Tekst źródłowy strony FizykaII OO/Układ drgający LC

James Clerk Maxwell przewidział istnienie fal elektromagnetycznych w 1867 r. Przewidział też, że w próżni prędkość rozchodzenia się tych fal będzie wynosić 300 000 km/s.

Już po śmierci Maxwella, w 1887 r. Heinrich Hertz wytworzył fale elektromagnetyczne i przeprowadził ich detekcję.

==Fala elektromagnetyczna==
zaburzenie pola elektrycznego  i magnetycznego rozchodzące się ze skończoną prędkością.

Do wytworzenia fali elektromagnetycznej potrzebny jest obwód, w którym będzie istniało zmieniające się w czasie pole elektryczne lub magnetyczne z możliwością rozprzestrzeniania się. Teoretycznie takim układem jest układ złożony z naładowanego kondensatora i  zwojnicy (LC). Kondensator rozładowuje się przez zwojnicę, a zmieniające się natężenie prądu rozładowania powoduje powstanie w niej siły elektromotorycznej samoindukcji. Siła ta, jak wiemy, przeciwstawia się zmianom natężenia; gdy prąd narasta &mdash; stara się go zmniejszyć, gdy maleje &mdash; stara się go podtrzymać. Istnienie cewki powoduje, że kondensator nie rozładowuje się natychmiast, ale rozpoczynają się drgania elektryczne &mdash; periodyczne rozładowania i ładowania kondensatora. [[Fizyka:Wyk%C5%82ad_z_Fizyki_I_oo/Wyk%C5%82ad_XIII#II_prawo|II prawo Kirchhoffa]] zastosowane do obwodu LC ma postać:

<math> -L\frac{dI}{dt} = \frac{q}{C}</math>

(Suma sił elektromotorycznych równa jest sumie spadków napięć.) Jako że <math>I=\frac{dq}{dt}</math>

<math> -L\frac{d^2q}{dt^2} = \frac{q}{C}</math>

<equation id="eq:1">
<math> \frac{d^2q}{dt^2} = - \frac{q}{LC}</math>
</equation>

Podobne równanie opisywało zjawisko znacznie prostsze, bo dające się łatwo zaobserwować &mdash; [[Fizyka:Wykład_z_Fizyki_I_oo/Wykład_VI#Ruch_drgaj.C4.85cy_harmoniczny|ruch oscylatora harmonicznego przedstawiony na przykładzie wahadła matematycznego]]. Wahadło ma długość ''l'', a na końcu zawieszona jest masa ''m''.Siła, która powoduje taki ruch zależy od wychylenia ''x'' i zapisujemy ją jako:
<equation id="eq:2">
<math>\vec{F} = -mg \frac{\vec{x}}{l}</math> &mdash; dla wahadła
</equation>
a ogólnie  dla dowolnego oscylatora
<equation id="eq:3">
<math>F=-\omega^2 mx</math>
</equation>
<math>\omega^2</math> &mdash; kwadrat częstości kołowej  lub prędkości kątowej, która powiązana jest z okresem ruchu T zależnością

<math> \omega = \frac{2\pi}{T}</math>

Powyższe równanie i równanie opisujące układ LC z  punktu widzenia matematyki   są identyczne i ich rozwiązaniem jest funkcja sinus lub cosinus z odpowiednimi stałymi.
Rozwiązaniami tych równań są:

<math> x = A \cos\omega t </math> &mdash; zależność wychylenia od czasu &mdash; dla oscylatora
<math> q = q_0 \cos\omega t </math>  &mdash; zależność ładunku od czasu &mdash; dla układu drgającego LC

Jak wynika z równania (<xr id="eq:1"/>) <math> \omega^2 =\frac{1}{\sqrt{LC}}</math>, a więc okres  drgań elektrycznych w obwodzie <math>T=2\pi\sqrt{LC}</math>. 

Natężenie jest pochodną ładunku względem czasu. Pochodną funkcji cosinus jest  -sinus.

<math>\frac{d\cos\omega t}{dt} = -\omega\sin\omega t </math>

A więc natężenie prądu w obwodzie drgającym  zmienia się zgodnie z zależnością:

<math> I = I_0 \sin\omega t</math>,

gdzie <math>I_0</math> &mdash; maksymalna wartość natężenia zwana amplitudą.

Widzimy więc, że układ  LC jest układem  drgającym o częstotliwości drgań własnych
<math>\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}</math> i <math>T=2\pi\sqrt{LC}</math>. 
W takim układzie natężenie pola elektrycznego miedzy okładkami kondensatora zmienia się tak, jak ładunek na nich zebrany, a więc:

<math> E = \frac{q}{\varepsilon_0 S}= \frac{q_0}{\varepsilon_0 S}\cos\omega t</math>

<math> E = E_0 \cos\omega t</math>

Między okładkami kondensatora mamy więc zmienne pole elektryczne.

Zwojnica wytwarza pole magnetyczne, gdy przepływa przez nią prąd. Wartość indukcji magnetycznej wyraża się wzorem
<math> B = \mu\mu_0\frac{n I }{l}</math>

gdzie ''n'' &mdash; liczba zwojów, ''l'' &mdash; długość zwojnicy, ''I'' &mdashl  natężenie prądu, <math>\mu_0</math> &mdash; przenikalność magnetyczna próżni ( stała), <math>\mu</math> &mdash; względna przenikalność magnetyczna ferromagnetyka. Jeśli więc przepływa przez nią prąd zmieniający się sinusoidalnie, to również  indukcja magnetyczna zmienia się w taki sam sposób. 

<math> B = \mu\mu_0\frac{n I_0 }{l}\sin\omega t</math>

co bardziej ogólnie można zapisać: <math>B=B_0\sin\omega t</math>.

W kondensatorze i w zwojnicy, gdy są źródłami pól elektrycznego i magnetycznego zawarta jest energia. W czasie drgań następuje zamiana energii pola elektrycznego na energię pola magnetycznego. Proces jest podobny do zmian energii   wahadła matematycznego. W czasie ruchu wahadła energia potencjalna grawitacji zmienia się na energię kinetyczną i odwrotnie.

Wiemy już, że układ elektryczny LC jest układem drgającym. Jeśli w obwodzie nie ma oporu (co jest praktycznie niemożliwe) i jeśli nie ma emisji fal elektromagnetycznych (co też jest praktycznie niemożliwe), to drgania elektryczne i zamiany jednej formy energii w drugą mogłyby trwać nieskończenie długo. Praktycznie takie drgania trwają bardzo krótko i szybko zanikają. Jeśli chcemy drgania podtrzymać i doprowadzić do emisji fali elektromagnetycznej, należy zapewnić periodyczny dopływ energii do układu i rozsunąć okładki kondensatora, by stworzyć układ otwarty. Wówczas taki układ  będzie emitował falę elektromagnetyczną.

==Analogie==
{|class = "wikitable"
!Wahadło matematyczne
!Układ drgający LC
|-
|''x'' &mdash; wychylenie
|''q''  &mdash; ładunek
|-
|<math> v = \frac{dx}{dt}</math> &mdash; prędkość
|<math> I = \frac{dq}{dt}</math> &mdash; prąd
|-
|<math> a = \frac{d^2x}{dt^2}</math> &mdash; przyspieszenie
|<math> \frac{d^2x}{dt^2}</math> &mdash; szybkość zmian natężenia prądu
|-
|<math>ma = m \frac{d^2x}{dt^2}=F</math> &mdash; siła
|<math>L \frac{d^2x}{dt^2}=-\mathrm{E}</math> &mdash; siła elektromotoryczna samoindukcji
|-
|<math>\omega^2 = \frac{q}{l}</math>
|<math>\omega^2 = \frac{1}{LC}</math>
|-
|<math>T=2\pi\sqrt\frac l g </math>
|<math>T=2\pi\sqrt{LC}</math>
|-
|<math> x = A \cos\omega t </math> &mdash; zależność wychylenia od czasu 
|<math> q = q_0 \cos\omega t </math>  &mdash; zależność ładunku od czasu 
|-
|<math> v = v_0 \sin\omega t </math> &mdash; zależność prędkości od czasu 
|<math> I = I_0 \sin\omega t </math>  &mdash; zależność natężenia prądu od czasu 
|}