FizykaI FMiN/Dynamika laws - Historia wersji

Tspus: Utworzono nową stronę "Prawa ruchu: dynamika

==Bezwładność== ; Bezwładność (inercja) : właściwość układu fizycznego
2015-05-21T21:41:42Z

Utworzono nową stronę "<span style="font-size:40px">Prawa ruchu: dynamika</span><br><br> ==Bezwładność== ; <u>Bezwładność (inercja)</u> : właściwość układu fizycznego <span style..."

Nowa strona
<span style="font-size:40px">Prawa ruchu: dynamika</span><br><br>

==Bezwładność==

; <u>Bezwładność (inercja)</u>
: właściwość układu fizycznego <span style="color:green">(ciała)</span> charakteryzująca jego <span style="color:red">podatność na zmiany</span> stanu <span style="color:green">(ruchu)</span>
: <span style="color:blue"> (Encyklopedia PWN 1998)</span>

Bezwładność przejawia się na dwa sposoby:
* dążenie układu do <span style="color:blue">zachowania stanu</span>, w którym się znajduje
:: <span style="color:green">dążenie ciał do pozostawania w spoczynku lub w ruchu</span>
* <span style="color:blue">"opór"</span> stawiany przez układ, gdy próbujemy <span style="color:blue">zmienić</span> jego stan
:: <span style="color:green">np. gdy próbujemy wprawić w ruch lub zatrzymać ciało</span>

==I zasada dynamiki==

===<u>'''Zasada bezwładności'''</u>===

[[image:newton.png|frame|Isaac Newton]]

I zasada dynamiki, inaczej zwana <u>'''Zasadą bezwładności'''</u>
została sformułowana przez Isaaca Newtona
w dziele: <span style="color:red">"Zasady matematyczne filozofii
naturalnej"</span> (1687)
(<i> Philosophiae Naturalis Principia Mathematica</i>)

<blockquote><span style="color:blue">
"Każde ciało trwa w swym stanie spoczynku lub ruchu
prostoliniowego i jednostajnego, jeśli siły przyłożone nie
zmuszają ciała do zmiany tego stanu."
</span></blockquote>

Zasada bezwładności w ujęciu Newtona ma dwie "wady":
* przyjmuje, że można zdefiniować bezwzględny spoczynek i ruch
* zakłada, że na ciało mogą nie działać żadne siły

===<u>'''Układ odniesienia'''</u>===

Newton zakładał istnienie <span style="color:red">"przestrzeń absolutna"</span>,
która <span style="color:red">"pozostaje zawsza taka sama i nieruchoma"</span>
: <span style="color:blue"><math>\Rightarrow</math></span> "absolutnego" układu odniesienia

Dziś wiemy, że taki układ nie istnieje. Powstaje więc pytanie:
względem jakiego układu spełniona jest I zasada dynamiki ?

Jeśli dwa układy poruszają się względem siebie z <span style="color:red">przyspieszeniem</span>,
<span style="color:blue">I zasada dynamiki</span> nie może być spełniona w obu z nich...

===<u>'''Ciało izolowane'''</u>===

Aby na ciało nie działały żadne siły musi być całkowicie odizolowane od wpływu innych ciał.
Ale w realnym świecie bardzo trudno o taką "doskonałą" izolację.

Wszystkie znane nam siły makroskopowe maleją z odległością
: <math>\Rightarrow</math> ciało uznamy za izolowane jeśli będzie dostatecznie daleko od innych ciał.

Jednak aby zweryfikować zasadę bezwładności musimy mieć <span style="color:red">'''dwa'''</span>
ciała izolowane:
* <span style="color:fuchsia">ciało obserwowane</span> i
* <span style="color:blue">układ odniesienia</span> (obserwatora).

Z jednej strony ciała te muszą być od siebie dostatecznie daleko, żeby wyeliminować wszelki wpływ,
a z drugiej strony dostatecznie blisko, żeby możliwa była obserwacja.

Zauważmy też, że <b>każda obserwacja</b> jest związana z jakimś <b>oddziaływaniem</b>!

W rzeczywistym doświadczeniu nigdy nie spełnimy idealnych warunków izolacji ciała.

Ale możemy stworzyć warunki, w których oczekiwane odstępstwa będą bardzo bardzo małe...

===<u>'''Układ inercjalny'''</u>===

Układ w którym obowiązuje I zasada dynamiki nazywamy <span style="color:blue"> układem inercjalnym</span>.

Jeśli istnieje <span style="color:blue">jeden</span> układ inercjalny to
istnieje <span style="color:blue">nieskończenie wiele</span> układów inercjalnych!

Inercjalny będzie także każdy inny układ poruszający się względem niego z
prędkością <math>\vec{V} = const</math>

Zasada bezwładności jest równoważna z postulatem:

<center>
{|border=1 cellpadding=5 cellspacing=5
|Istnieje układ inercjalny
|}
</center>

Jaki układ możemy uznać za inercjalny ?

Wszystko zależy od rozważanego zagadnienia i dokładności pomiaru.

<b>Na ogół wystarcza układ laboratoryjny</b>,
czyli układ zwiazany z Ziemią.

Niemniej, w przypadku precyzyjnych pomiarów możemy zaobserwować efekty związane
z ruchem obrotowym Ziemi. Powodują one, że układ związany z powierzchnią
Ziemi nie jest ściśle inercjalny.

W takiej sytuacji, a także w przypadku rozpatrywania ruch
Księżyca lub satelitów Ziemi, lepszym wyborem jest układ odniesienia
związany ze środkiem Ziemi. Ale i on nie jest ściśle inercjalny,
bo Ziemia porusza się z przyspieszeniem dookoła Słońca.
Także układ związany ze Słońcem nie jest ściśle inercjalny na skutek rotacji
Galaktyki...

{| border=1 cellpadding=3 cellspacing=3
! Układ odniesienia !! Inercjalność ograniczona przez !! Przyspieszenie
|-
| Powierzchnia Ziemi || Rotację Ziemi || <math>a_Z \approx 0.03 \; \frac{m}{s^2}</math>
|-
| Środek Ziemi || Obieg wokół Słońca || <math>a_S \approx 0.006 \; \frac{m}{s^2}</math>
|-
| Słońce || Rotację Galaktyki || <math>a_G \approx 0.000\; 000\; 000\; 3 \; \frac{m}{s^2}</math>
|}

==II zasada dynamiki==

===<u>'''II prawo Newtona'''</u>===

<blockquote><span style="color:blue">
"Zmiana ruchu jest proporcjonalna do przyłożonej siły poruszającej
i odbywa się w kierunku prostej, wzdłuż której siła jest przyłożona"
</span></blockquote>

Zmiana ruchu ciała <span style="color:green">(w układzie inercjalnym)</span>
jest zawsze wynikiem oddziaływania otoczenia (innych ciał)!

Oddziaływanie to opisujemy ilościowo wprowadzając pojęcie
<span style="color:red"> siły</span>

Siła jest wielkością wektorową (istotna jest nie tylko wartość,
ale i kierunek zmiany ruchu).

Siły możemy porównywać ilościowo bez konieczności wprawiania ciał w ruch.
Naogół wykorzystujemy przy tym I zasadę dynamiki (równowaga sił).
Przykładem jest porównywanie ciężaru poprzez ważenie ciał,
pomiar siły dynamometrem...

===<u>'''Ruch pod wpływem stałej siły'''</u>===

Rozważmy ciało <span style="color:blue">P</span>, na które działają
kolejno <span style="color:fuchsia">różne</span> siły
<span style="color:red"><math>\vec{F}</math></span>
nadając mu <span style="color:fuchsia">różne</span>
przyspieszenia <span style="color:red"><math>\vec{a}</math></span>

Dla uproszczenia wybierzmy układ odniesienia tak, że
<span style="color:blue"><math>\vec{r}(0) = \vec{v}(0) = 0</math></span>.
W takiej sytuacji ciało będzie się poruszać ruchem
<span style="color:fuchsia">prostoliniowym</span>,
<span style="color:red">jednostajnie przyspieszonym</span>

[[image:2_zasada_tor.png|center]]

Zgodnie z II zasadą Newtona przyspieszenie jest proporcjonalne do
działającej siły
: <math> a \; = \; \frac{d^2 x }{d t^2} \; \sim \; F </math>

Czas na pokonanie zadanej odległości L:
: <math>L = \frac{a}{2} \; t_1^2
\; \Rightarrow \; t_1^2 = \frac{2L}{a}
</math>

Prędkość uzyskana przez ciało na końcu odcinka L:
: <math> v_1 = \frac{2L}{t_1}
\; \Rightarrow \; a = \frac{v_1^2}{2L}
</math>

Porównując uzyskane przez ciało prędkości możemy porównywać przyspieszenia,
a stąd wnioskować o wartości siły.

Możemy wybrać jakąś siłę, jako jednostkową i w ten sposób ilościowo
określić wartości pozostałych sił.

Doświadczenie potwierdza (pokaz na wykładzie), że prędkość uzyskiwana
przez ciało rośnie jak pierwiastek przyłożonej siły (cztery razy większa siła
nadaje dwa razy większą prędkość).

===<u>'''Masa bezwładna'''</u>===

Rozważmy sytuację, w której ustalona siła
<span style="color:red"><math>\vec{F}</math></span>
diałając na <span style="color:fuchsia">różne</span> ciała
<span style="color:blue">P</span>
nadaje im <span style="color:fuchsia">różne</span> przyspieszenia
<span style="color:red"><math>\vec{a}</math></span>.

Możemy wprowadzić współczynniki <span style="color:blue">m</span>,
które określają <span style="color:red">stosunki przyspieszeń</span>
różnych ciał
: <math> a_1 : a_2 : a_3 : \ldots \; = \;
\frac{1}{m_1} : \frac{1}{m_2} : \frac{1}{m_3} : \ldots </math>

Lub też:
: <math> m_1 \; a_1 \; = \; m_2 \; a_2 \; = \; m_3 \; a_3 \; = \; \ldots </math>

Doświadczenie potwierdza (pokaz na wykładzie), że stosunki przyspieszeń
zależą od badanych ciał ale <span style="color:red">nie zależą</span>
od przyłożonej <span style="color:red">siły</span>.

Możemy wybrać jakieś ciało i uznać je za "jednostkowe". Tak wybrane
współczynkiki nazywamy masą bezwładną ciała.

<center>
{|border=1 cellpadding=5 cellspacing="5"
| m - masa bezwładna
|}
</center>

===<u>'''Ruch harmoniczny'''</u>===

<u>Pokaz</u>

Wózek na torze powietrznym przyczepiony do sprężyny

[[image:ruch_harm.png]]

Siła z jaką działa sprężyna zależy wyłącznie od położenia wózka

<center>
{|border=1 cellpadding=5 cellspacing="3"
|<math>F_x \; = \; - k \cdot x</math>
|}
</center>

Przyjmijmy, że położeniem równowagi jest
<span style="color:blue"><math>x=0</math></span>

Jeśli w chwili początkowej ciało znajduje się w położeniu
<span style="color:red"><math>x(0) = R </math></span> i
<span style="color:red"><math>v_x(0)=0</math></span>, wtedy jego
ruch (run harmoniczny) opisany jest zależnością:
: <math> x(t) \; = \; R \cdot \cos (\omega t) </math>
: <math> a(t) \; = \; - \omega^2 \cdot x(t) \qquad \omega = \frac{2 \pi}{T} </math>
Mierząc okres drgań możemy więc wnioskować o przyspieszeniu ciała:
: <math> a \; \sim \; T^{-2} </math>

Zgodnie z drugą zasada dynamiki oczekujemy, że:
: <math> a \; \sim \; \frac{1}{m} \; \Rightarrow \; T^2 \sim m</math>

Wyniki pomiarów (pokaz na wykładzie; masa wózka zwiększana poprzez
doczepianie odważników) potwierdzają, że kwadrat okresu drgań rośnie liniowo
z masą.

===<u>'''Siła'''</u>===

Jednostką masy bezwładnej jest kilogram, <span style="color:red">1 kg</span>

Druga zasada dynamiki Newtona definiuje pojęcie siły
(klasyczna definicja siły):

<center>
{|border=1 cellpadding=5 cellspacing=5
| <math>\vec{F} \; = \; m \; \vec{a}</math>
|}</center>

Jednostka siły: 1 niuton
: <math>1 \; N\; = \; 1 \; kg \cdot 1 \; \frac{m}{s^2}</math>

Druga zasada dynamiki jest:
* wnioskiem z doświadczeń
* definicją nowych wielkości: <span style="color:blue">masy i siły</span>

===<u>'''Zasada niezależności działania sił'''</u>===

Jeśli na ciało o masie <span style="color:fuchsia"><math>m</math></span> działają dwie niezależne siły
<span style="color:red"><math>F_1</math></span> i <span style="color:red"><math>F_2</math></span>:
: <math> \left.\begin{array}{l}
\vec{F}_1 = m \vec{a}_1 \\[5mm]
\vec{F}_2 = m \vec{a}_2
\end{array}\right\} \; \Rightarrow \;
\vec{F}_1 + \vec{F}_2 = m ( \vec{a}_1 + \vec{a}_2 )
</math>

: ⇒ przyspieszenie wywołane przez siłę wypadkową jest równe sumie przyspieszeń

===<u>'''Zasada addytywności masy'''</u>===

Jeśli dwie siły działając na dwie masy wywołują równe przyspieszenie:
: <math>\left.
\begin{array}{l}
\vec{F}_1 = m_1 \vec{a} \\[5mm]
\vec{F}_2 = m_2 \vec{a}
\end{array}
\!\! \right\} \; \Rightarrow \;
\vec{F}_1 + \vec{F}_2 = (m_1 + m_2) \vec{a}
</math>

: ⇒ siła wypadkowa w działani na całkowitą masę daje takie samo przyspieszenie

Masa jest wielkością addytywną: wypadkowa masa układu ciał równa jest sumie mas.

===<u>'''Uogólnienie'''</u>===

Druga zasada dynamiki Newtona w postaci "klasycznej"

<center>
{|border=1 cellpadding=5 cellspacing=5
| <math>\vec{F} \; = \; m \; \vec{a}</math>
|}</center>

ważna jest tylko dla ciał których masa jest stała <math>m \; = \; const</math>

Możemy jednak uogólnić:
: <math> \vec{F} \; = \; m \; \frac{d\vec{v}}{dt} \;
\begin{array}{c} _{m=const} \\ = \\ ~ \end{array} \;
\frac{d(m \vec{v})}{dt} \; = \; \frac{d\vec{p}}{dt} </math>

gdzie <math>\vec{p} = m \vec{v}</math> - pęd cząstki

Uogólniona zasada dynamiki:

<center>
{|border=1 cellpadding=5 cellspacing=5
| <math>\vec{F} \; = \frac{d\vec{p}}{dt}</math>
|}</center>

jest słuszna także dla ciał o zmieniającej się masie
<span style="color:green">(np. rakieta)</span>
oraz w przypadku relatywistycznym
(choć zmieni się definicja pędu ciała!).

Z powyższej zależności wynika, że zmiana pędu ciała pod wpływem działającej
siły równa jest tzw. <span style="color:blue">popędowi siły</span>:
: <math> \Delta \vec{p} \; = \; \int\limits_{\Delta t} \vec{F} \; dt </math>

==III zasada dynamiki==

===<u>'''Zasada akcji i reakcji'''</u>===

[[image:akcja_reakcja.png|frame|Akcja i reakcja]]

<blockquote><span style="color:blue">
"Każdemu działaniu towarzyszy równe i przeciwnie skierowane
przeciwdziałanie.</span><br>
<span style="color:red">Wzajemne oddziaływania dwóch ciał są
zawsze równe sobie i skierowane przeciwnie."
</span></blockquote>

<center>
{|border=1 cellpadding=5 cellspacing=5
|<math> \vec{F}_{12} \; = \; - \vec{F}_{21} </math>
|}</center>

<u>Pokaz</u>

Dwa wózki na torze połączone sprężyną

[[image:3_zasada_tor.png]]

Siły akcji i reakcji są równe co do wartości.

Przyspieszenia są odwrotnie proporcjonalne do mas:
: <math> \vec{F}_A \; = \; -\vec{F}_B </math>
: <math> m_A \; \vec{a}_A \; = \; - m_B \; \vec{a}_B </math>

: <math> a_A : a_B \; = \; \frac{1}{m_A} : \frac{1}{m_B} </math>

Siły akcji i reakcji są przejawem oddziaływanie między dwoma ciałami <br>
⇒ pary sił działające na różne ciała (!).

<u>Przykład</u>

Kula leżąca na stole stojącym na ziemi

[[image:3_zasada_stol.png]]

Pary sił akcji-reakcji:
* <span style="color:green">nacisk kuli na stół</span> - <span style="color:blue">siła reakcji stołu</span>
* <span style="color:blue">nacisk stołu na podłogę</span> - <span style="color:red">siła reakcji podłogi</span>
ale także
* <span style="color:red">ciężar kuli</span> - <span style="color:green">siła przyciągania Ziemi przez kulę</span>
* <span style="color:red">ciężar stołu</span> - <span style="color:blue">siła przyciągania Ziemi przez stół</span>

Poruszamy się także dzięki siłom reakcji...

[[image:3_zasada_ruch.png]]

Idąc, jadąc na rowerze czy wiosłując działamy siłą na ziemię (wodę)
starając się ją odepchnąć. To siła reakcji powoduje nasz ruch!

===<u>'''Siła wyporu'''</u>===

<u>Pokaz</u>

[[image:wypor_1.png]]

Ciało zanurzone w cieczy <span style="color:blue">traci na wadze</span>...
: <span style="color:red"><math>\Rightarrow</math></span> Ciecz działa na ciało siłą wyporu

[[image:wypor_2.png]]

Ale ciecz w której ciało zanurzamy <span style="color:red">"przybiera" na wadze</span>...
: <span style="color:red"><math>\Rightarrow</math></span> ciało działa na ciecz...

III zasada dynamiki mówi nam, że łączny ciężar cieczy i ciała musi pozostać niezmieniony...

===<u>'''Statyka'''</u>===

[[image:statyka_rownia.png|500px]]

Ciało spoczywa, jeśli działające na niego siły równoważą się (I zasada dynamiki).

W przypadku ciała na równi, <span style="color:red">siła ciężkości</span> równoważona jest przez
<span style="color:blue">siłę reakcji</span> równi i <span style="color:green">napięcie sznurka</span>:
: <math> R \; = \; Q \cdot \cos \alpha </math>
: <math>
N \; = \; Q \cdot \sin \alpha
</math>

Pomijamy tu siły tarcia, zakładamy też, że sznurek jest równoległy do równi.

[[image:statyka_lina.png|500px]]

Ciało spoczywa, jeśli działające na niego siły równoważą się.

Równowaga w pionie:
: <math> Q \; = \; N_1 \sin \alpha \; + \; N_2 \sin \beta </math>

Równowaga w poziomie:
: <math> N_1 \cos \alpha \; = \; N_2 \cos \beta </math>

Otrzymujemy:
: <math> N_1 \; = \; \frac{Q \cos \beta }{\sin (\alpha + \beta)} </math>

Dla <span style="color:red"><math>\beta = \alpha </math></span>:
: <math> N_1 \; = N_2 \; = \; \frac{Q }{2 \sin (\alpha)} </math>

Nie jest możliwe naciągnięcie liny tak, by była dokładnie poziomo
<math>\beta = \alpha = 0</math>

===<u>'''Ruch'''</u>===

[[image:statyka_rownia2.png|500px]]

Jeśli ciało porusza się ruchem przyspieszonym to oznacza,
że działające na niego siły <span style="color:red">NIE równoważą się</span>!

W przypadku ciała na równi:
: <math> R \; = \; Q \cdot \cos \alpha </math>
: <math> N \; \ne \; Q \cdot \sin \alpha </math>

Równowaga sił zachowana jedynie na kierunku prostopadłym do równi!

==Równania ruchu==

Podstawowym zagadnieniem dynamiki jest
<span style="color:blue">rozwiązywanie równań ruchu</span>,
czyli określanie ruchu ciała ze znajomości
<span style="color:blue">działających na nie sił</span>.

===<u>'''Postać ogólna'''</u>===

Siła działająca na ciało może zależeć od
<span style="color:red">położenia</span> i
<span style="color:red">prędkości</span> ciała
oraz <span style="color:red">czasu</span>
: <math> \vec{F} \; = \; \vec{F}(\vec{r}, \vec{v}, t)</math>

Podstawiając tą zależność do II zasady dynamiki otrzymujemy
ogólną postać równania ruchu:
<center>
{|border=1 cellpadding=5 cellspacing=5
|<math>\displaystyle
m \; \frac{d^2 \vec{r}(t)}{dt^2} \; = \; \vec{F}(\vec{r}, \vec{v}, t)</math>
|}</center>

Jest to w istocie układ trzech równań różniczkowych drugiego rzędu
: <math> m ( \frac{d^2 x}{dt^2} , \frac{d^2 y}{dt^2} ,
\frac{d^2 z}{dt^2}) \; = \; (F_x, F_y, F_z)</math>

Ogólne rozwiązanie ma sześć stałych całkowania:
: <math> \vec{r} \; = \; \vec{r}\; (t,C_1, C_2, \ldots ,C_6)</math>

===<u>'''Warunki początkowe'''</u>===

Aby ściśle określić ruch ciała musimy poza rozwiązaniem
równań ruchu wyznaczyć wartości wolnych parametrów
<span style="color:green">(w ogólnym przypadku sześciu)</span>

Najczęściej dokonujemy tego określając warunki początkowe:
: <math> \vec{r}_0 \; = \; \vec{r}\; (t_0) </math>
: <math> \vec{v}_0 \; = \; \vec{v}\; (t_0) </math>
gdzie <math>t_0</math> - wybrana "chwila początkowa"

W mechanice klasycznej obowiązuje
<span style="color:blue">"zasada przyczynowości"</span>:
jeśli znamy <span style="color:blue">równania ruchu</span> oraz
dokładnie poznamy <span style="color:blue">warunki
początkowe</span> możemy jednoznacznie określić stan układu
w <span style="color:red">przeszłości</span> i w
<span style="color:red">przyszłości</span>.

Zachowanie obiektów mikroświata (np. cząstek elementarnych)
nie jest jednak deterministyczne.

Granice stosowalności mechaniki klasycznej określa wartość
stałej Plancka <math> h=6.626\cdot 10^{-34}\; J \cdot s </math>

===<u>'''Przykład'''</u>===

W ogólnym przypadku <span style="color:red"> siła sprężysta</span>
może być przedstawiona w postaci:

: <math> \vec{F} \; = \; - k \; \vec{r}</math>

Jest to więc <span style="color:red">siła centralna</span>
- działająca zawsze w kierunku środka układu
<span style="color:green">(zawsze możemy tak wybrać)</span>,
stara się przywrócić ciało do położenia równowagi.

Równanie ruchu sprowadza się do postaci:
: <math> \frac{d^2\vec{r}}{dt^2} \; = \; - \omega^2 \; \vec{r} \; ,
\qquad \qquad \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} </math>
⇒ <span style="color:fuchsia">oscylator harmoniczny.</span>

Ogólne rozwiązanie równania ruchu:
: <math> \vec{r}(t) \; = \; \vec{A} \cdot \cos \omega t \; + \;
\vec{B} \cdot \sin \omega t </math>

Wartości <span style="color:red"><math>\vec{A}</math></span> i <span style="color:red"><math>\vec{B}</math></span> możemy wyznaczyć z
warunków początkowych:
:: <math>\vec{r}_0 = \vec{r}(0) \; = \; \vec{A} </math>
:: <math> \vec{v}_0 = \vec{v}(0) \; = \; \omega \vec{B} </math>

:<math> \Rightarrow \;
\vec{r}(t) \; = \; \vec{r}_0 \cdot \cos \omega t \; + \;
\frac{\vec{v}_0}{\omega} \cdot \sin \omega t </math>

Ruch jest <span style="color:red">płaski</span>,
odbywa się w płaszczyźnie wyznaczonej
przez <span style="color:blue"><math>\vec{r}_0</math></span> i
<span style="color:blue"><math>\vec{v}_0</math></span>.

Torem ruchu w ogólnym przypadku jest <span style="color:red">elipsa</span>.

W szczególnym przypadku torem ruchu może być:
* odcinek, jeśli <span style="color:blue"><math>\vec{r}_0 || \vec{v}_0</math></span> <span style="color:green">(albo <math>\vec{r}_0 = 0 </math> albo <math>\vec{v}_0=0</math>)</span>
* okrąg, jeśli <span style="color:blue"><math>\vec{r}_0 \perp \vec{v}_0</math></span> i <span style="color:blue"><math>v_0 = \omega \cdot r_0</math></span>

===<u>'''Więzy'''</u>===

Do tej pory rozważaliśmy ruch ciała, które może się
przemieszczać <br> <span style="color:red">bez ograniczeń</span> w całej
trójwymiarowej przestrzeni - <span style="color:red">trzy stopnie swobody: <math>f</math>=3</span>.

W każdej chwili stan ciała opisuje <span style="color:blue">sześć parametrów</span>
<span style="color:green">(dwa wektory: <math>\vec{r}</math> i <math>\vec{v}</math>)</span>

<u>Powierzchnia więzów</u>

[[image:wiezy_3.png|frame|Powierzchnia więzów]]

W wielu przypadkach ruch ciała jest jednak ograniczony
<span style="color:red"><math>\Rightarrow</math></span> cząstka nieswobodna

Ruch ciała może być na przykład ograniczony do zadanej powierzchni
(np. powierzchnia stoku w przypadku narciarza, czy powierzchnia jeziora w przypadku łódki).

Ogólny warunek opisujący powierzchnie:
: <math> h(x,y,z,t) \; = \; 0 </math>

Dodatkowy warunek powoduje, że zamiast trzech mamy dwa stopnie
swobody <span style="color:red"><math>f</math>=2</span>
: ⇒ rozwiązanie równań ruchu ma cztery parametry początkowe

<u>Krzywa więzów</u>

[[image:wiezy_4.png|frame|Krzywa więzów]]

Czasami ruch ciała jest ograniczony do zadanej krzywej w przestrzeni (np. wagon na torach,
winda). Krzywą w przestrzeni możemy zawsze opisać porzez dwa warunki:
: <math> h_1(x,y,z,t) \; = \; 0 </math>
: <math> h_2(x,y,z,t) \; = \; 0 </math>
W zagadnieniu pozostaje więc jeden stopień swobody <span style="color:red"><math>f</math>=1</span>, a rozwiązanie równań ruchu ma dwa parametry początkowe.

Do równania ruchu musimy wprowadzić dodatkową siłę
<span style="color:blue">reakcji więzów</span>

<center>
{|border=1 cellpadding=5 cellspacing=5
| <math>\displaystyle
m \; \frac{d^2 \vec{r}(t)}{dt^2} \; = \;
\vec{F}(\vec{r}, \vec{v}, t) + \vec{F}_R</math>
|}</center>
gdzie:
: <span style="color:red"><math>\vec{F}(\vec{r}, \vec{v}, t)</math></span> - siły zewnętrzne,
: <span style="color:blue"><math>\vec{F}_R</math></span> - reakcja więzów

Przy braku oporów ruchu <span style="color:green">(więzy idealne)</span>
siła reakcji więzów jest zawsze <span style="color:red">prostopadła</span> do powierzchni
lub krzywej więzów!

<span style="color:blue">Więzy</span> mogą być <span style="color:red">stacjonarne</span>
(<i> skleronomiczne</i>), niezależne od czasu:
: <math> h(x,y,z) \; = \; 0 </math>
lub <span style="color:red">zależne od czasu</span> (<i> reonomiczne</i>):
: <math>h(x,y,z,t)\;=\;0</math>

Przykład krzywej więzów: wahadło jednowymiarowe o długości <i>l</i>

Równania więzów:
: <math> l^2 - x^2 - y^2 - z^2 \; = \; 0</math> - sfera
: <math> x \; = \; 0 </math> - płaszczyzna

===<u>'''Wahadło'''</u>===

[[image:wahadlo2.png|thumb|right|350px|c|Wahadło matematyczne]]

Warunki narzucone przez więzy najłatwiej uwzględnić opisując
położenie kulki przez <span style="color:red">kąt <math>\Theta</math></span>:
: <math> y = l \; \sin \Theta \; \; z = - l \; \cos \Theta </math>

O sile reakcji <span style="color:red"><math>F_R(t)</math></span> wiemy
jedynie tyle, że działa <span style="color:red">wzdłuż nitki</span>.
: <math> \frac{d^2y}{dt^2} = -\frac{F_R}{m} \sin \Theta \; \;
\frac{d^2z}{dt^2} = -g + \frac{F_R}{m} \cos \Theta </math>

Wynika z tego, że przyspieszenie styczne nie zależy
od <span style="color:red"><math>F_R</math></span>:
: <math> a_\Theta \equiv
\cos \Theta \; \frac{d^2y}{dt^2} + \sin \Theta \; \frac{d^2z}{dt^2}
\; = \; -g \cdot \sin \Theta </math>

W <span style="color:red">przybliżeniu małych kątów</span>
<span style="color:green">(<math>\sin \theta \approx \theta</math>)</span>
otrzymujemy więc:
: <math> l \; \frac{d^2\Theta}{dt^2} \; = \; -g \cdot \Theta </math>

Jest to równanie <span style="color:red">oscylatora harmonicznego</span>
: częstość wahań: <span style="color:blue"><math>\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}</math></span>,

: okres <span style="color:blue"><math>T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}</math></span>

Rozwiązanie równania oscylatora harmonicznego:
: <math> \Theta(t) = \Theta_0 \cdot \cos (\omega t ) </math>

Znając zależność wychylenia od czasu możemy wyznaczyć współrzędne:
: <math> y = l \; \sin \Theta \qquad z = - l \; \cos \Theta </math>

Z kolei siłę reakcji możemy wyznaczyć z równania
ruchu w <span style="color:red"><math>z</math></span>:
: <math>
\frac{dz}{dt} \; = \; l \sin \Theta \; \left[ - \Theta_0 \; \omega \sin ( \omega t) \right]</math>

: <math>
\frac{d^2 z}{d t^2} \; = \;
l \omega^2 \; \cos \Theta \; \left[ \Theta_0\; \sin (\omega t ) \right]^2
- l \omega^2 \sin \Theta \; \Theta_0\; \cos (\omega t )</math>

Otrzymujemy:
:<math> F_R \; = \; \frac{m}{\cos \Theta} \left( \frac{d^2 z}{d t^2} + g \right)
\; = \; mg \left[ \Theta_0^2 \; \sin^2 ( \omega t) -
\tan \Theta \; \Theta_0\cos( \omega t) +
\frac{1}{\cos\Theta} \right]
</math>

W przybliżeniu małych kątów:
<span style="color:red"><math>\tan \Theta \approx \Theta</math></span>
i <span style="color:fuchsia"><math>\frac{1}{\cos\Theta} \approx 1 + \frac{1}{2}\Theta^2</math></span>
: <math> F_R \; = \;
mg \left[ \Theta_0^2 \; \sin^2 ( \omega t)
- \frac{1}{2}\Theta_0^2 \; \cos^2 ( \omega t) + 1 \right] </math>

Podstawiając zależność wychylenia <math>\Theta</math> od czasu otrzymujemy ostatecznie:
: <math> F_R(\Theta) \; = \;
mg \left[ 1 + \Theta_0^2 - \frac{3}{2} \Theta^2(t) \right] </math>

Uzyskana zależność przedstawiona jest poniżej dla kilku wybranych wartości wychylenia
początkowego. Jak widać, naprężenie jest największe dla <math>\Theta=0</math>, w chwili
przechodzenia wahadła przez położenie równowagi.

[[image:wahadlo_naprezenie2.png]]