Funkcje trygonometryczne - Historia wersji

RobertJB: /* Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta */

2020-07-09T11:02:26Z

Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta

RobertJB: /* Kotangens */

2020-07-09T10:54:59Z

Kotangens

RobertJB: /* Tangens */

2020-07-09T10:53:06Z

Tangens

Anula o 11:47, 22 maj 2015

2015-05-22T11:47:04Z

Anula: Utworzono nową stronę "==Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym== Plik:Trygonometria.png|right|thumb|300px|Oznaczenia boków i kątów trójkąta prostokątnego użyte w defini..."

2015-05-22T11:43:25Z

Utworzono nową stronę "==Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym== Plik:Trygonometria.png|right|thumb|300px|Oznaczenia boków i kątów trójkąta prostokątnego użyte w defini..."

Nowa strona

==Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym==
[[Plik:Trygonometria.png|right|thumb|300px|Oznaczenia boków i kątów trójkąta prostokątnego użyte w definicjach]]

===Sinus===
'''Sinusem''' kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek
przyprostokątnej przeciwległej danemu kątowi do przeciwprostokątnej:
<center><math>
\sin\alpha = \frac{a}{c}\;
</math></center>

===Kosinus===
'''Kosinusem''' kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek przyprostokątnej przyległej do danego kąta do przeciwprostokątnej:
<center><math>
\cos\alpha = \frac{b}{c}\;
</math></center>

===Tangens===
'''Tangensem''' kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek przyprostokątnej przeciwległej danemu kątowi do przyprostokątnej przyległej do danego kąta:
<center><math>
\tg\alpha = \frac{a}{b}\;
</math></center>
===Kotangens===
'''Kotangensem''' kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek przyprostokątnej przyległej do danego kąta do przyprostokątnej przeciwległej danemu kątowi:
<center><math>
\ctg\alpha = \frac{b}{a} = \frac{1}{\tg x}\;
</math></center>

====Uwaga====

Czasem, choć rzadko, używa się też funkcji '''sekans''' i '''kosekans'''. Są one definiowane jako:
*<math>{\rm sec}\,\alpha = \frac{1}{\sin\alpha}\;</math>
*<math>{\rm \mathop{cosec}}\,\alpha = \frac{1}{\cos\alpha}\;</math>.

==Miara łukowa kąta==

''' Def.''' '''1 radian''' (1 rad) jest to miara kąta opartego na łuku, którego długość jest równa długości promienia okręgu. Mamy więc proste wzory na zamianę miary kąta w stopniach <math>\alpha_s\;</math> na miarę łukową <math>\alpha_r\;</math>:
<center><math>
\alpha_r =\frac{\pi\alpha_s}{180},\;
</math></center>

<center><math>
\alpha_s=\frac{180\, \alpha_r}{\pi}\;
</math></center>

W szczególności: <math>180^o=\pi \;</math> (rad); <math>90^o=\frac{\pi}{2}\;</math>; <math>60^o=\frac{\pi}{3}\;</math>; <math>30^o=\frac{\pi}{6}\;</math> (podając kąt w mierze łukowej, często się już nie podaje że jest on mierzony w radianach).

==Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta==

Mając zdefiniowane funkcje trygonometryczne dla dowolnego
kąta <math>\alpha\in [0, \frac{\pi}{2}[\;</math>, łatwo rozszerzyć te definicje
na dowolny inny kąt. Robi się to tak:

Niech <math>\alpha\;</math> będzie kątem skierowanym umieszczonym w ukł wsp. tak, że jego początkowe ramię pokrywa się z dodatnią półosią <math>OX\;</math>,
a końcowym ramieniem jest półprosta o początku w punkcie <math>(0,0)\;</math>.
Na końcowym ramieniu wybieramy dowolny punkt <math>P = (x,y)\;</math>,
różny od punktu <math>(0,0)\;</math>.

Funkcje trygonometryczne kąta <math>\alpha\;</math> definiujemy w sposób następujący:

<center><math>
\sin\alpha = \frac{y}{r}, \;</math></center>
<center><math>
\cos\alpha = \frac{x}{r},\;
</math></center>
gdzie <math>r\;</math> jest odległością punktu <math>P\;</math> od punktu <math>(0,0)\;</math>,zaś <math>r=\sqrt{x^2+y^2}\;</math>.
<center><math>
\tg\alpha = \frac{x}{y}, x\ne 0, {\rm wiec}\; \alpha\ne \frac{\pi}{2} + k\pi, \; k\in \mathbb Z
\;</math></center>
<center><math>
\ctg\alpha = \frac{y}{x}, x\ne 0, {\rm wiec}\; \alpha\ne k\pi, k\in \mathbb Z
\;</math></center>

===Znaki funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych===

"W pierwszej wszystkie są dodatnie,<nowiki>
</nowiki>W drugiej tylko sinus, <nowiki>
</nowiki>W trzeciej tangens i kotangens, <nowiki>
</nowiki>A w czwartej kosinus".

===Wartości funkcji trygonometrycznych dla niektórych wartości kątów===

{| class="wikitable" width="75%" style="text-align:center"
! stopnie !! <math>0^\circ\;\;</math> !! <math>30^\circ\;\;</math> !! <math>45^\circ\;\;</math> !! <math>60^\circ\;\;</math> !! <math>90^\circ\;\;</math>

|-

! <math>\sin\;\;</math>

| <math>0\;\;</math> || <math> \tfrac{1}{2} \;</math> || <math> \tfrac{\sqrt{2}}{2} \;</math> || <math> \tfrac{\sqrt{3}}{2} \;</math> || <math>1\;\;</math>

|-

! <math>\cos\;\;</math>

| <math>1\;\;</math> || <math> \tfrac{\sqrt{3}}{2} \;</math> || <math> \tfrac{\sqrt{2}}{2} \;</math> || <math> \tfrac{1}{2} \;</math> || <math>0\;\;</math>

|-

! <math>\tg\;\;</math>

| <math>0\;\;</math> || <math> \tfrac{\sqrt{3}}{3} \;</math> || <math>1\;\;</math> || <math> \sqrt{3} \;</math> || NI

|-

! <math>\ctg\;\;</math>

| NI || <math> \sqrt{3} \;</math> || <math>1\;\;</math> || <math> \tfrac{\sqrt{3}}{3} \;</math> || <math>0\;\;</math>

|-

! <math>\sec\;\;</math>

| <math>1\;\;</math> || <math> \tfrac{2\sqrt{3}}{3} \;</math> || <math> \sqrt{2} \;</math> || <math>2\;\;</math> || NI

|-

! <math>\csc\;\;</math>

| NI || <math>2\;\;</math> || <math>\sqrt{2}\;</math> || <math> \tfrac{2\sqrt{3}}{3} \;</math> || <math>1\;\;</math>

|-

|}
[[Image:Sine cosine plot.svg|300px|right|thumb|Wykresy funkcji sinus i cosinus.]]

===Parzystość i nieparzystość funkcji trygonometrycznych===

*Funkcja <math>f(x)=\cos(x)\;</math> jest '' parzysta'': <math>\cos(-x) = \cos(x)\;</math> <math>\forall_{x\in\mathbb R}\;</math>
*Funkcja <math>f(x)=\sin(x)\;</math> jest '' nieparzysta'': <math>\sin(-x) = \sin(x)\;</math> <math>\forall_{x\in\mathbb R}\;</math>
*Funkcja <math>f(x)=\tg(x)\;</math> jest '' nieparzysta'': <math>\tg(-x) = -\tg(x)\;</math> <math>\forall_{x\in D_f}\;</math>
*Funkcja <math>f(x)=\ctg(x)\;</math> jest '' nieparzysta'': <math>\ctg(-x) = \ctg(x)\;</math> <math>\forall_{x\in D_f}\;</math>

===Okresowość funkcji trygonometrycznych===

*'''Okresem podstawowym''' funkcji <math>y=\sin x\;</math> oraz <math>y=\cos x\;</math> jest <math>2\pi\;</math>: <br> Zachodzi: <math>\sin(x+2k\pi)=\sin(x)\;</math> oraz <math>\cos(x+2k\pi)=\cos(x)\;</math> <math>\forall_{x\in\mathbb R}, \forall_{k\in\mathbb Z}\;</math>.
*'''Okresem podstawowym''' funkcji <math>y=\tg x\;</math> oraz <math>y=\ctg x\;</math> jest <math>\pi\;</math>: <br> Zachodzi: <math>\tg(x+k\pi)=\tg(x)\;</math> oraz <math>\ctg(x+k\pi)=\ctg(x)\;</math> <math>\forall_{x\in D_f}, \forall_{k\in\mathbb Z}\;</math>.

===Związki pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta, tzn. tożsamości trygonometryczne===

*<math>\sin^2\alpha + \cos^2\alpha=1 \,\;</math> <math>\forall_{\alpha\in\mathbb R}\;</math> — jest to tzw. '' jedynka trygonometryczna'';
*<math>\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\;\; \alpha\ne \frac{\pi}{2}+ k\pi,\; k\in\mathbb Z\;</math>;
*<math>\ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha},\;\; \alpha\ne k\pi,\; k\in\mathbb Z\;</math>;
*<math>\tg\alpha\,\ctg\alpha = 1,\;\; \alpha\ne \frac{k\pi}{2},\; k\in\mathbb Z\;</math>

Przy użyciu tych tożsamości trygonometrycznych można udowodnić wiele innych — zależnie od potrzeby.

===Związki pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi różnych kątów===

Dla dowolnych kątów <math>\alpha,\beta\;</math> zachodzą związki:
*<math>\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha \, \cos\beta + \cos\alpha\, \sin\beta\;</math>
*<math>\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha \, \cos\beta - \sin\alpha \, \sin\beta\;</math>

''' Dow.'''
Wynikają z nich, po przyjęciu <math>\alpha=\beta\;</math>, związki na funkcje trygonometryczne podwojonego kąta

<math>\sin 2 \alpha = 2 \sin\alpha\, \cos\alpha,\;</math>

<math>\cos 2 \alpha = \cos^2\alpha-\sin^2\alpha\;</math>

oraz połówkowego kąta:

<math>
\sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}},\
\cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}\;</math>

===Wzory redukcyjne na sprowadzanie kąta do pierwszej ćwiartki===

Okresowość funkcji trygonometrycznych oraz wzory na sumę kątów pozwalają sprowadzić dowolny argument funkcji trygonometrycznej do I. ćwiartki.

====Przykład====

<center><math>
\sin(270^\circ+\alpha) = \sin 270^\circ \cos \alpha + \cos 270^\circ \sin\alpha =-\cos\alpha;\;</math></center>

<center><math>
\cos(180^\circ-\alpha) = \cos 180^\circ \cos(-al) - \sin 180^\circ \sin(-\alpha) = - \cos(-\alpha)=-\cos\alpha\;</math></center>

==Funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych==

Z uwagi na okresowość funkcji trygonometrycznych, ''nie można'' zdefiniować funkcji odwrotnych do nich dla ''wszystkich'' argumentów. Funkcję odwrotną do <math>f\;</math> można zdefiniować dla tych argumentów, dla których <math>f\;</math> jest wzajemnie jednoznaczna.

Weźmy funkcję <math>f(x)=\sin x\;</math> (+ zbiory, pomiędzy którymi <math>f\;</math> działa). Patrząc na wykres <math>y=f(x)=\sin x\;</math>, widać, że <math>f:X\to Y\;</math> jest funkcją wzajemnie jednoznaczną, jeśli za zbiór argumentów weźmiemy <math>X=\left [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right ]\;</math>, zaś za zbiór wartości <math>Y=[-1,1]\;</math>.

Funkcję odwrotną <math>\sin^{-1}(\cdot)\;</math> do funkcji <math>\sin(\cdot)\;</math> nazywamy <math>\arcsin(\cdot)\;</math> i definiujemy — zgodnie z definicją funkcji odwrotnej — jako: Jeśli <math>y=\sin(x)\;</math>, to <math>x=\sin^{-1}(y)=\arcsin(y)\;</math>.

===Uwaga===

Wzajemna jednoznaczność <math>\sin:\;</math> <math>X\to Y\;</math> ma miejsce także w innych sytuacjach, np. "X niestandardowy": <math>X_{ns}=\left [\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right ]\;</math>, <math>Y=[-1,1]\;</math>, i zdefiniować funkcję <math>\arcsin_{ns}: [-1,1]\to \left [ \frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right ]\;</math>. Standardowa umowa mówi, że za <math>X\;</math> bierze się <math>X=\left [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right ]\;</math>.

===Funkcja odwrotna do sinusa===
Ostatecznie (aby oswoić z różnymi notacjami):

''' Def.''' Dla funkcji <math>\sin(\cdot)\;</math>: <math>\left [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right ] \stackrel{\sin}{\to} [-1,1]\;</math> definiujemy odwrotną do niej funkcję <math>\arcsin(\cdot)\;</math>:
<math>[-1,1] \stackrel{\arcsin}{\to} \left [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right ] \;</math> jako: Jeśli <math>y=\sin(x)\;</math>, to <math>x=\arcsin(y)\;</math> (więc np. <math>\arcsin(1)=\frac{\pi}{2}, \arcsin(\frac{1}{2})=\frac{\pi}{6}\;</math> itd.).

Wykres funkcji <math>\arcsin\;</math>
[[Plik:sinx i arcsinx.png|300px|thumb|none|]]
— zgodnie z ogólną reguła uzyskiwania wykresów funkcji odwrotnych — otrzymuje się z wykresu <math>\sin\;</math> przez zamianę osi lub równoważnie przez symetrię względem osi <math>y=x\;</math>.

===Funkcje odwrotne dla innych funkcji trygonometrycznych===

''' Def.'''
Dla funkcji <math>\cos(\cdot)\;</math>: <math>[-[0,\pi] \stackrel{\cos}{\to} [-1,1]\;</math> definiujemy odwrotną do niej funkcję <math>\arccos(\cdot)\;</math>: <math>[-1,1] \stackrel{\arcsin}{\to} [0,\pi] \;</math> jako: Jeśli <math>y=\cos(x)\;</math>, to <math>x=\arccos(y)\;</math>.

''' Def.'''
Dla funkcji <math>\tg(\cdot)\;</math>: <math>\left ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right [ \stackrel{\tg}{\to} \left ]-\infty,\infty \right [\;</math> definiujemy odwrotną do niej funkcję <math>{\rm \mathop{arctg}}(\cdot)\;</math>:
<math> \left ]-\infty,\infty \right [ \stackrel{\rm \mathop{arctg}}{\to} \left ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right[ \;</math> jako: Jeśli <math>y=\tg(x)\;</math> ,to <math>x={\rm \mathop{arctg}}(y)\;</math>.

==Biegunowy układ współrzędnych==

Punkt na płaszczyźnie można zaznaczyć, zadając ''układ współrzędnych'' i pisząc współrzędne punktu <math>p\;</math> (w tym układzie są to też ''składowe wektora'' <math>\vec{OP}\;</math>).

Do wyznaczenia położenia punktu na płaszczyźnie można jednak użyć innego układu współrzędnych. Jeżeli zamiast <math>(x,y)\;</math> wprowadzimy <math>r,\phi\;</math> przez
<div style="float:right;margin:1em;">[[Image:Biegunowy.png|250px|center|Biegunowy układ współrzędnych]]<div class="center"><small>Biegunowy układ współrzędnych</small></div></div>
<center><math>
x=\cos \phi, \;\;\;\;\; y=\sin\phi\;
</math></center>

(lub na odwrót: <math>r=\sqrt{x^2+y^2},\; \phi = {\rm \mathop{arctg}}\frac{y}{x}\;</math>), to jest to równie dobry układ współrzędnych co <math>(x,y)\;</math>: Każdemu punktowi płaszczyzny odpowiada dokładnie jedna para liczb <math>(r,\phi)\;</math> oraz na odwrót: Każdej parze <math>(r,\phi)\;</math> odpowiada dokładnie jeden punkt płaszczyzny. (jest jeden WYJĄTEK: punkt <math>(0,0)\;</math>, gdzie kąt <math>\phi\;</math> nie jest określony).

Jedną z większych sztuk w matematyce (i fizyce) jest dobór odpowiedniego układu współrzędnych.

Gdy się go odpowiednio (do zagadnienia) dobierze, to problem często znacznie się upraszcza lub nawet trywializuje.

===Przykłady===
<ol>
<li>Równanie okręgu (o środku w <math>(0,0)\;</math> i promieniu <math>R\;</math>) ma we współrzędnych kartezjańskich postać
<center><math>
x^2+y^2=R^2
\;</math></center>
zaś we współrzędnych biegunowych
<center><math>
r=R, \;\;\;\;\; \phi - {\rm dowolne.}
\;</math></center></li>
<li><div style="float:right;margin:1em;">[[Image:Kardioida.jpg|250px|center|Rysunek kardioidy dla a=0.9]]<div class="center"><small> Rysunek kardioidy dla a=0.9</small></div></div>
Rozważmy krzywą (''kardioidę'')
<center><math>
(x^2+y^2 + 2a x)^2=4a^2(x^2+y^2), \;\;\; a>0
\;</math></center>

Analiza we współrzędnych kartezjańskich, aczkolwiek możliwa, jest dość uciążliwa. We współrzędnych biegunowych badanie jest o wiele łatwiejsze i krzywą można narysować "od ręki".
<center><math>
r=a(1+ \cos\phi)
\;</math></center></li>
<li>Rozważmy krzywą (''lemniskata Bernoulliego'')
<center><math>
(x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2), \;\;\; a>0
\;</math></center>
[[Plik:Leminiskata.png|450px]]<div class="left"> Rysunek wykres leminiskaty Bernoulliego dla a=3</div>

Można ją wykreślić we współrzędnych kartezjańskich, aczkolwiek jest to dość pracochłonne. We współrzędnych biegunowych ma ona o wiele dogodniejszą do analizy postać:
<center><math>
r^2=2a^2 \cos 2 \phi
\;</math></center></li>
</ol>

==Twierdzenie kosinusów==

Rozpatrzmy trójkąt o bokach długości <math>a,b,c\;</math>, gdzie kąt między bokami <math>a\;</math> i <math>b\;</math> wynosi <math>\alpha\;</math>. Ma miejsce następujące uogólnienie twierdzenia Pitagorasa, zwane '''twierdzeniem kosinusów''':

Zachodzi:
<center><math>
c^2=a^2+b^2-2 a b \cos \alpha.
\;</math></center>

[[Plik:Cosinusow.png|350px]]<div class="left"> Ilustracja twierdzenia kosinusów</div>

==Twierdzenie sinusów==

Rozpatrzmy trójkąt o bokach <math>a,b,c\;</math> oraz kątach: <math>\alpha\;</math> — naprzeciw boku <math>a\;</math> (tzn. kąt pomiędzy bokami <math>b\;</math> i <math>c\;</math>); <math>\beta\;</math> — naprzeciw boku <math>b\;</math>; <math>\gamma\;</math> — naprzeciw boku <math>c\;</math>. Między długościami boków <math>a,b,c\;</math> a kątami <math>\alpha,\beta, \gamma\;</math> zachodzą następujące związki, zwane '''twierdzeniem sinusów''':

Zachodzą równości:
[[Image:Twierdzenie sinusow.png|thumb|right|Trójkąt.]]
<center><math>
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R,
\;</math></center>
gdzie <math>R\;</math> — promień okręgu opisanego na trójkącie.

← poprzednia wersja		Wersja z 11:47, 22 maj 2015
Linia 1:		Linia 1:
		+	__NOTOC__
		+
	==Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym==		==Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym==
	[[Plik:Trygonometria.png\|right\|thumb\|300px\|Oznaczenia boków i kątów trójkąta prostokątnego użyte w definicjach]]		[[Plik:Trygonometria.png\|right\|thumb\|300px\|Oznaczenia boków i kątów trójkąta prostokątnego użyte w definicjach]]

@@ Linia 68: / Linia 68: @@
 gdzie <math>r\;</math> jest odległością punktu <math>P\;</math> od punktu <math>(0,0)\;</math>,zaś <math>r=\sqrt{x^2+y^2}\;</math>.
 <center><math>
-\tg\alpha = \frac{x}{y}, x\ne 0, {\rm wiec}\; \alpha\ne \frac{\pi}{2} + k\pi, \; k\in \mathbb Z
+\mathrm{tg}\,\alpha = \frac{x}{y}, x\ne 0, {\rm wiec}\; \alpha\ne \frac{\pi}{2} + k\pi, \; k\in \mathbb Z
 \;</math></center>
 <center><math>
-\ctg\alpha = \frac{y}{x}, x\ne 0, {\rm wiec}\; \alpha\ne k\pi, k\in \mathbb Z
+\mathrm{ctg}\,\alpha = \frac{y}{x}, x\ne 0, {\rm wiec}\; \alpha\ne k\pi, k\in \mathbb Z
 \;</math></center>
@@ Linia 100: / Linia 100: @@
 |-
-! <math>\tg\;\;</math>
+! <math>\mathrm{tg}\;\;</math>
 | <math>0\;\;</math> || <math> \tfrac{\sqrt{3}}{3} \;</math> || <math>1\;\;</math> || <math> \sqrt{3} \;</math> || NI
@@ Linia 106: / Linia 106: @@
 |-
-! <math>\ctg\;\;</math>
+! <math>\mathrm{ctg}\;\;</math>
 | NI || <math> \sqrt{3} \;</math> || <math>1\;\;</math> || <math> \tfrac{\sqrt{3}}{3} \;</math> || <math>0\;\;</math>
@@ Linia 131: / Linia 131: @@
 *Funkcja <math>f(x)=\cos(x)\;</math> jest '' parzysta'': <math>\cos(-x) = \cos(x)\;</math> <math>\forall_{x\in\mathbb R}\;</math>
 *Funkcja <math>f(x)=\sin(x)\;</math> jest '' nieparzysta'': <math>\sin(-x) = \sin(x)\;</math> <math>\forall_{x\in\mathbb R}\;</math>
-*Funkcja <math>f(x)=\tg(x)\;</math> jest '' nieparzysta'': <math>\tg(-x) = -\tg(x)\;</math> <math>\forall_{x\in D_f}\;</math>
+*Funkcja <math>f(x)=\mathrm{tg}(x)\;</math> jest '' nieparzysta'': <math>\mathrm{tg}(-x) = -\mathrm{tg}(x)\;</math> <math>\forall_{x\in D_f}\;</math>
-*Funkcja <math>f(x)=\ctg(x)\;</math> jest '' nieparzysta'': <math>\ctg(-x) = \ctg(x)\;</math> <math>\forall_{x\in D_f}\;</math>
+*Funkcja <math>f(x)=\mathrm{ctg}(x)\;</math> jest '' nieparzysta'': <math>\mathrm{ctg}(-x) = \mathrm{ctg}(x)\;</math> <math>\forall_{x\in D_f}\;</math>
 ===Okresowość funkcji trygonometrycznych===
 *'''Okresem podstawowym''' funkcji <math>y=\sin x\;</math> oraz <math>y=\cos x\;</math> jest <math>2\pi\;</math>: <br> Zachodzi: <math>\sin(x+2k\pi)=\sin(x)\;</math> oraz <math>\cos(x+2k\pi)=\cos(x)\;</math> <math>\forall_{x\in\mathbb R}, \forall_{k\in\mathbb Z}\;</math>.
-*'''Okresem podstawowym''' funkcji <math>y=\tg x\;</math> oraz <math>y=\ctg x\;</math> jest <math>\pi\;</math>: <br> Zachodzi: <math>\tg(x+k\pi)=\tg(x)\;</math> oraz <math>\ctg(x+k\pi)=\ctg(x)\;</math> <math>\forall_{x\in D_f}, \forall_{k\in\mathbb Z}\;</math>.
+*'''Okresem podstawowym''' funkcji <math>y=\mathrm{tg}\, x\;</math> oraz <math>y=\mathrm{ctg}\, x\;</math> jest <math>\pi\;</math>: <br> Zachodzi: <math>\mathrm{tg}(x+k\pi)=\mathrm{tg}(x)\;</math> oraz <math>\mathrm{ctg}(x+k\pi)=\mathrm{ctg}(x)\;</math> <math>\forall_{x\in D_f}, \forall_{k\in\mathbb Z}\;</math>.
 ===Związki pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta, tzn. tożsamości trygonometryczne===
 *<math>\sin^2\alpha + \cos^2\alpha=1 \,\;</math> <math>\forall_{\alpha\in\mathbb R}\;</math> &mdash; jest to tzw. '' jedynka trygonometryczna'';
-*<math>\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\;\; \alpha\ne \frac{\pi}{2}+ k\pi,\; k\in\mathbb Z\;</math>;
+*<math>\mathrm{tg}\,\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\;\; \alpha\ne \frac{\pi}{2}+ k\pi,\; k\in\mathbb Z\;</math>;
-*<math>\ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha},\;\; \alpha\ne k\pi,\; k\in\mathbb Z\;</math>;
+*<math>\mathrm{ctg}\,\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha},\;\; \alpha\ne k\pi,\; k\in\mathbb Z\;</math>;
-*<math>\tg\alpha\,\ctg\alpha = 1,\;\; \alpha\ne \frac{k\pi}{2},\; k\in\mathbb Z\;</math>
+*<math>\mathrm{tg}\,\alpha\,\mathrm{ctg}\,\alpha = 1,\;\; \alpha\ne \frac{k\pi}{2},\; k\in\mathbb Z\;</math>
 Przy użyciu tych tożsamości trygonometrycznych można udowodnić wiele innych &mdash; zależnie od potrzeby.

@@ Linia 26: / Linia 26: @@
 '''Kotangensem''' kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek przyprostokątnej przyległej do danego kąta do przyprostokątnej przeciwległej danemu kątowi:
 <center><math>
-\ctg\alpha = \frac{b}{a} = \frac{1}{\tg x}\;
+\mathrm{ctg}\,\alpha = \frac{b}{a} = \frac{1}{\mathrm{tg}\, x}\;
 </math></center>

@@ Linia 20: / Linia 20: @@
 '''Tangensem''' kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek przyprostokątnej przeciwległej danemu kątowi do przyprostokątnej przyległej do danego kąta:
 <center><math>
-\tg\alpha = \frac{a}{b}\;
+\mathrm{tg}\,\alpha = \frac{a}{b}\;
 </math></center>
 ===Kotangens===
 '''Kotangensem''' kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek przyprostokątnej przyległej do danego kąta do przyprostokątnej przeciwległej danemu kątowi: