Anula: Utworzono nową stronę "==Wiadomości wstępne== Przystępując do ćwiczeń przypominamy następujące fakty z wykładu

Definicje funkcji hiperbolicznych
$\sinh x :=\frac..."$

2015-05-22T12:29:15Z

Utworzono nową stronę "==Wiadomości wstępne== Przystępując do ćwiczeń przypominamy następujące fakty z wykładu <ol> <li> Definicje funkcji hiperbolicznych <math>\sinh x :=\frac..."

Nowa strona

==Wiadomości wstępne==
Przystępując do ćwiczeń przypominamy następujące fakty z wykładu

<ol>
<li> Definicje funkcji hiperbolicznych 

<math>\sinh x :=\frac{e^x-e^{-x}}{2}</math>, 

<math>\cosh x :=\frac{e^x+e^{-x}}{2}</math>, 

<math>\tanh x :=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}</math>.
</li>
<li> Szkice wykresów funkcji hiperbolicznych.</li>
<li> Wzory 

<math>\cosh^2 x -\sinh^2 x =1</math> 

<math>\sinh (x+y)=\sinh x \cosh y + \sinh y \cosh x </math> 

<math>\sinh (2x)=2\sinh x \cosh x </math>
</li>

<li>Ponadto 

<math>\operatorname{arsinh} x=\log (x+\sqrt{x^2+1})</math> 

<math>\sinh ' x = \cosh x </math> 

<math>\cosh ' x = \sinh x </math> 

<math>\operatorname{arsinh}' x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}</math>
</li>

</ol>

==Zadania==

<big>'''''Zadanie 1'''''</big>

Udowodnij,że

a) <math>\cosh (x+y)=\cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y</math>

b) <math>\cosh (x-y)=\cosh x \cosh y - \sinh x \sinh y</math>

c) <math>\cosh (2x)=\cosh^2 x + \sinh^2 x </math>

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Wprost z definicji funkcji hiperbolicznych mamy

<math>\sinh x \cosh y :=\frac{e^x-e^{-x}}{2} \cdot \frac{e^y+e^{-y}}{2}=\frac{e^{x+y}+e^{-x-y}+e^{x-y}+e^{y-x}}{4}</math>,

<math>\sinh y \cosh x :=\frac{e^y-e^{-y}}{2} \cdot \frac{e^x+e^{-x}}{2}=\frac{e^{x+y}+e^{-x-y}-e^{x-y}-e^{y-x}}{4}</math>.

Dodając i odejmując stronami otrzymujemy tożsamości a) i b). Kładąc <math>x=y</math> w tożsamości a) otrzymujemy tożsamość c).
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

<big>'''''Zadanie 2'''''</big>

Udowodnij, że funkcją odwrotną do funkcji <math>f : \, \mathbb{R}_+\{0\} \to [1,\infty[ </math>

<math>x\mapsto f(x)= \frac{e^x+e^{-x}}{2}</math>

jest funkcja

<math>f^{-1}(x)= \log (x+\sqrt{x^2-1})=:\operatorname{ar cosh} \, x</math> .

Oblicz pochodną <math>f^{-1}</math> .
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Równanie <math>y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}</math> jest równaniem kwadratowym na zmienną <math>e^x</math>, którego rozwiązaniami są
<math>e^x=y\pm \sqrt{y^2-1}</math>. Rozwiązanie z górnym znakiem <math>x=\log(y+ \sqrt{y^2-1})</math> daje nieujemne wartości <math>x</math>.

<math>\operatorname{ar cosh}' \, x =[\log (x+\sqrt{x^2-1})]'=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}</math>
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

Matematyka 1NI/Funkcje hiperboliczne i polowe - Historia wersji

Anula: Utworzono nową stronę "==Wiadomości wstępne== Przystępując do ćwiczeń przypominamy następujące fakty z wykładu Definicje funkcji hiperbolicznych \sinh x :=\frac..."

Anula: Utworzono nową stronę "==Wiadomości wstępne== Przystępując do ćwiczeń przypominamy następujące fakty z wykładu

Definicje funkcji hiperbolicznych
$\sinh x :=\frac..."$