Tekst źródłowy strony Matematyka II NI/Algebra liniowa

==Układy równań liniowych algebraicznych - metoda eliminacji Gaussa==



<big>'''''Zadanie 1'''''</big>

Rozwiąż układ równań

<math>
\left\{ 
\begin{matrix} 
2x & + & 3y & + & z& =2 \\ 
3x & + & 2y & - & z& =3 \\ 
x & + & 2y & + & 2z& =2 
\end{matrix} 
\right.
</math>


{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = 
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Używając pierwszego równania eliminujemy <math>x</math> z pozostałych
<math>
\left\{ 
\begin{matrix} 
2x & + & 3y & + & z& =&2 \\ 
 &  & y & + & z& =&0 \\ 
 &  & y & + & 3z& =&-4 
\end{matrix} 
\right.
</math> &nbsp; , używając drugiej równości eliminujemy <math>y</math> z trzeciej równości
<math>
\left\{ 
\begin{matrix} 
2x & + & 3y & + & z& =&2 \\ 
   &   & y  & + & z& =&0 \\ 
   &   &    &   & z& =&-2 
\end{matrix} 
\right.
</math> &nbsp; . Wstawiając tak otrzymaną wartość <math>z</math> do dwóch pierwszych równań mamy
<math>
\left\{ 
\begin{matrix} 
2x & + & 3y &   &  & = &4 \\ 
   &   &  y  &  &  & = &2 \\ 
   &   &    &   & z& = &-2 
\end{matrix} 
\right.
</math> &nbsp; , i ostatecznie
<math>
\left\{ 
\begin{matrix} 
x  & =&-1 \\ 
y & =& 2 \\ 
z &=&-2 
\end{matrix} 
\right.
</math> &nbsp; .
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

<big>'''''Zadanie 2'''''</big>

Rozwiąż układ równań

<math>
\left\{ 
\begin{matrix} 
y+z =5 \\ 
x+z =4 \\ 
x+y =2 
\end{matrix} 
\right.
</math>


{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = 
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = 
<math>
\left\{ 
\begin{matrix} 
y+z =5 \\ 
x+z =4 \\ 
x+y =3 
\end{matrix} 
\right.  \iff
\left\{ 
\begin{matrix} 
y+z =5 \\ 
x+z =4 \\ 
x-z =-2 
\end{matrix} 
\right. \iff 
\left\{ 
\begin{matrix} 
y+z =5 \\ 
x+z =4 \\ 
x = 1 
\end{matrix} 
\right. \iff 
\left\{ 
\begin{matrix} 
y =2 \\ 
z = 3 \\ 
x = 1 
\end{matrix} 
\right. 
</math>
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = 
}}
----

<big>'''''Zadanie 3'''''</big>

Rozwiąż układ równań

<math>
\left\{ 
\begin{matrix} 
x+y+z+t =1 \\ 
2x+3y+4z+3t =2 \\ 
x-z =1 \\
y+2z+t=0
\end{matrix} 
\right.
</math>


{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = 
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = 
<math>
\left\{ 
\begin{matrix} 
x+y+z+t =1 \\ 
2x+3y+4z+3t =2 \\ 
x-z =1 \\
y+2z+t=0
\end{matrix} 
\right. \iff
\left\{ 
\begin{matrix} 
x+y+z+t =1 \\ 
y+2z+t=0 \\ 
y+2z+t=0 \\
y+2z+t=0
\end{matrix} 
\right. \iff
\left\{ 
\begin{matrix} 
x+y+z+t =1 \\ 
y+2z+t=0
\end{matrix} 
\right. \iff
\left\{ \begin{matrix} 
x-z =1 \\ 
y+2z+t=0
\end{matrix}\right. 
</math> 

Rozwiązaniem jest
<math>\{(x,y,z,t)\in \mathbb{R}^4 \, : \, x=1+z, \, y=-2z-t, \, z\in\mathbb{R} , \, t\in\mathbb{R}\}</math>
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = 
}}
----

<big>'''''Zadanie 4'''''</big>

Rozwiąż układ równań

<math>
\left\{ 
\begin{matrix} 
x+y+z =3 \\ 
x+y+2z =4 \\ 
x+y+3z =5
\end{matrix} 
\right.
</math>

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = 
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = 
<math>
\left\{ 
\begin{matrix} 
x+y+z =3 \\ 
x+y+2z =4 \\ 
x+y+3z =5
\end{matrix} 
\right. \iff
\left\{ 
\begin{matrix} 
x+y+z =3 \\ 
z =1 \\ 
z =1
\end{matrix} 
\right.\iff
\begin{matrix} 
x =-y+2 \\ 
z =1
\end{matrix} 
</math>

Rozwiązaniem jest
<math>\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \, : \, x=-y+2, \, z=1 , \, y\in\mathbb{R}\}</math>
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = 
}}
----

<big>'''''Zadanie 5'''''</big>

Rozwiąż układ równań

<math>
\left\{ 
\begin{matrix} 
3x+y+z =1 \\ 
x+y+2z =-2 \\ 
x-y-3z =-9
\end{matrix} 
\right.
</math>

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = 
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = 
<math>
\left\{ 
\begin{matrix} 
3x+y+z =1 &\\ 
x+y+2z =-2 & \\ 
x-y-3z =-9 &
\end{matrix} 
\right.\iff
\left\{ 
\begin{matrix} 
-2y-5z =7 &\\ 
x+y+2z =-2 & * \\ 
-2y-5z =-7 &
\end{matrix} 
\right.\iff
\left\{ 
\begin{matrix} 
-2y-5z =7 & **\\ 
x+y+2z =-2 & * \\ 
7=-7 &\end{matrix} \right.
</math>

Gdzie gwiazdkami oznaczyliśmy równanie, którego  użyliśmy w kolejnych krokach. Układ nie ma rozwiązań.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

==Operacje algebraiczne na macierzach==

<big>'''''Uwagi'''''</big>
Na wykładzie pokazane będzie, że

a) mnożenie macierzy jest łączne

b) mnożenie macierzy jest rozdzielne względem dodawania.


<big>'''''Zadanie 1'''''</big>

Oblicz
<math>
2
\left[
\begin{matrix} 
-1 & 2  \\ 
4 & 5   
\end{matrix} 
\right]+
\left[
\begin{matrix} 
2 & -2 \\
1 & -1 
\end{matrix} 
\right] 7
</math>.


{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = 
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
<math>
2
\left[
\begin{matrix} 
-1 & 2  \\ 
4 & 5   
\end{matrix} 
\right]+
\left[
\begin{matrix} 
2 & -2 \\
1 & -1 
\end{matrix} 
\right] 7
=
\left[
\begin{matrix} 
-2 & 4  \\ 
8 & 10   
\end{matrix} 
\right]+
\left[
\begin{matrix} 
14 & -14 \\
7 & -7 
\end{matrix} 
\right] 
=
\left[
\begin{matrix} 
12 & -10  \\ 
15 & 3   
\end{matrix} 
\right]
</math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

<big>'''''Zadanie 2'''''</big>

Pomnóż macierz &nbsp;
<math>
\left[
\begin{matrix} 
1 & 2 & 3 \\ 
4 & 5 & 6  \\ 
7 & 8 & 9 
\end{matrix} 
\right]
</math> &nbsp;
przez macierz &nbsp;
<math>
\left[
\begin{matrix} 
a & b & c \\ 
d & e & f  \\ 
g & h & i 
\end{matrix} 
\right]
</math>.


{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = 
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
<math>
\left[
\begin{matrix} 
1 & 2 & 3 \\ 
4 & 5 & 6  \\ 
7 & 8 & 9 
\end{matrix} 
\right]
\left[
\begin{matrix} 
a & b & c \\ 
d & e & f  \\ 
g & h & i 
\end{matrix} 
\right]=
\left[
\begin{matrix} 
a+2d+3g & b+2e+3h & c+2f+3i \\ 
4a+5d+6g & 4b+5e+6h &  4c+5f+6i \\ 
7a+8d+9g & 7b+8e+9h &  7c+8f+9i
\end{matrix} 
\right]
</math>
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

<big>'''''Zadanie 3'''''</big>

Niech
<math>
A=\left[
\begin{matrix} 
1 & 2  \\ 
3 & 4  \\ 
5 & 6 
\end{matrix} 
\right]
</math>, &nbsp;
<math>B=
\left[
\begin{matrix} 
7 & 8 & 9 \\ 
-1 & -2 & -3  
\end{matrix} 
\right]
</math>. Oblicz AB i BA


{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = 
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
<math>
\left[
\begin{matrix} 
1 & 2  \\ 
3 & 4  \\ 
5 & 6 
\end{matrix} 
\right]
\left[
\begin{matrix} 
7 & 8 & 9 \\ 
-1 & -2 & -3  
\end{matrix} 
\right]=
\left[
\begin{matrix} 
7-2 & 8-4 & 9-6\\ 
21-4 & 24-8 & 27-12 \\ 
35-6 & 40-12 & 45-8
\end{matrix} 
\right]
=
\left[
\begin{matrix} 
5 & 4 & 3 \\ 
17 & 16 & 15 \\ 
29 & 28 & 37
\end{matrix} 
\right]
</math>

<math>
\left[
\begin{matrix} 
7 & 8 & 9 \\ 
-1 & -2 & -3  
\end{matrix} 
\right]
\left[
\begin{matrix} 
1 & 2  \\ 
3 & 4  \\ 
5 & 6 
\end{matrix} 
\right]
=
\left[
\begin{matrix} 
7+24+45 & 14+32 +54 \\ 
-1-6-15 & -2-8-18  
\end{matrix} 
\right]
=
\left[
\begin{matrix} 
76 & 100  \\ 
-22 & -28 
\end{matrix} 
\right]
</math>
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = 
}}
----

<big>'''''Zadanie 4'''''</big>

Niech
<math>
|a>:=\left[
\begin{matrix} 
1   \\ 
2   \\ 
3  
\end{matrix} 
\right]
</math>, &nbsp;
<math><b|:=
\left[
\begin{matrix} 
2 & 3 & 1 \\  
\end{matrix} 
\right]
</math>. &nbsp; Oblicz <math><b|a></math>&nbsp; i &nbsp;<math>|a><b|</math>.


{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = 
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
<math>
<b|a>=2+6+3=11
</math>

<math>
|a><b|=
\left[
\begin{matrix} 
2 & 3 & 1 \\ 
4 & 6 & 2 \\ 
6 & 9 & 3
\end{matrix} 
\right]
</math>
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = 
}}
----

<big>'''''Zadanie 5'''''</big>

Oblicz

<math>
\left[
\begin{matrix} 
0 & 1 & 1 \\ 
0 & 0 & 1 \\ 
0 & 0 & 0
\end{matrix} 
\right]^3
</math>.



{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = 
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
<math>
\left[
\begin{matrix} 
0 & 1 & 1 \\ 
0 & 0 & 1 \\ 
0 & 0 & 0
\end{matrix} 
\right]^3=
\left[
\begin{matrix} 
0 & 1 & 1 \\ 
0 & 0 & 1 \\ 
0 & 0 & 0
\end{matrix} 
\right]^2\left[
\begin{matrix} 
0 & 1 & 1 \\ 
0 & 0 & 1 \\ 
0 & 0 & 0
\end{matrix} 
\right]
=
\left[
\begin{matrix} 
0 & 0 & 1 \\ 
0 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & 0
\end{matrix} 
\right]\left[
\begin{matrix} 
0 & 1 & 1 \\ 
0 & 0 & 1 \\ 
0 & 0 & 0
\end{matrix} 
\right]=
\left[
\begin{matrix} 
0 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & 0
\end{matrix} 
\right]
</math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = 
}}
----