Tekst źródłowy strony WnioskowanieStatystyczne/Interpretacja współczynnika korelacji

[[Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład]]



==Interpretacja współczynnika korelacji==

Rozważmy wariancję zmiennej <math>y</math> z poprzedniego
rozdziału. Niech <math>y_{i}^{p}=a+bx_{i}</math>

[[Plik:Wsp kor war.png|500px]]


<math>
\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}-\overline{y})^{2}=
\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}-y_{i}^{p}+y_{i}^{p}-\overline{y}
)^{2}=
</math>
<math>
\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}-y_{i}^{p})^{2}+\underset{i=1}{
\overset{N}{\sum }}(y_{i}^{p}-\overline{y})^{2}+2\underset{i=1}{\overset{N}{
\sum }}(y_{i}-y_{i}^{p})(y_{i}^{p}-\overline{y})
</math> 

Całkowitą wariancię zmiennej <math>y</math> podzieliliśmy na dwa
człony: wariancję estymaty <math>y_{i}^{p}</math> wokół wartości
średniej <math>\overline{y}</math> i wariancję obserwowanych
<math>y_{i}</math> wokół estymaty <math>y_{i}^{p}</math> (trzeci człon
[https://en.wikipedia.org/wiki/Explained_sum_of_squares#Simple_derivation znika]).

===Współczynnik korelacji liniowej (Pearsona)===

przypominamy wyprowadzone w poprzednim rozdziale zależności:


<math>
b=\frac{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-
\overline{y})}{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-\overline{x})^{2}},
\qquad a=\overline{y}-b\overline{x}
</math>


oraz wzór na estymator współczynnika korelacji liniowej


<math>
r_{x, y}= \frac{\sigma_{x, y}}{\sigma_x \sigma_y}=
\frac{E\left(	\left(x-\mu_{x})(y-\mu_{y}\right)\right)}
{\sqrt{E\left( (x-\mu_{x})^2\right) E\left( (y-\mu_{y})^2\right)}},
</math>


jego kwadrat estymujemy jako 


<math>
r^{2}=\frac{\left( \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-
\overline{x})(y_{i}-\overline{y})\right) ^{2}}{\underset{i=1}{\overset{N}{
\sum }}(x_{i}-\overline{x})^{2}\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}-
\overline{y})^{2}}
</math>


Podstawiając
<math>
\forall_i (y_i - \overline{y}) = 
b (x_i - \overline{x} )
</math>, oraz 
<math>
b=\frac{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-
\overline{y})}{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-\overline{x})^{2}}
</math>


do wyrażenia na wariancję tłumaczoną przez model


:<math>\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}^{p}-\overline{y})^{2} </math>,
dostajemy:


:<math>
\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}^{p}-\overline{y})^{2} 
= b \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-\overline{x})^{2}
=\frac{\left( 
\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y}
)\right) ^{2}}{\left( \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-\overline{x}
)^{2}\right) ^{2}}\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-\overline{x}
)^{2}=\\

 =\frac{\left( \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-\overline{x}
)(y_{i}-\overline{y})\right) ^{2}}{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-
\overline{x})^{2}}\frac{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}-\overline{y}
)^{2}}{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}-\overline{y})^{2}}=r^{2}
\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}-\overline{y})^{2} 
</math>


czyli 


:<math>
{r^{2}=\frac{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}^{p}-
\overline{y})^{2}}{\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(y_{i}-\overline{y})^{2}
}\ }
</math>


przykłady interpretacji podaje też [https://en.wikipedia.org/wiki/Correlation_and_dependence artykuł z Wikipedii]


[[Plik:Korelacja.png|600px|thumb|left|<figure id="fig:rozw2"></figure>Przykładowe wartości współczynnika korelacji dla 300 par <math>(x, y)</math> o
różnych stopniach współzależności.
]]