Anula: Utworzono nową stronę "NOTOC ==Wstęp== Większość drgań w rzeczywistych układach fizycznych ma charakter tłumiony. Wynika to z faktu, że prawie zawsze występują opory, np. opór p..."

2015-05-23T22:22:51Z

Utworzono nową stronę "__NOTOC__ ==Wstęp== Większość drgań w rzeczywistych układach fizycznych ma charakter tłumiony. Wynika to z faktu, że prawie zawsze występują opory, np. opór p..."

Nowa strona

__NOTOC__
==Wstęp==
Większość drgań w rzeczywistych układach fizycznych ma charakter tłumiony. Wynika to z faktu, że prawie zawsze występują opory, np. opór powietrza podczas drgań sprężyny lub ruchu wahadła albo opór elektryczny w obwodach elektrycznych. W przypadku oporu powietrza, siła oporu działająca na kulkę o promieniu ''R'' wyraża się wzorem Stokesa:
: <math>\vec F = - 6\pi \eta r \vec v</math>
gdzie ''v'' jest prędkością kulki a <math>\eta</math> współczynnikiem lepkości. Dla powietrza <math>\eta= \unit{1,8\times 10^5}{\frac{kg}{ms}}</math>. W przypadku obwodów elektrycznych spadek napięcia spowodowany oporem elektrycznym ''R'' wynosi:
:<math>U=-IR = -R \ddot Q</math>
W obu przypadkach pojawia się siła oporu proporcjonalna do pochodnej po czasie zmiennej opisującej ruch. Nasze rozważania dotyczące drgań tłumionych ograniczymy do rozważań układów w których występuje siła harmoniczna oraz siła oporu postaci <math>F_{op} = -b \frac{\mathrm d x}{\mathrm d t} = -b v</math>. W takim przypadku równanie opisujące ruch układu jest następujące:
:<math>m\ddot x = -kx -b\dot x</math>
Po prostych przekształceniach i wprowadzeniu oznaczeń: <math>2\beta = \frac b m,\ \omega_0^2 = \frac k m</math>, otrzymujemy równanie różniczkowe:
:<math>\ddot x +2\beta \dot x +\omega_0^2 x=0 </math>
Jest to równanie różniczkowe jednorodne drugiego rzędu o stałych współczynnikach. Tego typu równania rozwiązujemy poszukując rozwiązania postaci: <math>x = Ae^\lambda</math>. Po podstawieniu do równania postulowanego rozwiązania otrzymujemy równanie kwadratowe na parametr <math>\lambda</math>:
:<math>\lambda^2+2\beta\lambda+\omega_0^2=0</math>
W zależności od wielkości parametru tłumienia <math>\beta</math> względem częstości kołowej ruchu swobodnego <math>\omega_0</math> pierwiastki równania kwadratowego przyjmują różne wartości.

===Przypadek 1 <math>(\beta <\omega_0)</math>===
W tym przypadku otrzymujemy dwa pierwiastki o wartościach zespolonych: <math>\lambda_{1,2}=-\beta\pm i\omega</math>, gdzie <math>\omega=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}</math>.
Rozwiązanie równania ruchu jest następujące:

Stałe <math>A_0</math> i <math>\delta</math> wyznaczamy z warunków początkowych. Ten przypadek nazywamy oscylatorem słabo tłumionym. Rozwiązanie ma postać czynnika oscylacyjnego <math>\cos(\omega t +\delta)</math> oraz amplitudy <math>A(t)=A_0e^{-\beta t}</math> która maleje z czasem. Postać zależności <math>x(t)</math> pokazano na rysunku <xr id="fig:rys_1"/>. Zwróćmy uwagę, że obecność siły oporu powoduje zmniejszanie się z czasem amplitudy drgań oraz zmniejszenie się częstości drgań (zwiększenie okresu). Im większa wartość parametru oporu tym szybciej maleje amplituda drgań i tym większy okres drgań: <math>T=\frac{2\pi}{\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}}</math>.
Dla oscylatora harmonicznego słabo tłumionego wprowadzamy następujące wielkości charakteryzujące jego ruch:
<ol type="a">
<li> Czas relaksacji <math>\tau</math> zdefiniowany: <math>\frac{A(t)}{A(t+\tau)}=e</math>, stąd: <math>\tau=\nicefrac 1 \beta</math>.
<li> Logarytmiczny dekrement tłumienia: <math>\Lambda = \ln \frac{A(t)}{A(t+\tau)}=\beta T = \frac b {2m}T</math>.
<li> Dobroć układu drgającego: <math>Q=2\pi\frac{E}{\Delta E(t,t+T)} = \frac\pi\Lambda=\frac \pi{\beta T} = \frac{\pi\tau}T </math>.</ol>
Dla oscylatora harmonicznego swobodnego energia układu jest stała. W przypadku oscylatora tłumionego energia układu musi maleć, ze względu na występowanie siły oporu. Policzmy zatem średnią energię oscylatora tłumionego. Przyjmijmy, że położenie opisane jest funkcją: . Po prostych przekształceniach otrzymujemy prędkość: , gdzie przesunięcie fazowe prędkości względem położenia wynosi: . Na rysunku <xr id="fig:rys_1"/> pokazano dla tego przypadku przykład zależności położenia i prędkości od czasu.
[[Plik:Położenie i prędkość oscylatora harmonicznego słabo tłumionego.png|thumb|<figure id="fig:rys_1"/>Położenie i prędkość oscylatora harmonicznego słabo tłumionego. Obliczenia wykonano dla <math>\beta=0,1</math>, <math>\omega=0,3</math> i <math>\Phi=-0,32</math>.]]

Teraz przystępujemy do policzenia średniej energii układu:
:<math>\langle E_p\rangle=\langle\frac 1 2 k A^2e^{-2\beta t }\cos^2 \omega t\rangle\approx \frac 1 4 k A^2 e^{-2\beta t}</math>
:<math>\langle E_k\rangle=\langle \frac 1 2 m A^2\omega_0^2e^{-2\beta t }\cos^2( \omega t-\Phi)\rangle\approx \frac 1 4 k A^2 e^{-2\beta t}</math>
Przy uśrednianiu założyliśmy, że tłumienie jest bardzo słabe, tzn. amplituda drgań w czasie jednego okresu „prawie” się nie zmienia, co matematycznie oznacza wyłączenie czynnika <math>e^{-2\beta t}</math> przed całkę. Stąd otrzymujemy średnią energię całkowitą układu:<math>\langle E\rangle = \frac 1 2 kA^2 e^{-2\beta t}</math> oraz średnią moc traconą przez układ: <math>\langle P\rangle = \frac{\mathrm \langle E\rangle}{\mathrm dt} = -k\beta A^2e^{-2\beta t}</math>.

Moc traconą przez układ możemy policzyć również w sposób następujący:
:<math>\langle P\rangle = \langle F_{op} v\rangle =\langle bv\cdot v\rangle = \langle -2\beta m A^2 e^{-2\beta t}\omega_0^2\cos^2(\omega t -\Phi)\rangle\approx -\beta k A^2 e^{-2\beta t}</math>
Wyprowadziwszy wzory na energie i moc możemy łatwo policzyć dobroć układu:
:<math>Q = 2\pi \frac{\langle E\rangle}{\langle P\rangle T}=2\pi \frac{\frac 1 2 k A^2 e^{-2\beta t}}{\beta kA^2e^{-2\beta t} T}=\frac{2\pi}{2\beta T}= \frac{\omega}{2\beta}</math>

Kilka typowych wartości dobroci ''Q'':
* Ziemia dla fal sejsmicznych 250-1400
* Struna fortepianu lub skrzypiec 103
* Rezonator mikrofal z wnęką miedzianą 104
* Atom wzbudzony 107
* Jądro wzbudzone 1012

===Przypadek 2 (<math>\beta=\omega_0</math>)===
Ten przypadek nosi nazwę tłumienia krytycznego, gdyż dla tego przypadku układ wraca najszybciej do stanu równowagi.

Rozwiązanie ma postać:
:<math>x= (A+Bt)e^{-\beta t}</math>
Stałe ''A'' i ''B'' wyznaczamy z warunków początkowych. Np. jeśli warunki początkowe są następujące: <math>x(t=0)=x_0,\ v(t=0)=0</math>, to rozwiązanie ma postać (rysunek <xr id="fig:rys_2"/>):
:<math>x=x_0(1+\beta t)e^{-\beta t}</math>
Natomiast jeśli układ w chwili początkowej był w położeniu równowagi <math>(x(t=0)=0)</math> i nadano mu pewną prędkość to rozwiązanie jest następujące (rysunek <xr id="fig:rys_3"/>):
:<math>x=V_0te^{-\beta t}</math>
[[Plik:Wychylenie z położenia równowagi oscylatora tłumionego krytycznie1.png|thumb|<figure id="fig:rys_2"/> Wychylenie z położenia równowagi oscylatora tłumionego krytycznie w funkcji czasu dla <math>x_0=\unit{1}{cm},\ x(t=0)=x_0,\ v(t=0)=0.</math>]]
[[Plik:Wychylenie z położenia równowagi oscylatora tłumionego krytycznie2.png|thumb|<figure id="fig:rys_3"/>Wychylenie z położenia równowagi oscylatora tłumionego krytycznie w funkcji czasu dla <math>x(t=0)=0,\ v(t=0)\neq</math>0.]]

===Przypadek 3 <math>(\beta>\omega_0)</math>===
Ten przypadek nosi nazwę tłumienia silnego. Rozwiązanie jest sumą dwóch funkcji wykładniczych:
:<math>x(t)=A_1e^{\lambda_1t}+A_2e^{\lambda_2t}</math>
gdzie <math>\lambda_{1,2} = -\beta \pm\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}</math>.
==Obwód RLC==
Identyczne równania (i przypadki) otrzymujemy dla obwodów elektrycznych składających się z połączonych szeregowo: opornika o oporze ''R'', kondensatora o pojemności ''C'' i cewki o indukcyjności ''L'':
:<math>\frac{\mathrm d^2Q}{\mathrm dt^2} + \frac RL +\frac 1{LC} Q = 0</math>
Dla przypadku <math>\frac1{LC}>\frac{R^2}{4L^2}</math> (oscylator słabo tłumiony) rozwiązanie jest następujące:
:<math>Q=Q_0e^{-\beta t}\cos(\omega t+\delta)\;</math>
gdzie:
:<math>\omega = \sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}</math>.

Fizyka III/Drgania tłumione - Historia wersji

Anula: Utworzono nową stronę "__NOTOC__ ==Wstęp== Większość drgań w rzeczywistych układach fizycznych ma charakter tłumiony. Wynika to z faktu, że prawie zawsze występują opory, np. opór p..."

Anula: Utworzono nową stronę "NOTOC ==Wstęp== Większość drgań w rzeczywistych układach fizycznych ma charakter tłumiony. Wynika to z faktu, że prawie zawsze występują opory, np. opór p..."