Tekst źródłowy strony FT-intuicja

===[[Analiza_sygnałów_-_wykład|⬆]] Intuicyjna intepretacja przekształcenia Fouriera===
Spróbujmy nabrać potrzebnej na ćwiczeniach intuicji, traktując obliczenia w kategorii iloczynów skalarnych z kolejnymi sinusami o odpowiednio dobranych fazach (w powyższym równaniu fazy są ukryte w kącie liczby zespolonej). Weźmy przykładowy sygnał ''s'' złożony z dwóch sinusów ''a'' i ''b'',  ''s'' = ''a'' + ''b'':



[[Plik:Ft sig s.png|400px|center|bezramki]] 


=[[Plik:Ft sig sa.png|400px|center|bezramki]] 


+[[Plik:Ft sig sb.png|400px|center|bezramki]]



Policzmy iloczyny z sinusami o optymalnie dobranych fazach; jak widać na poniższym rysunku, sinus o częstości 2,4 jest podobny do składowej ''a'' sygnału ''s'', ale miara podobieństwa, czyli wartość [[Wstep#Iloczyn_skalarny|iloczynu skalarnego]], zależy silnie od fazy sinusa, z którym liczymy iloczyn sygnału — gwiazdką oznaczyliśmy fazę, dla której iloczyn jest największy:

[[Plik:Ft phase.png|400px|center|bezramki]]

Podobne dopasowania można wykonać dla każdej częstości [[Wstep#Ortogonalność|wzajemnie ortogonalnych]] sinusów o częstościach <math> \frac1T, \frac2T, \ldots</math> do [[Wstep#Aliasing_i_częstość_Nyquista| częstości Nyquista]].

[[Plik:Ft freq.png|400px|center|bezramki]]

Wyniki — optymalne fazy i uzyskane dla nich maksymalne wartości iloczynów skalarnych — przedstawiamy na wykresach:

[[Plik:Fake spect.png|450px|center|bezramki]]

===Rozdzielczość (F)FT===
Transformata Fouriera jest przedstawieniem sygnału z bazie złożonej z funkcji <math>e^{i\omega t}</math>. Wymiar tej bazy powinien odpowiadać wymiarowi sygnału. Ponieważ dla każdej częstości zespolona transformata odtwarza amplitudę i fazę, to w widmie mocy będzie dwukrotnie mniej punktów niż w sygnale, dla którego liczono transformatę. Punkty w których liczymy transformatę Fouriera rozkłądają się równomiernie od zera do częstości Nyquista, czyli połowy częstości próbkowania. 

Jako przykład spróbujmy rozszyfrować, skąd w przykładowym artykule o interfejsach mózg-komputer<ref>
Xiaorong Gao, Dingfeng Xu, Ming Cheng and Shangkai Gao, "A BCI-based environmental controller for the motion-disabled" IEEE Transactions on Neural Systems and Rehabilitation Engineering, vol. 11, no. 2, pp. 137-140, June 2003, doi: 10.1109/TNSRE.2003.814449, https://web.archive.org/web/20091114205637id_/http://www.cis.gsu.edu/brainlab/papers/gao%202003%20-%2048N%20BCI.pdf</ref> pojawiają się dziwne częstości 6,83 i 7,03 Hz.

Mamy tam do czynienia z 3-sekundowymi odcinkami sygnału próbkowanego z częstością 200Hz. Aby umożliwić stosowanie szybkiej transformaty Fouriera (FFT) oraz zwiększyć rozdzielczość, sygnał jest dopełniany (zerami) do 1024 punktów. 
Tak więc 512 punktów (1024/2) będzie w tym przypadku rozłożonych między 0 a 100 Hz, co daje odstęp 100/512, czyli ok. 0.195 Hz między kolejnymi częstościami. Punkty najbliższe 7Hz to 35*100/512 = 6,83 i 36*100/512 = 7,03 Hz.