Anula: Utworzono nową stronę "NOTOC ==Wstęp== Ze składaniem drgań harmonicznych zetknęliśmy się w poprzednim rozdziale, np. gdy mówiliśmy o oscylatorze wymuszonym. W przypadku braku tłum..."

2015-05-23T22:27:46Z

Utworzono nową stronę "__NOTOC__ ==Wstęp== Ze składaniem drgań harmonicznych zetknęliśmy się w poprzednim rozdziale, np. gdy mówiliśmy o oscylatorze wymuszonym. W przypadku braku tłum..."

Nowa strona

__NOTOC__
==Wstęp==
Ze składaniem drgań harmonicznych zetknęliśmy się w poprzednim rozdziale, np. gdy mówiliśmy o oscylatorze wymuszonym. W przypadku braku tłumienia mieliśmy do czynienia ze zjawiskiem dudnień, natomiast gdy występuje siła oporu rozwiązanie jest postaci: <math>x(t) = Ae^{-\beta t }\cos(\omega t +\phi)+A\cos(\Omega t +\Phi)</math>. Jak widzimy na powyższym przykładzie obowiązuje zasada superpozycji: wychylenie z położenia równowagi jest sumą wychyleń wywołanych przez poszczególne czynniki osobno. Zasada ta wynika z liniowości związku miedzy wychyleniem a siłą (oscylator harmoniczny).

Przejdźmy teraz do składania drgań odbywających się wzdłuż osi prostopadłych. Załóżmy następujące drgania:
:<math>x = a\cos\omega t</math>
:<math>y=b\cos(\omega t+\delta)</math>
Oba drgania harmoniczne odbywają się z tą samą częstością, ale są przesunięte w fazie o <math>\delta</math>. Po prostych przekształceniach otrzymujemy ogólne równanie elipsy:
:<math>\frac{y^2}{b^2}+\frac{x^2}{a^2}-\frac{2xy}{ab}\cos\delta = \sin^2\delta</math>
W zależności od wartości przesunięcia fazowego ruch odbywa się po prostej lub po elipsie, np. Jeśli <math>\delta = 0,\pm\pi,\pm 2\pi,\ldots</math>, to ruch opisany jest równaniem:
:<math>\left(\frac y b\mp\frac x a \right)^2=0</math>,
czyli równaniem prostej: <math>y=\mp \frac b a x</math>. Z kolei jeśli <math>\delta = \pm \frac \pi 2</math> to otrzymujemy równanie elipsy współosiowej z układem współrzędnych: <math>\frac{y^2}{b^2}+\frac{x^2}{a^2}=1</math>. Ciekawą sytuację mamy gdy częstości składanych drgań harmonicznych są różne. W takim przypadku otrzymujemy tzw. '''Figury Lissajoux''', których przykład pokazano na rysunku <xr id="fig:rys_1"/>. Jeśli spełniony jest warunek: <math>\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac k l</math>, gdzie ''k'' i ''l'' są liczbami naturalnymi to krzywe opisujące ruch są krzywymi zamkniętymi.

[[Plik:Przykłady figur Lissajoux dla różnych stosunków częstości oraz przesunięcia fazowego.png|thumb|<figure id="fig:rys_1"/>Przykłady figur Lissajoux dla różnych stosunków częstości oraz przesunięcia fazowego]]
W przypadku składania drgań harmonicznych niezwykle pomocne jest twierdzenie Fouriera. Mówi ono, że dowolne drgania periodyczne o okresie ''T'' opisane funkcją <math>x=f(t)=f(t+T)</math> można rozłożyć na nieskończony zbieżny szereg drgań harmonicznych o częstotliwościach będących wielokrotnością częstotliwości podstawowej:
:<math>f(t)=\Sigma_{n=0}^\infty</math>,
gdzie: <math>\omega = \frac{2\pi}{T}</math>. Natomiast stałe w rozwinięciu wyznaczamy w oparciu o wzory:
:<math>B_0=\frac 1 T \int_0^T f(t)dt</math>
:<math>A_m =\frac 2 T\int_0^Tf(t)\sin m\omega t\mathrm dt</math>
:<math>B_m = \frac 2 T\int_0^Tf(t)\cos m\omega t\mathrm dt</math>

Dzięki temu twierdzeniu np. dowolną periodyczną siłę wymuszającą (źródło napięcia zmiennego w obwodzie elektrycznym) możemy przedstawić za pomocą składowych harmonicznych, a jak rozwiązywać problem harmonicznej siły wymuszającej nauczyliśmy się w poprzednim rozdziale.
===Przykład===
Na koniec przykład. Rozwińmy na szereg Fouriera funkcję w kształcie piły. Wynik rozwinięcia jest następujący:
[[Plik:Rozwinięcie funkcji “piła” na szereg Fouriera.png|thumb|<figure id="fig:rys_2"/>Rozwinięcie funkcji “piła” na szereg Fouriera dla A=1 i <math>\omega=1</math>]].
:<math>f(t)=A\left(\frac{1}{1^2}\sin\omega t -\frac{1}{3^2}\sin3\omega t +\frac{1}{5^2}\sin5\omega t -\ldots\right)</math>
Widzimy, że współczynniki stojące przy funkcjach sinus maleją ze wzrostem częstości. Na rysunku <xr id="fig:rys_2"/> pokazano złożenie trzech pierwszych składników tego rozwinięcia. Ograniczenie tylko do tych wyrazów zupełnie dobrze odtwarza kształt funkcji, aczkolwiek w przypadku kształtów mających “ostre” kanty całkowite odtworzenie kształtu wymaga uwzględnienia praktyczne wszystkich składników rozwinięcia.

Fizyka III/Składanie drgań harmonicznych - Historia wersji

Anula: Utworzono nową stronę "__NOTOC__ ==Wstęp== Ze składaniem drgań harmonicznych zetknęliśmy się w poprzednim rozdziale, np. gdy mówiliśmy o oscylatorze wymuszonym. W przypadku braku tłum..."

Anula: Utworzono nową stronę "NOTOC ==Wstęp== Ze składaniem drgań harmonicznych zetknęliśmy się w poprzednim rozdziale, np. gdy mówiliśmy o oscylatorze wymuszonym. W przypadku braku tłum..."