FizykaI FMiN/Dynamika inertials - Historia wersji

Tspus: Utworzono nową stronę " Dynamika: układy nieinercjalne

==Układ inercjalny== Sformułowana przez Newtona '''Zasada bezwładności'''
2015-05-21T21:46:03Z

Utworzono nową stronę " <span style="font-size:40px">Dynamika: układy nieinercjalne</span><br><br> ==Układ inercjalny== Sformułowana przez Newtona '''Zasada bezwładności''' <blockquote..."

Nowa strona

<span style="font-size:40px">Dynamika: układy nieinercjalne</span><br><br>

==Układ inercjalny==

Sformułowana przez Newtona '''Zasada bezwładności'''

<blockquote><span style="color:blue">
"Każde ciało trwa w swym stanie spoczynku lub ruchu
prostoliniowego i jednostajnego, jeśli siły przyłożone nie
zmuszajż ciała do zmiany tego stanu."
</span></blockquote>

nie jest spełniony w dowolnym układzie odniesienia.

Szczególną klasę układów odniesienia, w których jest ona spełniona nazywamy
<span style="color:red">układami inercjalnymi</span>

Zasada bezwładności jest równoważna z postulatem
itnienia układu inercjalnego.

W <span style="color:red">układzie inercjalnym</span> ruch ciała
jest jednoznacznie zadany przez działające na nie siły zewnętrzne
<span style="color:green">(równanie ruchu)</span>
: <math> m \; \frac{d^2 \vec{r}(t)}{dt^2} \; = \;
\vec{F}(\vec{r}, \vec{v}, t) \; + \; \vec{F}_R </math>
oraz warunki początkowe
: <math> \vec{r}(t_0)= \vec{r}_0 </math>
: <math> \vec{v}(t_0)= \vec{v}_0 </math>

==Układy nieinercjalne==

===<u>'''Opis ruchu'''</u>===

Przyjmijmy, że układ związany ze stolem laboratoryjnym
jest układem inercjalnym.

[[image:wozek_1.png|frame]]

Na stole stoi wózek, a na nim spoczywa drugi ciało, które
może się swobodnie poruszać (w doświadczeniu była to kulka).
W pewnej chwili wózek zaczyna poruszać się z przyspieszenien
<math>\vec{a}</math> względem stołu.

Z punktu widzenia obserwatora związanego ze stołem
kulka pozostaje w spoczynku.
Wynika to z <span style="color:red">zasady bezwładności</span> -
<span style="color:blue">siły</span> działające na
kulkę <span style="color:blue">równoważą się</span>
: <math>\vec{F}=0 \; \Leftrightarrow \; \vec{a}=0</math>

[[image:wozek_2.png|frame]]

Z punktu widzenia obserwatora związanego
z wózkiem kulka porusza się z
przyspieszeniem <span style="color:red"><math>-\vec{a}</math></span>,
mimo, że nie działają na nią żadne zewnętrzne siły.

Wynika z tego, że w układzie tym
zasada bezwładności Newtona nie jest spełniona!

Układ ten nie jest więc układem inercjalnym.

Jeśli dwa układu odniesienia poruszają się względem siebie z przyspieszeniem
to przynajmniej jeden z nich nie jest układem inercjalnym!

===<u>'''Prawa ruchu'''</u>===

Przyjmijmy, że układ <span style="color:blue">O'</span> porusza się
z przyspieszeniem <span style="color:fuchsia"><math>\vec{a}_\circ</math></span>
względem <span style="color:red">układu inercjalnego O</span>.

Zakładamy, że osie obu układów pozostają cały czas równoległe (brak obrotów).

Niech <span style="color:fuchsia"><math>\vec{r}_\circ(t)</math></span>
opisuje położenie układu <span style="color:blue">O'</span>
w <span style="color:red">O</span>.

Możemy z tego wyznaczyć przyspieszenie układu <span style="color:blue">O'</span>
względem układu <span style="color:red">O</span>:
: <math>\vec{a}_\circ = \frac{d^2 \vec{r}_\circ}{dt^2}</math>

Ruch punktu materialnego mierzony w układach <span style="color:red">O</span>
i <span style="color:blue">O'</span>:
: <math> \vec{r} \; = \; \vec{r}\;' \; + \; \vec{r}_\circ </math>

Przyspieszenie punktu materialnego mierzone w układach
<span style="color:red">O</span> i <span style="color:blue">O'</span>:
: <math>\vec{a} \; = \; \vec{a}\;' \; + \; \vec{a}_\circ </math>

Prawa ruchu w układzie <span style="color:red">inercjalnym O</span>:
: <math> m \vec{a} \; = \; \vec{F}(\vec{r},\vec{v},t) \; + \; \vec{F}_R </math>

Z tego wynika, że w układzie nieinercjalnym <span style="color:blue">O'</span>:
: <math> m \vec{a}\;' \; = \; \vec{F}(\vec{r}\;',\vec{v}\;',t) \; + \; \vec{F}_R
\; \; - \; m \vec{a}_\circ </math>

Oznacza to, że w układzie nieinercjalnym musimy wprowadzić siłę pozorną
zwaną siłą bezwładności:
: <math>\vec{F}_b \; = \; - m \vec{a}_\circ</math>

===<u>'''Ruch poziomy'''</u>===

[[image:wozek_3.png|frame]]

Rozważmy wahadło w układzie nieinercjalnym
poruszającym się z przyspieszeniem
<math>\vec{a}_\circ</math> względem układu inercjalnego.
Niech przyspieszenie to będzie skierowane poziomo.

Oprócz siły ciężkości <span style="color:red"><math>m\vec{g}</math></span>
i reakcji <span style="color:green"><math>\vec{R}</math></span>
w opicie ruchu wahadła musimy uwzględnić pozorną siłę bezwładności
<math>\vec{F}_b = - m \vec{a}_\circ</math>

Działanie sił bezwładności jest nierozróżnialne od siły grawitacji.
Opis ruchu można uprościć wprowadzając <span style="color:red">efektywne</span>
przyspieszenie ziemskie:
: <math> \vec{g}\;' \; = \; \vec{g} - \vec{a}_\circ</math>

Obserwujemy odchylenie położenia równowagi (kierunku "pionu", czyli
efektywnego pola grawitacyjnego):
: <math> \tan \theta \; = \; \frac{a_\circ}{g} </math>

oraz przyspieszenie drgań (wzrost wartości efektywnego przyspieszenie ziemskiego):
: <math> \omega'\;^2 \; = \; \frac{g'}{l} \; = \; \frac{\sqrt{g^2 + a^2}}{l} </math>

Jeśli przyspieszenie układu <math>a_\circ \ll g</math>
(<math>\vec{a}_\circ \perp \vec{g}</math>)
obserwujemy tylko <span style="color:blue">pozorną</span> zmianę
<span style="color:red">kierunku</span> działania siły ciężkości, natomiast
zmiana jej wartości jest znikoma.

===<u>'''Równia'''</u>===

[[image:wozek_rownia.png|frame|Siły działające w układzie wózka]]

Rozważmy teraz wahadło w układzie nieinercjalnym związanym z wózkiem,
który zsuwa się bez tarcia po równi pochyłej.
Zaniedbując ruch obrotowy kół przyspieszenie wózka:
: <math> a_\circ \; = \; g \; \sin \alpha </math>

W układzie związanym z wózkiem działająca na wahadło siła bezwładności
jest równa co do wartości
(lecz przeciwnie skierowana) równoległej składowej ciężaru.

Na wahadło działa więc pozorna siła ciężkości prostopadła do powierzchni równi.
: <math> g' \; = \; g_{\perp} \; = \; g \; \cos \alpha \; < \; g </math>

Obserwujemy więc powolnienie drgań.

===<u>'''Spadek swobodny'''</u>===

W układzie odniesienia poruszającym się z przyspieszeniem
<span style="color:red"><math>\vec{a}_\circ |\!| \vec{g}</math></span>
obserwujemy <span style="color:blue">pozorną</span>
zmianę wartości przyspieszenie grawitacyjnego:
: <math> \vec{g}\;' \; = \; \vec{g} - \vec{a}_\circ</math>

W układzie związanym z ciałem spadającym swobodnie
<span style="color:red"><math>\vec{a}_\circ = \vec{g}</math></span>
: <math> \vec{g}\;' \; = \; 0 </math>
czyli obserwujemy <span style="color:fuchsia">stan nieważkości</span>

W statkach kosmicznych stronauci nie dla tego znajdują się w stanie nieważkości,
że siła ciężkości przestaje na nich działać. Znajdują się w nieinercjalnym
układzie odniesienia, który porusza się z przyspieszeniem równym (lokalnemu)
przyspieszeniu ziemskiemu (zakładając, że silniki rakietowe są wyłączone).

==Układy obracające się==

===<u>'''Układ inercjalny'''</u>===

[[image:watt_1.png|frame|Regulator Watta]]

[[image:kulka_1.png|frame|Kulka w wirującym naczyniu]]

Rozważaliśmy już poprzednio ciała poruszające się po okręgu (przykłady:
regulator Watta, kulka w wirującej sferze). W układzie inercjalnym,
zgodnie z zasadami dynamiki Newtona, do utrzymania ciała w ruchu po
okręgu konieczna jest <span style="color:red">siła dośrodkowa</span>.
W wymienionych przkładacj siła dośrodkowa jest tu wypadkową
siły reakcji i siły ciężkości (patrz rysunek):
: <math>\vec{F} \; = \; m \vec{g} \; + \; \vec{R}</math>

===<u>'''Układ obracający się'''</u>===

Rozważmy powyższe przykłady we współobracającym się układzie odniesienia.

Niech układ <span style="color:blue">O'</span> obraca się z prędkością kątową
<span style="color:fuchsia"><math>\vec{\omega}</math></span>
względem <span style="color:red">układu inercjalnego O</span>.
Dla uproszenia przyjmijmy, że początki obu układów pokrywają się.

Rozważmy ruch punktu materialnego <span style="color:blue">spoczywającego</span>
w układzie <span style="color:blue">O'</span>. Z punktu widzenia
obserwatora <span style="color:red">O</span> ciało porusza się po okręgu
i musi na nie dzialać <span style="color:blue">siła dośrodkowa</span>:
: <math> \vec{F} \; = \; - m \; \omega^2 \; \vec{r}_{\perp} </math>

W układzie <span style="color:blue">O'</span> ciało pozostaje w spoczynku.
Aby spełniona była zasada bezwładności działające na nie siły muszą się
równoważyć. Musimy do opisu wprowadzić siłę bezwładności:
: <math> \vec{F}_b \; = \; + m \; \omega^2 \; \vec{r}_{\perp} </math>
Siłę tą nazywamy <span style="color:red">siłą odśrodkową</span>.

Siła odśrodkowa, tak jak siła bezwładności
(w przypadku przyspieszenia liniowego) jest siłą pozorną, wynikającą
z nieinercjalnego charakteru układu odniesienia. Pojawia się niezależnie
od tego czy ciało w tym układzie spoczywa, czy też porusza się.

Nie wolno jej mylić z siłą dośrodkową, która konieczna jest do utrzymania
ciała w ruchu po okręgu.

===<u>'''Siła odśrodkowa'''</u>===

W rozważanych przykładach ciała spoczywają w układzie obracającym się:

<center>
{|border=0 cellpadding=0 cellspacing=20
| [[image:watt_2.png|Regulator Watta]] || ||
| [[image:kulka_2.png|Kulka w wirującym naczyniu]]
|}
</center>

Siła odśrodkowa zapewnia równowagę sił w układzie obracającym się:
<center>
{|border=1 cellpadding=5 cellspacing=5
| <math> m \vec{g} \; + \; \vec{R} \; + \; \vec{F}_b \; = \; m \vec{a}\;' \; = \; 0 </math>
|}
</center>

Innym przykładem jest też ciecz w wirującym naczyniu.
Powierzchnia cieczy przyjmuje kształt paraboliczny

<center>
[[image:ciecz.png]]
</center>

Równowaga drobiny na powierzchni cieczy (rozważamy tylko składową
równoległą do powierzchni cieczy):
: <math>m g \sin \alpha - m \omega^2 r \cos \alpha \; = \; 0 </math>

Możemy z tego równania wyznaczyć pochodną funkcji opisującej kształt
powierzchni cieczy:
: <math> \frac{dy}{dr} \; = \; \tan \alpha \; = \; \frac{\omega^2}{g} \; r </math>

Całkując wyrażenie na pochodną otrzymujemy równanie paraboli:
: <math> y \; = \; \frac{\omega^2}{2g}\cdot r^2 + y_\circ </math>

===<u>'''Ruch obrotowy Ziemi'''</u>===

Jak już wspomniano powyżej, układ związany z powierzchnią Ziemi
(lub np. stołem laboratoryjnym). Nie jest ściśle inercjalny.
Głównym powodem jest ruch obrotowy Ziemi z prędkością kątową:
: <math> \omega \; \approx \; \frac{2 \pi}{23^h \; 56^m \; 04^s} \; \approx \;
7.3 \cdot 10^{-5}\; \frac{1}{s} </math>

W przypadku ciał nieruchomych względem powierzchni Ziemi
siła odśrodkowa powoduje zmianę efektywnego przyspieszenia ziemskiego
zwiazana z ruchem obrotowym Ziemi:
: <math> \Delta g \; = \; - \; \omega^2 r_\perp \; \cos \phi =
- \; \omega^2 r_Z \; \cos^2 \phi </math>
::<math> \; \approx \; - 0.033 \frac{m}{s^2} \cdot \cos^2 \phi </math>
gdzie <math>\phi</math> - szerokość geograficzna.

Wyniki pomiarów:

:{|border=1 cellpadding=3 cellspacing=3
! miejsce !! <math>g</math>
|-
| biegun N || 9.83216 <math>\frac{m}{s^2}</math>
|-
| Warszawa || 9.81230 <math>\frac{m}{s^2}</math>
|-
| równik || 9.78030 <math>\frac{m}{s^2}</math>
|}

Efekt jest większy od oczekiwanego ze względu na spłaszczenie Ziemi.

===<u>'''Siła Coriolisa'''</u>===

<u> Spoczynek </u>

Tak jak poprzenio rozważamy
układ <span style="color:blue">O'</span>, który obraca się z prędkością kątową
<span style="color:fuchsia"><math>\vec{\omega}</math></span>
względem <span style="color:red">układu inercjalnego O</span>.

Zastanówmy się teraz nad opisem ruchu punktu materialnego
<span style="color:red">spoczywającego</span>
w układzie <span style="color:red">O</span>.
Wiemy więc, że na ciało nie działa żadna siła (albo działające
siły równoważą się).

Z punktu widzenia obserwatora <span style="color:blue">O'</span>
ciało porusza się po okręgu i musi na nie dzialać
<span style="color:blue">siła dośrodkowa</span>:
: <math> \vec{F} \; = \; - m \; \omega^2 \; \vec{r}_{\perp} </math>

W układzie <span style="color:blue">O'</span> działa tymczasem
pozorna siła odśrodkowa:
: <math> \vec{F}_b \; = \; + m \; \omega^2 \; \vec{r}_{\perp} </math>
Siła ta nie może powodować ruchu po okręgu bo ma zwrot przeciwny
do siły dośrodkowej!

Aby "uratować" równania ruchu w układzie obracającym się
musimy wprowadzić kolejną siłę:
: <math> \vec{F}_c \; = \; - 2 \; m \; \omega^2 \; \vec{r}_{\perp} </math>

Pojawia się uzasadnione pytanie, czy to w ogóle ma sens?

<u>Ruch po okręgu</u>

[[image:coriolis_4.png|frame|Układ O]]

Rozważmy przypadek bardziej ogólny:
punkt materialny poruszający się po okręgu w układzie inercjalnym
<span style="color:red">O</span> z prędkością <math>V</math>.
Do utrzymania ciała w tym ruchu potrzebne jest działanie siły dośrodkowej
: <math>F_d = m \frac{V^2}{r}</math>

[[image:coriolis_3.png|frame|Układ O']]

W układzie obracającym się <span style="color:blue">O'</span>
prędkość punktu wynosi
: <math>V' = V - \omega \; r</math>

Siła wypadkowa w <span style="color:blue">O'</span>:
: <math> F'_d \; = \; m \frac{{V'}^2}{r} \; = \;
m \frac{(V' + \omega r)^2}{r} - 2 m \omega V' - m \omega^2 r \; = \;
F_d - F_c - F_b
</math>

Dodatkowa siła pozorna <span style="color:red"><math>\vec{F}_c</math></span>
(siła <span style="color:red">Coriolisa</span>)
konieczna jest do poprawnego opisania ruchu po okręgu
w <span style="color:blue">O'</span>.

<u>Ruch radialny</u>

[[image:coriolis_1.png|frame|Układ O']]

Rozważmy teraz punkt materialny poruszający się radialnie
w układzie <span style="color:blue">O'</span>.

[[image:coriolis_2.png|frame|Układ O]]

W inercjalnym układzie <span style="color:red">O</span> zbliżający
się do centrum układu punkt materialny zaczyna "wyprzedzać" punkty
układu <span style="color:blue">O'</span>, gdyż ich
prędkość w ruchu obrotowym maleje...

Pozorna siła Coriolisa pojawia się w układzie obracającym się (nieinercjalnym),
żeby opisać odchylenie od toru prostoliniowego...

<u>Przypadek ogólny</u>

[[image:ukl_obr.png|frame]]

Układ <span style="color:blue">O'</span> obraca się z prędkością kątową
<span style="color:fuchsia"><math>\vec{\omega}</math></span>
względem <span style="color:red">układu inercjalnego O</span>.

Dodawanie prędkości możemy zapisać w postaci:
: <math> \vec{v} \; = \; \vec{v}\;' \; + \; \vec{v}_{rot}
\; = \; \vec{v}\;' \; + \; \vec{\omega} \times \vec{r}\;' </math>

Wynika z tego wzór na transformację przyspieszenie (z pochodnej iloczynu):
: <math> \vec{a} \; = \; \frac{d\vec{v}}{dt} \; = \;
\frac{d\vec{v}\;'}{dt} \; + \; \frac{d\vec{\omega}}{dt} \times \vec{r}\;'
\; + \; \vec{\omega} \times \frac{d\vec{r}\;'}{dt} </math>

Kluczowe w tym momencie jest zauważenie, że pochodna wektora
z układu <span style="color:blue">O'</span>
(<math>\vec{r}\;'</math> i <math>\vec{v}\;'</math>; dla uproszczenia
oznaczmy wektor przez )<math>\vec{o}'</math> </span> zmienia się
przy zmianie układu odniesienia. Licząc pochodną w układzie O
musimy dodatkowo uwzględnić fakt, że osie układu O' (względem których
mierzony jest wektor <math>\vec{o}'</math>) obracają się w układzie O.
Związek między pochodnymi możena zapisać w postaci:
: <math> \frac{d \vec{o}\;' }{dt} \; =
\; \frac{d \vec{o}\;'}{dt'} \; + \; \vec{\omega} \times \vec{o}\;' </math>
gdzie przez <math> \frac{d}{dt}</math> oznaczyliśmy symbolicznie pochodną
w układzie O, a przez <math> \frac{d}{dt'}</math> pochodną wyznaczaną w O'.
Człon <math> \vec{\omega} \times \vec{o}\;' </math> opisuje wkład
związany z obrotem osi układu.

Uwzględniając powyższą zależność między pochodnymi otrzymujemy ogólny
związek między przyspieszeniem ciała w układach O i O':
: <math> \vec{a} \; = \; \vec{a}\;'
\; +\; \frac{d\vec{\omega}}{dt} \times \vec{r}\;'
\; +\; \vec{\omega} \times ( \vec{\omega} \times \vec{r}\;' )
\; +\; 2 \cdot \vec{\omega} \times \vec{v}\;' </math>
gdzie kolejne człony odpowiadają
przyspieszeniu ciała w układzie <span style="color:blue">O'</span>,
ew. przyspieszeniu kątowemu układu <span style="color:blue">O'</span>,
przyspieszeniu dośrodkowemu i przyspieszeniu Coriolisa.

===<u>'''Równanie ruchu'''</u>===

W układzie <span style="color:red">inercjalnym O</span> ogólne
równanie ruchu ma postać:
: <math> m \vec{a} \; = \; \vec{F}(\vec{r},\vec{v},t) \; + \; \vec{F}_R </math>

W obracającym się ze stałą prędkością kątową
układzie nieinercjalnym <span style="color:blue">O'</span>
otrzymaliśmy związek (patrz wzór na przyspieszenie powyżej):
: <math> m \vec{a}\;' \; = \; \vec{F}(\vec{r}\;',\vec{v}\;',t) \; + \; \vec{F}_R
\; - \; m \; \vec{\omega} \times ( \vec{\omega} \times \vec{r}\;')
\; - \; 2 \cdot m \; \vec{\omega} \times \vec{v}\;' </math>

W układzie obracającym się wprowadzamy dwie pozorne siły bezwładności:
* siłę odśrodkową
:: <math>\vec{F}_{o} = - m \; \vec{\omega} \times ( \vec{\omega} \times \vec{r}\;')
= + m \; \omega^2 \; \vec{r}_{\perp}\;' </math>
* siłę Coriolisa
::<math>\vec{F}_{c} = - 2 \cdot m \; \vec{\omega} \times \vec{v}\;'</math>

===<u>'''Ruch obrotowy Ziemi'''</u>===

Siła Coriolisa pojawia się w szczególności gdy rozważamy ruch ciał
w układzie związanym z powierzchnią ziemi.

W przypadku spadku swobodnego z dużej wysokości
odchyla tor ciała w kierunku wschodnim
(zawsze! zarówno na półkuli północnej jak i południowej).

Dla przykładu, przy spadku z prędkością
<math>v \approx 55</math> m/s</span> (dla uproszczenia przyjmijmy, że
prędkość jest stała, np. w wyniku oporów ruchu):
: <math> a_c \; = \; 2 \; \omega \; v \; \cos \phi </math>
:: <math> \; \approx \; 0.008 \; \frac{m}{s^2}\cdot \cos \phi </math>

Spadek z wysokości <span style="color:red">h=5.5 km</span>
zajmie w tym przypadku<span style="color:red"><math>t = 100\; s</math></span>.
Końcowe odchylenie toru od pionu (ruch jednostajnie przyspieszony w
kierunku poziomym) wyniesie:
: <math> \Delta \; = \; \frac{a_c \; t^2}{2} \; \approx \; 40 \; m \cdot \cos \phi </math>
w Warszawie około 25 m.

Wpływ siły Coriolisa jest wyraźnie widoczny gdy oglądamy prognozę pogody.
To siła Coriolisa powoduje odchylenie prądów powietrza płynących od wyżu do
niżu. Wiatry wiejące od wyżu zakręcają inaczej na półkuli północnej i
południowej. Wiąże się to z inną oriętacją wektora prędkości obrotowej
Ziemi.

[[image:wiatry_n.png|Półkula północna]]
[[image:wiatry_s.png|Półkula południowa]]

:: <math>\vec{F}_{c} = - 2 \cdot m \; \vec{\omega} \times \vec{v}\;'</math>

; Półkula północna
: Wiatry zakręcają "w prawo", wyż "kręci się" zgodnie z ruchem wskazówek zegara
; Półkula południowa
: Wiatry zakręcają "w lewo", wyż "kręci się" przeciwnie do ruchu wskazówek zegara

===<u>'''Wahadło Foucault'a'''</u>===

Najbardziej spektakularnym efektem związanym z siłą Coriolisa jet
tzw. Wahadło Foucault'a. Jest to zwykłe wahadło matematyczne
w którym płaszczyzna drgań może się zmieniać (dwa stonie swobody), a
opory ruchu są na tyle małe, że możemy obserwować wahania przez wiele
godzin.

[[image:wahadlo_foucaulta.png]]

Dla obserwatora związanego z powierzchnią Ziemi
płaszczyzna ruchu wahadła obraca się
z prędkością kątową
: <math> \omega_1 \; = \; \omega \cdot \sin \phi </math>
w Warszawie (<math>\phi = 52^\circ</math>) obserwujemy obrót z prędkością
kątową
: <math>\omega_1^{WAW} \approx 12^\circ /h</math>