Tspus: Utworzono nową stronę " Bryła sztywna

==Bryła sztywna== ==='''Układ wielu ciał'''=== image:ukl_izol_1.png|thumb|350px|right|c|Ukł..."

2015-05-21T21:52:40Z

Utworzono nową stronę " Bryła sztywna ==Bryła sztywna== ==='''Układ wielu ciał'''=== image:ukl_izol_1.png|thumb|350px|right|c|Ukł..."

Nowa strona

Bryła sztywna 

==Bryła sztywna==

==='''Układ wielu ciał'''===

[[image:ukl_izol_1.png|thumb|350px|right|c|Układ wielu ciał]]

Rozważaliśmy już
[[Fizyka:Wykład_z_Fizyki_I/Zasada_zachowania_energii|poprzenio]]
zagadnienie ruchu układu wielu ciał
(w inercjalnym układzie odniesienia).

Zdefiniowaliśmy
* masę układu
: <math> M \; = \; \sum_i m_i </math>
* położenie środka masy:
: <math> \vec{R} \; = \; \frac{1}{M}\sum_i m_i \;\vec{r}_i </math>

Do opisu ruchu układu jako całości
możemy wprowadzić
* pęd układu
: <math> \vec{P} \; = \; M\; \vec{V}_{CM} </math>

* energię kinetyczną układu jako całości
: <math>E_k \; = \; \frac{M \; {V}_{CM}^2}{2} \; + \; E_k^\star </math>
gdzie <math>E_k^\star</math> oznacza energię "wewnętrzna" (energię kinetyczną związaną z ruchem elementów układu względem siebie)

* moment pędu układu
: <math>\vec{L} \; = \; M \vec{R}_{CM} \times \vec{V}_{CM}
\; + \; \vec{L}_{CM}^\star </math>
gdzie <math>\vec{L}_{CM}^\star</math> oznacza "wewnętrzny" moment pędu

W oparciu o te pojęcia
możemy opisać ruch układu jako całości
stosując równania ruchu punktu materialnego:

: <math>\frac{d \vec{P}}{dt} \; = \; \vec{F}^{zw} </math>

: <math>\frac{d \vec{L}}{dt} \; = \; \vec{M}^{zw} </math>

Natomiast ruch względny ciał układu może być
(w ogólnym przypadku) bardzo skomplikowany...

==='''Definicja'''===

[[image:bryla_1.png|thumb|350px|right|c|Bryła sztywna]]

Szczególnym przypadkiem układu wielu ciał jest układ, w którym
względne odległości między poszczególnymi elementami układu są stałe:
: <math> r_{ij} \; = \; \left| \vec{r}_i - \vec{r}_j \right|
\; = \; const </math>

Układ taki możemy nazywać bryłą sztywną.

Na ogół ciałem sztywnym nazywamy ciało
makroskopowe, które nie podlega deformacjom (lub występujące deformacje
są pomijalnie małe). Zakładamy, że wszystkie punkty mają względem
siebie stałe odległości.

==='''Położenie'''===

Aby jednoznacznie określić położenie bryły sztywnej w przestrzeni
nie wystarczy (w ogólnym przypadku) podać wektor położenia jej środka masy.

Spróbujmy określić ile parametrów potrzebnych jest do opisania jej położenia.
Aby "unieruchomić" bryłę sztywną musimy podać:
* położenie wybranego punktu tego ciała np. środka masy 
: opisują je 3 parametry (stopnie swobody), np. współrzędne x,y,z
* położenie drugiego wybranego punktu tego ciała
: ponieważ odległość między dwoma punktami jest ustalona wystarczą do tego 2 parametry (położenie na sferze)
* położenie trzeciego punktu, niewspółliniowego z poprzednimi
: przy ustalonej pozycji pierwszych dwóch punktów bryła może jedynie obracać się wokół przechodzącej przez nie osi - położenie określa 1 parametr (położenie na okręgu)

Po ustaleniu położenia trzech niewspółliniowych punktów bryły wszystkie
kolejne będą już miały ustaloną pozycję (zadaną przez wzajemne odległości).

Położenie bryły sztywnej opisuje wiec 6 parametrów (mamy 6 stopni swobody):
3 współrzędne
i 3 kąty.

==Opis ruchu==

==='''Złóżenie ruchów'''===

Ogólny ruch (zmianę położenia) można przedstawić jako złożenie
ruchu postępowego
oraz
ruchu obrotowego.

[[image:ruch_bryly_1.png|Ruch postępowy]]
[[image:ruch_bryly_2.png|Ruch obrotowy]]

W ruchu postępowym wektory prędkości są takie same dla wszystkich punktów
ciała.

W ruchu obrotowym wszystkie punkty poruszają się po okręgach
wokół wybranej osi obrotu (najczęściej jest nią środek masy ciała).

Prędkość każdego punktu bryły można zapisać w postaci
:: <math> \vec{v}_i \; = \; \vec{V}_{CM} \; + \;
\vec{\omega} \times \left( \vec{r}_i - \vec{R} \right) </math>
:gdzie <math>\vec{V}_{CM}</math> jest prędkością środka masy, a
<math>\vec{\omega}</math> prędkościa kątową w ruchu obrotowym wokół środka
masy.

==='''Chwilowa oś obrotu'''===

[[image:ruch_bryly_3.png|frame|Chwilowa oś obrotu]]

Czasami złożenie ruchu postepowego i
obrotowego
można przedstawić jako ruch obrotowy względem
chwilowej osi obrotu.

Jeśli <math>\vec{V}_{CM} \perp \vec{\omega}</math> wtedy możemy zapisać:
:: <math> \vec{v}_i \; = \;
\vec{\omega} \times \left( \vec{r}_i - \vec{R}' \right) </math>
: gdzie <math>\vec{R}'</math> określa położenie chwilowej osi obrotu (zmienne w czasie!)

==='''Więzy'''===

Ruch bryły sztywnej w ogólnycm przypadku także opisuje 6 parametrów
(np. prędkość środka masy
i prędkość kątowa w układzie środka masy)

W wielu zagadnieniach ruch bryły sztywnej jest jednak ogranicznony
przez więzy, które redukują liczbę
stopni swobody.

Przykładowo:
* koło obracające się na nieruchomej osi ⇒ jeden stopień swobody (kąt obrotu)
* walec toczący się bez poślizgu ⇒ jeden st. swobody (kąt obrotu lub przesunięcie)
* walec toczący się z poślizgiem ⇒ dwa stopnie swobody (kąt obrotu i przesunięcie)
* kulka toczące się bez poślizgu ⇒ trzy stopnie swobody (trzy składowe <math>\vec{\omega}</math>)

W rozwiązywaniu zagadnień kluczowe jest zrozumienie jakie są stopnie swobody
Obecność więzów oznacza też obecność
sił reakcji więzów...

==Statyka==

==='''Warunek równowagi'''===

[[image:rownowaga_1.png|frame]]

Bryła sztywna pozostaje nieruchoma,
wtedy i tylko wtedy, gdy działające na nią
siły i
momenty sił równoważą się:

: <math>\vec{F}^{zw} \; = \; \sum_i \vec{F}^{zw}_i \; = \; 0
\;\;\; \Longleftrightarrow \;\;\; \frac{d \vec{P}}{dt} \; = \; 0 </math>

: <math> \vec{M}^{zw} \; = \; \sum_i \vec{M}^{zw}_i \; = \; 0
\;\;\; \Longleftrightarrow \;\;\; \frac{d \vec{L}}{dt} \; = \; 0 </math>

Przy czym jeśli wypadkowa sił zewnętrznych znika,
<math>\vec{F}^{zw} = 0</math>,
to wypadkowy moment sił
względem każdej osi jest taki sam:
: <math> \vec{r}'_i \; = \; \vec{r}_i \; + \; \vec{R} </math>

: <math> \vec{M}' \; = \; \sum_i \vec{r}'_i \times \vec{F}_i \; = \;
\sum_i \vec{r}_i \times \vec{F}_i + \vec{R} \times \sum_i \vec{F}_i
\; = \; \vec{M} </math>

Wystarczy sprawdzić warunek równowagi
względem jednej osi

Siłami z którymi naogół bedziemy mieli do czynienia w zagadnieniach
równowagi bryły sztywnej są siła ciężkości i siły reakcji więzów.

==='''Rodzaje równowagi'''===

Nawet jeśli warunek
<math>\vec{F}^{zw} = \vec{M}^{zw} = 0</math>
jest spełniony, równowaga może być:

<center>
[[image:rownowaga_2.png|trwała]]
[[image:rownowaga_4.png|obojętna]]
[[image:rownowaga_3.png|chwiejna]]
</center>

Nieznaczne (infintezymalne) wychylenie bryły z położenia równowagi powoduje
w przypadku równowagi
; trwałej
: pojawienie się siły wypadkowej (momentu siły) przywracającej równowagę

; obojętnej
: zmianę położenia równowagi

; chwiejnej
: pojawienie się siły wypadkowej zwiększającej wychylenie

==='''Przykład I'''===

Warunkiem równowagi trwałej dla wielościanu
(ustawionego na poziomej powierzchni, pod działaniem siły ciężkości)
jest aby pion wypuszczony ze środka ciężkości
przechodził przez podstawę.

Gdy pion przechodzi przez podstawę mamy równowagę trwałą

<center>
[[image:rownowaga_6a.png]]
</center>

Moment siły ciężkości "dociska" bryłę do powierzchni.

Gdy pion wychodzi poza obrys podstawy mamy do czynienia z brakiem równowagi

<center>
[[image:rownowaga_6b.png]]
</center>

Moment siły ciężkości wywraca bryłę

==='''Przykład II'''===

Dwu-stożek położony na nierównoległych szynach:

[[image:rownowaga_5a.png]]
[[image:rownowaga_5b.png]]

Gdy szyny są poziome, stożek będzie się poruszał w
kierunku szerszego końca.

Szyny stykają się ze stożkiem wzdłuż łuku elipsy z osią stożka
(środkiem masy) w jednym z ognisk.
Siła ciężkości i reakcji szyn się równoważą,
ale wypadkowy moment sił nie będzie zerowy.

Równowagę obojętną osiągniemy gdy szyny będą pochylone pod odpowiednim
kątem (szerszy koniec wyżej)

<center>
[[image:rownowaga_5.png]]
</center>

Oś stożka pozostaje cały czas na tej samej wysokości (<math>E_p = const</math>)

==='''Rodzaje równowagi a energia'''===

Równowagę bryły na którą działa siła ciężkości i siły reakcji można
sklasyfikować obserwując położenie środka masy
(czyli zmiany energi potencjalnej).

<center>
[[image:rownowaga_2.png|trwała]]
[[image:rownowaga_4.png|obojętna]]
[[image:rownowaga_3.png|chwiejna]]
</center>

Nieznaczne (infintezymalne) wychylenie bryły z położenia równowagi
powoduje:

; równowaga trwała
: podniesienie środka masy i wzrost energii potencjalnej

; równowaga obojętna
: brak zmian położenia środka masy

; równowaga chwiejna
: obniżenie środka masy i zmniejszenie energii potencjalnej

Zmiana położenia środka masy,
przy wychyleniu z położenia równowagi,
zależy od kształtu bryły,
ale także od charakteru więzów.

Np: równowaga kuli zależy od kształtu powierzchni na której leży

<center>
[[image:rownowaga_4a.png|równowaga trwała]]
[[image:rownowaga_4.png|obojętna]]
[[image:rownowaga_4b.png|chwiejna]]
</center>

Typ równowagi zależy od zmiany położenia środka masy
(<math>\vec{F} = -grad E_p</math>)

[[image:rownowaga_7.png|frame]]
[[image:rownowaga_7a.png|frame]]

Kryterium zmiany położenia środka masy (zmiany energii potencjalnej)
ma zastosowanie także w bardziej ogólnych przypadkach.

Przykład: sześcian ustawiony na kuli

Położenie środka masy sześcianu
(nad środkiem kuli)
wyraża się zależnością
: <math> h \; = \; R\; \cos \phi \; + \; d\; \sin \phi \; + \;
\frac{1}{2} a \; \cos\phi </math>
Przy wychyleniu punkt podparcia sześcianu przesunie się o
: <math> d \; = \; R \; \phi </math>

Uzyskujemy więc
: <math> h \; = \; \left( R + \frac{a}{2} \right) \; \cos \phi \; +
\; R \; \phi \; \sin \phi </math>

W przybliżeniu małych kątów
(<math>\sin\phi \approx \phi</math>,
<math>\cos\phi \approx 1 - \frac{1}{2}\phi^2</math>)

: <math> h \; = \; \left( R + \frac{a}{2} \right) \; + \;
\frac{1}{2} \left( R - \frac{a}{2} \right) \cdot \phi^2
</math>

Równowaga będzie trwała jeśli człon kwadratowy w kącie wychylenia będzie
dodatni (wzrost energii), czyli dla
: <math>R > \frac{a}{2}</math>

==Prawa ruchu==

==='''Obrót wokół ustalonej osi'''===

[[image:czteropret_a.png|frame]]

Dla bryły sztywnej obracającej się wokół ustalonej osi
mement pędu (skalarnie):
: <math> L \; = \; \omega \sum_i m_i \; r_{\perp \;i}^2 \; = \; \omega \; I</math>
gdzie <math>\omega = \frac{d\phi}{dt} </math> jest prędkością kątową, a
<math> r_{\perp\;i}</math> opisuje
odległość masy <math>i</math> od osi obrotu,

<math>I</math> jest momentem bezwładności
 względem wybranej osi.

==='''Ruch jednostajnie przyspieszony'''===

Pod wpływem stałego momentu siły <math>M</math>:

: <math> M \; = \; \frac{dL}{dt} \; = \;
\frac{d\omega}{dt} \sum_i m_i \; r_{\perp \;i}^2 = \varepsilon \; I </math>

Bryła obraca się ze stałym przyspieszeniem kątowym
(<math>\varepsilon = \frac{d\omega}{dt} </math>)
: <math> \varepsilon \; = \; \frac{M}{I} = const </math>

Przyjmując, że moment bezwładności jest stały
(<math>I</math>=const) bryła będzie się obracać
ruchem jednostajnie przyspieszonym.

Podobnie jak w przypadku ruchu postępowego
* przyspieszenie kątowe jest proporcjonalne do przyłożonego momentu siły
: zwiększenie siły lub zwiększenie jej ramienia powoduje wzrost przyspieszenia
* przyspieszenie kątowe jest odwrotnie proporcjonalne do momentu bezwładności
: zwiekszenie masy lub zwiększenie jej odległości od osi obrotu powoduje zmniejszenie przyspieszenia

==='''Ruch harmoniczny'''===

'''Pokaz'''

[[image:oberbeck.png|frame]]

Moment siły zależy od kąta skręcenia pręta <math>\phi</math>:
: <math> M \; = \; - \xi \; \phi </math>

gdzie <math>\xi</math> - współczynnik "sprężystości"; moment siły ma znak przeciwny do skręcenia.

Moment siły możemy też wyrazić poprzez przyspieszenie kątowe:
: <math> M \; = \; \frac{dL}{dt} \; = \;
\frac{d\omega}{dt} \; I = \frac{d^2\phi}{dt^2} \; I </math>

Przyrównując otrzymujemy równanie oscylatora harmonicznego:
: <math> \frac{d^2\phi}{dt^2} \; = \; - \; \frac{\xi}{I} \; \phi </math>

Częstość drgań:
: <math> \nu \; = \; \sqrt{\frac{\xi}{I}} \; = \;
\frac{\sqrt{\xi}}{\sqrt{ \sum_i m_i \; r_{\perp \;i}^2}}
\; \approx \; \frac{\sqrt{\xi}}{2 r \sqrt{ m} }
</math>

W ramach pokazu pokazano, że częstość maleje (okres rośnie) przy
wzroście masy lub wzroście odległości od osi obrotu.

==Moment bezwładności==

Przyspieszenie kątowe w ruchu bryły sztywnej zależy nie tylko od masy
całkowitej, ale także od jej
rozłożenia względem osi obrotu.

Rozkład masy względem wybranej osi obrotu
(najczęściej przechodzącej przez środek masy, ale nie koniecznie)
opisuje moment bezwładności

: <math> I \; = \; \sum_i m_i \; r_{\perp \;i}^2 </math>

W przypadku ciągłego rozkładu masy sumę zastępujemy całką po objętości:

: <math> I \; = \; \int dV \; \rho \; r_{\perp }^2 </math>

Dla ciała jednorodnego 
(<math>\rho</math> = const = <math>\frac{M}{V}</math>)
można to również zapisać w postaci:

: <math> I \; = \; \frac{M}{V} \int dV \; \; r_{\perp }^2 \; = \;
M \; \frac{\int dV \; r_{\perp }^2 }{\int dV } \; = \;
M \langle r_{\perp }^2 \rangle </math>

gdzie <math>\langle r_{\perp }^2 \rangle</math>
jest średnim kwadratem odległości od osi obrotu.

Tymsamym stosunek momentu bezwładności do masy zależy tylko od kształtu i
rozmiarów ciała:
: <math> \frac{I}{M} = \langle r_{\perp }^2 \rangle </math>

Dla wielu brył stosunek ten możemy wyznaczyć z prostych rozważań
geometryczntych.

[[image:I_obrecz_a.png|frame]]

'''Obręcz''' (pusta w środku)

* obrót wokół osi symetrii

: Wszystkie punkty równoodległe od osi:
:: <math> \langle r_{\perp }^2 \rangle \; = \; r^2 \; \Rightarrow \;
I_\perp \; = \; M \; r^2 </math>

[[image:I_obrecz_b.png|frame]]

* obrót wokół średnicy

Oznaczmy oś obrotu jako oś X, a średnicę prostopadłą do osi obrotu jako oś Y

Z definicji obręczy i symetrii mamy:
: <math> x^2 + y^2 \; = \; r^2</math> i
: <math>\langle x^2\rangle \; = \; \langle y^2 \rangle </math>

Możemy zatem wyznaczyć średni kwadrat odległości od osi
: <math> \langle r_{\perp }^2 \rangle \; = \; \langle y^2 \rangle \; = \;
\frac{1}{2} \; r^2
\qquad \Rightarrow \qquad I_\parallel \; = \; \frac{1}{2} \;M \; r^2 </math>

[[image:I_kula.png|frame]]

'''Sfera''' (powierzchnia kuli)

obrót wokół osi symetrii

: <math> x^2 + y^2 + z^2 \; = \; r^2</math> i
: <math> \langle x^2\rangle \; = \; \langle y^2 \rangle
\; = \; \langle z^2 \rangle </math>
Uzyskujemy:
: <math> \langle r_{\perp }^2 \rangle \; = \; \langle x^2 + y^2 \rangle \; = \;
\frac{2}{3} \; r^2
\qquad \Rightarrow \qquad I \; = \; \frac{2}{3} \;M \; r^2 </math>

[[image:I_kolo.png|frame]]

'''Koło''' (krążek)

obrót wokół osi symetrii

Koło można traktować jako sumę wielu obręczy ⇒
musimy wyznaczyć śrenią po powierzchni koła z <math>r^2</math>:

: <math> \langle r_{\perp }^2 \rangle \; = \; \frac{\int r'^2 \cdot dS}{S}
\; = \; \frac{1}{\pi r^2} \int r'^2 \cdot 2 \pi r' dr'
\; = \; \frac{2 \pi}{\pi r^2} \; \frac{1}{4}r^4
\; = \; \frac{1}{2} \; r^2 </math>

Ostatecznie uzyskujemy
: <math> I_\perp \; = \; \frac{1}{2} \;M \; r^2 </math>

Podobnie można wyznaczyć <math>I</math>
dla innych brył:

'''Prostokąt'''

Obrót wokół osi prostopadłej, przechodzącej przez środek
: <math> I_\perp = \frac{1}{12} \;M \; (a^2 + b^2) </math>

'''Pręt'''

Obrót wokół osi prostopadłej, przechodzącej przez środek
: <math>I = \frac{1}{12} \;M \; l^2</math>

'''Kula''' (jednorodna)

: <math>I = \frac{2}{5} \;M \; r^2</math>

==='''Twierdzenie o osiach równoległych'''===

[[image:tw_steinera.png|frame]]

Zazwyczaj liczymy moment bezwładności względem osi przechodzącej
przez środek ciężkości S
(wszystkie podane dotychczas przykłady)

Bryła może jednak wirować wokół dowolnej osi...

Niech układ wspórzędnych XY będzie układem środka masy.
Moment bezwładności względem osi równoległej 0,
odległej o <math>h</math> od osi
S można wyznaczyć rozpisując odległości
elementów masy od osi O
: <math> r_{i O}^2 = (x_i+h)^2 + y_i^2 \; = \; h^2 + 2hx_i + r_{iS}^2 </math>

Moment bezwładności wyraża się przez sumę:
: <math> I_O = \sum_i m_i r_{i O}^2 =
h^2 \sum_i m_i \; + \; 2h \sum_i m_i x_i + \sum_i m_i r_{iS}^2 </math>

Z definicji środka masy drugi człon znika
: <math>\sum_i m_i x_i =0</math>
Otrzymujemy wzór nazywany twierdzeniem o osiach równoległych lub
Twierdzeniem Steinera 
: <math> I_O \; = \; I_S \; + \; M \; h^2 </math>

==Prawa ruchu==

==='''Równia pochyła'''===

[[image:rownia.png|frame]]

W przypadku staczania po równi pochyłej
bez poślizgu symetrycznej bryły
 (obręczy, waleca, kuli...)
mamy jeden stopień swobody. Przsunięcie związane jest z kątem obrotu:
: <math> x = r \; \phi </math>
i podobna zależność wiąże przyspieszenie liniowe i kątowe
: <math> a = r \; \varepsilon </math>

Wzdłuż równi działa siła tarcia i równoległa składowa siły ciężkości.
Równanie dla ruchu postępowego możemy zapisać w postaci
: <math> m a \; = \; Q \; \sin \theta \; - \; T </math>

Natomiast dla ruchu obrotowego (jedynie siła tarcia daje moment siły
względem środka masy):
: <math> I\; \varepsilon \; = \; T \;r </math>

Eliminując siłę tarcia z pierwszego równania:
: <math> m a \; + \; \frac{I \varepsilon}{r} \; = \; m g \; \sin \theta </math>

Z czego możemy wyznaczyć przyspieszenie liniowe:
<math> a \; = \; \frac{ g \; \sin \theta }{1 + \frac{I}{m r^2} } </math>

Im większy moment bezwładności, tym wolniej stacza się ciało...

Dla przykładu: pełny walec (<math> I = \frac{1}{2} M r^2</math>)
stacza się szybciej niż rura (<math> I = M r^2</math>),
a wolniej niż kula (<math> I = \frac{2}{5} M r^2</math>).

Zagadnienie staczania ciała po równi można rozwiązać w równoważny sposób
korzystając z chwilowej osi obrotu i twierdzenia Steinera.
Względem chwilowej osi obrotu
(linia styku bryły z równią)
jedynie siła ciężkości daje niezerowy moment siły.
Zapiszmy równanie ruchu obrotowego względem tej osi:
: <math> I_o\; \varepsilon \; = \; Q \; \sin \theta \cdot r </math>

Z twierdzenia Steinera:
: <math> I_o \; = \; I \; + \; m \; r^2 </math>

Otrzymujemy:
: <math> a \; = \; r \; \varepsilon \; = \;
\frac{m g \; \sin \theta\; r^2}{ I_o } </math>

:: <math> \; = \; \frac{ m r^2 \; g \; \sin \theta }{mr^2 + I} </math>

==='''Wahadło fizyczne'''===

[[image:wahadlo_fiz.png|frame]]

Równanie małych drgań bryły sztywnej,
wokół osi obrotu O
przechodzącej w odległości <math>l</math>
od środka ciężkości S:

: <math> I_o \; \varepsilon \; = \; - m g \sin \phi \cdot l </math>

: <math> \left( I + ml^2 \right) \; \frac{d^2 \phi}{dt^2} \; \approx \; - m g l \; \phi </math>

gdzie skorzystalimy z przybliżenia małych drgań
(<math>\sin \phi \approx \phi </math>)

Częstość drgań (z równania oscylatora harmonicznego) wynosi:
: <math> \nu \; = \; \sqrt{\frac{mgl}{I+ ml^2}}
\; = \; \sqrt{\frac{g}{l (1 + \frac{I}{ml^2})}} </math>

Częstość ta odpowiada częstości drgań wahadła matematycznego o długości:
: <math>l_z = l (1 + \frac{I}{ml^2})</math>
gdzie <math>l_z</math> nazywamy długością zredukowaną wahadła

[[image:wahadlo_fiz2.png|frame]]

Rozważmy wahadło w postaci pręta o masie m i długości d, na którego końcu
zamocowano punktową masę M.

Równanie małych drgańwokół osi obrotu O:

: <math> I_o \; \varepsilon \; = \; - M d g \sin \phi - m \frac{d}{2} g \sin \phi </math>

W przybliżeniu małych drgań:
: <math> \left( M d^2 + \frac{1}{3}md^2 \right) \; \frac{d^2 \phi}{dt^2}
\; \approx \; - (M + \frac{m}{2}) d g \; \phi </math>

Częstość drgań wyraża się więc wzorem:
: <math> \nu \; = \; \sqrt{\frac{g}{l}} \cdot
\sqrt{\frac{M+\frac{1}{2}m}{M+\frac{1}{3}m}} \;\; \approx \;
\sqrt{\frac{g}{l}} \cdot \left(1 + \frac{1}{12} \cdot \frac{m}{M}\right)</math>
gdzie przybliżenie jest słuszne w granicy <math>m \ll M</math>.

Długość zredukowana wahadła
: <math>l_z = d \; \frac{M+\frac{1}{3}m}{M+\frac{1}{2}m}
\approx d \cdot \left(1 - \frac{1}{6} \cdot \frac{m}{M}\right)</math>

==='''Energia ruchu obrotowego'''===

Energia kinetyczna układu ciał:
: <math>E_k \; = \; E_k^\star \; + \; \frac{M \; {V}_{CM}^2}{2} </math>

Dla bryły sztywnej
energia "wewnętrzna" jest energią
kinetyczną ruchu obrotowego względem środka masy:
: <math> E_k^\star \; = \; \frac{1}{2}\; \sum_i m_i v_i^2 \; = \;
\frac{1}{2}\; \sum_i m_i ( r_i \;\omega )^2 \; = \;
\frac{1}{2}\; \omega^2 \; I
\; = \; \frac{1}{2}\; \omega \; L </math>

[[image:toczenie.png|frame]]

W przypadku ciała toczącego się bez poślizgu
(<math>v = \omega \; r</math>)
otrzymujemy
: <math>E_k \; = \; \frac{m v^2}{2} \; + \; \frac{I \omega^2}{2} \; = \;
\frac{m v^2}{2} \left(1 + \frac{I}{mr^2}\right)
</math>

Ruch (np. staczanie z równi pochyłej) odbywa się tak, jak dla
punktu materialnego o efejtywnej masie bezwładnej
: <math>m \; \left(1 + \frac{I}{mr^2}\right)</math>
i niezmienionej masie grawitacyjnej

Dla przykładu: prędkość jaką uzyska ciało staczające się bez poślizgu z równi
o wysokości <math>h</math> można wyznaczyć z zasady zachowania energii:
: <math> m g h \; = \; \frac{1}{2} m v^2 \left(1 + \frac{I}{mr^2}\right)</math>

Otrzymujemy
: <math>v \; = \; \sqrt{\frac{2gh}{1 + \frac{I}{mr^2} }} </math>

Przyspieszenie możemy wyznaczyć zauważając (ruch jednostajnie
przyspieszony), że prędkość średnia jest równa połowie prędkości końcowej:
: <math> a = \frac{v}{t} = \frac{v^2}{2l} \; = \;
\frac{2gh}{2l\left(1 + \frac{I}{mr^2}\right) } \; = \;
\frac{g \; \sin \theta }{1 + \frac{I}{mr^2}}
</math>

==='''Koło Maxwella'''===

[[image:maxwell.png|frame]]

Koło o promieniu R "toczy się" po osi o promieniu r.

Jak w przypadku równi pochyłej
(tylko kładąc <math>\theta = \frac{\pi}{2}</math>)
: <math> a \; = \; \frac{g}{1 + \frac{I}{mr^2}} </math>

Zakładając, że masa skupiona jest praktycznie w całości na obręczy
: <math> I \; = \; m R^2 </math>
otrzymujemy wyrażenie na przyspieszenie liniowe
: <math> a \; = \; g \; \frac{r^2}{R^2 + r^2} \ll g </math>

Przyspieszenie liniowe wielokrotnie mniejsze od przyspieszenia
w spadku swobodnym...

Energia potencjalna zamienia się głównie na energię ruchu
obrotowego.

==Porównanie==

Ruch postępowy punktu materialnego i ruch obrotowy bryły sztywnej
(względem ustalonej osi, pokrywającej się z osią symetrii)
opisane są bardzo podobnymi zależnościami.
Poniższa tabela powinna pomóc w zrozumieniu tych analogii

<center>
{|border=1 cellpadding=10 cellspacing=3
! colspan="2" | ruch postępowy !! colspan="2" | ruch obrotowy
|-
! wielkość !! wyrażenie !! wielkość !! wyrażenie
|-
| przesunięcie || <math>\vec{x} </math>
| kąt obrotu || <math>\vec{\phi} </math>
|-
| prędkość || <math>\displaystyle \vec{v} = \frac{d\vec{x}}{dt}</math>
| prędkość kątowa|| <math>\displaystyle \vec{\omega} = \frac{d\vec{\phi}}{dt}</math>
|-
| przyspieszenie || <math>\displaystyle \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}</math>
| przyspieszenie kątowe || <math>\displaystyle \vec{\varepsilon} = \frac{d\vec{\omega}}{dt}</math>
|-
| masa || <math>m</math>
| moment bezwładności || <math>I</math>
|-
| pęd || <math>\vec{p} = m \vec{v}</math>
| moment pędu || <math>\vec{L} = I \vec{\omega}</math>
|-
| układ izolowany || <math> \vec{p} = const</math>
| układ izolowany || <math> \vec{L} = const</math>
|-
| siła || <math>\vec{F}</math>
| moment siły || <math>\vec{M}</math>
|-
| rowspan="2" | równania ruchu || <math>\displaystyle \vec{F} = m\vec{a}</math>
| rowspan="2" | równania ruchu || <math>\displaystyle \vec{M} = I \vec{\varepsilon}</math>
|-
| <math>\displaystyle \frac{d\vec{p}}{dt} = \vec{F}</math>
| <math>\displaystyle \frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{M}</math>
|-
| praca || <math>\displaystyle W = \int \vec{F} \cdot d\vec{x} </math>
| praca || <math>\displaystyle W = \int \ \vec{M} \cdot d\vec{\phi} </math>
|-
| energia kinetyczna || <math> E_k = \frac{1}{2} m v^2 </math>
| energia kinetyczna || <math> E_k = \frac{1}{2} I \omega^2 </math>
|}
</center>

← poprzednia wersja		Wersja z 10:03, 24 cze 2015
Linia 1:		Linia 1:
−		+	__NOTOC__
	<span style="font-size:40px">Bryła sztywna</span><br><br>		<span style="font-size:40px">Bryła sztywna</span><br><br>

FizykaI FMiN/Bryła sztywna 1 - Historia wersji

Anula o 10:03, 24 cze 2015

Tspus: Utworzono nową stronę " Bryła sztywna

==Bryła sztywna== ==='''Układ wielu ciał'''=== image:ukl_izol_1.png|thumb|350px|right|c|Ukł..."

FizykaI FMiN/Bryła sztywna 1 - Historia wersji

Anula o 10:03, 24 cze 2015

Tspus: Utworzono nową stronę " Bryła sztywna ==Bryła sztywna== ==='''Układ wielu ciał'''=== image:ukl_izol_1.png|thumb|350px|right|c|Ukł..."

Tspus: Utworzono nową stronę " Bryła sztywna

==Bryła sztywna== ==='''Układ wielu ciał'''=== image:ukl_izol_1.png|thumb|350px|right|c|Ukł..."