SuperAdmin o 12:06, 1 cze 2015

2015-06-01T12:06:15Z

Tspus: Utworzono nową stronę " Zasada zachowania pędu

==Zasada zachowania pędu== ==='''Układ izolowany'''=== frame..."

2015-05-21T21:47:41Z

Utworzono nową stronę " Zasada zachowania pędu ==Zasada zachowania pędu== ==='''Układ izolowany'''=== frame..."

Nowa strona

Zasada zachowania pędu 

==Zasada zachowania pędu==

==='''Układ izolowany'''===

[[image:zach_ped_1.png|frame]]

Układem izolowanym nazwiemy układ, w którym
każde ciało może w dowolny sposób oddziaływać z innymi elementami układu,
ale brak jest oddziaływań ze światem zewnętrznym.

Z '''III zasady dynamiki'''
siły z którymi działają na siebie ciała <math>i</math> i <math>j</math>
związane są relacją:
: <math> \vec{F}_{ij} \; = \; -\vec{F}_{ji} </math>

Suma sił działających ciało <math>i</math>:
: <math> \vec{F}^{\Sigma}_{i} \; = \; \sum_j \vec{F}_{ji} </math>

Suma sił działających na cały układ:
: <math> \vec{F}_{tot} \; = \; \sum_i \vec{F}^{\Sigma}_{i}
\; = \; \sum_i \sum_j \vec{F}_{ji} </math>
:: <math> \; = \; \sum_j \sum_i - \vec{F}_{ij} \; = \;
- \vec{F}_{tot} </math>

Wynika z tąd, że całkowita siła działająca na układ izolowany
: <math> \vec{F}_{tot} = 0 </math>

[[image:zach_ped_2.png|frame]]

Korzystając z '''II zasady dynamiki''' możemy powiązać zmiany
pędu każdego ciała układu z sumą działających na nie sił:
: <math>\frac{d\vec{p}_i}{dt} \; = \; \vec{F}^{\Sigma}_{i} </math>

Prawo ruchu dla całego układu:
: <math> \vec{F}_{tot} \; = \; \sum_i \vec{F}^{\Sigma}_{i}
= \sum_i \frac{d\vec{p}_i}{dt} </math>
:: <math> \; \; = \; \frac{d}{dt} \sum_i \vec{p}_i </math>

Skoro dla układu izolowanego całkowita siła znika
to wektor całkowitego pędu musi pozostawać stały
: <math> \vec{F}_{tot}=0 \;\;\; \Rightarrow \;\;\;
\sum_i \vec{p}_i = \vec{p}_{\Sigma}
= const </math>

Dla dowolnego układu izolowanego,
suma pędów wszystkich
elementów układu pozostaje stała
(zakładamy, że jest to izolowany układ inercjalny).

==='''Oddziaływanie dwóch ciał'''===

[[image:wozki_1.png|frame|Przed "rozpadem"]]
[[image:wozki_2.png|frame|Po "rozpadzie", <math> M_1 \; < M_2 </math>]]

Układ dwóch ciał o masach <math> m_1</math> i <math>m_2</math>
(w pokazie były to wózki na torze powietrznym: rysunek obok)
"rozpada się" pod wpływem sił wewnętrznych.

Jeśli na początku wszystkie obiekty spoczywają
: <math>\sum_i \vec{p}_i \; = \; 0 </math>
to i po "rozpadzie" suma pędów
musi być równa 0.

Dla dwóch ciał (przyjmując, że prędkości
<math>v_i \ll c</math>)
: <math> m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 \; = \; 0 </math>
Co prowadzi do związku:
: <math> \vec{v}_2 \; = \; - \frac{m_1}{m_2} \cdot \vec{v}_1 </math>

: <math> \frac{v_2}{v_1} \; = \; \frac{m_1}{m_2} </math>

==='''Zderzenie całkowicie niesprężyste'''===

[[image:wozki_3.png|frame|Przed zdrzeniem]]
[[image:wozki_4.png|frame|Po zderzeniu]]

Zderzeniem całkowicie niesprężystym nazywamy zderzenie, w wyniku
którego po zderzeniu ciała pozostają trwale złączone (poruszają się
jak jedno ciało). W naszym doświadczeniu zczepiają się dwa wózki
na torze powietrznym.

Przyjmijmy, że jedno ciało na początku spoczywa, a drugie uderza
w nie z zadaną prędkością początkową (patrz rysunek obok).

Pęd początkowy:
:<math> \vec{p}_i \; = \; m_1 \vec{v}_1 </math>

Pęd końcowy:
:<math> \vec{p}_f \; = \; (m_1 + m_2) \cdot \vec{v}_2 </math>

Zasada zachowania pędu stanowi, że pęd nie może ulec zmianie
(działają tylko siły wewnętrzne, między ciałami):
: <math> \vec{p}_i \; = \; \vec{p}_f </math>

Możemy z tego wyznaczyć prędkość ciał po zderzeniu:
: <math> \vec{v}_2 \; = \; \frac{m_1}{m_1 + m_2}\cdot \vec{v}_1 </math>

==Ruch ciał o zmiennej masie==

Rozważmy ruch ciała o zmiennej masie. Może to być rakieta, której masa
w wyniku spalania paliwa (i wyrzucania gazów przez dysze silników
rakietowych maleje). W ogólnym przypadku masa może zależeć od
położenia, prędkości i czasu:
<math>m = m(\vec{r},\vec{v},t)</math>

[[image:rakieta_1.png|frame]]

Rozważmy ruch rakiety. Przyjmijmy, że w jakiejś chwili czasu
od ciała o masie <math>m-dm</math>
poruszającego się z prędkością
<math>\vec{v}</math> odłącza się element
<math>-dm>0</math>
poruszający się z prędkością <math>\vec{w}</math>. Przyjmujemy, że <math>dm<0</math> ponieważ masa rakiety maleje.

Z zasady zachowania pędu:
: <math> (m-dm)\; \vec{v} \; = \; m\; (\vec{v}+ d\vec{v}) - dm \; \vec{w} </math>

Z czego możemy wyznaczyć zmianę pędu rakiety:
: <math> d\vec{p} \; = \; m \; d\vec{v} \; = \;
(m-dm)\; \vec{v} - m\; \vec{v} + dm \; \vec{w} </math>
:: <math> \; = \; dm \; (\vec{w} - \vec{v})
\equiv dm \; \vec{v}_{odrz} </math>

Działającą na rakietę siłę odrzutu (siła ciągu rakiety) możemy wyznaczyć
z II zasady dynamiki:
: <math> \vec{F}_{odrz} \; = \; \frac{d\vec{p}}{dt} \; = \;
\frac{dm}{dt}\; \vec{v}_{odrz}</math>
Przy czym siła ta jest przeciwnie skierowana do kierunku
wylotu gazów (<math> \vec{v}_{odrz}</math>), gdyż masa rakiety maleje
(<math>\frac{dm}{dt}<0 </math>)

==='''Wzór Ciołkowskiego'''===

Równanie ruch ciała pod wpływem siły odrzutu możemy więc zapisać w postaci:
: <math> \frac{d \vec{p}}{dt} \; = \; m \; \frac{d \vec{v}}{dt} \; = \;
\vec{F}_{zewn} \; + \; \frac{dm}{dt}\; \vec{v}_{odrz} </math>

Zaniedbując wpływ sił zewnętrznych (np. pola grawitacyjnego) mamy:
: <math> m \; \frac{d \vec{v}}{dt} \; = \; \frac{dm}{dt}\; \vec{v}_{odrz} </math>

Wprowadzając funkcję <math>\vec{v}(m)</math> określającą zależność
prędkości od masy rakiety i korzystając ze wzoru na pochodną funkcji złożonej:
:<math> m \; \frac{d \vec{v}}{dm}\cdot \frac{dm}{dt}
\; = \; \frac{dm}{dt} \; \vec{v}_{odrz} </math>
Otrzymujemy:
:<math> m \; \frac{d \vec{v}}{dm} \; = \; \vec{v}_{odrz} </math>

Całkując stronami:
: <math> \int\limits_{v_\circ}^{v_k} \frac{d\vec{v}}{\vec{v}_{odrz}} \; = \;
\int\limits_{m_\circ}^{m_k} \frac{dm}{m} </math>

:<math> \vec{v}_k \; = \;
\vec{v}_\circ + \vec{v}_{odrz} \cdot \ln \left(\frac{m_k}{m_\circ} \right) </math>

Otrzymaliśmy '''wzór Ciołkowskiego''' uzależniający prędkość końcową rakiety
od zmiany masy.

==='''Rakieta jednostopniowa'''===

[[image:rakieta_2.png|frame]]

Przyjmijmy, że rakieta o masie <math>m_R</math>
ma wynieść satelitę o masie <math>m_S</math>,
zużywając paliwo o masie <math>m_P</math>.

Możliwa do uzyskania prędkość końcowa:
: <math>v_k \; = \;
v_{odrz} \cdot \ln \left(\frac{m_S + m_R + m_P}{m_S + m_R} \right) </math>

:: <math> \; \approx \; v_{odrz} \cdot \ln (1+f) </math>

gdzie <math> f \; = \; \frac{m_P}{ m_R} </math> to
stosunek masy paliwa do masy rakiety.
Zaniedbaliśmy przy tym masę satelity (nowoczesna elektronika jest lekka):
<math> m_s \ll m_R </math>.

Aby uzyskać II prędkość kosmiczną
<math>v_k \approx 11 \; km/s</math> (np. lot na Księżyc)
przy silniku rakietowym o <math>v_\circ = 3 \; km/s</math>
potrzebujemy:
: <math> f \; = \; \exp \left( \frac{v_k}{v_\circ} \right) - 1 \; \approx \; 38 </math>

Jest to teoretycznie możliwe do uzyskania,
praktycznie jednak niewykonalne (?)
i nieopłacalne !...

W praktyce budujemy rakiety wielostopniowe.

==='''Rakieta dwustopniowa'''===

[[image:rakieta_4.png|frame]]

Rakietę dzielimy na dwa człony o masach
<math>m'_R</math>
i <math>m''_R</math>,
w których znajduje się paliwo o masie
<math>m'_P</math>
i <math>m''_P</math>.
Całkowite masy rakiety i paliwa:
: <math>m'_R + m''_R = m_R</math>
: <math>m'_P + m''_P = m_P</math>

Prędkość końcową liczymy stosując dwukrotnie wzór Ciołkowskiego
(najpierw dla pierwszego, potem dla drugiego członu rakiety):
: <math>v_k \; = \;
v_{odrz} \cdot \left[
\ln \left(\frac{m_S + m_R + m_P}{m_S + m_R + m''_P} \right)
+
\ln \left(\frac{m_S + m''_R + m''_P}{m_S + m''_R} \right) \right]</math>

W przybliżeniu <math>m_S \ll m''_R \ll m'_R</math>
(pierwszy człon dużo większy od drugiego) i <math>m''_P \ll m'_P</math>
prowadzi to do zależności:
: <math>v_k \approx v_{odrz} \cdot 2 \; \ln (1+f)</math>

Aby uzyskać II prędkość kosmiczną
<math>v_k \approx 11 \; km/s</math>
przy <math>v_\circ = 3 \; km/s</math>
potrzebujemy silnika rakietowego o współczynniku:
: <math> f \; = \; \exp \left( \frac{v_k}{2 \; v_\circ} \right) - 1
\; \approx \; 5.3 </math>

Dla <math>f \approx 10</math>
(dla obu członów) można wystrzelić w kosmos
<math>m_S \approx 0.6% \; (m_R+m_P)</math>
(przy optymalnym wyborze <math>m''_R \approx 7% \; m_R</math>).

==='''Rakieta wielostopniowa'''===

[[image:rakieta_3.png|frame]]

Rakieta składa się z wielu członów.
W każdym z nich stosunek masy paliwa do "obudowy"
wynosi <math>f</math>

W granicy wielu bardzo małych członów:
: <math> m \; d\vec{v} \; = \; dm \; \vec{v}_{odrz} \cdot \frac{f}{f+1} </math>

Co po odcałkowaniu sprowadza się do wzoru na prędkość końcową:
: <math>v_k \; = \; v_{odrz} \cdot \frac{f}{f+1}
\cdot \ln \left(\frac{ m_R + m_P + m_S}{m_S} \right) </math>

:: <math> \; = \; v_{odrz} \cdot \frac{f}{f+1}
\cdot \ln \left(1 +\frac{ m_R}{m_S} (1 + f) \right) </math>

Aby uzyskać II prędkość kosmiczną dla satelity o masie
 <math>m_S \approx 100 \; kg</math>
przy silniku o <math>f=10</math>
musimy zbudować rakietę o masie
: <math> m_R \; = \; \frac{m_S}{1+f} \left[
\cdot \exp \left( \frac{v_k \; (1+f)}{v_\circ \; f} \right)
-1 \right] </math>

::<math> m_R \; \approx \; 500 \; kg </math>
::<math> m_P \; \approx \; 5000 \; kg </math>

Przy rakiecie jednoczłonowej, przy tych samych
<math>m_S</math> i <math>m_R</math> potrzebaby 228'000 kg paliwa !!!

Dla rakiety dwuczłonowej potrzebaby
<math>m_R \approx</math> 1600 kg, <math>m_P \approx</math> 16'000 kg

==Zasada zachowania momentu pędu==

==='''Siły centralne'''===

Jeśli układ ciał (lub pojedyńcze ciało) działa jakaś
siła zewnętrzna 
<math> \vec{F}_{tot} \ne 0</math> to pęd układu
musi się zmieniać:
: <math>\sum \vec{p}_i \ne</math> const.

Siły które działają na układ często są
siłami centralnymi - działają w kierunku
ustalonego źródła siły.

Jeśli położenie źródła przyjmiemy za środek układu współrzędnych to
możemy wtedy zapisać:
: <math> \vec{F}_{tot} = F(r, \ldots ) \cdot \vec{i}_r</math>

Przykład:
* siła grawitacyjna <math>F(r) = -G\frac{m_1 m_2}{r^2} </math>

* siła kulombowska <math>F(r) = \frac{Q_1 Q_2}{4 \pi \epsilon_\circ r^2} </math>

* siła spężysta <math>F(r) = -k \cdot r </math>

Czy można coś "uratować" z zasady zachowania pędu ?...

==='''Moment pędu'''===

Zdefiniujmy dla punktu materialnego możemy zdefiniować
moment pędu względem O
: <math> \vec{L} \; = \; \vec{r} \times \vec{p}</math>

Moment pędu zależy od wyboru początku układu!

Uwzględniając klasyczne wyrażenie na pęd (<math>v \ll c</math>)
otrzymujemy:
:<math> \vec{L} \; = \; m \; \vec{r} \times \vec{v} </math>

Wartość momentu pędu:
<math> L \; = \; m \; r \; v \sin \theta </math>
gdzie <math> \theta </math> jest kątem między wektorem prędkości
i wektorem położenia.

W przypadku ruchu po płaszczyźnie przechodzącej przez początek układu
: <math> \vec{L} \; = \; m \; \vec{r} \times (\vec{v}_r + \vec{v}_\theta) </math>
Wektor prędkości radialnej jest równoległy do wektora położenia więc ich
iloczyn wektorowy znika. Wektor momentu pędu będzie prostopadły do
płaszczyzny ruchu a jego wartość
: <math> L \; = \; m \; r \; v_\theta
\; = \; m \; r^2 \; \frac{d\theta}{dt} \; = \; m \; r^2 \; \omega </math>
gdzie kąt <math>\theta</math> opisuje położenie ciała w płaszczyźnie ruchu.

Przypadkiem szczególnym jest ruch po okręgu, czyli
<math>r</math>=const

Wtedy możemy zdefiniować Moment bezwładności
: <math> I \; = \; m \; r^2 </math>
a moment pędu możemy przedstawić w ogólnej postaci
: <math> \vec{L} \; = \; I \; \vec{\omega} </math>

==='''Moment siły'''===

Jeśli na ciało działa siła to możemy zdefiniować jej '''moment '''
względem początku układu O
: <math> \vec{M} \; = \; \vec{r} \times \vec{F}</math>

Rozważmy zmiany momentu pędu w czasie:
: <math> \frac{d\vec{L}}{dt} \; = \; \frac{d(\vec{r} \times \vec{p})}{dt} </math>
::<math> = \; \frac{d\vec{r}}{dt} \times \vec{p} \; + \;
\vec{r} \times \frac{d\vec{p}}{dt} </math>
::<math> = \; \vec{v} \times \vec{p} \; + \; \vec{r} \times \vec{F} </math>
:: <math> \; = \; 0 \quad +\quad \vec{M} </math>

Otrzymaliśmy równanie ruchu, które mówi nam, że zmiana momentu pędu
musi być wynikiem działania momentu siły:
: <math> \frac{d\vec{L}}{dt} \; = \; \vec{M} </math>

W przypadku, gdy na układ nie działają zewnętrzne momenty siły
całkowity moment pędu jest zachowany:
: <math> \vec{M}=0 \; \Rightarrow \; \vec{L}=const </math>

==='''Cząstka swobodna'''===

Dla cząstki swobodnej moment pędu względem
dowolnego punktu 0 pozostaje
stały:
: <math> L \; = \; m\; v\; r\; \sin \theta \; = \; m \; v \; b \; = \;
\textrm{const} </math>
gdzie <math> \theta </math> jest (jak poprzednio) kątem
między wektorem prędkości i wektorem położenia, zaś
<math>b=r\; \sin \theta</math>
nazywamy parametrem zderzenia. Jest to odległość najmniejszego zbliżenia
ciała do O.

==='''Siła centralna'''===

Dla dowolnej siły centralnej, moment siły
(względem źródła):
: <math> \vec{M} \; = \; \vec{r} \times \vec{F} </math>
::<math> = \; \vec{r} \times \vec{i}_r \cdot F(r,\ldots) \; = \; 0 </math>

Moment siły znika, tak więc moment pędu,
liczony względem źródła siły centralnej
pozostaje stały.

:{|border=1 cellpadding=5 cellspacing=5
|<math>\vec{L}</math> = const
|}

==='''Prędkość polowa'''===

Prędkość polowa mówi nam jakie pole wektor wodzący punktu
zakreśla w jednostce czasu
(<math>\frac{dS}{dt}</math>)

<center>
[[image:predkosc_polowa.png]]
</center>

Korzystając ze wzoru na pole trójkąta i przybliżenia
małych kątów:
: <math>dS_{OAB}\! \; = \;\! \frac{1}{2}\; r \; r d\theta
= \frac{1}{2} \;| \vec{r} \times \vec{dr}|
= \frac{1}{2} \;| \vec{r} \times \vec{v} | \; dt </math>

Tym samym prędkość polową możemy wyrazić prez moment pędu:
:<math>\frac{dS}{dt} \; = \; \frac{1}{2}\;| \vec{r} \times \vec{v} |
\; = \; \frac{L}{2\;m } </math>

==='''II prawo Keplera'''===

W przypadku sił centralnych moment siły znika i moment pędu jest zachowany.
Tym samym prędkość polowa musi być stała.

<center>
[[image:keppler.png]]
</center>

'''W ruchu pod działaniem sił centralnych prędkość polowa jest stała.'''

← poprzednia wersja		Wersja z 12:06, 1 cze 2015
Linia 1:		Linia 1:
−		+	__NOTOC__
	<span style="font-size:40px">Zasada zachowania pędu</span><br><br>		<span style="font-size:40px">Zasada zachowania pędu</span><br><br>

FizykaI FMiN/Zasada Zachowania Pedu - Historia wersji

SuperAdmin o 12:06, 1 cze 2015

Tspus: Utworzono nową stronę " Zasada zachowania pędu ==Zasada zachowania pędu== ==='''Układ izolowany'''=== frame..."

Tspus: Utworzono nową stronę " Zasada zachowania pędu

==Zasada zachowania pędu== ==='''Układ izolowany'''=== frame..."