Funkcje i granice - Historia wersji

RobertJB: /* Wartość funkcji wykładniczej dla argumentów niewymiernych */

2020-07-09T11:24:12Z

Wartość funkcji wykładniczej dla argumentów niewymiernych

RobertJB: /* Twierdzenie dla funkcji nierosnących lub niemalejących i oraniczonych */

2020-07-09T11:18:04Z

Twierdzenie dla funkcji nierosnących lub niemalejących i oraniczonych

RobertJB: /* Twierdzenie */

2020-07-09T11:15:45Z

Twierdzenie

RobertJB: /* Przykład */

2020-07-09T11:14:49Z

Przykład

RobertJB: /* Przykład */

2020-07-09T11:14:08Z

Przykład

RobertJB: /* Przykład (c.d.) */

2020-07-09T11:09:26Z

Przykład (c.d.)

RobertJB: /* Przykład */

2020-07-09T11:08:34Z

Przykład

Anula: Utworzono nową stronę "NOTOC '''Funkcje i ich granice''' Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany;..."

2015-05-22T11:59:52Z

Utworzono nową stronę "__NOTOC__ <b>'''Funkcje i ich granice'''</b> Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany;..."

Nowa strona

__NOTOC__

<b>'''Funkcje i ich granice'''</b>

Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości;
monotoniczność;
funkcja odwrotna;
funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne;
funkcje trygonometryczne i ich odwrotności;
funkcja wykładnicza i logarytmiczna.

==Funkcja wykładnicza — kilka dopowiedzeń==

===Wartość funkcji wykładniczej dla argumentów niewymiernych===

Mówiąc o funkcji wykładniczej <math>a^x\;</math>, wykładowca prześlizgnął się
nad problemem definicji tejże dla <math>x\;</math> niewymiernych (było konsekwentnie powiedziane jedynie, jak się liczy wartość <math>a^x\;</math> dla <math>x\in \mathbb Q\;</math>). Teraz będzie o tym dopowiedzenie. "Szkolny" sposób wprowadzenia potęgi <math>a^x\;</math> dla <math>x\;</math> niewymiernych polegał zazwyczaj na zdefiniowaniu <math>a^x\;</math> jako granicy <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a^{r_n}\;</math>, gdzie <math>r_n\;</math> był jakimś ciągiem monotonicznym liczb wymiernych zbieżnym do <math>x\;</math> (np. ciągiem przybliżeń dziesiętnych <math>x\;</math>).

W wykładzie szkolnym zazwyczaj nie dowodziło się istnienia granicy tego ciągu, poprzestając na argumentach intuicyjnych. Uzbrojeni w twierdzenia o granicach ciągów, możemy łatwo pokazać istnienie granicy <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a^{r_n}\;</math>:

Otóż jeśli <math>r_n\;</math> jest ciągiem monotonicznym, to taki jest też
ciąg <math>a^{r_n}\;</math>; jest to ponadto ciąg ''ograniczony'', więc ''zbieżny''.

===Funkcja wykładnicza o podstawie <math>e\;</math>===

Okazuje się dogodne (z przyczyn, które staną się jasne niedługo) wziąć
w definicji funkcji wykładniczej <math>a=e\;</math>. Funkcja odwrotna do <math>e^x\;</math>, tzn. <math>\log_e x\;</math>,
nazywa się ''logarytmem naturalnym''<ref>Wprowadzono je w XVII w., a pierwsi zrobili to Napier i Bernoulli.</ref>.

==Granica funkcji w punkcie==

===Definicja Heinego===

Liczbę <math>g\;</math> nazywamy '''granicą funkcji <math>f\;</math> w punkcie <math>a\;</math>''' (co oznaczamy: <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to
a} f(x) = g\;</math>) jeżeli '''dla każdego''' ciągu <nowiki>{</nowiki><math>x_n</math><nowiki>}</nowiki> zbieżnego do <math>a\;</math> i o wyrazach różnych od <math>a\;</math> zachodzi równość:
<center><math>
\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} f(x_n) = g
</math></center>
====Przykład====
<math>\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to {0}} (x^2) =0\;</math>. Weźmy bowiem ''dowolny'' ciąg <nowiki>{</nowiki><math>x_n</math><nowiki>}</nowiki> zbieżny do zera; mamy:
<center><math>
\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} (x_n)^2= \left(\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} {x_n}\right)^2=0.
\;</math></center>

====Przykład====

Rozważmy funkcję <math>{\rm sgn}(x)\;</math>, definiowaną jako:
<center>
<math> \sgn(x) = \begin{cases}
-1 & \text{dla } x < 0, \\
0 & \text{dla } x = 0, \\
1 & \text{dla } x > 0. \end{cases}</math>
</center>
Funkcja sgn<math>(x)\;</math> ''nie posiada'' granicy w punkcie <math>x=0\;</math>. Weźmy bowiem: <math>x_n=\frac{1}{n}\;</math>;
mamy <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} x_n=0\;</math> oraz <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \sgn (x_n)=1\;</math>. Weźmy teraz drugi ciąg <math>x'_n=-\frac{1}{n}\;</math>;
mamy <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} x'_n=0\;</math> oraz <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \sgn (x'_n)=-1\;</math>, tak więc <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to 0} \sgn(x)\;</math> ''nie istnieje''.

Można jednak mówić tu o ''granicy jednostronnej'' w punkcie <math>0\;</math>.

===Granica jednostronna===

Liczbę <math>g\;</math> nazywamy granicą ''lewostronną'' (''prawostronną'') funkcji <math>f\;</math> w punkcie <math>a\;</math>, jeśli warunki: <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} x_n=a\;</math> i <math>x_n<a\;</math> (odpowiednio <math>x_n>a\;</math>) implikują <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} f(x_n)=g\;</math>. Sytuacje te
oznaczamy symbolami:
<center>
<math>
\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to {a^+}} f(x)=g \;\;</math> — granica lewostronna i <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to {a^-}} f(x)=g \;\;</math> — granica prawostronna.
</center>
W ten sposób, mamy

====Przykład (c.d.)====
<center><math>
\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to {0^-}} \sgn(x)=-1 \;\;\mbox{i} \;\;\ \displaystyle\mathop{\lim}_{x\to {0^+}} \sgn(x)=+1.
\;</math></center>
Symbolu <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to {a}} f(x)\;</math> używamy również na oznaczenie '' granicy niewłaściwej'':
====Przykład====
Mamy: <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to {0}}\,\frac{1}{x^2}=\infty \;</math>; natomiast

====Przykład====
<math>\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to {0}}\,\frac{1}{x}\;</math> ''nie istnieje''; natomiast:
<center><math>
\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to {0^-}} \frac{1}{x}=-\infty \;\;\mbox{i} \;\;\ \displaystyle\mathop{\lim}_{x\to {0^+}} \frac{1}{x}=+\infty.
\;</math></center>

====Przykład====
Podobnie: <math> \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \tg(x) </math>
'' nie istnieje''; natomiast:
<math>\lim_{x \rarr \frac{\pi}{2}^-}{\tg(x)} = -\infty</math>

<math>\lim_{x \rarr \frac{\pi}{2}^+}{\tg(x)} = +\infty</math>

====Funkcje bez jednostronnych granic====

Istnieją jednak funkcje, które nie posiadają nawet jednostronnych granic (właściwych, ani niewłaściwych). Należy do nich np. funkcja:
<center><math>
f(x)=\sin\left( \frac{1}{x} \right) \;\;\;x\ne 0.
\;</math></center>

W punkcie <math>x=0\;</math> nie posiada ona jednostronnej granicy (ani lewo-, ani prawostronnej). Aby pokazać nieistnienie granicy prawostronnej, weźmy dwa ciągi <math>\left\{x_n\right\}</math>,<math>\left\{x_n'\right\}</math> o wyrazach dodatnich:
<math>x_n =\frac{2}{(4n+1)\pi}\;</math>, <math>x'_n =\frac{2}{(4n+3)\pi}\;</math>.
Oba ciągi są zbieżne do zera.

Mamy
<center><math>
f(x_n)=\sin\left( \frac{1}{x_n} \right)=\sin \left( \frac{(4n+1)\pi}{2} \right)=
\sin \left(2\pi n+ \frac{\pi}{2} \right) =+1
\;</math></center>
i podobnie
<center><math>
f(x'_n)=\sin\left( \frac{1}{x'_n} \right)=
\sin \left(2\pi n+ \frac{3\pi}{2} \right) =-1
\;</math></center>
Widzimy, że nie istnieje granica prawostronna w zerze (podobnie przekonujemy się, że nie istnieje też granica lewostronna).

Prócz granicy funkcji dla skończonego <math>a\;</math>, rozważamy też granicę ''w nieskończoności''.

===Granica w nieskończoności===

Mówimy, że granicą funkcji <math>f(x)\;</math> w nieskończoności jest liczba <math>g\;</math> (ozn. <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to \infty} f(x)=g\;</math>), jeżeli ''dla każdego'' ciągu <nowiki>{</nowiki><math>x_n</math><nowiki>}</nowiki> takiego, że <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} {x_n}=g\;</math> zachodzi: <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} f(x_n)=g\;</math>.

====Przykład====
Mamy:
<math>
\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to \infty} \frac{1}{x} = 0,\;\;\;\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to \infty} e^x=\infty,\;\;\; \displaystyle\mathop{\lim}_{x\to -\infty} e^x=0.
\;</math>
====Przykład====
Funkcje trygonometryczne: <math>\sin x, \cos x, \tg x\;</math> '' nie posiadają'' granic w <math>\pm\infty\;</math>.

==Działania na granicach==

===Twierdzenie===
Przy założeniu, że granice <math>\lim_{x \rarr a}{f(x)}</math> i <math>\lim_{x \rarr a}{g(x)}</math> istnieją i są skończone, zachodzą wzory:

<math>\begin{matrix}
\lim\limits_{x \to a} & (f(x) + g(x)) & = & \lim\limits_{x \to a} f(x) &+& \lim\limits_{x \to a} g(x) \\
\lim\limits_{x \to a} & (f(x) - g(x)) & = & \lim\limits_{x \to a} f(x) &-& \lim\limits_{x \to a} g(x) \\
\lim\limits_{x \to a} & (f(x)\cdot g(x)) & = & \lim\limits_{x \to a} f(x) &\cdot& \lim\limits_{x \to a} g(x) \\
\lim\limits_{x \to a} & (f(x)/g(x)) & = & \lim\limits_{x \to a} f(x) &/& \lim\limits_{x \to a} g(x)
\end{matrix}
</math>

Wzory te pozostają też prawdziwe, jeśli <math>a\;</math> jest <math>\pm\infty\;</math>, jak też są prawdziwe dla granic jednostronnych.
====Dowód====
Dowody są takie same jak dla granic ciągów z poprzedniego rozdziału.

===Analogony twierdzeń z [[Matematyka:Ciągi|rozdziału o granicach ciągów]]===
Mamy też analogony innych twierdzeń dla granic ciągów:

====Twierdzenie====
Jeśli granice <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to a} \,f(x)\;</math> i <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to a}\, g(x)\;</math> istnieją, to

<center>
nierówność<math>\;\; f(x)\leq g(x) \;\;</math> implikuje <math>\;\; \displaystyle\mathop{\lim}_{x\to a} \,f(x) \leq \displaystyle\mathop{\lim}_{x\to a}\, g(x);
\;</math></center>

nierówności <math>f(x)\leq h(x)\leq g(x)\;</math> wraz z równością <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to a} \,f(x) =\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to a}\, g(x)\;</math>

<center>
implikują <math>\;\; \displaystyle\mathop{\lim}_{x\to a} \,f(x) = \displaystyle\mathop{\lim}_{x\to a}\, h(x) = \displaystyle\mathop{\lim}_{x\to a}\, g(x).
\;</math>
</center>

Jak poprzednio, wzory te są też prawdziwe dla <math>a=\pm \infty\;</math> oraz dla granic jednostronnych.

====Dowód====
Dowody są analogiczne jak w przypadu granic ciągów.

'''CBDO'''

==Kilka warunków dostatecznych istnienia granicy==

Najsampierw przenieśmy definicję ciągu ograniczonego na funkcje:

===Ograniczenie funkcji===
Mówimy, że funkcja <math>f(x)\;</math> jest ''ograniczona z góry (dołu)'', jeżeli istnieje taka stała <math>M\;</math>, że dla każdego <math>x\;</math> z dziedziny zachodzi: <math>f(x)<M\;</math> (odpowiednio <math>f(x)>M\;</math>). Wśród różnych analogonów na istnienie granic ciągów i funkcji, mamy następujący odpowiednik twierdzenia o zbieżności ciągów monotonicznych ograniczonych:

====Twierdzenie====
Jeśli funkcja jest niemalejąca i ograniczona z góry, to istnieje granica
<math>\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to {
a}} f(x)\;</math> dla dowolnego <math>a\;</math>.

=====Uwaga=====
Niezbędne jest tu założenie o ''monotoniczności'' funkcji. Dla funkcji niemonotonicznych twierdzenie to ''nie zachodzi'' — przypomnijmy sobie przykład funkcji
<math>f(x)=\sin\frac{1}{x}\;</math>.

=====Dowód=====
Ciąg <math>\left\{ a-\frac{1}{n} \right\}</math> jest rosnący, a stąd ciąg <math>\left\{f\left (a-\frac{1}{n} \right)\right\}</math> jest niemalejący; a ponieważ jest też ograniczony, to jest zbieżny. Niech
<center><math>
\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} f\left( a-\frac{1}{n} \right) = g.
\;</math></center>
Pozostaje pokazać, że przy narzuceniu warunków: <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} x_n=a\;</math> oraz <math>x_n<a\;</math> zachodzi
<center><math>
\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \, f(x_n)=g.
\;</math></center>
Weźmy jakieś <math>\epsilon>0\;</math>. Istnieje wówczas <math>N\;</math> takie, że <math>g-f\left( a-\frac{1}{N} \right)<\epsilon\;</math>.
Mając to <math>N\;</math> bierzemy takie <math>k\;</math>, żeby dla <math>n>k\;</math> zachodziła nierówność <math>a-\frac{1}{N}<x_n\;</math>. Stąd
<center><math>
f\left( a-\frac{1}{N} \right)<f(x_n),
\;</math></center>
skąd
<equation id="eq:1">
<math>
g-f(x_n)<g-f\left( a-\frac{1}{N} \right)<\epsilon.
</math>
</equation>

Jednocześnie: Ponieważ <math>x_n\stackrel{n\to\infty}{\rightarrow}a\;</math>, to dla każdego <math>n\;</math> istnieje <math>r_n\;</math> takie, że
<math>x_n<a-\frac{1}{r_n}\;</math>. Mamy stąd
<equation id="eq:2">
<math>
f(x_n)<f\left( a-\frac{1}{r_n} \right)\leq g \;\;\;\Longrightarrow \;\;\; g-f(x_n)>0.
\;</math>
</equation>

Z obu nierówności: <xr id="eq:1">(%i)</xr> i <xr id="eq:2">(%i)</xr> mamy:
<center><math>
-\epsilon<0<g-f(x_n)<\epsilon \;\;\;
\Longrightarrow \;\;\;|g-f(x_n)|<\epsilon \;\;\;
\Longrightarrow \;\;\;\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} f(x_n)=g.
\;</math></center>
'''CBDO'''

====Twierdzenie dla funkcji nierosnących lub niemalejących i oraniczonych====
W analogiczny sposób dowodzi się twierdzeń dla funkcji nierosnących oraz dla granic prawostronnych.
Można to podsumować jako

''' Tw.'''Jeśli funkcja jest nierosnąca lub niemalejąca i ograniczona, to granice <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to a^\plusmn } f(x)\;</math> istnieją
w każdym punkcie <math>a\;</math>. Dla <math>a=\pm\infty\;</math>, istnieje granica <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to \plusmn\infty} \,f(x)\;</math>.

'''CBDO'''

Zachodzi też twierdzenie w pewnym sensie odwrotne:

====Twierdzenie XX====
Jeśli funkcja <math>f\;</math> nie posiada granicy skończonej w punkcie <math>a\;</math>, to istnieje ciąg <nowiki>{</nowiki><math>x_n</math><nowiki>}</nowiki> taki, że
<math>x_n\ne a\;</math>, <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} {x}=a\;</math> oraz ciąg <math>\{f(x_n)\}\;</math> jest rozbieżny.

Bez dowodu.

====Definicja Cauchy'ego====
Prócz definicji Heinego, jest jeszcze jedna, inna ale równoważna, i równie ważna, ''definicja Cauchy'ego''.

'''Def.''' Mówimy, że funkcja <math>f\;</math> posiada w punkcie <math>a\;</math> granicę <math>g\;</math>, jeżeli
<center><math>
\forall_{\epsilon>0}\;\exists_{\delta>0}\;\forall_{x: 0<|x-a|<\delta}\; :|f(x)-g|<\epsilon.
\;</math></center>
A oto obiecana równoważność:

====Twierdzenie XXX====
Obie definicje granicy funkcji w punkcie: Cauchy'ego i Heinego są równoważne.<ref>tzn. jeśli funkcja w jakimś punkcie ma granicę w myśl def. Cauchy'ego, to ma ją też
zgodnie z def. Heinego i na odwrót; a jeśli nie ma w myśl def. Cauchy'ego to nie ma też z def. Heinego
i na odwrót.</ref>

=====Dowód=====
Przypuśćmy najsampierw, że warunek Cauchy'ego ''nie jest'' spełniony, tzn.
<center><math>
\exists_{\epsilon>0}\; \forall_{\delta>0}\;\exists_{x: 0<|x-a|<\delta}\; :\;|f(x)-g|\geq\epsilon.
\;</math></center>
W szczególności, biorąc <math>\delta=\frac{1}{n}\;</math>, wnioskujemy, że istnieje ciąg <nowiki>{</nowiki><math>x_n</math><nowiki>}</nowiki> taki, że
<equation id="eq:3">
<math>
0<|x_n-a|<\frac{1}{n}
\;</math>
</equation>

oraz
<equation id="eq:4">
<math>
|f(x_n)-g|\geq\epsilon.
\;</math>
</equation>

Warunek <xr id="eq:3">(%i)</xr> mówi, że <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} x_n=a\;</math> oraz <math>x_n\ne a\;</math>. Gdyby więc przypuścić, że <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to {a}}\,f(x)=g\;</math>,
to musiałaby być spełniona równość <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \, f(x_n)=g\;</math>; ale ta równość jest sprzeczna z <xr id="eq:4">(%i)</xr>.

Pokazaliśmy w ten sposób, że warunek Cauchy'ego jest ''konieczny'', aby funkcja posiadała granicę w myśl definicji Heinego.

Teraz pokażemy, że jest on również warunkiem ''wystarczającym''.

Niech będzie dane <math>\epsilon >0\;</math> i niech <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} {x}=a\;</math> oraz <math>x_n\ne a\;</math>. Ponieważ z założenia warunek Cauchy'ego jest spełniony, to istnieje <math>\delta>0\;</math> takie, że nierówność: <math>0<|x_n-a|<\delta\;</math> implikuje
<math>|f(x_n)-g|<\epsilon\;</math>. Ponieważ spełniona jest równość <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} {x}=a\;</math>, to nierówność <math>|x_n-a|<\delta</math> zachodzi dla wszystkich dostatecznie dużych <math>n</math> (tzn. począwszy od pewnego <math>M\in \mathbb N</math>). Dla tych <math>n\;</math> mamy więc nierówność <math>|f(x_n)-g|<\epsilon</math>, a to znaczy, że <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \,f(x_n)=g</math> — czyli <math> \lim_{n \to \infty}f(x_n) = g </math>.

====Twierdzenie XXXX====
W teorii ciągów mieliśmy warunek Cauchy'ego dla ciągów, którego spełnienie gwarantowało zbieżność ciągu. Przy granicy funkcji mamy analogiczne twierdzenie.

'''Tw.'''XXXX Warunkiem koniecznym i dostatecznym na istnienie (skończonej) granicy funkcji <math>f\;</math> w punkcie <math>a\;</math> jest,
aby dla dowolnego <math>\epsilon>0\;</math> istniało takie <math>\delta>0\;</math>, że dla <math>x,x'\;</math> spełniających:
<equation id="eq:5">
<math>0<|x-a|<\delta,\;</math>

<math>0<|x'-a|<\delta
\;</math>
</equation>
zachodzi: <math>|f(x)-f(x')|<\epsilon\;</math>.

=====Dowód=====
Pokażemy najsampierw ''konieczność'' tego warunku. Jeśli <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to {1}}\,f(x)=g\;</math>, to dla dowolnego zadanego <math>\epsilon>0\;</math> istnieje takie <math>\delta>0\;</math>, że warunek: <math>0<|x-a|<\delta\;</math> implikuje <math>|f(x)-g|<\frac{1}{2}\epsilon\;</math>. Jeśli więc warunki <xr id="eq:5">(%i)</xr> są spełnione, to zachodzą nierówności:
<center><math>
|f(x)-g|<\frac{1}{2}\epsilon\;\;\;i\;\;\;|f(x')-g|<\frac{1}{2}\epsilon,
\;</math></center>
i po dodaniu tychże pod znakiem wartości bezwzględnej otrzymujemy <math>|f(x)-f(x')|<\epsilon\;</math>.

Jeśli chodzi o ''dostateczność'' warunku, to przypuśćmy, że granica funkcji <math>f\;</math> w punkcie <math>a\;</math> ''nie istnieje'', mimo iż są spełnione założenia tw. XXXX. Istnieje wówczas na mocy tw. XX taki ciąg <nowiki>{</nowiki><math>x_n</math><nowiki>}</nowiki>, że <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \, x_n= a\;</math>, <math>x_n\ne a\;</math> oraz że ciąg <math>\{f(x_n)\} \;</math> jest rozbieżny. Z równości <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} x_n=a\;</math> wynika, że istnieje takie <math>k\;</math>, że dla <math>n\geq k\;</math> można w nierównościach <xr id="eq:5">(%i)</xr> podstawić <math>x=x_n\;</math> i <math>x'=x_k\;</math>. To implikuje, że <math>|f(x_n)-f(k_k)|<\epsilon\;</math>. Z twierdzenia Cauchy'ego dla ciągów wnioskujemy stąd, że ciąg <math>\{f(x_n)\}\;</math> jest zbieżny — wbrew naszemu przypuszczeniu.

'''CBDO'''

====Twierdzenie XXX'====
Powyższe twierdzenia XXX i XXXX dają się rozszerzyć na przypadek <math>a=\infty\;</math>.
Brzmią one wtedy następująco:

'''Tw.'''XXX'. Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby zachodziła równość <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to {
\infty}}\,f(x)=g\;</math>
jest, aby
<center><math>
\forall_{\epsilon>0} \exists_r \forall_{x>r}:\, |f(x)-g|<\epsilon.
\;</math></center>

====Twierdzenie XXXX'====
'''Tw.'''XXXX'. Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby istniała granica (skończona)
<math>\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to {\infty}}\, f(x)\;</math>, jest, aby
<center><math>
\forall_{\epsilon>0} \exists_r \forall_{x,x'>r}:\, |f(x)-f(x')|<\epsilon.
\;</math></center>

====Dowody twierdzeń XXX' i XXXX'====
'''Dow.''' Dowody są analogiczne jak twierdzeń [[Matematyka:Ciągi#Twierdzenie_XXX|XXX]] i [[Matematyka:Ciągi#Twierdzenie_XXXX_.E2.80.94_analogon_nier.C3.B3wno.C5.9Bci_.28.5Cref.7Blima.3Elimb.7D.29|XXXX]].
'''CBDO'''
<references/>

@@ Linia 19: / Linia 19: @@
 W wykładzie szkolnym zazwyczaj nie dowodziło się istnienia granicy tego ciągu, poprzestając na argumentach intuicyjnych. Uzbrojeni w twierdzenia o granicach ciągów, możemy łatwo pokazać istnienie granicy  <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty}   a^{r_n}\;</math>:
- Otóż jeśli  <math>r_n\;</math> jest ciągiem monotonicznym, to taki jest też
+::Otóż jeśli  <math>r_n\;</math> jest ciągiem monotonicznym, to taki jest też ciąg <math>a^{r_n}\;</math>; jest to ponadto ciąg ''ograniczony'', więc  ''zbieżny''.
 ===Funkcja wykładnicza o podstawie <math>e\;</math>===

@@ Linia 225: / Linia 225: @@
 Można to podsumować jako
-''' Tw.'''Jeśli funkcja jest nierosnąca lub niemalejąca i ograniczona, to granice <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to a^\plusmn } f(x)\;</math> istnieją
+''' Tw.'''Jeśli funkcja jest nierosnąca lub niemalejąca i ograniczona, to granice <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to a^\pm } f(x)\;</math> istnieją
-w każdym punkcie <math>a\;</math>. Dla <math>a=\pm\infty\;</math>, istnieje granica <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to \plusmn\infty} \,f(x)\;</math>.
+w każdym punkcie <math>a\;</math>. Dla <math>a=\pm\infty\;</math>, istnieje granica <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to \pm\infty} \,f(x)\;</math>.
 '''CBDO'''

@@ Linia 130: / Linia 130: @@
 ===Twierdzenie===
-Przy założeniu, że granice <math>\lim_{x \rarr a}{f(x)}</math> i <math>\lim_{x \rarr a}{g(x)}</math> istnieją i są skończone, zachodzą wzory:
+Przy założeniu, że granice <math>\lim_{x \to a}{f(x)}</math> i <math>\lim_{x \to a}{g(x)}</math> istnieją i są skończone, zachodzą wzory:
 <math>\begin{matrix}

@@ Linia 125: / Linia 125: @@
 \;</math>
 ====Przykład====
-Funkcje trygonometryczne: <math>\sin x, \cos x, \tg x\;</math> '' nie posiadają'' granic w <math>\pm\infty\;</math>.
+Funkcje trygonometryczne: <math>\sin x, \cos x, \mathrm{tg}\, x\;</math> '' nie posiadają'' granic w <math>\pm\infty\;</math>.
 ==Działania na granicach==

@@ Linia 84: / Linia 84: @@
 ====Przykład====
-Podobnie: <math> \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \tg(x) </math>
+Podobnie: <math> \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \mathrm{tg}(x) </math>
 '' nie istnieje''; natomiast:
-<math>\lim_{x \rarr \frac{\pi}{2}^-}{\tg(x)} = -\infty</math>
+<math>\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-}{\mathrm{tg}(x)} = -\infty</math>
-<math>\lim_{x \rarr \frac{\pi}{2}^+}{\tg(x)} = +\infty</math>
+<math>\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}{\mathrm{tg}(x)} = +\infty</math>
 ====Funkcje bez jednostronnych granic====

@@ Linia 70: / Linia 70: @@
 ====Przykład (c.d.)====
 <center><math>
-\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to {0^-}} \sgn(x)=-1 \;\;\mbox{i} \;\;\ \displaystyle\mathop{\lim}_{x\to {0^+}} \sgn(x)=+1.
+\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to {0^-}} \mathrm{sgn}(x)=-1 \;\;\mbox{i} \;\;\ \displaystyle\mathop{\lim}_{x\to {0^+}} \mathrm{sgn}(x)=+1.
 \;</math></center>
 Symbolu <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to {a}} f(x)\;</math> używamy również na oznaczenie '' granicy niewłaściwej'':
 ====Przykład====
 Mamy: <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to {0}}\,\frac{1}{x^2}=\infty \;</math>; natomiast

@@ Linia 45: / Linia 45: @@
 ====Przykład====
-Rozważmy funkcję <math>{\rm sgn}(x)\;</math>, definiowaną jako:
+Rozważmy funkcję <math>\mathrm{sgn}(x)\;</math>, definiowaną jako:
 <center>
-<math> \sgn(x) = \begin{cases}
+<math> \mathrm{sgn}(x) = \begin{cases}
 -1 & \text{dla } x < 0, \\
 & \text{dla } x = 0, \\
 & \text{dla } x > 0. \end{cases}</math>
 </center>
-Funkcja sgn<math>(x)\;</math> ''nie posiada'' granicy w punkcie <math>x=0\;</math>. Weźmy bowiem: <math>x_n=\frac{1}{n}\;</math>;
+Funkcja <math>\mathrm{sgn}(x)\;</math> ''nie posiada'' granicy w punkcie <math>x=0\;</math>. Weźmy bowiem: <math>x_n=\frac{1}{n}\;</math>;
-mamy <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty}   x_n=0\;</math> oraz <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty}   \sgn (x_n)=1\;</math>. Weźmy teraz drugi ciąg <math>x'_n=-\frac{1}{n}\;</math>;
+mamy <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty}   x_n=0\;</math> oraz <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty}   \mathrm{sgn} (x_n)=1\;</math>. Weźmy teraz drugi ciąg <math>x'_n=-\frac{1}{n}\;</math>;
-mamy <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty}   x'_n=0\;</math> oraz <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty}   \sgn (x'_n)=-1\;</math>, tak więc <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to 0} \sgn(x)\;</math> ''nie istnieje''.
+mamy <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty}   x'_n=0\;</math> oraz <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty}   \mathrm{sgn} (x'_n)=-1\;</math>, tak więc <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to 0} \mathrm{sgn}(x)\;</math> ''nie istnieje''.
 Można jednak mówić tu o ''granicy jednostronnej'' w punkcie <math>0\;</math>.
 ===Granica jednostronna===

Funkcje i granice - Historia wersji

RobertJB: /* Wartość funkcji wykładniczej dla argumentów niewymiernych */

RobertJB: /* Twierdzenie dla funkcji nierosnących lub niemalejących i oraniczonych */

RobertJB: /* Twierdzenie */

RobertJB: /* Przykład */

RobertJB: /* Przykład */

RobertJB: /* Przykład (c.d.) */

RobertJB: /* Przykład */

Anula: Utworzono nową stronę "__NOTOC__ '''Funkcje i ich granice''' Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany;..."

Anula: Utworzono nową stronę "NOTOC '''Funkcje i ich granice''' Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany;..."