Tekst źródłowy strony FizykaI FMiN/Zasada Zachowania Pedu

__NOTOC__
<span style="font-size:40px">Zasada zachowania pędu</span><br><br>

==Zasada zachowania pędu==

===<u>'''Układ izolowany'''</u>=== 

[[image:zach_ped_1.png|frame]]

Układem izolowanym nazwiemy układ, w którym
każde ciało może w dowolny sposób oddziaływać z innymi elementami układu,
ale brak jest oddziaływań ze światem zewnętrznym.

Z '''III zasady dynamiki'''
siły z którymi  działają na siebie ciała <math>i</math> i <math>j</math>
związane są relacją:
: <math> \vec{F}_{ij} \; = \; -\vec{F}_{ji} </math>

Suma sił działających ciało <math>i</math>:
: <math> \vec{F}^{\Sigma}_{i} \; = \; \sum_j \vec{F}_{ji} </math>

Suma sił działających na cały układ:
: <math> \vec{F}_{tot} \; = \; \sum_i  \vec{F}^{\Sigma}_{i} 
                    \; = \; \sum_i \sum_j \vec{F}_{ji} </math>
:: <math>  \;  = \;  \sum_j \sum_i - \vec{F}_{ij}   \; = \;  
                   - \vec{F}_{tot} </math>

Wynika z tąd, że całkowita siła działająca na układ izolowany
: <math> \vec{F}_{tot}  =  0 </math>


[[image:zach_ped_2.png|frame]]

Korzystając z '''II zasady dynamiki''' możemy powiązać zmiany
pędu każdego ciała układu z sumą działających na nie sił:
: <math>\frac{d\vec{p}_i}{dt} \; = \; \vec{F}^{\Sigma}_{i} </math>

Prawo ruchu dla całego układu:
: <math> \vec{F}_{tot}  \; =  \; \sum_i  \vec{F}^{\Sigma}_{i} 
  =   \sum_i  \frac{d\vec{p}_i}{dt} </math>
:: <math>  \; \;  = \;  \frac{d}{dt} \sum_i  \vec{p}_i  </math>

Skoro dla układu izolowanego całkowita siła znika 
to wektor całkowitego pędu musi pozostawać stały
: <math> \vec{F}_{tot}=0 \;\;\;  \Rightarrow \;\;\;
\sum_i  \vec{p}_i   = \vec{p}_{\Sigma} 
       = const </math>

Dla dowolnego układu <span style="color:blue">izolowanego</span>,  
<span style="color:red">suma pędów</span> wszystkich
elementów   układu pozostaje <span style="color:red">stała</span>
(zakładamy, że jest to  izolowany układ inercjalny).


===<u>'''Oddziaływanie dwóch ciał'''</u>=== 


[[image:wozki_1.png|frame|Przed "rozpadem"]]
[[image:wozki_2.png|frame|Po "rozpadzie", <math> M_1 \; < M_2 </math>]]
  
Układ dwóch ciał o masach <math> m_1</math> i <math>m_2</math>
(w pokazie były to wózki na torze powietrznym: rysunek obok) 
"rozpada się" pod wpływem  <span style="color:red">sił wewnętrznych</span>.

Jeśli na początku wszystkie obiekty  spoczywają
: <math>\sum_i  \vec{p}_i  \; = \; 0 </math>
to i po "rozpadzie" <span style="color:red">suma pędów</span> 
musi być <span style="color:red">równa 0.</span>

Dla dwóch ciał  <span style="color:green">(przyjmując, że prędkości 
<math>v_i \ll c</math>)</span>
: <math> m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 \; = \; 0 </math>
Co prowadzi do związku:
: <math> \vec{v}_2 \; = \; - \frac{m_1}{m_2} \cdot \vec{v}_1 </math>

: <math> \frac{v_2}{v_1} \; = \; \frac{m_1}{m_2} </math>

===<u>'''Zderzenie całkowicie niesprężyste'''</u>=== 


[[image:wozki_3.png|frame|Przed zdrzeniem]]  
[[image:wozki_4.png|frame|Po zderzeniu]]


Zderzeniem całkowicie niesprężystym nazywamy zderzenie, w wyniku
którego po zderzeniu ciała pozostają trwale złączone (poruszają się
jak jedno ciało). W naszym doświadczeniu zczepiają się dwa wózki
na torze powietrznym.

Przyjmijmy, że jedno ciało na początku spoczywa, a drugie uderza
w nie z zadaną prędkością początkową (patrz rysunek obok).

Pęd początkowy: 
:<math> \vec{p}_i \; = \; m_1 \vec{v}_1 </math>

Pęd końcowy: 
:<math> \vec{p}_f \; = \; (m_1 + m_2) \cdot \vec{v}_2 </math>

Zasada zachowania pędu stanowi, że pęd nie może ulec zmianie 
(działają tylko siły wewnętrzne, między ciałami):
: <math> \vec{p}_i  \; = \; \vec{p}_f  </math>

Możemy z tego wyznaczyć prędkość ciał po zderzeniu:
: <math> \vec{v}_2 \; = \; \frac{m_1}{m_1 + m_2}\cdot \vec{v}_1  </math>

==Ruch ciał o zmiennej masie==


Rozważmy ruch ciała o zmiennej masie. Może to być rakieta, której masa
w wyniku spalania paliwa (i wyrzucania gazów przez dysze silników
rakietowych maleje). W ogólnym przypadku masa może zależeć od
położenia, prędkości i czasu: 
<math>m = m(\vec{r},\vec{v},t)</math>

[[image:rakieta_1.png|frame]]

Rozważmy ruch rakiety. Przyjmijmy, że w jakiejś chwili czasu 
od ciała o masie <span style="color:red"><math>m-dm</math></span> 
poruszającego się z prędkością 
<span style="color:red"><math>\vec{v}</math></span> odłącza się element
<span style="color:fuchsia"><math>-dm>0</math></span> 
poruszający się z prędkością <span style="color:fuchsia"><math>\vec{w}</math></span>. Przyjmujemy, że <math>dm<0</math> ponieważ masa rakiety maleje.

Z zasady zachowania pędu:
: <math> (m-dm)\;  \vec{v} \; = \; m\;  (\vec{v}+ d\vec{v}) - dm \; \vec{w} </math>

Z czego możemy wyznaczyć zmianę pędu rakiety:
: <math>  d\vec{p} \; = \; m \; d\vec{v} \; = \;
       (m-dm)\;  \vec{v} -   m\;  \vec{v} +  dm \; \vec{w} </math>
:: <math>  \; = \; dm \; (\vec{w} - \vec{v}) 
    \equiv   dm \; \vec{v}_{odrz} </math>

Działającą na rakietę siłę odrzutu (siła ciągu rakiety) możemy wyznaczyć
z II zasady dynamiki:
: <math> \vec{F}_{odrz} \; = \; \frac{d\vec{p}}{dt} \; = \; 
       \frac{dm}{dt}\; \vec{v}_{odrz}</math>
Przy czym siła ta jest przeciwnie skierowana do kierunku 
wylotu gazów (<math> \vec{v}_{odrz}</math>), gdyż masa rakiety maleje
(<math>\frac{dm}{dt}<0 </math>)

===<u>'''Wzór Ciołkowskiego'''</u>===

Równanie ruch ciała pod wpływem siły odrzutu możemy więc zapisać w postaci:
: <math> \frac{d \vec{p}}{dt} \; = \; m \; \frac{d \vec{v}}{dt} \; = \; 
      \vec{F}_{zewn} \; + \;  \frac{dm}{dt}\; \vec{v}_{odrz} </math>

Zaniedbując wpływ sił zewnętrznych  (np. pola grawitacyjnego) mamy:
: <math> m \; \frac{d \vec{v}}{dt} \; = \; \frac{dm}{dt}\; \vec{v}_{odrz} </math>

Wprowadzając funkcję <math>\vec{v}(m)</math> określającą zależność 
prędkości od masy rakiety i korzystając ze wzoru na pochodną funkcji złożonej:
:<math>  m \; \frac{d \vec{v}}{dm}\cdot \frac{dm}{dt}  
               \; = \; \frac{dm}{dt} \; \vec{v}_{odrz} </math>
Otrzymujemy:
:<math>  m \; \frac{d \vec{v}}{dm}  \; = \;  \vec{v}_{odrz} </math>

Całkując stronami:
: <math> \int\limits_{v_\circ}^{v_k} \frac{d\vec{v}}{\vec{v}_{odrz}} \; = \; 
\int\limits_{m_\circ}^{m_k} \frac{dm}{m} </math>

:<math> \vec{v}_k \; = \;  
\vec{v}_\circ + \vec{v}_{odrz} \cdot \ln \left(\frac{m_k}{m_\circ} \right) </math>

Otrzymaliśmy '''wzór Ciołkowskiego''' uzależniający prędkość końcową rakiety
od zmiany masy.


===<u>'''Rakieta jednostopniowa'''</u>===




[[image:rakieta_2.png|frame]]

Przyjmijmy, że rakieta o masie <span style="color:red"><math>m_R</math></span> 
ma wynieść satelitę o masie <span style="color:red"><math>m_S</math></span>, 
zużywając paliwo o masie <span style="color:red"><math>m_P</math></span>.

Możliwa do uzyskania prędkość końcowa:
: <math>v_k \; = \; 
v_{odrz} \cdot \ln \left(\frac{m_S + m_R + m_P}{m_S + m_R} \right) </math>

:: <math> \; \approx \; v_{odrz} \cdot \ln (1+f) </math>

gdzie <math> f \; = \; \frac{m_P}{ m_R} </math> to
stosunek masy paliwa do masy rakiety. 
Zaniedbaliśmy przy tym masę satelity (nowoczesna elektronika jest lekka):
<math> m_s \ll m_R </math>.

Aby uzyskać II prędkość kosmiczną  
<math>v_k \approx 11 \; km/s</math>  (np. lot na Księżyc)  
przy silniku rakietowym o <math>v_\circ = 3 \; km/s</math>
potrzebujemy:
: <math> f \; = \; \exp \left( \frac{v_k}{v_\circ} \right) - 1 \; \approx \; 38 </math>

Jest to teoretycznie możliwe do uzyskania,   
praktycznie jednak niewykonalne <span style="color:green">(?)</span>
i <span style="color:blue">nieopłacalne !</span>...

W praktyce budujemy rakiety wielostopniowe.

===<u>'''Rakieta dwustopniowa'''</u>===


[[image:rakieta_4.png|frame]]

Rakietę dzielimy na dwa człony o masach 
<span style="color:red"><math>m'_R</math></span>
i <span style="color:red"><math>m''_R</math></span>,
w których znajduje się paliwo o masie 
<span style="color:red"><math>m'_P</math></span> 
i <span style="color:red"><math>m''_P</math></span>.
Całkowite masy rakiety i paliwa:  
: <math>m'_R + m''_R = m_R</math>
: <math>m'_P + m''_P = m_P</math>

Prędkość końcową liczymy stosując dwukrotnie wzór Ciołkowskiego 
(najpierw dla pierwszego, potem dla drugiego członu rakiety):
: <math>v_k \; = \; 
v_{odrz} \cdot \left[ 
\ln \left(\frac{m_S + m_R + m_P}{m_S + m_R + m''_P} \right) 
+
\ln \left(\frac{m_S + m''_R + m''_P}{m_S + m''_R} \right) \right]</math>

W przybliżeniu <span style="color:red"><math>m_S \ll m''_R \ll m'_R</math></span>
(pierwszy człon dużo większy od drugiego) i <math>m''_P \ll m'_P</math>
prowadzi to do zależności:
: <span style="color:blue"><math>v_k  \approx  v_{odrz} \cdot 2 \; \ln (1+f)</math></span>

Aby uzyskać II prędkość kosmiczną 
<span style="color:red"><math>v_k \approx 11 \; km/s</math></span> 
przy <span style="color:red"><math>v_\circ = 3 \; km/s</math></span>
potrzebujemy silnika rakietowego o współczynniku:
: <math> f \; = \; \exp \left( \frac{v_k}{2 \; v_\circ} \right) - 1
       \; \approx \; 5.3 </math>

Dla <span style="color:red"><math>f \approx 10</math></span> 
<span style="color:green">(dla obu członów)</span> można wystrzelić w kosmos
<span style="color:blue"><math>m_S \approx 0.6% \; (m_R+m_P)</math></span>  
(przy optymalnym wyborze <math>m''_R \approx 7% \; m_R</math>).


===<u>'''Rakieta wielostopniowa'''</u>===


[[image:rakieta_3.png|frame]]

Rakieta składa się z wielu członów. 
W każdym z nich stosunek masy paliwa do "obudowy" 
wynosi <span style="color:red"><math>f</math></span>

W granicy wielu bardzo małych członów:
: <math> m \; d\vec{v} \; = \; dm \; \vec{v}_{odrz} \cdot \frac{f}{f+1} </math>

Co po odcałkowaniu sprowadza się do wzoru na prędkość końcową:
: <math>v_k \; = \; v_{odrz} \cdot \frac{f}{f+1}
\cdot \ln \left(\frac{ m_R + m_P + m_S}{m_S} \right)  </math>

:: <math> \; = \; v_{odrz} \cdot \frac{f}{f+1}
\cdot \ln \left(1 +\frac{ m_R}{m_S} (1 + f) \right)  </math>

Aby uzyskać II prędkość kosmiczną dla satelity o masie
<span style="color:red"> <math>m_S \approx 100 \; kg</math></span> 
przy silniku o <span style="color:red"><math>f=10</math></span>
musimy zbudować rakietę o masie
: <math> m_R \; = \; \frac{m_S}{1+f}  \left[
\cdot \exp \left( \frac{v_k \; (1+f)}{v_\circ \; f} \right)
-1 \right]  </math>

::<math> m_R \; \approx \; 500 \; kg </math>
::<math> m_P \; \approx \; 5000 \; kg </math>

Przy rakiecie jednoczłonowej, przy tych samych   
<math>m_S</math> i <math>m_R</math> potrzebaby 228'000 kg paliwa !!!

Dla rakiety dwuczłonowej potrzebaby 
<math>m_R \approx</math> 1600 kg, <math>m_P \approx</math> 16'000 kg


==Zasada zachowania momentu pędu==


===<u>'''Siły centralne'''</u>===

Jeśli układ ciał (lub pojedyńcze ciało) działa jakaś
siła zewnętrzna <span style="color:red">
<math> \vec{F}_{tot} \ne 0</math></span> to pęd układu
musi się zmieniać: 
: <span style="color:red"><math>\sum  \vec{p}_i \ne</math> const</span>.

Siły które działają na układ często są  
<span style="color:red">siłami centralnymi</span> - działają w kierunku 
ustalonego źródła siły.

Jeśli położenie źródła przyjmiemy za środek układu współrzędnych to
możemy wtedy zapisać:
: <span style="color:blue"><math> \vec{F}_{tot} = F(r, \ldots ) \cdot \vec{i}_r</math></span>

Przykład:
* siła grawitacyjna  <span style="color:blue"><math>F(r) = -G\frac{m_1 m_2}{r^2} </math></span>

* siła kulombowska   <span style="color:blue"><math>F(r) = \frac{Q_1 Q_2}{4 \pi \epsilon_\circ  r^2} </math></span>

* siła spężysta  <span style="color:blue"><math>F(r) = -k \cdot r </math></span>
 
Czy można coś "uratować" z zasady zachowania pędu ?...

===<u>'''Moment pędu'''</u>=== 

Zdefiniujmy dla punktu materialnego możemy zdefiniować 
moment pędu <span style="color:blue"> względem O</span>
: <math> \vec{L} \; = \; \vec{r} \times \vec{p}</math>

Moment pędu zależy od wyboru początku układu!

Uwzględniając klasyczne wyrażenie na pęd (<math>v \ll c</math>)
otrzymujemy:
:<math> \vec{L} \; = \; m \; \vec{r} \times \vec{v} </math>

Wartość momentu pędu:
<math> L \; = \;  m \; r \; v \sin \theta </math> 
gdzie <math> \theta </math> jest kątem między wektorem prędkości
i wektorem położenia.

W przypadku ruchu po płaszczyźnie przechodzącej przez początek układu
: <math> \vec{L} \; = \; m \; \vec{r} \times (\vec{v}_r + \vec{v}_\theta) </math>
Wektor prędkości radialnej jest równoległy do wektora położenia więc ich
iloczyn wektorowy znika. Wektor momentu pędu będzie prostopadły do 
płaszczyzny ruchu a jego wartość
: <math> L \; = \;  m \; r \; v_\theta 
\; = \; m \; r^2 \; \frac{d\theta}{dt} \; = \;  m \; r^2 \; \omega </math> 
gdzie kąt <math>\theta</math> opisuje położenie ciała w płaszczyźnie ruchu.

Przypadkiem  szczególnym jest ruch po okręgu, czyli 
<span style="color:red"><math>r</math>=const</span>

Wtedy możemy zdefiniować <span style="color:blue">Moment bezwładności</span>
: <math> I \; = \; m \; r^2 </math>
a moment pędu możemy przedstawić w ogólnej postaci
: <math> \vec{L} \; = \; I \;  \vec{\omega} </math> 



===<u>'''Moment siły'''</u>=== 

Jeśli na ciało działa siła to możemy zdefiniować jej '''moment '''
względem początku układu O
: <math> \vec{M} \; = \; \vec{r} \times \vec{F}</math>

Rozważmy zmiany momentu pędu w czasie:
: <math>  \frac{d\vec{L}}{dt} \; = \; \frac{d(\vec{r} \times \vec{p})}{dt} </math>
::<math>  = \; \frac{d\vec{r}}{dt} \times \vec{p} \; + \; 
        \vec{r} \times \frac{d\vec{p}}{dt}  </math>
::<math>  = \; \vec{v} \times \vec{p} \; + \;  \vec{r} \times \vec{F}  </math>
:: <math> \; = \;  0 \quad +\quad   \vec{M} </math>

Otrzymaliśmy równanie ruchu, które mówi nam, że zmiana momentu pędu
musi być wynikiem działania momentu siły:
: <math>  \frac{d\vec{L}}{dt} \; = \; \vec{M} </math>

W przypadku, gdy na układ nie działają zewnętrzne momenty siły
całkowity moment pędu jest zachowany:
: <math> \vec{M}=0 \;  \Rightarrow \; \vec{L}=const </math>


===<u>'''Cząstka swobodna'''</u>=== 


Dla cząstki swobodnej moment pędu względem 
<span style="color:red">dowolnego punktu 0</span> pozostaje
stały:
: <math> L \; = \; m\; v\; r\; \sin \theta  \; = \; m \; v \; b \; = \; 
         \textrm{const} </math>
gdzie <math> \theta </math> jest (jak poprzednio) kątem 
między wektorem prędkości i wektorem położenia, zaś
<span style="color:red"><math>b=r\; \sin \theta</math></span> 
nazywamy parametrem zderzenia. Jest to odległość najmniejszego zbliżenia 
ciała do O.


===<u>'''Siła centralna'''</u>===


Dla dowolnej siły centralnej, moment siły 
<span style="color:green">(względem źródła)</span>:
: <math> \vec{M} \; = \;  \vec{r} \times \vec{F}  </math>
::<math> = \; \vec{r} \times \vec{i}_r \cdot F(r,\ldots)  \; = \; 0 </math> 

Moment siły znika, tak więc moment pędu, 
liczony <span style="color:blue">względem źródła</span> siły centralnej
pozostaje stały.

:{|border=1 cellpadding=5 cellspacing=5
|<math>\vec{L}</math> = const 
|}



===<u>'''Prędkość polowa'''</u>=== 

Prędkość polowa mówi nam jakie pole wektor wodzący punktu 
zakreśla w jednostce czasu
(<span style="color:blue"><math>\frac{dS}{dt}</math></span>)

<center>
[[image:predkosc_polowa.png]]
</center>

Korzystając ze wzoru na pole trójkąta i przybliżenia
małych kątów:
: <math>dS_{OAB}\! \; = \;\! \frac{1}{2}\; r \; r d\theta 
           =  \frac{1}{2} \;| \vec{r} \times \vec{dr}|
           =  \frac{1}{2} \;| \vec{r} \times \vec{v} | \; dt </math>

Tym samym prędkość polową możemy wyrazić prez moment pędu:
:<math>\frac{dS}{dt} \; = \; \frac{1}{2}\;| \vec{r} \times \vec{v} |
                   \; = \; \frac{L}{2\;m } </math>


===<u>'''II prawo Keplera'''</u>=== 

W przypadku sił centralnych moment siły znika i moment pędu jest zachowany.
Tym samym prędkość polowa musi być stała.

<center>
[[image:keppler.png]]
</center>

 
'''W ruchu pod działaniem sił centralnych prędkość polowa jest stała.'''