynoszą one:

<equation id="uid28">
<math>
\begin{array}{l}
\langle\hat{s}_{z}\rangle = \frac{1}{2}\hbar \cos \left(2\Omega t\right)\\
\\
\langle\hat{s}_{x}\rangle = \frac{1}{2}\hbar \sin \left(2\Omega t\right)\cos \left(2\omega _{0}t\right)\\
\\
\langle\hat{s}_{y}\rangle = -\frac{1}{2}\hbar \sin \left(2\Omega t\right)\sin \left(2\omega _{0}t\right)
\end{array}
</math>
</equation>

Z równań tych wynika, że w płaszczyźnie <math>x-y</math> wartość oczekiwana spinu
jest superpozycją dwóch rodzajów ruchów — szybkiego, z częstością
<math>2\omega _{0}</math> (częstością Larmour) oraz modulacji <math>2\Omega _{0}</math>,
natomiast składowa <math>z</math> wartości oczekiwanej momentu magnetycznego
odchyla się od kierunku zgodnego z polem <math>B_{0}</math> (równoległego do osi
<math>z</math>) w stronę kierunku przeciwnego do kierunku do pola <math>B_{0}</math>.

Ważne uwagi

<ol>

<li>
Zarówno w rozdziale [https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/action/edit/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metod%C4%85_Magnetycznego_Rezonansu_J%C4%85drowego?section=36], gdzie
opisywaliśmy precesję spinu w zewnętrznym polu magnetycznym, jak i w
rozdziale bieżącym, pominęliśmy w rozwiązaniach czynnik fazowy. Pełni on
jednak bardzo istotną role w opisie zjawiska NMR. W wyniku
wykonywania precesji w różnej fazie przez spiny jądrowe, zanika składowa
poprzeczna namagnesowania.

<li>
W przypadku wystąpienia rezonansu jądrowego, zewnętrzne pole
<math>\vec{B}_{1}\left(t\right)</math> oprócz indukowania przejść między poziomami
energetycznymi, powoduje również synchronizację składowych wartości
oczekiwanych spinu w płaszczyźnie <math>x-y</math>. Pół-klasycznym wytłumaczeniem
tego efektu zajmiemy się jeszcze w następnym rozdziale. Warto jednak już
w tym miejscu zapamiętać, iż procesy prowadzące do synchronizacji lub
desynchronizacji ruchu spinów zawierają niezwykle cenną informację
diagnostyczną.

</ol>

Podsumowując:

<ol>

<li>
W zewnętrznym, statycznym polu magnetycznym, skierowanym
wzdłuż osi <math>z</math>, spin protonu wykonuje ruch precesyjny z częstością
Larmour. Składowa <math>z</math> wartości oczekiwanej spinu jest stała w czasie,
składowe poprzeczne wykonują ruch wirowy w płaszczyźnie <math>x-y</math>.

<li>
Różnym ułożeniom spinu względem pola magnetycznego
odpowiadają różne energie potencjalne. W przypadku spinu równego
<math>\frac{1}{2}</math> istnieją dwa poziomy energetyczne, które będą obsadzane
przez jądra zgodnie z rozkładem Boltzmanna. Poziom odpowiadający
równoległemu rzutowi spinu na kierunek zewnętrznego pola magnetycznego,
jest korzystniejszy energetycznie, dlatego będzie obsadzany częściej.

<li>
Desynchronizacja ruchu wirowego wartości oczekiwanej spinów w
płaszczyźnie <math>x-y</math> uniemożliwia powstanie namagnesowania poprzecznego.
Obserwujemy tylko namagnesowanie podłużne.

<li>
Pod wpływem odpowiednio dobranego pola magnetycznego, można
doprowadzić do przejść między poziomami energetycznymi protonu. Jeżeli
energia kwantu promieniowania jest równa różnicy poziomów
energetycznych, proton absorbuje energię pola i przechodzi ze stanu o
podstawowego do stanu wzbudzonego. Następnie, po pewnym czasie pozbywa
się nagromadzonej energii, przechodząc z powrotem w stan podstawowy.
Przejścia te możliwe są tylko wtedy, kiedy kwant promieniowania ma
energię odpowiadającą częstości precesji Larmour spinu protonu w
zewnętrznym polu magnetycznym <math>B_{0}</math>.

<li>
Po pobudzeniu protonu impulsem <math>\frac{\pi }{2}</math> zanika
równowaga termodynamiczna w obsadzeniu stanów, a wraz z nią składowa <math>z</math>
wartości oczekiwanej spinu i związane nią namagnesowanie podłużne.

<li>
Jednocześnie, w wyniku synchronizacji w płaszczyźnie <math>x-y</math>
wartości oczekiwanej spinów tych jąder atomowych, które uległy przejściu
rezonansowemu, zaczyna powstawać namagnesowanie poprzeczne.

<li>
W trakcie przechodzenia protonów ze stanu podstawowego do
stanu wzbudzonego, obserwowane namagnesowanie podłużne zanika, podczas
gdy narasta namagnesowanie poprzeczne. Obserwujemy zatem efekt,
odchylania się wypadkowego namagnesowania od osi <math>z</math> w kierunku
płaszczyzny <math>x-y</math>.

<li>
W wyniku procesów prowadzących do rozpraszania nagromadzonej
przez proton energii oraz desynchronizacji ruchów precesyjnych zanika
namagnesowanie poprzeczne, natomiast odbudowuje się składowa podłużna
namagnesowania.

<li>
Zmianom kierunku i wielkości namagnesowania towarzyszy zmiana
indukcji pola elektrycznego, która może być rejestrowana przez cewki.
W szczególności, sygnał pochodzący od składowej poprzecznej
namagnesowania nosi nazwę sygnału FID (Free Induction Decay).

</ol>

==Terminy stosowane w diagnostyce MRI==
* '''Sekwencją''' nazywamy w badaniu MRI serię odpowiednio impulsów, zastosowaną w celu rejestracji danych pomiarowych i odtworzenia obrazu.
* '''RF — Radio Frequency''' to impuls generujący zmienne w czasie pole magnetyczne <math>\vec{B}_{1}</math>, pod wpływem którego jądra zajmują wyższe poziomy energetyczne związane ze spinem
* '''TR — Repetition Time''' jest to czas pomiędzy kolejnymi impulsami wzbudzającymi <math>\pi/2</math> (RF)
* '''TE — Echo Time''' jest to czas pomiędzy momentem wystąpienia impulsu pobudzającego <math>\pi/2</math> a momentem rejestracji sygnału echa spinowego.
* '''FA — Flip Angle''' to kąt o który ma być przekręcona magnetyzacja od osi <math>z</math> w kierunku płaszczyzny <math>x-y</math>. Zazwyczaj jest to kąt równy 90<math>^{o}</math>, jednakże w celu przyspieszenia badania, w niektórych sekwencjach stosuje się mniejsze kąty.
* '''TI — Inversion Time''' jest to czas pomiędzy impulsem pobudzającym <math>\pi</math> (zmiana orientacji spinu o 180<math>^{o}</math>) a impulsem pobudzającym <math>\pi/2</math>.
*'''NA or NEX Number of Acquisitions''' to liczba powtórzeń pomiaru. W celu uzyskania wysokiego SNR, pomiary można powtarzać wielokrotnie. Redukcja szumu maleje proporcjonalne do <math>\sqrt{\textrm{NA}}</math>.
----
<references/>

Obrazowanie Medyczne

2022-10-21T08:37:38Z

Jginter:

[[Category:Przedmioty specjalizacyjne]]
'''Wykład, dr Józef Ginter''' 
- [https://drive.google.com/drive/folders/1_CWuoSK2bYSAdRMKQ8rPfsCRFQmTADRS?usp=sharing notatki do wykładów z bieżącego roku i poprzednich lat] 
- [https://hackmd.io/@zYQYnFDRR1u6zPbvjYUy2Q/HyWOPyiGj blog z bieżącymi informacjami w roku 2022/23]

=Podręcznik=
'''Spis treści:'''
#[[Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Podstawowe_Parametry_Obrazów|Podstawowe Parametry Obrazów]]
#[[Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Oddziaływanie_Promieniowania_Elektromagnetycznego_z_Materią|Oddziaływanie Promieniowania Elektromagnetycznego z Materią]]
#[[Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Metody obrazowania medycznego wykorzystujące promieniowanie rentgenowskie|Metody obrazowania medycznego wykorzystujące promieniowanie rentgenowskie]]
#[[Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Podstawy Rekonstrukcji Obrazów Tomograficznych|Podstawy Rekonstrukcji Obrazów Tomograficznych]]
#[[Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Rentgenowska Tomografia Komputerowa|Rentgenowska Tomografia Komputerowa]]
#[[Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie Metodą Magnetycznego Rezonansu Jądrowego|Obrazowanie Metodą Magnetycznego Rezonansu Jądrowego]]
#[[Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Scyntygrafia, Tomografia Emisyjna Pojedynczego Fotonu, Pozytonowa Tomografia Emisyjna|Scyntygrafia, Tomografia Emisyjna Pojedynczego Fotonu, Pozytonowa Tomografia Emisyjna]]
#[[Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Zastosowanie laserów w Obrazowaniu Medycznym|Zastosowanie laserów w Obrazowaniu Medycznym]]

Autor: dr Rafał Kuś

[[edu:Książki/Obrazowanie_Medyczne#dr_Rafa.C5.82_Ku.C5.9B|Wersja do druku]]

Obrazowanie Medyczne

2021-10-20T08:08:27Z

Jginter:

[[Category:Przedmioty specjalizacyjne]]
'''dr Józef Ginter - [https://drive.google.com/drive/folders/1_CWuoSK2bYSAdRMKQ8rPfsCRFQmTADRS?usp=sharing notatki do wykładów z bieżącego roku i poprzednich lat]'''

[[Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/ImageJ_cwiczenia|Ćwiczenia z wykorzystaniem programu ImageJ]]

=Spis treści=
#[[Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Podstawowe_Parametry_Obrazów|Podstawowe Parametry Obrazów]]
#[[Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Oddziaływanie_Promieniowania_Elektromagnetycznego_z_Materią|Oddziaływanie Promieniowania Elektromagnetycznego z Materią]]
#[[Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Metody obrazowania medycznego wykorzystujące promieniowanie rentgenowskie|Metody obrazowania medycznego wykorzystujące promieniowanie rentgenowskie]]
#[[Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Podstawy Rekonstrukcji Obrazów Tomograficznych|Podstawy Rekonstrukcji Obrazów Tomograficznych]]
#[[Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Rentgenowska Tomografia Komputerowa|Rentgenowska Tomografia Komputerowa]]
#[[Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie Metodą Magnetycznego Rezonansu Jądrowego|Obrazowanie Metodą Magnetycznego Rezonansu Jądrowego]]
#[[Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Scyntygrafia, Tomografia Emisyjna Pojedynczego Fotonu, Pozytonowa Tomografia Emisyjna|Scyntygrafia, Tomografia Emisyjna Pojedynczego Fotonu, Pozytonowa Tomografia Emisyjna]]
#[[Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Zastosowanie laserów w Obrazowaniu Medycznym|Zastosowanie laserów w Obrazowaniu Medycznym]]

Autor: dr Rafał Kuś

[[edu:Książki/Obrazowanie_Medyczne#dr_Rafa.C5.82_Ku.C5.9B|Wersja do druku]]

Obrazowanie Medyczne

2018-10-15T07:22:28Z

Jginter:

[[Category:Przedmioty specjalizacyjne]]
'''dr Józef Ginter - [https://drive.google.com/drive/folders/0B0rcMdfGTuhxWHdHaTJ5OGlOVTQ?usp=sharing notatki do wykładów z bieżącego roku i poprzednich lat]'''

[[Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/ImageJ_cwiczenia|Ćwiczenia z wykorzystaniem programu ImageJ]]

=Spis treści=
#[[Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Podstawowe_Parametry_Obrazów|Podstawowe Parametry Obrazów]]
#[[Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Oddziaływanie_Promieniowania_Elektromagnetycznego_z_Materią|Oddziaływanie Promieniowania Elektromagnetycznego z Materią]]
#[[Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Metody obrazowania medycznego wykorzystujące promieniowanie rentgenowskie|Metody obrazowania medycznego wykorzystujące promieniowanie rentgenowskie]]
#[[Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Podstawy Rekonstrukcji Obrazów Tomograficznych|Podstawy Rekonstrukcji Obrazów Tomograficznych]]
#[[Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Rentgenowska Tomografia Komputerowa|Rentgenowska Tomografia Komputerowa]]
#[[Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie Metodą Magnetycznego Rezonansu Jądrowego|Obrazowanie Metodą Magnetycznego Rezonansu Jądrowego]]
#[[Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Scyntygrafia, Tomografia Emisyjna Pojedynczego Fotonu, Pozytonowa Tomografia Emisyjna|Scyntygrafia, Tomografia Emisyjna Pojedynczego Fotonu, Pozytonowa Tomografia Emisyjna]]
#[[Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Zastosowanie laserów w Obrazowaniu Medycznym|Zastosowanie laserów w Obrazowaniu Medycznym]]

Autor: dr Rafał Kuś

[[edu:Książki/Obrazowanie_Medyczne#dr_Rafa.C5.82_Ku.C5.9B|Wersja do druku]]

Obrazowanie:Obrazowanie Medyczne/Scyntygrafia, Tomografia Emisyjna Pojedynczego Fotonu, Pozytonowa Tomografia Emisyjna

2018-01-29T11:47:02Z

Jginter:

Scyntygrafia, Tomografia Emisyjna Pojedynczego Fotonu, Pozytonowa Tomografia Emisyjna

Scyntygrafia, Komputerowa Tomografia Emisyjna Pojedynczego Fotonu (ang. ''Single Photon Emmision Computed Tomograpy'', SPECT) oraz Pozytonowa Tomografia Emisyjna (ang. ''Positron Emission Tomography'') to metody tzw. Medycyny Nuklearnej. Różnią się one co do sposobu i jakości otrzymywanego obrazu — w scyntygrafii uzyskuje się obraz planarny, podczas gdy w metodzie SPECT i PET obrazy wybranych warstw pacjenta. Cechą, która łączy wymienione metody to stosowanie w procesie obrazowania tzw. radiofarmaceutyków.

==Radiofarmaceutyki==
Radiofarmaceutyk jest związkiem chemicznym składającym się z dwóch zasadniczych elementów:
* Znacznika, którym jest odpowiednio dobrany radionuklid.
* Nośnika, którym jest związek chemiczny posiadający zdolność osadzania się w odpowiednich tkankach czy narządach, bądź też jest wychwytywany przez komórki np. zmienione chorobowo.
Produkty rozpadu promieniotwórczego radiofarmaceutyku mogą być rejestrowane za pomocą odpowiedniej aparatury, dając w ten sposób informację o jego lokalizacji. W omawianych metodach obraz diagnostyczny reprezentuje zatem mapę rozkładu radiofarmaceutyku w organizmie lub narządach pacjenta.

===Przemiany Promieniotwórcze===
Spośród wielu przemian promieniotwórczych, które zachodzą w przyrodzie, w diagnostyce medycznej stosowane są dwie:
* Przemiana Gamma, która towarzyszy praktycznie każdej innej przemianie jądrowej. W jej wyniku liczba atomowa i masowa jądra atomowego pozostają niezmienione, zmianie ulega natomiast energia wzbudzonego jądra. Promieniowanie gamma jest promieniowaniem elektromagnetycznym (jest to emisja fotonu z wzbudzonego jądra). Widmo energii promieniowania gamma jest dyskretne. Przemianę Gamma można zapisać w następujący sposób:
<equation id="eq1">
<math>
_Z^AX^* \rightarrow _Z^AX + \gamma
</math>
</equation>
gdzie: 
<math>_Z^AX^*</math> — jądro w stanie wzbudzonym o liczbie masowej ''A'' i atomowej ''Z''. 
<math>_Z^AX</math> — jądro o liczbie masowej ''A'' i atomowej ''Z'' w stanie podstawowym. 
Jak wspomniano, przemiana ta towarzyszy w zasadzie każdym innym przemianom promieniotwórczym, w wyniku których jądro atomowe zostaje wzbudzone.
* Przemiana Beta<math>^+</math>. W tej reakcji proton z jądra atomowego ulega przemianie w neutron, zgodnie z poniższym wzorem:
<equation id="eq2">
<math>
p \rightarrow n + e^+ + \nu</math>
</equation>
gdzie: 
''p'' — proton, 
''n'' — neutron, 
<math>e^+</math> — pozyton, 
<math>\nu</math> — neutrino elektronowe. 

W konsekwencji, jądro atomowe zmniejsza swój ładunek o jeden:
<equation id="eq3">
<math>
_Z^AX\rightarrow _{Z-1}^AX + e^+ + \nu</math>
</equation>

W przemianie Beta<math>^+</math> dochodzi do przemiany lżejszego neutronu w cięższy proton, dlatego jest ona energetycznie mniej korzystna niż znana ze szkoły średniej przemiana Beta<math>^-</math>. Aby rozpad zaszedł, musi być dostarczona energia z zewnątrz (nie może zajść w próżni, natomiast może zajść w jądrze atomowym). Z uwagi na emisję trzech produktów w trakcie przemiany, widmo energii kinetycznej pozytonu, jaką uzyskuje on w trakcie rozpadu jest ciągłe. Pozyton nie może osiągnąć jednak energii większej niż pewna wartość maksymalna, charakterystyczna dla przemiany danego nuklidu.

==Prawo rozpadu promieniotwórczego==
Przemiana jądra atomowego jest reakcją zachodzącą samorzutnie. Oznacza to, że rozpad danego jądra nie jest powodowany żadnymi czynnikami zewnętrznymi i nie zależy od jego wcześniejszych losów. To, czy w danym momencie czasu nastąpi rozpad danego jądra możemy opisać jedynie z pomocą pojęć statystycznych określając prawdopodobieństwo takiego rozpadu. Do najważniejszych zależności opisujących rozpad promieniotwórczy należą:
* Prawo rozpadu promieniotwórczego
<equation id="eq4">
<math> N(t) = N_0e^{-\lambda t} </math>
:</equation>
:Gdzie: 
:<math>N(t)</math> — liczba jąder, które pozostały po czasie <math>t</math>, z początkowej liczby jąder <math>N_0</math>, 
:<math>\lambda</math> — stała rozpadu promieniotwórczego, określa prawdopodobieństwu zajścia rozpadu jednego jądra atomowego w jednostce czasu 
:Dodatkowo: <math>\tau = \frac{1}{\lambda}</math> — średni czas życia jądra. 
* Okres połowicznego rozpadu:
:<equation id="eq5"><math>T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}</math></equation>
:Gdzie: 
:<math>T_{1/2}</math> — czas połowicznego zaniku

==Dobór nuklidów radio-promieniotwórczych w obrazowaniu medycznym==
Utworzenia mapy rozkładu radiofarmaceutyku w organizmie człowieka wymaga zebrania odpowiedniej ilości danych. Radionuklid, nie może zatem charakteryzować się zbyt krótkim czasem połowicznego rozpadu. Z drugiej strony, materiał promieniotwórczy powinien być jak najszybciej wydalony z organizmu człowieka, aby zminimalizować dawkę promieniowania jonizującego na które narażona jest badana osoba. Dobór odpowiedniego znacznika i nośnika, które spełnią powyższe oczekiwania jest bardzo trudny, a dziedziną którą zajmuje się wspomnianymi związkami jest radiochemia. Poniżej wymienimy trzy najważniejsze cechy jakimi powinien charakteryzować się radionuklid promieniotwórczy wybrany jako znacznik.

===Czas połowicznego rozpadu i efektywny czas połowicznego rozpadu.===
Dostępny okres czasu, w trakcie którego można zbierać dane niezbędne do utworzenia mapy rozkładu radiofarmaceutyku w organizmie człowieka zależy głównie od dwóch wielkości: tempa zachodzenia rozpadu promieniotwórczego oraz szybkości wydalania radiofarmaceutyku z organizmu. Wprowadźmy następujące oznaczenia: 
<math>\tau_r, \lambda_r</math> — to odpowiednio średni czas życia i stała rozpadu radionuklidu, 
<math>\tau_b, \lambda_b</math> — to odpowiednio średni czas przebywania radiofarmaceutyku w organizmie pacjenta i stała wydalania radionuklidu z organizmu, 
Przypominamy, iż stała rozpadu określa prawdopodobieństwo rozpadu cząstki w jednostce czasu. W związku z tym, liczba cząstek radiofarmaceutyku <math>\Delta N_r</math>, która ulegnie przemianie promieniotwórczej w czasie <math>\Delta t</math> wyniesie:
<equation id="eq6"><math>
\Delta N_r = -\lambda_r N\Delta t
</math></equation>
z kolei liczba cząstek radiofarmaceutyku <math>\Delta N_b</math> wydalonych z organizmu w czasie <math>\Delta t</math> jest równa:
<equation id="eq7"><math>
\Delta N_b = -\lambda_b N\Delta t
</math></equation>
Ostatecznie, w ciągu czasu <math>\Delta t</math> liczba cząstek <math>\Delta N</math> która ulegnie rozpadowi lub wydaleniu z organizmu wynosi:
<equation id="eq8"><math>
\Delta N = \Delta N_r + \Delta N_b = -(\lambda_r + \lambda_b) N\Delta t
</math></equation>
Przechodząc w granicy do małych przyrostów <math>\Delta N</math> i <math>\Delta t</math> otrzymujemy następujące równanie różniczkowe:
<equation id="eq9">
<math> dN = -(\lambda_r + \lambda_b) N dt</math>
</equation>
którego rozwiązaniem jest następująca zależność:
<equation id="eq10">
<math> N(t) = N_0e^{-(\lambda_r + \lambda_b)t}</math>
</equation>
gdzie: 
<math>N(t)</math> — liczba cząstek radiofarmaceutyku, która nie uległa rozpadowi lub wydaleniu z organizmu po czasie <math>t</math>. 
<math>N_0</math> — początkowa liczba cząstek radiofarmaceutyku. 

Możemy wprowadzić wypadkową, efektywną stałą rozpadu, uwzględniająca proces rozpadu promieniotwórczego oraz procesy wydalania radiofarmaceutyku z organizmu:
<equation id="eq11">
<math> \lambda_e = \lambda_r + \lambda_b</math>
</equation>
i odpowiadający jej średni czas życia radionuklidu w organizmie pacjenta:
<equation id="eq12">
<math> \frac{1}{\tau_e} = \frac{1}{\tau_r} +\frac{1}{\tau_b}</math>
</equation>

Po przekształceniu ostatniego wzoru otrzymujemy:
<equation id="eq13">
<math> \tau_e = \frac{\tau_r\cdot \tau_b}{\tau_r+\tau_b}</math>
</equation>
Wykorzystując zależność pomiędzy stałą rozpadu i średnim czasem życia dostajemy okres efektywny połowicznego rozpadu promieniotwórczego w organizmie:
<equation id="eq14">
<math> T^{1/2}_e = \frac{T^{1/2}_r\cdot T^{1/2}_b}{T^{1/2}_r+T^{1/2}_b}</math>
</equation>

W przypadku, gdy do zebrania informacji niezbędnej do utworzenia obrazu diagnostycznego wymagany jest okres czasu <math>T^d</math>, czas efektywnego rozpadu radiofarmaceutyku powinien być w przybliżeniu równy czasowi <math>T^d</math>. Jeśli zastosowany do badania radiofarmaceutyk usuwany jest z organizmu z czasem połowicznego wydalania <math>T^{1/2}_b</math>, to radionuklid wchodzący w skład radiofarmaceutyku powinien charakteryzować się czasem połowicznego rozpadu równym:
<equation id="eq15">
<math> T^{1/2}_r = \frac{T^{d}\cdot T^{1/2}_b}{T^{d}+T^{1/2}_b}</math>
</equation>

Przyjmuje się, że efektywny czas półtrwania radiofarmaceutyka powinien być około 1,5 razy dłuższy niż czas procedury badania. Kryterium to jest jednak spełnione tylko dla niektórych radiofarmaceutyków.

==Detektory promieniowania γ==

[[File:gamma_camera_spectrum_1.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:gamma_camera_spectrum_1"></figure>Oczekiwane widmo promieniowania γ uzyskane za pomocą detektora scyntylacyjnego. Na osi pionowej natężenie (liczba fotonów γ padająca w jednostce czasu na scyntylator), na osi poziomej energia fotonów γ. Pionową linię nazywamy fotopikiem.]]

[[File:gamma_camera_procesy.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:gamma_camera_procesy"></figure>Diagram ścieżki oddziaływań jakim może ulec foton γ w scyntylatorze.]]

[[File:gamma_camera_spectrum_2.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:gamma_camera_spectrum_2"></figure>Rzeczywisty kształt fotopiku.]]

[[File:gamma_camera_spectrum_3.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:gamma_camera_spectrum_3"></figure>Fotopik oraz składowa widma promieniowania γ powstała w wyniku rozpraszania Comptonowskiego w krysztale scyntylacyjnym. Składowa Comptonowska gwałtownie zanika dla energii powyżej pewnego progu. Zanik ten nazywamy krawędzią Comptonowską. Linią przerywaną narysowano przebieg przykładowej rzeczywistej krawędzi Comptonowskiej. ]]

[[File:gamma_camera_spectrum_4.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:gamma_camera_spectrum_4"></figure>Fotopik, składowa widma promieniowania γ powstała w wyniku rozpraszania Comptonowskiego w krysztale scyntylacyjnym oraz składowa widma powstała w wyniku wielokrotnego rozpraszania Comptonowskiego fotonów γ w ciele pacjenta.]]

[[File:gamma_camera_spectrum_5.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:gamma_camera_spectrum_5"></figure>Składowe widma powstające w wyniku oddziaływania fotonów z materią w różnych procesach nakładają się na siebie prowadząc do rozmycia najbardziej istotnej składowej widma — fotopiku (linia przerywana).]]

Podstawowym detektorem promieniowania γ w scyntygrafii, metodzie SPECT i PET jest detektor scyntylacyjny. Składa się in z kryształu scyntylacyjnego połączony z fotopowielaczem. Schemat takiego układu zaprezentowano na <xr id="fig:fotopowielacz">rys. %i</xr>. Zasada działania detektora scyntylacyjnego polega na zamianie energii promieniowania γ na błyski światła widzialnego (scyntylacje). Wytworzona liczba błysków scyntylacyjnych jest zbyt mała, aby można było je bezpośrednio obserwować. Do ich wzmocnienia stosuje się fotopowielacz, który jest pewnym rodzajem lampy elektronowej. Fotopowielacz składa się z następujących elementów:
* Fotokatody, która pod wpływem światła widzialnego emituje elektrony.
* Siatki elektrod, nazywanych dynodami, pomiędzy którymi istnieje pewna różnica potencjałów. Elektrony emitowane przez fotokatodę, pokonują drogę pomiędzy dynodami są przyspieszane. W trakcie zderzenia z dynodą elektrony wybijają kolejne elektrony, w efekcie czego liczba elektronów narasta. Ostatnią elektrodą w fotopowielaczu jest tzw. anoda. Elektrony uderzając w anodę powodują wytworzenie impulsu elektrycznego.
Zadaniem fotopowielacza jest zatem konwersja światła widzialnego na sygnał elektryczny oraz jego wzmocnienie.

Poniżej opisano najważniejsze fakty związane z działaniem detektora scyntylacyjnego i fotopowielacza.

===Procesy zachodzące krysztale scyntylacyjnym===
* Kwant promieniowania gamma oddziałuje z atomami scyntylatora w zjawiskach: Efekt Fotoelektryczny, rozproszenie Comptona oraz Kreacja Par.
* Wytworzone w tych procesach elektrony posiadają wysoką energię i powodują wytwarzanie wtórnych elektronów.
* Wytworzone elektrony pobudzają atomy scyntylatora.
* Atomy oddają nadmiar energii w postaci promieniowania E-M w zakresie widzialnym, w liczbie około 40 fotonów na każdy keV energii promieniowania gamma.

Z punktu widzenia konwersji fotonów γ na światło widzialne, najważniejszym procesem jest efekt fotoelektryczny. W wyniku tego procesu wysokoenergetyczne kwanty promieniowania γ wybijają elektrony z atomów scyntylatora. Energia wiązania elektronów z atomami scyntylatora jest niewielka w porównaniu energią fotonów γ, dlatego możemy przyjąć iż wybite elektrony przejmują w postaci energii kinetycznej cała energię fotonu. Szybko poruszające się elektrony wzbudzają atomy scyntylatora prowadząc do aktów emisji promieniowania elektromagnetycznego z zakresu widzialnego. Natężenie fotonów światła widzialnego jest proporcjonalna do energii fotonów gamma. Z kolei światło w fotopowielaczu, co zostanie omówione w dalszej części rozdziału, ulega konwersji na sygnał elektryczny, którego amplituda jest proporcjonalna do natężenia światła padającego na fotopowielacz. Podsumowując, oczekujemy, że wejściu fotopowielacza, uzyskamy impuls elektryczny, którego amplituda odpowiada energii fotonów gamma, zaś liczba impulsów otrzymywanych w jednostce czasu z fotopowielacza odpowiada natężeniu promieniowania γ padającego na scyntylator. Wykres natężenia promieniowania γ w funkcji energii nazywamy widmem. Przebieg oczekiwanego widma fotonów γ uzyskiwanych za pomocą detektora scyntylacyjnego zaprezentowano na <xr id="fig:gamma_camera_spectrum_1">rys. %i</xr>. Pionową linię odpowiadającą energii <math>E_\gamma</math> fotonów gamma nazywamy ''fotopikiem''.

Promieniowanie elektromagnetyczne może jednak oddziaływać również z materią w procesach innych niż efekt fotoelektryczny. Fotony promieniowania γ będą w scyntylatorze ulegać rozproszeniu Comptonowskiemu oraz brać udział w procesie Kreacji Par. W wyniku zajścia efektu Comptonowskiego, powstaną wtórne fotony γ o energii niższej niż foton pierwotny. Fotony Comptonowskie z kolei mogą w wyniku procesu fotoelektrycznego wybijać elektrony, jednakże energia wybitych elektronów będzie niższa niż energia promieniowania γ. Elektrony te słabiej wzbudzą ośrodek scyntylacyjny, co doprowadzi do powstania mniejszej liczby fotonów z zakresu widzialnego. Co przełoży się na niższa amplitudę sygnału elektrycznego na wyjściu fotopowielacza. Podsumowując, fotony γ, które ulegną rozproszeniu Comptonowskiemu, będą interpretowane na wyjściu aparatury pomiarowej jako fotony γ o energii niższej niż wynikało to z rozpadu promieniotwórczego znacznika w radiofarmaceutyku.
Musimy również pamiętać, iż od momentu wniknięcia fotonu γ do kryształu scyntylacyjnego, do chwili powstania upływa pewien okres czasu, w szczególności jeśli foton nie ulegnie od razu efektowi fotoelektrycznemu. Diagram niektórych oddziaływań, jakim może być ulec foton γ zanim doprowadzi do wytworzenia błysku scyntylacyjnego zaprezentowano na <xr id="fig:gamma_camera_procesy">rys. %i</xr>. Z uwagi na skończony czas zachodzenia procesu konwersji fotonu γ na fotony widzialne, dwa kwanty promieniowania γ które wnikną w zbyt krótkich odstępach czasu do scyntylatora, będą nierozróżnialne i interpretowane jako jeden kwant o energii wyższej niż wynikałoby to z rozpadu promieniotwórczego znacznika w radiofarmaceutyku. Opisane zjawiska doprowadzą do rozmycia oczekiwanego kształtu fotopiku. Zamiast dyskretnej linii, otrzymamy krzywą o kształcie dzwonowym, której pozycja odpowiada energii fotonów γ padających na scyntylator (patrz <xr id="fig:gamma_camera_spectrum_2">rys. %i</xr>). Szerokość krzywej opisujemy za pomocą parametru FWHM. Problem rozmycia fotopiku możemy również wyjaśnić w oparciu o Mechanikę Kwantową. Jak wiemy nie jest możliwe wyznaczenie jednocześnie z dowolną dokładnością energii i czasu. Jeśli moment wystąpienia błysku scyntylacyjnego możemy określić z dokładnością Δt to związane będzie z tym rozmycie energii błysku ΔE.
Rozmycie fotopiku nie jest jedynym problemem, który utrudnia prawidłowe określenie natężenia fotonów γ w funkcji energii. Kwant promieniowania γ wytworzony w wyniku rozpadu znacznika w radiofarmaceutyku, zanim dotrze do scyntylatora, może ulec procesom które zmienią jego energię. W niniejszych materiałach opiszemy dwa najważniejsze zjawiska, prowadzące do zmiany energii fotonów γ
Pierwszym zjawiskiem jest rozpraszania Comptonowskie, które zachodzi na atomach scyntylatora. Energię rozproszonego w procesie Comptonowskim fotonu określa następujący wzór:
<equation id = “eq20”>
<math>E'=\frac{E}{1 + \frac{E}{m_ec^2}(1-\cos(\Theta))} </math>
</equation>
gdzie: 
<math>E'</math> — energia fotonu rozproszonego, 
<math>E</math> — energia fotonu padającego, 
<math>c, m_e</math> — odpowiednio prędkość światła i masa elektronu, 
<math>\Theta</math> — kąt pod jakim zostanie rozproszony foton wtórny, względem kierunku fotonu padającego. 
W przypadku gdy kierunek ruchu fotonu wtórnego jest przeciwny do kierunku ruchu padającego, mówimy o rozpraszaniu wstecznym.
Kąt <math>\Theta</math> wynosi wtedy 180 stopni, zaś energia fotonu rozproszonego wynosi:
<equation id = “eq21”>
<math>E'=\frac{E}{1 + 2\frac{E}{m_ec^2}} </math>
</equation>
Energia zdeponowana przez foton padający w krysztale scyntylacyjnym jest równa
różnicy energii fotonu padającego i fotonu rozproszonego. W przypadku rozpraszania wstecznego jest ona równa:
<equation id = “eq22”>
<math>\Delta E = E - E'=\frac{E^2}{E+255,2}[keV] </math>
</equation>

Zauważmy, iż jeśli foton ulega rozproszeniu Comptonowskiego, to może on zdeponować najwięcej energii w krysztale scyntylacyjnym właśnie w trakcie rozpraszania wstecznego. Przekaz większej energii do kryształu scyntylacyjnego w wyniku pojedynczego akty rozpraszania Comptonowskiego jest niemożliwy. Przykładowo, jeśli na do kryształu scyntylacyjnego docierają fotony γ o energi <math>E_{\gamma} = 140</math> keV (emitowane przez Technet), to fotony wtórne powstałe w wyniku wstecznego rozpraszania Comptonowskiego będą miały energię 90 keV, zaś w krysztale zostanie zdeponowana energia 50 keV. Rozpraszanie Comptonowskie, jest zatem nie tylko odpowiedzialne za produkcję fotonów wtórnych, które prowadzą do poszerzenia fotopiku lecz także formują nową składową widma uzyskiwanego z detektora scyntylacyjnego. Składowa ta, którą określa się jako składową Comptonowską, została zaprezentowana na rysunku <xr id="fig:gamma_camera_spectrum_3">rys. %i</xr>. Jej charakterystyczną cechą jest gwałtowny zanik, dla energii wyższych niż pewien próg, którym jest energia zdeponowana przez fotony γ w krysztale, w trakcie wstecznego rozpraszania Comptonowskiego. Próg ten nazwano krawędzią Comptonowską. Krawędź ta w rzeczywistym widmie jest nie znacznie rozmyta, co ponownie jest związane ze statystycznym charakterem zjawisk, które prowadzą do jej utworzenia.

Kolejna składowa widma promieniowania γ uzyskiwana w detektorze scyntylacyjnym jest również związana z rozpraszaniem Comptonowskim fotonów, ale zachodzącym w organizmie pacjenta. Jej kształt będzie zależał między innymi od grubości badanego przedmiotu. W cienkim przedmiocie będą dominowały fotony, które uległy pojedynczemu rozproszeniu Comptonowskiemu, a zatem ich minimalna energia wynosi w wypadku technetu 90 keV. W praktyce jednak w pacjencie większe znaczenie mogą odegrać fotony rozproszone wielokrotnie, których energia końcowa może być znacznie niższa. Jak pamiętamy z materiałów dotyczących promieniowania rentgenowskiego, promieniowanie elektromagnetyczne o energii poniżej 10 keV jest silnie tłumione przez ciało człowieka, dlatego nie zaobserwujemy fotonów γ rozproszonych Comptonowsko o energiach poniżej tego progu. Pozostałe fotony, które uległy oddziaływaniu Comptonowskiego, będą miały energię z zakresu od około 10-20keV do maksymalnej energii, jaką dany foton może uzyskać w wyniku rozpadu promieniotwórczego. Fotony te, oddziałując ze scyntylatorem uformują składową widma zaprezentowaną na <xr id="fig:gamma_camera_spectrum_4">rys. %i</xr>.

Fotony emitowane z radiofarmaceutyku mogą brać udział również w innych procesach (np. ulegać rozpraszaniu Comptonowskiemu w ołowianym kolimatorze założonym na detektor) prowadząc do powstawania kolejnych składowych widma. Proces te nie będą tutaj omawiane. Należy jednak pamiętać, iż widma te mogą nakładać się na fotopik, prowadząc do jego zniekształcenia, co zaprezentowano na rysunku <xr id="fig:gamma_camera_spectrum_5">rys. %i</xr>.

Precyzyjne określenie natężenia i energii fotonów γ docierających do scyntylatora jest niezwykle istotne dla prawidłowego utworzenia obrazu rozkładu radiofarmaceutyku w ciele pacjenta. Natężenie kwantów promieniowania przekłada się na stężenie radiofarmaceutyku, który np. mógł ulec absorpcji przez pewien narząd co może być wskazywać na zachodzące w nim procesy chorobotwórcze. Z kolei w oparciu o energię fotonów można rozróżnić fotony, które do momentu wytworzenia błysku scyntylacyjnego nie uległy innym procesom, no. rozpraszaniu Comptonowskiemu, które mogło zmienić ich kierunek poruszania się. Problem ten zostanie jeszcze poruszony w kolejnych rozdziałach.

===Procesy zachodzące w fotopowielaczu.===

* Fotony światła widzialnego wytworzone w scyntylatorze docierają do katody fotopowielacz, powodując emisję z niego elektronów.
* Wprowadzony pomiędzy kolejnymi dynodami potencjał elektryczny prowadzi do przyspieszenie elektronów. Kierunek pola elektrycznego jest tak dobrany, aby elektrony kierowane były do kolejnych dynod. Elektrony w trakcie zderzenia z dynodami wybijają z nich kolejne elektrony, które ponownie są przyspieszane przez pole elektryczne.
* Ostatnią elektrodą jest anoda. Elektrony po dodarciu do niej wywołują impuls elektryczny. Impuls ten dodatkowo jest wzmacniany za pomocą wzmacniacza liniowego.
* Energia kwantu gamma przekłada się na liczbę błysków scyntylacyjnych. Z kolei od liczby błysków scyntylacyjnych zależy liczba wybitych elektronów z fotokatody, a w związku z tym również amplituda sygnału elektrycznego na wyjściu fotopowielacza.

==Budowa Gamma Kamery==

===Okres przez powstaniem "Gamma-Kamery"===

Najprostszym pomysłem na budowę aparatury do rejestracji promieniowania gamma powstałego emitowanego przez radiofarmaceutyk wprowadzony do pacjenta byłoby umieszczenie nad nim detektora scyntylacyjnego. Detektor taki jednak obejmował by swoim polem widzenia tylko niewielki obszar pacjenta, podczas gdy wiele narządów człowieka (np. płuca, układ pokarmowy, układ kostny) charakteryzuje się znacznymi rozmiarami.
Problem ten można rozwiązać, umieszczając obok siebie kilka detektorów scyntylacyjnych i tego rodzaju układy były stosowane w początkach diagnostyki nuklearnej. Niestety, taki narzędzia nadal miały ograniczony zakres stosowalności i sprawdzały się w diagnostyce małych narządów (np. tarczycy). W celu zobrazowania większych narządów, detektor scyntylacyjny umieszczano na wysięgniku, który wykonywał w obrębie ciała pacjenta sekwencje pewnych ruchów (tzw. ruchów meandrujących). Detektor rejestrował emitowane z ciała ludzkiego fotony γ, które po zamianie na impuls elektryczny były kierowane do pisaka. Pozycja pisaka odpowiadała pozycji ramienia trzymającego detektor scyntylacyjny względem ciała pacjenta. Liczba punktów naznaczonych dla danej pozycji ''x'' i ''y'' odpowiadała liczbie rejestrowanych fotonów. W ten sposób uzyskiwano mapę rozkładu radiofarmaceutyku w ciele pacjenta.

===Gamma-Kamera===
Budowa urządzenia diagnostycznego na zasadzie łączenie ze sobą kolejnych detektorów scyntylacyjnych okazała mało optymalnym rozwiązaniem.
W roku 1957 Hal Oscar Anger, wpadł na pomysł umieszczenia wielu fotopowielaczy na jednym dużym krysztale scyntylacyjnym. W ten sposób powstała gamma-kamera, nazywana również kamerą Angera. Do pełnej funkcjonalności gamma-kamera wymagała jeszcze dwóch podzespołów elektronicznych — układu wyznaczania pozycji błysków scyntylacyjnych oraz analizatora amplitudy. Bloki te zostaną omówione w kolejnych podrozdziałach. Zasadę działania gamma kamery omówimy, dokonując eksperymentu myślowego polegającego na budowie tego urządzenia od podstaw.

====Kryształ scyntylacyjny i fotopowielacze====
[[File:fotopowielacz.png|500px|thumb|right|<figure id="fig:fotopowielacz"></figure>Schemat budowy scyntylatora połączonego z fotopowielaczem.
Rysunek pobrany ze strony Wikipedii na zasadach licencji Creative Commons 3.0.]]
Kryształ scyntylacyjny jest jednolitym, dużym kryształem, zazwyczaj jodku sodowego aktywowanego talem — NaI(Tl) (ze względu na silna higroskopijność tego związku kryształ jest szczelnie obudowany). Średnica kryształu wynosi od około 28 cm do około 61 cm, grubość zaś dochodzi do 9,5 cm. Grubość kryształu jest jednym z parametrów decydujących o jego właściwościach detekcyjnych (od grubości kryształu zależy efektywność detekcji oraz rozdzielczość systemu). Na powierzchni kryształu scyntylacyjnego umieszczane są fotopowielacze, w liczbie do 150 sztuk. Najczęściej jednak liczba fotopowielaczy wynosi od 37 lub 53 sztuk (patrz <xr id="fig:gamma_camera_0">rys. %i</xr>). Pojedynczy błysk scyntylacyjny jest rejestrowany przez wiele fotopowielaczy. Natężenie błysku scyntylacyjnego będzie malało wraz z odległością od miejsca powstania. Na podstawie rozkładu natężenia światła rejestrowanego przez fotopowielacze można wyznaczyć pozycję na płaszczyźnie gamma-kamery miejsca wystąpienia błysku.
Do najważniejszych wielkości charakteryzujących kryształ scyntylacyjny należą:
* Wydajność, to jest stosunek liczby zarejestrowanych fotonów γ do liczby fotonów wpadających do kryształu scyntylacyjnego. Nie każdy foton γ spowoduje błysk scyntylacyjny, który może być zarejestrowany przez fotopowielacz. Im grubszy kryształ scyntylacyjny, tym większe jest prawdopodobieństwo wytworzenia błysku światła. Jednak grubszy kryształ powoduje również pogorszenie przestrzennej zdolności rozdzielczej gamma. Błyski scyntylacyjne zachodząc w przypadku grubego kryształu scyntylacyjnego na różnej głębokości, co utrudnia poprawne wyliczenie pozycji błysku.
* Czas odpowiedzi i czasowa zdolność rozdzielcza. Czas odpowiedzi, to czas od momentu wniknięcia fotonu γ do kryształu do wytworzenia błysku scyntylacyjnego. Determinuje on czasową zdolność rozdzielczą kryształu. Fotony γ które dotrą do do kryształu scyntylacyjnego w odstępach czasu krótszych niż czasowa zdolność rozdzielcza, nie będą zarejestrowane jako dwa oddzielne fotony.
* Energetyczna zdolność rozdzielcza jest to stosunek szerokości połówkowej (FWHM) fotopiku do amplitudy sygnału. Wielkość ta ma znaczenie przy rozróżnianiu fotonów γ pod względem ich energii. Do kryształ scyntylacyjny dociera bowiem nie tylko promieniowanie emitowane bezpośrednio z radiofarmaceutyku umieszczonego w ciele pacjenta, lecz również promieniowanie rozproszone (którego kierunek i energia zostały zmienione) oraz promieniowanie z otoczenia. Fotony γ pochodzące od tła i zjawisk rozproszeniowych można odróżnić od fotonów bezpośrednio docierających do scyntylatora m.in. na podstawie ich energii. Im lepsza jest energetyczna zdolność rozdzielcza scyntylatora, tym można dokonać lepszego rozróżnienia fotonów.

Niektóre parametry typowych materiałów scyntylacyjnych zaprezentowano w poniższej tabeli:
<figure id="scyntylatory">
{| class="wikitable"
! Scyntylator
! NaI(T)
! CsF
! BGO (Bi<math>_3</math>Ge<math>_r</math>O<math>_{12}</math>)
|-
| Czasowa rozdzielczość (FWHM [ns])
| 1,5
| 0,4
| 7
|-
| Energetyczna zdolność rozdzielcza (FWHM [%])
| 7
| 30
| 12
|-
| Wydajność detekcji fotonów 511 keV [%] dla detektorów o szer 1 cm
| 45
| 50
| 67
|-
|}
</figure>
Przy tak uproszczonej konstrukcji układu obrazującego pojawiają się następujące problemy:
* Radiofarmaceutyk emituje promieniowanie γ izotropowo. Błysk scyntylacyjny, oznaczony na <xr id="fig:gamma_camera_0">rys. %i</xr> numerem (1), może więc być spowodowany kwantem gamma pochodzącym ze źródła oznaczonego na <xr id="fig:gamma_camera_0">rys. %i</xr> niebieskim kwadratem. Błysk scyntylacyjny numer (1) może być równie dobrze spowodowany przez kwant gamma wyemitowany ze źródła oznaczonego kwadratem białym i poruszającego się wzdłuż linii koloru zielonego.
* Kwanty γ ulegają w ciele pacjenta rozproszeniu Comptonowskiego co dodatkowo komplikuje trajektorię ich ruchu.

====Kolimator====

[[File:gamma_camera_0.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:gamma_camera_0"></figure>Radiofarmaceutyk umieszczony w ciele pacjenta emituje kwanty promieniowania γ. Te pod dotarciu do kryształu scyntylacyjnego wywołują błysk scyntylacyjny. Lokalizacja radiofarmaceutyku na podstawie pozycji błysków scyntylacyjnych jest niemożliwe, z uwagi na emisję fotonów γ w różnych kierunkach oraz Comptonowskie rozpraszanie tych fotonów.]]

[[File:kolimator_0.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:kolimator_0"></figure>Kolimator przepuszcza tylko fotony γ padające na niego z określonych kierunków, w efekcie czego powstaje rzut rozkładu radiofarmaceutyku na płaszczyznę kryształu scyntylacyjnego.]]

[[File:kolimator_1.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:kolimator_1"></figure>Na rysunku zaprezentowano parametry kolimatora, niezbędne do określenia jego rozdzielczości przestrzennej.]]

[[File:gamma_camera_spectrum_6.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:gamma_camera_spectrum_6"></figure>Widmo promieniowania γ uzyskane za pomocą gamma kamery. Szarym prostokątem zaznaczono zakres energii kwantów promieniowania, które zostaną wykorzystane do utworzenia obrazu diagnostycznego. Zakres został wybrany przez odpowiednie ustawienie analizatora amplitudy.]]

W celu uzyskania dokładnego rzutu rozkładu radiofarmaceutyku w ciele pacjenta na powierzchnie gamma-kamery stosuje się tzw. kolimatory. Kolimatory są zbudowane z ołowianej blach o średnicy takiej samej jak średnica kryształu scyntylacyjnego. Grubość kolimatora jest różna i dobierana w zależności od przeprowadzonego badania, gdyż ma wpływ na parametry uzyskiwanego obrazu. W kolimatorze wykonane są otwory, których średnica też jest zależna od rodzaju kolimatora. Zwykle otwory wywiercone są w kierunku prostopadłym do powierzchni kolimatora i mają kształt walca. W niektórych badaniach diagnostycznych otwory są pochylone w celu uzyskania powiększonego lub zmniejszonego obrazu danego narządu.
Przestrzeń pomiędzy otworami nazywamy septą. Rolą kolimatora jest filtracja promieniowania, którego kierunek znacznie odbiega od osi otworu. W przypadku otworów, które nawiercono równolegle do płaszczyzny kolimatora, tylko promieniowanie padające w przybliżeniu równolegle do osi otworu może dotrzeć do scyntylatora. Kwanty γ poruszające się winnych kierunkach będą absorbowane przez ołów wypełniający septę (przestrzeń między otworami). Sytuację taką przedstawioną <xr id="fig:kolimator_1">rys. %i</xr>. 

===Parametry charakteryzujące gamma-kamerę===
Spośród wielu parametrów charakteryzujących gamma-kamerę, omówimy dwa najważniejsze, to jest czułość, oraz rozdzielczość. Niestety, zwiększanie rozdzielczości przestrzennej gamma-kamery wiąże się ze zmniejszeniem jej czułości, co ma negatywny wpływ na kontrast obrazu. Problem ten omówimy poniżej, zaczynając od zdefiniowania pojęć czułości gamma — kamery oraz przypomnienia definicji rozdzielczości. Następnie omówimy jak trzy kluczowe elementy gamma-kamery, to jest kolimator, kryształ scyntylacyjny oraz fotopowielacze mają wpływ na wspomniane powyżej parametry.
* Czułość gamma-kamery.
:Czułość gamma-kamery zdefiniowana jest w następujący sposób:
:<equation id = “eq23”><math>
sensitivity = \frac{N_o}{N_a}
</math></equation>
:gdzie: 
:<math>N_o</math> — Liczba impulsów (fotonów) na sekundę wykorzystana przez gamma kamerę do utworzenia obrazu. 
:<math>N_a</math> — Aktywność źródła. 
:W przypadku typowych gamma-kamer tylko około 3% fotonów wyemitowanych przez źródło jest wykorzystywanych do utworzenia obrazu diagnostycznego. Czułość jest bardzo ważnym parametrem, ponieważ od liczby zarejestrowanych fotonów zależy jakość uzyskanego obraz (przede wszystkim jego obraz). Na stronie [http://radiographics.rsna.org/content/19/3/765.full] udostępniony jest artykuł szkoleniowy, w którym zaprezentowano obrazy diagnostyczne utworzone przy pomocy różnej liczby fotonów.
* Rozdzielczość gamma-kamery
:Przypominamy, że rozdzielczość układu obrazującego to jego zdolność do zaprezentowania dwóch punktów znajdujących się w pewnej odległości od siebie, jako dwóch oddzielnych obiektów na obrazie. Na <xr id="fig:kolimator_0">rys. %i</xr> widzimy, że dana septa w kolimatorze przepuszcza do scyntylatora fotony pochodzące z obszaru o długości <math>d</math>. W związku z tym, wszystkie punkty znajdujące się w obrębie tego obszaru zostaną na obrazie zaprezentowane jako jeden punkt. Parametr <math>d</math> określa zatem rozdzielczość kolimatora. Z prostych relacji geometrycznych, uzyskamy następującą zależność parametru <math>d</math> od głębokości ''h'' i szerokości ''s'' septy oraz odległości ''l'' kryształu scyntylacyjnego od badanego obszaru:
:<equation id = “eq24”><math>
d = 2\frac{(l + h)s}{h} -s= 2s(1+\frac{l}{h}) -s
</math></equation>
:Z powyższego wzoru możemy wyciągnąć następujące wnioski:
:# Rozdzielczość kolimatora, co ma wpływ na rozdzielczość całej gamma-kamery, zależy od odległości kryształu scyntylacyjnego od badanego obiektu. Odległość gamma-kamery od pacjenta podlega oczywiście pewnej regulacji, jednak poszczególne narządy znajdują się w człowieku na różnej głębokości. Najwyższą rozdzielczość można uzyskać dla narządów znajdujących się tuz pod powierzchnią skóry.
:# Rozdzielczość gamma-kamery można zwiększyć zmniejszając rozmiar septy oraz zwiększając jej głębokość. Jednakże zabiegi te spowodują, że do scyntylatora dotrze mniejsza ilość fotonów, skutkiem czego obniżona zostanie czułość gamma-kamery. Ponadto, zadaniem gamma-kamery jest dostarczenia obrazu uzyskanego jednocześnie z danego obszaru pacjenta. Aby pożądany obszar został objęty przez pole widzenia gamma-kamery, kolimatory o bardzo małej szerokości otworów ''s'', powinny tych otworów zawierać jak najwięcej. Spełnienie tego warunku wymaga z kolei, aby grubości septy były jak najmniejsze. Z kolei rolą septy jest pochłanianie fotonów, które docierają z sąsiednich otwór oraz fotonów rozproszonych Comptonowsko. Cienka septa będzie pochłaniała małą liczbę fotonów, przyczyniając się do zaszumienia obrazu. Im większa jest energia fotonów emitowanych przez radiofarmaceutyk, tym septa powinna charakteryzować się większą grubością, Jak widzimy, dobór odpowiednich parametrów ''h'' oraz ''s'' jest trudny, dlatego zwykle gamma-kamera wyposażona jest w wiele kolimatorów, zmienianych przez technika, w zależności od rodzaju badania i efektu jaki chcemy uzyskać.

===Fotopowielacze===
Za kolimatorem w gamma-kamerze znajduje się kryształ scyntylacyjne, a dopiero później fotopowielacze, jednakże w celu lepszego omówienia kwestii rozdzielczości kryształu scyntylacyjnego, kolejność omawiania poszczególnych elementów została zmieniona. Jak pamiętamy, zadaniem pojedynczego fotopowielacza jest konwersja błysku scyntylacyjnego na sygnał elektryczny z jednoczesnym wzmocnieniem sygnału. W gamma-kamerze na krysztale scyntylacyjnym znajduje się cały zespół fotopowielaczy, którego zadaniem jest również określenie współrzędnych błysku w płaszczyźnie kolimatora. Odbywa się według bardzo prostego pomysłu. Poszczególne kolimatory znajdują się w różnych odległościach od miejsca wystąpienia błysku scyntylacyjnego, będą zatem rejestrować światło pochodzące od błysku o różnym natężeniu. Znając poszczególne pozycje fotopowielaczy oraz natężenie rejestrowanego przez nie światła, współrzędne błysku można wyznaczyć w następujący sposób:
<equation id="eq:pozycja_blysku"><math>
\begin{array}{l}
x = \frac{1}{Z}\sum_{i=1}^N x_ia_i \\
\\
y = \frac{1}{Z}\sum_{i=1}^N y_ia_i \\
\\
Z = \sum_{i=1}^N a_i
\end{array}
</math></equation>
gdzie: 
<math>N</math> — liczba fotopowielaczy, 
<math>x_i, y_i</math> — to odpowiednio, współrzędna ''x'' oraz ''y'' ''i''-tego fotopowielacza, 
<math>a_i</math> — amplituda błysku scyntylacyjnego zarejestrowana przez ''i''-ty fotopowielacz. 
Dokładność wyznaczenia błysku scyntylacyjnego zależy oczywiście od liczby fotopowielaczy. Fotopowielacze charakteryzują się jednak relatywnie dużymi rozmiarami i nie można na krysztale scyntylacyjnym umieścić dowolnie dużo. Ponadto, liczba fotonów emitowanych w danym kierunku w trakcie błysku scyntylacyjnego podlega statystycznym fluktuacjom, które mogą być opisane [http://www.sprawls.org/ppmi2/STATS/ rozkładem Poissona]. Przykładowo, wyobraźmy sobie, iż w wyniku błysku scyntylacyjnego, który zaszedł w tej samej odległości pomiędzy dwoma fotopowielaczami, zostało wyprodukowanych 100 fotonów. Należałoby oczekiwać, iż każdy z fotopowielaczy zarejestruje po 50 fotonów. Jednakże w wyniku fluktuacji statystycznych, które są na poziomie <math>\sqrt{N}</math>, gdzie <math>N</math> to liczba emitowanych fotonów, jeden z fotopowielaczy może zarejestrować 40 fotonów, a drugi 60. W efekcie położenie błysku scyntylacyjnego zostanie oszacowane nieprawidłowo. Celem zmniejszenia opisanego błędu, należałoby stosować radionuklidy produkujące fotony γ o wysokiej energii. Jak wiemy bowiem liczba fotonów produkowanych w trakcie błysku scyntylacyjnego zależy liniowo od energii fotonów gamma. W ten sposób względny błąd zliczeń wykazywanych przez fotopowielacze jest proporcjonalny do <math>\frac{\sqrt{N}}{N}</math>. Detekcja fotonów γ o wyższych energiach wymaga z kolei grubszych kryształów scyntylacyjnych, co z kolei znowu negatywnie wpływa na rozdzielczość przestrzenną, co zostanie opisane w kolejnym rozdziale.

===Kryształ scyntylacyjny===
Foton promieniowania γ po wniknięciu w kryształ scyntylacyjny przebywa pewną drogę, zanim ulegnie oddziaływaniu z materią kryształu. Im cieńszy kryształ scyntylacyjny, tym mniejsze prawdopodobieństwo zajścia błysku scyntylacyjnego i detekcji kwantu promieniowania γ. W celu podwyższenia czułości kryształu scyntylacyjnego, należałoby zwiększyć jego grubość, jednakże to z kolei pogorszy rozdzielczość przestrzenną samego kryształu. Błyski scyntylacyjne będą mogły zachodzić na różnej głębokości, co negatywnie wpływa na określenie pozycji błysku zgodnie ze wzorem (<xr id="eq:pozycja_blysku"/>).

===Wypadkowa rozdzielczość gamma-kamery===
Wypadkowa rozdzielczość gamma-kamery jest wypadkową rozdzielczości poszczególnych jej elementów (głównie kryształu scyntylacyjnego oraz kolimatora)
i wynosi:
* około 4 mm dla tkanek położnych płytko (do 2cm),
* około 10 mm dla tkanek położonych głęboko (8 cm).

==Tomografia Emisyjna Pojedynczego Fotonu (ang. ''Single Photon Emission Tomography'', SPECT)==

[[File:spect_rekonstrukcja.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:spect_rekonstrukcja"></figure>Ilustracja do omawianego w rozdziale problemu rekonstrukcji obrazu w metodzie SPECT.]]

Podobnie jak w klasycznej (planarnej) radiografii, obraz pacjenta uzyskiwany za pomocą gamma-kamery jest rzutem trójwymiarowego obiektu na płaszczyznę. Związane są z tym liczne wady tego rodzaju obrazowania, czego efektem było opracowanie na początku lat 80 tzw. Tomografii Emisyjnej Pojedynczego Fotonu (ang. ''Single Photon Emmision Tomography'', SPECT). SPECT jest metodą obrazowania, w której na odstawie zarejestrowanych danych, zostaje zrekonstruowany obraz wybranych warstw pacjenta, wykorzystywane są przy tym dwie lub trzy gamma-kamery. Jak wiemy, rekonstrukcja obrazu wymaga dokonania rzutów obiektu na płaszczyznę z różnych kierunków. W urządzeniu SPECT gamma-kamery wykonują zatem ruch obrotowy wokół pacjenta. Przykładowe zdjęcia tomografów SPECT można zobaczyć na poniższej stronie internetowej [http://en.wikipedia.org/wiki/Single-photon_emission_computed_tomography]. 
Niestety, z rekonstrukcją obrazów w metodzie SPECT związane są pewne problemy:
# Część fotony γ zanim opuści ciało pacjenta może zostać pochłonięta.
# Natężenie wiązki kwantów γ emitowanych ze źródła umieszczone w pacjencie maleje wraz z kwadratem odległości.
# Podstawowe algorytmy rekonstrukcji obrazów wymagają dokonania rzutów obiektu z możliwie wielu kierunków. W metodzie SPECT, w której stosowane są radiofarmaceutyki kierunek emisji fotonów γ podlega pewnym fluktuacjom statystycznym i nie ma gwarancji, iż dla rzutu obiektu w danym kierunku zostanie zebrana odpowiednia ilość danych. Problem ten rozwiązuje się poprzez zastosowanie tzw. Iteracyjnych Algorytmów Rekonstrukcji obrazu.
Konsekwencje dwóch pierwszych problemów zostaną omówione w kolejnym rozdziale.

===Rekonstrukcja obrazów w metodzie SPECT===
Na <xr id="fig:spect_rekonstrukcja">rys. %i</xr> zaprezentowano układ pacjent — gamma-kamera. Z pacjentem związany jest układ współrzędnych ''U'' o środku w punkcie ''O'', z kolei z gamma-kamerą związany jest układ ''U' '' z środkiem w punkcie ''O' ''. Odległość pomiędzy środkami układu współrzędnych wynosi ''R''. Pacjentowi podano radiofarmaceutyk (zaznaczony na <xr id="fig:spect_rekonstrukcja">rys. %i</xr> kolorem żółtym), który został wychwycony przez płuca. Rozkład przestrzenny radiofarmaceutyku w pacjencie opisuje funkcja ''A(x,y,z)''. Odległość od mostka pacjenta do płaszczyzny gamma-kamery wynosi <math>R_1</math>, zaś odległość od pleców do płaszczyzny gamma-kamery wynosi <math>R_2</math>. Zakładamy, iż kolimator (nie zaprezentowany na rysunku) odrzuci każdy kwant promieniowania γ który nie pada na kolimator pod kątem prostym.
Przy powyższych założeniach, rozkład błysków scyntylacyjnych, odzwierciedlających rozkład radiofarmaceutyku w następujący sposób. W przypadku braku zaniku natężenia promieniowania wraz z odległością, rozkład natężenia błysków scyntylacyjnych byłby rzutem prostokątnym rozkładu radiofarmaceutyku na płaszczyznę gamma-kamery, z uwzględnieniem faktu, iż radiofarmaceutyk znajduje się na różnej głębokości w pacjencie:
<equation id="eq:spect_1"><math>
P(x',y') = \int_{R_1}^{R_2}A(x,y,z)dz
</math></equation>
Wzór (<xr id="eq:spect_1"/>) opisuje nic innego jak Transformatę Radona rozkładu raiofarmaceutyku. Uwzględniając zanik natężenie promieniowania γ wraz z odległością, wzór (<xr id="eq:spect_1"/>) przyjmie postać:
<equation id="eq:spect_2"><math>
P(x',y') = \int_{R_1}^{R_2}\frac{A(x,y,z)}{4\pi\cdot(R - z)^2}dz
</math></equation>
Niestety, kwant promieniowania γ zanim opuści organizm człowieka, może zostać pochłonięty na skutek różnych procesów, co opisuje liniowy współczynnik osłabienia promieniowa <math>\mu(x,y,z)</math>. Uwzględniając pochłanianie, dostajemy:
<equation id="eq:spect_3"><math>
P(x',y') = \int_{R_1}^{R_2}\frac{A(x,y,z)}{4\pi\cdot(R - z)^2}e^{-\int_{z}^{R_2}\mu(x,y,z'')dz''}dz
</math></equation>
Wzór (<xr id="eq:spect_1"/>) nie reprezentuje już Transformaty Radona rozkładu raiofarmaceutyku w pacjencie. Główny trudność stanowi jednak brak znajomości rozkładu współczynnika <math>\mu(x,y,z)</math>. Istnieją różne podejścia do rozwiązania tego problemu:
* zakłada się brak osłabienia promieniowania γ (<math>\mu(x,y,z)</math> = 0),
* zakłada się stały rozkład wartości osłabienia promieniowania (<math>\mu(x,y,z)</math> = const),
* aproksymuje się <math>\mu(x,y,z)</math>, przy pomocy innych metod, np. CT.
Ostatnie rozwiązanie nazywane jest korejestracją SPECT-CT. Urządzenie do korejestracji składają się z dwóch połączonych ze sobą skanerów CT i SPECT.

===Radionuklidy stosowane w badaniach planarnych oraz metodzie SPECT===

Radionuklidy stosowane w badaniach, w których wykorzystywana jest gamma-kamera, powinny spełniać następujące wymagania:
# Emitować kwanty gamma bez udziału innych przemian promieniotwórczych (alfa/beta).
# Charakteryzować się odpowiednio długim czasem połowicznego rozpadu, umożliwiającym przeprowadzenie badania diagnostycznego.
# Emitować kwanty gamma o energii:
#* wystarczająco dużej, aby fotony przenikały przez ciało ludzkie (min. 20 keV), 
#* wystarczająco niskiej, aby w wyniku oddziaływania fotonów z materią nie dochodziło do wtórnych procesów (poniżej 511 keV). 

Wszystkie te wymagania spełnia izotop Technetu — <math>^{99}\mathrm{Tc}</math>. Charakteryzuje się on energią emisji kwantów promieniowania γ wynoszącą 140 keV oraz czasem połowicznego rozpadu wynoszącym <math>T_{\frac{1}{2}}=6</math> godzin. Emisji fotonów promieniowania elektromagnetycznego nie towarzyszą inne przemiany promieniotwórcze. Właściwości te czynią Technet wręcz idealnym radionuklidem w zastosowaniach diagnostyki nuklearnej z wykorzystaniem gamma-kamery. 
Procesu uzyskiwania Technetu jest następujący. Przemiany zachodzące w reaktorze jądrowym są źródłem radioizotopu <math>^{99}\mathrm{Mo}</math> (Molibden).
Izotop ten jest umieszczany w specjalnie zabezpieczonym pojemniku, nazywanym generatorem radionuklidu. Generator dostarczany jest do odbiorcy.
Izotop Molibdenu ulega przemianie <math>\beta^-</math> z czasem połowicznego rozpadu <math>T_{\frac{1}{2}}=65,98 </math> godzin (2,75 dnia).
Produktem przemiany jest w 87,5 % tzw. metastabilny izotop technetu <math>^{99}\mathrm{Tcm}</math>, znajdujący się w stanie wzbudzonym, zaś w 12,5 % "zwykły" izotop technetu. Technet metastabilny ulega przemianie gamma, z czasem połowicznego rozpadu wynoszącym <math>T_{\frac{1}{2}}=6</math> godzin. W celu uzyskania użytecznego w diagnostyce nuklearnej Technetu metastabilnego jest on wypłukiwany przez technika z generatora i poddawany dalej kolejnym obróbkom chemicznym. Jak widzimy, Technet charakteryzuje się nie tylko dobrymi właściwościami fizycznymi na potrzeby obrazowania nuklearnego, lecz również jest względnie łatwy w produkcji.
Inne radioizotopy stosowane w obrazowaniu nuklearnym to:
* Jod-123 (<math>^{131}</math>J), o okresie połowicznego rozpadu <math>T_{\frac{1}{2}}=13</math> dni i energii emitowanych kwantów γ równej 159 keV,
* Jod-131 (<math>^{131}</math>J), o okresie połowicznego rozpadu <math>T_{\frac{1}{2}}=8</math> dni i energii emitowanych kwantów γ równej 159 keV,
* Ind-111 (<math>^{131}</math>In), o okresie połowicznego rozpadu <math>T_{\frac{1}{2}}=67</math> godzin i energii emitowanych kwantów γ równej 245 keV.

===Rola gamma-kamery w diagnostyce nuklearnej===

Metody obrazowanie oparte na gamma-kamerze charakteryzują się pewnymi wadami. Do najpoważniejszych należą:
* relatywnie niska rozdzielczość przestrzenna w porównaniu z innymi metodami (przykładowo w badaniach Rentgenowskich można uzyskać rozdzielczość na poziomie 0,3 mm, podczas gdy gamma-kamera daje rozdzielczość o rząd wielkości gorszą),
* zależność rozdzielczości od głębokości obrazowanych tkanek.

Co czyni zatem gamma-kamerę wartościowym narzędziem diagnostycznym? Należy sobie uświadomić, iż wiele chorób (zwłaszcza nowotworowych) może nie prowadzić do zmian w budowie anatomicznej narządów. W związku z tym zmiany te mogą być bardzo trudno zauważalne na obrazach prezentujących strukturę tkanek. Tymczasem główna idea badania z wykorzystanie gamma-kamery polega na lokalizacji miejsc gromadzenia się radiofarmaceutyku, który (jak przypominamy) składa się z radioizotopu oraz substancji wchłanianej wybiórczo przez chore tkanki. Dzięki temu scyntygrafia czy metoda SPECT stała się ważnym narzędziem w diagnostyce nowotworów oraz ich przerzutów. Ponadto, pewne choroby mogą prowadzić do dysfunkcji narządów bez wyraźnych zmian w ich budowie anatomicznej. Metody, taka jak SPECT, wykorzystywane są w badaniach perfuzyjnych (czyli badaniach przepływu przez tkanki czy narządy określonych płynów). Takie parametry, jak tempo dotarcia raiofarmaceutyku do danego narządu, szybkość jego usunięcia, ilość raiofarmaceutyku która przepłynęła przez narząd, są wskazaniem do właściwego lub nieprawidłowego działania narządu. Jednym z rodzajów badaniach perfuzyjnych, w których wykorzystuje się metody oparte na gamma-kamerze, to diagnostyka udarów mózgu (zarówno krwotocznych jak i niedokrwiennych).

==Pozytonowa Emisyjna Tomografia Komputerowa (ang. ''Positron Emission Tomography'', PET)==

Podobnie jak w przypadku Scyntygrafii czy metodzie SPECT, w Pozytonowej Emisyjnej Tomografii Komputerowej stosowane są radiofarmaceutyki. W tym przypadku jednak, radioizotopem zastosowanym jako znacznik nie jest emiter promieniowania γ lecz izotop ulegający przemianie <math>\beta^+</math>. Ma to poważne duże konsekwencje w procesie uzyskiwania obrazu oraz budowie samego skanera.
===Podstawy działania metody PET===
W trakcie rozpadu <math>\beta^+</math> emitowany jest pozyton, czyli cząstka o tej samej masie co elektron, ale o przeciwnym (dodatnim) ładunku.
Cząstka ta w wyniku rozpadu uzyskuje pewną energię, którą wytraca w oddziaływaniach z otoczeniem. Po zwolnieniu do prędkości termicznych, pozyton anihiluje z elektronem znajdującym się w otoczeniu. W wyniku anihilacji powstają (w zdecydowanej ilości przypadków) dwa fotony γ, które w układzie środka masy rozbiegają się w przeciwnych kierunkach. W układzie laboratoryjnym istnieją mierzalne odstępstwa od przeciwnego kierunku ruchu kwantów γ, jednak zwykle są one pomijane. Fotony po dotarciu do detektorów promieniowania są rejestrowane. Do tworzenia obrazu wykorzystywane są te pary kwantów γ, które jednocześnie dotarły do detektorów. Innymi słowy, w metodzie PET detekcji podlegają koincydencje czasowe dotarcie kwantów γ do detektorów. Poniżej wypisano przemiany fizyczne prowadzące do emisji dwóch fotonów γ.
#Radionuklid w radiofarmaceutyku ulega rozpadowi <math>\beta^+</math>
<equation id = “eq25”><math>
_Z^AX\rightarrow _{Z-1}^AX + e^+ + \nu</math>
</equation>
W trakcie przemiany, pozyton uzyskuje pewną energię kinetyczną, po wytraceniu której, zwalnia do prędkości termicznych, a następnie anihiluje z przypadkowym elektronem:
<equation id = “eq26”><math>
e^+ + e^{-} = 2\gamma</math>
</equation>
Fotony rozchodzą się w przeciwnych kierunkach. 
Najprostszy sposób uzyskiwania obrazu w metodzie PET (nierealizowany w praktyce) można przeprowadzić następująco. Zgodnie z założeniem, fotony emitowane w trakcie anihilacji poruszają się w układzie laboratoryjnym w przeciwnych kierunkach. Łącząc za pomocą prostej detektory, które zarejestrowały jednocześnie dotarcie do nich fotonów γ uzyskujemy informacje, iż na tej prostej nastąpił akt anihilacji, a zatem gdzieś w pobliżu nastąpił rozpad <math>\beta^+</math>. Prostą łączącą detektory, które zarejestrowały koincydencję czasową dotarcie dwóch fotonów γ nazywamy linią LOR (ang. ''Line of Response''). Nakładając wiele linii LOR na siebie, możemy uzyskać rozkład raiofarmaceutyku w badanym obszarze pacjenta.

===Rozdzielczość metody PET ===
Naturalnym ograniczeniem rozdzielczości metody PET jest droga, jaką przebywa pozyton emitowany po przemianie <math>\Beta^+</math> zanim nie wytraci energii kinetycznej i nie ulegnie anihilacji. Przykładowo, pozytony emitowane w rozpadzie <math>\Beta^+</math> <math>^68</math>Ga uzyskują maksymalną, początkową energię kinetyczną równą 1,90 MeV. W ośrodku materialnym takim jak woda, 50% pozytonów o powyższej energii początkowej, zostanie wyhamowanych w kuli o promieniu 1,6 mm, zaś 90% pozytonów zatrzyma się w kuli o promieniu 3,7 mm.

===Radionuklidy stosowane w metodzie PET===
Wymagania stawiane izotopom promieniotwórczym stosowanym w Pozytonowej Tomografii emisyjnej są następujące:
# Izotop musi oczywiście ulegać przemianie <math>\beta^+</math>,
# Energia pozytonów emitowanych przy rozpadzie, powinna być jak najmniejsza.
Charakterystyczną cechą radioizotopów ulegających przemianie <math>\beta^+</math> jest ich bardzo krótki okres połowicznego rozpadu, który w wielu przypadkach uniemożliwia ich praktyczne zastosowanie w diagnostyce PET. Tabela … zawiera przykłady izotopów ulegających przemianie <math>\beta^+</math>.
{| class="wikitable"
! Radionuklid
! Okres połowicznego rozpadu <math>T_{\frac{1}{2}}</math> [minuty]
! Maksymalne energia pozytonu [keV]
! Metoda otrzymywania
|-
| <math>^{11}\mathrm C</math>
| 20,4
| 961
| Cyklotron
|-
| <math>^{11}\mathrm O</math>
| 2,04
| 1190
| Cyklotron
|-
| <math>^{13}\mathrm N</math>
| 10
| 961
| Cyklotron
|-
| <math>^{18}\mathrm F</math>
| 109,8
| 635
| Cyklotron
|-
| <math>^{38}\mathrm K</math>
| 7,64
| 2680
| Cyklotron
|-
| <math>^{62}\mathrm{Zn}</math>
| 138
| 660
|-
| <math>^{11}\mathrm{Ga}</math>
| 68,4
| 1900
| Generator
|-
| <math>^{82}\mathrm{Rb}</math>
| 1,27
| 3400
| Generator
|-
| <math>^{122}\mathrm I</math>
| 3,60
| 3210
|}
Jak widzimy, radionuklidem o stosunkowo długim okresie połowicznego rozpadu oraz niskiej energii emitowanych pozytonów jest izotop fluoru. Jest on najczęściej stosowanym znacznikiem w radiofarmaceutykach. Dołączony do glukozy (nośnika) tworzy radiofarmaceutyk fluorodeoksyglukozę (FDA). Niestety, problem stanowi praktyczne otrzymywanie izotopu <math>^{18}F</math>. Radionuklid ten można otrzymać w cyklotronach w wyniku bombardowania przyspieszanymi protonami tarczy zawierającej tlen:
<equation id = “eq26”><math>
^{18}\mathrm{O} + \mathrm{p} \rightarrow ^{18}\mathrm{F} + \mathrm{n}
</math ></equation>

==Konstrukcja Tomografu PET==

Zdjęcia tomografów PET, schematy ich budowy jak i uzyskiwane za ich pomocą obrazy można zobaczyć w [[wikipedia:Pozytonowa_emisyjna_tomografia_komputerowa|na stronie w Wikipedii]]. Skaner PET składa się z bardzo wielu detektorów scyntylacyjnych ułożonych na obwodzie pierścienia w środku którego znajduje się badana osoba. Zwykle tomograf posiada kilka rzędów takich pierścieni. O ile kryształy scyntylacyjne mogę bardzo małe rozmiary, to fotopowielacze charakteryzują się relatywnie dużymi średnicami. W celu umieszczenia na obwodzie jak największej liczby detektorów stosuje się następujące rozwiązanie. Fotopowielacze łączone są w bloki (np. po 4 sztuki) i umieszczane na jednym krysztale scyntylacyjnym. W celu zwiększenia precyzji określenia błysku scyntylacyjnego, w krysztale wykonywane są nacięcia o odpowiednio dobranej głębokości, które zostają wypełnione materiałem odbijającym światło. Fala elektromagnetyczna emitowana w błysku scyntylacyjnym odbija się na wykonanych nacięciach, co ogranicza jego transmisję w dowolnych kierunkach. Liczba opisanych detektorów umieszczonych na obwodzie pierścienia wynosi od 100 do około 1000 sztuk, zaś w jednym skanerze PET zainstalowanych jest od 16 do 32 pierścieni.

==Wady i zalety PET.==
# Podstawową wadą metody PET jest trudność w uzyskiwaniu radionuklidów ulegających przemianie <math>\beta^+</math>. Najkorzystniejszy pod względem długości okresu połowicznego rozpadu oraz energii radionuklid — <math>^{18}\mathrm{F}</math> jest otrzymywany w cyklotronie. W związku z tym, w pobliżu ośrodka klinicznego musi znajdować się cyklotron.
# W porównaniu z metodą SPECT, rozdzielczość w metodzie PET nie zależy od głębokości badanej tkanki.
# Diagnostyka PET nie wymaga mechanicznego kolimatora, który występuje w metodzie PET. Zadaniem kolimatora w SPECT była selekcja odpowiednio padających na kryształ scyntylacyjny fotonów <math>\gamma</math>. Kolimator ren jednak uniemożliwiał jednoczesne dobranie dowolnie dużej czułości i rozdzielczości gamma kamery. W przypadku PET, kolimacja jest procesem fizycznym — rejestracji podlegają koincydencje czasowe detekcji pary dwóch fotonów <math>\gamma</math>. W ten sposób do rekonstrukcji obrazu wykorzystywane są głównie fotony, które powstały w wyniku anihilacji (aczkolwiek istnieje niezerowe prawdopodobieństwo dotarcia w tym samym czasie dwóch przypadkowych fotonów).

Obrazowanie:Obrazowanie Medyczne/Scyntygrafia, Tomografia Emisyjna Pojedynczego Fotonu, Pozytonowa Tomografia Emisyjna

2018-01-29T11:42:03Z

Jginter: /* Procesy zachodzące krysztale scyntylacyjnym */

Scyntygrafia, Tomografia Emisyjna Pojedynczego Fotonu, Pozytonowa Tomografia Emisyjna

Scyntygrafia, Komputerowa Tomografia Emisyjna Pojedynczego Fotonu (ang. ''Single Photon Emmision Computed Tomograpy'', SPECT) oraz Pozytonowa Tomografia Emisyjna (ang. ''Positron Emission Tomography'') to metody tzw. Medycyny Nuklearnej. Różnią się one co do sposobu i jakości otrzymywanego obrazu — w scyntygrafii uzyskuje się obraz planarny, podczas gdy w metodzie SPECT i PET obrazy wybranych warstw pacjenta. Cechą, która łączy wymienione metody to stosowanie w procesie obrazowania tzw. radiofarmaceutyków.

==Radiofarmaceutyki==
Radiofarmaceutyk jest związkiem chemicznym składającym się z dwóch zasadniczych elementów:
* Znacznika, którym jest odpowiednio dobrany radionuklid.
* Nośnika, którym jest związek chemiczny posiadający zdolność osadzania się w odpowiednich tkankach czy narządach, bądź też jest wychwytywany przez komórki np. zmienione chorobowo.
Produkty rozpadu promieniotwórczego radiofarmaceutyku mogą być rejestrowane za pomocą odpowiedniej aparatury, dając w ten sposób informację o jego lokalizacji. W omawianych metodach obraz diagnostyczny reprezentuje zatem mapę rozkładu radiofarmaceutyku w organizmie lub narządach pacjenta.

===Przemiany Promieniotwórcze===
Spośród wielu przemian promieniotwórczych, które zachodzą w przyrodzie, w diagnostyce medycznej stosowane są dwie:
* Przemiana Gamma, która towarzyszy praktycznie każdej innej przemianie jądrowej. W jej wyniku liczba atomowa i masowa jądra atomowego pozostają niezmienione, zmianie ulega natomiast energia wzbudzonego jądra. Promieniowanie gamma jest promieniowaniem elektromagnetycznym (jest to emisja fotonu z wzbudzonego jądra). Widmo energii promieniowania gamma jest dyskretne. Przemianę Gamma można zapisać w następujący sposób:
<equation id="eq1">
<math>
_Z^AX^* \rightarrow _Z^AX + \gamma
</math>
</equation>
gdzie: 
<math>_Z^AX^*</math> — jądro w stanie wzbudzonym o liczbie masowej ''A'' i atomowej ''Z''. 
<math>_Z^AX</math> — jądro o liczbie masowej ''A'' i atomowej ''Z'' w stanie podstawowym. 
Jak wspomniano, przemiana ta towarzyszy w zasadzie każdym innym przemianom promieniotwórczym, w wyniku których jądro atomowe zostaje wzbudzone.
* Przemiana Beta<math>^+</math>. W tej reakcji proton z jądra atomowego ulega przemianie w neutron, zgodnie z poniższym wzorem:
<equation id="eq2">
<math>
p \rightarrow n + e^+ + \nu</math>
</equation>
gdzie: 
''p'' — proton, 
''n'' — neutron, 
<math>e^+</math> — pozyton, 
<math>\nu</math> — neutrino elektronowe. 

W konsekwencji, jądro atomowe zmniejsza swój ładunek o jeden:
<equation id="eq3">
<math>
_Z^AX\rightarrow _{Z-1}^AX + e^+ + \nu</math>
</equation>

W przemianie Beta<math>^+</math> dochodzi do przemiany lżejszego neutronu w cięższy proton, dlatego jest ona energetycznie mniej korzystna niż znana ze szkoły średniej przemiana Beta<math>^-</math>. Aby rozpad zaszedł, musi być dostarczona energia z zewnątrz (nie może zajść w próżni, natomiast może zajść w jądrze atomowym). Z uwagi na emisję trzech produktów w trakcie przemiany, widmo energii kinetycznej pozytonu, jaką uzyskuje on w trakcie rozpadu jest ciągłe. Pozyton nie może osiągnąć jednak energii większej niż pewna wartość maksymalna, charakterystyczna dla przemiany danego nuklidu.

==Prawo rozpadu promieniotwórczego==
Przemiana jądra atomowego jest reakcją zachodzącą samorzutnie. Oznacza to, że rozpad danego jądra nie jest powodowany żadnymi czynnikami zewnętrznymi i nie zależy od jego wcześniejszych losów. To, czy w danym momencie czasu nastąpi rozpad danego jądra możemy opisać jedynie z pomocą pojęć statystycznych określając prawdopodobieństwo takiego rozpadu. Do najważniejszych zależności opisujących rozpad promieniotwórczy należą:
* Prawo rozpadu promieniotwórczego
<equation id="eq4">
<math> N(t) = N_0e^{-\lambda t} </math>
:</equation>
:Gdzie: 
:<math>N(t)</math> — liczba jąder, które pozostały po czasie <math>t</math>, z początkowej liczby jąder <math>N_0</math>, 
:<math>\lambda</math> — stała rozpadu promieniotwórczego, określa prawdopodobieństwu zajścia rozpadu jednego jądra atomowego w jednostce czasu 
:Dodatkowo: <math>\tau = \frac{1}{\lambda}</math> — średni czas życia jądra. 
* Okres połowicznego rozpadu:
:<equation id="eq5"><math>T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}</math></equation>
:Gdzie: 
:<math>T_{1/2}</math> — czas połowicznego zaniku

==Dobór nuklidów radio-promieniotwórczych w obrazowaniu medycznym==
Utworzenia mapy rozkładu radiofarmaceutyku w organizmie człowieka wymaga zebrania odpowiedniej ilości danych. Radionuklid, nie może zatem charakteryzować się zbyt krótkim czasem połowicznego rozpadu. Z drugiej strony, materiał promieniotwórczy powinien być jak najszybciej wydalony z organizmu człowieka, aby zminimalizować dawkę promieniowania jonizującego na które narażona jest badana osoba. Dobór odpowiedniego znacznika i nośnika, które spełnią powyższe oczekiwania jest bardzo trudny, a dziedziną którą zajmuje się wspomnianymi związkami jest radiochemia. Poniżej wymienimy trzy najważniejsze cechy jakimi powinien charakteryzować się radionuklid promieniotwórczy wybrany jako znacznik.

===Czas połowicznego rozpadu i efektywny czas połowicznego rozpadu.===
Dostępny okres czasu, w trakcie którego można zbierać dane niezbędne do utworzenia mapy rozkładu radiofarmaceutyku w organizmie człowieka zależy głównie od dwóch wielkości: tempa zachodzenia rozpadu promieniotwórczego oraz szybkości wydalania radiofarmaceutyku z organizmu. Wprowadźmy następujące oznaczenia: 
<math>\tau_r, \lambda_r</math> — to odpowiednio średni czas życia i stała rozpadu radionuklidu, 
<math>\tau_b, \lambda_b</math> — to odpowiednio średni czas przebywania radiofarmaceutyku w organizmie pacjenta i stała wydalania radionuklidu z organizmu, 
Przypominamy, iż stała rozpadu określa prawdopodobieństwo rozpadu cząstki w jednostce czasu. W związku z tym, liczba cząstek radiofarmaceutyku <math>\Delta N_r</math>, która ulegnie przemianie promieniotwórczej w czasie <math>\Delta t</math> wyniesie:
<equation id="eq6"><math>
\Delta N_r = -\lambda_r N\Delta t
</math></equation>
z kolei liczba cząstek radiofarmaceutyku <math>\Delta N_b</math> wydalonych z organizmu w czasie <math>\Delta t</math> jest równa:
<equation id="eq7"><math>
\Delta N_b = -\lambda_b N\Delta t
</math></equation>
Ostatecznie, w ciągu czasu <math>\Delta t</math> liczba cząstek <math>\Delta N</math> która ulegnie rozpadowi lub wydaleniu z organizmu wynosi:
<equation id="eq8"><math>
\Delta N = \Delta N_r + \Delta N_b = -(\lambda_r + \lambda_b) N\Delta t
</math></equation>
Przechodząc w granicy do małych przyrostów <math>\Delta N</math> i <math>\Delta t</math> otrzymujemy następujące równanie różniczkowe:
<equation id="eq9">
<math> dN = -(\lambda_r + \lambda_b) N dt</math>
</equation>
którego rozwiązaniem jest następująca zależność:
<equation id="eq10">
<math> N(t) = N_0e^{-(\lambda_r + \lambda_b)t}</math>
</equation>
gdzie: 
<math>N(t)</math> — liczba cząstek radiofarmaceutyku, która nie uległa rozpadowi lub wydaleniu z organizmu po czasie <math>t</math>. 
<math>N_0</math> — początkowa liczba cząstek radiofarmaceutyku. 

Możemy wprowadzić wypadkową, efektywną stałą rozpadu, uwzględniająca proces rozpadu promieniotwórczego oraz procesy wydalania radiofarmaceutyku z organizmu:
<equation id="eq11">
<math> \lambda_e = \lambda_r + \lambda_b</math>
</equation>
i odpowiadający jej średni czas życia radionuklidu w organizmie pacjenta:
<equation id="eq12">
<math> \frac{1}{\tau_e} = \frac{1}{\tau_r} +\frac{1}{\tau_b}</math>
</equation>

Po przekształceniu ostatniego wzoru otrzymujemy:
<equation id="eq13">
<math> \tau_e = \frac{\tau_r\cdot \tau_b}{\tau_r+\tau_b}</math>
</equation>
Wykorzystując zależność pomiędzy stałą rozpadu i średnim czasem życia dostajemy okres efektywny połowicznego rozpadu promieniotwórczego w organizmie:
<equation id="eq14">
<math> T^{1/2}_e = \frac{T^{1/2}_r\cdot T^{1/2}_b}{T^{1/2}_r+T^{1/2}_b}</math>
</equation>

W przypadku, gdy do zebrania informacji niezbędnej do utworzenia obrazu diagnostycznego wymagany jest okres czasu <math>T^d</math>, czas efektywnego rozpadu radiofarmaceutyku powinien być w przybliżeniu równy czasowi <math>T^d</math>. Jeśli zastosowany do badania radiofarmaceutyk usuwany jest z organizmu z czasem połowicznego wydalania <math>T^{1/2}_b</math>, to radionuklid wchodzący w skład radiofarmaceutyku powinien charakteryzować się czasem połowicznego rozpadu równym:
<equation id="eq15">
<math> T^{1/2}_r = \frac{T^{d}\cdot T^{1/2}_b}{T^{d}+T^{1/2}_b}</math>
</equation>

Przyjmuje się, że efektywny czas półtrwania radiofarmaceutyka powinien być około 1,5 razy dłuższy niż czas procedury badania. Kryterium to jest jednak spełnione tylko dla niektórych radiofarmaceutyków.

==Detektory promieniowania γ==

[[File:gamma_camera_spectrum_1.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:gamma_camera_spectrum_1"></figure>Oczekiwane widmo promieniowania γ uzyskane za pomocą detektora scyntylacyjnego. Na osi pionowej natężenie (liczba fotonów γ padająca w jednostce czasu na scyntylator), na osi poziomej energia fotonów γ. Pionową linię nazywamy fotopikiem.]]

[[File:gamma_camera_procesy.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:gamma_camera_procesy"></figure>Diagram ścieżki oddziaływań jakim może ulec foton γ w scyntylatorze.]]

[[File:gamma_camera_spectrum_2.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:gamma_camera_spectrum_2"></figure>Rzeczywisty kształt fotopiku.]]

[[File:gamma_camera_spectrum_3.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:gamma_camera_spectrum_3"></figure>Fotopik oraz składowa widma promieniowania γ powstała w wyniku rozpraszania Comptonowskiego w krysztale scyntylacyjnym. Składowa Comptonowska gwałtownie zanika dla energii powyżej pewnego progu. Zanik ten nazywamy krawędzią Comptonowską. Linią przerywaną narysowano przebieg przykładowej rzeczywistej krawędzi Comptonowskiej. ]]

[[File:gamma_camera_spectrum_4.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:gamma_camera_spectrum_4"></figure>Fotopik, składowa widma promieniowania γ powstała w wyniku rozpraszania Comptonowskiego w krysztale scyntylacyjnym oraz składowa widma powstała w wyniku rozpraszania Comptonowskiego fotonów γ w ciele pacjenta.]]

[[File:gamma_camera_spectrum_5.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:gamma_camera_spectrum_5"></figure>Składowe widma powstające w wyniku oddziaływania fotonów z materią w różnych procesach nakładają się na siebie prowadząc do rozmycia najbardziej istotnej składowej widma — fotopiku (linia przerywana).]]

Podstawowym detektorem promieniowania γ w scyntygrafii, metodzie SPECT i PET jest detektor scyntylacyjny. Składa się in z kryształu scyntylacyjnego połączony z fotopowielaczem. Schemat takiego układu zaprezentowano na <xr id="fig:fotopowielacz">rys. %i</xr>. Zasada działania detektora scyntylacyjnego polega na zamianie energii promieniowania γ na błyski światła widzialnego (scyntylacje). Wytworzona liczba błysków scyntylacyjnych jest zbyt mała, aby można było je bezpośrednio obserwować. Do ich wzmocnienia stosuje się fotopowielacz, który jest pewnym rodzajem lampy elektronowej. Fotopowielacz składa się z następujących elementów:
* Fotokatody, która pod wpływem światła widzialnego emituje elektrony.
* Siatki elektrod, nazywanych dynodami, pomiędzy którymi istnieje pewna różnica potencjałów. Elektrony emitowane przez fotokatodę, pokonują drogę pomiędzy dynodami są przyspieszane. W trakcie zderzenia z dynodą elektrony wybijają kolejne elektrony, w efekcie czego liczba elektronów narasta. Ostatnią elektrodą w fotopowielaczu jest tzw. anoda. Elektrony uderzając w anodę powodują wytworzenie impulsu elektrycznego.
Zadaniem fotopowielacza jest zatem konwersja światła widzialnego na sygnał elektryczny oraz jego wzmocnienie.

Poniżej opisano najważniejsze fakty związane z działaniem detektora scyntylacyjnego i fotopowielacza.

===Procesy zachodzące krysztale scyntylacyjnym===
* Kwant promieniowania gamma oddziałuje z atomami scyntylatora w zjawiskach: Efekt Fotoelektryczny, rozproszenie Comptona oraz Kreacja Par.
* Wytworzone w tych procesach elektrony posiadają wysoką energię i powodują wytwarzanie wtórnych elektronów.
* Wytworzone elektrony pobudzają atomy scyntylatora.
* Atomy oddają nadmiar energii w postaci promieniowania E-M w zakresie widzialnym, w liczbie około 40 fotonów na każdy keV energii promieniowania gamma.

Z punktu widzenia konwersji fotonów γ na światło widzialne, najważniejszym procesem jest efekt fotoelektryczny. W wyniku tego procesu wysokoenergetyczne kwanty promieniowania γ wybijają elektrony z atomów scyntylatora. Energia wiązania elektronów z atomami scyntylatora jest niewielka w porównaniu energią fotonów γ, dlatego możemy przyjąć iż wybite elektrony przejmują w postaci energii kinetycznej cała energię fotonu. Szybko poruszające się elektrony wzbudzają atomy scyntylatora prowadząc do aktów emisji promieniowania elektromagnetycznego z zakresu widzialnego. Natężenie fotonów światła widzialnego jest proporcjonalna do energii fotonów gamma. Z kolei światło w fotopowielaczu, co zostanie omówione w dalszej części rozdziału, ulega konwersji na sygnał elektryczny, którego amplituda jest proporcjonalna do natężenia światła padającego na fotopowielacz. Podsumowując, oczekujemy, że wejściu fotopowielacza, uzyskamy impuls elektryczny, którego amplituda odpowiada energii fotonów gamma, zaś liczba impulsów otrzymywanych w jednostce czasu z fotopowielacza odpowiada natężeniu promieniowania γ padającego na scyntylator. Wykres natężenia promieniowania γ w funkcji energii nazywamy widmem. Przebieg oczekiwanego widma fotonów γ uzyskiwanych za pomocą detektora scyntylacyjnego zaprezentowano na <xr id="fig:gamma_camera_spectrum_1">rys. %i</xr>. Pionową linię odpowiadającą energii <math>E_\gamma</math> fotonów gamma nazywamy ''fotopikiem''.

Promieniowanie elektromagnetyczne może jednak oddziaływać również z materią w procesach innych niż efekt fotoelektryczny. Fotony promieniowania γ będą w scyntylatorze ulegać rozproszeniu Comptonowskiemu oraz brać udział w procesie Kreacji Par. W wyniku zajścia efektu Comptonowskiego, powstaną wtórne fotony γ o energii niższej niż foton pierwotny. Fotony Comptonowskie z kolei mogą w wyniku procesu fotoelektrycznego wybijać elektrony, jednakże energia wybitych elektronów będzie niższa niż energia promieniowania γ. Elektrony te słabiej wzbudzą ośrodek scyntylacyjny, co doprowadzi do powstania mniejszej liczby fotonów z zakresu widzialnego. Co przełoży się na niższa amplitudę sygnału elektrycznego na wyjściu fotopowielacza. Podsumowując, fotony γ, które ulegną rozproszeniu Comptonowskiemu, będą interpretowane na wyjściu aparatury pomiarowej jako fotony γ o energii niższej niż wynikało to z rozpadu promieniotwórczego znacznika w radiofarmaceutyku.
Musimy również pamiętać, iż od momentu wniknięcia fotonu γ do kryształu scyntylacyjnego, do chwili powstania upływa pewien okres czasu, w szczególności jeśli foton nie ulegnie od razu efektowi fotoelektrycznemu. Diagram niektórych oddziaływań, jakim może być ulec foton γ zanim doprowadzi do wytworzenia błysku scyntylacyjnego zaprezentowano na <xr id="fig:gamma_camera_procesy">rys. %i</xr>. Z uwagi na skończony czas zachodzenia procesu konwersji fotonu γ na fotony widzialne, dwa kwanty promieniowania γ które wnikną w zbyt krótkich odstępach czasu do scyntylatora, będą nierozróżnialne i interpretowane jako jeden kwant o energii wyższej niż wynikałoby to z rozpadu promieniotwórczego znacznika w radiofarmaceutyku. Opisane zjawiska doprowadzą do rozmycia oczekiwanego kształtu fotopiku. Zamiast dyskretnej linii, otrzymamy krzywą o kształcie dzwonowym, której pozycja odpowiada energii fotonów γ padających na scyntylator (patrz <xr id="fig:gamma_camera_spectrum_2">rys. %i</xr>). Szerokość krzywej opisujemy za pomocą parametru FWHM. Problem rozmycia fotopiku możemy również wyjaśnić w oparciu o Mechanikę Kwantową. Jak wiemy nie jest możliwe wyznaczenie jednocześnie z dowolną dokładnością energii i czasu. Jeśli moment wystąpienia błysku scyntylacyjnego możemy określić z dokładnością Δt to związane będzie z tym rozmycie energii błysku ΔE.
Rozmycie fotopiku nie jest jedynym problemem, który utrudnia prawidłowe określenie natężenia fotonów γ w funkcji energii. Kwant promieniowania γ wytworzony w wyniku rozpadu znacznika w radiofarmaceutyku, zanim dotrze do scyntylatora, może ulec procesom które zmienią jego energię. W niniejszych materiałach opiszemy dwa najważniejsze zjawiska, prowadzące do zmiany energii fotonów γ
Pierwszym zjawiskiem jest rozpraszania Comptonowskie, które zachodzi na atomach scyntylatora. Energię rozproszonego w procesie Comptonowskim fotonu określa następujący wzór:
<equation id = “eq20”>
<math>E'=\frac{E}{1 + \frac{E}{m_ec^2}(1-\cos(\Theta))} </math>
</equation>
gdzie: 
<math>E'</math> — energia fotonu rozproszonego, 
<math>E</math> — energia fotonu padającego, 
<math>c, m_e</math> — odpowiednio prędkość światła i masa elektronu, 
<math>\Theta</math> — kąt pod jakim zostanie rozproszony foton wtórny, względem kierunku fotonu padającego. 
W przypadku gdy kierunek ruchu fotonu wtórnego jest przeciwny do kierunku ruchu padającego, mówimy o rozpraszaniu wstecznym.
Kąt <math>\Theta</math> wynosi wtedy 180 stopni, zaś energia fotonu rozproszonego wynosi:
<equation id = “eq21”>
<math>E'=\frac{E}{1 + 2\frac{E}{m_ec^2}} </math>
</equation>
Energia zdeponowana przez foton padający w krysztale scyntylacyjnym jest równa
różnicy energii fotonu padającego i fotonu rozproszonego. W przypadku rozpraszania wstecznego jest ona równa:
<equation id = “eq22”>
<math>\Delta E = E - E'=\frac{E^2}{E+255,2}[keV] </math>
</equation>

Zauważmy, iż jeśli foton ulega rozproszeniu Comptonowskiego, to może on zdeponować najwięcej energii w krysztale scyntylacyjnym właśnie w trakcie rozpraszania wstecznego. Przekaz większej energii do kryształu scyntylacyjnego w wyniku pojedynczego akty rozpraszania Comptonowskiego jest niemożliwy. Przykładowo, jeśli na do kryształu scyntylacyjnego docierają fotony γ o energi <math>E_{\gamma} = 140</math> keV (emitowane przez Technet), to fotony wtórne powstałe w wyniku wstecznego rozpraszania Comptonowskiego będą miały energię 90 keV, zaś w krysztale zostanie zdeponowana energia 50 keV. Rozpraszanie Comptonowskie, jest zatem nie tylko odpowiedzialne za produkcję fotonów wtórnych, które prowadzą do poszerzenia fotopiku lecz także formują nową składową widma uzyskiwanego z detektora scyntylacyjnego. Składowa ta, którą określa się jako składową Comptonowską, została zaprezentowana na rysunku <xr id="fig:gamma_camera_spectrum_3">rys. %i</xr>. Jej charakterystyczną cechą jest gwałtowny zanik, dla energii wyższych niż pewien próg, którym jest energia zdeponowana przez fotony γ w krysztale, w trakcie wstecznego rozpraszania Comptonowskiego. Próg ten nazwano krawędzią Comptonowską. Krawędź ta w rzeczywistym widmie jest nie znacznie rozmyta, co ponownie jest związane ze statystycznym charakterem zjawisk, które prowadzą do jej utworzenia.

Kolejna składowa widma promieniowania γ uzyskiwana w detektorze scyntylacyjnym jest również związana z rozpraszaniem Comptonowskim fotonów, ale zachodzącym w organizmie pacjenta. Jej kształt będzie zależał między innymi od grubości badanego przedmiotu. W cienkim przedmiocie będą dominowały fotony, które uległy pojedynczemu rozproszeniu comptonowskiemu, a zatem ich minimalna energia wynosi w wypadku technetu 90 keV. W praktyce jednak w pacjencie większe znaczenie mogą odegrać fotony rozproszone wielokrotnie, których energia końcowa może być znacznie niższa. Jak pamiętamy z materiałów dotyczących promieniowania rentgenowskiego, promieniowanie elektromagnetyczne o energii poniżej 10 keV jest silnie tłumione przez ciało człowieka, dlatego nie zaobserwujemy fotonów γ rozproszonych Comptonowsko o energiach poniżej tego progu. Pozostałe fotony, które uległy oddziaływaniu Comptonowskiego, będą miały energię z zakresu od około 10-20keV do maksymalnej energii, jaką dany foton może uzyskać w wyniku rozpadu promieniotwórczego. Fotony te, oddziałując ze scyntylatorem uformują składową widma zaprezentowaną na <xr id="fig:gamma_camera_spectrum_4">rys. %i</xr>.

Fotony emitowane z radiofarmaceutyku mogą brać udział również w innych procesach (np. ulegać rozpraszaniu Comptonowskiemu w ołowianym kolimatorze założonym na detektor) prowadząc do powstawania kolejnych składowych widma. Proces te nie będą tutaj omawiane. Należy jednak pamiętać, iż widma te mogą nakładać się na fotopik, prowadząc do jego zniekształcenia, co zaprezentowano na rysunku <xr id="fig:gamma_camera_spectrum_5">rys. %i</xr>.

Precyzyjne określenie natężenia i energii fotonów γ docierających do scyntylatora jest niezwykle istotne dla prawidłowego utworzenia obrazu rozkładu radiofarmaceutyku w ciele pacjenta. Natężenie kwantów promieniowania przekłada się na stężenie radiofarmaceutyku, który np. mógł ulec absorpcji przez pewien narząd co może być wskazywać na zachodzące w nim procesy chorobotwórcze. Z kolei w oparciu o energię fotonów można rozróżnić fotony, które do momentu wytworzenia błysku scyntylacyjnego nie uległy innym procesom, no. rozpraszaniu Comptonowskiemu, które mogło zmienić ich kierunek poruszania się. Problem ten zostanie jeszcze poruszony w kolejnych rozdziałach.

===Procesy zachodzące w fotopowielaczu.===

* Fotony światła widzialnego wytworzone w scyntylatorze docierają do katody fotopowielacz, powodując emisję z niego elektronów.
* Wprowadzony pomiędzy kolejnymi dynodami potencjał elektryczny prowadzi do przyspieszenie elektronów. Kierunek pola elektrycznego jest tak dobrany, aby elektrony kierowane były do kolejnych dynod. Elektrony w trakcie zderzenia z dynodami wybijają z nich kolejne elektrony, które ponownie są przyspieszane przez pole elektryczne.
* Ostatnią elektrodą jest anoda. Elektrony po dodarciu do niej wywołują impuls elektryczny. Impuls ten dodatkowo jest wzmacniany za pomocą wzmacniacza liniowego.
* Energia kwantu gamma przekłada się na liczbę błysków scyntylacyjnych. Z kolei od liczby błysków scyntylacyjnych zależy liczba wybitych elektronów z fotokatody, a w związku z tym również amplituda sygnału elektrycznego na wyjściu fotopowielacza.

==Budowa Gamma Kamery==

===Okres przez powstaniem "Gamma-Kamery"===

Najprostszym pomysłem na budowę aparatury do rejestracji promieniowania gamma powstałego emitowanego przez radiofarmaceutyk wprowadzony do pacjenta byłoby umieszczenie nad nim detektora scyntylacyjnego. Detektor taki jednak obejmował by swoim polem widzenia tylko niewielki obszar pacjenta, podczas gdy wiele narządów człowieka (np. płuca, układ pokarmowy, układ kostny) charakteryzuje się znacznymi rozmiarami.
Problem ten można rozwiązać, umieszczając obok siebie kilka detektorów scyntylacyjnych i tego rodzaju układy były stosowane w początkach diagnostyki nuklearnej. Niestety, taki narzędzia nadal miały ograniczony zakres stosowalności i sprawdzały się w diagnostyce małych narządów (np. tarczycy). W celu zobrazowania większych narządów, detektor scyntylacyjny umieszczano na wysięgniku, który wykonywał w obrębie ciała pacjenta sekwencje pewnych ruchów (tzw. ruchów meandrujących). Detektor rejestrował emitowane z ciała ludzkiego fotony γ, które po zamianie na impuls elektryczny były kierowane do pisaka. Pozycja pisaka odpowiadała pozycji ramienia trzymającego detektor scyntylacyjny względem ciała pacjenta. Liczba punktów naznaczonych dla danej pozycji ''x'' i ''y'' odpowiadała liczbie rejestrowanych fotonów. W ten sposób uzyskiwano mapę rozkładu radiofarmaceutyku w ciele pacjenta.

===Gamma-Kamera===
Budowa urządzenia diagnostycznego na zasadzie łączenie ze sobą kolejnych detektorów scyntylacyjnych okazała mało optymalnym rozwiązaniem.
W roku 1957 Hal Oscar Anger, wpadł na pomysł umieszczenia wielu fotopowielaczy na jednym dużym krysztale scyntylacyjnym. W ten sposób powstała gamma-kamera, nazywana również kamerą Angera. Do pełnej funkcjonalności gamma-kamera wymagała jeszcze dwóch podzespołów elektronicznych — układu wyznaczania pozycji błysków scyntylacyjnych oraz analizatora amplitudy. Bloki te zostaną omówione w kolejnych podrozdziałach. Zasadę działania gamma kamery omówimy, dokonując eksperymentu myślowego polegającego na budowie tego urządzenia od podstaw.

====Kryształ scyntylacyjny i fotopowielacze====
[[File:fotopowielacz.png|500px|thumb|right|<figure id="fig:fotopowielacz"></figure>Schemat budowy scyntylatora połączonego z fotopowielaczem.
Rysunek pobrany ze strony Wikipedii na zasadach licencji Creative Commons 3.0.]]
Kryształ scyntylacyjny jest jednolitym, dużym kryształem, zazwyczaj jodku sodowego aktywowanego talem — NaI(Tl) (ze względu na silna higroskopijność tego związku kryształ jest szczelnie obudowany). Średnica kryształu wynosi od około 28 cm do około 61 cm, grubość zaś dochodzi do 9,5 cm. Grubość kryształu jest jednym z parametrów decydujących o jego właściwościach detekcyjnych (od grubości kryształu zależy efektywność detekcji oraz rozdzielczość systemu). Na powierzchni kryształu scyntylacyjnego umieszczane są fotopowielacze, w liczbie do 150 sztuk. Najczęściej jednak liczba fotopowielaczy wynosi od 37 lub 53 sztuk (patrz <xr id="fig:gamma_camera_0">rys. %i</xr>). Pojedynczy błysk scyntylacyjny jest rejestrowany przez wiele fotopowielaczy. Natężenie błysku scyntylacyjnego będzie malało wraz z odległością od miejsca powstania. Na podstawie rozkładu natężenia światła rejestrowanego przez fotopowielacze można wyznaczyć pozycję na płaszczyźnie gamma-kamery miejsca wystąpienia błysku.
Do najważniejszych wielkości charakteryzujących kryształ scyntylacyjny należą:
* Wydajność, to jest stosunek liczby zarejestrowanych fotonów γ do liczby fotonów wpadających do kryształu scyntylacyjnego. Nie każdy foton γ spowoduje błysk scyntylacyjny, który może być zarejestrowany przez fotopowielacz. Im grubszy kryształ scyntylacyjny, tym większe jest prawdopodobieństwo wytworzenia błysku światła. Jednak grubszy kryształ powoduje również pogorszenie przestrzennej zdolności rozdzielczej gamma. Błyski scyntylacyjne zachodząc w przypadku grubego kryształu scyntylacyjnego na różnej głębokości, co utrudnia poprawne wyliczenie pozycji błysku.
* Czas odpowiedzi i czasowa zdolność rozdzielcza. Czas odpowiedzi, to czas od momentu wniknięcia fotonu γ do kryształu do wytworzenia błysku scyntylacyjnego. Determinuje on czasową zdolność rozdzielczą kryształu. Fotony γ które dotrą do do kryształu scyntylacyjnego w odstępach czasu krótszych niż czasowa zdolność rozdzielcza, nie będą zarejestrowane jako dwa oddzielne fotony.
* Energetyczna zdolność rozdzielcza jest to stosunek szerokości połówkowej (FWHM) fotopiku do amplitudy sygnału. Wielkość ta ma znaczenie przy rozróżnianiu fotonów γ pod względem ich energii. Do kryształ scyntylacyjny dociera bowiem nie tylko promieniowanie emitowane bezpośrednio z radiofarmaceutyku umieszczonego w ciele pacjenta, lecz również promieniowanie rozproszone (którego kierunek i energia zostały zmienione) oraz promieniowanie z otoczenia. Fotony γ pochodzące od tła i zjawisk rozproszeniowych można odróżnić od fotonów bezpośrednio docierających do scyntylatora m.in. na podstawie ich energii. Im lepsza jest energetyczna zdolność rozdzielcza scyntylatora, tym można dokonać lepszego rozróżnienia fotonów.

Niektóre parametry typowych materiałów scyntylacyjnych zaprezentowano w poniższej tabeli:
<figure id="scyntylatory">
{| class="wikitable"
! Scyntylator
! NaI(T)
! CsF
! BGO (Bi<math>_3</math>Ge<math>_r</math>O<math>_{12}</math>)
|-
| Czasowa rozdzielczość (FWHM [ns])
| 1,5
| 0,4
| 7
|-
| Energetyczna zdolność rozdzielcza (FWHM [%])
| 7
| 30
| 12
|-
| Wydajność detekcji fotonów 511 keV [%] dla detektorów o szer 1 cm
| 45
| 50
| 67
|-
|}
</figure>
Przy tak uproszczonej konstrukcji układu obrazującego pojawiają się następujące problemy:
* Radiofarmaceutyk emituje promieniowanie γ izotropowo. Błysk scyntylacyjny, oznaczony na <xr id="fig:gamma_camera_0">rys. %i</xr> numerem (1), może więc być spowodowany kwantem gamma pochodzącym ze źródła oznaczonego na <xr id="fig:gamma_camera_0">rys. %i</xr> niebieskim kwadratem. Błysk scyntylacyjny numer (1) może być równie dobrze spowodowany przez kwant gamma wyemitowany ze źródła oznaczonego kwadratem białym i poruszającego się wzdłuż linii koloru zielonego.
* Kwanty γ ulegają w ciele pacjenta rozproszeniu Comptonowskiego co dodatkowo komplikuje trajektorię ich ruchu.

====Kolimator====

[[File:gamma_camera_0.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:gamma_camera_0"></figure>Radiofarmaceutyk umieszczony w ciele pacjenta emituje kwanty promieniowania γ. Te pod dotarciu do kryształu scyntylacyjnego wywołują błysk scyntylacyjny. Lokalizacja radiofarmaceutyku na podstawie pozycji błysków scyntylacyjnych jest niemożliwe, z uwagi na emisję fotonów γ w różnych kierunkach oraz Comptonowskie rozpraszanie tych fotonów.]]

[[File:kolimator_0.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:kolimator_0"></figure>Kolimator przepuszcza tylko fotony γ padające na niego z określonych kierunków, w efekcie czego powstaje rzut rozkładu radiofarmaceutyku na płaszczyznę kryształu scyntylacyjnego.]]

[[File:kolimator_1.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:kolimator_1"></figure>Na rysunku zaprezentowano parametry kolimatora, niezbędne do określenia jego rozdzielczości przestrzennej.]]

[[File:gamma_camera_spectrum_6.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:gamma_camera_spectrum_6"></figure>Widmo promieniowania γ uzyskane za pomocą gamma kamery. Szarym prostokątem zaznaczono zakres energii kwantów promieniowania, które zostaną wykorzystane do utworzenia obrazu diagnostycznego. Zakres został wybrany przez odpowiednie ustawienie analizatora amplitudy.]]

W celu uzyskania dokładnego rzutu rozkładu radiofarmaceutyku w ciele pacjenta na powierzchnie gamma-kamery stosuje się tzw. kolimatory. Kolimatory są zbudowane z ołowianej blach o średnicy takiej samej jak średnica kryształu scyntylacyjnego. Grubość kolimatora jest różna i dobierana w zależności od przeprowadzonego badania, gdyż ma wpływ na parametry uzyskiwanego obrazu. W kolimatorze wykonane są otwory, których średnica też jest zależna od rodzaju kolimatora. Zwykle otwory wywiercone są w kierunku prostopadłym do powierzchni kolimatora i mają kształt walca. W niektórych badaniach diagnostycznych otwory są pochylone w celu uzyskania powiększonego lub zmniejszonego obrazu danego narządu.
Przestrzeń pomiędzy otworami nazywamy septą. Rolą kolimatora jest filtracja promieniowania, którego kierunek znacznie odbiega od osi otworu. W przypadku otworów, które nawiercono równolegle do płaszczyzny kolimatora, tylko promieniowanie padające w przybliżeniu równolegle do osi otworu może dotrzeć do scyntylatora. Kwanty γ poruszające się winnych kierunkach będą absorbowane przez ołów wypełniający septę (przestrzeń między otworami). Sytuację taką przedstawioną <xr id="fig:kolimator_1">rys. %i</xr>. 

===Parametry charakteryzujące gamma-kamerę===
Spośród wielu parametrów charakteryzujących gamma-kamerę, omówimy dwa najważniejsze, to jest czułość, oraz rozdzielczość. Niestety, zwiększanie rozdzielczości przestrzennej gamma-kamery wiąże się ze zmniejszeniem jej czułości, co ma negatywny wpływ na kontrast obrazu. Problem ten omówimy poniżej, zaczynając od zdefiniowania pojęć czułości gamma — kamery oraz przypomnienia definicji rozdzielczości. Następnie omówimy jak trzy kluczowe elementy gamma-kamery, to jest kolimator, kryształ scyntylacyjny oraz fotopowielacze mają wpływ na wspomniane powyżej parametry.
* Czułość gamma-kamery.
:Czułość gamma-kamery zdefiniowana jest w następujący sposób:
:<equation id = “eq23”><math>
sensitivity = \frac{N_o}{N_a}
</math></equation>
:gdzie: 
:<math>N_o</math> — Liczba impulsów (fotonów) na sekundę wykorzystana przez gamma kamerę do utworzenia obrazu. 
:<math>N_a</math> — Aktywność źródła. 
:W przypadku typowych gamma-kamer tylko około 3% fotonów wyemitowanych przez źródło jest wykorzystywanych do utworzenia obrazu diagnostycznego. Czułość jest bardzo ważnym parametrem, ponieważ od liczby zarejestrowanych fotonów zależy jakość uzyskanego obraz (przede wszystkim jego obraz). Na stronie [http://radiographics.rsna.org/content/19/3/765.full] udostępniony jest artykuł szkoleniowy, w którym zaprezentowano obrazy diagnostyczne utworzone przy pomocy różnej liczby fotonów.
* Rozdzielczość gamma-kamery
:Przypominamy, że rozdzielczość układu obrazującego to jego zdolność do zaprezentowania dwóch punktów znajdujących się w pewnej odległości od siebie, jako dwóch oddzielnych obiektów na obrazie. Na <xr id="fig:kolimator_0">rys. %i</xr> widzimy, że dana septa w kolimatorze przepuszcza do scyntylatora fotony pochodzące z obszaru o długości <math>d</math>. W związku z tym, wszystkie punkty znajdujące się w obrębie tego obszaru zostaną na obrazie zaprezentowane jako jeden punkt. Parametr <math>d</math> określa zatem rozdzielczość kolimatora. Z prostych relacji geometrycznych, uzyskamy następującą zależność parametru <math>d</math> od głębokości ''h'' i szerokości ''s'' septy oraz odległości ''l'' kryształu scyntylacyjnego od badanego obszaru:
:<equation id = “eq24”><math>
d = 2\frac{(l + h)s}{h} -s= 2s(1+\frac{l}{h}) -s
</math></equation>
:Z powyższego wzoru możemy wyciągnąć następujące wnioski:
:# Rozdzielczość kolimatora, co ma wpływ na rozdzielczość całej gamma-kamery, zależy od odległości kryształu scyntylacyjnego od badanego obiektu. Odległość gamma-kamery od pacjenta podlega oczywiście pewnej regulacji, jednak poszczególne narządy znajdują się w człowieku na różnej głębokości. Najwyższą rozdzielczość można uzyskać dla narządów znajdujących się tuz pod powierzchnią skóry.
:# Rozdzielczość gamma-kamery można zwiększyć zmniejszając rozmiar septy oraz zwiększając jej głębokość. Jednakże zabiegi te spowodują, że do scyntylatora dotrze mniejsza ilość fotonów, skutkiem czego obniżona zostanie czułość gamma-kamery. Ponadto, zadaniem gamma-kamery jest dostarczenia obrazu uzyskanego jednocześnie z danego obszaru pacjenta. Aby pożądany obszar został objęty przez pole widzenia gamma-kamery, kolimatory o bardzo małej szerokości otworów ''s'', powinny tych otworów zawierać jak najwięcej. Spełnienie tego warunku wymaga z kolei, aby grubości septy były jak najmniejsze. Z kolei rolą septy jest pochłanianie fotonów, które docierają z sąsiednich otwór oraz fotonów rozproszonych Comptonowsko. Cienka septa będzie pochłaniała małą liczbę fotonów, przyczyniając się do zaszumienia obrazu. Im większa jest energia fotonów emitowanych przez radiofarmaceutyk, tym septa powinna charakteryzować się większą grubością, Jak widzimy, dobór odpowiednich parametrów ''h'' oraz ''s'' jest trudny, dlatego zwykle gamma-kamera wyposażona jest w wiele kolimatorów, zmienianych przez technika, w zależności od rodzaju badania i efektu jaki chcemy uzyskać.

===Fotopowielacze===
Za kolimatorem w gamma-kamerze znajduje się kryształ scyntylacyjne, a dopiero później fotopowielacze, jednakże w celu lepszego omówienia kwestii rozdzielczości kryształu scyntylacyjnego, kolejność omawiania poszczególnych elementów została zmieniona. Jak pamiętamy, zadaniem pojedynczego fotopowielacza jest konwersja błysku scyntylacyjnego na sygnał elektryczny z jednoczesnym wzmocnieniem sygnału. W gamma-kamerze na krysztale scyntylacyjnym znajduje się cały zespół fotopowielaczy, którego zadaniem jest również określenie współrzędnych błysku w płaszczyźnie kolimatora. Odbywa się według bardzo prostego pomysłu. Poszczególne kolimatory znajdują się w różnych odległościach od miejsca wystąpienia błysku scyntylacyjnego, będą zatem rejestrować światło pochodzące od błysku o różnym natężeniu. Znając poszczególne pozycje fotopowielaczy oraz natężenie rejestrowanego przez nie światła, współrzędne błysku można wyznaczyć w następujący sposób:
<equation id="eq:pozycja_blysku"><math>
\begin{array}{l}
x = \frac{1}{Z}\sum_{i=1}^N x_ia_i \\
\\
y = \frac{1}{Z}\sum_{i=1}^N y_ia_i \\
\\
Z = \sum_{i=1}^N a_i
\end{array}
</math></equation>
gdzie: 
<math>N</math> — liczba fotopowielaczy, 
<math>x_i, y_i</math> — to odpowiednio, współrzędna ''x'' oraz ''y'' ''i''-tego fotopowielacza, 
<math>a_i</math> — amplituda błysku scyntylacyjnego zarejestrowana przez ''i''-ty fotopowielacz. 
Dokładność wyznaczenia błysku scyntylacyjnego zależy oczywiście od liczby fotopowielaczy. Fotopowielacze charakteryzują się jednak relatywnie dużymi rozmiarami i nie można na krysztale scyntylacyjnym umieścić dowolnie dużo. Ponadto, liczba fotonów emitowanych w danym kierunku w trakcie błysku scyntylacyjnego podlega statystycznym fluktuacjom, które mogą być opisane [http://www.sprawls.org/ppmi2/STATS/ rozkładem Poissona]. Przykładowo, wyobraźmy sobie, iż w wyniku błysku scyntylacyjnego, który zaszedł w tej samej odległości pomiędzy dwoma fotopowielaczami, zostało wyprodukowanych 100 fotonów. Należałoby oczekiwać, iż każdy z fotopowielaczy zarejestruje po 50 fotonów. Jednakże w wyniku fluktuacji statystycznych, które są na poziomie <math>\sqrt{N}</math>, gdzie <math>N</math> to liczba emitowanych fotonów, jeden z fotopowielaczy może zarejestrować 40 fotonów, a drugi 60. W efekcie położenie błysku scyntylacyjnego zostanie oszacowane nieprawidłowo. Celem zmniejszenia opisanego błędu, należałoby stosować radionuklidy produkujące fotony γ o wysokiej energii. Jak wiemy bowiem liczba fotonów produkowanych w trakcie błysku scyntylacyjnego zależy liniowo od energii fotonów gamma. W ten sposób względny błąd zliczeń wykazywanych przez fotopowielacze jest proporcjonalny do <math>\frac{\sqrt{N}}{N}</math>. Detekcja fotonów γ o wyższych energiach wymaga z kolei grubszych kryształów scyntylacyjnych, co z kolei znowu negatywnie wpływa na rozdzielczość przestrzenną, co zostanie opisane w kolejnym rozdziale.

===Kryształ scyntylacyjny===
Foton promieniowania γ po wniknięciu w kryształ scyntylacyjny przebywa pewną drogę, zanim ulegnie oddziaływaniu z materią kryształu. Im cieńszy kryształ scyntylacyjny, tym mniejsze prawdopodobieństwo zajścia błysku scyntylacyjnego i detekcji kwantu promieniowania γ. W celu podwyższenia czułości kryształu scyntylacyjnego, należałoby zwiększyć jego grubość, jednakże to z kolei pogorszy rozdzielczość przestrzenną samego kryształu. Błyski scyntylacyjne będą mogły zachodzić na różnej głębokości, co negatywnie wpływa na określenie pozycji błysku zgodnie ze wzorem (<xr id="eq:pozycja_blysku"/>).

===Wypadkowa rozdzielczość gamma-kamery===
Wypadkowa rozdzielczość gamma-kamery jest wypadkową rozdzielczości poszczególnych jej elementów (głównie kryształu scyntylacyjnego oraz kolimatora)
i wynosi:
* około 4 mm dla tkanek położnych płytko (do 2cm),
* około 10 mm dla tkanek położonych głęboko (8 cm).

==Tomografia Emisyjna Pojedynczego Fotonu (ang. ''Single Photon Emission Tomography'', SPECT)==

[[File:spect_rekonstrukcja.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:spect_rekonstrukcja"></figure>Ilustracja do omawianego w rozdziale problemu rekonstrukcji obrazu w metodzie SPECT.]]

Podobnie jak w klasycznej (planarnej) radiografii, obraz pacjenta uzyskiwany za pomocą gamma-kamery jest rzutem trójwymiarowego obiektu na płaszczyznę. Związane są z tym liczne wady tego rodzaju obrazowania, czego efektem było opracowanie na początku lat 80 tzw. Tomografii Emisyjnej Pojedynczego Fotonu (ang. ''Single Photon Emmision Tomography'', SPECT). SPECT jest metodą obrazowania, w której na odstawie zarejestrowanych danych, zostaje zrekonstruowany obraz wybranych warstw pacjenta, wykorzystywane są przy tym dwie lub trzy gamma-kamery. Jak wiemy, rekonstrukcja obrazu wymaga dokonania rzutów obiektu na płaszczyznę z różnych kierunków. W urządzeniu SPECT gamma-kamery wykonują zatem ruch obrotowy wokół pacjenta. Przykładowe zdjęcia tomografów SPECT można zobaczyć na poniższej stronie internetowej [http://en.wikipedia.org/wiki/Single-photon_emission_computed_tomography]. 
Niestety, z rekonstrukcją obrazów w metodzie SPECT związane są pewne problemy:
# Część fotony γ zanim opuści ciało pacjenta może zostać pochłonięta.
# Natężenie wiązki kwantów γ emitowanych ze źródła umieszczone w pacjencie maleje wraz z kwadratem odległości.
# Podstawowe algorytmy rekonstrukcji obrazów wymagają dokonania rzutów obiektu z możliwie wielu kierunków. W metodzie SPECT, w której stosowane są radiofarmaceutyki kierunek emisji fotonów γ podlega pewnym fluktuacjom statystycznym i nie ma gwarancji, iż dla rzutu obiektu w danym kierunku zostanie zebrana odpowiednia ilość danych. Problem ten rozwiązuje się poprzez zastosowanie tzw. Iteracyjnych Algorytmów Rekonstrukcji obrazu.
Konsekwencje dwóch pierwszych problemów zostaną omówione w kolejnym rozdziale.

===Rekonstrukcja obrazów w metodzie SPECT===
Na <xr id="fig:spect_rekonstrukcja">rys. %i</xr> zaprezentowano układ pacjent — gamma-kamera. Z pacjentem związany jest układ współrzędnych ''U'' o środku w punkcie ''O'', z kolei z gamma-kamerą związany jest układ ''U' '' z środkiem w punkcie ''O' ''. Odległość pomiędzy środkami układu współrzędnych wynosi ''R''. Pacjentowi podano radiofarmaceutyk (zaznaczony na <xr id="fig:spect_rekonstrukcja">rys. %i</xr> kolorem żółtym), który został wychwycony przez płuca. Rozkład przestrzenny radiofarmaceutyku w pacjencie opisuje funkcja ''A(x,y,z)''. Odległość od mostka pacjenta do płaszczyzny gamma-kamery wynosi <math>R_1</math>, zaś odległość od pleców do płaszczyzny gamma-kamery wynosi <math>R_2</math>. Zakładamy, iż kolimator (nie zaprezentowany na rysunku) odrzuci każdy kwant promieniowania γ który nie pada na kolimator pod kątem prostym.
Przy powyższych założeniach, rozkład błysków scyntylacyjnych, odzwierciedlających rozkład radiofarmaceutyku w następujący sposób. W przypadku braku zaniku natężenia promieniowania wraz z odległością, rozkład natężenia błysków scyntylacyjnych byłby rzutem prostokątnym rozkładu radiofarmaceutyku na płaszczyznę gamma-kamery, z uwzględnieniem faktu, iż radiofarmaceutyk znajduje się na różnej głębokości w pacjencie:
<equation id="eq:spect_1"><math>
P(x',y') = \int_{R_1}^{R_2}A(x,y,z)dz
</math></equation>
Wzór (<xr id="eq:spect_1"/>) opisuje nic innego jak Transformatę Radona rozkładu raiofarmaceutyku. Uwzględniając zanik natężenie promieniowania γ wraz z odległością, wzór (<xr id="eq:spect_1"/>) przyjmie postać:
<equation id="eq:spect_2"><math>
P(x',y') = \int_{R_1}^{R_2}\frac{A(x,y,z)}{4\pi\cdot(R - z)^2}dz
</math></equation>
Niestety, kwant promieniowania γ zanim opuści organizm człowieka, może zostać pochłonięty na skutek różnych procesów, co opisuje liniowy współczynnik osłabienia promieniowa <math>\mu(x,y,z)</math>. Uwzględniając pochłanianie, dostajemy:
<equation id="eq:spect_3"><math>
P(x',y') = \int_{R_1}^{R_2}\frac{A(x,y,z)}{4\pi\cdot(R - z)^2}e^{-\int_{z}^{R_2}\mu(x,y,z'')dz''}dz
</math></equation>
Wzór (<xr id="eq:spect_1"/>) nie reprezentuje już Transformaty Radona rozkładu raiofarmaceutyku w pacjencie. Główny trudność stanowi jednak brak znajomości rozkładu współczynnika <math>\mu(x,y,z)</math>. Istnieją różne podejścia do rozwiązania tego problemu:
* zakłada się brak osłabienia promieniowania γ (<math>\mu(x,y,z)</math> = 0),
* zakłada się stały rozkład wartości osłabienia promieniowania (<math>\mu(x,y,z)</math> = const),
* aproksymuje się <math>\mu(x,y,z)</math>, przy pomocy innych metod, np. CT.
Ostatnie rozwiązanie nazywane jest korejestracją SPECT-CT. Urządzenie do korejestracji składają się z dwóch połączonych ze sobą skanerów CT i SPECT.

===Radionuklidy stosowane w badaniach planarnych oraz metodzie SPECT===

Radionuklidy stosowane w badaniach, w których wykorzystywana jest gamma-kamera, powinny spełniać następujące wymagania:
# Emitować kwanty gamma bez udziału innych przemian promieniotwórczych (alfa/beta).
# Charakteryzować się odpowiednio długim czasem połowicznego rozpadu, umożliwiającym przeprowadzenie badania diagnostycznego.
# Emitować kwanty gamma o energii:
#* wystarczająco dużej, aby fotony przenikały przez ciało ludzkie (min. 20 keV), 
#* wystarczająco niskiej, aby w wyniku oddziaływania fotonów z materią nie dochodziło do wtórnych procesów (poniżej 511 keV). 

Wszystkie te wymagania spełnia izotop Technetu — <math>^{99}\mathrm{Tc}</math>. Charakteryzuje się on energią emisji kwantów promieniowania γ wynoszącą 140 keV oraz czasem połowicznego rozpadu wynoszącym <math>T_{\frac{1}{2}}=6</math> godzin. Emisji fotonów promieniowania elektromagnetycznego nie towarzyszą inne przemiany promieniotwórcze. Właściwości te czynią Technet wręcz idealnym radionuklidem w zastosowaniach diagnostyki nuklearnej z wykorzystaniem gamma-kamery. 
Procesu uzyskiwania Technetu jest następujący. Przemiany zachodzące w reaktorze jądrowym są źródłem radioizotopu <math>^{99}\mathrm{Mo}</math> (Molibden).
Izotop ten jest umieszczany w specjalnie zabezpieczonym pojemniku, nazywanym generatorem radionuklidu. Generator dostarczany jest do odbiorcy.
Izotop Molibdenu ulega przemianie <math>\beta^-</math> z czasem połowicznego rozpadu <math>T_{\frac{1}{2}}=65,98 </math> godzin (2,75 dnia).
Produktem przemiany jest w 87,5 % tzw. metastabilny izotop technetu <math>^{99}\mathrm{Tcm}</math>, znajdujący się w stanie wzbudzonym, zaś w 12,5 % "zwykły" izotop technetu. Technet metastabilny ulega przemianie gamma, z czasem połowicznego rozpadu wynoszącym <math>T_{\frac{1}{2}}=6</math> godzin. W celu uzyskania użytecznego w diagnostyce nuklearnej Technetu metastabilnego jest on wypłukiwany przez technika z generatora i poddawany dalej kolejnym obróbkom chemicznym. Jak widzimy, Technet charakteryzuje się nie tylko dobrymi właściwościami fizycznymi na potrzeby obrazowania nuklearnego, lecz również jest względnie łatwy w produkcji.
Inne radioizotopy stosowane w obrazowaniu nuklearnym to:
* Jod-123 (<math>^{131}</math>J), o okresie połowicznego rozpadu <math>T_{\frac{1}{2}}=13</math> dni i energii emitowanych kwantów γ równej 159 keV,
* Jod-131 (<math>^{131}</math>J), o okresie połowicznego rozpadu <math>T_{\frac{1}{2}}=8</math> dni i energii emitowanych kwantów γ równej 159 keV,
* Ind-111 (<math>^{131}</math>In), o okresie połowicznego rozpadu <math>T_{\frac{1}{2}}=67</math> godzin i energii emitowanych kwantów γ równej 245 keV.

===Rola gamma-kamery w diagnostyce nuklearnej===

Metody obrazowanie oparte na gamma-kamerze charakteryzują się pewnymi wadami. Do najpoważniejszych należą:
* relatywnie niska rozdzielczość przestrzenna w porównaniu z innymi metodami (przykładowo w badaniach Rentgenowskich można uzyskać rozdzielczość na poziomie 0,3 mm, podczas gdy gamma-kamera daje rozdzielczość o rząd wielkości gorszą),
* zależność rozdzielczości od głębokości obrazowanych tkanek.

Co czyni zatem gamma-kamerę wartościowym narzędziem diagnostycznym? Należy sobie uświadomić, iż wiele chorób (zwłaszcza nowotworowych) może nie prowadzić do zmian w budowie anatomicznej narządów. W związku z tym zmiany te mogą być bardzo trudno zauważalne na obrazach prezentujących strukturę tkanek. Tymczasem główna idea badania z wykorzystanie gamma-kamery polega na lokalizacji miejsc gromadzenia się radiofarmaceutyku, który (jak przypominamy) składa się z radioizotopu oraz substancji wchłanianej wybiórczo przez chore tkanki. Dzięki temu scyntygrafia czy metoda SPECT stała się ważnym narzędziem w diagnostyce nowotworów oraz ich przerzutów. Ponadto, pewne choroby mogą prowadzić do dysfunkcji narządów bez wyraźnych zmian w ich budowie anatomicznej. Metody, taka jak SPECT, wykorzystywane są w badaniach perfuzyjnych (czyli badaniach przepływu przez tkanki czy narządy określonych płynów). Takie parametry, jak tempo dotarcia raiofarmaceutyku do danego narządu, szybkość jego usunięcia, ilość raiofarmaceutyku która przepłynęła przez narząd, są wskazaniem do właściwego lub nieprawidłowego działania narządu. Jednym z rodzajów badaniach perfuzyjnych, w których wykorzystuje się metody oparte na gamma-kamerze, to diagnostyka udarów mózgu (zarówno krwotocznych jak i niedokrwiennych).

==Pozytonowa Emisyjna Tomografia Komputerowa (ang. ''Positron Emission Tomography'', PET)==

Podobnie jak w przypadku Scyntygrafii czy metodzie SPECT, w Pozytonowej Emisyjnej Tomografii Komputerowej stosowane są radiofarmaceutyki. W tym przypadku jednak, radioizotopem zastosowanym jako znacznik nie jest emiter promieniowania γ lecz izotop ulegający przemianie <math>\beta^+</math>. Ma to poważne duże konsekwencje w procesie uzyskiwania obrazu oraz budowie samego skanera.
===Podstawy działania metody PET===
W trakcie rozpadu <math>\beta^+</math> emitowany jest pozyton, czyli cząstka o tej samej masie co elektron, ale o przeciwnym (dodatnim) ładunku.
Cząstka ta w wyniku rozpadu uzyskuje pewną energię, którą wytraca w oddziaływaniach z otoczeniem. Po zwolnieniu do prędkości termicznych, pozyton anihiluje z elektronem znajdującym się w otoczeniu. W wyniku anihilacji powstają (w zdecydowanej ilości przypadków) dwa fotony γ, które w układzie środka masy rozbiegają się w przeciwnych kierunkach. W układzie laboratoryjnym istnieją mierzalne odstępstwa od przeciwnego kierunku ruchu kwantów γ, jednak zwykle są one pomijane. Fotony po dotarciu do detektorów promieniowania są rejestrowane. Do tworzenia obrazu wykorzystywane są te pary kwantów γ, które jednocześnie dotarły do detektorów. Innymi słowy, w metodzie PET detekcji podlegają koincydencje czasowe dotarcie kwantów γ do detektorów. Poniżej wypisano przemiany fizyczne prowadzące do emisji dwóch fotonów γ.
#Radionuklid w radiofarmaceutyku ulega rozpadowi <math>\beta^+</math>
<equation id = “eq25”><math>
_Z^AX\rightarrow _{Z-1}^AX + e^+ + \nu</math>
</equation>
W trakcie przemiany, pozyton uzyskuje pewną energię kinetyczną, po wytraceniu której, zwalnia do prędkości termicznych, a następnie anihiluje z przypadkowym elektronem:
<equation id = “eq26”><math>
e^+ + e^{-} = 2\gamma</math>
</equation>
Fotony rozchodzą się w przeciwnych kierunkach. 
Najprostszy sposób uzyskiwania obrazu w metodzie PET (nierealizowany w praktyce) można przeprowadzić następująco. Zgodnie z założeniem, fotony emitowane w trakcie anihilacji poruszają się w układzie laboratoryjnym w przeciwnych kierunkach. Łącząc za pomocą prostej detektory, które zarejestrowały jednocześnie dotarcie do nich fotonów γ uzyskujemy informacje, iż na tej prostej nastąpił akt anihilacji, a zatem gdzieś w pobliżu nastąpił rozpad <math>\beta^+</math>. Prostą łączącą detektory, które zarejestrowały koincydencję czasową dotarcie dwóch fotonów γ nazywamy linią LOR (ang. ''Line of Response''). Nakładając wiele linii LOR na siebie, możemy uzyskać rozkład raiofarmaceutyku w badanym obszarze pacjenta.

===Rozdzielczość metody PET ===
Naturalnym ograniczeniem rozdzielczości metody PET jest droga, jaką przebywa pozyton emitowany po przemianie <math>\Beta^+</math> zanim nie wytraci energii kinetycznej i nie ulegnie anihilacji. Przykładowo, pozytony emitowane w rozpadzie <math>\Beta^+</math> <math>^68</math>Ga uzyskują maksymalną, początkową energię kinetyczną równą 1,90 MeV. W ośrodku materialnym takim jak woda, 50% pozytonów o powyższej energii początkowej, zostanie wyhamowanych w kuli o promieniu 1,6 mm, zaś 90% pozytonów zatrzyma się w kuli o promieniu 3,7 mm.

===Radionuklidy stosowane w metodzie PET===
Wymagania stawiane izotopom promieniotwórczym stosowanym w Pozytonowej Tomografii emisyjnej są następujące:
# Izotop musi oczywiście ulegać przemianie <math>\beta^+</math>,
# Energia pozytonów emitowanych przy rozpadzie, powinna być jak najmniejsza.
Charakterystyczną cechą radioizotopów ulegających przemianie <math>\beta^+</math> jest ich bardzo krótki okres połowicznego rozpadu, który w wielu przypadkach uniemożliwia ich praktyczne zastosowanie w diagnostyce PET. Tabela … zawiera przykłady izotopów ulegających przemianie <math>\beta^+</math>.
{| class="wikitable"
! Radionuklid
! Okres połowicznego rozpadu <math>T_{\frac{1}{2}}</math> [minuty]
! Maksymalne energia pozytonu [keV]
! Metoda otrzymywania
|-
| <math>^{11}\mathrm C</math>
| 20,4
| 961
| Cyklotron
|-
| <math>^{11}\mathrm O</math>
| 2,04
| 1190
| Cyklotron
|-
| <math>^{13}\mathrm N</math>
| 10
| 961
| Cyklotron
|-
| <math>^{18}\mathrm F</math>
| 109,8
| 635
| Cyklotron
|-
| <math>^{38}\mathrm K</math>
| 7,64
| 2680
| Cyklotron
|-
| <math>^{62}\mathrm{Zn}</math>
| 138
| 660
|-
| <math>^{11}\mathrm{Ga}</math>
| 68,4
| 1900
| Generator
|-
| <math>^{82}\mathrm{Rb}</math>
| 1,27
| 3400
| Generator
|-
| <math>^{122}\mathrm I</math>
| 3,60
| 3210
|}
Jak widzimy, radionuklidem o stosunkowo długim okresie połowicznego rozpadu oraz niskiej energii emitowanych pozytonów jest izotop fluoru. Jest on najczęściej stosowanym znacznikiem w radiofarmaceutykach. Dołączony do glukozy (nośnika) tworzy radiofarmaceutyk fluorodeoksyglukozę (FDA). Niestety, problem stanowi praktyczne otrzymywanie izotopu <math>^{18}F</math>. Radionuklid ten można otrzymać w cyklotronach w wyniku bombardowania przyspieszanymi protonami tarczy zawierającej tlen:
<equation id = “eq26”><math>
^{18}\mathrm{O} + \mathrm{p} \rightarrow ^{18}\mathrm{F} + \mathrm{n}
</math ></equation>

==Konstrukcja Tomografu PET==

Zdjęcia tomografów PET, schematy ich budowy jak i uzyskiwane za ich pomocą obrazy można zobaczyć w [[wikipedia:Pozytonowa_emisyjna_tomografia_komputerowa|na stronie w Wikipedii]]. Skaner PET składa się z bardzo wielu detektorów scyntylacyjnych ułożonych na obwodzie pierścienia w środku którego znajduje się badana osoba. Zwykle tomograf posiada kilka rzędów takich pierścieni. O ile kryształy scyntylacyjne mogę bardzo małe rozmiary, to fotopowielacze charakteryzują się relatywnie dużymi średnicami. W celu umieszczenia na obwodzie jak największej liczby detektorów stosuje się następujące rozwiązanie. Fotopowielacze łączone są w bloki (np. po 4 sztuki) i umieszczane na jednym krysztale scyntylacyjnym. W celu zwiększenia precyzji określenia błysku scyntylacyjnego, w krysztale wykonywane są nacięcia o odpowiednio dobranej głębokości, które zostają wypełnione materiałem odbijającym światło. Fala elektromagnetyczna emitowana w błysku scyntylacyjnym odbija się na wykonanych nacięciach, co ogranicza jego transmisję w dowolnych kierunkach. Liczba opisanych detektorów umieszczonych na obwodzie pierścienia wynosi od 100 do około 1000 sztuk, zaś w jednym skanerze PET zainstalowanych jest od 16 do 32 pierścieni.

==Wady i zalety PET.==
# Podstawową wadą metody PET jest trudność w uzyskiwaniu radionuklidów ulegających przemianie <math>\beta^+</math>. Najkorzystniejszy pod względem długości okresu połowicznego rozpadu oraz energii radionuklid — <math>^{18}\mathrm{F}</math> jest otrzymywany w cyklotronie. W związku z tym, w pobliżu ośrodka klinicznego musi znajdować się cyklotron.
# W porównaniu z metodą SPECT, rozdzielczość w metodzie PET nie zależy od głębokości badanej tkanki.
# Diagnostyka PET nie wymaga mechanicznego kolimatora, który występuje w metodzie PET. Zadaniem kolimatora w SPECT była selekcja odpowiednio padających na kryształ scyntylacyjny fotonów <math>\gamma</math>. Kolimator ren jednak uniemożliwiał jednoczesne dobranie dowolnie dużej czułości i rozdzielczości gamma kamery. W przypadku PET, kolimacja jest procesem fizycznym — rejestracji podlegają koincydencje czasowe detekcji pary dwóch fotonów <math>\gamma</math>. W ten sposób do rekonstrukcji obrazu wykorzystywane są głównie fotony, które powstały w wyniku anihilacji (aczkolwiek istnieje niezerowe prawdopodobieństwo dotarcia w tym samym czasie dwóch przypadkowych fotonów).

Metody diagnostyczne/programowanie

2018-01-25T15:28:35Z

Jginter: /* Zadanie 4 */

[https://imagej.nih.gov/ij/developer/macro/macros.html Podręcznik do języka skryptowego ImageJ]

==Programowanie w ImageJ==

===Zadanie 1===

Mamy obraz rtg płuc w formacie jpg, w 8-bitowej skali szarości.
Zauważyliśmy, że punkty tła mają wartość mniejszą niż 10. Chcielibyśmy na tej podstawie ustalić, jaki procent na obrazie stanowi tło. W tym celu sprawdzamy po kolei wszystkie punkty obrazu i jeśli któregoś wartość jest mniejsza niż wartość graniczna, zliczamy go.

===Zadanie 2===

Mamy obraz w formacie dicom przedstawiający jedną warstwę CT (można wybrać dowolny z obrazów, na których pracowaliśmy na zajęciach).
Chcielibyśmy sprawdzić, gdzie na tym obrazie znajduje się najjaśniejszy obszar. Moglibyśmy zrobić to tak, że podzielilibyśmy obraz na 10x10=100 mniejszych obrazków, w każdym z nich sprawdzilibyśmy sumę wartości wszystkich punktów i wskazalibyśmy współrzędne obrazka o największej wartości sumy.
Na koniec wybrana część obrazka powinna zostać zaznaczona.

Hint: Należy zrobić pętlę, w której 100 razy zaznaczy się coraz to inny obszar, sprawdzi się sumę w nim i czy jest większa niż największa dotąd znaleziona wartość, a jeśli tak, to nową wartość zapamięta wraz z jej współrzędnymi.
Pamiętaj: komendy w ImageJ kończy się zawsze średnikiem, a komentarze zaczyna się //

<source lang="c">
open(path)
Otwiera obraz o tytule podanym w ścieżce.

makeRectangle(x, y, width, height)
Zaznacza obszar prostokątny o lewym górnym rogu w punkcie x,y, szerokości width i wysokości height. Np.:
makeRectangle(10,10,50,50);

getStatistics(area, mean, min, max, std, histogram)
Wywołanie tego polecenia spowoduje, że w zmiennej mean zostanie zapisana średnia wartość pikseli w zaznaczeniu.

getWidth()
Zwraca szerokość obrazu w pikselach. Np.:
szer=getWidth();

getHeight()
Zwraca wysokość obrazu w pikselach.

getPixel(x, y)
Zwraca wartość piksela o współrzędnych (x,y).

floor(x)
Zwraca wartość x zaokrągloną w dół. Np.
n=floor(128/10); //zwróci wartość 12.

print(args)
Wypisuje wyliczoną wartość lub wartości. Np. jeśli wartość n to 5, wówczas
print(„Wynik ”, n); //wypisze Wynik=5

Przykład pętli iterującej n od 0 do 5:
for (n=0; n<=5; n++) {
print n; //lista komend
}

Przykład instrukcji warunkowej:
if (n<100) {
print n;
}

</source>

===Zadanie 3===
Chcemy podzielić obraz na kwadraty o boku n pikseli i w każdym z nich znaleźć średnią wartość gradientu.
Gradient to wektor o dwóch współrzędnych. Pierwsza współrzędna może być oszacowana jako różnica między wartością danego piksela a piksela po lewej stronie od niego, druga jako różnica wartości danego piksela i piksela ponad nim.
Wynik obliczeń ma zostać przedstawiony jako osobny obraz, na którym w każdym kwadracie zostanie wyrysowany odcinek o długości n i nachyleniu zgodnym z gradientem. Wartość gradientu może zostać zobrazowana jasnością lub jeszcze lepiej kolorem odcinka.

Przydadzą się do tego następujące komendy:

<source lang="c">
a=newArray(n); //tworzy jednowymiarową tablicę o długości n
//W ImageJ nie istnieją tablice wielowymiarowe.
//Ale tablicy 1-D można użyć jako 2-D odpowiednio adresując jej komórki.
//Np. gdybyśmy chcieli mieć tablicę o wymiarach nx na ny, stworzylibyśmy ją:
tabl=newArray(nx*ny);
//Wypisanie wartości elementu tablicy o współrzędnych i, j wykonalibyśmy:
print (tabl[i+ny*j]);

//Nowy obraz tworzy się:
newImage(tytul, typ, szerokosc, wysokosc, grubosc);
//Typ to może być np. "8-bit". "8-bit black" oznacza, że na początku piksele wszystkie będą czarne.

setPixel(x,y,100); //ustawianie wartości piksela o współrzędnych (x, y) na 100
drawLine(x1, y1, x2, y2); //Rysowanie linii między punktami o współrzędnych (x1, y1) i (x2, y2)
</source>

Rozmiar kwadratu można wpisać do programu "na siłę". Ale można by też poprosić użytkownika, aby go podał. ImageJ ma do tego bardzo miłe narzędzia do tworzenia okienek dialogowych. Poniżej przykład, który możesz skopiować i uruchomić, a następnie wykorzystać do ulepszenia Twojego skryptu do liczenia gradientów.

<source lang="c">
//Proste pytanie o jedną liczbę:
n=getNumber("Ile masz lat?", 18); //drugi parametr to domyślna odpowiedź
print("Dowiedziałem się, że masz "+n+" lat");

//Tak definiuje się i wyświetla bardziej zaawansowane okienko:
Dialog.create("Przedstaw się, proszę!");
//pole liczbowe:
Dialog.addNumber("Rok urodzenia", 1985); //Drugi parametr to domyślna wartość pojawiająca się w okienku
Dialog.addNumber("Miesiąc", 1);
Dialog.addNumber("Dzień", 1);
//pole tekstowe
Dialog.addString("Twoje imię:", "Hermenegilda"); //Drugi parametr to domyślny tekst
Dialog.show();

//a tak odczytuje się wpisane przez użytkownika wartości:
rok=Dialog.getNumber(); //odczytuje wartość kolejnego pola liczbowego
mies=Dialog.getNumber();
dzien=Dialog.getNumber();
imie=Dialog.getString(); //odczytuje tekst z kolejnego pola tekstowego

print("Twoje imie to "+imie+", a data urodzenia to "+dzien+"."+mies+"."+rok);
</source>

===Zadanie 4===
*Otwórz wszystkie pliki z rozszerzeniem .jpg w wybranym katalogu i zapisz w formacie .png.
*Wyświetl dla każdego z otwartych plików średnią wartość jasności pikseli.

<source lang='c'>
katalog=getDirectory("Wybierz katalog"); //otwiera okienko do wyboru katalogu
tabl=getFileList(katalog); //tworzy tablicę zawierającą wszystkie nazwy plików w danym katalogu
l1=lengthOf(tabl); //zwraca długość tablicy
l2=lengthOf(tabl[3]); //zwraca długość tekstu będącego czwartym elementem tablicy
saveAs("PNG", "nowy_plik.png"); //zapisuje otwarty obraz w formacie .png, pod zadanym tytułem
endsWith("ala ma kota", "kota"); //zwraca true, jeśli pierwszy tekst kończy się drugim tekstem
substring("ala ma kota", 4, 6); //zwraca "ma", czyli część tekstu między pierwszym indeksem a drugim indeksem, bez tego ostatniego
</source>

===Zadanie 5===
Wczytaj plik flashpad-hand-clinical.jpg. Możesz zmniejszyć jego wielkość tak, by usunąć niepotrzebne czarne tło zaznaczając prostokąt z ręką i wybierając Image > Crop.

Naszym zadaniem będzie napisać algorytm, który znajdzie i zaznaczy automatycznie na tym obrazie granice między kośćmi palców.
Dla oka to łatwe, ale jak wytłumaczyć komputerowi co widzi oko? Otóż tu kłania się nam czystej wody algorytmika (plus trochę wiedzy o analizie obrazu).

Proszę spojrzeć na poniższy obraz. Prawda, że granice między kostkami mają charakterystyczne kształty? Udało się je zaznaczyć (trochę za dużo, skrypt należałoby jeszcze dopracować).

[[Plik:Szukacz1.PNG]]

* Zamiana obrazu na format 32-bit
* Normalizacja obrazu do wartości od -1 do 1 za pomocą funkcji sigmoidalnej:

: <math>S(t) = \frac{2}{1 + e^{-k(t-t_0)}}-1</math>

Gdzie k to stała mówiąca o nachyleniu funkcji w zerze, a t_0 to wartość środkowa (np. średnia wartość pikseli na obszarze zdjęcia ręki).

* Splot z filtrem krawędzi o zadanej wielkości, np.

:<math>\begin{bmatrix}-1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\-1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\1 & 1 & 1 & 1 & 1\end{bmatrix}.</math>

* Znalezienie i zaznaczenie różdżką (Wand) spójnych fragmentów poniżej pewnego progu, dodanie ich do roiManagera

Powyższe kroki można wykonać wyklikując je w ImageJ i od tego zaczniemy. Ale potem należy napisać własny skrypt, który całą tę pracę zrobi za nas automatycznie.

"Programowanie dla Fizyków Medycznych"

2018-01-25T11:41:18Z

Jginter: /* Programowanie w ImageJ */

[[Category:Informatyka]]
==Zadania na kolokwium==
[https://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php/TI/Programowanie_dla_Fizyk%C3%B3w_Medycznych:Kolokwium2 Kolokwium2 19.01.2018]

==Język Python==
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Struktury danych|Struktury danych]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Instrukcje sterowania|Sterowanie przebiegiem programu]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Funkcje|Funkcje]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Pliki|Pliki]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Klasy|Klasy]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Dekoratory|Dekoratory]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Wyjątki|Wyjątki]]

==Elementy metod numerycznych==
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych/Optymalizacja|Optymalizacja]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych/RRZ|Równania różniczkowe zwyczajne]]

==Przetwarzanie obrazów==
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych/Ćwiczenia z przetwarzania tablic 2D|Ćwiczenia z przetwarzania tablic 2D]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych/Obsługa plików graficznych i DICOM|Obsługa plików graficznych i DICOM]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych/Manipulacja obrazem|Manipulacja obrazem]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych/Morfologia matematyczna|Morfologia matematyczna]]

==Programowanie GUI - wxPython==
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Galeria Widgetow|Galeria Widgetów]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Ramki|Ramki]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Dialogi|Dialogi]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Eventy|Eventy]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Validatory|Validatory]]

==Projekt pierwszy: symulacja ruchu akceleratora==
Przypomnienie: [https://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php/TI/Programowanie_dla_Fizyk%C3%B3w_Medycznych:Ciekawe_zadania Ciekawe zadania]
*[https://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php/TI/Programowanie_dla_Fizyk%C3%B3w_Medycznych:Zadania_openCV#Obiekt:_tr.C3.B3jk.C4.85t Trójkąty - opis ]

==Projekt drugi: obsługa plików w formacie DICOM==
*[https://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php/%22Programowanie_dla_Fizyk%C3%B3w_Medycznych%22/DICOM Format DICOM]

==Programowanie w ImageJ==
*[https://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php/%22Programowanie_dla_Fizyk%C3%B3w_Medycznych%22/imageJ_1 Zadania 1]
*[https://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php?title=Metody_diagnostyczne/programowanie Zadania 2]

==Przydatne linki==
#[http://pl.spoj.com/problems/latwe/ Łatwe zadania algorytmiczne]
#[https://docs.python.org/2/library/functions.html doc: wbudowane funkcje]
#[https://docs.python.org/2/library/stdtypes.html doc: wbudowane typy]
#[https://docs.python.org/2/tutorial/datastructures.html doc: struktury danych]

"Programowanie dla Fizyków Medycznych"/imageJ 1

2018-01-25T11:40:39Z

Jginter: Utworzono nową stronę "==Jak używać programu ImageJ?== Program ImageJ jest użyteczny nie tylko ze względu na możliwość otworzenia i zobaczenia zdjęcia diagnostycznego. To program, kt..."

==Jak używać programu ImageJ?==

Program ImageJ jest użyteczny nie tylko ze względu na możliwość otworzenia i zobaczenia zdjęcia diagnostycznego. To program, który pozwala na edycję obrazów oraz ich analizę. Bardzo ważną cechą jest również dostosowanie do potrzeb użytkownika przez możliwość dodawania potrzebnych wtyczek czy makra.

===Podstawowe informacje===

<figure id="uid44">

<table class="wikitable">
<tr>
<td>Instalacja:</td>

<td>Program można pobrać bezpośrednio ze strony: http://imagej.nih.gov/ij/</td>

</tr>
<tr>
<td>Konfiguracja pamięci:</td>

<td>ImageJ jest aplikacją napisaną w Javie. Aby uruchomić program napisany</td>

</tr>
<tr>
<td></td>

<td>w Javie trzeba wcześniej zdefiniować ilość pamięci. Robi się to wybierając</td>

</tr>
<tr>
<td></td>

<td>z menu Edit<math>></math>Options<math>></math>Memory & Threads.</td>

</tr>
<tr>
<td>Uaktualnienia:</td>

<td>Najnowszą wersją w chwili obecnej jest ImageJ 1.47m. Aby sprawdzić</td>

</tr>
<tr>
<td></td>

<td>aktualną wersję programu należy skorzystać z menu Help<math>></math>About ImageJ.</td>

</tr>
<tr>
<td></td>

<td>Żeby dokonać uaktualnienia trzeba wybrać z menu Help<math>></math>Update ImageJ.</td>

</tr>
</table>
</figure>

====ImageJ - katalogi====

Katalog, w którym został zainstalowany ImageJ, zawiera dodatkowo następujące elementy:

<ul>

<li>
plik ij.jar –czyli program ImageJ. Podczas uaktualnienia plik ten jest zastępowany na nowy.

<li>
plik ImageJ.cfg – ten plik zawiera konfigurację pamięci dla ImageJ.

<li>
katalog macros – ten katalog zawiera makra czyli małe programy napisane w specjalnym języku do tego stworzonym.

<li>
katalog plugins – ten katalog zanier wtyczki, które pozwalają na większą funkcjonalność programu. Wtyczki, które się w nim znajdują można znaleźć również w menu Plugins.

</ul>

Zadanie 3. W katalogu macros znajdź plik Mandelbrot.txt i przeciągnij go do okna głównego programu ImageJ. Co się stanie w tej sytuacji?

a). Jeśli wykonamy to makro używając polecenia Macros<math>></math>Run Macro z menu, to co otrzymamy?

b). Zapisz makro Mandelbrot.txt pod nazwą Mandelbrot_.txt w katalogu ImageJ/plugins/Examples. Możesz użyć polecenia z editor makro File<math>></math>Save As…. Zamknij wszystkie otwarte okna w ImageJ. Żeby odświeżyć wtyczki należy wybrać z menu Help<math>></math>Refresh Menus. Wykonaj makro używając polecenia z menu Plugins<math>></math>Examples<math>></math>Mandelbrot.

c) Przytrzymując klawisz shift, wybierz Plugins<math>></math>Examples<math>></math>Mandelbrot. Co się stało?

Rozwiązanie

<figure id="uid50">

[[File:mandelbrot.png|500px|thumb|center|]]

[[File:makro-edytor.png|500px|thumb|center|]]

</figure>

====Otwieranie plików====

Istnieją dwie możliwości otwierania plików graficznych. Można użyć polecenia z menu File<math>></math>Open… (ctrl+o) lub przeciągnąć plik bezpośrednio z katalogu do głównego okna programu (ang. ImageJ launcher window).

Zadanie 4. Używamy katalogu WMD_2017 na pulpicie.

a). Otwórz zdjęcie dapi.tif z tego katalogu. Spróbuj różnych możliwości otwierania plików w programie ImageJ. Wypróbuj kombinację klawiszy: ctrl+shift+o. Jaka jest funkcja tego polecenia? Otwórz jednocześnie kilka zdjęć.

b). Otwórz obrazy z katalogu \WMD_2017\LADJAN_MRI\t1_vibe_tra - 3 przez przeciągnięcie tego katalogu do okna głównego ImageJ. Następnie otwórz je za pomocą File<math>></math>Import<math>></math>Image Sequence….

c). Otwórz ten sam plik dwukrotnie. Co się dzieje z tytułem zdjęcia?

d). Otwórz zdjęcie cafe.lsm. Zdjęcie jest przykładem tzw. hyperstack. Składa się ono z dwóch warstw. Numer kanału jest wyświetlany na górze/dole zdjęcia. Wykorzystaj polecenie: Run Image<math>></math>Color<math>></math>Channels Tool… i zmień parametry wyświetlania.

e). Spróbuj otworzyć zdjęcie FC green-40X sec.ics.

Zadanie 5. Za pomocą programu ImageJ otwórz plik z katalogu DICOM: MonochromeSample.dcm. Odczytaj i zinterpretuj informacje zawarte w Dicom-Meta-Information-Header.

Rozwiązanie

[[File:mono-dicom-meta.png|700px|thumb|center|<figure id="uid52" />Widok zdjęcia i pliku meta w ImageJ.]]

===Ważne narzędzia===

Podstawowe funkcje dostępne w programie ImageJ będą dyskutowane z użyciem odpowiednich przykładów bez wstępu teoretycznego.

====Piksele, powiększanie, przewijanie====

Zadanie 6. Sprawdź następujące funkcje z użyciem pliku duck.bmp:

<ul>

<li>
niektóre informacje dotyczące zdjęcia znajdują się w górnej części okna: rozmiar zdjęcia w pikselach (np. 650 x 515), rodzaj (np. 8-bit) i rozmiar zdjęcia w pamięci komputera (np. 327K);

<li>
powiększanie/zmniejszanie jest możliwe na dwa sposoby: klikając w lupę znajdującą się w pasku głównym lub używając “+” i “-” z klawiatury;

<li>
jeśli obraz jest większy niż okno, to w górnym lewym rogu pojawia się wskaźnik pozycji;

<li>
po powiększeniu obrazu i pojawieniu się wskaźnika pozycji, przewijanie zdjęcia jest możliwe za pomocą narzędzia do przewijania (symbol łapki w pasku głównym); po wybraniu opcji należy kliknąć na obraz i bez odrywania myszy przesuwać po obrazie;

<li>
inną możliwością przewijania obrazu jest użycie klawisza spacji; korzyścią tego sposobu jest to, że jednocześnie możemy używać innych funkcji z paska głównego;

<li>
na pasku postępu (tuż pod paskiem głównym) znajduje się aktualna pozycja piksela, na który wskazujemy myszą oraz wartość tego piksela, np. w skali szarości (mogą być to trzy wartości w przypadku RGB).

</ul>

Zadanie 7. Otwórz plik dapi.tif z katalogu podstawowe_info.

a). Jakie jest największe możliwe powiększenie zdjęcia, a jakie największe zmniejszenie?

b). Jaka jest wartość piksela w skali szarości dla współrzędnych <math>x=32</math> i <math>y=456</math>? Jaka jest ta wartość dla <math>x=429</math> i <math>y=125</math>?

c). Jaka jest szerokość i wysokość obrazu? Jaki to typ i ile miejsca zajmuje w pamięci komputera?

d). Przesuń mysz na obraz. W którym kierunku wartości współrzędnej <math>x</math> rosną? Jak to jest w przypadku drugiej współrzędnej? Narysuj układ współrzędnych.

e). Możliwa jest zmiana orientacji osi <math>y</math> używając polecenia Analyze<math>></math>Set Measurements, a następnie wybierając opcję Invert <math>Y</math> coordinates. Przesuń mysz na obraz ponownie. Jak teraz wygląda układ współrzędnych?

Rozwiązanie:

a). max 3200%, min 3.1%

b). 1, 239

c). 650x515, 8-bit, 327K

d). w prawo, w dół

e). w prawo, w górę

====Zaznaczanie obszaru====

Do zaznaczania obszaru służy narzędzie oznaczone jako prostokąt w głównym pasku programu. Jeśli jest on aktywny, możemy klikając na punkt na zdjęciu i przesuwając myszą zaznaczyć interesujący nas obszar. Podczas tej czynności na pasku postępu pojawiają się informacje o szerokości, wysokości oraz współczynnik proporcjonalności obrazu. Żeby zakończyć zaznaczanie obszaru należy uwolnić mysz. Nawet po zwolnieniu myszy można edytować zaznaczony rejon.

Zadanie 8. Wszystkie czynności wykonuj na otworzonym już pliku dapi.tif.

a). Wybierz z paska głównego symbol prostokąta i zaznacz dowolne pole. Następnie zmień jego rozmiar. Znajdź w manualu, znajdującym się w [https://imagej.nih.gov/ij/docs/guide/146-Part-VI.html], skróty klawiszowe związane z opcją zaznaczenia i napisz do czego one konkretnie służą. Wypróbuj je.

b). Sprawdź, jaka jest rola klawisza shift i alt, gdy chcemy zaznaczyć kolejny obszar. Przesuń stworzony przez siebie obszar (obszar powinien składać się z kilku elementów).

c). Zmień kolor zaznaczenia na magenda (Edit<math>></math>Options<math>></math>Colors).

d). Kliknij prawym przyciskiem myszy na symbol prostokąta na pasku głównym i wybierz opcję rounded rectangle. Jaki teraz kształt ma wybrany obszar? Żeby zmienić ustawienie koloru dla rounded rectangle, wystarczy dwa razy kliknąć przycisk na pasku głównym.

e). Po podwójnym kliknięciu na przycisk rounded rectangle zmień wartość promienia zakrzywienia. Zaznacz kilka obszarów z różnymi kantami.

f). Przećwicz używanie pozostałych narzędzi do zaznaczania łącznie z rysowaniem własnoręcznym. Zauważ, że podczas jego używania wystarczy uwolnić mysz w pobliżu początku zaznaczania, a obszar zamknie się automatycznie.

g). Po zaznaczeniu obszaru użyj polecenia Image<math>></math>Crop. Co się stało? Żeby wrócić do poprzedniej wersji zdjęcia, należy użyć polecenia File<math>></math>Revert (ctrl+r). Zaznacz obszar ponownie i użyj polecenia Image<math>></math>Duplicate (shift+d). Co się stało tym razem?

Rozwiązanie:

a). Shift - zaznaczenie ogranicza się do kwadratu

Alt - zmiana rozmiaru, ale zaznaczenie jest przez cały czas zaczepione w jednym miejscu

Ctrl - zaznaczenie zmienia rozmiar wokół środka

Ctrl Alt - zmiana rozmiaru przy zachowanych proporcjach

g). Image<math>></math>Crop wycina obraz do rozmiarów zaznaczenia. Image<math>></math>Duplicate tworzy nowy obraz tylko z zaznaczeniem.

====Pomiar i tabele z wynikami====

Polecenie Analyze<math>></math>Measure (ctr+m) pozwala na pomiar parametrów całego obrazu lub zaznaczonego obszaru. Korzystając z polecenia Analyze<math>></math>Set Measurements, mamy możliwość wybrania wielkości, które zostaną zmierzone. Wartości te są zapisywane i wyświetlane z tabeli z wynikami globalnymi.

Zadanie 9. W dalszym ciągu korzystamy z pliku dapi.tif.

a). Zaznacz własnoręcznie obszar jądra, a następnie zmierz jego powierzchnię i średnią wartość w skali szarości. Powtórz to samo dla kilku jąder. Jak zmienią się wyniki, jeśli powtórzymy procedury dla powiększonego zdjęcia?

b). Skorzystaj z polecenia File<math>></math>Duplicate, żeby zrobić kopię tabeli z wynikami. Zmierz nowe zaznaczenie. Do której tabeli został dopisany wynik?

c). Skorzystaj z polecenia File<math>></math>Rename i zmień nazwę oryginalnej tabeli z wynikami (Results <math>\rightarrow </math> old). Zmierz nowe zaznaczenie i sprawdź do której tabeli został dopisany pomiar.

d). Skasuj wszystkie wyniki poleceniem Results<math>></math>Clear Results i zmierz co najmniej 3 jądra ponownie. Jaka jest wartość średnia, odchylenie standardowe, wartość minimalna, maksymalna oraz rozkład wartości zmierzonych powierzchni? Użyj poleceń Results<math>></math>Summarize i Results<math>></math>Distribution, żeby dostać odpowiedzi.

Rozwiązanie:

b). i c). Nowe pomiary są dodawane do tabeli o nazwie Results. Jeśli takiego okna nie ma, to otwierane jest nowe.

====Linijka, profil i punkt====

Trzy możliwe opcje funkcji linijka są dostępne w programie: linia ciągła, linia łamana i dowolna linia rysowana przez użytkownika. W przypadku tworzenia linii ciągłej i łamanej na pasku postępu pojawia się długość rysowanej linii oraz kąt mierzony względem osi <math>x</math>.

Zadanie 10.

a). Użyj linii ciągłej, żeby oszacować odległość pomiędzy środkami najbliżej położonych jąder.

b). Użyj linii ciągłej, żeby oszacować średnice jąder.

c). Użyj linii łamanej, żeby oszacować obwód jąder.

d). Własnoręcznie narysuj linię, żeby oszacować obwód jąder.

e). Użyj narzędzia Angle tool, żeby oszacować kąty pomiędzy trzema najbliższymi jądrami.

Narzędzie linijka może być użyte to stworzenia profili. Profil zawiera intensywność wartości wzdłuż narysowanej linii. Procedura jest następująca: na początku rysujemy linię wzdłuż jądra, następnie kliknij klawisz k (skrót od Analyze<math>></math>Plot profile). Jeśli grubość linii jest większa niż 1, profil będzie uśredniony po szerokości. Żeby zmienić grubość linii, należy kliknąć dwukrotnie na symbol linii na pasku głównym programu.

Zadanie 11.

a). Użyj profilu, żeby oszacować średnicę jądra. Zauważ, że wykres jest obrazem samym w sobie, więc możesz do jego analizy możesz użyć narzędzi ImageJ. Czy jest jakaś korzyść z używania profili zamiast pomiaru średnicy na oryginalnym obrazie?

b). Stwórz profile wzdłuż jądra. Nie zmieniając żadnych dodatkowych parametrów, zmień grubość linii i stwórz kolejny wykres. Co się zmieniło?

c). Stwórz profile wzdłuż jądra, następnie wydłuż linię i stwórz kolejny profil. Jaka jest różnica pomiędzy profilami? Zmierz odległość pomiędzy dwoma punktami na wykresach. Czy wyniki, które otrzymałeś, są jednakowe? Wskazówka: popatrz na wielkość pikseli (Image<math>></math>Properties).

d). Stwórz profile wzdłuż jądra. Wybierz opcję List na dole okna profilu. Skopiuj wszystkie wartości (ctrl+a, żeby zaznaczyć wszystko i ctrl+c, żeby skopiować). Otwórz opcję Curve Fitter z menu Analyze<math>></math>Tools<math>></math>Curve Fitting. Skasuj wartości, które się tam znajdują i wklej wartości skopiowane (ctrl+v). Dopasuj rozkład Gaussa do punktów pomiarowych.

Rozwiązanie:

a). W zależności od ustawień wyświetlania obiektu może być on mniejszy lub większy. W profilu poziom tła jest często dobrze widoczny i pomiar średnicy powyżej niego jest możliwy.

b). Profil jest gładszy ponieważ jest uśredniony.

c). Profile mają różne rozmiary. Jakkolwiek mają również różne skale, więc pomiary korespondują z odległościami na oryginalnym obrazie. Czyli otrzymane wyniki powinny być takie same. Rozmiar piksela w obu profilach jest inny.

Do zliczania obiektów na zdjęciu służy polecenie zaznaczania punktu. Żeby dodać punkty, należy użyć klawisza shift lub narzędzie zaznaczania wielokrotnego punktów. Do kasowania punktów służy alt.

Zadanie 12.

a). Zaznacz trzy dowolne jądra, następnie dodaj punkt gdzieś w tle i kontynuuj z dodawaniem punktów w obszarze pozostałych jąder. Skasuj punkt z tła. Co się stało z numeracją zaznaczonych punktów?

b). Zachowaj zdjęcie z zaznaczonymi punktami w formacie tif (File<math>></math>Save As<math>></math>Tiff). Zamknij stare zdjęcie i otwórz to, które przed chwilą zachowałeś (File<math>></math>Open). Co się stało z zaznaczeniem? Czy możesz je modyfikować?

c). Sprawdź opcję pomiaru automatycznego, które uruchamia się poprzez dwukrotne kliknięcie na symbol punktu z paska głównego. Co ta opcja robi?

d). Czy można używać funkcji zaznaczania punktów z opcją Auto-Measure i Auto-Next Slice, żeby śledzić żółte cząstki w czasie z pliku moving-particles.tif z katalogu narzedzia_1?

====Tło i obsługa ROI====

Narzędzie o nazwie magic wand pozwala dokonać selekcji połączonych pikseli na zdjęciu. Istnieją dwie możliwości dokonania wyboru pikseli: piksele o tej samej intensywności (ewentualnie plus-minus tolerancja) lub piksele tła czyli wszystkie piksele o intensywnościach większych niż dana wartość minimalna lub o intensywnościach mniejszych niż dana wartość maksymalna. Minimalna i maksymalna wartość tła może być wybrana przez dopasowanie, które można otworzyć używając polecenia Image<math>></math>Adjust<math>></math>Threshold (shift+t). Należy zmienić mod z Red na Over/Under.

Każde kliknięcie z użyciem wand-tool tworzy selekcję. Żeby usunąć ją ze zdjęcia, należy użyć kombinacji klawiszy ctrl+shift+a.

Zadanie 13. Otwórz ponownie plik dapi.tif.

a). Użyj narzędzia wand-tool łącznie z opcją wyboru tła, żeby wybrać jądra. Zmierz jądra. Jaki jest najmniejszy i największy obwód jądra oraz najmniejsza i największa średnica?

b). Użyj wand-tool, żeby wybrać wszystkie jądra w jednej selekcji (shift). Jaki procent powierzchni zdjęcia jest pokryty przez jądra? Wskazówka – żeby wybrać całe zdjęcie, trzeba użyć ctrl+a.

Rozwiązanie:

a). obwód: min. 288.8 p, max. 608.0 p

średnica: min. 95.8 p, max. 188.4 p

b). powierzchnia: zdjęcia - 334750 p, jądra - 64885 p czyli procent będzie wynosił <math>64885 \cdot 100\% / 334750 = 19.4\%</math>

ROI (Region Of Interest) manager pomaga w pracy z selekcjami. Dzięki niemu można zatrzymać nieograniczoną liczbę selekcji, wyświetlania, modyfikowania i pomiaru. Polecenia mogą dotyczyć albo wybranych ROI, albo wszystkich, jeśli nie było żadnego zaznaczenia.

Zadanie 14.
a). Użyj wand-tool, żeby wybrać jądra, następnie naciśnij klawisz t (skrót dodawania ROI od Analyze<math>></math>Tools<math>></math>ROI Manager). Wybierz opcję Show All w managerze ROI. Wybierz pozostałe jądra i dodaj je do managera.

b). Kliknij na jedną z pozycji w managerze ROI (np. 5). Zauważ, że odpowiednie jądro na zdjęciu zostanie podświetlone. To działa również w drugą stronę. Modyfikuj selekcję (usuń część jąder używając klawisza alt). Uaktualnij zmiany.

c). Wybierz jedną lub kilka linii w managerze ROI (możesz użyć ctrl/shift) i naciśnij przycisk służący do pomiarów.

d). Do czego służy opcja Flatten? Wskazówka – Rzuć okiem na zdjęcia, które powstało w wyniku zastosowania tej opcji.

e). Ustaw niskie tło (niebieski kolor). Stwórz selekcję na podstawie wartości tła używając Edit<math>></math>Selection<math>></math>Create Selection. Użyj polecenia split. Co się dzieje?

f). Bez zmiany selekcji otwórz zdjęcie A4 Rhod 1.tif z katalogu narzedzia_1. Żeby zobaczyć wybrane jądra użyj opcji Show All z managera ROI. Dokonaj pomiaru. Jak wytłumaczysz to, co się stało?

Rozwiązanie:

d). Opcja tworzy obwiednię będącą granicą poszczególnych jąder i zapisuje zdjęcie jako RGB.

e). Create Selection tworzy pojedynczą selekcję złożoną ze wszystkich jąder. Opcja Split dzieli selekcje na poszczególne jądra i dodaje je do managera ROI.

f). Wybrana selekcja dla zdjęcia dapi.tif została użyta do nowo wczytanego zdjęcia.

====Analizator cząstek====

Dotychczas wszystkie selekcje były tworzone pojedynczo. Analizator cząstek pozwala automatycznie stworzyć selekcję dla każdego obiektu (cząstki), np. obszarowi pikseli powyżej minimalnej wartości tła i poniżej jego wartości maksymalnej.

Zadanie 15.
a). Użyj narzędzia do wyrównywania tła (Image<math>></math>Adjust<math>></math>Threshold lub shift+t) oraz analizatora cząstek, żeby dodać jądro do managera ROI (usuń wszystkie opcje oprócz Add to Manager).

b). Usuń wszystko z managera ROI i użyj analizatora cząstek ponownie. Tym razem wybierz opcję Exclude on edges. W jakim celu można tę opcję stosować i kiedy może być używana?

c). Użyj ponownie analizatora cząstek. Tym razem spróbuj wykluczyć obiekty, które są zbyt małe, żeby być jądrami. Jest to możliwe dzięki ustawieniu minimalnego rozmiaru w oknie analizatora cząstek.

d). Użyj analizatora cząstek, żeby wybrać tylko te jądra, które są okrągłe. Jaka jest wartość, która usuwa dwa jądra najbardziej odbiegające od kolistego kształtu?

e). Otwórz plik inclusion.tif. Wyobraź sobie, że wewnętrzny i zewnętrzny prostokąt przedstawia cząstki. Użyj analizatora cząstek z włączona i wyłączoną opcją Include holes. Jaką widzisz różnicę?

f). Użyj analizatora cząstek do znalezienia liczby jasnych plamek na zdjęciu blobs.gif z katalogu narzedzia_1. Jaka jest średnia powierzchnia plamek?

Rozwiązanie:

b). Obiekty, które nie są całkowicie na zdjęciu, nie mają właściwego rozmiaru, co sprawi, że zafałszują pomiar wartości średniej i całkowitej opartej na rozmiarze (powierzchnia, średnica, obwód, itp.). Opcja Exclude on edges pozwala zignorować te obiekty.

d). 0.8

e). Jeśli włączona jest opcja Include holes, tylko jedna cząstka jest znaleziona i zawiera ona wewnętrzną cząstkę. Bez tej opcji wewnętrzna i zewnętrzna cząstka jest traktowana osobno.

f). 46 plamek o różnych rozmiarach i kształtach; średnia powierzchnia to 414.5 piksela

====Strzałki, komentarze i warstwy====

Bardzo przydatną funkcją jest dodawanie komentarzy bez niszczenia zdjęcia. W tym celu używa się warstw. Strzałki i nie tylko mogą być dodawane z użyciem klawisza b lub Image<math>></math>Overlay<math>></math>Add Selection.

Zadanie 16.

a). Użyj strzałki (prawym przyciskiem myszy na funkcji linia w głównym pasku ImageJ), żeby zaznaczyć na zdjęciu wszystkie jądra. Przed narysowaniem strzałek zmień ich kolor na magenta.

b). Użyj narzędzia do pisania, żeby dodać notatkę do każdej strzałki (jądro nr 1, jądro nr 2). Użyj kombinacji klawiszy ctrl+alt+b, żeby dodać tekst do warstwy.

c). Zmień strzałki. Wskazówka: Image<math>></math>Overlay<math>></math>To ROI Manager. Nie zapomnij uaktualnić managera po dokonanych zmianach.

d). Zmień napisany wcześniej tekst. Wskazówka: Nie możesz samodzielnie edytować tekstu. Wybierz test w managerze ROI, napisz coś nowego i naciśnij przycisk uaktualnienia zmian.

e). Dodaj trzeci komentarz. Wskazówka: konwertuj selekcje z powrotem do warstw, dodaj nowy komentarz do warstwy.

f). Użyj Image<math>></math>Overlay<math>></math>Flatten, żeby stworzyć zdjęcie ze wszystkimi komentarzami (np. do swojej prezentacji). W tak zapisanym zdjęciu komentarze nie są warstwami, są dodane przez zmianę wartości pikseli.

[http://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php/Metody_diagnostyczne/kontrola_jakosci Kontrola jakości]

Metody diagnostyczne/programowanie

2018-01-24T16:56:04Z

Jginter: /* Programowanie w ImageJ */

[https://imagej.nih.gov/ij/developer/macro/macros.html Podręcznik do języka skryptowego ImageJ]

==Programowanie w ImageJ==

===Zadanie 1===

Mamy obraz rtg płuc w formacie jpg, w 8-bitowej skali szarości.
Zauważyliśmy, że punkty tła mają wartość mniejszą niż 10. Chcielibyśmy na tej podstawie ustalić, jaki procent na obrazie stanowi tło. W tym celu sprawdzamy po kolei wszystkie punkty obrazu i jeśli któregoś wartość jest mniejsza niż wartość graniczna, zliczamy go.

===Zadanie 2===

Mamy obraz w formacie dicom przedstawiający jedną warstwę CT (można wybrać dowolny z obrazów, na których pracowaliśmy na zajęciach).
Chcielibyśmy sprawdzić, gdzie na tym obrazie znajduje się najjaśniejszy obszar. Moglibyśmy zrobić to tak, że podzielilibyśmy obraz na 10x10=100 mniejszych obrazków, w każdym z nich sprawdzilibyśmy sumę wartości wszystkich punktów i wskazalibyśmy współrzędne obrazka o największej wartości sumy.
Na koniec wybrana część obrazka powinna zostać zaznaczona.

Hint: Należy zrobić pętlę, w której 100 razy zaznaczy się coraz to inny obszar, sprawdzi się sumę w nim i czy jest większa niż największa dotąd znaleziona wartość, a jeśli tak, to nową wartość zapamięta wraz z jej współrzędnymi.
Pamiętaj: komendy w ImageJ kończy się zawsze średnikiem, a komentarze zaczyna się //

<source lang="c">
open(path)
Otwiera obraz o tytule podanym w ścieżce.

makeRectangle(x, y, width, height)
Zaznacza obszar prostokątny o lewym górnym rogu w punkcie x,y, szerokości width i wysokości height. Np.:
makeRectangle(10,10,50,50);

getStatistics(area, mean, min, max, std, histogram)
Wywołanie tego polecenia spowoduje, że w zmiennej mean zostanie zapisana średnia wartość pikseli w zaznaczeniu.

getWidth()
Zwraca szerokość obrazu w pikselach. Np.:
szer=getWidth();

getHeight()
Zwraca wysokość obrazu w pikselach.

getPixel(x, y)
Zwraca wartość piksela o współrzędnych (x,y).

floor(x)
Zwraca wartość x zaokrągloną w dół. Np.
n=floor(128/10); //zwróci wartość 12.

print(args)
Wypisuje wyliczoną wartość lub wartości. Np. jeśli wartość n to 5, wówczas
print(„Wynik ”, n); //wypisze Wynik=5

Przykład pętli iterującej n od 0 do 5:
for (n=0; n<=5; n++) {
print n; //lista komend
}

Przykład instrukcji warunkowej:
if (n<100) {
print n;
}

</source>

===Zadanie 3===
Chcemy podzielić obraz na kwadraty o boku n pikseli i w każdym z nich znaleźć średnią wartość gradientu.
Gradient to wektor o dwóch współrzędnych. Pierwsza współrzędna może być oszacowana jako różnica między wartością danego piksela a piksela po lewej stronie od niego, druga jako różnica wartości danego piksela i piksela ponad nim.
Wynik obliczeń ma zostać przedstawiony jako osobny obraz, na którym w każdym kwadracie zostanie wyrysowany odcinek o długości n i nachyleniu zgodnym z gradientem. Wartość gradientu może zostać zobrazowana jasnością lub jeszcze lepiej kolorem odcinka.

Przydadzą się do tego następujące komendy:

<source lang="c">
a=newArray(n); //tworzy jednowymiarową tablicę o długości n
//W ImageJ nie istnieją tablice wielowymiarowe.
//Ale tablicy 1-D można użyć jako 2-D odpowiednio adresując jej komórki.
//Np. gdybyśmy chcieli mieć tablicę o wymiarach nx na ny, stworzylibyśmy ją:
tabl=newArray(nx*ny);
//Wypisanie wartości elementu tablicy o współrzędnych i, j wykonalibyśmy:
print (tabl[i+ny*j]);

//Nowy obraz tworzy się:
newImage(tytul, typ, szerokosc, wysokosc, grubosc);
//Typ to może być np. "8-bit". "8-bit black" oznacza, że na początku piksele wszystkie będą czarne.

setPixel(x,y,100); //ustawianie wartości piksela o współrzędnych (x, y) na 100
drawLine(x1, y1, x2, y2); //Rysowanie linii między punktami o współrzędnych (x1, y1) i (x2, y2)
</source>

Rozmiar kwadratu można wpisać do programu "na siłę". Ale można by też poprosić użytkownika, aby go podał. ImageJ ma do tego bardzo miłe narzędzia do tworzenia okienek dialogowych. Poniżej przykład, który możesz skopiować i uruchomić, a następnie wykorzystać do ulepszenia Twojego skryptu do liczenia gradientów.

<source lang="c">
//Proste pytanie o jedną liczbę:
n=getNumber("Ile masz lat?", 18); //drugi parametr to domyślna odpowiedź
print("Dowiedziałem się, że masz "+n+" lat");

//Tak definiuje się i wyświetla bardziej zaawansowane okienko:
Dialog.create("Przedstaw się, proszę!");
//pole liczbowe:
Dialog.addNumber("Rok urodzenia", 1985); //Drugi parametr to domyślna wartość pojawiająca się w okienku
Dialog.addNumber("Miesiąc", 1);
Dialog.addNumber("Dzień", 1);
//pole tekstowe
Dialog.addString("Twoje imię:", "Hermenegilda"); //Drugi parametr to domyślny tekst
Dialog.show();

//a tak odczytuje się wpisane przez użytkownika wartości:
rok=Dialog.getNumber(); //odczytuje wartość kolejnego pola liczbowego
mies=Dialog.getNumber();
dzien=Dialog.getNumber();
imie=Dialog.getString(); //odczytuje tekst z kolejnego pola tekstowego

print("Twoje imie to "+imie+", a data urodzenia to "+dzien+"."+mies+"."+rok);
</source>

===Zadanie 4===
Otwórz wszystkie pliki z rozszerzeniem .jpg w wybranym katalogu i zapisz w formacie .png

<source lang='c'>
katalog=getDirectory("Wybierz katalog"); //otwiera okienko do wyboru katalogu
tabl=getFileList(katalog); //tworzy tablicę zawierającą wszystkie nazwy plików w danym katalogu
l1=lengthOf(tabl); //zwraca długość tablicy
l2=lengthOf(tabl[3]); //zwraca długość tekstu będącego czwartym elementem tablicy
saveAs("PNG", "nowy_plik.png"); //zapisuje otwarty obraz w formacie .png, pod zadanym tytułem
endsWith("ala ma kota", "kota"); //zwraca true, jeśli pierwszy tekst kończy się drugim tekstem
substring("ala ma kota", 4, 6); //zwraca "ma", czyli część tekstu między pierwszym indeksem a drugim indeksem, bez tego ostatniego
</source>

===Zadanie 5===
Wczytaj plik flashpad-hand-clinical.jpg. Możesz zmniejszyć jego wielkość tak, by usunąć niepotrzebne czarne tło zaznaczając prostokąt z ręką i wybierając Image > Crop.

Naszym zadaniem będzie napisać algorytm, który znajdzie i zaznaczy automatycznie na tym obrazie granice między kośćmi palców.
Dla oka to łatwe, ale jak wytłumaczyć komputerowi co widzi oko? Otóż tu kłania się nam czystej wody algorytmika (plus trochę wiedzy o analizie obrazu).

Proszę spojrzeć na poniższy obraz. Prawda, że granice między kostkami mają charakterystyczne kształty? Udało się je zaznaczyć (trochę za dużo, skrypt należałoby jeszcze dopracować).

[[Plik:Szukacz1.PNG]]

* Zamiana obrazu na format 32-bit
* Normalizacja obrazu do wartości od -1 do 1 za pomocą funkcji sigmoidalnej:

: <math>S(t) = \frac{2}{1 + e^{-k(t-t_0)}}-1</math>

Gdzie k to stała mówiąca o nachyleniu funkcji w zerze, a t_0 to wartość środkowa (np. średnia wartość pikseli na obszarze zdjęcia ręki).

* Splot z filtrem krawędzi o zadanej wielkości, np.

:<math>\begin{bmatrix}-1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\-1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\1 & 1 & 1 & 1 & 1\end{bmatrix}.</math>

* Znalezienie i zaznaczenie różdżką (Wand) spójnych fragmentów poniżej pewnego progu, dodanie ich do roiManagera

Powyższe kroki można wykonać wyklikując je w ImageJ i od tego zaczniemy. Ale potem należy napisać własny skrypt, który całą tę pracę zrobi za nas automatycznie.

"Programowanie dla Fizyków Medycznych"

2018-01-24T16:51:13Z

Jginter: /* Projekt drugi: obsługa plików w formacie DICOM */

[[Category:Informatyka]]
==Zadania na kolokwium==
[https://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php/TI/Programowanie_dla_Fizyk%C3%B3w_Medycznych:Kolokwium2 Kolokwium2 19.01.2018]

==Język Python==
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Struktury danych|Struktury danych]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Instrukcje sterowania|Sterowanie przebiegiem programu]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Funkcje|Funkcje]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Pliki|Pliki]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Klasy|Klasy]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Dekoratory|Dekoratory]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Wyjątki|Wyjątki]]

==Elementy metod numerycznych==
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych/Optymalizacja|Optymalizacja]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych/RRZ|Równania różniczkowe zwyczajne]]

==Przetwarzanie obrazów==
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych/Ćwiczenia z przetwarzania tablic 2D|Ćwiczenia z przetwarzania tablic 2D]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych/Obsługa plików graficznych i DICOM|Obsługa plików graficznych i DICOM]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych/Manipulacja obrazem|Manipulacja obrazem]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych/Morfologia matematyczna|Morfologia matematyczna]]

==Programowanie GUI - wxPython==
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Galeria Widgetow|Galeria Widgetów]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Ramki|Ramki]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Dialogi|Dialogi]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Eventy|Eventy]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Validatory|Validatory]]

==Projekt pierwszy: symulacja ruchu akceleratora==
Przypomnienie: [https://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php/TI/Programowanie_dla_Fizyk%C3%B3w_Medycznych:Ciekawe_zadania Ciekawe zadania]
*[https://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php/TI/Programowanie_dla_Fizyk%C3%B3w_Medycznych:Zadania_openCV#Obiekt:_tr.C3.B3jk.C4.85t Trójkąty - opis ]

==Projekt drugi: obsługa plików w formacie DICOM==
*[https://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php/%22Programowanie_dla_Fizyk%C3%B3w_Medycznych%22/DICOM Format DICOM]

==Programowanie w ImageJ==
*[https://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php?title=Metody_diagnostyczne/programowanie Zadania]

==Przydatne linki==
#[http://pl.spoj.com/problems/latwe/ Łatwe zadania algorytmiczne]
#[https://docs.python.org/2/library/functions.html doc: wbudowane funkcje]
#[https://docs.python.org/2/library/stdtypes.html doc: wbudowane typy]
#[https://docs.python.org/2/tutorial/datastructures.html doc: struktury danych]

TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Kolokwium2

2018-01-22T14:17:53Z

Jginter: /* Kolokwium 2 */

powrót: [https://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php/%22Programowanie_dla_Fizyk%C3%B3w_Medycznych%22 Programowanie dla fizyków medycznych]
==Kolokwium 2==
19.01.2018

Zdefiniuj klasę opisującą wektor magnetyzacji woksela w trzech wymiarach.

'''Parametry nieobowiązkowe konstruktora:''' Bezwzględna wartość wektora magnetyzacji <math>M</math>, domyślna wartość to 20; kąt <math>\theta</math> odchylenia od pionu, domyślna wartość to 0; kąt <math>\phi</math> obrócenia wokół osi Z, domyślna wartość to 0. (czyli wektor magnetyzacji we współrzędnych sferycznych)

'''Pozostałe metody:'''
#Metoda bez parametrów zwracająca współrzędne magnetyzacji w układzie sferycznym <math>M, \theta, \phi</math>.
#Metoda bez parametrów zwracająca współrzędne magnetyzacji w układzie kartezjańskim, <math>M_x=M \sin \theta \cos \phi, M_y=M \sin \theta \sin \phi, M_z=M \cos \theta</math>.
#Metoda zwiększająca kąt <math>\theta</math> o wartość <math>\alpha</math> podaną jako parametr (w stopniach), jednocześnie ustawiająca kąt <math>\phi</math> na zero.
#Metoda zwiększająca kąt <math>\phi</math> o wartość podaną jako parametr.
#Metoda rysująca (wykorzystując cv2) na macierzy tła przekazanej jako parametr rzut wektora magnetyzacji (w żółtym kolorze) o współrzędnych <math>(M_x, M_z)</math>, przyjmując jako swój początek współrzędne na obrazie przekazane jako drugi parametr.
#Metoda magiczna, która pozwala wykonać polecenie m3=m1+m2, gdzie m1, m2 i m3 byłyby obiektami wektora magnetyzacji. Warto pamiętać, że dodawanie do siebie dwóch wektorów najprościej dokonuje się we współrzędnych kartezjańskich, z których można wrócić do współrzędnych sferycznych wykorzystując wzory <math>M=\sqrt{M_x^2+M_y^2+M_z^2}, \phi=\rm{arctg}\frac {M_y}{M_x}, \theta=\arccos\frac {M_⁡z} {M}</math>
#Metoda magiczna pozwalająca wypisać w eleganckiej formie współrzędne wektora magnetyzacji poleceniem print(m), gdzie m jest obiektem wektora magnetyzacji.

'''Program:'''
*Stworzyć trzy obiekty zdefiniowanej klasy. Wyświetlić je obok siebie na wspólnym granatowym tle.
*W nieskończonej pętli obracać wektory magnetyzacji w każdym kroku zmieniając kąt <math>\phi</math> o 10 stopni pierwszego wektora, o kąt 11 stopni - drugiego, o kąt 12 stopni - trzeciego i po każdym obrocie wyświetlać na nowo. Przed kolejnym krokiem pętli odczekać 100 milisekund.
*Pod spodem powinien być wyświetlany wektor magnetyzacji będący sumą trzech poprzednich.
*Jeśli użytkownik naciśnie Escape, program powinien zakończyć działanie, zamykając wszystkie okna graficzne.
*Naciśnięcie "+" lub "-" powinno zwiększyć lub zmniejszyć kąt <math>\theta</math> o 10 stopni, synchronizując na nowo wektory do kąta <math>\phi =0</math>

TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Kolokwium2

2018-01-19T10:37:55Z

Jginter: /* Kolokwium 2 */

powrót: [https://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php/%22Programowanie_dla_Fizyk%C3%B3w_Medycznych%22 Programowanie dla fizyków medycznych]
==Kolokwium 2==
19.01.2018

Zdefiniuj klasę opisującą wektor magnetyzacji woksela w trzech wymiarach.

'''Parametry nieobowiązkowe konstruktora:''' Bezwzględna wartość wektora magnetyzacji <math>M</math>, domyślna wartość to 20; kąt <math>\theta</math> odchylenia od pionu, domyślna wartość to 0; kąt <math>\phi</math> obrócenia wokół osi Z, domyślna wartość to 0. (czyli wektor magnetyzacji we współrzędnych sferycznych)

'''Pozostałe metody:'''
#Metoda bez parametrów zwracająca współrzędne magnetyzacji w układzie sferycznym <math>M, \theta, \phi</math>.
#Metoda bez parametrów zwracająca współrzędne magnetyzacji w układzie kartezjańskim, <math>M_x=M \sin \theta \cos \phi, M_y=M \sin \theta \sin \phi, M_z=M \cos \theta</math>.
#Metoda zwiększająca kąt <math>\theta</math> o wartość <math>\alpha</math> podaną jako parametr (w stopniach), jednocześnie ustawiająca kąt <math>\phi</math> na zero.
#Metoda zwiększająca kąt <math>\phi</math> o wartość podaną jako parametr.
#Metoda rysująca (wykorzystując cv2) na macierzy tła przekazanej jako parametr rzut wektora magnetyzacji (w żółtym kolorze) o współrzędnych <math>(M_x, M_z)</math>, przyjmując jako swój początek współrzędne na obrazie przekazane jako drugi parametr.
#Metoda magiczna, która pozwala wykonać polecenie m3=m1+m2, gdzie m1, m2 i m3 byłyby obiektami wektora magnetyzacji. Warto pamiętać, że dodawanie do siebie dwóch wektorów najprościej dokonuje się we współrzędnych kartezjańskich, z których można wrócić do współrzędnych sferycznych wykorzystując wzory <math>M=\sqrt{M_x^2+M_y^2+M_z^2}, \phi=\rm{arctg}\frac {M_y}{M_x}, \theta=\arcsin\frac {M_⁡z} {M}</math>
#Metoda magiczna pozwalająca wypisać w eleganckiej formie współrzędne wektora magnetyzacji poleceniem print(m), gdzie m jest obiektem wektora magnetyzacji.

'''Program:'''
*Stworzyć trzy obiekty zdefiniowanej klasy. Wyświetlić je obok siebie na wspólnym granatowym tle.
*W nieskończonej pętli obracać wektory magnetyzacji w każdym kroku o kąt 10 stopni - pierwszy, o kąt 11 stopni - drugi, o kąt 12 stopni - trzeci i po każdym obrocie wyświetlać na nowo. Przed kolejnym krokiem pętli odczekać 100 milisekund.
*Pod spodem powinien być wyświetlany wektor magnetyzacji będący sumą trzech poprzednich.
*Jeśli użytkownik naciśnie Escape, program powinien zakończyć działanie, zamykając wszystkie okna graficzne.
*Naciśnięcie "+" lub "-" powinno zwiększyć lub zmniejszyć kąt <math>\theta</math> o 10 stopni, synchronizując na nowo wektory do kąta <math>\phi =0</math>

TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Kolokwium2

2018-01-19T09:21:48Z

Jginter: /* Kolokwium 2 */

powrót: [https://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php/%22Programowanie_dla_Fizyk%C3%B3w_Medycznych%22 Programowanie dla fizyków medycznych]
==Kolokwium 2==
19.01.2018

Zdefiniuj klasę opisującą wektor magnetyzacji woksela w trzech wymiarach.

'''Parametry nieobowiązkowe konstruktora:''' Bezwzględna wartość wektora magnetyzacji <math>M</math>, domyślna wartość to 20; kąt <math>\theta</math> odchylenia od pionu, domyślna wartość to 0; kąt <math>\phi</math> obrócenia wokół osi Z, domyślna wartość to 0. (czyli wektor magnetyzacji we współrzędnych sferycznych)

'''Pozostałe metody:'''
#Metoda bez parametrów zwracająca współrzędne magnetyzacji w układzie sferycznym <math>M, \theta, \phi</math>.
#Metoda bez parametrów zwracająca współrzędne magnetyzacji w układzie kartezjańskim, <math>M_x=M \cos \theta \cos \phi, M_y=M \cos \theta \sin \phi, M_z=M \sin \theta</math>.
#Metoda zwiększająca kąt <math>\theta</math> o wartość <math>\alpha</math> podaną jako parametr (w stopniach), jednocześnie ustawiająca kąt <math>\phi</math> na zero.
#Metoda zwiększająca kąt <math>\phi</math> o wartość podaną jako parametr.
#Metoda rysująca (wykorzystując cv2) na macierzy tła przekazanej jako parametr rzut wektora magnetyzacji (w żółtym kolorze) o współrzędnych <math>(M_x, M_z)</math>, przyjmując jako swój początek współrzędne na obrazie przekazane jako drugi parametr.
#Metoda magiczna, która pozwala wykonać polecenie m3=m1+m2, gdzie m1, m2 i m3 byłyby obiektami wektora magnetyzacji. Warto pamiętać, że dodawanie do siebie dwóch wektorów najprościej dokonuje się we współrzędnych kartezjańskich, z których można wrócić do współrzędnych sferycznych wykorzystując wzory <math>M=\sqrt{M_x^2+M_y^2+M_z^2}, \phi=\rm{arctg}\frac {M_y}{M_x}, \theta=\arcsin\frac {M_⁡z} {M}</math>
#Metoda magiczna pozwalająca wypisać w eleganckiej formie współrzędne wektora magnetyzacji poleceniem print(m), gdzie m jest obiektem wektora magnetyzacji.

'''Program:'''
*Stworzyć trzy obiekty zdefiniowanej klasy. Wyświetlić je obok siebie na wspólnym granatowym tle.
*W nieskończonej pętli obracać wektory magnetyzacji w każdym kroku o kąt 10 stopni - pierwszy, o kąt 11 stopni - drugi, o kąt 12 stopni - trzeci i po każdym obrocie wyświetlać na nowo. Przed kolejnym krokiem pętli odczekać 100 milisekund.
*Pod spodem powinien być wyświetlany wektor magnetyzacji będący sumą trzech poprzednich.
*Jeśli użytkownik naciśnie Escape, program powinien zakończyć działanie, zamykając wszystkie okna graficzne.
*Naciśnięcie "+" lub "-" powinno zwiększyć lub zmniejszyć kąt <math>\theta</math> o 10 stopni, synchronizując na nowo wektory do kąta <math>\phi =0</math>

"Programowanie dla Fizyków Medycznych"

2018-01-19T09:11:45Z

Jginter: /* Zadania na kolokwium */

[[Category:Informatyka]]
==Zadania na kolokwium==
[https://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php/TI/Programowanie_dla_Fizyk%C3%B3w_Medycznych:Kolokwium2 Kolokwium2 19.01.2018]

==Język Python==
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Struktury danych|Struktury danych]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Instrukcje sterowania|Sterowanie przebiegiem programu]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Funkcje|Funkcje]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Pliki|Pliki]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Klasy|Klasy]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Dekoratory|Dekoratory]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Wyjątki|Wyjątki]]

==Elementy metod numerycznych==
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych/Optymalizacja|Optymalizacja]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych/RRZ|Równania różniczkowe zwyczajne]]

==Przetwarzanie obrazów==
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych/Ćwiczenia z przetwarzania tablic 2D|Ćwiczenia z przetwarzania tablic 2D]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych/Obsługa plików graficznych i DICOM|Obsługa plików graficznych i DICOM]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych/Manipulacja obrazem|Manipulacja obrazem]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych/Morfologia matematyczna|Morfologia matematyczna]]

==Programowanie GUI - wxPython==
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Galeria Widgetow|Galeria Widgetów]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Ramki|Ramki]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Dialogi|Dialogi]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Eventy|Eventy]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Validatory|Validatory]]

==Projekt pierwszy: symulacja ruchu akceleratora==
Przypomnienie: [https://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php/TI/Programowanie_dla_Fizyk%C3%B3w_Medycznych:Ciekawe_zadania Ciekawe zadania]
*[https://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php/TI/Programowanie_dla_Fizyk%C3%B3w_Medycznych:Zadania_openCV#Obiekt:_tr.C3.B3jk.C4.85t Trójkąty - opis ]

==Projekt drugi: obsługa plików w formacie DICOM==
*[https://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php/%22Programowanie_dla_Fizyk%C3%B3w_Medycznych%22/DICOM Format DICOM]

==Przydatne linki==
#[http://pl.spoj.com/problems/latwe/ Łatwe zadania algorytmiczne]
#[https://docs.python.org/2/library/functions.html doc: wbudowane funkcje]
#[https://docs.python.org/2/library/stdtypes.html doc: wbudowane typy]
#[https://docs.python.org/2/tutorial/datastructures.html doc: struktury danych]

"Programowanie dla Fizyków Medycznych"

2018-01-19T09:11:25Z

Jginter: /* Zadania na kolokwium */

[[Category:Informatyka]]
==Zadania na kolokwium==
[https://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php/TI/Programowanie_dla_Fizyk%C3%B3w_Medycznych:Kolokwium Kolokwium2 19.01.2018]

==Język Python==
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Struktury danych|Struktury danych]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Instrukcje sterowania|Sterowanie przebiegiem programu]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Funkcje|Funkcje]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Pliki|Pliki]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Klasy|Klasy]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Dekoratory|Dekoratory]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Wyjątki|Wyjątki]]

==Elementy metod numerycznych==
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych/Optymalizacja|Optymalizacja]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych/RRZ|Równania różniczkowe zwyczajne]]

==Przetwarzanie obrazów==
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych/Ćwiczenia z przetwarzania tablic 2D|Ćwiczenia z przetwarzania tablic 2D]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych/Obsługa plików graficznych i DICOM|Obsługa plików graficznych i DICOM]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych/Manipulacja obrazem|Manipulacja obrazem]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych/Morfologia matematyczna|Morfologia matematyczna]]

==Programowanie GUI - wxPython==
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Galeria Widgetow|Galeria Widgetów]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Ramki|Ramki]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Dialogi|Dialogi]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Eventy|Eventy]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Validatory|Validatory]]

==Projekt pierwszy: symulacja ruchu akceleratora==
Przypomnienie: [https://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php/TI/Programowanie_dla_Fizyk%C3%B3w_Medycznych:Ciekawe_zadania Ciekawe zadania]
*[https://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php/TI/Programowanie_dla_Fizyk%C3%B3w_Medycznych:Zadania_openCV#Obiekt:_tr.C3.B3jk.C4.85t Trójkąty - opis ]

==Projekt drugi: obsługa plików w formacie DICOM==
*[https://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php/%22Programowanie_dla_Fizyk%C3%B3w_Medycznych%22/DICOM Format DICOM]

==Przydatne linki==
#[http://pl.spoj.com/problems/latwe/ Łatwe zadania algorytmiczne]
#[https://docs.python.org/2/library/functions.html doc: wbudowane funkcje]
#[https://docs.python.org/2/library/stdtypes.html doc: wbudowane typy]
#[https://docs.python.org/2/tutorial/datastructures.html doc: struktury danych]

TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Kolokwium2

2018-01-18T20:52:52Z

Jginter: /* Kolokwium 2 */

powrót: [https://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php/%22Programowanie_dla_Fizyk%C3%B3w_Medycznych%22 Programowanie dla fizyków medycznych]
==Kolokwium 2==
19.01.2018

Zdefiniuj klasę opisującą wektor magnetyzacji woksela w trzech wymiarach.

'''Parametry nieobowiązkowe konstruktora:''' Bezwzględna wartość wektora magnetyzacji <math>M</math>, domyślna wartość to 20; kąt <math>\theta</math> odchylenia od pionu, domyślna wartość to 0; kąt <math>\phi</math> obrócenia wokół osi Z, domyślna wartość to 0. (czyli wektor magnetyzacji we współrzędnych sferycznych)

'''Pozostałe metody:'''
#Metoda bez parametrów zwracająca współrzędne magnetyzacji w układzie sferycznym <math>M, \theta, \phi</math>.
#Metoda bez parametrów zwracająca współrzędne magnetyzacji w układzie kartezjańskim, <math>M_x=M \cos \theta \cos \phi, M_y=M \cos \theta \sin \phi, M_z=M \sin \theta</math>.
#Metoda zwiększająca kąt <math>\theta</math> o wartość <math>\alpha</math> podaną jako parametr (w stopniach), jednocześnie ustawiająca kąt <math>\phi</math> na zero.
#Metoda zwiększająca kąt <math>\phi</math> o wartość podaną jako parametr.
#Metoda rysująca (wykorzystując cv2) na macierzy tła przekazanej jako parametr rzut wektora magnetyzacji (w żółtym kolorze) o współrzędnych <math>(M_x, M_z)</math>, przyjmując jako swój początek współrzędne na obrazie przekazane jako drugi parametr.
#Metoda magiczna, która pozwala wykonać polecenie m3=m1+m2, gdzie m1, m2 i m3 byłyby obiektami wektora magnetyzacji. Warto pamiętać, że dodawanie do siebie dwóch wektorów najprościej dokonuje się we współrzędnych kartezjańskich, z których można wrócić do współrzędnych sferycznych wykorzystując wzory <math>M=\sqrt{M_x^2+M_y^2+M_z^2}, \phi=\rm{arctg}\frac {M_y}{M_x}, \theta=\arcsin\frac {M_⁡z} {M}</math>
#Metoda magiczna pozwalająca wypisać w eleganckiej formie współrzędne wektora magnetyzacji poleceniem print(m), gdzie m jest obiektem wektora magnetyzacji.

'''Program:'''
*Stworzyć trzy obiekty zdefiniowanej klasy. Wyświetlić je obok siebie na wspólnym granatowym tle.
*W nieskończonej pętli obracać wektory magnetyzacji w każdym kroku o kąt 10 stopni - pierwszy, o kąt 11 stopni - drugi, o kąt 12 stopni - trzeci i po każdym obrocie wyświetlać na nowo. Przed kolejnym krokiem pętli odczekać 100 milisekund.
*Pod spodem powinien być wyświetlany wektor magnetyzacji będący sumą trzech poprzednich.
*Jeśli użytkownik naciśnie Escape, program powinien zakończyć działanie, zamykając wszystkie okna graficzne.
*Naciśnięcie "+" lub "-" powinno zwiększyć lub zmniejszyć kąt \theta o 10 stopni, synchronizując na nowo wektory do kąta <math>\phi =0</math>

TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Kolokwium2

2018-01-18T20:50:00Z

Jginter: /* Kolokwium 2 */

powrót: [https://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php/%22Programowanie_dla_Fizyk%C3%B3w_Medycznych%22 Programowanie dla fizyków medycznych]
==Kolokwium 2==
19.01.2018

Zdefiniuj klasę opisującą wektor magnetyzacji woksela w trzech wymiarach.

'''Parametry nieobowiązkowe konstruktora:''' Bezwzględna wartość wektora magnetyzacji <math>M</math>, domyślna wartość to 20; kąt <math>\theta</math> odchylenia od pionu, domyślna wartość to 0; kąt <math>\phi</math> obrócenia wokół osi Z, domyślna wartość to 0. (czyli wektor magnetyzacji we współrzędnych sferycznych)

'''Pozostałe metody:'''
#Metoda bez parametrów zwracająca współrzędne magnetyzacji w układzie sferycznym <math>M, \theta, \phi</math>.
#Metoda bez parametrów zwracająca współrzędne magnetyzacji w układzie kartezjańskim, <math>M_x=M \cos \theta \cos \phi, M_y=M \cos \theta \sin \phi, M_z=M \sin \theta</math>.
#Metoda zwiększająca kąt <math>\theta</math> o wartość <math>\alpha</math> podaną jako parametr (w stopniach), jednocześnie ustawiająca kąt <math>\phi</math> na zero.
#Metoda zwiększająca kąt <math>\phi</math> o wartość podaną jako parametr.
#Metoda rysująca (wykorzystując cv2) na macierzy tła przekazanej jako parametr rzut wektora magnetyzacji (w żółtym kolorze) o współrzędnych <math>(M_x, M_z)</math>, przyjmując jako swój początek współrzędne na obrazie przekazane jako drugi parametr.
#Metoda magiczna, która pozwala wykonać polecenie m3=m1+m2, gdzie m1, m2 i m3 byłyby obiektami wektora magnetyzacji. Warto pamiętać, że dodawanie do siebie dwóch wektorów najprościej dokonuje się we współrzędnych kartezjańskich, z których można wrócić do współrzędnych sferycznych wykorzystując wzory <math>M=\sqrt{M_x^2+M_y^2+M_z^2}, \phi=\rm{arctg}\frac {M_y}{M_x}, \theta=\arcsin \frac {M_⁡z} {M}</math>
#Metoda magiczna pozwalająca wypisać w eleganckiej formie współrzędne wektora magnetyzacji poleceniem print(m), gdzie m jest obiektem wektora magnetyzacji.

'''Program:'''
*Stworzyć trzy obiekty zdefiniowanej klasy. Wyświetlić je obok siebie na wspólnym granatowym tle.
*W nieskończonej pętli obracać wektory magnetyzacji w każdym kroku o kąt 10 stopni - pierwszy, o kąt 11 stopni - drugi, o kąt 12 stopni - trzeci i po każdym obrocie wyświetlać na nowo. Przed kolejnym krokiem pętli odczekać 100 milisekund.
*Pod spodem powinien być wyświetlany wektor magnetyzacji będący sumą trzech poprzednich.
*Jeśli użytkownik naciśnie Escape, program powinien zakończyć działanie, zamykając wszystkie okna graficzne.
*Naciśnięcie "+" lub "-" powinno zwiększyć lub zmniejszyć kąt \theta o 10 stopni, synchronizując na nowo wektory do kąta \phi =0

TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Kolokwium2

2018-01-18T17:22:05Z

Jginter: /* Kolokwium 2 */

powrót: [https://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php/%22Programowanie_dla_Fizyk%C3%B3w_Medycznych%22 Programowanie dla fizyków medycznych]
==Kolokwium 2==
19.01.2018

Zdefiniuj klasę opisującą wektor magnetyzacji woksela w trzech wymiarach.

'''Parametry nieobowiązkowe konstruktora:''' Bezwzględna wartość wektora magnetyzacji <math>M</math>, domyślna wartość to 1; kąt <math>\theta</math> odchylenia od pionu, domyślna wartość to 0; kąt <math>\phi</math> obrócenia wokół osi Z, domyślna wartość to 0. (czyli wektor magnetyzacji we współrzędnych sferycznych)

'''Pozostałe metody:'''
#Metoda bez parametrów zwracająca współrzędne magnetyzacji w układzie sferycznym <math>M, \theta, \phi</math>.
#Metoda bez parametrów zwracająca współrzędne magnetyzacji w układzie kartezjańskim, <math>M_x=M \cos \theta \cos \phi, M_y=M \cos \theta \sin \phi, M_z=M \sin \theta</math>.
#Metoda zwiększająca kąt <math>\theta</math> o wartość <math>\alpha</math> podaną jako parametr (w stopniach), jednocześnie ustawiająca kąt <math>\phi</math> na zero.
#Metoda zwiększająca kąt <math>\phi</math> o wartość podaną jako parametr.
#Metoda rysująca (wykorzystując cv2) na macierzy tła przekazanej jako parametr rzut wektora magnetyzacji (w żółtym kolorze) o współrzędnych <math>(M_x, M_z)</math>, przyjmując jako swój początek współrzędne na obrazie przekazane jako drugi parametr.
#Metoda magiczna, która pozwala wykonać polecenie m3=m1+m2, gdzie m1, m2 i m3 byłyby obiektami wektora magnetyzacji.
#Metoda magiczna pozwalająca wypisać w eleganckiej formie współrzędne wektora magnetyzacji poleceniem print(m), gdzie m jest obiektem wektora magnetyzacji.

'''Program:'''
*Stworzyć trzy obiekty zdefiniowanej klasy. Wyświetlić je obok siebie na wspólnym granatowym tle.
*W nieskończonej pętli obracać wektory magnetyzacji w każdym kroku o kąt 10 stopni - pierwszy, o kąt 11 stopni - drugi, o kąt 12 stopni - trzeci i po każdym obrocie wyświetlać na nowo. Przed kolejnym krokiem pętli odczekać 100 milisekund.
*Pod spodem powinien być wyświetlany wektor magnetyzacji będący sumą trzech poprzednich.
*Jeśli użytkownik naciśnie Escape, program powinien zakończyć działanie, zamykając wszystkie okna graficzne.
*Naciśnięcie "+" lub "-" powinno zwiększyć lub zmniejszyć kąt \theta o 10 stopni, synchronizując na nowo wektory do kąta \phi =0

"Programowanie dla Fizyków Medycznych"

2018-01-18T17:20:53Z

Jginter: /* Zadania na kolokwium */

[[Category:Informatyka]]
==Zadania na kolokwium==
[https://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php/TI/Programowanie_dla_Fizyk%C3%B3w_Medycznych:Kolokwium Kolokwium 19.01.2018]

==Język Python==
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Struktury danych|Struktury danych]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Instrukcje sterowania|Sterowanie przebiegiem programu]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Funkcje|Funkcje]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Pliki|Pliki]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Klasy|Klasy]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Dekoratory|Dekoratory]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Wyjątki|Wyjątki]]

==Elementy metod numerycznych==
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych/Optymalizacja|Optymalizacja]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych/RRZ|Równania różniczkowe zwyczajne]]

==Przetwarzanie obrazów==
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych/Ćwiczenia z przetwarzania tablic 2D|Ćwiczenia z przetwarzania tablic 2D]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych/Obsługa plików graficznych i DICOM|Obsługa plików graficznych i DICOM]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych/Manipulacja obrazem|Manipulacja obrazem]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych/Morfologia matematyczna|Morfologia matematyczna]]

==Programowanie GUI - wxPython==
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Galeria Widgetow|Galeria Widgetów]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Ramki|Ramki]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Dialogi|Dialogi]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Eventy|Eventy]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Validatory|Validatory]]

==Projekt pierwszy: symulacja ruchu akceleratora==
Przypomnienie: [https://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php/TI/Programowanie_dla_Fizyk%C3%B3w_Medycznych:Ciekawe_zadania Ciekawe zadania]
*[https://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php/TI/Programowanie_dla_Fizyk%C3%B3w_Medycznych:Zadania_openCV#Obiekt:_tr.C3.B3jk.C4.85t Trójkąty - opis ]

==Projekt drugi: obsługa plików w formacie DICOM==
*[https://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php/%22Programowanie_dla_Fizyk%C3%B3w_Medycznych%22/DICOM Format DICOM]

==Przydatne linki==
#[http://pl.spoj.com/problems/latwe/ Łatwe zadania algorytmiczne]
#[https://docs.python.org/2/library/functions.html doc: wbudowane funkcje]
#[https://docs.python.org/2/library/stdtypes.html doc: wbudowane typy]
#[https://docs.python.org/2/tutorial/datastructures.html doc: struktury danych]

"Programowanie dla Fizyków Medycznych"

2018-01-18T17:20:18Z

Jginter:

[[Category:Informatyka]]
==Zadania na kolokwium==
https://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php/TI/Programowanie_dla_Fizyk%C3%B3w_Medycznych:Kolokwium
==Język Python==
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Struktury danych|Struktury danych]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Instrukcje sterowania|Sterowanie przebiegiem programu]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Funkcje|Funkcje]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Pliki|Pliki]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Klasy|Klasy]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Dekoratory|Dekoratory]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Wyjątki|Wyjątki]]

==Elementy metod numerycznych==
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych/Optymalizacja|Optymalizacja]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych/RRZ|Równania różniczkowe zwyczajne]]

==Przetwarzanie obrazów==
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych/Ćwiczenia z przetwarzania tablic 2D|Ćwiczenia z przetwarzania tablic 2D]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych/Obsługa plików graficznych i DICOM|Obsługa plików graficznych i DICOM]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych/Manipulacja obrazem|Manipulacja obrazem]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych/Morfologia matematyczna|Morfologia matematyczna]]

==Programowanie GUI - wxPython==
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Galeria Widgetow|Galeria Widgetów]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Ramki|Ramki]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Dialogi|Dialogi]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Eventy|Eventy]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Validatory|Validatory]]

==Projekt pierwszy: symulacja ruchu akceleratora==
Przypomnienie: [https://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php/TI/Programowanie_dla_Fizyk%C3%B3w_Medycznych:Ciekawe_zadania Ciekawe zadania]
*[https://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php/TI/Programowanie_dla_Fizyk%C3%B3w_Medycznych:Zadania_openCV#Obiekt:_tr.C3.B3jk.C4.85t Trójkąty - opis ]

==Projekt drugi: obsługa plików w formacie DICOM==
*[https://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php/%22Programowanie_dla_Fizyk%C3%B3w_Medycznych%22/DICOM Format DICOM]

==Przydatne linki==
#[http://pl.spoj.com/problems/latwe/ Łatwe zadania algorytmiczne]
#[https://docs.python.org/2/library/functions.html doc: wbudowane funkcje]
#[https://docs.python.org/2/library/stdtypes.html doc: wbudowane typy]
#[https://docs.python.org/2/tutorial/datastructures.html doc: struktury danych]

TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Kolokwium2

2018-01-18T17:19:02Z

Jginter: /* Kolokwium 2 */

powrót: [https://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php/%22Programowanie_dla_Fizyk%C3%B3w_Medycznych%22 Programowanie dla fizyków medycznych]
==Kolokwium 2==
19.01.2018

Zdefiniuj klasę opisującą opisującą wektor magnetyzacji woksela w trzech wymiarach.

'''Parametry nieobowiązkowe konstruktora:''' Bezwzględna wartość wektora magnetyzacji <math>M</math>, domyślna wartość to 1; kąt <math>\theta</math> odchylenia od pionu, domyślna wartość to 0; kąt <math>\phi</math> obrócenia wokół osi Z, domyślna wartość to 0. (czyli wektor magnetyzacji we współrzędnych sferycznych)

'''Pozostałe metody:'''
#Metoda bez parametrów zwracająca współrzędne magnetyzacji w układzie sferycznym <math>M, \theta, \phi</math>.
#Metoda bez parametrów zwracająca współrzędne magnetyzacji w układzie kartezjańskim, <math>M_x=M \cos \theta \cos \phi, M_y=M \cos \theta \sin \phi, M_z=M \sin \theta</math>.
#Metoda zwiększająca kąt <math>\theta</math> o wartość <math>\alpha</math> podaną jako parametr (w stopniach), jednocześnie ustawiająca kąt <math>\phi</math> na zero.
#Metoda zwiększająca kąt <math>\phi</math> o wartość podaną jako parametr.
#Metoda rysująca (wykorzystując cv2) na macierzy tła przekazanej jako parametr rzut wektora magnetyzacji (w żółtym kolorze) o współrzędnych <math>(M_x, M_z)</math>, przyjmując jako swój początek współrzędne na obrazie przekazane jako drugi parametr.
#Metoda magiczna, która pozwala wykonać polecenie m3=m1+m2, gdzie m1, m2 i m3 byłyby obiektami wektora magnetyzacji.
#Metoda magiczna pozwalająca wypisać w eleganckiej formie współrzędne wektora magnetyzacji poleceniem print(m), gdzie m jest obiektem wektora magnetyzacji.

'''Program:'''
*Stworzyć trzy obiekty zdefiniowanej klasy. Wyświetlić je obok siebie na wspólnym granatowym tle.
*W nieskończonej pętli obracać wektory magnetyzacji w każdym kroku o kąt 10 stopni - pierwszy, o kąt 11 stopni - drugi, o kąt 12 stopni - trzeci i po każdym obrocie wyświetlać na nowo. Przed kolejnym krokiem pętli odczekać 100 milisekund.
*Pod spodem powinien być wyświetlany wektor magnetyzacji będący sumą trzech poprzednich.
*Jeśli użytkownik naciśnie Escape, program powinien zakończyć działanie, zamykając wszystkie okna graficzne.
*Naciśnięcie "+" lub "-" powinno zwiększyć lub zmniejszyć kąt \theta o 10 stopni, synchronizując na nowo wektory do kąta \phi =0

TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Kolokwium2

2018-01-18T17:18:42Z

Jginter: /* Kolokwium 2 */

==Kolokwium 2==
19.01.2018
powrót: [https://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php/%22Programowanie_dla_Fizyk%C3%B3w_Medycznych%22 Programowanie dla fizyków medycznych]

Zdefiniuj klasę opisującą opisującą wektor magnetyzacji woksela w trzech wymiarach.

'''Parametry nieobowiązkowe konstruktora:''' Bezwzględna wartość wektora magnetyzacji <math>M</math>, domyślna wartość to 1; kąt <math>\theta</math> odchylenia od pionu, domyślna wartość to 0; kąt <math>\phi</math> obrócenia wokół osi Z, domyślna wartość to 0. (czyli wektor magnetyzacji we współrzędnych sferycznych)

'''Pozostałe metody:'''
#Metoda bez parametrów zwracająca współrzędne magnetyzacji w układzie sferycznym <math>M, \theta, \phi</math>.
#Metoda bez parametrów zwracająca współrzędne magnetyzacji w układzie kartezjańskim, <math>M_x=M \cos \theta \cos \phi, M_y=M \cos \theta \sin \phi, M_z=M \sin \theta</math>.
#Metoda zwiększająca kąt <math>\theta</math> o wartość <math>\alpha</math> podaną jako parametr (w stopniach), jednocześnie ustawiająca kąt <math>\phi</math> na zero.
#Metoda zwiększająca kąt <math>\phi</math> o wartość podaną jako parametr.
#Metoda rysująca (wykorzystując cv2) na macierzy tła przekazanej jako parametr rzut wektora magnetyzacji (w żółtym kolorze) o współrzędnych <math>(M_x, M_z)</math>, przyjmując jako swój początek współrzędne na obrazie przekazane jako drugi parametr.
#Metoda magiczna, która pozwala wykonać polecenie m3=m1+m2, gdzie m1, m2 i m3 byłyby obiektami wektora magnetyzacji.
#Metoda magiczna pozwalająca wypisać w eleganckiej formie współrzędne wektora magnetyzacji poleceniem print(m), gdzie m jest obiektem wektora magnetyzacji.

'''Program:'''
*Stworzyć trzy obiekty zdefiniowanej klasy. Wyświetlić je obok siebie na wspólnym granatowym tle.
*W nieskończonej pętli obracać wektory magnetyzacji w każdym kroku o kąt 10 stopni - pierwszy, o kąt 11 stopni - drugi, o kąt 12 stopni - trzeci i po każdym obrocie wyświetlać na nowo. Przed kolejnym krokiem pętli odczekać 100 milisekund.
*Pod spodem powinien być wyświetlany wektor magnetyzacji będący sumą trzech poprzednich.
*Jeśli użytkownik naciśnie Escape, program powinien zakończyć działanie, zamykając wszystkie okna graficzne.
*Naciśnięcie "+" lub "-" powinno zwiększyć lub zmniejszyć kąt \theta o 10 stopni, synchronizując na nowo wektory do kąta \phi =0

TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Kolokwium2

2018-01-18T17:17:13Z

Jginter: /* Kolokwium 2 */

==Kolokwium 2==
19.01.2018

Zdefiniuj klasę opisującą opisującą wektor magnetyzacji woksela w trzech wymiarach.

'''Parametry nieobowiązkowe konstruktora:''' Bezwzględna wartość wektora magnetyzacji <math>M</math>, domyślna wartość to 1; kąt <math>\theta</math> odchylenia od pionu, domyślna wartość to 0; kąt <math>\phi</math> obrócenia wokół osi Z, domyślna wartość to 0. (czyli wektor magnetyzacji we współrzędnych sferycznych)

'''Pozostałe metody:'''
#Metoda bez parametrów zwracająca współrzędne magnetyzacji w układzie sferycznym <math>M, \theta, \phi</math>.
#Metoda bez parametrów zwracająca współrzędne magnetyzacji w układzie kartezjańskim, <math>M_x=M \cos \theta \cos \phi, M_y=M \cos \theta \sin \phi, M_z=M \sin \theta</math>.
#Metoda zwiększająca kąt <math>\theta</math> o wartość <math>\alpha</math> podaną jako parametr (w stopniach), jednocześnie ustawiająca kąt <math>\phi</math> na zero.
#Metoda zwiększająca kąt <math>\phi</math> o wartość podaną jako parametr.
#Metoda rysująca (wykorzystując cv2) na macierzy tła przekazanej jako parametr rzut wektora magnetyzacji (w żółtym kolorze) o współrzędnych <math>(M_x, M_z)</math>, przyjmując jako swój początek współrzędne na obrazie przekazane jako drugi parametr.
#Metoda magiczna, która pozwala wykonać polecenie m3=m1+m2, gdzie m1, m2 i m3 byłyby obiektami wektora magnetyzacji.
#Metoda magiczna pozwalająca wypisać w eleganckiej formie współrzędne wektora magnetyzacji poleceniem print(m), gdzie m jest obiektem wektora magnetyzacji.

'''Program:'''
*Stworzyć trzy obiekty zdefiniowanej klasy. Wyświetlić je obok siebie na wspólnym granatowym tle.
*W nieskończonej pętli obracać wektory magnetyzacji w każdym kroku o kąt 10 stopni - pierwszy, o kąt 11 stopni - drugi, o kąt 12 stopni - trzeci i po każdym obrocie wyświetlać na nowo. Przed kolejnym krokiem pętli odczekać 100 milisekund.
*Pod spodem powinien być wyświetlany wektor magnetyzacji będący sumą trzech poprzednich.
*Jeśli użytkownik naciśnie Escape, program powinien zakończyć działanie, zamykając wszystkie okna graficzne.
*Naciśnięcie "+" lub "-" powinno zwiększyć lub zmniejszyć kąt \theta o 10 stopni, synchronizując na nowo wektory do kąta \phi =0

TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Kolokwium2

2018-01-18T17:12:02Z

Jginter: Utworzono nową stronę "==Kolokwium 2== 19.01.2018 Zdefiniuj klasę opisującą opisującą wektor magnetyzacji woksela w trzech wymiarach. '''Parametry nieobowiązkowe konstruktora:''' Bezwz..."

==Kolokwium 2==
19.01.2018

Zdefiniuj klasę opisującą opisującą wektor magnetyzacji woksela w trzech wymiarach.

'''Parametry nieobowiązkowe konstruktora:''' Bezwzględna wartość wektora magnetyzacji <math>M</math>, domyślna wartość to 1; kąt <math>\theta</math> odchylenia od pionu, domyślna wartość to 0; kąt <math>\phi</math> obrócenia wokół osi Z, domyślna wartość to 0. (czyli wektor magnetyzacji we współrzędnych sferycznych)

'''Pozostałe metody:'''
#Metoda bez parametrów zwracająca współrzędne magnetyzacji w układzie sferycznym <math>M, \theta, \phi</math>.
#Metoda bez parametrów zwracająca współrzędne magnetyzacji w układzie kartezjańskim, <math>x=r \cos \theta \cos \phi, y=r \cos \theta \sin \phi, z=r \sin \theta</math>.
#Metoda zwiększająca kąt <math>\theta</math> o wartość <math>\alpha</math> podaną jako parametr (w stopniach), jednocześnie ustawiająca kąt <math>\phi</math> na zero.
#Metoda zwiększająca kąt <math>\phi</math> o wartość podaną jako parametr.
#Metoda rysująca (wykorzystując cv2) na macierzy tła przekazanej jako parametr rzut wektora magnetyzacji (w żółtym kolorze) o współrzędnych <math>(M_x, M_z)</math>, przyjmując jako swój początek współrzędne na obrazie przekazane jako drugi parametr.
#Metoda magiczna, która pozwala wykonać polecenie m3=m1+m2, gdzie m1, m2 i m3 byłyby obiektami wektora magnetyzacji.
#Metoda magiczna pozwalająca wypisać w eleganckiej formie współrzędne wektora magnetyzacji poleceniem print(m), gdzie m jest obiektem wektora magnetyzacji.

'''Program:'''
*Stworzyć trzy obiekty zdefiniowanej klasy. Narysować je obok siebie na granatowym tle.
*W nieskończonej pętli obracać je w każdym kroku o kąt 10 stopni - pierwszy, o kąt 11 stopni - drugi, o kąt 12 stopni - trzeci i po każdym obrocie wyświetlać na nowo.
*Pod nimi powinien być wyświetlany wektor magnetyzacji będący sumą trzech poprzednich.
*Jeśli użytkownik naciśnie Escape, program powinien zakończyć działanie, zamykając wszystkie okna graficzne.
*Naciśnięcie "+" lub "-" powinno zwiększyć lub zmniejszyć kąt \theta o 10 stopni, synchronizując na nowo wektory do kąta \phi =0

TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Ciekawe zadania

2018-01-18T15:34:15Z

Jginter: /* Zagadki */

==Ciekawe zadania==

powrót: [https://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php/%22Programowanie_dla_Fizyk%C3%B3w_Medycznych%22 Programowanie dla fizyków medycznych]

===Zadanie 1===
Masz dwa ciągi w formie list. Podciągiem nazwiemy dowolny podzbiór elementów wyjętych z ciągu, ułożonych w tej samej co wcześniej kolejności. Np.
* [1, 3, 5] jest podciągiem ciągu [0,1,2,3,4,5]
* [1, 2, 1] jest podciągiem ciągu [0,1,2,3,2,1,0].

Zadnie polega na znalezieniu najdłuższego wspólnego podciągu danych ciągów.

Powinna zostać zdefiniowana funkcja, która na wejściu dostaje po przecinkach jako parametry podane ciągi, a zwraca wartość int, odpowiadającą długości najdłuższego podciągu.

Zastanów się: Jaka jest złożoność zastosowanego przez Ciebie algorytmu? Jak można zadanie uprościć? Czy mogłyby się do czegoś przydać te ciągi posortowane?

[https://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php/%22Programowanie_dla_Fizyk%c3%b3w_Medycznych%22 Programowanie dla fizyków medycznych]

===Zadanie 2A===
Masz współrzędne trzech punktów A, B, C wyznaczających wierzchołki trójkąta oraz współrzędne punktu P. Zadanie polega na sprawdzeniu, czy punkt P znajduje się wewnątrz trójkąta (lub na jego krawędzi).

Powinna zostać zdefiniowana funkcja, która na wejściu dostaje cztery krotki (xA, yA), (xB, yB), (xC, yC), (xP, yP) i zwraca True, jeśli punkt P spełnia powyższy warunek.

Aby sprawdzić, czy zadanie dobrze zostało rozwiązane, zwizualizujmy je z pomocą biblioteki matplotlib.pyplot:

<source lang="python">
import matplotlib.pyplot as plt

Wierzcholki=[(1,2),(2,3),(4,2)] #lista wierzchołków trójkąta
P=(7,8) #współrzędne punktu do sprawdzenia

#rysowanie wierzchołków
#lista krotek zostaje zamieniona na dwie listy współrzędnych x i y: [1,2,4] i [2,3,2]
plt.plot([I[0] for I in Wierzcholki], [I[1] for I in Wierzcholki], "*k")

#rysowanie krawędzi
#do list współrzędnych dodano pierwszy punkt, żeby trójkąt się zamknął
plt.plot([I[0] for I in Wierzcholki]+[Wierzcholki[0][0]], [I[1] for I in Wierzcholki]+[Wierzcholki[0][1]], "-k")
plt.plot(P[0], P[1], "*r")

#ustawianie granic widocznej części obrazu
plt.xlim(0,10)
plt.ylim(0,10)

</source>

Podpowiedź:
Jeśli punkt P znajduje się wewnątrz trójkąta ABC, wówczas jeśli spróbujemy wyrazić wektor PC przez kombinację wektorów PA i PB: <math>\overrightarrow {PC}=a \overrightarrow {PA}+b \overrightarrow {PB}</math>, oba współczynniki a i b będą miały wartości ujemne.

Rozwiązanie:
<source lang="python">
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Fri Dec 15 14:44:34 2017

@author: jginter
"""

def czywewnatrz(A,B,C,P):
#zwraca 0 gdy P na zewnatrz trojkata,
#1 - wierzcholek, 2 - na krawedzi, 3 - wewnatrz
xA=A[0]-P[0]
yA=A[1]-P[1]
xB=B[0]-P[0]
yB=B[1]-P[1]
xC=C[0]-P[0]
yC=C[1]-P[1]
if xA==yA==0 or xB==yB==0 or xC==yC==0:
return 1
AB=xA*yB-yA*xB
AC=xA*yC-yA*xC
BC=xB*yC-yB*xC
if AB==0:
if xA*xB<0 or yA*yB<0:
return 2
else:
return 0
if AC==0:
if xA*xC<0 or yA*yC<0:
return 2
else:
return 0
if BC==0:
if xB*xC<0 or yB*yC<0:
return 2
else:
return 0
if AB*BC>0 and AB*AC<0:
return 3
return 0

#Sprawdzenie poprawnosci dzialania
A=[0,0]
B=[0,10]
C=[10,0]
P1=[0,5]
P2=[0,15]
P3=[1,1]
P4=[10,10]
print (czywewnatrz(A,B,C,P1))
print (czywewnatrz(A,B,C,P2))
print (czywewnatrz(A,B,C,P3))
print (czywewnatrz(A,B,C,P4))

</source>

===Zadanie 2B===
Masz zbiór punktów, z których część wyznacza krawędzie wypukłego wielokąta, a pozostałe znajdują się wewnątrz wielokąta. Sprawdź które to punkty.

Powinna zostać zdefiniowana funkcja, która na wejściu otrzyma listę krotek wyznaczających punkty [(xA, yA), ...], a na wyjściu zwraca listę krotek wyznaczających tylko punkty wyznaczające krawędzie zewnętrznego wypukłego wielokąta.

Działanie programu powinno zostać zwizualizowane - najpierw stan wejściowy, potem stan wyjściowy.

===Zadanie 2C===
Zbiór punktów stanowiących wierzchołki wielokąta otrzymany w zadaniu 2B przerobić na zbiór trójkątów w taki sposób, by ich krawędzie się nie przecinały.

Powinna zostać zdefiniowana funkcja, która na wejściu ma listę współrzędnych wierzchołków [(xA, yA), ...], a na wyjściu listę trójek współrzędnych [((xA, yA), (xB, yB), (xC, yC)), ...]

Podpowiedź: Wielokąt wypukły może być zbudowany z wielu trójkątów mających jeden wierzchołek wspólny.

===Zadanie 3===
Masz układ n równań liniowych. Rozwiąż go, eliminując kolejne zmienne przez mnożenie stronami i odejmowanie stronami równań.

<math> \\
ax+by=c \ |\cdot d \\
dx+ey=f \ |\cdot a \\
\\
adx+bdy=cd \\
adx+eay=fa \\
- \\
(bd-ea)y=cd-fa \\
y=\frac {cd-fa}{bd-ea}
</math>

Na wejściu funkcji rozwiązującej układ równań powinna znaleźć się lista list reprezentujących współczynniki w kolejnych równaniach, np. [[1,2,3],[2,3,4]].

Przydatna będzie druga funkcja, która będzie dostawała na wejściu współczynniki układu n równań, a na wyjściu będzie zwracała współczynniki układu n-1 równań, nie zawierające pierwszej zmiennej.

===Zagadki===
Jak tworzyć łatwo wieloelementowe listy? Na co uważać? Wyjaśnij działanie poniższego kodu:
<source lang="python">
l1=[0]*10
l1[3]+=1
print('l1:\n',l1)
l2=[[0]]*10
l2[3].append(1)
print('l2:\n',l2)
l3=[[0] for x in range(10)]
l3[3].append(1)
print('l3:\n',l3)
l4=[x for x in range(10)]
print('l4:\n',l4)
</source>

Jak posortować listę w taki sposób, by nie stracić informacji o pierwotnych indeksach?
<source lang="python">
l1=list('Ala ma kota')
print('l1:\n',l1)
l2=sorted(l1)
print('l2:\n',l2)
l3=list(enumerate(l1))
print('l3:\n',l3)
l4=sorted(l3, key=lambda x: x[1])
print('l4:\n',l4)
</source>

Jak wypisać wszystkie możliwe podciągi ciągu zapisanego w postaci listy?
<source lang="python">
l1=list(bin(5))[2:]
print('l1:\n',l1)
l2=['0']*3+l1
print('l2:\n',l2)
l3=list('{:0>6}'.format(bin(5)[2:]))
print('l3:\n',l3)

ciag=[5,10,15]
print('ciag:\n',ciag)
print('podciagi:')
for i in range(2**len(ciag)):
b=list(bin(i)[2:])
l4=['0']*(len(ciag)-len(b))+b
podciag=[ciag[x] for x in range(len(ciag)) if l4[x]=='1']
print (podciag)
</source>

==Zadania do drugiego kolokwium==
Zadania, które wspólnie rozwiązaliśmy na zajęciach:
===Zadanie 1===
Zdefiniuj klasę opisującą wielokąt foremny.

Parametry wejściowe konstruktora obowiązkowe: ilość boków, promień okręgu opisanego na wielokącie.

Metody:

Liniowe powiększenie wielokąta k procent razy.

Narysowanie wielokąta na macierzy obrazu przekazanej jako obowiązkowy parametr, tak by środek wielokąta znajdował się w punkcie przekazanym jako krotka w drugim, nieobowiązkowym parametrze metody. Domyślne położenie środka wielokąta powinno znajdować się na środku obrazu.

Obrót wielokąta o zadany kąt, przekazany jako parametr.

Program:

Wyświetl parę przykładowych wielokątów będących obiektami utworzonej klasy na żółtym tle, wykorzystując moduł cv2.
<source lang='python'>
"""
Created on Thu Jan 18 13:39:01 2018
@author: wszyscy
"""
import cv2
import numpy as np

class wielokat(object):

def __init__(self, n, r):
self.kat=0
self.n=n
self.r=float(r)

def powiekszenie(self, k):
self.r=self.r*k/100

def rysuj(self, img, s=(-1,-1)):
if s ==(-1,-1):
rozmiar=np.shape(img)
s=(rozmiar[1]/2,rozmiar[0]/2)
for a in range(self.n):
x=self.r*np.cos(2*np.pi/self.n*a+self.kat)+s[0]
y=self.r*np.sin(2*np.pi/self.n*a+self.kat)+s[1]
x2=self.r*np.cos(2*np.pi/self.n*(a+1)+self.kat)+s[0]
y2=self.r*np.sin(2*np.pi/self.n*(a+1)+self.kat)+s[1]
cv2.line(img, (int(x),int(y)),(int(x2),int(y2)), (0,0,1), 1)

def obrot(self, kat):
self.kat+=kat*np.pi/180

try:
pieciokat=wielokat(n=5,r=50)
szeciokat=wielokat(6,50)
img=np.zeros([500,500, 3])+(0,255,255)
pieciokat.rysuj(img)
szeciokat.rysuj(img, (50,50))
pieciokat.obrot(20)
pieciokat.rysuj(img)
cv2.imshow("img", img)
cv2.waitKey(0)

finally:
cv2.destroyAllWindows()
</source>

===Zadanie 2===
Zdefiniuj klasę opisującą planowane wydatki na najbliższy miesiąc. Każdy wydatek będzie opisywany przez parę: opis wydatku oraz jego wartość.

Parametry wejściowe konstruktora: brak.

Metody:

Dodanie nowego wydatku do budżetu. Parametry obowiązkowe: opis wydatku oraz jego wartość. Jeśli już wcześniej było podane pole o identycznym opisie, jego wartość powinna zostać podmieniona przez nową.

Posortowanie w sposób opisany za pomocą obowiązkowego parametru: alfabetycznie po opisach lub według wartości. Domyślnie sortowanie jest rosnące, chyba że w nieobowiązkowym parametrze zostanie wskazane inaczej.

Zwrot słownika utworzonego z pól budżetu, gdzie kluczami są opisy, a wartościami wielkości wydatków.

Zwrot listy wartosci wydatkow, których opisy zawierają w sobie string przekazany jako nieobowiązkowy parametr metody. Brak parametru oznaczał będzie listy wszystkich wartości wydatków.

Magiczna metoda __str__ wykorzystywana przez funkcję print elegancko wypisująca budżet w kolejności dopisywania lub uwzględniającej ewentualne wcześniejsze posortowanie.

Magiczna metoda __add__ dająca w wyniku budżet utworzony z dwóch innych budżetów. Jeśli opisy wydatku w dwóch budżetach są identyczne, w wyniku powinien znaleźć się tylko jeden wydatek o sumarycznej wartości.

<source lang='python'>
"""
Created on Thu Jan 18 14:42:51 2018
@author: wszyscy
"""

class wydatki(object):
def __init__(self):
self.l=[]

def dodaj(self,opis,wartosc):
for i in range(len(self.l)):
if opis==self.l[i][0]:
self.l[i][1]=wartosc
return
self.l.append([opis,wartosc])

def sortuj(self,sposob,s=0):
'''a - alfabetycznie,w - wartosc
0 - rosnacy, 1 - malejacy'''
if sposob=='a':
self.l=sorted(self.l,reverse=s)
elif sposob=='w':
self.l=sorted(self.l,key = lambda x:x[1],reverse=s)

def slownik(self):
return dict(self.l)

def lista(self,s=''):
l1=[x[1] for x in self.l if s in x[0]]
l2=[]
for x in self.l:
if s in x[0]:
l2.append(x[1])
return l1

def __str__(self):
s=''
for i in self.l:
s+=i[0]+': '+str(i[1])+'\n'
return s

def __add__(self,w):
suma=wydatki()
for i in self.l:
suma.dodaj(i[0],i[1])
for j in w.l:
k=True
for x in suma.l:
if j[0] == x[0]:
x[1]+=j[1]
k=False
if k:
suma.dodaj(j[0],j[1])
return suma

budzet=wydatki()
budzet1=wydatki()
budzet.dodaj('praca',100)
budzet.dodaj('praca1',200)
budzet.dodaj('praca1',300)
budzet1.dodaj('praca2',100)
budzet1.dodaj('praca1',200)
budzet3=(budzet+budzet1)
</source>

"Programowanie dla Fizyków Medycznych"/DICOM

2018-01-15T10:19:12Z

Jginter: /* Zadanie 3 */

powrót: [https://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php/%22Programowanie_dla_Fizyk%C3%B3w_Medycznych%22 Programowanie dla fizyków medycznych]

==Struktura plików DICOM==

Prace nad ustandaryzowaniem wymiany danych graficznych pomiędzy urządzeniami medycznymi rozpoczęły się już w 1983 w ramach współpracy American College of Radiology (ACR) i National Electrical Manufactures Association (NEMA). Pierwsza wersja standardu pojawiła się dwa lata później i nosiła nazwę ACR/NEMA 300 V1.0. Wersja ta umożliwiała zapis danych w odpowiednim formacie oraz ujednolicony sposób transferu plików za pomocą sieci lub nośników zewnętrznych. W 1988 roku pojawiła się druga wersja standardu ACR/NEMA V2.0, która opierała się na ujednoliconej terminologii, strukturze informacji odpowiednim kodowaniu danych. Wraz z rozwijaniem standardów pojawiały się nowe zapotrzebowania. Ostatni oficjalna wersja to DICOM 3.0 (Digital Imaging and COmmunications in Medicine) z 1992. Standard ten jest w dalszym ciągu uaktualniany.

===Dokumentacja===

Standard DICOM jest zorganizowany w postaci wieloczęściowego dokumentu (Rys. <xr id="uid2"> %i</xr>) i uaktualniany corocznie w postaci Suplementów.

Obejrzyj stronę domową standardu DICOM: http://dicom.nema.org/, w szczególności: Strategic Document & Principal Contacts

Poszczególne dokumenty są poświęcone strukturze danych, sposobom kodowania, archiwizacji, wymiany informacji oraz aspektom bezpieczeństwa danych. Na zajęciach skupimy się na następujących częściach dokumentacji:

<ul>

<li>
PS 3.1: Introduction and Overview – wprowadzenie oraz informacje podstawowe na temat standardu

<li>
PS 3.2: Conformance – definicje podstawowych zasad oraz pojęć

<li>
PS 3.3: Information Object Definitions – definicje atrybutów czyli informatyczna reprezentacja fizycznych danych

<li>
PS 3.4: Service Class Specifications – obsługa informatycznych reprezentacji danych

<li>
PS 3.5: Data Structure and Encoding – struktura danych oraz sposób ich kodowania

<li>
PS 3.6: Data Dictionary – spis wszystkich możliwych atrybutów

[[File:dok.png|500px|thumb|center|<figure id="uid2" />Dokumentacja standardu DICOM.]]

</ul>

===DICOM-Meta-Information-Header===

Dane zawarte w każdym pliku DICOM podzielone są na dwie części:

<ul>

<li>
część zawierającą informacje o pliku (Dicom-Meta-Information-Header)

<li>
dane jednego obiektu Service-Object Pair Instance (Dicom-Data-Set)

</ul>

Model informacji określa format danych dla różnych typów informacji, takich jak: obrazy, przebiegi czasowe, obiekty graficzne, raporty, wydruki itp.
Dane są grupowane w tematycznych zbiorach (ang. Entities) oraz podzbiorach (ang. Modules). Każdy moduł tworzony jest przez zbiór atrybutów.

<ol>

<li>
podstawowa jednostka danych: Data Element

<li>
strumień informacji: Data Set

</ol>

Data Element stanowi podstawową jednostkę danych, opisywany jest przy pomocy:

<ul>

<li>
identyfikatora elementu danych (Tag) złożonego z dwóch liczb określających: grupę (Group) oraz element grupy (Element), zapisywanych w postaci liczb heksadecymalnych,

<li>
typu danych (Value Representation), określonego w postaci pary liter w kodzie ASCII i umożliwiającego poprawną interpretację danych,

<li>
rozmiaru elementu (Value Length) wyrażonego w bajtach,

<li>
informacji takich jak: nazwisko pacjenta, rozdzielczość obrazu

</ul>

Strumień informacyjny (Data Set) jest uporządkowanym strumieniem elementów danych.

[[File:przyklad1b.png|500px|thumb|center|<figure id="uid18" />Struktura Data Element.]]

Zadanie 1. Na stronie http://northstar-www.dartmouth.edu/doc/idl/html_6.2/DICOM_Attributes.html można znaleźć wygodny opis możliwych pól i odpowiadających im reprezentacji danych. Na tej podstawie znajdź wyjaśnienie następujących oznaczeń:

<ul>

<li>
(0008,0020): 20120510

<li>
(0008,0030): 101714

<li>
(0008,0060): MG

<li>
(0008,0070): SIEMENS

<li>
(0008,0080): Ovarian Screening, St Barts

<li>
(0010,0010): xxx

<li>
(0010,0040): 0

</ul>

Rozwiązanie:

<ul>

<li>
(0008,0020): 20120510 - Study Date

<li>
(0008,0030): 101714 - Study Time

<li>
(0008,0060): MG - Modality

<li>
(0008,0070): SIEMENS - Manufacturer

<li>
(0008,0080): Ovarian Screening, St Barts - Institution Name

<li>
(0010,0010): xxx - Patient's Name

<li>
(0010,0040): 0 - Patient's Sex

</ul>

Zadanie 2. 56-letnia Janina Kowalska zgłosiła się do Centrum Onkologii z podejrzeniem nowotworu mózgu. 15 lutego 2013 roku zostało wykonanie badanie za pomocą pozytonowej tomografii emisyjnej wykonane na tomografie firmy GE. W czasie badania pacjentka leżała na prawym boku. Za pomocą odpowiednich atrybutów zapisz te informacje w formie pliku DICOM.

Rozwiązanie:

<ul>

<li>
(0010,0010): Kowalska Janina

<li>
(0010,0040): F

<li>
(0010,1010): 56

<li>
(0008,0080): Centrum Onkologii

<li>
(0008,0020): 20130215

<li>
(0008,0060): PT

<li>
(0008,0070): GE

<li>
(0018,5100): HFDR

</ul>

==Biblioteka PyDICOM==
Do obsługi: wczytywania, zmieniania, zapisywania informacji w nagłówku, jak również do pobrania pliku graficznego służy biblioteka pydicom.

Wczytaj plik w formacie DICOM, zawierający skan MRI wraz z informacjami na temat pacjenta i badania. Powstanie w ten sposób obiekt '''dataset''' typu '''pydicom.dataset.FileDataset'''.
<source lang='python'>
import pydicom as dcm
filename="C:/Users/user/Documents/z_programowanie/DICOM/LADJAN_MRI/localizer - 1/IM-0001-0001.dcm"
dataset = dcm.read_file(filename)
print(dataset)
</source>

Obiekt '''dataset''' ma strukturę trochę podobną do słownika. Składa się z elementów typu '''pydicom.dataelem.DataElement'''. Do elementów można się dostać na różne sposoby: korzystając z nazwy elementu, korzystając z numeru (a ściślej krotki z dwóch numerów wypisywanych zwykle w systemie szesnastkowym).
<source lang = 'python'>
print(dataset.StudyDate)
print(dataset[(0x8, 0x20)])
element=dataset.data_element('StudyDate')
print(element.value)
</source>

Aby dowiedzieć się, jakie elementy wchodzą w skład danego pliku dicomowskiego, można użyć metody '''dir'''. Jeśli jako argument poda się string, zostanie wypisana lista tylko tych nazw elementów, które zawierają ten string.
<source lang='python'>
lista1= dataset.dir('pat')
print lista1
for de in lista1:
print(dataset.data_element(de))
</source>

Dane o pacjencie mogę pozmieniać lub usunąć.

<source lang='python'>
dataset.StudeDate='20180111' #dzisiejsza data
lista2 = ['PatientAge',
'PatientBirthDate',
'PatientID',
'PatientName',
'PatientPosition',
'PatientSex',
'PatientWeight']
for de in lista2:
if type(dataset.data_element(de).value)==str:
dataset.data_element(de).value='nic'
if 'float' in str(type(dataset.data_element(de).value)):
dataset.data_element(de).value=0
</source>

Zmienioną wersję mogę też zapisać (tylko lepiej pod inną nazwą)
<source lang='python'>
dataset.save_as('zmieniony.dcm')
</source>

===Zadanie 1===
Napisz skrypt, który otworzy wszystkie pliki z rozszerzeniem dcm, jakie są w katalogu i usunie z nich informacje osobiste.

===Zadanie 2===
Zaimportujmy też cv2 i numpy, aby wyświetlić zawartość obrazu.

<source lang='python'>
import cv2
import numpy as np

img=dataset.pixel_array
cv2.imshow('obraz', img)
</source>

Zadanie polega na tym, aby za pomocą klawiszy zmieniać jasność wyświetlanego obrazu.

==Operacje na obrazie==
Przyjmijmy, że wartości pikseli będziemy mnożyć przez funkcję sigmoidalną:
<math> f(x)=\frac a {(1+e^{-b(x-c)})} </math>. Parametr '''a''' powinien być równy maksymalnej możliwej wartości piksela, a więc 255 dla obrazów 8-bitowych i 256*256-1=65535 dla obrazów 16-bitowych. Parametr '''c''' powinien zawierać się w granicach między 0 i a.

Oprócz tego możemy dokonać innych operacji. Jedną z nich jest progowanie, czyli wyświetlanie jako białych punktów o wartości powyżej progu i jako czarnych wartości poniżej progu. W tym wypadku mielibyśmy tylko jeden parametr (odpowiednik '''c''' z funkcji sigmoidalnej).

Inna operacja to mnożenie wartości przez funkcję liniową <math> f(x)=ax+b </math>, dbając o to, by wartości ujemne zostały wyzerowane, a wartości zbyt duże by przyjęły wartość maksymalną. Można do tego napisać własną osobną funkcję, lub wykorzystać funkcję '''np.where'''.

Do zmieniania wartości parametrów wykorzystamy suwaki, jakie można utworzyć w okienku obrazu opencv. Metody '''cv2.createTrackbar''' oraz '''cv2.getTrackbarPos''' pozwolą suwak utworzyć i sprawdzić jego pozycję.

<source lang='python'>
import cv2
import numpy as np

def nothing (x):
pass

img=np.zeros([100, 200], dtype='uint8')

try:
#cv2.namedWindow('suwaczki')
cv2.imshow('suwaczki', img)
cv2.createTrackbar('b','suwaczki',0,255,nothing)

k=-1
while k!=27:
k=cv2.waitKey(0)
b=cv2.getTrackbarPos('b','suwaczki')
print(b)
finally:
cv2.destroyAllWindows()
</source>

==Zadanie 3==
Napisz klasę, która pomoże w manipulacji jasnością i kontrastem obrazu. Powinna mieć następujące własności:
# Przy tworzeniu obiekt powinien dostać przekazaną jako parametr macierz obrazu i ją zapamiętać
# Powinien mieć metody do pokazania i ukrycia osobnego okienka zawierającego suwaki odpowiednie do wybranej metody
# Powinien mieć metodę zwracającą macierz obrazu z dokonanymi na niej operacjami
Główny program powinien wyświetlać obraz, utworzyć dla niego obiekt do operacji i wywoływać odpowiednio jego metody zależnie od klawiszy naciśniętych przez użytkownika.

Poniżej znajdziesz rozwiązanie powyższego zadania. Skopiuj ten skrypt i uruchom na swoim komputerze. Przeanalizuj działanie programu i przenieś znajdujące się na dole komentarze ponad odpowiednie linijki kodu.

Zwróć uwagę, że wewnątrz definicji klasy '''suwaki''', niektóre metody mają jako pierwszy parametr przekazany obiekt '''self''', a niektóre nie. Jaki sens może mieć takie rozróżnienie? Jak należy odwoływać się do jednych metod, a jak do drugich? Czy potrafisz pokazać przykłady metod obu typów w module '''numpy'''?

<source lang='python'>
import pydicom as dcm
import numpy as np
import cv2

class suwaki (object):
def __init__(self, img, maks=255):
self.img=1.0*(img-np.min(img))*maks/(np.max(img)-np.min(img))
self.dtype=img.dtype
self.maks=maks
self.widac=''

def nothing (x):
pass

def lin(arr, a, b, maks=255):
arr1=arr*a+b
arr1=np.where(arr1<0, 0, arr1)
arr1=np.where(arr1>maks, maks, arr1)
return arr1

def sig(arr, b, c, maks=255):
arr1=arr-c
arr1=0.5*(b*arr1/np.sqrt(1+(b*arr1)**2)+1)*maks
return arr1

def pokaz_suw_sig(self):
self.ukryj_suw()
q=np.zeros([50, 200])
cv2.imshow('sigmoida', q)
self.widac='sigmoida'
cv2.createTrackbar('b', 'sigmoida', 10, 20, suwaki.nothing)
cv2.createTrackbar('c', 'sigmoida', 128, 255, suwaki.nothing)

def pokaz_suw_lin(self):
self.ukryj_suw()
q=np.zeros([50, 200])
cv2.imshow('liniowy', q)
self.widac='liniowy'
cv2.createTrackbar('a', 'liniowy', 10, 20, suwaki.nothing)
cv2.createTrackbar('x0', 'liniowy', 128, 255, suwaki.nothing)

def aktualizuj_wykres(self):
if self.widac=='sigmoida':
b=2.0**(cv2.getTrackbarPos('b','sigmoida')-10)*255/100
c=1.0*cv2.getTrackbarPos('c', 'sigmoida')*100/255
x=np.arange(0,100)
y=suwaki.sig(x,b,c,100)/5
q=np.zeros([50, 200])
q[45-y.astype(int), 50+x]=255
cv2.imshow('sigmoida', q)
elif self.widac=='liniowy':
a=2.0**(cv2.getTrackbarPos('a','liniowy')-10)
b=100/2-a*cv2.getTrackbarPos('x0', 'liniowy')*100/255
x=np.arange(0,100)
y=suwaki.lin(x,a,b,100)/5
q=np.zeros([50, 200])
q[45-y.astype(int), 50+x]=255
cv2.imshow('liniowy', q)

def ukryj_suw(self):
if self.widac!='':
cv2.destroyWindow(self.widac)
self.widac=''

def wynik(self):
if self.widac=='sigmoida':
b=2.0**(cv2.getTrackbarPos('b','sigmoida')-10)*255/self.maks
c=1.0*cv2.getTrackbarPos('c', 'sigmoida')*self.maks/255
return np.array(suwaki.sig(self.img, b, c, self.maks), dtype=self.dtype)
elif self.widac=='liniowy':
a=2.0**(cv2.getTrackbarPos('a','liniowy')-10)
b=self.maks/2-a*cv2.getTrackbarPos('x0', 'liniowy')*self.maks/255
return np.array(suwaki.lin(self.img, a, b, self.maks), dtype=self.dtype)
else:
return np.array(self.img, dtype=self.dtype)

try:
filename="C:/Users/user/Documents/z_programowanie/DICOM/LADJAN_MRI/localizer - 1/IM-0001-0001.dcm"
dataset = dcm.read_file(filename)
arr=dataset.pixel_array
if 'BitsAllocated' in dataset.dir():
maks=2**dataset.BitsAllocated-1
elif arr.dtype==np.dtype('uint16'):
maks=256*256-1
elif arr.dtype==np.dtype('uint8'):
maks=255
else:
print('nie wiem, jaki maks')
exit()
suw=suwaki(arr, maks=maks)
k=-1
while True:
k=cv2.waitKey(100)
if k==ord('s'):
suw.pokaz_suw_sig()
elif k==ord('l'):
suw.pokaz_suw_lin()
elif k==32:
suw.ukryj_suw()
elif k==27:
break
cv2.imshow('obraz', suw.wynik())
suw.aktualizuj_wykres()

finally:
cv2.destroyAllWindows()

#zapamietanie macierzy obrazu jako wartosci zmiennoprzecinkowych, znormalizowanej tak, by najmniejsza wartosc byla 0, a najwieksza maks
#zapamietanie typu wartosci macierzy obrazu
#zapamietanie maksymalnej dopuszczalnej wartosci dla macierzy wejsciowej
#self.widac bedzie pokazywac, czy i jaki suwak jest teraz wudoczny
#funkcja wywolywana automatycznie gdy uzytkownik zmieni pozycje jakiegos suwaka, nie robiaca nic
#funkcja stosujaca przeksztalcenie liniowe do macierzy obrazu
#liniowe przeksztalcenie macierzy
#ustawienie na 0 elementow macierzy mniejszych od 0
#przypisanie maksymalnej dozwolonej warosci elementom macierzy wiekszym od maks
#funkcja stosujaca przeksztalcenie sigmoidalne do macierzy obrazu
#zastosowanie do macierzy obrazu funkcji sigmoidalnej f(x)=0.5*( b(x-c)/sqrt(1+(b*(x-c))**2) +1 )
#jesli inne suwaki byly widoczne, to je ukryj
#pokaz obrazek stanowiacy tlo dla suwakow
#utworz suwaki parametrow sigmoidy
#jesli inne suwaki byly widoczne, to je ukryj
#pokaz obrazek stanowiacy tlo dla suwakow
#utworz suwaki parametrow przeksztalcenia liniowego
#metoda wyswietlajaca ksztalt funkcji opisujacej stosowane przeksztalcenie
#metoda ukrywajaca suwak
#metoda zwracajaca przeksztalcona macierz obrazu, gotowa do wyswietlenia
#pobierz z suwakow parametry do przeksztalcenia sigmoidalnego
#zwroc przeksztalcona macierz w formacie identycznym do macierzy wejsciowej
#pobierz z suwakow parametry do przeksztalcenia liniowego
#zwroc przeksztalcona macierz w formacie identycznym do macierzy wejsciowej
#zwroc macierz obrazu tylko znormalizowana, w formacie identycznym z wejsciowym
#wczytaj plik w formacie dicom do obiektu dataset
#pobierz z obiektu dataset macierz obrazu
#ustal maksymalna wartosc dozwolona w macierzy obrazu na podstawie ilosci bitow przeznaczonych na kazdy piksel
#utworz obiekt klasy suwaki
#k<0 oznacza, ze nic nie zostalo wcisniete
#odczekanie 100 ms na wcisniecie klawisza
#wcisniecie s wywoluje metode pokazujaca suwaki parametrow sigmoidy
#wcisniecie l wywoluje metode pokazujaca suwaki parametrow przeksztalcenia liniowego
#wcisniecie spacji ukrywa suwaki
#wcisniecie escape konczy wykonywanie petli
#wyswietl obraz po odpowiednich przeksztalceniach
#aktualizuj wykres funckji opisujacej stosowane przeksztalcenie
#niezaleznie od wczesniej spotkanych bledow, zamknij wszystkie okna graficzne
</source>

"Programowanie dla Fizyków Medycznych"/DICOM

2018-01-15T10:15:31Z

Jginter: /* Zadanie 3 */

powrót: [https://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php/%22Programowanie_dla_Fizyk%C3%B3w_Medycznych%22 Programowanie dla fizyków medycznych]

==Struktura plików DICOM==

Prace nad ustandaryzowaniem wymiany danych graficznych pomiędzy urządzeniami medycznymi rozpoczęły się już w 1983 w ramach współpracy American College of Radiology (ACR) i National Electrical Manufactures Association (NEMA). Pierwsza wersja standardu pojawiła się dwa lata później i nosiła nazwę ACR/NEMA 300 V1.0. Wersja ta umożliwiała zapis danych w odpowiednim formacie oraz ujednolicony sposób transferu plików za pomocą sieci lub nośników zewnętrznych. W 1988 roku pojawiła się druga wersja standardu ACR/NEMA V2.0, która opierała się na ujednoliconej terminologii, strukturze informacji odpowiednim kodowaniu danych. Wraz z rozwijaniem standardów pojawiały się nowe zapotrzebowania. Ostatni oficjalna wersja to DICOM 3.0 (Digital Imaging and COmmunications in Medicine) z 1992. Standard ten jest w dalszym ciągu uaktualniany.

===Dokumentacja===

Standard DICOM jest zorganizowany w postaci wieloczęściowego dokumentu (Rys. <xr id="uid2"> %i</xr>) i uaktualniany corocznie w postaci Suplementów.

Obejrzyj stronę domową standardu DICOM: http://dicom.nema.org/, w szczególności: Strategic Document & Principal Contacts

Poszczególne dokumenty są poświęcone strukturze danych, sposobom kodowania, archiwizacji, wymiany informacji oraz aspektom bezpieczeństwa danych. Na zajęciach skupimy się na następujących częściach dokumentacji:

<ul>

<li>
PS 3.1: Introduction and Overview – wprowadzenie oraz informacje podstawowe na temat standardu

<li>
PS 3.2: Conformance – definicje podstawowych zasad oraz pojęć

<li>
PS 3.3: Information Object Definitions – definicje atrybutów czyli informatyczna reprezentacja fizycznych danych

<li>
PS 3.4: Service Class Specifications – obsługa informatycznych reprezentacji danych

<li>
PS 3.5: Data Structure and Encoding – struktura danych oraz sposób ich kodowania

<li>
PS 3.6: Data Dictionary – spis wszystkich możliwych atrybutów

[[File:dok.png|500px|thumb|center|<figure id="uid2" />Dokumentacja standardu DICOM.]]

</ul>

===DICOM-Meta-Information-Header===

Dane zawarte w każdym pliku DICOM podzielone są na dwie części:

<ul>

<li>
część zawierającą informacje o pliku (Dicom-Meta-Information-Header)

<li>
dane jednego obiektu Service-Object Pair Instance (Dicom-Data-Set)

</ul>

Model informacji określa format danych dla różnych typów informacji, takich jak: obrazy, przebiegi czasowe, obiekty graficzne, raporty, wydruki itp.
Dane są grupowane w tematycznych zbiorach (ang. Entities) oraz podzbiorach (ang. Modules). Każdy moduł tworzony jest przez zbiór atrybutów.

<ol>

<li>
podstawowa jednostka danych: Data Element

<li>
strumień informacji: Data Set

</ol>

Data Element stanowi podstawową jednostkę danych, opisywany jest przy pomocy:

<ul>

<li>
identyfikatora elementu danych (Tag) złożonego z dwóch liczb określających: grupę (Group) oraz element grupy (Element), zapisywanych w postaci liczb heksadecymalnych,

<li>
typu danych (Value Representation), określonego w postaci pary liter w kodzie ASCII i umożliwiającego poprawną interpretację danych,

<li>
rozmiaru elementu (Value Length) wyrażonego w bajtach,

<li>
informacji takich jak: nazwisko pacjenta, rozdzielczość obrazu

</ul>

Strumień informacyjny (Data Set) jest uporządkowanym strumieniem elementów danych.

[[File:przyklad1b.png|500px|thumb|center|<figure id="uid18" />Struktura Data Element.]]

Zadanie 1. Na stronie http://northstar-www.dartmouth.edu/doc/idl/html_6.2/DICOM_Attributes.html można znaleźć wygodny opis możliwych pól i odpowiadających im reprezentacji danych. Na tej podstawie znajdź wyjaśnienie następujących oznaczeń:

<ul>

<li>
(0008,0020): 20120510

<li>
(0008,0030): 101714

<li>
(0008,0060): MG

<li>
(0008,0070): SIEMENS

<li>
(0008,0080): Ovarian Screening, St Barts

<li>
(0010,0010): xxx

<li>
(0010,0040): 0

</ul>

Rozwiązanie:

<ul>

<li>
(0008,0020): 20120510 - Study Date

<li>
(0008,0030): 101714 - Study Time

<li>
(0008,0060): MG - Modality

<li>
(0008,0070): SIEMENS - Manufacturer

<li>
(0008,0080): Ovarian Screening, St Barts - Institution Name

<li>
(0010,0010): xxx - Patient's Name

<li>
(0010,0040): 0 - Patient's Sex

</ul>

Zadanie 2. 56-letnia Janina Kowalska zgłosiła się do Centrum Onkologii z podejrzeniem nowotworu mózgu. 15 lutego 2013 roku zostało wykonanie badanie za pomocą pozytonowej tomografii emisyjnej wykonane na tomografie firmy GE. W czasie badania pacjentka leżała na prawym boku. Za pomocą odpowiednich atrybutów zapisz te informacje w formie pliku DICOM.

Rozwiązanie:

<ul>

<li>
(0010,0010): Kowalska Janina

<li>
(0010,0040): F

<li>
(0010,1010): 56

<li>
(0008,0080): Centrum Onkologii

<li>
(0008,0020): 20130215

<li>
(0008,0060): PT

<li>
(0008,0070): GE

<li>
(0018,5100): HFDR

</ul>

==Biblioteka PyDICOM==
Do obsługi: wczytywania, zmieniania, zapisywania informacji w nagłówku, jak również do pobrania pliku graficznego służy biblioteka pydicom.

Wczytaj plik w formacie DICOM, zawierający skan MRI wraz z informacjami na temat pacjenta i badania. Powstanie w ten sposób obiekt '''dataset''' typu '''pydicom.dataset.FileDataset'''.
<source lang='python'>
import pydicom as dcm
filename="C:/Users/user/Documents/z_programowanie/DICOM/LADJAN_MRI/localizer - 1/IM-0001-0001.dcm"
dataset = dcm.read_file(filename)
print(dataset)
</source>

Obiekt '''dataset''' ma strukturę trochę podobną do słownika. Składa się z elementów typu '''pydicom.dataelem.DataElement'''. Do elementów można się dostać na różne sposoby: korzystając z nazwy elementu, korzystając z numeru (a ściślej krotki z dwóch numerów wypisywanych zwykle w systemie szesnastkowym).
<source lang = 'python'>
print(dataset.StudyDate)
print(dataset[(0x8, 0x20)])
element=dataset.data_element('StudyDate')
print(element.value)
</source>

Aby dowiedzieć się, jakie elementy wchodzą w skład danego pliku dicomowskiego, można użyć metody '''dir'''. Jeśli jako argument poda się string, zostanie wypisana lista tylko tych nazw elementów, które zawierają ten string.
<source lang='python'>
lista1= dataset.dir('pat')
print lista1
for de in lista1:
print(dataset.data_element(de))
</source>

Dane o pacjencie mogę pozmieniać lub usunąć.

<source lang='python'>
dataset.StudeDate='20180111' #dzisiejsza data
lista2 = ['PatientAge',
'PatientBirthDate',
'PatientID',
'PatientName',
'PatientPosition',
'PatientSex',
'PatientWeight']
for de in lista2:
if type(dataset.data_element(de).value)==str:
dataset.data_element(de).value='nic'
if 'float' in str(type(dataset.data_element(de).value)):
dataset.data_element(de).value=0
</source>

Zmienioną wersję mogę też zapisać (tylko lepiej pod inną nazwą)
<source lang='python'>
dataset.save_as('zmieniony.dcm')
</source>

===Zadanie 1===
Napisz skrypt, który otworzy wszystkie pliki z rozszerzeniem dcm, jakie są w katalogu i usunie z nich informacje osobiste.

===Zadanie 2===
Zaimportujmy też cv2 i numpy, aby wyświetlić zawartość obrazu.

<source lang='python'>
import cv2
import numpy as np

img=dataset.pixel_array
cv2.imshow('obraz', img)
</source>

Zadanie polega na tym, aby za pomocą klawiszy zmieniać jasność wyświetlanego obrazu.

==Operacje na obrazie==
Przyjmijmy, że wartości pikseli będziemy mnożyć przez funkcję sigmoidalną:
<math> f(x)=\frac a {(1+e^{-b(x-c)})} </math>. Parametr '''a''' powinien być równy maksymalnej możliwej wartości piksela, a więc 255 dla obrazów 8-bitowych i 256*256-1=65535 dla obrazów 16-bitowych. Parametr '''c''' powinien zawierać się w granicach między 0 i a.

Oprócz tego możemy dokonać innych operacji. Jedną z nich jest progowanie, czyli wyświetlanie jako białych punktów o wartości powyżej progu i jako czarnych wartości poniżej progu. W tym wypadku mielibyśmy tylko jeden parametr (odpowiednik '''c''' z funkcji sigmoidalnej).

Inna operacja to mnożenie wartości przez funkcję liniową <math> f(x)=ax+b </math>, dbając o to, by wartości ujemne zostały wyzerowane, a wartości zbyt duże by przyjęły wartość maksymalną. Można do tego napisać własną osobną funkcję, lub wykorzystać funkcję '''np.where'''.

Do zmieniania wartości parametrów wykorzystamy suwaki, jakie można utworzyć w okienku obrazu opencv. Metody '''cv2.createTrackbar''' oraz '''cv2.getTrackbarPos''' pozwolą suwak utworzyć i sprawdzić jego pozycję.

<source lang='python'>
import cv2
import numpy as np

def nothing (x):
pass

img=np.zeros([100, 200], dtype='uint8')

try:
#cv2.namedWindow('suwaczki')
cv2.imshow('suwaczki', img)
cv2.createTrackbar('b','suwaczki',0,255,nothing)

k=-1
while k!=27:
k=cv2.waitKey(0)
b=cv2.getTrackbarPos('b','suwaczki')
print(b)
finally:
cv2.destroyAllWindows()
</source>

==Zadanie 3==
Napisz klasę, która pomoże w manipulacji jasnością i kontrastem obrazu. Powinna mieć następujące własności:
# Przy tworzeniu obiekt powinien dostać przekazaną jako parametr macierz obrazu i ją zapamiętać
# Powinien mieć metody do pokazania i ukrycia osobnego okienka zawierającego suwaki odpowiednie do wybranej metody
# Powinien mieć metodę zwracającą macierz obrazu z dokonanymi na niej operacjami
Główny program powinien wyświetlać obraz, utworzyć dla niego obiekt do operacji i wywoływać odpowiednio jego metody zależnie od klawiszy naciśniętych przez użytkownika.

Poniżej znajdziesz rozwiązanie powyższego zadania. Skopiuj ten skrypt i uruchom na swoim komputerze. Przeanalizuj działanie programu i przenieś znajdujące się na dole komentarze ponad odpowiednie linijki kodu.

Zwróć uwagę, że wewnątrz definicji klasy '''suwaki''', niektóre metody mają jako pierwszy parametr przekazany obiekt '''self''', a niektóre nie. Jaki sens może mieć takie rozróżnienie?

<source lang='python'>
import pydicom as dcm
import numpy as np
import cv2

class suwaki (object):
def __init__(self, img, maks=255):
self.img=1.0*(img-np.min(img))*maks/(np.max(img)-np.min(img))
self.dtype=img.dtype
self.maks=maks
self.widac=''

def nothing (x):
pass

def lin(arr, a, b, maks=255):
arr1=arr*a+b
arr1=np.where(arr1<0, 0, arr1)
arr1=np.where(arr1>maks, maks, arr1)
return arr1

def sig(arr, b, c, maks=255):
arr1=arr-c
arr1=0.5*(b*arr1/np.sqrt(1+(b*arr1)**2)+1)*maks
return arr1

def pokaz_suw_sig(self):
self.ukryj_suw()
q=np.zeros([50, 200])
cv2.imshow('sigmoida', q)
self.widac='sigmoida'
cv2.createTrackbar('b', 'sigmoida', 10, 20, suwaki.nothing)
cv2.createTrackbar('c', 'sigmoida', 128, 255, suwaki.nothing)

def pokaz_suw_lin(self):
self.ukryj_suw()
q=np.zeros([50, 200])
cv2.imshow('liniowy', q)
self.widac='liniowy'
cv2.createTrackbar('a', 'liniowy', 10, 20, suwaki.nothing)
cv2.createTrackbar('x0', 'liniowy', 128, 255, suwaki.nothing)

def aktualizuj_wykres(self):
if self.widac=='sigmoida':
b=2.0**(cv2.getTrackbarPos('b','sigmoida')-10)*255/100
c=1.0*cv2.getTrackbarPos('c', 'sigmoida')*100/255
x=np.arange(0,100)
y=suwaki.sig(x,b,c,100)/5
q=np.zeros([50, 200])
q[45-y.astype(int), 50+x]=255
cv2.imshow('sigmoida', q)
elif self.widac=='liniowy':
a=2.0**(cv2.getTrackbarPos('a','liniowy')-10)
b=100/2-a*cv2.getTrackbarPos('x0', 'liniowy')*100/255
x=np.arange(0,100)
y=suwaki.lin(x,a,b,100)/5
q=np.zeros([50, 200])
q[45-y.astype(int), 50+x]=255
cv2.imshow('liniowy', q)

def ukryj_suw(self):
if self.widac!='':
cv2.destroyWindow(self.widac)
self.widac=''

def wynik(self):
if self.widac=='sigmoida':
b=2.0**(cv2.getTrackbarPos('b','sigmoida')-10)*255/self.maks
c=1.0*cv2.getTrackbarPos('c', 'sigmoida')*self.maks/255
return np.array(suwaki.sig(self.img, b, c, self.maks), dtype=self.dtype)
elif self.widac=='liniowy':
a=2.0**(cv2.getTrackbarPos('a','liniowy')-10)
b=self.maks/2-a*cv2.getTrackbarPos('x0', 'liniowy')*self.maks/255
return np.array(suwaki.lin(self.img, a, b, self.maks), dtype=self.dtype)
else:
return np.array(self.img, dtype=self.dtype)

try:
filename="C:/Users/user/Documents/z_programowanie/DICOM/LADJAN_MRI/localizer - 1/IM-0001-0001.dcm"
dataset = dcm.read_file(filename)
arr=dataset.pixel_array
if 'BitsAllocated' in dataset.dir():
maks=2**dataset.BitsAllocated-1
elif arr.dtype==np.dtype('uint16'):
maks=256*256-1
elif arr.dtype==np.dtype('uint8'):
maks=255
else:
print('nie wiem, jaki maks')
exit()
suw=suwaki(arr, maks=maks)
k=-1
while True:
k=cv2.waitKey(100)
if k==ord('s'):
suw.pokaz_suw_sig()
elif k==ord('l'):
suw.pokaz_suw_lin()
elif k==32:
suw.ukryj_suw()
elif k==27:
break
cv2.imshow('obraz', suw.wynik())
suw.aktualizuj_wykres()

finally:
cv2.destroyAllWindows()

#zapamietanie macierzy obrazu jako wartosci zmiennoprzecinkowych, znormalizowanej tak, by najmniejsza wartosc byla 0, a najwieksza maks
#zapamietanie typu wartosci macierzy obrazu
#zapamietanie maksymalnej dopuszczalnej wartosci dla macierzy wejsciowej
#self.widac bedzie pokazywac, czy i jaki suwak jest teraz wudoczny
#funkcja wywolywana automatycznie gdy uzytkownik zmieni pozycje jakiegos suwaka, nie robiaca nic
#funkcja stosujaca przeksztalcenie liniowe do macierzy obrazu
#liniowe przeksztalcenie macierzy
#ustawienie na 0 elementow macierzy mniejszych od 0
#przypisanie maksymalnej dozwolonej warosci elementom macierzy wiekszym od maks
#funkcja stosujaca przeksztalcenie sigmoidalne do macierzy obrazu
#zastosowanie do macierzy obrazu funkcji sigmoidalnej f(x)=0.5*( b(x-c)/sqrt(1+(b*(x-c))**2) +1 )
#jesli inne suwaki byly widoczne, to je ukryj
#pokaz obrazek stanowiacy tlo dla suwakow
#utworz suwaki parametrow sigmoidy
#jesli inne suwaki byly widoczne, to je ukryj
#pokaz obrazek stanowiacy tlo dla suwakow
#utworz suwaki parametrow przeksztalcenia liniowego
#metoda wyswietlajaca ksztalt funkcji opisujacej stosowane przeksztalcenie
#metoda ukrywajaca suwak
#metoda zwracajaca przeksztalcona macierz obrazu, gotowa do wyswietlenia
#pobierz z suwakow parametry do przeksztalcenia sigmoidalnego
#zwroc przeksztalcona macierz w formacie identycznym do macierzy wejsciowej
#pobierz z suwakow parametry do przeksztalcenia liniowego
#zwroc przeksztalcona macierz w formacie identycznym do macierzy wejsciowej
#zwroc macierz obrazu tylko znormalizowana, w formacie identycznym z wejsciowym
#wczytaj plik w formacie dicom do obiektu dataset
#pobierz z obiektu dataset macierz obrazu
#ustal maksymalna wartosc dozwolona w macierzy obrazu na podstawie ilosci bitow przeznaczonych na kazdy piksel
#utworz obiekt klasy suwaki
#k<0 oznacza, ze nic nie zostalo wcisniete
#odczekanie 100 ms na wcisniecie klawisza
#wcisniecie s wywoluje metode pokazujaca suwaki parametrow sigmoidy
#wcisniecie l wywoluje metode pokazujaca suwaki parametrow przeksztalcenia liniowego
#wcisniecie spacji ukrywa suwaki
#wcisniecie escape konczy wykonywanie petli
#wyswietl obraz po odpowiednich przeksztalceniach
#aktualizuj wykres funckji opisujacej stosowane przeksztalcenie
#niezaleznie od wczesniej spotkanych bledow, zamknij wszystkie okna graficzne
</source>

"Programowanie dla Fizyków Medycznych"/DICOM

2018-01-15T10:04:10Z

Jginter: /* Zadanie 3 */

powrót: [https://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php/%22Programowanie_dla_Fizyk%C3%B3w_Medycznych%22 Programowanie dla fizyków medycznych]

==Struktura plików DICOM==

Prace nad ustandaryzowaniem wymiany danych graficznych pomiędzy urządzeniami medycznymi rozpoczęły się już w 1983 w ramach współpracy American College of Radiology (ACR) i National Electrical Manufactures Association (NEMA). Pierwsza wersja standardu pojawiła się dwa lata później i nosiła nazwę ACR/NEMA 300 V1.0. Wersja ta umożliwiała zapis danych w odpowiednim formacie oraz ujednolicony sposób transferu plików za pomocą sieci lub nośników zewnętrznych. W 1988 roku pojawiła się druga wersja standardu ACR/NEMA V2.0, która opierała się na ujednoliconej terminologii, strukturze informacji odpowiednim kodowaniu danych. Wraz z rozwijaniem standardów pojawiały się nowe zapotrzebowania. Ostatni oficjalna wersja to DICOM 3.0 (Digital Imaging and COmmunications in Medicine) z 1992. Standard ten jest w dalszym ciągu uaktualniany.

===Dokumentacja===

Standard DICOM jest zorganizowany w postaci wieloczęściowego dokumentu (Rys. <xr id="uid2"> %i</xr>) i uaktualniany corocznie w postaci Suplementów.

Obejrzyj stronę domową standardu DICOM: http://dicom.nema.org/, w szczególności: Strategic Document & Principal Contacts

Poszczególne dokumenty są poświęcone strukturze danych, sposobom kodowania, archiwizacji, wymiany informacji oraz aspektom bezpieczeństwa danych. Na zajęciach skupimy się na następujących częściach dokumentacji:

<ul>

<li>
PS 3.1: Introduction and Overview – wprowadzenie oraz informacje podstawowe na temat standardu

<li>
PS 3.2: Conformance – definicje podstawowych zasad oraz pojęć

<li>
PS 3.3: Information Object Definitions – definicje atrybutów czyli informatyczna reprezentacja fizycznych danych

<li>
PS 3.4: Service Class Specifications – obsługa informatycznych reprezentacji danych

<li>
PS 3.5: Data Structure and Encoding – struktura danych oraz sposób ich kodowania

<li>
PS 3.6: Data Dictionary – spis wszystkich możliwych atrybutów

[[File:dok.png|500px|thumb|center|<figure id="uid2" />Dokumentacja standardu DICOM.]]

</ul>

===DICOM-Meta-Information-Header===

Dane zawarte w każdym pliku DICOM podzielone są na dwie części:

<ul>

<li>
część zawierającą informacje o pliku (Dicom-Meta-Information-Header)

<li>
dane jednego obiektu Service-Object Pair Instance (Dicom-Data-Set)

</ul>

Model informacji określa format danych dla różnych typów informacji, takich jak: obrazy, przebiegi czasowe, obiekty graficzne, raporty, wydruki itp.
Dane są grupowane w tematycznych zbiorach (ang. Entities) oraz podzbiorach (ang. Modules). Każdy moduł tworzony jest przez zbiór atrybutów.

<ol>

<li>
podstawowa jednostka danych: Data Element

<li>
strumień informacji: Data Set

</ol>

Data Element stanowi podstawową jednostkę danych, opisywany jest przy pomocy:

<ul>

<li>
identyfikatora elementu danych (Tag) złożonego z dwóch liczb określających: grupę (Group) oraz element grupy (Element), zapisywanych w postaci liczb heksadecymalnych,

<li>
typu danych (Value Representation), określonego w postaci pary liter w kodzie ASCII i umożliwiającego poprawną interpretację danych,

<li>
rozmiaru elementu (Value Length) wyrażonego w bajtach,

<li>
informacji takich jak: nazwisko pacjenta, rozdzielczość obrazu

</ul>

Strumień informacyjny (Data Set) jest uporządkowanym strumieniem elementów danych.

[[File:przyklad1b.png|500px|thumb|center|<figure id="uid18" />Struktura Data Element.]]

Zadanie 1. Na stronie http://northstar-www.dartmouth.edu/doc/idl/html_6.2/DICOM_Attributes.html można znaleźć wygodny opis możliwych pól i odpowiadających im reprezentacji danych. Na tej podstawie znajdź wyjaśnienie następujących oznaczeń:

<ul>

<li>
(0008,0020): 20120510

<li>
(0008,0030): 101714

<li>
(0008,0060): MG

<li>
(0008,0070): SIEMENS

<li>
(0008,0080): Ovarian Screening, St Barts

<li>
(0010,0010): xxx

<li>
(0010,0040): 0

</ul>

Rozwiązanie:

<ul>

<li>
(0008,0020): 20120510 - Study Date

<li>
(0008,0030): 101714 - Study Time

<li>
(0008,0060): MG - Modality

<li>
(0008,0070): SIEMENS - Manufacturer

<li>
(0008,0080): Ovarian Screening, St Barts - Institution Name

<li>
(0010,0010): xxx - Patient's Name

<li>
(0010,0040): 0 - Patient's Sex

</ul>

Zadanie 2. 56-letnia Janina Kowalska zgłosiła się do Centrum Onkologii z podejrzeniem nowotworu mózgu. 15 lutego 2013 roku zostało wykonanie badanie za pomocą pozytonowej tomografii emisyjnej wykonane na tomografie firmy GE. W czasie badania pacjentka leżała na prawym boku. Za pomocą odpowiednich atrybutów zapisz te informacje w formie pliku DICOM.

Rozwiązanie:

<ul>

<li>
(0010,0010): Kowalska Janina

<li>
(0010,0040): F

<li>
(0010,1010): 56

<li>
(0008,0080): Centrum Onkologii

<li>
(0008,0020): 20130215

<li>
(0008,0060): PT

<li>
(0008,0070): GE

<li>
(0018,5100): HFDR

</ul>

==Biblioteka PyDICOM==
Do obsługi: wczytywania, zmieniania, zapisywania informacji w nagłówku, jak również do pobrania pliku graficznego służy biblioteka pydicom.

Wczytaj plik w formacie DICOM, zawierający skan MRI wraz z informacjami na temat pacjenta i badania. Powstanie w ten sposób obiekt '''dataset''' typu '''pydicom.dataset.FileDataset'''.
<source lang='python'>
import pydicom as dcm
filename="C:/Users/user/Documents/z_programowanie/DICOM/LADJAN_MRI/localizer - 1/IM-0001-0001.dcm"
dataset = dcm.read_file(filename)
print(dataset)
</source>

Obiekt '''dataset''' ma strukturę trochę podobną do słownika. Składa się z elementów typu '''pydicom.dataelem.DataElement'''. Do elementów można się dostać na różne sposoby: korzystając z nazwy elementu, korzystając z numeru (a ściślej krotki z dwóch numerów wypisywanych zwykle w systemie szesnastkowym).
<source lang = 'python'>
print(dataset.StudyDate)
print(dataset[(0x8, 0x20)])
element=dataset.data_element('StudyDate')
print(element.value)
</source>

Aby dowiedzieć się, jakie elementy wchodzą w skład danego pliku dicomowskiego, można użyć metody '''dir'''. Jeśli jako argument poda się string, zostanie wypisana lista tylko tych nazw elementów, które zawierają ten string.
<source lang='python'>
lista1= dataset.dir('pat')
print lista1
for de in lista1:
print(dataset.data_element(de))
</source>

Dane o pacjencie mogę pozmieniać lub usunąć.

<source lang='python'>
dataset.StudeDate='20180111' #dzisiejsza data
lista2 = ['PatientAge',
'PatientBirthDate',
'PatientID',
'PatientName',
'PatientPosition',
'PatientSex',
'PatientWeight']
for de in lista2:
if type(dataset.data_element(de).value)==str:
dataset.data_element(de).value='nic'
if 'float' in str(type(dataset.data_element(de).value)):
dataset.data_element(de).value=0
</source>

Zmienioną wersję mogę też zapisać (tylko lepiej pod inną nazwą)
<source lang='python'>
dataset.save_as('zmieniony.dcm')
</source>

===Zadanie 1===
Napisz skrypt, który otworzy wszystkie pliki z rozszerzeniem dcm, jakie są w katalogu i usunie z nich informacje osobiste.

===Zadanie 2===
Zaimportujmy też cv2 i numpy, aby wyświetlić zawartość obrazu.

<source lang='python'>
import cv2
import numpy as np

img=dataset.pixel_array
cv2.imshow('obraz', img)
</source>

Zadanie polega na tym, aby za pomocą klawiszy zmieniać jasność wyświetlanego obrazu.

==Operacje na obrazie==
Przyjmijmy, że wartości pikseli będziemy mnożyć przez funkcję sigmoidalną:
<math> f(x)=\frac a {(1+e^{-b(x-c)})} </math>. Parametr '''a''' powinien być równy maksymalnej możliwej wartości piksela, a więc 255 dla obrazów 8-bitowych i 256*256-1=65535 dla obrazów 16-bitowych. Parametr '''c''' powinien zawierać się w granicach między 0 i a.

Oprócz tego możemy dokonać innych operacji. Jedną z nich jest progowanie, czyli wyświetlanie jako białych punktów o wartości powyżej progu i jako czarnych wartości poniżej progu. W tym wypadku mielibyśmy tylko jeden parametr (odpowiednik '''c''' z funkcji sigmoidalnej).

Inna operacja to mnożenie wartości przez funkcję liniową <math> f(x)=ax+b </math>, dbając o to, by wartości ujemne zostały wyzerowane, a wartości zbyt duże by przyjęły wartość maksymalną. Można do tego napisać własną osobną funkcję, lub wykorzystać funkcję '''np.where'''.

Do zmieniania wartości parametrów wykorzystamy suwaki, jakie można utworzyć w okienku obrazu opencv. Metody '''cv2.createTrackbar''' oraz '''cv2.getTrackbarPos''' pozwolą suwak utworzyć i sprawdzić jego pozycję.

<source lang='python'>
import cv2
import numpy as np

def nothing (x):
pass

img=np.zeros([100, 200], dtype='uint8')

try:
#cv2.namedWindow('suwaczki')
cv2.imshow('suwaczki', img)
cv2.createTrackbar('b','suwaczki',0,255,nothing)

k=-1
while k!=27:
k=cv2.waitKey(0)
b=cv2.getTrackbarPos('b','suwaczki')
print(b)
finally:
cv2.destroyAllWindows()
</source>

==Zadanie 3==
Napisz klasę, która pomoże w manipulacji jasnością i kontrastem obrazu. Powinna mieć następujące własności:
# Przy tworzeniu obiekt powinien dostać przekazaną jako parametr macierz obrazu i ją zapamiętać
# Powinien mieć metody do pokazania i ukrycia osobnego okienka zawierającego suwaki odpowiednie do wybranej metody
# Powinien mieć metodę zwracającą macierz obrazu z dokonanymi na niej operacjami
Główny program powinien wyświetlać obraz, utworzyć dla niego obiekt do operacji i wywoływać odpowiednio jego metody zależnie od klawiszy naciśniętych przez użytkownika.

Poniżej znajdziesz rozwiązanie powyższego zadania. Skopiuj ten skrypt i uruchom na swoim komputerze. Przeanalizuj działanie programu i przenieś znajdujące się na dole komentarze ponad odpowiednie linijki kodu.

<source lang='python'>
import pydicom as dcm
import numpy as np
import cv2

def nothing (x):
pass

def lin(arr, a, b, maks=255):
arr1=arr*a+b
arr1=np.where(arr1<0, 0, arr1)
arr1=np.where(arr1>maks, maks, arr1)
return arr1

def sig(arr, b, c, maks=255):
arr1=arr-c
arr1=0.5*(b*arr1/np.sqrt(1+(b*arr1)**2)+1)*maks
return arr1

class suwaki (object):
def __init__(self, img, maks=255):
self.img=1.0*(img-np.min(img))*maks/(np.max(img)-np.min(img))
self.dtype=img.dtype
self.maks=maks
self.widac=''

def pokaz_suw_sig(self):
self.ukryj_suw()
q=np.zeros([50, 200])
cv2.imshow('sigmoida', q)
self.widac='sigmoida'
cv2.createTrackbar('b', 'sigmoida', 10, 20, nothing)
cv2.createTrackbar('c', 'sigmoida', 128, 255, nothing)

def pokaz_suw_lin(self):
self.ukryj_suw()
q=np.zeros([50, 200])
cv2.imshow('liniowy', q)
self.widac='liniowy'
cv2.createTrackbar('a', 'liniowy', 10, 20, nothing)
cv2.createTrackbar('x0', 'liniowy', 128, 255, nothing)

def aktualizuj_wykres(self):
if self.widac=='sigmoida':
b=2.0**(cv2.getTrackbarPos('b','sigmoida')-10)*255/100
c=1.0*cv2.getTrackbarPos('c', 'sigmoida')*100/255
x=np.arange(0,100)
y=sig(x,b,c,100)/5
q=np.zeros([50, 200])
q[45-y.astype(int), 50+x]=255
cv2.imshow('sigmoida', q)
elif self.widac=='liniowy':
a=2.0**(cv2.getTrackbarPos('a','liniowy')-10)
b=100/2-a*cv2.getTrackbarPos('x0', 'liniowy')*100/255
x=np.arange(0,100)
y=lin(x,a,b,100)/5
q=np.zeros([50, 200])
q[45-y.astype(int), 50+x]=255
cv2.imshow('liniowy', q)

def ukryj_suw(self):
if self.widac!='':
cv2.destroyWindow(self.widac)
self.widac=''

def wynik(self):
if self.widac=='sigmoida':
b=2.0**(cv2.getTrackbarPos('b','sigmoida')-10)*255/self.maks
c=1.0*cv2.getTrackbarPos('c', 'sigmoida')*self.maks/255
return np.array(sig(self.img, b, c, self.maks), dtype=self.dtype)
elif self.widac=='liniowy':
a=2.0**(cv2.getTrackbarPos('a','liniowy')-10)
b=self.maks/2-a*cv2.getTrackbarPos('x0', 'liniowy')*self.maks/255
return np.array(lin(self.img, a, b, self.maks), dtype=self.dtype)
else:
return np.array(self.img, dtype=self.dtype)

try:
filename="C:/Users/user/Documents/z_programowanie/DICOM/LADJAN_MRI/localizer - 1/IM-0001-0001.dcm"
dataset = dcm.read_file(filename)
arr=dataset.pixel_array
if 'BitsAllocated' in dataset.dir():
maks=2**dataset.BitsAllocated-1
elif arr.dtype==np.dtype('uint16'):
maks=256*256-1
elif arr.dtype==np.dtype('uint8'):
maks=255
else:
print('nie wiem, jaki maks')
exit()
suw=suwaki(arr, maks=maks)
k=-1
while True:
k=cv2.waitKey(100)
if k==ord('s'):
suw.pokaz_suw_sig()
elif k==ord('l'):
suw.pokaz_suw_lin()
elif k==32:
suw.ukryj_suw()
elif k==27:
break
cv2.imshow('obraz', suw.wynik())
suw.aktualizuj_wykres()

finally:
cv2.destroyAllWindows()

#funkcja wywolywana automatycznie gdy uzytkownik zmieni pozycje jakiegos suwaka, nie robiaca nic
#funkcja stosujaca przeksztalcenie liniowe do macierzy obrazu
#liniowe przeksztalcenie macierzy
#ustawienie na 0 elementow macierzy mniejszych od 0
#przypisanie maksymalnej dozwolonej warosci elementom macierzy wiekszym od maks
#funkcja stosujaca przeksztalcenie sigmoidalne do macierzy obrazu
#zastosowanie do macierzy obrazu funkcji sigmoidalnej f(x)=0.5*( b(x-c)/sqrt(1+(b*(x-c))**2) +1 )
#zapamietanie macierzy obrazu jako wartosci zmiennoprzecinkowych, znormalizowanej tak, by najmniejsza wartosc byla 0, a najwieksza maks
#zapamietanie typu wartosci macierzy obrazu
#zapamietanie maksymalnej dopuszczalnej wartosci dla macierzy wejsciowej
#self.widac bedzie pokazywac, czy i jaki suwak jest teraz wudoczny
#jesli inne suwaki byly widoczne, to je ukryj
#pokaz obrazek stanowiacy tlo dla suwakow
#utworz suwaki parametrow sigmoidy
#jesli inne suwaki byly widoczne, to je ukryj
#pokaz obrazek stanowiacy tlo dla suwakow
#utworz suwaki parametrow przeksztalcenia liniowego
#metoda wyswietlajaca ksztalt funkcji opisujacej stosowane przeksztalcenie
#metoda ukrywajaca suwak
#metoda zwracajaca przeksztalcona macierz obrazu, gotowa do wyswietlenia
#pobierz z suwakow parametry do przeksztalcenia sigmoidalnego
#zwroc przeksztalcona macierz w formacie identycznym do macierzy wejsciowej
#pobierz z suwakow parametry do przeksztalcenia liniowego
#zwroc przeksztalcona macierz w formacie identycznym do macierzy wejsciowej
#zwroc macierz obrazu tylko znormalizowana, w formacie identycznym z wejsciowym
#wczytaj plik w formacie dicom do obiektu dataset
#pobierz z obiektu dataset macierz obrazu
#ustal maksymalna wartosc dozwolona w macierzy obrazu na podstawie ilosci bitow przeznaczonych na kazdy piksel
#utworz obiekt klasy suwaki
#k<0 oznacza, ze nic nie zostalo wcisniete
#odczekanie 100 ms na wcisniecie klawisza
#wcisniecie s wywoluje metode pokazujaca suwaki parametrow sigmoidy
#wcisniecie l wywoluje metode pokazujaca suwaki parametrow przeksztalcenia liniowego
#wcisniecie spacji ukrywa suwaki
#wcisniecie escape konczy wykonywanie petli
#wyswietl obraz po odpowiednich przeksztalceniach
#aktualizuj wykres funckji opisujacej stosowane przeksztalcenie
#niezaleznie od wczesniej spotkanych bledow, zamknij wszystkie okna graficzne
</source>

"Programowanie dla Fizyków Medycznych"/DICOM

2018-01-12T14:51:19Z

Jginter: /* Zadanie 3 */

powrót: [https://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php/%22Programowanie_dla_Fizyk%C3%B3w_Medycznych%22 Programowanie dla fizyków medycznych]

==Struktura plików DICOM==

Prace nad ustandaryzowaniem wymiany danych graficznych pomiędzy urządzeniami medycznymi rozpoczęły się już w 1983 w ramach współpracy American College of Radiology (ACR) i National Electrical Manufactures Association (NEMA). Pierwsza wersja standardu pojawiła się dwa lata później i nosiła nazwę ACR/NEMA 300 V1.0. Wersja ta umożliwiała zapis danych w odpowiednim formacie oraz ujednolicony sposób transferu plików za pomocą sieci lub nośników zewnętrznych. W 1988 roku pojawiła się druga wersja standardu ACR/NEMA V2.0, która opierała się na ujednoliconej terminologii, strukturze informacji odpowiednim kodowaniu danych. Wraz z rozwijaniem standardów pojawiały się nowe zapotrzebowania. Ostatni oficjalna wersja to DICOM 3.0 (Digital Imaging and COmmunications in Medicine) z 1992. Standard ten jest w dalszym ciągu uaktualniany.

===Dokumentacja===

Standard DICOM jest zorganizowany w postaci wieloczęściowego dokumentu (Rys. <xr id="uid2"> %i</xr>) i uaktualniany corocznie w postaci Suplementów.

Obejrzyj stronę domową standardu DICOM: http://dicom.nema.org/, w szczególności: Strategic Document & Principal Contacts

Poszczególne dokumenty są poświęcone strukturze danych, sposobom kodowania, archiwizacji, wymiany informacji oraz aspektom bezpieczeństwa danych. Na zajęciach skupimy się na następujących częściach dokumentacji:

<ul>

<li>
PS 3.1: Introduction and Overview – wprowadzenie oraz informacje podstawowe na temat standardu

<li>
PS 3.2: Conformance – definicje podstawowych zasad oraz pojęć

<li>
PS 3.3: Information Object Definitions – definicje atrybutów czyli informatyczna reprezentacja fizycznych danych

<li>
PS 3.4: Service Class Specifications – obsługa informatycznych reprezentacji danych

<li>
PS 3.5: Data Structure and Encoding – struktura danych oraz sposób ich kodowania

<li>
PS 3.6: Data Dictionary – spis wszystkich możliwych atrybutów

[[File:dok.png|500px|thumb|center|<figure id="uid2" />Dokumentacja standardu DICOM.]]

</ul>

===DICOM-Meta-Information-Header===

Dane zawarte w każdym pliku DICOM podzielone są na dwie części:

<ul>

<li>
część zawierającą informacje o pliku (Dicom-Meta-Information-Header)

<li>
dane jednego obiektu Service-Object Pair Instance (Dicom-Data-Set)

</ul>

Model informacji określa format danych dla różnych typów informacji, takich jak: obrazy, przebiegi czasowe, obiekty graficzne, raporty, wydruki itp.
Dane są grupowane w tematycznych zbiorach (ang. Entities) oraz podzbiorach (ang. Modules). Każdy moduł tworzony jest przez zbiór atrybutów.

<ol>

<li>
podstawowa jednostka danych: Data Element

<li>
strumień informacji: Data Set

</ol>

Data Element stanowi podstawową jednostkę danych, opisywany jest przy pomocy:

<ul>

<li>
identyfikatora elementu danych (Tag) złożonego z dwóch liczb określających: grupę (Group) oraz element grupy (Element), zapisywanych w postaci liczb heksadecymalnych,

<li>
typu danych (Value Representation), określonego w postaci pary liter w kodzie ASCII i umożliwiającego poprawną interpretację danych,

<li>
rozmiaru elementu (Value Length) wyrażonego w bajtach,

<li>
informacji takich jak: nazwisko pacjenta, rozdzielczość obrazu

</ul>

Strumień informacyjny (Data Set) jest uporządkowanym strumieniem elementów danych.

[[File:przyklad1b.png|500px|thumb|center|<figure id="uid18" />Struktura Data Element.]]

Zadanie 1. Na stronie http://northstar-www.dartmouth.edu/doc/idl/html_6.2/DICOM_Attributes.html można znaleźć wygodny opis możliwych pól i odpowiadających im reprezentacji danych. Na tej podstawie znajdź wyjaśnienie następujących oznaczeń:

<ul>

<li>
(0008,0020): 20120510

<li>
(0008,0030): 101714

<li>
(0008,0060): MG

<li>
(0008,0070): SIEMENS

<li>
(0008,0080): Ovarian Screening, St Barts

<li>
(0010,0010): xxx

<li>
(0010,0040): 0

</ul>

Rozwiązanie:

<ul>

<li>
(0008,0020): 20120510 - Study Date

<li>
(0008,0030): 101714 - Study Time

<li>
(0008,0060): MG - Modality

<li>
(0008,0070): SIEMENS - Manufacturer

<li>
(0008,0080): Ovarian Screening, St Barts - Institution Name

<li>
(0010,0010): xxx - Patient's Name

<li>
(0010,0040): 0 - Patient's Sex

</ul>

Zadanie 2. 56-letnia Janina Kowalska zgłosiła się do Centrum Onkologii z podejrzeniem nowotworu mózgu. 15 lutego 2013 roku zostało wykonanie badanie za pomocą pozytonowej tomografii emisyjnej wykonane na tomografie firmy GE. W czasie badania pacjentka leżała na prawym boku. Za pomocą odpowiednich atrybutów zapisz te informacje w formie pliku DICOM.

Rozwiązanie:

<ul>

<li>
(0010,0010): Kowalska Janina

<li>
(0010,0040): F

<li>
(0010,1010): 56

<li>
(0008,0080): Centrum Onkologii

<li>
(0008,0020): 20130215

<li>
(0008,0060): PT

<li>
(0008,0070): GE

<li>
(0018,5100): HFDR

</ul>

==Biblioteka PyDICOM==
Do obsługi: wczytywania, zmieniania, zapisywania informacji w nagłówku, jak również do pobrania pliku graficznego służy biblioteka pydicom.

Wczytaj plik w formacie DICOM, zawierający skan MRI wraz z informacjami na temat pacjenta i badania. Powstanie w ten sposób obiekt '''dataset''' typu '''pydicom.dataset.FileDataset'''.
<source lang='python'>
import pydicom as dcm
filename="C:/Users/user/Documents/z_programowanie/DICOM/LADJAN_MRI/localizer - 1/IM-0001-0001.dcm"
dataset = dcm.read_file(filename)
print(dataset)
</source>

Obiekt '''dataset''' ma strukturę trochę podobną do słownika. Składa się z elementów typu '''pydicom.dataelem.DataElement'''. Do elementów można się dostać na różne sposoby: korzystając z nazwy elementu, korzystając z numeru (a ściślej krotki z dwóch numerów wypisywanych zwykle w systemie szesnastkowym).
<source lang = 'python'>
print(dataset.StudyDate)
print(dataset[(0x8, 0x20)])
element=dataset.data_element('StudyDate')
print(element.value)
</source>

Aby dowiedzieć się, jakie elementy wchodzą w skład danego pliku dicomowskiego, można użyć metody '''dir'''. Jeśli jako argument poda się string, zostanie wypisana lista tylko tych nazw elementów, które zawierają ten string.
<source lang='python'>
lista1= dataset.dir('pat')
print lista1
for de in lista1:
print(dataset.data_element(de))
</source>

Dane o pacjencie mogę pozmieniać lub usunąć.

<source lang='python'>
dataset.StudeDate='20180111' #dzisiejsza data
lista2 = ['PatientAge',
'PatientBirthDate',
'PatientID',
'PatientName',
'PatientPosition',
'PatientSex',
'PatientWeight']
for de in lista2:
if type(dataset.data_element(de).value)==str:
dataset.data_element(de).value='nic'
if 'float' in str(type(dataset.data_element(de).value)):
dataset.data_element(de).value=0
</source>

Zmienioną wersję mogę też zapisać (tylko lepiej pod inną nazwą)
<source lang='python'>
dataset.save_as('zmieniony.dcm')
</source>

===Zadanie 1===
Napisz skrypt, który otworzy wszystkie pliki z rozszerzeniem dcm, jakie są w katalogu i usunie z nich informacje osobiste.

===Zadanie 2===
Zaimportujmy też cv2 i numpy, aby wyświetlić zawartość obrazu.

<source lang='python'>
import cv2
import numpy as np

img=dataset.pixel_array
cv2.imshow('obraz', img)
</source>

Zadanie polega na tym, aby za pomocą klawiszy zmieniać jasność wyświetlanego obrazu.

==Operacje na obrazie==
Przyjmijmy, że wartości pikseli będziemy mnożyć przez funkcję sigmoidalną:
<math> f(x)=\frac a {(1+e^{-b(x-c)})} </math>. Parametr '''a''' powinien być równy maksymalnej możliwej wartości piksela, a więc 255 dla obrazów 8-bitowych i 256*256-1=65535 dla obrazów 16-bitowych. Parametr '''c''' powinien zawierać się w granicach między 0 i a.

Oprócz tego możemy dokonać innych operacji. Jedną z nich jest progowanie, czyli wyświetlanie jako białych punktów o wartości powyżej progu i jako czarnych wartości poniżej progu. W tym wypadku mielibyśmy tylko jeden parametr (odpowiednik '''c''' z funkcji sigmoidalnej).

Inna operacja to mnożenie wartości przez funkcję liniową <math> f(x)=ax+b </math>, dbając o to, by wartości ujemne zostały wyzerowane, a wartości zbyt duże by przyjęły wartość maksymalną. Można do tego napisać własną osobną funkcję, lub wykorzystać funkcję '''np.where'''.

Do zmieniania wartości parametrów wykorzystamy suwaki, jakie można utworzyć w okienku obrazu opencv. Metody '''cv2.createTrackbar''' oraz '''cv2.getTrackbarPos''' pozwolą suwak utworzyć i sprawdzić jego pozycję.

<source lang='python'>
import cv2
import numpy as np

def nothing (x):
pass

img=np.zeros([100, 200], dtype='uint8')

try:
#cv2.namedWindow('suwaczki')
cv2.imshow('suwaczki', img)
cv2.createTrackbar('b','suwaczki',0,255,nothing)

k=-1
while k!=27:
k=cv2.waitKey(0)
b=cv2.getTrackbarPos('b','suwaczki')
print(b)
finally:
cv2.destroyAllWindows()
</source>

==Zadanie 3==
Napisz klasę, która pomoże w manipulacji jasnością i kontrastem obrazu. Powinna mieć następujące własności:
# Przy tworzeniu obiekt powinien dostać przekazaną jako parametr macierz obrazu i ją zapamiętać
# Powinien mieć metody do pokazania i ukrycia osobnego okienka zawierającego suwaki odpowiednie do wybranej metody
# Powinien mieć metodę zwracającą macierz obrazu z dokonanymi na niej operacjami
Główny program powinien wyświetlać obraz, utworzyć dla niego obiekt do operacji i wywoływać odpowiednio jego metody zależnie od klawiszy naciśniętych przez użytkownika.

<source lang='python'>
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Wed Jan 10 16:09:55 2018

@author: user
"""

import pydicom as dcm
import numpy as np
import cv2

filename="C:/Users/user/Documents/z_programowanie/DICOM/LADJAN_MRI/localizer - 1/IM-0001-0001.dcm"
dataset = dcm.dicomio.read_file(filename)

def nothing (x):
pass

def lin(arr, a, b, maks=255):
arr1=np.array(arr*a+b, dtype='float32')
arr1=np.where(arr1<0, 0, arr1)
arr1=np.where(arr1>maks, maks, arr1)
return arr1

def sig(arr, b, c, maks=255):
arr1=np.array(arr, dtype='float32')-c
#arr1=float(maks)/(1+np.exp(-b*(arr1-c)))
arr1=0.5*(b*arr1/np.sqrt(1+(b*arr1)**2)+1)*maks
return arr1

class suwaki (object):
def __init__(self, img, maks=255):
self.img=np.array(1.0*(img-np.min(img))*maks/(np.max(img)-np.min(img)), dtype='float32')
self.dtype=img.dtype
#self.b=b
#self.c=c
self.maks=maks
self.widac=''

def pokaz_suw_sig(self):
self.ukryj_suw()
q=np.zeros([50, 200])
cv2.namedWindow('sigmoida')
cv2.imshow('sigmoida', q)
self.widac='sigmoida'
cv2.createTrackbar('b', 'sigmoida', 10, 20, nothing)
cv2.createTrackbar('c', 'sigmoida', 128, 255, nothing)

def pokaz_suw_lin(self):
self.ukryj_suw()
q=np.zeros([50, 200])
cv2.namedWindow('liniowy')
cv2.imshow('liniowy', q)
self.widac='liniowy'
cv2.createTrackbar('a', 'liniowy', 10, 20, nothing)
cv2.createTrackbar('x0', 'liniowy', 128, 255, nothing)

def ukryj_suw(self):
if self.widac!='':
cv2.destroyWindow(self.widac)
self.widac=''

def wynik(self):
if self.widac=='sigmoida':
b=2.0**(1.0*cv2.getTrackbarPos('b','sigmoida')-10)*255/self.maks
c=1.0*cv2.getTrackbarPos('c', 'sigmoida')*self.maks/255
return np.array(sig(self.img, b, c, self.maks), dtype=self.dtype)
elif self.widac=='liniowy':
a=2.0**(cv2.getTrackbarPos('a','liniowy')-10)
b=self.maks/2-a*cv2.getTrackbarPos('x0', 'liniowy')*self.maks/255
return np.array(lin(self.img, a, b, self.maks), dtype=self.dtype)
else:
return np.array(self.img, dtype=self.dtype)

try:
arr=dataset.pixel_array

if arr.dtype==np.dtype('uint16'):
maks=256*256-1
else:
maks=255
cv2.imshow('obraz', arr)
suw=suwaki(arr, maks=maks)
k=-1
while True:
k=cv2.waitKey(100)
if k==ord('s'):
suw.pokaz_suw_sig()
elif k==ord('l'):
suw.pokaz_suw_lin()
elif k==32:
suw.ukryj_suw()
elif k==27:
break
else:
cv2.imshow('obraz', suw.wynik())

finally:
cv2.destroyAllWindows()
</source>

"Programowanie dla Fizyków Medycznych"/DICOM

2018-01-12T12:02:12Z

Jginter: /* Zadanie 3 */

"Programowanie dla Fizyków Medycznych"/DICOM

2018-01-12T12:01:39Z

Jginter: /* Zadanie */

"Programowanie dla Fizyków Medycznych"/DICOM

2018-01-12T09:08:00Z

Jginter: /* Operacje na obrazie */

"Programowanie dla Fizyków Medycznych"/DICOM

2018-01-12T08:27:27Z

Jginter: /* Zadanie 2 */

"Programowanie dla Fizyków Medycznych"/DICOM

2018-01-11T13:54:12Z

Jginter: /* Zadanie */

"Programowanie dla Fizyków Medycznych"/DICOM

2018-01-11T13:14:27Z

Jginter: /* Biblioteka PyDICOM */

"Programowanie dla Fizyków Medycznych"/DICOM

2018-01-11T12:35:13Z

Jginter: /* Biblioteka PyDICOM */

"Programowanie dla Fizyków Medycznych"/DICOM

2018-01-11T10:30:42Z

Jginter: /* Biblioteka PyDICOM */

"Programowanie dla Fizyków Medycznych"/DICOM

2018-01-11T09:43:38Z

Jginter: /* DICOM-Meta-Information-Header */

"Programowanie dla Fizyków Medycznych"/DICOM

2018-01-10T15:55:01Z

Jginter: /* Struktura plików DICOM */

"Programowanie dla Fizyków Medycznych"/DICOM

2018-01-10T15:50:05Z

Jginter: /* Struktura plików DICOM */

"Programowanie dla Fizyków Medycznych"

2018-01-10T15:49:17Z

Jginter: /* Projekt pierwszy: symulacja ruchu akceleratora */

[[Category:Informatyka]]
==Język Python==
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Struktury danych|Struktury danych]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Instrukcje sterowania|Sterowanie przebiegiem programu]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Funkcje|Funkcje]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Pliki|Pliki]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Klasy|Klasy]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Dekoratory|Dekoratory]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Wyjątki|Wyjątki]]

==Elementy metod numerycznych==
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych/Optymalizacja|Optymalizacja]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych/RRZ|Równania różniczkowe zwyczajne]]

==Przetwarzanie obrazów==
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych/Ćwiczenia z przetwarzania tablic 2D|Ćwiczenia z przetwarzania tablic 2D]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych/Obsługa plików graficznych i DICOM|Obsługa plików graficznych i DICOM]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych/Manipulacja obrazem|Manipulacja obrazem]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych/Morfologia matematyczna|Morfologia matematyczna]]

==Programowanie GUI - wxPython==
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Galeria Widgetow|Galeria Widgetów]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Ramki|Ramki]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Dialogi|Dialogi]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Eventy|Eventy]]
#[[TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych:Validatory|Validatory]]

==Projekt pierwszy: symulacja ruchu akceleratora==
Przypomnienie: [https://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php/TI/Programowanie_dla_Fizyk%C3%B3w_Medycznych:Ciekawe_zadania Ciekawe zadania]
*[https://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php/TI/Programowanie_dla_Fizyk%C3%B3w_Medycznych:Zadania_openCV#Obiekt:_tr.C3.B3jk.C4.85t Trójkąty - opis ]

==Projekt drugi: obsługa plików w formacie DICOM==
*[https://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php/%22Programowanie_dla_Fizyk%C3%B3w_Medycznych%22/DICOM Format DICOM]

==Przydatne linki==
#[http://pl.spoj.com/problems/latwe/ Łatwe zadania algorytmiczne]
#[https://docs.python.org/2/library/functions.html doc: wbudowane funkcje]
#[https://docs.python.org/2/library/stdtypes.html doc: wbudowane typy]
#[https://docs.python.org/2/tutorial/datastructures.html doc: struktury danych]

"Programowanie dla Fizyków Medycznych"/DICOM

2018-01-10T15:47:16Z

Jginter: Utworzono nową stronę "==Struktura plików DICOM== Prace nad ustandaryzowaniem wymiany danych graficznych pomiędzy urządzeniami medycznymi rozpoczęły się już w 1983 w ramach współprac..."

==Struktura plików DICOM==

Prace nad ustandaryzowaniem wymiany danych graficznych pomiędzy urządzeniami medycznymi rozpoczęły się już w 1983 w ramach współpracy American College of Radiology (ACR) i National Electrical Manufactures Association (NEMA). Pierwsza wersja standardu pojawiła się dwa lata później i nosiła nazwę ACR/NEMA 300 V1.0. Wersja ta umożliwiała zapis danych w odpowiednim formacie oraz ujednolicony sposób transferu plików za pomocą sieci lub nośników zewnętrznych. W 1988 roku pojawiła się druga wersja standardu ACR/NEMA V2.0, która opierała się na ujednoliconej terminologii, strukturze informacji odpowiednim kodowaniu danych. Wraz z rozwijaniem standardów pojawiały się nowe zapotrzebowania. Ostatni oficjalna wersja to DICOM 3.0 (Digital Imaging and COmmunications in Medicine) z 1992. Standard ten jest w dalszym ciągu uaktualniany.

===Dokumentacja===

Standard DICOM jest zorganizowany w postaci wieloczęściowego dokumentu (Rys. <xr id="uid2"> %i</xr>) i uaktualniany corocznie w postaci Suplementów.

Obejrzyj stronę domową standardu DICOM: http://dicom.nema.org/, w szczególności: Strategic Document & Principal Contacts

Poszczególne dokumenty są poświęcone strukturze danych, sposobom kodowania, archiwizacji, wymiany informacji oraz aspektom bezpieczeństwa danych. Na zajęciach skupimy się na następujących częściach dokumentacji:

<ul>

<li>
PS 3.1: Introduction and Overview – wprowadzenie oraz informacje podstawowe na temat standardu

<li>
PS 3.2: Conformance – definicje podstawowych zasad oraz pojęć

<li>
PS 3.3: Information Object Definitions – definicje atrybutów czyli informatyczna reprezentacja fizycznych danych

<li>
PS 3.4: Service Class Specifications – obsługa informatycznych reprezentacji danych

<li>
PS 3.5: Data Structure and Encoding – struktura danych oraz sposób ich kodowania

<li>
PS 3.6: Data Dictionary – spis wszystkich możliwych atrybutów

[[File:dok.png|500px|thumb|center|<figure id="uid2" />Dokumentacja standardu DICOM.]]

</ul>

===DICOM-Meta-Information-Header===

Dane zawarte w każdym pliku DICOM podzielone są na dwie części:

<ul>

<li>
część zawierającą informacje o pliku (Dicom-Meta-Information-Header)

<li>
dane jednego obiektu Service-Object Pair Instance (Dicom-Data-Set)

</ul>

Model informacji określa format danych dla różnych typów informacji, takich jak: obrazy, przebiegi czasowe, obiekty graficzne, raporty, wydruki itp.
Dane są grupowane w tematycznych zbiorach (ang. Entities) oraz podzbiorach (ang. Modules). Każdy moduł tworzony jest przez zbiór atrybutów.

<ol>

<li>
podstawowa jednostka danych: Data Element

<li>
strumień informacji: Data Set

</ol>

Data Element stanowi podstawową jednostkę danych, opisywany jest przy pomocy:

<ul>

<li>
identyfikatora elementu danych (Tag) złożonego z dwóch liczb określających: grupę (Group) oraz element grupy (Element), zapisywanych w postaci liczb heksadecymalnych,

<li>
typu danych (Value Representation), określonego w postaci pary liter w kodzie ASCII i umożliwiającego poprawną interpretację danych,

<li>
rozmiaru elementu (Value Length) wyrażonego w bajtach,

<li>
informacji takich jak: nazwisko pacjenta, rozdzielczość obrazu

</ul>

Strumień informacyjny (Data Set) jest uporządkowanym strumieniem elementów danych.

[[File:przyklad1b.png|500px|thumb|center|<figure id="uid18" />Struktura Data Element.]]

Zadanie 1. Skopiuj na Pulpit katalog DICOM i na podstawie dokumentów w nim zawartych znajdź wyjaśnienie następujących oznaczeń:

<ul>

<li>
(0008,0020): 20120510

<li>
(0008,0030): 101714

<li>
(0008,0060): MG

<li>
(0008,0070): SIEMENS

<li>
(0008,0080): Ovarian Screening, St Barts

<li>
(0010,0010): xxx

<li>
(0010,0040): 0

</ul>

Rozwiązanie:

<ul>

<li>
(0008,0020): 20120510 - Study Date

<li>
(0008,0030): 101714 - Study Time

<li>
(0008,0060): MG - Modality

<li>
(0008,0070): SIEMENS - Manufacturer

<li>
(0008,0080): Ovarian Screening, St Barts - Institution Name

<li>
(0010,0010): xxx - Patient's Name

<li>
(0010,0040): 0 - Patient's Sex

</ul>

Zadanie 2. 56-letnia Janina Kowalska zgłosiła się do Centrum Onkologii z podejrzeniem nowotworu mózgu. 15 lutego 2013 roku zostało wykonanie badanie za pomocą pozytonowej tomografii emisyjnej wykonane na tomografie firmy GE. W czasie badania pacjentka leżała na prawym boku. Za pomocą odpowiednich atrybutów zapisz te informacje w formie pliku DICOM.

Rozwiązanie:

<ul>

<li>
(0010,0010): Kowalska Janina

<li>
(0010,0040): F

<li>
(0010,1010): 56

<li>
(0008,0080): Centrum Onkologii

<li>
(0008,0020): 20130215

<li>
(0008,0060): PT

<li>
(0008,0070): GE

<li>
(0018,5100): HFDR

</ul>

Obrazowanie:Obrazowanie Medyczne/Obrazowanie Metodą Magnetycznego Rezonansu Jądrowego

2018-01-04T09:38:47Z

Jginter: /* Moment magnetyczny w stałym zewnętrznym polu magnetycznym */

Obrazowanie Metodą Magnetycznego Rezonansu Jądrowego
==Kilka uwag na temat Mechaniki Kwantowej, Mechaniki Klasycznej oraz nazewnictwa.==
Prawidłową nazwą metody diagnostyki medycznej, która będzie omawiana w tej części skryptu, jest Obrazowanie Magnetycznego Rezonansu Jądrowego (ang. ''Nuclear Magnetic Rezonanse Imaging'', NMRI). Niestety, większość społeczeństwa negatywnie kojarzy przymiotnik ''jądrowy''. W związku z tym, pomimo iż diagnostyka NMRI nie ma nic wspólnego ze zjawiskiem rozpadu promieniotwórczego i jest uznawana za całkowicie bezpieczną, usunięto z jej nazwy słowo "jądrowy" (nuclear). Obecnie metodę NMRI określa się jako ’’Magnetic Rezonanse Imaging – MRI", czyli Obrazowanie Rezonansu Magnetycznego. W żargonie stosowanym w niektórych placówkach medycznych nazwa ta uległa skróceniu do jednego wyrazu — Rezonans.
Metoda NMRI opiera się na zjawisku Magnetycznego Rezonansu Jądrowego które omówimy na gruncie Mechaniki Klasycznej z elementami Mechaniki Kwantowej. Zastosowanie modelu kwantowego prowadzi do pełniejszego w porównaniu z modelem klasycznym opisu zjawiska NMR, jednak ze względu na skomplikowaną postać samej Teorii Kwantów, model kwantowy może być trudny w zrozumieniu. Z kolei model klasyczno-kwantowy (nazywany również modelem pół-klasycznym), jest łatwiejszy do przyswojenia i dla pewnej klasy problemów uzyskuje się za jego pomocą te same wyniki co w modelu kwantowym.

==Spin==
Dokładny opis spinu, który jest wielkością kwantową, wykracza znacznie poza ramy materiału niniejszego skryptu. W tym miejscu natomiast ograniczymy się do podania kilku faktów, obserwacji, czy uwag, mając nadzieję, że wystarczą one czytelnikom do zrozumienia, czym jest spin, przynajmniej w takim stopniu, który ułatwi im przyswojenie wiadomości na temat Jądrowego Rezonansu Magnetycznego. Podstawowymi elementami, z których składa się materia, są cząstki takie jak elektron, proton oraz neutron, które posiadają spin równy <math>\frac{1}{2}</math>. Najbardziej rozpowszechnionym pierwiastkiem w organizmach żywych jest wodór, którego jądra — protony, odgrywają podstawową role w otrzymywaniu obrazów MR. W związku z tym omówienie pojęcia spinu ograniczymy do przypadku spinu równego <math>\frac{1}{2}</math>.
*Zjawisko takie jak: rozszczepienie w niejednorodnym polu magnetycznym wiązki atomowej na dwie składowe, zaobserwowane przez Sterna i Gerlacha w roku 1922, czy dubletowa struktura widm pierwiastków alkalicznych nie zostały wyjaśnione w ramach teorii budowy atomu zaproponowanej przez Bohra. Doświadczenie Sterna-Gerlacha, jak i badania spektroskopowe wskazywały na nieuwzględnienie w teorii Bohra pewnej wielkości fizycznej — nieznanego, dodatkowego stopnia swobody elektronu.
*W roku 1925 Uhlenbeck i Goudsmit wprowadzają pojecie spinu, jako wewnętrznego momentu pędu elektronu. Uhlenbeck i Goudsmit przyjęli, iż elektron wiruje<ref>W języku angielskim słowo spin oznacza wirowanie</ref> wokół własnej osi, co w naturalny sposób umożliwiło im wytłumaczenie istnienia dodatkowego stopnia swobody oraz wyjaśnienie dubletowej struktury widm pierwiastków alkalicznych. Obecnie wiadomo, iż obraz elektronu jako wirującej kulki zaproponowany przez Uhlenbecka i Goudsmita jest nieprawidłowy. W ramach Mechaniki Kwantowej, spin należy rozumieć jako wyraz istnienia stanów polaryzacyjnych funkcji falowej (w przypadku elektronu, protonu, neutronu i niektórych jąder będą to dwa stany polaryzacyjne). Spin jest własnością cząstek, taką samą jak np. masa lub ładunek, ale obserwowalną dopiero w eksperymentach ujawniających kwantową naturę materii (często można spotkać się ze stwierdzeniem, iż spin jest kwantową własnością cząstek). Spin jest także składową całkowitego momentu pędu, niezwiązana z ruchem, można go zatem również interpretować jako własny (wewnętrzny) moment pędu cząstki.

==Spin i moment magnetyczny jądra atomowego==
Jądra atomowe zawierające nieparzystą liczbę protonów lub neutronów mają niezerowy własny moment pędu <math>\vec{I}</math> (spin) oraz związany z nim moment magnetyczny. Zgodnie z regułami opisu wielkości wektorowych w mechanice kwantowej, jednocześnie może być obserwowalna tylko długość wektora oraz wartość jednej z jego składowych (tzw. rzut tego wektora na wyróżnioną oś, nazywaną osią kwantowania). W przypadku wektora własnego momentu pędu jądra atomowego jego długość wynosi <ref name="bid3">H.Haken H.Ch.Wolf "Atomy i kwanty"</ref>:
<equation id="1"><math>
|\vec{I}| = \hbar\sqrt{I\left(I+1\right)}
</math></equation>
gdzie:
<math>I</math> oznacza liczbą kwantową o wartości całkowitej lub połówkowej. 
Składowa <math>z</math> momentu pędu wyraża się następującym wzorem <ref name="bid3" />:
<equation id="2"><math>
\begin{array}{lc}
I_{z} = m_{I}\hbar, & m_{I} = \{I,I-1,\dots,-I\}
\end{array}
</math></equation>
Możliwych jest zatem <math>2I+1</math> orientacji spinu jądra względem wyróżnionego kierunku, odpowiadających możliwym wartościom jądrowej magnetycznej liczby kwantowej <math>m_{I}</math>. W przypadku protonu (jądra atomu wodoru), mamy:
<equation id="3"><math>
\begin{array}{l}
I=1/2\\
\\
|\vec{I}| = \frac{\sqrt{3}}{2}\hbar\\
\\
(\vec{I})_{z} = \pm\frac{1}{2}\hbar
\end{array}
</math></equation>
Moment magnetyczny związany jest ze spinem następującą zależnością:
<equation id="4"><math>
\vec{\mu}_{I} = \gamma\vec{I}
</math></equation>
Stała proporcjonalności <math>\gamma</math> to tzw. jądrowy stosunek giromagnetyczny. Również i w przypadku jądrowego momentu magnetycznego można zmierzyć jednocześnie tyko jego długość i rzut na wyróżnioną oś <math>z</math> wynoszący:
<equation id="5"><math>
\left(\vec{\mu}_{I}\right)_{z} = \gamma\vec{I}_{z}
</math></equation>
Na moment magnetyczny umieszczony w polu magnetycznym <math>\vec{B}</math>, działa pewien moment siły, starający się ustawić momentu magnetycznego zgodnie z kierunkiem pola <math>\vec{B}</math>. Energia potencjalna tego oddziaływania wynosi:
<equation id="6"><math>
V = -\vec{\mu}\cdot\vec{B}
</math></equation>
Zgodnie z prawami termodynamiki układ fizyczny dąży do stanu, w którym jego energia wewnętrzna osiągnie wartość minimalną.
Rozważmy pole <math>\vec{B}</math>, posiadające tylko składową wzdłuż osi <math>z</math> układu odniesienia, czyli <math>\vec{B} = \left[ 0, 0, B_{z}\right] </math>.
W przypadku protonu, posiadającego ładunek dodatni, orientacji momentu pędu zgodnej z kierunkiem pola <math>\vec{B}</math> będzie odpowiadać energia potencjalna:
<equation id="7"><math>
V = -\mu\cdot B_z=-\gamma I_{z}B_z=-\frac{1}{2}\gamma\hbar B_z
</math></equation>
natomiast orientacji antyrównoległej:
<equation id="8"><math>
V = \mu\cdot B_z=-\gamma I_{z}B_z=\frac{1}{2}\gamma\hbar B_z
</math></equation>
Ustawienie najkorzystniejsze energetycznie odpowiada więc sytuacji, kiedy składowa <math>z</math> spinu ustawiona jest w równolegle do kierunku pola <math>\vec{B}</math> (magnetyczna liczba kwantowa <math>m_{I}=\frac{1}{2}</math>).

==Moment magnetyczny w stałym zewnętrznym polu magnetycznym==

[[File:mri_basic.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:mri_basic"></figure>Ilustracja do klasycznego rozwiązania zagadnienia precesji momentu magnetycznego <math>\vec{\mu}</math> wokół wektora indukcji pola magnetycznego <math>\vec{B}</math>. Na rysunku obrano prawoskrętny układ współrzędnych. Na moment magnetyczny działa moment siły równy <math>\vec{N} = \vec{\mu}\times \vec{B}</math>. Momentu siły, zgodnie z zasadą wyliczania iloczynu wektorowego, jest skierowany w płaszczyznę rysunku, powodując ruch momentu magnetycznego w kierunku zaznaczonym strzałką. Jest to ruch w kierunku przeciwnym do kierunku obranego układu współrzędnych.]]
Rozwiązanie równań Schrödingera dla przypadku statycznego pola magnetycznego nie jest skomplikowanym zadaniem. Niemniej interpretacja fizyczna otrzymanych wyników może sprawić pewne trudności. Ponadto w obrazowaniu MRI stosuje się nie tylko stałe pole magnetyczne lecz również odpowiednie serie impulsów pobudzających (tzw. impulsów pobudzających <math>\pi/2</math> lub <math>\pi</math>). Okazuje się, że w wielu przypadkach, zadowalający opis zjawiska rezonansu magnetycznego, uzyskuje się stosując tzw. model wektorowy, który jest podobny do modelu opisującego precesję symetrycznego bączka w polu grawitacyjnym. 
Rozważmy moment magnetyczny znajdujący się w stałym polu magnetycznym o następującej indukcji:<math>\vec{B}_0 =\left[0, 0, B_{0}\right]</math>.
Szybkość zmian momentu pędu ciała (<math>\vec{I}</math>) jest równa momentowi siły (<math>\vec{N}</math>) działającemu na to ciało:
<equation id="9"><math>
\frac{d\vec{I}}{dt} = \vec{N}
</math></equation>
Moment magnetyczny, związany z wewnętrznym momentem pędu jądra, wynosi:
<equation id="10"><math>
\vec{\mu}_{I} = \gamma\vec{I}
</math></equation>
Po przekształceniu powyższego równania dostajemy:
<equation id="11"><math>
\vec{I} = \frac{\vec{\mu}_I}{\gamma}
</math></equation>
W polu magnetycznym <math>\vec{B}_0</math> na moment magnetyczny będzie działa moment siły:
<equation id="12"><math>
\vec{N} = \vec{\mu}_{I}\times\vec{B}_0
</math></equation>

Podstawiając równanie na moment pędu do równania na moment siły otrzymujemy zależność opisującą ruch momentu magnetycznego:
<equation id="eq:MRI_1"><math>
\frac{d\vec{\mu}}{dt} = \gamma\vec{\mu}\times\vec{B}_0
</math></equation>
ponieważ:
<equation id="13"><math>
\gamma\vec{\mu}\times\vec{B}_0 = \left[\gamma\mu_{y}B_{0},-\gamma\mu_{x}B_{0},0\right]
</math></equation>
ostatecznie równanie (<xr id="eq:MRI_1"/>) możemy zapisać jako układ trzech równań:

<equation id="eq:MRI_2"><math>
\begin{array}{l}
\frac{d\mu_{x}}{dt} = \omega_{0}\mu_{y}\\
\\
\frac{d\mu_{y}}{dt} = -\omega_{0}\mu_{x}\\
\\
\frac{d\mu_{z}}{dt} = 0

\end{array}
</math></equation>
gdzie: <math>\omega_{0}=\gamma B_{0}</math> 

Rozwiązanie równania na wielkość składowej ''z'' wektora momentu magnetycznego jest proste i wynosi:
<equation id="14"><math>
\mu_{z} = \mu^{0}_{z} = \mathrm{const}
</math></equation>
W celu uzyskania równań na dwie pozostałe składowe wyznaczmy druga pochodną pierwszego równania w układzie (<xr id="eq:MRI_2"/>) i podstawmy ją do równania drugiego we wspomnianym układzie:
<equation id="eq:MRI_3"><math>
\begin{array}{l}
\frac{d^2\mu_{x}}{dt^2} = \omega_{0}\frac{d\mu_{y}}{dt}\\
\\
\frac{d\mu_{y}}{dt} = -\omega_{0}\mu_{x}
\end{array}
</math></equation>
Podstawiając teraz drugie równanie z układu (<xr id="eq:MRI_3"/>) do równania pierwszego układu (<xr id="eq:MRI_3"/>) dostajemy:
<equation id="eq:MRI_4"><math>
\frac{d^2\mu_{x}}{dt^2} = -\omega^{2}_{0}\mu_x
</math></equation>
Jest to równanie oscylatora harmonicznego o następującym rozwiązaniu:
<equation id="eq:MRI_5"><math>
\mu_x = A\cos(-\omega_0 t + \phi_0)
</math></equation>
gdzie stałe ''A'' oraz <math>\phi_0</math> wynikają z warunków początkowych.
Widzimy, że składowa ''x'' momentu magnetycznego drga z częstością <math>-\omega_0</math>. Przyczyna pojawienia się znaku "-" w rozwiązaniu została wyjaśniona na <xr id="fig:mri_basic">rys. %i</xr>. Podstawiając równanie (<xr id="eq:MRI_5"/>) do drugiego równania w układzie (<xr id="eq:MRI_2"/>) dostajemy rozwiązanie na wielkość składowej ''y'' momentu magnetycznego:

<equation id="15"><math>
\mu_x = A\sin(-\omega_0 t + \phi_0)
</math></equation>

Ostatecznie otrzymaliśmy następujące rozwiązanie ruchu wektora momentu magnetycznego w stałym polu magnetycznym:
<equation id="eq:MRI_6"><math>
\begin{array}{l}
\vec{\mu}_z = \mu^{0}_{z} = \mathrm{const}\cdot\vec{e}_z\\
\\
\vec{\mu}_x =A\cos(-\omega_0 t + \phi_0)\cdot\vec{e}_x\\
\\
\vec{\mu}_y =A\sin(-\omega_0 t + \phi_0)\cdot\vec{e}_y\\
\end{array}
</math></equation>
gdzie: 
<math>A, \phi_0, \mu^{0}_{z} </math> wynikają z warunków początkowych. 
Na podstawie równania (<xr id="eq:MRI_6"/>) możemy wyciągnąć następujące wnioski:
* składowa ''z'' momentu magnetycznego (równoległa do osi ''z'' i pola magnetycznego) zachowuje stały kierunek w przestrzeni,
* składowa ''x'' oraz ''y'' momentu magnetycznego zakreśla w płaszczyźnie ''X-Y'' okrąg.

Złożenie ruchu momentu magnetyczne w płaszczyźnie ''X-Y'' ze stałym kierunkiem składowej ''z'' daje wypadkowy ruch nazywany precesją (w tym przypadku jest to precesja momentu magnetycznego wokół kierunku stałego pola magnetycznego). Wektor momentu magnetycznego wykonuje ruch precesyjny z prędkością kątową (odpowiadającej częstości kołowej):
<equation id="eq:larmour_kolowa"><math>\omega_0 = \gamma B_0</math></equation>
nazywaną częstością Larmour'a.
Składowe ''x'' oraz ''y'' momentu magnetycznego można zapisać w wygodniejszy sposób stosują formalizm liczb zespolonych.
Pomnóżmy trzecie równanie w układzie (<xr id="eq:MRI_6"/>) przez liczbę <math>i=\sqrt{-1}</math> i dodajmy do drugiego równania w układzie (<xr id="eq:MRI_6"/>):
<equation id="16"><math>
\begin{array}{l}
\vec{\mu}_z = \mu^{0}_{z} = \mathrm{const}\cdot\vec{e}_z \\
\\
\vec{\mu}_x + \vec{\mu}_y\cdot i =A\cos(-\omega_0 t + \phi_0)\vec{e}_x + A\sin(-\omega_0 t + \phi_0)\vec{e}_y\cdot i
\end{array}
</math></equation>
Wprowadźmy wielkość:
<equation id="eq:mu_T"><math>
\vec{\mu}_T=\vec{\mu}_x + \vec{\mu}_y \dot i = A\cdot e^{-\omega_0 t + \phi_0} \cdot \vec{e}_T
</math></equation>
Wektor <math>\vec{\mu}_T</math> będziemy od tej chwili nazywali składową poprzeczną (ang. '' '''t'''ransversal'') momentu magnetycznego.
Z kolei wektor <math>\vec{\mu}_z</math> będziemy dalej oznaczali symbolem <math>\vec{\mu}_L</math> i nazywali składową podłużną momentu magnetycznego (ang. '' '''l'''ongnitudal''). Innym dogodny sposób matematycznego opisu zjawiska precesji momentu magnetycznego, który będziemy stosowali, wykorzystuje macierz obrotu:

<equation id="eq:MRI_7"><math>
\left\{
\begin{array}{l}
\vec{\mu}_x =A\cos(-\omega_0 t + \phi_0)\cdot\vec{e}_x\\
\\
\vec{\mu}_y =A\sin(-\omega_0 t + \phi_0)\cdot\vec{e}_y\\
\\
\vec{\mu}_z = \mu^{0}_{z}\cdot\vec{e}_z \\
\end{array}
\right.
=
\left\{
\begin{array}{l}
\vec{\mu}_x =A\cos(-\omega_0 t)\cos(\phi_0)\cdot\vec{e_x} - A\sin(-\omega_0 t)\sin(\phi_0)\cdot\vec{e}_x\\
\\
\vec{\mu}_y =A\sin(-\omega_0 t)\cos(\phi_0)\cdot\vec{e_y} + A\cos(-\omega_0 t)\sin(\phi_0)\cdot\vec{e}_y\\
\\
\vec{\mu}_z = \mu^{0}_{z}\cdot\vec{e}_z \\
\end{array}
\right.
\rightarrow
</math>
<math>
\left[
\begin{array}{l}
\vec{\mu}_x \\
\\
\vec{\mu}_y \\
\\
\vec{\mu}_z \\
\end{array}
\right] =
\left[
\begin{array}{ccc}
\cos(\omega_0 t) & \sin(\omega_0 t) & 0 \\
\\
-\sin(\omega_0 t) & \cos(\omega_0 t) & 0 \\
\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{l}
A\cos(\phi_0) \cdot \vec{e}_x \\
\\
A\sin(\phi_0) \cdot \vec{e}_y \\
\\
\mu_z^0 \cdot \vec{e}_z \\
\end{array}
\right]
\rightarrow
</math>
<math>
\left[
\begin{array}{l}
\vec{\mu}_x \\
\\
\vec{\mu}_y \\
\\
\vec{\mu}_z \\
\end{array}
\right] =
P\cdot
\left[
\begin{array}{l}
\mu_T^0 \cos(\phi_0) \cdot \vec{e}_x\\
\\
\mu_T^0 \sin(\phi_0) \cdot \vec{e}_y\\
\\
\mu_L^0 \cdot \vec{e}_z\\
\end{array}
\right]
</math></equation>
gdzie: 
<math>\mu_L^0</math> — rzut momentu magnetycznego na os ''Z'' w chwili początkowej, 
<math>\mu_T^0</math> — rzut momentu magnetycznego na płaszczyznę ''X-Y'' w chwili początkowej, 
<math>\phi_0</math> — kąt jaki tworzy rzut momentu magnetycznego na płaszczyznę ''X-Y'' z osią ''X'' w chwili początkowej, 
<math>P = \left[
\begin{array}{ccc}
\cos(\omega_0 t) & \sin(\omega_0 t) & 0 \\
\\
-\sin(\omega_0 t) & \cos(\omega_0 t) & 0 \\
\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right] </math> — macierz obrotu.

 
We wzorze (<xr id="eq:MRI_7"/>) skorzystano z własności trygonometrycznych sinusa i cosinusa:
<equation id="17"><math>
\begin{array}{ccc}
\sin\left( a + b \right) &=& \sin(a) \cos(b) + \cos(a) \sin(b)\\
\cos\left( a + b \right) &=& \cos(a) \cos(b) + \sin(a) \sin(b)\\
\end{array}
</math></equation>

==Namagnesowanie próbki==
Namagnesowanie, to całkowity moment magnetyczny, przypadający na jednostkę objętości <math>\Delta V</math>:
<equation id="17"><math>
\vec{M} = \frac{\sum_{i=1}^{N}\vec{\mu}_i}{\Delta V}
</math></equation>
Rozłóżmy wektor namagnesowania na dwie składowe: tzw. podłużną (<math>\vec{M}_L</math>),to jest równoległą do kierunku pola magnetycznego oraz składową poprzeczną (<math>\vec{M}_T</math>), leżącą w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku pola magnetycznego:
<equation id="18"><math>
\vec{M} = \vec{M}_L + \vec{M}_T
</math></equation>

===Ile wynosi namagnesowanie poprzeczne próbki?===
Składową poprzeczną namagnesowania będziemy oznaczali wektorem <math>\vec{M}_T</math>. Załóżmy, że w próbce znajduje się ''N'' takich samych jąder posiadających moment magnetyczny. Momenty te mają losową orientację przestrzeni. W pewnej chwili, zostaje włączone stałe pole magnetyczne. Stałe ''A'' oraz <math>\phi_0</math> dla każdego momentu magnetycznego wyznaczamy na podstawie orientacji momentu magnetycznego w chwili łączenia pola. Dla każdego jądra magnetycznego stała ''A'' wynikająca z warunków początkowych jak to faza początkowa <math>\phi_0</math> jest dowolna. W związku z czym:
<equation id="19"><math>
\vec{M}_T = \frac{\sum_{i=1}^{N}\vec{\mu}_{T} \cdot \vec{e}_T }{\Delta V} = \frac{\sum_{i=1}^{N}A_i e^{-\omega_0 t + \phi_{0_i}} \cdot \vec{e}_T}{\Delta V} = 0
</math></equation>
gdzie <math>\vec{\mu}_T</math> to składowa poprzeczna wektoru momentu magnetycznego, zgodnie ze wzorem (<xr id="eq:mu_T"/>).

===Ile wynosi namagnesowanie próbki, czyli namagnesowanie podłużne?===
Przypominamy, że rozważamy cząstkę lub jądro atomowe, znajdujące się w zewnętrznym polu magnetycznym <math>\vec{B}_{0}</math>, skierowanym równolegle do osi <math>z</math>. Składowa <math>z</math> tego pola wynosi <math>B_{0}</math>. W celu uproszczenia problemu przyjmujemy, że cząstka lub jądro atomowe posiada spin równy <math>\frac{1}{2}</math> (np. proton). Moment magnetyczny cząstki lub jądra atomowego może ustawić się zgodnie lub przeciwnie do kierunku zewnętrznego pola magnetycznego. W szczególności składowa <math>z</math> momentu magnetycznego, przyjmie kierunek równoległy bądź antyrównoległy do pola <math>B_{0}</math>, skierowanego wzdłuż osi <math>z</math>. Jak wiemy, układy fizyczne dążą do osiągnięcia stanu, w którym uzyskają minimum energii. Energia potencjalna momentu magnetycznego w zewnętrznym polem magnetycznym wynosi:
<equation id="20"><math>
V = -\vec{\mu}\vec{B}
</math></equation>
Rozwijając powyższy wzór dla rozważanego przez nas przypadku, otrzymujemy:
<equation id="21"><math>
V = -u_{z}B_{0} = -\gamma(\vec{I})_{z}B_{0}=-\gamma\hbar m_{I}B_{0}
</math></equation>
gdzie: 
<math>m_{I}=\pm\frac{1}{2}</math> 
Rzutowi momentu magnetycznego równoległemu do osi <math>z</math>, czyli dla <math>m_{I}=\frac{1}{2}</math>, odpowiada energia potencjalna:
<equation id="22"><math>
V = -\gamma\frac{\hbar}{2}B_{0}
</math></equation>
natomiast rzutowi antyrównoległemu:
<equation id="23"><math>
V = \gamma\frac{\hbar}{2}B_{0}
</math></equation>
Jak widać ustawienie równoległe spinu i momentu magnetycznego protonu względem pola <math>B_{0}</math> jest korzystniejsze energetycznie niż ustawienie antyrównoległe. Należy się zatem spodziewać, iż w zewnętrznym polu magnetycznym częściej będzie występować sytuacja, kiedy moment magnetyczny ustawi się w kierunku tego pola. Namagnesowanie podłużne powstaje zatem w wyniku nierównomiernego obsadzenia przez cząstkę lub jądro stanów o spinie skierowanym zgodnie lub przeciwnie do kierunku oddziałującego pola magnetycznego. W celu obliczenia, jaka będzie różnica w ilości obsadzeń poszczególnych stanów energetycznych, skorzystamy z rozkładu Boltzmana.
Stosunek liczby cząstek obsadzających dwa stany energetyczne jest równa:
<equation id="eq:rozB"><math>
\frac{N_{+}}{N_{-}} = \frac{e^{-\frac{E_{+}}{k_{b}T}}}{e^{-\frac{E_{-}}{k_{b}T}}}
</math></equation>
gdzie: 
<math>T</math> — temperatura, 
<math>k_{b}</math> — stała Boltzmana, 
<math>N_{\pm}</math> — liczba cząstek o spinie skierowanym odpowiednio równolegle i antyrównolegle do pola <math>B_{0}</math>. 
Podstawiając do wzoru (<xr id="eq:rozB"/>) wyznaczone wcześniej energie potencjalne, odpowiadające dwóm różnym orientacjom spinu w polu <math>B_{0}</math> dostajemy: 
<equation id="24"><math>
\frac{N_{+}}{N_{-}} = \frac{e^{-\frac{-\frac{\hbar}{2}\gamma B_{0}}{k_{b}T}}}{e^{-\frac{\frac{\hbar}{2}\gamma B_{0}}{k_{b}T}}}=e^{\frac{\gamma\hbar B_{0}}{k_{b}T}}
</math></equation>
W temperaturze pokojowej, różnice obsadzeń poszczególnych poziomów energetycznych są nieznaczne, dlatego skorzystamy z przybliżenia:
<equation id="25"><math>
e^{\frac{\gamma\hbar B_{0}}{k_{b}T}}\approx 1+ \frac{\gamma\hbar B_{0}}{k_{b}T}
</math></equation>
Różnica w ilości obsadzeń poszczególnych poziomów energetycznych jest zatem równa:
<equation id="26"><math>
\Delta N = N_{+} - N_{-} = \frac{\gamma\hbar B_{0}}{k_{b}T}N_{-}\approx\frac{\gamma\hbar B_{0}}{k_{b}T}\frac{1}{2}N_{t}
</math></equation>
gdzie: 
<math>N_{t}</math> to liczba wszystkie jąder atomu wodoru w badanej próbce. 
Czynnik <math>\frac{\gamma\hbar B_{0}}{k_{b}T}</math> w temperaturze ciała ludzkiego <math>T=310K</math> i polu magnetycznym <math>B_{0}=1T</math> jest równy:
<equation id="27"><math>
\frac{\gamma\hbar B_{0}}{k_{b}T}\approx 7\cdot10^{-6}
</math></equation>
Wynik ten oznacza, że na każdy milion protonów o spinie skierowanym przeciwnie do pola magnetycznego, przypada milion plus siedem protonów o spinie skierowanym równolegle do pola i ta niewielka nadwyżka protonów w stanie o korzystniejszej energii jest odpowiedzialna za namagnesowanie próbki. Wartość nadwyżki wydaje się być niezwykle mała. Należy jednak pamiętać, że ilość protonów jaka występuje w organizmie ludzkim jest niezmiernie duża, co umożliwia rejestrację wytworzonego namagnesowania. Jeden gram wody zawiera <math>\frac{1}{8}</math> mola atomów wodoru. W jednym molu materii występuje <math>6.023\cdot10^{32}</math> cząsteczek, a zatem gram wody zawiera <math>N_{t} = 6.68\cdot10^{22}</math> atomów wodoru. Nadwyżka <math>\Delta N</math> wynosi zatem <math>\Delta N\approx 2.2\cdot10^{17}</math> protonów.
Całkowity podłużny moment magnetyczny wytworzony przez 1 gram wody wynosi:
<equation id="28"><math>
\left|\mu_{L}\right| = \Delta N\left<\mu_{z}\right>=\Delta N \frac{1}{2}\hbar\gamma = \Delta n\cdot 1.4\cdot10^{-26}\textrm{J/T} = 3.1\cdot10^{-9}\textrm{Am}^{2}
</math></equation>
Z kolei namagnesowanie to całkowity moment magnetyczny na jednostkę objętości. Jeden gram wody zajmuje objętość <math>10^{-6}\mathrm m^{-3}</math>
a zatem namagnesowanie wytworzone 2 jednym gramie wody w polu magnetycznym o wartości indukcji <math>B_{0}=1</math>T w temperaturze <math>T=310</math>K wyniesie:
<equation id="29"><math>
\left|M\right|=3.1\cdot10^{-3}\textrm{A/m}
</math></equation>

==Zmiana orientacji wektora namagnesowania. Magnetyczny Rezonans Jądrowy==
W poprzednim rozdziale dowiedzieliśmy się, że efektem wprowadzenia jąder w stałe pole magnetyczne jest wykonywanie przez momenty magnetyczne ruchu precesyjnego wokół kierunku wektora pola magnetycznego, skutkiem czego pojawia się namagnesowanie próbki. Niestety, pomiar wielkości uzyskanego w ten sposób namagnesowania jest niemożliwy do przeprowadzenia. Namagnesowanie ma ten sam kierunek co wywołujące je pole magnetyczne.
W celu pomiaru wielkości namagnesowania próbki niezbędne jest zmiana orientacji wektora <math>\vec{M}</math>. Dokonuje się to poprzez wprowadzenie próbki w dodatkowe, zmienne pole magnetyczne. Proces ten opiszemy w niniejszym rozdziale.

Ewolucję wektora namagnesowania można opisać równaniem podobnym do równania (<xr id="eq:MRI_1"/>):
<equation id="eq:MRI_7"><math>
\frac{d\vec{M}}{dt} = \gamma\vec{M}\times\vec{B}_0
</math></equation>
Rozważmy teraz konfigurację dwóch pól magnetycznych — pola statycznego i pola zmiennego w czasie, mającego niezerowe składowe tylko w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku pola stałego. Niech zmienne pole magnetyczne ma postać:
<equation id="eq:MRI_8"><math>
\vec{B}_1\left(t\right) = \left[2B_{1}\cos\left(-\omega_1 t\right),0,0\right]
</math></equation>
Indukcja zmiennego pola magnetycznego <math>\vec{B}_1</math> jest rzędu <math>10^{-5}</math> T, a zatem jest znacznie mniejsza od indukcji statycznego pola magnetycznego <math>\vec{B}</math>. Pole <math>\vec{B}_1</math> nazywane jest impulsem pobudzającym (ang. ''Radio Frequency'', RF), włączane jest bowiem na krótki okres czasu (co wyjaśnimy dalej). Impuls RF wytwarza się za pomocą cewek w postaci fali elektromagnetycznej.
Okazuje się, że pole opisane wzorem (<xr id="eq:MRI_7"/>) możemy rozłożyć na dwa pola, rotujące w płaszczyźnie ''x-y'' w przeciwne strony:
<equation id="29"><math>
\begin{array}{l}
\vec{B}_{1_R}\left(t\right) = \left[B_{1}\cos\left(-\omega_1 t\right),B_{1}\sin\left(-\omega_1 t\right),0\right]
\\
\vec{B}_{1_L}\left(t\right) = \left[B_{1}\cos\left(-\omega_1 t\right),-B_{1}\sin\left(-\omega_1 t\right),0\right]
\end{array}
</math></equation>
Pierwsza składowa pola <math>\vec{B}_{1_R}</math> rotuje przeciwnie do wskazówek zegara, zaś druga składowa <math>\vec{B}_{1_l}</math> w kierunku przeciwnym. W zależności od tego, jaką orientację posiadał jądrowy moment magnetyczny (równoległą lub antyrównoległą do osi <math>z</math>), jedna z tych składowych będzie drgała w kierunku ruchu precesyjnego spinu, druga zaś w kierunku przeciwnym. Składowa drgająca w kierunku przeciwnym będzie "''niewidoczna dla momentu magnetycznego''" i nie wpłynie na jego orientację. Pole drgające w kierunku przeciwnym do ruchu precesyjnego momentu magnetycznego wywoła pewne drugorzędowe efekty, które nie będą omawiane w niniejszej pracy. Ruch momentu magnetycznego, w przypadku superpozycji dwóch pól — statycznego <math>B_{0}</math> oraz zmiennego <math>B_{1}\left(t\right)</math> opisuje zatem następujące równanie:
<equation id="eq:MRI_9"><math>
\frac{d\vec{M}}{dt}=\gamma\vec{M}\times\left[\vec{B}_0 + \vec{B}_1\left(t\right)\right]
</math></equation>
gdzie: <math>\vec{B}_{0} = \left[0, 0, B_{0}\right]</math>, <math>B_{1}\left(t\right) = B_{1}\left[\cos\left(\omega_1 t\right),-sin\left(\omega_1 t\right),0\right])</math>. 
Wprowadźmy dwa układy współrzędnych: Układ Laboratoryjny ''U'' oraz układ ''U' '' obracający się z częstością zmiennego pola magnetycznego (<math>\omega_1</math>). Osie ''z'' oraz ''z' '' odpowiednio układu ''U'' oraz ''U' '' są do siebie równoległe. Stałe pole magnetyczne jest skierowane wzdłuż tych osi. Zapiszmy równanie (<xr id="eq:MRI_9"/>) w układzie ''U ' ''.
Zgodnie z zasadami transformacji wektorów pomiędzy różnymi układami współrzędnych, równanie (<xr id="eq:MRI_9"/>) w układzie ''U' ''będzie miało postać:
<equation id="a1"><math>
\left[\frac{d\vec{M}}{dt}\right]_{U'}=\vec{M}\times\left[\left(-\omega_1 + \gamma B_{0}\right)\vec{e}_z + \gamma B_{1}\vec{e}_x\right]
</math></equation>
które można również zapisać w formie:
<equation id="eq:rownaie_ruchu_w_wirujacym_ukladzie_odniesienia"><math>
\left[\frac{d\vec{M}}{dt}\right]_{U'}=\vec{M}\times\gamma\left[\left(B_{0} - \frac{\omega_1}{\gamma}\right)\vec{e}_{z'} + B_{1}\vec{e}_{x'}\right] = M\times\gamma\vec{B}_{eff}
</math></equation>
gdzie: <math>\vec{B}_{eff} = \left[\left(B_{0} - \frac{\omega_1}{\gamma}\right)\vec{e}_z + B_{1}\vec{e}_x\right]</math>. 

===Zjawisko Magnetycznego Rezonansu Jądrowego w ujęciu klasycznym===

Przeanalizujmy równanie (<xr id="eq:rownaie_ruchu_w_wirujacym_ukladzie_odniesienia"/>). W obracającym się układzie odniesienia jądrowy moment magnetyczny zachowuje stałe położenie. Wzdłuż osi ''z' '' układu ''U' '' obserwujemy składową statycznego pola magnetycznego <math>B_0\vec{e}_z</math> oraz pole <math>\frac{\omega_1}{\gamma}\vec{e}_z</math>, które powstaje w wyniku przejścia z układu laboratoryjnego ''U'' do układu ''U' ''. Dodatkowo w płaszczyźnie ''X'-Y' '' obserwujemy statyczne pole magnetyczne <math>\vec{B}_1\vec{e}_x</math>. W wyniku złożenia tych trzech pół, powstaje wypadkowe pole <math>\vec{B}_{eff}</math>, wokół którego moment magnetyczny zaczyna dokonywać precesji.
Rozpatrzmy następujące przypadki: 
1. Częstość <math>\omega_1</math> wirującego pola <math>\vec{B}_1</math> jest bardzo niewielka (<math>\omega_1\approx0</math>). 
: Przypominamy, że <math>B_0>>B_1</math>, wtedy: 
: <math>\vec{B}_{eff} = B_{0}\vec{e}_z</math>, 
: innymi słowy, dodatkowe, rotujące pole magnetyczne nie wpływa na orientację momentów magnetycznych oraz namagnesowania.
2. Częstość <math>\omega_1</math> wirującego pola <math>\vec{B}_1</math> spełniona warunek <math>\frac{\omega_1}{\gamma}>>B_0)</math>, wtedy: 
: Przypominamy, że <math>B_0>>B_1</math> i wtedy: 
: <math>\vec{B}_{eff} = -\frac{\omega_1}{\gamma}\vec{e}_z</math> 
: czyli zjawisko precesji momentów magnetycznych nadal odbywa się wokół osi ''z' '', z tą różnicą, iż ulega zmianie kierunek precesji, zaś dodatkowe, rotujące pole magnetyczne nie wpływa na orientację momentów magnetycznych oraz namagnesowania <math>\vec{M}</math>.
3. Częstość rotującego pola magnetycznego <math>\vec{B}_1</math> spełnia warunek <math>\omega_1 = \gamma B_{0}</math>, wtedy: 
: <math>\vec{B}_{eff} = B_1\vec{e}_x</math>, 
: co oznacza, że wektor namagnesowania zaczyna wykonywać ruch precesyjny wokół pola magnetycznego <math>B_1\vec{e}_x</math>. Ponownie : przypominamy, że <math>B_1<<B_0</math>. Jak widać, przy pomocy pola magnetycznego o niewielkiej indukcji, lecz odpowiednio dobranej częstości, możliwa jest zmiana orientacji wektora namagnesowania. Jest to zjawisko '''Magnetycznego Rezonansu Jądrowego'''. Występowanie w nazwie zjawiska termin ''rezonans'' (kojarzony najczęściej z obwodami elektrycznymi), jest jak najbardziej uzasadnione, ponieważ za pomocą niewielkiego zaburzenia o periodycznym charakterze (ale odpowiednio dobranej częstości), doprowadziliśmy do znaczących zmian w układzie. Częstość ruchu precesyjnego wektora namagnesowania wokół pola <math>\vec{B}_1</math> wynosi:
<equation id="30"><math>
\Omega = \gamma B_1
</math></equation>
: Częstość <math>\Omega</math> jest nazywana częstością Rabbiego. W trakcie czasu <math>\tau></math> namagnesowanie zakreśli kąt <math>\Theta</math> równy:
<equation id="1b"><math>
\Theta = \Omega\tau
</math></equation>
Podsumowując, po wprowadzeniu próbki w stałe pole magnetyczne o wartości indukcji ''B_0'', momenty magnetyczne poszczególnych jąder zaczynają : wykonywać ruch precesyjny z częstością Larmour'a <math>\omega_0=\gamma\ B_0</math>. Pojawia się wypadkowe namagnesowanie próbki w kierunku : : stałego pola magnetycznego. Wprowadzając dodatkowe pole magnetyczne o wartości indukcji <math>B_1</math>, wirujące w płaszczyźnie prostopadłej do pola <math>B_0</math>, możliwa jest zmiana orientacji wektora namagnesowania, o ile częstość wirowania pola <math>\vec{B}_1</math> jest równa częstości <math>\omega_0</math> precesji Larmour'a. 
Podsumowując: 
# Pod wpływem zewnętrznego, statycznego pola magnetycznego, skierowane wzdłuż osi <math>z</math> spiny wykonują precesję. Składowa <math>z</math> wartości oczekiwanej spinu jest stałą w czasie, składowe poprzeczne wykonują ruch wirowy w płaszczyźnie <math>x-y</math>.
# Różnym ułożeniom spinu względem pola magnetycznego odpowiadają różne energie potencjalne. W przypadku spinu równego <math>\frac{1}{2}</math> istnieją dwa poziomy energetyczne, które będą obsadzane przez jądra zgodnie z rozkładem Bolzmana. Poziom związany z równoległym do zewnętrznego pola magnetycznego rzutem spinu jest korzystniejszy energetycznie, dlatego będzie obsadzany częściej.
#Desynchronizacja ruchu wirowego wartości oczekiwanej spinów w płaszczyźnie <math>x-y</math> uniemożliwi powstanie namagnesowania poprzecznego. Obserwujemy tylko namagnesowanie podłużne.
# Pod wpływem odpowiednio dobranego pola magnetycznego, można doprowadzić do przejść rezonansowych. Jądro mające spin w korzystniejszym stanie energetycznym, przejdzie do stanu, o wyższej energii związanej z oddziaływaniem spinu z polem magnetycznym. Zanika równowaga termodynamiczna w obsadzeniu stanów, a wraz z nią składowa <math>z</math> wartości oczekiwanej spinu i związane nią namagnesowanie podłużne.
# Jednocześnie, w wyniku synchronizacji w płaszczyźnie <math>x-y</math> wartości oczekiwanej spinów tych jąder atomowych, które uległy przejściu rezonansowemu, zaczyna powstawać namagnesowanie poprzeczne.
# Obserwowane namagnesowanie podłużne zanika, podczas gdy narasta namagnesowanie podłużne. Obserwujemy zatem efekt, odchylania się namagnesowania od osi <math>z</math> w kierunku płaszczyzny <math>x-y</math>.
# Po pewnym czasie namagnesowanie podłużne zanika, a namagnesowanie poprzeczne osią maksymalną wartość.
# Zmianom kierunku i wielkości namagnesowania towarzyszy zmiana indukcji pola elektrycznego, która może być rejestrowana przez cewki.

===Typowe wartości częstości Larmour'a oraz częstości Rabbiego===
Opisując zmiany wielkości fizycznych w czasie niejednokrotnie posługujemy się częstością wyrażaną w Hz. W takim przypadku wzór: (<xr id="eq:larmour_kolowa"/>) przyjmie nastepującą postać:
<equation id="31"><math>
f = \frac{\gamma}{2\pi}B_0
</math></equation>
Z tego względu, częstą praktyką podawanie jest w tablicach fizycznych stałej <math>\frac{\gamma}{2\pi}</math> zamiast samej wartości współczynnika giromagnetycznego γ.
<figure id="fig:spiny">
<caption>Wartości współczynników giromagnetyczne oraz spinów wybranych jąder atomowych</caption>
{| class="wikitable"
! Jądro
! Spin
! <math>\frac{\gamma}{2\pi}</math> <math>\left[\frac{\textrm{MHz}}{\textrm{T}}\right]</math>.
|-
| <math>^1H</math>
| <math>\frac{1}{2}</math>
| 42,58
|-
| <math>^{13}C</math>
| <math>\frac{1}{2}</math>
| 10,71
|-
| <math>^{14}N</math>
| <math>1</math>
| 3,08
|-
| <math>^{17}O</math>
| <math>\frac{1}{2}</math>
| 42,58
|-
| <math>^{23}Na</math>
| <math>\frac{3}{2}</math>
| 11,27
|-
|-
| <math>^{39}K</math>
| <math>\frac{3}{2}</math>
| 1,99
|-
|-
| <math>^{43}Ca</math>
| <math>\frac{7}{2}</math>
| 2,86
|-
|}
</figure>
Jak można zauważyć, największą wartością momentu magnetycznego charakteryzują się jądra atomu wodoru, czyli protony. Częstość precesji Larmour'a dla protonów umieszczonych w polu magnetycznym o indukcji <math>B_0=1</math> T osiągnie wielkość:
<equation id="32"><math>
f_0 = \frac{\gamma}{2\pi} B_0 = 42,58 \left[\frac{\textrm{MHz}}{T}\right] \cdot \textrm{[T]} = 42,58 \textrm{MHz}
</math></equation>
Dodatkowe, zmienne pola magnetyczne <math>\vec{B}_1</math>, stosowane do zmiany orientacji wektora namagnesowania, mają niewielkie wartości, rzędu <math>10^{-5}</math>T.
Po wprowadzeniu próbki zawierającej jądra atomu wodoru w dodatkowe pole magnetyczne <math>\vec{B}_1</math>, wirujące w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku pola statycznego, namagnesowanie zaczyna wykonywać obrót w płaszczyźnie równoległej do kierunku pola statycznego z częstością Rabbiego równą:
<equation id="33"><math>
f_1 = \frac{\gamma}{2\pi} B_1 = 42,58 \left[\frac{\textrm{MHz}}{T}\right] \cdot 10^{-3} \textrm{[T]} = 0.0580 \textrm{MHz}
</math></equation>

===Impulsy <math>\pi</math> oraz <math>\frac{\pi}{2}</math>===
Jak dowiedzieliśmy się w poprzednich rozdziałach, przy pomocy rotującego pola magnetycznego o odpowiednio dobranej częstości, możemy zmienić orientacje wektora namagnesowania. Jest to o tyle ważne, iż wektor ten wywołuje pole magnetyczne dużo mniejsze z w porównaniu do wartości pola statycznego <math>\vec{B}_0</math>, do którego jest równoległy. Uniemożliwia to pomiar wartości magnetyzacji próbki. Zmianę orientacji wektora namagnesowania określa się za pomocą kąta, o jaki odchyla się on od kierunku statycznego pola magnetycznego <math>\vec{B}_0</math>, które leży wzdłuż osi ''Z'' przyjętego przez nas układu współrzędnych. Kąt ten można wyliczyć za pomocą wzoru na częstość Rabbiego. Jeśli wektor namagnesowania w trakcie rezonansu wykonuje precesję wokół pola <math>B_1</math> z częstością:
<equation id="33"><math>
\Omega = \gamma B_1
</math></equation>
to w czasie τ zakreśli on kąt:
<equation id="34"><math>
\Theta = \Omega\cdot\tau = \gamma B_1\tau
</math></equation>
Szczególną rolę w diagnostyce MRI odgrywają obroty wektora namagnesowania o kąt <math>\Theta = \frac{\pi}{2}</math> oraz <math>\Theta = \pi</math>. Pole magnetyczne, wywołujące takie zmiany nazywamy odpowiednio impulsami <math>\frac{\pi}{2}</math> oraz <math>\pi</math>.
Czas trwania tych impulsów możemy łatwo oszacować. Przyjmując wielkość indukcji pola <math>B_1</math> na <math>10^{-5}</math> T oraz współczynnik giromagnetyczny dla protonów, dostajemy:
* dla impulsu <math>\frac{\pi}{2}</math>, <math>\tau = \frac{\Theta}{\gamma B_1} = \frac{\frac{\pi}{2}}{2\pi\cdot 42,577 \left[\frac{\textrm{MHz}}{\textrm{T}}\right]\cdot 10^{-5}\textrm{T}}\approx 580\mu s</math>
* dla impulsu <math>\pi</math>, <math>\tau = \frac{\Theta}{\gamma B_1} = \frac{\pi}{2\pi\cdot 42,577 \left[\frac{\textrm{MHz}}{\textrm{T}}\right]\cdot 10^{-5}\textrm{T}}\approx 1060\mu s</math>

==Procesy Relaksacji==

[[File:relaksacja.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:relaksacja"></figure>Ilustracja przykładowy proces zaniku składowej poprzecznej i odbudowy składowej podłużnej pewnego wektora.]]

'''Procesy relaksacji podpis pod rysunkiem:'''

Składowa poprzeczna wektora, oznaczona kolorem czerwonym, jest sumą trzech wektorów o jednostkowej długości, rotujących w płaszczyźnie ''X-Y'' i oznaczonych kolorem niebieskim. W chwili <math>t=0</math> (punkt A.), wektory składowe rotują w płaszczyźnie ''X-Y'' w tej samej fazie, dając wektor wypadkowy o długości trzech jednostek. Po pewnym czasie <math>\Delta t</math> (punkt B.) jeden z wektorów składowych zmienia orientację o kąt <math>\frac{\pi}{2}</math>, w efekcie czego długość składowej poprzecznej wektora wypadkowego maleje do dwóch jednostek, pojawia się natomiast składowa podłużna wektora wypadkowego (oznaczona kolorem zielonym) o długości jednej jednostki. Po kolejnym czasie Po pewnym czasie <math>\Delta t</math> (punkt C.), ruch pozostałych w płaszczyźnie ''X-Y'' rotujących wektorów ulega rozfazowaniu, co powoduje dalszy zanik składowej poprzecznej wektora wypadkowego, ale nie zwiększa długości jego składowej podłużnej. Po upływie kolejnej jednostki czasu <math>\Delta t</math> (punkt D.), jeden z wektorów składowych, rotujący w płaszczyźnie ''X-Y'' zmienia orientację o kąt <math>\frac{\pi}{2}</math>. Składowa poprzeczna wektora wypadkowego ulega skróceniu do jednej jednostki, zaś składowa podłużna osiąga długość dwóch jednostek. Po zmianie orientacji ostatniego wektora składowego (punkt E.), składowa poprzeczna wektora wypadkowego zanika, zaś składowa podłużna osiąga maksymalną długość trzech jednostek.

W rozdziałach [[https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/action/edit/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metod%C4%85_Magnetycznego_Rezonansu_J%C4%85drowego?section=4]], [[https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/action/edit/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metod%C4%85_Magnetycznego_Rezonansu_J%C4%85drowego?section=5]] oraz [[https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/action/edit/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metod%C4%85_Magnetycznego_Rezonansu_J%C4%85drowego?section=8]] omówiliśmy dwa następujące podstawowe elementy zjawiska rezonansu magnetycznego:
# Wprowadzenie próbki składającej się z atomów wodoru w statyczne pole magnetyczne, skutkiem czego pojawiło się namagnesowanie próbki w kierunku tego pola.
# Pobudzenie próbki rotującym w płaszczyźnie prostopadłej do pola statycznego, polem magnetycznym o małej indukcji lecz odpowiednio dobranej częstości, co doprowadziło do zmiany orientacji wektora namagnesowania.
Poruszyliśmy również kwestie doboru czasu impulsu rotującego pola magnetycznego, tak aby zmienić orientację wektora namagnesowania o kąt <math>\pi</math> lub <math>\frac{\pi}{2}</math>. Po obróceniu magnetyzacji o wymagany kąt, impulsowe pole magnetyczne jest wyłączane i dokonywany jest pomiar namagnesowania próbki. Co dalej dzieje się z wektorem magnetyzacji ? Obrót wektora namagnesowania jest niczym innym jak wytrąceniem układu z położenia równowagi termodynamicznej. Jak pamiętamy z pierwszych rozdziałów dotyczących MRI, momenty magnetyczne jąder atomowych starają ustawić się w kierunku pola magnetycznego. Układ będzie zatem dążył do powrotu do stanu równowagi. Przypominamy, iż wyróżniliśmy dwie składowe namagnesowania: namagnesowanie podłużne (<math>\vec{M}_L</math> oraz namagnesowanie poprzeczne <math>\vec{M}_T</math>. Przyjmijmy, że umieszczenie próbki w polu magnetycznym wywołuje namagnesowanie o wartości <math>M_0</math> i rozważmy składowe namagnesowania w układzie rotującym ''U' '' w następujących przypadkach:
1.Włączone pole statyczne, wtedy: 
<equation id="35"><math>
\vec{M} =
\left[\begin{array}{l}
M_L \\
\\
M_T
\end{array}
\right] =
\left[\begin{array}{l}
M_0 \\
\\
0
\end{array}
\right]
</math></equation> 
2. Zadziałanie na próbkę impulsem <math>\frac{\pi}{2}</math>, po którym magnetyzacja wynosi:
<equation id="36"><math>
\vec{M} =
\left[\begin{array}{l}
M_L \\
\\
M_T
\end{array}
\right] =
\left[\begin{array}{l}
0 \\
\\
M_0
\end{array}
\right]
</math></equation>.
Interesuje nas teraz przejście układu ze stanu (2) do stanu (1). Proces powrotu układu do stanu równowagi nazywamy relaksacją.
Okazuje się, że proces odbudowywania się namagnesowania podłużnego trwa dłużej, niż zanik namagnesowania poprzecznego. W związku z tym, będziemy wyróżniali relaksację podłużną, to jest odbudowywanie się składowej podłużnej namagnesowania oraz relaksację poprzeczną, czyli zanik składowej poprzecznej magnetyzacji. Przyczynę różnego czasu procesów relaksacji podłużnej i poprzecznej są następujące. 
===Relaksacja podłużna===
Podstawową przyczyną przechodzenia jąder atomowych ze stanu wzbudzonego do podstawowego po wyłączeniu impulsu pobudzającego są
oddziaływania spinów poszczególnych jąder z siecią krystaliczną (tzw. oddziaływania spin-sieć). W wyniki tych przejść zanika oczywiście również składowa poprzeczna namagnesowania. Inne procesy, które mają wpływ na powrót jąder do stanu równowagi i odbudowę składowej podłużnej magnetyzacji to:
# Fluktuacje pola magnetycznego wytworzone przez otoczenie danego jadra atomowego, np. przez cząsteczkę wody która posiada własny moment magnetyczny. Chaotyczne ruchy cząsteczki wody, mogą wytworzyć zmienne w czasie pole magnetyczne wywołujące przejścia momentów magnetycznych ze stanu wzbudzonego do podstawowego.
# Oddawanie energii do otoczenia poprzez oddziaływania elektryczne.
# Oddziaływania paramagnetyczne.

Warto jednak zwrócić uwagę, że fluktuacje pola magnetycznego będą prowadziły do przejść jąder atomowych ze stanu wzbudzonego do stanu podstawowego pod warunkiem, że częstość wywołanego przez nie lokalnego pola magnetycznego będzie zbliżona do częstości precesji Larmour.
Czas relaksacji podłużnej, który oznaczany jest jako tzw. czas <math>T_1</math> wynosi zwykle od kilkuset ms do nawet 2 sekund.

===Relaksacja poprzeczna===
Oddziaływania wymienione w punktach 1-3 poprzedniego rozdziały, które powodują przejścia jąder atomowych ze stanu wzbudzonego do stanu podstawowego, powodują jednocześnie zanik składowej poprzecznej namagnesowania. Składowa ta jednak zanika także z innych powodów. Impuls pobudzające, nie tylko zmienia orientację momentów magnetycznych, lecz również synchronizuje ich ruchy precesyjne. Fluktuacje pola magnetycznego mogą łatwo tę synchronizacje zaburzyć, ponieważ w tym przypadku dowolna fluktuacja lokalnego pola magnetycznego w kierunku pola statycznego <math>\vec{B}_0</math> zmieni częstość rotacji momentów magnetycznych w płaszczyźnie ''X-Y''. Również oddziaływania spinów sąsiednich jąder atomowych przyczyniają się do zakłócenia synchronizacji (oddziaływania te nazywamy oddziaływaniami spin-spin). Kolejną przyczyną szybszego zaniku składowej poprzecznej namagnesowania są niejednorodności statycznego pola magnetycznego spowodowane ograniczeniami w dokładności wykonania urządzenia MRI oraz zaburzenia powstałe w otoczeniu skanera. Czas relaksacji poprzecznej, który oznaczany jest jako tzw. czas <math>T_2</math> jest o rząd wielkość mniejszy od czasu <math>T_1</math> i wynosi zwykle od kilkudziesięciu di kilkuset ms.
Ideę różnego czasu relaksacji rotujących składowych pewnego wektora zaprezentowano symbolicznie na <xr id="fig:relaksacja">rys. %i</xr>.
Należy pamiętać, iż w rzeczywistości procesy relaksacji są znacznie bardziej skomplikowane, zaś ilustracja <xr id="fig:relaksacja">rys. %i</xr>
ma charakter jedynie poglądowy.

W klasycznej teorii rezonansu jądrowego zjawiska relaksacji opisuje w układzie rotującym (''U' '') przy pomocy następujących fenomenologicznych równań:
W półklasycznego równaniu (<xr id="eq:rownaie_ruchu_w_wirujacym_ukladzie_odniesienia"/>) opisującym zachowanie się namagnesowania w polu magnetycznym musimy uwzględnić procesy związane z relaksacją spinów.
Bloch wprowadził fenomenologiczne poprawki do tego równania opierając się na rozumowaniu, które można wyrazić następującymi równaniami:
<equation id="37"><math>
\begin{array}{l}
\frac{dM_{x}}{dt} = -\frac{M_{x}}{T_{2}}\\
\\
\frac{dM_{y}}{dt} = -\frac{M_{y}}{T_{2}}\\
\\
\frac{dM_{z}}{dt} = -\frac{M_{z} - M_{0}}{T_{1}}\\
\end{array}
</math></equation>
gdzie: <math>M_x, M_y, M_z</math> to odpowiednio długości poszczególnych składowych wektora namagnesowania.

==Równanie Blocha==

[[File:bloch_1.png|400px|thumb|right|<figure id="fig:bloch_1"></figure>Ewolucja wektora magnetyzacji w układzie rotującym z prędkością kątową <math>\omega_0 = \gamma B_0</math>, związanym z momentem magnetycznym i w układzie laboratoryjnym. ]]

Podpis pod rysunkiem Ewolucja wektora magnetyzacji w układzie rotującym z prędkością kątową <math>\omega_0 = \gamma B_0</math>, związanym z momentem magnetycznym i w układzie laboratoryjnym.:

A — próbkę wprowadzono w stałe pole magnetyczne o indukcji <math>\vec{B}_0=B_0\vec{e}_z</math>. Pole to wywołuje namagnesowanie próbki <math>\vec{M}_0</math>, które w układzie rotującym jak i laboratoryjnym ma tę sen sam kierunek <math>\vec{M}_0 = M_0\vec{e}_z</math>. B — próbka zostaje pobudzona dodatkowym polem magnetycznym <math>\vec{B}_1</math>. W układzie laboratoryjnym jest to pole rotujące, z częstością kątową <math>\omega_0</math>, podczas gdy w układzie rotującym ma ono ustalony kierunek. W celu uproszczenia rachunków pole <math>\vec{B}_1</math> dobrano tak, aby w układzie rotującym miało kierunek równoległy do osi ''X''. Wskutek oddziaływania momentów magnetycznych z polem <math>\vec{B}_1</math>, wektor namagnesowania zmienia orientację w następujący sposób. W układzie rotującym rozpoczyna ruch precesyjny wokół pola <math>\vec{B}_1</math> (osi ''X' ''), z częstością <math>\omega_1 = \gamma B_1</math>. W układzie laboratoryjnym ruch namagnesowania jest złożeniem ruchu precesyjnego wokół pola <math>\vec{B}_1</math> oraz ruchu precesyjnego wokół pola <math>\vec{B}_0</math>, w związku z czym w układzie laboratoryjnym wektor magnetyzacji zakreśla helisę o zwiększającej się średnicy. C — jeśli impulsem pobudzającym był impuls <math>\frac{\pi}{2}</math>, to zostanie on wyłączony po zmianie orientacji wektora namagnesowania o kąt <math>\frac{\pi}{2}</math>. W chwili wyłączenia w układzie rotującym wektor magnetyzacji jest równoległy do pola <math>\vec{B}_1</math>, natomiast w układzie laboratoryjnym wektor magnetyzacji rotuje w płaszczyźnie ''X-Y''. W tym momencie można rozpocząć pomiar namagnesowania za pomocą cewek. Rotujący wektor magnetyzacji wytwarza zmienne pole magnetyczne, które w cewkach, zgodnie z prawem Faraday'a indukuje siłę elektromotoryczną. D — po wyłączeniu pola pobudzającego <math>\vec{B}_1</math>, na skutek procesów relaksacji, momenty magnetyczne jąder przechodzą ze stanu wzbudzonego do stanu podstawowego. Efektem przejść jest powrót wektora magnetyzacji w kierunku pola magnetycznego <math>\vec{B}_0</math>.

Proste równanie opisujące zachowanie się momentów magnetycznych oraz magnetyzacji, które wyprowadziliśmy analogicznie jak się to czyni w przypadku ruchu bąka symetrycznego w polu grawitacyjnym nie jest pełne i powinno być rozszerzone o procesy relaksacji. Fenomenologiczne, klasyczne równanie opisującym zachowanie się namagnesowania w polu magnetycznym z uwzględnieniem procesów relaksacji nazywamy równaniem Blocha:
<equation id="38"><math>
\left[\frac{d\vec{M}}{dt}\right]_{U'} = \gamma\vec{M}\times\vec{B}_{eff} - \left(M_{x}\vec{e}_{x} + M_{y}\vec{e}_{y}\right)/T_{2} - \left(M_{z}-M_{0}\vec{e}_{z}\right)/T_{1}
</math></equation>
gdzie: 
<math>\vec{B}_{eff} = \left[\left(B_{0} - \frac{\omega}{\gamma}\right)\vec{e}_z + B_{1}\vec{e}_x\right]</math>
===Przykłady rozwiązania równań Blocha===
W poniższym rozdziale podane zostały przykładowe rozwiązania równań Blocha dla wybranych konfiguracji pól magnetycznych.

====Umieszczenie próbki w polu statycznym <math>\vec{B}_0 = B_0\vec{e}_z</math>====
Równanie Blocha jest równaniem opisującym ewolucję w czasie wektora magnetyzacji w układzie rotującym z częstością równa częstości precesji Larmour'a: <math>\omega = \gamma B_0</math>. Konfiguracja pół magnetycznych w tym układzie, po wprowadzeniu próbki w statyczne pole magnetyczne wynosi:
* <math>B_1 = 0</math>,
* <math>\left[B_0 -\frac{\omega}{\gamma}\right]\vec{e}_z = 0</math>,
co prowadzi do następującego układu równań:
<equation id="eq:bloch_1"><math>
\left\{\begin{array}{l}
\left[\frac{dM_{x}}{dt}\right]_{rot} = 0\\
\\
\left[\frac{dM_{y}}{dt}\right]_{rot} = 0\\
\\
\left[\frac{dM_{z}}{dt}\right]_{rot} = 0\\
\end{array}\right.
</math></equation>
Zgodnie z obliczeniami przeprowadzonymi w rozdziale [https://brain.fuw.edu.pl/edu/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metod%C4%85_Magnetycznego_Rezonansu_J%C4%85drowego#Namagnesowanie_pr.C3.B3bki]. wiemy, że po umieszczeniu próbki w stałym polu magnetycznym, namagnesowanie może występować tylko w kierunku tego pola. Oznaczmy wartość tego namagnesowanie symbolem <math>M_0</math>. Przy podanych warunkach początkowych dostajemy poniższe rozwiązanie układu równań (<xr id="eq:bloch_1" />):
<equation id="eq:bloch_rozw_1"><math>
\left\{\begin{array}{l}
\left[M_x\right]_{rot} = \\
\\
\left[M_y\right]_{rot} = 0\\
\\
\left[M_z\right]_{rot} = M_0\\
\end{array}\right.
</math></equation>
Rozwiązanie w układzie laboratoryjnym uzyskamy, po przemnożeniu równania (<xr id="eq:bloch_rozw_1"/>) przez macierz obrotu <math>P</math>:
<equation id="39"><math>
\vec{M} = P\times [\vec{M}]_{rot}
</math></equation>
gdzie: 
<math>P = \left[
\begin{array}{ccc}
\cos(\omega_0 t) & \sin(\omega_0 t) & 0 \\
\\
-\sin(\omega_0 t) & \cos(\omega_0 t) & 0 \\
\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right] </math>, 
 
co prowadzi to ostatecznie do wyniku:
<equation id="40"><math>
\vec{M} = P\cdot[\vec{M}]_{rot} \rightarrow \vec{M} = \left[\begin{array}{l}
0\\
\\
0\\
\\
M_0\\
\end{array}\right].
</math></equation>
Wynik zaprezentowano na rysunku <xr id="fig:relaksacja">rys. %i</xr>.A.

====Próbka umieszczona w polu statycznym, pobudzona polem zmiennym====
Zakładamy, że pobudzenie prowadzi do powstania zjawiska rezonansu, to jest częstość impulsowego pola magnetycznego <math>\vec{B}_1</math> jest równa częstości precesji Larmour'a. W takim, przypadku, w układzie rotującym występuje następująca konfiguracja pól magnetycznych:
* <math>\vec{B}_1 = B_1\vec{e}_x</math>,
* <math>\left[B_0 - \frac{\omega}{\gamma}\right]\vec{e}_x = 0</math>,
ponadto w równaniach Blocha możemy pominąć wyrazy związane z relaksacją, ponieważ czas trwania procesów relaksacyjnych (co najmniej kilkadziesiąt ms) jest znacznie dłuższy od trwania impulsu pobudzającego, co prowadzi ostatecznie do następującego układu równań:
<equation id="eq:bloch_2"><math>
\left\{\begin{array}{l}
\left[\frac{dM_{x}}{dt}\right]_{rot} = 0\\
\\
\left[\frac{dM_{y}}{dt}\right]_{rot} = \gamma B_1M_z\\
\\
\left[\frac{dM_{z}}{dt}\right]_{rot} = -\gamma B_1M_y\\
\end{array}\right.
</math></equation>
przy następujących warunkach początkowych:
<equation id="41"><math>
\vec{M} = P\cdot[\vec{M}]_{rot} \rightarrow \vec{M} = \left[\begin{array}{l}
0\\
\\
0\\
\\
M_0\\
\end{array}\right].
</math></equation>
Rozwiązanie układu równań (<xr id="eq:bloch_2"/>) ma postać:
<equation id="eq:bloch_rozw_2"><math>
\begin{array}{l}
\left[M_x\right]_{rot} = 0\\
\\
\left[M_y\right]_{rot} = M_0\sin(\Omega t)\\
\\
\left[M_z\right]_{rot} = M_0\cos(\Omega t)\\
\end{array}
</math></equation>
gdzie: <math>\Omega = \gamma B_1</math>.
Rozwiązanie w układzie laboratoryjnym uzyskamy, po przemnożeniu równania (<xr id="eq:bloch_rozw_2"/>) przez macierz obrotu <math>P</math>:
<equation id="42"><math>
\vec{M} = P\cdot[\vec{M}]_{rot}
</math></equation>
co prowadzi do następującego równania na ewolucję magnetyzacji w układzie laboratoryjnym:
Rozwiązanie układu równań (<xr id="eq:bloch_2"/>) ma postać:
<equation id="43"><math>
\begin{array}{l}
M_x = M_0\sin(\Omega t)\sin(\omega_0 t)\\
\\
M_y = M_0\sin(\Omega t)\cos(\omega_0 t)\\
\\
M_z = M_0\cos(\Omega t)\\
\end{array}
</math></equation>
W układzie rotującym wektor namagnesowania wykonuje ruch precesyjny wokół kierunku pola pobudzającego <math>\vec{B}_1</math>, które w tym układzie zachowuje stały kierunek, podczas gdy w układzie laboratoryjnym, wektor magnetyzacji jest złożeniem dwóch ruchów precesyjnych:
# wokół statycznego pola <math>\vec{B}_0</math>,
# wokół rotującego w tym układzie pola <math>\vec{B}_1</math>.
Złożeniem tych dwóch ruchów precesyjnych jest spirala, symbolicznie zaprezentowano na rysunku <xr id="fig:relaksacja">rys. %i</xr>.B.

====Wyłącznie impulsu pobudzającego. Sygnał swobodnej precesji====
Po zmianie orientacji wektora namagnesowania o kąt <math>\frac{\pi}{2}</math>, w układzie rotującym leży on wzdłuż wzdłuż osi ''X' '' (jest równoległy do pola <math>\vec{B}_1</math>, zaś w układzie laboratoryjnym namagnesowanie rotuje w płaszczyźnie ''X-Y'' (patrz <xr id="fig:relaksacja">rys. %i</xr>.C). Dalsze utrzymywanie pobudzenia spowodowało by zmianę orientacji wektora namagnesowania a do jego ustawienia w kierunku przeciwnym do kierunku pola stałego <math>\vec{B}_0</math>. Najdogodniejszy moment na pomiar wektora namagnesowania występuje w momencie, kiedy wiruje on w płaszczyźnie ''X-Y'', w związku z czym impulsowe pole magnetyczne jest wyłączane i rozpoczynany jest pomiar magnetyzacji. Pomiar ten wykonywany jest za pomocą cewek i opiera się na zjawisku indukcji Faraday'a — zmienny strumień pola magnetycznego, wywołany przez rotujący w płaszczyźnie ''X-Y'' wektor namagnesowania indukuje w obwodzie siłę elektromotoryczną. Jednocześnie, po wyłączeniu pola pobudzającego, momenty magnetyczne zaczną powracać do w wyniku oddziaływań spin-sieć oraz spin-spin. Spowoduje zmianę orientacji wektora namagnesowania z płaszczyzny ''X-Y'' ponownie w kierunku pola statycznego <math>\vec{B}_0</math>. Ewolucje wektora namagnesowania w takim przypadku możemy wyznaczyć przy pomocy równania Blocha, dla następującej konfiguracji pól magnetycznych w układzie rotującym:
* <math>\vec{B}_1 = 0\vec{e}_x</math>,
* <math>\left[B_0 - \frac{\omega}{\gamma}\right]\vec{e}_x = 0</math>,
otrzymując poniższy układ równań:
<equation id="eq:bloch_3"><math>
\left\{\begin{array}{l}
\left[\frac{dM_{x}}{dt}\right]_{rot} = -\frac{M_x}{T_2} \\
\\
\left[\frac{dM_{y}}{dt}\right]_{rot} = -\frac{M_y}{T_2} \\
\\
\left[\frac{dM_{z}}{dt}\right]_{rot} = -\frac{M_z-M_0}{T_1}\\
\end{array}\right.
</math></equation>
przy warunkach początkowych
<equation id="44"><math>
\vec{M} = P\cdot[\vec{M}]_{rot} \rightarrow \vec{M} = \left[\begin{array}{l}
0\\
\\
M_0\\
\\
0\\
\end{array}\right].
</math></equation>
Rozwiązanie układu równań (<xr id="eq:bloch_3"/>) ma postać:
<equation id="eq:bloch_rozw_3"><math>
\begin{array}{l}
\left[M_x\right]_{rot} =0\\
\\
\left[M_y\right]_{rot} = M_0e^{-\frac{t}{T_2}}\\
\\
\left[M_z\right]_{rot} = M_0(1-e^{-\frac{t}{T_1}})\\
\end{array}
</math></equation>
gdzie: <math>\omega_1 = \gamma B_1</math>.
Rozwiązanie w układzie laboratoryjnym uzyskamy, po przemnożeniu równania (<xr id="eq:bloch_rozw_3"/>) przez macierz obrotu <math>P</math>:
<equation id="eq:bloch_rozw_3_rot"><math>
\left[\begin{array}{l}
M_x\\
\\
M_y\\
\\
M_z\\
\end{array}\right] =
\left[
\begin{array}{ccc}
\cos(\omega_0 t) & \sin(\omega_0 t) & 0 \\
\\
-\sin(\omega_0 t) & \cos(\omega_0 t) & 0 \\
\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right]
\left[\begin{array}{l}
0\\
\\
M_0e^{-\frac{t}{T_2}}\\
\\
M_0(1-e^{-\frac{t}{T_1}})\\
\end{array}\right]
</math></equation>
Ostatecznie, wektor namagnesowania ma postać:
<equation id="eq:bloch_rozw_3_rot_a"><math>
\left[\begin{array}{l}
M_x\\
\\
M_y\\
\\
M_z\\
\end{array}\right] =
\left[
\begin{array}{c}
M_0e^{-\frac{t}{T_2}}\cos(\omega_0 t)\\
\\
-M_0e^{-\frac{t}{T_2}}\sin(\omega_0 t) \\
\\
M_0(1-e^{-\frac{t}{T_1}})
\end{array}
\right]
</math></equation>
Jak widzimy, namagnesowanie poprzeczne (składowa ''X'' oraz ''Y'' magnetyzacji) rotują w płaszczyźnie ''X-Y'', jednocześnie zmniejszając swoją amplitudę na skutek procesów relaksacji. Cewki dokonujące pomiaru zarejestrują sygnał o przebiegu gasnącej sinusoidy. Sygnał ten pełni niezwykle ważną role i jest nazywany sygnałem swobodnej precesji (ang. ''Free Induction Decay'', FID).

===Echo spinowe===
Czasy relaksacji zależą od właściwości fizyko-chemicznych tkanek. Stanowią zatem niezwykle cenna informację dla diagnostyki medycznej. Relaksacja spin-sieć zależy głównie od czynników "''naturalnych''" — fluktuacji lokalnych pół magnetycznych wytworzonych przez otoczenie jąder atomowych. Relaksacja spin-spin zależy zarówno od czynników naturalnych jak i "''sztucznych''" — niejednorodności statycznego pola magnetycznego związanych np. z ograniczoną dokładnością wykonania skanera MRI.
W efekcie, zamiast obserwować zanik namagnesowania poprzecznego z czasem <math>T_{2}</math>, obserwujemy ten zanik z czasem:
<equation id="45"><math>
\frac{1}{T^{*}_{2}} = \frac{1}{T_{2}} + \frac{\gamma\Delta B_{0}}{2}
</math></equation>
Mimo to, możliwe jest wyznaczenie czasu relaksacji <math>T_{2}</math>, dzięki pięknemu zjawisku echa spinowego.
U podstaw tego zjawiska leży założenie, iż naturalne procesy wpływające na relaksację spin-spin są procesami termodynamicznymi, natomiast procesy "''sztuczne''" są dobrze określone w czasie.



==Kodowanie Obrazu==
[[File:Lauterbur_eksperyment_1.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:Lauterbur_eksperyment_1"></figure>Dwie próbki zawierające różną ilość wody (A) umieszczono w polu magnetycznym, którego rozkład wektora indukcji jest stały (B). Sygnały FID indukowane w tych próbkach mają różną amplitudę (C). W związku z tym, że indukcja pola magnetycznego w zakresie obydwu próbek jest taka sama, częstości precesji Larmoura momentów magnetycznych w protonów w próbkach są również identyczne. W efekcie zbiorczym sygnałem rejestrowanym przez cewkę jest tłumiona wykładniczo sinusoida o pewnej wypadkowej amplitudzie (D). Na podstawie tak uzyskanego sygnału nie można stwierdzić, jaki udział w sygnale wypadkowym mają składowe pochodzące od poszczególnych próbek. W widmie sygnału wypadkowego (E) obserwujemy tylko jedno maksimum odpowiadające tej samej częstości precesji momentów magnetycznych protonów.]]

[[File:Lauterbur_eksperyment_2.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:Lauterbur_eksperyment_2"></figure>Dwie próbki zawierające różną ilość wody (A) umieszczono w polu magnetycznym, którego wielkość indukcji zmienia się wzdłuż pewnego kierunku (B). Sygnały FID indukowane w tych próbkach mają różną amplitudę oraz częstości (C). Sygnał rejestrowany przez cewkę nie jest już tłumioną wykładniczo sinusoidą (D). W widmie sygnału wypadkowego (E) obserwujemy dwa maksima związane z dwoma różnymi częstościami precesji momentów magnetycznych protonów. Jak wiemy, częstość precesji momentu zależy od indukcji pola magnetycznego. Znając rozkład przestrzenny indukcji pola magnetycznego oraz częstości precesji, możemy wyznaczyć lokalizację próbek, a na podstawie amplitudy sygnału zawartość wody w poszczególnych próbkach.]]

[[File:rekonstrukcja_mri.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:rekonstrukcja_mri.png"></figure>]]

W jaki sposób jednak za pomocą MRI można otrzymać obraz, np. wnętrza ciała ludzkiego? Dotychczas zdobyta przez nas wiedza umożliwia nam pomiar magnetyzacji wytworzonej w badanej próbce, jednak nie potrafimy określić współrzędnych pewnej objętości materii, gdzie to namagnesowanie zostało wytworzone. Jak wiemy z poprzednich rozdziałów, namagnesowanie to wypadkowy moment magnetyczny pewnej objętości materii, który nazywamy wokselem. Cewka rejestruje zbiorczy sygnał pochodzący od wielu wokseli. W chwili wyłączenia impulsu pobudzającego <math>\frac{\pi}{2}</math>, ewolucję wektora namagnesowania opisuje następujący wzór:
<equation id="46"><math>
dS\left(t\right) = AM^{0}\left(\vec{r}\right)e^{-i\left(w_{0}t\right)}e^{-\frac{t}{T_{2}}}dxdydz
</math></equation>
gdzie: <math>A</math> jest pewną stałą zależną od geometrii cewek, zaś <math>M^{0}(\vec{r})</math> jest namagnesowaniem woksela, o objętości <math>dx\cdot dy\cdot dz</math>, którego pozycja jest opisana wektorem <math>\vec{r} = [x,y,z]</math> w kartezjańskim układzie współrzędnych.
Zbiorczy sygnał rejestrowany przez cewkę odbiorczą wynosi z objętości <math>V</math>:
<equation id="47"><math>
S\left(t\right) = A\int\int_{V}\int M^{0}\left(\vec{r}\right)e^{-i\left(\gamma B_{0}t\right)}e^{-\frac{t}{T_{2}}}dxdydz
</math></equation>
Rozwiązanie tego problemu podali niezależnie Paul Lauterbur <ref name="Lauterbur">P. C. Lauterbur. Image formation by induced local interactions: examples employing nuclear magnetic resonance. Nature 242, 190-191 (1973)</ref> oraz Peter Mansfield <ref name="Mansifeld">P. Mansfield, P.K. Grannell, J. Phys. C: Solid State Phys. 6, L422 (1973)</ref>. W roku 2003 obydwaj naukowcy zostali uhonorowani nagrodą Nobla w dziedzinie medycyny za wykorzystanie Magnetycznego Rezonansu Jądrowego w tej dziedzinie. W roku 1972 Paul Lauterbur przeprowadził doświadczenie, w którym wykazał, że przy wykorzystaniu gradientu dodatkowego pola magnetycznego możliwe jest rozróżnienie rejestrowanych sygnałów przez cewki, pochodzących od dwóch różnych próbek z wodą. Ideę eksperymentu zaprezentowano na <xr d="fig:Lauterbur_eksperyment_1">rys. %i</xr> i <xr id="fig:Lauterbur_eksperyment_2">rys. %i</xr>. Jak widzimy, w celu określenia pozycji woksela, z którego mierzony jest dany sygnał FID niezbędne jest wprowadzenie dodatkowego, gradientowego pola magnetycznego:
<equation id="48"><math>
\vec{B} = B_0\vec{e}_z + \vec{G}\cdot\vec{r}
</math></equation>
gdzie: 
<math>\vec{G} = [G_x,G_y,G_z]</math> - gradient indukcji pola magnetycznego.
W zależności od położenia woksela, częstość precesji momentów magnetycznych w zmodyfikowanym polu będzie wynosić:
<equation id="49"><math>
\omega(x,y,z) = \gamma \left(B_0 + G_x\cdot x + G_y\cdot y + G_z\cdot z\right)
</math></equation>
Przyjęto, że proces określania współrzędnych wokseli z których rejestrowany jest sygnał FID, nazywany będzie kodowaniem.
Proces ten składa się z trzech etapów: wyboru warstwy obrazowania, kodowania fazy i kodowania częstości, które opisane w kolejnych rozdziałach.

===Etap wyboru warstwy===

Wprowadzając zależność statycznego pola magnetycznego od położenia, można wyznaczać jedną ze współrzędnych woksela, w którym powstało namagnesowanie, wykorzystując w tym celu częstości sygnału FID. Przyjmijmy, że tą współrzędną będzie współrzędna <math>z</math>:
<equation id="kodowanie_z"><math>
\begin{array}{l}
\omega_{0} = \gamma\left(B_{0} + G_{zz}z\right) \textrm{\ zatem}\\
\\
z = \frac{\left(\omega_{0} - \gamma B_{0}\right)}{\gamma G_{zz}}
\end{array}
</math></equation>
gdzie:
* <math>B_{0}</math> — statyczne pole magnetyczne, skierowane wzdłuż osi <math>z</math>,
*<math>G_{zz}</math> — gradient pola magnetycznego, nałożony na pole <math>B_{0}</math>, <math>G_{zz} = \frac{\Delta B_{0}}{\Delta z}</math>.
Naświetlając badany obiekt polem elektromagnetycznym o częstości <math>\omega_{RF}</math>, wzbudzimy jądra atomowe w tych wokselach, w których spełniony jest warunek rezonansowy (<math>\omega_{RF} = \omega_{0}</math>), czyli w wokselach, których współrzędna <math>z</math> wyraża się wzorem (<xr id="kodowanie_z"/>). Opisana powyżej procedurę rzeczywiście stosuje się w MRI i określa jako etap wyboru warstwy (''Slice selection''), a gradient <math>G_{zz}</math> '''{gradientem wyboru warstwy'''. Grubość wybranej w trakcie badania warstwy wynosi:
<equation id="49"><math>
\Delta z = \frac{\Delta \omega}{\gamma G_{zz}}
</math></equation>
gdzie: <math>\Delta\omega</math> — szerokość widmowa pobudzającego jądra impulsu radiowego.
W przypadku, gdy impuls radiowy ma charakter sygnału prostokątnego o szerokości widmowej <math>\Delta\omega=4\pi/T</math>, gdzie: <math>T</math> to długość trwania impulsu, grubość warstwy wyraża się poniższym wzorem:
:<math>
\Delta z = \frac{4\pi}{\gamma G_{zz}T}
</math>


===Etap kodowania fazy===
W trakcie etapu wyboru warstwy, zaraz po włączeniu pola gradientowego wzdłuż osi <math>z</math>, włączany jest również impuls pobudzający <math>RF</math>, (najczęściej impuls <math>\pi/2</math>). Po wyłączeniu tego impulsu oraz impulsu gradientowego <math>G_{zz}</math> następuje precesja wektora magnetyzacji w płaszczyźnie <math>x-y</math> z częstością <math>w_{0} = \gamma B_{0}</math>. Załóżmy na początku, iż procesy relaksacji możemy pominąć. W praktyce wpływ procesów relaksacji typu spin-sieć na lokalizację woksela jest do pominięcia. Przypominamy, że relaksacja ta następuje z czasem <math>T_{1}</math> rzędu kilkuset milisekund, podczas gdy wzbudzanie jąder osiąga się już po kilkuset mikrosekundach. Nie można natomiast pominąć procesów związanych z relaksacją typu spin-spin, których czas <math>T^{*}_{2}</math> wynosi kilka-, kilkanaście milisekund.

Natychmiast po wyłączeniu pola gradientowego <math>G_{zz}</math> włączane jest pole gradientowe <math>G_{yz}</math> — tzw. '''gradient kodowania fazy''', wzdłuż osi <math>y</math>. Częstość precesji po włączeniu tego pola wynosi:
<equation id="50"><math>
\omega_{0} = \gamma\left(B_{0} + G_{yz}y\right)
</math></equation>

Włączenie gradientu <math>G_{yz}</math> powoduje zróżnicowanie częstości precesji wektora magnetyzacji. Po wyłączeniu gradientu kodowania fazy po czasie <math>T_{y}</math>, fazy częstość precesji Larmour wraca do wartości <math>\omega_{0} = \gamma B_{0}</math>, jednakże pomiędzy rotującymi wektorami magnetyzacji pojawia się przesunięcie w fazie, które wyraża się następującym wzorem:
<equation id="eq:kodowanie_fazy"><math>
\phi = \gamma G_{yz}yT_{y}
</math></equation>
Rozdzielczość obrazu tomograficznego wzdłuż osi <math>y</math> wynosi:
<equation id="51"><math>
\Delta y = \frac{\pi}{\gamma G_{yz}T_{y}}
</math></equation>

==Etap kodowania częstości i odczyt pomiaru magnetyzacji==
Po wyłączeniu gradientu <math>G_{yz}</math>, natychmiast włączany jest gradient <math>G_{xz}</math> wzdłuż osi <math>x</math>, nazywany gradientem kodowania częstości oraz jednocześnie następuje odczyt sygnału FID.
W wyniku przyłożenia gradientu <math>G_{xz}</math> następuje zróżnicowanie częstości precesji wektora magnetyzacji, zgodnie z poniższym wzorem:
<equation id="eq:kodowanie_czestosci"><math>
\omega_{0} = \gamma\left(B_{0} + G_{xz}x\right)
</math></equation>

Podsumowując, w celu wybrania obszaru, w którym zostanie dokonany pomiar magnetyzacji, przeprowadzane są następujące kroki:
# Włączone zostaje statyczne pole magnetyczne <math>B_{0}</math> wzdłuż osi ''Z''. Wektory magnetyzacji wykonują ruch precesyjny wokół tej osi.
# Włączony zostaje gradient pola magnetycznego <math>G_{zz}</math>, po czym, po kilku milisekundach badany obiekt zostaje przez czas <math>t_{\pi/2}</math> naświetlony falą elektromagnetyczną o określonej częstości. W warstwie, dla której zostaje spełniony warunek rezonansu, fala elektromagnetyczna wzbudza jądra atomowe, w wyniku czego wektory magnetyzacji wykonują ruch precesyjny w płaszczyźnie ''X-Y''.
#Po wyłączeniu gradientu <math>G_{zz}</math> zostaje włączony na okres <math>T_{yz}</math> gradient kodowania fazy. Po jego wyłączeniu,wektory magnetyzacji wzdłuż osi ''Y'' precesują z tą samą częstością lecz w różnej fazie.
#Po wyłączeniu gradientu <math>G_{yz}</math> zostaje włączony gradient kodowania częstości, który różnicuje częstość precesji wektora magnetyzacji. Jednocześnie następuje pomiar magnetyzacji (sygnału FID) w płaszczyźnie ''X-Y''.

Podsumowując: gradient <math>G_{zz}</math> wraz z impulsem pobudzającym umożliwiają zakodowanie współrzędnej ''Z'' wokseli, z których chcemy dokonać pomiaru namagnesowania obiektu. Jest to tzw. wybór warstwy gdzie będzie dokonywany pomiar. W następnych dwóch etapach zakodowany zostają współrzędne ''X'' i ''Y'' poszczególnych wokseli za pomocą częstości precesji wektora magnetyzacji oraz fazy jego precesji. Innymi słowy, każdemu wokselowi, zostaje przyporządkowana jednoznacznie częstość precesji Larmour'a oraz faza tej precesji.

==Dekodowanie obrazu==
W poprzednim rozdziale omówiliśmy metodę jednoznacznego przypisania wokselowi o współrzędnych <math>x</math>, <math>y</math> w warstwie o położeniu <math>z</math>, częstości i fazy początkowej precesji wektora magnetyzacji.
Cewki, które służą do pomiaru wytworzonego namagnesowania, rejestrują sygnał pochodzący od wszystkich wokseli w danej warstwie.
W trakcie drugiego i trzeciego etapu kodowania obrazu namagnesowanie w wokselu o współrzędnych <math>x</math> i <math>y</math> uzyskuje częstość precesji Larmour:
<math>
\omega_{0} = \gamma\left(B_{0} + G_{xz}x\right)
</math>
oraz fazę tej precesji:
<math>
\phi = \gamma G_{yz}yT_{y}
</math>
Mierzony sygnał rezonansowy pochodzący od danego woksela w płaszczyźnie <math>x-y</math> można wyrazić w następujący sposób:
<equation id="52"><math>
dS\left(t\right) = AM^{0}(\vec{r})e^{-i\left(w_{0}\left(x\right)t + \phi\left(y\right)\right)}e^{-\frac{t}{T_{2}}}dxdydz
</math></equation>
Będziemy w dalej zajmowali się problemem wyznaczenia rozkładu gęstości protonów w płaszczyźnie już wybranej warstwy o grubości <math>dz</math>, dlatego wprowadzimy stałą <math>B = A\cdot dz</math>.
<equation id="53"><math>
dS\left(t\right) = BM^{0}(\vec{r})e^{-i\left(w_{0}\left(x\right)t + \phi\left(y\right)\right)}e^{-\frac{t}{T_{2}}}dxdy
</math></equation>
gdzie <math>B</math> jest pewną stałą zależną od grubości warstwy oraz geometrii cewek, zaś <math>M^{0}(\vec{r})</math> jest początkowym namagnesowaniem poprzecznym, uzyskanym w wyniku pobudzenia jąder atomowych impulsem <math>RF</math>.
Podstawiając do powyższego równania wzory (<xr id="eq:kodowanie_fazy"/>) i (<xr id="eq:kodowanie_czestosci"/>) otrzymujemy:
<equation id="54"><math>
dS\left(t\right) = BM^{0}(\vec{r})e^{-i\left(\gamma\left(B_{0} + G_{xz}x\right)t + \gamma G_{yz}yT_{y}\right)}e^{-\frac{t}{T_{2}}}dxdy
</math></equation>
a zatem sygnał rezonansowy rejestrowany z całej warstwy o współrzędnej <math>z</math> wynosi:
<equation id="55"><math>
S\left(t\right) = B\int\int M^{0}(\vec{r})e^{-i\left(\gamma\left(B_{0} + G_{xz}x\right)t + \gamma G_{yz}yT_{y}\right)}e^{-\frac{t}{T_{2}}}dxdy
</math></equation>
Otrzymane równanie porządkujemy w następujący sposób:
<equation id="55"><math>
S\left(t\right) = Be^{-\frac{t}{T_{2}}}\int\int M^{0}(\vec{r})e^{-i\left(\gamma\left(B_{0} + G_{xz}x\right)t + \gamma G_{yz}yT_{y}\right)}dxdy
</math></equation>
<equation id="56"><math>
S\left(t\right) = Be^{-\frac{\gamma B_{0}t}{T_{2}}}\int\int M^{0}(\vec{r})e^{-i\left(\gamma G_{xz}xt + \gamma G_{yz}yT_{y}\right)}dxdy
</math></equation>
podstawiając:
<equation id="57"><math>
\begin{array}{l}
k_{x} = \gamma G_{xz}t\\
\\
k_{y} = \gamma G_{yz}T_{y}
\end{array}
</math></equation>
uzyskujemy:
<equation id="eq:mierzony_sygnal"><math>
S\left(k_{x},k_{y}\right) = Be^{-\frac{\gamma B_{0}t}{T_{2}}}\int\int M^{0}(\vec{r})e^{-i\left(k_{x}x + k_{y}y\right)}dxdy
</math></equation>
Wymiar stałej <math>B</math> zawiera jednostkę długości (powiązaną z grubością warstwy), z kolei namagnesowanie to całkowity moment magnetyczny przypadający na jednostkę objętości <math>dV</math>. Namagnesowanie woksela zależeć będzie od całkowitej liczby jąder atomowych znajdujących się w objętości <math>dV</math>. W związku z tym, uwzględniając jednostkę stałej <math>B</math> oraz namagnesowania <math>M^{0}</math> możemy przepisać równanie (<xr id="eq:mierzony_sygnal"/>) do następującej postaci:
<equation id="58"><math>
S\left(k_{x},k_{y}\right) = B'e^{-\frac{\gamma B_{0}t}{T_{2}}}\int\int \rho^{0}_{xy}e^{-i\left(k_{x}x + k_{y}y\right)}dxdy
</math></equation>
gdzie <math>B'</math> to stała zależna już tylko od właściwości cewek, natomiast <math>\rho^{0}_{xy}</math> jest gęstością jąder atomowych w badanej warstwie. Widzimy zatem, iż mierzony sygnał jest transformatą Fouriera gęstości jąder atomowych, z dokładnością do wagi, zależnej od natężenia statycznego pola magnetycznego oraz czasu relaksacji <math>T_{2}</math><ref>Należy również pamiętać, iż wyznaczona gęstość jąder atomowych (w praktyce jąder atomu wodoru) zależy również od czasu powtarzania wzbudzeń jąder atomowych (''Time Repetition —TR'') oraz czasu echa spinowego (''Time Echo — TE'')</ref>.
Rozkład gęstości jąder atomowych można wyznaczyć obliczając odwrotną transformatę Fouriera równania (<xr id="eq:mierzony_sygnal"/>)
<equation id="59"><math>
\rho^{0}_{xy} = B'e^{-\frac{\gamma B_{0}t}{T_{2}}}\int\int S\left(k_{x},k_{y}\right)e^{i\left(k_{x}x + k_{y}y\right)}dk_{x}dk_{y}
</math></equation>
Podsumowując:
Główną informacją jaką otrzymujemy za pomocą obrazowania metodą jądrowego rezonansu magnetycznego jest rozkład gęstości
jąder atomowych. Z uwagi, iż jądro atomu wodoru ma największy spośród jąder atomowych współczynnik giromagnetyczny, a także ze względu na wysokie stężenie wodoru w organizmie ludzkim, za pomocą MRI uzyskuje się obraz rozkładu gęstości tego właśnie pierwiastka. W badaniu otrzymamy zatem bardzo dobry obraz tkanek miękkich (np. mózg), co odróżnia tą metodę od Rentgenowskiej Tomografii Komputerowej, najlepiej obrazującą kości. Ponadto, mierząc czasy relaksacji namagnesowania — <math>T_{1}</math> i <math>T_{2}</math> możliwe jest uzyskanie informacji o pewnych właściwościach fizyko-chemicznych tkanek.

==Podstawowa Sekwencja Gradientów Pola Magnetycznego==
[[File:rekonstrukcja_mri.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:rekonstrukcja_mri.png"></figure>Podstawowa sekwencja pól gradientowych.]]
W tym rozdziale dokonamy pewnego podsumowania dotychczas zdobytej wiedzy dotyczącej procesu kodowania i dekodowania obrazu w Magnetycznym Rezonansie Jądrowym. Podstawowa sekwencja kodująca oraz proces dekodowania został zaprezentowany na <xr id="fig:rekonstrukcja_mri">rys. %i</xr>
Z uwagi na ograniczoną ilość miejsca pod rysunkiem, jego opis znajdzie w treści rozdziału. Załóżmy, że chcemy zobrazować wybraną warstwę głowy pacjenta. Obraz zostanie utworzony za pomocą macierzy <math>M</math>x<math>N</math> pikseli. Proces obrazowania będzie składał się następujących kroków:
# Umieszczenia pacjenta w stałym polu magnetycznym o indukcji <math>B_0</math>. Po wykonaniu tego kroku momenty magnetyczne jąder wykonują precesję z częstością <math>\omega_0 = \gamma B_0</math>. Powstaje wypadkowe namagnesowanie <math>M_0</math> w kierunku pola <math>\vec{B}_0</math>. Załóżmy, że w głowie pacjenta znajdują się tylko dwa obszary dające znaczące sygnały. Obszary te wypełniona różnymi odcieniami szarości.
# Włączenia pola gradientowego w kierunku osi ''z'' (przyjęto, że jest to oś biegnąca wzdłuż badanego). Następuje zróżnicowanie precesji momentów magnetycznych protonów. Częstość precesji zależy teraz od współrzędnej ''z'' w następujący sposób: <math>\omega_{0} = \gamma\left(B_{0} + G_{zz}z\right)</math>. Równocześnie wraz z gradientem pola zostaje włączony impuls pobudzający (RF) <math>\frac{\pi}{2}</math> o częstości <math>\omega_1</math>. Wywoła on pobudzenie tych momentów magnetycznych, których częstość precesji Larmoura wynosi <math>\omega = \omega_1</math>, czyli <math>\omega_1 = \gamma\left(B_{0} + G_{zz}z\right)</math>. Są to momenty magnetyczne znajdujące się w płaszczyźnie ''x-y'' o współrzędnej ''z'' równej: <math>z = \frac{\left(\omega_{1} - \gamma B_{0}\right)}{\gamma G_{z}}</math>. W wokselach leżących w wybranej warstwie następuje zmiana orientacji wektora namagnesowania <math>M_0</math> o kąt <math>\frac{\pi}{2}</math>. Warto zauważyć, iż po wyłączeniu tego pola gradientowego, momenty magnetyczne ponownie ruch precesyjny z częstością Larmoura <math>\omega=\gamma B_0</math>, jednak w odróżnieniu od wektorów leżących w innych warstwach maja one zmienioną orientację.
# Wzdłuż osi ''y'' zostaje włączone na pewien okres czasu kolejne pole gradientowe, którego wartość na <xr id="fig:rekonstrukcja_mri">rys. %i</xr> oznaczono kolorem żółtym. Wektor magnetyzacji zaczynają rotację w płaszczyźnie ''x-y'' z różną prędkością (ale tą samą dla zadanej współrzędnej ''y''). Po wyłączeniu pola gradientowego, częstość precesji wraca do wartości <math>\omega = \gamma B_0</math>, jednakże wektory namagnesowania wirują w płaszczyźnie ''x-y'' w różnej fazie.
# Następuje kolejne włączenie pola gradientowego, tym razem wzdłuż osi ''x''. Momenty magnetyczne, a także namagnesowanie zaczyna wirować z różną częstością, zależną od współrzędnej ''x''. Jednocześnie wraz z włączeniem tego gradientu następuje pomiar sygnału. Na tym etapie kodowania obrazu, można powiedzieć, że wektory namagnesowania znajdujące się w wokselach leżących w tej samej kolumnie (oś ''y'') rotują z tą samą częstością, natomiast wektory namagnesowania, znajdujące się w tym samym wierszu (os ''x'') rotują z tą samą fazą. Należy pamiętać, iż włączenie gradientu wzdłuż osi ''y'' w poprzednim etapie zmieniło jedynie fazę sygnału FID. Sygnały o tej samej częstości i różnej fazie nałożą się na siebie, dając pewien sygnał wypadkowy. Innymi słowy, na podstawie widma zarejestrowanego sygnału FID możliwe jest w tej chwili rozróżnienie z której kolumny pochodzą składowe mierzonego sygnału. Nie znamy natomiast współrzędnej ''y'' wokseli, z których pochodzi istotny sygnał. W związku z tym całość pomiaru (poczynając od etapu 2) należy powtórzyć, tyle razy, ile mamy wierszy w obrazie, za każdym razem zmieniając wartość gradientu pola magnetycznego wzdłuż osi ''y'' lub długość czasu jego trwania.
# Wartości Transformat Fouriera zapisywane są w tzw. współrzędnych przestrzeni K, tworząc pewną macierz. Wykonanie odwrotnej, dwuwymiarowej Transformaty Fouriera tej macierzy umożliwia wyznaczenie rozkładu przestrzennego namagnesowania.

==Co obrazuje Magnetyczny Rezonans Jądrowy==

===Rozkład gęstości protonów===
W trakcie badania MRI dokonywany jest pomiar namagnesowania małych jednostek objętości (wokseli) danego obszaru pacjenta. Namagnesowanie woksela jest proporcjonalne do liczby momentów magnetycznych cząstek znajdujących się w nim cząstek posiadających momenty magnetyczne. Spośród wielu atomów, które wchodzą w skład organizmu ludzkiego i posiadających spin, wodór charakteryzuje się największą abundancją oraz jądrem
o największym momencie magnetycznym. MRI będzie zatem obrazował głownie rozkład gęstości wodoru. W przeciwieństwie do Metod Rentgenowskich, MRI będzie zatem bardzo dobrze obrazował tkanki miękkie.

===Kontrast <math>T_{1}</math> oraz <math>T_{2}</math>===
Bardzo ważną informację diagnostyczną można również uzyskać, wykorzystując do tego czas pomiaru relaksacji <math>T_1</math> i <math>T_2</math>. Relaksacja wektora namagnesowania następuje w wyniku oddziaływania momentów magnetycznych z otoczeniem. Na podstawie zmian w szybkości zaniku namagnesowania poprzecznego lub odbudowie namagnesowania podłużnego można zatem wyciągnąć pewne wnioski diagnostyczne. Dokonuje się tego przy pomocy odpowiednio dobranej sekwencji pola pobudzającego, którego skutkiem będzie lepsze uwidocznienie na obrazie obszarów o krótkim czasie <math>T_1</math> lub krótkim czasie <math>T_2</math>. Mówimy wtedy odpowiednio o obrazie T1 zależnym lub T2 zależnym, bądź kontraście T1 lub T2.

Obok rozkładu gęstości jąder atomu wodoru, za pomocą MRI możemy wyznaczyć również czasy relaksacji magnetyzacji podłużnej — <math>T_{1}</math> oraz magnetyzacji poprzecznej — <math>T_{2}</math>. Czasy te zależą od właściwości fizyko-chemicznych tkanek. Z dotychczasowych badań wiadomo, iż czasy relaksacji tkanki zdrowej, różnią się znacznie od czasów relaksacji tej samej tkanki chorej (np. rakowej). Czasy relaksacji zawierają zatem niezwykle cenna z punktu widzenia diagnostyki informacje.





==Budowa skanera MRI==

===Cewki pola statycznego===

Podstawowym elementem aparatury MRI są przyrządy wytwarzające pola magnetyczne (statyczne jak i gradientowe) oraz rejestrujące sygnał namagnesowania.
Statyczne pole magnetyczne <math>\vec{B}_{0}</math> można wygenerować za pomocą:
# Magnesów trwałych. Małe zużycie prądu elektrycznego, nieskomplikowana budowa aparatury, ogólnie niskie koszty obsługi. Skaner ma mniejsze rozmiary niż w przypadku skanerów w których pole magnetyczne jest wytwarzane w inny sposób, ponadto ma budowę otwartą (pacjent nie znajduje się w wąskim cylindrze), co zwiększa komfort badania (np. u pacjentów z klaustrofobią).
#*Wady — trwałe magnesy są ciężkie, wytwarzają pola magnetyczne w granicy: 0.064 T - 0.3 T.
# Elektromagnesów. Pole magnetyczne powstaje w wyniku przepływu prądu przez cewkę. Elektromagnesy mogą mieć rdzeń powietrzny lub stalowy. Zalety — otwarta budowa zwiększająca komfort badania, można wyłączyć skaner, jeśli jest nieużywany, niska cena skanera.
#*Wady — wysokie zużycie energii elektrycznej, ograniczone wartość wytwarzanego pola magnetycznego < 0.2 - 0.3T, potrzebne chłodzenie wodne, wytworzone pole magnetyczne "''rozprzestrzenia''" się na boki.
# Magnesów nadprzewodzących — najczęściej stosowane. Pole magnetyczne wytwarzane jest przez przepływ prądu w cewkach umieszczonych w ciekłym helu, w celu redukcji zjawiska oporu elektrycznego — W temperaturze 4 Kelvinów (-269<math>^{o}</math>) opór ten zanika.
#*Zalety — możliwość generowania silnych, bardzo jednorodnych pól magnetycznych — do 12T, a co za tym idzie możliwość rejestracji sygnału namagnesowania o wysokim SNR oraz skrócenie czasu wykonywania skanu. Ponadto niskie zużycie prądu elektrycznego.
#*Wady — drogi skaner, wysokie koszty związane z obsługą aparatury kriogenicznej, aparatura hałaśliwa i o zwartej budowie — mniejszy standard wygody dla pacjenta, wrażliwszy na artefakty ruchowe, skomplikowana budowa (cewki nadprzewodzące muszą być zabezpieczone wieloma warstwami termicznymi, oraz przestrzeniami próżniowymi, aby chronić Hel przed zagotowaniem się i eksplozją).

===Cewki nadawczo odbiorcze===

Źródłem sygnału pobudzającego jądra atomowe w zjawisku jądrowego rezonansu magnetycznego, jak i odbiornikiem rejestrującym wytworzony sygnał namagnesowania są tzw. Cewki RF. Istnieje wiele różnorodnych typów cewek, przeznaczonych do określonych badań, można je jednak podzielić na dwie grupy:
#Cewki objętościowe. Wewnątrz takiej cewki wytworzone zostaje jednolite pole magnetyczne, wymagają jednak, aby badana część pacjenta znajdowała się w środku cewki.
# Cewki powierzchniowe. Jak sama nazwa wskazuje cewki takie umieszczane są na powierzchni, blisko obszaru, który ma być badany. Cewki takie zapewniają sygnał o wysokim SNR oraz wysoką rozdzielczość otrzymywanych obrazów. Wada tych cewek jest szybka strata jednolitości otrzymywanego obrazu, w przypadku gdy badany obiekt przemieści się poza cewkę.



==Podstawy kwantowego opisu zjawiska Rezonansu Magnetycznego==

[[File:quantum_mri.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:quantum_mri"></figure>Ilustracja powstawania stanów kwantowych oraz pobudzenia wzbudzenia przejść pomiędzy nimi. A — przy braku zewnętrznego pola magnetycznego poziomy energetyczne odpowiadające różnym rzutom momentu pędu na oś ''Z'' charakteryzują się tą samą energię. Umieszczenie próbki w stałym polu magnetycznych wywołuje powstanie dwóch stanów kwantowych o różnych energiach. Nieznaczna większość protonów znajdzie się w stanie o niższej energii. Za pomocą fali elektromagnetycznej o odpowiedniej energii ( częstości) można doprowadzić do przejść jąder do wyższego poziomu energetycznego. B — po wyłączeniu fali elektromagnetycznej, jądra przechodzą ze stanu wzbudzonego do stanu podstawowego oddając wcześniej zaabsorbowana energię.]]
Podstawowy opis kwantowy zjawiska rezonansu magnetycznego przeprowadzimy dla protonu. Przypominamy, własny moment pędu protonu opisywany jest spinową liczbą kwantową <math>I = \frac{1}{2}</math>, długość wektora momentu pędu wynosi <math>|\vec{I}| = \frac{\sqrt{3}}{2}\hbar </math>, zaś rzut wektora spinu na oś ''Z'' może przyjmować wartości: <math>\vec{I}_{z} = \pm\frac{1}{2}\hbar </math>. Pod nieobecność zewnętrznego pola magnetycznego, rzutom wektora spinu proton una oś ''Z'' odpowiadają stany o tej samej energii. 
Wprowadzenie próbki w stałe pola magnetyczne o wartości <math>B_0</math> i kierunku równoległego do osi ''X'' powoduje rozczepienie tych stanów. Rzut wektora momentu magnetycznego (związanego ze spinem) na oś ''Z'' może mieć kierunek równoległy lub przeciwny do kierunku pola magnetycznego. Rzutom tym odpowiadają dwa poziomy energetyczne:
<equation id="60"><math>
\begin{array}{l}
E_1 = -\frac{1}{2}\hbar\gamma B_0\\
\\
E_2 = \frac{1}{2}\hbar \gamma B_0\\
\end{array}
</math></equation>
gdzie: <math>E_1, E_2</math> to odpowiednio energia stanu związanego z równoległym i przeciwnym rzutem momentu magnetycznego na kierunek stałego pola magnetycznego. Zgodnie z zasadami termodynamiki, protony będą dążyły do zajmowania stanów o niższej energii. Dostarczając dodatkową energię, np. za pomocą fali elektromagnetycznej, można doprowadzić do przejścia protonów ze stanu podstawowego do wzbudzonego. Częstość fali elektromagnetycznej można wyliczyć w następujący sposób. Różnica energii pomiędzy dwoma stanami wynosi:
<equation id="61"><math>
\Delta E = E_2 - E_1 = \hbar \gamma B_0
</math></equation>
Fala elektromagnetyczna o częstości <math>\omega_0</math> posiada energię:
<equation id="62"><math>
E = \hbar \omega_0
</math></equation>
Energia fali elektromagnetycznej powinna być równa różnicy energii dwóch stanów kwantowych:
<equation id="63"><math>
\Delta E = \hbar \omega_0 \rightarrow \hbar \gamma B_0 = \hbar \omega_0
</math></equation>
ostatecznie, częstość fali wzbudzającej przejścia pomiędzy poziomami energetycznymi jest równa:
<equation id="64"><math>
\omega_0 = \gamma B_0
</math></equation>
Po wyłączeniu fali pobudzającej, protony przechodzą ze stanu wzbudzonego do stanu podstawowego, emitując nadmiar energii.
Pobudzeniowa fala elektromagnetyczna może być wygenerowana za pomocą cewki, która po wyłączeniu emisji fali może również rejestrować energię emitowaną przez protony przechodzące do stanu podstawowego.
Bardziej rozszerzony (nieobowiązkowy dla studentów opis zjawiska magnetycznego rezonansu jądrowego można znaleźć w kolejnym rozdziale).

==Kwantowy opis zjawiska Rezonansu Magnetycznego==
Zastosowanie modelu kwantowego prowadzi do pełniejszego w porównaniu z modelem klasycznym opisu zjawiska NMR, jednak ze względu na skomplikowaną postać samej Teorii Kwantów, model kwantowy może być trudny w zrozumieniu. Z kolei model klasyczno-kwantowy (zaprezentowany w dotychczasowych rozdziałach), jest łatwiejszy do przyswojenia i dla pewnej klasy problemów uzyskuje się za jego pomocą te same wyniki co w modelu kwantowym.

Nim przejdziemy do szczegółowego opisu zjawiska NMR, dokonamy zestawienia niektórych z postulatów leżących u podstaw Mechaniki Kwantowej i Klasycznej oraz przypomnimy sobie znaczenie pewnych pojęć stosowanych w fizyce.

<ol>

<li>
Układem fizycznym (w dalszej części skryptu nazywanym w skrócie układem) określa się zbiór ciał.

<li>
Stan układu jest najmniejszym zbiorem informacji pozwalającym odpowiedzieć na wszelkie pytania dotyczące układu.

<li>
W Mechanice Klasycznej pomiar wielkości fizycznej można wykonać z dokładnością ograniczoną jedynie precyzją dostępnej aparatury. Sam pomiar nie wpływa na układ.

<li>
W Mechanice Kwantowej nie można dokonać jednoczesnego pomiaru pewnych wielkości fizycznych z dowolną dokładnością. Ograniczenie to, znane jako Zasada Nieoznaczoności Heisenberga, nie ma nic wspólnego z precyzja aparatury pomiarowej. Jest to jedno z praw przyrody, któremu podlegają np. pomiary położenia i pędu:

::<math>
\Delta x\Delta p_{x}\ge \hbar </math>

gdzie:

<ul>

<li>
<math>\Delta x</math> i <math>\Delta p_x</math> to odpowiednio nieoznaczoność położenia i pędu wzdłuż osi <math>x</math>

</ul>

pomiary energii i czasu:

::<math>
\Delta E\Delta t\ge \hbar </math>

gdzie:

<ul>

<li>
<math>\Delta E</math> i <math>\Delta t</math> to odpowiednio nieoznaczoność energii i czasu.

</ul>

pomiary składowych wektora momentu pędu (w Mechanice Kwantowej obserwowalna jest w danym pomiarze tylko jedna ze składowych wektora oraz jego długość).
Możliwy jest natomiast jednoczesny pomiar z dowolną dokładnością np. energii i pędu. Warto zauważyć, że chociaż nie da się, zgodnie z Zasadą Nieoznaczoności, jednocześnie zmierzyć np. położenia i pędu cząstki, to można wyznaczyć osobno rozkład prawdopodobieństwa dla pędów i rozkład
prawdopodobieństw dla położeń w danym stanie układu. Mierząc dostatecznie dużo takich rozkładów prawdopodobieństwa, można określić stan układu. Pojedynczą wielkość da się w zasadzie zmierzyć z dowolną dokładnością, ale jeżeli mamy kilka takich samych układów w tym samym stanie, to na ogół dla każdego z nich pomiar tej wielkości da inny wynik.

<li>
W Mechanice Klasycznej położenie, orientacja oraz wielkości charakteryzujące ruch układu w danej chwili określają stan układu w tej chwili. W przypadku cząstki punktowej do określenia jej stanu w przestrzeni trójwymiarowej wystarczy sześć wielkości jednowymiarowych: 3 współrzędne opisujące położenie cząstki oraz 3 wielkości charakteryzujące jej ruch (prędkość lub pęd).

<li>
W Mechanice Kwantowej stan układu określony jest za pomocą funkcji falowej <math>\psi \left(\vec{r},t\right)</math>. Funkcja falowa zawiera pełną informacje o stanie układu. Zwykle jednak nie da się przewidzieć wyniku pomiaru znając nawet dokładnie stan układu.

<li>
Interpretacja fizyczna funkcji falowej jest następująca (cyt. z pracy <ref name="bid0"> Iwo Białynicki-Birula, Marek Cieplak, Jerzy Kamiński Teoria Kwantów. Mechanika Falowa. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1991.</ref>)

Funkcja falowa <math>\psi \left(\vec{r},t\right)</math> opisuje fale prawdopodobieństwa. Wielkość <math>\psi ^{*}\left(\vec{r},t\right)\psi \left(\vec{r},t\right)</math> jest gęstością prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w punkcie <math>\vec{r}</math> w chwili <math>t</math>.
Inaczej mówiąc, całka:
<math>P_{D}\left(t\right)=\int _{D}d^{3}\vec{r}\left|\psi \left(\vec{r},t\right)\right|^{2}</math> jest prawdopodobieństwem znalezienia cząstki w chwili <math>t</math> w obszarze <math>D</math>.

<li>
Funkcja falowa musi spełniać warunek unormowania<ref>Warunek unormowania został arbitralnie wprowadzony w pierwszej pracy Schrödingera dotyczącej równania falowego.</ref>:
<math>\int _{D}d^{3}\vec{r}\left|\psi \left(\vec{r},t\right)\right|^2 = 1</math>.
Innymi słowy, prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w dowolnym punkcie przestrzeni jest równe jedności.

<li>
W Mechanice Klasycznej pomiar wielkości fizycznej nie wpływa na układ.

<li>
W Mechanice Kwantowej zwykle nie można gwarantować, że stan układu po pomiarze będzie taki sam jak przed pomiarem. W szczególności
ponowny pomiar wielkości, która przedtem była dobrze określona, może dać (zupełnie) inny wynik.

<li>
W Mechanice Kwantowej dowolnej, dobrze określonej obserwabli fizycznej (takiej jak pęd, energia, masa czy moment pędu), dalej oznaczanej przez <math>C</math>, odpowiada operator <math>\hat{C}</math> taki, że w wyniku pomiaru obserwabli <math>C</math> otrzymujemy wartości zmierzone <math>c</math>, które są wartościami własnymi operatora <math>\hat{C}</math>:

::<math>
\hat{C}\phi = c\phi </math>

gdzie: <math>\phi </math> jest funkcją własną operatora <math>\hat{C}</math>.

<li>
W Mechanice Kwantowej, jeśli układ znajduje się w stanie <math>\psi \left(\vec{r},t\right)</math>, to średnia wartość dowolnej obserwabli fizycznej <math>C</math> związanej z układem w chwili czasu <math>t</math> dana jest wzorem:

<equation id="uid21">
<math>
\left<C\right> = \int \psi ^{*}\left(\vec{r},t\right)\hat{C}\psi \left(\vec{r},t\right)d^{3}\vec{r}
</math>
</equation>

</ol>

==Spin==

Dokładny opis spinu, który jest wielkością kwantową, wykracza znacznie poza ramy materiału niniejszego skryptu. Zainteresowanych czytelników odsyłamy do prac <ref name="bid0" />, <ref name="bid1">Richard L. Liboff Wstęp do Mechaniki Kwantowej. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa
1987.</ref>, <ref name="bid2">Leszek Adamowicz Mechanika Kwantowa. Formalizm i Zastosowania. Oficyna Wydawnicza
Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2005.</ref>, na podstawie których został napisany niniejszy rozdział. W tym miejscu natomiast ograniczymy się do podania kilku faktów, obserwacji, czy uwag, mając nadzieję, że wystarczą one czytelnikom do zrozumienia, czym jest spin, przynajmniej w takim stopniu, który ułatwi im przyswojenie wiadomości na temat Jądrowego Rezonansu Magnetycznego. Podstawowymi elementami, z których składa się materia, są cząstki takie jak elektron, proton oraz neutron, które posiadają spin równy <math>\frac{1}{2}</math>. Najbardziej rozpowszechnionym pierwiastkiem w organizmach żywych jest wodór, którego jądra — protony, odgrywają podstawową rolę w otrzymywaniu obrazów MR. W związku z tym omówienie pojęcia spinu ograniczymy do przypadku spinu równego <math>\frac{1}{2}</math>.

<ol>

<li>
Zjawiska takie jak rozszczepienie w niejednorodnym polu magnetycznym wiązki atomowej na dwie składowe, zaobserwowane przez Sterna i Gerlacha w roku 1922, czy dubletowa struktura widm pierwiastków alkalicznych nie zostały wyjaśnione w ramach teorii budowy atomu zaproponowanej przez Bohra. Doświadczenie przeprowadzone przez Sterna i Gerlacha, jak również i badania spektroskopowe wskazywały na nie uwzględnienie w teorii Bohra pewnej wielkości fizycznej — nieznanego, dodatkowego stopnia swobody elektronu.

<li>
W roku 1925 Uhlenbeck i Goudsmit wprowadzają pojecie spinu, jako wewnętrznego momentu pędu elektronu. Uhlenbeck i Goudsmit przyjęli, iż elektron wiruje<ref>W języku angielskim słowo spin oznacza wirowanie</ref> wokół własnej osi, co w naturalny sposób umożliwiło im wytłumaczenie istnienia dodatkowego stopnia swobody oraz wyjaśnienie dubletowej struktury widm pierwiastków alkalicznych. Obecnie wiadomo, iż obraz elektronu jako wirującej kulki zaproponowany przez Uhlenbecka i Goudsmita jest nieprawidłowy.

<li>
W roku 1926 Schrödinger publikuje serię czterech prac dotyczących równania falowego (nazwanego później równaniem Schrödingera), które dla elektronu znajdującego się w polu elektromagnetycznym przyjmuje następującą postać <ref name="bid0" />:

<equation id="uid27">
<math>
i\hbar\frac{\partial \psi \left(\vec{r},t\right)}{\partial t} = \left[ \frac{1}{2m} \left(\frac{\hbar }{i} \nabla - e \vec{A}\right)^2 + e \phi (\vec{r}) \right]\psi \left(\vec{r},t\right)
</math>
</equation>

gdzie:

<ul>

<li>
<math>\vec{B} = \nabla \times \vec{A}</math>

<li>
<math>\vec{E} = -\nabla \phi - \frac{\Delta \vec{A}}{\Delta t}</math>

<li>
<math>\vec{B}</math> to wektor indukcji magnetycznej

<li>
<math>\vec{E}</math> to wektor natężenia pola elektrycznego

</ul>

<li>
Rozwiązaniem równania (<xr id="uid27"> %i</xr>) są funkcje skalarne, które jednak nie opisują właściwie zachowania się elektronu w polu magnetycznym.

<li>
W przyrodzie obserwujemy zarówno fale skalarne (np. fale dźwiękowe) jak i fale wektorowe (np. fale elektromagnetyczne). Fale wektorowe mogą ulegać polaryzacji. Doświadczenie Sterna-Gerlacha wskazuje na to, że również fale prawdopodobieństwa mogą zostać spolaryzowane, zaś pole magnetyczne inaczej wpływa na poszczególne składowe polaryzacyjne <ref name="bid0" />.

<li>
Najprostszym sposobem wprowadzenia oddziaływania zależnego od pola magnetycznego i polaryzacji funkcji falowej do równania Schrödingera, jest przedstawienie go w postaci następującego układu równań <ref name="bid0" />:

<equation id="uid35">
<math>
\begin{array}{l}
i \hbar \frac{\partial \psi _{+}\left(\vec{r},t\right)}{\partial t} = \left[\frac{1}{2m}\left( \frac{\hbar }{i}\nabla - e \vec{A}\right)^{2} + e \phi - \mu B \right] \psi _{+}\left(\vec{r},t\right) \\
\\
i \hbar \frac{\partial \psi _{-}\left(\vec{r},t\right)}{\partial t} = \left[\frac{1}{2m}\left( \frac{\hbar }{i}\nabla - e \vec{A}\right)^{2} + e \phi + \mu B \right] \psi _{-}\left(\vec{r},t\right)
\end{array}
</math>
</equation>

<li>
Funkcja falowa cząstki posiadającej spin powinna zależeć nie tylko do zmiennych przestrzennych, ale również od dyskretnej zmiennej spinowej, opisującej wartość rzutu spinu na dowolnie wybraną w przestrzeni oś. Funkcja taka, oznaczmy ją dalej przez <math>\psi \left(\vec{r},t,m_{s}\right)</math>, będzie zbiorem różnych funkcji numerowanych przez parametr <math>m_{s}</math> związany ze spinem. Operator spinu działając na funkcję falową, będzie działał jedynie na składowe spinowe.

<li>
Równanie (<xr id="uid35"> %i</xr>) nie jest dogodną formą opisu oddziaływania pola magnetycznego ze spolaryzowaną falą prawdopodobieństwa. W roku 1927 Pauli pokazał, jak z dwóch funkcji falowych, przypisanych dwóm stanom polaryzacyjnym cząstki zbudować wielkość wektorową. Pomijając skomplikowane przekształcenia matematyczne, podamy rozwiązanie do którego doszedł Pauli. Z dwóch składowych polaryzacyjnych funkcji falowej: <math>\psi \left(\vec{r},t\right)_{+}</math> i <math>\psi \left(\vec{r},t\right)_{-}</math>, można zbudować dwuwymiarowy wektor i wektor do niego sprzężony:

<equation id="uid38">
<math>
\begin{array}{l}
\psi \left(\vec{r},t\right) = \left[
\begin{array}{l}
\psi _{+}\left(\vec{r},t\right) \\
\\
\psi _{-}\left(\vec{r},t\right)
\end{array}
\right]\\
\\
\psi ^{*}\left(\vec{r},t\right) = \left[
\psi ^{*}_{+}\left(\vec{r},t\right), \psi ^{*}_{-}\left(\vec{r},t\right) \right]
\end{array}
</math>
</equation>

który spełnia następujące równanie falowe:

<equation id="uid39">
<math>
i \hbar \frac{\partial \psi \left(\vec{r},t\right)}{\partial t} = \left[ \frac{1}{2m} \left( \frac{\hbar }{i}\nabla - e \vec{A}\right)^{2} + e \phi (\vec{r}) - \mu \vec{B} \vec{\sigma } \right] \psi \left(\vec{r},t\right)
</math>
</equation>

gdzie:

<ul>

<li>
<math>\vec{B}</math> jest indukcją pola magnetycznego, zaś <math>\vec{\sigma }</math> jest wektorem zbudowanym z tzw. macierzy Pauliego <math>\sigma _{x}</math>, <math>\sigma _{y}</math>, <math>\sigma _{z}</math>:

</ul>

<equation id="uid41">
<math>
\vec{\sigma }=\left[\mathbf {\sigma }_{x},\mathbf {\sigma }_{y},\mathbf {\sigma }_{z}\right]
</math>
</equation>

<equation id="uid42">
<math>
\begin{array}{l}
\sigma _{x} =
\left[
\begin{array}{cc}
0 & 1\\
1 & 0
\end{array}
\right]\\
\\
\sigma _{y} =
\left[
\begin{array}{cc}
0 & -i\\
i & 0
\end{array}
\right]\\
\\
\sigma _{z} =
\left[
\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & -1
\end{array}
\right]
\end{array}
</math>
</equation>

Iloczyn wektora <math>\vec{\sigma }</math> oraz wektora <math>\vec{B}</math> wynosi:

<equation id="uid43">
<math>
\vec{B}\vec{\sigma } =
\left[
\begin{array}{cc}
B_{z} & B_{x} - iB_{y}\\
\\
B_{x} + iB_{y} & -B_{z}
\end{array}
\right]
</math>
</equation>

<li>
W roku 1928 Dirac podał równanie falowe dla relatywistycznej cząstki o spinie <math>\frac{1}{2}</math> poruszającej się w polu elektromagnetycznym.
Rozwiązanie równania Diraca dla elektronu doprowadziło do wniosku, że spin jest składową całkowitego momentu pędu cząstki, wnosząc do niego wkład równy <math>\frac{1}{2}\hbar </math>. Równanie Diraca przewiduje istnienie spinu jako efektu relatywistycznego.

<li>
Operatory składowych wektora spinu są następujące <ref name="bid3" />:

<equation id="uid46">
<math>
\begin{array} {l}
\hat{s}_{x} = \frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
0 & 1\\
1 & 0
\end{array}
\right]\\
\\
\hat{s}_{y} = \frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
0 & -i\\
i & 0
\end{array}
\right]\\
\\
\hat{s}_{z} = \frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & -1
\end{array}
\right]
\end{array}
</math>
</equation>

a zatem operator spinu jest równy:

<equation id="uid47">
<math>
\hat{S} = \frac{1}{2}\hbar \vec{\sigma }
</math>
</equation>

</ol>

Podsumowując, spin należy rozumieć w ramach Mechaniki Kwantowej jako wyraz istnienia stanów polaryzacyjnych funkcji falowej (w przypadku elektronu, protonu, neutronu i niektórych jąder będą to dwa stany polaryzacyjne). Spin jest własnością cząstek, taką samą jak np. masa lub ładunek, ale obserwowalną dopiero w eksperymentach ujawniających kwantową naturę materii. Spin jest także składową całkowitego momentu pędu, niezwiązaną z ruchem, można go zatem również interpretować jako własny (wewnętrzny) moment pędu cząstki.

===Spin i moment magnetyczny jądra atomowego===

Jądra atomowe zawierające nieparzystą liczbę protonów lub neutronów mają niezerowy własny moment pędu <math>\vec{I}</math> (spin) oraz związany z nim moment magnetyczny. Zgodnie z regułami opisu wielkości wektorowych w mechanice kwantowej, jednocześnie może być obserwowalna tylko długość wektora oraz wartość jednej z jego składowych (tzw. rzut tego wektora na wyróżnioną oś, nazywaną osią kwantowania). W przypadku wektora własnego momentu pędu jądra atomowego jego długość wynosi <ref name="bid3" />:

<equation id="uid49">
<math>
|\vec{I}| = h\sqrt{I\left(I+1\right)}
</math>
</equation>

gdzie:

<ul>

<li>
<math>I</math> oznacza liczbą kwantową o wartości całkowitej lub połówkowej.

</ul>

Składowa <math>z</math> momentu pędu wyraża się następującym wzorem <ref name="bid3" />:

<equation id="uid51">
<math>
I_{z} = m_{I}h, \textrm { } m_{I} = I,I-1,\dots ,I
</math>
</equation>

Możliwych jest zatem <math>2I+1</math> orientacji spinu jądra względem wyróżnionego kierunku, odpowiadających możliwym wartościom jądrowej magnetycznej liczby kwantowej <math>m_{I}</math>. W przypadku protonu (jądra atomu wodoru), mamy <ref name="bid3" />:

::<math>
\begin{array}{l}
I=1/2\\
\\
|\vec{I}| = \frac{\sqrt{3}}{2}\hbar \\
\\
(\vec{I})_{z} = \pm \frac{1}{2}\hbar \end{array}
</math>

Moment magnetyczny związany jest ze spinem następującą zależnością <ref name="bid3" />:

<equation id="uid52">
<math>
\vec{\mu }_{I} = \gamma \vec{I}
</math>
</equation>

Energia potencjalna oddziaływania momentu magnetycznego z polem magnetycznym wynosi:

<equation id="uid59">
<math>
V = -\vec{\mu }\cdot \vec{B}
</math>
</equation>

Zgodnie z prawami termodynamiki układ fizyczny dąży do stanu, w którym jego energia wewnętrzna osiągnie wartość minimalną.
Rozważmy pole <math>\vec{B}</math>, posiadające tylko składową wzdłuż osi <math>z</math> (czyli <math>\vec{B}_0 = \left[ 0, 0, B_0\right]</math>), układu odniesienia.
W przypadku protonu, posiadającego ładunek dodatni, kierunek momentu magnetycznego jest zgodny z kierunkiem jego własnego momentu pędu, a zatem również rzuty momentu magnetycznego i momentu pędu na oś <math>z</math> są równoległe. Orientacji momentu pędu zgodnej z kierunkiem pola <math>\vec{B}</math> będzie odpowiadać energia potencjalna:

::<math>
V = -\frac{1}{2}\hbar \gamma B_0
</math>

natomiast orientacji antyrównoległej:

::<math>
V = \frac{1}{2}\hbar \gamma B_0 </math>

Ustawienie najkorzystniejsze energetycznie odpowiada więc sytuacji, kiedy składowa <math>z</math> spinu ustawiona jest w równolegle do kierunku pola <math>\vec{B}_0</math> (magnetyczna liczba kwantowa <math>m_{I}=\frac{1}{2}</math>).

===Precesja spinu i momentu magnetycznego w stałym polu magnetycznym — opis kwantowy dla cząstki o spinie 1/2===

Ze względu na wysokie naturalne rozpowszechnienie wodoru w organizmach żywych, oddziaływanie spinu z polem magnetycznym omówimy na przykładzie protonu. Dodatkowo, aby uprościć problem, rozważmy proton mający stałe położenie w przestrzeni oraz pole magnetyczne <math>\vec{B}_{0}</math>, które ma niezerową składową tylko wzdłuż osi <math>z</math>, czyli <math>\vec{B}=\left[0, 0, B_{0}\right]</math>. W takim przypadku równanie Pauliego przybierze następującą postać:

<equation id="uid61">
<math>
\frac{\partial \psi \left(\vec{r},t\right)}{\partial t} = \left[\frac{1}{2m}\left(\frac{\hbar }{i}\nabla \right)^2 - \mu \vec{B}\vec{\sigma }\right]\psi \left(\vec{r},t\right)
</math>
</equation>

Powyższe równanie można rozwiązać metodą rozdzielenia zmiennych przestrzennych i spinowych <ref name="bid0" />:

<equation id="uid62">
<math>
\psi \left(\vec{r},t\right) = \psi _{r}\left(\vec{r},t\right)\chi \left(t\right)
</math>
</equation>

gdzie:

<ul>

<li>
<math>\psi _{r}\left(\vec{r},t\right)</math> — zależy wyłącznie od współrzędnych przestrzennych i czasu

<li>
<math>\chi \left(t\right)</math> — jest dwuskładnikowym spinorem.

</ul>

w wyniku podstawienia równania (<xr id="uid62"> %i</xr>) do równania (<xr id="uid61"> %i</xr>) uzyskujemy następujący układ dwóch niezależnych równań:

<equation id="uid65">
<math>
\begin{array}{l}
i\hbar \frac{\Delta \psi _{r}\left(\vec{r},t\right)}{\Delta t} = - \frac{\hbar ^{2}}{2m}\nabla ^{2}\psi \left(\vec{r},t\right) \\ \\
i\hbar \frac{\Delta \chi \left(t\right)}{\Delta t} = - \mu \vec{\sigma }\vec{B}\psi \left(\vec{t}\right)
\end{array}
</math>
</equation>

Interesuje nas ewolucja spinu, dlatego rozwiążemy dalej tylko równanie dla funkcji <math>\chi \left(t\right)</math>.
Podstawiając:

<equation id="uid66">
<math>
\vec{\sigma }\vec{B}=
\left[
\begin{array}{cc}
\mu B_{0} & 0 \\
0 & -\mu B_{0}
\end{array}
\right]
</math>
</equation>

do równania (<xr id="uid65"> %i</xr>), otrzymujemy:

<equation id="uid67">
<math>
i\hbar \frac{\Delta \chi \left(t\right)}{\Delta t} =
\left[
\begin{array}{cc}
\mu B_{0} & 0 \\
0 & -\mu B_{0}
\end{array}
\right]\chi \left(t\right)
</math>
</equation>

Jest to układ równań różniczkowych rzędu pierwszego o rozwiązaniach postaci:

<equation id="uid68">
<math>
\begin{array}{l}
\chi _{+}\left(t\right) = ae^{i\frac{\mu B_{0}}{\hbar }t}
\left[
\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}
\right]\\
\\
\chi _{-}\left(t\right) = be^{-i\frac{\mu B_{0}}{\hbar }t}
\left[
\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}
\right]
\end{array}
</math>
</equation>

Dokonajmy analizy jednostkowej uzyskanego rozwiązania.
Argument funkcji wykładniczej powinien być bezwymiarowy.
Wielkość <math>\mu B_{0}</math> ma wymiar energii, z kolei stała Planka ma wymiar <math>\left[\textrm {Js}\right]</math>, a zatem:

::<math>
\pm i\frac{\mu B_{0}}{\hbar } = \left[\frac{J}{Js}\right] = \left[\frac{1}{s}\right]
</math>

Oznaczmy dalej wielkość <math>\frac{\mu B_{0}}{\hbar }</math>, w następujący sposób:

<equation id="uid69">
<math>
\omega ^{\prime }_{0} = \frac{\mu B_{0}}{\hbar }
</math>
</equation>

Ostatecznie, otrzymane rozwiązanie możemy przedstawić w dwóch formach:

<equation id="uid70">
<math>
\chi \left(t\right) =
ae^{i\omega ^{\prime }_{0}t}\left[
\begin{array}{l}
1\\
0
\end{array}
\right]
+
be^{-i\omega ^{\prime }_{0}t}\left[
\begin{array}{l}
0\\
1
\end{array}
\right]
</math>
</equation>

lub

<equation id="uid71">
<math>
\chi \left(t\right) =
ae^{i\frac{E}{\hbar }t}\left[
\begin{array}{l}
1\\
0
\end{array}
\right]
+
be^{-i\frac{E}{\hbar }t}\left[
\begin{array}{l}
0\\
1
\end{array}
\right]
</math>
</equation>

gdzie:

<ul>

<li>
<math>E = \mu B_{0}</math>

</ul>

Jak można zauważyć, rozwiązaniem równania falowego (<xr id="uid65"> %i</xr>) jest funkcja:

<ul>

-
<li>
ortogonalna

-
<li>
ortonormalna, o ile zostanie spełniony warunek:

::<math>
\left|a\right|^{2} + \left|b\right|^{2} = 1
</math>

</ul>

Rozwiązanie to spełnia zatem postulaty mechaniki kwantowej dotyczące postaci funkcji falowej.
Wartości <math>\left|a\right|^{2}</math> i <math>\left|b\right|^{2}</math> można traktować jako prawdopodobieństwa znalezienia jądra atomowego w stanie odpowiednio o spinie skierowanym w górę i spinie skierowanym w dół.

Wyznaczymy teraz wartości oczekiwane operatora składowych spinu korzystając ze wzoru (<xr id="uid21"> %i</xr>).
Na początku uprościmy zapis funkcji falowej. Wprowadźmy skrócone oznaczenie:

::<math>
\begin{array}{l}
\alpha = ae^{i\omega ^{\prime }_{0}t}\\
\beta = be^{-i\omega ^{\prime }_{0}t}
\end{array}
</math>

umożliwiające zapis funkcji falowej w następującej formie

<equation id="uid75">
<math>
\chi \left(t\right) =
\alpha \left[
\begin{array}{l}
1\\
0
\end{array}
\right]
+
\beta \left[
\begin{array}{l}
0\\
1
\end{array}
\right]=
\left[
\begin{array}{l} \alpha \\
\beta \end{array}
\right]
</math>
</equation>

Składowa <math>z</math> operatora spinu

::<math>
\hat{C}\phi =\frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & -1
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\alpha \\
\beta \end{array}
\right]
= \frac{\hbar }{2}\left[
\begin{array}{c}
\alpha \\
-\beta \end{array}
\right]
</math>

::<math>
\phi ^{*}\hat{C}\phi = \frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
\alpha ^{*} & \beta ^{*}
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\alpha \\
-\beta \end{array}
\right] =
\frac{\hbar }{2}\left(
\begin{array}{cc}
\left|\alpha \right|^{2} - \left|\beta \right|^{2}
\end{array}
\right)
</math>

ostatecznie:

<equation id="uid76">
<math>
\left<\hat{s}_{z}\right> = \frac{\hbar }{2}\left(a^{2} - b^{2}\right)
</math>
</equation>

Składowa <math>x</math> operatora spinu

::<math>
\hat{C}\phi =\frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
0 & 1\\
1 & 0
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\alpha \\
\beta \end{array}
\right]
= \frac{\hbar }{2}\left[
\begin{array}{c}
\beta \\
\alpha \end{array}
\right]
</math>

::<math>
\phi ^{*}\hat{C}\phi = \frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
\alpha ^{*} & \beta ^{*}
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\beta \\
\alpha \end{array}
\right] =
\frac{\hbar }{2}\left(
\begin{array}{cc}
\alpha ^{*}\beta - \beta \alpha ^{*}
\end{array}
\right)
</math>

po podstawieniu za <math>\alpha </math> i <math>\beta </math> odpowiednich wyrażeń otrzymujemy:

<equation id="uid77">
<math>
\left<\hat{s}_{x}\right> = \hbar ab\cos \left(2\omega ^{\prime }_{0}t\right)
</math>
</equation>

Składowa <math>y</math> operatora spinu

::<math>
\hat{C}\phi =\frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
0 & -i\\
i & 0
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\alpha \\
\beta \end{array}
\right]
= i\frac{\hbar }{2}\left[
\begin{array}{c}
-\beta \\
\alpha \end{array}
\right]
</math>

::<math>
\phi ^{*}\hat{C}\phi = i\frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
\alpha ^{*} & \beta ^{*}
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
-\beta \\
\alpha \end{array}
\right] =
\frac{\hbar }{2}\left(
\begin{array}{cc}
-\alpha ^{*}\beta + \beta \alpha ^{*}
\end{array}
\right)
</math>

po podstawieniu za <math>\alpha </math> i <math>\beta </math> odpowiednich wyrażeń otrzymujemy:

<equation id="uid78">
<math>
\left<\hat{s}_{y}\right> = -\hbar ab\sin \left(2\omega ^{\prime }_{0}t\right)
</math>
</equation>

Podsumowując, otrzymaliśmy następujący układ równań na wartości oczekiwane składowych operatora spinu:
<equation id="uid79"><math>
\begin{array}{l}
<\hat{s}_{z}> = \frac{\hbar }{2}\left(a^{2} - b^{2}\right)\\
\\
<\hat{s}_{x}> = \hbar ab\cos \left(2\omega^{\prime }_{0}t\right)\\
\\
<\hat{s}_{y}> = -\hbar ab\sin \left(2\omega^{\prime }_{0}t\right)
\end{array}
</math>
</equation>

Z powyższych równań możemy wyciągnąć następujące, ważne wnioski:

<ol>

<li>
Jeżeli <math>\left|a\right|^{2}=1</math> i <math>\left|b\right|^{2}=0</math> lub gdy <math>\left|a\right|^{2}=0</math> i <math>\left|b\right|^{2}=1</math>, czyli gdy spin jest zawsze ustawiony w górę lub w dół, to wtedy wartość oczekiwana składowej <math>z</math> operatora spinu wynosi <math>\frac{\hbar }{2}</math>, natomiast znikają wartości oczekiwane składowych w płaszczyźnie <math>x-y</math>.

<li>
Jeżeli <math>\left|a\right|^{2}=\left|b\right|^{2}</math>, czyli gdy tak samo prawdopodobne jest ułożenie spinu równoległe jak i antyrównoległe do osi <math>z</math>, to wtedy znika wartość oczekiwana składowej <math>z</math> operatora spinu, natomiast wartości oczekiwane w płaszczyźnie <math>x-y</math> są równe <math>\frac{\hbar }{2}</math>.

<li>
Wartość oczekiwana operatora spinu wzdłuż osi <math>z</math> jest stała w czasie, natomiast wartości oczekiwane w płaszczyźnie <math>x-y</math> wirują z częstością <math>2\omega ^{\prime }_{0}</math>. Częstość <math>\omega _{0}=2\omega ^{\prime }_{0}</math> jest nazywana częstością precesji Larmour. W przypadku protonu lub neutronu częstość Larmour można zapisać również w postaci:

::<math>
\omega _{0}=2\omega ^{\prime }_{0} = 2\frac{\mu B_{0}}{\hbar } = 2\gamma B_{0}I = \gamma B_{0}
</math>

gdzie <math>\gamma </math> jest współczynnikiem giromagnetycznym odpowiadającym poszczególnym cząstkom, zaś <math>I=\frac{1}{2}</math>
czyli:

<equation id="uid83">
<math>
\omega _{0} = \gamma B_{0}
</math>
</equation>

<li>
Wartości oczekiwane operatora spinu: <math>\left<\hat{s}_{x}\right></math>, <math>\left<\hat{s}_{y}\right></math> i <math>\left<\hat{s}_{z}\right></math> możemy interpretować jako precesję spinu. Możemy również utworzyć wektor: <math>\left<\hat{s}\right> = \left[\left<\hat{s}_{x}\right>, \left<\hat{s}_{y}\right>, \left<\hat{s}_{z}\right>\right]</math>

<li>
Precesja spinu następuje zgodnie z ruchem wskazówek zegara, a więc wektor prędkości kątowej jest skierowany antyrównolegle do osi <math>z</math>. W przypadku, kiedy cząstka lub jądro charakteryzuje się ujemnym momentem magnetycznym, precesja następuje w kierunku przeciwnym do wskazówek ruchu zegara<ref><math>\cos \left(-2\omega _{0}\right)=\cos \left(2\omega _{0}\right)</math>, zaś <math>\sin \left(-2\omega _{0}\right)=-\sin \left(2\omega _{0}\right)</math></ref>

::<math>
\begin{array}{l}
\hat{s}_{z} = \frac{\hbar }{2}\left(a^{2} - b^{2}\right)\\
\\
\hat{s}_{x} = \hbar ab\cos \left(2\omega _{0}t\right)\\
\\
\hat{s}_{y} = \hbar ab\sin \left(2\omega _{0}t\right)
\end{array}
</math>

</ol>

===Rezonans magnetyczny, ujęcie kwantowe===

Pod wpływem zewnętrznego pola magnetycznego <math>\vec{B}_{0}</math> spiny jądrowe zostają uporządkowane, w wyniku czego w badanej próbce powstaje
makroskopowy moment magnetyczny (namagnesowanie). Niestety, obserwowalna może być tylko składowa namagnesowania równoległa do pola <math>\vec{B}_{0}</math>.Stosowane w diagnostyce MRI pola <math>\vec{B}_{0}</math> mają wartości od <math>0.5</math> do <math>4</math>T. Wytworzone przez takie pole namagnesowanie jest niewielkie i szybko zanika wraz z odległością.
Zarejestrowanie na tle silnego pola <math>\vec{B}_{0}</math> miliony razy słabszego namagnesowanie jest niezwykle trudne. Wiemy jednak, zgodnie z prawem Faradaya, że statyczne pole magnetyczne nie indukuje pola elektrycznego. Aby wyindukować pole elektryczne, potrzebna jest zmiana strumienia pola magnetycznego. Gdybyśmy potrafili w jakiś sposób wpłynąć na kierunek wytworzonego w próbce namagnesowania lub jego wielkości, moglibyśmy mierzyć sygnał elektryczny z nim związany np. przy pomocy cewek, podczas gdy pole <math>\vec{B}_{0}</math> przez taką cewkę nie byłoby rejestrowane.

[[Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metodą_Magnetycznego_Rezonansu_Jądrowego#Zmiana_orientacji_wektora_namagnesowania._Magnetyczny_Rezonans_J.C4.85drowy|W rozdziale o zmianie orientacji wektora namagnesowania]] podaliśmy wzór, z których wynikało, iż obsadzenie stanów związanych ze spinem jądra atomowego wpływa na składowe wektora wartości oczekiwanej momentu magnetycznego. Powstaje zatem pytanie, w jaki sposób zaburzyć powstałą pod wpływem pola <math>\vec{B}_{0}</math> równowagę. Jak przenieść cześć jąder z podstawowego poziomu energetycznego, do stanu wzbudzonego? Odpowiedz w ramach teorii pół-klasycznej, została podana w rozdziale [https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/action/edit/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metod%C4%85_Magnetycznego_Rezonansu_J%C4%85drowego?section=8].
Przypominamy, że próbkę trzeba umieścić w dodatkowym, słabym, zmiennym w czasie polu magnetycznym, mającym niezerowe składowe tylko w płaszczyźnie <math>x-y</math>, które oznaczymy jako <math>\vec{B}_{1}\left(t\right)</math>. Sprawdzimy jednak, jakie są konsekwencje
umieszczenia próbki w takim polu. Całkowite pole magnetyczne, w którym znajduje się badana próbka wynosi:

<equation id="uid2">
<math>
\vec{B}\left(t\right) = \vec{B}_{0} + \vec{B}_{1}\left(t\right)
</math>
</equation>

gdzie:

<ul>
<dt>

<li>
<math>\vec{B}_{0} = \left[0,0, B_{0}\right]</math>

<dt>

<li>
<math>\vec{B}_{1}\left(t\right) = \left[B_{1}\cos \left(\omega t\right),-B_{1}\sin \left(\omega t\right),0\right]</math>

</ul>

Podstawiając wzór (<xr id="uid2"> %i</xr>) do wzoru
(<xr id="uid61"> %i</xr>), oraz przyjmując zgodnie ze
wzorem (<xr id="uid38"> %i</xr>), że poszukujemy rozwiązania postaci:

<equation id="uid5">
<math>
\chi \left(t\right) =
\left[
\begin{array}{l}
\chi _{1}\left(t\right) \\
\chi _{2}\left(t\right)
\end{array}
\right] =
\chi _{1}\left(t\right)\left[
\begin{array}{l}
1\\
0
\end{array}
\right]
+
\chi _{2}\left(t\right)\left[
\begin{array}{l}
0\\
1
\end{array}
\right]
</math>
</equation>

otrzymujemy następujący układ równań:

<equation id="uid6">
<math>
\begin{array}{l}
i\frac{d\chi _{1}\left(t\right)}{dt} =
-\frac{\mu }{\hbar }\left(B_{1}e^{i\omega t}\chi _{2}\left(t\right) +
B_{0}\chi _{1}\left(t\right)\right)\\
\\
i\frac{d\chi _{2}\left(t\right)}{dt} =
-\frac{\mu }{\hbar }\left(B_{1}e^{-i\omega t}\chi _{1}\left(t\right) +
B_{0}\chi _{2}\left(t\right)\right)
\end{array}
</math>
</equation>

Domyślamy się, że rozwiązaniem powyższego układu równań będą funkcje:

<equation id="uid7">
<math>
\begin{array}{l}
\chi _{1}\left(t\right) = ae^{i\left(\omega + \omega _{r}\right)t}\\
\\
\chi _{2}\left(t\right) = be^{i\omega _{r} t}
\end{array}
</math>
</equation>

Wstawienie równań (<xr id="uid7"> %i</xr>) do
(<xr id="uid6"> %i</xr>) daje jednorodne równanie
macierzowe:

<equation id="uid8">
<math>
\underbrace{\left[
\begin{array}{cc}
\left(\frac{\mu B_{0}}{\hbar } - \omega - \omega _{r}\right) &
\frac{\mu B_{0}}{\hbar } \\
\\
\frac{\mu B_{0}}{\hbar } & -\left(\frac{\mu B_{0}}{\hbar } +
\omega _{r}\right)
\end{array}
\right]
}_{\Delta }
\left[
\begin{array}{c}
a \\
\\
b
\end{array}
\right] = 0
</math>
</equation>

które ma nietrywialnie rozwiązanie tylko wtedy, gdy znika wyznacznik
macierzy <math>\Delta </math>.
Warunek ten prowadzi do równania:

<equation id="uid9">
<math>
\omega _{r}^{2} + \omega \omega _{r} - \frac{\mu B_{0}}{\hbar }\left(\frac{\mu B_{0}}{\hbar } - \omega \right) -
\left(\frac{\mu B_{0}}{\hbar }\right)^{2} = 0
</math>
</equation>

Dozwolone wartości parametru <math>\omega _{r}</math> są zatem równe:

<equation id="uid10">
<math>
\omega _{r} = -\frac{\omega }{2} \pm \Omega </math>
</equation>

gdzie:

<equation id="uid11">
<math>
\Omega = \left[\left(\frac{\omega }{2} - \frac{\mu B_{0}}{\hbar }\right)^{2} + \left(\frac{\mu B_{1}}{\hbar }\right)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}
</math>
</equation>

Parametr <math>\Omega </math> nazywany jest częstością Rabiego.
Rozwiązanie ogólne np. dla <math>\chi _{2}\left(t\right)</math> będzie kombinacją
liniową dwóch składowych, odpowiadającym dwóm częstościom
(<xr id="uid11"> %i</xr>):

<equation id="uid12">
<math>
\chi _{2}\left(t\right) =
b_{1}e^{i\left(-\frac{\omega }{2}+\Omega \right)t} +
b_{2}e^{i\left(-\frac{\omega }{2}-\Omega \right)t}
</math>
</equation>

Przyjmijmy teraz, że w chwili czasu <math>t=0</math> proton znajduje się w stanie
podstawowym (czyli ma spin skierowany równolegle do pola <math>B_{0}</math>),

<equation id="uid13">
<math>
\left|\chi _{2}\left(t=0\right)\right|^{2} = 1
</math>
</equation>

wówczas:

<equation id="uid14">
<math>
b_{1} = -b_{2}
</math>
</equation>

Podstawiając (<xr id="uid12"> %i</xr>) do drugiego z równań
(<xr id="uid6"> %i</xr>) daje następującą postać funkcji
<math>\chi _{2}\left(t\right)</math>:

<equation id="uid15">
<math>
\chi _{2}\left(t\right) = i\frac{\mu B_{1}}{\hbar \Omega }e^{-\frac{i\omega t}{2}}sin\left(\Omega t\right)
</math>
</equation>

Rozwiązanie <math>\chi _{1}\left(t\right)</math>, odpowiadające szczególnej postaci
<math>\chi _{2}\left(t\right)</math> można otrzymać korzystając z drugiego z równań
(<xr id="uid6"> %i</xr>):

<equation id="uid16">
<math>
\chi _{1}\left(t\right) = e^{\frac{i\omega t}{2}}\cos \left(\Omega t\right) + \frac{i}{\Omega }\left(\frac{\omega }{2} - \frac{\mu B_{0}}{\hbar }\right)e^{\frac{i\omega t}{2}}sin\left(\Omega t\right)
</math>
</equation>

Podsumowując, otrzymaliśmy następujące rozwiązanie opisujące ewolucję
spinu protonu w polu magnetycznym <math>\vec{B}\left(t\right)</math>:

<equation id="uid17">
<math>
\begin{array}{l}
\chi \left(t\right) =
\left[
\begin{array}{l}
\chi _{1}\left(t\right) \\
\chi _{2}\left(t\right)
\end{array}
\right] =
\chi _{1}\left(t\right)\left[
\begin{array}{l}
1\\
0
\end{array}
\right]
+
\chi _{2}\left(t\right)\left[
\begin{array}{l}
0\\
1
\end{array}
\right]
\\
\\
\textrm {gdzie:}\\
\\
\chi _{1}\left(t\right) = e^{\frac{i\omega t}{2}}\cos \left(\Omega t\right) + \frac{i}{\Omega }\left(\frac{\omega }{2} -
\frac{\mu B_{0}}{\hbar }\right)e^{\frac{i\omega t}{2}}sin\left(\Omega t\right)
\\
\chi _{2}\left(t\right) = i\frac{\mu B_{1}}{\hbar \Omega }e^{-\frac{i\omega t}{2}}sin\left(\Omega t\right)\\
\end{array}</math>
</equation>

Obliczymy teraz prawdopodobieństwo znalezienia protonu w stanie o rzucie
spinu <math>-\frac{1}{2}</math> w chwili czasu <math>t</math>:

<equation id="uid18">
<math>
P_{-}\left(t\right) = \left|\chi _{2}\left(t\right)\right|^{2} =
\left(\frac{\mu B_{1}}{\hbar \Omega }\right)^{2}\sin ^{2}\left(\Omega t\right)
</math>
</equation>

Prawdopodobieństwo to oscyluje w czasie. Oczywiście prawdopodobieństwo
znalezienia protonu w stanie o rzucie spinu <math>-\frac{1}{2}</math>
jest równe <math>P_{+}\left(t\right) = 1 - P_{+}\left(t\right)</math>.
Przeanalizujmy otrzymany wynik. Amplituda oscylacji prawdopodobieństwa
zależy od częstości Rabiego:

::<math>
\Omega = \left[\left(\frac{\omega }{2} - \frac{\mu B_{0}}{\hbar }\right)^{2} + \left(\frac{\mu B_{1}}{\hbar }\right)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}
</math>

Jeżeli częstość <math>\omega </math> zmiennego pola magnetycznego będzie dowolnie
duża lub dowolnie mała, częstość Rabiego osiągnie znaczne wartości, a w
związku z tym prawdopodobieństwo przejścia jądra ze stanu o rzucie spinu
w górę do stanu o rzucie spinu w dół będzie zawsze niskie.
W momencie, gdy zostanie spełniony warunek:

<equation id="uid19">
<math>
\hbar \omega = 2\mu B_{0}
</math>
</equation>

przy jednoczesnym założeniu, że <math>B_{1}\ll B_{0}</math>, częstość Rabiego wyniesie:

::<math>
\Omega = \left(\frac{\mu B_{1}}{\hbar }\right)
</math>

a amplituda oscylacji prawdopodobieństwa osiąga maksymalną wartość:

<equation id="uid20">
<math>
P_{-}\left(t\right) = \sin ^{2}\left(\Omega t\right)
</math>
</equation>

Równanie (<xr id="uid19"> %i</xr>) określa tzw. warunek wystąpienia zjawiska
jądrowego rezonansu magnetycznego. Warto zauważyć, że energia pola
magnetycznego, jaką trzeba dostarczyć, aby uzyskać przejście jądra ze
stanu o rzucie spinu <math>\frac{1}{2}</math> do stanu o rzucie spinu
<math>-\frac{1}{2}</math> jest równa różnicy energii poziomów energetycznych
protonów umieszczonych w zewnętrznym polu <math>B_{0}</math>, bowiem:

<equation id="uid21">
<math>
\begin{array}{c}
E_{+} = -\mu B_{0} \\
\\
E_{-} = \mu B_{0} \\
\\
E_{-} - E_{+} = 2\mu B_{0}\\
\end{array}
</math>
</equation>

Jak wiemy, częstość precesji Larmour jest równa <math>\frac{2\mu B_{0}}{\hbar}</math>, a zatem
warunek rezonansowy możemy zapisać również w postaci:

<equation id="uid22">
<math>
{\omega = \omega _{0}}
</math>
</equation>

Prawdopodobieństwo przejścia jądra protonu ze stanu o rzucie spinu
<math>\frac{1}{2}</math> do stanu o rzucie <math>-\frac{1}{2}</math>, równe <math>50\%</math> zostanie
osiągnięte po czasie:

<equation id="uid23">
<math>
\sin ^{2}\left(\Omega t\right) = \frac{1}{2}
</math>
</equation>

czyli:

<equation id="uid24">
<math>
\sin \left(\Omega t\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}
</math>
</equation>

skąd dostajemy:

<equation id="uid25">
<math>
{t = \frac{\pi }{4\Omega }}
</math>
</equation>

Jest to tzw. impuls <math>\pi </math> — zastosowanie zmiennego pola magnetycznego o
takim czasie trwania impulsu doprowadzi do zaniku namagnesowania
podłużnego, powstanie natomiast namagnesowanie poprzeczne, co dokładniej
omówimy w dalszej części rozdziału.

Z kolei przejścia protonu do stanu o wyższej energii nastąpi po czasie:

<equation id="uid26">
<math>
{t = \frac{\pi }{2\Omega }}
</math>
</equation>

Jest to tzw. impuls <math>\frac{\pi }{2}</math>, powodujący zmianę orientacji spinu
protonu w zewnętrznym polu magnetycznym.

Znaleźliśmy zatem sposób na zmianę orientacji spinu, a w związku z tym i
namagnesowania.
W warunkach rezonansu funkcja falowa spinu wyraża się następującym wzorem:

<equation id="uid27">
<math>
\chi \left(t\right) = \cos \left(\Omega t\right)e^{\frac{i\omega t}{2}}
\left[
\begin{array}{l}
1\\
0
\end{array}
\right]
+ ie^{-\frac{i\omega t}{2}}sin\left(\Omega t\right)
\left[
\begin{array}{l}
0\\
1
\end{array}
\right]
</math>
</equation>

Korzystając ze wzoru na funkcję falową, podobnie jak w to uczyniliśmy w
rozdziale [https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/action/edit/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metod%C4%85_Magnetycznego_Rezonansu_J%C4%85drowego?section=36], możemy policzyć składowe wektora
wartości oczekiwanych operatora spinu. Wynoszą one:

<equation id="uid28">
<math>
\begin{array}{l}
\langle\hat{s}_{z}\rangle = \frac{1}{2}\hbar \cos \left(2\Omega t\right)\\
\\
\langle\hat{s}_{x}\rangle = \frac{1}{2}\hbar \sin \left(2\Omega t\right)\cos \left(2\omega _{0}t\right)\\
\\
\langle\hat{s}_{y}\rangle = -\frac{1}{2}\hbar \sin \left(2\Omega t\right)\sin \left(2\omega _{0}t\right)
\end{array}
</math>
</equation>

Z równań tych wynika, że w płaszczyźnie <math>x-y</math> wartość oczekiwana spinu
jest superpozycją dwóch rodzajów ruchów — szybkiego, z częstością
<math>2\omega _{0}</math> (częstością Larmour) oraz modulacji <math>2\Omega _{0}</math>,
natomiast składowa <math>z</math> wartości oczekiwanej momentu magnetycznego
odchyla się od kierunku zgodnego z polem <math>B_{0}</math> (równoległego do osi
<math>z</math>) w stronę kierunku przeciwnego do kierunku do pola <math>B_{0}</math>.

Ważne uwagi

<ol>

<li>
Zarówno w rozdziale [https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/action/edit/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metod%C4%85_Magnetycznego_Rezonansu_J%C4%85drowego?section=36], gdzie
opisywaliśmy precesję spinu w zewnętrznym polu magnetycznym, jak i w
rozdziale bieżącym, pominęliśmy w rozwiązaniach czynnik fazowy. Pełni on
jednak bardzo istotną role w opisie zjawiska NMR. W wyniku
wykonywania precesji w różnej fazie przez spiny jądrowe, zanika składowa
poprzeczna namagnesowania.

<li>
W przypadku wystąpienia rezonansu jądrowego, zewnętrzne pole
<math>\vec{B}_{1}\left(t\right)</math> oprócz indukowania przejść między poziomami
energetycznymi, powoduje również synchronizację składowych wartości
oczekiwanych spinu w płaszczyźnie <math>x-y</math>. Pół-klasycznym wytłumaczeniem
tego efektu zajmiemy się jeszcze w następnym rozdziale. Warto jednak już
w tym miejscu zapamiętać, iż procesy prowadzące do synchronizacji lub
desynchronizacji ruchu spinów zawierają niezwykle cenną informację
diagnostyczną.

</ol>

Podsumowując:

<ol>

<li>
W zewnętrznym, statycznym polu magnetycznym, skierowanym
wzdłuż osi <math>z</math>, spin protonu wykonuje ruch precesyjny z częstością
Larmour. Składowa <math>z</math> wartości oczekiwanej spinu jest stała w czasie,
składowe poprzeczne wykonują ruch wirowy w płaszczyźnie <math>x-y</math>.

<li>
Różnym ułożeniom spinu względem pola magnetycznego
odpowiadają różne energie potencjalne. W przypadku spinu równego
<math>\frac{1}{2}</math> istnieją dwa poziomy energetyczne, które będą obsadzane
przez jądra zgodnie z rozkładem Boltzmanna. Poziom odpowiadający
równoległemu rzutowi spinu na kierunek zewnętrznego pola magnetycznego,
jest korzystniejszy energetycznie, dlatego będzie obsadzany częściej.

<li>
Desynchronizacja ruchu wirowego wartości oczekiwanej spinów w
płaszczyźnie <math>x-y</math> uniemożliwia powstanie namagnesowania poprzecznego.
Obserwujemy tylko namagnesowanie podłużne.

<li>
Pod wpływem odpowiednio dobranego pola magnetycznego, można
doprowadzić do przejść między poziomami energetycznymi protonu. Jeżeli
energia kwantu promieniowania jest równa różnicy poziomów
energetycznych, proton absorbuje energię pola i przechodzi ze stanu o
podstawowego do stanu wzbudzonego. Następnie, po pewnym czasie pozbywa
się nagromadzonej energii, przechodząc z powrotem w stan podstawowy.
Przejścia te możliwe są tylko wtedy, kiedy kwant promieniowania ma
energię odpowiadającą częstości precesji Larmour spinu protonu w
zewnętrznym polu magnetycznym <math>B_{0}</math>.

<li>
Po pobudzeniu protonu impulsem <math>\frac{\pi }{2}</math> zanika
równowaga termodynamiczna w obsadzeniu stanów, a wraz z nią składowa <math>z</math>
wartości oczekiwanej spinu i związane nią namagnesowanie podłużne.

<li>
Jednocześnie, w wyniku synchronizacji w płaszczyźnie <math>x-y</math>
wartości oczekiwanej spinów tych jąder atomowych, które uległy przejściu
rezonansowemu, zaczyna powstawać namagnesowanie poprzeczne.

<li>
W trakcie przechodzenia protonów ze stanu podstawowego do
stanu wzbudzonego, obserwowane namagnesowanie podłużne zanika, podczas
gdy narasta namagnesowanie poprzeczne. Obserwujemy zatem efekt,
odchylania się wypadkowego namagnesowania od osi <math>z</math> w kierunku
płaszczyzny <math>x-y</math>.

<li>
W wyniku procesów prowadzących do rozpraszania nagromadzonej
przez proton energii oraz desynchronizacji ruchów precesyjnych zanika
namagnesowanie poprzeczne, natomiast odbudowuje się składowa podłużna
namagnesowania.

<li>
Zmianom kierunku i wielkości namagnesowania towarzyszy zmiana
indukcji pola elektrycznego, która może być rejestrowana przez cewki.
W szczególności, sygnał pochodzący od składowej poprzecznej
namagnesowania nosi nazwę sygnału FID (Free Induction Decay).

</ol>

==Terminy stosowane w diagnostyce MRI==
* '''Sekwencją''' nazywamy w badaniu MRI serię odpowiednio impulsów, zastosowaną w celu rejestracji danych pomiarowych i odtworzenia obrazu.
* '''RF — Radio Frequency''' to impuls generujący zmienne w czasie pole magnetyczne <math>\vec{B}_{1}</math>, pod wpływem którego jądra zajmują wyższe poziomy energetyczne związane ze spinem
* '''TR — Repetition Time''' jest to czas pomiędzy kolejnymi impulsami wzbudzającymi <math>\pi/2</math> (RF)
* '''TE — Echo Time''' jest to czas pomiędzy momentem wystąpienia impulsu pobudzającego <math>\pi/2</math> a momentem rejestracji sygnału echa spinowego.
* '''FA — Flip Angle''' to kąt o który ma być przekręcona magnetyzacja od osi <math>z</math> w kierunku płaszczyzny <math>x-y</math>. Zazwyczaj jest to kąt równy 90<math>^{o}</math>, jednakże w celu przyspieszenia badania, w niektórych sekwencjach stosuje się mniejsze kąty.
* '''TI — Inversion Time''' jest to czas pomiędzy impulsem pobudzającym <math>\pi</math> (zmiana orientacji spinu o 180<math>^{o}</math>) a impulsem pobudzającym <math>\pi/2</math>.
*'''NA or NEX Number of Acquisitions''' to liczba powtórzeń pomiaru. W celu uzyskania wysokiego SNR, pomiary można powtarzać wielokrotnie. Redukcja szumu maleje proporcjonalne do <math>\sqrt{\textrm{NA}}</math>.
----
<references/>

Obrazowanie:Obrazowanie Medyczne/Obrazowanie Metodą Magnetycznego Rezonansu Jądrowego

2018-01-04T09:02:33Z

Jginter: /* Moment magnetyczny w stałym zewnętrznym polu magnetycznym */

Obrazowanie Metodą Magnetycznego Rezonansu Jądrowego
==Kilka uwag na temat Mechaniki Kwantowej, Mechaniki Klasycznej oraz nazewnictwa.==
Prawidłową nazwą metody diagnostyki medycznej, która będzie omawiana w tej części skryptu, jest Obrazowanie Magnetycznego Rezonansu Jądrowego (ang. ''Nuclear Magnetic Rezonanse Imaging'', NMRI). Niestety, większość społeczeństwa negatywnie kojarzy przymiotnik ''jądrowy''. W związku z tym, pomimo iż diagnostyka NMRI nie ma nic wspólnego ze zjawiskiem rozpadu promieniotwórczego i jest uznawana za całkowicie bezpieczną, usunięto z jej nazwy słowo "jądrowy" (nuclear). Obecnie metodę NMRI określa się jako ’’Magnetic Rezonanse Imaging – MRI", czyli Obrazowanie Rezonansu Magnetycznego. W żargonie stosowanym w niektórych placówkach medycznych nazwa ta uległa skróceniu do jednego wyrazu — Rezonans.
Metoda NMRI opiera się na zjawisku Magnetycznego Rezonansu Jądrowego które omówimy na gruncie Mechaniki Klasycznej z elementami Mechaniki Kwantowej. Zastosowanie modelu kwantowego prowadzi do pełniejszego w porównaniu z modelem klasycznym opisu zjawiska NMR, jednak ze względu na skomplikowaną postać samej Teorii Kwantów, model kwantowy może być trudny w zrozumieniu. Z kolei model klasyczno-kwantowy (nazywany również modelem pół-klasycznym), jest łatwiejszy do przyswojenia i dla pewnej klasy problemów uzyskuje się za jego pomocą te same wyniki co w modelu kwantowym.

==Spin==
Dokładny opis spinu, który jest wielkością kwantową, wykracza znacznie poza ramy materiału niniejszego skryptu. W tym miejscu natomiast ograniczymy się do podania kilku faktów, obserwacji, czy uwag, mając nadzieję, że wystarczą one czytelnikom do zrozumienia, czym jest spin, przynajmniej w takim stopniu, który ułatwi im przyswojenie wiadomości na temat Jądrowego Rezonansu Magnetycznego. Podstawowymi elementami, z których składa się materia, są cząstki takie jak elektron, proton oraz neutron, które posiadają spin równy <math>\frac{1}{2}</math>. Najbardziej rozpowszechnionym pierwiastkiem w organizmach żywych jest wodór, którego jądra — protony, odgrywają podstawową role w otrzymywaniu obrazów MR. W związku z tym omówienie pojęcia spinu ograniczymy do przypadku spinu równego <math>\frac{1}{2}</math>.
*Zjawisko takie jak: rozszczepienie w niejednorodnym polu magnetycznym wiązki atomowej na dwie składowe, zaobserwowane przez Sterna i Gerlacha w roku 1922, czy dubletowa struktura widm pierwiastków alkalicznych nie zostały wyjaśnione w ramach teorii budowy atomu zaproponowanej przez Bohra. Doświadczenie Sterna-Gerlacha, jak i badania spektroskopowe wskazywały na nieuwzględnienie w teorii Bohra pewnej wielkości fizycznej — nieznanego, dodatkowego stopnia swobody elektronu.
*W roku 1925 Uhlenbeck i Goudsmit wprowadzają pojecie spinu, jako wewnętrznego momentu pędu elektronu. Uhlenbeck i Goudsmit przyjęli, iż elektron wiruje<ref>W języku angielskim słowo spin oznacza wirowanie</ref> wokół własnej osi, co w naturalny sposób umożliwiło im wytłumaczenie istnienia dodatkowego stopnia swobody oraz wyjaśnienie dubletowej struktury widm pierwiastków alkalicznych. Obecnie wiadomo, iż obraz elektronu jako wirującej kulki zaproponowany przez Uhlenbecka i Goudsmita jest nieprawidłowy. W ramach Mechaniki Kwantowej, spin należy rozumieć jako wyraz istnienia stanów polaryzacyjnych funkcji falowej (w przypadku elektronu, protonu, neutronu i niektórych jąder będą to dwa stany polaryzacyjne). Spin jest własnością cząstek, taką samą jak np. masa lub ładunek, ale obserwowalną dopiero w eksperymentach ujawniających kwantową naturę materii (często można spotkać się ze stwierdzeniem, iż spin jest kwantową własnością cząstek). Spin jest także składową całkowitego momentu pędu, niezwiązana z ruchem, można go zatem również interpretować jako własny (wewnętrzny) moment pędu cząstki.

==Spin i moment magnetyczny jądra atomowego==
Jądra atomowe zawierające nieparzystą liczbę protonów lub neutronów mają niezerowy własny moment pędu <math>\vec{I}</math> (spin) oraz związany z nim moment magnetyczny. Zgodnie z regułami opisu wielkości wektorowych w mechanice kwantowej, jednocześnie może być obserwowalna tylko długość wektora oraz wartość jednej z jego składowych (tzw. rzut tego wektora na wyróżnioną oś, nazywaną osią kwantowania). W przypadku wektora własnego momentu pędu jądra atomowego jego długość wynosi <ref name="bid3">H.Haken H.Ch.Wolf "Atomy i kwanty"</ref>:
<equation id="1"><math>
|\vec{I}| = \hbar\sqrt{I\left(I+1\right)}
</math></equation>
gdzie:
<math>I</math> oznacza liczbą kwantową o wartości całkowitej lub połówkowej. 
Składowa <math>z</math> momentu pędu wyraża się następującym wzorem <ref name="bid3" />:
<equation id="2"><math>
\begin{array}{lc}
I_{z} = m_{I}\hbar, & m_{I} = \{I,I-1,\dots,-I\}
\end{array}
</math></equation>
Możliwych jest zatem <math>2I+1</math> orientacji spinu jądra względem wyróżnionego kierunku, odpowiadających możliwym wartościom jądrowej magnetycznej liczby kwantowej <math>m_{I}</math>. W przypadku protonu (jądra atomu wodoru), mamy:
<equation id="3"><math>
\begin{array}{l}
I=1/2\\
\\
|\vec{I}| = \frac{\sqrt{3}}{2}\hbar\\
\\
(\vec{I})_{z} = \pm\frac{1}{2}\hbar
\end{array}
</math></equation>
Moment magnetyczny związany jest ze spinem następującą zależnością:
<equation id="4"><math>
\vec{\mu}_{I} = \gamma\vec{I}
</math></equation>
Stała proporcjonalności <math>\gamma</math> to tzw. jądrowy stosunek giromagnetyczny. Również i w przypadku jądrowego momentu magnetycznego można zmierzyć jednocześnie tyko jego długość i rzut na wyróżnioną oś <math>z</math> wynoszący:
<equation id="5"><math>
\left(\vec{\mu}_{I}\right)_{z} = \gamma\vec{I}_{z}
</math></equation>
Na moment magnetyczny umieszczony w polu magnetycznym <math>\vec{B}</math>, działa pewien moment siły, starający się ustawić momentu magnetycznego zgodnie z kierunkiem pola <math>\vec{B}</math>. Energia potencjalna tego oddziaływania wynosi:
<equation id="6"><math>
V = -\vec{\mu}\cdot\vec{B}
</math></equation>
Zgodnie z prawami termodynamiki układ fizyczny dąży do stanu, w którym jego energia wewnętrzna osiągnie wartość minimalną.
Rozważmy pole <math>\vec{B}</math>, posiadające tylko składową wzdłuż osi <math>z</math> układu odniesienia, czyli <math>\vec{B} = \left[ 0, 0, B_{z}\right] </math>.
W przypadku protonu, posiadającego ładunek dodatni, orientacji momentu pędu zgodnej z kierunkiem pola <math>\vec{B}</math> będzie odpowiadać energia potencjalna:
<equation id="7"><math>
V = -\mu\cdot B_z=-\gamma I_{z}B_z=-\frac{1}{2}\gamma\hbar B_z
</math></equation>
natomiast orientacji antyrównoległej:
<equation id="8"><math>
V = \mu\cdot B_z=-\gamma I_{z}B_z=\frac{1}{2}\gamma\hbar B_z
</math></equation>
Ustawienie najkorzystniejsze energetycznie odpowiada więc sytuacji, kiedy składowa <math>z</math> spinu ustawiona jest w równolegle do kierunku pola <math>\vec{B}</math> (magnetyczna liczba kwantowa <math>m_{I}=\frac{1}{2}</math>).

==Moment magnetyczny w stałym zewnętrznym polu magnetycznym==

[[File:mri_basic.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:mri_basic"></figure>Ilustracja do klasycznego rozwiązania zagadnienia precesji momentu magnetycznego <math>\vec{\mu}</math> wokół wektora indukcji pola magnetycznego <math>\vec{B}</math>. Na rysunku obrano prawoskrętny układ współrzędnych. Na moment magnetyczny działa moment siły równy <math>\vec{N} = \vec{\mu}\times \vec{B}</math>. Momentu siły, zgodnie z zasadą wyliczania iloczynu wektorowego, jest skierowany w płaszczyznę rysunku, powodując ruch momentu magnetycznego w kierunku zaznaczonym strzałką. Jest to ruch w kierunku przeciwnym do kierunku obranego układu współrzędnych.]]
Rozwiązanie równań Schrödingera dla przypadku statycznego pola magnetycznego nie jest skomplikowanym zadaniem. Niemniej interpretacja fizyczna otrzymanych wyników może sprawić pewne trudności. Ponadto w obrazowaniu MRI stosuje się nie tylko stałe pole magnetyczne lecz również odpowiednie serie impulsów pobudzających (tzw. impulsów pobudzających <math>\pi/2</math> lub <math>\pi</math>). Okazuje się, że w wielu przypadkach, zadowalający opis zjawiska rezonansu magnetycznego, uzyskuje się stosując tzw. model wektorowy, który jest podobny do modelu opisującego precesję symetrycznego bączka w polu grawitacyjnym. 
Rozważmy moment magnetyczny znajdujący się w stałym polu magnetycznym o następującej indukcji:<math>\vec{B}_0 =\left[0, 0, B_{0}\right]</math>.
Szybkość zmian momentu pędu ciała (<math>\vec{I}</math>) jest równa momentowi siły (<math>\vec{N}</math>) działającemu na to ciało:
<equation id="9"><math>
\frac{d\vec{I}}{dt} = \vec{N}
</math></equation>
Moment magnetyczny, związany z wewnętrznym momentem pędu jądra, wynosi:
<equation id="10"><math>
\vec{\mu}_{I} = \gamma\vec{I}
</math></equation>
Po przekształceniu powyższego równania dostajemy:
<equation id="11"><math>
\vec{I} = \frac{\vec{\mu}_I}{\gamma}
</math></equation>
W polu magnetycznym <math>\vec{B}_0</math> na moment magnetyczny będzie działa moment siły:
<equation id="12"><math>
\vec{N} = \vec{\mu}_{I}\times\vec{B}_0
</math></equation>

Podstawiając równanie na moment pędu do równania na moment siły otrzymujemy zależność opisującą ruch momentu magnetycznego:
<equation id="eq:MRI_1"><math>
\frac{d\vec{\mu}}{dt} = \gamma\vec{\mu}\times\vec{B}_0
</math></equation>
ponieważ:
<equation id="13"><math>
\gamma\vec{\mu}\times\vec{B}_0 = \left[\gamma\mu_{y}B_{0},-\gamma\mu_{x}B_{0},0\right]
</math></equation>
ostatecznie równanie (<xr id="eq:MRI_1"/>) możemy zapisać jako układ trzech równań:

<equation id="eq:MRI_2"><math>
\begin{array}{l}
\frac{d\mu_{x}}{dt} = \omega_{0}\mu_{y}\\
\\
\frac{d\mu_{y}}{dt} = -\omega_{0}\mu_{x}\\
\\
\frac{d\mu_{z}}{dt} = 0

\end{array}
</math></equation>
gdzie: <math>\omega_{0}=\gamma B_{0}</math> 

Rozwiązanie równania na wielkość składowej ''z'' wektora momentu magnetycznego jest proste i wynosi:
<equation id="14"><math>
\mu_{z} = \mu^{0}_{z} = \mathrm{const}
</math></equation>
W celu uzyskania równań na dwie pozostałe składowe wyznaczmy druga pochodną pierwszego równania w układzie (<xr id="eq:MRI_2"/>) i podstawmy ją do równania drugiego we wspomnianym układzie:
<equation id="eq:MRI_3"><math>
\begin{array}{l}
\frac{d^2\mu_{x}}{dt^2} = \omega_{0}\frac{d\mu_{y}}{dt}\\
\\
\frac{d\mu_{y}}{dt} = -\omega_{0}\mu_{x}
\end{array}
</math></equation>
Podstawiając teraz drugie równanie z układu (<xr id="eq:MRI_3"/>) do równania pierwszego układu (<xr id="eq:MRI_3"/>) dostajemy:
<equation id="eq:MRI_4"><math>
\frac{d^2\mu_{x}}{dt^2} = -\omega^{2}_{0}\mu_x
</math></equation>
Jest to równanie oscylatora harmonicznego o następującym rozwiązaniu:
<equation id="eq:MRI_5"><math>
\mu_x = A\cos(-\omega_0 t + \phi_0)
</math></equation>
gdzie stałe ''A'' oraz <math>\phi_0</math> wynikają z warunków początkowych.
Widzimy, że składowa ''x'' momentu magnetycznego drga z częstością <math>-\omega_0</math>. Przyczyna pojawienia się znaku "-" w rozwiązaniu została wyjaśniona na <xr id="fig:mri_basic">rys. %i</xr>. Podstawiając równanie (<xr id="eq:MRI_5"/>) do drugiego równania w układzie (<xr id="eq:MRI_2"/>) dostajemy rozwiązanie na wielkość składowej ''y'' momentu magnetycznego:

<equation id="15"><math>
\mu_x = A\sin(-\omega_0 t + \phi_0)
</math></equation>

Ostatecznie otrzymaliśmy następujące rozwiązanie ruchu wektora momentu magnetycznego w stałym polu magnetycznym:
<equation id="eq:MRI_6"><math>
\begin{array}{l}
\vec{\mu}_z = \mu^{0}_{z} = \mathrm{const}\cdot\vec{e}_z\\
\\
\vec{\mu}_x =A\cos(-\omega_0 t + \phi_0)\cdot\vec{e}_x\\
\\
\vec{\mu}_y =A\sin(-\omega_0 t + \phi_0)\cdot\vec{e}_y\\
\end{array}
</math></equation>
gdzie: 
<math>A, \phi_0, \mu^{0}_{z} </math> wynikają z warunków początkowych. 
Na podstawie równania (<xr id="eq:MRI_6"/>) możemy wyciągnąć następujące wnioski:
* składowa ''z'' momentu magnetycznego (równoległa do osi ''z'' i pola magnetycznego) zachowuje stały kierunek w przestrzeni,
* składowa ''x'' oraz ''y'' momentu magnetycznego zakreśla w płaszczyźnie ''X-Y'' okrąg.

Złożenie ruchu momentu magnetyczne w płaszczyźnie ''X-Y'' ze stałym kierunkiem składowej ''z'' daje wypadkowy ruch nazywany precesją (w tym przypadku jest to precesja momentu magnetycznego wokół kierunku stałego pola magnetycznego). Wektor momentu magnetycznego wykonuje ruch precesyjny z prędkością kątową (odpowiadającej częstości kołowej):
<equation id="eq:larmour_kolowa"><math>\omega_0 = \gamma B_0</math></equation>
nazywaną częstością Larmour'a.
Składowe ''x'' oraz ''y'' momentu magnetycznego można zapisać w wygodniejszy sposób stosują formalizm liczb zespolonych.
Pomnóżmy trzecie równanie w układzie (<xr id="eq:MRI_6"/>) przez liczbę <math>i=\sqrt{-1}</math> i dodajmy do drugiego równania w układzie (<xr id="eq:MRI_6"/>):
<equation id="16"><math>
\begin{array}{l}
\vec{\mu}_z = \mu^{0}_{z} = \mathrm{const}\cdot\vec{e}_z \\
\\
\vec{\mu}_x + \vec{\mu}_y\cdot i =A\cos(-\omega_0 t + \phi_0)\vec{e}_x + A\sin(-\omega_0 t + \phi_0)\vec{e}_y\cdot i
\end{array}
</math></equation>
Wprowadźmy wielkość:
<equation id="eq:mu_T"><math>
\vec{\mu}_T=\vec{\mu}_x + \vec{\mu}_y \dot i = A\cdot e^{-\omega_0 t + \phi_0} \cdot \vec{e}_T
</math></equation>
Wektor <math>\vec{\mu}_T</math> będziemy od tej chwili nazywali składową poprzeczną (ang. '' '''t'''ransversal'') momentu magnetycznego.
Z kolei wektor <math>\vec{\mu}_z</math> będziemy dalej oznaczali symbolem <math>\vec{\mu}_L</math> i nazywali składową podłużną momentu magnetycznego (ang. '' '''l'''ongnitudal''). Innym dogodny sposób matematycznego opisu zjawiska precesji momentu magnetycznego, który będziemy stosowali, wykorzystuje macierz obrotu:

<equation id="eq:MRI_7">
kuku
<math>
\begin{array}{l}
\left\{
\begin{array}{l}
\vec{\mu}_x =A\cos(-\omega_0 t + \phi_0)\cdot\vec{e}_x\\
\\
\vec{\mu}_y =A\sin(-\omega_0 t + \phi_0)\cdot\vec{e}_y\\
\\
\vec{\mu}_z = \mu^{0}_{z}\cdot\vec{e}_z \\
\end{array}
\right.
=
\left\{
\begin{array}{l}
\vec{\mu}_x =A\cos(-\omega_0 t)\cos(\phi_0)\cdot\vec{e_x} - A\sin(-\omega_0 t)\sin(\phi_0)\cdot\vec{e}_x\\
\\
\vec{\mu}_y =A\sin(-\omega_0 t)\cos(\phi_0)\cdot\vec{e_y} + A\cos(-\omega_0 t)\sin(\phi_0)\cdot\vec{e}_y\\
\\
\vec{\mu}_z = \mu^{0}_{z}\cdot\vec{e}_z \\
\end{array}
\right.
\rightarrow \\ \\

\left[
\begin{array}{l}
\vec{\mu}_x \\
\\
\vec{\mu}_y \\
\\
\vec{\mu}_z \\
\end{array}
\right] =

\left[
\begin{array}{ccc}
\cos(\omega_0 t) & \sin(\omega_0 t) & 0 \\
\\
-\sin(\omega_0 t) & \cos(\omega_0 t) & 0 \\
\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{l}
A\cos(\phi_0) \cdot \vec{e}_x \\
\\
A\sin(\phi_0) \cdot \vec{e}_y \\
\\
\mu_z^0 \cdot \vec{e}_z \\
\end{array}
\right]

\rightarrow\\ \\

\left[
\begin{array}{l}
\vec{\mu}_x \\
\\
\vec{\mu}_y \\
\\
\vec{\mu}_z \\
\end{array}
\right] =

P\cdot
\left[
\begin{array}{l}
\mu_T^0 \cos(\phi_0) \cdot \vec{e}_x\\
\\
\mu_T^0 \sin(\phi_0) \cdot \vec{e}_y\\
\\
\mu_L^0 \cdot \vec{e}_z\\
\end{array}
\right]\\
\end{array}
</math></equation>
gdzie: 
<math>\mu_L^0</math> — rzut momentu magnetycznego na os ''Z'' w chwili początkowej, 
<math>\mu_T^0</math> — rzut momentu magnetycznego na płaszczyznę ''X-Y'' w chwili początkowej, 
<math>\phi_0</math> — kąt jaki tworzy rzut momentu magnetycznego na płaszczyznę ''X-Y'' z osią ''X'' w chwili początkowej, 
<math>P = \left[
\begin{array}{ccc}
\cos(\omega_0 t) & \sin(\omega_0 t) & 0 \\
\\
-\sin(\omega_0 t) & \cos(\omega_0 t) & 0 \\
\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right] </math> — macierz obrotu.

 
We wzorze (<xr id="eq:MRI_7"/>) skorzystano z własności trygonometrycznych sinusa i cosinusa:
<equation id="17"><math>
\begin{array}{ccc}
\sin\left( a + b \right) &=& \sin(a) \cos(b) + \cos(a) \sin(b)\\
\cos\left( a + b \right) &=& \cos(a) \cos(b) + \sin(a) \sin(b)\\
\end{array}
</math></equation>

==Namagnesowanie próbki==
Namagnesowanie, to całkowity moment magnetyczny, przypadający na jednostkę objętości <math>\Delta V</math>:
<equation id="17"><math>
\vec{M} = \frac{\sum_{i=1}^{N}\vec{\mu}_i}{\Delta V}
</math></equation>
Rozłóżmy wektor namagnesowania na dwie składowe: tzw. podłużną (<math>\vec{M}_L</math>),to jest równoległą do kierunku pola magnetycznego oraz składową poprzeczną (<math>\vec{M}_T</math>), leżącą w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku pola magnetycznego:
<equation id="18"><math>
\vec{M} = \vec{M}_L + \vec{M}_T
</math></equation>

===Ile wynosi namagnesowanie poprzeczne próbki?===
Składową poprzeczną namagnesowania będziemy oznaczali wektorem <math>\vec{M}_T</math>. Załóżmy, że w próbce znajduje się ''N'' takich samych jąder posiadających moment magnetyczny. Momenty te mają losową orientację przestrzeni. W pewnej chwili, zostaje włączone stałe pole magnetyczne. Stałe ''A'' oraz <math>\phi_0</math> dla każdego momentu magnetycznego wyznaczamy na podstawie orientacji momentu magnetycznego w chwili łączenia pola. Dla każdego jądra magnetycznego stała ''A'' wynikająca z warunków początkowych jak to faza początkowa <math>\phi_0</math> jest dowolna. W związku z czym:
<equation id="19"><math>
\vec{M}_T = \frac{\sum_{i=1}^{N}\vec{\mu}_{T} \cdot \vec{e}_T }{\Delta V} = \frac{\sum_{i=1}^{N}A_i e^{-\omega_0 t + \phi_{0_i}} \cdot \vec{e}_T}{\Delta V} = 0
</math></equation>
gdzie <math>\vec{\mu}_T</math> to składowa poprzeczna wektoru momentu magnetycznego, zgodnie ze wzorem (<xr id="eq:mu_T"/>).

===Ile wynosi namagnesowanie próbki, czyli namagnesowanie podłużne?===
Przypominamy, że rozważamy cząstkę lub jądro atomowe, znajdujące się w zewnętrznym polu magnetycznym <math>\vec{B}_{0}</math>, skierowanym równolegle do osi <math>z</math>. Składowa <math>z</math> tego pola wynosi <math>B_{0}</math>. W celu uproszczenia problemu przyjmujemy, że cząstka lub jądro atomowe posiada spin równy <math>\frac{1}{2}</math> (np. proton). Moment magnetyczny cząstki lub jądra atomowego może ustawić się zgodnie lub przeciwnie do kierunku zewnętrznego pola magnetycznego. W szczególności składowa <math>z</math> momentu magnetycznego, przyjmie kierunek równoległy bądź antyrównoległy do pola <math>B_{0}</math>, skierowanego wzdłuż osi <math>z</math>. Jak wiemy, układy fizyczne dążą do osiągnięcia stanu, w którym uzyskają minimum energii. Energia potencjalna momentu magnetycznego w zewnętrznym polem magnetycznym wynosi:
<equation id="20"><math>
V = -\vec{\mu}\vec{B}
</math></equation>
Rozwijając powyższy wzór dla rozważanego przez nas przypadku, otrzymujemy:
<equation id="21"><math>
V = -u_{z}B_{0} = -\gamma(\vec{I})_{z}B_{0}=-\gamma\hbar m_{I}B_{0}
</math></equation>
gdzie: 
<math>m_{I}=\pm\frac{1}{2}</math> 
Rzutowi momentu magnetycznego równoległemu do osi <math>z</math>, czyli dla <math>m_{I}=\frac{1}{2}</math>, odpowiada energia potencjalna:
<equation id="22"><math>
V = -\gamma\frac{\hbar}{2}B_{0}
</math></equation>
natomiast rzutowi antyrównoległemu:
<equation id="23"><math>
V = \gamma\frac{\hbar}{2}B_{0}
</math></equation>
Jak widać ustawienie równoległe spinu i momentu magnetycznego protonu względem pola <math>B_{0}</math> jest korzystniejsze energetycznie niż ustawienie antyrównoległe. Należy się zatem spodziewać, iż w zewnętrznym polu magnetycznym częściej będzie występować sytuacja, kiedy moment magnetyczny ustawi się w kierunku tego pola. Namagnesowanie podłużne powstaje zatem w wyniku nierównomiernego obsadzenia przez cząstkę lub jądro stanów o spinie skierowanym zgodnie lub przeciwnie do kierunku oddziałującego pola magnetycznego. W celu obliczenia, jaka będzie różnica w ilości obsadzeń poszczególnych stanów energetycznych, skorzystamy z rozkładu Boltzmana.
Stosunek liczby cząstek obsadzających dwa stany energetyczne jest równa:
<equation id="eq:rozB"><math>
\frac{N_{+}}{N_{-}} = \frac{e^{-\frac{E_{+}}{k_{b}T}}}{e^{-\frac{E_{-}}{k_{b}T}}}
</math></equation>
gdzie: 
<math>T</math> — temperatura, 
<math>k_{b}</math> — stała Boltzmana, 
<math>N_{\pm}</math> — liczba cząstek o spinie skierowanym odpowiednio równolegle i antyrównolegle do pola <math>B_{0}</math>. 
Podstawiając do wzoru (<xr id="eq:rozB"/>) wyznaczone wcześniej energie potencjalne, odpowiadające dwóm różnym orientacjom spinu w polu <math>B_{0}</math> dostajemy: 
<equation id="24"><math>
\frac{N_{+}}{N_{-}} = \frac{e^{-\frac{-\frac{\hbar}{2}\gamma B_{0}}{k_{b}T}}}{e^{-\frac{\frac{\hbar}{2}\gamma B_{0}}{k_{b}T}}}=e^{\frac{\gamma\hbar B_{0}}{k_{b}T}}
</math></equation>
W temperaturze pokojowej, różnice obsadzeń poszczególnych poziomów energetycznych są nieznaczne, dlatego skorzystamy z przybliżenia:
<equation id="25"><math>
e^{\frac{\gamma\hbar B_{0}}{k_{b}T}}\approx 1+ \frac{\gamma\hbar B_{0}}{k_{b}T}
</math></equation>
Różnica w ilości obsadzeń poszczególnych poziomów energetycznych jest zatem równa:
<equation id="26"><math>
\Delta N = N_{+} - N_{-} = \frac{\gamma\hbar B_{0}}{k_{b}T}N_{-}\approx\frac{\gamma\hbar B_{0}}{k_{b}T}\frac{1}{2}N_{t}
</math></equation>
gdzie: 
<math>N_{t}</math> to liczba wszystkie jąder atomu wodoru w badanej próbce. 
Czynnik <math>\frac{\gamma\hbar B_{0}}{k_{b}T}</math> w temperaturze ciała ludzkiego <math>T=310K</math> i polu magnetycznym <math>B_{0}=1T</math> jest równy:
<equation id="27"><math>
\frac{\gamma\hbar B_{0}}{k_{b}T}\approx 7\cdot10^{-6}
</math></equation>
Wynik ten oznacza, że na każdy milion protonów o spinie skierowanym przeciwnie do pola magnetycznego, przypada milion plus siedem protonów o spinie skierowanym równolegle do pola i ta niewielka nadwyżka protonów w stanie o korzystniejszej energii jest odpowiedzialna za namagnesowanie próbki. Wartość nadwyżki wydaje się być niezwykle mała. Należy jednak pamiętać, że ilość protonów jaka występuje w organizmie ludzkim jest niezmiernie duża, co umożliwia rejestrację wytworzonego namagnesowania. Jeden gram wody zawiera <math>\frac{1}{8}</math> mola atomów wodoru. W jednym molu materii występuje <math>6.023\cdot10^{32}</math> cząsteczek, a zatem gram wody zawiera <math>N_{t} = 6.68\cdot10^{22}</math> atomów wodoru. Nadwyżka <math>\Delta N</math> wynosi zatem <math>\Delta N\approx 2.2\cdot10^{17}</math> protonów.
Całkowity podłużny moment magnetyczny wytworzony przez 1 gram wody wynosi:
<equation id="28"><math>
\left|\mu_{L}\right| = \Delta N\left<\mu_{z}\right>=\Delta N \frac{1}{2}\hbar\gamma = \Delta n\cdot 1.4\cdot10^{-26}\textrm{J/T} = 3.1\cdot10^{-9}\textrm{Am}^{2}
</math></equation>
Z kolei namagnesowanie to całkowity moment magnetyczny na jednostkę objętości. Jeden gram wody zajmuje objętość <math>10^{-6}\mathrm m^{-3}</math>
a zatem namagnesowanie wytworzone 2 jednym gramie wody w polu magnetycznym o wartości indukcji <math>B_{0}=1</math>T w temperaturze <math>T=310</math>K wyniesie:
<equation id="29"><math>
\left|M\right|=3.1\cdot10^{-3}\textrm{A/m}
</math></equation>

==Zmiana orientacji wektora namagnesowania. Magnetyczny Rezonans Jądrowy==
W poprzednim rozdziale dowiedzieliśmy się, że efektem wprowadzenia jąder w stałe pole magnetyczne jest wykonywanie przez momenty magnetyczne ruchu precesyjnego wokół kierunku wektora pola magnetycznego, skutkiem czego pojawia się namagnesowanie próbki. Niestety, pomiar wielkości uzyskanego w ten sposób namagnesowania jest niemożliwy do przeprowadzenia. Namagnesowanie ma ten sam kierunek co wywołujące je pole magnetyczne.
W celu pomiaru wielkości namagnesowania próbki niezbędne jest zmiana orientacji wektora <math>\vec{M}</math>. Dokonuje się to poprzez wprowadzenie próbki w dodatkowe, zmienne pole magnetyczne. Proces ten opiszemy w niniejszym rozdziale.

Ewolucję wektora namagnesowania można opisać równaniem podobnym do równania (<xr id="eq:MRI_1"/>):
<equation id="eq:MRI_7"><math>
\frac{d\vec{M}}{dt} = \gamma\vec{M}\times\vec{B}_0
</math></equation>
Rozważmy teraz konfigurację dwóch pól magnetycznych — pola statycznego i pola zmiennego w czasie, mającego niezerowe składowe tylko w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku pola stałego. Niech zmienne pole magnetyczne ma postać:
<equation id="eq:MRI_8"><math>
\vec{B}_1\left(t\right) = \left[2B_{1}\cos\left(-\omega_1 t\right),0,0\right]
</math></equation>
Indukcja zmiennego pola magnetycznego <math>\vec{B}_1</math> jest rzędu <math>10^{-5}</math> T, a zatem jest znacznie mniejsza od indukcji statycznego pola magnetycznego <math>\vec{B}</math>. Pole <math>\vec{B}_1</math> nazywane jest impulsem pobudzającym (ang. ''Radio Frequency'', RF), włączane jest bowiem na krótki okres czasu (co wyjaśnimy dalej). Impuls RF wytwarza się za pomocą cewek w postaci fali elektromagnetycznej.
Okazuje się, że pole opisane wzorem (<xr id="eq:MRI_7"/>) możemy rozłożyć na dwa pola, rotujące w płaszczyźnie ''x-y'' w przeciwne strony:
<equation id="29"><math>
\begin{array}{l}
\vec{B}_{1_R}\left(t\right) = \left[B_{1}\cos\left(-\omega_1 t\right),B_{1}\sin\left(-\omega_1 t\right),0\right]
\\
\vec{B}_{1_L}\left(t\right) = \left[B_{1}\cos\left(-\omega_1 t\right),-B_{1}\sin\left(-\omega_1 t\right),0\right]
\end{array}
</math></equation>
Pierwsza składowa pola <math>\vec{B}_{1_R}</math> rotuje przeciwnie do wskazówek zegara, zaś druga składowa <math>\vec{B}_{1_l}</math> w kierunku przeciwnym. W zależności od tego, jaką orientację posiadał jądrowy moment magnetyczny (równoległą lub antyrównoległą do osi <math>z</math>), jedna z tych składowych będzie drgała w kierunku ruchu precesyjnego spinu, druga zaś w kierunku przeciwnym. Składowa drgająca w kierunku przeciwnym będzie "''niewidoczna dla momentu magnetycznego''" i nie wpłynie na jego orientację. Pole drgające w kierunku przeciwnym do ruchu precesyjnego momentu magnetycznego wywoła pewne drugorzędowe efekty, które nie będą omawiane w niniejszej pracy. Ruch momentu magnetycznego, w przypadku superpozycji dwóch pól — statycznego <math>B_{0}</math> oraz zmiennego <math>B_{1}\left(t\right)</math> opisuje zatem następujące równanie:
<equation id="eq:MRI_9"><math>
\frac{d\vec{M}}{dt}=\gamma\vec{M}\times\left[\vec{B}_0 + \vec{B}_1\left(t\right)\right]
</math></equation>
gdzie: <math>\vec{B}_{0} = \left[0, 0, B_{0}\right]</math>, <math>B_{1}\left(t\right) = B_{1}\left[\cos\left(\omega_1 t\right),-sin\left(\omega_1 t\right),0\right])</math>. 
Wprowadźmy dwa układy współrzędnych: Układ Laboratoryjny ''U'' oraz układ ''U' '' obracający się z częstością zmiennego pola magnetycznego (<math>\omega_1</math>). Osie ''z'' oraz ''z' '' odpowiednio układu ''U'' oraz ''U' '' są do siebie równoległe. Stałe pole magnetyczne jest skierowane wzdłuż tych osi. Zapiszmy równanie (<xr id="eq:MRI_9"/>) w układzie ''U ' ''.
Zgodnie z zasadami transformacji wektorów pomiędzy różnymi układami współrzędnych, równanie (<xr id="eq:MRI_9"/>) w układzie ''U' ''będzie miało postać:
<equation id="a1"><math>
\left[\frac{d\vec{M}}{dt}\right]_{U'}=\vec{M}\times\left[\left(-\omega_1 + \gamma B_{0}\right)\vec{e}_z + \gamma B_{1}\vec{e}_x\right]
</math></equation>
które można również zapisać w formie:
<equation id="eq:rownaie_ruchu_w_wirujacym_ukladzie_odniesienia"><math>
\left[\frac{d\vec{M}}{dt}\right]_{U'}=\vec{M}\times\gamma\left[\left(B_{0} - \frac{\omega_1}{\gamma}\right)\vec{e}_{z'} + B_{1}\vec{e}_{x'}\right] = M\times\gamma\vec{B}_{eff}
</math></equation>
gdzie: <math>\vec{B}_{eff} = \left[\left(B_{0} - \frac{\omega_1}{\gamma}\right)\vec{e}_z + B_{1}\vec{e}_x\right]</math>. 

===Zjawisko Magnetycznego Rezonansu Jądrowego w ujęciu klasycznym===

Przeanalizujmy równanie (<xr id="eq:rownaie_ruchu_w_wirujacym_ukladzie_odniesienia"/>). W obracającym się układzie odniesienia jądrowy moment magnetyczny zachowuje stałe położenie. Wzdłuż osi ''z' '' układu ''U' '' obserwujemy składową statycznego pola magnetycznego <math>B_0\vec{e}_z</math> oraz pole <math>\frac{\omega_1}{\gamma}\vec{e}_z</math>, które powstaje w wyniku przejścia z układu laboratoryjnego ''U'' do układu ''U' ''. Dodatkowo w płaszczyźnie ''X'-Y' '' obserwujemy statyczne pole magnetyczne <math>\vec{B}_1\vec{e}_x</math>. W wyniku złożenia tych trzech pół, powstaje wypadkowe pole <math>\vec{B}_{eff}</math>, wokół którego moment magnetyczny zaczyna dokonywać precesji.
Rozpatrzmy następujące przypadki: 
1. Częstość <math>\omega_1</math> wirującego pola <math>\vec{B}_1</math> jest bardzo niewielka (<math>\omega_1\approx0</math>). 
: Przypominamy, że <math>B_0>>B_1</math>, wtedy: 
: <math>\vec{B}_{eff} = B_{0}\vec{e}_z</math>, 
: innymi słowy, dodatkowe, rotujące pole magnetyczne nie wpływa na orientację momentów magnetycznych oraz namagnesowania.
2. Częstość <math>\omega_1</math> wirującego pola <math>\vec{B}_1</math> spełniona warunek <math>\frac{\omega_1}{\gamma}>>B_0)</math>, wtedy: 
: Przypominamy, że <math>B_0>>B_1</math> i wtedy: 
: <math>\vec{B}_{eff} = -\frac{\omega_1}{\gamma}\vec{e}_z</math> 
: czyli zjawisko precesji momentów magnetycznych nadal odbywa się wokół osi ''z' '', z tą różnicą, iż ulega zmianie kierunek precesji, zaś dodatkowe, rotujące pole magnetyczne nie wpływa na orientację momentów magnetycznych oraz namagnesowania <math>\vec{M}</math>.
3. Częstość rotującego pola magnetycznego <math>\vec{B}_1</math> spełnia warunek <math>\omega_1 = \gamma B_{0}</math>, wtedy: 
: <math>\vec{B}_{eff} = B_1\vec{e}_x</math>, 
: co oznacza, że wektor namagnesowania zaczyna wykonywać ruch precesyjny wokół pola magnetycznego <math>B_1\vec{e}_x</math>. Ponownie : przypominamy, że <math>B_1<<B_0</math>. Jak widać, przy pomocy pola magnetycznego o niewielkiej indukcji, lecz odpowiednio dobranej częstości, możliwa jest zmiana orientacji wektora namagnesowania. Jest to zjawisko '''Magnetycznego Rezonansu Jądrowego'''. Występowanie w nazwie zjawiska termin ''rezonans'' (kojarzony najczęściej z obwodami elektrycznymi), jest jak najbardziej uzasadnione, ponieważ za pomocą niewielkiego zaburzenia o periodycznym charakterze (ale odpowiednio dobranej częstości), doprowadziliśmy do znaczących zmian w układzie. Częstość ruchu precesyjnego wektora namagnesowania wokół pola <math>\vec{B}_1</math> wynosi:
<equation id="30"><math>
\Omega = \gamma B_1
</math></equation>
: Częstość <math>\Omega</math> jest nazywana częstością Rabbiego. W trakcie czasu <math>\tau></math> namagnesowanie zakreśli kąt <math>\Theta</math> równy:
<equation id="1b"><math>
\Theta = \Omega\tau
</math></equation>
Podsumowując, po wprowadzeniu próbki w stałe pole magnetyczne o wartości indukcji ''B_0'', momenty magnetyczne poszczególnych jąder zaczynają : wykonywać ruch precesyjny z częstością Larmour'a <math>\omega_0=\gamma\ B_0</math>. Pojawia się wypadkowe namagnesowanie próbki w kierunku : : stałego pola magnetycznego. Wprowadzając dodatkowe pole magnetyczne o wartości indukcji <math>B_1</math>, wirujące w płaszczyźnie prostopadłej do pola <math>B_0</math>, możliwa jest zmiana orientacji wektora namagnesowania, o ile częstość wirowania pola <math>\vec{B}_1</math> jest równa częstości <math>\omega_0</math> precesji Larmour'a. 
Podsumowując: 
# Pod wpływem zewnętrznego, statycznego pola magnetycznego, skierowane wzdłuż osi <math>z</math> spiny wykonują precesję. Składowa <math>z</math> wartości oczekiwanej spinu jest stałą w czasie, składowe poprzeczne wykonują ruch wirowy w płaszczyźnie <math>x-y</math>.
# Różnym ułożeniom spinu względem pola magnetycznego odpowiadają różne energie potencjalne. W przypadku spinu równego <math>\frac{1}{2}</math> istnieją dwa poziomy energetyczne, które będą obsadzane przez jądra zgodnie z rozkładem Bolzmana. Poziom związany z równoległym do zewnętrznego pola magnetycznego rzutem spinu jest korzystniejszy energetycznie, dlatego będzie obsadzany częściej.
#Desynchronizacja ruchu wirowego wartości oczekiwanej spinów w płaszczyźnie <math>x-y</math> uniemożliwi powstanie namagnesowania poprzecznego. Obserwujemy tylko namagnesowanie podłużne.
# Pod wpływem odpowiednio dobranego pola magnetycznego, można doprowadzić do przejść rezonansowych. Jądro mające spin w korzystniejszym stanie energetycznym, przejdzie do stanu, o wyższej energii związanej z oddziaływaniem spinu z polem magnetycznym. Zanika równowaga termodynamiczna w obsadzeniu stanów, a wraz z nią składowa <math>z</math> wartości oczekiwanej spinu i związane nią namagnesowanie podłużne.
# Jednocześnie, w wyniku synchronizacji w płaszczyźnie <math>x-y</math> wartości oczekiwanej spinów tych jąder atomowych, które uległy przejściu rezonansowemu, zaczyna powstawać namagnesowanie poprzeczne.
# Obserwowane namagnesowanie podłużne zanika, podczas gdy narasta namagnesowanie podłużne. Obserwujemy zatem efekt, odchylania się namagnesowania od osi <math>z</math> w kierunku płaszczyzny <math>x-y</math>.
# Po pewnym czasie namagnesowanie podłużne zanika, a namagnesowanie poprzeczne osią maksymalną wartość.
# Zmianom kierunku i wielkości namagnesowania towarzyszy zmiana indukcji pola elektrycznego, która może być rejestrowana przez cewki.

===Typowe wartości częstości Larmour'a oraz częstości Rabbiego===
Opisując zmiany wielkości fizycznych w czasie niejednokrotnie posługujemy się częstością wyrażaną w Hz. W takim przypadku wzór: (<xr id="eq:larmour_kolowa"/>) przyjmie nastepującą postać:
<equation id="31"><math>
f = \frac{\gamma}{2\pi}B_0
</math></equation>
Z tego względu, częstą praktyką podawanie jest w tablicach fizycznych stałej <math>\frac{\gamma}{2\pi}</math> zamiast samej wartości współczynnika giromagnetycznego γ.
<figure id="fig:spiny">
<caption>Wartości współczynników giromagnetyczne oraz spinów wybranych jąder atomowych</caption>
{| class="wikitable"
! Jądro
! Spin
! <math>\frac{\gamma}{2\pi}</math> <math>\left[\frac{\textrm{MHz}}{\textrm{T}}\right]</math>.
|-
| <math>^1H</math>
| <math>\frac{1}{2}</math>
| 42,58
|-
| <math>^{13}C</math>
| <math>\frac{1}{2}</math>
| 10,71
|-
| <math>^{14}N</math>
| <math>1</math>
| 3,08
|-
| <math>^{17}O</math>
| <math>\frac{1}{2}</math>
| 42,58
|-
| <math>^{23}Na</math>
| <math>\frac{3}{2}</math>
| 11,27
|-
|-
| <math>^{39}K</math>
| <math>\frac{3}{2}</math>
| 1,99
|-
|-
| <math>^{43}Ca</math>
| <math>\frac{7}{2}</math>
| 2,86
|-
|}
</figure>
Jak można zauważyć, największą wartością momentu magnetycznego charakteryzują się jądra atomu wodoru, czyli protony. Częstość precesji Larmour'a dla protonów umieszczonych w polu magnetycznym o indukcji <math>B_0=1</math> T osiągnie wielkość:
<equation id="32"><math>
f_0 = \frac{\gamma}{2\pi} B_0 = 42,58 \left[\frac{\textrm{MHz}}{T}\right] \cdot \textrm{[T]} = 42,58 \textrm{MHz}
</math></equation>
Dodatkowe, zmienne pola magnetyczne <math>\vec{B}_1</math>, stosowane do zmiany orientacji wektora namagnesowania, mają niewielkie wartości, rzędu <math>10^{-5}</math>T.
Po wprowadzeniu próbki zawierającej jądra atomu wodoru w dodatkowe pole magnetyczne <math>\vec{B}_1</math>, wirujące w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku pola statycznego, namagnesowanie zaczyna wykonywać obrót w płaszczyźnie równoległej do kierunku pola statycznego z częstością Rabbiego równą:
<equation id="33"><math>
f_1 = \frac{\gamma}{2\pi} B_1 = 42,58 \left[\frac{\textrm{MHz}}{T}\right] \cdot 10^{-3} \textrm{[T]} = 0.0580 \textrm{MHz}
</math></equation>

===Impulsy <math>\pi</math> oraz <math>\frac{\pi}{2}</math>===
Jak dowiedzieliśmy się w poprzednich rozdziałach, przy pomocy rotującego pola magnetycznego o odpowiednio dobranej częstości, możemy zmienić orientacje wektora namagnesowania. Jest to o tyle ważne, iż wektor ten wywołuje pole magnetyczne dużo mniejsze z w porównaniu do wartości pola statycznego <math>\vec{B}_0</math>, do którego jest równoległy. Uniemożliwia to pomiar wartości magnetyzacji próbki. Zmianę orientacji wektora namagnesowania określa się za pomocą kąta, o jaki odchyla się on od kierunku statycznego pola magnetycznego <math>\vec{B}_0</math>, które leży wzdłuż osi ''Z'' przyjętego przez nas układu współrzędnych. Kąt ten można wyliczyć za pomocą wzoru na częstość Rabbiego. Jeśli wektor namagnesowania w trakcie rezonansu wykonuje precesję wokół pola <math>B_1</math> z częstością:
<equation id="33"><math>
\Omega = \gamma B_1
</math></equation>
to w czasie τ zakreśli on kąt:
<equation id="34"><math>
\Theta = \Omega\cdot\tau = \gamma B_1\tau
</math></equation>
Szczególną rolę w diagnostyce MRI odgrywają obroty wektora namagnesowania o kąt <math>\Theta = \frac{\pi}{2}</math> oraz <math>\Theta = \pi</math>. Pole magnetyczne, wywołujące takie zmiany nazywamy odpowiednio impulsami <math>\frac{\pi}{2}</math> oraz <math>\pi</math>.
Czas trwania tych impulsów możemy łatwo oszacować. Przyjmując wielkość indukcji pola <math>B_1</math> na <math>10^{-5}</math> T oraz współczynnik giromagnetyczny dla protonów, dostajemy:
* dla impulsu <math>\frac{\pi}{2}</math>, <math>\tau = \frac{\Theta}{\gamma B_1} = \frac{\frac{\pi}{2}}{2\pi\cdot 42,577 \left[\frac{\textrm{MHz}}{\textrm{T}}\right]\cdot 10^{-5}\textrm{T}}\approx 580\mu s</math>
* dla impulsu <math>\pi</math>, <math>\tau = \frac{\Theta}{\gamma B_1} = \frac{\pi}{2\pi\cdot 42,577 \left[\frac{\textrm{MHz}}{\textrm{T}}\right]\cdot 10^{-5}\textrm{T}}\approx 1060\mu s</math>

==Procesy Relaksacji==

[[File:relaksacja.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:relaksacja"></figure>Ilustracja przykładowy proces zaniku składowej poprzecznej i odbudowy składowej podłużnej pewnego wektora.]]

'''Procesy relaksacji podpis pod rysunkiem:'''

Składowa poprzeczna wektora, oznaczona kolorem czerwonym, jest sumą trzech wektorów o jednostkowej długości, rotujących w płaszczyźnie ''X-Y'' i oznaczonych kolorem niebieskim. W chwili <math>t=0</math> (punkt A.), wektory składowe rotują w płaszczyźnie ''X-Y'' w tej samej fazie, dając wektor wypadkowy o długości trzech jednostek. Po pewnym czasie <math>\Delta t</math> (punkt B.) jeden z wektorów składowych zmienia orientację o kąt <math>\frac{\pi}{2}</math>, w efekcie czego długość składowej poprzecznej wektora wypadkowego maleje do dwóch jednostek, pojawia się natomiast składowa podłużna wektora wypadkowego (oznaczona kolorem zielonym) o długości jednej jednostki. Po kolejnym czasie Po pewnym czasie <math>\Delta t</math> (punkt C.), ruch pozostałych w płaszczyźnie ''X-Y'' rotujących wektorów ulega rozfazowaniu, co powoduje dalszy zanik składowej poprzecznej wektora wypadkowego, ale nie zwiększa długości jego składowej podłużnej. Po upływie kolejnej jednostki czasu <math>\Delta t</math> (punkt D.), jeden z wektorów składowych, rotujący w płaszczyźnie ''X-Y'' zmienia orientację o kąt <math>\frac{\pi}{2}</math>. Składowa poprzeczna wektora wypadkowego ulega skróceniu do jednej jednostki, zaś składowa podłużna osiąga długość dwóch jednostek. Po zmianie orientacji ostatniego wektora składowego (punkt E.), składowa poprzeczna wektora wypadkowego zanika, zaś składowa podłużna osiąga maksymalną długość trzech jednostek.

W rozdziałach [[https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/action/edit/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metod%C4%85_Magnetycznego_Rezonansu_J%C4%85drowego?section=4]], [[https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/action/edit/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metod%C4%85_Magnetycznego_Rezonansu_J%C4%85drowego?section=5]] oraz [[https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/action/edit/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metod%C4%85_Magnetycznego_Rezonansu_J%C4%85drowego?section=8]] omówiliśmy dwa następujące podstawowe elementy zjawiska rezonansu magnetycznego:
# Wprowadzenie próbki składającej się z atomów wodoru w statyczne pole magnetyczne, skutkiem czego pojawiło się namagnesowanie próbki w kierunku tego pola.
# Pobudzenie próbki rotującym w płaszczyźnie prostopadłej do pola statycznego, polem magnetycznym o małej indukcji lecz odpowiednio dobranej częstości, co doprowadziło do zmiany orientacji wektora namagnesowania.
Poruszyliśmy również kwestie doboru czasu impulsu rotującego pola magnetycznego, tak aby zmienić orientację wektora namagnesowania o kąt <math>\pi</math> lub <math>\frac{\pi}{2}</math>. Po obróceniu magnetyzacji o wymagany kąt, impulsowe pole magnetyczne jest wyłączane i dokonywany jest pomiar namagnesowania próbki. Co dalej dzieje się z wektorem magnetyzacji ? Obrót wektora namagnesowania jest niczym innym jak wytrąceniem układu z położenia równowagi termodynamicznej. Jak pamiętamy z pierwszych rozdziałów dotyczących MRI, momenty magnetyczne jąder atomowych starają ustawić się w kierunku pola magnetycznego. Układ będzie zatem dążył do powrotu do stanu równowagi. Przypominamy, iż wyróżniliśmy dwie składowe namagnesowania: namagnesowanie podłużne (<math>\vec{M}_L</math> oraz namagnesowanie poprzeczne <math>\vec{M}_T</math>. Przyjmijmy, że umieszczenie próbki w polu magnetycznym wywołuje namagnesowanie o wartości <math>M_0</math> i rozważmy składowe namagnesowania w układzie rotującym ''U' '' w następujących przypadkach:
1.Włączone pole statyczne, wtedy: 
<equation id="35"><math>
\vec{M} =
\left[\begin{array}{l}
M_L \\
\\
M_T
\end{array}
\right] =
\left[\begin{array}{l}
M_0 \\
\\
0
\end{array}
\right]
</math></equation> 
2. Zadziałanie na próbkę impulsem <math>\frac{\pi}{2}</math>, po którym magnetyzacja wynosi:
<equation id="36"><math>
\vec{M} =
\left[\begin{array}{l}
M_L \\
\\
M_T
\end{array}
\right] =
\left[\begin{array}{l}
0 \\
\\
M_0
\end{array}
\right]
</math></equation>.
Interesuje nas teraz przejście układu ze stanu (2) do stanu (1). Proces powrotu układu do stanu równowagi nazywamy relaksacją.
Okazuje się, że proces odbudowywania się namagnesowania podłużnego trwa dłużej, niż zanik namagnesowania poprzecznego. W związku z tym, będziemy wyróżniali relaksację podłużną, to jest odbudowywanie się składowej podłużnej namagnesowania oraz relaksację poprzeczną, czyli zanik składowej poprzecznej magnetyzacji. Przyczynę różnego czasu procesów relaksacji podłużnej i poprzecznej są następujące. 
===Relaksacja podłużna===
Podstawową przyczyną przechodzenia jąder atomowych ze stanu wzbudzonego do podstawowego po wyłączeniu impulsu pobudzającego są
oddziaływania spinów poszczególnych jąder z siecią krystaliczną (tzw. oddziaływania spin-sieć). W wyniki tych przejść zanika oczywiście również składowa poprzeczna namagnesowania. Inne procesy, które mają wpływ na powrót jąder do stanu równowagi i odbudowę składowej podłużnej magnetyzacji to:
# Fluktuacje pola magnetycznego wytworzone przez otoczenie danego jadra atomowego, np. przez cząsteczkę wody która posiada własny moment magnetyczny. Chaotyczne ruchy cząsteczki wody, mogą wytworzyć zmienne w czasie pole magnetyczne wywołujące przejścia momentów magnetycznych ze stanu wzbudzonego do podstawowego.
# Oddawanie energii do otoczenia poprzez oddziaływania elektryczne.
# Oddziaływania paramagnetyczne.

Warto jednak zwrócić uwagę, że fluktuacje pola magnetycznego będą prowadziły do przejść jąder atomowych ze stanu wzbudzonego do stanu podstawowego pod warunkiem, że częstość wywołanego przez nie lokalnego pola magnetycznego będzie zbliżona do częstości precesji Larmour.
Czas relaksacji podłużnej, który oznaczany jest jako tzw. czas <math>T_1</math> wynosi zwykle od kilkuset ms do nawet 2 sekund.

===Relaksacja poprzeczna===
Oddziaływania wymienione w punktach 1-3 poprzedniego rozdziały, które powodują przejścia jąder atomowych ze stanu wzbudzonego do stanu podstawowego, powodują jednocześnie zanik składowej poprzecznej namagnesowania. Składowa ta jednak zanika także z innych powodów. Impuls pobudzające, nie tylko zmienia orientację momentów magnetycznych, lecz również synchronizuje ich ruchy precesyjne. Fluktuacje pola magnetycznego mogą łatwo tę synchronizacje zaburzyć, ponieważ w tym przypadku dowolna fluktuacja lokalnego pola magnetycznego w kierunku pola statycznego <math>\vec{B}_0</math> zmieni częstość rotacji momentów magnetycznych w płaszczyźnie ''X-Y''. Również oddziaływania spinów sąsiednich jąder atomowych przyczyniają się do zakłócenia synchronizacji (oddziaływania te nazywamy oddziaływaniami spin-spin). Kolejną przyczyną szybszego zaniku składowej poprzecznej namagnesowania są niejednorodności statycznego pola magnetycznego spowodowane ograniczeniami w dokładności wykonania urządzenia MRI oraz zaburzenia powstałe w otoczeniu skanera. Czas relaksacji poprzecznej, który oznaczany jest jako tzw. czas <math>T_2</math> jest o rząd wielkość mniejszy od czasu <math>T_1</math> i wynosi zwykle od kilkudziesięciu di kilkuset ms.
Ideę różnego czasu relaksacji rotujących składowych pewnego wektora zaprezentowano symbolicznie na <xr id="fig:relaksacja">rys. %i</xr>.
Należy pamiętać, iż w rzeczywistości procesy relaksacji są znacznie bardziej skomplikowane, zaś ilustracja <xr id="fig:relaksacja">rys. %i</xr>
ma charakter jedynie poglądowy.

W klasycznej teorii rezonansu jądrowego zjawiska relaksacji opisuje w układzie rotującym (''U' '') przy pomocy następujących fenomenologicznych równań:
W półklasycznego równaniu (<xr id="eq:rownaie_ruchu_w_wirujacym_ukladzie_odniesienia"/>) opisującym zachowanie się namagnesowania w polu magnetycznym musimy uwzględnić procesy związane z relaksacją spinów.
Bloch wprowadził fenomenologiczne poprawki do tego równania opierając się na rozumowaniu, które można wyrazić następującymi równaniami:
<equation id="37"><math>
\begin{array}{l}
\frac{dM_{x}}{dt} = -\frac{M_{x}}{T_{2}}\\
\\
\frac{dM_{y}}{dt} = -\frac{M_{y}}{T_{2}}\\
\\
\frac{dM_{z}}{dt} = -\frac{M_{z} - M_{0}}{T_{1}}\\
\end{array}
</math></equation>
gdzie: <math>M_x, M_y, M_z</math> to odpowiednio długości poszczególnych składowych wektora namagnesowania.

==Równanie Blocha==

[[File:bloch_1.png|400px|thumb|right|<figure id="fig:bloch_1"></figure>Ewolucja wektora magnetyzacji w układzie rotującym z prędkością kątową <math>\omega_0 = \gamma B_0</math>, związanym z momentem magnetycznym i w układzie laboratoryjnym. ]]

Podpis pod rysunkiem Ewolucja wektora magnetyzacji w układzie rotującym z prędkością kątową <math>\omega_0 = \gamma B_0</math>, związanym z momentem magnetycznym i w układzie laboratoryjnym.:

A — próbkę wprowadzono w stałe pole magnetyczne o indukcji <math>\vec{B}_0=B_0\vec{e}_z</math>. Pole to wywołuje namagnesowanie próbki <math>\vec{M}_0</math>, które w układzie rotującym jak i laboratoryjnym ma tę sen sam kierunek <math>\vec{M}_0 = M_0\vec{e}_z</math>. B — próbka zostaje pobudzona dodatkowym polem magnetycznym <math>\vec{B}_1</math>. W układzie laboratoryjnym jest to pole rotujące, z częstością kątową <math>\omega_0</math>, podczas gdy w układzie rotującym ma ono ustalony kierunek. W celu uproszczenia rachunków pole <math>\vec{B}_1</math> dobrano tak, aby w układzie rotującym miało kierunek równoległy do osi ''X''. Wskutek oddziaływania momentów magnetycznych z polem <math>\vec{B}_1</math>, wektor namagnesowania zmienia orientację w następujący sposób. W układzie rotującym rozpoczyna ruch precesyjny wokół pola <math>\vec{B}_1</math> (osi ''X' ''), z częstością <math>\omega_1 = \gamma B_1</math>. W układzie laboratoryjnym ruch namagnesowania jest złożeniem ruchu precesyjnego wokół pola <math>\vec{B}_1</math> oraz ruchu precesyjnego wokół pola <math>\vec{B}_0</math>, w związku z czym w układzie laboratoryjnym wektor magnetyzacji zakreśla helisę o zwiększającej się średnicy. C — jeśli impulsem pobudzającym był impuls <math>\frac{\pi}{2}</math>, to zostanie on wyłączony po zmianie orientacji wektora namagnesowania o kąt <math>\frac{\pi}{2}</math>. W chwili wyłączenia w układzie rotującym wektor magnetyzacji jest równoległy do pola <math>\vec{B}_1</math>, natomiast w układzie laboratoryjnym wektor magnetyzacji rotuje w płaszczyźnie ''X-Y''. W tym momencie można rozpocząć pomiar namagnesowania za pomocą cewek. Rotujący wektor magnetyzacji wytwarza zmienne pole magnetyczne, które w cewkach, zgodnie z prawem Faraday'a indukuje siłę elektromotoryczną. D — po wyłączeniu pola pobudzającego <math>\vec{B}_1</math>, na skutek procesów relaksacji, momenty magnetyczne jąder przechodzą ze stanu wzbudzonego do stanu podstawowego. Efektem przejść jest powrót wektora magnetyzacji w kierunku pola magnetycznego <math>\vec{B}_0</math>.

Proste równanie opisujące zachowanie się momentów magnetycznych oraz magnetyzacji, które wyprowadziliśmy analogicznie jak się to czyni w przypadku ruchu bąka symetrycznego w polu grawitacyjnym nie jest pełne i powinno być rozszerzone o procesy relaksacji. Fenomenologiczne, klasyczne równanie opisującym zachowanie się namagnesowania w polu magnetycznym z uwzględnieniem procesów relaksacji nazywamy równaniem Blocha:
<equation id="38"><math>
\left[\frac{d\vec{M}}{dt}\right]_{U'} = \gamma\vec{M}\times\vec{B}_{eff} - \left(M_{x}\vec{e}_{x} + M_{y}\vec{e}_{y}\right)/T_{2} - \left(M_{z}-M_{0}\vec{e}_{z}\right)/T_{1}
</math></equation>
gdzie: 
<math>\vec{B}_{eff} = \left[\left(B_{0} - \frac{\omega}{\gamma}\right)\vec{e}_z + B_{1}\vec{e}_x\right]</math>
===Przykłady rozwiązania równań Blocha===
W poniższym rozdziale podane zostały przykładowe rozwiązania równań Blocha dla wybranych konfiguracji pól magnetycznych.

====Umieszczenie próbki w polu statycznym <math>\vec{B}_0 = B_0\vec{e}_z</math>====
Równanie Blocha jest równaniem opisującym ewolucję w czasie wektora magnetyzacji w układzie rotującym z częstością równa częstości precesji Larmour'a: <math>\omega = \gamma B_0</math>. Konfiguracja pół magnetycznych w tym układzie, po wprowadzeniu próbki w statyczne pole magnetyczne wynosi:
* <math>B_1 = 0</math>,
* <math>\left[B_0 -\frac{\omega}{\gamma}\right]\vec{e}_z = 0</math>,
co prowadzi do następującego układu równań:
<equation id="eq:bloch_1"><math>
\left\{\begin{array}{l}
\left[\frac{dM_{x}}{dt}\right]_{rot} = 0\\
\\
\left[\frac{dM_{y}}{dt}\right]_{rot} = 0\\
\\
\left[\frac{dM_{z}}{dt}\right]_{rot} = 0\\
\end{array}\right.
</math></equation>
Zgodnie z obliczeniami przeprowadzonymi w rozdziale [https://brain.fuw.edu.pl/edu/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metod%C4%85_Magnetycznego_Rezonansu_J%C4%85drowego#Namagnesowanie_pr.C3.B3bki]. wiemy, że po umieszczeniu próbki w stałym polu magnetycznym, namagnesowanie może występować tylko w kierunku tego pola. Oznaczmy wartość tego namagnesowanie symbolem <math>M_0</math>. Przy podanych warunkach początkowych dostajemy poniższe rozwiązanie układu równań (<xr id="eq:bloch_1" />):
<equation id="eq:bloch_rozw_1"><math>
\left\{\begin{array}{l}
\left[M_x\right]_{rot} = \\
\\
\left[M_y\right]_{rot} = 0\\
\\
\left[M_z\right]_{rot} = M_0\\
\end{array}\right.
</math></equation>
Rozwiązanie w układzie laboratoryjnym uzyskamy, po przemnożeniu równania (<xr id="eq:bloch_rozw_1"/>) przez macierz obrotu <math>P</math>:
<equation id="39"><math>
\vec{M} = P\times [\vec{M}]_{rot}
</math></equation>
gdzie: 
<math>P = \left[
\begin{array}{ccc}
\cos(\omega_0 t) & \sin(\omega_0 t) & 0 \\
\\
-\sin(\omega_0 t) & \cos(\omega_0 t) & 0 \\
\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right] </math>, 
 
co prowadzi to ostatecznie do wyniku:
<equation id="40"><math>
\vec{M} = P\cdot[\vec{M}]_{rot} \rightarrow \vec{M} = \left[\begin{array}{l}
0\\
\\
0\\
\\
M_0\\
\end{array}\right].
</math></equation>
Wynik zaprezentowano na rysunku <xr id="fig:relaksacja">rys. %i</xr>.A.

====Próbka umieszczona w polu statycznym, pobudzona polem zmiennym====
Zakładamy, że pobudzenie prowadzi do powstania zjawiska rezonansu, to jest częstość impulsowego pola magnetycznego <math>\vec{B}_1</math> jest równa częstości precesji Larmour'a. W takim, przypadku, w układzie rotującym występuje następująca konfiguracja pól magnetycznych:
* <math>\vec{B}_1 = B_1\vec{e}_x</math>,
* <math>\left[B_0 - \frac{\omega}{\gamma}\right]\vec{e}_x = 0</math>,
ponadto w równaniach Blocha możemy pominąć wyrazy związane z relaksacją, ponieważ czas trwania procesów relaksacyjnych (co najmniej kilkadziesiąt ms) jest znacznie dłuższy od trwania impulsu pobudzającego, co prowadzi ostatecznie do następującego układu równań:
<equation id="eq:bloch_2"><math>
\left\{\begin{array}{l}
\left[\frac{dM_{x}}{dt}\right]_{rot} = 0\\
\\
\left[\frac{dM_{y}}{dt}\right]_{rot} = \gamma B_1M_z\\
\\
\left[\frac{dM_{z}}{dt}\right]_{rot} = -\gamma B_1M_y\\
\end{array}\right.
</math></equation>
przy następujących warunkach początkowych:
<equation id="41"><math>
\vec{M} = P\cdot[\vec{M}]_{rot} \rightarrow \vec{M} = \left[\begin{array}{l}
0\\
\\
0\\
\\
M_0\\
\end{array}\right].
</math></equation>
Rozwiązanie układu równań (<xr id="eq:bloch_2"/>) ma postać:
<equation id="eq:bloch_rozw_2"><math>
\begin{array}{l}
\left[M_x\right]_{rot} = 0\\
\\
\left[M_y\right]_{rot} = M_0\sin(\Omega t)\\
\\
\left[M_z\right]_{rot} = M_0\cos(\Omega t)\\
\end{array}
</math></equation>
gdzie: <math>\Omega = \gamma B_1</math>.
Rozwiązanie w układzie laboratoryjnym uzyskamy, po przemnożeniu równania (<xr id="eq:bloch_rozw_2"/>) przez macierz obrotu <math>P</math>:
<equation id="42"><math>
\vec{M} = P\cdot[\vec{M}]_{rot}
</math></equation>
co prowadzi do następującego równania na ewolucję magnetyzacji w układzie laboratoryjnym:
Rozwiązanie układu równań (<xr id="eq:bloch_2"/>) ma postać:
<equation id="43"><math>
\begin{array}{l}
M_x = M_0\sin(\Omega t)\sin(\omega_0 t)\\
\\
M_y = M_0\sin(\Omega t)\cos(\omega_0 t)\\
\\
M_z = M_0\cos(\Omega t)\\
\end{array}
</math></equation>
W układzie rotującym wektor namagnesowania wykonuje ruch precesyjny wokół kierunku pola pobudzającego <math>\vec{B}_1</math>, które w tym układzie zachowuje stały kierunek, podczas gdy w układzie laboratoryjnym, wektor magnetyzacji jest złożeniem dwóch ruchów precesyjnych:
# wokół statycznego pola <math>\vec{B}_0</math>,
# wokół rotującego w tym układzie pola <math>\vec{B}_1</math>.
Złożeniem tych dwóch ruchów precesyjnych jest spirala, symbolicznie zaprezentowano na rysunku <xr id="fig:relaksacja">rys. %i</xr>.B.

====Wyłącznie impulsu pobudzającego. Sygnał swobodnej precesji====
Po zmianie orientacji wektora namagnesowania o kąt <math>\frac{\pi}{2}</math>, w układzie rotującym leży on wzdłuż wzdłuż osi ''X' '' (jest równoległy do pola <math>\vec{B}_1</math>, zaś w układzie laboratoryjnym namagnesowanie rotuje w płaszczyźnie ''X-Y'' (patrz <xr id="fig:relaksacja">rys. %i</xr>.C). Dalsze utrzymywanie pobudzenia spowodowało by zmianę orientacji wektora namagnesowania a do jego ustawienia w kierunku przeciwnym do kierunku pola stałego <math>\vec{B}_0</math>. Najdogodniejszy moment na pomiar wektora namagnesowania występuje w momencie, kiedy wiruje on w płaszczyźnie ''X-Y'', w związku z czym impulsowe pole magnetyczne jest wyłączane i rozpoczynany jest pomiar magnetyzacji. Pomiar ten wykonywany jest za pomocą cewek i opiera się na zjawisku indukcji Faraday'a — zmienny strumień pola magnetycznego, wywołany przez rotujący w płaszczyźnie ''X-Y'' wektor namagnesowania indukuje w obwodzie siłę elektromotoryczną. Jednocześnie, po wyłączeniu pola pobudzającego, momenty magnetyczne zaczną powracać do w wyniku oddziaływań spin-sieć oraz spin-spin. Spowoduje zmianę orientacji wektora namagnesowania z płaszczyzny ''X-Y'' ponownie w kierunku pola statycznego <math>\vec{B}_0</math>. Ewolucje wektora namagnesowania w takim przypadku możemy wyznaczyć przy pomocy równania Blocha, dla następującej konfiguracji pól magnetycznych w układzie rotującym:
* <math>\vec{B}_1 = 0\vec{e}_x</math>,
* <math>\left[B_0 - \frac{\omega}{\gamma}\right]\vec{e}_x = 0</math>,
otrzymując poniższy układ równań:
<equation id="eq:bloch_3"><math>
\left\{\begin{array}{l}
\left[\frac{dM_{x}}{dt}\right]_{rot} = -\frac{M_x}{T_2} \\
\\
\left[\frac{dM_{y}}{dt}\right]_{rot} = -\frac{M_y}{T_2} \\
\\
\left[\frac{dM_{z}}{dt}\right]_{rot} = -\frac{M_z-M_0}{T_1}\\
\end{array}\right.
</math></equation>
przy warunkach początkowych
<equation id="44"><math>
\vec{M} = P\cdot[\vec{M}]_{rot} \rightarrow \vec{M} = \left[\begin{array}{l}
0\\
\\
M_0\\
\\
0\\
\end{array}\right].
</math></equation>
Rozwiązanie układu równań (<xr id="eq:bloch_3"/>) ma postać:
<equation id="eq:bloch_rozw_3"><math>
\begin{array}{l}
\left[M_x\right]_{rot} =0\\
\\
\left[M_y\right]_{rot} = M_0e^{-\frac{t}{T_2}}\\
\\
\left[M_z\right]_{rot} = M_0(1-e^{-\frac{t}{T_1}})\\
\end{array}
</math></equation>
gdzie: <math>\omega_1 = \gamma B_1</math>.
Rozwiązanie w układzie laboratoryjnym uzyskamy, po przemnożeniu równania (<xr id="eq:bloch_rozw_3"/>) przez macierz obrotu <math>P</math>:
<equation id="eq:bloch_rozw_3_rot"><math>
\left[\begin{array}{l}
M_x\\
\\
M_y\\
\\
M_z\\
\end{array}\right] =
\left[
\begin{array}{ccc}
\cos(\omega_0 t) & \sin(\omega_0 t) & 0 \\
\\
-\sin(\omega_0 t) & \cos(\omega_0 t) & 0 \\
\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right]
\left[\begin{array}{l}
0\\
\\
M_0e^{-\frac{t}{T_2}}\\
\\
M_0(1-e^{-\frac{t}{T_1}})\\
\end{array}\right]
</math></equation>
Ostatecznie, wektor namagnesowania ma postać:
<equation id="eq:bloch_rozw_3_rot_a"><math>
\left[\begin{array}{l}
M_x\\
\\
M_y\\
\\
M_z\\
\end{array}\right] =
\left[
\begin{array}{c}
M_0e^{-\frac{t}{T_2}}\cos(\omega_0 t)\\
\\
-M_0e^{-\frac{t}{T_2}}\sin(\omega_0 t) \\
\\
M_0(1-e^{-\frac{t}{T_1}})
\end{array}
\right]
</math></equation>
Jak widzimy, namagnesowanie poprzeczne (składowa ''X'' oraz ''Y'' magnetyzacji) rotują w płaszczyźnie ''X-Y'', jednocześnie zmniejszając swoją amplitudę na skutek procesów relaksacji. Cewki dokonujące pomiaru zarejestrują sygnał o przebiegu gasnącej sinusoidy. Sygnał ten pełni niezwykle ważną role i jest nazywany sygnałem swobodnej precesji (ang. ''Free Induction Decay'', FID).

===Echo spinowe===
Czasy relaksacji zależą od właściwości fizyko-chemicznych tkanek. Stanowią zatem niezwykle cenna informację dla diagnostyki medycznej. Relaksacja spin-sieć zależy głównie od czynników "''naturalnych''" — fluktuacji lokalnych pół magnetycznych wytworzonych przez otoczenie jąder atomowych. Relaksacja spin-spin zależy zarówno od czynników naturalnych jak i "''sztucznych''" — niejednorodności statycznego pola magnetycznego związanych np. z ograniczoną dokładnością wykonania skanera MRI.
W efekcie, zamiast obserwować zanik namagnesowania poprzecznego z czasem <math>T_{2}</math>, obserwujemy ten zanik z czasem:
<equation id="45"><math>
\frac{1}{T^{*}_{2}} = \frac{1}{T_{2}} + \frac{\gamma\Delta B_{0}}{2}
</math></equation>
Mimo to, możliwe jest wyznaczenie czasu relaksacji <math>T_{2}</math>, dzięki pięknemu zjawisku echa spinowego.
U podstaw tego zjawiska leży założenie, iż naturalne procesy wpływające na relaksację spin-spin są procesami termodynamicznymi, natomiast procesy "''sztuczne''" są dobrze określone w czasie.



==Kodowanie Obrazu==
[[File:Lauterbur_eksperyment_1.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:Lauterbur_eksperyment_1"></figure>Dwie próbki zawierające różną ilość wody (A) umieszczono w polu magnetycznym, którego rozkład wektora indukcji jest stały (B). Sygnały FID indukowane w tych próbkach mają różną amplitudę (C). W związku z tym, że indukcja pola magnetycznego w zakresie obydwu próbek jest taka sama, częstości precesji Larmoura momentów magnetycznych w protonów w próbkach są również identyczne. W efekcie zbiorczym sygnałem rejestrowanym przez cewkę jest tłumiona wykładniczo sinusoida o pewnej wypadkowej amplitudzie (D). Na podstawie tak uzyskanego sygnału nie można stwierdzić, jaki udział w sygnale wypadkowym mają składowe pochodzące od poszczególnych próbek. W widmie sygnału wypadkowego (E) obserwujemy tylko jedno maksimum odpowiadające tej samej częstości precesji momentów magnetycznych protonów.]]

[[File:Lauterbur_eksperyment_2.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:Lauterbur_eksperyment_2"></figure>Dwie próbki zawierające różną ilość wody (A) umieszczono w polu magnetycznym, którego wielkość indukcji zmienia się wzdłuż pewnego kierunku (B). Sygnały FID indukowane w tych próbkach mają różną amplitudę oraz częstości (C). Sygnał rejestrowany przez cewkę nie jest już tłumioną wykładniczo sinusoidą (D). W widmie sygnału wypadkowego (E) obserwujemy dwa maksima związane z dwoma różnymi częstościami precesji momentów magnetycznych protonów. Jak wiemy, częstość precesji momentu zależy od indukcji pola magnetycznego. Znając rozkład przestrzenny indukcji pola magnetycznego oraz częstości precesji, możemy wyznaczyć lokalizację próbek, a na podstawie amplitudy sygnału zawartość wody w poszczególnych próbkach.]]

[[File:rekonstrukcja_mri.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:rekonstrukcja_mri.png"></figure>]]

W jaki sposób jednak za pomocą MRI można otrzymać obraz, np. wnętrza ciała ludzkiego? Dotychczas zdobyta przez nas wiedza umożliwia nam pomiar magnetyzacji wytworzonej w badanej próbce, jednak nie potrafimy określić współrzędnych pewnej objętości materii, gdzie to namagnesowanie zostało wytworzone. Jak wiemy z poprzednich rozdziałów, namagnesowanie to wypadkowy moment magnetyczny pewnej objętości materii, który nazywamy wokselem. Cewka rejestruje zbiorczy sygnał pochodzący od wielu wokseli. W chwili wyłączenia impulsu pobudzającego <math>\frac{\pi}{2}</math>, ewolucję wektora namagnesowania opisuje następujący wzór:
<equation id="46"><math>
dS\left(t\right) = AM^{0}\left(\vec{r}\right)e^{-i\left(w_{0}t\right)}e^{-\frac{t}{T_{2}}}dxdydz
</math></equation>
gdzie: <math>A</math> jest pewną stałą zależną od geometrii cewek, zaś <math>M^{0}(\vec{r})</math> jest namagnesowaniem woksela, o objętości <math>dx\cdot dy\cdot dz</math>, którego pozycja jest opisana wektorem <math>\vec{r} = [x,y,z]</math> w kartezjańskim układzie współrzędnych.
Zbiorczy sygnał rejestrowany przez cewkę odbiorczą wynosi z objętości <math>V</math>:
<equation id="47"><math>
S\left(t\right) = A\int\int_{V}\int M^{0}\left(\vec{r}\right)e^{-i\left(\gamma B_{0}t\right)}e^{-\frac{t}{T_{2}}}dxdydz
</math></equation>
Rozwiązanie tego problemu podali niezależnie Paul Lauterbur <ref name="Lauterbur">P. C. Lauterbur. Image formation by induced local interactions: examples employing nuclear magnetic resonance. Nature 242, 190-191 (1973)</ref> oraz Peter Mansfield <ref name="Mansifeld">P. Mansfield, P.K. Grannell, J. Phys. C: Solid State Phys. 6, L422 (1973)</ref>. W roku 2003 obydwaj naukowcy zostali uhonorowani nagrodą Nobla w dziedzinie medycyny za wykorzystanie Magnetycznego Rezonansu Jądrowego w tej dziedzinie. W roku 1972 Paul Lauterbur przeprowadził doświadczenie, w którym wykazał, że przy wykorzystaniu gradientu dodatkowego pola magnetycznego możliwe jest rozróżnienie rejestrowanych sygnałów przez cewki, pochodzących od dwóch różnych próbek z wodą. Ideę eksperymentu zaprezentowano na <xr d="fig:Lauterbur_eksperyment_1">rys. %i</xr> i <xr id="fig:Lauterbur_eksperyment_2">rys. %i</xr>. Jak widzimy, w celu określenia pozycji woksela, z którego mierzony jest dany sygnał FID niezbędne jest wprowadzenie dodatkowego, gradientowego pola magnetycznego:
<equation id="48"><math>
\vec{B} = B_0\vec{e}_z + \vec{G}\cdot\vec{r}
</math></equation>
gdzie: 
<math>\vec{G} = [G_x,G_y,G_z]</math> - gradient indukcji pola magnetycznego.
W zależności od położenia woksela, częstość precesji momentów magnetycznych w zmodyfikowanym polu będzie wynosić:
<equation id="49"><math>
\omega(x,y,z) = \gamma \left(B_0 + G_x\cdot x + G_y\cdot y + G_z\cdot z\right)
</math></equation>
Przyjęto, że proces określania współrzędnych wokseli z których rejestrowany jest sygnał FID, nazywany będzie kodowaniem.
Proces ten składa się z trzech etapów: wyboru warstwy obrazowania, kodowania fazy i kodowania częstości, które opisane w kolejnych rozdziałach.

===Etap wyboru warstwy===

Wprowadzając zależność statycznego pola magnetycznego od położenia, można wyznaczać jedną ze współrzędnych woksela, w którym powstało namagnesowanie, wykorzystując w tym celu częstości sygnału FID. Przyjmijmy, że tą współrzędną będzie współrzędna <math>z</math>:
<equation id="kodowanie_z"><math>
\begin{array}{l}
\omega_{0} = \gamma\left(B_{0} + G_{zz}z\right) \textrm{\ zatem}\\
\\
z = \frac{\left(\omega_{0} - \gamma B_{0}\right)}{\gamma G_{zz}}
\end{array}
</math></equation>
gdzie:
* <math>B_{0}</math> — statyczne pole magnetyczne, skierowane wzdłuż osi <math>z</math>,
*<math>G_{zz}</math> — gradient pola magnetycznego, nałożony na pole <math>B_{0}</math>, <math>G_{zz} = \frac{\Delta B_{0}}{\Delta z}</math>.
Naświetlając badany obiekt polem elektromagnetycznym o częstości <math>\omega_{RF}</math>, wzbudzimy jądra atomowe w tych wokselach, w których spełniony jest warunek rezonansowy (<math>\omega_{RF} = \omega_{0}</math>), czyli w wokselach, których współrzędna <math>z</math> wyraża się wzorem (<xr id="kodowanie_z"/>). Opisana powyżej procedurę rzeczywiście stosuje się w MRI i określa jako etap wyboru warstwy (''Slice selection''), a gradient <math>G_{zz}</math> '''{gradientem wyboru warstwy'''. Grubość wybranej w trakcie badania warstwy wynosi:
<equation id="49"><math>
\Delta z = \frac{\Delta \omega}{\gamma G_{zz}}
</math></equation>
gdzie: <math>\Delta\omega</math> — szerokość widmowa pobudzającego jądra impulsu radiowego.
W przypadku, gdy impuls radiowy ma charakter sygnału prostokątnego o szerokości widmowej <math>\Delta\omega=4\pi/T</math>, gdzie: <math>T</math> to długość trwania impulsu, grubość warstwy wyraża się poniższym wzorem:
:<math>
\Delta z = \frac{4\pi}{\gamma G_{zz}T}
</math>


===Etap kodowania fazy===
W trakcie etapu wyboru warstwy, zaraz po włączeniu pola gradientowego wzdłuż osi <math>z</math>, włączany jest również impuls pobudzający <math>RF</math>, (najczęściej impuls <math>\pi/2</math>). Po wyłączeniu tego impulsu oraz impulsu gradientowego <math>G_{zz}</math> następuje precesja wektora magnetyzacji w płaszczyźnie <math>x-y</math> z częstością <math>w_{0} = \gamma B_{0}</math>. Załóżmy na początku, iż procesy relaksacji możemy pominąć. W praktyce wpływ procesów relaksacji typu spin-sieć na lokalizację woksela jest do pominięcia. Przypominamy, że relaksacja ta następuje z czasem <math>T_{1}</math> rzędu kilkuset milisekund, podczas gdy wzbudzanie jąder osiąga się już po kilkuset mikrosekundach. Nie można natomiast pominąć procesów związanych z relaksacją typu spin-spin, których czas <math>T^{*}_{2}</math> wynosi kilka-, kilkanaście milisekund.

Natychmiast po wyłączeniu pola gradientowego <math>G_{zz}</math> włączane jest pole gradientowe <math>G_{yz}</math> — tzw. '''gradient kodowania fazy''', wzdłuż osi <math>y</math>. Częstość precesji po włączeniu tego pola wynosi:
<equation id="50"><math>
\omega_{0} = \gamma\left(B_{0} + G_{yz}y\right)
</math></equation>

Włączenie gradientu <math>G_{yz}</math> powoduje zróżnicowanie częstości precesji wektora magnetyzacji. Po wyłączeniu gradientu kodowania fazy po czasie <math>T_{y}</math>, fazy częstość precesji Larmour wraca do wartości <math>\omega_{0} = \gamma B_{0}</math>, jednakże pomiędzy rotującymi wektorami magnetyzacji pojawia się przesunięcie w fazie, które wyraża się następującym wzorem:
<equation id="eq:kodowanie_fazy"><math>
\phi = \gamma G_{yz}yT_{y}
</math></equation>
Rozdzielczość obrazu tomograficznego wzdłuż osi <math>y</math> wynosi:
<equation id="51"><math>
\Delta y = \frac{\pi}{\gamma G_{yz}T_{y}}
</math></equation>

==Etap kodowania częstości i odczyt pomiaru magnetyzacji==
Po wyłączeniu gradientu <math>G_{yz}</math>, natychmiast włączany jest gradient <math>G_{xz}</math> wzdłuż osi <math>x</math>, nazywany gradientem kodowania częstości oraz jednocześnie następuje odczyt sygnału FID.
W wyniku przyłożenia gradientu <math>G_{xz}</math> następuje zróżnicowanie częstości precesji wektora magnetyzacji, zgodnie z poniższym wzorem:
<equation id="eq:kodowanie_czestosci"><math>
\omega_{0} = \gamma\left(B_{0} + G_{xz}x\right)
</math></equation>

Podsumowując, w celu wybrania obszaru, w którym zostanie dokonany pomiar magnetyzacji, przeprowadzane są następujące kroki:
# Włączone zostaje statyczne pole magnetyczne <math>B_{0}</math> wzdłuż osi ''Z''. Wektory magnetyzacji wykonują ruch precesyjny wokół tej osi.
# Włączony zostaje gradient pola magnetycznego <math>G_{zz}</math>, po czym, po kilku milisekundach badany obiekt zostaje przez czas <math>t_{\pi/2}</math> naświetlony falą elektromagnetyczną o określonej częstości. W warstwie, dla której zostaje spełniony warunek rezonansu, fala elektromagnetyczna wzbudza jądra atomowe, w wyniku czego wektory magnetyzacji wykonują ruch precesyjny w płaszczyźnie ''X-Y''.
#Po wyłączeniu gradientu <math>G_{zz}</math> zostaje włączony na okres <math>T_{yz}</math> gradient kodowania fazy. Po jego wyłączeniu,wektory magnetyzacji wzdłuż osi ''Y'' precesują z tą samą częstością lecz w różnej fazie.
#Po wyłączeniu gradientu <math>G_{yz}</math> zostaje włączony gradient kodowania częstości, który różnicuje częstość precesji wektora magnetyzacji. Jednocześnie następuje pomiar magnetyzacji (sygnału FID) w płaszczyźnie ''X-Y''.

Podsumowując: gradient <math>G_{zz}</math> wraz z impulsem pobudzającym umożliwiają zakodowanie współrzędnej ''Z'' wokseli, z których chcemy dokonać pomiaru namagnesowania obiektu. Jest to tzw. wybór warstwy gdzie będzie dokonywany pomiar. W następnych dwóch etapach zakodowany zostają współrzędne ''X'' i ''Y'' poszczególnych wokseli za pomocą częstości precesji wektora magnetyzacji oraz fazy jego precesji. Innymi słowy, każdemu wokselowi, zostaje przyporządkowana jednoznacznie częstość precesji Larmour'a oraz faza tej precesji.

==Dekodowanie obrazu==
W poprzednim rozdziale omówiliśmy metodę jednoznacznego przypisania wokselowi o współrzędnych <math>x</math>, <math>y</math> w warstwie o położeniu <math>z</math>, częstości i fazy początkowej precesji wektora magnetyzacji.
Cewki, które służą do pomiaru wytworzonego namagnesowania, rejestrują sygnał pochodzący od wszystkich wokseli w danej warstwie.
W trakcie drugiego i trzeciego etapu kodowania obrazu namagnesowanie w wokselu o współrzędnych <math>x</math> i <math>y</math> uzyskuje częstość precesji Larmour:
<math>
\omega_{0} = \gamma\left(B_{0} + G_{xz}x\right)
</math>
oraz fazę tej precesji:
<math>
\phi = \gamma G_{yz}yT_{y}
</math>
Mierzony sygnał rezonansowy pochodzący od danego woksela w płaszczyźnie <math>x-y</math> można wyrazić w następujący sposób:
<equation id="52"><math>
dS\left(t\right) = AM^{0}(\vec{r})e^{-i\left(w_{0}\left(x\right)t + \phi\left(y\right)\right)}e^{-\frac{t}{T_{2}}}dxdydz
</math></equation>
Będziemy w dalej zajmowali się problemem wyznaczenia rozkładu gęstości protonów w płaszczyźnie już wybranej warstwy o grubości <math>dz</math>, dlatego wprowadzimy stałą <math>B = A\cdot dz</math>.
<equation id="53"><math>
dS\left(t\right) = BM^{0}(\vec{r})e^{-i\left(w_{0}\left(x\right)t + \phi\left(y\right)\right)}e^{-\frac{t}{T_{2}}}dxdy
</math></equation>
gdzie <math>B</math> jest pewną stałą zależną od grubości warstwy oraz geometrii cewek, zaś <math>M^{0}(\vec{r})</math> jest początkowym namagnesowaniem poprzecznym, uzyskanym w wyniku pobudzenia jąder atomowych impulsem <math>RF</math>.
Podstawiając do powyższego równania wzory (<xr id="eq:kodowanie_fazy"/>) i (<xr id="eq:kodowanie_czestosci"/>) otrzymujemy:
<equation id="54"><math>
dS\left(t\right) = BM^{0}(\vec{r})e^{-i\left(\gamma\left(B_{0} + G_{xz}x\right)t + \gamma G_{yz}yT_{y}\right)}e^{-\frac{t}{T_{2}}}dxdy
</math></equation>
a zatem sygnał rezonansowy rejestrowany z całej warstwy o współrzędnej <math>z</math> wynosi:
<equation id="55"><math>
S\left(t\right) = B\int\int M^{0}(\vec{r})e^{-i\left(\gamma\left(B_{0} + G_{xz}x\right)t + \gamma G_{yz}yT_{y}\right)}e^{-\frac{t}{T_{2}}}dxdy
</math></equation>
Otrzymane równanie porządkujemy w następujący sposób:
<equation id="55"><math>
S\left(t\right) = Be^{-\frac{t}{T_{2}}}\int\int M^{0}(\vec{r})e^{-i\left(\gamma\left(B_{0} + G_{xz}x\right)t + \gamma G_{yz}yT_{y}\right)}dxdy
</math></equation>
<equation id="56"><math>
S\left(t\right) = Be^{-\frac{\gamma B_{0}t}{T_{2}}}\int\int M^{0}(\vec{r})e^{-i\left(\gamma G_{xz}xt + \gamma G_{yz}yT_{y}\right)}dxdy
</math></equation>
podstawiając:
<equation id="57"><math>
\begin{array}{l}
k_{x} = \gamma G_{xz}t\\
\\
k_{y} = \gamma G_{yz}T_{y}
\end{array}
</math></equation>
uzyskujemy:
<equation id="eq:mierzony_sygnal"><math>
S\left(k_{x},k_{y}\right) = Be^{-\frac{\gamma B_{0}t}{T_{2}}}\int\int M^{0}(\vec{r})e^{-i\left(k_{x}x + k_{y}y\right)}dxdy
</math></equation>
Wymiar stałej <math>B</math> zawiera jednostkę długości (powiązaną z grubością warstwy), z kolei namagnesowanie to całkowity moment magnetyczny przypadający na jednostkę objętości <math>dV</math>. Namagnesowanie woksela zależeć będzie od całkowitej liczby jąder atomowych znajdujących się w objętości <math>dV</math>. W związku z tym, uwzględniając jednostkę stałej <math>B</math> oraz namagnesowania <math>M^{0}</math> możemy przepisać równanie (<xr id="eq:mierzony_sygnal"/>) do następującej postaci:
<equation id="58"><math>
S\left(k_{x},k_{y}\right) = B'e^{-\frac{\gamma B_{0}t}{T_{2}}}\int\int \rho^{0}_{xy}e^{-i\left(k_{x}x + k_{y}y\right)}dxdy
</math></equation>
gdzie <math>B'</math> to stała zależna już tylko od właściwości cewek, natomiast <math>\rho^{0}_{xy}</math> jest gęstością jąder atomowych w badanej warstwie. Widzimy zatem, iż mierzony sygnał jest transformatą Fouriera gęstości jąder atomowych, z dokładnością do wagi, zależnej od natężenia statycznego pola magnetycznego oraz czasu relaksacji <math>T_{2}</math><ref>Należy również pamiętać, iż wyznaczona gęstość jąder atomowych (w praktyce jąder atomu wodoru) zależy również od czasu powtarzania wzbudzeń jąder atomowych (''Time Repetition —TR'') oraz czasu echa spinowego (''Time Echo — TE'')</ref>.
Rozkład gęstości jąder atomowych można wyznaczyć obliczając odwrotną transformatę Fouriera równania (<xr id="eq:mierzony_sygnal"/>)
<equation id="59"><math>
\rho^{0}_{xy} = B'e^{-\frac{\gamma B_{0}t}{T_{2}}}\int\int S\left(k_{x},k_{y}\right)e^{i\left(k_{x}x + k_{y}y\right)}dk_{x}dk_{y}
</math></equation>
Podsumowując:
Główną informacją jaką otrzymujemy za pomocą obrazowania metodą jądrowego rezonansu magnetycznego jest rozkład gęstości
jąder atomowych. Z uwagi, iż jądro atomu wodoru ma największy spośród jąder atomowych współczynnik giromagnetyczny, a także ze względu na wysokie stężenie wodoru w organizmie ludzkim, za pomocą MRI uzyskuje się obraz rozkładu gęstości tego właśnie pierwiastka. W badaniu otrzymamy zatem bardzo dobry obraz tkanek miękkich (np. mózg), co odróżnia tą metodę od Rentgenowskiej Tomografii Komputerowej, najlepiej obrazującą kości. Ponadto, mierząc czasy relaksacji namagnesowania — <math>T_{1}</math> i <math>T_{2}</math> możliwe jest uzyskanie informacji o pewnych właściwościach fizyko-chemicznych tkanek.

==Podstawowa Sekwencja Gradientów Pola Magnetycznego==
[[File:rekonstrukcja_mri.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:rekonstrukcja_mri.png"></figure>Podstawowa sekwencja pól gradientowych.]]
W tym rozdziale dokonamy pewnego podsumowania dotychczas zdobytej wiedzy dotyczącej procesu kodowania i dekodowania obrazu w Magnetycznym Rezonansie Jądrowym. Podstawowa sekwencja kodująca oraz proces dekodowania został zaprezentowany na <xr id="fig:rekonstrukcja_mri">rys. %i</xr>
Z uwagi na ograniczoną ilość miejsca pod rysunkiem, jego opis znajdzie w treści rozdziału. Załóżmy, że chcemy zobrazować wybraną warstwę głowy pacjenta. Obraz zostanie utworzony za pomocą macierzy <math>M</math>x<math>N</math> pikseli. Proces obrazowania będzie składał się następujących kroków:
# Umieszczenia pacjenta w stałym polu magnetycznym o indukcji <math>B_0</math>. Po wykonaniu tego kroku momenty magnetyczne jąder wykonują precesję z częstością <math>\omega_0 = \gamma B_0</math>. Powstaje wypadkowe namagnesowanie <math>M_0</math> w kierunku pola <math>\vec{B}_0</math>. Załóżmy, że w głowie pacjenta znajdują się tylko dwa obszary dające znaczące sygnały. Obszary te wypełniona różnymi odcieniami szarości.
# Włączenia pola gradientowego w kierunku osi ''z'' (przyjęto, że jest to oś biegnąca wzdłuż badanego). Następuje zróżnicowanie precesji momentów magnetycznych protonów. Częstość precesji zależy teraz od współrzędnej ''z'' w następujący sposób: <math>\omega_{0} = \gamma\left(B_{0} + G_{zz}z\right)</math>. Równocześnie wraz z gradientem pola zostaje włączony impuls pobudzający (RF) <math>\frac{\pi}{2}</math> o częstości <math>\omega_1</math>. Wywoła on pobudzenie tych momentów magnetycznych, których częstość precesji Larmoura wynosi <math>\omega = \omega_1</math>, czyli <math>\omega_1 = \gamma\left(B_{0} + G_{zz}z\right)</math>. Są to momenty magnetyczne znajdujące się w płaszczyźnie ''x-y'' o współrzędnej ''z'' równej: <math>z = \frac{\left(\omega_{1} - \gamma B_{0}\right)}{\gamma G_{z}}</math>. W wokselach leżących w wybranej warstwie następuje zmiana orientacji wektora namagnesowania <math>M_0</math> o kąt <math>\frac{\pi}{2}</math>. Warto zauważyć, iż po wyłączeniu tego pola gradientowego, momenty magnetyczne ponownie ruch precesyjny z częstością Larmoura <math>\omega=\gamma B_0</math>, jednak w odróżnieniu od wektorów leżących w innych warstwach maja one zmienioną orientację.
# Wzdłuż osi ''y'' zostaje włączone na pewien okres czasu kolejne pole gradientowe, którego wartość na <xr id="fig:rekonstrukcja_mri">rys. %i</xr> oznaczono kolorem żółtym. Wektor magnetyzacji zaczynają rotację w płaszczyźnie ''x-y'' z różną prędkością (ale tą samą dla zadanej współrzędnej ''y''). Po wyłączeniu pola gradientowego, częstość precesji wraca do wartości <math>\omega = \gamma B_0</math>, jednakże wektory namagnesowania wirują w płaszczyźnie ''x-y'' w różnej fazie.
# Następuje kolejne włączenie pola gradientowego, tym razem wzdłuż osi ''x''. Momenty magnetyczne, a także namagnesowanie zaczyna wirować z różną częstością, zależną od współrzędnej ''x''. Jednocześnie wraz z włączeniem tego gradientu następuje pomiar sygnału. Na tym etapie kodowania obrazu, można powiedzieć, że wektory namagnesowania znajdujące się w wokselach leżących w tej samej kolumnie (oś ''y'') rotują z tą samą częstością, natomiast wektory namagnesowania, znajdujące się w tym samym wierszu (os ''x'') rotują z tą samą fazą. Należy pamiętać, iż włączenie gradientu wzdłuż osi ''y'' w poprzednim etapie zmieniło jedynie fazę sygnału FID. Sygnały o tej samej częstości i różnej fazie nałożą się na siebie, dając pewien sygnał wypadkowy. Innymi słowy, na podstawie widma zarejestrowanego sygnału FID możliwe jest w tej chwili rozróżnienie z której kolumny pochodzą składowe mierzonego sygnału. Nie znamy natomiast współrzędnej ''y'' wokseli, z których pochodzi istotny sygnał. W związku z tym całość pomiaru (poczynając od etapu 2) należy powtórzyć, tyle razy, ile mamy wierszy w obrazie, za każdym razem zmieniając wartość gradientu pola magnetycznego wzdłuż osi ''y'' lub długość czasu jego trwania.
# Wartości Transformat Fouriera zapisywane są w tzw. współrzędnych przestrzeni K, tworząc pewną macierz. Wykonanie odwrotnej, dwuwymiarowej Transformaty Fouriera tej macierzy umożliwia wyznaczenie rozkładu przestrzennego namagnesowania.

==Co obrazuje Magnetyczny Rezonans Jądrowy==

===Rozkład gęstości protonów===
W trakcie badania MRI dokonywany jest pomiar namagnesowania małych jednostek objętości (wokseli) danego obszaru pacjenta. Namagnesowanie woksela jest proporcjonalne do liczby momentów magnetycznych cząstek znajdujących się w nim cząstek posiadających momenty magnetyczne. Spośród wielu atomów, które wchodzą w skład organizmu ludzkiego i posiadających spin, wodór charakteryzuje się największą abundancją oraz jądrem
o największym momencie magnetycznym. MRI będzie zatem obrazował głownie rozkład gęstości wodoru. W przeciwieństwie do Metod Rentgenowskich, MRI będzie zatem bardzo dobrze obrazował tkanki miękkie.

===Kontrast <math>T_{1}</math> oraz <math>T_{2}</math>===
Bardzo ważną informację diagnostyczną można również uzyskać, wykorzystując do tego czas pomiaru relaksacji <math>T_1</math> i <math>T_2</math>. Relaksacja wektora namagnesowania następuje w wyniku oddziaływania momentów magnetycznych z otoczeniem. Na podstawie zmian w szybkości zaniku namagnesowania poprzecznego lub odbudowie namagnesowania podłużnego można zatem wyciągnąć pewne wnioski diagnostyczne. Dokonuje się tego przy pomocy odpowiednio dobranej sekwencji pola pobudzającego, którego skutkiem będzie lepsze uwidocznienie na obrazie obszarów o krótkim czasie <math>T_1</math> lub krótkim czasie <math>T_2</math>. Mówimy wtedy odpowiednio o obrazie T1 zależnym lub T2 zależnym, bądź kontraście T1 lub T2.

Obok rozkładu gęstości jąder atomu wodoru, za pomocą MRI możemy wyznaczyć również czasy relaksacji magnetyzacji podłużnej — <math>T_{1}</math> oraz magnetyzacji poprzecznej — <math>T_{2}</math>. Czasy te zależą od właściwości fizyko-chemicznych tkanek. Z dotychczasowych badań wiadomo, iż czasy relaksacji tkanki zdrowej, różnią się znacznie od czasów relaksacji tej samej tkanki chorej (np. rakowej). Czasy relaksacji zawierają zatem niezwykle cenna z punktu widzenia diagnostyki informacje.





==Budowa skanera MRI==

===Cewki pola statycznego===

Podstawowym elementem aparatury MRI są przyrządy wytwarzające pola magnetyczne (statyczne jak i gradientowe) oraz rejestrujące sygnał namagnesowania.
Statyczne pole magnetyczne <math>\vec{B}_{0}</math> można wygenerować za pomocą:
# Magnesów trwałych. Małe zużycie prądu elektrycznego, nieskomplikowana budowa aparatury, ogólnie niskie koszty obsługi. Skaner ma mniejsze rozmiary niż w przypadku skanerów w których pole magnetyczne jest wytwarzane w inny sposób, ponadto ma budowę otwartą (pacjent nie znajduje się w wąskim cylindrze), co zwiększa komfort badania (np. u pacjentów z klaustrofobią).
#*Wady — trwałe magnesy są ciężkie, wytwarzają pola magnetyczne w granicy: 0.064 T - 0.3 T.
# Elektromagnesów. Pole magnetyczne powstaje w wyniku przepływu prądu przez cewkę. Elektromagnesy mogą mieć rdzeń powietrzny lub stalowy. Zalety — otwarta budowa zwiększająca komfort badania, można wyłączyć skaner, jeśli jest nieużywany, niska cena skanera.
#*Wady — wysokie zużycie energii elektrycznej, ograniczone wartość wytwarzanego pola magnetycznego < 0.2 - 0.3T, potrzebne chłodzenie wodne, wytworzone pole magnetyczne "''rozprzestrzenia''" się na boki.
# Magnesów nadprzewodzących — najczęściej stosowane. Pole magnetyczne wytwarzane jest przez przepływ prądu w cewkach umieszczonych w ciekłym helu, w celu redukcji zjawiska oporu elektrycznego — W temperaturze 4 Kelvinów (-269<math>^{o}</math>) opór ten zanika.
#*Zalety — możliwość generowania silnych, bardzo jednorodnych pól magnetycznych — do 12T, a co za tym idzie możliwość rejestracji sygnału namagnesowania o wysokim SNR oraz skrócenie czasu wykonywania skanu. Ponadto niskie zużycie prądu elektrycznego.
#*Wady — drogi skaner, wysokie koszty związane z obsługą aparatury kriogenicznej, aparatura hałaśliwa i o zwartej budowie — mniejszy standard wygody dla pacjenta, wrażliwszy na artefakty ruchowe, skomplikowana budowa (cewki nadprzewodzące muszą być zabezpieczone wieloma warstwami termicznymi, oraz przestrzeniami próżniowymi, aby chronić Hel przed zagotowaniem się i eksplozją).

===Cewki nadawczo odbiorcze===

Źródłem sygnału pobudzającego jądra atomowe w zjawisku jądrowego rezonansu magnetycznego, jak i odbiornikiem rejestrującym wytworzony sygnał namagnesowania są tzw. Cewki RF. Istnieje wiele różnorodnych typów cewek, przeznaczonych do określonych badań, można je jednak podzielić na dwie grupy:
#Cewki objętościowe. Wewnątrz takiej cewki wytworzone zostaje jednolite pole magnetyczne, wymagają jednak, aby badana część pacjenta znajdowała się w środku cewki.
# Cewki powierzchniowe. Jak sama nazwa wskazuje cewki takie umieszczane są na powierzchni, blisko obszaru, który ma być badany. Cewki takie zapewniają sygnał o wysokim SNR oraz wysoką rozdzielczość otrzymywanych obrazów. Wada tych cewek jest szybka strata jednolitości otrzymywanego obrazu, w przypadku gdy badany obiekt przemieści się poza cewkę.



==Podstawy kwantowego opisu zjawiska Rezonansu Magnetycznego==

[[File:quantum_mri.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:quantum_mri"></figure>Ilustracja powstawania stanów kwantowych oraz pobudzenia wzbudzenia przejść pomiędzy nimi. A — przy braku zewnętrznego pola magnetycznego poziomy energetyczne odpowiadające różnym rzutom momentu pędu na oś ''Z'' charakteryzują się tą samą energię. Umieszczenie próbki w stałym polu magnetycznych wywołuje powstanie dwóch stanów kwantowych o różnych energiach. Nieznaczna większość protonów znajdzie się w stanie o niższej energii. Za pomocą fali elektromagnetycznej o odpowiedniej energii ( częstości) można doprowadzić do przejść jąder do wyższego poziomu energetycznego. B — po wyłączeniu fali elektromagnetycznej, jądra przechodzą ze stanu wzbudzonego do stanu podstawowego oddając wcześniej zaabsorbowana energię.]]
Podstawowy opis kwantowy zjawiska rezonansu magnetycznego przeprowadzimy dla protonu. Przypominamy, własny moment pędu protonu opisywany jest spinową liczbą kwantową <math>I = \frac{1}{2}</math>, długość wektora momentu pędu wynosi <math>|\vec{I}| = \frac{\sqrt{3}}{2}\hbar </math>, zaś rzut wektora spinu na oś ''Z'' może przyjmować wartości: <math>\vec{I}_{z} = \pm\frac{1}{2}\hbar </math>. Pod nieobecność zewnętrznego pola magnetycznego, rzutom wektora spinu proton una oś ''Z'' odpowiadają stany o tej samej energii. 
Wprowadzenie próbki w stałe pola magnetyczne o wartości <math>B_0</math> i kierunku równoległego do osi ''X'' powoduje rozczepienie tych stanów. Rzut wektora momentu magnetycznego (związanego ze spinem) na oś ''Z'' może mieć kierunek równoległy lub przeciwny do kierunku pola magnetycznego. Rzutom tym odpowiadają dwa poziomy energetyczne:
<equation id="60"><math>
\begin{array}{l}
E_1 = -\frac{1}{2}\hbar\gamma B_0\\
\\
E_2 = \frac{1}{2}\hbar \gamma B_0\\
\end{array}
</math></equation>
gdzie: <math>E_1, E_2</math> to odpowiednio energia stanu związanego z równoległym i przeciwnym rzutem momentu magnetycznego na kierunek stałego pola magnetycznego. Zgodnie z zasadami termodynamiki, protony będą dążyły do zajmowania stanów o niższej energii. Dostarczając dodatkową energię, np. za pomocą fali elektromagnetycznej, można doprowadzić do przejścia protonów ze stanu podstawowego do wzbudzonego. Częstość fali elektromagnetycznej można wyliczyć w następujący sposób. Różnica energii pomiędzy dwoma stanami wynosi:
<equation id="61"><math>
\Delta E = E_2 - E_1 = \hbar \gamma B_0
</math></equation>
Fala elektromagnetyczna o częstości <math>\omega_0</math> posiada energię:
<equation id="62"><math>
E = \hbar \omega_0
</math></equation>
Energia fali elektromagnetycznej powinna być równa różnicy energii dwóch stanów kwantowych:
<equation id="63"><math>
\Delta E = \hbar \omega_0 \rightarrow \hbar \gamma B_0 = \hbar \omega_0
</math></equation>
ostatecznie, częstość fali wzbudzającej przejścia pomiędzy poziomami energetycznymi jest równa:
<equation id="64"><math>
\omega_0 = \gamma B_0
</math></equation>
Po wyłączeniu fali pobudzającej, protony przechodzą ze stanu wzbudzonego do stanu podstawowego, emitując nadmiar energii.
Pobudzeniowa fala elektromagnetyczna może być wygenerowana za pomocą cewki, która po wyłączeniu emisji fali może również rejestrować energię emitowaną przez protony przechodzące do stanu podstawowego.
Bardziej rozszerzony (nieobowiązkowy dla studentów opis zjawiska magnetycznego rezonansu jądrowego można znaleźć w kolejnym rozdziale).

==Kwantowy opis zjawiska Rezonansu Magnetycznego==
Zastosowanie modelu kwantowego prowadzi do pełniejszego w porównaniu z modelem klasycznym opisu zjawiska NMR, jednak ze względu na skomplikowaną postać samej Teorii Kwantów, model kwantowy może być trudny w zrozumieniu. Z kolei model klasyczno-kwantowy (zaprezentowany w dotychczasowych rozdziałach), jest łatwiejszy do przyswojenia i dla pewnej klasy problemów uzyskuje się za jego pomocą te same wyniki co w modelu kwantowym.

Nim przejdziemy do szczegółowego opisu zjawiska NMR, dokonamy zestawienia niektórych z postulatów leżących u podstaw Mechaniki Kwantowej i Klasycznej oraz przypomnimy sobie znaczenie pewnych pojęć stosowanych w fizyce.

<ol>

<li>
Układem fizycznym (w dalszej części skryptu nazywanym w skrócie układem) określa się zbiór ciał.

<li>
Stan układu jest najmniejszym zbiorem informacji pozwalającym odpowiedzieć na wszelkie pytania dotyczące układu.

<li>
W Mechanice Klasycznej pomiar wielkości fizycznej można wykonać z dokładnością ograniczoną jedynie precyzją dostępnej aparatury. Sam pomiar nie wpływa na układ.

<li>
W Mechanice Kwantowej nie można dokonać jednoczesnego pomiaru pewnych wielkości fizycznych z dowolną dokładnością. Ograniczenie to, znane jako Zasada Nieoznaczoności Heisenberga, nie ma nic wspólnego z precyzja aparatury pomiarowej. Jest to jedno z praw przyrody, któremu podlegają np. pomiary położenia i pędu:

::<math>
\Delta x\Delta p_{x}\ge \hbar </math>

gdzie:

<ul>

<li>
<math>\Delta x</math> i <math>\Delta p_x</math> to odpowiednio nieoznaczoność położenia i pędu wzdłuż osi <math>x</math>

</ul>

pomiary energii i czasu:

::<math>
\Delta E\Delta t\ge \hbar </math>

gdzie:

<ul>

<li>
<math>\Delta E</math> i <math>\Delta t</math> to odpowiednio nieoznaczoność energii i czasu.

</ul>

pomiary składowych wektora momentu pędu (w Mechanice Kwantowej obserwowalna jest w danym pomiarze tylko jedna ze składowych wektora oraz jego długość).
Możliwy jest natomiast jednoczesny pomiar z dowolną dokładnością np. energii i pędu. Warto zauważyć, że chociaż nie da się, zgodnie z Zasadą Nieoznaczoności, jednocześnie zmierzyć np. położenia i pędu cząstki, to można wyznaczyć osobno rozkład prawdopodobieństwa dla pędów i rozkład
prawdopodobieństw dla położeń w danym stanie układu. Mierząc dostatecznie dużo takich rozkładów prawdopodobieństwa, można określić stan układu. Pojedynczą wielkość da się w zasadzie zmierzyć z dowolną dokładnością, ale jeżeli mamy kilka takich samych układów w tym samym stanie, to na ogół dla każdego z nich pomiar tej wielkości da inny wynik.

<li>
W Mechanice Klasycznej położenie, orientacja oraz wielkości charakteryzujące ruch układu w danej chwili określają stan układu w tej chwili. W przypadku cząstki punktowej do określenia jej stanu w przestrzeni trójwymiarowej wystarczy sześć wielkości jednowymiarowych: 3 współrzędne opisujące położenie cząstki oraz 3 wielkości charakteryzujące jej ruch (prędkość lub pęd).

<li>
W Mechanice Kwantowej stan układu określony jest za pomocą funkcji falowej <math>\psi \left(\vec{r},t\right)</math>. Funkcja falowa zawiera pełną informacje o stanie układu. Zwykle jednak nie da się przewidzieć wyniku pomiaru znając nawet dokładnie stan układu.

<li>
Interpretacja fizyczna funkcji falowej jest następująca (cyt. z pracy <ref name="bid0"> Iwo Białynicki-Birula, Marek Cieplak, Jerzy Kamiński Teoria Kwantów. Mechanika Falowa. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1991.</ref>)

Funkcja falowa <math>\psi \left(\vec{r},t\right)</math> opisuje fale prawdopodobieństwa. Wielkość <math>\psi ^{*}\left(\vec{r},t\right)\psi \left(\vec{r},t\right)</math> jest gęstością prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w punkcie <math>\vec{r}</math> w chwili <math>t</math>.
Inaczej mówiąc, całka:
<math>P_{D}\left(t\right)=\int _{D}d^{3}\vec{r}\left|\psi \left(\vec{r},t\right)\right|^{2}</math> jest prawdopodobieństwem znalezienia cząstki w chwili <math>t</math> w obszarze <math>D</math>.

<li>
Funkcja falowa musi spełniać warunek unormowania<ref>Warunek unormowania został arbitralnie wprowadzony w pierwszej pracy Schrödingera dotyczącej równania falowego.</ref>:
<math>\int _{D}d^{3}\vec{r}\left|\psi \left(\vec{r},t\right)\right|^2 = 1</math>.
Innymi słowy, prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w dowolnym punkcie przestrzeni jest równe jedności.

<li>
W Mechanice Klasycznej pomiar wielkości fizycznej nie wpływa na układ.

<li>
W Mechanice Kwantowej zwykle nie można gwarantować, że stan układu po pomiarze będzie taki sam jak przed pomiarem. W szczególności
ponowny pomiar wielkości, która przedtem była dobrze określona, może dać (zupełnie) inny wynik.

<li>
W Mechanice Kwantowej dowolnej, dobrze określonej obserwabli fizycznej (takiej jak pęd, energia, masa czy moment pędu), dalej oznaczanej przez <math>C</math>, odpowiada operator <math>\hat{C}</math> taki, że w wyniku pomiaru obserwabli <math>C</math> otrzymujemy wartości zmierzone <math>c</math>, które są wartościami własnymi operatora <math>\hat{C}</math>:

::<math>
\hat{C}\phi = c\phi </math>

gdzie: <math>\phi </math> jest funkcją własną operatora <math>\hat{C}</math>.

<li>
W Mechanice Kwantowej, jeśli układ znajduje się w stanie <math>\psi \left(\vec{r},t\right)</math>, to średnia wartość dowolnej obserwabli fizycznej <math>C</math> związanej z układem w chwili czasu <math>t</math> dana jest wzorem:

<equation id="uid21">
<math>
\left<C\right> = \int \psi ^{*}\left(\vec{r},t\right)\hat{C}\psi \left(\vec{r},t\right)d^{3}\vec{r}
</math>
</equation>

</ol>

==Spin==

Dokładny opis spinu, który jest wielkością kwantową, wykracza znacznie poza ramy materiału niniejszego skryptu. Zainteresowanych czytelników odsyłamy do prac <ref name="bid0" />, <ref name="bid1">Richard L. Liboff Wstęp do Mechaniki Kwantowej. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa
1987.</ref>, <ref name="bid2">Leszek Adamowicz Mechanika Kwantowa. Formalizm i Zastosowania. Oficyna Wydawnicza
Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2005.</ref>, na podstawie których został napisany niniejszy rozdział. W tym miejscu natomiast ograniczymy się do podania kilku faktów, obserwacji, czy uwag, mając nadzieję, że wystarczą one czytelnikom do zrozumienia, czym jest spin, przynajmniej w takim stopniu, który ułatwi im przyswojenie wiadomości na temat Jądrowego Rezonansu Magnetycznego. Podstawowymi elementami, z których składa się materia, są cząstki takie jak elektron, proton oraz neutron, które posiadają spin równy <math>\frac{1}{2}</math>. Najbardziej rozpowszechnionym pierwiastkiem w organizmach żywych jest wodór, którego jądra — protony, odgrywają podstawową rolę w otrzymywaniu obrazów MR. W związku z tym omówienie pojęcia spinu ograniczymy do przypadku spinu równego <math>\frac{1}{2}</math>.

<ol>

<li>
Zjawiska takie jak rozszczepienie w niejednorodnym polu magnetycznym wiązki atomowej na dwie składowe, zaobserwowane przez Sterna i Gerlacha w roku 1922, czy dubletowa struktura widm pierwiastków alkalicznych nie zostały wyjaśnione w ramach teorii budowy atomu zaproponowanej przez Bohra. Doświadczenie przeprowadzone przez Sterna i Gerlacha, jak również i badania spektroskopowe wskazywały na nie uwzględnienie w teorii Bohra pewnej wielkości fizycznej — nieznanego, dodatkowego stopnia swobody elektronu.

<li>
W roku 1925 Uhlenbeck i Goudsmit wprowadzają pojecie spinu, jako wewnętrznego momentu pędu elektronu. Uhlenbeck i Goudsmit przyjęli, iż elektron wiruje<ref>W języku angielskim słowo spin oznacza wirowanie</ref> wokół własnej osi, co w naturalny sposób umożliwiło im wytłumaczenie istnienia dodatkowego stopnia swobody oraz wyjaśnienie dubletowej struktury widm pierwiastków alkalicznych. Obecnie wiadomo, iż obraz elektronu jako wirującej kulki zaproponowany przez Uhlenbecka i Goudsmita jest nieprawidłowy.

<li>
W roku 1926 Schrödinger publikuje serię czterech prac dotyczących równania falowego (nazwanego później równaniem Schrödingera), które dla elektronu znajdującego się w polu elektromagnetycznym przyjmuje następującą postać <ref name="bid0" />:

<equation id="uid27">
<math>
i\hbar\frac{\partial \psi \left(\vec{r},t\right)}{\partial t} = \left[ \frac{1}{2m} \left(\frac{\hbar }{i} \nabla - e \vec{A}\right)^2 + e \phi (\vec{r}) \right]\psi \left(\vec{r},t\right)
</math>
</equation>

gdzie:

<ul>

<li>
<math>\vec{B} = \nabla \times \vec{A}</math>

<li>
<math>\vec{E} = -\nabla \phi - \frac{\Delta \vec{A}}{\Delta t}</math>

<li>
<math>\vec{B}</math> to wektor indukcji magnetycznej

<li>
<math>\vec{E}</math> to wektor natężenia pola elektrycznego

</ul>

<li>
Rozwiązaniem równania (<xr id="uid27"> %i</xr>) są funkcje skalarne, które jednak nie opisują właściwie zachowania się elektronu w polu magnetycznym.

<li>
W przyrodzie obserwujemy zarówno fale skalarne (np. fale dźwiękowe) jak i fale wektorowe (np. fale elektromagnetyczne). Fale wektorowe mogą ulegać polaryzacji. Doświadczenie Sterna-Gerlacha wskazuje na to, że również fale prawdopodobieństwa mogą zostać spolaryzowane, zaś pole magnetyczne inaczej wpływa na poszczególne składowe polaryzacyjne <ref name="bid0" />.

<li>
Najprostszym sposobem wprowadzenia oddziaływania zależnego od pola magnetycznego i polaryzacji funkcji falowej do równania Schrödingera, jest przedstawienie go w postaci następującego układu równań <ref name="bid0" />:

<equation id="uid35">
<math>
\begin{array}{l}
i \hbar \frac{\partial \psi _{+}\left(\vec{r},t\right)}{\partial t} = \left[\frac{1}{2m}\left( \frac{\hbar }{i}\nabla - e \vec{A}\right)^{2} + e \phi - \mu B \right] \psi _{+}\left(\vec{r},t\right) \\
\\
i \hbar \frac{\partial \psi _{-}\left(\vec{r},t\right)}{\partial t} = \left[\frac{1}{2m}\left( \frac{\hbar }{i}\nabla - e \vec{A}\right)^{2} + e \phi + \mu B \right] \psi _{-}\left(\vec{r},t\right)
\end{array}
</math>
</equation>

<li>
Funkcja falowa cząstki posiadającej spin powinna zależeć nie tylko do zmiennych przestrzennych, ale również od dyskretnej zmiennej spinowej, opisującej wartość rzutu spinu na dowolnie wybraną w przestrzeni oś. Funkcja taka, oznaczmy ją dalej przez <math>\psi \left(\vec{r},t,m_{s}\right)</math>, będzie zbiorem różnych funkcji numerowanych przez parametr <math>m_{s}</math> związany ze spinem. Operator spinu działając na funkcję falową, będzie działał jedynie na składowe spinowe.

<li>
Równanie (<xr id="uid35"> %i</xr>) nie jest dogodną formą opisu oddziaływania pola magnetycznego ze spolaryzowaną falą prawdopodobieństwa. W roku 1927 Pauli pokazał, jak z dwóch funkcji falowych, przypisanych dwóm stanom polaryzacyjnym cząstki zbudować wielkość wektorową. Pomijając skomplikowane przekształcenia matematyczne, podamy rozwiązanie do którego doszedł Pauli. Z dwóch składowych polaryzacyjnych funkcji falowej: <math>\psi \left(\vec{r},t\right)_{+}</math> i <math>\psi \left(\vec{r},t\right)_{-}</math>, można zbudować dwuwymiarowy wektor i wektor do niego sprzężony:

<equation id="uid38">
<math>
\begin{array}{l}
\psi \left(\vec{r},t\right) = \left[
\begin{array}{l}
\psi _{+}\left(\vec{r},t\right) \\
\\
\psi _{-}\left(\vec{r},t\right)
\end{array}
\right]\\
\\
\psi ^{*}\left(\vec{r},t\right) = \left[
\psi ^{*}_{+}\left(\vec{r},t\right), \psi ^{*}_{-}\left(\vec{r},t\right) \right]
\end{array}
</math>
</equation>

który spełnia następujące równanie falowe:

<equation id="uid39">
<math>
i \hbar \frac{\partial \psi \left(\vec{r},t\right)}{\partial t} = \left[ \frac{1}{2m} \left( \frac{\hbar }{i}\nabla - e \vec{A}\right)^{2} + e \phi (\vec{r}) - \mu \vec{B} \vec{\sigma } \right] \psi \left(\vec{r},t\right)
</math>
</equation>

gdzie:

<ul>

<li>
<math>\vec{B}</math> jest indukcją pola magnetycznego, zaś <math>\vec{\sigma }</math> jest wektorem zbudowanym z tzw. macierzy Pauliego <math>\sigma _{x}</math>, <math>\sigma _{y}</math>, <math>\sigma _{z}</math>:

</ul>

<equation id="uid41">
<math>
\vec{\sigma }=\left[\mathbf {\sigma }_{x},\mathbf {\sigma }_{y},\mathbf {\sigma }_{z}\right]
</math>
</equation>

<equation id="uid42">
<math>
\begin{array}{l}
\sigma _{x} =
\left[
\begin{array}{cc}
0 & 1\\
1 & 0
\end{array}
\right]\\
\\
\sigma _{y} =
\left[
\begin{array}{cc}
0 & -i\\
i & 0
\end{array}
\right]\\
\\
\sigma _{z} =
\left[
\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & -1
\end{array}
\right]
\end{array}
</math>
</equation>

Iloczyn wektora <math>\vec{\sigma }</math> oraz wektora <math>\vec{B}</math> wynosi:

<equation id="uid43">
<math>
\vec{B}\vec{\sigma } =
\left[
\begin{array}{cc}
B_{z} & B_{x} - iB_{y}\\
\\
B_{x} + iB_{y} & -B_{z}
\end{array}
\right]
</math>
</equation>

<li>
W roku 1928 Dirac podał równanie falowe dla relatywistycznej cząstki o spinie <math>\frac{1}{2}</math> poruszającej się w polu elektromagnetycznym.
Rozwiązanie równania Diraca dla elektronu doprowadziło do wniosku, że spin jest składową całkowitego momentu pędu cząstki, wnosząc do niego wkład równy <math>\frac{1}{2}\hbar </math>. Równanie Diraca przewiduje istnienie spinu jako efektu relatywistycznego.

<li>
Operatory składowych wektora spinu są następujące <ref name="bid3" />:

<equation id="uid46">
<math>
\begin{array} {l}
\hat{s}_{x} = \frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
0 & 1\\
1 & 0
\end{array}
\right]\\
\\
\hat{s}_{y} = \frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
0 & -i\\
i & 0
\end{array}
\right]\\
\\
\hat{s}_{z} = \frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & -1
\end{array}
\right]
\end{array}
</math>
</equation>

a zatem operator spinu jest równy:

<equation id="uid47">
<math>
\hat{S} = \frac{1}{2}\hbar \vec{\sigma }
</math>
</equation>

</ol>

Podsumowując, spin należy rozumieć w ramach Mechaniki Kwantowej jako wyraz istnienia stanów polaryzacyjnych funkcji falowej (w przypadku elektronu, protonu, neutronu i niektórych jąder będą to dwa stany polaryzacyjne). Spin jest własnością cząstek, taką samą jak np. masa lub ładunek, ale obserwowalną dopiero w eksperymentach ujawniających kwantową naturę materii. Spin jest także składową całkowitego momentu pędu, niezwiązaną z ruchem, można go zatem również interpretować jako własny (wewnętrzny) moment pędu cząstki.

===Spin i moment magnetyczny jądra atomowego===

Jądra atomowe zawierające nieparzystą liczbę protonów lub neutronów mają niezerowy własny moment pędu <math>\vec{I}</math> (spin) oraz związany z nim moment magnetyczny. Zgodnie z regułami opisu wielkości wektorowych w mechanice kwantowej, jednocześnie może być obserwowalna tylko długość wektora oraz wartość jednej z jego składowych (tzw. rzut tego wektora na wyróżnioną oś, nazywaną osią kwantowania). W przypadku wektora własnego momentu pędu jądra atomowego jego długość wynosi <ref name="bid3" />:

<equation id="uid49">
<math>
|\vec{I}| = h\sqrt{I\left(I+1\right)}
</math>
</equation>

gdzie:

<ul>

<li>
<math>I</math> oznacza liczbą kwantową o wartości całkowitej lub połówkowej.

</ul>

Składowa <math>z</math> momentu pędu wyraża się następującym wzorem <ref name="bid3" />:

<equation id="uid51">
<math>
I_{z} = m_{I}h, \textrm { } m_{I} = I,I-1,\dots ,I
</math>
</equation>

Możliwych jest zatem <math>2I+1</math> orientacji spinu jądra względem wyróżnionego kierunku, odpowiadających możliwym wartościom jądrowej magnetycznej liczby kwantowej <math>m_{I}</math>. W przypadku protonu (jądra atomu wodoru), mamy <ref name="bid3" />:

::<math>
\begin{array}{l}
I=1/2\\
\\
|\vec{I}| = \frac{\sqrt{3}}{2}\hbar \\
\\
(\vec{I})_{z} = \pm \frac{1}{2}\hbar \end{array}
</math>

Moment magnetyczny związany jest ze spinem następującą zależnością <ref name="bid3" />:

<equation id="uid52">
<math>
\vec{\mu }_{I} = \gamma \vec{I}
</math>
</equation>

Energia potencjalna oddziaływania momentu magnetycznego z polem magnetycznym wynosi:

<equation id="uid59">
<math>
V = -\vec{\mu }\cdot \vec{B}
</math>
</equation>

Zgodnie z prawami termodynamiki układ fizyczny dąży do stanu, w którym jego energia wewnętrzna osiągnie wartość minimalną.
Rozważmy pole <math>\vec{B}</math>, posiadające tylko składową wzdłuż osi <math>z</math> (czyli <math>\vec{B}_0 = \left[ 0, 0, B_0\right]</math>), układu odniesienia.
W przypadku protonu, posiadającego ładunek dodatni, kierunek momentu magnetycznego jest zgodny z kierunkiem jego własnego momentu pędu, a zatem również rzuty momentu magnetycznego i momentu pędu na oś <math>z</math> są równoległe. Orientacji momentu pędu zgodnej z kierunkiem pola <math>\vec{B}</math> będzie odpowiadać energia potencjalna:

::<math>
V = -\frac{1}{2}\hbar \gamma B_0
</math>

natomiast orientacji antyrównoległej:

::<math>
V = \frac{1}{2}\hbar \gamma B_0 </math>

Ustawienie najkorzystniejsze energetycznie odpowiada więc sytuacji, kiedy składowa <math>z</math> spinu ustawiona jest w równolegle do kierunku pola <math>\vec{B}_0</math> (magnetyczna liczba kwantowa <math>m_{I}=\frac{1}{2}</math>).

===Precesja spinu i momentu magnetycznego w stałym polu magnetycznym — opis kwantowy dla cząstki o spinie 1/2===

Ze względu na wysokie naturalne rozpowszechnienie wodoru w organizmach żywych, oddziaływanie spinu z polem magnetycznym omówimy na przykładzie protonu. Dodatkowo, aby uprościć problem, rozważmy proton mający stałe położenie w przestrzeni oraz pole magnetyczne <math>\vec{B}_{0}</math>, które ma niezerową składową tylko wzdłuż osi <math>z</math>, czyli <math>\vec{B}=\left[0, 0, B_{0}\right]</math>. W takim przypadku równanie Pauliego przybierze następującą postać:

<equation id="uid61">
<math>
\frac{\partial \psi \left(\vec{r},t\right)}{\partial t} = \left[\frac{1}{2m}\left(\frac{\hbar }{i}\nabla \right)^2 - \mu \vec{B}\vec{\sigma }\right]\psi \left(\vec{r},t\right)
</math>
</equation>

Powyższe równanie można rozwiązać metodą rozdzielenia zmiennych przestrzennych i spinowych <ref name="bid0" />:

<equation id="uid62">
<math>
\psi \left(\vec{r},t\right) = \psi _{r}\left(\vec{r},t\right)\chi \left(t\right)
</math>
</equation>

gdzie:

<ul>

<li>
<math>\psi _{r}\left(\vec{r},t\right)</math> — zależy wyłącznie od współrzędnych przestrzennych i czasu

<li>
<math>\chi \left(t\right)</math> — jest dwuskładnikowym spinorem.

</ul>

w wyniku podstawienia równania (<xr id="uid62"> %i</xr>) do równania (<xr id="uid61"> %i</xr>) uzyskujemy następujący układ dwóch niezależnych równań:

<equation id="uid65">
<math>
\begin{array}{l}
i\hbar \frac{\Delta \psi _{r}\left(\vec{r},t\right)}{\Delta t} = - \frac{\hbar ^{2}}{2m}\nabla ^{2}\psi \left(\vec{r},t\right) \\ \\
i\hbar \frac{\Delta \chi \left(t\right)}{\Delta t} = - \mu \vec{\sigma }\vec{B}\psi \left(\vec{t}\right)
\end{array}
</math>
</equation>

Interesuje nas ewolucja spinu, dlatego rozwiążemy dalej tylko równanie dla funkcji <math>\chi \left(t\right)</math>.
Podstawiając:

<equation id="uid66">
<math>
\vec{\sigma }\vec{B}=
\left[
\begin{array}{cc}
\mu B_{0} & 0 \\
0 & -\mu B_{0}
\end{array}
\right]
</math>
</equation>

do równania (<xr id="uid65"> %i</xr>), otrzymujemy:

<equation id="uid67">
<math>
i\hbar \frac{\Delta \chi \left(t\right)}{\Delta t} =
\left[
\begin{array}{cc}
\mu B_{0} & 0 \\
0 & -\mu B_{0}
\end{array}
\right]\chi \left(t\right)
</math>
</equation>

Jest to układ równań różniczkowych rzędu pierwszego o rozwiązaniach postaci:

<equation id="uid68">
<math>
\begin{array}{l}
\chi _{+}\left(t\right) = ae^{i\frac{\mu B_{0}}{\hbar }t}
\left[
\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}
\right]\\
\\
\chi _{-}\left(t\right) = be^{-i\frac{\mu B_{0}}{\hbar }t}
\left[
\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}
\right]
\end{array}
</math>
</equation>

Dokonajmy analizy jednostkowej uzyskanego rozwiązania.
Argument funkcji wykładniczej powinien być bezwymiarowy.
Wielkość <math>\mu B_{0}</math> ma wymiar energii, z kolei stała Planka ma wymiar <math>\left[\textrm {Js}\right]</math>, a zatem:

::<math>
\pm i\frac{\mu B_{0}}{\hbar } = \left[\frac{J}{Js}\right] = \left[\frac{1}{s}\right]
</math>

Oznaczmy dalej wielkość <math>\frac{\mu B_{0}}{\hbar }</math>, w następujący sposób:

<equation id="uid69">
<math>
\omega ^{\prime }_{0} = \frac{\mu B_{0}}{\hbar }
</math>
</equation>

Ostatecznie, otrzymane rozwiązanie możemy przedstawić w dwóch formach:

<equation id="uid70">
<math>
\chi \left(t\right) =
ae^{i\omega ^{\prime }_{0}t}\left[
\begin{array}{l}
1\\
0
\end{array}
\right]
+
be^{-i\omega ^{\prime }_{0}t}\left[
\begin{array}{l}
0\\
1
\end{array}
\right]
</math>
</equation>

lub

<equation id="uid71">
<math>
\chi \left(t\right) =
ae^{i\frac{E}{\hbar }t}\left[
\begin{array}{l}
1\\
0
\end{array}
\right]
+
be^{-i\frac{E}{\hbar }t}\left[
\begin{array}{l}
0\\
1
\end{array}
\right]
</math>
</equation>

gdzie:

<ul>

<li>
<math>E = \mu B_{0}</math>

</ul>

Jak można zauważyć, rozwiązaniem równania falowego (<xr id="uid65"> %i</xr>) jest funkcja:

<ul>

-
<li>
ortogonalna

-
<li>
ortonormalna, o ile zostanie spełniony warunek:

::<math>
\left|a\right|^{2} + \left|b\right|^{2} = 1
</math>

</ul>

Rozwiązanie to spełnia zatem postulaty mechaniki kwantowej dotyczące postaci funkcji falowej.
Wartości <math>\left|a\right|^{2}</math> i <math>\left|b\right|^{2}</math> można traktować jako prawdopodobieństwa znalezienia jądra atomowego w stanie odpowiednio o spinie skierowanym w górę i spinie skierowanym w dół.

Wyznaczymy teraz wartości oczekiwane operatora składowych spinu korzystając ze wzoru (<xr id="uid21"> %i</xr>).
Na początku uprościmy zapis funkcji falowej. Wprowadźmy skrócone oznaczenie:

::<math>
\begin{array}{l}
\alpha = ae^{i\omega ^{\prime }_{0}t}\\
\beta = be^{-i\omega ^{\prime }_{0}t}
\end{array}
</math>

umożliwiające zapis funkcji falowej w następującej formie

<equation id="uid75">
<math>
\chi \left(t\right) =
\alpha \left[
\begin{array}{l}
1\\
0
\end{array}
\right]
+
\beta \left[
\begin{array}{l}
0\\
1
\end{array}
\right]=
\left[
\begin{array}{l} \alpha \\
\beta \end{array}
\right]
</math>
</equation>

Składowa <math>z</math> operatora spinu

::<math>
\hat{C}\phi =\frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & -1
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\alpha \\
\beta \end{array}
\right]
= \frac{\hbar }{2}\left[
\begin{array}{c}
\alpha \\
-\beta \end{array}
\right]
</math>

::<math>
\phi ^{*}\hat{C}\phi = \frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
\alpha ^{*} & \beta ^{*}
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\alpha \\
-\beta \end{array}
\right] =
\frac{\hbar }{2}\left(
\begin{array}{cc}
\left|\alpha \right|^{2} - \left|\beta \right|^{2}
\end{array}
\right)
</math>

ostatecznie:

<equation id="uid76">
<math>
\left<\hat{s}_{z}\right> = \frac{\hbar }{2}\left(a^{2} - b^{2}\right)
</math>
</equation>

Składowa <math>x</math> operatora spinu

::<math>
\hat{C}\phi =\frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
0 & 1\\
1 & 0
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\alpha \\
\beta \end{array}
\right]
= \frac{\hbar }{2}\left[
\begin{array}{c}
\beta \\
\alpha \end{array}
\right]
</math>

::<math>
\phi ^{*}\hat{C}\phi = \frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
\alpha ^{*} & \beta ^{*}
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\beta \\
\alpha \end{array}
\right] =
\frac{\hbar }{2}\left(
\begin{array}{cc}
\alpha ^{*}\beta - \beta \alpha ^{*}
\end{array}
\right)
</math>

po podstawieniu za <math>\alpha </math> i <math>\beta </math> odpowiednich wyrażeń otrzymujemy:

<equation id="uid77">
<math>
\left<\hat{s}_{x}\right> = \hbar ab\cos \left(2\omega ^{\prime }_{0}t\right)
</math>
</equation>

Składowa <math>y</math> operatora spinu

::<math>
\hat{C}\phi =\frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
0 & -i\\
i & 0
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\alpha \\
\beta \end{array}
\right]
= i\frac{\hbar }{2}\left[
\begin{array}{c}
-\beta \\
\alpha \end{array}
\right]
</math>

::<math>
\phi ^{*}\hat{C}\phi = i\frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
\alpha ^{*} & \beta ^{*}
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
-\beta \\
\alpha \end{array}
\right] =
\frac{\hbar }{2}\left(
\begin{array}{cc}
-\alpha ^{*}\beta + \beta \alpha ^{*}
\end{array}
\right)
</math>

po podstawieniu za <math>\alpha </math> i <math>\beta </math> odpowiednich wyrażeń otrzymujemy:

<equation id="uid78">
<math>
\left<\hat{s}_{y}\right> = -\hbar ab\sin \left(2\omega ^{\prime }_{0}t\right)
</math>
</equation>

Podsumowując, otrzymaliśmy następujący układ równań na wartości oczekiwane składowych operatora spinu:
<equation id="uid79"><math>
\begin{array}{l}
<\hat{s}_{z}> = \frac{\hbar }{2}\left(a^{2} - b^{2}\right)\\
\\
<\hat{s}_{x}> = \hbar ab\cos \left(2\omega^{\prime }_{0}t\right)\\
\\
<\hat{s}_{y}> = -\hbar ab\sin \left(2\omega^{\prime }_{0}t\right)
\end{array}
</math>
</equation>

Z powyższych równań możemy wyciągnąć następujące, ważne wnioski:

<ol>

<li>
Jeżeli <math>\left|a\right|^{2}=1</math> i <math>\left|b\right|^{2}=0</math> lub gdy <math>\left|a\right|^{2}=0</math> i <math>\left|b\right|^{2}=1</math>, czyli gdy spin jest zawsze ustawiony w górę lub w dół, to wtedy wartość oczekiwana składowej <math>z</math> operatora spinu wynosi <math>\frac{\hbar }{2}</math>, natomiast znikają wartości oczekiwane składowych w płaszczyźnie <math>x-y</math>.

<li>
Jeżeli <math>\left|a\right|^{2}=\left|b\right|^{2}</math>, czyli gdy tak samo prawdopodobne jest ułożenie spinu równoległe jak i antyrównoległe do osi <math>z</math>, to wtedy znika wartość oczekiwana składowej <math>z</math> operatora spinu, natomiast wartości oczekiwane w płaszczyźnie <math>x-y</math> są równe <math>\frac{\hbar }{2}</math>.

<li>
Wartość oczekiwana operatora spinu wzdłuż osi <math>z</math> jest stała w czasie, natomiast wartości oczekiwane w płaszczyźnie <math>x-y</math> wirują z częstością <math>2\omega ^{\prime }_{0}</math>. Częstość <math>\omega _{0}=2\omega ^{\prime }_{0}</math> jest nazywana częstością precesji Larmour. W przypadku protonu lub neutronu częstość Larmour można zapisać również w postaci:

::<math>
\omega _{0}=2\omega ^{\prime }_{0} = 2\frac{\mu B_{0}}{\hbar } = 2\gamma B_{0}I = \gamma B_{0}
</math>

gdzie <math>\gamma </math> jest współczynnikiem giromagnetycznym odpowiadającym poszczególnym cząstkom, zaś <math>I=\frac{1}{2}</math>
czyli:

<equation id="uid83">
<math>
\omega _{0} = \gamma B_{0}
</math>
</equation>

<li>
Wartości oczekiwane operatora spinu: <math>\left<\hat{s}_{x}\right></math>, <math>\left<\hat{s}_{y}\right></math> i <math>\left<\hat{s}_{z}\right></math> możemy interpretować jako precesję spinu. Możemy również utworzyć wektor: <math>\left<\hat{s}\right> = \left[\left<\hat{s}_{x}\right>, \left<\hat{s}_{y}\right>, \left<\hat{s}_{z}\right>\right]</math>

<li>
Precesja spinu następuje zgodnie z ruchem wskazówek zegara, a więc wektor prędkości kątowej jest skierowany antyrównolegle do osi <math>z</math>. W przypadku, kiedy cząstka lub jądro charakteryzuje się ujemnym momentem magnetycznym, precesja następuje w kierunku przeciwnym do wskazówek ruchu zegara<ref><math>\cos \left(-2\omega _{0}\right)=\cos \left(2\omega _{0}\right)</math>, zaś <math>\sin \left(-2\omega _{0}\right)=-\sin \left(2\omega _{0}\right)</math></ref>

::<math>
\begin{array}{l}
\hat{s}_{z} = \frac{\hbar }{2}\left(a^{2} - b^{2}\right)\\
\\
\hat{s}_{x} = \hbar ab\cos \left(2\omega _{0}t\right)\\
\\
\hat{s}_{y} = \hbar ab\sin \left(2\omega _{0}t\right)
\end{array}
</math>

</ol>

===Rezonans magnetyczny, ujęcie kwantowe===

Pod wpływem zewnętrznego pola magnetycznego <math>\vec{B}_{0}</math> spiny jądrowe zostają uporządkowane, w wyniku czego w badanej próbce powstaje
makroskopowy moment magnetyczny (namagnesowanie). Niestety, obserwowalna może być tylko składowa namagnesowania równoległa do pola <math>\vec{B}_{0}</math>.Stosowane w diagnostyce MRI pola <math>\vec{B}_{0}</math> mają wartości od <math>0.5</math> do <math>4</math>T. Wytworzone przez takie pole namagnesowanie jest niewielkie i szybko zanika wraz z odległością.
Zarejestrowanie na tle silnego pola <math>\vec{B}_{0}</math> miliony razy słabszego namagnesowanie jest niezwykle trudne. Wiemy jednak, zgodnie z prawem Faradaya, że statyczne pole magnetyczne nie indukuje pola elektrycznego. Aby wyindukować pole elektryczne, potrzebna jest zmiana strumienia pola magnetycznego. Gdybyśmy potrafili w jakiś sposób wpłynąć na kierunek wytworzonego w próbce namagnesowania lub jego wielkości, moglibyśmy mierzyć sygnał elektryczny z nim związany np. przy pomocy cewek, podczas gdy pole <math>\vec{B}_{0}</math> przez taką cewkę nie byłoby rejestrowane.

[[Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metodą_Magnetycznego_Rezonansu_Jądrowego#Zmiana_orientacji_wektora_namagnesowania._Magnetyczny_Rezonans_J.C4.85drowy|W rozdziale o zmianie orientacji wektora namagnesowania]] podaliśmy wzór, z których wynikało, iż obsadzenie stanów związanych ze spinem jądra atomowego wpływa na składowe wektora wartości oczekiwanej momentu magnetycznego. Powstaje zatem pytanie, w jaki sposób zaburzyć powstałą pod wpływem pola <math>\vec{B}_{0}</math> równowagę. Jak przenieść cześć jąder z podstawowego poziomu energetycznego, do stanu wzbudzonego? Odpowiedz w ramach teorii pół-klasycznej, została podana w rozdziale [https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/action/edit/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metod%C4%85_Magnetycznego_Rezonansu_J%C4%85drowego?section=8].
Przypominamy, że próbkę trzeba umieścić w dodatkowym, słabym, zmiennym w czasie polu magnetycznym, mającym niezerowe składowe tylko w płaszczyźnie <math>x-y</math>, które oznaczymy jako <math>\vec{B}_{1}\left(t\right)</math>. Sprawdzimy jednak, jakie są konsekwencje
umieszczenia próbki w takim polu. Całkowite pole magnetyczne, w którym znajduje się badana próbka wynosi:

<equation id="uid2">
<math>
\vec{B}\left(t\right) = \vec{B}_{0} + \vec{B}_{1}\left(t\right)
</math>
</equation>

gdzie:

<ul>
<dt>

<li>
<math>\vec{B}_{0} = \left[0,0, B_{0}\right]</math>

<dt>

<li>
<math>\vec{B}_{1}\left(t\right) = \left[B_{1}\cos \left(\omega t\right),-B_{1}\sin \left(\omega t\right),0\right]</math>

</ul>

Podstawiając wzór (<xr id="uid2"> %i</xr>) do wzoru
(<xr id="uid61"> %i</xr>), oraz przyjmując zgodnie ze
wzorem (<xr id="uid38"> %i</xr>), że poszukujemy rozwiązania postaci:

<equation id="uid5">
<math>
\chi \left(t\right) =
\left[
\begin{array}{l}
\chi _{1}\left(t\right) \\
\chi _{2}\left(t\right)
\end{array}
\right] =
\chi _{1}\left(t\right)\left[
\begin{array}{l}
1\\
0
\end{array}
\right]
+
\chi _{2}\left(t\right)\left[
\begin{array}{l}
0\\
1
\end{array}
\right]
</math>
</equation>

otrzymujemy następujący układ równań:

<equation id="uid6">
<math>
\begin{array}{l}
i\frac{d\chi _{1}\left(t\right)}{dt} =
-\frac{\mu }{\hbar }\left(B_{1}e^{i\omega t}\chi _{2}\left(t\right) +
B_{0}\chi _{1}\left(t\right)\right)\\
\\
i\frac{d\chi _{2}\left(t\right)}{dt} =
-\frac{\mu }{\hbar }\left(B_{1}e^{-i\omega t}\chi _{1}\left(t\right) +
B_{0}\chi _{2}\left(t\right)\right)
\end{array}
</math>
</equation>

Domyślamy się, że rozwiązaniem powyższego układu równań będą funkcje:

<equation id="uid7">
<math>
\begin{array}{l}
\chi _{1}\left(t\right) = ae^{i\left(\omega + \omega _{r}\right)t}\\
\\
\chi _{2}\left(t\right) = be^{i\omega _{r} t}
\end{array}
</math>
</equation>

Wstawienie równań (<xr id="uid7"> %i</xr>) do
(<xr id="uid6"> %i</xr>) daje jednorodne równanie
macierzowe:

<equation id="uid8">
<math>
\underbrace{\left[
\begin{array}{cc}
\left(\frac{\mu B_{0}}{\hbar } - \omega - \omega _{r}\right) &
\frac{\mu B_{0}}{\hbar } \\
\\
\frac{\mu B_{0}}{\hbar } & -\left(\frac{\mu B_{0}}{\hbar } +
\omega _{r}\right)
\end{array}
\right]
}_{\Delta }
\left[
\begin{array}{c}
a \\
\\
b
\end{array}
\right] = 0
</math>
</equation>

które ma nietrywialnie rozwiązanie tylko wtedy, gdy znika wyznacznik
macierzy <math>\Delta </math>.
Warunek ten prowadzi do równania:

<equation id="uid9">
<math>
\omega _{r}^{2} + \omega \omega _{r} - \frac{\mu B_{0}}{\hbar }\left(\frac{\mu B_{0}}{\hbar } - \omega \right) -
\left(\frac{\mu B_{0}}{\hbar }\right)^{2} = 0
</math>
</equation>

Dozwolone wartości parametru <math>\omega _{r}</math> są zatem równe:

<equation id="uid10">
<math>
\omega _{r} = -\frac{\omega }{2} \pm \Omega </math>
</equation>

gdzie:

<equation id="uid11">
<math>
\Omega = \left[\left(\frac{\omega }{2} - \frac{\mu B_{0}}{\hbar }\right)^{2} + \left(\frac{\mu B_{1}}{\hbar }\right)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}
</math>
</equation>

Parametr <math>\Omega </math> nazywany jest częstością Rabiego.
Rozwiązanie ogólne np. dla <math>\chi _{2}\left(t\right)</math> będzie kombinacją
liniową dwóch składowych, odpowiadającym dwóm częstościom
(<xr id="uid11"> %i</xr>):

<equation id="uid12">
<math>
\chi _{2}\left(t\right) =
b_{1}e^{i\left(-\frac{\omega }{2}+\Omega \right)t} +
b_{2}e^{i\left(-\frac{\omega }{2}-\Omega \right)t}
</math>
</equation>

Przyjmijmy teraz, że w chwili czasu <math>t=0</math> proton znajduje się w stanie
podstawowym (czyli ma spin skierowany równolegle do pola <math>B_{0}</math>),

<equation id="uid13">
<math>
\left|\chi _{2}\left(t=0\right)\right|^{2} = 1
</math>
</equation>

wówczas:

<equation id="uid14">
<math>
b_{1} = -b_{2}
</math>
</equation>

Podstawiając (<xr id="uid12"> %i</xr>) do drugiego z równań
(<xr id="uid6"> %i</xr>) daje następującą postać funkcji
<math>\chi _{2}\left(t\right)</math>:

<equation id="uid15">
<math>
\chi _{2}\left(t\right) = i\frac{\mu B_{1}}{\hbar \Omega }e^{-\frac{i\omega t}{2}}sin\left(\Omega t\right)
</math>
</equation>

Rozwiązanie <math>\chi _{1}\left(t\right)</math>, odpowiadające szczególnej postaci
<math>\chi _{2}\left(t\right)</math> można otrzymać korzystając z drugiego z równań
(<xr id="uid6"> %i</xr>):

<equation id="uid16">
<math>
\chi _{1}\left(t\right) = e^{\frac{i\omega t}{2}}\cos \left(\Omega t\right) + \frac{i}{\Omega }\left(\frac{\omega }{2} - \frac{\mu B_{0}}{\hbar }\right)e^{\frac{i\omega t}{2}}sin\left(\Omega t\right)
</math>
</equation>

Podsumowując, otrzymaliśmy następujące rozwiązanie opisujące ewolucję
spinu protonu w polu magnetycznym <math>\vec{B}\left(t\right)</math>:

<equation id="uid17">
<math>
\begin{array}{l}
\chi \left(t\right) =
\left[
\begin{array}{l}
\chi _{1}\left(t\right) \\
\chi _{2}\left(t\right)
\end{array}
\right] =
\chi _{1}\left(t\right)\left[
\begin{array}{l}
1\\
0
\end{array}
\right]
+
\chi _{2}\left(t\right)\left[
\begin{array}{l}
0\\
1
\end{array}
\right]
\\
\\
\textrm {gdzie:}\\
\\
\chi _{1}\left(t\right) = e^{\frac{i\omega t}{2}}\cos \left(\Omega t\right) + \frac{i}{\Omega }\left(\frac{\omega }{2} -
\frac{\mu B_{0}}{\hbar }\right)e^{\frac{i\omega t}{2}}sin\left(\Omega t\right)
\\
\chi _{2}\left(t\right) = i\frac{\mu B_{1}}{\hbar \Omega }e^{-\frac{i\omega t}{2}}sin\left(\Omega t\right)\\
\end{array}</math>
</equation>

Obliczymy teraz prawdopodobieństwo znalezienia protonu w stanie o rzucie
spinu <math>-\frac{1}{2}</math> w chwili czasu <math>t</math>:

<equation id="uid18">
<math>
P_{-}\left(t\right) = \left|\chi _{2}\left(t\right)\right|^{2} =
\left(\frac{\mu B_{1}}{\hbar \Omega }\right)^{2}\sin ^{2}\left(\Omega t\right)
</math>
</equation>

Prawdopodobieństwo to oscyluje w czasie. Oczywiście prawdopodobieństwo
znalezienia protonu w stanie o rzucie spinu <math>-\frac{1}{2}</math>
jest równe <math>P_{+}\left(t\right) = 1 - P_{+}\left(t\right)</math>.
Przeanalizujmy otrzymany wynik. Amplituda oscylacji prawdopodobieństwa
zależy od częstości Rabiego:

::<math>
\Omega = \left[\left(\frac{\omega }{2} - \frac{\mu B_{0}}{\hbar }\right)^{2} + \left(\frac{\mu B_{1}}{\hbar }\right)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}
</math>

Jeżeli częstość <math>\omega </math> zmiennego pola magnetycznego będzie dowolnie
duża lub dowolnie mała, częstość Rabiego osiągnie znaczne wartości, a w
związku z tym prawdopodobieństwo przejścia jądra ze stanu o rzucie spinu
w górę do stanu o rzucie spinu w dół będzie zawsze niskie.
W momencie, gdy zostanie spełniony warunek:

<equation id="uid19">
<math>
\hbar \omega = 2\mu B_{0}
</math>
</equation>

przy jednoczesnym założeniu, że <math>B_{1}\ll B_{0}</math>, częstość Rabiego wyniesie:

::<math>
\Omega = \left(\frac{\mu B_{1}}{\hbar }\right)
</math>

a amplituda oscylacji prawdopodobieństwa osiąga maksymalną wartość:

<equation id="uid20">
<math>
P_{-}\left(t\right) = \sin ^{2}\left(\Omega t\right)
</math>
</equation>

Równanie (<xr id="uid19"> %i</xr>) określa tzw. warunek wystąpienia zjawiska
jądrowego rezonansu magnetycznego. Warto zauważyć, że energia pola
magnetycznego, jaką trzeba dostarczyć, aby uzyskać przejście jądra ze
stanu o rzucie spinu <math>\frac{1}{2}</math> do stanu o rzucie spinu
<math>-\frac{1}{2}</math> jest równa różnicy energii poziomów energetycznych
protonów umieszczonych w zewnętrznym polu <math>B_{0}</math>, bowiem:

<equation id="uid21">
<math>
\begin{array}{c}
E_{+} = -\mu B_{0} \\
\\
E_{-} = \mu B_{0} \\
\\
E_{-} - E_{+} = 2\mu B_{0}\\
\end{array}
</math>
</equation>

Jak wiemy, częstość precesji Larmour jest równa <math>\frac{2\mu B_{0}}{\hbar}</math>, a zatem
warunek rezonansowy możemy zapisać również w postaci:

<equation id="uid22">
<math>
{\omega = \omega _{0}}
</math>
</equation>

Prawdopodobieństwo przejścia jądra protonu ze stanu o rzucie spinu
<math>\frac{1}{2}</math> do stanu o rzucie <math>-\frac{1}{2}</math>, równe <math>50\%</math> zostanie
osiągnięte po czasie:

<equation id="uid23">
<math>
\sin ^{2}\left(\Omega t\right) = \frac{1}{2}
</math>
</equation>

czyli:

<equation id="uid24">
<math>
\sin \left(\Omega t\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}
</math>
</equation>

skąd dostajemy:

<equation id="uid25">
<math>
{t = \frac{\pi }{4\Omega }}
</math>
</equation>

Jest to tzw. impuls <math>\pi </math> — zastosowanie zmiennego pola magnetycznego o
takim czasie trwania impulsu doprowadzi do zaniku namagnesowania
podłużnego, powstanie natomiast namagnesowanie poprzeczne, co dokładniej
omówimy w dalszej części rozdziału.

Z kolei przejścia protonu do stanu o wyższej energii nastąpi po czasie:

<equation id="uid26">
<math>
{t = \frac{\pi }{2\Omega }}
</math>
</equation>

Jest to tzw. impuls <math>\frac{\pi }{2}</math>, powodujący zmianę orientacji spinu
protonu w zewnętrznym polu magnetycznym.

Znaleźliśmy zatem sposób na zmianę orientacji spinu, a w związku z tym i
namagnesowania.
W warunkach rezonansu funkcja falowa spinu wyraża się następującym wzorem:

<equation id="uid27">
<math>
\chi \left(t\right) = \cos \left(\Omega t\right)e^{\frac{i\omega t}{2}}
\left[
\begin{array}{l}
1\\
0
\end{array}
\right]
+ ie^{-\frac{i\omega t}{2}}sin\left(\Omega t\right)
\left[
\begin{array}{l}
0\\
1
\end{array}
\right]
</math>
</equation>

Korzystając ze wzoru na funkcję falową, podobnie jak w to uczyniliśmy w
rozdziale [https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/action/edit/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metod%C4%85_Magnetycznego_Rezonansu_J%C4%85drowego?section=36], możemy policzyć składowe wektora
wartości oczekiwanych operatora spinu. Wynoszą one:

<equation id="uid28">
<math>
\begin{array}{l}
\langle\hat{s}_{z}\rangle = \frac{1}{2}\hbar \cos \left(2\Omega t\right)\\
\\
\langle\hat{s}_{x}\rangle = \frac{1}{2}\hbar \sin \left(2\Omega t\right)\cos \left(2\omega _{0}t\right)\\
\\
\langle\hat{s}_{y}\rangle = -\frac{1}{2}\hbar \sin \left(2\Omega t\right)\sin \left(2\omega _{0}t\right)
\end{array}
</math>
</equation>

Z równań tych wynika, że w płaszczyźnie <math>x-y</math> wartość oczekiwana spinu
jest superpozycją dwóch rodzajów ruchów — szybkiego, z częstością
<math>2\omega _{0}</math> (częstością Larmour) oraz modulacji <math>2\Omega _{0}</math>,
natomiast składowa <math>z</math> wartości oczekiwanej momentu magnetycznego
odchyla się od kierunku zgodnego z polem <math>B_{0}</math> (równoległego do osi
<math>z</math>) w stronę kierunku przeciwnego do kierunku do pola <math>B_{0}</math>.

Ważne uwagi

<ol>

<li>
Zarówno w rozdziale [https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/action/edit/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metod%C4%85_Magnetycznego_Rezonansu_J%C4%85drowego?section=36], gdzie
opisywaliśmy precesję spinu w zewnętrznym polu magnetycznym, jak i w
rozdziale bieżącym, pominęliśmy w rozwiązaniach czynnik fazowy. Pełni on
jednak bardzo istotną role w opisie zjawiska NMR. W wyniku
wykonywania precesji w różnej fazie przez spiny jądrowe, zanika składowa
poprzeczna namagnesowania.

<li>
W przypadku wystąpienia rezonansu jądrowego, zewnętrzne pole
<math>\vec{B}_{1}\left(t\right)</math> oprócz indukowania przejść między poziomami
energetycznymi, powoduje również synchronizację składowych wartości
oczekiwanych spinu w płaszczyźnie <math>x-y</math>. Pół-klasycznym wytłumaczeniem
tego efektu zajmiemy się jeszcze w następnym rozdziale. Warto jednak już
w tym miejscu zapamiętać, iż procesy prowadzące do synchronizacji lub
desynchronizacji ruchu spinów zawierają niezwykle cenną informację
diagnostyczną.

</ol>

Podsumowując:

<ol>

<li>
W zewnętrznym, statycznym polu magnetycznym, skierowanym
wzdłuż osi <math>z</math>, spin protonu wykonuje ruch precesyjny z częstością
Larmour. Składowa <math>z</math> wartości oczekiwanej spinu jest stała w czasie,
składowe poprzeczne wykonują ruch wirowy w płaszczyźnie <math>x-y</math>.

<li>
Różnym ułożeniom spinu względem pola magnetycznego
odpowiadają różne energie potencjalne. W przypadku spinu równego
<math>\frac{1}{2}</math> istnieją dwa poziomy energetyczne, które będą obsadzane
przez jądra zgodnie z rozkładem Boltzmanna. Poziom odpowiadający
równoległemu rzutowi spinu na kierunek zewnętrznego pola magnetycznego,
jest korzystniejszy energetycznie, dlatego będzie obsadzany częściej.

<li>
Desynchronizacja ruchu wirowego wartości oczekiwanej spinów w
płaszczyźnie <math>x-y</math> uniemożliwia powstanie namagnesowania poprzecznego.
Obserwujemy tylko namagnesowanie podłużne.

<li>
Pod wpływem odpowiednio dobranego pola magnetycznego, można
doprowadzić do przejść między poziomami energetycznymi protonu. Jeżeli
energia kwantu promieniowania jest równa różnicy poziomów
energetycznych, proton absorbuje energię pola i przechodzi ze stanu o
podstawowego do stanu wzbudzonego. Następnie, po pewnym czasie pozbywa
się nagromadzonej energii, przechodząc z powrotem w stan podstawowy.
Przejścia te możliwe są tylko wtedy, kiedy kwant promieniowania ma
energię odpowiadającą częstości precesji Larmour spinu protonu w
zewnętrznym polu magnetycznym <math>B_{0}</math>.

<li>
Po pobudzeniu protonu impulsem <math>\frac{\pi }{2}</math> zanika
równowaga termodynamiczna w obsadzeniu stanów, a wraz z nią składowa <math>z</math>
wartości oczekiwanej spinu i związane nią namagnesowanie podłużne.

<li>
Jednocześnie, w wyniku synchronizacji w płaszczyźnie <math>x-y</math>
wartości oczekiwanej spinów tych jąder atomowych, które uległy przejściu
rezonansowemu, zaczyna powstawać namagnesowanie poprzeczne.

<li>
W trakcie przechodzenia protonów ze stanu podstawowego do
stanu wzbudzonego, obserwowane namagnesowanie podłużne zanika, podczas
gdy narasta namagnesowanie poprzeczne. Obserwujemy zatem efekt,
odchylania się wypadkowego namagnesowania od osi <math>z</math> w kierunku
płaszczyzny <math>x-y</math>.

<li>
W wyniku procesów prowadzących do rozpraszania nagromadzonej
przez proton energii oraz desynchronizacji ruchów precesyjnych zanika
namagnesowanie poprzeczne, natomiast odbudowuje się składowa podłużna
namagnesowania.

<li>
Zmianom kierunku i wielkości namagnesowania towarzyszy zmiana
indukcji pola elektrycznego, która może być rejestrowana przez cewki.
W szczególności, sygnał pochodzący od składowej poprzecznej
namagnesowania nosi nazwę sygnału FID (Free Induction Decay).

</ol>

==Terminy stosowane w diagnostyce MRI==
* '''Sekwencją''' nazywamy w badaniu MRI serię odpowiednio impulsów, zastosowaną w celu rejestracji danych pomiarowych i odtworzenia obrazu.
* '''RF — Radio Frequency''' to impuls generujący zmienne w czasie pole magnetyczne <math>\vec{B}_{1}</math>, pod wpływem którego jądra zajmują wyższe poziomy energetyczne związane ze spinem
* '''TR — Repetition Time''' jest to czas pomiędzy kolejnymi impulsami wzbudzającymi <math>\pi/2</math> (RF)
* '''TE — Echo Time''' jest to czas pomiędzy momentem wystąpienia impulsu pobudzającego <math>\pi/2</math> a momentem rejestracji sygnału echa spinowego.
* '''FA — Flip Angle''' to kąt o który ma być przekręcona magnetyzacja od osi <math>z</math> w kierunku płaszczyzny <math>x-y</math>. Zazwyczaj jest to kąt równy 90<math>^{o}</math>, jednakże w celu przyspieszenia badania, w niektórych sekwencjach stosuje się mniejsze kąty.
* '''TI — Inversion Time''' jest to czas pomiędzy impulsem pobudzającym <math>\pi</math> (zmiana orientacji spinu o 180<math>^{o}</math>) a impulsem pobudzającym <math>\pi/2</math>.
*'''NA or NEX Number of Acquisitions''' to liczba powtórzeń pomiaru. W celu uzyskania wysokiego SNR, pomiary można powtarzać wielokrotnie. Redukcja szumu maleje proporcjonalne do <math>\sqrt{\textrm{NA}}</math>.
----
<references/>