Anula: Utworzono nową stronę "==Elementy logiki== '''''Zadanie 1''''' Niech $x^2=1$ . Wynika stąd, że a) $x=1$ , b) $x=1 \, \wedge \, x=-1$ , c..."

2015-05-22T12:19:18Z

Utworzono nową stronę "==Elementy logiki== <big>'''''Zadanie 1'''''</big> Niech <math> x^2=1 </math>. Wynika stąd, że a) <math> x=1 </math>, b) <math> x=1 \, \wedge \, x=-1 </math>, c..."

Nowa strona

==Elementy logiki==

<big>'''''Zadanie 1'''''</big>

Niech <math> x^2=1 </math>. Wynika stąd, że

a) <math> x=1 </math>,

b) <math> x=1 \, \wedge \, x=-1 </math>,

c) <math> x=1 \, \vee \, x=-1 </math>,

d) <math> x=1 \, \vee \, x=-1 \, \vee \, x=7 </math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Sprawdź czy prawdziwe są zdania
<math>\forall x^2=1: \,\, \, f(x) </math> lub równoważne <math>\forall x\in \mathbb{R}:\,\,\,x^2=1 \implies f(x) </math>
gdzie <math> f(x)</math> jest jedną form zdaniowych występujących w podpunktach a), b), c) lub d).
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
a) Nie, bo <math> x </math> może być równe <math> -1 </math>.

b) Nie bo forma zdaniowa <math> x=1 \, \wedge \, x=-1 </math> jest fałszywa dla dowolnego <math> x </math> w szczególności <math>-1</math>.

c) Tak.

d) Tak.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = Proponuję zajęcia rozpocząć od tego zadania, na początku prosząc studentów jedynie o odpowiedzi,
rozwiązanie podając po zadaniu 7.
}}
----

<big>'''''Zadanie 2'''''</big>

Dla jakich wartości parametru <math> a </math> prawdziwe są zdania

a)   <math> 7^2=50 \implies a=7 </math>,    
b)   <math> 7^2=50 \iff a=7 </math>,    
c)   <math> 7^2=50 \, \vee \, a=7 </math>,    
d)   <math> 7^2=50 \, \wedge \, a=7 </math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
a)   Dla dowolnego <math> a </math>,   
b)   Dla dowolnego <math> a </math> różnego od 7,   
c)   Dla <math> a </math> równego 7,   
d)   Nie ma takiego <math> a </math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

<big>'''''Zadanie 3'''''</big>

Sprawdź, że tautologią jest (prawo zaprzeczenia implikacji)

<math> \sim (p\implies q) \iff (p \wedge \sim q) </math>.

Zdefiniuj implikację za pomocą

a) negacji i koniunkcji,

b) negacji i alternatywy.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Rozważ wszystkie możliwości. W podpunkcie a) użyj tautologii z treści zadania. W podpunkcie b) dodatkowo użyj jednego z praw de Morgana.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Wszystkie możliwości sprawdzamy w tabelce logicznej poniżej.

a) Stosując prawo podwójnego przeczenia do właśnie co udowodnionej tautologii mamy

<math> (p\implies q) \iff \sim (p \, \wedge \, \sim q) </math>.

b)
Używając I prawa de Morgana po prawej stronie równoważności w rozwiązaniu punktu a) otrzymujemy

<math> (p\implies q) \iff (\sim p \, \vee \, q) </math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

{| class="wikitable" border="1" style="margin:1em auto;text-align:center;"
|+
! style="width:15%" | <math>p</math>
! style="width:15%" | <math>q</math>
! style="width:15%" | <math>p \implies q </math>
! style="width:15%" | <math>\sim q </math>
! style="width:15%" | <math>\sim( p \implies q) </math>
! style="width:15%" | <math> p \, \wedge \, \sim q </math>
! style="width:15%" | <math> \sim (p\implies q) \iff (p \wedge \sim q) </math>
|-
| 1 || 1 || 1 || 0 || 0 || 0 || 1
|-
| 1 || 0 || 0 || 1 || 1 || 1 || 1
|-
| 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 0 || 1
|-
| 0 || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 1
|}

<big>'''''Zadanie 4'''''</big>

Sprawdź, że tautologią jest (prawo transpozycji)

<math> (p\implies q) \iff (\sim q \implies \sim p) </math>

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Prawo sprawdzamy w poniższej tabelce logicznej.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----
{| class="wikitable" border="1" style="margin:1em auto;text-align:center;"
|+
! style="width:15%" | <math>p</math>
! style="width:15%" | <math>q</math>
! style="width:15%" | <math> \sim p </math>
! style="width:15%" | <math> \sim q </math>
! style="width:15%" | <math> p \implies q </math>
! style="width:15%" | <math>\sim q \implies \sim p </math>
! style="width:15%" | <math> (p\implies q) \iff (\sim q \implies \sim p) </math>
|-
| 1 || 1 || 0 || 0 || 1 || 1 || 1
|-
| 1 || 0 || 0 || 1 || 0 || 0 || 1
|-
| 0 || 1 || 1 || 0 || 1 || 1 || 1
|-
| 0 || 0 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1
|}

<big>'''''Zadanie 5'''''</big>

Sprawdź, że tautologią jest (przechodniość implikacji)

<math> [(p\implies q) \, \wedge \, (q\implies r)] \implies (p \implies r) </math>

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Prawo sprawdzamy w poniższej tabelce logicznej.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

{| class="wikitable" border="1" style="margin:1em auto;text-align:center;"
|+
! style="width:10%" | <math>p</math>
! style="width:10%" | <math>q</math>
! style="width:10%" | <math>r</math>
! style="width:10%" | <math> p \implies q </math>
! style="width:10%" | <math> q \implies r </math>
! style="width:10%" | <math> (p \implies q) \wedge (q \implies r) </math>
! style="width:10%" | <math> p\implies r </math>
! style="width:10%" | <math> [(p\implies q) \, \wedge \, (q\implies r)] \implies (p \implies r) </math>
|-
| 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1
|-
| 1 || 1 || 0 || 1 || 0 || 0 || 0 || 1
|-
| 1 || 0 || 1 || 0 || 1 || 0 || 1 || 1
|-
| 1 || 0 || 0 || 0 || 1 || 0 || 0 || 1
|-
| 0 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1
|-
| 0 || 1 || 0 || 1 || 0 || 0 || 1 || 1
|-
| 0 || 0 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1
|-
| 0 || 0 || 0 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1
|}

<big>'''''Zadanie 6'''''</big>

Zaprzecz następujące zdanie logiczne

<math> \forall x \in \mathbb{R}:\, x^2=1 \implies x=1 \, \vee \, x=-1 \, \vee \, x=7 </math>.

Rezultat podaj w takiej formie by negacja nie występowała ostatecznym wyniku.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
<math> \sim \left(\forall x \in \mathbb{R}:\, x^2=1 \implies x=1 \, \vee \, x=-1 \, \vee \, x=7\right) \iff
\left[\exists x \in \mathbb{R}:\, \sim \left( x^2=1 \implies x=1 \, \vee \, x=-1 \, \vee \, x=7\right) \right] \iff
</math>
<math> \iff
\left[\exists x \in \mathbb{R}:\, x^2=1 \, \wedge \, \sim\left(x=1 \, \vee \, x=-1 \, \vee \, x=7\right) \right] \iff
\exists x \in \mathbb{R}:\, x^2=1 \, \wedge \, x\neq 1 \, \wedge \,x\neq -1 \, \wedge \, x\neq 7.
</math>. Zdanie to jest fałszywe.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

==Zbiory i sposoby ich opisu==

<big>'''''Zadanie 7'''''</big>

Wypisz wszystkie elementy zbiorów

<math> \left\{ x \in \mathbb{R}:\, \frac{x}{2} \in \mathbb{N} \, \wedge \, x<7 \right\} </math>,

<math> \left\{ \frac{x}{2}:\, x \in \mathbb{N} \, \wedge \, x<7 \right\} </math>,
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
<math> \left\{ x \in \mathbb{R}:\, \frac{x}{2} \in \mathbb{N} \, \wedge \, x<7 \right\}=
\left\{ 2,4,6\right\}
</math>

<math> \left\{ \frac{x}{2}:\, x \in \mathbb{N} \, \wedge \, x<7 \right\}=\left\{\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2,\frac{5}{2},3 \right\}</math>
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = Student powinien mieć świadomość, że po lewej stronie dwukropka jest zbiór z którego wybieramy elementy (na przykład zbiór wszystkiego co można podzielić na 2 w drugim przykładzie) a po prawej pewna forma zdaniowa <math> p(x) </math> definiująca podzbiór
(jako zbiór tych argumentów dla których forma zdaniowa <math> p(x) </math> jest prawdziwa).
}}
----

'''Uwagi'''

Ćwiczenia kończymy powtórzeniem wiadomości z wykładu sprawdzając czy studenci potrafią zdefiniować sumę i różnicę zbiorów, znają pojęcie zawierania się zbiorów i ich równości.
Znają oznaczenia <math> \mathbb{N},\, \mathbb{Z},\, \mathbb{Q},\,\mathbb{R}</math>.
Znają pojęcie iloczynu kartezjańskiego zbiorów (np. <math>\mathbb{R}^2</math>).
Znają stosowane na wykładzie oznaczenia dla przedziałów liczbowych.

Matematyka 1NI/Elementy logiki i teorii zbiorów - Historia wersji

Anula: Utworzono nową stronę "==Elementy logiki== '''''Zadanie 1''''' Niech x^2=1 . Wynika stąd, że a) x=1 , b) x=1 \, \wedge \, x=-1 , c..."

Anula: Utworzono nową stronę "==Elementy logiki== '''''Zadanie 1''''' Niech $x^2=1$ . Wynika stąd, że a) $x=1$ , b) $x=1 \, \wedge \, x=-1$ , c..."