Matematyka 1NI/Kąty przecięcia krzywych - Historia wersji

Anula: Utworzono nową stronę "==Kąty przecięcia krzywych== '''''Zadanie 1''''' Znaleźć kąty, pod jakimi przecinają się wykresy funkcji $f(x)=\mathrm{tg}\, x\,$ oraz
2015-05-22T12:37:58Z

Utworzono nową stronę "==Kąty przecięcia krzywych== <big>'''''Zadanie 1'''''</big> Znaleźć kąty, pod jakimi przecinają się wykresy funkcji <math>f(x)=\mathrm{tg}\, x\, </math> oraz <m..."

Nowa strona
==Kąty przecięcia krzywych==

<big>'''''Zadanie 1'''''</big>

Znaleźć kąty, pod jakimi przecinają się wykresy funkcji <math>f(x)=\mathrm{tg}\, x\, </math> oraz <math>g(x)=\mathrm{ctg}\, x\, </math>.
<br>

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Należy obliczyć pochodne obu funkcji w punktach przecięcia.<br>}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Najpierw znajdziemy współrzędne punktów przecięcia. W tym celu rozwiązujemy równanie:
<equation id="eq:ang1">
<math>
\mathrm{tg}\, x=\mathrm{ctg}\, x\; .
\, </math> </equation>
Ze względu na okresowość obu funkcji (z okresem równym <math>\pi\, </math>) wystarczy ograniczyć się do argumentów z przedziału <math>\displaystyle \left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\, </math>. Równanie <xr id="eq:ang1">(%i)</xr> ma wówczas dwa rozwiązania: <math>\displaystyle x=\pm\frac{\pi}{4}\, </math>. Ponieważ funkcje <math>f\, </math> i <math>g\, </math> są nieparzyste, więc w obu tych punktach kąt przecięcia będzie identyczny. Poniżej rozważymy zatem jedynie przypadek <math>\displaystyle x=\frac{\pi}{4}\, </math>. Sytuacja, z jaką mamy do czynienia, przedstawiona jest na rysunku 1.

[[Plik:angle1.jpg|250px|thumb|right|Rys 1. Punkty przecięcia wykresów funkcji <math>f(x)=\mathrm{tg}\, x\, </math> oraz <math>g(x)=\mathrm{ctg}\, x\, </math>.]]

Aby znaleźć współczynniki kierunkowe stycznych obliczamy pochodne obu funkcji (kąty nachylenia wykresów funkcji <math>f\, </math> i <math>g\, </math> oznaczamy odpowiednio symbolami <math>\alpha\, </math> i <math>\beta\, </math>):
<equation id="eq:ang1a">
<math>
\begin{array}{ccl}
\mathrm{tg}\,\alpha &\!\!\! =&\!\!\!\left.f'(x)\right|_{x=\frac{\pi}{4}}=\frac{1}{\cos^2\frac{\pi}{4}}=2\; , \\
\mathrm{tg}\,\beta &\!\!\! =&\!\!\!\left.g'(x)\right|_{x=\frac{\pi}{4}}=\frac{-1}{\sin^2\frac{\pi}{4}}=-2\; .
\end{array}\, </math> </equation>
Szukany kąt <math>\gamma=\alpha-\beta\, </math>. Posługując się wzorem na tangens różnicy kątów, mamy więc:
<equation id="eq:ang1b">
<math>
\mathrm{tg}\, \gamma=\mathrm{tg}(\alpha -\beta)=\frac{\mathrm{tg}\,\alpha -\mathrm{tg}\,\beta}{1+\mathrm{tg}\,\alpha\, \mathrm{tg}\,\beta}=-\frac{4}{3}\; .
\, </math> </equation>
Tangens kąta <math>\gamma\, </math> okazał się być ujemny, więc sam kąt jest większy od <math>\displaystyle \frac{\pi}{2}\, </math>. Posługując się kalkulatorem możemy znaleźć jego przybliżoną wartość: <math>\gamma\approx 2.214 \,\mathrm{rad}\, </math>.
<br>}}
----
<big>'''''Zadanie 2'''''</big>

Znaleźć kąty, pod jakimi przecinają się wykresy funkcji <math>f(x)=x^2\, </math> oraz <math>g(x)=\sqrt{x}\, </math>.
<br>

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
Należy obliczyć pochodne obu funkcji w punktach przecięcia.<br>}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Współrzędne punktów przecięcia znajdziemy, rozwiązując równanie:
<equation id="eq:ang2">
<math>
x^2=\sqrt{x}\; .
\, </math> </equation>
Ma ono dwa rozwiązania: <math>x=0\, </math> oraz <math>x=1\, </math>, co przedstawione zostało na rysunku 2.

[[Plik:angle2.jpg|250px|thumb|right|Rys 2. Punkty przecięcia wykresów funkcji <math>f(x)=x^2\, </math> oraz <math>g(x)=\sqrt{x}\, </math>.]]

<ol>
<li> <math>x=0.\;\;\;\, </math> Aby znaleźć współczynniki kierunkowe stycznych (kąty nachylenia wykresów funkcji <math>f\, </math> i <math>g\, </math> oznaczamy odpowiednio symbolami <math>\alpha\, </math> i <math>\beta\, </math>) obliczamy pochodne. Najpierw znajdujemy
<equation id="eq:ang2a">
<math>
\mathrm{tg}\,\alpha =\left.f'(x)\right|_{x=0}=\left.2x\right|_{x=0}=0\; ,
\, </math> </equation>
co oznacza, że <math>\alpha=0\, </math>. Natomiast pochodna (oczywiście mówić możemy wyłącznie o pochodnej prawostronnej) funkcji <math>g\, </math> w tym punkcie nie istnieje. Z rysunku widać jednoznacznie, dlaczego tak się dzieje. Otóż styczna do wykresu staje się w tym punkcie pionowa i współczynnik kierunkowy dąży do nieskończoności. Wynika stąd, iż <math>\displaystyle\beta =\frac{\pi}{2}\, </math>. Otrzymujemy więc <math>\displaystyle\delta=\alpha-\beta=-\frac{\pi}{2}\, </math>. Krzywe przecinają się zatem pod kątem prostym.
<li> <math>x=1.\;\;\;\, </math> </li>
Tym razem mamy:
<equation id="eq:ang2b">
<math>
\begin{array}{ccl}
\mathrm{tg}\,\alpha &\!\!\! =&\!\!\! \left.f'(x)\right|_{x=1}=\left.2x\right|_{x=1}=2\; , \\
\mathrm{tg}\,\beta &\!\!\! =&\!\!\! \left.g'(x)\right|_{x=1}=\left.\frac{1}{2\sqrt{x}}\right|_{x=1}=\frac{1}{2}\; ,
\end{array}\, </math> </equation>
Korzystając z wzoru na tangens różnicy kątów otrzymujemy:
<equation id="eq:ang2c">
<math>
\mathrm{tg}\, \gamma=\mathrm{tg}(\alpha -\beta)=\frac{\mathrm{tg}\,\alpha -\mathrm{tg}\,\beta}{1+\mathrm{tg}\,\alpha\, \mathrm{tg}\,\beta}=\frac{3}{4}\; .
\, </math> </equation>
W przybliżeniu możemy obliczyć, że: <math>\gamma\approx 0.644 \,\mathrm{rad}\, </math>.</li>
</ol>
<br>}}
----
<big>'''''Zadanie 3'''''</big>

Znaleźć kąty, pod jakimi przecinają się wykresy funkcji <math>f(x)=x^2\, </math> oraz <math>g(x)=x^4-2\, </math>.
<br>

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
Należy obliczyć pochodne obu funkcji w punktach przecięcia.<br>}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Współrzędne punktów przecięcia otrzymamy z równania:
<equation id="eq:ang3">
<math>
x^2=x^4-2\; ,
\, </math> </equation>
które ma dwa rozwiązania: <math>x=\pm\sqrt{2}\, </math>. Ze względu na parzystość obu funkcji, poniżej zajmiemy się wyłącznie przypadkiem <math>x=\sqrt{2}\, </math>. Odpowiednie wykresy przedstawia rysunek 3.

[[Plik:angle3.jpg|250px|thumb|right|Rys 3. Punkty przecięcia wykresów funkcji <math>f(x)=x^2\, </math> oraz <math>g(x)=x^4-2\, </math>.]]

Aby znaleźć współczynniki kierunkowe stycznych, obliczamy pochodne funkcji <math>f\, </math> i <math>g\, </math>. Kąty nachylenia ich wykresów oznaczamy odpowiednio symbolami <math>\alpha\, </math> i <math>\beta\, </math>. Otrzymujemy:
<equation id="eq:ang3a">
<math>
\begin{array}{ccl}
\mathrm{tg}\,\alpha &\!\!\! =&\!\!\! \left.f'(x)\right|_{x=\sqrt{2}}=\left.2x\right|_{x=\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\; , \\
\mathrm{tg}\,\beta &\!\!\! =&\!\!\! \left.g'(x)\right|_{x=\sqrt{2}}=\left.4x^3\right|_{x=\sqrt{2}}=8\sqrt{2}\; ,
\end{array}\, </math> </equation>
Podobnie jak w poprzednich zadaniach, korzystamy teraz z wzoru na tangens różnicy kątów, otrzymując:
<equation id="eq:ang3b">
<math>
\mathrm{tg}\, \gamma=\mathrm{tg}(\beta-\alpha )=\frac{\mathrm{tg}\,\beta -\mathrm{tg}\,\alpha}{1+\mathrm{tg}\,\beta\, \mathrm{tg}\,\alpha}=\frac{8\sqrt{2}-2\sqrt{2}}{1+8\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{11}\; .
\, </math> </equation>
W przybliżeniu znajdujemy, że: <math>\gamma\approx 0.252 \,\mathrm{rad}\, </math>.
<br>}}
----
<big>'''''Zadanie 4'''''</big>

Wykazać, że rodziny krzywych:
<equation id="eq:ang4">
<math>
x^2+x-y^2=A\; ,\;\;\;\; y(2x+1)=B\; ,
\, </math> </equation>
gdzie <math>A\, </math> i <math>B\, </math> są stałymi różnymi od zera, przecinają się wszędzie pod kątem prostym.
<br>

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
Należy znaleźć pochodne obu (niejawnych) funkcji <math>y(x)\, </math> w punktach przecięcia, różniczkując równania <xr id="eq:ang4">(%i)</xr>.<br>}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Równania <xr id="eq:ang4">(%i)</xr> opisują hiperbole, które przestawione są na rysunku 4.

[[Plik:kp1.jpg|250px|thumb|right|Rys 4. Wykresy równań <xr id="eq:ang4">(%i)</xr>, dla różnych wartości parametrów <math>A\, </math> i <math>B\, </math>.]]

Definiują one pewne funkcje <math>y(x)\, </math>. Zakładając, że są one różniczkowalne, możemy kolejno napisać:
<equation id="eq:ang4a">
<math>
\begin{array}{ccl}
2x+1-2y y'=0\;\;&\Longrightarrow &\;\; y'=\frac{2x+1}{2y}\; , \\
y'(2x+1)+2y=0\;\;&\Longrightarrow &\;\; y'=-\frac{2y}{2x+1}\; ,
\end{array}\, </math> </equation>
Wielkości te istnieją w interesujących nas punktach, gdyż drugie z równań <xr id="eq:ang4">(%i)</xr> wyklucza, aby na drugiej z krzywych (a więc także w punktach przecięcia) zachodziło <math>y=0\, </math> bądź <math>\displaystyle x=-\frac{1}{2}\, </math> (pamiętamy, że <math>B\neq 0\, </math>).

Przyjmijmy, że dany punkt przecięcia ma współrzędne <math>(x_0,y_0)\, </math>. Wówczas kąty (<math>\alpha\, </math>, <math>\beta\, </math>) nachylenia obu krzywych dane są równaniami:
<equation id="eq:ang4b">
<math>
\begin{array}{ccl}
\mathrm{tg}\,\alpha &\!\!\! =&\!\!\!\frac{2x_0+1}{2y_0}\; ,\\
\mathrm{tg}\,\beta &\!\!\! =&\!\!\!-\frac{2y_0}{2x_0+1}=-\frac{1}{\mathrm{tg}\, \alpha}=-\mathrm{ctg}\,\alpha=\mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\; .
\end{array}\, </math> </equation>
Ponieważ <math>\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\alpha,\beta < \frac{\pi}{2}\, </math>, wiec z równania tego wynika, iż <math>\displaystyle \alpha-\beta=\pm\frac{\pi}{2}\, </math>.
<br>}}
----
<big>'''''Zadanie 5'''''</big>

Wykazać, że rodziny krzywych:
<equation id="eq:ang5">
<math>
e^x\cos y=A\; ,\;\;\;\; e^x\sin y=B\; ,
\, </math> </equation>
gdzie <math>A,B>0\, </math>, przecinają się wszędzie pod kątem prostym.
<br>

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
Należy znaleźć pochodne obu (niejawnych) funkcji <math>y(x)\, </math> w punktach przecięcia, różniczkując równania <xr id="eq:ang5">(%i)</xr>.<br>}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Na początku zastanowimy się, czy krzywe <xr id="eq:ang5">(%i)</xr> przecinają się dla dowolnych <math>A,B>0\, </math>. W tym celu podzielimy oba równania stronami, otrzymując kolejne równanie:
<equation id="eq:ang5a">
<math>
\mathrm{tg}\, y=\frac{A}{B}\; ,
\, </math> </equation>
które ma zawsze rozwiązanie. Z <xr id="eq:ang5">(%i)</xr> możemy ponadto otrzymać inny związek:
<equation id="eq:ang5b">
<math>
e^{2x}=A^2+B^2\; ,
\, </math> </equation>
skąd uzyskujemy:
<equation id="eq:ang5c">
<math>
x=\frac{1}{2}\,\log(A^2+B^2)\; .
\, </math> </equation>
Krzywe opisane równaniami <xr id="eq:ang5">(%i)</xr> mają więc punkty przecięcia, a cały ich przebieg przestawiony są na rysunku 5.

[[Plik:kp2.jpg|250px|thumb|right|Rys 5. Wykresy równań <xr id="eq:ang5">(%i)</xr>, dla różnych wartości parametrów <math>A\, </math> i <math>B\, </math>.]]

Związki <xr id="eq:ang5">(%i)</xr> definiują pewne (niejawne) funkcje <math>y(x)\, </math>. Przyjmując, że są one różniczkowalne, możemy napisać:
<equation id="eq:ang5d">
<math>
\begin{array}{ccl}
e^x(\cos y-y'\sin y)=0\;\;&\Longrightarrow &\;\; y'=\mathrm{ctg}\, y\; , \\
e^x(\sin y+y'\cos y)=0\;\;&\Longrightarrow &\;\; y'=-\mathrm{tg}\, y\; ,
\end{array}\, </math> </equation>
Równania <xr id="eq:ang5">(%i)</xr> wraz z warunkiem <math>A,B>0\, </math> wykluczają, aby zachodziło <math>\displaystyle y=n\,\frac{\pi}{2}</math> dla <math>n\in\mathbb{Z}\, </math>, więc obie pochodne istnieją w każdym punkcie przecięcia.

Przyjmijmy, że dany punkt przecięcia ma współrzędne <math>(x_0,y_0)\, </math>. Kąty (<math>\alpha\, </math>, <math>\beta\, </math>) nachylenia obu krzywych dane są równaniami:
<equation id="eq:ang5e">
<math>
\begin{array}{ccl}
\mathrm{tg}\,\alpha &\!\!\! =&\!\!\!\mathrm{ctg}\, y_0\; ,\\
\mathrm{tg}\,\beta &\!\!\! =&\!\!\!-\mathrm{tg}\, y_0=-\frac{1}{\mathrm{tg}\, \alpha}=-\mathrm{ctg}\,\alpha=\mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\; .
\end{array}\, </math> </equation>
Ponieważ <math>\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\alpha,\beta < \frac{\pi}{2}\, </math>, więc z powyższego związku wynika, iż <math>\displaystyle \alpha-\beta=\pm\frac{\pi}{2}\, </math>.
<br>}}
----
<big>'''''Zadanie 6'''''</big>

Wykazać, że wykresy funkcji <math>f_1(x)=\sqrt{x}\, </math>, <math>f_2(x)=-\sqrt{x}\, </math> oraz <math>g(x)=\sqrt{x}\sin x\, </math> są styczne we wszystkich punktach wspólnych (poza początkiem układu współrzędnych).
<br>

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
Należy obliczyć i porównać pochodne funkcji w punktach wspólnych.<br>}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Wykresy wszystkich funkcji przedstawione są na rysunku 6.

[[Plik:kp3.jpg|250px|thumb|right|Rys 6. Wykresy funkcji <math>f_1(x)=\sqrt{x}\, </math>, <math>f_2(x)=\sqrt{x}\, </math> oraz <math>g(x)=\sqrt{x}\sin x\, </math>.]]

Równanie <math>f_1(x)=g(x)\, </math> daje <math>\sin x=1\, </math> i widzimy, że punkty wspólne możemy numerować zmienną <math>n=0,1,2,\ldots\, </math>. Mają one postać: <math>\displaystyle x_n=\frac{\pi}{2}+2 n\pi\, </math>. W tych punktach otrzymujemy:
<equation id="eq:ang6">
<math>
\begin{array}{ccl}
f'_1(x_n)&\!\!\!=&\!\!\!\frac{1}{2\sqrt{x_n}}\; ,\\
g'(x_n)&\!\!\!=&\!\!\!\frac{1}{2\sqrt{x_n}}\, \sin x_n+\sqrt{x_n}\, \cos x_n=\frac{1}{2\sqrt{x_n}}\; ,
\end{array}\, </math> </equation>
gdyż <math>\cos x_n=0\, </math>. Jak widzimy pochodne są identyczne, a zatem wykresy obu funkcji są styczne.

Podobnie z równania <math>f_2(x)=g(x)\, </math> mamy <math>\sin x=-1\, </math> i ponownie punkty wspólne możemy numerować zmienną <math>n\, </math>. Tym razem mają one postać: <math>\displaystyle \tilde{x}_n=\frac{3\pi}{2}+2 n\pi</math> i mamy:
<equation id="eq:ang6a"> <math> \begin{array}{ccl}
f'_2(\tilde{x}_n)&\!\!\!=&\!\!\!-\frac{1}{2\sqrt{\tilde{x}_n}}\; ,\\
g'(\tilde{x}_n)&\!\!\!=&\!\!\!\frac{1}{2\sqrt{\tilde{x}_n}}\, \sin\tilde{x}_n+\sqrt{\tilde{x}_n}\, \cos \tilde{x}_n=-\frac{1}{2\sqrt{\tilde{x}_n}}\; .
\end{array}\, </math> </equation>
Otrzymaliśmy identyczne wartości, więc krzywe są styczne.<br>}}
----