Tekst źródłowy strony Twierdzenie o próbkowaniu

==[[Analiza_sygnałów_-_lecture|AS/]] Twierdzenie o próbkowaniu==
 
Twierdzenie o próbkowaniu odpowiada na kluczowe pytanie, które winniśmy 
postawić decydując się na pracę z dyskretnymi (próbkowanymi) 
wersjami sygnałów ciągłych z natury. 
 
===Twierdzenie o próbkowaniu===
Sygnał ciągły <math>s(t)</math> możemy odtworzyć z wektora jego wartości  
w dyskretnych  chwilach czasu <math> n \Delta t</math>, jeśli nie było w nim  
częstości wyższych niż  <math>\frac{1}{2\, \Delta t}</math>. 
 
'''Dowód''' 

Dla uproszczenia przyjmijmy <math>\Delta t =
1</math>. Wtedy <math>\hat{s}(f)</math>, czyli transformata Fouriera
sygnału <math>s(t)</math>, będzie niezerowa co najwyżej pomiędzy
<math>-\frac{1}{2}</math> a <math>\frac{1}{2}</math>. 

Oznaczmy
<math>u(f)</math> funkcję o okresie <math>1</math>, tożsamą z
<math>\hat{s}(f)</math> na przedziale <math> \left [ -\frac{1}{2},
\frac{1}{2} \right ] </math>.
 
Przedstawia ją [[Szereg_Fouriera#label-eq:15|szereg Fouriera]]: 

<math>u(f) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-2 \pi i f n}</math> 
 
Współczynniki <math> c_n </math> tego rozwinięcia dane są [[Szereg_Fouriera#label-eq:15|wzorem]]: 

<math> c_{n} =\frac{1}{1} \int_{0}^{1} u(f) e^{{2\pi i n
f}} d f = \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \hat{s}(f)e^{{2\pi i n
f}} d f = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{s}(f) e^{{2\pi i n f}} d f =
s(n) </math>
 
Współczynniki <math>c_n</math>, dane przez wartości sygnału
<math>s</math> w punktach próbkowania, jednoznacznie określają
funkcję <math>u(f)</math>, ta z kolei zawiera w sobie
<math>\hat{s}(f)</math> &mdash; [[Przekształcenie Fouriera|transformatę Fouriera]] ''ciągłego'' sygnału
<math>s(t)</math>, czyli określa jednoznacznie również sam sygnał.
 
Znajdźmy ''explicite''  formułę rekonstrukcji: 

<math>
s(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{s}(f) e^{-2\pi i f t } d f 
= \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \hat{s}(f) e^{-2\pi i f t } d f 
= \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}  
\left ( \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-2\pi i f n} \right )e^{-2\pi i f t} df 
</math>
<math>
= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} s(n) e^{2 \pi i f n} e^{-2\pi i f t}  df 
= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} s(n) \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} e^{2 \pi i f (n-t)} df 
</math> 

ponieważ 

<math> 
\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} e^{2 \pi i f (n-t)} df 
= \left[{\frac{1}{2\pi i (n-t)}} e^{2 \pi i f (n-t)} 
\right]_{f=-\frac{1}{2}}^{f=\frac{1}{2}} 
=\frac{\sin\left( \pi (n-t)\right)}{\pi(n-t)}
</math> 

dostajemy 

<math>
s(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} { {s(n)} } 
\frac{\sin\left(\pi (n-t)\right)}{\pi(n-t)} 
</math>

Tak więc, jeśli spełnione jest główne założenie o ograniczonym paśmie
sygnału ciągłego i odpowiednio dobranej częstości próbkowania, w
procesie próbkowania nie tracimy informacji ani też nie wprowadzamy
przekłamań, obliczając widmo (rozdział
[[Twierdzenia_o_splocie_i_o_próbkowaniu_(aliasing)#Przekszta.C5.82cenie_Fouriera_sygna.C5.82.C3.B3w_dyskretnych.2C_aliasing|o aliasingu]]).

===Twierdzenie o próbkowaniu w praktyce===
W praktyce przed próbkowaniem sygnał jest zwykle filtrowany
dolnoprzepustowym filtrem analogowym o częstości odcięcia poniżej częstości 
Nyquista.

<references/>