Filtry - Historia wersji

Durka: /* Funkcja przejścia (transfer function) */

2024-11-14T21:18:57Z

Funkcja przejścia (transfer function)

2024-07-23T08:08:34Z

2024-07-23T08:07:22Z

Liniowe i nieliniowe opóźnienie fazy, opóźnienie grupowe

2024-07-23T08:03:18Z

2024-07-23T07:23:28Z

Filtry

2024-07-23T07:21:29Z

Finite Impulse Response (FIR) — filtr o skończonej odpowiedzi impulsowej

2024-07-23T07:16:12Z

Filtry

2024-07-22T17:18:10Z

Filtry

2024-07-22T17:16:31Z

Filtry

2024-07-22T17:15:06Z

Filtry

@@ Linia 25: / Linia 25: @@
 ==Funkcja przejścia (transfer function)==
-Stosując transformatę <math>Z</math> możemy powyższe równanie z dziedziny czasu przenieść do dziedziny częstości:
+Zastosujmy do obu stron powyższego równania transformatę <math>\mathcal{Z}</math>:
@@ Linia 61: / Linia 60: @@
 </math>
 </div>
 ==Filtry==

@@ Linia 226: / Linia 226: @@
 W każdym innym przypadku sygnał na wyjściu nie będzie odtwarzał własności fazowych (czyli "kształtu", obserwowanego w dziedzinie czasu) sygnału oryginalnego, nawet w zakresie częstości nie zmienianych w procesie filtrowania — zgadzać się będzie tylko widmo w paśmie przenoszenia.
@@ Linia 334: / Linia 332: @@
 </source>
 |}

@@ Linia 199: / Linia 199: @@
 Przesuńmy teraz fazę obydwu sygnałów składowych o tę samą wartość, na przykład <math>\pi/2</math>, i ponownie dodajmy do siebie. Odpowiada to sytuacji, kiedy po przejściu przez filtr sygnału <math>x(t) = \sin(\omega t) + \sin(2 * \omega t)</math> dostajemy <math>y(t) = \sin(\omega t + \pi/2) + \sin(2 * \omega t + \pi/2)</math>
+[[Plik:Phase1.png|150px|left|bezramki]]
 [[Plik:Phase2.png|500px|center|bezramki]]
@@ Linia 221: / Linia 221: @@
 Żeby otrzymać sygnał, którego wszystkie składowe będą przesunięte o ten sam odcinek czasu <math>\Delta t</math>, czyli będą miały stałe przesunięcie grupowe, trzeba fazę przesuwać '''liniowo''' w zależności od częstości: <math>\Delta\phi(\omega) = \omega\Delta t</math>, wtedy opóźnienie grupowe <math>\frac{d \phi(\omega)}{d \omega} = \frac{d (\omega\Delta t)}{d \omega} = \Delta t</math> będzie stałe.
-<div align="center">
+[[Plik:Phase1.png|150px|left|bezramki]]
-[[Plik:Phase3.png|500px|bezramki]]
+[[Plik:Phase3.png|500px|center|bezramki]]
-</div>
 W każdym innym przypadku sygnał na wyjściu nie będzie odtwarzał własności fazowych (czyli "kształtu", obserwowanego w dziedzinie czasu) sygnału oryginalnego, nawet w zakresie częstości nie zmienianych w procesie filtrowania — zgadzać się będzie tylko widmo w paśmie przenoszenia.

← poprzednia wersja		Wersja z 08:03, 23 lip 2024
Linia 334:		Linia 334:
	</source>		</source>
	\|}		\|}
		+
		+
		+
		+
		+
		+	<div align="right">
		+	[[Funkcja_systemu\|⬅]] [[Analiza_sygnałów_-_wykład\|⬆]] [[Spektrogram\|⮕]]
		+	</div>

@@ Linia 88: / Linia 88: @@
 W wyniku filtrowania sinusoidalna składowa sygnału o danej częstości może zmienić amplitudę i fazę, ale nie zmienia częstości.
 <!--Zera i bieguny filtra to odpowiednio miejsca zerowe licznika i mianownika funkcji przenoszenia.-->
@@ Linia 138: / Linia 137: @@
 </math>
 ===Infinite Impulse Response (IIR) —  filtr o nieskończonej odpowiedzi impulsowej===

@@ Linia 130: / Linia 130: @@
-Jeśli współczynniki <math>b_i</math> zapiszemy jako sekwencję <math>b[i]</math>, działanie takiego filtra LTI na sygnał <math>x[n]</math> w dziedzinie czasu będze wyglądała tak:
+Jeśli współczynniki <math>b_i</math> zapiszemy jako sekwencję <math>b[i]</math>, zobaczymy, że działanie takiego filtra na sygnał <math>x[n]</math> w dziedzinie czasu jest splotem sekwencji współczynników filtra z sygnałem:
@@ Linia 141: / Linia 141: @@
 Taki filtr nazywamy filtrem o skończonej odpowiedzi impulsowej (Finite Impulse Response, FIR), bo odpowiedź na impuls  kończy się po <math>L</math> próbkach. Inna nazwa to średnia biegnąca (Moving Average, MA).
 ===Infinite Impulse Response (IIR) —  filtr o nieskończonej odpowiedzi impulsowej===

← poprzednia wersja		Wersja z 07:16, 23 lip 2024
Linia 67:		Linia 67:

	==Filtry==		==Filtry==
−	Funkcja przejścia <math>H(z)</math> pozwala ~~spójnie~~ przedstawić działanie filtra LTI na sygnał <math>x</math> w przestrzeni transformaty <math>\mathcal{Z}</math>:	+	Funkcja przejścia <math>H(z)</math> pozwala zwięźle przedstawić działanie filtra LTI na sygnał <math>x</math> w przestrzeni transformaty <math>\mathcal{Z}</math>:

@@ Linia 83: / Linia 83: @@
 </math>
-Działanie funkcji przejścia na składową sygnału <math>x</math> o częstości <math>\omega_k</math>, przedstawioną we współrzędnych biegunowych jako  <math>|X_k| e^{i (\omega_k t + \theta_k)}</math>, odpowiada wymnożeniu jej przez liczbę zespoloną <math>H(e^{i\phi_k})</math>, którą również można przedstawić we współrzędnych biegunowych, jako <math>|A_k| e^{i \phi_k}</math>:
+Działanie funkcji przejścia (czyli filtra) na składową sygnału <math>x</math> o częstości <math>\omega_k</math>, przedstawioną we współrzędnych biegunowych jako  <math>|X_k| e^{i (\omega_k t + \theta_k)}</math>, odpowiada wymnożeniu jej przez liczbę zespoloną <math>H(e^{i\phi_k})</math>, którą również można przedstawić we współrzędnych biegunowych, jako <math>|A_k| e^{i \phi_k}</math>:
-:<math>Y(\omega_k) = |A_k| e^{i \phi_k} |X_k| e^{i (\omega t + \theta_k)} = |A_k| |X_k| e^{i ( \phi_k +\theta_k)} e^{i \omega t)} </math>
+:<math>Y(\omega_k) = |A_k| e^{i \phi_k} |X_k| e^{i (\omega t + \theta_k)} = |A_k| |X_k| e^{i ( \phi_k +\theta_k)} e^{i \omega t} </math>
 W wyniku filtrowania sinusoidalna składowa sygnału o danej częstości może zmienić amplitudę i fazę, ale nie zmienia częstości.

← poprzednia wersja		Wersja z 17:15, 22 lip 2024
Linia 76:		Linia 76:


−	gdzie <math>X(z)</math> to transformata <math>\mathcal{Z}</math> filtrowanego sygnału (wejścia <math>x</math>), <math>Y(z)</math> — wyjścia, a <math>H(z)</math> to wprowadzona powyżej funkcja przejścia filtra. Filtrowanie w przestrzeni transformaty <math>\mathcal{Z}</math> odpowiada przemnożeniu transformaty sygnału przez transformatę funkcji przejścia filtru. ~~Zobaczmy, co się stanie z widmem sygnału po przefiltrowaniu.~~	+	gdzie <math>X(z)</math> to transformata <math>\mathcal{Z}</math> filtrowanego sygnału (wejścia <math>x</math>), <math>Y(z)</math> — wyjścia, a <math>H(z)</math> to wprowadzona powyżej funkcja przejścia filtra. Filtrowanie w przestrzeni transformaty <math>\mathcal{Z}</math> odpowiada przemnożeniu transformaty sygnału przez transformatę funkcji przejścia filtru. Analogicznie w przestrzeni częstości — dla <math>z = e^{i\omega}</math> funkcja przejścia zależy od częstości <math>\omega</math>.
−	~~Weźmy~~ w ~~tym celu~~ <math>z = e^{i\omega}</math>~~. Wówczas transmitancja jest funkcją~~ częstości <math>\omega</math>.

	::<math>		::<math>