Anula: Utworzono nową stronę "NOTOC Rozpatrujemy teraz układ w którym oprócz siły harmonicznej i siły oporu działa również siła (zwana siłą wymuszającą), która ma postać: $F_{..."$

2015-05-23T22:24:55Z

Utworzono nową stronę "__NOTOC__ Rozpatrujemy teraz układ w którym oprócz siły harmonicznej i siły oporu działa również siła (zwana siłą wymuszającą), która ma postać: <math>F_{..."

Nowa strona

__NOTOC__
Rozpatrujemy teraz układ w którym oprócz siły harmonicznej i siły oporu działa również siła (zwana siłą wymuszającą), która ma postać: <math>F_{wym}=F_0\cos(\Omega t)</math>. Równanie ruchu jest wówczas następujące:
:<math>m\frac{\mathrm d^2 x}{\mathrm dt^2} +b\frac{\mathrm d x}{\mathrm dt}+kx = F_0\cos(\Omega t)</math>.
Po podzieleniu przez masę i wprowadzeniu oznaczenia <math>f_0=\frac{F_0}{m}</math> otrzymujemy:
:<math>\ddot x +2\beta \dot x + \omega_0^2x = f_0\cos(\Omega t)</math>.
Jest to równanie niejednorodne, którego rozwiązaniem ogólnym jest suma rozwiązania równania jednorodnego i rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego:
:<math>x(t)=x_j(t)+x_s(t)</math>.
Rozwiązanie równania jednorodnego dyskutowaliśmy w poprzednim rozdziale. Zajmijmy się na początek przypadkiem, gdy nie ma siły oporu. Wówczas musimy rozwiązać równanie:
:<math>\ddot x + \omega_0^2x = f_0\cos(\Omega t)</math>.
Rozwiązanie jednorodne możemy zapisać:
:<math>x_j(t)=C_1\cos(\omega_0t)+C_2\sin(\omega t)</math>.
Rozwiązanie szczególne szukamy korzystając z metody uzmiennia stałych:
:<math>x_s(t)=C_1(t)\cos(\omega_0t)+C_2(t)\sin(\omega t)</math>
gdzie:
:<math>C_1(t) = -\frac 1 {m\omega_0}\int_0^tF(\tau)\sin(\omega_0\tau)\mathrm d\tau +A_1</math>
:<math>C_2(t) = -\frac 1 {m\omega_0}\int_0^tF(\tau)\cos(\omega_0\tau)\mathrm d\tau +A_2</math>.
Ostatecznie uwzględniając warunki początkowe: <math>x(t=0)=x_0\ \mathrm{i}\ v(t=0)=v_0</math> otrzymujemy rozwiązanie:
:<math>x(t)=\left(x_0-\frac{f_0}{\omega_0^2-\Omega^2}\right)\cos\omega_0t+\frac{v_0}{\omega_0}\sin\omega_0t+ \frac{f_0}{\omega_0^2-\Omega^2}\cos\Omega t</math>.
Zwróćmy uwagę, że jeśli <math>x_0</math> i <math>v_0</math> są równe zeru, to rozwiązanie jest następujące:
:<math>x(t)=\frac{f_0}{\omega_0^2-\Omega^2}\left(\cos\Omega t -\cos\omega_0t\right)=-\frac{f_0}{\omega_0^2-\Omega^2}\sin\frac{\Omega-\omega_0}{2}t\sin\frac{\Omega+\omega_0}{2}t</math>.
Jeśli częstość kołowa siły wymuszającej <math>\Omega</math> jest bliska częstości drgań swobodnych układu <math>\omega_0</math> to rozwiązanie jest złożeniem drgań o dwóch częstościach, częstości bliskiej <math>\omega</math> oraz częstości bardzo małej <math>\frac{\Omega-\omega_0}{2}</math>. Drgania o małej częstości nazywamy dudnieniami. Postać drgań pokazano na rysunku <xr id="fig:rys_1"/>.

[[Plik:Drgania oscylatora harmonicznego wymuszonego – złożenie drgań harmonicznych o bliskich częstościach (dwa górne wykresy) prowadzi do dudnień (dolny wykres).png|thumb|<figure id="fig:rys_1"/>Drgania oscylatora harmonicznego wymuszonego – złożenie drgań harmonicznych o bliskich częstościach (dwa górne wykresy) prowadzi do dudnień (dolny wykres).]]
Dla częstości siły wymuszającej <math>\Omega=\omega_0</math> występuje tzw. rezonans. Amplituda drgań rośnie do nieskończoności, co możemy łatwo zauważyć:
:<math>x(t)\longrightarrow_{\Omega\rightarrow \omega_0} \frac{2f_0\cos\left(\frac{\Omega-\omega_0}{2}t\right)\frac 1 2 t}{2\Omega}\sin\left(\frac{\Omega+\omega_0}{2}t\right)\longrightarrow_{\Omega\rightarrow \omega_0}\frac{F_0t}{2m\Omega}\sin\omega_0t</math>.
W tym przypadku nawet jeśli amplituda siły wymuszającej <math>F_0</math> jest bardzo mała, to i tak po dostatecznie długim czasie amplituda drgań będzie ogromna. Dlatego inżynierowie projektujący urządzenia, mosty, samoloty, etc. muszą uwzględniać zjawisko rezonansu w planowanych konstrukcjach.

Powszechnie wiadomo, że żołnierze przechodząc przez most nie maszerują “równym” krokiem, żeby nie wzbudzić drgań. Bardzo znany jest przypadek mostu Tacoma Bridge w USA, który wzbudzony do drgań przez wiejący wiatr zawalił się w 1943r w 4 miesiące i sześć dni po jego otwarciu. Częstotliwość rezonansowa wynosiła 0.2 Hz.

Rozpatrywany wyżej przykład jest “wyidealizowany”. W rzeczywistych układach zwykle działa siła oporu. Wracamy więc do przypadku ogólnego, tj. oscylatora harmonicznego wymuszonego z siłą tłumiącą. Skupmy uwagę na przypadku słabego tłumienia, a więc gdy rozwiązanie jednorodne jest postaci: <math>x_j(t)=A_0e^{-\beta t}\cos(\omega t +\Phi)</math>. Rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego będziemy poszukiwać, używając liczb zespolonych, tj. postulując rozwiązanie w formie: <math>z=Ae^{i\Omega t}</math>. Rozwiązanie rzeczywiste (“prawdziwe”) otrzymamy biorąc część rzeczywistą ''z'', tzn. <math>x=\mathrm{Re}(z)</math>. Równanie ruchu w postaci zespolonej jest postaci:
:<math>\ddot z +2\beta\dot z+\omega_0^2z =\hat{f}</math>,
gdzie: <math>\hat f = f_0e^{i\Omega t}</math>. Podstawiając postulowane rozwiązanie do równania, po prostych przekształceniach otrzymujemy rozwiązanie szczególne:
:<math>x_s= \frac{f_0}{\sqrt{(\omega_0^2-\Omega^2)+4\beta^2\Omega^2}}\cos(\Omega t +\Phi)</math>
gdzie: <math>\tg\Phi = -\frac{2\beta\Omega}{\omega_0^2-\Omega^2}</math>. Widzimy, że rozwiązanie szczególne odpowiada drganiom układu z częstością siły wymuszającej. Ruch jest jednak przesunięty w fazie względem tej siły. Czasami rozwiązanie szczególne przedstawiane jest w następującym zapisie:
:<math>x_s=\frac{f_0(\omega_0^2-\Omega^2)}{(\omega_0^2-\Omega^2)^2+4\beta^2\Omega^2}\cos\Omega t +\frac{2\beta\Omega f_0}{(\omega_0^2-\Omega^2)^2+4\beta^2\Omega^2}\sin(\Omega t)</math>.
Stała przed cosinusem nosi nazwę amplitudy elastycznej, natomiast stała przed sinusem amplitudy absorpcyjnej.
Pełne rozwiązanie rozpatrywanego problemu jest następujące:
:<math>x=A_0e^{-\beta t}\cos(\omega t +\phi) +A\cos(\Omega t +\Phi)</math>
gdzie amplituda: <math>A=\frac{f_0}{\sqrt{(\omega_0^2-\Omega^2)^2+4\beta^2\Omega^2}}</math>.
Zwróćmy uwagę, że pierwszy składnik rozwiązania zanika z czasem. Po dostatecznie długim czasie składnik ten można pominąć i w rozwiązaniu ogólnym pozostaje tylko rozwiązanie szczególne. Mówimy, że w takim przypadku układ osiąga stan stacjonarny, a rozwiązanie opisujące ten stan nazywamy rozwiązaniem stacjonarnym. Amplituda ''A'' zależy od współczynnika tłumiącego <math>\beta</math> oraz częstości siły wymuszającej <math>\Omega</math>. Łatwo można policzyć, że amplituda osiąga maksimum dla częstości siły wymuszającej: <math>\Omega_r=\sqrt{\omega_0^2-2\beta^2}</math>. Im współczynnik tłumienia większy tym amplituda mniejsza, a jej maksimum bardziej przesunięte w stronę mniejszych częstości względem <math>\omega_0</math>

[[Plik:Amplituda drgań w funkcji częstości_1.png|thumb|<figure id="fig:rys_2"/> Amplituda drgań w funkcji częstości <math>\Omega</math> dla <math>\omega_0=1</math>, <math>f_0=1</math>, <math>\beta=0,1</math> i <math>\beta=0,3</math>.]]
Prędkość wymuszonego oscylatora harmonicznego tłumionego z kolei opisana jest wzorem:
:<math>\dot x = -A\Omega \sin(\Omega t+\Phi)</math>.
Łatwo możemy policzyć, że amplituda prędkości osiąga maksymalną wartość dla częstości siły wymuszającej: . W tym przypadku częstość rezonansowa nie zależy od współczynnika tłumienia. Na rysunku <xr id="fig:rys_2"/> i <xr id="fig:rys_3"/> pokazano zależność amplitudy położenia i prędkości od częstości siły wymuszającej.

[[Plik:Amplituda prędkości Av w funkcji częstości.png|thumb|<figure id="fig:rys_3"/> Amplituda prędkości <math>A(v)</math> w funkcji częstości <math>\Omega</math> dla <math>\omega_0=1</math>, <math>f_0=1</math>, <math>\beta=0,1</math> i <math>\beta=0,3</math>.]]
[[Plik:Średnia moc dostarczana przez siłę wymuszającą w funkcji częstości.png|thumb|<figure id="fig:rys_4"/> Średnia moc dostarczana przez siłę wymuszającą w funkcji częstości <math>\Omega</math> dla <math>\omega_0=1</math>, <math>\frac{F_0^2}{2m}=1</math>, <math>\beta=0,1</math> i <math>\beta=0,3</math>.]]
Dokonajmy teraz analizy mocy dostarczanej przez siłę wymuszającą do układu dla stanu stacjonarnego. Moc ta zdefiniowana jest następująco:<math>P_{wym}=F_{wym}\cdot x</math>. Podstawiając do tego wzoru rozwiązanie i licząc średnią po okresie drgań otrzymujemy wyrażenie:
:<math>\langle P_{wym}\rangle = \frac{F_0^2}{2m}\frac{2\beta\Omega^2}{4\beta^2\Omega^2+(\omega_0^2-\Omega^2)^2}</math>
W analogiczny sposób możemy policzyć średnią moc traconą przez układ w związku z występowaniem siły oporu <math>\left(P_{op}(t)=\frac{\mathrm d E}{\mathrm dt}=\frac{F_t\mathrm dx}{\mathrm dt}=-b\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt} \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=-2\beta m \left(\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\right)^2\right)</math>:
:<math>\langle P_{op}(t) \rangle = -\frac 1 2 \frac{F_0^2}{m}\frac{2\beta\Omega^2}{4\beta^2\Omega^2+(\omega_0^2-\Omega^2)^2}</math>
Otrzymaliśmy wyrażenie identyczne jak na średnią moc dostarczaną do układu, ale ze znakiem ujemnym. Oznacza to, ze w stanie stacjonarnym średnia moc układu (suma mocy dostarczanej do układu przez siłę wymuszającą i mocy traconej przez układ) wynosi zero, a więc średnia energia układu jest stała.

Zależność średniej mocy dostarczanej do układu przez siłę wymuszającą pokazano na rysunku <xr id="fig:rys_4"/>. Widzimy, że rezonans mocy (maksymalna wartość) występuje dla częstości siły wymuszającej: <math>\Omega_r=\omega_0</math>.

Na koniec rozważań dotyczących oscylatora wymuszonego dodajmy, że dla obwodów elektrycznych składających się ze zmiennego źródła napięcia <math>U(t)=U_0\cos\Omega t</math> oraz opornika o oporze ''R'', cewki o indukcyjności ''L'' i kondensatora o pojemności ''C'' połączonych szeregowo (patrz rysunek <xr id="fig:rys_5"/>) otrzymujemy analogiczne rozwiązania na ładunek na kondensatorze, ''Q'' oraz prąd płynący w obwodzie, I jak rozpatrywane wyżej rozwiązania na położenie i prędkość:
[[Plik:Obwód elektryczny ze źródłem zmiennego napięcia.png|thumb|<figure id="fig:rys_5"/>Obwód elektryczny ze źródłem zmiennego napięcia.]]
:<math>Q=A\cos(\Omega t+\Phi)\;</math>
:<math>I=\dot Q = -A\Omega \sin(\Omega t+\Phi)</math>
gdzie: <math>A=\frac{U_0}{\sqrt{(\Omega L-\frac 1 {\Omega}{C})^2+R^2}}</math>, <math>\Phi =\mathrm{arctg}\frac{-\frac{R}{L}\Omega}{\frac 1 {LC}-\Omega^2}</math>.

Fizyka III/Drgania wymuszone - Historia wersji

Anula: Utworzono nową stronę "__NOTOC__ Rozpatrujemy teraz układ w którym oprócz siły harmonicznej i siły oporu działa również siła (zwana siłą wymuszającą), która ma postać: F_{..."

Anula: Utworzono nową stronę "NOTOC Rozpatrujemy teraz układ w którym oprócz siły harmonicznej i siły oporu działa również siła (zwana siłą wymuszającą), która ma postać: $F_{..."$