Brain-wiki - Wkład użytkownika [pl]

STATLAB/Zadanie domowe

2015-12-17T20:02:38Z

Rkus:

'''Filtracja sygnału'''

===Część 1===
W ośrodku badawczym testowano poprawność funkcjonowania pewnego urządzenia. Wiadomo, że urządzenie po podaniu pewnego sygnału wejściowego (pobudzenia) powinno generować sygnał wyjściowy (odpowiedź) o częstości 15 Hz. Rejestracja sygnału w trakcie testu miała następujących przebieg. Nagrywanie rozpoczęto z częstością próbkowania 256 Hz na 1000 ms przed podaniem pobudzenia. Następnie urządzenie zostało pobudzono przez kolejne 1000 ms. Po tym czasie zarejestrowano jeszcze kolejne 1000 ms sygnału. W ten sposób uzyskano sygnał o długości 3 sek, który zapisano w pliku o nazwie ‘signal_1.bin’. Niestety w trakcie eksperymentu zarejestrowano także zakłócenia. Twoim zadaniem jest oczyszczenie sygnału testowego z zakłóceń. W tym celu: 
a) Wczytaj plik signal_1.bin. Dane w nim są zapisane w formacie double. 
b) Wyrysuj periodogram sygnału i zidentyfikuj częstości, które pochodzą od zakłóceń. 
c) Dobierz filtry tak, aby jak najlepiej usunąć zakłócenia. 

===Częśc 2===

Plik ‘signal_2.bin’ zawiera sygnał spróbkowany częstością 256 Hz i zapisany w formacie double.
Wczytaj ten plik, następnie wyrysuj sygnał. Przefiltruj sygnał następujacymi filtrami dolnoprzepustowymi o częstości odcięcia 80 Hz i rzędzie 7.

a) Filtrem dolnoprzepustowym butter. 
b) Filtrem dolnoprzepustowym cheby1 o maksymalnym poziomie tętnień w paśmie przenoszenia 5 dB. 

Sygnały przefiltruj z zerowym opóźnieniem fazowym. Narysuj przefiltrowane sygnały i znajdź przyczynę różnic w wynikach (pomocne może być w tym wyrysowanie widma amplitudowego sygnału oraz charakterystyki filtrów).

Obrazowanie:Obrazowanie Medyczne/Obrazowanie Metodą Magnetycznego Rezonansu Jądrowego

2015-10-31T21:08:14Z

Rkus:

Obrazowanie Metodą Magnetycznego Rezonansu Jądrowego
==Kilka uwag na temat Mechaniki Kwantowej, Mechaniki Klasycznej oraz nazewnictwa.==
Prawidłową nazwą metody diagnostyki medycznej, która będzie omawiana w tej części skryptu, jest Obrazowanie Magnetycznego Rezonansu Jądrowego (ang. ''Nuclear Magnetic Rezonanse Imaging'', NMRI). Niestety, większość społeczeństwa negatywnie kojarzy przymiotnik ''jądrowy''. W związku z tym, pomimo iż diagnostyka NMRI nie ma nic wspólnego ze zjawiskiem rozpadu promieniotwórczego i jest uznawana za całkowicie bezpieczną, usunięto z jej nazwy słowo "jądrowy" (nuclear). Obecnie metodę NMRI określa się jako ’’Magnetic Rezonanse Imaging – MRI", czyli Obrazowanie Rezonansu Magnetycznego. W żargonie stosowanym w niektórych placówkach medycznych nazwa ta uległa skróceniu do jednego wyrazu — Rezonans.
Metoda NMRI opiera się na zjawisku Magnetycznego Rezonansu Jądrowego które omówimy na gruncie Mechaniki Klasycznej z elementami Mechaniki Kwantowej. Zastosowanie modelu kwantowego prowadzi do pełniejszego w porównaniu z modelem klasycznym opisu zjawiska NMR, jednak ze względu na skomplikowaną postać samej Teorii Kwantów, model kwantowy może być trudny w zrozumieniu. Z kolei model klasyczno-kwantowy (nazywany również modelem pół-klasycznym), jest łatwiejszy do przyswojenia i dla pewnej klasy problemów uzyskuje się za jego pomocą te same wyniki co w modelu kwantowym.

==Spin==
Dokładny opis spinu, który jest wielkością kwantową, wykracza znacznie poza ramy materiału niniejszego skryptu. W tym miejscu natomiast ograniczymy się do podania kilku faktów, obserwacji, czy uwag, mając nadzieję, że wystarczą one czytelnikom do zrozumienia, czym jest spin, przynajmniej w takim stopniu, który ułatwi im przyswojenie wiadomości na temat Jądrowego Rezonansu Magnetycznego. Podstawowymi elementami, z których składa się materia, są cząstki takie jak elektron, proton oraz neutron, które posiadają spin równy <math>\frac{1}{2}</math>. Najbardziej rozpowszechnionym pierwiastkiem w organizmach żywych jest wodór, którego jądra — protony, odgrywają podstawową role w otrzymywaniu obrazów MR. W związku z tym omówienie pojęcia spinu ograniczymy do przypadku spinu równego <math>\frac{1}{2}</math>.
*Zjawisko takie jak: rozszczepienie w niejednorodnym polu magnetycznym wiązki atomowej na dwie składowe, zaobserwowane przez Sterna i Gerlacha w roku 1922, czy dubletowa struktura widm pierwiastków alkalicznych nie zostały wyjaśnione w ramach teorii budowy atomu zaproponowanej przez Bohra. Doświadczenie Sterna-Gerlacha, jak i badania spektroskopowe wskazywały na nieuwzględnienie w teorii Bohra pewnej wielkości fizycznej — nieznanego, dodatkowego stopnia swobody elektronu.
*W roku 1925 Uhlenbeck i Goudsmit wprowadzają pojecie spinu, jako wewnętrznego momentu pędu elektronu. Uhlenbeck i Goudsmit przyjęli, iż elektron wiruje<ref>W języku angielskim słowo spin oznacza wirowanie</ref> wokół własnej osi, co w naturalny sposób umożliwiło im wytłumaczenie istnienia dodatkowego stopnia swobody oraz wyjaśnienie dubletowej struktury widm pierwiastków alkalicznych. Obecnie wiadomo, iż obraz elektronu jako wirującej kulki zaproponowany przez Uhlenbecka i Goudsmita jest nieprawidłowy. W ramach Mechaniki Kwantowej, spin należy rozumieć jako wyraz istnienia stanów polaryzacyjnych funkcji falowej (w przypadku elektronu, protonu, neutronu i niektórych jąder będą to dwa stany polaryzacyjne). Spin jest własnością cząstek, taką samą jak np. masa lub ładunek, ale obserwowalną dopiero w eksperymentach ujawniających kwantową naturę materii (często można spotkać się ze stwierdzeniem, iż spin jest kwantową własnością cząstek). Spin jest także składową całkowitego momentu pędu, niezwiązana z ruchem, można go zatem również interpretować jako własny (wewnętrzny) moment pędu cząstki.

==Spin i moment magnetyczny jądra atomowego==
Jądra atomowe zawierające nieparzystą liczbę protonów lub neutronów mają niezerowy własny moment pędu <math>\vec{I}</math> (spin) oraz związany z nim moment magnetyczny. Zgodnie z regułami opisu wielkości wektorowych w mechanice kwantowej, jednocześnie może być obserwowalna tylko długość wektora oraz wartość jednej z jego składowych (tzw. rzut tego wektora na wyróżnioną oś, nazywaną osią kwantowania). W przypadku wektora własnego momentu pędu jądra atomowego jego długość wynosi <ref name="bid3">H.Haken H.Ch.Wolf "Atomy i kwanty"</ref>:
<equation id="1"><math>
|\vec{I}| = \hbar\sqrt{I\left(I+1\right)}
</math></equation>
gdzie:
<math>I</math> oznacza liczbą kwantową o wartości całkowitej lub połówkowej. 
Składowa <math>z</math> momentu pędu wyraża się następującym wzorem <ref name="bid3" />:
<equation id="2"><math>
\begin{array}{lc}
I_{z} = m_{I}\hbar, & m_{I} = \{I,I-1,\dots,-I\}
\end{array}
</math></equation>
Możliwych jest zatem <math>2I+1</math> orientacji spinu jądra względem wyróżnionego kierunku, odpowiadających możliwym wartościom jądrowej magnetycznej liczby kwantowej <math>m_{I}</math>. W przypadku protonu (jądra atomu wodoru), mamy:
<equation id="3"><math>
\begin{array}{l}
I=1/2\\
\\
|\vec{I}| = \frac{\sqrt{3}}{2}\hbar\\
\\
(\vec{I})_{z} = \pm\frac{1}{2}\hbar
\end{array}
</math></equation>
Moment magnetyczny związany jest ze spinem następującą zależnością:
<equation id="4"><math>
\vec{\mu}_{I} = \gamma\vec{I}
</math></equation>
Stała proporcjonalności <math>\gamma</math> to tzw. jądrowy stosunek giromagnetyczny. Również i w przypadku jądrowego momentu magnetycznego można zmierzyć jednocześnie tyko jego długość i rzut na wyróżnioną oś <math>z</math> wynoszący:
<equation id="5"><math>
\left(\vec{\mu}_{I}\right)_{z} = \gamma\vec{I}_{z}
</math></equation>
Na moment magnetyczny umieszczony w polu magnetycznym <math>\vec{B}</math>, działa pewien moment siły, starający się ustawić momentu magnetycznego zgodnie z kierunkiem pola <math>\vec{B}</math>. Energia potencjalna tego oddziaływania wynosi:
<equation id="6"><math>
V = -\vec{\mu}\cdot\vec{B}
</math></equation>
Zgodnie z prawami termodynamiki układ fizyczny dąży do stanu, w którym jego energia wewnętrzna osiągnie wartość minimalną.
Rozważmy pole <math>\vec{B}</math>, posiadające tylko składową wzdłuż osi <math>z</math> układu odniesienia, czyli <math>\vec{B} = \left[ 0, 0, B_{z}\right] </math>.
W przypadku protonu, posiadającego ładunek dodatni, orientacji momentu pędu zgodnej z kierunkiem pola <math>\vec{B}</math> będzie odpowiadać energia potencjalna:
<equation id="7"><math>
V = -\mu\cdot B_z=-\gamma I_{z}B_z=-\frac{1}{2}\gamma\hbar B_z
</math></equation>
natomiast orientacji antyrównoległej:
<equation id="8"><math>
V = \mu\cdot B_z=-\gamma I_{z}B_z=\frac{1}{2}\gamma\hbar B_z
</math></equation>
Ustawienie najkorzystniejsze energetycznie odpowiada więc sytuacji, kiedy składowa <math>z</math> spinu ustawiona jest w równolegle do kierunku pola <math>\vec{B}</math> (magnetyczna liczba kwantowa <math>m_{I}=\frac{1}{2}</math>).

==Moment magnetyczny w stałym zewnętrznym polu magnetycznym==

[[File:mri_basic.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:mri_basic"></figure>Ilustracja do klasycznego rozwiązania zagadnienia precesji momentu magnetycznego <math>\vec{\mu}</math> wokół wektora indukcji pola magnetycznego <math>\vec{B}</math>. Na rysunku obrano prawoskrętny układ współrzędnych. Na moment magnetyczny działa moment siły równy <math>\vec{N} = \vec{\mu}\times \vec{B}</math>. Momentu siły, zgodnie z zasadą wyliczania iloczynu wektorowego, jest skierowany w płaszczyznę rysunku, powodując ruch momentu magnetycznego w kierunku zaznaczonym strzałką. Jest to ruch w kierunku przeciwnym do kierunku obranego układu współrzędnych.]]
Rozwiązanie równań Schrödingera dla przypadku statycznego pola magnetycznego nie jest skomplikowanym zadaniem. Niemniej interpretacja fizyczna otrzymanych wyników może sprawić pewne trudności. Ponadto w obrazowaniu MRI stosuje się nie tylko stałe pole magnetyczne lecz również odpowiednie serie impulsów pobudzających (tzw. impulsów pobudzających <math>\pi/2</math> lub <math>\pi</math>). Okazuje się, że w wielu przypadkach, zadowalający opis zjawiska rezonansu magnetycznego, uzyskuje się stosując tzw. model wektorowy, który jest podobny do modelu opisującego precesję symetrycznego bączka w polu grawitacyjnym. 
Rozważmy moment magnetyczny znajdujący się w stałym polu magnetycznym o następującej indukcji:<math>\vec{B}_0 =\left[0, 0, B_{0}\right]</math>.
Szybkość zmian momentu pędu ciała (<math>\vec{I}</math>) jest równa momentowi siły (<math>\vec{N}</math>) działającemu na to ciało:
<equation id="9"><math>
\frac{d\vec{I}}{dt} = \vec{N}
</math></equation>
Moment magnetyczny, związany z wewnętrznym momentem pędu jądra, wynosi:
<equation id="10"><math>
\vec{\mu}_{I} = \gamma\vec{I}
</math></equation>
Po przekształceniu powyższego równania dostajemy:
<equation id="11"><math>
\vec{I} = \frac{\vec{\mu}_I}{\gamma}
</math></equation>
W polu magnetycznym <math>\vec{B}_0</math> na moment magnetyczny będzie działa moment siły:
<equation id="12"><math>
\vec{N} = \vec{\mu}_{I}\times\vec{B}_0
</math></equation>

Podstawiając równanie na moment pędu do równania na moment siły otrzymujemy zależność opisującą ruch momentu magnetycznego:
<equation id="eq:MRI_1"><math>
\frac{d\vec{\mu}}{dt} = \gamma\vec{\mu}\times\vec{B}_0
</math></equation>
ponieważ:
<equation id="13"><math>
\gamma\vec{\mu}\times\vec{B}_0 = \left[\gamma\mu_{y}B_{0},-\gamma\mu_{x}B_{0},0\right]
</math></equation>
ostatecznie równanie (<xr id="eq:MRI_1"/>) możemy zapisać jako układ trzech równań:

<equation id="eq:MRI_2"><math>
\begin{array}{l}
\frac{d\mu_{x}}{dt} = \omega_{0}\mu_{y}\\
\\
\frac{d\mu_{y}}{dt} = -\omega_{0}\mu_{x}\\
\\
\frac{d\mu_{z}}{dt} = 0

\end{array}
</math></equation>
gdzie: <math>\omega_{0}=\gamma B_{0}</math> 

Rozwiązanie równania na wielkość składowej ''z'' wektora momentu magnetycznego jest proste i wynosi:
<equation id="14"><math>
\mu_{z} = \mu^{0}_{z} = \mathrm{const}
</math></equation>
W celu uzyskania równań na dwie pozostałe składowe wyznaczmy druga pochodną pierwszego równania w układzie (<xr id="eq:MRI_2"/>) i podstawmy ją do równania drugiego we wspomnianym układzie:
<equation id="eq:MRI_3"><math>
\begin{array}{l}
\frac{d^2\mu_{x}}{dt^2} = \omega_{0}\frac{d\mu_{y}}{dt}\\
\\
\frac{d\mu_{y}}{dt} = -\omega_{0}\mu_{x}
\end{array}
</math></equation>
Podstawiając teraz drugie równanie z układu (<xr id="eq:MRI_3"/>) do równania pierwszego układu (<xr id="eq:MRI_3"/>) dostajemy:
<equation id="eq:MRI_4"><math>
\frac{d^2\mu_{x}}{dt^2} = -\omega^{2}_{0}\mu_x
</math></equation>
Jest to równanie oscylatora harmonicznego o następującym rozwiązaniu:
<equation id="eq:MRI_5"><math>
\mu_x = A\cos(-\omega_0 t + \phi_0)
</math></equation>
gdzie stałe ''A'' oraz <math>\phi_0</math> wynikają z warunków początkowych.
Widzimy, że składowa ''x'' momentu magnetycznego drga z częstością <math>-\omega_0</math>. Przyczyna pojawienia się znaku "-" w rozwiązaniu została wyjaśniona na <xr id="fig:mri_basic">rys. %i</xr>. Podstawiając równanie (<xr id="eq:MRI_5"/>) do drugiego równania w układzie (<xr id="eq:MRI_2"/>) dostajemy rozwiązanie na wielkość składowej ''y'' momentu magnetycznego:

<equation id="15"><math>
\mu_x = A\sin(-\omega_0 t + \phi_0)
</math></equation>

Ostatecznie otrzymaliśmy następujące rozwiązanie ruchu wektora momentu magnetycznego w stałym polu magnetycznym:
<equation id="eq:MRI_6"><math>
\begin{array}{l}
\vec{\mu}_z = \mu^{0}_{z} = \mathrm{const}\cdot\vec{e}_z\\
\\
\vec{\mu}_x =A\cos(-\omega_0 t + \phi_0)\cdot\vec{e}_x\\
\\
\vec{\mu}_y =A\sin(-\omega_0 t + \phi_0)\cdot\vec{e}_y\\
\end{array}
</math></equation>
gdzie: 
<math>A, \phi_0, \mu^{0}_{z} </math> wynikają z warunków początkowych. 
Na podstawie równania (<xr id="eq:MRI_6"/>) możemy wyciągnąć następujące wnioski:
* składowa ''z'' momentu magnetycznego (równoległa do osi ''z'' i pola magnetycznego) zachowuje stały kierunek w przestrzeni,
* składowa ''x'' oraz ''y'' momentu magnetycznego zakreśla w płaszczyźnie ''X-Y'' okrąg.

Złożenie ruchu momentu magnetyczne w płaszczyźnie ''X-Y'' ze stałym kierunkiem składowej ''z'' daje wypadkowy ruch nazywany precesją (w tym przypadku jest to precesja momentu magnetycznego wokół kierunku stałego pola magnetycznego). Wektor momentu magnetycznego wykonuje ruch precesyjny z prędkością kątową (odpowiadającej częstości kołowej):
<equation id="eq:larmour_kolowa"><math>\omega_0 = \gamma B_0</math></equation>
nazywaną częstością Larmour'a.
Składowe ''x'' oraz ''y'' momentu magnetycznego można zapisać w wygodniejszy sposób stosują formalizm liczb zespolonych.
Pomnóżmy trzecie równanie w układzie (<xr id="eq:MRI_6"/>) przez liczbę <math>i=\sqrt{-1}</math> i dodajmy do drugiego równania w układzie (<xr id="eq:MRI_6"/>):
<equation id="16"><math>
\begin{array}{l}
\vec{\mu}_z = \mu^{0}_{z} = \mathrm{const}\cdot\vec{e}_z \\
\\
\vec{\mu}_x + \vec{\mu}_y\cdot i =A\cos(-\omega_0 t + \phi_0)\vec{e}_x + A\sin(-\omega_0 t + \phi_0)\vec{e}_y\cdot i
\end{array}
</math></equation>
Wprowadźmy wielkość:
<equation id="eq:mu_T"><math>
\vec{\mu}_T=\vec{\mu}_x + \vec{\mu}_y \dot i = A\cdot e^{-\omega_0 t + \phi_0} \cdot \vec{e}_T
</math></equation>
Wektor <math>\vec{\mu}_T</math> będziemy od tej chwili nazywali składową poprzeczną (ang. '' '''t'''ransversal'') momentu magnetycznego.
Z kolei wektor <math>\vec{\mu}_z</math> będziemy dalej oznaczali symbolem <math>\vec{\mu}_L</math> i nazywali składową podłużną momentu magnetycznego (ang. '' '''l'''ongnitudal''). Innym dogodny sposób matematycznego opisu zjawiska precesji momentu magnetycznego, który będziemy stosowali, wykorzystuje macierz obrotu:

<equation id="eq:MRI_7"><math>
\begin{array}{l}
\left\{
\begin{array}{l}
\vec{\mu}_x =A\cos(-\omega_0 t + \phi_0)\cdot\vec{e}_x\\
\\
\vec{\mu}_y =A\sin(-\omega_0 t + \phi_0)\cdot\vec{e}_y\\
\\
\vec{\mu}_z = \mu^{0}_{z}\cdot\vec{e}_z \\
\end{array}
\right.
=
\left\{
\begin{array}{l}
\vec{\mu}_x =A\cos(-\omega_0 t)\cos(\phi_0)\cdot\vec{e_x} - A\sin(-\omega_0 t)\sin(\phi_0)\cdot\vec{e}_x\\
\\
\vec{\mu}_y =A\sin(-\omega_0 t)\cos(\phi_0)\cdot\vec{e_y} + A\cos(-\omega_0 t)\sin(\phi_0)\cdot\vec{e}_y\\
\\
\vec{\mu}_z = \mu^{0}_{z}\cdot\vec{e}_z \\
\end{array}
\right.
\rightarrow \\ \\

\left[
\begin{array}{l}
\vec{\mu}_x \\
\\
\vec{\mu}_y \\
\\
\vec{\mu}_z \\
\end{array}
\right] =

\left[
\begin{array}{ccc}
\cos(\omega_0 t) & \sin(\omega_0 t) & 0 \\
\\
-\sin(\omega_0 t) & \cos(\omega_0 t) & 0 \\
\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{l}
A\cos(\phi_0) \cdot \vec{e}_x \\
\\
A\sin(\phi_0) \cdot \vec{e}_y \\
\\
\mu_z^0 \cdot \vec{e}_z \\
\end{array}
\right]

\rightarrow\\ \\

\left[
\begin{array}{l}
\vec{\mu}_x \\
\\
\vec{\mu}_y \\
\\
\vec{\mu}_z \\
\end{array}
\right] =

P\cdot
\left[
\begin{array}{l}
\mu_T^0 \cos(\phi_0) \cdot \vec{e}_x\\
\\
\mu_T^0 \sin(\phi_0) \cdot \vec{e}_y\\
\\
\mu_L^0 \cdot \vec{e}_z\\
\end{array}
\right]\\
\end{array}
</math></equation>
gdzie: 
<math>\mu_L^0</math> — rzut momentu magnetycznego na os ''Z'' w chwili początkowej, 
<math>\mu_T^0</math> — rzut momentu magnetycznego na płaszczyznę ''X-Y'' w chwili początkowej, 
<math>\phi_0</math> — kąt jaki tworzy rzut momentu magnetycznego na płaszczyznę ''X-Y'' z osią ''X'' w chwili początkowej, 
<math>P = \left[
\begin{array}{ccc}
\cos(\omega_0 t) & \sin(\omega_0 t) & 0 \\
\\
-\sin(\omega_0 t) & \cos(\omega_0 t) & 0 \\
\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right] </math> — macierz obrotu.

 
We wzorze (<xr id="eq:MRI_7"/>) skorzystano z własności trygonometrycznych sinusa i cosinusa:
<equation id="17"><math>
\begin{array}{ccc}
\sin\left( a + b \right) &=& \sin(a) \cos(b) + \cos(a) \sin(b)\\
\cos\left( a + b \right) &=& \cos(a) \cos(b) + \sin(a) \sin(b)\\
\end{array}
</math></equation>

==Namagnesowanie próbki==
Namagnesowanie, to całkowity moment magnetyczny, przypadający na jednostkę objętości <math>\Delta V</math>:
<equation id="17"><math>
\vec{M} = \frac{\sum_{i=1}^{N}\vec{\mu}_i}{\Delta V}
</math></equation>
Rozłóżmy wektor namagnesowania na dwie składowe: tzw. podłużną (<math>\vec{M}_L</math>),to jest równoległą do kierunku pola magnetycznego oraz składową poprzeczną (<math>\vec{M}_T</math>), leżącą w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku pola magnetycznego:
<equation id="18"><math>
\vec{M} = \vec{M}_L + \vec{M}_T
</math></equation>

===Ile wynosi namagnesowanie poprzeczne próbki?===
Składową poprzeczną namagnesowania będziemy oznaczali wektorem <math>\vec{M}_T</math>. Załóżmy, że w próbce znajduje się ''N'' takich samych jąder posiadających moment magnetyczny. Momenty te mają losową orientację przestrzeni. W pewnej chwili, zostaje włączone stałe pole magnetyczne. Stałe ''A'' oraz <math>\phi_0</math> dla każdego momentu magnetycznego wyznaczamy na podstawie orientacji momentu magnetycznego w chwili łączenia pola. Dla każdego jądra magnetycznego stała ''A'' wynikająca z warunków początkowych jak to faza początkowa <math>\phi_0</math> jest dowolna. W związku z czym:
<equation id="19"><math>
\vec{M}_T = \frac{\sum_{i=1}^{N}\vec{\mu}_{T} \cdot \vec{e}_T }{\Delta V} = \frac{\sum_{i=1}^{N}A_i e^{-\omega_0 t + \phi_{0_i}} \cdot \vec{e}_T}{\Delta V} = 0
</math></equation>
gdzie <math>\vec{\mu}_T</math> to składowa poprzeczna wektoru momentu magnetycznego, zgodnie ze wzorem (<xr id="eq:mu_T"/>).

===Ile wynosi namagnesowanie próbki, czyli namagnesowanie podłużne?===
Przypominamy, że rozważamy cząstkę lub jądro atomowe, znajdujące się w zewnętrznym polu magnetycznym <math>\vec{B}_{0}</math>, skierowanym równolegle do osi <math>z</math>. Składowa <math>z</math> tego pola wynosi <math>B_{0}</math>. W celu uproszczenia problemu przyjmujemy, że cząstka lub jądro atomowe posiada spin równy <math>\frac{1}{2}</math> (np. proton). Moment magnetyczny cząstki lub jądra atomowego może ustawić się zgodnie lub przeciwnie do kierunku zewnętrznego pola magnetycznego. W szczególności składowa <math>z</math> momentu magnetycznego, przyjmie kierunek równoległy bądź antyrównoległy do pola <math>B_{0}</math>, skierowanego wzdłuż osi <math>z</math>. Jak wiemy, układy fizyczne dążą do osiągnięcia stanu, w którym uzyskają minimum energii. Energia potencjalna momentu magnetycznego w zewnętrznym polem magnetycznym wynosi:
<equation id="20"><math>
V = -\vec{\mu}\vec{B}
</math></equation>
Rozwijając powyższy wzór dla rozważanego przez nas przypadku, otrzymujemy:
<equation id="21"><math>
V = -u_{z}B_{0} = -\gamma(\vec{I})_{z}B_{0}=-\gamma\hbar m_{I}B_{0}
</math></equation>
gdzie: 
<math>m_{I}=\pm\frac{1}{2}</math> 
Rzutowi momentu magnetycznego równoległemu do osi <math>z</math>, czyli dla <math>m_{I}=\frac{1}{2}</math>, odpowiada energia potencjalna:
<equation id="22"><math>
V = -\gamma\frac{\hbar}{2}B_{0}
</math></equation>
natomiast rzutowi antyrównoległemu:
<equation id="23"><math>
V = \gamma\frac{\hbar}{2}B_{0}
</math></equation>
Jak widać ustawienie równoległe spinu i momentu magnetycznego protonu względem pola <math>B_{0}</math> jest korzystniejsze energetycznie niż ustawienie antyrównoległe. Należy się zatem spodziewać, iż w zewnętrznym polu magnetycznym częściej będzie występować sytuacja, kiedy moment magnetyczny ustawi się w kierunku tego pola. Namagnesowanie podłużne powstaje zatem w wyniku nierównomiernego obsadzenia przez cząstkę lub jądro stanów o spinie skierowanym zgodnie lub przeciwnie do kierunku oddziałującego pola magnetycznego. W celu obliczenia, jaka będzie różnica w ilości obsadzeń poszczególnych stanów energetycznych, skorzystamy z rozkładu Boltzmana.
Stosunek liczby cząstek obsadzających dwa stany energetyczne jest równa:
<equation id="eq:rozB"><math>
\frac{N_{+}}{N_{-}} = \frac{e^{-\frac{E_{+}}{k_{b}T}}}{e^{-\frac{E_{-}}{k_{b}T}}}
</math></equation>
gdzie: 
<math>T</math> — temperatura, 
<math>k_{b}</math> — stała Boltzmana, 
<math>N_{\pm}</math> — liczba cząstek o spinie skierowanym odpowiednio równolegle i antyrównolegle do pola <math>B_{0}</math>. 
Podstawiając do wzoru (<xr id="eq:rozB"/>) wyznaczone wcześniej energie potencjalne, odpowiadające dwóm różnym orientacjom spinu w polu <math>B_{0}</math> dostajemy: 
<equation id="24"><math>
\frac{N_{+}}{N_{-}} = \frac{e^{-\frac{-\frac{\hbar}{2}\gamma B_{0}}{k_{b}T}}}{e^{-\frac{\frac{\hbar}{2}\gamma B_{0}}{k_{b}T}}}=e^{\frac{\gamma\hbar B_{0}}{k_{b}T}}
</math></equation>
W temperaturze pokojowej, różnice obsadzeń poszczególnych poziomów energetycznych są nieznaczne, dlatego skorzystamy z przybliżenia:
<equation id="25"><math>
e^{\frac{\gamma\hbar B_{0}}{k_{b}T}}\approx 1+ \frac{\gamma\hbar B_{0}}{k_{b}T}
</math></equation>
Różnica w ilości obsadzeń poszczególnych poziomów energetycznych jest zatem równa:
<equation id="26"><math>
\Delta N = N_{+} - N_{-} = \frac{\gamma\hbar B_{0}}{k_{b}T}N_{-}\approx\frac{\gamma\hbar B_{0}}{k_{b}T}\frac{1}{2}N_{t}
</math></equation>
gdzie: 
<math>N_{t}</math> to liczba wszystkie jąder atomu wodoru w badanej próbce. 
Czynnik <math>\frac{\gamma\hbar B_{0}}{k_{b}T}</math> w temperaturze ciała ludzkiego <math>T=310K</math> i polu magnetycznym <math>B_{0}=1T</math> jest równy:
<equation id="27"><math>
\frac{\gamma\hbar B_{0}}{k_{b}T}\approx 7\cdot10^{-6}
</math></equation>
Wynik ten oznacza, że na każdy milion protonów o spinie skierowanym przeciwnie do pola magnetycznego, przypada milion plus siedem protonów o spinie skierowanym równolegle do pola i ta niewielka nadwyżka protonów w stanie o korzystniejszej energii jest odpowiedzialna za namagnesowanie próbki. Wartość nadwyżki wydaje się być niezwykle mała. Należy jednak pamiętać, że ilość protonów jaka występuje w organizmie ludzkim jest niezmiernie duża, co umożliwia rejestrację wytworzonego namagnesowania. Jeden gram wody zawiera <math>\frac{1}{8}</math> mola atomów wodoru. W jednym molu materii występuje <math>6.023\cdot10^{32}</math> cząsteczek, a zatem gram wody zawiera <math>N_{t} = 6.68\cdot10^{22}</math> atomów wodoru. Nadwyżka <math>\Delta N</math> wynosi zatem <math>\Delta N\approx 2.2\cdot10^{17}</math> protonów.
Całkowity podłużny moment magnetyczny wytworzony przez 1 gram wody wynosi:
<equation id="28"><math>
\left|\mu_{L}\right| = \Delta N\left<\mu_{z}\right>=\Delta N \frac{1}{2}\hbar\gamma = \Delta n\cdot 1.4\cdot10^{-26}\textrm{J/T} = 3.1\cdot10^{-9}\textrm{Am}^{2}
</math></equation>
Z kolei namagnesowanie to całkowity moment magnetyczny na jednostkę objętości. Jeden gram wody zajmuje objętość <math>10^{-6}\mathrm m^{-3}</math>
a zatem namagnesowanie wytworzone 2 jednym gramie wody w polu magnetycznym o wartości indukcji <math>B_{0}=1</math>T w temperaturze <math>T=310</math>K wyniesie:
<equation id="29"><math>
\left|M\right|=3.1\cdot10^{-3}\textrm{A/m}
</math></equation>

==Zmiana orientacji wektora namagnesowania. Magnetyczny Rezonans Jądrowy==
W poprzednim rozdziale dowiedzieliśmy się, że efektem wprowadzenia jąder w stałe pole magnetyczne jest wykonywanie przez momenty magnetyczne ruchu precesyjnego wokół kierunku wektora pola magnetycznego, skutkiem czego pojawia się namagnesowanie próbki. Niestety, pomiar wielkości uzyskanego w ten sposób namagnesowania jest niemożliwy do przeprowadzenia. Namagnesowanie ma ten sam kierunek co wywołujące je pole magnetyczne.
W celu pomiaru wielkości namagnesowania próbki niezbędne jest zmiana orientacji wektora <math>\vec{M}</math>. Dokonuje się to poprzez wprowadzenie próbki w dodatkowe, zmienne pole magnetyczne. Proces ten opiszemy w niniejszym rozdziale.

Ewolucję wektora namagnesowania można opisać równaniem podobnym do równania (<xr id="eq:MRI_1"/>):
<equation id="eq:MRI_7"><math>
\frac{d\vec{M}}{dt} = \gamma\vec{M}\times\vec{B}_0
</math></equation>
Rozważmy teraz konfigurację dwóch pól magnetycznych — pola statycznego i pola zmiennego w czasie, mającego niezerowe składowe tylko w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku pola stałego. Niech zmienne pole magnetyczne ma postać:
<equation id="eq:MRI_8"><math>
\vec{B}_1\left(t\right) = \left[2B_{1}\cos\left(-\omega_1 t\right),0,0\right]
</math></equation>
Indukcja zmiennego pola magnetycznego <math>\vec{B}_1</math> jest rzędu <math>10^{-5}</math> T, a zatem jest znacznie mniejsza od indukcji statycznego pola magnetycznego <math>\vec{B}</math>. Pole <math>\vec{B}_1</math> nazywane jest impulsem pobudzającym (ang. ''Radio Frequency'', RF), włączane jest bowiem na krótki okres czasu (co wyjaśnimy dalej). Impuls RF wytwarza się za pomocą cewek w postaci fali elektromagnetycznej.
Okazuje się, że pole opisane wzorem (<xr id="eq:MRI_7"/>) możemy rozłożyć na dwa pola, rotujące w płaszczyźnie ''x-y'' w przeciwne strony:
<equation id="29"><math>
\begin{array}{l}
\vec{B}_{1_R}\left(t\right) = \left[B_{1}\cos\left(-\omega_1 t\right),B_{1}\sin\left(-\omega_1 t\right),0\right]
\\
\vec{B}_{1_L}\left(t\right) = \left[B_{1}\cos\left(-\omega_1 t\right),-B_{1}\sin\left(-\omega_1 t\right),0\right]
\end{array}
</math></equation>
Pierwsza składowa pola <math>\vec{B}_{1_R}</math> rotuje przeciwnie do wskazówek zegara, zaś druga składowa <math>\vec{B}_{1_l}</math> w kierunku przeciwnym. W zależności od tego, jaką orientację posiadał jądrowy moment magnetyczny (równoległą lub antyrównoległą do osi <math>z</math>), jedna z tych składowych będzie drgała w kierunku ruchu precesyjnego spinu, druga zaś w kierunku przeciwnym. Składowa drgająca w kierunku przeciwnym będzie "''niewidoczna dla momentu magnetycznego''" i nie wpłynie na jego orientację. Pole drgające w kierunku przeciwnym do ruchu precesyjnego momentu magnetycznego wywoła pewne drugorzędowe efekty, które nie będą omawiane w niniejszej pracy. Ruch momentu magnetycznego, w przypadku superpozycji dwóch pól — statycznego <math>B_{0}</math> oraz zmiennego <math>B_{1}\left(t\right)</math> opisuje zatem następujące równanie:
<equation id="eq:MRI_9"><math>
\frac{d\vec{M}}{dt}=\gamma\vec{M}\times\left[\vec{B}_0 + \vec{B}_1\left(t\right)\right]
</math></equation>
gdzie: <math>\vec{B}_{0} = \left[0, 0, B_{0}\right]</math>, <math>B_{1}\left(t\right) = B_{1}\left[\cos\left(\omega_1 t\right),-sin\left(\omega_1 t\right),0\right])</math>. 
Wprowadźmy dwa układy współrzędnych: Układ Laboratoryjny ''U'' oraz układ ''U' '' obracający się z częstością zmiennego pola magnetycznego (<math>\omega_1</math>). Osie ''z'' oraz ''z' '' odpowiednio układu ''U'' oraz ''U' '' są do siebie równoległe. Stałe pole magnetyczne jest skierowane wzdłuż tych osi. Zapiszmy równanie (<xr id="eq:MRI_9"/>) w układzie ''U ' ''.
Zgodnie z zasadami transformacji wektorów pomiędzy różnymi układami współrzędnych, równanie (<xr id="eq:MRI_9"/>) w układzie ''U' ''będzie miało postać:
<equation id="a1"><math>
\left[\frac{d\vec{M}}{dt}\right]_{U'}=\vec{M}\times\left[\left(-\omega_1 + \gamma B_{0}\right)\vec{e}_z + \gamma B_{1}\vec{e}_x\right]
</math></equation>
które można również zapisać w formie:
<equation id="eq:rownaie_ruchu_w_wirujacym_ukladzie_odniesienia"><math>
\left[\frac{d\vec{M}}{dt}\right]_{U'}=\vec{M}\times\gamma\left[\left(B_{0} - \frac{\omega_1}{\gamma}\right)\vec{e}_{z'} + B_{1}\vec{e}_{x'}\right] = M\times\gamma\vec{B}_{eff}
</math></equation>
gdzie: <math>\vec{B}_{eff} = \left[\left(B_{0} - \frac{\omega_1}{\gamma}\right)\vec{e}_z + B_{1}\vec{e}_x\right]</math>. 

===Zjawisko Magnetycznego Rezonansu Jądrowego w ujęciu klasycznym===

Przeanalizujmy równanie (<xr id="eq:rownaie_ruchu_w_wirujacym_ukladzie_odniesienia"/>). W obracającym się układzie odniesienia jądrowy moment magnetyczny zachowuje stałe położenie. Wzdłuż osi ''z' '' układu ''U' '' obserwujemy składową statycznego pola magnetycznego <math>B_0\vec{e}_z</math> oraz pole <math>\frac{\omega_1}{\gamma}\vec{e}_z</math>, które powstaje w wyniku przejścia z układu laboratoryjnego ''U'' do układu ''U' ''. Dodatkowo w płaszczyźnie ''X'-Y' '' obserwujemy statyczne pole magnetyczne <math>\vec{B}_1\vec{e}_x</math>. W wyniku złożenia tych trzech pół, powstaje wypadkowe pole <math>\vec{B}_{eff}</math>, wokół którego moment magnetyczny zaczyna dokonywać precesji.
Rozpatrzmy następujące przypadki: 
1. Częstość <math>\omega_1</math> wirującego pola <math>\vec{B}_1</math> jest bardzo niewielka (<math>\omega_1\approx0</math>). 
: Przypominamy, że <math>B_0>>B_1</math>, wtedy: 
: <math>\vec{B}_{eff} = B_{0}\vec{e}_z</math>, 
: innymi słowy, dodatkowe, rotujące pole magnetyczne nie wpływa na orientację momentów magnetycznych oraz namagnesowania.
2. Częstość <math>\omega_1</math> wirującego pola <math>\vec{B}_1</math> spełniona warunek <math>\frac{\omega_1}{\gamma}>>B_0)</math>, wtedy: 
: Przypominamy, że <math>B_0>>B_1</math> i wtedy: 
: <math>\vec{B}_{eff} = -\frac{\omega_1}{\gamma}\vec{e}_z</math> 
: czyli zjawisko precesji momentów magnetycznych nadal odbywa się wokół osi ''z' '', z tą różnicą, iż ulega zmianie kierunek precesji, zaś dodatkowe, rotujące pole magnetyczne nie wpływa na orientację momentów magnetycznych oraz namagnesowania <math>\vec{M}</math>.
3. Częstość rotującego pola magnetycznego <math>\vec{B}_1</math> spełnia warunek <math>\omega_1 = \gamma B_{0}</math>, wtedy: 
: <math>\vec{B}_{eff} = B_1\vec{e}_x</math>, 
: co oznacza, że wektor namagnesowania zaczyna wykonywać ruch precesyjny wokół pola magnetycznego <math>B_1\vec{e}_x</math>. Ponownie : przypominamy, że <math>B_1<<B_0</math>. Jak widać, przy pomocy pola magnetycznego o niewielkiej indukcji, lecz odpowiednio dobranej częstości, możliwa jest zmiana orientacji wektora namagnesowania. Jest to zjawisko '''Magnetycznego Rezonansu Jądrowego'''. Występowanie w nazwie zjawiska termin ''rezonans'' (kojarzony najczęściej z obwodami elektrycznymi), jest jak najbardziej uzasadnione, ponieważ za pomocą niewielkiego zaburzenia o periodycznym charakterze (ale odpowiednio dobranej częstości), doprowadziliśmy do znaczących zmian w układzie. Częstość ruchu precesyjnego wektora namagnesowania wokół pola <math>\vec{B}_1</math> wynosi:
<equation id="30"><math>
\Omega = \gamma B_1
</math></equation>
: Częstość <math>\Omega</math> jest nazywana częstością Rabbiego. W trakcie czasu <math>\tau></math> namagnesowanie zakreśli kąt <math>\Theta</math> równy:
<equation id="1b"><math>
\Theta = \Omega\tau
</math></equation>
Podsumowując, po wprowadzeniu próbki w stałe pole magnetyczne o wartości indukcji ''B_0'', momenty magnetyczne poszczególnych jąder zaczynają : wykonywać ruch precesyjny z częstością Larmour'a <math>\omega_0=\gamma\ B_0</math>. Pojawia się wypadkowe namagnesowanie próbki w kierunku : : stałego pola magnetycznego. Wprowadzając dodatkowe pole magnetyczne o wartości indukcji <math>B_1</math>, wirujące w płaszczyźnie prostopadłej do pola <math>B_0</math>, możliwa jest zmiana orientacji wektora namagnesowania, o ile częstość wirowania pola <math>\vec{B}_1</math> jest równa częstości <math>\omega_0</math> precesji Larmour'a. 
Podsumowując: 
# Pod wpływem zewnętrznego, statycznego pola magnetycznego, skierowane wzdłuż osi <math>z</math> spiny wykonują precesję. Składowa <math>z</math> wartości oczekiwanej spinu jest stałą w czasie, składowe poprzeczne wykonują ruch wirowy w płaszczyźnie <math>x-y</math>.
# Różnym ułożeniom spinu względem pola magnetycznego odpowiadają różne energie potencjalne. W przypadku spinu równego <math>\frac{1}{2}</math> istnieją dwa poziomy energetyczne, które będą obsadzane przez jądra zgodnie z rozkładem Bolzmana. Poziom związany z równoległym do zewnętrznego pola magnetycznego rzutem spinu jest korzystniejszy energetycznie, dlatego będzie obsadzany częściej.
#Desynchronizacja ruchu wirowego wartości oczekiwanej spinów w płaszczyźnie <math>x-y</math> uniemożliwi powstanie namagnesowania poprzecznego. Obserwujemy tylko namagnesowanie podłużne.
# Pod wpływem odpowiednio dobranego pola magnetycznego, można doprowadzić do przejść rezonansowych. Jądro mające spin w korzystniejszym stanie energetycznym, przejdzie do stanu, o wyższej energii związanej z oddziaływaniem spinu z polem magnetycznym. Zanika równowaga termodynamiczna w obsadzeniu stanów, a wraz z nią składowa <math>z</math> wartości oczekiwanej spinu i związane nią namagnesowanie podłużne.
# Jednocześnie, w wyniku synchronizacji w płaszczyźnie <math>x-y</math> wartości oczekiwanej spinów tych jąder atomowych, które uległy przejściu rezonansowemu, zaczyna powstawać namagnesowanie poprzeczne.
# Obserwowane namagnesowanie podłużne zanika, podczas gdy narasta namagnesowanie podłużne. Obserwujemy zatem efekt, odchylania się namagnesowania od osi <math>z</math> w kierunku płaszczyzny <math>x-y</math>.
# Po pewnym czasie namagnesowanie podłużne zanika, a namagnesowanie poprzeczne osią maksymalną wartość.
# Zmianom kierunku i wielkości namagnesowania towarzyszy zmiana indukcji pola elektrycznego, która może być rejestrowana przez cewki.

===Typowe wartości częstości Larmour'a oraz częstości Rabbiego===
Opisując zmiany wielkości fizycznych w czasie niejednokrotnie posługujemy się częstością wyrażaną w Hz. W takim przypadku wzór: (<xr id="eq:larmour_kolowa"/>) przyjmie nastepującą postać:
<equation id="31"><math>
f = \frac{\gamma}{2\pi}B_0
</math></equation>
Z tego względu, częstą praktyką podawanie jest w tablicach fizycznych stałej <math>\frac{\gamma}{2\pi}</math> zamiast samej wartości współczynnika giromagnetycznego γ.
<figure id="fig:spiny">
<caption>Wartości współczynników giromagnetyczne oraz spinów wybranych jąder atomowych</caption>
{| class="wikitable"
! Jądro
! Spin
! <math>\frac{\gamma}{2\pi}</math> <math>\left[\frac{\textrm{MHz}}{\textrm{T}}\right]</math>.
|-
| <math>^1H</math>
| <math>\frac{1}{2}</math>
| 42,58
|-
| <math>^{13}C</math>
| <math>\frac{1}{2}</math>
| 10,71
|-
| <math>^{14}N</math>
| <math>1</math>
| 3,08
|-
| <math>^{17}O</math>
| <math>\frac{1}{2}</math>
| 42,58
|-
| <math>^{23}Na</math>
| <math>\frac{3}{2}</math>
| 11,27
|-
|-
| <math>^{39}K</math>
| <math>\frac{3}{2}</math>
| 1,99
|-
|-
| <math>^{43}Ca</math>
| <math>\frac{7}{2}</math>
| 2,86
|-
|}
</figure>
Jak można zauważyć, największą wartością momentu magnetycznego charakteryzują się jądra atomu wodoru, czyli protony. Częstość precesji Larmour'a dla protonów umieszczonych w polu magnetycznym o indukcji <math>B_0=1</math> T osiągnie wielkość:
<equation id="32"><math>
f_0 = \frac{\gamma}{2\pi} B_0 = 42,58 \left[\frac{\textrm{MHz}}{T}\right] \cdot \textrm{[T]} = 42,58 \textrm{MHz}
</math></equation>
Dodatkowe, zmienne pola magnetyczne <math>\vec{B}_1</math>, stosowane do zmiany orientacji wektora namagnesowania, mają niewielkie wartości, rzędu <math>10^{-5}</math>T.
Po wprowadzeniu próbki zawierającej jądra atomu wodoru w dodatkowe pole magnetyczne <math>\vec{B}_1</math>, wirujące w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku pola statycznego, namagnesowanie zaczyna wykonywać obrót w płaszczyźnie równoległej do kierunku pola statycznego z częstością Rabbiego równą:
<equation id="33"><math>
f_1 = \frac{\gamma}{2\pi} B_1 = 42,58 \left[\frac{\textrm{MHz}}{T}\right] \cdot 10^{-3} \textrm{[T]} = 0.0580 \textrm{MHz}
</math></equation>

===Impulsy <math>\pi</math> oraz <math>\frac{\pi}{2}</math>===
Jak dowiedzieliśmy się w poprzednich rozdziałach, przy pomocy rotującego pola magnetycznego o odpowiednio dobranej częstości, możemy zmienić orientacje wektora namagnesowania. Jest to o tyle ważne, iż wektor ten wywołuje pole magnetyczne dużo mniejsze z w porównaniu do wartości pola statycznego <math>\vec{B}_0</math>, do którego jest równoległy. Uniemożliwia to pomiar wartości magnetyzacji próbki. Zmianę orientacji wektora namagnesowania określa się za pomocą kąta, o jaki odchyla się on od kierunku statycznego pola magnetycznego <math>\vec{B}_0</math>, które leży wzdłuż osi ''Z'' przyjętego przez nas układu współrzędnych. Kąt ten można wyliczyć za pomocą wzoru na częstość Rabbiego. Jeśli wektor namagnesowania w trakcie rezonansu wykonuje precesję wokół pola <math>B_1</math> z częstością:
<equation id="33"><math>
\Omega = \gamma B_1
</math></equation>
to w czasie τ zakreśli on kąt:
<equation id="34"><math>
\Theta = \Omega\cdot\tau = \gamma B_1\tau
</math></equation>
Szczególną rolę w diagnostyce MRI odgrywają obroty wektora namagnesowania o kąt <math>\Theta = \frac{\pi}{2}</math> oraz <math>\Theta = \pi</math>. Pole magnetyczne, wywołujące takie zmiany nazywamy odpowiednio impulsami <math>\frac{\pi}{2}</math> oraz <math>\pi</math>.
Czas trwania tych impulsów możemy łatwo oszacować. Przyjmując wielkość indukcji pola <math>B_1</math> na <math>10^{-5}</math> T oraz współczynnik giromagnetyczny dla protonów, dostajemy:
* dla impulsu <math>\frac{\pi}{2}</math>, <math>\tau = \frac{\Theta}{\gamma B_1} = \frac{\frac{\pi}{2}}{2\pi\cdot 42,577 \left[\frac{\textrm{MHz}}{\textrm{T}}\right]\cdot 10^{-5}\textrm{T}}\approx 580\mu s</math>
* dla impulsu <math>\pi</math>, <math>\tau = \frac{\Theta}{\gamma B_1} = \frac{\pi}{2\pi\cdot 42,577 \left[\frac{\textrm{MHz}}{\textrm{T}}\right]\cdot 10^{-5}\textrm{T}}\approx 1060\mu s</math>

==Procesy Relaksacji==

[[File:relaksacja.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:relaksacja"></figure>Ilustracja przykładowy proces zaniku składowej poprzecznej i odbudowy składowej podłużnej pewnego wektora.]]

'''Procesy relaksacji podpis pod rysunkiem:'''

Składowa poprzeczna wektora, oznaczona kolorem czerwonym, jest sumą trzech wektorów o jednostkowej długości, rotujących w płaszczyźnie ''X-Y'' i oznaczonych kolorem niebieskim. W chwili <math>t=0</math> (punkt A.), wektory składowe rotują w płaszczyźnie ''X-Y'' w tej samej fazie, dając wektor wypadkowy o długości trzech jednostek. Po pewnym czasie <math>\Delta t</math> (punkt B.) jeden z wektorów składowych zmienia orientację o kąt <math>\frac{\pi}{2}</math>, w efekcie czego długość składowej poprzecznej wektora wypadkowego maleje do dwóch jednostek, pojawia się natomiast składowa podłużna wektora wypadkowego (oznaczona kolorem zielonym) o długości jednej jednostki. Po kolejnym czasie Po pewnym czasie <math>\Delta t</math> (punkt C.), ruch pozostałych w płaszczyźnie ''X-Y'' rotujących wektorów ulega rozfazowaniu, co powoduje dalszy zanik składowej poprzecznej wektora wypadkowego, ale nie zwiększa długości jego składowej podłużnej. Po upływie kolejnej jednostki czasu <math>\Delta t</math> (punkt D.), jeden z wektorów składowych, rotujący w płaszczyźnie ''X-Y'' zmienia orientację o kąt <math>\frac{\pi}{2}</math>. Składowa poprzeczna wektora wypadkowego ulega skróceniu do jednej jednostki, zaś składowa podłużna osiąga długość dwóch jednostek. Po zmianie orientacji ostatniego wektora składowego (punkt E.), składowa poprzeczna wektora wypadkowego zanika, zaś składowa podłużna osiąga maksymalną długość trzech jednostek.

W rozdziałach [[https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/action/edit/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metod%C4%85_Magnetycznego_Rezonansu_J%C4%85drowego?section=4]], [[https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/action/edit/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metod%C4%85_Magnetycznego_Rezonansu_J%C4%85drowego?section=5]] oraz [[https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/action/edit/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metod%C4%85_Magnetycznego_Rezonansu_J%C4%85drowego?section=8]] omówiliśmy dwa następujące podstawowe elementy zjawiska rezonansu magnetycznego:
# Wprowadzenie próbki składającej się z atomów wodoru w statyczne pole magnetyczne, skutkiem czego pojawiło się namagnesowanie próbki w kierunku tego pola.
# Pobudzenie próbki rotującym w płaszczyźnie prostopadłej do pola statycznego, polem magnetycznym o małej indukcji lecz odpowiednio dobranej częstości, co doprowadziło do zmiany orientacji wektora namagnesowania.
Poruszyliśmy również kwestie doboru czasu impulsu rotującego pola magnetycznego, tak aby zmienić orientację wektora namagnesowania o kąt <math>\pi</math> lub <math>\frac{\pi}{2}</math>. Po obróceniu magnetyzacji o wymagany kąt, impulsowe pole magnetyczne jest wyłączane i dokonywany jest pomiar namagnesowania próbki. Co dalej dzieje się z wektorem magnetyzacji ? Obrót wektora namagnesowania jest niczym innym jak wytrąceniem układu z położenia równowagi termodynamicznej. Jak pamiętamy z pierwszych rozdziałów dotyczących MRI, momenty magnetyczne jąder atomowych starają ustawić się w kierunku pola magnetycznego. Układ będzie zatem dążył do powrotu do stanu równowagi. Przypominamy, iż wyróżniliśmy dwie składowe namagnesowania: namagnesowanie podłużne (<math>\vec{M}_L</math> oraz namagnesowanie poprzeczne <math>\vec{M}_T</math>. Przyjmijmy, że umieszczenie próbki w polu magnetycznym wywołuje namagnesowanie o wartości <math>M_0</math> i rozważmy składowe namagnesowania w układzie rotującym ''U' '' w następujących przypadkach:
1.Włączone pole statyczne, wtedy: 
<equation id="35"><math>
\vec{M} =
\left[\begin{array}{l}
M_L \\
\\
M_T
\end{array}
\right] =
\left[\begin{array}{l}
M_0 \\
\\
0
\end{array}
\right]
</math></equation> 
2. Zadziałanie na próbkę impulsem <math>\frac{\pi}{2}</math>, po którym magnetyzacja wynosi:
<equation id="36"><math>
\vec{M} =
\left[\begin{array}{l}
M_L \\
\\
M_T
\end{array}
\right] =
\left[\begin{array}{l}
0 \\
\\
M_0
\end{array}
\right]
</math></equation>.
Interesuje nas teraz przejście układu ze stanu (2) do stanu (1). Proces powrotu układu do stanu równowagi nazywamy relaksacją.
Okazuje się, że proces odbudowywania się namagnesowania podłużnego trwa dłużej, niż zanik namagnesowania poprzecznego. W związku z tym, będziemy wyróżniali relaksację podłużną, to jest odbudowywanie się składowej podłużnej namagnesowania oraz relaksację poprzeczną, czyli zanik składowej poprzecznej magnetyzacji. Przyczynę różnego czasu procesów relaksacji podłużnej i poprzecznej są następujące. 
===Relaksacja podłużna===
Podstawową przyczyną przechodzenia jąder atomowych ze stanu wzbudzonego do podstawowego po wyłączeniu impulsu pobudzającego są
oddziaływania spinów poszczególnych jąder z siecią krystaliczną (tzw. oddziaływania spin-sieć). W wyniki tych przejść zanika oczywiście również składowa poprzeczna namagnesowania. Inne procesy, które mają wpływ na powrót jąder do stanu równowagi i odbudowę składowej podłużnej magnetyzacji to:
# Fluktuacje pola magnetycznego wytworzone przez otoczenie danego jadra atomowego, np. przez cząsteczkę wody która posiada własny moment magnetyczny. Chaotyczne ruchy cząsteczki wody, mogą wytworzyć zmienne w czasie pole magnetyczne wywołujące przejścia momentów magnetycznych ze stanu wzbudzonego do podstawowego.
# Oddawanie energii do otoczenia poprzez oddziaływania elektryczne.
# Oddziaływania paramagnetyczne.

Warto jednak zwrócić uwagę, że fluktuacje pola magnetycznego będą prowadziły do przejść jąder atomowych ze stanu wzbudzonego do stanu podstawowego pod warunkiem, że częstość wywołanego przez nie lokalnego pola magnetycznego będzie zbliżona do częstości precesji Larmour.
Czas relaksacji podłużnej, który oznaczany jest jako tzw. czas <math>T_1</math> wynosi zwykle od kilkuset ms do nawet 2 sekund.

===Relaksacja poprzeczna===
Oddziaływania wymienione w punktach 1-3 poprzedniego rozdziały, które powodują przejścia jąder atomowych ze stanu wzbudzonego do stanu podstawowego, powodują jednocześnie zanik składowej poprzecznej namagnesowania. Składowa ta jednak zanika także z innych powodów. Impuls pobudzające, nie tylko zmienia orientację momentów magnetycznych, lecz również synchronizuje ich ruchy precesyjne. Fluktuacje pola magnetycznego mogą łatwo tę synchronizacje zaburzyć, ponieważ w tym przypadku dowolna fluktuacja lokalnego pola magnetycznego w kierunku pola statycznego <math>\vec{B}_0</math> zmieni częstość rotacji momentów magnetycznych w płaszczyźnie ''X-Y''. Również oddziaływania spinów sąsiednich jąder atomowych przyczyniają się do zakłócenia synchronizacji (oddziaływania te nazywamy oddziaływaniami spin-spin). Kolejną przyczyną szybszego zaniku składowej poprzecznej namagnesowania są niejednorodności statycznego pola magnetycznego spowodowane ograniczeniami w dokładności wykonania urządzenia MRI oraz zaburzenia powstałe w otoczeniu skanera. Czas relaksacji poprzecznej, który oznaczany jest jako tzw. czas <math>T_2</math> jest o rząd wielkość mniejszy od czasu <math>T_1</math> i wynosi zwykle od kilkudziesięciu di kilkuset ms.
Ideę różnego czasu relaksacji rotujących składowych pewnego wektora zaprezentowano symbolicznie na <xr id="fig:relaksacja">rys. %i</xr>.
Należy pamiętać, iż w rzeczywistości procesy relaksacji są znacznie bardziej skomplikowane, zaś ilustracja <xr id="fig:relaksacja">rys. %i</xr>
ma charakter jedynie poglądowy.

W klasycznej teorii rezonansu jądrowego zjawiska relaksacji opisuje w układzie rotującym (''U' '') przy pomocy następujących fenomenologicznych równań:
W półklasycznego równaniu (<xr id="eq:rownaie_ruchu_w_wirujacym_ukladzie_odniesienia"/>) opisującym zachowanie się namagnesowania w polu magnetycznym musimy uwzględnić procesy związane z relaksacją spinów.
Bloch wprowadził fenomenologiczne poprawki do tego równania opierając się na rozumowaniu, które można wyrazić następującymi równaniami:
<equation id="37"><math>
\begin{array}{l}
\frac{dM_{x}}{dt} = -\frac{M_{x}}{T_{2}}\\
\\
\frac{dM_{y}}{dt} = -\frac{M_{y}}{T_{2}}\\
\\
\frac{dM_{z}}{dt} = -\frac{M_{z} - M_{0}}{T_{1}}\\
\end{array}
</math></equation>
gdzie: <math>M_x, M_y, M_z</math> to odpowiednio długości poszczególnych składowych wektora namagnesowania.

==Równanie Blocha==

[[File:bloch_1.png|400px|thumb|right|<figure id="fig:bloch_1"></figure>Ewolucja wektora magnetyzacji w układzie rotującym z prędkością kątową <math>\omega_0 = \gamma B_0</math>, związanym z momentem magnetycznym i w układzie laboratoryjnym. ]]

Podpis pod rysunkiem Ewolucja wektora magnetyzacji w układzie rotującym z prędkością kątową <math>\omega_0 = \gamma B_0</math>, związanym z momentem magnetycznym i w układzie laboratoryjnym.:

A — próbkę wprowadzono w stałe pole magnetyczne o indukcji <math>\vec{B}_0=B_0\vec{e}_z</math>. Pole to wywołuje namagnesowanie próbki <math>\vec{M}_0</math>, które w układzie rotującym jak i laboratoryjnym ma tę sen sam kierunek <math>\vec{M}_0 = M_0\vec{e}_z</math>. B — próbka zostaje pobudzona dodatkowym polem magnetycznym <math>\vec{B}_1</math>. W układzie laboratoryjnym jest to pole rotujące, z częstością kątową <math>\omega_0</math>, podczas gdy w układzie rotującym ma ono ustalony kierunek. W celu uproszczenia rachunków pole <math>\vec{B}_1</math> dobrano tak, aby w układzie rotującym miało kierunek równoległy do osi ''X''. Wskutek oddziaływania momentów magnetycznych z polem <math>\vec{B}_1</math>, wektor namagnesowania zmienia orientację w następujący sposób. W układzie rotującym rozpoczyna ruch precesyjny wokół pola <math>\vec{B}_1</math> (osi ''X' ''), z częstością <math>\omega_1 = \gamma B_1</math>. W układzie laboratoryjnym ruch namagnesowania jest złożeniem ruchu precesyjnego wokół pola <math>\vec{B}_1</math> oraz ruchu precesyjnego wokół pola <math>\vec{B}_0</math>, w związku z czym w układzie laboratoryjnym wektor magnetyzacji zakreśla helisę o zwiększającej się średnicy. C — jeśli impulsem pobudzającym był impuls <math>\frac{\pi}{2}</math>, to zostanie on wyłączony po zmianie orientacji wektora namagnesowania o kąt <math>\frac{\pi}{2}</math>. W chwili wyłączenia w układzie rotującym wektor magnetyzacji jest równoległy do pola <math>\vec{B}_1</math>, natomiast w układzie laboratoryjnym wektor magnetyzacji rotuje w płaszczyźnie ''X-Y''. W tym momencie można rozpocząć pomiar namagnesowania za pomocą cewek. Rotujący wektor magnetyzacji wytwarza zmienne pole magnetyczne, które w cewkach, zgodnie z prawem Faraday'a indukuje siłę elektromotoryczną. D — po wyłączeniu pola pobudzającego <math>\vec{B}_1</math>, na skutek procesów relaksacji, momenty magnetyczne jąder przechodzą ze stanu wzbudzonego do stanu podstawowego. Efektem przejść jest powrót wektora magnetyzacji w kierunku pola magnetycznego <math>\vec{B}_0</math>.

Proste równanie opisujące zachowanie się momentów magnetycznych oraz magnetyzacji, które wyprowadziliśmy analogicznie jak się to czyni w przypadku ruchu bąka symetrycznego w polu grawitacyjnym nie jest pełne i powinno być rozszerzone o procesy relaksacji. Fenomenologiczne, klasyczne równanie opisującym zachowanie się namagnesowania w polu magnetycznym z uwzględnieniem procesów relaksacji nazywamy równaniem Blocha:
<equation id="38"><math>
\left[\frac{d\vec{M}}{dt}\right]_{U'} = \gamma\vec{M}\times\vec{B}_{eff} - \left(M_{x}\vec{e}_{x} + M_{y}\vec{e}_{y}\right)/T_{2} - \left(M_{z}-M_{0}\vec{e}_{z}\right)/T_{1}
</math></equation>
gdzie: 
<math>\vec{B}_{eff} = \left[\left(B_{0} - \frac{\omega}{\gamma}\right)\vec{e}_z + B_{1}\vec{e}_x\right]</math>
===Przykłady rozwiązania równań Blocha===
W poniższym rozdziale podane zostały przykładowe rozwiązania równań Blocha dla wybranych konfiguracji pól magnetycznych.

====Umieszczenie próbki w polu statycznym <math>\vec{B}_0 = B_0\vec{e}_z</math>====
Równanie Blocha jest równaniem opisującym ewolucję w czasie wektora magnetyzacji w układzie rotującym z częstością równa częstości precesji Larmour'a: <math>\omega = \gamma B_0</math>. Konfiguracja pół magnetycznych w tym układzie, po wprowadzeniu próbki w statyczne pole magnetyczne wynosi:
* <math>B_1 = 0</math>,
* <math>\left[B_0 -\frac{\omega}{\gamma}\right]\vec{e}_z = 0</math>,
co prowadzi do następującego układu równań:
<equation id="eq:bloch_1"><math>
\left\{\begin{array}{l}
\left[\frac{dM_{x}}{dt}\right]_{rot} = 0\\
\\
\left[\frac{dM_{y}}{dt}\right]_{rot} = 0\\
\\
\left[\frac{dM_{z}}{dt}\right]_{rot} = 0\\
\end{array}\right.
</math></equation>
Zgodnie z obliczeniami przeprowadzonymi w rozdziale [https://brain.fuw.edu.pl/edu/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metod%C4%85_Magnetycznego_Rezonansu_J%C4%85drowego#Namagnesowanie_pr.C3.B3bki]. wiemy, że po umieszczeniu próbki w stałym polu magnetycznym, namagnesowanie może występować tylko w kierunku tego pola. Oznaczmy wartość tego namagnesowanie symbolem <math>M_0</math>. Przy podanych warunkach początkowych dostajemy poniższe rozwiązanie układu równań (<xr id="eq:bloch_1" />):
<equation id="eq:bloch_rozw_1"><math>
\left\{\begin{array}{l}
\left[M_x\right]_{rot} = \\
\\
\left[M_y\right]_{rot} = 0\\
\\
\left[M_z\right]_{rot} = M_0\\
\end{array}\right.
</math></equation>
Rozwiązanie w układzie laboratoryjnym uzyskamy, po przemnożeniu równania (<xr id="eq:bloch_rozw_1"/>) przez macierz obrotu <math>P</math>:
<equation id="39"><math>
\vec{M} = P\times [\vec{M}]_{rot}
</math></equation>
gdzie: 
<math>P = \left[
\begin{array}{ccc}
\cos(\omega_0 t) & \sin(\omega_0 t) & 0 \\
\\
-\sin(\omega_0 t) & \cos(\omega_0 t) & 0 \\
\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right] </math>, 
 
co prowadzi to ostatecznie do wyniku:
<equation id="40"><math>
\vec{M} = P\cdot[\vec{M}]_{rot} \rightarrow \vec{M} = \left[\begin{array}{l}
0\\
\\
0\\
\\
M_0\\
\end{array}\right].
</math></equation>
Wynik zaprezentowano na rysunku <xr id="fig:relaksacja">rys. %i</xr>.A.

====Próbka umieszczona w polu statycznym, pobudzona polem zmiennym====
Zakładamy, że pobudzenie prowadzi do powstania zjawiska rezonansu, to jest częstość impulsowego pola magnetycznego <math>\vec{B}_1</math> jest równa częstości precesji Larmour'a. W takim, przypadku, w układzie rotującym występuje następująca konfiguracja pól magnetycznych:
* <math>\vec{B}_1 = B_1\vec{e}_x</math>,
* <math>\left[B_0 - \frac{\omega}{\gamma}\right]\vec{e}_x = 0</math>,
ponadto w równaniach Blocha możemy pominąć wyrazy związane z relaksacją, ponieważ czas trwania procesów relaksacyjnych (co najmniej kilkadziesiąt ms) jest znacznie dłuższy od trwania impulsu pobudzającego, co prowadzi ostatecznie do następującego układu równań:
<equation id="eq:bloch_2"><math>
\left\{\begin{array}{l}
\left[\frac{dM_{x}}{dt}\right]_{rot} = 0\\
\\
\left[\frac{dM_{y}}{dt}\right]_{rot} = \gamma B_1M_z\\
\\
\left[\frac{dM_{z}}{dt}\right]_{rot} = -\gamma B_1M_y\\
\end{array}\right.
</math></equation>
przy następujących warunkach początkowych:
<equation id="41"><math>
\vec{M} = P\cdot[\vec{M}]_{rot} \rightarrow \vec{M} = \left[\begin{array}{l}
0\\
\\
0\\
\\
M_0\\
\end{array}\right].
</math></equation>
Rozwiązanie układu równań (<xr id="eq:bloch_2"/>) ma postać:
<equation id="eq:bloch_rozw_2"><math>
\begin{array}{l}
\left[M_x\right]_{rot} = 0\\
\\
\left[M_y\right]_{rot} = M_0\sin(\Omega t)\\
\\
\left[M_z\right]_{rot} = M_0\cos(\Omega t)\\
\end{array}
</math></equation>
gdzie: <math>\Omega = \gamma B_1</math>.
Rozwiązanie w układzie laboratoryjnym uzyskamy, po przemnożeniu równania (<xr id="eq:bloch_rozw_2"/>) przez macierz obrotu <math>P</math>:
<equation id="42"><math>
\vec{M} = P\cdot[\vec{M}]_{rot}
</math></equation>
co prowadzi do następującego równania na ewolucję magnetyzacji w układzie laboratoryjnym:
Rozwiązanie układu równań (<xr id="eq:bloch_2"/>) ma postać:
<equation id="43"><math>
\begin{array}{l}
M_x = M_0\sin(\Omega t)\sin(\omega_0 t)\\
\\
M_y = M_0\sin(\Omega t)\cos(\omega_0 t)\\
\\
M_z = M_0\cos(\Omega t)\\
\end{array}
</math></equation>
W układzie rotującym wektor namagnesowania wykonuje ruch precesyjny wokół kierunku pola pobudzającego <math>\vec{B}_1</math>, które w tym układzie zachowuje stały kierunek, podczas gdy w układzie laboratoryjnym, wektor magnetyzacji jest złożeniem dwóch ruchów precesyjnych:
# wokół statycznego pola <math>\vec{B}_0</math>,
# wokół rotującego w tym układzie pola <math>\vec{B}_1</math>.
Złożeniem tych dwóch ruchów precesyjnych jest spirala, symbolicznie zaprezentowano na rysunku <xr id="fig:relaksacja">rys. %i</xr>.B.

====Wyłącznie impulsu pobudzającego. Sygnał swobodnej precesji====
Po zmianie orientacji wektora namagnesowania o kąt <math>\frac{\pi}{2}</math>, w układzie rotującym leży on wzdłuż wzdłuż osi ''X' '' (jest równoległy do pola <math>\vec{B}_1</math>, zaś w układzie laboratoryjnym namagnesowanie rotuje w płaszczyźnie ''X-Y'' (patrz <xr id="fig:relaksacja">rys. %i</xr>.C). Dalsze utrzymywanie pobudzenia spowodowało by zmianę orientacji wektora namagnesowania a do jego ustawienia w kierunku przeciwnym do kierunku pola stałego <math>\vec{B}_0</math>. Najdogodniejszy moment na pomiar wektora namagnesowania występuje w momencie, kiedy wiruje on w płaszczyźnie ''X-Y'', w związku z czym impulsowe pole magnetyczne jest wyłączane i rozpoczynany jest pomiar magnetyzacji. Pomiar ten wykonywany jest za pomocą cewek i opiera się na zjawisku indukcji Faraday'a — zmienny strumień pola magnetycznego, wywołany przez rotujący w płaszczyźnie ''X-Y'' wektor namagnesowania indukuje w obwodzie siłę elektromotoryczną. Jednocześnie, po wyłączeniu pola pobudzającego, momenty magnetyczne zaczną powracać do w wyniku oddziaływań spin-sieć oraz spin-spin. Spowoduje zmianę orientacji wektora namagnesowania z płaszczyzny ''X-Y'' ponownie w kierunku pola statycznego <math>\vec{B}_0</math>. Ewolucje wektora namagnesowania w takim przypadku możemy wyznaczyć przy pomocy równania Blocha, dla następującej konfiguracji pól magnetycznych w układzie rotującym:
* <math>\vec{B}_1 = 0\vec{e}_x</math>,
* <math>\left[B_0 - \frac{\omega}{\gamma}\right]\vec{e}_x = 0</math>,
otrzymując poniższy układ równań:
<equation id="eq:bloch_3"><math>
\left\{\begin{array}{l}
\left[\frac{dM_{x}}{dt}\right]_{rot} = -\frac{M_x}{T_2} \\
\\
\left[\frac{dM_{y}}{dt}\right]_{rot} = -\frac{M_y}{T_2} \\
\\
\left[\frac{dM_{z}}{dt}\right]_{rot} = -\frac{M_z-M_0}{T_1}\\
\end{array}\right.
</math></equation>
przy warunkach początkowych
<equation id="44"><math>
\vec{M} = P\cdot[\vec{M}]_{rot} \rightarrow \vec{M} = \left[\begin{array}{l}
0\\
\\
M_0\\
\\
0\\
\end{array}\right].
</math></equation>
Rozwiązanie układu równań (<xr id="eq:bloch_3"/>) ma postać:
<equation id="eq:bloch_rozw_3"><math>
\begin{array}{l}
\left[M_x\right]_{rot} =0\\
\\
\left[M_y\right]_{rot} = M_0e^{-\frac{t}{T_2}}\\
\\
\left[M_z\right]_{rot} = M_0(1-e^{-\frac{t}{T_1}})\\
\end{array}
</math></equation>
gdzie: <math>\omega_1 = \gamma B_1</math>.
Rozwiązanie w układzie laboratoryjnym uzyskamy, po przemnożeniu równania (<xr id="eq:bloch_rozw_3"/>) przez macierz obrotu <math>P</math>:
<equation id="eq:bloch_rozw_3_rot"><math>
\left[\begin{array}{l}
M_x\\
\\
M_y\\
\\
M_z\\
\end{array}\right] =
\left[
\begin{array}{ccc}
\cos(\omega_0 t) & \sin(\omega_0 t) & 0 \\
\\
-\sin(\omega_0 t) & \cos(\omega_0 t) & 0 \\
\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right]
\left[\begin{array}{l}
0\\
\\
M_0e^{-\frac{t}{T_2}}\\
\\
M_0(1-e^{-\frac{t}{T_1}})\\
\end{array}\right]
</math></equation>
Ostatecznie, wektor namagnesowania ma postać:
<equation id="eq:bloch_rozw_3_rot_a"><math>
\left[\begin{array}{l}
M_x\\
\\
M_y\\
\\
M_z\\
\end{array}\right] =
\left[
\begin{array}{c}
M_0e^{-\frac{t}{T_2}}\cos(\omega_0 t)\\
\\
-M_0e^{-\frac{t}{T_2}}\sin(\omega_0 t) \\
\\
M_0(1-e^{-\frac{t}{T_1}})
\end{array}
\right]
</math></equation>
Jak widzimy, namagnesowanie poprzeczne (składowa ''X'' oraz ''Y'' magnetyzacji) rotują w płaszczyźnie ''X-Y'', jednocześnie zmniejszając swoją amplitudę na skutek procesów relaksacji. Cewki dokonujące pomiaru zarejestrują sygnał o przebiegu gasnącej sinusoidy. Sygnał ten pełni niezwykle ważną role i jest nazywany sygnałem swobodnej precesji (ang. ''Free Induction Decay'', FID).

===Echo spinowe===
Czasy relaksacji zależą od właściwości fizyko-chemicznych tkanek. Stanowią zatem niezwykle cenna informację dla diagnostyki medycznej. Relaksacja spin-sieć zależy głównie od czynników "''naturalnych''" — fluktuacji lokalnych pół magnetycznych wytworzonych przez otoczenie jąder atomowych. Relaksacja spin-spin zależy zarówno od czynników naturalnych jak i "''sztucznych''" — niejednorodności statycznego pola magnetycznego związanych np. z ograniczoną dokładnością wykonania skanera MRI.
W efekcie, zamiast obserwować zanik namagnesowania poprzecznego z czasem <math>T_{2}</math>, obserwujemy ten zanik z czasem:
<equation id="45"><math>
\frac{1}{T^{*}_{2}} = \frac{1}{T_{2}} + \frac{\gamma\Delta B_{0}}{2}
</math></equation>
Mimo to, możliwe jest wyznaczenie czasu relaksacji <math>T_{2}</math>, dzięki pięknemu zjawisku echa spinowego.
U podstaw tego zjawiska leży założenie, iż naturalne procesy wpływające na relaksację spin-spin są procesami termodynamicznymi, natomiast procesy "''sztuczne''" są dobrze określone w czasie.



==Kodowanie Obrazu==
[[File:Lauterbur_eksperyment_1.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:Lauterbur_eksperyment_1"></figure>Dwie próbki zawierające różną ilość wody (A) umieszczono w polu magnetycznym, którego rozkład wektora indukcji jest stały (B). Sygnały FID indukowane w tych próbkach mają różną amplitudę (C). W związku z tym, że indukcja pola magnetycznego w zakresie obydwu próbek jest taka sama, częstości precesji Larmoura momentów magnetycznych w protonów w próbkach są również identyczne. W efekcie zbiorczym sygnałem rejestrowanym przez cewkę jest tłumiona wykładniczo sinusoida o pewnej wypadkowej amplitudzie (D). Na podstawie tak uzyskanego sygnału nie można stwierdzić, jaki udział w sygnale wypadkowym mają składowe pochodzące od poszczególnych próbek. W widmie sygnału wypadkowego (E) obserwujemy tylko jedno maksimum odpowiadające tej samej częstości precesji momentów magnetycznych protonów.]]

[[File:Lauterbur_eksperyment_2.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:Lauterbur_eksperyment_2"></figure>Dwie próbki zawierające różną ilość wody (A) umieszczono w polu magnetycznym, którego wielkość indukcji zmienia się wzdłuż pewnego kierunku (B). Sygnały FID indukowane w tych próbkach mają różną amplitudę oraz częstości (C). Sygnał rejestrowany przez cewkę nie jest już tłumioną wykładniczo sinusoidą (D). W widmie sygnału wypadkowego (E) obserwujemy dwa maksima związane z dwoma różnymi częstościami precesji momentów magnetycznych protonów. Jak wiemy, częstość precesji momentu zależy od indukcji pola magnetycznego. Znając rozkład przestrzenny indukcji pola magnetycznego oraz częstości precesji, możemy wyznaczyć lokalizację próbek, a na podstawie amplitudy sygnału zawartość wody w poszczególnych próbkach.]]

[[File:rekonstrukcja_mri.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:rekonstrukcja_mri.png"></figure>]]

W jaki sposób jednak za pomocą MRI można otrzymać obraz, np. wnętrza ciała ludzkiego? Dotychczas zdobyta przez nas wiedza umożliwia nam pomiar magnetyzacji wytworzonej w badanej próbce, jednak nie potrafimy określić współrzędnych pewnej objętości materii, gdzie to namagnesowanie zostało wytworzone. Jak wiemy z poprzednich rozdziałów, namagnesowanie to wypadkowy moment magnetyczny pewnej objętości materii, który nazywamy wokselem. Cewka rejestruje zbiorczy sygnał pochodzący od wielu wokseli. W chwili wyłączenia impulsu pobudzającego <math>\frac{\pi}{2}</math>, ewolucję wektora namagnesowania opisuje następujący wzór:
<equation id="46"><math>
dS\left(t\right) = AM^{0}\left(\vec{r}\right)e^{-i\left(w_{0}t\right)}e^{-\frac{t}{T_{2}}}dxdydz
</math></equation>
gdzie: <math>A</math> jest pewną stałą zależną od geometrii cewek, zaś <math>M^{0}(\vec{r})</math> jest namagnesowaniem woksela, o objętości <math>dx\cdot dy\cdot dz</math>, którego pozycja jest opisana wektorem <math>\vec{r} = [x,y,z]</math> w kartezjańskim układzie współrzędnych.
Zbiorczy sygnał rejestrowany przez cewkę odbiorczą wynosi z objętości <math>V</math>:
<equation id="47"><math>
S\left(t\right) = A\int\int_{V}\int M^{0}\left(\vec{r}\right)e^{-i\left(\gamma B_{0}t\right)}e^{-\frac{t}{T_{2}}}dxdydz
</math></equation>
Rozwiązanie tego problemu podali niezależnie Paul Lauterbur <ref name="Lauterbur">P. C. Lauterbur. Image formation by induced local interactions: examples employing nuclear magnetic resonance. Nature 242, 190-191 (1973)</ref> oraz Peter Mansfield <ref name="Mansifeld">P. Mansfield, P.K. Grannell, J. Phys. C: Solid State Phys. 6, L422 (1973)</ref>. W roku 2003 obydwaj naukowcy zostali uhonorowani nagrodą Nobla w dziedzinie medycyny za wykorzystanie Magnetycznego Rezonansu Jądrowego w tej dziedzinie. W roku 1972 Paul Lauterbur przeprowadził doświadczenie, w którym wykazał, że przy wykorzystaniu gradientu dodatkowego pola magnetycznego możliwe jest rozróżnienie rejestrowanych sygnałów przez cewki, pochodzących od dwóch różnych próbek z wodą. Ideę eksperymentu zaprezentowano na <xr d="fig:Lauterbur_eksperyment_1">rys. %i</xr> i <xr id="fig:Lauterbur_eksperyment_2">rys. %i</xr>. Jak widzimy, w celu określenia pozycji woksela, z którego mierzony jest dany sygnał FID niezbędne jest wprowadzenie dodatkowego, gradientowego pola magnetycznego:
<equation id="48"><math>
\vec{B} = B_0\vec{e}_z + \vec{G}\cdot\vec{r}
</math></equation>
gdzie: 
<math>\vec{G} = [G_x,G_y,G_z]</math> - gradient indukcji pola magnetycznego.
W zależności od położenia woksela, częstość precesji momentów magnetycznych w zmodyfikowanym polu będzie wynosić:
<equation id="49"><math>
\omega(x,y,z) = \gamma \left(B_0 + G_x\cdot x + G_y\cdot y + G_z\cdot z\right)
</math></equation>
Przyjęto, że proces określania współrzędnych wokseli z których rejestrowany jest sygnał FID, nazywany będzie kodowaniem.
Proces ten składa się z trzech etapów: wyboru warstwy obrazowania, kodowania fazy i kodowania częstości, które opisane w kolejnych rozdziałach.

===Etap wyboru warstwy===

Wprowadzając zależność statycznego pola magnetycznego od położenia, można wyznaczać jedną ze współrzędnych woksela, w którym powstało namagnesowanie, wykorzystując w tym celu częstości sygnału FID. Przyjmijmy, że tą współrzędną będzie współrzędna <math>z</math>:
<equation id="kodowanie_z"><math>
\begin{array}{l}
\omega_{0} = \gamma\left(B_{0} + G_{zz}z\right) \textrm{\ zatem}\\
\\
z = \frac{\left(\omega_{0} - \gamma B_{0}\right)}{\gamma G_{zz}}
\end{array}
</math></equation>
gdzie:
* <math>B_{0}</math> — statyczne pole magnetyczne, skierowane wzdłuż osi <math>z</math>,
*<math>G_{zz}</math> — gradient pola magnetycznego, nałożony na pole <math>B_{0}</math>, <math>G_{zz} = \frac{\Delta B_{0}}{\Delta z}</math>.
Naświetlając badany obiekt polem elektromagnetycznym o częstości <math>\omega_{RF}</math>, wzbudzimy jądra atomowe w tych wokselach, w których spełniony jest warunek rezonansowy (<math>\omega_{RF} = \omega_{0}</math>), czyli w wokselach, których współrzędna <math>z</math> wyraża się wzorem (<xr id="kodowanie_z"/>). Opisana powyżej procedurę rzeczywiście stosuje się w MRI i określa jako etap wyboru warstwy (''Slice selection''), a gradient <math>G_{zz}</math> '''{gradientem wyboru warstwy'''. Grubość wybranej w trakcie badania warstwy wynosi:
<equation id="49"><math>
\Delta z = \frac{\Delta \omega}{\gamma G_{zz}}
</math></equation>
gdzie: <math>\Delta\omega</math> — szerokość widmowa pobudzającego jądra impulsu radiowego.
W przypadku, gdy impuls radiowy ma charakter sygnału prostokątnego o szerokości widmowej <math>\Delta\omega=4\pi/T</math>, gdzie: <math>T</math> to długość trwania impulsu, grubość warstwy wyraża się poniższym wzorem:
:<math>
\Delta z = \frac{4\pi}{\gamma G_{zz}T}
</math>


===Etap kodowania fazy===
W trakcie etapu wyboru warstwy, zaraz po włączeniu pola gradientowego wzdłuż osi <math>z</math>, włączany jest również impuls pobudzający <math>RF</math>, (najczęściej impuls <math>\pi/2</math>). Po wyłączeniu tego impulsu oraz impulsu gradientowego <math>G_{zz}</math> następuje precesja wektora magnetyzacji w płaszczyźnie <math>x-y</math> z częstością <math>w_{0} = \gamma B_{0}</math>. Załóżmy na początku, iż procesy relaksacji możemy pominąć. W praktyce wpływ procesów relaksacji typu spin-sieć na lokalizację woksela jest do pominięcia. Przypominamy, że relaksacja ta następuje z czasem <math>T_{1}</math> rzędu kilkuset milisekund, podczas gdy wzbudzanie jąder osiąga się już po kilkuset mikrosekundach. Nie można natomiast pominąć procesów związanych z relaksacją typu spin-spin, których czas <math>T^{*}_{2}</math> wynosi kilka-, kilkanaście milisekund.

Natychmiast po wyłączeniu pola gradientowego <math>G_{zz}</math> włączane jest pole gradientowe <math>G_{yz}</math> — tzw. '''gradient kodowania fazy''', wzdłuż osi <math>y</math>. Częstość precesji po włączeniu tego pola wynosi:
<equation id="50"><math>
\omega_{0} = \gamma\left(B_{0} + G_{yz}y\right)
</math></equation>

Włączenie gradientu <math>G_{yz}</math> powoduje zróżnicowanie częstości precesji wektora magnetyzacji. Po wyłączeniu gradientu kodowania fazy po czasie <math>T_{y}</math>, fazy częstość precesji Larmour wraca do wartości <math>\omega_{0} = \gamma B_{0}</math>, jednakże pomiędzy rotującymi wektorami magnetyzacji pojawia się przesunięcie w fazie, które wyraża się następującym wzorem:
<equation id="eq:kodowanie_fazy"><math>
\phi = \gamma G_{yz}yT_{y}
</math></equation>
Rozdzielczość obrazu tomograficznego wzdłuż osi <math>y</math> wynosi:
<equation id="51"><math>
\Delta y = \frac{\pi}{\gamma G_{yz}T_{y}}
</math></equation>

==Etap kodowania częstości i odczyt pomiaru magnetyzacji==
Po wyłączeniu gradientu <math>G_{yz}</math>, natychmiast włączany jest gradient <math>G_{xz}</math> wzdłuż osi <math>x</math>, nazywany gradientem kodowania częstości oraz jednocześnie następuje odczyt sygnału FID.
W wyniku przyłożenia gradientu <math>G_{xz}</math> następuje zróżnicowanie częstości precesji wektora magnetyzacji, zgodnie z poniższym wzorem:
<equation id="eq:kodowanie_czestosci"><math>
\omega_{0} = \gamma\left(B_{0} + G_{xz}x\right)
</math></equation>

Podsumowując, w celu wybrania obszaru, w którym zostanie dokonany pomiar magnetyzacji, przeprowadzane są następujące kroki:
# Włączone zostaje statyczne pole magnetyczne <math>B_{0}</math> wzdłuż osi ''Z''. Wektory magnetyzacji wykonują ruch precesyjny wokół tej osi.
# Włączony zostaje gradient pola magnetycznego <math>G_{zz}</math>, po czym, po kilku milisekundach badany obiekt zostaje przez czas <math>t_{\pi/2}</math> naświetlony falą elektromagnetyczną o określonej częstości. W warstwie, dla której zostaje spełniony warunek rezonansu, fala elektromagnetyczna wzbudza jądra atomowe, w wyniku czego wektory magnetyzacji wykonują ruch precesyjny w płaszczyźnie ''X-Y''.
#Po wyłączeniu gradientu <math>G_{zz}</math> zostaje włączony na okres <math>T_{yz}</math> gradient kodowania fazy. Po jego wyłączeniu,wektory magnetyzacji wzdłuż osi ''Y'' precesują z tą samą częstością lecz w różnej fazie.
#Po wyłączeniu gradientu <math>G_{yz}</math> zostaje włączony gradient kodowania częstości, który różnicuje częstość precesji wektora magnetyzacji. Jednocześnie następuje pomiar magnetyzacji (sygnału FID) w płaszczyźnie ''X-Y''.

Podsumowując: gradient <math>G_{zz}</math> wraz z impulsem pobudzającym umożliwiają zakodowanie współrzędnej ''Z'' wokseli, z których chcemy dokonać pomiaru namagnesowania obiektu. Jest to tzw. wybór warstwy gdzie będzie dokonywany pomiar. W następnych dwóch etapach zakodowany zostają współrzędne ''X'' i ''Y'' poszczególnych wokseli za pomocą częstości precesji wektora magnetyzacji oraz fazy jego precesji. Innymi słowy, każdemu wokselowi, zostaje przyporządkowana jednoznacznie częstość precesji Larmour'a oraz faza tej precesji.

==Dekodowanie obrazu==
W poprzednim rozdziale omówiliśmy metodę jednoznacznego przypisania wokselowi o współrzędnych <math>x</math>, <math>y</math> w warstwie o położeniu <math>z</math>, częstości i fazy początkowej precesji wektora magnetyzacji.
Cewki, które służą do pomiaru wytworzonego namagnesowania, rejestrują sygnał pochodzący od wszystkich wokseli w danej warstwie.
W trakcie drugiego i trzeciego etapu kodowania obrazu namagnesowanie w wokselu o współrzędnych <math>x</math> i <math>y</math> uzyskuje częstość precesji Larmour:
<math>
\omega_{0} = \gamma\left(B_{0} + G_{xz}x\right)
</math>
oraz fazę tej precesji:
<math>
\phi = \gamma G_{yz}yT_{y}
</math>
Mierzony sygnał rezonansowy pochodzący od danego woksela w płaszczyźnie <math>x-y</math> można wyrazić w następujący sposób:
<equation id="52"><math>
dS\left(t\right) = AM^{0}(\vec{r})e^{-i\left(w_{0}\left(x\right)t + \phi\left(y\right)\right)}e^{-\frac{t}{T_{2}}}dxdydz
</math></equation>
Będziemy w dalej zajmowali się problemem wyznaczenia rozkładu gęstości protonów w płaszczyźnie już wybranej warstwy o grubości <math>dz</math>, dlatego wprowadzimy stałą <math>B = A\cdot dz</math>.
<equation id="53"><math>
dS\left(t\right) = BM^{0}(\vec{r})e^{-i\left(w_{0}\left(x\right)t + \phi\left(y\right)\right)}e^{-\frac{t}{T_{2}}}dxdy
</math></equation>
gdzie <math>B</math> jest pewną stałą zależną od grubości warstwy oraz geometrii cewek, zaś <math>M^{0}(\vec{r})</math> jest początkowym namagnesowaniem poprzecznym, uzyskanym w wyniku pobudzenia jąder atomowych impulsem <math>RF</math>.
Podstawiając do powyższego równania wzory (<xr id="eq:kodowanie_fazy"/>) i (<xr id="eq:kodowanie_czestosci"/>) otrzymujemy:
<equation id="54"><math>
dS\left(t\right) = BM^{0}(\vec{r})e^{-i\left(\gamma\left(B_{0} + G_{xz}x\right)t + \gamma G_{yz}yT_{y}\right)}e^{-\frac{t}{T_{2}}}dxdy
</math></equation>
a zatem sygnał rezonansowy rejestrowany z całej warstwy o współrzędnej <math>z</math> wynosi:
<equation id="55"><math>
S\left(t\right) = B\int\int M^{0}(\vec{r})e^{-i\left(\gamma\left(B_{0} + G_{xz}x\right)t + \gamma G_{yz}yT_{y}\right)}e^{-\frac{t}{T_{2}}}dxdy
</math></equation>
Otrzymane równanie porządkujemy w następujący sposób:
<equation id="55"><math>
S\left(t\right) = Be^{-\frac{t}{T_{2}}}\int\int M^{0}(\vec{r})e^{-i\left(\gamma\left(B_{0} + G_{xz}x\right)t + \gamma G_{yz}yT_{y}\right)}dxdy
</math></equation>
<equation id="56"><math>
S\left(t\right) = Be^{-\frac{\gamma B_{0}t}{T_{2}}}\int\int M^{0}(\vec{r})e^{-i\left(\gamma G_{xz}xt + \gamma G_{yz}yT_{y}\right)}dxdy
</math></equation>
podstawiając:
<equation id="57"><math>
\begin{array}{l}
k_{x} = \gamma G_{xz}t\\
\\
k_{y} = \gamma G_{yz}T_{y}
\end{array}
</math></equation>
uzyskujemy:
<equation id="eq:mierzony_sygnal"><math>
S\left(k_{x},k_{y}\right) = Be^{-\frac{\gamma B_{0}t}{T_{2}}}\int\int M^{0}(\vec{r})e^{-i\left(k_{x}x + k_{y}y\right)}dxdy
</math></equation>
Wymiar stałej <math>B</math> zawiera jednostkę długości (powiązaną z grubością warstwy), z kolei namagnesowanie to całkowity moment magnetyczny przypadający na jednostkę objętości <math>dV</math>. Namagnesowanie woksela zależeć będzie od całkowitej liczby jąder atomowych znajdujących się w objętości <math>dV</math>. W związku z tym, uwzględniając jednostkę stałej <math>B</math> oraz namagnesowania <math>M^{0}</math> możemy przepisać równanie (<xr id="eq:mierzony_sygnal"/>) do następującej postaci:
<equation id="58"><math>
S\left(k_{x},k_{y}\right) = B'e^{-\frac{\gamma B_{0}t}{T_{2}}}\int\int \rho^{0}_{xy}e^{-i\left(k_{x}x + k_{y}y\right)}dxdy
</math></equation>
gdzie <math>B'</math> to stała zależna już tylko od właściwości cewek, natomiast <math>\rho^{0}_{xy}</math> jest gęstością jąder atomowych w badanej warstwie. Widzimy zatem, iż mierzony sygnał jest transformatą Fouriera gęstości jąder atomowych, z dokładnością do wagi, zależnej od natężenia statycznego pola magnetycznego oraz czasu relaksacji <math>T_{2}</math><ref>Należy również pamiętać, iż wyznaczona gęstość jąder atomowych (w praktyce jąder atomu wodoru) zależy również od czasu powtarzania wzbudzeń jąder atomowych (''Time Repetition —TR'') oraz czasu echa spinowego (''Time Echo — TE'')</ref>.
Rozkład gęstości jąder atomowych można wyznaczyć obliczając odwrotną transformatę Fouriera równania (<xr id="eq:mierzony_sygnal"/>)
<equation id="59"><math>
\rho^{0}_{xy} = B'e^{-\frac{\gamma B_{0}t}{T_{2}}}\int\int S\left(k_{x},k_{y}\right)e^{i\left(k_{x}x + k_{y}y\right)}dk_{x}dk_{y}
</math></equation>
Podsumowując:
Główną informacją jaką otrzymujemy za pomocą obrazowania metodą jądrowego rezonansu magnetycznego jest rozkład gęstości
jąder atomowych. Z uwagi, iż jądro atomu wodoru ma największy spośród jąder atomowych współczynnik giromagnetyczny, a także ze względu na wysokie stężenie wodoru w organizmie ludzkim, za pomocą MRI uzyskuje się obraz rozkładu gęstości tego właśnie pierwiastka. W badaniu otrzymamy zatem bardzo dobry obraz tkanek miękkich (np. mózg), co odróżnia tą metodę od Rentgenowskiej Tomografii Komputerowej, najlepiej obrazującą kości. Ponadto, mierząc czasy relaksacji namagnesowania — <math>T_{1}</math> i <math>T_{2}</math> możliwe jest uzyskanie informacji o pewnych właściwościach fizyko-chemicznych tkanek.

==Podstawowa Sekwencja Gradientów Pola Magnetycznego==
[[File:rekonstrukcja_mri.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:rekonstrukcja_mri.png"></figure>Podstawowa sekwencja pól gradientowych.]]
W tym rozdziale dokonamy pewnego podsumowania dotychczas zdobytej wiedzy dotyczącej procesu kodowania i dekodowania obrazu w Magnetycznym Rezonansie Jądrowym. Podstawowa sekwencja kodująca oraz proces dekodowania został zaprezentowany na <xr id="fig:rekonstrukcja_mri">rys. %i</xr>
Z uwagi na ograniczoną ilość miejsca pod rysunkiem, jego opis znajdzie w treści rozdziału. Załóżmy, że chcemy zobrazować wybraną warstwę głowy pacjenta. Obraz zostanie utworzony za pomocą macierzy <math>M</math>x<math>N</math> pikseli. Proces obrazowania będzie składał się następujących kroków:
# Umieszczenia pacjenta w stałym polu magnetycznym o indukcji <math>B_0</math>. Po wykonaniu tego kroku momenty magnetyczne jąder wykonują precesję z częstością <math>\omega_0 = \gamma B_0</math>. Powstaje wypadkowe namagnesowanie <math>M_0</math> w kierunku pola <math>\vec{B}_0</math>. Załóżmy, że w głowie pacjenta znajdują się tylko dwa obszary dające znaczące sygnały. Obszary te wypełniona różnymi odcieniami szarości.
# Włączenia pola gradientowego w kierunku osi ''z'' (przyjęto, że jest to oś biegnąca wzdłuż badanego). Następuje zróżnicowanie precesji momentów magnetycznych protonów. Częstość precesji zależy teraz od współrzędnej ''z'' w następujący sposób: <math>\omega_{0} = \gamma\left(B_{0} + G_{zz}z\right)</math>. Równocześnie wraz z gradientem pola zostaje włączony impuls pobudzający (RF) <math>\frac{\pi}{2}</math> o częstości <math>\omega_1</math>. Wywoła on pobudzenie tych momentów magnetycznych, których częstość precesji Larmoura wynosi <math>\omega = \omega_1</math>, czyli <math>\omega_1 = \gamma\left(B_{0} + G_{zz}z\right)</math>. Są to momenty magnetyczne znajdujące się w płaszczyźnie ''x-y'' o współrzędnej ''z'' równej: <math>z = \frac{\left(\omega_{1} - \gamma B_{0}\right)}{\gamma G_{z}}</math>. W wokselach leżących w wybranej warstwie następuje zmiana orientacji wektora namagnesowania <math>M_0</math> o kąt <math>\frac{\pi}{2}</math>. Warto zauważyć, iż po wyłączeniu tego pola gradientowego, momenty magnetyczne ponownie ruch precesyjny z częstością Larmoura <math>\omega=\gamma B_0</math>, jednak w odróżnieniu od wektorów leżących w innych warstwach maja one zmienioną orientację.
# Wzdłuż osi ''y'' zostaje włączone na pewien okres czasu kolejne pole gradientowe, którego wartość na <xr id="fig:rekonstrukcja_mri">rys. %i</xr> oznaczono kolorem żółtym. Wektor magnetyzacji zaczynają rotację w płaszczyźnie ''x-y'' z różną prędkością (ale tą samą dla zadanej współrzędnej ''y''). Po wyłączeniu pola gradientowego, częstość precesji wraca do wartości <math>\omega = \gamma B_0</math>, jednakże wektory namagnesowania wirują w płaszczyźnie ''x-y'' w różnej fazie.
# Następuje kolejne włączenie pola gradientowego, tym razem wzdłuż osi ''x''. Momenty magnetyczne, a także namagnesowanie zaczyna wirować z różną częstością, zależną od współrzędnej ''x''. Jednocześnie wraz z włączeniem tego gradientu następuje pomiar sygnału. Na tym etapie kodowania obrazu, można powiedzieć, że wektory namagnesowania znajdujące się w wokselach leżących w tej samej kolumnie (oś ''y'') rotują z tą samą częstością, natomiast wektory namagnesowania, znajdujące się w tym samym wierszu (os ''x'') rotują z tą samą fazą. Należy pamiętać, iż włączenie gradientu wzdłuż osi ''y'' w poprzednim etapie zmieniło jedynie fazę sygnału FID. Sygnały o tej samej częstości i różnej fazie nałożą się na siebie, dając pewien sygnał wypadkowy. Innymi słowy, na podstawie widma zarejestrowanego sygnału FID możliwe jest w tej chwili rozróżnienie z której kolumny pochodzą składowe mierzonego sygnału. Nie znamy natomiast współrzędnej ''y'' wokseli, z których pochodzi istotny sygnał. W związku z tym całość pomiaru (poczynając od etapu 2) należy powtórzyć, tyle razy, ile mamy wierszy w obrazie, za każdym razem zmieniając wartość gradientu pola magnetycznego wzdłuż osi ''y'' lub długość czasu jego trwania.
# Wartości Transformat Fouriera zapisywane są w tzw. współrzędnych przestrzeni K, tworząc pewną macierz. Wykonanie odwrotnej, dwuwymiarowej Transformaty Fouriera tej macierzy umożliwia wyznaczenie rozkładu przestrzennego namagnesowania.

==Co obrazuje Magnetyczny Rezonans Jądrowy==

===Rozkład gęstości protonów===
W trakcie badania MRI dokonywany jest pomiar namagnesowania małych jednostek objętości (wokseli) danego obszaru pacjenta. Namagnesowanie woksela jest proporcjonalne do liczby momentów magnetycznych cząstek znajdujących się w nim cząstek posiadających momenty magnetyczne. Spośród wielu atomów, które wchodzą w skład organizmu ludzkiego i posiadających spin, wodór charakteryzuje się największą abundancją oraz jądrem
o największym momencie magnetycznym. MRI będzie zatem obrazował głownie rozkład gęstości wodoru. W przeciwieństwie do Metod Rentgenowskich, MRI będzie zatem bardzo dobrze obrazował tkanki miękkie.

===Kontrast <math>T_{1}</math> oraz <math>T_{2}</math>===
Bardzo ważną informację diagnostyczną można również uzyskać, wykorzystując do tego czas pomiaru relaksacji <math>T_1</math> i <math>T_2</math>. Relaksacja wektora namagnesowania następuje w wyniku oddziaływania momentów magnetycznych z otoczeniem. Na podstawie zmian w szybkości zaniku namagnesowania poprzecznego lub odbudowie namagnesowania podłużnego można zatem wyciągnąć pewne wnioski diagnostyczne. Dokonuje się tego przy pomocy odpowiednio dobranej sekwencji pola pobudzającego, którego skutkiem będzie lepsze uwidocznienie na obrazie obszarów o krótkim czasie <math>T_1</math> lub krótkim czasie <math>T_2</math>. Mówimy wtedy odpowiednio o obrazie T1 zależnym lub T2 zależnym, bądź kontraście T1 lub T2.

Obok rozkładu gęstości jąder atomu wodoru, za pomocą MRI możemy wyznaczyć również czasy relaksacji magnetyzacji podłużnej — <math>T_{1}</math> oraz magnetyzacji poprzecznej — <math>T_{2}</math>. Czasy te zależą od właściwości fizyko-chemicznych tkanek. Z dotychczasowych badań wiadomo, iż czasy relaksacji tkanki zdrowej, różnią się znacznie od czasów relaksacji tej samej tkanki chorej (np. rakowej). Czasy relaksacji zawierają zatem niezwykle cenna z punktu widzenia diagnostyki informacje.





==Budowa skanera MRI==

===Cewki pola statycznego===

Podstawowym elementem aparatury MRI są przyrządy wytwarzające pola magnetyczne (statyczne jak i gradientowe) oraz rejestrujące sygnał namagnesowania.
Statyczne pole magnetyczne <math>\vec{B}_{0}</math> można wygenerować za pomocą:
# Magnesów trwałych. Małe zużycie prądu elektrycznego, nieskomplikowana budowa aparatury, ogólnie niskie koszty obsługi. Skaner ma mniejsze rozmiary niż w przypadku skanerów w których pole magnetyczne jest wytwarzane w inny sposób, ponadto ma budowę otwartą (pacjent nie znajduje się w wąskim cylindrze), co zwiększa komfort badania (np. u pacjentów z klaustrofobią).
#*Wady — trwałe magnesy są ciężkie, wytwarzają pola magnetyczne w granicy: 0.064 T - 0.3 T.
# Elektromagnesów. Pole magnetyczne powstaje w wyniku przepływu prądu przez cewkę. Elektromagnesy mogą mieć rdzeń powietrzny lub stalowy. Zalety — otwarta budowa zwiększająca komfort badania, można wyłączyć skaner, jeśli jest nieużywany, niska cena skanera.
#*Wady — wysokie zużycie energii elektrycznej, ograniczone wartość wytwarzanego pola magnetycznego < 0.2 - 0.3T, potrzebne chłodzenie wodne, wytworzone pole magnetyczne "''rozprzestrzenia''" się na boki.
# Magnesów nadprzewodzących — najczęściej stosowane. Pole magnetyczne wytwarzane jest przez przepływ prądu w cewkach umieszczonych w ciekłym helu, w celu redukcji zjawiska oporu elektrycznego — W temperaturze 4 Kelvinów (-269<math>^{o}</math>) opór ten zanika.
#*Zalety — możliwość generowania silnych, bardzo jednorodnych pól magnetycznych — do 12T, a co za tym idzie możliwość rejestracji sygnału namagnesowania o wysokim SNR oraz skrócenie czasu wykonywania skanu. Ponadto niskie zużycie prądu elektrycznego.
#*Wady — drogi skaner, wysokie koszty związane z obsługą aparatury kriogenicznej, aparatura hałaśliwa i o zwartej budowie — mniejszy standard wygody dla pacjenta, wrażliwszy na artefakty ruchowe, skomplikowana budowa (cewki nadprzewodzące muszą być zabezpieczone wieloma warstwami termicznymi, oraz przestrzeniami próżniowymi, aby chronić Hel przed zagotowaniem się i eksplozją).

===Cewki nadawczo odbiorcze===

Źródłem sygnału pobudzającego jądra atomowe w zjawisku jądrowego rezonansu magnetycznego, jak i odbiornikiem rejestrującym wytworzony sygnał namagnesowania są tzw. Cewki RF. Istnieje wiele różnorodnych typów cewek, przeznaczonych do określonych badań, można je jednak podzielić na dwie grupy:
#Cewki objętościowe. Wewnątrz takiej cewki wytworzone zostaje jednolite pole magnetyczne, wymagają jednak, aby badana część pacjenta znajdowała się w środku cewki.
# Cewki powierzchniowe. Jak sama nazwa wskazuje cewki takie umieszczane są na powierzchni, blisko obszaru, który ma być badany. Cewki takie zapewniają sygnał o wysokim SNR oraz wysoką rozdzielczość otrzymywanych obrazów. Wada tych cewek jest szybka strata jednolitości otrzymywanego obrazu, w przypadku gdy badany obiekt przemieści się poza cewkę.



==Podstawy kwantowego opisu zjawiska Rezonansu Magnetycznego==

[[File:quantum_mri.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:quantum_mri"></figure>Ilustracja powstawania stanów kwantowych oraz pobudzenia wzbudzenia przejść pomiędzy nimi. A — przy braku zewnętrznego pola magnetycznego poziomy energetyczne odpowiadające różnym rzutom momentu pędu na oś ''Z'' charakteryzują się tą samą energię. Umieszczenie próbki w stałym polu magnetycznych wywołuje powstanie dwóch stanów kwantowych o różnych energiach. Nieznaczna większość protonów znajdzie się w stanie o niższej energii. Za pomocą fali elektromagnetycznej o odpowiedniej energii ( częstości) można doprowadzić do przejść jąder do wyższego poziomu energetycznego. B — po wyłączeniu fali elektromagnetycznej, jądra przechodzą ze stanu wzbudzonego do stanu podstawowego oddając wcześniej zaabsorbowana energię.]]
Podstawowy opis kwantowy zjawiska rezonansu magnetycznego przeprowadzimy dla protonu. Przypominamy, własny moment pędu protonu opisywany jest spinową liczbą kwantową <math>I = \frac{1}{2}</math>, długość wektora momentu pędu wynosi <math>|\vec{I}| = \frac{\sqrt{3}}{2}\hbar </math>, zaś rzut wektora spinu na oś ''Z'' może przyjmować wartości: <math>\vec{I}_{z} = \pm\frac{1}{2}\hbar </math>. Pod nieobecność zewnętrznego pola magnetycznego, rzutom wektora spinu proton una oś ''Z'' odpowiadają stany o tej samej energii. 
Wprowadzenie próbki w stałe pola magnetyczne o wartości <math>B_0</math> i kierunku równoległego do osi ''X'' powoduje rozczepienie tych stanów. Rzut wektora momentu magnetycznego (związanego ze spinem) na oś ''Z'' może mieć kierunek równoległy lub przeciwny do kierunku pola magnetycznego. Rzutom tym odpowiadają dwa poziomy energetyczne:
<equation id="60"><math>
\begin{array}{l}
E_1 = -\frac{1}{2}\hbar\gamma B_0\\
\\
E_2 = \frac{1}{2}\hbar \gamma B_0\\
\end{array}
</math></equation>
gdzie: <math>E_1, E_2</math> to odpowiednio energia stanu związanego z równoległym i przeciwnym rzutem momentu magnetycznego na kierunek stałego pola magnetycznego. Zgodnie z zasadami termodynamiki, protony będą dążyły do zajmowania stanów o niższej energii. Dostarczając dodatkową energię, np. za pomocą fali elektromagnetycznej, można doprowadzić do przejścia protonów ze stanu podstawowego do wzbudzonego. Częstość fali elektromagnetycznej można wyliczyć w następujący sposób. Różnica energii pomiędzy dwoma stanami wynosi:
<equation id="61"><math>
\Delta E = E_2 - E_1 = \hbar \gamma B_0
</math></equation>
Fala elektromagnetyczna o częstości <math>\omega_0</math> posiada energię:
<equation id="62"><math>
E = \hbar \omega_0
</math></equation>
Energia fali elektromagnetycznej powinna być równa różnicy energii dwóch stanów kwantowych:
<equation id="63"><math>
\Delta E = \hbar \omega_0 \rightarrow \hbar \gamma B_0 = \hbar \omega_0
</math></equation>
ostatecznie, częstość fali wzbudzającej przejścia pomiędzy poziomami energetycznymi jest równa:
<equation id="64"><math>
\omega_0 = \gamma B_0
</math></equation>
Po wyłączeniu fali pobudzającej, protony przechodzą ze stanu wzbudzonego do stanu podstawowego, emitując nadmiar energii.
Pobudzeniowa fala elektromagnetyczna może być wygenerowana za pomocą cewki, która po wyłączeniu emisji fali może również rejestrować energię emitowaną przez protony przechodzące do stanu podstawowego.
Bardziej rozszerzony (nieobowiązkowy dla studentów opis zjawiska magnetycznego rezonansu jądrowego można znaleźć w kolejnym rozdziale).

==Kwantowy opis zjawiska Rezonansu Magnetycznego==
Zastosowanie modelu kwantowego prowadzi do pełniejszego w porównaniu z modelem klasycznym opisu zjawiska NMR, jednak ze względu na skomplikowaną postać samej Teorii Kwantów, model kwantowy może być trudny w zrozumieniu. Z kolei model klasyczno-kwantowy (zaprezentowany w dotychczasowych rozdziałach), jest łatwiejszy do przyswojenia i dla pewnej klasy problemów uzyskuje się za jego pomocą te same wyniki co w modelu kwantowym.

Nim przejdziemy do szczegółowego opisu zjawiska NMR, dokonamy zestawienia niektórych z postulatów leżących u podstaw Mechaniki Kwantowej i Klasycznej oraz przypomnimy sobie znaczenie pewnych pojęć stosowanych w fizyce.

<ol>

<li>
Układem fizycznym (w dalszej części skryptu nazywanym w skrócie układem) określa się zbiór ciał.

<li>
Stan układu jest najmniejszym zbiorem informacji pozwalającym odpowiedzieć na wszelkie pytania dotyczące układu.

<li>
W Mechanice Klasycznej pomiar wielkości fizycznej można wykonać z dokładnością ograniczoną jedynie precyzją dostępnej aparatury. Sam pomiar nie wpływa na układ.

<li>
W Mechanice Kwantowej nie można dokonać jednoczesnego pomiaru pewnych wielkości fizycznych z dowolną dokładnością. Ograniczenie to, znane jako Zasada Nieoznaczoności Heisenberga, nie ma nic wspólnego z precyzja aparatury pomiarowej. Jest to jedno z praw przyrody, któremu podlegają np. pomiary położenia i pędu:

::<math>
\Delta x\Delta p_{x}\ge \hbar </math>

gdzie:

<ul>

<li>
<math>\Delta x</math> i <math>\Delta p_x</math> to odpowiednio nieoznaczoność położenia i pędu wzdłuż osi <math>x</math>

</ul>

pomiary energii i czasu:

::<math>
\Delta E\Delta t\ge \hbar </math>

gdzie:

<ul>

<li>
<math>\Delta E</math> i <math>\Delta t</math> to odpowiednio nieoznaczoność energii i czasu.

</ul>

pomiary składowych wektora momentu pędu (w Mechanice Kwantowej obserwowalna jest w danym pomiarze tylko jedna ze składowych wektora oraz jego długość).
Możliwy jest natomiast jednoczesny pomiar z dowolną dokładnością np. energii i pędu. Warto zauważyć, że chociaż nie da się, zgodnie z Zasadą Nieoznaczoności, jednocześnie zmierzyć np. położenia i pędu cząstki, to można wyznaczyć osobno rozkład prawdopodobieństwa dla pędów i rozkład
prawdopodobieństw dla położeń w danym stanie układu. Mierząc dostatecznie dużo takich rozkładów prawdopodobieństwa, można określić stan układu. Pojedynczą wielkość da się w zasadzie zmierzyć z dowolną dokładnością, ale jeżeli mamy kilka takich samych układów w tym samym stanie, to na ogół dla każdego z nich pomiar tej wielkości da inny wynik.

<li>
W Mechanice Klasycznej położenie, orientacja oraz wielkości charakteryzujące ruch układu w danej chwili określają stan układu w tej chwili. W przypadku cząstki punktowej do określenia jej stanu w przestrzeni trójwymiarowej wystarczy sześć wielkości jednowymiarowych: 3 współrzędne opisujące położenie cząstki oraz 3 wielkości charakteryzujące jej ruch (prędkość lub pęd).

<li>
W Mechanice Kwantowej stan układu określony jest za pomocą funkcji falowej <math>\psi \left(\vec{r},t\right)</math>. Funkcja falowa zawiera pełną informacje o stanie układu. Zwykle jednak nie da się przewidzieć wyniku pomiaru znając nawet dokładnie stan układu.

<li>
Interpretacja fizyczna funkcji falowej jest następująca (cyt. z pracy <ref name="bid0"> Iwo Białynicki-Birula, Marek Cieplak, Jerzy Kamiński Teoria Kwantów. Mechanika Falowa. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1991.</ref>)

Funkcja falowa <math>\psi \left(\vec{r},t\right)</math> opisuje fale prawdopodobieństwa. Wielkość <math>\psi ^{*}\left(\vec{r},t\right)\psi \left(\vec{r},t\right)</math> jest gęstością prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w punkcie <math>\vec{r}</math> w chwili <math>t</math>.
Inaczej mówiąc, całka:
<math>P_{D}\left(t\right)=\int _{D}d^{3}\vec{r}\left|\psi \left(\vec{r},t\right)\right|^{2}</math> jest prawdopodobieństwem znalezienia cząstki w chwili <math>t</math> w obszarze <math>D</math>.

<li>
Funkcja falowa musi spełniać warunek unormowania<ref>Warunek unormowania został arbitralnie wprowadzony w pierwszej pracy Schrödingera dotyczącej równania falowego.</ref>:
<math>\int _{D}d^{3}\vec{r}\left|\psi \left(\vec{r},t\right)\right|^2 = 1</math>.
Innymi słowy, prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w dowolnym punkcie przestrzeni jest równe jedności.

<li>
W Mechanice Klasycznej pomiar wielkości fizycznej nie wpływa na układ.

<li>
W Mechanice Kwantowej zwykle nie można gwarantować, że stan układu po pomiarze będzie taki sam jak przed pomiarem. W szczególności
ponowny pomiar wielkości, która przedtem była dobrze określona, może dać (zupełnie) inny wynik.

<li>
W Mechanice Kwantowej dowolnej, dobrze określonej obserwabli fizycznej (takiej jak pęd, energia, masa czy moment pędu), dalej oznaczanej przez <math>C</math>, odpowiada operator <math>\hat{C}</math> taki, że w wyniku pomiaru obserwabli <math>C</math> otrzymujemy wartości zmierzone <math>c</math>, które są wartościami własnymi operatora <math>\hat{C}</math>:

::<math>
\hat{C}\phi = c\phi </math>

gdzie: <math>\phi </math> jest funkcją własną operatora <math>\hat{C}</math>.

<li>
W Mechanice Kwantowej, jeśli układ znajduje się w stanie <math>\psi \left(\vec{r},t\right)</math>, to średnia wartość dowolnej obserwabli fizycznej <math>C</math> związanej z układem w chwili czasu <math>t</math> dana jest wzorem:

<equation id="uid21">
<math>
\left<C\right> = \int \psi ^{*}\left(\vec{r},t\right)\hat{C}\psi \left(\vec{r},t\right)d^{3}\vec{r}
</math>
</equation>

</ol>

==Spin==

Dokładny opis spinu, który jest wielkością kwantową, wykracza znacznie poza ramy materiału niniejszego skryptu. Zainteresowanych czytelników odsyłamy do prac <ref name="bid0" />, <ref name="bid1">Richard L. Liboff Wstęp do Mechaniki Kwantowej. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa
1987.</ref>, <ref name="bid2">Leszek Adamowicz Mechanika Kwantowa. Formalizm i Zastosowania. Oficyna Wydawnicza
Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2005.</ref>, na podstawie których został napisany niniejszy rozdział. W tym miejscu natomiast ograniczymy się do podania kilku faktów, obserwacji, czy uwag, mając nadzieję, że wystarczą one czytelnikom do zrozumienia, czym jest spin, przynajmniej w takim stopniu, który ułatwi im przyswojenie wiadomości na temat Jądrowego Rezonansu Magnetycznego. Podstawowymi elementami, z których składa się materia, są cząstki takie jak elektron, proton oraz neutron, które posiadają spin równy <math>\frac{1}{2}</math>. Najbardziej rozpowszechnionym pierwiastkiem w organizmach żywych jest wodór, którego jądra — protony, odgrywają podstawową rolę w otrzymywaniu obrazów MR. W związku z tym omówienie pojęcia spinu ograniczymy do przypadku spinu równego <math>\frac{1}{2}</math>.

<ol>

<li>
Zjawiska takie jak rozszczepienie w niejednorodnym polu magnetycznym wiązki atomowej na dwie składowe, zaobserwowane przez Sterna i Gerlacha w roku 1922, czy dubletowa struktura widm pierwiastków alkalicznych nie zostały wyjaśnione w ramach teorii budowy atomu zaproponowanej przez Bohra. Doświadczenie przeprowadzone przez Sterna i Gerlacha, jak również i badania spektroskopowe wskazywały na nie uwzględnienie w teorii Bohra pewnej wielkości fizycznej — nieznanego, dodatkowego stopnia swobody elektronu.

<li>
W roku 1925 Uhlenbeck i Goudsmit wprowadzają pojecie spinu, jako wewnętrznego momentu pędu elektronu. Uhlenbeck i Goudsmit przyjęli, iż elektron wiruje<ref>W języku angielskim słowo spin oznacza wirowanie</ref> wokół własnej osi, co w naturalny sposób umożliwiło im wytłumaczenie istnienia dodatkowego stopnia swobody oraz wyjaśnienie dubletowej struktury widm pierwiastków alkalicznych. Obecnie wiadomo, iż obraz elektronu jako wirującej kulki zaproponowany przez Uhlenbecka i Goudsmita jest nieprawidłowy.

<li>
W roku 1926 Schrödinger publikuje serię czterech prac dotyczących równania falowego (nazwanego później równaniem Schrödingera), które dla elektronu znajdującego się w polu elektromagnetycznym przyjmuje następującą postać <ref name="bid0" />:

<equation id="uid27">
<math>
i\hbar\frac{\partial \psi \left(\vec{r},t\right)}{\partial t} = \left[ \frac{1}{2m} \left(\frac{\hbar }{i} \nabla - e \vec{A}\right)^2 + e \phi (\vec{r}) \right]\psi \left(\vec{r},t\right)
</math>
</equation>

gdzie:

<ul>

<li>
<math>\vec{B} = \nabla \times \vec{A}</math>

<li>
<math>\vec{E} = -\nabla \phi - \frac{\Delta \vec{A}}{\Delta t}</math>

<li>
<math>\vec{B}</math> to wektor indukcji magnetycznej

<li>
<math>\vec{E}</math> to wektor natężenia pola elektrycznego

</ul>

<li>
Rozwiązaniem równania (<xr id="uid27"> %i</xr>) są funkcje skalarne, które jednak nie opisują właściwie zachowania się elektronu w polu magnetycznym.

<li>
W przyrodzie obserwujemy zarówno fale skalarne (np. fale dźwiękowe) jak i fale wektorowe (np. fale elektromagnetyczne). Fale wektorowe mogą ulegać polaryzacji. Doświadczenie Sterna-Gerlacha wskazuje na to, że również fale prawdopodobieństwa mogą zostać spolaryzowane, zaś pole magnetyczne inaczej wpływa na poszczególne składowe polaryzacyjne <ref name="bid0" />.

<li>
Najprostszym sposobem wprowadzenia oddziaływania zależnego od pola magnetycznego i polaryzacji funkcji falowej do równania Schrödingera, jest przedstawienie go w postaci następującego układu równań <ref name="bid0" />:

<equation id="uid35">
<math>
\begin{array}{l}
i \hbar \frac{\partial \psi _{+}\left(\vec{r},t\right)}{\partial t} = \left[\frac{1}{2m}\left( \frac{\hbar }{i}\nabla - e \vec{A}\right)^{2} + e \phi - \mu B \right] \psi _{+}\left(\vec{r},t\right) \\
\\
i \hbar \frac{\partial \psi _{-}\left(\vec{r},t\right)}{\partial t} = \left[\frac{1}{2m}\left( \frac{\hbar }{i}\nabla - e \vec{A}\right)^{2} + e \phi + \mu B \right] \psi _{-}\left(\vec{r},t\right)
\end{array}
</math>
</equation>

<li>
Funkcja falowa cząstki posiadającej spin powinna zależeć nie tylko do zmiennych przestrzennych, ale również od dyskretnej zmiennej spinowej, opisującej wartość rzutu spinu na dowolnie wybraną w przestrzeni oś. Funkcja taka, oznaczmy ją dalej przez <math>\psi \left(\vec{r},t,m_{s}\right)</math>, będzie zbiorem różnych funkcji numerowanych przez parametr <math>m_{s}</math> związany ze spinem. Operator spinu działając na funkcję falową, będzie działał jedynie na składowe spinowe.

<li>
Równanie (<xr id="uid35"> %i</xr>) nie jest dogodną formą opisu oddziaływania pola magnetycznego ze spolaryzowaną falą prawdopodobieństwa. W roku 1927 Pauli pokazał, jak z dwóch funkcji falowych, przypisanych dwóm stanom polaryzacyjnym cząstki zbudować wielkość wektorową. Pomijając skomplikowane przekształcenia matematyczne, podamy rozwiązanie do którego doszedł Pauli. Z dwóch składowych polaryzacyjnych funkcji falowej: <math>\psi \left(\vec{r},t\right)_{+}</math> i <math>\psi \left(\vec{r},t\right)_{-}</math>, można zbudować dwuwymiarowy wektor i wektor do niego sprzężony:

<equation id="uid38">
<math>
\begin{array}{l}
\psi \left(\vec{r},t\right) = \left[
\begin{array}{l}
\psi _{+}\left(\vec{r},t\right) \\
\\
\psi _{-}\left(\vec{r},t\right)
\end{array}
\right]\\
\\
\psi ^{*}\left(\vec{r},t\right) = \left[
\psi ^{*}_{+}\left(\vec{r},t\right), \psi ^{*}_{-}\left(\vec{r},t\right) \right]
\end{array}
</math>
</equation>

który spełnia następujące równanie falowe:

<equation id="uid39">
<math>
i \hbar \frac{\partial \psi \left(\vec{r},t\right)}{\partial t} = \left[ \frac{1}{2m} \left( \frac{\hbar }{i}\nabla - e \vec{A}\right)^{2} + e \phi (\vec{r}) - \mu \vec{B} \vec{\sigma } \right] \psi \left(\vec{r},t\right)
</math>
</equation>

gdzie:

<ul>

<li>
<math>\vec{B}</math> jest indukcją pola magnetycznego, zaś <math>\vec{\sigma }</math> jest wektorem zbudowanym z tzw. macierzy Pauliego <math>\sigma _{x}</math>, <math>\sigma _{y}</math>, <math>\sigma _{z}</math>:

</ul>

<equation id="uid41">
<math>
\vec{\sigma }=\left[\mathbf {\sigma }_{x},\mathbf {\sigma }_{y},\mathbf {\sigma }_{z}\right]
</math>
</equation>

<equation id="uid42">
<math>
\begin{array}{l}
\sigma _{x} =
\left[
\begin{array}{cc}
0 & 1\\
1 & 0
\end{array}
\right]\\
\\
\sigma _{y} =
\left[
\begin{array}{cc}
0 & -i\\
i & 0
\end{array}
\right]\\
\\
\sigma _{z} =
\left[
\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & -1
\end{array}
\right]
\end{array}
</math>
</equation>

Iloczyn wektora <math>\vec{\sigma }</math> oraz wektora <math>\vec{B}</math> wynosi:

<equation id="uid43">
<math>
\vec{B}\vec{\sigma } =
\left[
\begin{array}{cc}
B_{z} & B_{x} - iB_{y}\\
\\
B_{x} + iB_{y} & -B_{z}
\end{array}
\right]
</math>
</equation>

<li>
W roku 1928 Dirac podał równanie falowe dla relatywistycznej cząstki o spinie <math>\frac{1}{2}</math> poruszającej się w polu elektromagnetycznym.
Rozwiązanie równania Diraca dla elektronu doprowadziło do wniosku, że spin jest składową całkowitego momentu pędu cząstki, wnosząc do niego wkład równy <math>\frac{1}{2}\hbar </math>. Równanie Diraca przewiduje istnienie spinu jako efektu relatywistycznego.

<li>
Operatory składowych wektora spinu są następujące <ref name="bid3" />:

<equation id="uid46">
<math>
\begin{array} {l}
\hat{s}_{x} = \frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
0 & 1\\
1 & 0
\end{array}
\right]\\
\\
\hat{s}_{y} = \frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
0 & -i\\
i & 0
\end{array}
\right]\\
\\
\hat{s}_{z} = \frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & -1
\end{array}
\right]
\end{array}
</math>
</equation>

a zatem operator spinu jest równy:

<equation id="uid47">
<math>
\hat{S} = \frac{1}{2}\hbar \vec{\sigma }
</math>
</equation>

</ol>

Podsumowując, spin należy rozumieć w ramach Mechaniki Kwantowej jako wyraz istnienia stanów polaryzacyjnych funkcji falowej (w przypadku elektronu, protonu, neutronu i niektórych jąder będą to dwa stany polaryzacyjne). Spin jest własnością cząstek, taką samą jak np. masa lub ładunek, ale obserwowalną dopiero w eksperymentach ujawniających kwantową naturę materii. Spin jest także składową całkowitego momentu pędu, niezwiązaną z ruchem, można go zatem również interpretować jako własny (wewnętrzny) moment pędu cząstki.

===Spin i moment magnetyczny jądra atomowego===

Jądra atomowe zawierające nieparzystą liczbę protonów lub neutronów mają niezerowy własny moment pędu <math>\vec{I}</math> (spin) oraz związany z nim moment magnetyczny. Zgodnie z regułami opisu wielkości wektorowych w mechanice kwantowej, jednocześnie może być obserwowalna tylko długość wektora oraz wartość jednej z jego składowych (tzw. rzut tego wektora na wyróżnioną oś, nazywaną osią kwantowania). W przypadku wektora własnego momentu pędu jądra atomowego jego długość wynosi <ref name="bid3" />:

<equation id="uid49">
<math>
|\vec{I}| = h\sqrt{I\left(I+1\right)}
</math>
</equation>

gdzie:

<ul>

<li>
<math>I</math> oznacza liczbą kwantową o wartości całkowitej lub połówkowej.

</ul>

Składowa <math>z</math> momentu pędu wyraża się następującym wzorem <ref name="bid3" />:

<equation id="uid51">
<math>
I_{z} = m_{I}h, \textrm { } m_{I} = I,I-1,\dots ,I
</math>
</equation>

Możliwych jest zatem <math>2I+1</math> orientacji spinu jądra względem wyróżnionego kierunku, odpowiadających możliwym wartościom jądrowej magnetycznej liczby kwantowej <math>m_{I}</math>. W przypadku protonu (jądra atomu wodoru), mamy <ref name="bid3" />:

::<math>
\begin{array}{l}
I=1/2\\
\\
|\vec{I}| = \frac{\sqrt{3}}{2}\hbar \\
\\
(\vec{I})_{z} = \pm \frac{1}{2}\hbar \end{array}
</math>

Moment magnetyczny związany jest ze spinem następującą zależnością <ref name="bid3" />:

<equation id="uid52">
<math>
\vec{\mu }_{I} = \gamma \vec{I}
</math>
</equation>

Energia potencjalna oddziaływania momentu magnetycznego z polem magnetycznym wynosi:

<equation id="uid59">
<math>
V = -\vec{\mu }\cdot \vec{B}
</math>
</equation>

Zgodnie z prawami termodynamiki układ fizyczny dąży do stanu, w którym jego energia wewnętrzna osiągnie wartość minimalną.
Rozważmy pole <math>\vec{B}</math>, posiadające tylko składową wzdłuż osi <math>z</math> (czyli <math>\vec{B}_0 = \left[ 0, 0, B_0\right]</math>), układu odniesienia.
W przypadku protonu, posiadającego ładunek dodatni, kierunek momentu magnetycznego jest zgodny z kierunkiem jego własnego momentu pędu, a zatem również rzuty momentu magnetycznego i momentu pędu na oś <math>z</math> są równoległe. Orientacji momentu pędu zgodnej z kierunkiem pola <math>\vec{B}</math> będzie odpowiadać energia potencjalna:

::<math>
V = -\frac{1}{2}\hbar \gamma B_0
</math>

natomiast orientacji antyrównoległej:

::<math>
V = \frac{1}{2}\hbar \gamma B_0 </math>

Ustawienie najkorzystniejsze energetycznie odpowiada więc sytuacji, kiedy składowa <math>z</math> spinu ustawiona jest w równolegle do kierunku pola <math>\vec{B}_0</math> (magnetyczna liczba kwantowa <math>m_{I}=\frac{1}{2}</math>).

===Precesja spinu i momentu magnetycznego w stałym polu magnetycznym — opis kwantowy dla cząstki o spinie 1/2===

Ze względu na wysokie naturalne rozpowszechnienie wodoru w organizmach żywych, oddziaływanie spinu z polem magnetycznym omówimy na przykładzie protonu. Dodatkowo, aby uprościć problem, rozważmy proton mający stałe położenie w przestrzeni oraz pole magnetyczne <math>\vec{B}_{0}</math>, które ma niezerową składową tylko wzdłuż osi <math>z</math>, czyli <math>\vec{B}=\left[0, 0, B_{0}\right]</math>. W takim przypadku równanie Pauliego przybierze następującą postać:

<equation id="uid61">
<math>
\frac{\partial \psi \left(\vec{r},t\right)}{\partial t} = \left[\frac{1}{2m}\left(\frac{\hbar }{i}\nabla \right)^2 - \mu \vec{B}\vec{\sigma }\right]\psi \left(\vec{r},t\right)
</math>
</equation>

Powyższe równanie można rozwiązać metodą rozdzielenia zmiennych przestrzennych i spinowych <ref name="bid0" />:

<equation id="uid62">
<math>
\psi \left(\vec{r},t\right) = \psi _{r}\left(\vec{r},t\right)\chi \left(t\right)
</math>
</equation>

gdzie:

<ul>

<li>
<math>\psi _{r}\left(\vec{r},t\right)</math> — zależy wyłącznie od współrzędnych przestrzennych i czasu

<li>
<math>\chi \left(t\right)</math> — jest dwuskładnikowym spinorem.

</ul>

w wyniku podstawienia równania (<xr id="uid62"> %i</xr>) do równania (<xr id="uid61"> %i</xr>) uzyskujemy następujący układ dwóch niezależnych równań:

<equation id="uid65">
<math>
\begin{array}{l}
i\hbar \frac{\Delta \psi _{r}\left(\vec{r},t\right)}{\Delta t} = - \frac{\hbar ^{2}}{2m}\nabla ^{2}\psi \left(\vec{r},t\right) \\ \\
i\hbar \frac{\Delta \chi \left(t\right)}{\Delta t} = - \mu \vec{\sigma }\vec{B}\psi \left(\vec{t}\right)
\end{array}
</math>
</equation>

Interesuje nas ewolucja spinu, dlatego rozwiążemy dalej tylko równanie dla funkcji <math>\chi \left(t\right)</math>.
Podstawiając:

<equation id="uid66">
<math>
\vec{\sigma }\vec{B}=
\left[
\begin{array}{cc}
\mu B_{0} & 0 \\
0 & -\mu B_{0}
\end{array}
\right]
</math>
</equation>

do równania (<xr id="uid65"> %i</xr>), otrzymujemy:

<equation id="uid67">
<math>
i\hbar \frac{\Delta \chi \left(t\right)}{\Delta t} =
\left[
\begin{array}{cc}
\mu B_{0} & 0 \\
0 & -\mu B_{0}
\end{array}
\right]\chi \left(t\right)
</math>
</equation>

Jest to układ równań różniczkowych rzędu pierwszego o rozwiązaniach postaci:

<equation id="uid68">
<math>
\begin{array}{l}
\chi _{+}\left(t\right) = ae^{i\frac{\mu B_{0}}{\hbar }t}
\left[
\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}
\right]\\
\\
\chi _{-}\left(t\right) = be^{-i\frac{\mu B_{0}}{\hbar }t}
\left[
\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}
\right]
\end{array}
</math>
</equation>

Dokonajmy analizy jednostkowej uzyskanego rozwiązania.
Argument funkcji wykładniczej powinien być bezwymiarowy.
Wielkość <math>\mu B_{0}</math> ma wymiar energii, z kolei stała Planka ma wymiar <math>\left[\textrm {Js}\right]</math>, a zatem:

::<math>
\pm i\frac{\mu B_{0}}{\hbar } = \left[\frac{J}{Js}\right] = \left[\frac{1}{s}\right]
</math>

Oznaczmy dalej wielkość <math>\frac{\mu B_{0}}{\hbar }</math>, w następujący sposób:

<equation id="uid69">
<math>
\omega ^{\prime }_{0} = \frac{\mu B_{0}}{\hbar }
</math>
</equation>

Ostatecznie, otrzymane rozwiązanie możemy przedstawić w dwóch formach:

<equation id="uid70">
<math>
\chi \left(t\right) =
ae^{i\omega ^{\prime }_{0}t}\left[
\begin{array}{l}
1\\
0
\end{array}
\right]
+
be^{-i\omega ^{\prime }_{0}t}\left[
\begin{array}{l}
0\\
1
\end{array}
\right]
</math>
</equation>

lub

<equation id="uid71">
<math>
\chi \left(t\right) =
ae^{i\frac{E}{\hbar }t}\left[
\begin{array}{l}
1\\
0
\end{array}
\right]
+
be^{-i\frac{E}{\hbar }t}\left[
\begin{array}{l}
0\\
1
\end{array}
\right]
</math>
</equation>

gdzie:

<ul>

<li>
<math>E = \mu B_{0}</math>

</ul>

Jak można zauważyć, rozwiązaniem równania falowego (<xr id="uid65"> %i</xr>) jest funkcja:

<ul>

-
<li>
ortogonalna

-
<li>
ortonormalna, o ile zostanie spełniony warunek:

::<math>
\left|a\right|^{2} + \left|b\right|^{2} = 1
</math>

</ul>

Rozwiązanie to spełnia zatem postulaty mechaniki kwantowej dotyczące postaci funkcji falowej.
Wartości <math>\left|a\right|^{2}</math> i <math>\left|b\right|^{2}</math> można traktować jako prawdopodobieństwa znalezienia jądra atomowego w stanie odpowiednio o spinie skierowanym w górę i spinie skierowanym w dół.

Wyznaczymy teraz wartości oczekiwane operatora składowych spinu korzystając ze wzoru (<xr id="uid21"> %i</xr>).
Na początku uprościmy zapis funkcji falowej. Wprowadźmy skrócone oznaczenie:

::<math>
\begin{array}{l}
\alpha = ae^{i\omega ^{\prime }_{0}t}\\
\beta = be^{-i\omega ^{\prime }_{0}t}
\end{array}
</math>

umożliwiające zapis funkcji falowej w następującej formie

<equation id="uid75">
<math>
\chi \left(t\right) =
\alpha \left[
\begin{array}{l}
1\\
0
\end{array}
\right]
+
\beta \left[
\begin{array}{l}
0\\
1
\end{array}
\right]=
\left[
\begin{array}{l} \alpha \\
\beta \end{array}
\right]
</math>
</equation>

Składowa <math>z</math> operatora spinu

::<math>
\hat{C}\phi =\frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & -1
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\alpha \\
\beta \end{array}
\right]
= \frac{\hbar }{2}\left[
\begin{array}{c}
\alpha \\
-\beta \end{array}
\right]
</math>

::<math>
\phi ^{*}\hat{C}\phi = \frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
\alpha ^{*} & \beta ^{*}
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\alpha \\
-\beta \end{array}
\right] =
\frac{\hbar }{2}\left(
\begin{array}{cc}
\left|\alpha \right|^{2} - \left|\beta \right|^{2}
\end{array}
\right)
</math>

ostatecznie:

<equation id="uid76">
<math>
\left<\hat{s}_{z}\right> = \frac{\hbar }{2}\left(a^{2} - b^{2}\right)
</math>
</equation>

Składowa <math>x</math> operatora spinu

::<math>
\hat{C}\phi =\frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
0 & 1\\
1 & 0
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\alpha \\
\beta \end{array}
\right]
= \frac{\hbar }{2}\left[
\begin{array}{c}
\beta \\
\alpha \end{array}
\right]
</math>

::<math>
\phi ^{*}\hat{C}\phi = \frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
\alpha ^{*} & \beta ^{*}
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\beta \\
\alpha \end{array}
\right] =
\frac{\hbar }{2}\left(
\begin{array}{cc}
\alpha ^{*}\beta - \beta \alpha ^{*}
\end{array}
\right)
</math>

po podstawieniu za <math>\alpha </math> i <math>\beta </math> odpowiednich wyrażeń otrzymujemy:

<equation id="uid77">
<math>
\left<\hat{s}_{x}\right> = \hbar ab\cos \left(2\omega ^{\prime }_{0}t\right)
</math>
</equation>

Składowa <math>y</math> operatora spinu

::<math>
\hat{C}\phi =\frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
0 & -i\\
i & 0
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\alpha \\
\beta \end{array}
\right]
= i\frac{\hbar }{2}\left[
\begin{array}{c}
-\beta \\
\alpha \end{array}
\right]
</math>

::<math>
\phi ^{*}\hat{C}\phi = i\frac{\hbar }{2}
\left[
\begin{array}{cc}
\alpha ^{*} & \beta ^{*}
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
-\beta \\
\alpha \end{array}
\right] =
\frac{\hbar }{2}\left(
\begin{array}{cc}
-\alpha ^{*}\beta + \beta \alpha ^{*}
\end{array}
\right)
</math>

po podstawieniu za <math>\alpha </math> i <math>\beta </math> odpowiednich wyrażeń otrzymujemy:

<equation id="uid78">
<math>
\left<\hat{s}_{y}\right> = -\hbar ab\sin \left(2\omega ^{\prime }_{0}t\right)
</math>
</equation>

Podsumowując, otrzymaliśmy następujący układ równań na wartości oczekiwane składowych operatora spinu:
<equation id="uid79"><math>
\begin{array}{l}
<\hat{s}_{z}> = \frac{\hbar }{2}\left(a^{2} - b^{2}\right)\\
\\
<\hat{s}_{x}> = \hbar ab\cos \left(2\omega^{\prime }_{0}t\right)\\
\\
<\hat{s}_{y}> = -\hbar ab\sin \left(2\omega^{\prime }_{0}t\right)
\end{array}
</math>
</equation>

Z powyższych równań możemy wyciągnąć następujące, ważne wnioski:

<ol>

<li>
Jeżeli <math>\left|a\right|^{2}=1</math> i <math>\left|b\right|^{2}=0</math> lub gdy <math>\left|a\right|^{2}=0</math> i <math>\left|b\right|^{2}=1</math>, czyli gdy spin jest zawsze ustawiony w górę lub w dół, to wtedy wartość oczekiwana składowej <math>z</math> operatora spinu wynosi <math>\frac{\hbar }{2}</math>, natomiast znikają wartości oczekiwane składowych w płaszczyźnie <math>x-y</math>.

<li>
Jeżeli <math>\left|a\right|^{2}=\left|b\right|^{2}</math>, czyli gdy tak samo prawdopodobne jest ułożenie spinu równoległe jak i antyrównoległe do osi <math>z</math>, to wtedy znika wartość oczekiwana składowej <math>z</math> operatora spinu, natomiast wartości oczekiwane w płaszczyźnie <math>x-y</math> są równe <math>\frac{\hbar }{2}</math>.

<li>
Wartość oczekiwana operatora spinu wzdłuż osi <math>z</math> jest stała w czasie, natomiast wartości oczekiwane w płaszczyźnie <math>x-y</math> wirują z częstością <math>2\omega ^{\prime }_{0}</math>. Częstość <math>\omega _{0}=2\omega ^{\prime }_{0}</math> jest nazywana częstością precesji Larmour. W przypadku protonu lub neutronu częstość Larmour można zapisać również w postaci:

::<math>
\omega _{0}=2\omega ^{\prime }_{0} = 2\frac{\mu B_{0}}{\hbar } = 2\gamma B_{0}I = \gamma B_{0}
</math>

gdzie <math>\gamma </math> jest współczynnikiem giromagnetycznym odpowiadającym poszczególnym cząstkom, zaś <math>I=\frac{1}{2}</math>
czyli:

<equation id="uid83">
<math>
\omega _{0} = \gamma B_{0}
</math>
</equation>

<li>
Wartości oczekiwane operatora spinu: <math>\left<\hat{s}_{x}\right></math>, <math>\left<\hat{s}_{y}\right></math> i <math>\left<\hat{s}_{z}\right></math> możemy interpretować jako precesję spinu. Możemy również utworzyć wektor: <math>\left<\hat{s}\right> = \left[\left<\hat{s}_{x}\right>, \left<\hat{s}_{y}\right>, \left<\hat{s}_{z}\right>\right]</math>

<li>
Precesja spinu następuje zgodnie z ruchem wskazówek zegara, a więc wektor prędkości kątowej jest skierowany antyrównolegle do osi <math>z</math>. W przypadku, kiedy cząstka lub jądro charakteryzuje się ujemnym momentem magnetycznym, precesja następuje w kierunku przeciwnym do wskazówek ruchu zegara<ref><math>\cos \left(-2\omega _{0}\right)=\cos \left(2\omega _{0}\right)</math>, zaś <math>\sin \left(-2\omega _{0}\right)=-\sin \left(2\omega _{0}\right)</math></ref>

::<math>
\begin{array}{l}
\hat{s}_{z} = \frac{\hbar }{2}\left(a^{2} - b^{2}\right)\\
\\
\hat{s}_{x} = \hbar ab\cos \left(2\omega _{0}t\right)\\
\\
\hat{s}_{y} = \hbar ab\sin \left(2\omega _{0}t\right)
\end{array}
</math>

</ol>

===Rezonans magnetyczny, ujęcie kwantowe===

Pod wpływem zewnętrznego pola magnetycznego <math>\vec{B}_{0}</math> spiny jądrowe zostają uporządkowane, w wyniku czego w badanej próbce powstaje
makroskopowy moment magnetyczny (namagnesowanie). Niestety, obserwowalna może być tylko składowa namagnesowania równoległa do pola <math>\vec{B}_{0}</math>.Stosowane w diagnostyce MRI pola <math>\vec{B}_{0}</math> mają wartości od <math>0.5</math> do <math>4</math>T. Wytworzone przez takie pole namagnesowanie jest niewielkie i szybko zanika wraz z odległością.
Zarejestrowanie na tle silnego pola <math>\vec{B}_{0}</math> miliony razy słabszego namagnesowanie jest niezwykle trudne. Wiemy jednak, zgodnie z prawem Faradaya, że statyczne pole magnetyczne nie indukuje pola elektrycznego. Aby wyindukować pole elektryczne, potrzebna jest zmiana strumienia pola magnetycznego. Gdybyśmy potrafili w jakiś sposób wpłynąć na kierunek wytworzonego w próbce namagnesowania lub jego wielkości, moglibyśmy mierzyć sygnał elektryczny z nim związany np. przy pomocy cewek, podczas gdy pole <math>\vec{B}_{0}</math> przez taką cewkę nie byłoby rejestrowane.

[[Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metodą_Magnetycznego_Rezonansu_Jądrowego#Zmiana_orientacji_wektora_namagnesowania._Magnetyczny_Rezonans_J.C4.85drowy|W rozdziale o zmianie orientacji wektora namagnesowania]] podaliśmy wzór, z których wynikało, iż obsadzenie stanów związanych ze spinem jądra atomowego wpływa na składowe wektora wartości oczekiwanej momentu magnetycznego. Powstaje zatem pytanie, w jaki sposób zaburzyć powstałą pod wpływem pola <math>\vec{B}_{0}</math> równowagę. Jak przenieść cześć jąder z podstawowego poziomu energetycznego, do stanu wzbudzonego? Odpowiedz w ramach teorii pół-klasycznej, została podana w rozdziale [https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/action/edit/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metod%C4%85_Magnetycznego_Rezonansu_J%C4%85drowego?section=8].
Przypominamy, że próbkę trzeba umieścić w dodatkowym, słabym, zmiennym w czasie polu magnetycznym, mającym niezerowe składowe tylko w płaszczyźnie <math>x-y</math>, które oznaczymy jako <math>\vec{B}_{1}\left(t\right)</math>. Sprawdzimy jednak, jakie są konsekwencje
umieszczenia próbki w takim polu. Całkowite pole magnetyczne, w którym znajduje się badana próbka wynosi:

<equation id="uid2">
<math>
\vec{B}\left(t\right) = \vec{B}_{0} + \vec{B}_{1}\left(t\right)
</math>
</equation>

gdzie:

<ul>
<dt>

<li>
<math>\vec{B}_{0} = \left[0,0, B_{0}\right]</math>

<dt>

<li>
<math>\vec{B}_{1}\left(t\right) = \left[B_{1}\cos \left(\omega t\right),-B_{1}\sin \left(\omega t\right),0\right]</math>

</ul>

Podstawiając wzór (<xr id="uid2"> %i</xr>) do wzoru
(<xr id="uid61"> %i</xr>), oraz przyjmując zgodnie ze
wzorem (<xr id="uid38"> %i</xr>), że poszukujemy rozwiązania postaci:

<equation id="uid5">
<math>
\chi \left(t\right) =
\left[
\begin{array}{l}
\chi _{1}\left(t\right) \\
\chi _{2}\left(t\right)
\end{array}
\right] =
\chi _{1}\left(t\right)\left[
\begin{array}{l}
1\\
0
\end{array}
\right]
+
\chi _{2}\left(t\right)\left[
\begin{array}{l}
0\\
1
\end{array}
\right]
</math>
</equation>

otrzymujemy następujący układ równań:

<equation id="uid6">
<math>
\begin{array}{l}
i\frac{d\chi _{1}\left(t\right)}{dt} =
-\frac{\mu }{\hbar }\left(B_{1}e^{i\omega t}\chi _{2}\left(t\right) +
B_{0}\chi _{1}\left(t\right)\right)\\
\\
i\frac{d\chi _{2}\left(t\right)}{dt} =
-\frac{\mu }{\hbar }\left(B_{1}e^{-i\omega t}\chi _{1}\left(t\right) +
B_{0}\chi _{2}\left(t\right)\right)
\end{array}
</math>
</equation>

Domyślamy się, że rozwiązaniem powyższego układu równań będą funkcje:

<equation id="uid7">
<math>
\begin{array}{l}
\chi _{1}\left(t\right) = ae^{i\left(\omega + \omega _{r}\right)t}\\
\\
\chi _{2}\left(t\right) = be^{i\omega _{r} t}
\end{array}
</math>
</equation>

Wstawienie równań (<xr id="uid7"> %i</xr>) do
(<xr id="uid6"> %i</xr>) daje jednorodne równanie
macierzowe:

<equation id="uid8">
<math>
\underbrace{\left[
\begin{array}{cc}
\left(\frac{\mu B_{0}}{\hbar } - \omega - \omega _{r}\right) &
\frac{\mu B_{0}}{\hbar } \\
\\
\frac{\mu B_{0}}{\hbar } & -\left(\frac{\mu B_{0}}{\hbar } +
\omega _{r}\right)
\end{array}
\right]
}_{\Delta }
\left[
\begin{array}{c}
a \\
\\
b
\end{array}
\right] = 0
</math>
</equation>

które ma nietrywialnie rozwiązanie tylko wtedy, gdy znika wyznacznik
macierzy <math>\Delta </math>.
Warunek ten prowadzi do równania:

<equation id="uid9">
<math>
\omega _{r}^{2} + \omega \omega _{r} - \frac{\mu B_{0}}{\hbar }\left(\frac{\mu B_{0}}{\hbar } - \omega \right) -
\left(\frac{\mu B_{0}}{\hbar }\right)^{2} = 0
</math>
</equation>

Dozwolone wartości parametru <math>\omega _{r}</math> są zatem równe:

<equation id="uid10">
<math>
\omega _{r} = -\frac{\omega }{2} \pm \Omega </math>
</equation>

gdzie:

<equation id="uid11">
<math>
\Omega = \left[\left(\frac{\omega }{2} - \frac{\mu B_{0}}{\hbar }\right)^{2} + \left(\frac{\mu B_{1}}{\hbar }\right)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}
</math>
</equation>

Parametr <math>\Omega </math> nazywany jest częstością Rabiego.
Rozwiązanie ogólne np. dla <math>\chi _{2}\left(t\right)</math> będzie kombinacją
liniową dwóch składowych, odpowiadającym dwóm częstościom
(<xr id="uid11"> %i</xr>):

<equation id="uid12">
<math>
\chi _{2}\left(t\right) =
b_{1}e^{i\left(-\frac{\omega }{2}+\Omega \right)t} +
b_{2}e^{i\left(-\frac{\omega }{2}-\Omega \right)t}
</math>
</equation>

Przyjmijmy teraz, że w chwili czasu <math>t=0</math> proton znajduje się w stanie
podstawowym (czyli ma spin skierowany równolegle do pola <math>B_{0}</math>),

<equation id="uid13">
<math>
\left|\chi _{2}\left(t=0\right)\right|^{2} = 1
</math>
</equation>

wówczas:

<equation id="uid14">
<math>
b_{1} = -b_{2}
</math>
</equation>

Podstawiając (<xr id="uid12"> %i</xr>) do drugiego z równań
(<xr id="uid6"> %i</xr>) daje następującą postać funkcji
<math>\chi _{2}\left(t\right)</math>:

<equation id="uid15">
<math>
\chi _{2}\left(t\right) = i\frac{\mu B_{1}}{\hbar \Omega }e^{-\frac{i\omega t}{2}}sin\left(\Omega t\right)
</math>
</equation>

Rozwiązanie <math>\chi _{1}\left(t\right)</math>, odpowiadające szczególnej postaci
<math>\chi _{2}\left(t\right)</math> można otrzymać korzystając z drugiego z równań
(<xr id="uid6"> %i</xr>):

<equation id="uid16">
<math>
\chi _{1}\left(t\right) = e^{\frac{i\omega t}{2}}\cos \left(\Omega t\right) + \frac{i}{\Omega }\left(\frac{\omega }{2} - \frac{\mu B_{0}}{\hbar }\right)e^{\frac{i\omega t}{2}}sin\left(\Omega t\right)
</math>
</equation>

Podsumowując, otrzymaliśmy następujące rozwiązanie opisujące ewolucję
spinu protonu w polu magnetycznym <math>\vec{B}\left(t\right)</math>:

<equation id="uid17">
<math>
\begin{array}{l}
\chi \left(t\right) =
\left[
\begin{array}{l}
\chi _{1}\left(t\right) \\
\chi _{2}\left(t\right)
\end{array}
\right] =
\chi _{1}\left(t\right)\left[
\begin{array}{l}
1\\
0
\end{array}
\right]
+
\chi _{2}\left(t\right)\left[
\begin{array}{l}
0\\
1
\end{array}
\right]
\\
\\
\textrm {gdzie:}\\
\\
\chi _{1}\left(t\right) = e^{\frac{i\omega t}{2}}\cos \left(\Omega t\right) + \frac{i}{\Omega }\left(\frac{\omega }{2} -
\frac{\mu B_{0}}{\hbar }\right)e^{\frac{i\omega t}{2}}sin\left(\Omega t\right)
\\
\chi _{2}\left(t\right) = i\frac{\mu B_{1}}{\hbar \Omega }e^{-\frac{i\omega t}{2}}sin\left(\Omega t\right)\\
\end{array}</math>
</equation>

Obliczymy teraz prawdopodobieństwo znalezienia protonu w stanie o rzucie
spinu <math>-\frac{1}{2}</math> w chwili czasu <math>t</math>:

<equation id="uid18">
<math>
P_{-}\left(t\right) = \left|\chi _{2}\left(t\right)\right|^{2} =
\left(\frac{\mu B_{1}}{\hbar \Omega }\right)^{2}\sin ^{2}\left(\Omega t\right)
</math>
</equation>

Prawdopodobieństwo to oscyluje w czasie. Oczywiście prawdopodobieństwo
znalezienia protonu w stanie o rzucie spinu <math>-\frac{1}{2}</math>
jest równe <math>P_{+}\left(t\right) = 1 - P_{+}\left(t\right)</math>.
Przeanalizujmy otrzymany wynik. Amplituda oscylacji prawdopodobieństwa
zależy od częstości Rabiego:

::<math>
\Omega = \left[\left(\frac{\omega }{2} - \frac{\mu B_{0}}{\hbar }\right)^{2} + \left(\frac{\mu B_{1}}{\hbar }\right)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}
</math>

Jeżeli częstość <math>\omega </math> zmiennego pola magnetycznego będzie dowolnie
duża lub dowolnie mała, częstość Rabiego osiągnie znaczne wartości, a w
związku z tym prawdopodobieństwo przejścia jądra ze stanu o rzucie spinu
w górę do stanu o rzucie spinu w dół będzie zawsze niskie.
W momencie, gdy zostanie spełniony warunek:

<equation id="uid19">
<math>
\hbar \omega = 2\mu B_{0}
</math>
</equation>

przy jednoczesnym założeniu, że <math>B_{1}\ll B_{0}</math>, częstość Rabiego wyniesie:

::<math>
\Omega = \left(\frac{\mu B_{1}}{\hbar }\right)
</math>

a amplituda oscylacji prawdopodobieństwa osiąga maksymalną wartość:

<equation id="uid20">
<math>
P_{-}\left(t\right) = \sin ^{2}\left(\Omega t\right)
</math>
</equation>

Równanie (<xr id="uid19"> %i</xr>) określa tzw. warunek wystąpienia zjawiska
jądrowego rezonansu magnetycznego. Warto zauważyć, że energia pola
magnetycznego, jaką trzeba dostarczyć, aby uzyskać przejście jądra ze
stanu o rzucie spinu <math>\frac{1}{2}</math> do stanu o rzucie spinu
<math>-\frac{1}{2}</math> jest równa różnicy energii poziomów energetycznych
protonów umieszczonych w zewnętrznym polu <math>B_{0}</math>, bowiem:

<equation id="uid21">
<math>
\begin{array}{c}
E_{+} = -\mu B_{0} \\
\\
E_{-} = \mu B_{0} \\
\\
E_{-} - E_{+} = 2\mu B_{0}\\
\end{array}
</math>
</equation>

Jak wiemy, częstość precesji Larmour jest równa <math>\frac{2\mu B_{0}}{\hbar}</math>, a zatem
warunek rezonansowy możemy zapisać również w postaci:

<equation id="uid22">
<math>
{\omega = \omega _{0}}
</math>
</equation>

Prawdopodobieństwo przejścia jądra protonu ze stanu o rzucie spinu
<math>\frac{1}{2}</math> do stanu o rzucie <math>-\frac{1}{2}</math>, równe <math>50\%</math> zostanie
osiągnięte po czasie:

<equation id="uid23">
<math>
\sin ^{2}\left(\Omega t\right) = \frac{1}{2}
</math>
</equation>

czyli:

<equation id="uid24">
<math>
\sin \left(\Omega t\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}
</math>
</equation>

skąd dostajemy:

<equation id="uid25">
<math>
{t = \frac{\pi }{4\Omega }}
</math>
</equation>

Jest to tzw. impuls <math>\pi </math> — zastosowanie zmiennego pola magnetycznego o
takim czasie trwania impulsu doprowadzi do zaniku namagnesowania
podłużnego, powstanie natomiast namagnesowanie poprzeczne, co dokładniej
omówimy w dalszej części rozdziału.

Z kolei przejścia protonu do stanu o wyższej energii nastąpi po czasie:

<equation id="uid26">
<math>
{t = \frac{\pi }{2\Omega }}
</math>
</equation>

Jest to tzw. impuls <math>\frac{\pi }{2}</math>, powodujący zmianę orientacji spinu
protonu w zewnętrznym polu magnetycznym.

Znaleźliśmy zatem sposób na zmianę orientacji spinu, a w związku z tym i
namagnesowania.
W warunkach rezonansu funkcja falowa spinu wyraża się następującym wzorem:

<equation id="uid27">
<math>
\chi \left(t\right) = \cos \left(\Omega t\right)e^{\frac{i\omega t}{2}}
\left[
\begin{array}{l}
1\\
0
\end{array}
\right]
+ ie^{-\frac{i\omega t}{2}}sin\left(\Omega t\right)
\left[
\begin{array}{l}
0\\
1
\end{array}
\right]
</math>
</equation>

Korzystając ze wzoru na funkcję falową, podobnie jak w to uczyniliśmy w
rozdziale [https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/action/edit/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metod%C4%85_Magnetycznego_Rezonansu_J%C4%85drowego?section=36], możemy policzyć składowe wektora
wartości oczekiwanych operatora spinu. Wynoszą one:

<equation id="uid28">
<math>
\begin{array}{l}
\langle\hat{s}_{z}\rangle = \frac{1}{2}\hbar \cos \left(2\Omega t\right)\\
\\
\langle\hat{s}_{x}\rangle = \frac{1}{2}\hbar \sin \left(2\Omega t\right)\cos \left(2\omega _{0}t\right)\\
\\
\langle\hat{s}_{y}\rangle = -\frac{1}{2}\hbar \sin \left(2\Omega t\right)\sin \left(2\omega _{0}t\right)
\end{array}
</math>
</equation>

Z równań tych wynika, że w płaszczyźnie <math>x-y</math> wartość oczekiwana spinu
jest superpozycją dwóch rodzajów ruchów — szybkiego, z częstością
<math>2\omega _{0}</math> (częstością Larmour) oraz modulacji <math>2\Omega _{0}</math>,
natomiast składowa <math>z</math> wartości oczekiwanej momentu magnetycznego
odchyla się od kierunku zgodnego z polem <math>B_{0}</math> (równoległego do osi
<math>z</math>) w stronę kierunku przeciwnego do kierunku do pola <math>B_{0}</math>.

Ważne uwagi

<ol>

<li>
Zarówno w rozdziale [https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/action/edit/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Obrazowanie_Metod%C4%85_Magnetycznego_Rezonansu_J%C4%85drowego?section=36], gdzie
opisywaliśmy precesję spinu w zewnętrznym polu magnetycznym, jak i w
rozdziale bieżącym, pominęliśmy w rozwiązaniach czynnik fazowy. Pełni on
jednak bardzo istotną role w opisie zjawiska NMR. W wyniku
wykonywania precesji w różnej fazie przez spiny jądrowe, zanika składowa
poprzeczna namagnesowania.

<li>
W przypadku wystąpienia rezonansu jądrowego, zewnętrzne pole
<math>\vec{B}_{1}\left(t\right)</math> oprócz indukowania przejść między poziomami
energetycznymi, powoduje również synchronizację składowych wartości
oczekiwanych spinu w płaszczyźnie <math>x-y</math>. Pół-klasycznym wytłumaczeniem
tego efektu zajmiemy się jeszcze w następnym rozdziale. Warto jednak już
w tym miejscu zapamiętać, iż procesy prowadzące do synchronizacji lub
desynchronizacji ruchu spinów zawierają niezwykle cenną informację
diagnostyczną.

</ol>

Podsumowując:

<ol>

<li>
W zewnętrznym, statycznym polu magnetycznym, skierowanym
wzdłuż osi <math>z</math>, spin protonu wykonuje ruch precesyjny z częstością
Larmour. Składowa <math>z</math> wartości oczekiwanej spinu jest stała w czasie,
składowe poprzeczne wykonują ruch wirowy w płaszczyźnie <math>x-y</math>.

<li>
Różnym ułożeniom spinu względem pola magnetycznego
odpowiadają różne energie potencjalne. W przypadku spinu równego
<math>\frac{1}{2}</math> istnieją dwa poziomy energetyczne, które będą obsadzane
przez jądra zgodnie z rozkładem Boltzmanna. Poziom odpowiadający
równoległemu rzutowi spinu na kierunek zewnętrznego pola magnetycznego,
jest korzystniejszy energetycznie, dlatego będzie obsadzany częściej.

<li>
Desynchronizacja ruchu wirowego wartości oczekiwanej spinów w
płaszczyźnie <math>x-y</math> uniemożliwia powstanie namagnesowania poprzecznego.
Obserwujemy tylko namagnesowanie podłużne.

<li>
Pod wpływem odpowiednio dobranego pola magnetycznego, można
doprowadzić do przejść między poziomami energetycznymi protonu. Jeżeli
energia kwantu promieniowania jest równa różnicy poziomów
energetycznych, proton absorbuje energię pola i przechodzi ze stanu o
podstawowego do stanu wzbudzonego. Następnie, po pewnym czasie pozbywa
się nagromadzonej energii, przechodząc z powrotem w stan podstawowy.
Przejścia te możliwe są tylko wtedy, kiedy kwant promieniowania ma
energię odpowiadającą częstości precesji Larmour spinu protonu w
zewnętrznym polu magnetycznym <math>B_{0}</math>.

<li>
Po pobudzeniu protonu impulsem <math>\frac{\pi }{2}</math> zanika
równowaga termodynamiczna w obsadzeniu stanów, a wraz z nią składowa <math>z</math>
wartości oczekiwanej spinu i związane nią namagnesowanie podłużne.

<li>
Jednocześnie, w wyniku synchronizacji w płaszczyźnie <math>x-y</math>
wartości oczekiwanej spinów tych jąder atomowych, które uległy przejściu
rezonansowemu, zaczyna powstawać namagnesowanie poprzeczne.

<li>
W trakcie przechodzenia protonów ze stanu podstawowego do
stanu wzbudzonego, obserwowane namagnesowanie podłużne zanika, podczas
gdy narasta namagnesowanie poprzeczne. Obserwujemy zatem efekt,
odchylania się wypadkowego namagnesowania od osi <math>z</math> w kierunku
płaszczyzny <math>x-y</math>.

<li>
W wyniku procesów prowadzących do rozpraszania nagromadzonej
przez proton energii oraz desynchronizacji ruchów precesyjnych zanika
namagnesowanie poprzeczne, natomiast odbudowuje się składowa podłużna
namagnesowania.

<li>
Zmianom kierunku i wielkości namagnesowania towarzyszy zmiana
indukcji pola elektrycznego, która może być rejestrowana przez cewki.
W szczególności, sygnał pochodzący od składowej poprzecznej
namagnesowania nosi nazwę sygnału FID (Free Induction Decay).

</ol>

==Terminy stosowane w diagnostyce MRI==
* '''Sekwencją''' nazywamy w badaniu MRI serię odpowiednio impulsów, zastosowaną w celu rejestracji danych pomiarowych i odtworzenia obrazu.
* '''RF — Radio Frequency''' to impuls generujący zmienne w czasie pole magnetyczne <math>\vec{B}_{1}</math>, pod wpływem którego jądra zajmują wyższe poziomy energetyczne związane ze spinem
* '''TR — Repetition Time''' jest to czas pomiędzy kolejnymi impulsami wzbudzającymi <math>\pi/2</math> (RF)
* '''TE — Echo Time''' jest to czas pomiędzy momentem wystąpienia impulsu pobudzającego <math>\pi/2</math> a momentem rejestracji sygnału echa spinowego.
* '''FA — Flip Angle''' to kąt o który ma być przekręcona magnetyzacja od osi <math>z</math> w kierunku płaszczyzny <math>x-y</math>. Zazwyczaj jest to kąt równy 90<math>^{o}</math>, jednakże w celu przyspieszenia badania, w niektórych sekwencjach stosuje się mniejsze kąty.
* '''TI — Inversion Time''' jest to czas pomiędzy impulsem pobudzającym <math>\pi</math> (zmiana orientacji spinu o 180<math>^{o}</math>) a impulsem pobudzającym <math>\pi/2</math>.
*'''NA or NEX Number of Acquisitions''' to liczba powtórzeń pomiaru. W celu uzyskania wysokiego SNR, pomiary można powtarzać wielokrotnie. Redukcja szumu maleje proporcjonalne do <math>\sqrt{\textrm{NA}}</math>.
----
<references/>

Obrazowanie:Obrazowanie Medyczne/Rentgenowska Tomografia Komputerowa

2015-10-31T20:55:45Z

Rkus:

Rentgenowska Tomografia Komputerowa

Rentgenowska Tomografia Komputerowa (ang. ''Computed Tomography'', ''CT''), nazywana w żargonie medycznym po prostu tomografią, była historycznie pierwszą metodą umożliwiającą uzyskanie obrazów wybranych warstw pacjenta. Poprzedni rozdział zakończyliśmy pytaniem jak aparatura medyczna może zrealizować Transformatę Radona. Okazuje się, że przy pomocy odpowiednio skolimowanej wiązki promieniowania Rentgenowskiego oraz ruchów lampy rentgenowskiej i detektorów, procesy fizyczne zachodzące w trakcie transmisji promieniowania X przez pacjenta automatycznie prowadzą do wyznaczania Transformaty Radona.

==Podstawy Rentgenowskiej Tomografii Komputerowej==

[[File:projekcja_2.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:projekcja_2"></figure>Schemat układu pomiarowego, fizycznie realizującego Transformatę Radona. Lampa Rentgenowska emituje wiązkę promieniowania X, przebiegającą przez w odległości ''t'' od środka układu współrzędnych. Wiązka ta tworzy kąt φ z osią ''X''. Po dokonaniu pojedynczego pomiaru (skanu) lampa RTG wraz z detektorem przesuwa się wzdłuż do osi ''T'', dokonując kolejnych pomiarów. Po przeskanowaniu obiektu wzdłuż danego kierunku, lampa RTG i detektor obracają się o pewien kąt, a następnie ponownie wykonują ruchy translacyjne.]]

Niech badany obiekt charakteryzuje się pewnym rozkładem liniowego współczynnika osłabienia promieniowania X <math>\mu(x, y)</math>, który jest niezerowy w obrębie obiektu i równy 0 wszędzie poza nim. Obiekt opisany jest we współrzędnych kartezjańskich X-Y, zaś pozycja lampy Rentgenowskiej oraz detektora w obróconym układzie współrzędnych T-S. Związki pomiędzy tymi układami są następujące:

<equation id="1"><math>
\left\{
\begin{array}{l}
t = x\cos(\phi) + y\sin(\phi) \\
\\
s = -x\sin(\phi) + y\cos(\phi) \\
\end{array}
\right.
</math></equation>

<equation id="2"><math>
\left\{
\begin{array}{l}
x = t\cos(\phi) - s\sin(\phi) \\
\\
y = t\sin(\phi) + s\cos(\phi) \\
\end{array}
\right.
</math></equation>
Przypomnimy teraz prawo osłabienia promieniowania Rentgenowskiego przy przejściu przez ośrodek charakteryzujący się niejednorodnym linowym współczynnikiem osłabienia promieniowania X. Załóżmy, iż mamy do czynienia, ze skolimowaną wiązką promieniowania (tzw. ''pencil beam''), która biegnie wzdłuż osi ''X''. Niech obiekt również rozciąga się również tylko wzdłuż tej osi. Wtedy natężenie promieniowania opuszczającego obiekt będzie wynosić:
<equation id="3"><math>
I = I_0e^{-\int_{-\infty}^{\infty}\mu(x)dx}
</math></equation>

W diagnostyce medycznej chcemy zobrazować jednak wybrane warstwy pacjenta, czyli obiekty dwuwymiarowe. Jeśli obiekt opisany jest w kartezjańskim układzie współrzędnych, to liniowy współczynnik osłabienia promieniowania Rentgenowskiego będzie zależał zarówno od współrzędnej ''X'' jak i ''Y''. Utrudni to znacznie rekonstrukcję obrazu. Tymczasem aparat matematyczny wprowadzony w poprzednim rozdziale (parametryzacja prostej w biegunowym układzie współrzędnych, obrót układu współrzędnych), idealnie pasuje to rozważanego problemu. Przyjmijmy teraz iż dokonujemy badania obiektu dwuwymiarowego. Aparatura pomiarowa składa się z lampy Rentgenowskiej i pojedynczego detektora. Lampa Rentgenowska emituje skolimowaną wiązkę promieniowania X. Wiązka ta penetruje obiekt i trafia do detektora. Układ zaprezentowano na <xr id="fig:projekcja_2">rys. %i</xr>.
Proszę zauważyć, iż wiązka promieniowania biegnąca od lampy RTG do detektora tworzy linię prostą. Można również zaobserwować pewne podobieństwa pomiędzy <xr id="fig:projekcja_2">rys. %i</xr> a rys. [https://brain.fuw.edu.pl/edu/Plik:Transformata_radona.png]. Jak się okaże, nie jest to tylko podobieństwo graficzne. Układ zarejestrowany na <xr id="fig:projekcja_2">rys. %i</xr> realizuje Transformatę Radona, co za chwile wykażemy.
Przebieg wiązki promieniowania, która łączy lampę RTG z detektorem można opisać za pomocą parametrów <math>t</math> (odległość prostej od początku układu współrzędnych) i kąta φ, jaki tworzy normalna do prostej względem osi ''X'' (patrz rozdział Parametryzacja Prostej).
Wynik pojedynczego pomiaru, dla ustalonego kąta <math>\phi</math> ustawienia lampy i detektora względem osi X, oraz jej przesunięcia <math>t</math> względem początku układu współrzędnych będziemy nazywać skanem i jest on równy:
<equation id="4"><math>
I(\phi,t) = I_0e^{-\int_{-\infty}^{\infty} \mu(t\cos(\phi)-s\sin(\phi),t\sin(\phi)+s\cos(\phi))ds}
</math></equation>
wprowadzają oznaczenie:
<equation id="5"><math>
\mu(t\cos(\phi)-s\sin(\phi),t\sin(\phi)+s\cos(\phi)) \equiv \mu(t,s)
</math></equation>
otrzymujemy zależność:
<equation id="6"><math>
I(\phi,t) = I_0e^{-\int_{-\infty}^{\infty} \mu(t,s)ds}
</math></equation>
W tym miejscu możemy zauważyć korzyść z rozważania problemu w układzie ''T-S'' związanego z lampą RTG i detektorem, a nie pacjentem — w tym układzie współrzędnych dokonujemy całkowania wzdłuż prostej równoległej do osi ''S'', a zatem całkujemy funkcję jednowymiarową.
Przekształcając powyższe równanie dostajemy:
<equation id="eq:CT_RADON"><math>
\ln\left(\frac{I_0}{I(\phi,t)}\right) = \int_{-\infty}^{\infty}\mu(t,s)ds
</math></equation>
Co jest niczym innym jak Transformatą Radona badanego obiektu.

Zbiór jednowymiarowych pomiarów (skanów) dokonanych dla różnych pozycji lampy <math>t</math> ale tego samego kąta nazywamy rzutem lub projekcja (ang. ''projection'') i oznaczymy <math>P(\phi)</math>. Projekcja jest tożsama z transformatą Radona obiektu wykonaną dla określonego kąta. Lampa Rentgenowska emitująca skolimowaną wiązkę promieniowania X i detektor przeprowadza fizyczną realizację transformaty Radona. Otrzymujemy serię pomiarów, na podstawie których możemy zrekonstruować obraz obiektu, posługując się np. odwrotną Transformatą Radona. Jest to jednak sposób nieefektywny numerycznie, dlatego zostały opracowane inne metody rekonstrukcji obrazu, cały czas jednak opierające się na pomiarach zebranych w wyżej opisany sposób. W dalszej części materiałów opiszemy jedną z tych metod.

===Metoda algebraiczna rekonstrukcji obrazów===
Przeprowadźmy dyskretyzację równania <xr id="eq:CT_RADON"/> w następujący sposób:
* Dzielimy obiekt na <math>N</math>x<math>N</math> kwadratowych obszarów, gdzie <math>N</math> = 256, <math>N</math> = 512 <math>N</math> = 1024, w wyniku czego obliczanie funkcji <math>\mu(t,s)</math> odbywa się dla dyskretnego zbioru wartości <math>\mu(t_k,s_k)</math>.
* Lampa i detektor obracają się o kąt <math>\Delta\phi</math> i przesuwają o o <math>\Delta t</math>. Skan dokonany dla zadanego <math>i</math>-tego kąta oraz <math>j</math>-tego przesunięcia oznaczymy: <math>P(i\cdot\Delta\phi,j\cdot\Delta t) = P(\phi_i,t_j)</math>. Z kolei projekcję wykonaną dla <math>i</math>-tego kąta <math>P(\phi_i)</math>.
* Przy podziale obiektu na piksele trzeba uwzględnić poprawkę <math>w_{\phi_i,t_j}(t_j,s_k)</math> związaną z tym, iż promień skolimowanej wiązki emitowany przez RTG, przechodząc przez piksele pod różnymi kątami (odpowiadającymi kolejnym projekcjom i kolejnym położeniu lampy), pokrywa różne ich powierzchnie. Poprawkę tę można wyliczyć w następujący sposób: 
<equation id="7"><math>
w_{\phi_i,t_j}(t_j,s_k) = \frac{S_p(\phi_i,t_j)}{S_e(t_j,s_k)}
</math></equation>
 
gdzie: 
<math>S_p(\phi_i,t_j)</math> — pole powierzchni promienia rentgenowskiego dla zadanego skanu <math>\phi_i</math> i przesunięcia lampy <math>t_j</math> w obrębie przyjętego, najmniejszego elementu <math>(t_i, s_k)</math> obiektu, 
<math>S_e(t_k,s_k)</math> — pole powierzchni elementu o współrzędnych <math>(t_j, s_k)</math>. 

Przejdźmy teraz do opisu obiektu w układzie współrzędnych <math>T-S</math> i rozważmy projekcję dla pewnego zadanego <math>i</math>-tego kąta, <math>\phi_i = i\cdot\Delta\phi</math>. Dyskretna postać równania <xr id="eq:CT_RADON"/>, odpowiadająca jednemu skanowi, będzie następująca:
<equation id="8"><math>
P(\phi_i,t_j) = \sum_{k=1}^N\mu(t_j,s_k)
</math></equation>
Musimy jednak wprowadzić poprawkę na bieg promienia przez poszczególne piksele. W ogólności skolimowana wiązka rentgenowska może przebiegać
przez więcej niż <math>N</math> pikseli. Założymy, iż promień może przebiegać przez cały obiekt, czyli n=NxN pikseli:
<equation id="9"><math>
P(\phi_i,t_j) = \sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^nw_{\phi_i,t_j}(t_k,s_l)\mu(t_k,s_l)
</math></equation>
W powyższym równaniu, odpowiadającym pojedynczemu skanowi, potrzebujemy <math>NxN</math>. Dla zadanego kąta <math>\phi_i</math> wykonujemy jednak N skanów, tworzących jedną projekcję:
<equation id="10"><math>
P(\phi_i) = \left\{
\begin{array}{l}
P(\phi_i,t_1) = \sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^nw_{\phi_i,t_1}(t_k,s_l)\mu(t_k,s_l) \\
\\
P(\phi_i,t_2) = \sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^nw_{\phi_i,t_2}(t_k,s_l)\mu(t_k,s_l) \\
\\
\vdots \\
\\
P(\phi_i,t_i) = \sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^nw_{\phi_i,t_i}(t_k,s_l)\mu(t_k,s_l) \\
\\
P(\phi_i,t_N) = \sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^nw_{\phi_i,t_N}(t_k,s_l)\mu(t_k,s_l)
\end{array}
\right.
</math></equation>

Pojedyncza projekcja wymaga już <math>N^3</math> wag. Wykonujemy ponadto <math>N</math> projekcji:

<equation id="11"><math>
\begin{array}{l}
P(\phi_1) = \left\{
\begin{array}{l}
P(\phi_1,t_1) = \sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^nw_{\phi_i,t_1}(t_k,s_l)\mu(t_k,s_l) \\
\\
P(\phi_1,t_2) = \sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^nw_{\phi_i,t_2}(t_k,s_l)\mu(t_k,s_l) \\
\\
\vdots \\
\\
P(\phi_1,t_i) = \sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^nw_{\phi_i,t_i}(t_k,s_l)\mu(t_k,s_l) \\
\\
P(\phi_1,t_N) = \sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^nw_{\phi_i,t_N}(t_k,s_l)\mu(t_k,s_l)
\end{array}
\right.\\
\\
\vdots \\
\\
P(\phi_i) = \left\{
\begin{array}{l}
P(\phi_i,t_1) = \sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^nw_{\phi_i,t_1}(t_k,s_l)\mu(t_k,s_l) \\
\\
P(\phi_i,t_2) = \sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^nw_{\phi_i,t_2}(t_k,s_l)\mu(t_k,s_l) \\
\\
\vdots \\
\\
P(\phi_i,t_i) = \sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^nw_{\phi_i,t_i}(t_k,s_l)\mu(t_k,s_l) \\
\\
P(\phi_i,t_N) = \sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^nw_{\phi_i,t_N}(t_k,s_l)\mu(t_k,s_l)
\end{array}
\right.\\
\\
P(\phi_N) = \left\{
\begin{array}{l}
P(\phi_N,t_1) = \sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^nw_{\phi_N,t_1}(t_k,s_l)\mu(t_k,s_l) \\
\\
P(\phi_N,t_2) = \sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^nw_{\phi_N,t_2}(t_k,s_l)\mu(t_k,s_l) \\
\\
\vdots \\
\\
P(\phi_N,t_i) = \sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^nw_{\phi_N,t_i}(t_k,s_l)\mu(t_k,s_l) \\
\\
P(\phi_N,t_N) = \sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^nw_{\phi_N,t_N}(t_k,s_l)\mu(t_k,s_l)
\end{array}
\right.
\end{array}
</math></equation>

a zatem ostatecznie potrzebujemy <math>N^4</math> wag. Dla najniższej stosowanej w Tomografii liczby pikseli, <math>N=256</math> przechowanie samych wag, wymagałoby <math>256^4\cdot 8</math> bajtów pamięci, tj. 32 GB. Ponadto rozwiązanie układu równań, w którym macierz wag wypełniona byłaby bardzo często zerami prowadzi do niestabilności numerycznych. Kolejną wadą takiego podejścia jest możliwość dokonania rekonstrukcji dopiero po zakończeniu wszystkich pomiarów.

===Metody Iteracyjne===
Idea metod iteracyjnych polega na wstępnym założeniu pewnej postaci funkcji <math>\mu(t,s)</math> (np. może to być średni pacjent lub też można założyć obiekt jednorodny), a następnie symulowaniu procesu skanowania i porównywaniu wyniku z symulacji z rzeczywistymi wynikami pomiaru. Na podstawie różnicy wyników otrzymanych z tych dwóch źródeł oblicza się poprawkę do rozkładu początkowego. Wprowadźmy następujące oznaczenia, pomijając dla uproszczenia notacji dyskretyzację równań:
* <math>\mu(t,s)</math> — rzeczywisty rozkład liniowego współczynnika osłabienia promieniowania X,
* <math>\mu^n(t,s)</math> — wyliczony w <math>n-tej</math> iteracji rozkład liniowego współczynnika osłabienia promieniowania X,
* <math>P(\phi,t) = \sum_{t}\sum_{s}w_{\phi,t}(t,s)\mu(t,s)</math> — zmierzona wartość skanu
* <math>P^n(\phi,t) = \sum_{t}\sum_{s}w_{\phi,t}(t,s)\mu(t,s)</math> — wyliczona w <math>n</math>-tej iteracji wartość skanu.

Błąd pomiędzy rzeczywistą a wyliczoną na drodze iteracji wartości wszystkich skanów wynosi:
<equation id="12"><math>
\epsilon = \sum_\phi\sum_t(P^n(\phi,t)-P(\phi,t))^2
</math></equation>

i oczekujemy, że wraz z dokonywaniem kolejnych poprawek dla <math>P^n(\phi,t)</math> będzie dążył do zera.
Z warunku minimalizującego funkcję błędu dostajemy:
<equation id="14"><math>
\Delta \mu^n(t,s) = \mu^n(t,s) - \mu^{n-1}(t,s) = \frac{(P(\phi,t) - P^n(\phi,t))\cdot w_{\phi,t}(t,s)}{\sum_{t}\sum_{s}(w_{\phi,t}(t,s)\mu(t,s))^2}
</math></equation>

Po przekształceniu powyższego wzoru dostajemy:
<equation id="15"><math>
\mu^n(t,s) = \mu^{n-1}(t,s) + \Delta \mu^n(t,s) = \mu^{n-1}(t,s) + \frac{(P(\phi,t) - P^n(\phi,t))\cdot w_{\phi,t}(t,s)}{\sum_{t}\sum_{s}(w_{\phi,t}(t,s)\mu(t,s))^2}
</math></equation>

Problem — kiedy dokonać aktualizacji wartości <math>\mu^n(t,s)</math>. Rozwiązanie — dwa podejścia:
1. ''Simultaneous Iterative Reconstruction Technique — SIRT''. W podejściu SIRT, po wyliczeniu korekty dla danego piksela <math>\mu^n(t,s)</math> natychmiast uaktualniana jest jego wartość, tak że wyliczane kolejne piskele, nawet dla tej samej projekcji, korzystają już z wartości zaktualizowanej.
2. ''Algebraic Reconstruction Technique — ART''. W tym podejściu najpierw wyliczane są wszystkie poprawki dla danej projekcji. Ponieważ każda projekcja składa się z wielu skanów, dla zadanego piksela można otrzymać wiele poprawek. Z tych poprawek obliczana jest średnia korekta, o którą poprawia się zdany piksel.

Istnieje jeszcze wiele innych podejść iteracyjnych. Stosuje się również inne podejścia dla wag, np. jeśli promień przechodzi przez środek piksela jego waga wynosi 1, inaczej wynosi 0. Wtedy suma wag kwadratów w mianowniku jest równa liczbie pikseli, przez środek których przechodzi wiązka.
Współczynnik taki oznaczmy przez <math>L(\phi,t)</math>.
<equation id="16"><math>
\mu^n(t,s) = \mu^{n-1}(t,s) + \Delta \mu^n(t,s) = \mu^{n-1}(t,s) + \frac{(P(\phi,t) - P^n(\phi,t))\cdot w_{\phi,t}(t,s)}{L(\phi,t)}
</math></equation>
'''Przykład. ''' 
Przykład ten pochodzi z podręcznika ''Obrazowanie Biomedyczne'' pod redakcją L. Chmielewskiego, J. L. Kulikowskiego i A. Nowakowskiego. 
Niech obiekt zostanie podzielony na dwa 4 piksele. Rozkład współczynnika osłabienia promieniowania X jest następujący:
<equation id="17"><math>
\begin{array}{|c|c|}
1 & 2 \\
- & - \\
3 & 4
\end{array}
</math></equation>
Będziemy dokonywać projekcji dla kąta <math>\phi = 270</math> stopni i <math>\phi = 180</math> stopni. Dostajemy następujące wartości skanów: 
* dla kąta <math>90^0</math>: 3, 7,
* dla kąta <math>180^0</math>: 4, 6,

W zerowym kroku zakładamy jednorodny obiekt, o liniowym współczynniku osłabienia promieniowania równym średniej z wartości z którejś projekcji.
Dla obydwu projekcji średnia ta wynosi 2.5, a zatem rozkład liniowego współczynnika osłabienia promieniowania X jest zatem równy:
<equation id="18"><math>
\begin{array}{|c|c|}
2.5 & 2.5 \\
- & - \\
2.5 & 2.5
\end{array}
</math></equation>
Nowe wartości projekcji wynoszą:
Będziemy dokonywać projekcji dla kąta <math>\phi = 270</math> stopni i <math>\phi = 180</math> stopni. Dostajemy następujące wartości skanów: 
* dla kąta <math>270^0</math> 5, 5,
* dla kąta <math>90^0</math> 5, 5,

Dokonujemy teraz korekty:

<equation id="19"><math>
\begin{array}{l}
\mu^1(1,1) = \mu^{0}(1,1) + \frac{(P(270,1) - P^0(270,1))}{2} = 2.5 + \frac{3-5}{2} = 1.5 \\
\\
\mu^1(1,2) = \mu^{0}(1,2) + \frac{(P(270,1) - P^0(270,1))}{2} = 2.5 + \frac{3-5}{2} = 1.5 \\
\\
\mu^1(2,1) = \mu^{0}(2,1) + \frac{(P(270,2) - P^0(270,2))}{2} = 2.5 + \frac{7-5}{2} = 3.5 \\
\\
\mu^1(1,2) = \mu^{0}(1,2) + \frac{(P(270,2) - P^0(270,2))}{2} = 2.5 + \frac{7-5}{2} = 3.5
\end{array}
</math></equation>
co daje następujący rozkład liniowego współczynnika osłabienia promieniowania X:
<equation id="20"><math>
\begin{array}{|c|c|}
1.5 & 1.5 \\
- & - \\
3.5 & 3.5
\end{array}
</math></equation>

Wykonamy kolejną korektę tym razem korzystając z wartości rzeczywistych projekcji dla kąta 180 stopni:
<equation id="21"><math>
\begin{array}{l}
\mu^2(1,1) = \mu^{1}(1,1) + \frac{(P(180,1) - P^1(180,1))}{2} = 1.5 + \frac{4-5}{2} = 1 \\
\\
\mu^2(1,2) = \mu^{1}(1,2) + \frac{(P(180,1) - P^1(180,1))}{2} = 1.5 + \frac{6-5}{2} = 2 \\
\\
\mu^2(2,1) = \mu^{1}(2,1) + \frac{(P(180,2) - P^1(180,2))}{2} = 3.5 + \frac{4-5}{2} = 4 \\
\\
\mu^2(1,2) = \mu^{1}(1,2) + \frac{(P(180,2) - P^1(180,2))}{2} = 3.5 + \frac{6-5}{2} = 4
\end{array}
</math></equation>
co daje następujący rozkład liniowego współczynnika osłabienia promieniowania X, zgodny z rozkładem tego parametru w badanym obiekcie:
<equation id="22"><math>
\begin{array}{|c|c|}
1 & 2 \\
- & - \\
4 & 4\end{array}
</math></equation>

== Budowa i zasada działania Tomografu Rentgenowskiego==
[[File:skaner_I_generacji.gif|300px|thumb|right|<figure id="fig:skaner_I_generacji"></figure>Zasada działania skanera CT I generacji. Skaner składał się z pojedynczego detektora i lampy rentgenowskiej emitującej skoligowaną wiązkę promienieniowania X. Lampa i detektor wykonywały ruchu translacyjne i rotacyjne. (Rysunek pochodzi ze strony [2] i został udostępnionego przez dr Jacka Rumińskiego, za co autor niniejszych materiałów serdecznie dziękuje).]]

[[File:skaner_II_generacji.gif|300px|thumb|right|<figure id="fig:skaner_II_generacji"></figure>Zasada działania skanera CT II generacji. W porównaniu z tomografem I generacji zwiększono do kilku liczbę detektorów, co umożliwiło zmniejszenie ruchów translacyjnych lampy. (Rysunek pochodzi ze strony [2] i został udostępnionego przez dr Jacka Rumińskiego, za co autor niniejszych materiałów serdecznie dziękuje).]]
[[File:skaner_III_generacji.gif|300px|thumb|right|<figure id="fig:skaner_III_generacji"></figure>Zasada działania skanera CT III generacji. W tej generacji Tomografów wyeliminowano całkowicie ruch translacyjny. Detektory (w liczbie kilkuset) zostały umieszczone na łuku pierścienia, obracającego się razem z lampą dookoła pacjenta.
(Rysunek pochodzi ze strony [2] i został udostępnionego przez dr Jacka Rumińskiego, za co autor niniejszych materiałów serdecznie dziękuje).]]

[[File:skaner_IV_generacji.gif|300px|thumb|right|<figure id="fig:skaner_IV_generacji"></figure>Zasada działania skanera CT IV generacji. W tej generacji skanerów, detektory umieszczone są na stałe na pierścieniu dookoła pacjenta. Ruch obrotowy wykonuje tylko lampa RTG.(Rysunek pochodzi ze strony [2] i został udostępnionego przez dr Jacka Rumińskiego, za co autor niniejszych materiałów serdecznie dziękuje).]]

[[File:ct.jpg|300px|thumb|right|<figure id="fig:ct"></figure>Na rysunku zaprezentowano współczesny tomograf rentgenowski. Zdjęcie pochodzi ze stron Wikipedii.]]

[[File:ct_wnętrze.jpg|300px|thumb|right|<figure id="fig:ct_wnetrze"></figure>Budowa wewnętrzna współczesnego skanera trzeciej generacji. Znaczenie symboli: ''T'' — lampa RTG, ''X'' — wachlarzowa wiązka promieni X, ''D'' — matryca detektorów.Zdjęcie pochodzi ze stron Wikipedii.]]

W rozdziale [[https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/action/edit/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Rentgenowska_Tomografia_Komputerowa?section=1]] dowiedzieliśmy się, iż uzyskanie obrazu wybranego przekroju pacjenta wymaga przeprowadzenia serii naświetleń badanego z różnych kierunków. Wiąże się to oczywiście z ruchem lampy rentgenowskiej i detektorów dookoła pacjenta. W pierwszych Tomografach CT elementy te wykonywały ruchy translacyjne i rotacyjne, opisane w poprzednim rozdziale. Niestety, lampa Rentgenowska jest urządzeniem ciężkim, które ponadto musi być chłodzone za pomocą odpowiedniej cieczy (np. wody lub oleju). Tego rodzaju układ pomiarowy nie może się szybko przesuwać, gdyż ciężka lampa ma pewną bezwładność, co utrudnia jest rozpędzenie i zatrzymania. W efekcie, pierwsze badania diagnostyczne trwały niezmiernie długo, zaś sam sprzęt szybko się zużywał. W kolejnych latach opracowywano nowe rozwiązania, prowadzące do minimalizacji liczby ruchów, takie jak np. zwiększenie ilości detektorów. Rozwiązania te nazwano generacjami Tomografów Rentgenowskich. Do chwili obecnej opracowano IV generacje tomografów, które zaprezentowano na rysunkach: <xr id="fig:skaner_I_generacji">rys. %i</xr>, <xr id="fig:skaner_II_generacji">rys. %i</xr>, <xr id="fig:skaner_III_generacji">rys. %i</xr>, <xr id="fig:skaner_IV_generacji">rys. %i</xr>. Obecnie w użytku znajdują się tomografy III i IV generacji. Zdjęcie współczesnego tomografu zaprezentowano na <xr id="fig:ct">rys. %i</xr>, natomiast wnętrze tomografu III generacji na <xr id="fig:ct_wnetrze">rys. %i</xr>. W pierwszych tomografach RTG stosowano detektory ksenonowe, które szybko zostały wyparte przez detektory scyntylacyjne (które zostaną omówione w rozdziale dotyczący metody SPECT i PET). Te z kolei są obecnie zastępowane przez detektory półprzewodnikowe.
Współczesny zestaw do Rentgenowskiej Tomografii Komputerowej (III i IV generacji) składa się z następujących elementów:
*gantry — główny element urządzenia, w środku którego znajdują się mocowania detektorów i pierścienia, po którym porusza się lampa RTG; na obudowie gantry znajduje się także mały pulpit sterowniczy, który np. umożliwia pochylenie całego urządzenia względem stołu z leżącym pacjentem; wnętrze gantry zaprezentowano na <xr id="fig:ct_wnetrze">rys. %i</xr>,
*stół, na którym układany jest pacjent,
*konsoli operatora, komputera i monitora, znajdujących się w oddzielnym pomieszczeniu zabezpieczonym przed promieniowaniem jonizującym,
*generator wysokiego napięcia dla lampy RTG.

===Lampy Rentgenowskie Stosowane w CT===
Lampa rentgenowska, ma zazwyczaj wirującą anodę. W porównani udo klasycznego aparatu RTG kolimatory są usytuowane nie tylko w pobliżu lampy rentgenowskiej, lecz także przy każdym z detektorów. Kolimatory wykonane są z ołowiu i kształtują wiązkę promieniowania i minimalizują promieniowanie rozpraszane. Od wysokości kolimatorów zależy grubość skanowanej warstwy (najczęściej od 0.5 do 10 mm). Lampy rentgenowskie stosowane w tomografach komputerowych pracują w warunkach silnego obciążenia mechanicznego. Aby uzyskać jak najbardziej stabilną wiązkę promieniowania stosuje się np. podwójne łożyskowanie wirującej anody. Stabilność wiązki promieniowania zależy również w dużej mierze nie od konstrukcji samej lampy, lecz od stabilności generatora wysokiego napięcia (różnica potencjałów między anodą a katodą) oraz prądu przepływającego przez żarnik katody. Typowe parametry lampy RTG stosowanej w CT to napięcie przyspieszające około 160 kV (zwykle jednak w granicy 80 – 125 kV), prąd anodowy o wartości od 30 do 500 mA.
===Detektory promieniowania X stosowane w CT===
W pierwszych skanerach CT, w których stosowano pojedyncze detektory promieniowania jonizującego, do rejestracji promieniowania Rentgenowskiego stosowano detektory scyntylacyjne . Obecnie detektory te są wypierane przez detektory półprzewodnikowe, dlatego detektorom scyntylacyjnym w tym miejscu nie będziemy poświęcaj dużo uwagi (dokładnie detektory scyntylacyjne zostaną omówione przy metodzie SPECT i PET, gdzie są niezwykle ważnym elementem aparatury diagnostycznej). Zasada działania detektora scyntylacyjnego jest następująca. Promieniowanie jonizujące powoduje wzbudzenie atomów lub molekuł scyntylatora, które następnie oddają tak uzyskaną energie poprzez emisję promieniowania elektromagnetycznego w zakresie widzialnym. Fotony tego promieniowania zostają następnie zamienione przez fotoprzetwornik (fotopowielacz lub fotodioda) na przepływ prądu elektrycznego.
Istotnym elementem detektora scyntylacyjnego jest fotoprzetwornik, czyli układ konwertujący światło powstałe pod wpływem promieniowania na sygnał elektryczny. W czasie powstawania pierwszych tomografów CT, najlepszymi fotoprzetwornikami były fotopowielacze. Detektory scyntylacyjne charakteryzują się wysoką czułością detekcji promieniowania X, jednakże każdy kryształ scyntylacyjny wymagał połączenia z osobną fotopowielaczem, który jest rodzajem lampy elektronowej, o stosunkowo dużych rozmiarach i wymagającym zasilania wysokim napięciem.

W latach 90-tych postęp technologicznych umożliwił konstruowanie tanich, małych i odpowiednio czułych fotodiod krzemowych. Fotodiody to diody półprzewodnikowe, których działanie polega na wykorzystaniu zjawiska fotoelektrycznego zachodzącego w obszarze złącza p-n. Przez fotodiodę, do której przyłożone jest napięcie w kierunku zaporowym, płynie prąd proporcjonalny do wielkości strumienia padającego światła. Zalety fotodiody w porównaniu z fotopowielaczem to przede wszystkim niskie napięcie zasilania oraz mały rozmiar i masa
Obecnie kryształy scyntylacyjne zaczęły być wypierane przez detektory półprzewodnikowe cezowe lub kadmowo-wolframowe. Detektory te świeciły pod wpływem promieniowania rentgenowskiego światłem z zakresu widzialnego, które za pomocą fotodetektorów półprzewodnikowych jest zamieniane na sygnał elektryczny.

==Wizualizacja zrekonstruowanego obrazu.==
W wyniku procesu skanowania pacjenta skolimowaną wiązką promieniowania Rentgenowskiego, możliwa jest uzyskanie rozkładu liniowego współczynnika osłabienia promieniowania X. Uzyskany obraz prezentowany jest jednak w jednostkach względnych nazywanych jednostkami Hounsfielda (Haunsfield Unit, HU) . Najczęściej jako wynik badania tomograficznego podawana jest mapa współczynników osłabienia promieniowania X wyrażona w tzw. jednostkach Haunsfielda (HU – Haunsfield Unit):
<equation id="23"><math>
HU = 1000\cdot\frac{\mu_{tkanki} - \mu_{wody}}{ \mu_{wody}}
</math></equation>
gdzie: 
<math>\mu_{wody}</math> dla temperatury 20 stopni Celsjusza i energii promieniowania 73 kV
Stosowanie takich jednostek ma uzasadnienie praktyczne – lekarz oceniający zdjęcie dokonuje porównania wartości osłabienia promieniowania X w różnych częściach ciała pacjenta. Do celów porównawczych znacznie wygodniejsze są wartości względne niż bezwzględne.

Wartości współczynniki osłabienia wiązki promieniowania X, wytworzonego w lampie rentgenowskiej, pracującej przy napięciu 120kV wyrażone w jednostkach HU:
{| class="wikitable"
! Tkanka
! Wartość HU
|-
| Plazma krwi
| ~22
|-
| Skrzep
| ~74
|-
| Obrzęk
| ~19
|-
| Tkanka tłuszczowa
| -25 do -200
|-
|Tkanka mięśniowa
| ~67
|-
| Wątroba
| ~71
|-
| Trzustka
| ~64
|-
| Kora mózgowa
| ~36
|-
| Powietrze
| -1000
|-
|Płuca
|-200 -1000
|-
| Tkanka kostna
|1000 do 3100
|-
| Tkanka zmieniona nowotworowo
|od 25 do 90
|250-300
|-
|Rdzeń kręgowy
|1-5
|300-500
|-
|}
Najmniejsza różnica HU rejestrowana przez Tomografy Rentgenowskie nie jest specyfikowana przez producentów, jednakże szacuje się ją na poziomie 4 HU.

Uzyskiwane w obrazowaniu CT obrazu cechuje dynamika w jednostkach HU od wartości -1000 do około 3100. Do ich reprezentacji wystarczy zatem 4096 poziomów (12 bitów). Obrazy te prezentowane są w skali szarości, jednakże monochromatyczna skala obejmuje 256 odcieni szarości. Oko rozpoznaje około 50 poziomów szarości. W związku z tym, ogranicza się zakres zmienność danych do celów prezentacyjnych. Proces te nazywa się okienkowaniem. Lekarz wybiera położenie środka (window level, WL) okna na skali HU (np. 100 HU) i szerokość okna (window width, WW), (np. 50 HU) . Na obrazie zostaną zaprezentowane struktury o HU w zakresie od WL – WW/2 do WL + WW/2 (w podanym przykładzie od 75 do 125 HU). Obniżenie poziomu okna umożliwia oglądanie struktur o mniejszym HU. Poszerzenie szerokości okna zmniejsza kontrast obrazu.

{| class="wikitable"
! Część ciała/narząd
! WL (HU)
! WW(HU)
|-
| Płuca
| -700
| 750
|-
| Głowa Dziecka
| 35
| 90
|-
| Ramię
| 40
| 500
|-
| Brzuch (okolice wątroby)
| 40
| 300
|-
| Brzuch (okolice nerek)
| 40
| 350
|-
| Kręgosłup odcinek lędźwiowy
| 40
| 400
|-
|}
==Dodatkowe Rozwiązania==
===Tomografia Helikalna (Spiralna) ===
W systemach od I do IV generacji wykonanie pomiaru i rekonstrukcji kolejnej warstwy wymagało zatrzymania ruchu obrotowego lampy i przesuniecie stołu z pacjentem.W celu maksymalnego skrócenia czasu wykonywania badania znacznych obszarów ciała ludzkiego, firma Toshiba opracowała technologię w której w trakcie obrotu lampy rentgenowskiej w skanerach III i IV generacji przesuwany jest jednocześnie stół z pacjentem. Wypadkowy ruch lampy rentgenowskiej wokół pacjenta, będący złożeniem translacyjnego ruchu stołu i ruchu obrotowego lampy, odbywa się po torze nazywany helisą. Tego rodzaju technologia umożliwia skrócenie badania dużych obszarów pacjenta z 20 – 30minut do około 10 minut. Firma Toshiba zarezerwowała nazwę Tomografii Helikalnej tylko dla swoich produktów. Konkurencja, podążając za pomysłodawcą nazwała swoje tomografy Tomografami Spiralnymi.
===HR CT===
High Resolution CT (HR CT) to technika obrazowania płuc mająca na celu uzyskanie jak największej rozdzielczości przestrzennej, celem diagnostyki zmian w śródmiąższu płuc, takich jak zwłóknienia, rozedma, choroby oskrzelików (średnica oskrzelików 1 - 2 mm). W celu polepszenia kontrastu i zobrazowania interesujących struktur można zwiększyć natężenie promieniowania X, kosztem ilości diagnozowanych warstw. W technice HRCT obrazowane są warstwy o grubości od 1 – 2 mm, ale odległości pomiędzy kolejnymi warstwami wynoszą 10 – 30 mm.

== Parametry Akwizycji==
W poniższej tabeli podano najważniejsze parametry akwizycji wybranych obszarów człowieka.
{| class="wikitable"
! Część ciała/Organ
! Grubość Przekroju (mm)
! mAs
|-
| Głowa
| 10
| 350-400
|-
| Dół tylny czaszki
| 3-5
| 350-400
|-
| Kości czaszki
| 1-3
| 400
|-
| Szyja
| 10
| 250
|-
|
| 5
| 200
|-
| Klatka piersiowa
| 1 – 3
| 250
|-
| Płuca
| 1-3
|250
|-
| Żołądek
| 10
|250-300
|-
|
| 5
| 250-300
|-
|
|3
|300
|-
| Wątroba
|250-300
|-
| Miednica
|10
|250-300
|-
|Rdzeń kręgowy
|1-5
|300-500
|-
|}

Obrazowanie:Obrazowanie Medyczne/Podstawy Rekonstrukcji Obrazów Tomograficznych

2015-10-31T20:52:09Z

Rkus:

==Wstęp==
[[File:projekcja_1.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:projekcja_1"></figure>Badany obiekt składa się z dwóch struktur (szare koła). Dokonajmy rzutowania obiektu na płaszczyznę. Prześwietlając obiekt w taki sposób, iż promienie Rentgenowskie padają na niego z lewej strony, otrzymamy rozkład natężenia wskazujący na obecność we wnętrzu tylko jednej struktury. Podobne rzutowanie, tylko dokonane z innego kierunku, wskazuje na obecność we wnętrzu obiektu dwóch struktur.]]

Poszczególne tkanki i narządy organizmu ludzkiego w różny sposób osłabiają promieniowanie X. Fakt ten został zaobserwowany jeszcze przez Wilhelma Roentgena, zaraz po odkryciu tego promieniowania i zastosowany do wykonywania zdjęć ręki. Trzy miesiące po odkryciu promieniowanie Rentgenowskiego wykorzystano je do prześwietlenia rannej głowy pacjenta. Po pierwszym roku stosowania promieniowania Rentgenowskiego w diagnostyce medycznej wiadomo było, że obraz wnętrze ciała ludzkiego powstaje na zasadzie rzucania przez poszczególne narządy, naświetlane promieniowaniem X, cieni na kliszę fotograficzną. Niestety, narządy organizmu ludzkiego wzajemnie się przesłaniają, co prowadzi od nakładania się na siebie obrazów poszczególnych struktur wewnętrznych człowieka. Ponadto, tworzenie zdjęć w klasycznej radiografii polega na rzutowaniu trójwymiarowego obiektu jakim jest człowiek na płaszczyznę, co dodatkowo zniekształca obraz. Wspominanie czynniki bardzo niekorzystnie wpłynęły na jakość zdjęć radiologicznych. Już w roku 1895 (rok po odkryciu promieniowania X), Elihu Thompson zauważył, iż wykonanie dwóch zdjęć radiologicznych z różnych pozycji lampy i detektora względem badanego obiektu, a następnie obejrzenie zdjęć w stroboskopie prowadzi do poprawienia jakości obrazu. Od tego momentu było wiadomo, iż wprowadzenie ruchu lampy Rentgenowskiej i detektora względem badanego obiektu pozwala otrzymać informację, umożliwiającą poprawę jakość zdjęć ciała ludzkiego. Zagadnienie to zilustrowano na <xr id="fig:projekcja_1">rys. %i</xr>. Od tego momentu rozpoczęły się prowadzone na szeroką skalę badania nad problemem ruchu lampy rentgenowskiej i detektora względem pacjenta. Ich efektem było ciekawych rozwiązań, funkcjonujących jeszcze po zakończeniu drugiej wojny światowej. W międzyczasie, w roku 1917 austriacki matematyk Johann Radon, udowodnił pewne twierdzenie, które dzisiaj leży u podstaw tzw. metod rekonstrukcji obrazów. Praktyczna realizacja osiągnięcia Radona jest w zasadzie możliwa tylko przy pomocy komputerów, dlatego na początku dwudziestego wieku twierdzenie to przeszło niezauważone. Twierdzenie tym zajmiemy się na początku kolejnego rozdziału. W latach 50-tych i 60-tych ubiegłego wieku, problem wykonywania przestrzennego obrazu ciała ludzkiego nadal nie był rozwiązany. Funkcjonowało wiele technik wykonywania tego rodzaju zdjęć, jednakże jakość uzyskiwanych obrazów nie była zadowalająca. Każdy z odkrywców nadawał opracowanej przez siebie metodzie własną nazwę, i tak do roku 1962 roku można było spotkać się z takimi terminami jak ''stratigraphy'', ''planigraphy'', ''body-section radiography'', ''tomography'', ''verigraphy'', ''radiothomy''. Wszystkie one dotyczyły rozwiązań, w których lampa rentgenowska i detektory wykonywały ruch dookoła pacjenta. Ostatecznie, w roku 1962 ''International Commision on Radioation Units and Measurements'', zarekomendowała dla tych metod termin ‘’’Tomografia’’’ (gr. thomos – warstwa, graphein – rysować), czyli obrazowanie warstwowe. Od roku 1956 Allan McLeod Cormack, amerykański fizyk pochodzenia południowoafrykańskiego w ramach hobby interesuje się promieniowaniem X i dokonuje wyliczeń będących podwalinami współczesnej tomografii rentgenowskiej. Wyniki publikuje w ''Journal of Applied Physics'' w 1963 i 1964 roku. Prace te jednak nie zostają zauważone. W tych samych latach Godfrey Newbold Hounsfield, brytyjski inżynier elektronik pracuje nad urządzeniami tomograficznymi, jednakże bez znaczącego sukcesu. W końcu napotyka na obliczenia Cormack’a i w oparciu o nie buduje pierwszy Rentgenowski Tomograf Komputerowy (X – Ray Computed Tomography, CT, w żargonie lekarskim zwany po prostu tomografem), zaprezentowany w roku 1971 i nazwany EMI. CT znajduje się w użytku od roku 1972 (pierwszy zbadany pacjent). W roku 1979 Hounsfield i Cormack otrzymują nagrodę Nobla, z dziedziny fizjologii i medycyny za opracowanie Komputerowej Tomografii Rentgenowskiej (Hounsfield ponadto otrzymuje od Królowej Brytyjskiej tytuł szlachecki ''Sir'').

==Twierdzenie Radona i Transformata Radona==
W roku 1905 W. Radon udowodnił następujące twierdzenie:
„Obraz obiektu dwuwymiarowego można zrekonstruować na podstawie nieskończone ilości rzutów jednowymiarowych”. Jak okaże się w dalszych częściach poniższego rozdziału, rzutowanie to odpowiada wykonywaniu na obiekcie pewnej transformacji, nazywanej Transformacją Radona. Dokonanie na wynikach rzutowania Odwrotnej Transformacji Radona umożliwia zrekonstruowanie obrazu obiektu. W następnym podrozdziale podamy matematyczne sformułowanie tego twierdzenia, natomiast w tym miejscu pragniemy zwrócić uwagę na pewien fakt. W twierdzeniu pojawia się termin rekonstrukcja. Otóż, w przeciwieństwie do klasycznej radiografii, w której zdjęcie obiektu powstaje natychmiast na filmie, potem zaś obraz jest tylko wywoływany i utrwalany, w przypadku tomografii, nie można na podstawie serii pomiarów od razu uzyskać obrazu. Niezbędny jest dodatkowy etap – wyznaczenie na podstawie zebranych danych obrazu badanego obiektu. Proces ten nazywamy rekonstrukcją.
===Podstawy Matematyczne — Delta Diraca===
Poprawne zrozumienie Twierdzenia Radona wymaga opanowania pewnych zagadnień matematycznych, które przypomnimy w poniższym podrozdziale.
<equation id="1"><math>
\delta(x)=\left\{
\begin{array}{lcr}
\infty, & \textrm{dla} & x = 0 \\
0, & \textrm{dla} & x\neq 0
\end{array} \right.
</math></equation>
właściwości: 
A. 

<equation id="2"><math>
\delta(x-b)=\left\{
\begin{array}{lcr}
\infty, & \textrm{dla} & x = b \\
0, & \textrm{dla} & x\neq b
\end{array} \right.
</math></equation>

B. 

<equation id="3"><math>
\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)dx = 1
</math></equation>

C. 

<equation id="4"><math>
\delta (-x) = \delta (x)
</math></equation>

D. 

<equation id="5"><math>
\delta (ax) = \frac{1}{|a|}\delta(x)
</math></equation>

E. 

<equation id="6"><math>
\int_{-\infty}^{\infty} g(x)\delta(x)dx = g(0)
</math></equation>

F. 

<equation id="7"><math>
\int_{-\infty}^{\infty} g(x-b)\delta(x)dx = g(b)
</math></equation>

Inne ciekawe właściwości wynikające z właściwości A-F:

G. 

<equation id="8"><math>
\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-a)\delta(x-b)dx = \delta(a-b)
</math></equation>

Dowód: 
<equation id="9"><math>
\begin{array}{l}
x-b=x' \\
\\
x = x'+b \\
\\
dx = dx' \\
\\
\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x'+b-a)\delta(x')dx'=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x'-(a-b))\delta(x')dx'=\delta(a-b)
\end{array}
</math></equation>
H. 

<equation id="10"><math>
\delta(ax+b)=\frac{1}{|a|}\delta(x+\frac{b}{a})
</math></equation>

Dowód: 
<math>
\delta(ax+b)=\delta(a(x+\frac{b}{a}))={1}{|a|}\delta(x+\frac{b}{a})
</math> 

I. 

<equation id="11"><math>
\int_{-\infty}^{\infty} g(x)\delta(ax+b)dx=\frac{1}{|a|}\delta(-\frac{b}{a})
</math></equation>

Dowód: 

<math>
\begin{array}{l}
\int_{-\infty}^{\infty} g(x)\delta(ax+b)dx=\int_{-\infty}^{\infty} g(x)\delta(a(x+\frac{b}{a}))dx \\
\\
\int_{-\infty}^{\infty} g(x)\delta(a(x+\frac{b}{a}))dx=\frac{1}{|a|}\int_{-\infty}^{\infty} g(x)\delta(x+\frac{b}{a}))dx \\
\\
x+\frac{b}{a}=x'\\
\\
x=x'-\frac{b}{a} \\
\\
dx = dx' \\
\\
\int_{-\infty}^{\infty} g(x)\delta(x+\frac{b}{a})dx = \int_{-\infty}^{\infty} g(x'-\frac{b}{a})\delta(x')dx' \\
\\
\int_{-\infty}^{\infty} g(x'-\frac{b}{a})\delta(x')dx' =\frac{1}{|a|}g(-\frac{b}{a}) \\
\end{array}
</math>

===Transformata Radona w kartezjańskim układzie współrzędnych===

[[File:transformata_radona.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:transformata_radona"></figure>Ilustracja prezentująca wyznaczanie transformaty Radona. Obiekt opisany jest za pomocą dwuwymiarowej funkcji ''g(x,y)'', która reprezentuje rozkład jego pewnej cechy fizycznej (np. gęstości, rozkładu radiofarmaceutyka, liniowego współczynnika osłabienia promieniowania X). Dokonujemy sumowania wartości funkcji ''g(x,y)'' wzdłuż pewnej prostej, parametryzowanej za pomocą współczynników ''a'' i ''b''. Wynik sumowania — ''G(a,b)'' zależy oczywiście oczywiście od przebiegu prostej i jest prezentowany we współrzędnych ''A-B'' parametrów prostej.]]

Transformata Radona to transformata całkowa o następującej postaci:
<equation id="12"><math>
G(a,b)=\int_{-\infty}^{\infty} g(x,y)\delta(ax+b)dx
</math></equation>
Transformatę Radona zilustrowano na <xr id="fig:transformata_radona">rys. %i</xr>.
Własności: 
A. Transformata Radona jest liniowa. 
Dowód: 
Niech będzie dana funkcja <math>h(x,y)</math>, będąca kombinacją liniową funkcji <math>g_i(x,y)</math>:
<equation id="13"><math>
h(x,y) = \sum_{i}w_{i}g_{i}(x,y)
</math></equation>
Wtedy jej transformata Radona <math>h(x,y)</math> wynosi:
<equation id="14"><math>
H(a,b) = \sum_{i}\int_{-\infty}^{\infty} g_{i}(x,y)dx = \sum_{i}w_{i}h_{i}(a,b)
</math></equation>
i jest kombinacją liniową transformat Radona funkcji <math>g_i(x,y)</math>.

B. Transformata Radona funkcji przesuniętej do współrzędnych <math>(x_0,y_0)</math> 
<equation id="15"><math>
\begin{array}{l}
h(x,y) = g(x-x_0,y-y_0) \\
\\
H(a,b) = \int_{-\infty}^{\infty} g_{i}(x,y)dx = \sum_{i}w_{i}h_{i}(a,b)
\end{array}
</math></equation>
Dokonując zamiany zmiennych:
<equation id="16"><math>
\begin{array}{l}
x-x_0=x' \\
\\
x=x'+x_0\\
\\
dx=dx'
\end{array}
</math></equation>

dostajemy:

<equation id="17"><math>
H(a,b) = \int_{-\infty}^{\infty} g(x',ax_0+b+y_0)dx
</math></equation>

suma wyrażeń: <math>kx_0+b-y_0</math> jest pewną stałą, będącą nowym współczynnikiem przesunięcia prostej względem początku układu współrzędnych, wzdłuż której następuje całkowanie funkcji Ostatecznie dostajemy następujący wynik. Jeżeli transformata Radona funkcji <math>g(x,y)</math> wynosi <math>G(a,b)</math>, to transformata Radona funkcji <math>g(x-x_0,y-y_0)</math> jest równa:
<equation id="18"><math>
H(a,b) = G(a,ax_0+b-y_0)
</math></equation>

'''Przykład 1. Transformata Radona punktu znajdującego się w środku układu współrzędnych.''' 
[[File:punkt_prosta_0.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:punkt_prosta_0"></figure>Ilustracja do Przykładu I — wyznaczenie Transformaty Radona Punktu znajdującego się w środku układu współrzędnych.]]

Zakładamy, że punkt ma nieskończenie wielką amplitudę. Taki punkt możemy zamodelować za pomocą Delty Diraca:
<equation id="19"><math>
g(x,y) = \delta(x)\delta(y)
</math></equation>
co oznacza, że funkcja <math>g(x,y)</math> ma następującą postać:
<equation id="20"><math>
g(x,y)=\left\{
\begin{array}{ccccc}
\infty & \textrm{dla} & x = 0 & \textrm{i} & y = 0 \\
\\
0 & \textrm{dla} & x \neq 0 & \textrm{i} & y \neq 0
\end{array} \right.
</math></equation>
Obliczmy transformatę Radona powyższej funkcji:
<equation id="21"><math>
G(a,b) = \int_{-\infty}^{\infty} g(x,ax+b)dx=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)\delta(ax+b)dx
</math></equation>
Przekształcimy ten wzór, korzystając z właściwości Delty Diraca.
<equation id="22"><math>
\begin{array}{l}
\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)\delta(ax+b)dx=\frac{1}{|a|}\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)\delta(x+\frac{b}{a})dx \\
\\
\frac{1}{|a|}\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)\delta(x+\frac{b}{a})dx=\frac{1}{|a|}\delta(-\frac{b}{a})\\
\\
\frac{1}{|a|}\delta(-\frac{b}{a})=\frac{|a|}{|a|}\delta(-b)\\
\\
\delta(-b)=\delta(b)
\end{array}
</math></equation>

Ostatecznie otrzymaliśmy zatem następujący wynik:

<equation id="23"><math>
g(x,y) = \delta(x)(y)\xrightarrow{\textrm{Transfromata Radona}}G(a,b)=\delta(b)
</math></equation>

Jak widzimy, transformata Radona punktu, znajdującego się w środku układu współrzędnych da wynik niezerowy, jeśli współczynnik przesunięcia prostej będzie równy zero. Jest to wynik zgodny z naszą intuicją, bowiem, tylko prosta o takim współczynniku przesunięcia przechodzi przez środek układu współrzędnych, a zatem pokrywa się z rozważanym punktem. Innymi słowy, transformata Radona przekształca punkt leżący w początku układu współrzędnych, na prostą w przestrzeni parametrów Radona biegnącą równolegle do osi pionowej i przechodzącej przez punkt 0. Wynik ten zilustrowano na <xr id="fig:punkt_prosta_0">rys. %i</xr>.

'''Przykład 2. Transfromata Radona punktu o dowolnych współrzędnych''' <math>(x_0,y_0)</math> 
[[File:punkt_prosta.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:punkt_prosta"></figure>Ilustracja do Przykładu II — wyznaczenie Transformaty Radona punktu o dowolnych współrzędnych.]]

Jest to bardzo ważny przykład, ponieważ każdy obiekt możemy przedstawić jako sumę punktów o różnych współrzędnych, których amplituda reprezentuje pewną cechę fizyczną obiektu. Wykorzystując dalej liniowość Transformaty Radona, możemy obliczyć Transformatę Radona danego obiektu jako sumę Transformat Radona punktów składających się na ten obiekt. Podobnie jak w poprzednim przykładzie, punkt możemy wyrazić za pomocą Delty Diraca.
<equation id="24"><math>
g(x,y) = \delta(x-x_0)\delta(y-y_0)
</math></equation>
Postać funkcji <math>g(x,y)</math> jest zatem następująca:
<equation id="25"><math>
g(x,y)=\left\{
\begin{array}{ccccc}
\infty & \textrm{dla} & x = x_0 & \textrm{i} & y = y_0 \\
\\
0 & \textrm{dla} & x \neq x_0 & \textrm{i} & y \neq y_0
\end{array} \right.
</math></equation>
Transformatę Radona powyższej funkcji obliczymy wykorzystując właściwości B transformaty Radona. Transformatę Radona punktu leżącego w środku układu współrzędnych wynosi:
<math>
g(x,y) = \delta(x)(y)\xrightarrow{\textrm{Transfromata Radona}}G(a,b)=\delta(b)
</math>
a zatem transformata Radona punktu przesuniętego jest równa:
<equation id="26"><math>
g(x,y) = \delta(x-x_0)(y-y_0)\xrightarrow{\textrm{Transfromata Radona}}G(a,b)=\delta(ax_0+b-y_0)
</math></equation>
Transformata Radona przekształca zatem punkt o dowolnych współrzędnych w prostą w przestrzeni parametrów Radona. Wynik ten zilustrowano na <xr id="fig:punkt_prosta">rys. %i</xr>

'''Przykład 3. Transformata Radona prostej.''' 
[[File:prosta_punkt.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:prosta_punkt"></figure>Ilustracja do Przykładu III — wyznaczenie Transformaty Radona linii prostej.]]

Przykład ten podajemy ze względu na jego znaczenie w grafice komputerowej. Uprzedzając wyniki obliczeń podamy, iż Transformata Radona punktu w kartezjańskim układzie współrzędnych prowadzi do punktu we układzie współrzędnych Transformaty Radona. Punkt te ma współrzędne odpowiadające parametrom prostej. W ten sposób można wykorzystać Transformatę Radona do wynajdywanie w obiekcie, czy obrazach linii prostych. 
Prostą <math>y=kx+l</math> możemy opisać przy pomocy Delty Diraca, zakładając że punkty leżące na prostej mają nieskończoną amplitudę.
<equation id="27"><math>
g(x,y) = \delta(y-kx-l)
</math></equation>
wtedy:
<equation id="28"><math>
g(x,y)=\left\{
\begin{array}{ccc}
\infty & \textrm{dla} & y=kx+l \\
\\
0 & \textrm{dla} & y \neq kx+l
\end{array} \right.
</math></equation>
jej transformata Radona jest równa:
<equation id="29"><math>
G(a,b)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\delta(y-ax-b)\delta(y-kx-l)dxdy
</math></equation>
całkując prawą stronę powyższego równania najpierw po zmiennej dy oraz wykorzystując własność Delty Diraca dostajemy:
<equation id="30"><math>
G(a,b)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\delta(y-ax-b)\delta(y-kx-l)dxdy = \int_{-\infty}^{\infty}\delta((a-k)x+b-l)dx
</math></equation>
W zależności od wartości parametrów <math>a,b,k,l</math> możemy rozważyć następujące przypadki rozwiązań:
a. <math>k\neq a</math> oraz dowolne <math>l</math> i <math>b</math>
<equation id="31"><math>
G(a,b)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\delta(y-ax-b)\delta(y-kx-l)dxdy = \int_{-\infty}^{\infty}\delta(x+\frac{b-l}{a-k})dx
</math></equation>
Korzystając z własności B Delty Diraca ostatecznie otrzymujemy:
<equation id="32"><math>
G(a,b)=\frac{1}{|a-k|}\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x+\frac{b-l}{a-k})dx=\frac{1}{|a-k|}
</math></equation>
b. <math>k=a</math> i <math>l\neq b</math>, wtedy:
<equation id="33"><math>
G(a,b)=\int_{-\infty}^{\infty}\delta((a-k)x+b-l)dx=0
</math></equation>
c. <math>k=a</math> i <math>l=b</math>
<equation id="34"><math>
G(a,b)=\int_{-\infty}^{\infty}\delta((a-k)x+b-l)dx=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(0)dx=\infty
</math></equation>

Podsumowując, transformata Radona funkcji prostej przekształca ją w przestrzeni (A-B) w funkcję płaską o amplitudzie <math>\frac{1}{|a-k|}</math>, która osiąga wartość nieskończoną w punkcie o współrzędnych odpowiadających parametrom prostej. Wynik ten zilustrowano na <xr id="fig:prosta_punkt">rys. %i</xr>

===Normalna postać Transformaty Radona===

Obiekty spotykane w rzeczywistości cechuje zwykle pewna symetria, w związku z czym dogodniej jest je opisywać w innych niż kartezjańskim układzie współrzędnych. Np. człowiek w przybliżeniu posiada symetrię walcową. Ponadto Twierdzenie Radona mówi o tym, iż do wiernego zrekonstruowania obiektu potrzebna jest nieskończona liczba rzutów tego obiektu. Warunek ten w praktyce jest oczywiście niemożliwy do zrealizowania, w związku z czym zawsze będziemy mieli do czynienia z obrazem będącym pewnym przybliżeniem rzeczywistego obiektu. Niemniej powstaje pytanie, z jakich kierunków dokonać rzutowania badanego obiektu. Okazuje się, że dowolne ruchy występujące w przyrodzie, można uzyskać za pomocą obrotu i przesunięcia. Uwzględniając symetrię ciała człowieka, wspomniane ruchy wygodniej jest opisywać w biegunowym układzie współrzędnych. Przejdziemy teraz zatem do wyrażenia Transformaty Radona w biegunowym układzie współrzędnych, którą będziemy nazywać Normalną Transformatą Radona. Pomocne przy tym będą dwa dodatkowe zagadnienia — parametryzacja proste jw układzie biegunowym oraz obrót układu współrzędnych, które opiszemy w następnych rozdziałach.

====Parametryzacja prostej w układzie biegunowym .====

[[File:parametryzacja_prostej.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:parametryzacja_prostej"></figure>Ilustracja do zagadnienia parametryzacji prostej.]]

Na początku dokonajmy parametryzacji prostej — zamiast opisywać prostą za pomocą współczynnika ''a'' (nachylenia prostej względem układu OX) oraz współczynnika ''b'' — przecięcia prostej z osią OY wprowadzimy parametry <math>t_p</math>, określający odległość prostej od początku układu współrzędnych oraz kąt φ jaki tworzy normalna do prostej względem osi ''OX''. Znaczenie parametrów <math>t_p</math> i φ zilustrowano na <xr id="fig:punkt_prosta_0">rys. %i</xr>. Przy pomocy parametrów <math>t_p</math> i φ równanie prostej może być zapisane w następujący sposób:

<equation id="35"><math>
\begin{array}{l}
y = ax + b \\
\\
y - ax - b = 0\\
\\
\frac{t_p}{b} = \sin(\phi) \\
\\
a=-\frac{1}{\tan{\phi}}=-\frac{\cos(\phi)}{\sin(\phi)} \\
\\
y + \frac{\cos(\phi)}{\sin(\phi)}x-\frac{t_p}{\sin(\phi)}=0 \\
\end{array}
</math></equation>

====Obrót układu współrzędnych:====

[[File:obrót_układu_współrzędnych.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:obrót_układu_współrzędnych"></figure>Ilustracja do zagadnienia obrotu układu współrzędnych.]]

Przypomnijmy znaną z kursu matematyki transformację współrzędnych punktu <math>x_0,y_0</math> w układzie ''X-Y'' do układu ''T-S'', obróconego względem niego o kąt <math>\phi</math>. W układzie ''T-S'' punkt ma współrzędne <math>t_0,s_0</math>:

<equation id="36"><math>
\begin{array}{lcl}
t_0 & = & x_0\cos(p)+y_0\sin(p) \\
\\
s_0 & = & -x_0\sin(p)+y_0\cos(p)
\end{array}
</math></equation>
 
<equation id="37"><math>
\begin{array}{lcl}
x_0 &=& t_0\cos(p)+s_0\sin(p) \\
y_0 &=& t_0\sin(p)+s_0\cos(p)
\end{array}
</math></equation>

Zagadnienie to zilustrowano na <xr id="fig:obrót_układu_współrzędnych">rys. %i</xr>.
Jakobian tego przekształcenia wynosi:
<equation id="38"><math>
\det\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{\delta x}{\delta y} & \frac{\delta y}{\delta t} \\
\\
\frac{\delta x}{\delta s} & \frac{\delta y}{\delta s} \\
\end{array}\right\}
= \det\left\{
\begin{array}{cc}
\cos(p) & \sin(p) \\
\\
\sin(p) & \cos(p) \\
\end{array}\right\} =
\cos(p)^2 + \sin(p)^2 = 1
</math></equation>

====Normalna Transformata Radona====

Parametryzacja prostej za pomocą przesunięcia <math>t_p</math> oraz kąta φ umożliwia następujący zapis Transformaty Radona:

<equation id="39"><math>
G(t_p,\phi) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} g(x,y)\delta(\sin(\phi) y+\cos(\phi)x-t_p)dxdy
</math></equation>

Dokonamy teraz pewnych przekształceń, polegających na:
* wykorzystaniu transformacji układu współrzędnych pomiędzy układem ''X-Y'' i układem obróconym ''T-S'',
* wykorzystaniu pewnych właściwości Delty Dirac'a.

<equation id="40">
<math>
\begin{array}{lcl}
G(t_p,\phi) &=& \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} g(x,y)\delta(\sin(\phi) y + \cos(\phi) x-t_p)dxdy \\ \\
{}& =& \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} g(t_p\cos(\phi)-s\sin(\phi),t_p\sin(\phi)+s\cos(\phi)) \\
{} & {} & \cdot \delta(\sin(\phi)(t\sin(\phi))+\cos(\phi)(t\cos(\phi)-s\sin(\phi)-t_p)dtds \\ \\
{} & = &
\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} g(t\cos(\phi)-s\sin(\phi),t\sin(\phi)+s\cos(\phi))\delta(t-t_p)dtds
\end{array}
</math>
 
<math>
\begin{array}{l}
t - t_p=t' \\ \\
t = t'+t_p \\ \\
dt = dt' \\ \\
\end{array}
</math>
 
<math>
\begin{array}{lcl}
G(t_p,\phi) & = & \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} g((t'+t_p)\cos(\phi)-s\sin(\phi),(t'+t_p)\sin(\phi)+s\cos(\phi))\delta(t')dt'ds \\ \\

G(t_p,\phi) & = & \int_{-\infty}^{\infty} g(t_p\cos(\phi)-s\sin(\phi),t_p\sin(\phi)+s\cos(\phi))ds \\ \\
\end{array}
</math>
</equation>

Otrzymany wzór to alternatywna postać Normalnej Transformaty Radona. Prosze zauważyć, iż wyrażenie

'''Przykład IV — Normalna transformata Radona punktu''' 

Rozważmy ponownie ważne zagadnienie, jakim jest Transformata Radona Punktu. Tak jak w przykładzie II punkt o współrzędnych <math>x_0,y_0</math> opiszemy za pomocą Delty Dirac'a.
<equation id="41"><math>
\begin{array}{lcl}
g(x,y) & = & \delta(x-x_0)\delta(y-y_0) \\ \\
G(t_p,\phi) &= & \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-x_0)\delta(y-y_0)\delta(\sin(\phi) y+\cos(\phi) x-t_p)dxdy \\ \\
& = & \int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-x_0)(\int_{-\infty}^{\infty}\delta(y-y_0)\delta(\sin(\phi) y + \cos(\phi) x - t_p)dy)dx \\ \\
& = & \int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-x_0)\frac{1}{|\sin(\phi)|}(\int_{-\infty}^{\infty}\delta(y-y_0)\delta(y - \frac{t_p-\cos(\phi) x}{\sin(\phi)})dy)dx \\ \\
& = & \int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-x_0)\frac{1}{|\sin(\phi)|}\delta(y_0 - \frac{t_p-\cos(\phi) x}{\sin(\phi)})dx \\
\\ \\
G(t_p,\phi) &=& \frac{1}{|\sin(\phi)|}\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-x_0)\frac{1}{|\sin(\phi)|}\delta(y_0 - \frac{t_p-\cos(\phi) x}{\sin(\phi)})dx \\ \\
& = &
\frac{1}{|\sin(\phi)|}\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-x_0)\delta(\frac{\cos(\phi)}{\sin(\phi)} - \frac{t_p}{\sin(\phi)} + y_0)dx \\ \\
& = &
\frac{1}{|\cos(\phi)|}\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-x_0)\delta(x - \frac{t_p}{cos(\phi)} - \frac{\sin(\phi)}{\cos(\phi)}y_0)dx \\ \\
& = &
\frac{1}{|\cos(\phi)|}\delta(x_0 - \frac{t_p}{cos(\phi)} - \frac{\sin(\phi)}{\cos(\phi)}y_0)
\\ \\
G(t_0,\phi) &=& \frac{1}{|\cos(\phi)|}\delta(x_0 - \frac{t_p}{cos(\phi)} - \frac{\sin(\phi)}{\cos(\phi)}y_0)
\\ \\
& = &
\frac{1}{|\cos(\phi)|}\delta(\cos(\phi) x_0 - t_p + \sin(\phi) y_0)
\\ \\
G(t_0,\phi) & = & \frac{1}{|\cos(\phi)|}\delta(\cos(\phi) x_0 - t_p + \sin(\phi) y_0)
\end{array}
</math></equation>

Jak wygląda wykres otrzymanej funkcji <math>G(t_0,\phi)</math>. Wygodniej będzie zapisać współrzędne punktu <math>x_0, y_0</math> we współrzędnych biegunowych, co zilustrowano na <xr id="fig:punkt_biegunowe">rys. %i</xr>.

[[File:punkt_biegunowe.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:punkt_biegunowe"></figure>Punkt w biegunowym układzie współrzędnych.]]
[[File:punkt_prosta_biegunowe.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:punkt_prosta_biegunowe"></figure>Wynikiem przekształcenia punktu opisanego w biegunowym układzie współrzędnych za pomocą Transformaty Radona jest krzywa sinusoidalna.]]

<equation id="42"><math>
\begin{array}{l}
x_0 = t_0\cos(\phi) \\
\\
y_0 = t_0\sin(\phi) \\
\\
\sin(\phi) y_0 + \cos(\phi) x_0 - t_p = 0 \\
\\
\sin(\phi) y_0t_0\cos(\phi) + \cos(\phi) x_0t_0\sin(\phi) - t_p = 0 \\
\\
t_0\sin(\phi + \phi_0) - t_p = 0 \\
\\
t_p = t_0\sin(\phi + \phi_0)
\end{array}
</math></equation>

Otrzymaliśmy zatem następujący wynik:
<equation id="43"><math>
\begin{array}{lcl}
G(t_0,\phi) & = & \frac{1}{|\cos(\phi)|}\delta(\cos(\phi) x_0 - t_p + \sin(\phi) y_0) \\ \\
& = & \frac{1}{|\cos(\phi)|}\delta(t_0\sin(\phi + \phi_0) - t_p)
\end{array}
</math></equation>

Wyrażenie <math>\delta(t_0\sin(\phi + \phi_0) - t_p)</math> jest niezerowe, tylko wtedy, gdy:
<equation id="44"><math>
\begin{array}{l}
t_0\sin(\phi + \phi_0) - t_p = 0 \\
\\
t_p = t_0\sin(\phi + \phi_0)
\end{array}
</math></equation>
czyli gdy punkty <math>t_p</math> i <math>\phi</math> leżą na sinusoidzie. Wynik ten zilustrowano na zilustrowano na <xr id="fig:punkt_prosta_biegunowe">rys. %i</xr>.

===Sinogram===
[[File:sinogram.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:sinogram"></figure>Po lewej stronie rysunku badany obiekt, składający się z dwóch kwadratów. Po prawej stronie rysunku jego sinogram, czyli Transformata Radona.]]
Jak już to było wspomniane w poprzednich rozdziałach, dowolny obiekt możemy zapisać jako sumę punktów o różnych współrzędnych. W związku z tym, iż Transformatą Radona punktu w biegunowym układzie współrzędnych jest krzywa sinusoidalna, Transformata Radona dowolnego obiektu będzie składała się z bardzo wielu sinusoid. Jest to powód, dla którego wykres Transformaty Radona nazywamy ''sinogramem''. Przykład obiektu i jego sinogramu zaprezentowano na <xr id="fig:sinogram">rys. %i</xr>.

===Odwrotna Transformata Radona.===
Poprzednie rozdziały dotyczyły tylko i wyłącznie Transformaty Radona oraz niektórych jej właściwości. Jaki związek ma Transformata Radona z rekonstrukcją obrazu badanego obiektu? Przypominamy, iż Transformata Radona jest pewnym rodzajem jedno-wymiarowego rzutowania. Obiekt badamy wzdłuż pewnej prostej, sparametryzowanej np. w biegunowym układzie współrzędnych. Wynikiem pojedynczego pomiary wzdłuż określonego przez prostą kierunku,jest suma punktów tworzących obiekt i leżących na tej prostej. Punkty te reprezentują pewną wybraną cechę obiektu. Okazuje się, że istnieje transformata odwrotna do Transformaty Radona, która na podstawie serii opisanych pomiarów umożliwia odtworzenie obrazu obiektu. Jeśli transformata obiektu <math>g(x,y)</math> ma postać:
<equation id="45"><math>
G(t_p,\phi)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} g(x,y)\delta(\sin(\phi) y+cos(\phi) x - t_p)dtd\phi
</math></equation>
to jej transformata odwrotna wynosi
<equation id="46"><math>
g(x,y)=\frac{1}{2\pi^2}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\frac{\delta G(t_p,\phi)}{\delta t_p}}{\sin(\phi) y+cos p x - t_p}dt_pd\phi
</math></equation>

Podana postać odwrotnej Transformaty Radona jest niewygodna do implementacji numerycznej (wymaga czasochłonnego liczenia wielu pochodnych), niemniej jest dowodem na to, iż możliwa jest na podstawie jednowymiarowych rzutów rekonstrukcja obrazu dwu lub trój wymiarowego obiektu.
Pozostaje jeszcze kwestia, jak aparatura medyczna jest w stanie dokonać wyznaczenia Transformaty Radona obiektu. Tematem tym zajmiemy się w kolejnych rozdziałach.

Obrazowanie:Obrazowanie Medyczne/Metody obrazowania medycznego wykorzystujące promieniowanie rentgenowskie

2015-10-31T20:45:41Z

Rkus:

Metody obrazowania medycznego wykorzystujące promieniowanie rentgenowskie

Obecnie metody diagnostyki medycznej, wykorzystujące promieniowanie rentgenowskie, można podzielić ogólnie na dwie grupy:
* Rentgenografię Klasyczną (inne często spotykane określenia, to Radiografia, RTG konwencjonalne, RTG planarne, (ang. planar radiography)).
* Rentgenowską Tomografię Komputerową (ang. X-Ray Computer Tomography, CT).
==Natura promieniowania Rentgenowskiego==

Promieniowanie Rentgenowskie (nazywane również promieniowaniem X) jest promieniowaniem elektromagnetycznym powstałym w wyniku hamowania cząstek obdarzonych ładunkiem (stąd inna nazwa promieniowania ''Bremsstrahlung'', niem. ''bremsen'' — hamować i Strahlung ''hamowanie''). Wiadomo, że cząstki obdarzone ładunkiem elektrycznym, poruszające się ruchem przyspieszony emitują promieniowanie elektromagnetyczne, którego moc chwilową wyraża następujący wzór:
<equation id="1"><math>
P = \frac{q^2a^2(t')}{6\pi\epsilon_oc^3}
</math></equation>
gdzie: 
<math>t'=t - \frac{r}{c}</math>, 
r — odległość od ładunku do punktu obserwacji, 
''c'' — prędkość światła, 
''a'' — przyspieszenie z jakim porusza się ładunek, 
<math>\epsilon_0</math> — przenikalność elektryczna próżni, 
''c'' — prędkość światła.

Długość fali promieniowania rentgenowskiego jest mniejsza od 3 nm co odpowiada energiom powyżej 400 eV. Wyróżnia się przy tym tzw. zakres promieniowania miękkiego — od 400 eV do 10 keV oraz promieniowania twardego, które charakteryzuje się energią powyżej 10 keV. Miękkie promieniowanie rentgenowskie jest absorbowane głównie przez powierzchniowe tkanki ciała ludzkiego i ma zbyt małą energię aby przez nie przeniknąć. W związku z tym nie znajduje zastosowania w Obrazowaniu Medycznym.

Uwaga — w wielu źródłach można spotkać się z definicją promieniowania rentgenowskiego jako promieniowania elektromagnetycznego o długości fali zawartej pomiędzy ultrafioletem a promieniowaniem gamma. Taka definicja nie jest jednak właściwa, bowiem obecnie można uzyskać promieniowanie rentgenowskie o energii odpowiadającej niskoenergetycznemu promieniowaniu gamma. Zasadniczą różnicą pomiędzy promieniowaniem gamma a promieniowaniem rentgenowskim jest sposób powstawania. Promieniowanie gamma jest promieniowaniem rentgenowskim powstałym w przemianach jądrowych, natomiast promieniowanie rentgenowskie jest promieniowaniem elektromagnetycznym emitowanym przez cząstkę poruszająca się ruchem przyspieszonym.

Promieniowania Rentgenowskiego stosowane w diagnostyce medycznej wytwarzane jest w tzw. Lampach Rentgenowskich.

==Budowa i Zasada Działania Lampy Rentgenowskiej==
[[File:lampa_rtg.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:lampa_rtg"/>Budowa Lampy Rentgenowskiej. K — katoda, A — anoda, <math>U_h</math> — napięcie wywołujące żarzenie katody, <math>U_a</math> — napięcie przyspieszające elektrony. Rysunek pochodzi ze strony Wikipedii.]]

Schemat Lampy Rentgenowskiej zaprezentowano na <xr id="fig:lampa_rtg">rys. %i</xr>. Składa się ona z katody oraz anody, umieszczonych w szklanej bańce, z której usunięto powietrze. Do katody przyłożone jest napięcie, które wywołuje przepływ przez nią prądu rzędu ułamka ampera. Przepływ prądu powoduje rozgrzanie katody do temperatury około 2200 °C i w następstwie zjawisko termoemisji elektronów (czyli emisji elektronów przez podgrzany do wysokiej temperatury ciało [[wikipl:Emisja termoelektronowa|Emisja termoelektronowa]]). Przy braku dodatkowego napięcia, elektrony emitowane przez katodę utworzyłyby wokół niej chmurę. Pomiędzy katodę a anodę przyłożone jest jednak napięcie <math>U_A</math> (maksymalnie 150 kV), które powoduje ruch elektronów w kierunku anody. Elektrony zostają rozpędzone do prędkości około 0,1 prędkości światła po czym wnikają w anodę. W anodzie rozpędzone elektrony w wyniku szeregu różnych procesów, które zostaną omówione w kolejnych rozdziałach tracą swoją energię kinetyczną. Część tej energii zostaje przetworzona na promieniowanie elektromagnetyczne, jednak większość (ponad 95%) ulega przemianie w ciepło. W wyniku tego anoda rozgrzewa się do bardzo wysokich temperatur i musi być wykonana z materiałów o dużej wielkości atomowej <math>Z</math> (aby skutecznie hamować elektrony) oraz wysokiej temperaturze topnienia. Materiałami, które wykorzystuje się do budowy lampy RTG to najczęściej miedź, wolfram lub molibden. Aby polepszyć chłodzenie lampy rentgenowskiej, do anody doprowadzone są przewody z wodą lub specjalnym olejem, który odprowadza od niej ciepło (na <xr id="fig:lampa_rtg">rys. %i</xr> są to wejścia oznaczone jako <math>W_\mathrm{in}</math> oraz <math>W_\mathrm{out}</math>).

==długości fali zaprezentowano na rysunkuwania X uzyskiwane w lampie RTG==
[[File:Tube_Cu_LiF.PNG|thumb|right|300px|<figure id="fig:rtg_widmo_1"></figure>Natężenie promieniowania X w funkcji energii wytwarzanego w lampie rentgenowskiej.]]
[[File:rtg_widmo_2.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:rtg_widmo_2"></figure>Natężenie promieniowania X w funkcji długości fali wytwarzanego w lampie rentgenowskiej.]]
[[File:rtg_cieplo.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:rtg_cieplo"></figure>Elektrony wnikające w anodę będą tracić swoją energię kinetyczną głównie w wyniku zderzeń z siecią krystaliczną anody.]]
[[File:rtg_hamowanie.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:rtg_hamowanie"></figure> Tor ruchu elektronu zostaje zakrzywiony przez pole elektryczne pochodzące od jądra atomowego. Ładunek poruszający się ruchem przyspieszonym emituje promieniowanie elektromagnetyczne.]]

Natężenie promieniowania rentgenowskiego uzyskiwanego w lampie rentgenowskiej zaprezentowano na <xr id="fig:rtg_widmo_1">rys. %i</xr> w funkcji energii tego promieniowania oraz na <xr id="fig:rtg_widmo_2">rys. %i</xr> w funkcji długości fali. W widmach tych można wyróżnić trzy istotne cechy:
* Widmo promieniowania X zanika dla pewnej granicznej energii oraz długości fali.
* Istnienie części ciągłej widma.
* Istnienie części dyskretnej widma, nazywanej widmem charakterystycznym.

Omówimy teraz, w jaki sposób powstaje w lampie RTG promieniowanie o rozkładzie zaprezentowanym na <xr id="fig:rtg_widmo_1">rys. %i</xr> i <xr id="fig:rtg_widmo_2">rys. %i</xr>.

===Mechanizm powstawania części ciągłej widma RTG===
Jak wiemy, elektrony emitowane przez katodę zostają rozpędzone na drodze pomiędzy anodą a katodą. Wnikając w anodę, elektrony te będę przede wszystkim zderzać się z centrami sieci krystalicznej materiału, z którego wykonana jest anoda (<xr id="fig:rtg_cieplo">rys. %i</xr>) . W wyniku wspomnianych zderzeń, energia kinetyczna elektronu przekazana sieci krystalicznej zostanie zamieniona na ciepło podgrzewające anodę. W ten sposób elektron traci ponad 95 % swojej energii kinetycznej, którą zyskał w trakcie przyspieszania na drodze pomiędzy katodą a anodą. Elektron może również nie ulec zderzeniu z siecią krystaliczną, lecz wniknąć wgłąb atomu. Pod wpływem oddziaływania Kulombowskiego z dodatnio naładowanym jądrem, tor ruchu elektronu zostaje zakrzywiony. Ruch po torze krzywoliniowym jest ruchem przyspieszonym, w wyniku którego elektron emituje promieniowanie elektromagnetyczne (patrz <xr id="fig:rtg_hamowanie">rys. %i</xr>. W takim przypadku elektron traci swoją energię kinetyczną, które ulega zamianie na energię promieniowania X.
Pomimo, że mniej niż 2 % energii kinetycznej elektronów jest zamienianie w lampie rentgenowskiej na energię promieniowania elektromagnetycznego, wyhamowywanie elektronów jest najbardziej wydajnym sposobem uzyskiwania promieniowania X. Natężenie emitowanego promieniowania silnie bowiem spada wraz z masą przyspieszanej cząstki, a kolejna obdarzona ładunkiem cząstka jest już 200 razy cięższa od elektronu.
====Maksymalna energia promieniowania X. Granica krótkofalowa promieniowania rentgenowskiego====
Zgodnie z zasadą zachowania energii, cząstka nie może wypromieniować więcej energii niż wynosi jej energia kinetyczna. Jeśli napięcie przyspieszające elektron wynosi ''U'', cząstka zyska energię kinetyczną:
<equation id="2">
<math>E_k = U\cdot e</math>
</equation>
gdzie: ''e'' — ładunek elektronu. 
Maksymalna energię ''E'' jaką może uzyskać foton Rentgenowski jest zatem równa:
<equation id="3">
<math>E = E_k</math>
</equation>
Na <xr id="fig:rtg_widmo_1">rys. %i</xr> widzimy, że widmo promieniowania X zanika dla energii 100 keV. Możemy na tej podstawie wywnioskować, że napięcie przyspieszające elektrony wynosiła 100 kV.

Maksymalna częstość promieniowania rentgenowskiego wynosi zatem:
<equation id="4">
<math>E = h\nu\rightarrow \nu= \frac{eU}{h}</math>
</equation>
zaś jego długość:
<equation id="5">
<math>\lambda_g = \frac{hc}{Ue}</math>
</equation>
Wielkość <math>\lambda_g</math> nazywamy granicą krótkofalową promieniowania X emitowanego z lampy rentgenowskiej.

====Mechanizm powstawania widma ciągłego — model Kramera (1923).====

[[File:rtg_tarcza.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:rtg_tarcza"></figure>Natężenie promieniowania X w funkcji energii wytwarzanego w lampie rentgenowskiej.]]
[[File:tarcza_widmo.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:tarcza_widmo"></figure>Natężenie promieniowania X w funkcji energii oraz długości fali wytwarzanego w lampie rentgenowskiej.]]
Wiemy już, iż promieniowanie X wytwarzane w lampie rentgenowskiej osiąga pewną maksymalną energię (albo odpowiadającej jej pewną minimalną długość fali). Nie znamy jednak jeszcze całościowego mechanizmu powstawania widma ciągłego. Niestety, mechanizm ten jest bardzo skomplikowany i wykracza znacznie poza ramy niniejszego podręcznika. W tym miejscu zaprezentujemy jedynie pewien model generacji widma w lampie rentgenowskiej zaproponowany przez Kramera w roku 1923. Jest to model stosunkowo prosty, ale posiadający pewne wady i krytykowany, jednakże model ten umożliwia wyjaśnienie powstawania rozkładu natężenie promieniowania X. 
Model Kramera opisuje emisję promieniowania Rentgenowskiego w wyniku oddziaływania z bardzo cienką tarczą. Przewiduje on widmo emitowanego promieniowanie w postaci:
<equation id="6">
<math>I(\nu)d\nu =
\left\{
\begin{array}{lll}
\frac{8\pi^2AZ^2e^5}{3\sqrt{3}m_0Vc^3}, & \textrm{dla} & \nu \leq \nu_g \\
\\
0, & \textrm{dla} & \nu>\nu_g \\
\end{array}
\right.
</math>
</equation>
Jak można zauważyć, model przewiduje jednorodny rozkład energii promieniowania rentgenowskiego emitowanego przez cienka tarczę. Widmo to kończy się na częstości <math>\nu_g</math>. Częstości tej odpowiada maksymalna energia jaką elektrony mogą zamienić na energię promieniowania elektromagnetycznego (patrz <xr id="fig:rtg_tarcza">rys. %i.A</xr>).

Korzystając z modelu Kramera możemy również oszacować postać widma promieniowania rentgenowskiego emitowanego z grubej tarczy (np. anody lampy RTG). Tarcza taka będzie się składać z wielu cienkich tarcz. Widmo emitowane z każdej cienkiej zaprezentowano na <xr id="fig:rtg_tarcza">rys. %i.A</xr>, przy czym przy każdej cienkiej tarczy odpowiada inna wartości częstości granicznej <math>\nu_g</math>, dla której widmo promieniowania rentgenowskiego zanika. Spowodowane jest to faktem, iż w każdej kolejnej tarczy elektrony część swojej energii kinetycznej zamieniają na promieniowanie rentgenowskie. Załóżmy, że w pierwszą cienką warstwę wnika ''N'' elektronów o energii kinetyczną ''E'', z których ''n'' elektronów całą swoją energię kinetyczną zamieni na promieniowanie rentgenowskie. W związku z tym elektrony te nie będą w stanie wniknąć do kolejnej cienkiej tarczy. Pozostałe elektrony z wiązki zamieniły na promieniowanie elektromagnetyczne tylko część swojej energii, którą oznaczymy <math>\Delta E</math>. Po opuszczeniu pierwszej cienkiej tarczy, wiązka zawiera ''N-n'' elektronów o maksymalnych energiach <math>E-\Delta E</math>. Wnikając do kolejnej cienkiej tarczy, elektrony mogą zatem oddać co najwyżej energię <math>E-\Delta E</math>, której odpowiada częstość graniczna <math>\nu_g = \frac{E-\Delta E}{h}</math>, która jest niższa niż częstość graniczna uzyskana w widmie pochodzącym z pierwszej cienkiej tarczy: <math>\nu_g = \frac{E}{h}</math>. Sumując widma pochodzące od wielu cienkich tarcz uzyskujemy zanikające liniowo widmo promieniowania X.

Aby uzyskać widmo promieniowania rentgenowskiego w funkcji długości fali, należy wykonać następujące przekształcenia. Wiemy, że widmo emitowane w wyniku oddziaływania elektronów z cienką tarczą ma postać:
<equation id="7">
<math> I(\nu) = \left\{
\begin{array}{lll}
I_0 & \textrm{dla} & \nu<nu_0 \\
\\
0 & \textrm{dla} & \nu>nu_0 \\
\end{array}
\right.
</math>
</equation>
Zależność pomiędzy częstością fali a jej długością opisuje następujący wzór:
<equation id="8">
<math> \lambda = \frac{c}{\nu}</math>
</equation>
gdzie ''c'' — prędkość światła.
Obliczając przyrost długości fali w funkcji przyrostu częstości fali otrzymujemy:
<equation id="9">
<math> d\lambda = -\frac{c}{\nu^2}d\nu</math>
</equation>
z kolei związek pomiędzy natężeniem promieniowania elektromagnetycznego wyemitowane w wąskim przedziale częstości <math>d\nu</math> oraz wąskim przedziale długości fal:
<equation id="10">
<math> I(\lambda)d\lambda = -I(\nu)d\nu\rightarrow I(\lambda)\frac{d\nu}{d\lambda}
</math>
</equation>
Ponieważ <math> \frac{d\lambda}{d\nu} = -\frac{c}{\nu^2}</math>, ostatecznie dostajemy:
<equation id="11">
<math> I(\lambda) = \left\{
\begin{array}{lll}
I_0\frac{c}{\lambda} & \textrm{dla} & \lambda>\lambda_g \\
\\
0 & \textrm{dla} & \lambda<\lambda_g \\
\end{array}
\right.
</math>
</equation>
Widmo promieniowanie X, emitowanego w lampie rentgenowskiej, w funkcji częstości i długości fali zaprezentowano na rysunku <xr id="fig:tarcza_widmo">rys. %i</xr>.

====Naturalna filtracja promieniowania rentgenowskiego====
[[File:rtg_widmo_teoretyczne.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:rtg_widmo_teoretyczne"></figure>Teoretyczna zależność natężenia promieniowania X uzyskiwanego w procesie hamowania elektronów w lampie Rentgenowskiej. (Rysunek jest modyfikacją wykresu pochodzącego ze strony [http://astrophysics.fic.uni.lodz.pl/medtech/start.html] i udostępnionego przez dra Jacka Rumińskiego, za co autor niniejszych materiałów serdecznie dziękuje.)]]

[[File:rtg_widmo_w_praktyce.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:rtg_widmo_w_praktyce"></figure>Na skutek oddziaływania promieniowania X z atomami anody w procesach: fotoelektrycznym oraz rozpraszaniu Comptona, zachodzi filtracja tego promieniowania już w anodzie lampy oraz okienku berylowym. (Rysunek jest modyfikacją wykresu pochodzącego ze strony [http://astrophysics.fic.uni.lodz.pl/medtech/start.html] i udostępnionego przez dra Jacka Rumińskiego, za co autor niniejszych materiałów serdecznie dziękuje.)]]

Na <xr id="fig:rtg_widmo_teoretyczne">rys. %i</xr> zaprezentowano teoretyczny kształt widma, jaki powstaje w wyniku hamowania elektronów w tarczy lampy rentgenowskiej. W praktyce jednak, widmo to odbiega od kształtu przewidzianego przez model Kramera. Promieniowanie X, zanim opuści anodę, oddziałuje z jej atomami w procesach: fotoelektrycznym i comptonowskim. Na skutek wymienionych procesów, ulega zmniejszeniu natężenie promieniowania rentgenowskiego. Ponadto, w celu przeciwdziałania propagacji promieniowania X we wszystkich kierunkach, lampa rentgenowska znajduje się w ołowianej koszulce (tzw. kołpaku), o grubości kilku milimetrów. Promieniowania z lampy rentgenowskie wydostaje się na zewnątrz poprzez okienko wykonane z berylu. Beryl, mimo że dobrze transmituje promieniowanie rentgenowskie, również osłabia do pewnego stopnia natężenie promieniowania X. Zmniejszanie natężenia promieniowania X po przejściu przez kolejne ośrodki zaprezentowano na rysunku <xr id="fig:rtg_widmo_w_praktyce">rys. %i</xr>. Jak można zauważyć, z wiązki promieniowania X usuwane są w szczególności fotony niskoenergetyczne.

====Część dyskretna widma promieniowania X wytworzonego w lampie rentgenowskiej====
Przypominamy, że elektron wnikający w anodę, traci swoją energię kinetyczną w wyniku trzech procesów:
* zderzeń z siecią krystaliczną anody,
* emisji promieniowania hamowania,
* wybijania elektronów z powłok atomowych.

Trzeci spośród procesów jest tematem niniejszego rozdziału. Po wybiciu elektronu, powłoka może zostać zapełniona przez elektrod z powłoki o wyższej energii. W trakcie tego procesu, elektron emituje nadwyżkę swojej energii w postaci promieniowania elektromagnetycznego. Różnica poziomów energetycznych w atomie, a w związku z tym i energia promieniowania elektromagnetycznego wynosi:

<equation id="2">
<math>\Delta E \approx C\left[\frac{1}{m^2} - \frac{1}{n^2}\right]</math>
</equation>
gdzie: 
<math>m, n</math> — główne liczby kwantowe powłok, 
<math>C</math> — stała zależna od liczby atomowej ''Z'' (ładunku jądra), stałej Rydberga oraz stałej ekranowania. 
Przykładowo, dla miedzi, stała <math>C\approx 10</math> keV. Jeśli elektron wnikający w anodę wybiję elektron z niskiej powłoki i jednocześnie luka po wybitym elektronie zostanie zastąpiona przez elektron z powłoki o wysokiej głównej liczbie kwantowej, wtedy emitowany kwant promieniowania elektromagnetycznego może mieć energię odpowiadającą fotonowi rentgenowskiemu.
W trakcie zmiany przez elektron orbity może być emitowane promieniowanie elektromagnetyczne o ściśle określonych energiach, w związku z czym proces wybijania elektronów z atomów anody prowadzi do powstawania widma składającego się z dyskretnych linii. Widmo to nazywane jest '''widmem charakterystycznym''', gdyż układ linii spektralnych jest charakterystyczny dla danego pierwiastka. Promieniowanie charakterystyczne dla napięcia poniżej 60 kV praktycznie jest pomijalne (ale wykorzystuje się je w mammografii). Dla napięcia anodowego wynoszącego 130 kV wkład widma charakterystycznego w rozkładzie energii promieniowania X wynosi około 5%.
Widmo ciągłe i charakterystyczne promieniowania powstałego w lampie rentgenowskiej nakładają się na siebie. Kształt widma wypadkowego zaprezentowano na <xr id="fig:rtg_widmo_1">rys. %i</xr>.

===Odprowadzanie ciepła w lampie rentgenowskiej===
Miejsce na anodzie, które jest bombardowane przez elektrony nazywamy ogniskiem. Rozmiary ogniska w nowoczesnych lampach rentgenowskich są rzędu ~0.1 mm. Okazuje się, że elektrony wnikające w anodę, mniej niż 1% swojej energii kinetycznej oddają w postaci promieniowania elektromagnetycznego. Pozostała część energii kinetycznej ulega konwersji w ciepło. Przykładowo dla anody wykonanej z wolframu i elektronów przyspieszonych napięciem 50 keV, tylko 0.4 % ich początkowej energii kinetycznej zostaje wyemitowana w postaci promieniowania X. Produkowane ciepło w lampach Rentgenowskich stanowi poważny problem dla konstrukcji tych urządzeń. W trakcie pracy anoda lampy może rozgrzać się do temperatury wyższej niż temperatura topnienia materiału z którego jest zbudowana, zwłaszcza że ciepło to powstaje głównie w bardzo małym obszarze ogniska. W celu rozwiązania problemu odprowadzania ciepła wprowadzonych zostało kilka rozwiązań:
* Anoda jest chłodzona wodą lub olejem, rozwiązanie to można stosować dla napięcia anodowego poniżej 40 kV, wtedy bowiem moc wydzielanego ciepła nie przekracza 2 kW i może zostać odprowadzona przez system chłodzący.
* Lampa z tzw wirującą anodą; rozwiązanie to umożliwia nie naświetlania jednego punktu na anodzie, tylko pierścienia o szerokości ogniska i długości. W wyniku wirowania anody, dane miejsce jest wystawione na zderzenia z elektronami tylko przez krótką chwilę czasu, po czym możliwe jest odprowadzenie z tego miejsca ciepła. Anoda rotuje z prędkością od 3600 do 10000 obrotów na minutę. Lampy z wirującą anodą umożliwiają odprowadzenie do 50 kW ciepła.
* Zwiększenie rozmiaru ogniska. W lampach Rentgenowskich stosowanych w medycynie obszar anody, który jest bombardowany przez elektrony może mieć większe rozmiary niż w standardowych lampach, co umożliwia lepsze odprowadzanie ciepła. W połączeniu z układami chłodzącymi oraz wirującą anodą, rozwiązanie to umożliwia zwiększenie napięcia przyspieszającego do maksymalnej wartości 150 kV. Uzyskanie promieniowania X o energii większej niż 150 - 160 keV przy pomocy lampy rentgenowskiej jest niemożliwe z uwagi na problem odprowadzania ciepła.

Opisane sposoby nie zawsze zabezpieczają anodę lampy rentgenowskiej przed przegrzaniem,w związku z tym nowoczesne urządzenia (zwłaszcza obrazowania medycznego) wyposażone są w systemy kontrolujące temperaturę lampy i wyłączające aparaturę, na określony czas, jeśli przekroczyła ona pewien określony próg. Powoduje to oczywiście uciążliwe przestoje w pracy urządzenia diagnostycznego.

==Osłabienie promieniowania X przez materię==
[[File:mu_niejednorodne.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:mu_niejednorodne"></figure>Ilustracja do wyprowadzenia wzoru na osłabienie natężenia promieniowania X w ośrodku o niejednorodnym rozkładzie liniowego współczynnika osłabienia promieniowania.]]

W zakresie energii stosowanych w Obrazowaniu Medycznym promieniowanie Rentgenowskie oddziałuje z materia w procesach rozproszenia Rayleigh’a, Thomsona i Comptona oraz efekcie fotoelektrycznym. Każdy z tych procesów scharakteryzowany jest przez przekrój czynny σ. Przypominamy, wzór na osłabienie wiązki promieniowania w funkcji przebytej drogi:
<equation id="13">
<math> n(x) = n_0e^{-N\sigma x} </math>,
</equation>
gdzie: 
<math>N</math> — ilość centrów oddziaływania na jednostkę objętości. 
Wprowadzone zostało również pojecie średniej drogi swobodnej:
<equation id="14">
<math>\lambda = \langle x \rangle = \frac{1}{N\sigma}</math>
</equation>
oraz liniowy współczynnik osłabienia wiązki promieniowania:
<equation id="15">
<math>\mu = N\sigma.</math>
</equation>
Osłabienie natężenia promieniowania X w przypadku '''monoenergetycznej''' wiązki i przechodzenia przez ośrodek charakteryzującym się jednorodnym liniowym współczynnikiem osłabienia promieniowania μ wyraża następujący wzór:
<equation id="eq:lambert_beer">
<math> I = I_0e^{-\mu x}, </math>
</equation>
gdzie: 
<math>I_0</math> — natężenie wiązki padającej na ośrodek,
<math>I</math> — natężenie wiązki po pokonaniu w ośrodku drogi ''x''.
Jeżeli promieniowanie Rentgenowskie przechodzi przez ośrodki o różnym współczynniku μ (patrz <xr id="fig:mu_niejednorodne">rys. %i</xr>), wtedy wzór ( <xr id="eq:lambert_beer"> %i</xr>) przekształca się do postaci:
<equation id="15">
<math>
\begin{array}{l}
I_1 = I_0e^{-\mu_1 x} \\
\\
I_2 = I_1e^{-\mu_2 x}\rightarrow I_2 = I_0e^{-\mu_1 x}\cdot e^{-\mu_2 x}
\\
\ldots
\\
I_n = I_0e^{-\mu_1 x}\cdot e^{-\mu_2 x}\cdot\ldots \cdot e^{-\mu_n x} =
I_0e^{\sum_{i=1}^N -\mu_ix}
\\
\\
\end{array}
</math>
</equation>
gdzie: 
<math>I_i</math> — natężenie promieniowania rentgenowskiego po przebyciu drogi ''x'' w ''i''-tym ośrodku, charakteryzującym się liniowym współczynnikiem osłabienia promieniowania rentgenowskiego <math>\mu_i</math>. Zanim promieniowanie rentgenowskie dotrze do ''i''-tego ośrodka, przechodzi przez ośrodki o współczynniku osłabienia <math>\mu_1, \mu_2, \ldots, \mu_{i-1}</math>. Przechodząc od struktur dyskretnych do ciągłych dostajemy:

<equation id="16"><math>
I\left(x\right) = I_0 e^{\int_{x=0}^{x=d} -\mu(x) dx}.
</math></equation>

==Natężenie promieniowania Rentgenowskiego emitowanego przez Lampę Rentgenowską==
[[File:natezenie_napiecie.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:natezenie_napiecie"></figure>Wraz ze wzrostem napięcia przyspieszającego rośnie energia promieniowania X oraz jego natężenie.]]
[[File:natezenie_liczba_atomowa-anody.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:natezenie_liczba_atomowa-anody"></figure>Dla ustalonego napięcia przyspieszającego, natężenie promieniowania X rośnie wraz z liczbą Z materiału z jakiego zrobiona jest anoda.]]
Ogólnie natężenie promieniowania X produkowanego w Lampie Rentgenowskiej można opisać następującym wzorem:
<equation id="eq:I_U">
<math>I = K\cdot Z\cdot I_A\cdot U_A^2 </math>
</equation>
gdzie: 
* K — to pewna stała, zależna miedzy innymi od konstrukcji lampy,
* Z — to liczna atomowa materiału, z którego wykonana jest anoda,
* <math>I_A</math> — natężenie prądu anodowego (przypominamy, że w lampie rentgenowskiej pomiędzy katodą a anodą poruszają się elektrony, mamy zatem do czynienia ze zjawiskiem przepływu prądu elektrycznego),
* <math>U_A</math> — napięcie anodowe (przyspieszające).
Na <xr id="fig:natezenie_napiecie">rys. %i</xr> i <xr id="fig:natezenie_liczba_atomowa-anody">rys. %i</xr> zaprezentowano widmo natężenia promieniowania X w zależności od napięcia przyspieszającego i materiału z jakiego wykonana jest anoda.
Musimy być również świadomi, że natężenie prądu anodowego <math>I_A</math> zależy od ilości elektronów wyprodukowanych w zjawisku termoemisji, a to z kolei zależy od wielkości prądu płynącego przez katodę. Zależność ta jest proporcjonalna — w celu zwiększenia np. 3 krotnie wielkość prądu <math>I_A</math> należy 3 krotnie zwiększyć wartość prądu płynącego przez katodę. Ponadto na natężenie prądu anodowego <math>I_A</math> wpływa również napięcie przyspieszające <math>U_A</math>, jednak ta zależność nie jest proporcjonalna.

==Kontrast obrazu uzyskanego przy pomocy promieniowania rentgenowskiego==
[[File:struktura.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:struktura"></figure>Ilustracja do estymacji kontrastu uzyskiwanego za pomocą promieniowania rentgenowskiego.]]

Aby móc rozróżnić na obrazie jakąś strukturę, musi się ona charakteryzować się wartością parametru fizycznego, który odwzorowujemy na obrazie, istotnie różną od wartości struktur sąsiednich lub tła. Innymi słowy, do wyróżnienia struktur na obrazie potrzebny jest odpowiedni kontrast.Nie będziemy się w tym rozdziale zajmowali detektorami promieniowania rentgenowskiego.
Interesuje nas na razie tylko, jaki teoretycznie możemy uzyskać kontrast na zdjęciu wykonanym przy pomocy promieniowania Rentgenowskiego.
W tym celu załóżmy, iż wiązka promieniowania rentgenowskiego przechodzi przez ośrodek o grubości ''L'' i liniowym współczynniku promieniowania X równym <math>\mu_1</math>. W ośrodku znajduje się struktura o grubości ''d'' i liniowym współczynniku osłabienia promieniowa X równym <math>\mu_2</math> (patrz <xr id="fig:struktura">rys. %i</xr>). Wyznaczmy na początku kontrast lokalny:
<equation id="17"><math>C = \frac{I_2 - I_1}{I_1} </math></equation>
gdzie: 
<math>I_1</math> — natężenie promieniowania po przejściu tylko przez ośrodek o współczynniku liniowego osłabienia promieniowania X równym <math>\mu_1</math>. 
<math>I_2</math> — natężenie promieniowania po przejściu przez ośrodki o współczynniku liniowego osłabienia promieniowania X równym <math>\mu_1</math> i <math>\mu_1</math>. 
Po wykonaniu prostych obliczeń otrzymujemy:
<equation id="8">
<math>\begin{array}{l}
I_1 = I_0e^{-\mu_1L} \\
\\
I_2 = I_0e^{-\mu_1(L-d)-d\mu_2} \\
\\
I_2 - I_1 = I_0e^{-\mu_1(L)}\left(e^{-\Delta\mu d} - 1\right)
\end{array}
</math>
</equation>
gdzie: <math>\Delta\mu=\left(\mu_2 - \mu_1\right)</math> 

Załóżmy teraz dla uproszczenia, że nasza struktura ma niewielkie rozmiary oraz różnica w liniowym współczynniku osłabienia promieniowanie X <math>\Delta\mu</math> jest również niewielki, czyli gdy
<equation id="19">
<math>
\Delta\mu d \ll 1
</math>
</equation>
wtedy:
<equation id="20">
<math>
I_2 - I_1 = -\Delta\mu dI_0e^{-\mu_1L}
</math>
</equation>
zaś kontrast lokalny wynosi:
<equation id="21">
<math>
C = \frac{I_2 - I_1}{I_2} = \frac{-\Delta\mu d I_0e^{-\mu_1L}}{I_0 e^{-\mu_1L}} = -\Delta\mu d
</math>
</equation>
Kontrast lokalny zależy zatem od grubości struktury ''d'' oraz różnicy w liniowym współczynniku osłabienia promieniowania ''X'' pomiędzy interesującą nas strukturą i tłem.

==Budowa Aparatury wykorzystywanej w Rentgenografii Klasycznej==

Podstawowym elementem każdej aparatury rentgenowskiej jest oczywiście lampa rentgenowska, której budowa została omówiona we wcześniejszych rozdziałach. Kolejne podzespoły to:
* Filtry.
* Ogranicznik promieniowania (kolimator).
* Stół na którym umieszczany jest pacjent.
* Kratka przeciwrozproszeniowy.
* Detektor promieniowania.

Budowa oraz zasady funkcjonowania poszczególnych elementów (za wyjątkiem stołu) zostanie omówiona w osobnych podrozdziałach.

===Filtry===
Promieniowanie rentgenowskie emitowane przez lampę nie jest promieniowaniem monoenergetycznym. Zadaniem filtrów jest usuniecie z wiązki promieniowania, które nie może być wykorzystane do diagnostyki. Przede wszystkim jest to promieniowanie o energiach niższych niż 10 keV. Promieniowanie o energii poniższej 10 keV jest silne osłabiane przez ciało człowieka. W związku z tym ilość fotonów, która dotrze do detektorów jest zbyt mała, aby uzyskać wyraźny obraz. Innymi słowy, naświetlenie pacjenta promieniowaniem miękkim spowoduje obciążenie go dawką promieniowania jonizującego bez żadnych korzyści diagnostycznych. Filtry pełnią niezwykle istotną rolę w przypadku mammografii, co zostanie omówione w osobnym rozdziale.

===Kolimator===
Zadaniem kolimatora jest odpowiednie uformowanie kształtu wiązki promieniowania rentgenowskiego. W aparaturze diagnostycznej stosowane są głównie kolimatory nastawne, podczas gdy w radioterapii są to zwykle kolimatory stałe, wykonane z ołowianych blach o odpowiednio wykonanym kształcie. Szczególnym przypadkiem kolimatora nastawnego jest tzw. ogranicznik głębinowy. W jego przypadku, kształtowanie wiązki promieniowania przeprowadzane jest za pomocą układu co najmniej dwóch ograniczników nastawnych znajdujących się w różnych odległościach od ogniska lampy rentgenowskiej. Kolimatory nastawne są odpowiednio sprzężone ze sobą oraz ze stołem na którym umieszczony jest pacjent. Kolimatory głębinowy wytwarza wiązkę promieniowania o prostokątnym przekroju, i automatycznie dobierają jej rozmiar do rozmiaru detektora promieniowania X, którym najczęściej jest kaseta z filmem.

===Kratka przeciwrozproszeniowa===
Promieniowanie rentgenowskie oddziałuje z materią, z której zbudowany jest organizm ludzki, głównie w dwóch procesach:
* Efekcie Fotoelektrycznym,
* Zjawisku Comptona.

Efekt fotoelektryczny jest bardzo korzystny z punktu widzenia formowania obrazu. Skutkuje on bowiem absorpcją wyemitowaniem przez lampę fotonu rentgenowskiego. W przypadku Efektu Comptona, tylko część energii fotonu ulega absorpcji, zaś foton ulega rozproszeniu. Rozpraszanie Comptonowskie jest zatem bardzo niekorzystne w obrazowaniu medycznym i prowadzi do zaszumienia uzyskiwanych obrazów. Aby przeciwdziałać docieraniu do detektora promieniowania rentgenowskiego fotonów rozproszonych stosowane są specjalne kratki. Kratki te składają z pasków materiału silnie pochłaniającego promieniowanie rentgenowskie, umieszczonych w obudowie wykonanej z tworzywa sztucznego. Tak wykonana kratka może jednak rzucać cień na detektor promieniowania. Problem ten rozwiązano wprowadzając ruch kratki w trakcie wykonywania zdjęcia, co prowadziło do rozmazania obrazu kratki na zdjęciu rentgenowskim. Kratka ruchoma jest nazywana również kratką Buckego. Zastosowanie kratek przeciwrozproszeniowych podnosi kontrast około 3-4 krotnie.

== Film i ekrany wzmacniające==
Jak wiemy ludzkie oko nie jest czułe na promieniowanie X. W skład rentgenowskiej aparatury diagnostycznej musi zatem wchodzić układ, który dokona detekcji promieniowania X, utworzy obraz i umożliwi jego prezentację w zakresie światła widzialnego. Pierwszym detektorem promieniowania rentgenowskiego, który zresztą przyczynił się pośrednio do odkrycia tego promieniowania, była zwykła klisza fotograficzna. Do połowy lat 70 materiał z emulsją fotograficzną był naświetlany bezpośrednio promieniowaniem które opuściło pacjenta. Prowadzone badania wykazały jednak, że emulsja fotograficzna jest również bardzo mało czuła na promieniowanie X. Z drugiej strony emulacja fotograficzna jest bardzo czuła na promieniowanie z zakresu widzialnego. Postanowiono zatem, do układu detekcji wprowadzić materiał, który dokona konwersji promieniowania rentgenowskiego na światło widzialne. W tym celu wykorzystano zjawisko Luminescencji.
Luminescencja (tzw. zimne świecenie, jarzenie) — zjawisko emisji fal świetlnych przez ciała (luminofor), wywołane inną przyczyną niż rozgrzanie ciała do wysokiej temperatury. Luminescencja obejmuje bardzo szeroki zakres zjawisk emisji promieniowania świetlnego, takich jak:
* Chemiluminescencja — Wytworzenie światła w trakcie niektórych reakcji chemicznych.
* Elektroluminescencja — Świecenie pod wpływem stałego lub zmiennego prądu elektrycznego.
* Elektronoluminescencja (katodoluminescencja) — Świecenie pod wpływem elektronów przyspieszanych napięciem między elektrodami (ten rodzaj wzbudzania ma liczne zastosowania w kineskopach, oscyloskopach, mikroskopach elektronowych itp.)
* Fotoluminescencja — Świecenie wywołane przez pochłonięcie promieniowania elektromagnetycznego z obszaru widzialnego, ultrafioletu lub podczerwieni. Pochłonięta energia jest następnie wyemitowana także w postaci światła, na ogół o energii mniejszej niż energia światła wzbudzającego. Ze względu na czas trwania fotoluminescencję dzieli się na:
** fluorescencję — zjawisko trwające wyłącznie podczas działania czynnika wzbudzającego,
** fosforescencję — zjawisko trwające również przez pewien czas po ustąpieniu czynnika wzbudzającego; substancje zdolne do fosforescencji nazywane są zwyczajowo fosforami.
* Scyntylacja — Emisja światła pod wpływem promieniowania jonizującego:
** rentgenoluminescencja — wywołana promieniowaniem rentgenowskim,
** radioluminescencja — świecenie pod wpływem promieniowania alfa α, beta β, gamma γ
Z punktu widzenia detekcji promieniowania rentgenowskiego w diagnostyce medycznej, najważniejszymi zjawiskiem jest scyntylacja, a w szczególności rentgenoluminescencja. W żargonie technicznym dotyczącym aparatury rentgenowskiej rzadko jednak mówi się o rentgenoluminescencja, stojąc terminy scyntylacja lub luminescencja. Należy jednak pamiętać jak szeroką klasę zjawisk obejmuje określenie luminescencji.
Warto również wiedzieć, iż scyntylacja jest jednym z rodzajów Fotoluminescencji, w przypadku której wyróżniamy fluorescencję oraz fosforescencję, które w zależności od dalszych procesów zachodzących w trakcie detekcji promieniowania rentgenowskiego mogą wpływać korzystnie lub niekorzystnie na powstawanie obrazu.
Opiszemy teraz rozwiązania techniczne, które umożliwiły wykorzystanie zjawiska luminescencji do detekcji promieniowania X.

Luminofor nanoszony jest na powierzchnię wykonaną z tworzywa sztucznego, tworząc tzw. ekran wzmacniający. Pomiędzy dwa ekrany wzmacniające wprowadzany jest film pokryty obustronnie emulsją fotograficzną. Całość (dwa ekrany wzmacniające oraz film) tworzy tzw. kasetę. W celu podwyższenia skuteczności konwersji promieniowania X na światło stosowane są dodatkowe rozwiązania. Przede wszystkim, powierzchnię na której ma być umieszczony luminofor pokrywa się najpierw warstwą odbijającą światło. Wiadomo, że światło, wytworzone w luminoforze pod wpływem promieniowania X będzie emitowane we wszystkich kierunkach. W związku z tym, do kliszy fotograficznej dotrze tylko 50% światła widzialnego. Zadaniem warstwy odbijającej ekranu wzmacniającego jest ponowne skierowanie światła w kierunku emulsji fotograficznej. Należy jednak pamiętać, iż na jakość otrzymywanego w diagnostyce medycznej obrazu mają wpływ głównie dwa parametry — kontrast oraz rozdzielczość przestrzenna. Nie zawsze jest możliwe polepszanie wartości obydwu tych parametrów na raz, czego przykładem są właśnie układy ekran wzmacniający — emulsja fotograficzna. Stosowanie filmu obustronnie pokrytego emulsją światłoczułą, zastosowanie dwóch ekranów wzmacniających oraz warstw odbijających zwiększa skuteczność konwersji promieniowania X na światło widzialne. Z drugiej strony w układzie takim powstają wielokrotne odbicia, które powodują rozmazanie obrazu, jeśli światło padające na jedną stronę kliszy nie zostanie przez nią zaabsorbowane, utworzy obraz po drugiej stronie również skutkując rozmazaniem obrazu. Ponadto gruba warstwa luminoforu prowadzi także do rozproszenia światła i dalszej degradacji jakości obrazu.
W związku z tym kasety dostępne są w różnych konfiguracjach, charakteryzujących się różną grubością ziarna luminofora i grubością warstwy luminofora, rodzajem filmu (jednostronnie lub dwustronnie pokrytego emulsją).
Nie ulega jednak wątpliwości, iż zastosowanie kaset z ekranami wzmacniającymi korzystnie wpłynęło na jakość obrazów w diagnostyce medyczne, a także zredukowanie dawki promieniowania X pochłoniętej przez pacjenta (od około 20 do 100 razy).

===Charakterystyka filmu===
[[File:ekspozycja_1.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:ekspozycja_1"></figure>Krzywa charakterystyczna filmu RTG, zaznaczona ciągłą linią koloru czarnego. Kontrast uzyskiwany na filmie jest pochodną krzywej charakterystycznej. Przebieg zależności kontrastu w funkcji ekspozycji zaznaczono czarną linią przerywaną. Pionowymi liniami zielonymi zaznaczono obszar, w którym krzywa charakterystyczna jest funkcją liniową, w związku z czym kontrast jest stały. W zakresie od 0 do wartości oznaczonej pierwszą pionową linią czerwoną film jest niedoświetlony. W zakresie od drugiej pionowej linii czerwonej do maksymalnego zakresu ekspozycji film jest prześwietlony.]]
[[File:ekspozycja_2.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:ekspozycja_2"></figure>Krzywa charakterystyczna dla dwóch różnych typów filmu RTG. Krzywa oznaczona kolorem zielonym charakteryzuje się szerszym obszarem liniowości, dzięki czemu do wykonywania zdjęć można dogodniej dobrać wartość ekspozycji. W przypadku filmu o krzywej charakterystycznej oznaczonej kolorem czerwonym, obszar w którym gęstość optyczna liniowo zależy od ekspozycji jest znacznie węższy, w związku z czym film ten można łatwo prześwietlić lub niedoświetlić. Z kolei film ten będzie charakteryzował się większą dynamiką zmian kontrastu (niewielka zmiana ekspozycji powoduje znaczne zmiany kontrastu).]]

Jednym z najważniejszych parametrów charakteryzujących filmy wykorzystywane w klasycznej diagnostyce rentgenowskiej jest tzw. gęstość optyczna. Zrozumienie tego parametru oraz jego zależność od ekspozycji umożliwi również zrozumienie przyczyn intensywnych badań nad detektorami cyfrowymi, które wypierają filmy z zastosowań w diagnostyce medycznej.
Zdefiniujmy na początku stopień zaczernienia filmu w wyniku ekspozycji. W tym celu możemy zmierzyć transmisję promieniowania przechodzące przez kliszę. Stopień zaczernienia filmu jest natężenia promieniowania przechodzącego przez klisze <math>I</math> do natężenia padającego na kliszę <math>I_0</math>:
<equation id="22">
<math> T = \frac{I}{I_0}</math>.
</equation>
Gęstość optyczna to:
<equation id="23">
<math> D =-log_{10}(T) = log_{10}\frac{I_0}{I} </math>.
</equation>
Zakres gęstości optycznej zaprezentowano w poniższej tabeli:
{| class="wikitable"
! T
! D
! Skutek
|-
| 1
| 0
| Szczątkowe naświetlenie, będące np. efektem przypadkowej emisji światła przez kasetę.
|-
| 0.1
| 1
| Film szarawy.
|-
| 0.01
| 2
| Film zaczerniony.
|-
| 0.001
| 3
| Film bardzo zaczerniony.
|-
| 0.00025
| 3.6
| Maksymalne zaczernienie stosowane w diagnostyce medycznej.
|}
Użyteczny zakres gęstości optycznej to 0.5 – 2.2.
Wprowadźmy teraz pojęcie ekspozycji. Ekspozycja to ilość promieniowania padającego na detektor w trakcie wykonywania zdjęcia. Wielkość ta, co jest oczywiste, będzie zależeć zarówno od natężenie promieniowania padającego oraz czasu wykonywania zdjęcia. Na rysunku <xr id="fig:ekspozycja_1">rys. %i</xr> zaprezentowano zależność gęstości optycznej od ekspozycji, którą nazywamy Krzywą Charakterystyczną Filmu. Jak można zauważyć, zależność ta tylko w pewnym obszarze jest liniowa. Tymczasem kontrast obrazu uzyskiwanego na kliszy to nachylenie (pochodna) gęstości optycznej względem ekspozycji. Na rysunku <xr id="fig:ekspozycja_1">rys. %i</xr>. możemy wyróżnić trzy obszary Krzywą Charakterystyczną Filmu:
* obszar, w którym gęstość optyczna jest niewielka i słabo zależy od ekspozycji — jest to obszar w którym film jest niedoświetlony,
* obszar, w którym gęstość optyczna jest duża i słabo zależy od ekspozycji — jest to obszar w którym film jest prześwietlony,
* obszar, w którym gęstość optyczna zależy liniowo od ekspozycji — w tym obszarze kontrast jest stały.

Nieliniowa zależność gęstości optycznej od ekspozycji to jedna z głównych wad filmów, co prześledzimy na następującym przykładzie. Załóżmy iż wykonujemy zdjęcie rentgenowskie dwóch tkanek pacjenta — A i B, które znacznie różnią się liniowym współczynnikiem osłabienia promieniowania X. Tkanka A silnie tłumi promieniowanie X, podczas gdy tkanka B osłania to promieniowanie nieznacznie. Kontrast uzyskanego zdjęcia jest funkcją ekspozycji. Z kolei ekspozycja zależy od natężenia promieniowania padającego na kliszę. Natężenie promieniowania, które dociera do kliszy, zależy od stopnia jego osłabienia przez narządy. Chcąc dobrze odwzorować tkankę B, film powinien być naświetlany krótko, gdyż tkanka ta niewiele osłabia promieniowanie. Z kolei w przypadku tkanki A, która silnie osłabiła promieniowanie rentgenowskie, czas ekspozycji powinien być wydłużony. Niestety, tylko pewien ograniczony zakres ekspozycji prowadzi do wytworzenia odpowiedniego kontrastu. Starając się dobrać ekspozycję jednocześnie dla tkanki A i B można łatwo doprowadzić do prześwietlenia lub niedoświetlania filmu.
Pewnym rozwiązaniem tego problemu jest wytworzenie filmu o jak szerszym zakresie liniowej zależności gęstości optycznej od ekspozycji. W takim przypadku jednak gęstość optyczna będzie narastać wolno, a w związku z tym i kontrast (który jest pochodzą gęstości optycznej po ekspozycji) będzie miał małą wartość. W zależności, na którym parametrze bardziej nam zależy, czy wysokim kontraście, czy szerszym zakresie użytecznej ekspozycji wytworzono różne rodzaje filmu, charakteryzowane dodatkowymi parametrami. W podsumowaniu tego rozdziału wymienimy cztery najważniejsze:

*Kontrast — Zakres ekspozycji w którym gęstość optyczna zmienia się liniowo. Filmy o szeroki zakresie użytecznej ekspozycji są tzw. filmami o małej dynamice kontrastu. Z kolei filmy o wąskim zakresie użytecznej ekspozycji to filmy o tzw. dużej dynamice kontrastu, które jednakże łatwo prześwietlić lub nie doświetlić.
* Średni kontrast (ang ''Average Contrast''):
<equation id="24">
<math>C = \frac{D(E_2)-D(E_1)}{E_2 - E_1} </math>.
</equation>
* Gamma — kontrast maksymalny.
* Szybkość uzyskania gęstości optycznej D = 1:
<equation id="25">
<math>S = E^{-1}(D=1) </math>.
</equation>

==System sterowania ekspozycją==
W rozdziale [https://brain.fuw.edu.pl/edu/Obrazowanie:Obrazowanie_Medyczne/Metody_obrazowania_medycznego_wykorzystuj%C4%85ce_promieniowanie_rentgenowskie#Charakterystyka_filmu] wprowadzone zostało pojęcie ekspozycji,która jest miarą ilości fotonów padających na detektor promieniowania. Ekspozycja zależy od natężenia promieniowania oraz czasu wykonywania badania. Przypominamy, że z kolei natężenie promieniowania rentgenowskiego zależy od materiału z którego wykonana jest anoda, napięcia przyspieszającego <math>U_A</math> i natężenia prądu anodowego <math>I_A</math> (wzór (<xr id="eq:I_U"/>)). Z kolei natężenie prądu anodowego również zależy od napięcia przyspieszającego <math>U_A</math>, a także materiału z którego wykonana jest katoda oraz natężenia prądu płynącego przez katodę i wywołującego zjawisko termoemisji. Podsumowując, ekspozycja zależy od wielu parametrów, które należy właściwie ustawić. W zależności od tego, które z parametrów są ustawiane automatycznie lub może regulować je technik prowadzący badania wyróżniamy cztery techniki:
* Technika Trzypunktowa — napięcie anodowe <math>U_A</math>, prąd anodowy <math>I_A</math> i czas wykonywania naświetlenia technik ustawia ręcznie. Przypominamy, że natężenie prądu anodowego <math>I_A</math> zależy zarówno on natężenia prądu płynącego przez katodę <math>I_K</math>jak i napięcie przyspieszającego <math>U_A</math>. Jednakże prąd <math>I_A</math> jest proporcjonalny do prądu <math>I_K</math> w związku z tym regulacja prądu anodowego odbywa się głównie poprzez zmiany prądu płynącego przez katodę.
* technika dwupunktowa — w przypadku tej techniki wprowadza się dodatkową wielkość — miliampero-sekundy (mAs):
<equation id="26">
<math>
\text{mAs} = I_A\cdot t [A\cdot s]
</math>
</equation>
gdzie
<math>I_A</math> — prąd anodowy (prąd płynący od anody do katody),
<math>s</math> — czas wykonywania ekspozycji.
Przykładowo, jeśli prąd anodowy <math>I_A</math> wynosi 400 mA, zaś czas ekspozycji 500 ms, to współczynnik mAs = 200 mAs.
Operator ustawia ręcznie dwa parametry napięcie przyspieszające i parametr mAs.
* technika jednopunktowa — operator ustawia ręcznie wartość napięcia przyspieszającego, pozostałe parametry dobiera automat na podstawie sygnału, umieszczonych przed kasetą, z detektorów promieniowania,
* technika zero-punktowa — wszystkie parametry są dobierane automatycznie

==Wzmacniacze Obrazu==
[[File:wzmacniacz_obrazu.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:wzmacniacz_obrazu"></figure>Schemat budowy wzmacniacza obrazu. (Rysunek pochodzi ze strony [2] i został udostępnionego przez dra Jacka Rumińskiego, za co autor niniejszych materiałów serdecznie dziękuje).]]

Niezwykle ważne w diagnostyce medycznej jest uzyskiwanie obrazów w czasie rzeczywistym. Do lat 50-tych ubiegłego wieku w celu uzyskiwania takich obrazów stosowano ekrany fluoroskopowe. Wadą tych ekranów była niewielka jasność i kontrastowa, przez co lekarz musiał adaptować wzrok do ciemności panującej w pokoju w którym przeprowadzano badanie. Ekrany fluoroskopowe zastąpiono wzmacniaczami obrazu, jednakże do dzisiaj w radiologii funkcjonuje nazwa „fluoroskopia”.
===Budowa i zasada działania wzmacniacza obrazu ===
Schemat wzmacniacza obrazu zaprezentowano na <xr id="fig:wzmacniacz_obrazu">rys. %i</xr>, podstawowe elementy to luminofor wejściowy, fotokatoda, układy przyspieszające wraz z optyką elektronowa, luminofor wyjściowy.
* Luminofor wejściowy konwertuje promieniowanie rentgenowskie na promieniowanie widzialne. Materiałem wykorzystywanym w procesie luminescencji to jodek cezu (CsI) domieszkowanego sodem (Na), który umieszcza się na podłożu aluminiowym. Kryształy (CsI:Na) pod wpływem absorpcji promieniowania X świecą światłem niebieskim Światło to dociera następnie do fotokatody.
* Fotokatoda — pod wpływem światła emitowanego przez luminofor emituje elektrony.
* Układy przyspieszające i optyka elektronowa. Wytworzone przez katodę elektrony są przyspieszane napięciem 25 keV do 35 keV oraz ogniskowane przez odpowiednio skonfigurowaną optykę elektronową.
* Luminoforu Wyjściowy Luminofor emituje, w odpowiedzi na absorpcje elektronów, zielone światło. Dodatkowo, na warstwę luminoforu nałożona jest cienka warstwa aluminium, która jest jednocześnie anodą układu.

==Detektory Cyfrowe==
Detektory cyfrowe można podzielić na dwie grupy i skojarzone z nimi metody klasycznej radiografii:
* Radiografia fosforowa (tzw. półcyfrowa),
* Radiografia cyfrowa bezpośrednia.
Detektory cyfrowe promieniowania X zostały opracowane w roku 1987 przez Francisa Mouyena. System obrazowania oparty na tych detektorach zaprezentowano dwa lata później a opatentowano pod nazwą radiowizjografia. Nazwa ta jest zastrzeżona dla produktów firmy Trophy Radiologie. Inne firmy stosują nazwę radiografii cyfrowej. Innymi słowy: Radiowizjografia = Radiografia cyfrowa bezpośrednia.

===Radiografia półcyfrowa (ang. Computed Radiography, CR)===
W latach 80-tych wprowadzono technologię, umożliwiającą wygodną akwizycję zdjęć rentgenowskich na cyfrowych nośnikach danych i ich analizę obrazu na ekranie komputerowym. Technologia ta wykorzystuje kasety kompatybilne z kasetami przeznaczonymi dla klasycznych filmów, jednakże wewnątrz kasety zamiast materiału z emulsją światłoczułą znajdował specjalny fotoczuły ekran fosforowy. Pod wpływem promieniowania X elektrony w atomach wchodzących w skład ekranu wchodziły na wyższe poziomy energetyczne. Cechą charakterystyczną zastosowanego materiału jest fakt, iż powrót atomów ze stanu wzbudzonego do stanu podstawowego nie następuje gwałtownie szybko. Atomy pozostają w stanie wzbudzonym dopóki nie zostaną z niego wytrącone np. za pomocą światła laserowego. Obraz diagnostyczny zapisany w ten sposób nazywamy obrazem utajonym, zaś stan w którym znajdują się atomy stanem metastabilnym. Po zakończeniu badania, kaset naświetlana jest światłem laserowym, elektrony uwolnione ze stanu metastabilnego emitują światło, które następnie jest odbierane i wzmacniane przez fotopowielacz. Wzmocnione światło jest następnie zamieniane na sygnał cyfrowy. Po zeskanowaniu obrazu kaseta jest kasowana za pomocą specjalnej lampy i może być użyta po raz ponowny.

===Radiografia cyfrowa (ang. Digital Radiography, DR)===
[[File:ekspozycja_3.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:ekspozycja_3"></figure>Krzywa charakterystyczna detektora cyfrowego. Krzywa może być opisana funkcją liniową, dzięki czemu uzyskiwany kontrast jest niezależny od ekspozycji.]]

Pod koniec lat osiemdziesiątych ubiegłego wieku do stomatologii zostały wprowadzone pierwsze detektory umożliwiające uzyskanie zdjęcia rentgenowskiego bez wykonywania pośrednich kroków, takich jak np. skanowanie filmu. Wynalazca metody — Francis Mouyen, opatentował swoje odkrycie pod nazwą radiowizjografia (''radio'' — wytwarzającego promieniowanie, ''visio'' — rejestrującego obraz, ''graphy'' — wyświetlającego obraz). Obecnie różnorodne formy cyfrowej detekcji promieniowania X określone są jako Radiografia Cyfrowa (ang. ''Digital Radiography'', DR) lub Radiografia Bezpośrednia. Dotychczas opracowana kilka rodzajów detektorów cyfrowych, z których omówimy najważniejszy — detektor wykorzystujący amorficzny krzem. 
Podstawowym elementem w radiografii cyfrowej jest matryca detektorów (ang. ''Flat Panel Detectors'', FPDs). Pojedynczy detektor, odpowiedzialny za wytworzenie jednego piksela na obrazie, składa się z:
* fotodiody wykonanej z amorficzngo krzemu,
* materiału scyntylacyjnego — warstwy jodku cezu,
* układu regulującego.

Amorficzny krzem z uwagi na swoje właściwości jest masowo wykorzystywany w budowie ekranów LCD oraz ogniw fotogalwanicznych. Wśród jego zalet można wymienić m.in:
# Duży współczynnik absorpcji i transmisji promieniowania elektromagnetycznego w zakresie widzialnym.
# Prosta technologia otrzymywania.

Rolą fotodiody wykonanej z amorficznego krzemu jest konwersja promieniowania elektromagnetycznego na ładunek.Niestety, tego rodzaju fotodiody są bardzo słabo czułe na promieniowanie rentgenowskie, dlatego pokrywa się je materiałem scyntylacyjnym, jakim jest jodek cezu. Pod wpływem promieniowania świetlnego w fotodioda wytwarza ładunek elektryczny wprost proporcjonalny do ilości padających na detektor fotonów rentgenowskich. Jest to niezwykle istotna zaleta detektorów cyfrowych, dzięki której zależność "zaczernienia" obrazu jest liniową funkcją ekspozycji (patrz <xr id="fig:ekspozycja_3">rys. %i</xr>). W przypadku radiografii klasycznej zależność ta była nieliniowa. Ładunek wytworzony przez fotodiodę jest gromadzony w elemencie pojemnościowym a następnie odczytywany przez odpowiednie układy elektroniczne wchodzące w skład matrycy.

Obrazowanie:Obrazowanie Medyczne/Oddziaływanie Promieniowania Elektromagnetycznego z Materią

2015-10-11T13:15:15Z

Rkus:

Oddziaływanie Promieniowania Elektromagnetycznego z Materią

==Przekrój Czynny==
[[File:tarcza.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:lti_mtf"></figure>Schemat tarczy (kolor szary), zawierającej centra oddziaływania (czerwone koła), na której rozproszona zostaje wiązka promieniowania.]]

W pierwszym rozdziale zostało zdefiniowane pojęcie obrazu jako odwzorowania pewnej cechy obiektu na płaszczyznę. Najczęściej wymienianą cecha tego obiektu, podawaną w przykładach, była jego jasność. Tworzenia obrazu wnętrza ciała ludzkiego wymaga zastosowania promieniowania o innych właściwościach niż mają je fale elektromagnetyczne z zakresu widzialnego. Promieniowanie to musi mieć zdolność penetracji ciała ludzkiego oraz oddziaływania z materią, z którego jest ono zbudowane. W zależności od rodzaju promieniowania i jego energii, może ono w różny sposób oddziaływać z materią. W związku z tym niezbędne jest określenie prawdopodobieństwa zajścia poszczególnych procesów oddziaływania. W celu wyznaczenia tego prawdopodobieństwa wprowadza się pojęcie przekroju czynnego. Przypominamy, iż w fizyce jądrowej operuje się miarą przekroju czynnego oraz różniczkowego przekroju czynnego. Ta ostania wielkość nie jest stosowana w obrazowaniu medycznym, dlatego pominiemy ją dalszej części rozdziału. 
Rozważmy tarczę o powierzchni ''S'' i grubości ''x'', która zawiera tzw. centra oddziaływania (mogą to być jądra atomowe, czy też elektrony). Na tarczę pada strumień ''n'' cząstek. Interesuje nas, ile cząstek zdoła pokonać tarczę.
W tarczy znajdują się obiekty - centra oddziaływania, którymi mogą być jądra atomowe, lub też elektrony. Oznaczmy przez ''N'' gęstość centrów oddziaływania (ich liczbę na jednostkę objętości). Rozpatrzmy teraz, ile cząstek przejdzie bez oddziaływania przez cienką warstwę tarczy <math>\Delta x</math>. Skoncentrowaliśmy się na cienkim pasku, bowiem w takim przypadku możemy założyć, iż centra oddziaływania nie przesłaniają się. Każde centrum oddziaływania posiada pewną powierzchnię <math>\sigma</math> (prostopadłą do kierunki padającej wiązki), w obrębie której wywiera jakieś oddziaływanie na cząstki. Stosunek liczby cząstek, które uległy oddziaływaniu z centami do liczby wiązek w cząstce opisuje następujące wyrażenie:
<equation id="1"><math>
\Delta n = -\frac{S\Delta xN\sigma}{S}n.
</math></equation>
Dokonajmy pewnych przekształceń na powyższym równaniu:
<equation id="2"><math>
\begin{array}{l}
\frac{\Delta n}{n} = -\frac{S\Delta xN\sigma}{S}, \\
\\
\frac{\Delta n}{n} = -N\sigma\Delta x.
\end{array}
</math></equation>
Znak minus wynika ze zmniejszanie się strumienia <math>\Delta n</math> cząstek na drodze <math>\Delta x</math>. Przechodząc od równania ze skończonymi przyrostami do równania różniczkowego:
<equation id="3"><math>
\frac{dn}{n} = -N\sigma x,
</math></equation>
którego rozwiązaniem jest
<equation id="4"><math>
n(x) = n_0e^{-N\sigma x}.
</math></equation>, gdzie $n_0$ to początkowa liczba cząstek padajacych na tarczę.
Kształt zależności <math>n(x)</math> umożliwia powiązanie przekroju czynnego na rozważany proces ze średnią drogą swobodną <math>\lambda</math> na rozważany proces:
<equation id="4"><math>
\lambda = \langle x\rangle = \frac{\int^\infty_0 xe^{-N\sigma x}dx}{\int^\infty_0 e^{-N\sigma x}dx} = \frac{1}{N\sigma},
</math></equation>
wykładnik potęgowy w równaniu można zapisać w nieco zmodyfikowanej postaci:
<equation id="5"><math>
n(x) = n_0e^{-N\sigma x} = n_0e^{-\frac{x}{\lambda}} = n_0e^{-\mu x}=n_0e^{-\frac{\mu}{\rho}\rho x}.
</math></equation>

Wielkość <math>\mu = \frac{1}{\lambda}</math> nazywamy liniowym współczynnikiem osłabienia wiązki; <math>\frac{\mu}{\rho}</math>, gdzie <math>\rho</math> oznacza gęstość ośrodka, nazywamy masowym współczynnikiem osłabienia wiązki. Wielkość <math>\rho x</math> (wyrażana w <math>\frac{g}{cm^2}</math> stanowi miarę grubości warstwy ośrodka, uwzględniając zarazem jego gęstość. Jednostką przekroju czynnego używaną w fizyce jest barn (1b = <math>10^{-28} m^2</math>).

==Rozpraszanie sprężyste (Rayleigh’a i Thompsona)==
Jest to rozpraszanie elastyczne, w którym fala padająca nie zmienia swojej częstości (energii). W podejściu klasycznym (model atomu Lorentz’a) zmienne pole elektryczne fali padającej na atom wzbudza drgania elektronu. Elektron wykonując ruch drgający (a zatem przyspieszony), emituje promieniowanie. Rozkład kątowy tego promieniowania jest jednorodny.
===Rozpraszanie Rayleigha===
Rozpraszanie Rayleigha zachodzi na elektronach związanych w atomie. Przekrój czynny na ten rodzaj oddziaływania wynosi:
<equation id="eq:eq10">
<math>
\sigma_{\text{R}} = \frac{8}{3}\pi\left(\frac{e^2}{m_ec^2}\right)^2\frac{\omega^4}{\left(\omega_0^2-\omega^2\right)^2}.
</math>
</equation>

===Rozpraszanie Thomsona===
Rozpraszanie Thompsona jest rozpraszaniem fali elektromagnetycznej na swobodnych elektronach <math>\omega_{0}=0</math>, wtedy przekrój czynny:
<equation id="eq:eq10">
<math>
\sigma_{\text{T}} = \frac{8}{3}\pi r_0^2 ,
</math>
</equation>
gdzie:
<math> r_0 = \frac{e^2}{m_ec^2}</math>
i nie zależy od częstości fali padającej.

==Rozpraszanie niesprężyste==
Efekt fotoelektryczny, Rozpraszanie Comptona oraz proces Kreacji Par są rodzajem oddziaływania promieniowania elektromagnetycznego z materią, która prowadzi do zmiany długości fali.

===Efekt Fotoelektryczny.===

[[File:efekt_fotoelektryczny.png|200px|thumb|right|<figure id="fig:efekt_fotoelektryczny"></figure>Efekt fotoelektryczny.]]
Zjawisko fotoelektryczne jest to pochłonięcie fotonu przez atom i emisja elektronu z powłoki leżącej w pobliżu jądra.
Zjawisko fotoelektryczne:
* prowadzi do jonizacji atomu,
* może zachodzić wyłącznie dla elektronów związanych w atomach.
Po wybiciu elektronu z powłoki bliższej jądra, może nastąpić przeskok na tę powłokę elektronu z powłoki dalszej, połączony z emisją kwantu promieniowania elektromagnetycznego (na rysunku <xr id="fig:efekt_fotoelektryczny">rys. %i</xr>) foton ten oznaczono przy pomocy symbolu ''X' ''. Czasami jednak wyzwalana energia nie jest zamieniana na promieniowanie lecz przekazywana innemu elektronowi powodując jego uwolnienie z atomu. Taki elektron określa się jako elektron Auger’a. Przekrój czynny na efekt fotoelektryczny wynosi:
<equation id="eq:efekt_fotoelektryczny">
<math>
\sigma_{\text{EF}} = C\frac{Z^k}{E_\gamma^n},
</math>
</equation>
gdzie: <math>k</math> = 4.0 i <math>n</math> = 3.5 dla energii niskich <math>(E_{\gamma}\ll m_0c^2)</math> i <math>k = 4.6</math> i <math>n = 1</math> dla energii bardzo wysokich (<math>E_{\gamma}\gg m_0c^2</math>).

===Rozpraszanie Comptona===
[[File:efekt_comptona.png|200px|thumb|right|<figure id="fig:efekt_comptona"></figure>Efekt Comptona.]]

Zjawisko Comptona jest to rozpraszanie fotonów o wysokiej energii na swobodnych lub słabo związanych elektronach. Po rozproszeniu foton zmienia swoją energię, a zatem i związanej z nim długość fali:
<equation id="eq:efekt_comptona">
<math>
\lambda'-\lambda = \frac{h}{m_e c}\left(1-\cos\Theta\right).
</math>
</equation>

Przekrój czynny na efekt Comptona wyraża wzór Kleina-Nishiny. Z uwago na jego złożoną formę, nie będzie podawany w poniższych materiałach. Warto jednak zapamiętać, iż przekrój czynny na efekt Comptona maleje wraz ze wzrostem energii fotonu.
Zjawisko Comptona zachodzi na słabo związanych lub swobodnych elektronach. W porównaniu ze zjawiskiem fotoelektrycznym, energia padającego fotonu ulega częściowej absorpcji, zaś sam foton ulega rozproszeniu. W Efekcie Comptona można zatem wyróżnić dwa przekroje czynne - ze względu na absorpcję promieniowania jak i jego rozproszenie. Zjawisko rozpraszania fotonów jest bardzo istotne z punktu widzenia obrazowanie rentgenowskiego (jest jednym z główny czynników pogarszających rozdzielczość obrazu).

===Kreacja Par===
[[File:kreacja_par.png|200px|thumb|right|<figure id="fig:kreacja_par"></figure>Kreacja Par.]]
Kreacja par elektron-pozyton polega na zamianie fotonu w parę: pozyton i elektron. Jest to możliwe jedynie, gdy energia fotonu przekracza pewną określoną wartość zwaną energią progową <math>(2\cdot m_e = 1.022)</math>, co wynika z warunku spełnienia w tym procesie praw zachowania energii i pędu. Równoczesne spełnienie obu praw zachowania wymaga, by proces ten zachodził z udziałem "trzeciego ciała", jakim może być jądro atomowe lub elektron, nie może natomiast zachodzić w próżni. Przekaz energii i pędu zachodzi za pośrednictwem pola elektrostatycznego (kulombowskiego) jądra lub elektronu. W wyniku zajścia zjawiska foton zostaje usunięty z padającej wiązki. Mamy zatem do czynienia ze zjawiskiem absorpcji, którego przekrój czynny wynosi:
<equation id="eq:efekt_comptona">
<math> \sigma_{\text{K}} = \left(\frac{e^2}{mc^2}\right)^2\alpha Z^2f(E_{\gamma})</math>,
</equation>
gdzie <math>\alpha=\frac{1}{137} </math>.

Obrazowanie:Obrazowanie Medyczne/Podstawowe Parametry Obrazów

2015-09-28T19:51:49Z

Rkus:

Podstawowe Parametry Obrazów
[[Plik:camera_obscura_1.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:camera_obscura_1"></figure>Schemat urządzenia ''Camera Obscura''. Urządzenie składa się z wyczernionego wewnątrz pudełka, co ma zapobiec powstawaniu odbić światła od ścianek. Światło ze źródła ''S'', znajdującego się w odległości ''x'' od przedniej ścianki urządzenia rozchodzi się po liniach prostych i pada na otwór o średnicy ''d''. W odległości ''y''od otworu znajduje się ekran na którym powstaje obraz.]]
[[Plik:camera_obscura_2.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:camera_obscura_2"></figure>Tworzenie obrazu dwóch punktowych źródeł światła prze kamerę otworkową.]]
Zanim omówimy podstawowe parametry obrazów uzyskiwanych w diagnostyce medycznej, spróbujemy określić pojęcie obrazu. Każdy z nas zapewne widział wielokrotnie zdjęcie fotograficzne. Jeszcze do niedawana zdjęcia takie było wykonywane przy pomocy aparatu fotograficznego wyposażonego w obiektyw i kliszę fotograficzną, która pełniła rolę detektora światła. Współczesne aparaty fotograficzne zamiast kliszy posiadają matrycę CCD (ang. ''Charge Coupled Device'', CCD). Zarówno w przypadku analogowych, jak i cyfrowych aparatów, zdjęcie fotograficzne powstaje w efekcie naświetlania detektora przez wiązkę światła emitowanego lub odbijanego przez fotografowany obiekt. Zdolność do emisji lub odbijania światła jest pewną cechą obiektu. Możemy zatem stwierdzić, że obraz to odwzorowanie pewnej cechy obiektu przestrzeni trójwymiarowej na płaszczyznę. W przypadku obrazowania medycznego cechą obiektów może być:
* Liniowy współczynnik osłabienia promieniowania Rentgenowskiego (Radiografia Rentgenowska, Rentgenowska Tomografia Komputerowa).
* Rozkład radionuklidu promieniotwórczego (Obrazowanie Nuklearne).
* Gęstość protonów (MRI).
Komputerowe przetwarzanie obrazów jest możliwe tylko dla obrazów cyfrowych, to jest skwantowanych ([1]) i dyskretnych ([2]). Pojedynczy element obrazu cyfrowego nazywamy pikselem. Naturalnym sposobem matematycznej reprezentacji takiego obrazu jest dwuwymiarowa macierz. Każdy element macierzy odpowiada pojedynczemu pikselowi i zawiera liczbę określającą cechę obrazowanego obiektu. Jeśli obraz uzyskujemy za pomocą detektorów analogowych (np. błony fotograficznej), zawsze możemy go zamienić na postać cyfrową za pomocą przetworników analogowo – cyfrowych ([3]).

Obrazy uzyskiwane na potrzeby diagnostyki medycznej muszą charakteryzować się odpowiednią jakością. Do najważniejszych parametrów obrazu należą:
*rozdzielczość,
*kontrast.
Pojęcia te omówimy analizując działanie najstarszego i najprostszego urządzenia optycznego jakim jest ''Camera Obscura'' (patrz <xr id="fig:camera_obscura_1">rys. %i</xr>).

==Camera Obscura==

''Camera Obscura'' to urządzenie optyczne składające się z wyczernionego wewnątrz pudełka oraz małego otworu (pełniącego rolę obiektywu), który znajduje się w jednej ze ścian pudełka. Nazwa urządzenia w bezpośrednim tłumaczeniu z języka łacińskiego oznacza ciemną komnatę i jest nieprzypadkowa. Na przestrzeni dziejów, duże, ciemne pomieszczenia z otworem w okiennicach lub dachu służyły to uzyskiwania obrazów różnych obiektów, np. Johannes Kepler wykorzystywał do obserwacji plam słonecznych katedrę w Ratyzbonie, z wykonanym w jej dachu małym otworem. W języku angielskim ''Camera Obscura'' nazywana jest również kamerą otworkową (''pinhole camera''). Pomimo swojej prostoty, kamera otworkowa jest niezwykle interesującym urządzeniem, które obecnie nadal wykorzystuje się w fotografii artystycznej (pierwsze aparaty fotograficzne były właśnie ''Camerami Obscura'', dopiero później w miejsce otworu wstawiono soczewkę). 

===Rozdzielczość===
Rozdzielczość układu obrazującego to jego zdolność do zobrazowania dwóch punktowych źródeł światła, znajdujących się w określonej odległości od siebie, jako dwóch oddzielnych obiektów. Powyższa definicja zawiera pojęcie odległości pomiędzy dwoma punktowymi źródłami fali elektromagnetycznej. Jest to jak najbardziej uzasadnione, ponieważ obiekty rzeczywiste (rozciągłe w przestrzeni, emitujące lub odbijające światło), można traktować jako złożenie wielu punktowych źródeł. W przypadku kamery otworkowej, obraz punktowego źródła światła wyznaczymy w oparciu o prawa optyki geometrycznej. Ich podstawowym założeniem jest rozchodzenie się światła w postaci wiązki promieni. W ośrodku jednorodnym promienie te biegną prostoliniowo. Korzystając z tych założeń widzimy, że obrazem punktowego źródła światła na ekranie ''Camera Obscura'' jest krążek o średnicy:
<equation id="1"><math>
|O'O| = \frac{d(x+y)}{x}
</math></equation>
jeśli punktowe źródło światła znajduje się bardzo daleko od otworu kamery, średnica krążka na ekranie będzie równa średnicy ''d'' otworu:
<equation id="2"><math>
|O'O| = \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{d(x+y)}{x} = d
</math></equation>
W przypadku gdy źródła światła znajdują się zbyt blisko siebie, ich obrazy (krążki) nałożą się, uniemożliwiając ich rozróżnienie na obrazie. Przyjmijmy zatem, że dwa punktowe źródła światła będziemy mogli postrzegać na ekranie "Camera Obscura" jako oddzielne obiekty, jeśli odległość ''s'' środków krążków (patrz <xr id="fig:camera_obscura_2">rys. %i</xr>), będzie nie mniejsza niż średnica otworu ''d''. 
Rozdzielczość układów obrazujących można wyznaczyć na podstawie testów, w których danym urządzeniem obrazuje się pewne wzorce geometryczne. Najczęściej są to równoległe linie, których liczba na jednostkę długości rośnie wzdłuż pewnego kierunku. Przykład takiego wzorca zaprezentowano na <xr id="fig:line_pattern">rys. %i</xr>.

===Częstości przestrzenne===
[[Plik:line_pattern.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:line_pattern"></figure>Przykładowy wzorzec linii służący do testowania rozdzielczości urządzeń obrazujących. Liczba linii na jednostkę długości rośnie ze strony lewej w kierunku prawej, od wartości <math>0.6\frac{\textrm{linii}}{\textrm{cm}}</math> do <math>6\frac{\textrm{linii}}{\textrm{cm}}</math>.]]
[[Plik:linie_x_ft.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:linie_x_ft"></figure>Obraz (po lewo) oraz jego Transformata Fouriera (po prawo). W obrazie, wzdłuż osi ''x'' powtarza się periodycznie pewna struktura, z częstością 8 razy na metr. Niezerowe współczynniki Transformaty Fouriera (zaznaczone na mapie po prawej stronie kolorem czarnym) występują dla częstości <math>\pm u=8 \frac{\textrm{1}}{\textrm{m}}</math> i <math>v=0\frac{\textrm{1}}{\textrm{m}}</math> (brak periodycznych zmian wzdłuż osi y).]]
[[Plik:linie_y_ft.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:linie_y_ft"></figure>Obraz (po lewo) oraz jego Transformata Fouriera (po prawo). W obrazie, wzdłuż osi ''y'' powtarza się periodycznie pewna struktura, z częstością 8 razy na metr. Niezerowe współczynniki Transformaty Fouriera (zaznaczone na mapie po prawej stronie kolorem czarnym) występują dla częstości <math>u=0\frac{\textrm{1}}{\textrm{m}}</math> (brak periodycznych zmian wzdłuż osi x) i <math>\pm v=8\frac{\textrm{1}}{\textrm{m}}</math>.]]
[[Plik:linie_xy_ft.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:linie_xy_ft"></figure>Obraz (po lewo) oraz jego Transformata Fouriera (po prawo). W obrazie, wzdłuż osi ''x'' i ''y'' powtarzają się periodycznie zmiany, z częstością 4 i 8 razy na metr. Niezerowe współczynniki Transformaty Fouriera (zaznaczone na mapie po prawej stronie kolorem czarnym) występują dla częstości <math>u=4\frac{\textrm{1}}{\textrm{m}}</math> i <math>v=8\frac{\textrm{1}}{\textrm{m}}</math> oraz <math>u=-4\frac{\textrm{1}}{\textrm{m}}</math> i <math>v=-8\frac{\textrm{1}}{\textrm{m}}</math>.]]
[[Plik:mandril.jpg|150px|thumb|right|<figure id="fig:mandril"></figure>Piękna małpka zaprezentowana na rysunku jest przykładem obiektu posiadającego szerokie widmo częstości przestrzennych.]]
Na rysunku <xr id="fig:line_pattern">rys. %i</xr> zaprezentowano przykład wzorca stosowanego do wyznaczania rozdzielczości układu obrazującego. Zauważmy, że przedstawiona ilustracja składa się z powtarzających się, w określonej liczbie na jednostkę długości, linii. Inne przykłady obiektów składających się z linii zaprezentowano na rysunkach <xr id="fig:linie_x_ft">rys. %i</xr>, <xr id="fig:linie_y_ft">rys. %i</xr> i <xr id="fig:linie_xy_ft">rys. %i</xr>.
Podobnie jak na <xr id="fig:line_pattern">rys. %i</xr>, na ilustracjach <xr id="fig:linie_x_ft">rys. %i</xr>, <xr id="fig:linie_y_ft">rys. %i</xr> oraz <xr id="fig:linie_xy_ft">rys. %i</xr> możemy wyróżnić pewne periodycznie powtarzające się struktur, np. na <xr id="fig:linie_xy_ft">rys. %i</xr> jasne, pionowe linie powtarzają się 8 razy na metr wzdłuż osi ''x''. Z kolei na <xr id="fig:linie_y_ft">rys. %i</xr> jasne linie poziome również powtarzają się z częstością 8 razy na metr, tym razem jednak wzdłuż osi ''y''. W przypadku obrazu zaprezentowanego na <xr id="fig:linie_xy_ft">rys. %i</xr> periodycznie powtarzające się linie są skierowane pod pewnych kątem względem osi ''x'' i przecinają tę oś w 4 punktach na
jednostkę długości, zaś oś ''y'' w ośmiu punktach na jednostkę długości.
W oparciu o powyższe przykłady, analogicznie jak ma to miejsce w analizie sygnałów jednowymiarowych, dla obiektów przestrzennych i ich obrazów można wprowadzić pojęcie częstości, którą nazwiemy częstością przestrzenną. 
 
'''Częstość''' - wielkość określająca, liczbę cykli zjawiska okresowego na jednostce czasu. 
 
'''Częstość przestrzenna''' - wielkość określająca, liczbę cykli zjawiska okresowego na jednostkę długości. 
Mierzalną wielkością fizyczną przytoczonych ilustracjach jest jasność obiektu.

===Dwuwymiarowa Transformata Fouriera===
Występujące w przyrodzie sygnały niejednokrotnie charakteryzują się wysokim stopniem złożoności, który utrudnia, a czasami wręcz uniemożliwia badanie ich właściwości. Na rysunkach <xr id="fig:linie_x_ft"> %i</xr> - <xr id="fig:linie_xy_ft"> %i</xr> zaprezentowano obrazy o bardzo prostej strukturze. Przykład obrazu o znacznym stopniu złożoności zaprezentowano na rysunku <xr id="fig:mandril">rys. %i</xr>. Wzrokowa analiza właściwości tego obrazu jest w zasadzie niemożliwa. Jedną z metod ułatwiających analizę skomplikowanego sygnału, zarówno jedno- jak i dwuwymiarowego, jest dobór odpowiedniej dla niego reprezentacji. Większość spośród stosowanych powszechnie typów reprezentacji ciągłych ma postać tzw. przekształcenia całkowego (inne określenie transformata całkowa). Najczęściej stosowaną transformatą w analizie sygnałów jednowymiarowych jest Transformata Fouriera, za pomocą której analizowany sygnał może być przedstawiony jako suma funkcji harmonicznych. Jest to o tyle istotne, iż funkcje te są niezmiennikami [[STAT:Systemy_liniowe_niezmiennicze_w_czasie_%28LTI%29|systemów LTI (ang. Linear Time-Invariant)]], pełniących niezwykle ważna rolę w przetwarzaniu sygnałów. Układy LTI występują również w systemach obrazowania medycznego, co będzie jeszcze omówione w dalszej części materiałów. Pary Transformat Fouriera dla przypadków jedno- i dwuwymiarowych, zarówno ciągłych jak i dyskretnych wyrażają poniższe wzory.
Para jednowymiarowych Transformat Fouriera dla sygnału ciągłego <math>x(t)</math>:
<equation id="3">
<math>
\begin{matrix}
X(f) = \int^{\infty}_{-\infty} x(t) e^{-2\pi i f t}dt \\
\\
x(t) = \int^{\infty}_{-\infty} X(f) e^{2\pi i f t}df \\
\end{matrix}
</math>
</equation>
 
gdzie: 
<math>t</math> — czas, 
<math>f</math> — częstość, 
<math>i=\sqrt{-1}</math>, 

Para jednowymiarowych dyskretnych Transformat Fouriera dla sygnału dyskretnego:
<equation id="4">
<math>
\begin{array}{l}
G(u) = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}g(k)e^{-2\pi i \frac{ku}{N}} \\
\\
g(k) = \sum_{k=0}^{N-1}G(u)e^{2\pi i \frac{ku}{N}} \\
\end{array}
</math>
</equation>
gdzie: 
<math> N</math> — liczba dyskretnych punktów w sygnale.

Para Transformat Fouriera funkcji ciągłej dwóch zmiennych <math>g(x,y)</math>:
<equation id="5">
<math>
\begin{array}{l}
G(u,v) = \int^{\infty}_{-\infty}\int^{\infty}_{-\infty} g(x,y)e^{-2\pi i (ux + vy)}dxdy \\
\\
g(x,y) = \int^{\infty}_{-\infty}\int^{\infty}_{-\infty} G(u,v)e^{2\pi i (ux + vy)}dudv \\
\end{array}
</math>
</equation>

gdzie: 
<math>x, y</math> — współrzędne przestrzenne, 
<math>u, v</math> — częstości przestrzenne, 
<math>i=\sqrt{-1}</math>. 

Para Dyskretnych Transformat Fouriera funkcji <math>g(k,l)</math> dwóch zmiennych dyskretnych <math>k</math> i <math>l</math>.
<equation id="6">
<math>
\begin{array}{l}
G(u,v) = \frac{1}{M\cdot N}\sum_{k=0}^{N-1}\sum_{l=0}^{N-1}g(k,l)e^{-2\pi i \left( \frac{ku}{M} + \frac{lv}{N}\right)} \\
\\
g(k,l) = \sum_{k=0}^{N-1}\sum_{l=0}^{N-1}G(u,v)e^{2\pi i \left( \frac{ku}{M} + \frac{lv}{N}\right)} \\
\end{array}
</math>
</equation>
gdzie: 
<math>M, N</math> — liczba dyskretnych punktów (liczba wierszy i kolumn w obrazie),
<equation id="7">
<math>
\begin{matrix}
u = -\frac{M}{2}, \ldots, \frac{M}{2}-1; & v = -\frac{N}{2}, \ldots, \frac{N}{2}-1\\
\\
k = 0,\ldots,M-1;& l = 0,\ldots, N-1
\end{matrix}
</math>
</equation>

==Układy LTI w przetwarzaniu obrazów==
[[File:prostokat.png|350px|thumb|<figure id="prostokat" /> Przykład obrazu pewnego obiektu oraz jego składu częstościowego. Po lewej stronie - rzut obiektu na płaszczyznę tworzy jasny prostokąt. Po prawej stronie - skład częstościowy obrazu.]]
[[File:filtr_gauss.png|350px|thumb|<figure id="uid31" />Przykład charakterystyki dolnoprzepustowego filtru Gaussowskiego, służącego do usunięcia z obrazu wysokich częstości przestrzennych.]]
[[File:prostokat_filtrowany.png|350px|thumb|<figure id="uid32" />Obraz z ilustracji <xr id="prostokat">rys. %i</xr> po przefiltrowaniu filtrem Gaussowskim z ilustracji <xr id="uid31"/>. Widoczne jest rozmycie brzegów spowodowane usunięciem z obrazu wysokich częstości.]]
Dotychczas pojecie sygnału kojarzyliśmy głównie z przebiegami pewnych wielkości fizycznych w czasie (np. sygnał EEG jest zapisem czynności elektrycznej mózgu). Termin sygnał można także stosować do obrazu. W tym przypadku sygnał jest reprezentacją pewnej mierzalnej cechy obiektu w przestrzeni (na <xr id="fig:linie_x_ft">rys. %i</xr> - <xr id="fig:linie_xy_ft">rys. %i</xr> cechą tą jest rozkład jasności obiektu). Jak pamiętamy z kursu [[STAT:Analiza_sygnałów|"Analiza Sygnałów"]], rzeczywiste układy pomiarowe, które realizują przetwarzanie sygnałów nazywamy systemem. System modelowany jest jako ''czarna skrzynka'', generująca odpowiedni sygnał wyjściowy w odpowiedzi na stan wejściowy. Szczególną klasę systemów przetwarzających sygnały, tworzą tzw. Układy Liniowe Niezmiennicze w Czasie (ang. ''Linear, Time Invariant Systems'', LTI). Oznaczmy przez <math>T\left\{\cdot\right\}</math> operacje wykonywane na sygnałach wejściowych ''x(t)'' oraz ''y(t)'', wtedy układ LTI charakteryzuje się następującymi własnościami:
<ol><li>Liniowość.
<equation id="8">
<math>T\left\{x(t)+y(t)\right\}=T\left\{x(t)\right\}+T\left\{y(t)\right\}</math>
</equation>
<equation id="9">
<math>T\left\{ax(t)\right\}=aT\left\{x(t)\right\}</math>
</equation>
<li> Niezmienniczość w czasie.
<equation id="10">
<math>T\left\{x(t+\tau)\right\}=T\left\{x(t)\right\}</math>
</equation>
</ol>
Przykładem układów LTI są filtry typu ''IIR'' oraz ''FIR''. Filtry te, jako układu LTI zmieniają amplitudę oraz poszczególnych składowych częstościowych sygnału. Nie mogą natomiast wytworzyć w sygnale składowych o nowych częstościach, co jest charakterystyczną cechą układów nielinowych. Operację przetwarzania sygnału przez układ LTI zapisujemy przy pomocy splotu. Niech ''x(t)'' będzie sygnałem na wejściu układu LTI, ''y(t)'' sygnałem na jego wyjściu, zaś ''h(t)'' odpowiedzią systemu LTI na impuls jednostkowy, wtedy zachodzi następująca relacja:

<equation id="11">
<math>y(t)=\int\limits_{-\infty}^\infty x(\tau)h(t - \tau) d\tau = x(t)\ast h(t)</math>
</equation>
gdzie <math>\ast</math> oznacza splot.

Pojęcie układów LTI można rozszerzyć również na sygnały dwuwymiarowe, czyli np. obrazy. Niech ''g(x,y,)'' oraz ''v(x,y)'' będą dwoma obrazami na wejściu pewnego systemu, realizującego operację <math>T\left\{\cdot\right\}</math>. System nazwiemy liniowym, jeśli spełni następujące warunki:
<ol><li>Liniowość.
<equation id="12">
<math>T\left\{g(x,y)+v(x,y)\right\}=T\left\{g(x,y)\right\}+T\left\{v(x,y)\right\}</math>
</equation>
<equation id="13">
<math>T\left\{ag(x,y)\right\}=aT\left\{g(x,y)\right\}</math>
</equation>
<li> Niezmienniczość w czasie.
<equation id="14">
<math>T\left\{g(x,y,t+\tau)\right\}=T\left\{g(x,y,t)\right\}</math>
</equation>
</ol>
Podobnie jak i w przypadku sygnałów jednowymiarowych, przykładem układów LTI w analizie obrazów są filtry cyfrowe. Własności filtrujące posiadają również znane z kursów fizyki soczewki, które działają jak filtry dolnoprzepustowe — usuwają z padającego na nie obrazu składowe o wysokich częstościach, przez co obraz po przejściu przez soczewkę staje się rozmyty. Wiele elementów aparatury stosowanej w obrazowaniu medycznym może być również traktowana jako układy LTI co znacznie ułatwia analizę ich działania. Relację pomiędzy obrazem na wejściu i wyjściu układu LTI można opisać za pomocą dwuwymiarowego splotu. Niech ''g(x,y)'' będzie obrazem wejściowym, ''v(x,y)'' obrazem na wyjściu systemu LTI, zaś i ''h(x,y)'' odpowiedzią układu LTI na punktowe źródło światła, wtedy:
<equation id="15">
<math>v(x,y)=\int\limits_{-\infty}^\infty\int\limits_{-\infty}^\infty g(\tau_x,\tau_y)h(x - \tau_x,y-\tau_y)d\tau_xd\tau_y</math>
</equation>
Operację splotu w dziedzinie częstości przestrzennych można zapisać w następujący sposób:
<equation id="16">
<math>V(u,v)=G(u,v)\cdot H(u,v)</math>
</equation>

Podobnie jak w analizie sygnałów, funkcję <math>h(x,y)</math> nazywana jest funkcją odpowiedzi impulsowej lub punktową funkcją rozproszenia (ang. ''Point Spread Function'', PSF). Nazwa jest nieprzypadkowa, ponieważ efektem działania układu optycznego jest rozmycie obrazu obiektu punktowego.

==O rozdzielczości raz jeszcze==
[[Plik:fwhm.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:fwhm"></figure>Rozkład natężenia światła obiektu punktowego po przejściu przez układ LTI jest krzywą dzwonową. Szerokości krzywej w połowie wysokości (ang. Full Width at Half Maximum, FWHM) określa skalę rozmycia obrazu.]]
[[Plik:resolution.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:resolution"></figure>Rozkład natężenia światła dwóch obiektów punktowych po przejściu przez układ LTI dla kolejnych odległości pomiędzy obiektami. A. Dwa obiekty punktowe znajdują się w odległości ponad dwa razy większej niż wielkość FWHM. Pomimo rozmycia obrazów obiekty te są dobrze rozróżnialne. B. Dwa obiekty punktowe znajdują się w odległości dwa razy większej niż wielkość FWHM. Rozmycie wprowadzone przez układ LTI powoduje iż obrazy tych obiektów zlokalizowane są blisko siebie, nadal jednak obiekty te można bez problemu rozróżnić. C. Dwa obiekty punktowe znajdują się w odległości równej dokładnie FWMH. Są trudno rozróżnialne. D). Przyjmuje się, że obiekty punktowe znajdujące się w odległości mniejszej niż FWMH nie są rozróżnialne.]]

Pojęcie rozdzielczości układu obrazującego zostało już wprowadzone na przykładzie prostego urządzenia jakim jest "Camera Obscura" oraz punktowych źródeł światła. Obecnie postaramy się omówić pojęcie rozdzielczości w kontekście systemów LTI.

W poprzednim rozdziale dowiedzieliśmy się, że wśród urządzeń służących do obrazowania można wyróżnić niezwykle ważną klasę układów, czyli tzw. systemy LTI. W przypadku układów obrazujących LTI, rolę impulsu jednostkowego pełni punktowe lub nieskończenie wąskie i długie (liniowe) źródło światła. Każdy dwuwymiarowy obiekt można być reprezentowany jako suma punktowych źródeł światła. Z kolei model liniowego (nieskończenie długiego i wąskiego źródła światła) jest wygodny do pomiaru rozdzielczości układu. W takim przypadku rozdzielczość jest to maksymalna liczba linowych źródeł światła na jednostkę długości obrazowanego obiektu, które można rozpoznać jako oddzielne źródła fali elektromagnetycznej. Wiemy już, że układ obrazujący LTI, nie odwzoruje dokładnie rzeczywistych obiektów. Na skutek filtrowania częstości przestrzennych, obrazy obiektów punktowych czy obiektów mający charakter nieskończenie cienkich linii, zostaną rozmyte. Na rysunku <xr id="fig:fwhm">rys. %i</xr> zaprezentowano typowy znormalizowany rozkład natężenia światła emitowanego przez obiekt punktowy, po przejściu przez układ LTI. Rozkład ten ma charakter krzywej "dzwonowej". Jako miarę rozmycia obrazu obiektu punktowego przyjmuje się szerokość rozkładu w połowie jego maksymalnej wysokości (ang. ''Full Width at Half Maximum'', FWHM).

Jeśli dwa obiekty punktowe znajdują się blisko siebie, to na skutek rozmycia, mogą być trudne do rozróżnienia na obrazie utworzonym przez układ LTI. Rozdzielczość układu obrazującego zależy od bardzo wielu czynników, które sukcesywnie będą wprowadzane w trakcie poznawania kolejnych metod obrazowania. W tym rozdziale zajmiemy się najważniejszym z parametrów, to jest wielkością FWHM. Nie istnieje ściśle deterministyczny związek pomiędzy parametrem FWHM a rozdzielczością. Można jednak zauważyć, że rozdzielczość jest odwrotnie proporcjonalna do wielkości FWHM, co zaprezentowano na rysunku <xr id="fig:resolution">rys. %i</xr>.

Jak wspomniano, rozdzielczość układu obrazującego najczęściej podaje się w liniach, które można rozróżnić na mm. Mierzoną tak rozdzielczość łatwo jest określić za pomocą fantomów, wykonanych np. w przypadku promieniowania RTG z tworzyw sztucznych wewnątrz których rozmieszczone są odpowiednio elementy metalowe (np. druty).

==Kontrast. Funkcja Przenoszenia Kontrastu.==
[[Plik:global_contrast.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:global_contrast"></figure>Ilustracja pojęcia kontrastu globalnego. Na rysunku zaprezentowano przebieg jasności pewnego obrazu wzdłuż jednego z jego wymiarów. Wartość maksymalnej jasności wynosi <math>I_A = 30</math>, podczas gdy wartość minimalna <math>I_B = 5</math>. Kontrast globalny wynosi: <math>\frac{30-5}{30+5}=\frac{5}{7}</math>. Pojęcie kontrastu globalnego odnosi się zarówno do rzeczywistego obiektu jak i obrazu.]]
[[Plik:local_contrast.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:local_contrast"></figure>Ilustracja pojęcia kontrastu lokalnego. Na rysunku zaprezentowano przebieg jasności pewnego obiektu wzdłuż jednego z jego wymiarów. Wartość maksymalnej jasności wynosi <math>I_A = 5</math>, podczas gdy wartość tła <math>I_B = 1</math>. Kontrast lokalny wynosi: <math>\frac{5-1}{5}=\frac{4}{5}</math>. Pojęcie kontrastu lokalnego odnosi się zarówno do rzeczywistego obiektu jak i obrazu]]
[[Plik:ksiezyc_1.jpg|300px|thumb|right|<figure id="fig:ksiezyc_1"></figure>Zdjęcie Księżyca znajdującego się w fazie tuż po pierwszej kwadrze. Księżyc jest obiektem bardzo jasnym i doskonale wyróżnia się na tle ciemnego nieba. Wzdłuż terminatora (linii oddzielającej część oświetloną ciała niebieskiego od części nieoświetlonej) można zauważyć wyraźnie bardzo wiele szczegółów budowy powierzchniowej naszego naturalnego satelity. Obiekty te są tak dobrze widoczne, dzięki wysokiemu kontrastowi powstałemu na granicy części oświetlonej i nieoświetlonej Księżyca. Możemy powiedzieć, że na linii terminatora istnieje wysoki kontrast własny obiektu. Proszę zauważyć, iż wraz z oddalaniem się w prawo od linii terminatora zdolność zauważenia szczegółów na powierzchni Księżyca gwałtownie maleje. Zdjęcie udostępnione przez Luca Viatoura na stronach Wikimedia Commons.]]
[[Plik:ksiezyc_2.jpg|300px|thumb|right|<figure id="fig:ksiezyc_2"></figure>Zdjęcie Księżyca znajdującego się w pełni. Większość osób uważa, iż jest to najlepszy moment do obserwacji naszego naturalnego satelity. Jest to jednaj mniemanie błędne. Cała powierzchnia Księżyca jest wtedy tak silnie oświetlona promieniami słonecznymi tak że trudno jest zauważyć szczegóły w budowie jego powierzchni. Zdjęcie wykonane i udostępnione przez Luca Viatoura na stronach Wikimedia Commons. Zdjęcie wykonano przy pomocy tego samego sprzętu co zdjęcie <xr id="fig:ksiezyc_1">rys. %i</xr>.]]
[[Plik:rozdzielczosc_kontrast.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:rozdzielczosc_kontrast"></figure>Przykład zależności pomiędzy szerokością funkcji PSF a stopniem przenoszenia kontrastu. A. Obiekt jest punktowym źródłem świtała, emitującym falę elektromagnetyczną o natężeniu <math>I_1</math>. Natężenie światła <math>I_0</math> emitowanego przez otoczenie obiektu wynosi 0. B. Obiekt składa się z trzech źródeł światła, z których każde emituje falę elektromagnetyczną o natężeniu <math>I_1</math>. Natężenie światła emitowane przez otoczenie źródeł wynosi <math>I_0</math>. Tło obrazu charakteryzuje się niezerową jasnością <math>I'_0</math> co jest skutkiem rozmycia, wprowadzonego przy odwzorowaniu, obiektów punktowych przez układ obrazujący.]]
[[Plik:kontrast.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:kontrast"></figure>Wpływ wielkości obrazu oraz jego rozmycia na kontrast. Kolor biały - maksymalna jasność, kolor czarny minimalna jasność. A. Obrazem obiektu jest elipsa. Zajmuje one względnie duża powierzchnię obrazu i silnie wyróżnia się od ciemnego tła. B. Rzut obrazowanego obiektu na płaszczyznę różni się od przypadku A. tylko rozmiarem. Podobnie jak w przypadku A. następuje skokowa zmiana jasność na brzegach obiektu. Pomimo tego, odczuwamy, iż obrazowany obiekt słabiej wyróżnia się od tła niż ma to miejsce w przypadku A. C. Rzut obrazowanego obiektu na płaszczyznę ma ten sam kształt co w przypadku A, jednakże nie następuje skokowa zmiana jasności na brzegach obiektu - obraz jest rozmyty. Sprawia to wrażenie iż uzyskany kontrast jest mniejszy niż w przypadku A. D. Obraz składający się z jasnych linii, których liczba jednostkę długości rośnie. Najwyższy kontrast odczuwamy dla niewielkiej liczby na jednostkę długości. Wraz ze wzrostem liczby linii na jednostkę długości (w kierunku od lewej do prawej części rysunku) odczuwamy wrażenie spadku kontrastu.]]
[[Plik:kontrast_rozdzielczosc.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:kontrast_rozdzielczosc"></figure>Zależność percepowanej rozdzielczości obrazu od jego kontrastu. W pierwszym wierszu znajduje się obiekt (A) oraz przebieg jego jasności wzdłuż osi ''X''. W Wierszu drugim zaprezentowano obraz obiektu (C) oraz przebieg jasności na obrazie (D) wzdłuż osi ''X''. W trzecim i czwartym wierszu zaprezentowano kolejne dwa obrazy (E) i (G) wytworzone przez układy obrazujące o coraz gorszej funkcji przenoszenia kontrastu. Na rysunkach (F) i (H) pokazano przebieg jasności wzdłuż osi ''X''. Jak można zauważyć, wraz z pogarszającym się kontrastem obiektu coraz trudniej jest rozróżnić na obrazie linie z których składa się obiekt.]]
[[Plik:ctf.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:ctf"></figure> A i B - przebieg funkcji CTF dla dwóch układów obrazujących. Czerwona pozioma linia określa poziom przenoszenia kontrastu 3%. W przypadku układu obrazującego, którego funkcję CTF zaprezentowano na rysunku A, przenoszenie kontrastu maleje do wartości 3% dla 27 linii na jednostkę długości. Układ obrazujący, którego wykres funkcji CTF zaprezentowano na rysunku A, charakteryzuje się gorszym przenoszeniem kontrastu, który spada do wartości 3% już dla 9 linii na jednostkę długości. W związku z powyższym układ A charakteryzuje się lepszą rozdzielczością przestrzenną.]]

Na początku podręcznika zdefiniowaliśmy obraz jako odwzorowanie pewnej cechy obiektu na płaszczyznę. Aby interesujący nas obiekt można było rozpoznać na na obrazie, musi się on różnić pod względem intensywności odwzorowywanej cechy od innych obiektów i tła. Różnicę w natężeniu cechy danego obiektem oraz natężeniu cechy innych przedmiotów lub tła nazywamy kontrastem. Wyróżnia się przy tym pojęcie kontrastu dla rzeczywistych przedmiotów, który nazywamy kontrastem własnym obiektu. Jeśli interesujący nas obiekt charakteryzuje się bardzo niskim kontrastem własnym, zauważenie na nim jakiś szczegółów jest niemożliwe nawet przy użyciu bardzo wysokiej klasy aparatury obrazującej (patrz <xr id="fig:ksiezyc_1">rys. %i</xr> i <xr id="fig:ksiezyc_2">rys. %i</xr>). Pojęcie kontrastu nie jest w pełni ujednolicone i istnieją różne sposoby jego obliczania. Najczęściej podaje się
* Kontrast globalny.
<equation id="eq:kontrast_globalny">
<math> C = \frac{I_A - I_B}{I_A + I_B} </math>
</equation>
:gdzie (patrz <xr id="fig:global_contrast">rys. %i</xr>): 
:<math>I_A</math> — maksymalna intensywność cechy fizycznej (np. natężenia światła) w interesującym nas obszarze przestrzeni lub obrazu. 
:<math>I_B</math> — minimalna intensywność cechy fizycznej (np. natężenia światła) w interesującym nas obszarze przestrzeni lub obrazu.
* Kontrast lokalny
<equation id="eq:kontrast_lokalny">
<math>C = \frac{I_A - I_B}{I_B}</math>
</equation>
:gdzie (patrz <xr id="fig:local_contrast">rys. %i</xr>): 
:<math>I_A</math> — intensywność cechy fizycznej (np. natężenia światła), interesującego nas obiektu rzeczywistego lub jego odwzorowania na obrazie. 
:<math>I_B</math> — intensywność cechy fizycznej (np. natężenia światła) otoczenia (tła) interesującego nas obiektu rzeczywistego lub jego odwzorowania na obrazie.
* Stosunek Kontrastu do Szumu (ang. ''Contrast To Noise Ratio'', CNR).
<equation id="eq:kontrast_snr">
<math>C = \frac{I_A - I_B}{\sigma}</math>
</equation>
:gdzie: 
:<math>I_A, I_B</math> — intensywność cechy fizycznej (np. natężenia światła), dwóch interesujących nas obiektów lub ich odwzorowania na obrazie. 
:<math>\sigma^2</math> — wariancja szumu.

Postrzegany przez nas kontrast zależy od bardzo wielu czynników, m.in. od rozmiarów obiektu i rozmycia jego brzegów. Istotną wpływ ma także szerokość funkcji PSF co zaprezentowano na <xr id="fig:rozdzielczosc_kontrast">rys. %i</xr>. W przypadku <xr id="fig:rozdzielczosc_kontrast">rys. %i</xr>.A lokalny kontrast własny obiektu wynosi: <math>C = \frac{I_1 - 0}{0} = \infty</math>. Urządzenie diagnostyczne utworzyło rozmyty obraz punktowego źródła światła, o maksymalnym natężeniu światła <math>I_1'<I_1</math> i natężeniu tła wnoszącym <math>I_0'=0</math>. Kontrast lokalny obrazu jest nadal wysoki, ponieważ <math>C = \frac{I'_1 - 0}{0} = \infty</math>, jednak z uwagi na rozmycie brzegów obiektu, obserwator stwierdzi, że kontrast obrazu jest niższy niż kontrast obiektu, co zaprezentowano na <xr id="fig:kontrast">rys. %i</xr>.
W przypadku <xr id="fig:rozdzielczosc_kontrast">rys. %i</xr>.B obiekt składa się z trzech źródeł punktowych o kontraście lokalnym dążącym do nieskończoności. W wyniku rozmycia wprowadzonego przez urządzenie diagnostyczne, obrazy poszczególnych źródeł punktowych nakładają się na siebie. Natężenie światła tła na obrazie jest niezerowe, w związku z czym lokalny kontrast <math>C = \frac{I'_1 - I'_0}{I'_0}</math> osiąga wartość skończoną. 
Systemy obrazujące powinny jak najwierniej odwzorowywać kontrast rzeczywistych obiektów. Na skutek niedoskonałości poszczególnych elementów układu obrazującego kontrast własny obiektu jest zniekształcony na obrazie (zwykle kontrast ulega zmniejszeniu). Przykładowo, standardowe soczewki działają jak filtry dolnoprzepustowe. Usuniecie z obrazu wysokich częstości przestrzennych, które odpowiedzialne są za odtwarzanie szczegółów obiektu, powoduje rozmycie jego krawędzi co jak wiemy (patrz <xr id="fig:kontrast">rys. %i</xr>) skutkuje w obniżeniu kontrastu. Funkcją, za pomocą której opisuje się wpływ elementu układu obrazującego na kontrast jest "Funkcja Przenoszenia Kontrastu"(ang. ''Contrast Transfer Function'', CTF). CTF to stosunek kontrastu na wyjściu układu obrazującego do kontrastu na wejściu tego układu, obliczany dla zadanej linii na jednostkę długości.
<equation id="eq:CTF">
<math>CTF = \frac{C_{wy}\left(\frac{linie}{mm}\right)}{C_{wej}\left(\frac{linie}{mm}\right)}\times100%</math>
</equation>
gdzie: 
<math>C_{wy}\left(\frac{linie}{mm}\right)</math> — kontrast na wyjściu układu obrazującego, uzyskany dla danej rozdzielczości. 
<math>C_{we}\left(\frac{linie}{mm}\right)</math> — kontrast na wejściu układu obrazującego, uzyskany dla danej rozdzielczości.

Funkcja Przenoszenia Kontrastu nie osiąga wartości wyższej niż 100% (układy obrazujące mogą zmniejszyć kontrast a nie go poprawić) oraz maleje wraz ze wzrostem z liczbą linii na jednostkę długości. Przykład wykresu funkcji CTF zaprezentowano na rysunku <xr id="fig:ctf">rys. %i</xr>. W oparciu o krzywą CTF można zdefiniować rozdzielczość układu obrazującego.

<blockquote>''Rozdzielczość układu obrazującego jest to taka liczba linii na jednostkę długości dla której kontrast spada poniżej pewnej ustalonej wartości. Zwykle graniczna wartość kontrastu ustalona jest na poziomie 3%''.</blockquote>

Powyższy sposób określania rozdzielczości układu obrazującego ma następujące uzasadnienie. Kontrast z definicji to różnica w intensywności odwzorowywanej cechy poszczególnych elementów obrazowanej przestrzeni lub obrazu. Jeśli układ obrazujący, na skutek swoich wad, pomniejsza tę różnicę, obiekty są coraz trudniej odróżnialne, zwłaszcza jeśli znajdują się w niewielkiej od siebie odległości. Jeśli kontrast własny obiektu zostanie zmniejszony przez układ obrazujący do pewnej, bardzo niskiej wartości, dwa obiekty położone blisko siebie przestaną być rozróżnialne. Efekt ten zaprezentowano na <xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc">rys. %i</xr>, na którym rzeczywisty obiekt składa się z periodycznie powtarzających się jasnych i ciemnych pionowych linii (<xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.A</xr>). Na rysunku (<xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.B</xr>) pokazano przebieg jasności obiektu wzdłuż osi poziomej. Jak można zauważyć, globalny kontrast obiektu wynosi:
:<math> C = \frac{3.0-2.0}{3.0+2.0} = 0.2</math>.
Na <xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.C</xr> i <xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.D</xr> zaprezentowano - odpowiednio: odwzorowanie obiektu zaprezentowanego na <xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.A</xr> za pomocą układu LTI oraz przebieg jasności światła wzdłuż osi poziomej na obrazie obiektu. Jak można zauważyć, układ LTI odfiltrował wysokie częstotliwości przestrzenne, co doprowadziło do rozmycia brzegów linii. Kontrast uzyskany na obrazie (<xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.D</xr>) wynosi: ''C = 0.185''. Układ LTI odwzorował zatem około 92% (0.185/0.2 x 100) kontrastu własnego rzeczywistego obiektu. Na <xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.E</xr> i <xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.F</xr> zaprezentowano obraz obiektu z <xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.A</xr> otrzymany za pomocą kolejnego układu LTI oraz przebieg jasności światła wzdłuż osi poziomej na obrazie. Zastosowany układ obrazujący znacznie silniej odfiltrował wysokie częstości przestrzenne niż poprzedni system. Kontrast uzyskany na obrazie (<xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.D</xr>) wynosi: ''C'' = 0.155. Układ LTI odwzorował zatem około 77% kontrastu własnego rzeczywistego obiektu. Zaprezentowany na rysunku <xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.G</xr> obraz obiektu z <xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.A</xr> charakteryzuje się największym rozmyciem brzegów linii i najgorszym kontrastem. Pionowe linie są trudne do odróżnienia od tła. Jak można zauważyć na <xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.H</xr>, kontrast obiektu jest bardzo niski i wynosi ''C'' = 6%. Zastosowany układ LTI przeniósł zatem jedynie 3% kontrastu własnego rzeczywistego obiektu.

==Modulacja. Funkcja przenoszenia Modulacji.==

[[Plik:modulation_depth.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:modulation_depth"></figure>Ilustracja pojęcia głębokości modulacji. Na rysunku zaprezentowano zmiany jasności obiektu wzdłuż jednego z jego wymiarów. Izolinia jasności przebiega dla wartości <math>A = 5</math>. Amplituda zmian wartości wokół izolinii wynosi <math>B=2</math>. Głębokość modulacji jest równa <math>m=\frac{B}{A}=\frac{2}{5}</math>.]]

Główną zaletą opisanej w poprzednim rozdziale Funkcji Przenoszenia Kontrastu jest prostota jej wyznaczenia. Do tego celu można wykorzystać odpowiednie przygotowane fantomy. Niestety, funkcja ta posiada również pewne wady:
* Przenoszenie kontrastu wyznaczane jest w funkcji linii na jednostkę długości. Rzeczywiste obiekty (zwłaszcza tkanki z jakich składa się organizm) rzadko jednak składają się z linii.
* Systemy obrazujące składają się z bardzo wielu elementów, które niejednokrotnie można opisać przy pomocy formalizmu systemów LTI.

Przykładowo, głównymi elementami odpowiedzialnymi za utworzenie obrazu w aparacie fotograficznym jest obiektyw oraz film (lub matryca CCD). Obiektyw składa się zwykle z wielu soczewek. Załóżmy, że każda z soczewek film lub matryca CCD, funkcjonuje jak układ LTI. Nawet jeśli znamy przebieg funkcji CTF dla każdego z tych elementów, to nie można na tej podstawie przewidzieć wielkości kontrastu uzyskanego na obrazie. Taką informację otrzyma się dopiero badając układ obrazujący jako całość.
 
W celu dogodniejszego opisu właściwości urządzenia obrazującego została wprowadzona tzw. Funkcja Przenoszenia Modulacji (ang. ''Modulation Transfer Function'', MTF). Omówienie tej funkcji zaczniemy od przypomnienia pojęcia głębokości modulacji. Załóżmy, iż zmiany jasności pewnego obiektu zachodzą wzdłuż jednego z jego boków z częstością ''u''. Amplituda zmian jasności, wokół pewnego stałego poziomu ''A'', wynosi ''B''. Zmiany jasności obiektu, które wyraża następujący wzór:
<equation id="17"><math>
f(x,y) = A + B\sin(2\pi ux),
</math></equation>
zaprezentowano na rys <xr id="fig:modulation_depth">rys. %i</xr>.
Współczynnik głębokości modulacji to wielkość, która określa zmiany pewnego parametru względem pewnej stałej wartości. Jak widzimy na rys <xr id="fig:modulation_depth">rys. %i</xr> zmiany jasności obiektu osiągają amplitudę ''B'' względem pewnego poziomu jasności ''A''. W takim przypadku współczynnik głębokości modulacji określa poniższy wzór:
<equation id="18"><math>
m = \frac{B}{A}.
</math></equation>
Wykonajmy teraz obraz obiektu za pomocą układu LTI. Przypominamy, że układ LTI może zmieniać amplitudę i fazę poszczególnych częstości przestrzennych. W związku z tym, na wyjściu układu otrzymamy obraz <math>g(x,y)</math>, którego zmiany jasności będą opisane wzorem:
<equation id="19"><math>
g(x,y) = C + D\sin(2\pi ux),
</math></equation>
natomiast współczynnik modulacji wyniesie:
<equation id="20"><math>
m = \frac{D}{C}.
</math></equation>
Możemy zbadać teraz, jak układ LTI przeniósł współczynnik głębokości modulacji w następujący sposób:

<equation id="21"><math>
H = \frac{\frac{D}{C}}{\frac{B}{A}} = \frac{D\cdot A}{C\cdot B}.
</math></equation>

Im wartość współczynnika ‘‘H’’ jest bliższa jedności, tym układ LTI wiernej odwzorował na obrazie zmiany zachodzące w jasności obiektu. 
Zmiany w jasności, czy też innych cechach rzeczywistych obiektów są jednak znacznie bardziej skomplikowane niż powyższy przykład.
Jednakże, zarówno rzeczywiste obiekty, jak też ich obrazy, możemy przedstawić jako szereg harmonicznych oscylacji przestrzennych. Załóżmy, iż obiekt, zmiany jasności opisuje funkcja <math>f(x,y)</math> oraz jego obraz <math>g(x,y)</math> rozłożyliśmy na Szereg Fouriera:
<equation id="22">
<math>
\begin{array}{l}
f(x,y) = A + \sum_i\sum_jB_{ij}\sin(2\pi u_ix+2\pi v_jy) \\
\\
g(x,y) = C + \sum_i\sum_jD_{ij}\sin(2\pi u_ix+2\pi v_jy) \\
\end{array}
</math>
</equation>
gdzie: 
<math>x, y</math> - współrzędne przestrzenne, 
<math>u_i, v_j</math> - ''i''-ta oraz ''j-ta'' częstości przestrzenna, 
<math>A, B_{ij}, C, D_{ij}</math> - amplitudy poszczególnych składowych harmonicznych. 

Niech obiekt ''f(x,y)'' o widmie ''F(u,v)'' zostanie odwzorowany za pomocą układu LTI na obrazie <math>g(x,y)</math> o widmie <math>G(u,v)</math>. Układ LTI scharakteryzowany jest przy pomocy funkcji odpowiedzi impulsowej ''h(x,y)'' o widmie <math>H(u,v)</math>. Z własności układów LTI wiemy, iż pomiędzy stanem wejściowym (obrazowanym obiektem) a wyjściem (obrazem) istnieje następujący związek:
<equation id="23">
<math> G(u,v) = H(u,v)F(u,v)</math>
</equation>
Przypominamy również, że moduł Transformaty Fouriera odpowiada amplitudzie danej składowej harmonicznej, w związku z czym możemy zapisać:
<equation id="24">
<math>
\begin{array}{l}
A = |F(u_0,v_0)| \\
\\
B_{ij} = |F(u_i,v_j)| \\
\\
C = |G(u_0,v_0)| \\
\\
D_{ij} = |G(u_i,v_j)| \\
\\
|H_{ij}| = \frac{|G(u_i,v_j)|}{|F(u_i,v_j)|} = \frac{D_{ij}}{B_{ij}}
\end{array}
</math>
</equation>
Korzystając z powyższych zależności możemy zapisać:
<equation id="25">
<math> g(x,y) = H(0,0)A + \sum_i\sum_jH(u_i,v_j)B_{ij}\sin(2\pi u_ix+2\pi v_jy) </math>
</equation>
W przypadku obiektu złożonego z wielu składowych harmonicznych, głębokość modulacji może być inna dla każdej częstości przestrzennej:
<equation id="26">
<math>m_{u_i,v_j} = \frac{B_{ij}}{A}</math>
</equation>
Zauważmy teraz, iż głębokość modulacji <math>m^g_{u_i,v_j}</math> obrazu ''g(x,y)'' można wyrazić w następujący sposób:
<equation id="27">
<math> m^g_{u_i,v_j} = \frac{|H(u_i,v_j)|B_{ij}}{|H(0,0)|A}</math>
</equation>
Zbadajmy teraz, jak głębokość modulacji <math>m^f_{u_i,v_j}</math> rzeczywistego obiektu została odwzorowana na obrazie. Głębokość modulacji obrazu oznaczmy <math>m^g_{u_i,v_j}</math>
<equation id="28">
<math>\frac{m^g_{u_i,v_j}}{m^f_{u_i,v_j}} = \frac{|H(u_i,v_j)|B_{ij}}{|H(0,0)|A}\frac{A}{B_{ij}} = \frac{|H(u_i,v_j)|}{|H(0,0)|}</math>
</equation>
Wielkość opisującą stosunek głębokości modulacji dla zadanych częstości przestrzennych w obrazie, do głębokości modulacji dla tych samych częstości przestrzennych w rzeczywistym obiekcie nazywamy Funkcją Przenoszenia Modulacji (MTF):
<equation id="29">
<math> MTF(u_i,v_j) = \frac{|H(u_i,v_j)|}{|H(0,0)|}</math>
</equation>
Funkcję MTF układu LTI można w w łatwy sposób wyznaczyć, jeśli znamy widmo odpowiedzi tego systemu na impuls jednostkowy.

===Funkcja Przenoszenia Modulacji a rozdzielczość przestrzenna.===
[[Plik:mtf_kontrast.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:mtf_kontrast"></figure> A. Przykład odwzorowania obiektu, którego jasność można wyrazić wzorem (<xr id="eq:eq1"> %i</xr>). B. Przebieg jasności obiektu, zaprezentowanego na rysunku A. wzdłuż osi poziomej.]]
Linie x ft.png
Obiekt zaprezentowany na <xr id="fig:mtf_kontrast">rys. %i</xr> może zostać opisany za pomocą jednej funkcji harmonicznej biegnącej wzdłuż osi ''X'':
<equation id="30">
<math>
f(x,y) = A_0 + B_0\sin(2\pi u_0 x)
</math>
</equation>
gdzie: <math>u_0=32\frac{\textrm{1}}{\textrm{m}}</math>. 
Maksima funkcji harmonicznej tworzą pionowe jasne linie. Odległość pomiędzy tymi liniami <math>\Delta x</math> jest odwrotnością częstości przestrzennej funkcji harmonicznej <math>u_0</math>:
<equation id="31">
<math> \Delta x = \frac{1}{u_0}</math>
</equation>
Obraz ''g(x,y)'' obiektu ''f(x,y)'' może być rozłożony na składowe harmoniczne w następujący sposób:
<equation id="32">
<math>
g(x,y) = C + D_0\sin(2\pi u_0 x)
</math>
</equation>
Związek pomiędzy składowymi harmonicznymi obrazu ''g(x,y)'' na wyjściu układu LTI, a składowymi harmonicznymi rzeczywistego obiektu ''f(x,y)'' na wejściu tego układu, wyraża poniższa zależność
<equation id="33">
<math>
\begin{array}{l}
g(x,y) = H(0,0)A + H(u_0,0)B_0\sin(2\pi u_0 x) = \\
\\
H(0,0)A + MTF(u_0,0)B_0H(0,0)\sin(2\pi u_0 x) = \\
\\
H(0,0)(A + MTF(u_0,0)B_0\sin(2\pi u_0 x))
\end{array}
</math>
</equation>
gdzie: ''MTF'' jest funkcja przenoszenia modulacji charakterystyczną dla zadanego systemu LTI.
Jeśli dla danej częstości przestrzennej <math>u_0</math>, funkcja przenoszenia modulacji <math>MTF(u_0,0)</math> osiąga wartość bliską 0, częstość ta nie zostanie odwzorowana na obrazie. W związku z tym niemożliwe będzie rozróżnienie szczegółów znajdujących się bliżej niż <math>\Delta x = \frac{1}{u_0}</math>. W praktyce przyjmuje się, że graniczna rozdzielczość przestrzenna układu obrazującego osiągana jest dla częstości, dla której wartość funkcji przenoszenia modulacji wynosi 0.03.

===Funkcja Przenoszenia Modulacji a przenoszenie kontrastu.===
Na początku rozpatrzmy następujący przykład. Zamierzamy odwzorować cechę pewnego obiektu, jaką jest rozkład jego jasności. Ponadto zmiany jasności obiektu ''f(x,y)'' można opisać za pomocą jednej funkcji harmonicznej:
<equation id="eq:eq1">
<math> f(x,y) = A + B\sin(2\pi u_0 x)
</math></equation>
Obiekt taki zaprezentowano na <xr id="fig:mtf_kontrast">rys. %i</xr>, w przypadku którym ''A'' = 3, ''B''=1. Przyjęte założenia mają na celu uprościć pewne przekształcenia matematyczne, nie wpłyną jednak na końcowe wnioski jakie uzyskamy w niniejszym przykładzie.
Zdefiniujmy teraz kontrast globalny w następujący sposób:
<equation id="eq:eq2"><math>
C = \frac{A_{\max}-A_{\min}}{A_{\max}+A_{\min}}</math></equation>
gdzie: 
<math> A_{\max}, A_{\min}</math> to odpowiednio maksymalna i minimalna amplituda zmian obserwowana w sygnale. 
Obliczmy kontrast globalny obiektu opisanego wzorem (<xr id="eq:eq2"> %i</xr>):
<equation id="34"><math>C = \frac{A + B - (A - B)}{A + B + (A - B)} = \frac{B}{A}</math></equation>
Jak możemy zauważyć, uzyskany kontrast jest tożsamy z głębokością modulacji sygnału harmonicznego, który wynosi:
<equation id="35"><math>m = \frac{B}{A}</math></equation>
Modulacja sygnału jest wielkością, której przenoszenie przez układ LTI opisuje funkcja MTF.
Doszliśmy zatem do wniosku, iż funkcja MTF pośrednio opisuje przenoszenie kontrastu zawartego w sygnale przez układ LTI.

===Funkcja MTF złożonych układów obrazowania===
[[Plik:lti_mtf.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:lti_mtf"></figure>Układ obrazowania składający się z kilku systemów LTI.]]

Układu wykorzystywane w obrazowaniu medycznych są zbudowane z bardzo wielu elementów (źródeł promieniowania, układów formujących wiązki promieniowania, detektorów, itd.), które mają wpływ na uzyskiwany obraz. Nawet w budowie zwykłego aparatu fotograficznego możemy wyróżnić kilka podzespołów, takich jak obiektyw oraz detektor promieniowania (film lub matrycę CCD). Obiektyw z kolei złożony jest najczęściej z przesłony i kilku soczewek, których działanie może być opisane w formalizmie systemów LTI. Czy znając funkcję MTF dla każdego z elementów układu obrazującego jesteśmy w stanie coś wywnioskować na temat jakości obrazu uzyskanego przez cały układ obrazujący? Okazuje się że tak. Załóżmy, że nasz system obrazujący składa się z ''N'' bloków (czarnych skrzynek), z których każda może być opisana jako układ LTI. Schemat takiego urządzenia zaprezentowano na <xr id="fig:lti_mtf">rys. %i</xr>.
Właściwości każdego z elementów układu obrazującego w dziedzinie częstości przestrzennych opisane są przy pomocy funkcji przejścia <math>H_i(u,v)</math>, gdzie ''u'',''v'' to częstości przestrzenne. Na wejściu układu obrazującego podawany jest sygnał o widmie <math>F(u,v)</math>. Trafia on jednocześnie na wejście pierwszego układu LTI. Na wyjściu pierwszego układu LTI sygnał będzie miał postać:
<equation id="36"><math>G_1(u,v) = H_1(u,v)\cdot F(u,v)</math></equation>
Sygnał wyjściowy z pierwszego układu LTI jest sygnałem wejściowym dla kolejnego układu. W związku z tym, na wyjściu drugiego układu LTI pojawi sygnał:
<equation id="37"><math>G_2(u,v) = H_2(u,v)\cdot G_1(u,v) = H_2(u,v)\cdot H_1(u,v)\cdot F(u,v)</math></equation>
Ostatecznie, po przejściu przez ''N'' układów LTI, na wyjściu układu obrazującego uzyskamy sygnał:
<equation id="eq:lti_mtf"><math>G(u,v) = H_2(u,v)\cdot G_1(u,v) = H_N(u,v)\cdot \ldots \cdot H_2(u,v)\cdot H_1(u,v)\cdot F(u,v)</math></equation>
Dla całego układu obrazującego możemy zatem zdefiniować następująca funkcję przejścia:
<equation id="38"><math>H(u,v) = H_2(u,v)\cdot G_1(u,v) = H_N(u,v)\cdot \ldots \cdot H_2(u,v)\cdot H_1(u,v) </math></equation>
i wyznaczyć funkcję MTF tego układu:
<equation id="39"><math>MTF(u,v) = \frac{|H(u,v)|}{H(0,0)} </math></equation>
Funkcję MTF można również wyznaczyć znając przebieg funkcji przenoszenia modulacji <math>MTF_i(u,v) = \frac{H_1(u,v)}{ H_1(0,0)}</math> każdego systemu LTI wchodzącego w skład układu obrazującego, co wynika ze wzoru (<xr id="eq:lti_mtf"> %i</xr>):
<equation id="40"><math>MTF(u,v) = MTF_1(u,v)\cdot MTF_2(u,v)\cdot \ldots \cdot MTF_N(u,v)</math></equation>

===Zalety Funkcji MTF===
* Na podstawie przebiegu funkcji MTF można określić graniczną rozdzielczość układu obrazującego. Im lepiej układ LTI przenosi głębokość modulacji sygnału wejściowego dla wysokich częstości przestrzennych, tym lepsza będzie rozdzielczość otrzymywanego na wyjściu obrazu.
* Na podstawie przebiegu funkcji MTF można określić jak układ LTI odwzorowuje kontrast zawarty w sygnale wejściowym.
* Znając przebieg funkcji MTF dla poszczególnych składowych układu obrazującego można estymować funkcję MTF dla całego układu i przewidzieć jego właściwości.

===Wyznaczanie funkcji MTF na przykładzie Kamery Otworkowej===
[[File:bessel_1.png|350px|thumb|<figure id="bessel_1"/> Po prawo – rozkład natężenia punktowego źródła światła. Po lewo funkcja PSF Kamery Otworkowej, czyli obraz uzyskany w efekcie pobudzenia punktowym źródłem światła.]]
[[File:bessel_2.png|350px|thumb|<figure id="bessel_2"/>Po lewo funkcja OTF Kamery Otworkowej. Po prawo – wykres funkcji MTF wzdłuż jednego z wymiarów, w płaszczyźnie przechodzącej przez środek obrazu. Pionowymi czerwonymi liniami oznaczono pierwsze miejsce zerowe funkcji MTF (umownie graniczną rozdzielczość Kamery Otworkowej.]]

Przypominamy na początku, że działanie systemu obrazującego o własnościach układu LTI można opisać następującym wzorem:
<equation id="41">
<math>v(x,y)=\int\limits_{-\infty}^\infty\int\limits_{-\infty}^\infty g(\tau_x,\tau_y)h(x - \tau_x,y-\tau_y)d\tau_xd\tau_y</math>
</equation>
gdzie:
<ul>
<li> ''*'' oznacza operację splotu,
<li> g(x,y) – reprezentacja obiektu na wejściu układu obrazującego,
<li> g(x,y) – reprezentacja obiektu na wyjściu układu obrazującego,
<li> h(x,y) – odpowiedź układu obrazującego na pobudzenie punktowym źródłem światła.
</ul>
Funkcję <math>h(x,y)</math> nazywamy punktową funkcja rozproszenia (ang. ''Point Spread Function'',PSF). Transformatę Fouriera <math> OTF(u,v)</math> funkcji PSF:
<equation id="41"><math>
OTF(u,v) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}h(x,y) e^{-2\pi i(ux + vy)}dxdy
</math></equation>

nazywamy optyczną funkcją przenoszenia (ang. ''Optical Transfer Function'',OTF). Funkcję OTF tę można zapisać w następujący sposób:

<equation id="42"><math>
OTF(u,v) = |OTF|e^{-i\phi(u,v)}
</math></equation>
gdzie: <math>\phi(u,v) = \arg(OTF(u,v))</math>.

Moduł Transformaty Fouriera funkcji PSF, znormalizowany w ten sposób, aby
<math>|OTF(0,0)| = 1</math> nazywamy funkcją przenoszenia modulacji:
<equation id="43"><math>
MTF(u,v) = \frac{|OTF(u,v)|}{|OTF(0,0)|}
</math></equation>
z kolei argument funkcji OTF nazywamy funkcją przenoszenia fazy (ang. ''Phase Transfer Function'',PTF):
<equation id="44"><math>
PTF(u,v) = \arg(OTF(u,v))
</math></equation>

===Przykład wyznaczenia funkcji MTF dla Kamery Otworkowej===
Obrazem punktowego źródła światła, znajdującego się w nieskończonej odległości od kamery otworkowej jest krążek o średnicy ''d'' równej średnicy obiektywu (otworka) kamery i równomiernym rozkładzie natężenia światła ''A'', który możemy opisać następującym wzorem:

<equation id="45"><math>
PSF(x,y) = \left\{\begin{array}{l}
A, \textrm{\ dla\ } \sqrt{x^2 + y^2} \leq d\\
\\
0, \textrm{\ dla\ } \sqrt{x^2 + y^2}>d
\end{array}\right.
</math></equation>

Rozkład natężenia światła emitowanego z punktowego źródła oraz jego obraz (funkcję PSF) zaprezentowano na <xr id="bessel_1">rys. %i</xr>.
Transformata Fouriera funkcji PSF(x,y) wynosi:

<equation id="46"><math>
OTF(u,v) = FFT(PSF(x,y)) = \frac{J_1(2\pi d\rho)}{ 2\pi d\rho }
</math></equation>
gdzie:
<ul>
<li> <math>J_1(\cdot)</math> — to funkcja Bessla pierwszego rodzaju, rzędu pierwszego,
<li> <math>\rho=\sqrt{u^2 + v^2}</math>,
<li> <math>u,v</math> — częstości przestrzenne.
</ul>
Funkcja przenoszenia modulacji – MTF, to moduł znormalizowanej funkcji OTF. Wartość funkcji OTF w punkcie <math>(0,0)</math> wynosi <math>\frac{1}{2}</math>, w związku z czym funkcja MTF jest równa:
<equation id="47"><math>
MTF(u,v) = 2\cdot|OTF(u,v)| = 2\frac{J_1(2\pi d\rho)}{ 2\pi d\rho}
</math></equation>

Wykres funkcji OTF oraz MTF zaprezentowano na <xr id="bessel_2">rys. %i</xr>.
Funkcja MTF osiąga pierwsze miejsce zerowe dla argumentu równego
<equation id="48"><math>
\rho_g = \frac{0.61}{d}
</math></equation>

Wielkość <math>\rho_g</math> to górna granica pasma częstości przestrzennych przenoszonych przez Kamerę Otworkową.

Obrazowanie:Obrazowanie Medyczne/Podstawowe Parametry Obrazów

2015-09-28T19:50:02Z

Rkus:

Podstawowe Parametry Obrazów
[[Plik:camera_obscura_1.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:camera_obscura_1"></figure>Schemat urządzenia ''Camera Obscura''. Urządzenie składa się z wyczernionego wewnątrz pudełka, co ma zapobiec powstawaniu odbić światła od ścianek. Światło ze źródła ''S'', znajdującego się w odległości ''x'' od przedniej ścianki urządzenia rozchodzi się po liniach prostych i pada na otwór o średnicy ''d''. W odległości ''y''od otworu znajduje się ekran na którym powstaje obraz.]]
[[Plik:camera_obscura_2.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:camera_obscura_2"></figure>Tworzenie obrazu dwóch punktowych źródeł światła prze kamerę otworkową.]]
Zanim omówimy podstawowe parametry obrazów uzyskiwanych w diagnostyce medycznej, spróbujemy określić pojęcie obrazu. Każdy z nas zapewne widział wielokrotnie zdjęcie fotograficzne. Jeszcze do niedawana zdjęcia takie było wykonywane przy pomocy aparatu fotograficznego wyposażonego w obiektyw i kliszę fotograficzną, która pełniła rolę detektora światła. Współczesne aparaty fotograficzne zamiast kliszy posiadają matrycę CCD (ang. ''Charge Coupled Device'', CCD). Zarówno w przypadku analogowych, jak i cyfrowych aparatów, zdjęcie fotograficzne powstaje w efekcie naświetlania detektora przez wiązkę światła emitowanego lub odbijanego przez fotografowany obiekt. Zdolność do emisji lub odbijania światła jest pewną cechą obiektu. Możemy zatem stwierdzić, że obraz to odwzorowanie pewnej cechy obiektu przestrzeni trójwymiarowej na płaszczyznę. W przypadku obrazowania medycznego cechą obiektów może być:
* Liniowy współczynnik osłabienia promieniowania Rentgenowskiego (Radiografia Rentgenowska, Rentgenowska Tomografia Komputerowa).
* Rozkład radionuklidu promieniotwórczego (Obrazowanie Nuklearne).
* Gęstość protonów (MRI).
Komputerowe przetwarzanie obrazów jest możliwe tylko dla obrazów cyfrowych, to jest skwantowanych ([1]) i dyskretnych ([2]). Pojedynczy element obrazu cyfrowego nazywamy pikselem. Naturalnym sposobem matematycznej reprezentacji takiego obrazu jest dwuwymiarowa macierz. Każdy element macierzy odpowiada pojedynczemu pikselowi i zawiera liczbę określającą cechę obrazowanego obiektu. Jeśli obraz uzyskujemy za pomocą detektorów analogowych (np. błony fotograficznej), zawsze możemy go zamienić na postać cyfrową za pomocą przetworników analogowo – cyfrowych ([3]).

Obrazy uzyskiwane na potrzeby diagnostyki medycznej muszą charakteryzować się odpowiednią jakością. Do najważniejszych parametrów obrazu należą:
*rozdzielczość,
*kontrast.
Pojęcia te omówimy analizując działanie najstarszego i najprostszego urządzenia optycznego jakim jest ''Camera Obscura'' (patrz <xr id="fig:camera_obscura_1">rys. %i</xr>).

==Camera Obscura==

''Camera Obscura'' to urządzenie optyczne składające się z wyczernionego wewnątrz pudełka oraz małego otworu (pełniącego rolę obiektywu), który znajduje się w jednej ze ścian pudełka. Nazwa urządzenia w bezpośrednim tłumaczeniu z języka łacińskiego oznacza ciemną komnatę i jest nieprzypadkowa. Na przestrzeni dziejów, duże, ciemne pomieszczenia z otworem w okiennicach lub dachu służyły to uzyskiwania obrazów różnych obiektów, np. Johannes Kepler wykorzystywał do obserwacji plam słonecznych katedrę w Ratyzbonie, z wykonanym w jej dachu małym otworem. W języku angielskim ''Camera Obscura'' nazywana jest również kamerą otworkową (''pinhole camera''). Pomimo swojej prostoty, kamera otworkowa jest niezwykle interesującym urządzeniem, które obecnie nadal wykorzystuje się w fotografii artystycznej (pierwsze aparaty fotograficzne były właśnie ''Camerami Obscura'', dopiero później w miejsce otworu wstawiono soczewkę). 

===Rozdzielczość===
Rozdzielczość układu obrazującego to jego zdolność do zobrazowania dwóch punktowych źródeł światła, znajdujących się w określonej odległości od siebie, jako dwóch oddzielnych obiektów. Powyższa definicja zawiera pojęcie odległości pomiędzy dwoma punktowymi źródłami fali elektromagnetycznej. Jest to jak najbardziej uzasadnione, ponieważ obiekty rzeczywiste (rozciągłe w przestrzeni, emitujące lub odbijające światło), można traktować jako złożenie wielu punktowych źródeł. W przypadku kamery otworkowej, obraz punktowego źródła światła wyznaczymy w oparciu o prawa optyki geometrycznej. Ich podstawowym założeniem jest rozchodzenie się światła w postaci wiązki promieni. W ośrodku jednorodnym promienie te biegną prostoliniowo. Korzystając z tych założeń widzimy, że obrazem punktowego źródła światła na ekranie ''Camera Obscura'' jest krążek o średnicy:
<equation id="1"><math>
|O'O| = \frac{d(x+y)}{x}
</math></equation>
jeśli punktowe źródło światła znajduje się bardzo daleko od otworu kamery, średnica krążka na ekranie będzie równa średnicy ''d'' otworu:
<equation id="2"><math>
|O'O| = \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{d(x+y)}{x} = d
</math></equation>
W przypadku gdy źródła światła znajdują się zbyt blisko siebie, ich obrazy (krążki) nałożą się, uniemożliwiając ich rozróżnienie na obrazie. Przyjmijmy zatem, że dwa punktowe źródła światła będziemy mogli postrzegać na ekranie "Camera Obscura" jako oddzielne obiekty, jeśli odległość ''s'' środków krążków (patrz <xr id="fig:camera_obscura_2">rys. %i</xr>), będzie nie mniejsza niż średnica otworu ''d''. 
Rozdzielczość układów obrazujących można wyznaczyć na podstawie testów, w których danym urządzeniem obrazuje się pewne wzorce geometryczne. Najczęściej są to równoległe linie, których liczba na jednostkę długości rośnie wzdłuż pewnego kierunku. Przykład takiego wzorca zaprezentowano na <xr id="fig:line_pattern">rys. %i</xr>.

===Częstości przestrzenne===
[[Plik:line_pattern.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:line_pattern"></figure>Przykładowy wzorzec linii służący do testowania rozdzielczości urządzeń obrazujących. Liczba linii na jednostkę długości rośnie ze strony lewej w kierunku prawej, od wartości <math>0.6\frac{\textrm{linii}}{\textrm{cm}}</math> do <math>6\frac{\textrm{linii}}{\textrm{cm}}</math>.]]
[[Plik:linie_x_ft.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:linie_x_ft"></figure>Obraz (po lewo) oraz jego Transformata Fouriera (po prawo). W obrazie, wzdłuż osi ''x'' powtarza się periodycznie pewna struktura, z częstością 8 razy na metr. Niezerowe współczynniki Transformaty Fouriera (zaznaczone na mapie po prawej stronie kolorem czarnym) występują dla częstości <math>\pm u=8 \frac{\textrm{1}}{\textrm{m}}</math> i <math>v=0\frac{\textrm{1}}{\textrm{m}}</math> (brak periodycznych zmian wzdłuż osi y).]]
[[Plik:linie_y_ft.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:linie_y_ft"></figure>Obraz (po lewo) oraz jego Transformata Fouriera (po prawo). W obrazie, wzdłuż osi ''y'' powtarza się periodycznie pewna struktura, z częstością 8 razy na metr. Niezerowe współczynniki Transformaty Fouriera (zaznaczone na mapie po prawej stronie kolorem czarnym) występują dla częstości <math>u=0\frac{\textrm{1}}{\textrm{m}}</math> (brak periodycznych zmian wzdłuż osi x) i <math>\pm v=8\frac{\textrm{1}}{\textrm{m}}</math>.]]
[[Plik:linie_xy_ft.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:linie_xy_ft"></figure>Obraz (po lewo) oraz jego Transformata Fouriera (po prawo). W obrazie, wzdłuż osi ''x'' i ''y'' powtarzają się periodycznie zmiany, z częstością 4 i 8 razy na metr. Niezerowe współczynniki Transformaty Fouriera (zaznaczone na mapie po prawej stronie kolorem czarnym) występują dla częstości <math>u=4\frac{\textrm{1}}{\textrm{m}}</math> i <math>v=8\frac{\textrm{1}}{\textrm{m}}</math> oraz <math>u=-4\frac{\textrm{1}}{\textrm{m}}</math> i <math>v=-8\frac{\textrm{1}}{\textrm{m}}</math>.]]
[[Plik:mandril.jpg|150px|thumb|right|<figure id="fig:mandril"></figure>Piękna małpka zaprezentowana na rysunku jest przykładem obiektu posiadającego szerokie widmo częstości przestrzennych.]]
Na rysunku <xr id="fig:line_pattern">rys. %i</xr> zaprezentowano przykład wzorca stosowanego do wyznaczania rozdzielczości układu obrazującego. Zauważmy, że przedstawiona ilustracja składa się z powtarzających się, w określonej liczbie na jednostkę długości, linii. Inne przykłady obiektów składających się z linii zaprezentowano na rysunkach <xr id="fig:linie_x_ft">rys. %i</xr>, <xr id="fig:linie_y_ft">rys. %i</xr> i <xr id="fig:linie_xy_ft">rys. %i</xr>.
Podobnie jak na <xr id="fig:line_pattern">rys. %i</xr>, na ilustracjach <xr id="fig:linie_x_ft">rys. %i</xr>, <xr id="fig:linie_y_ft">rys. %i</xr> oraz <xr id="fig:linie_xy_ft">rys. %i</xr> możemy wyróżnić pewne periodycznie powtarzające się struktur, np. na <xr id="fig:linie_xy_ft">rys. %i</xr> jasne, pionowe linie powtarzają się 8 razy na metr wzdłuż osi ''x''. Z kolei na <xr id="fig:linie_y_ft">rys. %i</xr> jasne linie poziome również powtarzają się z częstością 8 razy na metr, tym razem jednak wzdłuż osi ''y''. W przypadku obrazu zaprezentowanego na <xr id="fig:linie_xy_ft">rys. %i</xr> periodycznie powtarzające się linie są skierowane pod pewnych kątem względem osi ''x'' i przecinają tę oś w 4 punktach na
jednostkę długości, zaś oś ''y'' w ośmiu punktach na jednostkę długości.
W oparciu o powyższe przykłady, analogicznie jak ma to miejsce w analizie sygnałów jednowymiarowych, dla obiektów przestrzennych i ich obrazów można wprowadzić pojęcie częstości, którą nazwiemy częstością przestrzenną. 
 
'''Częstość''' - wielkość określająca, liczbę cykli zjawiska okresowego na jednostce czasu. 
 
'''Częstość przestrzenna''' - wielkość określająca, liczbę cykli zjawiska okresowego na jednostkę długości. 
Mierzalną wielkością fizyczną przytoczonych ilustracjach jest jasność obiektu.

===Dwuwymiarowa Transformata Fouriera===
Występujące w przyrodzie sygnały niejednokrotnie charakteryzują się wysokim stopniem złożoności, który utrudnia, a czasami wręcz uniemożliwia badanie ich właściwości. Na rysunkach <xr id="fig:linie_x_ft"> %i</xr> - <xr id="fig:linie_xy_ft"> %i</xr> zaprezentowano obrazy o bardzo prostej strukturze. Przykład obrazu o znacznym stopniu złożoności zaprezentowano na rysunku <xr id="fig:mandril">rys. %i</xr>. Wzrokowa analiza właściwości tego obrazu jest w zasadzie niemożliwa. Jedną z metod ułatwiających analizę skomplikowanego sygnału, zarówno jedno- jak i dwuwymiarowego, jest dobór odpowiedniej dla niego reprezentacji. Większość spośród stosowanych powszechnie typów reprezentacji ciągłych ma postać tzw. przekształcenia całkowego (inne określenie transformata całkowa). Najczęściej stosowaną transformatą w analizie sygnałów jednowymiarowych jest Transformata Fouriera, za pomocą której analizowany sygnał może być przedstawiony jako suma funkcji harmonicznych. Jest to o tyle istotne, iż funkcje te są niezmiennikami [[STAT:Systemy_liniowe_niezmiennicze_w_czasie_%28LTI%29|systemów LTI (ang. Linear Time-Invariant)]], pełniących niezwykle ważna rolę w przetwarzaniu sygnałów. Układy LTI występują również w systemach obrazowania medycznego, co będzie jeszcze omówione w dalszej części materiałów. Pary Transformat Fouriera dla przypadków jedno- i dwuwymiarowych, zarówno ciągłych jak i dyskretnych wyrażają poniższe wzory.
Para jednowymiarowych Transformat Fouriera dla sygnału ciągłego <math>x(t)</math>:
<equation id="3">
<math>
\begin{matrix}
X(f) = \int^{\infty}_{-\infty} x(t) e^{-2\pi i f t}dt \\
\\
x(t) = \int^{\infty}_{-\infty} X(f) e^{2\pi i f t}df \\
\end{matrix}
</math>
</equation>
 
gdzie: 
<math>t</math> — czas, 
<math>f</math> — częstość, 
<math>i=\sqrt{-1}</math>, 

Para jednowymiarowych dyskretnych Transformat Fouriera dla sygnału dyskretnego:
<equation id="4">
<math>
\begin{array}{l}
G(u) = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}g(k)e^{-2\pi i \frac{ku}{N}} \\
\\
g(k) = \sum_{k=0}^{N-1}G(u)e^{2\pi i \frac{ku}{N}} \\
\end{array}
</math>
</equation>
gdzie: 
<math> N</math> — liczba dyskretnych punktów w sygnale.

Para Transformat Fouriera funkcji ciągłej dwóch zmiennych <math>g(x,y)</math>:
<equation id="5">
<math>
\begin{array}{l}
G(u,v) = \int^{\infty}_{-\infty}\int^{\infty}_{-\infty} g(x,y)e^{-2\pi i (ux + vy)}dxdy \\
\\
g(x,y) = \int^{\infty}_{-\infty}\int^{\infty}_{-\infty} G(u,v)e^{2\pi i (ux + vy)}dudv \\
\end{array}
</math>
</equation>

gdzie: 
<math>x, y</math> — współrzędne przestrzenne, 
<math>u, v</math> — częstości przestrzenne, 
<math>i=\sqrt{-1}</math>. 

Para Dyskretnych Transformat Fouriera funkcji <math>g(k,l)</math> dwóch zmiennych dyskretnych <math>k</math> i <math>l</math>.
<equation id="6">
<math>
\begin{array}{l}
G(u,v) = \frac{1}{M\cdot N}\sum_{k=0}^{N-1}\sum_{l=0}^{N-1}g(k,l)e^{-2\pi i \left( \frac{ku}{M} + \frac{lv}{N}\right)} \\
\\
g(k,l) = \sum_{k=0}^{N-1}\sum_{l=0}^{N-1}G(u,v)e^{2\pi i \left( \frac{ku}{M} + \frac{lv}{N}\right)} \\
\end{array}
</math>
</equation>
gdzie: 
<math>M, N</math> — liczba dyskretnych punktów (liczba wierszy i kolumn w obrazie),
<equation id="7">
<math>
\begin{matrix}
u = -\frac{M}{2}, \ldots, \frac{M}{2}-1; & v = -\frac{N}{2}, \ldots, \frac{N}{2}-1\\
\\
k = 0,\ldots,M-1;& l = 0,\ldots, N-1
\end{matrix}
</math>
</equation>

==Układy LTI w przetwarzaniu obrazów==
[[File:prostokat.png|350px|thumb|<figure id="prostokat" /> Przykład obrazu pewnego obiektu oraz jego składu częstościowego. Po lewej stronie - rzut obiektu na płaszczyznę tworzy jasny prostokąt. Po prawej stronie - skład częstościowy obrazu.]]
[[File:filtr_gauss.png|350px|thumb|<figure id="uid31" />Przykład charakterystyki dolnoprzepustowego filtru Gaussowskiego, służącego do usunięcia z obrazu wysokich częstości przestrzennych.]]
[[File:prostokat_filtrowany.png|350px|thumb|<figure id="uid32" />Obraz z ilustracji <xr id="prostokat">rys. %i</xr> po przefiltrowaniu filtrem Gaussowskim z ilustracji <xr id="uid31"/>. Widoczne jest rozmycie brzegów spowodowane usunięciem z obrazu wysokich częstości.]]
Dotychczas pojecie sygnału kojarzyliśmy głównie z przebiegami pewnych wielkości fizycznych w czasie (np. sygnał EEG jest zapisem czynności elektrycznej mózgu). Termin sygnał można także stosować do obrazu. W tym przypadku sygnał jest reprezentacją pewnej mierzalnej cechy obiektu w przestrzeni (na <xr id="fig:linie_x_ft">rys. %i</xr> - <xr id="fig:linie_xy_ft">rys. %i</xr> cechą tą jest rozkład jasności obiektu). Jak pamiętamy z kursu [[STAT:Analiza_sygnałów|"Analiza Sygnałów"]], rzeczywiste układy pomiarowe, które realizują przetwarzanie sygnałów nazywamy systemem. System modelowany jest jako ''czarna skrzynka'', generująca odpowiedni sygnał wyjściowy w odpowiedzi na stan wejściowy. Szczególną klasę systemów przetwarzających sygnały, tworzą tzw. Układy Liniowe Niezmiennicze w Czasie (ang. ''Linear, Time Invariant Systems'', LTI). Oznaczmy przez <math>T\left\{\cdot\right\}</math> operacje wykonywane na sygnałach wejściowych ''x(t)'' oraz ''y(t)'', wtedy układ LTI charakteryzuje się następującymi własnościami:
<ol><li>Liniowość.
<equation id="8">
<math>T\left\{x(t)+y(t)\right\}=T\left\{x(t)\right\}+T\left\{y(t)\right\}</math>
</equation>
<equation id="9">
<math>T\left\{ax(t)\right\}=aT\left\{x(t)\right\}</math>
</equation>
<li> Niezmienniczość w czasie.
<equation id="10">
<math>T\left\{x(t+\tau)\right\}=T\left\{x(t)\right\}</math>
</equation>
</ol>
Przykładem układów LTI są filtry typu ''IIR'' oraz ''FIR''. Filtry te, jako układu LTI zmieniają amplitudę oraz poszczególnych składowych częstościowych sygnału. Nie mogą natomiast wytworzyć w sygnale składowych o nowych częstościach, co jest charakterystyczną cechą układów nielinowych. Operację przetwarzania sygnału przez układ LTI zapisujemy przy pomocy splotu. Niech ''x(t)'' będzie sygnałem na wejściu układu LTI, ''y(t)'' sygnałem na jego wyjściu, zaś ''h(t)'' odpowiedzią systemu LTI na impuls jednostkowy, wtedy zachodzi następująca relacja:

<equation id="11">
<math>y(t)=\int\limits_{-\infty}^\infty x(\tau)h(t - \tau) d\tau = x(t)\ast h(t)</math>
</equation>
gdzie <math>\ast</math> oznacza splot.

Pojęcie układów LTI można rozszerzyć również na sygnały dwuwymiarowe, czyli np. obrazy. Niech ''g(x,y,)'' oraz ''v(x,y)'' będą dwoma obrazami na wejściu pewnego systemu, realizującego operację <math>T\left\{\cdot\right\}</math>. System nazwiemy liniowym, jeśli spełni następujące warunki:
<ol><li>Liniowość.
<equation id="12">
<math>T\left\{g(x,y)+v(x,y)\right\}=T\left\{g(x,y)\right\}+T\left\{v(x,y)\right\}</math>
</equation>
<equation id="13">
<math>T\left\{ag(x,y)\right\}=aT\left\{g(x,y)\right\}</math>
</equation>
<li> Niezmienniczość w czasie.
<equation id="14">
<math>T\left\{g(x,y,t+\tau)\right\}=T\left\{g(x,y,t)\right\}</math>
</equation>
</ol>
Podobnie jak i w przypadku sygnałów jednowymiarowych, przykładem układów LTI w analizie obrazów są filtry cyfrowe. Własności filtrujące posiadają również znane z kursów fizyki soczewki, które działają jak filtry dolnoprzepustowe — usuwają z padającego na nie obrazu składowe o wysokich częstościach, przez co obraz po przejściu przez soczewkę staje się rozmyty. Wiele elementów aparatury stosowanej w obrazowaniu medycznym może być również traktowana jako układy LTI co znacznie ułatwia analizę ich działania. Relację pomiędzy obrazem na wejściu i wyjściu układu LTI można opisać za pomocą dwuwymiarowego splotu. Niech ''g(x,y)'' będzie obrazem wejściowym, ''v(x,y)'' obrazem na wyjściu systemu LTI, zaś i ''h(x,y)'' odpowiedzią układu LTI na punktowe źródło światła, wtedy:
<equation id="15">
<math>v(x,y)=\int\limits_{-\infty}^\infty\int\limits_{-\infty}^\infty g(\tau_x,\tau_y)h(x - \tau_x,y-\tau_y)d\tau_xd\tau_y</math>
</equation>
Operację splotu w dziedzinie częstości przestrzennych można zapisać w następujący sposób:
<equation id="16">
<math>V(u,v)=G(u,v)\cdot H(u,v)</math>
</equation>

Podobnie jak w analizie sygnałów, funkcję <math>h(x,y)</math> nazywana jest funkcją odpowiedzi impulsowej lub punktową funkcją rozproszenia (ang. ''Point Spread Function'', PSF). Nazwa jest nieprzypadkowa, ponieważ efektem działania układu optycznego jest rozmycie obrazu obiektu punktowego.

==O rozdzielczości raz jeszcze==
[[Plik:fwhm.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:fwhm"></figure>Rozkład natężenia światła obiektu punktowego po przejściu przez układ LTI jest krzywą dzwonową. Szerokości krzywej w połowie wysokości (ang. Full Width at Half Maximum, FWHM) określa skalę rozmycia obrazu.]]
[[Plik:resolution.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:resolution"></figure>Rozkład natężenia światła dwóch obiektów punktowych po przejściu przez układ LTI dla kolejnych odległości pomiędzy obiektami. A. Dwa obiekty punktowe znajdują się w odległości ponad dwa razy większej niż wielkość FWHM. Pomimo rozmycia obrazów obiekty te są dobrze rozróżnialne. B. Dwa obiekty punktowe znajdują się w odległości dwa razy większej niż wielkość FWHM. Rozmycie wprowadzone przez układ LTI powoduje iż obrazy tych obiektów zlokalizowane są blisko siebie, nadal jednak obiekty te można bez problemu rozróżnić. C. Dwa obiekty punktowe znajdują się w odległości równej dokładnie FWMH. Są trudno rozróżnialne. D). Przyjmuje się, że obiekty punktowe znajdujące się w odległości mniejszej niż FWMH nie są rozróżnialne.]]

Pojęcie rozdzielczości układu obrazującego zostało już wprowadzone na przykładzie prostego urządzenia jakim jest "Camera Obscura" oraz punktowych źródeł światła. Obecnie postaramy się omówić pojęcie rozdzielczości w kontekście systemów LTI.

W poprzednim rozdziale dowiedzieliśmy się, że wśród urządzeń służących do obrazowania można wyróżnić niezwykle ważną klasę układów, czyli tzw. systemy LTI. W przypadku układów obrazujących LTI, rolę impulsu jednostkowego pełni punktowe lub nieskończenie wąskie i długie (liniowe) źródło światła. Każdy dwuwymiarowy obiekt można być reprezentowany jako suma punktowych źródeł światła. Z kolei model liniowego (nieskończenie długiego i wąskiego źródła światła) jest wygodny do pomiaru rozdzielczości układu. W takim przypadku rozdzielczość jest to maksymalna liczba linowych źródeł światła na jednostkę długości obrazowanego obiektu, które można rozpoznać jako oddzielne źródła fali elektromagnetycznej. Wiemy już, że układ obrazujący LTI, nie odwzoruje dokładnie rzeczywistych obiektów. Na skutek filtrowania częstości przestrzennych, obrazy obiektów punktowych czy obiektów mający charakter nieskończenie cienkich linii, zostaną rozmyte. Na rysunku <xr id="fig:fwhm">rys. %i</xr> zaprezentowano typowy znormalizowany rozkład natężenia światła emitowanego przez obiekt punktowy, po przejściu przez układ LTI. Rozkład ten ma charakter krzywej "dzwonowej". Jako miarę rozmycia obrazu obiektu punktowego przyjmuje się szerokość rozkładu w połowie jego maksymalnej wysokości (ang. ''Full Width at Half Maximum'', FWHM).

Jeśli dwa obiekty punktowe znajdują się blisko siebie, to na skutek rozmycia, mogą być trudne do rozróżnienia na obrazie utworzonym przez układ LTI. Rozdzielczość układu obrazującego zależy od bardzo wielu czynników, które sukcesywnie będą wprowadzane w trakcie poznawania kolejnych metod obrazowania. W tym rozdziale zajmiemy się najważniejszym z parametrów, to jest wielkością FWHM. Nie istnieje ściśle deterministyczny związek pomiędzy parametrem FWHM a rozdzielczością. Można jednak zauważyć, że rozdzielczość jest odwrotnie proporcjonalna do wielkości FWHM, co zaprezentowano na rysunku <xr id="fig:resolution">rys. %i</xr>.

Jak wspomniano, rozdzielczość układu obrazującego najczęściej podaje się w liniach, które można rozróżnić na mm. Mierzoną tak rozdzielczość łatwo jest określić za pomocą fantomów, wykonanych np. w przypadku promieniowania RTG z tworzyw sztucznych wewnątrz których rozmieszczone są odpowiednio elementy metalowe (np. druty).

==Kontrast. Funkcja Przenoszenia Kontrastu.==
[[Plik:global_contrast.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:global_contrast"></figure>Ilustracja pojęcia kontrastu globalnego. Na rysunku zaprezentowano przebieg jasności pewnego obrazu wzdłuż jednego z jego wymiarów. Wartość maksymalnej jasności wynosi <math>I_A = 30</math>, podczas gdy wartość minimalna <math>I_B = 5</math>. Kontrast globalny wynosi: <math>\frac{30-5}{30+5}=\frac{5}{7}</math>. Pojęcie kontrastu globalnego odnosi się zarówno do rzeczywistego obiektu jak i obrazu.]]
[[Plik:local_contrast.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:local_contrast"></figure>Ilustracja pojęcia kontrastu lokalnego. Na rysunku zaprezentowano przebieg jasności pewnego obiektu wzdłuż jednego z jego wymiarów. Wartość maksymalnej jasności wynosi <math>I_A = 5</math>, podczas gdy wartość tła <math>I_B = 1</math>. Kontrast lokalny wynosi: <math>\frac{5-1}{5}=\frac{4}{5}</math>. Pojęcie kontrastu lokalnego odnosi się zarówno do rzeczywistego obiektu jak i obrazu]]
[[Plik:ksiezyc_1.jpg|300px|thumb|right|<figure id="fig:ksiezyc_1"></figure>Zdjęcie Księżyca znajdującego się w fazie tuż po pierwszej kwadrze. Księżyc jest obiektem bardzo jasnym i doskonale wyróżnia się na tle ciemnego nieba. Wzdłuż terminatora (linii oddzielającej część oświetloną ciała niebieskiego od części nieoświetlonej) można zauważyć wyraźnie bardzo wiele szczegółów budowy powierzchniowej naszego naturalnego satelity. Obiekty te są tak dobrze widoczne, dzięki wysokiemu kontrastowi powstałemu na granicy części oświetlonej i nieoświetlonej Księżyca. Możemy powiedzieć, że na linii terminatora istnieje wysoki kontrast własny obiektu. Proszę zauważyć, iż wraz z oddalaniem się w prawo od linii terminatora zdolność zauważenia szczegółów na powierzchni Księżyca gwałtownie maleje. Zdjęcie udostępnione przez Luca Viatoura na stronach Wikimedia Commons.]]
[[Plik:ksiezyc_2.jpg|300px|thumb|right|<figure id="fig:ksiezyc_2"></figure>Zdjęcie Księżyca znajdującego się w pełni. Większość osób uważa, iż jest to najlepszy moment do obserwacji naszego naturalnego satelity. Jest to jednaj mniemanie błędne. Cała powierzchnia Księżyca jest wtedy tak silnie oświetlona promieniami słonecznymi tak że trudno jest zauważyć szczegóły w budowie jego powierzchni. Zdjęcie wykonane i udostępnione przez Luca Viatoura na stronach Wikimedia Commons. Zdjęcie wykonano przy pomocy tego samego sprzętu co zdjęcie <xr id="fig:ksiezyc_1">rys. %i</xr>.]]
[[Plik:rozdzielczosc_kontrast.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:rozdzielczosc_kontrast"></figure>Przykład zależności pomiędzy szerokością funkcji PSF a stopniem przenoszenia kontrastu. A. Obiekt jest punktowym źródłem świtała, emitującym falę elektromagnetyczną o natężeniu <math>I_1</math>. Natężenie światła <math>I_0</math> emitowanego przez otoczenie obiektu wynosi 0. B. Obiekt składa się z trzech źródeł światła, z których każde emituje falę elektromagnetyczną o natężeniu <math>I_1</math>. Natężenie światła emitowane przez otoczenie źródeł wynosi <math>I_0</math>. Tło obrazu charakteryzuje się niezerową jasnością <math>I'_0</math> co jest skutkiem rozmycia, wprowadzonego przy odwzorowaniu, obiektów punktowych przez układ obrazujący.]]
[[Plik:kontrast.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:kontrast"></figure>Wpływ wielkości obrazu oraz jego rozmycia na kontrast. Kolor biały - maksymalna jasność, kolor czarny minimalna jasność. A. Obrazem obiektu jest elipsa. Zajmuje one względnie duża powierzchnię obrazu i silnie wyróżnia się od ciemnego tła. B. Rzut obrazowanego obiektu na płaszczyznę różni się od przypadku A. tylko rozmiarem. Podobnie jak w przypadku A. następuje skokowa zmiana jasność na brzegach obiektu. Pomimo tego, odczuwamy, iż obrazowany obiekt słabiej wyróżnia się od tła niż ma to miejsce w przypadku A. C. Rzut obrazowanego obiektu na płaszczyznę ma ten sam kształt co w przypadku A, jednakże nie następuje skokowa zmiana jasności na brzegach obiektu - obraz jest rozmyty. Sprawia to wrażenie iż uzyskany kontrast jest mniejszy niż w przypadku A. D. Obraz składający się z jasnych linii, których liczba jednostkę długości rośnie. Najwyższy kontrast odczuwamy dla niewielkiej liczby na jednostkę długości. Wraz ze wzrostem liczby linii na jednostkę długości (w kierunku od lewej do prawej części rysunku) odczuwamy wrażenie spadku kontrastu.]]
[[Plik:kontrast_rozdzielczosc.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:kontrast_rozdzielczosc"></figure>Zależność percepowanej rozdzielczości obrazu od jego kontrastu. W pierwszym wierszu znajduje się obiekt (A) oraz przebieg jego jasności wzdłuż osi ''X''. W Wierszu drugim zaprezentowano obraz obiektu (C) oraz przebieg jasności na obrazie (D) wzdłuż osi ''X''. W trzecim i czwartym wierszu zaprezentowano kolejne dwa obrazy (E) i (G) wytworzone przez układy obrazujące o coraz gorszej funkcji przenoszenia kontrastu. Na rysunkach (F) i (H) pokazano przebieg jasności wzdłuż osi ''X''. Jak można zauważyć, wraz z pogarszającym się kontrastem obiektu coraz trudniej jest rozróżnić na obrazie linie z których składa się obiekt.]]
[[Plik:ctf.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:ctf"></figure> A i B - przebieg funkcji CTF dla dwóch układów obrazujących. Czerwona pozioma linia określa poziom przenoszenia kontrastu 3%. W przypadku układu obrazującego, którego funkcję CTF zaprezentowano na rysunku A, przenoszenie kontrastu maleje do wartości 3% dla 27 linii na jednostkę długości. Układ obrazujący, którego wykres funkcji CTF zaprezentowano na rysunku A, charakteryzuje się gorszym przenoszeniem kontrastu, który spada do wartości 3% już dla 9 linii na jednostkę długości. W związku z powyższym układ A charakteryzuje się lepszą rozdzielczością przestrzenną.]]

Na początku podręcznika zdefiniowaliśmy obraz jako odwzorowanie pewnej cechy obiektu na płaszczyznę. Aby interesujący nas obiekt można było rozpoznać na na obrazie, musi się on różnić pod względem intensywności odwzorowywanej cechy od innych obiektów i tła. Różnicę w natężeniu cechy danego obiektem oraz natężeniu cechy innych przedmiotów lub tła nazywamy kontrastem. Wyróżnia się przy tym pojęcie kontrastu dla rzeczywistych przedmiotów, który nazywamy kontrastem własnym obiektu. Jeśli interesujący nas obiekt charakteryzuje się bardzo niskim kontrastem własnym, zauważenie na nim jakiś szczegółów jest niemożliwe nawet przy użyciu bardzo wysokiej klasy aparatury obrazującej (patrz <xr id="fig:ksiezyc_1">rys. %i</xr> i <xr id="fig:ksiezyc_2">rys. %i</xr>). Pojęcie kontrastu nie jest w pełni ujednolicone i istnieją różne sposoby jego obliczania. Najczęściej podaje się
* Kontrast globalny.
<equation id="eq:kontrast_globalny">
<math> C = \frac{I_A - I_B}{I_A + I_B} </math>
</equation>
:gdzie (patrz <xr id="fig:global_contrast">rys. %i</xr>): 
:<math>I_A</math> — maksymalna intensywność cechy fizycznej (np. natężenia światła) w interesującym nas obszarze przestrzeni lub obrazu. 
:<math>I_B</math> — minimalna intensywność cechy fizycznej (np. natężenia światła) w interesującym nas obszarze przestrzeni lub obrazu.
* Kontrast lokalny
<equation id="eq:kontrast_lokalny">
<math>C = \frac{I_A - I_B}{I_B}</math>
</equation>
:gdzie (patrz <xr id="fig:local_contrast">rys. %i</xr>): 
:<math>I_A</math> — intensywność cechy fizycznej (np. natężenia światła), interesującego nas obiektu rzeczywistego lub jego odwzorowania na obrazie. 
:<math>I_B</math> — intensywność cechy fizycznej (np. natężenia światła) otoczenia (tła) interesującego nas obiektu rzeczywistego lub jego odwzorowania na obrazie.
* Stosunek Kontrastu do Szumu (ang. ''Contrast To Noise Ratio'', CNR).
<equation id="eq:kontrast_snr">
<math>C = \frac{I_A - I_B}{\sigma}</math>
</equation>
:gdzie: 
:<math>I_A, I_B</math> — intensywność cechy fizycznej (np. natężenia światła), dwóch interesujących nas obiektów lub ich odwzorowania na obrazie. 
:<math>\sigma^2</math> — wariancja szumu.

Postrzegany przez nas kontrast zależy od bardzo wielu czynników, m.in. od rozmiarów obiektu i rozmycia jego brzegów. Istotną wpływ ma także szerokość funkcji PSF co zaprezentowano na <xr id="fig:rozdzielczosc_kontrast">rys. %i</xr>. W przypadku <xr id="fig:rozdzielczosc_kontrast">rys. %i</xr>.A lokalny kontrast własny obiektu wynosi: <math>C = \frac{I_1 - 0}{0} = \infty</math>. Urządzenie diagnostyczne utworzyło rozmyty obraz punktowego źródła światła, o maksymalnym natężeniu światła <math>I_1'<I_1</math> i natężeniu tła wnoszącym <math>I_0'=0</math>. Kontrast lokalny obrazu jest nadal wysoki, ponieważ <math>C = \frac{I'_1 - 0}{0} = \infty</math>, jednak z uwagi na rozmycie brzegów obiektu, obserwator stwierdzi, że kontrast obrazu jest niższy niż kontrast obiektu, co zaprezentowano na <xr id="fig:kontrast">rys. %i</xr>.
W przypadku <xr id="fig:rozdzielczosc_kontrast">rys. %i</xr>.B obiekt składa się z trzech źródeł punktowych o kontraście lokalnym dążącym do nieskończoności. W wyniku rozmycia wprowadzonego przez urządzenie diagnostyczne, obrazy poszczególnych źródeł punktowych nakładają się na siebie. Natężenie światła tła na obrazie jest niezerowe, w związku z czym lokalny kontrast <math>C = \frac{I'_1 - I'_0}{I'_0}</math> osiąga wartość skończoną. 
Systemy obrazujące powinny jak najwierniej odwzorowywać kontrast rzeczywistych obiektów. Na skutek niedoskonałości poszczególnych elementów układu obrazującego kontrast własny obiektu jest zniekształcony na obrazie (zwykle kontrast ulega zmniejszeniu). Przykładowo, standardowe soczewki działają jak filtry dolnoprzepustowe. Usuniecie z obrazu wysokich częstości przestrzennych, które odpowiedzialne są za odtwarzanie szczegółów obiektu, powoduje rozmycie jego krawędzi co jak wiemy (patrz <xr id="fig:kontrast">rys. %i</xr>) skutkuje w obniżeniu kontrastu. Funkcją, za pomocą której opisuje się wpływ elementu układu obrazującego na kontrast jest "Funkcja Przenoszenia Kontrastu"(ang. ''Contrast Transfer Function'', CTF). CTF to stosunek kontrastu na wyjściu układu obrazującego do kontrastu na wejściu tego układu, obliczany dla zadanej linii na jednostkę długości.
<equation id="eq:CTF">
<math>CTF = \frac{C_{wy}\left(\frac{linie}{mm}\right)}{C_{wej}\left(\frac{linie}{mm}\right)}\times100%</math>
</equation>
gdzie: 
<math>C_{wy}\left(\frac{linie}{mm}\right)</math> — kontrast na wyjściu układu obrazującego, uzyskany dla danej rozdzielczości. 
<math>C_{we}\left(\frac{linie}{mm}\right)</math> — kontrast na wejściu układu obrazującego, uzyskany dla danej rozdzielczości.

Funkcja Przenoszenia Kontrastu nie osiąga wartości wyższej niż 100% (układy obrazujące mogą zmniejszyć kontrast a nie go poprawić) oraz maleje wraz ze wzrostem z liczbą linii na jednostkę długości. Przykład wykresu funkcji CTF zaprezentowano na rysunku <xr id="fig:ctf">rys. %i</xr>. W oparciu o krzywą CTF można zdefiniować rozdzielczość układu obrazującego.

<blockquote>''Rozdzielczość układu obrazującego jest to taka liczba linii na jednostkę długości dla której kontrast spada poniżej pewnej ustalonej wartości. Zwykle graniczna wartość kontrastu ustalona jest na poziomie 3%''.</blockquote>

Powyższy sposób określania rozdzielczości układu obrazującego ma następujące uzasadnienie. Kontrast z definicji to różnica w intensywności odwzorowywanej cechy poszczególnych elementów obrazowanej przestrzeni lub obrazu. Jeśli układ obrazujący, na skutek swoich wad, pomniejsza tę różnicę, obiekty są coraz trudniej odróżnialne, zwłaszcza jeśli znajdują się w niewielkiej od siebie odległości. Jeśli kontrast własny obiektu zostanie zmniejszony przez układ obrazujący do pewnej, bardzo niskiej wartości, dwa obiekty położone blisko siebie przestaną być rozróżnialne. Efekt ten zaprezentowano na <xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc">rys. %i</xr>, na którym rzeczywisty obiekt składa się z periodycznie powtarzających się jasnych i ciemnych pionowych linii (<xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.A</xr>). Na rysunku (<xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.B</xr>) pokazano przebieg jasności obiektu wzdłuż osi poziomej. Jak można zauważyć, globalny kontrast obiektu wynosi:
:<math> C = \frac{3.0-2.0}{3.0+2.0} = 0.2</math>.
Na <xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.C</xr> i <xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.D</xr> zaprezentowano - odpowiednio: odwzorowanie obiektu zaprezentowanego na <xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.A</xr> za pomocą układu LTI oraz przebieg jasności światła wzdłuż osi poziomej na obrazie obiektu. Jak można zauważyć, układ LTI odfiltrował wysokie częstotliwości przestrzenne, co doprowadziło do rozmycia brzegów linii. Kontrast uzyskany na obrazie (<xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.D</xr>) wynosi: ''C = 0.185''. Układ LTI odwzorował zatem około 92% (0.185/0.2 x 100) kontrastu własnego rzeczywistego obiektu. Na <xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.E</xr> i <xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.F</xr> zaprezentowano obraz obiektu z <xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.A</xr> otrzymany za pomocą kolejnego układu LTI oraz przebieg jasności światła wzdłuż osi poziomej na obrazie. Zastosowany układ obrazujący znacznie silniej odfiltrował wysokie częstości przestrzenne niż poprzedni system. Kontrast uzyskany na obrazie (<xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.D</xr>) wynosi: ''C'' = 0.155. Układ LTI odwzorował zatem około 77% kontrastu własnego rzeczywistego obiektu. Zaprezentowany na rysunku <xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.G</xr> obraz obiektu z <xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.A</xr> charakteryzuje się największym rozmyciem brzegów linii i najgorszym kontrastem. Pionowe linie są trudne do odróżnienia od tła. Jak można zauważyć na <xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.H</xr>, kontrast obiektu jest bardzo niski i wynosi ''C'' = 6%. Zastosowany układ LTI przeniósł zatem jedynie 3% kontrastu własnego rzeczywistego obiektu.

==Modulacja. Funkcja przenoszenia Modulacji.==

[[Plik:modulation_depth.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:modulation_depth"></figure>Ilustracja pojęcia głębokości modulacji. Na rysunku zaprezentowano zmiany jasności obiektu wzdłuż jednego z jego wymiarów. Izolinia jasności przebiega dla wartości <math>A = 5</math>. Amplituda zmian wartości wokół izolinii wynosi <math>B=2</math>. Głębokość modulacji jest równa <math>m=\frac{B}{A}=\frac{2}{5}</math>.]]

Główną zaletą opisanej w poprzednim rozdziale Funkcji Przenoszenia Kontrastu jest prostota jej wyznaczenia. Do tego celu można wykorzystać odpowiednie przygotowane fantomy. Niestety, funkcja ta posiada również pewne wady:
* Przenoszenie kontrastu wyznaczane jest w funkcji linii na jednostkę długości. Rzeczywiste obiekty (zwłaszcza tkanki z jakich składa się organizm) rzadko jednak składają się z linii.
* Systemy obrazujące składają się z bardzo wielu elementów, które niejednokrotnie można opisać przy pomocy formalizmu systemów LTI.

Przykładowo, głównymi elementami odpowiedzialnymi za utworzenie obrazu w aparacie fotograficznym jest obiektyw oraz film (lub matryca CCD). Obiektyw składa się zwykle z wielu soczewek. Załóżmy, że każda z soczewek film lub matryca CCD, funkcjonuje jak układ LTI. Nawet jeśli znamy przebieg funkcji CTF dla każdego z tych elementów, to nie można na tej podstawie przewidzieć wielkości kontrastu uzyskanego na obrazie. Taką informację otrzyma się dopiero badając układ obrazujący jako całość.
 
W celu dogodniejszego opisu właściwości urządzenia obrazującego została wprowadzona tzw. Funkcja Przenoszenia Modulacji (ang. ''Modulation Transfer Function'', MTF). Omówienie tej funkcji zaczniemy od przypomnienia pojęcia głębokości modulacji. Załóżmy, iż zmiany jasności pewnego obiektu zachodzą wzdłuż jednego z jego boków z częstością ''u''. Amplituda zmian jasności, wokół pewnego stałego poziomu ''A'', wynosi ''B''. Zmiany jasności obiektu, które wyraża następujący wzór:
<equation id="17"><math>
f(x,y) = A + B\sin(2\pi ux),
</math></equation>
zaprezentowano na rys <xr id="fig:modulation_depth">rys. %i</xr>.
Współczynnik głębokości modulacji to wielkość, która określa zmiany pewnego parametru względem pewnej stałej wartości. Jak widzimy na rys <xr id="fig:modulation_depth">rys. %i</xr> zmiany jasności obiektu osiągają amplitudę ''B'' względem pewnego poziomu jasności ''A''. W takim przypadku współczynnik głębokości modulacji określa poniższy wzór:
<equation id="18"><math>
m = \frac{B}{A}.
</math></equation>
Wykonajmy teraz obraz obiektu za pomocą układu LTI. Przypominamy, że układ LTI może zmieniać amplitudę i fazę poszczególnych częstości przestrzennych. W związku z tym, na wyjściu układu otrzymamy obraz <math>g(x,y)</math>, którego zmiany jasności będą opisane wzorem:
<equation id="19"><math>
g(x,y) = C + D\sin(2\pi ux),
</math></equation>
natomiast współczynnik modulacji wyniesie:
<equation id="20"><math>
m = \frac{D}{C}.
</math></equation>
Możemy zbadać teraz, jak układ LTI przeniósł współczynnik głębokości modulacji w następujący sposób:

<equation id="21"><math>
H = \frac{\frac{D}{C}}{\frac{B}{A}} = \frac{D\cdot A}{C\cdot B}.
</math></equation>

Im wartość współczynnika ‘‘H’’ jest bliższa jedności, tym układ LTI wiernej odwzorował na obrazie zmiany zachodzące w jasności obiektu. 
Zmiany w jasności, czy też innych cechach rzeczywistych obiektów są jednak znacznie bardziej skomplikowane niż powyższy przykład.
Jednakże, zarówno rzeczywiste obiekty, jak też ich obrazy, możemy przedstawić jako szereg harmonicznych oscylacji przestrzennych. Załóżmy, iż obiekt, zmiany jasności opisuje funkcja <math>f(x,y)</math> oraz jego obraz <math>g(x,y)</math> rozłożyliśmy na Szereg Fouriera:
<equation id="22">
<math>
\begin{array}{l}
f(x,y) = A + \sum_i\sum_jB_{ij}\sin(2\pi u_ix+2\pi v_jy) \\
\\
g(x,y) = C + \sum_i\sum_jD_{ij}\sin(2\pi u_ix+2\pi v_jy) \\
\end{array}
</math>
</equation>
gdzie: 
<math>x, y</math> - współrzędne przestrzenne, 
<math>u_i, v_j</math> - ''i''-ta oraz ''j-ta'' częstości przestrzenna, 
<math>A, B_{ij}, C, D_{ij}</math> - amplitudy poszczególnych składowych harmonicznych. 

Niech obiekt ''f(x,y)'' o widmie ''F(u,v)'' zostanie odwzorowany za pomocą układu LTI na obrazie <math>g(x,y)</math> o widmie <math>G(u,v)</math>. Układ LTI scharakteryzowany jest przy pomocy funkcji odpowiedzi impulsowej ''h(x,y)'' o widmie <math>H(u,v)</math>. Z własności układów LTI wiemy, iż pomiędzy stanem wejściowym (obrazowanym obiektem) a wyjściem (obrazem) istnieje następujący związek:
<equation id="23">
<math> G(u,v) = H(u,v)F(u,v)</math>
</equation>
Przypominamy również, że moduł Transformaty Fouriera odpowiada amplitudzie danej składowej harmonicznej, w związku z czym możemy zapisać:
<equation id ="24">
<math>
\begin{array}{l}
A = |F(u_0,v_0)| \\
\\
B_{ij} = |F(u_i,v_j)| \\
\\
C = |G(u_0,v_0)| \\
\\
D_{ij} = |G(u_i,v_j)| \\
\\
|H_{ij}| = \frac{|G(u_i,v_j)|}{|F(u_i,v_j)|} = \frac{D_{ij}}{B_{ij}}
\end{array}
</math>
</equation>
Korzystając z powyższych zależności możemy zapisać:
<equation id="25">
<math> g(x,y) = H(0,0)A + \sum_i\sum_jH(u_i,v_j)B_{ij}\sin(2\pi u_ix+2\pi v_jy) </math>
</equation>
W przypadku obiektu złożonego z wielu składowych harmonicznych, głębokość modulacji może być inna dla każdej częstości przestrzennej:
<equation id="26">
<math>m_{u_i,v_j} = \frac{B_{ij}}{A}</math>
</equation>
Zauważmy teraz, iż głębokość modulacji <math>m^g_{u_i,v_j}</math> obrazu ''g(x,y)'' można wyrazić w następujący sposób:
<equation id="27">
<math> m^g_{u_i,v_j} = \frac{|H(u_i,v_j)|B_{ij}}{|H(0,0)|A}</math>
</equation>
Zbadajmy teraz, jak głębokość modulacji <math>m^f_{u_i,v_j}</math> rzeczywistego obiektu została odwzorowana na obrazie. Głębokość modulacji obrazu oznaczmy <math>m^g_{u_i,v_j}</math>
<equation id="28">
<math>\frac{m^g_{u_i,v_j}}{m^f_{u_i,v_j}} = \frac{|H(u_i,v_j)|B_{ij}}{|H(0,0)|A}\frac{A}{B_{ij}} = \frac{|H(u_i,v_j)|}{|H(0,0)|}</math>
</equation>
Wielkość opisującą stosunek głębokości modulacji dla zadanych częstości przestrzennych w obrazie, do głębokości modulacji dla tych samych częstości przestrzennych w rzeczywistym obiekcie nazywamy Funkcją Przenoszenia Modulacji (MTF):
<equation id="29">
<math> MTF(u_i,v_j) = \frac{|H(u_i,v_j)|}{|H(0,0)|}</math>
</equation>
Funkcję MTF układu LTI można w w łatwy sposób wyznaczyć, jeśli znamy widmo odpowiedzi tego systemu na impuls jednostkowy.

===Funkcja Przenoszenia Modulacji a rozdzielczość przestrzenna.===
[[Plik:mtf_kontrast.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:mtf_kontrast"></figure> A. Przykład odwzorowania obiektu, którego jasność można wyrazić wzorem (<xr id="eq:eq1"> %i</xr>). B. Przebieg jasności obiektu, zaprezentowanego na rysunku A. wzdłuż osi poziomej.]]
Linie x ft.png
Obiekt zaprezentowany na <xr id="fig:mtf_kontrast">rys. %i</xr> może zostać opisany za pomocą jednej funkcji harmonicznej biegnącej wzdłuż osi ''X'':
<equation id="30">
<math>
f(x,y) = A_0 + B_0\sin(2\pi u_0 x)
</math>
</equation>
gdzie: <math>u_0=32\frac{\textrm{1}}{\textrm{m}}</math>. 
Maksima funkcji harmonicznej tworzą pionowe jasne linie. Odległość pomiędzy tymi liniami <math>\Delta x</math> jest odwrotnością częstości przestrzennej funkcji harmonicznej <math>u_0</math>:
<equation id="31">
<math> \Delta x = \frac{1}{u_0}</math>
</equation>
Obraz ''g(x,y)'' obiektu ''f(x,y)'' może być rozłożony na składowe harmoniczne w następujący sposób:
<equation id="32">
<math>
g(x,y) = C + D_0\sin(2\pi u_0 x)
</math>
</equation>
Związek pomiędzy składowymi harmonicznymi obrazu ''g(x,y)'' na wyjściu układu LTI, a składowymi harmonicznymi rzeczywistego obiektu ''f(x,y)'' na wejściu tego układu, wyraża poniższa zależność
<equation id="33">
<math>
\begin{array}{l}
g(x,y) = H(0,0)A + H(u_0,0)B_0\sin(2\pi u_0 x) = \\
\\
H(0,0)A + MTF(u_0,0)B_0H(0,0)\sin(2\pi u_0 x) = \\
\\
H(0,0)(A + MTF(u_0,0)B_0\sin(2\pi u_0 x))
\end{array}
</math>
</equation>
gdzie: ''MTF'' jest funkcja przenoszenia modulacji charakterystyczną dla zadanego systemu LTI.
Jeśli dla danej częstości przestrzennej <math>u_0</math>, funkcja przenoszenia modulacji <math>MTF(u_0,0)</math> osiąga wartość bliską 0, częstość ta nie zostanie odwzorowana na obrazie. W związku z tym niemożliwe będzie rozróżnienie szczegółów znajdujących się bliżej niż <math>\Delta x = \frac{1}{u_0}</math>. W praktyce przyjmuje się, że graniczna rozdzielczość przestrzenna układu obrazującego osiągana jest dla częstości, dla której wartość funkcji przenoszenia modulacji wynosi 0.03.

===Funkcja Przenoszenia Modulacji a przenoszenie kontrastu.===
Na początku rozpatrzmy następujący przykład. Zamierzamy odwzorować cechę pewnego obiektu, jaką jest rozkład jego jasności. Ponadto zmiany jasności obiektu ''f(x,y)'' można opisać za pomocą jednej funkcji harmonicznej:
<equation id="eq:eq1">
<math> f(x,y) = A + B\sin(2\pi u_0 x)
</math></equation>
Obiekt taki zaprezentowano na <xr id="fig:mtf_kontrast">rys. %i</xr>, w przypadku którym ''A'' = 3, ''B''=1. Przyjęte założenia mają na celu uprościć pewne przekształcenia matematyczne, nie wpłyną jednak na końcowe wnioski jakie uzyskamy w niniejszym przykładzie.
Zdefiniujmy teraz kontrast globalny w następujący sposób:
<equation id="eq:eq2"><math>
C = \frac{A_{\max}-A_{\min}}{A_{\max}+A_{\min}}</math></equation>
gdzie: 
<math> A_{\max}, A_{\min}</math> to odpowiednio maksymalna i minimalna amplituda zmian obserwowana w sygnale. 
Obliczmy kontrast globalny obiektu opisanego wzorem (<xr id="eq:eq2"> %i</xr>):
<equation id="34"><math>C = \frac{A + B - (A - B)}{A + B + (A - B)} = \frac{B}{A}</math></equation>
Jak możemy zauważyć, uzyskany kontrast jest tożsamy z głębokością modulacji sygnału harmonicznego, który wynosi:
<equation id="35"><math>m = \frac{B}{A}</math></equation>
Modulacja sygnału jest wielkością, której przenoszenie przez układ LTI opisuje funkcja MTF.
Doszliśmy zatem do wniosku, iż funkcja MTF pośrednio opisuje przenoszenie kontrastu zawartego w sygnale przez układ LTI.

===Funkcja MTF złożonych układów obrazowania===
[[Plik:lti_mtf.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:lti_mtf"></figure>Układ obrazowania składający się z kilku systemów LTI.]]

Układu wykorzystywane w obrazowaniu medycznych są zbudowane z bardzo wielu elementów (źródeł promieniowania, układów formujących wiązki promieniowania, detektorów, itd.), które mają wpływ na uzyskiwany obraz. Nawet w budowie zwykłego aparatu fotograficznego możemy wyróżnić kilka podzespołów, takich jak obiektyw oraz detektor promieniowania (film lub matrycę CCD). Obiektyw z kolei złożony jest najczęściej z przesłony i kilku soczewek, których działanie może być opisane w formalizmie systemów LTI. Czy znając funkcję MTF dla każdego z elementów układu obrazującego jesteśmy w stanie coś wywnioskować na temat jakości obrazu uzyskanego przez cały układ obrazujący? Okazuje się że tak. Załóżmy, że nasz system obrazujący składa się z ''N'' bloków (czarnych skrzynek), z których każda może być opisana jako układ LTI. Schemat takiego urządzenia zaprezentowano na <xr id="fig:lti_mtf">rys. %i</xr>.
Właściwości każdego z elementów układu obrazującego w dziedzinie częstości przestrzennych opisane są przy pomocy funkcji przejścia <math>H_i(u,v)</math>, gdzie ''u'',''v'' to częstości przestrzenne. Na wejściu układu obrazującego podawany jest sygnał o widmie <math>F(u,v)</math>. Trafia on jednocześnie na wejście pierwszego układu LTI. Na wyjściu pierwszego układu LTI sygnał będzie miał postać:
<equation id="36"><math>G_1(u,v) = H_1(u,v)\cdot F(u,v)</math></equation>
Sygnał wyjściowy z pierwszego układu LTI jest sygnałem wejściowym dla kolejnego układu. W związku z tym, na wyjściu drugiego układu LTI pojawi sygnał:
<equation id="37"><math>G_2(u,v) = H_2(u,v)\cdot G_1(u,v) = H_2(u,v)\cdot H_1(u,v)\cdot F(u,v)</math></equation>
Ostatecznie, po przejściu przez ''N'' układów LTI, na wyjściu układu obrazującego uzyskamy sygnał:
<equation id="eq:lti_mtf"><math>G(u,v) = H_2(u,v)\cdot G_1(u,v) = H_N(u,v)\cdot \ldots \cdot H_2(u,v)\cdot H_1(u,v)\cdot F(u,v)</math></equation>
Dla całego układu obrazującego możemy zatem zdefiniować następująca funkcję przejścia:
<equation id="38"><math>H(u,v) = H_2(u,v)\cdot G_1(u,v) = H_N(u,v)\cdot \ldots \cdot H_2(u,v)\cdot H_1(u,v) </math></equation>
i wyznaczyć funkcję MTF tego układu:
<equation id="39"><math>MTF(u,v) = \frac{|H(u,v)|}{H(0,0)} </math></equation>
Funkcję MTF można również wyznaczyć znając przebieg funkcji przenoszenia modulacji <math>MTF_i(u,v) = \frac{H_1(u,v)}{ H_1(0,0)}</math> każdego systemu LTI wchodzącego w skład układu obrazującego, co wynika ze wzoru (<xr id="eq:lti_mtf"> %i</xr>):
<equation id="40"><math>MTF(u,v) = MTF_1(u,v)\cdot MTF_2(u,v)\cdot \ldots \cdot MTF_N(u,v)</math></equation>

===Zalety Funkcji MTF===
* Na podstawie przebiegu funkcji MTF można określić graniczną rozdzielczość układu obrazującego. Im lepiej układ LTI przenosi głębokość modulacji sygnału wejściowego dla wysokich częstości przestrzennych, tym lepsza będzie rozdzielczość otrzymywanego na wyjściu obrazu.
* Na podstawie przebiegu funkcji MTF można określić jak układ LTI odwzorowuje kontrast zawarty w sygnale wejściowym.
* Znając przebieg funkcji MTF dla poszczególnych składowych układu obrazującego można estymować funkcję MTF dla całego układu i przewidzieć jego właściwości.

===Wyznaczanie funkcji MTF na przykładzie Kamery Otworkowej===
[[File:bessel_1.png|350px|thumb|<figure id="bessel_1"/> Po prawo – rozkład natężenia punktowego źródła światła. Po lewo funkcja PSF Kamery Otworkowej, czyli obraz uzyskany w efekcie pobudzenia punktowym źródłem światła.]]
[[File:bessel_2.png|350px|thumb|<figure id="bessel_2"/>Po lewo funkcja OTF Kamery Otworkowej. Po prawo – wykres funkcji MTF wzdłuż jednego z wymiarów, w płaszczyźnie przechodzącej przez środek obrazu. Pionowymi czerwonymi liniami oznaczono pierwsze miejsce zerowe funkcji MTF (umownie graniczną rozdzielczość Kamery Otworkowej.]]

Przypominamy na początku, że działanie systemu obrazującego o własnościach układu LTI można opisać następującym wzorem:
<equation id="41">
<math>v(x,y)=\int\limits_{-\infty}^\infty\int\limits_{-\infty}^\infty g(\tau_x,\tau_y)h(x - \tau_x,y-\tau_y)d\tau_xd\tau_y</math>
</equation>
gdzie:
<ul>
<li> ''*'' oznacza operację splotu,
<li> g(x,y) – reprezentacja obiektu na wejściu układu obrazującego,
<li> g(x,y) – reprezentacja obiektu na wyjściu układu obrazującego,
<li> h(x,y) – odpowiedź układu obrazującego na pobudzenie punktowym źródłem światła.
</ul>
Funkcję <math>h(x,y)</math> nazywamy punktową funkcja rozproszenia (ang. ''Point Spread Function'',PSF). Transformatę Fouriera <math> OTF(u,v)</math> funkcji PSF:
<equation id="41"><math>
OTF(u,v) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}h(x,y) e^{-2\pi i(ux + vy)}dxdy
</math></equation>

nazywamy optyczną funkcją przenoszenia (ang. ''Optical Transfer Function'',OTF). Funkcję OTF tę można zapisać w następujący sposób:

<equation id="42"><math>
OTF(u,v) = |OTF|e^{-i\phi(u,v)}
</math></equation>
gdzie: <math>\phi(u,v) = \arg(OTF(u,v))</math>.

Moduł Transformaty Fouriera funkcji PSF, znormalizowany w ten sposób, aby
<math>|OTF(0,0)| = 1</math> nazywamy funkcją przenoszenia modulacji:
<equation id="43"><math>
MTF(u,v) = \frac{|OTF(u,v)|}{|OTF(0,0)|}
</math></equation>
z kolei argument funkcji OTF nazywamy funkcją przenoszenia fazy (ang. ''Phase Transfer Function'',PTF):
<equation id="44"><math>
PTF(u,v) = \arg(OTF(u,v))
</math></equation>

===Przykład wyznaczenia funkcji MTF dla Kamery Otworkowej===
Obrazem punktowego źródła światła, znajdującego się w nieskończonej odległości od kamery otworkowej jest krążek o średnicy ''d'' równej średnicy obiektywu (otworka) kamery i równomiernym rozkładzie natężenia światła ''A'', który możemy opisać następującym wzorem:

<equation id="45"><math>
PSF(x,y) = \left\{\begin{array}{l}
A, \textrm{\ dla\ } \sqrt{x^2 + y^2} \leq d\\
\\
0, \textrm{\ dla\ } \sqrt{x^2 + y^2}>d
\end{array}\right.
</math></equation>

Rozkład natężenia światła emitowanego z punktowego źródła oraz jego obraz (funkcję PSF) zaprezentowano na <xr id="bessel_1">rys. %i</xr>.
Transformata Fouriera funkcji PSF(x,y) wynosi:

<equation id="46"><math>
OTF(u,v) = FFT(PSF(x,y)) = \frac{J_1(2\pi d\rho)}{ 2\pi d\rho }
</math></equation>
gdzie:
<ul>
<li> <math>J_1(\cdot)</math> — to funkcja Bessla pierwszego rodzaju, rzędu pierwszego,
<li> <math>\rho=\sqrt{u^2 + v^2}</math>,
<li> <math>u,v</math> — częstości przestrzenne.
</ul>
Funkcja przenoszenia modulacji – MTF, to moduł znormalizowanej funkcji OTF. Wartość funkcji OTF w punkcie <math>(0,0)</math> wynosi <math>\frac{1}{2}</math>, w związku z czym funkcja MTF jest równa:
<equation id="47"><math>
MTF(u,v) = 2\cdot|OTF(u,v)| = 2\frac{J_1(2\pi d\rho)}{ 2\pi d\rho}
</math></equation>

Wykres funkcji OTF oraz MTF zaprezentowano na <xr id="bessel_2">rys. %i</xr>.
Funkcja MTF osiąga pierwsze miejsce zerowe dla argumentu równego
<equation id="48"><math>
\rho_g = \frac{0.61}{d}
</math></equation>

Wielkość <math>\rho_g</math> to górna granica pasma częstości przestrzennych przenoszonych przez Kamerę Otworkową.

Obrazowanie:Obrazowanie Medyczne/Podstawowe Parametry Obrazów

2015-09-28T19:35:51Z

Rkus:

Podstawowe Parametry Obrazów
[[Plik:camera_obscura_1.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:camera_obscura_1"></figure>Schemat urządzenia ''Camera Obscura''. Urządzenie składa się z wyczernionego wewnątrz pudełka, co ma zapobiec powstawaniu odbić światła od ścianek. Światło ze źródła ''S'', znajdującego się w odległości ''x'' od przedniej ścianki urządzenia rozchodzi się po liniach prostych i pada na otwór o średnicy ''d''. W odległości ''y''od otworu znajduje się ekran na którym powstaje obraz.]]
[[Plik:camera_obscura_2.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:camera_obscura_2"></figure>Tworzenie obrazu dwóch punktowych źródeł światła prze kamerę otworkową.]]
Zanim omówimy podstawowe parametry obrazów uzyskiwanych w diagnostyce medycznej, spróbujemy określić pojęcie obrazu. Każdy z nas zapewne widział wielokrotnie zdjęcie fotograficzne. Jeszcze do niedawana zdjęcia takie było wykonywane przy pomocy aparatu fotograficznego wyposażonego w obiektyw i kliszę fotograficzną, która pełniła rolę detektora światła. Współczesne aparaty fotograficzne zamiast kliszy posiadają matrycę CCD (ang. ''Charge Coupled Device'', CCD). Zarówno w przypadku analogowych, jak i cyfrowych aparatów, zdjęcie fotograficzne powstaje w efekcie naświetlania detektora przez wiązkę światła emitowanego lub odbijanego przez fotografowany obiekt. Zdolność do emisji lub odbijania światła jest pewną cechą obiektu. Możemy zatem stwierdzić, że obraz to odwzorowanie pewnej cechy obiektu przestrzeni trójwymiarowej na płaszczyznę. W przypadku obrazowania medycznego cechą obiektów może być:
* Liniowy współczynnik osłabienia promieniowania Rentgenowskiego (Radiografia Rentgenowska, Rentgenowska Tomografia Komputerowa).
* Rozkład radionuklidu promieniotwórczego (Obrazowanie Nuklearne).
* Gęstość protonów (MRI).
Komputerowe przetwarzanie obrazów jest możliwe tylko dla obrazów cyfrowych, to jest skwantowanych ([1]) i dyskretnych ([2]). Pojedynczy element obrazu cyfrowego nazywamy pikselem. Naturalnym sposobem matematycznej reprezentacji takiego obrazu jest dwuwymiarowa macierz. Każdy element macierzy odpowiada pojedynczemu pikselowi i zawiera liczbę określającą cechę obrazowanego obiektu. Jeśli obraz uzyskujemy za pomocą detektorów analogowych (np. błony fotograficznej), zawsze możemy go zamienić na postać cyfrową za pomocą przetworników analogowo – cyfrowych ([3]).

Obrazy uzyskiwane na potrzeby diagnostyki medycznej muszą charakteryzować się odpowiednią jakością. Do najważniejszych parametrów obrazu należą:
*rozdzielczość,
*kontrast.
Pojęcia te omówimy analizując działanie najstarszego i najprostszego urządzenia optycznego jakim jest ''Camera Obscura'' (patrz <xr id="fig:camera_obscura_1">rys. %i</xr>).

==Camera Obscura==

''Camera Obscura'' to urządzenie optyczne składające się z wyczernionego wewnątrz pudełka oraz małego otworu (pełniącego rolę obiektywu), który znajduje się w jednej ze ścian pudełka. Nazwa urządzenia w bezpośrednim tłumaczeniu z języka łacińskiego oznacza ciemną komnatę i jest nieprzypadkowa. Na przestrzeni dziejów, duże, ciemne pomieszczenia z otworem w okiennicach lub dachu służyły to uzyskiwania obrazów różnych obiektów, np. Johannes Kepler wykorzystywał do obserwacji plam słonecznych katedrę w Ratyzbonie, z wykonanym w jej dachu małym otworem. W języku angielskim ''Camera Obscura'' nazywana jest również kamerą otworkową (''pinhole camera''). Pomimo swojej prostoty, kamera otworkowa jest niezwykle interesującym urządzeniem, które obecnie nadal wykorzystuje się w fotografii artystycznej (pierwsze aparaty fotograficzne były właśnie ''Camerami Obscura'', dopiero później w miejsce otworu wstawiono soczewkę). 

===Rozdzielczość===
Rozdzielczość układu obrazującego to jego zdolność do zobrazowania dwóch punktowych źródeł światła, znajdujących się w określonej odległości od siebie, jako dwóch oddzielnych obiektów. Powyższa definicja zawiera pojęcie odległości pomiędzy dwoma punktowymi źródłami fali elektromagnetycznej. Jest to jak najbardziej uzasadnione, ponieważ obiekty rzeczywiste (rozciągłe w przestrzeni, emitujące lub odbijające światło), można traktować jako złożenie wielu punktowych źródeł. W przypadku kamery otworkowej, obraz punktowego źródła światła wyznaczymy w oparciu o prawa optyki geometrycznej. Ich podstawowym założeniem jest rozchodzenie się światła w postaci wiązki promieni. W ośrodku jednorodnym promienie te biegną prostoliniowo. Korzystając z tych założeń widzimy, że obrazem punktowego źródła światła na ekranie ''Camera Obscura'' jest krążek o średnicy:
<equation id="1"><math>
|O'O| = \frac{d(x+y)}{x}
</math></equation>
jeśli punktowe źródło światła znajduje się bardzo daleko od otworu kamery, średnica krążka na ekranie będzie równa średnicy ''d'' otworu:
<equation id="2"><math>
|O'O| = \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{d(x+y)}{x} = d
</math></equation>
W przypadku gdy źródła światła znajdują się zbyt blisko siebie, ich obrazy (krążki) nałożą się, uniemożliwiając ich rozróżnienie na obrazie. Przyjmijmy zatem, że dwa punktowe źródła światła będziemy mogli postrzegać na ekranie "Camera Obscura" jako oddzielne obiekty, jeśli odległość ''s'' środków krążków (patrz <xr id="fig:camera_obscura_2">rys. %i</xr>), będzie nie mniejsza niż średnica otworu ''d''. 
Rozdzielczość układów obrazujących można wyznaczyć na podstawie testów, w których danym urządzeniem obrazuje się pewne wzorce geometryczne. Najczęściej są to równoległe linie, których liczba na jednostkę długości rośnie wzdłuż pewnego kierunku. Przykład takiego wzorca zaprezentowano na <xr id="fig:line_pattern">rys. %i</xr>.

===Częstości przestrzenne===
[[Plik:line_pattern.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:line_pattern"></figure>Przykładowy wzorzec linii służący do testowania rozdzielczości urządzeń obrazujących. Liczba linii na jednostkę długości rośnie ze strony lewej w kierunku prawej, od wartości <math>0.6\frac{\textrm{linii}}{\textrm{cm}}</math> do <math>6\frac{\textrm{linii}}{\textrm{cm}}</math>.]]
[[Plik:linie_x_ft.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:linie_x_ft"></figure>Obraz (po lewo) oraz jego Transformata Fouriera (po prawo). W obrazie, wzdłuż osi ''x'' powtarza się periodycznie pewna struktura, z częstością 8 razy na metr. Niezerowe współczynniki Transformaty Fouriera (zaznaczone na mapie po prawej stronie kolorem czarnym) występują dla częstości <math>\pm u=8 \frac{\textrm{1}}{\textrm{m}}</math> i <math>v=0\frac{\textrm{1}}{\textrm{m}}</math> (brak periodycznych zmian wzdłuż osi y).]]
[[Plik:linie_y_ft.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:linie_y_ft"></figure>Obraz (po lewo) oraz jego Transformata Fouriera (po prawo). W obrazie, wzdłuż osi ''y'' powtarza się periodycznie pewna struktura, z częstością 8 razy na metr. Niezerowe współczynniki Transformaty Fouriera (zaznaczone na mapie po prawej stronie kolorem czarnym) występują dla częstości <math>u=0\frac{\textrm{1}}{\textrm{m}}</math> (brak periodycznych zmian wzdłuż osi x) i <math>\pm v=8\frac{\textrm{1}}{\textrm{m}}</math>.]]
[[Plik:linie_xy_ft.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:linie_xy_ft"></figure>Obraz (po lewo) oraz jego Transformata Fouriera (po prawo). W obrazie, wzdłuż osi ''x'' i ''y'' powtarzają się periodycznie zmiany, z częstością 4 i 8 razy na metr. Niezerowe współczynniki Transformaty Fouriera (zaznaczone na mapie po prawej stronie kolorem czarnym) występują dla częstości <math>u=4\frac{\textrm{1}}{\textrm{m}}</math> i <math>v=8\frac{\textrm{1}}{\textrm{m}}</math> oraz <math>u=-4\frac{\textrm{1}}{\textrm{m}}</math> i <math>v=-8\frac{\textrm{1}}{\textrm{m}}</math>.]]
[[Plik:mandril.jpg|150px|thumb|right|<figure id="fig:mandril"></figure>Piękna małpka zaprezentowana na rysunku jest przykładem obiektu posiadającego szerokie widmo częstości przestrzennych.]]
Na rysunku <xr id="fig:line_pattern">rys. %i</xr> zaprezentowano przykład wzorca stosowanego do wyznaczania rozdzielczości układu obrazującego. Zauważmy, że przedstawiona ilustracja składa się z powtarzających się, w określonej liczbie na jednostkę długości, linii. Inne przykłady obiektów składających się z linii zaprezentowano na rysunkach <xr id="fig:linie_x_ft">rys. %i</xr>, <xr id="fig:linie_y_ft">rys. %i</xr> i <xr id="fig:linie_xy_ft">rys. %i</xr>.
Podobnie jak na <xr id="fig:line_pattern">rys. %i</xr>, na ilustracjach <xr id="fig:linie_x_ft">rys. %i</xr>, <xr id="fig:linie_y_ft">rys. %i</xr> oraz <xr id="fig:linie_xy_ft">rys. %i</xr> możemy wyróżnić pewne periodycznie powtarzające się struktur, np. na <xr id="fig:linie_xy_ft">rys. %i</xr> jasne, pionowe linie powtarzają się 8 razy na metr wzdłuż osi ''x''. Z kolei na <xr id="fig:linie_y_ft">rys. %i</xr> jasne linie poziome również powtarzają się z częstością 8 razy na metr, tym razem jednak wzdłuż osi ''y''. W przypadku obrazu zaprezentowanego na <xr id="fig:linie_xy_ft">rys. %i</xr> periodycznie powtarzające się linie są skierowane pod pewnych kątem względem osi ''x'' i przecinają tę oś w 4 punktach na
jednostkę długości, zaś oś ''y'' w ośmiu punktach na jednostkę długości.
W oparciu o powyższe przykłady, analogicznie jak ma to miejsce w analizie sygnałów jednowymiarowych, dla obiektów przestrzennych i ich obrazów można wprowadzić pojęcie częstości, którą nazwiemy częstością przestrzenną. 
 
'''Częstość''' - wielkość określająca, liczbę cykli zjawiska okresowego na jednostce czasu. 
 
'''Częstość przestrzenna''' - wielkość określająca, liczbę cykli zjawiska okresowego na jednostkę długości. 
Mierzalną wielkością fizyczną przytoczonych ilustracjach jest jasność obiektu.

===Dwuwymiarowa Transformata Fouriera===
Występujące w przyrodzie sygnały niejednokrotnie charakteryzują się wysokim stopniem złożoności, który utrudnia, a czasami wręcz uniemożliwia badanie ich właściwości. Na rysunkach <xr id="fig:linie_x_ft"> %i</xr> - <xr id="fig:linie_xy_ft"> %i</xr> zaprezentowano obrazy o bardzo prostej strukturze. Przykład obrazu o znacznym stopniu złożoności zaprezentowano na rysunku <xr id="fig:mandril">rys. %i</xr>. Wzrokowa analiza właściwości tego obrazu jest w zasadzie niemożliwa. Jedną z metod ułatwiających analizę skomplikowanego sygnału, zarówno jedno- jak i dwuwymiarowego, jest dobór odpowiedniej dla niego reprezentacji. Większość spośród stosowanych powszechnie typów reprezentacji ciągłych ma postać tzw. przekształcenia całkowego (inne określenie transformata całkowa). Najczęściej stosowaną transformatą w analizie sygnałów jednowymiarowych jest Transformata Fouriera, za pomocą której analizowany sygnał może być przedstawiony jako suma funkcji harmonicznych. Jest to o tyle istotne, iż funkcje te są niezmiennikami [[STAT:Systemy_liniowe_niezmiennicze_w_czasie_%28LTI%29|systemów LTI (ang. Linear Time-Invariant)]], pełniących niezwykle ważna rolę w przetwarzaniu sygnałów. Układy LTI występują również w systemach obrazowania medycznego, co będzie jeszcze omówione w dalszej części materiałów. Pary Transformat Fouriera dla przypadków jedno- i dwuwymiarowych, zarówno ciągłych jak i dyskretnych wyrażają poniższe wzory.
Para jednowymiarowych Transformat Fouriera dla sygnału ciągłego <math>x(t)</math>:
<equation id="3">
<math>
\begin{matrix}
X(f) = \int^{\infty}_{-\infty} x(t) e^{-2\pi i f t}dt \\
\\
x(t) = \int^{\infty}_{-\infty} X(f) e^{2\pi i f t}df \\
\end{matrix}
</math>
</equation>
 
gdzie: 
<math>t</math> — czas, 
<math>f</math> — częstość, 
<math>i=\sqrt{-1}</math>, 

Para jednowymiarowych dyskretnych Transformat Fouriera dla sygnału dyskretnego:
<equation id="4">
<math>
\begin{array}{l}
G(u) = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}g(k)e^{-2\pi i \frac{ku}{N}} \\
\\
g(k) = \sum_{k=0}^{N-1}G(u)e^{2\pi i \frac{ku}{N}} \\
\end{array}
</math>
</equation>
gdzie: 
<math> N</math> — liczba dyskretnych punktów w sygnale.

Para Transformat Fouriera funkcji ciągłej dwóch zmiennych <math>g(x,y)</math>:
<equation id="5">
<math>
\begin{array}{l}
G(u,v) = \int^{\infty}_{-\infty}\int^{\infty}_{-\infty} g(x,y)e^{-2\pi i (ux + vy)}dxdy \\
\\
g(x,y) = \int^{\infty}_{-\infty}\int^{\infty}_{-\infty} G(u,v)e^{2\pi i (ux + vy)}dudv \\
\end{array}
</math>
</equation>

gdzie: 
<math>x, y</math> — współrzędne przestrzenne, 
<math>u, v</math> — częstości przestrzenne, 
<math>i=\sqrt{-1}</math>. 

Para Dyskretnych Transformat Fouriera funkcji <math>g(k,l)</math> dwóch zmiennych dyskretnych <math>k</math> i <math>l</math>.
<equation id="6">
<math>
\begin{array}{l}
G(u,v) = \frac{1}{M\cdot N}\sum_{k=0}^{N-1}\sum_{l=0}^{N-1}g(k,l)e^{-2\pi i \left( \frac{ku}{M} + \frac{lv}{N}\right)} \\
\\
g(k,l) = \sum_{k=0}^{N-1}\sum_{l=0}^{N-1}G(u,v)e^{2\pi i \left( \frac{ku}{M} + \frac{lv}{N}\right)} \\
\end{array}
</math>
</equation>
gdzie: 
<math>M, N</math> — liczba dyskretnych punktów (liczba wierszy i kolumn w obrazie),
<equation id="7">
<math>
\begin{matrix}
u = -\frac{M}{2}, \ldots, \frac{M}{2}-1; & v = -\frac{N}{2}, \ldots, \frac{N}{2}-1\\
\\
k = 0,\ldots,M-1;& l = 0,\ldots, N-1
\end{matrix}
</math>
</equation>

==Układy LTI w przetwarzaniu obrazów==
[[File:prostokat.png|350px|thumb|<figure id="prostokat" /> Przykład obrazu pewnego obiektu oraz jego składu częstościowego. Po lewej stronie - rzut obiektu na płaszczyznę tworzy jasny prostokąt. Po prawej stronie - skład częstościowy obrazu.]]
[[File:filtr_gauss.png|350px|thumb|<figure id="uid31" />Przykład charakterystyki dolnoprzepustowego filtru Gaussowskiego, służącego do usunięcia z obrazu wysokich częstości przestrzennych.]]
[[File:prostokat_filtrowany.png|350px|thumb|<figure id="uid32" />Obraz z ilustracji <xr id="prostokat">rys. %i</xr> po przefiltrowaniu filtrem Gaussowskim z ilustracji <xr id="uid31"/>. Widoczne jest rozmycie brzegów spowodowane usunięciem z obrazu wysokich częstości.]]
Dotychczas pojecie sygnału kojarzyliśmy głównie z przebiegami pewnych wielkości fizycznych w czasie (np. sygnał EEG jest zapisem czynności elektrycznej mózgu). Termin sygnał można także stosować do obrazu. W tym przypadku sygnał jest reprezentacją pewnej mierzalnej cechy obiektu w przestrzeni (na <xr id="fig:linie_x_ft">rys. %i</xr> - <xr id="fig:linie_xy_ft">rys. %i</xr> cechą tą jest rozkład jasności obiektu). Jak pamiętamy z kursu [[STAT:Analiza_sygnałów|"Analiza Sygnałów"]], rzeczywiste układy pomiarowe, które realizują przetwarzanie sygnałów nazywamy systemem. System modelowany jest jako ''czarna skrzynka'', generująca odpowiedni sygnał wyjściowy w odpowiedzi na stan wejściowy. Szczególną klasę systemów przetwarzających sygnały, tworzą tzw. Układy Liniowe Niezmiennicze w Czasie (ang. ''Linear, Time Invariant Systems'', LTI). Oznaczmy przez <math>T\left\{\cdot\right\}</math> operacje wykonywane na sygnałach wejściowych ''x(t)'' oraz ''y(t)'', wtedy układ LTI charakteryzuje się następującymi własnościami:
<ol><li>Liniowość.
<equation id="8">
<math>T\left\{x(t)+y(t)\right\}=T\left\{x(t)\right\}+T\left\{y(t)\right\}</math>
</equation>
<equation id="9">
<math>T\left\{ax(t)\right\}=aT\left\{x(t)\right\}</math>
</equation>
<li> Niezmienniczość w czasie.
<equation id="10">
<math>T\left\{x(t+\tau)\right\}=T\left\{x(t)\right\}</math>
</equation>
</ol>
Przykładem układów LTI są filtry typu ''IIR'' oraz ''FIR''. Filtry te, jako układu LTI zmieniają amplitudę oraz poszczególnych składowych częstościowych sygnału. Nie mogą natomiast wytworzyć w sygnale składowych o nowych częstościach, co jest charakterystyczną cechą układów nielinowych. Operację przetwarzania sygnału przez układ LTI zapisujemy przy pomocy splotu. Niech ''x(t)'' będzie sygnałem na wejściu układu LTI, ''y(t)'' sygnałem na jego wyjściu, zaś ''h(t)'' odpowiedzią systemu LTI na impuls jednostkowy, wtedy zachodzi następująca relacja:

<equation id="11">
<math>y(t)=\int\limits_{-\infty}^\infty x(\tau)h(t - \tau) d\tau = x(t)\ast h(t)</math>
</equation>
gdzie <math>\ast</math> oznacza splot.

Pojęcie układów LTI można rozszerzyć również na sygnały dwuwymiarowe, czyli np. obrazy. Niech ''g(x,y,)'' oraz ''v(x,y)'' będą dwoma obrazami na wejściu pewnego systemu, realizującego operację <math>T\left\{\cdot\right\}</math>. System nazwiemy liniowym, jeśli spełni następujące warunki:
<ol><li>Liniowość.
<equation id="12">
<math>T\left\{g(x,y)+v(x,y)\right\}=T\left\{g(x,y)\right\}+T\left\{v(x,y)\right\}</math>
</equation>
<equation id="13">
<math>T\left\{ag(x,y)\right\}=aT\left\{g(x,y)\right\}</math>
</equation>
<li> Niezmienniczość w czasie.
<equation id="14">
<math>T\left\{g(x,y,t+\tau)\right\}=T\left\{g(x,y,t)\right\}</math>
</equation>
</ol>
Podobnie jak i w przypadku sygnałów jednowymiarowych, przykładem układów LTI w analizie obrazów są filtry cyfrowe. Własności filtrujące posiadają również znane z kursów fizyki soczewki, które działają jak filtry dolnoprzepustowe — usuwają z padającego na nie obrazu składowe o wysokich częstościach, przez co obraz po przejściu przez soczewkę staje się rozmyty. Wiele elementów aparatury stosowanej w obrazowaniu medycznym może być również traktowana jako układy LTI co znacznie ułatwia analizę ich działania. Relację pomiędzy obrazem na wejściu i wyjściu układu LTI można opisać za pomocą dwuwymiarowego splotu. Niech ''g(x,y)'' będzie obrazem wejściowym, ''v(x,y)'' obrazem na wyjściu systemu LTI, zaś i ''h(x,y)'' odpowiedzią układu LTI na punktowe źródło światła, wtedy:
<equation id="15">
<math>v(x,y)=\int\limits_{-\infty}^\infty\int\limits_{-\infty}^\infty g(\tau_x,\tau_y)h(x - \tau_x,y-\tau_y)d\tau_xd\tau_y</math>
</equation>
Operację splotu w dziedzinie częstości przestrzennych można zapisać w następujący sposób:
<equation id="16">
<math>V(u,v)=G(u,v)\cdot H(u,v)</math>
</equation>

Podobnie jak w analizie sygnałów, funkcję <math>h(x,y)</math> nazywana jest funkcją odpowiedzi impulsowej lub punktową funkcją rozproszenia (ang. ''Point Spread Function'', PSF). Nazwa jest nieprzypadkowa, ponieważ efektem działania układu optycznego jest rozmycie obrazu obiektu punktowego.

==O rozdzielczości raz jeszcze==
[[Plik:fwhm.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:fwhm"></figure>Rozkład natężenia światła obiektu punktowego po przejściu przez układ LTI jest krzywą dzwonową. Szerokości krzywej w połowie wysokości (ang. Full Width at Half Maximum, FWHM) określa skalę rozmycia obrazu.]]
[[Plik:resolution.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:resolution"></figure>Rozkład natężenia światła dwóch obiektów punktowych po przejściu przez układ LTI dla kolejnych odległości pomiędzy obiektami. A. Dwa obiekty punktowe znajdują się w odległości ponad dwa razy większej niż wielkość FWHM. Pomimo rozmycia obrazów obiekty te są dobrze rozróżnialne. B. Dwa obiekty punktowe znajdują się w odległości dwa razy większej niż wielkość FWHM. Rozmycie wprowadzone przez układ LTI powoduje iż obrazy tych obiektów zlokalizowane są blisko siebie, nadal jednak obiekty te można bez problemu rozróżnić. C. Dwa obiekty punktowe znajdują się w odległości równej dokładnie FWMH. Są trudno rozróżnialne. D). Przyjmuje się, że obiekty punktowe znajdujące się w odległości mniejszej niż FWMH nie są rozróżnialne.]]

Pojęcie rozdzielczości układu obrazującego zostało już wprowadzone na przykładzie prostego urządzenia jakim jest "Camera Obscura" oraz punktowych źródeł światła. Obecnie postaramy się omówić pojęcie rozdzielczości w kontekście systemów LTI.

W poprzednim rozdziale dowiedzieliśmy się, że wśród urządzeń służących do obrazowania można wyróżnić niezwykle ważną klasę układów, czyli tzw. systemy LTI. W przypadku układów obrazujących LTI, rolę impulsu jednostkowego pełni punktowe lub nieskończenie wąskie i długie (liniowe) źródło światła. Każdy dwuwymiarowy obiekt można być reprezentowany jako suma punktowych źródeł światła. Z kolei model liniowego (nieskończenie długiego i wąskiego źródła światła) jest wygodny do pomiaru rozdzielczości układu. W takim przypadku rozdzielczość jest to maksymalna liczba linowych źródeł światła na jednostkę długości obrazowanego obiektu, które można rozpoznać jako oddzielne źródła fali elektromagnetycznej. Wiemy już, że układ obrazujący LTI, nie odwzoruje dokładnie rzeczywistych obiektów. Na skutek filtrowania częstości przestrzennych, obrazy obiektów punktowych czy obiektów mający charakter nieskończenie cienkich linii, zostaną rozmyte. Na rysunku <xr id="fig:fwhm">rys. %i</xr> zaprezentowano typowy znormalizowany rozkład natężenia światła emitowanego przez obiekt punktowy, po przejściu przez układ LTI. Rozkład ten ma charakter krzywej "dzwonowej". Jako miarę rozmycia obrazu obiektu punktowego przyjmuje się szerokość rozkładu w połowie jego maksymalnej wysokości (ang. ''Full Width at Half Maximum'', FWHM).

Jeśli dwa obiekty punktowe znajdują się blisko siebie, to na skutek rozmycia, mogą być trudne do rozróżnienia na obrazie utworzonym przez układ LTI. Rozdzielczość układu obrazującego zależy od bardzo wielu czynników, które sukcesywnie będą wprowadzane w trakcie poznawania kolejnych metod obrazowania. W tym rozdziale zajmiemy się najważniejszym z parametrów, to jest wielkością FWHM. Nie istnieje ściśle deterministyczny związek pomiędzy parametrem FWHM a rozdzielczością. Można jednak zauważyć, że rozdzielczość jest odwrotnie proporcjonalna do wielkości FWHM, co zaprezentowano na rysunku <xr id="fig:resolution">rys. %i</xr>.

Jak wspomniano, rozdzielczość układu obrazującego najczęściej podaje się w liniach, które można rozróżnić na mm. Mierzoną tak rozdzielczość łatwo jest określić za pomocą fantomów, wykonanych np. w przypadku promieniowania RTG z tworzyw sztucznych wewnątrz których rozmieszczone są odpowiednio elementy metalowe (np. druty).

==Kontrast. Funkcja Przenoszenia Kontrastu.==
[[Plik:global_contrast.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:global_contrast"></figure>Ilustracja pojęcia kontrastu globalnego. Na rysunku zaprezentowano przebieg jasności pewnego obrazu wzdłuż jednego z jego wymiarów. Wartość maksymalnej jasności wynosi <math>I_A = 30</math>, podczas gdy wartość minimalna <math>I_B = 5</math>. Kontrast globalny wynosi: <math>\frac{30-5}{30+5}=\frac{5}{7}</math>. Pojęcie kontrastu globalnego odnosi się zarówno do rzeczywistego obiektu jak i obrazu.]]
[[Plik:local_contrast.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:local_contrast"></figure>Ilustracja pojęcia kontrastu lokalnego. Na rysunku zaprezentowano przebieg jasności pewnego obiektu wzdłuż jednego z jego wymiarów. Wartość maksymalnej jasności wynosi <math>I_A = 5</math>, podczas gdy wartość tła <math>I_B = 1</math>. Kontrast lokalny wynosi: <math>\frac{5-1}{5}=\frac{4}{5}</math>. Pojęcie kontrastu lokalnego odnosi się zarówno do rzeczywistego obiektu jak i obrazu]]
[[Plik:ksiezyc_1.jpg|300px|thumb|right|<figure id="fig:ksiezyc_1"></figure>Zdjęcie Księżyca znajdującego się w fazie tuż po pierwszej kwadrze. Księżyc jest obiektem bardzo jasnym i doskonale wyróżnia się na tle ciemnego nieba. Wzdłuż terminatora (linii oddzielającej część oświetloną ciała niebieskiego od części nieoświetlonej) można zauważyć wyraźnie bardzo wiele szczegółów budowy powierzchniowej naszego naturalnego satelity. Obiekty te są tak dobrze widoczne, dzięki wysokiemu kontrastowi powstałemu na granicy części oświetlonej i nieoświetlonej Księżyca. Możemy powiedzieć, że na linii terminatora istnieje wysoki kontrast własny obiektu. Proszę zauważyć, iż wraz z oddalaniem się w prawo od linii terminatora zdolność zauważenia szczegółów na powierzchni Księżyca gwałtownie maleje. Zdjęcie udostępnione przez Luca Viatoura na stronach Wikimedia Commons.]]
[[Plik:ksiezyc_2.jpg|300px|thumb|right|<figure id="fig:ksiezyc_2"></figure>Zdjęcie Księżyca znajdującego się w pełni. Większość osób uważa, iż jest to najlepszy moment do obserwacji naszego naturalnego satelity. Jest to jednaj mniemanie błędne. Cała powierzchnia Księżyca jest wtedy tak silnie oświetlona promieniami słonecznymi tak że trudno jest zauważyć szczegóły w budowie jego powierzchni. Zdjęcie wykonane i udostępnione przez Luca Viatoura na stronach Wikimedia Commons. Zdjęcie wykonano przy pomocy tego samego sprzętu co zdjęcie <xr id="fig:ksiezyc_1">rys. %i</xr>.]]
[[Plik:rozdzielczosc_kontrast.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:rozdzielczosc_kontrast"></figure>Przykład zależności pomiędzy szerokością funkcji PSF a stopniem przenoszenia kontrastu. A. Obiekt jest punktowym źródłem świtała, emitującym falę elektromagnetyczną o natężeniu <math>I_1</math>. Natężenie światła <math>I_0</math> emitowanego przez otoczenie obiektu wynosi 0. B. Obiekt składa się z trzech źródeł światła, z których każde emituje falę elektromagnetyczną o natężeniu <math>I_1</math>. Natężenie światła emitowane przez otoczenie źródeł wynosi <math>I_0</math>. Tło obrazu charakteryzuje się niezerową jasnością <math>I'_0</math> co jest skutkiem rozmycia, wprowadzonego przy odwzorowaniu, obiektów punktowych przez układ obrazujący.]]
[[Plik:kontrast.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:kontrast"></figure>Wpływ wielkości obrazu oraz jego rozmycia na kontrast. Kolor biały - maksymalna jasność, kolor czarny minimalna jasność. A. Obrazem obiektu jest elipsa. Zajmuje one względnie duża powierzchnię obrazu i silnie wyróżnia się od ciemnego tła. B. Rzut obrazowanego obiektu na płaszczyznę różni się od przypadku A. tylko rozmiarem. Podobnie jak w przypadku A. następuje skokowa zmiana jasność na brzegach obiektu. Pomimo tego, odczuwamy, iż obrazowany obiekt słabiej wyróżnia się od tła niż ma to miejsce w przypadku A. C. Rzut obrazowanego obiektu na płaszczyznę ma ten sam kształt co w przypadku A, jednakże nie następuje skokowa zmiana jasności na brzegach obiektu - obraz jest rozmyty. Sprawia to wrażenie iż uzyskany kontrast jest mniejszy niż w przypadku A. D. Obraz składający się z jasnych linii, których liczba jednostkę długości rośnie. Najwyższy kontrast odczuwamy dla niewielkiej liczby na jednostkę długości. Wraz ze wzrostem liczby linii na jednostkę długości (w kierunku od lewej do prawej części rysunku) odczuwamy wrażenie spadku kontrastu.]]
[[Plik:kontrast_rozdzielczosc.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:kontrast_rozdzielczosc"></figure>Zależność percepowanej rozdzielczości obrazu od jego kontrastu. W pierwszym wierszu znajduje się obiekt (A) oraz przebieg jego jasności wzdłuż osi ''X''. W Wierszu drugim zaprezentowano obraz obiektu (C) oraz przebieg jasności na obrazie (D) wzdłuż osi ''X''. W trzecim i czwartym wierszu zaprezentowano kolejne dwa obrazy (E) i (G) wytworzone przez układy obrazujące o coraz gorszej funkcji przenoszenia kontrastu. Na rysunkach (F) i (H) pokazano przebieg jasności wzdłuż osi ''X''. Jak można zauważyć, wraz z pogarszającym się kontrastem obiektu coraz trudniej jest rozróżnić na obrazie linie z których składa się obiekt.]]
[[Plik:ctf.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:ctf"></figure> A i B - przebieg funkcji CTF dla dwóch układów obrazujących. Czerwona pozioma linia określa poziom przenoszenia kontrastu 3%. W przypadku układu obrazującego, którego funkcję CTF zaprezentowano na rysunku A, przenoszenie kontrastu maleje do wartości 3% dla 27 linii na jednostkę długości. Układ obrazujący, którego wykres funkcji CTF zaprezentowano na rysunku A, charakteryzuje się gorszym przenoszeniem kontrastu, który spada do wartości 3% już dla 9 linii na jednostkę długości. W związku z powyższym układ A charakteryzuje się lepszą rozdzielczością przestrzenną.]]

Na początku podręcznika zdefiniowaliśmy obraz jako odwzorowanie pewnej cechy obiektu na płaszczyznę. Aby interesujący nas obiekt można było rozpoznać na na obrazie, musi się on różnić pod względem intensywności odwzorowywanej cechy od innych obiektów i tła. Różnicę w natężeniu cechy danego obiektem oraz natężeniu cechy innych przedmiotów lub tła nazywamy kontrastem. Wyróżnia się przy tym pojęcie kontrastu dla rzeczywistych przedmiotów, który nazywamy kontrastem własnym obiektu. Jeśli interesujący nas obiekt charakteryzuje się bardzo niskim kontrastem własnym, zauważenie na nim jakiś szczegółów jest niemożliwe nawet przy użyciu bardzo wysokiej klasy aparatury obrazującej (patrz <xr id="fig:ksiezyc_1">rys. %i</xr> i <xr id="fig:ksiezyc_2">rys. %i</xr>). Pojęcie kontrastu nie jest w pełni ujednolicone i istnieją różne sposoby jego obliczania. Najczęściej podaje się
* Kontrast globalny.
<equation id="eq:kontrast_globalny">
<math> C = \frac{I_A - I_B}{I_A + I_B} </math>
</equation>
:gdzie (patrz <xr id="fig:global_contrast">rys. %i</xr>): 
:<math>I_A</math> — maksymalna intensywność cechy fizycznej (np. natężenia światła) w interesującym nas obszarze przestrzeni lub obrazu. 
:<math>I_B</math> — minimalna intensywność cechy fizycznej (np. natężenia światła) w interesującym nas obszarze przestrzeni lub obrazu.
* Kontrast lokalny
<equation id="eq:kontrast_lokalny">
<math>C = \frac{I_A - I_B}{I_B}</math>
</equation>
:gdzie (patrz <xr id="fig:local_contrast">rys. %i</xr>): 
:<math>I_A</math> — intensywność cechy fizycznej (np. natężenia światła), interesującego nas obiektu rzeczywistego lub jego odwzorowania na obrazie. 
:<math>I_B</math> — intensywność cechy fizycznej (np. natężenia światła) otoczenia (tła) interesującego nas obiektu rzeczywistego lub jego odwzorowania na obrazie.
* Stosunek Kontrastu do Szumu (ang. ''Contrast To Noise Ratio'', CNR).
<equation id="eq:kontrast_snr">
<math>C = \frac{I_A - I_B}{\sigma}</math>
</equation>
:gdzie: 
:<math>I_A, I_B</math> — intensywność cechy fizycznej (np. natężenia światła), dwóch interesujących nas obiektów lub ich odwzorowania na obrazie. 
:<math>\sigma^2</math> — wariancja szumu.

Postrzegany przez nas kontrast zależy od bardzo wielu czynników, m.in. od rozmiarów obiektu i rozmycia jego brzegów. Istotną wpływ ma także szerokość funkcji PSF co zaprezentowano na <xr id="fig:rozdzielczosc_kontrast">rys. %i</xr>. W przypadku <xr id="fig:rozdzielczosc_kontrast">rys. %i</xr>.A lokalny kontrast własny obiektu wynosi: <math>C = \frac{I_1 - 0}{0} = \infty</math>. Urządzenie diagnostyczne utworzyło rozmyty obraz punktowego źródła światła, o maksymalnym natężeniu światła <math>I_1'<I_1</math> i natężeniu tła wnoszącym <math>I_0'=0</math>. Kontrast lokalny obrazu jest nadal wysoki, ponieważ <math>C = \frac{I'_1 - 0}{0} = \infty</math>, jednak z uwagi na rozmycie brzegów obiektu, obserwator stwierdzi, że kontrast obrazu jest niższy niż kontrast obiektu, co zaprezentowano na <xr id="fig:kontrast">rys. %i</xr>.
W przypadku <xr id="fig:rozdzielczosc_kontrast">rys. %i</xr>.B obiekt składa się z trzech źródeł punktowych o kontraście lokalnym dążącym do nieskończoności. W wyniku rozmycia wprowadzonego przez urządzenie diagnostyczne, obrazy poszczególnych źródeł punktowych nakładają się na siebie. Natężenie światła tła na obrazie jest niezerowe, w związku z czym lokalny kontrast <math>C = \frac{I'_1 - I'_0}{I'_0}</math> osiąga wartość skończoną. 
Systemy obrazujące powinny jak najwierniej odwzorowywać kontrast rzeczywistych obiektów. Na skutek niedoskonałości poszczególnych elementów układu obrazującego kontrast własny obiektu jest zniekształcony na obrazie (zwykle kontrast ulega zmniejszeniu). Przykładowo, standardowe soczewki działają jak filtry dolnoprzepustowe. Usuniecie z obrazu wysokich częstości przestrzennych, które odpowiedzialne są za odtwarzanie szczegółów obiektu, powoduje rozmycie jego krawędzi co jak wiemy (patrz <xr id="fig:kontrast">rys. %i</xr>) skutkuje w obniżeniu kontrastu. Funkcją, za pomocą której opisuje się wpływ elementu układu obrazującego na kontrast jest "Funkcja Przenoszenia Kontrastu"(ang. ''Contrast Transfer Function'', CTF). CTF to stosunek kontrastu na wyjściu układu obrazującego do kontrastu na wejściu tego układu, obliczany dla zadanej linii na jednostkę długości.
<equation id="eq:CTF">
<math>CTF = \frac{C_{wy}\left(\frac{linie}{mm}\right)}{C_{wej}\left(\frac{linie}{mm}\right)}\times100%</math>
</equation>
gdzie: 
<math>C_{wy}\left(\frac{linie}{mm}\right)</math> — kontrast na wyjściu układu obrazującego, uzyskany dla danej rozdzielczości. 
<math>C_{we}\left(\frac{linie}{mm}\right)</math> — kontrast na wejściu układu obrazującego, uzyskany dla danej rozdzielczości.

Funkcja Przenoszenia Kontrastu nie osiąga wartości wyższej niż 100% (układy obrazujące mogą zmniejszyć kontrast a nie go poprawić) oraz maleje wraz ze wzrostem z liczbą linii na jednostkę długości. Przykład wykresu funkcji CTF zaprezentowano na rysunku <xr id="fig:ctf">rys. %i</xr>. W oparciu o krzywą CTF można zdefiniować rozdzielczość układu obrazującego.

<blockquote>''Rozdzielczość układu obrazującego jest to taka liczba linii na jednostkę długości dla której kontrast spada poniżej pewnej ustalonej wartości. Zwykle graniczna wartość kontrastu ustalona jest na poziomie 3%''.</blockquote>

Powyższy sposób określania rozdzielczości układu obrazującego ma następujące uzasadnienie. Kontrast z definicji to różnica w intensywności odwzorowywanej cechy poszczególnych elementów obrazowanej przestrzeni lub obrazu. Jeśli układ obrazujący, na skutek swoich wad, pomniejsza tę różnicę, obiekty są coraz trudniej odróżnialne, zwłaszcza jeśli znajdują się w niewielkiej od siebie odległości. Jeśli kontrast własny obiektu zostanie zmniejszony przez układ obrazujący do pewnej, bardzo niskiej wartości, dwa obiekty położone blisko siebie przestaną być rozróżnialne. Efekt ten zaprezentowano na <xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc">rys. %i</xr>, na którym rzeczywisty obiekt składa się z periodycznie powtarzających się jasnych i ciemnych pionowych linii (<xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.A</xr>). Na rysunku (<xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.B</xr>) pokazano przebieg jasności obiektu wzdłuż osi poziomej. Jak można zauważyć, globalny kontrast obiektu wynosi:
:<math> C = \frac{3.0-2.0}{3.0+2.0} = 0.2</math>.
Na <xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.C</xr> i <xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.D</xr> zaprezentowano - odpowiednio: odwzorowanie obiektu zaprezentowanego na <xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.A</xr> za pomocą układu LTI oraz przebieg jasności światła wzdłuż osi poziomej na obrazie obiektu. Jak można zauważyć, układ LTI odfiltrował wysokie częstotliwości przestrzenne, co doprowadziło do rozmycia brzegów linii. Kontrast uzyskany na obrazie (<xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.D</xr>) wynosi: ''C = 0.185''. Układ LTI odwzorował zatem około 92% (0.185/0.2 x 100) kontrastu własnego rzeczywistego obiektu. Na <xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.E</xr> i <xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.F</xr> zaprezentowano obraz obiektu z <xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.A</xr> otrzymany za pomocą kolejnego układu LTI oraz przebieg jasności światła wzdłuż osi poziomej na obrazie. Zastosowany układ obrazujący znacznie silniej odfiltrował wysokie częstości przestrzenne niż poprzedni system. Kontrast uzyskany na obrazie (<xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.D</xr>) wynosi: ''C'' = 0.155. Układ LTI odwzorował zatem około 77% kontrastu własnego rzeczywistego obiektu. Zaprezentowany na rysunku <xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.G</xr> obraz obiektu z <xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.A</xr> charakteryzuje się największym rozmyciem brzegów linii i najgorszym kontrastem. Pionowe linie są trudne do odróżnienia od tła. Jak można zauważyć na <xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.H</xr>, kontrast obiektu jest bardzo niski i wynosi ''C'' = 6%. Zastosowany układ LTI przeniósł zatem jedynie 3% kontrastu własnego rzeczywistego obiektu.

==Modulacja. Funkcja przenoszenia Modulacji.==

[[Plik:modulation_depth.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:modulation_depth"></figure>Ilustracja pojęcia głębokości modulacji. Na rysunku zaprezentowano zmiany jasności obiektu wzdłuż jednego z jego wymiarów. Izolinia jasności przebiega dla wartości <math>A = 5</math>. Amplituda zmian wartości wokół izolinii wynosi <math>B=2</math>. Głębokość modulacji jest równa <math>m=\frac{B}{A}=\frac{2}{5}</math>.]]

Główną zaletą opisanej w poprzednim rozdziale Funkcji Przenoszenia Kontrastu jest prostota jej wyznaczenia. Do tego celu można wykorzystać odpowiednie przygotowane fantomy. Niestety, funkcja ta posiada również pewne wady:
* Przenoszenie kontrastu wyznaczane jest w funkcji linii na jednostkę długości. Rzeczywiste obiekty (zwłaszcza tkanki z jakich składa się organizm) rzadko jednak składają się z linii.
* Systemy obrazujące składają się z bardzo wielu elementów, które niejednokrotnie można opisać przy pomocy formalizmu systemów LTI.

Przykładowo, głównymi elementami odpowiedzialnymi za utworzenie obrazu w aparacie fotograficznym jest obiektyw oraz film (lub matryca CCD). Obiektyw składa się zwykle z wielu soczewek. Załóżmy, że każda z soczewek film lub matryca CCD, funkcjonuje jak układ LTI. Nawet jeśli znamy przebieg funkcji CTF dla każdego z tych elementów, to nie można na tej podstawie przewidzieć wielkości kontrastu uzyskanego na obrazie. Taką informację otrzyma się dopiero badając układ obrazujący jako całość.
 
W celu dogodniejszego opisu właściwości urządzenia obrazującego została wprowadzona tzw. Funkcja Przenoszenia Modulacji (ang. ''Modulation Transfer Function'', MTF). Omówienie tej funkcji zaczniemy od przypomnienia pojęcia głębokości modulacji. Załóżmy, iż zmiany jasności pewnego obiektu zachodzą wzdłuż jednego z jego boków z częstością ''u''. Amplituda zmian jasności, wokół pewnego stałego poziomu ''A'', wynosi ''B''. Zmiany jasności obiektu, które wyraża następujący wzór:
<equation id="14"><math>
f(x,y) = A + B\sin(2\pi ux),
</math></equation>
zaprezentowano na rys <xr id="fig:modulation_depth">rys. %i</xr>.
Współczynnik głębokości modulacji to wielkość, która określa zmiany pewnego parametru względem pewnej stałej wartości. Jak widzimy na rys <xr id="fig:modulation_depth">rys. %i</xr> zmiany jasności obiektu osiągają amplitudę ''B'' względem pewnego poziomu jasności ''A''. W takim przypadku współczynnik głębokości modulacji określa poniższy wzór:
<equation id="14"><math>
m = \frac{B}{A}.
</math></equation>
Wykonajmy teraz obraz obiektu za pomocą układu LTI. Przypominamy, że układ LTI może zmieniać amplitudę i fazę poszczególnych częstości przestrzennych. W związku z tym, na wyjściu układu otrzymamy obraz <math>g(x,y)</math>, którego zmiany jasności będą opisane wzorem:
<equation id="16"><math>
g(x,y) = C + D\sin(2\pi ux),
</math></equation>
natomiast współczynnik modulacji wyniesie:
<equation id="17"><math>
m = \frac{D}{C}.
</math></equation>
Możemy zbadać teraz, jak układ LTI przeniósł współczynnik głębokości modulacji w następujący sposób:

<equation id="18"><math>
H = \frac{\frac{D}{C}}{\frac{B}{A}} = \frac{D\cdot A}{C\cdot B}.
</math></equation>

Im wartość współczynnika ‘‘H’’ jest bliższa jedności, tym układ LTI wiernej odwzorował na obrazie zmiany zachodzące w jasności obiektu. 
Zmiany w jasności, czy też innych cechach rzeczywistych obiektów są jednak znacznie bardziej skomplikowane niż powyższy przykład.
Jednakże, zarówno rzeczywiste obiekty, jak też ich obrazy, możemy przedstawić jako szereg harmonicznych oscylacji przestrzennych. Załóżmy, iż obiekt, zmiany jasności opisuje funkcja <math>f(x,y)</math> oraz jego obraz <math>g(x,y)</math> rozłożyliśmy na Szereg Fouriera:
<equation id="19">
<math>
\begin{array}{l}
f(x,y) = A + \sum_i\sum_jB_{ij}\sin(2\pi u_ix+2\pi v_jy) \\
\\
g(x,y) = C + \sum_i\sum_jD_{ij}\sin(2\pi u_ix+2\pi v_jy) \\
\end{array}
</math>
</equation>
gdzie: 
<math>x, y</math> - współrzędne przestrzenne, 
<math>u_i, v_j</math> - ''i''-ta oraz ''j-ta'' częstości przestrzenna, 
<math>A, B_{ij}, C, D_{ij}</math> - amplitudy poszczególnych składowych harmonicznych. 

Niech obiekt ''f(x,y)'' o widmie ''F(u,v)'' zostanie odwzorowany za pomocą układu LTI na obrazie <math>g(x,y)</math> o widmie <math>G(u,v)</math>. Układ LTI scharakteryzowany jest przy pomocy funkcji odpowiedzi impulsowej ''h(x,y)'' o widmie <math>H(u,v)</math>. Z własności układów LTI wiemy, iż pomiędzy stanem wejściowym (obrazowanym obiektem) a wyjściem (obrazem) istnieje następujący związek:
<equation id="20">
<math> G(u,v) = H(u,v)F(u,v)</math>
</equation>
Przypominamy również, że moduł Transformaty Fouriera odpowiada amplitudzie danej składowej harmonicznej, w związku z czym możemy zapisać:
<equation>
<math>
\begin{array}{l}
A = |F(u_0,v_0)| \\
\\
B_{ij} = |F(u_i,v_j)| \\
\\
C = |G(u_0,v_0)| \\
\\
D_{ij} = |G(u_i,v_j)| \\
\\
|H_{ij}| = \frac{|G(u_i,v_j)|}{|F(u_i,v_j)|} = \frac{D_{ij}}{B_{ij}}
\end{array}
</math>
</equation>
Korzystając z powyższych zależności możemy zapisać:
<equation id="21">
<math> g(x,y) = H(0,0)A + \sum_i\sum_jH(u_i,v_j)B_{ij}\sin(2\pi u_ix+2\pi v_jy) </math>
</equation>
W przypadku obiektu złożonego z wielu składowych harmonicznych, głębokość modulacji może być inna dla każdej częstości przestrzennej:
<equation id="22">
<math>m_{u_i,v_j} = \frac{B_{ij}}{A}</math>
</equation>
Zauważmy teraz, iż głębokość modulacji <math>m^g_{u_i,v_j}</math> obrazu ''g(x,y)'' można wyrazić w następujący sposób:
<equation id="23">
<math> m^g_{u_i,v_j} = \frac{|H(u_i,v_j)|B_{ij}}{|H(0,0)|A}</math>
</equation>
Zbadajmy teraz, jak głębokość modulacji <math>m^f_{u_i,v_j}</math> rzeczywistego obiektu została odwzorowana na obrazie. Głębokość modulacji obrazu oznaczmy <math>m^g_{u_i,v_j}</math>
<equation id="24">
<math>\frac{m^g_{u_i,v_j}}{m^f_{u_i,v_j}} = \frac{|H(u_i,v_j)|B_{ij}}{|H(0,0)|A}\frac{A}{B_{ij}} = \frac{|H(u_i,v_j)|}{|H(0,0)|}</math>
</equation>
Wielkość opisującą stosunek głębokości modulacji dla zadanych częstości przestrzennych w obrazie, do głębokości modulacji dla tych samych częstości przestrzennych w rzeczywistym obiekcie nazywamy Funkcją Przenoszenia Modulacji (MTF):
<equation id="25">
<math> MTF(u_i,v_j) = \frac{|H(u_i,v_j)|}{|H(0,0)|}</math>
</equation>
Funkcję MTF układu LTI można w w łatwy sposób wyznaczyć, jeśli znamy widmo odpowiedzi tego systemu na impuls jednostkowy.

===Funkcja Przenoszenia Modulacji a rozdzielczość przestrzenna.===
[[Plik:mtf_kontrast.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:mtf_kontrast"></figure> A. Przykład odwzorowania obiektu, którego jasność można wyrazić wzorem (<xr id="eq:eq1"> %i</xr>). B. Przebieg jasności obiektu, zaprezentowanego na rysunku A. wzdłuż osi poziomej.]]
Linie x ft.png
Obiekt zaprezentowany na <xr id="fig:mtf_kontrast">rys. %i</xr> może zostać opisany za pomocą jednej funkcji harmonicznej biegnącej wzdłuż osi ''X'':
<equation id="26">
<math>
f(x,y) = A_0 + B_0\sin(2\pi u_0 x)
</math>
</equation>
gdzie: <math>u_0=32\frac{\textrm{1}}{\textrm{m}}</math>. 
Maksima funkcji harmonicznej tworzą pionowe jasne linie. Odległość pomiędzy tymi liniami <math>\Delta x</math> jest odwrotnością częstości przestrzennej funkcji harmonicznej <math>u_0</math>:
<equation id="27">
<math> \Delta x = \frac{1}{u_0}</math>
</equation>
Obraz ''g(x,y)'' obiektu ''f(x,y)'' może być rozłożony na składowe harmoniczne w następujący sposób:
<equation id="28">
<math>
g(x,y) = C + D_0\sin(2\pi u_0 x)
</math>
</equation>
Związek pomiędzy składowymi harmonicznymi obrazu ''g(x,y)'' na wyjściu układu LTI, a składowymi harmonicznymi rzeczywistego obiektu ''f(x,y)'' na wejściu tego układu, wyraża poniższa zależność
<equation id="29">
<math>
\begin{array}{l}
g(x,y) = H(0,0)A + H(u_0,0)B_0\sin(2\pi u_0 x) = \\
\\
H(0,0)A + MTF(u_0,0)B_0H(0,0)\sin(2\pi u_0 x) = \\
\\
H(0,0)(A + MTF(u_0,0)B_0\sin(2\pi u_0 x))
\end{array}
</math>
</equation>
gdzie: ''MTF'' jest funkcja przenoszenia modulacji charakterystyczną dla zadanego systemu LTI.
Jeśli dla danej częstości przestrzennej <math>u_0</math>, funkcja przenoszenia modulacji <math>MTF(u_0,0)</math> osiąga wartość bliską 0, częstość ta nie zostanie odwzorowana na obrazie. W związku z tym niemożliwe będzie rozróżnienie szczegółów znajdujących się bliżej niż <math>\Delta x = \frac{1}{u_0}</math>. W praktyce przyjmuje się, że graniczna rozdzielczość przestrzenna układu obrazującego osiągana jest dla częstości, dla której wartość funkcji przenoszenia modulacji wynosi 0.03.

===Funkcja Przenoszenia Modulacji a przenoszenie kontrastu.===
Na początku rozpatrzmy następujący przykład. Zamierzamy odwzorować cechę pewnego obiektu, jaką jest rozkład jego jasności. Ponadto zmiany jasności obiektu ''f(x,y)'' można opisać za pomocą jednej funkcji harmonicznej:
<equation id="eq:eq1">
<math> f(x,y) = A + B\sin(2\pi u_0 x)
</math></equation>
Obiekt taki zaprezentowano na <xr id="fig:mtf_kontrast">rys. %i</xr>, w przypadku którym ''A'' = 3, ''B''=1. Przyjęte założenia mają na celu uprościć pewne przekształcenia matematyczne, nie wpłyną jednak na końcowe wnioski jakie uzyskamy w niniejszym przykładzie.
Zdefiniujmy teraz kontrast globalny w następujący sposób:
<equation id="eq:eq2"><math>
C = \frac{A_{\max}-A_{\min}}{A_{\max}+A_{\min}}</math></equation>
gdzie: 
<math> A_{\max}, A_{\min}</math> to odpowiednio maksymalna i minimalna amplituda zmian obserwowana w sygnale. 
Obliczmy kontrast globalny obiektu opisanego wzorem (<xr id="eq:eq2"> %i</xr>):
<equation><math>C = \frac{A + B - (A - B)}{A + B + (A - B)} = \frac{B}{A}</math></equation>
Jak możemy zauważyć, uzyskany kontrast jest tożsamy z głębokością modulacji sygnału harmonicznego, który wynosi:
<equation><math>m = \frac{B}{A}</math></equation>
Modulacja sygnału jest wielkością, której przenoszenie przez układ LTI opisuje funkcja MTF.
Doszliśmy zatem do wniosku, iż funkcja MTF pośrednio opisuje przenoszenie kontrastu zawartego w sygnale przez układ LTI.

===Funkcja MTF złożonych układów obrazowania===
[[Plik:lti_mtf.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:lti_mtf"></figure>Układ obrazowania składający się z kilku systemów LTI.]]

Układu wykorzystywane w obrazowaniu medycznych są zbudowane z bardzo wielu elementów (źródeł promieniowania, układów formujących wiązki promieniowania, detektorów, itd.), które mają wpływ na uzyskiwany obraz. Nawet w budowie zwykłego aparatu fotograficznego możemy wyróżnić kilka podzespołów, takich jak obiektyw oraz detektor promieniowania (film lub matrycę CCD). Obiektyw z kolei złożony jest najczęściej z przesłony i kilku soczewek, których działanie może być opisane w formalizmie systemów LTI. Czy znając funkcję MTF dla każdego z elementów układu obrazującego jesteśmy w stanie coś wywnioskować na temat jakości obrazu uzyskanego przez cały układ obrazujący? Okazuje się że tak. Załóżmy, że nasz system obrazujący składa się z ''N'' bloków (czarnych skrzynek), z których każda może być opisana jako układ LTI. Schemat takiego urządzenia zaprezentowano na <xr id="fig:lti_mtf">rys. %i</xr>.
Właściwości każdego z elementów układu obrazującego w dziedzinie częstości przestrzennych opisane są przy pomocy funkcji przejścia <math>H_i(u,v)</math>, gdzie ''u'',''v'' to częstości przestrzenne. Na wejściu układu obrazującego podawany jest sygnał o widmie <math>F(u,v)</math>. Trafia on jednocześnie na wejście pierwszego układu LTI. Na wyjściu pierwszego układu LTI sygnał będzie miał postać:
<equation><math>G_1(u,v) = H_1(u,v)\cdot F(u,v)</math></equation>
Sygnał wyjściowy z pierwszego układu LTI jest sygnałem wejściowym dla kolejnego układu. W związku z tym, na wyjściu drugiego układu LTI pojawi sygnał:
<equation><math>G_2(u,v) = H_2(u,v)\cdot G_1(u,v) = H_2(u,v)\cdot H_1(u,v)\cdot F(u,v)</math></equation>
Ostatecznie, po przejściu przez ''N'' układów LTI, na wyjściu układu obrazującego uzyskamy sygnał:
<equation id="eq:lti_mtf"><math>G(u,v) = H_2(u,v)\cdot G_1(u,v) = H_N(u,v)\cdot \ldots \cdot H_2(u,v)\cdot H_1(u,v)\cdot F(u,v)</math></equation>
Dla całego układu obrazującego możemy zatem zdefiniować następująca funkcję przejścia:
<equation><math>H(u,v) = H_2(u,v)\cdot G_1(u,v) = H_N(u,v)\cdot \ldots \cdot H_2(u,v)\cdot H_1(u,v) </math></equation>
i wyznaczyć funkcję MTF tego układu:
<equation><math>MTF(u,v) = \frac{|H(u,v)|}{H(0,0)} </math></equation>
Funkcję MTF można również wyznaczyć znając przebieg funkcji przenoszenia modulacji <math>MTF_i(u,v) = \frac{H_1(u,v)}{ H_1(0,0)}</math> każdego systemu LTI wchodzącego w skład układu obrazującego, co wynika ze wzoru (<xr id="eq:lti_mtf"> %i</xr>):
<equation><math>MTF(u,v) = MTF_1(u,v)\cdot MTF_2(u,v)\cdot \ldots \cdot MTF_N(u,v)</math></equation>

===Zalety Funkcji MTF===
* Na podstawie przebiegu funkcji MTF można określić graniczną rozdzielczość układu obrazującego. Im lepiej układ LTI przenosi głębokość modulacji sygnału wejściowego dla wysokich częstości przestrzennych, tym lepsza będzie rozdzielczość otrzymywanego na wyjściu obrazu.
* Na podstawie przebiegu funkcji MTF można określić jak układ LTI odwzorowuje kontrast zawarty w sygnale wejściowym.
* Znając przebieg funkcji MTF dla poszczególnych składowych układu obrazującego można estymować funkcję MTF dla całego układu i przewidzieć jego właściwości.

===Wyznaczanie funkcji MTF na przykładzie Kamery Otworkowej===
[[File:bessel_1.png|350px|thumb|<figure id="bessel_1"/> Po prawo – rozkład natężenia punktowego źródła światła. Po lewo funkcja PSF Kamery Otworkowej, czyli obraz uzyskany w efekcie pobudzenia punktowym źródłem światła.]]
[[File:bessel_2.png|350px|thumb|<figure id="bessel_2"/>Po lewo funkcja OTF Kamery Otworkowej. Po prawo – wykres funkcji MTF wzdłuż jednego z wymiarów, w płaszczyźnie przechodzącej przez środek obrazu. Pionowymi czerwonymi liniami oznaczono pierwsze miejsce zerowe funkcji MTF (umownie graniczną rozdzielczość Kamery Otworkowej.]]

Przypominamy na początku, że działanie systemu obrazującego o własnościach układu LTI można opisać następującym wzorem:
<equation id="30">
<math>v(x,y)=\int\limits_{-\infty}^\infty\int\limits_{-\infty}^\infty g(\tau_x,\tau_y)h(x - \tau_x,y-\tau_y)d\tau_xd\tau_y</math>
</equation>
gdzie:
<ul>
<li> ''*'' oznacza operację splotu,
<li> g(x,y) – reprezentacja obiektu na wejściu układu obrazującego,
<li> g(x,y) – reprezentacja obiektu na wyjściu układu obrazującego,
<li> h(x,y) – odpowiedź układu obrazującego na pobudzenie punktowym źródłem światła.
</ul>
Funkcję <math>h(x,y)</math> nazywamy punktową funkcja rozproszenia (ang. ''Point Spread Function'',PSF). Transformatę Fouriera <math> OTF(u,v)</math> funkcji PSF:
<equation id="31"><math>
OTF(u,v) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}h(x,y) e^{-2\pi i(ux + vy)}dxdy
</math></equation>

nazywamy optyczną funkcją przenoszenia (ang. ''Optical Transfer Function'',OTF). Funkcję OTF tę można zapisać w następujący sposób:

<equation id="32"><math>
OTF(u,v) = |OTF|e^{-i\phi(u,v)}
</math></equation>
gdzie: <math>\phi(u,v) = \arg(OTF(u,v))</math>.

Moduł Transformaty Fouriera funkcji PSF, znormalizowany w ten sposób, aby
<math>|OTF(0,0)| = 1</math> nazywamy funkcją przenoszenia modulacji:
<equation id="33"><math>
MTF(u,v) = \frac{|OTF(u,v)|}{|OTF(0,0)|}
</math></equation>
z kolei argument funkcji OTF nazywamy funkcją przenoszenia fazy (ang. ''Phase Transfer Function'',PTF):
<equation><math>
PTF(u,v) = \arg(OTF(u,v))
</math></equation>

===Przykład wyznaczenia funkcji MTF dla Kamery Otworkowej===
Obrazem punktowego źródła światła, znajdującego się w nieskończonej odległości od kamery otworkowej jest krążek o średnicy ''d'' równej średnicy obiektywu (otworka) kamery i równomiernym rozkładzie natężenia światła ''A'', który możemy opisać następującym wzorem:

<equation id="34"><math>
PSF(x,y) = \left\{\begin{array}{l}
A, \textrm{\ dla\ } \sqrt{x^2 + y^2} \leq d\\
\\
0, \textrm{\ dla\ } \sqrt{x^2 + y^2}>d
\end{array}\right.
</math></equation>

Rozkład natężenia światła emitowanego z punktowego źródła oraz jego obraz (funkcję PSF) zaprezentowano na <xr id="bessel_1">rys. %i</xr>.
Transformata Fouriera funkcji PSF(x,y) wynosi:

<equation id="35"><math>
OTF(u,v) = FFT(PSF(x,y)) = \frac{J_1(2\pi d\rho)}{ 2\pi d\rho }
</math></equation>
gdzie:
<ul>
<li> <math>J_1(\cdot)</math> — to funkcja Bessla pierwszego rodzaju, rzędu pierwszego,
<li> <math>\rho=\sqrt{u^2 + v^2}</math>,
<li> <math>u,v</math> — częstości przestrzenne.
</ul>
Funkcja przenoszenia modulacji – MTF, to moduł znormalizowanej funkcji OTF. Wartość funkcji OTF w punkcie <math>(0,0)</math> wynosi <math>\frac{1}{2}</math>, w związku z czym funkcja MTF jest równa:
<equation id="36"><math>
MTF(u,v) = 2\cdot|OTF(u,v)| = 2\frac{J_1(2\pi d\rho)}{ 2\pi d\rho}
</math></equation>

Wykres funkcji OTF oraz MTF zaprezentowano na <xr id="bessel_2">rys. %i</xr>.
Funkcja MTF osiąga pierwsze miejsce zerowe dla argumentu równego
<equation id="37"><math>
\rho_g = \frac{0.61}{d}
</math></equation>

Wielkość <math>\rho_g</math> to górna granica pasma częstości przestrzennych przenoszonych przez Kamerę Otworkową.

Obrazowanie:Obrazowanie Medyczne/Podstawowe Parametry Obrazów

2015-09-28T19:30:55Z

Rkus:

Podstawowe Parametry Obrazów
[[Plik:camera_obscura_1.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:camera_obscura_1"></figure>Schemat urządzenia ''Camera Obscura''. Urządzenie składa się z wyczernionego wewnątrz pudełka, co ma zapobiec powstawaniu odbić światła od ścianek. Światło ze źródła ''S'', znajdującego się w odległości ''x'' od przedniej ścianki urządzenia rozchodzi się po liniach prostych i pada na otwór o średnicy ''d''. W odległości ''y''od otworu znajduje się ekran na którym powstaje obraz.]]
[[Plik:camera_obscura_2.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:camera_obscura_2"></figure>Tworzenie obrazu dwóch punktowych źródeł światła prze kamerę otworkową.]]
Zanim omówimy podstawowe parametry obrazów uzyskiwanych w diagnostyce medycznej, spróbujemy określić pojęcie obrazu. Każdy z nas zapewne widział wielokrotnie zdjęcie fotograficzne. Jeszcze do niedawana zdjęcia takie było wykonywane przy pomocy aparatu fotograficznego wyposażonego w obiektyw i kliszę fotograficzną, która pełniła rolę detektora światła. Współczesne aparaty fotograficzne zamiast kliszy posiadają matrycę CCD (ang. ''Charge Coupled Device'', CCD). Zarówno w przypadku analogowych, jak i cyfrowych aparatów, zdjęcie fotograficzne powstaje w efekcie naświetlania detektora przez wiązkę światła emitowanego lub odbijanego przez fotografowany obiekt. Zdolność do emisji lub odbijania światła jest pewną cechą obiektu. Możemy zatem stwierdzić, że obraz to odwzorowanie pewnej cechy obiektu przestrzeni trójwymiarowej na płaszczyznę. W przypadku obrazowania medycznego cechą obiektów może być:
* Liniowy współczynnik osłabienia promieniowania Rentgenowskiego (Radiografia Rentgenowska, Rentgenowska Tomografia Komputerowa).
* Rozkład radionuklidu promieniotwórczego (Obrazowanie Nuklearne).
* Gęstość protonów (MRI).
Komputerowe przetwarzanie obrazów jest możliwe tylko dla obrazów cyfrowych, to jest skwantowanych ([1]) i dyskretnych ([2]). Pojedynczy element obrazu cyfrowego nazywamy pikselem. Naturalnym sposobem matematycznej reprezentacji takiego obrazu jest dwuwymiarowa macierz. Każdy element macierzy odpowiada pojedynczemu pikselowi i zawiera liczbę określającą cechę obrazowanego obiektu. Jeśli obraz uzyskujemy za pomocą detektorów analogowych (np. błony fotograficznej), zawsze możemy go zamienić na postać cyfrową za pomocą przetworników analogowo – cyfrowych ([3]).

Obrazy uzyskiwane na potrzeby diagnostyki medycznej muszą charakteryzować się odpowiednią jakością. Do najważniejszych parametrów obrazu należą:
*rozdzielczość,
*kontrast.
Pojęcia te omówimy analizując działanie najstarszego i najprostszego urządzenia optycznego jakim jest ''Camera Obscura'' (patrz <xr id="fig:camera_obscura_1">rys. %i</xr>).

==Camera Obscura==

''Camera Obscura'' to urządzenie optyczne składające się z wyczernionego wewnątrz pudełka oraz małego otworu (pełniącego rolę obiektywu), który znajduje się w jednej ze ścian pudełka. Nazwa urządzenia w bezpośrednim tłumaczeniu z języka łacińskiego oznacza ciemną komnatę i jest nieprzypadkowa. Na przestrzeni dziejów, duże, ciemne pomieszczenia z otworem w okiennicach lub dachu służyły to uzyskiwania obrazów różnych obiektów, np. Johannes Kepler wykorzystywał do obserwacji plam słonecznych katedrę w Ratyzbonie, z wykonanym w jej dachu małym otworem. W języku angielskim ''Camera Obscura'' nazywana jest również kamerą otworkową (''pinhole camera''). Pomimo swojej prostoty, kamera otworkowa jest niezwykle interesującym urządzeniem, które obecnie nadal wykorzystuje się w fotografii artystycznej (pierwsze aparaty fotograficzne były właśnie ''Camerami Obscura'', dopiero później w miejsce otworu wstawiono soczewkę). 

===Rozdzielczość===
Rozdzielczość układu obrazującego to jego zdolność do zobrazowania dwóch punktowych źródeł światła, znajdujących się w określonej odległości od siebie, jako dwóch oddzielnych obiektów. Powyższa definicja zawiera pojęcie odległości pomiędzy dwoma punktowymi źródłami fali elektromagnetycznej. Jest to jak najbardziej uzasadnione, ponieważ obiekty rzeczywiste (rozciągłe w przestrzeni, emitujące lub odbijające światło), można traktować jako złożenie wielu punktowych źródeł. W przypadku kamery otworkowej, obraz punktowego źródła światła wyznaczymy w oparciu o prawa optyki geometrycznej. Ich podstawowym założeniem jest rozchodzenie się światła w postaci wiązki promieni. W ośrodku jednorodnym promienie te biegną prostoliniowo. Korzystając z tych założeń widzimy, że obrazem punktowego źródła światła na ekranie ''Camera Obscura'' jest krążek o średnicy:
<equation id="1"><math>
|O'O| = \frac{d(x+y)}{x}
</math></equation>
jeśli punktowe źródło światła znajduje się bardzo daleko od otworu kamery, średnica krążka na ekranie będzie równa średnicy ''d'' otworu:
<equation id="2"><math>
|O'O| = \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{d(x+y)}{x} = d
</math></equation>
W przypadku gdy źródła światła znajdują się zbyt blisko siebie, ich obrazy (krążki) nałożą się, uniemożliwiając ich rozróżnienie na obrazie. Przyjmijmy zatem, że dwa punktowe źródła światła będziemy mogli postrzegać na ekranie "Camera Obscura" jako oddzielne obiekty, jeśli odległość ''s'' środków krążków (patrz <xr id="fig:camera_obscura_2">rys. %i</xr>), będzie nie mniejsza niż średnica otworu ''d''. 
Rozdzielczość układów obrazujących można wyznaczyć na podstawie testów, w których danym urządzeniem obrazuje się pewne wzorce geometryczne. Najczęściej są to równoległe linie, których liczba na jednostkę długości rośnie wzdłuż pewnego kierunku. Przykład takiego wzorca zaprezentowano na <xr id="fig:line_pattern">rys. %i</xr>.

===Częstości przestrzenne===
[[Plik:line_pattern.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:line_pattern"></figure>Przykładowy wzorzec linii służący do testowania rozdzielczości urządzeń obrazujących. Liczba linii na jednostkę długości rośnie ze strony lewej w kierunku prawej, od wartości <math>0.6\frac{\textrm{linii}}{\textrm{cm}}</math> do <math>6\frac{\textrm{linii}}{\textrm{cm}}</math>.]]
[[Plik:linie_x_ft.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:linie_x_ft"></figure>Obraz (po lewo) oraz jego Transformata Fouriera (po prawo). W obrazie, wzdłuż osi ''x'' powtarza się periodycznie pewna struktura, z częstością 8 razy na metr. Niezerowe współczynniki Transformaty Fouriera (zaznaczone na mapie po prawej stronie kolorem czarnym) występują dla częstości <math>\pm u=8 \frac{\textrm{1}}{\textrm{m}}</math> i <math>v=0\frac{\textrm{1}}{\textrm{m}}</math> (brak periodycznych zmian wzdłuż osi y).]]
[[Plik:linie_y_ft.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:linie_y_ft"></figure>Obraz (po lewo) oraz jego Transformata Fouriera (po prawo). W obrazie, wzdłuż osi ''y'' powtarza się periodycznie pewna struktura, z częstością 8 razy na metr. Niezerowe współczynniki Transformaty Fouriera (zaznaczone na mapie po prawej stronie kolorem czarnym) występują dla częstości <math>u=0\frac{\textrm{1}}{\textrm{m}}</math> (brak periodycznych zmian wzdłuż osi x) i <math>\pm v=8\frac{\textrm{1}}{\textrm{m}}</math>.]]
[[Plik:linie_xy_ft.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:linie_xy_ft"></figure>Obraz (po lewo) oraz jego Transformata Fouriera (po prawo). W obrazie, wzdłuż osi ''x'' i ''y'' powtarzają się periodycznie zmiany, z częstością 4 i 8 razy na metr. Niezerowe współczynniki Transformaty Fouriera (zaznaczone na mapie po prawej stronie kolorem czarnym) występują dla częstości <math>u=4\frac{\textrm{1}}{\textrm{m}}</math> i <math>v=8\frac{\textrm{1}}{\textrm{m}}</math> oraz <math>u=-4\frac{\textrm{1}}{\textrm{m}}</math> i <math>v=-8\frac{\textrm{1}}{\textrm{m}}</math>.]]
[[Plik:mandril.jpg|150px|thumb|right|<figure id="fig:mandril"></figure>Piękna małpka zaprezentowana na rysunku jest przykładem obiektu posiadającego szerokie widmo częstości przestrzennych.]]
Na rysunku <xr id="fig:line_pattern">rys. %i</xr> zaprezentowano przykład wzorca stosowanego do wyznaczania rozdzielczości układu obrazującego. Zauważmy, że przedstawiona ilustracja składa się z powtarzających się, w określonej liczbie na jednostkę długości, linii. Inne przykłady obiektów składających się z linii zaprezentowano na rysunkach <xr id="fig:linie_x_ft">rys. %i</xr>, <xr id="fig:linie_y_ft">rys. %i</xr> i <xr id="fig:linie_xy_ft">rys. %i</xr>.
Podobnie jak na <xr id="fig:line_pattern">rys. %i</xr>, na ilustracjach <xr id="fig:linie_x_ft">rys. %i</xr>, <xr id="fig:linie_y_ft">rys. %i</xr> oraz <xr id="fig:linie_xy_ft">rys. %i</xr> możemy wyróżnić pewne periodycznie powtarzające się struktur, np. na <xr id="fig:linie_xy_ft">rys. %i</xr> jasne, pionowe linie powtarzają się 8 razy na metr wzdłuż osi ''x''. Z kolei na <xr id="fig:linie_y_ft">rys. %i</xr> jasne linie poziome również powtarzają się z częstością 8 razy na metr, tym razem jednak wzdłuż osi ''y''. W przypadku obrazu zaprezentowanego na <xr id="fig:linie_xy_ft">rys. %i</xr> periodycznie powtarzające się linie są skierowane pod pewnych kątem względem osi ''x'' i przecinają tę oś w 4 punktach na
jednostkę długości, zaś oś ''y'' w ośmiu punktach na jednostkę długości.
W oparciu o powyższe przykłady, analogicznie jak ma to miejsce w analizie sygnałów jednowymiarowych, dla obiektów przestrzennych i ich obrazów można wprowadzić pojęcie częstości, którą nazwiemy częstością przestrzenną. 
 
'''Częstość''' - wielkość określająca, liczbę cykli zjawiska okresowego na jednostce czasu. 
 
'''Częstość przestrzenna''' - wielkość określająca, liczbę cykli zjawiska okresowego na jednostkę długości. 
Mierzalną wielkością fizyczną przytoczonych ilustracjach jest jasność obiektu.

===Dwuwymiarowa Transformata Fouriera===
Występujące w przyrodzie sygnały niejednokrotnie charakteryzują się wysokim stopniem złożoności, który utrudnia, a czasami wręcz uniemożliwia badanie ich właściwości. Na rysunkach <xr id="fig:linie_x_ft"> %i</xr> - <xr id="fig:linie_xy_ft"> %i</xr> zaprezentowano obrazy o bardzo prostej strukturze. Przykład obrazu o znacznym stopniu złożoności zaprezentowano na rysunku <xr id="fig:mandril">rys. %i</xr>. Wzrokowa analiza właściwości tego obrazu jest w zasadzie niemożliwa. Jedną z metod ułatwiających analizę skomplikowanego sygnału, zarówno jedno- jak i dwuwymiarowego, jest dobór odpowiedniej dla niego reprezentacji. Większość spośród stosowanych powszechnie typów reprezentacji ciągłych ma postać tzw. przekształcenia całkowego (inne określenie transformata całkowa). Najczęściej stosowaną transformatą w analizie sygnałów jednowymiarowych jest Transformata Fouriera, za pomocą której analizowany sygnał może być przedstawiony jako suma funkcji harmonicznych. Jest to o tyle istotne, iż funkcje te są niezmiennikami [[STAT:Systemy_liniowe_niezmiennicze_w_czasie_%28LTI%29|systemów LTI (ang. Linear Time-Invariant)]], pełniących niezwykle ważna rolę w przetwarzaniu sygnałów. Układy LTI występują również w systemach obrazowania medycznego, co będzie jeszcze omówione w dalszej części materiałów. Pary Transformat Fouriera dla przypadków jedno- i dwuwymiarowych, zarówno ciągłych jak i dyskretnych wyrażają poniższe wzory.
Para jednowymiarowych Transformat Fouriera dla sygnału ciągłego <math>x(t)</math>:
<equation id="3">
<math>
\begin{matrix}
X(f) = \int^{\infty}_{-\infty} x(t) e^{-2\pi i f t}dt \\
\\
x(t) = \int^{\infty}_{-\infty} X(f) e^{2\pi i f t}df \\
\end{matrix}
</math>
</equation>
 
gdzie: 
<math>t</math> — czas, 
<math>f</math> — częstość, 
<math>i=\sqrt{-1}</math>, 

Para jednowymiarowych dyskretnych Transformat Fouriera dla sygnału dyskretnego:
<equation id="4">
<math>
\begin{array}{l}
G(u) = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}g(k)e^{-2\pi i \frac{ku}{N}} \\
\\
g(k) = \sum_{k=0}^{N-1}G(u)e^{2\pi i \frac{ku}{N}} \\
\end{array}
</math>
</equation>
gdzie: 
<math> N</math> — liczba dyskretnych punktów w sygnale.

Para Transformat Fouriera funkcji ciągłej dwóch zmiennych <math>g(x,y)</math>:
<equation id="5">
<math>
\begin{array}{l}
G(u,v) = \int^{\infty}_{-\infty}\int^{\infty}_{-\infty} g(x,y)e^{-2\pi i (ux + vy)}dxdy \\
\\
g(x,y) = \int^{\infty}_{-\infty}\int^{\infty}_{-\infty} G(u,v)e^{2\pi i (ux + vy)}dudv \\
\end{array}
</math>
</equation>

gdzie: 
<math>x, y</math> — współrzędne przestrzenne, 
<math>u, v</math> — częstości przestrzenne, 
<math>i=\sqrt{-1}</math>. 

Para Dyskretnych Transformat Fouriera funkcji <math>g(k,l)</math> dwóch zmiennych dyskretnych <math>k</math> i <math>l</math>.
<equation id="6">
<math>
\begin{array}{l}
G(u,v) = \frac{1}{M\cdot N}\sum_{k=0}^{N-1}\sum_{l=0}^{N-1}g(k,l)e^{-2\pi i \left( \frac{ku}{M} + \frac{lv}{N}\right)} \\
\\
g(k,l) = \sum_{k=0}^{N-1}\sum_{l=0}^{N-1}G(u,v)e^{2\pi i \left( \frac{ku}{M} + \frac{lv}{N}\right)} \\
\end{array}
</math>
</equation>
gdzie: 
<math>M, N</math> — liczba dyskretnych punktów (liczba wierszy i kolumn w obrazie),
<equation id="7">
<math>
\begin{matrix}
u = -\frac{M}{2}, \ldots, \frac{M}{2}-1; & v = -\frac{N}{2}, \ldots, \frac{N}{2}-1\\
\\
k = 0,\ldots,M-1;& l = 0,\ldots, N-1
\end{matrix}
</math>
</equation>

==Układy LTI w przetwarzaniu obrazów==
[[File:prostokat.png|350px|thumb|<figure id="prostokat" /> Przykład obrazu pewnego obiektu oraz jego składu częstościowego. Po lewej stronie - rzut obiektu na płaszczyznę tworzy jasny prostokąt. Po prawej stronie - skład częstościowy obrazu.]]
[[File:filtr_gauss.png|350px|thumb|<figure id="uid31" />Przykład charakterystyki dolnoprzepustowego filtru Gaussowskiego, służącego do usunięcia z obrazu wysokich częstości przestrzennych.]]
[[File:prostokat_filtrowany.png|350px|thumb|<figure id="uid32" />Obraz z ilustracji <xr id="prostokat">rys. %i</xr> po przefiltrowaniu filtrem Gaussowskim z ilustracji <xr id="uid31"/>. Widoczne jest rozmycie brzegów spowodowane usunięciem z obrazu wysokich częstości.]]
Dotychczas pojecie sygnału kojarzyliśmy głównie z przebiegami pewnych wielkości fizycznych w czasie (np. sygnał EEG jest zapisem czynności elektrycznej mózgu). Termin sygnał można także stosować do obrazu. W tym przypadku sygnał jest reprezentacją pewnej mierzalnej cechy obiektu w przestrzeni (na <xr id="fig:linie_x_ft">rys. %i</xr> - <xr id="fig:linie_xy_ft">rys. %i</xr> cechą tą jest rozkład jasności obiektu). Jak pamiętamy z kursu [[STAT:Analiza_sygnałów|"Analiza Sygnałów"]], rzeczywiste układy pomiarowe, które realizują przetwarzanie sygnałów nazywamy systemem. System modelowany jest jako ''czarna skrzynka'', generująca odpowiedni sygnał wyjściowy w odpowiedzi na stan wejściowy. Szczególną klasę systemów przetwarzających sygnały, tworzą tzw. Układy Liniowe Niezmiennicze w Czasie (ang. ''Linear, Time Invariant Systems'', LTI). Oznaczmy przez <math>T\left\{\cdot\right\}</math> operacje wykonywane na sygnałach wejściowych ''x(t)'' oraz ''y(t)'', wtedy układ LTI charakteryzuje się następującymi własnościami:
<ol><li>Liniowość.
<equation id="8">
<math>T\left\{x(t)+y(t)\right\}=T\left\{x(t)\right\}+T\left\{y(t)\right\}</math>
</equation>
<equation id="9">
<math>T\left\{ax(t)\right\}=aT\left\{x(t)\right\}</math>
</equation>
<li> Niezmienniczość w czasie.
<equation id="10">
<math>T\left\{x(t+\tau)\right\}=T\left\{x(t)\right\}</math>
</equation>
</ol>
Przykładem układów LTI są filtry typu ''IIR'' oraz ''FIR''. Filtry te, jako układu LTI zmieniają amplitudę oraz poszczególnych składowych częstościowych sygnału. Nie mogą natomiast wytworzyć w sygnale składowych o nowych częstościach, co jest charakterystyczną cechą układów nielinowych. Operację przetwarzania sygnału przez układ LTI zapisujemy przy pomocy splotu. Niech ''x(t)'' będzie sygnałem na wejściu układu LTI, ''y(t)'' sygnałem na jego wyjściu, zaś ''h(t)'' odpowiedzią systemu LTI na impuls jednostkowy, wtedy zachodzi następująca relacja:

<equation id="11">
<math>y(t)=\int\limits_{-\infty}^\infty x(\tau)h(t - \tau) d\tau = x(t)\ast h(t)</math>
</equation>
gdzie <math>\ast</math> oznacza splot.

Pojęcie układów LTI można rozszerzyć również na sygnały dwuwymiarowe, czyli np. obrazy. Niech ''g(x,y,)'' oraz ''v(x,y)'' będą dwoma obrazami na wejściu pewnego systemu, realizującego operację <math>T\left\{\cdot\right\}</math>. System nazwiemy liniowym, jeśli spełni następujące warunki:
<ol><li>Liniowość.
<equation id="12">
<math>T\left\{g(x,y)+v(x,y)\right\}=T\left\{g(x,y)\right\}+T\left\{v(x,y)\right\}</math>
</equation>
<equation id="13">
<math>T\left\{ag(x,y)\right\}=aT\left\{g(x,y)\right\}</math>
</equation>
<li> Niezmienniczość w czasie.
<equation id="14">
<math>T\left\{g(x,y,t+\tau)\right\}=T\left\{g(x,y,t)\right\}</math>
</equation>
</ol>
Podobnie jak i w przypadku sygnałów jednowymiarowych, przykładem układów LTI w analizie obrazów są filtry cyfrowe. Własności filtrujące posiadają również znane z kursów fizyki soczewki, które działają jak filtry dolnoprzepustowe — usuwają z padającego na nie obrazu składowe o wysokich częstościach, przez co obraz po przejściu przez soczewkę staje się rozmyty. Wiele elementów aparatury stosowanej w obrazowaniu medycznym może być również traktowana jako układy LTI co znacznie ułatwia analizę ich działania. Relację pomiędzy obrazem na wejściu i wyjściu układu LTI można opisać za pomocą dwuwymiarowego splotu. Niech ''g(x,y)'' będzie obrazem wejściowym, ''v(x,y)'' obrazem na wyjściu systemu LTI, zaś i ''h(x,y)'' odpowiedzią układu LTI na punktowe źródło światła, wtedy:
<equation id="15">
<math>v(x,y)=\int\limits_{-\infty}^\infty\int\limits_{-\infty}^\infty g(\tau_x,\tau_y)h(x - \tau_x,y-\tau_y)d\tau_xd\tau_y</math>
</equation>
Operację splotu w dziedzinie częstości przestrzennych można zapisać w następujący sposób:
<equation id="16">
<math>V(u,v)=G(u,v)\cdot H(u,v)</math>
</equation>

Podobnie jak w analizie sygnałów, funkcję <math>h(x,y)</math> nazywana jest funkcją odpowiedzi impulsowej lub punktową funkcją rozproszenia (ang. ''Point Spread Function'', PSF). Nazwa jest nieprzypadkowa, ponieważ efektem działania układu optycznego jest rozmycie obrazu obiektu punktowego.

==O rozdzielczości raz jeszcze==
[[Plik:fwhm.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:fwhm"></figure>Rozkład natężenia światła obiektu punktowego po przejściu przez układ LTI jest krzywą dzwonową. Szerokości krzywej w połowie wysokości (ang. Full Width at Half Maximum, FWHM) określa skalę rozmycia obrazu.]]
[[Plik:resolution.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:resolution"></figure>Rozkład natężenia światła dwóch obiektów punktowych po przejściu przez układ LTI dla kolejnych odległości pomiędzy obiektami. A. Dwa obiekty punktowe znajdują się w odległości ponad dwa razy większej niż wielkość FWHM. Pomimo rozmycia obrazów obiekty te są dobrze rozróżnialne. B. Dwa obiekty punktowe znajdują się w odległości dwa razy większej niż wielkość FWHM. Rozmycie wprowadzone przez układ LTI powoduje iż obrazy tych obiektów zlokalizowane są blisko siebie, nadal jednak obiekty te można bez problemu rozróżnić. C. Dwa obiekty punktowe znajdują się w odległości równej dokładnie FWMH. Są trudno rozróżnialne. D). Przyjmuje się, że obiekty punktowe znajdujące się w odległości mniejszej niż FWMH nie są rozróżnialne.]]

Pojęcie rozdzielczości układu obrazującego zostało już wprowadzone na przykładzie prostego urządzenia jakim jest "Camera Obscura" oraz punktowych źródeł światła. Obecnie postaramy się omówić pojęcie rozdzielczości w kontekście systemów LTI.

W poprzednim rozdziale dowiedzieliśmy się, że wśród urządzeń służących do obrazowania można wyróżnić niezwykle ważną klasę układów, czyli tzw. systemy LTI. W przypadku układów obrazujących LTI, rolę impulsu jednostkowego pełni punktowe lub nieskończenie wąskie i długie (liniowe) źródło światła. Każdy dwuwymiarowy obiekt można być reprezentowany jako suma punktowych źródeł światła. Z kolei model liniowego (nieskończenie długiego i wąskiego źródła światła) jest wygodny do pomiaru rozdzielczości układu. W takim przypadku rozdzielczość jest to maksymalna liczba linowych źródeł światła na jednostkę długości obrazowanego obiektu, które można rozpoznać jako oddzielne źródła fali elektromagnetycznej. Wiemy już, że układ obrazujący LTI, nie odwzoruje dokładnie rzeczywistych obiektów. Na skutek filtrowania częstości przestrzennych, obrazy obiektów punktowych czy obiektów mający charakter nieskończenie cienkich linii, zostaną rozmyte. Na rysunku <xr id="fig:fwhm">rys. %i</xr> zaprezentowano typowy znormalizowany rozkład natężenia światła emitowanego przez obiekt punktowy, po przejściu przez układ LTI. Rozkład ten ma charakter krzywej "dzwonowej". Jako miarę rozmycia obrazu obiektu punktowego przyjmuje się szerokość rozkładu w połowie jego maksymalnej wysokości (ang. ''Full Width at Half Maximum'', FWHM).

Jeśli dwa obiekty punktowe znajdują się blisko siebie, to na skutek rozmycia, mogą być trudne do rozróżnienia na obrazie utworzonym przez układ LTI. Rozdzielczość układu obrazującego zależy od bardzo wielu czynników, które sukcesywnie będą wprowadzane w trakcie poznawania kolejnych metod obrazowania. W tym rozdziale zajmiemy się najważniejszym z parametrów, to jest wielkością FWHM. Nie istnieje ściśle deterministyczny związek pomiędzy parametrem FWHM a rozdzielczością. Można jednak zauważyć, że rozdzielczość jest odwrotnie proporcjonalna do wielkości FWHM, co zaprezentowano na rysunku <xr id="fig:resolution">rys. %i</xr>.

Jak wspomniano, rozdzielczość układu obrazującego najczęściej podaje się w liniach, które można rozróżnić na mm. Mierzoną tak rozdzielczość łatwo jest określić za pomocą fantomów, wykonanych np. w przypadku promieniowania RTG z tworzyw sztucznych wewnątrz których rozmieszczone są odpowiednio elementy metalowe (np. druty).

==Kontrast. Funkcja Przenoszenia Kontrastu.==
[[Plik:global_contrast.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:global_contrast"></figure>Ilustracja pojęcia kontrastu globalnego. Na rysunku zaprezentowano przebieg jasności pewnego obrazu wzdłuż jednego z jego wymiarów. Wartość maksymalnej jasności wynosi <math>I_A = 30</math>, podczas gdy wartość minimalna <math>I_B = 5</math>. Kontrast globalny wynosi: <math>\frac{30-5}{30+5}=\frac{5}{7}</math>. Pojęcie kontrastu globalnego odnosi się zarówno do rzeczywistego obiektu jak i obrazu.]]
[[Plik:local_contrast.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:local_contrast"></figure>Ilustracja pojęcia kontrastu lokalnego. Na rysunku zaprezentowano przebieg jasności pewnego obiektu wzdłuż jednego z jego wymiarów. Wartość maksymalnej jasności wynosi <math>I_A = 5</math>, podczas gdy wartość tła <math>I_B = 1</math>. Kontrast lokalny wynosi: <math>\frac{5-1}{5}=\frac{4}{5}</math>. Pojęcie kontrastu lokalnego odnosi się zarówno do rzeczywistego obiektu jak i obrazu]]
[[Plik:ksiezyc_1.jpg|300px|thumb|right|<figure id="fig:ksiezyc_1"></figure>Zdjęcie Księżyca znajdującego się w fazie tuż po pierwszej kwadrze. Księżyc jest obiektem bardzo jasnym i doskonale wyróżnia się na tle ciemnego nieba. Wzdłuż terminatora (linii oddzielającej część oświetloną ciała niebieskiego od części nieoświetlonej) można zauważyć wyraźnie bardzo wiele szczegółów budowy powierzchniowej naszego naturalnego satelity. Obiekty te są tak dobrze widoczne, dzięki wysokiemu kontrastowi powstałemu na granicy części oświetlonej i nieoświetlonej Księżyca. Możemy powiedzieć, że na linii terminatora istnieje wysoki kontrast własny obiektu. Proszę zauważyć, iż wraz z oddalaniem się w prawo od linii terminatora zdolność zauważenia szczegółów na powierzchni Księżyca gwałtownie maleje. Zdjęcie udostępnione przez Luca Viatoura na stronach Wikimedia Commons.]]
[[Plik:ksiezyc_2.jpg|300px|thumb|right|<figure id="fig:ksiezyc_2"></figure>Zdjęcie Księżyca znajdującego się w pełni. Większość osób uważa, iż jest to najlepszy moment do obserwacji naszego naturalnego satelity. Jest to jednaj mniemanie błędne. Cała powierzchnia Księżyca jest wtedy tak silnie oświetlona promieniami słonecznymi tak że trudno jest zauważyć szczegóły w budowie jego powierzchni. Zdjęcie wykonane i udostępnione przez Luca Viatoura na stronach Wikimedia Commons. Zdjęcie wykonano przy pomocy tego samego sprzętu co zdjęcie <xr id="fig:ksiezyc_1">rys. %i</xr>.]]
[[Plik:rozdzielczosc_kontrast.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:rozdzielczosc_kontrast"></figure>Przykład zależności pomiędzy szerokością funkcji PSF a stopniem przenoszenia kontrastu. A. Obiekt jest punktowym źródłem świtała, emitującym falę elektromagnetyczną o natężeniu <math>I_1</math>. Natężenie światła <math>I_0</math> emitowanego przez otoczenie obiektu wynosi 0. B. Obiekt składa się z trzech źródeł światła, z których każde emituje falę elektromagnetyczną o natężeniu <math>I_1</math>. Natężenie światła emitowane przez otoczenie źródeł wynosi <math>I_0</math>. Tło obrazu charakteryzuje się niezerową jasnością <math>I'_0</math> co jest skutkiem rozmycia, wprowadzonego przy odwzorowaniu, obiektów punktowych przez układ obrazujący.]]
[[Plik:kontrast.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:kontrast"></figure>Wpływ wielkości obrazu oraz jego rozmycia na kontrast. Kolor biały - maksymalna jasność, kolor czarny minimalna jasność. A. Obrazem obiektu jest elipsa. Zajmuje one względnie duża powierzchnię obrazu i silnie wyróżnia się od ciemnego tła. B. Rzut obrazowanego obiektu na płaszczyznę różni się od przypadku A. tylko rozmiarem. Podobnie jak w przypadku A. następuje skokowa zmiana jasność na brzegach obiektu. Pomimo tego, odczuwamy, iż obrazowany obiekt słabiej wyróżnia się od tła niż ma to miejsce w przypadku A. C. Rzut obrazowanego obiektu na płaszczyznę ma ten sam kształt co w przypadku A, jednakże nie następuje skokowa zmiana jasności na brzegach obiektu - obraz jest rozmyty. Sprawia to wrażenie iż uzyskany kontrast jest mniejszy niż w przypadku A. D. Obraz składający się z jasnych linii, których liczba jednostkę długości rośnie. Najwyższy kontrast odczuwamy dla niewielkiej liczby na jednostkę długości. Wraz ze wzrostem liczby linii na jednostkę długości (w kierunku od lewej do prawej części rysunku) odczuwamy wrażenie spadku kontrastu.]]
[[Plik:kontrast_rozdzielczosc.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:kontrast_rozdzielczosc"></figure>Zależność percepowanej rozdzielczości obrazu od jego kontrastu. W pierwszym wierszu znajduje się obiekt (A) oraz przebieg jego jasności wzdłuż osi ''X''. W Wierszu drugim zaprezentowano obraz obiektu (C) oraz przebieg jasności na obrazie (D) wzdłuż osi ''X''. W trzecim i czwartym wierszu zaprezentowano kolejne dwa obrazy (E) i (G) wytworzone przez układy obrazujące o coraz gorszej funkcji przenoszenia kontrastu. Na rysunkach (F) i (H) pokazano przebieg jasności wzdłuż osi ''X''. Jak można zauważyć, wraz z pogarszającym się kontrastem obiektu coraz trudniej jest rozróżnić na obrazie linie z których składa się obiekt.]]
[[Plik:ctf.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:ctf"></figure> A i B - przebieg funkcji CTF dla dwóch układów obrazujących. Czerwona pozioma linia określa poziom przenoszenia kontrastu 3%. W przypadku układu obrazującego, którego funkcję CTF zaprezentowano na rysunku A, przenoszenie kontrastu maleje do wartości 3% dla 27 linii na jednostkę długości. Układ obrazujący, którego wykres funkcji CTF zaprezentowano na rysunku A, charakteryzuje się gorszym przenoszeniem kontrastu, który spada do wartości 3% już dla 9 linii na jednostkę długości. W związku z powyższym układ A charakteryzuje się lepszą rozdzielczością przestrzenną.]]

Na początku podręcznika zdefiniowaliśmy obraz jako odwzorowanie pewnej cechy obiektu na płaszczyznę. Aby interesujący nas obiekt można było rozpoznać na na obrazie, musi się on różnić pod względem intensywności odwzorowywanej cechy od innych obiektów i tła. Różnicę w natężeniu cechy danego obiektem oraz natężeniu cechy innych przedmiotów lub tła nazywamy kontrastem. Wyróżnia się przy tym pojęcie kontrastu dla rzeczywistych przedmiotów, który nazywamy kontrastem własnym obiektu. Jeśli interesujący nas obiekt charakteryzuje się bardzo niskim kontrastem własnym, zauważenie na nim jakiś szczegółów jest niemożliwe nawet przy użyciu bardzo wysokiej klasy aparatury obrazującej (patrz <xr id="fig:ksiezyc_1">rys. %i</xr> i <xr id="fig:ksiezyc_2">rys. %i</xr>). Pojęcie kontrastu nie jest w pełni ujednolicone i istnieją różne sposoby jego obliczania. Najczęściej podaje się
* Kontrast globalny.
<equation id="eq:kontrast_globalny">
<math> C = \frac{I_A - I_B}{I_A + I_B} </math>
</equation>
:gdzie (patrz <xr id="fig:global_contrast">rys. %i</xr>): 
:<math>I_A</math> — maksymalna intensywność cechy fizycznej (np. natężenia światła) w interesującym nas obszarze przestrzeni lub obrazu. 
:<math>I_B</math> — minimalna intensywność cechy fizycznej (np. natężenia światła) w interesującym nas obszarze przestrzeni lub obrazu.
* Kontrast lokalny
<equation>
<math>C = \frac{I_A - I_B}{I_B}</math>
</equation>
:gdzie (patrz <xr id="fig:local_contrast">rys. %i</xr>): 
:<math>I_A</math> — intensywność cechy fizycznej (np. natężenia światła), interesującego nas obiektu rzeczywistego lub jego odwzorowania na obrazie. 
:<math>I_B</math> — intensywność cechy fizycznej (np. natężenia światła) otoczenia (tła) interesującego nas obiektu rzeczywistego lub jego odwzorowania na obrazie.
* Stosunek Kontrastu do Szumu (ang. ''Contrast To Noise Ratio'', CNR).
<equation>
<math>C = \frac{I_A - I_B}{\sigma}</math>
</equation>
:gdzie: 
:<math>I_A, I_B</math> — intensywność cechy fizycznej (np. natężenia światła), dwóch interesujących nas obiektów lub ich odwzorowania na obrazie. 
:<math>\sigma^2</math> — wariancja szumu.

Postrzegany przez nas kontrast zależy od bardzo wielu czynników, m.in. od rozmiarów obiektu i rozmycia jego brzegów. Istotną wpływ ma także szerokość funkcji PSF co zaprezentowano na <xr id="fig:rozdzielczosc_kontrast">rys. %i</xr>. W przypadku <xr id="fig:rozdzielczosc_kontrast">rys. %i</xr>.A lokalny kontrast własny obiektu wynosi: <math>C = \frac{I_1 - 0}{0} = \infty</math>. Urządzenie diagnostyczne utworzyło rozmyty obraz punktowego źródła światła, o maksymalnym natężeniu światła <math>I_1'<I_1</math> i natężeniu tła wnoszącym <math>I_0'=0</math>. Kontrast lokalny obrazu jest nadal wysoki, ponieważ <math>C = \frac{I'_1 - 0}{0} = \infty</math>, jednak z uwagi na rozmycie brzegów obiektu, obserwator stwierdzi, że kontrast obrazu jest niższy niż kontrast obiektu, co zaprezentowano na <xr id="fig:kontrast">rys. %i</xr>.
W przypadku <xr id="fig:rozdzielczosc_kontrast">rys. %i</xr>.B obiekt składa się z trzech źródeł punktowych o kontraście lokalnym dążącym do nieskończoności. W wyniku rozmycia wprowadzonego przez urządzenie diagnostyczne, obrazy poszczególnych źródeł punktowych nakładają się na siebie. Natężenie światła tła na obrazie jest niezerowe, w związku z czym lokalny kontrast <math>C = \frac{I'_1 - I'_0}{I'_0}</math> osiąga wartość skończoną. 
Systemy obrazujące powinny jak najwierniej odwzorowywać kontrast rzeczywistych obiektów. Na skutek niedoskonałości poszczególnych elementów układu obrazującego kontrast własny obiektu jest zniekształcony na obrazie (zwykle kontrast ulega zmniejszeniu). Przykładowo, standardowe soczewki działają jak filtry dolnoprzepustowe. Usuniecie z obrazu wysokich częstości przestrzennych, które odpowiedzialne są za odtwarzanie szczegółów obiektu, powoduje rozmycie jego krawędzi co jak wiemy (patrz <xr id="fig:kontrast">rys. %i</xr>) skutkuje w obniżeniu kontrastu. Funkcją, za pomocą której opisuje się wpływ elementu układu obrazującego na kontrast jest "Funkcja Przenoszenia Kontrastu"(ang. ''Contrast Transfer Function'', CTF). CTF to stosunek kontrastu na wyjściu układu obrazującego do kontrastu na wejściu tego układu, obliczany dla zadanej linii na jednostkę długości.
<equation>
<math>CTF = \frac{C_{wy}\left(\frac{linie}{mm}\right)}{C_{wej}\left(\frac{linie}{mm}\right)}\times100%</math>
</equation>
gdzie: 
<math>C_{wy}\left(\frac{linie}{mm}\right)</math> — kontrast na wyjściu układu obrazującego, uzyskany dla danej rozdzielczości. 
<math>C_{we}\left(\frac{linie}{mm}\right)</math> — kontrast na wejściu układu obrazującego, uzyskany dla danej rozdzielczości.

Funkcja Przenoszenia Kontrastu nie osiąga wartości wyższej niż 100% (układy obrazujące mogą zmniejszyć kontrast a nie go poprawić) oraz maleje wraz ze wzrostem z liczbą linii na jednostkę długości. Przykład wykresu funkcji CTF zaprezentowano na rysunku <xr id="fig:ctf">rys. %i</xr>. W oparciu o krzywą CTF można zdefiniować rozdzielczość układu obrazującego.

<blockquote>''Rozdzielczość układu obrazującego jest to taka liczba linii na jednostkę długości dla której kontrast spada poniżej pewnej ustalonej wartości. Zwykle graniczna wartość kontrastu ustalona jest na poziomie 3%''.</blockquote>

Powyższy sposób określania rozdzielczości układu obrazującego ma następujące uzasadnienie. Kontrast z definicji to różnica w intensywności odwzorowywanej cechy poszczególnych elementów obrazowanej przestrzeni lub obrazu. Jeśli układ obrazujący, na skutek swoich wad, pomniejsza tę różnicę, obiekty są coraz trudniej odróżnialne, zwłaszcza jeśli znajdują się w niewielkiej od siebie odległości. Jeśli kontrast własny obiektu zostanie zmniejszony przez układ obrazujący do pewnej, bardzo niskiej wartości, dwa obiekty położone blisko siebie przestaną być rozróżnialne. Efekt ten zaprezentowano na <xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc">rys. %i</xr>, na którym rzeczywisty obiekt składa się z periodycznie powtarzających się jasnych i ciemnych pionowych linii (<xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.A</xr>). Na rysunku (<xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.B</xr>) pokazano przebieg jasności obiektu wzdłuż osi poziomej. Jak można zauważyć, globalny kontrast obiektu wynosi:
:<math> C = \frac{3.0-2.0}{3.0+2.0} = 0.2</math>.
Na <xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.C</xr> i <xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.D</xr> zaprezentowano - odpowiednio: odwzorowanie obiektu zaprezentowanego na <xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.A</xr> za pomocą układu LTI oraz przebieg jasności światła wzdłuż osi poziomej na obrazie obiektu. Jak można zauważyć, układ LTI odfiltrował wysokie częstotliwości przestrzenne, co doprowadziło do rozmycia brzegów linii. Kontrast uzyskany na obrazie (<xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.D</xr>) wynosi: ''C = 0.185''. Układ LTI odwzorował zatem około 92% (0.185/0.2 x 100) kontrastu własnego rzeczywistego obiektu. Na <xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.E</xr> i <xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.F</xr> zaprezentowano obraz obiektu z <xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.A</xr> otrzymany za pomocą kolejnego układu LTI oraz przebieg jasności światła wzdłuż osi poziomej na obrazie. Zastosowany układ obrazujący znacznie silniej odfiltrował wysokie częstości przestrzenne niż poprzedni system. Kontrast uzyskany na obrazie (<xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.D</xr>) wynosi: ''C'' = 0.155. Układ LTI odwzorował zatem około 77% kontrastu własnego rzeczywistego obiektu. Zaprezentowany na rysunku <xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.G</xr> obraz obiektu z <xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.A</xr> charakteryzuje się największym rozmyciem brzegów linii i najgorszym kontrastem. Pionowe linie są trudne do odróżnienia od tła. Jak można zauważyć na <xr id="fig:kontrast_rozdzielczosc"> %i.H</xr>, kontrast obiektu jest bardzo niski i wynosi ''C'' = 6%. Zastosowany układ LTI przeniósł zatem jedynie 3% kontrastu własnego rzeczywistego obiektu.

==Modulacja. Funkcja przenoszenia Modulacji.==

[[Plik:modulation_depth.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:modulation_depth"></figure>Ilustracja pojęcia głębokości modulacji. Na rysunku zaprezentowano zmiany jasności obiektu wzdłuż jednego z jego wymiarów. Izolinia jasności przebiega dla wartości <math>A = 5</math>. Amplituda zmian wartości wokół izolinii wynosi <math>B=2</math>. Głębokość modulacji jest równa <math>m=\frac{B}{A}=\frac{2}{5}</math>.]]

Główną zaletą opisanej w poprzednim rozdziale Funkcji Przenoszenia Kontrastu jest prostota jej wyznaczenia. Do tego celu można wykorzystać odpowiednie przygotowane fantomy. Niestety, funkcja ta posiada również pewne wady:
* Przenoszenie kontrastu wyznaczane jest w funkcji linii na jednostkę długości. Rzeczywiste obiekty (zwłaszcza tkanki z jakich składa się organizm) rzadko jednak składają się z linii.
* Systemy obrazujące składają się z bardzo wielu elementów, które niejednokrotnie można opisać przy pomocy formalizmu systemów LTI.

Przykładowo, głównymi elementami odpowiedzialnymi za utworzenie obrazu w aparacie fotograficznym jest obiektyw oraz film (lub matryca CCD). Obiektyw składa się zwykle z wielu soczewek. Załóżmy, że każda z soczewek film lub matryca CCD, funkcjonuje jak układ LTI. Nawet jeśli znamy przebieg funkcji CTF dla każdego z tych elementów, to nie można na tej podstawie przewidzieć wielkości kontrastu uzyskanego na obrazie. Taką informację otrzyma się dopiero badając układ obrazujący jako całość.
 
W celu dogodniejszego opisu właściwości urządzenia obrazującego została wprowadzona tzw. Funkcja Przenoszenia Modulacji (ang. ''Modulation Transfer Function'', MTF). Omówienie tej funkcji zaczniemy od przypomnienia pojęcia głębokości modulacji. Załóżmy, iż zmiany jasności pewnego obiektu zachodzą wzdłuż jednego z jego boków z częstością ''u''. Amplituda zmian jasności, wokół pewnego stałego poziomu ''A'', wynosi ''B''. Zmiany jasności obiektu, które wyraża następujący wzór:
<equation><math>
f(x,y) = A + B\sin(2\pi ux),
</math></equation>
zaprezentowano na rys <xr id="fig:modulation_depth">rys. %i</xr>.
Współczynnik głębokości modulacji to wielkość, która określa zmiany pewnego parametru względem pewnej stałej wartości. Jak widzimy na rys <xr id="fig:modulation_depth">rys. %i</xr> zmiany jasności obiektu osiągają amplitudę ''B'' względem pewnego poziomu jasności ''A''. W takim przypadku współczynnik głębokości modulacji określa poniższy wzór:
<equation><math>
m = \frac{B}{A}.
</math></equation>
Wykonajmy teraz obraz obiektu za pomocą układu LTI. Przypominamy, że układ LTI może zmieniać amplitudę i fazę poszczególnych częstości przestrzennych. W związku z tym, na wyjściu układu otrzymamy obraz <math>g(x,y)</math>, którego zmiany jasności będą opisane wzorem:
<equation><math>
g(x,y) = C + D\sin(2\pi ux),
</math></equation>
natomiast współczynnik modulacji wyniesie:
<equation><math>
m = \frac{D}{C}.
</math></equation>
Możemy zbadać teraz, jak układ LTI przeniósł współczynnik głębokości modulacji w następujący sposób:

<equation><math>
H = \frac{\frac{D}{C}}{\frac{B}{A}} = \frac{D\cdot A}{C\cdot B}.
</math></equation>

Im wartość współczynnika ‘‘H’’ jest bliższa jedności, tym układ LTI wiernej odwzorował na obrazie zmiany zachodzące w jasności obiektu. 
Zmiany w jasności, czy też innych cechach rzeczywistych obiektów są jednak znacznie bardziej skomplikowane niż powyższy przykład.
Jednakże, zarówno rzeczywiste obiekty, jak też ich obrazy, możemy przedstawić jako szereg harmonicznych oscylacji przestrzennych. Załóżmy, iż obiekt, zmiany jasności opisuje funkcja <math>f(x,y)</math> oraz jego obraz <math>g(x,y)</math> rozłożyliśmy na Szereg Fouriera:
<equation>
<math>
\begin{array}{l}
f(x,y) = A + \sum_i\sum_jB_{ij}\sin(2\pi u_ix+2\pi v_jy) \\
\\
g(x,y) = C + \sum_i\sum_jD_{ij}\sin(2\pi u_ix+2\pi v_jy) \\
\end{array}
</math>
</equation>
gdzie: 
<math>x, y</math> - współrzędne przestrzenne, 
<math>u_i, v_j</math> - ''i''-ta oraz ''j-ta'' częstości przestrzenna, 
<math>A, B_{ij}, C, D_{ij}</math> - amplitudy poszczególnych składowych harmonicznych. 

Niech obiekt ''f(x,y)'' o widmie ''F(u,v)'' zostanie odwzorowany za pomocą układu LTI na obrazie <math>g(x,y)</math> o widmie <math>G(u,v)</math>. Układ LTI scharakteryzowany jest przy pomocy funkcji odpowiedzi impulsowej ''h(x,y)'' o widmie <math>H(u,v)</math>. Z własności układów LTI wiemy, iż pomiędzy stanem wejściowym (obrazowanym obiektem) a wyjściem (obrazem) istnieje następujący związek:
<equation>
<math> G(u,v) = H(u,v)F(u,v)</math>
</equation>
Przypominamy również, że moduł Transformaty Fouriera odpowiada amplitudzie danej składowej harmonicznej, w związku z czym możemy zapisać:
<equation>
<math>
\begin{array}{l}
A = |F(u_0,v_0)| \\
\\
B_{ij} = |F(u_i,v_j)| \\
\\
C = |G(u_0,v_0)| \\
\\
D_{ij} = |G(u_i,v_j)| \\
\\
|H_{ij}| = \frac{|G(u_i,v_j)|}{|F(u_i,v_j)|} = \frac{D_{ij}}{B_{ij}}
\end{array}
</math>
</equation>
Korzystając z powyższych zależności możemy zapisać:
<equation>
<math> g(x,y) = H(0,0)A + \sum_i\sum_jH(u_i,v_j)B_{ij}\sin(2\pi u_ix+2\pi v_jy) </math>
</equation>
W przypadku obiektu złożonego z wielu składowych harmonicznych, głębokość modulacji może być inna dla każdej częstości przestrzennej:
<equation>
<math>m_{u_i,v_j} = \frac{B_{ij}}{A}</math>
</equation>
Zauważmy teraz, iż głębokość modulacji <math>m^g_{u_i,v_j}</math> obrazu ''g(x,y)'' można wyrazić w następujący sposób:
<equation>
<math> m^g_{u_i,v_j} = \frac{|H(u_i,v_j)|B_{ij}}{|H(0,0)|A}</math>
</equation>
Zbadajmy teraz, jak głębokość modulacji <math>m^f_{u_i,v_j}</math> rzeczywistego obiektu została odwzorowana na obrazie. Głębokość modulacji obrazu oznaczmy <math>m^g_{u_i,v_j}</math>
<equation>
<math>\frac{m^g_{u_i,v_j}}{m^f_{u_i,v_j}} = \frac{|H(u_i,v_j)|B_{ij}}{|H(0,0)|A}\frac{A}{B_{ij}} = \frac{|H(u_i,v_j)|}{|H(0,0)|}</math>
</equation>
Wielkość opisującą stosunek głębokości modulacji dla zadanych częstości przestrzennych w obrazie, do głębokości modulacji dla tych samych częstości przestrzennych w rzeczywistym obiekcie nazywamy Funkcją Przenoszenia Modulacji (MTF):
<equation>
<math> MTF(u_i,v_j) = \frac{|H(u_i,v_j)|}{|H(0,0)|}</math>
</equation>
Funkcję MTF układu LTI można w w łatwy sposób wyznaczyć, jeśli znamy widmo odpowiedzi tego systemu na impuls jednostkowy.

===Funkcja Przenoszenia Modulacji a rozdzielczość przestrzenna.===
[[Plik:mtf_kontrast.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:mtf_kontrast"></figure> A. Przykład odwzorowania obiektu, którego jasność można wyrazić wzorem (<xr id="eq:eq1"> %i</xr>). B. Przebieg jasności obiektu, zaprezentowanego na rysunku A. wzdłuż osi poziomej.]]
Linie x ft.png
Obiekt zaprezentowany na <xr id="fig:mtf_kontrast">rys. %i</xr> może zostać opisany za pomocą jednej funkcji harmonicznej biegnącej wzdłuż osi ''X'':
<equation>
<math>
f(x,y) = A_0 + B_0\sin(2\pi u_0 x)
</math>
</equation>
gdzie: <math>u_0=32\frac{\textrm{1}}{\textrm{m}}</math>. 
Maksima funkcji harmonicznej tworzą pionowe jasne linie. Odległość pomiędzy tymi liniami <math>\Delta x</math> jest odwrotnością częstości przestrzennej funkcji harmonicznej <math>u_0</math>:
<equation>
<math> \Delta x = \frac{1}{u_0}</math>
</equation>
Obraz ''g(x,y)'' obiektu ''f(x,y)'' może być rozłożony na składowe harmoniczne w następujący sposób:
<equation>
<math>
g(x,y) = C + D_0\sin(2\pi u_0 x)
</math>
</equation>
Związek pomiędzy składowymi harmonicznymi obrazu ''g(x,y)'' na wyjściu układu LTI, a składowymi harmonicznymi rzeczywistego obiektu ''f(x,y)'' na wejściu tego układu, wyraża poniższa zależność
<equation>
<math>
\begin{array}{l}
g(x,y) = H(0,0)A + H(u_0,0)B_0\sin(2\pi u_0 x) = \\
\\
H(0,0)A + MTF(u_0,0)B_0H(0,0)\sin(2\pi u_0 x) = \\
\\
H(0,0)(A + MTF(u_0,0)B_0\sin(2\pi u_0 x))
\end{array}
</math>
</equation>
gdzie: ''MTF'' jest funkcja przenoszenia modulacji charakterystyczną dla zadanego systemu LTI.
Jeśli dla danej częstości przestrzennej <math>u_0</math>, funkcja przenoszenia modulacji <math>MTF(u_0,0)</math> osiąga wartość bliską 0, częstość ta nie zostanie odwzorowana na obrazie. W związku z tym niemożliwe będzie rozróżnienie szczegółów znajdujących się bliżej niż <math>\Delta x = \frac{1}{u_0}</math>. W praktyce przyjmuje się, że graniczna rozdzielczość przestrzenna układu obrazującego osiągana jest dla częstości, dla której wartość funkcji przenoszenia modulacji wynosi 0.03.

===Funkcja Przenoszenia Modulacji a przenoszenie kontrastu.===
Na początku rozpatrzmy następujący przykład. Zamierzamy odwzorować cechę pewnego obiektu, jaką jest rozkład jego jasności. Ponadto zmiany jasności obiektu ''f(x,y)'' można opisać za pomocą jednej funkcji harmonicznej:
<equation id="eq:eq1">
<math> f(x,y) = A + B\sin(2\pi u_0 x)
</math></equation>
Obiekt taki zaprezentowano na <xr id="fig:mtf_kontrast">rys. %i</xr>, w przypadku którym ''A'' = 3, ''B''=1. Przyjęte założenia mają na celu uprościć pewne przekształcenia matematyczne, nie wpłyną jednak na końcowe wnioski jakie uzyskamy w niniejszym przykładzie.
Zdefiniujmy teraz kontrast globalny w następujący sposób:
<equation id="eq:eq2"><math>
C = \frac{A_{\max}-A_{\min}}{A_{\max}+A_{\min}}</math></equation>
gdzie: 
<math> A_{\max}, A_{\min}</math> to odpowiednio maksymalna i minimalna amplituda zmian obserwowana w sygnale. 
Obliczmy kontrast globalny obiektu opisanego wzorem (<xr id="eq:eq2"> %i</xr>):
<equation><math>C = \frac{A + B - (A - B)}{A + B + (A - B)} = \frac{B}{A}</math></equation>
Jak możemy zauważyć, uzyskany kontrast jest tożsamy z głębokością modulacji sygnału harmonicznego, który wynosi:
<equation><math>m = \frac{B}{A}</math></equation>
Modulacja sygnału jest wielkością, której przenoszenie przez układ LTI opisuje funkcja MTF.
Doszliśmy zatem do wniosku, iż funkcja MTF pośrednio opisuje przenoszenie kontrastu zawartego w sygnale przez układ LTI.

===Funkcja MTF złożonych układów obrazowania===
[[Plik:lti_mtf.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:lti_mtf"></figure>Układ obrazowania składający się z kilku systemów LTI.]]

Układu wykorzystywane w obrazowaniu medycznych są zbudowane z bardzo wielu elementów (źródeł promieniowania, układów formujących wiązki promieniowania, detektorów, itd.), które mają wpływ na uzyskiwany obraz. Nawet w budowie zwykłego aparatu fotograficznego możemy wyróżnić kilka podzespołów, takich jak obiektyw oraz detektor promieniowania (film lub matrycę CCD). Obiektyw z kolei złożony jest najczęściej z przesłony i kilku soczewek, których działanie może być opisane w formalizmie systemów LTI. Czy znając funkcję MTF dla każdego z elementów układu obrazującego jesteśmy w stanie coś wywnioskować na temat jakości obrazu uzyskanego przez cały układ obrazujący? Okazuje się że tak. Załóżmy, że nasz system obrazujący składa się z ''N'' bloków (czarnych skrzynek), z których każda może być opisana jako układ LTI. Schemat takiego urządzenia zaprezentowano na <xr id="fig:lti_mtf">rys. %i</xr>.
Właściwości każdego z elementów układu obrazującego w dziedzinie częstości przestrzennych opisane są przy pomocy funkcji przejścia <math>H_i(u,v)</math>, gdzie ''u'',''v'' to częstości przestrzenne. Na wejściu układu obrazującego podawany jest sygnał o widmie <math>F(u,v)</math>. Trafia on jednocześnie na wejście pierwszego układu LTI. Na wyjściu pierwszego układu LTI sygnał będzie miał postać:
<equation><math>G_1(u,v) = H_1(u,v)\cdot F(u,v)</math></equation>
Sygnał wyjściowy z pierwszego układu LTI jest sygnałem wejściowym dla kolejnego układu. W związku z tym, na wyjściu drugiego układu LTI pojawi sygnał:
<equation><math>G_2(u,v) = H_2(u,v)\cdot G_1(u,v) = H_2(u,v)\cdot H_1(u,v)\cdot F(u,v)</math></equation>
Ostatecznie, po przejściu przez ''N'' układów LTI, na wyjściu układu obrazującego uzyskamy sygnał:
<equation id="eq:lti_mtf"><math>G(u,v) = H_2(u,v)\cdot G_1(u,v) = H_N(u,v)\cdot \ldots \cdot H_2(u,v)\cdot H_1(u,v)\cdot F(u,v)</math></equation>
Dla całego układu obrazującego możemy zatem zdefiniować następująca funkcję przejścia:
<equation><math>H(u,v) = H_2(u,v)\cdot G_1(u,v) = H_N(u,v)\cdot \ldots \cdot H_2(u,v)\cdot H_1(u,v) </math></equation>
i wyznaczyć funkcję MTF tego układu:
<equation><math>MTF(u,v) = \frac{|H(u,v)|}{H(0,0)} </math></equation>
Funkcję MTF można również wyznaczyć znając przebieg funkcji przenoszenia modulacji <math>MTF_i(u,v) = \frac{H_1(u,v)}{ H_1(0,0)}</math> każdego systemu LTI wchodzącego w skład układu obrazującego, co wynika ze wzoru (<xr id="eq:lti_mtf"> %i</xr>):
<equation><math>MTF(u,v) = MTF_1(u,v)\cdot MTF_2(u,v)\cdot \ldots \cdot MTF_N(u,v)</math></equation>

===Zalety Funkcji MTF===
* Na podstawie przebiegu funkcji MTF można określić graniczną rozdzielczość układu obrazującego. Im lepiej układ LTI przenosi głębokość modulacji sygnału wejściowego dla wysokich częstości przestrzennych, tym lepsza będzie rozdzielczość otrzymywanego na wyjściu obrazu.
* Na podstawie przebiegu funkcji MTF można określić jak układ LTI odwzorowuje kontrast zawarty w sygnale wejściowym.
* Znając przebieg funkcji MTF dla poszczególnych składowych układu obrazującego można estymować funkcję MTF dla całego układu i przewidzieć jego właściwości.

===Wyznaczanie funkcji MTF na przykładzie Kamery Otworkowej===
[[File:bessel_1.png|350px|thumb|<figure id="bessel_1"/> Po prawo – rozkład natężenia punktowego źródła światła. Po lewo funkcja PSF Kamery Otworkowej, czyli obraz uzyskany w efekcie pobudzenia punktowym źródłem światła.]]
[[File:bessel_2.png|350px|thumb|<figure id="bessel_2"/>Po lewo funkcja OTF Kamery Otworkowej. Po prawo – wykres funkcji MTF wzdłuż jednego z wymiarów, w płaszczyźnie przechodzącej przez środek obrazu. Pionowymi czerwonymi liniami oznaczono pierwsze miejsce zerowe funkcji MTF (umownie graniczną rozdzielczość Kamery Otworkowej.]]

Przypominamy na początku, że działanie systemu obrazującego o własnościach układu LTI można opisać następującym wzorem:
<equation>
<math>v(x,y)=\int\limits_{-\infty}^\infty\int\limits_{-\infty}^\infty g(\tau_x,\tau_y)h(x - \tau_x,y-\tau_y)d\tau_xd\tau_y</math>
</equation>
gdzie:
<ul>
<li> ''*'' oznacza operację splotu,
<li> g(x,y) – reprezentacja obiektu na wejściu układu obrazującego,
<li> g(x,y) – reprezentacja obiektu na wyjściu układu obrazującego,
<li> h(x,y) – odpowiedź układu obrazującego na pobudzenie punktowym źródłem światła.
</ul>
Funkcję <math>h(x,y)</math> nazywamy punktową funkcja rozproszenia (ang. ''Point Spread Function'',PSF). Transformatę Fouriera <math> OTF(u,v)</math> funkcji PSF:
<equation><math>
OTF(u,v) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}h(x,y) e^{-2\pi i(ux + vy)}dxdy
</math></equation>

nazywamy optyczną funkcją przenoszenia (ang. ''Optical Transfer Function'',OTF). Funkcję OTF tę można zapisać w następujący sposób:

<equation><math>
OTF(u,v) = |OTF|e^{-i\phi(u,v)}
</math></equation>
gdzie: <math>\phi(u,v) = \arg(OTF(u,v))</math>.

Moduł Transformaty Fouriera funkcji PSF, znormalizowany w ten sposób, aby
<math>|OTF(0,0)| = 1</math> nazywamy funkcją przenoszenia modulacji:
<equation><math>
MTF(u,v) = \frac{|OTF(u,v)|}{|OTF(0,0)|}
</math></equation>
z kolei argument funkcji OTF nazywamy funkcją przenoszenia fazy (ang. ''Phase Transfer Function'',PTF):
<equation><math>
PTF(u,v) = \arg(OTF(u,v))
</math></equation>

===Przykład wyznaczenia funkcji MTF dla Kamery Otworkowej===
Obrazem punktowego źródła światła, znajdującego się w nieskończonej odległości od kamery otworkowej jest krążek o średnicy ''d'' równej średnicy obiektywu (otworka) kamery i równomiernym rozkładzie natężenia światła ''A'', który możemy opisać następującym wzorem:

<equation><math>
PSF(x,y) = \left\{\begin{array}{l}
A, \textrm{\ dla\ } \sqrt{x^2 + y^2} \leq d\\
\\
0, \textrm{\ dla\ } \sqrt{x^2 + y^2}>d
\end{array}\right.
</math></equation>

Rozkład natężenia światła emitowanego z punktowego źródła oraz jego obraz (funkcję PSF) zaprezentowano na <xr id="bessel_1">rys. %i</xr>.
Transformata Fouriera funkcji PSF(x,y) wynosi:

<equation><math>
OTF(u,v) = FFT(PSF(x,y)) = \frac{J_1(2\pi d\rho)}{ 2\pi d\rho }
</math></equation>
gdzie:
<ul>
<li> <math>J_1(\cdot)</math> — to funkcja Bessla pierwszego rodzaju, rzędu pierwszego,
<li> <math>\rho=\sqrt{u^2 + v^2}</math>,
<li> <math>u,v</math> — częstości przestrzenne.
</ul>
Funkcja przenoszenia modulacji – MTF, to moduł znormalizowanej funkcji OTF. Wartość funkcji OTF w punkcie <math>(0,0)</math> wynosi <math>\frac{1}{2}</math>, w związku z czym funkcja MTF jest równa:
<equation><math>
MTF(u,v) = 2\cdot|OTF(u,v)| = 2\frac{J_1(2\pi d\rho)}{ 2\pi d\rho}
</math></equation>

Wykres funkcji OTF oraz MTF zaprezentowano na <xr id="bessel_2">rys. %i</xr>.
Funkcja MTF osiąga pierwsze miejsce zerowe dla argumentu równego
<equation><math>
\rho_g = \frac{0.61}{d}
</math></equation>

Wielkość <math>\rho_g</math> to górna granica pasma częstości przestrzennych przenoszonych przez Kamerę Otworkową.