Tekst źródłowy strony FizykaI FMiN/Dynamika relativity

__NOTOC__
<span style="font-size:40px">Dynamika relatywistyczna</span><br><br>

==Wprowadzenie==

Zagadnienia ruchu ciał w mechanice 
<span style="color:red">nierelatywistycznej</span> 
(Newtona/Galileusza) 
rozwiązywaliśmy w oparciu o równania ruchu.
Ruch ciała jest zadany przez działające na nie siły zewnętrzne 
:<math>
  \frac{d \vec{p}(t)}{dt} \;  = \; 
            \vec{F}(\vec{r}, \vec{v}, t) \; + \; \vec{F}_R</math> 
do których znajomości trzeba jeszcze dołączyć 
<span style="color:green">warunki początkowe</span> 
:<math> \vec{r}(t_0)= \vec{r}_0</math>  
:<math>\vec{v}(t_0)= \vec{v}_0 </math>

Alternatywnie możemy korzystać z zasad zachowania.
Dla układu izolowanego spełniona jest zasada zachowania pędu
: <math> \vec{P} \; = \; \sum_i \vec{p}_i
                 \; = \; \sum_i m_i \vec{v}_i \; = \; const</math>
natomiast w ruchu pod wpływem sił zachowawczych korzystaliśmy z zasady
zachowania energii
: <math> E \; = \; E_p + E_k \; = \; E_p + \sum_i \frac{m_i v_i^2}{2} 
          \; = \; const </math>

Czy podejścia te można też wykorzystać w przypadku relatywistycznym?

===<u>'''Granice podejścia klasycznego'''</u>===


[[image:kondens1.png|frame]]

Rozważmy elektron przyspieszany w kondensatorze płaskim
(najprostszy 'akcelerator' cząstek).
Klasycznie przyspieszenie elektrony związane jest z natężeniem
pola elektrycznego poprzez równanie ruchu postaci:
: <math> m\vec{a} \; = \; \vec{F} \; = \; q \vec{E} </math>

Potrafimy współcześnie wytwarzać pola elektryczne sięgające
: <math>E \;\sim \; 10 \; MV/m \; = \; 10^{7}\; V/m </math>

Dla elektronu masa i ładunek wynoszą odpowiednio:
: <math> m_e \; = \; 9.1 \cdot 10^{-31} kg \; = \; 0.5 \; MeV/c^2 </math>
: <math> | q_e | \; \equiv \; 1 \; e  \; = \; 1.6 \cdot 10^{-19} C </math>

Tym samym uzyskalibyśmy przyspieszenie elektronu rzędu
: <math>  a \; \approx \; 20\; m^{-1} \cdot c^2 \; \approx \; 2 \cdot 10^{18} m/s^2 </math>

W <span style="color:blue">podejściu klasycznym</span> elektron powinien  
osiągnąć <span style="color:blue">prędkość światła</span> już po
przebyciu  <span style="color:red"><math>\Delta x \; \approx \; 2.5 \; cm</math></span> !!!

Widzimy, że równanie ruchu w klasycznej postaci nie może obowiązywać
w przypadku relatywistycznym, konieczna jest jego modyfikacja.


==Pęd cząstki==

===<u>'''Uogólnienie praw ruchu'''</u>===

Załóżmy, ze chcemy zachować klasyczną definicję siły 
opartą na II prawie Newtona
<center>
{|border=1 cellpadding=5 cellspacing=5
| <math>\vec{F} \; = \frac{d\vec{p}}{dt}</math> 
|}</center>

Oznacza to jednak, że musimy zmienić definicję pędu, 
bo Newtonowska definicja
: <math> \vec{p} \; = \;  m \vec{v}</math>
ogranicza wartość pędu od góry 
<span style="color:red">(<math>v < c</math>)</span>,
<span style="color:green">a przecież wciaż mogą działać siły...</span>


===<u>'''Doświadczenie myślowe'''</u>===

Rozważmy nie centralne zderzenie dwóch kul o jednakowej masie <math>m</math>
poruszających się z jednakowymi prędkościami V w układzie O:

[[image:zderzenie_1.png]]

Z symetrii zagadnienia, 
zarówno przed jak i po zderzeniu pędy obu kul muszą być równe co do wartości 
ale przeciwnie skierowane. Przejdźmy teraz do układu O' w którym jedna z 
kul porusza się tylko wzdłuż osi Y:

[[image:zderzenie_2.png]]


W wyniku zderzenia prędkości kul wzdłuż osi Y nie zmieniają wartości 
a jedynie zwrot. Żeby zachowany był pęd wzdłuż osi Y
składowe pędu obu kul wzdłuż osi Y powinny być równe.

Prędności wzdłuż osi Y nie są równe. 
Wybór jednej z kul łamie symetrię zagadnienia !

Przesunięcia wzdłuż osi Y nie zmieniają się w transformacji
Lorentza, ale zmienia się czas w jakim nastęują.
Prędkość wzdłuż osi Y <span style="color:red">pierwszej kuli</span>
w układzie O':
: <math> V_{1,y} \; = \; \gamma \; V_y </math> 

Prędkość wzdłuż osi Y <span style="color:blue">drugiej kuli</span>:
: <math> V_{2,y} \; = \; \frac{V_y}{\gamma (1+\beta^2)} </math>
gdzie <math>V_{x}</math>, <math>V_{x}</math> to wartości współrzędnych
prędkości w układzie O oraz
: <math> \beta = \frac{V_x}{c}</math>  
: <math> \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v_x^2/c^2}}</math>

Widzimy więc, że klasyczne pędy obu kul nie są równe, czyli:
: <math> m\; V_{1,y} \; \ne \;  m\; V_{2,y}  </math>

Z dodawania prędkości możemy wyznaczyć składową X prędkości drugiej kuli
w układzie O':
: <math> V_{2,x} \; = \;  \frac{-2 V_x}{\gamma (1+\beta^2)} </math>

Gdybyśmy przeszli do układu, w którym druga kula porusza się tylko wzdłuż
osi Y to sytuacja odwróciłaby się. Możemy więc związać prędkości
obu kul zauważając, że prędkość wzdłuż osi Y 
<span style="color:red">drugiej kuli</span> jest   
zmniejszona na skutek dylatacji czasu:
:<math> V_{2,y} \; = \; \frac{V_{1,y}}{\gamma'} </math> 
gdzie <math>\gamma'</math> odpowiada transformacji między układami obu kul.
:<math>\gamma' = \frac{1}{\sqrt{1-V_{2,x}^2/c^2}}</math>

Przyjmijmy teraz, że prędkości wzdłuż osi Y są nierelatywistyczne,  
<span style="color:red"><math>V_y \ll c</math></span>, ale prędkość
wzdłuż osi X, <span style="color:green"><math>V_x \sim c</math></span>. 
Wtedy możemy zapisać:
: <math>  \gamma_{_1} \; V_{1,y} \; = \;  \gamma_{_2} \; V_{2,y} </math>
gdzie dla kuli poruszającej się tylko wzgłuż osi Y
: <math> \gamma_{_1} \; = \; 1 </math>
zaś dla drugiej kuli
: <math> \gamma_{_2} = \frac{1}{\sqrt{1-V_{2}^2/c^2}}</math>

Zasadę zachowania pędu możemy więc w naszym przypadku "uratować" 
modyfikując definicję pędu:
: <math> \vec{p} \; = \; m \cdot \gamma \cdot \vec{v} </math>


Czy tak zdefiniowany pęd jest zachowany w ogólnym przypadku?

===<u>'''Zasada względności'''</u>===


Wyrażenie na <span style="color:red">pęd</span> 
dla cząstek <span style="color:blue">relatywistycznych</span>
możemy też wyprowadzić  
z <span style="color:fuchsia">zasady względności</span> 
<span style="color:green">(+ relatywistyczne składanie prędkości)</span>.
Wyobraźmy sobie dwie identyczne kule lecące 
<span style="color:red">(w układzie O)</span> 
z prędkościami <span style="color:blue"><math>V_1</math></span> 
i <span style="color:fuchsia"><math>V_2</math></span>  wzdłuż osi X:

[[image:zderzenie_3.png]]

Przyjmijmy, że w którymś momencie ciało 1 dogania ciało 2 i zlepia się z nim.  
Jaka będzie prędkość ciał po zlepieniu?

[[image:zderzenie_4.png]]

Klasycznie byłoby to 
<span style="color:blue"><math>V_c = \frac{V_1+V_2}{2}</math></span>, 
co wynikało właśnie z zasady zachowania pędu!
Jeśli odpowiemy na to pytanie w przypadku relatywistycznym to
powinniśmy móc wnioskować o postaci wyrażenia na pęd...

Przejdźmy do układu odniesienia <span style="color:blue">O'</span> związanego 
z powstającym <span style="color:fuchsia">"zlepkiem"</span>.

[[image:zderzenie_5.png]]

Ponieważ kule są identyczne z symetrii zagadnienia oczekujemy, że w układzie 
tym będą miały prędkości <span style="color:blue">równe</span> co do wartości, 
lecz <span style="color:red">przeciwnie skierowane</span>.
<span style="color:blue">Wiemy już jednak jak składają się prędkości!</span>
Prędkości w układzie <span style="color:blue">O'</span> wyrażają się 
przez <span style="color:blue"><math>V_1</math></span> 
i <span style="color:fuchsia"><math>V_2</math></span>, 
oraz prędkość <span style="color:red">O</span> względem 
<span style="color:blue">O'</span> 
(<span style="color:red"><math>-V_c</math></span>)

Ze wzoru na składanie prędkości:
: <math>  V \; = \; \frac{V_1 - V_c}{1 - \frac{V_1 V_c}{c^2}} </math>

: <math> -V \; = \; \frac{V_2 - V_c}{1 - \frac{V_2 V_c}{c^2}} </math>

<span style="color:green">(wartość ujemna prędkości 
odpowiada zwrotowi przeciwnemu do osi X)</span>

Dla uproszczenia wprowadźmy prędkości względne: 
: <math>\beta_1 = \frac{V_1}{c}</math>, <math>\beta_2 = \frac{V_2}{c}</math> i <math>\beta_c = \frac{V_c}{c}</math>


Rozwiązujemy ten układ równań i ostatecznie otrzymujemy wyrażenie
na prędkość zlepionych kul (poruszających się początkowo z prędkościami 
<math>\beta_1</math> i <math>\beta_2</math>; pomijam dość żmudne 
przekształcenia)
:<math> \beta_c \; = \; 
    \frac{\beta_1\;\gamma_1 + \beta_2\;\gamma_2}{\gamma_1 + \gamma_2}</math>

Dla symetrii pomnóżmy licznik i mianownik po lewej stronie przez <span style="color:red"><math>\gamma_c</math></span>:
: <math>
\frac{\beta_c \; \gamma_c}{\gamma_c} 
= \frac{\beta_1\;\gamma_1 + \beta_2\;\gamma_2}
{\gamma_1 + \gamma_2}
</math> 

Wartość ułamka nie zmienia się też jeśli licznik i mianownik pomnożymy przez
tą samą liczbę <span style="color:green">(<math>M</math> dla lewej i <math>m</math> dla prawej strony)</span>:
: <math> \displaystyle
\frac{\beta_c \; \gamma_c \; M}{\gamma_c \; M} 
\; = \;
\frac{\beta_1\;\gamma_1 \;m + \beta_2\;\gamma_2\;m}
{\gamma_1\;m + \gamma_2\;m} </math>

Ale <math>M</math> i <math>m</math> są dowolne! 
Możemy zawsze tak dobrać stosunek ich wartości,  
żeby także liczniki i mianowniki po obu stronach równania były 
sobie równe:
: <math> \beta_c \; \gamma_c \; M \; = \; 
         \beta_1\;\gamma_1 \;m + \beta_2\;\gamma_2\;m </math>

: <math> \gamma_c \; M \; = \; \gamma_1\;m + \gamma_2\;m </math>

Wychodząc z bardzo ogólnych założeń otrzymaliśmy 
<span style="color:red">dwa prawa zachowania!</span>

Wykorzystaliśmy symetrię zagadnienia i zasadę względności oraz 
właściwy dobór współczynników <math>M</math> i <math>m</math>.

Możemy uogólnić wprowadzone relacje na 
dowolną liczbę cząstek w stanie początkowym 
<span style="color:red">(<math>ini</math>)</span> 
i końcowym <span style="color:red">(<math>fin</math>)</span>:
: <math> \sum_{i \in ini} \beta_i \; \gamma_i\; m_i \; = \;
 \sum_{j \in fin} \beta_j \; \gamma_j \;m_j </math>

: <math> \sum_{i \in ini}  \gamma_i\; m_i \; = \;
 \sum_{j \in fin} \gamma_j\; m_j </math>

Ale jaki sens fizyczny mają przedstawione wyrażenia, 
czy możemy zidentyfikować poszczególne człony?


==Relatywistyczna definicja pędu==

W granicy małych prędkości 
<span style="color:red">(<math>\beta \ll 1</math>, <math>\gamma = 1</math>)</span> 
przedstawione równania sprowadzają sie do
: <math>  c \; \sum_{i } \beta_i \; m_i \; = \;
 \sum_{i } m_i \; V_i \; = \; const </math> -  zasada zachowania pędu 
: <math> \sum_{i}  m_i \; = \; const </math> -  zasada zachowania masy 

Jak poprzednio dochodzimy do wniosku, 
że <span style="color:fuchsia">relatywistyczne</span> wyrażenie na 
<span style="color:red">pęd cząstki</span> to
  
<center>
{|border=1 cellpadding=5 cellspacing=5
| <math>p \; = \; m \;c \;\gamma \; \beta \;  = \; m \; \gamma \; V</math>   
|}</center>

  
Wprowadzone współczynniki <span style="color:blue"><math>m</math></span> są miarą bezwładności ciał i nazywamy je <span style="color:fuchsia">masą</span>.

Jedną z mas mogliśmy ustalić dowolnie - 
odpowiada to wyborowi <span style="color:red">wzorca masy.</span>

Masy pozostałych cząstek można następnie wyznaczyć w oddziaływaniu ze wzorcem 
<span style="color:green">(z wyprowadzonych praw zachowania).</span>


==Ruch pod wpływem stałej siły==

===<u>'''Równanie ruchu'''</u>===

Jak już wspominaliśmy, chcemy zachować klasyczną definicję siły 
opartą na II prawie Newtona:
: <math> \vec{F} \; = \;   \frac{d\vec{p}}{dt} </math>
gdzie jednak pęd definiujemy teraz jako
: <math> \vec{p} \; = \;  m \; \gamma \; \vec{v} \; = \; 
        m c\; \gamma \; \vec{\beta}</math>
współczynnik Lorentza <math>\gamma \; = \;  \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}</math>

W przypadku ruchu prostoliniowego otrzymujemy w wyniku różniczkowania
: <math> F \; = \; \frac{d}{dt} \left(mc \; \gamma \; \beta \right)
           \; = \; mc \; \gamma^3 \; \frac{d\beta}{dt} </math>

Widzimy, że w przypadku relatywistycznym przyspieszenie maleje 
jak <math>\gamma^{-3}</math> !


Wróćmy do zagadnienia eletronu w jednorodnym polu elektrycznym.
Możemy rozwiązać teraz zagadnienie ruchu pod wpływem stałej siły   
elektrycznej <span style="color:red"><math>F = qE</math></span>.
Przekształcając otrzymane równanie
: <math> \frac{d\beta}{dt} \; = \;  \frac{q E}{mc} \; (1 - \beta^2)^{3/2} </math>

możemy rozdzielić zmienne
: <math>\frac{d\beta}{(1 - \beta^2)^{3/2}}\; = \;  \frac{q E}{mc} \; dt </math>
 
Całkujemy podstawiając 
<span style="color:red"><math>\beta = \sin u </math></span>:
: <math> \int \frac{du}{\cos^2 u}\; = \;  \frac{q E}{mc} \int dt </math>
i otrzymujemy rozwiązanie postaci
: <math> \tan u \; = \;  \frac{q E}{mc} \cdot t </math>
przyjmując, że cząstka spoczywała w <math>t=0</math>.

Korzystając teraz z tożsamości trygonometrycznej:
<math>\sin u \; = \; \frac{\tan u }{\sqrt{1 + \tan^2 u}}</math>

otrzymujemy rozwiązanie w postaci:
: <math> \beta(t) \; = \; \frac{\alpha t }{\sqrt{1 + (\alpha t)^2}} </math>

gdzie: <math> \alpha \; = \; \frac{q E}{mc} </math>

W naszym przykładzie (<math>e^-</math> w polu <math>10\frac{MV}{m}</math>)   
otrzymujemy
: <math>\alpha \sim 6\cdot 10^9 \; s^{-1}</math>
skala czasowa po jakiej prędkość stanie się porównywalna z prędkością 
światła dana jest przez
: <math>\alpha^{-1} \sim 0.17\;ns</math>

===<u>'''Zależność prędkości od czasu'''</u>===

Rysunek poniżej pokazuje zależność uzyskanej przez elektron prędkości od
czasu. Do czasów rzędu <math>0.1\;ns</math> ruch można opisywać klasycznie
(zielona przerywana linia):

[[image:beta.png|Prędkość w funkcji czasu dla ruchu w jednorodnym polu elektrycznym]]


Pokazana jest również różnica między prędkościa światła a prędkością 
uzyskaną przez elektron po czasie t.
Prędkość elektronu nigdy nie osiągnie prędkości światła. 
W granicy <span style="color:red"><math>\alpha \; t \gg 1</math></span>:
: <math> 1 - \beta(t) \; \approx \; \frac{1}{2 \alpha^2 t^2 } </math>

(zależność ta została przedstawiona na rysunku czerwoną przerywaną linią).

Mimo, że nigdy nie osiągniemy <math>\beta = 1</math> pęd elektronu
będzie rósł liniowo z czasem
: <math>p(t) \; = \; m c \; \alpha\cdot t </math>


===<u>'''Zależność położenia od czasu'''</u>===

Wyrażenie na prędkość możemy zapisać w postaci:
: <math> \frac{dx}{dt} \; = \; 
\frac{c \;\alpha t }{\sqrt{1 + (\alpha t)^2}} </math>

Całkując otrzymujemy
: <math> x(t) \; = \; \int dx \; = \;  \frac{c}{\alpha}
\int \frac{\alpha t \; d(\alpha t) }{\sqrt{1 + (\alpha t)^2}}</math>
:: <math> \; = \; \frac{c}{\alpha} \left(\sqrt{1 + (\alpha t)^2} -1 \right)</math>

Uzyskane rozwiązanie przedstawione jest na rysunku poniżej.

[[image:beta2.png|Droga w funkcji czasu dla ruchu w jednorodnym polu elektrycznym]]

Tak jak poprzednio zielona przerywana linia odpowiada rozwiązaniu
klasycznemu, zaś czerwona przerywana - rozwiązaniu asymptotycznemu. 
W granicy <span style="color:red"><math>\alpha \; t \gg 1</math></span>:
: <math> x(t) \; \approx \; c\;t \; - \frac{c}{\alpha} </math>
czyli elektron porusza się ruchem jednostajnym z prędkościa praktycznie
równą prędkości światła (cząstka ultrarelatywistyczna).

Czynnik <math>\frac{c}{\alpha}</math> odpowiada odległości o jaką impuls
światła wysłany w chwili <math>t=0</math> wyprzedzi rozpędzany elektron.
W naszym przykładzie to tylko o 5 cm !!!


==Energia relatywistyczna==

Dla ruchu ciała pod wpływem stałej siły otrzymaliśmy wyrażenia:
: <math> x(t) \; = \; \frac{c}{\alpha} \left(\sqrt{1 + (\alpha t)^2} -1 \right) </math>

: <math> \beta(t) \; = \; \frac{\alpha t }{\sqrt{1 + (\alpha t)^2}} </math>

gdzie <math>\alpha \; = \; \frac{F}{mc} </math>

Można zauważyć, że czynnik Lorentza:
: <math> \gamma(t) \; = \; \frac{1}{\sqrt{1 -\beta^2(t)}} 
                \; = \; \sqrt{1 + (\alpha t)^2}  </math>
wstawiając do wyrażenia na <math>x(t)</math> otrzymujemy
: <math> x(t) \; = \; \frac{mc^2}{F} ( \gamma - 1 ) </math>

Uzyskana przez przyspieszaną cząstkę
<span style="color:red">energia kinetyczna</span> jest równa 
<span style="color:red">pracy</span> wykonanej przez siłę F
na drodze <math>x(t)</math>. Otrzymujemy:
: <math> E_k(t) \; = \; F\cdot x(t)  \; = \; 
         m\; c^2 \; \left( \gamma(t) - 1 \right) </math>

Uzyskaną poprzednio zasadę zachowania:
: <math>  \sum_{i}  \gamma_i\; m_i \; c^2 \; = \; const </math>

możemy więc przepisać w postaci:
: <math> \sum_{i} \left[ m_i \; c^2 \; ( \gamma_i - 1) \; 
       + \;m_i \; c^2 \right] \; = \; const </math>

:<math>\sum_{i} \left[ \; E_{k,i}\; + \;E_{0,i} \; \right] \; = \; const </math>

Gdzie: 
: <span style="color:blue"><math>E_{k} = m\; c^2 \; \left( \gamma - 1 \right)</math></span> - <span style="color:red">energia kinetyczna</span>  
: <span style="color:blue"><math>E_{0}  =  m\; c^2 </math></span> - <span style="color:red">energia spoczynkowa</span> ciała

Konieczność wprowadzenia <span style="color:fuchsia">energii spoczynkowej</span> 
wynika z otrzymanej postaci <span style="color:red">zasady zachowania energii</span>!

Energia całkowita:
 
<center>
{|border=1 cellpadding=5 cellspacing=5
|
<math>\displaystyle E \;=\; E_{k}\; +\; E_{0}  =  \gamma \cdot m\; c^2 </math>
|}</center>


===<u>'''Granica klasyczna'''</u>===

Wyrażenie na energię kinetyczną można zapisać w postaci

: <math> E_k \; = \;  m\; c^2 \; ( \gamma - 1 ) 
\; = \; m\; c^2 \; \left( \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} - 1 \right) </math>

W granicy małych prędkości <span style="color:red">(<math>\beta \ll 1</math>)</span> 
korzystamy ze wzorów na rozwinięcie w szereg:
: <math> \sqrt{1+\varepsilon} \; \approx \; 
1 + \frac{1}{2} \varepsilon - \frac{1}{8} \varepsilon^2 + \ldots </math>
: <math>  \frac{1}{1+\varepsilon} \; \approx \; 
1 -  \varepsilon + \varepsilon^2 + \ldots  </math>

W szczególności dla czynnika Lorentza
: <math> \gamma \; = \; 
\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \;  \approx \; 1 + \frac{1}{2} \beta^2</math>

Wyrażenie na energię kinetyczną w granicy <math>\beta \ll 1</math> przyjmuje więc postać
: <math> E_k \; = \;  m\; c^2 \; ( \gamma - 1 ) \; = \; (1 + \frac{1}{2} \beta^2 \;- \;1)
\; = \; \frac{1}{2}  m\; c^2 \;\beta^2\; = \; \frac{1}{2}  m\; V^2 </math>

Odtwarzamy klasyczne wyrażenie na energię kinetyczną!



===<u>'''Zasada zachowania energii i pędu'''</u>===


Zdefiniowaliśmy energię całkowitą ciała: 
: <math> E \;  = \; \gamma \cdot m\; c^2 </math>

oraz jego pęd:
: <math> \vec{p} \; = \; \gamma \cdot m\; \vec{V} </math>

: <math> \vec{p} \; = \; \vec{\beta} \;\gamma \cdot m\;c  </math>

gdzie <math> \vec{\beta} \; = \; \frac{\vec{V}}{c} </math>

Wychodząc z reguły <span style="color:blue">składania prędkości</span>  
<span style="color:green">(która z kolei wynikała z zasady bezwładności 
i zasady względności)</span>, wykorzystując <span style="color:blue">symetrię</span> 
rozważanego zagadnienia  <span style="color:green">(zasada względności)</span> oraz 
możliwość doboru  współczynników opisujących <span style="color:blue">bezwładność</span> 
ciała <span style="color:green">(masę)</span>  otrzymaliśmy:

* zasadę zachowania enegrii 
: <math> \sum_{i } E_i \; = \;  \sum_{i } \gamma_i \; m_i\; c^2 \; = \; const  </math>

* zasadę zachowania pędu 
: <math> \sum_{i}  \vec{p}_i \; = \;  \sum_{i } \gamma_i \cdot m_i\; \vec{V_i} \; = \; const </math>

Zasady te wyprowadziliśmy dla procesu zderzenia, ale okazuje się, że są one
dużo bardziej ogólne. 

Zasady te obowiązują we wszystkich znanych nam procesach!!!


Zasada zachowania energii ma jednak swoją "cenę". W procesie
zderzenia nieelastycznego:

[[image:zderzenie_6.png]]

Z zasady zachowania energii otrzymujemy:
: <math> E_c \; = \; E_1 \; + \; E_2 </math>
: <math> M \; c^2 \; = \; \gamma \; m \; c^2  \; + \;\gamma \; m \; c^2 </math>
: <math> M \; = \; 2 \; \gamma \; m </math>

Widzimy, że masa <span style="color:fuchsia">"zlepka"</span> jest zawsze większa 
niż suma mas cząstek!   <span style="color:red">
: <math>M > m + m </math></span>

<b>W świecie relatywistycznym przestaje obowiązywać zasada zachowania masy!</b>

<span style="color:blue">Energia kinetyczna</span> zderzających się cząstek została 
zamieniona na <span style="color:red">energię wewnętrzną</span>, co jest równoważne 
ze <span style="color:fuchsia">wzrostem masy</span> 
<span style="color:green">(energii spoczynkowej)</span> "zlepka".



===<u>'''Jednostki'''</u>===


Energia jaką zyskuje ładunek <math>q</math> przy przejściu różnicy 
potencjały <math>U</math> wynosi
: <math> \Delta E \; = \; U \cdot q  </math>

Dlatego jako naturalną jednostką energii w fizyce cząstek przyjęto 
<span style="color:red"> 1 elektronowolt (1 eV)</span>.
Jest to energia jaką zyskuje cząstka o ładunku <span style="color:red"> 1 e</span>  
(ładunek elementarny) przy przejściu różnicy potencjału 
<span style="color:red"> 1 V</span>.

W jednostkach układu SI
: <math>1 \; e \; = \; 1.6 \cdot 10^{-19} \; C \; 
      \Rightarrow \; 1 \; eV \; = \; 1.6 \cdot 10^{-19} \; J</math>

Najczęściej wykorzystkujemy jednostki pochodne:  
: <math>1  keV  =   10^{3} \; eV </math>, 
: <math>1  MeV  =   10^{6} \; eV </math>,
: <math>1  GeV  =   10^{9} \; eV </math>.

Ponieważ masa jest równoważna energii spoczynkowej, 
jednostkę energii możemy też przyjąć za jednostkę masy 
<span style="color:red">(<math>E = m c^{2}</math>; <math>c \equiv 1</math>)</span>
: <math> 1\; eV/c^{2}\; \equiv \; 1 \; eV  \;  =  \; 1.8 \cdot 10^{-36}\; kg </math>

Przykładowe masy (energie spoczynkowe) cząstek wynoszą
 
{|border=1 cellpadding=3 cellspacing=3 
! cząstka !! symbol !! colspan="2" | masa 
|-
| elektron || e      || 511 keV || (9.1 <math>\cdot 10^{-31}</math> kg) 
|- 
| proton   || p || 938 MeV || (1.7 <math>\cdot 10^{-27}</math> kg) 
|-
| neutron  || n || 940 MeV ||  
|-
| kwark top   || t  || 173 GeV || 
|-
| rowspan="2" | bozony pośredniczące   || <math>W^{\pm}</math> || 80.4 GeV ||
|-
| <math>Z^{\circ}</math> || 91.2 GeV  ||
|}




===<u>'''Transformacja'''</u>===


Energia spoczynkowa cząstki wynosi:
: <math> E_\circ  \; = \;  m\; c^2</math>

Energia całkowita:
: <math> E \; = \; E_\circ \;+\; E_k  \; = \;  m\; c^2 \cdot \gamma </math>

Pęd cząstki dany jest przez wyrażenie:
: <math> p \; = \;  m\; c \cdot \beta \; \gamma </math>

W układzie własnym cząstki pęd
: <math>p_\circ \; = \; 0</math>
zgodnie z definicją układu środka masy.

Możemy zauważyć, że:
: <math> E \; = \; \gamma \; E_\circ </math>
: <math> p\;c \; = \; \beta \; \gamma \; E_\circ </math>

Jeśli cząstka porusza się wzdłuż osi <math>X</math>:
: <math>E \; = \; \gamma \; E_\circ </math>
: <math>c\; p_x \; = \; \beta \; \gamma \; E_\circ </math>
: <math>c\; p_y \; = \;  0 </math>
: <math>c\; p_z \; = \;  0   </math>

Formalnie możemy więc zapisać
<span style="color:green">(<math>p_{\circ} = p_{\circ,x} = p_{\circ,y}= p_{\circ,z}=0</math>)</span>
: <math>
 \left(\begin{array}{c}  E  \\ c\;p_x \\ c\;p_y \\ c\;p_z  \end{array}\right) 
\; = \;
 \left(\begin{array}{c}   
\gamma \; E_\circ \; + \; \gamma \; \beta \; c \; p_{\circ,x} \\ 
\gamma \; \beta \;  E_\circ  \; + \; \gamma \; c \; p_{\circ,x} \\ 
c \; p_{\circ,y}\\ c \; p_{\circ,z}  \end{array}\right) 
\;  = \; 
\left(\begin{array}{cccc}
\gamma & \gamma \; \beta &  0 & 0 \\
\gamma \; \beta & \gamma &  0 & 0 \\
 0 & 0 & 1 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)
 \cdot
 \left(\begin{array}{c} E_\circ \\ c \; p_{\circ,x}\\ c \; p_{\circ,y}\\ c \; p_{\circ,z}
\end{array}\right) 
</math>

Okazuje się, że <span style="color:blue">energia i pęd</span> podlegają,
przy zmianie układu odniesienia,  
transformacji <span style="color:red">Lorentza</span> identycznej z transformacją 
<span style="color:fuchsia">czasu i położenia</span>.


===<u>'''Masa niezmiennicza'''</u>===


Z definicji czynnika Lorentza 
: <math> \gamma \; = \;  \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} </math>
otrzymujemy tożsamość
: <math>\gamma^2 - \beta^2 \gamma^2  \; = \; \gamma^2 ( 1  - \beta^2 ) \; =  \; 1 </math>

Mnożąc obie strony przez energię spoczynkową
: <math> \gamma^2 \; E_\circ^2 \; - \;
 \beta^2 \gamma^2  \; E_\circ^2 \; = \;  \; E_\circ^2 </math>

Czyli:

<center>
{|border=1 cellpadding=5 cellspacing=5
|<math>E^2 \; - \; c^2 \; p^2 \; = \; m^2 \; c^4</math>
|}</center>

Związek ten jest słuszny niezależnie od prędkości cząstki,
czyli  niezależnie od układu odniesienia.
Wyrażenie:
: <math> s \; = \; M^2 \; c^4 \; = \; E^2 \; - \; c^2 \; p^2 </math>
jest niezmiennikiem transformacji Lorentza 
<span style="color:green">(nie zależy od wyboru układu odniesienia)</span>
dla dowolnego układu fizycznego.  
Wartość 
: <span style="color:red"><math>M \equiv \sqrt{s}</math></span> 
nazywamy masą niezmieniczą układu <span style="color:green">(masą inwariantną)</span>.
Jest to kluczowa wielkość w opisie zderzeń relatywistycznych.


===<u>'''Transformacja Lorentza'''</u>===

Transformacja Lorentza ma zastosowanie do wszystkich 
<span style="color:red">czterowektorów</span>:
* czterowektora <span style="color:red">położenia</span> (w czasoprzestrzeni): <span style="color:green"><math>(ct, x, y, z)</math></span>
* czterowektora <span style="color:red">energii-pędu</span> (<span style="color:fuchsia">"czteropęd"</span>):  <span style="color:green"><math>(E, c p_x, c p_y, c p_z)</math></span>
* czteropotencjału <span style="color:red">pola elektromagnetycznego</span>: <span style="color:green"><math>(\Phi, A_x, A_y, A_z)</math></span>
:gdzie pola elektryczne i magnetyczne zdefiniowane są jako <math>\vec{E} = - grad \Phi \; - \;\frac{1}{c} \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}</math> i <math>\vec{B} = rot \vec{A}</math>
* różnicy dwóch czterowektorów <span style="color:green"> (np. odstęp między zdarzeniami, przekaz czteropędu...)</span>
  
<span style="color:blue">Niezmiennikiem</span> transformacji Lorentza jest 
<span style="color:red">"kwadrat"</span> każdego czterowektora
: <math>
\left| A^{(4)} \right|^2 \; = \; A_0^2 - \left| \vec{A} \right|^2 \;  = \; 
                              A_0^2 - A_x^2  - A_y^2  - A_z^2 </math>
	
W przypadku wektora różnicy współrzędnych jest to interwał:
: <math>  s_{AB} =  (\Delta t)^2 - 
    (\Delta x)^2 - (\Delta  y)^2  - (\Delta z)^2 </math>
w przypadku wektora energi-pędu jest to masa niezmiennicza:
:<math>  M^2 =  E^2 - p_x^2 - p_y^2  - p_z^2 </math>
 
==Foton==


===<u>'''Zjawisko fotoelektryczne'''</u>===

Zjawisko fotoelektryczne zostało odkryte (podobno przypadkowo) 
przez Hertza w 1887 r. Polega ono na tym, że światło
padając na metalową płytkę powoduje uwalnianie elektronów i
umożliwia przepływ prądu pomiędzy dwoma elektrodami


[[image:fotoel.png]]


Doświadczenia wskazały, że energia uwalnianych elektronów zależy
wyłącznie od <span style="color:red">częstości światła</span> (długości fali) 
i <span style="color:blue">materiału katody</span>. Powyżej pewnej
długości światła elektrony nie były wybijane - prąd nie płynął.
Nie można tego było wytłumaczyć w ramach falowego opisu
rozchodzenia się światła, który przewidywał, że prąd zależy wyłącznie
od natężenia światła, a nie zależy od częstości !  


Zjawisko fotoelektryczne wyjaśnił   
<span style="color:blue">Einstein</span> <span style="color:red">(1905)</span> 
wprowadzając pojęcie kwantu światła dziś nazywanego <b>fotonem</b>.

<span style="color:red">Energia foto-elektronów</span> wybijanych z katody
: <math> E_e \; = \; E_\gamma \; - \; W  \; = \; h\; \nu   \; - \; W </math>
gdzie <span style="color:red"><math>W</math></span> to "praca wyjścia",   
minimalna energia potrzebna do uwolnienia elektronu z metalu (zależy od
materiału katody) zaś <math>\nu </math> to częstość fali światła. Energia
jaką niesie pojedynczy foton (i przekazuje elektronowi)
: <math> E_\gamma \; = \; h\; \nu </math>


===<u>'''Natura światła'''</u>===

Fotony to <span style="color:red">kwanty</span> promieniowania 
elektromagnetycznego.  Przenoszą <span style="color:blue">oddziaływania</span> 
między cząstkami naładowanymi. Mają naturę 
<span style="color:red">korpuskularno-falową</span>, czyli są jednocześnie
* <span style="color:blue">falą</span> elektromagnetyczną, opisaną równaniami Maxwella
::rozchodzącą się z prędkością  <span style="color:red"><math>\displaystyle c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_\circ \mu_\circ}} </math></span>  
:: <span style="color:green">   podlegającą interferencji, dyfrakcji, załamaniu</span>

* <span style="color:blue">cząstką</span> o ustalonej energii i pędzie, ale zerowej masie,  <span style="color:red"><math>m_\gamma \equiv 0 \; \Leftrightarrow \; \beta \equiv 1</math></span>   
:: <span style="color:green">mogą zderzać się z innymi cząstkami, być pochłaniane lub rozpraszane</span>
 

Im <span style="color:red">wyższa częstość</span> (mniejsza długość fali) 
promieniowania,  tym <span style="color:red">wyższa energia</span> 
pojedyńczego fotonu i  wyraźniejsze efekty korpuskularne
: <math> E_\gamma \; = \; p_\gamma \; c 
 \; = \; h\; \nu  \; = \; \frac{hc}{\lambda} </math> 
przy czym częstość i długość fali związane są relacją 
<math>  \lambda \cdot \nu = c</math> 
       
W zjawisku fotoelektrycznym, foton "zderza się" z elektronem,
: <span style="color:blue"><math> \gamma  + e^- \rightarrow e^- </math></span> 
i przekazuje mu energię konieczną do opuszczenia metalu
<span style="color:green">(tzw. proces typu <math>2 \rightarrow 1</math>)</span>


==Efekt Dopplera==

Klasycznie mamy dwa różne przypadki:
* źródło o częstości <math>\nu</math> poruszające się z prędkością <span style="color:red"><math>v</math></span> względem ośrodka. <span style="color:blue">Częstość</span> dźwięku mierzona przez nieruchomego obserwatora 
* obserwator porusza się z prędkością <span style="color:red"><math>v</math></span> względem ośrodka i źródła dżwięku

Jak już pokazaliśmy na
[[Fizyka:Wykład_z_Fizyki_I/Kinematyka_relatywistyczna_2#Efekt_Dopplera|poprzednim wykładzie]] w przypadku światła sytuacja jest symetryczna (brak ośrodka) i
mierzona <span style="color:blue">częstość</span> wyraża się wzorem
: <math> \nu' \; = \; \nu \; \sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}</math>

W przypadku ogólnym (dowolny kierunek ruchu źródła względem obserwatora)
mierzone przesunięcie długości fali:
: <math> \lambda' \; = \; 
      \; = \;  \gamma \left( 1 - \beta \; \cos\Theta \right) \; \lambda </math>
gdzie <math>\Theta</math> to rejestrowany przez obserwatora kierunek lotu 
fotonu (a <math>\pi-\Theta</math> to kierunek z którego jest obserwowany).

===<u>'''Alternatywne podejście'''</u>===

Wyrażenia na <span style="color:blue">relatywistyczny efekt Dopplera</span> 
<span style="color:green">(dla światła)</span> 
wynikają wprost z <span style="color:red">transformacji Lorentza</span> 
dla energii i pędu fotonu.

[[image:dopler_rel.png]]

Przyjmijmy, że foton o energii 
<span style="color:red"><math>E' = h\nu '</math></span> emitowany jest pod 
kątem <span style="color:red"><math>\theta '</math> </span>
w układzie <span style="color:blue">O'</span>. Składowe pędu tego fotonu
dane są przez
: <math> p'_x = E' \cos \theta '</math> 
: <math> p'_y = E' \sin \theta '</math>

W układzie <span style="color:red">O</span> z transformacji Lorentza
uzyskujemy:
: <math> h\nu = E \; = \; \gamma\;  E' + \beta \; \gamma \; p'_x </math>
:: <math> \; = \; h \nu\;' \; \gamma \; ( 1 + \beta \cos \theta ') </math>

Dla <math>\theta' = 0</math>, czyli emisji fotonu zgodnie z kierunkiem ruchu 
(źródło przybliża się do obserwatora) mamy: 
: <math> \nu \; = \; \nu\;' \frac{ 1 + \beta}{\sqrt{1 - \beta^2}}
        \; = \;  \nu\;' \sqrt{\frac{ 1 + \beta}{1 - \beta}} </math>
<span style="color:green">częstość (energia) fotonu rośnie</span> 

Dla <math>\theta' = \pi</math>, czyli gdy foton emitowany jest przeciwnie
do kierunku ruchu źródła (źródło oddala się od obserwatora) otrzymujemy: 
: <math> \nu \; = \; \nu\;' \frac{ 1 - \beta}{\sqrt{1 - \beta^2}}
        \; = \;  \nu\;' \sqrt{\frac{ 1 - \beta}{1 + \beta}} </math>
czyli <span style="color:green">częstość (energia) fotonu maleje</span> 
(zgodnie z wynikiem uzyskanym poprzednio w podejściu kinematycznym.


===<u>'''Rozkłady kątowe'''</u>===

Zależność obserwowanej częstości od kąta <span style="color:red">emisji</span>
fotonu przedstawiona jest na rysunku poniżej

[[image:doppler_ene1.png|Zmiana częstości w efekcie Dopplera w funkcji kąta emisji]]

Dla fotonów emitowanych prostopadle do kierunku ruchu,  
<math>\theta'=\frac{\pi}{2}</math>, obserwujemy wzrost częstości, 
<math>\nu = \gamma \; \nu ' > \nu'</math>  (poprzeczny efekt Dopplera).


Obserwowany kąt lotu fotonu (kąt w jakim foton porusza się w układzie 
obserwatora) jest związany z kątem emisji zależnością:
: <math> \cos \theta = \frac{p_x}{E} \; = \; 
         \frac{\beta + \cos \theta'}{1 + \beta \cos \theta '} </math>
która jest pokazana (dla wybranych wartości prędkości źródła) poniżej

[[image:doppler_angl.png|Kąt obserwacji w funkcji kąta emisji fotonu]]

W szczególności dla fotonu emitowanego pod kątem prostym,
<math>\theta' = \frac{\pi}{2}</math>, obserwowany kąt propagacji
fotonu dany jest przez  <math>\cos \theta = \beta </math>, czyli jest  
mniejszy od kąta prostego (<math>\theta < \frac{\pi}{2}</math>).

Zauważmy, że izotropowe promieniowanie szybko poruszającego się ciała  
będzie skolimowane w kierunku ruchu. Im szybciej ciało się porusza w tym
węższym stożku będzie emitować większość promieniowania.



Do tej pory rozważaliśmy obserwowaną częstość w funkcji kąta emisji fotonu
(kąt mierzony w układzie źródła)
: <math>\nu \; = \; \nu\;' \; \gamma \; ( 1 + \beta \cos \theta ')</math>

Możemy jednak zastosować odwrotną transformację Lorentza i przedstawi
energię w funkcji kąta <span style="color:red"> detekcji</span>
(kąta propagacji fotonu mierzonego w układzie obserwatora):
: <math>\nu \; = \; \frac{\nu\;'} { \gamma \; ( 1 - \beta \cos \theta )} </math>

Fotony rejestrowane pod kątem <span style="color:blue"> 
<math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> </span> mają częstość niższą niż częstość 
źródła,   <span style="color:blue"><math>\nu = \frac{\nu '}{\gamma} < \nu'</math></span>.


Zależność częstości od kąta <span style="color:red">detekcji</span>

[[image:doppler_ene2.png|Zmiana częstości w efekcie Dopplera w funkcji kąta detekcji]]

===<u>'''Efekt Comptona'''</u>===


[[image:compton1.png|frame|Efekt Comptona]]

W wyniku <span style="color:red">rozpraszania w materii</span>, 
<span style="color:fuchsia">promieniowanie X</span>
stawało się mniej przenikliwe, 
<span style="color:blue">zmieniało długości fali</span>.
Opis tego zjawiska, na gruncie teorii Einsteina 
(korpuskularnej teorii światła), 
zaproponował w 1923 roku A.H.Compton.


<span style="color:red">Fotony</span> promieniowania X 
rozpraszają się na <span style="color:blue">elektronach</span> w atomie
oddając im część swojej energii.

Relatywistyczne zderzenie dwóch ciał,  
<span style="color:green">tak samo jak w przypadku cząstek</span>,
możemy rozważyć z punktu widzenia zasad zachowania.

[[image:compton1a.png|frame|Zmienne opisujące efekt Comptona]]

Możemy wypisać następujące relacje:
* zachowanie energii
: <math>  h\nu + m \; = \; h\nu' + E </math>
* zachowanie pędu wzdłuż kierunku ruchu fotonu 
: <math> h\nu  \; = \;   h\nu' \cos \theta + p \cos \eta </math>
* zachowanie prostopadłej składowej pędu
: <math>  0  \; = \;   h\nu' \sin \theta - p \sin \eta </math>

Przekształcając otrzymujemy:
: <math> E \; =  \; h(\nu - \nu') + m </math>
: <math> p \cos \eta \; = \; h(\nu  -  \nu' \cos \theta ) </math>
: <math> p \sin \eta \; = \;  h\nu' \sin \theta  </math>

Podnosząc stronami do kwadratu i zestawiając do masy elektronu:
: <math> m^2 \; = \;  E^2 - p^2 </math>
:: <math>  \; = \;  \left( h(\nu - \nu') + m \right)^2 
- h^2  \left( \nu  -  \nu' \cos \theta   \right)^2 
- \left(  h\nu' \sin \theta  \right)^2  </math>
:: <math> \; = \;  m^2  + h^2\nu^2 + h^2 \nu'^2 
- 2h^2\nu \nu' + 2mh(\nu - \nu') </math>
:::<math>  - h^2  \nu^2 + 2h^2  \nu \nu' \cos \theta  
- h^2  \nu'^2 \cos^2 \theta - h^2  \nu'^2 \sin^2 \theta  </math>

Widzimy, że człony kwadratowe w częstości upraszczają się. Otrzymujemy
: <math> m \; h \nu \; = \; h \nu' \left(m + h\nu (1 - \cos \theta)   \right) </math>

Energia rozproszonego fotonu będzie więc równa
: <math> h \nu' \; = \; \frac{  h \nu }{1 + \frac{h\nu}{m}(1 - \cos \theta) }</math>
zaś jego długość fali 
: <math> \lambda' \; = \; \lambda \; + \; \frac{h}{m\;c} (1 - \cos \theta) </math>

Widzimy, że przesunięcie długości fali zależy tylko od kąta rozproszenia, nie
zależy od początkowej długości fali. Wielkość przesunięcia zależy od
wartości
: <math>\frac{h}{m\;c} = 2.43\cdot10^{-12}m = 2.43\; pm</math>
zwanej Comptonowską długością fali.


<u>'''Małe energie fotonów'''</u>

W granicy małych energii fotonu 
<span style="color:red"><math> h \nu \ll m</math></span> 
: <math> h \nu' \; = \; h \nu \; 
\frac{ m }{m + h\nu(1 - \cos \theta) } \; \approx \; h \nu </math>
czyli foton rozprasza się bez straty energii.
Odpowiada to klasycznemu zderzeniu "pocisku", <math>m_1</math>, z dużo
cięższą "tarczą", <math>m_2 \gg m_1</math>. 
Foton zachowuje energię, ale 
<span style="color:red">zmienia się wektor pędu</span> (kierunek !)
Przykładem jest odbicie światła widzialnego, 
<span style="color:blue"><math>h \nu = 1.8 - 3.1 eV</math></span> <span style="color:green">(700 nm - 400 nm)</span>


Z kolei energia rozproszonego elektronu wynosi:
: <math>  E \; =  \; h\nu \; - \; h\nu'\;  + \; m </math>
:: <math>   \; = \; \frac{h\nu ( h \nu + m ) ( 1 - \cos  \theta) + m^2 }
              {h\nu  ( 1 - \cos  \theta) + m } </math>

W granicy małych energii padającego fotonu, 
<span style="color:red"><math> h \nu \ll m</math></span>:  
*  energia  elektronu:
: <math>  E \; \approx \; m </math>
* pęd rozproszonego elektronu:
: <math>  p \; \approx \; h\nu \; \sqrt{2 ( 1 - \cos \theta )} </math>



<u>'''Duże energie fotonów'''</u>


W granicy dużych energii padającego fotonu 
<span style="color:red"><math> h \nu \gg m</math></span>
<span style="color:green">(przyjmując <math>\cos \theta \ne 1</math>, 
czyli <math>\theta \ne 0</math>)</span> otrzymujemy
: <math> h \nu' \; \approx \; \frac{  m }{1 - \cos \theta }  
         \; \rightarrow \; 0 </math>
: <math>  E \; \approx \; h \nu \; + \; m </math>
czyli foton przekazuje <span style="color:red">spoczywającemu</span>   
elektronowi praktycznie całą swoją energię.

[[image:compton1c.png]]

Odpowiada to klasycznemy zderzeniu ciał o równych masach 
(zakładając zderzenie centralne i  elastyczne).
Dla <span style="color:red"><math>h \nu \gg m</math></span> masę elektronu 
można pominąć, <span style="color:blue">elektron</span>, tak jak foton, 
można traktować jako <span style="color:blue">cząstkę bezmasową</span>.


<u>'''Rozpraszanie na wiązce elektronów'''</u>

W rozpraszaniu na spoczywającym elektronie najniższą energię będzie miał
foton rozproszony <span style="color:red">"do tyłu"</span> 
<span style="color:green">(<math>\cos \theta = -1 </math>)</span>:
: <math> h \nu' \; = \; \frac{ h \nu \cdot m }{ 2 h \nu + m } 
 \; < \; h \nu </math>
 
To, że foton zawsze traci energię zwiazane jest jednak z wyborem
układu odniesienia!  
<span style="color:green">(układ związany z elektronem)</span>

Możemy jednak rozważyć rozpraszanie fotonów o energii 
<span style="color:blue"><math>h \nu</math></span>
na przeciwbieżnej wiązce elektronów o energii 
<span style="color:red"><math>E_e \gg m</math></span>.

[[image:compton2a.png]]

Współczynniki transformacji Lorentza do układu elektronu:
: <math> \gamma \; = \; \frac{E_e}{m} </math>
: <math> \beta \; \approx \; 1 </math>

Energia fotonu w układzie elektronu wyniesie więc:
: <math> h\nu^\star \; = \; \gamma ( 1 + \beta ) h \nu </math>
:: <math> \; \approx \; \frac{2 E_e}{m} \cdot  h \nu  
     \; \gg \; h \nu </math>

Jeśli teraz w układzie elektronu foton rozprasza się "do tyłu"
<span style="color:green">(<math>\cos \theta = -1 </math>)</span>
to jego energia po rozproszeniu:
: <math> h \nu^{\star \prime}  
  \; = \; \frac{ h \nu^\star \cdot m }{ 2 h \nu^\star + m }  </math>
:: <math> \; \approx \; \frac{2 E_e \;  h \nu \cdot m  }{4 E_e \; h \nu + m^2}  </math>

Wracając teraz do <span style="color:red">układu laboratoryjnego</span>:  
<span style="color:green">(transformacja odwrotna, 
ale i pęd foton zmienił kierunek)</span>
: <math>  h \nu' \; \approx \; \frac{2 E_e}{m} \cdot  h \nu^{\star \prime}</math>

Otrzymujemy:
: <math>  h \nu'   \; \approx \; E_e \cdot 
\frac{4 E_e \;  h \nu }{4 E_e \; h \nu + m^2}  </math>

W przypadku wysokiej energii wiązki, 
<span style="color:fuchsia"><math>4 E_e \; h \nu \gg  m^2 </math></span>,  
elektron może przekazać fotonowi większość swojej energii.

[[image:compton2.png|Odwrotne rozpraszanie Comptona]]

Przykład: dla <math>E_e = 250 GeV</math> (planowana energia przyszłego
akceleratora ILC) i <math>h\nu = 1 eV</math> (podczerwień) możemy 
otrzymać wiązkę fotonów o energii 
<span style="color:blue"><math>h\nu' \approx 200 GeV</math></span>.