Anula: Utworzono nową stronę "NOTOC ===Wstęp=== Ruch po okręgu jest najprostszym przypadkiem płaskich ruchów krzywoliniowych. Do jego opisu dla wygody zastosowaliśmy biegunowy układ współ..."

2015-05-22T21:48:21Z

Utworzono nową stronę "__NOTOC__ ===Wstęp=== Ruch po okręgu jest najprostszym przypadkiem płaskich ruchów krzywoliniowych. Do jego opisu dla wygody zastosowaliśmy biegunowy układ współ..."

Nowa strona

__NOTOC__
===Wstęp===
Ruch po okręgu jest najprostszym przypadkiem płaskich ruchów krzywoliniowych. Do jego opisu dla wygody zastosowaliśmy biegunowy układ współrzędnych. Skorzystaliśmy przy tym z pewnego uproszczenia — w ruchu po okręgu, odległość obiektu od środka układu współrzędnych pozostaje stała. W przypadku ogólnym odległość ta jednak może się zmieniać i taką sytuację rozważymy w poniższym rozdziale.

Uwaga, zakładamy że wektor położenia (<math>\vec{r}</math>)), obydwie współrzędne wektora położenia w układzie biegunowym (<math>\vec{\rho}</math> i <math>\vec{\phi}</math>), prędkość oraz przyspieszenie zależą od czasu. Aby jednak uprościć od strony graficznej zapis, we wszystkich poniższych wzorach nie występują jawnie zależności od czasu.
Wektor położenia w układzie biegunowym może wyrazić w następujący sposób:
<equation id="eq:eq1">
<math>
\vec{r} = \rho\vec{e}_\rho(\phi)
</math>
</equation>
Prędkość jest pochodną wektora położenia po czasie. Zgodnie z zasadami różniczkowania wielkości wektorowych, liczymy pochodną długości wektora po czasie oraz pochodną wersora po czasie. Proszę zauważyć, iż w porównaniu z kartezjańskim układem współrzędnych, w którym wersory były zawsze równoległe do osi układu, w biegunowym układzie współrzędnych wersory <math>\vec{e}_\rho</math> i <math>\vec{e}_\phi</math> zmieniają swój kierunek.
<equation id="eq:eq2">
<math>
\vec{V} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d\rho}{dt}\vec{e}_\rho+\rho\frac{d\vec{e}_\rho}{dt}
</math>
</equation>
Pochodną wersora <math>\vec{e}_\rho</math> po czasie obliczymy, korzystając z rozłożenia tego wersora na składowe w układzie kartezjańskim (wzór[[FZ:Kinematyka_część_II#label—eq:11|11 z poprzedniego rozdziału (ruch po okręgu)]]).
<equation id="eq:eq3">
<math>
\vec{e}_\rho= [\cos(\phi)\vec{e}_x + \sin(\phi)\vec{e}_y]
</math>
</equation>
Po obliczeniu pochodnej wektora <math>\vec{e}_\rho</math> dostajemy:

<equation id="eq:eq4">
<math>
\frac{d\vec{e}_\rho}{dt} = \frac{d}{dt}[\cos(\phi)\vec{e}_x + \sin(\phi)\vec{e}_y] = -\frac{d\phi}{dt}\sin(\phi)\vec{e}_x + \frac{d\phi}{dt}\cos(\phi)\vec{e}_y = \frac{d\phi}{dt}[-\sin(\phi)\vec{e}_x+\cos(\phi)\vec{e}_y]=\frac{d\phi}{dt}\vec{e}_\phi
</math>
</equation>
Podstawiając wzór (<xr id="eq:eq4"> %i</xr>) do wzoru <xr id="eq:eq2"> %i</xr> ostatecznie dostajemy:
<equation id="eq:eq5">
<math>
\vec{V}=\frac{d\rho}{dt}\vec{e}_\rho+\rho\frac{d\phi}{dt}\vec{e}_\phi=V_\rho\vec{e}_\rho+V_\phi\vec{e}_\phi
</math>
</equation>

Jak można zauważyć, w układzie biegunowym wektor prędkości posiada dwie składowe:
* <math>V_\rho\vec{e}_\rho</math> — prędkość radialna,<br>
* <math>V_\phi\vec{e}_\phi</math> — prędkość transwersalna (styczną do toru).

W analogiczny do sposób obliczymy przyspieszenie w układzie biegunowym. Z definicji przyspieszenie to pochodna prędkości po czasie.
<equation id="eq:eq6">
<math>
\vec{a}=\frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = \frac{d\vec{V}}{dt} = \frac{d}{dt}[V_\rho\vec{e}_\rho+V_\phi\vec{e}_\phi] = \frac{d^2\rho}{dt^2}\vec{e}_\rho+\frac{d\rho}{dt}\frac{d\vec{e}_\rho}{dt}+\frac{d\rho}{dt}\frac{d\phi}{dt}\vec{e}_\phi+\rho\frac{d^2\phi}{dt^2}\vec{e}_\phi+\rho\frac{d\phi}{dt}\frac{d\vec{e}_\phi}{dt}
</math>
</equation>
Pochodną wersora <math>\vec{e}_\phi</math> po czasie, znajdziemy korzystając z rozłożenia tego wersora na składowe w kartezjańskim układzie współrzędnych.
<equation id="eq:eq7">
<math>
\frac{d\vec{e}_\phi}{dt} = \frac{d}{dt}[-\sin(\phi)\vec{e}_x + \cos(\phi)\vec{e}_y] = -\frac{d\phi}{dt}\cos(\phi)\vec{e}_x - \frac{d\phi}{dt}\sin(\phi)\vec{e}_y = -\frac{d\phi}{dt}[\cos(\phi)\vec{e}_x+\sin(\phi)\vec{e}_y]=-\frac{d\phi}{dt}\vec{e}_\rho
</math>
</equation>
Po podstawieniu wyniku ze wzoru (<xr id="eq:eq7"> %i</xr>) do wzoru <xr id="eq:eq6"> %i</xr> dostajemy:
<equation id="eq:eq8">
<math>
\vec{a} = \frac{d^2\rho}{dt^2}\vec{e}_\rho+2\frac{d\rho}{dt}\frac{d\phi}{dt}\vec{e}_\phi+\rho\frac{d^2\phi}{dt^2}\vec{e}_\phi+\rho(\frac{d\phi}{dt})^2\vec{e}_\rho = (\frac{d^2\rho}{dt^2}-\rho(\frac{d\phi}{dt})^2)\vec{e}_\rho+(2\frac{d\rho}{dt}\frac{d\phi}{dt}+\rho\frac{d^2\phi}{dt^2})\vec{e}_\phi
</math>
</equation>
Podobnie jak prędkość, przyspieszenie w układzie biegunowym możemy rozłożyć na składową radialną oraz transwersalną:
* <math>(\frac{d^2\rho}{dt^2}-\rho(\frac{d\phi}{dt})^2)\vec{e}_\rho</math> — przyspieszenie radialne,
* <math>(2\frac{d\rho}{dt}\frac{d\phi}{dt}+\rho\frac{d^2\phi}{dt^2})\vec{e}_\rho</math> — przyspieszenie transwersalne.

==Zadanie 1.==

[[Plik:kinematyka_narciarz.png|200px|thumb|right|<figure id="fig:1"/> Ilustracja do [[#Zadanie 1.|zadania 1]].]]
Rozważyć ruch narciarza na torze przedstawionym na rysunku <xr id="fig:1"> %i</xr>. Narysować wektory przyspieszenia w punktach toru B, D, E i F.

==Zadanie 2.==
"Teoria lotu ćmy". Ćma leci ze stałą prędkością, która tworzy stały kąt pomiędzy kierunkiem lotu a promieniem światła. Znaleźć tor lotu ćmy.

Fizyka I FM/Kinematyka3 - Historia wersji

Anula: Utworzono nową stronę "__NOTOC__ ===Wstęp=== Ruch po okręgu jest najprostszym przypadkiem płaskich ruchów krzywoliniowych. Do jego opisu dla wygody zastosowaliśmy biegunowy układ współ..."

Anula: Utworzono nową stronę "NOTOC ===Wstęp=== Ruch po okręgu jest najprostszym przypadkiem płaskich ruchów krzywoliniowych. Do jego opisu dla wygody zastosowaliśmy biegunowy układ współ..."