FizykaII NI/Ćwiczenia I - Historia wersji

Anula: Utworzono nową stronę "NOTOC ==Zadanie 1== Podaj infinitezymalny element przesunięcia w płaskim układzie kartezjańskim oraz układzie biegunowym. Oblicz masę okręgu o promieniu
2015-05-23T21:10:10Z

Utworzono nową stronę "NOTOC ==Zadanie 1== Podaj infinitezymalny element przesunięcia w płaskim układzie kartezjańskim oraz układzie biegunowym. Oblicz masę okręgu o promieniu <m..."

Nowa strona
NOTOC

==Zadanie 1==

Podaj infinitezymalny element przesunięcia w płaskim układzie kartezjańskim oraz układzie biegunowym. Oblicz masę okręgu o promieniu <math>R</math>, który wykonano z nieskończenie cienkiego drutu. Rozkład masy przypadającej na jednostkę długości okręgu opisuje wzór: <math>\lambda (\Phi) =\lambda_0 \Phi</math>, gdzie <math>\lambda</math> — gęstość liniowa masy, <math>\Phi</math> — kąt liczony od osi poziomej układu kartezjańskiego.

==Zadanie 2==

Podaj infinitezymalny element powierzchni w płaskim układzie kartezjańskim, układzie biegunowym, trójwymiarowym układzie kartezjańskim, układzie cylindrycznym oraz układzie sferycznym. Oblicz masę nieskończenie cienkiego krążka o promieniu R. Rozkład masy przypadającej na jednostkę powierzchni krążka opisuje wzór σ(''r'')=σ<sub>0</sub>''r'', gdzie σ — gęstość powierzchniowa masy, ''r'' — odległość od środka krążka.

==Zadanie 3==

Oblicz gradient następującego pola skalarnego:
<math>\Phi_{x,y,z}=x^2+y^2+z^2</math>

==Zadanie 4==

Wysokość pewnego wzgórza (patrz rysunek poniżej) wyraża się następującym wzorem:<math>h(x,y)=10(2xy-3x^2-4y^2-18x+28y+12)</math>
[[Plik:Seria_1_zad_1.png|400px]]
Oblicz:
#Gdzie znajduje się szczyt wzniesienia?
#Jaka jest wysokość szczytu?
#Jaka jest szybkość zmian wysokości wzniesienia (wyrażona w metrach na kilometr) w punkcie o współrzędnych <math>x = 1 km</math>, <math>y = 1km</math>. W którym kierunku, liczonym od tego punktu, wysokość rośnie najszybciej?

==Zadanie 5==
Oblicz dywergencję następujących pól wektorowych:
#<math> A_{x, y, z}=(x^2,y,2z)</math>
#<math>A_{x, y, z}=(\sin(x),\sin(z),\sin(y)) </math>

==Zadanie 6==
Oblicz rotację pola wektorowego o postaci: <math>A=\left[ x, 2z+y^2, y^2z-x^2\right]</math>.

==Zadanie 7==

Oblicz całkę krzywoliniową pola wektorowego <math>A=y^2\hat{e}_x+(2xy+1)\hat{e}_y</math> wzdłuż krzywych biegnących od punktu <math>a=(1,1)</math>, do punktu <math>b=(1,2)</math>; od punktu <math>b=(1,2)</math>, do punktu <math>c=(2,2)</math> i od punktu <math>c</math> do punktu <math>a</math> (krzywa <math>y = x</math>, patrz rysunek poniżej).

[[Plik:Seria_1_zad_2.png|400px]]