Anula: Utworzono nową stronę "NOTOC ==Całki niewłaściwe== ===Całki w granicach nieskończonych=== Wiemy, co to jest $\int _a^b f(x) {\sf d}x$ w przypadku skończonego przedzia..."

2015-05-22T13:36:23Z

Utworzono nową stronę "__NOTOC__ ==Całki niewłaściwe== ===Całki w granicach nieskończonych=== Wiemy, co to jest <math>\int _a^b f(x) {\sf d}x</math> w przypadku skończonego przedzia..."

Nowa strona

__NOTOC__

==Całki niewłaściwe==

===Całki w granicach nieskończonych===

Wiemy, co to jest <math>\int _a^b f(x) {\sf d}x</math> w przypadku skończonego przedziału <math>[a,b]</math> i
funkcji ograniczonej <math>f(x)</math>. Okazuje się potrzebne uogólnienie tego pojęcia
w różnych kierunkach (przedział nieskończony iłub <math>f</math> nieograniczona).
Tutaj będziemy się zajmować tylko funkcjami ograniczonymi na przedziałach
nieskończonych.

Niech funkcja <math>f</math> będzie określona w przedziale <math>[a, \infty [</math> (tzn. dla dowolnego <math>x\ge a</math>)
i całkowalna na każdym skończonym przedziale <math>[a,A]</math> (zakładamy, że <math>A>a</math>).
Dla dowolnego <math>A</math> jest
więc dobrze określona całka <math>\int _a^A f(x) {\sf d}x</math>.
====Całka niewłaściwa====
Całką niewłaściwą z funkcji <math>f</math> po przedziale <math>[a,\infty [</math> nazywamy
granicę
<equation id="uid35">
<math>{\displaystyle \mathop {\lim }_{{A}\rightarrow {\infty }} } \int _a^A f(x){\sf d}x;\;\;\;</math> oznaczamy ją <math>\;\; \int _a^\infty f(x) {\sf d}x.
</math>
</equation>

W przypadku gdy granica (<xr id="uid35"> %i</xr>) jest skończona, mówimy że całka niewłaściwa jest zbieżna, a funkcja <math>f</math> jest całkowalna. Jeśli granica (<xr id="uid35"> %i</xr>) jest rozbieżna do <math>\infty </math> lub nie istnieje, mówimy,
że całka niewłaściwa jest rozbieżna.
=====Przykł.=====
<ol>
<li>
Funkcja <math>f(x)=\frac{1}{1+x^2}</math> jest całkowalna w dowolnym przedziale
skończonym <math>[0,A]</math> (<math>A>0</math>) i mamy:

::<math>
\int _0^A \frac{1}{1+x^2} {\sf d}x = {\rm arctg\,} x|_0^A = {\rm arctg\,} (A).
</math>

Granica <math>{\displaystyle \mathop {\lim }_{{A}\rightarrow {\infty }} }\; {\rm arctg\,} (A)</math> istnieje i jest równa <math>\frac{\pi }{2}</math>, zatem

::<math>
\int _0^\infty \frac{1}{1+x^2} {\sf d}x = \frac{\pi }{2}.
</math>



<li>
Zapytajmy, dla jakich wartości wykładnika <math>\alpha </math> istnieje całka niewłaściwa

<equation id="uid38">
<math>\int _a^\infty \frac{1}{x^\alpha } {\sf d}x\;\;\;(\mathrm{tu}\;\;\;a>0).

</math>
</equation>

Niech <math>\alpha \ne 1</math>. Wówczas

::<math>
\int _a^A \frac{1}{x^\alpha } {\sf d}x = \frac{1}{1-\alpha } x^{1-\alpha }\left.\right|^A_a
=
\frac{1}{1-\alpha } (A^{1-\alpha }-a^{1-\alpha }).
</math>

Dla <math>A\rightarrow \infty </math>, prawa strona ma granicę <math>\infty </math>, gdy <math>1-\alpha >0</math>, tzn. <math>\alpha <1</math>,
bąd/x <math>\frac{\alpha -1}{a^{1-\alpha }}</math>, gdy <math>\alpha >1</math>. W przypadku pośrednim, tzn. gdy <math>\alpha =1</math>,
mamy

::<math>
\int _a^A \frac{1}{x^\alpha } {\sf d}x = \ln x |^A_a =\ln A - \ln a </math>
::<math>\lim_{A\rightarrow \infty} \int _a^A \frac{1}{x^\alpha } {\sf d}x\longrightarrow \infty</math>

zatem w tym przypadku całka jest rozbieżna.

Ostatecznie otrzymujemy, że całka niewłaściwa (<xr id="uid38"> %i</xr>) jest rozbieżna, gdy <math>\alpha \le 1</math>,
i zbieżna, gdy <math>\alpha >1</math>; w tym przypadku jej wartość wynosi <math>\frac{\alpha -1}{a^{1-\alpha }}</math>.

<li>
2. prędkość kosmiczna

</ol>
===Całka z funkcji <math>f</math> w przedziale <math>]-\infty ,a]</math>===
Analogicznie jak w (<xr id="uid35"> %i</xr>) definiujemy także całkę z funkcji <math>f</math> w przedziale <math>]-\infty ,a]</math>:

<equation id="uid40">
<math>\int _{-\infty }^a f(x) {\sf d}x = {\displaystyle \mathop {\lim }_{{A^{\prime }}\rightarrow {-\infty }} } \int _{A^{\prime }}^a f(x){\sf d}x \;\;\;(\mathrm{tu}\;\;A^{\prime }<a),

</math>
</equation>
===Całka po prostej rzeczywistej===
oraz całkę po całej prostej rzeczywistej:
<equation id="uid41">
<math>\int _{-\infty }^{+\infty } f(x) {\sf d}x = {\displaystyle \mathop {\lim }_{{A^{\prime }}\rightarrow {-\infty }} } {\displaystyle \mathop {\lim }_{{A}\rightarrow {\infty }} } \int _{A^{\prime }}^A f(x){\sf d}x.
</math>
</equation>

===Związek z podstawowym wzorem rachunku różniczkowego i całkowego===

Załóżmy teraz, że całkowana funkcja <math>f</math> posiada funkcję pierwotną <math>F</math> w całym przedziale <math>[a,\infty [</math>
(pamiętamy, że będzie tak np. wtedy, gdy <math>f</math> jest ciągła). Wtedy na podstawie podstawowego tw. rach.
różniczkowego i całkowego mamy
::<math>
\int _a^A f(x){\sf d}x = F(A)-F(a) = F(x)|^A_a.
</math>
Porównując to z wz. (<xr id="uid35"> %i</xr>) widzimy, że całka
niewłaściwa (<xr id="uid35"> %i</xr>) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje skończona granica
::<math>
{\displaystyle \mathop {\lim }_{{A}\rightarrow {\infty }} } F(A).
</math>
Granicę powyższą oznaczamy często <math> F(\infty )</math>.Możemy wtedy zapisać
::<math>
\int _a^\infty f(x) {\sf d}x = F(\infty )-F(a) = F(x)|_a^\infty .
</math>
Mamy też analogicznie
::<math>
\int _{-\infty }^a = F(x)|^a_{-\infty }, \;\;\;\int _{-\infty }^{+\infty } f(x) {\sf d}x = F(x)|^{+\infty }_{-\infty }.
</math>
====Przykł.====
<ol>

<li>
<math>\int _0^\infty e^{-ax} {\sf d}x, \;\; a>0</math>. Mamy: <math>F(x)=-\frac{1}{a} e^{-ax}</math>,
skąd <math>F(\infty ) = {\displaystyle \mathop {\lim }_{{A}\rightarrow {-\infty }} } e^{-aA}=0</math>, tak więc

::<math>
\int _0^\infty e^{-ax} {\sf d}x = F(x)|^\infty _0 = \frac{1}{a}.
</math>



<li>
<math>\int _0^\infty \sin x {\sf d}x</math>. Funkcją pierwotną jest tu <math>-\cos x</math>,ale symbol <math>\cos x|^\infty _0</math>
jest bez sensu, bo nie istnieje granica <math>{\displaystyle \mathop {\lim }_{{x}\rightarrow {\infty }} } \cos x</math>.

<li>
<math>\int _{\nicefrac{2}{\pi} }^\infty \frac{1}{x^2} \sin \frac{1}{x} = \cos \frac{1}{x} \left.\right|^\infty _{\nicefrac{2}{\pi} } = 1.</math>

</ol>

===Całki niewłaściwe a szeregi===

Pomiędzy całkami niewłaściwymi a szeregami istnieje szereg podobieństw, które teraz wyliczymy;
wiele twierdzeń o całkach niewłaściwych jest prostym przeniesieniem analogonów z teorii szeregów.

<table class="wikitable">
<tr>
<td>SZEREGI</td>

<td>CAłKI</td>

</tr>
<tr>
<td>Wyraz ogólny szeregu <math>a_n</math></td>

<td>Funkcja podcałkowa <math>f(x)</math></td>

</tr>
<tr>
<td></td>

<td></td>

</tr>
<tr>
<td>Suma częściowa szeregu <math>\sum _{n=1}^N a_n</math></td>

<td>Całka właściwa <math>\int _a^A f(x){\sf d}x</math></td>

</tr>
<tr>
<td></td>

<td></td>

</tr>
<tr>
<td>Suma szeregu <math>\sum _{n=1}^\infty a_n</math></td>

<td>Całka niewłaściwa <math>\int _a^\infty f(x){\sf d}x</math></td>

</tr>
<tr>
<td>jako granica sumy częściowej dla <math>N\rightarrow \infty </math></td>

<td>jako granica całki właściwej dla <math>A\rightarrow \infty </math></td>

</tr>
<tr>
<td></td>

<td></td>

</tr>
<tr>
<td>reszta szeregu <math>\sum _{n=N+1}^\infty a_n</math></td>

<td>Całka niewłaściwa <math>\int _A^\infty f(x){\sf d}x</math></td>

</tr>
</table>

Poniższych twierdzeń dowodzi się albo przez niewielką modyfikację twierdzeń dla szeregów,
albo przez proste rozszerzenie twierdzeń o całkach właściwych.

<ol>

<li>
Jeśli całka <math>\int _a^\infty f(x) {\sf d}x</math> jest zbieżna, to zbieżna jest też całka <math>\int _A^\infty f(x) {\sf d}x</math> i
na odwrót. Ponadto

::<math>
\int _a^\infty f(x) {\sf d}x = \int _a^A f(x) {\sf d}x + \int _A^\infty f(x) {\sf d}x.
</math>

<li>
Gdy całka <math>\int _A^\infty f(x) {\sf d}x</math> jest zbieżna, to zachodzi

::<math>
{\displaystyle \mathop {\lim }_{{A}\rightarrow {\infty }} }\int _A^\infty f(x) {\sf d}x=0.
</math>

<li>
Jeśli zbieżna jest całka <math>\int _a^\infty f(x) {\sf d}x</math>, to zbieżna jest też całka
<math>\int _a^\infty c\cdot f(x) {\sf d}x</math> (<math>c=</math> const.) i zachodzi

::<math>
\int _a^\infty c\cdot f(x) {\sf d}x = c \int _a^\infty f(x) {\sf d}x
</math>

<li>
Jeśli zbieżne są całki <math>\int _a^\infty f(x) {\sf d}x</math> i <math>\int _a^\infty g(x) {\sf d}x</math>,
to zbieżna jest też całka <math>\int _a^\infty (f\pm g)(x) {\sf d}x</math> i zachodzi

::<math>
\int _a^\infty (f\pm g)(x) {\sf d}x =\int _a^\infty f(x) {\sf d}x \pm \int _a^\infty f(x) {\sf d}x.
</math>

</ol>

===Zbieżność całki w przypadku funkcji nieujemnej===

Jeśli funkcja <math>f(x)</math> jest nieujemna, to całka
<equation id="uid52">
<math>F(A)=\int _a^A f(x){\sf d}x
</math>
</equation>
jest funkcją niemalejącą zmiennej <math>A</math>. Jeśli ponadto funkcja <math>F(A)</math> jest ograniczona,
tzn. <math>\exists _C \forall _x</math>: <math>F(x)\le C</math>, to <math>F(X)</math> posiada granicę, gdy <math>A\rightarrow \infty </math>, a to znaczy, że
całka (<xr id="uid52"> %i</xr>) jest zbieżna. W oczywisty sposób, warunek ten jest też warunkiem koniecznym
zbieżności; gdy nie jest on spełniony, to całka (<xr id="uid52"> %i</xr>) jest rozbieżna.

Wykorzystując powyższy fakt, dowodzi się, że ma miejsce następujące
====Twierdzenie====
Jeśli dla wszystkich <math>x\in [a,\infty [</math> zachodzi nierówność: <math>f(x)\le g(x)</math>, to ze zbieżności całki <math>\int _a^\infty g(x) {\sf d}x</math> wynika zbieżność całki <math>\int _a^\infty f(x) {\sf d}x</math>; i na odwrót: z rozbieżności całki <math>\int _a^\infty g(x) {\sf d}x</math> wynika rozbieżność całki <math>\int _a^\infty f(x) {\sf d}x</math>.
=====Dowód=====
jest analogiczny jak w przypadku tw. porównawczego dla szeregów — należy tylko wszędzie zamienić
"sumę" na "całkę".

CBDO

Kryterium to jest ógólnikowe: Skuteczność w jego stosowaniu zależy od
tego, czy uda się w danym problemie znaleźć dostatecznie dobry, a
jednocześnie wyliczalny 'ogranicznik', pozwalający oszacować badaną
funkcję całkowaną od góry lub od dołu. Wybierając konkretne funkcje do
porównań, możemy otrzymać bardziej szczegółowe kryteria
zbieżności/rozbieżności całek. Często do porównań bierze się funkcję
<math>\frac{1}{x^\alpha }</math> (jak pamiętamy, całka z tej funkcji
jest zbieżna dla <math>\alpha >1</math> i rozbieżna dla <math>\alpha
\le 1</math>). Z porównania z funkcją <math>\frac{1}{x^\alpha
}</math>, otrzymuje się następujące kryteria Cauchy'ego:

====Twierdzenie (kryteria Cauchy'ego)====
Niech funkcja <math>f(x)</math> ma dla dostatecznie dużych <math>x</math> postać
::<math>
f(x)=\frac{\phi (x)}{x^\alpha },\;\;\;\alpha >0.
</math>
Wtedy:
<ol>

<li>
Jeśli <math>\alpha >1</math> i <math>\phi (x)</math> jest ograniczona, tzn. <math>\exists _{C <\infty } \forall _x</math>: <math>F(x)\le C</math>,
to całka <math>\int _a^\infty f(x) {\sf d}x </math> jest zbieżna;
<li>
jeśli <math>\alpha \le 1</math> i <math>\phi (x)\ge c>0</math>, to całka jest rozbieżna.
</ol>
=====Dowód=====
<ol>
<li>
Tu bierzemy do porównania funkcję <math>g(x)=\frac{C}{x^\alpha }</math>; mamy: <math>f(x)\le g(x)</math> i
wiemy, że <math>g(x)</math> jest
całkowalna dla <math>\alpha >1</math>, co dowodzi zbieżności całki <math>\int _a^\infty f(x) {\sf d}x </math>.
<li>
Tu bierzemy do porównania <math>g(x)=\frac{c}{x^\alpha }</math>. Zachodzi: <math>f(x)\ge g(x)</math>,
całka z <math>g(x)</math> jest rozbieżna, więc też rozbieżna jest całka <math>\int _a^\infty f(x) {\sf d}x </math>.

</ol>

CBDO
=====Przykłady=====
<ol>

<li>
Zbadajmy zbieżność całki

::<math>
\int _0^\infty \frac{x^\frac{3}{2}}{1+x^2} {\sf d}x
</math>

Zamiast całki <math>\int _0^\infty </math> zbadajmy całkę <math>\int _1^\infty </math>; taka zmiana przedziału nie ma wpływu na zbieżność. Mamy:

::<math>
\frac{x^\frac{3}{2}}{1+x^2}
=
\frac{(x^2)^\frac{3}{4}}{1+x^2}
\ge \frac{(1+x^2)^\frac{3}{4}}{1+x^2}
=
\frac{1}{(1+x^2)^\frac{1}{4}}</math> jeżeli <math>x\ge 1</math> całość <math>{\ge }
\frac{1}{(x^2+x^2)^\frac{1}{4}}=\frac{1}{2^\frac{1}{4}\sqrt{x}},
</math>

a <math>\int _1^\infty \frac{1}{\sqrt{x}} {\sf d}x</math> jest rozbieżna, więc rozbieżna jest też całka wyjściowa.

<li>
Zbadajmy zbieżność całki

::<math>
\int _1^\infty \frac{1}{x^2\sqrt{1+x^2}} {\sf d}x
</math>

Tu oszacujmy w drugą stronę:

::<math>
\frac{1}{x^2\sqrt{1+x^2}}
\le \frac{1}{x^3},
</math>

i ponieważ <math>\int _1^\infty \frac{1}{x^3}{\sf d}x</math> jest zbieżna, to zbieżna jest też całka wyjściwa.

</ol>
===Zbieżność bezwzględna===

Wróćmy do badania zbieżności całek w przypadku ogólnym
(tzn. niekoniecznie dla nieujemnych funkcji podcałkowych). Jak
pamiętamy, zagadnienie zbieżności całki niewłaściwej <math>\int
_a^\infty f(x){\sf d}x</math> sprowadza się do rozstrzygnięcia, czy
istnieje skończona granica funkcji <math>\Phi (A)</math> dla
<math>A\rightarrow \infty </math>, gdzie
<equation id="uid60">
<math>\Phi (A)=\int _a^A f(x){\sf d}x
</math>
</equation>

Przypomnijmy sobie najsampierw [[Matematyka:Szeregi#Twierdzenie_.28Warunek_Cauchy.27ego.29|warunek Cauchy'ego]]<ref>Zwany też gdzieniegdzie warunkiem Bolzano-Cauchy'ego</ref> zbieżności szeregu <math>{a}_1 + {a}_2 +\dots </math>. Oznaczmy przez <math>\lbrace {s}_n \rbrace </math> ciąg jego sum częściowych.
Warunek B-C mówi zbieżności szeregu mówi, iż
::<math>
\forall _{\epsilon >0} \exists _{k\in { \mathbb N}} \forall _{m,m^{\prime }\in { \mathbb N}}: |s_{m}-s_{m^{\prime }}| < \epsilon ,
</math>
Warunek ten ma swój bezpośredni odpowiednik w postaci warunku istnienia całek niewłaściwych.
Można go sformułować następująco:
====Twierdzenie====
Warunkiem koniecznym i dostatecznym zbieżności całi <math>\int _a^\infty f(x){\sf d}x</math>
jest, aby
::<math>
\forall _{\epsilon >0} \exists _{A_0>a} \forall _{A,A^{\prime }>A_0}:
|\Phi (A^{\prime })-\Phi (A)|=|\int _A^{A^{\prime }} f(x) {\sf d}x| < \epsilon ,
</math>
gdzie <math>\Phi (A)</math> jest dane przez (<xr id="uid60"> %i</xr>).

CBDO

Korzystając z powyższego warunku, łatwo udowodnimy twierdzenie (mające analog dla szeregów: [[Matematyka:Szeregi1#Twierdzenie|Jeśli szereg jest bezwzględnie zbieżny to jest zbieżny]]):
====Twierdzenie====
Jeżeli całka <math>\int _a^\infty |f(x)| {\sf d}x</math> jest zbieżna, to jest zbieżna też całka
<math>\int _a^\infty f(x) {\sf d}x</math>.

=====Uwaga=====
W takim przypadku mówimy, że całka <math>\int _a^\infty f(x) {\sf d}x</math> jest bezwzględnie zbieżna. (Znów analogia z szeregami!)
=====Dowód=====
Stosując powyższe kryterium do całki <math>\int _a^\infty |f(x)| {\sf d}x</math> (o której zakładamy, że jest zbieżna) mamy: Dla dowolnego <math>\epsilon >0</math> istnieje takie <math>A_0>a</math>, że dla <math>A^{\prime }>A>A_0</math> zachodzi
::<math>
\int _A^{A^{\prime }} |f(x)|{\sf d}x < \epsilon ;
</math>
ale mamy też:
::<math>
\left|\int _A^{A^{\prime }} f(x){\sf d}x\right| < \int _A^{A^{\prime }} |f(x)|{\sf d}x
\;\;\;</math> co znaczy, że <math>
\;\;\;
\left|\int _A^{A^{\prime }} f(x){\sf d}x\right| < \epsilon </math>
a to oznacza, że zbieżna jest całka <math>\int _a^\infty f(x){\sf d}x</math>.

CBDO
====Twierdzenie====
Jeśli całka <math>\int _a^\infty f(x){\sf d}x</math> jest zbieżna bezwzględnie, a funkcja <math>g(x)</math> jest ograniczona (tzn. dla dowolnego <math>x</math>: <math>|g(x)\le C</math>), to całka <math>\int _a^\infty f(x) \cdot g(x) {\sf d}x</math> też jest bezwzględnie zbieżna.
=====Dowód=====
Wystarczy oszacować:
::<math>
\left| f(x)\cdot g(x)\right|\le C \cdot |f(x)|
</math>
i skorzystać z kryterium porównawczego.
CBDO
=====Przykł.=====

Rozważmy całkę:
::<math>
\int _0^\infty \frac{\cos a x}{k^2 + x^2}{\sf d}x, \;\;\;k\ne 0.
</math>
Funkcja <math>\frac{1}{k^2 + x^2}</math> jest całkowalna (całka z tej funkcji jest oczywiście bezwzględnie zbieżna),
zaś funkcja <math>\cos a x</math> jest ograniczona; zatem powyższa całka jest bezwzględnie zbieżna.


-------
<references/>

Matematyka:Matematyka II NI/Całka nieoznaczona - Historia wersji

Anula: Utworzono nową stronę "__NOTOC__ ==Całki niewłaściwe== ===Całki w granicach nieskończonych=== Wiemy, co to jest \int _a^b f(x) {\sf d}x w przypadku skończonego przedzia..."

Anula: Utworzono nową stronę "NOTOC ==Całki niewłaściwe== ===Całki w granicach nieskończonych=== Wiemy, co to jest $\int _a^b f(x) {\sf d}x$ w przypadku skończonego przedzia..."