Brain-wiki - Ostatnie zmiany [pl]

WnioskowanieStatystyczne/Test serii

Durka — Sun, 29 Mar 2026 14:38:45 GMT

Pozostaje jeszcze rozważyć sytuację

Podgląd zmian

Plik:Testserii1000.png

Durka — Sun, 29 Mar 2026 10:11:04 GMT

Durka przesłał Plik:Testserii1000.png animacja 7 wyników dla testu serii przy 1000 losowań

Nowa strona

== Opis ==
animacja 7 wyników dla testu serii przy 1000 losowań

WnioskowanieStatystyczne/Test serii

Durka — Sun, 29 Mar 2026 10:09:47 GMT

Test serii Walda-Wolfowitza

WnioskowanieStatystyczne/Testy nieprametryczne

Durka — Sun, 29 Mar 2026 08:50:38 GMT

Testy nieparametryczne

WnioskowanieStatystyczne/Statystyki i estymatory

Durka — Wed, 25 Mar 2026 15:49:15 GMT

Estymator wariancji

Pracownia Sygnałów Biologicznych/Zajecia 5 6

Jarekz — Wed, 25 Mar 2026 08:28:15 GMT

Obserwacje wstępne

WnioskowanieStatystyczne/Statystyki i estymatory

Durka — Fri, 20 Mar 2026 09:18:52 GMT

Estymator wariancji

Pracownia Sygnałów Biologicznych/Zajecia 5 6

Jarekz — Fri, 20 Mar 2026 08:50:29 GMT

Analiza

Pracownia Sygnałów Bioelektrycznych

Jarekz — Fri, 20 Mar 2026 08:31:22 GMT

Materiały

Pracownia Sygnałów Biologicznych/Zajecia 2 4

Jarekz — Wed, 18 Mar 2026 08:33:28 GMT

Ćwiczenie 5: HRV

Wnioskowanie Statystyczne - wykład

Durka — Fri, 13 Mar 2026 10:06:28 GMT

Wnioskowanie statystyczne (wykład)

WnioskowanieStatystyczne/Statystyki i estymatory

Durka — Thu, 12 Mar 2026 15:06:58 GMT

Estymator wariancji

Laboratorium EEG

Jarekz — Thu, 12 Mar 2026 14:46:53 GMT

Materiały dydaktyczne

WnioskowanieStatystyczne/Statystyki i estymatory

Durka — Thu, 12 Mar 2026 14:45:43 GMT

Estymator wartości oczekiwanej

@@ Linia 26: / Linia 26: @@
 |-
 | <pre>
 import matplotlib.pyplot as plt
 import numpy
@@ Linia 31: / Linia 32: @@
 n1=25 # zera
 n2=30 # jedynki
-ile_losowan=100000
+n=n1+n2
-wynik=numpy.zeros(ile_losowan, dtype=numpy.int)
+ile_losowan=1000
-n=n1+n2
 for i in range(0, ile_losowan):
-	losowanie=numpy.zeros(n, dtype=numpy.int)
+	losowanie=numpy.zeros(n, dtype=numpy.int32)
 	while numpy.sum(losowanie) < n2:
 		losowanie[numpy.random.randint(0,n)]=1
-	#s=numpy.array_str(losowanie).replace(" ",""); print s
+	#print(numpy.array_str(losowanie,max_line_width=numpy.inf).replace(" ",""), "\n")
 	zmiany=1
 	for j in range(1, n):
@@ Linia 49: / Linia 51: @@
 plt.xlabel("$k$")
 plt.ylabel("$P(k)$")
-plt.title("$n_1 = 30, n_2 = 25$")
+#plt.title("$n_1 = 30, n_2 = 25$")
 plt.show()
 </pre>
 |}
 [[Plik:Testserii.png|center|thumb|600px|<figure id="fig:132"></figure>Histogram liczby serii <math>k</math> w <math>10^5</math> niezależnych losowaniach 30 zer i 25 jedynek.]]

@@ Linia 23: / Linia 23: @@
 normalności rozkładów danych.
-Tę pożądaną własność mają wszystkie testy opisywane w pierwszej części
+W takich dziedzinach jak medycyna, psychologia czy
 socjologia mamy zwykle do czynienia z danymi, o których trudno
 powiedzieć ''a priori'' z jakiego rozkładu pochodzą, a wysoki koszt
@@ Linia 83: / Linia 80: @@
 wszystkich uprawnionych do głosowania.  Natomiast dość skutecznie
 możemy testować niezależność kolejnych losowań; intuicja podpowiada,
-że bardziej prawdopodobny<ref>formalnie oba ciągi są jednakowo prawdopodobne</ref> jest ciąg
+że nie wszystkie z poniższych ciągów są "jednakowo prawdopodobne"<ref>formalnie wszystkie trzy ciągi są jednakowo prawdopodobne</ref>:
-00101101001110101001 niż 11111111110000000000, choć oba zawierają te
 same liczby jedynek i zer &mdash; oczywiście, jeśli mówimy o wynikach
 niezależnych losowań.<ref>Jeśli pierwszych dziesięć opinii zbierzemy
 wśród młodych bezrobotnych a drugie dziesięć wśród emerytów (dwie

@@ Linia 164: / Linia 164: @@
 Analogicznie dla wariancji wartości średniej
-<center><math>
+<center><math>\displaystyle
   E(\overline{x}^2) = \sigma_\overline{x}^2 + \mu^2
 </math></center>
-Ponieważ
-<math>\displaystyle
+Czyli <math>\sigma_\overline{x}^2 = E(\overline{x}^2) - \mu^2</math>.
-{ \sigma ^{2}_\overline{x}=\frac{1}{n}\sigma^{2}_x }
+Ponieważ <math> \sigma^{2}_\overline{x}=\frac{1}{n}\sigma^{2}_{x_i} </math>
 dostajemy
 <center><math>\displaystyle
-\frac{1}{n}\sigma^{2}_\overline{x} = E({x}^2) - \mu^2
+\frac{1}{n}\sigma^{2}_{x_i} = E(\overline{x}^2) - \mu^2
 </math></center>
 <center><math>\displaystyle
-E(\overline{x}^2) = \frac{1}{n}\sigma^{2}_{x_i} - \mu^2
+E(\overline{x}^2) = \frac{1}{n}\sigma^{2}_{x_i} + \mu^2
 </math></center>
@@ Linia 218: / Linia 216: @@
 <math>\displaystyle
-E\left( s_o^{2}\right) =  \frac{1}{n} \left( n \left(\sigma^2_{x_i} - \mu^2\right) -n \left( \frac{1}{n}\sigma^2_{x_i} - \mu^2 \right) \right)
+E\left( s_o^{2}\right) =  \frac{1}{n} \left( n \left(\sigma^2_{x_i} + \mu^2\right) -n \left( \frac{1}{n}\sigma^2_{x_i} + \mu^2 \right) \right)
 =\frac{n-1}{n}\sigma^{2}_{x_i}
 </math>

@@ Linia 30: / Linia 30: @@
 ===Artefakty ruchowe ===
-W wyniku aktywacji mięśnia, ulega on skróceniu, co powoduje przemieszczanie się względem siebie mięśnia, skóry i elektrody. Przemieszczenie to powoduje zmianę amplitudy mierzonego sygnału (np. elektroda oddala się od mięśnia), zmianę potencjału DC (potencjału powstającego na granicy skóra-elektrolit) oraz rozciągniecie skóry. Jak pamiętamy z pierwszych zajęć
+Artefakty ruchowe
-pomiędzy naskórkiem a skórą właściwą istnieje różnica potencjałów o amplitudzie dochodzącej do 30 mV. W trakcie rozciągania skóry, wartość to spada do 25 mV. Powstająca zmiana potencjału, o wartości około 5 mV jest w porównaniu z sygnałem EMG bardzo znacząca.
 ===Artefakty sieciowe ===
-Artefakty sieciowe stanowią poważny problem w przypadku rejestracji sygnału EMG. Zwykle bowiem nie obserwujemy tylko zakłócenia o jednej częstości, równej częstości zmian napięcia w gniazdku zasilającym (np. w Polsce jest to 50 Hz), lecz również wyższe harmoniczne tej częstości (w Polsce będzie to 100 Hz, 150 Hz, 200 Hz, itd). Jak można zauważyć, częstości 50 Hz, 100 Hz i 150 Hz znajdują się w paśmie, w którym sygnał EMG ma największą energię. Stosowanie filtrów pasmowo zaporowych w takim przypadku nie jest wskazane, bowiem filtry jak wiemy nie tłumią ściśle określonych częstości tylko pasma o pewnej szerokości (np. 45-55 Hz, 95-105 Hz, itd). W efekcie znaczna część interesującego nas pasma sygnału EMG zostałaby odrzucona. Aby zminimalizować przenikanie od rejestrowanego sygnału EMG sygnału sieciowego o częstości 50 Hz należy zadbać o niską impedancję pomiędzy elektrodą a skóra oraz powinno mierzyć się sygnały różnicowe.
+Artefakty sieciowe stanowią poważny problem w przypadku rejestracji sygnału EMG. Zwykle bowiem nie obserwujemy tylko zakłócenia o jednej częstości, równej częstości zmian napięcia w gniazdku zasilającym (np. w Polsce jest to 50 Hz), lecz również wyższe harmoniczne tej częstości (w Polsce będą to 100 Hz, 150 Hz, 200 Hz itd.). Jak można zauważyć, częstości 50 Hz, 100 Hz i 150 Hz znajdują się w paśmie, w którym sygnał EMG ma największą energię. Stosowanie filtrów pasmowo zaporowych w takim przypadku nie jest wskazane, bowiem filtry jak wiemy nie tłumią ściśle określonych częstości tylko pasma o pewnej szerokości (np. 45-55 Hz, 95-105 Hz, itd). W efekcie znaczna część interesującego nas pasma sygnału EMG zostałaby odrzucona.
 ===Artefakty sieciowo-ruchowe ===
-Podczas ruchu mięśnia ciało może ulec przemieszczeniu, co spowoduje ruch kabla w przestrzeni pomiędzy elektrodą a wzmacniaczem. W przestrzeni tej istnieje pole elektromagnetyczne, wywołane zasilaniem sieci elektrycznej. Ruch kabla w polu elektromagnetycznym może powodować zaburzenia sygnału o częstości 50 Hz. Ponadto układ elektrody-kable-wzmacniacz, tworzy pewne ramki, które w trakcie ruchu zmieniają kształt a także powierzchnię. Zgodnie z Prawem Indukcji Faraday'a zmiana strumienia magnetycznego powoduje powstawanie siły elektromotorycznej, która również może zakłócać pomiar.
+Podczas ruchu mięśnia ciało może ulec przemieszczeniu, co spowoduje ruch kabla w przestrzeni pomiędzy elektrodą a wzmacniaczem. W przestrzeni tej istnieje pole elektromagnetyczne wywołane zasilaniem sieci elektrycznej. Ruch kabla w polu elektromagnetycznym może powodować zaburzenia sygnału o częstości 50 Hz. Ponadto układ elektrody-kable-wzmacniacz, tworzy pewne ramki, które w trakcie ruchu zmieniają kształt a także powierzchnię. Zgodnie z '''prawem indukcji Faradaya''' zmiana strumienia magnetycznego powoduje powstawanie siły elektromotorycznej, która również może zakłócać pomiar.
-Artefakty ruchowe można w większości wyeliminować przez zastosowanie filtru górnoprzepustowego, którego częstość odcięcia ustawia się w granicy od 10 do 20 Hz. Aby wyeliminować artefakty związane z ruchem kabla w polu elektromagnetycznym można zastosować tzw. elektrody aktywne. W elektrodach tych (miniaturowy) wzmacniacz znajduje się na elektrodzie. Wzmacnianie sygnału na elektrodzie zwiększa względną czułość układu na sygnał mierzony na elektrodzie w stosunku do zaburzenia związanego z ruchem kabla. Innym rozwiązaniem tego problemu jest zastosowanie kabli ekranowanych. Kable TMSI, których używamy na Pracowni są kablami ekranowanymi. W kablach tych, pomiędzy dwiema warstwami izolatora, istnieje dodatkowa osłona z przewodnika podłączona do wzmacniacza. Dzięki temu, zewnętrzne pole elektromagnetyczne nie przenika do środka kabla. Dodatkowo, aby wyeliminować indukowanie się ładunków w wyniku tarcia pomiędzy izolatorami a osłoną, jest ona częściowo pokryta warstwą węgla.
+* Artefakty ruchowe można w większości wyeliminować przez zastosowanie filtru górnoprzepustowego, którego częstość odcięcia ustawia się w granicy od 10 do 20 Hz.
-Sygnały do naszych zajęć znajdują się w tym katalogu:
+<!--Sygnały do naszych zajęć znajdują się w tym katalogu:
 https://drive.google.com/drive/folders/18skluB3j2CHMXX8l1UmIvNXR1tZYGU0C?usp=sharing
-Proszę je pobrać.
+Proszę je pobrać.-->
 == Ćwiczenia ==
@@ Linia 61: / Linia 76: @@
 ** badać będziemy mięsień przedramienia
 ** przetestuj sygnały rejestrowane w kilku różnych lokalizacjach względem mięśnia
-** Przyjrzyj się przebiegowi i widmu sygnałów
+** przyjrzyj się przebiegowi i widmu sygnałów dla różnych wartości siły napięcia mięśnia - czy uda się zaobserwować "salwy" odpowiadające aktywacji pojedynczej jednostki ruchowej?
 ** dobierz odpowiednio filtry górnoprzepustowe
 ** zaobserwuj czy i kiedy w sygnale pojawiają się artefakty

@@ Linia 175: / Linia 175: @@
 <center><math>\displaystyle
-\frac{1}{n}\sigma^{2}_\overline{x} = E(\overline{x}^2) - \mu^2
+\frac{1}{n}\sigma^{2}_\overline{x} = E({x}^2) - \mu^2
 </math></center>

@@ Linia 51: / Linia 51: @@
 === Ćwiczenie I: Badanie zależności sygnału EMG od obciążenia ===
 ====Pomiar====
-* umieść elektrodę GND na wewnętrznej części przedramienia, w połowie jego długości,
+* Umieść elektrodę GND na obojczyku,
-* umieść dwie elektrody do rejestracji sygnału EMG na mięśniu dwugłowym ramienia (popularnie zwanym bicepsem). Kable tych elektrod połącz z unipolarnymi wejściami wzmacniacza numer 1 i 2.
+* Umieść dwie elektrody do rejestracji sygnału EMG na mięśniu dwugłowym ramienia (popularnie zwanym bicepsem). Kable tych elektrod połącz z unipolarnymi wejściami wzmacniacza numer 1 i 2.
-* ustaw częstość próbkowania sygnału na 2048
+* Ustaw częstość próbkowania sygnału na 2048
 ===== Obserwacje wstępne =====
 W tej części proszę wykonać wskazane poniżej obserwacje i zarejestrować fragmenty sygnałów, które mogłyby ilustrować ciekawe obserwacje, aby można je było wykorzystać w końcowej prezentacji.
@@ Linia 67: / Linia 67: @@
 ===== Rejestracja 1: napinanie i rozluźnianie ręki =====
-Zarejestruj sygnał, w którym naprzemiennie po około 5 s napinasz i rozluźniasz biceps lub ściskasz i rozluźniasz pięść (dla badania mięśnia przedramienia).
+Zarejestruj sygnał, w którym naprzemiennie   ściskasz 1 s i rozluźniasz pięść 2 s (dla badania mięśnia przedramienia). Powtórz 30 razy.
 ===== Rejestracja 2: zwiększanie obciążenia ręki =====
@@ Linia 76: / Linia 76: @@
 ===== Rejestracja 3: stałe obciążenie ręki =====
 Rejestrujemy dwa stany: spoczynek, narastajace obciążenie:
-* zarejestruj około 20s. sygnału spoczynkowego
+* zarejestruj około 20 s. sygnału spoczynkowego
 * w dalszej części dokładamy obciążenie (środkowy poziom z poprzedniego ćwiczenia) i rejestrujemy 1 min. sygnału
@@ Linia 99: / Linia 99: @@
 * Zbadaj zależność parametrów sygnału EMG od obciązenia mięśnia:
 ** Predstaw wykres średnią amplitudę (odchylenie standardowe) od obciążenia
-** Przedstaw widma dla kolejnych obciążeń (na wspólnym wykresie). Do estymacji wykorzystaj metodę Welcha, dobierając parametry tak aby rodzielczość częstotliwościowa była 1Hz.
+** Przedstaw widma dla kolejnych obciążeń (na wspólnym wykresie). Do estymacji wykorzystaj metodę Welcha, dobierając parametry tak, aby rozdzielczość częstotliwościowa była 1 Hz.
-* Zbadaj zależność parametrów sygnału EMG od zmęczenia mięśnia:
+* Zbadaj zależność parametrów sygnału EMG od zmęczenia mięśnia.Badanie efektu zmęczenia mięśnia w EMG
-** Przedstaw mapę czas-częstość dla całego czasu rejestracji. Zaobserwuj jakie zmiany następują w widmie wraz z czasem.
+** Zmęczenie mięśnia w elektromiografii bada się głównie poprzez analizę zmian sygnału podczas długotrwałego skurczu izometrycznego. Kluczowe metody:
-** Przedstaw ewolucję czasową środka ciężkości widma częstości
+*** Analiza widmowa (spektralna): Podczas zmęczenia obserwuje się przesunięcie widma mocy w kierunku niskich częstotliwości, co opisują dwa wskaźniki:
 <!--
@@ Linia 115: / Linia 118: @@
 -->
 === Ćwiczenie II: Analiza napięcia mięśni twarzy pod wpływem bodźców emocjonalnych ===
 ====Pomiar====
@@ Linia 134: / Linia 138: @@
 * W procedurze biernej powtórz powyższe kroki analizy i porównaj występujące wzorce z procedurą aktywną
 === Ćwiczenie III: zapoznanie się z sygnałami rejestrowanymi przez inwazyjne EMG===

@@ Linia 43: / Linia 43: @@
 ## detekcja pików R i tętno
 ## analiza HRV
-przesyłanie notebooków z EKG/HRV do 4.04
+przesyłanie notebooków z EKG/HRV do 1.04
 <hr>
-#[[Pracownia_Sygnałów_Biologicznych/Zajecia_5_6|EMG]]
+#[[Pracownia_Sygnałów_Biologicznych/Zajecia_5_6|EMG]] (Zaczynamy 25 i 27 marca 2026)
 ##  wprowadzenie, pomiary, analiza ćwiczenie I
 ##  analiza ćwiczenie I

@@ Linia 133: / Linia 133: @@
 ===Ćwiczenie 5: HRV ===
-HRV - heart rate variability.
+Zmienność zatokowego rytmu serca: HRV - heart rate variability.
 * zapoznaj się z koncepcją [https://en.wikipedia.org/wiki/Heart_rate_variability#cite_note-29 HRV]
 * Literatura [https://link.springer.com/article/10.1007/s11517-006-0119-0 Heart rate variability: a review].
-* napisz program, który przedstawiwa interwały R-R jako szereg czasowy
+* przedstaw interwały R-R jako szereg czasowy
-* wyestymuj widmo częstotliwościowe tego sygnału
+* przedstaw miarę RMSSD obliczaną dla okien 30s przesuwanych co jedną odległość RR jako szereg czasowy
-** uwaga: próbki są pobierane w różnych odstępach!
+* wykonaj interpolację sygnału RR do stałej częstości próbkowania 4Hz
-<!--
+** Uwaga: oryginalne próbki RR są pobierane w różnych odstępach!
 ** można zinterpolować punkty na równomiernie próbkowanej siatce https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.interpolate.interp1d.html#scipy.interpolate.interp1d i zastosować standardową funkcję do estymacji:
 ***  periodogramów
 *** widma metodą AR
-* porównaj widma HRV w poszczególnych warunkach eksperymentalnych; zwróć uwagę na proporcje mocy w pasmach wysokich częstości (HF: 0.15 do 0.4 Hz), niskich częśtości (LF: 0.04 do 0.15 Hz) i bardzo niskich częstości (VLF: 0.0033 do 0.04 Hz).
+* wyestymuj widmo częstotliwościowe sygnału RR, z sygnału wysiłkowego postaraj się usunąć trend
 ==Literatura uzupełniająca==

@@ Linia 57: / Linia 57: @@
 ----
-*[https://drive.google.com/drive/folders/1yPKnOfmO3dEp0SeslNXwSfOoPzQFSanc?usp=sharing slajdy z wykładów]
+*[https://drive.google.com/drive/folders/1d9KI-_RZUJSmZEnGk8cgIXp825XFVf93 slajdy z wykładów]
 * [https://drive.google.com/drive/folders/17gUnDAzVKY1CRQ4ExTqsjwYgXTJ-eWnq zapisy wideo zajęć zdalnych w 2021]
 * książka [https://www.deeplearningbook.org "Deep Learning"] Ian Goodfellow, Yoshua Bengio and Aaron Courville

@@ Linia 140: / Linia 140: @@
 ==Estymator wariancji==
-Spróbujmy skonstruować estymator wariancji z próby jako <math> s_o^{2}=\frac{1}{n}
+Spróbujmy skonstruować estymator wariancji z próby jako &nbsp;
-\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}(x_{i}-\overline{x})^{2}.</math>
+<math>\displaystyle s_o^{2}=\frac{1}{n} \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}(x_{i}-\overline{x})^{2}.</math>
 Aby wyliczyć jego wartość oczekiwaną, wyprowadźmy jeszcze kilka prostych zależności. Na początek wykażemy, że wariancja zmiennej losowej jest równa różnicy wartości oczekiwanej kwadratu tej zmiennej i kwadratu jej wartości oczekiwanej:
 <math>
-\sigma^{2}(x_i)=E((x_i-\mu
+<math>\displaystyle
-)^{2})=E(x_i^{2}-2x_i\mu+\mu ^{2})=E(x_i^{2})-2\mu E(x_i)+\mu^{2}=E(x_i^{2})-\mu^{2}=E(x_i^{2})-\left\{ E(x_i)\right\} ^{2}
+\sigma^{2}(x_i)=E((x_i-\mu)^{2})=E(x_i^{2}-2x_i\mu+\mu ^{2})=E(x_i^{2})-2\mu E(x_i)+\mu^{2}=\\
 </math>
 Czyli <equation id="eq:64">
-<center><math>
+<center><math>\displaystyle
 \sigma ^{2}(x_i) = E(x_i^{2})-\left\{ E(x_i)\right\} ^{2} = E(x_i^{2}) - \mu^2
 </math></center>
@@ Linia 157: / Linia 159: @@
 Wynika stąd w szczególności, że
-<center><math>
+<center><math>\displaystyle
   E(x_i^{2}) = \sigma_{x_i}^2 + \mu^2
 </math></center>
@@ Linia 167: / Linia 169: @@
 Ponieważ
-<math>
+<math>\displaystyle
 { \sigma ^{2}_\overline{x}=\frac{1}{n}\sigma^{2}_x }
 </math>
 dostajemy
-<center><math>
+<center><math>\displaystyle
 \frac{1}{n}\sigma^{2}_\overline{x} = E(\overline{x}^2) - \mu^2
 </math></center>
@@ Linia 178: / Linia 180: @@
 czyli
-<center><math>
+<center><math>\displaystyle
 E(\overline{x}^2) = \frac{1}{n}\sigma^{2}_{x_i} - \mu^2
 </math></center>
-Policzmy teraz wartość oczekiwaną proponowanego estymatora wariancji
+Policzmy teraz wartość oczekiwaną proponowanego estymatora wariancji &nbsp;
-<math> s_o^{2}=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}(x_{i}-\overline{x})^{2}</math>
+<math>\displaystyle s_o^{2}=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}(x_{i}-\overline{x})^{2}</math>
-<math>
+<math>\displaystyle
 E\left( s_o^{2}\right) =
 \frac{1}{n} E\left(\sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}\right)
 </math>
 <math> =
 \frac{1}{n} E\left(\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}^2 + \sum\limits_{i=1}^{n}\overline{x}^{2} - 2\sum\limits_{i=1}^{n} \overline{x} x_i \right)
 </math>
 <math> =
 \frac{1}{n} \left(\sum\limits_{i=1}^{n}E(x_{i}^2) + \sum\limits_{i=1}^{n}E(\overline{x}^{2}) - 2 E \left(\overline{x} \sum\limits_{i=1}^{n} x_i \right) \right)
 </math>
 <math> =
 \frac{1}{n} \left(\sum\limits_{i=1}^{n}E(x_{i}^2) + n E(\overline{x}^{2}) - 2 n E (\overline{x}^2 ) \right)
 </math>
 <math> =
-\frac{1}{n} \left(n E(x_{i}^2) - n E(\overline{x}^{2}) \right)
+<math>\displaystyle =
 </math>
@@ Linia 210: / Linia 216: @@
 podstawiając wyprowadzone wcześniej wzory na <math>E(x_{i}^2)</math> i <math>E(\overline{x}^{2})</math> dostajemy
 <math>
-E\left( s_o^{2}\right) =  \frac{1}{n} \left( n (\sigma^2_{x_i} - \mu^2) -n ( \frac{1}{n}\sigma^2_{x_i} - \mu^2 ) \right)
+<math>\displaystyle
 =\frac{n-1}{n}\sigma^{2}_{x_i}
 </math>
@@ Linia 219: / Linia 226: @@
 W tej sytuacji, jako nieobciążony estymator wariancji możemy zaproponować
 <equation id="eq:93">
-<center><math>
+<center><math>\displaystyle
 { s^{2}=\frac{1}{n-1}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}(x_{i}-
 \overline{x})^{2} }
@@ Linia 227: / Linia 234: @@
 ===Estymator wariancji wartości średniej===
-Podstawiając tę zależność do wyprowadzonego powyżej wzoru na
+Podstawiając tę zależność do wyprowadzonego powyżej wzoru na wariancję wartości średniej w miejsce <math>\sigma^2</math>, dostajemy wzór na estymator wariancji wartości średniej próby
-wariancję wartości średniej <xr id="eq:91">(%i)</xr>
 <equation id="eq:94">
-<center><math>
+<center><math>\displaystyle
 s^2_{\overline{x}} = \frac{1}{n(n-1)}\sum_{i=1}^n(x_{i}-\overline{x})^{2}.
 </math>
@@ Linia 242: / Linia 247: @@
 <equation id="eq:94a">
-<center><math>
+<center><math>\displaystyle
 s_{\overline{x}} = \sqrt{
 \frac{1}{n(n-1)}\sum_{i=1}^n(x_{i}-\overline{x})^{2}}

← poprzednia wersja		Wersja z 14:46, 12 mar 2026
Linia 64:		Linia 64:
	* [[Laboratorium_EEG/EEGLAB\|Pakiet EEGLAB]]		* [[Laboratorium_EEG/EEGLAB\|Pakiet EEGLAB]]

−	~~===Filtry przestrzenne===~~
−	* [[Laboratorium_EEG/CSP\|Filtry przestrzenne]]: metody ślepej separacji źródeł


Linia 82:		Linia 80:


		+	===Filtry przestrzenne===
		+	* [[Laboratorium_EEG/CSP\|Filtry przestrzenne]]: metody ślepej separacji źródeł

	===Zależności przyczynowe===		===Zależności przyczynowe===

@@ Linia 10: / Linia 10: @@
 '''estymatorami'''. Na przykład wartość średnia próby
 <math>\displaystyle
-\overline{x}=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}x_{i}
+\overline{x}=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}x_{i} \qquad
 </math>
-</equation>
+może być estymatorem wartości oczekiwanej populacji <math>\mu=E(x)</math>.
 Estymator zwiemy '''nieobciążonym''', jeśli dla każdej
@@ Linia 25: / Linia 23: @@
 \forall n \ E(S(x_{1}...x_{n}))=\beta.
 </math>
 Estymator zwiemy '''zgodnym''', jeśli przy wielkości próby dążącej do
@@ Linia 32: / Linia 31: @@
 \underset{n\rightarrow \infty }{\lim }\sigma (S(x_{1}...x_{n}))=0.
 </math>
 ==Estymator wartości oczekiwanej==
 <math>
 \mu=E(x)=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum }}x_{i}P(X=x_{i})
 </math>
 <math>
-\mu=E(x)=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}x p(x)dx.
+Dla rozkładów dyskretnych wartość oczekiwana <math>\displaystyle
 </math>
 Estymator wartości oczekiwanej postaci
+<equation id="eq:91">
-<math>
+<math>\displaystyle
 \overline{x}=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}x_{i}
 </math>
 jest nieobciążony i zgodny.
 '''Dowód:'''
-<math>
+<math>\displaystyle
 E(\overline{x})=E\left(\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}x_{i}\right)=
 \frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}E(x_{i})
@@ Linia 59: / Linia 67: @@
 </math>
 <math>
 \sigma ^{2}\left( \overline{x}\right) =
 E \left( \left( \overline{x}-E(\overline{x})\right)^{2}\right) =
@@ Linia 66: / Linia 75: @@
 </math>
-<math>
+<math>\displaystyle
 =\frac{1}{n^{2}}E\left(\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}(x_{i}-\mu )\right)^{2}\right)
 </math>
 Jeśli elementy próby są niezależne, to
+<math>\displaystyle
 E\left((x_{i}-\mu)(x_{j}-\mu )\right) =\delta _{ij}\sigma ^{2}(x_{i}),
 </math>
 gdzie <math>\delta_{ij}</math> oznacza deltę Kroneckera
 (<math>\delta_{ij}=1\ \textrm{ dla }\ i=j,
 \delta_{ij}=0\ \textrm{ dla }\ i\neq j</math>), czyli:
 <math>\sigma ^{2}\left( \overline{x}\right)
@@ Linia 94: / Linia 102: @@
 <equation id="eq:91">
-<math>
+<math>\displaystyle
 { \sigma ^{2}(\overline{x})=\frac{1}{n^{2}}\underset{i=1}{\overset{n}{
 \sum }}\sigma ^{2}(x)=\frac{1}{n}\sigma ^{2}(x)\ }.
@@ Linia 100: / Linia 108: @@
 </equation>
-Do zgodności estymatora wartości oczekiwanej <xr id="eq:89">(%i)</xr> odnosi się również prawo wielkich liczb. Mówi ono,<ref>Jest to tzw. słabe prawo wielkich liczb; mocne prawo wielkich liczb mówi, że
+{| role="presentation" class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed"
+| <strong>Prawo wielkich liczb (opcjonalnie)</strong>&nbsp;&nbsp;
-<math>
+|-
-\underset{n\rightarrow \infty }{\lim} \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} x_i = \mu .
+| Do zgodności estymatora wartości oczekiwanej odnosi się również prawo wielkich liczb. Mówi ono, że
 <blockquote>
 wartość średnia <math>\overline{x}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} x_i</math>, obliczona z odpowiednio dużej próby (o liczności co najmniej <math>n_0</math>), pobieranej z populacji o skończonej wariancji, może być
@@ Linia 121: / Linia 124: @@
 <equation id="eq:92">
-<math>
+<math>\displaystyle \exists {\varepsilon, \eta} \forall{n>n_0}
 P\left( \left| \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} x_i -\mu \right| <\varepsilon
 \right) > 1-\eta.
@@ Linia 127: / Linia 130: @@
 </equation>
--->
 ==Estymator wariancji==