Anula: Utworzono nową stronę "Dla fal rozchodzących się w strunie lub fal dźwiękowych rozchodzących się w ośrodkach ciągłych funkcja falowa spełnia klasyczne równanie falowe. W tych przypa..."

2015-05-25T14:03:36Z

Utworzono nową stronę "Dla fal rozchodzących się w strunie lub fal dźwiękowych rozchodzących się w ośrodkach ciągłych funkcja falowa spełnia klasyczne równanie falowe. W tych przypa..."

Nowa strona

Dla fal rozchodzących się w strunie lub fal dźwiękowych rozchodzących się w ośrodkach ciągłych funkcja falowa spełnia klasyczne równanie falowe. W tych przypadkach, a więc dla ośrodków w których spełnione jest klasyczne równanie falowe, prędkość rozchodzenia się fali jest stała, nie zależy od częstotliwości (długości fali) <math>v=\frac\omega k=\mathrm{const}</math>. Takie ośrodki nazywamy ośrodkami bezdyspersyjnymi.

Z kolei dla fal na wodzie czy fal elastycznych w kryształach związki dyspersyjne nie są liniowe:
#Fale w ośrodkach o strukturze periodycznej; <math>\omega=2\sqrt{\frac\alpha m}|\sin\frac{ka}2|</math>.
#Fale na wodzie; <math>\omega^2=\left(gk+\frac{\sigma k^2}{h\rho}\right)\mathrm{tgh}(kh)</math>.
Przykładów nieliniowych związków dyspersyjnych jest więcej. W tych przypadkach prędkość fazowa fali zdefiniowana jako <math>v_s=\frac \omega k</math> nie jest stała i zależy od częstotliwości fali (długości fali). '''Ośrodek w którym prędkość fazowa zależy od długości fali nazywamy ośrodkiem dyspersyjnym'''.

Do tej pory zajmowaliśmy się falami harmonicznymi, ale jak wspominaliśmy na początku rozważań o falach, fale mogą się rozchodzić również w postaci impulsów (paczek falowych), jak np. pokazany na rysunku <xr id="fig:rys_1"/>.

Matematycznie impuls możemy przedstawić jako złożenie fal harmonicznych o ciągłym widmie, czyli w postaci:
:<math>\Psi(z,t)=\int_{-\infty}^{+\infty} c(k)e^{i(kz-\omega(k)t)}\mathrm dk</math>,
gdzie widmo <math>c(k)</math> możemy wyznaczyć ze znajomości kształtu impulsu w chwili początkowej: <math>c(k)=\frac 1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi(z,0)e^{-kz}\mathrm dz</math>.

Paczka falowa jest superpozycją wielu fal harmonicznych z zakresu tym większego, im paczka jest węższa.

Jeśli impuls rozchodzi się w ośrodku bezdyspersyjnym, to nie zmienia kształtu, ponieważ wszystkie fale z których jest zbudowany rozchodzą się z taką samą prędkością. Natomiast w ośrodku dyspersyjnym fale harmoniczne tworzące impuls rozchodzą z różnymi prędkościami i dlatego kształt impulsu ulega zmianie. Ten efekt prześledźmy na przykładzie ewolucji impulsu „gaussowskiego”, pokazanego na rysunku <xr id="fig:rys_1"/> rozchodzącego się w ośrodku o zależności dyspersyjnej: <math>\omega=\omega_0+\alpha k^2\;</math>.

Przyjmijmy następujące warunki początkowe:
:<math>\Psi(z,0)=e^{-\frac{z^2}{2L^2}}\cos k_0z</math>,

:<math>\frac{\partial\Psi}{\partial t}(z,0)=0</math>.

[[Plik:Gaussowska paczka falowa.png|thumb|<figure id="fig:rys_1"/>Gaussowska paczka falowa.]]
Uwzględniając warunki początkowe znajdujemy:
:<math>c(k)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi(z,0)e^{-ikz}\mathrm dz=\sqrt{2\pi}Le^{-\frac{L^2}{2}(k-k_0)^2}</math>,
a następnie postać biegnącego impulsu:
:<math>\Psi(z,t)=\int_{-\infty}^{+\infty}c(k)e^{i(kz-\omega(k)t)}\mathrm dk</math>

:<math>A(z,t)=\frac L\sqrt\sigma e^{-\frac{(z-2\alpha k_0t)^2}{2\sigma^2}}</math>,
gdzie:
:<math>\sigma=\sqrt{L^2+\frac{2\sigma^2t^2}{L^2}}</math>.
Na rysunku <xr id="fig:rys_2"/> pokazano ewolucję impulsu dla dwóch wartości parametru ''L'' (czyli szerokości impulsu). Widać, że kształt impulsu ulega zmianie, przy czym wąski impuls szybko się „rozmywa”. Jest to związane z tym, ze wąski impuls zbudowany jest z bardzo szerokiego widma fal harmonicznych. Fale te rozchodzą się z prędkościami z szerokiego zakresu, dlatego kształt impulsu szybko się zmienia.

Dla paczek falowych rozchodzących się w ośrodkach dyspersyjnych wprowadza się dwa rodzaje prędkości:
#Prędkość fazową: <math>v_f=\frac \omega k</math>. Wielkość ta opisuje prędkość rozchodzenia się punktów stałej fazy.
#Prędkość grupową zdefiniowaną: <math>v_g=\frac{\mathrm d\omega}{\mathrm dk}</math>. Wielkość ta opisuje prędkość punktów stałej amplitudy (a więc prędkość środka ciężkości paczki falowej).
W ogólnym przypadku prędkość grupowa może być większa, równa lub mniejsza w stosunku do prędkości fazowej. W ośrodku bezdyspersyjnym: <math>v_f=v_g\;</math>.
[[Plik:Ewolucja impulsu gaussowskiego (szerokiego – rysunek górny, wąskiego – rysunek dolny).png|thumb|center|<figure id="fig:rys_2"/>Ewolucja impulsu gaussowskiego (szerokiego — rysunek górny, wąskiego — rysunek dolny).]]

Fizyka III/Ośrodki dyspersyjne - Historia wersji

Anula: Utworzono nową stronę "Dla fal rozchodzących się w strunie lub fal dźwiękowych rozchodzących się w ośrodkach ciągłych funkcja falowa spełnia klasyczne równanie falowe. W tych przypa..."